ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»,

FOUNDATIONS
О F
SET THEORY
ABRAHAM A. FRAENKEL
Professor of Mathematics
Hebrew University, Jerusalem
and
YEHOSHUA BAR-HILLEL
Associate Professor of Philosophy
Hebrew University, Jerusalem
1958
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY
Amsterdam

Α. Α. ФРЕНКЕЛЬ
И. БАР-ХИЛЛЕЛ
ОСНОВАНИЯ
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Ю. А. ГАСТЕВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. С. ЕСЕНИНА-ВОЛЬПИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
МОСКВА 1966

S/ДК 519. 50
В ходе развития теории множеств, которая является
основой построения большинства математических дисциплин,
возникли чрезвычайно сложные проблемы непротиворечивости. Книга
представляет собой наиболее полный из существующих обзор
исследований, вызванных к жизни этой проблематикой; в ней
описываются и сравниваются между собой все важнейшие
системы аксиоматической теории множеств. Большое внимание
уделено приложению идей и методов математической логики в
различных направлениях исследований по основаниям
математики (логицизм, интуиционизм, формализм).
Книга, снабженная обширным списком литературы,
представляет ценность для математиков, занимающихся основаниями
математики и связанными с ними вопросами математической
логики, а также для философов и представителей других
специальностей, имеющих отношение к методологическим
проблемам математики.
Редакция литературы по математическим наукам

ОТ РЕДАКТОРА
ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга А. Френкеля и
И. Бар-Хиллела «Основания теории множеств» представляет
собой весьма полный обзор результатов, полученных в
основаниях теории множеств ко времени выхода книги (1958 г.);
кроме того, в ней излагаются все те концепции оснований
математики, которые были сколько-нибудь развиты в литературе
к концу 1957 г.
А. Френкель известен прежде всего как один из авторов
весьма распространенной и важной системы аксиом Цер-
мело — Френкеля для теории множеств. (В настоящей книге эта
система называется системой Цермело, или просто Z.) Ему
принадлежит заслуга введения «аксиом подстановки» в эту
систему. Он известен и другими достижениями в аксиоматической
теории множеств — так, ему принадлежит идея метода
автоморфизмов универсальной области, используемая обычно для
доказательства независимости аксиомы выбора и т. п. И. Бар-Хил-
лел является известным специалистом в области семиотики, его
имя широко известно лингвистам; в то же время у него имеются
важные идеи в области теории определений (например, ему
принадлежит замечание о том, что круги в определениях часто
можно преодолеть, придав таким «порочным» определениям
форму рекурсивных).
Настоящая книга является единственной монографией по
основаниям теории множеств, появившейся за последние
десятилетия и не связанной слишком тесно с какой-либо
определенной концепцией. (В других книгах, в которых обстоятельно
трактуется аксиоматическое построение теории множеств, а
также математики на ее основе—например, в «Logic for
mathematicians» Россера и «Mathematical Logic» и «Set theory and its
logic» Куайна, — исследование ограничено системой New
Foundations и родственными ей системами. Превосходная
монография Бернайса «Axiomatic Set Theory» посвящена
исключительно теоретико-множественной системе Бернайса. Известную
брошюру Мак-Нотона и Хао Вана «Аксиоматические системы
теории множеств» трудно назвать монографией.)

6
От редактора перевода
Следует заметить, что авторы, как правило,
воздерживаются от изложения сколько-нибудь сложных доказательств; книга,
в которой разносторонний обзор исследований по основаниям
теории множеств сопровождался бы достаточно подробным
изложением доказательств имеющихся теорем, еще никем не
была написана. (Автор этих строк надеется, что этот пробел
будет вскоре восполнен.) В некоторых случаях авторы трактуют
вопросы слишком бегло (это относится к работам об
аксиоматиках для New Foundations). В связи с этими проблемами
читателю рекомендуется продолжить изучение рассматриваемых
вопросов, руководствуясь обширной библиографией,
содержащейся в конце этой книги. Эта библиография представляет
собой большую самостоятельную ценность. Переводчик и
редактор перевода стремились охватить в дополнительной
библиографии, составленной к русскому изданию, литературу,
появившуюся начиная с 1958 г., с той же полнотой, которая была
достигнута авторами по отношению к более раннему периоду.
Конечно, результаты и концепции, возникшие начиная с
1958 г., не могли быть отображены авторами. Об этих
результатах и концепциях (в частности о принадлежащей автору этих
строк ультраинтуиционистской концепции обоснования системы
Цермело — Френкеля) сообщается в примечаниях переводчика
и редактора перевода. Разумеется, эти примечания не
претендуют на исчерпывающий характер. Важнейшим из упомянутых
результатов является результат Коэна (1963—64) о
независимости аксиомы выбора и континуум гипотезы в системе
Цермело — Френкеля.
Л. С. Есенин-Волъпин

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга появилась ровно полстолетия спустя после того,
как (в 1908 г.) теория множеств в своей первоначальной канто-
ровской форме, испытав сильные потрясения со стороны
антиномий, была коренным образом реконструирована Брауэром,
Расселом и Цермело. Основное содержание книги составляет
описание этих весьма различных и независимо разработанных
подходов со всеми их разветвлениями и последующим сближением.
Книга задумана как серьезный учебник для аспирантов-
математиков и философов, до некоторой степени знакомых с
элементами теории множеств и — желательно, но не
обязательно — с элементами символической логики; она может также
служить справочником для тех, кто хочет заниматься
исследованиями по основаниям теории множеств. Однако мы хотели
бы предостеречь читателя, чтобы он не читал (и не цитировал)
последний, «философский» параграф, прежде чем он усвоит
содержание всей книги. Не случайно этот параграф помещен в
конце книги. ,
В 1952 г. старший из авторов в предисловии к Abstract Set
Theory (1953) сообщил о предполагаемой публикации специаль-^
ного дополнительного тома, посвященного обзору различных
аспектов теории множеств, в частности всех связанных с ней
логических проблем. В соответствии с указанной целью в
библиографию к Abstract Set Theory были включены
многочисленные работы, опубликованные до 1950 г., относящиеся к
проблемам, которые предполагалось обсудить в последующем томе.
Тем временем, однако, появилось несколько превосходных
работ как на английском, так и на других языках. Ряд из них
носит характер учебников по математической логике,
метаматематике и основаниям математики; другие представляют собой

8
Предисловие
монографии, в которых рассматриваются избранные вопросы этих
дисциплин. Из учебников упомянем только Introduction to the
foundations of mathematics Уилдера (1952) !), introduction to
metamathematics Клини (1952) 2), Logic for mathematicians
Poccepa (1953) 3) и Introduction to mathematical logic Чёрча
(1956) 4); из монографий: Sentences undecidable in formalized
arithmetic Мостовского (1952) 5), Undecidables theories Тарского
(совместно с Мостовским и Р. М. Робинсоном) (1953) 6), Ма-
thematische Logik Гермеса и Шольца (1952) 7), Теорию
алгорифмов Маркова (1954) 8) и Les limitations internes der formalis-
mes Ладриера (1957) 9).
Это отрадное обстоятельство позволило нам значительно
сузить рамки настоящей книги. В гл. III и V вместо
предполагавшегося ранее совершенно самостоятельного и вполне
исчерпывающего обзора вопросов математической логики,
метаматематики и семантики обсуждаются теперь лишь некоторые,
важнейшие из этих вопросов, уже рассмотренных в упомянутых
книгах; кроме того, излагаются точки зрения, не охваченные
этими книгами. Intuitionism Рейтинга (1956) 10) позволил
ограничить гл. IV обсуждением самых основ интуиционизма.
Аксиоматические основания теории множеств, которым посвящена
гл. II, рассматриваются тем не менее во всех деталях; вся глава
написана так, чтобы ее мог прочесть начинающий, знакомый
лишь с началами теории Кантора. Наконец, гл. I оказалось
возможным свести к минимуму, достаточному, чтобы дать
читателю представление о важности антиномий как факторов
неприятных и в то же время плодотворных. Хотя в результате
всех этих изменений данная книга утратила первоначально за-
1) Уилдер, 52; обозначения, используемые при ссылках на литературу,
разъясняются на стр. 11 (подстр. прим. 1) и на стр. 13 (подстр. прим. 2).—
Прим. перев.
2) Клини, 52. — Прим. перев.
3) Россер, 53. — Прим. перев.
4) Чёрч, 56. — Прим. перев.
5) Мостовский, 52. — Прим. перев.
6) Тарский — Мостовский — Р. Робинсон, 53. — Прим. перев.
7) Гермес — Шольц, 52. — Прим. перев.
8) Марков, 54. — Прим. перев.
9) Ладриер, 57. — Прим. перев.
10) Гейтинг, 56. — Прим. перев.

Предисловие
9
думанный характер независимого и энциклопедического
изложения всех различных аспектов оснований теории множеств, мы
надеемся, что эта потеря окупается представившейся
возможностью потратить часть сэкономленного места на подробное
рассмотрение ряда старых, забытых точек зрения или совсем
недавних нововведений.
Повторения в книге более часты, чем это обычно принято.
Мы полагаем, что многие читатели предпочтут эти повторения
постоянным внутренним ссылкам. Авторы не питают иллюзий,
что им удалось соблюсти надлежащие пропорции.
В этой книге можно было бы перепечатать всю цитируемую
в ней библиографию из ранее вышедшей книги1). Однако,
чтобы избавить читателя от необходимости постоянно обращаться
к этой библиографии, было принято следующее компромиссное
решение. Приложенная к этой книге библиография содержит в
дополнение ко всем важнейшим публикациям, появившимся
после 1950 г., те из наиболее важных ранее вышедших работ,
на которые мы часто ссылаемся; в отношении же менее важных
для наших целей публикаций читатель может обратиться к
библиографии из более раннего тома, причем в предстоящем в
скором времени втором его издании эти публикации для
удобства читателей будут специально отмечены.
Хотя большинство цитируемых книг и статей были
действительно прочитаны по крайней мере одним из авторов, в
отношении некоторых работ, особенно опубликованных на недостаточно
знакомых авторам языках (таких, как русский, польский,
венгерский, финский или скандинавские языки), пришлось в основном
полагаться на рефераты в The Journal of Symbolic Logic, авторы
с благодарностью признают оказанную им тем самым помощь.
Символизм математической логики в книге в целом
используется довольно скупо; но наиболее важные определения и
аксиомы, а также некоторые теоремы формулируются (и) в
символической записи. Более широко символические формулировки
используются в гл. III и V, но даже там они в основном
относятся к абзацам, напечатанным мелким шрифтом, которые мо-
1) Что и сделано в настоящем, русском издании; см прим. 2 на стр. 13,—
Прим. перев.

w
Предисловие
гут быть без особого ущерба опущены. Некоторые сведения по
символической логике приведены на стр. 37 и далее и на
стр. 324 и ел.
Авторы обычно избегали выражать свое собственное мнение
по спорным вопросам. Лишь в весьма редких случаях, в
частности в связи с некоторыми интуиционистскими тезисами, они
сочли полезным добавить и свою собственную критику.
Гл. I, III и V в основном написаны младшим автором
(И.Б-Х.), а гл. II и IV — старшим (Α. Α. Φ.); но за всю книгу
в целом мы несем общую ответственность.
Мы хотим выразить благодарность нашим иерусалимским
коллегам Азриэлю Леви и Абрахаму Робинсону, прочитавшим
часть корректур и давшим нам ценные советы, и М. Д. Франку,
заместителю директора издательства North-Holland Publishing
Company, за оказанную им помощь при опубликовании книги.
Иерусалим
А.'А.Ф.
И.Б-Х.

АНТИНОМИИ
ГЛАВА
ι
§ 1. Историческое введение
В Abstract Set Theory1) основы теории множеств были
изложены преимущественно генетическим способом: были
определены основные понятия, и из этих определений при помощи
обычного дедуктивного метода выводились теоремы. Точнее, в
Τ содержались некоторые элементы полуаксиоматического ха^·
рактера в виде семи принципов, главное назначение которых
заключалось в уточнении объема понятия множества. Точное
значение этих принципов подробно обсуждается в гл. II
настоящей книги2).
В ряде мест Τ (стр. 18, 132, 282, 301) приняты специальные
меры предосторожности, предупреждающие возникновение прот
тиворечий. Эти противоречия, возникающие, как правило, в
связи с обычным, ничем не ограниченным употреблением по'нятий
кардинального числа, порядкового числа и алефа, называются
антиномиями, или парадоксами, теории множеств. Вообще, мы
говорим, что какая-либо теория содержит антиномию, если в
этой теории доказуемы два противоречащих друг другу
предложения или одно сложное предложение, имеющее вид
эквивалентности между двумя взаимно противоречащими
предложениями, даже если аксиомы теории выглядят истинными, а
правила вывода — верными.
Прежде чем перейти к подробному систематическому
исследованию, выясняющему, каким образом антиномии угрожают
1) Ссылки на Abstract Set Theory Α. Α. Френкеля (Amsterdam, 1953
[2-е дополн. изд. 1961]) всюду в дальнейшем обозначаются через Г.—
Прим. авт.
Для удобства читателя в соответствующих местах при переводе
добавлены ссылки на литературу, имеющуюся на русском языке (в числе таковой
мы не имели в виду русский перевод трактата Бурбаки, 54, пользование
которым в качестве справочного издания могло бы лишь затруднить
читателя); эти ссылки, как и все добавленные при переводе, снабжены
значком ° (кроме ссылок на библиографию к Т).— Прим. перев.
2) Принципы, о которых здесь идет речь, представляют собой
содержательные формулировки следующих ниже (в другом порядке) аксиом I—VII.—
Прим. перев.

12
Гл. I. Антиномии
основаниям теории множеств, уместно привести некоторые
замечания исторического характера. Открытия Кантора,
относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в
самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на
недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и
безразличие со стороны подавляющего большинства философов.
Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в
моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в
анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое
видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации,
когда его результаты приняли окончательный
систематизированный вид, он столкнулся с первой из таких антиномий. Это
произошло в 1895 г. Антиномия не была сразу же опубликована.
Двумя годами позже ее вновь открыл Бурали-Форти. Хотя
ни Кантор, ни Бурали-Форти не были способны в то время
предложить разрешение антиномии, ситуация не казалась
слишком серьезной: эта первая антиномия возникла в довольно
специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и,
вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств
теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как
это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.
Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар.
В 1902 г. Бертран Рассел поразил философов и математиков,
указав антиномию (см. § 2), относящуюся к самым началам
теории множеств и показывающую, что в основаниях этой
дисциплины что-то неблагополучно. Но антиномия Рассела
потрясла основы не только теории множеств: в опасности оказалась и
сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в
формулировке, чтобы перевести антиномию Рассела в противоречие,
которое можно было бы сформулировать в терминах самых
основных логических понятий.
Строго говоря, антиномия Рассела не была первой
антиномией основной философской дисциплины. Начиная с Зенона из
Элей и кончая Кантом и диалектической философией XIX
столетия, эпистемологические противоречия пробуждали довольно
многих мыслителей от догматической спячки и наводили их на
мысль очистить свои теории во избежание подобных угроз. Но
никогда ранее антиномии не возникали на таком элементарном
уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия
двух самых «точных» наук — логики и математики.
Антиномия Рассела явилась истинным потрясением для тех
немногих мыслителей, которые занимались проблемами
обоснования !) на рубеже прошлого и нынешнего столетий. Дедекинд
11 Логики и математики. — Прим. перев.

§ 1. Историческое введение
13
в своих глубоких исследованиях о природе и -назначении λ)
чисел 2) положил в основу арифметики отношение
принадлежности — его метод «цепей» может даже быть взят за основу в
теории вполне упорядоченных множеств (ср. Г, стр. 103,
319 3)) —и использовал понятие множества в его полном канто-
ровском смысле для доказательства существования
бесконечных («рефлексивных», ср. Г, стр. 40 4)) множеств. Вследствие
удара, нанесенного ему антиномией Рассела, Дедекинд на
некоторое время приостановил публикацию своих исследований,
основу которых он счел расшатанной5). Еще более трагичной)
была судьба Фреге: он как раз только что закончил, после
десятилетий напряженной работы, свой главный труд6), когда
Рассел сообщил ему о своем открытии. В первой же фразе
послесловия Фреге отмечает, что фундамент его здания
поколеблен Расселом 7).
Нет ничего удивительного в том, что многие математики,
только-только начавшие воспринимать теорию множеств как
полноправного члена сообщества математических наук,
изменили теперь свою позицию. Типичный пример этой перемены —
Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, до этого
сам содействовавший пропаганде и распространению идей
теории множеств. В течение ряда лет после 1902 г. его отношение
к мерам, предлагавшимся Расселом для реабилитации теории
множеств, было неизменно насмешливым8).
Надо сказать, что сам Кантор ни на минуту не терял веры
1) Слова «природа» и «назначение» имеют здесь примерно тот же
смысл, в котором их употреблял Дедекинд в своей работе «Что такое числа
и чем они должны быть» (1888). — Прим. перев.
2) Дедекинд, 1888.
Литература, цитированная в настоящей книге, за исключением ссылок
со звездочкой впереди, указана в библиографии в конце книги; первые
цифры 19 опускаются (Куайн, 55 вместо Куайн, 1955). Ссылки, снабженные
спереди звездочкой, например *Дедекинд, 3, относятся к библиографии в Г;
эти ссылки для настоящей книги имеют второстепенное значение. — Прим. авт.
В русском издании необходимые ссылки из Г, также снабженные
звездочкой, включены в библиографию. Добавления переводчика и
редактора перевода к авторским примечаниям будут в дальнейшем заключаться
в квадратные скобки и снабжаться пометкой Перев. или соответственно
Ред. — Прим. перев.
3) См. также °Хаусдорф, 14/27/37, § 12. —Прим. перев.
4) См. также °Хаусдорф, 14/27/37, стр. 26. — Прим. перев.
ь\ См., например, предисловие к 3-му изд. Дедекинда 1888; ср. *Деде-
кинд, 3, стр. 449.
6) Фреге, 1893—1903.
7) Впрочем, он сразу же попытался внести соответствующие
исправления, но не добился успеха; ср. Фреге, 1893—1903 гг., стр. 253 и далее; Гич—
Блэк, 52, предисловие, а также стр. 234 и далее, особ. прим. 0 на стр. 243;
Соботинский, 49—50, стр. 220 и далее; Куайн, 55.
8) ""Пуанкаре, 5, книга 2.

14
Гл. 1. Антиномии
в свою теорию в ее полном «наивном» объеме, хотя и оказался
ре в состоянии ответить на вызов, брошенный ему антиномией
Рассела. Другие ученые заявляли, что нечего особенно
волноваться по поводу этой и других антиномий, и, проводя различие
между «канторизмом» и «расселизмом» !), предостерегали
против приписывания «искусственно построенным» антиномиям
Сколько-нибудь решающего значения. Трудно, однако,
отстаивать эту позицию. Даже если антиномия Бурали-Форти не
возникает, коль скоро ограничиваются рассмотрением порядковых
чисел первых числовых классов (Г, стр. 2992)), это не может
избавить серьезного мыслителя от обязанности критической
проверки теорем, использующих общее понятие порядкового
числа; презрительная же ссылка на «искусственный» характер
многих антиномий не более убедительна, чем, скажем,
утверждение о том, что каждая непрерывная функция
дифференцируема, поскольку непрерывную недифференцируемую функцию
можно считать «искусственной». С другой стороны, хорошо
известно, что во всей математике—и в других науках — изучение
самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий >
часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки.
Наивно думать, что трудности можно преодолеть, просто
избегая рассмотрения общего случая3). Наконец, резко
разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша!) и
логику (которой каждый здравомыслящий математик должен
ради блага своей души избегать) по меньшей мере
бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это исполь^
зование зачастую замаскировано и явно не учитывается; если
же кто-либо хочет ограничить это применение, как делают
некоторые интуиционисты (см. гл. IV), то такие ограничения
следовало бы не затемнять, а явно и четко формулировать.
Верно, что область собственно математических рассуждений
как в анализе, так и в геометрии не затрагивается
непосредственно действием антиномий. Антиномии возникают главным
образом в области крайних обобщений, за пределами
фактического применения понятий геометрии и анализа. Принять меры
к тому, чтобы избежать этой опасной области, в общем
нетрудно. Это и есть главная причина того, что многие математики
так быстро оправились после первого шока, вызванного
открытием антиномий. Тот факт, что многие предпочитали говорить
1) См., например, *Шёнфлис, 1ц, стр. 7; 6, стр. 250—255.
2) См также °Хаусдорф, 14/27/37, § 15. — Прим. перев.
3) Или сказав, что следует избегать его; см. остроумное разъяснение
у *Журдэна, 6, стр. 75 и далее: «Сказать длинноносому собеседнику:
«Говоря о носах, я не имею в виду столь несуразно длинные», — не самый
удачный способ избежать щекотливой темы» (Рассел, 08, стр. 226).

§ I. Историческое введение
15
не о противоречиях, а о парадоксах, или антиномиях,
свидетельствует о том, что в глубине души большинство современных
математиков не хотели быть изгнанными из рая, в который их
ввели открытия Кантора1).
Как бы то ни было, и сегодня нельзя недооценивать
психологического эффекта, производимого антиномиями на многих
математиков. В 1946 г., спустя почти полстолетия после того,
как антиномия Рассела повергла в отчаяние Дедекинда и Фре-
ге, один из выдающихся ученых нашего времени сделал
следующее признание:
Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных
основах (логики и) математики. Как все и вся в мире
сегодня, мы переживаем «кризис». Он продолжается уже
почти пятьдесят лет. На первый взгляд, он не мешает
нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что
на самом деле он оказал сильное влияние на мою
математическую деятельность: он направлял мои интересы
в область, казавшуюся мне относительно «безопасной», и
постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость,
необходимые для всякой исследовательской работы2).
Настоящая книга посвящена номинально исследованию
оснований теории множеств как таковой. Но тот факт, что, с
одной стороны, теория множеств есть одна из дисциплин,
лежащих в основании всей математики (а по мнению некоторых,
даже единственная такая дисциплина3)), а с другой стороны,
она неразрывно связана с логикой, побуждает нас весьма
свободно толковать предмет нашего исследования и часто входить
в обсуждение оснований логики в целом и математики в целом.
Хорошо известно, что многие мыслители затрудняются
разграничить эти науки. Часто говорилось, что теория множеств
входит как в логику, так и в математику, связывая их между
собой. Нам будет удобнее обсудить эту точку зрения позже.
Придя к заключению, что исследование
логико-математических антиномий — задача, от выполнения которой нам не
уклонился, мы в следующих параграфах этой главы приступим к
классификации известных антиномий, а также изложим некото-
1) Перефразировка известного заявления Гильберта, 25: «Никто не
Ъюжет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор» (цитируется по
русскому переводу, 1948), — сделанного, однако, с позиций (см. § 1 гл. V
настоящей книги), не имеющих ничего общего с только что
охарактеризованными воззрениями «современных математиков». — Прим. перев.
2) Вейль, 46.
3) См., например, Бурбаки, 49, стр. 7 [или стр. 25 русского перевода
Бурбаки, 54, где, впрочем, говорится о «почти всей» математике. —
Перев.}.

16
Г л 7 Антиномии
рые особенно важные. Мы проведем также предварительный,
неформальный анализ этих антиномий и дадим ссылки на
обильную литературу, посвященную антиномиям.
§ 2. Логические антиномии
Следуя Рамсею1), обычно различают логические и
семантические (иногда называемые также синтаксическими, или
эпистемологическими2)) антиномии. Значение этого различия
станет ясным в следующем параграфе3). В этом параграфе мы
опишем три антиномии первого рода: антиномии Рассела,
Кантора и Бурали-Форти.
/. Антиномия Рассела. В 1903 г. Рассел 4) опубликовал
антиномию, обнаруженную им годом раньше, о которой он сообщил
в письме к Фреге. Та же антиномия одновременно и
независимо обсуждалась в Гёттингене Цермело и математиками его
круга, однако это обсуждение не было доведено до стадии
опубликования.
Для произвольного данного множества представляется впол^
не осмысленным выяснить, является оно своим собственным
элементом или нет. По отношению к некоторым множествам труд^
но усомниться в том, что они не являются собственными элемент
тами: множество планет, например, не является, конечно,
планетой и потому не есть собственный элемент. Другие
множества столь же естественно без колебаний считать собственными
элементами: очевидный пример — множество всех множеств.
Поэтому кажется вполне осмысленным поставить тот же вопрос
относительно множества всех множеств, не являющихся
собственными элементами. Ответ на этот вопрос, однако,
обескураживает: обозначив последнее множество через 'S', мы сразу
видим, что если S есть элемент S, то оно принадлежит множеству
всех множеств, не являющихся собственными элементами, т. е.
оно не есть собственный элемент; с другой стороны, если S не
есть элемент S, оно не принадлежит множеству всех множеств,
не являющихся собственными элементами, а потому является
1) Рамсей, 26.
2) Эпистемология — то же, что гносеология (теория познания). — Прим.
перев.
3) Деление антиномий на логические и семантические трудно считать
вполне четким; во всяком случае, проводимое в § 3 сравнение антиномий
Рассела и Греллинга не оправдывает предыдущей фразы авторского
текста. — Прим. перев
*1 Рассел, 03, в частности, § 78 и гл. X.

§ 2. Логические антиномии
17
собственным элементом1). Сопоставляя сказанное, мы
убеждаемся, что S есть элемент S в том и только в том случае,
когда S не есть элемент 5, — явное противоречие, выведенное из
весьма правдоподобных предположений цепью бесспорных на
вид рассуждений.
Внимательный читатель мог бы, пожалуй, счесть, что здесь налицо
некоторое преувеличение. Он мог бы возразить, что противоречие было
выведено среди прочих посылок также из предположения, что такие объекты,
как множество всех множеств, не являющихся собственными элементами
(названное нами 'S'), существуют; что, следовательно, мы вправе лишь
заключить, что если S существует, то S есть элемент 5 в том и только в том
случае, когда S не есть элемент S; а из этого заключения вытекала бы лишь
ложность антецедента (по reductio ad absurdum), т. е. что S не существует
или, попросту говоря, что такого зверя, как 5, не бывает.
Указанное возражение справедливо (оно будет рассмотрено ниже, в
гл. III). Но это мало способствует уменьшению парадоксальности полученного
результата: тот факт, что не может существовать множества, состоящего в
точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию,
отнюдь не кажущемуся каким-то исключительным, а именно не содержащих
себя в качестве элемента, — пожалуй, не менее противен здравому смыслу,
чем прямое противоречие.
Подобное же возражение справедливо по отношению и к другому
парадоксу, могущему быть отнесенным к логическим; но здесь оно оказывается
решающим. Этот парадокс особенно интересен тем, что между ним и
парадоксом Рассела вообще нет существенного различия, и вся соль последнего
выступает более отчетливо. Рассмотрим человека, который по
предположению бреет всех тех и только тех жителей какой-либо деревни, которые не
бреются сами. Обозначая для краткости выражение ' тот житель деревни,
который бреет всех тех и только тех жителей этой деревни, которые не
бреются сами' через 'Ьу и рассуждая совершенно аналогично тому, как это
делалось в антиномии Рассела, мы приходим к заключению, что Ь бреет Ь в
том „и только в том случае, когда Ь не бреет Ь. Замечая, однако, что мы
вправе прийти лишь к заключению, что если Ь существует, то Ь бреет Ь в
том и только в том случае, когда Ь не бреет Ь, мы сможем лишь прийти к
выводу, что Ь не существует, т. е. что нет такого жителя деревни, который
брил бы всех тех и только тех жителей этой деревни, которые не бреются
сами, — результат, хотя, может быть, и несколько неожиданный для
неподготовленного слушателя, но не более парадоксальный, чем, скажем, тот факт,
что нет такого жителя деревни, который был бы одновременно и старше, и
моложе пятидесяти лет2).
Условие, которому должен по предположению удовлетворять
незадачливый «деревенский брадобрей», оказывается попросту внутренне
противоречивым, а следовательно, невыполнимым (Этот факт был замаскирован тем
1) Без использования принципа исключенного третьего и снятия
двойного отрицания легко обойтись: обозначим S£S через Л; тогда А1Э~А
следует из определения 5; но формула (Л 1Э~Л) id ~A доказуема в
интуиционистском (и даже в минимальном) исчислении высказываний; из нее
и доказанной ранее формулы A ZD ~Л, по modus ponens, следует ~Л; по
определению 5 получаем ~AzsA\ применяя вторично modus ponens к ~А
и ~Л:эЛ, получаем Л; итак, Л и ~Л доказаны интуиционистски. (~ —
знак отрицания, ZD — знак импликации.) Об упоминаемых здесь логических
понятиях см., например, Клини, 52, § 19, 23.) — Прим. перев.
2ϊ Ср. Хельмер, 34.

18
Гл. I. Антиномии
обстоятельством, что добавлением нескольких почти не заметных слов
можно было бы сделать условие вполне выполнимым: «... всех жителей
деревни, не считая его самого...».) С другой стороны, условие, фигурирующее
в антиномии Рассела, вовсе не выглядит внутренне противоречивым1),
поэтому вывод о несуществовании соответствующего множества представляется
неожиданным и внушает беспокойство.
Тот же внимательный читатель, которому мы приписали
вышеупомянутое частично подтвержденное возражение, мог бы (вспомнив содержание Т)
задаться вопросом, как можно предупредить появление антиномии Рассела.
Пробуя доказать существование парадоксального множества,, он убедится,
чго такое доказательство не проходит: соответствующий принцип выделения
(Principle of Subsets) 2) (Г, стр. 22) позволяет доказать существование
множества элементов, удовлетворяющих данному условию, лишь в том случае,
если это множество есть подмножество уже полученного ранее множества.
Но нельзя доказать, что расселовское парадоксальное множество
удовлетворяет этому дополнительному условию.
С самого начала следует уяснить, что в традиционной
трактовке логики и математики не было решительно ничего, что
могло бы служить в качестве основы для устранения
антиномии Рассела. Мы полагаем, что любые попытки выйти из
положения с помощью традиционных (т.е. имевших хождение до
XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно
проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели3).
Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим,
хотя место этого отхода заранее не ясно. В действительности,
исследования, проведенные в XX столетии по основаниям
логики и математики, могут быть с успехом
расклассифицированы по тому признаку, с какого именно места их подход к делу
начинает отличаться от канторовского. Такая точка зрения и
будет принята в следующих главах.
Ради исторической полноты следует упомянуть о том, что некоторые
опасения по поводу «самоприменимых» понятий (простейшим примером
которых служит понятие «быть собственным элементом») были высказаны еще
в средние века4). Эти опасения, однако, никогда не были представлены в
форме четких предложений о пересмотре привычных способов мышления и
выражения.
Известные сомнения «философского» характера в справедливости tertium
поп datur, логического закона исключенного третье о, которым свободно
пользуются при выводе антиномии Рассела5), были высказаны еще
предшественниками интуиционистов (см. гл. IV); но ни разу формулировка этих
сомнений не приблизилась к той, которая была им придана в XX столетии,
когда неаристотелева логика была разработана достаточно основательно.
1) Хотя и является таковым. — Прим. перев.
2) В угловых скобках в дальнейшем указываются английские прототипы
соответствующих русских терминов. — Прим. перев.
3) Об одной характерной такой попытке см. Перельман, 36.
4) Ср. Бохенский, 56, § 35; Сала муха, 37.
5) Из того, что различные авторы вслед за Расселом пользовались при
выводе антиномии Рассела законом исключенного третьего, вовсе не следует,
что без него здесь нельзя обойтись; см. прим. 1 к стр. 17. — Прим. перев.

§ 2. Логические антиномии
19
С целью показать, что антиномия Рассела не носит
специфически математического характера и не зависит, как можно
было бы предположить, от каких-либо из ряда вон выходящих
особенностей понятия множества, мы кратко переформулируем
ее в чисто логических терминах. Кажется вполне
осмысленным задать вопрос, применимо ли какое-либо свойство к
самому себе. Свойство быть красным, например, не применимо
к самому себе, поскольку свойство быть красным не является,
конечно, красным. В то же время свойство быть абстрактным,
будучи само абстрактным, применимо к себе. Называя не
применимые к самим себе свойства 'импредикабельными', мы
приходим к парадоксальному заключению, что импредикабельность
импредикабельна в том и только в том случае, если
импредикабельность не импредикабельна. Теоретико-свойственная
(логическая) разновидность антиномии Рассела парадоксальна в той
же мере, что и теоретико-множественная (математическая) {).
2. Антиномия Кантора. По теореме Кантора (Г, стр. 94),
множество Cs всех подмножеств данного множества s имеет
большую мощность, чем само множество s. Рассмотрим теперь
множество всех множеств, которое назовем U. Его «множество-
степень», CU, т. е. множество всех подмножеств [/, имеет тог-
гда большую мощность, чем само £/, что парадоксально в силу
того факта, что [/, по определению, есть множество,
содержащее все множества.
Эта антиномия была известна самому Кантору еще в 1899 г.;
любопытно, однако, что опубликована она была лишь в
1932 г.2). В июне 1901 г. она привлекла внимание Рассела,
который под ее влиянием предпринял построение своей
собственной антиномии, конечно, значительно более простой (по крайней
мере на первый взгляд), поскольку в ней нет и намека на
такие специальные понятия, как подмножество и
множество-степень.
Тесная связь между антиномиями Кантора и Рассела станет
ясна каждому, кто вспомнит доказательство теоремы Кантора
(Г, стр. 94—95).
3. Антиномия Бурали-Форти. В качестве последнего примера
антиномий данной группы (название 'логическая' в данном
случае, пожалуй, сбивает с толку) упомянем об исторически
самой ранней из них — она названа по имени Бурали-Форти,
1) Рассел, 03, стр. 102.
2) Кантор, 32.

20
Гл. I. Антиномии
который опубликовал ее в 1897 г.1). Сам Кантор, однако,
обсуждал ее еще в 1895 г. и сообщил о ней Гильберту в 1896 г.
Формулируется эта антиномия крайне просто: согласно
следствию из теоремы 2, вполне упорядоченное множество W
всех порядковых чисел имеет порядковое число, большее
каждого элемента W, т. е. большее любого порядкового числа.
Впрочем, при построении теории множеств, как указано в
Г, ни антиномия Кантора, ни антиномия Бурали-Форти не
возникают, поскольку существование соответствующих множеств,
а именно множества всех множеств и множества всех
порядковых чисел, не может быть доказано при помощи принципов,
положенных в Г в основу теории множеств. Читатель,
предположивший, что формулировка, данная в Τ принципу выделения,
как раз имела в виду предотвратить появление этих и других
логических антиномий, будет совершенно прав.
§ 3. Семантические антиномии
Несколькими годами позже появления антиномий,
упомянутых в' предыдущем параграфе, на сцену вышли антиномии
несколько другого сорта. Мы снова рассмотрим здесь лишь
несколько наиболее важных таких антиномий.
Λ Антиномия Ришара. Эта антиномия, описанная Ришаром в
1905 г.2), имеет особое значение, так как она является в
некотором роде пародией на канторовский диагональный метод
(Г, стр. 64). Известно много разновидностей этой антиномии,
ниже рассматривается одна из более простых.
Рассмотрим все такие действительные числа, которые могут
быть охарактеризованы при помощи конечных (но
неограниченных в совокупности) последовательностей русских3) слов,
например, 'восемь десятых', 'положительный квадратный корень
из числа семьдесят четыре тысячных', 'наименьшее число,
удовлетворяющее тому условию, что сумма квадрата этого числа и
его произведения на число одна десятая равна числу три
десятых'. Очевидно, существует лишь счетное множество таких
чисел. Обозначим множество всех этих чисел через R. Итак, R
счетно. Рассмотрим некоторый пересчет элементов R. Охарак-
1) Бурали-Форти, 1897; ср. *Ф. Бернштейн, 2, *ЖурДЭН, 1. Точную
формулировку антиномии Бурали-Форти см. у фон Неймана, 25, прим. 24.
2) Ришар, 05, *2.
3ί В подлиннике «английских» — Прим. перев.

§ 3. Семантические антиномии
21
теризуем теперь действительное число г как такое
действительное число из интервала (О, 1), что его п-й десятичный знак есть
результат циклического сдвига п-го десятичного знака п-го
числа в упомянутом пересчете (1 — результат циклического
сдвига цифры 0, 2 — результат циклического сдвига цифры
1,..., а 0 — результат циклического сдвига цифры 9). С
помощью рассуждений, почти полностью аналогичных
приведенным в Τ (стр. 64—65), получим, что г отличается от любого
элемента R и поэтому не может быть однозначно
охарактеризовано конечной последовательностью русских1) слов, в явном
противоречии с тем фактом, что г уже охарактеризовано таким
способом, а именно при помощи выделенной курсивом
последовательности русских1) слов из предыдущей фразы2).
Мы не будем здесь обсуждать антиномию Берри3),
являющуюся, по существу, поучительным и остроумным упрощением
антиномии Ришара; самостоятельного теоретического интереса
она не представляет и не имеет той непосредственной связи с
диагональным методом, которая так озадачивает в антиномии
Ришара.
2. Антиномия Греллинга. В 1908 г. Греллинг и Нельсон4)
обратили внимание на следующую антиномию; они считали ее
разновидностью антиномии Рассела, но она оказалась существенно
отличной от парадокса, относящегося к свойству быть импреди-
кабельным5) (хотя и удивительно сходной с ним).
Антиномия Греллинга может быть сформулирована очень
просто. Некоторые русские прилагательные, например, «рус-
1) В подлиннике «английских». — Прим. перев.
2) Строго говоря, закурсивленная часть предыдущей фразы не
определяет никакого числа г, так как в нее входит слово упомянутом,
относящееся к предыдущему (незакурсивленному) тексту. Можно, конечно,
включить в закурсивленное выражение и явное определение некоторого
подходящего пересчета, но и тогда антиномия Ришара подвержена критике,
исходящей из того, что никакое определение рассматриваемого в ней рода
не обходится без ссылок на факты и понятия, лежащие вне его. Все эти
соображения в полной мере приложимы и к упоминаемой в следующем
абзаце (см. также добавление к следующему примечанию) антиномии Берри,
несмотря на ее кажущуюся замкнутость (независимость от другого
контекста) . — Прим. перев.
3) Опубликованную впервые Расселом, Об [стр. 645; в этой антиномии
идет речь о парадоксальных выражениях типа 'наименьшее натуральное
число, которое нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех
слогов' (определяющего при помощи тридцати двух слогов некоторое
натуральное число). — Перев].
4), Греллинг — Л. Нельсон, 08.
5) Это не разъясненное авторами «существенное отличие» состоит в том,,
что парадокс Рассела относится к понятиям, а парадокс Греллинга —
к именам понятий, т. е. к словам. (Ср. прим. 3 к стр. 16.) —Прим. перев.

22
Гл. I. Антиномии
ское» и «многосложное», обладают тем самым свойством,
которые они называют: прилагательное 'русское' само
русское, а прилагательное 'многосложное' само многосложное,
в то время как громадное большинство прилагательных, такие,
как 'французское', 'односложное', 'синее' и 'горячее', не
обладают называемым каждым из них свойством. Называя
прилагательные второго рода гетерологическими, мы сразу же
обнаруживаем, к своему ужасу, что прилагательное 'гетерологиче-
ское' гетерологическое в том и только в том случае, если оно
не гетерологическое.
3. Лжец. Известно очень много версий этой антиномии, среди
которых в действительности довольно много совсем
непарадоксальных. Некоторые из этих версий восходят к античности, к
тому времени, когда мегарские философы1) поддразнивали ими
членов Платоновской академии2). Мы приведем одну из более
поздних версий.
Предположим, что Джон Доу произнес 1 декабря 1956 г.
следующее русское3) предложение (и ничего другого за весь
этот день не произносил): «Единственное предложение,
произнесенное Джоном Доу 1 декабря 1956 г., ложно». Это
предложение есть повествовательное предложение, лишенное какой бы
то ни было эллиптичности (как, например, «Единственное
предложение, произнесенное Джоном Доу 1 декабря, ложно») или
зависимости от контекста (как «Единственное предложение,
произнесенное им 1 декабря 1956 г., ложно»)4). Поэтому
представляется разумным задаться вопросом, истинно это
предложение или ложно. Но сразу же выясняется, что это
предложение истинно в том и только в том случае, когда оно
ложно.
Могут возразить, что эта антиномия основывается на неко*
тором фактическом предположении, а именно на
предположении о том, что Джон Доу действительно произнес определенное
1) Например, Эвбулид (IV ст. до н. э.); см. Клини, 52, стр. 42 русск.
изд. — Прим. перев.
2) Ср. Бохенский, 56, § 23.
3) В подлиннике Джон Доу, как и подобает ему, говорит
по-английски. — Прим. перев.
4) Утверждение, высказанное в этой фразе, представляется излишне ка*
тегорическим. Впрочем, проблема принципиальной неустранимости
эллиптичности и контекстуальной зависимости каких бы то ни было фонетических
высказываний, коренящаяся в принципиальной непроверяемости
подразумеваемых в них онтологических допущений о единственности рассматриваемых
в них объектов, выходит, по-видимому, за рамки рассмотрений авторов и не
умаляет их значения. — Прим. перев.

§ 4. Общие замечания
23
предложение, и ничего другого в определенный день1). Это,
конечно, верно, но отнюдь не ослабляет парадоксальности
результата. Кроме того, можно показать, что аналогичная антиномия
может быть построена без использования каких бы то ни было
фактических предположений2).
§ 4. Общие замечания
Исчерпывающее описание всех антиномий, обнаруженных в
исследованиях по основаниям3) в течение последних
шестидесяти лет, не входит в наши намерения4). Из не рассмотренных
нами до сих пор наиболее важен парадокс Сколема, имеющий
принципиальное значение для аксиоматической теории
множеств. Но именно по этой причине его описание и обсуждение
будет отложено до §-6 гл. II5).
Мы уже говорили, что лишь немногие математики были-
серьезно обеспокоены возникновением антиномий. Но даже
среди тех математиков, которые были встревожены кризисом
в основах своей науки, вызванным появлением антиномий,
подавляющее большинство разделяло мнение Пеано, согласно
которому Exemplo de Richard поп pertinet ad mathematlca, sed ad
linguistica6), из чего они заключали, что, будучи
математиками, они не обязаны были испытывать беспокойство по поводу
1) Но это «фактическое предположение» может быть при помощи
тривиальной переформулировки предложения «фактически осуществлено»
каждым читателем, причем ему вовсе не понадобится для этого, как легко
понять, молчать почти целые сутки. — Прим. перев.
2) См Тарский, 44, прим. 11.
3) Математики и логики. — Прим. перев.
4) Перечисление и точное описание около двенадцати антиномий,
включая шесть рассмотренных здесь, см. Бет, 55, книга V.
5) Некоторые другие парадоксы, известные еще в древности,
приобретают в последнее время связь с основаниями математики и, в частности,
теории множеств; именно в связи с исследованием принципа математической
индукции интересен парадокс кучи: «Одно зерно не может образовать кучи,
если и η зерен не могут образовать кучи, то и я+1 зерно не может
образовать кучи — следовательно, никакое число зерен не может образовать
кучи». Хотя, на первый взгляд, этот парадокс не имеет отношения к
математике, но требуется ответить на вопрос: благодаря каким свойствам
математических понятий аналогичный парадокс не может появиться в
математике— причем нет оснований доверять опыту, основанному на
математической индукции. Так как предположение о единственности натурального ряда
тесно связано с этой формой индукции, от него следует отказаться, по
крайней мере при исследовании парадоксов, и тогда приобретает значение (см.
°Есенин-Вольпин 60, стр. 103—104) некоторая разновидность парадокса Зе-
нона о летящей стреле. Эти антиномии не следует относить к группам
логических или семантических. — Прим. ред.
6) «Пример Ришара относится не к математике, а к лингвистике»
(лат.). — Прим. перев.

24
Гл. I. Антиномии
антиномии Ришара и семантических антиномий вообще.
Действительно, в эти антиномии непременно входят такие
семантические термины, как 'обозначает', Характеризует* или истинно',
а о таких терминах обычный математик вовсе не считает
нужным слишком уж упорно думать. Но по мере развития' одного
из самых интересных направлений современных исследований в
области оснований выяснилось, что проблема семантических
антиномий является не чисто методологической, имеющей самое
большое косвенное отношение к собственно математике, но
служит скорее отправным пунктом для исследований,
оказывающих громадное и непосредственное влияние на современную
математику. Об этом будет рассказано в гл. V.
Литература, посвященная антиномиям, очень обширна.
В первые годы после опубликования антиномии Рассела
антиномии обсуждались главным образом математиками.
Впоследствии же они стали привлекать все более пристальное внимание
специалистов по логике, методологии и философии в широком
смысле. Большая часть этой литературы посвящена частичным
разрешениям различных антиномий, не указывающим никакого
общего методологического пути и часто противоречащим друг
другу. Некоторые из этих работ основаны на недоразумениях
и ошибках1), авторы других запутывались в не имеющих
прямого отношения к делу эпистемологических и метафизических
рассуждениях. В целом создается впечатление, что если
частичное решение и может случайно оказаться подходящим для
антиномий, возникающих в контексте обычного языка2), то
антиномии, связанные с языковыми системами, требуют самого
серьезного изучения, что и будет предпринято в следующих
главах. Исчерпывающие библиографические указания будут даны в
§ 6. Здесь же мы ограничимся несколькими общими пояснениями.
Все антиномии, как логические, так и семантические, имеют
общее свойство, которое грубо и нестрого можно определить
как самоприменимость (или самоотносимостъ)
{self-reference) 3). В любой из этих антиномий та сущность, о которой в ней
идет речь, определяется, или характеризуется, посредством
некоторой совокупности, к которой она сама принадлежит.
По-видимому, во всех приводящих к таким антиномиям рассуждениях
есть некоторый круг; и вполне понятно проявлявшееся
стремление именно в этом видеть корень зла. Однако решительное
1) Типичным примером такого рода служит работа *Койре, 1,
подвергавшаяся критике Бар-Хиллела, 47.
2) Недавно попытка решения антиномий типа «лжеца» в рамках
обычного языка была предпринята Бар-Хиллелом, 57а.
3) Это утверждение авторов не следует распространять на парадоксы,
указанные в примечании редактора на стр. 23. — Прим. ред.

§ 4. Общие замечания
25
исключение всех рассуждений, включающих любой вид
самоприменимости, есть явно слишком сильное средство, в
результате применения которого с водой будет выплеснут и ребенок.
Есть бесчисленное множество самых обычных способов
выражения, являющихся самоприменимыми и, однако, абсолютно
безвредными и удобными1). Безусловно, характеристика кого-
либо как самого высокого человека в команде совершенно
безопасна и эффективна, хотя такая характеристика делается при
помощи совокупности, к которой принадлежит этот человек.
И в математике — как и в любой другой науке — многие
важные понятия строятся подобным же образом. Не всякое
самоприменимое понятие ведет к противоречию, и некоторые такие
понятия являются необходимыми для науки, как и для
повседневной жизни.
Поскольку полностью исключить образование
самоприменимых понятий, по-видимому, невозможно, многие авторы
искали дополнительный критерий, позволивший бы «отделить овец
от козлищ». Некоторые из этих попыток будут рассмотрены в
гл. III. Здесь мы упомянем только одно такое предложение.
В основном оно сводится к дисквалификации в качестве
понятий таких терминов, попытка устранения которых на основе их
определения привела бы к регрессу в бесконечность2), — иначе
говоря, к принятию в качестве научно узаконенных терминов
лишь таких, для которых можно показать их конечную
устранимость. Не обсуждая это предложение подробно, следует
заметить, что даже если оно является эффективным средством для
преодоления всех известных антиномий, у него есть следующий
недостаток. Доказательство конечной устранимости,
оказывающееся часто чрезвычайно утомительным делом, должно тем не
менее проводиться для каждого вновь вводимого понятия.
Сомнительно, чтобы математики выдержали столь суровое
требование. Понятно поэтому, что это предложение не смогло
разубедить других авторов отказаться от поисков более
эффективных и удобных путей.
С точки зрения тех, кто верит, что классическая математика
является в своей основе здравой, выдвигаемая антиномиями
задача состоит в построении системы, в которой могут быть
определены все понятия классической математики и выведены все
(или по существу все) теоремы математики (вплоть до анализа
и включая анализ), а непротиворечивость ее (системы) была бы
1) Об остроумной и убедительной защите самоприменимых рассуждений
см. Поппер, 54.
2) В этом состоит «решение Бемана», предложенное в работе Бемана, 31 s

26
Гл. I. Антиномии,
доказуема — или по меньшей мере, чтобы рассуждения,
ведущие к известным антиномиям-, были бы в ней эффективно
исключены. Представляется, что решение этой задачи потребует
некоторых радикальных измеаений в «наивном» подходе,
которого до сих пор придерживается большинство математиков.
Отказываться от веры в существенную разумность
классического анализа, как предлагают ннтуиционисты, может быть и не
обязательно, но можно согласиться покинуть рай, в который
привел математиков Кантор1), и удалиться в менее роскошные,
но более надежные обиталища. Те, кто не захочет так
поступить, могут предпочесть остаться в царстве изобилия и обнести
его стенами, предохраняющими от вторжения гнусных
антиномий, без всякой, однако, уверенности, что некоторые из этих
тварей не засели внутри. Эта тема будет развита более
прозаическим образом в следующих главах.
§ 5. Три кризиса
Двадцатое столетие — не первый период, в течение которого
математика испытывала кризис основ. Чтобы получить более
полное представление о современных антиномиях, стоит хотя
бы в общих чертах рассмотреть прежние кризисы.
В пятом веке до нашей эры, вскоре после одного из самых
блестящих достижений в истории человечества, а именно
превращения геометрии в точную дедуктивную науку, были
сделаны два крайне парадоксальных открытия. Первым открытием
явилось то, что не все геометрические сущности одного и того
же рода соизмеримы друг с другом, так что, например,
диагональ квадрата не может быть измерена посредством никакой
кратной части его стороны 2) (в современной терминологии —
что квадратный корень из 2 не есть рациональное число).
Вторым открытием явились парадоксы школы элеатов (Зенон и его
круг), развивавших с многими вариациями тему о
невозможности построения конечных величин из бесконечно малых
частей 3).
1) См. прим. 1 на стр. 15. — Прим. перев.
2) О глубоком впечатлении, произведенном этим открытием, можно
судить по словам Платона в Теэтете о том, что Теодор доказал
иррациональность квадратных корней из 3, 5, ..., 17, и этот результат был позднее
обобщен его учеником Теэтетом; ср. *А. Ε Тейлор, 1, *Тёплиц, 2, Рейдемей-
стер, 49.
3) См Т, стр. 11, прим. 2 [где указывается литература, посвященная
в той или иной мере апориям Зенона: Рассел, 03, стр. 346 и ел.; *Хассе —
Шольц, 1; °Керрол, 1895 (*1); °Дессуар — Кассирер, 25 (*1); °Лурия, 33 (Ч);
♦Моррис, 1; °Вейс, 28 (Ч), стр 232 и ел; °Уинн, 33 (Ч); *Больцано, 2;
°Кэджори, 21 (Ч); см. также примечание редактора на стр. 23 настоящего

§5. Три кризиса
27
Результатами этого потрясшего греческих математиков
кризиса явились два еще более блестящих достижения1). Первое
из них — теория пропорций, содержащаяся в 5-й и 10-й книгах
Начал Евклида; второе — изобретенный Архимедом метод
исчерпания, явившийся не чем иным, как строгим, хотя и
недостаточно общим, провозвестником современных теорий
интегрирования. Теория пропорций могла бы дать грекам
возможность определить понятие иррационального числа и развить
таким образом арифметическую теорию континуума-, однако они
этого почему-то не сделали.
Теория пропорций греков была скоро забыта, причем
настолько основательно, что когда во второй половине XIX века
были построены строгие арифметические теории
иррациональных чисел, то сразу даже не пришло в голову, что новые методы
не слишком принципиально отличались от тех, которыми уже
за две тысячи лет- до этого владели греческие математики.
В XVII и XVIII веках под впечатлением мощи и плодотворности
новоизобретенного исчисления бесконечно малых большинство
математиков лихорадочно применяли его методы, не
задумываясь достаточно внимательно над тем, насколько прочна его
основа2). Но в начале XIX века уяснение шаткости этой основы
привело ко второму кризису оснований математики.
Стремясь преодолеть этот кризис, Коши (в 30-х годах
прошлого века) показал, как безответственное употребление
бесконечно малых может быть заменено корректным использованием
пределов, а Вейерштрасс и другие (в 60-х—70-х годах)
продемонстрировали возможность полной «арифметизации»
анализа и теории функций. Это упрочение основ было настолько
успешным, что Пуанкаре в 1900 г. в выступлении на Втором
международном математическом конгрессе, посвященном роли
интуиции и логики в математике, смог гордо заявить, что
математика уже обрела совершенно прочный и надежный,
фундамент. По его словам, «теперь в математике остаются
только целые числа и конечные или бесконечные системы
целых чисел... Математика... полностью арифметизирована...
Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная
строгость»3).
издания (со ссылкой на его работу °60) и °Яновская, 63;, — Перев.],и Грюн-'
баум, 52, 55 (с дальнейшими ссылками). [Парадоксы Зенона имели много
разновидностей; и не в каждом случае их легко можно рассматривать как
вариации указанной авторами темы. — Ред.]
1) Ср. *Хассе— Шольц; 1; *Шольц, 3; ван дер Варден, 54.
2) Типичным примером такой позиции служит знаменитое изречение
Даламбера: Allez en avant, et la foi vous viendra [«Идите вперед, и
уверенность придёт» (франц.). — Перев.\.
,3) Пуанкаре, 02* t ч >

28
Гл. I. Лнтинонии
, Но по иронии судьбы, в то самое время, к которому
относится гордое заявление Пуанкаре, уже выяснилось, что теория
«бесконечных систем целых чисел» — т. е. попросту часть
теории множеств — весьма далека от абсолютной надежности
своих основ. И не столько возникновение антиномий в основаниях
теории множеств само по себе, сколько тот факт, что различные
попытки преодолеть эти антиномии (о которых мы будем
говорить в следующих главах) выявили далеко идущие и
неожиданные расхождения мнений и точек зрения по поводу самых
основных математических понятий (начиная уже с понятий
множества и числа), вынуждает нас говорить о третьем кризисе
основ, который математика переживает и до сих пор.
§ 6. Библиографические замечания
С момента опубликования антиномии Рассела (1903)
количество литературы, посвященной логическим и семантическим
антиномиям, почти непрерывно росло. Интерес к этой теме не
ослабевает и до сих пор. Некоторые работы, относящиеся к
антиномиям, носят монографический характер, будучи иногда даже
посвящены рассмотрению какой-либо отдельной антиномии; в
других исследование антиномий производилось на более
широкой основе.
Настоящий параграф построен следующим образом. Из
ранней литературы (до 1918 г.), посвященной антиномиям
(полсловом 'антиномия' мы понимаем лишь логические и
семантические антиномии), указываются только наиболее важные
работы. В отношении более поздних монографий по этому вопросу
мы стремились достичь максимальной полноты; однако краткие
заметки* не имеющие особо важного значения, обзоры,
переводы, статьи в энциклопедиях, популярные изложения и
диссертации по большей части опущены. Поскольку антиномии
рассматриваются в любом серьезном учебнике логики, мы
упомянем здесь лишь такие учебники, которые, на наш взгляд,
являются выдающимися в каком-либо отношении, например по
ясности изложения. Мы не будем говорить здесь о работах,
рассматривающих антиномии с таких точек зрения, которые могут
быть поняты только после овладения материалом последующих
глав. Например, решения этого вопроса, связанные с
рассмотрением типов или семантических категорий, будут упомянуты
в гл. III.
Ссылки расположены, как правило, в хронологическом
порядке; но иногда различные работы одного и того же автора
объединяются вместе. Ссылки на наиболее важные работы
напечатаны жирным шрифтом. Большую помощь оказала нам
составленная Чёрчем прекрасная Bibliography of Symbolic Logic,

§ 6. Библиографические замечания
29
опубликованная в The Journal of Symbolic Logic, 1, 121—218, и 3,
178—192, а также составленные им же Index of Subjects (3,
193—204) и различные Indexes of Reviews (по авторам —
публикуются в декабрьских номерах нечетных годов; по
предметам— публикуются раз в пять.лет, начиная с 1940 г.).
a. Антиномии вообще, с логико-математической точки зрения;
Б. Рассел, 06 (особ. стр. 30—36), Оба, 08; Гессенберг, 06 (гл. 23
и 24); Корсельт, 06, *2; *ЖурДЭн, 3; *Шёнфлис, 2, 5; *Б. Леви,
2; Пуанкаре, 08; Уайтхед—Рассел, 10—13ι; *Хангстрём, 1;
И. Кёниг, 14; Поли, 14; *Корсельт, 4; *Энрикес, 2; Мириманов, 17,
17—20; Чежовский, 18; *Ф. Бернштейн, 6; *Греллинг, 2;'*Гёль-
дер, 3, 4; *Лангер, 1; Финслер, 25, 26, 27; Вейль, 25, 26; Сколем,
26; *Броден, 4; *3аремба, 2; Ойконому, 1; Рамсей, 26, *3, *5;
*Гобсон, 2ι; *Херлен, 1; Френкель, 27; Беман, 27, *5, 31; *Пир-
понт, 2; Гильберт — Аккерман, 28/49; Менгер, 28 (стр. 298 и ел.);
*Камке, 3; *Мацумото, 1; Шмейдлер, 29; *Стади, 3; Цермело, 30;
*Сколем; 9; *Френкель, 13; *Йоргенсен, 1ш; *Кассина, 2;
Льюис—Лэнгфорд, 32; Чёрч, *4, 34, *6; *Дассен, 1; Гонсет, 33; *Б.
Леви, 6, 8; Блэк, 33; *Менгер, 9; Сколем, 34а; Хельмер, 34; Кар-
нап, 34, 37; Карри, 34, 36; Камке, 34; *Маниа, 2; *Андреоли, 1;
*Альбергамо, 1; *Фитч, 1; Чёрч, 36; Куайн, 37; *П. Леви, 5; Рич,
38; *Буркхардт, 1, 2; Бет, 39; Френкель — Бар-Хиллел, 1; Боч-
вар, 39; Лёвенгейм, 40; *Бар-Хиллел, 1; Бет, 11; Карри, 42; *То-
ранзос, 1; *Э. П. Нортроп, 1; Фейс, 44; Петер, 44; *Думитриу, 1;
Гёдель, 44; *Булиган, 7; Новиков, 47; Зих, 47; Геймонат, 47; Рей-
хенбах, 47; Мостовский, 48Ь; Ваккарино, 48; Саарнио, 49; Сте-
ниус, 49; Холлден, 49; Б. Леви, 49; П. Леви, 50; Фейс, 50;
Сколем, 50; Шмидт, 50; Розенблюм, 50; Карри, 51а; Гудстейн, 51;
Клини, 52; Уилдер, 52; Гермес — Шольц, 52; Россер, 53; Валь-
пола, 53; Шпеккер, 54а; Шао-Куэй, 54; Гич, 55; Бет, 55; Мок, 56,
56а; Ладриер, 57.
b. Антиномии вообще, с философской, неформальной точки
зрения (различие между этими двумя точками зрения, конечно,
нечетко и субъективно):
*Урбах, 1; *Самуэль, 1; *Динглер, 2; Г. Ч. Браун, 11; Липпс,
23, *4; *Горак, 1; *Бетч, 1; *Дик, 1, 2; *Беккер, 2; Вейсс, 28;
*Урбах, 1; *Хейсс, 1; Кауфман, 30, *2; *Кассирер, 4; *Лафлёр,
1; *Динглер, 1; *Дубислав, 2; Галуччи, 31; *Буркамп, 4; *3а-
вирский, 1; фон Бранденштейн, 35; *Варрен, 3; Де Чезаре, 38;
*Вредендойн, 4; *ван Ос, 1; Гребе, 40; Ушенко, 41, *10; *3егель-
берг, 1; *Фитч, И; *Койре, 1; Катцов, 48; Блэк, 48; Томпсон, 49;
Ладриер, 49; Леизе, 49; Мора, 51; Александров, 51; йоргенсен,
ИЗ; Поппер, 54; Кнаус, 54; Хао Ван, 55а (стр. 237—238).

30
Гл. I. Антиномии
c. Решения, предложенные Беманом и Перельманом:
Беман, 31; *Херлен, 6; Перельман, 36, *3; Греллинг, 36, 37;
*Беман, 8; Бет, 39; *Френкель — Бар-Хиллел, 1; *Аккерман, 11;
*Бреккер, 1; Вредендойн, 40; Аккерман, 41; *Уиттекер, 1; Боч-
вар, 44; Холлден, 49; Стениус, 49; Беман, 55.
d. Антиномии типа (Кантора —) Рассела:
Фреге, 1893—03ц (послесловие); Рассел, 03, *2; Леснев-
ский, 14, *Гутри, 1; *Эклунд, 1; *Броден, 1, 5; *Беренс, 1;
Витгенштейн, 22; Гильберт, 25; Лесневский, 27—311, 29; *Гонсет,
4; *Винан, 1; Беннеке, 34; Вредендойн, 40; *Басилейу, 1; *Хонс-
брох, 2; * Куайн, 23; Карри, 42; *Уиттекер, 1; Бочвар, 44, 45; Вед-
берг, 45; Соботинский, 49—50; Ютинг, 53; Стенли, 53; Куайн, 55;
Прайор, 55; Монтэгю, 55.
e. Антиномия Бурали-Форти:
Бурали-Форти, 1897; Рассел, 02/06; *Журдэн, 1а; *Гобсон,
1; *Динглер, 1; *Хагстрём, 2; *Кавайе, 3; Куайн, 41; *Россер, 12.
f. Антиномия Греллинга:
Греллинг — Нельсон, 08; Вейль, 18; *Греллинг, 2; *Дж. Р.
Вейнберг, 2; Саарнио, *2, 38; Карри, 42; Гич, 48; Копи, 50; Лоу-
ренс, 50; Райл, 51; Грегори, 52; Боуден, 52; Ландсберг, 53; Мак-
Ки — Смарт, 53; Копи, 54; Мигер, 56.
g. Антиномии типа Ришара:
Ришар, 05, *2; *й. Кёниг, 2; Пеано, 02/06; *Борель, 4; Хви-
стек, 21, *1, *5; Вейль, 25; Тарский, 31; Чёрч, 34; Хвистек, 35, 48;
Клини — Россер, 35; Гильберт — Бернайс, 34—39ц (стр. 263—
268); Карри, 41а; Борель, 46; Мостовский, 46; Зих, 47; Бокстел,
49; Мостовский, 52; Данжуа, 46—54ι.
h. Антиномии типа «лжеца»:
*Больцано, 2ι (стр. 78); *Пирс, 2 (II, 370—371; V, 190—222);
Рюстов, 08/10; *Липпс, 2; *Г. Б. Смит, 7; Тарский, 35/36; *Мак-
Ивер, 1; Ушенко, 41, *9, *10; *Финслер, 7; *Бет, 12; *Койре, 1;
Бар-Хиллел, 47; Лэнгфорд, 47: Эллис, 51; Айер, 53; Куайн, 53
(гл. VII); Поппер, 54; Стролл, 54; Эванс, 54; Гич, 55; Лёб, 55;
Ютинг, 55; Шуэйдер, 56; Мингер, 56; Бохенский, 56; Тарский, 56;
Бар-Хиллел, 57.

АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
АКСИОМА ВЫБОРА
§ 1. Введение
Антиномии теории множеств показывают, что наивная
концепция множества, фигурирующая в канторовском
«определении» множества (Г, стр. 6 и 15—181)) и в получающихся из
него общеизвестных следствиях, не может служить
удовлетворительной основой теории множеств, не говоря уже о
математике в целом2). Роль антиномий как фактора, контролирующего
и ставящего ограничения на дедуктивные системы логики и
математики, можно сравнить с ролью эксперимента,
проверяющего правильность полудедуктивных систем таких наук, как
физика и астрономия, и вносящего в них видоизменения. Для
целей более прочного обоснования теории множеств в
принципе безразлично, считать ли антиномии катастрофой,
заставляющей нас помимо нашего желания искать другую, более
надежную основу, или же рассматривать их в качестве
(своевременно обнаруженного) симптома болезни, которую без них
можно было бы и проглядеть. Какие меры следует принять для
лечения и насколько они должны быть радикальными, не
обязательно зависит от того, какую из двух вышеупомянутых
позиций мы займем 3).
1) «Множество (set) или совокупность (aggregate) — это собрание
(collection) определенных и различных объектов нашей интуиции или
интеллекта, мыслимое в качестве целого (единого)» (°Кантор, 1895ι, стр. 481,
цитируем по английскому переводу из Т, стр. 6; там же ссылка на статьи
°Кантора 1882 и 1883). — Прим. перев.
2) Этот факт впоследствии осознал и сам Кантор; см. его письма 1899 г.
к Дедекинду (Кантор, 32, стр. 443—448), где он говорит об inkonsistenten
Mengen [τ е. «противоречивых множествах». — Перев.].
3) В начале своего весьма глубокого и исчерпывающего обзора
проблематики оснований математики Мостовский дает следующие разъяснения по
поводу этой проблематики, теории множеств и антиномий: «Современный
этап исследований по основаниям математики начался с момента
возникновения теории множеств. Ее абстрактность и появившийся в ней отрыв от
ГЛАВА
II

32 Гл П. Аксиоматические основания теории множеств
С начала нынешнего столетия был намечен ряд путей
обеспечения более надежного фундамента теории множеств.
Большую часть этих попыток можно разбить на три группы
(распадающиеся в свою очередь на подгруппы), характеризующиеся
соответственно как аксиоматическая, логицистическая и
интуиционистская позиции. Можно считать, что такой порядок
перечисления идет от более консервативной позиции к довольно
революционной (причем в логицистические рамки укладываются
весьма различные степени радикализма). Впрочем, этот порядок
не является историческим. Довольно любопытно, что первые
решительные шаги в каждом из этих направлений были
предприняты одновременно и независимо в течение 1906—1908 гг. В этой
и двух следующих главах в указанном порядке
рассматриваются некоторые основные черты этих точек зрения, а в пятой,
последней главе — более общие проблемы, присущие в известной
мере им всем, хотя большинство этих проблем вначале возникло
на аксиоматической почве.
Аксиоматический метод в математике, появившийся в
«Началах» Евклида (ок. 300 л. до н. э.) 1), где он достиг высокой
степени совершенства, и возрожденный (опять-таки в геометрии)
лишь в течение XIX века, бурно развивался с начала текущего
столетия. С тех пор были аксиоматизированы большинство
разделов математики и логики и некоторые другие научные
теории. Общее описание аксиоматического метода и относящихся
к нему проблем дается в гл. V. Поверхностный эскиз,
занимающий конец этого параграфа, достаточен для понимания
аксиоматических систем, описанных в настоящей главе.
Наиболее важные направления в аксиоматической теорий
множеств — это направление Цермело и его ранних
последователей, затем направление фон Неймана, Бернайса и Гёделя, и,
наконец, Куайна (New Foundations и Mathematical Logic) и Вана.
Изложение первых двух из указанных направлений дается в этой
главе, а методы Куайна и Вана, базирующиеся в основном на
современной логике, разъясняются в гл. III, посвященной логи-
традиционного и близкого к опыту материала при одновременной
возможности применять многие ее результаты к конкретным вопросам из
классической области создали потребность проанализировать ее эпистемологические
(теоретико-познавательные) основания. Эта потребность значительно
возросла с момента возникновения антиномий. Однако даже если бы никакие
антиномии в теории множеств не появились, вопрос обоснования теории
множеств был бы несомненно поставлен и обсужден» (Мостовский, 55.
[Цитируется по русскому изданию 1954. — Перев.]).
1) Открытие аксиоматического метода, в античной математике
действительно наиболее полно представленного в «Началах», приписывается по
традиции Пифагору (VI в. до н. э.), — Прим. перев.

§ ί. Введение
33
диетическому обоснованию теории множеств1). С другой
стороны, мы включили в данную главу (§ 6) краткое изложение
теорем Лёвенгейма — Сколема( — Гёделя), относящихся не к
какой-либо определенной аксиоматизации, а к широкому классу
аксиоматических систем. По этому поводу здесь уместно
сделать несколько замечаний. j^^«
Канторовская теория множеств пытается исследовать
«трансцендентальную» область (конечных и) бесконечных множеств
(ср. Г, стр. 108, сноска 1) и при этом сталкивается с
антиномиями. Аксиоматизация теории множеств может подразумевать
допущение некоторой области трансцендентного с такими,
однако, ограничениями, которые заведомо не оставляли бы места
для противоречий. В частности, свойство множества быть
несчетным осталось бы тогда абсолютным. С другой стороны,
можно представить себе и систему аксиом, никак не связанную
с областью трансцендентного. В этом случае подразумевается,
что теоремы, выводимые из аксиом, описывают ситуацию,
вызванную самими фигурирующими в аксиомах ограничениями,
без какого бы то ни было абсолютного заднего смысла. В свете
такого рассмотрения доказательство несчетности какого-либо
бесконечного множества S должно лишь означать, что взаимно
однозначные отображения, которыми мы располагаем 'в
соответствии с аксиомами, не позволяют отобразить S на
множество целых чисел и в то же время в аксиоматической теории
множеств с более богатыми средствами выражения и
построения S вполне может оказаться счетным. Какую из этих двух
точек зрения принять, зависит не от природы самих аксиом, а
скорее от нашего отношения к аксиоматическому методу в
целом. Следует заметить, что теорема Лёвенгейма — Сколема
содержит сильные доводы в пользу второй, «конструктивной»
точки зрения в противовес «трансцендентальной». Тем не менее в
правильности той или иной позиции трудно убедиться при
помощи чисто логико-математических рассуждений, подобно тому
как физические эксперименты и теории не могут дать
окончательного доказательства существования или несуществования
«объектов» внешнего мира, на проявления которых указывают
эксперименты. Прагматическим, если не логическим,
аргументом в пользу трансцендентальной точки зрения служит
констатация того факта, что допущение существования абсолютного
несчетного континуума значительно упрощает и облегчает
математику — точно так же, как, по-видимому, упрощается
физика, если принять гипотезу о, существовании физических тел.
1) К этому логицистическому направлению относится также система
Хвистека (особенно 24—25),
3 Зак. 176S

х34 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
Фактически в математике важнейшую роль играет именно
континуум, а не алефы и вообще вполне упорядочивание или,
тем более, второй числовой класс и трансфинитная индукция.
Теория действительных чисел и действительных функций, на
которой в прошлом веке базировалось исчисление бесконечно
малых и вообще анализ, имеет дело с множествами
действительных чисел, т. е. с множествами множеств целых чисел —
иными словами, с «произвольными» подмножествами
множества всех подмножеств множества всех натуральных чисел.
Изложение аксиоматической теории множеств мы начнем
с подробного описания некоторого варианта системы Цермело;
в системах же фон Неймана и Бернайса мы рассмотрим лишь
их характерные особенности, подчеркивая те пункты, которые
отличают их от системы Цермело. Особое внимание будет
уделено сущности аксиомы выбора и вытекающим из нее
следствиям — аксиомы, общей для систем Цермело и Бернайса, в
течение полувека находившейся в центре дискуссий. Одна из
причин предпочтения, которое мы отдаем системе Цермело,
состоит в том, что в предыдущей книге Abstract Set Theory
основная часть канторовской теории множеств базировалась на семи
принципах, тесно связанных с аксиомами Цермело. В Abstract
Set Theory на возможность выведения теории множеств из этих
принципов лишь намекалось; в настоящей же книге (в § 8) эта
задача в основном действительно решается. (Если за исходные
взять аксиомы фон Неймана или Бернайса, то решение этой
задачи потребует гораздо более сложного и кропотливого изложения.)
Система Цермело1) (с различными видоизменениями)
сохранила свое значение до сих пор, хотя имеются серьезные
аргументы и в пользу других, развитых позже систем аксиом.
Система квазицермеловского типа применялась для построения
логики без использования теории типов2); предложение Бурбаки
относительно основы, на которой можно было бы построить
всю математику3), в значительной мере подсказано аксиомами
Цермело.
Из других (менее разработанных и успешных) попыток 4)
построить теорию множеств на аксиоматической основе мы
кратко упомянем три.
1) Цермело, 08а; ср. изложения Френкеля, 27 и 28, Аккермана, 37, Ско-
лема, 52
2) Аккерман, 37а. Ясное изложение аксиоматической теории множеств
в рамках логики дано во второй половине работы Чёрча, 40/41.
3) Бурбаки, 49, в особенности стр. 7—8 (ср. Майхилл, 51), и 54.
4) Цель метода *Тинг-Хо, 1, та же, что и у Цермело. Однако его
рассмотрения не настолько строги и ясны, чтобы можно было провести точное
сравнение; ср. *Джорджи, 1.

§ 1 Введение
33
В методе Шёнфлиса 1) (1920) в качестве первоначального
понятия вместо отношения принадлежности (membership
relation) (см. ниже) принимается отношение между частью и
целым (part-whole relation) ('x есть часть, или собственное
подмножество, у"). Но внимательное рассмотрение2) показывает,
что даже если отвлечься от некоторых технических недочетов,
то на этом пути можно получить в лучшем случае лишь теорию
величин (theory of magnitude), в которой даже при помощи
какой-либо специально 3) введенной аксиомы не удается вывести
специфические свойства «несводимых частей»4) («irreducible
parts»), т. е. членов (members). Это относится также к
конечным множествам, строение которых становится чрезвычайно
сложным; например, может оказаться, что конечное множество
имеет бесконечно много частей.
Теория Финслера5) базируется всего лишь на трех
аксиомах. Из первых двух аксиом легко следует6), что любая
непротиворечивая модель системы Финслера допускает дальнейшее
расширение — результат, в котором нет ничего ни
удивительного, ни присущего лишь этой аксиоматической системе7).
С другой стороны, третья аксиома постулирует полноту системы
в смысле, аналогичном гильбертовской аксиоме полноты для
геометрии. Но в силу только что упомянутого следствия из
первых двух аксиом эта третья аксиома приводит к противоречию,
как это имело бы место для гильбертовской системы без
аксиомы Архимеда (Г, стр. 165 8)). Поэтому, даже если отвлечься от
других возражений, — наиболее серьезное из которых относится
к введенному и широко используемому Финслером
сомнительному понятию zirkelfrei (свободный от круга), — этот путь
нельзя рассматривать в качестве возможной основы для построения
теории множеств.
Что касается метода, применяемого для преодоления
антиномий в аксиоматической системе Гонсета9), то мы отошлем
х) Шёнфлис, 21; ср. *7 и *10. Идея замены отношения принадлежности
отношением между частью и целым лежит также в основе работ *Фора-
дори, 1, 2, 4.
2) Подробную критику этого метода см. Мерцбах, 25, гл. I—III. Совсем
недавно идея Шёнфлиса была снова применена в видоизмененном,
пригодном для аксиоматизации виде Вегелем, 56 (статья которого появилась уже
после написания настоящей книги).
3) У авторов — ad hoc (для данного случая — лат.). — Прим. перев.
4) Т. е таких, что сами они не имеют частей. — Прим. перев.
5) Финслер, 26; ср. *2, *5, *6; *Буркхардт, 1, 2; *Лохер, 1.
6) См. Бэр, 28.
7) То же самое относится, например, к гильбертовским аксиомам для
геометрии, если отбросить аксиомы непрерывности. Ср. Камке, 34.
8) См. Гильберт, 1899/1930, § \2. — Прим. перев.
9) Гонсет, 33; ср. *4 и *5.

«36 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
читателя к сказанному на стр. 25 о «решении Бемана». Для
позиции Гонсета наиболее характерен отказ от принятия той
предпосылки, что коль скоро дано множество, то для каждого
предмета должно быть определено, принадлежит он данному
множеству или нет. Поэтому фундаментальные теоремы о
неэквивалентности множеств теряют в этом случае свою силу. По
сути дела, следует отметить, что на этой основе не было
осуществлено фактического построения ни классической, ни какой-
либо более ограниченной теории множеств, ни даже
классического анализа *).
Перед изложением системы аксиом Цермело нам придется
дать некоторые разъяснения относительно аксиоматического
метода вообще; более полное рассмотрение этого вопроса будет
проведено в гл. V 2).
Любая аксиоматическая теория (за исключением
аксиоматических теорий самой логики) строится путем присоединения
к определенной базисной теории {basic discipline) —обычно это
некоторая система логики (с теорией множеств или без нее), а
иногда еще та или иная арифметическая система — новых,
неопределяемых терминов3) и новых аксиом, характерных {spe-
1) Возражения Камке, 34, против аксиоматического обоснования теории
множеств, по-видимому, несостоятельны; ср. гл. V.
По поводу позиции Лоренцена см гл. III.
Когда настоящая глава находилась в печати, появилась интересная
статья Аккермана, 56, в которой предлагается построение теории множеств
на основе четырех принципов, которое, грубо говоря, приводит к теории,
основанной на аксиомах § 2 и 3 и аксиомах VII и VIII § 5. Самым важным
(и, пожалуй, сомнительным) является третий принцип, который
устанавливает (по другому, чем в § б и 7), при каких условиях «совокупность»
(collection) множеств сама является множеством.
Аксиома выбора Аккерманом опущена, поскольку предполагается, что
она носит скорее логический, нежели математический характер При этом
он оставляет в стороне некоторые проблемы, поставленные в § 4 (в
частности, проблему независимости аксиомы выбора),
2) Замечания, специально посвященные аксиоматическому методу в
теории множеств, содержатся в работе Мак-Нотона, 57.
3) Во избежание недоразумений, которые могла бы вызвать эта фраза
авторов, следует иметь в виду, что эпитет «неопределяемый» (undefined)
по отношению к новым терминам (или термам — (terms) ) означает лишь
то, что эти термины не допускают явных определений через термины
базисной теории. Наличие же индуктивных определений новых термов,
дающих эффективный способ их распознавания, есть как раз необходимое
условие расширения (да и построения) аксиоматической теории (см. ниже,
гл. V, § 2, а также Клини, 52, § 15 и 17). Учитывая неформальный
характер изложения, здесь лучше, пожалуй, было бы говорить о неопределяемых
понятиях, именами которых служат вновь вводимые термины
(термы).— Прим. перев.

§ 1. Введение
37
cific) для рассматриваемой теории. Однако математики
привыкли к тому, что лежащая в основе (underlying) теория
обычно явно не указывается. Они исходят из того, что интерпретация
используемых ими «логических» слов и фраз — 'не', 'и\ 'если...
то,' 'все' и др., — так же как роль, которую они выполняют в
логическом выводе, хорошо известна и не требует специального
обсуждения. Однако за последнее время становится все более
ясной уязвимость такой беспечной позиции по отношению к
базисной теории. Во всяком случае, в аксиоматической теории
множеств, где то и дело мелькнет призрак антиномий, явный
учет базисной теории ныне стал почти общепринятым. Такой
учет можно производить с различной степенью глубины и
строгости. Исчерпывающее описание теории, лежащей в основе
нашего дальнейшего изложения теории множеств, вне наших
возможностей, хотя бы за недостатком места. Мы пойдем на не
совсем удобный компромисс и опишем базисную теорию в
самых общих чертах, отсылая интересующегося подробностями-
читателя к имеющейся по этому предмету обширной
литературе1)·
Язык, на котором формулируется аксиоматическая теория, может быть
не только формализованным, но и символизированным, т. е. вместо слов
естественного языка могут использоваться специальные символы. Полная
символизация — в отличие от частичной, к которой привык каждый
математик в своей повседневной работе, — хотя, несомненно, способствует
дальнейшему увеличению строгости и легкости механической проверки
предлагаемых доказательств и выводов, требует все же для своего эффективного
осуществления определенных предварительных навыков, которых нельзя
требовать от любого читателя. Поэтому использование логического символизма
в основном тексте этой книги будет сведено к минимуму; такой символизм
будет употребляться главным образом при формулировке аксиом и
некоторых определений. (Более широко логическая символика будет использоваться
в замечаниях и обсуждениях, напечатанных мелким шрифтом, чтение и
понимание которых не является обязательным для понимания рассуждений,
содержащихся в основном тексте.)
Для избранной нами цели построения теории множеств в
качестве базисной теории — если не оговорено противное —
предполагается так называемое функциональное исчисление
первого порядка. Отсылая раз и навсегда читателя за полным
и строгим изложением этого исчисления к недавно вышедшему
отличному учебнику Чёрча2), здесь лишь отметим, что в
функциональном исчислении первого порядка имеются обозначения,
достаточные для выражения логических операций отрицания,
1) См., например, Россер, 53, или Чёрч, 56. По терминологии Чёрча, мы
придерживаемся скорее неформального, чем формального, аксиоматического
метода; ср. Чёрч, 56, стр. 57 [стр. 55 русск. изд. — Перев.].
2) Чёрч, 56.

38 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
конъюнкции, дизъюнкции, (материальной) импликации,
(материальной) эквивалентности1) и квантификации (все) общности
и существования. Для (обозначения) этих операций мы будем
использовать соответственно символы '~', '&', 'V, ':=>', 'ξξξ\
'(А.)...' и '(Е.)...' (здесь точка после «кванторов» Ά* и Έ' стоит
вместо какой-нибудь переменной, а три точки — вместо
некоторого предложения (statement), в которое эта переменная
входит свободно, т. е. не находится в области действия никакого
квантора, — короче, некоторого предложения, свободного
относительно {free in) этой переменной2).
* Язык, на котором говорят о выражениях данной теории (но
не о предметах, обозначаемых этими выражениями!),
называется метаязыком этой теории. В качестве метаязыка мы будем
пользоваться обычным русским3) языком, дополненным
некоторыми символами и правилами пользования ими. Язык, в
терминах которого формулируется сама теория, называется пред-
1) Понятие (материальной) эквивалентности, разумеется, не имеет
ничего общего с теоретико-множественным отношением эквивалентности
множеств (ср. Т, стр. 31 [или Александров, 48, стр. 19—20. — Перев.], и ниже,
§ 8). Считаем необходимым предостеречь читателя от смешения этого
понятия из предметного языка с метаязыковым понятием логической
эквивалентности (отношением между высказываниями), для которого мы пользуемся
' термином 'эквиполлентность' (опять-таки во избежание смешения с
теоретико-множественным отношением эквивалентности); ср. Куайн, 51, стр. 30,
и Карнап, 46, стр. 35. — Прим. авт.
Предлагаемая авторами терминология не общепринята (и, в частности,
не выдерживается в цитируемой ими литературе по математической логике).
Судить о том. о какой именно «эквивалентности» идет речь, обычно
приходится по'контексту. Впрочем, некоторые авторы (см., например, °Кузнецов, 60)
употребляют для обозначения отношения между истинностными значениями
термин '(материальная) эквиваленция' (соответствует 'эквивалентности*
авторов), а для отношения между суждениями (высказываниями)—термин
'(логическая) эквивалентность' (то, что авторы называют
'эквиполлентностью'). Следует также заметить, что, хотя значения терминов
'эквиполлентность' (логическая эквивалентность), 'эквиваленция' и
'эквивалентность' (теоретико-множественная) действительно различны, между ними
имеется тесная и достаточно очевидная связь (см., например, Гильберт—
Аккерман, 28/49, гл. I, §§ 1, 2, гл. II, § 1). В качестве синонимов для
первого из этих терминов часто говорят 'равносильность' и 'равнозначность',
для третьего — 'равномощность'. Термин 'эквиполлентность' авторы в
дальнейшем употребляют и для понятий, а также для систем аксиом и т. п. —
Прим. перев.
2) Здесь, поскольку речь идет о функциональном исчислении (т. е.
о формальной системе; ср. гл. V, § 2), уместнее было бы говорить не α
предложениях, а о формулах. Кроме того, само условие свободно-
с τ и вхождения переменной в формулу, к которой по этой переменной
применяется квантор, является, при надлежащем выборе логических аксиом,
совершенно излишним (см., например, Клини, 52, стр. 69 русск. изд., и
Чёрч, 56, стр. 160—161 русск. изд.). — Прим. перев.
3) В подлиннике здесь и во всех (не оговариваемых ниже) аналогичных
случаях речь идет об английском языке. — Прим. перев.

§ 1 Введение
39
метным языком (или языком-объектом) {object-language) этой
теории. В нашем случае языком-объектом является чрезвычайно
ограниченный подъязык обычного русского языка, также
дополненный рядом символов и относящимися к ним правилами1).
Как отмечалось выше, предметным языком некоторой данной теории
иногда служит искусственный символический язык. Лишь в очень редких
случаях, требующих чрезвычайно высокой точности и строгости (или же
для некоторых очень специальных целей) символический язык используется
и в качестве метаязыка; в этих случаях его метаязык, т. е. метаметаязык,
есть опять-таки обычный язык2).
Для того чтобы говорить на метаязыке о конкретных
выражениях обсуждаемой теории, приходится пользоваться именами
или какими-либо другими обозначениями этих выражений. Это
можно осуществить различными способами3). Один из самых
простых способов — использование кавычек. Однако часто для
этой цели используются некоторые специальные знаки из
метаязыка, а еще чаще — даже сами выражения предметной теории.
Такой метод, при котором некоторые выражения выполняют
двоякие функции (во-первых, как обычные знаки для
обозначения чего-то отличного от них самих; во-вторых, как автоним-
ныеА) знаки для обозначения самих себя), небезопасен.
Поскольку, однако, этот метод предпочитается почти всеми
математиками, мы все же будем им пользоваться в тех
случаях, когда это не сможет привести к недоразумениям и
применение более точных методов выглядело бы ненужным
педантизмом.
В тех случаях, когда приходится говорить не об отдельных
выражениях теории, а о классах таких выражений (например,
обо всех выражениях определенного вида), положение несколько
1) Точнее, правила обращения с символами предметного языка
относятся к этому языку, но формулируются именно на метаязыке (так
же как упомянутые выше правила обращения с (дополнительными)
символами метаязыка формулируются, строго говоря, на языке еще более
«высокого уровня», который естественно называть м ет аметаязыком; впрочем,
явное различение метаязыка и метаметаязыка чаще всего не проводится и
от метаязыка требуется лишь однозначная понимаемость — какими бы
способами она ни обеспечивалась). — Прим. перев.
2) На самом деле метаметаязык (как и метамета...метаязык любого
уровня) может вообще быть и формализованным (в частности,
«символическим», что, впрочем, непринципиально); но верно все же то, что для
правильного понимания и употребления любого такого метамета...метаязыка
нужны содержательно понимаемые правила обращения с ним
(которые можно, например, формулировать на е г о метаязыке; если
последний формализован, то они должны быть однозначно интерпретируемы;
см. гл. V, § 2, и Клини, 52, § 15). — Прим. перев.
3) Этот вопрос подробно рассматривает Карнап, 37, § 41.
4) Курсив введен при переводе. — Прим. перев.

40 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
усложняется. Чтобы проделать все аккуратно, приходится
привлекать метаязыковые переменные. (Имя переменной языка-
объекта V, например 'V, или 'третья от конца буква
английского алфавита', есть, конечно, константа метаязыка и не
является само переменной.) Известны различные методы такого
рода; как и раньше, мы не станем прибегать к самым строгим
из них вроде применения греческих или готических букв *),
жирного шрифта2) или уголков (quasi-quotes) 3) и будем
полагаться, с одной стороны, на контекст, а с другой — на здравый
смысл и благожелательность читателя. Такая позиция
достаточно противоречива, но мы предпочитаем оказаться в глазах
читателей несколько непоследовательными, нежели быть
чрезмерными педантами.
Применение греческих букв можно проиллюстрировать следующей
формулировкой правила образования элементарной логики.
Для любых предложений φ и ψ выражения ~ φ, φ & ψ, φ V ψ, φ3ψ и
~ ψ суть предложения. (Заметьте, что в этом правиле связки используются
автонимно!)
Иногда мы будем различать замкнутые предложения, не
содержащие свободных переменных (переменная называется
свободной, если она не находится в области действия квантора4)),
и открытые предложения, содержащие по крайней мере одну
свободную переменную.
Когда имеют дело с символизованной системой, то вместо
'предложение* часто пользуются выражением * (правильно
построенная) формула*5).
В формуле '(Еу)х ζ \f переменная *у' связана квантором существования
*(Еу)', а переменная *х' свободна; поэтому эта формула является открытой
В формуле ' (Ах) (Ex)χ £ у* все переменные связаны (У как в предыдущей
формуле, а €х' — квантором общности *(Ах)у)\ следовательно, эта формула
замкнута.
Открытое предложение, свободное относительно переменной
V,: будет также называться, как это принято в математике,
условием для {condition on) x6), а иногда, несколько
неточно,— предикатом) (от х). Вообще же, однако, под предикатом
будет вернее понимать выражение, получающееся из открытого
предложения вычеркиванием входящих в него свободных
переменных. Так, выражение *х есть четное число' мы будем считать
1) Как это делает Карнап, 37.
2) Как это делает Чёрч, 56.
3) Как это делает Куайн, 51.
4) По этой переменной. — Прим. перев.
5) Подробнее и точнее см. у Клини, 52, § 17, 18. — Прим. перев.
6) Например, Россер, 53, стр. 200.

§ 2 Первоначальное отношение Равенство и экстенсиональность 41
условием для х, а 'есть четное число', или просто 'четное
число'— {одноместным, или монадичным {monadic), или
сингулярным) предикатом; аналогично, *х есть член уу— условие для
χ я у, а '(есть) член'— (двуместным, или диадичным kdiadic)]
или бинарным) предикатом. (Иногда вместо 'предикат' говорят
'функция'.)
Обычно аксиоматическая теория строится для аксиоматцзат
ции какой-либо научной теории, уже имеющейся до этого вдо-
•аксиоматической, «наивной» или «генетической», форме. Для
обозначения некоторых понятий, изучаемых в этой научной
теории, предназначаются первоначальные, неопределяемые термины
аксиоматической системы; термины же, обозначающие
остальные понятия теории, вводятся в систему посредством,
определений. Для утверждения некоторых фактов, относящихся к этим
понятиям, служат аксиомы, тогда как остальные факты
выражаются при помощи теорем, т. е. предложений, которые могут
быть выведены из аксиом средствами лежащей в основе теории.
Если какая-либо научная теория аксиоматизирована, то она
образует интерпретацию, или модель1), своей системы аксиом.
Вообще говоря, однако, система аксиом может быть
интерпретирована, и притом правильно {soundly) (в правильной
интерпретации все аксиомы и теоремы оказываются истинными
предложениями), и многими другими способами; в таких случаях
исходная (аксиоматизируемая) научная теория образует
подразумеваемую, или главную, интерпретацию2).
§ 2. Первоначальное отношение.
Равенство и экстенсиональность
Как сказано выше, для построения некоторого варианта
теории множеств Цермело мы используем в качестве лежащей в
основе теории функциональное исчисление первого порядка —
без арифметики и, конечно, без самой теории множеств.
Другими словами, мы представим теорию множеств в виде
прикладного функционального исчисления первого порядка.
Единственным первоначальным символом этого исчисления — кроме
бесконечного списка индивидных (individual) переменных w, x,
1) Термины 'интерпретация' и 'модель' авторы по определению
считают синонимами; такое их понимание не является единственным,
например, Клини, 52 (стр. 63 русск. изд.), называет моделью научной теории
как раз ту систему аксиом, интерпретацией которой служит
аксиоматизируемая теория. — Прим. перев.
2) См. Чёрч, 56, стр 56 [стр. 55 русск. изд. — Перев\ а также Карнап, 39,
где используется несколько другая терминология; ср. замечания в конце § 6
относительно нестандартных моделей.

42 Гл. II. Аксиоматические оснозания теории множеств
у, z, w', . .. (а в случае надобности и других букв), упомянутых
выше связок и кванторов и таких вспомогательных символов,,
как запятые и различного вида скобки, — является двуместный
предикат(ный символ1)) '£', предназначенный для
обозначения отношения принадлежности (или членства {membership
relation)). Таким образом, ιχ £ */' читается как 'х есть член у12),
или как синонимичные ему выражения 'х принадлежит у\ "х
содержится в у* и 'у содержит χ (в качестве члена)'.
Каждая формула вида '. (Е —', где точка и тире замещены
переменными, является правильно построенной (well-formed), и
такие правильно построенные формулы суть единственные
«атомарные» (atomic) 3) правильно построенные формулы, из
которых все остальные правильно построенные формулы получаются
при помощи связок и кванторов.
Относительно области {range) индивидных (или
предметных) переменных в подразумеваемой интерпретации не
предполагается ничего, кроме наличия некоторого правильно
определенного (well-defined) непустого класса (предметов), так
называемого универсума рассуждения, или рассматриваемого мира
{universe of discourse). Ничего пока, в частности, не
предполагается относительно мощности этого класса, ни даже его
конечности или бесконечности. (Термины 'мощность', 'конечный' и
'бесконечный' употреблены здесь, разумеется, лишь
неформально4).) Про область определения {domain) отношения
принадлежности, т. е. про класс тех предметов, которые принадлежат,
как члены, по крайней мере одному предмету (или, говоря
короче, являются подходящими для членства
{membership-eligible)), мы будем говорить, что она состоит из элементов. Про
область же значений {counterdomain) отношения
принадлежности, т. е. про класс тех предметов, которые содержат в качестве
члена по крайней мере один предмет, будем говорить, что она
состоит из множеств. Мы не будем пока касаться вопроса об
отношении между областью определения и областью значений;
вопросы, имеются ли элементы, не являющиеся множествами
(иногда называемые просто индивидами — не в собственном
логическом значении этого слова; Urelemente5) Цермело) 6),
') У авторов просто 'предикат*. — Прим. перев.
2) Мы избегаем говорить 'х есть элемент у\ так как пользуемся
термином 'элемент' в несколько другом смысле (особенно в § 6).
3) Часто вместо 'атомарные' говорят 'элементарные'. — Прим. перев.
4) В русском переводе термин 'мощность' (cardinal (ity)) вообще будет
употребляться лишь содержательно; для формального его аналога
резервирован термин 'кардинальное число' (cardinal (number)) см. ниже, стр. 131.—
Прим. перев
5) «Праэлементы» (нем.). — Прим. перев.
6) Как принято Аккерманом, 37а; о пустом множестве см. ниже.

§ 2. Первоначальное отношение. Равенство и экстенсиональность 43
или множества, не являющиеся элементами, оставляются пока
открытыми.
Относительно того, какое место в нашей системе занимает
отношение равенства, можно занять одну из следующих трех
позиций.
a) Отношение равенства считается принадлежащим к
лежащей в основе логике. В нашем случае в качестве лежащей в
основе теории может быть, очевидно, взято функциональное
исчисление первого порядка с равенством1).
Этой позиции, по существу, придерживается Цермело2). Он
считает χ и у равными, если «они обозначают одну и ту же
вещь», что иногда приводит к смещению употребления и
упоминания знаков3); от этой путаницы можно избавиться при
помощи тавтологического замечания, что χ и у равны, если они
суть одна и та же вещь.
b) Равенство наряду с прочими отношениями
рассматривается в качестве одного из первоначальных отношений
системы. В нашем случае знак равенства ' = ' можно было бы взять в
качестве второго первоначального двуместного предикат(ного
символ)а4). При этом следовало бы обеспечить при помощи
соответствующих аксиом рефлексивность, симметричность и
транзитивность равенства5), т. е. что равенство является
отношением эквивалентности, а также его подстановочностъ {substitui-
tiveness) по отношению к другому первоначальному отношению,
т. е. что из χ £ у и х=х' следует х' £ у, а из χ £ у и у=у/
следует χ £ у'.
c) Знак равенства вводится посредством определения6).
В нашем случае это можно сделать двумя различными
способами: либо в соответствии с традицией, идущей по крайней
мере от Лейбница (identitas indiscernibilium7)), согласно
которой два предмета считаются равными, если каждый предмет,
содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой 8),
1) Ср. Чёрч, 56 (§ 48), а также Гильберт — Бернайс, 34. Для
обозначения отношения равенства часто используется термин 'тождество' (identity),
особенно когда (как в интересующем нас случае) оно считается
принадлежащим к лежащей в основе логике.
2) Цермело, 08а. Когда в этой главе упоминается Цермело (без
дополнительной ссылки на дату), имеется в виду эта статья; она не только
является основой всего нашего изложения, но содержит много подробностей,
ό которых пойдет речь в следующих параграфах.
3) См., например, Куайн, 51, § 4.
4) У авторов просто 'предиката'. — Прим. перев.
5) По поводу этих свойств и связи между ними ср. Шольц — Швейцер,
35; Оберт, 52.
6) Френкель, 27а; ср. А. Робинсон, 39, Гальперин, 54.
7) «Тождество неразличимых» (лат.). — Прим. перев.
8) Ср., например, *Греллинг, 6.

44 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
либо же предметы считаются равными, если они содержат одни
и те же члены. Очевидно, что второй способ приводит к тому,
что в универсуме рассуждения существует самое большее один
«индивид» (не-множество); поэтому он непригоден для таких
систем, универсум рассуждения которых в подразумеваемой
интерпретации содержит различные предметы, не являющиеся
множествами (в обычном понимании слова 'множество') и ipso
facto1) не содержащие членов. Куайн2) пришел к интересному
выводу, что это обстоятельство не является неизбежным. Он
слегка видоизменяет обычную трактовку индивидов, а именно
рассматривает их как особого рода множества, или, вернее,
классы3) (классы, единственным членом которых являются они
сами), и таким образом успешно вводит равенство обычным
путем (согласно методу Ь)), не отказываясь в своей онтологии от
индивидов4). Согласно Куайну, ситуация может быть описана
по-иному, а именно £-отношение интерпретируется как 'есть
член (чего-либо) или равен (чему-либо)' — в зависимости от
того, является ли второй предмет классом или нет.
Может возникнуть впечатление, что первый из упомянутых
в с) путь не связан с такими затруднениями. Однако и это
впечатление оказывается иллюзорным. Известны системы,
онтология которых включает объекты, не являющиеся элементами, и
даже не один такой объект (ср. § 6, 7 и гл. III). Очевидно, что
по отношению к таким объектам первый путь неприменим.
Мы примем здесь точку зрения с), несмотря на связанные
с ней ограничения; с) имеет то преимущество перед Ь), что
использует меньше неопределяемых терминов, и то преимущество
перед а), что пользуется более слабой, лежащей в основе,
теорией. (Впрочем, мы вовсе не склонны утверждать, что эти
отличия при всех условиях следует считать преимуществами.)
Какой же из упомянутых выше двух путей мы теперь
изберем? Мы уже видели, что это зависит главным образом от той
онтологии, которую мы собираемся принять. Оказывается, что
на самом деле — по крайней мере для математических целей —
нет никакой необходимости иметь дело с индивидами, вернее
х) Тем самым (лат.), — Прим. перев.
2) Куайн, 51, стр. 122—123.
3) Слово 'класс' употребляется в трех различных смыслах: 1) в
обычном разговорном смысле, независимо от какой бы то ни было
систематизации; 2) как логический термин, опять-таки в его (более или менее) обычном
смысле; 3) как специальный термин, относящийся к определенным системам,
вроде рассматриваемых в § 6, 7. Будем надеяться, что это не приведет к
недоразумениям.
4) Некоторое видоизменение системы Цермело, 08 (а тем самым в
значительной мере и системы Z) с употреблением самосодержащих (в этом
смысле) индивидов предложено Куайном, 56, № 5.

§ 2. Первоначальное отношение. Равенство и экстенсиональность 45
допускать существование более чем одного индивида х). Мы
можем поэтому считать множествами все предметы, за
исключением одного-единственного, не содержащего членов,
существование которого вызвано очевидными причинами технического
характера. (Нам хотелось бы, например, чтобы пересечение
любых двух множеств входило в универсум, даже если эти
множества не имеют общих членов.) Кроме того, мы в настоящий
момент решаем не допускать никаких объектов, не
являющихся элементами (хотя системы, в которых есть такого рода
неэлементы, могут оказаться, в одном важном смысле, более
адекватными; ср. § 6 и 7 и гл. III). Одним словом, мы хотим, чтобы
все предметы были элементами и все, кроме одного, —
множествами. Иначе говоря, область значений £ -отношения должна
содержать все, кроме одного, члены его области определения, а
поле {field) (т. е. объединение области определения и области
значений) —совпадать с рассматриваемым универсумом. Мы
хотим также, чтобы два предмета считались равными в том и
только в том случае, если они содержат одни и те же члены и
принадлежат одним и тем же множествам. Поэтому мы вольны
выбрать одно из этих свойств в качестве определения, а другое
обусловить, посредством подходящей аксиомы; для нужд нашей
системы в действительности пригодны оба пути,
предусмотренные точкой зрения с).
Становясь на эту точку зрения, мы, желая максимально
приблизить нашу терминологию к обычной, с настоящего момента
окончательно решаем применять термин 'множество' не только
по отношению к членам области значений £ -отношения, но
вообще к членам его поля, т. е. по отношению к любому предмету,
входящему в универсум рассуждения. В этом и трех
следующих параграфах мы поэтому вообще не употребляем ни
терминов 'предмет' ['объект' (object)] и 'элемент', ни терминов 'не-
элемент' и 'не-множество' (или 'индивид'); один-единственный
не содержащий членов предмет также считается множеством и
называется, как обычно, 'пустым множеством' (null-set).
После этих предварительных и неформальных замечаний мы
приступаем к построению нашей системы. Никакой символики,
кроме обычных теоретико-множественных символов 1£\ 'с'
и т. п., применяться, как правило, не будет. Полностью
символизированы будут (в добавление к их обычным,
полусимволическим формулировкам) только аксиомы и некоторые
определения.
1) Френкель, 21/22 (стр. 234) и 25. Эта же позиция была занята фон
Нейманом (см. ниже, § 6) и de facto Бурбаки, 49; ср. Мостовский, 39,
стр. 201—202.)

46 Гл II Аксиоматические основания теории множеств
В нашей системе1), которую мы отныне будем называть'^,
имеется, таким образом, лишь один конкретный (specific)
неопределяемый предикат(ный символ2)) ' £ '.
Все ее атомарные предложения3) имеют вид 'х £ у\ Вместо
*~х£ у' мы будем обычно писать 1х (£ у\
Определение I (ср. Г, стр. 21 4)). Если для всех χ χ ξ у
влечет5) χ £ г, мы будем говорить, что г/ есть подмножество ζ (или
включено в г); если к тому же есть по крайней мере одно такое
w, что w 6 г, но w (£ г/, то мы будем говорить, что г/ есть
собственное подмножество ζ. (Отношение включения.)
Соответствующие символы суть у cz ζ и г/ с г.
Из определения I немедленно следует
Теорема 6). Каждое множество есть подмножество самого
себя (χ ^ χ); χ ^ у и у cz ζ влечет χ £ ζ. Иными словами,
отношение с рефлексивно и транзитивно. В то же время
отношение с иррефлексивно, асимметрично и транзитивно (Г,
стр. 176).
1) Восходящей преимущественно к работе Цермело, 08 а; ср. 30.
Наиболее существенные изменения, внесенные в последующее изложение,
содержатся у Френкеля, 21/22, 22, 26, и у Сколема, 22/23, 29, 41; ср.
формализации у Чёрча, 42; Борджерса, 49; Хао Вана — Мак-Нотона, 53 (стр. 15—18
[стр. 16—19 русск. изд. — Перев.])-, Карнапа, 54 (стр. 152—156); Тиле, 55.
Общий обзор замысла Цермело дан у Вейля, 46, стр. 10 и ел.
Критика Пуанкаре, \ό (гл. IV) оказалась во многих отношениях
неосновательной; критика же Сколема, 22/23, включена в последующее изложение.
2) Стоящее в круглых скобках добавлено при переводе (ср. прим. 1 на
стр. 42 и 4 на стр. 43). В дальнейшем такие оговорки и примечания
будут делаться лишь в тех местах, где их отсутствие могло бы вызвать
какие-либо недоразумения. — Прим. перев.
3У Поскольку авторы не проводят четкого различия между формальным
и неформальным аксиоматическим методом (ср. прим. 2 на стр. 38), мы в
дальнейшем не будем оговаривать многочисленные взаимные замены слов
'предложение' (statement) и 'формула' и т. п. и будем в подобных случаях
буквально следовать тексту оригинала. — Прим. перев.
4) В тех местах, где ссылка на Abstract Set Theory покрывается идущим
далее текстом Foundations of Set Theory (как, например, в данном случае)
или относится к общеизвестным фактам или терминам, разъяснений или
ссылок на более доступную русскому читателю литературу даваться не
будет. — Прим. перев.
5) Термин 'влечет' (implies) употреблен здесь как синоним для 'если...,
то —', или 'только если'; соответствующий символ 'ID'. Для другого не
менее распространенного значения 'влечет', а именно для 'логически влечет',
мы будем пользоваться термином 'следует' (entails).
6) Эта теорема (так же как и теорема о существовании и
единственности пустого множества на стр. 60) именуется в оригинале «теоремой 1»;
в переводе во избежание путаницы с нумерацией она оставлена без номера. —
Прим. перев.

§ 2 Первоначальное отношение. Равенство и экстенсиональность 47
Между отношениями £ и cz (первое из которых в нашем
изложении является первоначальным, а второе — вводится по
определению) имеется серьезное различие. Путаница в их
употреблении, усугубленная свойственной индоевропейским языкам
двусмысленностью, — известно, что связка 'есть' использовалась
последователями Аристотеля в обоих этих (и многих других)
смыслах, — на раннем этапе развития логики имела гибельные
последствия. Если придерживаться нашей терминологии, то
каждое множество включает {comprises) себя само и свои
подмножества, но, вообще говоря, не содержит {contains) ни себя,
ни своих подмножеств.
Первым логиком, обратившим внимание на необходимость
этого различения, был, по-видимому, Фреге; после же работ
Пеано жертвами путаницы между £ и с: становятся лишь
начинающие. Все это не означает, однако, что нельзя было бы
развить теорию отношения, которое объединяло бы в себе (ноне
смешивало!1)) свойства отношений принадлежности и
включения. Фактически именно это и проделал Лесневский 2).
Как уже установлено выше, мы можем определить
равенство любым из двух следующих способов.
Определение На. χ называется равным у (х = у) тогда и
только тогда, когда для всех ζ χ£ζ влечет у£г, и обратно,
у £ ζ влечет χ £ г, т. е. если каждое множество, содержащее
одно из множеств χ и у, содержит также и другое. Если χ не
равно у, оно называется отличным от у (хфу) (или множества
χ и у называются различными 3)).
В символической записи: х = у = т 4) (Λζ) (χ £ z=y £ ζ)5).
Определение lib. χ называется равным у тогда и только
тогда, когда х^у и у^х одновременно, т. е. каждое из множеств
χ и у есть подмножество другого. Иначе говоря (формулируя
в первоначальных терминах), χ = ί/, если каждый член одного
из этих множеств есть также и член другого. В противном
случае χ отлично от у (или χ и у различны6)).
1) В подлиннике игра слов: «... fuses (поп confuses!)». — Прим. пврев.
2) * Лесневский 3; ср. Собоцинский, 49—50; см. также гл. III, стр.
3) Стоящие в скобках слова добавлены при переводе; в разных
контекстах для перевода одного английского определяемого термина 'different'
нам понадобятся два русских: 'отлично(е) (от)' ((is) different (from)) и
'различны(е)' ((are) different). — Прим. перев.
4) Читается «есть сокращение для», «по определению»: знак =Dt есть,
конечно, символ метаязыка, не входящий в саму систему Z.
5) Приводимые далее аксиомы позволяют обойтись вместо
эквивалентности = Df в этом определении импликацией.
6) См. прим. 3. — Прим. перев.

48 Гл 11 Аксиоматические основания теории множеств
В символической записи: х = у = т(А г) (ζ £ χ=ζ £ у).
Согласно любому из этих определений, отношение равенства
рефлексивно, симметрично, транзитивно и подстановочно
(substitutive) по отношению к правому аргументу ζ, т. е. ζ £ χ,
х=у влечет ζ £ у х).
Тем не менее определяемое в ПЬ свойство равнообъемно-
сти [экстенсиональности (extensionality)] не может быть
выведено из На, так же как левосторонняя подстановочность
(свойство, состоящее в том, что x£z, x = y влечет y£z) не
выводима из lib даже при помощи приводимых ниже аксиом2).
Поэтому в дополнение к определениям На и ПЬ мы вводим
специальную аксиому, каждый из двух вариантов которой
приспособлен к соответствующему определению.
Аксиома 1а. X cji и у cz χ вместе влекут х=у\ иначе
говоря, множества, содержащие одни и те же члены, равны.
В символической записи: (Ах) (Ay)[(Az) (z£x=z£y)=>x=y].
Аксиома lb. Χ ζ Ζ и х = у вместе влекут у £ Ζ\ иначе
говоря, равные множества содержатся в одних и тех же множествах.
В символической записи: (Ах) (Ay)[x = yz^(Az) (χ £2тэу £ ζ)].
Для последующего изложения несущественно, взять ли На в
качестве определения равенства и 1а в качестве
соответствующей аксиомы или же lib в качестве определения и lb в
качестве аксиомы. Поэтому мы будем просто говорить об
определении II (определении равенства) и аксиоме I (аксиоме
объемности, или экстенсиональности (extentionality)3).
В Τ (стр. 18/19) объемность была введена при помощи опре*
деления lib (ср. принцип 1, стр. 21).
Поскольку множество, согласно определению II и аксиоме I,
полностью определено своими членами, мы можем обозначить
(конечное и бесконечное) множество, содержащее члены
а, 6, с, ..., через
{а, Ь, с, ...},
где порядок, в котором выписаны члены, не играет роли.
Определение III. Два множества, не содержащие общих
членов, называются непересекающимися (disjoint). Если члены
1) Относительно ПЬ -это тривиально. Относительно На правосторонняя
подстановочность может быть доказана при помощи приводимых ниже в § 3
аксиом IV и V (или II) или даже одной IV; см. А. Робинсон, 39,
подстрочное прим. 4; ср. Тиле, 55, стр. 176 и ел.
2) Доказано А. Робинсоном, 39; ср. *Филер, 1.
3) Часто называемой также аксиомой протяженности-, Гильберт — Аккер-
ман, 28/49 (стр. 198 русского издания) употребляют термин 'аксиома
определенности' (Bestimmtheitsaxiom). — Прим. перев.

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 49
множества 5 попарно не пересекаются, то s называется
расчлененным {disjointed) (или дизъюнктным) множеством1).
§ 3. «Конструктивные» аксиомы
общей теории множеств
В § 3 и 4 мы введем пять аксиом, каждая из которых,
предполагая существование некоторого (некоторых) множества
(множеств), обеспечивает существование другого множества.
Ту часть теории множеств, которую можно вывести из такого
рода аксиом, можно назвать общей теорией множеств2). В § 5
будут добавлены новые специальные аксиомы, в частности
«аксиомы бесконечности».
Аксиомы такого условного характера подходят для задачи
исключения антиномий в силу того, что объем множеств,
существование которых они обеспечивают, зависит от объема
предварительно введенных множеств, а не от абсолютно
исчерпывающих характеристик множеств, фигурирующих в антиномиях.
В этом параграфе мы формулируем такие аксиомы общей
теории множеств, что множество, существование которого
каждая из них обеспечивает, однозначно определено множеством
(множествами), существование которого (которых)
предполагается в формулировке аксиомы (а в аксиоме V — и некоторым
дополнительным условием). Такие аксиомы можно, в несколько
вольном смысле, назвать «конструктивными». В
противоположность этому в § 4 вводится «неконструктивная» аксиома: данное
множество в последнем случае обеспечивает существование
другого множества некоторого вида, но не существование вполне
определенного множества. В отличие от всех этих аксиом
аксиома объемности (§ 2) не содержит никакого утверждения
(ни условного, ни абсолютного) о существовании каких-либо
множеств.
Следующие аксиомы примерно соответствуют принципам
II—IV, VI и VII из Τ (стр. 22—28, 97, 123). Рассмотрение
принципа бесконечности (V) (7\ стр. 42) здесь откладывается до § 5.
Вместо того чтобы догматически вводить различные
аксиомы, мы предпошлем им замечания неформального характера,
способствующие уяснению назначения каждой аксиомы и
изучению ее следствий. В соответствии с общим духом
аксиоматического метода аксиомы по существу выбираются посредством
апостериорного анализа методов «генетической» теории Канто-
1) Определение охватывает и тривиальные случаи множества, не
содержащего ни одного члена, и множества, содержащего один-единственный
член. (В Τ вместо 'непересекающиеся' говорилось 'взаимно исключающие')
2) Ср. примечание 3 к § 5, стр. 105.
4 Зак. 1765

60 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
ра с добавлением ограничений, преследующих цель (хотя бы)
избежать антиномий.
Следующей аксиомой выражается простая операция
соединения (uniting) двух различных множеств в одно множество1).
Аксиома (II) пары2) (pairing) 3). Для любых двух
различных множеств а и Ь существует множество р> содержащее в
точности а и Ь (т. е. а и Ь и никаких других членов).
В символической записи:
(ka)(kb) \a=hbzD (Ер) (kx) [х£ р~-(х = а\/ х = Ь)]}.
По аксиоме объемности все множества, содержащие в
точности а и 6, равны между собой; поэтому мы можем говорить
о вполне определенном4) множестве с членами а и Ъ. Оно
называется парой а и Ъ и обозначается '{а, 6}' или, что то же самое,
'{Ь, а}'.
Подобная же ситуация имеет место и для следующих трех
аксиом (III—V); поэтому при их словесной формулировке мы
будем пользоваться эпитетом 'вполне определенное' ('...суще^
ствует вполне определенное5) множество...').
1) Вместо этой операции Куратовский, 25, вводит операцию образования
объединения (union) двух множеств; ср. аксиому II (2) Бернайса (см. § 7)\
2) Точнее было бы, конечно, перевести 'pairing' как 'спаривание' или
'образование' пары. Первый из этих терминов был отброшен как создающий
преувеличенное представление о роли аксиомы II, второй — по причине его
неблагозвучной громоздкости (аналогично тому как в оригинале в
аксиомах III и IV опущено слово 'существования' — например, 'Axiom of sum-set*
вместо 'Axiom of existence of sum-set'). Помимо соображений такого рода,
мы при выборе русских эквивалентов английских терминов, кроме
естественного стремления придерживаться возможно точнее терминологии оригинала
(или — что иногда существеннее — тех работ, откуда она заимствована),
старались, с одной стороны, не создавать ненужный терминологический
разнобой с немногочисленной литературой по аксиоматической теории множеств,
имеющейся на русском языке (перевод А. А. Маркова работы Гёделя, 40, и
статьи °А. С. Есенина-Вольпина, 59 и 60), а с другой — не поддерживать
неосновательных терминологических новшеств типа предложенных в русском
переводе книги Хао Вана — Мак-Нотона, 53 (где, в частности, аксиома пары
(стр. 18) названа аксиомой объединения; аксиома свертывания (стр. 18,
31, 34 и 54) — аксиомой выделения, а определение предиката истинности
(стр. 35) —«истинным определением»). — Прим. перев.
3) Термин Цермело — Axiom der Elementarmengen [«аксиома
элементарных множеств» (нем.). — Перев.]; в его изложении этот термин уместен,
поскольку Цермело постулирует не только существование пары, но и, сверх
того, существование множества, содержащего единственный предмет, а также
существование пустого множества. Существование обоих этих множеств мы
можем доказать; благодаря этому аксиому можно ослабить, что здесь и
сделано.
4) Выделенные курсивом слова добавлены при переводе, в оригинале
здесь выделен курсивом определенный артикль the. — Прим. перев.
5) В оригинале речь идет об использовании определенного
артикля (...there exists the set...'); ср. пред. примечание. — Прим. перев.

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 51
Между прочим, мы не можем доказать (даже с помощью
дальнейших аксиом), что пара {а, Ь) отлична от а и Ь.
Опустив в аксиоме II слово 'различных', мы бы усилили
утверждение аксиомы, поскольку существование ρ было бы
постулировано как при афЬ, так и при а = Ь. Духу
аксиоматического метода присуще стремление к ослаблению отдельных
аксиоматических утверждений; поэтому аксиому II лучше
ограничить случаем афЬ, так как для а = Ь соответствующее
утверждение может быть доказано1).
Если а, &, с, d,... суть попарно различные множества,
повторное применение аксиомы II позволяет строить все более
сложные множества, например {{а, &}, {с, d}}, {{а, &}, {а, с}}, . . . .
Однако каждое множество, образованное таким путем,
содержит в точности два члена.
Для того чтобы получать множества более общего вида, мы
должны поискать другую процедуру. В Г в качестве первых и
простейших теоретико-множественных операций мы вводим ело-
жение и внутреннее умножение (inner multiplication), т. е.
построение объединения и пересечения данных множеств —
операции, основные и для булевой алгебры (Г, стр. 26, 109, 142).
Для аксиоматических целей нам достаточно будет
постулировать выполнимость одной из этих процедур; мы выбираем
объединение.
В соответствии с нашей программой в качестве множеств,
объединение которых должно быть образовано, будут браться
не произвольные множества, а множества, являющиеся членами
некоторого множества, существование которого уже обеспечено.
Так мы приходим к следующей аксиоме.
Аксиома (III) множества-суммы, или объединения. Для
любого множества а, содержащего по крайней мере один член2),
существует вполне определенное множество, членами которого
являются в точности члены членов множества а.
Это множество называется множеством-суммой {sum-set)
множества а, или объединением {union) членов а; оно обозна-
х) [См. ниже, теорема 2, стр. 60—61. — Перев]
Тем не менее и опускание слова 'различных' также имеет известные
преимущества; например, такие важные разделы теории, как, скажем, теория
чисел, можно тогда построить без аксиомы IV. — Прим. авт.
В ноябре 1964 г. Ян Мыцельский (Польша) докладывал на семинаре по
математической логике (механико-математический факультет МГУ) о своей
работе, в которой, между прочим, доказано, что аксиома II является
следствием из аксиом IV и VIII системы Z. — Прим. ред.
2) Случай, когда а не содержит членов, тривиален. Можно даже
предположить, что а содержит по крайней мере два члена, так как если а = {Ь},
то аксиома выражает лишь существование Ь^
4*

52 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
чается через '\}а\ Итак, χ ζ [)α оказывается верным в том и
только в том случае, если найдется такое ζ £ а (по крайней мере
одно ζ), что χ £ ζ.
В символической записи:
(Aa){(Eb)beaz>(Ey)(pLX)[xey = (Ez)(x£z&z£a)]}.
Грубо говоря, если множество а содержит члены t, и, ν,...,
то в U β содержатся как раз члены множеств ί, и, и, . . . ; иногда
мы будем поэтому обозначать множество-сумму множества а
через /иии'Уи...1), где порядок членов не играет роли.
Если а и Ь — различные множества, то их объединение a^jb
непременно существует. В самом деле, по аксиоме II существует
пара {a, b}=py a потому по аксиоме III существует и [) p=a^jb.
Аксиомы II и III вместе позволяют нам «конструировать»
множества разнообразных видов. Если, например, даны
различные множества a, b и с, то аксиома II дает множества
{a,b} = m, {6, с} = пу {а, с}=р и, следовательно2), например,
множества {т, с} = {{а, &}, с) и {а, п} = {ау {6, с}}. Далее, по
аксиоме III, существуют множества [)m = a^j b и [)п = b о с.
Повторные применения II и III дают множества
[\}т,с)=С, {а, [)П}=А, [)C=[)m^c = (a^b)^c,
[)A = a<<j U η = а о (Ь о с).
В точности как в Τ (стр. 115—116) 3), можно доказать, что
множества U С и U А содержат одни и те же члены;
следовательно, они равны. Подобным же образом может быть вообще
показана ассоциативность операции объединения.
U А содержит члены трех различных множеств a, b и с.
Продолжая далее действовать подобным же образом — если только
мы имеем в своем распоряжении более чем три различных
множества, — мы можем получать все более и более обширные
множества. Но несмотря на большую силу аксиомы III, уже
при беглом взгляде на теорию Кантора видно, что аксиомы
образования пары и множества-суммы не предоставляют нам
достаточных возможностей в деле построения новых множеств,
даже если исходить с самого начала из весьма сильных допу-
') В Г (например, стр. 26—29) вместо Юм мы писали t Η- и, а вместо
U а — $а.
2) Здесь и в дальнейшем, чтобы пользоваться аксиомой И, мы должны
были бы, собственно, добавлять условия вида с Φ m и т. π Но поскольку
мы скоро сможем опустить эти условия (теорема 2 на стр. 60—61),
подчеркивать их незачем.
3) Напоминаем, что ссылки на Abstract Set Theory, касающиеся
общеизвестных фактов элементарной теории множеств, о которых можно прочесть
в любом учебнике по теории функций действительного переменного или
логике, мы не дополняем новыми ссылками. — Прим. перев.

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 53
щений относительно существования множеств. Действительно,
предположим, что существуют бесконечные1) множества того
типа, что называются счетными, и даже счетное множество
различных таких множеств. Даже при этих предположениях
аксиомы II и III оказываются недостаточно сильными, чтобы
обеспечить существование какого-либо более чем счетного
множества, например существование континуума.
Для Кантора (вторым и главным) орудием получения
множеств более высокой мощности было (трансфинитное)
умножение, в частности возведение в степень. Мы увидим, что для
этой цели достаточно множества-степени (Ύ, теорема 3 на
стр. 94) (так называемая «теорема Кантора»2) и теорема 1
на стр. 1513)), исходя из этого мы формулируем следующую
аксиому.
Аксиома (IV) множества-степени. Для любого множества α
существует вполне определенное множество, членами которого
являются в точности все подмножества а.
В символической записи:
(Аа) (Еу) (Ах) (х £ у~х^ а).
Множество всех подмножеств множества а называется
множеством-степенью {power-set) множества а и обозначается
через 'Са 4) х£Са имеет место в том и только в том случае,
если χ с: а, т. е. если ζ £ χ zd ζ £ α.
В нашей аксиоматической системе, как и в теории Кантора,
аксиома IV играет важнейшую роль (ср. § 8) — без ее помощи
мы не можем образовывать достаточно обширных множеств.
Но на данной стадии нашей аксиоматизации эта аксиома не
может еще быть использована для этой цели. Дело в том, что
аксиома IV разрешает использовать лишь те
подмножества, существование которых уже установлено. Определение I
(стр. 46) также позволяет нам не образовывать подмножества
данного множества s, а лишь устанавливать, является ли неко-
1) Термины 'бесконечное' и 'счетное' до § 5 не определены.
Приводимое нами здесь рассуждение, имеющее своей целью пояснить
назначение аксиомы IV и использующее понятия, известные из 7\ § 2 и &
[или любого курса теории функций или анализа. — Перев.], носит лишь
эвристический характер.
2) См Александров, 48, теорема 15 на стр. 42 (следствие из теоремы 14
на стр 40, которая, собственно, и была доказана Кантором). — Прим.
псрев.
3) Ср. Александров, 48, замечание 2 на стр. 42—43 и замечание 6 на
стр. 114—116.
4) В Τ и, например, у Клини, 52, используется обозначение Цермело 'Uav
jum'Ua'('С от 'Cantor').

54 Гл. П. Аксиоматические основания теории множеств
торое данйое множество подмножеством 5. Аксиомы же II и III
обеспечивают построение лишь подмножеств весьма специального
вида. Поэтому сама по себе аксиома IV не может служить
орудием, хоть в какой-то мере сравнимым с канторовским
множеством-степенью1). Для того чтобы пользоваться аксиомой IV
в качестве орудия для получения широкого класса множеств,
не обойтись без другой аксиомы, дающей общий способ
построения подмножеств данного множества.
Чтобы лучше уяснить это, будем исходить из множества S,
содержащего по крайней мере два члена sx и s2\ по аксиоме II
существует пара p = {su s2}y которая, по определению I,
является подмножеством S. Поэтому множество-степень CS во
всяком случае содержит член р. Если S содержит более двух
членов, мы можем сделать то же самое с любыми двумя
членами S, получая таким образом новые члены CS. С помощью
аксиомы III мы получим подмножества S более общего вида —
но лишь такие, что являются, в наивном смысле, конечными.
Например, если su s2 и s3 суть члены S, то по аксиоме II пары
Pi — {s2' 5з) и P2=\sb 5з) существуют и различны; поэтому
существует и пара р = {pv р2), а также по аксиоме III —
множество U p= {sv $2, 53}, являющееся подмножеством S, т. е.
членом CS.
Однако таким путем мы не можем получать бесконечные
подмножества бесконечного множества S (ср. § 5). Если S
содержит все натуральные числа, то мы не сможем даже
обеспечить на данной стадии существование подмножества всех
чисел, больших 1, не говоря уже о подмножестве всех четных или
всех простых чисел. Поэтому мы пока не можем доказать, что
CS имеет большую мощность, чем S.
Теперь мы расскажем, в самых общих словах, какие же
возможности мы хотели бы иметь. Аксиомы образования пары,
множества-суммы и множества-степени, выполняют
расширяющую {expansive) функцию в том смысле, что они обеспечивают
существование множеств, имеющих в силу каких-либо причин
более широкий объем, чем множества, фигурирующие в
предположениях этих аксиом. Теперь же нам нужна
ограничивающая {restrictive) операция, при помощи которой мы смогли бы
получать множества, объем которых меньше объема данного
1) Точка зрения Кауфмана, 30 (стр. 176), противоположная только что
высказанной, вызвана непониманием метода Цермело, причина которого,
очевидно, лежит в избранном Цермело порядке перечисления аксиом.
(У Цермело, 08а, аксиома выделения (Axiom der Aussonderung)
предшествует аксиоме множества-степени.)

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 55
множества, т. е. получать его подмножества. Для этого мы
присоединяем следующую аксиому.
Аксиома (V) выделения l) (Axiom of subsets) )2. Для
любого множества а и любого одноместного предиката 3) ^β,
имеющего смысл («определенного» (definite )4)) для всех
членов л: множества а, существует вполне определенное множество,
содержащее в точности те члены х множества а, которые
удовлетворяют предикату^ (для которых выполнено условие^(х)).
Это множество, являющееся, очевидно, подмножеством ау
мы обозначим через а^. В символической записи аксиома V
выглядит так:
(Аа) (Еу) (Ах) [х€у^(хеа&ф(х))],
где У$ содержит *х' в качестве единственной свободной
переменной.
Иногда бывает нужна более сильная форма аксиомы V, в которой &
условие ^3 (х), кроме х, входят и другие свободные переменные Ζ\, ζ2, ..., ζη\
так мы приходим к формуле
(А*,) (А*2)... (kzn) (Аа) (Еу) (Ах) [* € у sa (* £ α & $ (*, *lf *2,..., гп))],
где переменная 'у' не входит свободно в ψ 5).
Аксиома V является самой характерной особенностью
системы Цермело, отличая ее, с одной стороны, от доаксиоматиче-
ского подхода, а с другой — от точки зрения, принятой в § 6
J) Отказ от буквального перевода термина авторов ('аксиома подмнр-
жеств') объясняется, в частности, тем, что употребленный здесь точный
перевод немецкого Aussonderungsaxiom (на европейские языки обычно н е
переводящегося — ср. следующее примечание авторов) уже привычен
для русской математической литературы. Впрочем, как и всюду, в этом
переводе, для большей гибкости изложения и не желая способствовать
абсолютизации какой бы то ни было терминологии, мы сохраним в качестве
равноправных синонимов термины 'аксиома подмножеств' и (особенно в § 7 этой
главы) 'аксиома выделения подмножеств'. — Прим. перев.
2) Цермело употребляет термин Axiom der Aussonderung (аксиома
'отсеивания', 'отбора', или 'выделения', т. е. выделения тех членов а, для
которых ^3 оказывается истинным).
3) См. выше, стр. 40—41; предполагается, что условие '^3 (х)у содержит
единственную свободную переменную х. Можно считать, что ^3 построено из
«атомарных» формул вида и ζ ν.
4) Термин Цермело, переводимый иногда на русский язык как
'дефинитный'. — Прим. перев.
5) Обычно вводится именно эта «более сильная» форма аксиомы V, в
которой, впрочем, считается, что п^>0 или же переменные Z\, ..., zn не
связываются кванторами общности; случай η = 0 при этом особо не выделяется.
Можно заметить, что авторы до сих пор не в такой степени фиксировали
язык системы Ζ> чтобы здесь уместно было обсуждать вопрос о том, в
какой мере предлагаемое ими «усиление» аксиомы V действительно является»
таковым. — Прим. ред.

56 Гл. П. Аксиоматические основания теории множеств
и 7, согласно которой каждому условию У$ (х) для χ
соответствует некоторое множество (или класс) s, такое, что
(Ая) (х 6 s = ^ (*)). Ранее эта позиция приводила к
антиномиям, и предложенный Цермело выход состоял в том, чтобы
применять «свертывание» 1) лишь к членам χ уже имеющихся
множеств.
Предпошлем формальному анализу употребленного в
аксиоме V выражения 'определенный предикат' ряд неформальных
замечаний, из которых его значение станет более наглядным
для тех читателей, которые не интересуются подробным логико-
математическим анализом вопроса. Основная идея состоит в
том, чтобы предикат ^β был осмысленным для всех χ £ α, из
чего следовало бы, что для каждого отдельного члена χ
множества а предложение $ (χ) было бы либо истинно, либо
ложно2); иначе говоря, чтобы для каждого χ условие Щ (х) либо
выполнялось, либо не выполнялось. Это, однако, вовсе не
означает, что для произвольного конкретного χ £а действительно
можно решить, истинно ^3 (х) или ложно, — хотя бы из-за
недостаточности наших знаний на данной стадии развития науки.
Характерный пример приведен в начале Τ (стр. 14) —условие
*х трансцендентно' по отношению к действительным числам х.
Не для каждого действительного числа (заданного, например,
законом его разложения в десятичную или непрерывную дробь)
мы умеем определить, алгебраическое оно или трансцендентное.
Однако каждое число обладает не более чем одним—а согласно
классической математике и логике, по крайней мере одним — из
этих двух свойств. Поэтому свойство *х трансцендентно'
определено для действительных чисел χ в отличие от таких свойств,
как 'х зеленое' или даже *х конечно определимо'.
Это разъяснение понятия 'определенный предикат' не может
удовлетворить требованиям формальной дедуктивной теории;
уточнить его — значит ликвидировать существенный пробел в
нашей аксиоматической системе. С другой стороны, строгое
определение потребует от читателя некоторых познаний из
современной логики или же известных математических навыков.
Ниже описываются лишь основные черты формализации
понятия 'определенный', используемого в аксиоме V3).
Цермело первоначально (1908) предложил следующее объяснение
Предложение (5 (вопрос о его истинности) называется 'определенным' (или 'дефи-
1) То есть операцию образования множества предметов, обладающих
некоторым свойством; см. подробнее гл. III. — Прим. перев.
2) При этом не предполагается никакой теории типов (гл. III) и
свободно применяется логический принцип исключенного третьего (ср. гл. IV, § 3).
3) Об определении подмножеств посредством «квазикомбинаторного»
принципа см. Бернайс, 35.

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 57
нитным'), если в терминах первоначальных отношений системы на основе
аксиом системы и общих законов логики однозначно решается, истинно @
или нет. Подобным же образом предложение о некотором классе (a class
statement) [свойство, предикат]1) fe (х), где переменная пробегает по всем
индивидам [членам]1) класса Я, называется определенным, если (£
определено для каждого отдельного индивида χ класса ^. Например, вопрос,
имеет ли место αζ b (Μ с; N), всегда2) определен.
Это объяснение, разумеется, неудовлетворительно; создается даже
впечатление, что оно открывает путь для антиномий семантического типа (гл. I,
§ 3). В 1921 — 1922 гг. были независимо и почти одновременно предложены
два разных метода3) формализации понятия 'определенный' и,
следовательно, системы Цермело в целом.
Согласно первому методу, понятие 'определенный' формализуется
посредством некоторого понятия функции4), определенного при помощи аксиом
II—V5). Это понятие функции, хотя и более специальное, чем понятие Ско-
лема, под которое его можно подвести, достаточно для развития общей
теории множеств, что и было показано ее фактическим построением6).
При втором подходе 'определенный' предикат понимается как
элементарная правильно построенная формула7), т. е. как правильно построенная
формула функционального исчисления первого порядка со свободной
переменной jc, построенная из атомарных (^-предложений8). В этих рамках, как
показал Куайн, можно получить простую теорию типов9).
Цермело, хотя впоследствии и признал необходимость формализации
своего расплывчатого разъяснения понятия определенности, все же отверг 10)
оба только что описанных метода, в основном из-за того, что они неявно
связаны с понятием конечного кардинального (целого) числа, которое, с его
1) Эти пояснения в квадратных скобках принадлежат авторам. — Прим.
пере в.
2) То есть для любых а и Ь (или Μ и iV), не исключая и случая Ь = а.
3) Френкель, 21/22 и 22; Сколем, 22/23. Видоизменение, предложенное
*Фредендойном, 1, явно не вносит никаких усовершенствований.
4) Ср. также Френкель, 27, стр. 103—115, и важное дополнение,
предложенное фон Нейманом, 28а.
5) Присоединение аксиомы V само автоматически ведет к установлению
определенной иерархии порядков. Таким образом, эта аксиома распадается
на ряд аксиом, и аналогия с понятием Сколема становится очевидной.
6) См. Френкель, 25, и по поводу не затронутой Цермело теории
упорядоченных и вполне упорядоченных множеств — 26 и 32. Для некоторых
теорем существования, например для теорем о порядковых числах, необходимо»
дополнение, внесенное фон Нейманом, 28а; ср. Карри, 34, стр. 590, и 36,
стр. 375.
7) Ср. Сколем, 22/23, 29 (§ 2), 30. Сколем пользуется шрёдеровской,
«алгеброй логики», что, впрочем, несущественно.
В статье Куайна, 36 (ср. Куайн, 37 и 53, а также *Картан, 1), даете*
видоизменение (расширение) аксиомы выделения, позволяющее отбросить
другие аксиомы, кроме аксиомы объемности и аксиомы § 4 и, возможно*.
§ 5. Дальнейшее нововведение состоит в том, что в системе нет пустого
множества. Довольно близкий подход предлагается в статье Линденбаума —
Мостовского, 38, и в примыкающих к ней исследованиях этих авторов.
8) Ср. формулировки в работах Хао Вана, 49; Новак, 48/51 (стр. 90), и
Мостовского, 51а (стр. 111).
9) См., в частности, форму, приданную теории типов Тарским, 33;
(стр. 97—103).
10) Цермело, 29; ср. (обоснованную) критику этой статьи у Сколема, 30»
и обсуждение аксиомы полноты Финслера (см выше, стр. 35).

£8 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
точки зрения, само должно основываться на теории множеств. Поэтому он
вводит в рамках своей аксиоматической системы специальную
аксиоматизацию понятия определенности, или, что по существу то же самое, понятия
функции. Весьма сомнительно, однако, чтобы таким образом удалось
обойтись без использования конечных кардинальных чисел, к тому же
переплетение двух аксиоматизаций связано с определенными неудобствами, а нужные
для этой цели аксиомы сложны 1). Все это заставляет считать этот подход
нежелательным. С другой стороны, при этом подходе удается обойтись
конечным числом (элементарных) аксиом (ср. ниже и § 7).
По нашему мнению, метод Сколема (Куайна)2) имеет уже
то преимущество, что он естественным образом согласуется с
обычной логикой. В дальнейшем изложении сколемовское
понятие определенности явным образом использоваться не будет, но
каждое применение аксиомы выделения в пределах этой главы
может быть переформулировано на языке метода Сколема.
Как уже подчеркивалось, аксиома множества-степени и
аксиома выделения тесно связаны между собой, поскольку
богатые возможности, предоставляемые аксиомой множества-сте-
лени, обусловлены достаточной свободой образования
подмножеств. (Здесь не имеются в виду подмножества особого рода,
образованные при помощи аксиомы выбора; см. § 4.) Но эта
связь обладает нежелательным свойством непредикативности.
(Класс называется непредикативным, если он определен (или
[правильнее сказать]3) может быть определен только) через
некоторую совокупность, в которую он сам входит; такое
определение также называется непредикативным. Можно также
сказать, что определение, записанное на символическом языке,
непредикативно, если оно определяет предмет, являющийся одним
из значений связанной переменной, входящей в определяющее
выражение4).) Значение непредикативных определений и мето-
1) Решающую роль здесь играет «минимальная» («minimum») аксиома
'(см. ниже, § 5). Конечно, при пользовании этим методом возрастает число
первоначальных понятий.
2) То есть упомянутый выше «второй подход», при котором $ (х) [или
$β (χ\, ..., хп)] в аксиоме V (или в упомянутом сразу же после формулировки
аксиомы V ее «усилении») может быть любой (правильно построенной)
формулой рассматриваемого исчисления, не содержащей свободно у\ иными
словами, при этом подходе аксиома V понимается как схема аксиом
(см. ниже, гл V, § 2, п. (4) определения формальной системы, или Клини,
52, начало § 19). — Прим. перев.
3) Содержимое квадратных скобок добавлено при переводе; два
приводимых авторами условия непредикативности не эквиполлентны, причем лишь
второе (во внутренних, круглых скобках) является достаточным. — Прим.
перев.
4) Слово 'связанный' в этой формулировке лишнее. Например,
участвующее в антиномии Рассела множество 5 (стр. [15]) может быть определено
формулой х ζ S === ^/ χ £ χ, вовсе не содержащей связанных переменных;
между тем это множество непредикативно. — Прим. ред.

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 59
дов и связанные с ними опасности, а также различные попытки
(начиная с Пуанкаре и Рассела) устранить или обезвредить их,
будут обсуждены в гл. III. Здесь мы рассмотрим лишь тот
специальный случай непредикативности, который связан с
аксиомой множества-степени и аксиомой выделения. (Предполагается,
что логическая система, содержащая эти аксиомы, не включает
теорию типов.)
Всякий раз, когда предикат, используемый в аксиоме V для
получения подмножества данного множества s, существенно
связан с множеством-степенью Cs или с подобным ему
множеством, конкретное {particular) подмножество множества 5
определяется через совокупность всех подмножеств 5, а это как раз
та самая процедура, против которой был выдвинут расселов-
ский принцип порочного круга {vicious circle principle).
Естественно, что платонистская *) позиция по отношению к этой,
ситуации существенно отлична от конструктивистской2).
Независимо от того, приходится ли в связи с описанной
ситуацией проводить некоторые различия в конкретных случаях
применения аксиомы V или же, как это ныне обычно принято,
в согласии с концепциями Сколема, Аккермана, Куайна и
других авторов, эта аксиома рассматривается в качестве схемы
аксиом3) (или в качестве правила вывода), а не как
собственно аксиома — в любом случае аксиома V выделяется среди
прочих (предшествующих) аксиом и занимает центральное
положение в системе Z. (Схема аксиом дает бесконечное количество-
отдельных аксиом; в данном случае — в соответствии с
бесконечным количеством предикатов, допускаемых в аксиоме V.}
В связи с описанной здесь ситуацией возникает ряд проблем,
две из которых мы упомянем. Построение модели для
некоторой определенной аксиоматической системы, имеющей
предикативную4) структуру, может быть во многих случаях
осуществлено конструктивным образом, например повторным
применением (iteration) некоторой процедуры. Но если появляются:
аксиомы непредикативного характера, или схемы аксиом,
распадающиеся на бесконечное число отдельных случаев, указание
модели обычно наталкивается на принципиальные затруднения5)..
Другая проблема связана с вопросом, является ли некоторая
J) О платонизме см. гл. V, § 8. — Прим. перев.
2) Ср., например, Шольц, 50, а также Бернайс, 35.
3) Это понятие было впервые введено фон Нейманом, 27, стр. 13.
4) Выше (стр. 58) было явно определено лишь понятие
'непредикативное'; очевидно, авторы рассматривают его и в качестве неявного
(отрицательного) определения понятия 'предикативное'. — Прим. перев.
5) См. Сколем, 29, § 3; ср. также изложение теории моделей у Тарскогок
54—55.

69 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
определенная система (нелогических) аксиом — если она
непротиворечива — конечно аксиоматиз(ир)уемой {finitizahle),
т. е. можно ли ее свести к конечному числу аксиом (в
собственном смысле слова). Системы, обладающие какими-либо
существенными непредикативными свойствами — как это, например,
имеет место для системы Цермело в соответствии с любым из
вышеописанных пониманий аксиомы V, — не являются, конечно,
аксиоматизуемыми*). С другой стороны, обсуждаемая в § 7
система аксиом Бернайса, так же как и New Foundations Куай-
на 2) (см. гл. Ill) и подобные ей системы (в частности, системы,
состоящие только из предикативных аксиом), конечно аксиома-
тизуемы или даже с самого начала содержат лишь конечное
число аксиом.
В заключение мы выведем несколько простых следствий из
аксиом I—V. (Построение теории множеств на основе наших
аксиом проводится в § 8.)
Определение. Множество пу не содержащее ни одного члена
(т. е. для которого ~(Ех)х£п)у называется пустым
множеством {null-set).
Теорема 1. Существует в точности одно пустое множество.
Доказательство. Возьмем в качестве ψ (χ) в аксиоме V
противоречивое условие для х, например 'хФх\ Тогда для любого
а получим подмножество у = а^1 не содержащее членов, т. е.
пустое множество; его единственность следует из аксиомы
объемности.
Пустое множество будем обозначать через О3). Согласно
определению I (стр. 46), О есть подмножество любого
множества.
Теорема 2. Для каждого множества b существует вполне
определенное4) множество {6}, содержащее b в качестве един-
1) См Ван Хао, 50d и 52 (ср., однако, Ван Хао, 55, стр 82—83); Мак-
Нотон, 54а; Мостовский, 51а и 53. Мостовский, 55, стр. 20 [стр. 17 русск.
изд. — Перев.], предлагает некоторый вариант аксиомы V, идущий от Тар-
ского, благодаря которому система становится конечно аксиоматизуемой; тем
самым вызывается существенное ослабление системы. Видоизменение это
состоит в том, что в аксиоме V разрешается использовать лишь такие
предикаты, кванторы которых определенным образом ограничены.
2) Куайн, 37 и 53. См. доказательство Гальперина, 44; результат этот
довольно неожидан, поскольку первоначальная классовая схема аксиом
(class axiom schema) непредикативна. См. ниже, § 7.
3) Некоторые авторы пользуются знаком Λ или 0. В Г использовано
обозначение Ό' (такое же, как и для числа 0).
4) В оригинале 'the set' (см. прим. 4 и 5 на стр. 50); подобные случаи в
дальнейшем не оговариваются. — Прим. перев.

§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 61
ственного члена. {6} называется единичным множеством {unit-
set) множества Ь.
Доказательство. Случай 1: 6 = 0. Поскольку у О нет никаких
подмножеств, кроме него самого, аксиома IV дает множество-
степень {О}.
Случай 2: ЬфО. По теореме 1 и аксиоме II существует пара
а=={6, О}; если теперь взять в аксиоме V это а, а в качестве
^ —условие 1х = Ь\ то получим а^ = {Ь).
Теорема 3. Для любых двух множеств а и b существует
вполне определенное множество членов, содержащихся как в
а, так и в Ь. Более общо, для каждого непустого множества t
существует вполне определенное множество членов,
содержащихся во всех членах t.
Эти множества соответственно называются пересечением
{intersection, meet) а и b (в символической записи а П Ь 1)) и
пересечением членов t (в символической записи f]t).
Доказательство, а [\Ь может быть определено как
подмножество множества а, соответствующее условию χ £ b в аксиоме V.
Что касается Π t, то по аксиоме III существует множество
S=[}t; каждый член S содержится по крайней мере в одном
члене t. Примем в качестве % (л;) условие 1х содержится в
каждом члене V. По аксиоме V существует подмножество S,«
множества 5, и его членами будут в точности те, что
содержатся во всех членах t, т. е. S^= (]t2). (Если никакого ху общего
для всех членов ί, нет, то имеем Π t = 0.)
Что же касается прямого3) (или внешнего) произведения
(Cartesian4) (outer, cross)product), т. е. канторовского Verbin-
dungsmenge (Г, стр. 118, 120), попарно непересекающихся
множеств, то имеет место
Теорема 4. Для каждого расчлененного множества t
существует вполне определенное множество, членами которого
') В Г используется принятое во Франции и Польше обозначение 'а · 6'
(внутреннее произведение (inner product) ).
2) Это доказательство можно провести и без использования аксиомы III.
Тогда вместо 5 берут произвольный член с множества t, получают его
подмножество с™ (где ψ то же, что в приведенном доказательстве) и, наконец,
доказывают, что с^ не зависит от с, т. е. что для d ζί (где d φ с) имеет
место d^ = Су (= S^).
3) Буквально — 'декартово', и такой термин также употребителен.—
Прим. перев.

62 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
являются в точности все те множества1), которые содержат по
единственному члену из каждого члена t.
Это множество называется прямым2) произведением
{Cartesian product) членов t и обозначается через Pt\ пишут
также Pt=xXx'X. .. , где τ, τ', ... суть члены t.
Если t содержит член О, то Pt = 0.
Доказательство. Поскольку члены искомого множества суть
некоторые подмножества U t, мы будем исходить из множества-
степени множества U t, т. е. из C\J t = U, существующего
согласно аксиомам III и IV. Пусть условием^ (х) будет *х £ U и для
каждого ί £ t пересечения τ (] χ есть единичное множество', или,
иначе говоря, 'подмножество множества t, содержащее в
точности такие члены t, пересечение каждого из которых с χ
содержит единственный член3), равно самому множеству f4). Тогда
по аксиоме V существует множество U$ с U; его членами
являются те подмножества U t, которые содержат в точности по
одному члену из каждого члена t5).
Замечание по поводу случая О £ t самоочевидно;
действительно, поскольку О не содержит членов, никакое множество6)
не имеет с О общих членов.
Если множество t пусто7) или содержит только один член,
теоремы 3 и 4 становятся тривиальными.
Таким образом, из трех операций над множествами, введен-
1) Эти подмножества множества [} t в Τ (стр. 120) называются
'комплексами'. Понятие прямого произведения обычно обобщают и на случай нерас-
члененного множества /; при этом используют понятие функции или понятие
упорядоченного множества. (Ср. стр. 98 и § 8, а также Г, стр. 119 и 121.)
Для наших целей удобнее ограничиться случаем, когда t — расчлененное
множество.
2) Буквально — 'декартово', и такой термин также употребителен.—
Прим. перев.
3) Поскольку / — расчлененное множество, все эти единственные члены
различны.
4) Более подробно, каждый член у множества t, конечно, либо
удовлетворяет, либо не удовлетворяет [ср. прим. 2 на стр. 56. — Перев.] тому
условию, что для некоторого определенного подмножества χ множества \Jt
пересечение χ Π У есть единичное множество; подмножество тех у ξ t, которые
удовлетворяют этому условию, существует по аксиоме V, а его равенство t
и есть нужное условие для х.
5) То есть все «комплексы» из /. [В оригинале это пояснение было
включено в основной текст доказательства; перенесение его в подстрочное
примечание вызвано тем, что термин 'комплекс' из Τ до сих пор в основном тексте
не встречался (см. выше, примечание 1). — Перев.]
6) В оригинале 'никакой комплекс'; см. предыдущее примечание.—
Прим. перев.
7) Строго говоря, выше был введен лишь цельный термин 'пустое
множество'; ввиду очевидной понятности таких неизбежных вариаций в
терминологии, вызванных наличием падежных, родовых и др. окончаний в
русском языке, в дальнейшем они не оговариваются. — Прим. перев.

§ 4. Аксиома выбора
63
еых в § 6 Г, — объединения, пересечения и прямого
произведения,— выполнимость первой в Ζ постулирована аксиомой III,
а выполнимость двух других доказана (теоремы 3 и 4) при
помощи аксиом IV и V, которые были бы нужны и независимо от
этого. (С помощью теоремы 4 можно также показать
существование вполне определенного множества отображений1)
(insertion-set); см. Г, § 7.)
§ 4. Аксиома выбора
1. Формулировка аксиомы. Ее введение в математику. Теперь,
когда мы уже умеем получать подмножества некоторого
данного множества, характеризующиеся некоторым определенным
предикатом, поставим вопрос: можно ли мыслить
существование и допускать к рассмотрению какие-либо другие
подмножества, не получаемые таким путем; а если можно, то в какой
мере такие множества нужны для построения теории
множеств.
Аксиоме, дающей такие множества, и посвящен настоящий
параграф. Однако с самого начала следует подчеркнуть то
обстоятельство, что в рамках нашей системы окончательно
{ultimate) не доказано, что такая аксиома действительно нужна,
т. е. что для получения подмножеств, о которых только что
шла речь, не достаточно аксиомы выделения. Если бы можно
было обойтись средствами аксиомы выделения, то для системы
Ζ в том виде, как она определена аксиомами § 2, 3 и 5 (см.
ниже, п. 2, стр. 71), описываемая ниже аксиома оказалась бы
излишней.
Хотя такого доказательства до сих пор не получено, и мы
даже не знаем, в каком направлении его искать2), о
необходимости такой или подобной ей аксиомы все же свидетельствуют
два обстоятельства. Первое из этих указаний имеет
практический характер. Начиная с 1902 г. принцип такого рода
применялся в доказательствах существования, которые не могли
быть получены другим путем; выяснилось также, что еще
задолго до того Кантор и другие бессознательно пользовались
таким принципом как само собой разумеющимся. Во-вторых,
λ) Некоторого определенного множества на другое (непустое)
множество; в русском издании книги °Хаусдорфа, 14/27/37, вместо 'прямое
произведение' говорится просто 'произведение', а вместо 'множество
отображений'— 'степень' (стр. 20—23), причем понятие произведения вводится, как
и в Г, с помощью 'комплексов' — Прим. перев.
2) Ср., однако, Ганди, 56. Приведут ли его рассуждения к доказательству
независимости, пока не ясно. К- Гёдель, в недавних лекциях в Принстоне,
наметил некоторые пути к получению такого доказательства; однако он не
считает еще их вполне удовлетворительными (сообщено П. Бернайсом).

Ь4 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
уже в 1922 г. доказывалось, что для аксиоматических систем,
допускающих использование, в разумных количествах,
«индивидов», эта новая аксиома действительно необходима, т. е. что
в этом случае аксиом I—V оказывается недостаточно1). Однако
все это нельзя считать окончательным доказательством
независимости, так как для математических целей вовсе не
обязательно вводить индивиды. (По поводу возможной замены для
этого понятия, см. стр. 71—72.)
Следующий ниже пример подводит под эти замечания
реальную математическую основу. Пусть t — расчлененное
множество произвольных непустых множеств действительных
чисел. Уже в этой ситуации мы не располагаем никакими
сведениями относительно того, могут ли определенные
подмножества U t только что описанного рода быть получены с помощью
аксиомы V (конечно, взятой вместе с аксиомами I—IV), или
же для того, чтобы обеспечить их существование, придется
привлечь следующую ниже аксиому VI.
Мы исходим из некоторого множества t — расчлененного
множества непустых множеств. По теореме 4 (стр. 62),
существует декартово произведение Pt; его члены (если таковые
имеются) суть такие подмножества U tt пересечения каждого
из которых с каждым членом t суть единичные множества.
Возникает вопрос, может ли в этом случае Pt оказаться пустым
множеством О. Доказательство теоремы 4, показывающее
лишь, что О ζ t влечет Pt= О, на этот вопрос не отвечает. И
хотя можно думать, что ΡίΦΟ, никакого доказательства этого
предположения до сих пор не было дано.
Догадка о том, что ΡίφΟ, основывается на следующем
рассуждении. Поскольку каждый член t содержит по крайней мере
один член, в каждом у £ t можно выбрать по одному
произвольному члену. Если существует множество с, содержащее в
точности все такие произвольные члены, то с есть подмножество
U t и удовлетворяет условию, которое, согласно теореме 4,
характеризует члены Pt. Таким образом, в этом случае мы
получаем с £Pt, т. е. ΡίΦΟ, что и требовалось доказать.
Однако такой путь введения подмножества с множества
U t не согласуется с аксиомой выделения, за исключением того
тривиального случая, когда каждый член t содержит только
один член и нашему условию удовлетворяет с= [}t. В общем
же случае подмножество с не было до сих пор определено
посредством определенного условия ψ, выделяющего из всех
!) По-видимому, А. Френкель имеет здесь в виду то, что некоторые идеи
его книги 27 восходят еще к 1922 г. — Прим. ред.

§ 4. Аксиома выбора
35
x£[)t такие χ, что χ £ с, и только их. Напротив, пусть c^\Jt
есть подмножество требуемого типа, и у ζ с принадлежит
некоторому у ζί\ тогда, заменяя γ другим членом у' того же самого
у Э t> мы получим новое подмножество с'с; и t, отличное от с,
хотя с' также является подмножеством U t с требуемым
свойством. Таким образом, в отличие от подмножеств,
существование которых постулируется аксиомой V, подмножества U t,
нужные для нашей цели, не определены однозначно.
Вполне возможно, конечно, что какое-либо подмножество
U t, обладающее требуемым свойством, удастся получить с
помощью аксиомы V или других аксиом, и тогда из его
существования будет следовать, что ΡίφΟ. Но коль скоро никакой
уверенности в возможности получения такого множества нет,
необходима специальная аксиома, а именно
Аксиома (VI) выбора, или мультипликативная аксиома 1). Если /
есть расчлененное множество непустых множеств, то прямое
произведение Pt непусто2). Иначе говоря, среди подмножеств
множества U t имеется по крайней мере одно, пересечение
которого с каждым членом t есть единичное множество.
Каждое такое подмножество и множества U t называется
множеством представителей множества t {selection-set of t)\
множество представителей, вообще говоря, не единственно.
Аксиому VI можно записать3) в символической форме
(At)[(Ax)(ky)((xet&y£t&х Φ у) ^
zd \(Ez)z£x&~(Ez)(z£x&z£y)\)zD
z> (Ей) (Ах) (χ ζ / =э (Ew) (kv) [ν = w ξ (ν £ и & ν £ χ)\)].
Используя легко определяемое в нашей системе понятие
функции (ср. § 6 и 8), можно выразить аксиому VI следующим
образом: для любого расчлененного множества непустых
множеств S существует (по крайней мере одна) такая функция f(s),
областью определения которой служит S, что f(s) есть член s.
Каждая такая функция определяет множество представителей
множества S.
Вместе с теоремой 4 (стр. 61—62) аксиома VI дает (ср. Г,
стр. 123):
*) Первое название идет от Цермело (см. ниже), второе — от Б.
Рассела. (Часто вместо 'аксиома' говорят 'принцип'.) По-французски эта
аксиома называется axiome du choix, или axiome de Zermelo, по-немецки Aus-
wahlaxiom] соответствующий термин имеется и на других языках, например
на итальянском postulato della scelta.
2) Буквально: 'отлично (е) от пустого множества'. Подобные очевидные
перефразировки в дальнейшем не оговариваются, — Прим. перев.
3) Ср также *ван Хорн, 2.
5 Зак. 17Ь5.

66 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
Прямое произведение членов расчлененного множества
равно О в том и только в том случае, если О ζ t.
Термины 'выбор' (choice) и 'множество представителей'
(selection-set) явились результатом психологических
соображений1), следующим образом сформулированных Цермело2):
аксиому (VI) можно также выразить, сказав, что всегда
возможно выбрать из каждого члена Μ, Ν, /?, ... множества t по
единственному члену ητ, η, г, . . . и объединить их всех в одно
множество. (Расчлененность t гарантирует, что эти
«выбранные» члены различны.) Следствия из этой психологической
формулировки, которая может привести к недоразумениям, будут
описаны в пп. 3 и 5 этого параграфа.
Аксиома выбора, пожалуй, самая интересная и, несмотря на
свое позднее происхождение, наиболее активно обсуждавшаяся3)
аксиома математики, уступающая в этом отношении только
евклидовой аксиоме о параллельных, имеющей более чем двух-
тысячелетнюю давность. Прежде чем перейти к более
подробному рассмотрению характера, назначения и истории аксиомы
выбора, окинем беглым взглядом ее «предисторию».
По-видимому, первое — хотя и отрицательное — явное
упоминание об аксиоме выбора содержится в статье Дж. Пеано
1890 года4), посвященной доказательству существования
решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, где
он пишет: «Однако, поскольку нельзя бесконечное число раз
применять произвольный закон, посредством которого классу
ставится в соответствие («on fait correspondre») индивид(уум)
этого класса, мы сформулировали здесь определенный закон,
согласно которому при соответствующих предположениях,
каждому классу из некоторой системы ставится в соответствие
некоторый индивидуум из этого класса». На нашем
аксиоматическом языке это означает следующее. Поскольку, вообще
говоря, предполагать существование множества представителей,
как это делается в аксиоме VI, нельзя, мы построили здесь
предикат, дающий соответствующее подмножество множества [)t
с помощью аксиомы выделения.
1) Это высказывание авторов относится, конечно, не к самим терминам
'выбор' и 'множество представителей' (хотя справедливо и по отношению к
ним), а к указанным в скобках английским терминам (если не к их
немецким прототипам). — Прим. перев.
2) Цермело, 08а, стр. 266; ср. 04 и 08.
3) См. ниже (п 5 этого параграфа). Ср. историко-критическое изложение
Кассина, 36; другие изложения общего характера: Френкель, 35; Хвистек,
42; *Блакье, 1.
4) *Пеано, 2, стр. 210.

§ 4. Аксиома выбора
67
В 1902 г.1) Беппо Леви, рассматривая предложение о том,
что множество-сумма расчлененного множества непустых
множеств t имеет мощность, большую или равную мощности t,
заметил, что доказательство этого предложения зависит от
возможности отметить по единственному члену в каждом
члене t2).
Строго говоря, Кантор (и не только он) применял
обсуждаемый нами принцип и до замечаний Пеано и Б. Леви (см.
ниже, пп. 4 и 5). Но он делал это непреднамеренно, даже не
отдавая себе отчета в том, что пользуется процедурой, не
применявшейся ранее в классической математике или логике.
В 1904 г., следуя совету Эрхарда Шмидта, Цермело явно
сформулировал принцип выбора и воспользовался им в качестве
основы для своего первого доказательства3) теоремы о вполне
упорядочении (Г, стр. 309—315 4)), а в 1908 г. — для своего вто-
1) *Б. Леви, 1. Ф. Бернштейн в одном из своих писем пишет, что
приблизительно в 1901 г. он и Г. Кантор пытались построить взаимно
однозначное соответствие между континуумом и множеством всех счетных
порядковых типов (имеющим мощность континуума; Г, стр 202 [или °Хаусдорф
14/27/37, стр. 52. — Перев.]). При этом они натолкнулись на непреодолимые
трудности, которые Б. Леви предложил устранить путем введения принципа
выбора, который он и сформулировал в общем виде. (С другой стороны,
ср критику, содержащуюся в работе *Б. Леви, 7.)
2) И, конечно, образовать из них «множество представителей». — Прим.
перев.
3) Цермело, 04.
4) Русскому читателю это доказательство (по трансфинитной индукции)
может быть знакомо по переводу работы Гёделя, 40. Схема его (согласно Т)
такова. Для произвольного (вообще говоря, не упорядоченного) множества S
по отношению к некоторой фиксированной «функции выбора» f, т. е.
функции, сопоставляющей каждому непустому подмножеству S0 множества S
некоторый определенный его член, /(So) £ S0 (существование такой функции
следует из принципа выбора), вводится понятие гамма-множества — так
называется любое подмножество Г множества S, которое 1) вполне
упорядочено (вообще говоря, безотносительно к возможному упорядочению самого
S) и 2) для каждого отрезка Л множества Г, определяемого каким-либо
членом α ζ Г, имеет место f(S — Л) = а. После этого последовательно
доказываются следующие четыре утверждения: I. Из двух гамма-множеств S
(по отношению к фиксированной f!) одно есть отрезок другого. II. Σ —
множество-сумма всех гамма-множеств 5 может быть вполне упорядочено с
сохранением порядка в каждом из его слагаемых. III Определенное в II
множество Σ само является гамма-множеством S, а следовательно,
максимальным из таких гамма-множеств (Напоминаем, что во всех рассуждениях S
фиксировано.) IV. Σ содержит все члены S Все эти утверждения (из
последнего из которых очевидным образом вытекает вполне упорядочиваемость
произвольного множества S) доказываются вполне элементарно, без
привлечения каких бы то ни было алгебраических конструкций (типа дедекиндовых
цепей из второго цермеловского доказательства, см. ниже). Естественно,
однако, что эта прозрачность достигается ценой сравнительно длинных
рассуждений, что, видимо, и обусловило гораздо большую известность второго
(«алгебраического») доказательства теоремы Цермело. — Прим. перев.
5*

68 Гл II Аксиоматические основания теории множеств
рого доказательства1) (Г, стр. 319—3212)). Однако он не смог
тогда ввести предположение о расчлененности множества и
потому был вынужден прибегать к менее строгим формулировкам
в терминах функционального соответствия (см. выше), или
«выбора». В 1906 г. Бертран Рассел3) сформулировал эту аксиому
уже в ее «мультипликативной» форме, применительно лишь к
расчлененным множествам t. В 1908 г.4) Цермело показал, как
обычную формулировку аксиомы можно получить с помощью
других аксиом из мультипликативной (ср. ниже, § 85)).
Настоящее изложение охватывает лишь основные вопросы,
связанные с аксиомой выбора; исчерпывающую информацию
читатель сможет получить из литературы, на которую мы
ссылаемся. Здесь будут обсуждены следующие основные моменты:
специализированные формы аксиомы; ее экзистенциальный
характер; применения аксиомы выбора в теории множеств и в
математике в целом (в частности, предложения, эквиполлентные
этой аксиоме); наконец, реакция математиков на требование
считать аксиому выбора одним из принципов, лежащих в основе
математического исследования.
2. Специальные (ослабленные) формы аксиомы Ее
независимость и совместимость. До сих пор предполагалось лишь, что
t есть расчлененное множество непустых множеств, мощность
же ί и его членов могла быть произвольной. Поэтому наиболее
простой путь получения частных форм аксиомы заключается в
наложении ограничений на эти мощности. В дальнейшем мы
рассмотрим также в качестве специализаций аксиомы
некоторые следствия из нее, более слабые (на вид или в
действительности), чем ее общая или частная формы6). В частности, в
!) Цермело, 08.
2) Это то самое доказательство, которое можно найти в любом учебнике
(см, например, °Хаусдорф 14/27/37, стр. 60—61; °Александров, 48, стр. 102—
106; °Натансон, 50, стр. 329—331). — Прим, перев
3) Рассел, 06, стр. 47—52.
4) Цермело, 08 (стр. ПО) и 08а (стр. 266, 273 и ел.); ср.
заключительную главу книги Чёрча, 44.
5) Ср. формулировку этой аксиомы у Бэра, 29 (стр 384), и (более
сильную) ее форму у Сколема, 29, § 1.
6) Частным случаем аксиомы выбора в теории точечных множеств
(поскольку в ней используется понятие расстояния) можно считать principio di
approssimatione Б. Леви (см. 23 и *7). На принцип Леви в работах *Вио-
ла, 1—3, и *Скорца Драгони, 1, опираются различные теоремы о точечных
множествах, доказываемые обычно с помощью аксиомы выбора.
Другой принцип, также относящийся к точечным множествам и,
очевидно, более слабый, чем аксиома выбора, — высказанное Кнастером
предположение о существовании функции, сопоставляющей каждому
совершенному множеству точек прямой одну из его точек (возможно, посредством

§ 4. Аксиома выбора
69
п. 4 будет обсуждено некоторое предложение, заменяющее
аксиому выбора в алгебре и специально приспособленное для
этих целей.
Наиболее далеко идущее ограничение достигается
предположением о конечности1) t. В этом случае, однако, аксиома
становится излишней {redundant), так как ее удается
доказать2). Достаточно рассмотреть случай, когда t содержит
единственный член3), поскольку перейти к любому конечному
множеству t можно без особого труда при помощи обычной
математической индукции, используя аксиому пары и аксиому
множества-суммы.
Если t = {x) содержит единственный член, проблема носит
скорее логический, нежели теоретико-множественный характер.
В соответствии с условиями аксиомы τ непусто; поэтому
задача состоит в том, чтобы «выбрать» единственный элемент из
непустого множества4). Но для этого не нужна аксиома выбора
(вопреки довольно распространенному5) мнению).
В самом деле, при ^={τ} существование множества
представителей следует из существования единичного множества {х}
для любого данного χ— в данном случае для χζχ\ этот вывод
получается в функциональном исчислении посредством несколь-
взаимно однозначного соответствия). Ср. *Кондо, 1, где утверждения
экзистенциального характера, основанные обычно на аксиоме выбора (например,
существование вполне несовершенных (totally imperfect) множеств),
выводятся из этого принципа.
*) Некоторое расширение этой проблемы, носящее комбинаторный
характер, предпринято *Радо, 1; оно касается (частного случая) проблемы о
том, при каких условиях более чем η множеств могут быть «представлены»
множеством представителей, состоящим из η членов; ср. *П. Холл, 1.
2) Ср. *Литтлвуд, 1, стр. 14. Как было указано Бернайсом (например,
в 30, стр. 359 и ел.; ср. Гильберт — Бернайс, 34, стр. 41), утверждение
мультипликативной аксиомы для конечных множеств t есть не что иное, как
применение одного из дистрибутивных законов, связывающих логические
конъюнкцию и дизъюнкцию. Поэтому эту аксиому и в общем случае можно
считать обобщением этого элементарного логического закона на случай
бесконечных множеств, или, иначе говоря, дополнением к логическим правилам
обращения с общими и экзистенциальными предложениями; ср. Коллинз, 54.
(Ср. интуиционистскую точку зрения на принцип исключенного третьего; см.
гл IV, § 3.)
3) Ср. правило С в книге Россера, 53, стр. 128 и ел.
4) Этот случай, однако, следует отличать от введенной *Фостером, 1,
формулы Dx, не только утверждающей существование члена с
соответствующим свойством, но и вводящей «представителя» (a representative). Для
этой цели нужен специальный принцип.
5) А именно Камке, 39 (§ 12); Данжуа, 46—54ι; Π. Леви, 50 В этих
статьях поддерживается также ошибочное мнение, что общая форма
аксиомы выбора может быть выведена без каких бы то ни было дополнительных
предположений из (тривиального) ее частного случая, когда t содержит
единственный член.

70 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
ких простых шагов, в том числе применения так называемой
теоремы (о) дедукции1).
В отличие от случая конечного множества t конечность
членов t не делает проблему выбора тривиальной. На глубокое
различие между использованием определенного предиката и
применением мультипликативной аксиомы намекал уже Рассел.
В его неформальном рассуждении бесконечное множество / пар
ботинок противопоставляется (допустим, эквивалентному ему)
бесконечному множеству S пар носков. В первом случае можно
конструктивным образом задать некоторое подмножество U
как содержащее все левые ботинки, и это подмножество
является, очевидно, множеством представителей множества t,
полученным без использования аксиомы выбора. В отличие от
этого, пока фабриканты придерживаются прискорбной привычки
выпускать для обеих ног одинаковые носки, мы не имеем
никакого определенного предиката, одновременно выделяющего
по одному носку из каждой из бесконечного количества пар.
Поэтому множество, содержащее в точности по одному носку
из каждой пары, существует лишь в силу аксиомы выбора.
Если бы множество пар носков было, например, счетным, го
мы не могли бы без помощи нашей аксиомы осуществить
взаимно однозначное отображение множества 5 всех этих пар на
множество lis всех носков, доказав тем самым и счетность
множества U s.
С принятой нами сейчас точки зрения, учитывающей лишь
мощности множества /хи его членов, мы получим самую слабую
нетривиальную форму аксиомы выбора, полагая t счетным
множеством2), а его члены—конечными, но не единичными,
множествами, проще всего —парами3).
В настоящем параграфе встретятся и другие
(действительные или кажущиеся) частные формы аксиомы выбора4). Но
для нижеследующего обзора современного состояния
проблемы независимости аксиомы выбора, т. е. невозможности
доказательства этой аксиомы в рамках подходящей системы аксиом,
хватит и уже упомянутых форм. Какая система аксиом служит
основой для построения модели, в которой удовлетворяются все
1) Ср, например, Гильберт — Бернайс, 34, стр 151 и ел.
2) В этом случае говорят об ограниченной (restricted) аксиоме выбора
(Тарский, 48, стр. 82) независимо от того, какова мощность членов /.
3) Об одном раннем использовании этой конкретной формы в теории
меры см. ван Влек, 08.
4) Относительно предположений, эквиполлентных обычной аксиоме
выбора или более слабых, чем она, ср также *(Тайтельбаум—) Тарский, 3,
Тарский, *29, *32, 48; Фрода, 52. Сформулированный фон Крбеком, 55,
Postulai des Abzahlens ясного смысла не имеет и, во всяком случае, не
является частным случаем аксиомы выбора.

§ 4. Аксиома выбора
71
аксиомы, кроме аксиомы выбора, несущественно, например,
развиваемая в предыдущих и в следующем параграфах система
Z, или же Principia Mathematica с простой теорией типов и
аксиомой бесконечности1), система Куайна, 36; Бернайса, 37—54,
или Гёделя, 40 (см. § 7) (каждая, конечно, без аксиомы
выбора). Однако построить модель, показывающую независимость
аксиомы выбора в Z, как и в системе Бернайса, 37—54, и
других аналогичных системах, удаетол лишь после коренной
переделки, в результате которой в систему вводятся бесконечно
много предметов, не являющихся множествами («индивиды»,
Urelemente, ср. выше, стр. 422)). В некоторых случаях может
потребоваться даже более чем счетная совокупность таких
немножеств (non-sets). Существование не-множеств несовместимо
с аксиомами Ζ поскольку из аксиомы объемности (вместе с
другими аксиомами) следует, что существует в точности один
объект, не содержащий членов, а именно пустое множество
(стр. 60); аналогичная ситуация имеет место в системе
Бернайса и в основном варианте системы фон Неймана (стр. 127 3)).
Введение таких не-множеств (или экстраординарных
множеств) есть переделка ad hoc*)\ вообще же она не является
ни полезной, ни оправданной5). Но без этой переделки (или
1) То есть система Тарского, 33.
2) В статье, появившейся уже после того, как эта глава была сдана в
печать, Мендельсон, 56а, показал, что вместо допущения индивидов для
успеха этих доказательств независимости можно отказаться от аксиомы
фундирования (стр. 118) или заменить ее существенно более слабой аксиомой.
Действительно, результаты Мостовского остаются в силе, если вместо
индивидов используются так называемые необыкновенные множества
(extraordinary sets) (стр. 117—118); ср Бернайс, 37—54уп, стр. 84, Шёнфилд, 55, и
Habilitationsschrift Шпеккера (см. ниже, стр. 170). Конечно, это не меняет
того факта, что в Ζ (или в системе Бернайса и др.) вопрос о независимости
остается открытым уже хотя бы по отношению к некоторому множеству t,
члены которого суть произвольные множества действительных чисел.
3) И подстрочное примечание редактора на стр. 129. — Прим. перев.
4) Для данного случая (лат.). — Прим. перев.
5) Здесь авторы рассуждают как приверженцы определенной точки
зрения, отчетливо выраженной, в частности, идеями фон Неймана, и не считают
нужным оговорить, что слова «полезная» и «оправданная» следует связывать
в тексте именно с этой точкой зрения (на роль индивидов в теории
множеств). Для этой точки зрения характерно то, что вся теория множеств
рассматривается при этом только как средство для построения классической
математики, а точнее, анализа, теории функций и т. π С другой стороны,
в классической абстрактной математике — в частности, в топологии и
абстрактной алгебре — охотно рассматриваются множества объектов
произвольной природы (см., например, Александров, 48, стр. 13—14), а
действительные числа и функции над ними часто играют лишь вспомогательную
роль в этих разделах науки; включение индивидов в теорию множеств
необходимо для формализации этой идеи (а возможность устранения индивидов
различными способами имеет значение как раз для оценки того подхода,

72 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
даже лишь с конечным числом не-множествх)) независимость
аксиомы выбора остается нерешенной проблемой — центральной
проблемой независимости; в настоящее время не видно
никакого метода, сделавшего бы возможным ее решение2).
Важнейшими проблемами независимости, относящимися к
обсуждаемой аксиоме, являются следующие (в b и е слова
'самая слабая форма' (weakest form) не означают непременно
счетности множества t).
a) Может ли быть доказана самая слабая форма аксиомы
(с помощью других аксиом)?
b) Какова зависимость между различными формулировками
самой слабой формы, в частности в отношении мощностей
конечных множеств, являющихся членами (бесконечного)
множества t?
который защищают авторы) Эта идея отчетливо выражена системой А.
Мостовского, 39. Следует отметить также, что аксиома фундирования
обычно не принимается и не используется в топологии, абстрактной алгебре
и т. п. — Прим. ред.
J) На самом деле здесь существенна не конечность множества
индивидов, а возможность его вполне упорядочения. — Прим. ред.
2) Характерно, что то же допущение потребовалось и для
доказательства невозможности положительного решения проблемы Суслина (Т, стр. 228)
без помощи аксиомы выбора (Есенин-Вольпин, 54). — Прим. авт.
В работах °Коэна, 63 и 64, автору удалось доказать независимость
аксиомы выбора (а также континуум-гипотезы) от остальных аксиом
системы Ζ (содержащей, помимо аксиом I—V, также аксиомы бесконечности,
подстановки и фундирования; см. ниже § 5). Именно в предположении, что
эта система Ζ непротиворечива, непротиворечива и система, полученная
присоединением к ней аксиомы о том, что для множества мощности континуум
не существует никакого вполне упорядочения. В расширенной таким образом
системе аксиома выбора неверна в силу теоремы Цермело о вполне
упорядочении (см., например, °Хаусдорф, 14/27/37, § 12); в этой системе также
неверно равенство 2*?0=ί*ι— однако, это не означает, что в ней существует
мощность, промежуточная между К0 и 2**°.
Еще раньше (1959) появился доклад автора настоящего примечания,
посвященный проблеме обоснования системы Ζ в целом. Это обоснование
составляет часть ультраинтуиционистской программы — Есенин-Вольпин °59,
°60, °61 (готовятся к печати новые публикации, в частности доклады «О
теории модальностей» на симпозиуме по логике науки в Киеве, 1965, и «О
понятии доказательства в математике» на II симпозиуме по кибернетике в
Тбилиси, 1965. Термин «обоснование» означает доказательство
непротиворечивости, а смысл понятия «доказательство» уточнен в последней из этих работ
по сравнению с прежними публикациями). В этом докладе, между прочим
(стр. 205—206 и 209—210), указывается, что предлагаемый способ
обоснования приводит к обоснованию системы Ζ, расширенной аксиомой о том, что
в континууме имеется бесконечное подмножество, неэквивалентное никакой
своей правильной части (откуда вытекает как нарушение аксиомы выбора
в полученной системе, так и невозможность вполне упорядочений континуума
и наличие бесконечно многих множеств промежуточной между К0 и 2
мощности). Вопрос об оценке этого утверждения связан с оценкой предлагаемой

§ 4. Аксиома выбора
73
c) Может ли каждое бесконечное множество быть
упорядочено? *) (Теорема о вполне упорядочении, устанавливающая,
что бесконечное множество может быть вполне упорядочено,
эквивалентна общей форме аксиомы выбора; см. ниже в 4.)
d) Следует ли из предположения о возможности
упорядочения любого множества теорема о вполне упорядочении и тем
самым аксиома выбора?
e) Можно ли доказать общую форму аксиомы в
предположении истинности (validity) самой слабой формы?2)
f) Можно ли доказать общую форму аксиомы с помощью
следующей аксиомы зависимых выборов (axiom of dependent
choices)3). Если В есть непустое множество, a R — такое
бинарное отношение, что для каждого χζΒ найдется такое у ζ В,
что xRy, то существует такая последовательность членов
В (хи х2у . . . , Хъ,, · · ·), что для каждого k xkRxk+i?
g) Имеется ли в множестве-сумме любого расчлененного
множества t непустых членов подмножество, эквивалентное ί?
h) Имеется ли в каждом бесконечном (неиндуктивном4))
мной теории в целом (и особенно с гносеологической оценкой
содержащегося в ней понятия доказательства. Следует заметить, что вариант
ультраинтуиционистской программы 1959 г. был не свободен от противоречий,
преодоленных лишь в 1962 г., этим объясняется примечание при корректуре
в работе Есенина-Вольпина, °61, стр. 223). Настоящее примечание ни в коей
мере не претендует на умаление большой ценности работ Коэна (в которых,
помимо того, содержатся очень ценные результаты для систем с аксиомой
выбора, на которые в упомянутом докладе редактора не было и намека).
Следует заметить также, что при наличии «абсолютного» доказательства
непротиворечивости для Ζ относительное доказательство непротиворечивости
для аксиомы выбора и континуум-гипотезы дает с точки зрения теории
формальных систем более ценную информацию о силе этих систем, чем
соответствующее расширение «абсолютного» доказательства непротиворечивости.
(Редактор считает, что упомянутый выше вопрос о промежуточных мощностях
для систем без аксиомы выбора может быть решен в том же направлении и
методами Коэна, однако не располагает никаким конкретным
доказательством этого утверждения.)
В работе Есенина-Вольпина, 54, в сноске содержалось указание на
результат Мендельсона, 56а, о возможности обойтись без индивидов при
отсутствии аксиомы фундирования. По словам Серпинского, 28, стр. 107,
Пеано доказал независимость аксиомы выбора еще в 1906 г. (Revista di
Matematica, 3 ser., t. VIII, 1906, p. 145—148), но сомнительно, чтобы в 1906 г.
могли иметься строгие доказательства подобных вещей. — Прим. ред.
1) Термин 'может' имеет объективное значение, относящееся к аксиомам;
см. § 8. Связанная с этим более слабая форма аксиомы предложена в
работе Кинна — Вагнера, 55; ср. ниже, стр. 168.
2) Эта проблема в зависимости от мощности t допускает несколько
специализаций как в слабой, так и в общей форме.
3) Бернайс, 37—54ш (аксиома IV* на стр. 86); Тарский, 48, стр. 96.
Из этой аксиомы, конечно, следует ограниченная аксиома выбора (стр. 70);
вопрос об истинности обратного ^утверждения пока представляется открытым.
4) См. ниже, п. 4 (второй пример, стр. 85—87). — Прим. перев.

74 Г л II. Аксиоматические основания теории множеств
множестве счетное подмножество? (или, иначе, можно ли
представить произвольное неиндуктивное множество в виде
объединения двух непересекающихся неиндуктивных множеств?) х).
\) Является ли множество, конечное, согласно какому-либо
данному определению (например, нерефлексивное), также
конечным в соответствии с некоторым другим определением
(например, через индуктивность)2)?
Относительно вопросов g), h) и i) общеизвестно3), что
утвердительный ответ на каждый из них следует из аксиомы
выбора. Следовательно, отрицательный ответ на любой из этих
вопросов влечет независимость аксиомы.
Для систем, аксиомы которых совместимы с
существованием бесконечного количества «индивидов», на все вопросы а),
с)—[)получен отрицательный ответу. Это означает, что есть
много различных доказательств независимости, образующих в
известном смысле иерархию. Такие доказательства весьма
сложны; в них обычно используется теоретико-групповой метод,
аналогичный методу теории Галуа в алгебре. Из результата,
относящегося к d), видно, что принцип упорядочения слабее
принципа вполне упорядочения5).
В связи с b получен ряд результатов, относящихся к теории
групп и теории чисел6); некоторые же проблемы все еще
остаются нерешенными. Из теоретико-числовых результатов
!) См Хвистек, 35
2) Ряд определений конечности систематизирован, применительно к
данной проблеме, в Добавлении к работе Тарского, 25; см. ниже, стр. 86
Таким образом, i) охватывает различные проблемы; мы упоминаем лишь о
нетривиальных.
3) Ср. Т, стр 57 и ел., стр. 41 и ел. и ниже, стр. 86.
4) По поводу а) и с) см. Френкель, 22 и 28а; метод решения е)
разработан Френкелем, 35 и 37. Мостовский, 38 (ср 38а и А Леви, 58а) и Линден-
баум — Мостовский, 38, хотя и использовали теоретико-групповой метод
Френкеля, строили свои доказательства на строгой логико-математической
основе, употребляя метод «релятивизации кванторов» (см Тарский, 35а, и
Линденбаум — Тарский, 36). На этом пути они решили, кроме а), проблемы
е), g), h) и i). (Обещанного Линденбаумом — Мостовским, 38, подробного
изложения не последовало.) d) Решена Мостовским, 39, (ср. Досс, 45; Шён-
филд, 55. Г. Шварц, 56, внес упрощение); f) решена в работе Мостовского,
48а (основанной на 39).
5) О предложениях, (эффективно) эквиполлентных принципу
упорядочения, см. Лось, 54 Курепа, 53, получает предложение, эквиполлентное
принципу вполне упорядочения, беря конъюнкцию принципа упорядочения и
принципа, согласно которому каждое частично упорядоченное множество
содержит максимальную «антицепь» (anti-chain) (ср Курепа, 52); ср также
Кинна — Вагнер, 55 (см ниже, стр. 168). — Прим. авт.
Ряд предложений, эквиполлентных принципу вполне упорядочения,
рассмотрен также °Климовским, 62. — Прим. перев.
6) Мостовский, 45; Шмелёва, 47; Серпинский, 55. В первой статье
используется упомянутый выше теоретико-групповой метод.

§ 4. Аксиома выбора
75
особенно просты следующие два. Пусть Zn обозначает
утверждение аксиомы выбора для всех множеств t, члены которых
имеют конечную мощность п\ тогда Zn влечет Zd, где d —
произвольный делитель п\ из конъюнкции предложений
Zn, Ζη, . .., Ζη следует предложение Ζη при условии, что для
любого представления η в виде n = mip) + т2р2 + ... + mrqr
(Pi — простые, Ш{ — целые положительные) по крайней мере
один из индексов п\, п2, . . . , nk делится хотя бы на одно из
простых чисел ри Ръ · · · * Рг-
Наконец, Гёделем в 1938/39 гг. была доказана
непротиворечивость аксиомы выбора^). В краткой заметке, 38, в качестве
возможной основы берется любая из различных систем
теоретико-множественных аксиом без аксиомы выбора, например, Ζ
или Principia Mathematica в модификации Тарского, 33, или
(видоизмененная) система фон Неймана, 29. В рамках любой
такой системы можно построить специальную модель, в которой
выполняется аксиома выбора.
В классической работе Гёделя, 40, за основу принято
некоторое видоизменение системы Бернайса — система Σ (см. ниже,
§ 7). Гёдель доказывает существование класса всех
«конструктивных» (constructible) множеств и получает отсюда некоторую
модель Δ, удовлетворяющую Σ, в которой все множества
могут быть вполне упорядочены. (Здесь в термине
«конструктивное» имеется некоторая тонкость 2), поскольку используемая при
этом Гёделем теория порядковых чисел сама по себе
неконструктивна — но затем он доказывает, что каждое порядковое
число конструктивно.) Отсюда легко вытекает истинность
(validity) аксиомы выбора в Δ, а следовательно, и ее
совместимость с аксиомами Σ.
3. Экзистенциальный характер аксиомы выбора. Если не
считать позиции собственно интуиционистов (гл. IV),
оправдываемой их точкой зрения, большинство нападок на аксиому
выбора3) было вызвано недостаточным пониманием ее чисто
1) См. Гёдель, 38 и 40 (ср 39).
2) В оригинале 'cum grano salts' ('с крупицей соли' — лат.). — Прим.
псрев.
3) Например (кроме литературы, цитированной на стр. 101), *Й. Кёниг,
5, стр. 170 и ел.; *Динглер, 5, стр. 88 и ел. первого изд ; *Ришар, 4.
Условная роль, отведенная мультипликативной аксиоме в Principia Mathematica
(см. гл. III), также, очевидно, вызвана влиянием квазиконструктивистской
концепции. Рамсей, 26, стр. 355, резонно замечает, что поскольку из
экзистенциальной концепции не следует, что множество представителей может быть
точно определено, эта концепция могла бы быть совместимой с
«тавтологическим» характером этого предложения, ср. введение аксиомы выбора в
аксиоматической системе фон Неймана (§ 6).

76 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
экзистенциального характера. В самом деле, эта аксиома вовсе
не утверждает возможности (с помощью имеющихся или
предвидимых когда-либо в будущем научных средств) построения
множества представителей, т. е. указания правила, согласно
которому в каждом члене τ множества / может быть назван
некоторый определенный член. С другой стороны, указание
такого правила обеспечивало бы получение соответствующего
подмножества \}t при помощи аксиомы выделения без всякой
аксиомы выбора. Последняя утверждает лишь существование
в 2 множества представителей, т. е. непустоту прямого
произведения Pt (существование которого обеспечено и без нашей
аксиомы). Другими словами, аксиома выбора утверждает, что
при выполнении ее предположений среди подмножеств
множества [)t непременно должны быть1) такие подмножества,
которые содержат единственный общий член с каждым членом L
Совершенно недостаточное внимание, уделенное в начале
нынешнего столетия этому фундаментальному вопросу, имело
своим последствием довольно бесплодные дискуссии. Существо
дела станет ясным в свете следующих примеров
(рассматриваемых неформально, т. е. без обращения к системе Z).
1. Пусть t = {x} состоит из единственного непустого члена2)
τ. Как указано на стр.69—70, множество представителей в этом
случае существует независимо от аксиомы выбора. Однако даже
в этом простейшем случае не всегда удается назвать какой-
либо член τ — например, если τ есть подходящее множество
трансцендентных чисел. До того как Лиувилль впервые (1851)
построил конкретные трансцендентные числа, доказав тем
самым существование таких чисел, можно было все же условно
утверждать существование единичного множества, содержащего
некоторое трансцендентное число, опираясь на принцип
исключенного третьего3), но не на аксиому выбора. (Аналогичным
образом принцип исключенного третьего используется на
каждом отдельном шаге какой-либо процедуры, зависящей от
последовательности разбиений, например в доказательстве
теоремы Больцано — Вейерштрасса. Экзистенциональный харак-
*) Формулировка авторов 'will be not absent' ('не может не оказаться')
содержит ненужное двойное отрицание требуемого утверждения; обе
формулировки зквиполлентны лишь в предположении истинности закона
исключенного третьего (не входящем в утверждение аксиомы выбора); ср. ниже,
гл. IV. — Прим перев.
2) У авторов 'element'; следуя, однако, их же указанию (см. прим 2
на стр. 42), мы резервируем этот термин для специальных целей до § 6. —-
Прим. перев.
3) И, конечно, на теоремы Кантора о счетности множества
алгебраических чисел и несчетности множества действительных чисел, доказанные
двумя десятилетиями позже, теоремы Лиувилля. — Прим. перев.

§ 4 Аксиома выбора
77
тер таких доказательств сближает их с теми, что связаны с
применением аксиомы выбора.)
2. Пусть t есть бесконечное (скажем, счетное)
расчлененное множество {tu t2, .. . , h, . . .}, члены которого th суть
непустые множества натуральных чисел. В этом случае для
образования множества представителей нет нужды в аксиому выбора,
достаточно и аксиомы выделения. Мы можем, например, задать
условие ψ как 'существует такое y£t> что χ есть наименьшее
число в множестве у\ Тем самым каждому y = tk соответствует
некоторое определенное натуральное число x = nh, причем при
к{фк2 имеет место nk^Ф nk\ так мы получаем подмножество
U /, являющееся множеством представителей. Тот факт, что в
каждом непустом множестве натуральных чисел есть наимейь-
шее число, делает применение аксиомы оыбора излишней1).
3. Совершенно иная ситуация наблюдается в том случае,
когда t есть бесконечное множество, членами которого
являются произвольные множества действительных чисел. В этом
случае у нас, вообще говоря, нет правила, одновременно
сопоставляющего каждому члену t один из его членов, если только
эти множества не обладают каким-либо свойством,
позволяющим найти некоторое конструктивное правило. Например, если
каждый член t — или каждый, кроме конечного числа членов, —
содержит алгебраические числа, то эффективный пересчет
множества всех алгебраических чисел (Г, стр. 562)) делает
использование аксиомы выбора излишним.
Это становится еще более очевидным, если взять обычную,
цермеловскую форму аксиомы выбора — без предположения о
расчлененности множества t. Обозначив через С какой-либо
континуум (например, множество всех действительных чисел),
возьмем в качестве t множество СС — {О}, т. е. множество всех
непустых подмножеств С. Для того чтобы задать функцию,
сопоставляющую каждому члену χ множества t единственный
член этого х, мы должны были бы дать правило, указывающее
1) С интуиционистской точки зрения можно считать, что сказанное
относится к любому «перечиелимому» (эффективно счетному) расчлененному
множеству йепустых множеств. Дело в том, что эффективный пересчет
множеств tk возможен, по-видимому, не иначе как с помощью выделения
определенного члена в каждом th, посредством чего и осуществляется
построение множества представителей. [Это утрерждение (или — учитывая,
'по-видимому' — предположение) авторов представляется сомнительным —
«пересчитывать» можно не обязательно члены th, но и сами символы fal —
Перев.] Ср. Лузин, 27, стр. 81. То же относится и к любому эффективно
вполне упорядоченному расчлененному множеству непустых множеств.
2) Или °Натансон, 50, гл. 1, § 3, теоремы 11 и 12, стр. 15—16;
эффективный пересчет множества алгебраических чисел легко извлекается из
доказательства теоремы 7, стр. 14. — Прим. перев.

78 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
по одному числу из каждого непустого множества
действительных чисел; иными словами, для чисел, которые должны бы были
быть таким образом выделены, мы должны были бы назвать
некое характеризующее их свойство, подобно свойству быть
наименьшим натуральным числом из предыдущего примера.
Нечего и рассчитывать на то, чтобы назвать такое свойство;
можно доказать, что в данном и в подобных ему случаях не
существует никакой «аналитически представимой» функции,
которая выражала бы (в каком-либо вполне определенном смысле
слова) такое свойство1).
Лебегу принадлежит пример2), из которого видно, что
различие между построением и существованием в описанном
смысле вовсе не входит в компетенцию логики или каких-либо
принципов, а зависит от значения конкретных математических
предложений3). Известная теорема Гильберта4) утверждает,
что геометрическое построение, осуществимое с помощью
линейки и циркуля, может также быть осуществлено с помощью
') См Лебег, 07.
2) Лебег, 41, стр 117.
3) Эта фраза — типичный для современной математической литературы
пример туманной трактовки понятия «существование». Каждый,
задумывавшийся над этим вопросом, искал способа свести это понятие к каким-либо
другим или просто выразить его в других терминах Все такие дискуссии
выходят за пределы того, что выразимо логическими средствами, так как в
логике квантор существования рассматривается в качестве независимой
операции (кроме случаев, когда его выражают через квантор всеобщности, по
об этих случаях здесь нет речи). Поэтому для установления ясности
следовало бы предложить употреблять термин «существование» в точном
соответствии с логическими правилами употребления квантора существования
(т е только в тех случаях, когда соответствующее рассуждение может быть
выражено в формализованном языке и только по правилам подразумеваемой
логики). Это соглашение приводит к тому, что построение объекта t со
свойством s$ (/) еще не является доказательством существования такого t, ибо
для такого доказательства надо, получив ^3 (/), перейти затем к (Et) У$ (t)
при помощи соответствующего логического правила, применение которого и
создает предложение о существовании. В допущениях термин
«существование» может при этом встречаться произвольным образом, но фразы типа
«солнце существует» не принадлежат (обычным) формализованным языкам
и потому должны при этом изгоняться, хотя бы путем замены их
предложениями типа «существует предмет, являющийся солнцем», с которыми
надлежит обращаться только что разъясненным образом.
Такой подход к проблеме существования способствовал бы ясности, а
рассуждения, о которых идет речь в тексте, следует с этой точки зрения
отнести к области псевдопроблем. — Прим. ред.
4) Гильберт, 1899/1930, гл. VII (теорема 67 7-го изд.). — Прим. авт.
Критерий осуществимости геометрических построений с помощью
линейки и эталона длины, действительно опирающийся на теорему 67 (носящую
алгебраический характер), содержится в теореме 65 Гильберта, 1899/1930
(стр. 186 русск. изд.); обсуждению осуществимости таких построений
посвящена вся гл. VII книги Гильберта. — Прим. перев.

§ 4. Аксиома выбора
79
линейки и приспособления, позволяющего откладывать отрезки,
причем даже одного-единственного отрезка, при условии, что
все решения задачи (для произвольных значений входящих в
нее параметров) действительны1). Для случая, когда в задачу
входит не более трех параметров, эта теорема была доказана
конструктивно. В общем случае, однако, для доказательства по-
требовались средства теории действительных полей (развитые
Артином и Шрейером), в самой основе которой лежит аксиома
выбора. Таким образом, экзистенциальный характер аксиомы
выбора проявляется даже в ее применениях к теории
геометрических построений.
Оказывается полезным (по крайней мере в психологическом
отношении) выразить экзистенциальный характер аксиомы
выбора отрицательным образом: она исключает ту возможность,
когда t удовлетворяет ее условиям, а среди подмножеств U t
нет подмножеств, содержащих единственный общий элемент с
каждым членом t, даже если нам и не удалось построить такое
подмножество с помощью аксиомы выделения. Действительно,
представляющаяся в настоящее время наиболее разумной
трактовка аксиомы выбора, общая для интуиционистской (гл. IV)
и метаматематической (гл. V) позиций в вопросах оснований
математики, состоит в утверждении, что любая попытка
доказательства отрицания какой-либо математической теоремы,
доказанной при помощи этой аксиомы, является безнадежной.
При всем этом связь между аксиомой выбора и
противопоставлением построения и доказательства существования
сложнее, чем это может показаться из предыдущих замечаний.
Поясним это на понятии эффективного примера2).
Чтобы какое-либо определение имело какую-нибудь цену
(независимо от того, вводится ли оно в рамках математики и
логики, или вне этих рамок), нужно показать, что существуют
объекты (хотя бы один объект), удовлетворяющие этому
определению. Обычно это достигается при помощи указания
конкретного объекта, удовлетворяющего определению, т. е.
приведением эффективного примера. Пример не обязательно
должен быть задан конструктивным способом. Построение примера
может осуществляться при помощи какой-либо непредикатив-
1) По поводу точной формулировки этого критерия см. ссылку в
предыдущем подстрочном примечании. — Прим. перев.
2) О значении этого понятия (введенного для точечных множеств Боре-
лем и Лебегом; ср., например, * Лебег, 4 и 5, стр. 238), см. *Ф. Бернштейн, 4
(§ 4), и, особенно, Серпинский, 19, 21, 28, *7, 33, *15, а также ^Кнастер —
Куратовский, 1; Лузин, 25 и 27. Особое значение имеет понятие
эффективного соответствия и его частный случай, относящийся к эффективной счетности
(перечислимости).

SO Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
ной процедуры (стр. 213 и ел.1)); оно может также быть
основано на объединении двух различных доказательств:
доказательства существования, показывающего, что удовлетворяющие
данному определению объекты действительно имеются, и
доказательства того обстоятельства, что может существовать не
более одного такого объекта. И при таком способе можно
утверждать, что был приведен эффективный пример.
Для применений аксиомы выбора имеется гораздо больше
разнообразных возможностей, чем можно было бы ожидать с
первого взгляда. В частности, применение этой аксиомы для
доказательства существования некоторого множества не
находится в какой бы то ни было зависимости от возможности
выделить в полученном таким образом множестве какой-либо
член.
При помощи аксиомы выбора может, например, удастся
доказать существование предметов, обладающих каким-либо
определенным свойством, даже гели никаких способов
определения какого-нибудь конкретного такого предмета не известно.
Именно так обстояло дело в задаче, приведшей нас к
аксиоме выбора (стр. 64—65), где утверждалось существование
некоторого подмножества U t. Другой знаменитый пример —
множество точек (действительных чисел) мощности & ь (Между
прочим, задача нахождения эффективного примера такого
множества точек есть существенное ослабление — а тем самым и
подход к решению — континуум-проблемы (см. § 7),
положительное решение которой состояло бы в построении
эффективного взаимно однозначного соответствия между линейным
континуумом и вторым числовым классом.) Вследствие
сравнимости мощностей (т. е. в силу аксиомы выбора) в континууме есть
подмножества мощности Κι, но все попытки2) привести
эффективный пример такого множества до сих пор терпели
неудачу3).
Имеются и примеры другого рода — когда существование
предметов, обладающих каким-либо определенным свойством,
может быть установлено без аксиомы выбора и в то же время
нельзя привести эффективного примера. Но иногда бывает даже
так, что эффективный пример может быть построен только с по-
1) И выше, стр. 58. — Прим. перев.
2) См. *Харди, 1 (ср. *2 и *Гобсон, 1); *Хаусдорф, 2ц (стр. 156); *Лу-
зин, 7 и 8 (где поставлен ряд важных проблем, относящихся к обсуждаемой
теме); Серпинский, 54; Фраиссе, 55 (§31).
3) Другим примером служит взаимно однозначное соответствие между
континуумом и множеством его счетных подмножеств (ср. стр. 67).
Установление такого рода соответствий требует привлечения аксиомы выбора;
эффективных же примеров нет (Серпинский, 19, стр. 145; 21, стр. 113).

§ 4. Аксиома выбора
81
мощью аксиомы выбора, несмотря на экзистенциальный
характер аксиомы. Точнее говоря, в таких случаях какой-либо объект
строится посредством эффективной процедуры, но
доказательство того, что этот объект действительно служит нужным
примером, существенно опирается на аксиому выбора. Именно так,
например, обстоит дело в замечательном доказательстве1)
теоремы о вполне упорядочении, основанном на предположении о
сравнимости мощностей (но не использующем саму аксиому
выбора).
Пусть Μ есть множество всех вполне упорядоченных
множеств т действительных чисел, причем вполне упорядочение
каждого т не имеет никакого отношения к упорядочению чисел
по величине. (Существование такого множества Μ в рамках
нашей системы Ζ легко показывается; ср. § 8.) Разобьем Μ на
попарно непересекающиеся классы с, относя в один и тот же
класс все множества т, имеющие равные порядковые типы;
таким образом, каждый класс есть подмножество М. (Один из
таких классов есть {О}.) Пусть С есть множество всех классов,
упорядоченное по следующему правилу: для различных
членов С Ci и с2 положим Ci<c2, если порядковый тип членов cL
меньше порядкового типа членов с2. Очевидно, что С этим
вполне упорядочивается, причем отрезок С, определяемый
некоторым с (Г, стр. 245 2)), подобен членам класса с.
Мощность (алеф) множества С не меньше и не равна
мощности К континуума. В самом деле, любое подмножество С0
множества С, имеющее мощность ·< К, эквивалентно
некоторому множеству действительных чисел, которое может быть так
вполне упорядочено, что становится подобным С0; поэтому это
вполне упорядоченное множество принадлежит некоторому
с ζ С и, тем самым, подобно отрезку множества С,
определенному множеством с. Отсюда мы делаем вывод, что С0 есть
собственное подмножество С, так как никакое вполне
упорядоченное множество не подобно никакому своему отрезку (Г,
стр. 2663)).
Множество С построено конструктивно. Принимая теперь
допущение о сравнимости мощностей (т. е. аксиому выбора), мы
из сказанного в предыдущем абзаце получим, что С есть
эффективный пример вполне упорядоченного множества,
имеющего мощность, превосходящую К.
1) Хартогс, 15; ср. Серпинский, 21, стр. 117,
2) См. также Александров, 48, стр. 81 (где вместо 'определяемый'
говорится 'отсеченный'). — Прим. перев.
3) Или Александров, 48, стр 81 (теорема 7). — Прим. перев.
6 Зак. 1765

82 Гл II Аксиоматические основания теории множеств
Кроме того, поскольку мощность вполне упорядоченного
множества С больше К ,_среди его отрезков имеется первый
отрезок С мощности К. С есть пример вполне упорядоченного
множества мощности континуум, и каждый член класса с,
определяющего в С отрезок С, есть вполне упорядоченное
множество точек (чисел), имеющее мощность К. Однако аксиома
выбора не требуется для определения С и нужна только для
доказательства того факта, что это множество обладает
характеризующим его свойством; что же касается С, то само его
определение основано на этой аксиоме1).
Естественно предполагать, что континуум-гипотеза Кантора
и ее обобщение также могут привести к образованию понятий,
для которых нельзя будет найти эффективных примеров.
4. Некоторые типичные применения аксиомы выбора2).
Сравнивая аксиому выбора с аксиомами II—IV, читатель, возможно,
станет недоумевать, почему мы так усиленно подчеркиваем ее
значение. Могло бы показаться, что утверждение этой аксиомы,
отвергающее возможность несуществования подмножеств \}t
некоторого определенного вида, приложимо лишь к некоторым
специальным задачам и методам и не имеет сколько-нибудь
серьезного значения для общей теории. Такое предположение
подтверждается тем обстоятельством, что аксиома выбора была
введена только в начале нынешнего столетия, т. е. в то время,
когда основное содержание как теории абстрактных множеств,
так и теории точечных множеств (в том числе основные
разделы современной теории действительных функций) было уже
разработано.
Тем не менее высказанное выше предположение не
соответствует действительному положению вещей Напротив, основные
и важнейшие теоремы и методы теории множеств — а также
анализа, алгебры и топологии — опираются на аксиому выбора,
в том смысле, что мы не знаем, как обойтись без нее.
Поразительно большое количество теорем оказывается в точности
эквиполяентными аксиоме выбора. Верно, что эта аксиома была
1) Слегка видоизменив рассуждение (ср. Серпинский, 21), удается, не
прибегая к аксиоме выбора, указать эффективный пример вполне
упорядоченного множества, о котором затем — уже с помощью аксиомы выбора —
доказывается, что оно имеет мощность к; речь идет о множестве, о
котором без аксиомы выбора доказывается, что его мощность не меньше и не
больше чем N.
2) О применениях аксиомы выбора в анализе см., например,
Серпинский, 19; *Литтлвуд, 1 и 2; *Лузин, 10; 'Эдьед, 1, и много других статей,
особенно по теории меры; большая часть из них опубликована в Funclamenta
Mathematical.

$ 4. -Аксиома выбора
83
введена лишь в начале XX столетия; но применялась она
задолго до этого времени, хотя только значительно позднее
выяснилось, что аргументация, не использовавшаяся ранее
осознанным образом в математике, все же была нужна для проведения
соответствующих доказательств.
Таким образом, аксиома выбора при условии ее
независимости (ср. стр. 72) должна быть принята в число других
общепризнанных математических принципов. Согласно Гильберту1),
она основана на «общем логическом принципе, являющемся
обязательной и необходимой предпосылкой любого
математического рассуждения».
Чтобы помочь читателю составить свое собственное мнение
по этому предмету, мы опишем теперь несколько характерных
применений аксиомы выбора. При отборе приводимых ниже
пяти примеров мы руководствовались не только теми
соображениями, что они, имея фундаментальный характер, содержат
минимум технических подробностей, но и желанием охватить
как можно более разнообразные области математики: два
примера взяты из общей теории множеств и по одному из
арифметики, алгебры и анализа2).
В первом примере, взятом из начал абстрактной теории
множеств3), рассматриваются операции над мощностями
(сложение, умножение, возведение в степень; см. Г, § 6 и 74)) и,
отчасти, над порядковыми типами и порядковыми числами (Г,
§ 8 и 105)). Поскольку во всех этих случаях существо дела одно
и то же, достаточно ограничиться простейшим случаем, а
именно сложением мощностей6). Чтобы получить сумму
бесконечного количества7) (конечных или бесконечных) мощностей, мы
приписываем каждой мощности в качестве ее представителя
J) Гильберт, 23, стр. 152.
2) Не желая вдаваться в технические детали, мы не приводим никакого
примера из топологии; см., например, Туки, 1 (ср. ниже, етр. 92). О
характерных топологических теоремах, эквиполлентных аксиоме выбора, см также
Келли, 50.
3) Конечно, примером служит и неравенство нулю произведения не
равных нулю мощностей, но это и есть сам мультипликативный принцип
(стр. 65).
4) См. также °Хаусдорф, 14/27/37 (§ 6) и °Александров, 48 (гл. III,
§ 6). — Прим перев.
5) См. также °Хаусдорф 14/27/37 (§ 10) и Александров, 48 (гл. III,
§ 2). — Прим. перев.
6) Вообще об использовании аксиомы выбора в арифметике мощностей
и порядковых чисел см., например, Серпинский, 28 (гл VI и XII) и Тарский,
49, стр. 239—243.
7) Если число слагаемых конечно, процедура остается той же, но
надобность в аксиоме выбора отпадает.
6*

S4 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
некоторое множество, имеющее эту мощность1), соблюдая при
этом то условие, что эти представители попарно не
пересекаются; тогда мощность объединения представителей и будет
суммой мощностей. В соответствии со сказанным, сумма могла
бы зависеть от произвольно выбранных представителей; но
независимость ее от этого выбора гарантируется теоремой (Г,
стр. 112), утверждающей, что и при разных способах выбора
представителей непременно получатся эквивалентные
объединения, а следовательно, и одна и та же мощность-сумма2).
Однако доказательство этой теоремы основано на
одновременном рассмотрении взаимно однозначных соответствий
между представителями, приписанными одной и той же
мощности различными способами. Точнее: пусть мощность f(t)=^cP
где t пробегает некоторое множество М, представлена один раз
множеством аи а другой — множеством bt (так что at~bt)\
обозначим, далее, через ψΟ какое-либо соответствие между at
и bt. Объединив соответствия ψΟ для всех t £ Μ3), мы легко
получим соответствие между объединением множеств at и
объединением bt. ψ(*) не определяется однозначно эквивалентными
множествами at и bt\ в нетривиальных случаях имеются
различные соответствия между этими множествами, причем даже
бесконечно много, если бесконечно at (а следовательно, и bt). Как
будет показано в § 8, на основании наших аксиом I—V
существует множество ψ(*> всех соответствий между at и Ьи так что
существует и (расчлененное) множество Г, члены которого суть
все множества ψ(*>, где t пробегает множество М. Но что нам
действительно нужно, так это множество, содержащее по од-
1) Очевидно, здесь возникает вопрос, как «получить» сами
представители. Это зависит от того, какова используемая аксиоматическая система и
каким образом на ее основе строится теория множеств. Если следовать
пути, принятому в § 8, при построении теории множеств в Ζ вообще не
фигурируют никакие мощности, а с самого начала используются представители.
В рамках систем § 6 и 7 сама мощность может быть взята в качестве
собственного представителя. Конечно, если мощность вводится как множество
(класс) всех множеств, «имеющих эту мощность», для получения множества
представителей уже нужна аксиома выбора.
Таким образом, наш пример относится скорее к теореме из Т, стр. 112
[см. следующее примечание. — Перев.}, нежели к собственно мощностям;
именно эта теорема и ее аналоги — ключ к арифметике кардинальных чисел.
2) Имеющиеся в Τ (стр. 111—112) доказательство этой теоремы вкратце
воспроизводится в следующем абзаце: °Хаусдорф, 14/27/37 (§ 6, стр. 28), и
Александров, 48 (гл. III, § 6, стр. ПО), ограничиваются замечанием об
очевидности выражаемого ею утверждения. — Прим. перев.
3) То есть взяв в качестве области определения (значений)
объединенного соответствия объединение областей определения (значений)
объединяемых соответствий и сопоставляя каждому at (bt) в
соответствии-объединении то же bt (ar), что и в соответствующем слагаемом до объединения.—
Прим. перев.

§ 4, Аксиома выбора
85
ному-единственному члену из каждого члена Ψ^ множества Г,
а для получения такого множества требуется аксиома выбора
(с Г в роли множества t со стр. 64—65).
Таким образом, сложение мощностей — если число
слагаемых ct бесконечно (даже если при этом сами слагаемые суть
конечные мощности, но большие 1) —зависит от аксиомы
выбора. То же самое можно сказать и о других операциях с
мощностями и порядковыми типами.
В качестве второго примера мы возьмем различие между
конечными и бесконечными {transfinite) мощностями или
множествами, связанное с понятием конечного (целого)
числа—основным понятием арифметики. Этот вопрос тесно свйзан с
теоремой о том, что каждое бесконечное множество включает в
себя счетное подмножество( Т, стр. 57—58 {)), т. е. что Ко есть
наименьшая бесконечная мощность. Из двух доказательств
этой теоремы, данных в Т, аксиома выбора существенно
используется в доказательстве А2) (но не в доказательстве В3)),
поскольку в А 'бесконечное* по'нимается как 'неиндуктивное'.
Как и в Г (стр. 37), множество s будет называться
индуктивным, если оно либо пусто, либо существует такое целое
положительное число п, что s содержит в точности η членов4).
Множество называется рефлексивным5), если оно эквивалентно
своему собственному подмножеству6). Наша задача —выяс-
1) См. также °Хаусдорф, 14/27/37 (стр. 26); °Александров, 48 (теорема 3
на стр. 27, из доказательства которой вытекает ее усиление,
сформулированное выше (стр. 74) в качестве второго варианта вопроса h в п. 2).—
Прим. перев.
2) Речь идет о доказательстве, набросок которого приведен у °Хаусдорфа,
14/27/37, и °Натансона, 50 (теорема 2 на стр. Щ. — Прим. перев.
3) В этом доказательстве рассматривается некоторое взаимно
однозначное отображение φ бесконечного множества 5 на его собственнее
подмножество s' и, исходя из какого-либо /j ζ 5 — S\ строится последовательность
различных членов S : tu φ(ίχ) = t2, φ(/2) = h, ...— Прим. перев.
4) Эта формулировка, исходящая из понятия целого положительного
числа, достаточна для наших целей. Но с таким же успехом мы можем
вслед за Расселом ввести и следующие определения. Множество мощностей
называется наследственным (hereditary), если из того, что оно содержит п}
следует, что оно содержит η + 1; мощность называется индуктивной, если
она принадлежит всякому наследственному множеству, содержащему
мощность 0; множество называется индуктивным, если его мощность
индуктивна (п + 1 здесь определяется в терминах объединения). Ср. позицию
Бернайса; см. ниже, стр. 148 и ел.
5) Рефлексивность множеств следует, конечно, отличать от
рефлексивности отношений (стр. 47—48).
6) Таким образом, нерефлексивность — это так называемое первое де-
декиндовское определение конечности (Г, стр. 40). Можно предложить также
следующую положительную формулировку: для каждого взаимно
однозначного отображения конечного множества F на какое-либо его подмножество
^о != Ρ имеет место FQ == F.

86 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
нить, верно ли, что индуктивные множества и нерефлексивные
множества суть одно и то же (т. е. конечные множества)1).
Прежде всего легко доказывается (по математической
индукции), что индуктивное множество не может быть
рефлексивным (Г, стр. 38); следовательно, никакое рефлексивное
множество не является индуктивным, и остается лишь выяснить, не
существуют ли множества, не являющиеся ни индуктивными,
ни рефлексивными — Бопрос, поднятый еще в 1904 г.
Лебегом2). Мощности таких множеств, называемые иногда
'промежуточными (mediate) мощностями'3), составили бы
промежуточное звено между конечными и бесконечными мощностями.
Чтобы показать, что промежуточных мощностей не
существует, нам надо доказать, что каждое неиндуктивное
множество рефлексивно, а следовательно, каждое нерефлексивное
множество индуктивно. Но для этого нам нужна доказываемая
при помощи аксиомы выбора теорема о том, что каждое
неиндуктивное множество содержит счетное подмножество; это
счетное подмножество рефлексивно, а поэтому рефлексивным
оказывается и исходное неиндуктивное множество (ср. Т,
стр. 41—42). Оказывается, таким образом, что доказательство
нерефлексивности любого индуктивного множества носит
конструктивный характер, в то время как для доказательства
обратного утверждения нужна аксиома выбора.
'Индуктив'ное' и 'нерефлексивное' — два различных смысла
слова 'конечное' (конечное множество, конечная мощность).
Тарский4) дал несколько определений конечности, расположив
их в таком порядке, что для множества, конечного в силу ка-
*) Даже не вникая в существо вопроса, мы ощущаем глубокое различие
между этими двумя понятиями, когда пытаемся исходя из понятия
'нерефлексивное' доказать теоремы вроде следующей: множество всех
подмножеств конечного множества конечно Если же исходить из понятия
'индуктивное', то это элементарная теорема комбинаторики, легко доказываемая
по математиче жой индукции.
2) См. Борель, 14, стр. 156.
3) Ср. *Ринч, 5; *Хвистек, 3, Статья *фон Зеккендорфа, 1, ошибочна
из-за неявного употребления аксиомы выбора; см. также Досс, 45.
4) Тарский, 25, стр. 93—95 Большая часть этой важной работы (ср.
*Цермело, 4; *Фредендойн, 1) посвящена выявлению тех свойств,
эквиполлентность которых свойству индуктивности доказывается без помощи
аксиомы выбора, а также таких, что доказательство их эквиполлентности свойству
индуктивности требует аксиомы выбора По-видимому, индуктивность и экви-
поллентные ей свойства характеризуются в этой работе тем, что все
остальные свойства могут быть получены из них без аксиомы выбора. (Мнение
Данжуа, 46—54ι, что Тарский пользуется аксиомой выбора, основано на
недоразумении; ср. стр. 69, подстрочное примечание 5.)
Классификация определений конечности на другой, более общей основе
при помощи гёделевского метода арифметизации предложена Мостовским,
38, аналогичным образом в этой работе рассматриваются аксиомы беско-

§ 4. Аксиома выбора
87
кого-либо определения, конечность, согласно каждому из
последующих определений, доказывается элементарными методами, в
то время как переход в противоположном направлении требует
аксиомы выбора1). Возьмем, например, следующие два
определения:
(*)Множество / конечно, если множество всех его
подмножеств С/ неэквивалентно никакому своему собственному
подмножеству (т. е. если С/ нерефлексивно) 2).
(**)Множество / конечно, если оно не является
объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых
эквивалентно /3). (Ср. стр. 73.)
В упомянутом выше расположении определений конечности
свойство (*) находится между индуктивностью и
нерефлексивностью, а (**) следует за нерефлексивностью.
Из всех разделов математики наибольшее применение
аксиома выбора находит в анализе4), в частности в теории
точечных множеств и действительных функций. Большая часть этих
применений связана со специальными понятиями
соответствующих теорий. Приводимый ниже пример относится к самым
началам анализа, хорошо известным любому читателю
Самым простым примером будет, пожалуй, такой. После
того как доказано, что для каждой точки χ некоторого данного
множества существует по крайней мере одна окрестность χ
(т. е. содержащий χ открытый интервал) с определенным
свойством, для каждой данной точки χ выбирается некоторая такая
нечности (ср § 5). Более далеко идущие результаты получены в работе
Трахтенброта, 50, где, в частности, показано (для соответствующих
аксиоматических систем), что среди существенно различных определений
конечности не существует ни «самого сильного», ни «самого слабого»; ср. Чёрч, 56,
стр. 342 и ел. [стр 330 русск. изд. — Перев.].
Как показано Тарским, 25, так называемое второе дедекиндовское
определение конечности (Дедекинд, 1888, стр. XI 2-го изд.) эквиполлентио
индуктивности (вопреки гипотезе самого Дедекинда). Между прочим, некоторые
из применяемых Тарским методов построения теории конечных множеств и
чисел без аксиомы выбора были предвосхищены Дедекиндом в ei о посмертно
(1932) опубликованной работе (см. *Дедекинд, 3, III, стр -450 и ел.); ср.
примечания Э. Нётер к этому изданию работы Дедекинда и *Кавайе, 1.
1) О более новых характеристиках конечных множеств см., например,
Попадич, 51; Курепа, 52; А Леви, 58; ср. также Рабин, 54.
2) С другой стороны, свойство нерефлексивности С (Cf) эквиполлентио
индуктивности. [Серпинский, 28, приписывает этот результат Расселу. — Ред ]
3) То обстоятельство, что бесконечные множества обладают
противоположным свойством, т. е. что каждая бесконечная мощность t удовлетворяет
равенству t — t -\-1, следует из теоремы о вполне упорядочении, а
следовательно, и из аксиомы выбора (Г, стр 303 и 315 [а также °Александров, 48,
стр. 109—110. — Перев])
4) И, конечно, в топологии (как правило, неявно). — Прим. ред.

88 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
окрестность. Здесь очевидным образом используется аксиома
выбора, так как для каждой χ одновременно выбирается своя
окрестность. Впрочем, без аксиомы выбора здесь можно,
вообще говоря, и обойтись, если ограничиться лишь
окрестностями с рациональными концами; тогда для каждой χ останется
лишь (эффективно) счетное множество возможностей, и легко
отметить какую-либо одну определенную из них при помощи
общего для всех правила. (Ср. упражнение 9 в Г, стр. 61 х).)
Но нам все-таки не обойтись без аксиомы выбора даже при
рассмотрении еще более фундаментальных понятий анализа.
Как обычно (ср. Г, стр. 232), будем называть точку ρ точкой
накопления (линейного) точечного множества /(, если в каждой
окрестности ρ имеется точка множества К, отличная от р.
С другой стороны, анализ можно строить и исходя из понятия
предельной точки, называя, по определению, ρ предельной
точкой множества К, если существует последовательность (kv)
различных точек К (v=l, 2, ...), пределом которой служит р.
Тот факт, что любая предельная точка ρ множества К
является также точкой накопления этого множества, легко
доказывается без аксиомы выбора. Допустим теперь, что и всякая
точка накопления К есть предельная точка К. С помощью
этого допущения доказывается следующая лемма 22). Если S =
= (Si, S2, S3, . . .) есть последовательность попарно
непересекающихся непустых точечных множеств, то существует такая
последовательность точек (ри /?2, Рз, . . ·)> что Pk с различными
индексами k принадлежат различным Sn. Обратно, из 2 легко
вывести, не прибегая к аксиоме выбора, что каждая точка
накопления К есть в то же время предельная точка К. Таким
образом, если не использовать аксиомы выбора,
эквиполлентность понятий 'точка накопления К' и 'предельная точка К?
оказывается необходимым и достаточным условием
справедливости леммы 2.
Ясно, что 2 представляет собой утверждение аксиомы
выбора для эффективно счетного множества t точечных множеств.
Тем самым выявляется связь между аксиомой выбора и
эквиполлентностью двух основных элементарных понятий анализа,
обычно отождествляемых без особых разговоров.
1) Здесь речь идет об известном доказательстве того, что любое
множество попарно неперекрывающихся интервалов числовой прямой (или
окрестностей пространства большего числа измерений) не более чем счетно, легко
получаемом посредством однозначного соотнесения каждому интервалу
некоторого рационального числа, полностью определяемого концами этого
интерзала.— Прим. перев.
21 Серпинский, 19, стр. 120.

§ 4. Аксиома выбора
89
Следствиями этой эквиполлентности служат отношения
эквиполлентности между другими фундаментальными понятиями
анализа, которые могут быть определены как через понятие
точки накопления, так и через понятие предельной точки: не
только такие, как 'производное множество', и 'замкнутое'1),
'плотное в себе', 'совершенное множество' (Г, стр. 232 и ел.2)), но
и понятие непрерывной функции. Действительно, в основах
анализа пользуются любым из следующих двух определений
непрерывности:
a) функция f(x), определенная на интервале а<х<Ь,
называется непрерывной в точке х0 этого интервала, если для
всякого положительного ε найдется такое положительное δ, что
из \х — х0\<Ь следует |/ (х) — f(xQ)\ < ε;
b) f(x) называется непрерывной в х0, если
из lim xk = x0 следует Vim f(xk) = f (x0),
То, что функция, непрерывная в х0 в смысле а), непрерывна
и в смысле Ь) легко доказывается без аксиомы выбора;
обратное же утверждение основывается на аксиоме выбора; точнее,
если не пользоваться аксиомой выбора, то для установления
эквиполлентности а) и Ь) необходимо и достаточно принять
утверждение 2 (стр. 88) 3).
Конечно, такая альтернатива имеет место и при
определении производной действительной функции; ситуация здесь
аналогична той, что связана с непрерывностью.
1) Определить точечное множество К как замкнутое можно либо (как в
Т) при помощи условия, что каждая точка накопления К принадлежит /С,
либо при помощи условия, что каждая предельная точка К принадлежит Д";
аналогично и для следующих понятий.
Теорему Больцано — Вейерштрасса можно поэтому понимать в двух
различных смыслах — как утверждение, что ограниченное бесконечное точечное
множество множеств имеет либо точку накопления, либо предельную точку.
Точнее говоря, это будет одно и то же, если 'бесконечное' понимать как
'рефлексивное'; если же, однако, под 'бесконечным' понимать 'неиндуктивное',
то доказательство этой теоремы со значением 'предельная точка' требует
аксиомы выбора.
2) Или, например, Александров, 48 (стр. 124—126); °Натансон, 50,
стр. 32. — Прим. перев.
3) Однако если Ь) предполагается для всего интервала, т. е. для всякой
сходящейся последовательности точек этого интервала, го переход от Ь) к а)
может быть выполнен без аксиомы выбора; см. Серпинский, 19, стр. 131 и
ел.

90 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
Полной неожиданностью для математического мира явилось
открытие Штейница (1910)1), что аксиома выбора играет
важную роль в алгебре как для некоторых классических
алгебраических задач, так и, особенно, для абстрактной алгебры
(превращение которой в важную отрасль математики в
значительной мере обязано как раз этой работе Штейница).
Чтобы относящиеся к этой области проблемы стали
понятными и для тех, кто недостаточно хорошо знаком с
современной алгеброй, мы начнем с примера, известного не только
алгебраистам, но и каждому читателю.
Так называемая основная теорема алгебры2) (ср. ниже,
гл. IV, стр. 307 и ел.) может быть сформулирована следующим
образом. Многочлен
р{х) = а0хп + а1хп-1+ ... +αη__ιχ + αη (α0 Φ 0)
положительной целой степени η с целыми рациональными
коэффициентами ak имеет по крайней мере один нуль х = х{ в
поле комплексных чисел, а следовательно, имеет η (не
обязательно различных) нулей.
Впрочем, поле комплексных чисел (как и поле
действительных чисел) есть понятие не алгебры, а анализа; упоминание
о нем в формулировке этой теоремы не вызвано никакими
принципиальными соображениями, просто это хорошо известное
понятие считается «элементарным». Обратимся к алгебре. Под
алгебраическим числом понимается любое (комплексное)
число, являющееся нулем некоторого многочлена р(х), т. е.
корнем алгебраического уравнения р(х)=0 с целыми
рациональными коэффициентами (ср. Г, стр. 14). Совокупность всех
алгебраических чисел — в отличие от совокупности всех
комплексных или всех действительных чисел — счетная и обладает
следующими двумя свойствами: 1) по отношению к сложению
и умножению она образует поле; 2) если коэффициенты а^ суть
алгебраические числа, то многочлен р(х) имеет нуль (а
следовательно, и η нулей) в поле всех алгебраических чисел.
Поле F (не обязательно числовое) называется
алгебраически замкнутым, если оно не допускает алгебраического
расширения, т. е. если каждый многочлен р(х) «из F» (т. е. с
коэффициентами из F) может быть разложен на линейные
множители х — Xh, где xk принадлежит F. В частности, F называется
1) Штейниц, 10, § 19—24; ср. примечания Р. Бэра и Г. Хассе (стр. 18—
26) в издании 1930 г. и *ван дер Варден, 2ι (гл. VIII—X первого, третьего
или четвертого изд), а также *фон Нейман, 5.
2) Происхождение этого названия чисто историческое. С современной
точки зрения так следовало бы называть формулируемую ниже теорему об
алгебраически замкнутом расширении.

§ 4 Аксиома выбора
91
алгебраическим алгебраически замкнутым расширением поля
F0, если F0 есть подполе F, F алгебраически замкнуто и каждый
член F является алгебраическим по отношению к FQy т. е.
нулем некоторого многочлена из F0. Так, поле всех комплексных
чисел алгебраически замкнуто, но не является алгебраическим
расширением поля R всех рациональных чисел, поскольку
трансцендентные числа не являются алгебраическими по
отношению к R. Что же касается поля А всех алгебраических
чисел, то оно есть алгебраическое алгебраически замкнутое
расширение R.
Чтобы построить исходя из поля R поле Л, аксиома выбора
не нужна (так же как и трансфинитная индукция), поскольку
поле А счетно. Однако для доказательства существенной
единственности такого расширения требуется теорема о вполне
упорядочении, а значит, и аксиома выбора (слова 'существенной*
относится здесь к изоморфным расширениям).
Теперь мы сможем обобщить наши рассуждения. Мы будем
исходить не обязательно из поля R, а из произвольного поля
F0, даже, возможно, и не числового1). Сформулированная
выше теорема, как показал Штейниц, верна и для этого случая,
т. е. существует одно, и притом существенно единственное,
алгебраическое алгебраически замкнутое расширение F поля F0.
Но теперь уже обе части теоремы опираются на теорему о
вполне упорядочении, так как и доказательство первого
утверждения проводится трансфинитной индукцией.
Таково характерное и важное алгебраическое применение
аксиомы выбора. Несколько примеров того, как аксиома
выбора используется в других задачах алгебры, перечисляются
ниже2).
Впоследствии в результате применения аксиомы выбора в
алгебре был сформулирован важный принцип несколько
другого сорта, чем эта аксиома, и тем не менее оказавшийся экви-
поллентным ей. Этот принцип охотно используется
алгебраистами в качестве замены аксиомы; как сама она, так и
трансфинитная индукция представляются по отношению к алгебре
вообще, и абстрактной алгебре в особенности, несколько чуже-
1) Как показал Штейниц, 10, есть существенное различие между полями
характеристики 0 (содержащих R в качестве подполя) и полями
характеристики ρ (ρ — простое число), где последовательное сложение ρ единиц поля
дает нуль поля.
2) Из ранних (до 1930 г.) исследований такого рода упомянем следующие:
*Артин — Шрейер, 1; *Бэр, 1; *Бурштин, 1; *Камке, 2; *Крулль, 1 (стр ПО
и ел.); *Э. Нётер, 1 и 2; Юстровский, 1; *Прюфер, 1; *Суслин, 1; *Тамбс
Лиш, 1; *Цермело, 6. Об использовании аксиомы выбора в теории
представлений булевых алгебр см. *Стоун, 4.

92 Г л II. Аксиоматические основания теории множеств
родными. Фактически в современной алгебре обнаруживается
тенденция избегать непосредственного обращения к аксиоме
выбора или теореме о вполне упорядочении.
Как доказал Хаусдорф1), каждое частично упорядоченное
множество (Г, стр. 179) включает по крайней мере одно
максимальное линейно упорядоченное множество, т. е.
упорядоченное подмножество, не являющееся собственным
подмножеством никакого линейно упорядоченного подмножества. Это
доказательство, использующее аксиому выбора, следует методу
первого доказательства Цермело теоремы о вполне
упорядочении (см. ниже, стр. 93—94). Независимо, но также при помощи
аксиомы выбора, эта теорема была позже доказана Куратов-
ским2). Наконец, независимо от этих результатов и друг от
друга, Цорн3) и Тейхмюллер4) ввели два принципа,
заменяющие в абстрактной алгебре теорему о вполне упорядочении5).
Формулировка этих принципов, несколько видоизмененнаяБер-
найсом6), такова.
(Ζ) В каждом непустом замкнутом множестве А
подмножеств данного множества В1) есть максимальный член.
(Множество А множеств называется Замкнутым', если для каждой
цепи с, т. е. каждого множества, линейно упорядоченного
посредством соглашения, что σι<^σ2, если o\CZo2, — являющейся
подмножеством Л, ее объединение U с есть член А.)
(Т) В множестве А подмножеств данного множества
имеется максимальный член, если А обладает следующим свойством:
множество s принадлежит Л, тогда и только тогда, когда
каждое конечное подмножество множества s принадлежит Л.
Этот принцип в одной из двух указанных или родственной
им форме8) сейчас обычно называют леммой Цорна.
1) Хаусдорф, 14, стр. 140 и ел [В русском издании ГХаусдорф, 14/27/37),
как и во втором немецком (Хаусдорф, 27), с которого сделан перевод, этого
материала нет; впрочем, суть дела ясна из дальнейшего. — Перев.]
2) Куратовский, 22, стр. 80.
3) Цорн, 35; ср. *Р. Л. Мур, 1, стр. 84 (1932)
4) Тейхмюллер, 39 (где приводятся различные формулировки аксиомы
выбора и обсуждаются некоторые ее частные случаи, пригодные для применений
в алгебре).
5) В некоторых случаях, особенно в доказательствах общей теории
множеств, бывает удобно использовать и принцип максимума, и аксиому выбора;
ср., например, Хёниг, 54.
6) Бернайс, 37—54v, стр. 91—93. Здесь выводятся различные формы
принципа максимума в рамках аксиоматической системы Бернайса или ее части;
см ниже, § 7; ср. также изложение в гл. VI книги Бернайса, 58
(недоступной авторам при написании настоящей книги).
7) В первоначальной формулировке Цорна вместо 'множество
подмножеств данного множества' — 'множество множеств'. В рамках
рассматриваемой системы аксиом или системы Бернайса эти формулировки зквиполлентны.
8) Ср. также формы, приведенные в статье Бета, 53.

§ 4 Аксиома выбора
93
Г. Биркгоф1) и другие2) доказали, что лемма Цорна экви-
поллентна другим принципам максимума (в том числе
сформулированным выше) и теореме о вполне упорядочении, если
подходящим образом подобрать аксиоматическую основу.
Опишем вкратце доказательство теоремы о вполне упорядочении,
опирающееся на лемму Цорна (Z) 3).
Пусть s — произвольное множество. Обозначим через (t, Ot)
упорядоченную пару, состоящую из некоторого подмножества t множества s и
некоторого вполне упорядочения Ot множества /4). Пусть В— множество всех
таких пар. Две пары (tlt Ot^ и (t2, Ot^ назовем сравнимыми, если ^ cz £2,
Ot упорядочивает t\ так же, как Ot, a t\ есть начало (ср. стр 161)
h согласно этому упорядочению. Пусть А — множество всех таких
подмножеств В' множества В, что любые два члена В' сравнимы; легко видеть, что
А замкнуто и непусто. По (Z) А содержит непустой максимальный член С.
Объединение U всех множеств t, входящих в качестве первых элементов 5)
в пары (t, Ot) ζ С очевидным образом вполне упорядочено посредством
вторых элементов этих пар. Обозначив это упорядочение через Of, мы
получим, что С U Ut0, ΟΛ] принадлежит А\ следовательно, по
максимальному свойству С, /t0, ОЛ принадлежит С. Более того, t0 совпадает с s; в
самом деле, если бы s —10 содержало какой-либо член, то можно было бы,
рассуждая по известной схеме6), произвести расширение С (ср Т, стр 314
1) Биркгоф, 48, стр. 42—44 [стр 74—75 русского издания. — Перев ].
Аксиома, формулируемая в этой книге в качестве «первоначальной формы
аксиомы выбора Цермело», есть не общая аксиома Цермело (Цермело, 08а,
стр 274), противопоставляемая мультипликативной аксиоме Рассела, а
частный ее случай, использованный Цермело, 04 и 08, при доказательстве теоремы
о вполне упорядочении Готшальк, 52, также приводит различные
формулировки принципа максимума (или максимального принципа) (maximum
principle) , называя их все вместе «законом экстремума».
2) Уоллес, 44; Форт, 48 (частный случай леммы Цорна); Климовский, 49;
Обреану, 49; Бурбаки, 50 и 56; Кнезер, 50; Селе, 50; Витт, 51; (ср. Инагаки,
52); Воэм, 52; Банашевский, 53; Секи, 55 (в качестве основы здесь взята
система аксиом Гёделя, ср. § 7). (Более важные работы выделены жирным
шрифтом ) Доказательства эквиполлентности приведены также в некоторых
современных учебниках, например Россер, 53, стр. 493 и ел ; Келли, 55,
стр. 32—36; А. Робинсон, 55, стр. 15 и ел.; Гермес, 55, стр 136 и ел. (О
работах Бернайса см. § 7) Принцип максимума, рассмотренный Бюхи, 53, не
есть собственно лемма Цорна, поскольку он сформулирован в рамках
логической теории типов в форме Чёрча, 40 (а не теории множеств); с другой
стороны, теоретико-типовой аналог использованной при этом аксиомы
выбора соответствует не аксиоме Цермело, а ε-аксиоме Гильберта (гл. III).
3) Ср. доказательство на стр. 319—321 Г, очень близкое ко второму
доказательству Цермело теоремы о вполне упорядочении. Подробностями мы
обязаны Р. Брауэру (R. Brauer) и А. Робинсону.
4) Упорядоченные пары легко сводятся к [неупорядоченным. — Перев.]
парам {а, 6}, а (вполне) упорядочение множества t есть некоторое
множество упорядоченных пар членов t\ кроме того, существует множество всех
таких (t, Ot), что t с: s; см. § 8.
5) См. определения на стр. 142. — Прим. перев.
6) То есть так, как это делается в любом доказательстве теоремы о
вполне упорядочении. — Прим. перев.

94 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
или 321). Это показывает, что Ot определяет вполне упорядочение
множества s = /0, чем и завершается доказательство.
Последний пример, как и первый, относится к абстрактной
теории множеств; речь пойдет о тех самых применениях
аксиомы выбора, ради которых она и была первоначально
введена: о теореме о вполне упорядочении и о сравнимости
кардинальных чисел (Г, стр. 309—315).
Оба предложенные Цермело доказательства теоремы о
вполне упорядочении {) основаны на одновременном выборе
конкретного («представляющего» (distinguished)) члена из каждого
непустого подмножества того множества s, которое подлежит
вполне упорядочению; иначе говоря, эти доказательства
исходят из предположения о существовании такой однозначной
функции /, областью определения которой служит множество
непустых подмножеств χ множества s, что всегда f(x)^x.
Теорему о сравнимости мощностей можно либо вывести из
теоремы о вполне упорядочении, используя сравнимость вполне
упорядоченных множеств, либо доказать непосредственно с
помощью аксиомы выбора (7\ стр. 319—321).
Более того, аксиома выбора, теорема о вполне
упорядочении и теорема о сравнимости мощностей эквиполлентны в
следующем смысле. Очевидно, что теорема о вполне упорядочении
влечет мультипликативный принцип в том виде, как он
сформулирован на стр. 65, т. е. для расчлененного множества t\
следовательно, эта теорема эквиполлентна аксиоме выбора2).
В самом деле, произвольное вполне упорядочение 28
множества-суммы U t одновременно вполне упорядочивает каждое
подмножество U tt а тем самым и каждый член t.
Следовательно, по аксиоме выделения, существует множество
представителей t, например подмножество U t, содержащее первые члены
каждого члена t согласно вполне упорядочению 2В.
Между прочим, любое вполне упорядочение произвольного
множества s приписывает каждому непустому подмножеству 5
некоторый «представляющий» его член; отсюда непосредственно
1) Цермело, 04 и 08. По поводу явного проведения доказательства из
Цермело, 08, в рамках рассматриваемой системы аксиом ср. *Филер, 1,
стр. 4—7. Бернайс, 37—54iv; cip 143—145 сравнивает оба доказательства с
точки зрения их аксиоматической простоты и предлагает некоторую
промежуточную форму, обладающую определенными, преимуществами, см. ниже
§ 7. — Прим. автора.
См. также примечания 4 на стр. 67 и 2 на стр. 68. — Прим. перев.
2) Лебег, 41, стр. 118, несколько скептически сравнивая аксиому выбора
с принципом непрерывности Понселе, прямо формулирует ее следующим
образом: любое свойство, применимее к каждому вполне упорядоченному
множеству, применимо к каждому множеству, если только это не свойство,
связанное с порядком.

$ 4. Аксиома выбора
95
получается вышеупомянутая форма аксиомы выбора, не
использующая предположения о расчлененности множества 5.
До сих пор речь шла о переходе от аксиомы выбора или от
теоремы о вполне упорядочении к теореме о сравнимости
мощностей. Обратный переход осуществлен в доказательстве Хар-
тогса1), справедливом не только по отношению к точечным
множествам (подмножествам континуума), но и к любому
абстрактному множеству. (Рассматриваемая нами
аксиоматическая система используется в этом доказательстве в той мере,
в какой оно относится к теории эквивалентности; ввиду
сказанного в § 8 этими же средствами может быть легко
воспроизведена та его часть, которая касается порядка и вполне
упорядочения.) Отправляясь от произвольного непустого
(упорядоченного или неупорядоченного) множества s, мы получаем
без помощи аксиомы выбора, пользуясь методом, описанным
на стр. 81, некоторое вполне упорядоченное множество С (на
стр. 81 оно было названо множеством всех «классов»), члены
каждого из членов которого суть подобные друг другу
вполне упорядоченные подмножества S; в точности так же, как
в частном случае линейного континуума, доказывается, что С
не эквивалентно ни s, ни какому-либо из подмножеств s2). (Из
этого, между прочим, следует, что не существует множества,
мощность которого превосходила бы мощность любого вполне
упорядоченного множества.)
Таким образом, если принять в качестве исходного
принципа сравнимость множеств*), s оказывается эквивалентным
некоторому подмножеству вполне упорядоченного множества С
и имеет меньшую, чем С, мощность. Из этого следует, что 5
может быть вполне упорядочено посредством взаимно
однозначного отображения на некоторое подмножество С.
Сравнимость4) влечет теорему о вполне упорядочении, а тем самым
и аксиому выбора. Итак, эти три предложения — эквиполлент-
ные принципы. Принимая одно из них за аксиому, мы получим
остальные в качестве доказуемых теорем. То обстоятельство,
что в основаниях теории множеств и математики предпочтение
J) Хартогс, 15.
2) Рассуждая далее точно так же, как на стр. 82; мы приходим к
следующему результату: каждому множеству s можно эффективным образом
сопоставить некоторое вполне упорядоченное множество w(s), о котором без
помощи аксиомы выбора можно доказать, что его мощность (алеф) не
меньше и не больше, чем мощность s, в то время как мощность каждого отрезка
w(s) меньше, чем мощность s.
3) Выше речь шла о сравнимости мощностей; но при содержательном
(неаксиоматическом) подходе оба понятия сравнимости не только эквипол-
лентны, но попросту означают одно и то же. — Прим. перев.
4) См. предыдущее подстрочное примечание. — Прим. перев.

96 Гл. //. Аксиоматические основания теории множеств
обычно отдается аксиоме выбора, объясняется общелогическим
характером этой аксиомы, а не ее большей очевидностью. Даже
в тех случаях, когда функция, выделяющая некоторый
конкретный член в каждом непустом подмножестве данного
множества, может быть построена, ее построение обычно не
легче, чем непосредственное вполне упорядочение этого
множества.
Чисто экзистенциальный характер аксиомы выбора
становится особенно заметным (и прискорбным) при ее применении
к доказательству теоремы о вполне упорядочении. Это
доказательство совершенно неприменимо к задаче конкретного вполне
упорядочения, из которого можно было бы извлечь какие-либо
выводы относительно алефа рассматриваемого множества;
особенно это относится к наиболее важному случаю, когда
подлежащее вполне упорядочению множество есть континуум. Этим
объясняется неприступность континуум-проблемы, как в ее
частной, так и в обобщенной форме, чем в значительной мереи
обусловлено распространенное недоверие {) к аксиоме выбора.
Переходя к вопросу о связи между аксиомой выбора и
обобщенной континуум-гипотезой (Г, стр. 3182), а также ниже,
§ 5 и 7), сформулируем последнюю в следующих трех
различных формах:
(Hi) Если с—трансфинитное кардинальное число (мощность),
то соотношение с < d < 2е не удовлетворяется ни одним
кардинальным числом d (иными словами, c^Cd^l2е влечет
либо d — с, либо d = 2е).
(Н2) Если а—алеф, то соотношение a<d<2c не
удовлетворяется ни одной мощностью d.
(Н3) Для всякого порядкового числа а
* — 24 а-Л·
В 1926 г. Линденбаум и Тарский 3) высказали утверждение,
что допущение (Hi) влечет аксиому выбора; двадцать лет
спустя это утверждение было доказано Серпинским 4).
J) Ср. ниже, п. 5, стр. 98 и след. — Прим. ред.
2) Где приводится посвященная этому вопросу обширная литература:
°Серпинский, 24, 30, 33, 33а, 34, 34а, 34в, 35, 35а, 36, 37, 41; °Браун — Серпин-
ский, 33; Туревич, 28; *Козневский— Линденбаум, 1; Линденбаум —
Тарский, 26; * Лузин, 10; °Патай, 28; сПикар, 35, 37; °Рузевич, 35, 36, 37;
барский, 25; °Фоллей, 40. — Прим. перев.
3) Линденбаум — Тарский, 26, стр. 314; ср. Тарский, 29, где, по-видимому,
впервые выражено мнение, что континуум-гипотеза независима от обычных
аксиом теории множеств — мнение, разделяемое ныне большинством
математиков (ср. также Бэр, 29).
4) Серпинский, 47. Следовательно, согласно Шпеккеру, 53, (Hi) не имеет
места в системе New Foundations Куайна, 37.

§ 4. Аксиома выбора
97
Конечно, (Н3)—уже в частном случае а = 0 — достаточно
для вполне упорядочения континуума.
Линдебаум — Тарский, 26, предположили также, что (Н2) и
(Н3) эквиполлентны и что для получения предложения, экви-
поллентного более сильной формулировке (Hi), к каждой из
этих более слабых формулировок нужно присоединить аксиому
выбора.
Кроме того, если (Hi) истинно для каких-либо конкретных
значений с, 2е (и 22С), то эти мощности суть алефы1).
Аналогичные различия между эквиполлентными на вид
утверждениями имеют место и в более общих случаях,
обусловливая разнообразие связанных с аксиомой выбора ситуаций.
Возьмем, например, следующие предложения о «следующих
друг за другом» (successive) мощностях тип:
(Pi) Для каждой мощности т найдется такая мощность п, что
a) т <п,
b) ни для одной мощности ρ не имеет места //!</?<#.
(Р2) Для каждой мощности т найдется такая мощность п,
что
a) т <п,
b) для каждой мощности ρ m<ip влечет η^ζ,ρ.
(Р3) Для каждой мощности т найдется такая мощность п>
что
a) т < #,
b) для каждой мощности ρ р<п влечет р^т.
Как показал Тарский2), (Pi) может быть доказано без
аксиомы выбора, тогда как (Р2) эквиполлентно аксиоме; до сих
пор не известно, можно ли без помощи аксиомы выбора
доказать (Р3) 3).
То, что сравнимость мощностей эквиполлентна аксиоме
выбора, не удивительно. В связи с большинством теорем
арифметики мощностей имеет место альтернатива; либо данная
теорема доказуема без помощи аксиомы выбора, либо же — если
аксиома выбора требуется для доказательства — теорема экви-
1) Высказано в работе Линдебаума — Тарского, 26, стр. 314, по
отношению к трем вышеупомянутым мощностям; для С доказано Серпинским,
47, в предположении (Hi) для с, 2е и 22 , а для 2е —Шпеккером, 54, в
предположении (Hi) для С и 2е>
2) Тарский, 54; ср ранее Тарский, 48, стр. 80—84 и 93.
3) В готовящейся к печати работе А. Леви [речь идет о работе °А. Леви,
64. — Перев.], использующей модель Мостовского, 39, показано, что
ответ на этот вопрос отрицателен, даже если к аксиомам добавлен принцип
упорядочения (с) со стр. 73. (Примечание авторов при корректуре
амстердамского издания.}
7 Зак. 1765

98_ Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
поллентна аксиоме выбора, т. е. в свою очередь влечет ее. Даже
для тех математиков, которые отвергают аксиому выбора из-за
ее экзистенциального характера, такие теоремы об
эквиполлентности сохраняют определенное значение1).
В этом направлении получено большое количество
результатов, по поводу которых мы отсылаем читателя к
соответствующей литературе2). Сформулируем все же здесь несколько
предложений, эквиполлентных аксиоме выбора:
A) Для каждой неиндуктивной мощности с с2 —с3).
B) Для любых двух мощностей с и d неравенство c+c<c-\-d
влечет c<d (в то же время без использования аксиомы выбора
с-{-с>с 4-d влечетc>d, a c<d влечет с -+-c<c-\-d).
C) Каждая неиндуктивная мощность есть простое число в
том смысле, что никакая такая мощность не является
произведением двух меньших мощностей4).
5. Отношение математиков к аксиоме выбора. В заключение
нашего рассмотрения аксиомы выбора мы вкратце коснемся
вопроса об отношении к ней математиков, начиная с того
времени, как эта аксиома была в начале двадцатого столетия
сформулирована в явном виде. («Предистория» аксиомы
выбора описана на стр. 66 и след.)
Отрицательное отношение большинства интуицнонистов,
обусловленное экзистенциальным характером аксиомы выбора,
будет особо отмечено в гл. IV. Разумеется, и здесь есть
некоторые исключения; дело в том, что эквиполлентность аксиомы
выбора теореме о вполне упорядочении (отвергаемая всеми ин-
туиционистами) зависит, inter alia5), от процедур, носящих, по
общему мнению, непредикативный характер. Поэтому можно
1) То же самое относится к менее важным результатам о том, что
некоторые предложения можно доказать с помощью аксиомы выбора, но не
удается без нее (результатам, зависящим от допущения о независимости
аксиомы).
То же можно сказать о следствиях из континуум-гипотезы (или
эквиполлентных ей предложениях) независимо от того, как относиться к этой
гипотезе.
2) Например, Линдебаум — Тарский, 26, стр. 311 и ел.; *Тарский, 3 и 32;
Линдебаум — Мостовский, 38, и исчерпывающий перечень в книге Г. Бах-
мана, 55, § 31; ср. также *Тарский, 29. Как указывалось выше, аксиоме
выбора эквиполлентны и многие предложения, не имеющие отношения к
арифметике мощностей, как принадлежащие теории множеств, так и не
принадлежащие ей.
3) Ср. Г, стр. 303, соотношение (2). В работе *Цорна, 2, дано
доказательство этого равенства, использующее непосредственно лемму Цорна
(вместо окольного способа, связанного с теоремой о вполне упорядочении и
порядковыми числами).
4) См. *Серпинский, 26.
5) Кроме всего прочего (лат.). —Прим. перев.

§ 4 Аксиома выбора
99
отвергать теорему о вполне упорядочении, поскольку она
связана с непредикативными методами, и принимать в то же
время аксиому выбора. Такова была позиция Пуанкаре.
Если же оставить в стороне интуиционистскую точку зрения,
то как положительная, так и отрицательная позиция по
отношению к аксиоме выбора обсуловлена в гораздо большей
степени эмоциональными и практическими причинами, нежели
соображениями принципиального характера.
Для тех, кто принимает и применяет аксиому выбора,
основным мотивом служит необходимость ее (или теоремы о вполне
упорядочении) для доказательства важных теорем анализа и
теории множеств; этот аргумент оказался настолько сильным*
что даже ученые, отвергавшие в принципе экзистенциальные
методы, не могли иногда удержаться от использования аксиомы
выбора в своих исследованиях по анализу. Что касается
алгебры, то трудно, пожалуй, более отчетливо
проиллюстрировать эволюцию отношения к аксиоме выбора, чем это делается,
в основополагающей работе Штейница 1) (цитируется в переР-
воде): «Пока что многие математики занимают
отрицательную позицию по отношению к принципу выбора. Оппозиция
против этого принципа будет, по-видимому, все более
ослабевать по мере понимания того, что есть математические
проблемы, которые нельзя решить без его помощи. С другой
стороны, коль скоро применение принципа не является
неизбежным по существу рассматриваемой проблемы,
представляется разумным ради чистоты метода обходиться без него.
Я стремился к тому, чтобы эта граница была отчетливой».
Однако и противники аксиомы выбора руководствовались
скорее психологическими, нежели логическими соображениями,
вопреки мнению такого авторитета, как Лебег, утверждавшего,
что никакой дискуссии между обеими сторонами быть не
может, «поскольку у них нет общей логики», так что ничего, кроме
взаимных оскорблений, у них не может получиться. (Ср.,
однако, приводимые ниже, на стр. 102—103, цитаты.) По сути дела,
до тех пор пока (неявное и бессознательное) использование
этой аксиомы Кантором и другими было связано лишь с
арифметическими операциями над мощностями и порядковыми
типами или обеспечивало неравенство нулю отличных от нуля
сомножителей,— короче, было связано только с обобщенными
арифметическими понятиями и свойствами, хорошо известными
для конечных чисел, — никто не был в претензии. То же можно
сказать и о применениях аксиомы выбора в некоторых
доказательствах из анализа. Однако стоило только Цермело исполь-
1) Штейниц, 10, Einleitung [Введение. — Перев.]я
7*

100 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
зовать эту аксиому, сформулированную в явном виде (1904 г.)
для доказательства одного из самых первых утверждений
Кантора, а именно теоремы о вполне упорядочении, как
математические журналы1) заполнил целый поток критических
статей, отвергавших это доказательство, причем главным их
мотивом было то, что аксиома выбора либо незаконна, либо
лишена смысла.
Правда, в пользу отказа от аксиомы выбора приводились
многочисленные и разнообразные доводы; однако нельзя не
почувствовать, что общим источником всех этих аргументов
явилось нежелание принять сам результат этого
доказательства — теорему о вполне упорядочении, в которую оппоненты
не верили. Это нерасположение чрезвычайно усилилось, когда
стало очевидно, что основная цель, связывавшаяся с вполне
упорядочением с 1880 г., а именно выяснение места мощности
континуума в ряду алефов, не достигается с помощью теоремы
о вполне упорядочении. Огромные трудности, связанные с этой
континуум-проблемой, сегодня более ясные, чем 70 лет назад,
навели многих математиков начала столетия на ту мысль, что
(линейный) континуум и еще более сложные множества
вообще не могут быть вполне упорядочены — иными словами, что
,^=2^°, 2** и т. д. не являются алефами. Убежденность
Кантора, с которой он отстаивал противоположную точку зрения,
столь драматически проявившаяся на Третьем международном
конгрессе математиков (1904 г.; ср. Г, стр. 307, подстрочное
примечание 3), не оказала надлежащего воздействия даже на
многих математиков, занимающихся теорией множеств, не
говоря уже о математиках вообще. Когда Цермело в своих
кратких заметках, 04 и 08, при всем их остроумии простых по
технике изложения, доказал прямо противоположное, т. е.
подтвердил точку зрения Кантора, не предложив, однако,
никакого метода, позволяющего найти соответствующие алефы,
создалось впечатление, что доказательства Цермело приводят
к слишком сильным результатам и некорректны. С другой
стороны, большинство критиков, не обнаружив каких-либо ошибок
в доказательствах Цермело, подвергли сомнению их основу —
аксиому выбора, причем не столько в силу спорности самой
1) См,, в частности, т. 60 Mathematishe Annalen (первое доказательство
Цермело опубликовано в т. 59), Адамар, 05, и примечание IV в книге Бо-
реля, 14. Как особенно явствует из этого примечания, среди противников
аксиомы с самого начала были разногласия, касающиеся того случая, когда
множество / счетно; в этом случае Борель, как и Данжуа, 46—54, считает
допущение о существовании множества представителей вполне приемлемым,
тогда как Лебег для различения между разными бесконечными
мощностями t не видит никаких оснований, кроме разве что психологических.

§ 4. Аксиома выбора
101
.аксиомы выбора, сколько из-за спорности вытекающих -из нее
следствий. Конечно, источник этого скептицизма заключается
в непонимании экзистенциональной сущности теоремы о вполне
упорядочении, предопределяющей ее бесполезность для
решения таких конструктивных вопросов, как континуум-проблема.
Правда, не любая оппозиция по отношению к цермеловским
доказательствам проистекала из враждебного отношения к
аксиоме выбора. Выше уже упоминалось о позиции Пуанкаре,
отвергавшего (действительное или кажущееся) использование
непредикативной процедуры в доказательстве теоремы о вполне
упорядочении. Пуанкаре, несмотря на свои интуиционистские
наклонности (см. гл. IV), был готов принять аксиому выбора,
допуская возможность существования правил, которые не могут
быть конструктивно или как-либо иначе полностью
сформулированы, в данном случае существования подмножеств |Д
которые не могут быть получены при помощи аксиомы выделения.
Эта позиция соответствует его взгляду, что решающим
критерием существования в математике служит отсутствие
противоречия.
Доказательства теоремы о вполне упорядочении
подвергались иногда и нападкам, основанным просто на
недоразумениях; в то же время предлагались и новые, но
неудовлетворительные доказательства этой теоремы1). В обоих случаях речь
шла о последовательности всех порядковых чисел (антиномия
Бурали-Форти): во-первых — с неверным предположением, что
правильные доказательства зависят от этой последовательности,
во-вторых — именно с небрежным ее использованием2).
Помимо теоремы о вполне упорядочении, с помощью
аксиомы выбора доказывается ряд утверждений совершенно иного
характера, в частности геометрических, парадоксальный
характер которых привел некоторых математиков к отказу от
этой аксиомы3). Первым из таких предложений (1914 г.) было,
>) Например, *ЖурДЭН, 10; *Шёнфлис, 8, стр. 172—173.
2) Многие возражения против первого доказательства опровергнуты в
саркастической форме самим Цермело, 08, который приводит дальнейшие
ссылки на литературу (до 1908 г.).
3) Например, Борель, *7 и 47, а также Булиган, 47 (ср. Бокстел, 49);
ср. отношение П. Леви, 50, считающего, что аксиома выбора имеет
логический характер. Данжуа, 46—54, часть V, справедливо замечает, что
некоторые усложнения в анализе, вызванные отказом от аксиомы выбора, не
менее парадоксальны, чем теорема Банаха — Тарского (подстрочное
примечание 3). [Здесь речь идет о серии предложений из работы Банаха — Тарского,
24, о возможности разбиений неконгруэнтных множеств евклидова
пространства на конечное число попарно конгруэнтных подмножеств.— Перев.]
Замечательной иллюстрацией служит результат *Серпинского, 29, что аксиоме
выбора некоторым образом эквиполлентно следующее кажущееся очевидным

102 Гл. П. Аксиоматические основания теории множеств
пожалуй, открытие Хаусдорфа, состоящее в том, что половина
поверхности сферы конгруентна ее трети1); позднее были
обнаружены и другие парадоксальные следствия аксиомы выбора2).
Ученым, работающим в области абстрактной или
прикладной теории множеств, может показаться странным, что даже
сегодня, когда аксиома выбора и теорема о вполне
упорядочении применяются уже полстолетия, многие первоклассные
математики (особенно французские) по существу относятся к
ним по-прежнему недоверчиво, что не мешает им успешно
работать в области теории точечных множеств и действительных
функций. Некоторые доклады и дискуссии, состоявшиеся на
международной конференции по основаниям математики в
Цюрихе в 1938 г.3), служат, можно сказать, классическим
образцом затянувшейся на несколько десятилетий бесплодной
полемики, несмотря на громадные успехи, достигнутые в
обсуждаемой области исследований. Примечательно, как излагает
свое отношение к аксиоме выбора Лебег:
En enongant ainsi mes exigences, je rial nullement voulu
decider en faveur de la position purement negative que fat adoptee.
Je ne la regarde nullement comme definitive; ce n'est qu'une
position dfattente; je Vai qualifiee de position de prudence et meme
peut-etre de routine, il у a de bien tongues annees deja, des les
premiers jours de la controverse 4).
предложение: если элементы некоторого множества s соотнесены
посредством некоторого однозначного отображения (с областью определения s)
элементам множества t, то мощность t не может быть больше мощности s.
1) Хаусдорф, 14, стр. 469. [В русском издании (°Хаусдорф, 14/27/37) этой
теоремы нет; точную ее формулировку и доказательство см. °Натансон, 50,
гл. XI, § 5, стр. 277—283. — Перев]
2) В частности, Банах — Тарский, 24 [см. примечание 3 к стр. 101.—
Перев.], фон Нейман, 29а; Р. М. Робинсон, 47.
3) В особенности Лебег, 41, Серпинский, 41, и соответствующие
дискуссии.
4) Лебег, 41, стр. 118. [«Формулируя таким образом свои требования,
я вовсе не хотел решать вопрос в пользу занятой мной чисто отрицательной
позиции. Я отнюдь не считаю ее окончательной; это всего лишь
выжидательная позиция; уже много лет назад, с первых дней возникновения спора, я
определил ее как позицию осторожную и, может быть, даже рутинную»
(фр ). — Перев.]
Уместно воспроизвести (в переводе) некоторые последующие замечания
Лебега; в связи с нашей аксиомой он говорит: «В каждом серьезном из
прошлых успехов смелость и осторожность шли рука об руку Почему бы им
и теперь не вести себя подобным же образом?.. Мне хотелось ясно показать,.,
что дискуссия не носила и не носит чисто логического характера... Каждый
из нас стремится понять природу сущностей, лежащих в основе
употребляемых слов, и быть уверенным, что он ее понимает. Для этого мы пользуемся
сравнениями, примерами, почерпнутыми из истории науки, действуем смело
или робко,., в зависимости, быть может, от нашего возраста или расы. Та-

§ 4. Аксиома выбора
103
Считалось, что, после того как в 1904 г. «пороховая бочка
взорвалась от спички, зажженной Цермело» в его первом
доказательстве теоремы о вполне упорядочении, создалась
странная ситуация: те, кто до того момента пользовался теорией
множеств, противились аксиоме выбора, тогда как прочие
математики были готовы ее принять1). Верно это или нет, но, во
всяком случае, с тех пор положение существенно изменилось
под воздействием самых различных причин: применения
аксиомы выбора к задачам почти каждого раздела математики;
глубоких и разносторонних исследований эквиполлентных этой
аксиоме предложений (с 1915 г.), значение которых не зависит
от допущения аксиомы; исследований о независимости
аксиомы (с 1922 г.) в ее более слабых и более сильных формах,
сопоставленные с нашей неспособностью получить без этой
аксиомы многие важные результаты; тот факт, что ни одно из
заключений, получаемых из аксиомы выбора, не привело к
противоречию, — факт, увенчанный в конце концов гёделевским
доказательством непротиворечивости аксиомы, т. е. ее
совместимости с некоторой разумной системой аксиом;
использования Гильбертом в его попытках доказать непротиворечивость
математики в целом (см. гл. V) крайне обобщенной
«логической» аксиомы выбора. Не следует также забывать, что в
некоторые из известных аксиоматических систем теории множеств —
в особенности в систему фон Неймана (см. § 6) — аксиома
выбора не входит явным образом, а является следствием других
аксиом, на вид не столь одиозных, как она сама.
Правда, обсуждаемая аксиома по своему характеру не
соответствует духу чистой арифметики или геометрической
строгости, как ее понимали греки. Но делать из нее на этом
основании козла отпущения было бы несправедливо, поскольку
современный «классический» анализ, а тем самым и геометрия
также, вообще говоря, не имеют в отличие от интуиционистской
математики (гл. IV) такого характера2). При рассмотрении
того факта, что не утверждается никакой возможности по-
ким образом, вопрос состоит в том, чтобы попытаться развить новую главу
математики. В чем же тогда польза логики? Конечно же не в том, чтобы
убеждать, способствовать уверенности... В тот исторический момент, когда
мы вышли из связанных с парадоксами теории множеств дискуссий, в
которых никто из нас не видел путей восстановления логики, казавшейся
разрушенной, мы тем не менее продолжали прилагать эту самую логику к
изучаемым нами проблемам; дело в том, что принятая в дискуссии позиция
философского сомнения вовсе не исключает полной уверенности...
Уверенность не создается логикой... В исследованиях оснований и метода
математики следует предоставить простор для психологии и даже для эстетики».
1) См. Лебег, 41, и Серпинский, 41.
2) Ср. Адамар, 05.

104 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
строения, нет никаких оснований, по которым непустоту
прямого произведения непустых сомножителей или идею вполне
упорядочения континуума следовало бы считать рискованными
гипотезами.
Верно, что аксиома выбора была явно сформулирована
лишь в двадцатом столетии и, по-видимому, не использовалась
в неявном виде раньше, чем за два десятилетия до этого. Но
любой математический принцип был в какой-то момент
сформулирован впервые, и притом спустя значительное время после
того, как он использовался неявно и неосознанно. В течение
столетий развитие математики шло в двух направлениях;
экстенсивно, за счет выведения новых заключений из допущенных
ранее положений, и, менее заметным образом, за счет
присоединения к принятым ранее новых допущений или принципов в
соответствии с нуждами науки.
В действительности к аксиоме выбора пришли точно так
же, как и к другим математическим принципам, а именно
путем апостериорной проверки и логического анализа понятий,
методов и доказательств, уже содержавшихся фактически в
математике, первоначальный интуитивный характер развития
которой покоится скорее на психологическом, нежели на
логическом фундаменте. Именно такого рода анализ и привел к
рассматриваемому нами принципу, ссылка же на его
интуитивную или логическую очевидность играла не более чем
второстепенную роль1). Так, греческие математики догадались
включить в число основных геометрических принципов аксиому о
параллельных — достижение, гениальность которого была
полностью оценена лишь более двух тысячелетий спустя. Когда в
середине XIX столетия была окончательно доказана
независимость аксиомы параллельных, никому и в голову не пришло
отказываться от тех частей геометрии, которые зависят от этой
аксиомы (метрической и аффинной геометрии). Подобным же
образом мы должны разрешить использующие аксиому выбора
рассуждения в алгебре, анализе и теории множеств, но в то же
время выяснить, какие результаты могут быть получены без
этой аксиомы2), и там, где это возможно, обходиться без нее.
1) Эта идея играет существенную роль в философских системах Канта
и Фриса. В логике, например, многие принципы обосновываются
очевидностью вытекающих из них следствий (ср. *Шиллер, 1); в геометрии
существование подобных, но не конгруентных фигур можно считать гораздо более
очевидным, чем аксиому о параллельных. Поэтому противоположная точка
зрения *Коллингвуда, 1, представляется малоприемлемой.
2) Интересно, что такая возможность имеет место для многих проблем,
касающихся абстрактных пространств; ср. *Фаэдо, 1. По поводу анализа
(в частности, интеграла Лебега) ср. Чиполла, 13, и Тонелли, h (гл. III и IV);

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
105
Так можно научиться отличать части математики, не
зависящие от экзистенциальных принципов выбора и вполне
упорядочения, от тех, где без них не удастся обойтись.
По аналогии с геометрией (при которой абсолютная
геометрия соответствовала бы фрагментам математики, не
зависящим от принципа выбора) напрашивается вопрос, какой вид
примет анализ и теория множеств, если принять принцип,
отрицающий аксиому выбора. Такая «нецермеловская» теория
в известном смысле соответствует неевклидовой геометрии —
при условии, что в конце концов будет доказана независимость
аксиомы выбора 1).
Последним замечаниям, по-видимому, соответствует подход,
принятый в Principia Mathematica: задаваться вопросом не о
том, «истинна» ли, неизбежна, или допустима аксиома выбора,
а о том, какие дополнительные части математики могут быть
получены в результате ее допущения. Такой подход
представляется еще более законным сейчас, после того как доказана
непротиворечивость аксиомы выбора. Однако именно в связи
с гёделевской квазиплатонистской концепцией математической
истинности2) прочность этой релятивистской позиции
становится сомнительной. Ведь согласно этой концепции,
понимаемой как в наивном смысле, так и в связи с какой-нибудь
подходящей системой аксиом (включающей, быть может, и какие-
либо аксиомы непредвиденного характера), континуум-гипотеза
(даже в сильной форме (Н4) стр. 96) есть предложение,
которое должно быть либо истинным, либо ложным. Но истинность
континуум-гипотезы, согласно результатам Линденбаума —
Тарского, 26, и Серпинского, 47, влечет истинность аксиомы
выбора. Поэтому, по крайней мере при определенных трактовках
понятия математической истинности, утверждение аксиомы
выбора носит не гипотетический, а категорический характер.
§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
Средства общей теории множеств3), определяемой
аксиомами I—VI (или соответствующими им аксиомами систем § 6
и 7), недостаточны для доказательства существования беско*
по поводу теории множеств, кроме цитированных выше работ, см. Линден-
баум — Тарский, 26, и Тарский, 7.
1) Чёрч, 27, исследует, какой вид принимает при некоторых формах
отрицания аксиомы выбора теория порядковых чисел, в частности чисел
второго числового класса. Вообще о принципах, отрицающих аксиому выбора
(являющихся ее альтернативами), см. Бахман, 55 (§ 39), и 56, стр. 113 и ел.
2) См. Гёдель, 47; ср. ниже, стр. 120—121.
3) Этот термин используется здесь в смысле, отличном от того, в каком
употребляется Бернайсом, 37—54ιν-ν, и ниже в § 7.

106 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
печного множества. В самом деле, теоремы 1 и 2, стр. 60—61, и
аксиома пары (II) дают лишь пустое множество и для
произвольных данных множеств s и t — множества {s} и {s, f}\
множество-сумма конечного множества конечных множеств и
множество-степень конечного множества конечны, и то же самое
относится к подмножествам конечного множества, а также к
пересечению и прямому произведению (теоремы 3 и 4, стр.61 —
62) конечного числа конечных множеств. Короче говоря, если
в качестве исходного взять пустое множество, то
аксиомы I—VI обеспечивают существование лишь конечных
множеств, хотя и получится, что существует бесконечно много
множеств1). Заметим, что если ограничиться рассмотрением
конечных множеств, то нет надобности во всех этих аксиомах.
В отношении аксиомы выбора это было уже показано на
стр. 69; легко видеть, что так же обстоит дело и с аксиомой
множества-степени и аксиомой выделения.
Впрочем, эти вопросы не имеют особого значения, если,
конечно, наши интересы не ограничены определенными частями
арифметики, а обращены к теории множеств и анализу. В этих
же случаях не обойтись без бесконечных множеств, с их
мощностями и порядковыми типами, а для этого аксиом I—VI уже
недостаточно 2).
Поэтому нам нужна еще дополнительная аксиома,
обеспечивающая существование бесконечного (рефлексивного)
множества3), проще всего — счетного множества (Г, стр.44). В
определении понятия 'рефлексивное' (ср. стр. 85) используется
понятие эквивалентности; но мы пока предпочитаем обходиться без.
производных понятий вроде 'эквивалентный', 'счетный',
'порядок' и т. п., которые будут введены формально в § 8.
Дедекинд4) и аналогичным образом за четыре десятилетия
х) Это рассуждение авторов не отличается точностью. С одной стороны,
было бы достаточно рассмотреть аксиомы I—VI и нет надобности в
рассмотрении отдельных теорем, которые, будучи следствиями из аксиом, не
могут дать по сравнению с ними ничего нового. С другой стороны,
следовало бы заметить, что аксиомы I—VI сами по себе вовсе не утверждают
существования хотя бы одного множества. В доказательстве теоремы 1
(стр 60) множество а выбирается не на основании этих аксиом, но оно
может быть введено в рассмотрение на основании теорем функционального
исчисления, ибо из постулатов этого исчисления вытекает непустота области,
в которой изменяется каждая переменная. Только посредством аксиомы
бесконечности существование хотя бы одного множества вводится независимо·
от этого обстоятельства. [Ср. Шепердсон, 51/53ι. — Ред.]
2) Ср по поводу более подробно развитых соображений о
независимости Бернайс, 37—54 ν ι, и Мендельсон, 56; ср. Россер, 55, стр. 57 и ел.
3) Об аксиомах бесконечности в Principia Mathematica и в родственных
ей системах — с теорией типов или без нее — см. гл. III.
4) Дедекинд, 1888, § 5; ср. более подробные примеры, приведенные *G.
Беккером, 2, стр. 98 и ел. (по отд. изданию), и *Шольцом, 2.

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
107
до него Больцано1) полагали, что они доказали существование
бесконечных множеств. Однако их методы не только
несовместимы с ограничениями нашей аксиоматической системы, но и
прямо приводят к логическим антиномиям (гл. 1). Дедекинд,
например, рассматривал множество Τ всех «объектов мысли»
и доказывал его рефлексивность следующим образом. Если t
есть произвольный член Г, то мысль Ί есть объект мысли'
также является членом Г, причем, очевидно, отличным от L
Следовательно, совокупность всех мыслей вида Ί есть объект
мысли' определяет собственное подмножество Г0 множества Г2),
а взаимно однозначное соответствие между Τ и Т0
устанавливается соотнесением каждому t £ Τ члена Г0, выражающего Ч
есть объект мысли'; таким образом, множество Τ рефлексивно.
Однако множества такого рода, как Г, приводят к
антиномиям3). Действительно, после опубликования антиномии
Рассела Дедекинд на некоторое время отказался от своей работы
(имеющей, впрочем, независимо от упомянутых доводов
выдающееся значение).
С аксиоматической точки зрения есть только одна
возможность получения бесконечных множеств — постулировать их
существование. Мы выскажем соответствующую аксиому в двух
(несущественно различающихся) формулировках. Первая из
них соответствует первоначальной аксиоме бесконечности Цер-
мело, вторая же неявным образом исходит из принадлежащего
фон Нейману метода введения порядковых чисел4).
Аксиома бесконечностиVII. Существует по крайней мере
одно множество Ζ, обладающее следующими свойствами5):
a) О 6Ζ,
b) если* £ Ζ, то также (jk}£Z6).
1) *Больцано, 3, § 13.
2) Элементом Т, не входящим в Г0, служит при этом произвольный
объект мысли, не имеющий вида 'есть объект мысли', например сам
Дедекинд. — Прим. ред.
3) Посредством аксиомы выделения из него можно получить множество
всех множеств, и т. д. Впрочем, это применение аксиомы выделения выходит
за пределы тех методов уточнения понятия «дефинитного» предиката, о
которых шла речь в § 3 (стр. 86). Можно думать, что при надлежащем
уточнении границ употребляемого языка эти антиномии исчезнут, но авторы не
исследуют здесь этого вопроса глубже. — Прим. ред.
4) Цермело, 08а; фон Нейман, 23 (см. ниже, § 6); более общая, хотя и
эквиполлентная, формулировка аксиомы VII дается Ваном, 49, стр. 151.
5) Конечно, такие множества несовместимы с теорией типов (гл. III);
ср. Уайтхэд — Рассел, 10—13ц, стр. XI—XII и 198—199.
6) Более сильная форма, чем цермеловская аксиома VII, вводится в
работе Френкеля, 27, стр. 114, аксиома VII с, и используется позднее Р.
Робинсоном, 37, аксиома 8.3, и Бернайсом, 37—54 (части III и VI, аксиома VI*).
В этой более сильной форме аксиомы вместо {х} допускаются более общие

108 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
Аксиома бесконечности VII*. Существует по крайней мере
одно множество Z*, обладающее следующими свойствами1):
a*) 0£Z*,
Ь*) если χζΖ\ то также (χυ(χ))ζΖ*2).
В символической записи:
VII. (Ez)[0£z8i{kx){x£zzD [χ] ζ ζ)].
Vir. (Ez)[0£z8l(Ax)(x£ζ => (χ и {χ}) £ζ)\.
«Первые» члены любого множества Ζ, удовлетворяющего
аксиоме VII, суть, очевидно, О, {О}, {{О}), {{{О}}} и т. д.,
причем они отличны друг от друга; например, {0}фО, поскольку
первое множество содержит член, а именно О, а второе не
содержит никакого члена3).
Что же касается множества Ζ*, то О £ Ζ* влечет [0}£Ζ*.
Следовательно, {0)^{{0}) = {О, {О}}, и {О, {0}М{9, {О}}) —
= {О, {О}, {О, {О}}} и т. д. также суть члены всякого Ζ*,
удовлетворяющего аксиоме VII *.
При выводе дальнейших следствий из аксиомы
бесконечности4) мы довольствуемся формой VII; эти результаты mutatis
mutandis5) справедливы также и для формы VII*.
Пусть Ζ есть произвольное множество6), обладающее
свойствами, указанными в аксиоме VII, U= CZ—множество^степень
множества Ζ, Π — множество всех таких подмножеств и
множества Ζ, которые содержат в качестве члена пустое множество и
для каждого χ ζ и, также имеет место {χ} ζ и. U есть
подмножество t/, существующее в силу аксиомы выделения. Ясно, что
пересечение Zo=f[U членов* U обладает обоими свойствам^,
характеризующими члены U\ поэтому Ζ0?Ξ Ζ, а также Z0 £ U.
Пусть теперь Ζ' есть другое произвольное множество, обла-
дающее свойствами а) и b)7), a Ζο—пересечение, образован-
функции от х; эта новая аксиома, как и аксиома VIII (стр. 111), не зависит
от других аксиом, в том числе и от аксиомы VII; см. Россер — Ван, 50,
стр. 128.
*) Μ существует по теореме 2, стр. 60—61, а х w {х}— по аксиомам II
и III.
2) Ср. несколько иную, более общую формулировку у Гёделя, 40.
3) Попарная различность указанных членов Ζ доказывается в общем
случае индукцией по наибольшему из чисел фигурных скобок в
сравниваемых выражениях. — Прим. ред.
4) Ср. Цермело, 08а, стр. 267 и 280—281; Френкель, 25, § 4.
5) С соответствующими изменениями. — Прим. перев.
6) Ни VII, ни VII* в отличие от аксиом II—V не дают однозначно
определенного множества. Видоизменение, приводящее к однозначности,
предложено Сколемом, 52 и 57а, стр. 40—43.
7) Наши аксиомы не позволяют нам построить множество всех множеств»
обладающих свойствами а) и Ь).

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения 109
ное из Z' таким же образом, как Z0 образовано из Z.
Пересечение Z0—Z0oZo опять-таки обладает обоими вышеуказанными
свойствами; поскольку Z0cZhZ0 ^Ζ,τοΖο^Ζο hZOc Zo1).
Следовательно Zo = Zo = Zo·
Таким образом, оказывается, что множество Ζ0, хотя оно
и построено при помощи произвольного множества Ζ,
удовлетворяющего условиям аксиомы VII, не зависит от Ζ. Ζ0 есть
подмножество каждого такого множества Ζ; поэтому оно есть
наименьшее множество, обладающее свойствами VII; оно
содержит О, а следовательно, и {О}, а следовательно, и {{О}} и т. д.
Zo можно представить как множество всех неотрицательных
целых чисел, поскольку пустое множество О можно обозначить
цифрой Ό', {О} — цифрой 'Г, и вообще [х] — 'следующие за х'
(в терминах пеановских аксиом для натуральных чисел2)).
Исходя не из аксиомы VII, а из аксиомы VII*, мы получим
вместо множества
Ζ0={Ο, {О), {{О}}, {{{О}}},...}
множество
ZS= {О, {О}, {О, {О} ), {О, [О], {О, {О} }},...},
которое также можно представить как множество всех
неотрицательных целых чисел3). Члены Zo фактически суть конечные
порядковые числа в теории фон Неймана (стр. 130). Из любых
двух различных членов Zo один есть одновременно член и
*) Именно Z0 является, в силу сказанного, одним из и, т. е. Ζ0ζί/, а
потому пересечение всех и из U, т. е. Ζ0, является подмножеством Ζ0;
аналогично получается и Z0C1 Z0. —Прим. ред.
2) Аксиомы Пеано, грубо говоря, постулируют, что для каждого числа
есть «следующее (за ним)», что есть особое число, не следующее ни за каким
числом, что каждое число, кроме этого особого, следует (не более чем) за
одним числом и что (принцип математической индукции) нет никаких других
чисел, кроме тех, существование которых вытекает из сформулированных
условий. О более слабых формулировках см., например, Девиде, 55; ср.
подстрочные примечания 1 и 2 в Г, стр. 250, а о возникающих более глубоких
вопросах — Гильберт — Бернайс, 34—39ь
Ή т. д.' и точки используются на этой странице совершенно
неформально. Более строгое рассмотрение см. в конце § б (релятивизация) и в
гл. V (полнота, категоричность).
3) Авторы здесь не доказывают, что каждый элемент множества Ζ0 и Ζ *
имеет вид, указанный в скобках. Этого и нельзя сделать, если пользоваться
аксиомой выделения только для «дефинитных» предикатов, определяя «де-
финитность», как указано на стр. 56—57, ибо свойство выражения иметь,
например, вид {. ..{{0}}....} не является «дефинитным»; свойства указанных явно
членов Zo невыразимы в рассмотренном выше языке теории Z. — Прим. ред.

ПО Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
подмножество другого, в результате чего в Ζο установлен
единственный «порядок».
В аксиоматической теории эквивалентности (ниже, § 8)
доказывается, что Z0 есть бесконечное (рефлексивное)
множество: для его собственного подмножества Z0 = Z0—{О}1)
соотнесением χ £Z0 множеству {х} £ Ζ0 осуществляется взаимно
однозначное отображение Ζ0 на Ζο. Поскольку Ζ0 есть
подмножество всякого множества Ζ, удовлетворяющего
аксиоме VII, каждое такое Ζ рефлексивно; требуемое отображение
Ζ на Ζ — {0}czZ осуществляется, например, посредством
указанного выше отображения для Z0c^Z, в то время как каждый
член множества Ζ — Ζ0 сопоставляется самому себе. То же
справедливо для Ζ*. Таким образом, наша аксиома
бесконечности требует лишь наличия начального члена О и исходной
функции, нужное же отображение не постулируется, а
строится2).
Правда, наша аксиома бесконечности гарантирует
существование лишь таких бесконечных множеств, которые
соответствуют с аксиоматической точки зрения счетным множествам
канторовской наивной теории. Однако при помощи аксиом § 3
можно получить и более обширные множества (см. § 8).
Тем не менее аксиом I—VII недостаточно для того, чтобы
обеспечить существование некоторых видов множеств3), по
поводу которых в канторовской теории никогда не возникало
сомнений. Простейшим примером множества, существование
которого не может быть доказано при помощи аксиом I— VII,
служит, пожалуй, счетное множество
Λ = \Δ§, Δ\·> -Ζ2, ···}»
где Ζο имеет вышеуказанное значение, a Zh+i есть множество-
1) Тут используется то, что всякий элемент Z0 имеет вид {х}; это
вытекает из того недоказанного утверждения, о котором говорилось в
предыдущей сноске. Но можно, не пользуясь этим утверждением, осуществить
взаимно однозначное отображение Z0 на его собственное подмножество (не
обязательно совпадающее с Z0), иначе, соотнеся каждому χ из Ζ0 член {х} того же
множества; эти соотнесенные члены образуют собственное подмножество Ζ0
(так как О отличен от всех {х} и входит в Ζ0), которое можно считать
существующим согласно аксиоме выделения (применяемой притом с
«дефинитным» предикатом) — 'быть единичным множеством {х} для некоторого
члена χ множества Ζ0\ — Прим. ред.
2) Это, по существу, метод Дедекинда, 1888; ср. Бернайс, 30, стр. 363—
364.
3) См. Френкель, 21/22, где впервые предложена аксиома подстановки;
Сколем, 22/23 (№ 4) и 29; ср. Френкель, 27, стр. 114—115, а также
предварительные идеи у Мириманова, 17. Фундаментальная важность аксиомы VIII
для теории порядковых чисел была впервые отмечена фон Нейманом, 23; ср.
фон Нейман, 28а, и Линденбаум — Тарский, 26.

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
ш
степень множества Zk. Значение множества А подчеркивается
тем обстоятельством, что мощность множества-суммы А
больше мощности любого члена А (а следовательно, >- Κω1))»
между тем как наши предыдущие аксиомы недостаточно сильны,
чтобы дать множество такой мощности.
Помимо того, что этих аксиом недостаточно для получения
некоторых конкретных (обширных) 2) множеств, на изложенной
до сих пор аксиоматической основе нельзя развить общую
теорию порядковых чисел (§ 6 и 8) и общий метод трансфинитной
индукции (Г, стр. 251—253). Требуемое дополнение к ним мы
сформулируем в виде
Аксиомы (VIII) подстановки (substitution) или замещения
(replacement). Для любого множества 5 и любой
однозначной функции 3) / со свободной переменной X существует
вполне определенное множество, содержащее в точности те
члены f(x), для которых x£s.
Иными словами, если область определения однозначной
функции есть множество, то и область ее значений также есть
множество.
Аксиому эту можно формулировать по-другому4): Если 5
есть множество, φ — такой двуместный предикат
(определенный для множеств), что для каждого χ £ s найдется не более
одного у, удовлетворяющего φ(χ, у), то существует такое
множество ί, что у £ t эквиполлентно существованию члена χ
множества 5, удовлетворяющего φ(χ, у). (Предполагается, конечно,
что φ не содержит ни s, ни t в качестве свободных переменных.)
В символической записи
(As) {(kx) (Ay) (Ay') \x ζ s & φ (*, у) & φ (*, у')==у = у']} zd
=d (Et) (Ay) [y 6 t = (Ex) (x e s & φ (*, у))].
VIII подобно V есть не собственно аксиома, а схема аксиом
(стр. 59); она включает в себя — при условии принятия аксио-
1) Это неравенство устанавливается при помощи аксиомы выбора.—
Прим. ред.
2) Так, за неимением лучшего термина, всюду переводится стоящее в
оригинале 'extensive'. — Прим. перев.
3) Или 'предиката'; ср. по этому поводу, а также о дополнительных
свободных переменных выше (стр 55)
4| Ср. Сколем, 29, стр. 3, и Чёрч, 42; см. также «schema de selection et
reunion» [«схему отбора и, объединения» (φρ.) —Перев.] в Бурбаки, 54,
[стр. 79 русск. издания. — Перев.]. (Эта вторая форма
предпочтительнее из логических соображений.) Более слабая форма аксиомы
сформулирована у Тарского, 48, стр. 80.

112 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
мы VII (стр. 107) — более сильную форму аксиомы
бесконечности (стр. 107, подстрочное примечание 5).
Аксиома VIII в более сильном смысле, чем VII, не
относится к аксиомам «общей теории множеств», изложенной в § 2—4;
ее можно отнести, в известном смысле, к аксиомам
бесконечности, поскольку вместе с аксиомами § 3 и VII она
обеспечивает существование не просто бесконечных, а чрезвычайно
широких (comprehensive)множеств. Однако факты общей теории
множеств, которые можно доказать с помощью аксиом I—VI,
в случае несуществования обеспечиваемых аксиомой VII
бесконечных множеств, остались бы бессодержательными. В то же
время из аксиом I—VII можно вывести большую часть канто-
ровской теории1). Тем не менее аксиома VIII нужна для
различных важных целей.
Термин 'функция' в аксиоме VIII имеет то же значение, что
фигурирующий в аксиоме выделения (V) 'предикат'. Однако,
для того чтобы провести первую из указанных на стр. 57
формализации, здесь2) требуется более широкое понятие3).
В то время как аксиомы VII и VIII имеют целью
расширение предметной области Ζ постулированием существования
некоторых обширных множеств, мы обратимся теперь к
рассуждениям, направленным на определенное ограничение этой
области. Между этими обоими направлениями имеется, однако,
глубокое различие. Аксиомы VII и VIII были введены для того,
чтобы сделать возможными некоторые процедуры, которые в
1) Поэтому-то и не стоит отказываться от аксиомы выделения, хотя ее
можно легко доказать с помощью аксиомы подстановки; для этого
достаточно при формулировке обеих аксиом (VIII во второй из указанных форм)
в качестве ср(х, у) взять y = x&x£s&<>$(x) (с ограничением на х, для
которого должно быть ψ (χ)).
2) В аксиоме VIII. — Прим. перев.
3) См. фон Нейман, 28а; ср. Тарский, 29 и 32, где приведены важные
применения аксиомы VIII; ср. ниже, § 6 и 7, с дальнейшими комментариями
по поводу аксиомы подстановки и связи между понятиями функции и
множества. Можно, следуя Геделю, 31, и Россеру — Хао Вану, 50, показать, что
система аксиом I—VIII существенно сильнее системы I—VII (ср. Хао Ван —
Мак-Нотон, 53, стр. 18 [стр. 20 русск. изд. — Перев.]; Мендельсон, 56). Мон-
тэгю, 56, объясняет эту «дополнительную силу» следующим образом: Пусть
'теория множеств Цермело Ζί есть система аксиом I—V—VII, а 'теория
множеств Цермело — Френкеля Ζ*— система I—V, VII—IX; тогда Ζ* не есть
конечное расширение Ζ, т. е. не может быть получена добавлением к Ζ
конечного числа аксиом (VIII есть схема аксиом); ср. также Рос-
сер, 56.
С точки зрения мощностей (кардинальных чисел) можно сказать,
что аксиома IV дает нам возможность продвигаться шаг за шагом,
тогда как аксиома VIII в соединении с III и IV позволяет переходить к
пределу.

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения ИЗ
канторовской наивной теории допускались как еамо собой
разумеющиеся; в дальнейшем изложении, однако, подняты
проблемы, ставящие канторовскую теорию перед не меньшими
трудностями, чем аксиоматическую теорию множеств в том виде, как
она здесь излагается, или в любом ином. Эти проблемы суть:
(1) недостижимые числа, (2) экстраординарные множества, (3)
(простая или обобщенная) континуум-проблема.
Поскольку в этих направлениях получено очень мало
окончательных результатов, последующее изложение будет
довольно беглым и неформальным.
В первой проблеме идет речь главным образом о
регулярных начальных (порядковых) числах ωα, индекс которых а
есть предельное число, и о соответствующих мощностях1), ныне
обычно называемых недостижимыми {inaccessible, unattainable)
числами2) (ср. Г, стр. 3233)). С принятой здесь
аксиоматической точки зрения предпочтительнее рассматривать вопрос о
существовании множеств с такими порядковыми числами или
мощностями. Еще в 1914 г. Хаусдорф писал: «Если имеются
регулярные начальные числа с предельным индексом (а пока
что не удалось обнаружить в этой гипотезе противоречия), то
наименьшее из них имеет столь непомерную величину, что
едва ли когда-либо будет рассматриваться для обычных целей
теории множеств»4).
С тех пор ситуация существенно изменилась. Прежде всего
мы уже не ждем доказательства невозможности существования
1) Независимо от порядковых чисел эти мощности / можно
охарактеризовать как мощности (=£0), удовлетворяющие следующим условиям: а) если
каждому элементу χ произвольного множества X мощности <1 приписана
мощность сх < /, то 2 °х < *» Ь) для кажД°й мощности h<t найдется
χζ X
такая мощность g, что h < g < L [В а) обычно принимается ]£j сх Φ i\
χ f X
равносильность обеих формулировок вытекает из аксиомы выбора. —
Ред.]
2) Этог термин [для которого употребителен также синоним «эксорби-
тантное число». — Ред.] начиная с 1930 г. использовался также в более узком
смысле (Серпинский — Тарский, 30, и особенно Тарский, 38; наименьшие
порядковые числа, соответствующие недостижимым числам в узком смысле,
Цермело, 30 называет Grenzzahlen ['граничные числа'. — Перев.]. Новое
условие, налагаемое вместо Ь), гласит: если а < i и b < i, то a <i. (Для
мощностей 2 и «о имеются несущественные отличия в терминологии.)
3) Или °Хаусдорф, 14/27/37, конец § 15, стр. 77—78, где, однако, не
используется сам термин 'недостижимое число'. — Прим. перев.
4) Хаусдорф, 14, стр. 131 [в русск. изд. °14/27/37 этого места нет; ср.,
однако, последнюю фразу § 15, стр. 78. — Перев.]; ср. ранее *3 (1908),
стр. 443. Эта проблема поднята также в глубоких работах *Мало, 1 и 2
(1911/13).
8 Зак 1765

Ϊ14 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
таких чисел1). С другой стороны, было доказано2), что,
например, система аксиом Гёделя3) (§ 7) в случае ее
непротиворечивости остается непротиворечивой после присоединения
аксиомы, утверждающей достижимость всех кардинальных чисел.
Таким образом, существование недостижимых чисел
оказывается независимым от обычных аксиом или допущений как
аксиоматической, так и наивной теории множеств. Кроме того,
вопреки предположению Хаусдорфа оказалось (1925), что
недостижимые числа имеют значение не только для оснований
теории множеств, но и для некоторых приложений4).
Наконец, Тарский5) предложил специальную аксиому,
постулирующую существование недостижимых множеств, в
следующей общей форме. Для каждого множества t существует
множество 5, обладающее свойствами I—III:
I. t эквивалентно некоторому подмножеству 5.
II. Множество всех таких подмножеств s, которые
неэквивалентны 5, эквивалентно s.
III. Нет такого множества, множество-степень которого была
бы эквивалентно sG).
Легко видеть, что эта аксиома делает некоторые из наших
аксиом излишними; в частности, она позволяет доказать
аксиомы множества-степени и выбора. Однако ввиду исключитель-
1) Средствами ультраинтуиционистской теории, упомянутой в сноске на
стр. 72—73, удается доказать непротиворечивость таких расширений системы
Z, в которых имеются недостижимые числа, и притом неограниченно много
таких чисел. — Прим. ред.
2) Файрстоун — Россер, 49; ср. ранее Куратовский, 25, и Бэр, 29. Ср.
доказательства независимости (относящиеся к недостижимым порядковым
числам) Мостовского, 49а; Шепердсона, 51—53; Мендельсона, 56.
3) По поводу системы Ζ см. Куратовский, 25,
4) См. Тарский, *5, 29 и в особенности 38; Куратовский, 25, Линден-
баум — Тарский, 26 (§ 4), а затем *Козневский — Линденбаум, 1, и *Эр-
дёш — Тарский, 1. О месте, которое занимает этот вопрос в аксиоматической
проблематике, см. Бэр, 29; Цермело, 30; Камке, 34; Нёймер, 51; о
применениях к проблемам анализа (в особенности, в теории меры) — *Банах, 2, и
*Улам, 2 (а также *Серпинский, 13 и 17, *Улам, 3). Особенно
замечательным является применение в работе Мостовского, 49а, построившего
неразрешимое предложение о действительных числах, истинность которого не может
быть установлена без предположения о существовании недостижимых
порядковых чисел.
По поводу дальнейших подробностей, в том числе о сравнении
различных определений недостижимых порядковых и кардинальных чисел, см.
обстоятельное изложение в книге Г. Бахмана, 55, § 40—42; ср. Бахман, 56.
5) Тарский, *32 (1939), стр. 183; ср. 38, стр. 87 и ел. Рассматриваемые
там числа недостижимы в узком смысле.
6) Общеизвестно, что свойством III обладают и сравнительно
«небольшие» множества, например множества мощностей tf0 и *ϊω; см. Г, стр. 305.
[Для К0, разумеется, верно и II. — Перев.]

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
115
ной силы этой аксиомы, не нужной для обычных целей, вряд ли
эта редукция представляет практический интерес.
Таким образом, один из возможных подходов к проблеме
состоит в постулировании существования сколь угодно больших
недостижимых чисел (ср. аксиому I Тарского, 1 1)), это подход,
усиливающий аксиомы VII и VIII. Можно, однако, занять
противоположную позицию. Пытаясь обосновать теорию множеств
не аксиоматически, а конструктивно, Камке2) в качестве
альтернативы более сильным ограничениям (например,
ограничению числами второго числового класса) предложил
конструктивную процедуру, посредством которой можно было бы
получить все порядковые числа, меньшие наименьшего
недостижимого порядкового числа. Хотя конструктивный метод Камке
и представляется несколько сомнительным, такой подход
вполне естествен для аксиоматической точки зрения; начиная с
1921 года на этом пути было предпринято несколько попыток
ввести специальную аксиому ограничения (axiom of restriction
[limitation]) 3). Такая аксиома была бы аналогична последней
(индуктивной) аксиоме Пеано и обратна Vollstandigkeits-
axiomk) (аксиоме полноты) Гильберта в геометрии и анализе.
Аксиома полноты для достижения категоричности (см. ниже)
постулирует, что предметная область должна быть настолько
обширной, насколько это совместимо с аксиомами5); аксиома
ограничения же в теории множеств требовала бы, чтобы
предметная область была настолько узкой, насколько это
совместимо с аксиомами. Это может означать, что предметная область
будет пересечением всех «реализаций» (минимальной моделью)
системы аксиом, если только удастся1 показать, что такое
пересечение существует и удовлетворяет аксиомам. В этом случае
можно было бы доказать несуществование недостижимых чисел
или соответствующих им множеств, а также описываемых ниже
экстраординарных множеств.
1) Значительно более сильную аксиому предлагает в своей готовящейся
к печати диссертации А. Леви. [См. °А. Леви, 60. — Перев.]
2) Камке, 34.
3) Френкель, 21/22, стр. 233 и ел. (Axiom der Beschrdnktheit [аксиома
ограничения —Перев]).
4) Гильберт, 1899/30 (начиная со второго издания, аксиома V2) и *3.
По поводу аксиом этого типа ср. Бернайс, 55, и цитированную там
литературу.
5) Это, конечно, предполагает существование «реализации» (модели)
системы аксиом, не допускающей дальнейшего расширения В (трехмерной)
евклидовой геометрии это утверждение оказывается верным после введения
аксиомы Архимеда.

116 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
Подходящая аксиома ограничения позволила бы доказать,
что все модели нашей системы аксиом изоморфны1), т. е. могут
быть взаимно однозначно отображены друг в друга с
сохранением £ -предложений. (Ср. также гёделевский постулат
конструктивности, § 7.)
Однако есть веские доводы против возможности найти
такую формулировку аксиомы ограничения, чтобы можно было
показать существование непротиворечивой реализации2). А
даже если бы такую аксиому можно было допустить, она,
по-видимому, не обеспечивала бы категоричности системы.
Возможно, впрочем, что она смогла бы привести к решению континуум-
проблемы (см. ниже). Эту ситуацию можно сравнить с
геометрией с аксиомой полноты, но без аксиомы о
параллельных; с аксиомами такой геометрической системы совместимы
неизоморфные между собой евклидовы и гиперболические
реализации3).
Правда, Сушко4) и Карнап5) предположили недавно
некоторые оправдательные доводы в пользу такой аксиомы
ограничения, причем Карнап сформулировал ее символически как
аксиому минимальной модели6). Помимо множеств, он
допустил для простоты также индивиды, а в остальном принял
аксиомы § 2—4 и VII и VIII настоящего параграфа. (В
доказательстве независимости аксиомы выбора также
предполагалось существование индивидов; см. выше, стр. 71.) Решается
ли, однако, этим проблема общей аксиомы ограничения,
представляется сомнительным.
Впрочем, имеется ограничительный постулат и другого типа,
который, во всяком случае, стоит ввести в систему. Чтобы
понять его назначение, рассмотрим некоторые парадоксаль-
1) Такая система аксиом называется категорической, по *Веблену, 1
(стр. 346), или мономорфной, по Карнапу. Понятие категоричности, однако,
оказалось гораздо более сложным, чем предполагалось вначале; см.
интересное определение у Мостовского, 55, стр. 13, а также Ван, 53Ь, и ниже —
конец § 6 и гл. V.
2) См., например, аргументы, выдвинутые фон Нейманом, 25, стр. 230 и*
ел и 238 и ел.; ср. Шепердсон, 51—53ш, стр. 161.
3) Ср. положение в арифметике (см. главу V); например, Клини, 52,
стр. 427 [стр. 378 и ел. русск. изд. — Перев.], теорема 44.
4) Сушко, 51, называет эту аксиому аксиомой каноничности и
утверждает, что она «представляет собой точную формулировку так называемой
Beschranktheitsaxiom Френкеля». Он подробно обсуждает связь между этой
аксиомой и парадоксом Сколема (§ 6).
5) Карнап, 54, стр. 154; ср Майхилл, 52, и не совсем ясное замечание
Вана, 53, стр. 389.
6) Сущность этой аксиомы состоит в том, что никакое «частичное
отношение» ε не может удовлетворять условиям, выраженным остальными
аксиомами; ср. *Карнап—Бахман, 1 (1936), и Шпеккер, 54а, стр. 243.

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
117
ные множества, внимание к которым привлек впервые Мири-
манов.
Если — как это и предполагается в нашей системе — члены
любого множества также суть множества (в том числе пустое
множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что
единственным первичным конституентом *) (по терминологии
Цермело—Urelemente) любого множества оказывается пустое
множество.
Если бы мы, следуя Цермело (стр. 42), допустили в
качестве членов множества не только пустое множество, но и
индивиды, то мы также получили бы конечное или бесконечное
число первичных конституентов, играющих роль исходных
кирпичей, из которых в соответствии с аксиомами «строятся» все
множества. В обоих случаях никакое множество не содержало
бы себя в качестве члена, а тем более единственного члена.
Но все это недостаточно обоснованные допущения. Еще в
1917 г. стало известно, что с аксиомами совместим и другой тип
множеств (классов), обладающих необычным строением, — так
называемых экстраординарных множеств2). Экстраординарное
множество s может, например, обладать свойством
(М) ... €s*+i€s*€ ··· €s2€si€s.
т. е. иметь бесконечную убывающую последовательность
членов своих членов. В частности, S\ может быть единственным
членом 5, и вообще Sk+\ — единственным членом sfe. Кроме того,
при k=f=n не обязательно Sh=hsn\ множество может даже
содержать само себя, причем не исключается и крайний случай,
когда s есть единственный член s. Особые случаи представляют
собой два множества, каждое из которых содержит другое в
качестве единственного члена, или конечная последовательность
множеств su s2y ..., sn, таких, что s2 6 su $з £ s2,. .., s\ £ sn
(η — циклическое множество). В этих случаях вообще нет
никаких первичных конституентов.
Фактически наша система аксиом, обеспечивающая
существование определенных множеств и исключающая существование
других, оставляет все же между этими двумя областями
обширное пространство, в котором некоторые множества могут как
1) Составляющим (constituent). — Прим. перев.
2) См. Мириманов, 17 и 17—20; *Эклунд, 1 (возражения *Бродена, 1,
необоснованы); ср. — помимо Цермело, 30, — также *Серпинский, 4; Сколем,
22/23; Финслер, 26; Френкель 28, стр. 354 и ел.; Ютинг, 53 (который
называет класс s, обладающий свойством (М), неосновательным (groundless)
классом). Как указывает Гёдель, 44, исключение экстраординарных множеств
относится к проблеме согласования аксиоматической теории множеств с
упрощенной теорией типов; ср. Куайн, 51, § 24 и 28; Фитч, 53; Мак-Нотон, 53,

118 Г л II. Аксиоматические основания теории множеств
существовать, так и не существовать. Таким образом, наша
аксиоматическая система лишена свойства категоричности
(стр. 115) или даже полноты в более слабом смысле (гл. V).
Фон Нейман, выдвигая возражения против общей аксиомы
ограничения, предложил специальную аксиому,
предназначенную для устранения хотя бы части экстраординарных
множеств1). Эта аксиома оказалась полезной и получила широкое
распространение. Ее можно сформулировать следующим
образом:
Аксиома (IX) фундирования (foundation, grounding)2): Всякое
непустое множество а содержит такой член &, что α и & не
имеют общих членов.
Иными словами, не существует такого множества афО,
каждый член которого имел бы член, содержащийся также ива.
В символической записи
(ka) {(Ex) {x£a)zD (Eb) [(b £ а) & (ку) ~ (у £ а & у £ Ь)]).
Следовательно, не может существовать множеств s, t, u>
обладающих свойствами s £ s (ибо существование множества
{s} противоречило бы тогда аксиоме IX), или s ζ t и t £ s, или
s£t, t£u, u^s и т. д.3). Вопрос о силе аксиомы IX еще
нуждается в дальнейшем исследовании (ср. упомянутую выше
литературу и § 7).
Множество всех индивидов области (включая пустое
множество) Цермело4) называет ее «базисом» и классифицирует
1) Фон Нейман, 25, стр 239, и 29, стр. 231 Цермело, 30, также ввел этот
постулат и назвал его Axiom der Fundierung, поскольку в соответствии с
этой аксиомой убывающая последовательность членов должна оканчиваться
(достигать своего «основания») после конечного числа шагов. Бернайс, *\—
54ц, стр. 6, пользуется термином 'ограничивающая аксиома' ('Restrictive
Axiom'). (Фон Нейман и Бернайс формулируют эту аксиому в применении
к классу а\ см. § б и 7, ср. Хао Ван — Мак-Нотон, 53, стр. 17 [стр. 19
русского издания; в формулировке аксиомы вместо 'ни для какой его части'
следует читать 'ни для какого его элемента'. — Перев ]. — Прим. авт.
Axiom der Fundierung — аксиома (об)основания (нем.), что точно
соответствует употребляемому авторами 'foundation' или 'grounding'; выбор в
переводе термина 'аксиома фундирования' продиктован, с одной стороны, уже
довольно давней устной традицией (в русском переводе книжки Хао Вана —
Мак-Нотона, 53, эта аксиома именуется 'аксиомой ограничения') и, с другой
стороны, желанием избежать каламбуров, вызываемых многократным
(начиная с заглавия книги) употреблением одного и того же термина
'(об)основание' в разных смыслах; настоящее примечание авторов имеет, конечно,
в виду именно буквальный перевод терминов 'Fundierung' и 'foundation'.—
Прим. перев.
2) См. Ютинг, 53; ср. Монтегю, 55.
3) Для двух таких множеств аксиоме IX противоречило бы
существование пары {s, t}, для трех — существование тройки {s, t, и) и т. д. — Прим. ред.
4)у Цермело, 30; ср. * 10 (1935).

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения
119
множества по слоям, причем самый нижний слой совпадает с
базисом и каждый слой содержит множества, члены которых
принадлежат предыдущим слоям. Так образуется
последовательность, соответствующая последовательности конечных и
бесконечных порядковых чисел. Эта последовательность может
оканчиваться любым регулярным начальным числом а,
удовлетворяющим определенному условию, например числом ω.
Мощность базиса вместе с порядковым числом α служит
некоторой инвариантной характеристикой рассматриваемой
области множеств. Первый шаг приводит к области конечных
множеств, второй — к области множеств до первого недостижимого
числа.
Однако доказательство Цермело, что этот инвариант
обеспечивает мономорфизм (категоричность) области, едва ли
можно считать строгим; даже используемые в нем понятия,
например «мощность базиса», вызывают возражения. Исключение из
этой системы аксиом аксиомы выбора — хотя «она на
протяжении всего исследования считается допустимой в качестве
общелогического принципа» — также, по-видимому, умаляет
логико-аксиоматическую ценность работы Цермело, 30 (в отличие
от 08а).
Наконец, проблема ограничения (или расширения)
предметной области с целью достижения категоричности естественным
образом связана с континуум-проблемой. Краткое изложение
истории канторовской (и обобщенной) континуум-гипотезы дано
в Г, стр. 93 и ел., 316 и ел.; там же указана литература,
посвященная предложениям, эквиполлентным континуум-гипотезе,
и ее использованию при доказательстве различных теорем1).
О различных формулировках самой этой гипотезы и о ее связи
с аксиомой выбора см. выше (стр. 96).
Здесь нас интересует главным образом вопрос, можно ли
доказать или опровергнуть континуум-гипотезу — в ее простой
или обобщенной форме — средствами данной или какой-либо
другой системы аксиом теории множеств. Усилия Кантора,
предпринятые им в начале 1880-х годов, были трагичны и
безуспешны, и в течение последующих пятидесяти лет — несмотря
на попытку Гильберта2) —не было достигнуто никакого
реального успеха. Решающее продвижение было сделано лишь в
конце 30-х годов открытиями Гёделя3).
') В § 31—35 диссертации Фраиссе, 55, эта проблема включена в его
теорию я-арных отношений.
2) Гильберт, 25.
3) Гёдель 38, 39, 40; ср. его поясняющую статью 4?, из которой мы ниже
[стр. 120. — Перев.] приводим выдержки.

123 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
Основной результат Гёделя состоит в том, что континуум-
гипотеза не может быть опровергнута, так как она оказалась
совместимой с некоторой системой аксиом для теории
множеств; система эта, описываемая в § 7 (стр. 151 и ел.),
несущественно отличается от системы Бернайса. Совместимость
доказывается построением в этой системе аксиом модели для
теории множеств, в которой удовлетворяется обобщенная
континуум-гипотеза. (В системе Ζ ситуация принципиально та же.)
Результат Гёделя тем более важен, что некоторые
парадоксальные следствия континуум-гипотезы1) давали, казалось,
повод предполагать, что ее можно опровергнуть, —
доказательство Гёделя исключило эту возможность. Однако, далеко не
решая проблемы, этот результат приводит к ряду новых глубоких
вопросов. Прежде всего, не может ли отрицание
континуум-гипотезы также быть совместимым с этой системой аксиом?2)
Если бы это было так, то континуум-гипотеза оказалась бы
независимой от остальных аксиом3); теория множеств и анализ
разделились бы из-за континуум-гипотезы на две (или
несколько) ветвей, подобно тому как геометрия плоскости
разделилась (на евклидову и гиперболическую геометрии) из-за
аксиомы о параллельных, ввиду ее независимости от остальных
аксиом абсолютной геометрии. Этот результат, однако, едва
ли стоит рассматривать в качестве окончательного решения
проблемы, во всяком случае, для тех, кто полагает, что
понятия и аксиомы теории множеств, как говорит Гёдель,
«описывают некоторую вполне определенную реальность. Ибо в этой
реальности гипотеза Кантора должна быть либо истинной, либо
ложной, а ее неразрешимость при помощи известных ныне
аксиом может лишь означать, что эти аксиомы не содержат
полного описания этой реальности».
Представляется поэтому, что для получения подлинного
решения проблемы к аксиомам, упомянутым в настоящем
параграфе, надо добавить аксиомы другого рода. Могут существовать
«другие (неизвестные до сих пор) аксиомы теории
множеств — такие, что более глубокое проникновение в суть
понятий, лежащих в основе логики и математики, позволило бы нам
!) Ср. аналогичную ситуацию в отношении аксиомы выбора, описанную
:на стр. 102.
2) °Коэн, 63, 64 дал на этот вопрос положительный ответ; см.
примечание редактора на стр. 72—73. — Прим. перев.
Следует отметить, что все это рассуждение авторов основано на
предположении о непротиворечивости системы Ζ. — Прим. ред.
3) О взаимосвязи между проблемами независимости, касающихся
отношений вида 2*μ =ί*μ + ι , для различных значений μ см. Мостовский, 55, и
ЭСайнал, 56.

§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения 121
установить, что аксиомы эти вытекают из такого рода
понятий».
Гёдель также подчеркивает особую трудность, связанную с
самой сущностью аксиоматизации теории множеств. Поскольку
континуум можно понимать как множество всех подмножеств
некоторого фиксированного счетного множества, то мы
должны, прежде чем пытаться решать эту проблему, точно знать,
что мы имеем в виду, говоря об этих подмножествах:
множества, определимые некоторым определенным образом, скажем
при помощи аксиомы выделения или аксиомы выбора, или же
произвольные совокупности членов этого счетного множества.
Нельзя всерьез собираться определять число подмножеств, не
установив ясно, что они собой представляют.
Таким образом, задача добавления новых аксиом,
пригодных для лучшего уяснения понятия множества, становится
весьма настоятельной. Но, увы, мы совершенно не
представляем себе, в каком направлении следовало бы вести поиски
таких аксиом и в какой области они могли бы навести порядок:
в уже определившейся ситуации современной математики или же
в еще не известной нам математической реальности.
В настоящем параграфе к аксиомам общей теории
множеств (§ 2—4) был добавлен ряд аксиом, обеспечивающих
существование определенных типов множеств. В § 7 и 8 будет
показано, что наши аксиомы, в той форме, в какой они
рассматривались до сих пор, или в той, в какой они будут
рассматриваться в следующих параграфах, позволяют развить теорию
множеств в таком же объеме, как это фактически сделано в
теории Кантора. Однако нам еще надо выяснить, в каком
смысле была достигнута первоначальная цель аксиоматизации,
состоящая в том, чтобы избежать антиномий.
Вряд ли, конечно, можно доказать непротиворечивость
аксиоматической теории множеств1). В этом нет ничего
удивительного и особенно разочаровывающего, поскольку и для
классического анализа мы не знаем удовлетворительного спо-
х) О некоторых серьезных сдвигах в этом направлении см., например,
Мостовский, 53. Доказательство непротиворечивости Аккермана, 37,
относится к теории множеств, в которой нет аксиомы бесконечности (хотя она и
содержит бесконечно много множеств). — Прим. авт.
Упомянутая в сноске к стр. 72—73 ультраинтуиционистская теория
представляет собой, помимо прочего, математику с существенно различными
натуральными рядами. Наличие нескольких натуральных рядов лишает
обсуждаемую проблему ее неразрешимого характера, но такая математика
сама нуждается в обосновании (например, в связи с антиномиями типа
парадокса кучи). С этими трудностями и связана эволюция понятия
«доказательство», упомянутая в только что указанной сноске. — Прим. ред.

122 Г л //. Аксиоматические основания теории множеств
соба доказательства непротиворечивости1), и даже
непротиворечивость обычной арифметики целых чисел нельзя доказать в
рамках этой арифметики. Причины этого будут обсуждены в
гл. V. С другой стороны, мы увидим, что в предположении о
непротиворечивости системы аксиом Ζ, или даже ее части,
можно доказать непротиворечивость и более сильных систем,
рассматриваемых в следующих параграфах (§ 7).
Поэтому наша задача в вопросе о несуществовании
противоречий в аксиоматической теории множеств должна быть
гораздо более скромной; мы можем лишь надеяться показать,
что нельзя получить обычным способом антиномии тех видов, что
были рассмотрены в § 2 и 3 гл. I. Но и это уже чрезвычайно
существенно, ибо невозможность возникновения антиномий есть
решающий критерий, обусловливающий и оправдывающий
замену канторовской теории аксиоматической системой.
Когда мы рассматривали антиномии логического типа (гл.1,
§ 2), например антиномии Бурали-Форти и Рассела, мы
видели, что общей их характерной чертой является
неограниченный объем соответствующих множеств: множество всех
порядковых чисел, множество всех множеств, обладающих каким-либо
определенным свойством, и т. д. Такие множества в нашей
области Ζ не встречаются, поскольку имеются
определенным образом ограниченные исходные объекты и допускаются
только вполне определенные ограниченные процедуры, с
помощью которых можно получать какие-либо объекты
(множества) Ζ. В самом деле, исходными объектами служат пустое
множество и бесконечные множества, обеспечиваемые
аксиомой бесконечности (стр. 107—108; по сути дела — множество
всех целых чисел), а «операции», с помощью которых допускается
образование новых множеств, суть те, что даются аксиомами
§ 3 наряду с аксиомой выбора, а также аксиомой подстановки.
Некоторые из этих аксиом — аксиома выделения и аксиома
выбора — не имеют никакой «расширяющей» силы, другие — как,
например, аксиома множества-степени в сочетании с аксиомой
выделения или аксиома подстановки в сочетании с аксиомой
множества-суммы, — позволяют нам перейти от данных
множеств к новым и более обширным. Этот переход, однако, на
каждом шаге продолжает быть тесно связанным с данными
множествами. Например, такие предикаты, как 'есть
порядковое число' или 'не содержит самого себя в качестве члена',
могут использоваться для определения новых множеств только
путем рассмотрения их в качестве подмножеств полученных
ранее множеств (т. е. только зависимым образом).
1) О попытках, предпринятых в этом направлении (ср. Лоренцен, 51;
Шютте, 52 и 54а), см. гл. V; см. также Хао Ван, 50а.

§ 6. Система аксиом фон Неймана
123
Поэтому в нашей системе, по-видимому, нет прямых путей
для доказательства существования неограниченно широких
множеств (таких, как множество всех порядковых чисел, или
множество всех множеств, не содержащих самих себя в
качестве членов, или множество всех множеств) в отличие от
системы Кантора, где их существование следует из его
«определения» понятия множества. Поскольку предположения об их
существовании и использование таких предположений
приводили нас к противоречию, мы можем теперь рассматривать
«парадоксальные» рассуждения (гл. I) именно как
доказательство по reductio ad absurdum несуществования таких
множеств1). (Ср., однако, § 6.) Это не исключает возможности
доказательства, пока еще неизвестными средствами,
существования сверхшироких множеств, из чего могла бы последовать
противоречивость нашей системы.
Невозможность воспроизвести в нашей системе рассуждения,
ведущие к семантическим антиномиям, следует из того
простого факта, что такие предикаты, как 'обозначает',
'определимый' или 'истинный', необходимые для этих рассуждений, не
являются определенными в смысле аксиомы выделения; ср.
стр. 57—58; см., однако, гл. V, § 6.
§ 6. Система аксиом фон Неймана.
Теоретико-множественный
релятивизм (парадокс Сколема)
В § 6 и 7 мы будем рассматривать системы аксиом, в
определенном смысле более сильные, чем описывавшаяся до сих пор
система %2). Системы иного типа, особенно те, которые были
введены Куайном и Хао Ваном, мы обсудим в гл. III.
Системы фон Неймана (первая публикация в 1925 г.) и Бер-
найса (первая публикация в 1937 г.) сходны в наиболее
существенном пункте, а именно тем, что в них вводится более
широкая предметная область, лишь собственной частью которой
оказывается область системы Ζ из § 2—5. Историческое значение и
основные черты первой из этих систем обрисовываются в
данном параграфе; система же Бернайса описана в § 7 более
подробно.
Общей особенностью обеих систем является устранение
предикатных переменных, входящих в Ζ в аксиомы (схемы
аксиом) V § 3 и VIII § 5. Таким образом, мы вообще избавляемся
1) В частности, заменяя в аксиоме V $ (х) на х(£х, мы выводим
вместо антиномии Рассела, что не существует универсального множества (Тиле,
55, стр. 176).
2) См., впрочем, конец § 7»

124 Гл. //. Аксиоматические основания теории множеств
от схем аксиом, и получающиеся в результате системы аксиом
оказываются «конечными».
Фон Нейман изложил свою аксиоматику в двух больших
статьях1), в первой из которых особое внимание обращается
на фундаментальные вопросы и на вопросы
общеаксиоматического и метаматематического характера, связанные с той
системой, тогда как во второй подробно проводится трудное в
техническом отношении построение теории, включающее вывод из
аксиом теоретико-множественных операций, (вполне)
упорядочения, подобия и порядковых чисел2), эквивалентности
мощностей, а также трансфинитной индукции. Третья работа3)
фон Неймана посвящена обсуждению некоторых общих свойств
системы; там же показана совместимость самой сильной,
специфичной именно для системы фон Неймана аксиомы этой
системы с обычными аксиомами теории множеств.
В заключение настоящего параграфа демонстрируется так
называемый парадокс Сколема (хотя он относится в равной
мере и к другим системам), поскольку фон Нейман был первым
(1925 г.), кто подробно обсудил этот парадокс после открытия
его Сколемом (22/23).
Аксиомы Ζ обеспечивают существование лишь части тех
множеств, которые существуют согласно канторовской наивной
концепции. Правда, антиномии свидетельствуют об
опасности, исходящей от слишком обширных множеств или
областей, а область Ζ, несмотря на ее ограниченность, для всех
обычных целей оказывается достаточной. Тем не менее многие
из множеств, существование которых не может быть
установлено исходя из аксиом Ζ, по-видимому, совершенно безобидны,
так что демаркационная линия между допустимыми и
недопустимыми множествами проведена в Ζ несколько произвольно.
Фон Нейману принадлежит смелая идея, состоящая в том,
что противоречия обусловлены не самим по себе
существованием сверхобширных множеств, а допущением их в качестве
членов других множеств (их элементностью (elementhood)).
Согласно этой точке зрения, в аксиоме выделения (§3) можно опу-
1) Фон Нейман, 25 и 28. Основные положения 28 входят уже в
диссертацию автора (на венгерском языке, Будапешт, 1925).
Символическое изложение некоторых основных особенностей этой
системы дано Сколемом, 41, стр. 32 и ел., и Хао Ваном, 49, который (конец
стр. 151) предложил интересное усиление системы.
2) О введении порядковых чисел ср. уже фон Нейман, 23 (ц 28а); см.
ниже, стр. 129 и ел.
3) Фон Нейман, 29 В работе Клауа, 57, метод фон Неймана в
некотором роде сочетается с теорией типов. (Добавлено в корректуре
амстердамского издания.)

§ 6. Система аксиом фон Неймана
125
стить требование, чтобы множество, соответствующее данному
предикату, было непременно подмножеством некоторого ранее
полученного множества1). Таким образом, становятся,
например, допустимыми универсальный класс V, соответствующий
условию (предикату) 'х = х\ и дополнение V — 5 любого
данного множества 5. Поэтому появление антиномий, вызванных
употреблением сверхобширных множеств, можно предотвратить
путем запрещения с помощью подходящих аксиом элементно-
сти «опасных» множеств. Те объекты, которые не могут быть
членами других объектов, будут называться классами-, фон
Нейман вводит аксиому (см. ниже), исключающую элемент-
ность как раз таких объектов, которые имеют «такой же
объем», что и универсальный класс2). С другой стороны, те
объекты, которые могут оказываться членами какого-либо
множества или класса, теперь будут называться элементами-, все
множества, существующие в Z, будут, конечно, элементами.
Аксиому выделения можно тогда заменить аксиомой,
обеспечивающей абсолютное3) существование классов, с тем лишь
ограничением, что кванторы, входящие в условие, определяющее
класс, должны браться только по элементным переменным.
Термины 'класс' и 'элемент' не принадлежат фон Нейману;
его терминология, менее удобная, приводится ниже. Термин
'класс* соответствует этому же термину в § 7, тогда как тер*
мин 'элемент', в значительной степени соответствующий
термину Бернайса 'множество', употребляется преимущественно
Куайном.
Эти нововведения характерны для всех систем,
описываемых в этом и следующем параграфах; сверх того, в системе
фон Неймана есть ряд специфичных и не столь важных
особенностей. В аксиомах выделения (стр. 111) и подстановки
(стр. 55) фигурируют предикаты или условия, т. е. выраже-
1) Лучше было бы, по-видимому, сказать, что аксиома выделения
может быть заменена на более сильную аксиому свертывания ( (comprehension);
см. стр. 172 и далее), частным случаем которой она является, поскольку сам
термин 'выделение' (и тем более принятый авторами термин 'axiom of
subsets') предполагает именно это опускаемое, согласно последней фразе,
«требование». — Прим. перев.
2) Необходимость различения множеств и классов еще в 1890-х годах
ощущал Кантор; в своих письмах Дедекинду (1899) он говорит о
«противоречивых (inkonsistenten) системах», имея при этом в виду что-то вроде
классов (Кантор, 32, стр. 443—448; ср. стр. 470). С другой стороны, классы
можно понимать как «идеальные элементы» в смысле Гильберта, 25,
противопоставляя их множествам, которые суть математические объекты.
3) То есть безотносительное к каким бы то ни было условиям. — Прим.
перев.

126 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
ния, обозначающие функции1). Но с математической точки
зрения между множеством и функцией нет принципиального
различия. С любым множеством связано разбиение
универсального класса на две категории предметов (аргументов): те, что
являются членами этого множества и которым можно
приписать значение функции 1 (или В), и те, что не принадлежат
этому множеству и получают значение 0 (или А) 2). Обратно,
(однозначная) функция /, или y=f(x), есть не что иное как
множество упорядоченных пар (у, х), удовлетворяющих
некоторым условиям (ср. § 8). Поэтому, не желая одновременно
иметь дело с обоими понятиями, фон Нейман ограничивается
лишь функциями3), используя для значения, принимаемого
функцией / при аргументе х, обозначение [/, х]; это более ясно
отражает тот факт, что и аргументы и функции суть
переменные, тогда как обычное обозначение f(x) подчеркивает
переменность именно аргументов. Для различения аргументов и
функций фон Нейман назвал аргумуенты (члены) 7-вещами',
функции — ΊΙ-вещами', а такие функции, которые могут
служить аргументами, — Ί-ΙΙ-вещами' ('I-11-things'). Последние,
таким образом, суть множества (элементы), могущие служить
членами классов. Функции определены всюду, т. е. для всех
аргументов. В то время как операция [/, х] дает значение / от ху
которое само является аргументом, нужно специальное
соглашение (или аксиома), устанавливающее, какие функции могут
служить также и аргументами.
Характеристическое свойство функции, а именно то, что она
определяется своими значениями, выражается соответствующей
аксиомой, а именно аксиомой 14 фон Неймана (по нашей
терминологии— аксиомой объемности); она утверждает, что функ-
1) Как видно, здесь авторы считают термины 'предикат' и 'функция*
принадлежащими различным уровням языка; в предшествующем же
изложении (см., например, стр. 57—58) они считались синонимами. Если
попытаться последовательно применять их терминологию (к чему сами авторы,
по-видимому, не стремятся), то вместо 'предикаты, или условия', уместно
было бы сказать 'предикатные формулы'. — Прим. перев.
2) Ср. Г, стр. 151 и ел., в частности о характеристических функциях
де ля Валле-Пуссена. Далее, функцию f можно назвать областью (domain),
если для каждого χ либо [/, х] = А, либо [/, #] = θ; члены этой области суть
те х, для которых [/, х] = В. (Область есть множество, если оно является также
-аргументом.) Вместо [/, х] = В можно писать χ ζ/. Удобно принять А = О,
а В = {О}.
3) Это, кстати, делает более прозрачной связь теории множеств и
комбинаторной логики (см., например, *Шейнфинкель, 1, и *Карри, 2); ср.
Коган, 55 [°Титгемейер, 61, обнаружил противоречие в системе Когана. —- Ред.];
см. гл. III, стр. 185.

§ 6. Система аксиом фон Неймана
127
ции с одинаковыми совокупностями значений1) (course of
values) равны, но не то, что каждой совокупности значений
соответствует функция, — последнее означало бы возвращение к
канторовской концепции произвольного множества.
Аксиомы фон Неймана делятся на пять групп I—V. Нет
надобности говорить подробно о группах I—III (ср. следующий
параграф). Группа I состоит из общих аксиом об аргументах
и функциях; о 14 см. выше. Группа II обеспечивает
существование простых «арифметических» конструкций, например
функции такой /, что [/, х] = х, а также функций любого конечного
числа переменных. Группа III предусматривает «логические»
конструкции, в том числе некоторую нормальную форму для
функций нескольких переменных. В этих группах вводятся —
в дополнение к уже упомянутым — два первоначальных
понятия, а именно понятие упорядоченной пары (ср. § 7 и 8), из
которого легко получаются упорядоченные п-ки, а также пара
произвольных аргументов А и В (см. выше).
Наиболее характерны для аксиоматизации фон Неймана
две аксиомы группы IV, особенно IV2. Формально IV1 и IV2
аналогичны, поскольку они разъясняют, в каких случаях
аргумент или функция является элементом. Они утверждают:
IV1. Имеется такая функция /, что аргумент χ является
элементом (функцией-аргументом, 1-П-вещью) тогда и только
тогда, когда \},χ]φΑ.
IV2. Функция / не является аргументом тогда и только
тогда, когда найдется такая функция g\ что для каждого
аргумента χ существует аргумент у, удовлетворяющий условиям
[х, у]фА и [g, у] = х.
Назначение аксиомы IV1 ясно. Собственно говоря, можно
было бы постулировать (придерживаясь терминологии § 2,
стр. 42), что все предметы суть множества. Вместо этого
вопрос о существовании «индивидов» в предметной области
оставляется аксиомой IV1 открытым. Однако тот факт, что в
системе могут существовать индивиды, нигде в ней не
используется, а только что упомянутая альтернатива аксиомы IV!
формулируется автором явным образом2).
IV2, напротив, есть самая сильная аксиома не только
данной системы, но и любой из существующих систем
аксиоматической теории множеств. Как уже было сказано, ее назначение
1) Конечно, говоря о функциях с одинаковыми совокупностями значений,
авторы подразумевают, что при этом одинаковым значениям аргумента
соответствуют одинаковые значения функции. — Прим. перев.
2) Фон Нейман, 25, стр. 238, аксиома VII. Эта аксиома не принадлежит
самой системе; она сделала бы излишней аксиому IV1.

128 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
состоит в том, чтобы определить, при каких условиях функция
может служить также и аргументом. При помощи
произвольным образом выбранного аргумента А свойство быть
аргументом ограничивается такими функциями /, значения которых
[/, х] отличаются от А не «слишком часто», т. е. не для слишком
многих аргументов х. Более точно IV2 гласит, что функция \
не является аргументом тогда и только тогда, когда
совокупность тех х, для которых [/, х]фА, может быть представлена на
совокупности всех аргументов; при этом подразумевается, что
допускаются представления только через функции
рассматриваемой системы, а именно функции вида y = [g, χ], где g
однозначна. Таким образом, все функции /, не равные А «более
редко» или «не более часто», чем некоторый определенный
элемент, также суть элементы.
На обычном языке это означает примерно то, что класс с
есть множество тогда и только тогда, когда с нельзя
отобразить на универсальный класс V.
Легко понять, что IV2 обеспечивает существование не
только тех множеств, которые в Ζ порождают при помощи
построения подмножеств, т. е. посредством аксиомы выделения и
аксиомы выбора, но и, например, множеств, обеспечиваемых
аксиомой подстановки (стр. 111). В соответствии со сказанным,
из IV2 легко получается теорема о вполне упорядочении1) без
явного обращения к аксиоме выбора или какому-либо
аналогичному принципу. (Теорема эквивалентности также не входит
непосредственно в эту теорию.) Таким образом, если даже
оставить в стороне вопрос о желательности столь сильной
аксиомы (это вопрос аксиоматического «вкуса»), возникает
проблема непротиворечивости IV2 (см. ниже, стр. 132—133).
Последняя группа V состоит из трех аксиом, в значительной
мере сходных с аксиомами бесконечности, множества-суммы и
множества-степени Η3Ζ. Но эти .аксиомы имеют для общей
теории множеств меньшее значение, чем их аналоги в Ζ» так как
важные задачи, решаемые в Ζ при помощи аксиом множества-
суммы и множества-степени, в системе фон Неймана решаются
уже предыдущими аксиомами, в особенности IV2. Аксиомы
группы V устанавливают дополнительно, что полученные пред-
1) При помощи примерно следующего рассуждения. Предположение, что
класс всех порядковых чисел (который легко можно ввести, см. ниже,
стр. 129) является элементом, приводит к антиномии Бурали-Форти. Поэтому
этот класс не есть элемент и по аксиоме IV2 эквивалентен классу всех
аргументов. О последнем же классе доказывается, что он эквивалентен
множеству, без труда вполне упорядочиваемому; соответственно можно вполне
упорядочить и класс всех аргументов, а следовательно, и любой класс или
множество.

§ 6. Система аксиом фон Неймана Г29
меты суть элементы, эти аксиомы обслуживают скорее теорию
мощностей, нежели общую теорию множеств х).
Вывод начал теории множеств из аксиом мы отложим до
следующих двух параграфов. Здесь мы довольствуемся тем,
что опишем вкратце самое раннее достижение фон Неймана в
этой области — его теорию порядковых чисел {ordinals) 2), легко
переносимую в любую подходящую аксиоматизацию теории
множеств; это первая формализованная теория порядковых (и
кардинальных) чисел. Правда, мы сейчас воспользуемся
терминологией, связанной с (вполне) упорядоченными множествами,
теория которых будет построена на аксиоматической основе
только в § 8. Однако теория порядка (т. е. отношения -< ) в
рамках неймановской теории порядковых чисел почти
тривиальна, поскольку для любых двух различных членов а и b
множеств этой системы всегда имеет место либо aczb, либо baa;
поэтому, написав а-<Ь вместо а а 6, мы получам (вполне)
упорядоченные множества, а используемые ниже простые факты
классической теории вполне упорядоченных множеств (Г, § 10 и
1) Формулировка системы аксиом фон Неймана такова:
Имеется два рода вещей: I-вещи и Н-вещи, которые обозначаются ниже
буквами а, Ь, с,... и /, g, h,... соответственно; кроме того, имеются две
различные вещи А и В и две операции [х, у] и (λ, у), где х, у,.. могут обозначать
вещи любого рода. Посредством х, у,.. обозначаются ниже I-Н-вещи.
В группе I—4 аксиомы: 1. Л и В суть 1-вещи; 2. \х, у] имеет смысл тогда
и только тогда, когда χ есть Н-вещь, а у — I-вещь, и притом [х, у] является
всегда 1-вещыо; 3. (х, у) имеет смысл тогда и только тогда, когда χ и у суть
I-вещи и притом (х, у) является всегда 1-вещью; 4. (Aa)[(f, a)] = [g, a]ZDf=g\.
В группе II — 7 аксиом:
1. (E/)(Aa)([ffa] = a);
2. (Аа) (Ε/) (А*) ([/, b] = а);
3. (Ε/) (Ал) (А*) ([/, (а, Ь)} = а);
4. (Е/) (Аа) (АЬ) ([/, (а, Ъ)} = Ь)\
5. (Е/) (А*) (АЬ) ([/, (*, Ь)] _ [*, Ь]);
6. (Α/) (Α*) (Eh) (Аа) ([h, а\ = ([/, a], [g, a]));
7. (А/) (А*) (ΕΛ) (Аа) ([Λ, а] - [/, [g9 a] ]).
В группе III — 3 аксиомы:
1. (Е/) (Аа) (АЬ), ([/, (ауЪ)]фА^(а = Ъ))\
2. (A/) (Eg) (Аа) ([g, а]фА ^ (АЬ) ( [/, (а, Ь)] = А) );
3. (A/) (Eg) (Аа) ((Е! Ь) ([/, (в, Ь)]фА =) [g, а] = этому Ь).
В группе IV—2 аксиомы (см. в тексте).
Для формулировки аксиом группы V фон Нейман вводит обозначения.
αζ/ обозначает [/, а]фА; f < g обозначает (Аа) (α ζ/ ZDa£g); /<£
обозначает f^g&~~]g^f\ f~g обозначает f^g^g^f-
В группе V — 3 аксиомы:
1. (Ex) ([Еу) (y£x)& (Ay) (y£x=> (Ez) (z£x&y<z);
2. (A*) (Ey) (Αα) (Az) (α ζ z&z ζ χ =э α ζ у);
3. (Ах) (Еу) (Αζ) (ζ < χ id (Et) (z < t & t ζ у)). Н-вещь называется обла.
стью (Bereich), если (Аа) ([/, а] = А V [/, #] = 5). Множеством
называются 1-П-вещь, являющаяся областью. — Прим. ред.
2) Фон Нейман, 23 и 28а; ср. *Тарский, 29, стр. 200.
9 Зак 1765

ISO Гл П. Аксиоматические основания теории множеств
И1)) легко переводятся на аксиоматический язык. Таким
образом, фон Нейман строит свою теорию порядковых чисел, не
пользуясь общим понятием порядкового типа (Г, § 82)),как
это вначале было сделано — в другом смысле—Кантором.
Обозначая отрезок (Abschnitt) упорядоченного
множества М, определяемый членом χ ζ Μ (Τ, стр. 2453)), через
Α (χ; Μ), фон Нейман называет порядковыми числами
(ordinals) такие вполне упорядоченные множества Λί, которые для
любого χ ζ Μ удовлетворяют условию х=А(х\ М); другими
словами, в порядковом числе Μ каждый χ ζ Μ равен отрезку
Λί, определяемому этим χ (ср. Г, стр. 276, теорема 24)).
Следовательно, каждое порядковое число вполне упорядочено
посредством отношения с .
Легко видеть, что для данного вполне упорядоченного
множества существует не более одного порядкового числа, подобного
этому множеству, так как для двух подобных порядковых чисел
по трансфинитной индукции доказывается их равенство5).
Гораздо более трудно и требует применения аксиомы
подстановки доказательство того, что существует по крайней мере
одно порядковое число, подобное произвольному данному
вполне упорядоченному множеству Λί. Это доказывается при
помощи трансфинитной индукции по отрезкам Μ методом,
похожим на обычные доказательства в теории вполне
упорядоченных множеств 6). Таким образом, мы можем говорить о вполне
определенном1) порядковом числе Ρ данного вполне
упорядоченного множества М.
Основные свойства определяемых таким способом порядко-
1) См. также °Хаусдорф, 14/27/37, гл. IV; Александров, 48, гл. IV;
°Натансон, 50, гл. XIV, § 2—7. — Прим. перев.
2) См. также °Хаусдорф, 14/27/37, гл III; Александров, 48, гл. III;
°Натансон, 50, гл. XIV, § 1. — Прим. перев.
3) Или °Хаусдорф, 14/27/37, стр. 63; °Натансон, 50, стр. Ъ\1. — Прим.
перев.
4) Или °Хаусдорф, 14/27/37, стр. 63; °Натансон, 50, стр. 321, теорема 3.—
Прим. перев.
5) Доказательства по трансфинитной индукции не вызывают
затруднений. Что же касается определений («рекурсионная теорема»), то фон Нейман,
кроме вывода в своей аксиоматической системе, дает также (в части III
работы 28а) вывод на основе системы Ζ; для вполне упорядоченного
множества аксиома подстановки оказывается ненужной, тогда как для области
всех порядковых чисел она необходима; ср. Тарский, 55.
6) Г, стр 251—257 [или, например, Александров, 48. — Перев.]. Подробное
доказательство дано фон Нейманом, 28а, стр. 379—381. Аксиома подстановки
используется для образования множества Ρ всех f(x) с областью
определения М, где f(x) есть порядковое число, подобное отрезку Λί, определяемому
посредством л: (и тем самым множеству всех f(y), для которых f(y) czf(x)).
Ρ есть, следовательно, некоторое (an) (вполне определенное (the) )
порядковое число, подобное М.
7) В оригинале 'the'\ ср. примечание 4 на стр. 50. — Прим. перев.

§ 6. Система аксиом фон Неймана
131
вых чисел суть: а) Р есть множество всех порядковых чисел,
для которых Q cz Р, т. е. предложения 'Q £ Р' и 'Q с Ρ и Q
есть порядковое число' эквиполлентны; Ь) для различных
порядковых чисел Ρ и Q имеет место либо Ρ с: Q, либо Q с Р, из
чего вытекает сравнимость вполне упорядоченных множеств;
с) каждое множество порядковых чисел, упорядоченное
посредством отношения с (см. Ь)) вполне упорядочено; d) Π есть
порядковое 41/сло тогда и только тогда, когда Ρ £ Π влечет,
что Ρ есть порядковое число и подмножество П; поэтому, в
частности, О есть порядковое число.
Для построения порядковых чисел мы отправляемся от О
и пользуемся тем почти очевидным фактом, что если Ρ есть
порядковое число, а М — множество порядковых чисел, то Р[}{Р)
и υΛί также суть порядковые числа. По аналогии со сложением
порядковых чисел (Г, стр. 193 и 261 1)) мы можем обозначить
Р[){Р) через Ψ+Γ. О есть первое порядковое число, Р+1 —
(непосредственно) следующее за Р. Легко доказывается, что
для порядкового числа Р, для которого существует порядковое
число /?, такое, что Р = /?+1, имеет место U P = R, тогда как в
противном случае (т. е. для предельных чисел Р) U Р = Р.
Это понятие порядкового числа позволяет нам развить
теорию неотрицательных целых чисел без аксиомы
бесконечности2). Первые конечные числа были названы на стр. 108; числа,
соответствующие ω, ω+1 и т. д., получаются согласно
предыдущему абзацу. Наконец, трансфинитные кардинальные числа
{cardinals) определяются как начальные числа (Г, стр. 299),
т. е. как такие трансфинитные порядковые числа, которые
неэквивалентны никакому своему члену. Доказывается, что для
любого вполне упорядоченного множества Μ имеется
единственное кардинальное число, эквивалентное М, — «мощность
{cardinal) Λί»; доказательство это не столь просто, как могло бы
показаться ввиду ограничений, наложенных на употребление
классов. Разумеется, для общей теории мощностей нужна теорема
о вполне упорядочении; а это предполагает — в системе фон
Неймана — аксиому IV2.
Важное упрощение системы фон Неймана было предложено
значительно позднее Р. М. Робинсоном3). (Гораздо более осно-
1) Или °Хаусдорф, 14/27/37, § 14. — Прим. перев.
2) Что и сделано во всех подробностях фон Нейманом, 28, сгр. 743 и
ел. Эта теория аналогична теории Дедекинда, 1888 (см., например, Satz
[предложение. — Перев.] 126). Интересное освещение истории вопроса (в
частности, о работе Дедекинда как источнике пеановских аксиом) дано Хао
Ваном, 57.
3) Р. М. Робинсон, 37. Некоторые доказательства фон Неймана
упрощает Нейбаузр, 50.
9*

132 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
вательное видоизменение этой системы, также восходящее к
1937 г., излагается в § 7.) Мы не будем касаться здесь ни той
более простой и ясной формы, которую придал Робинсон
аксиомам фон Неймана в целом, ни его определения упорядоченной
пары (см. следующие два параграфа); главное преимущество
последнего видоизменения состоит в том, что «пара» вводится
как некоторая 1-П-вещь, а не предполагается первоначальным
понятием. Теория порядковых чисел также значительно
упрощается, что приводит к более естественному доказательству
теоремы о вполне упорядочении (ср. сноску 1 на стр. 128); мы
вернемся к этому упрощению в § 7.
Однако решающий прогресс — не только технический, но и,
так сказать, психологический — состоит в том, что функции
незачем определять для всех аргументов. Это достигается тем, что
'=/Г заменяется на 'не определено'. Это позволило дать более
«конструктивную» интерпретацию системы фон Неймана;
большинство рассматриваемых множеств, а именно все множества,
в которых действительно нуждается математика, появляются
в форме, весьма сходной с появлением их в Ζ. Можно исходить
из функции 0, не определенной ни для одного аргумента и не
требующей потому никаких значений; иначе говоря, [0, х] не
определена ни для какого х. Затем функция 1 строится таким
образом, что [1, 0] = 0, а для хфО [1, х] не определена. Если
пользоваться матрицами, верхняя строка которых состоит из
аргументов области определения, а нижняя из соответствующих
им значений соответствующей функции, то следующие шаги
приводят к функциям
(Χ)(:)α(ϊ!)(ίί)π«"
Однако самую характерную особенность системы фон
Неймана— аксиому IV2 Робинсон сохраняет. Знаменательно, что
именно этой аксиоме посвящена главным образом последняя
публикация фон Неймана по этому вопросу1).
Прежде всего в этой статье показывается, что из аксиомы
IV2 легко получаются аксиома подстановки и аксиома выбора,
а следовательно (стр. 112, примечание 1), и аксиома выделения.
Это наводит на мысль заменить IV2 первыми двумя аксиомами,
внушающими большее доверие. В результате этой замены
исчезла бы самая характерная особенность системы фон Неймана,
и мы получили бы предметную область, подобную области
системы Ζ (§ 1—5). Таким образом, возникает вопрос, что—
*) Фон Нейман, 29.

§ 6. Система аксиом фон Неймана
133
сверх аксиом подстановки и выбора — заключено в IV2 и
каким образом можно обосновать эту дополнительную ее часть?
Прежде чем отвечать на этот вопрос, вспомним, что
проблему непротиворечивости аксиом теории множеств (а в известном
смысле и классического анализа) нельзя, по-видимому, решить
с помощью имеющихся математических средств; ср. стр. 121 *).
Можно, однако, ставить и решать более ограниченные
(«относительные») проблемы непротиворечивости; например, если
предположить непротиворечивость системы, состоящей из
«общих» аксиом § 3 и одной или двух аксиом бесконечности
(VII, а возможно и VIII, § 52)), останется ли система
непротиворечивой после присоединения к ней других аксиом} Если
присоединяемая аксиома есть аксиома выбора или даже
континуум-гипотеза, то, как показал Гёдель, ответ утвердителен.
Фон Нейману (та же работа) принадлежит глубокое
доказательство относительной непротиворечивости3) для частного
случая, когда исходная система состоит из всех его аксиом, кроме
IV2, но с добавлением подходящим образом сформулированных
аксиомы подстановки и аксиомы выбора; в качестве
присоединяемой же аксиомы (относительно которой и ставится
проблема) взята остающаяся часть аксиомы IV2. Доказательство это
довольно сложно; мы коснемся аналогичных доказательств
относительной непротиворечивости в конце § 7. (С другой
стороны, очевидно, что непротиворечивость системы фон Неймана
влечет непротиворечивость системы Z, так как каждой теореме
о множествах в Ζ соответствует теорема об элементах в
системе фон Неймана4).) Но этим проблема непротиворечивости
системы фон Неймана относительно Ζ не решается; важное
продвижение в этом направлении принадлежит Хао Вану5),
построившему систему фон Неймана в виде непосредственного
расширения Ζ.
1) В том числе примечание 1 — Прим. перев.
2) Здесь, по-видимому, молчаливо подразумевается и принятие аксиомы
объемности. — Прим. перев.
3) Для этого доказательства фон Нейман вводит дополнительные
постулаты, а именно постулат, упомянутый на стр. 127 (что все аргументы суть
элементы), фиксацию А и В (подстрочное примечание 1 на стр. 126), обычную
интерпретацию упорядоченной пары и некоторую форму аксиомы
фундирования; последняя, по существу, и есть эта «остающаяся составная часть».
Таким образом, фон Нейман подходит к доказательству непротиворечивости
аксиомы фундирования.
4) Ср., в более общей форме, Хао Ван, 50а.
5) Хао Ван, 49. Не говоря уже о чисто математической стороне своих
результатов, Хао Ван замечает, что если мы будем рассматривать Ζ как
прикладное функциональное исчисление первого порядка, то система фон
Неймана окажется прикладным функциональным исчислением второго порядка.
Модель теории множеств фон Неймана, построенная в рамках теории
порядковых чисел, предложена Такеути, 54s, использовавшим метод Гёделя (§ 7).

134 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
Доказательства (фон Неймана и) Хао Вана представляют
особый интерес в связи с системами Куайна, рассматриваемыми
в гл. III: N (ew) F foundations) и Μ (athematical) L \ogic). Как
замечает Куайн в значительно более позднем обзоре1), ML
так же относится кДТ7, как система фон Неймана к Z. В этом
отношении доказательство Вана о непротиворечивости ML
относительно NF по своей природе аналогично упомянутым выше
доказательствам непротиворечивости.
Теперь мы обратимся к тому, что Сколем и фон Нейман
называют релятивизмом теории множеств, в частности к
релятивизму мощностей.
В 1915 г. Лёвенгейм, тогда еще мало известный
представитель шрёдеровской школы математической логики, занимаясь
исследованиями логических исчислений, доказал теорему,
которую можно сформулировать следующим образом2):
Любая правильно построенная формула функционального
исчисления первого порядка3), а следовательно, и любая
конечная система таких формул, выполнимая в
какой-нибудь бесконечной области, выполнима в счетной области,
например в области всех целых чисел; короче говоря,
если она имеет бесконечную модель, то имеет и счетную
модель4).
В 1920 г. Сколем5) упростил доказательство Лёвенгейма и
обобщил теорему на случай системы, состоящей из счетного
числа формул, при условии, что эта система (или каждая ее
подсистема, состоящая из конечного числа формул) выполнима
в бесконечной области (или в соответствующих бесконечных
областях). Чтобы построить такую счетную модель, надо
подходящим образом связать объекты первоначальным (и)
отношением (ями).
1) KvaiiH, 53, стр 94 и ел. NF —это Куайн, 37 (усовершенствована в 53),
a ML— Куайн, 51
2) Лёвенгейм, 15, Satz, 2; ср. *Кальмар, 5, и *Сколем, 15.
3) Лёвенгейм и Сколем пользуются шрёдеровским термином 'Zahlaussage'
^утверждение о числах' (нем.). — Перев.]; термин Гёделя — 'формула узкого
функционального исчисления'. Каждая аксиома фон Неймана (или Бернайса)
представляет собой такую формулу; то же относится к аксиомам системы Z,
за исключением аксиомы выделения и аксиомы подстановки, которые суть
схемы таких формул.
4) Очень ясную, не загроможденную техническими деталями оценку
значения этой теоремы и ее обобщения Сколемом дал Майхилл, 53.
5) Сколем, 20; ср. 29 (§ 4) и важную работу Мальцева, 36.
Исключительно простой метод конструктивного доказательства теоремы Сколема,
использующий построение числовой интерпретации системы, предложен Куай-
ном, 54; ср. Чёрч, 56, стр. 238 и ел. [стр. 229—236 русск. изд. — Перев.] и
Такеути, 57,

§ 6. Система аксиом фон Неймана
m
Эти теоремы1) существенным образом связаны с
фундаментальной теоремой Гёделя2) о полноте функционального
исчисления первого порядка. Соответствующее современным
представлениям исчерпывающее изложение этих и многих других
теорем с полными доказательствами дано Клини 3). Теорема Лё-
венгейма — Сколема4), интересующая нас в связи с
дальнейшим, была вначале доказана (в работе Сколема, 20) с помощью
аксиомы выбора, но позднейшие доказательства самого Сколема
и других авторов, хотя и не вполне конструктивные5), не
требуют этой аксиомы. Теорема эта, которую можно также
понимать как теорему о неразрешимости в смысле Гёделя6),
получила известность как «самая замечательная теорема из
относящихся к проблеме разрешения».
Систему аксиом фон Неймана можно, очевидно,
рассматривать как конечную систему формул в смысле теоремы Лёвен-
гейма (а следовательно, — беря конъюнкцию этих формул, — и
') В том числе теорема Тарского, согласно которой если не существует
конечной модели, то существует, кроме счетной, также и несчетная модель;
поэтому такая система формул некатегорична. См. Сколем, 34, стр 161; Тар-
ский, 49 b; Boot, 54; ср. А Робинсон, 51 (стр. 73) и 56, а также (по поводу
связи с аксиомой выбора) Boot, 56. Boot, 54 и Лось, 54а (независимо),
ввели понятие категоричности в данной мощности (кардинальном числе),
представляющее особый интерес в связи с результатами Лёвенгейма —
Сколема — Тарского; ср Лось, 55, а также Ассер, 56.
2) Гёдель, 30; ср. более сильные результаты Бернайса в книге Гильберта —
Бернайса, 34—39ц (в частности, стр. 178—189 и 252 и ел.), а также А.
Робинсон, 51 и 56; Чёрч, 56 стр 233 и ел. [стр. 224—229 русск. изд. — Перев].
Доказательство Гёделя упростил Генкин, 47 и 49 (предложив также
несколько проблематичное обобщение самого результата) (ср. Хазенъегер, 53);
ср. топологические доказательства: Бет, 51 и 53; Хазенъегер, 52; Расёва —
Сикорский, 51 и 52; Рейхбах, 55, а также Мостовский, 49а. (Книга Бета,
56, в гл. II которой имеется ясное изложение этого вопроса, опубликована
уже после написания настоящей книги.) См. также гл. V.
3) Клини, 52, (§ 72—74); ср., например, Бет, 55, стр. 83 и ел., и Гермес —
Шольц, 52, стр. 23 и ел.
4) По поводу (пожалуй, сбивающего с толку) названия теорема
Сколема — Лёвенгейма см. исторические замечания Фефермана — Тарского, 53;
выше (согласно Лёвенгейму — Сколему) нами предполагалось условие
выполнимости системы формул; теорема же, доказанная Расёвой — Сикорским, 52,
исходит из более общего условия непротиворечивости системы и должна
скорее быть названа теоремой Сколема — Гёделя. Правда, с платонистской
точки зрения это различие несущественно; ср. также Крейсел — Ван, 55.
δ) Если не считать интерпретации теоремы у Эрбрана, 30 (диссертация,
стр. 118), предложившего интуиционистки убедительное доказательство. Но
для делаемых в дальнейшем выводов эта интерпретация недостаточна; ср.,
однако (в связи с Эрбраном), Лось — Мостовский — Расёва, 56.
6) Гёдель, 31; ср. Крейсел, 50. Характерное применение идеи
Лёвенгейма— Сколема к построению неразрешимого предложения в теории
действительных чисел предложил Мостовский, 49а, стр. 153 и ел и 162.

138 Гл ΪΪ Аксиоматические основания теории множеств
как одну-единственную формулу) 1). Поскольку система эта
удовлетворяется обычной теорией множеств2), то, согласно теореме
Лёвенгейма, она выполнима в некоторой счетной области, ибо
теория множеств предполагается непротиворечивой, хотя в
действительности мы не знаем никакого доказательства
непротиворечивости ни для теории множеств фон Неймана, ни для какой-
либо другой теоретико-множественной системы. Система аксиом
Ζ § 3—5, есть, конечно, счетное множество формул (из-за схем
аксиом V и VIII); но, в силу теоремы Лёвенгейма — Сколема,
это система также выполнима в счетной области3). Так мы
приходим к тому, что в наше время называется «нестандартной
моделью» теории множеств4); фактически отношение,
представляющее ' ζ ' в модели, не есть отношение принадлежности
классу5). С другой стороны, в каждой из этих систем верна
теорема Кантора, которая приводит, в силу аксиомы
бесконечности (VII из § 5 или ее аналога из настоящего параграфа), к
несчетным бесконечным множествам. Это видимое противоречие
и известно как парадокс Сколема6).
Интуиционисты (гл. IV) встретили этот парадокс с
удовлетворением, как еще один довод против предположения о
существовании множеств трансфинитной мощности 7). Самого
Сколема и некоторых более консервативно настроенных
математиков8) он привел к довольно безотрадным для анализа и теории
1) Это относится и к системе Бернайса (§ 7); ср. Майхилл, 52, и
Бенеш, 55.
2) Или 'непротиворечива' по Сколему — Гёделю.
3) Ср. модель Σ', построенную фон Нейманом, 25, стр. 232 и ел, другим
методом; Σ' удовлетворяет системе фон Неймана и тем не менее счетна, но
не в самой системе, а в некоторой «более высокой», или в абсолютном смысле
канторовской, теории. Сколем, 29 (№ 2), и Сушко, 51, также получают этог
парадокс без теоремы Лёвенгейма — Сколема.
4) Россер — Хао Ван, 50; Майхилл, 53; ср. также Генкин, 47 и 49. По
поводу ζ ср. более точно формулируемое предложение у Шспердсона, 51—53ш.
5) Однако возможна и такая счетная модель для системы фон Неймана
(равно как и для системы Бернайса, Гёделя или Ζ), в которой ζ
представляется отношением принадлежности модели Такой моделью (для Ζ,
т. е. для «системы Цермело—Френкеля») пользуется Коэн (°63 и °64) для
доказательства независимости аксиомы выбора и независимости континуум-
гипотезы. (См. сноску 5 на стр. 107; °Вопенка, 64, обходится в своем
доказательстве независимости континуум-гипотезы без помощи такой модели. —
Прим. ред.)
6) Отмеченный впервые в работе Сколема, 22/23, более подробно — в 29;
ср. Хао Ван, 55, стр. 69—72.
7) Другое интуиционистское возражение — против трансфинитных
порядковых чисел — гораздо меньше связано с этим парадоксом.
8) В том числе и фон Неймана, 25 (например, стр. 235 и 239).
Решительность выводов, к которым пришел Бет, 51а, носит иной характер — они
подчеркивают непосредственность (immediacy), присущую математическому
знанию; ср. хорошо обоснованную позицию Майхилла, 53.

§ 6. Система аксиом фон Неймана
137
множеств выводам. Большинство же математиков заняло более
сдержанную позицию1). Обнадеживающей в этом отношении
является теснейшая связь парадокса Сколема с антиномией
Ришара (гл. I), а также ряд сходных черт, присущих современным
теориям и теоремам о 'неразрешимости'. В самом деле,
некоторое множество, например континуум (скажем, множество всех
множеств целых чисел), может оказаться несчетным в
рассматриваемой аксиоматической системе, поскольку в этой системе
не существует никакого взаимно однозначного отображения
(т. е. никакого подходящего множества пар; см. § 8),
сопоставляющего различные целые числа различным членам
континуума; несуществование такого отображения утверждает теорема
Кантора. Но в то же время предикатов, используемых в
аксиоме V системы Ζ (стр. 55), имеется лишь счетно бесконечная
совокупность, так что эта аксиома дает нам не более чем &0
подмножеств множества всех целых чисел, т. е. дает пересчет
континуума средствами, внешними по отношению к данной
аксиоматической системе2); картина не меняется и от добавления
подмножеств, которые можно получить с помощью аксиомы
выбора, Вообще для любой данной аксиоматической теории
множеств Σ существует более обширная теория, в которой все
бесконечные множества Σ оказываются эквивалентными, а именно
счетными; этот пересчет средствами, внешними по отношению к
системе, использует ее строение в целом и не может быть
получен при помощи операций самой системы. Это не что иное, как
1) Ср. оживленную дискуссию (1938 г.), описанную Сколемом, 41,
стр 47—52, а также, например, Клини, 52, стр. 426 и ел. [стр. 376—378 русск.
изд. — Перев.] и Хао Ван, 53а. Мы не можем здесь вдаваться в обсуждение
глубоких и убедительных рассуждений Крейсела, 50, согласно которым здесь
вообще нет никакого противоречия и обусловленного им кризиса в вопросе
о мощностях.
Парадокс Сколема связан, кроме того, с понятиями модели и категории
кости (выше, стр. 115—116), а также с понятиями абсолютной и неабсолютной
модели; см. Сколем, 33 и 34; Кемени, 48; Мостовский, 47а, 53, 55, стр. 12
и ел. [стр. 10—12 русск. изд. — Перев])-, Генкин, 50; Россер — Хао Ван, 50;
Рыль-Нардзевский, 53.
Показано, например, что мощность области определения какого-либо
отношения (в системах, формализуемых средствами функционального исчисления
первого порядка) можно охарактеризовать лишь одним из следующих
условий; а) быть пустой; в) содержать по крайней мере η членов (для любого
конечного п)\ с) быть бесконечной; d) быть универсальной. «Парадокс»
оказывается, таким образом, совершенно естественным: можно указать нижнюю
границу, < К0, но не верхнюю; см. Гермес — Шольц, 52, стр 24, Май-
хилл, 53.
2) Это сопоставление, «решающее» парадокс Сколема, подробно описано
Карнапом, 34 (в английском издании 37), согласно которому бесконечные
множества, имеющие различные кардинальные числа, могут тем не менее
быть синтаксически одной и той же мощности.

138 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
проявление общей закономерности, с которой мы сталкиваемся
всякий раз, когда пытаемся рассматривать какие-либо
формальные объекты в отрыве от того формализма, в котором они
были введены. Ситуация эта в известном смысле подобна той, что
описывается гёделевской теоремой о неполноте (гл. V),
доказывающей наличие в «нормальных» дедуктивных системах
определенного рода предложений, истинных — что вытекает из свойств
системы как целого, — но недоказуемых с помощью формальных
средств самой системы.
Мы до сих пор стоим перед дилеммой, подобной той, что
относится к континуум-проблеме1). Либо понятие подмножества
данного множества воспринимается как платонистская
реальность, так что несчетность понимается как нечто абсолютное —
в этом случае аксиоматизация, очевидно, неосуществима из-за
парадокса Сколема, и мы возвращаемся к чреватой
антиномиями наивной теории множеств, — либо же — если мы
примем какую-угодно форму аксиоматизации — понятия 'счетное'
и 'несчетное' оказываются относительными, так что нам
приходится принять отмеченную впервые Сколемом релятивизацию
мощностей 2).
В данной системе аксиоматической теории множеств мы
можем обнаружить все характерлые черты канторовской теории,
в том числе бесконечно много различных бесконечных
мощностей, вплоть до недостижимых чисел. Но с появлением более
тонких критериев, которыми располагает система более
высокого уровня, все эти различия исчезают, так что остается лишь К0.
Это означает, что канторовская теория множеств настолько
богата, что допускает абсолютно несчетные множества, в то
время как аксиоматическая теория множеств настолько
ограничена, что каждое несчетное множество оказывается счетным
в какой-либо системе более высокого уровня, или в абсолютном
смысле.
Этот релятивизм, между прочим, относится не только к
множествам более высокой мощности, чем счетные, но в той же
мере и к конечным. Фон Нейман отметил3), что свойства
конечности и вполне упорядоченности подвержены такой же реляти-
1) Ср. стр. 120 и ел.; онтологическое значение этой дилеммы обсуждают
Берри, 53, и Майхилл, 53.
2) Эта релятивизация не распространяется в той же мере на порядковые
числа. Но чисто порядковая концепция кардинальных чисел (как начальных
чисел), которую можно было бы без особых изменений перенести с
порядковых чисел на мощности, вряд ли особенно надежна, не говоря уже об
относительности понятия вполне упорядочения.
3) Фон Нейман, 25, стр. 239 и ел.; ср. также Сколем, 22/23, стр. 223 и ел,
О 'вполне упорядоченности' ср. пример в § 2 работы *Сколема, 10.

§ 7. Системы аксиом Беркайса и Гёделя 13U
визации. Действительно, если понимать конечность, например,
в смысле Дедекинда ('неэквивалентность никакому своему
собственному подмножеству') или Тарского !) (что эквиполлентно
расселовской индуктивности), то конечность некоторого
множества S зависит от определенных отображений или от
совокупности подмножеств S; вполне возможно, что какая-либо данная
система недостаточно богата отображениями или
подмножествами, вследствие чего S выступает как конечное или вполне
упорядоченное, тогда как более богатые средства системы более
высокого уровня превращают S в (счетно) бесконечное или уже
не вполне упорядоченное. Последнее могло бы означать, что в
системе более высокого уровня имеются подмножества без
первого элемента, не существовавшие в исходной системе.
Этот двойной релятивизм не укрепляет позиций ни одной
из существующих философий математики. С одной стороны, он,
по-видимому, подтверждает интуиционистский лозунг, что
формалистские (аксиоматические) методы не позволяют добраться
до какой-либо подлинной сути дела и все остается смутным и
относительным; с другой стороны, исчезает предполагавшаяся
абсолютной первоначальная интуиция целого числа (гл. IV,
§ 5), так же как очевидность, на которую она претендовала, коль
скоро конечность незаметно переходит в бесконечную счет-
ность2). Таки.м образом, под вопросом оказывается не только
категоричность (мономорфизм) теории множеств, но и
абсолютная надежность и отчетливость понятия целого числа.
§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя.
Доказательства относительной непротиворечивости
Основная идея фон Неймана, состоящая в допущении
«самых обширных» совокупностей (классов) как таковых, которые
не могут, однако, служить аргументами (элементами),
сохранена Бернайсом; но в его аксиоматизации сохранено гораздо
больше черт системы Z, так что строение ее оказывается более
простым и ясным. Дальнейшие шаги в этом направлении были
предприняты Гёделем; см. стр 151 и ел.
(Открытие того, что допущение обширных классов не ведет
непременно к противоречиям, имеет значение не только для
теории множеств; мы можем, например, свободно говорить о
классе всех групп или всех полей.)
1) Тарский, 25.
2) См. также Хао Ван, 50, особенно теоремы 9 и 10.

140 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
В системе Бернайса1), обозначаемой ниже через '/?',
встречаются объекты двух разных сортов, называемые классами и
множествами; классы Бернайса приблизительно соответствуют
функциям фон Неймана, множества — аргументам2). Кроме
равенства (тождества), функций истинности (truth-functions) и
квантификации, имеется еще два первоначальных отношения,
интерпретируемые соответственно как принадлежность
множеству и принадлежность классу. Следуя Бернайсу, мы будем
пользоваться малыми курсивными (латинскими) буквами для
обозначения множеств и большими курсивными (латинскими)
буквами для обозначения классов; первоначальные отношения
будут обозначаться соответственно через ' 6 ' и 'V> τ· е·
х£а (х есть член множества а),
хцА (х есть член класса Л)3).
Стоящий слева аргумент χ может быть только множеством (и
притом произвольным). Это имеет двоякое значение: во-первых,
никакой класс не может быть левым аргументом ζ или η; во-
вторых, В не содержит «индивидов» в смысле стр. 42. В
последнем отношении система В похожа на Ζ (стр. 45) и
систему фон Неймана, 29, и отличается от позиции самого Цер-
мело4).
Что же касается равенства (характеризуемого Бернайсом
словами 'быть одним и тем же предметом', то в В оно
рассматривается не как первоначальное отношение системы, а как
«логическое понятие, непосредственно связанное с идеей предмета
(individual)»5). Эта позиция отличается от той, что была
принята в § 2. Фактически Бернайс вводит аксиому объемности в
1) Бернайс, 37—54. Эта серия из семи статей представляет собой самое
обширное и глубокое из существующих исследований по аксиоматической
теории множеств; ср. также Бернайс, 58. Поскольку большая часть цитат
из Бернайса в настоящем параграфе относится к этой серии, каждая
цитируемая статья обозначается одной римской цифрой, указывающей номер
части 37—54.
2) Как говорит Бернайс, «это различие можно понимать так, что
множество есть совокупность, являющаяся предметом в собственном смысле слова,
в то время как класс есть предикат, рассматриваемый только в связи с его
объемом» (I, стр. 66). Проводить различие между 'аргументами' и
'элементами' нет никакой нужды, поскольку Бернайс с самого начала
придерживается упомянутой в подстрочном примечании на стр. 127 точки зрения,
согласно которой все аргументы суть множества; ср. § 2, стр. 45.
3) Бернайс вместо 'член* говорит 'элемент'.
4) В обеих работах Цермело, 08 и 30. (Там допускаются Urelemente,
хотя в них и нет необходимости.)
5) Отныне 'предмет' понимается в логическом смысле. [Это примечание
авторов относится к термину 'individual', которое в этом его понимании
переводится нами не как 'индивид', а как 'предмет'. — Перев.]

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя
141
форме 1а со стр. 48 и притом дважды: для равенства множеств
и для равенства классов (последняя имеет лишь второстепенное
значение1)). Отношения с и с определяются, как на стр. 46, и
для множеств и для классов, а также между множеством и
классом (подмножество класса, подкласс множества). С ними
естественным образом связывается новое понятие «множество а,
представляющее класс Л», или vice versa2); оно определяется
как 'ас А я А ^ а\
1) В части II работы Ганди, 56 [см. Танди, 59. — Перев.], должно быть
доказано, что если система Бернайса (—Гёделя) без аксиомы объемности
непротиворечива, то непротиворечивость сохраняется и после присоединения
этой аксиомы. — Прим. авт.
Относительная непротиворечивость аксиомы объемности доказана Танди,
59, не по отношению к системе Z, а по отношению к ее расширению,
состоящему в обогащении языка посредством присоединения описаний хУ$ (х)
(класс тех х, для которых имеет место 43 (х)). Такое обогащение
потребовалось в связи с тем, что без него, при отсутствии аксиомы объемности,
схема VIII аксиом подстановки оказывается слишком слабой. °Скотт, 61,
доказал, что в системе Ζ без аксиом объемности и подстановки (но с
аксиомой бесконечности, правда, в форме несколько отличной от VII) можно
доказать путем построений модели относительную непротиворечивость
схемы VIII.
Независимо от Ганди °Есенин-Вольпин, 60, § 1 и 4, дает доказательство
относительной непротиворечивости аксиомы объемности, причем вместо
указанного обогащения языка он усиливает аксиому объемности, заменяя в VIII
равенство у = у' равнообъемностью у и у' (т. е. формулой, выражающей, что
у С у'& у с у); конечно, такое видоизменение схемы VIII является
несущественным с точки зрения системы, содержащей аксиому объемности. Кроме
того, он доказывает, что можно сохранить в исходной системе и
первоначальную схему VIII, если расширить язык системы введением функционального
символа q(x), значением которого для любого множества χ служит
множество х, и добавить к исходной системе аксиому, утверждающую, что если
множества χ и у равнообъемно, то q(x)—q(y) (Это расширение слабее, чем
упомянутое введение описаний; оно позволяет вывести из первоначальной
схемы VIII видоизмененную только что указанным образом, не прибегая
к аксиоме объемности.)
Здесь уместно заметить, что систему Ζ со схемой VIII большинство
авторов именует системой Цермело — Френкеля ZF, а «системой Цермело (Ζ)»
называют систему, содержащую лишь аксиомы I—V, VII (и иногда также
в обоих случаях, IX, что несущественно для рассматриваемой темы). Для
системы Цермело (в только что указанном смысле слова) °Есенин-Вольпин,
60, доказывает относительную непротиворечивость аксиомы объемности, не
прибегая ни к каким изменениям исходной системы (в которой, конечно, нет
зтой аксиомы). — Прим. перев. и ред.
2) Наоборот (лат.); авторы, по-видимому, хотят сказать о понятии
«класс Л, представляющий множество а», которым, однако, Бернайс ни в
цикле статей 37—54, ни в монографии 58 не пользуется; впрочем, ни к
каким осложнениям эта вольность не приводит, поскольку речь идет попросту
о равнообъемности класса Λ и множества а — отношении
симметричном. — Прим. перев.
Сходная идея встречается у Лёвенгейма, 40; метод ограничения,
использованный в этой работе (для предотвращения антиномий), близок в общих
чертах к аксиоматической теории множеств. — Прим. авт.

14% Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
Кроме аксиом объемности (I), в В входят две элементарные
аксиомы II, постулирующие существование вполне
определенного1) пустого множества (null-set, empty set) О [II (1)] и вполне
определенного с множества sw{c} для любых данных множеств
5 и с, таких, что c(£s [II (2)]. II (2) заменяет аксиому пары
системы Ζ (стр. 50) и обеспечивает — ввиду II
(1)—существование множества {с} для любого множества с.
Упорядоченная пара, или диада (dyad), (a, b) определяется
как множество {{а}, {а, Ь}} (ср. ниже на стр. 165); а называется
первым, b — вторым элементом2) пары. Очевидно, что
(a, b) = {c, d) тогда и только тогда, когда а = с и b — d. Диада
(6, а) называется конверсом {converse) диады (а, Ь).
Наконец, упорядоченная тройка (триада (triad)) (α, bt с)
определяется как (α, (ft, с)). Мы будем впредь опускать эпитет
'упорядоченная' и говорить просто о диадах (а, ft) и триадах
(а, ft, с).
После этих предварительных шагов следует основное ядро
системы Бернайса — аксиомы построения классов (III),
позволяющие свести схемы аксиом, такие, как аксиома выделения
(§ 3) и аксиома подстановки (§ 5), к аксиомам в собственном
смысле слова. Конечная цель, преследуемая аксиомами III,
состоит в том, чтобы получить следующий фундаментальный
принцип, называемый классовой аксиомой {class axiom).
(В) Для любого предиката 'F, не содержащего
связанных классовых переменных, существует вполне
определенный класс У, содержащий в точности те х,
которые удовлетворяют 'Р; или, в символической
записи,
(ЕГ)(Ах)[хцГ = Р(х)\;
здесь Ύ — классовая переменная, не входящая в Ψ(χ)\ (Ср.
стр. 143—144.)
Главное различие между принципом (В) и аксиомой
выделения системы Ζ (§ 3, стр. 55) состоит в том, что там
существование множества у, определяемого данным предикатом, зависит
от предположения о существовании некоторого множества,
подмножеством которого является у, в то время как здесь
существование класса У утверждается безотносительно к каким бы
1) В оригинале—определенный артикль the; впрочем, наличие аксиомы
объемности позволяет не слишком заботиться об этом обстоятельстве при
переводе. — Прим. перев.
2) Термин 'элемент' (диады или β-ады) следует отличать от термина
'член' (класса или множества).

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя
143
то ни было условиям, т. е. независимо от всяких допущений,
кроме тех, которые касаются определяющего предиката Ψ\
Принцип (В) также есть схема, поскольку в него входит
предикатная переменная Ψ\ Однако Бернайс (в части I) дает
довольно сложное доказательство того, что (В) может быть
выведен из нескольких отдельных аксиом, которые и объединяются
в группу аксиом III. Конечно, этот вывод производится не
внутри аксиоматической системы, а метаматематически. Слегка
изменяя бернайсовское расположение самих аксиом III и
некоторых их непосредственных следствий1), мы формулируем
следующие семь аксиом.
111(1) Каждое множество представляет (стр. 141)
некоторый класс 2), т. е.
(kz) (ΕΥ) ( Ajc) [хц¥ = x£z\ 3).
111(2) Существует класс4) всех таких диад (х, у), для
которых χ £ у; т. е.5)
(EZ)(Ax)(Ay)((x, y)4Z^xey).
111(3) Для каждого класса X существует дополнительный
класс V—Х\ т. е.
(kX)(EY)(hz)\zrtir==~(zr[X)\.
111(4) Для любых двух классов X и У существует их
пересечение Χ Π Υ\ т. е.
(АХ) (kV) (EZ) (ka) \ux\Z = (щХ & ux\Y)\.
111(5) Для каждого класса диад X существует класс,
члены которого суть первые элементы членов X
(область {domain) класса Х)\ т. е.
(АХ) (EY) (kz) (ku) \Z4\Y = (Ей) «г, и) цХ)\.
1) Мы следуем здесь расположению (Гёделя, 40, и) Хао Вана — Мак-
Нотона, 53, различая, однако, отношения ' £ ' и 'η'.
2) В оригинале «множество представимо классом»; можно было бы
сказать «равнообъемно классу» (ср. примечание 2 на стр. 14). — Прим. перев.
3) Оказывается, что обратное предложение в В не имеет места, т. е. не
каждый класс представим множеством. Этого и следовало ожидать с самого
начала в соответствии с самой целью различения классов и множеств.
4) В формулировке аксиом III (2) — III (7) мы опускаем для краткости
эпитет 'вполне определенный', соответствующий английскому 'the' (ср прим. 1
на стр. 142, а также выше, стр. 50). — Прим. перев.
5) В словесных формулировках аксиом (2), (5), (6), (7) допущены
некоторые само собой разумеющиеся упрощения; в (2), например, Ζ мог бы
содержать, кроме диад, и другие члены; то же имеет место для X в (5),
и т. π

144 Г л //. Аксиоматические основания теории множеств
111(6) Для каждого класса X существует класс, члены
которого суть диады, первые элементы каждой из
которых суть члены Х\ т. е.
(AJO(EJ0(A*)(Aa)I<*, ιι)χγ = ζχ\Χ].
111(7) Для каждого класса X триад (ζ, α, υ) существуют
класс соответствующих1) триад (ν, ζ, и) и класс
соответствующих2) триад (и, ζ, υ), т. е.
(kX)(EY)(kz)(ku)(kv)[(v, ζ, α)τ\Υ = (ζ, /г, ν)ι\Χ],
(kX)(EV)(kz)(ka)(kv)\(a, ζ, ν)ηΥ = (ζ, и, v)t\X].
Из непосредственных следствий этих семи аксиом
достаточно упомянуть о существовании:
a) класса, члены которого суть все множества, содержащие
по единственному члену3);
b) для каждого класса диад С — класса диад, являющихся
их конверсами (converse dyads), короче: класса, обратного С
(converse class);
c) пустого класса, класса всех множеств (по 111(3)) и
класса всех диад;
d) объединения двух данных классов (по III (3) и (4));
e) для каждого класса диад С — класса их вторых
элементов (обратная [конверсная] область С (converse domain)), a
также класса всех элементов членов С (поле (field) С).
По аналогии с переходом от диад к триадам мы можем
определить &-ады4); &-ады некоторого определенного типа будут
именоваться нормальными k-адами; для & = 4 нормальной
тетрадой будет (аи {a2t (α3, α4))).
При помощи этих аксиом Бернайс выводит классовую
аксиому (β); более точно и общо: он доказывает существование
класса, члены которого суть в точности те /е-ады, которые
удовлетворяют предикату Ψ\ содержащему k свободных переменных.
Хотя доказательство это довольно трудно (см. часть I, стр.70—
77), основная идея его достаточно прозрачна. Именно, для
некоторых очень простых предикатов 'F (В) выражается уже
аксиомами III, а от условий F (х)' 'G(x)\ Ή (у, ζ)' можно перейти,
1) Получающиеся из данных посредством циклической перестановки их
элементов. — Прим. перев
2) Получающихся из данных посредством ациклических перестановок их
элементов — Прим. перев.
3) В части I это утверждение фигурирует в качестве аксиомы;
доказательство его см. в VII, стр. 94—95.
4) Ср Куайн, 34, гл. I. По поводу непосредственного введения β-ад как
множеств ср. Сколем, 57а, стр. 43—46 (а также Россер, 53, стр. 281). [По-
русски чаще пользуются термином 'энка' (д-ка), а еще чаще (но в более
широком смысле) — '&-ка\ — Перев]

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёдеяя
145
согласно аксиомам III, к условиям вида '~F(x)\ *F{x) &G(x)\
'(Ει/) H(у, ζ)\ Доказывается, в частности, существование
следующих классов:
1) пересечения членов данного класса (или множества);
2) объединения членов данного класса (или множества),
3) класса-степени1) данного класса (или множества).
В начале II части Бернайс вводит следующую группу (из
шести) аксиом, содержащую аналоги аксиом, известных нам по
системе Ζ (§ 3—5): аксиомы выбора (IV Бернайса), выделения
(подмножеств2)) (Va), подстановки (Vb), множества-суммы
(Vc), множества-степени (Va), бесконечности (VI) и
фундирования (VII). Ввиду различения классов и множеств эти
аксиомы нуждаются здесь в некотором уточнении.
Прежде всего (однозначная) функция определяется как
такой класс F диад (а, 6), что различные диады из F имеют
различные первые элементы; иными словами, для каждого члена α
области определения3) функции однозначно определено его
«значение» Ь. Соответственно взаимно однозначное
отображение есть такой класс диад Λί, что как М, так и его конверсный
класс оба суть функции.
В терминах этих понятий аксиомы IV—VII системы В
формулируются следующим образом:
IV. Каждый класс диад С имеет подкласс, являющийся
функцией и имеющий ту же самую область4), что и С. (Аксиома
выбора.)
Va. Если некоторый класс представим множеством, то и
каждый его подкласс представим множеством. (Аксиома
выделения подклассов (Axiom of subclasses}.)
Vb. Если область взаимно однозначного отображения пред-
ставима множеством, то и обратная его область также предста-
вима множеством. (Аксиома подстановки5)).
*) То есть класса всех подмножеств.
2) Ср. примечание 1 на стр. 55. — Прим. перев.
3) В оригинале просто 'domain', переводимое обычно (в том числе и
выше, стр. 143) как 'область'; как правило, такие не ведущие к
недоразумениям вариации терминологии, имеющие в виду большую близость к
обычному математическому словоупотреблению, специально нами не
оговариваются. — Прим. перев.
4) И здесь 'domain'; ср. предыдущее примечание. — Прим. перев.
5) Строго говоря, в предположении этой аксиомы на стр. 111 говорится
не о взаимно однозначном отображении (взаимно однозначной функции),
а просто о функции. Но благодаря аксиомам IV и Va это не меняет дела.
Обратно, из приспособленной к теперешней терминологии первоначальной
формы аксиомы подстановки, обозначаемой в дальнейшем V*, аксиомы Va и
Vb можно вывести как теоремы V* часто использовалась Бернайсом вместо
конъюнкции Va и Vb, особенно в тех случаях, когда аксиома выбора не
предпола! алась.
10 Зак. 1765

146 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
Vc. Класс-сумма (объединение членов) множества есть
множество 1).
Vd. Класс-степень множества есть множество1).
VI. Существует такое множество s, для которого имеется
взаимно однозначное его отображение на некоторый его
собственный подкласс. (Аксиома бесконечности.)
VII. Аксиома фундирования (или ограничения); ее можно
принять примерно в той форме, что приведена на стр. 118. В
соответствии с терминологией Бернайса мы будем называть ее
в этом параграфе аксиомой ограничения (restriction).
Как будет видно из дальнейшего, аксиомы V для различных
целей используются по отдельности. В частности, до тех пор
пока это будет возможно, мы будем избегать употребления
аксиом Vc и Vd.
Из непосредственных следствий аксиом IV—VII явного
упоминания заслуживают лишь некоторые. Из IV и аксиом III
следует обычная форма аксиомы выбора, т. е. утверждение, что
для каждого класса С непустых множеств существует функция
с областью С, сопоставляющая каждому члену С один из его
членов. С другой стороны, из III (1), IV и Va или Vb следует
мультипликативная аксиома Рассела (стр. 65). Из VI мы
получаем существование множества, которое можно взаимно
однозначно отобразить на его собственное2) подмножество,
т. е. множество, представляющее «рефлексивный» класс.
Мы не намерены здесь описывать построение теории
множеств на основе аксиом Бернайса, если не считать отдельных
вопросов, например порядковых чисел и арифметики (number
theory). Построение наиболее существенных частей теории
множеств на основе § 2—5 дается в § 8; построение же теории
множеств по Бернайсу (главным образом по части III его серии
статей) бегло освещается в следующем абзаце. Затем будет
указано, какие аксиомы В нужны для обоснования различных
областей математики; это одно из наиболее значительных
достижений Бернайса, получившего также глубокие результаты,
касающиеся независимости аксиом.
Кроме аксиом групп I—III, которые будут предполагаться
во всех случаях, для построения обычной теории порядковых
чисел (см. ниже), арифметики3) и теории конечных множеств3)
и классов3) достаточно аксиомы ограничения; при
незначительном видоизменении определения порядковых чисел вместо ак-
1) Вернее сказать — представим множеством ('..есть множество'
попросту не имеет точного смысла в данном контексте). — Прим. перев.
2) То есть не совпадающее с ним самим. — Прим перев.
3) Курсив добавлен при переводе. — Прим. перев.

§ 7. Системы аксиом Вернайса и Гёделя
147
сиомы ограничения можно взять аксиому выделения подклассов.
Для построения анализа аксиомы I—III дополняются аксиомой
выделения подклассов, усиленной формой аксиомы
бесконечности (а именно что каждый счетный класс представим
множеством) и ограниченной аксиомой выбора1). Для построения
общей теории множеств2) к I—III присоединяются аксиомы
выбора, выделения и подстановки. Что касается анализа, то
действительные числа определяются как дедекиндовские
сечения (ср. Г, § 93)) через дробные тройки (fraction triplets)
неотрицательных целых чисел (а, 6, с), где сФО,
интерпретируемые как (а — Ь) : с. Понятие наименьшей верхней грани(цы) и
даже определение меры Лебега можно получить тогда
обычным путем; в то же время последовательность действительных
функций действительной переменной нельзя, вообще говоря,
представить множеством, кроме случая непрерывных функций
(полностью определяемых уже своими значениями для
рациональных аргументов; ср. Г, стр. 160).
В части III обсуждается также взаимосвязь различных форм
бесконечности, в том числе аксиом VII и VII* (стр. 107—108),
значительно более сильной аксиомы, упомянутой в сноске 5 на
стр. 107, и упомянутой в предыдущем абзаце аксиомы для
счетных множеств.
В части IV строятся те разделы общей теории множеств,
которые можно получить без аксиом множества-суммы,
множества-степени и бесконечности; эти аксиомы нужны скорее для
построения шкалы мощностей, нежели для общей теории. Как
обычно, аксиома выбора используется лишь в тех случаях,
когда без нее не удается обойтись. Алгебраические
эквивалентности, касающиеся объединения и пересечения классов (т. е.
элементарная булева алгебра) и прямых произведений, могут
быть выведены из одних только аксиом I—III; законы же,
касающиеся теоретико-множественной операции возведения в
степень (Г, § 73)), требуют также аксиом V* и парно-классовой
аксиомы {pair class axiom), постулирующей, что произведение
ΑχΒ представимо множеством при условии, что это
справедливо для классов А и В. (Вместо этих двух аксиом можно взять
сами аксиомы IV, Va и Vb.) Для получения теоремы эквива-
1) См. выше, стр 7, примечание 2. Как показывает Бернайс, эта
ограниченная аксиома достаточна для построения теории второго числового класса.
2) Как уже говорилось, Бернайс употребляет это выражение в смысле,
отличном от принятого нами в § 3—5. Бернайсовское понимание исходит из
стремления (которое можно усмотреть уже в системе фон Неймана)'
«отделить допущения, необходимые для концептуальных (conceptual) построений,
от тех, которые приводят к канторовской иерархии мощностей» (часть IV,
стр. 133); ср. стр. 148.
3) Или °Хаусдорф 14/27/37, стр. 22.-— Прим. перев.
10*

Ϊ48 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
лентности (Г, стр. 98 и ел ) для классов и теоремы Кантора (Г,
стр. 94) для множеств достаточно присоединить аксиому Va.
Интересно, что из двух существенно разных методов
доказательства теоремы эквивалентности (см. Г, стр. 103)
аксиоматически менее элементарным оказывается тот, который не связан
с использованием счетной последовательности множеств1); он
может быть использован в системе Бернайса лишь при условии,
что хотя бы один из исходных классов представим
множеством. Это дает вполне определенное решение
продолжавшихся многие десятилетия споров на тему о том, какой из этих
методов предпочтительнее. Что же касается теоремы Кантора,
то с помощью аксиомы Va удается лишь доказать, что большое
кардинальное число2) (мощность) имеет класс подмножеств;
доказательств же того, что этот класс представим множеством,
требует уже применения аксиомы Va, лежащей за пределами
общей теории множеств (в указанном выше смысле). Ясно, что
теорему Кантора нельзя формулировать для произвольных
классов, например класс всех множеств совпадает с классом своих
подмножеств. Тем не менее Бернайс с успехом приспосабливает
если не результат, то сами рассуждения Кантора и к
подклассам произвольного класса. То обстоятельство, что различения
классов и множеств способствует предотвращению антиномий,
становится здесь особенно ясным.
С помощью аксиом IV, Va и Vb получается неравенство Кё-
нига — Журдэна — Цермело (Г, стр. 1323)).
Доказательство сравнимости классов, требующее
применения аксиом Vc, Vd и VII, выходит за пределы общей теории
множеств, в то время как сравнимость множеств устанавливается
посредством некоторого видоизменения первого доказательства
Цермело теоремы о вполне упорядочении (Г, стр. 310 и ел.4)),
для которого достаточно аксиом IV, Va и Vb. Понятие порядка
вводится при помощи любого из двух методов, разъясняемых
в следующем параграфе (стр. 162 и ел.; ср. Г, стр. 192, с)).
Второе доказательство Цермело (ср. Г, стр. 319—3205)), так
же как доказательство Хартогса (см. выше, стр. 95), требует
аксиому Vd и представляется в связи с этим менее элементар-
1) То есть тот самый метод, который приводится в любом руководстве
по теории множеств. При другом из упоминаемых здесь методов
доказательства этой теоремы в данных классах S η Τ выделяются такие
подклассы So и 70, что S0 = (p(T0), а Τ — Γ0 = χ(5 — S0), где φ и χ — фигурирующие
в условии теоремы отображения: 5 = φ (Tr), T'czT, ^ = χ(S,), S'cz S. —- Прим.
перев.
2) Понятие кардинального числа здесь не используется; о явном
введении его см. стр. 149.
3) °Хаусдорф 14/27/37, стр. 35 (теорема III). — Прим. перев.
4) См. примечания 3 и 4 на стр. 67. — Прим. перев.
5) См. примечания 1 и 2 на стр. 68. — Прим. перев.

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя
149
ным; однако Бернайс избирает некоторый промежуточный
между первым и вторым доказательствами способ, подпадающий под
вышеуказанное понимание общей теории множеств.
Еще до этих результатов, относящихся к классам и
множествам вообще, в части II строится теория порядковых чисел.
Бернайс следует предложенному Р. М. Робинсоном
видоизменению метода фон Неймана (выше, стр. 129—131); в отличие от
фон Неймана Робинсон не основывается на вполне
упорядочении, а строит теорию порядковых чисел независимо от этого
понятия. Бернайс использует также некоторые идеи, высказанные
в 1937 г. Гёделем. Множество t называется транзитивным, если
каждый член любого члена t есть также член t\ порядковые
числа определяются как такие транзитивные множества с, что
из аФЬ, α ζ с и Ь ζ с следует, что а £ Ь или Ь £ а. По (В)
(стр. 142) существует класс всех порядковых чисел. С помощью
аксиомы ограничения доказывается, что каждый транзитивный
собственный подкласс порядкового числа представим
некоторым членом этого порядкового числа и что пересечение членов
непустого класса порядковых чисел представимо некоторым
членом этого класса. Первое свойство делает использование
аксиомы Va в этой теории излишним, второе же обеспечивает
вполне упорядочение порядковых чисел при условии, что они
упорядочены отношением cz ; таким образом, второе свойство
фактически означает, что в каждом непустом классе порядковых
чисел имеется первое порядковое число. Теперь уже легко
получается, что каждый член порядкового числа есть порядковое
число и что каждое порядковое число представляет класс всех
предшествующих порядковых чисел (см. § 6). Отсюда легко
выводится обычная теория порядковых чисел (скажем, в
смысле фон Неймана) и следует по аксиоме VII, что класс всех
порядковых чисел не может быть представлен множеством1).
Наконец, кардинальное число2) определяется как такое
порядковое число п, для которого не существует взаимно
однозначного отображения η на какой-либо из его членов (ср.
стр. 131).
Для каждого множества существует одно и только одно
соответствующее ему кардинальное число3).
Теперь, как частный случай, легко получается теория
конечных порядковых чисел и конечных классов и множеств.
1) Как замечает Ρ Μ. Робинсон, 37, теорию порядковых чисел можно
было бы видоизменить таким образом, чтобы не пользоваться аксиомой
ограничения. В этом случае, однако, для получения вышеупомянутого результата
нам понадобится аксиома Va.
2) Ср. также определение Шпеккера, 54, стр. 332.
3) Конечно, существование кардинального числа для каждого множества
доказывается при помощи аксиомы IV. — Прим. ред.

ISO Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
Порядковое число называется конечным, если оно само и
каждый его член либо пусто, либо имеет последний член.
Согласно (β), существует класс всех конечных порядковых
чисел. Аксиомы Пеано, в том числе принцип математической
индукции, легко выводятся из этого определения; теорема о
конечной рекурсии (определение по индукции) может быть
выведена либо методом, аналогичным дедекиндовскому !), либо
с помощью предложенной Бернайсом некоторой его
модификации, основанной на специального рода итерации. Сложение,
умножение и возведение в степень неотрицательных целых
чисел определяются по существу обычным путем; вообще, можно
определить любые арифметические функции, использующие
понятие «наименьшего числа, такого, что —»2).
Класс — или множество — называется конечным, если его
можно взаимно однозначно отобразить на некоторое конечное
порядковое число3). Соответственно порядковое число
оказывается конечным множеством тогда и только тогда, к^гда оно
есть конечное порядковое число (см. выше). Дальнейшее
построение теории конечных множеств и чисел не встречает
затруднений, если допускается аксиома ограничения (или Va).
В последних частях (V—VII) рассматриваются, с одной
стороны, некоторые методы и результаты классической теории
множеств и достаточные для их получения наборы аксиом, а с
другой— свойства самой системы аксиом (см. гл. V), в частности
доказательства независимости.
В первом направлении получено доказательство теоремы об
общей рекурсии, требующее лишь аксиом Va и Vb; из этойтео-
1) См. стр. 131. Метод Дедекинда требует, однако, не только Va или
VII, но также аксиомы бесконечности. Первым, кто показал, что теорию
конечных множеств и чисел можно вывести из теоретико-множественных
аксиом без предположения о существовании бесконечных множеств, был
Цермело (*4; ср. *Греллинг, 1); ср. Хао Ван, 53 и 57.
2) Ср. Гильберт — Бернайс, 34—39ι, стр. 401 и ел.
3) В оригинале '... существует взаимно однозначное отображение...';
строго говоря, так и следовало перевести, поскольку выше был определен лишь
термин 'отображение', а не 'отобразить'; в дальнейшем мы позволяем себе
такие естественные перефразировки без специальных оговорок. — Прим. перев.
4) Исследование трансфинитной рекурсии у Бернайса на самом деле не
является полным, например, можно думать, что возможны такие формы
трансфинитной рекурсии, которые с наивной канторовской точки зрения были
бы законными, но не отображались системой В, равно как и Z, системой Σ
Гёделя и т. п. (аналогичная ситуация в связи с понятием обще-, но не
примитивно-рекурсивной функции, неоднократно рассматривалась для
арифметики; см., напр., Клини, 52, § 55, или Петер, 51, § 10). В таком случае
вновь возникает вопрос о том, в какой мере удовлетворительны
рассматриваемые здесь системы аксиом и в связи с этим не следует ли отказаться
от высокой оценки результатов Гёделя об относительной непротиворечивости
аксиомы выбора и т. п. — Прим. ред.

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя 161
ремы с помощью аксиомы выбора выводятся различные
принципы максимума (см. стр. 93). Упомянутые выше
результаты, относящиеся к конечной рекурсии, распространяются и
на трансфинитную рекурсию; это можно сделать с помощью
либо аксиомы Vc, либо некоторой ослабленной ее формы; в
последнем случае приходится использовать понятия суммы и
произведения трансфинитных порядковых чисел (часть V).
Аксиомы множества-суммы и множества-степени, в которых до этого в
большинстве случаев потребности не возникало, используются
теперь для доказательства того факта, что для каждого
кардинального числа существует большее; сверх того,
устанавливается следующий результат, выражающий основную идею системы
фон Неймана (см. его аксиому IV2, стр. 127): любой класс
порядковых чисел либо представим множеством, либо взаимно
однозначно отобразим на класс всех порядковых чисел.
Основную роль в доказательстве этого результата играет
некоторый класс П, использованный в несколько отличной форме фон
Нейманом в его доказательстве непротиворечивости (стр. 133)
(П оказывается классом всех множеств). Для членов Π
вводится важное понятие степени (degree) (или ранга (rank)) 4).
Затем обсуждается роль аксиомы ограничения и возможность
ее ослабления (часть VI).
Остаток части VI и основное содержание последней части
VII посвящены построению моделей, служащих для
доказательств независимости (см. гл. V), основанных на
использовании введенных фон Нейманом функции Ψ и класса П2).
Основной результат заключается в том, что в системе, состоящей
из аксиом I—III, Va—d и аксиом бесконечности VI и
ограничения VII, каждая из четырех аксиом Vb, Vc и Vd (подстановки,
множества-суммы и множества-степени) и VI независима, т. е-
недоказуема в подсистеме, получаемой удалением
соответствующей аксиомы. В части VII приводятся и другие
доказательства независимости, относящиеся к аксиоме выделения
подклассов и аксиоме ограничения, как для системы с аксиомой
бесконечности, так и без нее; здесь используется метод Аккер-
мана3). Некоторые из рассматриваемых систем содержат также
аксиому выбора. В заключение обсуждается возможность
построения аналогичных моделей при помощи арифметических
1) Ср. предыдущее примечание. — Прим. перев.
2) Это понятие ранга просто определяется Тарским, 55а, указывающим
некоторые его важные применения и намечающим построение теории
порядковых чисел в терминах теории рангов.
3) Фон Нейман, 29 (стр. 236 и ел.), где функция Ψ, а также Bereich
[область. — Перев.] Π используются в доказательстве непротиворечивости.
3) Аккерман, 37г

152 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
(number theoretical), а не теоретико-множественных или
теоретико-классовых средств.
Система аксиом Гёделя Σ 4) довольно близко примыкает к
системе Бернайса (известной Гёделю из письма, хотя к тому
времени и была опубликована лишь часть Ι). Σ представляет
собой существенное упрощение системы Бернайса, благодаря
чему она оказывается не только пригодной для своего
непосредственного назначения, т. е. доказательства совместимости
аксиомы выбора и континуум-гипотезы, но и удобным орудием
для доказательств непротиворечивости (или независимости)
вообще.
Главное формальное нововведение Гёделя заключается в
том, что каждое множество отождествляется с классом,
представленным этим множеством; соответственно из отношений ζ и
η остается лишь одно (£ ) (что делает эту систему более
похожей на Ζ; см. выше, § 2) 2). Выражение 'sff в Σ осмысленно
для любых классов 5 и t, т. е. как для множеств, так и для
«собственно классов»; истинным же оно является только в том
случае, когда s есть множество, являющееся членом t. Гёдель
разбивает свою систему на пять групп (аксиом): А—Е3).
В группу А входит, кроме аксиомы объемности и III (1),
также аксиома пары в том виде, как она приведена на стр. 50 (не
в смысле диад). Группа В, по существу совпадающая с бернай-
совскими аксиомами III4), приводит к результату (ср. (В),
стр. 142), состоящему в том, что для любого предиката, не
содержащего связанных классовых переменных5), существует
класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих этому
предикату. Группа С состоит из соответствующим образом
сформулированных аксиом бесконечности, множества-суммы,
множества-степени и подстановки (последняя — в первоначальной
1) Гёдель, 40; ср. 38 и 39. Коган, 55, показывает, каким образом систему
Гёделя можно описать в подходящей системе комбинаторной логики (ср.
выше, стр. 126, подстрочное примечание 3).
2) Ср. изящный метод, предложенный Куйаном, 56, стр 269. По поводу
дальнейшей редукции первоначальных понятий ср. замечания Мостовского и
Тарского, приведенные в работах Мостовского, 39, стр 208, 49а, стр. 144.
3) Символическую формулировку этих аксиом (с небольшими
изменениями) см. у Мостовского, 49а, стр. 144.
4) Об упрощении, показывающем, что аксиома Вб является излишней,
см. Марков, 48 С другой стороны, из комбинаторной теоремы, доказанной
Хайналом — Кальмаром, 56, следует, что можно обойтись также без
аксиомы В 8 (но не без обеих этих аксиом одновременно).
5) Последнее условие опущено в формуле *202 книги Куйана. 51. Это
изменение делает, по-видимому, систему Куайна более сильной; см. Хао Ван,
49, прим 5. С другой стороны, куайновская форма системы, очевидно, не
сводима к конечному числу аксиом; ср ниже, гл. III.

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя
153
форме, приведенной на стр. 111) 4); D есть аксиома
ограничения (аксиома VII Бернайса2)), а Е — общая форма аксиомы
выбора (для классов непустых множеств). Все это близко
примыкает к системе Ζ, если не считать различения множеств и
классов и бернайсовской трактовки Aussonderungsaxiom при
помощи аксиом III или (В)\ в последнем отношении гёделев-
ский путь оказывается проще бернайсовского.
Затем строится теория порядковых чисел, по существу
следуя фон Нейману и Р. М. Робинсону (§ 6) 3).
На этой основе для системы Σ определяется некоторая
модель Δ, классы и множества которой удовлетворяют системе
Гёделя. Мы не имеем возможности приводить здесь ее весьма
остроумное, хотя и совсем несложное, определение. Заметим
лишь, что в Δ множества представляют собой члены L —
класса значений некоторой функции, областью определения которой
служит класс всех порядковых чисел. Эта функция строится
при помощи повторного (трансфинитное число раз)
периодического применения девяти специальных
теоретико-множественных операций. Δ удовлетворяет аксиоме IV2 фон Неймана
(стр. 127). Члены (множества) класса L «конструктивны»
(constructible) в некотором широком смысле, предполагающем,
что применение упомянутых операций (исходя из пустого
множества) можно итерировать любое трансфинитное число раз.
В частности, конструктивным оказывается каждое порядковое
число.
После этого доказывается совместимость обобщенной
континуум-гипотезы (и аксиомы выбора) с аксиомами Гёделя:
показывается, что конъюнкция этих аксиом и допущения, что
каждое множество конструктивно (короче: постулата
конструктивности {constructibility)), влечет континуум-гипотезу;
следовательно, в Δ континуум-гипотеза истинна. (Эта идея связана
с одной гораздо более ранней программой Гильберта4),
которая в ее первоначальной форме никогда не была
осуществлена.) При доказательстве этой импликации используется
взаимно однозначное и (по отношению к величине) подобное
отображение класса порядковых чисел на класс трансфинитных
кардинальных чисел, которое в свою очередь приводит к взаим-
х) Неточность авторов — у Гёделя аксиома подстановки (С 4) есть
собственно аксиома, а не схема, как в Ζ. — Прим. перев.
2) Снова неточность — Гёдель формулирует аксиому ограничения (D)
для классов, а не только для множеств, как Бернайс. — Црим. перев.
3) Спринкл, 56, основываясь на гёделевских аксиомах (кроме аксиомы
выбора), строит теорию кардинальных чисел, определяя кардинальные числа
не для произвольных множеств, а лишь для порядковых чисел.
4) Гильберт, 25.

164 Гл II. Аксиоматические основания теории множеств
но однозначному соответствию между порядковым числом ωα+1
и множеством всех подмножеств ωα.
Оказывается, что этот результат зависит по существу не от
вида использованных Гёделем конкретных аксиом, а от того их
свойства, что они придают точность понятию предиката,
употребляемого в аксиоме выделения § 3, иными словами, от того,
что они выражают понятие класса, соответствующее
аксиоматизации Бернайса и Гёделя (см. (β), стр. 142). Это
существенное по сравнению с Ζ усовершенствование и позволяет
Гёделю доказать, что присоединение постулата
конструктивности к другим аксиомам не нарушает непротиворечивости
системы (при условии, что до этого присоединения система была
непротиворечива). Следует отметить, что Гёдель со всей
определенностью отвергает мысль о том, чтобы принять постулат
конструктивности в качестве одной из аксиом теории
множеств1). Замечательно, однако, что при помощи этого
постулата такой «канторианец» и «платонист», как Гёдель, вводит и
с успехом применяет принцип конструктивного характера,
напоминающий методы теории рекурсивных функций и даже
интуиционизма (гл. IV).
В настоящем и предыдущем параграфах мы видели, что
системы аксиом фон Неймана, Бернайса и Гёделя во многих
отношениях превосходят систему Ζ § 2—5; важнейшая их
особенность состоит в том, что понятие множества (класса) трактуется
в них явно настолько широко, насколько это только возможно2)
(имея в виду опасность антиномий). Естественно,
следовательно, задать вопрос: не обойдутся ли нам эти достижения
слишком дорогой ценой, т. е. не усиливается ли опасность
появления в системе противоречий. (По поводу этой проблемы для Ζ
см. стр. 121 — 123.)
Тем значительнее и, пожалуй, неожиданнее является
недавнее открытие3): было показано, что системы фон Неймана —
Бернайса — Гёделя непротиворечивы, коль скоро
непротиворечива Ζ. Для таких доказательств удобнее всего гёделевская
форма4). Были предложены три различных доказательства этой
1) См. особенно Гёдель, 47. О проблеме независимости этого постулата
от других теоретико-множественных аксиом ср. Мостовский, 55, стр. 24
[стр. 21 русск. изд. — Перев.] и А. Леви, 57. [См. также примечание
редактора на стр. 72—73 и 136 о работах °Коэна, 63 и 64 и °Вопенки. — Перев.]
2), Впрочем, нет ничего невозможного в том, чтобы рассматривать еще
более широкое понятие класса, связанное с «непредикативным» (см. стр. 392)
расширением Ζ. — Прим. ред.
3) См. Хао Ван, 49, стр. 152.
4) Это не совсем так; во всяком случае, для упоминаемого в следующей
фразе доказательства Шёнфилда удобнее бернайсовская форма (с двумя
отношениями, ξ и г\). — Прим ред.

§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя 155
теоремы об относительной непротиворечивости: доказательство
И. Новак, доказательство Россера и Хао Вана и более строгое
(более финитистское *)) доказательство Шёнфилда2).
В доказательстве И. Новак использован особый метод
построения моделей, доказательство же Россера — Хао Вана
основано на общих рассмотрениях, относящихся к
«нестандартным моделям»3) формальной логики. Хотя мы не можем здесь
привести in extenso4) ни одно из этих доказательств, следует
все же кратко рассказать о рассуждениях, применяемых во
втором из них. Основная идея его состоит в том, что в системах
Бернайса и Гёделя классы определяются предикативно5)
посредством аксиом III или (В)\ главное орудие этого
доказательства— теорема Лёвенгейма — Сколема (стр. 134).
Допустим, что Ζ непротиворечива. Тогда по теореме
Лёвенгейма — Сколема Ζ имеет модель в области положительных
целых чисел; в таком случае каждому множеству системы Ζ
ставится в соответствие некоторое целое положительное число,
а теоретико-множественное отношение £ заменяется
некоторым арифметическим отношением ζ, таким, что mtn в том и
только в том случае, когда s £t (где тип — целые числа,
сопоставленные соответственно множествам s и t). Далее, группа
аксиом III Бернайса (стр. 143—144), или (β), Гёделя, состоит
из семи предложений6), которые можно считать операциями,
1) По поводу этого термина (лишь отчасти поясняемого в следующем
примечании) см. гл. V, § 1. — Прим. перев.
2) И Новак, 48/51 (ср. Мостовский, 51а, и Мак-Нотон, 53, стр. 141 и ел.);
Россер — Хао Ван, 50, (ср. Хао Ван — Мак-Нотон, 53, стр. 21 [стр. 23—24
русск. изд. — Перев.]). Кроме того, Мостовский в неопубликованной речи в
Принстоне в 1949 г. предложил доказательство, основанное на идеях,
близких к Россеру — Хао Вану, и показал, что каждая теорема системы Гёделя,
содержащая лишь множественные переменные, есть также теорема
системы Ζ; см. Россер — Хао Ван, 50, стр. 125 и 128, и Мостовский, 51а. В то
время как эти доказательства исходят из далеко идущих предположений о
непротиворечивости, доказательство Шёнфилда «финитно» (finitary) в
смысле Гильберта — Бернайса, 34—49ц, стр. 340, т. е. может быть проведено
в их «рекурсивной арифметике» (recursive number theory) . — Другие
доказательства относительной непротиворечивости для теории Цермело или Гёделя
(относительно более слабых систем) предложил Ори, 56а; ср. Файрстоун,
47/49. О проблемах, связанных с относительной непротиворечивостью Ζ и
New Foundations Куайна, см. Россер, 56.
3) См. выше, стр. 136, подстрочное примечание 4 (особенно Генкин, 47 и 49).
4) Полностью (лат.). — Прим. перев.
5) В силу чего область понятий, из которых выделяется определяемое
понятие (в данном случае класс), не может измениться в результате такого
определения (что обеспечивается тем, что определяющие предикаты не содеп-
жат связанных классовых переменных); подробнее см. § 3 (стр. 58) и
особенно гл. III, § 10. — Прим. перев.
6) В случае системы Гёделя сюда следует еще присоединить одну
аксиому из группы А. [А в случае системы Бернайса— таким же образом
«присоединить» группу II. — Ред.]

156 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
сопоставляющими некоторый класс классам (или множествам),
входящим в посылку соответствующего предложения, или же
образующими некоторый класс независимо от каких бы то ни
было условий (если посылок нет, как в III(2)). Оставляя в
стороне аксиому Ш(1), имеющую особый характер,
аксиомы III можно отнести к трем разным типам: либо
посылок нет, либо посылка содержит единственный класс
(например, 111(3)), либо же посылка содержит два класса
(например, 111(4)).
Теперь мы сопоставим классам, существование которых
постулируется аксиомами III, целые положительные числа вида
2l-3m-5nt где / принимает одно из значений 1, 2, 3, ... 8
соответственно порядку нумерации а'ксиом1). В случае 111(1), если
множеству ζ сопоставлено число т, то классу,
представляемому множеством ζ, приписывается число 21 · Зт · 5П, где η
произвольно. В других случаях
a) если посылок вообще нет, то классу, существование
которого постулируется аксиомой Ш(/), приписывается число
21. Зш · 5П с произвольными т и п\ например, классу всех диад
{х, у), где χ £ у — число 22 · Зш · 5П;
b) если посылка аксиомы III (/) содержит один класс X,
которому приписано число т, то постулируемому классу
приписывается 2/-Зш-5п с произвольными п\ например,
дополнению класса X, которому сопоставлено число т число 23· Зт· 5П;
c) если посылка III(/) содержит два класса X и У,
которым соответственно приписаны числа т и п, то постулируемому
III (/) классу приписывается число 2/-Зш-577; например,
пересечению X и У (где X приписано т, а У приписано п) — число
24 · Зт · 5П.
Таким образом, каждому классу, существование которого
постулируется аксиомами III, сопоставляется по крайней мере
одно целое положительное число, причем одно и то же число
никогда не приписывается различным классам. Чтобы получить
теперь числовую модель системы Берыайса, мы можем в
соответствии с операциями, выражаемыми аксиомами III, ввести
два новых арифметических отношения θ и κ, таких, что тЫ
или тип тогда и только тогда, когда sr\T (в символике Гёде-
ля — s £ Т) или соответственно s £ t, где число m (in)
приписано множеству s (s), число η — классу Г, а число η —
множеству t.
Поскольку остальные аксиомы Гёделя не отличаются
существенным образом от соответствующих аксиом системы Ζ, мы
получаем таким образом модель системы Гёделя в области
*) Для аксиомы III (7) нужны два значения: 7 и 8.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом
157
целых положительных чисел как расширение арифметической
модели Z, из существования которой мы исходили; итак,
непротиворечивость системы Гёделя относительно
непротиворечивости Ζ доказана.
Мы можем взглянуть на эти доказательства
непротиворечивости и в другом аспекте. Обозначим систему аксиом I—VII
(§ 2—5) из Ζ через Ζ. В § 5 было отмечено, что аксиома
подстановки VIII — или даже более сильная форма аксиомы VII
(см. стр. 107, подстрочное примечание 5) — независима от Ζ
Иначе говоря, Ζ слабее, чем система Ζ1). С другой стороны, в
силу доказательств непротиворечивости, о которых сейчас
говорилось, можно считать, что Ζ и системы фон Неймана и Бер-
найса — Гёделя в известном1 смысле равносильны. Этот факт
представляется замечательным, поскольку фигурирующие в
системах § 6 и 7 «собственно классы» (не-множества) не могут
быть получены в Ζ.
§ 8. Вывод теории множеств из аксиом
Кроме описываемых в настоящей главе системы Ζ и систем
аксиом § 6 и 7, мы обсудим в гл. III некоторые «логистические»
системы, в частности систему Рассела и Уайтхэда, системы
Куайна и систему Хао Вана, а в гл. IV — интуиционистскую
теорию множеств. Из других систем заслуживают упоминания
системы Тп (я=1, 2, 3) Хао Вана и Мак-Нотона 2); по существу
это подсистемы Z, более слабые, чем сама эта система. 7\ не
содержит аксиомы бесконечности, вследствие чего эта система
дает теорию конечных кардинальных и порядковых чисел; с
помощью метода теории типов3) и подходящим образом
выбранной классовой аксиомы (аналогичной (В), стр. 142), 7\
последовательно расширяется до Т2, дающей континуум, т. е.
теорию множеств для действительных чисел, и Тг, дающей теорию
множеств для функций действительных переменных4).
1) Ср. Хао Ван — Мак-Нотон, 53, стр. 18 [стр. 20 русск. изд. — Перев.]',
см. там же об употребленных нами терминах 'слабее' и 'равносильны'.
2) Хао Ван —Мак-Нотон, 53, гл. VI.
3) См. гл. III. — Прим. перев.
4) Терминология эта (принятая также и Хао Ваном — Мак-Нотоном, 53,
стр. 28 русск. изд.) при всей своей естественности вовсе не предопределяет
необходимости пользоваться теорией типоз некоторой конечной ступени
(расширенным исчислением предикатов) при построении анализа. Так, не только
теория действительных чисел, но и значительная часть теории действительных
функций могут — при надлежаще выбранной системе нелогических аксиом —
строиться на базе узкого исчисления предикатов (по терминологии
авторов и например Чёрча, 56, — функционального исчисления первого порядка):
ср. Тастев, 59 и 63. — Прим. перев.

138 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
Но задачи настоящей главы не исчерпываются показом и
сравнением различных аксиоматических систем и
характеристиками силы каждой из них (что делалось до сих пор): мы
должны фактически вывести из аксиом основные результаты
классической теории множеств. В § 6 и 7 не раз заходила речь о
том, как это делается в системах аксиом фон Неймана и Бер-
найса, но подробное изложение — подобное тому, что
содержится в оригинальных работах самих фон Неймана и Бернай-
са, — потребовало бы гораздо больше места. Опишем все же
основные особенности фактического построения теории
множеств из аксиом системы Z1).
В соответствии с исторически сложившимся содержанием
теории множеств (ср. Τ или другие учебники 2)), последующее
изложение делится на две части: теорию эквивалентности и
теорию порядка. После того как основы этих теорий будут
заложены, дальнейшее построение пойдет в большей или
меньшей степени аналогично традиционным путям. Главная задача
1) Уже после сдачи рукописи в печать авторам стала известна статья
Тиле, 55, также ставящая своей целью вывести теорию множеств из аксиом
Ζ\ в этой статье утверждается, «что система аксиом Цермело и Френкеля
достаточна для построения всех разделов теории множеств; в частности,
предметная область (range) этой теории не уже, чем у теории фон
Неймана».
Тиле придерживается в общем того же направления, — хотя его
изложение и более формализовано, — что Цермело, 08а; Френкель, 25, 26, 32, и
настоящий § 8; в то же время принципы введения кардинальных и
порядковых чисел различны: фон Нейман опирается при введении этих чисел
(в Z) на схему аксиом подстановки VIII (§ 5), а Тиле обходит VIII при
помощи введения понятий 'кардинального (порядкового) числа множества
m (вполне упорядоченного множества т), релятивизированного по
отношению к множеству р\ (Если кардинальное [порядковое] число ρ меньше
кардинального [порядкового] числа т, то понятия эти пусты (void).)
Множество р, по отношению к которому определяются эти понятия, играет ту же
роль, что универсальный класс (в системах фон Неймана, Бернайса и др.)»
отсутствующий в Z. Тиле доказывает, что «величина» кардинального или
порядкового числа не зависит от конкретного множества р, использованного
для его определения. Оказывается, однако, что аксиома подстановки и при
этих условиях все еще нужна для той цели, для которой она была
первоначально введена, — для обеспечения существования достаточно обширных
множеств, по крайней мере до (и за исключением) первого недостижимого
кардинального числа, превосходящего tf0.
Менее существенные особенности работы Тиле: доказательство
сравнимости кардинальных чисел, зависящее не от теории порядка, а от леммы
Цорна (как в Г, стр. 319—321); введение порядка не по Куратовскому (см.
ниже, стр. 165), а по Хаусдорфу; метод определения посредством
трансфинитной индукции в Z, аналогичный тому, что описан фон Нейманом, 28а (с
помощью аксиомы подстановки; ср. также 7, стр. 251—253); подробные
доказательства классических теорем теории порядковых чисел.
2) Как и во всех аналогичных случаях, из этих «других учебников» мы
сможем упомянуть лишь книги °Хаусдорфа, 14/27/37, Александрова, 48, и
"Натансона, 50 — Прим. перев.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом
159
поэтому заключается в определении основных понятий обеих
этих теорий посредством сведения их к единственному
первоначальному понятию системы Ζ — отношению £ . Мы будем,
как правило, пользоваться лишь аксиомами I—V «общей
теории» (§ 2/3); всякий раз, когда будет использоваться аксиома
выбора (VI), это будет оговариваться. Аксиома
бесконечности и аксиома подстановки используются лишь в особых
случаях.
Подходящее определение эквивалентности удается при
помощи следующей идеи. Обозначим через S и Τ какие-либо
эквивалентные непересекающиеся множества; тогда взаимно
однозначное соответствие между членами S и Г— т. е.
однозначную и однозначно обратимую функцию с областью определения
S и областью значений Τ (или наоборот) — можно, очевидно,
представить, как некоторое множество /?, члены которого суть
пары {s, t), удовлетворяющие следующим условиям:
a) 5 ζ 5, t£ T\
b) {<?!, tx) Φ {s2, t2)\ влечет sx Φ s2 и ίχΦ t2l)\
c) каждый член объединения S<uT входит по крайней мере
в одну пару {s, t}, а следовательно (в силу Ь), в точности в одну
пару.
Воспользуемся теперь той же идеей, рассуждая в обратном
направлении. Поскольку в прямое произведение SxT входят
все пары {s, t), а не только члены множества,
охарактеризованного условиями а) —с), мы будем исходить из следующего
Определения эквивалентности. Пусть S и Τ —
непересекающиеся множества; S называется эквивалентным Τ (S~ Г), если
прямое произведение SXT имеет по крайней мере одно
подмножество φ, такое, что каждый член S<uT входит в точности
в один член φ. Каждое такое множество φ называется
(взаимно однозначным) отображением {mapping) множества S на Т.
Пустое множество эквивалентно самому себе. Очевидно, что
эквивалентность есть симметричное отношение, так что можно
говорить о соответствии (mapping) между S и Т.
Прямое произведение P = SxT непересекающихся множеств
S и Τ существует (стр. 61—62); следовательно, существует и его
множество-степень CP=U (аксиома IV, стр. 53). В том и
только в том случае, когда S~T, U содержит по крайней мере
один член φ (подмножество Р), для которого выполнено фор-
1) Это специальное условие связано с взаимной однозначностью
соответствия— в отличие от определения на стр. 140—141, где мы имели дело
с упорядоченными парами (диадами). Вообще, согласно определению
равенства, при «ι φε2 также {sb /i} = {s2, /ι}.

160 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
мулируемое в этом определении условие1). Следовательно,
неравенство и0Ф0, где через U0 обозначено подмножество ί/,
определенное посредством этого условия (аксиома V) 2),
означает, что S^7 и каждый член ί/0 есть соответствие между
S и Т.
С помощью этого определения, позволяющего выяснить,
эквивалентны ли два непересекающихся множества или нет,
легко построить на основе аксиом I—VI обычную теорию
эквивалентности3). В частности, мы получаем понятие 'образ в Τ
данного s£S посредством данного соответствия между
эквивалентными непересекающимися множествами S и Т. Крайне
неприятные усложнения вызывает условие непересекаемости
множеств S и Г; мы можем освободиться от этого ограничения,
доказав следующую общую теорему. Для любого — не
обязательно расчлененного — множества S можно с помощью
аксиом Ζ (без аксиомы выбора) образовать некоторое
расчлененное множество S\ эквивалентное S и такое, что его члены
эквивалентны членам S в следующем смысле: если Ψ есть
некоторое определенное отображение S на S\ a s' есть образ в
S' члена s ζ S посредством Ψ, то s~s'. (Можно, в частности,
добиться, чтобы множества-суммы множеств S и S' были
непересекающимися.) Это позволяет так обобщить определение
эквивалентности, чтобы оно охватывало не только
непересекающиеся множества4),— при помощи условия, что каждое
множество будет эквивалентно третьему, которое не пересекается ни
с одним из них. Эта эквивалентность есть, очевидно,
транзитивное отношение.
Кроме обычных теорем теории эквивалентности, в том
числе теоремы Кантора (Г, стр. 94), и требующей аксиомы
выбора теоремы Кёнига — Журдэна — Цермело (Т, стр. 132 5),
мы получаем таким путем обобщение аксиомы VI —
мультипликативной аксиомы, представляющее собой общий принцип
выбора Цермело (стр. 67—68). Действительно, отправляясь от
некоторого множества S непустых множеств, мы получаем только
что описанным методом эквивалентное ему расчлененное
множество S/ множеств, которые в свою очередь эквивалентны чле-
!) Из этого условия следует, что подмножество Sw7\ каждый член
которого входит в точности в один член ср, совпадает с самим S kj Т.
2) Uo существует и тогда, когда 5 и Г неэквивалентны; в этом случае
Uq есть пустое множество.
3) О подробностях см. Цермело, 08а, § 2; Френкель, 25, § 3.
4) Для этой цели достаточно и более слабой теоремы, но вскоре
понадобится и только что формулированная, более общая — Прим. перев.
3) °Хаусдорф 14/27/37, стр. 35 (теорема III). — Прим. перев.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом
161
нам множества S. Затем аксиома VI применяется к S7;
следовательно, переходя от множества представителей S' к
соответствующим членам соответствующих им членов S посредством
одновременных отображений между членами S и членами S\
мы получаем однозначную функцию, сопоставляющую каждому
члену χ множества S единственный член этого х.
Для того чтобы расположить множества «по величине»,
можно использовать определение из Τ (стр. 90 1)), не привлекая
понятия кардинального числа, а теорему эквивалентности (Г,
стр. 98 и ел.) можно доказать одним из обычных способов,
не обращаясь даже к последовательности целых чисел. Но
теорему о сравнимости на этой стадии доказать нельзя, разве что
методом Τ (стр. 319—321 2)), который мог бы привести к
серьезным затруднениям. Отсутствие кардинальных чисел для
самих кардинальных чисел несколько усложняет, конечно, эти
построения, но по существу не влияет на них. (Можно
применить описанный кратко на стр. 131 метод введения
кардинальных чисел окольным путем через теорию порядка и
порядковых чисел по фон Нейману 3).)
Переходя теперь к теории упорядоченных множеств, мы
будем исходить из традиционного понятия порядка, имея в виду
найти способ сведения этого понятия к первоначальному
отношению ζ системы Ζ. В основе излагаемого ниже метода4)
лежит тот факт, что отношение ха у (х есть собственное
подмножество у), выводимое из £, обладает свойствами,
характеризующими (частичный) порядок, т. е. асимметрией и
транзитивностью.
Пусть А — некоторое упорядоченное множество.
Подмножество А (рассматриваемое как упорядоченное, с сохранением
порядка А) называется началом Л, если это подмножество вместе
с каждым своим членом содержит все предшествующие ему
члены А (Г, стр. 182).
J) То есть обычное определение подмножества. — Прим. перев.
2) С использованием теоремы о вполне упорядочении; ср. °Хаусдорф,
14/27/37, § 5 и 13. — Прим. перев.
3) Известны и независимые аксиоматизации понятия кардинального
числа, например Рейнгольд Бэр, 29 (ср. *Френкель, 4), и Аккерман, 37а, § 7.
В статье Бэра используется обобщенная континуум-гипотеза и допущение
о несуществовании регулярных начальных чисел с предельными индексами,
превышающими ω (стр. 113). Среди прочих интересных результатов доказана
независимость континуум-гипотезы от формальных законов кардинальной
арифметики. Это, конечно, отнюдь не доказательство ее независимости от
аксиом теории множеств. Ср. также Тарский, 49.
4) Идущего от Гессенберга, Об, гл. 28; также *10, стр. 74; ср., однако,
Френкель, 26 [Fundamenta Mathematicae], и дополненного Куратовским, 21;
ср. *Комбебьяк, 1; Мириманов, 17/20; Серпинский, 21а; Куайн, 34, гл. 1.
11 Зак. 1765

162 Гл. //. Аксиоматические основания теории множеств
Согласно этому определению, само Л и пустое множество О
суть начала Л. Множество / всех начал А обладает, очевидно,
следующими четырьмя свойствами:
A) Из двух различных членов / один есть собственное
подмножество другого.
B) Если α и а7 суть различные члены Л, то имеется по
меньшей мере один член /, содержащий в точности один из них.
(Если a-<af в Л, то, например, указанным свойством обладает
начало Л, содержащее а и его предшественников, а также
начало, содержащее всех предшественников а\ но не само а'.)
C) Для любого подмножества /0 множества /, U U и Π/о
суть также начала, а следовательно, члены /.
D) лед об/.
Обратно, все эти свойства в совокупности (но не часть из
них) оказываются характеристическими свойствами множества
всех начал Л в том смысле, что множество подмножеств
упорядоченного множества Л, обладающее свойствами А)—D),
совпадает либо с /, либо с множеством всех остатков {remainders)
А (Г, стр. 182) 1).
Свойство А) выражает тот факт, что начала можно
расположить в виде всюду возрастающих (или убывающих)
последовательностей. Множество множеств χ — например, множество
подмножеств χ некоторого данного множества, — такое, что для
любых двух его различных членов χ и х/ имеет место либо
хах\ либо х'ах, назовем цепью {chain). (Некоторые авторы
употребляют для этого термин 'монотонное множество'.)
Куратовский доказал интересный факт, что конъюнкцию
свойств В)—D) можно заменить следующим свойством
полноты (или «насыщенности»): / есть максимальная цепь
подмножеств упорядоченного множества Л, т. е. цепь, не являющаяся
собственным подмножеством никакой другой цепи; каждая
максимальная цепь обладает свойствами В), С) и D).
Доказательство этого факта будет намечено ниже.
Обращая этот ход мыслей, мы будем теперь исходить из
любого (неупорядоченного) множества S и дадим следующее
Определение порядка. Множество 5 называется
упорядочиваемым {orderable), если существует максимальная цепь
подмножеств 5; иными словами, если множество-степень CS
1) В самом деле, начало и остаток в этом смысле попарно соотносятся
друг к другу, так что можно выбрать любое из них. В цитированных выше
работах чаще говорят об остатках. Но практически бывает удобнее иметь
дело с началами, поскольку в их терминах удобно определять вполне
упорядоченные множества.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом
163
имеет по крайней мере одно подмножество Μ со следующими
двумя свойствами:
a) если т_£Л4, m' £М и т=/=т\ то либо тат\ либо т'ат\
b) если Μ есть произвольное подмножество CS,
обладающее свойством а), иМсм, то М = М.
Каждое такое множество Μ называется множеством,
упорядочивающим S, или, короче, порядком множества S.
Теперь встает вопрос, каждому ли множеству S
соответствует хотя бы один порядок Μ этого множества и каким
образом какой-либо данный порядок Μ множества S определяет
в S порядок в смысле классической теории множеств (Г, § 8).
Первая задача представляется простой. Пусть χ есть
некоторое множество подмножеств S, т. е. подмножество CS или
член CCS — K. Возьмем тогда следующее условие
относительно х: 'х есть максимальная цепь' и обозначим его сокращенно
через '^β (х)\ По аксиомам множества-степени и выделения,
существует множество /(^; каждый член Ку есть порядок
множества S в определенном выше смысле. До сих пор аксиома
выбора не использовалась, но она нужна для того, чтобы
показать, что К^фО. Это делается, например, с помощью теоремы
о вполне упорядочении, второе цермеловское доказательство
которой можно без всяких затруднений провести в системе Ζ, или
с помощью цитируемой в Τ (стр. 212) теоремы Шпильрайна,
также использующей аксиому выбора1).
Что касается второй задачи, то центральным пунктом здесь
будет доказательство того, что свойства а) и Ь) определения
порядка влекут свойство В) (cfp. 162) 2).
Пусть s и s' — два различных члена 5. Докажем, что в
множестве Μ (т. е. в произвольном подмножестве CS со свойствами
а) и Ь)) имеются члены, содержащие в точности одно из
множеств s и s\ и даже построим конкретный член Λί, обладающий
этим свойством. Для этого мы можем допустить, не нарушая
общности, что каждый член Λί, содержащий s\ содержит также s.
Пусть D есть пересечение тех χ ζ Λί, для которых s'£x\
тогда s' £ D и, согласно нашему допущению, также s ζ D.
D есть член Λί. Чтобы убедиться в этом, мы докажем,
что D обладает свойством а) по отношению к каждому
m £ Λί, т. е. что Dam или mczD\ тогда D £ Λί следует из
максимального свойства Ь). Рассмотрим отдельно случай, когда т,
будучи произвольным фиксированным членом Λί, есть подмно-
х) *Филер, 1; Шпильрайн, 30. Если S конечно, аксиома выбора не нужна.
2) То, что а) и Ь) влекут D), очевидно. Что же касается С), то способ
вывода этого свойства из а) и Ь) легко извлекается из следующего далее
доказательства, которое именно для этой цели несколько выходит за рамки
своего непосредственного назначения.

164 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
жество каждого χ ζ Μ со свойством s' ζ χ, и случай, когда
имеется по крайней мере один х0 ζ Λί, где s' ζ x0t такой, что m не
есть подмножество х0. В первом случае m есть также
подмножество пересечения D; во втором случае а) влечет х^ат и,
подавно, Dam. Итак, действительно D ζ Μ.
Теперь положим D — {s'} = D*; тогда s£D*, s'(fcD*. Остается
доказать, что D* £ Λί. Это следует ввиду максимального
свойства Ь) из того обстоятельства, что для каждого т £Λί, такого,
что тФО*, либо D*c=m, либо maD*. Чтобы показать это, мы
рассмотрим отдельно случаи, когда s' £ m и когда s'(fcm. В
первом из этих случаев -мы имеем (согласно определению D)
Dcim, а отсюда и D*czm. Во втором случае, в силу свойства а),
т есть собственное подмножество каждого хаМ, такого, что
s'£x\ тогда т есть собственное подмножество D, и даже
(поскольку s' (£m) собственное подмножество D* = D — {s'|, чем и
завершается доказательство.
Таким образом, из определения порядка следует, что для
каждой данной пары различных членов s и s' множества 5 в
каждом порядке Μ множества S имеется по крайней мере один
член лг, содержащий в точности один член этой пары. Если s£x
и s' (£ χ, το мы пишем s -<s' («s предшествует s' в S согласно
Λί»). Очевидно, что s' -< s несовместимо с s -< s't так как, в
силу свойства а), нет ни одного такого у^М, что s' £у и s (£ у.
Транзитивность отношения -< получается сразу. Таким
образом, Λί вводит в S отношение порядка в обычном смысле.
Определение s -< s' носит, конечно, произвольный характер
в том смысле, что оно приспособлено к понятию порядка 5 как
множества начал S. Замена начал на остатки приводит к
определению Sf -< S.
Ясно, что с множеством S, имеющим более чем один член1),
связаны различные порядки Λί, с бесконечным множеством (если
вообще связаны какие-либо порядки)—бесконечно много
порядков.
Согласно определению порядка, упорядоченное множество
можно рассматривать как пару, состоящую из множества S и
некоторого его порядка М\ впрочем, достаточно и одного Λί,
поскольку S= U Λί. Мы будем пользоваться выражением «х есть
член упорядоченного множества» в обычном смысле.
Примеры этого понятия порядка легко получить, используя
]) Если 5 пусто или содержит только один член, соответствующие
порядки определены однозначно, а именно М = 0 или М = {0, S]. Для
S = {Sp s2} мы имеем различные порядки Ai1 = {0,{51}, S} и М2 = {0
{s2}, S}.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом 165
начала. Например, замкнутый линейный отрезок С,
рассматриваемый как упорядоченное множество точек при помощи одного
из двух естественных порядков, упорядочивается, согласно
нашему определению, следующим образом. Обозначим через е
один из концов отрезка, через χ — произвольную точку С, через
X— (неупорядоченное) множество точек между е и х, включая
е_ и исключая χ (при х = е, X есть пустое множество), и через
X — объединение X\j{x). Тогда множество, содержащее все
множества X и X, есть порядок множества С. (Множество D*,
содержащее 5, но не содержащее s\ соответствует множеству X
при x = s'.)
В данном случае С можно «упорядочить» в обычном смысле
при помощи множества одних только X. Но это множество, хотя
и обладающее свойствами А) и В) (стр. 162), не удовлетворяет
ни С) (или D)), ни максимальному условию Ь) (стр. 163), а
следовательно, не есть порядок в нашем смысле. Второе из
отмеченных здесь обстоятельств очевидно; первое следует из того,
что пересечение бесконечного количества множеств X может
оказаться множеством X.
Другой метод сведения понятия 'упорядоченное множество' к ' ζ '
восходит к Хаусдорфу1); он основан на представлении упорядоченного множества
в виде множества упорядоченных пар (а, Ь), соответствующих предложениям
я-<&, имеющим место для членов множества. Обращая эту концепцию,
можно трактовать множество Σ упорядоченных пар (а, Ь), где α ζ S и b^uS,
как упорядоченное множество, состоящее как раз из членов S, если Σ
удовлетворяет определенным условиям, а именно условиям, соответствующим
асимметрии и транзитивности отношения -<; эти условия таковы:
a) если α ζ S и Ь ζ S, где а Ф b, то либо (а, Ь) ζ Σ, либо (6, α) ζ Σ
(но не оба соотношения одновременно);
b) α ζ S влечет (а, а) (£ Σ;
c) из (а, Ь) ζ Σ и (by с) ζ Σ следует (а, с) ζ Σ.
Ввиду b) и с) часть условия а), заключенную в скобки, можно опустить.
Этот метод требует сведения понятия упорядоченной пары (диады) к
понятию множества. Проще всего это достигается методом Куратовского,
который трактует упорядоченную пару (а, Ь) (а фЬ) как пару (стр. 50)
{{а, Ь), {а}У).
Единственное отличие этого определения упорядоченной пары от
определения, согласующегося с описанным выше общим понятием порядка, со-
1) Хаусдорф 14, стр. 70—71; 27, стр. 42 [стр. 43—44 русск. изд. (°Xavc-
дорф, 14/27/37). — Перев].
2) Куратовский, 21, стр. 171; ср. более раннюю работу *Н. Винера, 1.
С точки зрения теории типов, возрастание типа, связанное с таким опредег
лением упорядоченной пары (и аналогично для конечного упорядоченного
множества), нежелательно. Этого можно избежать, пользуясь более
сложными определениями; ср. *Куайн, 29; Гудмен, 41; Швабхойзер, 54; см. также
Сколем, 57а,

166 Гл. II. Аксиоматические основания теории множеств
стоит в том, что из числа членов порядка {О, {а}, {а, Ь}} исключается пустое
множество О.
(Пара {{а, &}, а] не подошла бы для этой цели, так как могло бы
оказаться — коль скоро аксиома фундирования не предполагается, — что а есть
пара, один из членов которой есть {а, Ь}.)
Аналогичную процедуру можно применить к любому бинарному
отношению, определенному между членами некоторого множества S, чем и
достигается сведение общего понятия отношения к понятию множества. Если
бинарное отношение ρ имеет S (или какое-либо подмножество S) в качестве
области определения обоих аргументов, то ρ можно рассматривать как
множество всех таких упорядоченных пар (а, Ь) (α ζ 5, b ζ S), для которых
имеет место apb. Обратно, каждое множество упорядоченных пар, члены
которых принадлежат S, представляет некоторое бинарное отношение,
определенное в S1). Аналогичные замечания приложимы к отношениям с любым
конечным числом аргументов.
На основе определения порядка можно построить — подобно
классическим теориям — теорию упорядоченных и вполне
упорядоченных множеств2). То же относится к определенному на
стр. 159 понятию отображения; в этом случае мы получаем (без
использования аксиомы выбора) множество всех подобных
отображений между двумя любыми данными
непересекающимися упорядоченными множествами. Упорядоченные
множества, для которых это множество непусто, называются
подобными.
Для построения теории вполне упорядоченных множеств нам
незачем исходить из (частного случая) общего понятия
порядка; можно сделать это короче, видоизменив определение
порядка в свете следующего замечания (ср. Г, сто. 242—243).
Если Λί0 есть подмножество порядка Μ множества S, то, по
свойству С) (стр. 162) Π Λί0 £ Λί. Потребуем теперь, чтобы Π Μ0
было членом (не только множества Λί, но и) самого
подмножества М0, т. е. чтобы каждое Λί0 ?Ξ Λί содержало «минимальный»
член — минимальное начало упорядоченного множества. Легко
доказать, что это свойство полностью характеризует вполне
упорядоченные множества. Как выше, в теории эквивалентности
мы отказываемся от употребления порядковых чисел (выше
речь шла о кардинальных числах) и довольствуемся вместо
этого тем, что имеем дело с множествами3) как таковыми.
С другой стороны, в рамках наших аксиом порядковые числа
можно определить4) как множества, обладающие определен-
1) Не обязательно на (всем) S. — Прим. перев.
2) См. Френкель, 26 и (о теории вполне упорядочения (well-order)) 32.
3) Куратовский, 22, развивает общий метод, позволяющий обойтись без
использования порядковых чисел; этот метод тесно связан с вторым церме-
ловским доказательством теоремы о вполне упорядочении.
4) Аксиоматическое обоснование порядковых чисел, независимое от
теории множеств в целом, предложено *Тарским, 5; ср. Линденбаум — Тарский,
26, § 4.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом
167
ными свойствами; для этого к аксиомам I—VII надо добавить
аксиом (ную схему) подстановки (VIII, стр. 111) *). Это было
сделано фон Нейманом (стр. 130—131). На этом же пути
можно определить и кардинальные числа, а именно как начальные
порядковые числа.
Теперь мы можем поставленную на стр. 73 проблему
сформулировать на аксиоматическом языке. Теорема о вполне
упорядочении утверждает, что для любого данного множества s
существует некоторый специальный порядок w, который вполне
упорядочивает s. Это утверждение включает в себя и более
общую теорему об упорядочении (ТУ), утверждающую, что для
любого данного множества s существует порядок, иначе говоря,
что множество всех порядков множества s непусто. ТУ не
только формально утверждает нечто меньшее, чем существование
вполне упорядочения s,— коль скоро в ТУ ничего не говорится
о свойстве (]М0£М0 (см. выше), — но и интуитивно
представляется более слабым предложением; например, линейный
континуум можно тривиальным образом упорядочить, тогда как
возможность его вполне упорядочения зависит от аксиомы
выбора.
Таким образом, возникает вопрос, действительно ли ТУ
слабее, чем теорема о вполне упорядочении, и нельзя ли ее
доказать при помощи какого-либо частного случая аксиомы выбора.
Можно также задать вопрос, какую часть общей теории
множеств (а может быть, всю ее?) можно построить на
аксиоматической базе системы Z, если аксиому выбора (VI) заменить на
ТУ. Или же, можно ли доказать ТУ при помощи одних только
аксиом I—V? (Ср. проблемы с) и d) на стр. 73.)
Последний вопрос легко решается в отрицательную
сторону2). Пусть S — бесконечное расчлененное множество, члены
которого суть непустые конечные множества, например пары
(как в самой слабой форме аксиомы выбора, стр. 72). По ТУ,
имеется по крайней мере один порядок множества-суммы U S
пусть R есть произвольный такой порядок. Поскольку каждое
s(;S есть конечное подмножество US, s имеет первый элемент
в смысле порядка R. Следовательно, подмножество US,
определяемое условием *х есть первый член некоторого s£S в смысле
1) Без аксиомы подстановки (или VII* или более сильной формы
аксиомы VII, ср. стр. 107) нельзя доказать даже существования множества всех
конечных порядковых чисел в смысле фон Неймана — Бернайса. Существенно
более слабая теория «относительных» порядковых и кардинальных чисел
развита в работе Тиле, 55 (см. выше, стр. 158), без аксиомы подстановки. Как
доказано в той же статье, присоединение аксиомы подстановки обеспечивает
для любого порядкового числа α существование множества мощности &а
2) См. Френкель, 28а.

168 Гл II Аксиоматические основания теории множеств
порядка R\ содержит по единственному члену из-каждого s£S,
т. е. является множеством представителей множества S.
Таким образом, если бы теорема об упорядочении была
доказуема с помощью аксиом I—V, то это же самое относилось
бы и к самой слабой форме аксиомы выбора, которая, однако,
не зависит от аксиом I—V и VII (см. стр. 74), во всяком
случае, в аксиоматических системах, допускающих
существование бесконечного количества объектов, не являющихся
множествами (non-sets), или известного рода экстраординарных
множеств. Следовательно, в том же смысле независима и
теорема об упорядочении.
В то время как теорема об упорядочении влечет самую
слабую форму аксиомы выбора, обратный вопрос остается
открытым1). С другой стороны, Мостовскому удалось показать2), что
теорема об упорядочении не влечет теорему о вполне
упорядочении; иначе говоря, заменив аксиому выбора теоремой об
упорядочении, мы не получим основы, достаточной для
построения общей теории множеств. Следовательно, общий случай
аксиомы выбора сильнее, чем ее самая слабая форма.
Теория (просто3)) упорядоченных множеств была выше
включена в обычную теорию множеств, основанную на
единственном первоначальном отношении £. В то же время имеется
независимая аксиоматизация теории многократно
упорядоченных {multiply ordered) множеств (Г, стр. 178 и ел.) 4).
Многократный порядок, о котором здесь идет речь, нельзя установить
при помощи итерирования простого порядка: он
основывается на двух разных первоначальных отношениях, каждое от
п+1 переменных, если имеется в виду многократность,
равная п. Число аксиом не зависит от п, если не считать различия
между случаями п=\ и п>\\ математическая индукция пред-
1) Это относится к формулировке самой слабой формы аксиомы,
относящейся к любому (расчлененному) множеству непустых конечных множеств.
Если же на мощности этих множеств наложить известные ограничения, то
отрицательный ответ на этот обратный вопрос следует из работы Мостов-
ского, 45.
2) Мостовский, 39. Эта работа основана на системе аксиом Бернайса,
хотя в ней и используется метод «моделей» Френкеля, 22; ср. стр. 74.
Относительно более слабую форму аксиомы выбора предлагают Кинна — Вагнер,
55, пользующиеся следующим свойством множества S: существует такое
однозначное отображение φ множества CS в себя, что для каждого S0 С S,
имеющего по крайней мере два члена, φ(30) есть непустое собственное
подмножество 50. Заменив'здесь 'подмножество' на 'начало', получим
«расслаиваемое (cleavable) упорядочение» множества S.
3) 'Просто' (simply) (синоним 'линейно') в отличие от 'многократно' (см.
ниже). — Прим. перев.
4) Худеков, 30. Эту теорию можно при соответствующих допущениях
интерпретировать в д-мерном пространстве; ср. Г. Шварц, 54.

§ 8. Вывод теории множеств из аксиом 169
полагается только для самого понятия отношения от η
переменных.
Можно ли это понятие порядка свести к понятию множества,
пока' остается неясным.
В заключение сделаем несколько замечаний, относящихся
к множествам специального вида, а именно к конечным и
счетным множествам.
A priori можно было бы предположить, что в применении
аксиомы бесконечности или даже аксиомы выбора в теории
конечных множеств нет никакой необходимости, поскольку
выяснилось, что последняя для случая конечного множества
доказуема (стр. 69). Мы сошлемся прежде всего на замечание на
стр. 150 (Цермело), а в более общем аспекте — на гл. III, где
расселовская аксиома бесконечности рассматривается в свете
теории типов.
Роль, которую играет аксиома выбора в теории конечных
множеств, была разъяснена на стр. 85—87. Среди
«элементарных» определений конечности, т. е. таких, из которых можно
вывести полную теорию без использования аксиомы выбора,
следует упомянуть об определении конечного множества как
дважды вполне упорядоченного (double-well-ordered) множества1)
(Г, стр. 270). Наша аксиоматическая трактовка вполне
упорядочения легко позволяет получить это определение из аксиом2);
доказано (без аксиомы выбора), что каждое множество,
конечное в элементарном смысле, можно вполне упорядочить.
Что касается счетных множеств, то было показано (стр. 108),
что из аксиомы бесконечности следует существование
некоторого счетного множества, например множества всех конечных
чисел. Теория счетных множеств, вообще говоря, легко строится
на основе аксиом Zz). Основную теорему, утверждающую, что
каждое бесконечное множество имеет счетное подмножество
(Г, стр. 57 и ел.), можно доказать в Ζ следующим образом,
если понимать 'бесконечное* как 'рефлексивное'. (Если
'бесконечное' понимать как 'неиндуктивное', то понадобится аксиома
выбора; см. выше стр. 86.)
*) То есть множества, каждое подмножество которого имеет первый и
последний (в смысле одного и того же упорядочения) элемент. — Прим. перев.
2) Ср. Тарский, 25; см. выше стр. 86. Независимую аксиоматизацию
предметной области, состоящей из всех подмножеств некоторого конечного
множества, допускающую и дальнейшее обобщение, предложил Менгер, 28,
стр. 309 и ел.; ср. *Г. Бергман, 1. *Уайтхэд, 5, рассматривает понятие
конечного множества совершенно не так, как это делалось в Principia Mathe-
matica.
3) Цермело, 08а; Френкель, 25, стр. 272 и ел.; *Филер, 1, стр. 31 и ел.
О порядке в счетных множествах ср. Френкель, 26, стр. 154 и сд.

170 Гл Л. Аксиоматические основания теории множеств
Ввиду сказанного на стр. 160, мы можем исходить из
некоторого рефлексивного множества R, не имеющего общих
членов со счетным множеством Z0 = {Ot {О}, {{О}}, . . .} (см.
стр. 108). Пусть R эквивалентно своему собственному
подмножеству R' = R — Q (где Q4=0) и пусть q есть произвольный член Q.
В силу аксиомы множества-степени и аксиомы выделения,
существует вполне определенное множество Ρ всех таких
подмножеств ρ прямого произведения RXZ0, которые содержат пару
{q, О}. Взаимно однозначное отображение между
эквивалентными множествами R и /?', такое, что каждому г£/?
сопоставляется некоторое определенное г' £R\ позволит нам определить для
каждого ρ 6Ρ (или, что то же самое, p^RxZ0) вполне
определенное подмножество членов {/-, 2}£p, Для которых также
{Λ {^}}Gp· Следовательно, найдется некоторое подмножество
Р* множества Р, содержащее те ρ £Ρ> которые удовлетворяют
тому условию, что если {г, ζ}£ρ, то и {г' {ζ}} £ р. Пересечение /
всех членов Р* обладает тем же самым свойством и, кроме того,
{«7,0} 6/.
Ясно, что / есть расчлененное множество, а пересечение
множеств [)1 и R эквивалентно множеству Z0. Поэтому R имеет
подмножество, эквивалентное Z0, что и требовалось доказать1).
1) Уже после сдачи в печать последней корректуры этой главы мы
познакомились с важной Habilitationsschrift Шпеккера «Zur Axiomatik der Men-
genlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom)»\ эта работа, написанная в
1951 г., опубликована в Zeitschr. f. math. Logik u. Grundlagen d. Math.
(3, 173—210) в конце 1957 г.
С точки зрения настоящего изложения самым интересным результатом
этой работы является остроумное доказательство независимости аксиомы
фундирования, отличное от доказательства Бернайса, 37—54νц.
Независимость аксиомы выбора доказана при помощи использования
экстраординарных множеств, т. е. ценой отказа от (или существенного ослабления)
аксиомы фундирования. Наконец, Шпеккером построены новые (по сравнению с
Чёрчем, 27) альтернативы для аксиомы выбора и их любопытные следствия
и указана их связь с существованием недостижимых кардинальных чисел-

ГЛАВА
III
ТЕОРЕТИКО-ТИПОВЫЕ
ПОДХОДЫ
§ 1. Идеальное исчисление
Мы не думаем, чтобы хоть об одной из существующих в
настоящее время классификаций различных подходов к
основаниям теории множеств стоило говорить как о самой простой и
«естественной». Не претендует на эти качества и принятая нами
классификация. Разумеется, в пределах каждой главы мы
объединяем подходы, обладающие общими особенностями. Но эта
степень общности для разных глав разная, и в ряде случаев
читатель сможет обнаружить больше общего у подходов,
описанных в разных главах, нежели в одной и той же. Нам
представляется, что различные возможные подходы образуют своего
рода многомерный континуум, известные же подходы были
выбраны из него в силу случайных, чисто исторически
сложившихся обстоятельств. Хотелось бы все же надеяться, что подбор
материала в этой книге носит не совсем уж случайный характер.
Чтобы с самого же начала лучше уяснить особенности,
характерные для подходов, описываемых в этой главе (и
отличающие их от описанных в предыдущей), мы опишем прежде
всего одно исчисление, которое можно рассматривать в
качестве адекватной формализации некоторого «наивного» подхода.
Согласно такому подходу, все сущности — если и не все
существующие1), то хотя бы принадлежащие «универсуму
рассуждения»— находятся по существу в равном положении, так что
утверждение, что одна из таких сущностей есть член любой
другой сущности (и даже самой себя), всегда осмысленно, хотя
такое утверждение может быть ложным, а иногда даже
абсурдным. У исчисления, в котором должна быть формализована
эта точка зрения, все переменные будут в таком случае одного
и того же рода, а одно из правил образования этого исчисления
1) В оригинале буквально '... если и не из всего универсума' (universe)
еще один синоним слова 'мир' — см. стр. 42. — Прим. перев.

1T2
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
будет, например, гласить, что любое выражение вида
'...6—'» гДе точки и дефисы замещаются вхождениями
переменных (различных или одинаковых), есть правильно
построенная формула (well-formed formula), сокращенно ппф;
для некоторых вариантов такого исчисления подобные
выражения являются единственными атомарными ппф, из которых при
помощи обычных связок, кванторов и скобок образуются
другие ппф.
Кроме того, согласно этому же подходу, все сущности, для
которых выполнено какое-либо данное условие, образуют
некоторую другую сущность — класс, причем единственный класс,
поскольку любые два класса с одними и теми же членами
совпадают. Это означает, что правила преобразования
соответствующего исчисления будут содержать, во-первых; аксиом(ную
схем)у свертывания (axiom(-schema) of comprehension),
символически записываемую в виде
( )(Ey)(kx)[xey = F(x)]t
где 'Fix)1 представляет собой любую ппф, свободную
относительно V1), а стоящая вначале пара круглых скобок поставлена
для указания на замыкание всеобщности {universal closure)2)
следующей за ней формулы, т. е. заменяет цепочку кванторов
всеобщности, связывающих все остальные свободные
переменные формулы 'F(x)\ если таковые имеются. Во-вторых, в числе
этих правил преобразования будет аксиома объемности
(экстенсиональности), записываемая символически в виде
(kx){ky)[{kz){z£x~z£y)zD х^у],
где 'х^у'определяется каксокращение для l(kw) (x £w=y£w)'.
(Обсуждение проблем, возникающих в связи с этим
определением, см. в гл. II, стр. 43 и ел.)
Описанное здесь в общих чертах исчисление будем
называть — следуя Гермесу — Шольцу3) — идеальным исчислением и
обозначать через '/С. Это исчисление можно расширить,
добавив аксиомы бесконечности, выбора и подстановки, или
некоторые из этих аксиом (см. гл. II).
К и его расширения и в самом деле во многих отношениях
служат идеальной формализацией наивного подхода; но, к
сожалению, они имеют один недостаток: они противоречивы.
х) Но не содержащую свободно у. — Прим. перев.
2) Об этом термине см. Чёрч, 56, стр. 228 [стр. 219 русск. изд. — Перев.];
по поводу символа см. Карнап, 37, стр. 94.
3) Гермес — Шольц, 52, стр. 57 и ел.

§ 1. Идеальное исчисление
173
В них очень легко вывести формализованный аналог
антиномии Рассела. Проделаем это несколько подробнее.
Взяв 'х(£х* в качестве 'F(x)' в аксиоме свертывания,
получаем
(Еу)(кх)(хеу-=х£х). (1)
Согласно известной теореме функционального исчисления
первого порядка (которое и здесь берется в качестве логики,
лежащей в основе идеального исчисления), имеем
(кх)(х£у = х£х)^(у£у = у£у). (2)
По обычному правилу функционального исчисления из (2)
выводим
(Ey)(kx)(xey = x£x)z>(Ey)(yey = y£y). (3)
(1) и (3), по modus ponens, дают
(Еу)(у6У = У$у), (4)
откуда, по другой известной теореме, следует
(Еу)~(уеУ=уеУ). (5)
С другой стороны,
у£у^у£у (6)
есть теорема функционального исчисления, откуда в
соответствии с другим обычным правилом этого исчисления можно
вывести
~(Е*/)~(у£у = у£у)· (7)
Очевидно, однако, что (5) и (7) есть пара противоречащих друг
другу предложений. Исчисление, в котором оба они доказуемы,
противоречиво.
Подходы, рассмотренные в предыдущей главе, и те, что
будут обсуждаться в настоящей, мы можем считать различными
попытками так видоизменить идеальное исчисление, чтобы
преодолеть его недостатки. «Аксиоматические» подходы
предыдущей главы не меняют существенным образом правила
образования этого исчисления: ни два рода переменных в системе Гёделя
(строчные буквы для множеств и прописные для классов), ни
два вида констант, обозначающих отношение принадлежности
в системе Бернайса (' £ ' для принадлежности множеству и 'η'
для принадлежности классу), не являются необходимыми, и
для этих систем легко предложить такие во всех прочих
отношениях эквивалентные формулировки, в которых не останется ни

174
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
одного из этих отклонений от идеального исчисления1).
Решительным же изменениям подвергается аксиома свертывания: в
системе Цермело она заменена, с одной стороны, гораздо более
слабой аксиом (ной схем) ой выделения {axiom (-schema) of
subsets) («Aussonderungsaxiom»), символической записью которой
применительно к нашим теперешним целям служит
( )(kz)(Ey)(kx)[x£y = (xez&F{x))\9
а с другой стороны, некоторым числом частных случаев
первоначальной неограниченной аксиомы свертывания, т. е.
определенным числом аксиом, в которых первоначальная 'F(x)'
заменяется некоторыми специальными видами ппф; скажем, при
замене lF(xy на 'я'с'г', т. е. на (Aw) (w ζ xuw £z), и мы
получаем аксиому множества-степени
(kz) (Еу) (Ах) [х £ у = (Aw) (w£xzdw£z)].
Не столь радикальное ослабление аксиомы свертывания
состоит во введении в правую часть этой эквивалентности другого
конъюнктивного члена (вместо *χ£ζ' Цермело), а именно ппф
'(Ez) (x£z)\ в результате чего мы получаем
( )(Ey)(Ax){xey^[(Ez)xez8cF(x)}}.
Эта схема аксиом, идущая — по крайней мере по существу —
от фон Неймана, утверждает существование класса, в который
входят все те и только те предметы, для которых выполняется
некоторое заданное условие и которые являются членами
какого-нибудь класса, или, короче, существование класса,
состоящего из всех тех и только тех элементов, для которых
выполняется заданное условие. (Цермеловская Aussonderungsaxiom
обеспечивала существование класса, удовлетворяющего
заданному условию только в том случае, когда его возможные члены
уже были членами некоторого данного класса.) Этого, однако,
уже достаточно, чтобы не допустить воспроизведения
рассуждений, приводящих к противоречию в идеальном исчислении.
В этом читатель легко убедится сам: вместо того чтобы прийти
к противоречию, ему удастся доказать лишь безобидную
теорему о том, что класс предметов, не являющихся членами самих
себя, не есть элемент.
Итак, общую позицию, характерную для рассмотренных в
предыдущей главе подходов, можно выразить следующим
образом: отклонение от наивного подхода состоит в отказе от
предположения, что любому заданному условию всегда соответствует
некоторый могущий быть членом класс, а именно класс всех тех
и только тех предметов, для которых выполнено это условие.
*) Ср гл. II, стр. 152, подстрочное примечание 1.

§ 2. Общая теория классов
175
Другая позиция, имеющаяся по этому вопросу, исходит в
своих существеннейших чертах от Рассела. Эта позиция
пытается преодолеть антиномии, подвергая изменениям не
аксиомы и правила преобразования, а правила образования
идеального исчисления, т. е. она отказывается от того допущения, что
любая формула, соответствующая предложению разговорного
языка, могущему с наивной точки зрения считаться условием,
является непременно правильно построенной. Например, если
считать, что формула 'х(£х\ соответствующая фигурирующему
в антиномии Рассела предложению разговорного языка *лс не
есть член х\ не является правильно построенной, то эта
антиномия преодолевается в том довольно тривиальном смысле, что
ее аналог нельзя сформулировать в исчислении.
Однако соглашения, по которому никакая формула вида
'. . . £ —', где точки и дефисы замещены (вхождениями) одной
и той же переменной, не считается правильно построенной,
самого по себе еще недостаточно. Легко показать, что антиномию
расселовского типа можно извлечь из формулы 1х £у&у£х\не
дисквалифицируемой этим соглашением. По-видимому, для того
чтобы устранить все антиномии этого типа, требуется более
систематичный и радикальный отход от правил образования
идеального исчисления.
§ 2. Общая теория классов
Исчисление, к описанию которого мы теперь переходим,
имеет в отличие от /С, не один род переменных, а счетную
иерархию уровней {levels) !) переменных. Назовем это исчисление
общей теорией классов2) и, желая подчеркнуть его связь с рас-
селовской теорией типов (см. § 8), обозначим его через Т.
Каждая переменная принадлежит одному и только одному уровню.
Номера уровней 1, 2, 3, . . . будут указываться с помощью
верхних индексов. Единственные атомарные формулы Τ снова суть
формулы вида \ .. £ —'» но теперь номер уровня переменной,
стоящей в левой части £ -формулы, должен быть ровно на
единицу меньше номера уровня переменной, стоящей справа; иначе
говоря,
xl£yJ
есть ппф тогда и только тогда, когда j = i+l.
1) См. Чёрч, 56, § 58 (стр. 333 русск. изд.). — Π ρ им. перев.
2) Это название использовано Тарским, 56, стр. 241, для обозначения
исчисления, отличающегося от рассматриваемого здесь лишь наличием
аксиомы бесконечности и несущественными деталями обозначений. Общая теория
классов Тарского занимает промежуточное положение между Τ и вводимой
ниже системой T*t

176
Гл. 111. Теоретико-типовые подходы
Поскольку Τ содержит бесконечно много уровней
переменных, единственная аксиома объемности системы К должна быть
заменена схемой аксиом объемности
(Α**) (ку*) [(Αζ''-1) (ζ1-1 е xl = ζι~ι ζ yl)zD χ1 = y%
а схема аксиом свертывания
в этом новом варианте приобретает еще более схематический
характер !).
Мы уже видели, что антиномия Рассела в Г не
воспроизводима. Удостоверимся теперь, что в нем не возникает и
антиномия Кантора. В самом деле, в Τ нет (правильно построенного)
терма, соответствующего выражению 'класс всех предметов'2),
а есть лишь терм для 'класса всех предметов уровня f, так что
никакая формула не может быть интерпретирована как
утверждение о существовании абсолютного всесодержащего
универсального класса. Но именно предположение о существовании
такого класса и приводит, в силу теоремы Кантора, к
парадоксу.
Можно, наконец, показать, что ни одно из обычных
рассуждений, приводящих к другим известным логическим
антиномиям, в Г не воспроизводимо. С семантическими антиномиями
положение оказывается иным. Мы, однако, пока отложим
рассмотрение этих антиномий и займемся ими позднее.
Насколько хороша 7? Вопрос этот можно понимать в двух
смыслах: (а) Какую часть наивной теории множеств — и
вообще классической математики — можно развить на ее основе?
(Ь) Насколько можно быть уверенным в ее непротиворечивости?
По поводу вопроса (а) можно сказать следующее.
Пополним Τ аксиомой бесконечности, чтобы число различных предме-
1) То есть становится «схемой схем аксиом»: каждому / соответствует
своя схема, которая в свою очередь для каждого конкретного F уже дает
аксиому. — Прим. перев.
2) Это объясняется не тем, что в Τ нет обозначения для определенного
артикля [переводимого нами часто как эпитет 'вполне определенный', но
опущенного в переводе выражения 'the class of all entities'. — Перев.]; такое
обозначение легко ввести и притом многими различными способами. Можно
было бы, например, ввести обозначение для определенного описания
посредством контекстуального определения так называемого ι-оператора (способом,
известным по Principia Mathematica), а затем определить -оператор
абстракции; см., например, Куайн, 53, стр. 85 и ел., и Шрётер, 56.
Причина состоит, скорее, в том, что в Τ просто нет символа gx* для
обозначения выражения 'класс всех предметов х} таких, что', поскольку все
переменные должны иметь верхние индексы, так что мы имеем лишь V,

§ 2. Общая теория классов
177
тов уровня 1 было равно &0 (предмет считается
принадлежащим некоторому уровню, если он принадлежит области
изменения некоторой переменной этого уровня), и аксиомами выбора
для различных уровней. Обозначим полученную систему через
Г*'. Она по существу эквиполлентна (упрощенному варианту)
системе, описанной в РМ (Principia Mathematica), в которой
строго доказываются формальные аналоги всех основных
теорем классической теории множеств, арифметики и анализа и
которую поэтому обычно считают достаточной для того, чтобы
служить основанием для этих областей математики1). Однако
избавление от логических антиномий, которое было целью
перехода от К к 7, достигнуто за счет известных недостатков
теории; расскажем о некоторых из этих недостатков.
Теперь кардинальные числа нельзя уже просто и
однозначно определить, следуя Фреге, как классы эквивалентных
классов (см. Г, стр. 77); в зависимости от уровня эквивалентных
классов мы получаем бесконечные последовательности чисел на
всех уровнях (от двух и выше). Каждый уровень имеет свой
собственный (квази)универсальный класс, свой собственный
пустой класс, а дополнение класса становится
квазидополнением, содержащим не все предметы, не являющиеся членами
(non-members) этого класса, а только те из них, которые
принадлежат тому же уровню, что и члены данного класса.
Многие математики сочтут такое расслоение понятий
крайне неприятным не только по соображениям интуитивного
характера, но в основном, пожалуй, из-за того, что оно строго
ограничивает привычную для них свободу выражения и
обозначения. Чтобы преодолеть эти нежелательные ограничения,
1) Эта эквиполлентность представляется несколько неожиданной, если
учесть, что по части обозначений Τ гораздо беднее РМ — в ней нет
переменных ни для высказываний, ни для отношений. Однако пропозициональные
переменные можно заменить схемами (метод, предложенный фон Нейманом).
Двуместные отношения можно заменить классами упорядоченных пар, а
упорядоченные пары в свою очередь — некоторыми классами. Если
упорядоченная пара однородна (homogenous), т. е, имеет вид (х\ φ), то ее можно
заменить по известному способу Винера — Куратовского (ср. стр. 165); на
{{**}, {*'» у1}} В противном случае, т. е. когда пара имеет вид (х\ у{)
УФ]), ее надо сначала естественным образом «гомогенизировать», а затем
уже применить преобразование Винера — Куратовского. Наконец,
многоместные отношения можно заменить классами упорядоченных п-ок, которые
опять-таки можно свести к упорядоченным парам способом, иллюстрируемым
заменой (а, Ь, с) на (а, (Ьу с)), после гомогенизации, если таковая нужна.
[Такая «естественная гомогенизация» может, например, состоять в том,
чтобы, скажем, при i > / вместо у5 рассматривать yi = Df{{..-. {yj} ...}},
i-j раз
после чего применять преобразование Винера — Куратовского к паре (х*,
у*). — Перев.]
12 Зак 1765

178
Гл. III. Τеоретико-типовые подходы
часто приходится прибегать к сложным техническим
приемам.
От некоторых из этих технических неудобств можно
избавиться с помощью принципа типовой неопределенности {typical
ambiguity)1), применяя метод, описанный в РМ. Вместо того
чтобы доказывать каждую теорему с переменными (и
введенными по определению константами) со всеми полагающимися
при них верхними индексами и длинными пояснениями об
отношениях между этими индексами2), можно с самого начала
отказаться от использования индексов в предположении, что
каждой теореме предпосылается фраза 'при условии, что все
термы принадлежат соответствующим уровням'. Получающийся
в результате формализм3) был бы чем-то вроде К и можно
было бы подумать, что по части обозначений он столь же удобен.
Практически, однако, уследить за всеми молчаливыми
соглашениями было бы подчас весьма затруднительно4). Кроме
того, с особой осторожностью следует отнестись к
формулировке правил образования, чтобы формулы, приводящие к
антиномиям, не попали по небрежности в число правильно
построенных. Хотя, например, каждая из формул 'х£У* и 'У £х* вис-
числении, реализующем принцип типовой неопределенности,
будет сама по себе считаться правильно построенной, их
конъюнкции ιχ ζ у & у ζ χ' следует, безусловно, отказать в этом
свойстве, так как в противном случае вновь возникает
антиномия расселовского типа.
1) См. Чёрч, 56, прим. 149 и 585, а также °Шпеккер, 62. — Прим. перев.
2) Возможен и другой метод, приводящий к тому же результату;
доказать данную теорему с наименьшими из возможных индексами у каждого
из входящих в нее термов и доказать раз навсегда метатеорему, согласно
которой каждая теорема остается верной, если увеличить все эти индексы
на одно и то же число.
3) Куайн, 51а, называет этот формализм РМ4. Куайн рассматривает его
как некоторый вариант РМ. Бенеш в своем реферате (Journal of Symbolic
Logic, 17 (1952), стр. 212) указывает, что РМ4 отличается от РЖ—или,
скорее, от Τ—тем, что содержит универсальный класс, и тем, что в нем
предметы совершенно не различаются по типам; это последнее отклонение
делает РМ4 «скорее теорией множеств, нежели теорией типов». Хотя мы и не
склонны недооценивать значение этих отклонений, нам все же представляется,
что различие в конечном счете лишь словесное. Первоначальная теория типов
Рассела отличалась от первоначальной теории множеств Цермело тем, что
Рассел рассматривал бесконечную иерархию универсумов рассуждения, тогда
как у Цермело был единственный универсум, а также тем, что Рассел
объявил бессмысленными некоторые формулы, считающиеся у Цермело
осмысленными (если не считать, конечно, многих других отличий). Первое отличие
в РМ4 действительно устранено, но второе остается; ср. также ниже,
стр. 210 и ел.
4) Пример того, как сами Рассел и Уайтхэд потерпели в этом отношении
неудачу, см. у Гёделя, 44? стр. 145—146.

§ 3. New Foundations Куайна
179
Требуемые правила образования лучше всего
сформулировать, следуя Куайну, в терминах стратификации. Атомарная
формула вида '. . . £ —' называется стратифицированной
{stratified), если переменной, входящей в левую часть этой
формулы, можно приписать уровень, на единицу меньший уровня,
который можно приписать переменной, входящей в ее правую
часть (что, конечно, осуществимо всегда, за исключением тех
случаев, когда в обе части формулы входит одна и та же
переменная). Вообще, формула называется стратифицированной,
если всем переменным, входящим в ее развернутую запись (т.е.
запись, использующую лишь первоначальные обозначения),
можно приписать уровни таким образом, чтобы все атомарные
формулы, являющиеся ее частями, были одновременно
стратифицированы (причем всем вхождениям одной и той же
переменной был бы приписан один и тот же уровень). Наконец,
формула будет считаться правильно построенной тогда и только
тогда, когда она стратифицирована.
Несмотря на то что с помощью аккуратного определения
правил образования этого исчисления логические антиномии
можно исключить, при обращении с ним все же требуется
усиленное внимание, хотя бы в силу того обстоятельства, что
конъюнкцию двух ппф нельзя автоматически саму принимать
в качестве ппф.
Кроме того, принятие типовой неопределенности не
позволяет само по себе справиться с другими интуитивно
нежелательными особенностями Г*, такими, как расслоение
универсального и пустого классов, кардинальных чисел и др.
Что же касается вопроса (Ь), т. е. вопроса о
непротиворечивости 71*, то мы пока ограничимся констатацией того факта, что
при условии непротиворечивости Ζ—системы аксиом I — VII
(см. стр. 156) —непротиворечива и 7**; подробнее об этом
будет сказано в гл. V.
§ 3. New Foundations Куайна
Ряд логиков искали пути и способы преодоления
упомянутых недостатков системы Г*, пытаясь при этом сохранить ее
относительную надежность. Одна из самых интересных попыток
в этом направлении была предпринята Куайном, стремившимся
сочетать подход Цермело, считавшего, что за получение
логических антиномий ответственно неограниченное пользование
аксиомой свертывания, в результате чего допускаются «слишком
обширные» множества, с подходом Рассела, усматривавшего
корень зла, скорее, в употреблении «бессмысленных» фраз. Нельзя
ли, не трогая самих правил образования идеального исчисления
12*

180
Гл. Ill, Теоретики-типовые подходы
и не отбрасывая нестратифицированных формул (как
нарушающих эти правила), обезвредить их тем, что в качествеt/7(x)'
аксиомы свертывания допускать лишь стратифицированные
формулы?
Получающаяся в результате система была описана в статье
New Foundations for Mathematical Logic1) (1937) и стала
впоследствии известна просто как New Foundations, сокращенно Af/7.
Поскольку отличия NF от К сведены к минимуму, ею во многих
отношениях очень удобно пользоваться, а многие из
недостатков Т*действительно преодолены. В NF имеется единственный
универсальный класс, единственный пустой класс, каждый класс
имеет дополнение, числа2), определяемые в этом исчислении,
единственны, и т. д.
А как обстоит дело с антиномиями? Поскольку формулы,
играющие решающую роль при выводе обычных логических
антиномий, нестратифицированы, существование соответствующих
парадоксальных классов нельзя доказать непосредственно с
помощью варианта аксиомы свертывания из NF, хотя в
некоторых случаях существование класса, соответствующего нестрати-
фицированной формуле, можно доказать окольным путем.
Оказывается, однако, что NF — хотя она, по-видимому, и
не является противоречивой в прямом смысле слова — обладает
рядом странных особенностей, противоречащих интуиции. В NF
например, можно доказать, что не всякий класс эквивалентен
классу своих единичных подклассов; это, в частности, относится
к универсальному классу. С другой стороны, имеется класс,
эквивалентный классу всех своих подклассов, а именно
универсальный класс. Не означает ли это, что в NF проходит вывод
антиномии Кантора? Нет, это не так; теорема Кантора (Г,
стр. 94) здесь не имеет места. В ее обычное доказательство, как
легко проверит читатель, входит нестратифицированная
формула. Серьезные трудности возникают в связи с тем, что лишь
для стратифицированных формул справедлива математическая
индукция, тогда как в обычных доказательствах важных теорем
арифметики часто фигурируют нестратифицированные
условия3). Аксиома выбора с NF несовместима, а универсальный
класс нельзя вполне упорядочить4). Наконец, для NF не
существует стандартной модели (в смысле Генкина — Россера —
Хао Вана) 5).
1) Новые основания математической логики. — Прим. перев.
2) Кардинальные и порядковые. — Прим. перев.
3) Ср. Куайн, 53, стр. 99.
4) Этот весьма неожиданный в свое время результат был получен Шпек-
кером, 53.
5) См. Россер — Хао Ван, 50, стр. 115 и ел.

§ 4. Mathematical Logic Куайна
181
В глазах многих логиков эти качества NF не позволяют ей
соревноваться с другими исчислениями на роль наиболее
адекватной основы математики1). Представляется, однако, что
хотя бы некоторые из этих недостатков легко устранимы.
Например, если ввести в нужные места формулировок и
доказательств теорем условие 'х канторов' (канторовыми здесь
называются классы, эквивалентные классам своих единичных
подклассов), то формальные аналоги важнейших классических
теорем, в том числе и требующих для своего доказательства
аксиомы выбора, окажутся доказуемыми. Для канторовых
классов можно спокойно допустить аксиому выбора, так что класс
таких классов уже можно вполне упорядочить2); все классы,
которыми обычно интересуется математик, заведомо канторовы.
Значение того факта, что у NF нет стандартной модели, мы
обсудим позднее; пока же заметим, что NF— отнюдь не
единственная теория множеств, обладающая этим недостатком, если
это вообще недостаток3).
Что же касается непротиворечивости, то опять-таки пока
ограничимся замечанием, что NF непротиворечива тогда и
только тогда, когда непротиворечива РМ\ (см. подстрочное
примечание 3 на стр. 178) 4).
§ 4. Mathematical Logic Куайна
Помимо того интереса, который представляет сама по себе
система NF, она также послужила исходным пунктом для
построения других, в известных отношениях более
привлекательных систем5). Самой известной из них является система самого
Куайна, развитая в его книге Mathematical Logic, изданной
впервые в 1940 г.; третье издание, содержащее одно важное
исправление, вышло в 1951 г. Систему эту, как и предыдущую,
называют обычно сокращенно по заглавию книги — ML. В то
время как NF можно грубо охарактеризовать как гибрид
Τ и Ζ, систем Рассела и Цермело, в ML используются идеи,
заимствованные скорее у фон Неймана, а за основу взята 7. Да-
1) Например, Карри в своей рецензии на книгу Россера, 53 (Bull Л. M.S.,
60 (1954), стр. 266—272) выражает серьезное сомнение в разумности выбора
системы типа NF в качестве основы учебника логики для математиков.
2) См. Россер, 56, стр. 292, и Куайн, 56 (примечание на стр. 270).
3) См. Россер — Хао Ван, 50.
4) См. Куайн, 51. Дополнительные сведения о NF содержат следующие
работы: Россер, 39; Гальперин, 44; Россер, 52; Бенеш, 54. Особый интерес
представляет формулировка NF, предложенная Гальпериным, поскольку в
ней схема аксиом свертывания заменяется конечным списком аксиом. [См.
также о работах Шпеккера, 58 и 62, в библиографии. — Ред.]
5) Одна такая интересная система предложена Стенли, 55.

182
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
лее, ML во многих отношениях сильнее и удобнее NF (точно
так же, как система фон Неймана, особенно в варианте Бернайса,
сильнее и удобнее Z); интересно, однако, что ML при этом
столь же надежна, как и NF, т. е. если непротиворечива NF*
то непротиворечива и ML. Это, пожалуй, не столь
неожиданно, если учесть, что, как было показано, такое же
взаимоотношение имеет место уже между Ζ и системой фон Неймана (ср.
стр. 154). Подробнее об этом будет сказано в гл. V.
Перейдем теперь к более точным формулировкам: ML (в
исправленном варианте 1951 г.) отличается от NF тем, что
аксиома свертывания Л^ — сокращенно CNF, — которую можно сфор-
мулир'овать как
CNF: Если Ψ (χ)' стратифицирована и не содержит У1), то
( ) (Ey)(kx)[xey = F(x)\
заменяется двумя правилами. Одно из них, СМь, получается из
CNF отбрасыванием части предложения 'если 'F(x)'
стратифицирована2) и добавлением '(Εζ)χζζ' (что читается как *х
может быть членом' или *х есть элемент') в качестве
конъюнктивного члена правой части эквивалентности, что приводит к
аксиоме
Cml· Если Ψ(χ)' не содержит У 3), то
( ) (Ey)(Ax){xey^[(Ez)xez&F(x)]}.
Сущность второго правила состоит в том, что все классы,
которые вообще существуют в NF, являются в ML элементами.
Именно это второе правило (и только оно) содержит теперь
характеристическое условие стратификации. Кстати, в этой форме
Cml очень похожа на аксиому выделения Z, которую мы
действительно могли бы рассматривать как цермеловский вариант
аксиомы свертывания, обозначить 'Cz' и сформулировать как
Cz: Если 'F(x)' не содержит *у\ то
( ) (Ey)(kx){xey = [xez&F(x)]}.
Читатель снова легко убедится в том, что, например, антиномия
Рассела в ML не воспроизводима, а аналог обычного
рассуждения приводит лишь к двойному результату: с одной стороны, та-
1) Вторую часть этого условия часто несколько ослабляют ('... не
содержит 'у' свободно'), что, впрочем, не приводит к усилению системы ввиду
наличия правила переименования связанных переменных. То же относится и
к формулируемой ниже аксиоме CML.— Прим. ред.
2) Поскольку в приведенной выше формулировке CNp слова 'если
Τ (л:)'' не повторяются перед каждым сказуемым, то в формулировке С ML
опускается фактически лишь одно слово 'стратифицирована'. — Прим. перее.
3) Ср. предыдущее примечание редактора. — Прим. Нерев.

§ 4. Mathematical Logic Куайна
183
кой вещи, как класс всех предметов1), не являющихся
собственными членами, попросту не существует; с другой стороны, класс
всех элементов, не являющихся собственными членами, не есть
элемент2).
Любопытно, что первоначальный (1940) вариант ML оказался тем не
менее противоречивым — в нем оказалась выводимой антиномия типа Бура-
ли-Форти. Но это было, так сказать, случайной оплошностью; для
устранения этой противоречивости оказалось достаточно сделать несколько
незначительных исправлений в формулировке одной из схем аксиом (идея этих
исправлений была указана Хао Ваном) 3).
В теориях цермеловского типа можно опровергнуть
существование — или по крайней мере элементность (elementhood) —
«очень обширных» классов; в то же время универсум4) классов
в NF и универсум элементов в ML оказываются
симметричными. В ML, например, можно доказать, что всякий конечный
класс есть элемент, так же как всякий класс, содержащий все
элементы, кроме конечного их числа, так что классы, не
являющиеся элементами (non-elements), отличаются и от пустого и
от универсального класса бесконечным числом членов.
ML есть, несомненно, одна из самых изящных и удобных
из предложенных до сих пор систем. Свобода действия
ограничена лишь необходимостью доказывать в некоторых случаях
элементность каких-либо классов. Архитектоника системы
превосходна. Каждый из двух основных разделов элементарной
логики — пропозициональное исчисление и функциональное
исчисление—строится на основе всего лишь одного
первоначального понятия, если не считать, конечно, бесконечного количества
термов-переменных (сводимых в принципе к одной переменной
и штриху) и левых и правых скобок. Единственный
первоначальный символ пропорционального исчисления — это символ
1) В оригинале 'entities', что переводится также как 'вещей', а в
контекстах с «философской» окраской — и как 'сущностей'. — Прим, перев.
2) Ср. Куайн, 51, стр. 130—131.
3) Ср. *Россер, 12, и Хао Ван, ЬОЪ. — Прим. авт.
Парадокс Бурали-Форти в первоначальном варианте ML был получен
Россером (/. S. L., 7 (1942), 1 —17) и, независимо, Р. Линдоном. Россер
в этой статье рассказывает о том, что Линдон, будучи его учеником,
сообщил ему о своем варианте вывода этого парадокса, не будучи, однако,
уверен в своей правоте; Россеру же, по его словам, было уже к этому времени
известно о возможности провести такой вывод; Россер опубликовал его во
всех подробностях первым, признавая независимость открытия Линдона.
Интересно отметить, что это обнаружение парадокса не помешало
появлению в 1947 г. второго издания книги Куайна, в которой формулировка
системы ML осталась без изменений. — Прим. ред.
4) То есть область (universe). — Прим. перев.

181
Г л III. Теоретико-типовые подходы
совместного отрицания (joint denial) ' | м) (стрелка,
направленная вниз), исходя из которого можно, как известно, определить
все остальные пропозициональные связки; единственным же
первоначальным символом функционального исчисления является
символ квантификации всеобщности '(А)' '£\ символ
принадлежности классу (мы сейчас увидим, что это наименование
неточно) есть единственный дополнительный символ, положенный
в основу исчисления классов, а тем самым и всей логики
высших порядков, арифметики и анализа. В каждой из этих трех
областей имеется, конечно, свое собственное множество схем аксиом.
Чрезвычайная экономичность системы обозначений ML (так
же как и NF) 2) приводит к одному интересному побочному
результату. В ML, как и в первоначальной системе Цермело,
остается открытым вопрос, все ли предметы суть классы, или же
существуют и индивиды, τ е. предметы, отличные от пустого
класса, не содержащие членов. Поскольку, таким образом,
существование индивидов не исключается, то в случае, когда у не
есть класс, '*£*/' нельзя интерпретировать как 'х есть член у\
Поэтому Куайн в таких случаях волен интерпретировать это
выражение как ему угодно; истолкование его как 'х совпадает (is)
с if позволило Куайну не только сохранить принцип, согласно
которому каждое выражение вида '. .. 6 - - -' осмысленно, но
и принять следующее определение символа ' = ':
х = У = Df (kz) (z £ х = z £ УУ>
в первоначальной системе Цермело это было невозможно, а в Ζ
удалось осуществить лишь благодаря тому, что все предметы
этой системы суть множества (стр. 47—48). Одним из
результатов этого определения является, однако, то, что каждый
предмет, не являющийся классом (если таковые существуют),
совпадает со своим единичным классом3), что вряд ли придется
1) Чёрч, 56, называет эту истинностную функцию 'антидизъюнкцией'
(non-disjunction) и обозначает ее через 'V' [стр. 41 русск. изд. — Перев.].
Единственная другая бинарная связка, могущая служить основой
пропозиционального исчисления, это штрих Шеффера Τ — символ альтернативного
отрицания (или антиконъюнкции (non-conjunction))
2) Эту экономию можно было бы и еще усугубить. Сам Куайн показал,
каким образом можно систему, содержащую три первоначальных символа,
заменить системой, содержащей лишь два таких символа, а именно символы
включения и абстракции (см. Куайн, *17 и 53, стр. 94 и ел). О
другой редукции первоначальных обозначений см. Генкин, 53, и Стенли, 55. Эти
системы обозначений, однако, гораздо менее прозрачные, чем состоящие из
трех символов, способствуют слиянию тех трех разделов логики, которые
многие логики хотели бы по возможности разграничить: пропозиционального
исчисления, функционального исчисления и исчисления классов.
3) То есть с классом, единственном членом которого является этот
«некласс». — Прим. перев.

§ 4. Mathematical Logic Куайна
185
по вкусу многим математикам. С их точки зрения, это было бы
возвратом к временам, предшествовавшим серьезным усилиям
Фреге и Пеано провести четкую границу между отношением
принадлежности классу и отношением включения в класс.
Степень отступления ML от интуиции, обусловленную этой ее
особенностью, не следует, однако, переоценивать; с собственными
единичными классами отождествляются лишь объекты, не
являющиеся классами, так что в действительности никакого
ущерба не наносится и никаких явных парадоксов из такого
отождествления вывести нельзя.
Эту особенность ML можно выразить и иначе: в ML
рассматривается два сорта классов — обычные, не совпадающие со
своими единичными классами, и необычные, совпадающие со
своими единичными классами (т. е. содержащие самих себя в
качестве единственных членов). Такая формулировка имеет то
техническое преимущество, что сохраняет для 'х £ у' простое
истолкование *лс есть член у\ тогда как в соответствии с
предыдущей формулировкой эту формулу пришлось бы
интерпретировать, скажем, как *лс есть член ί/, если у есть класс, и χ
совпадает с ί/, если у не есть класс' *).
Система ML является кульминацией одного из направлений
в основаниях теории множеств, исходящих из теории типов,
в глазах представителей которого теория типов, хотя и
представляет собой достаточно эффективное средство для
предотвращения антиномий, но достигает этой цели слишком
дорогой ценой — за счет всякого рода ограничений,
накладываемых на математический символизм; желая сохранить
максимальную свободу и гибкость в обозначениях, представители
этого направления готовы пожертвовать интуитивным
правдоподобием теории типов, сохранив лишь те ее технические
особенности, которые представляются достаточными для
устранения антиномий. Такая жертва вполне могла бы казаться
очень серьезной. ML, так же как и NF, не имеет стандартной
модели. Впрочем, в смысле непротиворечивости с ML дело
обстоит не хуже, чем с NF, несмотря на большую силу первой:
Хао Ван2) показал, что если NF непротиворечива, то
непротиворечива и ML. В известном смысле ML даже лучше NF, в то
время как существенным недостатком NF может оказаться ее
ω-противоречивость (см. гл. V, § 4), из этого вовсе не
следовало бы, что тот же недостаток присущ и ΛίΖ,3).
J) Ср. стр. 44
2) Хао Ван, 50b.
3) Ср. Куайн, 53а-

186
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
§ 5. Иерархия языков
и разветвленное исчисление классов
Прежде чем обратиться к описанию и обсуждению другой
важной разновидности теоретико-типового подхода, а отчасти и
для подготовки этого обсуждения, займемся вопросом, который
давно уже должен был возникнуть у внимательного читателя:
для устранения логических антиномий, по-видимому, вполне
достаточно иерархии типов и стратификации; но что можно
сказать о семантических антиномиях? Действительно, на первый
взгляд кажется, что в исчислении с правилами, характерными
для теории типов, можно прийти к антиномии ришаровского
типа. Ради простоты описания возьмем для иллюстрации не
рассматривавшееся выше исчисление 7\ а некоторый его
вариант, пользующийся по другим причинам (см. гл. V) большой
известностью. В этом варианте — назовем его исчислением Ρ —
натуральными числами служат индивиды (а не классы
классов); кроме того, Ρ содержит несколько аксиом,
соответствующих известным аксиомам Пеано для арифметики натуральных
чисел (стр. 109, подстрочное примечание 2). Читатель легко
проверит, что переход к этому исчислению не влияет
существенным образом на справедливость нижеследующих рассуждений,
но значительно их упрощает. В Ρ имеется счетное множество
правильно построенных выражений, определяющих классы
натуральных чисел. Перенумеруем эти классы, например г\, г*,
г£,...; тогда аксиома свертывания обеспечивает,
по-видимому, существование класса — назовем его rj,— содержащего
все те и только те натуральные числа п, которые не
принадлежат соответствующему классу г\. Поскольку г\ — класс
натуральных чисел, определенный посредством правильно
построенного выражения, он должен совпасть с некоторым г1п; назовем
его rlm. Что можно сказать об отношении между тиг^? Если m
принадлежит rlmJ то ввиду совпадения rj и г!т и определения г
получаем, что m не принадлежит г^;если же m не
принадлежит rlm, то оно, по определению, принадлежит rj, а
следовательно, и rlm. Ответственность за это противоречие не может быть
отнесена за счет правил, характерных для теории типов.
Можно, конечно, возразить (и такие возражения на самом
деле высказывались), что условие 'п£г1п\ играющее
решающую роль в приведенном выше рассуждении, не является в
действительности правильно построенным. ' г1п' есть сокращение для
выражения Τι-й (в соответствии с некоторой нумерацией) класс
натуральных чисел, определенных посредством правильно по-

§ 5. Иерархия языков и разветвленное исчисление классов 187
строенных выражений Р\ т. е. является (сокращенным)
выражением не самого Р, а метаязыка для Р. Строго соблюдая
различение между языком-объектом и метаязыком, мы выбиваем
почву из-под рассуждений, приводящих к антиномии Ришара
(и другим семантическим антиномиям). Дополняя иерархию
уровней внутри одного языка иерархией языков1), мы,
по-видимому, с успехом справляемся с последними угрозами со
стороны классических антиномий.
Но успех этот обходится дорого. Многие мыслители считают
строгое различение языковых слоев почти настолько же
противоречащим интуиции, как и строгое различение уровней. Кроме
того, следует выяснить, действительно ли это расслоение языков
исключает опасность, что в предметном языке могут найтись
выражения, если не совпадающие с выражениями метаязыка,
то находящиеся с ними в известного рода изоморфном
соответствии, что снова, хотя и окольным путем, могло бы
привести к семантическим антиномиям. На самом деле, опасность
эта весьма серьезна; в гл. V этот вопрос будет обсуждаться
вновь.
Но семантические антиномии можно предотвратить и с
помощью другого дополнения к иерархии типов. Вспомним, что
«ришаровский» класс натуральных чисел определялся в
терминах некоторой совокупности, а именно совокупности всех
классов, определяемых с помощью правильно построенных
выражений Р, и сам оказался членом этой совокупности. Как
прежде, так и сейчас, многие ученые считают, что такого рода
определения, — в тех случаях, когда они являются
«существенными», т. е. не могут быть заменены определениями, не
обладающими этим свойством2), — незаконны, поскольку они
связаны с порочным кругом. Никакой предмет, говорят они, не
следует считать принадлежащим к какой-либо совокупности,
если само существование этого предмета может быть
установлено только при помощи некоторого выражения,
относящегося к этой совокупности. Объявляя выражения, относящиеся
к таким сверхобъемным (over-inclusive) совокупностям, как
совокупность всех правильно построенных выражений,
незаконными, можно избежать незаконного применения аксиомы
свертывания, после чего доказать существование ришарова класса
и других приводящих к антиномиям классов уже не удастся.
1) Такое понимание, подготовленное рамсеевским различением
логических и «эпистемологических» антиномий и гильбертовским различением
математики и метаматематики, является в основном заслугой Тарского;
см. Тарский, 56, VIII; ср. также Карнап, 37, стр. 211 и ел.
2) Это тот тип определения, который известен как «непредикативное»;
ср. гл. II, стр. 58, и ниже, § 10.

188 Гл. III. Теоретико-типовые подходы
Достичь этой цели можно, например, изменив правила
образования исчисления Τ (теперь, когда Ρ уже сослужило свою
службу, мы снова вернемся к Т) таким образом, чтобы
каждая переменная имела уже не один, а два индекса; один —
скажем, правый верхний — индекс будет указывать, как и
раньше, уровень переменной, а другой — скажем, левый верхний —
ее «порядок». Формулировка аксиомы свертывания теперь
примет следующий вид:
Если наивысший из порядковых индексов, входящих в
'F(^x2')' связанных переменных уровня ί+l, не
превосходит /, то
( )(Ey+y+0(AV)[V6y+V41=/7(V)]
(при этом порядковый индекс переменной 'i/i+p равен
единице, если такая переменная вообще не входит в Ψ(χ)'
в качестве связанной переменной).
В получающемся таким образом разветвленном исчислении
классов {ramified class-calculus), или RT, семантические
антиномии действительно устранены. Если попытаться, например,
провести рассуждение, ведущее к антиномии Ришара, то мы сразу
же столкнемся с тем обстоятельством, что в RT уже нет
формального аналога для выражения 'для всех классов
натуральных чисел уровня i\ а можно лишь представить выражение 'для
всех классов натуральных чисел уровня i и порядка k\
Образуя ришаров класс, соответствующий какой-либо нумерации
классов натуральных чисел порядка k, мы обнаруживаем, что
порядок его равен &+1, так что теперь уже нельзя утверждать,
что он совпадает с одним из классов порядка k.
Мало того, что в RT не могут возникнуть семантические
антиномии, можно даже доказать непротиворечивость этого
исчисления1). Но, как и следовало ожидать, это весьма желательное
качество не дается даром. На основе RT можно построить лишь
часть классической математики. Это легко понять; не вдаваясь
в подробности, достаточно заметить, что наименьшая верхняя
граница какого-либо класса действительных чисел, строящихся
в RT как некоторые классы классов классов..., имеет больший
порядок, чем эти действительные числа2).
Для того чтобы как-то скомпенсировать это досадное
ослабление теории, вызванное разветвлением порядков, можно ввести
аксиому сводимости {reducibility), согласно которой для каж-
1) Было предложено много таких доказательств как в терминах теории
моделей (например, *Фитч, 4), так и в рамках теории доказательств
(например, Лоренцен, 51, и Шютте, 52). Об этих двух методах доказательств
непротиворечивости см. гл. V, § 4.
2) Эта трудность обсуждалась еще Вейлем, 18, стр. 23.

§ 6, Система Σ Хао Вана
189
дого класса определенного уровня и любого порядка существует
класс того же уровня и порядка 1, состоящий в точности из тех
же самых членов, что и данный класс. Тем не менее не следует
считать оба эти класса совпадающими, поскольку это просто
свело бы эффект введения аксиомы сводимости к снятию
разветвления. Но, согласно аксиоме объемности, любые два
класса, состоящие из одних и тех же членов, как раз совпадают
так, что этой аксиомой пришлось бы в таком случае
пожертвовать. Это, однако, привело бы к целому ряду последствий,
о которых мы пока подробно говорить не будем1).
§ 6. Система Σ Хао Вана
Разветвленная теория типов, усиленная аксиомой
сводимости, никогда не пользовалась особой популярностью; ныне же
вообще принято считать, что она зашла в тупик. Разветвленная
теория типов как таковая переживает, по-видимому, вторую
молодость благодаря усилиям таких талантливых логиков, как
Хао Ван и Лоренцен. Привлекательность разветвленной теории
обусловлена не столько тем, что в ней устраняются
семантические антиномии (этого можно добиться и более просто, с
помощью обрисованного выше метода языковой иерархии),
сколько ее связью с «конструктивистской» философией математики.
х) Ср. ниже, стр. 230—231. Ситуация, связанная с аксиомой сводимости,
до сих пор не ясна. Возражения Рамсея, Вайсмана и других авторов, согласно
которым эта аксиома носит скорее эмпирический, нежели логический,
характер, а потому если и истинна, то лишь фактически, так сказать, в силу
благоприятного стечения обстоятельств (вспомним, что подобной же критике
подвергалась аксиома бесконечности; см. ниже, стр. 202—203), представляются
малообоснованными. По существу, аксиома сводимости несравненно слабее
неограниченной аксиомы свертывания идеального исчисления; последняя,
однако, отвергается интуиционистами и прочими конструктивистами не потому,
что они считают ее эмпирически ложной или сомнительной, а потому, что ее
принятие несовместимо с конструктивным подходом. Для платониста аксиома
сводимости представляется не менее логической, чем аксиома свертывания;
если он и отвергает одну из этих аксиом или обе, то просто из-за того, что
содержащая их логическая система противоречива или не пригодна в каком-
либо другом отношении. Логический характер («аналитичность») аксиомы
сводимости нетрудно показать в подходящем метаязыке; см. особенно Куайн,
36а; Копи, 50; Чёрч, 51; Копи, 54 (Добавление В), и Чёрч, 56, стр. 354—356
[стр. 338—339 русск. изд. — Перев].
Вообще, как многие считают, выбор в действительности следует делать
между простой теорией типов, приходящейся по вкусу платонисту, и
устраивающей конструктивиста разветвленной теорией типов без аксиомы
сводимости. Конструктивист должен в таком случае выбирать между «героическим»
(или, скорее, «донкихотским») направлением, которого в двадцатые годы
придерживался Хвистек, допуская, например, лишь конечные типы и принося
поэтому в жертву значительные части классического анализа, или же иметь
дело с типами трансфинитных порядков, как это делают Хао Ван и Лоренцен
(о чем будет рассказано в следующих параграфах).

190
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
Отложим пока обсуждение философских вопросов и обратимся
к описанию одной системы, целью которой является сохранение
желательных особенностей разветвленной теории типов, но
которая была бы избавлена от ее неприятных черт без обращения
к таким сомнительным средствам, как аксиома сводимости.
Важнейшая особенность этой системы состоит в том, что в ней
снова можно достаточно свободно пользоваться такими
выражениями, как 'для всех действительных чисел' (вместо
неуклюжего 'для всех действительных чисел порядка V). Система, к
описанию которой мы переходим, — система Σ Хао Вана —
описана пока лишь в самых общих чертах1) (более полный вариант
обещан в ближайшее время), но уже этот набросок выглядит
настолько интересным, что стоит хотя бы краткого обсуждения.
Иерархия объектов в Σ во многих отношениях отличается от
принятой в RT. Прежде всего, неизящная двумерная
расстановка объектов RT заменяется одномерной, в которой
различение уровней и порядков умело сочетается с допущением
«смешения типов». Самый низший (или нулевой) слой {layer) (мы
будем пользоваться этим термином вместо принятого Хао Ваном
термина 'порядок' (order), чтобы не путать его с «порядками»
RT) состоит из некоторой счетной совокупности объектов (в
качестве которой можно, например, взять целые положительные
числа или все конечные множества, построенные исходя из
пустого мйожества; см. стр. 109). Первый слой содержит все
объекты нулевого слоя и сверх того все множества таких объектов,
соответствующие условиям, не содержащим связанных
переменных, в область изменения которых входят объекты первого и
более высоких слоев. Вообще (п+ 1)-й слой состоит из всех
объектов п-то слоя и всех множеств таких объектов, определяемых
условиями, область изменения связанных переменных которых
состоит из объектов самое большее п-то слоя. Здесь налицо
сочетание концепции накапливающихся (cumulative) слоев2),
согласно которой все объекты некоторого слоя входят также и во
все слои с большими номерами (довольно серьезное отклонение
от более привычной концепции взаимоисключающих (exclusive)
слоев) со строгим воплощением принципа порочного круга3),
согласно которому никакой объект, определяемый посредством
условия, относящегося к какой-либо совокупности, не может
принадлежать этой совокупности4). Для любых двух объектов, та-
!) Хао Ван, 54.
2) Концепция накапливающихся слоев не есть изобретение Хао Вана;
ср., например, Куайн, 53, стр. 123.
3) В работе Гёделя, 44, стр. 133 и ел., имеется весьма глубокое
обсуждение этого принципа.
4) Если, конечно, этот объект создается данным определением. —
Прим. ред.

§ 6. Система 2 Хао Вана
191
ким образом, существует некоторый слой (а следовательно, и
бесконечно много слоев), которому они оба принадлежат; в то
же время самые низшие слои, которым принадлежит каждый
из объектов, могут быть, конечно, различными.
Во-вторых, иерархия слоев продолжается за пределы
конечных порядковых чисел1). Так, слой ω есть объединение всех
конечных слоев, а слой ω+l содержит, кроме того, множества,
определяемые посредством условий, в область изменения
связанных переменных которых входят объекты слоев не выше ω.
Попытки расширить иерархию типов за пределы конечных
порядковых чисел предпринимались и ранее2), но лишь в
системе Хао Вана эта идея реализована в полной мере. Хотя
в этой системе еще не восстановлена полностью наивная
свобода выражений, — поскольку выражения, соответствующие 'для
всех действительных чисел', пока не восстановлены в правах, —
мы уже имеем право пользоваться выражением 'для всех
действительных чисел конечных слоев' — впрочем, только в
частичных системах, начиная с Σω+1> имеющей дело с объектами слоя
ω, но не в системах с меньшими индексами. То, что это
действительно далеко идущее усовершенствование, можно усмотреть,
например, из того обстоятельства, что наименьшая верхняя
грань какого-либо множества действительных чисел,
принадлежащих слою л, есть, вообще говоря, объект, принадлежащий
слою л+1, а следовательно, согласно принципу порочного круга
и концепции взаимоисключающих слоев, отличающийся от всех
этих чисел; в системе же Хао Вана исходные действительные
числа и верхняя грань их множества как раз принадлежат
некоторому общему слою, и даже всем слоям начиная с п+1.
Это дает возможность доказать теорему о наименьшей верхней
грани способом, довольно близким к традиционному. То же
можно сказать и о других основных теоремах анализа, например
о теоремах Больцано — Вейерштрасса и Гейне — Бореля,
представлявших серьезные препятствия для конструктивистской
перестройки анализа.
Хао Ван строит также объединение Σ всех частичных систем
Σα, где α есть произвольное «конструктивное» порядковое число
второго числового класса; эта процедура, однако, выдвигает
многочисленные спорные вопросы, связанные как с точной
характеристикой термина 'конструктивный' в этом контексте, так и
с законностью этой процедуры в принципе; мы не будем
обсуждать здесь эти вопросы. Так или иначе, ясно (и это признает
1) Уайтхэд и Рассел решительно отвергают эту процедуру; впрочем, их
доводы не слишком убедительны; см. ΡΜτ, стр. 53.
2) См , например, Л'Аббе, 53, особенно подстрочные примечания 2, 3, 4
и 15, содержащие ссылки на соответствующую литературу.

192
Гл. Ill Теоретико-типовые подходы
Хао Ван), что сама система Σ уже не является формальной
системой в том смысле, в каком таковыми являются системы Σα.
С учетом этой оговорки опишем теперь в общих чертах
строение Σ. В основе этой системы лежит узкое функциональное
исчисление для объектов любого слоя. По-видимому, Хао Ван
склонен трактовать все объекты как множества (как в
аксиоматизации гл. II), поскольку он определяет тождество в
терминах равнообъемности. (Возможно, впрочем, что он имеет в виду
и использование описанных выше рассмотрений Куайна.)
Принцип Лейбница — в подходящей форме — принимается в этом
случае в качестве аксиомы. Хао Ван утверждает, что все
множества слоя α пересчитываются при помощи некоторой функции
Еа (т. е. некоторого отношения, а следовательно, и некоторого
множества; ср. стр. 166) слоя а + 2, что в Σα+2 можно
сформулировать определение истинности для системы Σα и доказать ее
непротиворечивость1). (Переход к а + 2 обусловлен тем, что
множества, необходимые для этих определений и доказательств,
соответствуют формулам, в которые входят связанные
переменные, пробегающие объекты слоя а+1.) Все множества любой
подсистемы Σα системы Σ поэтому перечислимы в некоторой
другой подсистеме Σ; непротиворечивость каждой подсистемы Σ
также доказуема в некоторой другой подсистеме, а
следовательно (в смысле, не представляющемся пока вполне ясным),
все множества Σ перечислимы в Σ, а непротиворечивость Σ
доказуема в самой Σ. Метод Гёделя построения
неразрешимых предложений (см. гл. V) неприложим непосредственно
к Σ. Все это достигается с помощью весьма сильных
аксиом ограничения {axioms of limitations)2), действие которых
сводится к тому, что в Σ нет никаких объектов, кроме тех,
которые перечисляются функциями Еа. Поскольку функции £а,
перечисляющие все объекты слоя а, в то же время вполне
упорядочивают их, в Σ доказуемы некоторые теоремы,
соответствующие аксиоме выбора. Континуум-гипотеза ни в коем случае не
независима в Σ от остальных аксиом — она становится либо
доказуемой, либо опровержимой в зависимости от того,
определяется ли эквивалентность множеств слоя а существованием
отображения или взаимно однозначного соответствия (ср. Г,
*) О доказательствах относительной непротиворечивости, связанных
с определениями истинности, см. гл. V, § 4. — Прим. перев.
2) Употребление этого термина, уже встречавшегося выше (гл. II) при
описании систем Ζ (в предварительных рассуждениях по поводу аксиомы
фундирования) фон Неймана, Бернайса ('axiom of restriction') и Гёделя,
свидетельствует, конечно, не о совпадении (или хотя бы сходстве)
обсуждаемых аксиом, а об общности их назначения, состоящего в разумном
ограничении предметных областей (универсумов, «миров») — Прим. перев.

§ 6. Система Σ Хао Вана
193
стр. 31)между этими множествами в Σα+2 (или в подсистемах
более высоких слоев), либо же в самой Σα.
Окончательное суждение о системе Σ, пожалуй, стоит
отложить до той поры, когда мы будем располагать ее более
подробным и строгим описанием. Но самостоятельный интерес
представляет частичная система Σω+1. Эта система выглядит
довольно обещающей. Правда, Σω+1 лишена многих
соблазнительных (но вместе с тем, возможно, и уязвимых) черт системы
Σ (речь идет о том, что в Σ осуществимо доказательство ее
собственной непротиворечивости, в силу чего к ней неприложима
гёделевская схема рассуждений о непополнимости, а также о
том обстоятельстве, что все множества Σ — по крайней мере
с точки зрения некоторых мыслителей — перечислимы). Зато
Σω^, по-видимому, может служить вполне удовлетворительной
основой обширных частей анализа, причем дополнительные
главы анализа удается построить, скажем, в \2+1 или в Σωω+1.
Σω, грубо говоря, эквивалентна разветвленному исчислению
классов (без аксиомы сводимости) 1)\ к тому же средства Σ
не вполне достаточны для того, чтобы выразить с их помощью
такие важные понятия, как 'для всех действительных чисел
конечного порядка'. Система же Σω+1, располагающая связанными
переменными, пробегающими все объекты слоя ω, τ. е. все
объекты любого конечного слоя, уже позволяет формулировать
такие выражения, благодаря чему открываются возможности
использования тех методов, для беспрепятственного применения
которых и вводилась аксиома сводимости. Но аксиома
сводимости сводит на нет конструктивный характер разветвленного
исчисления классов; в Σω+1 же эта конструктивность полностью
сохраняется, что и позволяет Хао Вану предложить план
теоретико-модельного доказательства непротиворечивости этой
системы— доказательства, подобного тому, что было дано Фит-
чем2) для разветвленного исчисления классов. Кстати, Хао Ван
утверждает, что он владеет метаматематическим 3)
доказательством непротиворечивости Σω+1 (и вообще любой частичной
системы Σα) и что доказательство это аналогично
доказательствам непротиворечивости разветвленного исчисления классов,
данным Лоренценом и Шютте2).
1) Поскольку она по существу эквиполлентна системе Ιω Куайна, 53,
стр. 124 и ел.
2) См. подстрочное примечание 1 на стр. 188.
3) Буквально — теоретико-доказательственным (proof-theoretic(al)). —
Прим. перев.
13 Зак. 1765

194
Гл. ///. Теоретико-типовые подходы
Обратимся теперь к одному бросающемуся в глаза
недостатку Σω+1 (и Σ), если это только действительно недостаток:
в этих системах не имеет места теорема Кантора (Г, стр. 94),
согласно которой, в частности, множество-степень любого
счетного множества содержит абсолютно больше членов, чем само
это множество. Здесь мы, напротив, видим, что любое
бесконечное множество оказывается перечислимым в некоторой
подходящей подсистеме системы Σ. В результате отказа от некоторых
формул, играющих решающую роль в доказательстве теоремы
Кантора, вся та часть канторовской теории, в которой
допускается рассмотрение несчетных множеств, остается за бортом,
в то же время здесь, возможно, сохраняется канторовская
теория трансфинитных порядковых чисел, по крайней мере чисел
второго числового класса (в той мере, в какой они
«конструктивны»). Впрочем, число математиков и логиков, не
считающих эту потерю серьезной и готовых даже радоваться ей, как
лишнему подтверждению своей конструктивистской интуиции,
уже довольно велико и, по-видимому, все время растет. Если
ради сохранения прочного фундамента математикам
приходится отказываться лишь от небольшой частицы канторовского рая,
то многие мыслители не сочтут эту цену непомерно высокой *).
§ 7. Оперативная 2) система Лоренцена
По-видимому, на подход Хао Вана сильное влияние оказал
Лоренцен, в серии статей которого3) развита самостоятельная
разновидность конструктивизма в основаниях математики.
Наиболее полно идеи Лоренцена изложены пока в книге Einfuhrung
in die operative Logik and Mathematik4), опубликованной в
1955 г. Как видно из этого названия, вместо термина
'конструктивистский', которым раньше пользовался Лоренцен, он теперь
предпочитает употреблять эпитет 'оперативный' (operationist) 5).
Это больше, чем просто терминологический вопрос. Лоренцен
считает, что термин 'конструктивистский' в математике надо
1) Хорошее полуформальное описание системы Хао Вана дал ЦЬегмюл-
лер, 56—57, стр. 66 и ел.
2) В оригинале 'operaiionisf. — Прим. перев.
3) Лоренцен, 50, 51, 51а, 51Ь, 53, 54.
4) Лоренцен, 55; ср. также 55а, 56, 57, и Гермес, 56, стр. 67 и ел.
5i В оригинале эта фраза заканчивается замечанием, что этот термин —
«пожалуй, наиболее адекватный английский перевод немецкого термина
'operative', при переводе на русский язык мы, естественно, во всех случаях
старались возможно точнее следовать оригинальным терминам, а не их
английским эквивалентам, чем (а также традициями обсуждений на семинарах)у
и обусловлен выбор русского термина 'оперативный' (а не 'операциоиист-
ский']). — Прим. перев.

§ 7. Оперативная система Лоренцена
195
резервировать для обозначения тех методологических позиций,
согласно которым математические исследования следует строго
ограничивать рамками эффективно вычислимых или
эффективно описуемых понятий, в то время как термин 'оперативный'
указывает скорее на то, что исследуемые объекты суть
схематические операции. (Налицо, таким образом, связь с
«операциональной» (operational) методологией Бриджмена 1) и весьма
тесная близость к взглядам Динглера2).)
Прежде чем говорить о взглядах Лоренцена, мы изложили
точку зрения Хао Вана; дело в том, что основные философские
предпосылки Лоренцена кажутся нам пока не вполне ясными,
во всяком случае, менее ясными, чем у Хао Вана. Надеемся,
однако, что наиболее существенные пункты лоренценовской
доктрины прояснятся в результате нижеследующего описания.
По Лоренцену, главный (хотя и не единственный) предмет
математики есть рассмотрение различных исчислений (это не
следует путать с решительно отвергаемым Лоренценом
утверждением о том, что математика сама есть исчисление); при этом
исчисление понимается как некоторая система правил, по
которым производятся схематические операции с комбинациями
знаков 3), причем вовсе не обязательно со знаками на бумаге — в той
же мере под знаками можно понимать какие-нибудь костяшки 4)
(счеты) 5) или любые другие физические объекты. К этому
уточнению предмета математики, и притом лишь в слабой связи
с ним, Лоренцен добавляет соглашение о том, что рамки
математических методов должны быть настолько широкими,
насколько это совместно с conditio sine qua поп6), состоящим
в определенности всех математических предложений. Поскольку
Лоренцен, обнаруживающий в этом пункте известную близость
к интуиционистскому образу мыслей (гл. IV), очень мало
заботится о точной формализации, настаивая на том, что уточнение
никоим образом не надо отождествлять с аксиоматизацией или
формализацией, точный смысл основного для него термина
'определенный' не совсем ясен. Разумеется, он не имеет ничего об*
щего с употреблением Цермело термина 'определенный' (стр.
56—58); очевидно также, что Лоренцен понимает этот термин
шире, чем Карнап7). Для Карнапа предложение, содержащее
1) *Бриджмен, 1.
2) *Динглер, 2, 7.
3) В оригинале просто 'figures'. — Прим. перев.
4) В оригинале 'pebbles' (камешки) — Прим. перев
5) В оригинале игра слов, 'calculi' означает и 'камешки' (костяшки,
счеты) и 'исчисления' — Прим перев
6) Непременным условием (лат.). — Прим. перев.
7) О подробностях см. Карнап, 37, стр. 45, а также стр. 160 и ел,
13*

we
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
регулярный (неограниченный) квантор, например 1(Ах)Р(х)\
является неопределенным; неопределенным по Карнапу
считается и язык, правилами образования которого такие
последовательности знаков допускаются в качестве правильно
построенных формул. В лоренценовском же смысле такое предложение
будет определенным (точнее, опровергаемо-определенным
(reputation-definite) (wiederlegungsdefinit), если только 'F(x)'
есть определенное предложение, коль скоро i(Ax)F(x)i можно
опровергнуть, выведя пример *~F(x)'l); «быть выводом» есть
определенная характеристика, ибо задача установления того,
является ля какая-либо последовательность выражений
выводом, разрешима посредством схематических операций, приложи-
мых к этим выражениям.
Таким образом, система Лоренцена гораздо либеральнее
конструктивистских систем строгого толка, в которых либо
совсем нет кванторов2), либо в крайнем случае имеются только
ограниченные (limited) кванторы3); в системах такого рода
предложения, подвергнутые квантификации4) с некоторой
постоянной границей, эквиполлентны соответственно конечным
конъюнкциям или дизъюнкциям. При всем этом в системе
Лоренцена не допускается непредикативное образование
понятий. Связанные с этим ограничения преодолеваются, как и у
Хао Вана, использованием трансфинитных слоев. Лоренцен,
однако, смог значительно тщательнее обосновать свои надежды на
то, что почти весь классический анализ по существу останется в
неприкосновенности, хотя некоторые изменения в
формулировках еще могут потребоваться. Абсолютно несчетных множеств
теперь уже, конечно, нет; в таких областях математики, как
топология или теория интегрирования (простейшим примером
служит лебеговская теория меры), где существеннейшую роль
играет, по-видимому, противопоставление счетного и несчетного,
эту роль может вполне удовлетворительно сыграть
противопоставление первичного и вторичного: множество называется
первичным (primary), если оно принадлежит слою, индекс которого
меньше некоторого произвольного5) предельного числа θι, и
вторичным (secondary), если индекс самого низшего слоя, в
который оно входит, больше θι, но меньше некоторого другого фи-
1) То есть '~F(ty для какого-либо конкретного терма t (не
переменной); в оригинале, по-видимому, описка: просто Ψ(χ)'. — Прим. перев.
2) Такие системы особенно отстаивал Сколем; см. гл. V.
3) То есть кванторы вида 'для всех [некоторых] х, вплоть до у\ По
поводу теории обобщенного понятия ограниченной квантификации см
Гальперин, 57.
4) (Все)общности и существования. — Прим. перев.
51 Но, разумеется, фиксированного. — Прим. перев.

§ 8. Логицистический тезис
197
ксированного (не вызывающего сомнений, т. е.
«конструктивного») предельного числа 02- Впрочем, если бы и оказалось, что
некоторые из классических теорем не удается воспроизвести на
оперативной основе, стоило бы серьезно прислушаться к словам
Сколема: «Я не считаю священным все написанное в
традиционных учебниках».
Логика, имеющая дело со схематическими1) операциями,
оказывается интуиционистской логикой (гл. IV), в которой,
вообще говоря, принцип tertium поп datur места не имеет.
Добавляя этот принцип к эффективному функциональному
исчислению, Лоренцен получает «фиктивное» (fictional)
функциональное исчисление, соответствующее классической логике
предикатов2). Для обоснования этого перехода Лоренцен
пользуется аргументацией, весьма близкой к идеям ван Данцига,
относящимся к так называемым устойчивым {stable)
предложениям (гл. IV, стр. 285).
Хао Ван и Лоренцен исходили из совершенно различных
предпосылок: первый исходил из традиции Рассела — Цермело,
второй — из некоего конструктивистского гильбертизма (гл. V);
в результате же они пришли к системам, имеющим
чрезвычайно много общего. Это обстоятельство не может не привлечь
вновь внимания к этим усовершенствованным разновидностям
разветвленной теории типов, не подверженным прежним
критическим нападкам.
§ 8. Логицистический тезис
Если исходить из того, что математики и логики говорят о
проблеме надежного обоснования теории множеств, то можно
было бы подумать, что всякого рода метафизические
рассмотрения не имеют отношения к этой проблеме. В действительности
дело обстоит далеко не так. Остановимся на этом подробнее.
Разумеется, метафизические убеждения не сказываются на
приложениях математики к научным и техническим вопросам
(если не считать, быть может, самых заядлых интуиционистов).
Никакой руководитель исследовательских работ какой-либо
промышленной компании не станет интересоваться
метафизическими воззрениями поступающего к нему на работу
математика. Между такого рода воззрениями и действиями, в которых
заинтересован руководитель, не усматривается никакой связи.
1) Этот неоднократно повторяющийся эпитет во всех аналогичных
контекстах следует понимать как синоним эпитетов 'формальная',
'безотносительная к смыслу' и т. п. — Прим. перев.
21 В оригинале 'classical functional logic'. — Прим. перев.

198
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
В поисках решения какой-либо конкретной системы
дифференциальных уравнений все математики мирно объединяются, что
не мешает им яростно спорить за чашкой чаю о «природе
математики». Эти банальные замечания несут в себе отнюдь не
пренебрежительное отношение к дискуссиям о природе математики
(вся эта книга посвящена обсуждению одного из аспектов этой
проблемы), а лишь желание поставить эти дискуссии на
надлежащее место.
Большинство современных мыслителей (хотя отнюдь не
все1)) согласны в том, что есть по крайней мере два
различных сорта истинных научных предложений: с одной стороны,
эмпирические истины и, с другой — математические и
логические. Мы будем здесь исходить из такой позиции как само
собой разумеющейся и рассмотрим лишь вопрос о соотношении
между множеством логических истин и множеством
математических истин. Любые два множества находятся между собой в
одном и только одном из пяти основных отношений. Поэтому
по вопросу об отношении между двумя указанными
множествами предложений теоретически возможны пять точек зрения,
согласно которым соответственно: 1) эти множества совпадают;
2) множество математических истин есть собственное
подмножество множества логических истин; 3) множество логических
истин есть собственное подмножество множества
математических истин; 4) множества эти не пересекаются; 5) множества
частично перекрываются. Кроме того, можно, конечно, не
связывать себя так сильно и считать выражением своей позиции
любую дизъюнкцию не более четырех из названных тезисов.
Просматривая литературу, можно действительно
обнаружить изложения каждой из этих пяти основных точек зрения,
а также многие их дизъюнкции, если исходить из буквального
смысла изложенного. Это, однако, могло бы, пожалуй, повести
к недоразумениям, поскольку термины 'логический' и
'математический' разными авторами (а иногда и одним автором в разных
работах) употребляются в различных (подчас очень
существенно различных) смыслах; поэтому часто бывает
чрезвычайно затруднительно усмотреть разницу между словесным и
действительным расхождением или решить, что согласие на словах
свидетельствует о согласии по существу.
Нам приходится говорить обо всем этом, поскольку
теоретико-типовой подход к обоснованию теории множеств,
различным разновидностям которого посвящена эта глава, часто ото-
1) Убедительное изложение взглядов этого меньшинства см. у Куайна,
53, особенно статью II; ср. также замечания о сигнифике в гл. IV (стр. 249—
250)..

§ 8. Логицистический тезис
199
ждествляли с логицистическим подходом к обоснованию мате*
матики, т. е. с тезисом, согласно которому математические
истины составляют собственное подмножество логических истин.
Это отождествление, однако, основано на недоразумении,
обусловленном не чем иным, как тем обстоятельством, что
создатель теории типов и крупнейший логицист нашего времени есть
одно и то же лицо — Бертран Рассел. Фактически же логицизм
был создан еще Фреге задолго до возникновения теории типов;
с другой стороны, теперь имеются многочисленные
формулировки теоретико-типовых систем, не предполагающие принятия
логицистического тезиса. Переходим к изложению этого тезиса.
Последняя четверть XIX века была свидетельницей триумфа
так называемой арифметизации математики. Точнее, различные
виды чисел, вплоть до комплексных и далее, были определены
(хотя подчас и довольно сложно) в терминах натуральных
чисел и операций над ними. Почти все математики были
удовлетворены этими достижениями, и любые попытки дальнейшего
сведения натуральных чисел к каким-либо иным сущностям или
вывода арифметических теорем из теорем иного класса
встречались крайне настороженно1). Однако Фреге без особого труда
показал2), что все принятые в его время интерпретации
исчисления натуральных чисел являются грубо
неудовлетворительными; надежды же математиков на использование неинтерпре-
тируемого исчисления не следует принимать всерьез, поскольку
есть контексты, в которых числовые знаки должны непременно
трактоваться как интерпретированные, например во фразе
«каждое квадратное уравнение имеет в точности два корня». В
интерпретации Фреге натуральные числа были кардинальными
числами [Anzahlen] некоторых понятий, причем 'кардинальное
число понятия Fy определялось как сокращение для 'объема
понятия, равночисленного с понятием F; наконец, предложение
'понятие G равночисленно с понятием F' рассматривалось как
сокращение для 'существует взаимно однозначное соответствие
между объектами, подпадающими под понятие F, и объектами,
подпадающими под понятие G\ Фреге удалось показать, что это
последнее выражение можно свести к чисто логическим
выражениям. С бесконечными предосторожностями и скрупулезностью,
применяя причудливый геометрический символизм, Фреге
определял один основной арифметический термин за другим и,
*) Вспомним известное изречение Кронекера: «Die ganzen Zahlen hat der
Hebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk» («Целые числа создал
Господь Бог, все остальное — творение человека»); ср. стр. 293.
2) В своем замечательном сочинении (Фреге, 1894). Однако по крайней
мере до конца столетия он испытывал явный антагонизм со стороны боль*
шинства математиков.

200
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
оперируя по ходу дела этими терминами, доказывал основные
арифметические теоремы, связывающие эти термины. Для этой
цели он почти заново построил формальную логику, дал первую
полную систему аксиом пропозиционального исчисления и
значительно расширил функциональное исчисление.
Даже если бы Фреге достиг полного успеха в редукции
арифметики к логике, — чего, однако, не произошло из-за
появления антиномий в его системе1), — это не означало бы еще,
что весь анализ сведен к логике, хотя арифметизация анализа
и была завершена. Это часто недостаточно понимают и по сей
день, и это недостаточно понимал сам Фреге. Дело в том, что
эта арифметизация означает редукцию к «целым числам и
конечным или бесконечным системам целых чисел» (по
цитированному выше2) выражению Пуанкаре), т. е. не только к самим
по себе целым числам, но и к тому, что мы теперь обычно
называем множествами целых чисел. Поэтому редукцию можно
было бы считать окончательной лишь в том случае, если бы к
логике, помимо арифметики, была «сведена» также общая
теория множеств или хотя бы теория множеств целых чисел и,
пожалуй, множеств множеств целых чисел и т. д.3) Этого,
однако, Фреге никогда не проделал и не пытался проделать. Этот
действительно завершающий шаг был предпринят лишь
Расселом (и Уайтхэдом). Рассматривая канторовскую теорию
множеств с целью свести ее к логике, Рассел столкнулся с
антиномией, названной впоследствии его именем. Это побудило его
к пересмотру взглядов на логику, которую он
переформулировал заново в виде разветвленной теории типов. Таким
образом, в историческом плане теория типов явилась случайным
побочным продуктом попытки осуществления логицистического
тезиса; систематическая же связь между ними очень слаба. Во
многих распространенных вариантах теории типов, предложенных
Гёделем, Тарским, Карнапом и другими, логицистический тезис
отброшен — логика и арифметика строятся одновременно.
Мы уже говорили о том, что обычные формулировки
логицистического тезиса далеко не точны и не могут считаться
общепринятыми. Достаточно точной представляется, например,
следующая формулировка: все специальные математические
термины определимы на базе логического словаря, а для
доказательства любых математических теорем не требуется
никаких аксиом, кроме логических, и никаких правил вывода,
помимо тех, что приняты в логике. Однако тезис этот далеко не
1) См. выше, стр. 13.
2) Стр. 27.
3) Это обстоятельство отметил Хао Ван, 54, стр. 242.

§ 8. Логицистический тезис
201
столь точен, как это кажется на первый взгляд. По поводу
значения большей части терминов, входящих в приведенную
формулировку тезиса, нет никаких общепризнанных
соглашений; это касается, в частности, терминов 'логика', 'логические
аксиомы', 'правила вывода' и 'логический словарь'. В
зависимости от конкретных интерпретаций этих терминов, так же как
и от уточнения самого термина 'математика' (например, от того,
причисляется ли к математике геометрия, что в свою очередь
зависит от понимания термина 'геометрия'), логицистический
тезис охватывает широкую гамму: от не представляющих
никакого интереса трюизмов до благочестивых, но неясных в своей
основе упований и почти заведомо ложных утверждений.
Мы не собираемся рассматривать здесь проблему
взаимоотношения логики и математики во всей ее общности. (См. также
гл. IV.) Ограничимся пока лишь теорией множеств. К
сожалению, это почти* не сужает нашу задачу, и она от этого не
упрощается. Никоим образом нельзя сказать, что мы владеем ясным
пониманием, что такое логика, с одной стороны, и что такое
теория множеств — с другой; пониманием, которое обеспечивало
бы возможность беспристрастного, хотя, возможно, и очень
трудного, исследования их взаимоотношения. Напротив,
различные априорные трактовки этого взаимоотношения оказывают
влияние на трактовку самих этих дисциплин. Все это создает
единый, чрезвычайно запутанный клубок проблем, задача
распутывания которого представляется воистину грандиозной.
Аксиоматический подход к теории множеств, явившийся
предметом рассмотрения гл. II, по существу нейтрален по
отношению к поставленной здесь проблеме. Строить теорию
множеств (или, если угодно, любую теорию) как неинтерпретиро-
ванную аксиоматическую систему, основанную на некотором
более или менее узком или широком фрагменте логики, — в гл. II
в качестве такого фрагмента было взято функциональное
исчисление первого порядка (без равенства)—значит, по
определению, что вопрос об интерпретации такой системы аксиом на этой
стадии не ставится. При этом отнюдь не исключается, что
одна из возможных интерпретаций могла бы быть логической в
том смысле, что исходные термины этой системы аксиом (для
большей части обсуждавшихся в гл. II систем речь шла об ' £ ')
были бы определены в терминах словаря того фрагмента
логики, который лежит в основе системы, либо какого-нибудь
более обширного фрагмента логики, таким образом, что аксиомы
оказались бы логическими теоремами. Конечно, тот, кто твердо
верит в существование такой логической интерпретации и не
верит к тому же в наличие других плодотворных
интерпретаций, может считать построение не зависящей от такой интерпре-

202
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
тации системы аксиом пустой тратой времени и предпочесть с
самого начала представлять свою теорию в качестве части
логики. Именно так поступали Фреге, Рассел и многие другие
после них. Интерпретируя '£' как обозначение принадлежности
классу (рассматриваемую ими как логическое понятие, хотя,
быть может, и принадлежащее некоторой «высшей» части
логики), они с самого начала отождествляли (математическую)
теорию множеств с (логической) теорией классов.
Такое отождествление наталкивается, однако, на известные
трудности. (Возникают они лишь тогда, когда приходится
покидать царство конечных множеств; поэтому эти трудности в
гораздо большей степени занимали Рассела, вознамерившегося
перестроить всю теорию множеств — в полном канторовском
объеме — как часть логики, нежели Фреге, который, будучи
современником Кантора, интересовался теорией множеств в
основном постольку, поскольку это было необходимо для
арифметики натуральных чисел.) После такого отождествления
большая часть аксиом Ζ легко доказуема в логике; аналоги же
аксиомы бесконечности и аксиомы выбора в РМ доказать не
удается. Это непосредственно очевидно в отношении аналогов
двух разновидностей аксиомы бесконечности Ζ—в их
формулировке нарушено принятое в РМ правило типов, согласно
которому принадлежность любому классу должна обладать
свойством однородности1), тогда как принадлежность классам,
существование которых утверждается этими аксиомами,
неоднородна2). Но добиться того, чтобы какое-нибудь предложение,
утверждающее счетную бесконечность индивидов (т. е.
предметов, принадлежащих наинизшему уровню), было выводимо
из аксиом РМ, не удается. Для каждого предложения,
доказуемого с помощью логических аксиом и аксиомы
бесконечности, в самой логике выводима теорема вида импликации,
антецедент которой есть эта аксиома, а консеквент — данное
предложение. Поэтому для тех математических теорем Г,
доказательство которых требует аксиомы бесконечности Axlnf, Уайт-
хэд и Рассел смогли доказать не сами по себе Г, а только
импликацию Axlnf =э Г. Но это, конечно, значит, что ни для какой
такой математической теоремы Τ нельзя показать, что она
является теоремой логики, пока Axlnf не взята в качестве
аксиомы логики. Авторы РМ, однако, пошли на это весьма
неохотно, поскольку утверждение этой аксиомы, т. е.
существование бесконечного числа индивидов, безусловно, выглядит
фактическим, причем настолько, что сомнение вызывает не только
1) См. выше, § 2 (стр. 175 и сноску на стр. 177). — Прим. перев.
2) См. выше, стр. 107—109. — Прим. перев.

§ 8. Логицистический тезис 203
логический ее характер, но и вообще истинность этой аксиомы:
из конечного или бесконечного числа неделимых частиц состоит
универсум (ясно, что при интерпретации системы РМ эти
частицы можно принять за «индивиды» РМ) —это, по-видимому,
такой вопрос, на который если вообще и можно ответить, то лишь
на основании данных физики, хотя сама Axlnf сформулирована
исключительно в логических терминах. Это положение вещей,
смущавшее и самих авторов РМ, было причиной того, что
другие исследователи отвергли такую «редукцию» математики к
логике.
В связи с аксиомой выбора, или — как назвал Рассел один
из ее вариантов — мультипликативной аксиомой (см. стр. 65),
которую мы будем сокращенно называть MultAx, возникает
несколько иная, но внушающая не меньшее беспокойство
ситуация. Существенные части высших разделов классической
математики требуют применения MultAx. Но авторы РМ сами не
были склонны трактовать эту аксиому (вместе с другими
логическими аксиомами) как логическую истину. Присущее им
интуитивное понимание того, что такое логическая истинность, не
позволило им прийти ни к какому удовлетворительному, с их
точки зрения, заключению ни об истинности, ни о ложности
MultAx. Опасаясь, что может обнаружиться ложность
MultAx, они довольствовались тем, что и здесь для тех
классических теорем Г, в доказательствах которых обычно
используется MultAx, доказывали MultAx:=>7\ Рассел и Уайтхэд
сравнивали возникшую ситуацию с той, в какой оказалась геометрия
в связи с аксиомой параллельных; сомнительно, однако, что эта
аналогия проводилась серьезно: если бы кто-либо и смог
показать, что MultAx совершенно независима от других
логических аксиом, т. е. что ни она сама, ни ее отрицание не выводимы
из них, то сами авторы РМ в своем интуитивном понимании
логической истинности были бы скорее склонны к некоторой
натяжке (понимание это никогда не было признано вполне
определенным1)), позволяющей включить в сферу этого
понимания саму MultAx, но не ее отрицание. Во всяком случае,
никаких попыток строить математику в предположении
истинности отрицания MultAx (аналогичных построению неевклидовой
геометрии) ими предпринято не было.
Но возникающая в связи с MultAx ситуация представляется
более чем сомнительной, пожалуй, не столько в вопросе о
сводимости математики к логике, сколько в вопросе об адекватности,
надежности и ясности нашей логической интуиции. В
формулировке этой аксиомы нет, конечно, ничего специфически матема-
х\ См., например, *Рассел, 5, стр. 205.

20^ Гл. III. Теоретико-типовые подходы
тического. Нужно или возможно ли принять ее в качестве аксиомы
или, быть может, отвергнуть (при условии, что независимость ее
от других аксиом можно доказать или хотя бы допустить1)) —
это спорный вопрос, относящийся к философии логики, и
разобраться во всех его тонкостях невозможно без подробного
обсуждения проблем этой области, а это лежит за пределами наших
теперешних возможностей.
Итак, единственным действительно серьезным уязвимым
местом тезиса Фреге — Рассела является, по-видимому,
сомнительная роль, в которой оказывается — если следовать
подразумеваемой ими интерпретации — Axlnf. По является ли эта
интерпретация, согласно которой индивиды суть некоторые реальные
сущности (частицы, события и т. п.), неотъемлемой частью ло-
гицистического тезиса? Это еще один спорный вопрос, при
обсуждении которого очень трудно выбраться из словесного лабиринта.
Известны, однако, логические системы, в рамках которых —
независимо от того, являются ли они существенным отходом ог
логицистического тезиса или же осуществляют несущественную
его переинтерпретацию, — вместе и одновременно строится
арифметика и логика (выражение 'редукция математики к
логике' могло бы быть отнесено к такому построению лишь с
известной натяжкой), благодаря чему вся эта неприятная
проблематика, связанная со статусом Axlnf в РМ, остается в стороне.
Системы эти (пожалуй, самая известная из них —
упомянутая выше (стр. 186) система Гёделя Р) формулируются на
языках, которые можно было бы, следуя Карнапу, назвать
координатными языками {coordinate-languages)2). В таких
языках в отличие от более привычных именных языков {name-
languages) объекты, составляющие основную область,
обозначаются не непосредственно некоторыми собственными именами,
а косвенно — при помощи систематически позиционных
координат, т. е. при помощи некоторых символов, указывающих место
предметов в системе, а следовательно, позиции этих предметов
в их взаимном расположении. Иными словами, вместо того
чтобы сказать, что предмет а, т. е. предмет, собственное имя
которого есть 'а', синий (как это принято в именных языках),
говорят (на координатном языке), что предмет, занимающий
такую-то позицию, синий. В некоторых языках, специально
построенных и рассмотренных Карнапом, основная область
позиций берется в виде линейной определенным образом
направленной последовательности, начальная позиция которой
обозначается через Ό\ следующая позиция — через Ό" и т.д.;
1) Без противоречия. — Прим. перев.
2) См. Карнап, 37, стр. 12.

§ 8. Логицистический тезис
205
иначе говоря, в качестве координат в этих языках
рассматриваются натуральные числа. Не входя в сколько-нибудь
подробное описание этих языков, заметим лишь, что после
присоединения некоторых аксиом пеановского типа удается
доказать бесконечность основной области. Но — и это самое
существенное— тот факт, что бесконечность предметной области
обусловлена теперь самой логикой системы, ни в коей мере не
должен смущать нас, как смущал аналогичный факт для РМ,
Теперь уже в предложении о бесконечности утверждается
вовсе не существование бесконечного количества частиц или
неких других физических сущностей, а лишь тот факт, что в
линейной последовательности позиций нет последнего члена;
вопрос же о том, какие и сколько из этих позиций заняты
физическими сущностями, остается за пределами логики.
Те авторы, которые решительно возражают против
отнесения к логике каких-либо допущений о существовании не
только бесконечного множества «сущностей», но даже хотя бы и
какой-нибудь одной «сущности», вероятно, имеют в виду
именные языки; такие возражения представляются довольно
бессодержательными, коль скоро они направлены против
координатных языков, где «сущности» суть не что иное, как позиции,
могущие быть как заполненными, так и пустыми. Создается
впечатление, что это укрепление логицистической позиции в
вопросах обоснования математики, обязанное переходу от
именных языков к координатным, до сих пор не оценено в
достаточной мере большинством работающих в этой области
ученых.
Отметим, кстати, что Карнапу 4) удалось доказать, что
аксиома выбора является аналитической ('аналитическая' здесь
понимается как некоторое уточнение интуитивного понятия
логической истинности) в построенном им языке II, являющемся
координатным языком; в доказательстве этом использовано
предположение, что аксиома выбора имеет место в метаязыке2)
языка II. Допущение это не приводит в доказательстве к
порочному кругу ни в каком из формальных смыслов этого слова;
но с другой стороны, оно не помогает решить проблему о том,
можно ли считать эту аксиому логическим принципом. Сам Кар-
нап — по крайней мере в тридцатые годы — считал, что
проблема эта относится не к истинности принципа выбора в
материальном смысле, а скорее уж к целесообразности его
принятия. Поскольку в языке II аксиома выбора приносит пользу,
позволяя перестроить математическое исчисление в сторону его
1) Карнап, 37, стр. 122 и ел.; ср. также Рамсей, 26;
2) См. выше, гл. II, § 1. — Прим. перев.

206 Гл. III. Теоретико-типовые подходы
соответствия научным целям, и поскольку малоправдоподобно,
чтобы этот язык оказался противоречивым, не приходится
особенно возражать против допущения аксиомы выбора в качестве
логического принципа, если стать на свободную от онтологии
точку зрения Карнапа.
§ 9. Типы, категории и сорта
Мысль о том, что не все предметы являются объектами
одного и того же сорта (в том смысле, что есть свойства,
которые могут быть осмысленными предикатами для некоторых
объектов и не быть таковыми для других), не нова; вначале
она не связывалась с проблемой антиномий. Эту концепцию
можно усмотреть еще у Аристотеля1); Шредер проводил
различие уровней в 1890 г.2). Аналогичные указания можно найти
и в сочинениях Фреге3). Философ Э. Гуссерль, широко
пользовавшийся категориями значения [Bedeutungskategorien]^),
оказал большое влияние на польскую школу логиков.
Самого Рассела никогда в полной мере не удовлетворяла
онтологическая сторона введенного им различения типов, хотя
его и не покидало убеждение, что без какой-либо иерархии
все-таки не обойтись5). В одной из своих позднейших работ он
был даже готов допустить — пожалуй, несколько
опрометчиво, — что его определение типов было ошибочным, поскольку
прежде он различал различные типы сущностей (entities),
тогда как это различение правильнее было бы проводить по
отношению к символам6).
Для части последователей Рассела различение типов
представлялось интуитивно вынужденным, философски
необходимым шагом; для других его последователей это было
неизбежное зло, нечто неохотно допускаемое, поскольку не видно было
лучшего пути для устранения антиномий. Пожалуй, самый
выдающийся представитель первой из упомянутых концепций —
польский логик Станислав Лесневский7). По Лесневскому,
наша языковая интуиция такова, что (почти) все правильно
1) Categoriae, гл. 3.
2) См. *Чёрч, 12.
3) Впрочем, не более чем указания Фрегевская иерархия Stufen
[ступеней (нем.).—Перев.] вытекала из некоторых формальных рассмотрений. Что
же касается теории типов, то он почти в явной форме отвергал ее; см.
*Чёрч, 12.
4) Туссерль, 1ц,ι, стр 317 и ел.; ср. также Бар-Хиллел, 47а, 57.
5) Ответ критикам (Reply to Criticisms) (Шильпп, 44, стр. 692).
6) Там же, стр 691
7) Лесневский 29; см. также Слупецкий 53, гл. 1 (ср., однако, реферат
Леевского, Journal of Symbolic Logic, 21 (1956), стр. 188—191), 55, стр. 9 и
ссылки, приведенные в прим. 8 к этой статье; Гжегорчик, 55, стр. 85 и ел.

§ 9. Типы, категории и сорта
207
построенные выражения любого языка — как разговорного, так
и искусственного — принадлежат одной и только одной из
семантических категорий, составляющих потенциально бесконечную
и весьма разветвленную иерархию. Иерархия эта состоит из
двух основных категорий, а именно категории имен и
категории предложений (в число которых всегда включаются и
открытые1) имена, например 'отец [некоторого] х\ и
соответственно открытые1) предложения) и бесконечной совокупности
функторных категорий, различаемых в зависимости от
категории и числа аргументных выражений функторов,
принадлежащих этим категориям, и от категории выражения,
получающегося в результате применения этих функторов к их аргументам.
К сравнительно простым членам этой иерархии относятся категории
функторов, преобразующих имя в предложение, преобразующих два имени
в предложение, ..., преобразующих предложение в предложение,
преобразующих два предложения в предложение, ...^преобразующих имя в имя,
преобразующих два имени в имя преобразующих предложение в имя, ...
Применяя удобные квазиарифметические обозначения, введенные Айдукеви-
чем2), можно обозначить эти категории соответственно через
s/n, s/nn, ..., s/s, sfss, ..., n/n, n/nn, ..., n/s
Этот символизм подсказывает также, каким образом можно
охарактеризовать и обозначить более сложные члены этой иерархии; например, категорию
функтора, преобразующего функтор (взятый в качестве аргумента), который
преобразует имя в предложение, в функтор (являющийся значением),
который также преобразует имя в предложение, следует обозначить через
's/n/ls/n' Читатель сможет разобраться в этих обозначениях с помощью
приводимых ниже иллюстраций, заимствованных из обычного русского3) языка
(которые, впрочем, следует понимать cum grano salts) и принятого в
настоящей книге теоретико-множественного символизма4) (см табл. на стр. 208),
Лесневский считал нарушение ограничений,
предписываемых его теорией семантических категорий, прегрешением
против логики, за которое может — хотя и не обязательно
должно — последовать возмездие в виде антиномий. Утверждение
Лесневского о справедливости его теории обосновывалось им
отнюдь не ссылкой на то обстоятельство, что соблюдение пред-
х) То есть неопределенные, зависящие от свободных переменных
(незамкнутые). — Прим, перев.
2) *Айдукевич, 3; в дальнейшем эти обозначения были
усовершенствованы Бохенским, 49. Бар-Хиллелом. 50 и 53, и Вундхейлерами, 55. Они,
пожалуй, напоминают обозначения, придуманные Карнапом, 37, § 27
(который употребляет термин 'функтор' в смысле, примерно соответствующем
употребленному выше выражению 'функтор, преобразующий в имя'), и Чёр-
чем, 40 (применявшим свою символику для обозначения типов выражений).
3) В оригинале, разумеется, речь идет об английском языке. — Прим.
перев.
4\ Второй и третий столбец приводимой ниже таблицы строго еоответ·
ствуют первому, но, вообще говоря, не друг другу. — Прим. перев.

208 Г л III Теоретико-типовые подходы
Категория
п
S
s/n
s/nn
s/s
s/ss
η/η
n/nn
n/s
s/ns
s/n/ /s/n
s/nn/ /s/nn
Русский язык
Джон, поэт
Джон — ') поэт
... — поэт 1)
... -') ---
Неверно, что ...
... тогда и только тогда, когда —
Отец ... 2)
Произведение ... 2) и 2)
Тот, который ... 3)
Вот ..., который - - - 4)
с достоинством (во фразе 'Джон
с достоинством удалился')
Теория множеств
х, У
F (χ), χ ζ у
Р( )■ ··· £У
... ζ---, ... с---
~ ( ). (А*) ( )
. . . ==
С( )
...fl-v
χ( )
(А ) ( )
/(как часть символа ' φ '\\
') Тире здесь заменяет глагольную часть именного сказуемого ('есть' —'is').— 1
Прим. пере в. 1
2) Место дополнения, стоящего в родительном падеже (англ. Of), означающем, 1
например, принадлежность денотата (значения этого дополнения классу, 1
характеризуемому подлежащим). — Прим. перев. I
8) В оригинале 'whether'... . — Прим. перев.
4) Перевод не буквальный; в оригинале '... doubts-whether'. — Прим. перев. 1
ложенных им правил не позволяет сформулировать некоторые
антиномии1), а скорее (как уже говорилось выше) интуитивным
пониманием условий осмысленности выражений разговорных
языков, пониманием, явившимся развитием идей Гуссерля. В свою
очередь у Лесневского были многочисленные последователи
среди польских философов и логиков, наиболее значительные из
которых Котарбинский, Айдукевич и Тарский. Насколько
велико было влияние Лесневского на его учеников, можно
судить, например, по следующему отрывку из статьи Тарского,
написанной в начале тридцатых годов. Тарский утверждает, что
1) Согласно Лесневскому, не все логические антиномии обусловлены
смешением категорий Некоторые из них вызваны нарушением правил
определения Кроме того, Лесневский говорит, что при общеупотребительном
понимании термина 'класс' смешиваются два совершенно разных понятия,
а именно понятие «дистрибутивного класса» и понятие «коллективного
класса» (примерно то же различение делал уже Рассел, 03, стр. 68 и ел., в
терминах «класс как множественность» (class-as-many) и «класс как
единичность (class-as-one)), и усматривает, в частности, в этом смешении источник
антиномии Рассела; ср. Собоцинский, 49—50,

§ 9 Типы, категории и сорта
239
теория семантических категорий настолько глубоко
проникает в основные интуитивные представления,
относящиеся к осмысленности выражений, что едва ли можно
представить себе научный язык, предложения которого
обладают ясным интуитивным значением и в то же
время строение которого нельзя привести в согласие с
теорией, о которой говорилось выше1).
Впоследствии, однако, Тарский утратил веру в интуитивную
обязательность теорий семантических категорий Лесневско-
го — вероятно, вследствие суровых ограничений, налагаемых
этой теорией на структуру языков, — и предпринял
исследование языковых систем, не подчиненных этим ограничениям2).
По-видимому, позднейшие исследования Хао Вана (ср. выше,
§ 6) являются непосредственным развитием тех же идей.
Независимо от того значения, которое имеет теория
семантических категорий как логико-философская доктрина,
несомненна важность для лингвистики синтаксического аналога
этой теории 3) (особенно в форме предложенного Айдукевичем
исчисления обозначений4)).
Типичным представителем иной, оппортунистической
концепции теории типов является Рейхенбах5), видящий лучшее
из всех возможных оправданий теории типов в том факте, что
теория эта делает язык непротиворечивым.
Мы не будем здесь касаться различных философских
возражений, выдвинутых против теории типов, по поводу ее
интуитивного правдоподобия, применимости к обычным языкам
или возможности непротиворечивой ее формулировки. В чем
бы ни состояла сила этих возражений по отношению к
разговорным языкам, не может быть сомнений в том, что можно
построить исчисления, удовлетворяющие самым жестким
требованиям строгости, в которых осуществляется различение типов,
причем можно даже доказать непротиворечивость некоторых
из этих исчислений. Многие математики тем не менее
считают теорию типов в качестве фундамента математики
совершенно неприемлемой. Такое отношение можно объяснить
разными причинами. Часто это бывает просто бессознательная
идиосинкразия, о которой сказать нечего, кроме разве что того,
что она имеет место; однако расслоение на типы приводит и к
известным техническим затруднениям, часть из которых
обсуждалась выше.
1) См. Тарский, 56, стр. 215.
2) Там же, VIII, Appendix.
3) Бар-Хиллел, 47а, 50
4) См. прим. 2 на стр. 207.
5) Логика Бертрана Рассела (Шильп, 44, стр. 38),
}4 Зак, 1765

210
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
Обратимся теперь к самому, пожалуй, серьезному
недостатку теории простых типов. Если теория множеств строится
на основе логики, предусматривающей стратификацию
переменных по типам, то это означает, что такая логика есть уже
не функциональное исчисление первого порядка, а скорее
функциональное исчисление порядка ω, τ. е. исчисление,
содержащее квантифицируемые переменные любого конечного
уровня. Развиваемая в РМ теория множеств в отличие от Ζ
не является уже, таким образом, элементарной (или
стандартной) теорией и не обладает желательными свойствами таких
теорий, наиболее важное из которых состоит в том, что
процедуры доказательств в логиках, лежащих в их основе, полны
(см. гл. V, § 4). В элементарной теории все переменные имеют
одну и ту же область изменения, так что имеется в точности
один универсум рассмотрения. Описанная в РМ теория
множеств — неединственная неэлементарная теория множеств;
такова и система В фон Неймана — Бернайса, в которой имеются
два отдельных «мира»: универсум классов и универсум
множеств.
Известен, однако, способ свертывания (converting) любой
многосортной теории, т. е. теории, в которой имеется более
одного универсума рассмотрения в некоторую эквиполлентную
ей односортную теорию1). Применяя эту технику к теории
множеств, описанной в РМ, мы получим систему, названную Куай-
ном2) стандартизованной теорией типов — любопытную
систему, являющуюся чем-то промежуточным между простой
теорией типов (или, вернее, ее упрощенным вариантом Г* из § 2)
и первоначальной системой Цермело. Система эта все еще
является теорией типов в том смысле, что в ее онтологии есть
индивиды, классы индивидов, классы классов индивидов и т. д.,
причем эти классы остаются однородными3). Однако она
отличается от Г* тем, что переменные ее обладают не только
типовой неопределенностью, заключающейся в том, что
в каждом данном контексте они пробегают некоторый
определенный, хотя и не фиксированный заранее тип, но и
еще более общим свойством: они всегда пробегают по всем
типам.
Не входя в подробности чрезвычайно изящных
рассмотрений Куайна, посвященных этому преобразованию систем,
опишем вкратце одну получающуюся в результате систему схем
аксиом стандартизованной теории типов. Пусть 'ТУ есть пре-
!) См. А. Шмидт, *2, 51; Хао Ван, 52а; Хинтикка, 5$.
2\ Куайн, 56.
3) См. выше, стр. 177А — Прим. перев.

§ 9. Типы, категории и сорта
m
дикат, имеющий место для всех индивидов и только для них,
Τι' — предикат, имеющий место для всех классов индивидов
и только для них, и т. д. (Куайн показывает, что каждый из
этих предикатов может быть определен в терминах ς£\ а
потому никаких других исходных обозначений для таких
определений не требуется.) Схемы аксиом свертывания и объемности
принимают теперь следующий вид:
( )(Ey){Tn+l(y)&(kx)lTn(x)^(xey = F(x))}}, (1)
( ){T„+2(z)&T„+l(x)&Tn+1(y)&(kw)[Ta(w)=>
=>(w£x = w£y)]&x£z}zDy£z. (2)
К этим аксиомам теперь нужно добавить новое множество
аксиом, получаемых по следующей схеме:
( )хеу=>[тя{х)=тя+1(у)\· (з)
(Назначение членов с Г в схеме (2) состоит в том, чтобы
предотвратить возможность отождествления всех индивидов
друг с другом и с пустыми множествами разных типов, а
также отождествления различных пустых множеств между собой.)
Заметим, что, согласно (3), каждая формула вида χ ζ у, где
χ и у не принадлежат непосредственно следующим друг за
другом типам, — а следовательно, в частности, формула '*£'—
является ложной, а не бессмысленной, как в первоначальной
системе. Это—прямое следствие стандартизации. То
обстоятельство, что такое отклонение от первоначального подхода не
приводит ни к каким особым неприятностям, должно бы
отрицательно повлиять на оценку тех взглядов, согласно которым
добавление к «истине» и «лжи» новой категории «бессмыслица»
является крупным философским достижением теории типов.
Имея в виду таких сторонников теории типов, которые не
только готовы ради стандартизации заменить бессмыслицу на
ложь (или же, в зависимости от исхода споров1) —на истину),
но и вносить технически упрощающие изменения в
первоначальную онтологию, Куайн показывает, что значительное
упрощение достигается в результате отождествления пустых
множеств всех типов. Другое столь же значительное упрощение
достигается путем отождествления индивидов друг с другом и
с пустым множеством наинизшего типа, как в Ζ. Несколько
иная простая система получается в результате отождествления
каждого индивида с его единичным множеством (в этом
случае предложение *х£х' считается истинным, если χ — индивид),
1) В оригинале 'as the chips may fall' (идиоматический оборот
(американизм), означающий нечто вроде «чем еще кончится драка» и т. п.). —Прим,
пс рев.
14*

212 Гл. /И Теоретико-типовые подходы
ставящего эту систему в один ряд с NF и ML (см. § 3 и 4).
Последнее отождествление привело бы к нарушению
взаимоисключительности (exclusiveness) типов; типы стали бы
накапливающимися, как в рассмотренной выше (§ 6) системе Σ.
Эти изменения не только упрощают теорию типов.
Некоторые из упрощенных таким образом теорий оказываются весьма
близкими к некоторым системам, идущим еще от Цермело.
Фактически кумулятивная (cumulative) l) теория типов с
обычными переменными и в точности одним не содержащим
членов предметом попросту совпадает с цермеловской теорией
множеств, отвергающей индивиды, т. е. с самой системой Z;
кумулятивная стандартизованная теория типов, индивиды
которой являются членами самих себя, совпадает, как
оказывается, с той разновидностью первоначальной системы
Цермело, в которой индивиды рассматриваются как свои
собственные члены, причем к этой цермеловской системе добавляется
еще аксиома, обеспечивающая существование множества всех
индивидов2).
Теперь, спустя полстолетия после того, как Цермело и
Рассел, исходя, по-видимому, из совершенно различных и даже
противоположных точек зрения, опубликовали независимо
друг от друга свои теории, эти теории почти полностью
согласованы одна с другой. Правда, отклонения от исходных
позиций, приведшие к этому примирению сторон, весьма
значительны: может показаться, что некоторые из них противоречат
духу обеих концепций: как Цермело, так и Рассела. Многим
последователям Рассела покажется весьма трудным принять
идею о кумулятивных типах. Представление о принадлежащих
самим себе индивидах может встретить возражения как рас-
сельянцев, так и цермельянцев. Однако те математики, которые
под удовлетворительной основой теории множеств понимают
не столько некое построение, в большой степени отвечающее
их интуиции, сколько систему, пригодную для эффективного
построения классического анализа и для которой можно
доказать непротиворечивость—или хотя бы доказать, что ее
средствами нельзя воспроизвести обычные рассуждения, приводящие
к известным антиномиям, — будут приветствовать это
достижение позднейшего времени3).
1) В применении к самим типам этот эпитет переводился выше (начало
этой страницы и § 6) как 'накапливающиеся'. — Прим. перев.
2) Авторы допускают неточность; кумулятивная теория типов с
аксиомой бесконечности существенно слабее системы Z. Но их утверждение
приближается к истине, если Ζ заменить системой, полученной из Ζ
удалением аксиомы бесконечности. — Прим. ред,
3) Другое его описание (близкое к нашему) можно найти у Клауа, 57.

§ 10. Непредикативное образование понятий 213
§ 10. Непредикативное образование понятий
Теперь рассмотрим подробнее другую весьма интересную,
хотя также чрезвычайно темную и дискуссионную сторону
концепции Рассела, характерную для его первоначальной
программы преодоления антиномий; заключается она в том, что
корень всех зол усматривается в непредикативном
образовании понятий1), для предотвращения которого предлагается
строго соблюдать принцип порочного круга. (Связь этой
концепции с конструктивистским подходом к основаниям
математики будет обсуждаться на стр. 217.)
Неясность этой концепции обусловлена отчасти тем
обстоятельством, что в разных формулировках принципа порочного
круга Рассел пользуется по меньшей мере тремя различными
терминами, которые он, по-видимому, считает синонимами: во-
первых, 'определимые' {definable) в формулировке: «Если в
предположении, что некоторое семейство образует
совокупность, в него входили бы члены, определимые только в
терминах этой совокупности, то «члены этого семейства не
образовали бы никакой совокупности»2)»; во-вторых,
'предполагающие1 (which presuppose) в формулировке: «...с самого начала
можно впасть в ошибку типа порочного круга, допустив в
качестве аргументов какой-либо пропозициональной функции
термы, предполагающие саму эту функцию»3); в-третьих,
'зависящие1 (which involve) в формулировке: «Для всякой
функции характерно то, что она неопределенным образом
обозначает некоторую определенную совокупность, а именно
совокупность значений этой функции; поэтому эта совокупность не
может содержать никаких членов, зависящих от этой функции,
так как в противном случае она содержала бы члены,
зависящие от самой совокупности, что по принципу порочного круга
невозможно для совокупности»4). Гёдель показал5), что здесь
перед нами не три формулировки одного и того же принципа,
а скорее три различных принципа, что второй и третий из этих
принципов гораздо более правдоподобны, нежели первый, и
что именно первый — единственный, который препятствует
выводу математики из логики и применению общепринятых в
классической математике методов.
Путанице, создавшейся вокруг понятия непредикативности,
способствует и то обстоятельство, что прилагательное 'непре-
J) Сколем, 52, продолжает считать эту концепцию естественной и
рекомендует в связи с этим дальнейшее изучение разветвленной теории типов.
2) PMj, стр. 37.
3) Там же, стр. 37—38.
4) Там же, стр. 39.
б) Гёдель, 44, стр. 235.

214 Гл. 111. Теоретико-типовые подходы
дикативное' употребляется в наше время в качестве
определения для существительных, обозначающих как лингвистические
понятия — например, 'определение', 'предложение' или
'аксиома',— так и нелингвистические — например, 'понятие',
'свойство' или 'множество', или даже 'метод' (procedure) или
'образование понятий', — и при этом не приняты должные меры для
установления взаимосвязи между этими различными
употреблениями.
Как выяснилось недавно, имеется глубокое различие между
концепциями непредикативности двух первых и сахмых
выдающихся сторонников запрещения непредикативного образования
понятий в (логике и) математике — Пуанкаре и Рассела1).
Различие это представляет не только исторический интерес —
оно может пролить некоторый свет на часто обсуждавшийся
вопрос о том, где проходит граница между пагубными и
невинными непредикативностями.
Мы достигнем большей ясности (хотя и проиграем
несколько в отношении общности), если при обсуждении вопроса о
непредикативности ограничимся системами рассмотренных
выше видов. Это даст нам возможность сосредоточить свое
внимание на аксиомной схеме2) свертывания (в различных ее
формулировках и разновидностях, включая аксиому
выделения). Будем говорить, что некоторая разновидность этой
схемы, сущность которой (напоминаем) состоит в том, что
( ) №y)(kx)[x£y = F(x)\
(где в зависимости от того, какая разновидность схемы
рассматривается, требуется выполнение различных условий
относительно Ψ(χ)'; индексы, фигурирующие в некоторых
вариантах схемы свертывания, опущены как не имеющие отношения
к интересующему нас контексту) непредикативна, если в
lF(x)' входит какая-либо связанная переменная того же сорта
(типа, уровня, слоя и т. π ), что и у, иначе говоря (в
несколько более гибкой неформальной формулировке), если класс,
существование которого обеспечивается этой схемой аксиом,
принадлежит предметной области связанной переменной,
входящей в определяющее условие 3). Соответственно будем называть
х) Об истории первых возражений против непредикативных методов см.
Френкель, 28, стр. 247 и ел.; ср. также Чёрч, 56, стр 347 [стр. 331—332 русск.
изд. — Перев.] и прим 573 и 574.
2) Как и иногда выше (см., например, стр. 172) из соображений
гибкости перевода, 'axiom-schema' переводится здесь не как 'схема аксиом' (как,
например, в русском переводе Клини, 52), а как 'аксиомная схема' (как
в русском переводе книги Чёрча, 56). — Π рам. перев.
3) Эту формулировку следует уточнить: V надлежит рассматривать
таким же образом, как упоминаемые в тексте связанные переменные (а уело-

§ 10. Непредикативное образование понятий 215
в таком случае непредикативными сами эти условия,
содержащие свободные переменные более низких уровней, чем уровни
некоторых из входящих в них связанных переменных, а также
классы, соответствующие этим условиям, и процессы их
образования, т. е. доказательства их существования.
Проблему непредикативности обычно формулируют не в терминах
'непредикативного образования понятий', а в терминах 'непредикативных
определений'. Это отчасти обусловлено тем обстоятельством, что в РМ (и в
некоторых других системах) нет аксиомы свертывания, а вместо нее есть
(явное или неявное) правило, допускающее 'xF(x)\ т. е. 'класс всех таких х,
для которых F(х)' в качестве выражения для «абстракции»
(abstract-expression), подставляемого вместо переменной, и аксиом(ная схем)а конверсии
(conversion)1): y£xF(x) =F (у). В таких системах принцип свертывания
становится выводимой теоремой. (В ^самом деле, ю тавтологии F(x) EEF(x)
с помощью конверсии получаем xJ^xF(x) ~χζ xF(x)\ навешивая квантор
общности—(Ах)[х ζ χ F (xj ΞΞ-κζ χ F(x)]; по вышеупомянутому правилу и
навешивая квантор существования — (Еу) (Ах)[х ζ у ~χ ^ χ F(х)]; наконец,
снова по конверсии— (Еу) (Ах)[х £у== F(x)]2)). Если теперь в качестве
сокращения для этого выражения для абстракции вводится по определению
какой-либо специальный символ, а условие Т(лс)' непредикативно в
разъясненном выше смысле, то говорят, что этот символ введен посредством
«непредикативного определения». Но поскольку это относящееся к определению
сокращение играет лишь второстепенную роль, мы по-прежнему будем
считать существом проблемы именно непредикативное образование понятий,
относится ли оно к схеме аксиом свертывания или же к введению выражений
для абстракции.
Согласно принципу порочного круга, непредикативное
образование понятий следует дисквалифицировать. Что же
касается обоснования этого принципа, то здесь надо четко различать
доводы четырех существенно различных сортов. Прежде всего,
это соображения прагматической эффективности: с помощью
этого принципа удается избавиться от семантических
антиномий. На это можно возразить, что известны и другие способы,
например теория языковых иерархий3), в этом отношении
столь же эффективные, но не затрудняющие таким пагубным
образом построение математики. Доводы второго рода прини-
вие следующей фразы должно не распространяться на те переменные, по
которым берется замыкание '( )').— Прим. ред.
1) 'Conversion* переводится обычно как 'свертывание'; мы предпочитаем
термин 'конверсия' во избежание путаницы с 'comprehension' (тем более что
оба термина встречаются здесь в одной фразе). Родство обеих этих
операций «свертывания» очевидно, впрочем, хотя бы из данного места текста.
В то же время принцип свертывания (т. е. содержательный аналог
рассматриваемой здесь схемы свертывания), следуя Черчу, 40, именуют иногда
также и 'принципом абстракции' (см., например, °Столл, 61).— Прим. перев.
2) Ср. Гильберт — Аккерман, 28/49, 2 изд., стр. 125 [стр. 198—199 русск.
изд. — Перев.]\ 3 изд., стр. 137.
3) Ср. Пап, 54.

216
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
мают во внимание самоприменимый характер непредикативно
определяемых терминов. Но в результате подробного
обсуждения, продолжавшегося полстолетия, стало ясно, что
самоприменимость как таковая (без каких-либо дополнительных условий)
хотя, разумеется, и носит в известном смысле характер круга,
но отнюдь не обязательно порочного 1) круга2).
Третий аргумент делает упор на то, что непредикативно
образуемые понятия в конкретных случаях неразрешимы и их
применения не следует допускать, поскольку всякая попытка
такого применения приводит к регрессу в бесконечность.
Воспользуемся примером Карнапа3), видоизменив его в
применении к упомянутой в § 5 системе Р. Рассмотрим следующее
условие для х1:
(Аг2) {[7 £ *2 & (А//1) (г/1 £ г2 =э Syl £ г2)] ζ> χ1 £ ζ2}
(здесь 'Syv означает число, следующее за у1), которое можно
понимать как *лс входит во все те множества, которые
содержат число 7 и содержат вместе с каждым натуральным числом
и следующее за ним число'. Существование множества,
содержащего все натуральные числа, удовлетворяющие этому
условию, обеспечивает аксиома свертывания. Желая выяснить,
принадлежит ли этому множеству, скажем, число 5, надо
проверить, принадлежит ли 5 всем множествам натуральных чисел,
содержащим число 7 и т. д.; но для того чтобы это сделать,
придется, кроме всего прочего, проверить также, принадлежит
ли 5 множеству натуральных чисел, существование которого
обеспечивается этой аксиомой свертывания, — и мы
совершенно явным образом вертимся в порочном круге. Заметим, что
разбираемый аргумент не использует тот факт, что процедура
проверки требует "испытания бесконечного количества
множеств. Некоторые математики, правда, вообще возражают
против таких процедур, но в таком случае они отвергают не
только непредикативные условия, но и все неопределенные
предложения, т. е. предложения, содержащие существенно
неограниченные кванторы какого бы то ни было типа; мы
рассмотрим эту весьма радикальную позицию в гл. V. Здесь мы
говорили о тех, кто, допуская неопределенные условия,
отвергает непредикативные. Но если не отвергать неопределенные
предложения, учитывая, скажем, что общее предложение
устанавливается не с помощью поочередных испытаний каждого
1) Подчеркнуто при переводе. — Прим. перев.
2) См., например, убедительную и остроумную защиту самоприменимых
выражений у Поппера, 54.
ъ\ Карнап, 37, стр. 163—164.

§ 10. Непредикативное образование понятий 217
случая, — что на самом деле и невыполнимо, поскольку такая
проверка состояла бы из бесконечного числа операций, — а
построением доказательства, представляющего собой конечную
операцию, тогда третий аргумент также не слишком
убедителен. Дело в том, что пригодность непредикативного понятия
часто удается доказать. Скажем, в приведенном выше примере
очень легко доказать, что 5 не принадлежит множеству,
определенному с помощью фигурирующего в этом примере условия.
Четвертый, безусловно, самый сильный аргумент основан
на том, что непредикативно вводимые объекты носят
неконструктивный характер. Трудно сказать, что мы имеем ясное
представление о какой-либо совокупности, ,если вопрос о
принадлежности к ней какого-либо предмета можно решить лишь
с помощью самой этой совокупности. Игнорирование этого
обстоятельства не только неудовлетворительно с философской
точки зрения1); встав на позицию такого игнорирования,
можно легко прийти к антиномиям или, во всяком случае,
встретиться с серьезными трудностями при попытке построения
модели, предназначенной для доказательства
непротиворечивости системы. Последнее обстоятельство, по-видимому, сыграло
решающую роль в том, что в последние годы внимание
логиков вновь сосредоточилось на вопросе о непредикативном
образовании понятий. Напомним, что непротиворечивость
разветвленной теории типов (с аксиомой бесконечности, но без
аксиомы сводимости) доказана уже давно2), в то время как
аналогичные попытки в отношении простой теории типов к
успеху не привели, хотя непротиворечивость простой теории
типов без аксиомы бесконечности доказать удается3).
Системы Хао Вана и Лоренцена учитывают принцип
порочного круга в том смысле, что объект, определяемый
посредством условия, относящегося к некоторой совокупности объектов
слоя а, сам, так сказать, относится не к слою а, а кслоюа+1.
Поскольку, однако, в этих системах не запрещено смешение
слоев, то не исключена возможность, что найдется слой, в
который входят как все объекты слоя а, так и объект слоя а+1,
определяемый при помощи некоторого условия, относящегося
к этим объектам слоя а. В этих системах это на самом деле
1) Конечно, интуиционизм (см. гл. IV) отвергает непредикативные
методы. Кавайе, 47, стр. 17, усматривает в этом более характерную
особенность интуиционистской программы, чем в отказе от принципа исключенного
третьего. Эта же точка зрения вновь подтверждена Гилмором в его реферате
на одну статью ван Данцига, 51 [см. отсылки авторов в библиографии к
настоящей книге по поводу статьи ван Данцига, 47. — Перев.] в Journal of
Symbolic Logic, 21 (1956), стр. 323.
2) *фИТЧ, 4.
3) Тарский, *17 (56, IX); Генцен, 36а; *Бет, 4.

218
Гл. 111. Теоретика-типовые подходы
и имеет место как для самого слоя а + 1, так и для
бесконечного числа слоев, индексами которых служат большие, чем
а+1, порядковые числа. Смешение слоев, сколь бы ни было
оно неприемлемо для мыслителей, придерживающихся строгих
онтологических убеждений, не ведет к ослаблению
конструктивности системы; то же самое относится к использованию
трансфинитных порядковых чисел (если при этом
ограничиваться лишь «конструктивными» порядковыми числами
второго числового класса).
Вся математика — особенно анализ — изобилует
непредикативными условиями. Для тех, кто не склонен оправдывать
это использование, противоречащее принципу порочного круга,
может представить интерес другой подход, относящийся к
самому последнему времени. Финский логик Хинтикка показал *),
что имеется способ упразднения универсальных переменных,
связанный с гораздо более слабыми средствами, нежели
какая бы то ни было теория порядков или слоев. Следуя совету
Витгенштейна2), развитому впоследствии Колмогоровым иЗи-
хом3), Хинтикка предлагает исключающую {exclusive)
интерпретацию связанных переменных в отличие от
общеупотребительной включающей {inclusive). Согласно последней (обычной)
интерпретации, предложение 'найдутся по крайней мере два
различных индивида, обладающих свойством Р' символизуется
посредством формулы
(Ех)(Еу)[х*у&Р(х)&Р(у)\,
тогда как при исключающей интерпретации связанных
переменных это предложение символизуется просто как
(Ех)(Еу)[Р(х)&Р(у)},
причем слово 'различных', о котором надлежит позаботиться,
выражается различием самих переменных. Заметим, что при
втором способе символизации (при исключающей интерпрета*
ции) переменные не универсальны, поскольку совпадение их
предметных областей не допускается. Ограничение
универсальности, однако, не фиксировано с самого начала жесткой
системой индексов типа и порядка, а определяется скорее их
взаимодействием в рамках любого конкретного контекста.
Если привести логический базис идеального исчисления
(§ 1), т. е. функциональное исчисление первого порядка, в со-
!| Хинтикка, 56.
2) Витгенштейн, 22, 5.53—5.5352.
ή Зих, 48; там же (в сноске) дается ссылка на относящуюся к этому
вопросу работу Колмогорова. [Неточность: Зих говорит лишь, что этой идеей
он обязан А. Н. Колмогорову. — Перев.],

§ 10. Непредикат ив но г образование понятий 219
ответствие с исключающей интерпретацией связанных
переменных, то обычный вывод антиномий не проходит. Например,
вывод антиномии Рассела сорвется из-за того, что шаг (2) 1) этого
вывода, который делается в соответствии с правилами
обычного (включающего) функционального исчисления первого
порядка, не был бы уже законным в измененном (исключающем)
исчислении.
Новшество Хинтикки никоим образом не противоречит
интуиции. Наоборот, Хинтикка показывает, что оно великолепно
согласуется с общепринятыми способами выражения. Если бы
фактически удалось доказать непротиворечивость построенной
на такой основе теории множеств, то распространенное
утверждение, что антиномии свидетельствуют о внутренней
противоречивости логики здравого смысла, пришлось бы пересмотреть.
Типы, порядки, слои, языковые иерархии, различного рода
ограничения в аксиоме свертывания — все это можно считать более
или менее серьезным отклонением от здравого смысла; но этого
нельзя сказать об исключающей интерпретации связанных
переменных и о том, что соответствует ей в обычном языке.
Мы уже говорили (на стр. 18), что «деревенский брадобрей» перестал бы
выглядеть парадоксальным, если после слов 'всех жителей' вставить слова
'не считая его самого'. Это замечание предполагает включающую
интерпретацию слова 'всех'. При исключающей интерпретации 'всех' в этом
контексте следовало бы с самого начала интерпретировать как 'всех
отличных от него самого', и парадокс в его первоначальной формулировке даже
не возник бы.
Однако в ревизии обычной логики первого порядка, пресле*
дующей цель приведения ее в соответствие исключающей
интерпретации, нет никакой необходимости. Тот же эффект
можно получить и без каких бы то ни было изменений в правилах
образования этой логики. Требуемая взаимоисключаемость
может быть достигнута путем явного требования различия
переменных. Схема аксиом свертывания, переделанная несколько
иным образом, выглядела бы теперь так:
Сех ( ) (Ey)(kx){(x€y)z=[x*y=>F(x)]\,
где каждый квантор '(Ег)' в первоначальной формулировке
F(xy заменяется на '(Ег) (гФу & ...)', а каждый квантор
'(Аш)' — на '(Aw) (w4=yzD . . .)'2). И теперь, как и раньше (хотя
1) На стр. 173
2) Сказанное следует распространить и на переменные, кванторы по
которым встречаются внутри F(x) (употребляя их в качестве 'у* при
таких заменах для более внутренних кванторов, т. е. писать не просто ζ Φ у,
а ζ φ у&гф у{а... для всех таких переменных yi, ...); по-видимому,
употребление свободных переменных в логике Хинтикки требует дальнейших
соглашений. ?— Прим. ред.

220 Гл. III. Теоретико-типовые подходы
и по другой причине), не прошел бы обычный вывод
антиномии Рассела. Единственное, что мы могли бы в этом случае
получить, как может убедиться читатель, — это истинную формулу
(Е#) [у £ у = (у Φ у э ~ у 6 У)]1)·
Естественно, конечно, ожидать, что принятие исключающей
интерпретации аксиомы свертывания, представляющееся столь
эффективным для преодоления антиномий, обойдется дорого.
И действительно, антиномии Кантора, например, на этом пути
удается избежать лишь за счет того, что теорема Кантора
оказывается недоказуемой (в чем, разумеется, нет ничего
удивительного).
Можно считать, что из модификаций аксиомы свертывания,
согласующихся с принципом порочного круга, Сех самая
простая, поскольку предмет, существование которого утверждается
этой аксиомой, есть единственный предмет, исключаемый из
области входящих в аксиому связанных переменных. Эту аксиому
можно было бы с успехом считать самой экономной
реализацией предчувствия Гёделя2), согласно которому идея
ограничения предметных областей может быть проведена в жизнь и
без разбиения объектов по взаимно исключающим друг друга
областям. Упомянутые выше условия различия как раз и
соответствовали бы «особым точкам» из гёделевской метафоры.
Для этой цели система Хинтикки (если только она
действительно будет доведена до стадии вполне сформировавшейся
системы, для которой будет доказана ее непротиворечивость —
хотя бы по отношению к какой-либо более известной
системы) была бы даже удобнее рассмотренной Гёделем; она не
только узаконивает наши логические интуитивные
представления (если не считать незначительных оговорок, не являющихся
на самом деле отклонениями от этой интуиции), но и
воплощает исключающую интерпретацию, пригодную в применении
к аксиоме свертывания; впрочем, наша интуиция, конечно, не
является настолько отчетливой, чтобы все это стало ясным, не
приди нам на «помощь» антиномии.
Еще на стадии, предшествующей формализации, со времени
первых споров между Пуанкаре и Цермело3), стала ясна
актуальность проблемы различения существенных (порочных) и
несущественных (безвредных) непредикативностей. Никто не
подвергал серьезному сомнению законность такого понятия, как
максимум некоторой функции на данном интервале, хотя его
1) Эквиполлентную (Еу){у£у).
2) Гёдель, 44, стр. 150.
3) См., например, Френкель, 28, стр. 250—251.

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 221
обычное определение как наибольшего из значений функции на
этом интервале, конечно, непредикативно. Способ, которым сам
Пуанкаре показывал несущественность этой
непредикативности, состоял в переопределении максимума функции как
наибольшего значения функции не для всех аргументов, а лишь
для рациональных; даже если это значение функции и само
оказывается рациональным (и попадает в интервал значений
аргумента), это следует не из определения как такового.
Способ Хинтикки, несомненно, гораздо проще и исходит из того
очевидного факта, что мы можем переопределить максимум
функции (внутри данного интервала) как какое-либо из тех
значений функции, которые не меньше, чем любое из остальных
значений этой функции (на этом интервале), а это условие уже
можно формализовать посредством требования различия.
Однако Пуанкаре, по-видимому, избрал свой способ не
потому, что он просто не заметил решения, предложенного
впоследствии Хинтиккой, а потому, что он считал это решение
недостаточным. Граница, которую он проводил между
безвредными и опасными непредикативностями, преднамеренно
отличалась от той, что была предложена Хинтиккой, а принцип
порочного круга Пуанкаре сильнее расселовского. Тем
интереснее то обстоятельство, что теория порядков Рассела
согласуется с принципом Пуанкаре и изгоняет непредикативности
более сильным образом, чем это требуется по принципу
Рассела. И если идеальное исчисление, переделанное в
соответствии с иключающей интерпретацией Хинтикки, окажется
противоречивым или недостаточно сильным для реконструкции
всей классической математики (мы уже видели, что
некоторые части канторовской теории воспроизвести не удается, но
многие математики не считают эти части теории существенно
необходимыми), мы будем еще больше восхищаться интуицией
таких великих мыслителей, как Пуанкаре и Рассел1).
§ П. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках
Читатель уже может оценить трудность препятствий,
стоящих на пути сохранения теории множеств, достаточно сильной
для вывода классического анализа и в то же время достаточно
1) Обсуждение современного состояния вопроса о непредикативном
образовании понятий см. у Клини, 52, стр. 42 и ел. [стр. 44 и ел. русск. изд. — Пе-
рев]\ Хао Ван, 52, 54, 55, стр. 80 и ел.; Мак-Нотон, 53, passim [в различных
местах (лат.). — Перев.], Чёрч, 56, стр. 346 и ел. [стр. 331 и ел. русск. изд.—
Перев.]; Бет, 56, стр. 44 и ел.
Добавление при корректуре [амстердамского издания. — Перев.]: Хин-
гикка, 57, показал, что Сех все же прив^ит к некоторому противоречию, и

222
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
слабой для того, чтобы в ней нельзя было вывести антиномии.
У всех обсуждавшихся до сих пор систем теории множеств было
то общее, что они либо основаны на классической логике
предикатов первого порядка, либо совпадают с одним из
естественных расширений этой логики. Приверженцы этих систем
полагают, что ответственность за появление (логических) антиномий
лежит либо на слишком вольном понимании термина
'правильно построенная формула', либо на слишком свободном
использовании аксиомы свертывания.
Можно, однако, понять и тех авторов, которые более
склонны винить в недостатках существующих теорий множеств саму
лежащую в их основе логику и пытаются, таким образом,
получить более удовлетворительную теорию множеств
посредством изменения этой базисной логики. Вся следующая глава
будет посвящена наиболее важной из этих ересей —
интуиционистской концепции; заметим, впрочем, сразу же, что эта
концепция не только отказывается от классической логики, но и
вообще отвергает точку зрения, согласно которой теория
множеств— или математика в целом — основывается на какой бы
то ни было предшествующей ей логике. В этом параграфе мы
обсудим совсем кратко некоторые из менее эффектных и
претенциозных попыток.
1. ε-оператор Гильберта. В ходе разработки своей программы
доказательства непротиворечивости арифметики и анализа
финитными средствами (см. гл. V) Гильберт1) построил
исчисление, отличающееся от обычного функционального исчисления
первого порядка тем, что в числе его первоначальных понятий
нет ни кванторов, ни регулирующих их употребление аксиом
и правил, но которое содержит взамен этого новый оператор (и
аксиому, которой он подчиняется). Насколько важно иметь в
своем распоряжении базисную логику, не содержащую
кванторов, мы обсудим позже (в гл. V); здесь мы лишь кратко
опишем особенности самого гильбертовского ε-исчисления,
отличающие его от рассмотренных ранее. (Несколько неудачным
образом буква V употребляется здесь в роли, не имеющей
ничего общего с обычным ее использованием в качестве
символа отношения принадлежности 2); опасность смешения, одна-
предложил несколько более сильную переделку аксиомы свертывания, из
которой уже это специфическое противоречие не выводимо. Получающаяся в
результате теория множеств — даже в случае ее непротиворечивости —
обладала бы, однако, рядом странных особенностей.
3) Ср. Гильберт, 23, 28; Аккерман, 24; Гильберт — Бернайс, 34—39ц, § 1.
2\ В оригинале в качестве символа отношения принадлежности
используется одно из написаний буквы 'ε'. — Прим. перев.

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 223
ко, практически отсутствует, поскольку в этом исчислении 'ε'
в его новой роли будет всегда писаться с нижним правым
индексом, не говоря уже о различии контекстов.)
В двух словах, для каждой ппф ε-исчисления 'F(x)\
свободной относительно х, в нем имеется «ε-терм» *ехР(х)\
подчиняющийся новой аксиом (ной схем)е — «ε-формуле»:
F(x)=>F(exF(x)).
Исходя из приблизительного истолкования этой формулы как
«если что-либо обладает свойством F, то exF(x) обладает этим
свойством», 'гх* определяется как «оператор выбора» (selection-
operator), сопоставляющий каждому условию для χ
«представителя» (representant) класса предметов, удовлетворяющих
этому условию (и некоторый произвольный предмет, если этот
класс пуст).
Исчисление это обладает многими достоинствами.
Во-первых, в нем содержится функциональное исчисление первого
порядка. Действительно, посредством определений
(ε,) (Ex)F(x) = DtF(exF(x))
и
(ε2) (kx)F(x) = OiF(Bx~F(x))
можно ввести оба квантора и легко получить обычные
правила, которым они подчиняются1). Во-вторых, мы получаем не
слишком дорогой ценой эквивалент определенного артикля
(для которого иначе приходится вводить ι-оператор): если
существует в точности один предмет, удовлетворяющий Ψ(χ)\ то
'εχΡ(χ)1 следует, очевидно, понимать как 'тот самый (the)2)
предмет, который обладает свойством F\ В-третьих, в тех
математических исследованиях, решающую роль в которых играют
так называемые «сколемовские функции», последние могут быть
заменены ε-термами.
Хао Ван3) недавно установил, что, пользуясь ε-термами, можно
устранить определенные технические недостатки, свойственные некоторым
современным построениям логики первого порядка, использующим технику
«естественного вывода» (natural deduction) и подчиненных доказательств
(subordinate proofs), идущую от Генцена и Яськовского4), (эта техника,
получившая за последнее время большое распространение, описана, напри-
1 Гильберт — Бернайс 34—39ц, стр. 15 и ел.
2) Ср. прим. 3 и 4 на стр. 50. — Прим. перев.
3) Ван, 55, стр. 67; ср. Гальперин, 57, стр. 124—126.
4) Генцен, 34; *Яськовский, 1.

224
Гл. ill. Теоретико-типовые подходы
мер, в элементарных учебниках Куайна, Фитча, Копи и Леблана1). В свеге
этого замечания вопрос о введении ε-термов в обучение элементарной логике
заслуживает (несмотря на очевидные возражения) серьезного внимания.
Бросается в глаза тесная связь между ε-формулой и
аксиомой выбора. Связь эту, однако, не следовало бы переоценивать,
как это подчас делается, когда ε-формулу трактуют как нечто
вроде логической (или обобщенной) аксиомы выбора2). Дело
в том, что ε-формула позволяет осуществить лишь
один-единственный акт выбора, в то время как аксиома выбора —
одновременный выбор из каждого члена (бесконечного) множества
множеств и обеспечивает при этом существование множества,
состоящего из выбранных предметов. Таким образом, нет
никаких оснований рассчитывать на то, что в теории множеств,
построенной на основе ε-исчисления, принцип выбора можно
будет вывести без введения специальных аксиом, содержащих
ε-термы.
Но не является ли усиление элементарной логики,
осуществляемое ε-исчислением, слишком рискованной затеей? Каковы
бы ни были философские возражения против этого метода, —
а они, в общем, подобны тем, что были выдвинуты против
аксиомы выбора3), — школе Гильберта удалось доказать две так
называемые г-теоремы, в значительной степени снявшие
основания для опасений столкнуться с какими-либо неприят-
λ) Куайн, 50; Фитч, 52; Копи, 54; Леблан, 55; ср Гумин — Гермес, 56. [Из
имеющейся на русском языке литературы техника естественного вывода
кратко описана у Гудстейна, 57а (стр. 42—45 и 52—55 русск. изд.) и — без
использования этого термина — у Клини, 52, § 20 и 23. — Перев.]
2) Поводом для такой преувеличенной оценки ε-формулы вполне могли
послужить некоторые высказывания самого Гильберта. Так, говоря о
«трансфинитных аксиомах» ~ (Ах) А (х) ZD (Ех) ~ Л (х) и ~ (Ех) А (х) ZD (Ах) ~ Л (χ),
он пишет, «что все эти трансфинитные аксиомы могут быть выведены из
одной, ... которая содержит одновременно и ядро так
называемой аксиомы произвольного выбор а... Указанная
аксиома такова:
A{o)zdA (ε (Α)),
где ε — трансфинитная логическая функция выбора»
(Гильберт, 25, стр. 361 русск. изд.). Однако в более поздней статье
(Гильберт, 28) уже уточняется, что ε-аксиома позволяет получить лишь
некоторую более слабую формулировку принципа выбора (стр. 394 русск. изд.).
Все эти рассмотрения Гильберта (как и вообще вся теория ε-символа)
ведутся в рамках классической логики (с постулированным tertium non datur,
или законом снятия двойного отрицания). — Прим. перев.
3) Хвистек, например, рассказывает (Хвистек, 48, стр. 162), как сам он
пришел в студенческие годы в Гёттингене к аналогичной мысли и написал
об этом Расселу, но не получил от того поддержки Впоследствии Хвистек
считал, что ε-формула свидетельствует об идеалистическом характере гиль-
бертовской системы.

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 225
ностями1). Вторая ε-теорема утверждает, по существу, что
если в основанной на ε-исчислении теории, специальные
аксиомы которой не содержат ε-термов, выводима какая-либо
формула, также не содержащая ε-термов, то найдется вывод этой
формулы, в который ε-термы вовсе не входят. Эта теорема,
таким образом, гарантирует элиминируемость ε-термов из
выводов, удовлетворяющих вышеуказанным условиям, и тем
самым обеспечивает непротиворечивость теории, основанной на
ε-исчислении, относительно той же теории, основанной на
обычной логике первого порядка. Но эта относительная
непротиворечивость, конечно, уже не может считаться установленной, коль
скоро ε-термы входят в аксиомы теории; и действительно, ни
для одной теории множеств, для которой аксиома свертывания
(или любой из ее вариантов) имеет место и для условий,
содержащих ε-термы, до сих пор не доказана относительная
непротиворечивость по отношению к соответствующей теории, в
которой такие условия не допускаются.
Вообще, хотя ε-исчислениям посвящены многочисленные
работы гильбертовской школы, возможности этих исчислений еще
не вполне ясны. Можно надеяться, что дальнейшему прояснению
ситуации будет способствовать возрождение интереса к таким
системам, проявляемое Хао Ваном и другими авторами2).
2. Онтология Лесневского. Пожалуй, ни одна страна не
внесла такого большого «на душу населения» вклада в
математическую логику и теорию множеств, как Польша.
Предоставляя социологии объяснение этого любопытного
обстоятельства, мы посвятим следующие два пункта этого
параграфа работам в области оснований теории множеств двух
самых оригинальных польских мыслителей: Станислава
Лесневского и Леона Хвистека. Оба они погибли во время второй
мировой войны. Многие важнейшие их сочинения были
написаны по-польски; стиль немецких статей Лесневского
представляет чрезвычайные трудности для читателя — некоторые
из них написаны на особом, непонятном для непосвященных,
символизме, с очень скупыми пояснениями на обычным языке;
Хвистек часто перемежает столь же эксцентричный символизм
туманными экскурсами в метафизику и философию
математики и вообще философию науки. Все это далеко не способ-
1) Не слишком подробное изложение обеих ε-теорем и их сравнение с
генценовской «основной теоремой» см. у Ладриера, 51 и 57. [ε-теоремы
подробно рассматриваются у Гильберта—Бернайса, 34—39ц; на русском языке
см добавление V (переводчика) к Клини, 57.]
2) Строгое и подробное рассмотрение ε-оператора дано Ассером, 57; см%
также Маэхара, 55, 57} и Расёва, 56.
15 Зак. 1765

226
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
ствовало знакомству западных логиков с работами Леснев-
ского и Хвистека. Безвременная смерть обоих ученых (причем
погибли и самые одаренные ученики Хвистека) еще более
усугубила эти трудности. В высокой оригинальности вклада этих
мыслителей в разработку оснований математики нет никаких
сомнений. В последнее время на западноевропейских языках
появилось несколько серьезных работ, посвященных изложению
учения Лесневского1); основная работа Хвистека переведена на
английский язык2), кроме того, по-английски же написан весьма
понятный ее реферат3). Таким образом, похоже на то, что
теперь возрождается интерес к работам этих двух логиков, уже
обогативших мышление многих ученых, занимающихся
проблемами оснований.
В настоящем подпараграфе будет дан самый краткий
набросок той части системы Лесневского, которая ближе всего
относится к теории множеств; следующий подпараграф
выполни? ту же задачу для системы Хвистека.
Лесневский4) назвал онтологией ту часть своей системы,
которая имеет дело с логикой частицы 'есть1 (is), или, точнее,
польской частицы 'jest'. Хотя эта теория действительно
рассматривает в некотором смысле «общие свойства бытия», термин
'онтология' не подразумевает никаких дополнительных
метафизических значений. Другие авторы, желая явным образом
предостеречь от таких побочных толкований, предпочитают термин
исчисление имен (calculus of names)5). В рамках всей системы
Лесневского онтология занимает промежуточное положение:
она основана на прототетике (prosthetics) 6), т. е. на
обобщенном пропозициональном исчислении7), и служит в свою очередь
основой для мереологии (mereology) 8), рассматривающей
отношение части и целого9). (Лесневский не нуждается в
функциональной логике, поскольку предикатная часть этого разде-
1) Собоцинский, 49—50, Слупецкий, 53, 55; Гжегорчик, 55.
2) Хвистек, 48. Внимательного прочтения заслуживает предисловие Элен
Броди, хотя и нуждающееся в некоторых оговорках
3) Майхилл, 49.
4) См Лесневский, 27—31 ν, 30.
5) Так поступает, например, Котарбинский, 29
6) Лучшее изложение этой системы см у Слупецкого, 53; ср. также Тар-
ский, 56, глава IV (английский перевод статьи *Лукасевича— Тарского, 1),
§ 5; Гжегорчик, 55, стр. 80 и ел.; Чёрч, 56, § 28 (Чёрч предпочитает термин
protothetic — без V)
7) Обобщение состоит во введении кванторов для переменных
высказываний (аксиомы и правила для этих кванторов сходны с обычными).—
Прим. ред.
8) См., Гжегорчик, 55, стр. 91 и ел.; Собоцинский, 55; Леевский, 55.
δ) Ср. работы °Рвачева, 64, 64а. — Прим. перев.

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 227
ла обычной символической логики включается в онтологию, а
квантификация рассматривается уже в прототетике.)
По сравнению с прототетикой в онтологии имеется в
точности один новый первоначальный термин, одна новая аксиома
и несколько дополнительных правил вывода. Этот
первоначальный термин — ' £'; предназначается он, однако, не для
символизации отношения принадлежности классу, а, скорее, как
символический аналог частиц обычных языков: 'jest' (по-польски),
или 'est' (по-латыни), или, в меньшей степени, 'is'
(по-английски) !). Многие современные логики настойчиво подчеркивают
неоднозначность смысла этой связки традиционной логики;
например, английский термин 'is' употребляется и для
обозначения отношения принадлежности классу, и для
отношения включения в класс, и для отношения тождества (а при
случае несет, возможно, и другие функции); примерами могут
служить его употребления соответственно в предложениях:
'Socrate is wise' ['Сократ мудр'2)], The dog is an animal'
['Собака— животное'2)] и 'Socrate is the husband of Xantippe'
['Сократ— муж Ксантиппы'2]. Лесневский исходит из
противоположной концепции, согласно которой польское 'jest' и
латинское 'est* следует независимо от ситуации в английском языке
считать недвусмысленными. (Это различие обусловлено тем
обстоятельством, что в английском языке — в отличие от
польского и латинского — имеются определенный и неопределенный
артикли, которые в одних контекстах обязательны, например
'Socrate is .. . man', 'The dog is . . . animal', 'Socrate is ...
husband of Xantippe', а в других предложениях не нужны, что еще
более запутывает ситуацию: 'Socrate is white' ['Сократ сед'] и
Tully is Cicero' ['Туллий — это Цицерон']; в качестве
соответствующих латинских предложений можно в первом случае взять
'Socrates est homo' [Сократ—человек'], 'Canis est animal'
['Собака — животное'], 'Socrates est coniunx Xantippae' ['Сократ —
муж Ксантиппы'], а во втором — 'Socrates est albus' ['Сократ
сед'] и 'Tullius est Cicero' [Туллий — это Цицерон]. Избавим
читателя от соответствующих польских предложений3).)
!) И, конечно, русского 'есть'; см. следующие примечания к этому
абзацу. — Прим. перев.
2) В пределах этого подпараграфа слова, стоящие в квадратных скобках,
следует рассматривать лишь в качестве пояснений к соответствующим
английским и латинским примерам, которые для правильного их понимания
приходится воспроизводить буквально. — Прим. перев.
3) При переводе, однако, пришлось добавить русские эквиваленты
приведенных примеров. Как видно из предыдущих рассмотрений, употребления
русского 'есть' аналогичны скорее употреблениям соответствующих связок в
польском и латинском, нежели в английском языке. Впрочем, от всех рас-
15*

228
Гл. III. Теоретико-типовые подходы
Лесневскому с помощью его аксиомы удалось выразить его
собственное понимание термина * £ ', являющееся, так сказать,
конгломератом упомянутых трех значений этого термина. При
этом ему удалось избежать возникновения антиномий. Более
того, легко доказывается непротиворечивость онтологии
относительно прототетики. Единственная исходная онтологическая
аксиома Лесневского *), несколько видоизмененная
применительно к нашим обозначениям (сам Лесневский, впрочем, вряд ли
согласился бы с таким видоизменением), выглядит так:
& (Ay) (y£x=>y£ w).
Таким образом, по Лесневскому — с учетом того, что все
символы в этой аксиоме, кроме * £ ', интерпретируются обычным
образом, — 6 -предложение может быть истинным лишь тогда,
когда слева от ' ζ ' стоит непустое единичное имя (это видно
из рассмотрения первого и соответственно второго
конъюнктивного членов правой части эквивалентности). Так, например,
предложения вроде 'Hamlet est albus' [Гамлет сед'] или 'Canis
est animal' ['Собака — животное'] считаются ложными: первое
в силу того, что имя 'Hatnlef пусто (т. е. ничего не
обозначает2), а второе ввиду того, что 'canis' есть общее имя.
То, что теорию семантических категорий Лесневского никоим образом
нельзя трактовать просто как что-то вроде обобщенного лингвистического
аналога простой теории типов2), явствует из того обстоятельства, что
символы, стоящие по разные стороны от * ζ ' Лесневского — точно так же как
и их аналоги в обычных языках, — входят всегда в одну и ту же
семантическую категорию, даже если стоящий справа от ' £ ' символ есть символ
класса: 'Socrates' и 'homo' в предложении 'Socrates est homo' входят в одну
и ту же семантическую категорию, а именно категорию имен, в то время
как для Рассела денотаты этих двух слов, т. е. Сократ и класс людей,
принадлежат различным типам.
сматриваемых частиц 'есть' резко отличается тем, что в разговорном (и
литературном — в отличие от специального научного) языке это слово, как
правило, опускается (в настоящем времени изъявительного наклонения) и
лишь подразумевается в контексте (или заменяется тире или синонимами
типа 'является', 'представляет (собой)' и т. п.); сказанное, конечно, относится
и к связке множественного числа — 'суть'. Все это, хотя и общеизвестно,
порождает много сложных вопросов, затрудняющих понимание примеров. —
Прим. перев.
1) Ср. Слупецкий, 55, стр. 20.
2) Такое впечатление могло бы возникнуть при поверхностном чтении
Тарского, 56, стр. 213 и ел, или Собоцинского, 49—50, часто употребляющих
выражение 'categories semantiques (types logiques)' ['семантические категории
(логические типы)' (франц.). — Перев.] (а ведь Тарский и Собоцинский —
одни из самых видных учеников Лесневского). Ср., однако, примечание
Тарского, 56, на стр. 213, из которого нельзя не увидетц что действительное
положение вещей Тарскому абсолютно ясно.

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 229
Ввиду того что Лесневский не предназначает * £' для
символизации отношения принадлежности, его онтологию
правильнее рассматривать не как вариант теории множеств, а как ее
конкурента в деле обоснования математики. Такая точка
зрения не исключает того, что аналоги многих
теоретико-множественных аксиом оказываются — после некоторой трансформации
обозначений — онтологическими теоремами, а онтологическая
аксиома могла бы быть преобразована в какую-либо аксиому
теории типов. Последняя возможность легко реализуется
посредством интерпретации 'х£ш' как 'х есть единичный класс
индивидов, w есть класс индивидов и x£kw\
Насколько серьезным конкурентом теории множеств
является или могла бы стать онтология — это вопрос, на который
пока еще очень трудно ответить. Однако Лесневскому удалось
показать, что обычные рассуждения, приводящие к логическим
антиномиям, не могут быть воспроизведены в его системе ни в
одной из их естественных перефразировок; часть аналогов
таких рассуждений проваливается при попытке приспособить их
к правилам теории семантических категорий, для других
необходимы определенного рода шаги, невозможные в онтологии1).
В заключение этого беглого очерка отметим, что Лесневский
подробно рассматривал и возможные онтологические аналоги
аксиомы свертывания, называя их псевдоопределениями2).
3. Системы Хвистека и Майхилла. После многолетних усилий,
сопровождавшихся неоднократными изменениями взглядов,
Хвистек — замечательный польский логик, о котором мы уже
говорили как о первом серьезном критике разветвленной
теории типов Рассела3), — пришел, наконец, к построению
системы, которая, будь она изложена не на таком туманном
языке и в менее отпугивающей терминологии и символизме, могла
бы оказать решающее влияние в деле реконструкции
математики на непротиворечивой «конструктивной» основе.
Окончательная редакция этой системы Хвистека увидела свет в
посмертно изданной его книге The Limits of Science (Границы
науки) в 1948 г. Книга эта настолько отличается от польского
оригинала {Grantee Nauki, 1935), что ее никоим образом не
следует считать просто переводом. К счастью, Хвистек нашел в
наши дни конгениального интерпретатора в лице
американского логика Майхилла, которому удалось приблизить идеи
1) Исчерпывающее обсуждение этого вопроса см. у Собоцинского, 49—50.
2) О значении употребления Лесневским псевдоопределений для
формулировки функционального исчисления второго порядка см. Генкин, 53.
3) См. примечание на стр. 189.

230 Гл. 111. Теоретико-типовые подходы
Хвистека к основным направлениям современной мысли.
Впрочем, даже при этих условиях не представляется возможным
описать здесь подход Хвистека сколько-нибудь подробно.
Отметим поэтому лишь, что теория множеств Хвистека есть
разновидность «инвертированной» {inverted) разветвленной
теории типов, в том смысле, что у классов всегда есть члены,
принадлежащие «более высоким» типам, чем сами классы. Кроме
того, типы кумулятивны — как, например, в системе Σ Хао
Вана (§ 6) или в некоторых системах, описанных Куайном,—
но опять-таки в обратном направлении, τ е. каждый предмет
принадлежит всем типам, более низким, чем любой из типов,
которому он принадлежит. Присоединяя к этой разветвленной
теории типов некоторый вариант аксиомы сводимости, Хвистек
получает то, что он называет чистой (риге) теорией типов, для
которой легко доказывается непротиворечивость; присоединяя
другой вариант аксиомы сводимости, он получает упрощенную
{simplified) теорию типов, которая, однако, оказывается
несовместимой с некоторой сильной метасистемой. Чистая теория
типов Хвистека (в поздних ее редакциях) выглядит достаточно
похожей на РМ, для того чтобы построение на ее основе
классического анализа было вполне правдоподобным. Выполнение
этой программы означало бы поэтому доказательство
непротиворечивости классического анализа на базе
«номиналистических»1) предпосылок, в надежности которых — в каком-либо
серьезном смысле — вряд ли можно усомниться.
Эту программу пытался выполнить в неоконченной серии
статей Майхилл2). Система Майхилла есть инвертированная
кумулятивная теория типов со всевключающим типом 0, но без
самого высокого типа. От парадоксов типа порочного круга
избавляются при помощи соглашения, согласно которому
никакое выражение, содержащее какую-либо квантифицируемую
переменную, не может быть значением этой переменной. (В
системе Майхилла — так же как и в системе Хвистека —
значениями переменных служат сами выражения, а не то, что они
обозначают; эта любопытная особенность непротиворечивым
образом проходит сквозь всю систему, не вовлекая
Майхилла, — равно как и Хвистека, вопреки распространенному
мнению, — в ошибки, обусловленные «смешением употребления и
упоминания знаков».) Майхилл пользуется нефинитным
отношением следствия, согласно которому некоторые формулы
считаются следствиями определенных классов формул. Это, ко-
λ) По поводу этого термина см. последний параграф книги. — Прим. перев.
2) См. Майхилл, 49, 51, 51а. [Явная путаница в обозначениях мешает
разобраться в работе Майхилла, 51. — Ред.]

§ 1L Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 231
нечно, означает, что система Майхилла, хотя в известном
смысле и номиналистична, но уж никак не является
конструктивистской. Непротиворечивость этой системы можно доказать
аналогично тому, как это делается в доказательстве Фитча
(стр. 188, примечание 1), по трансфинитной индукции (по
крайней мере до ε0). Можно показать, что в этой системе имеет
место некоторый аналог аксиомы сводимости. В заключение Май-
хиллу удается вывести в своей системе (подчиненные типовым
ограничениям) аналоги аксиом теоретико-множественной
системы Бурбаки4) (дополненной аксиомой подстановки),
включая аксиому выбора и аксиому бесконечности, но без аксиомы
объемности. Любопытно, что Майхилл считает весьма
неправдоподобным, чтобы анализ нуждался в принципе объемности,
находясь, вероятно, в этом отношении под влиянием Хвистека,
который расценивал этот принцип как продукт
метафизического идеализма. По-видимому, однако, Майхиллу пока еще не
удалось окончательно доказать, что в неэкстенсиональной2)
теории множества Бурбаки имеется модель для
соответствующей экстенсиональной теории множеств3).
4. Система Фитча. Непрерывно усовершенствуя в течение
многих лет свои более ранние попытки, Ф. Б. Фитч опубликовал
в конце концов учебник под названием Symbolic Logic4), где
разработал новый, во многих отношениях отличающийся от
общепринятых, подход к предмету, обещая опубликовать в
дальнейшем продолжение, посвященное подробному выводу
важнейших теорем математического анализа 5) средствами своей
системы. Нам незачем здесь входить в детали многочисленных
новшеств Фитча, касающихся обозначений, а также
нововведений педагогического характера. Отметим лишь, что в системе
Фитча нет переменных — ни свободных, ни связанных;
например, класс предметов, больших чем 2, обозначаемый обычно
через ix(x>2)1 или 'λχ(χ>2)\ Фитч записывает просто как
(3/3>2) или даже (Цезарь/Цезарь>2). В этой системе не
!) Описанной в статье Бурбаки, 49.
2) Τ е. такой, в которой принцип объемности не имеет места. — Прим. перев.
3) Такова была одна из задач, поставленных в работе Майхилла, 51а
(стр. 135)
4) Фитч, 52. О более ранних попытках см. *Фитч, 8, 9, 10.
5) Из последних работ Фитча, содержащих дальнейшее развитие его
системы Basic Logic [«базисной логики»; см., например, Фитч, 58 и
упоминаемую в дополнительной библиографии (стр. 465 настоящей книги) работу
Фитча 1948 г. — Перев.], но в которых он пока еще не выполнил своего
обещания, упомянем лишь статью 56, в примечании 1, к которой имеются
дальнейшие ссылки.

232
Гл. Ill Τ еоретшо-типовые подходы
вводятся никакие типовые ограничения, но, с другой стороны,
не принимается и общее правило исключенного третьего, равно
как и принцип экстенсиональности. Последнее обстоятельство
обусловливает чрезвычайно осторожную трактовку равенства,
согласно которой предложение о равенстве верно в томи только
том случае, когда обе его части, записанные в несокращенной
форме, графически совпадают; иначе говоря, графически
различные выражения, составленные из первоначальных
терминов, не могут быть логическими синонимами. (Из этого,
помимо всего прочего, вытекает требование рассматривать
одно из только что упомянутых выражений '(3/3>2)' и
'(Цезарь//Цезарь>2)' как «сокращение» другого или оба эти
выражения как «сокращения» некоторого произвольно
выбранного выражения вида '(.../... > 2)'.)
Предотвращение антиномий основывается либо на том
обстоятельстве, что необходимые для них выводы не
удовлетворяют упомянутым ограничениям, накладываемым на методы
доказательства (таким путем устраняется парадокс Карри1) —
вариант парадокса Рассела, особенно интересный тем, что в
нем не используется отрицание), либо же на простой идее
рассматривать каждую антиномию в качестве доказательства того
факта, что связанное с данной антиномией предложение не
удовлетворяет принципу исключенного третьего. Например, в
парадоксе Рассела (в его первоначальной форме, но в
обозначениях Фитча) идет речь о классе (или свойстве) (х/ ~[х £х]),
(где V не есть переменная), обозначаемом, скажем, через 'Ζ',
в связи с которым доказывается, что [Z £Z]=~[Z£ Ζ]. Но эта
эквивалентность сама по себе вовсе не парадоксальна; она
становится таковой лишь в предположении, что высказывание ΖζΖ
удовлетворяет принципу исключенного третьего, т. е. что имеет
место [Z £Z]V ~[Z £ Ζ]; в таком случае из написанной выше
эквивалентности действительно легко выводится парадоксальное
высказывание [Ζ £Ζ]&~[Ζ £ Ζ]. Поскольку Фитч претендует на то,
что ему удалось показать непротиворечивость его системы, он
может заключить на этом основании, что Z£Z есть одно из тех
высказываний, для которых принцип исключенного третьего не
имеет места2). Такие высказывания он называет
неопределенными {indefinite) — не следует смешивать это понятие с рассе-
1) Этот парадокс был найден Карри, 42. Роль расселовского класса всех
классов, не содержащих самих себя в качестве членов, здесь играет класс
всех таких классов, что если они содержат самих себя в качестве членов, то
истинно некоторое произвольно выбранное предложение. Полный
формальный вывод этого парадокса см. у Фитча, 52, стр. 107—108.
2) Этот способ устранения парадокса Рассела основан на том, что в
многозначных логиках эквивалентность Л ΞΞ ~ А не обязательно противо-

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 233
ловским термином бессмысленность {meaningless)1).
Аналогичным образом преодолевается и антиномия лжеца. Эта
антиномия как раз и показывает, что высказывание, выражаемое
предложением 'Это высказывание само ложно', есть
неопределенное высказывание. Никаких структурных критериев, по
которым предложения, выражающие определенные высказывания,
могли бы отличаться от предложений, выражающих
неопределенные высказывания, не дается. Конечно, это является
недостатком, хотя ке столько по отношению к естественным языкам,
для которых и не следовало бы рассчитывать на эффективный
критерий такого рода2), сколько по отношению к языковым
системам. Впрочем, ничего страшного в этом все же нет,
особенно если доказуема непротиворечивость такой системы,
поскольку в этом случае имеется по крайней мере достаточное
условие неопределенности высказывания, заключающееся в том,
что из предположения о его определенности можно вывести
противоречие. Кстати, у Фитча имеется правило исключенного
третьего для равенства, согласно которому каждое
высказывание вида [а = Ь] является определенным.
Главные причины, из-за которых Фитч отказывается от теории
типов, состоят, с одной стороны, в том, что некоторые виды
самоприменимости нужны в философской логике, а также
необходимы для построения теории действительных чисел, а с
другой стороны, в том, что сама эта теория не может быть
сформулирована без нарушения ее собственных требований3).
Фитч утверждает, что для его системы можно доказать
непротиворечивость. Это достигается при помощи специальных
ограничений на методы доказательства. Ограничения эти, одна-
речива. Например, в трехзначной логике возможно, что Л и ~А
эквивалентны (и имеют значение, отличное как от истины, так и от лжи). Эта идея
была использована Бочваром, 43, Сколемом, 57, и др. (см. дополнительную
библиографию).
Ввиду того что для вывода парадокса Рассела достаточно тех
логических постулатов, которые принадлежат минимальному исчислению предикатов,
закон исключенного третьего не требуется для этой цели (ср. примечание
переводчика к стр. 17 и 19). Из сказанного следует, что некоторые из этих
постулатов должны нарушаться в многозначных логиках, позволяющих
исключить парадокс Рассела (например, в тех, в которых доказуема формула,
приводящая к противоречию в минимальном исчислении). — Прим. ред.
1) Равно как и с упоминавшимся выше (стр. 216) карнаповским
термином 'неопределенный'.
2) Ср. Бар-Хиллел, 57а.
3) Возражение это часто выдвигалось (например, Вейссом, 28) и столь
же часто опровергалось. Хотя, конечно, с чисто формальной точки зрения
оно лишено смысла, некоторое эвристическое значение за ним сохраняется.
Пожалуй, этим в основном и объясняется нерасположение столь многих
мыслителей к теоретико-типовым системам; ср. Гёдель, 44, стр. 49.

234
Гл. Ill Теоретико-типовые подходы
ко, — независимо от того, насколько они сами по себе
оправданы,— таковы, что с их принятием из истинности
импликации и ее антецедента не всегда удается прийти к
заключению об истинности ее консеквента, а из истинности каких-либо
двух предложений — об истинности их конъюнкции:
приходится еще, вообще говоря, принимать в расчет тот способ,
которым были получены посылки этих выводов. Таким образом,
значение формулы должно отчасти определяться конкретным
способом ее вывода — идея, мягко говоря, несколько
вычурная *).
Кроме того, предложенное Фитчем доказательство
непротиворечивости его системы, по-видимому, не вполне
конструктивно — оно, в известном смысле, имеет круговой характер.
В решающем пункте этого доказательства
используется—металогически—рассуждение, состоящее в переходе от '(Ах) (р\/ F(x)Y
к t p\J {kx) F (χ)'\ такой переходе конструктивной точки зрения
не является законным2) (и отвергается, например, в
интуиционистской логике). Между прочим, это металогическое
рассуждение Фитч использует для доказательства того факта,
что рассуждения подобного вида в самой системе
элиминируемы 3).
Система Фитча — одна из многочисленных предложенных за
последние десятилетия для борьбы с антиномиями систем,
авторы которых отказываются от классического функционального
исчисления первого порядка. Система Фитча отличается от
других тем, что при избранном им пути построения
пропозиционального исчисления принцип исключенного третьего в нем,
вообще говоря, не верен. Это, конечно, сразу наводит на мысль
об интуиционистской логике, подробно рассматриваемой в
следующей главе. Логика Фитча, однако, отнюдь не совпадает с
интуиционистской логикой, в том виде, как та формализована
Гейтингом4).
Ни логика Фитча, ни интуиционистская логика, разумеется,
не двузначны. Не являются они и трехзначными:
неопределенность— в смысле Фитча —не есть третье истинностное значение,
которое можно было бы рассматривать наряду с истин-
1) Близкая идея могла бы, впрочем, оказаться весьма перспективной в
лингвистике; ср. Хомский, 57.
2) В оригинале 'constructively valid' (конструктивно общезначимым), но
термин этот уместнее по отношению к соответствующей импликации, а не
к металогическому переходу от формулы к формуле. — Прим. перев.
3) Все эти критические замечания были высказаны Аккерманом в его
реферате на книгу Фитча, 52, в Journal of Symbolic Logic, 17 (1952),
стр. 266—268
4) Система Фитча имеет много общего с системой, разработанной
Аккерманом, 50; ср. также Аккерман, 52—53, и Гриз, 55.

§ ίί. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 230
ностыо и ложностью. О трехзначных —и вообще о
многозначных—логиках пойдет речь в следующем разделе этого
параграфа.
5. Многозначные логики. Представляется довольно
естественным искать причину появления антиномий и в несколько другом
направлении: в большинстве антиномий (если не во всех)
основное противоречие имеет вид (или может быть представлено
в виде) эквивалентности между некоторым предложением и
его отрицанием. Например, заключительное выражение в
выводе антиномии Рассела обычно является разновидностью, или
сокращением эквивалентности
[χ(χ(£χ)£χ(χ(£χ)]έξξ — [х(х^х) £х(х(Цх)]\
заключительный шаг вывода антиномии Греллинга есть нечто
вроде 'гетерологичное' гетерологично =~ ('гетерологичное' ге-
терологично) и т. п. Но такие предложения выражают
противоречие лишь при том, например, условии, что логика языка,
на котором они сформулированы, есть классическая
двузначная логика, в которой любое предложение вида
действительно самопротиворечиво. Однако в некоторых
многозначных логиках, т. е. в логиках, для которых не имеет места
метапринцип, согласно которому каждое (замкнутое)
предложение имеет в точности одно из двух истинностных значений,
при некоторых естественных интерпретациях 'отрицания' и
'эквивалентности' предложения указанного вида уже не являются
самопротиворечивыми. Известны такие трехзначные логики,
в которых отрицание предложения, имеющего
«промежуточное» истинностное значение, само имеет это промежуточное
значение истинности (такова, например, знаменитая система L3
Лукасевича 1)), так что в этом случае предложение оказывается
эквивалентным (по истинностному значению) своему отрицанию.
Значит ли это, что многозначные логики свободны от
антиномий? Такой вывод был бы опрометчив. Хотя выводы таких
парадоксов, как парадоксы Рассела и Карри, как будто бы
действительно не проходят2), можно показать, что в теории
множеств, допускающей неограниченное свертывание и
основанной на определенного рода многозначных логиках (например,
на упомянутой системе L3), выводим парадокс типа парадокса
Карри 3).
1) См Тарский, 56, глава IV, 3.
2) См., например, Бочвар, 39, 43.
3) См. Шао Куэй, 54, Прайор, 55.

23б Гл. III. Теоретико-типовые подходы
Замена термина 'антиномия' на 'парадокс', уже производившаяся выше
(стр. 232) в связи с первым упоминанием о парадоксе Карри, не случайна.
Термин 'антиномия' — если следовать данному на стр. 11 определению —
неприложим как таковой к логикам, не содержащим отрицания, и к
многозначным логикам. Парадокс Карри состоит не в доказательстве
эквиполлентности двух противоречащих друг другу предложений — ведь эти понятия
связаны с (двузначным) отрицанием, — а в доказательстве любого
предложения (с помощью не внушающих опасений методов) и тем самым в
доказательстве (формальной) противоречивости системы (см. гл. V, § 4).
Впрочем, избавление от антиномий было отнюдь не
единственным поводом, побудившим логиков обратиться к
многозначным логикам. Многие логики трактовали многозначные логики
как чистые исчисления, не заботясь с самого начала об их
интерпретации и приложениях1). Другие ученые рассчитывали
на то, что такие логики могли бы быть полезны при анализе
некоторых тонких эпистемологических ситуаций, например при
рассмотрении истинностных значений предложений о еще не
наступивших случайных событиях2). Наконец, третьи
полагали, что с помощью специальных систем многозначной логики
удастся лучше объяснить некоторые феномены квантовой
механики, нежели средствами классической двузначной логики3).
Серьезных попыток построения теории множеств или
теории чисел на базе многозначной логики до сих пор не
предпринималось. Никаких априорно убедительных причин, по
которым какие-нибудь системы многозначной логики не могли бы
быть в этом отношении плодотворными и обеспечить надежный
фундамент теории множеств и вообще математики, не видно.
До тех пор, однако, пока приверженцы многозначных логик не
предложат как следует разработанной системы теории
множеств или арифметики, onus probandi4), несомненно, останется
на них, поскольку такие теории наверняка окажутся намного
более сложными, чем те, что известны сейчас5). До тех пор
1) Ср., например, Россер — Тюркетт, 52, Введение.
2) См, *Лукасевич, 3, а из более поздних публикаций — например,
Прайор, 53.
3) См. Рейхенбах, 47, и из многочисленных работ Ж- Л. Детуша и
П. Детуш-Феврие, посвященных этому вопросу, например Детуш-Феврие,
51а (и остро критическую рецензию на эту книгу, написанную Мак-Кинси и
Саппсом в Journal of Symbolic Logic, 19 (1954), стр. 52—55). По поводу
недавних попыток преодоления антиномий на основе «логики позиций» (logic
of attitudes), обнаруживающих известное родство с работами г-жи Детуш-
Феврие, см. Мох, 56, 56а, 56Ь.
4) Бремя доказывания (лат.) — юридический термин, применяемый при
формулировке одной из основных правовых концепций, так называемой
презумпции невиновности (нарушение которой, т. е. переложение бремени
доказывания невиновности на обвиняемого, приводит к судебному
произволу) . — Прим. перев.
5) Авторский критерий распределения onus probandi (см. предыдущее
примечание) более чем произволен (не говоря уже о юридической и логиче-

§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 237
пока это не произойдет, от окончательного суждения по этому
поводу разумнее будет воздержаться 1).
6. Комбинаторная логика. В заключение мы только упомянем
еще об одном методе построения логики, решительным
образом отличающемся от «стандартных». Это — так называемая
комбинаторная логика, разработанная Шейнфинкелем2) и
Карри3), чрезвычайно интересная разновидность современной
символической логики. Поскольку, однако, влияние
комбинаторной логики на основания теории множеств, по-видимому,
невелико, мы отметим здесь лишь недавнюю публикацию
Когана4), дающую ясное изложение существа самой
комбинаторной логики и некоторую формализацию теории множеств с
точки зрения этой логики.
ской несостоятельности доводов, основанных на посылках типа «...наверняка
окажутся...») — с какой, собственно, стати авторы «более сложных» систем
должны дискриминироваться? Не видно никаких разумных причин
оспаривать принцип достаточного основания, согласно которому onus probandi
в равной степени возлагается на автора любого (конечно, не
только математического) научного утверждения по требованию любого
слушателя или читателя. — Прим. перев.
1) После того как эта глава была уже сдана в печать, внимание
авторов привлекла работа Сколема, 57, в которой показано, что на основе бес-
конечнозначной логики можно без противоречий построить теорию множеств
с аксиомами свертывания, не содержащими кванторов, но в остальном
неограниченной. [О дальнейших результатах Чана, 63, см. дополнительную
библиографию. — Ред.]
2) *Шейнфинкель, 1.
3) *Карри, 2.
4) Коган, 55. Когда эта книга сдавалась в печать, книга Карри — Фейса,
58, еще не была доступна авторам. [Как уже упоминалось на стр. 126, °Титге-
мейер, 61, обнаружил в этой системе Когана противоречие. — Ред.]

ГЛАВА
IV
ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ
КОНЦЕПЦИИ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Историческое введение.
Пропасть между дискретностью и непрерывностью
Аксиоматизация теории множеств (гл. II) претендует на
устранение антиномий путем ограничения понятия множества,
или ограничения употребления этого понятия в математике —
ограничения до такого объема, который соответствует этой
цели; при этом, однако, структура теории не подвергается
коренным изменениям. С точки зрения логицизма (гл. III)
антиномии— это симптомы, свидетельствующие об определенном
неблагополучии не только в самой теории множеств, но и в
существе применяемых в математике методов; исходя из этого,
логицисты считают, что порочна не столько сама математика,
сколько логика и ее использование для математических нужд,
и предлагают предпринять глубокую реформу логики, которая
заодно уже привела бы и к преодолению антиномий.
Позиция, описываемая в настоящей главе, гораздо более
радикальна как по характеру своей концепции, так и в
отношении вытекающих из нее следствий. Математики,
придерживающиеся этой позиции, утверждают, что в математике —
особенно в современной математике — недостаточно обоснованы
понятие бесконечности и вытекающие из него следствия; в то
же время они признают, что для математики — в отличие от
почти всех других наук — это понятие является настолько
жизненно необходимым, что огромное большинство
математических фактов, не имеющих отношения к бесконечности, едва ли
не тривиально. По мнению этих математиков, в анализе и
геометрии по ходу их развития с XVII столетия, а особенно с
начала XIX столетия, особый характер понятия бесконечности и
его следствий совершенно игнорировался, так что слывшие
строгими методы теории действительных чисел и анализа,
введенные в математику в XIX веке1) —от Коши до Вейерштрас-
]) По поводу истории взаимоотношений между понятием бесконечности
и требованием строгости математических доказательств, ср. *Пирпонт} 2.

§ 1. Историческое введение
239
са и Кантора, — не только не достигали поставленных перед
ними целей, но привели к созданию разработанной системы,
основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться
с бесконечностью с помощью средств, выработанных для
конечных совокупностей. Таким образом, возникла некая ложная
концепция математики в целом.
Согласно этой точке зрения, антиномии, обнаруженные на
рубеже XIX и XX столетий, были всего лишь второстепенным
симптомом неблагополучия, обнаружившимся притом в
довольно случайном месте; на самом деле они обусловлены
хрупкостью гораздо более «важных» областей, чем теория
множеств или логика. То, что противоречия обнаружились именно
в теории множеств, обусловлено тем обстоятельством, что ни в
какой другой области математики бесконечность не
применяется так широко и столь неограниченным образом. Но, как
бы то ни было, противоречия вызваны традиционным
употреблением понятия бесконечности как такового, а не трактовкой
этого понятия, специфичной именно для теории множеств.
Расценивая, таким образом, антиномии как некий сигнализирующий
о неблагополучии симптом, мы приходим к необходимости
реформы всей математики в целом; такая реформа должна
исключить из математики не только все известные до сих пор
антиномии, но и вообще любые мыслимые антиномии.
Следует еще отметить, что понятие бесконечности в теории
множеств приобретает особое значение в связи с одним из
самых запутанных и давних понятий науки — понятием
непрерывности. Действительно, континуум является той самой
областью, к которой относятся анализ и большая часть
геометрии1). Но в геометрии и анализе континуум с самого начала
рассматривается в качестве исходной области2), тогда как
теория множеств отваживается строить континуум3), используя
специальный вид более общего метода (множество-степень,
диагональный метод, теорема Кантора; см. Т, стр. 63, 94—97,
151) —одного из самых сильных и в то же время одного из
самых рискованных методов этой теории. При этой процедуре
исходят из дискретной (разрывной) совокупности, например
счетного множества всех целых чисел или изолированных точек
1) В этой фразе имеется ъ виду, конечно, не мощность континуума, а
объединяемые этим термином различного рода «непрерывные» множества,
рассматриваемые в геометрии и анализе (имеющие эту мощность). Связь
с предыдущей фразой в оригинале более явственна благодаря родству слов
'непрерывность' (continuity) и 'континуум'. — Прим. перев.
2) Речь идет о неаксиоматизированном изложении геометрии и
анализа. — Прим. перев.
3) Здесь уже можно иметь в виду оба упомянутых в примечании I
смысла термина 'континуум'. — Прим. перев.

240 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
прямой. (Здесь мы отвлекаемся от порядковых свойств
континуума; впрочем, учет этих свойств — как в Г, стр.288 —не
меняет картины.)
Конечно, упомянутый выше исходный пункт этого
построения сам представляет собой бесконечное множество. Но этот
тип бесконечности — в том или ином мыслимом его виде,
скажем в связи с методом математической индукции, — есть
подлинная основа математики. Поскольку эта бесконечность
представляет собой conditio sine qua поп1) математических
рассуждений, то проблема состоит не в том, принимать ли ее, а в
том, каким образом это делать. В настоящей книге как раз и
представлены различные точки зрения по этому вопросу:
аксиоматическая, платонистская, логицистическая,
интуиционистская и метаматематическая — и излагаются соответствующие
методы.
Преодоление пропасти между областью дискретного и
областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией,
есть одна из главных — пожалуй, даже самая главная —
проблем оснований математики2). Кантор, коль скоро он
некоторым образом претендовал на построение «классического»
анализа, претендовал тем самым и на преодоление этой пропасти;
самая резкая критика этих претензий исходила от
интуиционистского направления.
Чтобы уяснить сущность обсуждаемой проблемы, надо как
следует осознать коренное различие3) между дискретной,
качественной, индивидуальной природой числа в
«комбинаторном» мире счета (арифметика) и непрерывной,
количественной, однородной природой пространства4) в «аналитическом»
мире измерения (геометрия). Каждое целое число отличается
от любого другого целого числа характерными
индивидуальными свойствами — подобно тому как различаются между
собой люди, — в то время как континуум представляется
аморфным скоплением точек, совершенно равноправных друг другу
во всех отношениях. (И не удивительно, что аксиоматический
метод был вначале применен к описанию пространства, а не
1) Непременное условие (лат.). — Прим. перев.
2) См. *Шевалье, 1, где эта проблема рассматривается во всей ее
общности, а не только в математическом и физическом аспектах; ср. также
*Берри, 1; *Х. Т. Дэвис, 1; *Френкель, 16 и 20; *Ясиновский, 1; *Йорген-
сен, 3; *Ребек, 1.
3) Ср. *Фройденталь, 1; *Вейль, 9 и 11; в первой статье проводится
также аналогия с музыкой.
4) Конечно, не обязательно считать элементами пространства именно
точки. То же самое относится и к времени. (Вместо 'точек', очевидно,
можно говорить 'действительными числами'.)

§ 1. Историческое введение
241
числа, поскольку характер последнего скорее предполагает
некоторую конструкцию.)
Преодоление пропасти между этими двумя столь
различными областями — не только главная, но и древнейшая
проблема оснований математики и соответствующих разделов
философии. Открытие в пятом столетии до н. э. несоизмеримых
величин (некоторое время скрывавшееся математиками, дабы
оно не вызвало раздражения профанов) положило начало
первому кризису в основаниях математики, особенно
ощущавшемуся пифагорейцами1). Кризис этот, очевидно, был
удовлетворительным образом разрешен самими греками. Второй
кризис, вызванный трактовкой непрерывности в классическом и
современном анализе, преодолен, по-видимому, в 60—70-х годах
прошлого века. Фанатический призыв Кронекера (стр.245)
признавать только целые числа, а все остальные числа изгнать из
математики остался в то время гласом вопиющего в пустыне.
Как уже отмечалось, начало третьего кризиса оснований
математики (не преодоленного и до сих пор) связывают
обычно с открытием антиномий теории множеств, т. е. с рубежом
прошлого и нынешнего столетий. Однако подлинное
потрясение наступило несколькими годами позднее в виде реакции на
первое цермеловское доказательство теоремы о вполне
упорядочении (1904; ср. стр. 99—100); а уже в 1907 г. по всему фронту
началось наступление неоинтуиционистов на классическую
математику, которому и посвящена главным образом настоящая
глава. Теперь уже роль не только теоретико-множественных
антиномий, но и вообще любых противоречий была сведена к
роли симптомов, свидетельствующих о неадекватности
классической математики, проявляющихся в первую очередь,
естественно, в окраинных областях математики; но если бы
антиномии и не были обнаружены, положение было бы не менее
бедственным.
В ходе дискуссий, длившихся на протяжении последних
десятилетий, становилось все более очевидным, что теперешние
трудности теснейшим образом связаны с теми, что уже дважды
казались преодоленными, а именно с загадками пифагорейцев
и элеатов и затруднениями, с которыми столкнулись
французская и германская школы теории функций. Характер
рассуждений теперь, конечно, изменился, но трудности, как и
прежде, возникли в связи с пропастью между дискретным и
непрерывным— этим неизменным камнем преткновения,
играющим в то же время чрезвычайно важную роль в математике,
]) Аристотель противопоставляет дискретным понятиям сознания
(мышление, счет) понятия внешнего мира, представляющиеся непрерывными.
16 Зак. 1765

242 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
философии и даже физике. И как раз те самые
арифметические теории действительных чисел, создание которых, по
мнению предыдущего поколения, подвело базу под анализ,
подверглись теперь нападкам интуиционистов.
Надо сказать, что с самого начала совсем не очевидно,
какую же из этих двух столь не похожих друг на друга как по
структуре, так и методам исследования областей следует
выбрать в качестве исходной. Конечно, дискретное более доступно
логическому анализу; тенденция к арифметизации !), лежащая
уже в основе зеноновских парадоксов, оставила явственный
отпечаток на современной математике — ее можно ощутить
как в аксиоматической теории множеств (гл. II), так и в
метаматематике (гл. V). Мыслимо, однако, и обратное
направление, поскольку континуум, очевидно, охватывается
интуицией. Именно такого рода соображения главным образом и
побуждали греческих математиков считать непрерывность более
простым понятием, чем дискретность, и трактовать
комбинаторные понятия и факты с аналитических позиций. Следы
такого рода воззрений можно усмотреть и в высказываниях
некоторых интуиционистов; даже неоинтуиционизм Брауэра (ср. ниже,
§ 5) не вполне свободен от них. Вообще же интуиционизм
рассматривает арифметику (скажем, в облике математической
индукции) как источник не только первичных понятий, но и всей
математики (§ 5). Речь, таким образом, идет о том, чтобы
ограничить анализ, подчинив его «комбинаторным» методам.
Хотя такое интуиционистское ограничение понятия
континуума и его использования в анализе и геометрии
осуществляется разными интуиционистскими школами совершенно
различными путями, оно во всех случаях приводит к исключению
из геометрии и анализа их жизненно важных разделов. (Этого
не удается избежать и Брауэру, нашедшему своеобразный
выход из положения в принятии континуума per se2) как «среды
свободного становления».) Впрочем, интуиционисты
утверждают, что все законные математические методы укладываются и
в их ограниченную систему.
Желая показать необходимость предлагаемых ими
ограничений, интуиционисты подвергают критическому анализу
методы классической математики. В частности, они заявляют, что
таящиеся в понятии бесконечности опасности, вскрытые
математикой XVIII столетия и усугубившиеся затем в связи с
предложенным Дирихле общим понятием функции, были,
по-видимому, попросту замаскированы «классическими» теориями дей-
!)) * Лихтенштейн, 1 (особенно стр. 191), включает эту тенденцию в число
основных идей философии науки Э. Мейерсона.
2J Как такового (лат.). — Прим. перев.

§ 1. Историческое введение
243
ствительного числа, предела, непрерывности, интеграла и др.;
эти теории изобилуют логическими кругами и претендуют на
чрезмерную общность, что неизбежно приводит к
противоречиям. По мнению интуиционистов, никакого действительного
прогресса в деле укрепления основ классической математики
в XIX столетии достигнуто не было.
С другой стороны, интуиционисты заявляют, что их
ограниченная система достаточна для обеспечения нужд той науки,
которую как раз и было бы правильно именовать
«математикой»; правда, этот термин употребляется при этом в смысле,
резко отличающемся от традиционного. Заявление это надо
еще обосновать; пока это достигнуто лишь по отношению к
очень ограниченному кругу вопросов — посредством
обоснования арифметики, а также «осмысленных» разделов анализа
(в широком смысле, включая геометрию) и теории множеств с
помощью интуиционистски приемлемых математических
конструкций (ср. ниже, § 5 к 6).
Таким образом, в полную противоположность описанным в
гл. II и III «охранительным» мерам по ликвидации причин
опасностей, сказывающихся в возникновении
теоретико-множественных антиномий, направление, которому посвящена
настоящая глава, есть направление революционное,
провозглашающее коренную перестройку самой основы математики и ее
методов по крайней мере по сравнению с традицией последних
трех столетий. Более того, если бы интуиционистская точка
зрения вытеснила классическую, то, возможно, нескольким
поколениям математиков пришлось бы посвятить себя сохранению
и надежному обоснованию интуиционистскими методами тех
частей математики, которые новая концепция не посчитала бы
бессмысленными или ложными.
Группа математиков, известных под именем интуиционистов
или неоинтуиционистов ι), состоит из представителей нескольких
1) Последним термином пользуется Брауэр и его последователи. Во
французской литературе часто встречается термин 'прагматист' (например,
Пуанкаре) и 'реалист', оппоненты же при этом именуются 'идеалистами';
эта терминология может легко привести к путанице, поскольку термин
'реалист' в другом смысле применяется платонистами. Те авторы, которые
пользуются термином 'эмпиризм' (например, *Ривье, 1), по-видимому,
недостаточно правильно понимают кредо интуиционистов.
Термин формалисты, применяемый для именования оппонентов
интуиционизма, в частности по отношению к представителям гильбертовской
школы аксиоматики и метаматематики, обусловлен в основном полемическими
соображениями и не характеризует должным образом эту школу. На самом
деле воззрения «канторианцев», или логицистов, в гораздо большей степени
противоположны интуиционизму, нежели взгляды этих «формалистов»,
которые в некоторых отношениях являются более последовательными финити-
стами, чем сами интуиционистьь
16*

244 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
достаточно различных по своим взглядам направлений; она
образовалась в самом начале нынешнего столетия (если не
считать нескольких математиков, работавших еще в прошлом
веке). Термин этот связывается не с интуитивно-творческой
природой математических открытий или догадок — такой взгляд
достаточно общепринят1), — а с так называемой «изначальной
интуицией» (primordial intuition) (понятие, разъясняемое ниже
в § 5). Зачатки интуиционистских взглядов можно наблюдать
в самые ранние периоды математики, вплоть до античной
(греческой) 2).
Число ученых, придерживающихся интуиционистских
принципов,— не говоря уже о таких, которые действительно
сообразовывали применяемые ими математические методы с
интуиционистскими ограничениями, — было всегда невелико и
заметной тенденции к росту не проявляет. Но весьма
замечательно, что в это число входили такие выдающиеся математики
последних поколений из разных стран, как Кронекер,
Пуанкаре, Борель, Лебег, Брауэр, Вейль, Сколем3). Эти и другие
математики пришли к своим смелым идеям в значительной мере
независимо друг от друга; общим у них было лишь сознание
невозможности приспособиться к традиционным способам
математических рассуждений. Удивительнее всего то, что, находясь
в относительной изоляции, они выказывали полнейшую убеж-
*) Интуитивный характер математического творчества прекрасно
описывает такой далекий от интуиционизма математик, как Адамар (в *4).
2) Ср. *П. Бутру, 3 (особенно гл. IV); *0. Беккер, 2; *Ант. Реймон, 1,
а также *Ламуш, 1, и предисловие Адамара к книге Гонсета, 26. Анализируя
взгляды Аристотеля в области теории познания, Шольц, 30 (ср. О. Беккер,
36), приходит к выводу, что этот классик античной логики занимал до
некоторой степени неоинтуиционистскую позицию: интуиционистскую [в
позднейшем понимании. — Перев.] математику он склонен был бы считать επιστήμη
[(достоверным) знанием (греч.). — Перев.], а области математики, не
укладывающиеся в эти рамки, — лишь δόξα [мнением, предположением (греч.);.—
Перев.]. И у других греческих ученых, в том числе у Евклида, также можно
обнаружить черты интуиционизма; так, они строго различали возможность
построения и абстрактное существование (см., например, О. Беккер, 33). По
поводу этого различения в античной геометрии ср. *0. Гаупт, 2.
Такой взгляд на античную философию, по-видимому, противоречит
положению Брауэра (см. § 3), согласно которому классическая логика
получила свои принципы путем абстрагирования от свойств конечных
совокупностей.
Из предшественников современного интуиционизма можно также
упомянуть И. Бэрроу (учителя Ньютона) в связи с его критикой евклидовой
теории пропорций.
3) Высокоодаренный английский математик Ф. П. Рамсей
(занимавшийся в основном проблемами оснований и умерший в 1930 г. в возрасте
27 лет) на последнем этапе своей деятельности также проявлял склонность
к интуиционизму (по свидетельству *Б. Рассела, 10), хотя в своих более
ранних публикациях возражал против него. Ср. позицию Эрбрана.

§ 1. Историческое введение
245
денность в окончательной победе занимаемой ими позиции1).
Похоже было на то, будто эти идеи долгое время носились в
воздухе, но уловить их могли лишь люди, обладающие
достаточным чутьем. В разные времена природа рассуждений бывает
самой различной: они могут исходить из интуиции, носить
догматический характер, основываться на философских
соображениях, наконец, питаться строго математическими доводами.
Соответственно и различные оттенки интуиционизма, будучи
связаны лишь общностью основных идей, обнаруживают по
мере своего развития значительные расхождения.
Впервые в математике нового времени интуиционистские
идеи были высказаны в Берлине в 70—80-х годах прошлого
века Кронекером и несколькими его учениками2). Их
выступления против новых методов в теории действительных чисел и
теории функций, разработанных главным образом Вейерштрас-
сом и его школой, по существу, не имели, несмотря на большой
авторитет Кронекера, никакого успеха; главный и
прискорбный их эффект выразился в серьезном давлении, которому
подвергались идеи Кантора на протяжении двух десятилетий.
Победа осталась за теорией действительных чисел, теорией
функций и теорией множеств; на фоне триумфальных успехов
анализа даже теоретико-множественные антиномии,
обнаруженные в первые годы нашего столетия, не вызвали вначале
никакой тревоги, кроме разве что некоторого беспокойства за
самые окраинные области математики.
Однако с появлением первого доказательства теоремы о
вполне упорядочении (1904 г.) началось уже объединенное
наступление, в основном со стороны французских ученых, в том
числе нескольких математиков, работавших в области анализа
и принимавших активное участие в разработке применений
теории множеств к теории функций, в частности Бэра, Бореля и
Лебега3); к этой парижской школе впоследствии примкнули
некоторые выдающиеся математики из других стран, например
Лузин; другие (как, скажем, Паш) заняли независимо от нее
сходную позицию. Пуанкаре даже решил вообще отказать-
1) Это можно сказать уже о Кронекере; ср. *Гутцмер, 1, стр. 592.
Кантор, однако, возражает: «Это, так сказать, вопрос силы... еще должно
выясниться, чьи идеи окажутся сильнее, шире, плодотворнее — Кронекера или
мои; только успех будет тем судьей, который, когда придет время, решит
наш спор». (*Шёнфлис, 12, стр. 12.)
2) См., например, Кронекер, 1887. Критика арифметических теорий
континуума, исходящая от Гёльдера, относится к 1892; ср. *Гёльдер, 3, стр. 194.
*) Впрочем, большинство из ученых, принадлежавших к этому
направлении^ в отличие от неоинтУиционистов не горели желанием прилагать свои
принципы на практике в аналитических исследованиях. Позиция Ф.
Кауфмана была близка к позиции парижской школы.

%4б Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
ся от теории множеств и обвинить методы многих
классических разделов математики в незаконном использовании
непредикативных процедур (стр. 220—221)1); несмотря на
неосновательность некоторых его доводов в нападках на Цермело и
Б. Рассела, авторитет Пуанкаре, самого крупнейшего
математика своего поколения, привел к созданию тревожной
атмосферы и подготовил почву для последующих выступлений
голландской школы. В частности, возражения против аксиомы
выбора, выдвинутые почти всеми интуиционистами, за
исключением самого Пуанкаре, точка зрения которого в этом
вопросе и вообще в вопросе о существовании в математике была
sui generis2), приковали к себе внимание широких кругов
даже после того, как многие другие сомнения теряли свою
остроту в свете успехов аксиоматизации теории множеств.
Опубликованная в 1907 г. диссертация Брауэра
ознаменовала начало нового направления в интуиционизме, названного
впоследствии Брауэром неоинтуиционизмом. Кроме нескольких
его учеников в Амстердаме — отсюда название «голландская
школа», — к его кругу присоединились и другие математики,
в частности Г. Вейль (в 20-е годы), который перед этим
занимал несколько особую позицию3), в некоторых отношениях
близкую к позиции парижской школы. В течение десятилетия,
начавшегося в 1918 г., Брауэр развернул свое знамя, перейдя в
решительное наступление на традиционную математику и
предложив совершенно новый подход к обоснованию анализа и
теории множеств. Эти его выступления чрезвычайно
будоражили математический мир и вызывали не менее яростную
ответную реакцию; перебранка временами становилась поистине
гомерической. Сильное влияние новых идей испытали и
многие из оппонентов Брауэра. (Обычно в таких случаях
указывают на взгляды Гильберта и его школы в 20-е годы и позже;
1) Впрочем, позиция, занимаемая Пуанкаре (умершим в 1913 г.) в
последние годы его жизни, была значительно менее решительной. Следует
напомнить, что в 1910 г. (см. *4) он предложил новое доказательство одной
из самых сильных теорем теории множеств — теоремы о несчетности
континуума (Ύ, стр. 65). (Название Dernieres Pensees [Последние замыслы
(франц.). — Перев.], под которым опубликован посмертный сборник статей
Пуанкаре (13), некоторые из которых были опубликованы также
значительно раньше, способно ввести в заблуждение.) Мы можем здесь отвлечься от
конвенционалистской стороны математической философии Пуанкаре,
существенно ограниченной рамками геометрии (и физики); ср., например, *фон
Фрейтаг, 1; *Ружье, 2; *Ута, 1, стр. 97—145.
21 [Своеобразный (лат.). — Перев.]; ср. Пуанкаре, 08, гл. V, часть III.
3) См. Вейль, 18 и 19, и первую часть 21. Позднее он, однако, в
значительной степени отошел от неоинтуиционизма, в частности от его
нетерпимости к чужим мнениям; ср. Вейль, 26, § 10—11, и его замечания,
приведенные в конце статьи Гильберта, 28.

§ 1. Историческое введение
247
но при этом упускают из виду, что первые исследования
Гильберта в области логики1), появившиеся до диссертации
Брауэра и оставшиеся в то время почти незамеченными, можно
было бы расценивать как интуиционистскую программу, даже
более радикальную, чем неоинтуиционизм.) Взгляды Брауэра
оказались гораздо более революционными, нежели воззрения
прежних интуиционистов, хотя в теории континуума он
проявлял меньшую строгость. Именно по этой причине его позиция
встретила многочисленные сочувственные отклики и массу
возражений в философских кругах.
Описание каждого из интуиционистских направлений в
отдельности и их выводов, касающихся объема «законной»
математики, потребовало бы очень много места. Поэтому мы
изложим главным образом принципы неоинтуиционизма; что же
касается других направлений, то мы отошлем читателя к
литературе и опишем некоторые их основные идеи. Характерные
черты, принципиально выделяющие неоинтуиционизм из
прочих течений интуиционистского толка, состоят в основном в
следующем:
A. Концепция сущности математики и существования в
математике, связанная с точкой зрения Брауэра на отношение
математики к языку и логике (§ 2—4).
B. Брауэровская теория континуума и, в частности,
понятие свободно становящейся последовательности (§ 5),
основанные на его специфических определениях понятий множества
(set) и вида (species).
В приводимой сноске2) мы пытаемся дать исчерпывающий
список литературы, трактующей современный математический
интуиционизм вообще как с математической, так и с
философской точек зрения. Что же касается работ, посвященных
отдельным вопросам и задачам, например принципу
исключенного третьего и интуиционистской логике, даже в тех случаях,
когда они являются частью более общих рассмотрений, то они
приводятся в следующих параграфах. (Литературу, посвящен-
1) * Гильберт, 5 (1904).
2) Из работ, цитируемых в других местах настоящей главы, в этот
перечень включены только самые значительные. Мы придерживаемся
алфавитного порядка, поскольку хронологическая последовательность особой роли
не играет. Наиболее важные сочинения или имена авторов выделены жирным
шрифтом.
Литература по неоинтуиционизму, рассматривающая его
преимущественно с математических позиций: *Бальдус, 1; *Баррау, 1; Бет, 47 (ср. Клини,
45; Д. Нелсон, 47 и 49); Брауэр, 07, 08, 12, *8, *9, *П, *13, 28, 29, 49, 52/53,
54а; *Бриджмен, 2 (ср. ^Френкель, 18); *Булиган, 6; *Вавр, 5; Вейль, 21, 26
(и 49, особенно № 9), *12, 46; *Вольф, 1; Гейтинг, *8, 34, *15, 48, 53а, 55, 56;
Гудстейн, 48; *П. Динз, 2; *Дрезден, 1—4; *Дросте, 1; Клини, 52, § 13, 23,'
77—82; *Литцман, 2; Менгер, 28 и 30; *Орлов, 1; Расёва, 54; Россер, 36; Уил-

248 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
ную аксиоме выбора, в том числе вопросу о ее
экзистенциальном характере, см. в гл. II, § 4.)
Следует, впрочем, сказать, что сам Брауэр отказывался в
большинстве случаев признавать интерпретации своей точки
зрения, включая некоторые из тех, что исходили от
представителей самой голландской школы.
Наиболее важные критические соображения по адресу
интуиционизма связаны либо с логицистической, либо с
формалистической точкой зрения: ср. гл. III и V. Здесь указываются
некоторые критические или полемические статьи более общего
(отчасти философского) направления1).
О парижской школе и подобных ей течениях мы упомянем
в связи с интуиционистскими ограничениями в конкретных
областях математики (§ 5 и 6). Здесь же мы воспользуемся
благоприятной возможностью, предоставляемой выбранной нами
исторической формой изложения, и поговорим о довольно
близком к интуиционизму течении, которое, однако, не только
не подпадает под это общее наименование, но во многих
отношениях является даже более радикальным, нежели
неоинтуиционизм. Возникло это течение примерно в 1910 г., родина
его — и это не совсем случайно — та же, что и
неоинтуиционизма: Амстердам. По-голландски оно именуется Signified, по-
английски signifies2). Оно носит ярко выраженный релятивист-
дер, 52, гл X; Френкель, 24, 27, *13; *Хаальмейер — Шогт, 1; *Хедрик, 1;
*Чандрасекхаран, 1; А. Шмидт, 50 и 50а; *Энрикес, 2.
Математическая литература, посвященная преимущественно другим
(полу-)интуиционистским течениям: Бокстел, 49; Борель, 14 (особенно
примечания), *4, *5, *6; Вейль, 18, 19, 21, 24, 25, *8, *9; *Гельдер, 3, стр. 193
и ел.; Гонсет, 26, *6, 39; *Данжуа, 1 и 2; Кондо, 56; Лебег, *2, *4, 41; Лузин,
25, 27, 29, *11; Паш, *1 (стр. VII 2-го изд.), 24—26, *3, *4, *5; Пуанкаре, *2,
*3, 08, 13; Севери, 51; Сколем, 22/23, 29, *9, 41, 52—53; Стениус, 52; Суэтуна,
51—53; *Уилдер, 1. К полуинтуиционистским можно также причислить работы
Хао Вана, 54 и 55, и, в другом смысле, лоренценовскую «оперативную
математику»— см. Лоренцен, 50 и 55 (об отношении этой математики к
неоинтуиционизму ср., например, 55, стр. 80).
Философская литература о (математическом) интуиционизме: *Альбер-
гамо, 1; *0. Беккер, 1, стр. 403—419, 2 (ср. *Гейнеман, 1), 4; *Бет, 5, 9, 11
(ср. 12); *Бетш, 1; Блэк, 33 и *3; Бохенский, 56, стр. 342 и ел.; Гарсиа,
*2 и 49; *Дассен, 1 и 2; *Дубислав, 1 и 12; *Йоргенсен, 6; *Кавайе, 2;
*Каслин, 1; *Кассирер, 4 (часть 3, гл. IV; ссылается главным образом на
статью *0. Беккера, 4); Кауфман, 30, 2*, *4; *Коржибский, 1; М. Р. Коэн, 31,
стр. 186 и ел.; *Куайн, 12; *Ларгье, 1; *Г. Лёви, 1; *Фарбер, 3; *Шелдон,
1; Штади, 1. Статья *Нагеля, 6, к интуиционизму в принятом здесь смысле
не относится.
*) *Амброз, 1—3; *Бентли, 2, гл. IX; *Ф. Бернштейн, 6; *Буркамп, 5;
"Тёльдер, 4; *Кассирер, 4, стр. 431 и ел.; *Каульбах, 1; *Б. Леви, 8;
*П. Леви, 4; Рамсей, 26 и *3. Аргументы Карри, 51, и Дьедонне, 51, против
«традиционного» интуиционизма исходят как раз из финитистских соображений.
2) По-русски — сигнифика. — Прим. перевг

§ J. Историческое введение
249
ский и прагматистский характер. Математические принципы
этого течения были развиты Маннури1); в то же время оно
имеет выходы и в другие науки, в том числе в социологию и
право. Некоторые голландские интуиционисты, в их числе
Брауэр и ван Данциг, обнаруживают тесную близость к идеям
сигнифики. Следует, однако, сказать, что идеи эти за
пределами Голландии практически не получили признания, что
объясняется отчасти несколько туманной формой их изложения.
Как подробно показывается в § 2 и 3, неоинтуиционистская
критика традиционной математики направлена против того,
что в этой математике рассматриваются бесконечные и
неопределенные совокупности, а ведь именно такие рассмотрения
составляют основное содержание и являются характернейшей
особенностью математики; что же касается замкнутых
конечных совокупностей, даже в тех случаях, когда их объем
превышает человеческое воображение, то по отношению к ним
неоинтуиционисты не пересматривают классической позиции.
Таким образом, понимание математических предложений как
некоей объективной истины не становится бессмысленным для
неоинтуиционизма.
Однако среди философских интерпретаторов и сторонников
брауэровской доктрины можно почувствовать
«антропологически-экзистенциальную» тенденцию2), подчеркивающую
субъективные факторы по сравнению с объективными. Более
радикальные шаги в этом направлении задолго до возникновения
экзистенциализма были сделаны сигнифистской школой.
Сигнифика начинает с критического исследования языка и
вообще способов выражения и обозначения и несколько
связана, таким образом, с современной семиотикой, особенно с ее
прагматической ветвью, в том виде как она представляется по
работам польской и американской школ и Венского кружка3).
Сигнифика, однако, имеет в виду не столько обычный анализ
«значения» (meaning), сколько теорию «физических
ассоциаций, лежащих в основе человеческой языковой деятельности».
1) Маннури, *1, 25, *3, 34, *5; ср. *Волленховен, 1, стр. 232 и ел.; *Мор-
рис, 3; *Дюкасс, 1; последняя работа, впрочем, не связана с сигнификой в
собственном значении этого слова.
Исчерпывающие изложения ван Данцига, *4 (ср. *1) и 49а, и Висье, 53,—
в последнем имеется обширная библиография — дают очень четкий обзор
сигнифики в ее первоначальном (голландском) понимании. Статья де Иона,
49, содержит критику интуиционизма с точки зрения сигнифики и
подчеркивает различие между мысленной конструкцией и е^ языковым выражением
(ср. стр. 256 и ел.).
2) Особенно ощущаемую у *0. Беккера, 2. В математических работах
Бореля и Лузина совершенно независимо от их конкретного содержания
также прослеживается эта тенденция.
3) Ср., например, *Хан — Нёйрат — Карнап, 1, или *Моррис, 3.

250 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
Особое значение придается восприятиям и эмоциям, связанным
с терминами и символами. Характерной чертой этой по
существу психологической концепции является представление о
языке как о роде деятельности, посредством которой человек
пытается воздействовать на поведение и жизненную силу
других людей1). Это относится не только к «актам
волеизъявления, требующим послушания», но в такой же мере и к чисто
«индикативным» актам связи, в том числе к символическому
языку математики; по мнению Маннури, даже в математике,
социальное значение которой не следует упускать из виду,
нельзя пренебречь субъективным, убеждающим,
эмоциональным характером языка2). Таким образом, и математическая
формула имеет смысл не per se3), а в связи с той целью, для
которой она используется. Неслучайно Маннури сопоставляет
математику и мистику. Только эмоциональные и
психологические факторы могут объяснить выбор принципов (аксиом),
положенных в основу математики, и это в еще большей степени
относится к математическим моделям внешнего мира,
конструируемым в теоретической физике. Впрочем, даже Маннури
признает, что математические утверждения зависят от чувства
приязни в меньшей степени, чем в какой бы то ни было другой
науке. В этом свете можно понимать и известный кантовский
афоризм, согласно которому мерой научности какой-либо
доктрины служит применимость в ней математики.
§ 2. Конструктивный характер математики.
Математика и язык
Основной тезис интуиционизма почти во всех его аспектах
гласит, что существование в математике — это то же самое,
что конструктивность {constructibility) A). Неоинтуиционизм под-
1) В этом ясно усматривается как родство, так и контраст с позицией
Брауэра (особенно в 29), описываемой в § 2. С точки зрения сигнифики не
только изложение математики, но даже и сама математика (математическое
мышление) носит отчасти лингвистический характер.
2) Именно эта точка зрения, связанная с психологическим подходом к
основаниям логики (как в школах Гейманса и Маха), отталкивает от
сигнифики обыкновенных математиков. Ср. иронические замечания *Журдэна,
6, стр 88, по поводу вычисления произведения 6·9 путем опроса"
школьников и усреднения полученных ответов до шестого десятичного знака или по
поводу эволюционной этики, рассчитывающей получить ответ на вопрос
«Что есть благо?» с помощью исследования того, что думают по этому
поводу людоеды.
3) Само по себе (лат.). — Прим. перев.
4) Буквально — «построяемости», что точнее и выразительнее, но
несколько режет глаз. К сожалению, по-русски (в отличие от английского
языка) слова «конструкция» и «построение» имеют разные корни. Чтобы
подчеркнуть тем не менее их синонимичность (особенно существенную для

§ 2. Конструктивный характер математики
251
черкивает этим тезисом сам характер математики-, в других
направлениях из него же, во всяком случае, выводятся
ограничения, налагаемые на класс допустимых математических методов.
Математика, согласно Брауэру, есть не теория (скажем,
система правил и предложений), а некоторая весьма
существенная часть человеческой деятельности, метод обращения
с человеческим опытом, состоящий прежде всего в том, что
основное внимание сосредоточивается на каком-то одном из
наших восприятий и на различении этого восприятия от всех
остальных. Поскольку акты выделения отдельных восприятий
приводят к изначальной интуиции целых чисел (вопрос этот
разъясняется ниже в § 5), Брауэр связывает совокупность
восприятий (из которых выбирается какое-то одно) с понятиями
нелрерывности и времени; по этой причине обоим этим
понятиям также приписывается изначальный характер. Итак,
некоторым образом пропасть между дискретностью и
непрерывностью отвергается с самого начала и утверждается, что
«изначальная интуиция математики и всякой интеллектуальной
деятельности представляет собой основу всех наблюдений за
какими бы то ни было изменениями, поскольку при этих
наблюдениях игнорируются все качественные свойства; единство
непрерывности и дискретности»1).
В § 5, где анализируется неоинтуиционистское понимание и
«построение» континуума, выясняется смысл дополнительного
утверждения Брауэра о том, что упомянутое в конце
приведенной цитаты единство понимается как «возможность мысленного
объединения нескольких единиц, связанных некоторым
«промежутком», никогда не исчерпываемая вставлением новых
единиц».
Вообще в качестве элементарного акта мысленного
построения неоинтуиционизм рассматривает «разделение моментов
жизни на качественно различные части, которые, будучи
разъединены лишь временем, могут быть снова объединены»2). По
аналогии с этой общей концепцией высказывается
утверждение (обнаруживающее замечательное сходство с известной
идеей Платона), что элементарный акт математического
построения есть «процесс очищения этого разделения от какого бы то
данной главы), в переводе всевозможные производные обоих корней
варьируются без всяких оговорок. — Прим. перев.
*) Брауэр, 07, стр. 8. Ср. разъяснение многих неясных формулировок
Брауэра (особенно из его программных сочинений, 07 и 29), данное ван
Данцигом, 47.
2) Непонятно, как это согласуется с игнорированием качественных
свойств, о котором говорилось выше. Это пример туманных и неясных
формулировок, о которых говорят авторы. — Прим. ред.

252 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
ни было эмоционального содержания до тех пор, пока
остается интуиция абстрактного двойного единства»1).
Соответственно под математикой в целом понимается мир мысленных
процессов, которые можно выстроить в неограниченную
последовательность шагов неопределенного повторения таких
элементарных математических актов — определение более широкое,
чем любое другое, и включающее логические процессы, а
также многие методы естественных наук. Никакая другая наука —
и уж конечно, ни логика, ни философия — не может, таким
образом, служить основой для математики. Впрочем, по этой
концепции использование математических методов вовсе не
считается исключительной привилегией науки; напротив, она
отмечает, что в повседневном мышлении эти методы используются
непосредственно и часто подсознательно.
Это неоинтуиционистское «определение» математики,
очевидно, не дает нам точного критерия, какие именно методы, из
тех, что мы знаем по традиционной математике, рекомендуется
считать «конструктивными» и потому законными в брауэров-
ской математике. Впрочем, кажущаяся догматичность этого
определения несколько смягчается некоторыми замечаниями
(см. выше, стр. 242—243), касающимися необходимости и
достаточности интуиционистских ограничений.
Это подчеркивание роли построения математических
объектов и даже отождествление существования и конструктивности
в математике никоим образом не являются каким-то
новшеством. В связи с определениями в математике обычно возникает
вопрос, можно ли построить объект, удовлетворяющий данному
определению (эффективные примеры, см. стр. 79).
Классические проблемы греческой геометрии — удвоение куба,
трисекция угла, квадратура круга — это тоже проблемы построения
(в данном случае — построения циркулем и линейкой).
Гильберт (бывший основным противником неоинтуиционистов в
спорах, вызванных их критикой), решив сначала основную
проблему теории инвариантов экзистенциальными методами2),
постарался затем извлечь из этого решения конструктивные
решения некоторых родственных проблем.
О некоторых методах чисто экзистенциального характера го-
J) Брауэр, 12.
2) Это первое доказательство существования конечного множества
инвариантов (1890) было названо Горданом «теологическим», поскольку оно
существенно использовало доводы экзистенциального характера («должен
существовать инвариант самой низкой (из всех возможных) степени»), при
помощи которых в действительности не удается конструктивным путем
получить инвариант рассматриваемого вида; ср. описание метода и первой
реакции на него у * Теплица, 1.

§ 2. Конструктивный характер математики
253
ворилось в § 4 гл. II. Такие методы легче всего встретить в
анализе, геометрии и теории множеств, но даже арифметика и
алгебра не обходятся без них. Общая характерная черга этих
методов состоит в том, что существование некоторого
математического объекта (числа, соответствия, функции, множества
и т. п.) устанавливается не ссылкой на его получение из более
простых объектов при помощи последовательного применения
какой-либо конструкции, а апелляцией к логической
неизбежности. Чаще всего это достигается при помощи альтернативы
между взаимно исключающими возможностями, согласно
принципу исключенного третьего (см. ниже, § 3), или же путем
доказательства того, что несуществование объекта с нужным
свойством привело бы к противоречию (причем природа
противоречия не дает возможности получить какой-либо метод
построения соответствующего объекта). Общеизвестный пример,
встречающийся в самых начальных главах анализа, — это
предложение (стр. 88) о том, что каждое бесконечное замкнутое
точечное множество имеет по крайней мере одну точку
накопления, доказываемое при помощи последовательного деления
этого множества на две части. На протяжении XIX столетия
доказательства такого типа не только признавались, но и
высоко ценились за их остроумие и смелость. С другой стороны,
они имеют тот недостаток, что не дают никаких сведений о
природе получаемого объекта; если, скажем, речь идет о числе, то
доказательство существования числа с нужным свойством не
позволяет, например, оценить величину этого числа.
Неоинтуиционизм и большинство других интуиционистских
течений, признающих построение единственно законным
средством обоснования существования в математике, отрицают, что
такого рода экзистенциальные методы обладают какой бы то ни
было обязательной силой и не принимают существования
рассматриваемых объектов до тех пор, пока они не получены
конструктивным путем. В частности, интуиционисты заявляют, что
отождествление существования с невозможностью
противоречия означало бы деградацию математики к пустой игре1). Лишь
Пуанкаре, в прочих вопросах занимавший самую радикальную
позицию, считал (подобно представителям формалистической
школы) свободу от противоречий достаточным обоснованием
существования и даже принимал принцип выбора.
Этот принцип и основанная на нем теорема о вполне упоря-
1) Из философов следует особенно отметить представителей феномено-
логико-экзистенциального направления (ср. *0. Беккер, 2, например стр.442),
считающих, что только интуиционистская математика есть наука,
«открывающая действительные явления, понятные с точки зрения первоначальной и
точной интуиции и экзистенциально интерпретируемые»»

254 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
дочении представляются характернейшими примерами чисто
экзистенциальных математических предложений1). Эта теорема,
утверждающая существование некоторых процедур (или
множеств), вполне упорядочивающих данное множество, но не
указывающая, как разыскать такую процедуру, является
классическим образцом интуиционистски бессмысленного
предложения. Бесполезность теоремы о вполне упорядочении для решения,
скажем, вопроса о месте, занимаемом мощностью континуума
в последовательности алефов, истолковывается как простой
симптом того, что эта теорема лишена смысла (причем этот
симптом можно было бы предвидеть заранее).
Не только эти крайние случаи — все экзистенциональные
высказывания с точки зрения интуиционизма бессмысленны; они
трактуются не как собственно предложения, а как
«предложения-абстракции» (statement-abstracts). Но доказательство
какой-либо такой абстракции может послужить стимулом для
конструктивного доказательства некоторого предложения,
являющегося субстратом этой абстракции. Как правило, однако,
абстракция получается путем вывода из предложения в
собственном смысле; например, из предложения '2 есть четное
число' выводят абстракцию 'существует четное число*.
Эту ситуацию сравнивали с той, какая возникает, если
случайно найти бумагу, в которой сказано, что в земле зарыт клад.
Содержание такой бумаги не будет собственно предложением,
если место, где зарыт клад, не будет точно указано; но эта
бумага может послужить причиной того, что кладоискатель
начнет копать; найдя же клад, он получит и предложение 'клад
зарыт здесь'. От этого предложения можно перейти к
абстракции, единственное обоснование которой, однако, заключается в
самом предложении.
В таких и подобных им случаях очевидным образом
проявляется отрицательное значение 'конструктивности'. Но вряд ли
можно утверждать, что положительный смысл этого понятия
достаточно ясен по отношению к методам, употреблявшимся до
сих пор (или могущим быть использованными в будущем), в
том, что всегда понималось под «математикой», — если не
считать метода математической индукции (§ 5) 2). Некоторые
физические попытки и идеи, предложенные с целью определения
'конструкции', исходили в основном не от неоинтуиционистов 3).
1) Ср., однако, Суэтуна, 51—53. (Употребляемое там понятие 'множества'
не вполне ясно.)
2) О понимании 'конструкции' парижской школой интуиционизма ср. § 5.
3) Ср. Менгер, 28 (стр 225), 30, 31; Россер, 36; Гермес, 37; особенно
Клини," 43 (№ у16), 45, 52; Пост, 44; Д. Нелсон, 47 и 49; а также методы
Тьюринга (см. гл. V). Расёва, 54, предлагает топологическое разъяснение.

§ 2. Конструктивный характер математики
255
По-видимому, из этих идей следует лишь то, что понятие
конструкции имеет относительный, а не абсолютный характер;
имеются более высокие (более сильные) и более слабые
степени этого понятия1), причем это относится даже к
арифметике2). Таким образом, эта проблема утрачивает свой
догматический характер и подобно аксиоматическому методу
принимает следующий вид: какие части математики или какой-либо
определенной области математики могут быть получены
исходя из некоторых начальных данных посредством таких-то и
таких-то «конструктивных» методов? В самом деле,
противоположная (догматическая) позиция привела бы греков к выводу,
что — если придерживаться их представлений о геометрических
построениях—угла, равного третьей части некоторого данного
угла, вообще не существует.
Брауэр энергично оспаривает это мнение; он заявляет, что
имеется абсолютное понятие конструктивности и что именно
это понятие определяет, что содержится в математике и какие
части следует из нее исключить как принадлежащие
псевдонауке. Разумеется, многие конструктивные методы были
описаны и, что считается еще более важным, имеются общие
указания на некоторый «математический образ мышления».
Однако любой перечень математических принципов построения
не только является, но и непременно должен быть и оставаться
неполным, ибо в рамках описанного выше общего понимания
«математических» методов нельзя ограничить свободу
творческого мышления и возможность дальнейшего расширения ею
конструктивных способностей. Поэтому никогда нельзя заранее
1) Ср. Ц. П. Динз, 52; он различает разные степени строгости, первая
из которых совпадает с (нео)интуиционизмом.
2) Например, если рассматривать последовательность целых чисел, то
существование для каждого η правила, позволяющего вычислить в конечное
число шагов n-ik член последовательности (или первые η членов), и
существование правила, позволяющего вычислить в конечное число шагов п-я
член (или первые η членов) для каждого п, обладают различными
степенями конструктивности. Первое имеет более слабую степень
конструктивности, нежели второе, — факт, подчас упускавшийся неоинтуиционистами из
виду; ср. Менгер, 31.
Так, каждый отдельный знак десятичного разложения числа я или
определяемого на стр. 306 числа ρ может быть вычислен при помощи конечного
правила, тогда как смешанные периодические десятичные дроби
определяются конструктивно в более сильном смысле. Для двух
последовательностей целых чисел, конструктивных лишь в более слабом смысле, не всегда
в конечное число шагов можно установить, равны они или нет (ср. пример,
приведенный в § 6). Менгер справедливо указывает, что выбор одного или
другого (или третьего) понятия конструктивности совершенно произволен.
Последовательность, п-и член которой зависит от справедливости для
показателя η великой теоремы Ферма, не конструктивна ни в каком смысле.

256 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
предугадать, какие специальные способы построения могли бы
понадобиться для достижения какой-либо конкретной цели.
Ситуацию эту можно сравнить с высокогорной экспедицией,
для которой вы великолепно можете предложить перечень
«допустимых» альпинистских процедур, а остальные запретить
(например, вбивание костылей в скалы); но вы никогда не
сможете предвидеть все усовершенствования, которые могут
оказаться жизненно необходимыми и тем самым допустимыми
для всех возможных маршрутов восхождения.
Описанная выше концепция, согласно которой математика
есть умственная деятельность, а не устное или письменное
выражение такой деятельности, оказывает решающее влияние на
вопрос о взаимоотношении математики и языка1). Процесс
мышления (т. е. умственного творчества) не связан, очевидно,
существенным образом с языковым выражением; лишь для
обмена мыслями (передачи идей) нам действительно нужен язык
или его письменный эквивалент. Здесь подчеркивается слабость
математического языка по сравнению с мысленным
построением— утверждается, что любому языку присуща некоторая
неопределенность, любой язык чреват недоразумениями,
причем это относится даже к символическому языку (поскольку
математические и логические знаки в своей интерпретации
опираются на обычный язык). Следовательно, математический
язык двусмыслен и недостаточен; математическая мысль,
будучи сама по себе строгой и однозначной, может оказаться
неясной и ошибочной при передаче от одного лица другому при
помощи речи или письма. Было бы поэтому коренной ошибкой
анализировать математический язык, а не математическое
мышление. Отмеченное здесь различие конструкции в
мышлении и ее выражения в языке противостоит не только логицизму
(гл. III) и метаматематическому методу (гл. V), но и не
подчиненной математическим целям точке зрения ведущих
философов—-от Платона до Лейбница и В. фон Гумбольдта, —
утверждающих, что всякое абстрактное мышление зависит от языка2).
Эта позиция относится не только к математическим
теоремам (и определениям3)), но в еще большей степени к понятию
1) См., например, Брауэр, 29, 49, 54а.
2) Ср. *Шликк, 2. В то же время некоторые философы (например,
Тринвуд, 2, и *Липпс, 4), руководствуясь подчас психологическими
соображениями, не только признают различие между математикой и ее
выражением, но даже расширяют рамки этого различия.
3) Экзистенциальный характер обычных определений эквивалентности,
счетности и др побудил и математиков, не придерживающихся
интуиционистских взглядов, заняться уточнением в направлении 'эффективности'; ср.
стр. 79 и ел.

§ 2. Конструктивный характер математика
257
математического доказательства. Построение само по себе есть
доказательство-, следует отбросить распространенную точку
зрения, будто целью доказательства является убеждение читателя
в правильности некоторой аргументации путем сведения ее шаг
за шагом к признанным принципам. Построение есть вид
деятельности, и его нельзя адекватным образом сообщить; вместо
этого используются ненадежные костыли слов и знаков. По
словам Брауэра1), в «изъявлении воли» при помощи языка
нет ни точности, ни надежности, причем это относится и к
изъявлению воли, выраженному построением какой-либо
математической системы. Поэтому не существует никакого
пригодного для математики вполне надежного языка, свободного
от двусмысленностей разговорной речи и застрахованного от
ошибок памяти;" этот недостаток рассматривается как довод
в пользу точки зрения, противостоящей формализму, согласно
которой точность математики следует искать не «на бумаге»,
а в «человеческом разуме». (Впрочем, интуиционистский тезис
о математике и языке неприемлем для большинства
математиков по той самой причине, что он превращает математику в
некое частное дело, не давая ей быть организованным
интерсубъективным явлением.)
Многие выдающиеся математики — от Сильвестра до Пуан*
каре — сравнивали математику с музыкой. Неоинтуиционизм
продолжает и углубляет эту аналогию: подобно тому как
композитор может внушить знатоку идею, как сочинить
симфонию,—не просто обучая гармонии, но и пытаясь описать, как
он сам сделал это, — так и математик должен посвящать своих
учеников в конструктивное таинство математического
творчества; доказательства же для него есть уже дело второстепенное.
Неоинтуиционистская концепция языка непосредственно
сказывается на трактовке проблемы антиномий; для неоинтуицио-
ниста антиномии суть не что иное, как просто сочетания слов,
лишенные смысла и какого бы то ни было конструктивного
значения. Поэтому нет никакой нужды в том, чтобы всерьез
задумываться над антиномиями, не говоря уже об их «решении».
Неоинтуиционистскую позицию по отношению к
математическому языку трудно оценить должным образом, если не
ознакомиться с общей точкой зрения Брауэра на человеческую
цивилизацию2). По Брауэру, математика, наука и язык — это
основные проявления человеческой деятельности, направленной
на овладение природой. Источник этих проявлений Брауэр об-
1) Брауэр. 29, стр. 157; ср. эпистемологико-психологический анализ
*Бета, 6.
2) Эта точка зрения, довольно трудная для понимания, изложена
преимущественно в статье Брауэра, 29, ср. Маннури, 34 (см4 выше, стр. 249).
17 Зак. 1765

258 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
наруживает в операциях трех видов: в математической
конструкции, в математической абстракции и во «внушении своей
воли посредством звуков». В частности, математическая
конструкция является волевым актом, обслуживающим
человеческий инстинкт самосохранения и распадающимся на две фазы:
«временное действие» (temporal engagement) и «причинное
действие» (causal engagement). Лишь на высокой ступени
цивилизации наступает переход к математической абстракции,
регулирующей с помощью научных теорий запутанные
причинные ряды. Наконец, язык, оперирующий элементарными
речевыми сигналами, делает возможным изъявление воли в
цивилизованных обществах, причем такие изъявления выступают
в качестве «внушений» и «обучения уму» — и тем самым они
приспосабливают математические построения для службы
соответствующим желаниям человеческих коллективов и
человечества в целом.
§ 3. Принцип исключенного третьего
В последующих параграфах мы предпримем обзор
следствий— логических и математических, вытекающих из
основного тезиса, сформулированного в § 2. § 3 и 4 будут посвящены
логическим следствиям, § 5 и 6 — математическим. В
настоящем параграфе дается неформальное изложение предмета и
приводятся ссылки на имеющуюся по этим вопросам обширную
литературу; следующий же параграф будет посвящен
интуиционистскому логическому исчислению.
Прежде всего 4) Брауэр поставил вопрос, какие из
принципов аристотелевой логики сохраняют силу с принятием
неоинтуиционистской точки зрения. По его мнению, таким
принципом является принцип противоречия, но не принцип
исключенного третьего (tertium поп datur) в его обычном понимании.
Этот скандальный тезис о недействительности принципа tertium
поп datur для математики и вообще для бесконечных областей
оказался в центре дискуссий о неоинтуиционизме как для его
противников, так и для сторонников. (Парижская школа и
другие интуиционистские направления не приняли точку зрения
голландской школы в вопросе о принципе исключенного
третьего.) Чтобы оценить значение принципа исключенного
третьего для математики и широту области его применения,
1) Брауэр, 08; ср. 54а, где он говорит: «...укоренившуюся веру в
справедливость принципа исключенного третьего для всех случаев...» следует
считать «такого же рода странным явлением в истории цивилизации, как
державшуюся в течение долгого времени веру в рациональность числа π...».

§ 3. Принцип исключенного третьего
259
достаточно вспомнить, что он лежит в основе так называемых
косвенных доказательств (см., например, Г, стр. 98, 258, 267
и ел.*)).
Представляется, впрочем, что подчеркивание роли принципа
tertium поп datur для голландской школы скорее играло роль
эффектного лозунга, нежели делалось для описания
действительного положения вещей. По сути дела, применимость
принципа исключенного третьего по отношению к конечным
областям никогда не вызывала сомнений2), так что правильнее
было бы считать основным дискуссионным вопросом вопрос об
отрицании общих высказываний.
Чтобы осветить этот вопрос на простых примерах,
рассмотрим следующие условия (свойства), в каждом из которых
фигурирует свободная переменная п, значения которой
ограничены целыми положительными числами.
1) 2п+1 есть простое число;
2) п-и знак после запятой в десятичном разложении числа
л = 3,14159... есть 7;
3) любую географическую карту, на которой изображены η
областей (стран), можно раскрасить3) не более чем четырьмя
красками;
4) для всякого простого числа 2п+1 найдется большее
простое число вида 2m+l (m>n) 4);
5) для чисел η и я + 2, являющихся парой простых чисел-
близнецов (т. е. парой простых чисел, разность которых
равна 2), найдется большая пара простых чисел-близнецов;
1) Речь идет о доказательствах теорем об эквивалентности двух
множеств, каждое из которых эквивалентно некоторому подмножеству другого
(Г, стр. 98 и ел.; см хотя бы °Хаусдорф, 14/27/37, стр 26—27), и о вполне
упорядоченности упорядоченной суммы попарно непересекающихся вполне
упорядоченных множеств, являющихся элементами некоторого вполне
упорядоченного множества (Г, стр. 258—259). На стр. 267 и ел. книги Τ идет
речь о значении принципа исключенного третьего для косвенных
доказательств и приводятся ссылки на литературу, посвященную этому вопросу:
Тёльдер, 29 (*5); Лихтенштейн, 1, стр. 201; °Люке, 28 (*2); °Самбурский,
23 (*1); °Дж. Уилсон, 26 (*1), т. II, стр. 557; °Лёвенгейм, 46 (*4); Боль-
цано, 2, § 530. — Прим. перев.
2) Возьмем даже такой пример: слепой вытаскивает шар из урны, в
которой находятся белые и черные шары, и кладет его обратно, причем никто
другой при этом не присутствует. Несмотря на то что установить
конструктивным образом цвет вытащенного шара невозможно, большинство или даже
все неоинтуиционисты согласились бы, что вытащенный шар либо белый,
либо черный.
3) При условии, что соседние области, т. е. области, имеющие общие
участки границ (а не только отдельные точки), раскрашиваются разными
красками [а каждая область — в один цвет. — Ред.]. Предполагается, что
карта нарисована на плоскости или на сферической поверхности.
4) Примеры, аналогичные 1) и 4), можно получить, рассматривая числа
Мерсена, т. е. простые числа вида 2п — 1.
17*

3#9 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
6) существует тройка (х, у, ζ) натуральных чисел («тройка
Ферма»), таких, что
χη + 2 I цП + 2 __ gn + 2m 1\
Рассмотрим еще следующее предложение, близкое к 2), но
содержащее η в качестве связанной переменной:
7) существует целое число п, такое, что п-и знак после
запятой в десятичном разложении числа π и шесть следующих за
ним ((я+1)-й, (л + 2)-й, . .., (л + 6)-й знаки) равны 7.
Навешивая квантор всеобщности по л, получим из 3)
предложение:
8) любую географическую карту можно раскрасить не
более чем четырьмя красками.
Беря какое-либо определенное значение п, можно
превратить 1)—6) также в предложения и поставить затем о каждом
из предложений от 1) до 8) вопрос, истинно оно или ложно.
Эта постановка вопроса предполагает, что каждое
осмысленное предложение ρ либо истинно, либо ложно, т. е. /Л/ ~р-
Исследуем, можно ли обосновать это предположение для наших
примеров, не ссылаясь a priori на принцип исключенного
третьего.
В случаях 1) и 2) на современной стадии науки может
оказаться трудным для больших значений η получить фактическое
решение вопроса, истинно рассматриваемое предложение или
нет. То же самое относится к 3), когда п>37 (для д-^37
предложение истинно). Но в принципе решение может быть
получено; для какого-либо данного η достаточно произвести лишь
конечное число испытаний, чтобы установить, обладает оно
рассматриваемым свойством или нет. По этой причине мы
можем предвидеть результат: η либо обладает, либо не обладает
интересующим нас свойством, т. е. соответствующее
предложение либо истинно, либо ложно. Поэтому теорема, доказанная
как при допущении, что 28192+1 ,есть простое число, так и в
предположении, что это число составное, будет истинной и с
точки зрения Брауэра, хотя мы и не знаем, какое из этих
допущений истинно.
Такое же рассуждение, опирающееся на возможность
проверки в конечное число шагов, позволяет нам утверждать,
например, о населении Лондона (в какой-либо определенный
момент), что либо каждому лондонцу не более 99 лет, либо
найдется по крайней мере один, чей возраст равен 100 годам или
более. Таким образом, с точки зрения голландской школы,
1) Показатель степени пишется в виде η Η- 2, так как имеется
(бесконечно много) решений (х, у, ζ) уравнения х2 Н- у2 = ζ2.

§ 3. Принцип исключенного третьего
261
принцип исключенного третьего никоим образом не является
логической аксиомой или неким априорным предложением, а
только является предвидением результата, который на самом
деле может быть получен посредством конечного исследования.
В то же время для аналогичного заключения по отношению
к бесконечной совокупности нет ни малейши* оснований. Как
говорит Вейль, следует остерегаться представления, согласно
которому для любой определенной каким-либо образом
бесконечной совокупности можно — независимо от того, известно ли
нам какое-либо свойство, характеризующее ее члены, —
рассматривать эти члены так, как если бы они были открыты
нашему взору; согласно такому представлению, эти члены
достаточно просто внимательно просмотреть — подобно тому как
просматривает свои протоколы полицейский чиновник, — чтобы
установить, имеется ли в данной совокупности член
определенного вида. Такая процедура в применении к бесконечной
совокупности не имеет смысла *).
Очевидно, что в приведенных выше примерах 4)—8)
ситуация именно такова. Между примерами 4) и 5) усматривается
сходство. Известно, что если m делится на какое-либо нечетное
число, большее единицы, то 2т+1 будет обязательно составным.
Что касается других значений т, т. е. степеней числа 2, то
т = 24 есть наибольшее из тех, о которых известно, что 2т+1 —
простое (то же относится и к значениям т = 2°, 21, 22, 23),
т = 273— наибольшее из тех, о которых в настоящее время
известно, что 2W+1 — составное, а между этими двумя
значениями m удалось проверить лишь немногие (в том числе 2а от
а = 5 до а = 12, но не2) 213 = 8192). Таким образом, к настоящему
времени не известно не только го, конечно или бесконечно мно-
1) Вейль, 21, стр. 41 [стр. 93 русского издания (с точностью до
перефразировок при разных переводах). — Перев]. Ср. различие, проводимое
некоторыми философами (например, Гуссерлем) между «единичной»
(individual) и «особенной» (specific) неопределенностью; см. Карнап, 37, § 15.
Конечно, слова 'не имеет смысла' могут показаться слишком сильными.
Можно было бы представить себе такой просмотр последовательности всех
положительных целых чисел, при котором на число 1 была бы потрачена
1 минута, на число 2— полминуты, ... на число η—(Уг)"*""1 минуты, ..., так
что получился бы сходящийся ряд. По поводу этого рассуждения ср.
*Амброз, 2 и 3, и Б. Рассел, 12. [Пытаясь осуществить предложение авто-
оов, мы пришли бы к ситуации, фигурирующей, например, в зеноновских
апориях «Ахиллес» и «Дихотомия» (об апориях Зенона см. выше, стр. 23 и 26
и приводимые там ссылки на литературу); о том, насколько реально
«представление» о таком «просмотре» (во всяком случае, о его завершении)
с последовательно интуиционистской точки зрения, см., например, °Есенин-
Вольпин, 60, стр. 103—104 (там эта апория именуется «парадоксом о летящей
стреле»). — Перев.] ".
2\ По сведениям 1956 года.

262 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
жество простых чисел вида 2п + 1, но и то, содержит ли оно
в точности шесть членов1) или по крайней мере семь; не
известно, скажем, является или нет наибольшим простым числом
такого Ъида число 216+1. Не решена пока и проблема 5): мы не
знаем, имеется ли последняя пара близнецов (что
представляется маловероятным) или же имеется бесконечно много
таких пар.
В случае 6) в отличие от 1)—3) даже для любого данного
значения η решение не должно получаться за конечное число
шагов, поскольку для этого пришлось бы испытать бесконечно
много троек (л;, у, ζ). На самом деле не известно ни одной
тройки Ферма, и похоже на то, что их вообще не существует;
но хотя для бесконечного множества значений η
несуществование соответствующих троек и доказано, остается еще другое
бесконечное множество целых чисел п, относительно которых
ответ нам неизвестен.
Наконец, случай 7) довольно похож на 4) и 5) и связан
с 2), хотя и не совсем так, как 4) связан с 1). Для какого-либо
данного η можно в принципе не только выяснить, равен ли п-й
десятичный знак числа π αη числу 7, но и имеют ли место
равенства αη = αη+ι = . . . = αη+6=7 или же нет. Однако в 7)
участвует еще связывание квантором существования по п.
Столь подробное обсуждение этих примеров понадобилось
нам для того, чтобы пояснить брауэровскую позицию по
отношению к так называемому принципу исключенного третьего.
Возьмем, например, 4) при д=16; вопрос состоит в том,
существует ли какое-нибудь простое число вида 2т+1, где т>16.
Первая из открывающихся возможностей — это нахождение
какого-либо конкретного т>16, для которого 2т+1 есть
простое число (если это действительно так, то доказательство
простоты числа 2т+1 может быть осуществлено в конечное число
шагов). Вторая возможность — получение общего
доказательства, показывающего, что при каждом 2) т> 16 число 2т+ 1
является составным. Однако эти две возможности, конечно, не
являются исчерпывающими; может случиться, что ке будет
найдено т, для которого 2т+1 было бы простым (т>16), но и
общего доказательства несуществования таких m также не
будет получено — именно эта ситуация и наблюдается в
настоящее время. Эту чисто отрицательную возможность представи-
1) Так как к упомянутым выше значениям надо еще добавить число
2- 2°+ 1.
2) Конечно, рассматривать следует только степени двойки.

§ 3. Принцип исключенного третьего
263
тели голландской школы называют третьей возможностью1).
Она носит временный характер, так как завтра нам может
удасться открыть т, удовлетворяющее условиям проблемы, или
преуспеть в отыскании упомянутого выше общего
доказательства; это, однако, не беспокоит неоинтуиционистов, ибо после
решения какой-либо одной проблемы такого рода всегда
можно указать другую, еще не решенную2). (В посвященной этому
вопросу неоинтуиционистской литературе обычно и
используются примеры вроде упомянутых нами, т. е. рассматриваются
какие-либо не решенные на сегодняшний день задачи. Вместо
таких конкретных проблем предпочтительнее взять общий
пример неразрешимости рассматриваемой области
математики3); тогда наличие «третьей возможности» опирается лишь
на предположение об отсутствии единого разрешающего
метода.)
Вышеперечисленные примеры свидетельствуют прежде всего
о том, что третья возможность имеет другой характер, нежели
другие возможности, и что здесь нет ничего похожего на
трехзначную логику4) (стр. 234). В самом деле, между этими тремя
возможностями не удается установить никакого соотношения; в
первом и втором случаях мы имеем некое объективное
положение вещей, вытекающее из принятых посылок (в
рассмотренных примерах — из аксиом арифметики), тогда как третья
возможность определяется обстоятельствами субъективного и
временного характера (и должна быть изгнана — могли бы
добавить платонисты — из гармонически завершенного мира
математики). Во-вторых, мы видим, что неоинтуиционистская
критика связана вовсе не с принципом исключенного третьего
х) Ср. Мок, 51. Из философов, критиковавших эту позицию, следует
упомянуть Карнапа, 37 (§ 43), который говорит о различии между знанием
a priori, как решить некоторую проблему, и знанием структуры возможного
решения.
2) См. *Брауэр, 13, стр. 210; ср. Витт, 51а.
3) См. ван дер Варден, 30. В этой работе рассматривается вопрос об
общем критерии несводимости многочленов, и отсутствие такого критерия
сводится к вопросу, «найдется ли целое число п, обладающее произвольно
заданным свойством Р(х)?» Для теорий, содержащих общее понятие
действительного числа, можно использовать то обстоятельство, что трихотомия,
связанная с отношением порядка между дейетвительными числами,
интуиционистски не выполняется (см. § 6).
4) Это обстоятельство упущено из виду при критике
неоинтуиционистской логики, проводимой в работах Барзин — Эррера, 27 и *2 (ср. *Эррера,
2 и 3; *Дассен, 2; *Томз, 1). Возражения на эту критику выдвинуты в
работах П. Леви, 27; Авситидиски, 27; *Дрезден, 3; и особенно Хинчин, 28;
Гливенко, 28; *Гейтинг, 10. Мнение *Катцова, 4, что Брауэр проводит линию
модальности, также едва ли может быть принято голландской школой.

26$ Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
в его традиционное форме, который в данном случае — если ρ
есть предложение 'для каждого m>16 2m+l есть составное
число' — гласит: ρ либо истинно, либо ложно. Такая
альтернатива ничего не говорит о доказательстве или
противоречащем примере.
В действительности суть брауэровского тезиса сводится к
призыву разобраться в том, что подразумевает традиционная
.логика под утверждением 'р ложно'. Очевидно,
предложение: 'существует такое га>16, что 2т+1 — простое число'. Это
частный случай допущения традиционной логики о том, что
отрицание общего утверждения есть утверждение о
существовании. Но с точки зрения неоинтуиционистов, которые вообще
отказываются рассматривать утверждения о существовании как
самостоятельные утверждения, общее утверждение может быть
отрицаемо только посредством указания противоречащего
примера; в противном случае отрицание общего утверждения
просто бессмысленно1). Следовательно, на самом деле основой так
называемого отказа от принципа исключенного третьего
является невозможность простого отрицания общих утверждений в
неоинтуиционистской математике и логике. Отказ от признания
такой формулировки — как со стороны приверженцев
голландской школы, так и со стороны ее противников — создает
искаженное представление о роли принципа исключенного третьего.
В самом деле, в свете сказанного выше, «среднее» {middle)
(или, по латинской и французской терминологии, «третий
случай») оказывается вполне естественным; попросту это
ситуация, промежуточная между доказательством некоторого общего
предложения и построением противоречащего примера (из
которого может быть извлечено экзистенциальное «предложение-
абстракция»).
Что же касается конкретных предложений р,
осмысленных с неоинтуициоЛстской точки зрения, то Брауэр вовсе
не отказывается применять к ним tertium поп datur2).
Его позицию можно, таким образом, охарактеризовать как
позицию мыслителя, признающего аристотелевский принцип
pV ~Р, но лишь по отношению к формулам ρ определенного
типа, причем общие предложения ρ не допускаются в этом
принципе3).
1) В частности, из такого отрицания нельзя вывести никаких следствий;
ср. *Фостер, 1.
2) Ср, например, Брауэр, 28.
3) Ср *Амброз, 2. Правда, в классической логике (например, еще в
Органоне Аристотеля) этот принцип часто формулируется совершенно ясным
образом: либо все предметы χ обладают определенным свойством Р, либо

§ 3. Принцип исключенного третьего
265
Точно так же в тех случаях, когда область изменения
свободной переменной, входящей в общее утверждение1),
конечна — точнее, когда эта область состоит лишь из конечного
числа предметов, каждый из которых можно рассмотреть по
отдельности, — голландская школа признает, что отрицание
такого утверждения1) дает некоторое утверждение о
существовании. Если взять, скажем, конечную группу, то отрицание ее
коммутативности означает, что найдется по крайней мере
одна пара членов х0, у0 этой группы, такая, что ХоУоФуоХо- Но
в этом случае экзистенциальное утверждение, полученное с
помощью отрицания, носит конструктивный характер, так как
исходное общее утверждение было не чем иным, как конъюнкцией
конечного числа частных утверждений. Смысл приведенного
выше примера «возраст каждого лондонца не превышает99 лет»
сводится к тому, что αϊ не старше 99 лет, и а2 не старше 99 лет,...,
ап не старше 99 лет, причем множество {аи а2, .. . , ап} есть
население Лондона. Следовательно, отрицание этого утверждения
означает, что или ах достиг 100 лет, или а2 достиг 100 лет, ...,
или ап достиг 100 лет ('или' понимается здесь в
неразделительном смысле). Такое понимание предполагает возможность
по крайней мере один χ обладает свойством не-Р. При этом молчаливо
подразумевается, что речь идет лишь о свойствах, осмысленных в применении
к предметам рассматриваемого рода; таким образом, свойства, подобные
используемым в некоторых антиномиях, исключаются. По поводу позиции
Аристотеля и Лейбница по отношению к tertium поп datur ср., например,
де Бансель, 26; Шреккер, 36; Бохенский, 56, стр. 73; Энскомб, 56.
ι) β оригинале 'statement', что, как правило, переводится нами как
'предложение'. Какой бы, однако, из этих вариантов перевода ни избрать,
выражение, содержащее свободные переменные, будет интерпретироваться в
качестве «statement» лишь при условии принятия так называемой
интерпретации всеобщности предикатных формул (Клини, 52, стр. 137—
138 русск. изд.), т. е. когда такая формула интерпретируется как
предложение, являющееся интерпретацией ее замыкания кванторами всеобщности по
всем входящим в нее свободным переменным (это имеет место, например,
когда формула рассматривается в качестве системы), либо же когда
формула является исходной для некоторого вывода и входящие в нее свободно
переменные можно рассматривать как обозначающие произвольные, но
фиксированные объекты («параметры вывода»), т. е. когда налицо так называемая
условная интерпретация (Клини, 52, там же). Если же выражение со
свободными переменными рассматривается не в связи с выводом, а в связи
с его значением истинности, то оно интерпретируется как предикат (с
числом мест, равным числу различных свободных переменных, входящих в эту
формулу). Чёрч, 56, стр. 32 и ел. русск. изд., вместо принятого выше (как
у Клини) термина 'предложение' (statement) говорит 'суждение'
(proposition) , вместо 'предикат* — 'пропозициональная форма', а 'предложение'
употребляет как синоним '(предикатной) формулы'. — Прим, перев,

206 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
указать хотя бы один противоречащий1) пример, благодаря
чему гипотетическое утверждение о существовании становится
интуиционистски обоснованным.
Если, однако/ переменная 'х' в общем предложении2)
'(Αχ)ϊ(χ)' пробегает некоторую бесконечную совокупность
(множество), то это предложение уже не эквиполлентно
никакой конъюнкции конечного числа частных предложений, а
«бесконечную конъюнкцию» предложений едва ли допустимо
рассматривать; в этом случае и экзистенциальное
предложение2) '(Ex)f(x)' не будет эквиполлентно дизъюнкции частных
предложений. Бесконечная совокупность соответствует
некоторому свойству3), характеризующему эту совокупность и
определяющему ее 4).
Следовательно, применение принципа исключенного
третьего в естественных науках должно было бы зависеть от
условия конечности и атомистического строения мира5).
Во избежание недоразумений по поводу этого
обстоятельства, значение которого неоднократно подчеркивалось
голландской школой, следует еще раз подчеркнуть, что обоснованность
отрицания общих предложений и утверждения
экзистенциальных, а следовательно, и применимость tertium поп datur
определяется не только конечностью предметной области, но и, сверх
того, определенностью ее объема. Это предполагает
исключение из рассмотрений, связанных с tertium поп datur, не только
свободно становящихся последовательностей (§ 5) — окажутся
ли они конечными или бесконечными, — но и некоторых
областей, встречающихся в повседневной жизни и явлениях
природы; такова, скажем, совокупность всех растений.
Пример такого рода можно получить следующим образом.
1) Исходному утверждению о сравнительной молодости лондонцев. —
Прим. перев.
2) И здесь 'statement', что согласуется с терминологией Чёрча, 56 (см.
примечание к стр. 265)\ но не с принятой вьпле (гл. II). Поскольку, однако,
такого рода вольности терминологии не будут влиять на понимание сути
дела, мы не будем их в дальнейшем специально отмечать. — Прим. перев.
3) Одна и та же совокупность может, конечно, определяться разными
свойствами, имеющими, однако, один и тот же объем.
4) Таким же образом часто приходится характеризовать и конечные
совокупности. Представьте себе такие крайние примеры, как «Платон не
посещал ни одного американского города» или «Ни один житель Марса не
учаетвов^ал в первой мировой войне».
5) *Брауэр, 18. К этой статье Брауэр добавляет еще замечание о том,
что, поскольку математика приложима к естественным наукам, выполнение
вышеуказанных условий, относящихся к внешнему миру, не освобождает
нас от интуиционистских требований к чистоте математических методов, коль
скоро они относятся к бесконечным и непрерывным совокупностям.

§ 3. Принцип исключенного третьего 267
Предложение 'для всех χ χ имеет восемь различных прадедов
и прабабок', конечно, ложно, когда V пробегает совокупность
всех людей, но его нельзя также назвать истинным и в том
случае, если '#' будет принимать значения лишь из класса
потомков некоторого человека, имеющего еще и других потомков.
Однако и утверждать, что среди таких потомков непременно
найдется человек, имеющий меньше восьми прадедов и прабабок,
также нельзя. Этот пример имеет прямое отношение к вопросу,
обсуждение которого было начато еще Аристотелем, — вопросу
о применимости принципа исключенного третьего к будущим
событиям1), в частности к событиям, зависящим от свободы
воли (или от индетерминизма в природе).
С точки зрения Брауэра, область хотя и конечная, но не
имеющая определенных, четких границ, образует так
называемый вид (species) (§ 5), но не является конечным множеством
в обычном смысле.
Надо сказать, что «обычный» математик или философ, так
же как «обычный здравый смысл», склонны противиться
неоинтуиционистской позиции по отношению к принципу
исключенного третьего. Независимо от того, удастся ли прийти к какому-
либо решению в настоящее время или когда бы то ни было,
все равно — говорят они — «объективное» положение дел
обязательно состоит в том, что предложение является либо
истинным, либо ложным. Если взять, скажем, пример 4) со стр. 259,
то на самом деле либо существует только шесть простых чисел
вида 2п+1, либо имеется по крайней мере семь таких чисел.
Такая аргументация, отвечает Брауэр, основана на двойном
недоразумении. Это прежде всего представление о том, что
математика имеет дело с некими внешними фактами или с
платоновскими идеями, существующими независимо от деятельности
математиков; но ведь именно в результате этой деятельности —
и только в результате ее — и создается математика (как это
следует из сказанного в § 2). Если даже кто-либо и верит в
некую «объективную истину», характер ее метафизичен, а
математические доказательства не могут опираться на
метафизические соображения. Во-вторых, утверждение tertium поп datur
вызвано (сознательным или бессознательным) влиянием
необоснованного распространения на бесконечные области про-
цедуры, законной лишь в применении к конечным областям;
процесс просмотра бесконечной области никогда не может быть
Ч По этим вопросам, в частности по поводу будущих событий, см.
А. Беккер, *1 и 36; *Броуд, 2, стр. 73; *Буркамп, 3; Шликк, 31, стр. 158;
*Томз, 1; ср. *Блэк, 4, и (об истории вопроса) *Волленховен, 2.

26S Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
закончен, так что его «исход» предсказать нельзя даже в
принципе.
Рассмотрим случай, когда некая теорема доказана как в
предположении, что предложение ρ истинно (только шесть
простых чисел), так и в предположении, что ρ ложно (по крайней
мере семь простых чисел) !); согласно Брауэру, даже в этом
случае мы не можем утверждать, что теорема доказана, пока
это предложение не будет либо доказано каким-либо
общепризнанным методом, иными словами, путем исчерпания
бесконечной области посредством конечной или интуиционистски
законной процедуры (указанием какого-либо
характеристического свойства, по математической индукции и т. п.), либо
опровергнуто указанием противоречащего примера. Таким
образом, косвенный метод доказательства вообще отвергается,
кроме тех случаев, когда он может быть заменен
конструктивным.
Следует заметить, что теорема, доказанная косвенным
методом, все же признается интуиционистами в качестве
непротиворечивой, в том смысле, что ее отрицание не может быть
истинным (ср. § 4)2). Обладая, таким образом, некоторой
эвристической ценностью и стимулируя поиски подлинного
доказательства, это свойство (непротиворечивости) само по себе
такового не дает. Некоторые из упомянутых выше (примечание 4
на стр. 263) авторов пытались опровергнуть отказ от принципа
исключенного третьего тем, что этот отказ будто бы может
привести к противоречию. Такого рода претензии, однако,
безнадежны: отказ от одного из принципов или правил логической
системы приводит к ограничению области выполняемых в ней
операций и уменьшению числа получающихся с их помощью
следствий, а никак не к ее расширению, что могло бы привести
к противоречию. Во избежание возможных недоразумений
следует подчеркнуть, что Брауэр вовсе не намерен заменять
принцип исключенного третьего его отрицанием, т. е. вводить
некий третий случай в собственном смысле слова, открывая
тем самым путь для какого-либо принципа quartum поп
1) Такого рода ситуации особенно часто встречаются в теории
множеств; например, какая-нибудь теорема доказывается сначала при
допущении 2 ° = «ι, а затем при допущении 2 °>«ι·
2) Поэтому доказательства, выполненные с помощью tertium поп datur
(называемые Лоренценом, 55, «фиктивными»), имеют все же ту цену, что
указывают на невозможность доказательства отрицания данного
утверждения (даже фиктивным способом). Ситуация здесь та же, что и с
доказательствами, использующими аксиому выбора.

§ 3 Принцип исключенного третьего
269
datur1). (Такой путь неприемлем для интуиционистов и по
методологическим соображениям, связанным с неизбежным в
таком случае включением их взглядов в рамки некоторой
абстрактной логической системы.) Фактически «третий» случай
понимается как не имеющий никакого положительного
содержания, так что он никак не связан с остальными двумя.
Соответственно этому логика Брауэра не
противопоставляется классической логике, а составляет часть последней (это
подтверждается и символическим представлением
интуиционистской логики, излагаемым в § 4). Из-за того, что в этом
обрубке логики не используется принцип iertium поп datur, он
утрачивает простоту и ясность обычной, традиционной логики.
С другой стороны, даже для противников голландской школы
представляет интерес исследование остающейся части
классической логики и исследование вопроса, насколько далеко можно
продвинуться с помощью ее средств; тем самым открывается
путь для выяснения вопроса о независимости принципа исклю*
ченного третьего2).
Что касается принципа противоречия, то Брауэр указывает,
что, с его точки зрения, этот принцип фактически не
используется в доказательствах невозможности, основанных на
указании противоречия. Фактически такое доказательство
свидетельствует лишь о провале некоторой математической кон-*
струкции, которая должна была бы удовлетворять определенным
условиям 3).
На протяжении этого параграфа позиция Брауэра по
отношению к принципу исключенного третьего 4) иллюстрировалась
1) [Исключенного четвертого (лат.; буквально 'четвертого не дано')\—
Перев.] Поскольку позиция Брауэра в известной мере способствовала
оживлению дискуссии по поводу трехзначной логики, следует специально
отметить, что принятие многозначной логики вовсе не приводит к признанию
противоречивости аристотелевой логики, подобно тому как непротиворечивость
неевклидовых геометрий не означает, что геометрия Евклида содержит
противоречия.
(В то время как многозначные логики представляют собой некоторые
альтернативы классической логики, «неаристотелева логика» Г. Б. Смита
(*Г. Б. Смит, 2 и 3; ср. *Катцов, 1, *Хенле, 3), по существу являясь ее
расширением, содержала классическую логику как собственную часть.}
2) «Неаристотелевы системы» Коржибского (*1) характеризуются
отказом не только от принципа исключенного третьего, но и от принципа
тождества. По поводу принципа противоречия ср. *Эви, 3; взаимная
независимость принципа исключенного третьего и принципа противоречия
обсуждается Мак-Гиллом, 39; ср. *Нагель, 6.
3) Брауэр, 07, стр. 127, и 08.
4) Кроме литературы, относящейся к общим проблемам
неоинтуиционизма, указанной в § 1, и литературы, посвященной специальным вопросам,

270 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
примерами, относящимися к целым числам. Конечно, все
сказанное тем более приложимои к последовательностям (или
множествам) целых чисел. Вместо вопроса: «Найдется ли в данном
множестве целых чисел число, обладающее таким-то
свойством?», мы в этих случаях спрашиваем: «Найдется ли в
данном множестве последовательностей целых чисел (например, в
данном множестве десятичных дробей) последовательность,
обладающая таким-то свойством (имеющим смысл в применении
к последовательностям целых чисел — скажем,
периодичностью)?» В связи с такого рода вопросами
неоинтуиционистский критицизм заходит еще дальше; дело в том, что здесь не
только приходится отказываться от использования tertium поп
datur, но и само понятие произвольной последовательности
целых чисел, рассматриваемое как означающее нечто
законченное и определенное, объявляется незаконным. Такая
последовательность, коль скоро она не определена при помощи
некоторого заданного закона, может рассматриваться лишь как
некий «растущий» объект, но не как «законченный» (см. § 5).
Поэтому вообще бессмысленно ставить вопрос, обладает ли эта
последовательность такими-то и такими-то свойствами, за
исключением случаев, которые будут указаны в § 5.
Отказ от принципа исключенного третьего, помимо
значения для самой логики (см. § 4), имеет и психологические
последствия, распространяющиеся на всю математику, а именно
на убеждение о возмооюности решить в принципе любую мате-
цитированной в настоящем параграфе, мы перечисляем здесь работы, в
которых речь идет в основном о принципе исключенного третьего; большая
часть из них связана с точкой зрения Брауэра. При этом сюда не включены
статьи, главной темой которых является многозначная логика; работы,
посвященные интуиционистскому логическому исчислению, указаны в § 4.
В каждой части списка принята хронологическая последовательность
перечисления (начиная с 1923 г.).
Лишь небольшая часть перечисляемых ниже работ посвящена
преимущественно математическим вопросам; это: Вавр, 24, *2, *3, *4 (имеются
возражения *П. Леви, 1 и 2; ср. Дюге, 50); Колмогоров, 25 (где
показывается, что заключения конечного характера могут быть получены и без
помощи tertium поп datur); Чёрч, 28; Менгер, 28, стр. 218—223; *Херлен, 2;
*Лэнгфорд, 9; *Э. Шмидт, 1; Гудстейн, 45, 48, 51, 52; Аккерман, 50; Крейсел,
51 (полемическая статья); Лоренцен, 54.
Известно очень большое число работ философской направленности (по
большей части полемических) самого разнородного уровня; за небольшими
исключениями, здесь упоминаются только работы, опубликованные до 1936 г.
(включительно), так как более поздние можно легко проследить по Journal
of Symbolic Logic: *Ривье, 1; *Васильев, 1; *Пихлер, 1; *Буркамп, 2; *Кар-
нап, 3; *Гартман, 1; *Я. Мейер, 1; *Богословский, 1; *Липпс, 4 (§ 9 и 10);
*Арн. Реймон, 2, 4, 5; *Кайла, 2, стр. 78 и ел.; Нагель, 29; *Фарбер, 1 и 3;
Леви, 29 и *2; О. Беккер, 30; Гофман, 31; *Дюрр, 3; Бет, 35, 36, 55 (§ 89J;
*Рейзер, 1 и 2; *Бейлис, 3; *Нинк, 1; *ван Ос, 1; *Маннури, 6; Фейс, 49;
Хонен, 49.

§ 3. Принцип исключенного третьего
271
магическую проблему. Конечно, это убеждение было
поколеблено — в другом смысле — гёделевской теоремой о неполноте
(гл. V). Но неразрешимость, утверждаемая этой теоремой,
относится к некоторому определенному базису, на основе
которого предпринимаются попытки решения. Интуиционизм же
отвергает это убеждение как совершенно безосновательную веру
при любом базисе и подчеркивает этот отказ указанием на то,
что нельзя говорить о различии между конструктивным
решением проблемы и некой «внутренне присущей», или
«объективной», истиной об этой проблеме, так сказать, независимой
от решения; представление о такой истине для интуиционизма
есть лишенная всякого смысла метафизическая спекуляция,
уходящая своими корнями в платонизм.
Совершенно поразительно, насколько основательно
изменились перспективы математики и взгляды математиков в
течение нескольких десятилетий (нынешнее поколение,
по-видимому, уже забывает об этом). В 1900 г. на Втором
международном конгрессе математиков в Париже Гильберт выступил со
своим историческим докладом о (нерешенных) математических
проблемах1), содержащим гордые слова, выражавшие общую
уверенность математиков того времени: «Все вы, конечно,
разделяете убеждение, что каждая определенная математическая
проблема наверняка может быть строго решена, и отдаете себе
отчет в том, что к вам обращен постоянный призыв: „Увидел
задачу — ищи ее решение; для этого тебе дан Разум". (Термин
'решение', конечно, относится и к отрицательному решению, как
в классических задачах на построение в геометрии (не
решенных греческими математиками), и к проблемам независимости,
как в случае аксиомы о параллельных2).)
Уверенность в возможности решения и отличает, видимо,
математику от других (индуктивных) наук, где призрак вечной
неудачи и конечного ignorabimus3) смущает мысль ученого и
!) *Гильберт, 4.
2) Нет нужды подчеркивать, что при любой концепции математических
методов мысленный процесс, приводящий к решению какой-либо задачи,
всегда конечен. Именно таково понимание терминов 'решение' и
'доказательство': свести какой-либо вопрос, представляющийся вначале в бесконечном
аспекте (скажем, вопрос о трансцендентности числа π), к некоторой
конечной последовательности выводов. Спор здесь возникает лишь, во-первых, по
поводу математического базиса, некоторые бесконечные составные части
которого (например, математическая индукция) необходимы, другие же
(скажем, аксиома множества-степени (стр. 53) или аксиома выбора)] могуг
быть либо приняты, либо отвергнуты, и, во-вторых, по поводу базиса
логического, в частности, в связи с вопросом о том, какие правила вывода
допустимо использовать в доказательствах.
3^ Не узнаем (лат.). — Прим. перев,

272 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
подрывает его усилия. Именно эта уверенность и
способствовала тому, что математики в течение столетий не
оставляли попыток решения таких проблем, как большая теорема
Ферма.
Убеждение в разрешимости всех математических проблем
питается не собственно логико-математическими
соображениями, а реальной научной практикой и представлением о том, что
понятия математики, а следовательно, и встающие в ней
проблемы возникают в сфере человеческого мышления и
(внутренней) интуиции в отличие от других, особенно естественных,
наук, где важную роль играет внешний эксперимент. Поэтому
человеческий разум должен был бы уметь справляться с
поставленными им самим задачами (это для него, так сказать,
вопрос чести). Но кроме такого рода эмоциональных
источников, сильнейшим основанием для убеждения в разрешимости
была — и остается — вера в логический принцип исключенного
третьего; Брауэр попросту отождествляет оба эти убеждения
(стр. 283). Если, например, «на самом деле» имеется какой-то —
положительный или отрицательный — ответ на вопрос о том,
имеется ли ровно шесть простых чисел вида 2п + 1 или же
больше, чем шесть, то этот вопрос не может быть
неразрешимым, поскольку его «неразрешимость» как раз и означала бы,
что имеется лишь шесть таких простых чисел *).
Не окончилась еще первая четверть двадцатого столетия,
как вера, выраженная и прославленная в словах Гильберта,
вера, бывшая сильнейшим стимулом, вселяющим в
математиков уверенность в конечном успехе, оказалась совершенно
подорванной; более того, виднейшие математики стали заявлять,
что эта вера — всего лишь безосновательный предрассудок.
Отказ от tertium поп datur был не единственной причиной этого
неожиданного поворота событий, но одной из самых
существенных; с точки зрения интуиционизма в большинстве случаев
приходится выбирать между одной из следующих трех
возможностей: (1) положительное решение лроблемы с помощью
доказательства, проведенного каким-либо общепризнанным
методом; (2) отрицательное решение, получаемое построением про-
1) По поводу этого круга вопросов на первом (низшем) уровне ср Гес-
сенберг, 06, гл. XXII; П. Леви, *1, *2, 27; *Вавр, 3 и 4; *Кемпнер, 2; *Арн.
Реймон, 5. (Из работ философской окраски следует отметить статью Гуд-
стейна, 39; ему принадлежит изречение: «В математике проблема создается
решением».) На более высоком уровне эти вопросы появляются снова в
связи с проблемами полноты, непополнимости и непротиворечивости в
дедуктивных системах; см. гл V. [В этом месте текста имеется в виду, что при
наличии седьмого простого числа его рассматриваемое свойство могло было
быть доказано и не было бы «неразрешимости». Однако в общем случае
такой аргумент не удается. — Ред.]

§ 4 Математика и логика
273
тиворечащего примера; (3) отсутствие решения, когда не имеет
места ни один из первых двух случаев. Случай (2) Брауэр
называет абсурдностью {absurdity) по отношению к (1), и
наоборот (этот термин употребляется вместо классического термина
отрицание, не применимого к отношению между (1) и (2)).
Случай (3) может иметь место, если решение, расцениваемое
в классической математике как данное, носит чисто
экзистенциальный характер из-за использования tertium поп datur,
аксиомы выбора и т. п. Нет никакого сомнения в том, что
убеждение во всеобщей разрешимости эмоционально поколеблено
и далеко за пределами интуиционистской группировки1).
За последнее время в ряде важных работ была отчетливо
выявлена тесная связь между проблемой разрешимости и
теорией алгоритмов (в частности, в форме теории рекурсивных
функций, см. гл. V), с одной стороны, и интуиционистской
логикой (§ 4) — с другой2).
§ 4. Математика и логика. Логическое исчисление
Неоинтуиционистский тезис об отношении между
математикой и логикой ясно изложен в § 2 и 3. Под математикой
подразумеваются математические конструкции, а не их устное или
письменное изложение. Логика же есть теория форм
выражения мыслей, а следовательно, теория математического
изложения, которое является вторичным по отношению к
математическим конструкциям и представляет собой абстракцию от
математики. Таким образом, логика сводится, по существу, лишь к
«языковому явлению»; брауэровская точка зрения на
взаимоотношение между математикой и языком, разъясненная на
стр. 256 и следующих, уже автоматически предопределяет и
решение вопроса о ценности логики. Логические законы
предстают в качестве законов символизации мышления, поэтому
они приложи мы лишь постольку, поскольку они согласуются
с интуитивной основой и конструктивным построением матема-
1) Характерно (хотя это в методическом отношении и согласуется с
метаматематическим ходом идей), что сам Гильберт позднее (в 25; ср.
также 18, стр. 412 и ел.) формулировал проблему таким образом, чтобы
всеобщая разрешимость оказалась непротиворечивой (consistent) (т. е. не
приводила бы к противоречию). Правда, в последних работах (особенно в 31)
он предпочитает говорить не об 'отсутствии противоречия', а об 'истинности'.
Но эти исследования (несмотря на название статьи 31) относятся уже к
метаматематике (ср. гл. V).
2) Важнейшие основополагающие работы: Чёрч, 36 и 36а; Пост, 36;
Тьюринг, 36; ср. (в частности, в связи с литературой) Клини, 45, 49, 52
(части III и IV), 52а.
18 Зак. 1765

274 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
тики. В частности, логический принцип исключенного третьего
применим по отношению к конечным областям с определенными
границами; для таких областей принцип исключенного третьего
вытекает из известных свойств построений {constructions) *)
в этих областях и в свою очередь сам позволяет предвидеть
эти свойства конструкций в рамках конечных областей
(стр. 217).
Такая точка зрения, согласно которой логика
рассматривается как нечто следующее за математикой, прекрасно
согласуется с характером арифметики (теории чисел), что имеет
большое значение, поскольку с точки зрения интуиционизма
арифметика есть единственная основа всей математики.
Фактически предложения арифметики естественнее доказывать с
помощью некоторой конструкции, нежели посредством логической
дедукции из более общих логических законов.
Однако понять из разъяснений Брауэра, что же, собственно,
имеется в виду, когда он говорит об интуиционистской логике,
абстрагированной из математики, довольно трудно; еще
труднее точно выявить принципы, лежащие в основе его концепции
о взаимоотношении между математикой, с одной стороны, и
логикой и языком — с другой. Многие из этих трудностей
обусловлены неформальным и несколько риторическим
характером разъяснений Брауэра, причем он обосновывает такой их
характер (и даже настаивает на том, что иным он и быть не
может) неформальным, несимволическим, динамическим
характером самого понятия конструкции.
Поэтому решающим шагом, способствующим выявлению
сущности всей этой полемики (важнейшим после выступления
неоинтуиционизма в 1907 г.), явилось предпринятое в 1930 г.
учеником Брауэра Гейтингом представление основного
содержания неоинтуиционистской логики и математики в символической
форме — по существу, обычного типа, если не считать некоторых
видоизменений и добавлений, обусловленных особенностями
новой логики 2).
λ) См. примечание 1 к стр. 251. — Прим. перев.
2) Гейтинг, 30 и 30а; ср. ЗОЬ, *9, *10, 34, *14, *17, 48, 55, 56.
Дальнейшие работы: Фройденталь, *2 и 36а; Йоргенсен, 5; Моисил, 38; *Фринк, 3;
Вайдьянатхасвами, 43; Мак-Кинси — Тарский, 48; Розенблюм, 50; Лоренцен,
50, Сколем, 52—53; а также *Барзин — Эррера, 3 и 4; Эррера 33; ср. выше,
стр. 263. Мак-Кинси, 39, доказывает независимость гейтинговских исходных
символов (для исчисления высказываний).
Является ли доказательство непротиворечивости исчисления,
рассмотренного Новиковым, 43, интуиционистским, как утверждает автор,
представляется сомнительным.
Фитч, 49, расширяет гейтинговское исчисление, за c^ej введения
модальных понятий: необходимости и возможности. Топологические интерпретации

§ 4. Математика и логика
276
Правда, представители голландской школы не
рассматривают это представление в качестве некой ортодоксальной
кодификации1). Такая скептическая позиция проистекает из
признания невозможности какого бы то ни было исчерпывающего
описания процессов-, могущих рассматриваться в качестве
законных (см. стр. 255—256), и связана с еще более
фундаментальным соображением: никакое представление на языке
символической логики в силу его статического характера в принципе
не пригодно для точного описания динамической и никогда не
оканчивающейся сферы математической деятельности; любое
описание такого рода может претендовать лишь на то, чтобы
быть приблизительной характеристикой запаса операций,
приводящих к допустимым конструкциям. Поэтому считать, что
какая-нибудь система формул и правил вывода могла бы когда-
либо полностью описать неоинтуиционистскую математику,
значило бы впасть в иллюзию.
Однако система Гейтинга — с учетом такого рода
ограничений— признана голландской школой. Благодаря этому
достигнут значительный прогресс в деле сравнения традиционной
(аристотелевской) логики и классической математики с их
неоинтуиционистскими аналогами.
Еще раньше, до опубликования работ Гейтинга, Гливенко2)
удалось получить остроумные доказательства двух важных
результатов: (1) если некоторое предложение ρ доказуемо
классически, то абсурдность его абсурдности3) (а следовательно, и
гейтинговского исчисления высказываний предложены (независимо друг от
друга) в обширных статьях Стоуна, 37 (ср. *Цао Чен, 3), и Тарского, 38а;
ср. Огасавара, 39; *Панкаджам, 3; *Стоун, 8.
[Удобная модификация гейтинговского исчисления высказываний (и
минимального исчисления Иоганссона, стр. 287), пригодная для разбиения на
подсистемы аксиом (ср. Вайсберг, 38), предложена Шрётером, 57; ср.
также Шрётер, 56а. (Добавлено при корректуре.)]
Биркгоф, 48; стр. 128 и ел., рассматривает теоретико-структурную
формулировку брауэровских алгебр, т. е. алгебраических систем,
удовлетворяющих аксиомам Гейтинга. Ср. важное расширение, предложенное Мак-Кинси —
Тарским, 46, относящееся к математике в брауэровских алгебрах; ср. также
Медведев, 55, и Монтейро, 56.
Дальнейшие ссылки на литературу даются ниже в этом параграфе.
Относительно связи между брауэровскими алгебрами и алгеброй
замкнутых множеств в общих топологических пространствах (и в льюисовской
системе строгой импликации) отсылаем читателя к литературе, например
Мак-Кинси — Тарский, 46; Мостовский, 48; Расёва — Сикорский, 53.
1) Ср. критику самого Гейтинга, например, в работах 54 и 56.
2) Гливенко, 29; ср. Карри, 52, где получены аналогичные результаты;
см. изложение Клини, 52, стр. 492 и ел. [стр. 434 и ел. русск изд. — Перев]
3) Термин 'абсурд' (absurd), употребляемый Брауэром для
неоинтуиционистского отрицания, означает в соответствии с его смыслом в голландском
языке 'противный разуму' в свете доказательства (а не 'нелепый' или
'смешной').
Ш

276 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
его непротиворечивость) доказуема интуиционистски, и
обратно; (2) если абсурдность ρ доказуема классически, то она
доказуема и интуиционистски *).
Мы начнем с неформального описания характерных
особенностей гейтинговского неоинтуиционистского исчисления и его
отклонений от классического пути. После этого будет легко
усвоить и символическое изложение (стр. 281 и ел.).
В первой работе Гейтинга (1930) рассматривается
интуиционистское исчисление высказываний (предложений).
Основной результат этой работы можно сформулировать следующим
образом. Обозначим какую-либо систему аксиом и правил
вывода (modus ponens и правило подстановки), подходящую для
использования в качестве обыкновенного пропозиционального
исчисления (ср. ниже, стр. 282), через ф. Соответствующая
система аксиом ξβ' для неоинтуиционистского
пропозиционального исчисления, например система аксиом Гейтинга,
получается из У$ заменой2) аксиомы исключенного третьего £ (т. е.
/?< ~р) 3) более слабой аксиомой2/, выражающей тот факт,
что предложение, из которого следует как р, так и ~~| р,
абсурдно. Таким образом, можно считать, что
неоинтуиционистская логика получается из обычной опусканием той части 2,
которая делает £ сильнее, чем %'.
Результаты этой замены ?β на У$' можно исследовать с
помощью обычных методов. В обычной логике высказывание ρ
эквиполлентно 4) своему двойному отрицанию; в
интуиционистской же логике ρ только влечет двойное отрицание р, но не
обратно: с помощью доказательства независимости (обычного
вида) можно показать, что в $β' формула * 1 J рзр'
недоказуема. Присоединение этой формулы к $β' приводит к системе,
эквиполлентной 5) ^ .
Следовательно, интуиционистское пропозициональное
исчисление не является полным в том смысле, в каком полно
классическое пропозициональное исчисление, т. е неверно, что при-
1) Результаты Гливенко относятся в основном к исчислению
высказываний; подробнее и точнее см. Клини, 52, начало § 81. — Прим. перев.
2) Иоганссон, 36, обсуждает последствия, проистекающие в результате
опускания дальнейших аксиом (отрицания); ср. (так же как и по поводу
положительной логики) ниже, стр. 287.
3) О неоинтуиционистской интерпретации (meaning) отрицания и
применяемом для его обозначения символе ( ~~| вместо символа ~ для
классического отрицания) см. ниже, стр. 282; ср. Поппер, 48.
4) Это относится и к некоторым исчислениям, разработанным для
описания квантовой механики; см. Биркгоф — фон Нейман, 36, и *Штраус, 1,
а также *Феврие, 3; ср., однако, фон Вейцзекер, 55.
5) Как уже отмечалось выше (примечание 1 на стр. 38), авторы по мере
надобности трактуют понятие эквиполлентности в (естественном)
расширительном смысле, без специальных оговорок. — Прим. перев.

§ 4. Математика и логика
277
.соединение к аксиомам любой невыводимой формулы делает
систему противоречивой1).
Отрицательные предложения, т. е. предложения, главной
операцией которых является знак абсурдности '~~|'> в
неоинтуиционистской логике находятся на особом положении2): для
таких предложений верен принцип исключенного третьего, т. е.
верна формула ~}р\/~~\~\ Рг)\ такие предложения эквипол-
лентны своему двойному отрицанию, т. е. верно, что ρ = ""Π"!/7'
что также показал Гливенко.
Аксиомы гейтинговской системы ^' независимы.
С формально-аксиоматической точки зрения неполнота
системы ч$' может быть интерпретирована следующим образом:
формулу tertium поп datur можно — по желанию или в
зависимости от поставленной цели — либо исключить (как в *β'),
либо оставить в системе (как в ^3). Так мы получаем две
различные логики, одна из которых включает другую, подобно
тому как исключение аксиомы параллельных означает переход от
евклидовой геометрии к абсолютной геометрии. Поэтому вопрос
о том, какая именно логика (или геометрия) «истинна»,
неправильно поставлен. Такая позиция, однако, неприемлема для
неоинтуиционизма, который предпочитает вместо
аксиоматического противопоставления 'выводимости' и 'невыводимости' (или
'несовместимости') рассматривать именно противопоставление
'истинности' и 'ложности' ('абсурдности'); с точки зрения
неоинтуиционизма выбор системы аксиом отнюдь не есть дело
произвола, а озынужден (в некотором широком смысле этого
слова).
В первой части второй из основных работ Гейтинга 4)
содержится аналогичное изложение неоинтуиционистского
функционального исчисления (исчисления предикатов)5), включающее
х) Ср. Гёдель, 32; *Гейгинг, 9. Что касается проблемы разрешения
(гл. V) в $', то некоторые частные критерии были получены еще Гливенко
и Гейтингом; общие решения даны Генценом, 34, и, в ходе подробного
исследования системы ψ', Вайсбергом, 38.
2) Например, Брауэр, 29; *Гейтинг, 8; ср. О. Беккер, 30. Это различие
ясно проявилось во втором результате Гливенко.
3) Это утверждение авторов об интуиционистской истинности ~]р\/ ~~\~]р
является грубой ошибкой. — прим. ред.
4) Гейтинг, 30а; ср. Генцен, 34; *Гейтинг, 17; Переманс, 49. Особенно
важна (и не только в связи с интуиционистской логикой и математикой)
работа Генцена (III. Abschnitt), в ней показывается особая роль формулы,
выражающей tertium поп datur, с формальной точки зрения (ср. Пильчак,
52), а также содержится новое доказательство невыводимости этой формулы
в неоинтуиционистской логике. Весьма прозрачное описание генценовских
исчислений дано в книге Клини, 52, гл. XV; ср. также Курода, 51; Ониси, 53;
Маэхара, 54.
5) В качестве классического аналога этого исчисления в этой работе
взято функциональное исчисление Гильберта — Аккермана, 28/49.

278 Гл. IV. Интуиционистские концепции математика
пеановскую теорию натуральных чисел. Первоначальная гей-
тинговская формализация функционального исчисления
довольно сложна; позже она была упрощена им самим и другими
авторами; см. ниже, стр. 284.
Кроме цитируемой ниже статьи Генцена, рассматривающего
интуиционистское исчисление в рамках классической логики,
гейтинговская трактовка интуиционистской логики развивалась
также глубокими исследованиями Д. Нелсона1), которые, как
и более ранняя работа Клини, широко используют
формализацию большого фрагмента теории рекурсивных функций2)
(гл. V). Термин 'реализуемая' в этих работах означает
'интуиционистски истинная'3).
Наконец, во второй части статьи Гейтинга, 30а, проводится
символическое рассмотрение брауэровского определения
множества (§ 5) и, в частности, «свободно становящихся
последовательностей»; с неоинтуиционистской точки зрения особую
важность имеет именно эта часть.
Для самих интуиционистов эта формализация особого
интереса не представляет; но зато остальные математики
получили, наконец, долгожданную возможность разобраться в новой
логике средствами классической логики и проанализировать
существо и смысл этой специфической системы. Первый и весьма
интересный результат был получен в этом направлении Колмо-*
горовым4): оказалось, что гейтинговское исчисление допускает
интерпретацию в классических терминах как исчисление
проблем (или задач {problems))', понятия 'проблемы' и ее 'решения'
остаются при этом неопределенными (понимаются «в обычном
смысле»)5). Например, неоинтуиционистская конъюнкция соот-
х) Д. Нелсон, 47 и 49. В первой из этих работ доказываются важные
утверждения, высказанные в качестве гипотез в работе Клини, 45; ср.
Клини, 49, и общий метод, разрабо'1анный Мостовским, 48 (ср. Генкин, 51). Ясное
представление об интуиционистском пропозициональном и функциональном
исчислении можно составить из подробного изложения Клини, 52, § 23, 25,
35, 77, 78, 80, 81; ср. Харроп, 56.
2) См., например, Петер, 34, и Клини, 36.
3) Более детальное рассмотрение этих вопросов см. у Клини, 52, стр. 503
и ел. [стр. 443 и ел. русск изд. — Перев.]
4) Колмогоров, 32; ср. Гейтинг, 34, стр. 14 и ел,; Яськовский, *1, и 36;
*Феврие, 3; Пильчак, 52. Попытки интерпретировать интуиционистское
исчисление высказываний в терминах математических конструкций
предпринимались еще в работах Гейтинга, ЗОЬ и *8. Исходные идеи, лежащие в основе
интерпретации Колмогорова и Гейтинга, подвергнуты критике в работе Фрой-
денталя, 36а. Другая интерпретация гейтинговского исчисления (средствами
обычного пропозиционального исчисления, расширенного за счет
присоединения предиката 'р доказуемо') предложена Гёделем, 33с.
5) В работе Медведева, 55, понятие 'проблемы' получает, однако, точный
смысл.

§ 4. Математика и логика
279
ветствует решению двух проблем, дизъюнкция — решению хотя
бы одной из двух проблем, импликация — сведению решения
одной (второй) проблемы к решению другой (первой).
Последняя интерпретация особенно важна, поскольку обычная
импликация pzDq не имеет интуиционистского смысла, коль скоро
значения истинности ρ и q неизвестны. Аналогичным образом
интерпретируются и правила вывода. Для функционального
исчисления интерпретация выглядит следующим образом. Пусть F
есть некоторая проблема, зависящая от переменной х\ тогда
(Ax)F соответствует проблеме 'указать общий метод решения
F для любого х\ a (Ex)F—проблеме 'назвать конкретное х,
для которого F может быть решена'. Такая точка зрения снова
подтверждает — уже совершенно с другой стороны —
высказанное нами на стр. 264 мнение, что брауэровские ограничения
относятся не столько к самому по себе принципу исключенного
третьего, сколько к отрицанию общих высказываний.
Мы неоднократно отмечали, что неоинтуиционистская
логика — поскольку рассматривается исчисление высказываний —
образует часть классической логики. Но это утверждение
следует оценивать в свете его зависимости от соответствия между
первоначальными понятиями обоих исчислений. Оно верно лишь
при том условии, что интуиционистские связки даны в их
«нормальной» интерпретации в рамках классического исчисления.
Однако имеются и другие интерпретации, при которых
классическая логика предстает как часть интуиционистской логики,
т. е. в этих интерпретациях аналоги всех классических теорем
являются теоремами в интуиционистском исчислении, но не
обратно1). Конечно, ценность такого доказательства
относительной непротиворечивости классического пропозиционального
исчисления невелика. Сторонникам классической логики оно не
нужно, так как можно показать даже абсолютную
непротиворечивость классического исчисления; для интуиционистов же
это доказательство едва ли что-либо значит, поскольку их
интересует именно «нормальная» интерпретация. Кроме того, эта
интерпретация использует не подвергнутое анализу понятие
'следствия из допущения'2).
Далее, исходя из гейтинговского построения математики
(30а), аналогичным образом было получено даже доказательство
1) Гёдель, ЗЗЬ и с; ср. обобщение Расёвой — Сикорского, 54.
Аналогичный результат независимо получен Ганценом, 36; Ср. Бернайс, 35а; Бет, 35
и 36; Клини, 52, стр. 495 и ел. [стр. 437 и ел. русск. изд. — Перев.], а также
Лоренцен, 50; Риддер 50—51; Лукасевич, §2; Сколем, 52—53.
2) Ср. Фройденталь, 36а. Эта критика относится также в известном
смысле и к гейтинговскому исчислению вообще.

28Э Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
непротиворечивости для арифметики1). Фактически Гёдель
предлагает интерпретацию терминов классической арифметики
и логики посредством интуиционистских терминов, так что
каждой формуле, которую можно доказать с помощью
формальных методов традиционной математики, ставится в соответствие
некоторая интуиционистски доказуемая формула.
Следовательно, можно считать, что интуиционистская арифметика в
известном смысле охватывает классическую арифметику, если только
принять некоторую «ненормальную» интерпретацию терминов,
используемых для обозначения первоначальных понятий: Таким
образом получается доказательство непротиворечивости для
классической арифметики2), которое классики считают
относительным, а интуиционисты — абсолютным, поскольку свою
арифметику они считают тривиальным образом
непротиворечивой.
Интуиционистская арифметика обычно рассматривается как
часть классической арифметики; методы Гёделя и его
последователей, по-видимому, приводят к обратной ситуации, но в
смысле, неприемлемом для голландской школы. Действительно, если
в качестве необходимого условия интуиционистской истинности
мы возьмем (рекурсивную) реализуемость3), то формула
(kx)[f{x)\/ "!/(*)] оказывается интуиционистски неистинной,
ибо она яе реализуема, хотя классически4) она и доказуема.
С другой стороны, формула ""] (Ax)\f(x)\/ "!/(*)]» хотя и не
доказуема классически, реализуема 5),а следовательно, не
является интуиционистски ложной. Последнюю формулу можно, таким
образом, присоединить к аксиомам интуиционистского
функционального исчисления, получив в результате исчисление, которое
расходится с классическим. Довольно неожиданно, что такая
ситуация, хорошо известная математикам по геометрии, может
возникнуть и в арифметике.
Но для математиков-«классиков» результаты Гёделя имеют
то значение, что интуиционистская арифметика по существу не
уже классической — настоящее расхождение начинается только
в анализе и теории множеств, в связи с которыми все
интуиционисты (а не только неоинтуиционисты) подвергают критике
1) Арифметика здесь понимается, скажем, как у Эрбрана, 31.
2) Это доказательство нефинитно в понимании Гильберта и Эрбрана
(см. гл. V; например, Эрбран, *5 и 30); см. обсуждение этого вопроса и
исчерпывающие ссылки на литературу в книге Клини, 52, стр. 497 и ел.
[стр. 439 и ел. русск. изд. — Перев.].
3) Ср. стр. 278; см. Клини, 52, § 82, и Роуз, 53.
4) Разумеется, с классическим отрицанием ~.
5) См. Клини, 52, стр. 513 [стр. 453 русек. изд. — Перев.] и дальнейшее
обсуждение этого вопроса там же; ср. также более раннюю работу Клини, 45-.

§ 4. Математика и логика
281
использование непредикативных определений (стр. 213) или же
те полумеры, которые применяются с целью избежать
употребления таких определений. Далеко идущее соответствие между
интуиционистской и классической арифметикой обусловлено
отчасти соответствием между интуиционистской 'абсурдностью'и
классическим 'отрицанием*.
В заключение этого неформального обзора
неоинтуиционистской логики заметим следующее. Путем обобщения
классического пропозиционального исчисления с его двумя
истинностными значениями 'истина' и 'ложь' недавно были получены
различные многозначные исчисления, в которых допускаются
три или более значений истинности (гл. III); такие системы
могут — подобно гейтинговскому исчислению —
рассматриваться как некоторые части классического исчисления. Как
указывалось в § 3, неоинтуиционизм не представляет собой
трехзначную систему, поскольку его «третья» альтернатива 'истины' и
'лжи' никак не сопоставима с ними. Фактически было
доказано1), что интерпретацией гейтинговского пропозиционального
исчисления не может быть никакая логическая система с
конечным числом истинностных значений и что «между» обычной
и неоинтуиционистской системами имеется бесконечная
последовательность «убывающих»2) логических систем. В то же
время известна интерпретация неоинтуиционистского
исчисления высказываний, использующая счетное множество значений
истинности 3).
Обращаясь к гейтинговской формализации (1930) основных
частей неоинтуиционистской логики, мы рассмотрим подробно
лишь пропозициональное исчисление (исчисление предложений
(statements)). О функциональном исчислении см. стр. 283 и ел.
По поводу математической части этой формализации,
оперирующей в основном понятием множества (вида), ср. § 5.
Употребляя здесь для обозначения дизъюнкции, конъюнкции
отрицания и импликации соответственно символы 'V', 'Л', *~'
1) Гёдель, 32. Другим путем такие «промежуточные» системы
появляются в работе Умедзава, 55; ср. использование определенного рода
дистрибутивных структур для исследования интуиционистской логики в (независимо
написанных) статьях Мак-Кинси — Тарского, 48, и Ригера, 49. В них, в
частности, показано, что если в гейтинговском исчислении доказуема формула
7? V q\ то либо р, либо q доказуемо; это приводит и к новому
доказательству результатов Гливенко, стр. 275—276.
Более сильные результаты получаются с помощью 'брауэровских
структур' (ср стр. 275) Мостовским, 48 (ср. Генкин, 51), и особенно Расёвой, 52;
в последней работе некоторые результаты, содержащиеся в гёделевской
теореме о полноте (см. гл. II, § 6), переносятся из классического исчисления
на гейтинговское; ср литературу, приведенную выше, в конце § 34
2) По силе. — Прим. перев.
3) Яськовский, 36; ср. Пильчак, 52, и Роуз, 53,

282 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
и *ζ>' (ср. стр. 38), мы будем исходить из следующей
общеизвестной системы аксиом для классической пропозициональной
логики (здесь а, 6, с обозначают высказывания
(предложения); приводимые формулы следует понимать как выражения
для общезначимых 1) предложений 2)):
1)
2)
3]
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
П)
(а ■=> Ь) Л (Ь г> с) ■=> (a zd с),
\а => (Ь гэ с)] => (а Л Ь гэ с),
(а Л b =5 с) г> [а з (& з с)],
α Л * з а,
а Л 6 => 6,
аэй\/&.
й з а V δ,
(а => ft) Л (« =» с) з (α η b Л с).
(аэс)Л(Ьс)з(а\/*)з с,
аД—<χ·=> Ь,
aV—а·
К этим аксиомам добавляются обычные правила вывода.
Для обозначения неоинтуиционистских связок дизъюнкции,
конъюнкции и импликации мы будем по-прежнему — для
простоты, хотя это и не еполне корректно, — пользоваться теми же
символами; только неоинтуиционистское отрицание
(абсурдность) будем вместо '~' обозначать гейтинговским символом
*~~|\ В таком случае система аксиом неоинтуиционистского
пропозиционального исчисления, очень близкого к гейтингов-
скому, получается из приведенной только что системы
истолкованием встречающихся в ней логических символов в
неоинтуиционистском смысле и заменой 11) на
И*) (а^Ь)А(а^ 1Ь)=> Πα.
11) есть не что иное, как аксиома исключенного третьего;
11*) же есть значительно более слабая аксиома, упомянутая
выше (на стр. 276).
Нетрудно показать, что с помощью этой новой системы
аксиом нельзя доказать формулу' [ |o-zd а\ т. е. чтоздесь абсурд-
1) (General validity); в применении к пропозициональным формулам
уместнее термины 'тавтологичные' или 'тождественно истинные', а поскольку
речь идет о формализме исчисления высказываний, то просто 'выводимые'.—
Прим. перев.
2) Мы не вводим для простоты специального символа для
общезначимости [Ср. предыдущее примечание. — Перев.]

§ 4. Математика и логика
283
ность абсурдности какого-либо предложения а, вообще говоря,
не эквиполлентна а. Следовательно, в системе, состоящей из
1) — 10) и 11*), нельзя доказать и аксиому исключенного
третьего.
Что касается И*), то прежде всего отметим, что система
1)—10), получаемая в результате исключения 11) из числа
аксиом, недостаточна для целей недопущения противоречий;
этой цели как раз и служит аксиома 11*), не выводимая из
1)—10) (эта цель достигается и с помощью аксиомы 11),
которая, однако, служит и другим целям). Кроме того, заметим,
что 11) не может быть заменена1) никаким противоречащим ей
предложением, скажем, принципом исключенного четвертого; из
системы удаляется именно та часть 11), которая делает эту
аксиому сильнее, чем 11*).
С неоинтуиционистской точки зрения логические аксиомы
лучше всего интерпретировать в терминах колмогоровского
исчисления проблем (стр. 278). В самом деле, обычное
истолкование импликации ('а:=>£' ложно тогда и только тогда, когда 'а'
истинно, a '6' ложно) не имеет интуиционистского смысла, коль
скоро значения истинности V и '6' неизвестны; >в свете же
исчисления проблем 'аз6' имеет вполне законное значение, а
именно значение сведения задачи решения Ь к задаче решения а
(стр. 279). Поэтому правило вывода 'если а и αζ>ί>, то Ъ"
приводит нас от решенных проблем также к решенным. (Значение
термина 'сведение' в соответствии с аксиомой 10) таково, что
доказательство того, что а нельзя решить, сводит решение
любой проблемы к решению а.)
То, что было сказано здесь об импликации, относится также
и к дизъюнкции. В частности, согласно этой интерпретации,
аксиома исключенного третьего соответствует такому
предложению: какова бы ни была проблема а, либо а можно решить,
либо показать противоречивость (абсурдность) допущения о
решении а. Такое понимание и побудило Брауэра отождествлять
эту аксиому с допущением, что всякую математическую
проблему можно решить. С другой стороны, согласно истинному
предложению об абсурдности абсурдности tertium поп datur,
т. е. Π~Ί (#V Π α)> нет такой проблемы, неразрешимость
которой можно было бы доказать (при надлежащем понимании
терминов 'проблема' и 'неразрешимость').
Переходя к функциональному исчислению, мы и на этот раз
начнем с его трактовки в классической символической логике2),
отвлекаясь от различных истолкований (дизъюнкции и)
1) При формализации (нео) интуиционистской логики. — Прим. перев.
2) Например, Гильберт —Аккерман, 28/49.

284 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
существования. К аксиомам пропозиционального исчисления мы
добавляем аксиомы
(kx)f(x)=>f(y) и f(y)z3(Ex)f(x)
и обычные правила вывода.
В § 3 отмечалось (неформально), что, согласно
конструктивному пониманию существования, отрицание какого-либо общего
предложения не представляет собой экзистенциального
предложения. Поэтому, если обозначить через / выражение,
содержащее свободную переменную х, то общезначимые (valid)
формулы
(Ex) f(x)=>~\ (λχ) Ί f (x), (Ax) f(x)=>~) (Ex) -] f (χ)
(Ex)-[f(x)=>-\(kx)f(x)
нельзя обратить, тогда как общезначимая формула
(hx)-\f(x)z>-){Ex)f(x)
может быть обращена. Общезначимые формулы
(Ex)^-]f(x)=>-]-\(Ex)f(x)
-Π(Α*)/(*)=>(Α*)-πκ*),
содержащие двойное отрицание, обратить нельзя.
Согласно исчислению проблем, (Ax)F(x) означает задачу,
состоящую в том, чтобы дать общий метод, позволяющий
решить проблему F для всех х, a (Ex)F(x) —задачу, состоящую
в том, чтобы указать некоторое конкретное χ и решить
проблему F для этого х. Ни одна из этих задач не может быть
сведена к другой. Таким образом, предложение, содержащее
выражения, значения истинности которых неизвестны, и потому с
неоинтуиционистской точки зрения бессмысленное, получает
разумный смысл, если его рассматривать как некоторую
проблему. Конечно, после того как эта проблема бывает решена,
значения истинности становятся известными, а само
предложение — тривиальным.
Тому, кто привык к ясности и простоте классического
логического исчисления, достигаемым за счет формулы
исключенного третьего 1а\/ ~а\ трудно смириться с усложнениями,
вносимыми упомянутыми выше ограничениями. В связи с этим
интересно отметить, что недавно был предложен метод1), — точнее,
даже два разных метода, относящихся к разным областям, —
1) Ван Данциг, 47 (написано в 1942 г.). «Слабая интерпретация»
интуиционистского исчисления была предложена также еще Гёделем, 33с.

§ 4 Математика и логика
285
представляющийся весьма подходящим если не для того, чтобы
перекинуть мост между самими по себе традиционной и
интуиционистской позициями, то хотя бы для того, чтобы облегчить
восприятие последней классически мыслящими логиками и
математиками.
Назначение первого из этих методов, названного ван
Данцигом слабой интерпретацией, состоит в том, чтобы дать
возможность математикам, придерживающимся обычных взглядов, и
неоинтуиционистам «встретиться на полпути». Обычная для ин-
туиционистов конструктивная интерпретация математических
теорем, особенно теорем существования, связывает с ними
гораздо более сильный смысл, чем тот, что вытекает из их
буквального прочтения (и на то есть основания). Но для обычного
математика на самом деле безразлично, доказано ли какое-либо
неоинтуиционистски понимаемое предложение ρ само по себе —
фактически его интересует только двойное отрицание ~~р.
Такой «перевод» интуиционистских предложений не так сильно
усложняет дело, как может показаться, поскольку (по теореме
Гливенко, стр. 277) нам никогда не придется иметь дело более
чем с двумя отрицаниями. Следуя этому ходу мыслей,
условимся называть предложение, эквиполлентное своему двойному
отрицанию (или вытекающее из него), устойчивым
предложением. Устойчивым, например, является любое отрицательное
предложение.
Ясно, что отрицание произвольного устойчивого предложения
также устойчиво; легко также показать, что устойчивой будет
и конъюнкция устойчивых предложений. В то же время по
отношению к дизъюнкции и импликации1) устойчивых
предложений это уже неверно. Введем, однако (только для нужд этого
параграфа), понятия квазидизъюнкции (определяется как
'""КП^Л""]^)') и квазиимпликации (т. е. '""Κ^ΛΠί)'2))
предложений ρ и q. Эти операции, как легко видеть, дают уже
всегда устойчивые формулы.
«Для «бесконечного аналога» конъюнкции — т. е. для
общего предложения, получаемого с помощью квантификации
всеобщности,— свойство устойчивости сохраняется. Для
экзистенциальных предложений это уже неверно, но так называемые
1) Импликация устойчивых предложений интуиционистски устойчива,
см. Клини, 52, § 27, стр. 119, *60 g — i (стр. 110 русского издания). Правда,
в минимальном исчислении Иоганссона (см. ниже, стр. 289) от этой
устойчивости сохраняет силу лишь импликация ~] ~](Az)B)zd( ~| ~| Л ~] ~]В), но
не обратная к ней. — Прим. ред.
2) Классически — но не интуиционистски! — эти формулы эквиполлентны
соответственно формулам 'р V tf и kpz^q\ т. е. '^р V q\ Точно так же
' ~~1 (Ах) Π / (*)' классически эквиполлентно (Ex)f(x).

286 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
квазиэкзистенциальные предложения вида ~~| (Ах) ""] f (χ) опять-
таки устойчивы.
Поэтому предложения классического функционального1)
исчисления оказываются верными интуиционистски, если область
значения переменных для них ограничить таким образом, чтобы
под предложением понималось всегда устойчивое предложение,
и если при истолковании классических символов для отрицания,
конъюнкции и квантора всеобщности придерживаться их
нормальной интерпретации, а для дизъюнкции, импликации и
квантора существования — «квази»интерпретации.
В соответствии с этой интерпретацией область устойчивых
предложений представляет собой часть интуиционистской
логики, замкнутую относительно элементарных операций и такую,
что в ней выполняются аксиомы традиционной логики. В
частности, в этой области сохраняет силу аксиома исключенного
третьего *pV ~p'.
Обратимся теперь к математике. В теории целых и
рациональных чисел не возникает никаких затруднений, поскольку
равенство и неравенство целых чисел суть устойчивые
отношения. Сомнения, однако, возникают, как только мы переходим к
рассмотрению действительных чисел, даже если вместо брауэ-
ровского определения действительного числа исходить из
определения Кантора, согласно которому действительное число
понимается как «фундаментальная последовательность»
рациональных чисел. Тем не менее, если надлежащим образом
видоизменить исходные определения и произвести довольно сложную
перестройку некоторых доказательств, можно, по-видимому, дать
«устойчивую» интерпретацию и для теории действительных
чисел, хотя при этом и не удается избежать использования
непредикативных определений. (Между прочим, из рассмотрения
новых доказательств видно, что некоторые традиционные
доказательства не обладают достаточным единообразием.)
С помощью такого рода видоизменений мы приходим к
заключению, что между классической логикой и математикой и их
неоинтуиционистскими аналогами не возникает никакого
противоречия, если только принять устойчивую интерпретацию; при
этом классические теории оказываются просто частями
соответствующих интуиционистских (ср. стр. 279). Противоречия, столь
настойчиво подчеркивавшиеся Брауэром, обусловлены тем, что
он придерживается другой интерпретации.
Фактически неоинтуиционистский Анализ не дает ничего
принципиально нового, если не пользоваться другой, «более
х) В оригинале 'пропозиционального' (что, конечно, верно, но
неоправданно сужает область применения этого утверждения). — Прим. перев.

§ 4. Математика и логика
№
сильной» интерпретацией; математика устойчивых предложений,
безусловно, не выходит за рамки системы, описанной в Konti-
nuum Вейля1). Более того, принятие изложенной точки зрения
ничего не может дать для приложений математики. Если,
например, мы имеем в виду как-то применить основную теорему
алгебры (стр. 90), то утверждение об абсурдности допущения, что
многочлен положительной степени не имеет нулей, будет само
по себе совершенно бесполезным; нам, вообще говоря, нужен
именно эффективный метод вычисления нулей любого данного
многочлена. Далее мы кратко расскажем об интерпретации,
которая, по-видимому, является «самой сильной»: речь пойдет о
положительной {affirmative) математике, иными словами, о
математике, обходящейся вообще без каких бы то ни было
отрицаний2). Сильный аргумент в пользу такого подхода
заключен в интуиционистском тезисе, согласно которому, отрицая
какое-либо предложение р, мы, вообще говоря, не получаем
никакого предложения; на каком же тогда основании можно
говорить об отрицании р? Идея, таким образом, состоит в том,
чтобы обходиться только такими предложениями, для
утверждения которых не требуется упоминания о каких-либо других
предложениях. А в таком случае от отрицания — как исходного
понятия — надо, конечно, вообще отказаться3).
Следуя этому пути, ван Данциг построил значительную часть
математики, пользуясь только приемлемыми для интуиционистов
методами, но не связывая себя интуиционистскими догмами;
никакого знакомства с тезисами голландской школы для
понимания его идей не требуется. (Ср. ниже, § 5 и 6.)
Конечно, анализ должен основываться на арифметике;
поэтому мы начнем с вопроса о натуральных числах. Это понятие
можно ввести, в основном следуя ходу идей Пеано, с некоторыми
1) Вейль, 18.
2) Ван Данциг разрабатывал эти вопросы независимо от Иоганссона,
36; ср. стр. 289 В последней работе, так же как у Генцена, 34, отрицание
вводилось не сразу как первоначальное понятие, а лишь в ходе развития
теории, посредством некоторого определения; но примененный там метод по
многим соображениям неудовлетворителен. Позднее аналогичные идеи
развивал Грисс, 44—51, но ему не удалось обойтись без использования
экзистенциальных предложений общего (неограниченного) вида; см. стр. 290.
3) Можно было бы рекомендовать такую же позицию и по отношению
к дизъюнкции и применению квантора существования. В самом деле, в
предложении ρ V о как таковом не содержится никакого интуиционистски
осмысленного утверждения. Однако исключение дизъюнкции потребовало бы
весьма серьезных усложнений; достаточно подумать о тех выводах, которые
можно сделать из того факта, что произведение целых или рациональных
сомножителей равно нулю. Что касается существования, то в описываемой
здесь системе оно употребляется лишь в определенном, ограниченном смысле,
позволяющем свести квантор существования посредством математической
индукции к дизъюнкции; ср. также *Сколем, 4.

288 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
усовершенствованиями, внесенными в более позднее время;
однако математическая индукция вводится посредством
некоторой схемы дедукции, т. е. в качестве правила вывода. Лишь
одну из пеановских аксиом (обычно фигурирующую третьей
в списке аксиом), имеющую чисто отрицательный характер,
нельзя сформулировать в положительной математике —
аксиому, согласно которой 0 не следует ни за каким числом; но
после введения операции сложения эту аксиому можно заменить
постулатом, согласно которому из х + у = 0 следует, что у = 01).
Характерные особенности интуиционизма сказываются при
введении понятия действительного числа. Ввести действительные
числа можно с помощью конечных двоичных приближений с
соответствующими неравенствами (как в канторовской теории
иррациональных чисел); такой метод по существу подобен бра-
уэровскому. Следуя этому методу, легко определить равенство
действительных чисел и отношение -< между ними; однако, как
и в системе Брауэра (ср. § 6), нельзя определить неравенство
и отношение порядка <· В самом деле, χ Φ у должно означать
существование такого целого п, что п-е знаки двоичных
представлений χ и у различны, но это предложение недопустимо как
носящее чисто экзистенциальный характер. Поэтому
предложения вида хфу не приводят ни к каким положительным
следствиям, что согласуется с тем фактом, что никакое физическое
измерение некоторой величины χ не приведет нас к результату
хф\, пока не удастся установить для какого-либо
определенного положительного ε либо '.*:-< 1—ε', либо 'χ>1+ε\ Только
из таких предложений может быть выведено «предложение-
абстракция» хФ1 (ср. выше, стр. 254).
Правда, непротиворечивое развитие этих идей связано со
значительными неудобствами; дело в том, что понятия
сходимости (даже для случая числовой последовательности) и
предела неизбежно осложняются рассмотрением таких
«деликатных» характеристик, как, например, понятие скорости
сходимости, так что понятие непрерывности оказывается теперь уже
совсем другим, нежели при обычном построении теории.
Всем перечисленным понятиям можно приписать на эгом
пути определенное значение, более узкое (т. е. более сильное),
чем обычно; но имеются и такие классические понятия, которые
не обладают никаким положительным значением2).
Такого рода построения имеют определенное значение и
даже значительный научный интерес и в рамках классической
1), То, что из этой же посылки следует и χ = 0, можно в такой системе
доказать. — Прим. перев.
2) Ср. ван Данциг, 42.

$ 4. Математика и логики
289
математики; однако при этом их неверно было бы
рассматривать в качестве теорий неравенства, сходимости и т. д.; это всего
лишь определенные специализации таких теорий, полезные
особенно для приложений математики. С другой стороны, хотя эти
построения осмысленны с неоинтуиционистской точки зрения,
они далеко не исчерпывают цеоинтуиционистской математики.
Работу ван Данцига можно рассматривать в качестве
глубокого и поучительного истолкования {interpretation)
неоинтуиционистской логики и математики; что же касается двух других
направлений, о которых будет сказано ниже, то их цель состояла
в видоизменении системы Брауэра — Гейтинга.
Первое из этих направлений — это минимальное исчисление
Иоганссона 4). Его можно описать как исчисление,
получающееся в результате исключения из гейтинговского
пропозиционального исчисления аксиомы 4.1 работы Гейтинга, 30, а именно
""] αζ) (αζ)6) (ср. 10 на стр. 282). Предложен и другой способ,
состоящий в исключении второй гейтинговской аксиомы
отрицания и введения вместо этого некоторого нового
первоначального элемента2). В этой новой (более слабой) системе, которую
можно понимать как интуиционистское исчисление с другой
интерпретацией импликации, сохраняют силу все теоремы
гейтинговской системы, не содержащие отрицания, и даже большая
часть тех теорем, в которых идет речь и об отрицании, "~| d
можно тогда определить как ~р в примечании 1 к стр. 290.
Далее Иоганссон показывает, что его систему можно
интерпретировать как некоторую ослабленную форму генценовских
интуиционистских исчислений вывода (calculi of inference)3).
Второе направление было начато работами Грисса; впрочем,
он довольствуется в этих работах указанием общих принципов
и различных примеров и не дает никакой разработанной
1) Иоганссон, 36; ср. Лоренцен, 50, и Риддер, 50—51.
2) Еще одна разновидность (и новый вариант задания гейтинговского
исчисления) предложена Карри, 52 (ср. 50); ср. также Кангер, 55.
3) [Этим термином авторы обозначают генценовские исчисления
секвенций и исчисления естественного вывода (натуральные исчисления). — Перев.]
Исчисления NJ и LJ Генцена, 34. Генценовская Hauptsatz [основная
теорема.— Перев.], или «теорема о нормальной форме» (ср. Клини, 52, стр. 453
[стр. 400 русск. изд. — Перев.]) для ]LJ справедлива и для минимального
исчисления. Иоганссон в работе 53 вводит ([определенные. — Перев.])
описания, т. е. некоторого рода //te-выражения [см., например, Клини, 52, § 74. —
Перев.], в минимальное исчисление, так же как и в систему Гейтинга.
В связи с идеями Генцена следует также упомянуть о работах Бета,
посвященных семантическому построению интуиционистской логики: Бет, 55
(книга III, гл. III—V), 56а, 57 (гл IV). [Ср. также °Карри, 63. —Перев.\
19 Зак. 1765

290 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
системы1). Он пытается построить интуиционистскую математику
и логику без использования отрицания, критикуя в то же время
неоинтуиционистскую позицию как недостаточно, по его мнению,
радикальную. Отказываясь от отрицания, он ставит во главу
угла отношение различимости, обозначаемое через # , и
исходит, как это делают неоинтуиционисты2) (см. ниже, § 5), из
положительных целых чисел, интуитивно различимых между
собой. (То, что действительные числа а и Ь различимы, может,
например, означать, что можно указать рациональное число,
лежащее между а и Ь.) Как заметил Бернайс, позицию ван
Данцига уместнее было бы называть 'безотрицательной' (nega-
tionless), а Грисса —'положительной' (affirmative); на первый
взгляд кажется, что Грисс идет гораздо дальше ван
Данцига— помимо отказа от отрицания и таких его
производных, как дизъюнкция, он исключает из рассмотрения и так
называемую 'пустоту' (nullity) (см. ниже). Брауэр не вполне
разделяет точку зрения Грисса. Конечно, в силу результата
Сколема3) построить интуитивную теорию множеств в такой
безотрицательной системе невозможно.
Удовлетворительное понимание и критика программы
Грисса оказались возможными только благодаря глубокому анализу
Гилмора4), который не только выполнил по отношению к Грис-
су до некоторой степени ту же задачу, что Гейтинг по
отношению к Брауэру, но и вышел за рамки этой задачи в своей
конструктивной критике.
Гилмор построил специальную дедуктивную теорию Н,
формализованную в интуиционистской логике; некоторая подтеория
!) Грисс, 44—51, 48, 48а, 49; см. также Декуа, 49, 50, 55; Детуш-Феврие,
45, 48, 51; Фредендойн, 54; Вальпола, 55. В работах Феврие проводится линия,
в известном смысле промежуточная положению между Брауэром и Гриссом:
в этих работах принимается специальное понятие отрицания, определенное
некоторым положительным образом, а именно ~р определяется, как рэ φ,
где φ обозначает некоторое определенное (положительным образом) ложное
предложение соответствующей теории, например 0=1. Кроме того, Феврие
подчеркивает связь между безотрицательной [ (negationless) — см. следующий
абзац книги. — Перев.] логикой и исчислением проблем в смысле Колмогорова
Н. Декуа применила безотрицательную логику к построению
проективной геометрии плоскости с помощью несколько сомнительного допущения о
возможности формулировать теорию действительных чисел и аналитическую
геометрию в соответствии с принципами Грисса; в частности, в связи с
интуиционистской трактовкой проективной геометрии *Гейтингом, 3 Декуа
предложила заменить используемую в этой работе форму reductio ad absurd-
um некоторым теоретико-множественным рассуждением, зависящим от
безотрицательных аксиом для отношения различимости.
2) Называющие это отношение 'отделенностью' (см ниже, стр. 304
и след ), — Прим. перев.
3) Сколем, 52а.
4) Гилмор, 53.

§ 4ι Математика и логика
291
(subtheory) Η содержит теорию отношения # . Средствами Η
Гилмору удалось сформулировать следствия, вытекающие из
критики Грисса. В частности, выяснилось, что из Η придется
исключить многие предикаты и предложения, не
удовлетворяющие условию 'положительной непустоты'. (Это условие
запрещает использование пустого множества [пустого класса] и
любых предложений, не являющихся истинными. Точнее, предикат
или предложение ρ допускается только после доказательства
формулы (Ех)р, где (Ех) есть конечная последовательность
кванторов существования [пустая для случая, когда ρ есть
предложение]— по одному квантору на каждую свободную
переменную из р.) Гилмор, однако, показывает, что, кроме предикатов
и предложений, допускаемых Гриссом, принципам Грисса не
противоречит использование и другого класса предикатов и
предложений, а именно таких, которые эквиполлентны
противоречию в Н; примером может служить хг# xim
Итак, самый существенный пункт критики Грисса — отказ
от отрицания — может быть преодолен, поскольку
интуиционистское отрицание можно определить как импликацию, правой
частью которой служит какой-либо предикат, играющий роль
пустого предцката (при условии, что такой предикат в системе
имеется). С ограничениями, связанными с употреблением
дизъюнкции, конъюнкции, импликации и квантификации, также
удается справиться. Действие гриссовской критики
интуиционистского исчисления предикатов может быть, по Гилмору,
сведено к добавлению некоторой аксиомы для каждого
«атомарного» предиката и «атомарного» предложения логики.
Разумеется, Грисс не склонен признавать дедуктивную
теорию Н, на которой основываются результаты Гилмора; его
позиция в этом вопросе аналогична позиции ортодоксальных неоин-
туиционистов по отношению к гейтинговской системе (стр. 275).
Достижение Гилмора состоит, с одной стороны, в том, что
ему удалось продвинуться в осуществлении программы Грисса
по построению системы безотрицательной математики; но, с
другой стороны, его заслугой является критика критики Грисса,
поскольку ему удалось выяснить, что понятие 'пустоты', отказ
от которого является краеугольным камнем концепции Грисса,
носит относительный, а не абсолютный характер. Хотя
«положительная математика» ван Данцига и «безотрицательная
математика» Грисса и представляются родственными друг другу
построениями, поскольку и в той, и в другой отвергается
отрицание и требуется, чтобы теоремы, формулируемые с помощью
отрицания, либо были переведены в положительную форму,
либо— если такой перевод оказывается невозможным — были
исключены из рассмотрения, между этими системами имеется и
19*

292 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
различие, состоящее в том, что в системе Грисса отрицание
может быть определено, и система эта тем самым может быть
преобразована в систему, подобную гейтинговской. Этого нельзя
сделать в системе ван Данцига, отвергающей дизъюнкцию,
которая играет в этом преобразовании существенную роль. (Ср.
однако, стр. 290).
§ 5. Изначальная интуиция целого числа.
Свободно становящиеся последовательности
и брауэровская концепция множества1)
Математик, которому порядком надоели догматические
принципы, лежащие в основе неоинтуиционистской программы,
и тягостные ограничения, налагаемые этой программой на
употребление общепринятых приемов определения и
доказательства, захочет, конечно, понять, каким же образом математика,
согласившаяся с этими принципами и ограничениями, сможет
сохранить свой бесконечный характер, без которого она по
существу свелась бы к тривиальностям. Ведь именно Г. Вейлю,
создателю первой весьма своеобразной, полуинтуиционистской
системы, впоследствии присоединившемуся к позиции Брауэра
(и усилившему ее рядом дополнительных аргументов), именно
ему, по-видимому, принадлежит фраза: «Математика — это
наука о бесконечности»2).
Самый основной из положительных интуиционистских
принципов, общий для всех оттенков интуиционизма, от Кронекера
до наших дней, — это «изначальная (primordial) интуиция»
(Urintuition3)) положительного целого числа, или построение по
математической индукции. Математическая индукция является
также прообразом тех конструкций, с которыми интуиционизм
отождествляет математическую деятельность (стр. 251 и ел.).
Это, конечно, вовсе не означает, что Брауэр согласился бы
принять бесконечный ряд натуральных чисел в качестве
математического объекта или вообще в качестве законным образом обра-
1) Уже после того, как гл. IV была написана, появилась книга Гейтин-
га, 56, содержание которой частично перекрывается с § 5 и 6. Таким
образом, мы оказались перед альтернативой: либо расширить эти два параграфа,
включив в них вопросы, рассматриваемые Гейтингом, либо, наоборот,
сократить эти параграфы и отослать читателей, интересующихся подробностями,
к книге Гейтинга. Мы избрали второй путь, считая, что книга Гейтинга
вполне доступна и что в этих тонких вопросах информацию рб идеях
голландской школы предпочтительнее получать из первых рук. Конечно, если
между гейтинговским и нашим (в § 5 и 6) изложениями будет
усматриваться какое-либо расхождение, первое следует, безусловно, считать более
достоверным; ср. также подробный реферат книги Гейтинга, написанный
С. Курода (Journal of Symbolic Logic, 21, 367—371).
2) *Вейль, 6, стр. 1 (1925).
3), Праинтуиция (нем.). — Прим. перев.

§ 5. Изначальная интуиция целого числа
293
зованной идеи, как это еще делалось в полуинтуиционистской
системе Вейля; принимается только закон построения чисел, но
никак не их совокупность. Как говорит Пуанкаре, «Quand je
parte de tous les nombres entiers, je veux dire: tous les nombres
entiers qu'on a inventes, et tous ceux que Von pourra inventer
un jour . . . et c'est ce „que Von pourra" qui est Vinfini»1).
Поэтому не имеет никакого смысла вопрос, существует ли
целое число, обладающее таким-то свойством, если не считать
тех случаев, когда число с этим свойством можно явно указать,
либо же если можно доказать, что таких чисел не существует.
Мы не будем вдаваться в философский анализ
«изначальной интуиции». По словам О. Беккера, представителя экзистен-
циалистической школы Хайдеггера, посвятившего две свои книги
в основном разбору неоинтуиционистской точки зрения2), эта
интуиция носит не «чувственный» или «эмпирический» характер,
а подобна той непосредственной уверенности, с которой мы
воспринимаем основные факты логики, арифметики и
комбинаторики. Такого рода интуиция характерна именно для математики
и может быть сведена к повторяемому неопределенное число
раз делению целого на две части — процессу, фундаментальное
значение которого отмечал еще Платон. Как сейчас будет
показано, Брауэр использует эту изначальную интуицию для
определения свободно становящихся последовательностей и
множеств, распространяя таким образом сферу действия интуиции с
дискретной и счетной области арифметики (теории чисел) на
непрерывную (ив некотором роде несчетную) область анализа. От
этой изначальной интуиции числа и происходит название
интуиционизм, которое легко может привести к недоразумениям.
Первый из интуиционистов в математике нового времени —
Кронекер провозгласил, что целые числа создал бог, а все
остальное (в математике) есть творение человека3). Позднее
Пуанкаре, занявший в некотором смысле сходную позицию,
подробно развивал4) мысль о том, что математика,
представляющаяся грандиозной тавтологией, состоящей из аналитических
предложений, получаемых с помощью силлогистических
выводов, приобретает присущий ей синтетический и творческий
1) «Когда я говорю обо всех целых числах, я имею в виду все уже
построенные целые числа и все числа, которые когда-либо смогут быть
построены, ... и именно это „которые смогут" и есть бесконечность» (франц.)
(Пуанкаре, 08). — Прим. перев.
2) *0 Беккер, 2, стр. 446 и ел. (ср. стр. 463), и *Лаутман, 4. По поводу
дальнейшего ср. также *Штенцель, 1. Беккер пытается на такого рода
интуиции обосновать даже трансфинитные порядковые числа.
3) *Вебер, 1, особенно стр. 19; ср. *Шольц, 12; см выше, стр. 199, прим. 1.
4) Особенно в книге *Пуанкаре, 2, гл I.

294 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
характер преимущественно за счет синтетического и априорного
(в кантовском смысле) г) принципа математической индукции2).
Вейль подчеркивает3), что вся математика — в том числе и
«логические формы, в которых она движется»4), — зависит от
понятия натурального числа. Конечно, для интуиционистов
неприемлема аксиоматическая точка зрения, согласно которой
математическую индукцию можно рассматривать в качестве
составной части определения понятия целого числа, потому что
при этом потребовалось бы доказать существование предмета,
удовлетворяющего такому определению, а для этого снова
пришлось бы воспользоваться математической индукцией5).
Важная роль, которую отводят математической индукции
интуиционисты всех направлений, объясняется тем
обстоятельством, что посредством конечных процедур могут быть получены
лишь предложения конечного характера, истинность или
ложность которых можно в принципе установить с помощью
конечного числа испытаний. Но большинство предложений
арифметики не таковы — они носят трансфинитный характер.
Примером может служить предложение 'для каждого положительного
целого числа х, х+\ = \+х'\ или 'для каждого простого числа ρ
существует большее простое число, лежащее в некотором
интервале натурального ряда, зависящем от р\ Конечно, между
такого рода предложениями, которые можно доказать посредством
математической индукции, и предложениями анализа и теории
множеств, являющимися трансфинитными в более сильном
смысле, имеется глубокое различие (примерами последних
могут служить теорема о существовании наименьшей верхней
грани у произвольной ограниченной совокупности
действительных чисел и теорема о вполне упорядочении). Арифметические
предложения можно проверить на истинность для каждого кон-
J) В современной науке, впрочем, понятия 'аналитическое' и
'синтетическое' подвергаются релятивизации; ср., например, *Дубислав, 3, *Беман, 7.
Краткая история этого вопроса и библиография — в статье «Логическая
истинность» (Философская энциклопедия, М, 1964, т. 3). — Перев.]
2) В последующие годы Пуанкаре (например, в 08) несколько отходит
от своей первоначальной точки зрения, признававшей творческий характер
только за математической индукцией, и считает ее лишь простейшим из
различных творческих принципов. По-видимому, к числу таких принципов
он относит даже аксиому выбора. В этом проявляется коренное различие
между позициями Пуанкаре и голландской школы. В то же время
некоторые ученые, близкие к этой школе (ср. *Маннури, 1, и *ван Данциг, 1),
считают, что и создание новых формализмов (опирающееся на аналогию
и т. п.) также относится к интуитивной деятельности математиков.
3) В своем подробном обзоре 21 развития интуиционизма (стр. 70)
4) Цитируется по русскому изданию Вейля, 21 (стр. 120). — Прим. перев.
5) Ср. *Гёльдер; 7, однако содержащаяся в этой статье критика гиль-
бертовского доказательства непротиворечивости вряд ли обоснована.

§ 5. Изначальная интуиция целого числа
2?5
кретного случая (каждого значения χ или р) конечным
образом, хотя общее предложение, именно ввиду его трансфинитного
характера, потребовало бы бесконечной последовательности
актов проверки, что неосуществимо. Пуанкаре считает, что именно
эта проверяемость (для частных случаев) интуиционистски
обоснованных трансфинитных предложений позволяет
математикам (в отличие, скажем, от философов) понимать друг друга,
несмотря на все несовершенства языка; как только возникает
какагя-либо неясность, можно устроить проверку, которая и
служит высшим арбитром. Что же касается трансфинитных
предложений анализа и теории множеств, которые нельзя проверить
аналогичным образом (классическим примером опять-таки
является теорема о вполне упорядочении), то они остаются
туманными и в высшей степени подверженными недоразумениям.
Интересно, что принятие этой интуиционистской точки зрения не
помешало выдающимся представителям так называемой школы
формалистов — Гильберту, фон Нейману, Генцену и другим —
получить в 20—30-х годах нашего столетия ряд замечательных
результатов, несмотря на угрозу, содержащуюся в гёделевской
теореме о неполноте (гл. V).
В то время как полуинтуиционисты, особенно французской
школы (в том числе и Вейль в его работах раннего периода),
готовы были, признав математическую индукцию единственным
трансфинитным процессом в математике, подвергнуть полной
блокаде анализ и заключенную в нем геометрию, казавшееся
несколько более радикальным направление Брауэра попыталось
найти выход с помощью понятий становящейся
последовательности {choice sequence) и множества^.
После понятия положительного целого числа следующим по
важности (а то и столь же важным (математическим) и
общенаучным) понятием является континуум (ср. § 1). Различные
подходы к проблемам обоснования математики можно
классифицировать в соответствии с тем, какого рода «континуум» они
допускают. Классическое понятие континуума в математике
XIX столетия соответствует, с одной стороны, греческой
концепции, допускающей континуум как «данный» нам природой
(или как его отражение в математике), а с другой стороны —
1) Эта фраза способна создать впечатление, что Брауэр пользуется
традиционным понятием множества, между тем как сами авторы ниже
(стр. 299 и ел. и особенно 312) достаточно ясно говорят, что брауэровскые
понятия 'вида' (species) и 'потока' (spread) являются последовательно
(нео)интуиционистскими аналогами — а еще точнее, заменителями —
этого понятия Впрочем, возможно, что это одно из тех мест, которые имеют
в виду авторы, говоря в Предисловии (стр. 10) о критике интуиционистских
тезисов. — Прим. перев.

296 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
канторовской концепции множества (Г, § 1 и 91)), согласно
которой множество считается данным, если для произвольного
предмета имеет место некоторое «внутреннее обстояние»: либо
этот предмет принадлежит рассматриваемому множеству, либо
нет. Ввиду недостаточности этих концепций мы вынуждены либо
встать на аксиоматическую точку зрения, вообще отказавшись
от определения понятия множества (гл. II), либо же
обходиться какими-либо еще более ограниченными понятиями. В этом
отношении полуинтуиционисты придерживались различных и не
всегда совместимых между собой точек зрения2),
истолковывавшихся иногда в терминах «объемной определенности»3); во
всяком случае, множество всех свойств целых чисел, по существу
совпадающее с классическим понятием континуума, в этом
смысле является незаконным. (Ср. непредикативные
определения, гл. III.) Поэтому континуумы Вейля, Лебега, Лузина и
других являются счетными, хотя и не перечислимыми внутри
соответствующих систем.
В эту дискуссию новую и важную струю внес Брауэр.
Конечно, его конструктивистская позиция подобна упомянутым,
поскольку и он понимает отдельное действительное
(иррациональное, трансцендентное) число как закон его определения и
считает, что классический континуум нельзя получить
посредством арифметических операций4). Тем не менее он считает, что
*) Или, например, Александров, 48 (гл. I, § 1, гл. II, § 1—4; гл. IV,
§ 1—5). — Прим. перев.
2) По-видимому, последнее изложение позиции Лебега (относящейся к
1938 г.) содержится в 41; ср. Серпинский, 41, стр. 137.
3) Таков, например, «атомистический» континуум Вейля (Вейль, 18, ср.
19 и 21; ср. философский анализ этих и неоинтуиционистской позиций в
книге *0 Беккера, 1, стр. 403 и ел., а также Сколем, 29, § 3). Беккер
считает, что математика зависит от понятия времени; эта точка зрения, как и
другие антрополого-экзистенциалистские соображения, тесно связана с
некоторыми соображениями, выдвигаемыми интуиционистами (см. особенно
*0. Беккер, *2, *4, *30); ср. весьма обоснованные возражения *Кассирера, 4.
Вейль не только не претендует на то, что его континуум отражает
классическое понятие, но, напротив, считает безнадежной возможность такого
отражения по логическим мотивам; поэтому он вынужден довольствоваться
извлечением дискретных «атомных капель» из непрерывной «каши» с
посредством довольно произвольных принципов построения. Близкий подход
проявляется в борелевском ограничении, состоящем в использовании одних
только numbers calculables [вычислимых чисел (франц.). — Перев.], т. е.
действительных чисел, допускающих неограниченные рациональные
приближения; однако борелевское понятие слишком сложно (ср. принадлежащий Сер-
пинскому, 21, стр. 114, пример эффективно определяемого целого числа, не
являющегося «вычислимым»).
4) Интересно, что еще в 1892 г., когда такие идеи вовсе не были в ходу,
Гёльдер (ср. 3, стр. 103—193, 349 и ел. и др.) отрицал эту возможность.
Однако, не будучи готовым отказаться от тех разделов математики, которые
зависят от классического понятия континуума, он допускал это понятие,

§ 5 Изначальная интуиция целого числа
297
самый настоящий континуум, не являющийся счетным ни в
каком смысле, может быть получен как среда свободного
становления {medium of free development); иными словами, кроме
точек, существующих (уже полученных) в силу их определения
по соответствующим законам, таких, как е, π и т. п., другие
точки континуума не получены, но образуются как так
называемые свободно становящиеся последовательности {free-choice
sequences) l). По этому поводу было сказано, что свободно
становящиеся последовательности «освобождают бесконечность
от понятия закона».
Таким образом, Брауэру уже не нужно ни отказываться
полностью от геометрии (как Вейлю), ни проводить различие
между дискретно-атомистичным анализом и непрерывной
геометрией (как Гёльдеру и Лузину).
Для того чтобы разъяснить понятие свободно становящейся
последовательности2), можно, вспомнив представление
действительных чисел с помощью двоичных дробей, исходить из интер-
если и не в качестве арифметико-аналитической конструкции, то по крайней
мере (подобно той позиции, которой придерживались греческие математики)
в качестве своего рода априорной схемы, которая не может быть построена
разумом, но может служить предметом его рассмотрений. Аналогичные идеи
высказывались некоторыми полуинтуиционистами французской школы; ср.
Борель, 14 (Замечание IV), и Лузин, 27, стр. 33. Трудности, с которыми то
и дело приходится встречаться, заняв эту позицию, проявляются в
некоторых философских доктринах, ухитряющихся и в наши дни настаивать на
обязательном характере евклидовой геометрии, исходя из ее априорного
происхождения.
1) Буквально 'свободно выбираемые последовательности', или, что
точнее соответствует смыслу термина, 'последовательности актов свободного
(или произвольного) выбора'. Мы остановились на термине 'свободно
становящиеся', во-первых, следуя традиции ('в русских переводах Вейля, 21,
стр 103, и Клини, 52, стр. 49, — просто 'становящиеся', хотя Вейль
употребляет (не терминологически) и более развернутое выражение: 'становящаяся
посредством свободных актов выбора числовая последовательность' (стр. 101
русск. изд.), а также (стр. 109, 118) просто 'свободная последовательность'),
во-вторых, во избежание нежелательных ассоциаций с аксиомой выбора
(особенно с употребительным в 20—30-х годах термином 'аксиома
свободного (или произвольного) выбора)', и, в-третьих, желая обратить
главное внимание не на «выбор», а именно на «становление», что более
соответствует, на наш взгляд, духу концепции Брауэра. Принятая нами терминология
согласована ближе всего с русскими переводами книг Гейтинга, 34 и 56. —
Прим. перев.
2) По поводу дальнейшего ср., например, Брауэр, 18—19, 13, 25—27, 30,
*24, *25, 50, а также Гейтинг, 30а и 34, стр. 19. Брауэр пользуется термином
Wahlfolge [последовательность выборов (нем.); таким образом, выбор
соответствующего русского термина (см. предыдущее примечание) определяется
не буквальным прочтением оригинального термина Брауэра, а духом его
последующих рассмотрений. — Перев.] Некоторые детали, могущие
показаться в данном объяснении непонятными, будут пояснены ниже, когда пойдет
речь о брауэровском понятии множества (стр. 299 и ел.).

298 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
валов λ^ между ak/2k и (βΛ+ΐ)/2* (где ак — целое число).
Конструктивно заданное вещественное1) число определяет, таким
образом, некоторую последовательность (λ&) вложенных друг в
друга интервалов, таких, что λ&+ι есть собственная часть λ&.
И обратно, можно произвольным образом выбрать один за
другим члены такой последовательности интервалов Хи — процесс,
который на первый взгляд кажется зависящим от временных
и субъективных факторов; впоследствии эти факторы можно
устранить посредством правила, которое ограничивает область
предложений, относящихся к свободно становящимся
последовательностям, такими предложениями, которые относятся к
любому продолжению последовательности. Остается еще
возможность «ограничения свободы выбора следующих интервалов»
посредством некоторого заранее заданного правила2), так
называемого правила множества (set-rule), причем такое правило
может быть затем, начиная с некоторого шага, еще
дополнительно ограничено. Например, утверждение, что некоторая
свободно становящаяся последовательность больше l/2i истинно,
если это обеспечивается правилом множества, фиксирующим,
например, в качестве λζ интервал (3/4, 1).
Понятие свободно становящейся последовательности
охватывает не только последовательности интервалов (в применении
к вещественным числам), допускаются также и
последовательности целых чисел и вообще любых математических объектов.
Могла бы, например, возникнуть фантазия фиксировать
последовательные цифры шестеричной дроби, получающейся в
результате бросания игральной кости, но в этом случае мы не
могли бы утверждать, что в результате получается
вещественное число, прежде чем к этому будет добавлено надлежащее
правило множества. (Менее тривиальные примеры приводятся
в следующем параграфе.) Можно считать, что эта позиция есть
возвращение к некоторым идеям Галилея и создателей
дифференциального и интегрального исчисления, идеям, которые в
принципе могут быть усмотрены еще у Аристотеля и даже у
Анаксагора 3).
1) В оригинале, конечно, 'real', переводимое до сих пор как
'действительное': термин 'вещественное' в согласии с традицией (см., например, русский
перевод Вейля, 21, или сборники «Проблемы конструктивного направления
в математике», упоминаемые в дополнительной библиографии на стр 502)
употребляется ниже именно для обозначения интуиционистского
(конструктивного) понятия, соответствующего классическому понятию
действительного числа. — Прим. перев.
2) Брауэр употребляет немецкий термин Gesetz [закон, правило (нем ) —
Перев.], подразумевая под этим эффективный процесс или алгоритм (см.
Брауэр, 23 и 27).
3) Ср. *Моррис, 1; *Ден 1.

§ 5 Изначальная интуиция целого числа 290
Конечно, цель, которая преследуется введением понятия
свободно становящейся последовательности, состоит не в получений
какого-либо единичного объекта (например, вещественного
числа), а в том, чтобы образовать некоторую совокупность, саму по
себе являющуюся непрерывной. Концепция континуума как
совокупности существующих точек (членов), лежащая в основе
анализа (в том виде, какой он принял в XIX столетии) и кан-
торовской теории множеств, уступила место представлению о
совокупности частей, которые частично перекрываются между
собой и каждая из которых сама непрерывна. Вместо
отношения принадлежности основную роль здесь играет отношение
части — целого (ср. гл. II, стр. 35).
В заключение мы разъясним брауэровское понятие
множества (или потока (spread)1)), в первоначальных
формулировках которого2) нет ничего непостижимого. Следуя достаточно
близко ходу идей Брауэра, мы можем сказать, что понятие
множества возникает следующим образом3). Пусть из данного
эффективно перечислимого класса объектов С0 произвольным
образом выбран некоторый объект, затем другой и т. д. в
смысле свободно становящейся последовательности (можно
считать, что С0 есть класс всех положительных целых чисел).
После п-то акта выбора может представиться в зависимости
от правила множества, определяющего первые η выборов, одна
из следующих трех возможностей. Выбранному предмету из С0
сопоставляется некоторый объект из некоторого другого
эффективно перечислимого класса Сх (в качестве которого также
можно взять класс всех положительных целых чисел), причем
процесс выборов может при этом как не закончиться (первая
возможность), так и закончиться (вторая возможность). Третья
возможность имеет место, когда процесс выборов после п-то
шага обрывается, причем результату п-то выбора не
сопоставляется никакого объекта из Q, результаты предыдущих
х) В большинстве своих работ Брауэр пользуется термином Menge
[множество (нем.). — Перев.] или Mengensprezies [вид множества (нем.). — Перев.]
(см. '§ 6); впоследствии (см., например, 54а) он стал предпочитать им термин
spread [поток (англ.; букв, 'протяженность'). — Перев.] (по-голландски
spreiding [букв, 'распространение'. — Перев.]), так что всякую мысль о
«совокупности членов» следует отбросить.
2) Особенно в работах 18—19 и 25—27. Из работ, ставящих своей целью
разъяснение этого определения и анализ вытекающих из него следствий,
особенно важны: Менгер, 28 и 30; Бет, 47 и 56 (гл. V), и Клини, 52а
(частично восходящая еще к 1941 г.); ср. Клини, 45, и Д. Нелсон, 47 (см. выше,
стр 278), где устанавливается связь между интуиционистской логикой и
арифметикой и теорией рекурсивных функций; ср. также *Эйве, 1, где
брауэровское определение прилагается к построению множества всех
шахматных партий.
31 Ср Клини, 45

300 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
сопоставлений не принимаются во внимание и дальнейшие вы-;
боры не допускаются. Таким образом, множество — это закон,
который после каждого акта выбора из С0 устанавливает, какая
из трех названных возможностей имеет место и, в случае одной
из двух первых возможностей, какой объект из С\
сопоставляется очередному акту выбора. «Элементы множеств» — это
конечные или бесконечные последовательности объектов из Сь
соответствующие тем свободно становящимся
последовательностям, которые не обрываются.
Однако элементы множеств, соответствующие бесконечным
свободно становящимся последовательностям, рассматриваются
не как данные целиком, а лишь как стадии в процессе
построения из объектов, выбираемых на первых k шагах (k — любое
целое число). Этот процесс может продолжаться посредством
новых актов выбора, либо свободных, либо ограниченных
некоторым правилом !).
Сущность этого определения можно более точно выразить
следующим образом. Пусть (ak) есть произвольная
последовательность положительных целых чисел, например ak = k или
вообще dk = f{k). Тогда множество — это закон, ставящий в
соответствие начальным отрезкам свободно становящейся
последовательности (аи) 2) некоторые определенные объекты вида
φη = φη(αι, #2, . .., ап). Для каждого η может наступить одна
из трех упомянутых выше возможностей (случаев). Можно, в
частности, предполагать, что φη также суть положительные
целые числа.
Позднее Бет и более явным образом Клини предложили
уточнение этого определения, при котором упомянутый закон
представляется в виде пары рекурсивных функций, первая из
которых ставит в соответствие каждому начальному отрезку
(α4, α2, ... , ап) одно из значений 0, 1 или 2 в зависимости от
того, какой из трех случаев имеет место, вторая же определена
только в двух первых случаях, совпадая при этом с φη.
В этом состоит первый шаг построения неоинтуиционистской
теории множеств (см. следующий параграф) в терминах теории
рекурсивных функций. Следующий шаг — введение некоторых
функций элементов множеств, а именно функций ζ (α),
рекурсивных по отношению к функциям а, определяющим свободно
1) В частности, множество называется конечным, если не обрывающаяся
свободно становящаяся последовательность содержит только числа, которые
<1 некоторой фиксированной грани В; иными словами — если всякий раз,
когда выбирается число, большее В, осуществляется третья возможность.
(Впоследствии Брауэр стал предпочитать термин «ограниченный поток» —
фонетически из сформулированного выше условия не следует, что имеется
только конечное число элементов.)
2) Вида αϊ, а2, ..., ап. — Прим. перев.

§ 5 Изначальная интуиция целого числа
301
становящуюся последовательность a(ak). При этом, кроме
чисто технических трудностей, возникают затруднения, связанные
с переистолкованием логических понятий, в частности квантора
существования. В самом деле, важнейший результат брауэров-
ской теории множеств1) утратит силу, если в качестве
переменных функций будут допускаться только рекурсийные функции,
что подтверждает справедливость замечания, высказанного на
стр. 247, — что допущение произвольных свободно
становящихся последовательностей есть самое существенное отличие
неоинтуиционизма от других интуиционистских концепций, в
которых «континуум» счетен в абсолютном смысле.
Из этих «полуинтуиционистских» континуумов подробнее других
исследовано, например, понятие континуума, введенное в 1918 г Вейлем2) (от
которого он впоследствии отказался, приняв точку зрения Брауэра), Гжегор-
чиком3). Предложенная Гжегорчиком формализация неформального
вейлевского ограничения так называемыми «э(лементарно) о(пределимыми)»
аналитическими методами исходит из арифметики целых чисел; класс э. о.
отношений должен быть замкнут относительно логических операций
пропозиционального исчисления и квантификации всеобщности по целочисленным
переменным. Понятие э. о. функции определяется с помощью минимума
(наименьшего числа), удовлетворяющего э. о. теоретико-числовому
отношению, если такой минимум существует. Аналогично для конечного числа
функций определяется э. о. функционал, принимающий целые значения.
С помощью этих понятий определяются и э. о. аналог классического
понятия действительного числа, а также понятий последовательности и
множества действительных чисел. Таким путем снова подтверждается счетность
«полуконтинуума» (поля) э. о. вещественных чисел и строится существенная
часть э. о. анализа непрерывных функций. Дифференцирование и
интегрирование на семействах непрерывных функций оказывается э. о.; э. о.
непрерывная функция, определенная на интервале с э. о. концами, принимает
наибольшее значение при некотором э. о. значении аргумента.
До сих пор мы рассматривали связи между брауэровским
определением множества и некоторыми фундаментальными
понятиями оснований математики вообще, в частности понятием
рекурсивной функции. Но не меньшее значение имеет
«практический» вопрос, какие категории множеств классической
математики представляются брауэровскими множествами. Менгер,
28, показывает, что имеется тесная связь4) между множествами
в брауэровском смысле и абстрактными аналитическими мно-
1\ Речь идет о предложении, согласно которому, если каждому
элементу ξ «конечного множества» соответствует некоторое положительное целое
число ξξ, то найдется такое целое число т, что ζ ξ будет определяться уже
первыми m актами выбора, участвующими в построении ξ; см. Брауэр, 27,
теорема 2.
2) Вейль, 18, а также 21.
3) Гжегорчик, 54
4) Гейтинг критикует Менгера, Считая его рассмотрение свободно
становящихся последовательностей некорректным

302 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
жествами1); однако для того, чтобы показать эту связь,
приходится использовать tertium поп datur. Чтобы разъяснить эту
связь, мы будем исходить из понятия разветвленного
множества {ramified set) 2).
Пусть D есть класс объектов, в котором определена такая операция, что
каждой (конечной или счетной) последовательности объектов из D ставится
в соответствие некоторый объект, не обязательно входящий в D. Результат
этой операции в применении к объектам d\, d2, ···, Л, - из D обозначим
через ψ (d\, d2, .··, dk, ···)·
Пусть далее любой заданной конечной последовательности
положительных целых чисел (щ, п2, ..., nh) = N соответствует некоторый объект из D,
который мы будем обозначать через dn п п
Для любой данной бесконечной последовательности целых чисел
ν = (щ, п2, ..., nk, ...) мы рассмотрим последовательность (dn , dn n , ...
""dnin2-nk' *")И обозначим *(V *4v ··" dnxnv...,nk> ■·.) через rf4
Каждый из объектов V \ V ' " \п2 . . /у называется конституен-
той dv Множество всех объектов dVt где ν пробегает все бесконечные
последовательности положительных целых чисел, называется разветвленным
множеством, а точнее, разветвленным множеством, полученным из класса
объектов \dnn n J посредством операции ψ (где k, ti\, п2, ... — любые
положительные целые числа). \dn\ n \ называется классом, порождающим
{producing) это разветвленное множество.
Если D есть класс множеств, а ψ есть операция пересечения
П , то разветвленное множество представляет собой множество
всех пересечений rfv, где ν обозначает все бесконечные
последовательности положительных целых чисел. Объединение всех
множеств dVt т. е. множество-сумма разветвленного множества,
называется аналитическим множеством, порожденным классом
множеств {c^nln2... nk)· (Это же аналитическое множество
может быть порождено и другими классами множеств.)
Легко видеть, что между этим понятием и брауэровским
понятием множества имеется тесная связь. Например, третий
случай в брауэровском определении (стр. 299—300), означающий,
что конечная последовательность актов выбора обрывается, мо-
1) Понятие аналитического множества впервые ввел М. Суслин в 1917 г.;
поэтому некоторые авторы, например Хаусдорф, пользуются термином 'сус-
линские множества'. Первое изложение теории аналитических точечных
множеств, а также абстрактных аналитических множеств дано Хаусдорфом, 27,
§ 19 и 32 [§ 20 и 32 русск. изд. (°Хаусдорф 14/27/37). — Перев.], и Лузиным,
27 (ср. *5).
2) Менгер, 28, стр. 213. (Это понятие никак не связано с ensembles
ramifies [разветвленными множествами (франц.). — Перев.] в смысле работы
*Курепа, 2.)

§ 6. Интуиционистски урезанная математика
303
жет быть выражен на языке разветвленных множеств с помощью
привлечения «нулевого объекта» О из D, такого, что если
dnxn2 П/г = 0,то последовательность целых чисел,
начинающаяся с пи п2, . . . , nh> не дает никаких элементов, входящих в
разветвленное множество1). (Существует ли такой О, зависит от
природы D.) Тогда, используя существенным образом принцип
исключенного третьего, Менгер показывает, что множества в
смысле брауэровского определения совпадают с
разветвленными множествами, обладающими тем свойством, что каждый
объект порождающего класса, не равный Ό, является консти-
туентой по крайней мере одного dv. Таким образом, с помощью
tertium поп datur доказывается, что каждое разветвленное
множество есть множество в смысле Брауэра.
Аналогичная связь имеется между разветвленными
точечными множествами и точечными множествами в смысле
Брауэра.
Основное значение этих результатов состоит в том, что
аналитические множества подробно изучены и, между прочим,
рассматривались многими (особенно французскими)
математиками, далекими от неоинтуиционизма, в качестве единственных
«определимых» множеств. В то же время с
неоинтуиционистской точки зрения эти результаты не имеют особого значения,
ибо они зависят от принципа исключенного третьего.
§ 6. Математика, урезанная в соответствии
с интуиционистской позицией 2)
После сказанного в предыдущих параграфах ясно, что для
соответствия признаваемым интуиционистами принципам
исторически сложившаяся область математики должна
подвергнуться серьезным ограничениям. В этом последнем параграфе мы
кратко рассмотрим, какое действие оказывают эти ограничения
и что можно еще спасти; в большинстве случаев мы отсылаем
за подробностями (как в положительном, так и отрицательном
направлении) к интуиционистской литературе, излагая
аргументацию лишь в некоторых характерных случаях. Вообще мы
ограничимся рассмотрением неоинтуиционистских точек зрения;
при этом мы будем полностью игнорировать ограничения, свя-,
занные с устранением отрицания (стр. 289 и ел.).
Арифметика и алгебра в узком смысле затрагиваются этими
ограничениями меньше, чем другие разделы математики. В тех
1) При этом, очевидно, пустые элементы во внимание не принимаются,—
Прим перев.
2) См. примечание ρ начале § 5, стр. 292,

304 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
разделах алгебры, в которых рассматриваются только
дискретные совокупности, причем для любых двух их членов можно ре-
.шить, равны они или нет, следует обходиться конструктивными
методами, приводящими к результату за конечное число шагов;
по такому пути шел уже Кронекер при рассмотрении некоторых
арифметических проблем, отказываясь от применения
«классических» (более простых) методов. К таким разделам алгебры
относятся конечные расширения поля рациональных чисел (или
какого-либо поля с рп членами). Но в тех случаях, когда
необходимо различать свойства ^0 и # 0 (см. ниже), требуются
уже далеко идущие изменения теорий; примером может
служить поле действительных чисел. Ввиду того что в этих случаях
не для каждого члена совокупности, который ^0, должен
существовать обратный, усложняется уже само определение поля.
Например, в поле вещественных чисел сг1 существует только
для таких а, для которых а#0, т. е. если можно указать
рациональное число, лежащее между 0 и а1).
Вообще определяется отношение отделенности {distance
relation) #, обладающее следующими свойствами: 1) а = Ь и
##& несовместимы; 2) абсурдность а # Ь влечет а = Ь; 3) если
а# Ь, то для каждого с верно, что а # с или Ь # с (или и то
и другое). Если в 3) заменить с на а, то получим, что
отношение отделенности симметрично. Далее, из а = Ь и Ь#с следует
а # с, а абсурдность абсурдности а = Ь эквиполлентна
истинности а = Ь. Это по существу следует из 2); в самом деле,
обозначив абсурдность а = Ь через аФЬ, мы получим, что а#Ь
влечет афЬ\ следовательно, абсурдность афЪ влечет
абсурдность а # Ь, т. е. истинность а = Ь. Таким образом, абсурдность
аФЬ оказывается эквиполлентной а = Ь, хотя вообще (при
отсутствии отношения отделенности) следовало бы различать три
случая а = 6, аФЬ и абсурдность аФЬ (см. выше, стр. 276).
В то время как теория групп с отношением отделенности
мало отличается от обычной теории, свойства колец и полей
оказываются довольно запутанными. Вообще говоря2), в
кольце без делителей нуля или в поле нельзя из ab = 0 и афО
заключить, что 6 = 0. Если же такое заключение верно для всех
членов кольца, то кольцо называется 'регулярным'; если, сверх
того, для каждого а # 0 кольцо содержит обратный ему член
а-1, оно называется 'полем'. Согласно этому определению,
рациональные числа, так же как вещественные или комплексные,
образуют поле.
1) По этому поводу и по поводу дальнейшего см. Гейтинг, 34, стр 20
и ел. [стр. 29 и ел. русск. изд. — Перев.], и 41, стр. 4 и ел.
2) Слова 'вообще говоря' добавлены при переводе во избежание
противоречия со следующей фразой. — Прим. перев.

§ 6. Интуиционистски урезанная математика
305
Для многочленов также можно определить соответствующее
отношение отделенности.
Теория линейных уравнений х) может быть развита двумя
существенно различными путями: без применения
определителей или же с ними. Отношение отделенности обусловливает
необходимость изменений, относящихся к понятию линейной
зависимости; применение определителей позволяет освободиться от
трансфинитно-экзистенциального характера некоторых
критериев линейной зависимости.
Для теории многочленов вводится отношение отделенности
по сравнимости (distance-congruence), обозначаемое через
*fWe (m°d h) и определяемое следующим образом: 7^£
(mod h) тогда и только тогда, когда для любого многочлена
k, f—g, kh'2). Относительно разложения многочленов на
множители удается получить только отрицательные результаты,
так как теорема о (единственном) разложении многочлена в
данном поле оказывается неверной; можно лишь доказать, что
нельзя двумя существенно различными способами разложить
многочлен на неприводимые множители.
Эти результаты Гейтинга, относящиеся к произвольным
полям, можно рассматривать как обобщения результатов Кронеке-
ра3), полученных шестьюдесятью годами раньше, —
результатов, связанных с конструктивным разложением на множители
многочленов над полем рациональных чисел.
Конечно, те разделы алгебры (бесконечные расширения
полей и колец), которые используют аксиому выбора или какие-
либо эквиполлентные ей принципы, оказываются с
интуиционистской точки зрения бессодержательными '*).
В анализе возникают гораздо более принципиальные
трудности— последствия интуиционистских ограничений
оказываются совсем катастрофическими. В результате введения
иррациональных чисел или свободно становящихся последователь-
1) См. Гейтинг, 28 и 41, § 2. В первой из этих работ рассматриваются
и некоммутивные поля.
2) Отношение ' ^' между многочленами относительно χ означает, что
существует по крайней мере одна пара отделенных друг от друга
коэффициентов при одинаковых степенях х. [Здесь h и k — многочлены над тем же
полем, что f и g. — Перев]
3) Кронекер, 1882 и 1883; ср. ван дер Варден, 30; Вандивер, 34—35 и
36, и обобщение в работе Фрёлиха — Шепердсона, 56.
4) Однако, как показал Лоренцен, 56, в несколько отличном от
неоинтуиционистского смысле, многие фундаментальные алгебраические
результаты можно спасти с помощью «полуинтуиционистских» методов. (Этот
важный доклад Лоренцена, проливающий новый свет на применение аксиомы
выбора к трансфинитной индукции и парадоксу Сколема, появился после
того, как гл. II настоящей книги была сдана в печать,)
20 Зак 17Q5

306 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
ностей, определяющих вещественные числа, сравнение чисел
по величине становится, вообще говоря, невозможным х)\ иными
словами, для произвольных данных вещественных чисел а и Ь
перестает быть верной трихотомия а=Ь. Приведем
характерный пример такого рода. Неизвестно (см. стр. 262), имеется ли
в десятичном разложении числа π последовательность,
состоящая (по крайней мере) из семи цифр 7; если такая
последовательность имеется, обозначим через h место после запятой
(т. е. индекс соответствующей цифры в десятичном разложении
π = 3, dia2. . . dh . ·.), с которого эта последовательность
начинается впервые. Определим теперь десятичную дробь р,
начинающуюся с 0,777..., следующим образом· если определенное
выше h существует, заменим цифру 7 на /г-м месте после
запятой в ρ на 6, если h нечетно, и на 8, если h четно; все остальные
десятичные знаки ρ суть 7, а следовательно, все знаки после
запятой равны 7, «если не существует такого h». Вещественное
число ρ определено эффективно, поскольку по мере получения
разложения π можно последовательно выписывать цифры р.
Но без tertium поп datur нельзя утверждать не только то, что
имеет место один из трех случаев ρ = 7/9, ρ<7/9, ρ>7/9, но
даже и то, что либо ρ = 7/9, либо ρ # 7/9. Это не противоречит
тому факту, что рациональные числа сравнимы, так как мы не
можем при настоящем уровне наших знаний считать ρ
рациональным числом, хотя после любого из возможных решений
вопроса о целом числе h (не существует, нечетное, четное) ρ
окажется рациональным.
Недавно Брауэр2) построил даже вещественное число,
которое Ф0 (в смысле абсурдности равенства), хотя и нельзя
доказать, что оно либо положительно, либо отрицательно. Ван
Данциг3), критически разобрав работу Брауэра, уточнил ее
логические средства, подкрепив этим результат Брауэра, и
вообще способствовал большей доступности последних работ
Брауэра для логиков, разъяснив философскую сторону этих
работ и проанализировав некоторые особенности брауэровской
терминологии.
Несравнимость вещественных чисел оказывает роковое
влияние на многие классические доказательства в анализе. Для
некоторых не имеющих интуиционистской силы доказательств
удалось найти их конструктивные эквиваленты; но в
большинстве случаев этого не только не удалось сделать, но и нет
1) См также Брауэр, 50 (и его более ранние работы).
2) Брауэр, 48; ср. 49, и ван Данциг. 49.
3) См. предыдущее примечание. — Прим. перев.

§ 6. Интуиционистски урезанная математика
307
надежды, что когда-либо удастся; поэтому от таких теорем
приходится отказаться.
Для иллюстрации создавшегося положения рассмотрим
такой элементарный пример. Начиная с конца XVIII столетия
было предложено большое число доказательств так называемой
основной теоремы алгебры (см. стр. 90), в которой содержится
утверждение, имеющее, строго говоря, не алгебраический, а
аналитический характер. Многие из этих доказательств
опираются на различные теоремы теории функций
(действительного или комплексного переменного), иногда на топологические
результаты; другая же группа доказательств (например,
второе доказательство Гаусса, упрощенное Горданом) носит чисто
арифметический характер, если не считать того, что в них
используется одна элементарная теорема анализа, согласно
которой каждое алгебраическое уравнение с действительными
коэффициентами нечетной степени имеет действительный корень.
Доказательства первого из упомянутых нами типов отвергались
интуиционистами — такими, как Кронекер и Мертенс, — еще в
конце прошлого века.
Но и в «арифметических» доказательствах не все приемлемо
для иитуиционистов; в 1924 г. в трех различных странах были
независимо друг от друга предложены новые доказательства
основной теоремы алгебры1), авторы которых заявили, что ни
одно из прежних доказательств не является надежным.
Существенный недостаток большинства «арифметических»
доказательств заключается в следующем. С целью избавиться от
кратных корней данного уравнения исследуют вопрос о равенстве
его дискриминанта нулю. Например, дискриминант D
уравнения х3— 7)у-х + 2р3 = 0 равен—108 ((-g-l —ρ6) (здесь ρ —
определенное выше вещественное число). В этом случае
[относительно] D интуиционистски [не удается доказать] ни [что оно] равно 0,
ни [что оно] удалено от О2). Вообще невозможность
основывать доказательство на альтернативе, согласно которой
дискриминант либо равен нулю, либо положителен, либо отрицателен,
делает все доказательство иллюзорным. Поэтому нужно (и
может быть предложено) доказательство, позволяющее факти-
!) Брауэр — де Лоор, 24; *Сколем, 5, Вейль, 24. В работе *де Лоора, 1
разбираются с интуиционистской точки зрения прежние доказательства. Ср.
*ван дер Корпут, 1, Розенблюм, 45, Райе 54. Критика эта, по существу,
также восходит к Кронекеру (1882; ср. Файн 14, Вандивер, 34—35 [Annals of
Math.]).
2) Части фразы, заключенные в квадратные скобки, добавлены при
переводе; утверждение авторов слишком сильно (во всяком случае оно не
вытекает из сказанного выше о числе р). — Прим. перев.
20*

308 Г л IV Интуиционистские концепции математики
чески вычислять корни уравнения с любой заданной степенью
точности, исходя из аппроксимации коэффициентов
рациональными числами; дело в том, что для дискриминанта
алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами
интуиционистски верно, что он либо равен нулю, либо удален от нуля.
Что касается основ анализа, то неоинтуиционизм приносит в
жертву теорему Больцано — Вейерштрасса !), сходимость
ограниченной монотонной последовательности вещественных чисел,
существование нуля у непрерывной функции вещественного
переменного f(x) на интервале (а, Ь) при f(a)<0 и /(&)>02),
теорию дедекиндовых сечений (Г, стр. 215), существование
наименьшей верхней грани ограниченного множества (вида)
вещественных чисел, существование максимума непрерывной
функции вещественного переменного на замкнутом интервале; все
эти теоремы оказываются либо ложными, либо
бессмысленными. Например, в случае теоремы Больцано — Вейерштрасса
препятствием служит то обстоятельство, что используемая в
этом доказательстве альтернатива между взаимно
исключающими возможностями опирается на принцип tertium поп datur.
Этот принцип используется и для сравнения двух
Дедекиндовых сечений x=(/Ci|/C2) и l=(Ll\L2) в следующей форме: либо
все рациональные числа из Lx принадлежат К\> либо в Lx
существует рациональное число, не принадлежащее Κι.
Что касается понятия сходимости и теории бесконечных
рядов, то Брауэр говорит3), что это понятие должно
расщепиться на несколько различных понятий; Белинфанте в ряде
остроумных работ4) показывает, что брауэровское различение
«положительной» и «отрицательной» сходимости приводит к двум
совершенно разным теориям, из которых только первая похожа
на классическую теорию. Белинфанте рассматривает также
понятия абсолютной сходимости и суммируемости.
Классические основы дифференциального и интегрального
исчисления и тем более современная теория функций
действительного переменного, в том числе теория интеграла Лебега, с
точки зрения этих критериев оказываются, очевидно, бессодер-
!) Об использовании в доказательстве этой теоремы tertium поп datur
ср. Биллинг, 49, и Райе, 54.
2) Предположение относительно f можно при этом понимать в сильном
смысле — в смысле удаленности, т. е можно считать, что между 0 и f(a)
или f(b) можно указать некоторое рациональное число.
3)( Брауэр, 25.
4) Белинфанте, 29, *2, *4, *6, *7; см. также Дейкман, *1 и 52, и ван Ро-
отселаар, 52. Дейкман, в частности, видоизменяет понятие «отрицательной
сходимости» таким образом, чтобы сохранить классические теоремы о
сходимости суммы и произведения сходящихся рядов.

§ 6. Интуиционистски урезанная математика
309
жательными *). Сохраняются лишь такие теоремы о
равномерно непрерывных функциях, которые можно проверить
вычислением. С другой стороны, Брауэр показал, что любая
вещественная функция, определенная на замкнутом интервале,
непременно является равномерно непрерывной, если пользоваться
его понятием функции2). Доказательство это далеко не
тривиально. В самом же этом факте нет ничего неправдоподобного.
Пусть, в самом деле, функция f(x) в точке х = а делает скачок;
тогда в окрестности этой точки / вообще не может быть
определена, так как значение / «при достаточно точном задании
аргумента должно становиться вычислимым с возрастающей
точностью, а это в окрестности точки а не выполняется»3).
С теорией аналитических функций комплексного
переменного дело обстоит проще; похоже на то, что значительную часть
этой теории — в смысле Вейерштрасса и, возможно, в смысле
Коши — можно построить интуиционистски приемлемым
образом. В этом нет ничего удивительного, так как то, что для
этой теории играет роль континуума, определяется счетными
множествами точек. Впрочем, после исследований Белинфан-
те 4) новых работ в этой области пока, кажется, не было.
Следует заметить, что даже те результаты классической
арифметики— а тем более анализа, — которые сохраняют свой смысл
и остаются верными с интуиционистской точки зрения, как
правило, приходится доказывать заново, причем гораздо более
сложными способами; одна из причин тому — невозможность
использования косвенных доказательств (см. выше, стр. 259) '°).
*) По поводу так называемой теоремы Кантора о пересечении
компактных множеств и близкой к ней теоремы Пеано о дифференциальных
уравнениях см. ван Данциг, 42. О брауэровском понятии меры и интеграла (а
также о понятии производной) см. Брауэр, 23; ср. Гейтинг, 51 (и 56), Брауэр,
54, и ван Роотселаар, 54 (в частности, по поводу теории
дифференцирования).
2) Брауэр, 23 и 27; об интуиционистском математическом анализе ср.
также *13, 25, 25—27. Из теорем, справедливость которых остается для ин-
туиционистов проблематичной (ввиду экзистенциального характера этих
теорем), следует отметить теорему Риса — Фишера; фактически
соответствующая теорема, доказанная Гейтингом, 51, отличается от классической
формы теоремы Риса — Фишера.
3) Ср. сказанное ниже (стр. 311) по поводу разбиения континуума.
4) Белинфанте, 31, получил интуиционистские доказательства нескольких
важных теорем, в том числе теоремы об интеграле логарифмической
производной (с помощью которой интуиционистски доказывается основная
теорема алгебры) и теоремы Пикара. Ср. книгу Гудстейна, 51, гл. VI, в
которой, кроме функций комплексного переменного, рассматривается также
теория меры и конструктивные вопросы топологии с точки зрения, мало
отличающейся от брауэровских. (Белинфанте погиб во время немецкой
оккупации )
5) Ср. исторический обзор Гудстейна, 48.

310 Гл. IV. Интуиционистские концепции математика
Поэтому если интуиционисты и излагают по педагогическим
соображениям сначала «иллюзорные» классические
доказательства, то лишь для того, чтобы затем подвергнуть их
критике и заменить интуиционистскими.
С точки зрения неоинтуиционизма (как и полуинтуционизма
Вейля), геометрия не является самостоятельной областью, если
не считать самого понятия континуума, спасаемого с помощью
свободно становящихся последовательностей. Конечно, можно
исходить из какой-нибудь системы аксиом и выводить из них
теоремы1). Но такая аксиоматическая теория останется пустой
до тех пор, пока средствами аналитической геометрии не будет
указана какая-либо ее модель; а тогда геометрия сведется к
анализу. Кризис принципа tertium поп datur сказывается в
геометрии довольно неожиданным образом; например, нельзя
считать, что доказательства теоремы Дезарга отдельно для
треугольников, лежащих на одной плоскости, и для треугольников,
лежащих на различных плоскостях, составляют вместе полное
доказательство теоремы, поскольку нельзя указать никакого
«общеприменимого» критерия для решения вопроса, какой из
этих двух случаев имеет место 2).
В топологии, особенно в комбинаторной топологии и в
топологии евклидовых пространств, по-видимому, особых
трудностей не возникает, если не считать трудностей, лежащих в
самых основах: в вопросе о понятии пространства и в том,
какие именно категории пространств являются осмысленными с
точки зрения интуиционизма. Некоторые результаты
сравнительно специального характера получил в этой области Брау-
эр3). Исчерпывающее исследование интуиционистского понятия
пространства провел Фройденталь 4); он доказал основные
теоремы, нужные для построения интуиционистской топологии.
При этом ему удалось — вопреки прогнозам представителей
') Как это делают для проективной геометрии *Гейтинг, 1 и 3 (ср. 13),
и Декуа, 49, 50, 55, причем последняя даже в рамках безотрицательного
интуиционизма; впрочем, Декуа далеко не выполнила свою программу в
соответствии с идеями Грисса; по-видимому, ее логика содержится в гейтингов-
ской логике, не использующей отрицания. В работе Гейтинга, 53,
исследуются гильбертовские пространства.
2) Гейтинг, 3, стр. 511.
3) Брауэр, 26 (интуиционистская трактовка классических исследований
самого Брауэра по теории размерности, см Г, стр. 140 [имеются в виду
работы Брауэра, °11, °12, °13; см. также Куратовский К., Топология, изд.
«Мир», 1966, т. I, гл. 2. — Перев]); некоторые из этих результатов
предсказывались еще в работе 18 — 19ц. В работе 25а Брауэр дает интуиционистское
доказательство известной теоремы о кривых Жордана.
4) Фройденталь, 36.

§ 6. Интуиционистски урезанная математика
311
голландской школы1) —обойтись без привлечения каких бы то
ни было метрических понятий.
В настоящем параграфе, как и в основном в § 2—5, речь
идет о яеоинтуиционизме. Различные оттенки
полуинтуиционизма (стр. 295) также связаны с серьезными видоизменениями
и ограничениями классической математики, не заходящими,
однако, так далеко, как у голландской школы, поскольку полуин-
туиционисты, вообще говоря, не отказываются от принципа
tertium поп datur. Мы ограничимся здесь ссылками на
соответствующую литературу 2).
Самые революционные преобразования претерпевает,
естественно, теория мнооюеств (абстрактных и точечных). В
предыдущем параграфе были разъяснены брауэровские понятия
множества и свободно становящейся последовательности. В силу
сказанного там, линейный континуум есть множество (поток
(spread)), причем с помощью надлежащих ограничений на
свободу актов выбора можно определять некоторые множества
точек, содержащиеся в континууме. С другой стороны,
континуум нельзя разбить на части, также являющиеся
континуумами; например, объединение открытых интервалов (0,1) и (1,2)
вместе с точкой 1 не образует континуума, поскольку точки,
порядковые отношения которых к точке 1 неизвестны, в это
объединение не входят3).
Два элемента множества (стр. 300) равны, если для
каждого η п-му акту выбора4) ставится в соответствие один и тот
же объект; свойство быть равным элементу некоторого
множества называется видом множества (set-species)5). (Брауэр
называет элементы множеств и виды множеств «математическими
1) См., например, стр. 41 русского издания книги Гейтинга, 34. — Прим.
перев.
2) Наиболее важный материал имеется в следующих работах: Вейль,
18, 21, 24; *Сколем, 4 и 5; Лузин, 27; Гейтинг, 34 (гл. I, § 2—4) и *12; ср.
*И. Кёниг, 5, и Менгер, 1 (особенно стр. 115). Рассмотрение второго
числового класса с позиций парижской школы, данное, например, *Лузиным, 4,
представляет большой интерес и с классической точки зрения. Некоторый
новый свет на возможность построения анализа полуинтуиционистскими
методами проливает работа Лоренцена, 56; ср. также стр. 248.
3) Ср. работу Сираиси, 54, где исследуется связь между
интуиционистской неразличимостью и рассуждением Зенона (Г, стр. 11 [имеется в виду
апория об Ахиллесе и черепахе — Перев])
4) Для каждого из этих элементов — Прим. перев
5) По поводу этого понятия см. Менгер, 28, стр. 221, и ван Данциг, 47,
стр. 927, подстрочное примечание 17. Брауэр, 18—19, стр. 4, понимает под
видом «свойство, о котором можно предположить, что им обладают какие-
либо математические вещи»; ср. в известном роде связанное с этим
различие, делаемое *Моком, 51, между понятиями ensemble [множество (франц.)—
Перев.] и espece [вид, род, сорт (франц.) — Перев.]. Последнее вводится без
типовых ограничений, как объем предиката,

312 Г л IV. Интуиционистские концепции математики
вещами».) Затем строится иерархия видов (ср. теорию типов,
гл. III). Виды первого порядка соответствуют (или являются)
свойствам (и), которыми могут обладать только
математические вещи; примером может служить какое-нибудь свойство
целых чисел. Далее, вид второго порядка — это свойство
вещей и видов первого порядка, и т. д. Таким образом, под
'видом' понимается примерно то же самое, что при
«конструктивном» построении классической теории множеств4) понимается
под 'множеством'; Брауэр избегает употреблять термин
'множество', чтобы исключить ассоциации с идеей свертывания — в
смысле аксиомы выделения (стр. 55) или (В) (стр. 142). В то
время как в брауэровском определении множества содержится
источник понятия члена этого множества, члены видов
определяются независимо (предварительно), и уже на основании
этого определения исследуется вопрос, принадлежат ли члены
данному виду. Непредикативные определения автоматически
исключаются; только «интуиция» служит источником суждений
о том, что является математическим свойством. 'Подвиды'
понимаются в смысле определения I из гл. II, § 2. В
противоположность тому, что говорилось в предыдущем абзаце о разбиении
континуума, может оказаться, что для некоторого вида S
имеются такие его расчлененные подвиды S' и S", что их
объединение равно S; Брауэр в таких случаях говорит, что S
'разделено' (separated) на S' и S", а каждый из подвидов S' и S"
называет отделимым подвидом (separable subspecies)2). Для
примера можно взять S, состоящее из всех целых чисел,
больших 1, S' — из всех простых, S" — из всех составных чисел.
Теория мощностей, теория упорядоченных множеств и
теория порядковых чисел (вполне упорядоченных множеств),
строящиеся на основе интуиционистских определений
множества и вида, не только оказываются ничтожными по своему
объему по сравнению с соответствующими классическими
теориями, но и в этом ограниченном объеме оказываются гораздо
более сложными. Здесь приходится различать 'эквивалентность*
и 'равномощность' (cardinal equality) (Cleichmachtigkeit) двух
видов S и Т. Последнее отношение означает, что между S и Τ
можно установить взаимно однозначное соответствие;
эквивалентными же S и Τ называются в том случае, когда имеется
1) Ср гл. II, § 3; кавычки добавлены здесь при переводе. — Прим. перев.
2) Это понятие приводит к одному различию, связанному с
бесконечными видами. Вид Л, имеющий подвид, равномощный (cardinally equal)
(см. выше) Л, называется 'бесконечным' (infinite) ; если же, в частности,
такой подвид является отделимым, то А называется 'сводимо бесконечным'
(reducible infinite). (Такое понятие 'бесконечного' на стр. 85 именовалось
'рефлексивным'.)

§ 6. Интуиционистски урезанная математика 313
отображение S на некоторый подвид Τ и отображение Τ на
некоторый подвид S. Ввиду того что теорема эквивалентности (Г,
стр. 98 и ел. 1)) не имеет силы, эквивалентные виды не
обязательно имеют равные мощности. Брауэр рассматривает и другие
отношения между видами, классически эквиполлентные
эквивалентности; о степени получающихся усложнений можно судить
по такому, например, факту: классическое понятие счетности
расслаивается на восемь различных свойств, большая часть
которых между собой независимы2).
Брауэр приписывает каждому виду, равномощному
множеству (виду) целых положительных чисел, «мощность»
(cardinal) α, а каждому виду, равномощному континууму (т. е.
множеству всех неограниченных последовательностей целых
положительных чисел), — «мощность» с. Определяется отношение <,
и с помощью одного лишь понятия свободно становящейся
последовательности получается, чтоа<с. В то же время о более
высоких мощностях ничего, по-видимому, не известно3); во
всяком случае, в интуиционистской теории множеств нет ни
диагонального метода, ни понятия множества-степени
(используемого в теореме Кантора). Каким образом введенные
ограничения мешают нам получить более высокие мощности, можно
понять из рассмотрения следующего простого примера. «Вид
отображений» (insertion species) 4) линейного континуума С
в себя, мощность которого классически равна &**>К (7\
стр. 159), — или, в обозначениях Брауэра, сс — содержит только
равномерно непрерывные функции, принимающие значения из
С (см. стр. 309), что препятствует применению диагональной
процедуры.
Перейдем к теории порядка5). Брауэр называет вид Ρ
виртуально упорядоченным {virtually ordered), если для членов
некоторого подвида вида всех пар членов Ρ существует
отношение <, обладающее следующими «свойствами порядка»:
1) отношения a = b, a<b и Ь<а исключают друг друга;
2) из а<6, а = а' и b = b' следует а'<Ъ'\
3) из одновременной абсурдности а<Ь и а = Ь следует Ь<а;
1) Теорема Кантора — Ф. Бернштейна. — Прим. перев.
2) См. *Гейтинг, 4.
3) См., например, *Брауэр, 3 (1909); ср. (в том числе и в связи с
материалом предыдущих абзацев) Брауэр, 25—27, 30, *24, *25, где имеются
дополнительные подробности; Уилдер, 52, стр. 235—242, в своем изложении
строго следует Брауэру.
4) Определяемый совершенно аналогично множеству отображений (ср.
стр. 63). — Прим. перев.
5) Брауэр 25—27ц; ср Гейтинг, 34, стр. 26 и ел. [стр. 39 и ел. русского
издания. — Перев.]. Брауэр, 50, вводит также понятие частичного порядка
(partial order) .

314 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
4) из одновременной абсурдности а<Ь и Ь<а следует а = 6;
5) из а<Ь и Ь<с следует а<с.
Это отношение не совпадает с тем, которое основано на
понятии отделенности. В самом деле, пусть а<С& для
вещественных чисел а и Ь означает, что между а и Ъ можно указать
рациональное число1); тогда для отношения <С свойство 3) не
выполняется. Доказано2), что отношение виртуального порядка
не может быть расширено — в том смысле, что к предложениям
вида а<Ь3) нельзя добавить никаких новых предложений4).
Канторовское определение порядкового типа η (Τ, стр. 221 и
ел.5) можно сохранить, а для порядкового типа линейного
континуума (Г, стр. 228 6)) дается определение, заменяющее метод
дедекиндовых сечений7).
Для вполне упорядоченных видов не удается развить общую
теорию исходя из их определения (Г, стр. 242—246 8)); здесь
приходится ограничиваться вполне упорядоченными видами,
конструируемыми с помощью следующих двух «принципов
построения» (principles of construction); а) объединения двух или
вообще любого конечного числа вполне упорядоченных видов;
Ь) объединения последовательности9) вполне упорядоченных
видов. В этой теории вновь обретают силу известные
рассуждения Кантора, основанные на понятии производного множества
(Т, стр. 23210)). Отправляясь от конечных видов и
упорядоченного вида положительных целых чисел, можно получить
только счетно-бесконечные виды11). Вполне упорядоченный вид,
1) И притом, конечно, такое, что оно больше а и меньше Ъ (в смысле,
определенном для свободно становящихся последовательностей, см. § 5);
таким образом, в обозначениях стр. 290 и обычной логической
символике а # b ΞΞ а<0 V Ь<^а. — Прим. перев.
2) °Брауэр, 26. — Прим. перев.
3) В смысле определения 1) — 5). — Прим. перев.
4) Удовлетворяющих свойствам (аксиомам) 1)—5); иными словами,
система 1) —5) в определенном смысле полна —Прим. перев.
5) Или, например, °Хаусдорф, 14/27/37, § 9. — Прим. перев.
6) Или, например, °Хаусдорф, 14/27/37, § 11, особенно стр 56—57.— Прим.
перев.
7) И являющееся интуиционистской переформулировкой этого метода;
см. Брауэр, 25—27ц, и Гейтинг, 34 (стр. 39—40 русск. изд.). — Прим. перев
8) См. °Хаусдорф, 14/27/37, гл. W. — Прим. перев.
9) Фундаментальной — в обычном смысле этого слова, т. е. сходящейся
в себе, причем отношение порядка между членами видов последовательности
(и внутри каждого вида) понимается в смысле определения 1)—Б\
(Гейтинг, 34, стр. 40 русск. изд.) — Прим. перев.
10) Речь идет о подходе к построению теории трансфинитных чисел,
основанном на идее итерации переходов от множества точек к его
производному множеству, детально изложенном, например, в книге °Бэра, 05. —
Прим. перев.
п) Брауэр, 25—27ш и 54а. Брауэр расширяет область действия
«принципов построения», допуская так называемые «нулевые элементы».

§ 6 Интуиционистски урезанная математика
315
как и классическое вполне упорядоченное множество, не
содержит никакого подвида типа *со. Теорема же о том, что каждый
непустой подвид вполне упорядоченного вида имеет первый
элемент, так же как и теорема сравнимости двух вполне
упорядоченных видов1), не имеют здесь места. Следует отметить,
что вполне упорядоченные виды играют изначальную
интуитивную роль в интуиционистской математике, поскольку любая
математическая конструкция состоит из вполне
упорядоченного вида отдельных шагов.
Из рассмотрения брауэровской теории множеств видно, что
многие важные вопросы остаются пока невыясненными. Если
этой теории суждено найти свое место в науке, то ей еще, по-
видимому, потребуется серьезная доработка. В то же время
представители голландской школы считают канторовскую теорию
«любопытным патологическим казусом в истории математики»,
от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас.
Математика, построенная в соответствии с
интуиционистскими принципами, оказывается, как мы видим, изрядно
покалеченной. Не удивительно поэтому, что число математиков,
готовых согласиться с интуиционистскими требованиями, так
мало. Положение здесь, пожалуй, вряд ли серьезно изменится
даже в том случае, если представители голландской или
парижской школы сумеют сформулировать свои принципы и свои
выводы в менее догматичной и более доступной и
последовательной форме, чем это имеет место до настоящего времени
(даже если принять во внимание прогресс в этом отношении,
которым мы обязаны Гейтингу, Фройденталю и ван Данцигу).
Правда, представители школы Гильберта и некоторых других
направлений при всех своих возражениях (против
неоинтуиционизма) проявляют полное понимание основных принципов, так
настойчиво подчеркиваемых интуиционистами, и на это
обстоятельство следовало бы обратить гораздо большее внимание, чем
это обычно делается в литературе. Однако, — даже после
частичного провала планов гильбертовской школы в отношении
доказательств непротиворечивости, — не следует забывать, что
само существование математики и обширность ее приложений
в течение многих столетий свидетельствует, по-видимому, о
том, что современный анализ не совсем уж нелеп или
бессодержателен. Весьма поучительным оказывается сравнение со
спекулятивной метафизикой: сомнительные и взаимно
противоречащие предположения и методы приводят в ней к
противоречивым результатам; в то же время в математическом анализе
1) Обладающих нулевыми элементами (ср. предыдущее примечание);
см. Гейтинг, 34, стр. 40 русск. изд. — Прим. перев.

316 Гл. IV. Интуиционистские концепции математики
и теории множеств исходи из самых различных принципов мы
приходим к более или менее сильным результатам, но никогда
еще эти результаты не противоречили друг другу. Поэтому у
нас есть основания надеяться, что рано или поздно удастся
найти такие методы, с помощью которых можно будет
устранить имеющиеся еще в математике методологические
сомнения1). Короче говоря, подавляющее большинство математиков
сходится на том, что для того, чтобы вылечить палец, незачем
ампутировать ногу2) 3).
1) Характерна в этом отношении статья Крейсела, 51. Он прямо
объявляет (нео) интуиционистскую позицию ошибочной, поскольку эта позиция
связана с отказом от обширных разделов математики. Хотя надежды, которые
Крейсел возлагает на успех школы Гильберта, пожалуй, слишком
оптимистичны, представляет интерес разбираемый им пример — теорема о
сходимости монотонно возрастающей ограниченной последовательности
рациональных чисел; Крейсел выдвигает доводы в пользу того положения, что эта и
некоторые более общие теоремы могут устоять против (нео) интуиционистской
критики.
2) Оптимистическое заключение этого параграфа при всей своей
привлекательной традиционности не может претендовать на сколько-нибудь полную
и убедительную оценку успехов и недостатков (нео)интуиционистской
математики. Более полный анализ проблем, упомянутых в настоящей главе (а не
только в § 5 и 6), можно найти в недавно вышедшей на русском языке
книге Гейтинга, 56. Следует еще отметить, что, сосредоточив свое внимание
на брауэровском построении математики, авторы по существу
оставили в стороне успехи вышедшего из (нео)интуиционизма
конструктивного направления в математике, по отношению к которому (как в его
критической, так и в положительной части) иронический скепсис авторов
еще менее убедителен. Не имея возможности останавливаться здесь на эти]х
вопросах, отсылаем читателя к работам А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их
учеников; развернутое изложение позиций конструктивного направления см.
в сборниках «Проблемы конструктивного направления в математике»
(дополнительная библиография, стр. 502), в особенности работы Маркова, 58, 62,
Шанина, 58, 62, а также статью Нагорного — Шанина, 64. О важнейших
результатах, полученных в этой области, см , например, работы Цейтина, 62,
62а, Заславского, 62, Заславского — Цейтина, 62, Оревкова, 64, Фань Динь
Зиеу, 65, 65а, 66 — Прим. перев.
3) Последовательное развитие брауэровского скептицизма приводит к
ультраинтуиционистской критике, характеризуемой неверием в единственность
натурального ряда, существование хотя бы одного натурального ряда, на
котором примитивно рекурсивные функции (и даже сложение) определены
всюду, а также в принцип математической индукции и в метаматематику,
основанную на этих спорных допущениях. (См. Есенин-Вольпин, °61.)
Сущность этих сомнений состоит в том, что брауэровская критика понятия
существования распространяется и на существование натуральных чисел;
выясняется, что речь идет лишь о возможном существовании (как чисел, так и
различных натуральных рядов), в связи с чем в основе
ультраинтуиционистской программы лежит широкая теория модальностей (см. мои доклады,
упомянутые в моем примечании на стр. 72) и связанная с ней теория
грамматических времен (ибо еще не наступившие члены становящейся
последовательности следует рассматривать как возможные в будущем) Истина при этом
рассматривается как результат возможного доказательства, т. е процедура
благодаря которой предложение становится бесспорным. — Прим. ред.

МЕТАМАТЕМАТИЧЕСКИЙ
И СЕМАНТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ
§ 1. Гильбертовская программа
До сих пор предметом нашего обсуждения были три
основных подхода к проблеме перестройки оснований теории
множеств, «наивная» канторовская концепция которой была столь
катастрофическим образом потрясена антиномиями.
Последователи Брауэра вообще считали эту концепцию целиком
ложной, в самых ее основах. Они обвиняли тех, кто ее разделяет, в
непонимании природы математики и необоснованном
перенесении на сферу бесконечного методов рассуждений, верных лишь
в применении к области конечного. Чтобы восстановить
правильную перспективу, надо построить математику на такой
основе, интуитивная надежность которой не подлежит никакому
сомнению. Антиномии явились лишь симптомами болезни,
которой была заражена математика. После того как болезнь будет
излечена, нечего беспокоиться о симптомах. По мнению
Рассела и его приверженцев, наивно было предполагать, что любое
правильно грамматически построенное повествовательное
предложение непременно что-либо выражает — соответствующее
действительности или же нет. Многие из этих ученых — в том
числе сам Рассел — считали, кроме того, что по нашей
небрежности в логико-математическое мышление проникли некоторые
понятия, образование которых имеет характер порочного круга.
Усовершенствовав правила образования понятий и объявив вне
закона сомнительные правила, можно добиться устранения
известных антиномий. В отличие от сторонников Брауэра,
представители этого течения не обладали полной уверенностью в
непротиворечивости систем, получающихся в результате
применения этих довольно-таки жестоких мер, поскольку в целях
хотя бы частичного восстановления утерянной силы и гибкости
этих систем приходилось пользоваться приемами, интуитивная
обоснованность которых явно недостаточна. Наконец,
сторонники точки зрения Цермело полагали, что наивное допущение,
согласно которому любому условию должна соответствовать
некоторая определенная сущность, — а именно множество всех
предметов, удовлетворяющих этому условию, — является
грубейшей ошибкой. С помощью надлежащих ограничений
аксиомы свертывания, выражающей это допущение, они пытались
ГЛАВА
V

318 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
построить системы, свободные от известных антиномий, но в то
же время настолько сильные, чтобы средствами этих систем
можно было развить достаточно большую часть классической
математики. Их уверенность в непротиворечивости
получающихся систем была основана не более — хотя и не менее — как
на том факте, что в этих системах нельзя воспроизвести обычные
способы вывода известных им антиномий.
Сторонники аксиоматического подхода к обоснованию
теории множеств, так же как (в несколько меньшей степени)
сторонники теоретико-типовых рассмотрений, испытывали
настоятельную потребность в доказательстве непротиворечивости рас
сматривавшихся ими систем. Классический, традиционный
метод проведения таких доказательств состоит в указании модели
рассматриваемой теории, взятой из некоторой теории, непроти-^
воречивость которой не вызывала сомнений. Метод этот был,
например, применен Бельтрами, который в 1868 г. доказал не^
противоречивость некоторых неевклидовых геометрий
(относительно евклидовой геометрии, как сказали бы мы теперь),
построив модель для них средствами геометрии Евклида1), и
Гильбертом, построившим в 1899 г. модель евклидовой
геометрии средствами арифметики действительных чисел, доказав
тем самым непротиворечивость евклидовой геометрии
(относительно арифметики действительных чисел). В рассматриваемой
нами ситуации этот метод оказывается неприменимым:
конечные модели, очевидно, для данной цели не подходят; что же
касается моделей бесконечных, то никакую выразимую в четких>
понятиях (conceptual) систему, пригодную для построения
таких моделей, нельзя считать — из-за антиномий — надежной.
Поэтому нужен какой-то другой метод.
И такой новый метод был предложен Гильбертом (впервые
еще довольно туманно в 1904 г., а затем со все возрастающей
точностью и обстоятельностью начиная с 1917 г.2)): нужно
показать, что применяемые в математике методы доказательства
достаточно сильны для того, чтобы получить всю классическую
математику, в том числе всю канторовскую теорию множеств,
исходя из подходящим образом выбранных аксиом, но в то же
время не настолько сильны, чтобы вывести из аксиом противо-
1) Здесь авторы допускают неточность, можно сказать, уже
традиционную (см. примечание переводчика на стр. 54 русского издания книги Клини,
52): для установления искомой непротиворечивости плоской геометрии
Лобачевского— Бойяи относительно евклидовой планиметрии модели Бельтрами
(локальной!) недостаточно; этой цели может служить, например, модель
Кэли —Клейна (см., например, °Ефимов, 45, гл. V, § 6 и 8; гл VII, § 3).—
Прим. перев.
2) См., например, Гильберт, 22, стр. 160

§ 1. Гильбертов екая программа
310
речие. Никакие антиномии не смогли поколебать глубокую
веру Гильберта в надежность основ классической математики.
Гильберт намеревался осуществить свою программу в два
этапа. Прежде всего вся математика — по существу, он имел в
виду главным образом арифметику, анализ и теорию
множеств— должна была быть формализована1), т. е. надо было
построить некоторую формальную систему (формализм), из
аксиом которой с помощью некоторого четко определенного
множества правил вывода можно было бы вывести по крайней
мере основы математики, скажем, в таком объеме, как это
удается сделать в РМ. Такая система должна была быть
именно формальной в том смысле, что во внимание должны
приниматься только вид и порядок символов, к последовательностям
которых применяются правила вывода, но никак, например, не
«значение» этих символов. Для того чтобы иметь дело с такой
системой, достаточно было бы самого минимума интуиции, так
называемой «глобальной интуиции», нужной для умения
решить, совпадают ли два рассматриваемых символа или нет
(точнее, принадлежат ли они одному и тому же роду
символов). Деятельность такого рода не требует никаких
умственных способностей, так что можно построить машину,
обладающую такой «интуицией». В такой системе можно с помощью
чисто механических операций сопоставления проверить,
является ли данная цепочка последовательностей символов
доказательством последней последовательности этой цепочки или нет.
Такая полная формализация идет гораздо дальше той,
которая предполагается при формальной аксиоматике2). В
последнем случае основываются на «содержательно понимаемой»
логике и довольствуются полным перечнем списка всех
специальных первоначальных терминов и перечислением всех
сформулированных в этих терминах допущений, необходимых для
вывода определенной совокупности теорем, стремясь к тому,
чтобы подразумеваемые значения специальных (нелогических)
терминов данной теории участвовали в выводе не иначе, как
будучи явным образом охарактеризованными посредством
аксиом. (Между прочим, именно Гильберт усовершенствовал
этот формальный аксиоматический метод.) В рассматриваемом
1) Гильберт, 22, стр. 174.
2) В имеющейся на русском языке литературе аксиоматика, о которой
говорится в следующей фразе, обычно именуется содержательной; под
формальной же аксиоматикой при этом подразумевают то, что ниже
охарактеризовано авторами как «формализация гильбертовского типа»; см., например,
Клини, 52 (§ 15), а также статью «Метод аксиоматический» в т. 3
«Философской энциклопедии» (М., 1964) и статью А. С. Есечина-Вольпина «Об
аксиоматическом методе», «Вопросы философии», 1959, № 7. — Прим. перев.

320 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
же случае игнорируются подразумеваемые значения всех
терминов, в том числе и логических. Если надо вывести тот факт,
что φ истинно, из факта, что истинны φ и ψ, то это уже нельзя
делать, опираясь — неявно или даже явно — на значение союза
'и'; такой вывод можно сделать только на основе подходящих
аксиом и правил вывода. Метод, на котором основана
формализация гильбертовского типа, называют иногда логистическим
методом1). Конечно, Гильберт исходил из уже имевшихся в
то время аксиоматизаций определенных разделов математики,
например из пеановской аксиоматизации арифметики и церме-
ловской аксиоматизации теории множеств, так же как из
существующих формализации логики, осуществленных Фреге и
Расселом— Уайтхэдом, хотя система РМ как раз не вполне
соответствовала стандартным требованиям, необходимым для
осуществления поставленных Гильбертом задач. Различные
системы формализованной арифметики, на разработки которых
Гильберт и его ученики 2) затратили много лет тяжелых усилий,
первоначально представляли собой по существу почти
механическое соединение системы аксиом Пеано с функциональным
исчислением первого порядка РМ\ однако в более поздних своих
исследованиях они пошли гораздо дальше и проявили —
особенно в связи с введением гильбертовского ε-оператора3) —
большую оригинальность.
В качестве второго шага Гильберт собирался показать, что
применение правил вывода к аксиомам никогда не сможет
привести к противоречию, точнее, к формальной противоречивости
{inconsistency) в одном из смыслов этого термина (которые
мы подробно рассмотрим ниже, в § 4), например в том смысле,
что не сможет найтись правильного формального
доказательства, заканчивающегося формулой '1=2'. Рассуждения,
посредством которых должна быть установлена эта метатеорема о
невозможности противоречия4), должны носить настолько
элементарный характер, чтобы в их правильности нельзя было
усомниться. Все виды рассуждений, применение которых в самой
математике вызывает возражения интуиционистов (например,
') Подробнее о неформальном аксиоматическом, формальном
аксиоматическом и логистическом методах см., например, Клини, 52, § 15, и Чёрч,
56, § 07. — Прим. перев.
2) Эти системы очень подробно и тщательно описаны Гильбертом — Бер-
найсом, 34—39.
3) См. гл. III, стр 222 и ел.
4) Употребление слова «невозможность» в этой фразе — особенно если
оно было неумышленным — лучше многого другого указывает на ту связь
оснований математики с модальными вопросами, которая лежит в основе
ультраинтуиционистской позиции (см. прим. ред. на стр. 316). — Прим. ред.

§ 1. Гильбертов екая программа
321
применение tertium поп datur по отношению к бесконечным
множествам или заключение об истинности какого-либо
экзистенциального предложения на основании ложности некоторого
всеобщего предложения, не говоря уже о непредикативном
образовании понятий и применении аксиомы выбора), подлежат
изгнанию и из той метатеории, в которой предполагается
исследовать методы математических доказательств, которая и была
названа поэтому Гильбертом метаматематикой, или теорией
доказательств (а). Гильберт настаивал на том, чтобы в теории
доказательств разрешалось пользоваться только финитными {fl·
nitary) методами, и тем самым он принимал даже более
сильные ограничения, чем это предписывалось интуиционистской
критикой. Но, подобно тому как интуиционисты никогда не
связывали себя окончательным уточнением того, какие же методы
доказательств допустимы, ибо такое уточнение противоречило
бы их основному тезису, так и Гильберт не сделал никакого
однозначно понимаемого заявления, какие же именно методы
рассматривались им как финитные. Самую точную
характеристику финитных средств можно, пожалуй, извлечь из
следующих слов Эрбрана (ученика Гильберта, замечательного
французского математика, ранняя смерть которого положила конец
большим надеждам, которые он подавал х)) 2).
Под интуиционистским [т. е. финитным] рассуждением
мы понимаем рассуждение, удовлетворяющее следующим
условиям: всегда рассматривается лишь конечное и
определенное число предметов и функций; функции эти точно
определены, причем определение позволяет произвести
однозначное вычисление их значений; никогда не
утверждается существование какого-либо объекта без
указания способа построения этого объекта; никогда не
рассматривается как (вполне определенное) множество всех
предметов χ какой-либо бесконечной совокупности; если
же говорится, что какое-то рассуждение (или теорема)
верно для всех этих х, то это означает, что это общее
рассуждение можно повторить для каждого конкретного
ху причем само это общее рассуждение следует при этом
рассматривать только как образец для проведения таких
конкретных рассуждений.
Следует подчеркнуть, что метаматематика ставит своей
задачей не только установлелие непроФиворечивости математики,
гарантирующее отсутствие в ней антиномий; помимо всего про-
1) Эрбрдн погиб в 1931 г. в возрасте 23 лет при альпинистской
катастрофе. — Прим. ред.
2) Эрбран, 32, стр. 3, сноска 3. [Ср. ^Новиков, 59, стр. 22—28. —Πерев.]
21 Зак. 1765

322 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
чего, предполагалось оградить математику от тех ограничений,
которые пытались наложить на нее представители других школ,
особенно интуиционисты 1).
Успешное осуществление первоначальной программы
Гильберта могло бы означать для большинства математиков
завершение исследований в области оснований (во всяком
случае, так это было бы для самого Гильберта — этого рода
исследования были для него не слишком приятной обязанностью:
он считал их своим долгом, но они отвлекали его от других,
более привлекательных для него математических проблем).
Правда, и в этом случае некоторые математики могли бы за-
явить — и в действительности заявляют, — что
непротиворечивость некоторого формализма никоим образом не является
достаточным условием для материальной истинности любых его
интерпретаций. Даже если удастся доказать
непротиворечивость формальной системы, содержащей, скажем, аксиому
выбора, сказали бы эти математики, никакой функции выбора
все-таки нет. На это Гильберт — полным единомышленником
которого в этом отношении был, как это ни удивительно,
Пуанкаре— ответил бы, что существование в математике не
означает ничего другого, кроме непротиворечивости системы2).
Однако обсуждение вопроса о том, что такое существование в
математике, мы отложим до последнего параграфа.
К счастью (да позволят нам на минуту немножко
легкомыслия в таком серьезном вопросе), ни Гильберту, ни кому-
либо из его блестящих последователей и соратников не удалось
выполнить эту программу — не из-за недостатка
изобретательности, а попросту из-за ее невыполнимости. Однако, как это не
раз бывало в истории математики, в процессе попыток решения
этой утопической (как теперь, задним числом, мы можем
сказать) задачи было накоплено подлинное богатство в виде
новых теорий, новых понятий, новых методов, чрезвычайно
интересных и плодотворных уже сегодня и, по-видимому,
представляющих еще больший интерес для будущего. Конечно,
теоремы Гёделя (1931 г.), из которых вытекает (см. § 6)
неосуществимость первоначальной гильбертовской программы, разбили
возлагавшиеся на нее надежды; но в то же время эти теоремы
превозносятся (на наш взгляд, совершенно справедливо) в
качестве величайших достижений абстрактного человеческого
мышления нашего времени. Гильберт ошибался, преуменьшив
глубину кризиса, в который ввергли математику антиномии, и
1) См. Гильберт, 22, стр. 174.
2) По поводу некоторых недавних дискуссий по вопросу о
взаимоотношении между непротиворечивостью и существованием в математике, см. Бер-
найс, 50, и Бет, 56.

§ 2. Формальные системы и формализованные теории 323
его уверенность в принципиальной разрешимости всех
математических проблем оказалась необоснованной, по крайней мере
если понимать разрешимость как разрешимость в рамках
некоторой конкретной формальной системы. Не существует, да
и не предвидится, никакого единого и общепринятого способа
перестройки математики, и в этом смысле кризис оснований
все еще продолжается. Но представители очень многих наук
хотели бы, чтобы область их деятельности находилась в таком
же «критическом» состоянии, как математика; из математиков
же очень немногие испытывают настоящее огорчение по поводу
неопределенности, имеющейся в основаниях их науки.
Исследование оснований математики оказалось, сверх всяких
ожиданий, не только делом, которое следовало предпринять по
соображениям интеллектуальной искренности или философской
щепетильности, но и чрезвычайно благодарным, волнующим и
полезным делом.
Мы не будем пытаться описывать здесь развитие и упадок
гильбертовской программы во всех исторических подробностях,
хотя такое описание представило бы несомненный интерес1).
Опишем лишь основные понятия, достаточные для понимания
сложившейся в отношении этой программы ситуации, а затем
в общих чертах рассмотрим важнейшие результаты теорий,
развитых в ходе попыток ее осуществления. В заключение главы —
и всей книги — мы рассмотрим некоторые философские
проблемы, связанные с основаниями теории множеств.
§ 2. Формальные системы, логистические системы
и формализованные теории
Начнем с общего описания строения одного важного класса
формальных систем, затем в качестве иллюстрации опишем в
общих чертах один арифметический формализм и (подробно)
теоретико-множественный формализм, который можно
рассматривать, как результат полной формализации
теоретико-множественной системы Z, описанной в первых параграфах гл. II.
Мы не ставим своей целью описать здесь строение всевозможных
формальных систем. Это не вполне удалось даже Карнапу, посвятившему так
называемому общему синтаксису, т. е. общей теории формальных систем,
свыше 120 страниц своей превосходной книги The Logical Syntax of
Language2).
Заметим, что технические термины, употребляемые нами в настоящем
и следующих параграфах, имеют много (некоторые — очень много) синони-
1) Такое описание можно найти, например, у Гейтинга, 55, стр. 36 и ел.;
из более ранних работ по этому вопросу см. Бернайс, 35а.
2) [Логический синтаксис языка. — Перев.] Карнап, 37, стр. 153—275; см4
особенно стр. 167.
21*

324 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
мов и «почти синонимов». В то же время многие из этих терминов, будучи
омонимичными, имеют разные значения иногда у одного и того же автора,
и даже в пределах одного и того же сочинения. Если бы мы попытались
каждый раз перечислять все синонимы, мы лишь сбили бы читателя с толку.
Для каждого понятия мы предпочитаем поэтому пользоваться одним, в
крайнем случае двумя терминами. Сравнивая наше изложение с каким-либо
литературным источником, придется как следует позаботиться о том, чтобы
понять, какие термины в обоих изложениях соответствуют друг другу. В
качестве примера отметим лишь, что термин 'формальная система' имеет
следующие синонимы: формализм, исчисление, формальное исчисление, неинтер-
претированное исчисление, абстрактное исчисление, синтаксическая система,
формальный язык, формальная логика, кодификат (codificate) и многие
другие 1).
Формальная система2) определяется следующими пятью
классами 3).
(1) Класс исходных {primitive)4) символов— (исходный)
словарь-, этот класс распадается на классы исходных символов
различного рода, как-то: переменные, константы и·
вспомогательные символы5). Если словарь конечен, он может быть
задан просто в виде одного или нескольких списков. Если же
словарь бесконечен — а практически и в тех случаях, когда он
просто очень велик, — принадлежность к нему устанавливается
индуктивным путем, на метаязыке, с использованием
синтаксических6) переменных. В любом случае понятие 'исходный сим-
1) Также не претендуя на полноту, упомянем лишь о синонимах,
встречающихся в двух наиболее известных из имеющихся на русском языке
монографий по математической логике: Клини, 52 (стр. 60 русск. изд.), упоминает
термины 'формальная теория' и 'формальная математика', а Чёрч, 56, вообще
систематически пользуется как основным термином 'логистическая система',
который, однако, ниже (начиная со стр. 331) используется авторами
настоящей книги в несколько более узком смысле. — Прим. перев.
2) Каждому, кто всерьез изучает эти вопросы, рекомендуем
ознакомиться со взглядами на сущность понятия формальной системы, высказываемыми
Карри, 50, 51, 54 (и в других работах), несмотря на несколько вычурную,
а временами и не совсем ясную форму их изложения.
3) В оригинале здесь и в пп. (2) — (4) 'set'; но, по понятным
соображениям, мы избегаем «наивного» употребления слова 'множество'. — Прим.
перев.
4) В отличие от § 2 гл. II и всего предыдущего изложения, мы
предпочитаем теперь переводить 'primitive' как 'исходный', а не 'первоначальный';
в дальнейшем оба термина будут употребляться как синонимы. — Прим.
перев.
5) Или технические символы; они образуют подкласс класса символов,
который Чёрч", 56 (стр. 32 и ел. [стр. 36 и ел. русск. изд. — Перев.])
называет 'несобственными (improper)' символами. По разумным, хотя и
необщепринятым, основаниям Чёрч причисляет к несобственным символам так
называемые логические константы: сентенциональные связки, кванторы и
другие операторы.
6) То есть метаязыковых, не принадлежащих словарю формальной
системы (такова, например, в следующем абзаце переменная ξ, но
не,[употребляемая а в τ о н и м н о!); ср. ниже, примечание к п. (е). — Прим. перев.

§ 2. Формальные системы и формализованные теории 325
вол' должно быть эффективным, так чтобы можно было в
конечное число шагов определить, является ли произвольный
данный символ исходным. Предполагается, что исходные символы
неделимы независимо от их внешнего вида и способа задания.
В арифметическом формализме, который мы рассмотрим, словарь
состоит из бесконечного числа переменных. Понятие переменной все же
задается эффективно с помощью следующего индуктивного определения:
(a) V есть переменная.
(b) Если ξ есть переменная, то ξι есть переменная.
(c) Никаких переменных, кроме определенных согласно (а) и (Ь), нет.
Конечная последовательность символов называется
выражением *).
(2) Класс термов — подкласс класса всех выражений,
определяемый некоторыми эффективными правилами.
Продолжая наш пример, мы могли бы взять следующие правила:
(d) Каждая переменная есть терм.
(e) Если а2) есть терм, то S(a) 3) есть терм.
(f) Если а и β суть термы, то (а + β) и (а · β)Λ суть термы.
(g) Никаких термов, кроме определенных согласно (d), (e) и (f), нет.
Легко видеть, что и понятие терма в рассматриваемом формализме
также является эффективным.
(3) Класс формул — подкласс класса всех выражений,
определяемый некоторыми эффективными условиями (если
предварительно определено понятие терма, — что, вообще говоря, не
обязательно, — то в терминах этого понятия).
Можно было бы взять, например, следующие правила:
(h) Если α и β — термы, то а = β — формула.
(i) Если ср — формула, то ~ (φ) — формула.
(j) Если φ и ψ— формулы, то (ср) Ζ) (ψ) —формула,
(к) Никаких формул, кроме определенных согласно (h), ([) и (j), нет.
Эффективность понятия «быть формулой» опять-таки очевидна.
Можно было бы вводить термы и формулы одновременно, также с
помощью индукции. Например, можно было бы принять такое правило:
(ff) Если φ — формула, а ξ — переменная, то (λξ)φ есть терм (где
'λ' есть некоторая исходная константа).
*) Хотя мы и решили вообще не говорить больше о терминологических
расхождениях, стоит все же сказать о терминологии Чёрча, 56, весьма
тщательно продуманной и разъясняемой им. Вместо нашего термина
'выражение' Чёрч говорит 'формула', а вместо терминов 'терм' и 'формула' —
'правильно построенная (well-formed) формула'.
2) Здесь а — синтаксическая переменная, значениями которой служат
выражения рассматриваемого формализма.
3) Здесь '5' — константа рассматриваемого формализма; \S* в· выражении
'5(a)' употребляется автонимно (см. гл. II, стр. 40 [и стр. 39, где поясняется
этот термин. — Перев.]). Желая избежать такого употребления, мы могли бы
вторую половину п. (е) сформулировать так: «... то 'S' а (сочленение 'S'
и а, т. е. последовательность, состоящая из *S\ за которым следует а))
есть терм».

326 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
(4) Класс аксиом — некоторый подкласс класса всех
формул. Если класс аксиом конечен, то их можно, по крайней мере
в принципе, просто перечислить. Если же нет, то они могут
быть заданы с помощью схем аксиом, формулируемых на
метаязыке, с использованием синтаксических переменных. Правила
задания должны быть таковы, чтобы обеспечить эффективность
понятия «быть аксиомой».
Продолжив наш пример, мы могли бы среди прочих взять следующую
ехему аксиом:
(1) Все формулы вида (а = β)Ζ)((φ) ZD (ψ)), где а и β — термы, a φ
и ψ — формулы (причем ψ отличается от φ только тем, что содержит β на
некотором месте, на котором в φ входит а), суть аксиомы.
И снова мы видим, что вопрос, является ли произвольно взятая
формула аксиомой (в соответствии с /), решается эффективным методом.
(5) Конечный класс правил вывода, согласно каждому из
которых некоторая формула, именуемая заключением,
непосредственно выводима из некоторого конечного класса формул,
называемых посылками.
Большинство формализмов имеет правило, эквивалентное или
совпадающее с так называемым правилом отделения (rule of detachment) l) (или
modus (ponendo) ponens):
(m) Из класса формул, состоящего из двух формул вида φ и (φ) Ζ) (ψ)\
непосредственно выводима формула ψ.
Конечная последовательность, состоящая из одной или
большего числа формул, называется выводом из класса Г посылок,
если каждая формула из этой последовательности является
либо аксиомой, либо членом Г, либо непосредственно
выводима из класса формул, предшествующих ей в данной
последовательности. Последняя формула такой последовательности
называется выводимой из Г. Вывод из пустого класса посылок
называется доказательством своей последней формулы, а тем
самым и любой входящей в него формулы. Формула называется
доказуемой, или формальной теоремой, если существует
доказательство, последней формулой которого она является.
(Релятивизация этих определений применительно к какой-нибудь
конкретной формальной системе производится всегда неявно и
очевидным образом.)
Таким образом, «быть доказательством» — это эффективное
понятие. Но понятие «быть теоремой» отнюдь не является эф-
1) Называемым иногда также правилом зачеркивания, схемой
заключения, или схемой силлогизма. (Первый термин отражает тот факт, что в
выводимой импликации можно «зачеркнуть» выводимую посылку; второй и
третий нехороши тем, что наводят на неверную мысль, будто все законные
для математики и логики «заключения» и «силлогизмы» получаются по
modus ponens.). — Прим. перев.

§ 2. Формальные системы и формализованные теории J27
фективным. Все, что мы знаем на сегодняшний день, не дает
нам никаких оснований рассчитывать на наличие общего
метода, пользуясь которым мы могли бы для произвольной данной
формулы либо построить ее доказательство, либо доказать, что
такое доказательство невозможно. Конечно, не исключено, что
для некоторых формальных систем понятие теоремы окажется
эффективным. В свое время некоторые математики
рассчитывали на то, что вся математика может быть формализована в
некоторой формальной системе такого рода.
Правила, определяющие принадлежность первым трем из
перечисленных классов, называются правилами образования,
а те, которые определяют принадлежность к последним двум
классам, — правилами преобразования.
Формальную систему можно схематически представлять себе
как упорядоченную пятерку классов, удовлетворяющую
определенным требованиям *).
Термы и формулы, содержащие по крайней мере одно
свободное вхождение какой-либо переменной, называются
открытыми2); термы и формулы, не содержащие свободных перемен-
1) Весьма тщательное (и несомненно отличающееся от нашего
изложения) рассмотрение вопроса о том, что такое исчисление, см. у Шрётера 41.
2) Вместо нашего термина 'открытая формула' Чёрч, 56, говорит
пропозициональная форма. Термин 'пропозициональная функция' для этой цели
представляется неподходящим; вообще, термин 'функция' в соответствии с
установившимися математическими традициями, лучше сохранить для
обозначения определенных типов отношений, а не употреблять в качестве имени для
конкретных обозначений; поэтому термин 'пропозициональная функция'
следовало бы сохранить для обозначения функций, значениями которых служат
истинностные значения (truth-values) ; ср. Чёрч, 56, стр. 28 [стр. 33 русского
издания — Перев.].
Вообще, в этой терминологии царит изрядная путаница. Любопытно,
например, что Карнап, до 1950 г. пользовавшийся вместо нашего термина
'открытая формула' термином 'открытое предложение (sentence)' в своей
книге (Карнап, 50), стал употреблять термин 'сентенциональная матрица
(sentential matrix)', приняв тем самым манеру выражения Куайна (которой тот
пользовался до 1950 г.). Сам же Куайн, однако, в книге, опубликованной в
том же самом году (Куайн, 50), решил использовать термин 'открытое
предложение', следуя прежней карнаповской терминологии; см. Куайн, 50, стр. 90,
примечание.
Мы будем в дальнейшем продолжать пользоваться термином
'предложение (statement) ' как неформальным термином, приложимым и к обычным
языкам, и к неформализованным теориям [В оригинале речь идет о том,
чтобы пользоваться впредь термином 'statement' вместо 'sentence';
представляется целесообразным переводить оба эти термина как 'предложение'
и посоветовать читателю попросту игнорировать весь этот
терминологический разнобой. Достаточно усвоить (как следует) хотя бы одну систему
терминологии (скажем, принятую Клини, 52, или Чёрчем, 56), чтобы затем

328 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
ных, называются замкнутыми. Вместо 'замкнутая формула' мы
обычно будем говорить 'предложение* (sentence) !):
Теперь мы опишем одну из многочисленных формальных систем,
пригодных для формализации теории множеств Z.
A. Правила образования
1. α есть исходный символ (системы Ζ) тогда и только тогда, когда α
является одним из следующих символов:
a. Индивидные переменные: *х\ 'χ.', 'х,.', ... (до бесконечности). Для
первых 10 переменных, следующих за V, мы будем использовать в качестве
сокращений следующие символы (в указанном порядке): €у\ €г\ 'w\ lu\ V,
V," \s\ Τ, -У, у.
b. Исходные (primitive) предикаты: двуместный предикат 'ε'.
c. Логические константы.
а. Связки: '~', 'V', '&', 'З', 's*.
β Кванторы: квантор всеобщности (А),
квантор существования (Е).
d. Вспомогательные символы: '(', ')'.
3. 2) φ есть формула тогда и только тогда, когда φ имеет один из
следующих видов:
а'· ξ ζ Ή» гДе ξ и η суть переменные; формула такого вида называется
атомарной.
b. ~ (ψ), (ψ) ν (Χ), (ψ) & (χ), (Ψ) z> (χ), (Ψ) Ε= (χ),
где ψ и χ — формулы.
c. (Α ξ) (ψ), (Ε |) (ψ), где ξ — переменная, а ψ — формула.
B. Правила преобразования
4. φ есть аксиома, если и только если φ имеет один из следующих видов:
без затруднений переходить к любой другой. Важно лишь единожды
разобраться в оттенках любой из этих терминологий, чтобы затем уже не
испытывать даже потребности в многочисленных «таблицах перевода» и
терминологических оговорках. Так, слово 'sentence', которым .оканчивается этот
абзац авторского текста, будет переведено — как и встречавшееся раньше и
встречающееся ниже 'statement' — как 'предложение'. Уже в гл И нам
приходилось оговаривать многочисленные неточности в употреблении слова
'предложение' (вместо 'формула'). Чтобы не загромождать подобными
оговорками оставшуюся часть книги, согласимся на том, что она отнюдь не
претендует (в отличие от, скажем, монографий Чёрча и Клини) на
воспитание у читателя терминологической дисциплины, и будем лишь
стремиться к тому, чтобы никакой контекст не приводил к двусмысленностям. —
Перев.]
1) См. предыдущее примечание. — Прим. перев.
2) Нумерация следует определению формальной системы (см. выше,
стр. 324—326); определение класса термов (в случае если бы оно
потребовалось для описания данной формальной системы) получило бы порядковый
номер 2. В данном случае этот пункт определения за ненадобностью
опускается (ср. п. if, стр. 325). — Прим. перев.

§ 2. Формальные системы и формализованные теории 329
а. Схемы аксиом пропозиционального исчисления
(ψ) з ((χ) з (ψ)), (Ψ =э (ψ => χ)) э (ψ ρ χ)'),
(ψ з χ) з ((χ :Э ρ) з (ψ з ρ)), (ψ з ~ χ) з (χ з ~ Φ),
~ ψ Ζ) (ψ з χ), ((ψ з ~ Φ) з χ) з ((ψ з χ) з χ),
(ψ & χ) Ζ) φ, (Φ & χ) Ζ) χ, (ψ з χ) з ((χ з ρ) з (Φ з (χ & ρ)) )>
ψ ζ) (ψ ν χ), χ ζ) (ψ V χ), (Ψ ζ> ρ) з ((χ з ρ) з {<Φ V χ) з ρ) ),
(ψ==χ)3(ψ3χ), (Φ = χ)3(χ3ψ), (ψ3χ) з ((χ3 ψ) з (Φ^χ)),
где ψ, χ и р — формулы 2).
Ь. Специальные аксиомы (и схемы аксиом)
I (Аксиома объемности)
(Ах) (Ау) [(А*) (г ζ χ ξξξ г ζ у) з (Aw) (* ζ w ξ== у ζ or)].
II (Аксиома пары)
(Ах)(Ау)((Аг)(х£г^у£г) V (Ег) (Aw) {w£z-==
==[(Аи) (τνζιι=ΞΞχζιι) V (Αν) (w£v===y ζν)]})3).
III (Аксиома множества-суммы)
(Αχ) {(Еу) (у ζ*) з (Ег) (Aw) [w ζ г ез(Еи) (α» ζ w & и ζ χ)]}.
IV (Аксиома множества-степени)
(Ах) (Еу) (Аг) [г ζ у = (Aw) (w £ г з w £x)}.
V (Схема аксиом выделения)
( )(Ах)(Ъу)(Аг)[г£?=*(г£х&т.
где 'у' не входит свободно в формулу ψ, а '( )' означает
последовательность кванторов всеобщности, взятых по всем свободным переменным ψ
(кроме 'z'4)).
VI (Аксиома выбора)
(Ах) [((Ау) (Аг) {[y£x8cz£x&~> (Aw) (у £ w г г ζ α»)] з
з [(Ей) (и £ у) & ~ (Εν) (ν£ у & ν 6 г)]} з ((Er) (As) [s£xz> (Et)
=>(Et)(Aq)[(Ap)(q£p^t£p)^(q£r&qZs)}})].
VII (Аксиома бесконечности)
(Ex) [(Ay) {[~ (Ег) (г 6 У)] 3 у 6 *} & (Aw) (w € * 3
3 (Auf{ (Αν) [^6ίί = (Аг) (ν £ г == w ζ г)] з и 6 *})].
ι) В этой и следующей формулах опущены некоторые скобки, согласно
очевидным (молчаливым) соглашениям.
2) Эта система аксиом, принятая в книге Гермеса — Шольца, 52, иред-
ставляет собой незначительное видоизменение известной системы Гильберта—
Бернайса, 34—39ь Об основных преимуществах, которыми обладает эта
система, см. Гермес — Шольц, 52, стр. 35 и ел.
3) Все фигурные, квадратные и круглые скобки следует рассматривать,
как различные написания двух указанных в п. Id вспомогательных символов.
4) И V. — Прим. перев. Стенли, 61, рассматривает схемы аксиом, в
которых *у' может входить свободно в ψ, — и показывает, что при этом из
некоторого аналога схемы V следует аксиома выбора.—Прим. ред.

330 · Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
VIII (Схема аксиом подстановки)
(Ах) ((Ау) (Аг) (Aw) {[у £ χ & ψ (у, г) & ψ (у, о>)] =>
ZD (Аг/) (ν € г == ν € w))) Z> (Er) (As) {5 £ г == (Ef) [* ζ χ & ψ (*, 5)],
где ψ — формула, содержащая две свободные переменные, отличные от
*х' и 'г'.
IX (Аксиома фундирования)
(Ах) {(Еу) (у ζ х) zd (Ег) [г ζ χ & ~ (Εα>) (α> 6 * & w € г)]}.
Читатель, конечно, обратит внимание на то, что специальные
аксиомы в символической записи выглядят в большинстве своем
более сложными, нежели в том виде, в каком они приведены в гл. II.
Это обусловлено тем обстоятельством, что при теперешней
формулировке мы абсолютно не пользовались никакими вводимыми по
определению символами, такими, как, скажем, Ό' или Ό'1)· Это
делалось, во-первых, с той целью, чтобы показать возможность
выполнения условия, выдвигаемого некоторыми сторонниками
аксиоматического подхода, — условия, согласно которому все аксиомы должны
быть выражены исключительно в исходных терминах; во-вторых, мы
хотели таким образом уклониться от рассмотрения достаточно
спорного вопроса о роли определений в формальных системах. Заметим
лишь, что эта проблема труднее, нежели это принято считать. Если
определения допускаются как составная часть формализма (а не в
качестве метатеоретического аппарата), то необходимо ввести в
формализм специальные правила определения и соблюдать эти правила
при всех случаях определения новых символов.
5. φ непосредственно выводима из (класса) формул ψ и χ, если
a. (Правило отделения, modus ponens) χ имеет вид ψΖ>φ,
либо же если ψ имеет вид ρ ZD σ, а φ имеет вид, указанный в одном из
следующих правил Ь. — е.
b. (Правило универсализации антецедента) (Αξ)ρΖ)σ.
c. (Правило универсализации консеквента) ρΖ)(Αξ)σ, где ξ не
входит свободно в р.
d. (Правило экзистенциализации антецедента) (Εξ)ρζ^σ, где ξ не
входит свободно в σ.
e. (Правило экзистенциализации консеквента) ρ Ζ) (Εξ)σ.
f. (Правило переименования переменных (Rule of relettering).)
[Мы не будем здесь формулировать это правило. Суть его заключается
в том, что оно позволяет при определенных условиях заменять одну
переменную на другую. Точно сформулировать это правило для наших целей
было бы слишком обременительно2).]
Правила 4а и 5а образуют полную систему правил преобразования
пропозиционального исчисления. Вместе с остальными правилами вывода они
образуют полную систему правил преобразования функционального исчисле-
1) Фигурные скобки на этот раз используются уже не как
разновидность скобок, фигурирующих в качестве исходных (вспомогательных)
символов, а как единый символ, вводимый по определению и обозначающий
множество, состоящие в точности из тех членов, обозначения которых
записаны внутри этого символа.
21 Очень точное и подробное изложение правил вывода
функционального исчисления можно найти в работе Шрётера, 55, стр. 65 и ел. [и Клини,
52, § 19, 20, 23, 77s — Ред.]

§ 2. Формальные системы и формализованные теории 331
ния первого порядка без равенства. Теперь мы можем сказать более точно,
в каком смысле это исчисление является базисной логикой для системы Z,
Это исчисление, содержащее один исходный предикат — двуместный предикат
£' и не содержащее никаких пропозициональных или предикатных
переменных, представляет собой простое прикладное функциональное исчисление
первого порядка.
Рассматривавшееся нами до сих пор понятие формальной
системы с его сильными требованиями эффективности носит
довольно узкий характер; оно, если и не совпадает, то,
по-видимому, весьма близко к такому понятию исчисления, какое
вначале имел в виду Гильберт. Для некоторых целей, однако,
бывает удобнее (а иногда и необходимо) рассматривать системы
с более слабыми требованиями эффективности. Будем ли мы
называть и такие системы 'формальными системами' (быть
может, с некоторыми дополнительными оговорками), или же
используем специально для этой цели один или несколько из
упомянутых выше (стр. 324) синонимов этого термина, или же,
наконец, придумаем какие-нибудь новые термины — это, конечно,
лишь вопрос соглашения. Мы будем отныне вместо
'формальная система с сильными требованиями эффективности' говорить
'логистическая система' и в необходимых случаях различать
между собой разновидности понятия формальной системы с
помощью специальных эпитетов.
До недавнего времени исследовались лишь формальные
системы с не более чем счетным словарем. Теперь, однако, в связи
с возрождением алгебраического подхода к логике возрос
интерес и к системам с несчетным словарем1).
1) Такой подход был характерен еще для Буля, но впоследствии это
обстоятельство под влиянием работ Фреге, Пеано и Рассела было временно
забыто. [Эта фраза авторов способна вызвать впечатление, что Буль знал
кое-что о несчетных совокупностях еще до Кантора. По мнению переводчика,
здесь имеется в виду лишь то, что Буль не накладывал на исследовавшиеся
им системы никаких мощностных ограничений, что, разумеется, более чем
естественно. — Перев.] Современное возрождение этого подхода, хотя и не
оказывающее. заметного непосредственного влияния на основания теории
множеств в собственном смысле (по крайней мере до сих пор), настолько
существенно для оценки современного положения вещей в основаниях
математики вообще, что о нем следует сказать (по крайней мере в
сноске).
Топологический аспект этого подхода проявился прежде всего в работах
Тарского, 35, и Стоуна, 37, комбинаторный аспект — в работе Поста, 43; в
настоящее время он достиг расцвета в научных школах Беркли (Тарский,
Генкин, Майхилл, Boot и многочисленные ученики Тарского) и Варшавы
(Мостовский, Лось, Сикорский, Расёва и многие другие ученики Мостовско-
го), а также в работах многих логиков и математиков в самых различных
странах. Тарский, Генкин, А. Робинсон и другие практикуют известное
обращение этого подхода, заключающееся в применении метаматематических
методов к алгебраическим проблемам. Впечатление, произведенное получен-

332 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Обычно рассматриваются выражения, представляющие
собой конечные линейные последовательности символов; однако
в некоторых случаях рассматриваются и выражения
бесконечной длины1), что особенно просто, когда синтаксис арифмети-
зирован (см. ниже, § 5); во многих практически используемых
системах обозначений имеются и двумерные комплексы2).
Впрочем, последнее обстоятельство не порождает никаких
теоретических проблем, поскольку двумерную таблицу символов с
помощью специального приема3) можно всегда свести к
линейной последовательности4).
Рассматриваются и такие формальные системы, в которых
понятие формулы не является эффективным. В качестве
примера можно упомянуть введенный Гильбертом и Бернайсом йота-
оператор определенного описания: выражение вида (ιξ) φ, где ξ —
ными с помощью таких методов результатами, относящимися
непосредственно к алгебре и топологии, способствовало пробуждению интереса к
математической логике со стороны многих математиков, относившихся к ней до
этого довольно холодно. Наряду с теорией рекурсивных функций (см. ниже,
стр. 360 и далее) современная алгебра логики (и логика алгебры)
представляют собой два важнейших методологических завоевания второй четверти
нынешнего столетия в области оснований математики, причем как та, так
и другая находятся лишь в начальной стадии своего развития. Не требуется
особой проницательности или пророческого дара, чтобы представить себе в
недалеком будущем расцвет обоих этих методов, хотя едва ли можно
предсказать в подробностях какие-либо конкретные результаты.
Из обширной литературы по этим вопросам мы хотели бы упомянуть
лишь о следующих работах, опубликованных за последние десять лет (в
алфавитном порядке):
Бет, 51а, 55Ь, 56а; Биркгоф, 48; Boot, 54; Генкин, 49, 53а, 53Ь, 55, 56,
56а; Клини — Пост, 54; Крейсел, 56/57; Лоренцен, 51Ь; Лось, 55; Лось —
Мостовский— Расёва, 56; Лось — Сушко, 55; Мак-Кинси — Тарский, 48;
Марквальд, 56; Мостовский, 49, 51, 53, 55, 56а; Мыцельский, 57; Расёва, 52,
.53, 54, 55; Расёва — Сикорский, 51, 52, 53, 54; Ригер, 49, 51; А. Робинсон,
51, 51а, 52, 54, 55, 55а, 56, 56а, 56Ь, 57; Розенблюм, 50; Сушко, 51; Тарский,
49, 52, 54—55; Тарский — Boot, 57; Фраиссе, 55; Фрёлих — Шепердсон, 56;
Хазенъегер, 52; Халмош, 56, 56а, 56Ь, 56с, 5&—57; Хинтикка, 54; Шольц, 51.
О результатах использования систем со сверхсчетными словарями см
Генкин, 49; А. Робинсон, 51, 56; Тарский, 52, 54—55; Boot, 54; Шрётер, 55
(особенно стр. 42); Тарский — Boot, 57.
1) См. Карнап, 37, стр. 169. На летнем Симпозиуме по символической
логике при Корнеллском университете в 1957 г. было прочитано два доклада,
посвященных исчислениям с бесконечно длинными выражениями — один Тар-
ским, другой Тарским и Д. Скоттом.
2) «Деревья», графы и т. п. — Прим. перев.
3) Осуществляющего эффективный пересчет элементов таблицы с двумя
входами, подобный, например, тому, что применяется в доказательстве счет-
ности объединения счетного множества счетных множеств (скажем, в таком
порядке: ап, αί2, а2и «1з, «22, «зь flu, ···> где а%к — элемент таблицы,
стоящий на пересечении /-й строки и &-го столбца). — Прим. перев.
4) Ср. Карнап, 42, стр. 5.

§ 2 Формальные системы и формализованные теории 333
переменная, свободно входящая в φ, считается термом только
в том случае, если доказуемо «условие единственности»
(Εη) (Αξ)[φ^(ξ = η)]1). Поскольку доказуемость, как мы выше
уже отмечали, не является, вообще говоря, эффективным
понятием, то не существует общего эффективного метода для
решения вопроса, является ли (ιξ)φ термом, а следовательно, и
эффективного метода для решения вопроса, являются ли
формулами определенного рода выражения, содержащие (ιξ)φ в
качестве своей части2).
Что касается аксиом, то мы уже допускали, что число их
может быть и бесконечным даже в логистической системе, коль
скоро их описание в метаязыке таково, что позволяет с помощью
эффективного проверяющего метода установить, является
заданная формула аксиомой или нет. Поскольку, однако, системы
с конечным числом аксиом обладают определенными
теоретическими преимуществами, представляет важность проблема
конечной аксиоматиз(ир)уемости (finitizability) данной
бесконечной системы аксиом, т. е. нахождения такой конечной системы
аксиом, что класс теорем, выводимых из этих аксиом,
совпадает с классом теорем, выводимых из аксиом бесконечной
системы, для которой ставится задача конечной аксиомати-
зуемости. Проблема эта неоднократно ставилась и обсуждалась
в связи с различными системами теории множеств (ср. ниже,
стр. 384).
Иногда, впрочем, рассматриваются формальные системы,
для которых понятие аксиомы является лишь полуэффективным
в том смысле, что для них имеется чисто механический метод,
позволяющий для каждой данной формулы, являющейся
аксиомой, установить этот факт в конечное число шагов, но не
существует такого же механического метода, позволяющего в
конечное число шагов установить, что произвольная формула,
1) Гильберт — Бернайс, 34—39ι, стр. 383 и ел. Другие авторы, следуя
Фреге и Расселу, принимают меры к тому, чтобы йота-выражения всегда
были термами; ср. Карнап, 47 (стр. 33 и ел.) и Шрётер, 56.
2) Чёрч, 56 (стр. 52—53 [стр. 52—53 русского издания.— Перев.]) считает,
что системы с неэффективными правилами образования и преобразования не
могут быть использованы в целях (языкового) общения:. Доводы Чёрча не
представляются особенно убедительными. Неэффективность затрудняет
общение, но не делает его невозможным. Понимание языка не есть процесс,
происходящий по принципу «все или ничего». Мы с успехом пользуемся
разговорным языком, и тот несомненный факт, что «осмысленность» выражений
разговорного языка не является эффективным понятием, показывает, что,
несмотря на это, достаточная степень понимания все же возможна.
Исчисления, для которых понятия формулы, аксиомы и правила вывода
вместе или порознь являются неэффективными, специально обсуждаются
Карнапом, 37, § 45.

334 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
не являющаяся аксиомой, действительно не является
таковой *).
В логистических системах число посылок в каком-либо
непосредственном выводе, по определению самого понятия правила
вывода, всегда конечно. В то же время рассматриваются и
формальные системы, содержащие правила вывода, по которым
можно вывести заключение из счетно-бесконечного множества
посылок. Наиболее известным из такого рода правил является
так называемое правило бесконечной индукции2), которое для
системы, содержащей символы для всех натуральных чисел,
состоит в том, что формула (Αξ)φ (где ξ есть единственная
свободная переменная формулы φ) считается непосредственно
выводимой из счетного множества формул, получающихся в
результате поочередного замещения каждого свободного
вхождения ξ в φ символами всевозможных натуральных чисел.
Несмотря на то что такое правило интуитивно представляется
чрезвычайно правдоподобным, оно выходит за рамки,
допустимые в логистической системе. Впоследствии мы еще вернемся
к этому правилу.
Наконец, иногда приходится рассматривать и такие системы,
относительно которых уже нельзя предполагать (совсем, или
хотя бы ab initio), что класс предложений, являющихся
предполагаемыми аналогами истинных предложений теорий, для
систематизации которых предназначены эти системы, совпадает
с классом предложений, формально выводимых из некоторого
множества аксиом. В дальнейшем мы не будем такие системы
называть 'формальными системами' (даже в тех случаях, когда
они таковыми являются), используя для этой цели термин
'формализованная теория' (каждая формальная система есть
формализованная теория, но не обратно, подобно нашему
предыдущему соглашению, в силу которого каждая логистическая
система есть формальная система, но не обратно). В то время
как формальная система определяется классом доказуемых в
ней предложений, формализованная теория определяется
классом предложений, которые мы, следуя Тарскому, будем назы-
1) Доказано, впрочем, что для любой формальной системы с полуэффект-
тивным классом аксиом найдется эквивалентная ей [т. е. имеющая тот же
класс теорем; следуя принятой авторами с самого начала терминологии,
л>чше было бы сказать 'эквиполлентная'.— Перев.] формальная система с
эффективным классом аксиом. Доказательство этого утверждения составляет
содержание так называемой теоремы Крэйга (см. Клини, 52Ь, и Крэйг, 53).
Теорема эта формулируется не в интуитивных терминах 'эффективный' и
'полуэффективный', а в их точных аналогах '(обще-)рекурсивный' и
'рекурсивно перечислимый', о которых будет сказано ниже, стр. 360 и ел.
21 Или правило Карнапа. — Прим. перев.

§ 2. Формальные системы и формализованные теории 335
вать истинными {valid) x). Точный смысл (extension) этого
термина определяется в разных случаях по-разному; требуется
лишь, чтобы при любом таком определении класс истинных
предложений был замкнутым по отношению к выводимости, т. е.
чтобы каждое предложение, выводимое из истинных
предложений по правилам вывода, само было истинным. Из этого в свою
очередь следует, что в число истинных предложений должны
попасть все логические аксиомы, так же как и выводимые из
них предложения, т. е. все логически истинные {logically
valid) предложения. Схематическое задание формализованной
теории представляет собой, таким образом, упорядоченную
шестерку классов: класс символов, класс термов, класс формул,
класс логических аксиом, класс правил вывода и класс
истинных предложений (такое задание может включать в себя также
описание отношений между этими классами и условия, которым
они удовлетворяют).
Может ли какая-либо данная теория, описанная
первоначально как формализованная теория, быть эквивалентным
образом представлена в виде формальной системы, а возможно,
даже и логистической системы, иными словами, может ли быть
класс истинных формул такой теории исчерпывающим
образом описан как класс предложений, выводимых из некоторого
первоначального класса аксиом с помощью некоторых правил
вывода (причем эти аксиомы и правила вывода должны
удовлетворять некоторым более или менее жестким требованиям
эффективности), — проблема часто очень трудная и всегда очень
важная. Иными словами, эта проблема состоит в том, аксио-
матизуема ли данная формализованная теория, т. е. эквипол-
лентна ли эта теория какой-либо аксиоматически построенной
формальной системе. По сути дела, Гильберт и многие другие
математики исходили из предположения, что вся математика
аксиоматизируема. Отметим, однако, сразу же, предвосхищая
результаты, о которых будет говориться ниже, что, к изумлению
1) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 10. Решив использовать
термин 'valid' в этом смысле, мы вынуждены для обозначения других, более
общепринятых смыслов этого слова применять другие термины. Читателю
следует постоянно иметь в виду этот терминологический разнобой при
пользовании литературой. [Термин 'validlity', кроме разговорных 'справедливый',
'верный' и т. п., употребляется чаще всего для обозначения
общезначимости; 'истинность' (в том числе и 'логическая истинность') обычно
обозначается термином 'truth'. Авторы настоящей книги, резервируя последний
термин для обозначения содержательного понятия истинности, хотя, по-
видимому, для вводимого Тарским формально определяемого
понятия иметь специальный термин. На каком бы соглашении такого рода ни
остановиться, последнее предостережение авторов остается в силе. — Перев.]

336 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
этих ученых, многие математические теории — в том числе
и такие «простые», как арифметика натуральных чисел, —
оказались не аксиоматизируемыми.
§ 3. Интерпретации и модели
Формализованные теории обычно строятся для
формализации каких-либо теорий, заданных интуитивным образом.
Достигается ли эта цель, а если достигается, то в какой
степени— на эти вопросы удается ответить лишь после того, как
формализованная теория получает интерпретацию с помощью
подходящим образом выбранных правил интерпретации, в
результате чего формализованная теория становится
интерпретированным исчислением. При всем многообразии форм таких
правил общее их назначение состоит в том, чтобы каждому
[грамматически правильно построенному]1) предложению
(sentence) теории было приписано некоторое значение (meaning),
в результате чего оно превратилось бы в нечто такое, что
может быть либо истинным, либо ложным, т. е. в предложение [в
содержательно-логическом смысле этого слова] (statement);
при этом, конечно, вовсе не предполагается обязательное
наличие эффективного метода, позволяющего решить вопрос,
какая же из этих двух возможностей имеет место.
Мы опишем здесь в общих чертах один способ задания
интерпретации; при этом мы ограничимся теориями со
стандартной формализацией 2) (совпадающими в случае, когда они
являются формальными системами, с тем, что мы выше назвали
простыми прикладными функциональными исчислениями
первого порядка с равенством) как по соображениям простоты, так
и потому, что это — важнейшая и наиболее хорошо изученная
категория формализованных теорий.
Полное описание теории со стандартной формализацией Τ
содержит некоторый стандартный класс логических констант
(среди которых имеется символ равенства) и вспомогательных
символов, счетный класс переменных, пробегающих также
счетный класс предметов, и не более чем счетный класс
нелогических констант, среди которых есть индивидные константы,
одноместные, двуместные, .. ., л-местные предикаты и символы
операций; предполагается, что это последнее множество упорядо-
1) Слова в квадратных скобках добавлены при переводе; вместе со
словом 'предложение' они служат эквивалентом стоящего далее в угловых
скобках английского термина. — Прим. перев.
2) Следуя в основном изложению Тарского по книге Тарского — Мостов-
ского — Робинсона, 53,

§ 3. Интерпретации и модели
337
чено в виде некоторой последовательности без повторений.
(Без вспомогательных символов и символов операций в
принципе можно и обойтись, но очень часто они бывают весьма
удобны.) Интерпретация такой теории осуществляется тем, что
логическим символам придаются их обычные значения,
фиксируется [непустой]1) универсум (рассуждения) {universe (of
discourse)) Ό, являющийся предметной областью переменных,
и с помощью специальных правил сопоставления {rules of
designation) каждой индивидной константе сопоставляется
некоторый член U, каждому одноместному предикату — некоторый
подкласс U и вообще каждому я-местному предикату —
некоторое м-местное отношение, полем2) которого служит
некоторый подкласс £/, наконец каждому символу η-арной операции —
некоторую η-аргументную функцию, преобразующую
упорядоченные п-ки членов U в члены U. Последовательность,
состоящая из U и этих предметов, классов, отношений и функций,
упорядоченная таким же образом, как и константы, которым
они сопоставлены, носит название структуры {structure),
полумодели, или (возможной) реализации3) теории Т.
Наконец, так называемые правила истинности {rules of truth)
определяют, при каких условиях формула Τ является истинной
в данной структуре, относительно данного приписывания
значений {value-assignament), входящим в нее свободным
переменным, если таковые имеются. (Эти правила, конечно,
определяют также условия истинности для всех предложений
{sentences).)
Интерпретация данной теории Τ называется правильной
{sound), если, согласно этой интерпретации, все истинные (valid)
предложения Τ оказываются истинными (true) в структуре,
определяемой этой интерпретацией; сама эта структура — а часто и
1) Стоящий в квадратных скобках эпитет, фактически подразумеваемый
в дальнейшем изложении, добавлен при переводе; это тривиальное
«уточнение» будет использовано ниже. — Прим. перев.
2) См. выше, стр. 45. — Прим. перев.
3) Мы привели лишь три образца из многочисленных терминов,
употребляемых для этой цели. Термин 'структура' употребляют, например, А.
Робинсон, 56, и Бет, 57 (на французском языке); 'полумодель' (semi-model) —
Кемени, 56, стр. 5, и Бет, 56а (на английском языке); '(возможная)
реализация' — Тарский — Мостовский — Робинсон, 53. Клини, 52 (стр. 24 [стр. 29
русского издания. — Перев.}) употребляет термин 'система объектов'; Тарский,
54—55, — 'реляционная система'; Чёрч 56 — 'интерпретация'. Многие авторы -—
например, Хазенъегер, 55, и Генкин, 57, — говорят 'модель'; вместо нашего
термина 'модель' [см. следующий абзац. — Перев.] они употребляют что-
нибудь вроде 'допустимая модель' или 'удовлетворяющая модель'. Вообще,
термин 'модель' употребляется многими авторами неоднозначно, что подчас
приводит к недоразумениям [ср. следующее примечание. — Перев.].
22 Ззк. 1705

338 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
функция, осуществляющая сопоставление, — называется в
таком случае моделью 1) данной теории.
В том частном случае, когда формализованная теория
является формальной системой, аксиомы этой системы
оказываются истинными при любой ее правильной интерпретации, и
для того чтобы правильная интерпретация вообще была
возможна, т. е. чтобы у системы существовала модель, правила
вывода системы должны сохранять истинность (т. е. приводить
к истинным заключениям, коль скоро истинны посылки).
Приведем в качестве примера полный перечень правил интерпретации
системы Ζ—системы Ζ без аксиомы подстановки VIII, т. е. теории
множеств, более близкой к первоначальной теории Цермело2). (Строго говоря,
Ζ и Ζ не являются теориями со стандартной формализацией, так как символ
равенства не рассматривается в них в качестве логической константы, но
для наших теперешних целей это не имеет никакого значения.)
a. Если Φ и ψ — предложения, то ~ (Ф) истинно тогда и только
тогда, когда Φ не истинно, (Ф) V (ψ) истинно тогда и только тогда, когда
либо 0, либо ψ (либо и Φι и ψ)) истинно, и т. п.
b. Универсум U содержит пустое множество О, его множество-степень
СО, множество-степень СО, т. е. ССО, или СЮ, .., СпО (для всех
конечных ή), объединение всех этих множеств, обозначаемое, скажем, через Е,
и ChE (для всех конечных k).
c. ' ζ' обозначает отношение 'быть членом' (поле которого ограничено
универсумом U), т. е. множество всех упорядоченных пар, первый элемент
которых есть член второго элемента, причем оба они принадлежат U.
ά. Атомарная формула вида ξ ζ η (где ξ и η суть переменные)
истинна относительно данного приписывания значений ξ и η тогда и только
тогда, когда множество, приписанное в качестве значения переменной ξ,
является членом множества, приписанного в качестве значения переменной η.
e. Формула вида (Αξ)0 (где Ф есть формула, а ξ — переменная)
истинна относительно данного приписывания значений всем свободным
переменным 0 тогда и только тогда, когда Φ истинна относительно каждого
приписывания значений, отличающегося от данного приписывания значений разве
что значением, приписываемым ξ.
f. Формула вида (Εξ) 0 (где Φ—формула, а ξ — переменная) истинна
относительно данного приписывания значений всем свободным переменным
0 тогда и только тогда, когда Φ истинна относительно по крайней мере
одного приписывания значений, отличающегося от данного приписывания зна-
чений разве что значением, приписанным ξ3).
1) Краткий обзор различных значений терминов 'интерпретация' и
'модель' дается в посвященных этим терминам справочных статьях в
«Философской энциклопедии» (М., т. 2 и 3, 1962 и 1964). См. также № 2/3 журнала
Synthese за 1960 г. (т. XII), специально посвященной различным понятиям
«моделей». — Прим. перев. _
2) Система Ζ в отличие от системы Цермело Ζ называется обычно (по
имени одного из авторов настоящей книги, предложившего аксиому
подстановки) системой Цермело — Френкеля. — Прим. перев.
3) Чтобы убедиться в том, что интерпретация, определяемая этими
правилами, правильна, надо удостовериться, что все аксиомы Ζ истинны в
структуре {U, отношение 'быть членом'). Как правило, это легко удается.
Однако для проверки аксиомы выбора нам приходится принять
соответствующий принцип в метатеории.

§ 3. Интерпретации и модели
339
Введем теперь несколько семантических терминов, которые
нам понадобятся в дальнейшем. Открытую формулу назовем
универсальной в данной структуре1), если она истинна в этой
структуре относительно любого приписывания значений ее
свободным переменным, выполнимой, если она истинна
относительно по крайней мере одного такого приписывания значений, и
пустой, если нет ни одного приписывания значений,
относительно которого она была бы истинной2). Предложение, истинное
в любой.структуре, называется логически истинным3), а
открытая формула, универсальная в ./робой структуре, — логически
универсальной. Предложение, истинное в любой структуре, в
которой истинны все предложения из какой-либо данной
совокупности4) предложений, называется логическим следствием5)
этой совокупности.
Если какое-либо предложение φ выводимо из совокупности
предложений Г, то оно является и логическим следствием Г;
но обратное, вообще говоря, неверно. Однако такое обратное
утверждение, согласно результату Гёделя, полученному в
1930 г.6), оказывается верным для теорий со стандартной
формализацией. Для таких теорий, следовательно, справедливо,
что формула является логически истинной в том и только в том
случае, если она логически доказуема; иными словами,
оказывается, что методы доказательств лежащей в основе таких
теорий логики полны7).
В то время как правильная интерпретируемость (наличие
модели) есть абсолютное, семантическое свойство
формализованной теории Г, интерпретируемость в Τ {наличие модели в
1) Для этого, конечно, нужно предварительно установить, какие именно
структуры соответствуют данной формализованной теории.
2) Эти термины совпадают с теми, которых придерживается Карнап,
если не считать того, что он вместо 'выполнимая' говорит, 'непустая'; см.
Карнап, 42, стр. 48. Весьма желательно разгрузить от бремени термин
'истинное' (valid), отягощенный многими различными смыслами [здесь имеется
в виду именно английский термин 'valid', понимаемый, скорее всего, в
смысле 'общезначимое' — ср. примечание на стр. 335. — Перев.]. Для
обозначения одного из смыслов этого термина пригоден термин 'универсальное', для
двух других — 'логически истинное' (logically true) и 'логически
универсальное' (logically universal).
3) К сожалению, карнаповская манера обозначений с помощью
приставок — типа 'L-истинное' вместо 'логически (logically) истинное' — не нашла
поддержки большинства математиков и логиков. Следовало бы, пожалуй,
вновь попытаться применять ее.
4) В оригинале 'set' (ср. примечание 3 к стр. 324). — Прим. перев.
5) См. Тарский, 36 (56, XVI).
6) Упомянутому в гл. II, стр. 135; см. также ниже, стр. 346.
7) Ср. замечания, высказанные на стр. 210, по поводу элементарных (или
стандартных) теорий4
22*

340 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Г'), к определению которой мы теперь переходим1), есть
относительное, синтаксическое свойство Т. Итак, пусть Τ и Т' — две
теории со стандартной формализацией, причем иХ
внелогические словари не пересекаются. Мы будем говорить, что Τ
интерпретируема (имеет модель) в Т', если существует теория Т",
являющаяся расширением как Г, так и Т' (т. е. такая, что класс
ее истинных предложений включает в себя классы истинных
предложений Г и Г'), причем класс Г (с эффективно
разрешимым отношением принадлежности к нему) предложений,
истинных в Т", для каждой внело^ческой константы из Τ содержит
в точности одно возможное определение этой константы в Г7, так
что каждое истинное предложение Τ выводимо в Т" из
объединения истинных предложений Т' и Г. (Проиллюстрируем
понятие возможного определения: если φ—формула из Т\
содержащая в точности две свободные переменные ξ и η, а р —
новый двуместный предикат, то предложение
(Α&)(Αη)№ η)=Α
есть возможное определение р. Конечно, ρ входит не в Т\ а во
всякое расширение Т\ содержащее предикат р.) Если Τ
интерпретируема в некотором непротиворечивом расширении Г',
имеющем тот же самый словарь, что и Т\ то говорят, что Τ
слабо интерпретируема в Т'. Доказательство того факта, что
Τ имеет модель в Т', если оно не проводится в какой-либо
интуитивной теории (скажем, в рекурсивной арифметике; ср.
ниже, стр. 364), должно быть получено в некоторой
формализованной теории Г*, которая, вообще говоря, должна быть
отлична как от Г, так и от Т. Ценность относительного
доказательства непротиворечивости Г, состоящего в установлении
средствами Г* интерпретируемости Τ в Т\ определяется поэтому
относительной надежностью не только Т\ но и Г*.
Интерпретируемость в Тг определялась для Τ лишь в
предположении, что обе теории суть теории со стандартной
формализацией. Однако имеется близкое к интерпретируемости
понятие, приложимое и в том случае, когда логические аппараты
рассматриваемых теорий не идентичны, лишь бы в каждой из
них имелось свое обозначение для отрицания2). Это понятие
1) Мы снова следуем здесь изложению Тарского — Мостовского —
Робинсона, 53, стр. 20 и ел.
2) Которое не обязательно удовлетворяет принципу исключенного третьего
Л V | Л, но непременно подчиняется принципу противоречия "1 (Л&~]Л);
лишь тогда понятие переводимости будет представлять какой-либо интерес,
хотя его определение и не предполагает этого условия. — Прим. перев.

§ 3. Интерпретации и модели
m
Хао Ван *) назвал переводимостью. Его определение,
модифицированное Крейеелом2), состоит, по существу, в следующем.
Теория Τ называется Т*'-переводимой в Т\ если в Г* существует
такая функция, осуществляющая эффективное отображение
формул Τ в формулы Т\ что образ отрицания предложения Τ есть
отрицание образа этого предложения в Т\ а образ любого
истинного предложения Τ есть истинное предложение Т'. Если Τ
является Г*-переводимой в Т\ то в Г* можно доказать, что Τ
непротиворечива, если непротиворечива Т\ Очевидно, что метод
доказательства относительной непротиворечивости с помощью
переводимости сильнее, чем метод, основанный на
интерпретируемости. Только опираясь на понятие переводимости удается
доказать непротиворечивость функционального исчисления
относительно пропозиционального исчисления, а тем самым и
абсолютную непротиворечивость функционального исчисления; то
же самое можно сказать и о непротиворечивости классической
арифметики относительно интуиционистской арифметики3).
Еще одно, несколько отличающееся от описанных,
отношение между двумя теориями недавно исследовал Крейсел4). Он
резервирует для него термин 'интерпретируемость', пользуясь
'модельной' терминологией только для описания первого из
обсуждающихся выше отношений (о котором Тарский, напротив,
говорит исключительно в терминах 'интерпретируемости').
Крейсел также приходит к тому результату, что исходя из существо*
вания Г*-интерпретации (в его смысле) Τ в Тг можно средства--
ми Г* доказать непротиворечивость Τ относительно V. Это
третье из упомянутых нами отношений представляет особый
интерес в связи с предложенной Крейеелом чрезвычайно инте-
1) Хао Ван, 51, стр. 284—285.
2) Крейсел, 55, стр. 30—31. Мы пользуемся, однако, терминологией Тар-
ского Крейселовский термин 'аксиома' (вместо 'истинное предложение')
приводит к несколько обескураживающему выводу, что не все системы аксиом-
аксиоматизуемы.
3) О первом из этих результатов можно прочесть в любом учебнике по
символической логике; см., например, Чёрч, 56, стр. 180 и ел. [стр. 171 и ел.
русского издания. — Перев.]. Относительно второго результата см. гл. IV,
стр. 280.
[Эти доказательства, по существу использующие упомянутое авторами
понятие переводимости, проводятся, как правило, без использования
самого этого термина. Необходимые в таких случаях рассуждения
проводятся часто в терминах так называемых 'погружающих операций',
осуществляющих отображение (или перевод) формул какой-либо («погружаемой»}
(формальной) системы в формулы другой системы с сохранением свойства
доказуемости (истинности) формул (предложений); понятие погружающей
операции введено Шаниным, °54, °55. Первая погружающая операция была
построена — также в связи со вторым из упоминаемых авторами
результатов—Колмогоровым, 25; см. также Клини, 52, § 81. — Перев.].
4) Крейсел, 55, стр. 33 и ел.

342 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
ресной новой формулировкой финитистской концепции;
сложность этой концепции не позволяет нам, однако, обсудить ее
здесь *).
§ 4. Непротиворечивость, полнота,
категоричность и независимость
Формализованная теория представляет интерес лишь в том
случае, если она свободна от противоречий. Этот интерес
повышается, если такая теория позволяет ответить на все
относящиеся к ней вопросы. И хотелось бы, чтобы она однозначно
описывала соответствующую интуитивную теорию.
Конечно, эти формулировки весьма расплывчаты. Однако
именно эти расплывчатые формулировки послужили исходным
пунктом для строгих определений многих метатеоретических
понятий, к которым мы сейчас перейдем. Вначале казалось, что
точные понятия, соответствующие трем упомянутым выше
желательным свойствам теорий, окажутся сравнительно простыми и
ясными, хотя бы для случая аксиоматически построенных
теорий; впоследствии, однако, обнаружилось, что имеется большое
разнообразие терминов2), выражающих различные аспекты
этих свойств. Мы не будем претендовать на исчерпывающее
освещение вопроса хотя бы уже потому, что некоторые из этих
терминов относятся к исключительно сложным ситуациям,
описание которых заняло бы слишком много места; лучше поэтому
оставить обсуждение этих терминов на долю более специальных
монографий по этому вопросу.
Формализованная теория [формальная система] Τ
называется формально непротиворечивой {consistent)3), если не каждое
предложение Τ истинно [доказуемо]; в противном случае Τ
называется формально противоречивой {inconsistent) 4). Если Τ —
!) См. Крейсел, 51, 51—52, 52а, 52/53, 53/54.
2) Многие из этих терминов уже употреблялись в згой книге
неформальным или полуформальным образом, иногда с отсылками к дальнейшему
изложению. Теперь настало время выполнить эти наши обещания.
3) 'Consistent' переводится также как 'совместимая' (или 'совместная');
термин этот, хотя и являющийся синонимом термина 'непротиворечивая',
иногда оказывается удобнее тем, что фиксирует наше внимание на другой
стороне вопроса и не связан (по крайней мере a priori и явным образом) с
понятиями противоречия и отрицания. Ср., например, заглавие русского
перевода работы Гёделя, 40. — Прим. перев.
4) И в данном случае достойно сожаления, что предложенный Карнапом,
42, термин 'всеохватывающая (comprehensive) не получил всеобщего
признания. Термин 'противоречивая' можно было бы тогда оставить для
обозначения формальных систем, в которых имеется предложение, доказуемое
и опровержимое в одно и то же время. ['Inconsistent' переводится также как
'несовместимая'; ср. предыдущее примечание. — Перев.]

§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность 343
теория со стандартной формализацией (но не только в этом
случае), из ее формальной непротиворечивости следует, что в
Τ нет такого предложения φ, что и </>, и ~ φ одновременно
истинны [доказуемы] в Т. Какой-либо класс формул данной
формальной системы называется непротиворечивым относительно
выводимости [относительно следствий]1), если не всякая
формула этой системы выводима [является логическим следствием]
из этого класса. Таким образом, класс нелогических аксиом
непротиворечивой формальной системы непротиворечив
относительно выводимости.
Из этих определений — вместе с теми, что были даны в
предыдущем параграфе, — легко вывести, что формальная система
правильно интерпретируема (имеет модель) в том и только в
том случае, если класс ее нелогических аксиом непротиворечив
относительно следствий. С другой стороны, ясно, что если
какой-либо класс формул непротиворечив относительно следствий,
то он непротиворечив и относительно выводимости. Из этого
следует, что если формальная система имеет модель, то она
формально непротиворечива. Для теорий со стандартной
формализацией справедливо и обратное утверждение, поскольку в
таких теориях понятия логического следования и выводимости
полностью эквивалентны.
Таким образом, один из способов доказательства
непротиворечивости теории состоит в том, чтобы показать в ее
метатеории, что эта теория имеет модель. Такое доказательство
непротиворечивости может, однако, рассматриваться в качестве
абсолютного лишь в том случае, когда эта метатеория безупречна.
Иными словами, такое доказательство обладает лишь
относительной убедительностью, определяемой степенью нашей
убежденности в непротиворечивости метатеории. Для некоторых
теорий — например, для арифметики, анализа и теории
множеств — задача отыскания подходящей метатеории, которая не
была бы по меньшей мере столь же подвержена сомнениям, что
и сами эти теории (т. е. попросту не содержала бы в качестве
своей части какой-либо модификации рассматриваемых
теорий), представляется безнадежной2). Именно сознание этой
безнадежности привело Гильберта к открытию иного — а
именно, метаматематического — метода, с помощью которого можно
было бы получать доказательства непротиворечивости.
1) Эти термины принадлежат Черчу; см. Чёрч, 56, стр. 327 [стр. 314—315
русского издания; вместо 'выводимости' Черч говорит 'доказуемости'
(provability).— Йерев.]. Гермес — Шольц, 52, стр. 31—32, употребляют
приблизительно в том же смысле термины 'синтаксическая непротиворечивость' и
'семантическая непротиворечивость'.
2) Ср. Клини, 52, стр. 131 [стр. 120—121 русского издания. — Перев.].

344 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Другой способ, с помощью которого можно доказывать
формальную непротиворечивость какой-либо теории Г, состоит в
построении нормального определения истинности для этой
теории в некоторой другой теории Т\ Следуя Тарекому !), говорят,
что формальная теория Т' содержит определение истинности
{truth definition) для формальной теории Г, если в Тг имеется
такой предикат — назовем его '7У, — что в V доказуемы все
предложения (теории Г7), получаемые из выражения
Тг(х) в том и только в том случае, если ρ
подстановкой вместо V имени (или какого-либо другого
обозначения) любого предложения Г, а вместо 'р' — перевода
этого предложения в Τ. Определение истинности называют, следуя
ХаоВану2), нормальным, если, кроме того, в Тг доказуем
формальный аналог предложения (Ах)[(х есть теорема Т)=з7г(х)]'.
Из возможности сформулировать в Тг определение
истинности для Τ еще не обязательно следует3), что Т' сильнее, чем
Т, — хотя, в силу теоремы Тарского об истинности (ср. ниже,
стр. 367), Т' не может совпадать нис Г, ни с какой-либо под-
теорией 7, — и даже не вытекает возможность установления
в Т' непротиворечивости Г, вопреки господствовавшей некоторое
время уверенности4). Непротиворечивость обеспечивается лишь
наличием нормального определения истинности, но в таком
случае Тг обязательно должна быть сильнее Г, что уже разрушает
эпистемологическую ценность такого доказательства
непротиворечивости. Кроме того, модель, существование которой
обеспечивается доказательством непротиворечивости с помощью нор-
1) Тарский, 35/36 (56, VIII, стр. 187 и ел.). По поводу других
определений см. Мак-Кинси, 49, и Мартин, 51.
2) Хао Ван, 52Ь; эта важная статья содержит очень подробное и
всестороннее рассмотрение проблемы взаимоотношения между определениями
истинности и доказательствами непротиворечивости.
3) Хао Ван, 52Ь; стр. 269 и 272.
4) Эта уверенность исходит от самого Тарского, 35/36 (56, VIII, стр 256),
которому принадлежит идея метода доказательства непротиворечивости с
помощью построения определения истинности. Хао Ван, 50, и Мостовский,
51а, показали, что уверенность эта не вполне обоснованна, поскольку
метатеория Τ могла бы оказаться не настолько сильной, чтобы содержать достаточно
сильную форму принципа математической индукции. Такая ситуация может
иметь место, если, например, правила метатеории не позволяют образовывать
непредикативные множества. В самом деле, такие множества не нужны для
определения истинности, но, по-видимому, без них не обойтись при
доказательствах непротиворечивости, так же как при определении более сильного
понятия нормальной истинности, введенного для этой цели Хао Ваном, 52Ь.
Ср. также примечание с крестиком на стр. 257 книги Тарского, 56,
добавленное специально для английского издания работы Тарского, 35/36.

§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность 345
мального определения истинности, не обязательно оказывается
стандартной х).
Формальная система, у которой натуральные числа
являются индивидами, содержащая обозначения — исходные или
вводимые по определению — для каждого такого числа (так
что можно просто считать, что в ней есть обычные цифры
Ό', Τ и т. д.), называется (^-непротиворечивой 2), если в ней нет
ни одной такой формулы </>, свободной относительно
переменной ξ, что </>(0) (т. е. формула, получающаяся из φ в результате
подстановки Ό' вместо всех свободных вхождений ξ), </>(1),
</>ι(2), ... и ~ (Αξ)</> одновременно являются теоремами; в
противном случае система называется ^-противоречивой.
Очевидно, ω-непротиворечивость влечет формальную
непротиворечивость, но обратное утверждение неверно.
Формально непротиворечивая, но ω-противоречивая система
С интуитивной точки зрения должна быть
неудовлетворительной. Может случиться так, что имеется доказательство
непротиворечивости некоторой математической системы, которая при
этом была бы ω-противоречивой; в этом случае она должна
содержать некоторые теоремы, которые с интуитивной точки
зрения будут ложными. Аналогичное замечание относится и к
родственному ω-противоречивости понятию так называемой
внешней {external) противоречивости 3).
Формализованная теория Τ называется формально полной,
если не существует собственного4) непротиворечивого
расширения Τ с тем же самым словарем;.в противном случае Τ
называется формально неполной. Если Τ — теория со стандартной
формализацией (но не только в этом случае), то из ее полноты
следует, что для каждого предложения </> из Τ либо </>, либо
~ φ доказуемо в Т. Класс формул данной формальной
системы Τ называется полным относительно выводимости
[относительно следствий], если для каждого предложения φ из этой
системы либо </>, либо ~ф выводимо из [является логическим,
следствием] формул этого класса. Из сказанного следует, что
1) В смысле Генкина, 49, и Россера — Хао Вана, 50.
2) Термин этот введен впервые Гёделем, 31; понятие ω-непротиворечиво-
сти исследовал Тарский, 33 (56, IX). Позднее оно было обобщено во многих
различных направлениях; см., например, Генкин, 54; ср. также реферат Крей-
села (Math Reviews, 16, 1955, стр. 103), его же резюме в Journal of Symbolic
Logic, 22, (1957), стр. 108—109, и Ори, 56. О понятии степени ω-непротиворе*
чивости (пока неформальном) см. Феферман, 57, стр. 166—167.
3) Ср. Финслер, 26; Гильберт — Бернайс; 34—39ц, стр. 282; Клини, 52,
стр. 212 [стр. 191 русского издания. — Перев.]\ Куайн, 53.
4) То есть не совпадающего с исходной теорией. — Прим. перев.

346 , Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
класс нелогических аксиом формально полной теории со
стандартной формализацией полон относительно выводимости, а
следовательно, полон и относительно следствий.
Кроме абсолютных понятий формальной непротиворечивости
и формальной полноты, имеется целый ряд относительных
понятий непротиворечивости и полноты, относящихся к
формальным системам; релятивизация в этих случаях относится либо
к какому-нибудь свойству доказуемых формул, либо к какой-
нибудь подразумеваемой интерпретации. Если в некоторой
формальной системе все предположения — истинные (true) при
всех возможных интерпретациях, или при всех
подразумеваемых интерпретациях, или при всех интерпретациях
определенного рода, или при некоторой.особой интерпретации —
доказуемы, то эту систему называют полной относительно истинности
при всех интерпретациях и т. д.1). Особый интерес
представляют два понятия полноты: относительно истинности при всех
интерпретациях и относительно истинности при всех
подразумеваемых {intended) интерпретациях. К каждому из этих
понятий (не различавшихся в литературе до исследований Генкина
1917 г.2)) можно было бы (без каких-либо ограничений)
отнести сказанное выше о (семантической) полноте формальной
системы.
Наиболее известной из теорем о полноте является так
называемая теорема Гёделя о полноте, согласно которой
определенного рода функциональные исчисления первого порядка полны
относительно интерпретаций этих исчислений в области
натуральных чисел, т. е. каждое предложение такого исчисления,
истинное в любой структуре, универсумом которой служит
множество всех натуральных чисел, доказуемо в этом
исчислении 3).
1) Ср. Клини, 52, стр. 131 [стр. 120—121 русского издания —Перев]\
Хао Ван, 53а, стр. 140.
2\ Ср. Генкин, 47, 50; сама эта идея исходит, пожалуй, еще от Сколема.
3) Помимо доказательства самого Гёделя, опубликованного в работе
Гёделя, 30, сейчас известно большое количество различных доказательств
этой теоремы, с массой вариантов и обобщений. Некоторые из этих
доказательств используют алгебраические и (или) топологические методы, что
свидетельствует о собственно математическом (а не только
метаматематическом) содержании теоремы Гёделя. Кроме доказательств, упомянутых в
гл. II (стр. 135, примечание 2), можно назвать следующие: Мальцев, 36,
Клини, 52, стр. 383 и ел [стр. 345 и ел. русск. изд. (§ 72). — Перев.];
Гермес—Шольц, 52, стр. 42 и ел.; А. Робинсон, 51; Ригер, 51; Дребен, 52,
Лось 54, 55; Копи, 54; Хао Ван, 55; Куайн, 55а; Генкин, 56 (добавление),
Кангер, 57.

§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность 347
Что же касается функциональных исчислений высших
порядков, то с ними дело обстоит по-другому. Например, чистое
функциональное исчисление второго порядка отличается от
чистого функционального исчисления первого порядка тем, что в
нем разрешены кванторы по предикатным переменным.
Правила интерпретации этого исчисления должны предусматривать
надлежащим образом выбранные области значений для этих
предикатных переменных. В подразумеваемых (главных)
интерпретациях областью значений каждой ^-местной
предикатной переменной служит множество всех д-арных отношений над
универсумом £/, т. е. класс всех множеств упорядоченных п-ок
членов U. Если областями значений служат произвольные
подклассы этих классов, мы приходим к более широкому классу
интерпретаций, среди которых те, которые являются неподра-
зумеваемыми и в то же время правильными, носят название
вторичных {secondary) интерпретаций. Из теоремы Гёделя о
неполноте (ниже, стр. 364) следует, что чистое
функциональное исчисление второго порядка не является полным
относительно истинности при всех главных интерпретациях; однако
Генкину1) удалось доказать, что это исчисление полно
относительно истинности при всех правильных интерпретациях, как
главных, так и вторичных2), и то же самое относится к
исчислению порядка ω (т. е. к простой теории типов).
Модели исчислений второго и более высоких порядков,
соответствующие главным интерпретациям, Генкин называет
стандартными-, модели, соответствующие любой правильной
интерпретации — общими {general), а общие модели,
соответствующие вторичным интерпретациям, — нестандартными.
Пользуясь этой терминологией, мы можем сказать, что все
предложения, истинные в любой общей модели функционального
исчисления второго порядка, доказуемы в этом исчислении, но
что это неверно по отношению ко всем предложениям,
истинным в любой стандартной модели (которых, разумеется,
больше).
Россер и Хао Ван3) пользуются понятием стандартной
модели в более общем смысле применительно к другим системам,
а не только к чистым функциональным исчислениям высших
порядков. Они, правда, не предлагают никакого строгого
определения этого понятия, а просто рассматривают некоторые
необходимые условия стандартности; этого для них оказывается
вполне достаточным, чтобы получить важные результаты, отио-
]) Генкин, 47, 50.
2\ См. Чёрч, 56, § 54.
3) Россер — Хао Ван, 50 .

348 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
сящиеся к невозможности существования стандартных моделей
для таких теорий, как NF1).
Из многочисленных относительных понятий непротворечиво-
сти мы скажем лишь о непротиворечивости относительно
выполнимости при некоторой интерпретации с непустым
универсумом, известной просто под именем (семантической)
непротиворечивости. Таким образом, формальная система семантически
непротиворечива, если класс всех ее доказуемых формул
выполним в некоторой интерпретации с непустым универсумом,
короче говоря, если она имеет модель2). Из гёделевской
теоремы о полноте следует, что формально непротиворечивая
теория со стандартной формализацией имеет модель. Из
определений терминов, фигурирующих в этом утверждении, сразу
следует (см. выше стр. 343), что верно и его обращение. Таким
образом, мы пришли к важному выводу, что для теорий со
стандартной формализацией понятия семантической и формальной
непротиворечивости совпадают, так что общее нефинитное
понятие семантической непротиворечивости может быть
заменено— в применении к таким теориям — финитным понятием
формальной непротиворечивости. Правда, доказательство
теоремы Гёделя, данное самим Гёделем, носит неконструктивный
характер. Однако Гильберту и Бернайсу удалось доказать
несколько более слабую теорему о неполноте чисто финитными
средствами 3).
Формальная система, удовлетворяющая формулированным
выше в связи с определением ω-непротиворечивости условиям,
называется ω-полной, если для каждой ее формулы ф,
свободной относительно переменной ξ, при условии, что </>(0), ф(\),
1) [Если, разумеется, не считать тривиальных моделей, построенных
средствами самих этих теорий или других теорий, также не имеющих
нетривиальных стандартных моделей. — Перев.]. Этот результат уже упоминался в
гл. III, стр. 181, ср. гл. II, стр. 136—137, особенно примечание 1 к стр. 137.
Большое количество подразумеваемых интерпретаций и стандартных
моделей описывается в интересной статье Кемени, 56, при чтении которой
читатель должен, однако, учитывать расхождения в применяемой терминологии.
Следует, наконец, сказать, что если понимать полноту в другом смысле,
то даже функциональное исчисление первого порядка оказывается неполным;
см. Хазенъегер, 50. [А также °Новиков, 59, стр. 214 и далее; это другое
понятие полноты исчисления, состоящее в невозможности присоединить без
противоречия к исчислению никакую невыводимую в нем формулу в качестве
аксиомы, Новиков называет 'полнотой в узком смысле'. — Перев.].
2) См. прим. 1 к стр. 537. — Прим. перев.
3) См. Гильберт — Бернайс, 34—39ц, стр. 252—253; Клини, 52, стр. 395—
397 [стр. 350—352 русского издания; см также Добавление III переводчика
А. С. Есенина-Вольпина к русскому переводу Клини, 52, посвященное
доказательству этой теоремы (с пересечением на случай исчисления предикатов с
равенством). — Перев.].

§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность 349
ф{2)у ... суть теоремы, формула (Αξ)</> также является
теоремой этой системы; в противном случае такая система
называется ω-неполной1).
Формальная система называется категоричной (или моно-
морфной), если она имеет модель и все ее модели между
собой изоморфны, т. е. если существует взаимно однозначное
соответствие между универсумами любых двух ее моделей,
сохраняющее все отношения между членами этих универсумов2).
Легко доказывается, что каждый категоричный класс
аксиом полон относительно следствий. В самом деле, если бы это
было не так, то в рассматриваемой теории нашлось бы такое
предложение </>, которое было бы в одних моделях этого класса
аксиом истинным, а в других ложным, так что не все модели
были бы изоморфны3).
В то же время известны классы аксиом, полные
относительно следствий и даже относительно выводимости, но
некатегоричные. Такова, например, элементарная теория
«непосредственного следования» в области натуральных чисел, т. е.
простое прикладное функциональное исчисление с аксиомами Пеано
J) Понятие ω-полноты по отношению к более широкому классу
формальных систем было введено Тарским, 35 (56, X). Важное его обобщение,
носящее имя Т-полноты, предложил Генкин, 57. Еще одна разновидность
этого понятия — так называемая модельная полнота (model-completeness)
была введена в работе А. Робинсона, 55а, получила развитие в его же
работах 56 и 56а и затем дальнейшее обобщение в 57. Это понятие, будучи
весьма близким к понятию Г-полноты, не сравнимо с понятием формальной
полноты в том смысле, что ни одно из них не охватывает другое.
Хороший полуформальный обзор различных понятий полноты можно
найти у Копи, 54 Однако читатель должен при чтении этой работы иметь
в виду, что Копи употребляет термин 'модель' в качестве синонима термина
'непустой универсум' [или 'непустая область'. — Перев.]\ ср. также Де Суа, 56.
Современная трактовка методологии дедуктивных наук идет от Тарско-
го, 30 (56, V) и 35^-36 (56, XII).
2) Точное определение см., например, у Чёрча, 56, стр. 327—330 [стр.313—
317 русского издания. — Перев.], или у Тарского, 56, X, стр. 390. Идея
категоричности сформулирована впервые Хантингтоном и Вебленом (последний же,
следуя предложению философа Джона Дьюи, применил впервые и сам этот
термин), хотя и была уже, по существу, известна Дедекинду и Кантору; ср.
Френкель, 28, стр. 341 и ел. Любопытно сравнить то, что говорилось в этой
книге (тридцать лет назад!) о категоричности арифметики и других аспектах
аксиоматики, с содержанием настоящей книги. Ср. также гл. II, стр. 116,
примечание 2.
3) Формулировка теоремы I работы Хао Вана, 53а (стр. 417)— Tout
systeme categorique est complet ['Всякая категоричная система полна'(франц.)—
Перев.] — не совсем точна: здесь 'complet' употреблено для обозначения
формальной полноты (см. Df. 5, на стр. 416), но неверно, что любая
категоричная формальная система формально полна. Ясно, однако, что Ван Хао
распространяет свое утверждение только на элементарные системы, для которых
эта теорема действительно верна.

350 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
без рекурсивных «определений» суммы и произведения в
качестве нелогических аксиом *).
Одно время считалось, что понятие (абсолютной)
категоричности сможет послужить основой для важной дихотомии всех
теорий, деля их на два класса: одномодельные теории (вроде
обычной арифметики; см. ниже, стр. 413—414) и
многомодельные теории (такие, как, скажем, теория групп). Однако, после
того как было доказано, что никакая непротиворечивая теория
со стандартной формализацией, обладающая бесконечной
моделью, не является категоричной (хотя бы по той простой
причине, что каждая такая теория обладает моделями
произвольной бесконечной мощности2)), понятие абсолютной
категоричности в применении к таким теориям утратило свое значение.
В связи с этим были предложены более слабые понятия
относительной категоричности, усиленно изучаемые в последнее
время.
Здесь нам придется сделать довольно обширное
отступление, посвященное вопросам терминологического и
исторического характера 3). Дело в том, что хотя в наши намерения и не
входит сколько-нибудь подробное обсуждение вопросов
оснований арифметики, но арифметика, этот важнейший раздел
математики, многими нитями связана с теорией множеств, так что
терминологическая путаница в арифметических вопросах может
оказаться причиной такого же рода терминологических
недоразумений, касающихся уже теории множеств.
Следуя Черчу, будем называть элементарной арифметикой
любую логистическую систему, получаемую в результате
присоединения надлежащих аксиом к простому прикладному
функциональному исчислению первого порядка. Одна из таких
систем, называемая Чёрчем Л°, имеет в качестве единственных
нелогических констант два трехместных предиката — для суммы
и произведения, двенадцать аксиом, описывающих эти
предикаты, и одну схему аксиом, заменяющую бесконечный класс
аксиом математической индукции. (Никакая более сильная
формулировка математической индукции при столь слабой логике
невозможна.)
J) См., например, Хао Ван, 53а, стр. 422.
2) Для теории с не более чем счетным словарем этот результат был
получен Тарским; см. Сколем, 34, стр. 161. Позднее он был доказан при
менее ограничительных допущениях независимо друг от друга А. Робинсоном,
51, и Генкиным, 53Ь; ср. Boot, 54, стр. 467, примечание 3. Еще более сильный
результат получен в работе Тарского — Воота, 57, стр. 92 и ел.
3) Отступление это опирается на лучшее из известных нам
изложений теории постулатов на стр. 318 и ел. книги Чёрча, 56 [стр 307 и ел.
русского издания. — Перев.], и — в исторической части — на изложении Хао
Вана, 574

§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность 351
Под арифметикой первого порядка мы будем понимать
любую логистическую систему, получаемую присоединением
надлежащих аксиом к непростому прикладному функциональному
исчислению первого порядка. Например, система, которую Чёрч
называет Л1, имеет тот же словарь, что и Л°, те же самые
двенадцать аксиом, но вместо бесконечного класса
дополнительных аксиом математической индукции она содержит в точности
одну такую аксиому; поскольку лежащая в основе этого
исчисления логика содержит предикатные переменные и не является
поэтому более простым исчислением, теперь оказывается
возможной эта новая формулировка.
Вообще, назовем арифметикой п-го порядка (п может быть
любым порядковым числом, большим или равным 1, конечным
или бесконечным) любую логистическую систему, получаемую
присоединением надлежащих аксиом к прикладному
функциональному исчислению п-го порядка. Известно, что уже в
арифметике второго порядка трехместные предикаты для суммы и
произведения могут быть определены через двуместный
предикат, обозначающий отношение (непосредственного) следования
(в натуральном ряду) 1).
Известная система аксиом Пеано, впервые
сформулированная в 1889 г.2), символически выражается в прикладном
функциональном исчислении, содержащем предикатные переменные,
т. е. никоим образом не в простом исчислении. В те времена
четкого различия между функциональными исчислениями
различных порядков не проводилось. В системе Пеано отношение
(или операция) следования рассматривалось как
первоначальное; что же касается отношений (или операций) суммы и
произведения, то считалось, что они вводятся посредством
определения, с помощью рекурсивных уравнений. Теперь мы знаем,
что такой способ введения суммы и произведения законен лишь
в функциональном исчислении не ниже чем второго порядка, в
рамках же функционального исчисления первого порядка эти
уравнения следует рассматривать в качестве дополнительных
аксиом. Таким образом, если вообще пользоваться термином
'арифметика Пеано\ то его можно было бы сохранить в
качестве общего наименования для арифметик по меньшей мере
второго порядка, включая системы Л2, Л3,..., Лп,..., Чёрча 3).
1) См., например, Чёрч, 56, стр. 322 [стр. 310 русского издания — Перев].
2) Эта система аксиом описана, в общих чертах и неформально, в гл. II
(стр. 109, примечание 2).
3) Тарский — Мостовский — Робинсон 53, стр. 30—31, употребляют этот
термин в том смысле, для которого мы предлагаем ниже использовать термин
'арифметика Сколема'.

352 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Сам Пеано считал себя обязанным х) Дедекинду2), хотя
характеристика натуральных чисел, предложенная последним, не
является вполне аксиоматической в современном смысле этого
слова. Идеи Дедекинда в свою очередь обнаруживают родство
с работами Фреге3), хотя сам Фреге скорее склонен
подчеркивать различие между ними. Определение суммы и произведения
с помощью неформально выраженных рекурсивных уравнений
было предложено еще в 1881 г. Пирсом, но не было известно ни
Фреге, ни Дедекинду, ни Пеано.
В то же время все аксиоматические системы арифметики,
рассматриваемые Гильбертом и Бернайсом в Grundlagen der
Mathematik 4), либо элементарны, либо первого порядка;
поэтому в качестве общего наименования таких систем, в том числе
тех, что обозначены Чёрчем через А0 и Л1, подходит термин
'арифметика Гильберта'.
Наконец, первым, кто отметил ограниченность возможностей
аксиоматического метода в задаче описания класса всех
истинных арифметических предложений средствами функционального
исчисления первого порядка, был Сколем5), так что для
сокращенного наименования систем неаксиоматической арифметики
со стандартной формализацией, в которых понятие
общезначимости (validity) определяется как истинность при обычной
интерпретации, можно было бы использовать термин
'арифметика' Сколема.
Элементарная арифметика некатегорична; это видно из того,
что универсумы некоторых моделей элементарной арифметики,
кроме «регулярных» натуральных чисел, т. е. числа 0 и чисел,
получающихся из него применением конечного числа раз
операции следования, содержат некоторые дополнительные
объекты6). Посредством тех соображений, которыми обычно
обосновывают категоричность арифметики натуральных чисел,
1) См., например, *Пеано, 5.
2) Работа Дедекинда, 1888, опубликована ровно на год раньше.
3) Он ссылается в основном на работу Фреге, 1884.
4) Гильберт — Бернайс, 34—39.
5) Сколем, 34.
6) См. Сколем, 33, 34 и 55; в последней из этих статей содержатся
упрощения широко известных доказательств и конструкций, приведенных во
второй статье, а также общее описание построения нестандартных моделей
различных фрагментов элементарной арифметики. В работе Генкина, 50,
стр. 91, упоминается результат, согласно которому каждая нестандартная
счетная модель аксиом Пеано имеет порядковый тип ω + (*ω + ω)η, где
*ω + ω — тип множества целых чисел, а η — тип множества рациональных
чисел (в обоих случаях в их естественном порядке). Еще Мальцев, 36,
доказал, что элементарная арифметика имеет модели любой заданной
бесконечной мощности; ср. также Хазенъегер, 52а. [Нестандартные модели этого рода
изучаются Кемени, °58. — Ред.].

§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность 353
нельзя доказать абсолютную категоричность элементарной
арифметики. С помощью этих соображений можно лишь
доказать, что эта система категорична относительно регулярных
натуральных чисел — результат довольно тривиальный. Все
модели элементарной арифметики, универсумы которых содержат
только регулярные числа, действительно изоморфны1).
Можно было бы попытаться выразить это ограничение регулярными
числами, добавив к какой-либо обычной системе аксиом элементарной
арифметики аксиому ограничения (axiom of restriction [limitation]) (ср. гл. II,
стр. 115), например, в следующей форме:
(Ах) [х = О V х = S (0) V х = 5 (S (0)) V ...].
Ясно, однако, что это выражение имеет, к сожалению, бесконечную длину,
а следовательно, незаконно в рамках теории со стандартной формализацией,
причем переформулировать его так, чтобы оно стало законным, нет никакой
возможности2). Вместо этого можно ввести дополнительное правило вывода:
Если<£(0),<£(5(0)), ψ (5(5(0))), ... — теоремы,
то и (Л|) ψ (для любой формулы ф, свободной относительно |)—теорема.
Однако это правило, в котором легко узнать обсуждавшееся выше (стр. 334)
правило бесконечной индукции, также выходит за заданные рамки3). (Между
прочим, это правило гарантировало бы ω-полноту системы, получающейся в
результате его присоединения.)
Абсолютная некатегоричность обычных элементарных
теорий множеств (в рамках которых можно построить арифметику
натуральных чисел) немедленно следует из их неполноты (см.
ниже теорему Гёделя о неполноте, стр. 364). Это также
непосредственно следует из теоремы Лёвенгейма—Сколема (гл. II,
§ 6), которая обеспечивает существование моделей со счетными
универсумами, в то время как подразумеваемые модели этих
теорий множеств имеют несчетные универсумы. В связи с этим
1) Хао Ван, 53а, стр. 425 и 55, стр. 69, 70; ср. также Хао Ван, 53.
2) С одной стороны, обсуждаемое выражение не выразимо на языке
элементарной арифметики; с другой стороны, оно является по крайней мере
одним из источников правила бесконечной индукции — правила, которое
фактически используется при всякой попытке обоснования обычной
математической индукции. Итак, имеется выражение, не выразимое в элементарной
арифметике и вместе с тем являющееся источником важных истин
арифметики. В этом обстоятельстве естественно видеть причину той неполноты,
которая проявляется в теоремах Гёделя (см. следующий параграф этой
книги). Следует заметить, что переход к любому расширению арифметики,
описываемому в этой книге, не привел бы к формализуемости этого
выражения, а именно содержащегося в нем многоточия, указывающего на
бесконечность. Для этой цели нужны, помимо прочего, средства деонтической
логики— той части теории модальностей, которая посвящена разрешениям,
приказаниям и запрещениям и играет основную роль в логическом рассмотрении
правил (любого рода) как таковых, что же касается употребленного автором
выше понятия «регулярного» числа, то объем этого понятия (независимо от
только что сказанного) нельзя однозначно определить, не прибегая к этому
же понятию. См. также примечания на стр. 316 о связи
ультраинтуиционистской программы с теорией модальностей. — Прим. ред.
3) Хао Ван, 53а, стр. 423; ср. Шютте, 51,
23 Зак 1765

354 Гл V. Метаматематический и семантический подходы
встает весьма интересный вопрос, являются ли эти теории
категоричными в каком-либо относительном смысле, например,
не категоричны ли они относительно своей собственной системы
натуральных или, скажем, порядковых чисел. Проблема эта
пока не решена *).
Категоричность относительно натуральных чисел
рассматриваемой теории — это лишь один из многих известных примеров
различных понятий относительной категоричности. Вообще
говорят, что формальная система S категорична относительно
своей подсистемы S' тогда и только тогда, когда любые две
модели S, являющиеся расширениями двух изоморфные моделей
S', изоморфны; S называется категоричной относительно
некоторого определенного на ней класса предикатов тогда и только
тогда, когда изоморфны любые две модели S, в которых
предикаты из этого класса интерпретируются изоморфно.
(Например, категоричность относительно натуральных чисел — это
категоричность относительно класса из трех предикатов,
интерпретируемых соответственно как обозначения свойства быть
натуральным числом, свойства быть равным нулю и отношения
следования.)
Близко к описанным понятие категоричности относительно
данной мощности, введенное независимо друг от друга Воотом
и Лосем2). Формальная система называется категоричной
относительно данной мощности, если любые две ее модели,
универсумы которых имеют эту мощность, изоморфны. Система, не
являющаяся абсолютно категоричной, может в то же время
оказаться категоричной относительно некоторой мощности,
категоричной относительно нескольких мощностей и даже
категоричной относительно всех мощностей3).
Говорят, что некоторая аксиома в рамках формальной
системы независима относительно выводимости (относительно
следствий) в некоторой формальной системе, если она не выво-
!) Хао Ван, 53а, стр. 425 и 55, стр. 69—70, ср. также Хао Ван, 53.
2) См. гл. II, стр. 135, примечание 1.
3) Смысл, в котором мы здесь употребляем наречие 'абсолютно', не
совпадает с техническим значением этого термина у Тарского, 56, X, стр. 311,
примечание, который отличает абсолютную категоричность от так
называемой 'внутренней категоричности'. В § 2 этой статьи (стр. 308—319)
высказан ряд важных замечаний по поводу разных других аспектов понятия
категоричности и его применения к научным теориям вообще. Ср. также
заключительные замечания в работе Тярского, 56, XIII, стр. 390 и ел..., где,
между прочим, рассматривается понятие неразветвляемости
(поп-гamiflability) , также являющееся уточнением интуитивного понятия полноты, и его
взаимоотношение с понятиями категоричности и формальной полноты В этой
работе, опубликованной впервые в 1935 г., утверждается категоричность
аксиоматической арифметики, однако Тарский относит это утверждение не
к Ло, а к Αω.

§ 4 Непротиворечивость, полнота, категоричность 355
дима из (не является логическим следствием) множества
остальных аксиом этой системы. Отсюда немедленно следует,
что аксиома, независимая относительно следствий, независима
и относительно выводимости, и что какая-либо аксиома
независима относительно следствий в том и только в том случае,
если множество остальных аксиом системы имеет модель, в
которой эта аксиома ложна1). Построение такого независимости
ного примера {independence example) — это, конечно, тот самый
классический метод доказательства независимости какой-либо
аксиомы, который с успехом применяли еще Бельтрами и
Клейн для доказательства непротиворечивости гиперболической
геометрии относительно геометрии Евклида и позднее Пеано
при изучении аксиоматики арифметики и Гильберт в работах
по аксиоматике геометрии. В гл. II, пользуясь этим методом,
мы установили независимость аксиомы выбора от остальных
аксиом теории множеств, отличающейся от Ζ по существу тем,
что в ней допускаются индивиды, т. е. различного рода «не-мно-
жества», не содержащие членов, или же допускаются
«экстраординарные множества».
Из этого определения немедленно следует, что в теории со
стандартной формализацией Τ аксиома φ является
независимой в том и только в том случае, если непротиворечива теория
Г', получающейся из Τ в результате замены φ на ~ ф. В таком
случае говорят, что ~ φ совместима {compatible (consistent))
с остальными аксиомами Т.
Класс аксиом называется неизбыточным (irredundant) ?),
если каждая входящая в него аксиома независима; в
противном случае он называется избыточным (redundant)3). Преды-
Стоит еще хотя бы упомянуть о понятии нотациональной (notational)
(или экспрессивной (expressive) ) [связанной с обозначениями (notations),
с видом выражений (expressions). — Перев.] полноты относительно
изучаемой области (subject matter). Смысл этого понятия, надо думать, очевиден.
Например, обычное пропозициональное исчисление, использующее лишь
связки '~' и *Z)\ нотационально полно относительно функций истинности,
или, короче, функционально-истинностно (truth-functionally) полно, так как
легко показать, что все функции истинности выразимы с помощью этого
базиса [В литературе, имеющейся на русском языке для этого понятия,
общеупотребителен термин 'функциональная полнота'. — Перев.] Этот результат,
так же как доказательство формальной полноты (и разрешимости)
пропозиционального исчисления, был впервые получен *Постом, 1
1) Ср. Чёрч, 56, стр. 328 [стр. 315—316 русск. изд. — Перев.].
2) Чаще, впрочем, и само множество аксиом называют в этом случае
независимым, не вводя для этого специального термина; в дальнейшем
тексте термины 'неизбыточное' и 'независимое' для множества аксиом (или
вообще любых конкретных формул) будут фигурировать как синонимы. —
Прим. перев.
3) И в этом случае чаще говорят просто 'зависимое* (ср. предыдущее
примечание). — Прим. перев.
23*

356 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
дущее поколение математиков уделило много внимания вопросу
о важности неизбыточности при оценке различных формальных
систем 1). Даже в наши дни некоторые математики считают, что
неизбыточность — это conditio sine qua поп, которому должен
удовлетворять любой класс предложений, претендующий на то,
чтобы служить системой аксиом; однако большинство авторов
придерживаются того мнения, что иеизбыточность сама по себе
имеет лишь некоторую эстетическую и дидактическую
ценность, но зато исследования, посвященные независимости, и
доказательства независимости способствуют тому, что мы лучше
понимаем строение изучаемой теории и ее возможности.
Правило вывода называется независимым в теории Т, если
класс теорем Τ включает в себя как правильную часть класс
теорем теории Г', получающейся из Г в результате исключения
этого правила.
Далеко идущее соответствие между аксиомами и
теоремами (в собственном смысле2)) аксиоматических систем, с одной
стороны, и первоначальными и определяемыми терминами
таких систем — с другой, часто наводит на вопрос не только об
избыточности или неизбыточности множеств аксиом, но и о
неизбыточности исходного словаря, понимаемой как неопределяе-
мость каждого исходного термина (через остальные исходные
символы) 3).
§ 5. Разрешимость и рекурсивность.
Арифметизация синтаксиса
Последнее свойство формализованных теорий, к
рассмотрению которого мы теперь обратимся, — это разрешимость.
Интуитивный смысл этого понятия достаточно прозрачен:
формализованная теория разрешима {decidable), если существует
эффективный единообразный метод —так называемый
разрешающий метод {decision method), позволяющий определить,
является ли данное предложение, формулируемое в словаре 7,
общезначимым (valid) в Т; в противном случае Τ называется
неразрешимой (undecidabte). Проблема, заключающаяся в том,
существует ли для Τ разрешающий метод, т. е. разрешима ли Т,
1) Из работ того времени, посвященных понятию независимости и
связанным с ним понятиям, назовем: *Э. Г. Мур, 1; *Шеффер, 1, 2;
♦Хантингтон, 6, 9, 10, 11; *Б. А. Бернштейн, 6; в качестве примера работ критического
характера сошлемся на статью *Ингрэма, 1.
2) То есть не являющихся аксиомами. — Прим. перев.
3) С последними исследованиями в этой области можно познакомиться
по статье Бета, 53а, в которой приняты во внимание и более старые работы,
например *Падоа, 1, и Тарский, 35а (56, X). Ср. также А. Робинсон, 56Ь, 57,
и Крэйг, 57а. [Краткую сводку важнейших определений можно найти в статье
«Независимость» в 4 томе «Философской энциклопедии», М., 1966. — Перев.].

§ 5. Разрешимость и рекурсивность 357
называется проблемой разрешения теории 7\ Если Τ —
формальная система, то вместо общей проблемы разрешения для
общезначимости {validity) перед нами встает более частная
проблема разрешения для доказуемости. Иногда обсуждаются
также разрешающие методы и для других понятий, например,
«быть формулой», «быть аксиомой» и др.
Ясно, что разрешимость теории — это весьма желательное
свойство. В разрешимой теории на каждую проблему, которая
только может быть сформулирована в ее словаре, имеется
ответ, причем ответ этот можно получить чисто механическим
образом, следуя некоторым фиксированным предписаниям или,
придерживаясь терминологии, принятой при работе на
вычислительных машинах, программе (routine). Было время, когда
надеялись (и задача гильбертовской программы как раз и
состояла в том, чтобы оправдать эту надежду), что некоторая
определенная формальная система, в рамках которой можно было
бы систематизировать и адекватным образом
аксиоматизировать классическую арифметику и анализ, разрешима
относительно доказуемости, а также (формально и семантически)
полна и категорична. Представители школы Гильберта верили
сверх того, что все эти свойства, так же как, конечно, и
непротиворечивость, могут быть доказаны посредством финитных
метаматематических методов.
В ходе исследований, посвященных попыткам выполнения
этой задачи, был достигнут существенный прогресс как в
понимании многообразных и носящих общий характер взаимосвязей
между названными метатеоретическими понятиями, так и в
получении конкретных результатов, касающихся вопросов о
непротиворечивости, полноте, категоричности и резрешимости
различных подтеорий рассматриваемой общей
логико-математической теории. Прежде чем переходить к изложению некоторых
из этих результатов, опишем в общих чертах методику так
называемой арифметизации синтаксиса, которая позволила
рассматривать весь упомянутый комплекс вопросов с помощью
некоторого единообразного метода, основным аппаратом которого
оказалась теория рекурсивных функций; эта методика дала
возможность иметь дело не с туманными представлениями об эф
фективности и полуэффективности различных методов, а с
точно определенными понятиями (общей) рекурсивности и
рекурсивной перечислимости.
Напомним, что при изложении аксиоматического подхода к
обоснованию теории множеств мы утверждали (стр. 122—123),
что с помощью этого подхода можно устранить антиномии:
логические антиномии устраняются благодаря определенным
ограничениям, налагаемым выбранными аксиоматическими систе-

358 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
мами на доказательства существования; семантическим же
антиномиям не находится места в аксиоматических системах, так
как играющие в их выводе основную роль семантические
понятия, такие, как 'истинное', 'определимое', 'обозначает' и т. п.,
попросту не могут быть выражены на языке этих
аксиоматических систем. Однако в то время как первое положение было
(в большей или меньшей степени, хотя и, во всяком случае, не
во всех деталях) доказано, второе не было подтверждено
никакими доводами в надежде на то, что читатель просто
согласится с тем, что упомянутые семантические термины не могут
быть удовлетворительным образом выражены с помощью
словаря, содержащего, кроме логических терминов
функционального исчисления первого порядка, лишь один-единственный
символ принадлежности множеству.
Однако корректность этого второго положения, по сути дела,
далеко не так уж очевидна. Большая часть
теоретико-множественных систем, построенных (или хотя бы описанных в общих
чертах) в предыдущих главах этой книги, несмотря на бедность
запаса их исходных обозначений, достаточно сильна, чтобы ее
средствами построить, если йе целиком, то во всяком случае
достаточно широкие фрагменты классической арифметики и
анализа. Так, не может ли случиться так, что мы изыщем
способ, позволяющий развить и описать в этих системах их
собственный синтаксис и семантику? И не возникнут ли в таком
случае опять семантические антиномии?
Именно этот вопрос был поставлен в конце 20-х годов
независимо друг от друга Тарским и Гёделем. Полученный ими
ответ, в высшей степени поразительный сам по себе, привел к
дальнейшим неожиданным и интересным результатам. Об этом
так часто уже рассказывалось с различной степенью
формальности и строгости, что мы позволим себе быть предельно
краткими.
По чисто техническим соображениям нам будет удобнее
рассматривать формализацию системы Ζ в форме, несколько
отличающейся от описанной выше на стр. 328 и ел. Согласно
новым правилам образования, имеется ровно 9 исходных
символов:
€ > ■*> ι» s ^» ^» А, (,).
.(Легко видеть, что этих исходных обозначений вполне
достаточно, и незачем доказывать это во всех подробностях. Мы
не будем также указывать, какие именно изменения в
правилах преобразования требуются для приспособления к новым
обозначениям, поскольку изменения эти носят чисто
технический характер.) Сопоставим этим символам, взятым, скажем, в

$ 5. Разрешимость и рекурсивность
359
перечисленном выше порядке, цифры от 1 до 9, а каждому
выражению (конечной последовательности символов) сопоставим
в качестве его гёделевского номера число, записываемое
соответствующей последовательностью цифр. Такое сопоставление
является, очевидно, взаимно-однозначным.
Например, гёделевским номером выражения 'χ , б-^ш' будет число 2312333,
а аксиоме множества-степени, полная формулировка которой имеет вид
<А*)(~(А*, )(~((А*„)((*0 6 х, ИРх.Ж*, €*,)=» (*, 6*))))))),
в качестве ее гёделевского номера будет сопоставлено число
8729848723984887233988233123968872333988233312339582333129999999.
Множество переменных согласно этой схеме представляется
некоторым определенным множеством целых чисел, а именно
множеством {2, 23, 233, ...}; аналогично обстоит дело с
множеством атомарных формул, множеством всех формул,
множеством аксиом и др. Соответствующие множества целых чисел
легко определяются по рекурсии.
Последовательности формул (например, выводу), состоящей
из формул ф(, </>2, ..., фп, взятым в указанном порядке, сопоста-
п
вляется число |J pb, где pi есть i-e простое число, a gi — гё
г = 1
делевский номер φι. Таким образом, синтаксические понятия
вывода, доказательства и др. получают арифметическое
представление. Заметим, что предложение '</> есть теорема'
представляется арифметическим предложением 'существует такое
число х, являющееся гёделевским номером некоторого
доказательства, что гёделевский номер формулы φ есть степень
наибольшего простого числа в разложении χ на произведение степеней
простых чисел'*).
Напомним, что понятие доказательства в логистической
системе является эффективным, в том смысле, что имеется чисто
механический метод, позволяющий проверить, является ли или
не является доказательством данная последовательность
формул; в то же время понятие теоремы является, вообще говоря,
полуэффективным, в том смысле, что, вообще говоря, нет
никакого механического способа проверить, является ли данная
формула теоремой, хотя и имеется чисто механический метод
получения всех теорем одна за другой, так что если исследуемая
формула является теоремой, то она появится после конечного
1) Гёделевское представление и арифметизация синтаксиса подробнее
всего описаны, кроме работы самого Гёделя, 31, в монографиях Гильберта —
Бернайса, 34—39, Карнапа, 37, Клини, 52, и Ладриера, 57 (ср. его раннюю
работу, 49). Простое и в то же время отвечающее современным
представлениям изложение вопроса можно найти в книге Уилдера, 52.

360 Гл V. Метаматематический и семантический подходы
числа шагов в этом перечне. (Но, вообще говоря, не существует
механического метода, с помощью которого можно было бы
одновременно получить одну за другой и все не-теоремы,)
Эта характеристика эффективности и полуэффекти'вности
имеет тот недостаток, что понятие механического метода
(mechanical procedure), играющее в ней решающую роль, остается
Пока совершенно неопределенным и невыясненным. Было
предпринято немало попыток, частично или полностью независимых
друг от друга, уточнить это понятие, и, что самое
замечательное, почти все точные понятия, возникшие в результате этих
попыток, оказались эквиполлентными4). Ввиду этого
обстоятельства мы можем ограничиться здесь наиболее интуитивным
из уточнений понятия эффективного метода, к которому
пришли независимо друг от друга (с небольшими расхождениями
между собой) Тьюринг и Пост в 1936 г.2) в связи с
арифметическими вычислениями: эффективный метод вычисления
значения функции с натуральными значениями от (п-ок)
натуральных чисел существует, если можно составить программу
вычислительной машины с определенного рода схемой (несколько
идеализированной в том отношении, что «память» этой машины
предполагается бесконечной или по крайней мере бесконечно
расширяемой), производящей это вычисление для любых
[наборов] аргументов [из области ее определения]3). За точным
описанием такого рода машин — так называемых машин Тьюрин·
*) Точнее говоря, доказана эквиполлентность следующих понятий: (1)
общей рекурсивности, введенной Эрбраном, 31, и Гёделем, 34, в качестве
обобщения понятия примитивной рекурсивности, использованной в работе
Гёделя, 31 (стр. 179—180), и получившей точное определение в работе Кли-
ни, 36, который предложил также дальнейшее обобщение в виде частичной
рекурсивности; (2) λ-определимости, введенной Чёрчем, 36 (стр. 346 и ел.);
(3) вычислимости с помощью специальных машин — Тьюринг, 36, и Пост 36;
(4) изобразимости (reckonability) — Гёдель, 36; (5) 'regelrecht auswertbar'
('оцениваемый согласно некоторому правилу') — Гильберт — Бернайс, 34—39
(стр. 392 и ел.); (6) бинормалъности (binormality) — Пост, 43; (7)
нормального алгорифма — Марков, 54 (и более ранние публикации, начиная
с 1947 г.). [Чтобы в строгом смысле говорить об эквиполлентности, в
случаях (5) и (7) надо, конечно, произвести некоторую, впрочем вполне
тривиальную, «грамматическую» трансформацию понятий: в первом случае
говорить об «оцениваемости», во втором — о чем-нибудь вроде «нормальной
вычислимости» или «вычислимости по Маркову». — Перев.].
Эквиполлентность (1) и (2) доказана Чёрчем, 36, и Клини, 36а, эквиполлентность (2) и
(3) — Тьюрингом 37; см. Клини, 52, стр. 320—321 [стр. 285—286 русск. изд.;
Клини перечисляет там и ряд других эквиполлентных понятий; в примечании
редактора русского перевода В. А. Успенского на стр. 286 упомянуты также
другие результаты об эквиполлентности, а в примечании на стр. 287 — еще одно
уточнение понятия алгорифма, принадлежащее Колмогорову, °53. — Перев].
2) Тьюринг, 36, и Пост, 36.
3) Слова в квадратных скобках добавлены при переводе (ср. конец
последней фразы авторов в настоящем абзаце). — Прим. перев.

§ 5. Разрешимость и рекурсивность
361
га — мы отсылаем к обширной литературе1). Мы можем теперь
сформулировать определение: Данная ^-местная
теоретико-числовая (number-theoretical) 2) функция / называется вычислимой
по Тьюрингу, если существует машина Тьюринга, вычисляющая
ее значения для любой д-ки натуральных чисел, для которой
эта функция определена.
Тезис, согласно которому вычислимость по Тьюрингу (или
общая рекурсивность, или любое другое из упомянутых в
примечании 1 на стр. 360 эквиполлентных понятий) является
адекватным уточнением интуитивного (pre-systematic) понятия
эффективной вычислимости, известен под именем тезиса Чёрчаъ).
Чтобы предупредить довольно обычные недоразумения (и
неточности формулировок, в которых вместо правильного 'служит
адекватным уточнением' говорят 'совпадает с'), следует
подчеркнуть, что тезис такого рода, утверждающий, что некоторое
строго определенное в некоторой формализованной теории
понятие адекватным образом выражает некоторое интуитивное
понятие, по самому определению понятия доказательства не
может быть строго доказан. Тем не менее имеется масса доводов,
так или иначе свидетельствующих о правильности тезиса Чёр-
ча. Кроме уже отмечавшегося факта, что почти все
предлагавшиеся до сих пор уточнения понятия эффективной
вычислимости оказались эквиполлентными, укажем, что для любой
функции4), эффективная вычислимость которой была общепризна-
на и для которой исследовался вопрос о ее общей рекурсивно*
сти, таковую в конце концов удавалось доказать5). Так как
любое теоретико-числовое свойство (или отношение) считается
эффективно разрешимым в том и только в том случае, если его
1) Наиболее понятны изложения Петер. 51, и Клини, 52. Из более
поздних публикаций упомянем четыре статьи К- Э. Шеннона, М. Д. Дэвиса,
Маккарти и др. в сборнике Automata Studies под редакцией Шеннона и Мак-
карти, Annals of Mathematical Studies. № 34, Принстон, 1956 [русский
перевод: «Автоматы», М, ИЛ, 1956 —Перев.] и две статьи Хао Вана в Journal
of the Assotiation for Computing Machinery, 4, и в Ztschr. f. math. Logik und
Grundlagen der Math., 3, стр. 69—80, обе опубликованы в 1957 г.
2) Или 'арифметическая', т. е. определенная на некотором подмножестве
натурального ряда (или прямого произведения нескольких натуральных
рядов) и принимающая натуральные значения. — Прим. перев.
3) Тезис этот был впервые провозглашен Чёрчем, 36. Лучшее его
изложение и обоснование в книге Клини, 52, стр. 300 и ел. [стр. 267 и ел., русск.
изд. — Перев.].
4) Конечно, во всем этом параграфе имеются в виду только
арифметические функции, причем в данной и следующей фразах всюду
определенные. — Прим. перев.
5) Впрочем, Л. Кальмар в докладе на Коллоквиуме, посвященном
конструктивному направлению в математике (Амстердам, август 1957 г.),
высказал некоторые сомнения по этому поводу, не устраненные в полной мере
и в ходе последующей дискуссии; ср. также Кальмар, 56.

362 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
характеристическая функция, т. е. функция, значение которой
для любой заданной я-ки натуральных чисел в качестве
аргумента есть 0, если это свойство (или отношение) имеет место
для этой я-ки, и 1 в противном случае, эффективно вычислима,
мы видим, что понятие эффективной разрешимости теоретико-
числовых свойств и отношений, а следовательно, и теоретико-
числовых предикатов адекватным образом эксплицируется при
помощи понятия общей рекурсивности. Поскольку все
синтаксические (метаматематические) предикаты отображаются
посредством арифметизации в арифметические1) предикаты, мы
заключаем, что все синтаксические проблемы (например,
разрешима ли данная формальная система) переходят в
соответствующие арифметические проблемы (в данном случае — является
ли некоторое арифметическое свойство2) общерекурсивным).
Множество S натуральных чисел называется
(обще-рекурсивным, если свойство быть членом S общерекурсивно, и
рекурсивно перечислимым, если оно может быть пересчитано
посредством некоторой общерекурсивной функции /, т. е. если
существует такая общерекурсивная функция /, что
последовательность значений /(0), /(1), f(2), ... перечисляет (быть может,
с повторениями) члены S3). Множество метаматематических
объектов (выражений, формул, аксиом, доказательств и т. п.)
называется (обще-рекурсивным [рекурсивно перечислимым},
если таковым является множество гёделевских номеров его
членов. Можно показать, что всякое общерекурсивное непустое
множество натуральных чисел рекурсивно перечислимо и что
классически множество натуральных чисел является
рекурсивным тогда и только тогда, когда оно само и его дополнение4)
рекурсивно перечислимы. Можно эффективно построить пример
множества, рекурсивно перечислимого, но не общерекурсивного.
Тот факт, что существуют множества5), не являющиеся даже
рекурсивно перечислимыми, следует уже из простых
соображений мощности: множество всех рекурсивно перечислимых
множеств лишь счетно 6).
1) Термины 'теоретико-числовой' и 'арифметический' (как и 'арифметика'
и 'теория чисел') употребляются в этой книге, если не оговорено противное,
как синонимы. — Прим перев.
2) Или отношение. — Прим. перев.
3) Обычно наряду с такими множествами к рекурсивно перечислимым
относят и пустое множество. — Прим. ред.
4) До множества всех натуральных чисел. — Прим. перев.
5) Натуральных чисел — Прим. перев.
6) Все эти результаты можно найти в превосходном изложении теории
рекурсивных арифметических функций в монографии Клини, 52, к которой
мы раз навсегда по этим вопросам отсылаем читателя. За 35 лет своего
существования (мы вправе, пожалуй, считать, что начало ей положила ра-

§ 5. Разрешимость и рекурсивность
m
Из определения 'логистической системы* вытекает, что
выражения логистической системы могут быть эффективно
перенумерованы посредством гёделевской нумерации и что их
свойства и отношения и определенные на них операции рекурсивно
представимы {recursively representable), т. е. что аксиомы
логистической системы образуют общерекурсивное множество, а
правила вывода определяют общерекурсивные отношения
выводимости1). Следовательно, множество теорем логистической
системы рекурсивно перечислимо.
Таким образом, если сформулировать в этих терминах
первоначальную программу Гильберта, то она состоит в том, чтобы
построить непротиворечивую, полную, разрешимую и
категоричную логистическую систему, класс доказуемых предложений
которой совпадал бы с классом интуитивно истинных мате-
■бота Сколема, 23) эта теория выросла в самостоятельную область
математики, продолжающую интенсивно развиваться. Наиболее элементарное и
доступное введение в эту теорию содержится в книге Петер, 51; [см. также
юМальцев, 65. — Перев.] монография Клини, 52, стала уже классическим
руководством по теории рекурсивных функций. За этот период были
опубликованы многие сотни работ в этой области, и некоторые из них в свою
очередь положили начало новым направлениям. Вскоре должны появиться еще
несколько учебников, в том числе книги Мартина Дэвиса [°Дэвис, 58. —
Перев.] и Хартли Роджерса (мл.). Примыкающая к теории рекурсивных
функций теория алгорифмов, разработанная главным образом в работах
А. А. Маркова и других русских авторов, представлена в
основополагающей монографии Маркова, 54. В последние годы рекурсивные методы
исследования были распространены и на анализ; этой проблематике была
посвящена значительная часть докладов, прочитанных на Коллоквиуме по
конструктивным вопросам математики, состоявшемся в Амстердаме в 1957 г.
Кроме перечисленных выше (в примечании 1 на стр. 360) работ, следует
еще специально упомянуть следующие публикации, появившиеся до 1950 г.
включительно: Сколем, 23; Аккерман, 28; Петер, 34, 50; Карри, 41; Клини.
43, 44; Пост, 44; Гудстейн, 45; Сколем, 46, 47; Мостовский, 47; Нелсон, 47;
Р. М. Робинсон, 47; Куайн, 48/49; Шпеккер, 49; Дэвис 50; Джулия
Робинсон, 50; Розенблюм, 50.
Приводимый ниже перечень работ по теории рекурсивных функций,
опубликованных начиная с 1951 г. и потому не упомянутых в
библиографиях в книгах Петер, 51, и Клини, 52 [значительная часть важнейших из
этих работ, впрочем, указана в пополненной при переводе библиографии
русского издания Клини, 52 (1957 г.). — Перев], довольно полон. (В него не
включены работы Маркова, предшествующие его монографии 54.)
Гудстейн, 51, 53; Крейсел, 51, 53, 53/54, 55; Мостовский, 51, 52, 55, 55а,
55Ь, 56а, 57; Петер, 51а, 53, 55; Берецки, 52; Дэвис, 52, 53; Гермес —Шольц,
)52; Новиков, 52, 55; Джулия Робинсон, 52; Сколем, 52—53, 54, 55; Деккер,
;53, 53а, 54, 55; Детловс, 53; Гжегорчик, 53, 54, 55Ь, 56; Майхилл, 53Ь, 55;
Райе 53, 54, 56; Трахтенброт, 53, 55; Успенский, 53, 55, 56; Яничак, 54, 54а;
Жлини — Пост, 54; Марквальд, 54/55; Шютте, 54; Клини, 55, 55а, 55Ь;
Кузнецов— Трахтенброт, 55; Лакомб, 55; Медведев, 55, 55а; Майхилл — Шеперд-
сон, 55; Р. М. Робинсон, 55, 56; Спектор, 55, 56; Фитч, 56; Фридберг, 56, 57;
Кальмар, 56; Клауа, 56; Мучник, 56; Риге, 56; Шапиро, 56; Чёрч, 57; Фефер-
ман, 57.
1) Имеются в виду «непосредственной выводимости». — Прим. ред..

364 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
матических утверждений, причем эта система должна быть
такова, что тот факт, что она обладает всеми этими
желательными свойствами, можно было бы доказать с помощью арифме-
тизации в рекурсивной арифметике, т. е. в такой части
арифметики, которая имеет дело лишь с общерекурсивными
функциями, свойствами и отношениями.
§ 6. Ограничительные теоремы Гёделя,
Тарского, Чёрча и их обобщения
В том, что попытки выполнения программы Гильберта
(сформулированной в четком виде в предыдущем абзаце)
натолкнутся на значительные трудности, не было ничего особенно
неожиданного: любая логистическая система, достаточно
сильная для того, чтобы в ней можно было бы построить всю
классическую математику, должна, разумеется, содержать всю
классическую арифметику, а потому можно предположить, что она
содержит в полном объеме свой собственный синтаксис и
собственную семантику. Так не следует ли отсюда, что в такого
рода системе могли бы вновь возникнуть семантические
антиномии, скажем, типа антиномии лжеца или антиномии Ришара?
Как мы уже говорили, этот вопрос в точном виде был
сформулирован Гёделем и Тарским. До некоторой степени на него
отвечает
Теорема Гёделя (о неполноте !))2). Каждая логистическая
система, настолько богатая, чтобы содержать формализацию
рекурсивной арифметики, либо ω-противоречива, либо содержит
некоторую неразрешимую (хотя и истинную) формулу, т. е.
такую формулу, что в данной системе ее нельзя ни доказать,
ни опровергнуть (хотя с помощью дополнительных средств,
выходящих за рамки этой системы, можно показать ее
истинность); иными словами, любая данная ω-непротиворечивая
система указанного типа (синтаксически и семантически) неполна
и даже непополнима {incompletable).
Гёдель доказал эту теорему конструктивно-, для данной
логистической системы, удовлетворяющей высказанным условиям,
можно, если позволят время и терпение, выписать в терминах
исходных обозначений системы гёделевское неразрешимое
предложение. Истинность же этого предложения следует из того
обстоятельства, что при надлежащей интерпретации оно
выражает утверждение о недоказуемости (средствами данной
системы) самого этого предложения (точнее говоря,
предложения с некоторым определенным гёделевским номером, а затем
1) В оригинале 'incompletability' ('непополнимости'). — Прим. перев.
2) Гёдель, 31.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения 365
уже доказывается, что он является гёделевским номером
предложения, выражающего это утверждение)1).
Из теоремы Гёделя немедленно следует, что арифметика
Сколема неаксиоматизируема.
Таким образом, призрак лжеца мстит за себя: получить
антиномию, построив в формализованной арифметике
предложение, утверждающее (содержательно) свою собственную
недоказуемость, не удается; но это объясняется лишь тем, что,
вопреки ожиданиям и надеждам, предложение, не доказуемое в
такой формальной системе, вовсе не обязательно должно быть
опровержимым — оно может оказаться ни тем, ни другим. Для
логистических систем, настолько богатых, что они содержат
рекурсивную арифметику (а к таким системам относятся все
теории множеств, заслуживающие этого названия и
формализованные в виде логистических систем), полнота может быть
достигнута лишь ценой непротиворечивости2). Результат этот был
вдвойне неожиданным: и сам по себе, и тем, что его удалось
получить в соответствии с наивысшими из известных
критериями строгости, даже более строгими, чем те, что общеприняты
при математических доказательствах. О философских выводах
из этой теоремы мы поговорим позже.
Известно много превосходных описаний сущности теоремы Гёделя,
методов ее доказательств, обобщений и аналогов. Упомянем здесь
монографию Ладриера 3) (содержащую, кроме всего прочего, почти исчерпывающую
библиографию, доведенную до 1955 г.), Мостовского4) (где результаты
Гёделя сопоставляются с результатами Тарского, которых мы скоро коснемся);
исключительно строгое изложение Клини5), подробное и тщательное
изложение Гильберта и Бернайса6), полуформальное изложение Россера7) и
содержательное, но довольно точное и очень доступное изложение Финд-
лея8), не говоря уже о массе более кратких очерков доказательства, лучшим
из которых до сих пор остается, пожалуй, краткое содержательное введение
самого Гёделя к его работе 1931 г. Поэтому нам, по-видимому, незачем
входить в дальнейшие подробности. Отметим лишь то, что, хотя неразрешимые
!) Ή до сих пор еще многие никак не могут примириться с возможностью
существования предложения, недоказуемого в некотором предметном языке,
но такого, что истинность его может быть доказана в его метаязыке. О
недавней дискуссии по этому поводу см., например, Годдар, 58; ср. также
Витгенштейн, 56, стр. 50—54.
2) Из результата самого Гёделя следует лишь ω-противоречивость таких
систем; но верно и данное утверждение о противоречивости, оно
основывается на россеровском усилении теоремы Гёделя, о котором речь пойдет
несколько ниже. — Прим. перев.
3) Ладриер, 57.
4) Мостовский, 52.
5) Клини, 52; ср. Кальмар, 43, 49, 50; Клини 50.
6) Гильберт—Бернайс, 34—39.
7) Россер, 39.
8) *Финдлей, 1; ср. Крейсел, 52/53.

366 Гл V. Метаматематический и семантический подходы
предложения Гёделя очень напоминают парадокс лжеца, сами рассуждения,
посредством которых он пришел к своим открытиям, напоминают скорее
антиномию Ришара и, подобно последней, основываются на диагональном
процессе 1).
Теорема Гёделя справедлива для ω-непротиворечивых
логистических систем. Насколько его результат может быть
обобщен? Россер 2) показал, что вместо ω-непротиворечивости можно
говорить о более слабом свойстве простой непротиворечивости,
а требование общей рекурсивности множества аксиом можно
заменить более слабым требованием рекурсивной
перечислимости этого множества. Другие обобщения получены Таррким и
Мостовским3), исходящими из введенного Тарскьм4) понятия
(семантической) определимости (definability), обобщенного
затем Мостовским5) и, наконец, еще более обобщенного самим
Тарским6). Мы остановимся здесь на последнем из этих
вариантов.
Пусть А — произвольная формализованная теория,
логический базис которой включает по меньшей мере функциональное
исчисление первого порядка с равенством и в которой можно
рассматривать бесконечную последовательность термов Δ0, Δι,
Δη,..., ни один из которых не является переменной.
Подмножество Ρ множества N всех натуральных чисел называется
определимым {definable) в Л, если в А существует такая
формула </>, свободная относительно некоторой фиксированной
переменной ξ, что </>(Δη), т. е. предложение, получающееся из φ в
результате замены всех вхождений ξ в φ на Ап, общезначимо
(valid) в А для зсякого η ζ Ρ, а ~φ(Δη) общезначимо для
любого п(^Р (ηζΝ). Аналогичным образом определяется
определимость для отношений и функций.
Пусть теперь ΰ(φ) —гёделевский номер </> согласно
некоторой гёделевской нумерации, которую незачем фиксировать для
наших целей; пусть, далее, Еп — выражение из Л, гёделевский
номер которого согласно этой нумерации есть п. Пусть D
(диагональная функция) — функция, определяемая следующим
образом:
D(n) = mO(En(K))
') См., например, Мостовский, 52, стр 7 и ел.; Хао Ban, 55b, показывает,
каким образом от любой семантической антиномии можно прийти к
неразрешимым предложениям.
2) Россер, 36а; ср. Кальмар 50а.
3) См. особенно Тарский, 39; Мостовский, 52 (стр. 97 и ел.), и Ладриер,
57 (стр. 335 и ел.).
4) См. Тарский, 56, VI ([расширенный] английский перевод статьи Тар-
ского, 31).
5) См. Мостовский, 52, стр. 74—75.
6) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 44 и ел.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения 367
(значение диагональной функции для аргумента η есть гёделев-
ский номер выражения, получающегося из выражения,
имеющего гёделевский номер п, заменой всех вхождений переменной
ξ на терм Δη; если ξ не вхоДит в Еп, то £η(Δη), конечно, есть
просто само Еп). Пусть, наконец, V есть множество гёделевских
номеров всех истинных (valid) предложений А. Тогда имеет
место следующий результат:
Теорема Тарского о неопределимости. Если теория А
(удовлетворяющая перечисленным выше условиям) непротиворечива, то
диагональная функция D и множество V всех истинных
предложений (теории Л) не могут одновременно быть определимыми в Л.
Из этой теоремы немедленно следует, что если в
непротиворечивой теории определима диагональная функция, то
множество ее истинных предложений не определимо. Поскольку можно
доказать, что D общерекурсивна, то никакая теория,
достаточно богатая, чтобы охватывать рекурсивную арифметику
(number theory), не может содержать (семантическое) определение
для ее множества V. Окончательно мы получаем в качестве
частного случая теоремы Тарского о неопределимости...*)
следующую теорему:
Теорема Тарского об истинности2). Понятие истинности (truth)
(множество всех истинных предложений, множество
истинности (truth-set)) непротиворечивой формализованной системы3),
охватывающей рекурсивную арифметику, неопределимо в этой
системе4).
1) Многоточие заменяет слова 'с заменой, по причинам исторического
характера, 'validity* на 'truth', опущенные при переводе, поскольку оба эти
английских термина переводятся нами в данном случае как 'истинность'; ср.
примечание к стр. 335. — Прим. перев.
2) См. Тарский, 56, стр. 247; в примечании Тарский излагает историю
вопроса. Ср. Куайн, 52.
3) (Formalized system) —такой термин выше не вводился, но, в
соответствии с определениями § 2, его естественно понимать как
'формализованная теория, являющаяся формальной системой'. — Прим. перев.
4) Чрезвычайно изящное, простое и прямое доказательство теоремы
Тарского было недавно предложено Р. Шмульяном, 57. Вместо операции
подстановки, на которой основывался гёделевский метод диагонализации
(диагонализировать формулу ф, свободную относительно переменной ξ,—
это значит подставить имя (запись (quotation)) самой φ вместо всех
вхождений в нее ξ), Шмульян использует гораздо легче формализируемую (ариф-
метизуемую) операцию сочленения, кладя ее в основу предлагаемого им
метода нормализации (нормализировать некоторое выражение φ — это
значит образовать его норму, т. е. сочленение φ с его же собственным именем
[или гёделевской цифрой, т. е. записью его гёделевского номера, если
синтаксис арифметизован]). [Ввиду единственности определенной таким образом
нормы под словом 'норма' далее в этом примечании понимается вполне
определенная (the) норма. — Перев.]

368 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Теорема Гёделя обнаруживает принципиальную
ограниченность дедуктивных возможностей любой достаточно богатой
системы. Что же касается теоремы Тарского, то она вскрывает
ограниченность выразительных возможностей таких систем.
Перефразируя красочное изречение Куайна, можно сказать, что
эти системы попытались проглотить больший кусок онтологии,
чем они в состоянии переварить. Обстоятельство это не столь
удивительно, как можно было бы подумать с первого взгляда.
В конце концов множество определимых свойств и отношений
всего-навсего счетно (ведь множество определяющих формул
всего лишь счетно), а множество подмножеств множества всех
натуральных чисел несчетно. Что действительно было несколько
неожиданным, так это то, что к числу множеств, для которых
в данной непротиворечивой логистической системе не
существует определяющего выражения, относится множество гёделев-
ских номеров всех истинных предложений этой системы.
Отметим, что теорему Гёделя удается доказать и для
некоторых формальных систем, не являющихся логистическими
системами, в том смысле, что в них допускаются и
трансфинитные правила вывода, скажем правило бесконечной индукции1).
Что касается систем, выходящих за рамки ограничений Гёделя
Предложение, истинное (в данной семантической системе S) [под
'семантической системой' понимается пара, состоящая из некоторой формальной
системы и какой-либо ее интерпретации (в смысле § 3; достаточно
ограничиться случаем правильной интерпретации). — Перев] тогда и только тогда,
когда оно является членом данного множества W, Шмульян называет
предложением Тарского для W. (Если, например, W есть множество всех
выражений, не доказуемых в некоторой формальной системе С, то предложение
Тарского для W — это в точности то же самое, что предложение Гёделя для
С, истинное в S тогда и только тогда, когда оно не доказуемо в С.) Пусть
S настолько сильна, чтобы содержать предложение Тарского для любого
определимого в ней множества W. Тогда предложение ψ — „W содержит
норму выражения 'W содержит норму'" — есть предложение Тарского для
Ψ. Действительно ψ утверждает, что норма выражения 'W содержит норму'
содержится в W. Но эта норма есть как раз само ψ. Поэтому ψ истинно
тогда и только тогда, когда оно является членом W.
С помощью чрезвычайно изобретательной и остроумной гёделевской
нумерации (которая, впрочем, не диктуется самим существом его метода, а
лишь подчеркивает его силу) Шмульяну удается осуществить всю арифме-
тизацию синтаксиса (некоторой арифметической системы) при помощи одно-
го-единственного простого определения, согласно которому гёделевским
номером нормы выражения с гёделевским номером χ служит выражение
χΊΟχ.
Большой интерес вызывает готовящаяся к опубликованию работа
Шмульяна Abstract structure of unsaturated theories [при подготовке перевода
4 к печати обнаружить названную работу Шмульяна не удалось — Перев.],
в которой он предполагает исследовать некоторый метод, представляющий
собой обобщение обоих упомянутых методов — диагнолизации и
нормализации.
1) См. Россер, 37; Тарский, 39; Клини, 43, стр. 68; МостовсКйц, 49а.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения 369
и Тарского, так называемых негёделевых систем, то вопрос,
насколько удовлетворительной основой математики могли бы они
служить, достоин самого тщательного исследования.
Разумеется, описанная в гл. III система Σ Хао Вана не является
логистической системой. Упомянем еще о системах, не содержащих
символа, который был бы в собственном смысле знаком
отрицания (таковы некоторые системы, построенные Фитчем и Май-
хиллом1)), о системах, не содержащих обычного квантора
всеобщности (например, системы Чёрча и Майхилла2)), а также
о системах, не содержащих обычной связки материальной
импликации (например, одна система Чёрча3)). Каковы в
точности объем охвата и возможности такого рода еретических
систем, — вопрос, который нуждается еще в дополнительных
исследованиях4).
Из теоремы Гёделя видно, что (семантическое) понятие
истинности в арифметике, а следовательно, и во всей математике
нельзя исчерпывающим образом отобразить посредством
(синтаксического) понятия доказуемости в какой-либо одной
логистической системе, что подрывает основу упрощенно понимаемой
формалистической позиции в вопросах обоснования
математики. Теперь мы сформулируем одно следствие из этой
теоремы, показывающее, что и основная цель первоначальной
программы Гильберта недостижима. Напоминаем, что эта цель
заключалась в том, чтобы доказать формальную
непротиворечивость арифметики, пользуясь при этом лишь некоторыми из
методов доказательств, применяемых в самой арифметике, — так
называемыми «финитными» методами. Но даже если позволить
себе некоторую свободу в толковании этого весьма туманного
термина и согласиться считать финитными и такие методы
доказательств, которые несколько выходят за рамки обычных
методов, допустимых для использования в логистических системах
(в качестве примера такого «умеренного» выхода за пределы
обычно допустимых в логистических системах средств можно
назвать некоторую форму правила бесконечной индукции5)), и
ι) *фитч, 8, 9, Майхилл, 50, 50а. Позднее Фитч рассматривал системы
с отрицанием, не удовлетворяющим, однако, принципу tertium поп datur\ см.,
например, Фитч, 52.
2) Чёрч, 34 (см. также *Чёрч, 9), где рассматривается бесконечная
иерархия кванторов всеобщности, и Майхилл. 50а.
3) В системе Чёрча, 34 (и *9) имеется также бесконечная иерархия
символов для материальной импликации.
4) Некоторые из «еретических» систем, упомянутых в последних
параграфах гл. III, также являются негёделевыми. Ср. также Тюринг, 39.
5) Авторы, очевидно, имеют в виду такую форму этого правила, при
которой его применениям можно приписать ранги, т. е. натуральные или
порядковые числа, превосходящие ранги применений этого же правила, исйоль*
зуемые при получении посылок. — Прим. ред,
24 Зак. *7<?5

370 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
в этом случае возможность получения финитного
доказательства непротиворечивости арифметики полностью исключается;
это видно из
Следствия из теоремы Геделя !). Никакое предложение,
которое можно точным образом интерпретировать как
выражающее непротиворечивость какой-либо непротиворечивой
логистической системы, содержащей арифметику, не может быть
доказано в этой системе.
Ценой больших усилий, приложенных Гильбертом и
представителями его школы для выполнения его программы2), им
удалось получить строго финитными методами
непротиворечивость весьма широкой подсистемы арифметики; подсистема эта
имеет лишь тот недостаток, что принцип индукции
формулируется в ней в ослабленной форме, что препятствует
применению его к квалифицированным предложениям. Следствие из
теоремы Гёделя показывает, чго такой частичный неуспех гиль-
бертовской школы объясняется отнюдь не недостатком
изобретательности ее представителей; напротив, мы знаем теперь, что
они продвинулись в этом направлении настолько далеко,
насколько это вообще было возможно.
Теперь возникает вопрос, нельзя ли доказать
непротиворечивость арифметики с помощью каких-либо методов, хотя и
составляющих, в общем, лишь собственную часть всех методов,
применяемых в самой арифметике, но в то же время в каком-то
отношении превосходящих обычно используемые в ней методы,
и притом за счет использования метода, не финитного в
первоначально принятом нами смысле этого слова, но все же
настолько «финитного» в некотором расширенном смысле, чтобы
его можно было считать согласованным с основой философской
концепции формализма. Поскольку, однако, эта концепция
никогда ре была достаточно определенно сформулирована ее
приверженцами 3), то на этот довольно неопределенный вопрос
нельзя ожидать однозначного и общеприемлемого ответа.
Фактически уже через несколько лет после опубликования
результатов Гёделя Генцену4) удалось доказать непротиворечивость
арифметики с помощью лишь одного нового метода, выходя-
1) Доказательство см. у Клиии, 52, стр. 209—210 [стр. 189—190 русск.
"изд.: это следствие часто (в том числе и в книге Клини) называют «второй
теоремой Гёделя». — Перев.].
2) Ср. Гильберт, 18, 22, 23, 25, 28, 31; Аккерман, 24, 28, 40; фон Нейман,
27; Эрбран, 28, 30, 31, 32; Бернайс, 30, *10, *11. Мы назвали здесь только
важнейшие работы членов гильбертовской школы Все эти результаты (кроме
изложенных в работе Аккермана, 40) изложены в magnum opus
гильбертовской школы, монографии Гильберта — Бернайса, 34—39.
3) Ср. выше, стр. 321.
4) Генцеи, 36, 38а.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения 371
щего за рамки арифметики в собственном смысле слова, — с
помощью так называемой трансфинитной индукции до первого
ε-числа во. Метод этот является финитным в некотором вполне
определенном расширенном смысле, но мы, чтобы не повторять
каждый раз эту надоедливую оговорку «в некотором смысле»,
предпочитаем говорить, что он конструктивен. То
обстоятельство, что Генцен доказал свою теорему применительно к
формальной системе, отличающейся многими существенными
особенностями от рассматривавшихся нами до сих пор
логистических систем (мы имели дело с логикой теорем, в то время как
генценовские исчисления относятся к другой важнейшей форме
логики — логике правил1)), не играет никакой роли для
интересующих нас целей, так как его результаты можно без труда
перенести и на логистические системы обычного рода2).
Формальным системам присуща ограниченность еще одного
типа. Она проявляется в теоремах, утверждающих, что для
определенного рода формальных систем неразрешима проблема
разрешения для истинности [доказуемости], т. е. что эти
системы неразрешимы относительно истинности [доказуемости]3).
1) Гермес — Шольц, 52, различают две главные формы логики: Satzlogik
[логика предложений, теорем (нем.).— Перев.] и Regellogik [логика правил
(нем.). — Перев.] (Folgerungslogik, Konsequenzenlogik [логика выводов
(нем.).— Перев.] Клини, 52 (стр. 441 [стр. 389—390 русск. изд. — Перев ]\,
различает системы гильбертовского типа и системы генценовского типа.
Системы естественного вывода, упомянутые в гл. III, стр. 223, относятся,
конечно, к логике правил.
2) Ср. Генцен, 36, и Ладриер, 57, стр. 208 и ел.
3) Читатель должен остерегаться недоразумений, связанных с двояким
употреблением термина 'разрешимая' (decidable). Формализованная теория,
содержащая неразрешимое предложение, т. е. предложение, не являющееся
в этой теории ни доказуемым, ни опровержимым, является формально
неполной, но це обязательно сама неразрешимой; в то же время в
неразрешимой теории может и не быть неразрешимых предложений. Теорему Гёделя
о неполноте - часто называют теоремой о неразрешимости [поскольку в ней
речь идет о существовании неразрешимых предложений. — Перев.]·, мы,
во избежание путаницы, решили избегать такого словоупотребления.
Подробное обсуждение различия между терминами 'undecidable' и 'unsol-
vable', характеризующими свойства проблем, а также неправильно
употребляемого выражения „unsolvable problem" (вместо правильного „infinite class
of problems") [ср. предыдущее замечание в квадратных скобках. — Перев.],
см. в работе Майхилла, 52а, стр. 167 и ел.; впрочем, не все предлагаемые им
формулировки безупречны. Ср. также Тьюринг, 54, и Рабин, 58, стр. 175.
[Оба английских термина 'undecidable' и 'unsolvable' соответствуют
русскому термину 'неразрешимая' как по отношению к теории, так и по
отношению к конкретной проблеме, а также по отношению к классу проблем,
т. е. к некоторой массовой проблеме; в то же время английский термин
'decision problem', переводившийся по традиции как 'проблема разрешимости*,
все чаще (как и в настоящем издании) переводят, если речь идет о теории
или массовой проблеме, как 'проблема разрешения', а термин 'проблема
разрешимости' относят к проблеме «узнать, разрешима ли данная (конкретная}
24*

372 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
В 1936 г. Черчу1) удалось (с помощью диагонального
метода) доказать, что арифметика первого порядка (так же,
как и некоторые ее фрагменты) неразрешима. Ясно, что аксио-
матизованная теория, получаемая из неразрешимой
аксиоматической теории отбрасыванием конечного числа аксиом
(но с сохранением прежнего словаря), также неразрешима;
зто обстоятельство позволило Черчу доказать2) посредством
исключения всех (имеющихся в конечном числе) нелогических
аксиом из некоторого специальным образом
модифицированного фрагмента элементарной арифметики неразрешимость
функционального исчисления первого порядка; иначе говоря,
было доказано, что множество теорем функционального
исчисления первого порядка, будучи, конечно, рекурсивно
перечислимым, не является, однако, общерекурсивным, или, еще
иначе, что хотя это исчисление обладает полным методом
доказательства, но в нем нет полного метода опровержения
(disproof). В том же году Россер 3) доказал, что каждое
непротиворечивое расширение арифметики первого порядка неразрешимо,
короче, что арифметика первого порядка существенно
неразрешима. Таким образом, мы имеем следующие два основных
результата:
Теорема Чёрча о неразрешимости. Функциональное
исчисление первого порядка неразрешимо.
Теорема Черча — Россера о неразрешимости. Элементарная
арифметика существенно неразрешима4).
Исследования, касающиеся вопроса о разрешимости и
неразрешимости различных логических и математических теорий,
заметно усилились в связи с появлением быстродействующих
электронных вычислительных машин, так как появилась
надежда, что многие математические проблемы, теоретическая
разрешимость которых могла бы быть каким-либо образом гаран-
проблема». См. по этому поводу предисловие В. А. Успенского к
русскому изданию книги Чёрча, 56 (стр. 11), ср. Медведев, 55а, и (справочно-
обзорную) статью В. А. Успенского «Алгоритм» из I тома «Философской
энциклопедии», М., 1960. — Перев].
J) Чёрч, 36.
2) Чёрч, 36а.
3) Россер, 36.
4) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, понимают под существенной
неразрешимостью теории неразрешимость всякого непротиворечивого ее
расширения, имеющего тот же самый словарь. Теорема Чёрча — Россера
справедлива и в более сильном смысле, получаемом, если опустить в этом
определении существенной неразрешимости слова, выделенные курсивом. Клини,
52 (стр. 437 [стр. 386 русск. изд. — Перев.]) употребляет термин
'существенная неразрешимость' в этом более сильном смысле.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения S73
тирована (что проще всего достигается именно с помощью
доказательства рекурсивной разрешимости теории, в которой
сформулированы эти проблемы), стали бы и практически
разрешимыми. Вероятно, такого рода соображения повлияли,
например, на Тарского, опубликовавшего в конце концов
разрешающий метод для элементарной алгебры и элементарной
геометрии1), разработанный им по существу еще в 1930 г. И хотя
метод этот пока еще недостаточно эффективен для
практического его применения даже на самых быстродействующих из
существующих вычислительных машин, вполне можно
надеяться на то, что дальнейшее усовершенствование как самого
метода, так и вычислительных машин вскоре приведет нас к тому,
что открытые проблемы в этих и других областях математики
будут рассматриваться и решаться с помощью таких машин.
Надо сказать, что перечень математических теорий,
разрешимость которых доказана, не велик. Упомянем для примера
лишь некоторые из важнейших: классическое
пропозициональное исчисление2), сингулярное функциональное исчисление
первого порядка3) с равенством4) и без равенства5), сингулярное
функциональное исчисление второго порядка6), элементарная
теория линейного порядка7), теория сложения целых чисел8),
элементарная булева алгебра, элементарная теория абелевых
групп9).-
В то же время для многих теорий доказана их
неразрешимость. Для некоторых теорий это было доказано прямым
путем — чаще всего с помощью рассуждений диагонального типа,
как в случае теоремы Чёрча. В других случаях использовалась
теорема, согласно которой свойство существенной
неразрешимости теории сохраняется и для всякой непротиворечивой теории,
в которой она интерпретируется (а также для ее
несущественных расширений). Поскольку элементарная арифметика
существенно неразрешима и интерпретируема во многих системах
1) Тарский, 51. По поводу усовершенствований и разновидностей этого
метода см. Зейденберг, 54; Месерв, 55; Швабхойзер, 56.
2) Пост, 21.
3) Термин, употребляемый, например, Чёрчем, 56. Русскому читателю
более привычно 'узкое исчисление одноместных предикатов' (ср., например,
русск. изд. Гильберта — Аккермана, 28/49, и Клини, 52, а также Ήοβηκοβ,
59). — Прим. перев.
4) Лёвенгейм, 15 (правда, в этой работе проблема решается в терминах
общезначимости (universality), а не доказуемости).
5) *Беман, 1.
6) *Сколем, 1.
7) *Лэнгфорд, 3.
8) *Прессбургер, 1.
9) Ванда Шмелева, 50, 55. Еще две теории, разрешимость которых
удалось доказать, упомянуты ниже, стр. 386.

374 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
аксиоматической теории множеств, все эти теории — в случае их
непротиворечивости существенно неразрешимы1). Теории
множеств Бернайса и Гёделя являются конечно аксиоматизуемыми;
мы видим, таким образом, что теория может быть
одновременно существенно неразрешимой и конечно аксиоматизуемой.
Значение доказательств неразрешимости очень возросло с
тех пор, как было доказано, с одной стороны, что существенная
неразрешимость и конечная аксиоматизуемость теории Τ
влечет существенную неразрешимость всякой теории Т' (так же
как и любой подтеории Г'), слабо интерпретируемой в Τ (или
в каком-либо несущественном расширении Т) 2), и, с другой
стороны, был получен пример существенно неразрешимой и
конечно аксиоматизуемой теории, отличающейся от
упоминавшихся выше своей чрезвычайной простотой и потому, по всей
вероятности, интерпретируемой в других теориях3). В течение
нескольких лет была доказана неразрешимость элементарных
теорий: теории групп, теории колец, теории полей и теории
структур, а также теорий более специального рода, например
теорий коммутативных колец, упорядоченных колец, нигде не
плотных упорядоченных колец, дедекиндовых структур, деде-
киндовых структур с дополнением, дистрибутивных структур,
1) См. Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 22, теорема 7. Теория
Τ называется несущественным расширением теории Г, если словарь Τ
отличается от словаря Τ самое большее тем, что содержит дополнительные
индивидные константы, и если каждое истинное (valid) предложение Τ
выводимо в Τ из множества истинных предложений Т.
2) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 24—25, теорема 8.
3) Ср. резюме Мостовского и Тарского, Journal of Symbolic Logic, 14
(1949), стр. 76. Теория эта впоследствии была упрощена Р. М.
Робинсоном, 52. История этого вопроса изложена в примечании на стр. 39 книги
Тарского — Мостовского — Робинсона, 53. Удивительная простота этой
теории побуждает нас воспроизвести здесь систему ее аксиом. В ней имеются
четыре символа нелогических констант: индивиднай константа Ό', символ
одноместной операции '5' и символы двух двуместных операций ' + ' и 'X'.
Аксиомы замыкания всеобщности следующих формул:
Sx = Sy id χ = у,
О ф Sy,
x=£0=>(Ey)(x = Sy)y
x + 0 = x,
x + Sy = S(x + y),
x χ 0 = 0,
xXSy = (xXy) + x.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения 375
брауэровских алгебр, замкнутых алгебр, абстрактных
проективных геометрий и Др.1).
Особое значение имеет для нас то обстоятельство, что
упомянутый метод создает возможность доказать существенную
неразрешимость одного узкого фрагмента теории множеств2).
Этот фрагмент имеет единственную нелогическую константу 6£
и три нелогические аксиомы: аксиому объемности (в форме 1а,
гл. II, стр. 48), аксиому, утверждающую существование
пустого множества, и аксиому, согласно которой для любых
данных множеств χ и у существует множество ζ, каждый член
которого является членом χ или3) совпадает с у (ср. бернайсов-
скую аксиому II(2), выше, стр. 142). Результат этот сильнее
упомянутых выше результатов, относящихся к
теоретико-множественным системам Бернайса и Гёделя4).
По отношению к неразрешимым теориям, а также к
теориям, для которых вопрос об их разрешимости еще не решен
ни в ту, ни в другую сторону, возникают ограниченные
проблемы разрешения (restricted decision problems), являются ли
некоторые собственные подмножества множества всех истинных
(valid) предложений такой теории общерекурсивными?
Например, для арифметики Сколема, которая является полной, не-
аксиоматизуемой5) и существенно неразрешимой
формализованной теорией, проблема, заключающаяся в вопросе об общей
рекурсивности множества всех истинных предложений вида
(Е^МЕУ ... (Εξ„)(<* = β),
где а и β — термы (полиномы), не содержащие никаких
свободных переменных, кроме, быть может, ξι, ξ2, . .. , ξη, есть не что
иное, как знаменитая десятая проблема Гильберта6), до сих
пор, кстати, не решенная, хотя в этом направлении некоторые
J) Очень подробное доказательство неразрешимости элементарной теории
групп можно найти в третьей главе книги Тарского — Мостовского —
Робинсона, 53, написанной Тарским. В этой главе, как и в других местах этой
книги, упоминаются и другие результаты о неразрешимости и приводится
библиография по этому вопросу (40 названий). Назовем здесь только
следующие работы: Джулия Робинсон, 49; Р. Μ Робинсон, 51, 52; Шмелева —
Тарский, 52, Гжегорчик, 52, 56; Яничак, 53; Гермес, 55а; Генкин, 55а;
Роджерс, 56; Майхилл, 56; Патнэм, 57; Эренфойхт, 57. [Весьма полная сводка
дальнейших результатов и подробная библиография содержится в обзорной
статье °Ершова — Лаврова — Тайманова — Тайцлина, 65. — Перев.]
2) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 34.
3) Разумеется, 'или' — неисключающее. — Прим. перев.
4) То же относится и к системе фон Неймана. — Прим. перев.
5) С помощью конечного числа аксиом (а не схем аксиом). — Прим.
перев.
6) Поставленная в его речи на Международном Конгрессе математиков
в Париже в 1900 г. (*Гильберт, 4).

376 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
частичные результаты и получены Р. М. Робинсоном, Дэвисом
и Патнэмом х).
В элементарной теории групп только совсем недавно
решена в отрицательную сторону2) проблема: является ли
общерекурсивным множество всех истинных предложений вида
(А^КАУ ...(АЫ*.
где φ—бескванторная формула. Проблема эта, известная
больше в другой, но эквиполлентной 3) формулировке 4), есть
знаменитая проблема [тождества]5) слов, поставленная Туэ в 1914 г.
и не поддававшаяся усилиям математиков в течение почти
40 лет. В 1947 г. Пост и Марков, независимо друг от друга,
доказали неразрешимость6) этой проблемы для полугрупп7).
В 1950 г. Тьюринг8) доказал ее неразрешимость6) для
полугрупп с сокращением. И только в 1952 г. Новикову9) удалось
доказать рекурсивную (или, как он, подобно другим русским
авторам, предпочитает говорить, алгорифмическую)
неразрешимость6) проблемы тождества слов для групп.
Читатель мог бы теперь задаться вопросом, не существует
ли разрешающего метода, посредством которого можно было
бы эффективно установить для любой данной формализованной
теории, разрешима она или нет. Однако с помощью довольно
простых соображений можно показать, что во всяком случае
для конечно аксиоматизуемых теорий со стандартной
формализацией такого общего метода существовать не может; таким
1) Ср. Дэвис, 53, и Р. М. Робинсон, 56; дальнейшие результаты доложены
Дэвисом и Патнэмом на Летнем симпозиуме по символической логике при
Корнелльском университете в 1957 г. [См. также цикл работ, посвященных
десятой проблеме Гильберта в сб. «Математика» 8:5 (1964), стр. 3—90.—
Перев.]
2) В оригинале ошибочно сказано 'доказана неразрешимость'. —
Прим. перев.
3) В оригинале 'эквивалентной', что не согласуется с принятым авторами
соглашением (стр. 38) употреблять этот термин только по отношению к
множествам (классам). — Прим. перев.
4) Ср. *Мак-Кинси, 13, стр. 68.
5) Или эквивалентности-, слово добавлено при переводе; английский
термин 'word-problem'. — Прим. перев.
6) А здесь речь идет именно о доказательстве
неразрешимости (а не об отрицательном решении — ср. примечание 2), поскольку
подразумевается обычная формулировка проблемы тождества (слов), в
которой не спрашивается, является ли множество эквивалентностей между
словами в (полу) группе общерекурсивным, а требуется доказать эту
гипотетическую общую рекурсивность (указать соответствующий алгоритм).—
Прим. перев.
7) Пост, 47; Марков, 47; Клини, 52, стр. 382 и ел. [стр. 338 и ел. русск.
изд. — Перев.],
8) Тьюринг, 50.
9) Новиков, 52, 55.

§ 6. Ограничительные теоремы и их обобщения 377
образом, эта, так сказать, проблема разрешения второй степени
неразрешима1). Другие проблемы разрешения высших степеней
возникают, например, в связи с вопросом о существовании
эффективного метода, который позволил бы решить для любого
данного представления {presentation) некоторой алгебраической
системы (например, полугруппы, полугруппы с сокращением
или группы), обладает ли структура, определенная с помощью
этого представления, некоторыми алгебраическими свойствами
(скажем, цикличностью, конечностью, простотой,
разложимостью на конечное число сомножителей и т. п.). Используя
методы Маркова и упомянутый выше результат Новикова, Ра-
бин2) недавно доказал рекурсивную неразрешимость большого
числа теоретико-групповых проблем3).
Многие из ограниченных проблем разрешения оказались
разрешимыми, многие другие удалось свести к более^ частным
случаям. Особую важность представляют случаи сведения к
чистому функциональному исчислению первого порядка, а
также случаи сведения в этом исчислении. В самом деле, из
некоторых доказательств теоремы Чёрча немедленно следует, что
вопрос, доказуемо или нет данное предложение в данной
логистической системе (принадлежит или нет данное натуральное
число данному рекурсивно перечислимому множеству), может
быть эффективным образом сведен к вопросу, является ли
истинной (true) (в счетной области) некоторая конкретная
формула функционального исчисления первого порядка. Проблема
разрешения для истинности в функциональном исчислении
первого порядка, конечно, неразрешима; поэтому всякое сведение
этой проблемы к более частным проблемам автоматически
приводит к неразрешимости и других теорий. Кальмар свел
общую проблему разрешения для функционального исчисления
первого порядка к такой же проблеме для множества формул,
содержащих в точности один двуместный предикат. Таким
образом, неразрешима элементарная теория некоторого
единственного бинарного отношения4). С помощью дальнейших
сведений доказывается неразрешимость некоторых элементарных
теорий, содержащих единственное симметричное отношение,
или даже единственное симметричное и рефлексивное
отношение, или два отношения эквивалентности (симметричных,
рефлексивных и транзитивных). В то же время всякая теория, со-
1) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 35.
2) Рабин, 58. [Авторам, по-видимому, не было известно, что несколько
ранее эти результаты были получены также °Адяном, 57. — Перев.]
3) См. также °Адян, 55, 57а, 58, 66; Бун, 59, 62; Марков, 58а, 58Ь;
"Михайлова, 58, 59; °Фридман, 62; Цейтин, 56, 58. — Прим. перев.
4) ^Кальмар, 7.

378 Гл. V Метаматематический и семантический подходы
держащая единственное отношение эквивалентности,
разрешима. Представляет интерес нерешенная пока проблема
сводимости общей проблемы разрешения функционального исчисления
первого порядка к проблеме разрешения теории единственного
всюду определенного (total) отношения порядка, а тем самым и
проблема — разрешима ли эта последняя теория1).
Другие аспекты проблем сводимости были рассмотрены
Постом, который ввел2) понятие 'степени рекурсивной
неразрешимости1, положенное им в основу классификации функций,
свойств, отношений и множеств путем разбиения их на классы
эквивалентности, производимого с помощью рефлексивного,
симметричного и транзитивного отношения 'Л рекурсивно
относительно (in) В и В рекурсивно относительно Л'3). Наинизшей
является степень, которую имеют общерекурсивные функции
(свойства и т. д.), для которых, разумеется, проблема
разрешения рекурсивно разрешима4). Эти понятия положили начало
одному из самых интересных и плодотворных направлений
исследований в математической логике; но разбирать здесь
подробно эти вопросы было бы слишком затруднительно5).
Имеется, конечно, много и таких случаев, для которых была
доказана разрешимость ограниченной проблемы разрешения.
Интересующийся этими вопросами читатель может найти
подробное их освещение в монографиях Аккермана6) и Чёрча7) и
в работе Клауа8); там же можно найти подробные ссылки на
более ранние исследования.
1) Об упомянутых результатах и проблемах см. Роджерс, 56.
2) Пост, 44.
3) О понятии (общей) рекурсивности функции относительно других
функций см. Клини, 52, стр. 275; о других упомянутых понятиях см. там же,
стр. 276 и 307 [соответственно стр. 245, 246 и 273 русск. изд. — Перев.].
4) Поэтому слово 'неразрешимость' в этом контексте звучит не совсем
уместно, так же как, кстати, и слово 'степень'; 'степени' — в данном случае
классы, а не числовые меры какого-либо рода, как это можно было бы
подумать.
5) Важнейшие работы, посвященные этим вопросам: Клини — Пост, 54;
Медведев, 55; Спектор, 56. В работе Поста, 44, была поставлена следующая
проблема: можно ли все степени неразрешимости линейно упорядочить
посредством отношения «рекурсивно относительно». Эта проблема, известная
под именем проблемы Поста, фигурировавшая в качестве одной из важнейших
нерешенных проблем оснований математики и логики, была почти
одновременно и независимо друг от друга решена в отрицательную сторону в 1956 г.
23-летним американским математиком Р. Фридбергом (см Фридберг, 56, 67)
и 21-летним русским математиком А. А Мучником (см. Мучник, 56). Фрид-
бергу и Мучнику удалось построить два рекурсивно перечислимых множества,
степени неразрешимости которых оказались не сравнимыми между собой
посредством этого отношения.
6) Аккерман, 54.
7) Чёрч, 56, стр. 246 и ел. [стр. 260 и ел. русск изд. — Перев.].
8) Клауа, 55.

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 379
§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств
Теперь мы можем, наконец, систематически изложить
основные результаты метаматематических и семантических
исследований в области оснований различных
теоретико-множественных систем, рассмотренных в предыдущих главах. Но прежде
всего мы резюмируем основные отношения между введенными
в настоящей главе метатеоретическими понятиями. Сделаем мы
это в виде нескольких диаграмм древовидной формы. Это стоит
сделать хотя бы потому, что терминология в этой области
вообще довольно запутана; термины, выбранные нами в этой
книге, иногда не совпадают с общепринятыми, и значение боль*
шинства из них отнюдь не разумеется само собой.
Мы различаем, в частности, следующие понятия (см. схемы
на стр. 380—381).
Первый же вопрос, который возникает у нас по поводу
интуитивных теорий, состоит в том, можно ли и должно ли
формализовать такие теории. Хорошо известно, что один из
основных принципов интуиционизма состоит в том, что никакая
формализованная теория не может дать исчерпывающего описания
интуитивной математики (каковая, с точки зрения интуициони-
стов, совпадает с интуиционистской) или какой-либо ее части.
Гейтинг, автор формализации интуиционистской
пропозициональной логики и логики предикатов (ср. гл. IV, § 4), всегда
настойчиво повторял, что эту формализацию никоим образом
не следует рассматривать в качестве адекватного описания
интуиционистских способов рассуждения и что вообще
нельзя доказать адекватность представления
интуиционистской теории в какой-нибудь формальной системе.
В истолковании знаков всегда останется некоторая
неопределенность и никогда нельзя будет доказать
математически строго, что данная система аксиом действительно
охватывает собою все пригодные методы
доказательства 1).
Тем интереснее недавно полученный результат Бета2),
которому удалось доказать, что гейтинговские пропозициональное и
функциональное исчисления, вопреки столь категорическому
заявлению их создателя, полны (в некотором, в высшей степени
содержательном, значении слова) относительно
интуиционистских методов рассуждений, так что по крайней мере эта часть
интуиционистской логики может быть исчерпывающим образом
формализована и даже аксиоматизирована. Для интуиционист-
1) Гейтинг, 56, стр. 102 [стр. 128 русск. изд. — Перев.].
2) Бет, 56а. [В доказательстве полноты, предложенном Бетом, обнаружена
ошибка. — Ред.]

3
к
3
н
з

.ΒΛ
ч
ев
S
ex
о
•θ*
О)
К
о
С
К
К
о,
о
<υ
н
<υ
3
S
О)
>>-
Ом
S
3 Ο
S К
<υ о
Ом «в
К
со
2
О
К
о
5- χ
Sm Bm
<-> н
О)
В* О)
а а
с«
S
О
К
чо
Ом
в
0)
3
S
тизир
ев
S
о
2
£
SJ
в
разре
<υ
S
О
К
В*
■ о
Ом
с
се
ч:
05
Ом
О
■ о
Ом
о
Η
о.
о -
0)
о
ч
Μ
о
со
К
ч
се
S
о-
о
3
2
а)
>>
Ом
3
S
К
•Э-
0)
Ом
со
э
^
Ом
о
4)
Η
2
Ом
о
Ом
о
Ом
О)
К
я-
Ом
о
о
X
1—э
S
а
о
ч

я
я
Ом
о
α>
Η
0)
3
я
ван
Л И 30
се
форм
<L>
ПОЛНЫ
1
рмально
о
•Θ*
0)
3
ч """"""""
епо
я
0)
лнимы
1
о непопо
я
со
к
о
Ом
>>

гаси

θα)
имы
я
ч
:темы
и
0)
1ЬНЫ
pMaJ
о
·&
полные
1
чески не!
я
н
я
се
S
0)
υ
0)
3
олн
с
я
я
Ом
о
0)
0)
3
я
я
се
CQ
О ■■"—■——
со
Я
ч
се
S
Ом
О
^м
►Д
ч
се
2
Ом
о
•Θ·
ω
3
со
Я
V
0)
Ом
о
CQ
Я
ί-
Ο
Ом
с
0)
я
о
я _____
ч
се
3S
Ом
о

-θα)
3
CQ
я
а*
противоре
о
с
ечивыз
Ом
о
03
Я
Η
о
Ом
с
CD
я
3
0)
3
2ЧИВ1
о.
о
— CQ
я
н
про
1
3
3
S
3
я
2
о
я 3
w со
о я
<υ а-
6Г 0)
Я Ом
н о
я со
се к
S
ία) о
υ Ом
В
3
S
<υ
0)
3
со
я
в*
0)
Ом
о
CQ
Я
Η
О
Ом
к
<υ
я
я
<υ
3
я
л
ч
X
CQ
Lnpa
о
ч
О)
3
я
а*
я
Ом_
о
fc-
CD
' О
Ом
О)
3
я
в*
я
Си
о
о
Ом
е
3
я
Ом
05
Ч
>>
и
О)
Ом
о
я
►о
ч
О)
"О
я
о
я
а*
я
Ом
о
с*
0)
я
Ом
о
с-
ω
н
се
2
Ом
О
о
S
о
я
■ а*
я
Ои
О

382 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
ской элементарной логики можно вполне удовлетворительно
определить понятие (интуиционистской) истинности;
получающаяся в результате формализованная теория оказывается
полной, а гейтинговская логистическая система —
семантически полной.
Многие математики, и особенно представители других наук,
выражают серьезные сомнения, стоит ли формализовать (даже
если это в принципе и возможно) математические (и иные)
теории, считая, что -плоды формализации не оправдывают усилий,
ценой которых она достается. Вопрос этот очень трудно
обсуждать in abstracto, но цель настоящей книги будет достигнута
лишь в том случае, если читатель придет к убеждению, что
только формализация позволяет так формулировать многие
важные проблемы, чтобы попытки их решения можно было
рассматривать всерьез. В настоящей книге обсуждались два
характерных (примера такого рода. Первый — только что упомянутая
формализация интуиционистской логики, позволившая многим
математикам и логикам, не придерживающимся
интуиционистских взглядов, выработать свое отношение к существу этих
взглядов, а не ограничиваться пожиманием ллеч. Второй —
формализация цермеловского понятия «определенности» (ср. гл. II,
стр. 56 и ел.) 1).
Если только формализованная теория не задана ab initio
в виде аксиоматической системы, так, чтобы множество ее
истинных предложений с самого 'начала отождествлялось с
множеством предложений, доказуемых в этой системе, или,
выражаясь положительным образом, если множество истинных
предложений теории определяется не синтаксически, а семантически,
возникает вопрос, является ли это множество рекурсивно пере-
числимьгм, т. е. аксиоматизируема ли данная теория.
Если говорить об арифметике Сколема, то ответ, разумеется,
отрицателен: (рекурсивная) неаксиоматизуемость этой теории
немедленно вытекает из гёделевской теоремы о неполноте. В ско-
лемовской арифметике имеется четко определенное
семантическое понятие общезначимости (validity) 2), и относительно этого
1) Интересное обсуждение этого вопроса, учитывающее как достоинства,
так и недостатки формализации, имеется в статье Хао Вана, 55а; ср. также
Дюбарль, 55.
2) Краткое описание сколемовской арифметики таково: множество ее
нелогических констант состоит ровно из двух трехместных предикатов (или же
из двух символов бинарных операций) для суммы и произведения (а при
некоторых формулировках еще двуместного предиката '>') и одной из двух
(или обеих) индивидных констант Ό' и 'Г. Правила образования — обычные,
общезначимость (validity) определяется как истинность при обычной
интерпретации, согласно которой переменные пробегают регулярные натуральные
числа, а упомянутые константы имеют их обычное значение

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 383
понятия она полна, эта полнота является простым следствием
из наличия точного определения истинности (truth-definition)
для этой системы. Однако никакая ее аксиоматическая подтео-
рия (subtheory) не обладает семантической полнотой; более
того, все достаточно богатые аксиоматические теории (subtheo-
ries) такого рода формально неполны.
Что же касается теории множеств, то здесь ситуация
представляется иной. В настоящее время не известно никакой
формализованной теории, находящейся в том же отношении к
(интуитивной) теории множеств, как сколемовская арифметика к
(интуитивной) арифметике (Number Theory). По существу в
формализованной теории множеств нет никакого
общепризнанного определения истинности, исходя из которого можно было
бы доказать ее лолноту, так как не существует никакой области
(universe) «регулярных» множеств, о которой можно было
серьезно утверждать, что она играет для теории множеств
ту же роль, что область регулярных натуральных чисел для
арифметики. Хотя любая аксиоматическая система теории
множеств, позволяющая в известном смысле адекватным образом
развивать на ее основе арифметику, непополнима, весьма
сомнительно, что этот результат можно истолковать таким
образом, что из него вытекает существование некоторой
определенной формализованной теории множеств, которую нельзя было
бы аксиоматизировать. Вопрос этот, имеющий, по-видимому,
громадное значение для понимания того, что такое теория
множеств, крайне недостаточно освещен в литературе, а то
немногое, что имеется, полно противоречий и непоследовательностей.
Позднее мы еще к этому вернемся.
Среди аксиоматизируемых теорий особенно важными
представляются те, что с самого начала строятся на основе
конечного числа аксиом, хотя, впрочем, вопрос о том, насколько в
действительности важна эта их особенность, до сих пор не
вполне ясен. Известно, например, что классическое
пропозициональное исчисление конечно аксиоматизуемо, если в числе его
правил вывода имеется правило подстановки, но перестает быть
таковым, если единственным правилом вывода является modus ро-
nens. Однако объяснение этого факта довольно тривиально.
Вопрос этот оказывается важным и в то же время сложным лишь
в связи с рассмотрением прикладных функциональных
исчислений. Для таких исчислений конечная аксиоматизуемость
означает конечность числа их специальных {specific) ]) аксиом
независимо от того, каким образом формализована лежащая в их
1) То есть нелогических. — Прим. перев.

384 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
основе логика1). Лишь недавно было доказано, что схема
математической индукции, употребляемая вместо бесконечного числа
аксиом, в элементарной арифметике не может быть заменена
конечным числом аксиом (сформулированных посредством того
же словаря) 2). Доказательство этого факта использует
некатегоричность этой теории; однако между 'конечной аксиоматизуе-
мостью и категоричностью не усматривается, вообще говоря,
никакой простой общей связи. Среди теорий множеств,
рассматривавшихся в предыдущих главах, одни, например системы
фон Неймана, Бернайса и Гёделя, были конечно аксиоматизуг-
мы с самого начала, другие, скажем, NF, имели вначале
бесконечное число аксиом, но затем было доказано, что и они
также конечно а'ксиоматизуемы; для таких систем, как
первоначальная система Цермело, системы Τ и Ζ3), оказалось
возможным доказать их конечную неаксиоматизуемость; наконец,
имеются теоретико-множественные системы, для которых
вопрос о возможности их конечной аксиоматизации пока не
решен— наиболее важным (примером такого рода служит система
ML. Для Ζ ^недавно было доказано даже более сильное
утверждение4), а именно что эта система не только конечно неаксио-
матизуема сама по себе, но и не может быть представлена в
виде конечного расширения первоначальной системы Цермело;
существо дела заключается в том, что в рамках Ζ схема
аксиом подстановки не может быть заменена конечным числом
аксиом. Получен и ряд общих результатов, относящихся к
различным системам теории множеств. Так, Хао Вану5) удалось
показать, что непредикативные схемы аксиом образования
множеств, например схему аксиом свертывания и различные
следствия из нее, нельзя, вообще говоря, заменить конечным числом
их частных случаев — разумеется, при условии
непротиворечивости рассматриваемой системы. (Вообще проблема конечной
аксиоматизации имеет смысл только по отношению к
непротиворечивым системам.)
Мы уже могли убедиться (см. выше, стр. 374) в значении
конечной аксиоматизуемости для доказательств неразрешимости.
Это свойство играет столь же важную роль и в других
метаматематических исследованиях6). Конечная аксиоматизируе-
1) См., например, Тарский, 56, стр. 236.
2) Рыль-Нардзевский, 53.
8) Хао Ван, 50d, 52.
4) Монтегю, 56 [и °61а. — Перев.].
5) Хао Ван, 52; в более ранней заметке Хао Вана, 50d, посвященной
этому же вопросу, содержалось ошибочное утверждение, исправленное в его
работе 52.
6) В том числе, очевидно, при доказательствах непротиворечивости; см.
Хао Ван, 52, стр. 244»

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 385
мость данной бесконечной системы аксиом поэтому всегда
представляется интересной проблемой, и положительное ее решение
во многих случаях является большим достижением. Что же
касается вопроса о том, обладают ли конечно аксиоматизируемые
системы какими-либо реальными эпистемологическими
преимуществами по сравнению' с аксиоматическими системами, не
обладающими этим качеством, то это значительно сложнее.
Конечная аксиоматизируемость систем, и без того
аксиоматизированных с помощью конечного числа схем аксиом (и, возможно,
еще конечного числа собственно аксиом), по всей видимости, не
дает никаких особых эпистемологических преимуществ. Другое
дело системы, о которых не известно, может ли множество их
аксиом (даже если оно и рекурсивно) быть охарактеризовано
с помощью конечного числа схем. Таковы, например,
аксиоматизации, существование которых утверждается теоремой Крэй-
га (ср. стр. 334, примечание 1), и сам Крэйг подчеркивает
ограниченность роли этой теоремы в методологии эмпирических
наук *).
Доказательство существования неаксиоматизируемых
формализованных теорий, вне всякого сомнения, принадлежит к
числу важнейших открытий, сделанных за последнее время в
исследованиях по основаниям математики. Общефилософские и
эпистемологические последствия этого открытия еще в должной
степени не оценены.
При рассмотрении аксиоматизируемых теорий чрезвычайно
важное значение имеет различие между разрешимыми и
неразрешимыми теориями (а среди последних особую роль играют
существенно неразрешимые); причины, обусловливающие
важность этого различия, разъяснялись выше. Приведем здесь еще
две теоремы, раскрывающие связь между формальной
непротиворечивостью, формальной полнотой, аксиоматизируемостью pi
разрешимостью. Первая из них состоит в том, что
аксиоматизируемость полной теории является достаточным условием ее раз-
1) В статье «Replacement of auxiliary expressions», Philos. Rev., 56 (1956).,
38—55; ср. также исчерпывающее обсуждение этих вопросов в статье
Хемпела «The theoretician's dilemma», Concepts, theories, and the mind-body
problem (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, vol. II), 1958,
37—98 (особенно стр. 76 и ел.).
Столь же ограниченную эпистемологическую ценность, хотя и
значительный логический интерес имеет результат Клини, состоящий в том, что аксио-
матизуемые теории со стандартной формализацией всегда могут быть
конечно аксиоматиз(ир)ованы путем расширения их первоначального словаря; см.
Клини, 52b. То же самое имеет место для усиления конечной
аксиоматизируемости при помощи добавления (весьма искусственных и малопрозрачных)
правил вывода к логике, лежащей в основе системы (Гермес, 51, показал,
что такое усиление всегда возможно).
25 Зак 1765

386 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
решимости1); в качестве простого следствия этой теоремы мы
получаем, что для полных теорий условия неразрешимости,
существенной неразрешимости и неаксиоматизируемости эквипол-
лентны. Вторая теорема состоит в том, что теория является
существенно неразрешимой тогда и только тогда, когда она
непротиворечива и никакое из ее непротиворечивых и полных
расширений, имеющих тот же самый словарь, не аксиоматизуе-
мо2). Доказательство этой теоремы основано на том же самом
рассуждении, которое использовал Линденбаум в
доказательстве своей известной теоремы, согласно которой каждая
непротиворечивая теория допускает непротиворечивое и полное
(хотя, конечно, и не обязательно аксиоматизируемое)
расширение3).
Ввиду разрешимости формально полных аксиоматизуемых
теорий очевидную важность приобретает вопрос о полноте
данной аксиоматической теории. Интересный достаточный
критерий формальной полноты теории со стандартной
формализацией был недавно предложен Воотом4). Согласно критерию
(test) Воота, такая теория -полна, если она категорична
относительно достаточно высокой мощности5). В качестве
примеров аксиоматических (или аксиоматизуемых) теорий, для
которых недавно была доказана полнота (а тем самым и
разрешимость), мы приведем классический результат Тарского о
полноте элементарной теории вещественно-замкнутых (real-closed)
упорядоченных полей6) и результат А. Робинсона о
полноте элементарной теории полных (completely divisible)
упорядоченных абелевых групп, имеющих по крайней мере два
различных элемента 7).
Оставшуюся часть настоящего параграфа мы посвящаем
обзору результатов, касающихся абсолютной и относительной не-
1) Клини, 43, стр. 56; Яничак, 53.
2) Тарский— Мостовский — Робинсон, 53, стр. 14; ср. также Тарский, 51.
3) Тарский — Мостовский — Робинсон, 53, стр. 15 и ел.
4) Boot, 54. В этой же работе Boot доказывает, что теория со
стандартной формализацией разрешима, если она аксиоматизуема, категорична
относительно некоторой бесконечной мощности и все ее модели бесконечны.
В реферате на эту работу Генкин, 55, утверждает, что разрешимость теорий
такого рода следует уже из конечной аксиоматизуемости и категоричности
относительно некоторой бесконечной мощности.
О более раннем аналогичном критерии, имеющем меньшую область
приложимости, см. Кустаанхеймо, 49.
5) Об этом понятии см. выше, стр. 345; о критерии модельной полноты
(model-completeness) (см. примечание 1 на стр. 349) см. А. Робинсон, 56,
стр 16 и ел.
6) Тарский, 51.
7] А. Робинсон, 56, стр 77.

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 387
противоречивости теоретико-множественных систем и лежащих
в их основе логик. Многие из этих результатов мы уже
упоминали ранее, по ходу изложения, в гл. II и III.
Начнем с логики. Отметим прежде всего, что (формальная
и семантическая) непротиворечивость классического
пропозиционального исчисления доказывается совсем легко
(доказательство можно найти в любом элементарном учебнике
формальной логики). Лишь немногим более трудно доказательство
непротиворечивости чистого функционального исчисления
первого порядка, основанное на переводе этого исчисления в
пропозициональное х). Но если доказательство непротиворечивости
пропозиционального исчисления сразу дает нам разрешающий
метод для доказуемости, то этого отнюдь нельзя сказать о
доказательстве непротиворечивости функционального
исчисления первого порядка; мы уже говорили (стр. 372), что для этого
исчисления вообще не существует разрешающей процедуры.
Непротиворечивость функциональных исчислений второго и более
высоких порядков можно доказать, пользуясь аналогичными
методами перевода, правда, не в пропозициональное исчисление
как таковое, а в расширенное {extended) пропозициональное
исчисление, в котором допускается связывание кванторами
пропозициональных переменных, для которого также удается
доказать непротиворечивость2). Доказательство непротиворечивости
сингулярного функционального исчисления порядка ω было во
всех деталях проведено, например, Генценом3), доказавшим
аналогичным методом и непротиворечивость арифметики,
пользуясь в метатеории трансфинитной индукцией до ε0 в качестве
единственного («конструктивного») метода, выходящего за
рамки дедуктивных средств собственно арифметики4).
Мы уже говорили о доказательствах непротиворечивости
простой теории типов без аксиомы бесконечности5) и
разветвленной теории типов без аксиомы сводимости6) средствами теории
доказательств (для формальной непротиворечивости) и теории
моделей (для семантической непротиворечивости). Поскольку
системы эти достаточны для построения рекурсивной
арифметики, для доказательств их непротиворечивости нужна метатео-
') Оба эти доказательства можно найти, например, в книге Чёрча, 56,
стр. 108—109 и 180 и ел. [соответственно стр 101—102 и 171 русск. изд.—
Перев.].
2) Чёрч, 56, стр. 306—307; ср. также стр. 290 и прим. 462 [соответственно
стр. 296—297, 280 и 437—438 русск. изд. — Перев].
3) Генцен, 36а.
4) Генцен, 36, 38а, 43; ср. Аккерман, 40; Стениус, 52.
5) См. гл. III, стр 217, прим. 3; ср. также Эрбран, 30.
6) См. гл. III, стр. 188, прим. 1.
25*

388 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
рия, в известном смысле более сильная, чем сами эти теории 1).
Но названные системы теории типов недостаточно сильны для
построения анализа. Правда, в предположении о
существовании некоторого бесконечного универсума U, а также его
множества-степени CU, CCU и т. д. легко показывается
семантическая непротиворечивость простой теории типов, эта иерархия
служит для нее очевидной моделью. Но, если только не
становиться окончательно на позицию крайнего платонизма, у нас
нет особых оснований быть уверенными в существовании этой
интуитивной модели, поскольку аксиома свертывания связана
с допущением о существовании непредикативных множеств, —
обстоятельство, ставящее под сомнение законность описанного
нами последовательного построения иерархии, исходящей из
области индивидов.
В то же время для таких систем, как системы Хао Вана и
Лоренцена, служащих расширениями разветвленной теории
типов на область конструктивных трансфинитных чисел в
качестве типов и являющихся, в отличие от нее, уже не
гомогенными, а кумулятивными2), по-видимому, возможно вполне
приемлемое и убедительное доказательство непротиворечивости.
Система NF, несмотря на условие стратификации в ее
аксиоме свертывания, допускает существование классов,
являющихся своими собственными членами (self-membered classes),
например универсального кла-сса. Поэтому интуитивная модель
простой теории типов для NF не подходит3); на самом деле
для NF вообще невозможно найти стандартную модель4).
Вопроса о непротиворечивости системы ML мы коснемся ниже.
Систематическое освещение проблемы непротиворечивости
теоретико-множественных систем удобно начать с рассмотрения
одного фрагмента системы Z, состоящего из аксиом I — VI и
IX [без аксиомы бесконечности (VII) и аксиомы подстановки
(VIII)]. Фрагмент этот занимает промежуточное положение
между тем, что мы в гл. II (стр. 49) называли общей теорией
множеств, отличаясь от нее тем, что содержит аксиому фунди-
1) Авторы не отметили, что упомянутые в предыдущей фразе
доказательства непротиворечивости являются таковыми относительно арифметики
(не являются абсолютными). Поэтому утверждение этой фразы остается
необоснованным. Все же в некотором смысле оно верно (например, для
доказательства непротиворечивости разветвленной теории типов нужна система,
более сильная, чем арифметика, а разветвленная теория типов в отношении
непротиворечивости равносильна арифметике). — Прим ред.
2) О понятии гомогенности по отношению к теоретико-типовым системам
см. гл. III, стр. 177; о понятии кумулятивности — стр. 190. — Прим. перев.
3) Хао Ван — Мак-Нотон, 53, стр. 24 [стр. 26 русск. изд. — Перев.].
4) Россер — Хао Ван, 50; ср. гл. III, стр. 180,

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 889
рования (IX), и системой Ζ (совпадающей в грубом
приближении с первоначальной системой Цермело), от которой она
отличается отсутствием аксиомы бесконечности. Следуя Хао
Вану и Мак-Нотону х), будем обозначать этот фрагмент через
'7Υ. Пусть Тг — система, определяемая следующим образом:
в ней имеется два сорта переменных — скажем, малые и
большие буквы — и соответственно еще один вид атомарных
формул: 1х £ Х\ Равенство переменных низшего сорта определяется
с помощью определения ПЬ (гл. II, стр. 47), а для переменных
высшего сорта следующим образом:
X = Y = m(kx){x£X~x£Y).
Аксиомы Тг — это аксиомы 7\, а также
(Ax)(ky)[x = yz>(AX)(xeX~yeX)
(аксиома объемности «второго порядка») и
( )(EX)(Ax)[x<EX^F(x)\
(где 'F(x)' не содержит свободно 'X')—схема аксиом
свертывания «второго порядка».
Пусть Тп (для любого конечного п) содержит η различных
сортов переменных [и элементарные формулы вида х^^хи где
i^Cn2)] и получается из Тп-\ точно так же, как Т2 из 7V Тар-
ский 3) доказал, что Тп содержит нормальное определение
истинности для Τ„-ι. Это дает возможность доказать
непротиворечивость Τп в Tn+i (но, конечно, не в Тт при т^п).
Последовательность систем Тп монотонно возрастает по^силе, но
любой элемент этой системы остается слабее Ζ (или Г*)
(стр. 177). Строение системы 7Ί позволяет рассматривать ее как
теорию множеств для натуральных чисел4), Т2— как теорию
множеств для действительных чисел (т. е. множеств
натуральных чисел), а Т3 — 'как теорию множеств для действительных
функций5).
Пусть теперь 1п — система, отличающаяся от Тп тем, что
на каждую из ее я— 1 схем аксиом свертывания наложено
дополнительное ограничение, состоящее в том, что lF(XiY (i<n)
не может содержать переменных более высокого типа, чем ί+\.
1) Хао Ван —Мак-Нотон, 53, стр. 27 [стр 28 русск. нзл. — Перев.]; ср.
гл. II, стр. 157.
2) Вместо части фразы, заключенной в квадратные скобки, в оригинале
просто 'и т. д.* — Прим. перев.
3) Тарский, 39.
4) О построении арифметики средствами 7Ί см. стр 150, прим. 1.
5) Об относительности понимания этих терминов см. ςτρ. 157, примечав
ние 4. — Прим. перев.

390 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Это ограничение не настолько сильно, чтобы аксиомы
свертывания становились предикативными, поскольку в Ψ(Χΐ)' могут
все же входить переменные типа ί+l, но все же, в известном
смысле, уменьшает степень непредикативности аксиом
свертывания 1п по сравнению с соответствующими аксиомами Тп-
(Это верно лишь для л>2, так как /2 и Т2 представляют
собой, очевидно, одну и ту же систему.) Мак-Нотон1) доказал,
что непротиворечивость 1п относительно /η_ι может быть
формально доказана в Т3. Поскольку в Т3 доказуема и абсолютная
непротиворечивость /2 (=Γ2)2), то в Т3 доказуема абсолют-
ная непротиворечивость каждой из систем 1п — довольно
эффектное свидетельство силы, таящейся в большей степени
непредикативности.
Другое, не менее эффектное свидетельство силы (а тем
самым и уязвимости), заключающейся в большей
непредикативности, — это результат Кемени, которому удалось построить в
Ζ нормальное определение истинности для Г* и доказать,
таким образом, в Ζ непротиворечивость Г*3), несмотря на то что
интуитивные модели обеих этих теорий представляются
примерно в равной мере надежными. Вспомним, что представляют
собой интуитивные модели для Ζ (выше, стр. 338) и для Г*
(выше, стр. 388). Положив, что U из модели Г* соответствует
Ε из модели Ζ, мы получим, очевидно, взаимно однозначное
соответствие между этими моделями. Таким образом, большая
сила Ζ обусловлена тем обстоятельством, что переменные,
входящие в формулу Ψ{χ)' схемы аксиом выделения этой системы,
пробегают всю предметную область (universe), в то время как
переменные из формулы lF(x)' в каждой из схем аксиом
свертывания системы Т" пробегают только некоторую
ограниченную область 4).
Мы не будем приводить здесь доказательства
непротиворечивости каждой системы 1п относительно 1п-\- Вместо этого
мы опишем в общих чертах доказательство непротиворечивости
ML относительно NF. Помимо того что этот результат
представляет сам по себе большой интерес, мы помним, что ML
получается из NF добавлением нового сорта переменных для
классов (или по крайней мере этот переход, в случае
надобности, может быть описан именно таким образом),
присоединением аксиомы объемности для классов и новой аксиомы свер-
!) Мак-Нотон, 53.
2) Это Адедует из того упомянутого ранее факта, что в Тп имеется
нормальное определение истинности для Тп-\.
$) В с#оей диссертации; ср. Кемени, 48.
*) Ср. Хао Ван — Мак-Нотон, 53, стр. 35 [стр, 35 русск. изд. —- Перев\.

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 391
тывания, обеспечивающей существование классов элементов,
удовлетворяющих данному условию, т. е. аналогично тому, как
1п получается из /η_ι. Из предположения о
непротиворечивости NF следует, по теореме Лёвенгейма — Сколема, что эта
система имеет (нестандартную) модель в области натуральных
чисел. Но в таком случае ML имеет модель в области
множеств натуральных чисел, т. е. в области действительных чисел.
Коль скоро эту модель обычно считают заслуживающей
доверия, ML непротиворечива. Это доказательство было
предложено Хао Ваном 1). Позднее Мак-Нотон2) доказал, что оно может
быть формализовано в Т3.
В Ζ можно доказать непротиворечивость Ζ: с помощью
аксиомы подстановки можно легко доказать, что в Ζ
существует область множеств, образующих интуитивную модель
для Ζ.
Отсюда следует, что в Ζ _нельзя доказать
непротиворечивость самой Ζ относительно Ζ, иначе мы имели бы
доказательство (абсолютной) непротиворечивости Ζ в самой Ζ, что
противоречило бы следствию из теоремы Гёделя.
Взаимоотношение между системами В я Ζ во многих
чертах аналогично взаимоотношению между ML и NF, однако
с одной существенной разницей. Заменяя 'η' на 'ζ' (гл. II,
стр. 143 и след.), можно показать, что с точностью до способа
описания В отличается от Ζ только тем, что в В имеется
новый сорт переменных (прописных латинских букв), дополни-,
тельный класс атомарных формул (в которых переменные
нового сорта могут входить справа от символа ' £ \ но не слева),
схемы аксиом выделения и подстановки заменяются
соответствующими аксиомами (в собственном смысле), например с
помощью замены Ψ(χ)' на 'χ ζ Χ' (и приписыванием к
получающейся в результате формуле спереди квантора '(АХ)9), и,
наконец, добавляется схема аксиом свертывания для классов
множеств— схема (В) (стр. 142). (Напомним, что (В) выводима
из конечного числа собственно аксиом, из чего вытекает
конечная аксиоматизуемость В.) Самым существенным различием
между (В) и Смх (стр. 182) является не бросающаяся в глаза
разница в форме фигурирующих в них формул
(заменив в (В) 'η' на ' £' и отбросив подформулу '(Εζ)χ £zJ при
помощи переменных второго рода, можно было бы добиться
полного совпадения этих формул), а то, что на Т(х)' в
(В) накладываются более сильные ограничения, чем на Ψ (χ)'
l) Xao Ban, 50b.
2) Мак-Нотон, 53.

392 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
в CML: в условие (В) связанные классовые переменные входить
не могут, а в соответствующее условие CMl могут. Вследствие
этого В является предикативным расширением Ζ (стр. 154-—
155), в то время как ML есть непредикативное расширение NF-
Непредикативность этого расширения, впрочем, не столь уж
сильна. В самом деле, Шёнфилду1) недавно удалось доказать
и непротиворечивость В относительно Ζ и
непротиворечивость ML относительно NF в рекурсивной арифметике, так что
это доказательство можно формализировать уже в Тх.
Тот факт, что В является лишь предикативным расширением
Z, несколько сужает, естественно, возможности этой системы.
Так, например, Мостовский2) показал, что введение
математической индукции, совсем просто проходящее в ML, в В связано
с некоторыми трудностями. Но мы уже хорошо познакомились
с диалектикой гибкости и надежности. Хотя доказательство
непротиворечивости ML относительно NF и не обладает той
степенью убедительности, как нам хотелось бы, оно все же
является доказательством непротиворечивости. Конечно, ценность
этого доказательства в глазах математиков могла бы стать
гораздо большей, если удалось бы доказать непротиворечивость
NF относительно какой-либо из более известных систем,
скажем В или даже Z3). Такого доказательства, однако, до сих
пор получить не удалось, и многие математики вообще
выражают серьезные сомнения по поводу его принципиальной
осуществимости.
Россер4) рассмотрел и решил обратную проблему. С
помощью построения модели можно доказать непротиворечивость
Тх относительно Λ^; Ζ оказывается непротиворечивой отно-
х) Шёнфилд, 54. Ср. гл. III, стр. 210, примечание 2.
2) Мостовский, 51а. Хао Ван, 53 (стр. 403), приводит интересные (хотя
и не особенно неожиданные) соображения о том, что эту ограниченность
возможностей предикативных систем по сравнению с системами,
допускающими непредикативное образование классов, можно было бы, по-видимому,
преодолеть, пользуясь некоторыми способами рассуждений, выходящими за
рамки обычно принятых в логистических системах, но все же более
надежными, нежели употребление непредикативности. Для одной конкретной
системы ему, во всяком случае, удалось показать, что уже одно применение
правила бесконечной индукции вполне может заменить непредикативное
образование классов. Доводам о нефинитности этого правила Хао Ван
противопоставляет то соображение, что любая ω-непротиворечивая система остается
(и притом тривиальным образом) доказуемо непротиворечивой и после од-
ного-единственного применения этого правила; что же касается
ω-непротиворечивости, то во многих случаях ее удается установить с помощью
интуитивной (хотя и не обязательно конструктивной) модели.
3) Ср. Куайн, 53, стр. 100.
4) Россер, 56. [В этой статье результаты формулируются без
доказательств. — Ред.]

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 393
сительно /VF, дополненной аксиомой, постулирующей
существование строго канторовских множеств (стр. 181) 4), а сама
система Ζ непротиворечива относительно усиленной указанным
образом системы NF, дополненной, кроме того, аксиомой
подстановки для строго канторовских множеств.
Наконец, Ори2) удалось доказать непротиворечивость
теории множеств Гёделя относительно слегка усиленной системы
ML и показать, что в этой усиленной ML можно
формализовать доказательство предложения, выражающего
непротиворечивость системы Гёделя, Ори показал также, что в некоторых
усилениях систем NF и Г* (гораздо более сильных, нежели
сами эти системы, скажем, за счет присоединения аксиомы,
постулирующей существование недостижимых порядковых чисел)
имеются модели системы Гёделя. Аналогичным образом можно
показать и непротиворечивость системы Ζ относительно
некоторых усиленных модификаций NF.
Чтобы окончательно не запутаться в этом лесу (чтобы не
оказать в джунглях), деревья которого — различные системы
теории множеств — уже так примелькались нам (особенно на
последних страницах, где разбирались вопросы об их
непротиворечивости и абсолютной и относительной силе), попытаемся,
насколько это возможно, резюмировать хотя бы часть
сказанного в виде некоторого рода иерархий теоретико-множественных
систем, воспользовавшись при этом также данными, взятыми
из недавних работ Хао Вана, Мостовского, Файрстоуна — Рос-
сера, Россера, Шепердсона, Шёнфилда, Мендельсона, Ори и
А. Леви (и резюме работ Тарского, Воота и Монтегю3)).
1) На стр. 181 было введено понятие канторовского класса;
аналогично строго канторовским можно называть множество, «тривиальным»
образом эквивалентное множеству своих единичных подмножеств (λ' i^M).—
Прим. перев.
2) Ори, 56. [В этом усилении ML имеется аксиома подстановки. — Ред.]
3) Имеются в виду следующие работы: Хао Ван, 49, 50, 50а, 50d, 51,
51а, 52а, 53а, 53с, 55; Мостовский, 49а, 51а, 53, 55, 56; Файрстоун — Россер,
49; Россер — Хао Ван, 50; Крейсел, 50, 53, 55, Шепердсон, 51—53; Мак-Нотон,
53; Хао Ван — Мак-Нотон, 53; Шёнфилд, 54, Крейсел — Хао Ван, 55; Россер,
55; Мендельсон, 56; Ори, 56а; А. Леви, 58 (а также Тарский, 55, 55а,
Монтегю, 56, и Boot, 56)
В оставшейся части этого параграфа мы широко используем
результаты А. Леви, 58. Диссертация эта была представлена в мае 1958 г., когда
первые четыре главы этой книги были уже в печати; поэтому многие из
рассмотренных в ней вопросов мы не могли до сих пор подробно обсуждать.
Скажем поэтому лишь о двух важных результатах: (1) В работе Леви
содержится доказательство непротиворечивости теоретико-множественной
системы, описанной недавно Аккерманом, 56 (работа которого, как это уже
отмечено в гл. II, стр. 36, прим 1, стала нам известна уже после того, как вторая
глава этой книги была сдана в печать), относительно системы, обозначаемой
ниже через 'Z™', причем это доказательство сохраняет свою силу даже в том

394 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Прежде всего мы будем различать теории множеств, для
которых можно указать интуитивные модели, и теории, для
которых таких моделей указать нельзя. Многие математики и
логики с самого начала отвергли бы, по соображениям
философского характера, теории множеств, не имеющие
интуитивных моделей. Напомним, что к такого рода теориям относятся
системы NF и ML Куайна (и близкие к ним теории). У
простой теории типов без аксиомы бесконечности и у общей теории
множеств имеются очень простые интуитивные модели, и
непротиворечивость этих теорий можно считать твердо
установленной и не подверженной никаким разумным сомнениям. Эти
системы могут, правда, отвергаться мыслителями,
придерживающимися интуиционистских взглядов, но отнюдь не потому,
что эти мыслители заподозрили бы их противоречивость, а
потому, что сами эти теории или лежащая в их основе логика не
удовлетворяли бы интуиционистским критериям в каких-либо
других отношениях. Что'же касается теорий множеств,
описанных в гл. II (и некоторых родственных им), то их интуитивные
модели уже не являются конструктивными и потому
подвержены сомнениям в той мере, насколько далеко приходится
продвигаться по интуитивной иерархии множеств, чтобы получить
эти модели.
Для построения первой иерархии систем мы
предварительно введем с помощью трансфинитной индукции
последовательность множеств, начинающуюся с пустого множества, каждый
член которой (кроме первого) есть объединение множеств всех
подмножеств всех предшествующих множеств; обозначая ξ-й
член этой последовательности через ψ (ξ), имеем, по
определению,
*(i)=Df U cw
Рассмотрим теперь следующую иерархию:
1. Общая теория множеств (с аксиомой фундирования) Τ
(ИЛИ /ι).
2. Ее предикативное расширение Т2 (или /2).
случае, если систему Аккермана усилить надлежащим образом
сформулированными аксиомами фундирования и выбора и надлежащей формой
континуум-гипотезы. Усиление системы Аккермана аксиомой подстановки, аналогичной
гёделевской аксиоме С4, приводит к исключительно сильной системе.
(2) Для систем Ζ η В сформулированы очень сильные схемы аксиом
свертывания, присоединение которых к этим теориям приводит к максимальному
в известном смысле (не приводящему к возрождению антиномий)
расширению универсумов моделей этих систем (в рамках интуитивной модели канто-
ровской теории множеств).

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 395
3. Первоначальная теория Цермело (с несколько усиленной
аксиомой бесконечности
4Ez){Oez!k(Ax)(Ay)\(xez&yez)^x{){y}ez\y),
которую мы будем для простоты обозначать также через 'Z\
хотя для других целей ее и следовало бы отличать от системы,
которую мы обычно обозначаем этим символом.
4. Ее предикативное расширение, обозначаемое через В *).
5. Z, дополненная аксиомой подстановки Z.
6. Ее предикативное расширение В.
7. Z, дополненная аксиомой, постулирующей существование
хотя бы одного нетривиального (т. е. большего ω)
недостижимого числа; эту систему мы обозначим через 'Ζ .
8. Bt дополненная такой же аксиомой. В^.
9. Z, дополненная аксиомой, постулирующей существование
по крайней мере двух нетривиальных недостижимых
чисел Z* *.
Теперь можно показать, что аксиомы этих 9 систем
оказываются истинными, если входящую в них нелогическую
константу '(-' интерпретировать как обозначение для отношения
принадлежности, а в качестве их универсума (соответственно
универсумов для систем, содержащих два сорта переменных,
т. е. систем 2, 4, 6 и 8) выбираются следующие множества (в
порядке перечисления):
1. ψ (ω).
2. ψ (ω) и С ψ (ω).
3. ψ (ω-)-ω).
4. ψ (ω-)-ω) и Οψ(ω-|-ο)).
5· Ψ(1ι)» гДе Ιι — первое нетривиальное недостижимое число.
6. ψ (δι) и Ci|)(li).
7. ψ(ξ2), где |2 — второе нетривиальное недостижимое число.
8. ψ (У и Сг|)(12).
9· ψ (1з)» гДе h — третье нетривиальное недостижимое число.
Кроме того, существование множества (множеств),
образующего (образующих) универсум (ы) п-и теории из этой иерархии,
1) На самом деле предикативное расширение Ζ отличается от В,
так как оно не_ содержит аксиомы подстановки, а содержит лишь схему
подстановки из Ζ. В можно было бы назвать 'бипредикативным расширением
Ζ. — Прим. ред.

396 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
в каждом случае доказуемо уже в n+l-и теории (а для
девятой теории — в теории, получающейся из Ζ в результате
присоединения к ней аксиомы, постулирующей существование по
крайней мере К0 недостижимых чисел1)).
Перед тем как приступить к построению следующей
иерархии, мы предварительно заметим, что каждая из теорий,
которые мы будем рассматривать, содержит арифметику, а
следовательно, и арифметизацию своего собственного синтаксиса.
Для любой данной теории Τ такого рода обозначим через
'Con(Г)' одно из предложений, выражающих
непротиворечивость Т. Точнее, пусть Р(х,у) есть арифметическая формула,
выражающая, что χ есть гёделевский номер доказательства,
заключительная формула которого имеет гёделевский номер у\
тогда Соп(Г) есть предложение ~ (Ех)Р(х,а), где а есть
гёделевский номер выражения '0 = S(0)\ Согласно следствию из
теоремы Гёделя, это предложение недоказуемо в Г, если только
Τ непротиворечива. Заметим также, что принцип
математической индукции в полном его объеме (как уже отмечалось выше,
на стр. 392) независим от В (и, a fortiori, от любой из ее под-
теорий). Теперь мы можем описать вторую иерархию:
1. Общая теория множеств, 7Ί.
2. Ти дополненная [аксиомой]2) Con ( 7\), — 7V
3. Предикативное3) расширение Ти дополненное аксиомой
*
математической индукции: /2-
4. Z. __
5. Предикативное расширение Z, дополненное [аксиомой]
математической индукции: В*.
6. Ζ
7. Предикативное расширение Ζ, дополненное [аксиомой]
математической индукции, В.
8. Ζ, дополненная аксиомой, постулирующей существование
по крайней мере одного нетривиального недостижимого числа,
1) Для этой цели достаточно постулировать существование лишь трех
недостижимых чисел. — Прим. ред.
2) Слово добавлено при переводе. — Прим. перев.
3) И здесь правильнее было бы сказать 'бипредикативное'; ср.
примечание редактора на стр. 395. — Прим. ред.
4) Между В>4 и Z& можно вставить еще систему, получающуюся из В
в результате добавления аксиомы, назначение которой состоит в том, чтобы
В имела собственную полную модель {proper complete model), — эта
аксиома есть отрицание аксиомы G Шепердсона (ср. Шепердсон, 51—53ш, стр. 147
и ел.), — удовлетворяющую условию (Ь), сформулированному на стр. 183
работы Шепердсона, 51—53ι. [Условие это состоит в том, что всякий непустой
подкласс универсального класса модели обладает элементом, не
пересекающимся с ним (относительно исходной теории). — Перев] Существование соб-

§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 397
В каждой из перечисленных теорий (кроме, конечно,
первой) имеются арифметические теоремы, утверждающие
непротиворечивость предшествующих ей в этой иерархии теорий. (По
отношению к 7Ί, которая содержит в качестве аксиомы
формулу Соп( 7\), это тривиально; в остальных же случаях это
далеко не так.) В каждой из теорий 3—8 имеются нормальные
определения истинности для всех предшествующих теорий.
Следовательно, если теории эти непротиворечивы, то ни в одной из
них нельзя доказать ее собственную непротиворечивость
относительно предшествующих теорий. Поэтому оказываются
невозможными доказательства относительной непротиворечивости
теорий из этой иерархии методом Г*-перевода (см. выше,
стр. 341). Вообще если теория Т' настолько сильна, что
содержит доказательство непротиворечивости некоторой (более
слабой) теории Г, то доказательство непротиворечивости V
относительно Τ должно представлять собой трудную проблему. С
другой стороны, если в некоторой слабой теории можно дать
доказательство непротиворечивости V относительно Г, то V не
может быть настолько сильнее Г, чтобы содержать
доказательство абсолютной непротиворечивости Т.
Вспомним, например, что непротиворечивость В
относительно Ζ доказуема в рекурсивной арифметике, а следовательно,
и в самой В. Поэтому В оказывается не настолько сильнее Ζ,
чтобы в В можно было бы установить абсолютную
непротиворечивость Ζ (хотя и можно доказать, что все множества,
необходимые для построения модели Ζ, в В существуют). В то
же время система В* уже достаточно сильна, чтобы в ней
можно было доказать непротиворечивость Ζ; теперь, однако,
дополнительная (ίΐο сравнению с Ζ) сила В* оказывается уже
слишком большой, чтобы можно было провести доказательство
относительной непротиворечивости1) в любой системе, не более
сильной, чем сама В *. Следует обратить внимание на то,
к какому усилению приводит полная форма принципа
математической индукции.
Тот факт, что непредикативные расширения
теоретико-множественных систем настолько сильнее, чем их предикативные
расширения (дополнительная непредикативность вызвана
присоединением принципа математической индукции в ее полном
объеме, аксиомы, постулирующей существование недостижимых
чисел, или же таких схем аксиом, как, скажем, схема аксиом
ственной полной модели эквивалентно формуле Δ(0 Мостовского, 49а, а
также существованию стандартной модели в смысле Россера — Хао Вана, 50
(ср. Шепердсон, 51—53ц, стр. 165 и ел.) и является более сильным условием,
чем простая непротиворечивость.
1) В* относительно Ζ. — Прим. перев.

398 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
подстановки или схема аксиом свертывания «второго порядка»),
проявляется и следующим (весьма интересным) образом:
согласно важной теореме Мостовского !), предикативные
расширения не содержат никаких новых теорем, выраженных в старом
словаре исх©дной теории. Если, например, φ есть теорема В,
не доказуемая в Ζ, то φ не есть формула самой системы Ζ.
Совсем по-другому обстоит дело в случае непредикативных
расширений, которые могут содержать и новые теоремы,
выраженные в словаре первоначальной теории2). Например, каждая
из систем Ζ?*, Ζ# и теория, получающаяся из В в результате
присоединения схемы аксиом свертывания второго порядка,
содержит теорему Con(Z), которая есть формула Z, но, конечно,
не доказуема в Ζ (как мы надеемся3)). Предикативные
расширения теоретико-множественных систем не позволяют
рассчитывать на уменьшение числа предложений, относящихся к
теории (натуральных или действительных) чисел,
формулируемых в исходных теориях, но неразрешимых в них; это
происходит в непредикативных расширениях.
Любое доказательство непротиворечивости какой-либо
теории Τ относительно какой-нибудь из ее подтеорий Т' дает нам
сразу же доказательство совместимости дополнительных (по
сравнению с Т') средств Τ относительно средств Т\ а так как
совместимость какой-либо аксиомы означает независимость ее
отрицания, то мы получаем, таким образом, различные
доказательства независимости. По поводу конкретных результатов,
полученных <в этом направлении, мы отсылаем читателя к
упоминавшейся выше 4) литературе.
§ 8. Философские замечания
Во многих местах этой книги, когда нам приходилось
касаться некоторых щекотливых «философских» вопросов, мы
прерывали изложение замечанием, что проблема эта будет освещена
«|ПОЗже». Теперь наступил последний срок выплаты
накопившихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого
заключительного параграфа проникнется ощущением, что все возникшие
1) Мостовский, 51а, прим. 6; ср. гл. II, стр. 154, прим. 1 [Мостовский
доказал эту теорему и для 'бипредикативных' расширений (см. прим. 1 на
стр. 395 и 3 на стр. 396. — Ред.)].
2) Авторы заблуждаются: аналог теоремы Мостовского имеет место и
для непредикативных расширений. — Прим. ред.
3) Речь идет о надежде на непротиворечивость Ζ.— Прим. перев.
Тут есть видимость парадокса, разъяснение которого состоит в том, что
непротиворечивость Ζ выражается в Ζ и ее непредикативном расширении
разными формулами, на что впервые указал Россер (см. Хао Ван, 52Ь).—
Прим. ред.
4) На стр. 393, примечание 3.

§ 8. Философские замечания
399
перед ним проблемы получили теперь свое окончательное
разрешение. Почти никаких окончательных суждений он здесь не
встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так
это в самой формулировке некоторых из этих проблем, а также
различных точек зрения на них, что могло бы способствовать
лучшему пониманию их существа.
Первая из этих проблем — это онтологический статус
множеств; не того или иного конкретного множества, а множеств
вообще. Под словом «множество» обычно понимают то, что
философы называют универсалиями {universals)\ таким образом,
интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно
известной и широко обсуждавшейся классической проблемы об
онтологическом статусе универсалий. Три основных ответа на
общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых
дискуссий, известны под именами реализма, номинализма и
концептуализма. Мы будем рассматривать здесь не сами по себе
эти направления мысли в их традиционных версиях1), а только
их современные аналоги, известные как платонизм2),
неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы
будем, как правило, опускать, так как здесь у нас не будет
случая обсуждать старинные версии). Мы рассмотрим затем еще
одну позицию, согласно которой вся эта проблема
онтологического статуса универсалий вообще и онтологического статуса
множеств в частности есть не что иное, как метафизическая
псевдопроблема.
Платонисты убеждены, что для каждого правильно
определенного одноместного условия существует, вообще говоря,
соответствующее множество (или класс), состоящее из всех тех и
только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию,
и что это множество само является предметом с таким же
полноправным онтологическим статусом, как и его члены. Если бы
только не антиномии, то лучшим отражением интуитивной
позиции платонистов должню было бы быть идеальное
исчисление К (стр. 172) или что-нибудь в этом роде; главная
особенность такого рода систем—это ничем не ограниченная схема
аксиом свертывания. Будучи вынужденными считаться с
реальной ситуацией, платонисты допускают, хотя и с неохотой, что
их представления о том, что такое правильно определенное ус-
1) Доступное описание этих классических точек зрения, выполненное с
современных позиций, см. в статьях Штегмюллера, 56—57, где представлены
также и некоторые из новейших направлений.
2) Этот термин (в принятом здесь нами смысле) впервые употреблен,
по-видимому, Бернайсом, 35. Был ли (да и вообще мог ли быть) плато-
нистом сам Платон — вопрос спорный. Ср., например, рецензию Π Хенле нз
книгу Гудмена, 51, в Journal of Symbolic Logic, 17 (1952), 130—133,

400 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
ловие, могут оказаться недостаточно четкими, и заявляют о
своей готовности наложить на употребление схемы аксиом
свертывания некоторые ограничения, вроде тех, что приняты в
теории типов или в теории множеств цермеловского толка.
Однако в глубине души они надеются, что рано или поздно кому-
нибудь удастся показать достаточность гораздо менее
радикальных мер предосторожности. Может, конечно, случиться,
что некоторые платонисты придут к убеждению (или другие
сумеют убедить их) в том, что в мире, в котором они живут,
предметы действительно расслоены (are really stratified) на
типы и порядки, тогда они примут теорию типов не в качестве
удобного соглашения, а в качестве описания реальной ситуации.
Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять,
что имеют в виду те, кто говорит о множествах, — такие
разговоры для них могут представлять собой лишь fa^on de parler1).
Единственный язык, на понимание которого они претендуют,—
это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное
как прикладное функциональное исчисление первого порядка.
Многие обороты, используемые как в научном, так и в
повседневном языке, зависящие, prima facie2), от термина
'множество', номиналисты без особого труда точно переводят на свой
ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как
'множество предметов а есть подмножество предметов V они
переводят как 'для всех х, если χ есть а, то χ есть Ь\ Некоторые
другие обороты и выражения представляют большие трудности
для такого перевода. На языке теории множеств легко
выразить тот общепринятый способ образования понятий,
посредством которого какое-либо асимметричное и интранзитивиое
отношение порождает новое отношение наследственности (the
ancestral)3) (которое оказывается уже транзитивным). На
пример, исходя из допущения, что в области целых чисел уже
имеется отношение 'быть на единицу больше' (но пока не
просто 'быть больше'), определяют: χ больше, чем у, если и
только если χ отлично от ί/ и χ принадлежит всем множествам,
содержащим // и все целые числа, на единицу большие любого
их члена. Воспроизведение такого способа образования
понятий в исчислении индивидов часто требует больших
ухищрений, в ряде же случаев эта задача, по-видимому, вообще це-
1) Манеру выражаться (франц). — Прим. перев.
2) На первый взгляд (лат.). — Прим. перев.
3) То есть — для какого-либо данного бинарного отношения R — такое
отношение между χ и у, которое равносильно наличию цепочки х\, х2,
..., xk (&>2), где Х\ = х, Хк = У и для всех ί, !♦</<&— 1, R(xi, *i+i); см.,
например, Гудстейн, 57, стр. 138 русского издания. — Прим. перев.

§ 8. Философские замечания
401
выполнима1). Известно, что выражения типа «кардинальное
число множества а есть 17» (или «... не более 17», или «... не
менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко
выразимы в функциональном исчислении первого порядка с
равенством. Однако такое выражение, как «кошек больше, чем
собак», уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном
и любых других конкретных случаях эти трудности все же
преодолимы, нет общего метода номиналистического истолкования
выражения «предметов а больше, чем предметов б»2).
Трудности, возникающие при попытках выразить всю
классическую математику в номиналистических терминах,
производят впечатление непреодолимых — и так оно, по всей
вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории
множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных
им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих
теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям».
Зато к тем разделам математики, которые находят
применение в других науках, номиналисты относятся со здоровым
уважением, и многие из них готовы скорее подвергнуть сомнению
собственную философскую интуицию, нежели принести в
жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два
заслуживающих внимания выхода из возникающих
затруднений: либо продолжать пользоваться всеми нужными частями
математики в надежде, по-видимому, не слишком
обоснованной3), что в конце концов удастся получить их адекватную
переформулировку в номиналистических терминах, либо
объявить всю высшую математику неинтерпретируемым
исчислением, пользование которым, несмотря на отсутствие
интерпретации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству,
что его синтаксис формулируется (или может быть
сформулирован) на вполне понятном номиналистическом метаязыке4).
Насколько успешно неинтерпретированное (и непосредственно не
интерпретируемое) исчисление может выполнять возлагаемую
на него задачу согласования интерпретированных предложений
эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный,
несмотря на большие усилия, потраченные на его решение
многими учеными, занимавшимися проблемами философии науки 5).
1) Ср. Гудмен — Куайн, 47; Гудмен, 51, 56; Куайн, 53.
2) См. Гудмен, 51, стр. 37 и ел.
3) О причинах безнадежности нахождения для (какой-нибудь формы)
аксиомы бесконечности такой интерпретации, которая удовлетворила бы
финитистски настроенных номиналистов, см. Генкин, 53а, стр. 27.
4) Ср. Гудмен — Куайн, 47.
5) Подробное обсуждение современного состояния очень близкого
вопроса — статуса теоретических понятий в эмпирических науках — см. у Кар-
напа, 56, и в упоминавшейся выше (стр. 385, примечание 2) статье Хемпела.
26 Зак 1765

402 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Здесь явственно усматривается близость к формалистической
(гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть
математики, в основном рекурсивная арифметика, считается
интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным
исчислением, используемым в качестве средства преобразования
осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения,
причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается
со статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии.
От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия
философии «как-будто» („As-if"philosophy"); Генкин1)
указывает, что финитистски настроенный номиналист, т. е. тот, кто
верит, что мир (который для него представляется всегда в виде
некоторой однородной области индивидов, причем природа этих
индивидов роли не играет) состоит лишь из конечного числа
элементов, вполне мог бы допустить, что существование
бесконечного числа предметов есть полезный обман (pretense)
(раньше в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно,
видит, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же
успехом можно было бы согласиться с фикцией о существовании
универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским
языком, отрицая в то же время, что тем самым приходится
принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с
таким языком; однако он чувствует, что между этими двумя
фикциями есть существенное различие, вследствие которого
последовательный номиналист охотнее согласится с первой
фикцией, чем со второй; Генкин признает при этом, что никакого
объективного критерия для такого различения фикций ему не
известно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий,
при котором использование языков форм не предполагает
принятия онтологических допущений, производит несколько
легкомысленное впечатление и нуждается поэтому в дальнейших
разъяснениях 2).
Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная
растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный
ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в
тщательно распланированных и хорошо обозримых садах
неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое
множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой
построение (или придумывание (inventig)), а не любимой
метафорой платонистов выбор (или открытие)] эти метафоры заме-
1) Генкин, 53а, стр. 28.
2) См. Карнап, 50а, 56, Алстон, 58, Иссман, 58. Можно ожидать, чго
материалы готовящегося к печати сборника «The philosophy of Rudoff
Carnap» — The Library of Living philosophers — внесут существенный вклад в
такого рода необходимое разъяснение.

§ 8, Философские замечания 403
няют собой более старую антитезу: существование в
сознании — существование в некотором внешнем (реальном или
идеальном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что
любое вполне определенное и ясное условие действительно
определяет соответствующее множество — коль скоро в этом случае
они могут «построить» это множество, исходя из некоторого
запаса множеств, существование которых либо интуитивно
очевидно, либо гарантировано предварительными построениями,—
но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу
которых им пришлось бы согласиться с существованием каких
бы то ни было множеств1), не характеризуемых
конструктивным образом. Поэтому они не допускают множеств,
соответствующих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех
случаев, когда можно доказать, что такое условие можно
заменить равносильным ему предикативным), и отрицают
справедливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной
интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств
любого данного множества имеет мощность большую, чем
мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности
объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что
какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым
с помощью некоторых данных средств.
Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории
множеств, при которой '6' интерпретируется как 'является членом',
заключено contradictio in adiecto2). Но мы говорили уже, что
некоторые номиналисты согласны пользоваться теорией
множеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим
чисто трансформационные функции. И платонисты, и
концептуалисты настаивают на том, что теория множеств (как и
вообще математика) должна быть интерпретируемой и понимаемой
сама по себе и не использовать никаких неинтерпретируемых
исчислений. Расходятся же эти два направления в своем
понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).
Нечего и говорить, что каждое из этих больших философских
направлений распадается на множество более специальных, что
границы их неопределенны и что часто бывает очень трудно
отнести какого-либо автора с полной определенностью к одному
из них. Логицизм обычно считают одной из разновидностей
платонизма; однако сам Рассел на протяжении своей
шестидесятилетней философской деятельности не раз высказывал идеи,
носящие концептуалистский и даже номиналистический харак-
1) Обсуждение этого вопроса, так же как и всего круга проблем,
рассматриваемых в данном пункте, см. у Бета, 56, стр. 41 и ел
2) Противоречие по определению; противоречивое свойство (лат.).—-
Прим. перев.
26*

404 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
тер 4). Разветвленная теория типов имеет явственный
концептуалистский привкус; что же касается аксиомы сводимости, то о>на,
конечно, является платонистской. Когда он выступил со своей
бесклассовой теорией {no-class theory), многие расценили ее
(особенно это относится к члену венского кружка Гансу Хану
в начале 30-х годов2); впрочем, пожалуй, некоторое время так
был настроен и сам Рассел) как чисто номиналистическую,
продолжающую традиции бритвы Оккама. (Это было, однако,
явным недоразумением, объясняемым отчасти двусмысленностью
употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция':
в значениях 'открытая формула' и в то же врехмя 'аттрибут'
(attribute). Фактически Рассел показал, каким образом можно
обойтись без употребления классов, заменив их
«пропозициональными функциями»; но эти функции были не чем иным, как
аттрибутами (свойствами или отношениями), т. е. по меньшей
мере такими же «универсалиями», какими являлись сами
классы; Рассел отдавал себе отчет в двусмысленности этого своего
словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет
чисто языковую природу3). Гёделя теперь принято считать пла-
тонистом; но первые его работы испытали сильное влияние гиль-
бертовской школы и даже Сколема, настроенного еще более
решительно концептуалистски. Гёделевский постулат
конструктивности (стр.153), имеющий очевидную концептуалистскую
направленность, в качестве такового получил признание и
одобрение концептуалистов; но сам Гёдель отказывается
рассматривать его в качестве истинного теоретико-множественного
утверждения (statement). Гильберт — отец современного
формализма; но его метаматематика в сильной степени концептуали-
стична, а взгляд, согласно которому математические понятия
высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу,
вообще трудно отнести с определенностью к какому-либо из
обычных направлений. Лоренценовский операционизм следует
охарактеризовать как некий переходный оттенок в смеси
концептуализма и номинализма породы «как-будто», но
характеристика эта лишь в малой степени вскрывает нам все
отпугивающие стороны его позиции. Куайн, начинавший как логицист, в
течение многих лет пытался защищать номиналистическую
позицию, но теперь он чувствует, что, устав от своих донкихотских
попыток номиналистской реконструкции, может впасть в кон-
1\ Подобные случаи могут быть объяснены эволюцией науки:
номиналистические тенденции в свое время привели к логицизму, а впоследствии
логицизм уже стал рассматриваться как разновидность платонизма, и т. п.—
Прим. ред.
2) *Хан, 7, 9, 10.
3) Ср. Куайн, 53, стр. 122—123.

§ 8 Философские замечания
405
цептуализм, успокаивая при этом «свою пуританскую совесть
сознанием, что не совсем уж погряз в платинистской
скверне1)»2). Для первых работ Тарского характерна идущая от
Лесневского позиция, характеризуемая самим Тарским как
интуиционистский формализм; но теперешняя его позиция уже не
такова3). Если раньше он испытывал затруднения, связанные
с обоснованием оперирования над бесконечными множествами
предложений, то теперь он, не проявляя видимых угрызений
совести, вводит в рассмотрение языки, множества индивидных
констант которых имеют любую мощность.
Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же
духе. Лишь очень немногие современные логики и математики
последовательно и неуклонно придерживались в течение всей
своей жизни одной и той же философской линии. Говоря об
исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю
жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным
концептуалистом (позиция эта, между прочим, не помешала ему
доказать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча,
проповедующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический)
платонизм, и Гудмена, до сих пор не поддавшегося
концептуалистским соблазнам и стойко исповедующего самый крайний
номинализм, который если и меняется в чем-либо со временем, то
разве что в сторону еще большей радикальности. Следует,
правда, отметить, что номинализм его несколько особой марки и
имеет мало общего с классическим номинализмом. Номинализм
этого рода можно было бы назвать чисто синтаксическим
номинализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной
формой языка является некоторое функциональное исчисление
первого порядка, но без каких бы то ни было ограничений, по
крайней мере официально принятых им, на онтологический
статус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого
дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы
сообщения с того света, или числа, или множества, вернее
«множества», поскольку про такие множества нельзя сказать, что они
содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмана
таков: он ничего не имеет против множеств, он только не может
понять, что значит множество чего-либо*).
1) Куайн, 53, стр. 129 [буквально: «... не вкусил лотоса с платонистами»
.(идиома lotus-eater («поедатель лотоса») имеет два значения: 1) праздный
мечтатель, 2) человек, живущий в свое удовольствие. — Перев.].
2) Куайн, 53, стр. 129.
3) Ср., например, Тарский, 56, стр. 62.
4) [Курсив добавлен при переводе; в оригиниале 'sets-of. — Перев.]
Чрезвычайно ясное описание этого оттенка номинализма и убедительная защита
его непривычных утверждений от всяческих нападок изложены в статье
Гудмена, 56.

406 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
Для большинства авторов, занимавшихся основаниями
математики, характерно поразительное непостоянство философских
позиций. С их точки зрения, эти изменения воззрений вполне
естественно объяснять эволюцией мышления в сторону большей
его зрелости и считать более поздние позиции более
обоснованными, нежели ранние, независимо от того, в какую именно
сторону произошел сдвиг.
В то же время вполне естественно, что в глазах некоторых
мыслителей все эти причудливые блуждания служат
подтверждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных трех
основных онтологических концепций объективно не имеет
никакого отношения к проблеме оснований, независимо от того,
что думают по этому поводу приверженцы этих концепций и
насколько сильны в этом отношении их чувства. Сторонники
такого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств
следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а
по их плодотворности. Существуют или нет непредикативные
множества — на этот вопрос не следует ждать ответа ни от
теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры,
основывающейся на интуиции или свободе совести. Получившие
столь широкое распространение противоположные мнения
были вызваны совместным рассмотрением и смешением двух
совершенно различных вопросов: первый из них — можно ли
доказать, или опровергнуть, или доказать неразрешимость
некоторых определенных экзистенциальных предложений в
некоторой данной теории; другой вопрос — следует ли принять всю
эту теорию. Можно ли доказать в Ζ существование множества,
являющегося объединением (множеством-суммой) трех данных
множеств,— это серьезный вопрос, легко решаемый, как мы
знаем, положительно. Можно ли доказать в Ζ
несуществование нетривиального недостижимого числа — это еще более
серьезный вопрос, причем настолько трудный, что мы не умеем на
него ответить. По отношению же к системе Ζ# на тот же
самый вопрос тривиальным образом следует дать отрицательный
ответ. А для некоторых других теорий ответ может оказаться
положительным, иногда получаемым тривиально, иногда
требующим глубоких рассуждений. Следует ли принять систему
Ζ, или /?, или Ζ#, или Т*, или ML, или Σ, или что вам еще
угодно, — это уже другой, очень серьезный вопрос, но,
конечно, вопрос совершенно иного рода. Сущность его — в
практическом решении, основанном на таких (теоретических)
соображениях, как правдоподобность непротиворечивости, удобство
для проведения выводов, эффективность построений
классического анализа, педагогические соображения, а может быть,
наличие стандартной модели, и т. п. Смешение этих двух совер-

§ 8. Философские замечания
407
шенно различных вопросов приводит к такого рода
псевдопроблемам, как, скажем, существуют ли несчетные множества
(как таковые, в абсолютном смысле, а не в рамках данной
теории), провоцирующим бесплодные псевдотеоретические
дискуссии или создающим впечатление, что ответ на такого рода
вопрос могут подсказать только интуиция и философские
убеждения, основываясь на которых платонист ответит на этот вопрос
ясным «да», а концептуалист и номиналист столь же ясным
«нет», поскольку интуиции, из которых они при этом исходят,
совершенно различны.
Самый выдающийся представитель этой четвертой,
антионтологической, точки зрения — Карнап. В одной из своих
последних работ1) он ввел для обозначения двух названных нами
вопросов термины: внутренняя проблема {question) существования
и внешняя проблема существования. Правда, Карнап не
занимается непосредственным приложением этого различения к
проблемам оснований теорий множеств; но нам представляется, что
такое приложение осуществляется совсем легко и прямо, и мы
надеемся, что не исказим точку зрения самого Карнапа на
обсуждаемый сейчас вопрос.
Точка зрения эта также не свободна от своих собственных
трудностей. Мы не будем обсуждать их здесь. Считаем только
необходимым сказать, что наше изложение могло породить
несколько преувеличенное представление о степени расхождения
позиций Куайна и Карнапа. Верно, что Куайн часто повторял,
что принять какую-либо теорию можно, лишь связав себя
некоторыми абсолютными онтологическими соглашениями; верно
и то, что Карнап как раз это самое отрицал. И тем не менее
далеко не ясно, до какой степени это расхождение не является
чисто (или преимущественно) словесным2).
Мы уже говорили (гл. III, стр. 216), что некоторые
неоконцептуалисты отвергают не только непредикативные способы
образования понятий, но и более широкий класс методов
неопределенного (в смысле Карнапа) образования понятий; если
говорить об этом в терминах метаязыка, речь идет об отказе
от языков с неограниченной квантификацией. Сторонники такой
позиции (среди них можно назвать Пуанкаре, Брауэра,
Витгенштейна, Кауфмана, Сколема и Гудстейна) приходят к своему
отказу от таких трансфинитных операций под влиянием того
соображения, что не существует разрешающей процедуры,
которая позволяла бы решать вопрос об истинности квантифици-
1) См. Карнап, 50а.
2) Ср. между собой последние параграфы книги Карнапа, 50а, и вторую
статью из сборника Куайна, 53 (стр. 4б|.

408 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
рованных предложений. Отождествляя осмысленность с
эффективной проверяемостью (effective verifiability) 4), они
немедленно приходят к заключению, что выражения, содержащие
неограниченные кванторы, вообще говоря, бессмысленны.
Философские аспекты этой позиции более чем сомнительны.
(Наиболее распространенные возражения против нее состоят в
том, что принятие ее изуродовало бы математику, точно так
же, как принятие аналогичной позиции в отношении
эмпирических предложений изуродовало бы эмпирическую науку.
Нельзя, однако, не признать, что теории, удовлетворяющие ее
требованиям, обладают определенной привлекательностью. Скажем,
арифметика, исходящая из отношений (или операций),
эффективно разрешимых в каждом конкретном случае, и
запрещающая использование неограниченных кванторов при образовании
дальнейших своих понятий, остается на всех стадиях своего
развития интуитивно прозрачной, это, безусловно, одна из
самых надежных и наименее подверженных сомнениям теорий,
имеющих дело с бесконечной предметной областью. Понятно,
что Гильберт должен был стремиться доказать формальную
непротиворечивость математики именно в этой весьма
интуитивной рекурсивной арифметике (recursive number theory). Сколему
удалось в рамках этой теории развить значительную часть
классической арифметики, а Гёдель превосходно показал
достаточность ее средств для арифметизации элементарного
синтаксиса любой формальной системы2).
В четко определенных языках, хотя они и подчиняются
правилам классической пропозициональной логики, те употребления
принципа исключенного третьего, против которых возражают
интуиционисты и которые часто ответственны за возникновение
антиномий3), остаются в стороне как раз потому, что они не
могут быть сформулированы. Неограниченная общность
предложений выразима с помощью свободных переменных; что же
касается неограниченных экзистенциальных предложений, то они
вообще не могут быть выражены в таком языке: утверждать
1) Аналогичное отождествление, касающееся эмпирических предложений,
идет еще от Пирса и в качестве верификационного критерия смысла играло
важнейшую роль в начальной стадии развития логического эмпиризма. Об
истории этого вопроса см., например, *Карнап, 18.
2) Классическим изложением этой теории может служить книга Гуд-
стейна, 57. Не предполагается никакой предварительной основы, даже
пропозиционального исчисления. Ср. также Гудстейн, 54; по поводу стоящей за
этой теорией философии см. Гудстейн, 52.
3) Уже отмечалось, что ответственность за возникновение антиномий
лежит (если принимается положительное исчисление предикатов) не на
употреблениях закона исключенного третьего, а на неограниченном употреблении
аксиом свертывания. — Прим. ред.

§ 8 Философские замечания
409
'F(x)' — значит утверждать, что все χ суть F, но утверждать
*^/7(^)' — значит утверждать вовсе не то, что не все χ суть F,
а то, что все χ суть не F или что никакое χ не есть F.
Тот факт, что запрещение обычных (неограниченных) кванторов не
приводит к таким тяжелым ограничительным последствиям, каких можно было
бы ожидать, можно проиллюстрировать следующим, довольно тривиальным
примером. Пусть в некоторой теории натуральных чисел уже определен
двуместный предикат '/)' («делит»); тогда можно дать обычное определение
одноместного предиката 'Р' («есть простое»), скажем, следующим образом:
Ρ(χ) = Όίχ> \&(ky)\D(y, x) = (y=\ V «/ = *)].
Вся хитрость теперь состоит в замене '(А у)' на '(Αί/)'χ (читается: 'для
всех у от 0 до χ включительно'). Вообще всякий раз, когда мы, вводя
какое-нибудь разрешимое свойство, хотим заменить неограниченные
кванторы ограниченными, нам нужно только найти какую-нибудь верхнюю
границу рассматриваемых чисел.
Поэтому и было предложено1) считать один из определенных
языков, а именно Язык I Карнапа, «в известном смысле»
осуществлением наиболее решительных концептуалистских
тенденций, иногда именуемых 'финитистскими' или
'конструктивистскими'. Некоторые авторы (например, Сколем или Гудстейн)
согласились бы, пожалуй, с такой формулировкой их взглядов,
но интуиционисты не согласились бы, хотя, быть может, лишь
по той причине, что они вообще считают, что интуицию нельзя
адекватно выразить посредством какой бы то ни было
формализации.
Отдельно стоит сказать о Лоренцене, который
решительнейшим образом отвергает непредикативное образование понятий
и в то же время с полной определенностью допускает
неограниченную квантификацию2), отказываясь иметь дело с
затруднениями, связанными с критерием верифицируемости. Он не
придерживается концептуалистической философии, множества
для него — это всего-навсего пропозициональные формы3),
условия со свободными переменными, а вовсе не внеязыковые
сущности, соответствующие этим формам, как для настоящего
концептуалиста. Но Лоренцен не является и синтаксическим
номиналистом и уже тем более платонистом. Не примыкает он и
к последователям Карнапа. Математика для Лоренцена — не
лингвистическая неинтерпретированная схема, оцениваемая в
зависимости от ее плодотворности и т. п., а интерпретирован-
1) См Карнап, 37, стр. 46.
2) Лоренцен, 55, стр. 6.
3) Или, еще вернее, они получаются в результате акта абстракции от
зквиполлентных пропозициональных форм — всем зквиполлентным
формам соответствует одно и то же множество.

410
Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
ная теория схематических операций над неинтерпретированны-
ми исчислениями.
Несмотря на многочисленные расхождения, философия
математики Карри1) ближе всех связана с философией Карнапа.
Подобно Карнапу, Карри отвергает любые онтологические
допущения (commitments)2) и в качестве критерия для оценки
математических теорий настойчиво выдвигает их приемлемость
(acceptability)3). Он называет свою концепцию эмпирическим
формализмом, подчеркивая этим ее отличие от гильбертовской
версии формализма, с которой она и в самом деле значительно
расходится; более уместным был бы, пожалуй, термин
прагматический формализм. Утверждение Карри, что формалистское
(предлагаемое им) определение математики не нуждается ни в
каких предварительных философских допущениях и что
разговор о философских различиях было бы разумнее вести в
терминах «приемлемости», вполне согласуется с теперешней точкой
зрения Карнапа, а проводимое Карри различение между
обсуждением вопроса об истинности какого-либо данного
математического предложения (statement) в данной системе и вопроса о
приемлемости этой системы в целом, по-видимому, равносильно
карнаповскому различению внутренней и внешней проблем
существования.
В отличие от гильбертовского формализма Карри с
пренебрежением относится к доказуемой непротиворечивости, отводя
более важную роль приемлемости. Это различие позиций,
по-видимому, не столь уж принципиально, поскольку и сам Гильберт
не считал, что непротиворечивость является достаточным
условием приемлемости4). Что же касается интуитивной
очевидности, то это, по мнению Карри, роскошь, без которой математика
может превосходно обойтись. «Поскольку дело касается прием-
1) Взгляды Карри претерпевали с годами значительные изменения.
Кроме того, многие из его работ были опубликованы (из-за второй мировой
войны) гораздо позднее времени их написания, иногда уже после
опубликования более поздних сочинений. Эти обстоятельства (а также многократные
изменения в терминологии) осложняют оценку вклада Карри в разработку
проблем обоснования математики. Наш беглый очерк основывается главным
образом на книге Карри, 51 (написанной еще в 1939 г.), содержание
которой было впоследствии изложено более сжато в статье Карри, 54.
2) Карри, 51, стр. 31.
3) Карри, 51, стр. 59 и ел.
4) Ср. Гильберт, 25, стр 163 [стр. 340 русск. изд. Здесь Гильберт
говорит буквально следующее: «... если, помимо доказательства
непротиворечивости, может иметь смысл еще вопрос о законности некоторого мероприятия,
то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это
мероприятие соответствующим успехом пли нет. Действительно, успех здесь

§ 8. Философские замечания
411
лемости для физики, анализ не более нуждается в
доказательстве непротиворечивости, чем в интуитивной очевидности»1).
Наконец, аргументы Карри в защиту терпимости (tolerance)
в вопросах приемлемости2) отражают, вероятно намеренно,
знаменитый карнаповский принцип терпимости3). Всякому, кто
настаивает, основываясь на своей интуитивной убежденности,
что raison d'etre имеют лишь математические системы
определенного рода, стоит еще раз как следует подумать, не тормозит
ли его нетерпимость научный прогресс, а не пытаться втиснуть
науку в узкую колею единственного пути, обещающего
надежду. В некоторых случаях конструктивность является
необходимым условием приемлемости математической теории — так,
скажем, обстоит дело с метаматематикой или с машинной
математикой; поэтому теории конструктивного {theories of the
conctructible) (термин этот, в противовес употребляемому в
следующей фразе, недавно предложен Гейтингом4)) стоят того,
чтобы их изучали математики с любыми философскими
убеждениями; и их действительно изучают математики с
совершенно различными убеждениями, равно как и те, что
обходятся без всяких философских убеждений. Что же касается
утверждения, согласно которому единственная законная
математика— конструктивная математика (constructible mathematics), το
очень мало шансов, что оно убедит кого-либо из тех, кто не
разделяет особой точки зрения интуиционистов.
В наши намерения не входило давать здесь полную сводку
всех существующих направлений философии математики. Все
же будет уместно сделать еще несколько замечаний на эту тему.
Мы совсем пока не говорили о той концепции математики,
согласно которой математика рассматривается как
эмпирическая наука, качественно никак не выделяемая из других
эмпирических наук. Мы не говорили об этом до сих пор по той
причине, что просто не можем себе представить, каким образом
можно было бы обосновать веру в то, что «источником и
окончательным raison d'etre понятия числа, как натурального, так и
действительного, является опыт и практическая примени-
необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется
каждый». Насколько уместно делать из подобных высказываний заключения
«о не столь уж принципиальном различии позиций» Карри и Гильберта,
предоставляем судить читателю. — Перев.].
') Карри, 51, стр. 62.
2) Карри, 51, стр. 64.
3) Карнап, 37, стр. 51.
4) На Коллоквиуме по конструктивным проблемам математики
(Амстердам, 1957)\

412 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
мость»1), хотя именно эту веру исповедует Мостовский, и
аналогичные заявления можно встретить также в других, весьма
многочисленных сочинениях, начиная еще с Джона Стюарта
Милля. Разумеется, можно было бы также считать, что за
такого рода заявлениями не скрывается ничего большего, нежели
тривиальная констатация того факта, что опыт привел
человечество к математике. Трудно, однако, согласиться с этой три-
виализацией; совершенно непонятно, например, как из такого
истолкования можно «сделать вывод, что имеется только одна
арифметика натуральных чисел, одна арифметика
действительных чисел и одна теория множеств»2). Но какой же еще смысл
может иметь заявление, что источник бесконечных множеств
заключается в опыте? (У нас нет особых возражений против
того взгляда, что окончательный raison d'etre понятий числа и
множества лежит в их практической применимости, но мы
решительно не понимаем, как из этого можно извлечь
единственность арифметики и теории множеств.)
Эту попытку игнорировать качественное отличие формальных
наук (логики и математики) от реальных (эмпирических) наук,
представляющуюся нам недостаточно обоснованной, не следует
смешивать с другой недавней попыткой, предпринятой Куай-
ном 3) и другими, игнорировать границу между этими науками.
Последняя отличается от первой тем, что основным ее тезисом
является не столько утверждение, что формальные науки менее
«формальны», нежели принято думать, сколько утверждение, что
эмпирические науки не столь уж «эмпиричны». В защиту этой
точки зрения приводятся довольно убедительные аргументы, но
выводы, которые можно сделать из этих аргументов, вовсе не
предопределены с необходимостью. С таким же (а пожалуй,
даже с большим) успехом можно прийти к заключению, что
в эмпирической теории следует различать теоретическую под-
теорию и экспериментальную подтеорию, так что математика —
или требующиеся к данному случаю ее разделы — составляла
бы вместе с некоторой конкретной теоретической подтеорией
исчисление, хотя непосредственно и не интерпретированное, но
получающее частичную и косвенную интерпретацию с помощью
специальных правил соответствия, связывающих теоретические
термины с почерпнутыми из наблюдения и опыта понятиями
экспериментальной подтеории4).
За последнее время было предпринято немало попыток
истолкования некоторых метаматематических теорем, например
λ) Мостовский, 55, стр. 16 [стр. 13 русск. изд. — Перев.].
2) Там же.
3) Locus classicus, посвященное этому вопросу, — Куайн, 53, It
4) Такова точка зрения Карнапа, 56.

§ 8. Философские замечания 413
теоремы Лёвенгейма — Сколема или теоремы Гёделя о
неполноте, в качестве доводов, опровергающих одни онтологические
воззрения и поддерживающих другие. Эти попытки, по нашему
мнению, к успеху не привели. Свои сомнения по этому поводу,
касающиеся теоремы Лёвенгейма — Сколема, мы уже выражали
раньше (гл. II, стр. 138—139). Что же касается теоремы
Гёделя, то мы склонны признать точку зрения Майхилла 1), глубоко
критикующего доводы, основанные на различии понятий
'доказуемое' и 'истинное', и присоединиться к его утверждению, что
доводы эти вовсе не опровергают номиналистическую позицию
(но никоим образом не разделяем майхилловской
интерпретации ограничительных теорем Гёделя, Чёрча и др., носящей
психологический характер). Вообще мы считаем маловероятным,
что какие бы то ни было математические и метаматематические
результаты смогут окончательно опровергнуть какую-либо из
онтологических позиций, хотя и вполне возможно, что в
качестве факторов иррациональной природы они смогут
оказывать значительное влияние на готовность принять какую-либо
из этих позиций. Если кому-нибудь будет угодно заключить
отсюда, что ни одна онтологическая концепция, ввиду
неопровержимости каждой из них, не имеет никакого значения для
математики (именно для математики, а не для математиков),
то мы не станем ему особенно возражать.
Теперь нам легче оценить — хотя, пожалуй, и не решить —
выдвинутую выше (стр. 379—382) проблему. Мы видели тогда,
что непополнимость некоторых логистических систем может
иногда быть истолкована как неаксиоматизируемость
некоторых формализованных теорий. Но если такое истолкование для
арифметических теорий было вполне естественным, то по
отношению к теориям множеств оно внушает сомнения. Дело
в том, что существует по крайней мере одна формализованная
арифметика, полная относительно йсного и естественного
понятия общезначимости (validity), а именно арифметика Сколема;
что же касается теорий множеств, то ничего подобного о них
сказать нельзя.
В каком же тогда смысле существует, если только этому
действительно придается смысл, единственное в своем роде
понятие множества (натурального числа), подчиняющееся
единственной настоящей Теории Множеств (соответственно
Арифметике Натуральных Чисел), неполными приближениями к
которой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств
(арифметики)? Мы уже знаем, что некоторые эмпирические
) Майхилл, 52а; ср. Тюркетт, 50.

414 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
реалисты, например Мостовский, ответили бы на этот вопрос
заявлением, что множества и натуральные числа существуют в
(приблизительно) том же смысле, в каком существуют
животные или камни, и что Теория Множеств и Арифметика
единственны опять-таки в том же самом смысле, в каком
единственны Зоология1) и Минералогия. Возможно, что другие
представители эмпирического реализма проводили бы здесь различие,
утверждая реальность и единственность только для чисел и
арифметики, но не для теории множеств. Мы уже признались
в своей неспособности понять любую из этих позиций.
Все платонистски настроенные реалисты убеждены в
единственности чисел — не как эмпирических сущностей, а как пла-
тонистских идей — и их теории2). (Для интересующих нас
целей не существенно, какие термины используются для
обозначения специфической «формы бытия» этих сущностей, в отличие
от формы бытия животных и камней. Некоторые авторы
употребляют в таких случаях различные поясняющие эпитеты,
другие проводят различие между 'бытием' (being),
'существованием' различного рода ('existence', 'subsistence ;, 'реальностью*
(reality) и т. п.) Например, Гёдель полагает, «что допущение
таких объектов [классов и общих понятий] столь же законно, как
и допущение физических тел, и имеются столь же веские
основания верить в их существование»3). Однако не ясно, следует ли
из этой точки зрения единственность классов и понятий, или же
различные, возможно даже несовместимые между собой,
системы таких сущностей могли бы выполнить задачу «получения
удовлетворительной системы математики». Мы не убеждены, что
расстояние между прагматическим платонизмом Гёделя и
прагматическим формализмом Карнапа и Карри так уж велико, как
это принято считать. Действительно ли так глубока пропасть
между следующими двумя позициями: верой в существование
множеств, обосновываемой их необходимостью для получения
некоторой удовлетворительной системы, и принятием некоторой
теории множеств, обосновываемым тем, что эта теория
способствует получению некоторой удовлетворительной системы?
*) Отметим, что даже Рассел одно время выражался в том же духе.
Так, в книге *Рассела, 5 (стр. 169), мы читаем: «Логика связана с реальным
миром так же точно, как зоология, несмотря на присущие ей большую
абстрактность и большую общность». Разумеется, последняя оговорка
возбуждает некоторые сомнения в серьезности расселовской манеры выражаться, от
которой он, во всяком случае, очень скоро отказался,
2) То есть арифметики. — Прим. перев.
3) Гёдель, 44, стр. 137; ср. также статью 47, уже цитированную нами на
стр. 119—120, гл. II. Пояснение в квадратных скобках принадлежит не Гё-
делю, а авторам настоящей книги. — Перев.]

§ 8. Философские замечания
415
Концептуалисты и номиналисты имеют мало оснований
верить в однозначную определенность понятия множества, хотя
большинство концептуалистов верят в однозначную
определенность натурального ряда чисел, который служит им в качестве
основы для их построений. Но сами построения вовсе не
обязательно должны осуществляться однозначным образом.
Для антионтологистов вся эта проблема вообще не
возникает. Источник веры в единственность Теории Множеств
совершенно ясен. В неэлементарные теории повсеместно проникают
теоретико-множественные понятия, и если сама теория множеств
понимается как элементарная аксиоматическая теория, то
всякая неэлементарная теория может тогда рассматриваться как
объединение двух элементарных теорий: элементарной теории
множеств и некоторой элементарной теории, специфичной для
рассматриваемой дисциплины. Решающее понятие «абсолютной
модели» неэлементарной теории, т. е. такой модели, в которой
теоретико-множественные понятия получают их стандартную
интерпретацию, определена однозначно лишь в той же мере,
в какой однозначно определена стандартная интерпретация
этих понятий. Поэтому верно утверждение, что понятие
абсолютной модели «получит более глубокое значение только
тогда, когда будут решены трудные проблемы оснований теорий
множеств, благодаря чему математики могут единодушно
принять один способ обоснование этой теории»1). Но мы не
видим пока решительно никаких оснований верить в
единственность решения проблем оснований теории множеств, которое
привело бы всех математиков к принятию одной такой теории
в качестве подлинной2) Теории Множеств. Прагматическая
необходимость такой веры, мотивируемая тем, что в случае
отказа от нее возник бы хаос, когда каждый математик говорил
бы о своей собственной теории множеств, более чем
сомнительна. Для того чтобы быть хозяевами положения, нам вполне
достаточно прагматического критерия приемлемости. Наличие
многих конкурирующих между собой теорий множеств, по
крайней мере до тех пор, пока они не вносят существенных
перемен в каждодневную деятельность математиков и ^физиков,
вряд ли настолько опасно, чтобы оправдывать навязывание
какого бы то ни было credo в этом отношении. Поскольку вера
в объективную реальность (что бы под этим ни
подразумевалось) и обусловленная ею однозначная определенность
понятия множества и самой теории множеств — это всего лишь
своего рода успокоительные средства, вовсе не приводящие к
!) Мостовский, 55, стр. 12 [стр. 11 русск. изд. — Перев].
2) В оригинале 'the'. — Прим. перев.

416 Гл. V. Метаматематический и семантический подходы
ί
догматическому отказу от каких-либо предложенных теорий
множеств (заметим, что даже Мостовский самым
недвусмысленным образом заявляет, что «у нас нет критериев, которые
могли бы указать на правильный выбор из этих многих систем
[теорий множеств]1)), такой метафизический акт веры
оказывается совершенно безобидным, даже в известном смысле
полезным. Но часто всего один шаг отделяет веру в
существование объективного критерия, с помощью которого можно было
бы однозначным образом решить спор между конкурирующими
теориями, от веры, что этот критерий уже найден, и от
присвоения права предать анафеме все эти теории, кроме как разве
что какой-нибудь одной, во имя некой земной или небесной
реальности. И многие предпочитают беспокойную свободу
рабскому спокойствию.
Во взглядах на то, каким образом можно было бы
достигнуть удовлетворительного обоснования теории множеств, все
еще имеется большое расхождение, и громадное количество
возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено. И все
же подавляющее большинство математиков отказывается
считать, что идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом.
Несмотря на то что основания теории множеств все еще
довольно шатки, эти математики продолжают с успехом
применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей
части разделов анализа и геометрии, и даже отчасти в
арифметике и алгебре, твердо веря в то, что работы по обоснованию
теории множеств приведут в конце концов к реабилитации
теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее
классическом объеме. Эта позиция отнюдь не исключает
готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как
это обычно делается, что соответствует, очевидно,
существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и
математики вообще.
1) Мостовский, 55, стр. 19 [стр. 17 русск. изд.; пояснение в квадратных
скобках принадлежит авторам. — Перев.]. «

БИБЛИОГРАФИЯ
И УКАЗАТЕЛИ

СОКРАЩЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
В БИБЛИОГРАФИИ ')
(Сокращения, не требующие специальных пояснений, вроде:
Acad, Enzykl., Intern., Math., Philos., Ph(ys), Psychol., Soc, Univ. и т. п.
в список не включены; «the» обычно опускается.)
A.M.S. — American Mathematical Society.
Abh. Hamburg — Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Ham-
burgischen Universitat.
Acad. R. P. Roum., Bull. Sc, Math. Ph. — Acad de la Pepublique Populaire
Roumaine, Bulletin Scientifique, Sect, de Sc. Math, et Phys.
Acad. U. S. A. — Proceedings of the National Academy of Sciences (U. S. A.)
Act. Sc. Ind. — Actualites Scientifiques et Industrielles.
Acta Szeged — Acta litterarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae
Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum.
Afd — Afdeeling.
Alg — Algemeen.
Am. — American.
Ann. — Annales.
Anzeiger Akad. Wien — Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-
Naturwissenschaftliche Klasse, Anzeiger.
Appl. — Applicazioni.
appl. — appliquees.
Ber. — Bericht.
Ber. Leipzig — Berichte iiber die Verh. der Sachsischen Akad. der Wiss. zu
Leipzig, Math. — Ph. Klasse.
Boll. —Bolletino.
Bull. —Bulletin.
С N. R. S. — Centre National de la Recherche Scientifique.
С R — Comptes Rendus.
C. R. Paris — Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Academie des
Sciences (Paris).
C. R. Varsovie — Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et
des Letters de Varsovie, Classe III.
Casopis — Casopis pro Pestovani Matematiky a Fysiky.
Ci. — Ciencia(s).
CL— Classe.
Colloq. — Colloquium, Colloque и т. п.
Colloques Internationaux — Colloques Internationaux du centre National de la
Recherche Scientifique.
Congr. — Congress (o), Congres и т. п.
Congr. Amsterdam 1954 — Proceedings of the International Congress of
Mathematicians, Amsterdam 1954.
l) Список дополнен сокращениями, используемыми в приводимой ниже
(стр. 471—499) библиографии из Abstract Set Theory, цитируемой в
настоящей книге. — Прим. перев.
27*

420
Библиография
Congr. Bologna, 1928 — Atti del Congresso Internazionale dei Matematici,
Bologna, 1928.
Congr. Cambridge Mass., 1950—Proceedings of the international Congress
of Mathematicians, Cambridge (Massachusetts) 1950
Congr Oslo, 1936 —С R. du Congr. Intern, des Math., Oslo 1936.
Congr. Roma 1908 —Atti del IV Congr. Intern, dei Mat., Roma 1908.
D. M. V. — Deutsche Mathematiker-Vereinigung.
Ens — Enseignement.
f. — for, fur и τ. π
Рас. — Faculty и т. п.
Forschungen zur Log (ist)ik etc. — Forschungen zur Log(ist)ik und zur Grund-
legung der exakten Wissenschaften.
Fund — Fundamenta.
Grundl. — Grundlagen.
Helv — Helvetici
I. M. — Indagationes Mathematicae.
Int. Enc. Un. Sc.— International Encyclopedy of Unified Science.
1st. — Istituto.
J,.-— Journal.
J. f Μ —Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle).
J. S. L. — Journal of Symbolic Logic.
J. Un. S —The J. of Unified Sc.
Jahrb. — Jahrbuch.
Jahresb. — Jahresbericht.
Kl. — Klasse.
Koll. — Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums (herausgegeben von K.
Menger).
Kon. — Koninklijke.
Kongr. Zurich 1932 —Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kon-
gresses, Zurich 1932.
Les Entretiens de Zurich — Les Entretiens de Zurich sur les Fondements et
la Melhode des Sciences Malhematiques 1938.
Monatsh. — Monatshefte.
N S. — New Series, Neue Folge, Nieuwe Reeks и т. п.
Nachr. Gottingen — Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottin-
gen, Mathematisch — Physikalische Klasse.
Nat. — National и т. п.; Natural и т. п.
Naturvid. — Naturvidenskab
Naz — Nazionale
Ned. — Nederlandse.
Norsk Vid. Selsk. Forh. — Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab, For·*
handlinger.
p. — pures.
phanomen. — phanomenologisch.
Phenomen. — Phenomenological.
Polon. — Polonaise.
Proc. — Proceedings.
Proc. Amsterdam—Kon. Nederlandse Akademie van Wetenschappen te
Amsterdam, Proceedings of the section of sciences.
Proc. Ar Soc. — Proc. of the Aristotelian Society.
Publ — Publications.
R. —Royal (e)
R. Μ Μ — Revue de Metaphysique et de Morale.
Rec. — Recueil.
Rendic. — Rendiconti.

Библиография
421
Rendic. Lincei — Rendiconti della R. Acad. Nationale dei Lincei (Roma), CI
di Sc, Fis.
Rendic. Palermo — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
Rev. — Revue, Review и т. п. '
Riv. — Rivista }
s. a. — sine anno
Sc. — Science (s) и т. п.
Scand. — Scandinavica.
Scr. — Scripta.
Sem. — Seminar и т. п.
Semesterberichte Gottingen-— Mathematisch-physikalische Semesterberichte zur
Pflege des Zusammenhanges von Schule und Universitat (Gottingen).
Semesterberichte Miinster— Semesterberichte zur Pflege des Zusamrnengangs
von Universitat und Schule (Math. Seminar, Miinster i. W.).
Sitz. Berlin — Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,
Phys.-Mathemat. Klasse.
Sitz. Heidelberg — Sitzungsberichte der Heidelberger Akad der Wiss., Math.-
Naturwiss. Klasse.
Sitz. Wien — Akad. der Wiss. in Wien, Math.-Naturwiss Klasse, Sitrungs-
berichte.
Tr. — Transactions,
u. — und.
v. — van, voor.
Verh. — Verhandlungen, Verhandelingen
Versl. — Verslag(en).
Vid. — Videnskab.
Wetensch. — Wetenschappen.
Wiss —Wissenschaft(en).
Ztschr. — Zeitschrift.
(2) — вторая серия (и аналогично в отношении других цифр в скобках).

БИБЛИОГРАФИЯ ")
Каждая работа, имеющаяся в этой библиографии, цитируется — один
или несколько раз — в тех местах настоящей книги, с которыми она связана
предметом рассмотрения.
Из работ, опубликованных до 1918 г., в библиографию вошли лишь
важнейшие. Исключение составляет вопрос об антиномиях, в связи с которым
для полноты картины в библиографию включены некоторые менее
значительные публикации, не упомянутые в библиографии к Abstract Set Theory.
Из работ 1919—1946 гг., имеющихся в библиографии к Г, сюда заново
включены лишь те, которые наиболее тесно связаны с проблематикой,
обсуждаемой в настоящей книге. В отношении работ, вышедших в 1947—1956 гг.,
мы старались сделать библиографию достаточно полной, особенно по тем
вопросам, по которым доступной и современной библиографии нет. В
библиографию включены также некоторые работы, опубликованные в 1957 г. и
даже в 1958 г.; однако эти работы, если вообще могли быть приняты в
расчет, то — по понятным причинам — лишь поверхностно2).
С многими работами (особенно это относится к тем, что опубликованы
на недостаточно знакомых авторам языках) мы знакомились по рефератам
из Journal of Symbolic Logic (как правило, весьма надежным), что в каждом
отдельном случае не отмечается.
Работы обычно датируются годом выхода соответствующего тома
журнала; в отдельных случаях указывается год выхода отдельного выпуска
или переиздания, в связи с чем возможно расхождение в датировке на один
год.
Рефераты и резюме включены в библиографию лишь в исключительных
случаях.
Перечень тех авторов, чьи работы упоминаются внутри этой
библиографии (в связи -с упомянутыми в ней работами) не в алфавитном порядке,
приведен в конце библиографии3).
1) Названия работ, опубликованных на «редких» (например,
скандинавских) языках, авторы настоящей книги иногда сопровождают в библиографии
английским переводом. В русском издании эти двойные наименования
сохранены, за исключением работ, напечатанных на русском, польском и др.
славянских языках. Немногочисленные комментарии к упоминаемым в
библиографии работам и сведения об их русских изданиях, заключенные в
квадратные скобки, добавлены при переводе. — Прим. перев.
2) По поводу работ, опубликованных начиная с 1957 г., см. также
дополнительный список литературы на стр. 500. — Прим. перев.
3) В переводе имена таких авторов приведены также и в русской
транскрипции и включены в основной авторский указатель (см. стр. 538). — Прим.
перев.

Библиография
423
Л'Аббе (L'Abbe M.)
1953. Systems of transfinite types involving λ-conversion, /. 5. L., 18,
209—224.
Авситидиски (Avsitidysky S.)
1927. Note relative au travail de MM. M. Barzin et A Errera «Sur la
logique de M. Brouwer», Acad. R. de Belgique, Bull, de la CI. des
Sc. (5), 13, 724-730.
Адамар (HadamardJ)
1905 (Cinq lettres sur la theorie des ensembles, de MM Hadamard, Borel,
Baire.) Bull, de la Soc. Math, de France, 33, 261—273
(перепечатано в книге Борель, 14).
Аддисон (Addison J. W., Jr.)
1954/56. On some points of the theory of recursive functions, Диссерт.
University of Wisconsin (неопубликовано). (См. University of
Wisconsin, Summaries of Doctoral Dissertations, 16, 348—349, 1956.)
Айер (Ay e r A J.)
1953. Truth, Rev Intern, de Philos, 7, 183—200.
Аккерман (А с k e r m a η η W.)
1924. Begrundung des «tertium non datur» mittels der Hilbertschen
Theorie der Widerspruchsfreiheit, Math. Annalcn, 93, 1—36.
1928. Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen, ibid., 99, 118—133.
1937. Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre; ibid., 114,
305—315.
1937a. Mengentheoretische Begrundung der Logik, ibid., 115, 1—22.
1940. Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie, ibid., 117, 162—194.
1941, Ein System der Typenfreien Logik. I. Forschungen zur Logik etc.,
N. S. Heft 7, Leipzig. 29 стр.
1950. Widerspruchsfreier Aufbau der Logik I. (Typenfreies System ohne
tertium non datur), J. S. L., 15, 33—57.
1952—53. Widerspruchsfreier Aufbau einer typenfreien Logik. (Erweiter-
tes System.) Math. Ztschr., 55, 364—384, 1952; 57, 155—166, 1953.
1954. Solvable cases of the decision problem. Amsterdam, 114 стр.
1956. Zur Axiomatik der Mengenlehre, Math. Annalen, 131, 336—345;
см. также Гильберт — Аккерман.
Александров А. Д.
1951. Об идеализме в математике, Природа (Ленинград), № 7, 3—11·
№ 8, 3—9.
А л с τ о н (Alston W. Р.)
1958. Ontological commitments, Philos. Studies, 9, 8—17.
Accep (Asser G)
1957. Theorie der logischen Auswahlfunktionen. Ztschr. f. math. Logik u.
Grundl. der Math., 3, 30—68.
Банах — Тарский (Banach S., Tarski A.)
1924. Sur la decomposition des ensembles de points en parties respecti·
vement congruentes. Fund. Math., 6, 244—277.
Банашевский (Banaschewski B.)
1953. Uber den Satz von Zorn. Math. Nachrichten, 10, 181—186.
де Бансель (des В a n с е 1 s J. L.)
1926. La logique d'Aristote et le principe du tiers exclu, Rev. de TheoL
et de Philos., N. S., 14, 120—124.

424
Библиография
Барзин —Эррера (Barzin Μ., Errera A.)
1927. Sur la logique de M. Brouwer. Acad. R. de Belgique, Bull de la
CI. des Sc, (6), 13, 56—71.
Б a p - X и л л е л (В а г - Η i 11 е Ι Υ.)
1947. The revival of «The Liar», Philos. and Phenomsn Research, 8,
245—253.
1947a. Theory of syntactical categories (на еврейск. яз.), Диссерт.,
Hebrew University, Jerusalem.
1950. On syntactical categories. /. 5. L, 15, 1—16.
1953. A quasi-arithmetical notation for svntactic description. Language,
29, 47—58.
1957. HusseiTs conception of a purely logical grammar. Philos. and Phe-
nomen. Research, 17, 362—369.
1957a. New light on the Liar. Analysis, 18, 1—6.
Бахман (Bachmann H.)
■ -·■' 1955. Tfansfinite Zahlen. (Ergebnisse der Math, etc., N. S, Heft 1),
Berlin, Gottingen — Heidelberg. 204 стр.
1956. Stationen im Transfiniten. Ztschr. f. math. Logik u. Grundl. der
Math., 2, 107—116.
Беккер A. (Becker A.)
)3 1936. Bestreilet Aristoteles die Gultigkeit des «tertium non datur» fur
Zukunftsaussagen? Act. Sc. Ind., 393, 69—74.
ёеккер О. (Becker О.)
1930. Zur Logik der Modalitaten, Jahrb. f Philos. u. phanomen. For-
schung, 11, 497—548. Перепечатано в виде книги: Halle a. S.,
1930; ср. Blatter f. deutsche Philos., 16, 387—422, 1943, и 18,
82—93, 1944.
1933. Eudoxos-Studien. II. Warum haben die Griechen die Existenz
der vierten Proportionale angenommen? Quellen and Studien zur
Geschichte der Math. B2, 369—387. (Cp. ibid., B3, 236—244, 1936.)
1936. Eudoxos-Studien. IV. Das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten in
dergriechischen Mathematik, ibid., B3, 370—388.
Белинфанте (Belinfante H. J.)
1929. Zur intuitionistischen Theorie der unendlichen Reihen, Sitz. Berlin,
1929, № XXIX, 24 стр.
1931. Uber die Elemente der Funktionentheorie und die Picardschen Satze
in der intuitionistischen Mathematik. Proc. Amsterdam, 34, 1395—
1397. (Cp. Kongr. Zurich 1932, II, 345—346, 1933; Proc. Amsterdam,
44, 173—185, 276—285, 420—425, 563-567, 711-717, 1941.)
Беман (Behmann H.)
1927. Mathematik und Logik. (Math.—Ph. Bibliothek, № 71.)
Leipzig·—Berlin. 59 стр.
1931. Zu den Widerspruchen der Logik und Mengenlelire. Jahresb. D.M. V.,
40, 37—48.
1955. Muss die Logik paradox sein? Proc. of the Second Intern. Congr.
of the Intern. Union f. the Philos. of Sc, II, 97—108
Бенеш (Benes V. E.)
1954. A partial model for Quine's «New Foundations» J.S.L., 19,
197—200
1955. On the consistency of an axiom of enumerability, ibid., 20, 29—30.

Библиография 425
Беннеке (Benn^cke E.)
1934. Das Russelsche Paradoxon der Mengenlehre im Lichte neuerer
Sprachwissenschaft. Deutsche Akad., Mitteilungen (Miinchen),
199—204.
Берецки (Bereczki Ilona)
1952. Nem elemi rekurziv fuggveny letezesi (Existenz einer nichtelement-
aren rekursiven Funktion); резюме на немецком языке, С. R. du
I-er Congr. des Math. Hongrois, 1950, 409—417.
Бернайс (Bernays P.)
1930. Die Philosophic der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie,
Blatter f. deutsche Philos., 4, 326—367.
1935. Sur le platonisme dans les mathematiques UEns. Math., 34,
52—69.
1935a. Quelques points essentiels de la metamathematique, ibid., 70—95.
1937—54. A system of axiomatic set theory, I—VII. J.S.L., 1 : 2, 65—77,
1937; 11:6. 1—17, 1941; 111:7, 65—89, 1942; IV: ibid., 133—145;
V: 8, 89—106, 1943; VI: 13, 65—79, 1948; VII: 19, 81—96, 1954.
1950. Mathematische Existenz und Widerspruchsfreiheit. Etudes de philos.
des sc, en hommage a F. Gonseth a Toccasion de son 60-me
anniversaire, Neuchatel, 11—25.
1955. Betrachtungen iiber das Vollstandigkeitsaxiom und verwandte
Axiome. Math. Ztschr., 63, 219—229.
1958. Axiomatic set theory: Amsterdam. 225 стр.
См. также Гильберт — Бернайс.
Берри (Berry G. D. W.)
1953. Symposium: On the ontological significance of the Lowenheim—
Skolem theorem. Academic Freedom, Logic, and Religion
(Philadelphia), 39—55.
Бет (Beth E. W.)
1935. Sur un theoreme concernant le principe du tiers exclu et ses
applications dans la theorie de la noncontradiction. 2-rne Congr. Nat. des
Sc, С R. (Bruxelles), 1, 160—164.
1936. Demonstration d'un theorieme concernant le principe du tiers exclu.
Acad. R. de Belgique, Bull, de la Ct. des Sc. (5), 22, 580—581.
(Cp. Barzin M. [Барзин]: ibid., 582—583.)
1939. De paradoxen, Alg. Neg. Tijdschrift v. Wijsbegeerte en Psych, 32,
193—208. (Cp. Prijns L. [Крине]: ibid. 35, 147—149, and Beth E.W.:
ibid., 149—150, 1942.)
1947. Semantical considerations on intuitionistic mathematics. Proc.
Amsterdam 50, 1246—1251 (I. M., 9, 572—577).
1951. A topological proof of the theorem of Lowenheim — Skolem —
Godel Proc. Amsterdam A54 (I. M., 13), 436—444. (См.
исправление в статье Бета, 53.)
1951а. La existencia de los entes matematicos. Notas у Estudios de Filos.
(Tucuman), 2, 249—258.
1953. Some consequences of the theorem of Lowenheim — Skolem—Go-
del — Malcev. Proc. Amsterdam, A56 (I. M. 15), 66—71.
1953a. On Padoa's method in the theory of definition, ibid., 330—339.
(Cp. Robinson А. [А. Робинсон]: /. 5. L, 21, 220—221, 1956.)
1955. Les fondements logique des mathematiques. 2-е изд. Paris — Lou-
vain. 241 стр.
1955a. Remarks on natural deduction. Proc. Amsterdam, A58 (I. M. 17),
322—325,

426
Библиография
1955b. Semantic entailment and formal derivability. Mededelingen der
Kon. Ned. Akad. υ. Wetensch., Afd. Letterkunde, N. S., 18, № 13,
309—342.
1956. L'existence en mathematiques. Paris — Louvain, 60 стр.
1956a. Semantic construction of intuitionistic logic, Mededelinger der
Kon. Ned. Akad. v. Wetensch., Afd. Letterkunde, N. S , 19, № 13
(первоначально на франц языке* Colloque de Logique Math, du
С N. R. S. Paris, 1955).
1957. La crise de la raison et la logique, Paris —Louvain, 50 стр.
Б и л л и η г (В ί 11 i n g J.)
1949. The principle of excluded third and the Bolzano — Weierstrass lemma.
Arkiv. f. Mat. etc, (2), 1, стр. 59, (Ср. ibid., 34B, № 11, 1947.
2 стр.)
Биркгоф (Birkhoff Garrett)
1948. Lattice theory. (A. M. S. Colloq. Publ. 25. New York, 1940, 155 стр.).
Переработанное изд., 283 стр. [Русский перевод: Теория структур,
М., 1952, 407 стр.]
Биркгоф — фон Нейман (Birkhoff Gareett, von Neumann J.)
1936. The logic of quantum mechanics. Annals of Math., (2)37, 823—843.
(Cp. Jordan P. [П. Жордан]. Archiv der Math., 2, 166—171, 1949.)
Б л эк (Black Μ.)
1933. The nature of mathematics. A critical survey. London, 1933 and New
York, 1934, 219 стр. Переиздано в 1950.
1948. The semantic definition of truth. Analysis, 8, 49—63. Перепечатано
в Margaret Macdonald, ed.: Philosophy and Analysis (Oxford,1954),
243—260. См. также Гич — Блэк
Бокстел (Bockstaele P.)
1949. Het intuitionisme bij de France wiskundigen. (Verh. Kon. Vlaamse
Acad. v. Wetensch. etc.) Brussels. 123 стр.
Борджерс (Borgers A.)
1949. Development of the notion of set and of the axioms of sets. Synthese,
7, 374—390.
Б о р е ль (В о г е 1 Ё.)
1914. Legons sur la theorie des fonctions. Paris, 1898, 2-е изд., 1914,
260 стр.; 3 изд., 1928 (1950). (Ср. Math. Annalen, 60, 194—195, 1906
и Rev. du Mois, I, 248—250, 1906.)
1946. Les paradoxes de l'infini. Paris. 237 стр.
1947. Les paradoxes de l'axiome du choix. С R. Paris, 224, 1537—1538
(Cp. ibid., 1597—1599.)
1949. Elements de la theorie des ensembles. Paris, 319 стр.
Боуден (Bowden L.)
" 1952. Heterologicality. Analysis, 12, 77—81. (Cp. J. N. Killalea, ibid., 14,
20—24, 1953.)
Бохенский (Bochenskil. M.)
1949. On the syntactical categories. The New Scholasticism, 23, 257—280.
1956. Formale Logik. Freiburg und Munchen, 639 стр.
Б о ч в а р Д. А.
1939. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу
парадоксов классического расширенного функционального исчисления,
Мат. сборник, Нов. серия, 4, 287—308.

Библиография 42?
1943. К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного исчисления,
там же, 12, 353—369.
1944. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств,
там же, 15, 369—384.
1945. Некоторые логические теоремы о нормальных множествах и
предикатах, там же, 16, 345—352.
фон Бранден штейн (von В г a n d e n s t ei η Β.)
1935. Bolcseleti alapvetes (Philosophical foundations). Budapest. 547 стр.
Браун Г. 4. (Brown H. С)
1911. The logic of Mr. Russell. /. of Philos., 8, 85—99.
Бра у η Д. Г. (Brown D. G.)
1957. Paradox without tiers Analysis, 17, 112—118.
Брауэр (В г о u w e r L. E. J.)
1907. Over de grondslagen der wiskunde. Диссертация Amsterdam —
Leipzig. 183 стр. (Ср. N. Archief v. Wiskunde (2), 8, 326—328, 1908.)
1908. De onbetrouwbaarheid der logische principes. Tijdschrift v. Wijsbe-
geerte, 2, 152—156.
1912. Intuitionisme en formalisme, Groningen, 32 стр. (англ. перевод в
Bull. A M S., 20, 81—96, 1914).
1918—19. Begrundung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz
vom ausgeschlossenen Dritten. I und II. Verh. der Kon. Akad. v.
Wetensch. te Amsterdam (eerste sectie), 12, № 5 и 7. 43 + 33 стр.
1923. Begrundung der Funktonenlehre unabhangig vom logischen Satz
vom ausgeschlossenen Dritten. vl. Teil. ibid., 13, № 2. 24 стр. (Ср.
Proc. Amsterdam, 27, 189—193, 644—646, 1924.)
1925. Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der
Mathematik, insbesondere in der Funktionen theorie. /. f. Math.,
154, 1—7. (Ранее опубликовано на голландском яз. в 1923 г.; Wis —
en Natuurkundig Tijdschrift, 2, 1—7; ср. Proc. Amsterdam, 29, 866—
867, 1926.)
1925—27. Zur Begrundung der intuitionistischen Mathematik. I—III.
Math. Annalen, 93, 244—257, 1925; 95, 453—472, 1926; 96, 451—488,
1927. (Cp. /. f. Math., 157, 255—257, 1927.)
1925a. Intuitionistischer Beweis des Jordanschen Kurvensatzes. Proc.
Amsterdam, 28, 503—508.
1926. Intuitionistische Einfuhrung des Dimensionsbegriffs, ibid., 29, 855—
863. (Cp. ibid., 27, 636—638, 1924.)
1927. Uber Definitionsbereiche von Funktionen. Math. Annalen, 97, 60—75.
1928. Intuitionistische Betrachtungen uber den Formalismus, Sitz. Berlin,
1928, 48—52. (Также Proc. Amsterdam, 31, 374—379, 1928)
1929. Mathematik, Wissenschaft und Sprache. Monatsh. Math. Ph. 36, 153—
164. Опубликовано на голландском яз в Euclides, 9, 177—193,
1933; ср. ibid., 11, стр. 160, 1935., и в De uitdrukkingswijzen der
wetenschap (под ред. Поса (Η. J. Pos), Groningen — Batavia,
1933), 43—63; cp. Proc. Amsterdam, 50, стр. 339, 1947.
1930. Die Struktur des Kontinuums, Wien. 12 стр.
1948. Essentieel — negatieve eigenschappen Proc. Amsterdam, 51, 963—
964 (/. M., 10, 322—323); cp. ibid. 52, 122—124, 315—316 {ibid.,
11, 37—39, 89—90), 1949.
1949. Consiousness, philosophy, and mathematics. Library of the X-th
Intern. Congr. of Philos., Amsterdam 1948, I, 1235—1249; cp. Proc.
Amsterdam, 51, 1239—1243 (λ Μ., 10, 383—387), 1948.
1950. Sur la possibility d'ordonner le continu. С R. Paris 230, 349—350.
(Cp. ibid., 263—265; Proc. Amsterdam, A54 (/. M., 13), 357—358,

m
Библиография
1951, и А55 (/. M.f 14) стр. 79, 1952; F. Loonstra [Лоонстра]: Math.
Centrum Amsterdam, Rapport Z. W. 1919, 014 4 стр., 1949.)
* J952—53. Historical background, principles and methods of intuitionism.
South African J. of Sc, 49, 139—146 (Cp. Proc. of the R Irish Acad.
A57, 113—116, 1955)
1954. Intuitionistische differentieerbaarheit, Proc. Amsterdam, A57 (/. M.,
16), 201-204.,
1954a. Points and spaces, Canadian J. of Math., 6, 1 —17.
Б ρ а у э ρ, де Л о о ρ (Brouwer L. E. J., de Loo г В.)
1924. Intuitionistischer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra,
Proc. Amsterdam, 27, 186—188; cp. ibid., 631—634.
Булиган (Bouligand G.)
1947. Une epistemologie conforme a l'esprit de l'analyse classique.
С R. Paris, 224, 1747—1749.
Бурали-Форти (Burali-Forti C.)
1897. Una questione sui numeri transfiniti. Rendic. Palermo, 11, 154 — 164,
260. (Cp. P. Ε. Β. Jourdain [Журдэн]: Philos. Magazine (6), 7,
стр. 70, 1904.)
Бурбаки (Bourbaki Ν)
1949 Foundations of mathematics for the working mathematician. /. S. L.t
14, 1—8.
1950 Sur le theoreme de Zorn. Archiv der Math., 2, 434—437.
1954 Theorie des ensembles. (Act. Sc. Ind , 1212), Paris, 136 стр.
[Русский перевод* изд. 1960 г., включен в книгу Бурбаки Н.,
Теория множеств, «Мир», М., 1965.]
1956. Theorie des ensembles. Ill, (Act. Sc. Ind., 1243.), Paris 118 стр.
[Русский перевод: включен в книгу Бурбаки Н., Теория
множеств, «Мир», М., 1965.]
Бэр (В aer Reinhold)
1928 (Jber ein Vollstandigkeitsaxiom in der Mengenlehre, Math. Ztschr.,
27, 536—539. (Cp. Finsler P. [Финслер] und Baer R. [Рейнгольд
Бэр]: ibid., 540—543.)
1929. Zur Axiomatik der Kardinalzahlarithmetik, ibid, 29, 381—396.
Б ю χ и (В u с h i J R.)
1953. Investigation of the equivalence of the axiom of choice and Zorn's
lemma from the-viewpoint of the hierarchy of types, /. S. L., 18,
125-135.
В авр (Wavre R.)
1924 Υ a-t-il une, crise des mathematiques? A propos de la notion d'exi-
stence et d'une application suspecte du principe du tiers exclu.
R. Μ. Μ, 31, 435—470
Вагнер
См. Кинна — Вагнер.
Вайдьянаткасвами (Vaidyanathaswamy R.)
1943. On disjunction in intuitionist logic. Proc. Indian Acad of Sc., A17,
41—45. (Cp. The Math. Student, 6, 33—42, 1938.)
Вайсберг (W a j s b e r g M.)
1938. Untersuchungen uber den Aussagenkalkul von A. Heyting Wiado-
mosci Mat., 46, 45—101.

Библиография
429
В а й с м а н (Waismann F.)
1951. Introduction to mathematical thinking. The formation of concepts in
modern mathematics. New York — London, 260 стр. (1-е нем. изд.,
Wien, 1936; 2-е изд. 1947; итал. изд., 1939).
Ваккарино (Vaccarino G.)
1948 Elementi per una teoria del la conoscenza. Sigma, 1, 6—27, 69—86,
303—331, 387- 433. (Cp. ibid.. 245—247)
Вальпола (Valpola V.)
1953. Elementare Untersuchungen der Antinomien von Russell, Grelling —
Nelson und Eubulides. Theoria, 19, 183—188. (Cp. Ann Acad. Sc.
Fennicae, B68, № 1, 1950.)
1955. Eine Eigenschaft gewohnlicher negationslosei Kalkule der Proposition
nen- und Pradikatenlogik. Math Scand., 3, 107—114 (Cp диссерт :
Ein System der negationslosen Logik mit ausschliesslich realisieiba-
ren Pradikaten, Acta Philos. Fennica 9, 1955, 247 стр )
В a it д и вер (V a η d i ν e r Η. S.)
1934—35 On the foundations of a constructive theory of discrete
commutative algebra. Acad. V. S. A, 20, 579—584; 21, 162—165.
(Cp Annals of Math (2) 37, 1—6, 1936)
1936. On the ordering of real algebraic numbers by constructive methods.
Annals of Math. (2), 37, 7—16.
ван дер В а р д е н (van der W a e r d e η Β. L.)
1930. Eine Bemerknng tiber die Unzerlegbarkeit von Polynomer, Math,
Annalen, 102, 738—739
1954. Science awakening Groningen. 306 стр [Русский перевод: Ван
дерВарденБ Л., Пробуждающаяся наука. Матемашка
древнего Египта, Вавилона и Греции. Физматгиз, М., 1959.]
Вегель (W e g е 1 Н.)
1956. Axiomatische Mengenlehre ohne Elemente von Mengen. Math Anna-
len, 131, 435—462.
Ведберг (Wedberg A.)
1945 Den nya logiken, Stockholm. I, 61 стр.; 11,71 стр., финский перевод,
Helsinki, 1947, 150 стр.
Вей ль (Weyl Η.)
1918 Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen uber die Grundlagen der
Analysis, Leipzig, 83 стр. (Перепечатано в 1932 г.)
1919. Der circulus vitiosus in der heutigen Begrundung der Mathematik.
Jahresb. D. Μ V., 28, 85—92.
1921. Uber die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Math. Ztschr., 10,
39—79. Перепечатано с Nachtrag Juni 1955 в Selecta Hermann
Weyl (Basel — Stuttgart, 1956), 211—248.
1924. Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik, ibid., 20,
131 — 150.
1925. Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik, Symposion, 1, 1—32.
(Опубликовано также в виде брошюры: Sonderdrucke des
Symposion, Ν 3, Erlangen 1926.)
1926. Philosophie der Mathematik und Naturwissenshaft, Teii I, (Hand-
buch der Philos. HA), Miinchen — Berlin, 64 стр., перепечатано
1950. Еврейское изд., Jerusalem, 1945.

430
Библиографий,
1946. Mathematics and Logic. A brief survey serving as preface to a
review of "The phylosophy of Bertrand Russell". Am. Math Monthly,
53, 2—13.
1949 Phylosophy of mathematics and natural science. (Исправл. и рас-
шир. английское изд., 1926, Parts I and II.), Princeton, 311 стр.
Beftcc(WeissP)
1928. The theory of types, Mind, 37, 338—348.
фон Вейцзекер (von Wei zs acker С F.)
1955. Komplementaritat und Logik, Naturwissenschaften, 42, 521—529,
545—555.
Вирье-Реймон
См. Реймон
Висье (Vuysje D.)
1953. Signifies, its tendency, methodology, and applications. Proc.
of the Am. Acad of Arts and Sc, 80, 223—270.
Витгенштейн (Wittgenstein L.)
1922. Tractatus logico-philosophicus. (По-немецки, с английским
переводом.), London, 189 стр , 4 переиздание, 1949. На нем. языке ранее
в Annalen der Naturphilos., 14, 185—262, 1921. [Русский перевод:
Логико-философский трактат, Μ , 1958.]
1956. Remarks on the foundations of mathematics. (По-немецки, с
английским переводом.) Под ред. фон Райта (G. H. von Wright), Риса
(R. Rhees) и Энскомба (G. Е. М. Anscombe). Перевод Энскомба,
Oxford, 40O стр.
Витт (Witt E.)
1951. Beweisstudie zum Satz von M. Zorn. Math. Nachrichten, 4,
434—438. (Cp. Rev. Mat. Hisp.-Amer. (4) 10, 82—85, 1950; Инагаки,
1952).
1951a. Matematica intuicionista. (Conferencias de Mat., № 11, Instituto de
Mat. "Jorge Juan", Madrid), 8 стр.
Ван Влек (van Vleck Ε. Β.)
1908. On non-measurable sets of points, with an example. Tr. A. M. 5.,
9, 237—244. (Cp. W. Sierpinski [Серпинский]: Fund. Math., 10,
177—179, 1927.)
Boot (V a u g h t R. L.)
1954. Applications of the Lowenheim — Skolem — Tarski theorem to
problems of completeness and decidability. Proc. Amsterdam, A57 (Ι. Μ,
16), 467—472. (Ср. Bull. A. M. S., 59, 396—397, 1953; Лось, 23; 54a;
Henkin [Генкин]: Proc. Amsterdam, A58 (/. M., 17), 326—328, 1955.)
1956. On the axiom of choice and some metamathematical theorems
(резюме), Bull. A, M. S., 62, 262—263. (Cp. Henkin [Генкин]: Tr.
A M. S., 74, стр. 420, 1953.) См. также Тарский.
Воэм (Vaugham Η. Ε.)
1952. Well-ordered subsets and maximal members of ordered sets.
Pacific J. of Math., 2, 407—412.
Вундхейлер(ы) (Wundheiler Luitgard and Alexandr)
1955. Some logical concepts for syntax. Опубликовано под ред. Локка
(Locke W. N.) и Бута (Booth A. D.): Machine translation of
languages, New York, London, 194—207. [Русский перевод: см.
сборник «Машинный перевод», ИЛ, М., 1957, стр. 261—270.]
Г а л
См. Новак

Библиография 431
Г а л л у ч ч и (G а 1 1 и с с i G.)
1931. Nuovo saggio su Tinfinito. Contributo alio studio dei problemi della
logica, Atti della Acad. Pontoniana (Napoli), 61, 209—321.
Гальперин (Η a i 1 ρeriη Τ)
1944. A set of axioms for logic, J. S. L., 9, 1 — 19. (Cp. Cornell Univ.,
Abstracts of Theses etc., 1943, 207—209 )
1953. Quantification theory and empty individual domains, ibid., 18, 197—
200.
1954. Remarks on identity and description in first-order axiom systems
ibid., 19, 14—20.
1957. A Theory of restricted quantification, ibid, 22, 19—35, 113—129.
Ганди (GandyR O.)
1956. On the axiom of extensionality, Pt. I. J. S L·, 21, 36—48. (Часть II
еще не опубликована )
Гарсиа (Garcia Bacca J. D)
1949. Historia esquematica de los conceptos de finito e infinito. Episteme
(Buenos Aires), № 5, 149—171.
Геймонат (Geуmο η at L )
1947. La crisi della logica formale, Fondamenti logici della scienza
(Torino), 111—135.
Гейтинг (HeytingA)
1928. Die Theorie der linearen Gleichungen in einer Zahlenspezies mit
nichtkommutativer Multiplikation, Math. Annalen, 98, 465—490.
1930 Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitz. Berlin, 1930,
42—56.
1930a Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik, ibid., 57—
71, 158—169. (Относительно 30 и 30а ср. Н. Scholz: Deutsche
Liter aturzeitung, 1930, 2202—2208.)
1930b. Sur la logique intuitionniste. Acad. R. de Belgiqiie, Bull, de La CI.
des Sc. (5), 16, 957—963.
1934. Mathematische Grundlagenforschung, Intuitionismus, Beweistheorie,
(Ergebnisse der Math etc III, № 4.), Berlin. 73 стр.
[Русский перевод: А. Гейтинг, Обзор исследований по
основаниям математики, Μ—Л, ОНТИ, 1936, 96 стр. Как указано у
Клини, 52 (стр 438 и 496 русск. изд), утверждение Гейтинга о
справедливости теоремы Гёделя, 33 b (лат.), для исчисления
предикатов, имеющееся на стр. 18 (стр. 28 русск. перевода),
ошибочно 1
1941. Untersuchungen tiber intuitionistische Algebra, Verh. der Ned. Akad.
van "Wetensch, Afd. Natuurkunde, 1 Sectie, 18, № 2. 36 стр.
1948 Formal logic and mathematics. Synthese, 6, 275—282. (Cp. Alg. Ned.
Tijdschrift v. Wijsbegeerte en Psychol. 40, 121—131, 1948
[по-голландски, с франц. резюме].)
1951. Note on the Riesz — Fischer theorem Proc. Amsterdam, A54 (Λ Μ.,
13), 35—40.
1953. Espace de Hilberl et intuitionnisme Les Methodes Formelles en Axio-
matique, Colloq. Intern, du C. N. R. S., № 26 (I960), 59—64,
Paris.
1953a. Sur la tache de la philosophie des mathematiques. Actes du Xl-me
Congr. intern, de Philos., Bruxelles 1953, V, 193—198
1954 Logique et intuitionnisme Actes du 2-me Colloq intern, de Logique
Math., Paris, 1952, 75—82; см. также дискуссию, ibid., 82—83.

432
Библиография
1954а. Sur la theorie intuitionniste de la mesure. Bull, de la Soc. Math.
Belgique, 6, 70—78
1955. Les fondements des mathematiques. Intuitionnisme. Theorie de la
demonstration. (Переработанное французское издание книги Гей-
тинг, 34, Paris.Louvain. 91 стр.)
1956. Intuitionism. An introduction, Amsterdam, 133 стр. [Русский перевод:
Г е й τ и н г Α., Интуиционизм Введение, «Мир», Μ , 1965.]
Генкин (HenkinL.)
1947. The completeness of formal systems, Диссерт., Princeton University.
1949. The completeness of the first-order functional calculus. J. S. L, 14,
159—166. (Cp. Beth E. W. [Бет]: ibid., 17, стр. 159, 1952.)
1950. Completeness in the theory of types, ibid, 15, 81—91.
1951. An algebraic characterization of quantifiers. Fund. Math., 37, 63—74.
1953. On the primitive symbols of Quine's "Mathematical Logic". Rev.
Philos. de Louvain, 51, 591—593.
1953a. Some notes on nominalism. /. S. L., 18, 19—29.
1953b. Some interconnections between modern algebra and mathematical
logic. Jr. A. M. S.t 74, 410—427.
1954. A generalization of the concept of ω-consistencv, /. S. L., 19, 183—-
196
1955. The representation theorem for cylinderical algebras, Math,
interpretations of formal systems (Amsterdam), 85—97.
1955a. On a theorem of Vaught, /. S. L, 20, 92—93, (Cp. Proc. Amsterdam,
A58 (/. Af, 17), 326—328, 1955.
1956. La structure algebrique des theories mathematiques. Paris — Louvain,
52 стр. (Ошибка исправлена в Bull. Α. Μ. S., 63, стр. 26, 1957.)
1956a. Two concepts from the theory of models, /. S. L, 21, 28—32. (Cp.
Robinson А. [А Робинсон]: Note on a problem of Henkin L., ibid.,
21, 33—35.)
1957. A generalization of the concept of ω-completeness, ibid., 22, 1 — 14.
(Cp. Congr. Amsterdam, 1954, II, 403—404, 1957.)
Генцен (Gentzen G.)
1934. Untersuchungen iiber das logische Schliessen Math. Ztschr., 39,
176—210, 405—431 (французский перевод с комментариями Фейса
(R. Feys) и Ладриера (J. Ladriere): Paris 1955).
1936. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. Math. Annalen,
112, 493—565. (Cp. Semesterberichte Munster, 9 Sem., 65—80, 1937.)
1936a. Die Widerspruchsfreiheit der Stufenlogik. Math. Ztschr. ,M, 357—366.
1988. Die gegenwartige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung.
Forschungen zur Logik ets., N. S., № 4, 5—18 (Гакже в Deutsche
Math., 3, 255—268, 1938.)
1938a. Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises fur die reine
Zahlentheorie. ibid., 19—44.
1943. Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Amfangsfallen der trans-
finiten Induktion in der reinen Zahlentheorie. Math. Annalen, 119,
140—161.
Гермес (Hermes H.)
1937. Definite Begriffe und berechenbare Zahlen, Sernesterber. Munster,
10, Sem., 1937, 110—123.
1951. Zum Begriff der Axiomatisierbarkeit. Math. Nachrichten, 4, 343—347.
1955. Einfuhrung in die Verbandstheorie, Berlin —Gottingen —
Heidelberg, 164 стр.
1955a. Vorlesungen iiber Entscheidungsprobleme in Mathematik und Logik,
Munster, 140 стр.

Библиография
433
1956. Uber die gegenwartige Lage der mathematischen Logik und Grund-
lagenforschung. Jahresb. D. M. V., 59 (1), 49—69. См. также Гу-
мин — Гермес.
Гермес — Шольц (Hermes Η., Scholz H)
1952. Mathematische Logik. Enzykl. der math. Wiss., Bd. I, Tl. 1, Ht 1,
Tl. I, Leipzig, 82 стр.
Гессенберг (Hessenberg G)
1906. Grundbegriffe der Mengenlehre. (Abh. der Friesschen Schule, N. S.
(1), Ht. 4.) Gottingen. 220 стр.
Гёдель (G 6 d e 1 K.)
1930. Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalktils.
Monatsh Math. Ph., 37, 349—360.
1931. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme. I, ibid., 38, 173—198 (См. также Anzeiger
Akad. Wien, 67, 214—215, 1930.)
1931/32. Uber Vollstandigheit und Widerspruchsfreiheit, Koll., Ht. 3,
12—13.
1932. Zum infuitionistischen Aussgenkalktil. Anzeiger Akad. Wien, 69,
65—66. Перепечатано в Koll, Ht. 4, стр 40, 1933.
1933. Zum Entscheidungsproblem des logischen Funktionenkalktils.
Monatsh. Math. Ph, 40, 433—443.
1933a. Uber Unabhangigkeitsbeweise im Aussagenkalktil, Koll., Ht. 4,
9—10.
1933b. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie. ibid, 34—38.
1933c. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussgenkalkuls ibid.,
39—40.
1934. On undecidable propositions of formal mathematical systems
(ротапринт), Princeton, 30 стр.
1936. Uber die Lange von Beweisen. Koll, Ht. 7, 23—34.
1938. The consistency of the axiom of choice and oi the generalized
continuum-hypothesis. Acad. U. S. Α., 24, 556—557.
1939. Consistency-proof for the generalized continuumhypothesis, ibid, 25,
220—224.
1940 'The consistency of the axiom of choice and of the generalized
continuum-hypothesis with the axioms of set theory. (Annals of Math.
Studies, № 3.) Литограф, изд., Princeton, 66 стр Переработанное
изд., 1951, 75 стр. [Русский перевод А. А. Маркова с изд. 1940
(с исправлением в аксиоме А4, где после «(Ez)» вставлено
недостающее «(и)»). Совместимость аксиомы выбора и обобщенной
континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, Успехи матем.
наук, 3, № 1, 96—149, 1948; см. также Марков, 48.]
1944. Russell's mathematical logic. Шильп 44, 123—153. (Ср. Bernays
[Бернайс]: /. S. L., U, 75—79, 1946.)
1947. What is Cantor's continuum problem? Am. Math. Monthly, 54,
515—525.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.)
1952. Undecidability of some topological theories. Fund. Math., 38,
137—152. "
1953. Some classes of recursive functions. Rozprawy Mat., № 4, Wars-
zawa, 46 стр.
1954. Elementarily definable analysis. Fund. Math., 41, 311—338. (Cp.
Kondo M. [Кондо]: С. R. Paris, 242, 1841 — 1843, 1956.)
1955. The systems of Lesniewski in relation to contemporary logical
research. Studia Logica, 3, 77—95.
28 Зак. 1765

434
Библиография
1955а. Computable functionals. Fund. Math., 42, 168—202.
1955b. On the difinition of computable functionals, ibid, 232—239.
1956. Some proofs of undecidability of arithmetic, ibid., 43, 166—179.
Гил mo ρ (G i 1 m о r e P. C.)
1953. The effect of Griss' criticism of the intuitionistic logic on Reductive
theories formalized within the intuitionistic logic, диссерт.
University of Amsterdam, 24 стр , см. также в Proc. Amsterdam A56
(/. Μ., 15), 162—174, 175—186, 1953. (Ср. Actes du XI-me Congr.
Intern, de Philos., Bruxelles, 1953, V, 98—104.)
Гильберт (Hilbert D.)
1899/1930. Grundlagen der Geometrie. (Опубликовано впервые в 1889),
7 изд. (значительно переработано), Leipzig — Berlin, 1930, 125 + 201
стр., 8 изд. 1956. (Англ. изд. под ред. Таунсенда: Е. J. Town-
send), Chicago — London, 1902.) (Русский перевод: Основания
геометрии, ОГИЗ, М.—Л., 1948, 491 стр )
1918. Axiomatisches Denken. Math Annalen, 78, 405—419. (На
французском яз.: UEns. Math., 20, 122—136, 191*8; на голландском
яз.: Wiskundig Tijdschrift, 16, 208—222, 1920.)
1922. Neubegrundung der Mathematik. Erste Mitteilung. Abh. Hamburg,
1, 157—177.
1923. Die logischen Grundlagen der Mathematik. Math. Annalen, 88,
151—165.
1925. Uber das Unendliche, ibid., 95, 161 — 190. (На франц. яз.: Acta
Math., 48, 91—122, 1926.) Перепечатано с некоторыми
изменениями в 7 изд. книги 1899/1930, стр. 262—288 (стр. 338—364 русск.
перевода).
1928. Die Grundlagen der Mathematik. (Mit diskussionsbemerkungen von
H. Weyl und einem Zusatz von P. Bernays.) Abh. Hamburg, 6,
65—92. Издано так же, как № 5. Hamburger Math. Einzelschrif-
ten; Leipzig, 1928, 28 стр. Перепечатана с сокращениями в 7 изд.
1899/1930, стр. 289—312 (стр. 365—388 русск. перевода).
1931. Beweis des Tertium non datur. Nachr. Gottingen, 1931, 120—125.
Гильберт — Аккерман (Hilbert D„, Ackermann W.)
1928/49. Grundzuge der theoretischen Logik. (Впервые опубликовано
в 1928.) 3-е переработанное изд., Berlin, 1949, 155 стр.; англ. изд.,
New York, 1950. [Русский перевод со 2 изд.: Основы теоретической
логики, ИЛ, М., 1947, 302 стр. В библиографии русского изд.
Клини, 52, «Введение в математику» (стр. 497) даны исправления,
касающиеся неточностей во 2 и, отчасти, 3 нем. изданиях и в
русском переводе.]
Гильберт —Бернайс (Hilbert D., Bernays P)
1934—39. Grundlagen der Mathematik. Vol. I, 1934; vol. II, 1939, Berlin,
471+498 стр. (Перепечатано: Ann. Arbor, 1944.)
Гич (Geach P. T.)
1948. Mr. Ill-named. Analysis, 9, 14—16.
1955. On insolubilia. ibid., 15, 71—72.
Гич — Блэк (Geach P. Т., Black M.)
1952. Translations from the philosophical writings of Frege. Oxford.
244 стр.

Библиография 433
Г л и в е н к о В. И.
1928. Sur la logique de M Brouwer. Acad. R. de Belgique, Bull, de la
CI. des Sc. (5), 14, 225—228.
1929 Sur quelques points de la logique de M. Brower, ibid, 15, 183^—188.
Годдар (Goddard L.)
1958. True' and 'Provable'. Mind, 67, 13—31.
Гонсет (Gonseth F.)
1926. Les fondements des^ mathematiques. С предисловием Адамара
(J. Hadamard), Paris, 243 стр.
1933. Sur l'axiomatique de la theorie des ensembles et sur la logique des
relations. Commeniarii Math. Helv., 5, 108—136.
1939. Philosophic mathematique. Avec cinq declarations de A. Church,
W. Ackermann, A. Heyting, P. Bernays, L. Chwistek. Act. Sc. Ind.,
837. 100 стр.
Готшальк (Gottschalk W. H.)
1952. The extremum law, Proc. A. M. S., 3, стр. 631.
Гофман (Hofmann P.)
1931. Das Problem des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. Kantstudien,
36, 84—125.
Гребе (Grebe W.)
1940. Die logischen Paradoxien und der logische Urbestand. Ztschr. f.
deutsche Kulturphilos., 6, 208—230.
Грегори (Gregory J. C.)
1952. Heterological and homological, Mind, 61, 85—88.
Греллинг (Grelling K.)
1936. The logical paradoxes. Mind, 45, 481—486.
1937. Der Einfluss der Antinomien auf die Entwicklung der Logik im 20.
Jahrhundert. Act. Sc. Ind., 535, 8—17.
Греллинг — Нельсон (Grelling К., Nelson L.)
1908. Bemerkungen zu den Paradoxien von Russel und Burali-Forti. Abh.
der Friesschen Schule, N. S., 2, 301—324. (Cp. ibid., 331—334;
Groesch H.: ibid, 324—328.)
Γ ρ и 3 (G r i ζ e J. В.)
1955. L'implication et la negation vues au travers des methodes de Gent-
zen et de Fitch. Dialectica, 9, 363—381,
рисе (G r i s s G. F. C.)
1944—51. Negatieloze intuitionistische wiskunde. Ned Akad. v. Wetensch.,
Verslagen, Afd. Natuurkunde, 53, 261—268 (ср. англ. вариант и
продолжение). (Negationless intuitionistic mathematics, I—IV,
Proc. Amsterdam, 49, 1127—1133 (/. M.} 8, 675—681), 1946; 53,
456—463 (/. M.t 12, 108—115), 1950; A54 (/. M., 13), 41—49,
193—199, 452—471, 1951.)
1948. Over de negatie. Feestbundel aangeboden door vrienden en leer-
lingen aan Prof. H. J. Pos (Amsterdam), 96—106. (Cp. N. Archief
υ. Wiskunde (3), 3, 134—142, 1955.)
1948a. Logique des mathematiques intuituionistes sans negation. C· R-
Paris, 227, 946—948. (Cp Детуш-Феврие, 48.)
1949. Sur la negation (dans les mathematiques et la logique). Synthese
7, 71—74. (Cp. Heyting А. [Гейтинг]: ibid., 9, 91—96, 1954.)

436
Библиография
Грюнбаум (Grunbaum A.)
1952. A consistent conception of the extended linear continuum as an
aggregate of unextended elements. Philos. of Sc, 19, 288—306.
1955. Modern science and refutation of the paradoxes of Zeno. Scientific
Monthly, 81, 234—239.
Гудмен (Goodman N.)
1941. Sequences. /. S L, 6, 150—153.
1951. The structure of appearance. Cambridge Mass., 315 стр.
1956. A world of individuals. The problem of universals (Notre Dame,
Indiana), 13—31.
Гудмен — Куайн (Goodman Ν., Quine W. V.)
1947. Steps towards a constructive nominalism /. S. L.s 12, 105—122.
Гудстейн (Goodstein R. L.)
1939. Mathematical systems Mind, 48, 58—73.
1945. Function theory in an axiom-free equation calculus Proc. of the
London Math Society (2), 48, 401—434.
1948. Proof by reductio ad absurdum. Math. Gazette, 32, 198—204.
1951. Constructive formalism Essays on the foundations of mathematics.
Leicester, 91 стр.
1952. The foundations of mathematics (вступительная лекция), Leicester,
27 стр.
1953. A problem in recursive function theory. J.S L·., 18, 225—232.
1954. Logic-free formalizations of recursive arithmetic, Math Scand, 2.
247—261.
1957. Recursive number theory. Amsterdam. 190 стр.
1957a. Mathematical logic. Leicester 104 стр. [Русский перевод:
Гудстейн Р. Л., Математическая логика, М., ИЛ, 1957, 162 стр.]
Г у м и н — Гермес (Gumin Η., Hermes H)
1956. Die soundness des Pradikatenkalkuls auf der Basis der Quine'schen
Regeln. Archiv f. math Logik u. Grundlagenforschung, 2, 68—77.
Д a η ж у a (D e η j о у А.)
1946—54. L'Enumeration transfinie. Livres I—IV. Paris. 971 стр.
ван Данциг (van D a n t ζ i g D.)
1942. A remark and a problem concerning the intuitionistic form of
Cantor's intersection theorem. Proc. Amsterdam, 45, 374—375 (Ι Μ , 4,
147—148); см. также Ibid., 367—373.
1947. On the principles of intuitionistic and affirmative methematics.
Ibid,, 50, 918—929, 1092—1103 (/. M. 9, 429—440, 506—517). (Cp.
Actes Sc. Ind. 1134, 123—135, 1951; см. также Gil more P. C:
L.S L., 21, 323—324, 1956.)
1949. Comments on Brouwer's theorem on essentially-negative predicates,
Ibid., 52, 949—957 (/. M., 11, 347—355).
1949a. Signifies and its relation to semiotics, Library of the Xth Intern.
Congr. of Philos., Amsterdam, 1948, II, 176—189.
Девиде (Devide V.)
1955. Ein Axiomensystem fur die naturlichen Zahlen, Archiv der Math.,
6, 408—412. (Cp. Glasnik Mat.-Fiz. Astr. Drustro Mat. Fiz. Hrvatske
(2), 11, 11—15.)
Дедекинд (Dedekind R.)
1888. Was sind und was sollen die Zahlen? (Первоначально
опубликовано в изд. 1888 r.)J. 6 изд., Braunschweig, 1930, 58 стр. Пере-

Библиография 43?
печатано в Gesammelte mathematische Werke, III, Braunschweig,
1932. Англ. изд. под редакцией Бемана (Beman W. W.), Essays orj
the theory of numbers by R. Dedekind, Chicago — London, 1901.
Итал. изд. под ред. Зариского (Zariski О., Bologna, 1926).
Дек к ер (D е к к е г J С. Е.)
1953. The constructivity of maximal dual ideals in certain Boolean
algebras. Pacific J. of Math, 3, 73—101.
1953a Two notes on recursively enumerable sets. Proc. A. M. S., 4,
495—501.
1954 A theorem on hypersimpie sets, ibid., 5, 791—796.
1955. Productive sets. Tr. A.M.S , 78, 129—149.
Декуа (Dequoy, Nicole)
1949. La geometrie projective plane en mathematique intuitioniste sans
negation. С R. Paris, 228, 1098—1100.
1950. Expose d'un type de raisonnement en mathematique intuitioniste
sans negation et resultats obtenus pour la geometrie projective
plane, ibid, 230, 357—359.
1955. Axiomatique intuitioniste sans negation de la geometrie projective
(Офсет), Paris —Louvain. 108 стр.
Де Су a (De Sua F.)
1956. Consistency and completeness — резюме Amer. Math. Monthly, 63,
295—305.
Детловс В. К.
1953 Нормальные алгорифмы и рекурсивные функции, Доклады АН
СССР, 90, 723—725.
fleTym-OeBpHe(Destouches-Fevrier Paulette)
1945 Rapports entre le calcul des problemes et le calcul des propositions.
C. R. Paris, 220, 484—486.
1948 Logique de l'intuitionisme sans negation et logique de l'intuitio-
nisme positif, ibid., 226, 38—39. (Cp. ibid., 225, 1241—1243; L'Ab-
be M.: J.S L, 13, 163—164, 1948.)
1951. Sur l'intuitionisme et la conception strictement constructive. Proc.
Amsterdam, A54 (/. M., 13), 80—86. (Ср. С R. Paris, 228, 31—33,
1949.)
1951a. La structure des theories physiques. Paris. 423 стр.
Де Чезаре (De Cesare Ε. Α.)
1938. Logica у matematica. Rev. de Ciencias Economicas (Buenos Aires),
1—42.
1939. La logica moderna у la crisis de la matematica. Rev del Centra
Estudiantes de Ingegneria (La Plata), 16, 239—243.
Дейкман (Dijkman J. G)
1952. Convergentie en divergence in de intuitionistische wiskunde. Дис-
серт., Univ. Amsterdam, 98 стр.
Джорджи (Giorgi G)
1948 A proposito di alcune discussioni recenti sui problemi della logica
deduttiva Boll della Unione Mat. Italiana (3), 3, 256—259.
Динз (Dienes Z. P.)
1952 Sulla definizione dei gradi di rigore. Univ. a Politecnico Torino,
Rend. Semin. Mat., 11, 223—253.

43& Библиография
Долькер (Dolcher M.)
1949. Nozione generale di structura per un insieme. Univ. di Padova,
Rend. Semin. Mat., 18, 265—291.
Досс (Doss, Raouf)
1945. Note on two theorems of Mostowski. J.S.L., 10, 13—15. (Cp. Sier-
pinski W. [Серпинский]: Fund. Math., 34, 6—8, 1947.}
Дребен (Dreben B.)
1952. On the completeness of quantification theory. Acad. U. S. Α., 38,
1047—1052.
Дьедонне (Diedonne J.)
1951. L'axiomatique dans les mathematiques modernes. Act. Sc. Ind., 1137,
47—53.
Дьюи (Dewey J.)
1929. The sphere of the excluded middle. /. of Philos., 26, 701—705.
Дэвис (Davis M.)
1950. On the theory of recursive unsolvability. Диссерт., Princeton
University.
1952. Relatively recursive predicates and the extended Kleene hierarchy.
Congr. Cambridge Mass, 1950, I, стр. 723.
1953. Arithmetical problems and recursively enumerable predicates. /. S. L„
18, 33—41.
1956. A note on universal Turing machines. Automata Studies, под ред.
Шеннона (Shannon С. Е.) и Мак-Карти (McCarthy J.), Annals of
Math. Studies, № 34), 167—175, Princeton, N. J. [Русский перевод
в сб.: «Автоматы», ИЛ, М., 1956, 226—234.]
Дюбарль (Dubarle D.)
1955. Remarques sur la philosophie de la formalization logico-mathemati-
que. R. Μ. Μ., 60, 352—390.
Дюбуа-Реймон (du Bois-Reymond P.)
1875. Uber asymptotische Werte, infinitare Approximationen und infini-
tare Auflosungen von Gleichungen. Math. Annalen, 8, 363—414.
Д ю re (Dugue D.)
1950. L'infini en logique et les elements definis et noncalculables. Bull,
de la Soc. R. des Sc. de Liege, 19, 490—4Й9.
Дюрр (Durr K.)
1947. Die Entwicklung der Dialektik von Platon bis Hegel, Dialectica, 1,
45—62.
Есенин-Вольпин А. С
1954. Недоказуемость гипотезы Суслина без помощи аксиомы выбора
в системе Бернайса — Мостовского, Доклады АН СССР, 96, 9—12.
Зейденберг (Seidenberg А.)
1954. A new dicision method for elementary algebra. Annals of Math.,
60, 365—374.
Зих (Zich O. V.)
1936. О bezespornosti logistickych systemu. Ceska Mysl, 32, 215—222.
1947. Uvod do filosofia matematiky. Praha. 172 стр.
1948. Pfispevek k theorii celych cisel a jednojednoznacneho zobrazeni.
Tridy Ceske Akad., Rozprawy, II, vol. 58, № 11, 12 стр.
Инагаки (Inagaki Т.)
1952. Sur deux theoremes concernant un ensemble partiellement ordonne.

Библиография
439
Math. J. of Okayma Univ., 1, 167—176. (Cp. Barbalat I. [Барбалат]:
Acad. R. P. Roum., Bull. Sc, Math. Ph. A4, 751—762, 1952.) [Ha
румынском языке: русск. и франц. резюме.]
Иоганссон (Johansson I.)
1936. Der Minimalkalktil, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus.
Compositio Math. 4. 119—136. (Cp. Destouches-Fevrier (Детуш-
Феврие]: С. R. Paris, 224, 545—547, 1947; 227, 1192—1193, 1948.)
1953. Sur le concept de 'le' (ou 'ce qui') dans le calcul affirmatif et dans
les calculs intuionnistes. Les methodes formelles en axiomatique.
Colloq. Intern, du C.N.R.S., №26 (1950), 66—72, Paris. (Cp. Actes
du XIme Congr. Intern, de Philos., Bruxelles 1953, XIV, 60—64.)
де Ион (de Ι ο η gh J. J.)
1949. Restricted forms of intuitionistic mathematics, Library of the
Xth Intern. Congr. of Philos., Amsterdam, 1948, I, 744—748.
Ионссон (Jonsson B.)
См. Тарский 49.
Иссман (Issman S.)
1958. Le nominalisme contemporain et la notion d'extistence, Logique et
Analyse, N. S., 1, 61—73.
Йоргенсен (Jorgensen J.)
1953. Some reflections on reflexivity. Mind, 62, 289—300. (Cp. Kattsoff L.
[Катцов]: ibid, 64, 96—98, 1956; Jorgensen [йоргенсен]: ibid.,
стр. 542.)
Кавайе (Cava illes J.)
1947. Transfini et continu. Act. Sc. Ind., 1020. Paris. 24 стр.
Кальмар (Kalmar L.)
1943. Egyszerti pelda eldonthetetlen aritmetikai problemara (Ein ein-
faches Beispiel fur ein unentscheidbares arithmetisches Problem).
(На венгерском яз., нем. резюме.) Mat. es Fiz. Lapok, 50,
1—23.
1949. On unsolvable mathematical problems Library of the Xth Intern.
Congr. of Philos., Amsterdam, 1948, II, 756—758.
1950. Eine einfache Konstruktion unentscheidbarer Satze in formalen Sys-
temen. Methodos, 2, 220—226. (Англ. перевод, ibid., 227—231.)
1950a. Another proof of the Godel-Rosscr invompletability theorem. Acta
Szeged, 12, 38—43.
1956. Ein direkter Beweis fur die allgemein-rekursive Unlosbarkeit des
Entscheidungsproblems des Pradikatenkalkuls der ersten Stufe mit
Identitat. Ztschr. f. math. Logik u. Grundl. der Math., 2, 1—14.
См. также Хайнал— Кальмар.
Камке (К a mke E.)
1934. Uber die Begrundung der Mengenlehre. Math. Ztschr., 39, 112—125.
1939. Allgemeine Mengenlehre. Enzykl. der math. Wiss., Band I, 1. Teil,
Heft 2, Art. A5. Leipzig. 56 стр.
Кангер (К anger S.)
1955 A note on partial postulate sets for propositional logic. Theoria,
21, 99—104.
1957. Provability in logic. Stockholm Studies in Philosophy 1, Stockholm,
47 стр.
Кантор (Cantor G)
1932. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts. Под ред. Цермело (Zermelo Ε.), Berlin. 486 стр.

440
Библиография
Карнап (Carnap R.)
1930. Die Mathematik als Zweig der Logik. Blatter f. deutsche Philos.
4, 298—310.
1934. Die Antinomien und die Unvollstandigkeit der Mathematik. Mo
natsh. Math. Phys., 41, 263—284.
1935. Ein Gultigkeitskriterium fur die Satze der klassischen Mathematik,
ibid., 42, 163—190.
1937. The logical syntax of language, New York — London, 352 стр
(Переработанный перевод книги: Logische Syntax der Sprache;
Wien 1934. Содержит также переводы статей 34 и 35.)
1939. Foundations of logic and mathematics. Int. Enc. Un. Sc, vol. I
№ 3, 71 стр.
1942. Introduction to semantics. Cambridge Mass. 263 стр.
1943. Formalization of logic. Cambridge Mass. 159 стр.
1946. Modalities and quantification. J.S.L., 11, 33—64.
1947. Meaning and necessity. Chicago. 210 стр. — 2-е расширенное изд.,
1956, 258 стр. (содержит также статьи 50а и 52).
1950. Logical foundations of probability. Chicago. 607 стр.
1950. Empiricism, semantics, and ontology. Rev. Intern, de Philos., 4,
20—40. Перепечатано под ред. Линского (Linsky L., d Semantics
and the philosophy of language, Urbana 1952); с небольшими
изменениями под ред. П. Винера (Wiener P.) в Readings in
philosophy of science, New York, 1953; под ред. Яретта (Jarrett J. L.),
и Мак-Муррина (McMurrin S. L.), eds.: Contemporary philosophy,
New York, 1954.
1952. Meaning postulates. Philos. Studies, 3, 65—73.
1954. Symbolische Logik. Wien, 209 стр.
1956. The methodological character of theoretical concepts, Minnesota
Studies in the Philos. of Sc, 1, 38—75.
Карри (Curry Η. Β.)
1934. Functionality in combinatory logic, Acad. U. S. Α., 20, 584—590.
1936. First properties of functionality in combinatory logic, Tohoky Math.
J., 41, 371—401.
1941. A formalization of recursive arithmetic, Am. J. of Math.t 63,
263—282.
1941a. The paradox of Kleene and Rosser, Tr. A. M. S , 50, 454—516.
1942. The inconsistency of certain formal logics, J.S.L., 7, 115—117.
1950. The theory of formal deducibility. (Notre Dame Math Lectures,
№ 6), 126 стр. (Ср. /. S. L., 17, 245—248, 249—265, 1952.)
1951. Outlines of a formalist philosophy of mathematics, Amsterdam,
75 стр. (Ср. Mind, 62, 172—183, 1953, Philos. Rev., 59, 346—353,
1950.)
1951a. La logique combinatoire et les antinomies, Univ. di Roma, 1st. Naz.
di Alta Mat., Rendic. di Mat. e delle sue Appl. (5), 10, 360—370.
(Cp. ibid., 347—359.)
1952. On the definition of negation by a fixed proposition in inferential-
calculus, J.S.L., 17, 98—104. (Cp. ibid., 35—42 и ранее Congr.
Cambridge Mass., 1950, II.), 1952. Legons de logique algebrique,
Paris, Louvain, 163 стр.
1952b. On the definition of substitution, replacement, and allied notions
in an abstract formal system, Rev. Philos. de Louvain, 50, 251—268.
1954. Remarks on the definition and nature of mathematics, Dialectica,
8, 228—233.
Карри —Φ ей с (Curry Η. В., Feys R.)
1958. Combinatory logic, Amsterdam, 390 стр.

Библиография
441
Кассина (Cassina U.)
1936. Sul principio della scelta ed alcuni problemi dell'infinito, Rendic.
Sent. Mat. Fis. Milano, 10, 53—81.
Катцов (Kattsoff L.)
1948. A philosophy of mathematics, Ames, 266 стр.
Кауфман (К а и f m a n η F.)
1930. Das Unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung. Eine
Untersuchung uber die Grundlagen der Mathematik, Leipzig —
Berlin, 203 стр.
Келли (Kelley J. L.)
1950. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice. Fund.
Math., 37, 75—76. (Ср. А. Н. Тихонов, Math Annalen, 111, 762—766,
1935.)
1955. General topology, New York, 298 стр.
Кемени (Kemeny J. G.)
1948. Models of logical systems, J. S. L., 13, 16—30. (Cp. Type theory
versus set theory, Диссерт., Princeton University, 1949.)
1956. A new approach to semantics, ibid., 21, 1—27, 149—161.
Кешнер — Уилкокс (Kershner R. B, Wilcox L. R)
1950. The anatomy of mathematics, New York, 416 стр.
Кёниг (Кб η i g J.)
1914. Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik unci Mengenlehre (под ред.
Д. К ё н и г a (Konig D.), Leipzig, 259 стр.
Ки н на — Вагнер (К i η η a W., Wagner К.)
1955. Uber eine Abschwachung des Auswahlaxioms, Fund. Math., 42,
75—82.
К л а у а (К 1 a u a D.)
1955. Systematische Behandlung der losbaren Falle des Entscheidungs-
problems fur den Pradikatenkalkul der ersten Stufe, Ztschr. f.
math. Logik u. Grundl. der Math., 1, 264—269.
1956. Berechnebare Analysis, ibid., 2, 265—303.
1957. Ein Aufbau der Mengenlehre mit transfiniten Typen, Formalisiert
im Pradikatenkalkul der ersten Stufe, ibid., 3, 303—316.
Климовский (Klimovsky G.)
1949. Un teorema eguivalente al de Zorn. Rev. de la Union Mat.
Argentina, 14, 47—48.
Клин и (Kleene S. C.)
1936. General recursive functions of natural numbers, Math. Annalen,
112, 727—742.
1936a. λ-definability and recursiveness, Duke Math. /., 2, 340—353.
1938 On notation for ordinal numbers, J.S L., 3, 150—155.
1943. Recursive predicates and quantifiers, Tr. A. M. S., 53, 41—73. (Cp.
Мостовский, 47, Ann. de la Soc. Polon. de Math., 21, 114—119,
1948.)
1944. On the forms of the predicates in the theorie of constructive
ordinals, Am. J. of Math., 66, 41—58.
1945. On the interpretation of intuitionistic number theory, J.S. L.} 10,
109—124. (Cp. Brouwer L. E. J. [Брауэр]: Proc. Amsterdam, 50,
стр 307, 1947.)

442
Библиография
1949. On the intuitionistic logic, Library of the Xth intern. Congr. of
Philos., Amsterdam, 1948, I, 741—743.
1950. A symmetric form of Godel's theorem, Proc. Amsterdam, A53
(/. M, 12), 800—802.
1952. Introduction to metamathematics, Amsterdam — Groningen — New
York — Toronto, 550 стр , 2-е переиздание, 1957. Русский перевод:
С. К. К л и н и, Введение в метаматематику, пер. и добавления
А. С. Есенина-Вольпина, М., ИЛ, 1957, 526 стр.
1952а. Recursive functions and intuitionistic mathematics, Congr.
Cambridge Mass., 1950, I, 679—685.
1952b. Finite axiomatizability of theories in the predicate calculus using
additional predicate symbols. Two papers on the predicate calculus
(литограф, изд.), Memoirs of the A. M. S., № 10, 1—26,
Providence R. I.
1955. Hierarchies of number-theoretic predicates, Bull. A. M. S., 61,
193—213.
1955a. Arithmetical predicates and function quantifiers, Tr. A M. S., 79,
312—340.
1955b. On the form of the predicates in the theory of constructive
ordinals (second paper), Am. J. of Math., 77, 405—428.
1956. A nole on computable functionals, Proc. Amsterdam, A59 (/ M.,
19), 275—280
Клини— Пост (Kleene S. C, Post E. L.)
1954. The upper semi-lattice of degrees of recursive unsolvability, Annals
of Math. (2), 59, 379—407.
Клини, Ρ осе ер (Kleene S. С, Rosser J. В.)
1935 The inconsistency of certain formal logics, Annals of Math. (2),
36, 630-636.
Кнаус (К η a us L.)
1954 Positivismus und Metaphysik, Studium Generate, 7, 79—85.
Кнезер (Kneser H.)
1950. Eine direkte Ableitung des Zornschen Lemmas aus dem Auswahl-
axiom, Math. Ztschr., 53, 110—113. (Ср. Инагаки, 52.)
Коган (С о g a n Ε. J.)
1955. A formalization of the theory of sets from the point of view of
combinatory logic, Ztschr. f. math. Logik u. Grundl. der Marh.t 1,
198—240.
Коллинз (Collins G. E.)
1954. Distributivity and an axiom of choice, /. S. L., 19, 275—277.
Колмогоров А. Н.
1925. О принципе tertium non datur. (Франц. резюме: «Sur le principe
de tertium non datur».), Мат. сб., 32, 646—667.
1932. Zur Deutung der intuitionistischen Logik, Mat. Ztschr, 35, 58—65.
(Ср. Шанин Η. Α., Доклады АН СССР, 93, 779—782, 1953· 94,
193—196, 1954.),
Кондо (Kondo M.)
1956. Sur la nommabilite d'ensembles, С R. Paris, 242, 1841—1843. (Cp.
ibid., 1945—1948, 2084—2087, 2209—2212, 2275—2278.)

Библиография
443
Копи (Со pi I. M.)
1950. The inconsistency or redundancy of Principia Mathematica, Philos.
and Phenomen. Research, 11, 190—199.
1954. Symbolic Logic, New York, 355 стр.
Корсельт (Korselt A.)
1906 Paradoxien der Mengenlehre, Jahresb. D. M. V., 15, 215—219. (Cp.
ibid., 14, 365—389/1905.)
Котарбинский (Kotarbinski T.)
1929. Elementy teorji poznania, logiki formalnej i metodologji nauk,
Lwow, 483 стр.
Коэн (Cohen Μ. R.)
1931. Reason and nature. An essay on the meaning of scientific method;
New York, 470 стр.
фон К р бек (von Krbek F.)
1955. Wohlordnung, Acta Math., 93, 313·—316.
Крейсел (Kreisel G.)
1950. Note on arithmetic models for consistent formulae of the predicate
calculus, Fund. Math., 37, 265—285.
1951. Some remarks on the foundations of mathematics. An expository
article. Math. Gazette, 35, 23—28.
1951—52. On the interpretation of non-finitist proofs, J. S. L., 16,
241—267; 17, 43—58.
1952. Some elementary inequalities, Proc. Amsterdam, A55 (/. M., 14),
334—338.
1952a. Some concepts concerning formal systems of number theory, Math.
Ztschr., 57, 1—12.
1952/53. The diagonal method in formalized arithmetic, British J. for
the Philos. of Sc, 3, 364—374.
1953. Note on arithmetic models for consistent formulae of the predicate
calculus. II. Actes du XIme Congr. intern, de Philos., Bruxelles,
1953, XIV, 39—49.
1953/54. A variant to Hubert's theory of the foundations of arithmetic,
British J. for the Philos. of Sc, 4, 107—129.
1955. Models, translations ans interpretations, Math, interpretations of
formal systems (Amsterdam), 26—50.
1956/57. Some uses of metamathematics. Рецензию на книгу А. Робинсон,
56 см. British J. for the Philos. of Sc, 7, 161—173.
Крейсел — Хао Ван (Kreisel G., Wang Hao)
1955. Some applications of formalized consistency proofs, Fund. Math.,
42, 101—110.
Кронекер (Kronecker L.)
1882. Grundzuge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen
(1882), Kroneckers Werke, II, 238—387, Leipzig, 1899.
1883. Die Zerlegung der ganzen Grossen eines naturlichen Rationalitats-
bereiches in ihre irreductiblen Factoren (1883), ibid., 411—416. (Cp.
Hermann G., Math. Annalen, 95, 736—788, 1925.)
1887. Uber den Zahlbegriff, J. f Math., 101, 337—355. (а также в
Kroneckers Werke, III, 1, 249—274.)
Крэйг (Craig W.)
1953. On axiomatizability within a system, /. 5. L., 18, 30—32 (Ср.
ранее диссертацию, Harvard University, 1951.)

444
Библиография
1957. Linear reasoning. A new form of the Heibrand — Genfzen theorem,
J. S. L, 22, 250—268.
1957a. The uses of the Herbrand — Gentzen theorem in relating model
theory and proof theory, ibid., 269—285.
Куайн (Quine W. V. O.)
1934. A system of logistic. Cambridge Mass., 204 стр.
1936. Set-theoretic foundations for logic, / S L , 1, 45—57.
1936a. On the axiom of reducibility, Mind, 45, 498—500.
1937. New foundations for mathematical logic, Am. Math Monthly, 44,
70—80.
1941. Element and number, /. S. L., 6, 135—149.
1942. On existence conditions for elements and classes, ibid , 7, 157—159.
1948/49. On decidability and completeness, Synthese, 7, 441—446.
1950. Methods of logic, New York, 264 стр.
1951. Mathematical logic. Переработанное издание. Cambridge Mass,
346 стр. (I издание, 1940).
1951a. On the consistency of «New Foundations», Acad U. S. A, 37,
538—540.
1952. On an apllication of Taiski's theory of truth, ibid, 38. 430—433.
1953. From a logical point of view, Cambridge Mass, 184 стр. (Сборник
статей. Содержится, в частности, на стр 80—101 переработанный
и расширенный вариант работы 37.)
1953а. On ω-inconsistency and a so-called axiom of infinity, J. S. L.
18, 119—124.
1954. Interpretations of sets of conditions, ibid, 19, 97—102.
1954a, Quantification and the empty domain, ibid., 177—179.
1955. On Frege's way out, Mind, 64, 145—159.
1955a. A proof procedure for quantification theory, / 5 L., 20, 141 — 149.
1956 Unification of universes in set theory, ibid, 21, 267—279.
См. также Гудмен — Куайн.
Кузнецов А. В. —Трахтенброт Б А.
1955. Исследование частично-рекурсииных операторов средствами
теории бэровского пространства, Доклады АН СССР, 105, 897—900.
Куратовский (Kuratowskf С)
1921 Sur la notion d'ordre dans la theorie des ensembles, Fund Math,
2, 161—171.
1922. Une methode d'elimination des nombres transfinis des raisonne-
ments mathernatiques, ibid.. 3, 76—108.
1925. Sur 1'etat actuel de Paxiomatique de la theorie des ensembles, Ann.
de la Soc. Polon de Math , 3, 146—147.
Куратовский — MocTOBCKHfi(KurMowsk) C, Mostowski A)
1952 Teoria mnogosci, Monografie Mat, /XXVII, Warszawa — Wroclaw,
311 стр.
Куратовский — Тарский (Kuratowski С, Tarski Α.)
1931. Les operations logiques et les ensembles projectifs, Fund. Math 17,
240—248.
Kypena (Kurepa G.)
1952 Sur la relation d'inclusion et Paxiome du choix de Zermelo, Bull,
de la Soc. Math, de France, 80, 225—232 (Cp Actes du 2,nt Col-
loq. Intern de Logique Math., Paris, 1952, 95—96, 1954; Ber. uber
den Osterreich. Math -Koiigr., № 21—22, стр. 30, 1952.)
1953. Uber das Auswahlaxiom, Math Annalen, 126, 381—384.

Библиография
445
К у ρ о д а (К и г о d a S.)
1951. Intuitionistische Untersuchungen der formalen Logik, Nagoya Math.
J, 2, 35—47.
Кустаанхеймо (Kustaanheirno P.)
1949. Uber die Vollstandigkeit der Axiomensystems mit einem endlichen
Individuenbereich, Annates Acad. Sc. Fennicae, Ser. A, I. Math.-Ph.,
63, Helsinki, 44 стр.
Ладриер (Ladriere J)
1949. Le roie du theoreme de Godel dans le developement de la theorie
de la demonstration, Rev Philos. de Louvain, 47, 469—492.
1951. Le theoreme fundamental de Gentzen, Rev. Philos. de Louvain, 49,
357—384.
1957 Les limitations enternes des formalismes, Paris — Louvain, 715 стр.
Лакомб (Lacombe D.)
1955 Extention de la notion de fonction recursive aux fonctions d'une ou
plusieurs variables reelles, C· R. Paris, 240, 2478—2480; 241, 13—14,
151 — 153.
Ландсберг (Landsberg P. Г)
1953. On heterological paradoxes, Mind, 62, 379—381. (Cp Analysis, 15,
14—16, 1954.)
Лебег (Lebesgue H.)
1907. Contribution a l'etude des correspondances de M, Zermelo, Bull, de
la Soc Math de France, 35, 202—212.
1941. Les controverses sur la theorie des ensembles et la question des
fondements, Les Entretiens de Zurich, 109—122.
См. также Борель, 14.
Л е б л а н (L e b 1 a η e H.)
1955 An introduction to deductive logic, New York — London, 244 стр.
Леви A, (Levy Azriel)
1957. Independence conditionelle de V—L et d'axiomes qui se rattachent
au systerne de M. Godel, С R Paris, 245, 1582—1583.
1958. Contributions to the metamathematies of set theory (по-еврейски,
с англ. резюме), диссерт., Hebrew University, Jerusalem
1958a A note on definitions of finiteness, Bull, of the Research Council
of Israel (Jerusalem), 7 F, № 2.
1958b The independence of various definitions of finiteness; печатается
в Fund Math —Перев.
Леви Б. (Levi Beppo)
1923 Sui procedementi transfiniti, Math Annalen, 90, 164—173. (Cp.
ранее Scritti Mat. offerti ad Enrico D'Ovidio etc., 305—324, Torino,
1918.)
1949 A proposito de la nota del Dr. Pi Calleja, Sobre paradojas logicas
у principio del tertium non datur, Math. Notae, 9, 155—159. (Cp.
P. Pi Calleja [Коллеха]: Math. Notae, 9, 152—154; A. Church:
/. S. L., 17, 200—201, 1952.)
Леви П. (Levy Paul)
1927. Logique classique, logique brouwerienne, et logique mixte, Acad. R.
de Belgique, Bull de la CI des Sc. (5), 13, 256—266
1950. Axiome de Zermelo et nombres transfinis, Ann. Scient, de I'Ecole
Norm. Sup. (3), 67, 15-49.

446
Библиография
Леевский (Lejewski С.)
1954. Logic and existence, British J. for the Philos. of Sc, 5, 1—16.
1955. A contribution to Lesniewski's mereology, Rocznik Polskiego To-
warzystwa Naukowego na Obczyznie (London), rok 1954—55,
43—50.
Ленгфорд (LangfordC. H.)
1947. On paradoxes of the type of the Epimenides, Mind, 56, стр. 350.
См. также Льюис — Ленгфорд.
Л е н з е (L e n s e J.)
1949. Vom Wesen der Mathematik und ihren Grundlagen, Munchen,
68 стр.
Лесневский (Lesniewski S.)
1914. Czy klasa klas, nie podporz^dkowanych sobie, jest podporz^dko-
wana sobie? Preglqnd Filoz., 17, 63—75.
1927—31. О podstawach maternatyki, ibid., 30, 164—206. 1927; 31, 261—291,
1928; 32, 60—101, 1929; 33, 77—105, 1930; 34, 142—170, 1931.
1929. Grundzuge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik,
Fund. Math., 14, 1—81. (Содержит немецкий перевод введения
к статьям 27—31.)
1930. Uber die Grundlagen der Ontologie, С. R. Varsovie, 23, 111 — 132.
Лёб (Lob Μ. Η.)
1955. Solution of a problem of Leon Henkin, /. S. L., 20, 115—118.
Лёвенгейм (Lowenheirn L.)
1915. Uber Moglichkeiten im Relativkalkul, Math. Annalen, 76, 447—470.
1940. Einkleidung der Mathematik in Schroderschen Relativkalkul, /. S. L,
5, 1—15
Линденбаум — Мостовский (Lindenbaum A, Mostowski A.)
1938. Uber die Unabhangigkeit des Auswahlaxioms und einiger seiner
Folgerungen, С R. Varsovie, 31, 27—32.
Линденбаум — Тарский (Lindenbaum Α., Tarski A)
1926. Communication sur les recherches de la theorie des ensembles,
C. R. Varsovie, 19, 299—330. (Cp. Sierpinski W. [Серпинский]: Fund.
Math., 29, 2—4, 1937; 34, 6—8, 72—74, 113—118, 119—126, 148—154,
1947; 35, 1—12, 1948; С R. Varsovie, 40, 1—3, 1947.)
1936. Uber die Beschranktheit der Ausdrucksmittel deduktiver Theorien,
Кой., 7, 15—22. (Английский перевод —в качестве гл. XIII книги:
Тарский, 56.)
Л и π π с (L i ρ ρ s H.)
1923. Die Paradoxien der Mengenlehre, Jahrb. f. Philos. u. phanomen.
Forschung, 6, 561—571.
де Л о о ρ
См. Брауер — де Лоор
Лоренцен (Lorenzen P.)
1950. Konstruktive Begrundung der Mathematik, Math. Ztschr., 53,
162—202. (Cp. Math. Annalen, 123, 331—338, 1951.))
1951. Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis, ibid., 54, 1—24.
1951a. Mass und Integral in der konstruktiven Analysis, ibid., 275—290.
1951b. Algebraische und logistische Untersuchungen uber freie Verbande,
/. S. L, 16, 81—106.

Библиография 447
1953. Die ontologische und die operative Auffassung der Logik, Actes du
XImp Congr. Intern de Philos., Bruxelles, 1953, V, 12—18
1954. Die Rolle der Logik in der Grundlagenkrise der Analysis, Actes du
2me Colloq. Intern, de Logique Math., Paris, 1952, 65—73 (см.
обсуждение ibid., 73—74).
1955. Einfiihrung in die operative Logik und Mathematik, Berlin, Gottin-
gen — Heidelberg. 298 стр. (Ср. Archiv f. math. Logik u. Grund-
lagenforschung/2, 29—32, 1954.)
1955a. Uber die Erweiterung des finiten methodischen Rahmens, Proc. of
the 2nd Intern. Congr. of the intern. Onion for the Philos. of Sc,
Zurich, 1954, II, 128—134.
1956. Die Fiktion der Uberabzahlbarkeit, Congr, Amsterdam, 1954, III,
273—279.
1957. Wie ist Philosophie der Mathematik moglich? Philos. Naturalis,
4, 192—208.
Лось (Los J.)
1954. Sur le theoreme de Godel pour les theories indenombrables, Bull, de
VAcad. Polon des Sc, CI III, 2, 319—320.
1954a. On the categoricity in power of elementary deductive systems and
some related problems, Colloquium Math., 3, 58—62.
1955. The algebraic treatment of the methodology of elementary deductive
systems, Studia Logica, 2, 151—212.
Лось — Мостовский — Расёва (Los J., Mostowski Α., Ras-
j о w a Helena)
1956. A proof of Herbrand's theorem, /. de Math p. et appl. (9), 35,
19—24.
Лось — С ушко (Los J., Suszko R)
1955. On the extending of models, Fund. Math., 42, 38—54, 343—347.
Лоуренс (Lawrence N.)
1950. Heterology and hierarchy, Analysis, 9, 77—84. (Перепечатано с
добавлением в книге Макдональд, 54, стр. 37—45.)
Лузин Η. Η.
1925. Sur les ensembles projectifs de Μ. Henri Lebesgue, C. R. Paris,
180, 1572—1574. (Cp. ibid., 1318—1320, 1817—1819; 181, 95—96,
279—281.)
1927. Sur les ensembles analytiques, Fund Math., 10, 1—95 (Ср. Мат.
сборник, 33, 237—289, 1926; Ann. de la Soc. Polon de Math., 5,
104—106, 1927.)
1929. Sur les voies de la theorie des ensembles, Congr. Bologna, 1928,
I, 295—299.
Лукасевич (Lukasiewicz J)
1952. On the intuitionistic theory of deduction, Proc. Amsterdam, A55
(/. M, 14), 202—212. (Cp. Cohen К J. [Коэн] and Lukasiewicz J,
[Лукасевич]: ibid. A56(15), 111—113, 1953; Sobocinski В., /. of
Computing Systems, 1, 229—242, 1954.)
Льюис — Лен гфорд (Lewis С I., Langford С. Н.)
1932. Symbolic logic, New York — London, 506 стр. Перепечатано
в 1951.
Майхилл (Myhill J. R.)
1949. [Рецензия на Хвистек, 48.] /. S. L., 14, 119—125.
1950. A system which can define its own truth, Fund. Math., 37, 190—192.

448
Библиография
1950а A complete theory of natural, rational and real numbers, Л S. L·,
15, 185—196.
1951. Report on investigations concerning the consistency of the axiom
of reducibility, ibid., 16, 35—42.
1951a. Towards a consistent set theory, ibid., 130—136.
1952. The hypothesis that all classes are nameable, Acad. V. S. Α., 38,
979—981.
1952a Some philosophical implications of mathematical logic. Rev. of
Metaphysics, 6, 169—198. (Cp. Benes V. E. [Бенеш]: Philos. Studies,
4, 56—58; 1953; Myhill [Майхилл]: ibid., 5, 47—48, 1954.)
1953. Symposium: On the ontological significance of the Lowenheim—
Skolem theorem, Academic Freedom, Logic, and Religion
(Philadelphia), 57-70.
1953a. On the logical paradoxes (резюме), /. S. L., 18, стр. 191.
1953b. Tree contributions to recursive function theory, Actes du XIme Congr.
intern, de Philos., Bruxelles, 1953, XIV, 50—59.
1955. Creative sets, Zhchr. f. math. Logik u. Grundl. der Math., 1,
97—108.
1956. Solution of a problem of Tarski, J. S. L, 21, 49—51.
Майхилл — Шепердсон (Myhill J R, Shepherdson J C.)
1955. Effective operations on partial recursive functions, Ztschr. f. math.
Logik u. Grundl. der Math., 1, 310—317.
Мак- Гил л (McG ill V. J.)
1939. Concerning the laws of contradiction and excluded middle, Philos.
of Sc, 6, 196—211.
Макдональд (Macdonald Margaret, ed.)
1954. Philosophy and analysis, a selection of articles published in
Analysis between 1933—40 and 1947—53, Oxford — New York, 296 стр
Мак-Ки-Смарт (McKieJ L , Smart J. J. С )
1953 A variant of the 'heterological' paradox, Analysis, 13, 61—65. (Cp.
ibid., 14, 146—149, 1954.)
Мак-Кинси (McKinsey J. С. С.)
1939. Proof of the independence of the primitive symbols of Heyting's
calculus of propositions. /. S. L·., 4, 155—158.
1949. A new difinition of truth, Synthese, 7, 428—433.
Мак-Кинси — Саппс (McKinsey F С. С, Suppes P.)
1953. Philosophy and the axiomatic fondations of physics, Actes du
XIme Congr. Intern, de Philos., Bruxelles, 1953, VI, 49—54.
Мак-Кинси — Тарский (McKinsey J С С, Tarski A)
1946. On closed elements in closure algebras, Annals of Math., (2) 4?,
122—162. (Cp. ibid, 45, 141 — 191, 1944; Tarski Α., ibid., 47,
163—165; Hallden S., Norsk Math. Tidsskrift, 31, 89—94, 1949.)
1948. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting,
J.S.L., 13, 1 — 15. (Cp. Simons L. [Симоне]: J.S.L., 18, 309—316,
1953; Расёва — Сикорский, 54; а также Ruth В. Marcus [Маркус]:
/. S. L., 18, 234—236, 1953.)
См. также Тарский, 51.
Мак-Нотон (McNaughton R.)
1953. Some formal consistency proofs, /. 5. L·., 18, 136—144. (Cp. θα
establishing the considtency of systems, диссерт. Harvard Univer*
sity, 1951.)

Библиография
449
1954. Axiomatic systems, conceptual schemes, and the consistency of
mathematical theories, Philos. of Sc, 21, 44—53. (Ср. /. S L, 21,
стр. 217, 1956.)
1954a. A non-standard truth-definition, Proc. A. M. S., 5, 505—509.
1957. Conceptual schemes in set theory, Philos. Rev, 66, 66—80. См.
также Хао Ван — Мак-Нотон.
Мальцев А. И.
1936. Untersuchungen aus dem Gebiet der mathematischen Logik, Мат.
сборник, (2) I, 323—336.
Маннури (Mannoury G.)
1925. Mathesis en mystiek. Een signifiese studie van kommunisties stand-
punt, Amsterdam, s. a. 116 стр. — Франц. изд. Les deux poles de
l'esprit. Etude de psychologie linguistieue flu point de vue commu-
niste, Paris, 1933. (Cp. Tijdschrift v. Wijsbegeerte, 17, 32—45, 1923.)
1934. Die signifischen Grundlagen der Mathematik. "Erkenntnis, 4,
288—309, 317—345. (Cp. Synthese, 2, 195—201, 406—418, 1937;
Франц. изд (Biblioth. Scientif., № 7); Neuchatel, 1946)
Марквальд (Markwald W.)
1954. Zur Theorie der konstruktiven Wohlordnungen, Math Annalen, 127,
135—149.
1956. Ein Satz uber die elementar-arithmetische Definierbarkeitsklasse,
Archiu f. math. Logik u. Grundlagenforshung, 2, 78—86.
Марков А. А
1947. Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных
систем, Доклады АН СССР, 55, 587—590. Англ. перев. On the
impossibility of certain algorithms in theory of associative systems,
Доклады АН, 583—586.
1948. О зависимости аксиомы В6 от других аксиом системы Бернайса —
Гёделя, Известия АН СССР, сер. мат., 12, 569—570.
1954. Теория алгорифмов, М., 375 стр.
Мартин (Martin R. Μ.)
1949. A note on nominalism and recursive functions, /. S L.t 14, 27—31.
1951. On types, denotation, and truth, Methods, 3, 308—316.
Маэхара (Maehara S.)
1954. Eine Darstellung der intuitionistischen Logik in der klassischen,
Nagoya Math. J, 7, 45—64.
1955. The predicate calculus with ε-symbol, /. Math. Soc. Japan, 7,
323—344.
1957. Equality axioms on Hubert's ε-symbol, /. Fac. Sc. Univ. Tokyo,
Sect. I, 7, 419—435.
Медведев Ю. Т.
1955. О неизоморфных рекурсивно-перечислимых множествах, Доклады
АН СССР, 102, 211—214.
1955а. Степени трудности массовых проблем, Доклады АН СССР, 104,
501—504
Менгер (Menger К.)
1928. Bemerkungen zu Grundlagenfragen, Jahresb. D. Μ. V., 37, 213—226,
298—325.
1930. Der Intuitionismus, Blatter f. deutsche Philos., 4, 311—325.
1931. Uber den Konstruktivitatsbegriff. Zweite Mitteilung. Anzeiger Akad.
Wien, 68, 7—9. (Ср. ранее ibid., 67, 257—258, 1930; Annals of
Math., (2), 32, 757—760, 1931.)
29 Зак. 1765

450
Библиография
Мендельсон (Mendelson E)
1956. Some proofs of independence in axiomatic set theory, J S. L, 2U
291—303.
1956a. The independence of a weak axiom of choice, ibid., 350—366. (Cp.
Шенфилд, 55.)
Мерцбах (Merzbach J.)
1925. Bemerkungen zur Axiomatik der Mengenlehre, диссерт., Marburg;
(Lahn), 39 стр.
Me се ρ в (Μ e s e r ν e Β. Ε.)
1955 Decision methods for elementary algebra, Am. Math. Monthly 62r
1-8.
Мигер (Meager R.)
1956. Heterologicality and the Liar, Analysis, 16, 131—138.
Мириманов (Mirimanoff D.)
1917. Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fonda-
mental de la theorie des ensembles, L'Ens. Math., 19, 37—52.
1917—20. Remarques sur la theorie des ensembles et les antinomies can-
toriennes, ibid., 209—217, 21, 29—52.
Μ о и с и л (М о i s i 1 G.)
1938. Sur le syllogisme hypothetique dans la logique intuitioniste, /. de
Math, ρ 'et appl., (9), 17, 197—202,
Мок (MochF.)
1951. Ensembles, especes et logique, С R. Paris, 232, 201—202. (Cp. Shi-
rai Τ. Memoirs of the College of Sc, Kyoto Imper. Univ., A20,
153—156, 1937.)
1956. On peut eviter les antinomies sans restreindre la notion d'ensemble,
С R. Paris, 242, 1402—1404.
1956a. Des antinomies classiques et la logique de Mme. Fevrier-Destouches,.
С R Paris, 242, 1562—1563.
1956b. La logique des attitudes, Dialectica, 10, 192—230
Монтегю (Montague R)
1955. On the paradox of grounded classes, J. S. L, 20, стр. 140.
1956. Zermelo — Fraenkel set theory is not a finite extension of Zermelo-
set theory (резюме), Bull. A. M. S , 62, стр. 260.
Монтейро (MonteiroA.)
1956. Axiomes independants pour les algebres de Brouwer, Rev. de la
Union Mat Argentina, 17, 149—160
Mo ρ a (Mo r a J. F.)
1951. Diccionario de filosofia, 3 изд., Buenos Aires, 1047 стр.
Мостовский (Mostowski Α.)
1938. О niezaleznosci definicji skonsczonosci w systemie logiki. Диссерт.
Dodatek do Roczn. Polsk. Tow. Mat., 11, 1— 54, (Cp Tarski Α.,
J. S L·, 3, 115—116, 1938.)
1938a. Ober den Begriff einer endlichen Menge, C. R. Varsovie, 31, 13—20.
1939 Uber die Unabhangigkeit des Wohlordnungssatze.s vom Ordnungs-
prinzip, Fund. Math., 32, 201—252.
1945. Axiom of choce for finite sets, ibid., 33, 137—168.
1946. О zdaniach nierozstrzygalnych w sforrnalizowanych systemach
matematyki, Kwartalnyk Filoz., 16, 223—277.

Библиография
451
1947. On definable sets of positive integers. Fund. Math., 34, 81—112.
1947a. On absolute properties of relations, /. S. L., 12, 33—42.
1948. Proofs of non-deducibility in intuitionistic functional calculus, ibid.,
13, 204—207.
1948a. On the principle of dependent choices, Fund. Math, 35, 127—130.
1948b. Logika matematyczna, Warszawa — Wroclaw, 388 стр.
1949. Sur l'interpretation geometrique et topologique des notions logiques,
Library of the Xth Intern. Congr. of Philos., Amsterdam, 1948, I,
767—769.
1949a. An undecidable arithmetical statement, Fund. Math., 36, 143—164.
1951. A classification of axiomatic systems, Studia Philos., 4, 237—274.
1951a. Some impredicative definitions in the axiomatic set theory, Fund.
Math, 37, 111—124. (Исправление: ibid., 38, стр. 238, 1952)
1952. Sentences undecidable in formalized arithmetic. An exposition of the
theory of Kurt Godel. Amsterdam, 117 стр. 2 стереот. издание, 1957
1953. On models of axiomatic systems, Fund. Math., 39, 133—158. (Cp.
Montague R [Монтегю]· Bull Α. Μ S, 61, 172—173, 1955)
1953a. On a system of axioms which has no recursively enumerable
arithmetic model, Fund. Math., 40, 58—61.
1955. (Совместно с другими польскими учеными [А. Гжегорчик, Ю. Лось,
Г. Расёва, Р. Сикорский, С. Яськовский].) The present state of
investigations in the foundations of mathematics Rozprawy Mat, IX,
Warszawa, 48 стр. (Напечатано также на русск. яз.: Современное
состояние исследований по основаниям математики. Расширенное
изложение доклада, прочитанного на VIII съезде польских
математиков, Варшава, 6, IX—12/IX, 1953; Успехи Ματ. наук, нов. сео.,
9, № з (61), 3—38, 1954, и на нем. языке: Deutscher Verlag der
Wiss, Berlin 1954.)
1955a. Examples of sets definable by means of two or three quantifiers,
Fund. Math., 42, 259—270.
1955b Contributions to the theory of definable sets and functions, ibid.,
27\—21b.
1956. On models of axiomatic set theory, Bull, de VAcad. Polon. d. Sc,
CI III, 4, 663—667
1956a. Development and applications of the «nrojective» classification of
sets integers, Congr" Amsterdam, 1954, III, 280—288.
1957. On recursive models of formalized arithmetic, Bull. Acad. Polon, Sc,
CI. Ill, 5, 705—710
См. также Куратовский — Мостовский, Линденбаум — Мостовский,
Лось — Мостовский — Расёва, Тарский — Мостовский — Робинсон.
Мучник А. А.
1956. Неразрешимость проблемы сводимости теории алгоритмов,
Доклады АН СССР, 108, 194—197.
Мыцельский(Мус1е1зк1Л.)
1957. A characterization of arithmetical classes, Bull. Acad. Polon. Sc,
CI. Ill, 5, 1025—1027.
Нагель (Ν a g e 1 E.)
1929. Intuition, consistency, and the excluded middle, /. of Philos., 26,
477—489. (Cp. ibid., 705—712.)
Нейбауэр (Neubauer M.)
1950. Sur quelques simplifications de la theorie axiomatique d'ensembles
d@ von Neumann. Casopis, 74, 142—144.
29*

452
Библиография
Нел сои Д. (Nelson D.)
1947. Recursive functions and intuitionistic number theory, Tr. A. M. S.,
61, 307—368. (Ср. Шанин Η. Α., Доклады АН СССР, 93, 779—
782, 1953.)
1949. Constructible falsity, /. S. L, 14, 16—26.
Нельсон Л.
См. Греллинг — Нельсон.
фон Нейман (von Neumann J.)
1923. Zur einfuhrung der transfiniten Zahlen, Acta Szeged, 1, 199—208.
1925. Eine Axiomatisierung der Mengenlehre, /. f. Math., 154, 219—240.
(Исправления, ibid., 155, стр. 128, 1926.)
1927. Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Ztschr., 26, 1—46.
1928. Die Axiomatisierung der Mengenlehre, ibid., 27, 669—752.
1928a. Uber die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fra-
gen der allgemeinen Mengenlehre, Math Annalen, 99, 373—391.
(Cp. A. Fraenkel [Френкель] ibid , 392—393 )
1929. Uber eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen
Mengenlehre, /. f. Math., 160, 227—241.
1929a. Zur allgemeinen Theorie des Masses, Fund. Math, 13, 73—116.
(Cp. Sierpinski W. [Серпинский]: ibid., 33, 228—234, 1945.)
См. также Биркгоф — фон Нейман.
Η ей м ер (NeumerW.)
1951. Uber den Aufbau der Ordnungszahlen, Math. Ztschr., 53, 59—69.
(Cp. ibid., 419—449; 54, 388, 1951; 55, 399—400, 1952; 58, 391—413,
1953; 59, 434—454, 1954; 60, 1—16, 1954; 61, 47—69, 1954; 64,
435—456, 1956.)
Η OB а к (Novak Use L., Gal L. N.)
1948/51. A construction for models of consistent systems, Fund. Math., 37,
87—110, 1951. (Представлено в 1948 г. в качестве диссертации в
Radcliffe College, Cambridge Mass.)
Новиков П. С.
1943. On the consistency of certain logical calculus, Мат. сборник, 12,
(54), 231—261. (Ср. также Доклады АН СССР, 23, 483—440,
1939.)
1947. О логических парадоксах, Доклады АН СССР, 56, 451—453.
1951. О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории
множеств, Труды Мат института им. В. А Стеклова, 38, 279—316.
1952. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов
в теории групп, Доклады АН СССР, 85, 709—712.
1955. Об алгоритмической неразрешимости проблемы .тождества слов
в теории групп, Труды Мат. института им. В. А. Стеклова, 44,
1 — 143.
Оберт (Aubert К. Е.)
1952. On the foundation of the theory of relations and the logical
independence of generalized concepts of reflexiveness, symmetry, and
transitivity, Archiv f. Math of Naturvid (Oslo), 52, № 2, 48 стр
Обреану (ObreanuF.)
1949. Zorn's theorem, Acad. R. P. Roum., Bull. Sc, Math. Ph., Al,
687—692.

Библиография
453
Огасавара (Ogasavara Т. Р.)
1939. Relation between intuitionistic logic and lattice, J. of Sc. of the
Hiroshima Univ., A9, 157—164.
Ониси (Ohnishi M.)
1953. On intuitionistic functional calculus, Osaka Math. J., 5, 203—209.
Ори (Orey S.)
1955. Formal development of ordinal number theory, J. S. L.t 20, 95—104
(Ср. неопубликованная диссертация, Cornell Univ., 1953.)
1956. On consistency and related problems, ibid., 21, 246—252.
1956a. On the relative consistency of set theory, ibid., 280—290.
Пап (Pap A.)
1954. The linguistic hierarchy and the vicious-circle-principle, Philos
Studies, 5, 49—53.
Патнэм (Putnam H.)
1956. Mathematics and the existence of abstract entities, Philos Studies,
7, 81—87.
1957. Decidability and essential undecidability, J. S. L.t 22, 39—54.
Паш (Pasch M)
1924—26. Betrachtungen zur Begrundung der Mathematik, Math Ztschr.,
20, 231—240, 1924; 25, 166—171, 1926
Пеано (Peano G.)
1902/06. Additione, Riv. di Mat., 8, 143—157.
Перельман (PerelmanC.)
1936. Les paradoxes de la logique, Mind, 45, 204—208.
(Cp. Act. Sc. Ind., 535, 206—210, 1937.)
Переманс (Peremans W.)
1949. Een opmerking over intuitionistische logica (mimeographed), Math
Centrum Amsterdam, Rapport Z. W, 1949, 016, 4 стр.
Петер (Peter Rozsa)
1934. Uber den Zusammenhang der verschiedenen Begriffe der rekursiven
Funktion, Math. Annalen, 110, 612—632. (Cp. Kongr. Zurich, 1932,
II 336—338, 1933; Math, as Fiz. Lapok, 42, 25—49, 1935; Csillag P.,
Acta Szeged, 11, 169—173, 1947.)
1944 Jatek a vegtelennel. Matematika kivulalloknak, Budapest, 328 стр .
немецкое, слегка переработанное издание: Das Spiel mit* dem
Unendlichen. Mathematik fur Aussenstehende. Leipzig, 1955, 278 стр.
1950. Zusammenhang der mehrfachen und transfiniten Rekursionen,
/ S. L·, 15, 248—272.
1951. Rekursive Funktionen, Budapest, 206 стр.
1951a. Probleme der Hilbertschen Theorie der hoheren Stufen von
rekursiven Funktionen, Acta Math. Acad Sc. Hung., 2, 247—274.
1953. Rekursive Funktionen, wobei fruhere Funktionswerte von variabler
Anzahl verwendet werden. Publicationes Math. (Debrecen), 3,
33—70.
1955. Ein neuer Beweis fur die Tatsache, dass die Klasse der primitiv-
rekursiven Funktionen umfassender als die Klasse der elementaren
Funktionen ist, Ztschr. f. math. Logic u. Grundlagen der Math., 1,
29—36.
30 Зак. 1765

454
Библиография
Пильчак Б. Ю.
1950. О проблеме разрешимости для исчисления задач, Доклады АН
СССР, 75, 773—776.
1952. Об исчислении задач, Украинский мат. журнал, 4, 174—194.
Поли (Pol i С.)
1914. Paradossi logici, Atti dei Lincei Rendic. Fis., 23, 62—65.
Попадич (Ρ ο ρ a d i έ Μ. С.)
1951. A characteristic property of finite sets, Fac. Philos. Univ. Skopje,
Sect. Sc. Nat., Annuaire, 1, № 6, 8 стр. (На сербско-хорватском
языке, с англ. резюме.)
Π ο π π е ρ (Ρ ο ρ ρ е г К. R.)
1948. On the theory of deduction. II. The definition of classical and
intuitionistic deduction. Proc. Amsterdam, 51, 322—331 (/. M., 10,
11—120). (Cp. ibid., 50, 1214—1224 (/. M., 9, 561—571), 1947.)
1954. Self-reference and meaning in ordinary language, Mind, 63,
162—169.
Пост (Post E. L.)
1936. Finite combinatory processes — formulation 1, /. S. L.} 1, 103—105.
1944. Recursively enumerable sets of positive integers and their decision
problems, Bull. A. M. S., 50, 284—316. Испанский перевод в Rev.
Mat. Hisp.-Amer., (4), 7, 187—229, 1947.
19.47. Recursive unsolvability of a problem of Thue, /. S. L, 12, 1—11.
См. также Клини — Пост.
Π ρ айор (Ρ r i о г Α. Ν.)
1953. Three-valued logic and future contingents, Philos. Quarterly, 3,
317—326.
1955. Curry's paradox and 3-valued logic, Australasian J. of Philos., 33,
177—182.
Пуанкаре (PoincareH.)
1902. Du role de l'intuition et de la logique en mathematiques, C. R. du
IIme Congr. Intern, des Math., Paris, 1900, 200—202.
1908. Science et methode, Paris, 311 pp.; Английский перевод in The
foundations of science, New York, 1913, 553 p.; немец изд., Leipzig —
Berlin, 1914; русское изд., Наука и метод, Одесса, 1910, польск.
изд., 1911.
1913. Dernieres pensees, Paris, 258 стр.; немецкое изд., 1913.
Рабин (Rabin M.)
1954 A theorem on partially ordered sets (по-еврейски, с англ. резюме).
Reveon Lematematika (Jerusalem), 7, 26—29.
1958. Recursive unsolvability of group-theoretic properties, Annals of
Math., 67, 172—194.
Рай л (Ryle G.)
1951. Heterologicality, Analysis, 11, 61—69. Перепечатано в книге Макдо*
нальд, 54, 45—53.
Райе (Rice Η. G.)
1953. Classes of recursively enumerable sets and their decision problems,
Tr. A. M. S., 74, 358—366.
1954. Recursive real numbers, Proc. A. M. S., 5, 784—791. (Cp. My-
hill J. R., /. 5. L·., 18, 7—10, 1953.)

Библиография
455
1956. On completely recursively enumerable classes and their key arrays,
/. S. L., 21, 304—308.
Ρ a μ с е й (Ramsey F. P.)
1926. The foundation of mathematics, Proc. of the London Math Soc,
(2), 25, 338—384 Перепечатано в The foundations of mathematics
and other essays, под ред. Брейтуэйта (Braithwaite R. В.), New
York —London, 1931.
Расёва (Rasiowa Helena)
1952. Algebraic treatment of the functional calculi of Heyting and Lewis,
Fund Math., 38, 99—126.
1953. A proof of the compactness theorem for arithmetic classes, ibid.,
39, 8—14.
1954. Constructive theories, Bull. Acad. Polon. Sc, CI III, 2, 121—124
1955. Algebraic models of axiomatic theories, Fund. Math., 41, 291—ЗШ
1956. On the ε-theorems, ibid., 43, 156—165.
См. также Лось — Мостовский — Расёва.
Расёва — Сикорский (Rasiowa Helena, Sikorski R)
1951. A proof of the completeness theorem of Godel, Fund Math, 37,
193—200. (Ср. Ригер, 51.)
1952. A proof of the Skolem — Lowenheim theorem, ibid, 38, 230—232
1953. Algebraic treatment of the notion of satisfiability, ibid., 40, 62—95.
1954. On existential theorems in non-classical functional calculi, ibid,
41, 21—28
Рассел (Russell B.)
1902/06. Theorie generale des series bien-ordonnees, Rev. de Math, 8,
12—43.
1903. The principles of mathematics. I. London, 2 London, 1937, New
York, 1938 (с новым введением), 534 стр. Перепечатано в 1950 г.;
итал изд., 1951 г.
1906. On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order
types, Proc. of the London Math. Soc, (2), 4, 29—53.
1906a Les paradoxes de la logique, R. Μ. Μ., 14, 627—650.
1908. Mathematical logic as based on the theory of types, Am. J of
Math, 30, 222—262. (Французский перевод в R. Μ Μ., 18, 263—
301, 1910.) Перепечатано в Logic and knowledge, London, 1956,
59—102.
1919. Introduction to mathematical philosophy, London — New York,
206 p., 2-е изд., 1920; 6-е переизд., 1948; немецк. изд., 1923; франц
изд., 1928; испанск. изд., 1945. См. также Уайтхэд — Рассел,
Шильп
Рейдемейстер (ReidemeisterK.)
1949 Das exakte Denken der Griechen, Hamburg, 108 стр.
Рей μ он ((Virieux-)R e у m ο η d Antoinette)
1949 La logique et I'epistemologie des sto'iciens, Lausanne, 331 стр.
Рейхбах (ReichbachJ.)
1955 О pelnosci wezszego rachunku funkcyjnego, Studia Logica, 2,
213—228. Русский перевод, ibid., 229—244; Английское резюме:
Completeness of the functional calculus of first order, ibid.
245—250.
Рейхенбах (Reichenbach H.)
1947. Elements of symbolic logic, New York, 444 стр.
30*

456
Библиография
Риге (R i g u e t J.)
1956. Algorithmes de Markov et theorie des machines, C. R. Paris, 242,
435—437.
Ρ иг e ρ (R i e g e r L.)
1949. On the lattice theory of Brouwerian propositional logic, Act. Fac.
Rerum Nat. Univ. CaroUtme, № 189, Praha, 40 p. (Cp. Casopis,
74, 55—61, 1949.)
1951. On countable generalized algebras, with a new proof of Godel's
completeness theorem, Chechoslovak Math J., 1, 29—40. (Cp. Fund.
Math., 38, 35—52, 1951.)
Риддер (Ridder J.)
1950—51. Formalistische Betrachtungen tiber intuitionistische und ver-
wandte logische Systeme, I—VII, Proc Amsterdam, A53, (/ M,,
12), 327—336, 446—455, 787—799, 1375—1389; A54 (/ M., 13),
94—105, 169—177, 226—236
Рнч (Reach K-)
1938. The name relation and the logical antinomies, J. S. L, 3, 97—111.
Ришар (Richard J.)
1905 Les principes de mathematiques et le probleme des ensembles, Rev.
Gen des Sc, 16, 541. (Cp Olivier L., ibid., 542—543.)
Перепечатано в Acta Math., 30, 295—296, 1906.
Робинсон A. (Robinson Abraham)
1939 On the independence of the axioms of definiteness (Axiome der
Bestimmtheit), /. S L., 4, 69—72.
1951 On the metamathematics of algebra, Amsterdam, 195 p. (Cp. Les
methodes formelles en axiomatique, Colloq. Intern, du C. N R S.,
№ 26 (1950), 35—52, Paris, 1953; Peremans W., Math. Centrum
Amsterdam, Rapport Ζ W., 1951, 026, 8 стр.; а также Тарский, 51.)
1951a On axiomatic systems which possess only finite models, Methodos,
3, 140—149.
1952 On the application of symbolic logic to algebra, Congr. Cambridge
Mass., 1950, I, 686—694.
1954. On predicates in algebraically closed fields, /. S. L., 19, 103—114.
1955. Theorie metamathematique des ideaux, Paris — Louvain, 186 p.
1955a. Ordered structures and related-concepts, Math, interpretations of
formal systems (Amsterdam), 51—56.
1956. Complete theories, Amsterdam, 129 p.
1956a. Completeness and persistence in the theory of models, Ztschr. f.
math. Logik u. Grundl. der Math., 2, 15—26.
1956b A result on consistency and its application to the theory of
definition, Proc. Amsterdam, A59 (/. M., 18), 47—58.
1957. Some problems of definability in the lower predicate calculus, Fund.
Math, 44, 309—329. (Cp Kreisel G. [Крейсел]: Bull. A. M. S , 63,
99—100, 1957.)
Робинсон Дж. (Robinson Julia)
1949 Definability and decis^ problems in arithmetic, /. S. L., 14,
98—114.
1950. General recursive functions, Proc. A M. S., 1, 703—718.
1952. Existential definability in arithmetic, Tr. A. M. S., 72, 437—449.

Библиография
457
Робинсон P. M (Robinson Raphael Μ.)
1937. The theory of classes. A modification of von Neumann's system,
L S. L·., 2, 69—72.
1947. On the decomposition of spheres, Fund Math., 34, 246—260.
1951 Undecidable rings, Tr. A. M. S., 70, 137—159. (Cp. Proc A. M. S.,
2, 279—284, 1951.)
1955. Primitive recursive functions, Proc A. M. S., 6, 663—666.
1956 Arithmetical representation of recursively enumerable sets, J. S L.,
21, 162—186.
См. также Тарский — Мостовс'кий — P. Робинсон.
Роджерс (Rogers Η., Jr.)
1956. Certain logical reduction and decision problems, Annals of Math.,
(2), 64, 264—284. (Cp. Some results on definability and decidability
in elementary theories, диссерт., Princeton University, 1952.)
Розенблюм (Rosenbloom P. C.)
1945. An elementary constructive proof of the fundamental theorem of
algebra, Am Math Monthly, 52, 562—570. (Cp Proc. of the 2nd
Intern. Congr of the Intern. Union for the Philos. of Sc, Zurich,
1954, II, 135—137, 1955.)
1950. The elements of mathematical logic, New York, 214 стр.
ван Роотселаар (van RootselaarB.)
1952. Un probleme de M. Dijkman, Proc. Amsterdam, A55 (/. M., 14),
405—407.
1954 Generalization of the Brouwer integral, диссерт., Univ of
Amsterdam. (Cp. Proc. Amsterdam, Α59 (/. M.} 18), 579—580, 1956)
1955 On the mapping of mapping of spreads, Proc. Amsterdam, A58
(/. M., 17), 557—563. (Cp. ibid., 646—649.)
Poccep (RosserJ B.)
1936. Constructibility as a criterion for existence, J. S L, 1, 36—39.
1936a. Extensions of some theorems of Godel and Church, ibid, 87—91.
1937 Godel theorems for non-constructive logics, ibid., 2, 129—137.
(Errata, ibid., p. IV.)
1939. An informal exposition of proofs of Godel's theorem and Church's
theorems, ibid., 4, 53—60. (Errata, /6/6?., p. IV.)
1952 The axiom of infinity in Quine's New Foundations, ibid., 17,
238—242.
1953. Logic for mathematicians, New York, 540 p.
1955 Deux esquisses de logique, Paris — Louvain, 65 p.
1956. The relative strength of Zermelo's set theory and Quine's New
Foundations, Congr. Amsterdam 1954, III, 289—294.
См. также Клини — Poccep, Файрстоун — Poccep.
Poccep — Ван Xao (Rosser J. В., Wang Hao)
1950 Non-standard models for formal logics, /. S L, 15, 113—129.
(Errata, ibid., μ IV )
Poccep — Тюркетт (Rosser J. В., Turquette A R.)
1952. Many-valued logics, Amsterdam, 124 p.
Роуз (Rose G. F.)
1951. Remarques sur les notions d'independance et de non-contradiction,
C. R. Paris, 233, 512—513.
1953. Propositional calculus and realizability, Tr A. M. S., 75, 1 — 19,
31 JaK. 1705

458
Библиография
Рыль-Нардзевский (Ryll-Nardzewski С)
1953 The role of the axiom of induction in elementary arithmetic, Fund.
Math., 39, 239—263.
Рюстов (RtistowA.)
1908/10. Der Liigner, Theorie, Geschichte und Auflosung, диссерт., Erlan-
gen 1908, Leipzig, 1910, 145 p.
Саарнио (Saarnio U.)
1938 Heterologisen paradoksin symbologinen rathaisu (The symbological
solution of the heterological paradox), Ajatus, 9, 149—160.
1949. Der Begriff der Hierarchie und die logischen Paradoxien, Library
of the 10th Intern. Congr. of Philos., Amsterdam, 1948, I, 785—790.
Саламуха (SalamuchaJ.)
1937. Pojawienie sie zagadnien antynomialnych na gruncie logiki sred-
niowiecznej, Przegland Filoz., 40, 68—83, 320—343.
С а п п с
См. Мак-Кинси — Саппс.
Севери (SeveriF.)
1951. Intuitionismo e astrattismo nella matematica contemporanea, Atti
del Terzo Congr. delUUnione Mat. Hal, Pisa, 1948 (Roma, 1951),
27—40.
Секи (S ek i S.)
1955. On transfinite inferences, Comment. Math. Univ. St. Paul, 4,
43—45.
Селе (S ζ e 1 e Т.)
1950. On Zorn's lemma, Publicationes Math. (Debrecen), 1, 254—256.
Серпинский (Sierpinski W.)
1919. L'axiome de M. Zermelo et son role dans la theorie des ensembles
et l'analyse, Bull de I'Acad. des Sc. de Cracovie, CI. des Sc. Math.
et Nat., Serie A, 1918, 97—152. (Ср. также Varsovie С /?., 24,
184—190, 1932.)
1921. Les exemples effectifs et l'axiome du choix, Fund. Math., 2,
112—118.
1921a Une remarque sur la notion de 1'ordre, ibid., 199—200.
1928. LeQons sur les nombres transfinis (Collection Borel), Paris, 240 p.
Перепечатано в 1950 г. (опубликовано ранее на польск. яз.).
1933. Sur les ensembles de points qu'on sait definir effectivemer t, Kongr.
Zurich, 1932, I, 280—287.
1941. L'axiome du choix et l'hypothese du continu, Les Entretiens de
Zurich, 125—134. (Cp. ibid., 134—143.)
1947. L'hypothese generalisee du continu et l'axiome du choix, Fund.
Math., 34, 1—5.
1954. Sur une proposition equivalente a l'existence d'un ensemble de
nombres reels de puissance Kj , Bull. Acad. Polon, Sc, CI., II, 2,
53—54.
1955. L'Axiome du choix pour les ensembles finis, Matematiche (Catania),
10, 92—99. (Cp. Ganita (Lucknow), 4, 155—158, 1953.)
Серпинский — Тарский (Sierpinski W., Τ a r s k i A.)
1930. Sur une propriete caracteristique des nombres inaccessibles, Fund.
Math, 15, 292—300.

Библиография
459
Сикорский
См. Расёва — Сикорский.
CHpancH(ShiraishiS.)
1954. The structure of the continuity of psychological experiences and
the physical world, The Sc of Thought, (Tokyo), № 1, 12—24.
Сколем (Skolem T.)
1920. Logisch-kombinatiorische Untersuchungen tiber die Erfullbarkeit oder
Beweisbarkeit mathematischer Satze nebst einem Theoreme uber
dichte Mengen, Skrifter utgit av Videnskapsselskapet i Kristiania, I,
Mat.-Nat. Kl.f 1919, № 4, 1—36. (Cp. Bagemihl F. [Багемил]: Math.
Scand., 1, 256—260, 1953)
1922/23. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begriindung der Men-
genlehre, Wiss. Vortrage gehalten auf dem 5. Kongress der skan-
dinav. Mathematiker in Helsingfors, 1922, 217—232, 1923
1923. Begriindung der elementaren Arithmelik durch die rekurrierende
Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veranderlichen mit unend-
lichem Ausdehnungsbereich, Skrifter utgit av Videnskapsselskapet
i Kristiania, I. Mat.-Nat. Kl., № 6, 1—38.
1926. Litt om de vigtigste diskussioner i den senere tid angaande mate-
matikkens grundlag (Something about the most important
discussions in recent time relating to the foundation of mathematics),
Norsk Mat Tidsskrift, 8, 1—13.
1929. Uber einige Grundlagenfragen der mathematik, Skrifter utgit av det
Norske Vid. —Akad. i Oslo, I. № 4, 1—49.
1930. Einige Bemerkungen zu der Abhandlung von Ε Zermelo «Uber die
Definitheit in der Axiomatik», Fund. Math., 15, 337—341.
1933. Uber die Unmoglichkeit einer vollstandingen Charakterisierung
der Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems, Norsk Mat
Forenings Skrifter, ser. 2, № 10, 73—82.
1934. Uber die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich
oder abzahlbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlen-
variablen, Fund. Math., 23, 150—161.
1934a. Den matematiske grunnlagforskning (Mathematical foundational
research), Norsk Mat. Tidsskrift, 16, 75—92.
1941. Sur la portee du theoreme de Lowenheim-Skolem, Les Entretiens de
Zurich, 25—47.
1946. Den rekursive aritmetikk, Norsk Mat. Tidsskrift, 28, 1 — 12.
1947. The development of recursive arithmetic, Xme Congr. Math Scand.,
Copenhagen, 1946, 1 —16.
1950. De logiske paradokser og botemidlene mot dem (The logical
paradoxes and the remedies for them), Norsk Mat. Tidsskrift, 32, 2—11.
1952. Some remarks on the foundation of set theory, Congr. Cambridge
Mass, 1950, I, 695—704.
1952a. A remark on a set theorv based on positive logic, Norsk Vid Selsk.
Forh (Trondheim), 25, 112—116.
1952b. Sobre la naturaleza del razonamiento matematico, Gaceta Mat.,
№ 4. (Перепечатано в Conferencias de Matematica IV Publica-
ciones del Instituto de Matematicas «Jorge Juan», Madrid, 3—14.)
1952—53. Consideraciones sobre los fundamentos de la matematica, Rev.
Mat. Hisp.-Amer., (4), 12, 169—200; 13, 149—174. (Перепечатано
ibid., 15—72.)
1954. Some considerations concerning recursive functions, Math Scand.,
1, 213—221.
1955. Peano's axioms and models of arithmetic, Math, interpretations of
formal systems (Amsterdam) 1—14.
31*

460
Библиография
1955а. A critical remark on foundational research, Norsk Vid. Selsk. Fork,
(Trondheim), 28, 100—105.
1957. Bemerkungen zum Kornprehensionsaxiom, Ztschr. f. math. Logik и
Grundl. der Math., 3, 1—17.
1957a. Two remarks on set theory, Math. Scand., 5, 40—46.
Слупецкий (Clupeski J.)
1953. St. Lesniewski's protothetics, Studia Logica, 1, 44—112.
1955. St. Lesniewski's calculus of classes, ibid., 3, 7—71. (Cp Errata,
ibid., p. 299.)
С μ a p τ
См. Мак-Ки — Смарт.
Собоцинский (S о b о ci ή s k i W.)
1949—50. L'analyse de l'antinomie russellienne par Lesniewski, Methodos,
1, 94—107, 220—228, 308—316; 2, 237—257.
1955. Studies in Lesniewski's mereoJogy, Rocznik Polskiego Towarzystwa
Naukowego na Obzyznie (London), rok 1954—55, 34—43.
Спек τ op (SpectorC.)
1955. Recursive well-orderings, /. S. L, 20, 151—163.
1956. On degrees of recursive unsolvability, Annals of Math., 64,
581—592.
С π ρ и η к л (S ρ г i n k 1 e Η. D.)
1956. A development of cardinals in «The consistency of the continuum
hypothesis», Proc. Α. Μ. S., 7, 289—291.
Стениус (Stenius R.)
1949. Das Problem der logischen Antinomies Soc. Sc. Fennica, Comment
Th.-Math., 14, № 4, 89 стр.
1952. Das Interpretationsproblem der formalisierien Zahlentheorie und
ihre formale Widerspruchsfreiheit, Acta Acad. Aboensis (Math, et
# Ph.), 18, № 3, 102 p.
Стенли (S t a n 1 e у R. L.)
1953. Note on a paradox, /. 5. L, 18, p. 233.
1955. Simplified foundations for mathemalical logic, Ibid., 20, 123—139.
Стоун (Stone M.)
1937. Topological representations of distributive lattices and Brouwerian
logics, Casopis, 67, 1—25.
С τ ρ о л л (Stroll А.)
1954. Is everyday language inconsistent?, Mind., 63, 219—225
Сушко (SuszkoR.)
1951. Canonic axiomatic systems, Studia Philos., 4, 301—330.
См. также Лось — Сушко.
Суэтуна (SuetunaZ.)
1951—53. Uber die Grundlagen der Mathematik, I. —Ill, /. of the Math
Soc. of Japan, 3, 59—68, 1951; Proc. of the Japan Acad., 27,
389—392, 1951; 29, 91—95, 1953.
Такеути (TakeutiG.)
1954. On a generalized logic calculus, Jap. J. Math., 33, 23—96. (Cp.
Errata, ibid., 34, 149—156, 1955 )

Библиография
461
1954а. Construction of the set theory form the theory of ordinal numbers,
/. of the Math. Soc. of Japan, 6, 196—220.
1956. A metamathematical theorem on functors, ibid , 8, 65—78.
1957. On Skolem's theorem, ibid., 9, 71—76. (Cp. ibid., 192—194.)
Тарский (TarskiA.)
1925. Sur les ensembles finis, Fund. Math., 6, 45—95. (Cp. Kuratowski
С. [Куратовский]: ibid., 1, 131—132, 1920.)
1929. Geschichtliche Entwicklung tind gegenwartiger Zustand der Gleich-
machtigkeitstheorie und der Kardinalzahlarithmetik, Ann. de la Soc.
Polon. de Math., 7, 48—54.
1930. Fundamental Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissen-
schaften, I, Monatsh. Math. Ph., 37, 361—404.
1931. Sur les ensembles definissables de nombres reels, I, Fund. Math.,
17, 210—239.
1933. Einige Betrachtungen iiber die Begriffe der co-Widerspruchsfreiheit
und der ω-Vollstandigkeit, Monatsh. Math. Ph, 40, 97—112
1935. Zur Grundlegung der Booleschen Algebra, I, Fund. Math., 24,
177—198.
1935a. Einige methodologische Untersuchungen tiber die Definierbarkeit
der Begriffe, Erkenntnis, 5, 80—100.
1935—36. Grundzuge des Systemenkalkuls, Fund. Math., 25, 503—526;
26, 283—301.
1935/36. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia
Philos, 1, 261—405.
1936. Uber den Begriff der logischen Folgerung, Act. Sc, Ind., 394,
1 — 11.
1938. Uber unerreichbare Kardinalzahlen, Fund. Math, 30, 68—89.
1938a. Der Aussagenkalkul und die Topologie, ibid., 31, 103—134.
1939. On undecidable statements in enlarged systems of logic and the
concept of truth, /. S. L, 4, 105—112.
1941. Introduction to logic and to the methodology of deductive sciences,
London — New York, 239 p., 2-е изд., 1946; русск. изд., Введение
в логику и методологию дедуктивных наук 1948; исп. изд., 1951;
голл. изд., 1953; франц. изд., 1956; еврейск. изд., 1956. (Ср. более
ранние изд. на польск., 1936, и нем. яз., 1937.)
1944. The semantic conseption of Truth and the foundations of semantics,
Philos. and Phenomen. Research, 4, 341—376. (Перепечатано под
ред. Фейгля (Feigl Η.) и Селларса (Sellars W.), Readings in
philosophical analysis, New York, 1949, и под ред. Линского
(Linsky L.), в Semantics and the philosophy of language Urbana
111., 1952)
1948. Axiomatic and algebraic aspects of two theorems on sums of car·*
dinals, Fund. Math., 35, 79—104.
1949. Cardinal algebras. С приложением (60 p.):
Jonsson В. [Йонссон], Tarski А. [Тарский], Cardinal products of
isomorphism types, New York, 326 ρ
1949a. Cancellation laws in the arithmetic of cardinals, Fund, Math., 36,
77—92. (Cp. Sierpinski W. [Серпинский]: ibid, 3, 1—6, 1922, 34,
148—154, 1946.)
1949b. Arithmetical classes and types of mathematical systems, предвари··
тельное сообщение (резюме), Bull. Α. Μ. S., 55, ρ. 63.
1951. (При участии Мак-Кинси (McKjnsey J С. С.), A decision method
for elementary algebra and geometry, 2 изд.. Berkeley — Los An-
feles, 63 p.
ome notions and methods on the borderline of algebra and meta-
mathematics, Congr. Cambridge Mass., 1950, I 705—720.

462
Библиография
1954. Theorems on the existence of successors of cardinals, and the axiom
of choice, Proc. Amsterdam, A57 (I. M., 16), 26—32. (Cp. Bull.
А. M. S., 60, p. 83, 1954.)
1954—55. Contribution to the theory of models, I—III, ibid., 572—581,
582—588; ibid., A58 (/. M., 17), 56—64, 1955.
1955. General principles of induction and recursion in axiomatic set
theory (резюме), Bull. A. M. S., 61, 442—443. (Cp. Montague R.
and Scott D. [Скотт]: ibid.)
1955a. The notion of rank in axiomatic set theory and some of its
applications (резюме), ibid., p. 443.
1956. Logic, semantics, metamathematics, Oxford, 471 p. (Сборник
статей на польск., нем. и франц. яз., 1923—1938 гг., в том числе
испр. варианты статей 30, 31, 33, 35, 35а, 36—36, 35/36, 36 и 38а.)
См. также Банах — Тарский, Куратовский — Тарский, Лииден-
баум — Тарский, Мак-Кинси — Тарский, Серпинский — Тарский,
Феферман — Тарский, Шмелева — Тарский.
Тарский —Boot (Tarski Α., Vaught R. L.)
1957. Arithmetical extensions of relational systems, Compositio Math., 18f
81—102.
Тарски й — Мостовский — Робинсон P. (Tarski Α., Mostows-
k i Α., Robinson R. M.)
1953. Undecidable theories, Amsterdam, 98 стр.
Тейхмюллер (TeichmullerO.)
1939. Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom? Deutsche Math., 4,
567—577.
Тиле (Τ h i e 1 e E.-J )
1955. Ein exiomatisches System der Mengenlehre nach Zermelo und Fraen-
kel, Ztschr. f. math. Logik u. Grundl. der Math., 1, 173—195.
Томпсон (Thompson Μ. Η., Jr.)
1949. The logical paradoxes and Peirce's semiotic, /. of Philos., 46,
513—536.
Трахтенброт Б. А.
1950. Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на
конечных классах, Доклады АН СССР, 70, 569—572. (Ср. Известия
АН СССР, сер. мат., 20, 569—582, 1956.)
1953. О рекурсивной отделимости, там же, 88, 953—956.
1955 Табличное представление рекурсивных операторов, там же, 101,
417—420.
См. также Кузнецов — Трахтенброт.
Тьюринг (Turing А. М.)
1936. On computable numbers, with an application to the Entscheidunps-
problem, Proc. of the London Math. Soc, (2), 42, 230—265. (Cp.
ibid., 43, 544—546, 1937.)
1937. Computability and λ-definability, J. S. I., 2, 153—163.
1939. Systems of logic based on ordinals, Proc. of the London Math. Soc,
(2), 45, 161—228.
1950. The word problem in semi-groups with cancellation, Annals of
Math., (2), 52, 491—505.
1954. Solvable and unsolvable problems, Science News (Penguin Books),
№ 31, 7—23.
Тюркетт (Turquette A. R.)
1950. Godel and the synthetic a priori, J. of Philos. 47, 125—129. (Cp,
Copi I. M., ibid., 46, 243—245, 1949.) См. также Россер — Тюркетт.

Библиография
463
Уайтхэд —Рассел (Whitehead A. N., Russell В.)
1910—13. Principia Mathematica, 3 vols., Cambridge, 1910, 1912, 1913,
666 + 772 + 491 p. —2 изд.: 1925, 1927, 1927, 674 + 742+491 p.;
а также Введение к 2 изд. и приложения А, В, С к I: 34+15+9 + 8 р.
Уилдер (Wilder R. L.)
1952. Introduction to the foundations of mathematics, New York, 305 p.
У и л к оке
См. Кершнер — Уилкокс.
Умедзава (Umezawa Т.)
1955. Uber die Zwischensysteme der Aussagenlogik, Nagoya Math J.,
9, 181—189. (Ср. Маэхара, 54.)
Уоллес (Wallace A. D.)
1944. A substitute for the axiom of choice, Bull A. M. S., 50, p. 278.
Успенский В. А.
1953. Теорема Гёделя и теория алгоритмов, Доклады АН СССР, 91»
737—740.
1955. О вычислимых операциях, там же, 103, 773—776.
1956. Системы перечислимых множеств и их нумерации, там же, 105,
1155—1158.
Ушенко (UshenkoA P.)
1941. The problems of logic, London — Princeton, 225 p. (Cp. Encarna-,
cion J., Jr. [Энкарнасион]: Mind, 64, 99—100, 1955; Ushenko
[Ушенко]: ibid., p. 543; Rozeboom W. W. [Розебум]: Analysis, 18, 105—
113, 1958.)
Фай η (Fine Η. Β.)
1914. An unpublished theorem of Kronecker respecting unberical
equations, Bull A. M. S., 20, 339—358.
Файрстоун (Firestone С D.)
1947/49. Sufficient conditions for the modeleing of axiomatic set theory,
диссерт., Cornell University (не опубликовано). (См. Cornell
University, Abstracts of Theses etc., 1947, 199—201; Ithaca N. Y., 1949)
Файрстоун — Poccep (Firestone С D., Rosser J. B)
1949. The consistency of the hypothesis of accessibility (резюме доклада,
прочитанного в декабре 1948), У. S. L., 14, стр. 79.
Φ ев ρ ие
См. Детуш-Феврие
Φ ей с (Feys R.)
1944. Logistiek, geformaliseerde logica, I, Antwerp — Nijmegen, 340 p.
1949. De ©ntwikkeling van het logisch denken, Nijmegen, 220 p.
1950. Logistique, Act. Sc. Ind., 1089, 17—40.
См. также Карри — Фейс.
Феферман (Feferman S.)
1957. Degrees of unsolvability associated with classes of formalized
theories, / 5 L., 22, 161 — 175.
Феферман — Тарскйй (Feferman S., Tarski A.)
1953. (Рецензия на Расёва — Сикорский, 52), /. S. L, 18, 339—340.
Финслер (Finsler P.)
1925. Gibt es Widerspruche in der Mathematik? Jahresb. D.M.V., 34,
143—155.

464
Библиография
1926. Uber die Grundlegung der Mengenlehre, 1 leii, Die Mengen und
ihre Axiome, Math. Ztschr., 25, 683—713. (Cp Verh der Schweiz.
Naturforsch. Gesellsch., 113, 303—304, а также Рейнгольд Бэр, 28.)
1927. Uber die Losung von Paradoxien, Philos. Anzeiger, 2, 183—192.
(Cp. ibid., 202—203.)
Φ итч (Fitch F. B.)
1949. Intuitionistic modallogic with quantifiers, Portugaliae. Math., 7,
113—118.
1952. Symbolic logic, New York, 238 p.
1953. Self-referential relations, Actes du XJme Congr. Intern, de Philos.,
Bruxelles, 1953, XIV, 121 — 127.
1956. Recursive functions in basic logic, J. S. L, 21, 337—346.
Форт (Fort Μ. Κ.)
1948. A specialization of Zorn's lemma, Duke Math. J., 15, 763—765.
Фраиссе (Fraisse R.)
1955. Sur quelques classifications des systems de relations, диссерт. Fac.
des Sc, Univ. dp Paris, 1954 p. (Также Public. Scientif. Univ.
Alger. Al, 35—182, 2955.)
Фреге (Frege G )
1884. Die Grundlagen der Arithmetik, Eine logisch-mathematische Unter-
suchung uber den begriff der Zahl, Breslau, 119 p. (Перепечатано,
Breslau, 1934, англ.-нем. изд. под ред. Остина (Austin J. L.)f
1950, итал изд под ред. Геймоната (Geymonat L ), 1948)
1893—03. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Jena,
vol. I, 1893, 254 p.; vol. II, 1903, 265 p. (Частично переведено на
англ. язык в книге Гич-Блэк, 52, 137—158.)
Фредендойн (VredendiunP G J)
1940. Logistiek, Christiaan Huygens, 18, 170—212.
1954 The logic of negationless mathematics, Compositio Math t 11,
204—270.
Френкель (Fraenkel A. (A.))
1921/22. Zu den Grundlagen der Cantor — Zermeloschen Mengenlehre.
Math Annalen, 86, 230—237, 1922. (Ср. ранее Jahresber D Μ V.
30, ρ 97, 1921.)
1922 Uber den Begriff «definit» und die Unabhangigkeit des Auswah
laxioms, Sitz Berlin, 1922, 253—257
1924 Die neueren Ideen zur Grundlegung der Analysis und Mengenlehre,
Jahresb D Μ V., 33, 97—103.
1925. Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre, Math,
Ztschr., 22, 250—273.
1926. Axiomatische Begrundung der geordneten Mengen, /. F. Math., 155,
129—158 (Cp Fund Math., 7, 308—310, 1925.);
1927. Zehn Vorlesungen uber die Grundlegung der Mengenlehre, Leip
zig —Berlin, 182 p.
1927a Uber die Gleichheitsbeziehung in der Mengenlehre, J. f. Math.
157, 79—81.
1928. Einleitung in die Mengenlehre, 3-е изд. Berlin, 424 p. (Перепе
чатка, New York, 1946.)
1928a. Uber die Ordnungsfahigkeit beliebiger Mengen, Sitz., Berlin, 1928,
90—91.
1930. Die heutigen Gegensatze in der Grundlegung der Mathematik, Br
kenntnis, 1, 286—302.
1932. Axiomatische Theorie der Wohlordnung, /. /. Math., 167, 1—Π

Библиография
465
1935, Sur 1'axiome du choix, L'Ens. Math, 34, 32—51. (Cp. Kongr., Zurich,
1932, II, 341—342, 1933; Rev. Philos. de Louvain, 50, 429—459,
1952)
1937. Uber eine abgeschwachte Fassung des Auswahlaxioms, /. 5. L.t 2,
1—25. (Ср. ранее С. R. Prisar, 192, p. 1072, 1931.) См Московский.
38, и J. S L., 4, 30—31, 1939.
1949. The relation of equality in deductive systems, Library of the
Xth Intern. Congr. of Philos., Amsterdam, 1948, I, 752—755.
Фрёлих — Шепердсон (Frolich Α., Shepherdson J. C.)
1956. Effective procedures in filed theory, Philos. Tr. of the R. Soc.
London, A 248, 407—432.
Фридберг (Friedberg R.)
1956. Two recursively enumerable sets of incomparable degrees of unsol-
vability, Bull. Α. Μ S., 62, p. 320.
1957. A criterion for completeness of degress of unsolvability L S. L., 22,
159—160.
Φ ρ о д a (F г о d а А.)
1952. Sur les ensembles extraits des families d'ensembles, Acad. R. P.
Roum., Bull. Sc, Math. Ph., A4, 701—711. (На румынск, яз., с
русск. и франц. резюме.))
Фройденталь (Freundenthal Η.)
1936. Zum intuitionistischen Raumbegriff, Compositio Math., 4, 82—111.
1936a. Zur intuitionistischen Deutung logischer Formeln, ibid., 112—116.
118. (Cp. Heyting А. [Гейтинг]: ibid., 117—118.))
Хазенъегер (Η asen jaeger G.)
1950 Uber eine Art von Unvollstandigkeit des Pradikatenkalkuls der er-
sten Stufe, /. S. L., 15, 273—276.
1952. Topologische Untersuchungen zur Semantik und Syntax des erwei-
terten Pradikatenkalkuls, Archiv. f. math. Logik und Grundlagen-
forschung, 1, 99—129.
1952a. Uber ω-Unvollstandigkeit in der Peano-Arithmetik, J.S.L, 17,
81—97.
1953. Eine Bemerkung zu Henkin's Beweis fur die Vollstandigkeit des
Pradikatenkalkuls der ersten Stufe, ibid., 18, 42—48.
1955. On definability and derivability, Math, interpretations of formal
systems (Amsterdam), 15—25.
X а й η а л (Η a j η a 1 A.)
1956. On a consistency theorem connected with the generated continuum
problem, Ztschr. f. math. Logik u. Grundl. der Math., 2, 131—136.
Хайнал — Кальмар (Hajnal Α., Kalmar L.)
1956. An elementary combinatorial theorem with an application to
axiomatic set theory, Publicationes Math. (Debrecen), 4, 431—449.
X а л μ о ш (Н а 1 m о s P R )
1956. Algebraic logic. I. Monadic Boolean algebras, Compositio Math.,
12, 217—249.
1956a. Predicates, terms, operations, and equality in polyadic Boolean
algebras, Acad U. S. A , 42, 130—136.
1956b. The basic concepts of algebraic logic, Am. Math Monthly, 63,
363—387.
1956c. Homogeneous locally finite polyadic Boolean algebras of infinite
degree, Fund Math, 43, 255—325-

466
Библиография
1956—57. Algebraic logic, III—IV, Tr. A. M. S., 83, 430—470, 1956; 86,
1—27, 1957.
Хао Ван (Нао Wang)
1949. On Zermelo's and von Neumann's axioms for set theory, Acad.
U. S. A , 35, 150—155.
1950. Remarks on the comparison of axiom systems, ibid., 36, 448—453.
1950a. On the consistency question of analysis. Диссерт. (ротапринт),
Harvard University.
1950b A formal system of logic. /. S. L, 15, 25—32.
1950c. A theory of constructive types. Methodos, 1, 374—384.
1950d. The non-finitizability of impredicative principles. Acad. U. S. Α.,
39, 479—484.
1951 Arithmetic translations of axiom systems. Tr. A. M. 5., 71, 283—291.
1951a Arithmetic models for formal systems. Methods, 3. 217—232.
1952 The irreducibility of impredicative principles. Math. Annalen, 125,
56—66.
1952a. Logic of many-sorted theories. /. 5 L, 17, 105—116.
1952b. Truth definitions and consistency proofs. Tr. A. M. S., 73, 243—
275.
1953. Between number theory and set theory, Math. Annalen, 126, 385—
409
1953a. Quelques notions d'axiomatique, Rev. Philos. de Louvain, 51, 409—
443.
1953b. The categoricity question of certain grand logics Math. Ztschr., 59,
47—56.
1953c. Certain predicates defined by induction schemata. /. S L·., 18, 49—
59.
1954. The formalization of mathematics, ibid., 19, 241—266
1955. On denumerable bases of formal systems. Math, interpretations of
formal systems (Amsterdam), 57—84.
1955a On formalization. Mind, 64, 226—238.
1955b. Undecidable sentences generated by semantical paradoxes. /. S. L.,
20, 31—43.
1957. The axiomatization of arithmetic, ibid., 22, 145—158. См. также
Крейсел — Хао Ван; Россер — Хао Ван.
Хао Ван —Мак-Нотон (Нао Wang, McNaughton R.)
1953. Les systemes axiomatiques de la theorie des ensembles, Paris-Lou-
vain. 55 стр. [Русский перевод: Ван Хао и Мак-Нотон Р.,
Аксиоматические системы теории множеств, ИЛ, М., 1963, 52 стр.]
Харроп (Harrop R.)
1956. On disjunctions and existential statements in intuitiunistic systems
of logic, Math. Annalen, 132, 347—361.
Хартогс (Hartogs F.)
1915. Uber das Problem der Wohlordnung, Math. Annalen, 76, 438—443.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1914. Grundziige der Mengenlehre, Leipzig, 476 p. Перепечатка, New
York, 1949.
1927. Mengenlehre (2-е переработанное изд. книги 14), Berlin — Leipzig,
286 p., 3-е изд., 1935; перепечатка New York, 1944, англ. изд.,
New York, 1957, 352 p. Русское, значительно переработанное изд.,
1937, см. дополнительный список литературы на стр. 534
(Хаусдорф, 14/27/37).

Библиография
467
Хвистек (Chwistek L.)
1921. Antynomje logiki formalnej, Przegland Filoz., 20, 122—151.
1924—25. The theory of constructive types. (Principles of logic and
mathematics.) Ann. de la Soc. Polon. de Math., 2, 9—48, 3, 92—141.
1935. Granice nauki, Lwow — Warszawa, 264 p.
1942. Об аксиоме Цермело и ее роли в современной математике (с
франц. резюме: Sur l'axiome de Zermelo et son role dans !es mathe-
matiques contemporaines), Бюлл. АН Груз. ССР, З, 981—985. (Cd.
там же, 4, 187—194, 507—514, 745—752, 1943.)
1948. The limits of science. (Перевод книги Хвистек, 35, с предисловием
и примечаниями Элен Броди (Brodie Helen С), London — New
York, 347 p.)
Хельмер (Helmer О.)
1934. Bemerkungen zum Paradoxienproblem, Philos. Jahrbuch der Gorres*
gesellschaft, 47, 421—424.
Хёниг (Honig С S.)
1954. Proof of the well-ordering of cardinal numbers, Proc. A M. S., 5,
p. 312. (Cp. Far ah Ε [Фэйра]: Bol. Soc. Mat. Sao Paulo, 5,
59—61, 1952.)
Хинтикка (Hintikka K. J. J.)
1953. Distributive normal forms in the calculus of predicates, Acta Philos.
Fennica, № 6, Helsinki, 71 p.
1954. An application of logic to algebra, Math. Scand , 2, 243—246.
1955. Form and content in quantification theory, Acta Philos. Fennica, 8,
1—56.
1955a. Reduction in the theory of types, ibid., 57—115
1956. Identity, variables, and impredicative definitions, /. 5. L., 21,
225—245.
1957. Vicious circle principle and the paradoxes, ibid., 22, 245—249.
X и η ч и н А. Я.
1928. Objection a une note de MM. Barzin et Errera, Acad. R. de Belgi-
que, Bull, de la CI. des Sc, (5) 14, 223—224.
Холлден (Hallden S.)
1949. The logic of nonsense, Uppsala Universitets Arsskrift, 9, Uppsala —
Leipzig, 132 p.
Хомский (Chomski N.)
1957. Syntactic structures, 's-Gravenhage, 116 p.
Хонен (Hoenen P.)
1949. Het principium exclusi tertii in de branding, een studie in logica,
Bijdragen uitg. d. de Philos. en Theolog. Faculteiten der N.- en
Z.-Ned. Jezuieten, 10, 241—263.
Худеков Η. Η.
1930. (Jber eine Verallg-emeinerung des Begriffes der geordnenten Menge,
Мат. сборник, 37, 169—212. Разюме: Об обобщении понятия
упорядоченного множества, там же, стр. 212.
(Ср. Fraisse R. [Фраиссе]: С. R. Paris, 228, 1682—1684, 1949; 230,
1022—1024, 1950.)
Цермело (Zermelo E.)
1904. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Annalen,
59, 514—516. (Cp. Schoenflies А. [Шенфлис], Borel Ε. [Борель], Jour-
dain P. E. В. [Журдэн]: ibid., 60, 181 — 186, 194—195, 465—470, 1905.)

468
Библиография
1908. Neuer Beweis fur die Wohlordnung, ibid, 65, 107—128.
1908a. Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre, I, ibid,
261—281. (Продолжения не последовало.)
1929. Uber den Begriff der Definiheit in der Axiomatik, Fund Math, 14,
339—344.
1930. Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche, ibid., 16, 29—47.
Цорн (Zorn M.)
1935. A remark "on method in transfinite algebra, Bull. A. M. S, 41,
667—670. (Cp. Far ah E. [Фэйра], Bol. Soc. Mat. Sao Paulo, I,
19—34, 1946)
Чежовский (Czezowski T.)
1918. Teorya klas Lwow, 43 p.
Ч ё ρ ч (Church Α.)
1927. Alternatives to Zermelo's assumption, Tr. Λ. Μ S, 29, 178—208.
1928. On the law of excluded middle, Bull A M. S, 34, 75—78. (Cp.
Hedrick E. R [Хедрик]: ibid., p. 436.)
1932—33. A set of postulates for the foundation of logic, Annals of
Math, (2) 33, 346—366; 34, 839—864.
1934. The Richard paradox, Am. Math. Monthly, 41, 356—361.
1936 An unsolvable problem of elementary number theory, Am. J. of
Math., 58, 345—363.
1936a. A note on the Entscheidungsproblem, J. S. L, 1, 40—41.
1940. A formulation of the simple theory of types, ibid., 5, 56—68.
1940/41. The calculi of lambda-conversion, Annals of Math. Studies, № 6,
Lithoprinted, Princeton, 77 p, 2-е издание, 1951.
1942. Zermelo set theory. The Dictionary of Philosophy (под ред. Рунса
(Runes D. D.)), 180—181, New York.
1944. Introduction to mathematical logic, Part I, Annals of Math.
Studies, № 13, Lithoprinted Princeton, 118 p.
1951. Реферат статьи Копи, 50, /. S. L·., 16, 154—155.
1956. Introduction to mathematical logic, I (переработанное и
значительно расширенное издание 44), Princeton, 376 р. Русский
перевод: А. Ч ё ρ ч, Введение в математическую логику, I, M., ИЛ,
1960, 481 стр.
1957. Binary recursive arithmetic, J. de Math ρ et appl., 36, 39—55.
Чиполла (Cipolla M.)
1913. Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni, Atti
delta Accad. Gioenia di Sc. Nat. in Catania, (5)6, No. V.
Шао Куэй (Schaw-Kwei Moh)
1954. Logical paradoxes for many-valued systems, /. S. L.t 19, 37—40.
Шапиро (Shapiro N)
1956, Degrees of computability, Tr A M S , 82, 281—299.
Швабхойзер (Schwabhauser W.)
1954. Zur Definition des geordneten Paares von Mengen beliebiger Stufe,
Math. Nachrichten, 11, 81—84.
1956. Uber die Vollstandigkeit der elementaren Euklidischen Geometrie,
Ztschr. f. math. Logik u. Grundl der Math., 2, 137—165.
Шварц (Schwarz Gideon)
1954. Some theorems on Hudekoff's axioms of orientation (по-еврейски;
с англ. резюме), Riveon Lematematika (Jerusalem), 7, 13—22.
Швейцер.
См. Шольц — Швейцер.

Библиография
469
Шепердсон (S h e p h e r d so n J. С.)
1951—53 Inner models for set theory, /. S. L., 16, 161—190, 1951- 17,
225—237, 1952; 18, 145—167, 1953.
См. также Майхилл — Шепердсон, Фрёлих — Шепердсон.
Шёнфилд (Shoenfield J. R.)
1954. A relative consistency proof, /. S. L, 19, 21—28.
1955. The independence of the axiom of choice, ibid., 20, p. 202.
Шёнфлис (Schoenflies A.)
1921. Zur Axiomatik der Mengenlehre, Math. Annalen, 83, 173—200.
(Опубликовано ранее в Proc. Amsterdam, 22, 1920.)
Шильп (Schilpp P. Α., ed.)
1944. The philosophy of Bertrand Russell (под ред. Шильп a), Evans-
ton— Chicago, 815 p. (В частности, содержатся статьи Рейхен-
баха (Reichenbach Η.), Блэка (Black Μ.) и Гёделя (Godel К·)·)
Шликк (Schlick M.)
1931. Die Kausalitat in der gegenwartigen Physik, Naturwissenschajten,
19, 145—162.
Шмейдлер (Schmeidler W.)
1929. Neuere Grundlagenforschungen in der Mathematik, Unterrichts-
blatter f. Math. u. Naturwissenschaften, 35, 193—198.
Шмелёва (Szmielew(a) Wanda)
1947. On choices from finite sets, Fund. Math., 34, 75—80. (Cp. Sier-
pinski W. [Серпинский]: С. R. Varsovie, 32, 36—40 1949.)
1950. Arithmetical properties of Abelian groups, University of California,
Berkeley.
1955. Elementary properties to Abelian groups, Fund. Math., 41, 203—271.
Шмелёва — Тарский (Szmielew Wanda, Τ a r s k i A.)
1952. Mutual interpretability of some essentially undecidable theories,
Congr. Cambridge Mass, 1950, 1, p. 374.
Шмидт (Schmidt A.)
1950. Mathematische Grundlagenforschung, Enzykl der math. Wiss.,
Band I, 1. Teil, Heft 1, Teil II, Leipzig, 48 p.
1950a. Wie durfen wir mit dem Unendlichen umgehen? (Die Grundlage des
mathematischen Intuitionismus.) Semesterberichte Gottingen, 1,
200—212.
1951. Die Zulassigkeit der Behandlung mehrsortiger Theorien mittels der
ublichen einsortigen Pradikatenlogik, Math. Annalen, 123, 187—200.
1953. Zum Verhaltnis von Existenz und Widerspruchsfreiheit, V, 205—207.
Шмульян (S mull j an Raymond Μ )
1957. Languages in which self-reference is possible, /. S L., 22, 55—67,
Шольц (S ch о 1 ζ Η.)
1930. Die Axiomatik der Alten, Blatter f. deutsche Philos., 4, 259—278.
1950. Реферат книги Вейль, 49, /. S. L·, 206—208.
1951. Voiiesungen uber Grundzuge der mathematischen Logik, 2-е изд.,
2 т. т., Munster i. W., 276+192 p. См. также Гермес — Шольц.
Шольц —Швейцер (Scholz Η., Schweitzer H)
1935. Die sogenannten Definitionen durch Abstraktion Eine Theorie der
Definitionen durch Bildung von Gleichheitsverwandtschaften, For'
schungen zur Logistik etc., № 3, Leipzig (Литограф, изд.), 106 p.

470
Библиография
Шпеккер (S pecker E.)
1949. Nicht konstruktiv beweisbare Satze der Analysis, J.S.L., 14,
145—158.
1953. The Axiom of choice in Quine's New foundations for mathematical
logic, Acad. U. S. Α., 39, 332—975.
1954. Verallgemeinerte Kontinuumshypothese und Auswahlaxiom, Archiv
der Math., 5, 332—337.
1954a. Die Antinomien der Mengenlehre, Dialectica, 8, 234—244.
Шпильрайн (Szpilrajn E.)
1930, Sur 1'expansion de l'ordre partiel, Fund. Math., 16, 386—389.
Шреккер (Schrecker P.)
1936. Leibniz et le principe du tiers exclu, Act. Sc. Ind., 393, 75—84.
Шрётер (Schroter K·)
1941. Ein allgemeiner Kalkulbegriff, Forschungen zur Logik etc., N. S.,
№ 6, Leipzig, 43 p. (Cp. Jahresb. D. M. V, 53, 69—82, 1943.)
1955. Theorie des logischen Schliessens, Ztschr. f. math. Logik u. Grundl.
der Math., 1, 37—86.
1955a. Methoden zur Axiomatisierung beliebiger Aussagen- und Pradikaten-
kalkule, ibid., 241—251.
1956. Theorie des bestimmten Artikels, ibid., 2, 37—56.
1956a. Uber den Zusammenhang der in den Implikationsaxiomen vollstan-
digen Axiomensysteme des zweiwertigen mit denen des intultionisti-
schen Aussagenkalkuls, ibid., 173—176.
1957. Eine Umformung des Heytingschen Axiomensystems fur den intui-
tionistischen Aussagenkalkul, ibid., 3, 18—29.
1957a. Die Voilstandigkeit der die Implikation enthaltenden zweiwertigen
Aussagenkalkule und Pradikatenkalkule der ersten Stufe, ibid.,
81—107.
Штегмюллер (Stegmuller W.)
1956—57. Das Universalienproblem einst und jetzt, Archiv f. Philos., 6,
192—225; 7, 45—81.
Штейниц (Steinitz E.)
1910. Algebraische Theorie der Korper, /. f. Math., 137, 167—309. Новое
изд. под ред. Р. Бэра (Baer R.) и Г. Хассе (Hasse H.), Berlin —
Leipzig, 1930, 155 + 27 стр. примеч.
Шуэйдер (Schwayder D. S.)
1956. Self-defeating pronouncements, Analysis, 16, 74—85
Ш ютт e (S ch u 11 e K·)
1951. Beweistheoretische Erfassung der unendlichen Inducktion in der
Zahlentheorie, Math. Annalen, 122, 369—389.
1952. Beweistheoretische Untersuchung der verzweigten Analysis, ibid.,
124, 123—147.
1954. Kennzeichnung von Ordnungszahlen durch rekursiv erklarte Funk-
tionen, ibid., 127, 15—32.
1954a. Ein widerspruchsloses System der Analysis auf typenfreier Grund-
lage, Math. Ztschr., 61, 160—179. (Cp. Math. Annalen, 125, 394—400,
1953.)
1956. Ein System des verknupfenden Schliessens, Archiv f. math. Logik u.
Grundlagen]orschung, 2, 34—67.
Э в а и с (Evans Ε.)
1954. On some semantic illusions, Mind, 63, 203—218.

Библиография
471
Эллис (Ellis E)
1951. Notes on the symbolic process, Mind, 60, 62—79.
Энскомб (Anskombe G. Ε. Μ.)
1956. Aristotle and the sea baltie, Mind, 65, 1—15.
Эрбран (Herbrand J.)
1928. Sur la theorie de la demonstration, С R Paris, 186, 1274—1276.
1930. Recherches sur la theorie de la demonstration. (Диссерт., Fac. des
Sc, Univ. de Paris.) Travaux de la Soc. de Sc. et des Letters de
Varsovie, CI. Ill, № 33, 33—160.
1931. Sur le probleme fundamental de la logique mathematique, C. R.
Varsovie, 24, 12—56.
1932. Sur la non-contradiction de i'arithmetique, /. f. Math., 166, I--S.
Эренфойхт (Ehrenfeucht A.)
1957. Two theories with axioms built by means of pleonasms, J. S L.,
22, 36—38.
Эррера (Errera A.)
1933. Quelques remarques sur les mathernatiques intuitionnistes. A pro-
pos de plusieurs notes de M. Heyting, R. Μ. Μ., 40, 27—39.
См. также Барзин — Эррера.
Ютинг (Yuting Shen)
1953. Paradox of the class of all grounded classes, /. S. L, 18, p. 114.
1955. Two semantical paradoxes, ibid., 20, 119—120.
Яничак (Janiczak A.)
1953. Undecidability of some simple formalized theories, Fund. Math·,
40, 131—139.
1954. On the reducibility of decision problems, Colloquium Math., 3,
33—36.
1954a. Some remarks on partially recursive functions, ibid., 37—38
Яськорский (Jaskowski S)
1936. Recherches sur le systeme de la logique intuitioniste, Apt. Sc. lnd,
393, 58—51. (Cp. Hiz H. [Гиз]: С. R. Paris, 223, 973—974, 1946.)

БИБЛИОГРАФИЯ К
ABSTRACT SET THEORY,
ЦИТИРУЕМАЯ В НАСТОЯЩЕЙ КНИГЕ1)
Адамар (Hadamard J.)
4. An essay on the psychology of invention in the mathematical field,
Princeton, 1945 143 стр. Испр. изд. 1949. (Ср. Thales, 4, 123—127.
1940.)
Айдукевич (Ajdukiewicz К.)
3. Die syntaktische Konnexitat, Studia Philos., 1, 1—27. 1935.
Аккерман (Ackermann W.)
11. Bemerkungen zu den logisch-mathematischen Gruncllagenproblemen,
Act. Sc. Ind., № 837, 76—82. 1939.
Альбергамо (Albergamo F.)
1. La tesi finista control l'infinito attuale e potenziale, Atti delta Soc.
Italiana per it Progresso delle Sc, Riun. XXIV, vol. V, 374—386. 1936.
(Cp. R. Pavese [Павезе]: ibid., стр. 373.)
Амброз (Ambrose Alice)
1. A controversy in the logic of mathematics, Philos. Review, 594—61L
1933
2. Finitism in mathematics, Mind, N S , 44, 186—203, 317—340. 1935.
3. The nature of the question «are there three consecutive 7's in the
expansion of π?», Papers of the Michigan. Acad of Sc, Arts and
Letters, 22, 505—513. 1936. (Cp. Mind, N. S., 46, 379—385. 1937.)
Андреоли (Andreoli G.)
1. Le antinomie: loro formazione in matematica, in logica formale, nel
raggionamento, Atti delta Soc. Italiana per il Progresso delle Sc, Riun.
XXIV, vol. V, 368—373. 1936 (Cp. F. Albanese: ibid, стр. 386.)
Артин — Шрейер (Artin E„ Schreier О)
1. Algebraische Konstruktion reeller Korper, Abh. Hamburg, 5, 85—99,
1927.
Бальдус (В a 1 d и s R.)
1. Formalismus und Intuitionismus in der Mathematik. (Wissen und
Wirken, № 11) Karlsruhe i. В., 1924. 45 стр.
Банах (Banach S)
2. Uber additive Massfunktionen in a,bstrakten Mengen, Fund Math-,
15, 97—101. 1930.
l) Как и влексте книги, в этой библиографии сохранена нумерация
работ, принятая в Abstract Set Theory. — Прим. перев.

Библиография к Τ
473
Барзин — Эррера (BarzinM. etErrera A.)
1. Sur la logique de Μ Brouwer, Acad R. de Belgique, Bull, de la CI.
des Sc, (5) 13, 56—81. 1927. (Перепечатано в *Борель 2.)
2. Sur le principe du tiers exclu, Archives de la Soc Beige de Philos.,
1, № 2, стр. 1—26. 1929.
3. Sur la logique de M. Heyting. L'Ens Math, 30, 248—250. (Cp. ibid.,
31, 122—124, 273—274. 1933.)
4. La logique de M. Brouwer, Etat de la question Bull. Math, de Ш
Soc. Roumaine de Sc, 35, 51—52. 1933.
Б a p ρ а у (В а г г а и J. А.)
1. De onbemindheid der wiskunde. Jaarboek der Rijksuniv. Groningen,
1925/26, стр 9—25. 1926.
Б a p - X и л л е л (В а г - Η i 11 е 1 Υ.)
1 The present state of the antinomies problem The semantic
antinomies (на еврейском языке). Tarbits (Jerusalem), 12, 275—286 1941.
См. также Френкель — Бар-Хиллел.
Басилейу (Βασίλειου Φ.)
1. Περί της συγχρόνου αξιωματικής μεθόδου. Δελτίον της Ελληνική;
Μαθηματικής Εταιρείας, 17, 119—136, 1937.
Б е и л и с (В а у 1 i s С. А.)
3. Are some propositions neither true nor false? Philos of Sc, 3,
156—166. 1936.
Беккер A. (Becker Albrecht)
1. Die Aristotelische Theorie der Moglichkeitsschlusse etc, Диссертация
Munster i. W. 1932. Berlin, 1933. 98 стр.
Беккер О (Becker О)
1. Beitrage zur phanomenologischen Begrundung der Geometrie und
ihrer physikalischen Anwendungen. Jahrb. f. Philos. und phanomenol
Forschung, 6, 385—360, 1923.
2. Mathcmatische Existenz. Untersuchungen zur Logik und Onthologie
mathematischer Phanomene, ibid., 8, 439—809. 1927. (Перепечатано
отдельной книгой Halle a. S , 1927.) Ср. *Шольц, 2.
4. Uber den sogenannten «Anthropologismus» in der Philosophic der
Mathematik, Philos. Anzeiger, 3, 369—387. 1929.
7. Eudoxos-Studien. II. Warum haben die Griechen die Existenz der
vierten Proportionale angenommen? Quellen und Studien zur Geschichte
der Math., B. 2, 369—387. 1933. (Cp. ibid., B. 3, 236—244 1936.)
Белинфанте (Belinfante H. J.)
2. Uber eine besondere Klasse von non-oszillierenden Reihen, Proc.
Amsterdam, 33, 1170—1179. 1930.
4. Die Hardy — Littlewoodsche Umkehrung des Abelschen Stetigkeits-
satzes in der intuitionistischen Mathematik, ibid., 34, 401—412. 1931.
6. Das Riemannsche Umordnungsprinzip in der intuitionistischen
Theorie der unendlichen Reihen, Compositio Math., 6, 118—123. 1938.
7. Der Levysche Umordnungssatz und seine intuitionistische Ubertra-
gung, ibid., 124—135.
Беман (Behmann H.)
1. Beitrage zur Algebra der Logik, insbesondere zum Entscheidungs-
problem, Math. Annalen, 86, 163—229, 1924 (Cp ibid. 88, 168, 1923)
5. I principii della logica simbolica, Period, di Mat., (4) 7, 213—230.
1927,
32 Зак. 1765

474
Библиография к Τ
6. Zu den Widerspruchen der Logik und der Mengenlehre, Jahresb.
D. Μ V., 40, 37—48. 1931. (Cp. Erkenntnis, 2, 305—306. 1931.)
7. Sind die mathematischen Urteile analytisch oder synthetisch? £r-
kennttiis 4 1 27 1934.
8. The paradoxes 'of logic. Mind, N. S., 46, 218—221. 1937.
Бентли (В e η 11 e у A. F.)
2. Linguistic analysis of mathematics, Bloomington Ind., 1932;
London, 1934 315 стр. Частично также в Psyche [London], 12, № 47,
78—91. 1932. (Ср. Pnilos. of Sc, 13, 3—19. 1946.)
Бергман (Bergmann G.)
1. Zur Axiomatik der Elementargeometrie, Monatsh Math. Ph., 36,
269—284. 1929. (Cp. Anzeiger Akad. Wien, 65, 292—295, 1928; К Men-
ger [Менгер]· Koli, № 7, 11 — 12, 1936.)
Беренс (Behrens G.)
1. Die Prinzipien der mathematischen Logik bei Schroder, Russell und
Konig, Диссерт. Kiel. Hamburg, 1918. 64 стр.
Бернайс (Bernays P.)
10. Methoden des Nachweises von Widerspruchsfreiheit und ihre Gren-
zen, Kongr. Zurich 1932, vol. II, 342—343. 1932.
11. Huberts Untersuchungen uber die Grundlagen der Arithmetik.
*Гильберт, 15, стр. 196—216. 1935.
Бернштейн Б. A. (Bernstein Β. Α.)
6. Irredundant sets of postulates for the logic of propositions, Bull.
Α. Μ S., 35, 545—548. 1929.
Бернштейн Ф. (Bernstein F.)
2. Uber die Reihe der transfiniten Ordnungszahlen, Math. Annalen, 60,
187—192. 1905.
4 Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Ber. Leipzig, 60, 325—338
1908.
6. Die Mengenlehre Georg Cantors und der Finitismus, Jahresb
D. M. V., 28. 63—78. 1919.
Б ер р и (Barry F.)
I. The scientific habit of thought. New York, 1927.
Бет (Beth Ε. Μ.)
4. Une demonstration de la non-contradiction de la logique des types
au point de vue fini, N. Archie] v. Wiskunde, 19, 59—62. 1936.
5. Rede en aanschouwing in de wiskunde. Диссерт., Utrecht, 1935, Gro-
ningen —Batavia, s. a (1936). 120 стр. (Ср. Act. Sc. Ind., № 535,
161—165. 1937.)
6. De significa van de pasigrafische systemen. Bijdrage tot de psycholo-
gie van het wiskundig denkproces, Euclides, 13, 145—158. 1937.
9. Wijsbegeerte der wiskunde, Euclides, 17, 141—558, 1941.
II. Inleiding tot de wijsbegeerte der wiskunde, 2-d., Nijmegen —
Utrecht, 1942, 270 стр. (Новое изд. 1948, 387 стр.) Ср. Symbolishe
Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften.
12. De wijsbegeerte der wiskunde van Parmenides tot Bolzano, Ant-
werpen — Nijmegen, 1944, 204 стр. (Ср. Synthese, 5, 248—260, 1947;
Rucker P. [Рукер]: Philos. Jahrb. der Gorresgesellschaft, 53, 1940.)
Бетш (Betsch C.)
1. Fiktionen in der Mathematik. Stuttgart, 1926. 372 стр. (Ср. Unferr
richtsblatter f. Math, und Naturwiss., 38, 79-83. 1932.)

Библиография к Τ
476
Блакье (Blaquier J.)
1. El axioma de Zermelo, Anales de la Acad. Nac. de Ci. etc. de
Buenos Aires, 8, 1942. 23 стр
Б л эк (Black M.)
3. The claims of intuitionism, The Philosopher, 14, 89—97. 1936.
4. Truth-functions: a criticism, Analysis, 4, 15—16. 1936.
Богословский (Bogoslovsky B. P.)
1. The technique of contoversy. An essay towards a new theory of
logic. Harcourt, 1928.
Больцано (Bolzano B.)
2. Wissenschaftslehre. Versuch einer ausfuhrlichen Darstellung der Lo-
gik. (4 тома, Sulzbach, 1837. — T. 1 и 2 переизданы под ред.
А. Хёфлера (A. Hofler), Leipzig, 1914—15.) Новое изд. под ред.
Шульца (W. Schultz) в 4 томах, Leipzig, 1929—1931.
3. Paradoxien des Unendlichen. (Издано впервые после смерти
автора Ф. Пржихонским (F. Pfihonsky), 1851.) Новое изд. под ред.
А. Хёфлера (A. Hofler) с примеч. Г. Хана (Н. Hahn). (Philos. Bib-
liothek, 99). Leipzig, 1920. Англ. изд. 1950, 189 стр. (Русский перевод:
Б. Больцано, Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911.),
Б о ре ль (В о г el E.)
2. Lecons sur la theorie des fonctions. Paris, 1914 (2 изд.), 260 стр.,
1928 (3 изд.), 1950 (4 изд.) (Содержит важные дополнения; ср. также
Math. Annalen, 60, 194—195, 1905, и Revue du Mois, 1, 248—250,
1906.)
4. Sur les ensembles effectivement enumerables et sur les definitions
effectives, Rendic. Lincei, (5) 28n, 163—165. 1919.
5. Methodes et problemes de la theorie des fonctions, Paris, 1922.
148 стр. (Ср. Bull, de la Soc. Math, de France, 47, 1919.)
6. A propos de la recente discussion entre M. R. Wavre et M. P. Levy,
R. Μ. M., 34, 271—276. 1927. Перепечатано в *Борель, 2, 3 изд. (Ср.
С. R. Paris, 224, 764—765, 1537—1538, 1597—1599, 1947, 230,
1989—1990, 1950).
7. Les paradoxes de l'infini. Paris, 1946. 237 стр. (Ср. Elements de la
theorie des ensembles. Paris, 1949, 319 стр.)
Б ρ ay эр (В г о u w e r L. E. J.)
2. De onbetrouwbaarheid der logische principes, Tijdschrift v. Wijsbe-
geerte, 2, 152—158. 1908.
3. Die moglichen Machtigkeiten. Congr. Roma 1908, vol. Ill, 569—571.
1909.
6. Intuitionisme en formalisme. Groningen, 1912. 32 стр. (Англ. перев.
в Bull. Α. Μ. S., 20, 81—96. 1914.)
8. (Рецензия на *Шёнфлис, 8) Jahresb D. Μ. V, 23, 78—83, 1914.
9. Addenda en corrigenda over de grondslagen der wiskunde. K. Akad.
v. Wetens. te Amsterdam, Versl. etc. Natuurk. Afd., 25, 1418—1423.
1917. (Перепечатано в N. Archie] v. Wiskunde, (2) 12, 439—445,
1918.)
11. Wiskunde, waarheid, werkelijkheid. Groningen, 1919.
(Перепечатано в *Брауэр, 2 и 6.)
13. Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung? Math
Annalen, 83, 201—210. 1921. (Перепечатано в Proc. Amsterdam, 23,
955—964 (1922.)
15. (Совм. с Б. де Лоором (В. de Loor)) Intuitionistischer Beweis des
Fundamentalsatzes der Algebra. Proc. Amsterdam, 27, 186—188. 1924
(cp. ibid., 631—634).
32*

476
Библиография к Τ
18. Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe, Jahresb.
D. M. V., 33, 251—256. 1924. (Cp. ibid., 36, 127—129. 1927.) На гол-
ланд ск. яз. в 1923: К. Akad. υ. Wetens. te Amsterdamt Versl etc.
Natuurk. Afd., 32, 877—880.
24. Zum freien Werden von Mengen und Funktionen Proc Amsterdam,
45, 322—323. 1942. (Cp. ibid стр. 443; 50, стр. 307, 1947.)
25. Beweis, dass der Begriff der Menge hoherer Ordnung nicht als
Grundbegriff der intuitionistischen Mathematik in Betracht kommt,
ibid., 791—793.
Брёккер (В rocker W.)
1. Antinomien und Paradoxien in der Logik, Blatter f deutsche Phi-
los., 12, 365—368. 1939.
Бридж мен (Biidgman P. W.)
1. The logic of modern physics. New York, 1927. 242 стр. (Нем. изд.,
1932.)
2. A physicist's second reaction to Mengenlehre. Scr. Math., 2,
101 — 117, 224—234. 1934.
Броден (Broden T.)
1. Uber uneigentliche Redeweisen in der Mengenlehre und uber einen
Aufsatz des Herrn Hj. Eklund, Nyt Tidsskrift f. Mat., 29, afd B,
36—43. 1918. (Cp ibid., 27, 28—35, 1916; 28, 21—32, 1917)
4. Einige Worte uber aktuelle mathematische Principfragen. Den Sjette
Skendinaviske Mat, Kongr. i Kjabenhavn 1925, стр 229—239. 1926.
5. Om den Russellska Antinomien. Lund, 1926, 21 стр.
Броуд (Broad С. D.)
2. Scientific thought. London, 1923.
Булиган (Bouligand G.)
6. Sur quelques points relatifs a l'intervention des collections infinies
en analyse mathematique, Act. Sc. Ind., № 535, 174—180. 1937.
7. Les crises de l'unite dans la mathematique, Revue Gen des Sc ρ
et appl., 52, 215—221. 1945. (Cp. ibid., 53, 183—186, 1946; R. Μ. Μ.,
52, 308—321, 1947.)
Буркамп (Burkamp W.)
2. Die Krisis des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, Beitrage zur
Philos. des deutschen Idealismus, 4, № 2, 59—81. 1927.
3. Diskussion uber Grundfragen der Mathematik und Logik, Erkennt-
nis, 1, 308—309. 1931.
4. Logik, Berlin, 1932. 175 стр.
5. Wirklichkeit und Sinn. Berlin, 1938, 2 тома 327 + 538 стр. (Ср.
P. G. J. Vredenduin [Фредендойн]: Alg. Nederlandsch Tijdschrift v.
Wijsbegeerte en Psychol., 37, 41—51. 1943.)
Буркхардт (BurkchardtJ. J.)
1. Zur Neubegrundung der Mengenlehre, Jahresb. D. M. V., 48, 146—
165. 1938.
2. Zur Neubegrundung der Mengenlehre, Folge, ibid., 49, 146—155, 1939.
Бурштин (BurstinC.)
1. Ein Beitrag zur Theorie der Ordnung der linearen Systeme, Tohoku
Math. /.,31, 296—229. 1929.
Б у τ ρ у (Β ο u t r ο u χ P.)
3. L'ideal scientifique des mathematiciens dans l'antiquite et dans les
temps modernes. Paris. 1920 (Нем. изд. под ред. Г. Поллачека-Гей-
рингера.) (Н. Pollaczek-Geiringer, 1927. 253 стр )

Библиография к Τ
477
Бэр Рейнгольд (В а е г Reingold)
1. Uber nicht-archimedisch geordnete Korper, Sitz. Heidelberg, 1927,
8 Abh., стр. 3—13.
Вавр (Wav re R.)
2. Logique formelle et logique empriste, Am Math. Monthly, 33, 65—75.
1926.
3. Sur le principe du tiers exclu, ibid., 425—430. (2 и 3 перепечатаны
в книге *Борель, 2, 3 изд.)
4. Sur les propositions indemontrables, L'Ens. Math., 27, 321—323.
1928.
5. Mathematique et philosophie, Archives de la Soc. Beige de Philos.,
5, № 1, 1—16. 1933.
Ван дер Варден (van der WaerdenB. L.)
2. Moderne Algebra, 2 тома, Berlin, 1930/31, 242 + 216 стр , 2 изд 1937.
Перепечатана New York, s. a. (1943). Том I, 3 изд. 1950. (Гл VIII
об упорядоченных и вполне упорядоченных множествах во 2 изд.
нет) Англ. изд. 1949/50. (Русский перевод: ван дер
Варден Б. Л. Современная алгебра, ГТТИ, М.—Л., 1947)
Варрен (WarrainF.)
3. Examen philosophique du transfini. Paris, 1935. 142 стр.
Васильев (VasilievN. Α.)
1. Imaginary (non-Aristotelian) logic. Atti del V Congr. Intern, di
Filos., Napoli, 1924, стр. 107—109. 1925.
Веб ер (Weber Η.)
1. Leopold Kronecker, Jahresb. D. M. V., 2, 5—31, 1893 (Также в
Math. Annalen, 43, 1—25. 1893.)
Веблен (VeblenO.)
ί. A system of axioms for geometry, Tr. A. M. S., 5, 343—384. 1904.
(Ср. также в J. W. A. Young [Юнг]: Monographs on topics of modern
mathematics, стр. 1—51, New York, 1911; T. Nakasawa [Накасава]:
Sc. Rep. Tokyo Bunrika Daigaku, A 2, 235—255, 1935; 3, 45—49, 123—
136, 1936.)
Вейль (WeylH.)
6. Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik. Symposion, 1, 1—32.
1925. (Опубликована также в виде брошюры: Sonderdrucke des
Symposion, № 3 Erlangen, 1926.) (Русский перевод: Г. Вейль,
. ; в сб. «О философии математики», М.—Л, 1934, 128 стр.,
разд. I.)
8. Consistency in mathematics. The Rice Institute Pamphlet, vol. 16,
245—265, 1929.
9. Die Stufen des Unendlichen. Jena, 1931, 19 стр.
11. The open world. Three lectures on the metaphysical implications
of science. New Haven and London, 1932. (Статья «Infinity» на
стр. 57—84.)
12. The mathematical way of thinking. Science, vol. 92, 437—446. 1940.
(Также в Studies in the History of Science [Philadelphia, 1941].)
Вейнберг (Weinberg J. R.)
2. The possible solution of the heterological paradox, Philos. Review»
46, 657—659. 1937. (Cp Church [Чёрч]: /. S. L·, 3t стр. 46. 1938.)
В и и a η (Winants M.)
1. A propos d'un catalogue paradoxal, L'Ens Math., 31, стр. 268. 1933.
(Ср. F. G ο η s e t h [Гонсет]: ibid., 269—271.)

478
Библиография к Τ
Винер (Wi e n er Ν.)
1. A simplification of the logic of relations, Proc. of the Cambridge
Philos. Soc, 17, 387—390. 1914. (Cp. ibid., 441—449; 18, 14—28. 1916.)
Виола (V i о 1 a J.)
1. Riflessioni intorno ad alcune applicazioni del postulato della scelta
di E. Zermelo e del principio di approssimazione di B. Levi nella teoria
degli aggregati, Boll. dell'Unione Mat. Hal., 10, 287—294. 1931.
2. Sul principio di approssimazione di B. Levi nella teoria della misura
degli aggregati e in quella dell'integrale di Lebesgue, ibid., 11, 74—78.
1932. (Ср. В Levi [Леви] e T. Viola [Виола]: ibid., 12, 197—203.
1933.)
3. Ricerche assiomatiche sulle teorie delle funzioni d'insieme e
dell'integrale di Lebesgue, Fund. Math., 23, 75—101. 1934.
Волленховен (Vollenhoven D. Η. Τ.)
1. De wijsbegeerte der wiskunde van theistisch standpunt.
Диссертация, Amsterdam, 1918.
2. De noodzakelijkheid eener christelijke logica. Amsterdam, 1932.
Вольф (Wolf J.)
2. Over het subjectieve in de wiskunde, Jaarboek der Rijks-Universiteit
te Utrecht, 1922—1923, стр. 3—22.
Гарсиа (Garcia Bacca J. D.)
2. Assaigs moderns per a la fonamentacio de les matematiques, Soc.
Catalana de Ci. Fis. etc., Public, 1, 225—275. 1933.
Гартман (HartmannE.)
1. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, Philos.
Jahrb. der Gorresgesellschaft, 40, 127—128. 1927.
Гаупт (Η a up t О.)
2. Existenzbeweise in der elementaren und hoheren Mathematik, Unter-
richtsblatter f. Math, und Naturwiss., 36, 224—226. 1930.
Гейнеман (HeinemannF, H.)
1. The meaning of negation, Proc. Ar. Soc, N. S., 44, 127—152. 1944.
Гейтинг (HeytingA.)
1. lntuitionistische axiomatiek der projectieve meetkunde. Диссерт.,
Amsterdam. Groningen, 1925. 95 стр.
3. Zur intuitionistischen Axiomatik der projektiven Geometrie, Math.
Annalen, 98, 491—538.
4. De telbaarheidspraedicaten van Prof. Brouwer, N. Archie] v.
wiskunde, (2) 16, 47—58. 1929.
5. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitz. Berlin.
1930, 42—56.
6. Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik, ibid., 57—71,
158—169. (По поводу 5 и 6 ср. Η. S с h о 1 ζ [Шольц]: Deutsche Lite-
raturzeitung, 1930, 2202—2208.)
8. Die lntuitionistische Grundlegung der Mathematik, Erkenntnis, 2,
106—115. 1931. (Ср. дискуссию с участием Г. Хана (Η. Hahn),
Р. Карнапа (R. Carnap), Дж. фон Неймана (J von Neumann),
X. Шольца (Η. Scholz), А. Гейтинга, К. Гёделя (К. Godel) и К. Рей-
демейстера (К. Reidemeister): ibid., 135—151.) Ср. Forschungen und
Forstschritte (Berlin), Januar 1931, и лекцию «De ontwikkeling van
de lntuitionistische wiskunde», Groningen, 1936, 16 стр. (так же в
Euclides, 13, 129—144, 1937.)

Библиография к Τ
479
9. Anwendung der intuitionistischen Logik auf die Definition der
Vollstandigkeit eines Kalkuls, Kongr. Zurich 1932, ν II, 344—345
1933.
10. A propos d'un article de MM. Barzin et Errera, L'Ens. Math., 31,
121—122. 1933. (Cp. ibid., 271—272, 274—275.)
12. Intuitionistische wiskunde, Mathematica (Leiden), В 4, 72—83,
123—136; 5, 62—80, 105—122. 1935/36.
13. Ruimteleer en axiom^tiek, Groningen-Batavia, 1937. 6 стр.
14. Intuitionistische wiskunde, Mathematica, В 7, 129—142. 1939
15. Les fondements des mathematiques du point de vue intuitionniste,
Act. Sc. Ind., № 837, 73—75. 1939.
17. On weakened quantification, /. S. L, 11, 119—121. 1946. (Cp.
F. B. Fitch [Фитч]: Portugaliae Math., 7, 113—118. 1949.)
Гёльдер (Holder О.)
3. Die mathematische Methode. Berlin, 1924. 563 стр.
4. Der angebliche circulus vitiosus und die sogenannte Grundlagenkrise
in der Analysis, Ber. Leipzig, 78, 243—250. 1926.
7. Axiome, empirische Gesetze und mathematische Konstruktion,
Scientia, 49, 317—326. 1931.
Гессенберг (Hessenberg G.)
10. Mengenlehre. Taschenbuch f. Mathematiker und Physiker, v. 3,
69—81. 1913.
Гильберт (Hubert D.)
3. Uber den Zahlbegriff, Jahresb. D. M. V., 8, 180—184 1900
[Частично перепечатана в книге Гильберт 1899/1930, 7 изд., 1930,
стр. 241—246 (стр. 315—321 русск. перевода).]
4. Mathematische Probleme, Nachr. Gottingen, 1900, стр 253—297
(Перепечатано с некоторыми дополнениями в Archiv der Math, und
Ph, (3)1, 44—63, 213—237, 1901. На англ. яз. Bull. Α. Μ S., 8,
437—479, 1902. На франц. яз. С. R. du 2me Congr. Intern, des Math.,
Paris 1900. стр. 58—114, 1902.)
5. Uber die Grundlagen der Logik und Arithmetik, Kongr. Heidelberg
1904, стр. 174—185. 1905. (На англ. яз. The Monist, 15, 338—352,
1905. На франц. яз. L'Ens. Math., 7, 89—103. 1905) (Перепечатано
в книге Гильберт 1899/1930, 7 изд., 1930, стр. 247—261 (стр. 322—337
русск. перевода).
13. Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre, Math. Annalen, 104,
485—494. 1931.
15. Gesammelte Abhandlungen, vol III (содержит также *Бер-
найс. 11). Berlin, 1935. (Здесь перепечатана статья Тильберт, 13.)^
Гобсон (Hobs on Ε. Ν.)
1. On the general theory of transfinite numbers and order types, Proc.
of the London Math. Soc, (2) 3, 170—188. 1905.
2. The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's
series. Cambridge; vol. I (3 изд.) 1927, vol. II (2 изд.) 1926
Гонсет (GonsethF.)
4. La verite mathematique et la realite, L'Ens. Math., 31, 96—114.
1933. (Cp. Verhandl. der Schweiz Naturforsch. Gesellsch., 113, 220—
241, 1932; Scientia, 56, 313—325, 1934.)
5. Les mathematiques et la realite. Essai sur la methode axiomatique.
Paris, 1936 386 стр. (Ср. Semaine Intern Sunthese, 5, 9—44, 1934;
Revue Neo-Scolast. de Philos., 39, 169—183, 1936.)
6. Qu'est-ce que la logique? Act. Sc. Ind., № 524, Paris, 1937. 89 стр,
(Ср. ibid., N° 393, 1—23. 1936,)

480
Библиография^ к Τ
Горак (HorakJ. Μ)
1. Sur les antinomies de la theori.e des ensembles, Bull, intern de
VAcad. des Sc. de Boheme, 26, 38—4M· 1926. (Cp. Casopis, 57, 256—259.
1928.)
Γ ρ e л л и н г (G r e 11 i n g К.)
ί. Die Axiome der Arithmetik mil b*esonderer Berucksichtigung der Be-
ziehungen zur Mengenlehre, ДиссертТ-, Gottingen. 1910. 26 стр.
2. Mengenlehre. (Math.-Ph. Bibliotthek, № 58.) Leipzig und Berlin,
1924. 49 стр.
6. Identitas indiscernibilium, Erkennttnis, 6, 252—259. 1937.
Γ ρ и н в у д (G г е е η w о о d Т.)
2. Invention and description in mathematics, Proc. Ar, Soc, N. S., 30,
79—90. 1930. (Опубликовано таю*ке в Logos (на итал. яз.) 13,
95—104, 1930, и в Tijdschr. voor. Wijsbegeerte, 26, 32—44. 1932)
Гуссерль (И usserl E.)
1. Logische Untersuchungen. Τ. Ι (4 изд.) II, I (4 изд.) II, 2
(3 изд.) Halle a. s., 1928 1921. (Cp,- Vierteljahrsschrift f. wiss. Philos.,
15, 169-189, 351-356, 17, 111-12(3, 508-551, 1891/93.)
Гутри (Guthrie E. R)
1. The paradoxes of Mr. Russell wi'th a brief account of their history.
Диссертация, Univ. of Pennsylvania 1914. Lancaster, 1915. 23 стр.
(Ср. /. of Philos. etc., 13, 152—158, 3336. 1916.)
Гутцмер (Gutzmer A.)
1. Leopold Kronecker, Naturwiss. Wochenschrift, 8, 591—593. 1893.
Ц a η ж у a (D e η j о у А.)
1. Sur les extensions de continu, С #· Paris, 203, 1220—1222. 1936.
2. La part de Pempirisme dans la lcPgique mathematique, Act Sc Ind,
№ 535, 111—120. 1937.
ван Данциг (van DantzigD.)
1. Over de-elementen van het wi^kundig denken. Groningen, 1932.
15 стр. (Также в Euclides, 9, 102—1 16. 1933.)
4. Wiskunde, logica en ervaringsv^etenschappen. Studium Generale:
Syllabus... Technische Hoogeschool te Delft, 1946, стр. 71—104. (Ср.
Synthese, 5, 441—455. 1947.)
Д а с с e η (D a s s e η С. С.)
1. Reflexions sur quelques antinomies et sur la logique empiriste, Ana-
les de la Soc. Cient. Argentina, 115, 135—166, 199—232, 275—296.
1933. (Также в Anales de la Acad. flac. de Ci. Exactas, Fis. у Nat. de
Buenos Aires, 3, 39—70, 73—128, L933 и отд. книгой: Buenos Aires,
1933.)
2. Sobre una objection a la logica Brouweriana Anales de la Acad
Nac. de Ci. Exactas, Fix. у Nat. de Buenos Aires, 4, 7—20, 1939.
Дедекинд (DedekindR.)
2. Was sind und was sollen die Zahlen? (Опубликовано впервые в
1888.) 6 изд.; Braunschweig, 1930, 58 стр. На англ. яз. издано под
ред. Бемана (W. W. Beman) в книг^ R. Dedekind, Essay on the theory
of numbers (Chicago and London, 1901). Итал. изд. под ред. За-
риского (О. Zarisky): Bologna, 1920· (Русский перевод: Р. Дедекинд,
Что такое числа, и чем они должны быть; )
3. Gesammelte mathematische Werkc?· Под ред. Р. Фрикке (R. Fricke),
Э. Нётер (Е. Noether) и О. Оре (О Ore). В 3 томах. Braunschweig,
(930—1932. (В т. 3 перепечатана статья 2 ς комментариями Э. Нётер )

Библиография к Τ
481
Ден (DehnM.)
1. Raum, Zeit, Zahl bei Aristoteles vorn mathematischen Standpunki
aus, Scientia, 60, 12—21, 69—74. 1936.
Джорджи (GiorgiG.)
1. Riflessioni sui fondamenti primi della teoria degli insiemi, Pontif.
Acad. Sc. Acta, 5, 35—40. 1941.
Дийкман (Dijkman J, G)
1. Einige Satze uber mehrfach negativ-konvergente Reihen in der
intuitionistischen Mathematik, Proc Amsterdam, 49, 829—833. 1946.
Также в Indagationes Math., 8, 532—536. 1946. (Cp. 51, 681—692,
или 10, 232—243. 1948.)
Дик (D i e с k W.)
1. Die Paradoxien der Mengenlehre, Annalen der Philos, und philos.
Kritik, 5, 43—56. 1926 (Ср. Т. Schjelderup—Ebbe: ibid., 325—328.)
2. Der Widerspruch im Richtigen. Sterkrade, 1926. 153 стр.
Динглер (Dingier Η.)
1. Ub er die Bedeutung der Burali-Fortischen Antinomie fur die Wohl-
ordnungssatze der Mengenlehre. Munchen, 1911. (Ср. диссертацию
Uber wohlgeordnete Mengen etc., Munchen, 1912. 46 стр.)
2. Uber die logischen Paradoxien der Mengenlehre und eine paradoxien-
freie Mengendefinition, Jahresb. D. M. V, 22, 307—315. 1913. (Также в
Ztschr. f. positivistische Philos., 1, 143—150, 1913.) Cp ibid., 28,
138—158. 1919.
5. Der zusammenbruch der Wissenschaft und der Primat der Philo-
sophie. 2 изд. Munchen, 1931. (Cp Grundlinien einer Kritik und exakten
Theorie der Wissenschaften, insbesondere aer mathematischen. Munchen,
1907. 76 стр )
7. Philosophic der Logik and Arithmetik. Munchen, 1931. 198 стр.
Д и н з (D i e η e s P.)
2. Logic of algebra, Act Sc Ind., № 614. Paris, 1938. 77 стр.
Дрезден (Dresden Α.)
1. Brouwer's contributions to the foundations of mathematics, Bull.
A. M. S., 30, 31—40. 1924.
2. Mathematics and natural science. The Monist, 37, 120—130, 1927.
3. Some philosophical aspects of mathematics, Bull. A M. S., 34,
438—452. 1928.
4. Mathematical certainty, Scientia, 45, 369—376. 1929. (Франц перевод
ibid., Supplement, 135—141.)
Дросте (DrosteJ.)
1. De eenheid der wiskunde. Leiden, 1930. 29 стр.
Дубислав (Dubislav W.)
1. Uber das Verhaltnis der Logik zur Mathematik, Ann. der Philos.
und philos Kritik, 5, 193—208. 1926.
2. Uber die Definition. (Berlin, 1926.) 3 изд. Leipzig, 1931. (Beihefte
der «Erkenntnis», vol. 1) 160 стр (Cp Jahrb der Dissertationen der
Philos Fakultat, Berlin.., 1921—22, I А, стр. 1—4, 1926; Erkenntnis,
3. 201—203, 1933.)
3. Uber die sogenannten analytischen und synthetischen Urteile.
Berlin — Schonenberg., 1926.
12. Die Philosophic der Mathematik in der Gegenvvart, Philos. Fot-
schungsberichte, № 13 Berlin, 1932. 88 стр (Cp Ann. der Philos.
und philos. Kritik, 8, 135—145, 1929; Philos. und Schule, 2, 31—39,

4&2
Библиография к Т
1930; Unterrichtsblatter f. Math, und Naturwiss., 37, 146—152, 1931;
Recherches Philos., 1, 299—311, 1932.)
Думитриу (DumitriuA.)
1. Paradoxele logice, Bucharest, 1944, 200 стр.
Дьюи (Dewey J.)
2. The applicability of logic to existence, /. of Philos., 27, 174—179.
1930.
Д э в и с (D a v i s Η. Τ.)
1. A survey of the problem of mathematical truth. Введение (30 стр.)
к книге Н. v. Helmholtz [Гельмгольц]: Counting and Measuring,
New York, 1930.
Дюкасс (DucasseC. J.)
1. Symbols, signs, and signals, /. S. L., 4, 41—52. 1939.
Д ю ρ ρ (D u г г К.)
3. Die Bedeutung der Negation, Grundzuge der empirischen Logik,
Erkenntnis, 5, 205—227. 1935.
Журдэн (J ou r d ai η P. Ε. Β.)
1. On the general theory of functions, /. f. Math., 128, 169—210. 1905.
(Cp. Messenger of Math., (2) 33, стр. 78. 1903.)
la. On the transfinite cardinal number of wellordered aggregates,
Philos. Mag., (6) 7, 61—75. 1904.
3. De infinito in mathematica, Revista de Mat., 8, 121 — 136, 1906.
(Cp. Proc. of the London Math. Soc, (2) 4, 266—283, 1907; The Mo-
nist, 20, 93—118, 1910; Quarterly J. of p. and appl. Math., 41, 324—352,
1910; 43, 219—314, 1912; 44, 113—128, 1913; Scientia, 21, 1—12, и на
франц. яз. supplement, 3—15, 1917.)
6. The philosophy of Mr. Bertrand Russell, with an appendix of leading
passages from certain other works. London, 1918, 96 стр. (Основная
часть опубликована ранее в The Monist, 21, 481—508, 1911; 26,
24—62, 1916.)
10. A proof that any aggregate can be well-ordered. Acta Math., 43,
239—261, 1922. (Cp. Math. Annalen, 60, 465—470, 1905, Mind, N. S.,
27, 386—388; 28, 382—384, 1918/19.)
Завирский (ZawirskiZ. (S.))
1. Les logiques nouvelles et le champ de leur application, R. Μ Μ.,
39, 503—519. L932. (Ср. Act. Sc. Ind., № 535, 82—87. 1937.)
Заремба (ZarembaS.)
2. La logique des mathematiques. (Memorial des Sc. Math., № 15.)
Paris, 1926. 52 стр.
Зегельберг (SegelbergJ.)
1. Bemerkungen zu einigen logischen Paradoxien, Theoria, 9, 157—162.
1943.
фон Зеккендорф (von SeckendorffV.)
1. Beweis des Induktionsschlusses der naturlichen Zahlen auf der De-
dekindschen Definition endlicher Mengen, Sitz. der Berliner Math. Ge*
sellschaft, 36, 16—24. 1937.
Ингрэм (IngrahamM. Η.)
1. Certain limitations of the value of the complete independence of a
set of postulates. Bull. A. M. S., 29, 199—200. 1923.

Библиография к Τ
483
Йоргенсен (J 0 r g e n s e n J)
1. A treatise of formal logic. Its evolution and main branches, with
its relations to mathematics and philosophy. 3 vols. Copenhagen &
London, 1931. 266 + 273 + 321 стр.
3. Remarques sur les principales implications metaphysiques des
theories et des idees recentes de la physique, R. Μ. M., 39, 323—351. 1932.
5. Traek af deduktionsteoriens udvikling i den nyere tid. Copenhagen,
Г937. 117 стр.
6. Intervention, Les Entretiens de Zurich, стр. 181—184. 1941.
К а в а й e (C a v a i 11 ё s J.)
1. Sur la deuxieme definition des ensembles finis donnee par Dedekind,
Fund Math., 19, 143—148. 1932.
2. Reflexions sur le fondement des mathematiques. Act. Sc. Ind.,
№ 535, стр. 136—139. 1937.
3. Remarques sur la formation de la theorie abstraite des ensembles,
Etude historique et critique. (Диссертация.) Paris, 1938. 156 стр.
Кайла (К a i 1 a E.)
2. Probleme der Deduktion, Annates Univ. Fennicae Aboensis, 4, № 2,
ABO, 1928, 86 стр. (Ср. Theoria, 11, 99—125. 1945.)/
Кальмар (К а 1 m a r L)
5. Uber einen Lowenheimschen Satz, Acta Szeged, 7, 112—121 1935
7. Zuruckfuhrung des Entscheidungsproblems auf den Fall von Formeln
mit einer einzigen, binaren, Funktionsvariablen, Compositio Math.f 4,
137—144. 1936. (Cp. Kongr. Zurich 1932, Zurich. 1932. vol. II, 337—338.
1933.)
Камке (К a m k e Ε.)
2. Zur Definition der affeinen Abbildung, Jahresb. D. M. V., 36,
145—156. 1927.
3. Mengenlehre. (Sammlung Goschen № 999.) Berlin & Leipzig, 1928.
160 стр., 2 изд., 1947. Англ .изд. New York, 1950. 144 стр.
Карнап (CarnapR.)
3. Eigentliche und uneigentliche Begriffe. Symposion, 1, 355—374.
1927.
7. Die alte und die neue Logik. Erkenntnis, 1, 12—26. 1931 — на
ранц. яз: Act. Sc. Ind. № 76. Paris, 1933. (Cp. Forschungen und
ortschritte, 7, 183—184, 1931; Erkenntnis, 2, 219—241, 432—465, 1932.)
18. Testability and meaning, Philos. of Sc, 3, 419—471; 4, 1—40,
1936/37.
Карнап — Бахман (Carnap R., Bachmann F.)
1. Uber Extremalaxiome, Erkenntnis, 6, 166—188. 1936.
Кар ρ и (Си rry Η. Β.)
2. Grundlagen der kombinatorischen Logik, I, II, Am. J. of Math. 52,
509—536, 789—834. 1930. (Cp. ibid., 54, 551—558, 1932.) Также в виде
диссертации: Gottingen, 1930.
Картан (Cartan Henri)
1. Sur le fondement logique des mathematiques, Revue Scientif., 81,
3—11. 1943.
Каслин (ChaslinP.)
1. Essai sur le mecanisme psychologique des operations de la mathe-
matique pure. Paris, 1926. (Cp. Scientia, 29, 111—120, 1921.)
ί

484
Библиография к Τ
К а с с и н а (С a s s i n a U.)
2. Paradoxo mathemalico, Schola et vita, 7, 40—4J. 1931/32.
Кассирер (CassirerE.)
4. Philosophie der symbolischen Formen, III Teil: Phanomenologie der
Erkenntnis. Berlin, 1929.
Катцов (Kattsof f L.)
1. Concerning the validity of Aristotelian logic, Philos. of Sc, 1, 149—
162. 1934. (Cp. P. Henle and Η. Β. Smith: ibid., 2, 111—114. 1935.)
4. Modality and probability, Philos Review, 46, 78—85. 1937.
Каульбах (Kaulbach F.)
1. Zur Logik und Kategorienlehre der mathematischen Gegenstande.
Диссерт. Erlangen. 1937. 162 стр.
Кауфман (KaufmannF.)
1. Das Unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung Eine
Untersuchung tiber die Grundlagen der Mathematik. Leipzig & Wien,
1930. 203 стр. (Ср. Ε. N a ge 1 [Нагел]· /. of Philos , 29, 401—406. 1932.)
2. Bemerkungen zum Grundlagenstreit in Logik und Mathematik,
Erkenntnis, 2, 262—290. 1931. ~~
4. Uber den Begriff des Formalen in Logik und Mathematik, Act. Sc.
Ind., № 535, 128—135. 1937.
Кемпнер (Kempner A J.)
2. Remarks on «unsolvable problems», Am. Math. Monthly, 43, 467—
473. 1936.
Кёниг И. (Κ δ η i яг J )
2. Uber die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem,
Math. Annalen, 61, 156—160. 1905. (Ср. А. С Dixon [Диксон] and
E. W. Hobson [Хобсон]· Proc. of the London Math Sac, (2) 4, 18—20,
21—28, 317—319. 1906)
5. Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre (под ред.
Д. Кёнига (D. Konig)) Leipzig, 1914, 259 стр
Клейн-Бармен (Klein-Barmen F.)
1. Einige distributive Svsteme in Mathematik und Logik, Jahresb.
D. M. V., 38, 35—40. 1929.
Кнастер —Куратовский (Knaster В., Kuratowski С.)
1. Sur les ensembles connexes, Fund. Math, 2, 206—255. 1921.
К о з н е в с к и й — Линде и баум (Kozniewski Α., Lindenbaum A )
1. Sur les operations d'addition et de multiplication dans les classes
d'ensembles, Fund. Math, 15, 342—355. 1930.
Кой ρ e (Koyre A.)
1. The liar. Philosophy and phenomen, Research, 6, 344—362. 1946.
(Cp. R. Μ. Μ., 20, 722—724, 1912; Act. Sc. Ind., № 1021, 1947, 42 стр )
См. Υ Bar-Hillel [Бар-Хилел]· tbrJ, 8, 245—253 1947
Коллингвуд (С о 11 i n g wood R. G.)
1. An essay on philosophical method Oxford, 1933.
Комбебьяк (CombebiacR. G.)
1. Sur les elements de la theorie des ensembles ordonnes, L'Ens. Math.,
8, 201—203, 1906.
Кондо (К on do Μ.)
1. Sur Phypothese de M. R. Knaster dans la theorie des ensembles de
points, /. of the Faculty of Sc. Hokkaido Univ., Ser. I, 6, 1—20, 1937.

Библиография к Τ
485
Коржибский (KorzybskiA.)
ί. Science and sanity. An introduction to non-Aristotelian systems and
general semantics, Lancaster, Pa., 1933. 798 стр. 3 изд. 1948. (Ср.
J. С. Trainor [Трайнор]: Psyche, 16, 165—177. 1936.)
Корсельт (KorseltA.)
2. Uber mathematische Erkenntnis, Jahresb. D. M. V., 20, 364—380.
1911. (Cp. ibid., 12, 402—407, 1903; 17, 98—124, 1908; Archiv der
Math, und Ph., (3) 21, 371—373, 1913 )
4. Auflosung einiger Paradoxien, Jahresb. D. M. V., 25, 132—138. 1917.
Крулль (К r u 11 W.)
1. Algebraische Theorie der Ringe I, Math. Annalen, 88, 80—122. 1923.
Куайн (Quine W. V. O.)
12. Truth by convention, Philosophical Essays for A. N. Whitehead
(New York, 1936), стр. 90—124.
17. Logic based on inclusion and abstraction, /. S. L, 2, 145—152.
1937.
23. Russell's paradox and others, Technology Review, 44, 16—17. 1941.
29. On ordered pairs, /. S. L., 10, 95—96. 1945. (Cp. ibid., 11, 71—72.
1946.)
Kypena (Kurepa G.)
2. Ensembles ordonnes et ramifies, Publications Math, de I'Univ. de
Belgrade, 4, 1 —138 1935. Также в виде диссертации, Univ de Paris
(Ср. ibid, 6/7, 129—160, 1938; С. R. Paris, 202, 185—187, 1936; Studia
Math., 9, 23—42, 1940; Ada Math., 75, 139—150, 1943 )
Ламуш (Lamouche A)
1. Essai sur la methode des sciences. Revue Philosophique, 108, 48-—
104. 1929.
Лангер (L anger Susanne K·)
1. Confusion of symbols and confusion of logical types, Mind, N. S.,
35, 222—229. 1926.
Ларгье (L a r g u i e r Ε Η., S. J.)
1. Brouwerian philosophy of mathematics, Scr. Math., 7, 69—78 1940.
(Cp. Though [New York], 12, 225—240. 1937.)
Лаутман (LautmanA.)
4. Nouvelles recherches sur la structure dialectique des mathematiques.
(Act. Sc Ind., № 804.) Paris, 1939. 32 стр.
Л а флёр (L a f 1 e u r L. J.)
1. Mathematical antinomies, The Monist, 40, 526—534. 1930.
Лебег (Lebesque Η.)
2. LeQons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives,
Paris, 1904. (2 изд. 1928.) [Русский перевод со 2 изд.: Лебег Α.,
Интегрирование и отыскание примитивных функций, М., 1934, 321 стр.]
4. Sur certaines demonstrations d'existence, Bull de la Soc. Math, de
France, 45, 132—144. 1917. (Cp. Fund'. Math., 2, 259—260, 1921; Bull,
des Sc. Math., (2) 46, Ire Partie, стр. 48, 1922 )
5. Remarques sur les theories de la mesure et de l'integration, Annates
Scientif. de VEcole Normale Sup., (3) 35, 191—250. 1918.
Л ев и Б. (Levi Beppo)
1. Intorno alia teoria degli aggregati. R. Instituto Lombardo di Sc. e.
Lettere, Rendiconti, (2) 35, 863—868, 1902. (Cp. F. Berhstein [Бер-
штейн]: Nachr. Gottingen, 1904, 557—560.)y

486
Библиография к Τ
2. Antinomie logiche? Annali di Mat. p. ed appl., (3) 15, 187—261. 1908.
6. Nota di logica matematica, R. 1st. Lomb. di Sc. в Lettere, Rendic,
(2) 66, 239—252. 1933. (Ср. статью Considerazioni sulle esigenze
logiche della nozione del reale e sul principio delle infinite scelte Atti
deil'VIII Congr. di Filos., Roma 1933. 1934. 11 стр.)
7. La nozione di «dominio deduttivo» e la sua importanza in taluni
argomenti relativi ai fondamenti delPanalisi, Fund. Math., 23, 63—74.
1934. (Cp. S. Minetti [Минетти]: Kongr. Zurich 1932, vol II, 68—69
1933)
8. A proposito del infinito e delle sue antinomie, Atti della Soc. Hal.
per il Progr. delle Sc, Riun XXIV, vol. V, 363—367. 1936.
ЛевиП. (Levy P.)
1. Sur le principe du tiers exclu et sur les theoremes non susceptibles
de demonstration, R. Μ M.t 33, 253—258. 1926.
2. Critique de la logique empirique, Reponse a M Rolin Wavre, ibid.,
545—551.
4. Le raisonnement et Pexperience dans les fondements des mathema-
tiques, Scientia, 47, 325—334. 1930.
5. Les paradoxes de la theorie des ensembles infinis, Recherches Philos.,
6. 204—219. 1937. (Ср. статью «Axiome de Zermelo et noinbres trans-
finis», An.. Scient. de VEcole Norm. Sup., (3) 67, 15—49. 1950.)
Лесневский (Lesniewski S.)
3. Uber die Grundlagen der Ontologie, С R. Varsovie, 23, 111—132.
1930. Ср. цитируемые в этой работе статьи на польском яз.
Л ёв и Г. (L о w у Н.)
1. Die Krisis in der Mathematik und ihre philosophische Bedeutung,
Naturwissenschaften, 14, 706—708. 1926.
Л и п пс (L i p ρ s H.)
2. Bemerkungen zu der Paradoxic des «Lugners». Kant-Studient 28,
335—339. 1923.
4. Untersuchungen zur Phanomenologie der Erkenntnis. 2 Teil. Bonn,
1928.
Литтлвуд (LittlewoodJ. Ε.)
1. The elements of the theory of real functions. 2 изд., Cambridge,
1926. 60 стр.
2. Mathematical notes. I. On transfinite cardinals, /. of the London
Math. Soc, 1, 193—194. 1926.
Литцман (Lietzmann W.)
2. Formalismus und Intuitionismus in der Mathematik, Ztschr. f. math,
und naturwiss. Unterricht, 56, 355—358. 1925.
Лихтенштейн (Lichtenstein L)
1. La philosophie des mathematiques selon M. Emile Meyerson, Revue
Philosophique, 113, 169—206. 1932. (Cp. Erkenntnis, 3, 429—431. 1933)
де Л о о ρ (de L о о г В.)
1. Die hoofstelling van die algebra van intuisionistise standpunt,
Диссерт., Amsterdam. Amsterdam, s. a. (1925). 63 стр. См. также
*Брауэр, 15.
Лохер (LocherL.)
1. Die Finslerschen Arbeiten zur Grundlegung der Mathematik, Com-
mentarii Math. Helvetia, 10, 206—207. 1938.

Библиография к Τ
487
Л узин Η. Η. (Lusin N.)
4. Analogie entre les ensembles mesurables В et les ensembles analyti-
ques, Fund. Math., 16, 48—76. 1930.
5. Legons sur les ensembles analytiques et leurs application
(Collection Borel.), Paris, 1930 328 стр. (Русский перевод под ред.
Келдыш Л. В. и Новикова П. С.; Лузин Η. Η., Лекции об
аналитических множествах и их приложениях, ГИТТЛ, М., 1953, 359 стр.)
7. Sur les classes des constituantes des complementaires analytiques,
Annali della Scuola Norm. Sup. Pisa, (2), 2, 269—282. 1933.
8. Sur les suites stationnaires, Act. Sc. Ind., № 149, Paris, 1934.
10. Sur les ensembles analytiques nuls, Fund. Math., 25, 109—131.
1935 (Cp. W. Sierpinski: ibid., 132—135.)
11. О частях натурального ряда, Доклады АН СССР, Нов. серия, 40,
175—178. 1943. (Ср. Известия АН СССР, Серия мат., И, 403—410.
1947.)
Лукасевич (Lukasiewicz J.)
3. Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aus-
sagenkalktils, C. R. Varsovie, 23, 51—77. 1930. (Ср. заметки,
написанные ранее на польск. яз.: Ruch Filoz. [Lwow], 5, 169—171, 1920;
Przege. Fit, 23, 189—205, 1921.)
Лукасевич — Тарский (Lukasiewicz J., Tarski A.)
1. Untersuchungen uber den Aussagenkalkul, C. R. Varsovie, 23, 30—50.
1930. (Cp. Tarski [Тарский]: Monatshefte Math. Ph., 38, 24—25. 1931.)
Лэнгфорд (LangfordC. Η.)
3. Some theorems on deducibility, Annals of Math., (2) 28, 16—40,
459—471. 1927.
9. Concerning logical principles, Bull A M. S., 34, 573—582. 1928.
Мак-Ивер (MacIverA. M.)
1. More about some old logical puzzles, Analysis, 6, 63—68. 1939.
Μ а к - К и н с и (М с К i n s e у J. С. С.)
13. On the number of complete extensions of the Lewis systems of
sentential calculus, /. S. L, 9, 42—45 1944.
Мало (Μ ah 1 о Р.)
1. Uber lineare transfinite Mengen, Ber. Leipzig, 63, 187—225, 1911.
(Cp. ibid, 319—347.)
2. Zur Theorie und Anwendung der p0-Zahlen, ibid., 64, 108—112; 65,
268—282. 1912/13.
Μ а ни а (М a n i a B.)
2. II pensiero scientifico di fronte al problema del infinito, Atti della
Soc. Ital. per il Progr. delle Sc, Riun. XXIV, vol. V, 352—361. (Cp.
Act. Sc. Ind., № 393, 51—57. 1936.)
Маннури (MannouryG.)
1. Methodologisches und Philosophisches zur Elemerttarmathematik,
Haarlem, 1909. 276 стр.
3. Woord en gedachte, Een inleiding tot de signifika, inzonderheid met
het oog op het onderwijs in de wiskunde, Groningen, 1931. Также в
Euclides, 7, 1—61, 1931. (Ср. статью «De signifiese methode van tall-
en begrippenonderzoek» B: «De uitdrukkingswitze der Wetenschap»
[под ред. X. И. Поса (Η. J. Pos.), Groningen — Batavia, 1933, 15 стр.;
G. A. de Laguna [Лагуна]: Speech: its function and development,
London, 1927].)
6. La guestienvitale «A ou θ», N. Archie] voor Wiskunde, (2), 21,
161-167, 1943.

488
Библиография к Τ
Мацумото (Matsumoto Т.)
1. On paradoxes and definitions, Memoirs of the College of Sc., Kyoto
Imp Uniu , A 11, 367—373. 1928.
Μ ей ер (Μ ey e r J.)
1. Over de geldigheid van het beginsel van het uitgesloten derde,
Alg. Ned. Tijdschrift v. Wijsbegeerte etc., 21, 1—29, 1927.
Менгер (MengerK.)
1. Bericht uber die Dimensionstheorie, Jahresb. D M. V, 35, 113—150.
1926. (Cp. ibid., 36, 8—12 ital. 1927 )
9. Die neue Logik, Krise und Neuaufbau in den exakten Wissensch.
(Leipzig — Wien, 1933), стр. 93—122; на англ. яз.: Phylos. of Sc, vol.
4, 299—336; 1937; на исп. яз.: Teoria, № 7, 1936.
Моррис (MorissC. W.)
1. Has Russell passed the Tortoise? /. of Philos., 26, 449—459, 1929.
(Cp. H. B. Smith [Смит]: ibid., 24, 36—38 1927.)
3. Foundations of the theory of signs. (Int. Enc Un. Sc, 1, № 2)
Chicago, 1938, 59 стр. (Ср. С J. Ducasse [Дюкасс]: Philosophy and
Phenomenol. Research, 3, 43—52, 1942; а также книгу Morriss С. W.
[Моррис], Signs, langauge, and behavior, New York, 1946, 356 стр.
Итал. изд., 1948)
My ρ P. Л. (Moore R. L.)
1. Foundations of point set theory (A. S Μ Colloq Public, vol. 13),
New York, 1932. 486 стр.
Мур Э. Г. (Moore Ε. Η.)
1. Introduction to a form of general analysis. (Перепечатано из The
New Haven Math. Colloquim) New Haven, 1910. 150 стр..
Нагель (Ν a g e 1 Ε.)
2. Measurement, Erkenntnis, 2, 313—333, 334—335, 1931 (Ср. частное
изд. (Диссерт., Coloumbia Univ.) On the logic of measurement. New
York, 1930.)
6. Logic without ontology, Naturalism and the Human Spirit (под
ред. И. Г. Крикоряна (Υ. Η. Krikorian), New York, 1944),
стр. 210—241.
фон Нейман (von NeumannJ)
5. Ein System algebraisch unabhangiger Zahlen, Math. Annalen, 99,
134—141. 1928.
НётерЭ. (Ν oe t h e r Emmy)
1. Die allgemeinsten Bereiche aus ganzen transzendenten Zahlen,
Math. Annalen, 77, 103—128. 1916.
2. Die Funktionalgleichungen der isomorphen Abbildung, ibid., 536—545.
Нинк (Ν ink С.)
1. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Ein philosophischer Beitrag
zur Grundlagenkrise der Mathematik, Scholastik, 12, 552—558, 1937.
НортропЭ.П. (Northrop Ε. P.)
1. Riddles in mathematics. A book of paradoxes, New York, 1944.
262 стр. —London, 1945, 242 стр.
Ойконому (Οικονομν Αριστοτεληε)
1. At άντινομιαι εις χα νεώτερα μαθηματικά Bull de la Soc Math de
Grece, 7, 67—80. 1926. (Cp. S. Muller — Dikonomou. ibid t 21, 67—103.
1941./

Библиография к Τ
489
Орлов И. Е.
1. Исчисление совместности предложений, Мат. сборник, 35, 263—286,
1928. (Ср. резюме на франц. яз. Sur la theorie de la compatibilitedes
propositions, там же, стр. 286. В англ. издании цитируется именно
резюме.—Прим. перев.)
ван О с (van О s С. Н.)
1. De crisis der logica, Synthese, 3, 314—336. 1938.
Π а до a (P a d о a A.)
1. Un nouveau systeme irreductible de postulats pour l'algebre, С R.
du 2me Congr. Intern, des Math.. Paris 1900, стр. 249—256. 1902.
Панкаджам (Pankajam S., Miss)
3. On the formal structure of the propositional calculus I and II,
J of the Indian Math Soc, N S., 5, 49—51; 6, 51—62, 102 1941/42.
Паш (Pasch M.)
1. Vorlesungen uber neuere Geometrie, Leipzig, 1982, — Новое
издание с дополнением М. Дена (Μ. Dehn): Die Grundlegung der
Geometrie in historischer Entwicklung, Berlin, 1926. 275 стр.
3. Die axiomatische Methode in der neueren Mathematik, Ann der
Philos. und philos. Kritik, 5, 241—274. 1926. 275 стр.
4. Mathematik am Ursprung, Gesammelte Abhandlungen uber Grund-
fragen der Mathematik. Leipzig, 1927, 149 стр. (Содержит также 3.)
5. Der Ursprung des Zahlbegriffs, Новое изд.: Berlin, 1930, 50 стр.
Π e а н о (Ρ e a n о G.)
2. Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles ordi-
naires Math Annalen, 37, 182—228, 1890. (Cp. D van Dantzig
[Данциг!: Proc Amsterdam, 45, 367—373. 1942.)
5. Les definitions mathematiques, Bibliotheque du Congres Intern, de
Philosophie, Paris 1900, vol. Ill (Paris, 1903), стр 279—288.
(Ср. Bolletino delta «Mathesis», N. S., 7, 106—120, 1915; Periodico di
Mat, 1, 175—189, 1921; W. Wilkosz [Уилкаш]: Ann. de la Soc. Polon.
de Math, 16, 176—178. 1939.)
Перельман (Perelman C.)
3. L'equivalence, la definition et la solution du paradoxe de Russell,
UEns. Math., 36, 350—356. 1938.
Пирпонт (Pierpont J.)
2. Mathematical rigor, past and present, Bull. A. M. S., 34, 23—53.
1928 (Исп перевод: Revista Mat. Hisp. — Am., (2), 3, 181—192,
208—216. 1928.)
Пирс (Peirce С S.)
2. Collected Papers. Под редакцией Хартшорна Ч. (С. Hartshorne) и
П. Вейсса (P. Weiss). И—IV, Cambridge Mass., 1932—33, 535+433 +
+ 601 стр. (Ср. рецензии: R. В. Braithwaite [Брейтуэйт]: Mind, N S,
43, 487—511, 1934, С. J. Keyser [Кейсер]: Scr. Math., 3, 11—37 1935,
ср. Ε Lasker [Ласкер]: ibid., 247—249; Ρ Weiss [Вейсс]: /. of Philos.,
37, 253—264, 1940; J. Feibleman [Фейблеман]: An introduction to
Peirce's philosophy interpreted as a system [New York—London, 1946],
стр. 81—143.)
Пихлер (Pichler Η.)
1. Vom Wesen der Erkenntnis, Erfurt, 1926.
Пресбургер (Presburger M.)
1. Uber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Operation her-
vortritt, С R. du I Congr. des Math, des Pays Slaves, Warszawa
1929, стр. 92—101, 395. 1930.

490
Библиография к Τ
Прюфер (Prufer H.)
1. Theorie der Abelschen Gruppen. I. Math. Ztschr., 20, 165—187. 1924.
Пуанкаре (Poincare H.)
2. La science et l'hypothese. Paris (1903). 40me mille (Biblioth de
Philos. Scient.), 1925. — Англ. изд., 1905. — Нем. изд. (Wissenschaft
und Hypothese, vol. 1), 2 изд., Leipzig, 1906. 346 стр. (Русский
перевод: А. Пуанкаре Наука и гипотеза, Спб., 1906.)
3. Reflexions sur les deux notes precedentes, Acta Math, 32, 195—200.
1909.
4. Uber transfinite Zahlen, Sechs Vortrage uber ausgewahlte Gegen-
stande aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik
(Leipzig & Berlin, 1910), стр. 43—48.
5. Science et methode, Paris, 1908. 311 стр. Англ. изд. (в частности,.
2 и 5) в книге The foundations of science, New York, 1913. 553 стр.
Нем. изд. (Wissenschaft und Hypothese, vol. 17), Leipzig—Berlin, 1914.
Русское изд. Наука и метод, Одесса, 1910. Польск. изд., 1911.
Радо (Rado R.)
1. Bemerkungen zur Kombinatorik im Anschluss an Untersuchungerc
von Herrn D. Konig. Sitz. der Berliner Math. Gesellschaft, 32, 60—75.
1933 (Cp. ibid., 589—596; Proc. London M. S., (2) 48, 122—160, 1943.))
Рамсей (Ramsey F. P.)
1. Universals, Mind. N. S., 34, 401—417, 1925. (Ср. Н. W. Joseph-
[Джозеф], F. P. Ramsey [Рамсей], R. B. Braithwaite [Брей-
туэйт]: Aristot. Soc. Suppl., 6, 1—38 (1926).
2. The foundations of mathematics. Proc. of the London Math Soc,
(2) 25, 338—384, 1926
3. Mathematical logic, Math. Gazette, 13, 185—194. 1927. (Cp. The
Encycl. Britannica, 13 изд., vol. 2 of the suppl. vols [London — New-
York, 1926], стр. 830—832; ibid., 14 изд., London - New York, 1929
vol. 15, 82—84; vol. 19, 678—679.)
4. On a problem of formal logic, Proc. of the London Math Soc.,.
(2) 30, 264—286. 1929.
5. The foundations of mathematics and other logical essays. Под ред.
P. Б. Брейтуэйта (R. В. Braithwaite). New York & London, 1931.
(Содержит 1—4, Рамсей — Мур, 1 и посмертно опубликованные статьи;
«Theories» и «General propositions and causality».) Переиздано, 1950.
Рассел (Russell Bertrand)
2. On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order
types, Proc. of the London Math. Soc, (2) 4, 29—53. 1906.
5. Introduction to mathematical philosophy, London — New York, 1919.
206 стр., 2 изд., 1920 6 переиздание 1948. Нем. изд., 1923 Франц
изд., 1928. Исп. изд., 1945 (ср. статьи: The existential import of
propositions, Mind, N S, 14, 398—401. 1905 On denoting, ibid., 479—493;
Sur la relation des mathematiques a la logistique, R. Μ. Μ, 13,,
1906—1916, 1905; The theory of implication, Am J of Math, 28,
159—202, 1906; Les paradoxes de la logique, R. Μ. Μ., 14, 627—650.
1906 [cd. Mind, N. S., 15, 143, 1906], «It» and «imply», a reply to Mr
MacColl. Mind, N. S., 17, 300—301, 1908; Some explanations in reply
to Mr Bradley, ibid., 19, 373—378, 1910; The study of mathematics,
New Quarterly, november 1907, cp. Russell Philosophical Essays,
London, 1910, стр. 71—86; L'importance philosophique de la logistique,.
R. Μ. Μ., 19, 281—291, 1911 (На англ. яз. в The Monist, 23, 481—493r
1913, Knowledge by acqaintance and knowledge by description Proc.
Ar. Soc, N. S., 11, 108—128, 1911; Repotise a M. Koyre, R. M. M.t 20,

Библиография к Τ
491
725—726; 1912; On propositions, what they are and how they mean,
Aristot. Soc, Suppl. vol. 2, 1—43, 1919.)
10. (Рецензия на *Рамсей, 5.) Mind, N. S., 40, 476—482. 1931. (См.
также Philosophy, 7, 84—86. 1932.)
12. The limits of empirism. Proc. Ar. Soc, N. S., 36, 131—150. 1936.
(На шведск. яз.: Theoria, 2, 107—127. 1936.)
Ребек (Rebec G.)
1. Zu den Antinomien zurtick, Logos (нем.), 21, 195—219. 1932.
Рейзер (Reiser О. L.)
1. Non-Aristotelian logics, The Monist, 45, 100—117. 1935.
2. Modern science and non-Aristotelian logic, ibid., 46, 299—317. 1936
(Cp. Scientia, 61, 137—150, Suppl, 57—69, 1937; Philos. Review, 49,
662—672, 1940.);
Ρ e й μ о н Ант. (R е у m о η d Antoinette)
1. Points de contact entre la logique stoi'cienne et la logique Russel-
lienne, Act. Sc. Ind, No. 395, 20—23. 1936. (Cp. Arnold Reymond:
Revue de Thiol, et de Philos , N. S., 17, 161—171. 1929 )
Реймон Ар η. (Reymond Arnold)
2. L'axiomatique logique et le principe du tiers exclu. (Discussion de
L. Brunschvicg, R. Lenoir, P. Levy.) Bull, de la Soc. Francaise de
Philos., 27, 1—23. 1927. (Cp. Revue de Theol. et de philos., N. S, 15,
309—312. 1927.)
4. Les principes de la logique et la critique contemporaine (Biblioth.
de la Revue des Cours et Conferences.), Paris, 1932. 277 стр. ((>р.
Kongr. Zurich 1932, vol. II, 347—349 1933.)
5. La negation et le principe du tiers exclu, Act. Sc. Ind., № 393,
62—68. 1936. (Cp. Antoinette Virieux-Reymond [Вирье-Реймон]: Revue
de Theol. et de Philos., N. S., 28, 134—136. 1940.)
PefixeH6ax(Reichenbach H.)
5. Philosophic foundations of quantum mechanics. Berkley and Los
Angeles, 1944. 182 стр. (Ср. Ε. N a gel [Нагель] und Reichenbach
[Рейхенбах]: /. of Philos., 42, 437—444; 43, 239—247,247—250. 1945/46)
Ривье (Rivier W.)
1. A propos du principe du tiers exclu. Emprisme et idealisme dans les
mathematiques, Revue de Theol. et de Philos., N. S., 13, 215—221.1925.
(Cp. J. Larguier des Bancels [де Бансель]: ibid., 14, 120—124. 1926.)
Ринч (Wrinch Dorothy M.)
5. On mediate cardinals, Am J. of Math., 45, 87—92. 1923.
Ришар (Richard J.)
2. Sur un paradoxe de la theorie des ensembles sur l'axiome de Zer-
melo, UEns. Math., 9, 94—98. 1907. (Cp. ibid., 39—44.)
4. Sur l'axiome de Zermelo, Bull, des Sc. Math., (2) 53, 106—109. 1929.
Ρ ο ccep (R о s s e r J. B.)
12. The Burali-Forti paradox, Λ S. L., 7, 1—17, 1942.
Ружье (Rougier L.)
2. La philosophic geometrique de Henri Poincare (Biblioth. de Philos.
Contemp.), Paris, 1920.
Саарнио (Saarnio U.)
2. Zur heterologischen Paradoxic, Theoria, 3, 38—56. 1937. (Cp.
W. V. Quine [Куайн]: /. 5. L, 2, 138. 1937.) (Статья в Ajatus, Ιό,
236—261. 1945, основана на ошибке.)

492
Библиография к 7
Самуэль (Samuel О.)
1. Uber diskursive Sophismen, Ztschr. f. Philos. und philos. Kritik, 147,
185—222. 1912.
Серп и некий (Sierpinski W.)
4. Sur la notion d'isomorphisme des ensembles. Fund. Math, 3,
50—51. 1922.
7. Sur une decomposition d'ensembles, Monatsh Math. Ph., 35,
239—242, 1928. (Cp. Annates de la Soc. Pahm. de Math., 7, 265—266,
1929; Fund. Math., 28, 115—119. 1937; Mathematica Clu\, 14, 15—17,
1938; A. Tarski: Fund. Math., 12, 188—205; 14, 205—215, 1928/29;
*Эрдёш — Тарский, 1.)
13. Sur un theoreme de recouvrement dans la theorie generale des
ensembles, Fund. Math., 20, 214—220. 1933.
15. Un exemple effectif d'un ensemble denombrable de nombres reels
qui n'est pas effectivement enumerable, Fund. Math., 21, 46—47. 1933.
17. Sur les ensembles partout de deuxieme categorie, Fund Math., 22,
1—3. 1934.
26. Sur une proposition equivalente a l'axiome du choix, Adas de la
Acad. Nac. de CI. exactas etc. de Lima, 11, 111—112. 1946. (Cp.
Rendic Lincei, (8) 3, 216—217 1947.)
29. Sur une proposition qui entraine l'existence des ensembles non
mesurables, Fund. Math., 34, 157—162. 1946/47.
Сколем (Skolem T.)
1. Untersuchungen uber die Axiome des Klassenkalkiils und uber Pro-
duktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von
Aussagen betreffen, Skrifter utgit av Videnskapsselskapet i Kristiania,
I. Mat.— Nat. Kl. 1919, № 3, стр. 1—37. 1919. (Ср. Avh. utgit av Det
Norske Vid. — Ak. i Oslo, I. 1935, № 8, 1—10, 1936; также "Клейн-
Бармен, 1.)
4. Begrundung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende
Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veranderlichen mit unend-
lichem Ausdehnungsbereich. Skrifter utgit av Vid — Selsk i
Kristiania, I, 1923, № 6, стр. 1—38, 1923. (Ср. на норвежек, яз.: Norsk Mat,
Tidsskr., 28, 1 — 12, 1946.)
5. Ein Verfahren zu beliebig angenaherter Bestimmung einer Wurzel
einer beliebigen algebraischen Gleichung, Norsk Mat. Forenings
Skrifter, Ser. 1, № 15, 1924, 14 стр.
9. Uber die Grundlagendiskussionen in der Mathematik, С R. Du
7me Congres des Mathematiciens Scandin., Oslo, 1929, стр. 3—21, 1930.
(Ср. на норвежек, яз.: Norsk Mat. Tidsskrift, 8, 1—13; 16, 75—92.
1926/34 )
10. Uber einige Satzfunktionen in der Arithmetik, Skr. Norske Vid. ·—
Akad. i Oslo, I. 1930, № 7, 1—28. 1931.
15. Ein Satz uber Zahlausdrucke, Acta Szeged, 7, 193—199. 1935.
Скорца Драгони (S с о r ζ a Dragoni G.)
1. Sul princio di approssimazione nella teoria degli insiemi e sulla
quasi continuita delle funzioni misurabili, Rendic. Semin Mat. Roma,
(4) 1, 53—58. 1936.
Смит (Smith Η. Β.)
2. On the construction of a non-Aritstotelian logic, The Monist, 28,
465—471. 1918. (Cp. /. of Philos. etc., 15, 453—458, 1918; 16, 379—383,
522—523, 1919; 21, 631—633, 1924; Am J. of Psychol., 29y 431—434,
1918; The Monist, 31, 304—309, 1921).
3. Non-Aristotelian logic, Philadelphia, 1919. 40 стр.

Библиография к Τ
493
7. The theory of mulitple implication and its application to the
generalized problem of Epimenides, Bull. A. M. S., 35, 60—06, 1929. (Cp.
/. of Philos., 26, 182—185; 28, 296—297, 1929/31; P. Henle: Philos.
of Sc, 2, 111—113, Η. Β. Switch [Свитч]: ibid, 113—114, 1935.)
С τ а д и (Study Ε.)
3. Die angeblichen Antinomien der Mengenlehre, Sitz. Berlin 1929.
255—267.
Стоун (Stone Μ. Η.)
4. The theory of representations for Boolean algebras, Tr. A. M. S., 40,
37—111, 1936. (Cp. Fund. Math., 29, 223—303, 1937; *Фринк, 2;
Ν. Η. McCoy [Мак Кой], D. Montgomery [Монтгомери]: Duke Math. J,
3, 455—459, 1937; H. Cartan [Картан], С. R Paris, 205, 595—598, 1937.)
8. The representation of Boolean algebras, Bull. A. M. S., 44, 807—816.
1938.
С у с л и η Μ. Я.
1. Sur un corps denombrable de nombres reels (Redige d'apres un
memoire posthume de M. Souslin par C. Kuratowski.) Fund. Math., 4,
311—315, 1923.
ТамбсЛиш (TambsLycheR.)
1. Sur l'equation fonctionnelle d'Abel, Fund. Math t 5, 331—333. 1924.
(Cp. Rendic Palermo, 51, 262, 1927).
Τ a p с к и й (Tajtelbaum-Tarski A.)
3. Sur quelques theoremes qui equivalent a l'axiome du choix, Fund.
Math, 5, 147—154. 1924.
5. Sur les principes de Parithmetique des nombres ordinaux (transfi-
nis) (конспект лекции), Annates de la Soc. Polon. de Math., 3,
148—149. 1925.
7. Remarque concernant l'arithmetique des nombres cardinaux
(конспект лекции), Ann. de la Soc. Pol. de Math., 5, 101, 1927. (Cp.
С R. Varsovie, 19, 307, 1926; W. Sierpinski [Серпинский]: Fund. Math.,
34, 113—118, 119—126, 1946.)
17. Einige Betrachtungen uber die Begriffe der co-Vollstandigkeit,
Monatsh Math. Ph., 40, 97—112. 1933.
29. Fine equivalente Formulierung des Auswahlaxioms, Fund. Math,
30, 197—201. 1938.
32. On well-ordered subsets of any set, Fund. Math., 32, 176—183. 1939.
Тейлор А. Э. (Taylor A. E.)
1. Forms and numbers: a study in Platonic metaphysics. Mind, N. S.,
35, 419—440; 36, 12—33, 1926/27. (Cp. Gnomon, 1926, стр. 396—405)
Теплиц (ToeplitzO.)
1. Der Algebraiker Hubert, Naturwissenschaften, 10, 73—77. 1922.
2. Das Verhaltnis von Mathematik und Ideenlehre bei Platon, Quellen
und Studien zur Geschichte der Math., В 1, 3—33, 1929.
Тинг-Хо (Ting-Ho Tseng)
1. La philosophie mathematique et la theorie des ensembles. Диссерт.,
Paris. 1938. 166 стр.
Томз (Toms Ε.)
1. The law of excluded middle, Philos. of Sc, 8, 33—38. 1941.
Тон е лли (To η el 1 i L.)
1. Fondamenti di calcolo delle variazioni, 2 vols, Bologna, 1922/23.
466-h661 стр.
33 Зак. 1765

494
Библиография к Τ
Торанзос (Toranzos E. J.)
1. Introduction a la epistemologia у fundamentacion de la matematica
(Предисловие и приложение Дж. Р. Пастора (J. Rey Pastor), Buenos
Aires —Mexico City, 1943. 238 стр.)
Тьюки (Tukey J. W.)
1. Convergence and uniformity in topology. Annals of Math. Studies,
№ 2 1940. 95 стр
Уайтхед (Whitehead A. N.)
5 Indication, classes, numbers, validation, Mind, N S, 43, 281—297,
543. 1934. (Cp. Am. Math. Monthly, 41, 129—131. 1934.) Перепечатано
в Essays in science and philosophy by A. N. Whitehead (New York,
1947 —London, 1948.)
Уилдер (Wilder R. L.)
1. The nature of mathematical proof, Am. Math. Monthly, 51, 309—323.
1944.
Уиттекер (WhittakerE. T.)
1. The new algebras and their significance for physics and philosophy,
The London, Edinburgh — Dublin Philos. Magazine and J. of Sc, (7),
35, 1 — 15, 1944 (также в Yearbook of the R. Soc. of Edinburgh, 1944,
стр. 5—14).
Улам (Ulam S.)
2. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fund. Math, 16,
140—150. 1930
3. Uber gewisse Zerlegungen von Mengen, ibid., 20, 221—223. 1933.
(Cp. W. Sierpinski [Серпинский]: ibid., 23, 125—134. 1934.)
Урбах (Urbach B.)
1. Uber das Wesen der logischen Paradoxa, Ztschr. f. Philos. und
philos. Kritik, 140, 81—108. 1910.
2. Das logischen Paradoxon, Annalen der Philos. und philos. Kritik,
6, 161 — 176, 265—273. 1928.
У та (Uta Μ.)
1. La crise de la theorie du savoir. Paris, 1928.
Ушенко (Ushenko A.)
9. Undecidable statements and metalanguage, Philos. Review, 53,
258—262. 1944.
10. Power and events, An essay on dynamics in philosophy, Princeton,
1946. 301 стр.
Фарбер (Farber Μ.)
1. Theses concerning the foundations of logic, Philos Review, 38,
219—231. 1929.
3. Logical systems and the principles of logic, Philos. of Sc, 9,
40—54, 1942.
Φ а э д о (F a e d о S.)
1. II principio di Zermelo per gli spazi astratti, Annali delta Scuola
Norm. Super, Pisa, (2) 9, 263—276. 1940.
Феврие (Fevrier Paulette)
3. (Destouches-Fevrier P.) Logique adaptee aux theories
quantques, С R. Paris, 221, 287—288, 1945. (Cp. ibid, 219, 481—483,
- 1944; 222, 858—866, 1946; R. de Bengy-Puyvallee [Бенжи-Пьювайе]:
ibid., 220, 589—591, 1945; 226, 454—456, 1948; 228, 624—626, 1949; 230,
265—267, 1950; О. С de Beauregard [Борегар]: ibid., 221, 230—231, 1945.)

Библиография к Τ
495
Филер (V i е 1 е г Н.)
1. Untersuchungen tiber Unabhangigkeit und Tragweite der Axiome
der Mengenlehre in der Axiomatik Zermelos und Fraenkels, Диссерт.,
Marburg (Bahn), 1926. 40 стр.
Финдлей (Findlay J.)
1. Goedelian sentences: a non-numerical approach, Mind, N. S, 51,
259—265. 1942.
Финслер (Finsler P.)
2. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit, Math. Ztschr., 25,
676—682. 1926.
5. Die Existenz der Zahlenreihe und des Kontinuums, Commentarii
Math. Helvet., 5, 88—94. 1944. (Cp. L'Ens. Math., 31, 118—119, 1933.)
6. A propos de la discussion sur les fondements des mathematiques,
Les Entretiens de Zurich, стр. 162—180, 1941.
7. Gibt es unentscheidbare Satze? Commentarii Math. Helvet., 16,
310—320. 1944.
Фитч (Fitch F. B.)
1. A system of formal logic without an analogue to the Curry W
operator, J.S. L, 1, 92—100. 1936.
4. The consistency of the ramified Principia, /. S. L, 3, 140—149. 1938.
8. A basic logic, ibid., 7, 105—114. 1942. (Cp. ibid., 13, 95—106; 14,
9—15, 209—218; 15, 17—24; J. P. Myhill, ibid. 15, 185—196; 1948—50.)
9. Representations of calculi, ibid, 9, 57—62. 1944.
10. A minimum calculus for logic, ibid., 89—94.
11. Self-reference in philosophy, Mind, N. S, 55, 64—73. 1946.
Форадори (Foradori E.)
1. Grundbegriffe einer allgemeinen Teiltheorie, Monatsh. Math. Ph, 39,
439—454. 1932.
2. Stetigkeit und Kontinuitat als Teilbarkeitseigenschaften, ibid , 40,
161—180, 1933. (Cp. ibid., 41, 133—173. 1934.)
4. Grundgedanken der Teiltheorie, Leipzig, 1937. 79 стр.
Φ о стер (Foster A. Z.)
1. Formal logic in finite terms, Annals of Math., (2) 32, 407—430.
1931.
Фредендойн (Vredendiun P. G. J.)
1. Axiomatische opbouw der verzamelingenleer, in het bijzonder ier
getallentheorie, Диссертация, Utrecht, s. a. (1931), 42 стр.
4. De paradoxen Alg. Nederl. Tijdschr. v. Wijsbeg. en Psychol, 31,
191—200. 1938.
Френкель (FraenkelA. (A.))
4. Axiomatische Begrundung der transfiniten Kardinalzahlen, I, Math.
Ztschr., 13, 153—188. 1922.
13. Die heutigen Gegensatze in der Grundlegung der Mathematik,
Erkenntnis, 1, 286—302. 1930. (Cp. Ztschr. f. math, und naiurwiss. Un-
terricht, 61, 35, 1930; Blatter f. Deutsche Philos., 4, 279—297, 1930;
Scr. Math., 1, 222—227, 1934.)
16. Sur la notion d'existence dans les mathematiques, L'Ens Math,
34, 18—32. 1935.
18. Zum Diagonalverfahren Cantors, Fund. Math, 25, 45—50. 1935.
20. Discontinu et continu, Act. Sc. Ind, No. 535, 193—200. 1937. (Cp.
Ztschr. f. Freie Deutsche Forschunge, 2, 1—14, 1939; Scr. Math, 13,
17—36. 1947.)
33*

496
Библиография к Τ
Френкель — Бар-Хиллел (Fraenkel Α. (Α.), Bar-Η il lei Y.)
1. Le probleme des antinomies et ses developpements recents, R. Μ. M.,
51, 225—242. 1939.
Φ ρ и η κ (F r i η k Ο., Jr.)
2. On the existence of linear algebras in Boolean algebras, Bull.
A. M. S.t 34, 329—333. 1928.
3. New algebras of logic, Am. Math. Monthly, 45, 210—219. 1938.
Фройденталь (Freudental H.)
1. Qualitat und Quantitat in der Mathematik, Euclides, 8, 89—98. 1932.
2. (Рецензия на *Гейтинг 5 и 6) Jahrb. uber die Fortschritte der
Mathematik, 56π, 823—824. 1935.
фон Ф рой та г (von Freutag В.)
1. Die ontologischen Grundlagen der Mathematik Fine Untersuchung
uber die «Mathematische Existenz», Диссерт., Halle a. S., 1937, 49 стр.
(Ср. Μ. S t e с k [Стек]: Zum Problem der mathematischen Existenz,
Deutsche Math., 3, 467—473, 1938; В von Freutag [Фройтаг]: ibid.,
4. 238—240, 1939.)
Хаальмейер — Шогт (Haalmejer В. P., Schogt J. H.)
1. Inleiding tot de leer der verzamelingen, Groningen, 1926. 159 стр.
Хагстрём (Hagstrom К. G.)
1. Om mangdteoriens paradoxier, N. Tidsskrift f. Mat., B25, 1 —19, 1914.
2. Note sur l'antinomie Burali — Forti, Arkiv f. Mat. etc., 10, № 2,
1914/1915.
Хан (Η ah η Η.)
3. Theorie der reellen Funktionen, Vol. I. Berlin, 1921. 600 стр. (Испр.
изд.; Relle Funktionen I Teil: Punktfunktionen. Leipzig, 1932}
7. Uberflussige Wesenheiten. (Occams Rasiermesser.) Wien, 1930,
24 стр.
9. Logik, Mathematik und Naturerkennen. (Einheitswissenschaft № 2)
Wien, 1933. (Франц. изд. под ред. Э. Вуйлемена (Е. Vouillemin) с
предисл. М. Болла (М. Boll): Act. Sc. Ind., № 226. Paris, 1935.
51 стр.)
10. Gibt es Unendliches? Alte Probleme — neue Losungen in den exak-
ten Wissenschaften (Funf Wiener Vortrage), 2. Zyklus, стр. 93—116.
Leipzig & Wien, 1934
Хан — Нёйрат — Карнап (Hahn Η., Neurath О., Carnap R,)
1. Wissenschaftliche Weltauffassung. Der Wiener Kries. Wien, 1929.
59 стр. (Ср. О Neurath [Нейрат]: The Mottist, 41, 618—623, 1931;
Scientia, 50, 297—303, 1931; M. Schlick [Шлик]: Erkenntnis, 1, 4—11,
1930; *Карнап 7; Η. Reirichenbach [Рейхенбах]: Ziele und Wege
der heutigen Naturphilosophie Leipzig, 1931 (франц. изд. в Act. Sc.
Ind., № 49 & 172; Paris, 1932/33); E. Vouillemin [Вуйемин]: Revue
Scientif., 70, 557—560, 692, 1932; O. Neurath [Нейрат]: Le develon-
pement du cercle de Vienne et l'avenir de l'empirisme logique, Paris.
1935; J. R. Weinberg [Вейнберг]: An examinationof logical
positivism; London & New York, 1936, 311 стр.; С. D. Наг die [Харди|:
Mind, N. S , 27, 214—225, 1938.)
Хантингтон (Huntington E. V.)
6. A new set of postulates for betweenness with proof of complete
independence, 7V. A M. S., 26, 257—282. 1924. (Cp. Hrntington
[Хантингтон] and K. E. R о s i η g e г [Розингер]: Proc. of the Am. Acad,
of Arts and Sc, 67, 61—145, 1932; T. Inagaki [Инагаки]: /. of the

Библиография к Τ
497
Fac. of Sc. Hokkaido Univ., Ser. I Math., 3, 1 — 14, 1935; /. Nunt: Acta
et Comment. Univ Tartuensis, A 23, № ^ 1932.)
9. The postulational method in mathematics, Am. Math. Monthly, 41,
84—92, 1934. (Cp. Philos of Sc, 4, 482—495, 1937; Ser. Math., 5,
149—157, 233—238, 1939.)
10. Independent postulates for the «informal» part of Principia Mathe-
matica, Bull. A. M. S., 40, 127—136. 1934. (Cp. ibid, 137—143.)
11. Independent postulates related to С L. Lewis's theory of strict
implication Mind, N. S., 43, 181—198, 1934 (Cp. Fund. Math., 25,
147—156.' 1935.)
X a p д и (Hardy G. H.)
1. A theorem concerning the infinite cardinal numbers, Quarterly J.
of ρ and appl. Math., 35, 87—94. 1904.
2. The continuum and the second number class, Proc. of the London
Math. Soc, (2) 4, 10—17. 1907.
Xacce — Шольц (Hasse H., Scholz H.)
1. Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik, Kantstudien, 33,
4—34. 1928. (Опубликовано вместе с * Шольц, 3, в виде книги; Char-
lottenburg, 1928. 72 стр.) Ср. *0. Беккер, 7.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
2. Untersuchungen uber Ordnungstypen. I and II. Ber. Leipzig, 58,
106—169; 59, 84—159. 1906/07. (Cp. Jahresb. D Μ V, 16, 541—546
1907.)
3. Grundzuge einer Theorie der geordneten Mengen, Math. Annalen, 65,
435—505. 1908. (Cp. Ber. Leipzig, 53, 460—475. 1901.) .
Хвистек (Chwistek L)
1. Uber die Antinomien der Prinzipien der Mathematik, Math Ztschr.,
14, 236—243. 1922.
3. Sur les fondements de la logique moderne, Atti del V Congr. Intern,
di Filos , Napoli, 1924, стр 24—28. 1925.
5. Neue Grundlagen der Logik und Mathematik, Math Ztschr., 30,
704—724; 34, 527—534. 1929/32.
Хедрик (Hedrick E. R.)
1. Tendencies in the logic of mathematics, Science, N. S., 77, 335—343.
1933.
Хейсс (Η e i s s R.)
1. Der Mechanismus der Paradoxien und das Gesetz der Paradoxien-
bildung, Philos. Anzeiger, 2, 403—433. 1928.
Хенле (Henle P.)
3. A note on the validity of Aristotelian logic, Philos. of Sc, 2,
111—113 1935.
Херлен (Harlen H.)
1. Sur la paradoxie logique dans la theorie des ensembles, C. R Paris,
184, 367—369. 1927.
2. Uber Vollstandigkeit und Entscheidbarkeit, Jahresb. D. Μ V., 37,
226—228. 1928. (Ср. ibid., 229—230.)
6. Bemerkungen zu etc. [*Беман, 6], Jahresb D. M. V., 40, 156—159.
1931.
Холл (Hall P.)
1. On representatives of subsets, /. of the London Math. Soc, 10,
26—30. 1934. (Cp. R. Rado [Радо1: Quarterly. J. of Math., Oxford
Ser., 13, 83—89, 1942; Μ. Η a 11, Jr. [Холл]: Bull, A. M. S.t 54, 922-926,

498
Библиография к Τ
1948; С. J. Everett [Эверетт] and G. Whaples [Уоплз]: Am. J. of
Math., 71, 287—293, 1949.)
Хонсброх (Hoensbroech F.)
2. On Russell's paradox, Mind, N S., 48, 355—358. 1939.
ваи Хор η (van Η ο r η С. Ε.)
2. A system of relative existential propositions connected with the
relation of class membership, Univ. of Chicago, Abstracts of Theses, Sc.
Ser. 1, 31—37, 1925.
Цао-Чен (Tsao-Chen Tang)
3. Algebraic postulates and a geometric interpretation for the Lewis
calculus of strict implication, Bull. A. M. S., 44, 737—144. 1938.
Цермело (Ζ e r m e 1 ο Ε.)
4. Sur les ensembles finis et le principe de l'induction complete, Acta
Math, 32, 185—193. 1909. (Cp. Congr. Roma 1908, vol. II, 8—11,
1909)
6. Uber ganze transzendente Zahlen, Math. Annalen, 75, 434—442.
1914. (Cp Ε Noether [Нётер]. ibid., 77, 103—128, 1916.)
10. Grundlagen einer allgemeinen Theorie der mathematischen Satz-
systeme, I., Fund Math, 25, 136—146. 1935. (Продолжения не
последовало; ср. Forschungen und Fortschritte, 8, 6—7, 1932.)
Цорн (Zorn Μ.)
2. Idempotency of infinite cardinals, Univ. of California Publ. in Math.,
N. S., 2, № 1, 9—12. 1944.
Чандрасекхаран (Chandrasekharan K.)
1. Intuitionistic theory of linear order, The Math. Student (Индия),
10, 149—162, 1942. (Ср. ibid., 9, 143—154, 1941; 13, 49—51. 1945.)
Чёрч (Church A.)
4. A set of postulates for the foundation of logic, Annals of Math.,
(2) 33, 346—366; 34, 839—864. 1932/33.
6. A proof of reedom from contradiction, Acad. U. S. A, 21, 275—281.
1935.
9. Mathematical logic. (С примеч. Ф. А. Фикена (F. A Fikcen) и др.
Mimeographed, Princeton, 1936. 113 стр.)
12. Schroder's anticipation of the simple theory of types. (Предв
оттиск из /. On. Sc, 9 1939, 4 стр.)
Шевалье (ChevalleyC)
1. Rigueur et methode axiomatique, Recherches Philos., 2, 257—261,
1933.
Шейнфинкель (Schonfinkel M.)
1. Uber die Bausteine der mathematischen Logik, Math. Annalen, 92,
305—316. 1924.
Шел дон (Sheldon W. H.)
1. Science, philosophy, and certainty, Philos. Review, 39, 243—357. 1930.
Шёнфлис (Schoenflies A.)
1. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, I Teil
(Jahresb. D. M. V., 8, Band 2.), Leipzig, 1900. 251 стр. ΙΓ teil (2. Er-
ganzungsband zu den Jahresb D. M. V), Leipzig, 1907, 331 стр.
Ζ Uber die logischen Paradoxien der Mengenlehre, Jahresb. D. Μ V.,
15, 19—25. 1906. (Ср. Math. Annalen, 60, 181—186. 1905.)
5. Uber eine vermeintliche Antinomie der Mengenlehre, Acta Math.,
32, 177—184. 1909.

Библиография к Τ 499
6. Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik, Jahresb. D Μ V.,
20, 222—255. 1911. (Опубликовано ранее в Schriften der Phys-okon.
Gesellschaft zu Konigsberg, 51, 1910.)
7. Zur Grundlegung der Mengenlehre, Math Annalen, 72, 551—561.
1912.
8. Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen. 1 Halfte.
Leipzig — Berlin, 1913, 388 стр. (Вместо 2-й части появилась книга
*Хан, 3.)
10. Bemerkung zur Axiomatik der Grossen und Mengen, Math.
Annalen, 85, 60—64. 1922.
12. Die Kriesis in Cantors mathematischen Schaffen, Acta Math, 50,
1—23. 1928.
Шеффер (Sheffer Η. Μ.)
1. A set of five independent postulates for Boolean algebras, with
application to logical constants. Tr. Α. Μ S., 14, 481—488. 1913 (Cp.
Am. Math. Montly, 27, под стр. примеч. на стр. 310, 1920.)
2. Mutually prime postulates (конспект лекции). Bull. Α. Μ. S., 22,
287. 1916.
Шиллер (Schiller F. С. S.)
1. The infinite regress of proof, Mind, N. S., 37, 353—354. 1928.
Шликк (Schlick M.)
2. Erleben, Erkennen, Metaphysik. Kantstudien, 31, 146—158. 1926. (Cp.
Coll of the Pacific Public, in Philos, 1, 45—62 1962.)
Шмидт A. (Schmidt Arnold)
2. Uber deduktive Theorien mit mehreren Sorten von Grunddingen,
Math. Annalen, 115, 485—506. 1938.
Шмидт Э. (Schmidt Erhard)
1. Uber Gewissheit in der Mathematik, Berlin, 1930 14 стр.
Ш о гт
См. Хаальмейер — Шогт
Ш о л ьц (S ch о 1 ζ Η.)
2. (Рецензия на книгу *0. Беккер, 2.) Deutsche Liter aturzeitung, 49,
679—690 1928.
3. Warum haben die Griechen die Irrationalzahlen nicht aufgebaut?
Kantstudien, 33, 35—72 1928. (Ср. *Xacce —Шольц, 1. Также В L.
van der Waerden: Math. Annalen, 120, 127—153, 676—700. 1949.)
12. Der Gottesgedanke in der Mathematik, Blatter f. Deutsche Philos.,
8, 318—338, 1934. (Ср. книгу: Christliche Verwirklichung fur R.
Guarding Rothenfels a. M., 1935, стр. 138—159.)
Штади (St a die H.)
1. (Рецензия на книгу *Кауфман, 1) Gottinger Gelehrte Anzeigen, 193,
376—388, 1931.
Штенцель (Stenzel J.)
1. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles, Leipzig — Berlin, 1924.
2 изд. 1933, 188 стр (Ср. Kongr. Zurich 1932, 1, 324—335. 1933.)
Штраус (Strauss Μ.)
1. Zur Begrundung der statistischen Transformationstheorie der Quan-
tenphysik, Sitz. Berlin, 1936, 382—398. (Cp. J. von Neumann
[фон Нейман]: Nachr. Gottingen, 1927. 245—272.)

500
Библиография к Τ
Эви (Avey Α. Ε,)
3. The law of contradiction: its logical status, /. of Philos., 26,
519—526. 1929.
Эдьед (Ε g у е d L)
1. Uber das Auswahlaxiom und mit ihm zusammenhangende Fragen,
Mat. Fiz. Lap., 45, 149—150. 1938.
(Резюме к статье на венг. яз., ibid., 133—149.)
Эйве (Euwe M.)
1. Mengentheoretische Betrachtungen uber das Schachspiel, Proc.
Amsterdam, 32, 633—642. 1929.
Эклунд (Ε k 1 un d H.)
1. Uber Mengen, die Elemente ihrer selbst sind, Nyt Tidsskrift f. Mat.,
Avd. B, 29, 8—28. 1918.
Энрикес (Enriques F.)
2. Sur quelques questions soulevees par l'infini mathematique, /?· Μ Μ.,
24, 149—164. 1917.
Эрбран (Herbrand J.)
5. Les bases de la logique hilbertienne, R. Μ Μ., 37, 243—55. 1930.
Эрдёш — Тарский (Erdos R., Tarski A.)
1. On familes of mutually exclusive sets, Annals of Math. (2), 44,
315—329. 1943.
Эррера (Errera A.)
2. Sur la crise contemporaine des mathematiques, L'Ens. Math., 34,
12—17. 1935. (Ср. М. Barzin [Барзин]: ibid., 5 — 11; Errera
[Эррера]: ibid., 103—111; Congr. Oslo, 1936, vol II, 270—271. 1937.)
3. Sur le principe du tiers exclu, Mathematica (Cluj), 9, 73—79. 1935.
Ясиновский (J a s i η ο w s k i B.)
1. Les bornes de la mathematique grecque et ses fondements specula-
tifs, Act. Sc. Ind., № 395, 9—19. 1936.
Яськовский (Jaskowski S)
1. On the rules of suppositions in formal logic, Studia Logica, 1, 5—32,
1934,

БИБЛИОГРАФИЯ,
ДОБАВЛЕННАЯ
ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Поскольку настоящая книга, помимо прочего, является справочным
изданием, переводчик и редактор перевода сочли целесообразным продолжить
авторскую библиографию (обрывающуюся на 1957—58 гг.) до настоящего
времени (середина 1965 г.), а также пополнить ее более ранними
публикациями, имеющими то или иное отношение к упоминаемым в тексте
проблемам. За исключением этих последних случаев, дополнительная
литература, как правило, в подстрочных примечаниях не цитируется. (Впрочем,
когда проблематика работы не усматривается непосредственно из ее
названия, мы в некоторых случаях сочли возможным дать краткие
указания по этому поводу [в квадратных скобках].) Основные источники —
Mathematical Reviews и реферативный журнал «Математика». На полноту (и
на объективность критериев отбора) мы не претендовали, хотя, конечно, и
стремились к ней. В отличие от авторов мы сочли возможным, кроме ориги-
. нальных работ, указать в этой библиографии (и в подстрочных примечаниях
в тексте) несколько учебников и статей справочно-обзорного характера (что,
как нам думается, особенно уместно в связи с терминологической
разноголосицей, так часто отмечаемой авторами). Сокращения — кроме принятых
авторами и само собой разумеющихся — даются согласно Mathematical
Reviews и РЖ «Математика».
Сборники
1959. Логические исследования. Изд-во АН СССР, Москва.
1960. Применение логики в науке и технике Изд-во АН СССР, Москва.
1961. Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations
of Mathematics, Warsaw, 1959.
Бар-Хиллел — Познанский — Рабин — А. Робинсон
1961. Essays on the foundations of mathematics. Dedicated to A. A. Fraen-
kel on his seventieth anniversary. Edited by Y. Bar-Hillel, F. I. J.
Poznanski, M. O. Rabin and A. Robinson for the Hebrew
University of Jerusalem. The Magness Press, The Hebrew University,
Jerusalem, X + 351. [Сб. статей к 70-летию А. А. Френкеля.]
Η а г ел — Саппс — Тарский
Ю62. Logic, Methodology and Phylosophy of Science Proceedings of the
1960 International Congress. Edited by E. Nagel, P. Suppes and
A. Tarski. Stanford University Press, Stanford, California.
[Сокращенный русский перевод: Математическая логика и ее
применения, сб. статей под редакцией Э. Нагела, П. Саппса и А. Тар-
ского, изд-во «Мир», 1965 г.; с приложением перевода статьи Хао
Вана, 61а.]
1963. Проблемы логики. Изд-во АН СССР, Москва.
1963а. Amer. Math. Soc. Translations, ser. 2, vol. 23: 9 papers on logic
and quantum Electrodinamics Amer. Math. Soc, Providence, R. J.,
Hi + 335. [Переводы двух статей Успенского и статей Трахтен-
брота, Мучника, Детловса1 Есенина-Вольпина, Шанина, Хлодов-
ского, Рашевского.]

502
Дополнительная библиография
1958. Проблемы конструктивного направления в математике. I. Труды
Матем. ин-та АН СССР, 52, 348 стр., под ред. Н. А. Шанина.
Статьи В. К. Детловса (подробное изложение результатов его
заметки 53), Маркова, 58, две статьи Н. М. Нагорного, Η. Η.
Воробьева, Э. С. Орловского, Цейтина, 58, и Шанина, 58.
1962. Проблемы конструктивного направления в математике, 2 Труды
Матем. ин-та АН СССР, 67, 502 стр., под ред. Н. А. Шанина.
Статьи Заславского, 62, Заславского—Цейтина, 62, Маркова, 62,
Шанина, 62, и Цейтина, 62, 62а.
1964. Проблемы конструктивного направления в математике. 3. Труды
Матем. ин-та АН СССР, 72, 556 стр, под ред. Н. А.
Шанина. [Статьи Η. Η. Воробьева, И. Д. Заславского, И. Д.
Заславского и Г. С Цейтина, А. В. Идельсона, С. Ю. Маслова (2),
Г. Е. Минца, В. Π Оревкова (2; см., в частности, Оревков, 64),
A О. Слисенко (3), Г. С. Цейтина (2) и Н. А. Шанина.]
Отдельные работы
Абиан (Abian A)
1962—63 On comparability of sets, Math. Ann., 149, 276—277.
[Доказательство сравнимости мощностей, основанное на лемме Цорна.]
Адам (Adam А.)
1959. On subsets of set products, Ann. Univ. Sci. Budapest Eotvos, Sect.
Math., 2, 147—149.
АдянС.И.
1955. Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некото-
оых свойств групп Докл. АН СССР, 103. № 4, 533—535.
1957. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем теории
групп. Труды моек, матем. общества, 6, 231—298.
1957а. Конечно-определенные группы и алгоритмы. Докл. АН СССР, 117,
№ 1, 9—12.
1958. Об алгоритмических проблемах в эффективно полных классах
групп. Там же, 123, № 7, 13—16.
1966. Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для
групп и полугрупп. Труды Мат. ин-та АН СССР, 85, 121 стр.
Аддисон (Addison J W.)
1959. Some consequences of the axiom of constructibility, Fund. Math.,
46, 337—357.
1959. Separation principles in the hierarchies of classical and effective
descriptive set theory, там же, 123—135 [К дескриптивной теории
множеств и иерархии предикатов.]
1962. Some problems in hierarchy theory, Proc. Sympos. Pure Math.,
vol. V, 123—130, Amer. Math. Soc, Providence, R. I.
1962a. The theory of hierarchies, в сб. Нагел — Саппс — Тарский, 62.
Аккерман (Ackermann W.)
1958. Ein typenfreies System der Logik mit ausreichender mathematischen
Anwendungsfahigkeit. I. Arch. Math. Logik Grundlagenforsch., 4.
1961. Grundgedanken einer typenfreien Logik, в сб. Бар-Хиллел — Поз-
нанский — Рабин — А. Робинсон, 61, 143—155. [Обе статьи
примыкают к работам Аккермана 50 и 52—53.]
Александров П. С.
1948. Введение в общую теорию множеств и функций, М.

Дополнительная библиографий.
503
Андерсон — Джонстоун (Anderson J. M., Johnstone H. W , .Ir )
1962. Natural deduction, The logical basis of axiom systems, Wadsworth
Publishing Co., Inc., Belmont, Calif., XII + 418 [Учебник; в
конце— краткое обсуждение теории множеств, содержащее некий
перечень аксиом системы Цермело.]
Антуан-Марсель (Antoine-Marcel)
1964. Etude intuitive des ensembles, Paris, Dunod, 1964, VIII, 87 p.,
ill. «Bibliogr. France», 153, № 36, 1083.
Арруда — да Коста (Arruda A. J , da Costa N С А)
1964. Sur un theoreme de Hubert et Bernays, С R. Acad Set. Paris, 258,
6311—6312. [В работе да Коста 64 одна теорема была приведена
без доказательства. Теперь она сводится к одной теореме из
Гильберта — Бернайса, 34—39г ]
1954а. Sur une hierarchie de systemes formels, там оюе, 259, № 18,
2943—2945.
Б а г е м и л (В a g e m i h 1 F.)
1959. Some results connected with the continuum hypothesis, Z. Math.
Logik Grundlagen Math., 5, 97—116.
1959a. Some proposition equivalent to the continuum hypothesis, Bull
Amer. Math $oc.f 65, 84—88.
1960. Decompositions of the plane into three sets, J. reine angew. Math.,
203, 209—215.
1961. A proposition of elementary plane geometry that implies the
continuum hypothesis, Z. Math. Logic Grundlagen Math., 7, 77—79.
Б а й e η (В а а у e η P. C.)
1962. Het keuze-axioma: zyn plaats en functie in de wiskunde. Rapp.
Math, centrum, № 23, l5blz.
Балаш — Борсан — Фрода-Шехтер — Гамбург (В а 1 a z s M.,
Borsan D, Froda-Schechter Μ., Hamburg P.)
1963. Relations entre partie d'ensemles. Rev. math, pures et appL
(RPR), 8, № 3, 477—491.
Банашевский (В a n a s ch e w s k i)
1959. On transfinite iteration, Fund. Math., 46, 225—229.
1961. On some theorems equivalent with the axiom of choice, Z. Math.
Logik Grundlagen Math., 7, 279—282 [Три эквивалента аксиомы
вывода из теорий структур и фильтров.]
Белльюс (В el luce L. P.)
1964. The theory of infinite valued predicate logic, Докторская
диссертация, Los Angeles, Univ. California, 83 стр.
Беман (Behman Η.)
1959. Der Pradikatenkalkul mit limitierten Variablen, Grundlegung einer
naturlichen exakten Logik, /. 5 L., 24, 112—140. [Обсуждается,
между прочим, парадокс Рассела.]
Бернайс (Bernays P.)
1960. Charakterzuge der Philosophie Gonseths, Dialectica, 14, 151—156.
1961. Zur Frage der Unendlichkeitschemata in der axiomatischen Mengen-
lehre, сб. °Бар-Хиллел — Познанский — Рабин — А. Робинсон, CI,
стр. 3—49.
1962. Remarks on formalization and models, в сб. °Нагел — Саппс —
Тарский, 62.

504
Дополнительная библиография
1962а. Remarques sur l'impredicativite, Ann. Fac. Sci. Univ. Clerrnout.
Math., № 7, 121 — 122.
1962b. Zur Frage der Unendlichkeitsschemata in der axiomatischen Men·
genlehre, Amsterdam, N.-Holland Publ., Co., Vol. 49. 1962 (1960),
pp. 1—10, 49 S.
Бет (Beth E. W.)
1958. Formal methods, Amsterdam.
1959. The foundations of mathematics; A study in the philosophy of
science. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics.
North-Holland Publ. Company, Amsterdam, XXVI + 741.
1961. Remarks on the paradoxes of logic and set theory, сб. °Бар-Хил-
лел — Познанский — Рабин — А. Робинсон, 61, стр. 307—311.
1964 Axiomatique de la theorie des ensembles sans axiom de l'infini,
Bull. Soc. Math. Belg., 16, № 2, 127—136.
Блайхер (BleicherMV.).
1964 Some theorem? on vector spaces and the axiom of choice, Fund.
Math., 54, 95—107. [Эквиваленты аксиомы выбора, например:
каждое обобщенное векторное пространство имеет базис]
Борджерс (BorgersA.)
1964. La logique des descriptions et des definitions, Bull. Soc. math.
Belg., 16, № 1, 41—69.
Борковский (BorkowskiL.)
1958. Reduction of arithmetic to logic based on the theory of types
without the axiom infinity and the typical ambiguity of arithmetical
constants, Studia Logica, 8, 283—297. [Есть русское резюме.]
1958a. On proper quantifiers, I, там же, 65—130. [Есть русское резюме.]
Бохенский (Bochenskil. M)
1961. A history of formal logic, Translated and edited by Ivo Thomas,
University of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind., XXII+ 567.
Б о ч в а р Д. А.
1960. Антиномии, основанные на множествах определений предикатов,
каждый из которых индивидуально непротиворечив, Мат. сб.
н. сер., 52 (94), 641—646.
Брауэр (BrauwerL. E. J.)
1911. (*4). Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Annalen,
70, 161—165. (Cp. Proc. Amsterdam, 26, стр. 799, прим. 19. 1923.)
1912. (*5). Beweis der Invarianz des я-dimensionalen Gebiets, там же,
71, 305—313. (Ср. там же, 72, 55—56, 1912.)
1913. (*7). Uber den naturlichen Dimensionsbegriff, /. f. Math., 142,146—
152. (Ср. там оке, 153, стр. 253, 1923.) Перепеч. в Proc.
Amsterdam, 26, 1923. (Ср. там же, 27, 636—638, 1924, 29, 855—863, 1926.)
1926. Virtuelle Ordnung und unerweiterbare Ordnung, /. reine angew.
Math., 157, 255—257.
д e Б ρ ё й н (d е В г u i j η Ν. Ι.)
1959. Addendum to a theorem on choice functions, Nederl. Akad. We-
tensch. Proc, \62-Indag. Math., 21, 327. [Исправление к его же
работе в том же Proc, 1957, 60, 409—411.]
Бронфман М. Д.
1963. Трансфинитно-вещественные числа, Уч. зап. Моск. обл. института,
123, 179—195.
Бурбаки(ВоигЬак1 N.)
1951. Elements de mathematique. Les structures foundamentales de Гапа-

Дополнительная библиографий
505
lyse. Livre I. Theorie des ensembles. Fascicule de resultats.
(2-е издание—1951, третье—1958, Actualites sci. Indust. № 1141,
Paris, 63.) [Предлагается новая система аксиом, эквивалентная
система аксиом Цермело — Френкеля ]
1963. Elements de mathematique, Fasc. XX. Livre I. Theorie des
ensembles, Chapitrc 3, Ensembles ordonnes, cardinaux, nombres, en-
tiers. [2-е издание, пересмотренное и пополненное.] Там же, 1243,
1249. [Революция в обозначениях: перевернуты алефы в формулах.]
Бун (Boone W. W.)
1959. The world-problem. Math. Annalen, 70, № 2, 207—266.
1962. Partial results regarding world-problem and recursively ennume-
rable degrees of unsolvability. Bull. Amer. Math. Soc, 68, № 6,
616—623.
Бургер (Burger Ε.)
1958. Eine Bemerkung zur Bernays — Godel-Mengenlehre, 2. Math.
Logik Grundlagen Math, 4, 178—179. [Устанавливается
зависимость аксиомы В8 в системе Σ Гёделя.]
Бэр Рене (В a i r e Rene)
1905. (*2). Lecons sur les fonctions discontinues, Paris. [Русский перевод:
Бэр Р., Теория разрывных функций, Μ., ОНТИ, 1932.]
Вагнер (W a g η е г К.)
1958. Versondstheoretische Characteristierung der Cantoschen Aquiva-
lenzrelation, Math. Ann., 134, 295—297.
Вермус (WermusH.)
1961. Eine konstruktiv-figurliche Begrundung eines Abschnittes der zwei-
ten Zahlklasse, Comment. Math. Helv., 35, 263—318.
Β ο ο τ (V a u g h t R. L.)
1963. Models of complete theories, Bull. Amer. Math. Soc, 69, 299—313.
[О теореме Лёвенгейма — Сколема.]
1964. The completeness of logic with the added quantifier, Fund. Math,
54, 303—304. [Показывается устранимость аксиомы
конструктивности из некоторых доказательств теории моделей.]
Вопенка (VopenkaP.)
1962. Метод построения нестандартных моделей в аксиоматической
теории множеств Бернайса — Гёделя. Докл. АН СССР, 143, 11 —12.
1962а. Модели теории множеств, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 8
(3—4), 281—292.
1962b. Построение моделей теории множеств методом
ультрапроизведения, там оке, 293—304.
1963. Построение моделей теории множеств методом спектра, там же,
9 (2), 149—160.
1963а. Элементарные понятия в теории множеств, там оке, 161—167.
1963b. Построение нестандартной нерегулярной модели теории множеств,
там же (3), 229—233.
1964. Подмодели моделей теории множеств, там же, 10 (2), 163—172.
1964а. Независимость континуум-гипотезы, Comment, math. Univ. Caro-
ипае, SuppL, I, 48 стр [Нестандартная внутренняя модель для
системы Σ Гёделя с отрицанием континуум-гипотезы строится
средствами Σ без помощи дополнительных аксиом, как у Коэна,
63—64. Имеются неясности в изложении, затрудняющие оценку
работы, но независимость аксиомы конструктивности,
по-видимому, может считаться доказанной при помощи метода Вопеики.]

806 Дополнительная библиография
* , ..ι ιι ι in ■ ι и.» iflffitefiiiT" д ιι,,.ΐ,ι.,,ΜΤΚΤί*
1964b Axiome der Theorie endlich Mengen, Casop. Pestov. mat., 89, 1964,
№ 3, 312—317.
Вопенка — Хаек (Vopenka P., Hajek P.)
1963 Uber die Gultigkeit des Fundierungsaxioms in speziellen Systemen
der Mengenlehre, Z. Math. Logik. Grundlagen Math, 9 (3), 235—241.
[Доказывается «теорема Есенина-Вольпина» о том, что достаточно
постулировать лишь аксиому фундирования для множеств и
схема становится выводимой (эта теорема доказана также в
работе Есенина-Вольпина, 60, стр. 371); доказывается, что при
отсутствии аксиомы бесконечности это положение не имеет
места.]
Гальперин (Hailperin Th.)
1960. Corrections to «A theory of restricted quantification», /. 5 L, 25,
54—56. [Поправки и новые доказательства для двух теорем из
работы Гальперина 57.]
Галперн (HalpernJ. D.)
1964. The independence of the axiom of choice from the Boolean prime
ideal theorem, Fund. Math, 55, 57—66
Ганди (GandyR. О)
1958. Note on a paper of Kemeny's, Math Ann., 136, 466 [На тему Ке-
мени, 58.]
1959. On the axiom of extensionality, II, J. S L, 24, 287—300
[Доказывается относительная непротиворечивость аксиомы объемности
для системы типа Цермело — Френкеля, язык которой расширен
введением термов вида λχφ(χ) (означающих «множество тех х,
для которых φ(χ)»); о невозможности обойтись без такого
расширения или усиления схемы подстановки см. °Скотт, 61.]
1960. Proof of Mostowski's conjecture (есть русское резюме), Bull. Acad.
Polon. Sci. Ser. Math. Astronom. Phys., 8, 571—575. [К теории
моделей и вопросу о нестандартных моделях.]
Ганди —Крейсел — Тэйт (Gandy R. О, Kreisel G, Tait W. W.)
1960. Set existence, I, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom.
Phys., 8, 577—582.
1961. Set existence, II, там же, 9, 881—882. [К теории моделей и
конструктивизму; обсуждаются и аксиомы свертывания некоторого
вида.]
Гао Хен-чан (Gao Heng-shan)
1963. Algebraic treatment of the notion of satisfiability in the system 5f.,
Chinese Math., 4, № 1, 76—87. (Acta math. Sinica, 1963, 13, № 1.)
Гарцхейм (HarzheimE.)
1966. Einbettungssatze fur totalgeordnete Mengen, Math. Ann., 158, № 2,
90—108.
Г а с τ e в Ю. A.
1959. О построении Анализа на основе аксиоматизированной геометрии
прямой, I, Ученые записки Моск. гос. заочного пед. ин-та (серия
физ.-мат.), М., 46—57.
1963. То же, II, сб. «Проблемы логики», М, 137—143.
Гейтинг (HeytingA.)
1959. Constructivity in mathematics, Proceedings of the Colloquium held
at Amsterdam 1957 [Труды коллоквиума в Амстердаме 1957, под
редакцией А. Рейтинга]; Studies in Logic and the Foundations of
Mathematics, North-Holl. Publ. Co., Amsterdam, 1959, VIII+ 297.

Дополнительная библиография 507
1961. Axiomatic method and intuitionism, Сб. °Бар-Хиллел — Познан-
ский — Рабин — А. Робинсон 61, 237—247. [К интуиционизму;
утверждается, что теория множеств естественно ведет к
противоречивым аксиомам.]
1962. After thirty years, в сб. °Нагел — Саппс — Тарский 62.
[Исторический обзор эволюции взглядов Карнапа, фон Неймана, автора
и др.]
1962. Methode et problemes de l'intuitionisme, Ann. Fac. Univ.
Clermont. Math., № 7, 101 — 105.
Гёдель (G б d e 1 K.)
1958. Uber eine bisher noch nicht benutzte Erweiterung des finiten Stand-
punktes, Dialectica, 12, 280—287.
1963. On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and
related systems, перевод В. Meltzer'a и предисловие R. В. Braith-
waite'a. [Перевод знаменитой статьи Гёделя, 31.] Basic Books,
Int., Publishers, New York, VIII+ 72.
Гёльдер (Holder О.)
1929. (*5). Der indirekte Beweis in der Mathematik, Ber. Leipzig, 81,
201—216 (ср. там же, 82, 97—104, 1930).
Генкин (HenkinL.)
1961. Some remarks on infinitely long formulas, в сб. Infinitistor
Methods, 167—183. [Результаты используются у Маховера, 61.]
Германский (GermanskyB.)
1961. The induction axiom and the axiom of choice, Z. Math. Logik
Grundlagen Math., 7, 219—223.
Гефмен — Шпеккер (Qaifman Haim, S ρ e с k e r E. P.)
1964. Isomorphism tvpes of trees, Proc. Amer. Math. Soc, 15, № 1,
17.
Гжегорчик (GrzegorczykA.)
1962. A kind of categoricity, Colloq. Math., 9, 183—187 [Связано с
системой Цермело.]
1964. A philosophically plausible formal interpretation of intuitionistic
logic, Proc. Koninkl. hederl. akad. wet., A67, № 5, 596—601. (Inda-
gationes math, 1964, 26, № 5.)
1964a. Uzasadnianie aksjomatow teorii matematycznych, Stud. Log., 13,
197—202.
Гжегорчик — Мостовский — Рылль-Нардзевский (Grze-
gorrzyk A„ Mostowski A, Ryll-Nardrewski C.)
1961. Definability of sets in models of axiomatic theories, Bull. Acad
Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 9, 163—167. [К теории
моделей в связи с иерархией предикатов.]
Гийом (Guillaume M.)
1960. Sur une propriete remarquable du systeme de Bourbaki, С R Acad
Sci. Paris, 250, 1176—1777. [О называемости элементов модели.]
1960a. Certains aspects syntactiques d'une notion de modele: Relativisation
d'une fonction logique de choix, Synthese, 12, 236—248. [К логике
гильбертовского оператора выбора гх.]
Г и л м о ρ (G i 1 m о г Р. С.)
1960. An alternative to set theory, Amer. Math. Monthly, 67, 621—632.
Гильберт (Η i 1 b e r t D.)
1928. Проблемы обоснования математики. [Доклад, прочитанный на
интернациональном математическом конгрессе в Болонье 3 сен-

508 Дополнительная библиография
тября 1928 г., напечатанный в отчетах съезда (т. IV) и в Mathe-
matische Annalen, 102, и перепечатанный в качестве Добавления X
в 7-м изд. книги Гильберт, 1899/1930. Стр. 389—399 русского
перевода.]
Гонсет (GoncethF.)
1958 Sur la methodologie des recherches sur les fondements des mathe-
matiques, в сб. Colloque Internationaux, 97—107.
Горн (G or η S.)
1962. The treatment of ambiguity and paradox in mechanical languages,
Proc. sympos. pure math., vol. V, 201—218, Amer. Math. Soc,
Providence, R. I. [О логических парадоксах, а также о
вычислительных машинах и т. п.]
Г у д с τ е й н (G о о d s t e i n R. L.)
1958. On the nature of mathematical systems, Dialectica, 12, 296—316.
[Философское обсуждение, относящееся к спору между
интуиционизмом и формализмом, обсуждается также понятие функции.]
1959. Recursive analysis, См. Гейтинг, 1959, 37—42. [К предикативизму и
интуиционизму.]
1961. Recursive analysis, Studies in Logic and the Foundations of
Mathematics, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, VIII + 138.
Данжуа (D enjoy A.)
1963. Rapports logiques associes, pour l'inclusion ou l'exclusion, vis-a-vis
de ρ classes d'elements dans un meme espace. C. R. A. S., 257,
№ 18, 2594—2596.
Девиде (Devide V.)
1962. An equivalent of the axiom of choice, Nieuw Arch. Wich. (3), 10,
53—54.
1963. A proof of the well-ordering theorem, Colloq, Math., 11, 53—54.
[Указывается доказательство теоремы о вполне упорядочении, не
использующее индукции и порядковых чисел; проследить его
трудно из-за отсутствия многих деталей.]
1963а. A note on order relations, Publ. math., 10, № 1—4, 155—156.
1963b. A proof of the well-ordering theorem. Colloq math., 11, № 1,
53—54.
Дедекинд (DedekindR.)
1960. Stetigkeit und irrationale Zahlen, 6e unveranderte Aufl. [6-е
стереотипное издание.] Friedr. Vieweg und Sohn. Braunschweig, 22 pp.
1960. Was sind und was sollen die Zahlen? [8-е издание.]
Д е й κ μ a η (D i j k m a n J G.)
1962. A note on intuitionistic divergence theory, Nieuw Arch Wish.,
10 (3), 17—19.
1964. Markov chains and intuitionism, III, Note on continuous functions
with an application to Markov chains, Proc. Koninkl nederl, akad*
wet, A67, № 3, 256—261 (Indagationes math., 1964, 26, № 1,
256—261).
1963. Teorema de Konig у axioma de eleccion, Rev. Union mat. argent,
y. Asoc. fis. argent., 21, № 4, 198—214.
Деккер-Майхилл (Decker J. С Е., MyhillJ.)
1960 Recursive equivalence types, Univ. California Publ. Math., 3,
67—213. [К конструктивизму.]

Дополнительная библиография
509
До ее (Doss R.)
1963. On Godel's proof that V-L implies the generalized continuum
hypothesis, Notre Dame J. Formal Logic, 4, 283—287. [Существенное
упрощение гёделевского вывода.]
Думметт (Dummett M.)
1963. The philosophical significance of Godel's theorem, Radio, 5,
140—155. [В связи с теоремами о неполноте утверждается, что
понятие натурального ряда является расплывчатым]
Дэв и с М. (D a vis M.)
1958. Computability and unsolvability. New York — Toronto — London.
XXV + 210. [Готовится русское издание в изд. «Наука».]
1959. Computable functional of arbitrary finite type.
См. Гейтинг, 59, 281—284. [К определению вычислимости функ-'
ционалов.]
Д э в и с Р. О. (D a v i e s R. О.)
1962. Equivalence to the continuum hypothesis of certain proposition of
elementary plane geometry, Ζ Math Logik Grundlagen Math., 8,
109—111. [Примыкает к известным работам Серпинского.]
1962а. On a denumerable partition problem of Erdos, Proc. Cambridge
Philos. Soc, 59, 501—502.
1963. The power of the continuum and some propositions of plane
geometry, Fund. Math., 52, 277—281. [Обобщение одного результата
Багемила, 61.]
1963а. On a selection problem for a sequence finite sets. «Mathematika»,
10, № 19, 58—63.
Ершов Ю. Л. — Лавров И. А. — Тайманов А. Д. — Тайцлин Μ. Α.
1965. Элементарные теории, Успехи матем. наук, 20, вып. 4, стр. 37—108.
Есенин-Вольпин А. С.
1959. Анализ потенциальной осуществимости, в сб. Логические
исследования, 218—262.
1960 К обоснованию теории множеств, в сб. Применение логики к науке
и технике, 22—118.
1961 Le programme ultra-intuitioniste des fondements des mathematiques,
в сб. Infinitistic Methods, 201—223.
1961a. Современное состояние обоснования теории множеств, Тр.
4-го Всесоюзного матем. съезда, т. 2. [Обзорный доклад.]
Ефимов Н. В.
1945. Высшая геометрия, М. 487 стр. [3-е перераб. изд., М., 1953].
Заславский И. Д.
1962. Некоторые свойства конструктивных вещественных чисел и
конструктивных функций. Труды мат. ин-та им. Стеклова, 67, 385—457.
Заславский И. Д. — Цейтин Г. С
1962. О сингулярных покрытиях и связанных с ними свойствах
конструктивных функций. Труды мат. ин-та им. Стеклова, 67, 458—502.
1964. К вопросу об обобщениях принципа конструктивного подбора.
См. Шанин, 64, 344—347.
3 л о τ (Ζ 1 о t W. L.)
1958—59. Some commends on the role of the axiom of choice in the
development of abstract set theory, Math. Mag.t 32, 115—122.
1960. The principle of choice in pre-axiomatic set theory, Scripta Math.,
25, 105—123. [Популярно-исторический обзор, касающийся
известных 5 писем (см. Адамар, 05).]
34 Зак. 1765

510
Дополнительная библиография
Исбелл (I shell J. R.)
1960. A definition of ordinal numbers, Amer. Math. Monthly, 67, 51—52.
[Простое определение порядковых чисел.]
И с е к и (I s e k i К.)
1958. A generalization of a theorem of W. Sierpinski, Proc. Japan Acad.,
34, 28. [К статье в Ganita, 1954, 5, 113—116; обобщение на
бесконечные мощности.]
Капуано (К а р u a n о I.)
1958. Le probleme restreint du continu et une conjecture de M. Denjoy,
С R. Acad. Sci. Paris, 246, 33—36.
К a ρ η а п (С a r η a p R.)
1961. On the use of Hubert' ε-operator in scientific theories, сб.
°Бар-Хиллел — Познанский — Рабин — А. Робинсон, 61, стр. 156—
164.
Карр и (Си г г у Н. В.)
1963. Foundations of mathematical logic, New York, 408.
Карри-Фейс (Curry Η. В.. Feys R.),
1958. Combinatory logic, vol. I, With two section by W. Craig. [Два
параграфа принадлежат Крэйгу ] Studies in logic and the
foundations of mathematics, North-Holland Publisching Co., Amsterdam.
Кассина (CassinaU.)
1961. Critica dei principi della mathematica e questioni di logica, Edi-
zioni Cremonese, Rome, 1961, VII+ 519.
Качаровский (KaczarowskiS.)
1961. The theory of classes, as based on the theory of objects [по-польски,
есть русское резюме], Studia Logica, 12, 7—39.
1962. The theory of relations as based on the theory of objects [по-
польски, есть русское резюме}, там же, 13, 7—38.
1962а. О teorii .stosunkow zbudowanei zt teoni przedmitow (О теории
отношений, построенной на теории предметов), Stud, log., 13,7—38.
1963. О liczbach kardinalnych, Stud, log., 14, 11—58.
К е й с л e ρ (Κ e i s 1 e r Η. J.)
1960. Theory of models with generalized atomic formulas, /. S. L.t 25,
1—26.
1961. Ultraproducts and elementary classes, Nederl Akad. Wetensch.
Proc, A64; Indag. Math. 23, 477—495.
1962. Some applications of the theory of models to set theory, См. Logic,
Methodol. and Pnuos. Sci., 80—86.
1963. Limit ultraproducts, Trans. Amer. Math. Soc, 107, 382—408.
1964. Unions Qf relational systems, Proc. Amer. Math. Soc, 15, 540—545.
1964a. On cardinalities of ultraproducts, Bull. Amer. Math. Soc, 70,
644—647.
1964b. Good ideals in fields of sets., Ann. of Math. (2), 79, 338—359.
[Все работы посвящены теории моделей.]
Кейслер — Тарский (Keisler Η. J., Tarski A.)
1963—64. From acessible to inaccessible cardinals, Results holding for
all accessible cardinal numbers and the problem of their extension
to inaccessible ones, Fund. Math., 53, 225—308.
Кемени (К e me η у J. G.)
1958. Undecidable problems of elementary number theory, Math. Ann.,
135, 160—169. [О нестандартных моделях для арифметики.]

Дополнительная библиографий Sit
Кини (Keene G. В.)
1961. Abstract sets and finite ordinals, An introduction to the study of
set theory, Pergamon Press, New—York—Oxford—London—Paris.
X+106. [Учебник, полезный для философов и математиков. Есть
аксиоматика, сходная с бернайсовской.]
Кино (Kino А.)
1958. A consistency-proof of a formal theory of Ackermann's ordinal
numbers, /. Math. Soc. Japan, 10, 287—303.
Кино — Такеути (Kino Α., Takeuti G.)
1962. A note on predicates of ordinal numbers, J. Math. Soc. Japan, 14,
367—378. [Об аксиоме конструктивности, порядковых чнстах
и иерархии предикатов. См. Такеути и Кино, 1962.]
К л а у а (К 1 a u a D.)
1959—60. Трансфинитные действительные числовые пространства, Wiss.
Ζ. Humboldt Univ. Berlin. Math.-Nat. Reihe, 9, 169—172
1960. Berechenbare Reihen, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 6, 143—
161. [К конструктивизму.]
1961. Konstruktive Analysis, Mathematische Forschungsberichte, XI. VEB
Deutscher Veriag der Wissenschaften, Berlin, VIII+160.
1961a. Konstruktion ganzer, rationaler und reeler Ordinalzahlen und die
diskontinuierliche Struktur der Transfiniten reellen Zahlenraume,
Schriftenreihe Inst. Math. Deutsch. Akad. Wiss., Berlin, Heft 8,
Akademie-Verlag, Berlin, 141.
1963. Zur Definition reeller Ordinalzahlen, Ζ Math. Logik Grundlagen
Math., 9, 105—110.
1964. Eine Formulierung des Tarskischen Unerreichbarkeitsaxioms mittels
Allmengen, там же, 10, 115—117. [Формулировка аксиомы о
недостижимых алефах.]
1964а. Allgemeine Mengenlehre. Ein Fundament der Mathematik. Berlin.
VIII + 581 стр.
1965. Verwandte Satze zum Auswahlaxiom fur Klassen, Ζ Math. Logik
Grundlagen Math., 11 (1), 74—80.
Климовский (Klimovsky G.)
1960. Convergence, separability and axiom of choice (по-испански), Rev.
On. Math. Argentina, 19, 53—65.
1962. The axiom of choice und the existence of maximal commutative
subgroups (по-испански). [Указываются эквиваленты аксиомы
выбора.]
К л и н и (К1 е е η е S. С.)
1959. Realizability, см. Гейтинг, 59, 285—289. [Известное понятие
реализуемости (Клини, 52, § 82) переносится на анализ.]
Клини — Весли (KleeneS. С. — VesleyR. E.)
1965. The foundatious of intuitionistic mathematics, especially in relation
to recursive functions. Amsterdam. VHH-206 стр.
Козлова З. И.
1962. О проективных операциях и отделимости проективных множеств,
Изв. АН СССР, сер. мат., 26, 223—260.
1964. Аксиома конструктивности и кратная отделимость и
неотделимость в классах аналитической иерархии, Сибирский матем.
журнал, 5, № 6, 1239—1258.
Кой (Koj L.)
1963. Zasada przezroczystosci a antynomie semantyczne, Stud. Log., 14,
227—254 (резюме русск., англ.)а
34*

ви
Дополнительная библиография
Колмогоров А. Н.
1953. О понятии алгоритма, Успехи матем. наук, 8, № 4, стр. 175—176.
[Резюме.]
Кон до (Коп do M.)
1959. Sur la nommabilite d'ensembles de type superieur, C. R. Acad Sci.
Paris, 248, 3099—3101.
1960. Le fondement constructif du calcul infinitesimal, Osaka Math. J.,
12, 61—96. [К предикативизму.]
1961. Sur les domaines fondamentaux des fonctionneles de type trans-
fini, С R. Acad Sci Paris, 252, 3711—3713. [Содержится неясная
попытка выбрать «функцию» в качестве основного понятия теории
множеств.]
1961а Sur la nommabilite d'etres mathematiques, С R Acad. Set. Parts,
252, 3934—3936.
1961b. Sur les hyper-analyses relatives, там же, 253, 51—53, 209—211.
Константинеску (Constantinescu С.)
1962. Teoria multimilor [Есть русское резюме], Seminar M. Neculcea.
Editura Academiei Rebublicii Populare Romine, Bucharest, 107.
[Рассматривается вариант системы Бурбаки — Бернайса.]
Корсон (Corson Η. Η.)
1961. A property of the real line equivalent to the continuum-hypothesis,
Proc. Amer. Math. Soc, 12, 836—842.
Космак (Kosmak Ladislav)
1963. Sur la notion de borne superieure. Spesy prirodoved. fak. univ.
Erne, 5, 227—228.
да К о ста (da С о s t a N. С. Α.)
1958. Note on the concept of contradiction, Soc. Parana Mat. Anuario (2),
1, 6—8. [Философская заметка о противоречиях.]
1958а. Note on the logic of Brouwer — Heyting, там же, 9—10. [К
интуиционистской семантике.]
1958b. A question of philosophy of mathematics, там же, 21—27. [О роли
прагматики; обсуждаются интуиционизм и аксиома выбора.]
1963. Calculs propositionnels pour les systemes formels inconsistants,
С R. Acad. Sci. Paris, 257, 3790—3792.
1964. Calculs des predicats pour les systemes formells inconsistants,
там же, 258, 27—29.
1964a. Calculs des predicats avec egalite pour les systemes formels incon-
sistents, там же, 258, 1111—1113.
1964b. Calculs des descriptions pour les systems formels inconsistants,
там же, 1366—1368.
1964c. Sur un systeme inconsistant de theorie des ensembles, там же,
258, 3144—3147. [В этих работах рассматриваются противоречивые
системы, в которых на доказательства накладывается
ограничение — запрещается использовать противоречия. В последней
статье рассматривается система типа NF. Рассматривается
вопрос о тривиальности системы, т. е. о выводимости в ней любой
формулы.]
1964d. Sur une systeme inconsistant de theorie des ensembles, С R. A.S.,
258, № 12, 3144—3147.
1965. On the systems of set theory, Proc. Koninkl. nederl. akad. met,
A68, № 1, 95—99 (Indagationes math, 1965, 27, №1).
Кохен (Ко ch en S.)
1961. Ultraproducts in the theory of models, Ann. of Math., 74 (2)\
221—261.

Дополнительная библиография
S13
Кочиловский С. Р.
1959. Универсальные классы моделей, Докл. АН СССР, 124, 260—263.
1963 О квазипроективных классах моделей, Докл АН СССР, 128,
505—507. [Следствия из континуум-гипотезы для теории моделей.
Используются ультрафильтры и ультрапроизведения.]
1964. О соотношении между финитно-проективными и
финитно-редукционными классами моделей, Докл. АН СССР, 155, № 6,
1255—1257.
К о э н (CohenP.J)
1963. A minimal model for set theory, Bull. Amer. Math. Soc, 69,
537—540.
1963a. The independence of the axiom of choice, Stanford University, 32
(mimeogr.)
1963—64. The independence of the continuum hypothesis, Proc Nat. Acad.
Sci. USA, 1 — 1963, 50, 1143—1148; 11—1964, 51, 105—110.
[Русский перевод см в сб. «Математика», 9:4 (1965), 142—155.]
[В этих статьях доказывается независимость континуум-гипотезы
от аксиом системы Цермело — Френкеля, включая аксиому
выбора (непротиворечивость этой системы предполагается). В статье
1963а доказывалась независимость аксиомы выбора (а значит, и
аксиомы конструктивности) и равенства 2 ° = к} (более того,
существования алефа, равного 2 °), доказывалась и
независимость континуум-гипотезы в системе с аксиомой выбора. При
этом использовалась непротиворечивость одной дополнительной
аксиомы, без которой автор сумел обойтись в работе 1963—64.]
Краснер (Krasner M.)
1957. Theorie de la definition, I, /. Math. Pures Appl., 36, 325—357.
1958. Theorie de la definition, II. Theorie des categories superieures.
Systemes non Kroneckeriens, Origine et solution des paradoxes. La
signification du definitionnisme, там же, 37 (9), 55—101.
Крейдер — Роджерс (Kreider D. L., Rogers H., Jr.)
1961. Constructive versions of ordinal number classes, Trans. Amer. Math.
Soc, 100, 325—369. [О недостижимых алефах.]
Крейсел (KreiselG.)
1958. Mathematical significance of consistency proofs, /. S. L., 23,
155—182. [Предлагается заменить гильбертовскую программу
программой «рекурсивной интерпретации» неконструктивных
теорий.]
1958а. Elementary completeness properties of intuitionistic logic with a
note on negations of prenex formulae, /. 5. L·., 23, 317—330.
1958b. A remark on free choice sequences and the topological completeness
proofs, /. S. L, 23, 369—388. [Об интуиционизме и об
интуиционистской теории множеств; теорема о веерах (fan theorem;
вводится в качестве аксиомы.]
1958с. Hubert's programme, Dialectica, 12, 346—372.
1959. Interpretation of analysis by means of constructive functional of
finite types См. Гейтинг, 1959, стр. 101 — 128.
1959a. Analysis of the Cantor — Bendixon theorem by means of the
analytic hierarchy, Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. Sci. Math. Astr. Phys.,
7, 621—626. [В заглавии имеется в виду классификация Клини —
Мостовского.]
1960. La predicativite, Bull. Soc. Math. France, 88, 371—391. [К предика-
тивизму; о гиперарифметических предикатах и т. п.]

S14
Дополнительная библиография
1960а. Ordinal logics and the caracterization of informal concepts of proof.
Proc. Internat. Congress Math. 1958, Cambridge University Press,
New York, 289—299. [К предикативизму.]
1961. Set theoretic problems suggested by the notion of potential totality,
см. Infinitistic Methods, 103—140.
1962. Foundations of intuitionsitic logic, в сб. °Нагел — Саппс — Тар-
ский, 62.
1962а. On weak completeness of intuitionistic predicate logic, /. S. L, 27,
139—158. [К интуиционизму.]
1962b. The axiom of choice and the class of hyperarithmetic functions.
Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser , Α65; Indag. Math., 24, 307—319.
Крейсел — Лакомб — Шёнфилд (Kreisel G., Lacombe O.,
Shoenf ield J. R.)
1959. Partial recursive functionals and effective operations, см. Гей-
тинг, 59, 290—291.
Крейсел — Хао Ван (Kreisel G., Hao Wang)
1958. Applications of formalized consistency proofs, II, Fund Math 45,
334—335. [Часть I — там же, 1955, 42, 101—110]
Крейсел —Хао Ван — Шёнфилд (Kreisel Q., Shoenfield J. R.,
Hao Wang)
1960. Number theoretic concepts and recursive well-orderings, Arch. Math.
Logik Grundlagenforsch, 5, 42—64. [Об арифметических предикатах
и конструктивных ординалах.]
Крузе (Kruse А. Н.)
1962. Constructive methods of numeration, Ζ. Math. Logik Grundlagen
Math., 8, 57—70.
1962a. Some observations on the axiom of choice, там же, 125—146.
[Рассматриваются аксиома выбора и континуум-гипотеза в
системе без аксиомы фундирования.]
1962b. Completion of mathematical systems, Pacif. J. Math., 12, № 2,
589—605.
1963. A problem on the axiom of choice, там же, 9, 207—218. [О
нумерациях и аксиоме выбора.]
Крэйг (Craig W.)
1957. Linear reasoning. A new form of the Herbrand — Gentzen theorem,
/. S. L., 22, 250—268.
1957a. Three uses of the Herbrand — Gentren theorem in relating model
theory and proof theory, /. S. L, 22, 269—285. [К теории моделей,
в связи с исчислением 2-й ступени.]
К ρ э й г — В о о τ (С г a i g W., V a u g h t R. L.)
1958. Finite axiomatizability using additional predicates, /. S. L., 23,
289—308.
Хуайн (Quine W. V.)
1961. A basis for number theory in finite classes, Bull. Amer. Math. Soc,
67, 391—392.
1963. From a logical point of view, Logico-philosophical essays, 2-е
переработанное издание. Harper and Row., Publishers, New York —
Evanston, 111., VIII+184.
1964. The foundations of mathematics, ScL Amer., 211, 112—127.
1964a. Set theory and its logic, Cambridge, Harvard Univ. Press; London,
Oxford Univ. Press, XV+359. (Рецензия: A. A. Treherne [Трехерн],
Proc. Edinburgh Math. Soc, 1964, 14, № 2, 171—172.) [В бюллетене

Дополнительная библиография
515
«Новые книги за рубежом», сер. А, № 7, 1965, стр. 5, имеется
рецензия Д. А. Захарова и А. Д. Тайманова.]
Куайн — Хао Ван (Quine W. V., Wang На о)
1964. On ordinals. Bull. Amer. Math. Soc, 70, № 2, 297—298.
Кубинский (Kubinski T.)
1961. The scope of Lindenbaum's theorem on supersystems. (По-польски,
есть русское резюме.). Studia Logica, 12, 83—98. [Примыкает
к 56.]
Кузнецов А. В.
1960. Алгебра логики. Философская энциклопедия, Μ , 33—38.
Куллен (Cullen Helen F.)
1964. A characterization of sets of cardinal, C. Boll. Unione mat. Hal,
19, № 2, 138—140.
Kypena (Kurepa G.)
1958—59. Sull'ipotesi del continuo, Univ. e Politec. Torino Rend. sem.
Math., 18, 11—20.
1959. General continuum hypothesis and ramifications, Fund. Math.t 47,
29—33.
1959a. Sur une proposition de la theorie des ensembles, C. R· Acad. Sci.
Paris, 249, 2698—2699.
1962. On an inequality concerning cartesian multiplication. «Gen. Topol.
and its Relat. Mod. Analysis and Algebra», New-York — London,
Acad. Press. Prague. Publ. Hous Czechosl. Acad. Sci., 258—259,
1963. О tri osnovna suda u teriji supova i njihovoj konjunkcyi. Mat.
bibliot., № 25, 23—28
1963a. On universal ramified sets. Glasnik mat.-fiz. i. astron, 18, № 1—2,
17—26.
1964. Some reflections on sets and non-set, Pubis Inst, math., 4, 101—106.
Курода (Kuroda S.)
1958—59. An investigation of the logical structure of mathematics.
I. A logical system, Abhand. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1958»
22, 242—266.
II. Transformation of proof, там же, 1958, 23, 201—227.
III. Fundamental deductions; Nagoya Math. J., 1958, 13, 21—52.
IV. Compendium for deductions, там же, 123—133.
V. Contradictions of Russell's type, /. S. L., 1958, 23, 393—407.
VI. Consistent V-system T(V) (with corrections to part XII),
Nagoya Math. J., 1959, 14, 95—107.
VII. Set-theoretical contradictions, там же, 109—127.
VIII. Consistency of the natural number theory, там же, 129—158.
IX. Deductions in the natural number theory; Osaka Math. J.,
1959, 11, 7—42.
X. Concepts and sets, там же, 213—248.
[Часть XI содержит сводку основных понятий и результатов
предыдущих частей; на японском яз.]
XII. The principle of extensionality and of choice, Proc. Japan
Acad., 1958, 34, 400—403.
Куш η e ρ Б. А.
1964. Риманово интегрирование в конструктивном анализе, Докл. АН
СССР, 156, 255—257.

516
Дополнительная библиография
К э д ж о ρ и (С a j о г i F.)
1921 (*1) The purpose of Zeno's arguments on motion, Isis, 3, 7—20.
Кэррол (Karroll L. (Dodgson C. L.))
1895 (*1) What the tortoise said to Achilles, Mind, N. S., 4, 278—280.
Лакомб (LacombeD.)
1957—58. Les ensemble, recursivement ouverts ou fermes, et leurs
applications a l'analyse recursive, С R. Acad. Sci. Paris, 1957, 245,
1040—1043; 1958, 246, 28—31.
Л ал (Lai R. N.)
1963. A complete extension of ordinal numbers. Amer. Math. Monthley,
1963, 70, № 5, 501—505.
Ламбек (Lambek J.)
1958. The mathematics of sentence structure, Amer. Math. Mouthly, 65,
154—170 [Математическая лингвистика; связано с идеями Леснев-
ского.]
Ла Менса (La MenzaF.)
1964. On the foundations of arithmetic (по-испански), Math. Notae, 19,
171—177. [Рассматриваются основания арифметики конечных
множеств; Мендельсон в реферате (Math. Rev.) отметил, что имеется
порочный круг при доказательстве трихотомии]
Лёвенгейм (LowenheimL.)
1946. (Ч) On making indirect proofs direct (перевод Куайна [W. V. Quine]),
Scr. Math., 12, 125—139. (Cp. Site, der Berliner Math. Gesellschaft,
1917.)
Л ев и A. (Lev у А.)
1957—58. A note on definitions of finiteness, Bull. Res. Consib Israel
Sect., 7F, 83—84.
1958. The independence of various definitions of finiteness, Fund. Math.,
46, 1 — 13.
1958a. Comparision of subtheories, Proc. Amer. Math. Soc, 9, 942—945.
[О системах Цермело и Цермело — Френкеля, о недостижимых
числах и нестандартных моделях.]
1959. On Ackermann's set theory, /. S. L, 24, 154—166. [Помимо
прочего, найдена ошибка у Аккермана 56.]
1960. Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory, Pacific
J. Math, 10, 223—238. [Рассматриваются различные формы
аксиомы о недостижимых алефах.]
1960а. On models of set theory with urelements (есть русское резюме),
Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom Phys., 8, 463—465.
1960b. A generalization of GodePs notion of constructibility, /. S. L, 25,
147—155.
1960c. On a spectrum of set theories, Illinois J. Math., 4, 413—424.
[Рассматривается последовательность расширений системы Цермело —
Френкеля, полученных путем присоединений аксиом о
недостижимых числах.]
1960—61. Principles of reflection in axiomatic set theory, Fund Math.,
1—10. [Продолжение исследования, I960.]
1961. Axiomatization of induced theories, Proc. Amer. Math. Soc, 12.
1961a. Compelling the axiom of local and universal choice, сб. °Бар-Хил-
лел — Познанский — Рабин — А. Робинсон, 61, стр. 83—90.
1961—62. Axioms of multiple choice, Fund. Math., 50, 475—483.
1962. On the principles of reflection in axiomatic set theory, Proc.
Intern. Congr., 1960, 87—93. [Продолжение работ, I960, 60—61.]

Дополнительная библиография 517
1963. Remarks on a paper by J. Mycielski, Acta Math. Acad Sci. Hun-
gar., 14, 125—130.
1964. The interdependence of certain consequences of the axiom of choice,
Fund. Math., 54, 135—157. [Применение метода Френкеля — Mo-
стовского.]
А. Л е в и — В о о τ (L е ν у Α., V a u g h t R.)
1961. Principles of partial reflection in the set theories of Zermelo and
Ackermann, Pacific J. Math., 11, 1045—1062.
А. Леви — Маховер (Levy Α., Machover Μ.)
1966. Recursive functions of ordinal numbers. Studies in Logic. North-
Holland Publ. Co. [Готовится к печати.]
Л е м а н (Lehman R. S.)
1960—61. On primitive recursive real numbers, Fund. Math, 49, 105—118.
[К конструктивизму.]
Л e ρ д a (L e r d a F.)
1959—60. Analisi critica dei fondamenti dell' intuizionismo, Univ. e Poli-
tec. Torino Rend. Se/n. Mat., 19, 121—218. [Критический обзор,
содержащий, по мнению Роотселаара (референт из Math. Rev.),
сомнительные утверждения. Диссертация.]
Лерхер (Lercher В. L.)
1963. (опубл. 1964). Strong reduction and recursion in combinatory
logic. Докторская диссертация, Pensilvania State Univ., 73.
Линдон (Lyndon R. C.)
1959. An interpolation theorem in the predicate calculus, Pacific J. Math.,
9, 129—142. [К теории моделей.]
1959a. Properties preserved under homomorphism, Pasific J. Math, 9,
143—154. [К теории моделей]
1959b. Existential Horn sentences, Proc Amer. Math Soc, 10, 994—998.
[О прямых произведениях алгебра
1959c. Properties preserved in subdirect products, Pacific J Math., 9,
155—164.
Лойхли (Lauchli H.)
1961. Ein Beitrag zur Kardinalzahlarithmetik ohne Auswahlaxiom, Z.
Math. Logik Grundlagen Math., 7, 141—145.
1962—63. Auswahlaxiom in der Algebra, Comment. Math. Helu, 37, 1 — 18.
[Доказывается независимость ряда теорем алгебры и топологии
от аксиомы выбора — например, теоремы о существовании
замыкания любого поля, теоремы Шрейера о подгруппах свободной
группы, леммы Урысона. При отсутствии аксиомы выбора
возможно, что существует векторное пространство без конечной базы,
у которого все собственные подпространства конечномерны,
а также что существуют два изоморфных векторных простран·
ства, у которых базы имеют различную мощность.]
1964. The independence of the ordering principle from a restricted axiom
of choice, Fund. Math., 54, 32—43. [Доказывается независимость
принципа упорядочения (о том, что каждое множество равно
некоторому упорядоченному множеству) от ограниченной формы
аксиомы выбора (позволяющей указать для каждого вполне
упорядоченного множества некоторый его полный порядок).]
Ломбардо-Радиче (Lombardo-Radice L.)
1962. Eine Bemerkung iiber die Adtinomie von Richard, Arch. Math., 13,
166—168. [Развивается мысль о том, что двусмысленность языка
не означает его противоречивости.]

518
Дополнительная библиография
Лоренцен (Lorenzen P.)
1958. Logical Reflection and formalism, J. S. Lt 23, 241—249.
1958a. Uber den Kettensatz der Mengenlehre, Arch. Math, 9, 1—6. [О
частично упорядоченных множествах и их отображениях ]
1959. Uber die Begriffe «Beweis» und «Definition», см. Гейтинг, 1959,
169—177.
Лось (Los J.)
1955. Mathematical interpretation of formal systems, North-Holland,
Amsterdam (стр. 98—113). [К теории моделей; под названием
«champ logique» вводятся ультрапроизведения.]
1961. Some properties of inaccessible numbers. В сб. «Infinitistic
Methods», 21—23.
Л у ρ и a (Lu r i a S.)
1933. (*1) Die Infinitesimaltheorie der antiken Axiomisten, Quellen und
Studien zur Geschichte der Math., В 2, 106—185.
Люке (Luquet G.-H.)
1928 (*2) Principaux types logiques de demonstration mathematique,
Revue Philosophique, 106, 387—417.
Ляпунов A. A.
1963. Об операциях над множествами, Алгебра и логика. Семинар
(Новосибирск), 2, № 2, 47—56.
Μ а зу ρ (Μ a z u r S.)
1963. Computable analysis, Rozprawy Math., 33, 110 pp. [К
конструктивному анализу; лекции 1949—50 гг.]
Μ а й χ и л л (М у h i 1 1 J.)
1958. Recursive equivalence types and combinatorial functions, Bull. Amer.
Math. Soc, 64, 373—376. [К рекурсивной арифметике.]
1959. Finitely representable functions, см. Гейтинг, 59, 195—207.
1960. Some remarks on the notion of proof, /. Philos., 57, 461—471.
Мальцев А. И.
1959. О малых моделях, Докл. АН СССР, 127, 258—261.
1959а. Соответствия между моделями, И АН СССР, 23, 313—336. .
1959b. Регулярные произведения моделей, И АН СССР, Сер. мат., 23,
489—502.
1960. Неразрешимость элементарных теорий некоторых полей. Сибирск.
мат. журн., 1, 71—77.
1961. Эффективная неотделимость множества тождественных истинных
формул от множества конечно опровержимых формул в
некоторых элементарных теориях, Докл. АН СССР, 139, 802—805.
1961а Неразрешимость элементарной теории конечных групп, Докл. АН
СССР, 138, 771—774.
1961b. Конструктивные алгебры I, Успехи матем. наук, 16, № 3 (99)\
3—60. [Обсуждается вопрос о том, какие абстрактные алгебры
конструктивны.]
1962. Докл. АН СССР, 145, 276—279. [Относится к работе Тарского —
Мостовского—Робинсона, 53.]
1962а. О рекурсивных абелевых группах, Докл. АН СССР, 146, 1009—
1012.
1963. Некоторые проблемы в теории классов моделей. Труды 4-го
Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1961, т. 1, ИАН
СССР, Л., 169—198.
1965. Алгоритмы и рекурсивные функции, «Наука», М., 391 стр.

Дополнительная библиография
519
Марков А. А.
1958. О конструктивных функциях, Труды мат. ин-та им. Стеклова, 52,
315—348. [Перевод в Amer. Math. Soc. TransL (2), 29 (1963),
163—195.
1958a. Неразрешимость проблемы гомеоморфии. Доклады АН СССР, 121,
№ 2, 218—220.
1958b. О неразрешимости некоторых проблем топологии. Там же, 123,
978—980.
1962. О конструктивной математике. Труды мат. ин-та им. Стеклова, 67,
8—14.
Мартин (Martin R.)
1958. Sur les notions intuitives mises en par la constitution et l'etude
d'un systeme formel, в сб. Colloque Internationaux, 91—96.
[Рассуждения об интуиции и формализмах ]
Μ а с л о в С. Ю.
1963. О строгой представимости множеств исчислениями, Докл. АН
СССР, 152, № 2, 272—274.
Маховер (Machover M.)
1961. The theory of transfinite recursion, Bull Amer. Math. Soc, 67,
575—578. [См. Генкин, 61J
Мачинский (Matschinski M.)
1960. La negation et le complement, Atti. Accad. Ligure, 17, 285—315
(выпущено в 1961). [Обсуждается вопрос о ненужности теории
типов при отказе от отождествления операций отрицания и
дополнения.]
Маэхара — Нисимура — Секи (Maehara S., Hishimura Т.,
Seki S.)
1958. Another proof of Takeuti's theorems on Skolem's parada, Л Fac.
ScL Univ. Tokyo, sect I, 7, 541—556.
1962. Cut-elimination theorem concerning a formal system for ramified
theory of types which admits quantifications on types, Ann. Japan
Assoc. Philos. ScL, 2, 1 — 10.
Мендельсон (Mendelson E.)
1958. The Axiom of Fundierung and the axiom of choice, Arch. Math
Logik Grundlagenforsch, 4, 65—70. [Доказывается независимость
аксиомы выбора в системе типа Бернайса — Гёделя, без
индивидов (Urelemente), но и без аксиомы фундирования. По существу
это делается методом Френкеля — Мостовского.]
1964. Introduction to mathematical logic. Princeton (New Jersey) — New
York — Toronto — London, X+300 стр.
Михайлова К- А.
1958. Проблема вхождения для прямых произведений групп. Докл. АН
СССР, 119, № 6, 1103—1105.
1959. Проблема вхождения для свободных произведений групп. Там же,
127, № 4, 746—748.
Μ о и с и л (М о i s i 1 G.)
1960. On the logic of Bocivar (есть русское резюме), Acad. R. P. Ro-
mine An. Romino-Soviet. Ser. Math.-Fiz., 14 (3), № 3 (34), 19—25.
Μ о н к — С к о τ τ (Monk D., Scott D.)
1963—64. Addition to some results of Erdos and Tarski, Fund Math., 53,
335—343. [К вопросу о недостижимых алефах.]

520
Дополнительная библиография
Монтегю (Montague R.)
1961. Semantical closure and non-finite axiomatizability. I. Infinitistic
Methods, 45—69. [К метаматематике.]
1961a. Fraenkel's addition to the axioms of Zermelo. Сб. °Бар-Хиллел —
Познанский— Рабин — А. Робинсон, 61. 91 —114.
1962. Two contributions to the foundations of set theory, 94—110.
[О конечной неаксиоматизируемости системы Цермело —
Френкеля; о формулировках аксиом для недостижимых алефов.1
1963. Syntactical treatments of modality, with corollaries on reflexion
principles and finite axtomatizability, Acta Philos. Fenn. Fasc, 16,
153—167. [О связи логики модальностей, аксиом о недостижимых
алефах и конечной аксиоматизируемости. В присутствии аксиом
вида ΑΓφ->φ, 7V(cp-> ψ) -» (УУср ->7Vx|)) и Νχ (где N обозначает
необходимость, а χ — логическую аксиому) аксиома N (Νφ -> φ)
приводит к противоречию ]
Монтегю — Boot (Montague R., Vaught R. L.)
1959. Natural models of set theories, Fund. Math., 47, 219—242.
1959a. A note on theories with selectors, там же, 243—247. [В этих статьях
доказывается, что, в предположении о существовании
недостижимого алефа λ, наименьшее порядковое число Θ, для которого
натуральная модель %q (образованная множествами ступени<9 и
отношением принадлежности между этими множествами)
удовлетворяет всем аксиомам системы Цермело — Френкеля, меньше λ.
Вторая статья содержит семантико-синтаксическое уточнение
первой. Под «селектором» понимается переход от квантора
существования 3 к квантору существования и единственности 3·]
Монтегю — Феферман (Montague R., Feferman S.)
The method of arithmetization and some of its applications.
Морзе (Morse A. P.)
1965. A theory of sets. New York —London, XXI+130 стр.
Морли — Boot (MorleyM., Vaught R)
1962. Homogeneous universal models, Math. Scand. 11, 37—57. [К теории
моделей.]
Мостовский (Mostowski A)
1958. Quelques observations sur l'usage des methodes non finitistes
dans la metamathematique, в сб. Coiloques Internationaux, 1958,
19—32.
1958a. On a problem of W Kinna and К Wagner, Collog. Math , 6, 207—
208. [См. Кинна — Вагнер, 55.]
1959. A class of models for second order arithmetic, Bull. Acad. Polon.
Sci Sar. Sci. Math. Astr. Phys., 7, 401—404 (есть русское
резюме). [К теории моделей.]
1961. Concerning the problem of axiomatizability of the field of real
numbers in the weak second order logic. Сб. Бар-Хиллел —
Познанский—Рабин— А. Робинсон, 61, 269—286 [К теории
моделей и предикативному анализу.]
1962. Representability of sets in formal systems, Proc. Sympos. Pure
Math., vol. V, 29—48, American Math. Soc, Providence, R. I.
[Классификация различных более или менее конструктивных
семейств множеств.]
1962а. L'espace des modeles d'une theorie formalisee et quelques-unes de
ses applications, Ann. Fac. Sci. Univ. Clermont. Math., № 7,107—116.

Дополнительная библиография
521
Мучник А А.
1958. Решение проблемы сводимости Поста и некоторых других проблем
теории алгорифмов, Труды Моск. мат. об-ва, 7, 391—405. [Есть
англ. перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 2 (29), 1963, 197—215.]
Мыцельский (Mycielski J.)
1963—64. On the axiom of determinateness, Fund. Math., 53, 205—224.
[В связи с формализацией теории игр, основанной на системе
Цермело — Френкеля, вводится «аксиома определенности»,
противоречащая аксиоме выбора.]
1964. On the axiom of determinateness, Fund, math., 53, № 2, 205—224.
Мыцельский — Сверчовский (Mycielski J., SweirczowskiS.)
1964. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness,
Fund. Math,, 54, 67—71.
1964a. Определение арифметических операций в модели Аккермана,
Алгебра и логика. Семинар, Зт № 5—6, 64—65.
Мыцельский, Штейнгауз (Mycielski J., Steinhaus H.)
1962. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, Bull Acad.
Polon. Sci. Sir. Sci. Math. Astronom. Phys, 10, 1—3. [К аксиоме
определенности — см. Мыцельский, 63—64.]
Мэнь (Μ eigne M.)
1959. La consistance des theories formelles et le fondement des mathema-
tiques, Librairie scientifique et Technique Albert Blanchard, Paris,
115.
Мюллер (Muller G. H.)
1961. Uber die unendliche Induction, «Infinitistic Methods», 75—95.
Нагаи (Nagai H)N
1960. The concept of formality in mathematics, Ann. Japan Assoc. Philos.
Sci., 1, 289—312. [Философские рассуждения, содержащие мысли
о необходимости обосновать аксиоматическую теорию множеств.
Автор считает, что нашему мышлению свойственно допускать
бесконечное.]
Нагорный Н. М. - Ш а н и и Н. А.
1964. Андрей Андреевич Марков (к шестидесятилетию со дня
рождения). Успехи матем. наук, 19, вып. 3 (117), 207—223.
Натансон И. П. с
1950. Теория функций вещественной переменной, М.—Л., 399 стр.
(2-е изд., 1957.)
Фон Нейман (vonNeumanJ.)
1961. Collected works. Vol. I Logic, theory of sets and quantum
mechanics, General editor: A. H. Taub. Pergamon press, New York —
Oxford — London — Paris, X + 655. [Собрание сочинений из 5
томов; в первом имеется материал, относящийся к теме этой книги,
а именно по аксиоматике фон Неймана.]
Нибоун (Kneebone G. Т.)
1963. Mathematical logic and the foundations of mathematics: An
introductory survey, D, Van Nostrand Co., Ltd, London — Toronto —
New York — Princeton, N. J., IX + 435. [Монография, содержащая
ряд ценных сведений, относящихся к истории математической
логики (например, излагается первоначальная символика Фреге для

522
Дополнительная библиография
исчисления предикатов); носит философский, далеко не
технический характер. В книге 13 глав. гл. 11-я по'священа
аксиоматической теории множеств. Глубокие новейшие результаты в этой
области остаются за пределами рассмотрения.]
Η и д д и τ ч (N i d d i t с h Р. Н.У
1962. The development of mathematical logic. The Free Press of Glencoe,
New York, viii + 88.
Нисимура (NishimuraT.)
1963. The consistency and the impredicative statement, Ann. Japan. Assoc.
Philos. Sci, Z, 144—156. [Доказывается непротиворечивость
системы Цермело — Френкеля в непредикативном расширении
системы Бернайса — Гёделя.]
Новак (Novak Josef)
1962. On partition of an ordered continuum, Fund, math., 39, !952 (rep-
rod. 1962), 53—64.
Новиков П. С.
1959. Элементы математической логики, М., 400 стр.
1963. On the consistency of some proposition of the descriptive theory
of sets [перевод статьи Новикова, 51], Amer. Math. Soc. Transl., Ζ
(29), 51—89.
Новотный (Novotny Μ.)
1952. Sur la representation des ensembles ordonnes, Fund, math., 39
(reprod. 1962), 97-102.
1963. Uber Kardinalprodukte, Z. m. L. g. m., 9, № 1, 13—20.
Ноймер (Neumer W.)
1957—1960. Algorthmen fur Ordnungszahlen und Normalfunktionen, I,
Z. Math. Logik Grundlagen Math., 1957, 3, 108—150; И, там же,
1960, 6, 1—65.
Обершельп (Oberschelp A)
1958. Uber die Axiome produkt-abgeschlossener arithmetischer Klassen,
Arch. Math. Logik Grundlagen]orsch, 4, 95—123. [К теории
моделей.]
1960. Uber die Axiome arithmetischer Klassen mit Abgeschlosenheitsbedin-
gungen, там же, 5, 26—36. [К теории моделей.]
1960—61. Uber die Unentscheidbarkeit gewisser Axiomenmengen, Arch.
Math. Logik Grundlagen]orsch, 2, 112. [О неразрешимости
предложений, сохраняющихся при гомоморфизмах.]
1964. Eigentliche Klassen als Urelemente in der Mengenlehre, Math. Ann.,
157, № 3, 234—260. [Рассматривается новая система аксиом для
теории множеств, связанная с недостижимыми алефами.]
Оно (О η о К·)
1957. A set theory founded on unique generating principle, Nagoya Math.
J., 12, 151 —159. [Вводится новая система, эквивалентная система
Цермело — Френкеля ]
1962. A theory of mathematical objects as a prototype of set theory,
там же, 20, 105—168 [Вводится новая система, промежуточная по
своей силе между системами Цермело и Цермело — Френкеля.]
1963. A stronger system of object theory as a prototype of set theory,
там же, 22, 119—167. [Рассматриваются системы, родственные
системе Цермело — Френкеля и равносильные ей в смысле
непротиворечивости.]

Дополнительная библиография
523
1963а. New Formulation of the axiom of choice by making use of the
comprehension operator, там же, 23, 53—71. [О связи между
аксиомами выбора и экстенсиональности ]
1963b. New formulation of the axiom of choice by making use of the
comprehension operator, Nagoya Math., J., 23, 53—71.
1963c. A stronger system of object theory as a prototype of set theory,
Nagoya Math. /., 22, June, 119—167.
Оревков В. П.
1963. Конструктивное отображение сферы в себя, сдвигающее каждую
конструктивную точку, Докл. АН СССР, 152, 55—58.
1963а. Конструктивные отображения полиэдров, там же, 278—281.
1964. О конструктивных отображениях круга в себя. Труды мат. ин-та
им. Стеклова, 72, 437—461.
Ори (Orey S.)
1959. Model theory for the higher order predicute calculus, Trans. Amer.
Math. Soc, 92, 72—84.
1961. Relative interpretations, Z. Math. Logik Grundlagen Math,, 7,
146—153. [К теории Фефермача об интерпретациях.]
1964. New foundations and the axiom of counting, Duke Math. ]., 31,
№ 4, 655—660.
Парсонс (Parsons C.)
1962. The Ω-consistency of ramified analysis, Arch. Math. Logik Grund-
lagenforsch, 6, 30—34. [К предикативизму. Вероятно. «Ω»,
стоящая вместо «ω» в подлиннике или реферате Крейсела в качестве
опечатки.]
Π а т а й (Р a t a i L.)
1928. (*1) Uber die Reihe des unendlichen Kardinalzahlen, Math. Ztschr.,
28, 321—329. (Ср. ранее в Math, es Termesz. ert.t 43, 5—14, 1926.)
Патнэм — Шмульян (Putnam HM Smullyan R. M.)
1960 Exact separation of recursively enumerable sets theories, Proc.
Amert. Math. Soc, 11, 574—577. [К конструктивистской
метаматематике.]
Педдикорд (Peddicord R.)
1962. The number of full sets with η elements, Proc. Amer. Math. Soc,
13, 825—828. [Дается формула для числа полных (т. е.
транзитивных) множеств с η элементами.]
Петер (Peter R.)
1961. Uber die Verallgemeinerung der Rekursionsbegriffe fur abstrakte
Mengen als Definitionsbereiche, в сб. Infinitistic Methods, 329—335.
Пи (Pi С Ρ )
1962. On the formalization of logical paradoxes, (по-испански), Actas 2a.
Reunion Math. Espanoles, 1961, 137—142. Seminario Mathematico
de Zaragoza, Zaragoza.
1964. Formalization of the Russel counter-paradox (по-испански), Math.
Notae, 19, 147—151.
Пикар (Piccard Sophie)
1935. (*1) Sur les functions definies dans les ensembles finis quelconques,
Fund Math., 24, 298—301. (Cp. Sierpinski [Серпинский]: там же,
209—212.)
1937. (*2) Sur un probleme de M. Ruziewicz de la theorie des relations,
Fund. Math, 29, 5—8. (Ср. там же, 28, 197—202, 1936; Mathema*

524
Дополнительная библиография
Пса [Clug], 13, 55—58, 1937; С. R. Varsovie, 30, 12—18, 1937; La-
zar D.: Compositio Math., 3, стр. 304, 1936; Sierpinski [Серпинский]:
Fund Math., 28, 71, 1936, и Bull. Intern, de VAcad. Polon. de Sc.
et Lettres, A 1936, 433—435; Grtinwald G. [Грюнвальд]: Math,
es Fiz. Lapok, 44, 51—53, 1937.)
Полякова (Polakova Nadezda)
1963. Poznamka о charakteristikach asporadanych mnozin, Casop. pestov.
mat., 88, № 4, 387—390.
Попруженко (PopruzenkoJ.)
1958. Sur une proposition equivalence a l'hypothese de continu, Colloq.
Math,, 6, 203—206.
Прайор (Prior A. N.)
1958. Epimenides the Cretan, J. S L, 23, 261—266. [О парадоксе лжеца.]
Престон (Preston G. В.)
1962. A characterization of inaccessible ordinals, Proc. Glasgow Math.
Soc, 5, 153—157.
Рабин (Rabin M. O.)
1958. On recursively enumerable and arithmetic models of set theory,
J. S. L., 23, 408—416. [О моделях для системы Σ Гёделя.]
1961. Non-standart models and independence of the induction axiom,
сб. °Бар-Хиллел — Познанский — Рабин — А Робинсон, 61, стр.
287—299.
Фон Райт (von Wright G. Η.)
1960 The heterological paradox, Soc. Sci. Fenn. Comment. Phys. — Math.,
24, № 5, 28 pp.
Рамсей (Ramsey F. P.)
1960. The foundations of mathematics and other logical essays. Edited by
R. B. Braithwaite [Брейтуэйт] with a preface by G. E. Moore [Mypj.
International Library of Psychology, Philosophy and scientific
Method. Littlefield, Adams and Co. Paterson., N. J,, XVII+292.
Расёва (Rasiowa H.)
1959. Algebraische Charakterisierung der intuitionistischen Logik mit star-
ken Negation, см. Гейтинг, 59, 234—240. [К метаматематике и
теории моделей.]
1964. A generalisation of a formalized theory of fields of sets on non
classical logics. Rozpr. math., № 42, 28 стр.
Расёва — Сикорский (Rasiowa Η, Sikorski R.)
1959. Formalisierte intuitionistische elementare Theorien. [К
метаматематике и теории моделей.]
г'ауботтом (Rowbottom F.)
1964. Some strong axioms of infinity incompatible with the axiom of con-
structibility. Докт. диссертация, Univ. Wisconsin, 78 стр.
Ρ в а ч е в Л. А.
1964. Формализации простейших языковых Каркасов. Сб. «Информацион*
нь!е системы», М. ВИНИТИ.
1964а. О моделировании математики. Сб. «Кибернетика и техника
вычислений», Киев, стр. 3—17. [Автор характеризует свою позицию
как номиналистическую.]

Дополнительная библиография 525
Регис (Reghis M.)
1959. (Вышел в 1960.) Sur le theoreme Cantor—Bernstein de latheorie
des ensembles (есть русское резюме), Lucrar. Sti. Inst, Red. Tirni-
soar a Mat.-Fiz., 163—168.
Ρ и г e ρ (R i e g e r L.)
1957—59. A contribution to Godel's axiomatic set theory (есть русское
резюме). I, Chechoslovak Math. J., 7, 1957, 7 (82), 323—357; II,
там же, 1959, 9 (84), 1—49; III, там же, 13 (88), 51—88.
1960. The problem of the so-called absolutely undecidable sentences of
number theory (есть русское резюме). Casopis Pest. Math., 85,
1—13.
1961. Sur le probleme des nombres naturels, Infinitistic Methods, 225—233.
[Развиваются некоторые мысли в направлении
ультраинтуиционистской программы обоснования теории множеств.]
1963. On the consistency of the generalized continuum-hypothesis, Roz-
pruwy Math., 31, 45 стр
Рисе (R i s s J.)
1956. Les theoremes de Zorn et de Zermelo, Publ. Sci. Univ. Alger.,
Ser. A3, 121 — 124
Рихтер (Richter W. H.)
1963 (Опубл. в 1964.) Systems of notations for the «constructively
accessible» ordinals, Докторская диссертация, Princeton Univ., 183 стр.
1965. Regressive sets of order n, Math. Z., 86, № 5, 372—374.
Робинсон A. (Robinson A.)
1961. Model Theory and non-standard arithmetic, в сб. Infinitistic
Methods, 265—302. [К теории моделей.]
1961. Non-Standard analysis. Nederl. Akad. Wetensch. Proc, A64; Indag.
Math., 23, 432—440. [Доказывается непротиворечивость некоторой
системы анализа, содержащей теорему Вейерштрасса и т. п.]
1961. On the construction of models, в сб. Бар-Хиллел — Познан-
ский — Рабин — А. Робинсон, 207—217. [К теории моделей.]
Робинсон P. (Robinson R. Μ.)
1958. Restricted set-theoretical definitions in arithmetic, Proc. Amer.
Math. Soc, 9, 238—242.
Роотселар (vanRootselar B.)
1960. On intuitionistic difference relations, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Soc, A63; indag Math., 22, 316—322.
Ρ ο τ м э н (R ο t m a n)
1963. Principal sequences and regressive functions, /. London Math. Soc,
38, 501—504.
Рубин Г. (Rubin Η.)
1959. A new form of the generalized continuum hypothesis, Bull. Amer.
Math. Soc, 65, 282—283. [Мощность ρ накрывает мощность q, если
p>q и между ними нет промежуточной мощности. Обобщенная
континуум-гипотеза (2**а = Να+1) + аксиома выбора эквивалентны
тому, что если мощность ρ накрывает q, то р = 2г для некото*
рого г.]
Рубин Г. — Рубин Дж. (R u b i η Η., R u b i η J. E.)
1963. Equivalents of the axiom of choice, North-Holland Publishing Co./
Amsterdam, XXIII+134 pp.
35 Зак. 1765

526
Дополнительная библиография
Рузевич (Ruziewicz S.)
1935. (*1) Sur une proposition equivalente a la l'hypothese du continu,
С R. Varsovie, 27, 101—103.
1936. (*2) Une generalisation d'un theoreme de M. Sierpinski, Publicat.
Math, de VUniv. de Belgrade, 5, 23—27.
1937. (*3) Generalisation de quelques theoremes equivalents a l'hypothese
du continu, С R. Varsovie, 30, 18—24.
Рутш (Rut sen M.)
1964. Uber Rationalitatskriterien fur Wahlandlungen. Bemerkungen zu
Aufsatz: «Some relations between alternative rational choice criteria
for consumer-behavior theories based on weak orderings» von
E. M. Fels, Weltwirtsch. Arch., 92, № 2, 396—404 (нем.; рез. англ.,
франц., исп., итал.).
Рылль-Нардзевский (Ryll-Nardzewski С.)
1959. On the categoricity in power > Ho, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci.
Math. Astr. Phys., 7, 545—548. (Есть русское резюме.)
С а м б у р ск и й (S a m b u r s k у S)
1923. (*1) Uber den indirekten Beweis in der Mathematik und Physik.
Диссертация (Konigsberg i Pr.) (рукопись), 86 стр
С а м п е й (S a rn p e i Y.)
1961. Note on the effective choice of a point in the complement of an
analitic set, Comment. Math. Univ St. Paul, 9, 91—95. [Усиление
теоремы Лузина — Новикова.]
1961а. On the uniformization of the complement of an analytic set,
Comment. Math. Univ. St. Paul, 10, 57—62. [Дается упрощенное
доказательство теоремы Кондо об униформизации аналитических
дополнений.]
1961b. On the uniformization of a set of class Αρσ, там же, 67—73.
[К одной теореме Лузина об униформизации Л-множеств.]
С а π π с (Sup pes P.)
1960. Axiomatic set theory, The University series in Undergraduatic
Mathematics. D. Von Nostrand Co., Princeton, N. J., Toronto —
London— New-York, vii+104. [Рассматриваются аналоги систем Цер-
мело, Цермело — Френкеля и Цермело — Френкеля — Сколема.]
С ас (Szasz P.)
1959. Uber den Aquivalenzsatz der Mengenlehre, Math. Lapok, 10, 49—52.
[К доказательству теоремы Кантора об эквивалентности.]
Све нониус (Svenonius L.)
1959. «o-categoricity in first-order predicate calculus, Theoria (Lund), 25,
82—94.
1959a. A theorem on permutations in models, там же, 173—178.
1960. On minimal models of first-order systems, там же, 26, 44—52.
1960a. Some problems in logical model-theory. Library of Theoria, № IV,
CWK Gleerup, Lund; Ejnar Munksgaard, Copenhagen; 43 стр.
Сверчковский (SwierezkowskiS.)
1959. Some remarks on inaccessible alephs, Collog. Math., 7, 27—30.
Секани на (Sekanina Μ.)
1964. On ordering of the system of all subsets of a given set, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 10, № 4, 283—301.

Дополнительная библиография
527
Секи (S e k i S.)
1961. On transitive inferences. II, Comment. Math. Univ. St. Paul, 10,
13—16. [Рассматриваются эквиваленты аксиомы выбора в
системе Σ Гёделя.]
Серпинский (Sierpinski W.)
1924. (*Б) Sur l'hypothese du continu, Fund. Math., 5, 177—187.
1930. (*8) Sur l'hypothese qu'il n'existe aucun nombre cardinal intermedi-
λ 2λ
aire entre 2 2 ° et 2 °, Fund. Math., 15, 1—3.
1933. (*12) Une proposition equivalente a l'hypothese du continu, Publ.
Math, de Γ Univ. de Belgrade, 2, 17—18. (Cp. Acad. Roumaine, Bull.
Sect. Sc, 16, 103—107.)
1933a. (*14)λ Remarques sur l'hypothese du continu, Tohoku Math. J., 38,
225—226. (Cp. Mathematica (Cluj), 9, 56—60, 1935; Tseki K.:
/. Osaka Inst, of Sc. Techn. I, 1, 3—4 (1949).)
1934. (*16) Sur une certaine famille de suites infimes de nombres reels,
Bull de la Soc. R. des Sc. Liege, 3, 75—78.
1934a. (*18) Hypothese du continu (Monogr. Math., vol. IV). Warsawa—
Lwow, 192 стр. (Ср. Commentarii Math. Helvet., 19, 215—219.)
1934b. (*19) Un theoreme topologique equivalent a l'hypothese du continu,
Fund. Math., 23, 190—192. (Ср. там же, 22, 21—23, 1934; 25,
546—550, 1930.)
1935. (*20) Une propriete du nombre K2 et l'hypothese du continu,
С R. Varsovie, 27, 128—129.
1935a. (*2l) Un theoreme de la theorie generate des ensembles et ses
consequences, Fund. Math., 24, 8—11. (Ср. там же, 43—47.)
1936. (*23) Sur les suites transfinies multiples universelles, Fund. Math.,
27, 1—9.
1937. (*24) Sur deux propositions dont l'ensemble equivaut a l'hypothese
du continu, Fund. Math., 29, 31—33.
1941. (*25) L'axiome du choix et l'hypothese du continu, Les Entretiens
de Zurich, 125—134. (Ср. там же, 134—143.)
1959. On a certain plane set, Wiadom. Math. 3 (2), 123—125.
1960—61. Sur les families d'ensembles infinis de nombres naturels, Fund.
Math., 49, 151—155. [К вопросу об аксиоме выбора.]
1961. On the axiom of choice (по-сербохорватски), Acad. Serbe Sci. Arts.
Glas. CI. Sci. Math. Nat., 249, 233—243. [Обзорная статья;
говорится о работах Мостовского и о парадоксах, связанных с
аксиомой выбора.]
1963. Projective and analytic sets, Scripta Math., 26, 187—195.
Сикорский (SikorskiR.)
1959. Der Heytingsche Pradikatenkalkul und metrische Raume, см. Гей-
тинг, 59, 250—253. [К теории моделей и метаматематике. Связана
с топологией.]
Симаути (Simauti Т.)
1964. A note on the construction of ordinal numbers, Comment. Math.
Univ. St. Paul, 12, 37—39. [Обобщение построений Аккермана и
Такеути.]
1963. Алгоритм математического доказательства (по-японски), /. Inst.
Electr. Commun. Engrs. Japan, 46, № 11, 1531—1536.
Скарпеллини (Scarpellini В.)
1963. Eine Anwendung der unendlichwertigen Logik aut topologische
Raume, Fund. Math., 52, № 2, 129—150.
35*

528
Дополнительная библиография
Сколем (SkolemT.)
1957—58. Mengenlehre gegrundet auf einer Logik mit unendlich vielen
Wahrheitswerten, S. — В., Berlin, Math. Ges., 41—56. [Показано, что
в конечнозначных логиках нельзя избавиться от аналогов
парадокса Рассела, даже при бескванторных формулах в аксиомах
свертывания; но при бескванторных аксиомах свертывания
система оказывается непротиворечивой в бесконечнозначной логике.
1958. Une relativisation des notions mathematiques fondamentales, в сб.
Colloques Internationaux, 13—18. [Рассматривается релятивизация,
связанная с формализмами.]
1958а. Remarks on the connection between intuitionistic logic and a
certain class of lattices, Math. Scand., 6, 231—236.
1958b. Reduction of axiom systems with axiom schemes to systems with
only simple axioms, Dialectica, 12, 443—450.
1960. A set theory based on a certain 3-valued logic, Math. Scand., 8.
1960a. Investigations on a comprehension axiom without negation in the
defining propositional functions, Notre Dame J. Formal Logic, 1,
13—22. [О частных случаях аксиом свертывания.]
1961. Interpretation of mathematical theories in the first order predicate
calculus, сб. °Бар-Хиллел — Познанский — Рабин А. Робинсон, 61,
стр. 218—225.
1962. Abstract set theory. Notre Dame Mathematical Lectures, № 8,
University of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind., V + 70. [Лекции,
прочитанные в университете Notre-Dame; построение теории
множеств на основе системы Цермело — Френкеля, арифметика
кардинальных и порядковых чисел.]
Скотт (S со 11 D. S.)
1960. On a Theorem of Rabin, Nederl. Acad. Wetensch. Proc, A 63 = In-
dag. Math., 22, 481—484 [О категоричности относительно данной
мощности.]
1961. Measurable cardinals and constructible sets, Bull. Acad. Polon.
Sci. Ser. Math. Astronom. Phys., 9, 521—524. [Об отсутствии
измеримых ординалов в гёделевской системе Σ с аксиомой
конструктивности V=L.]
1961а. More on the axiom of extensionality, сб. °Бар-Хиллел —
Познанский— Рабин — А. Робинсон, 61, стр. 115—131. [Доказывается, что
Ганди, 59—60, не мог бы обойтись без расширения языка
исходной системы.]
1961b. Oon constructing models for arifmetics, Infinitistic Methods.
1962. Quine's individuals, Proc. of International Congress, 111—115.
[Непротиворечивость и независимость в NF предложений о
существовании множества, являющегося своим единственным членом
(в предположении о непротиворечивости NF).]
Скотт — Саппс (Scott D., Suppes P.)
1958. Foundational aspects of theories of measurement, /. 5. L., 23,
113—128. [Рассматривается аксиоматика теории меры.]
Скотт — Тарский (ScottD., TarskiA.)
1958. The sententional calculus with infinitely long expressions, Collog.
Math., 6, 165—170.
Слупецкий (Slupecki J.)
1958. Towards a generalized mereology of Lesniewski, Studia Logica, 8,
131—163. [О расширении мереологии Лосневского до теории
множеств ]
, С л э й те ρ (Slater M.)
1964. On a class of order-types generalizing ordinals, Fund, Math., 54,
№ 3, 259—277.

Дополнительная библиография 529
Собоцинский (SobocinskiB.)
1960. A simple formula equivalent to the axiom of choice, там же, 1,
115—117.
1960a. A note concerning the axiom of choice, там же, 122.
1960—61. On the single axioms of protothetic, там же, ч. I—1960, 1,
52—73, поправки 177, и 1961, 2, 259, ч. II—1961, 2, 111—126,
ч. III— 129—148.
1961. Certain formulas equivalent to the axioni of choice, там же, 2,
229—235. [В работе 1960 указывается разница между сложением
и умножением кардинальных чисел в связи с аксиомой выбора:
для т<п существует р>0, такое, что m + p = nf и это не зависит
от аксиомы выбора, но аксиома выбора следует из аналогичного
предложения для умножения. Остальные из последних четырех
статей связаны с этой темой.]
1961а. Three set-theoretical formulas, Notre Dame J. Formal Logic, 2,
58—64; поправка 259. [Рассматриваются эквиваленты для аксиомы
выбора и обобщенной континуум-гипотезы ]
1962. A set theoretical formula equivalent to the axiom of choice, там же,
3, 167—169. [Рассматриваются два эквивалента аксиомы выбора.]
1962а A note on the generalized continuum hypothesis, I, Notre Dame J.
Found. Logic, 3, 274-278.
1963. A note on the generalized continuum hypothesis, II, там же, 4,
67—79. [Рассматриваются взаимоотношения между
предложениями, связанными с обобщенной континуум-гипотезой. В части II
доказано, что аксиома выбора следует из того, что при а < я,
где а — алеф, имеет место 2а -< η ]
1964. A theorem of Sierpinski on triads and the axiom of choice, Notre
Dame J. Form Log., 5, № 1, 51—58
Спектор (SpectorC.)
1962. Provably recursive functionals of analysis: a consisteney proof of
analysis by an extension of principles formulated in current in-
tuitionistic mathematics. Proc. Sympos. Pure Math., vol. V, 1—27,
Amer. Math. Soc. Providence R. J.
Стал (Stahl G.)
1963. A paratheory of type theory, Ζ Math. Logik Grundlagen Math., 9,
169—171. [Строится вариант теории типов, в котором можно
говорить обо всех пустых, универсальных и т, п. классах и в то же
время избежать известных парадоксов. Изложение местами неясно
(критика — Туккера).]
Стейн (Stein S. К.)
1960. Full classes and ordinals, / S L., 25, 217—219. [Имеются новые
определения ординала.]
Стенли (S t а η 1 е у R. L.)
1961. The axiom for connected sets, Proc. Amer. Math. Soc, 12, 442—446.
[Между прочим, обсуждается роль оговорки о том, что
переменная у в схеме аксиом свертывания вида 3ί/νζ(2ε#~φ(2)) не
входит свободно в φ (ζ); выясняется, что при отсутствии этой
оговорки аксиома выбора выводима из аксиом свертывания]
Столл (Stoll R. R.)
1961. Sets, logic and axiomatic theories, A series of Undergraduate Books
in Mathematics, W. H. Freeman and Co., San Francisco—London,
X + 206. [Учебник; готовится русское издание (издательство
«Просвещение»).]

530
Дополнительная библиография
Судье (Soudieux С.)
I960. De l'infini arithmetique, Schulthess et Co., Zurich, iii + 115. [Фини-
тистское построение арифметики без перехода от η к п-\-\\
вводится «максимальное целое» [оо], именуемое meyisterithme. Нет
теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел.
Предполагается, что константа Эйлера трансцендентна, а
континуум-гипотеза опровержима.]
Тайманов А. Д.
1959. Класс моделей, замкнутых относительно прямого объединения,
Докл. АН СССР, 127, 1173—1175.
1959а. Характеристика конечно аксиоматизуемых классов моделей,
там же.
1960. Класс моделей, замкнутых относительно прямых произведений,
ИАН СССР, сер. мат., 24, 443—510.
1961. Характеристические свойства аксиоматизуемых классов моделей,
I, ИАН СССР, сер. мат., 25, 601—620.
1961. Ч. II, там же, 755—764.
1961b. Характеризация конечно аксиоматизуемых классов моделей,
Сибирск. мат. журн., 759—766.
1962—63. О теореме Бета и Кохена, Алгебра и логика. Семин., 1, № 6,
4—16. [К теории моделей; о выразимости одного класса моделей
формулой определенного вида.]
Такеути (Takeuti G.)
1957. Ordinal diagrams, /. Math Soc. Japan, 9, 386—394.
1957—58. On the theory of ordinal numbers, там же, ч. I — 1957, 9,
93—113, ч. II—1958, 10, 106—120.
1958. Remark on the fundamental conjecture of gLC, там же, 10,
44—45.
1958a. On the formal theory of the ordinal diagrams, Ann. Japan
Assoc. Philoc. Sci., 1, 151—170. [К вопросу о
непротиворечивости одной формальной системы 2-го порядка генценовского
типа.]
1958b. On the fundamental conjecture of gLC, V, /. Math. Soc. Japan,
10, 121 — 134. [4. 1—1955, 7, 249—275; ч. II —7, 394—408; ч. Ill —-
1956, 8, 54—64; ч. IV — 8, 145—155, в том же журнале.]
1960. On the recursive functions of ordinal numbers, /. Math Soc. Japan,
12, 119—128.
1961. Remarks on Cantor's Absolute, II, Proc. Japan Acad, 37, 437—439.
[К теории моделей.]
1961a. On the fundamental conjecture of gLC VI, Proc Japan Acad, 37,
440—443. [В этой серии статей рассматриваются исчисления
генценовского типа второго порядка; основное допущение состоит в
устранимости сечений, и из него выводится непротиворечивость
этого исчисления.]
1961b. Axioms of infinity of set theory, там же, 13, 220—233.
[Рассматривается присоединение к гёделевской системе Σ аксиом о
существовании очень больших недостижимых алефов.]
Такеути —Кино (Takeuti G., Kino A.)
1962. On hierarchies of predicates of ordinal numbers, /. Math Soc
Japan, 14, 199—232. [Рассматриваются рекурсивные определения
над порядковыми числами ]
1962а. On the weak definability in set theory, Proc. Japan, Acad.t 38,
43—46.
1963. A generalization of Konig's lemma, там же, 39, 331—332.

Дополнительная библиография 531
Тарский (Tarski А.)
1958. Remarks on predicate logic with infinitely long expressions, Collog.
Math., 6, 171—176. [К метаматематике и теории моделей.]
1925. (*6). Quelques theoremes sur les alephs, Fund. Math., 7, 1—14.
(Cp. Bagemil F. [Багемил], Am. J. of Math., 70, 207—211; 460, 1948;
Quarterly J. of Math., Oxford Ser., 19, 200—203, 1948.)
Тарский — Boot (Tarski Α., V aught R.)
1958. Arithmetical extensives of relational systems, Compositio Math., 13,
81 —102. [К теории моделей.]
1962. Some problems and results relevant to the foundations of set theory,
в сб. °Нагел — Саппс — Тарский, 62.
Тиле (Thiele E.-J)
1961. Die Vertraglichkeit der Kontinuumhypothese mit dem System der
Mengenlehre von Zermelo — Fraenkel, Z. Math. Logic Grundlagen
Math., 7, 225—255. [Гёделевские доказательства (см. Гёдель, 40),
переносятся в систему Цермело — Френкеля.]
1962. Berichtigung zu der Arbeit «Die Vertraglichkeit der
Kontinuumhypothese mit dem System der Mengenlehre von Zermelo —
Fraenkel», там же, 8, 347—349. [В предыдущей статье доказательство
одной теоремы оказалось ошибочным. Здесь для этой теоремы
предлагается новое доказательство.]
Титгемейер (TitgemeyerR.)
1961. Uber einem Widerspruch in Cogans Darstellung der Mengenlehre,
Z. Math. Logik Grundlagen Math., 7, 161—163. [Система,
предложенная Коганом, 55, оказалась противоречивой.]
Туккер (Tucker J.)
1963. The formulisation of set theory, Mind., 72, 500—518. [Автор
утверждает, что NF лучше защищена от парадоксов, чем система
Цермело — Френкеля.]
Тэйт (Tait W. W.)
1959. A counterexample to a conjecture of Scott and Suppes. /. S. L., 29,
15—16. [Противоречащий пример к работе Скотта — Саппса, 58.]
Уайтхэд — Рассел (Whitehaed A. N., Russel В.)
1962. Principia mathematica to *56. Cambridge University Press, New-
York, XLVI+410, 17 s. 6 d. [Переиздание первых 56 параграфов
знаменитой монографии ]
У ил сон (Wilson J. С.)
1926. (*1) Statement and argence, 2 t. t., Oxford. (Cp. Beck R. L., The
Monist, 41, 552—582, 1931.)
Уинн (Winn R. B.)
1933. (4) On Zeno's paradox of motion, /. of Philos., 29, 400—401. (Cp.
Ushenko Α., там же, 241—242.)
Умедзава (UmezawaT.)
1961. An aciomatic theory of ordinal numbers, Nagoya Math. J.t 18,
193—228.
Малевич Б. Я.
1958 Новый метод доказательства теорем о неполноте для систем с
правилом Карнапа и его применение к проблеме взаимосвязи между
классическим и конструктивным анализом, Докл АН СССР, 120,
1210—1213.

532
Дополнительная библиография
Фан Динь Зиеу (Phan dinh' Dieu)
1965. Конструктивные локально выпуклые линейные топологические
пространства. Доклады АН СССР, 162, № 4, 766—769.
1965. Метризуемость, нормируемость и мультинормируемость
конструктивных локально выпуклых пространств. Там же, 162, № 5,
1011 — 1014.
1966. О сопряженных к конструктивным локально выпуклым
пространствам, Там же, 166, № 1, 45—48.
Фельшер (Felscher W.)
1962. Doppelte Htilleninduktion und ein Satz von Hessenterg und Bour-
baki, Arch. Math., 13, 160—165.
Феферман (FefermanS.)
1964. The number systems: Foundations of algebra and analysis. Reading,
Mass. —London, Addison — Wesly Publ. Co., xii + 418. [По Brit.
Nat. Bibliogr, 1964, № 747, 21.]
Финслер (Finsler Paul)
1964. Uber die Grundlegung der Mengenlehre, 2 Teil, Verteidigung,
Comment, mat helv., 38, № 3, 172—218. [«Вторая часть» работы аз-
тора 1926]
Фнтч (Fitch F. В.)
1959. Quasi-constructive foundations for mathematics, см. Гейтинг, 59,
26—36.
1958. An extensional variety of extended basic logic, /. S. L., 23, 13—21.
[Рассматривается аксиома объемности в универсальном языке,
именуемом «basic logic». (Ср. /. S. L, 1948, 13, 95—106.)]
Фодор (Fodor G.)
1961. Uber die Aquivalenz von zwei Satzen in der Mengenlehre, Colloq.
Math, 8, 233—235. [Эквивалентность двух предложений о
недостижимых числах.]
1961. Uber Transfinite Funktionen, II, III, Acta Sci Math. (Szeged), 22,
289—295, 296—300
1963. Equivalence of a problem of set theory to a hypothesis concerning
the powers of cardinal numbers, Acta Sci. Math. (Sreged), 24,
152—156.
Фоллей (Folley К W)
1940 (*1) A propertly of a simply ordered set, Bull. A. M. S., 46,
940—942.
Фраиссе (Fraisse R.)
1958. Un modele definissant une theorie aberrante des ensembles ou sont
nies les axiomes du choix et d'extensionalite, Publ. Sci. Univ. Ager.
Sir., A5, 17—98. [Речь идет о моделях для систем с индивидами
(Urelemente) (стр. 98 или 96).]
1960. Les modeles et 1 algebre logique, Synthese, 12, 197—201. [К теории
моделей; говорится и о системе Бернайса — Гёделя.]
Френкель (FraenkelA. А.)
1958. Paul Bernays und die Begrundung der Mengenlehre, Dialectica, 12,
274—279. [Обзорная статья о разных направлениях в основаниях
математики, приуроченная к 70-летию Бернайса. Перечисляются
5 направлений: антропологизм (ср. ван Данциг, 56, °Есенин-
Вольпин, 59), интуиционизм, предикативизм, классическая
арифметика, теоретико-множественный платонизм.]
1959. Mengenlehre und Logik, Erfahrung und Denken: Schriften zur
Forderung der Beziehungen zwischen Philosophie und Einzelwissen-

Дополнительная библиография
533
schaften, Bd. 2, Duncker und Humblot, Berlin, 110. [Общедоступная
книга о теории множеств с философской окраской.]
1961. Abstract set theory, 2nd completely revised edition [второе,
полностью пересмотренное издание]. Studies in Logic and the
Foundations of Mathematics, North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
viii + 295.
Фридман A. A.
1962. Степени неразрешимости проблемы тождества в конечно
определенных группах, Докл. АН СССР, 147, № 4, 805—808.
Фрэйн — Морель — Скотт (Frayne Т., Morel А. С, Scott D. S.)
1962—63. Reduced direct products, Fund. Math., 51, 195—228.
1963. Correction to the paper «Reduced direct products», там же, 53, 117.
Фуркен (Fuhrken G.)
1964. Skolem-type normal forms for first-order languages with a
generalized quantifier, Fund Math., 54, 292—302. [К теории моделей:
подспорье для Воота 64.]
Φ эй ρ a (F a r a h E.)
1958 Some propositions equivalent to the axiom of choice, там же, 1955,
10, 1958, 1—65 (португ.) [Аксиома дистрибутивности равносильна
существованию ультрафильтра и аксиоме выбора; обсуждается
связь с теоремой Тихонова ]
1960. A new definition of ordinal number, Bol. Soc Math. Sao Paulo,
1957, 12, 63—69.
Хаек (Hajek P.)
1960. Three principles of induction in mathematics, Porroky Mat. Fys.
Astronom, 5, 385—394. [Изложение известного.]
1964. Die durch die schwach inneren Relationen gegebenen Modelle der
Mengenlehre, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 10 (2), 151—157.
Хаек — Coxop (Hajek P, Sochor A.)
1964. Ein dem Fundierungsaxion aquivalentes Axiom, Z. Math. Logik
Grundlagen Math., 10, 261—263.
Хазенъегер (HasenjaegerG.)
1958. Zur- Axiomatisierung der /г-zahlig allgemaingultigen Ausdrucke des
Stufenkalkuls, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 4, 175—177.
1958a. Uber Interpretationen der Pradikatenkalkule hoherer Stufe, Arch.
Math. Logik Grundlagen]orsch, 4, 71—80.
1961. Unabhangigkeitsbeweise in Mengenlehre und Stufenlogik der
Modelle, Jber. Deutsch. Math. Verein., 63, Abt. 1, 141 — 162.
[Нефинитные доказательства независимости в теории типов и в теории
множеств; обсуждаются также определения понятия «конечное».]
Хайдуков П. И.
1962. Некоторые вопросы обоснования теории множеств. Уч. записки
Бурятского гос. пед. ин-та, вып. 27, 3—94.
X а й н а л (Н a j n a 1 А.)
1960. Some results and problems on set theory (есть русское резюме),
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 11, 277—298. [Следствия из
континуум-гипотезы, касающиеся порядковых типов.]
1960а. On a consistency theorem connected with the generalized continuum
problem (есть русское резюме), там же, 12, 321—376.
1962 Vizsgalatok a kombinatorikus halmazelmelet korebol (диссерт.),
Ookt. ertek, Budapest, Tud. Monosito Bizottsag, 51.

534
Дополнительная библиография
X а л м о ш (Halmos P. R.)
1960. Naive set theory, The university series in Undergraduate
Mathematics. D. Von Nostrand Co., Princeton, N. J., Toronto — London —
New York. [Учебник с аксиоматикой Цермело — Френкеля.]
Хао Ван (Нао Wang)
1958. Eighty years of foundational studies, Dialectica, 12, 466—497.
1959. Ordinal numbers and predicative set theory, Z. Math. Logik Grund-
lagen Math., 5, 216—239.
1961. The calculus of partial predicates and its extension to set theory, I,
Z. Math. Logik. Grundlagen Math.t 7, 283—288. [Рассматриваются
исчисления, связанные с многозначными логиками ]
1961а. Process and existence in mathematics. В сб. Бар-Хиллел — Познан-
ский — Рабин — А. Робинсон, стр. 329—351.
1963. A survey of mathematical logic, Science Press, Peking;
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, X + 651. [Внушительная
монография, содержащая главу о системе Цермело.]
Харцхейм (HarzheimE.)
1964. Mehrfach wohlgeordnete Mengen und eine Verscharfung eines Sat-
zes von Lindenbaum, Fund. Math., 53, № 2, 155—172.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1960. Set theory. Перевод с 3-го нем. издания 1937. [Краткие
добавления Гудстейна о противоречивости наивной теории множеств и об
аксиоме выбора.]
1914/27/37. Теория множеств. (Несколько сокращенный перевод книги
Хаусдорфа, 27, с включением материала из первого издания 1914
и более поздних работ автора, под ред. и с предисл. П. С.
Александрова и А. Н. Колмогорова.) М., 1937.
Хаушильд (HauschildK.)
1961. Eine Bemerkung zum Mengenbildungsaxiom, Ζ. Math. Logik
Grundlagen Math., 7, 9—11. [Рассматривается новая схема аксиом,
универсальная для систем Цермело — Френкеля и Цермело —
Френкеля — Сколема.]
1963. Modelle der Mengenlehre die aus endlichen Mengen bestehen,
там же, 9, 7—12. [Рассматривается, между прочим, вопрос о
выборе определений конечного — см. Трахтенброт, 50; имеется связь
с вопросом о независимости «аксиомы регулярности»
(фундирования?).]
1963. Ein Beitrag zur Metatheorie der Mengenlehre, там же, 9, 291—314.
[О конечной аксиоматизуемости подсистем системы Цермело —
Френкеля. Рассматривается вопрос об определениях конечного
в духе Трахтенброта, 50.]
1963. Ein Beitrag zur Methatheorie der Mengenlehre. Z. mant, L. u. Gr.
M., 9, № 4, 291—314.
Хинтикка (HuntikkaJ.)
1961. Modality and quantification, Theoria (Lund), 27, 119—128.
1963. The models of modality, Acta Philos. Fenn. Fasc.} 16, 65—81.
Хирагуси (Hiraguchi Toshio)
1963. Sur les ensembles ramifies, I, Sci. Repts Kanazawa Univ., 8,
№ 2, 251—257.
Ходакова Л. А.
1964. Семантические формулировки теорем о неполноте формальных
систем записи информации, Научно-техническая информация. Сб.
Всесоюзного ип-та научной и технической информации, № П.

Дополнительная библиография
535
X э τ ч е ρ (Η a t с h e r W. S.)
1963 La notion d'equivalence entre systemes formels et une
generalisation inductive du systeme dit New Foundations de Quine,
С R. A. S., 256, № 3, 563—566.
Цейтин Г. С.
1956. Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой
эквивалентности. Докл. АН СССР, 107, № 3, 370—371.
1958. Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой
эквивалентности. Труды матем. ин-та АН СССР, 52, 172—189.
1959. Алгорифмические операторы в конструктивных полных сепарабель-
ных метрических пространствах, Докл. АН СССР, 128, 49—52.
1962. Алгорифмические операторы в конструктивных метрических
пространствах, там же, 67, 295—361.
1962а. Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе, там же,
362—384
Чан (Chang С. С.)
1960—61. Maximal «-disjointed sets and the axiom of choice, Fund. Math.,
49, 11—14. [Указывается эквивалент аксиомы выбора.]
1963. The axiom of comprehension in infinite valued logic. Math. Scand.,
13, 9—30. [Обобщение результата Сколема, 57, для произвольных
аксиом свертывания без бесконечнозначных логик.]
Чан — Кейслер (Chang С. С, Keisler Η. J.)
1962. Applications of ultraproducts of pairs of cardinals to the theory of
models, Pacific. J. Math.t 12, 835—845. [К теории моделей,
рассматриваются следствия из континуум-гипотезы.]
Чечони (Cecioni F.)
1959—60. Qualche osservazione sulle antinomie, ed. in particolare su
quella di Burali-Forti, Ann. Math. Рига AppL, 48 (4), 341—351,
поправка там же, 51, 381.
1958. Lezioni sui fundamenti della matematica, v. I, Cedum, Padova.
Ч и п м е н (С h i ρ m a n J. S.)
1963 Extension of a theorem of Hausdorff, Rev. Mat. hisp.-amer., 23,
№ 4, 135—138.
Шанин Η. Α.
1954. О погружениях классического логико-арифметического исчисления
в конструктивное логико-арифметическое исчисление, Докл. АН
СССР, 94, № 2, 193—196.
1955. О некоторых логических проблемах арифметики, Труды Матем.
ин-та АН СССР, 43, 111 стр.
1958. О конструктивном понимании математических суждений, Труды
Матем. ин-та АН СССР, 52, 226—311.
1962. Конструктивные вещественные числа и конструктивные
функциональные пространства, Труды Матем. ин-та АН СССР, 67,
15—294.
Шаррюо (Charrueau А.)
1964. Sur les correspondences entre ensembles, С. R. Acad. Set., 259,
№ 17, 2741—2743.
Шёнфилд (S h о e η f i e 1 d J. R.)
1959. On the independence of the axiom of constructibility, Amer. J. Math.,
81, 537—540. [Частичный результат о независимости аксиомы
конструктивности.]
1960. An uncountable set of incomparable degrees, Proc. Amer. Math.
Soc.f 11, 61—62. [К конструктивизму, о степенях неразрешимости.]

S3B
Дополнительная библиография
1960а. Degrees of models, /. S. L., 25, 233—237. [Улучшена одна теорема
из Крейсела, 53—54.]
1961. The problem of predicativity, сб. °Бар-Хиллел — Познанский — Pa-
бин — А. Робинсон, 61, стр. 132—135. [О предикативизме и
конструктивности в смысле Гёделя.]
Шепердсон (Shepherdson J. С.)
1964. A non-standard model for a free variable fragment of number
theory, Bull. Acad, polon. sci. Sir. sci. math, astron. et phys. 12,
№ 2, 79—86.
Шмульян (SmullyanR. M.)
1960. Theories with effectively inseparable nuclei, Z. Math. Logik Grund-
lagen Math., 6, 219—224. [К метаматематике]
1961. Theory of formal systems, Annals of Mathematics Studies, № 47,
Princeton University Press, Princeton, N. J., xi+142. [К
метаматематике; о второй теореме Гёделя: новый способ арифметизации.]
1961а. Elementary formal systems, /. Math. Soc. Japan, 13, 38—44.
[Краткое изложение его книги.]
1963. Theory of formal systems, Revised edition, Princeton University
Press, Princeton, N. J., xi4-147.
Шовэн (ChauvinA.)
1960. Sur des modeles du calculs Ко de Bochvar, avec ou sans egalite, et
l'interpretation des paradoxes de la logique dans la theorie des
ensembles elementaires arithmetiques, Acad. Roy. Belg. Bull. CL
Sci. (5), 46, 124—131.
1961. Deux modeles verifiant certains axiomes de la theorie des ensembles
de Godel, et construits dans la theorie des ensembles arithmetiques
de Kleene. Construction des modeles, C. R. Acad. Sci. Paris, 253,
1394—1396, Validite des axiomes, там же, 253, 1519—1521.
1962. Sur des questions de coherence et d'independance relatives a la
theorie des ensembles de Godel, Description de la methode,
C. R Acad. Sci. Paris, 254, 3944—3945.
1962a. Sur les ensembles arithmetiques constructibles, там же, 3615—3617.
1962b. Sur les classes arithmetiques constructibles, там же, 3796—3798.
Шольц — Хазенъегер (Scholz H., Hasen jaeger G.)
1961. Grundlage der mathematischen Logik, Die Grundlehren der mathe-
matischen Wissenschaften, Bd 106, Springer-Verlag, Berlin — Gottin-
gen — Heidelberg, XVI+ 504.
Шпеккер (S pecker Ε.)
1958. Dualitat, Dialectica, 12, 451—465. [Об эквивалентности
непротиворечивости NF и непротиворечивости той системы аксиом, которая
получается из теории, типов присоединением схемы аксиом F=F*,
где F — произвольная замкнутая формула, a F* получается из нее
увеличением всех типов на 1, эта эквивалентность выводится из
одного предположения, доказанного впоследствии Д. Скоттом.]
1959. Der Satz vom Maximum in der rekursiven Analysis, см. Гей-
тинг 59, 254—265. [К конструктивному анализу; пример
непрерывной действительной рекурсивной функции, не достигающей
максимума ни в какой рекурсивной точке.]
1962. Typical Ambiguity, Proc. 1960, Internat. Congr, 116—124. [О
предположении, упомянутом в аннотации к Шпеккер, 58; это
предположение двумя способами доказывается в этой статье.]
Шютте (Schutte К)
1960. Beweistheorie, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften,

Дополнительная библиография
637
Bd. 103, Springer-Verlag, Berlin — Gottingen — Heidelberg, X + 355.
1960a. Syntactical and semantical properties of simple type theory, /. S. L.,
25, 305—326. {Изящная формализация теории типов, связанная с
системой GLC Такеути.]
Эби (Aebi M.)
1960. Die Stellung von Gonseths «offener Philosophie» im ganzen der
Philosophia perennis, Dialectica, 14, 127—150.
Эй ρ ο (Eyraud Η.)
1955—56. Les ordinaux de la troisieme classe et le probleme du continu,
Cahiers Rhodun, 7, 8 p.
1957—58. Ensembles agregatifs on intersectifs, там же, 8, 22 p. .
1957. Le theoreme de l'ordinal limite (Complements), Ann. Univ. Lyon.
. Scet. A(3), 20, 5—11.
1958. Sur les suites des fonctions premiers, Ann. Univ. Lyon. Sect. A'(3),
21, 5—17.
1964. Le theoreme du continu, С R Acad. Sci, 259, № 17, 2744—2745.
[Работы этого автора представляют собой типичные неудачные
попытки решить континуум-проблему наивными средствами.]
Энгелер (EngelerE.)
1958. Untersuchungen zur Modelltheorie, Promotionsarbeit. Art. Institut
Orell. Fussli A. G. Zurich, 28 стр. [Дается определение истинности
в системе Бернайса.]
1961. Unendliche Formeln in der Modelltheorie, Ζ. Math. Logik Grundla-
gen Math., 7, 154—160. [К теории моделей; рассматриваются
вопросы, связанные с tf0-категоричностью.]
Эрдёш — Тарский (Erdos P., Tarski А.)
1961. On some problems involving inaccessible cardinal, сб. °Бар-Хил-
лел — Познанский — Рабин — А. Робинсон, 61, стр. 50—82.
Эренфойхт — Мостовский (Ehrenfeucht Α., Mostowski A.)
1961. A compact space of models of first order theories, Bull. Acad. Po-
lon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 9, 369—373.
Яновская С. А.
1963. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под
названием «апории Зенона». В сб. «Проблемы логики», М.,
стр. 116—136.
Я с у г и (Yasugi M.)
1963. Intuitionistic analysis and Godel's interpretation, /. Math. Soc.
Japan, 15, 101—112. [К конструктивизму.]
Добавлено в последней корректуре
Слупецкий — Борковский (Slupecki J, Borkowski L.)
1963. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogosci. Warszawa,
285 стр. [Русский перевод: Слупецкий Е., Борковский Л.,
Элементы математической логики и теории множеств, М.,
«Прогресс», 266 стр. Изложение, предназначенное для философов;
имеется краткий обзор антиномий.]

ИМЕННОЙ
УКАЗАТЕЛЬ ')
Л'Аббе 191, 423
Абиан 502
Авситидиски 263, 423
Адам 502
Адян 377, 502
Адам ар 100, 103, 423, 435, 508
Аддисон 423, 502
Адян 377 423
Айдукевич 207, 208, 209, 471
Айер 30, 423
Аккерман 29, 30, 34, 36, 42, 48, 59,
121, 161, 215, 222, 234, 270, 275, 283,
363, 370, 373, 378, 387, 393, 394, 423,
435, 471, 502, 514, 519, 525
Александров А. Д. 29, 423
Александров П. С. 38, 53, 68, 71, 81,
83, 84, 85, 87, 89, 129, 130, 158, 296,
502, 531
Алстон 402, 423
Альбанезе 471
Альбергамо 29, 248, 471
Амброз 248, 261, 264, 471
Анаксагор (500—428 до н. э.) 298
Андерсон 503
Андреоли 29, 471
Антуан-Марсель 503
Аристотель (384—322 до н. э.) 47,
206, 241, 264, 265, 298
Арруда 503
Артин 78, 90, 471
Архимед (287—212 до н. э.) 27, 35, 115
Ассер 135, 423
Багемил 459, 503, 508, 529
Байен 503
Балаш 503
Бальдус (1885—1945) 247, 471
Банах (1892—1945) 101, 102, 114, 423,
470
Банашевский 93, 423, 503
де Бансель 265, 423, 491
Барбалат 439
Барзин 263, 274, 424, 425, 472, 499
Баррау (1630—1677) 247, 472
Бар-Хиллел 5, 24, 29, 30, 206, 207,
209, 233, 424, 472, 495, 500, 505,
518
Басилейу 30, 472
Бахман Г. 98, 105, 114, 116, 424
Бахман Ф. 482
Бейлис 270, 472
1) В отличие от оригинала в указателе отмечены все упоминания имен
в настоящей книге, в том числе и в библиографии; одной из причин явилось
то, что в противном случае отыскание ссылок на работы, упоминаемые
авторами внутри основной библиографии (ср последний абзац и примечание 3
на стр. 422), оказалось бы чрезвычайно затруднительным. В указатель
включены только имена, но не образованные от них слова (скажем, «Евклид»,
но не «евклидова геометрия», и даже «система Гейтинга», но не «гейтингов-
ская система») При этом «упоминанием» считается лишь такое вхождение
имени, когда носителю его принадлежит (или приписывается, или хотя бы
косвенным образом связывается) авторство какой-либо концепции, идеи или
конкретной работы, высказывания, результаты. Примером может служить
хотя бы имя Платона (независимо от его фактической причастности к так
называемому платонизму, ср. примечание 3 на стр. 399), включенное в
указатель во всех случаях, когда оно упоминается в связи с приписываемыми
ему идеями — но не в связи с фразой из примечания 5 на стр. 266; то же,
конечно, относится к невключенным в указатель именам Сократа (не говоря
уже о Ксантиппе) или Цицерона, формально «упоминаемым» на стр. 227. —
Прим. перев.

Именной указатель
539
Бек 529
Беккер А. 267, 424, 472
Беккер О. 29, 106, 248, 249, 253, 270,
277, 293, 296, 424, 472, 496, 498
Белинфанте (1896—1942) 308, 309,
424, 472
Белльюс 502
Бельтрами (1835—1900) 318, 355
Беман Г. 25, 29, 30, 36, 373, 424, 472,
473, 496, 502
Беман У. У. 437, 479
Бенеш 178, 181, 424, 448
Беннеке 30, 425
Бентли (1870—1957) 248, 473
де Беньи-Пивайе 493
Бергман Г. 169, 473
Беренс 30, 473
Берецки 363, 425
Бернайс 30, 32, 34, 43, 50, 56, 59, 60,
63, 69, 70, 71, 73, 75, 85, 92, 93, 94,
105, 106, 107, 109, ПО, 115, 118,
120, 123, 125, 134, 135, 139, 140—
152, 154, 155, 156, 157, 158, 166,
168, 170, 173, 182, 192, 210, 222,
223, 279, 290, 320, 322, 323, 329, 332,
333, 345, 348, 352, 359, 360, 365,
370, 374, 375, 384, 399, 425, 434, 435,
473, 501, 503, 504, 510, 517, 520,
530, 534
Бернштейн Б. А. 356, 473
Бернштейн Ф. 20, 29, 67, 79, 248, 473,
484
Берри 21, 138, 240, 425, 473
Бет (ум. 1965) 23, 29, 30, 135, 136,
217, 247, 248, 257, 270, 279, 289, 299,
300, 322, 332, 337, 356, 379, 403, 425,
473, 504, 528
Бетш 29, 248, 473
Беллинг 308, 426
Биркгоф 93, 275, 276, 332, 426, 452
Блакье 66, 474
Блейхер 504
Блэк 13, 29, 248, 267, 426, 435, 464.
469, 473
Богословский 270, 474
Бойяи Я. 318
Бокстел 30, 101, 248, 426
Бол л 495
Больцано (1781 — 1848) 26, 30, 76, 89,
106, 107, 191, 259, 308, 474
де Боргар 493
Борджерс 46, 426, 504
Борель (1871—1956) 30, 79, 86, 100,
101, 191, 248, 249, 297, 426, 445, 472,
474, 476
Борковский 504» 537
Борсан 502
Боуден 30, 426
Бохенский 18, 22, 30, 207, 248, 265,
426, 502
Бочвар 29, 30, 232, 235, 426, 503
фон Бранденштейн 29, 427
Браун Д. Г. 427
Браун Г. Ч. 29, 427
Браун С. 96, 503
Брауэр Л. Э. Я. 7, 242—244, 246—252,
255, 256, 257, 258, 260, 262, 263, 264,
266—270, 272, 273—277, 286, 288,
290, 292, 293, 295, 296, 297, 298, 299,
300, 301, 303, 306, 307, 308, 309, 310,
311, 312, 313, 314, 317, 405, 407, 427,
428, 442, 447, 474, 475, 485, 504
Брауэр Р. 93
де Брейн 504
Брёккер 29, 475
Бриджмен 195, 247, 475
Броден 29, 30, 475
Броди 226, 465, 466
Бронфман 504
Броуд 267, 475
Брэйтуэйт 455, 488, 489, 523
Булиган 29, 101, 247, 428, 475
Буль (1815—1884) 331
Бун 377, 505
Бурали-Форти (1861 — 1931} 12, 14, 16,
19, 20, 30, 101, 122, 128, 183, 428
Бурбаки 11, 15, 34, 45, 93, 111, 230,
231, 310, 428, 504, 510
Бургер 505
Буркамп 29, 248, 267, 270, 475
Буркхардт 29, 35, 475
Бурштин 91, 475
Бут 431
Бутру (1880—1922) 244, 475
Бэр Рейнгольд 35, 68, 90, 91, 96, 114,
161, 428, 464, 469, 476
Бэр Рене (1874—1932) 314, 505
Бюхи 93, 428
Вавр (1896—1944) 247, 270, 272, 428,
476
Вагнер 73, 74, 168, 428, 442, 505
Вайдьянатхасвами 274, 428
В айсберг (1905—1941) 275, 277, 428
Вайсман 189, 429
Ваккарино 29, 429
де ля Валле-Пуссен 126
Вальпола 29, 290, 429
Ван Хао 5, 29, 32, 46, 50, 57, 60, 108,
112, 116, 118, 122, 123, 124, 131, 133,
134, 135, 136, 137, 139, 143, 150, 152,
154, 155, 157, 180, 181, 183, 185,

540
Именной указатель
189—197, 209, 210, 217, 221,223,229.
248, 341, 344, 345, 346, 347, 349, 350,
353, 354, 361, 369, 382, 384, 385, 388,
389, 390, 391, 397, 429, 444,457,503,
514
Вандивер 305, 307, 430
ван дер Варден 27, 90, 263, 305, 430,
476, 498
Варрен 29, 476
Васильев 270, 476
Вебер (1842—1913) 293, 476
Веблен 116, 349, 476
Вегель 35, 430
Ведберг 30, 430
Вейерштрасс (1815—1897) 27, 76, 89,
191, 238, 308, 309, 523
Вейль (1885—1955) 15, 29, 30, 46, 188,
240, 247, 248, 261, 287, 292, 294, 295,
296, 297, 298, 301, 307, 311, 430, 476
Вейнберг Дж. Р. 30, 476, 495
Вейсс 26, 233, 430, 488
фон Вейцзекер 276, 430
В ер м ус 504
Весли 511
Винан 30, 476
Винер Н. 165, 177, 477
Винер П. 440
Виола 68, 477
Вирье-Реймон, см. Ант. Реймон
Висье 249, 430
Витгенштейн (1889—1951) 30, 218,
365, 407, 430
Витт 93, 263, 431
ван Влек (1863—1943) 70, 431
Волленховен 249, 267, 477
Вольф (1882—1944) 247, 477
Boot 135, 331, 332, 350, 354, 386, 393,
431, 462, 504, 517, 520, 530, 531
Вопенка 136, 154, 506
Воробьев 502
Воэм 93, 431
Вуйлемен 495
Вундхейлер А. 207, 431
Вундхейлер Л. 207, 431
Гал, см. Новак
Галилей (1564—1642) 298
Галперн 506
Галлуччи 29, 431
Галуа 74
Гальперин 43, 60, 181, 223, 431, 506
Гамбург 502
Ганди 63, 141, 431, 506, 526
Гао Хен-чан 506
Гарсиа 248, 431, 477
Гартман 270, 477
Гарцхейм 506
Гастев 157, 506
Гаупт 244, 477
Гаусс (1777—1855) 307
Гвардини 498
Гейманс (1857—1930) 250
Геймонат 29, 431, 464
Гейне (1821—1881) 191
Гейнеман 248, 477
Гейтинг 8, 247, 263, 274, 275—278, 289,
290, 292, 297, 304, 305, 309, 310,
311, 313, 314, 315, 316, 379, 411, 432,
436, 465, 477, 478, 495, 506,510,512,
522, 534
фон Гельмгольц Г. 481
Генкин 135, 136, 137, 155, 180, 184,
229, 278, 281, 331, 332, 337, 345, 346,
347, 349, 350, 352, 375, 386, 401, 402,
431, 432, 433, 507, 517
Генцен (1909—1945) 217, 223, 277,
278, 279, 287, 289, 295, 370, 371, 387,
433
Герман 444
Германский 507
Гермес 8, 29, 93, 135, 137, 172, 194,
224, 254, 329, 343, 346, 363, 371, 375,
385, 433, 437
Гессенберг (1874—1925) 29, 161, 433,
478
Гефмен 507
Гёдель 29, 32, 33, 50, 63, 67, 71,
75, 93, 105, 112, 114, 117, 119, 120,
121, 133, 134, 135, 136, 139, 141, 143,
149, 150—157, 173, 178, 190, 192, 200,
204, 213, 220, 233, 277, 278, 279, 280,
281, 285, 322, 339, 342, 345, 346, 347,
353, 358, 360, 364, 365, 366, 368, 369,
370, 371, 374, 375, 384, 391, 393, 396,
404, 408, 412, 413, 414, 432, 433, 434,
468, 477, 503, 504, 507, 519, 522, 524,
531, 533
Гёльдер (1859—1937) 29, 248, 259,
294, 296, 297, 478, 507
Гжегорчик 206, 225, 226, 301, 363, 375,
434, 451, 507
Гийом 507
Гилмор 217, 290, 291, 434, 437, 507
Гильберт (1862—1943) 15, 20, 29, 30,
35, 43, 48, 69, 70, 78, 83, 93, 103,
109, 115, 119, 125, 135, 150, 153,
155, 215, 222, 223, 224, 247, 252, 271,
273, 275, 280, 283, 295, 318, 319,
320, 321, 322, 329, 331, 332, 333,
335, 343, 345, 348, 352, 355, 357,
359, 360, 363, 364, 365, 369, 370, 373,

Именной указатель
541
375, 404, 408, 410, 423, 425, 434, 435,
473, 478, 501, 507
Гич 13, 29, 30, 435, 464
Гливенко (1897—1940) 263, 275—277,
281, 285, 435
Гобсон (1856—1933) 29, 30, 80, 478
Годдар 365, 435
Гонсет 30, 35, 36, 248, 435, 476, 478,
508
Горак 29, 479
Гордан (1837—1912) 252, 307
Горн 508
Готшальк 93, 435
Гофман 270, 435
Гребе 29, 435
Грегори 30, 435
Греллинг (1886—1941) 16, 21, 29, 30,
43, 150, 235, 436, 452, 479
Гриз 436
Гринвуд 256, 479
Грисс (1898—1953) 287, 289, 290, 291,
310, 436
Грюнбаум 27, 436
Грюнвальд 522
Гудмен 165, 399, 400, 401, 405, 436,
444
Гудстейн 29, 224, 247, 270, 309, 363,
400, 407, 408, 409, 436, 508, 531
фон Гумбельдт В. (1767—1835) 256
Гумин 224, 433, 437
Гуревич 96
Гуссерль (1859—1938) 206, 261, 479
Гутри 30, 479
Гутцмер (1860—1924) 245, 479
Даламбер (1717—1783) 27
Данжуа 30, 69, 86, 100, 101, 248, 437,
479, 508
ван Данциг 197, 217, 249, 251, 285,
287, 288, 289, 290, 291, 292, 294, 306,
309, 311, 315, 437, 479, 488
Дассен 29, 248, 263, 479
Девиде 109, 437, 508
Дедекинд (1831 — 1916) 13, 15, 31, 87,
106, 107, ПО, 125, 131, 150, 349, 352,
437, 479, 508
^езарг (1593—1661) 310
Дейкман 308, 437, 480, 508
Деккер 363, 437, 508
Деку а 290, 310, 437
Ден (1878—1952) 298, 480, 488
Дессуар 26
де Суа 349, 437
Детловс 363, 437, 500, 502
Детуш Ж. Л. 236
Детуш-Феврие П. 236, 276, 278, 290,
436, 437, 438, 439, 493
де Чезаре 29, 438
Джозеф 490
Джонстоун 501
Джорджи 34, 438, 480
Дик 29, 480
Динглер 29, 30, 75, 195, 480
Динз П. 247, 480
Динз Ц. П. 255, 438
Дирихле (1805—1859) 242
Долькер 438
Досс 74, 86, 438, 509
Дребен 346, 438
Дрезден (1882—1954) 247, 263, 480
Дросте 247, 480
Дубислав (1895—1937) 29, 248, 294.
480, 481
Думитриу 29, 481
Думметт 509
Дьедонне 248, 438
Дьюи (1859—1952) 270, 349, 438, 481
Дэвис М. 361, 363, 376, 438, 507
Дэвис Р. О. 508
Дэвис X. Т. 240, 481
Дюбарль 382, 438
Дюбуа-Реймон 439
Дюге 270, 439
Дюкасс 248, 481, 487
Дюрр 270, 481
Евклид (-320 г. дон. э.) 27, 32,269,
318, 355, 527
Ершов 375, 509
Есенин-Вольпин 23, 50, 72, 73, 141,
261, 319, 348, 435, 439, 442, 500, 509
Ефимов 318, 509
Жордан К. (1838—1922) 310
Жордан П. 426
Журдэн (1879—1919) 14, 20, 29, 30,
101, 148, 160, 250, 428, 481 -
Завирский 29, 481
Заремба 29, 481
Зариский 437, 479
Заславский 316, 502, 509
Захаров 514
Зегельберг 29, 481
Зейденберг 373, 439
Зенон (430 г. до н. э.) 12, 23, 26, 27,
311
фон Зеккендорф 86, 481
Зих 29, 30, 218, 439
Злот 509
36 Зак. 1765

542
Именной указатель
Инагаки 93, 439, 443, 495
Ингрэм 356, 481
Иоганссон 275, 276, 287, 289, 439
де Ион 249, 439
Исбелл 510
Исеки 510
Иссман 402, 439
Йозеф 489
Йонссон 439, 461
йоргенсен 29, 240, 248, 274, 439, 482
Кавайе (1903—1944) 30, 87, 217, 248,
439, 482
Кайла 270, 482
Кальмар 134, 152, 361, 363, 365, 366,
377, 440, 465, 482
Камке 29, 35, 36, 69, 91, 114, 115,
440, 482
Кангер 289, 346, 440
Кант (1729—1804) 12, 104
Кантор (1845—1918) 8, 12, 13, 15, 16,
19, 20, 26, 29, 31, 53, 67, 76, 82, 99,
100, 120, 121, 123, 125, 130, 137, 148,
149, 160, 176, 180, 194, 220, 237, 309,
313, 314, 331, 349, 403, 416, 440, 524
Капуано 510
Карнап 29, 38, 39, 40, 41, 46, 116, 137,
172, 187, 195, 200, 204, 205, 207, 216,
249, 261, 263, 270, 275, 323, 327, 332,
333, 334, 339, 342, 359, 401, 402,
407, 408, 409, 410, 411, 412, 414,
440, 441, 477, 482, 495, 505, 510, 529
Карри 29, 30, 57, 126, 181, 232, 235,
236, 237, 248, 289, 363, 410, 411, 414,
441, 463, 482, 510
Картан 57, 482, 492
Каслин 248, 482
Кассина 29, 66, 441, 483, 510
Кассирер (1874—1945) 26, 29, 248,
296, 483
Катцов 29, 263, 269, 439, 441, 483
Каульбах 248, 483
Кауфман (1895—1949) 29, 54, 248,
407, 441, 483, 498
Качаровский 510
Кейслер 510, 535
Келдыш Л. В. 486
Келли 83, 93, 441
Кемени 294, 337,348,390,441, 505, 510
Кемпнер 272, 483
Кершнер 441, 463
Кёниг Д. 441, 483
Кёниг Ю. (1849—1913) 29, 30, 75, 148,
160, 311, 441, 483
Кини 511
Кинна 73, 74, 168, 428, 442
Кино 511, 530
Клауа 124, 212, 363, 378, 442, 509, 510
Клейн (1849—1925) 318, 355
Клейн-Бармен 483, 491
Климовский 74, 442, 511
Клини 8, 17, 22, 29, 30, 36, 38, 39, 40,
41, 53, 58, 116, 135, 137, 214, 221,
224, 247, 254, 265, 266, 273, 275,
276, 277, 278, 279, 280, 285, 289, 297,
299, 300, 319, 320, 324, 328, 332, 334,
337, 341, 343, 345, 346, 348, 359, 360,
361, 362, 363, 365, 368, 370, 371, 372,
373, 376, 378, 385, 386, 435, 442, 457,
511, 512
Кнастер 68, 79, 483
Кнаус 29, 443
Кнезер 99, 443
Коган 126, 151, 237, 443, 529
Козлова 511
Козневский 96, 114, 484
Кой 511
Койре 24, 29, 30, 483
Коллингвуд (1889—1943) 104, 483
Коллинз 443
Колмогоров 218, 266, 270, 278, 341,
360, 443, 512, 531
Комбебьяк 161, 483
Кондо 69, 248, 434, 443, 483, 512, 524
Константинеску 512
Копи 30, 189, 223, 346, 349, 443, 462,
467
Коржибский (1879—1950) 248, 269,
484
ван дер Корпут 307
Корсельт 29, 443, 484
Корсон 512
Космак 512
да Коста 501, 512
Котарбинский 208, 443
Кохен (1880—1947) 512, 528
Кочиловский 513
Коши (1789—1857) 27, 238, 309
Коэн К. Дж. 448
Коэн М. Р. 248, 443
Коэн П. Дж. 5, 72, 73, 120, 136, 154,
504, 513
Краснер 513
фон Крбек 70, 443
Крейдер 513
Крейсел 135, 137, 270, 316, 332, 341,
342, 363, 365, 393, 443, 444, 456,
506, 513, 514, 521, 533
Крине 425
Кронекер (1823—1891) 199, 241, 293,
304, 305, 307, 444

Именной указатель
643
Крузе 514 с-
Крулль 91, 484
Крэйг 334, 356, 385, 444, 508,513,514
Куайн 5, 13, 29, 30, 32, 38, 40, 43, 44,
57, 58, 59, 60, 71, 96, 117, 123, 125,
134, 144, 152, 155, 157, 161, 165, 176,
178, 179, 180, 181, 183, 184, 185, 189,
190, 192, 193, 198, 210, 211, 223, 229,
248, 327, 345, 346, 363, 367, 368, 392,
394, 400, 401, 404, 405, 406, 407, 412,
436, 444, 484, 514, 515
Кубинский 515
Кузнецов 38, 363, 444, 462, 515
Куллен 515
Куратовский 50, 79, 92, 114, 158, 161,
162, 165, 166, 177, 310, 445,451, 461,
483
Курепа 74, 87, 302, 445, 484, 515
Курода 277, 292, 445, 513, 515
Кустаанхеймо 386, 445
Кушнер 515
Кэджори 26, 516
Кэли 318
Кэррол 26, 516
Лавров 375, 509
де Лагуна 486
Ладриер 8, 29, 224, 359, 365, 366,371,
433, 445
Лакомб 363, 445, 516
Лал 516
Ламбек 516
Ла Менса 516
Ламуш 244, 484
Лангер 29, 484
Ландсберг 30, 445
Ларгье 248, 484, 490
Ласкер 488
Лаутман 293, 484
Лафлёр 29, 484
Лебег (1875—1941) 78, 79, 86, 94, 99,
100, 102, 103, 104, 248, 296, 445, 484
Леблан 223, 445
Леви А. 10, 74, 97, 115, 154, 393, 445,
446, 516, 517
Леви Б. 29, 67, 68, 248, 446, 477, 484,
485
Леви П. 29, 69, 101, 248, 263, 270, 272,
446, 485
Леевский 206, 226, 446
Лейбниц (1646—1716) 192, 256, ,265
Леман 517
Лензе 29, 446
Лерда 517
Лерхер 517
Лесьневский 30, 47, 206, 207, 208/209,
225, 226, 227, 228, 229, 405, 446, 485
Лёб 30, 446
Лёвенгейм (1878—1940) 29, 33, 134,
135, 136, 141, 259, 353, 373, 412, 413,
446, 504, 516
Лёви Г. 248, 485
Линденбаум (1904—1941) 57, 74, 96,
97, 98, 105, ПО, 114, 166, 386, 446,
447, 451, 483
Линдон 183, 517
Линский 440, 461
Липпс 29, 30, 256, 270, 447, 485
Литтлвуд 69, 82, 485
Литцман 247
Лиувилль (1809—1882) 76
Лихтенштейн (1878—1933) 242, 259,
485
Лобачевский 318
Лойхли 516, 517
Локк У. Н. 431
Ломбардо-Радиче 517
Лоонстра 428
де Лоор 307, 428, 447, 474, 485
Лоренцен 36, 122, 188, 189, 193, 194,
195, 196, 197, 217, 248, 268, 270, 274,
279, 280, 305, 311, 332, 388, 409, 447,
518
Лось 74, 135, 331, 332, 346, 354, 431,
447, 451, 460, 518
Лоуренс 30, 447
Лохер 35, 485
Лузин 77, 79, 80, 82, 96, 248, 249, 296,
297, 302, 311, 447, 448, 486, 524
Лукасевич (1878—1956) 226, 235, 236,
279, 448, 486
Луриа 26, 518
Льюис 29, 448
Лэнгфорд 29, 30, 270, 373, 448, 486
Люке 259, 518
Ляпунов 518
Мазур 518
Майхилл 34, 116, 134, 136, 137, 138,
226, 229, 230, 231, 331, 363, 369, 371,
375, 413, 448, 455, 494, 508, 518
Мак-Гилл 269, 448
Макдональд 447, 448, 455
Мак-Ивер 30, 486
Маккарти 361, 438
Мак-Ки 30, 448, 460
Мак-Кинси 236, 274, 275, 281, 332,
344, 376, 448, 449, 458, 461, 486
Мак-Кой 492
Мак-Муррин 440
36*

544
Именной указатель
Мак-Нотон 5, 36, 46, 50, 60, 112, 117,
118, 143, 154, 155, 157, 221, 388,
389, 390, 391, 393, 429, 449
Мало ИЗ, 486
Мальцев 134, 346, 352, 363, 449, 516,
518
Маниа 29, 486
Маннури (1867—1956) 249, 250, 258,
270, 294, 449, 486
Марквальд 332, 363, 449
Марков 8, 50, 152, 316, 360, 363, 376,
377, 434, 449, 502, 519
Мартин 344, 449, 519
Маслов 519
Мах (1838—1916) 250
Маховер 505, 517, 519
Мацумото 29, 487
Мачинский 518
Маэхара 225, 277, 449, 450, 463, 518
Медведев 266, 275, 278, 363, 372 378,
450
Мейер Я. 270, 487
Мейерсон (1859—1933) 242
Менгер 29, 169, 247, 254, 255, 270, 299,
301, 302, 303, 311, 450, 473, 487
Мендельсон 73, 106, 112, 393, 450,
518
Мерсен (1588—1648) 259
Мерцбах 35, 450
Месерв 373, 450
Мйгер 30, 450
Милль Дж. Ст. (1806—1873) 412
Минетти 485
Мйнц 502
Мириманов (1861—1925) 29, ПО, 117,
161, 450
Михайлова 377, 519
Моисил 274, 450, 518
Мок 29, 236, 263, 311, 450
Монк 518
Монтгомери 492
Монтегю 30, 112, 118, 384, 393, 450,
451, 462, 520
Монтейро 275, 451
Мора 451
Морель 530
Морзе 520
Морли 520
Моррис 26, 249, 250, 298, 487
Мостовский 8, 29, 30, 31, 32, 45, 57,
60, 71, 72, 74, 86, 97, 98, 114, 116,
120, 121, 135, 137, 152, 154, 155, 168,
275, 278, 331, 332, 335, 336, 337, 340,
344, 351, 363, 365, 366, 368, 372, 374,
375, 386, 392, 393, 397, 398, 411, 412,
413, 415, 416, 442, 445, 446, 447, 451,
457, 462, 465, 507, 512, 515, 517,
520, 534
Мур Г. 489, 523
Мур Э. Г. (1862—1932) 356, 487
Мур Р. Л. 92, 487
Мучник 363, 378, 452, 500, 521
Мыцельский 51, 332, 452, 521
Мэнь 521
Мюллер 521
Нагаи 521
Нагел 248, 269, 270, 452, 483, 487, 490,
500, 501, 502, 505
Нагорный 316, 502, 521
Накасава 476
Натансон 68, 77, 85, 89, 102, 129, 130,
158, 259, 521
Нейбауэр 131, 452
Нелсон Д. 247, 254, 277, 278, 299,
363 452
Нельсон Л. (1882—1927) 21, 30, 436,
452
фон Нейман (1903—1957) 20, 32, 34,
45, 57, 59, 71, 75, 90, 102, 103, 107,
109, 110, 112, 116, 118, 123—134,
135, 136, 137, 138, 139, 140, 147,
149, 151, 153, 154, 157, 158, 161, 166,
167, 174, 177, 181, 182, 192, 210, 295,
370, 375, 384, 426, 452, 477, 487, 498,
505 521
Ноймер 114, 452, 520
Нёйрат (1882—1945) 249, 495
Нётер (1882-1935) 87, 91, 479, 487,
497
Нибоун 521
Ниддитч 522
Нинк 270, 487
Нисимура 522
Новак 57, 154, 155, 431, 452, 522
Новак-Гал, см. Новак
Новиков 29, 274, 321, 348, 363, 373,
376, 377, 452, 453, 486, 522, 524
Новотный 522
Нортроп Э. П. 29, 487
Оберт 43, 453
Обершельп 522
Обреану 93, 453
Огасавара 275, 453
Ойконому 29, 487
Оккам 404
Ониси 277, 453
Оно 522
Оре 479
Оревков 502, 523

Именной указатель
645
Ори 155, 345, 393, 453, 523
Орлов 247, 488
Орловский 502
ван Ос 29, 270, 488
Остин 464
Островский 91
Павезе 471
Падоа (1868—1937) 356, 488
Пан 215, 453
Панкаджам 275, 488
Парсонс 523
Пастор 493
Патай 96, 523
Патнэм 375, 376, 453, 523
Паш (1843—1930) 248, 453, 488
Пеано (1858—1932) 23, 30, 66, 67, 73,
109, 115, 150, 185, 309, 331, 349, 350,
351, 352, 453, 488
Педдикорд 523
Перельман 18, 30, 453, 488
Переманс 277, 453
Петер 29, 278, 361, 363, 453, 454, 523
Пи Каллеха 446, 523
Пикар (1856—1941) 96, 309, 523
Пильчак 277, 278, 281, 454
Пирпонт (1866—1938) 29, 238, 488
Пирс (1839—1914) 30, 352, 408, 488
Пифагор 32
Пихлер 270, 488
Платон (429—348 до н. э.) 26, 256,
293, 399
Познанский 500, 505, 518
Поли 29, 454
Поллачек-Гейрингер 475
Полякова 523
Понселе (1788—1867) 94
Попадич 87, 454
Поппер 24, 29, 30, 216, 276, 454
Попруженко 524
Пос 427, 486
де Поссель 524
Пост (1897—1954) 254, 273, 331, 332,
353, 360, 363, 373, 376, 378, 442, 454
Прайор 30, 235, 236, 454, 524
Пресбургер 373, 488
Престон 524
Пржихонский 474
Прюфер (1896—1934) 91, 489
Пуанкаре (1854—1913) 13, 27, 28, 29,
46, 59, 99, 101, 200, 214, 220, 221,
248, 257, 293, 294, 295, 407, 454, 489
Рабин 87, 371, 377, 454, 500, 505, 518,
524
Радо 69, 489, 496
Райл 30, 455
Райе 307, 308, 363, 455
фон Райт 431, 524
Рамсей (1903—1930) 16, 29, 75, 189,
205, 248, 455, 489, 490, 524
Расёва 135, 225, 247, 255, 275, 279,
281, 331, 332, 447, 451, 455, 459, 463,
524
Рассел Б. 7, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 58, 59,
65, 68, 70, 85, 87, 93, 107, 122, 123,
157, 173, 175, 176, 178, 179, 181, 182,
191, 197, 199, 200, 202, 203, 204, 206,
208, 209, 212, 213, 214, 218, 219, 221,
224, 228, 233, 235, 261, 317, 320,
331, 333, 403, 404, 414, 455, 463, 489,
490, 502, 525, 529
Рауботтом 524
Рашевский 500
Рвачев 226, 524
Ребек 240, 490
Регис 525
Рейдемейстер 26, 455, 471, 477
Рейзер 270, 490
Реймон Ант. 455, 490
Реймон Арн. 270, 272, 490
Рейхбах 135, 456
Рейхенбах (1891—1953) 29, 209, 236,
456, 468, 490, 495
Ривье 270, 490
Риге 363, 456
Ригер 281, 332, 346, 456, 525
Риддер 279, 289, 456
Ринч 86, 490
Рис. Р. 431
Рис Ф. (1880—1956) 309
Рисе 525
Рихтер 525
Рич 29, 456
Ришар 20, 21, 23, 24, 30, 75, 137, 187,
188, 364, 366, 456, 490
Робинсон А. 10, 43, 48, 93, 135, 331,
332, 337, 346, 349, 350, 356, 386, 425,
433, 444, 456, 500, 505, 518, 525
Робинсон Дж. 363, 375, 457
Робинсон Р. М. 8, 102, 107, 131, 149,
153, 335, 336, 337, 340, 351, 363, 366,
372, 374, 375, 376, 386, 451, 457, 462,
517, 525
Роджерс X. 363, 375, 378, 457, 513
Розебум 463
Розеиблюм 29, 274, 307, 332, 363, 457
Розингер 495
ван Роотселаар 308, 309, 457, 515,
525

546
Именной указатель
Россер 5, 8, 29, 30, 37, 40, 69, 93, 106,
108, 112, 114, 136, 137, 144, 154, 155,
180, 181, 183, 236, 247, 254, 345, 347,
365, 366, 368, 372, 388, 392, 393, 397,
398, 442, 457, 462, 463, 490
Ротмэн 523
Роуз 280, 281, 458
Рубин Г. 525
Рубин Дж. 525
Ружье 246, 490
Рузевич 96, 526
Руккер 473
Руне 467
Рутш 526
Рылль-Нардзевский 137, 384, 458, 507,
526
Рюстов 30, 458
Саарнио 29, 30, 458, 490
Саймоне 449
Саламуха 18, 458
Самбурский 259, 526
Сампей 526
Самуэль 29, 491
Саппс 236, 449, 458, 500, 501, 502, 505,
526, 528
Сас 526
Свенониус 526
Сверчковский 521, 526
Севери 248, 458
Секанина 526
Секи 93, 458, 519, 527
Селе 93, 458
Селларс 461
Серпинский 73, 74, 79, 80, 81, 82, 83,
87, 88, 89, 96, 97, 98, 101, 103, 105,
113, 114, 117, 161, 296, 431, 446, 452,
458, 459, 461, 486, 491, 492, 493, 507,
522 524 527
Сикорский 135, 275, 279, 331, 332, 451,
455, 459, 463, 524, 527
Симаути 527
Сильвестр (1814—1897) 257
Сираиси 311, 459
Скарпеллини 527
Сколем 23, 29, 33, 34, 46, 57, 58, 59,
108, 110, 111, 116, 117, 123, 124, 134,
135, 136, 137, 138, 144, 155, 165, 196,
213, 232, 237, 274, 279, 287, 290, 296,
307, 311, 346, 350, 351, 352, 353, 363,
365, 373, 375, 382, 404, 407, 408, 409,
412, 413, 459, 460, 491, 504,524,528,
531
Скорца Драгони 68, 491
Скотт 141, 332, 462, 505, 519, 528,
531, 533
Слисенко 502
Слупецкий 206, 225, 226, 228, 460, 528,
537
Слэйтер 528
Смарт 30, 448, 460
Смит Г. Б. 30, 269, 483, 491, 492
Собоцинский 13, 30, 47, 208, 225, 226,
228, 229, 448, 460, 529
Сохор 533
Спектор (1930—1961) 363, 378, 460, 529
Спринкл 153, 460
Стади (1862—1930) 29, 492
Стал 529
Стениус 29, 30, 248, 387, 460
С тейн j29
Стенли 30, 181, 184, 460, 529
Столл 529
Стоун 91, 275, 331, 460, 492
Стролл 30, 460
Судье 530
Суслин 72, 91, 302, 492
Сушко 116, 136, 332, 447, 460
Суэтуна 248, 254, 460
Тайманов 375, 509, 514, 530
Тайтельбаум, см. Тарский
Тайцлин 375, 509
Такеути 133, 134, 460, 461, 511, 525,
530
Тамбс Лиш 91, 492
Тарский 8, 22, 30, 57, 59, 60, 70, 73,
74, 75, 83, 86, 87, 96, 97, 98, 101,
102, 105, ПО, 111, 112, 113, 114,
115, 129, 130, 135, 139, 152, 161, 166,
169, 175, 187, 200, 208, 209, 217, 226,
228, 235, 274, 275, 281, 331, 332, 335,
336, 337, 339, 340, 341, 344, 345, 349,
350, 351, 354, 356, 358, 364, 365, 366,
367, 368, 369, 372, 373, 374, 375, 384,
386, 393, 405, 423, 431, 439, 445, 446,
447, 449, 451, 456, 457, 459, 461, 462,
463, 468, 486, 491, 492, 499, 500, 501,
502, 505, 509, 517, 528, 531, 537
Таунсенд 434
Тейлор А. Э. (1869—1945) 26, 492
Тейхмюллер 92, 462
Теодор (410 н. э.) 26
Теплиц (1881—1940) 26, 252, 492
Теэтет (369—281 до н. э.) 26
Тиле 46, 48, 123, 158, 167, 462, 531
Тинг-Хо 34, 492
Титгемейер 237, 443, 531
Тихонов 441, 530
Томз 263, 267, 493

Именной указатель
547
Томпсон 29, 462
Тонелли 104, 493
Торанзос 29, 494
Трахтенброт 87, 363,444,462,501,534
Трейнор 484
Трехерн 514
Туккер 531
Туэ 376
Тыоки 83, > 494
Тьюринг (1912—1954) 255, 273, 3G0,
361, 369, 371, 376, 462
Тэйт 506, 531
Тюркетт 236, 413, 457, 462
Уайтхэд (1861 — 1947) 29, 107, 157,
169, 178, 191, 200, 202, 203, 320,
455, 463, 494, 531
Уилдер 8, 29, 247, 248, 313, 359, 463,
494
Уилкокс 441, 463
Уилсон Дж. 259, 531
Уинн 26, 531
Уиттекер 30, 494
Улам 114, 494
Умедзава 281, 463, 531
Уоллес 93, 463
Уоплз 497
Урбах 29, 494
Урысон 515
Успенский 360, 363, 372, 463, 500
Ута 246, 493
Ушенко 29, 30, 463, 493, 529
Файн (1858—1928) 307, 463
Файрстоун 114, 155, 393, 457, 463
Фалевич 531
Фан Динь Зиеу 316, 532
Фарбер 248, 270, 493
Фаэдо 104, 493
Феврие, см. Детуш-Феврие
Фейблмен 488
Фейгль 461
Фейс (ум. 1961) 29, 237, 270, 433, 441,
463, 508
Фельшер 532
Ферма (1601—1665) 255, 260, 262
Феферман 135, 345, 363, 463, 520, 521,
532
Фикен 497
Филер 48, 94, 163, 169, 494
Финдлей 365, 494
Финслер 29, 30, 35,· 57, 117, 345, 428,
463, 494, 532
Фитч 29, 117, 188, 193, 207, 223, 232,
234, 235, 274, 363, 369, 464, 478?
494, 529
Фишер 309
Фодор 533, 534
Фоллей 96, 533
Форадори 35, 494
Форт 93, 464
Фостер 69, 264, 494
Фраиссе 80, 119, 332, 464, 467, 521,
532
Фреге (1848—1920) 13, 15, 16, 30, 47,
177, 185, 199, 200, 204, 206, 320, 331,
333, 352, 464, 519
Фредендойн 29, 30, 57, 86, 290, 464,
475
Френкель 5, 6, И, 29, 34, 43, 45, 46,
57, 64, 66, 74, 107, 108, ПО, 112,
115, 116, 117, 141, 158, 161, 166,
167, 168, 169, 214, 220, 240, 247,
338, 349, 452, 464, 465, 494, 495, 500,
505, 511, 514, 515, 517, 518, 519,520,
524, 525, 528, 529, 532
Фрёлих 305, 332, 465
Фридберг 363, 378, 465
Фридман 377, 533
Фрикке 479
Фринк 274, 492, 495
Фрис (1773—1843) 104
Фрода А. 70, 465
Фрода-Шехтер М. 502
Фройденталь 240, 274, 278, 279, 310,
315, 465, 495
фон Фройтаг 495
Фрэйн 533
Фуркен 533
Фэйра 465, 467, 533
Хаальмейер 247, 495
Хагстрём 29, 30, 495
Хаек 506, 533
Хазенъегер 135, 332, 337, 348, 465,
531, 536
Хайдеггер 293
Хайдуков 533
Хайнал 120, 152, 440, 465, 533
Халмош 332, 465, 534
Хан (1879—1934) 249, 404, 474, 477,
495, 498
Хантингтон (1874—1952) 349,352,356,
495, 496
Хао Ван, см. Ван Хао
Харди Дж. Г. (1877—1947) 80, 496
Харди К. Д. 495
Харроп 278, 466
Хартогс (1874—1943) 81, 95, 148, 466
Хартшорн 488

548
Именной указатель
Харцхейм 534
Хассе 27, 90, 469, 496, 498
Хаусдорф (1868—1942) 13, 63, 67, 68,
72, 80, 83, 84, 85, 92, 102, 113, 114,
129, 130, 131, 147, 158, 160, 165, 259,
302, 466, 496, 534
Хаушильд 534
Хвистек (1884—1945) 30, 33, 67, 74,
86, 189, 224, 225, 226, 229, 466, 496
Хедрик 247, 467, 496
Хейсс 29, 496
Хельмер 18, 29, 466
Хемпел 385, 401
Хениг 92, 466
Хенле 269, 399, 483, 492, 496
Херлен 29, 30, 270, 496
Хёфлер 474
Хиж 470
Хинтикка 210, 218, 219, 220, 221, 332,
466, 534
Хинчин 263, 466
Хирагуси 534
Хлодовский 500
Ходакова 534
Холл М. 496
Холл Ф. 69, 497
Холлден 29, 30, 449, 466
Хомский 234, 466
Хонен 270, 467
Хонсброх 30, 497
ван Хорн 65, 497
Худеков 168, 467
Хэтчер 535
Цао Чен 275, 497
Цейтин 316, 377, 502, 508, 535
Цермело (1871—1956) 5, 6, 7, 16, 29,
32, 34, 36, 43, 44, 46, 50, 54, 55, 56,
57, 60, 65, 66, 67, 68, 72, 86, 91, 93,
94, 99, 100, 101, 103, 107, 108, 112,
113, 114, 117, 118, 119, 140, 141, 148,
150, 155, 158, 160, 169, 174, 178, 179,
181, 184, 195, 197, 210, 212, 220, 317,
338, 384, 395, 440, 467, 497, 501, 503,
505, 511, 514, 515, 518, 519, 520,524,
525, 528, 529, 531
Цорн 92, 93, 98, 158, 467, 497, 501
Чан 533, 535
Чандрасекхаран 248, 497
Чежовский 29, 467
Чёрч 8, 28, 29, 30, 34, 37, 40, 41, 43,
46, 68, 87, 93, 105, 111, 134, 135,
157, 170, 172, 175, 178, 184, 189,
206, 207, 214, 226, 228, 265, 266,
270, 273, 324, 325, 327, 328, 333,
337, 341, 343, 347, 349, 350 351,
353, 360, 361, 363, 364, 369, 372,
373, 377, 378, 387, 405, 413, 467, 476,
497
Чечони 535
Чипмен 535
Чиполла 104, 467
Шанин 266, 316, 341, 443, 452, 500,
502, 521, 535
Шао-Куэй 29, 235, 468
Шапиро 363, 468
Шаррюо 535
Швабхойзер 165, 373, 468
Шварц Г. 74, 168, 468
Швейцер 43, 468, 469
Шевалье 240, 497
Шёйнфинкель 126, 237, 497
Шелдеруп-Эббе 480
Шелдон 248, 497
Шеннон 361, 438
Шепердсон 106, 136, 305, 332, 363,
393, 396, 397, 448, 465, 468, 536
Шёнфилд 71, 74, 154, 155, 392, 393,
450, 468, 514, 535
Шёнфлис (1853—1928) 14, 29, 35, 101,
468, 474, 497, 498
Шеффер 184, 356, 497
Шиллер (1864—1937) 104, 498
Шильп 206, 209, 434, 455, 468
Шлик (1882—1936) 256, 267, 468, 495,
498
Шмейдлер 29, 468
Шмелева 74, 373, 375, 468
Шмидт А. 210, 248, 468, 469, 498
Шмидт Э. (1876—1950) 29, 67, 270,
498
Шмульян 367, 368, 469, 521, 536
Шовэн 536
Шогт 248, 495, 498
Шольц (1884—1956) 8, 27, 29, 43, 59,
106, 135, 137, 172, 293, 329, 332, 343,
346, 363, 371, 432, 433, 468, 469, 472,
477, 496, 498, 536
Шпеккер 29, 71, 96, 97, 116, 149, 170,
180, 181, 363, 470, 507, 536
Шпильрайн 163, 470
Шрейер (1901—1929) 79, 471, 515
Шреккер 265, 470
Шредер (1841—1902) 206
Шрётер 176, 275, 327, 330, 332, 333,
470
Штади 498

Именной указатель
549
Штегмюллер 194, 399, 470
Штейнгауз 521
Штейниц (1871—1928) 90, 91, 99, 470
Штек 495
Штенцель 293, 498
Штраус 276, 498
Шульц 474
Шуэйдер 30, 470
Шютте 122, 188, 193, 353, 363, 470,
536 " .
Эби 537
Званс 30, 469
Эвбулид 22
Эверетт 497
Эви 269, 499
Эдьед 82, 499
Эйве 299, 499
Эйро 537
Эклунд 29, 117, 499
Эллис 30, 470
Энгелер 537
Энкарнасиан 463
Энрикес (1871 — 1946) 29, 248, 500,534
Энскомб 265, 431, 470
Эрбран (1908—1931) 135, 280, 321,
360, 370, 387, 470, 499
Эрдёш 114, 491; 499, 537
Эренфойхт 375, 470, 537
Эррера 263, 274, 424, 470, 472, 499
Юнг У. У. К. 476
Ютинг 30, 117, 118, 470
Яничак 363, 375, 386, 470
Яновская 27, 537
Яретт 440
Ясиновский 240, 499
Ясуги 537
Яськовский 223, 278, 281, 451, 470,499

ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ ι)
(см. также оглавление)
203,
53,
Аксиома бесконечности (VII, VII *)
107, 108, 145, 146, 202—205
— выбора (VI) 65 и ел., 145,
204, 223, 224
частные случаи 68—72
— выделенная (V) 55, 145
— множества-степени (IV)
145—146
— множества-суммы (объединения)
(III) 51, 145, 146
— объемности
(экстенсиональности) (I) 48, 140, 141
— ограничения 115, 192
— пары (II) 50
— подстановки (замещения) (VIII)
111, 145
— свертывания 172—175, 182,
211, 229
— сводимости 188, 189
— фундирования (IX) 118, 145,
Аксиоматический метод 32, 36
319, 320
Аналитическое множество 302
Антиномии 11—30, 121 — 123, 357, 358
Арифметика Гильберта 352
— п-го порядка 351
— Пеано 351
— первого порядка 351
— рекурсивная 364
— Сколема 352
— элементарная 351
Атомарная (формула) 42
Aussonderungs (axiom) 55
188,
146
-41,
(положительная)
-292
Безотрицательная
математика 287
Бесконечная индукция 334, 368, 369
Бурали-Форти антиномия 20, 183
Включение, включает, включено 46
Влечет 46
Вполне упорядочения принцип
(теорема) 73, 93—96
— упорядоченное множество 166
Вычислимость по Тьюрингу 361
Гёделевский номер 359
Гёделя теорема о неполноте 364
следствие 370
полноте 135, 346
Греллинга антиномия 21, 22, 235
Диада (пара), &-ада (&-ка, п-ка)
142—144
Дизъюнкция 38
Единичное множество 60, 61
Замкнутое предложение (замкнутый
терм, замкнутая формула) 40, 327,
328
Замыкание всеобщности 172
Импликация (материальная) 38
Индивид 42, 211, 212
Индивидная (предметная)
переменная 42
Интерпретация 41, 336 и ел.
Интерпретируемость 339, 340
Интуиция глобальная 319
— изначальная 292 и ел.
Истинность, истинный 335, 339
!) Рубрикация предметного указателя та же, что в оригинале;
английские термины, соответствующие приведенным в указателе русским, — в тексте
книги (как правило, на одной из отмеченных в указателе страниц). — Прим.
пере в.

Предметный указатель
551
Кантора антиномия 19, 176
Кардинальное число 131
Карри парадокс 232, 235
Категоричность 116, 349, 350, 354
Квантор, квантификация
(всеобщности, существования) 38
Класс 44, 140
Классовая аксиома 142—145
Комплекс 62
Конечная аксиоматизируемость 60,
333
Конечное (множество, кардинальное
число, порядковое число) 85—87,
150, 169
Континуум-гипотеза (обобщенная) 72,
73, 96, 119—121
Конструктивности постулат 153
Конструктивность 255, 256, 316, 409
Концептуализм 402
Конъюнкция 38
Лжец 22, 232, 364, 365
Логистическая система 331, 380
Логистический метод 320
Максимума (максимальный) принцип
92, 93
Мериология 226
Метаязык 38
Метаматематика 321
Многосортная (теория) 210
Множество 42, 45, 140 (также
«поток», «вид») 295, 299
— представителей 65
степень 53
сумма 51
Модель 41, 59
— нестандартная (неабсолютная)
136, 185, 347, 415
Мультипликативная аксиома 65
Недостижимое (число, множество)
113—115, 395, 396
Независимость 355, 356
— аксиомы выбора 72—74
Неизбыточное (множество аксиом)
355, 356
Неоинтуиционизм 246 и ел.
Неономинализм 400
Непересекающиеся (множества) 48
Непредикативное 58, 213 и ел.
— расширение 392
Непротиворечивость (совместимость)
(теории) 342, 343, 348, 381
Область значений 42
— определения 42
Общая теория классов 175
множеств 49, 105, 147, 388
Объединение 51
Ограниченный квантор 196, 408, 409
Онтология 226
Определение истинности 344
Определенное описание 176
Определенный 195, 196 (дефинитный}
предикат 55—58
Определимость (семантическая) 366,
367
Отображение (взаимно однозначное)
159
Отрицание 37, 264, 265, 275—277
Открытое предложение (открытый
терм, открытая формула) 40, 327
ω-непротиворечивость 345
ω-полнота 348, 349
Пара 50
— упорядоченная 142, 165, 177
Первоначальный (исходный) (термин,
символ) 41. 324
Переводимость 341
Пересечение 61
Платонизм 399
Подмножество (собственное) 46
Поле отношения 45
Полнота (теории) 345, 346, 381
Положительная математика 237—292
Полуинтуиционизм 248, 295, 301, 311
Порочного круга принцип 59, 190, 215,
216
Порядковое число 129, 149
Порядок 162 и ел.
Предикат 40
— одноместный, двуместный,
,..., ^-местный 41
Предикативное расширение 392
Предметный язык (язык-объект) 38—
39
Принадлежности отношения 42, 140,
184
Прототетика 226
Прямое произведение 62
Псевдоопределение 229
Пустое множество 44, 60
Равен(ство) 43—48, 140—141
Различные, отличный от 47
Разрешения проблема 356, 357
Разрешимость (теории) 356, 357, 380

552
Предметный указатель
Рассела антиномия 16—19, 123, 173,
182, 234
Расчлененное (множество) 49
Рекурсивная перечислимость 362
Рекурсивность (общая, частичная) 360
Рекурсионная теорема (теорема о
рекурсии) 130, 150
Ришара антиномия 20, 21, 186—188,
366
Свободная (переменная) 38, 40
Свободно становящаяся
последовательность 297
Связанная (переменная) 40
Связка 40
Семантическая категория 207, 228
Сигнифика 249
Синтаксическая категория 209
Сколема парадокс 136
Следует 46
Слой 190
Содержит(ся) 42
Степень рекурсивной неразрешимости
378
Стратификация 179
Структура (полумодель) 337
Схема аксиом (аксиомная схема) 58,
59, 124
Счетное (множество) 110, 169, 170
Теория со стандартной
формализацией 336
Типовая неопределенность 178
Упорядочения принцип (теорема) 73,
74, 167
Упорядоченное множество, упорядо-
чиваемость 162 и ел.
Urelement 42
Уровень 175
Условие на 40
Финитные (методы) 321, 370, 371, 409
Формализованная теория 334, 380
Формальная система 324, 380
Формула (правильно построенная)
40, 172, 328
Функциональное исчисление (первого
порядка) 37, 41, 330, 331
Функция 41, 57, 125, 126
Цорна лемма 92
Чёрча тезис 361
Член 42, 140, 184
Эквивалентности отношение 43
между множествами 159—J 61
Эквивалентность (материальная) 38
Эквиполлентность 38
Экстенсиональность (равнообъем-
ность) 48
Экстраординарное множество 117, 118
Элемент 42, 125, 142
Элементарная теория 210
Эффективный (пример и т. п.) 79—
82, 359, 360

УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
Ао, А\ .... А"
В
В, Яй
с
/], /2, . ·., /„
к
ML
NF
Ρ
РМ
RT
Τ
Г
11, /2> · · · t Τ η
Ζ
>~
Ζ
ζ#, ζ««
Σ
350 и далее
О (пустое множество)
V (универсальный класс)
*
6 42,
i
46, 140,
140
395
53
389
172
134
134
62
177
188
175
177
388
46
157
395
190
60
125
55
152
46
Ι Ζχ
η
==
Φ
—
{···)
<~», υ
о, П
Χ
&
ν
3
—
Ι
ν
ι
ι
Ί
(Α.)
(Ε.)
Логические символы
222
140
47
47
159
48
49
61
62
38
38
38
38
38
184
184
184
276
38
38
215

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие '
Глава I. Антиномии 11
§ 1. Историческое введение 11
§ 2. Логические антиномии 16
§ 3. Семантические антиномии 20
§ 4. Общие замечания 23
§ 5. Три кризиса . 26
§ 6. Библиографические замечания . 28
Глава II. Аксиоматические основания теории множеств. Аксиома
выбора . 31
§ 1. Введение <. '. 31
§ 2. Первоначальное отношение. Равенство и экстенсиональность 41
§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 49
§ 4. Аксиома выбора 63
§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения . 105
§ 6 Система аксиом фон Неймана. Теоретико-множественный
релятивизм (парадокс Сколема)" 123
§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя. Доказательства
относительной непротиворечивости ... . 139
§ 8. Вывод теории множеств из аксиом · 157
Глава III. Теоретико-типовые подходы 171
§ 1. Идеальное исчисление 17i
§ 2. Общая теория классов 175
§ 3. New Foundations Куайна . 179
§ 4. Mathematical Logic Куайна . 181
§ 5. Иерархия языков и разветвленное исчисление классов .... 186
§ 6. Система Σ Хао Вана 189
§ 7. Оперативная система Лоренцена 194
§ 8. Логицистический тезис 197
§ 9. Типы, категории и сорта . 206
§ 10. Непредикативное образование понятий 213
§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках . . 221

Оглавление
555
Глава IV. Интуиционистские концепции математики ......... 238
§ 1. Историческое введение. Пропасть между дискретностью и
непрерывностью 238
§ 2. Конструктивный характер математики. Математика и язык . . 250
§ 3. Принцип исключенного третьего 258
§ 4. Математика и логика. Логическое исчисление ........ 273
§ 5. Изначальная интуиция целого числа. Свободно становящиеся
последовательности и брауэровская концепция множества . . 292
§ 6. Математика, урезанная в соответствии с интуиционистской
позицией 303
Глава V. Метаматематический и семантический подходы 317-
§ 1. Гильбертовская программа 317
§ 2. Формальные системы, логистические системы и
формализованные теории · . . 323
§ 3. Интерпретации и модели 336
§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность и независимость 342
§ 5. Разрешимость и рекурсивность. Арифметизация синтаксиса . . 356
§ 6. Ограничительные теоремы Гёделя, Тарского, Чёрча и их
обобщения 364
§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 379
§ 8. Философские замечания 398
Библиография 419
Библиография к Abstract Set Theory, цитируемая в настоящей книге . . 472
Библиография, добавленная при переводе 501
Именной указатель 538
Предметный указатель 550
Указатель символов 553

Абрахам Френкель,
И его та Бар-Хиллел
ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
Редактор А. Д. Бряндинская
Художник Λί. Л. Компанеец
Художественный редактор
В. И. Шаповалов
Технический редактор
Л. М. Харьковская
Сдано в производство
15/VII 1965 г.
Подписано к печати
14/V 1966 г.
Бумага 60X90716= 17,38 бум. л.,
34,75 печ. л.
Уч.-изд. л. 39,26. Изд. В 1/1710
Цена 3 руб. 01 коп. Зак. 1765
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография №2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Комитета по печати при
Совете Министров СССР
Измайловский пр., 29