Set theory
К. Kuratowski and A. Mostowski
*
1967
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY
Amsterdam
PWN-POLISH SCIENTIFIC PUBLISHERS
Warszawa

К. КУРАТОВСКИИ, А. МОСТОВСКИИ
ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ
Перевод с английского М. И. Кратко
Под редакцией А. Д. Тайманова
*
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>:
Москва 1970

УДК 519.50
Авторы книги — известные польские математики, внесшие
большой вклад в теорию множеств, топологию, математическую
логику.
Книга содержит современное изложение общей теории
множеств; изложение ведется на основе системы аксиом Цермело —
Френкеля. Многочисленные примеры и упражнения удачно
иллюстрируют применение теоретико-множественных методов в
других областях математики, в первую очередь в алгебре и
топологии. Заключительная глава книги служит введением в
дескриптивную теорию множеств.
Высокие научные и методические достоинства книги делают
ее весьма ценным учебным пособием по теории множеств. Она,
несомненно, заинтересует студентов, аспирантов и научных
работников различных математических специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
6-70
/<". Куратовский, А. Мостовский
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Редактор Л. Б. Штейнпресс
Художник Г. Я. Мануйлов Художественный редактор В. Я. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова Корректор Я Я. Баранова
Сдано в производство 1/ХП 1969 г. Подписано к печати 26/V 1970 г. Бумага № I
60X90l/i6=13 бум. л. 26 печ. л. Уч.-изд. л. 21,88. Изд. JVb 1/4984. Цена 1 р. 81 к. Зак. 406.
•Х- * *
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2
#■ #■ *■
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29,

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
•Х-
Эта книга — результат многолетнего труда выдающихся
польских математиков К. Куратовского и А. Мостовского.
Первое ее издание вышло на польском языке в 1951 г.,
переработанное и значительно расширенное издание опубликовано
в 1966 г. тоже на польском языке. В 1967 г. в серии Studies in
Logic and the Foundations of Mathematics вышло английское
несколько исправленное издание, с которого и сделан
настоящий перевод.
Благодаря такой длительной работе над книгой авторы
достигли большого методического совершенства в изложении
выбранного материала. Их труд является не только монографией
по общей теории множеств, но его можно рекомендовать и как
учебное пособие. В книге подробно изложена общая теория
множеств, ее методы и результаты и дано довольно подробное
введение в дескриптивную теорию множеств, идеи которой нашли
важные применения во многих разделах современной
математики.
Известно, X) в развитии общей теории множеств и
особенно дескриптивной теории множеств, а также во внедрении
их методе в другие разделы математики выдающуюся роль
сыграли советские ученые. Следует указать, что авторы
особенно подробно отмечают работы польских математиков.
Читатели, интересующиеся вкладом советских математиков, могут
обращаться к следующим изданиям: «Математика в СССР за
15 лет», 1932; «Математика в СССР за 30 лет», 1948;
«Математика в СССР за 40 лет», 1959; «Математика в СССР за 50 лет»,
1969; «История отечественной математики», Киев, 1968—1969.
В книге мало места отведено исследованиям по
аксиоматической теории множеств. Эти вопросы, получившие бурное
развитие в последние годы (П. Вопенка, П. Коэн, А. Мостовский,
Р. Соловэй и др.), изложены в книге А. Мостовского, Construc-
tible sets with applications, Amsterdam — Warszawa, 1969,
которая по существу является второй частью настоящей книги.

6
От редактора перевода
Методы теории множеств в настоящее время проникли не
только во все разделы математики, но и в естественные и
гуманитарные науки. Поэтому настоящая книга найдет широкий
круг читателей.
Ее можно рекомендовать аспирантам, студентам-.математи-
кам, а также научным работникам, интересующимся
теоретической кибернетикой, математическими методами в других науках.
Она будет очень полезной математикам, работающим в
различных областях этой науки, даже специалистам по теории
множеств.
А. Д. Тайманов

ПРЕДИСЛОВИЕ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Теория множеств была создана работами математиков
XIX века, которые ставили себе целью разработку оснований
анализа. Первые работы в этой области (Больцано, Дюбуа-
Реймон, Дедекинд) были посвящены числовым множествам
или множествам функций, и, собственно, только основатель
теории множеств Георг Кантор сделал решительный шаг и начал
рассматривать множества произвольных элементов. В цикле
работ, опубликованных им в 1871 —1883 гг., содержится почти
современное изложение теории кардинальных и порядковых
чисел и теории вполне упорядоченных множеств. О там, что шаг
к общности, сделанный Кантором, был трудным,
свидетельствуют различные противоречия (антиномии теории множеств),
открытые разными авторами к 1900 г.
Кризис, вызванный этими антиномиями, был преодолен Цер-
мело, сформулировавшим в 1904—1908 гг. первую систему
аксиом теории множеств. Его аксиом оказалось достаточно,
чтобы получить важные для «математики результаты из теории
множеств, и в то же время эти аксиомы не позволяли построить
никакой из известных антиномий. Тесная связь между теорией
множеств и философией математики породила дискуссии о
природе антиномий и аксиоматизации теории множеств.
Фундаментальные проблемы философии математики, такие, как понятие
существования в математике, аксиоматические версии описания
действительности, необходимость доказательств
непротиворечивости и средства, допустимые в таких доказательствах, нигде не
были выяснены лучше, чем в этих дискуссиях.
После начального периода недоверия началось
триумфальное шествие вновь созданной теории множеств во всех областях
математики. Ее влияние на математику нашего века ясно видно
в выборе современных проблем и в тех методах, которыми эти
проблемы решаются. Применение теории множеств является
повсеместным. Вместе с тем в теории множеств возникли и свои
собственные проблемы. Эти проблемы и их решения составляют
то, что обычно называют абстрактной теорией множеств. Здесь
Достижения более скромны, чем в применениях теоретико-мно-

8
Предисловие к английскому изданию
жественных методов в других областях математики —
некоторые из этих областей просто обязаны своим существованием
теории множеств. Тем не менее абстрактная теория множеств
является вполне сложившейся частью математики и знание ее
основных понятий обязательно для каждого математика.
В последние годы большие достижения получены в
основаниях теории множеств. После открытия Гёделя, которому
в 1940 г. удалось доказать относительную непротиворечивость
различных теоретико-множественных гипотез, недавно Коэн и
его последователи доказали независимость этих 1ипотез, в то
время как работы Тарского выяснили, сколь большой может
быть область недостижимых кардиналов, величина которых
превосходит все границы воображения. Эти последние работы
безусловно окажут большое влияние на философские вопросы
оснований математики.
Настоящая книга возникла из литографированных записей
лекций К. Куратовского, читанных в 1921 г., и расширенного их
издания, предпринятого обоими авторами в 1951 г. Как видно
из оглавления, мы здесь излагаем основные результаты
абстрактной теории множеств в традиционной последовательности,
восходящей еще к Кантору: алгебра множеств, теория
кардинальных чисел, упорядоченные и вполне упорядоченные
множества. Но мы обращаем больше, чем это принято в абстрактной
теории множеств, внимания на приложения. Главной областью,
на которой мы иллюстрируем применение
теоретико-множественных методов, является общая топология. Мы включили также
главу, посвященную борелевским, аналитическим и
проективным множествам. Все изложение основано на аксиомах,
которые по существу являются аксиомами Цермело—Френкеля. Мы
помещаем доказательства всех теорем, даже очень тривиальных,
для того чтобы читатель мог убедиться, что все они основаны
только на аксиомах. Эта дань некоторой педантичности в
обозначениях и выписывании многих формул оказалась бы
излишней, если бы мы не хотели явно указать аксиомы, которые
используются нами при доказательствах. В некоторых примерах
мы используем общеизвестные понятия, которые не определены
в нашей книге посредством первичных понятий нашей системы.
Эти примеры отмечены знаком ф.
Чтобы проиллюстрировать роль аксиомы выбора, мы
отмечаем знаком ° все теоремы, в доказательстве которых
применяется эта аксиома. В настоящей книге содержится краткое
изложение континуум-гипотезы и глава о недостижимых
кардинальных числах. Эти разделы заслуживают большего
внимания, однако ограниченный объем книги не позволил нам шире
осветить их. Это же относится и к последней главе, в которой

Предисловие к английскому изданию
9
излагается дескриптивная теория множеств и которая может
рассматриваться только как введение в эту область.
Некоторые наши коллеги помогали нам при подготовке
рукописи. Доктор М. Мончинский перевел на английский язык
почти весь текст. В этой трудной работе ему помогал Р.
Ковальский. Профессор Е. Лось написал обстоятельную рецензию как
на издание 1951 г., так и на настоящую книгу. Его замечания и
критика позволили нам устранить многие ошибки и неточности.
В. Марек и К. Висьневский прочитали корректуры и помогли
нам устранить некоторые длинноты. Всем этим лицам .мы
выражаем нашу искреннюю благодарность.
Казимир Куратовский
Анджей Мостовский

Глава I
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
§ I. Алгебра высказываний
Многие рассуждения в теории множеств можно сделать
очень наглядными, если пользоваться логическими символами
и логическими законами, сформулированными в этой символике.
В этом параграфе мы приведем основные сведения из логики,
на которые в дальнейшем будем ссылаться.
Произвольные высказывания будем обозначать буквами р,
q, г, .. . . Будем считать, что каждое из рассматриваемых
высказываний либо истинно, либо ложно. Так как мы будем иметь
дело только с высказываниями из области математики, то это
предположение принять можно.
Из двух произвольных высказываний р, q можно получить
новое высказывание, связывая высказывания р и q одним из
союзов
И, ИЛИ, ЕСЛИ..., ТО..., ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
Высказывание р и q записываем в виде р A q. Оно
называется конъюнкцией, или логическим произведением
высказываний р и q, называемых сомножителями конъюнкции.
Конъюнкция р A q истинна, когда оба ее сомножителя истинны; если же
хотя бы один из ее сомножителей ложный, то и конъюнкция
ложна.
Высказывание р или q, которое мы записываем в виде р V q,
называется дизъюнкцией, или логической суммой1 высказываний
р и q {слагаемых дизъюнкции). Дизъюнкция истинна, если
хотя бы одно из ее слагаемых истинно, и ложна только тогда,
когда оба слагаемые ложны.
Высказывание если р, то q называется импликацией с
посылкой р и заключением q. Вместо если р, то q пишем p—*q.
Импликация ложна, если ее заключение ложно, в то время как
посылка истинна. Во всех остальных случаях импликация
истинна.
Если импликация p—*q истинна, то мы говорим, что
высказывание q следует из р. В этом случае, зная, что высказывание р
истинно, мы можем заключить, что высказывание q тоже
истинно.

12
Гл. I. Алгебра множеств
В повседневном языке смысл слов «если ..., то...» не вполне
совпадает с описанным выше их значением. Однако в
математике данное определение оказывается удобным.
Высказывание р тогда и только тогда, когда q называется
эквивалентностью с членами р и q. Записываем ее сокращенно
в виде р = <7- Это высказывание истинно, когда высказывания
р и q имеют одинаковые логические значения, т. е. либо оба
истинны, либо оба ложны. Если же р истинно, a q ложно, или
q истинно, а р ложно, то эквивалентность p = q ложна.
Эквивалентность p = q можно также определить как
конъюнкцию , , . . .
(/?-><7)Л(<7->р).
Высказывание не р называем отрицанием, р и записываем
в виде "1 р. Оно истинно, если р ложно, и ложно, если р
истинно. Таким образом, отрицание р имеет логическое значение,
противоположное логическому значению р.
Произвольное истинное высказывание обозначим через V>
а произвольное ложное высказывание через F. Например, V
может быть высказыванием 2-2 = 4, a f — высказыванием 2 • 2 =
= 5. Используя символы V и F, мы можем записать данные
выше определения истинности и ложности конъюнкции,
дизъюнкции, импликации, эквивалентности и отрицания при помощи
следующих истинных эквивалентностей:
(FAF)^F, (FAV) = F, (VAF)^F, (VAV) = V, (1)
(V WV) -I/, (2)
(V-+V) = V9 (3)
{V = V) = V, (4)
(5)
Логические законы, или логические тавтологии, — это такие
выражения, построенные из букв р, q, г, ... и связок Л, V, —►,
=, "1, что если буквы р, qy r, ... произвольным образом заменить
высказываниями (истинными или ложными), то в результате
всегда получится истинное высказывание.
Так как истинность или ложность высказываний,
построенных с помощью связок из высказываний р, qy r, ..., не зависит от
самих высказываний р, q, /*, ..., а только от их логических
значений, то проверку того, является ли данное выражение
логическим законом, можно осуществить следующим способом: в
исследуемом выражении подставляем на места букв р, qy r, ...
значения F и V всеми возможными способами и, пользуясь
эквивалентностями (1) —(5), определяем логические значения
полученных таким образом выражений. Если все эти значения
(FVF) =
(F-
(F =
+ F) =
= F) =
-=F,
*v,
-°v,
{FVV) =
(F
(F:
-*V) =
*v,
=-v,
-F,
*V,
{V V F) ^
(V
(V
-F)s
IV ^
-V,
°-F,
■•F,
•■F.

§ 1. Алгебра высказываний
13
равны V, то исследуемое выражение есть логический закон; если
же хотя бы одна подстановка дает F, то это не логический
закон.
Пример. Выражение (р Л q) —► (р V г) — логический
закон. В нем три переменные, так что нужно сделать восемь
подстановок: вместо каждой переменной мы должны подставить
либо F, либо V. Если, например, вместо каждой буквы
подставить F, то будет (F Л F) —► (F V F). Согласно (1) и (2), это
есть F -> /\ т. е. V. Подобным образом можно показать, что
в каждом из остальных семи случаев получается V.
Приведем несколько наиболее важных логических законов
и их названия. Предоставляем читателю самому убедиться в том,
что это действительно логические законы.
(р у q) = (q V р) — закон коммутативности дизъюнкции,
[(р V q)Vr] = [p V {q V г)] — закон ассоциативности дизъюнкции
(р д q)==(q д р) — закон коммутативности конъюнкции,
[рЛ(д Л г)\ = [(р Л ^) Л г] — закон ассоциативности конъюнкции,
[pA(qW)] —[(рЛ<7)V(pAr)] — первый закон дистрибутивности,
[р V (q Л г)] —[(Р Vq)A (p Vr)] — второй закон дистрибутивности,
(р у р) = р, (р А р) = р — законы идемпотентности,
(рЛ/7)^/7, (рЛ1/)^р, (pVF)^p, {pW) = V- законы
поглощения.
В этих законах усматривается отдаленная аналогия между
алгеброй высказываний и обычной арифметикой1). Главное
отличие заключается во втором законе дистрибутивности, законах
идемпотентности и поглощения. Из законов идемпотентности
следует, что в алгебре высказываний не нужны ни показатели
степеней, ни коэффициенты.
[(р —> q) A (q -> г)] -> (р —> г) — закон силлогизма,
(р V П p) = V — закон исключенного третьего,
(р Л ~~\p) = F —закон противоречия,
р = ~]~1р —закон двойного отрицания,
KpVq)^(lpA lq),
KpAq)^(lpVlq)
1) Если операцию дизъюнкции рассматривать как операцию сложения, а
конъюнкции — как умножения. — Прим. перев.
— законы де Моргана,

14
Гл. I. Алгебра множеств
(p->q) = (~}q-> Пр) —закон контрапозиции,
(p->?)sOv?),
F->p, p-^py p->V.
Всюду, где мы будем писать выражения, употребляя
логические символы, мы будем подразумевать, что они истинны.
Замечания, помещенные перед выражением или после него,
содержат доказательство его истинности.
§ 2. Множества и операции на множествах
Основное понятие теории множеств — множество. Это
понятие по мере развития теории претерпело значительные
изменения. В начальный период развития теории множеств, во времена
так называемой «наивной» теории множеств, пользовались
интуитивным понятием .множества, т. е. слово «множество» имело
такое же и столь же неопределенное значение, как и в обычном
языке. В частности, такую позицию занимал создатель теории
множеств Кантор 1).
Но такое положение долго не продержалось. Интуитивное
понимание множества оказалось в некоторых случаях порочным.
В гл. II, § 2, мы скажем о так называемых антиномиях теории
множеств, т. е. об очевидных противоречиях, появившихся на
определенной стадии развития этой науки. Причиной их была
возникающая в сложных случаях неясность интуиции,
связанной с понятием множества. В полемике, развернувшейся вокруг
антиномий, было выяснено, что разные математики вкладывают
в понятие множества существенно различный смысл. Поэтому
построение теории множеств исключительно на интуитивной
основе оказалось невозможным.
В этой книге теория множеств будет изложена в виде
аксиоматической системы. Подобно тому как в геометрии, не отвечая
на вопросы, что такое точки, прямые, плоскости и другие
«первичные термины», мы из определенной системы аксиом выводим
все теоремы, не обращаясь к смысловому значению первичных
терминов, так и в теории множеств мы будем исходить из аксиом
и дедуктивным путем получать теоремы. Хотя эти аксиомы
основаны на интуитивном понимании множеств, но благодаря
аксиоматическому методу интуитивное содержание этого
понятия не будет привлекаться ни при доказательствах теорем, ни
в определениях.
1) Георг Кангор (1845—1918), немецкий математик, профессор
университета в Галле. Свои работы по теории множеств публиковал в журнале Mathe-
matische Annalen в 1879—1897 гг.

§ 2. Множества и операции на множествах 15
Иногда мы будем иллюстрировать теоремы теории множеств
примерами из других разделов математики. Примеры, в
которых используются аксиомы, не входящие в систему аксиом
теории .множеств, будут отмечаться знаком ф, помещенным в
начале и конце текста.
Первичные понятия теории множеств — множество и
отношение быть элементом. Вместо х есть множество будем писать
Z(x), вместо х есть элемент множества у будем писать х^у1).
Отрицание выражения х^у будем записывать в виде хфу или
1(xg(/), или хпопег/. Для упрощения символики будем
употреблять прописные латинские буквы для обозначения
множеств, т. е. если в выражении встречается, например, буква Л,
то предполагается, что А —.множество.
Кроме этих двух первичных понятий, мы в дальнейшем
введем еще одно первичное понятие хТЩ (x есть реляционный
тип у), которое будет разъяснено в гл. II.
Сначала введем четыре аксиомы:
I. Аксиома объемности (экстенсиональности).
Если множества А и В составлены из одних и тех же
элементов, то они совпадают.
А2). Аксиома суммы. Для произвольных множеств А
и В существует множество, элементами которого являются все
элементы множества А и все элементы множества В и которое
никаких других элементов не содержит.
В2). Аксиома разности. Для произвольных множеств
А и В существует множество, элементами которого являются те
и только те элементы множества А, которые не являются
элементами множества В.
С2). Аксиома существования. Существует по
крайней мере одно множество.
Аксиому объемности I можно записать в виде
Если х €= Л = х е В для каждого х, то А = В,
причем знак равенства между двумя буквами означает, что
этими буквами обозначен один и тот же объект.
Из аксиом I и А следует, что для произвольных множеств А
и В .множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А,
единственно. В самом деле, если бы были два таких множества С{
и Со, то они оба содержали бы одни и те же элементы (все эле-
1) Знак <= введен Дж. Пеано и является сокращением греческого слова
£сгт1 (быть).
2) В гл. II эти аксиомы будут заменены более общими аксиомами.

16
Гл. I. Алгебра множеств
менты, принадлежащие Л, и все элементы, принадлежащие В)у
и поэтому, согласно аксиоме I, было бы Су = С2.
Это единственное множество, удовлетворяющее условиям
аксиомы А, назовем суммой (или объединением) множеств А и
В и будем обозначать символом А[)В. Для произвольного х и
произвольных множеств А и В верна эквивалентность
х €= A U В = {х е= Л) V (* €= В). (1)
Подобным образом из аксиом I и В заключаем, что для
произвольных множеств А и В существует в точности одно
множество, содержащее элементы множества Л, не принадлежащие
множеству В. Это множество называется разностью множеств
А и В и обозначается символом А — В. Для произвольного х и
произвольных множеств А и В
х ^ А - В = {х е= А) А (х ф В). (2)
Из закона де Моргана и закона двойного отрицания (§ 1,
стр. 13) следует также, что
1(хе А-В)= 1(хеЛ)У(хеВ), (3)
т. е. х не принадлежит разности А — В, если х не принадлежит
А или принадлежит В.
С помощью операций U и — можно определить еще две
операции на множествах.
Произведение (пересечение) А П В множеств Л и В
определяем по формуле
А(]В=--А-(А-В).
Из определения разности имеем для произвольного х
х €= А П В = (х €= А) А 1 (х €= А - В),
откуда по (3) и первому закону дистрибутивности (см. стр. 13)
хеЛПВ = (хеЛ)Л[1(хе»Л)У(хеВ)] =
^[(хЕ^)Л](хе А)} V [(* €= А) А {х е= В)] =
= F V [(х е= Л) Л (jc <= В)] =
= [(* е= Л) Л (jc е= В)],
или окончательно
jc €= Л П В = (х €= Л) Л (* е= В). (4)
Таким образом, произведение — это общая часть сомножителей.
Элементами его являются те и только те объекты, которые
принадлежат обоим сомножителям.

§ 3. Включение. Пустое множество
17
Симметрическую разность А — В двух множеств А и В
определяем как
А -Я = (А -В) U (В -А). (5)
Ее составляют элементы, принадлежащие Л, но не
принадлежащие В, и элементы, принадлежащие В, но не принадлежащие Л.
Упра ж нени я
1. Определить операции U, П,— через
а) —, п; Ь) ~ U; с) -, —.
2. Показать, что нельзя определить сумму через произведение и разность
и разность — через сумму и произведение.
§ 3. Включение. Пустое множество
Множество Л называется подмножеством множества В, если
каждый элемент множества Л принадлежит множеству В.
В этом случае мы пишем A cz В или В гэ Л и говорим, что
множество Л содержится в В. Отношение cz называется отноше-
наем включения.
Из этого определения следует эквивалентность
{(х^ А->х е В) для каждого х) = Л с: В. (1)
Очевидно, что из Л = В следует Л сг В, но не обратно.
Если ЛсВ и АФВ, то мы говорим, что Л — собственное
подмножество множества В. Если Л — подмножество
множества В и В — подмножество множества Л, то Л = Ву т. е.
(Лс=В)Л(Вс=Л)->(Л = В),
потому что по определению для каждого х
х е Л->х е В и jc <= j3->x e Л,
откуда следует, что xg/I=igS, и Л=£ в силу аксиомы I.
Легко доказать, что если Л — подмножество множества В,
а В — подмножество множества С, то Л — подмножество мно-
ЖбСТИЯ С'
(Ac:B)A{BczC)-*(AczC), (2)
т. е. отношение включения транзитивно.
Сумма двух множеств содержит каждое слагаемое,
произведение двух множеств содержится в каждом сомножителе:
A <= A U В, В с= А []В, (3)
А П В а А, А П В <= fi. (4)

18
Гл. /. Алгебра множеств
В самом деле, из закона р —► (р V q) следует, что для каждого х
х €= А -> [(* е= Л) V (х е= £)]
и, согласно (1) из § 2,
хе= Л->л:е(ЛиВ),
а следовательно, по (1) Л с: Л U В. Второе утверждение в (3)
доказывается аналогично, а для доказательства (4)
используется закон (р A q) —> р.
Из (2) § 2 следует включение
Л-£с=Л.
Таким образом, разность двух множеств содержится в
уменьшаемом.
Отношение включения можно определить при помощи
отношения равенства и одной из операций U или П. А именно
справедливы эквивалентности
(Л с В) = (Л U В = В) = (А П В = Л). (5>
В самом деле, если Л с: В, то х^Л-^хеВ для каждого х и.
тогда в силу закона {р -* q) -♦[(/? V?) —► g]
[(* Si4)V(xe В)] ~> (jc е= В),
что доказывает, что Л11Вс=В. С другой стороны, Вс=ЛиВ„
значит А [] В = В.
Обратно, если Л U В = В, то, согласно (3), А а В.
Вторая часть формулы (5) доказывается аналогично.
Из аксиомы В следует, что если существует хотя бы одно
множество Л, то существует множество Л—Л, не содержащее
ни одного элемента. Такое множество единственно. В самом
деле, если бы было два таких множества Z{ и Z2, то для
каждого х эквивалентность
X £Е /* j = X сЕЕ Z, 2
была бы истинна, так как оба ее члена ложны. Тогда Z4 = Z2
в силу аксиомы I.
Единственное множество, не содержащее ни одного элемента,
называется пустым множеством и обозначается символом 0.
Для каждого х
или
(JC €= 0) = F.

§ 4. Законы сложения, умножения и вычитания
19
Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для
каждого х верна импликация л:еО-^л:еЛ, откуда
Ос: Л.
Таким образом, пустое множество является подмножеством
любого множества.
Из формулы (1) § 2 следует, что
x^(A[]0) = (x€=A)V{x<=0) = {x<=A)VF = x<=Ay
так как pV F = р. Отсюда заключаем, что A (J 0 = Л, а из
закона ~1 F = V
л-о = л.
Равенство Л П В = О означает, что множества Л и В не
имеют общих элементов, или, другими словами, не пересекаются.
Равенство В — Л = 0 означает, что В с: Л.
Роль пустого множества в теории множеств аналогична роли
числа нуль в алгебре. Без множества 0 операции умножения и
вычитания множеств не всегда были бы выполнимы, что
впоследствии привело бы к значительным трудностям при
вычислениях.
§ 4. Законы сложения, умножения и вычитания
Операции сложения, умножения и вычитания множеств
имеют много общих свойств с операциями сложения,
умножения и вычитания чисел. В этом параграфе приведем важнейшие
из них, а также докажем несколько теорем, указывающих на
различие между алгеброй множеств и арифметикой1).
Законы коммутативности
ЛиВ = ВиЛ, А{\В = В{\А. (1)
Эти законы непосредственно следуют из законов
коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции.
Законы ассоциативности
Л U (В U С) = (Л U В) U С Л П (В Л С) = (Л Л В) ПС. (2)
Доказательство основано на законах ассоциативности для
Дизъюнкции и конъюнкции.
1) Теоремы, приведенные в § 4, были доказаны английским математиком
ж- Булем (1813—1864), работы которого положили начало исследованиям
области математической логики.

20
Гл. /. Алгебра множеств
Формулы (1) и (2) означают, что сумма (произведение)
конечного числа множеств не зависит ни от порядка выполнения
сложения (умножения), ни от того, складываем ли мы по
очереди отдельные слагаемые (умножаем сомножители) или
разбиваем на отдельные группы и их складываем (умножаем),
а потом складываем суммы (умножаем произведения) этих
отдельных групп. Например,
A U {В U [С U (D U Е)]} = [A U (D U С)] U (В U Е) =
= (E[)C)[)[B[)(A[)D)].
Отсюда следует, что при сложении или умножении конечного
числа множеств можно опускать скобки, указывающие порядок
действий.
Законы дистрибутивности
А(](В[]С) = (А(]В)[](А(]С\
A[j(B(]C) = (A[)B)[}(A[jCy (6)
Доказательство основано на известных на.м из § 1 законах
дистрибутивности: конъюнкции относительно дизъюнкции и
дизъюнкции относительно конъюнкции.
Первый из законов дистрибутивности полностью аналогичен
закону дистрибутивности в арифметике. Как и в арифметике,
из этого закона следует, что для того чтобы перемножить две
суммы, надо перемножить каждое слагаемое первой суммы на
каждое слагаемое второй и сложить все полученные таким
образом произведения:
4 АЦВ[) ... иЯ)Щ*иги ••• иП =
= (A[]X)[j(A(]Y)[j ... [j(A(]T)[j(B(]X)[j(B(]Y)[j ...
... [}{в(]т)[)... и(//гши(ягти ••• и(ягт.
Второй закон дистрибутивности не имеет своего соответствия
в арифметике.
Законы идемпотентности
ЛиЛ = Л, А(]А = А. (4)
Доказательство получается непосредственно из законов
идемпотентности (pVp)=p, (p/\p)=p.
Докажем несколько законов для операции вычитания.
A U (В -А) = А [}В. (5)
В самом деле, из формул (1) и (2) § 2 следует
х €= [A U {В - А)] = {х €= А) V [(х ей)Л1(хЕ Л)],

§ 4. Законы сложения, умножения и вычитания
2\
откуда по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно
конъюнкции
Х^[А[)(В-А)}^ [(х e^)V(^g В)} Л [(* ее Л) V 1 (* ^ A)} ^
= (х е= А) V (х е= В),
поскольку (xe/IJVI^e/I)^^ а сомножитель У можна
в произведении опускать. Таким образом, мы получили
х €= [A U (В - Л)] = х ее (Л U В),
что и доказывает формулу (5).
Из этой формулы следует, что вычитание множеств не
является операцией, обратной сложению. Если, например, А —
множество четных чисел, а В — множество чисел, делящихся на 3,
то множество A U (В — А) отличается от В, потому что оно
содержит все четные числа.
Но если А с В, то (согласно (5) и (5) § 3) A U (В — А) = В.
как и в арифметике.
Далее,
А-В = А-(А(\В). 0>
В самом деле,
х ее А - (Л П В) = (х с= Л) Л "1 (jc ее Л П В) =
^(ХЕ^)Л1[(ХЕ^)Л(ХЕ В)] з=
^(хеЛ)ЛП(хеД)уКхеВ)]^
= [(*£= Л) Л 1(x^A)]V[{x^A)A I(xeeB)]^
= F у[(*еЛ)Л 1(хеВ)]^
^[(хеЛ)Л 1(*€=В)] = *€= Л-В.
Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания,
имеет в алгебре множеств вид
А(](В-С) = (А(]В)-С. (7>
Он получается из эквивалентности
х €= Л П (В - С) = [(* е Л) Л (jc €= В) Л П (jc e С)] =
^[(хееЛПВ)Л 1(хеС)]^
= х€=(ЛПВ)-С.
Из равенства (7) следует, что
А П (В - Л) = (Л П В) - Л = (В П Л) - Л = В П (Л - Л) = В П 0 = О,
т. е.
ЛЛ(В-Л) = 0.

■22
Гл. 1. Алгебра множеств
Законы де Моргана в алгебре множеств имеют вид
А-(В[\С)=(А-В)\}(А-С\
А-(В{)С) = (А-В)(}(А-С). ( }
Доказательство основано на законах де Моргана алгебры
высказываний.
Приведем без доказательства следующие равенства:
(лия)-с = (л-ои(я-с), (9)
Л-(В-С) = (Л-~В)иИПС), (10)
А - (В U С) = (А -В) -С, (11)
(А с В) Л (С с Z)) -> [(Л U С) с (В U D)], (12)
(Лс=В)Л(Сс=£)->[(ЛПС)с1(В П D)], (13)
(Л с: В) Л (С с= D) -> [(Л - D) с (В - С)]. (14)
Импликации (12) — (14) иллюстрируют аналогию между от-
Бошением включения и отношением «не больше» в арифметике.
Из (14) легко получить импликацию
(CczD)-> [(А - D) с (А - С)], (15)
которая имеет свой аналог в арифметике:
x<y->[{z-y)<:(z-x)].
Упражнения
1. Доказать равенство N {A U В) = N(A)+ N(B)— N(A П В), где Л'(*) —
число элементов множества X (предполагается, чт,о оно конечное).
Указание. Выразить N (А — В) через N {А) и fy(Af)B).
2. Обобщить результат упражнения 1 следующим образом:
N(AiU ... UAn)SN(Ai)-%N(Ai(]Aj)+ 2 ^ И/ГМ/ГМа)- ...,
i i, I i. /\ k
причем индексы суммирования пробегают значения от 1 до п и никакие два
различных индекса никогда не принимают одинаковых значений.
3. Используя результат упражнения 2, доказать, что количество целых
чисел, меньших п и взаимно простых с п, равно
■('-*)(-*) •••(-£)■
где pi, P2, •••, /'г — все различные простые множители числа п.

§ 5. Свойства симметрической разности
23-
§ 5. Свойства симметрической разности 1)
Симметрическая разность Л — В была определена в § 2
формулой
А—В = (А-В)[)(В-А). (0)
Эта операция коммутативна и ассоциативна:
А-^-В = В^-Ау (1)
Л -=- (Я -^ С) = (Л -^- В) — С. (2>
Равенство (1) непосредственно следует из (0).
Для доказательства равенства (2) преобразуем его левую
и правую части (используя (0)):
А ^ (В -±- С) = Л -=- [(В - С) U (С - В)] =
= {А-[(В-С)[)(С-ВШ{[(В-С)[)(С-В)]-А}.
Теперь с помощью (8), (9), (10) и (11) § 4 получим
А-±-(В-*-С) =
= {[A-(B-C)]nH-(C-B)l}U[(B-C)-A]U[(C-B)-A]-
= {[(Л-В)и(ЛПС)]П[(Л-С)и(ЛПВ)]}и
U [В - (С U Л)1 U [С - (Д U ^)] =
= [(А-В)Ш-С)][)[(А-В)(\В][)[(А-С)(\С][)
U (Л П В П С) U [В - (С U A)] U [С - (В U Л)] =
= [Л - (В U С)] U [В - (С U A)] U [С - (Л U В)] U (Л П В П С).
Таким образом, множество А—(В—- С) состоит из
элементов, принадлежащих или всем трем множествам Л, В и С, или
только одному из них.
Чтобы привести к такому же виду правую часть
равенства (2), достаточно заметить, что в силу (1)
{А^-В)-^С = С-^-{А-^В).
Заменяя в выражении для А^(В^-С) буквы Л, В, С на
С, Л, В, получаем
(А-^В)^-С =
= [С-(Л U В)] U [А - (В U С)] U [В-(С U Л)] U (С П /IП В) =
= [А - (В U С)] U [В - (С U A)] U [С - (Л U В)] U (Л ПВ ПС).
]) Свойства симметрической разности подробно исследовал Стоун [1]. См_
также Хаусдорф [5, гл. X].

■24
Гл. I. Алгебра множеств
Таким образом, ассоциативность операции — доказана.
Из (1) и (2) следует, что, применяя операцию -^~ к конечному
числу множеств, можно опускать скобки, указывающие
порядок действий.
Операция умножения дистрибутивна относительно — :
А[\(В^-С) = (А[\В)-^(А[\С). (3)
В самом деле, согласно (6) и (7), § 4,
А[\(В-*-С) = А[\[(В-С)\}(С-В)\ =
= [(Л П В)-С] U [И ПС)-В] = [В ПИ-С)] IJ [СПИ-В)]-
= {ВП[Л-(ЛПС)]}и{СП[/1~(ЛПВ)]} =
= [(ЛПВ)-(ЛПС)]и[ИПС)~(ЛПВ)] =
= (ЛПВ)--(ЛПС).
Пустое множество является нулевым элементом (.модулем)
для операции —, т. е.
А — 0 = А. (4)
В самом деле, (А—О) U (0 — А) = А U О = А.
Доказанные выше теоремы не позволяют заметить различия
между операциями — и (J. Такое различие становится
заметным в последующих теоремах. Прежде всего,
А -*- А = 0. (5)
В самом деле
А-*- А = {А- А)[)(А- А) = 0.
Операция сложения не имеет обратной. Выше мы видели, что
операция вычитания .множеств не является обратной к
сложению 1). Но операция — имеет обратную: для произвольных А и С
существует одно и только одно такое множество В, что А — В —
= С, а именно В = А — С. Иначе говоря,
А—{А — С) = С, (6)
(Л —В = С)->(В = Л —С). (7)
В самом деле, из (2), (4) и (5) следует, что
А—(А — С)^(А-^А) — С = 0-^С = С — 0 = С,
1) Из того что операция вычитания не является обратной к сложению,
конечно, еще не следует, что операция сложения не имеет обратной.
Отсутствие операции, обратной к сложению, следует из того, что если А не
является подмножеством множества С, то вообще не существует такого
множества В, что A [J В = С; если же ЛдС и Л непусто, то существует по
крайней мере два таких множества В\ и В2% что ВХФВ2 и A (J#i = Л (J В2 = С. —
Прим. перев.

# 5. Свойства симметрической разности
25
что и доказывает (6). Если же А^~В = С, то А ---(Л —В) =
= А -1- С и, следовательно, В = Л —С в силу (6).
Таким образом, из (6) и (7) следует, что операция — имеет
обратную и этой обратной операцией является она сама.
В алгебре и теории чисел изучаются совокупности объектов,
обычно называемых числами, с определенными на них двумя
операциями + и • (называемыми соответственно сложением и
умножением), обладающими следующими свойствами:
I. х + у = у + х.
II. (х + у) + г = х + (у + z).
III. Существует число 0, такое, что х + 0=х.
IV. Для произвольных х и у существует единственное число
z = х — у {разность), такое, что у + z = х.
V. х • у = у • х.
VI. * •($/•£) = (*•#) '2.
VII. х* (у + г) = {х- у) + (х- г).
Такие совокупности называются кольцами (точнее,
коммутативными кольцами). Если существует число 1, такое, что
VIII. х*\ = х для каждого я, то говорят, что кольцо имеет
единицу.
Алгебраические вычисления в кольцах выполняются точно
так же, как в обычной арифметике. При доказательствах
правил счета в арифметике, относящихся к сложению, вычитанию
и умножению, мы используем только тот факт, что числа
образуют коммутативное кольцо с единицей.
Формулы (1) — (7) показывают, что множества образуют
кольцо (без единицы), если роль «суммы» играет операция —,
а роль «произведения» — операция П. Особенностью этого
кольца является то, что операция «вычитания» совпадает с
операцией «сложения» и, кроме того, «квадрат» каждого элемента
равен этому элементу.
Если в качестве основных операций принять операции — и
П, то все вычисления в алгебре множеств производятся точно
так же, как в обычной арифметике, но при этом можно опускать
нее показатели степеней, а все коэффициенты приводить по
модулю 2 (т. е. 2kA = О и {2k + \)А = Л).
Этот факт имеет тем большее значение, что операции (J и
можно варазить через операции — и Л, благодаря чему всю
Развитую в предыдущих параграфах алгебру множеств можно
истолковать в рамках арифметики введенного выше кольца
множеств. В самом деле, легко проверить равенства
А\}В = А^В^{А(]В), (8)
А-В = А — (А[\В). (9)

"26 Гл. J. Алгебра множеств
Из (8) и (9) следует, что
если мнооюества А и В не пересекаются, то А \]В = А — В. (10)
Применение симметрической разности проиллюстрируем на
следующем примере.
Пусть X — множество и / — непустое семейство его
подмножеств (т. е. множество, элементами которого являются
подмножества множества X), удовлетворяющее условиям
(YczZ)A(Zs=I)->(Yz==I), (Y^I)A(ZeeI)-+(Y{]Z£=I). (11)
Семейство, для которого выполнены эти условия, называется
идеалом. О двух подмножествах А и В множества X говорят,
что они равны по модулю /, если Л-Bg/. Это записывается
в виде
A = B{modI)
или просто А = В, если идеал / зафиксирован.
Поскольку 0е/, то в силу (5)
А = А,
1. е. отношение = рефлексивно. Из (1) следует, что
(А = В)->(В = А),
т. е. отношение = симметрично. Наконец, из тождества
(А -=- В) = {А — С)-*-(В -*- С) следует, что А — В с (Л — С) U
U (В —С), поскольку симметрическая разность двух множеств
содержится в их сумме. Тогда в силу (11)
(А = В)Л(В = С)->{А = С),
т. е. отношение = транзитивно.
Если заменить в некоторых из предыдущих определений знак
= знаком = , получим новые понятия. Например, два
(Множества А и В называются непересекающимися по модулю /, если
А П В =0 (ср. стр. 19); множество А является подмножеством
множества В по модулю /, если А — В = 0, и т. п.
Упражнения
1. Множество А\ — ... — Ап содержит те и только те элементы,
которые прина^лзжат нечетному числу множеств Аи •••> Ап-
2. Доказать, что если множества Аи ..., Ап конечные и множество А
содержит N (А) элзментов, то N (Ах — А2 — ... — Ап) = 2 N (M) —
i
-22лг(^ПЛ/) + 4 2 N(Ai(]AjnAk)~8 2 ^ МП-4/П4кМ|) +...
«, / <. /, ft »'. /■ ft. *

# в. Множество 1. Дополнение
27
3. (Хаусдорф) Доказать, что
(А1[]Л2[] ... \]Ап) — (Вх[}В2\} ... UBn)c
cz(Al — Bl)[](A2 — B2)\} ... [}(Ап — Вп)г
(Л1П^2П ... ПЛп) — (В1[]В2(] ... ПДл)сг
<=(>!,-*-В,) UMa — ^JU ... [)(Ап—Впу
4. Доказать, что для произвольного идеала / условие Л=£ влечет за
собой
А[)С**=В[)С, А[]С^В[]СУ Л-С-^=#-С, С-Л=^=С-£.
5. Для произвольного вещественного числа t обозначим через [/]
наибольшее целое число, не превосходящее t. Пусть At — множество
рациональных чисел вида [nt]ln, л=1, 2, ... . Доказать, что если идеал / составлен из
всех конечных подмножеств множества рациональных чисел, то ~~\ [Ах -=ь^
=ъ Ау (mod /)] и Ах П Ау = 0 (mod /) для иррациональных #, #>0, х ф у.
§ 6. Множество 1. Дополнение
Во многих приложениях теории множеств рассматриваются
только такие множества, которые содержатся в некотором
фиксированном множестве. Например, в геометрии рассматривают*
ся только множества точек данного пространства, в
арифметике — множества чисел.
В настоящем параграфе буквами Л, В, ... будем обозначать
множества, содержащиеся в некотором фиксированном
множестве, которое будем называть пространством или универсумом
и обозначать символом 1. Так как
Л<=1
для каждого Л, то
А(]1 = А, Л U 1 = 1. (1)
Множество 1 — А называется дополнением множества Л и
обозначается символом Лс или —Л:
_Л = Лс=1-Л.
Очевидно, что
ЛП- Л = 0, Ли- Л=1. (2)
Так как А = 1 — (1 —Л), то, используя формулу (10) из § 4,
получаем закон двойного дополнения
~-А = А. (3)
Полагая в законах де Моргана (§ 4, формулы (8)) Л = 1 и
заменяя В и С соответственно на Л и В, получаем
-(А()В)=-А[)-В, -{А[)В)=-А()-В, (4)

"28
Гл. 1. Алгебра множеств
т. е. дополнение произведения двух множеств равно сумме их
дополнений, а дополнение суммы двух множеств равно
произведению их дополнений.
Следует отметить, что формулы, которые мы получили, введя
понятие дополнения, аналогичны законам алгебры
высказываний, приведенным в § 1. Действительно, достаточно в
выражениях (1)—(4) заменить знак равенства знаком эквивалентности
и интерпретировать буквы как переменные высказывания, а
символы (J, П, —, 0, 1 как дизъюнкцию, конъюнкцию,
отрицание, ложное высказывание и истинное высказывание, и мы
получим законы алгебры высказываний. И обратно, при
соответствующей замене символов в законах алгебры высказываний
получаются теоремы алгебры множеств. Учитывая этот факт,
отметим, что вычисления для множеств, являющихся
подмножествами данного фиксированного множества 1, легче всего
проводить, если при этих вычислениях применяются только
операции U, П, —.
Вычитание можно определить при помощи операции — и
одной из операций U или П. В самом деле,
л-я = лп-в = -(-лия).
Отношение включения можно свести к отношению равенства
(ЛсЯ)-[(ЛП-Я) = 0]. (5)
В самом деле, умножая обе части выражения Лей на —В,
получаем ЛП —ВаВП —В, откуда следует, что А{] — В = О,
поскольку ВГ\ — В = 0. Обратно, пусть ЛП—5 = 0. Тогда
А = А[\\ = А[\(В\)-В) = (А{\В)\)(А[\-В) =
= (А(]В)[}0 = АГ[Вс1В.
Так как {А = В) = (AczB) A {ВаА), то из (5) следует
(А = В) ^ (А П - В = 0) Л (В П - А = 0),
а поскольку из Х = 0 и К = 0 следует, что X[jY = 0} получаем
(А = В) ess [(А П - В) U (В П - А) = 0] ^ (А -*- В = 0). (6)
Из (5) легко вывести (ср. с законом контрапозиции), что
(ЛсВ)^(-Вс- Л). (7)
Совокупность всех множеств, содержащихся в 1, образует
кольцо, если в качестве сложения рассматривать операцию —,
а в качестве умножения операцию П. Это кольцо отличается от

§ 7. Конституенты
29
кольца множеств, рассмотренного в § 5, тем, что оно имеет
единицу — множество 1. В самом деле, равенства (1)
показывают, что множество 1 обладает характерным для единицы
кольца свойством VIII § 5.
Отсюда следует, что вычисления в алгебре множеств можно
формально уподобить вычислениям в алгебре чисел.
Упражнение
Определим операцию деления множеств формулой Л : В—Л (J — В. Найти
выражения для А: (В[)С) и А : (В П С) (они соответствуют законам .де
Моргана). Выразить А П (В : Л).
§ 7. Конституенты
В этом параграфе нас будут интересовать множества,
получающиеся из произвольных п множеств при помощи операций
сложения, умножения и вычитания. Мы покажем, что таких
множеств конечное число и что все они могут быть представлены в
некотором специальном виде, называемом нормальным.
Пусть Аи ..., Ап — произвольные подмножества
пространства 1, которые на протяжении всего этого параграфа будут
оставаться фиксированными.
Обозначим
А\ = 1 — Л/, Ai = Ai для /=1, ...,м.
Каждое множество вида
А[* П А12* П ... П Кп (h = 0 или /л = 1 для й = 1, ..., я)
назовем конституентой.
Общее число различных конституент не превосходит 2п, так
как каждый из индексов ik может принимать только два
значения: 0 или 1. Количество конституент может быть меньше 2П.
Если, например, /г = 2 и А\ = \—Л2, то существует только три
конституенты:
о = л?гм2°=л!п^, Л] = л?n/i2, а2=а\{\а1
Различные конституенты не пересекаются.
Действительно, если конституенты
Si = ^n^n ... Г)4» и S2=4'n4*n ... ПАгп*
Не совпадают, то ik¥=jk по крайней мере для одного k^n. Но
тогда Ajf П А% = 0 и тем более S{ П S2 = 0.

Гл. 1. Алгебра множеств
Сумма всех конституент равна 1.
Для доказательства этого утверждения сначала заметим, что
1 = (л?ил1)п(л?илйп ... п(л0.ил^),
а затем раскроем скобки, используя закон дистрибутивности
умножения относительно сложения. Справа получим сумму всех
конституент.
Множество А{ равно сумме конституент, содержащих
сомножитель А0..
Действительно,
\=SXUS2U ...[)Sh,
где Sb ..., Sh — все конституенты. Тогда
^==(^nS,)U(^nS2)U ... ЩЛ;П5,).
Если Sp содержит сомножитель А\9 то A. f|S =0, так как
А. П А\ = А. П (1 - Л£) = 0. Если же Sp содержит Л°, то А. П Sp =
= Sp. Отсюда и следует, что At является суммой тех
конституент, которые содержат сомножитель Л/.
Теорема 1. Каждое непустое множество, образованное из
множеств Ль ..., Ап при помощи операций сложения,
умножения и вычитания, является суммой некоторого числа
конституент.
Доказательство. Теорема верна для множеств Ль ...
..., Ап. Поэтому достаточно показать, что если множества X и Y
являются суммами некоторого числа конституент, то и
множества X[}Y, X С\ Y и X—Y (если только они непустые) можно
представить в виде суммы конституент.
Пусть X и У представимы в виде суммы конституент
X-^USaU ••• USfc, r = S,US2U ... US/.
Тогда
XUy==(S1U ... US*)U(StU ... U^),
и, значит, X{JY является суммой конституент.
Из закона дистрибутивности умножения относительно
сложения получаем
xnr = (s1ns1)u(s1ns2)u ... iH^nsiJU .._.
... U(S,nS/)U ... U(SfcnSi).

$ 7. Конституенты
31
Если Si=t=Sj, то S<riSj = 0; в противном случае Sif)Sj = Si.
Отсюда и следует, что произведение X П Y либо пусто, либо пред-
ставимо в виде суммы некоторого числа конституент
jrnr^us^u ... usv
Если среди конституент StJt ..., S,- встречаются все
конституенты Si, ..., Sft, то
I-F^I-^nncf^U ... US*)-(SiU ... US,) = 0.
В противном случае пусть S/ , ..., S/ —те конституенты из
ряда Slf ..., Sb которые не встречаются среди S^, ..., S,- .
Тогда
X-Y = X-(X()Y) =
«[(s^u ... usgu(s7lu ... us/g]-(s,iu ... usg =
= (s/iu...us/g-(^1u...usg =
= (syiu ... usIq)-[(sfi[] ... и^)п(^и ... usg] =
-s7lu ... usv
поскольку (syiu ... us^n^u ... usg = o.
Теорема доказана.
Теорема 2. #з п множеств при помощи операций (J, П и
— можно образовать не более чем 22 множеств.
Действительно, каждое такое множество (за исключением
пустого) является суммой конституент. Так как количество
конституент не превышает 2П, то число различных сумм,
образованных из некоторого (непустого) количества конституент, не
превышает 22 — 1.
Важную роль играет частный случай, когда все конституенты
отличны от нуля. В этом случае множества Аи...,Ап
называются независимыми1).
Теорема 3. Если множества Аи ..., Ап независимы, то
число различных конституент равно 2п.
Доказательство. Если
s-4'n ... л4? = 4«п... п<« (о)
1) Понятие независимых множеств играет важную роль в задачах, свя*
занных с основаниями теории вероятностей: см. Марчевский [\]г

32
Гл. I. Алгебра множеств
и не все равенства *i=/i, ..., in = jn верны, то S = 0.
Действительно, если, например, ip=l, jP = 0, то умножая обе части
последнего равенства в (0) наЛр, получаем S = 0. Следовательно,
если множества Аи •••, Ап независимы, то (0) верно только в
том случае, когда гi == /1, ..., in = jn, что и доказывает теорему.
Пример. Пусть множество Dm составлено из всех таких
последовательностей (zu ..., zn), что каждое г% равно либо 0,
либо 1, но zm = 0. Множества Du ..., Dn независимы. В самом
деле, D1^1 состоит из всех последовательностей (zu ..., zn), для
которых zm = im, поэтому (ir ..., /n)e£)ji П ... Dfr.
Применим теперь конституенты для решения следующей
проблемы элиминации. Введем обозначения:
Г°п(А) = {А содержит по крайней мере п элементов},
Г^(Л)^{Л содержит точно п элементов}.
Пусть t'i, ..., in, ju ••-, jn — последовательности чисел 0 и 1;
Рь • ••, рп, <7ь • •> Уп — последовательности неотрицательных
целых чисел. Нас интересует необходимое и достаточное условие
существования такого множества X, что утверждения
К\(Х^Ч г;«(*п^,...,г£(*п4,),
. . in
ГЙ (- Х П Л)> Г£ (- X П А2), ..., Г £ (- X п Ап)
справедливы.
Пусть сначала п=1. Если вместо iu /ь p]t qx, Ax запишем i, j,
р, q, Л, то получим решение
{(i = j=\)Ar]p+q(A)}vT°p+q(A). (II)
Действительно, если существует множество X,
удовлетворяющее условиям (I), и i = /=l, то Л является суммой двух
непересекающихся множеств, имеющих соответственно р я q
элементов, а, значит, Л состоит точно из р + q элементов. Если же
(i = 0)V(/ = 0), то А — сумма двух непересекающихся множеств,
первое из которых имеет по крайней мере р, а второе по
крайней мере q элементов. Тогда Л имеет по крайней мере р + q
элементов. Обратно, если выполнено условие (II), то достаточно
в качестве X взять произвольное подмножество множества А,
содержащее р элементов.

# 7. Конституенты
33
Пусть п>| и множества А ь ..., Ап попарно не пересекаются.
Сначала потребуем меньшего, а именно, чтобы для каждого
s (s = 1, 2, ..., п) существовало такое X8t что
г;:(^п^)лг;,(-х5пл). (ш>
Как мы уже знаем (см. (II)), для этого необходимо и
достаточно, чтобы
[& = /,= 1) Л Г^(Л,)] VlV*,(i4e) для s=l, ..., п. (IV)
Очевидно, что это необходимое условие того, что существует
множество X, удовлетворяющее (I), потому что если такое X
существует, то мы можем взять XS = X. Покажем, что это условие
является и достаточным. Возьмем в качестве X множество
X = [(*ifM,)U ... и(*„ПЛ,)]и(-Л,П ... П-Л).
Тогда
-Х-К-^и-ЛОП ••• ГМ-^и-ЛШ^и ... [)Ап).
Так как Лг- не пересекаются, то Х[\Аа = Х8(\А8 и —ЯГИ* =
= — ZsrHs, т. е. принимая во внимание (III), убеждаемся, что X
удовлетворяет условиям (I).
Предположим теперь, что для каждой пары г, s (l<^r, s^n)
шбо Ar=As, либо Ar0As = 0. Обозначим условия (I) буквами
Wu ..., Wn, Vu ..., Vn. Покажем, что если ЛГ=Л8, то Wr-+W6y
либо Wa-+Wr, либо WrAWszE=F. Действительно, если /г = /в = 0, то
Ws-+Wr, когда Pr^Cp.s, и Wf-^W^ когда ps<pr- Если tr=I и ts = 0,
то Wr-> W8, когда /?г > /?s, и ^г Л UPS = F< когда /?г < рв. Если же
/, = /s=l, то Wr->WS, когда pr = ps, и И7,AW8^F в противном
случае. Аналогично доказывается, что либо Vr-+Vs, либо Vs-+Vry
либо V7AVS = F. Итак, или конъюнкция условий (I) ложна, или
в ней можно опустить некоторые сомножители так, чтобы в
полученной эквивалентной конъюнкции никакие два из множеств
Ля не повторялись. Таким образом, рассматриваемый случай
сводится к предыдущему.
Сведем теперь общий случай к случаю, когда множества Аа
шбо не пересекаются, либо совпадают. В связи с этим заметим,
ito если M[)N = 0, то
vl(M[)N)^r°p{M) v[ri-i(лолг?(ло] vК-2(м)лr2°(yv)] v ...
... v[rJ(Af)ArJ(tf)J,
rlP(M[}N) = [rlp(M) Л ri(iV)] V [rj,., (Al) Л rj (N)] V ...
... У[Г1о(М)ЛГР(Ю .

31
Гл. I. Алгебра множеств
Отсюда по индчкции получаем, что если множества 5Ь Sk
попарно не пересекаются, то условие вида Tp(SiU ... U 5л)
можно представить в виде дизъюнкции конъюнкций
rt;(s.)A ••• Ar;*(s,).
Представим теперь каждое из множеств А8 в виде суммы
ко:;ституент. Согласно сделанному выше замечанию, каждое из
уело): !Й (I) можно представить в виде дизъюнкции некоторых
конъюнкций вида
г";(л-ns.)л ... лг^л^)
или
Используя дистрпОутнвность конъюнкции относительно
дизъюнкции, представим конъюнкцию условий (I) в виде
дизъюнкции условий, каждое из которых в свою очередь является
конъюнкцией некоторого числа сомножителей вида ГДX f| Sg) или
1*1— X (]Sg)- При этом отдельные консштуепты, входящие в
каждую такую конъюнкцию, или совпадают, или не
пересекаются, что и сводит этот случай к предыдущему.
Пример. Найдем необходимое и достаточное условие
существования множества X, для которого
ХПАОВФО, -Х()АГ\ВФ0,
Х[\Ас£П. Х()ВфА.
Эти условия эквивалентны конъюнкции условий
Г?(Х П А П В), Г?(Х П А П - В), Г?(* П - А П В),
Г?(-ХПЛПЯ), Г°0(-Х()А()-В), Г2(-ЛГП - -4ПВ),
откуда искомое необходимое и достаточное условие есть
Г2°(Л П В) Л Г?(Л П - В) Л Г?(- А П В).
Другими словами, конституенты ЛП—В и ВП—Л должны быть
непустыми, а конституента А(\В должна содержать по крайней
мере два элемента х).
1) Приведенный здесь метод элиминации восходит к Сколему [1].

§ 8. Применение алгебры множеств к топологии
35
Упражнения
1. Полагая множество 1 бесконечным, а множества А\у ..., Лп
конечными, найти метод получения необходимого и достаточного условия
существования конечного множества X, удовлетворяющего конъюнкции условий (I).
2. Пусть / есть я-мерный единичный куб, т. е. множество таких
последовательностей (.v,, .., .vfl), что 0^я,-<Л (/=1, ..., п). Пусть Im состоит
из последовательностей (лч, ..., xn)^Fy для которых 'Д^^/п^Л. Доказать,
что множества Л. .... /,г независимы. Дать геометрическую интерпретацию
для /7 = 2 и для /? = 3.
§ 8. Применение алгебры множеств к топологии1)
Для иллюстрации применения развитого в предыдущих
параграфах исчисления в других отраслях математики рассмотрим
здесь аксиомы общей топологии и выведем из них, используя
алгебру множеств, некоторые следствия.
В общей топологии объектом исследования является
непустое множество 1, называемое пространством, элементы
которого называются точками. Каждому подмножеству А множества
1 соответствует множество Л, называемое замыканием
множества Л, также содержащееся в 1.
Пространство 1 называется топологическим пространством,
если для него выполняются аксиомы (см. также стр. 127)
МГВ^АЦВ, (1)
А = А, (2)
А с Л, (3)
0=0. (4)
4Ф Аксиомы (1) — (4) выполняются, например, когда
[является множеством точек плоскости, а операция замыкания А состоит
и добавлении к А всех предельных точек этого множества, т. е.
1аких точек р, что произвольный круг с центром в р содержит
по крайней мере одну точку множества А. Такую интерпретацию
системы аксиом (1) — (4) будем в дальнейшем называть
естественной интерпретацией, ф
]) Развитое в этом параграфе топологическое исчисление подробно
описано в монографии Куратовского [9, гл. I]. Дальнейшие исследования этого
исчисления, проведенные алгебраическими средствами, см Маккинси и Тар-
екпй [1].
В § 8 мы используем не только аксиомы I, А, В, С, но и аксиомы (1) —
(1). Однако все приведенные ниже теоремы можно вывести из полной системы
аксиом теории множеств, данной в гл. II, трактуя аксиомы (I) —(4) как усло-
В!!и, наложенные на операцию замыкания.

36
Гл. I. Алгебра множеств
Покажем, как из аксиом (1) — (4), пользуясь только
законами алгебры множеств, можно вывести различные свойства
операции замыкания.
Имеем __
1 = 1. (5)
Действительно, для каждого Л верно Ас 1, а аксиома (3)
дает lczl.
Далее _
A-BczA-B. (6)
Действительно, из_ В Ц {А — В) = А Ц В по аксиоме (1)
получаем В[) А — В = A U В. Отсюда ЛссВ [) А — В и, таким образом,
А - В а {В U А-В) - В = А-В - В а А-В.
Докажем импликацию
(Л с: В)-> (Л се В). (7)
Включение ЛссВ эквивалентно равенству A (J В =_В, откуда
по аксиоме (1) получаем А[] В = В, а, значит, ЛссВ (ср § 3,
формула (5)). _ __
ЛПВссЛПВ. (8)
В самым деле, поскольку А П В ее А и Л П Вес В, то в силу
(7) А Л В с: Л" и ЛЛВссВ. Перемножая эти включения и
учитывая закон идемпотентности (§ 4, формула (4)), получаем (8).
Если Л--=А и В = В, то ЛТЬВ = Л П В. (9)
В самом деле, Л (1 ВссЛ П В, согласно аксиоме (3), а Л f] Вес
ссЛПВ==ЛПВ, согласно (8) и условию теоремы. Поэтому
лТТв = лпв.
Множество, совпадающее со своим замыканием, называется
замкнутым. Утверждение (9) означает, что произведение двух
замкнутых множеств замкнуто, а формула (1) —что сумма двух
замкнутых множеств замкнута.
Дополнение замкнутого множества называется открытым
множеством.
Из законов де Моргана следует, что сумма и произведение
двух открытых множеств открыты.
Ф При естественной интерпретации аксиом (1) — (4)
замкнутые множества — это те, которые содержат все свои
предельные точки. Открытые множества обладают следующим характе-

§ 8. Применение алгебры множеств к топологии
37
ристическим свойством: если точка р принадлежит открытому
множеству А, то существует круг с центром в р, полностью
содержащийся в Л. ф
Множество 1)
Int(4)= 1- ПГА = Ас~с
будем называть внутренностью множества А. Внутренность
произвольного множества, очевидно, открыта.
# При естественной интерпретации аксиом (1) — (4)
множество Int (-Д) состоит из всех таких точек р, для которых
существует круг с центром в р, полностью содержащийся в А. ф
Докажем, что
Int (Л) с Л. (10)
Из аксиомы (3) получаем Лсс:Лс~, откуда, используя
формулу (7) § 6, имеем
1 - Лс~ с 1 - Лс,
или
Лс-сс:Лсс = Л.
Из (10), в частности, вытекает, что Intflnt(Л)) crlnt(Л). Это
утверждение можно усилить. На самом деле справедливо
равенство
Int (Int (Л) )= Int (Л). (11)
Действительно, из определения Int (Л) следует, что
Int (Л) = Лс~с, Int (Int (Л)) = [Int (Л)]с"с = [ЛС_СГ~С.
Так как двойное применение операции дополнения можно
опускать (закон двойного дополнения), то
Int(Int(i4)) = i4c—с,
а так как по аксиоме (2) Лс =ЛС_, то
Int (Int (Л)) = Лс~с = Int (Л).
Докажем теперь, что
Int (Л П В) = Int (Л) П Int {В). (12)
По закону де Моргана
(лпв)с"с = ИсивТс-
1) Вместо А иногда нам удобнее будет писать Л".

38
Гл. I. Алгебра множеств
Применяя аксиому (1), получаем
Int (Л П В) = (Л П В)с"с = (Ас~ U Лс")с,
и, применяя второй закон де Моргана, заключаем, что
Int {А П В) = Лс~с П Вс"с = Int (Л) fl'Int (В).
Из (12) легко следует
Л с В-> Int (Л) cz Int (В). (13)
В самом деле, Л с: В равнозначно Л П В = А, откуда
Int (Л) = Int (Л П В) = Int (Л) П Int (В) с: Int (В).
Верна также формула
Int(Int(4))=Int(4). (14)
Действительно, согласно (10),
• Int (Int (Л) )с= Int (Л),
откуда, используя (7) и аксиому (2), получаем
Int (Int (Л)) с: Int (Л). (\АХ)
С другой стороны, в силу (11), (3) и (13)
Int (Л) - Int (Int (Л)) с= Int (Int (Л)),
откуда с учетом (7) имеем
Int (Л) с Int (Int (Л)). (142)
Выполнение включений (14j) и (142) одновременно означает
справедливость равенства (14).
Заменяя Int (Л) в (14) на Лс~с, получаем
£-*-*-*- = лс~с". (15)
Подставляя Лс вместо Л и применяя закон двойного
дополнения, находим 1)
л_с_с_с_ = л_с^ (16)
Формулы (15) и (16) показывают, что если к произвольному
множеству применять поочередно операции дополнения и
замыкания, то получится только конечное число различных множеств.
*) Формулу (16) доказал Куратобский [3].

§ 8. Применение алгебры множеств к тополог и и
39
Начав с операции дополнения, получим
л, лс, лс~, лс~с, лс-с~, лс~с-с, лс~с-с"", лс~с-с-с.
Следующим множеством было бы Лс_с~с~с~, но оно, согласно
(15), совпадает с уже имеющимся множеством Лс~с~.
Если же начнем с операции замыкания, то получим
л, л~, л~с, л~с", л"с~с, л"с-с", л-с"с-с.
Следующим множеством было бы Л~с-С_с~, но оно, согласно
(16), совпадает с множеством А~с~.
Таким образом, применяя операции дополнения и замыкания
к произвольному множеству Л, можно получить не более 14
различных множеств.
В § 9 нам потребуются утверждения (17) и (18).
Если В = Х~С-, то Int [Int (Л-В) П В] = 0. (17)
Доказательство. Очевидно, что Л — В с: Вс, откуда в
силу (13) и (7)
Int [1пЦЛ-В)Г1 В] cz Int [Int(Bc) П В].
Поэтому достаточно доказать, что
Int [Tnt(5c)n -в] — 0.
Так как Int(Bc) = В^-с- = В~с~ = *-<*---с- = Я-с-°-, то
в силу (12), (16) и (10)
Int [huW) Л BJ = Int [Int(Bc) ] П Int {В) =
= X~c-C-C-C П Bc~c = X'c'c П Bc~c = Bc П Bc"c = 0.
Вели A = A или В = В, то Int (A) U Int(B) = Int (ЛУВ). (18)
Доказательство. Согласно (13), lnt(A)czlnt(A\JB) и
Int(B)c=Int(i4UB); значит, Int(-4) (Jlnt(B) alnt(A UB). Замыкая
обе части этого включения и учитывая (1) и (7), получаем
Int (Л) U Int (В) с Int (Л U В). (180
Для доказательства обратного включения рассмотрим
равенство
ливи[1-иив)]=1,
п:* которого следует (по аксиоме (3))
ливи1-иив)= 1,
°ткуда
BU1-(^UB)=d 1-Л.

40
Гл. 1. Алгебра множеств
Применяя операцию_замыкания к обеим частям этого
включения и учитывая, что В = В, находим
B[)l-{A\jB)=>T=A,
откуда
[\-J^A][jB[]l-(A[]B) = 1,
или
lnt(A)[)B[)l-(A\JB)=l.
Из последнего равенства следует
Int (Л) U 1- {A U В) zd 1 - В
и, значит,
\nt(A)[)l -(А[) B)zdI - В.
Прибавляя к обеим частям множество* 1 — 1—В = Int (В),
имеем
Int (Л) U Int (В) U 1-(ЛиВ) = 1,
откуда
ЩЛ) U Int {В) =э 1 - ТЗЩГв) = int (A U В).
Замыкая обе части и пользуясь аксиомами (1) и (3), получаем
Int (Л) U Int (В) =) Int (Л U В). (182)
Выполнение включений (18i) и (182) одновременно доказывает
утверждение (18).
Упражнения
1. Доказать, что если множество А открыто, то для произвольного X
лпТ- лпх
2. Определим Fr (А)=А[}1—А (граница множества А). Доказать, что
a) (А. Стоун) Fr (А Ц В) Ц Fr (Л П В) U [Fr (Л) П Fr (В)] = Fr (Л) Ц Fr (В),
b) Рг(Л) = (ЛП_1-Л)и(Л-Л),
c) ЛиРг(Л)-Л,
d) Fr(Int(4))c:Fr(4),
e) Int [Fr (Л)] = ЛП Int [Fr (Л)] - Int [Fr (Л)] - Л.
3. Множество А назовем граничным, если 1— А = [. Л\ножество А
называется нигде не плотным, если Л — граничное.
Доказать, что
a) сумма граничного множества и нигде не плотного является граничным
множеством,
b) сумма двух нигде не плотных множеств нигде не плотна,

§ 9. Булевы алгебры
41
с) для того чтобы множество Fr(Л) было нигде не плотным, необходимо
и достаточно, чтобы Л было суммой открытого и нигде не плотного
множеств.
4. Пусть 1—пространство, в котором, кроме аксиом (1) — (4),
выполняется еще равенство
(7) - 1р)
(через {/;} обозначено множество, содержащее единственный элемент /;).
Говорят, что точка р — предельная точка множества А, если р е Л — {р}
(для плоскости это эквивалентно условию р= lim рп, где /?,»€= Л—{р},
/г->оо
т. е. условию, приведенному на стр. 35). Обозначим через Л' множество всех
предельных точек множества Л и будем называть его производной.
Доказав, что
{AUBY = A'{JB\ Л'- Я'с= (Л - Я)\ А"сА\ А = А [) Л', А = А.
5. Пусть 1—такое же пространство, как в упражнении 4. Множество Л
называется плотным в себе, если Лс=Л'.
Доказать, что
a) если пространство плотно в себе, то и каждое его открытое
множество плотно в себе,
b) если множества Л и 1 —Л граничны, то пространство I плотно в себе,
c) множества Int [Fr (Л)] и Лр|1п1[Рг(Л)] плотны в себе.
6. (Исеки) Условия (1) — (3) эквивалентны условию
л и ли в = мГв.
§ 9. Булевы алгебры
В подавляющем большинстве сформулированных до сих пор
теорем о множествах знак е, обозначающий принадлежность
элемента к множеству, не встречается (хотя он встречается в
определениях и доказательствах). В связи с этим представляет
интерес обоснование, в виде отдельной теории, той части
алгебры множеств, в которой не используется отношение е. В этой
теории речь будет идти только о равенстве и неравенстве
некоторых объектов и о некоторых операциях на них. Определим их
при помощи аксиом таким образом, чтобы можно было доказать
все приведенные в предыдущих параграфах теоремы, в которых
не встречается знак е. Теория, которую мы таким образом
получим, носит название булевой алгебры. Она находит
применении во многих разделах математики1).
Пусть К — произвольное множество, Л и Л—двуместные
операции, определенные на К и со значениями из К, и, наконец,
^ — выделенный элемент множества К. Говорят, что К является
булевым кольцом (или булевой алгеброй2)) по отношению к этим
операциям и к элементу о, если для произвольных а, Ъ, с^К
1) Из многочисленных изложений этой теории отметим популярное
изложение Халмоша [1] и монографию Сикорского [3].
2) Алгеброй называется кольцо с единицей. — Прим. перев.

4*2
Гл. 1. Алгебра множеств
выполняются следующие равенства (аксиомы булевой
а A b = b Л а,
аЛ(()Лс) = (аД(?)Лс,
а Л о = а,
а А а = о,
а Л b = b Ла,
а Л {b Л с) = {а ЛЬ) Ас,
а Л о = о,
а Л а = а,
аЛ{ЬАс) = {аЛЬ)А(аЛ с).
Сумму и разность элементов определяем формулами
aV b = aA[b А{аЛ Ь)],
а — Ь = а А (а Л Ь).
Элементы аАЬ и а ЛЬ называются симметрической разностью
и произведением элементов а и Ъ, а о — нулевым элементом1).
Примером булева кольца служит семейство всех
подмножеств некоторого фиксированного множества 1, если операции
Л и Л понимать как теоретико-множественные операции
симметрической разности и произведения, а элементом о является
пустое множество. Мы сталкивались с такой интерпретацией
аксиом (1)-(9) в § б2).
Вместо семейства всех подмножеств множества 1 можно
рассматривать такое семейство К его подмножеств, что
симметрическая разность и произведение двух множеств, принадлежащих К>
тоже принадлежат К. Такое семейство является булевым
кольцом относительно тех же операций, что и в предыдущем
примере. Каждое такое булево кольцо называется телом множеств.
Введем понятие булева многочлена. Пусть хи х2, ... —
произвольные буквы. Символы
(I) о,
(И) A'b.V-2, ...
') Тот факт, что мы употребляем одни и те же символы для операций в-
булевой алгебре и для логических операций, не вызовет недоразумений.
2) Здесь, как и в § 8, наше изложение опирается не только на аксиомы
теории множеств, но и на аксиомы булевой алгебры и частично на аксиомы
топологии. Однако все теоремы можно вывести из аксиом теории множеств,
приведенных в гл. II, трактуя аксиомы булевой алгебры как постулаты об
операциях Л, Л н элементе о, а аксиомы топологии — как постулаты об
операции замыкания. Аналогичное замечание относится и к § 10.
алгебры);
(о
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

<$ 9. Булевы алгебры
43
— многочлены; если f и g— многочлены, то
(Ш) (f)A(g),
(Щ(ПМв)
— тоже многочлены. Под многочленами мы понимаем просто
последовательность символов, которую можно получить по
правилам (I) —(IV).
Пусть К — булево кольцо, и пусть каждому символу х;
поставлен в соответствие некоторый элемент а^К- Определим (по
индукции) значение многочлена при данном соответствии.
Значением многочлена (I) пусть будет нулевой элемент кольца /(,
а значениями многочленов (II) —соответствующие им элементы
кольца К. Если значения многочленов f и g— элементы а и Ъ,
то значениями многочленов (III) и (IV) будут соответственно
а А Ъ и а Л Ь.
Значение многочлена / на кольце К обозначим /a-(^i, «2, •••)•
Очевидно, что fK(aua2,. . .)^ К.
Пусть многочлен f имеет вид . . . {h') A'(Л"). . ., а многочлен g —
вид .. .(Л") Д (ft7). . ., ft' и ft" — многочлены, а точками
обозначены последовательности символов, одинаковые в многочленах
[ и g. Тогда говорят, что многочлен g непосредственно
преобразуется в многочлен f по аксиоме (1). Аналогично определяем
непосредственное преобразование по остальным аксиомам (2) — (9).
Говорят, что многочлен g преобразуется в /, если
существует такая конечная последовательность многочленов f = fi,/2, • • .
• 1 fk = g, что для каждого i (1 <л<&) многочлен fi+]
непосредственно преобразуется в /* по одной из аксиом. Это записывают
f~~g. Очевидно, что
/~Л f~g->g~f, f~g~h->f~h.
Если f~g, то !к(о>и а^ ---)=8к{аи #2, ...) для
произвольного булева кольца К и произвольных элементов а,- ен К.
Многочлены, получающиеся из fiA . . . Д/& (или {{А ... Л//<)
при помоши всевозможных расстановок скобок, взаимно
преобразуемы по аксиоме (2) (или аксиоме (6)). Поэтому в этих
многочленах мы всегда будем опускать скобки. Не будем также
обращать внимания на очередность многочленов, связанных
символами Д или Л-
Теорема 1. Каждый многочлен можно преобразовать либо
(> о, либо в другой многочлен вида sx А . .. Д sh, где каждый из
многочленов s имеет вид х,-Л Л72Л... Axit{i{ < /2<.. .<**, f>\)
11 никакие два слагаемых s,-, sk (l^C/<£^Cft) не совпадают1).
') Теорема 1, как и приведенная ниже теорема 2, является схемой: для
каждого многочлена / получаем отдельную теорему.

44
Гл. I. Алгебра множеств
Доказательство. Теорема очевидна для многочленов
(I) и (II). Допустим, что она верна для многочленов fug. Если
f~o (или g~o), то (/)A(g)~gH (f)A(g)~o (или (f)A{g)~f
и (f)A(g)~o) в силу (1), (3) и (7). Далее предположим, что
/~slAs2A ... Asft и g~t{At2A ... Atk.
Тогда
(f)A(g)-SiAs2A ... AshAt{At2A ... Д f*.
Пользуясь аксиомами (3) и (4), опускаем повторяющиеся
слагаемые и получаем для многочлена (III) нужный вид.
В случае многочлена (IV) с помощью аксиом (9) и (5)
получаем
{f)A(g)~[(s{A ... Д«А)Л<,1Д ... A[(si A ... Ash)A tk~
~(si Л ^) А ... А (s, Л tq) А ... Л ($л Л /fc).
По (5) и (8) каждый из многочленов spAtq преобразуем в
произведение отдельных переменных. Применяя редукцию,
подобную описанной выше, представляем в нужном виде многочлен
(IV), и теорема доказана.
Теорема 2. Пусть К — тело всех подмножеств некоторого
непустого множества 1. Если / — такой многочлен, что ~1(/~о), то в
К существуют такие множества АиА2,..., что /к(Ль А2>.. .)Ф 0.
Доказательство. По теореме 1 можно ограничиться
случаем, когда / имеет вид S\A... As/г, а каждый из многочленов
S; является произведением букв Х{. Пусть п — число всех
различных букв хи встречающихся в /. Доказательство будем вести
индукцией по п.
Для п=\ имеем f~Xi и поэтому можем выбрать в качестве
А{ произвольное непустое множество. Предположим, что
теорема верна для всех чисел, меньших п, и пусть f содержит точно
п переменных. Если некоторая переменная, например Л'р,
встречается во всех многочленах sjy то f~xpAg> где g содержит
менее п переменных. По предположению индукции существуют
такие множества АиА2л..., что gK(Au А2,. . .)Ф 0. Подставив в
этой последовательности вместо Ар множество 1, мы не изменим
значения g (так как g не содержит хр), а в качестве значения f
получим множество 1 П gK(A\,A2t...) ф 0.
Если же нет такой буквы xv, которая бы встречалась во всех
слагаемых sj} то, заменяя любую букву в / символом о,
получаем многочлен g, у которого меньше переменных, чем у /, и

§ 9. Булевы алгебры
45
~~!(g ~ 0). В этом случае теорема верна в силу предположения
индукции.
Теорема 3. Каждое равенство вида f = g, истинное для
произвольных подмножеств (или даже только для произвольных
подмножеств некоторого фиксированного непустого множества),
можно вывести из аксиом (1) — (9).
Доказательство. Если многочлен f A g принимает
значение о для всех Ли А2, ..., содержащихся в непустом множестве
1, то f Ag~о и, значит, f~g. Поэтому многочлен g можно
получить из / при помощи преобразований по аксиомам (1) — (9) и
общего логического правила, гласящего, что равные элементы
можно заменять один другим.
Из этой теоремы мы заключаем, что тождества, выводимые
из аксиом (1) — (9), совпадают с тождествами, истинными для
произвольных множеств. Кроме того, эта теорема дает способ,
позволяющий механически проверить, выводимо ли из аксиом
(1) — (9) равенство f = g. Для этого достаточно преобразовать
(методом, данным в доказательстве теоремы 1) многочлен / Л g
и проверить, равен ли он о.
Введем отношение порядка в булевом кольце:
(а< 6) = (а Л Ъ = а).
Теорема 4. (а< 6) = (aVb = b).
Доказательство. Если а/\Ь = а, то а\/ Ь = аАЬА (аЛЬ)=*
^= a A b A a = b. Обратно, если а\/Ь = Ь, то аАЬА(а/\Ь) = Ьг
поэтому аАЬАЬА (af\b) = ЬАЬ = о, а, значит, аАоА {аЛЬ) = оу
откуда а А а А (аЛ6) = а Ао = а и о А (аЛЬ) = а, т. е. а/\Ь = а.
Элемент i булева кольца К называется единицей кольца,
если для всех его элементов
аЛ1 = а. (10)
Легко доказать, что единица, если она существует, един-
l геенна.
В кольцах с единицей определим дополнение —а элемента а:
— а = I А а.
Аксиомы (1) — (9) очень удобны во многих вычислениях, но*
liXni редко пользуются. В последующих теоремах мы
познакомимся с другой системой аксиом, которую обычно принимают за
основу. Ограничимся только булевыми кольцами с единицей.

46
Гл. 1. Алгебра множеств
Теорема 5. Если К — булево кольцо с единицей, то для
всех а, Ь, с^К верны следующие равенства:
I. а V Ъ = Ъ V а, Г. а Л Ъ = b /\ а,
II. а V (Ь V с) = (а V й) V с, IIх. аЛ(йЛс) = (аЛ&)Лс,
III. а\/о = а, ИГ. a/\i=a,
IV. а V - а = I, IVх. а Л - а - о,
V. аЛ(6Ус) = (аЛ6)У(аЛс), Vх. а V(bAc) = (aV6)A(aVc).
Доказательство. Равенства I, Р, II, IF, III, V, Vх
истинны для произвольных множеств, а значит, следуют из аксиом
(1) — (9). Равенство IIP совпадает с (10). Докажем IV и IVх:
а Л — а = а Л (i A a) (по определению — а)
= а Л (а Л а) (по (9) и (10))
= аЛа (по (8))
= о (по (4)).
а V — а = а Л (/ Л а) А [а Л (/ А а)] (по определению суммы)
==аА(1Аа) Л о (по IV)
= (аЛа)Д/ (по (I), (2), (3))
= оЛ i (по (4))
= i (по (3)).
Теорема 6 в некотором смысле обратна к теореме 5.
Теорема 6. Если К — множество, о, i e /(, и в нем
определены операции Л, V, —, удовлетворяющие равенствам I—Vх, то
относительно операций Л, Л {а АЬ = (а Л—b)V(b Л~а)) и
элемента о оно является булевым кольцом.
Доказательство нетрудно, носит вычислительный характер и
предоставляется читателю.
Равенства I—V очень часто принимают в качестве системы
аксиом булевой алгебры. В этой системе заслуживает внимания
тот факт, что аксиомы Р—Vх можно получить из I—V, меняя
в них везде символ Л на V и обратно.
В заключение приведем один интересный пример булева
кольца.
Пусть 1 — произвольное топологическое пространство с
операцией замыкания (§ 8, стр. 35). Множество A cz 1 называется
регулярно замкнутым, если
Л = hit (И).

§ 9. Булевы алгебры
М
Обозначим через К семейство всех регулярно замкнутых
множеств пространства 1. Очевидно, что 0 и 1 принадлежат К,
поскольку
int(0) = o = o и ГНЩУ=Г=1.
Если ЛеЕ/С, то А = А% так как
А = ШЩ =7ггЦЛ) - А.
Значит, каждое множество, принадлежащее /С, замкнуто (§ 8,
стр. 36). По теореме (18) § 8, если А <= К и В е /С, то
A U В = Int(i4)U ТпЦВ) = 1лГ(Т[П*),
откуда Л U В(=К.
Положим для Л еК и Be К
Л0в = 1ш(лпв), л/ = Гп!(~л), лов = (лОЯ')и(вСМ').
Из формулы (14) §8 следует, что если ЛеК и ВеК, то
Л©Яе=К, Л'€=Ки Л ОВе-К.
Теорема 7. /С является булевым кольцом с единицей
относительно операций О и 0.
Доказательство. Достаточно показать, что операции
U, 0и ' удовлетворяют аксиомам I—V.
Аксиомы I—III выполняются очевидно. Аксиома V следует
из равенств
Л 0 В = lnt{A(]B) = Int (В П Л) = В © Л.
Так же легко проверить выполнение аксиомы UV-
А 0 1 = ТпТЩТТ) = Int (Л) - Л.
Для проверки выполнения аксиомы 1Г используем формулы
(12) и (8) §8:
Int [(Л 0 В) П С] = Int (Л © В) П Int (С),
Л 0 В =Tnt (Л П В) = Int (Л) П Int (В) с= Int (Л) П Int (В) = Л П В ,
откуда в силу (10) § 8
Int [(Л 0 В) П С] с [(Л 0 В) П С] с [Л П В П С] с (В П С) (-)
и, значит,
Int {Int [ (Л 0 В) П С]} cz Int (В П С),
пли (см. (11) §8)
Int [(Л 0 В) П С] с: Int (В П С) а Ы{В (]С) = BQC.

48
Гл. I. Алгебра множеств
Так как (по (*)) Int [(AQB) ПС]с= Л, то
lnt[(AQB)(]C]cz[Af](BQC)l
откуда
Int {Int [(A © В) П С]} с Int [Л П (В О С)],
т. е. 1пЦ(Л©В) П С] с: Ш[Л П (В© С)]. Замыкая обе части
этого включения, получаем
Int [(Л 0 Б) П С] cz Int [Л П (В О С)],
или [(Л©В)ОС]с=:[Л0(ВОС)].
Совершенно аналогично доказывается обратное включение.
Таким образом, {AQ B)QC = AQ {BQC).
Рассмотрим теперь аксиому V. Имеем
AO(B[)C)=lnt[A(]{B{)C)] = lnt[(A()B)l)(A()C)].
Множества Л, В и С —замкнутые, значит (см. (9) § 8) Л П В =
= Л П В, ЛПС = Л П С. Согласно (18) § 8,
Int [(Л П В) U (Л П С)] = Int (Л П В) U Int (Л П С) = (Л © В) U (Л © С).
Следовательно,
ЛО(ВиС) = (Л©В)и(Л0С).
Проверим аксиому V. Очевидно, что
Л U (В 0 С) = ЬЩ) U Int (В ПС).
Согласно (18) § 8, правая часть этого равенства равна
Int [Л U (В П С)] = Int [(Л U В) U (Л U С)], т. е. (Ли#)0(ЛиС).
Аксиома IV7 легко следует из утверждения (17) § 8 и
замечания, что каждое регулярно замкнутое множество имеет вид
И, наконец, аксиома IV. В силу (18) § 8
A U А' = ШЩ U Int(-4) = Int (Л U-Л),
-поскольку Л = Л. Отсюда Л U Л7 = Int (1) = 1.
Теорема 7 доказана.
Ф Возьмем в качестве 1 плоскость. Очевидно, что каждый
круг вместе с ограничивающей его окружностью регулярно
замкнут. А так как каждое непустое множество вида Int (Л)
всегда содержит некоторый крут, то отсюда мы можем
заключить, что булево кольцо К плоских регулярно замкнутых
множеств обладает следующим свойством:

# 10. Решетки
49
Если А ее К и ЛфОу то существует таксе В, что В ge /(,
ОФ Bcz А и В ФА. #
Упражнения
1. Из каждого истинного в булевой алгебре равенства, записанного с
помощью символов о, / и операций Л, V, —, можно, заменив / па о, о на /,
Д на V и V на Л, получить повое истинное равенство (принцип
двойственности).
2. (Хаппшгтоп) Доказать, что аксиомы II п W выводятся из аксиом I,
Г, III—V. Ili'-Y".
§ 10. Решетки 1)
Более обшим понятием, чем булево кольцо, является понятие
решетки. Пусть L — множество произвольных элементов, на
котором определены две операции V и Л. Говорят, что L —
решетка относительно этих операций, если верны следующие
равенства (аксиомы теории решеток):
аУ а = а, а Л а = а, (1)
a\/b = bVa4 аЛЬ = ЬЛа, (2)
а V (Ь V с) = (а V ft) V с, а А (ft Л с) = (а Л 1А Л г, (3)
я Л (я V ft) = я, а\/(аЛЬ) = а. (4)
Решетка называется дистрибутивной, если
а Л (6 V с) = (а Л 6) V (а Л с), я V (ft Л с) = (а V ft) Л (а V с). (5)
Отношение порядка вводится в решетках так же, как в
булевых алгебоах:
(a<ft)^(aVft = ft), (6)
или, чго то же,
(а < ft) = (а Л ft = a). (7)
Элементы о и / (если они в данной решетке существуют)
определяются аналогично как единственные элементы,
удовлетворяющие условиям
aV o = a, a f\ i = a (8)
ыя всех а е L.
Легко убедиться, что о — наименьший элемент решетки, i —
наибольший, т. е.
о < а < / (9)
Для каждого а е L.
]) Специальному изложению теории решеток (по-английски lattice, по-
Французски freillis; употребляется еще термин «структура». — Персе.) и их
приложений посвящена книга Бнркгофа [1].

50
Гл. I. Алгебра множеств
Согласно теореме 5 § 9, каждое булево кольцо с единицей
является дистрибутивной решеткой с нулем и единицей.
Обратная теорема неверна. Об этом свидетельствует следующий
пример (важный и сам по себе из-за многочисленных его
применений в топологии): семейство всех замкнутых подмножеств
произвольного топологического пространства образует решетку
(при естественной интерпретации операций а V Ъ = a U Ьу
а Л Ъ = а Л 6). Но это семейство, вообще говоря, не будет
булевым кольцом, так как разность двух замкнутых множеств не
обязана быть замкнутым множеством (например в
пространстве вещественных чисел).
Теорема. Если А — дистрибутивная решетка с нулем и
единицей и если для каждого ае А существует такой элемент
—а е Л, что
aV(-fl) = /, aA(-a) = o, (10)
то 1) элемент —а определяется однозначно-, 2) А является
булевым кольцом с нулем о и единицей i относительно операций
V, Л,-.
Доказательство. Если элемент а' удовлетворяет
условиям (10), то а' = а'Л i = а'Л (а\/— а) = (а'Л а) V
V (af Л — а) = о V (а/ Л — а) = а' Л — а. Аналогично —а =
= —а Л а', следовательно, а' = —а.
Для доказательства второй части теоремы достаточно
показать, что выполняются все аксиомы I—V (стр. 46). Аксиомы 1„
Г, II, IF выполняются в каждой решетке, аксиомы III и ИГ
следуют из того, что о и i — соответственно нуль и единица в Л, IV
и IV следуют из условий (10) и, наконец, V и V7 — из
дистрибутивности решетки.
Промежуточное место между понятиями решетки и булевой
алгебры занимает решетка Брауэра1). Решетка с единицей
называется решеткой Брауэра, если для произвольных ее
элементов а и Ъ существует элемент, называемый псевдоразностью
(обозначаемый символом а—b), такой, что
(a-*-b^c) = (a^b \/с).
Рассмотренное выше семейство замкнутых подмножеств
топологического пространства является решеткой Брауэра. Псев-
') Теория решеток Брауэра подробно излагается в работе Маккинси и-
Тарского [2]. Термин «алгебра Брауэра» был введен в этой работе потому,
что такие алгебры обнаруживают тесную связь с ишунционистской логикой
Брауэра.

§ 10. Решетки
51
доразностью двух замкнутых множеств А и В будет (замкнутое)
множество А — В.
Обозначим символом — а псевдодополнение элемента а,
т. е. — а = / —а. Заметим, что в отличие от обычного
дополнения, для псевдодополнения не выполняется равенство (-*-а)Аа =
= о. Это соответствует тому, что в интуиционистской логике не
выполняется закон исключенного третьего. В топологической
интерпретации это означает, что множество X — А П А нигде не
плотно, т. е. граница множества А не обязательно пуста. Но
равенство (-*_а)\/а = / верно, и это соответствует закону
противоречия в логике Брауэра.
Ф Пример 1. Множество натуральных чисел представляет
собой решетку относительно операции нахождения наибольшего
общего делителя (как операции V) и наименьшего общего
кратного (как операции Л). й^СЬ означает здесь, что Ъ
является делителем числа а. Число 1 —единичный элемент решетки, а
нулевого элемента в ней нет.
Пример 2. Рассмотрим /г-мерное евклидово пространство
и семейство Ln его линейных подмножеств (т. е. точек, прямых,
плоскостей и вообще /^мерных пространств, где Л-*Ся),
проходящих через начало координат. Семейство Ln является
решеткой относительно операций V и Л, определенных следующим
образом: А Л В — общая часть множеств А и В; А V В —
наименьшее линейное подпространство, содержащее А и В.
Например, А и В — плоскости, тогда А\] В—трехмерное
пространство, если А О В — прямая, и четырехмерное, если А П В —
точка. Отношение -^ здесь — обычное отношение включения.
Нуль решетки — одноточечное множестпс (начало координат),
единица — все семейство Ln.
Решетка Ln не является дистрибутивной, но обладает
свойством модулярности. Модулярной называется решетка, если для
любых ее элементов a, b, с
{а < с) -> [а V (Ь Л с) = (а V Ь) Л с].
Интересно отметить, что в решетке Ln каждая
возрастающая последовательность имеет не более п + 1 элемента.
При.мер 3. Множество высказываний произвольной
математической теории становится решеткой относительно операций
дизъюнкции и конъюнкции, если отождествить все
эквивалентные высказывания в этой теории. Нулем решетки будет ложное
высказывание, единицей — истинное, а ^С b означает, что
высказывание Ъ следует из высказывания а. ф

52
Гл. !. Алгебра множеств
Упражнения
1. Доказать, что в каждой решетке
(а < с) -> [а V (Ь Л с) < (а V Ь) Л с].
2. Доказать, что в любой решетке равенства (5) эквивалентны.
3. Доказать, что в каждой решетке Браэура выполняются следующие
утверждения (см. Маккинси и Тарский [2, стр. 124]):
(х < у) ~> (х JL г < у JL г) Л {z JL у < 2 JL х),
(*< у) = (*—*/-= о),
(xVl/)^-Z=:(xJL2)V(i/-iz),
JL(JLjc)<x,
4. Семейство компактных подмножеств топологического пространства
образует решетку относительно обычных теоретико-множественных операций П
и П • Если само пространство не компактно, то эта решетка не имеет
единицы, но ока всегда имеет нуль (определение компактного пространства ом.
на стр. 147).

Глава II
АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ
■к
§ 1. Высказывательные функции. Кванторы
Эту главу, как и предыдущую, начнем некоторыми
сведениями из логики.
В исчислении высказываний, изложенном в § 1 гл. I, мы
изучали высказывания, имеющие фиксированные логические
значения. Здесь мы займемся высказывательными функциями !),
т. е. выражениями, которые содержат предметные переменные и
превращаются в высказывания, если на место этих переменных
подставить названия произвольных элементов.
Высказывательными функциями являются, например,
х>0, х2<5, х — непустое множество.
Примерами высказываний, полученных из этих функций с
помощью подстановки, являются 1 > 0, 25 < 5, множество
простых чисел — непустое множество.
Говорят, что объект а удовлетворяет высказывательной
функции Ф(*), если высказывание, полученное из Ф(*)
подстановкой вместо аргумента х названия предмета а, т. е.
высказывание Ф(а)у истинно.
Часто, употребляя высказывательные функции, мы будем
полагать, что на место переменной х .можно подставлять только
названия элементов некоторого фиксированного множества А.
В этом случае говорят, что область определения
высказывательной функции ограничена множеством А. Например, область
определения высказывательной функции х>0 ограничена
множеством чисел (вещественных, натуральных, рациональных
и т. п.). Пример высказывательной функции, область
определения которой не ограничена, дает функция х = х.
') Высказывательные функции называют еще пропозициональными функ~
Циями. — Прим. пере в.

S4 Гл. II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Если каждый элемент множества Л удовлетворяет высказы-
вательной функции Ф(х), то это записываем выражением
/\ Ф(х)
и читаем: для каждого х, принадлежащего Л, имеет место Ф(х).
Для высказывательных функций с областью определения,
ограниченной множеством Л, часто вместо Л Ф{х) пишут просто
х ед
/\Ф(х).
х
Аналогично, если Ф(х) —высказывательная функция с
неограниченной областью определения, то /\Ф(х) означает, что
х
для каждого х имеет место Ф(х). Например, высказывание
/\ (х = х) истинно.
х
Выражения
V Ф (х) и V Ф (х)
XG/1 X
читаются соответственно: для некоторого х, принадлежащего Л,
имеет место Ф(х) и для некоторого х имеет место Ф(х).
Символы Д и V называются кванторами; Д —квантор
всеобщности, V — квантор существования1). Таким образом,
кванторы являются логическими операторами, позволяющими
из высказывательных функций от одной переменной образовать
высказывания и, более общо, из высказывательной функции от я
переменных — высказывательную функцию от п— 1 переменной.
Везде в дальнейшем мы полагаем, что Л Ф 0. Если Л
содержит конечное число элементов аи .. ., ап, то утверждение, что
каждый элемент множества Л удовлетворяет функции Ф(х),
очевидно, эквивалентно конъюнкции высказываний Ф(#1), ...
.. ., Ф(а„), а утверждение, что некоторый элемент множества Л
удовлетворяет Ф(а), эквивалентно дизъюнкции этих
высказываний:
/\ ф(х)^[Ф(а1)Л ... ЛФ(а1
*е А
V Ф(*)^[Ф(а,)У ... УФ(а„)].
Поэтому квантор всеобщности можно назвать обобщенным
логическим произведением, а квантор существования — обобщенной
логической суммой.
') Вместо символов Л, V употребляются и другие символы, например,
(Vх) или (а) для квантора всеобщности и (3х) или (Ех) для квантора
существования.

§ 1. Высказывательные функции. Кванторы
55
В случае, когда множество А пустое, принимаем
Л Ф(х) = К, V Q>(x) = F.
х<=0 хеО
Справедливы следующие теоремы (логические законы):
Если а*=А, то Л Ф(л;)->Ф(а) и Ф(а)-> V Ф(х). (1)
хе Л х е= Л
Вторая формула означает, что для доказательства
существования вида V Ф(#) достаточно найти предмет а, принадлежа-
х<=Л
щий множеству А и удовлетворяющий Ф(л:). Такие
доказательства существования будем называть эффективными.
Далее,
Л [Ф (х) Л Ч' (*)] s Г Л Ф (*) Л Л У (*)1, (2)
х L х х J
V [Ф (х) V V (*)] = Г V Ф (*) V V XY (х)}. (3)
X L X X J
Таким образом, квантор всеобщности дистрибутивен
относительно конъюнкции, а квантор существования — относительно
дизъюнкции.
[ Л Ф (х) V Л Ч' (х)} -> Л [Ф (*) V Ч' (*)], (4>
L X X J X
V [Ф (х) Л ¥ (*)] — Г V Ф (*) Л V lF (.v)l. (5)
х L х х J
На простых примерах легко убедиться, что обратные
импликации, вообще говоря, неверны. Квантор всеобщности не
является дистрибутивным относительно дизъюнкции, а квантор
существования — относительно конъюнкции.
-1[ЛФ(*)]-уПФи)], (6)
1[\/Ф(*)] = Л["1Ф(х)]. (7)
Законы (6) и (7) называются законами де Моргана для вы-
сказывательных функций. Из них следуют эквивалентности
ПЛПФ(*)]= УФ(Д (60
X X
1\/[1Ф{х)]= ЛЩх). (70

'55 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции.
Таким образом, квантор существования можно выразить при
помощи квантора всеобщности, а квантор всеобщности — при
помощи квантора существования.
Первая из этих эквивалентностей утверждает, что
доказательство высказывания \/ Ф{х) можно получить, сводя к про-
х
тиворечию допущение Л~|Ф(*)- Такие доказательства суще-
X
ствования, проводимые достаточно часто, не являются, вообще
говоря, эффективными, так как они не дают никакого способа
нахождения предмета, удовлетворяющего высказывательной
функции Ф(х).
Высказывания можно считать высказывательными
функциями без аргументов. Поэтому очевидно, что
Л р « р, (8)
X
Ур^р. (9)
X
Легко убедиться.- что
/\[pV<D(*)] = [>V ЛФ(*)1, (Ю)
\/[рЛФ(х)]^\РЛ V<D(*)1. (И)
X L X J
С помощью известной из исчисления высказываний формулы
}р-+Ф{х)] = [1р V Ф(х)] легко получить из (10)
[р->/\ФМ]- Л[р->Ф(х)]. (12)
Заметим, что
[(/\Ф(^->р]^\/[Ф(х)->р]. (13)
Действительно, левая часть, согласно (6), эквивалентна
дизъюнкции \/ "]ФМ\/р,т.е.в силу (9)—дизъюнкции V "1 Ф{х) V V р.
X XX
Квантор существования можно вынести за знак дизъюнкции,
согласно (3), и получить V [~\Ф{х)\/р], или \/[Ф(х)->р].
X X
Высказывательные функции могут содержать не один, а
несколько аргументов, например:
X > у, X GE X, Х2 + if + Z- Ф 0.
Высказывательные функции от двух переменных будем
обозначать символами Ф{х, у), *¥(х, у), ....

ф /. Высказывательные функции. Кванторы
57
Законы (1) — (13) верны и для высказывательных функций
от нескольких аргументов. Вместо р в законах (7) — (13) можно
взять произвольную высказывательную функцию, не
содержащую переменной х.
Приведем еще несколько законов для высказывательных
функций от двух переменных:
Л ЛФ(м)- Л ЛФ(х, у), (14>
х у у х
V УФ(х,у)^ V \/Ф(х, у). (15)-
х у их
Таким образом, порядок, в котором записаны два подряд
идущих квантора всеобщности или существования, не
существен. Обычно будем писать Л вместо Л Л и V вместо
ху х у ху
VV-
[Лф(х)у АЧ{х)] = Л Л[ф(х)учт** Л[Ф(х)уЧ(у)},
1 X X } X у XIJ
(16)
Г V ф (х) л V v (х)] ^ V V [Ф (х) л xv (у)} ^ V [Ф (х) л v (у)].
1х х А х у ху
(17)
Для доказательства (16) подставим в (10) вместо р
выражение /\х¥(у) и заметим, что
Л xV(y) V Ф (х) = Л [У(у) V Ф (х)]
У У
в силу того же закона (10). Доказательство (17) аналогично.
V ЛФ(*, У)~> Л УФ(х9 у). (18)
х у ух
Действительно, дважды применяя (1), получаем ЛФ(*, у)->
х
-»Ф(л;, у) и Ф{х, у)->\/Ф(х, у). Импликации эти верны для
х
произвольных х и у, поэтому
Л Л\ЛФ{х9у)-+\/Ф{х9у)\.
х у L у х J
Применяя теперь (12) и (13), получаем (18).
# В качестве примера на применение закона (18) обсудим
различие между равномерной и обычной схолимостями последо-

53 Гл. П. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
вательности функций. Согласно определению предела,
высказывание /\Г\\mfn(x) = f(x)l эквивалентно высказыванию
X \_П->оо ]
А А V /\\fn+Ax)-f(x)\<B.
е> О х k n
Переставляя кванторы /\ и V» получаем определение равно-
X k
мерной сходимости; эта перестановка приводит к тому, что
k становится независимым от х (и зависит только от е), что
непосредственно видно из приведенного выше выражения с
переставленными кванторами, ф
Следующая диаграмма содержит целый ряд дальнейших
утверждений о перестановке кванторов:
\/ /\ф{х,у)—* /\Мф^у)
/ ><
/\Ф(х,у)—~ЛФ(х,х) *V ♦<*.*> * )/уФ{х'у)
V Л *(*.>) —* А V *(*.>)
Можно убедиться на примерах, что ни одну из приведенных
здесь импликаций нельзя заменить обратной.
В теории множеств исходными понятиями являются
множество и отношение принадлежности (см. стр. 15), поэтому
важную роль в ней играют высказывательные функции, построенные
при помощи операций исчисления высказываний и кванторов из
высказывательных функций вида
Z(x) (т. е. х есть множество), хс=у, х = у. (I)
Все эти высказывательные функции будем называть выска-
зывательными функциями общей теории множеств. Класс всех
таких функций обозначим через 31. Для него выполняются
следующие правила (их можно рассматривать как индуктивное
определение классаШ):
A) Высказывательные функции (I) и все высказывательные
функции аналогичного вида, отличающиеся от (I) только
выбором букв х, у, которые можно заменить произвольными
символами, различными или совпадающими, принадлежат классу 9J.
B) Если Ф и Чг —высказывательные функции из класса SR,
то ФХ/Ч', ФЛ1?, Ф-^Ч', Ф = ЧГ,ПФ также принадлежат SR.

§ 2. Аксиомы теории множеств
57
C) Если Ф принадлежит JH, то и высказывательные
функции Х/Ф и ЛФ (а также те, в которых буква х заменена
X X
произвольной другой буквой) принадлежат 9f.
D) Каждая высказывательная функция из класса 91
получается с помощью конечного числа применений правил (А) — (С)..
Высказывательные функции, о которых говорится в п. (А),
называются атомарными для класса 9J.
Если расширить список атомарных высказывательных
функций, сохранив правила (В), (С) и (D), то получим классы более
широкие, чем 9t. Например, добавим к 91 новые атомарные
высказывательные функции
хРу, xQy,
причем буквы х, у, . .. можно заменить произвольными другими.
Тогда получим класс высказывательных функций общей теории
множеств с дополнительными первичными понятиями Я, Q, ... .
Этот класс будем обозначать Ш [P, Q, . ..]. Высказывательные
функции этого класса будут употребляться в тех местах нашего
изложения, в которых, кроме первичных понятий Z и ,=, мы
будем допускать другие первичные понятия.
§ 2. Аксиомы теории множеств
Здесь мы введем аксиомы, на которых будет основано все
паше дальнейшее изложение теории множеств. Эти аксиомы
позволяют строить новые множества из уже имеющихся
множеств, и в этом смысле они не отличаются от аксиом,
приведенных в гл. I. Существенное различие заключается в том, что здесь
мы будем рассматривать множества, у которых элементы сами
являются множествами1).
Повторим, прежде всего, аксиому объемности.
I. Аксиома объемности. Если множества А и В
составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.
С помощью символов эту аксиому можно записать в виде
Л [х е= А = х €= В] -> (А = В).
х
II. Аксиома существования пустого
множества. Существует такое множество О, что ни один элемент х
ему не принадлежит:
V Л (jc ф Р).
Р х
') Удобнее говорить не множество множеств, а семейство множеств. Се-
^рйства множеств будем, как правило, обозначать жирными курсивными
буквами Л, Я, X, Y и т. п.

<60 Гл. 11 Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Пустое множество, очевидно, единственно (см. стр. 18).
1Г. Аксиома пары1). Для произвольных а и Ъ существует
множество, единственными элементами которого являются а и Ь:
VA{(xgP)^ [(х = а) V (х = &)]}.
Р X
III. Аксиома суммы. Для каждого семейства множеств
А существует множество S, состоящее из тех и только тех
элементов, которые принадлежат некоторому множеству X,
принадлежащему Л:
jcGS^V[(xeX)A(Ie A)}. (1)
х
Согласно аксиоме I, существует не более одного такого
множества S.
Действительно, если
jkgeSjEeee: V [{хе=Х)Л{х<=: А)] и jcgS2 = V [(х<ееХ)Л(х<ее А)]9
X X
то для произвольного х
X Gi: о j === X €= о 2>
и, согласно аксиоме I, Si = S2.
Так как аксиома III утверждает существование по крайней
мере одного такого множества S, то отсюда следует, что для
данного Л множество S определено однозначно. Назовем его
суммой множеств, принадлежащих семейству Л, и будем
обозначать символом S(A) илиУ^.
IV. Аксиома степени. Для каждого множества А
существует семейство множеств Р, элементами которого являются
все подмножества множества А и только они:
X^P = (XczA).
Легко доказать, что множество А однозначно определяет
семейство Р. Оно называется его степенью и обозначается
символом 2А.
V. Аксиома бесконечности. Существует такое
семейство множеств Л, которому принадлежит 0 и, если ХеЛ, то в
{) На стр. 69 будет доказано, что эта аксиома зависима от остальных;
поэтому мы не даем ей отдельного номера.

§ 2. Аксиомы теории множеств
61
А найдется элемент Y, состоящий из всех элементов множества X
и самого множества X:
\/((Ое=Л)Л Л V A{{xe=Y) = [(x€=X)V{x = X)]}\.
А \ Хе=А Y е= А х ]
Таким образом, семейству А принадлежит множество 0,
множество Nu единственным элементом которого является
множество 0, множество Л^, элементами которого являются 0 и Nu
и т. д.
VI. Аксиома выбора. Для каждого семейства А
непустых непересекающихся множеств существует множество В,
имеющее один и только один общий элемент с каждым из
множеств X, принадлежащих А:
х (\а{[Х Ф °] Л 1{Х Ф Y)~*{X П Y = °)]}~*
-> V Л V А[{у^впху^{у = х)].
В Хе=А х у
Чтобы облегчить чтение этого выражения, заметим, что вы-
сказывательная функция
V А[(у^ВПХ) = {у = х)]
х у
утверждает существование такого элемента х, что условия
I/ g В П ^ и у = х эквивалентны. Поэтому элемент х —
единственный элемент произведения В П X, и рассматриваемая вы-
сказывательная функция утверждает, что это произведение
имеет точно один элемент.
Аксиома выбора не всеми математиками принимается
безоговорочно, некоторые относятся к ней с недоверием. Бытует
мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой
аксиомы, и^еют другую познавательную ценность, чем
доказательства, независимые от этой аксиомы. Основано оно, прежде
всего, на том, что утверждается существование множества В, но
пе дается никакого способа его определения (отсюда
неэффективность) х). Более того, среди следствий аксиомы выбора есть
много очень специфичных. Однако, без сомнения, многие
важные математические открытия нельзя было бы сделать без
аксиомы выбора.
') Это мнение, например, Бореля и Лебега (см. Борель [2,-стр. 200].
Противоположного мнения придерживались, например, Хаусдорф и Френкель,
которые принимали аксиому выбора без всяких оговорок, признавая за ней ту
же степень «очевидности», что и за аксиомами I—V.
Подробный анализ многочисленных доказательств, использующих аксиому
выбора, произвел Серпинский [1].

62 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Везде в дальнейшем теоремы, при доказательстве которых
используется аксиома выбора, будем помечать знаком °. Как
правило, эту аксиому мы будем применять только тогда, когда
без нее нельзя обойтись.
Для произвольной высказывательной функции Ф(л*) примем
следующую аксиому1).
У)'ф. Аксиома выделения для
высказывательной функции Ф. Для произвольного множества А существует
множество, состоящее из тех и только тех элементов
множества Л, которые (будучи подставлены на место переменных х)
удовлетворяют ф.
Символически эту аксиому можно записать в следующем
виде (полагая, что переменная В не встречается в Ф): существует
множество В, такое, что
Л((хев) = [(хбЛ)ЛФ(х)]}.
X
Если в Ф(х) встречаются (свободные) переменные, отличные
от х, то они играют роль параметров, от которых зависит В.
Очевидно, что множество В однозначно определяется
высказывательной функцией Ф, множеством А и выбором
переменной х. Мы будем обозначать его {х^А: Ф(х)} и читать:
«множество тех х из Л, которые удовлетворяют Ф(л:)».
Для каждой высказывательной функции, не содержащей
переменных г и В, примем следующую аксиому.
VI 1ф. Аксиома замены для высказывательной
функции Ф. Если для каждого х существует единственный
элемент у, такой, что выполняется Ф(х,у), то для каждого
множества А существует множество В, состоящее из тех и только
тех элементов у, которые при некотором хе/1 выполняют
Ф(х,у):
\А V Л[Ф(х,у) = (у = г)]\->Л V A[(!(Efl)S V Ф{х9у)1
{ х г у ) А В у I хеЛ J
Поясним интуитивный смысл этой аксиомы. Допустим, что
условие аксиомы истинно, т. е. для каждого * существует точно
один элемент г/, выполняющий Ф(х,у). Назовем этот элемент у
последователем элемента х. Аксиома VIIo утверждает, что тогда
для каждого множества А существует множество В, состоящее
из всех последователей элементов множества А и только из них.
Например, пусть Ф(х, у) = Z(x) Л (у = 2х), тогда
последователем множества X будет множество 2х. Аксиома замены
') Аксиома эта зависима от остальных (см. стр. 69), поэтому мы не даем
ей отдельного номера.

§ 2. Аксиомы теории множеств
63
утверждает, что для каждого семейства множеств А существует
семейство множеств В, элементами которого являются
множества 2х, где X (= А.
Заметим сразу, что мы задали не одну аксиому замены, а
бесконечное число аксиом. Для каждой высказывательной
функции Ф (не содержащей Виг) имеем отдельную аксиому.
Аналогично и аксиом УГф тоже бесконечное число. Таким образом,,
система аксиом теории множеств, которую мы здесь изучаем,
не является конечной 1).
Если выполняется условие однозначности, указанное в
посылке аксиомы УПф, то множество В, существование которого
утверждает аксиома, определено однозначно. Это можно
доказать непосредственно из аксиомы I. Множество В будем
называть образом множества А при отображении, определенном с
помощью Ф, и обозначать {Ф}"Л.
Аксиомы I—VI и все аксиомы VIIo, где Ф — произвольная
высказывательная функция из класса 1М, образуют
(бесконечную) систему аксиом, которую мы будем обозначать 2°. Опуская
в 2° аксиому выбора VI, получаем новую систему аксиом и
обозначаем ее 2.
Как мы уже упоминали на стр. 59, позже мы будем
вводить в нашу теорию множеств новые первичные понятия Р,
Q, .... Тогда мы будем пользоваться аксиомами I—VI и
аксиомами вида VIIo, где Ф — произвольная высказывательная
функция из класса^[Я, Q,.. .]. Эту систему аксиом (содержащую
в себе систему 2°) будем обозначать 2°[Я, Q,...].
Роль, которую в теории множеств играют отдельные
аксиомы, можно полностью оценить только после знакомства с их
следствиями. Здесь же мы сделаем только несколько общих
замечаний.
Аксиомы III, IV, VI, VIIo являются так называемыми
условными аксиомами существования: они позволяют делать
заключения о существовании определенных множеств при условии, что
существуют другие множества.
Конструкции, осуществляемые на основе аксиом III, IV, УПф,
однозначны. В то же время аксиома VI не определяет
однозначно множества, существование которого она утверждает: для
данного семейства А непустых непересекающихся множеств
существует, вообще говоря, много множеств В, удовлетворяющих
аксиоме выбора.
Аксиомы II и V заслуживают названия абсолютных аксиом
существования: они постулируют существование некоторых
множеств и не ограничены никакими условиями.
') Доказательство конечной неаксиоматизируемости теории множеств
Дано в работе Монтэгю [1]. — Прим. перев.

64 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Аксиомы в математических теориях могут играть двоякую
роль. В одних случаях аксиомы полностью характеризуют
теорию, т. е. они в каком-то смысле определяют первичные понятия
этой теории. Так, например, в теории групп мы определяем
группу как множество с операциями, удовлетворяющими аксиомам
этой теории. В других случаях аксиомы формализуют только
некоторые свойства первичных понятий теории и тогда их цель не
в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее
в том, чтобы дать систематизацию интуитивного смысла этих
понятий. В настоящей книге мы стоим на второй точке зрения.
Конечно, при этом возникают проблемы философского
характера, касающиеся интуитивной истинности аксиом. Однако мы
не будем обсуждать их здесь.
Принимая аксиомы I— VII, мы ни в коей мере не
утверждаем, что они полностью описывают содержание интуитивного
понятия «множество». Напротив, мы знаем примеры интуитивно
очевидных теорем, не зависимых от аксиом I—VII. В качестве
такого примера назовем теорему:
Если А— непустое семейство множеств, то существует такое
множество Ху что Х^АиХ(]А = 0.
В некоторых изложениях теории множеств принимается еще
так называемая аксиома регулярности, утверждающая, что
указанным свойством обладает каждое семейство множеств.
Из аксиомы регулярности следует, в частности, что ни для
какого X не верно Ig^h вообще ни для каких Хи Х2,..., Хп
не имеет места Х\ G^e.. .^ Хп е Х\.
Мы не будем пользоваться аксиомой регулярности.
В главе IX мы упом-янем еще несколько аксиом, не
зависимых от I—VII.
Теперь остановимся на некоторых исторических и
библиографических замечаниях об аксиоматике теории множеств.
Первую аксиоматику теории множеств дал Цермело [2].
Первичными понятиями в этой аксиоматике были, как и в 2°,
«множество» и е. Аксиомы I, IV, V, VI выступают в
аксиоматике Цермело точно в таком же виде, как и в S°. Вместо
бесконечного числа аксиом VII (замены) Цермело принимал аксиому
выделения VI7. Нечеткость в формулировке этой аксиомы
вызвала дискуссию, в результате которой было предложено
применять схемы, содержащие произвольные высказывательные
функции, причем класс этих высказывательных функций был описан
(конструктивно) правилами типа (A) —(D) (см. стр. 58)
Первым автором, внесшим это предложение, был Сколем (см. его
работу [2]).

<$ 2. Аксиомы теории множеств
65
Аксиому VII ввели независимо друг от друга Мириманов [1],
Френкель [1] и Сколем [2J. Из этих работ наибольшую
известность получила работа Френкеля, поэтому принято называть
аксиому VII аксиомой Френкеля.
Аксиома регулярности ведет свое начало в основном от Ми-
риманова (см. его работу [1]).
Аксиоматические системы теории множеств, в которых (как
в 2°) аксиома замены вводится в виде схемы, зависящей от
произвольной высказывательной функции Ф, носят название систем
типа Цермело—Френкеля. Если же в них вместо аксиомы
замены принимается аксиома выделения также в виде схемы,
зависящей от произвольной высказывательной функции, то о такой
системе говорят, как о сизтеме типа Цермело.
Другую аксиоматику теории множеств предложил фон
Нейман {2]. Идея фон Неймана заключалась во введении в теорию
множеств нового первичного понятия, фигурирующего в
аксиоме замены и в аксиоме выделения и позволяющего обойтись
без высказывательной функции Ф. Согласно более новым
концепциям, идущим от Бернайса [1], в качестве этого нового
первичного понятия принимается понятие класса. Интуитивный
смысл этого понятия таков: X является классом, если X
представляет собой совокупность всех предметов, выполняющих
некоторую высказывательную функцию. Такая совокупность не
всегда будет множеством (см. стр. 69).
В приведенном объяснении интуитивного смысла понятия
«класс» мы употребили такие не совсем ясные понятия, как
«совокупность» и «удовлетворение». В системе аксиом такие понятия
не встречаются. Все аксиомы вводятся при помощи первичных
понятий «множество», «класс», «принадлежность элемента
множеству» и «принадлежность элемента классу».
Системы, оперирующие такими первичными понятиями,
называются системами типа Гёделя — Бернайса. Преимущество их
перед системами типа Цермело — Френкеля состоит в конечной
аксиоматизируемости, недостатком является менее естественный
выбор первичных понятий1).
Наиболее известное изложение теории множеств,
опирающееся на аксиоматику Гёделя — Бернайса, дал Гёдель [1] (см.
также Френкель и Бернайс [1]).
Имеется большое количество различных аксиоматических
систем теории множеств. Некоторые из них совмещают в себе
недостатки как систем типа Цермело — Френкеля, так и систем
1) Очевидно, что «естественность» понятия не является его объективным
свойством, а обусловлена скорее психологическими и историческими
мотивами.

66 Гл. П. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
типа Гёделя — Бернайса; другим же удается преодолеть хотя
бы некоторые из этих недостатков. Кажется, что вообще
аксиоматика теории множеств еще не нашла своего лучшего
выражения.
Критическое рассмотрение различных систем аксиом,
введенных в качестве основы теории множеств, приводится в книге
Френкеля и Бар-Хиллела [1]. Эта книга содержит полный список
литературы, посвященной математическим и философским
основам теории множеств. Книга Ван Хао и Мак-Нотона [1]
содержит короткое, но полезное описание работ в этой области.
Упражнение
Доказать, что аксиомы III, IV и VII можно заменить одной аксиомой,
утверждающей существование множества 5({Ф}"2А) для каждого множества
Л и для каждой высказывательной функции Ф (Ван Хао).
§ 3. Простейшие следствия из аксиом
Начиная с этого параграфа мы будем постоянно
пользоваться системой аксиом 2°. Теоремы, доказательство которых
основано на аксиоме выбора VI, помечены кружочком °.
Теорема 1 (о существовании пары). Для
произвольных а и Ь существует множество, единственными
элементами которого являются а и Ь. Это множество однозначно
определяется элементами а и Ь.
Доказательство. Однозначность следует из аксиомы I,
а существование из аксиомы 1Г.
Это множество, существование и единственность которого мы
доказали в теореме 1, называется неупорядоченной парой
элементов а и Ъ и обозначается (а, Ь). Если а = ft, то пишут
просто {а}.
Теорема 2 (о существовании суммы). Для
произвольных множеств А и В существует такое множество С, что
{х е= С) = [(х ЕЛ)\/(хе В)].
Действительно,
с= U х.
Хе{Л, В)
Теорема 2 показывает, что аксиома А (стр. 15) выводится
из системы аксиом 2.

§ 3. Простейшие следствия из аксиом 67
Теорема 3 (о существовании неупорядоченных
троек, четверок и т. д.). Для произвольных a, &, с, ..., m
существуют множества: {а, Ь, с}, единственными элементами
которого являются а, 6, с\ {а, ft, с, d}, единственные элементы
которого а, Ъ, с, d\ ...; {а, ft, ..., m) с единственными элементами
а, Ь, ..., т.
Действительно,
{а, 6, с} = {а, 6} U {4, {а, Ь, с, d} = {а, 6, с} U {d} и т. д.
Множество
<а, &> = {{а}, (а, 6}} (I)
называется упорядоченной парой с первым элементом а и
вторым элементом b ]).
Теорема 4. Для того чтобы выполнялось равенство (а, Ь) =
= (с, d), необходимо и достаточно, чтобы а = с и b = d.
Доказательство. Достаточность очевидна, докажем
необходимость. Допустим, что (a, ft) = (с, d). Тогда в силу (1)
{с}<= (а, Ь) и {с, d}<=(a, 6),
откуда
(I) {с} = {а} или (II) {с} = {а,Ь}
и
(III) {с, d} = {а} или (IV) {с, d) = [a, 6}.
Равенство (II) выполняется только тогда, когда а = с = &.
В этом случае (III) и (IV) совпадают и дают с = d = а. Таким
образом, а = с = d = 6, и теорема справедлива. Аналогично
убеждаемся в истинности теоремы в случае, когда выполняется
(III). Остается проверить случай, когда выполняютя (I) и (IV).
Тогда с = а и либо с — Ь, либо d — b. Если с = b, то задача
сводится к случаю (II). Если же d = ft, то а = с, ft = d, и
теорема доказана.
Следствие. £с/ш (а, 6) = (6, а), то а = Ь.
Из аксиомы IV'cp и определения множества {лгсеЛ: Ф(х)}
следует
Теорема 5.
te={xt=A: Ф (*)} = [Ф (О Л (t e= Л)]. (2)
!) Такое определение упорядоченной пары было предложено Куратовским
[1]. См. также Винер [1].

68 Гл. П. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
В частности, если Ф(х) —► (л; е А) (т. е. область определения
высказывательной функции Ф ограничена множеством Л), то
fG{x: ф(х)} = Ф(0- (3)
Из формулы (3) можно легко получить следующие
равенства (полагая, что области определения функций Ф и f
ограничены множеством А):
{х: Ф(х) V ¥(*)} = {*: Ф(х)}[}{х: ¥(*)}, (4)
{х: Ф (х) А ¥ (*)} = {х: Ф (х)} П {х: ¥ (*)}, (5)
{х: 1Ф(х)}=Л-{х: Ф{х)}. (6)
Докажем, например, (4). Для этого применив (3) к
высказывательной функции Ф(х) V ^(я), получим
t е= {х: Ф (х) V ^ (х)} = [Ф (/) V ¥ (/)]• (7)
Согласно (3), имеем
ф(*)=*<={*: Ф(х)} и ?(f)^fG{jc: Y(jc)},
поэтому из (7) следует
e{jc: Ф(х) V V(x)}s/e{x-: Ф (*)} V f £E {*: ^W} —
= *ge{jc: Ф(х)}и{х: ¥(*)}
что и доказывает равенство (4).
Теорема 6. Для каждого непустого семейства множеств А
существует единственное множество, составленное из тех и
только тех элементов, которые принадлежат всем множествам
семейства А.
Это множество называется произведением множеств
семейства А и обозначается Р(А) или f] X:
P(A) = jxe=S(A): Л [(X ge А)-*(х е= Х)]\.
Если семейство Л состоит из конечного числа множеств
Х\. ..., Хп, то Р(А) = Х\ П . .. П Хп. В случае Л = 0 операция
Р{А) не определена.
Закончим этот параграф замечанием о так называемых
антиномиях теории множеств. Наивная интуиция понятия
множества могла бы склонить нас к принятию аксиомы (более
сильной, чем аксиома У1ф), гласящей, что для каждой
высказывательной функции Ф существует множество В, состоящее из тех
и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции.

§ 3. Простейшие следствия из аксиом
69
Создатель теории множеств Кантор, по крайней мере в
первый период своего творчества, полагал, что именно такая
аксиома истинна 1).
Однако очень скоро стало ясно, что так сформулированная
аксиома приводит к противоречию (антиномии).
Например, высказывательная функция
Ф(х) = (х есть множество) Л (х ф. х)
дает антиномию Рассела2).
Теорема 7. Не существует такого множества Z, что
Л[(х^г)^Ф(х)\.
х
Доказательство. Если бы такое множество Z
существовало, то была бы справедлива эквивалентность
(xgZ) = (jc- множество) /\{хф х).
Заменяя х на Z и учитывая, что Z—множество, мы
получили бы противоречие Z e Z = 1ф1.
Зависимость между аксиомами. Выше было
показано, что аксиому А можно вывести из системы аксиом 2.
Аксиома В также следует из 2, так как А — B = {xg/1: "I (xgB)}.
Аксиома С непосредственно выводится из аксиомы II (аксиомы
пустого множества) или из аксиомы V (аксиомы
бесконечности).
Аксиома II' (аксиома пары) также следует из остальных
аксиом системы 2. Действительно, пусть А — семейство
множеств, которому принадлежит 0 и по крайней мере одно
непустое множество X. По аксиоме бесконечности такое семейство
существует. Легко проверить, что парой {а, Ь) является
множество {Ф}"Л, где Ф — высказывательная функция
[(х = 0)Л(у = а)} V [(х Ф0)А(у = Ь)].
Аксиома У1ф (аксиома выделения) также зависима от
остальных аксиом системы 2. Действительно, пусть А —
множество, Ф(х)—высказывательная функция. Если /\[(х^А)->
X
->~~\Ф(х)], то аксиоме выделения удовлетворяет пустое
множество. В противном случаев Л существует элемент а,
удовлетворяющий Ф(х). Обозначим через W(x, у) высказыватедьную функцию
1) См. Кантор [2].
2) Впервые эта антиномия была приведена в приложении к книге Фре-
ге [1].

70 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
[Ф(х)А(у = х)] V П Ф(*)Л(х = а)]. Для каждого *
существует точно один элементу, удовлетворяющий ^(х, у). Этим
элементом является х или а в зависимости от того, истинно Ф(х)
или ложно. Множество {^Р}"/!, очевидно, удовлетворяет аксиоме
Упражнения
Показать, что
1. Если ХеД то Р (А) с X с S (А).
2. 5(Л1иЛ2) = 5(Л,)и5(Л2).
3. Если Л, П Л2 Ф О, то Р (Л, П Л2) => Р (А,) П Р (А2).
§ 4. Декартовы произведения. Отношения
Декартовым произведением множеств X и У называется
множество всех упорядоченных пар {х,у), где хе^и^/еУ.,
Докажем существование такого множества. Если х ^ X и
*/ €= У, то {*, */} с X U У и {а:} с X U У, откуда
<х,У) = {{х), {х,у}}^2*Х[}\
Множество
{*е=Г: V V (* = <*, 0»1, где Г = 2*хиУ,
существующее в силу аксиом IV, VI' и теоремы 2 § 3, содержит
в качестве элемента каждую упорядоченную пару {х,у), где
хеХи!/еУ, причем никаких других элементов оно не
содержит. Следовательно, оно и является декартовым произведением
множеств X и У.
Так как существует не более одного множества, содержащего
в качестве элементов все пары {х,у), где ^е^ и i/еУ, и
только такие пары, то декартово произведение двух множеств
определяется ими однозначно. Обозначим его X X У.
Если X = О или У = 0, то очевидно, что X X У = 0.
Удобно употреблять для декартовых произведений
геометрический язык: элементы множества X X У называют точками,
множества X и У — осями координат. Если г = {х,у), то х
называют абсциссой, г у — ординатой точки г. Эта терминология
возникла в связи с тем, что множество точек плоскости
представляет собой декартово произведение <S X <^\ где & —
множество вещественных чисел.
Некоторые свойства декартовых произведений аналогичны
свойствам произведений чисел. Например, выполняются законы

§ 4. Декартовы произведения. Отношения
71
дистрибутивности
(X][)X2)XY = (XlXY){j(X2XY)1
Y XiXti) X2) = {Y X XX)[){Y X Х2),
(Xl-X2)XY = (X1XY)-(X2XY),
YX(X{- X2) = (YX X{) -(YX X2).
Докажем, например, первое из этих равенств:
(х, у) е (Хх U Х2) X Y ^ (х еХ, U Х2) Л (уеГ) =
» [(х е= X,) V(xe X2)] Л(г/е У) =
^[(^X,)A(i/e F)] V [(х е12)Л(^Г)]^
= «*, У)еХ,хУ)У((х, !/)еХ2ХГ)^
= (х, у) <= [(X, X Г) U (*2 X У)].
Аналогично доказывается закон дистрибутивности
относительно обычного произведения множеств:
(Xl()X2)XY = {XlXY)()(X2XY)\
Y X(XX()X2) = (Y X X{)()(Y X Х2).
Наконец, декартово произведение монотонно для отношения
«быть подмножеством», т. е.
если Y ф О, то
(Х{ с Х2) ess [(X! X У) cz (Х2 X Г)] Л [(Г X Х{) a(YX X2)]. (*)
Действительно, пусть у е У. Так как
«х, у)ЕХ,ХУ) = (^^)Л(уеП /=1, 2,
то
((х, у) е№хГ))-> «х, у) е= (Х2 X Г)),
если X, czX2, и потому (Х{ X Y) а (Х2 X У).
Обратно, если (Хх X Y) а (Х2 ХУ), то
(х е X,) ->(хе X,) Л (*/ е У) в «х, */> е= № X У)) -->
-*«*, */> е(12ХГ))^(хе Х2) Л(!/еГ)^(хе Х2),
и, следовательно, Хх а Х2.
Вторая часть формулы (*) доказывается аналогично.
С помощью декартовых произведений можно совершать
некоторые логические преобразования. Например, формулы (см.
стр. 57)
Л Лф(*, у)^ Аф(х9 */)^ЛФ(г),
х у ху z
V V Ф(*. У)^ V Ф(*. */)= V Ф(г),
х у ху г

7U Гл. II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
позволяют заменить два поряд записанных квантора
(всеобщности или существования) одним квантором с переменной
г = {х, у), принимающей значения из декартова произведения
XX У.
Подмножества декартовых произведений (т. е. множества
упорядоченных пар) будем называть (двуместными)
отношениями.
Вместо {ау b) e /?, где R означает отношение, будем часто
писать aRb и читать: а находится в отношении R к Ь или
отношение R имеет место между а и Ь.
Левой областью Dn (или просто областью) отношения R
назовем множество всех первых элементов пар, принадлежащих/?;
правой областью Du — множество вторых элементов этих пар.
Правую область отношения иногда называют образом, или про-
тивообластью, или обратной областью. Сумму F(R) обеих
областей назовем полем отношения /?.
На геометрическом языке это означает, что Ол — проекция
множества R на ось X, a Dn — проекция на ось Y. Таким
образом,
£>Л = |хе=Х: V <х, ^>g=/?|, Dn = ^y^Y: V <*, #><=/?}. (1)
Эти формулы доказывают существование множеств Ол и Dn.
Если Ф(х, у)—высказывательная функция с переменными
ху у, ограниченными соответственно множествами X и У, то
множество R = {{хуу): Ф(ху у)} является отношением. Очевидно, что
ф(х, у) = xRy = {х, у) е /?. Из (1) сразу следует
Теорема. Проекция множества {{х,у): Ф(ху у)} на ось X
совпадает с множеством )х: V Ф{х,у) 1.
Отношение {{х, у): yRx) называется обратным к R и
обозначается Rc. Очевидно, что D.n(Rc) = Dn(R) и Dn(/?c) = Dn(R).
Отношение {{хуу): \J (xSz Л zRy)} называется суперпозицией
Z
(композицией) отношений R и S и обозначается RoS]).
Очевидно, что Dn(RoS)czDJl(S) и Dn(R oS)c Dn(R).
Операция о ассоциативна. В самом деле,
x(RoS)oTy^\/ (xTz Л zR о Sy)=V V (xTz A zSt A tRy)=
z z t
= VV (xTz A zSt A tRy) н V [ V (xTz A zSt) A tRy] =
t Z t L 2 J
= V (xSoTt A tRy)^xR о (SoT)y.
t
!) Мы употребляем, это обозначение вместо более естественного So/?,
так как при суперпозиции отображений принято записывать на втором месте
символ операции, которая выполняется первой (например, sin (log x)).

$ 5. Отношение эквивалентности
73
Из ассоциативности операции о следует, что в выражениях
вида R о S ©... о U можно опускать скобки.
Докажем еще равенство
(R о S)c = Sc о Rc.
Действительно,
х {R о S)c y=yR о Sx = \/ {ySz Л zRx) =
z
s V (xRcz о zScy) = xSc ° Rcy.
Z
Ряд других свойств операций с и о даны в упражнениях.
# Пример. Пусть X = Y = & (множество вещественных
чисел). Множество {{х,у): х < у} представляет собой часть
плоскости выше прямой х = у. Множество {{х%у): у = х2} —
парабола, ее проекцией на ось У является множество \у\ V ({/ = х2)\ . ф
Упражнения
1. Пусть А — некоторое семейство подмножеств произведения XxY.
Обозначим через F(Z) проекцию множества Z (где ZciXx^) на ось X и через
F(A) семейство проекций всех множеств Z е А. Доказать, что
F[S(A)]=S[F(A)],
т. е. проекция суммы равна сумме проекций.
2. Показать на примере, что проекция произведения (двух множеств)
может отличаться от произведения проекций.
3. Доказать равенства
(R U S)c = Rc U 5е, (#nS)c = #cnSc, (Яс)с = #.
4. Доказать, что
(R U S)o Г = (/?« Г) U (S« Г), Го (/? U S) = (7*о /?) U (Г о S),
(/?П5)оГс:(/?о7')П(5оГ), Го(«П S) с (Го/?) f\{ToS).
5. Доказать, что (ХхУ)с = Ух*. Вычислить (ХхУ) o(Zx7Y
§ 5. Отношение эквивалентности
Важным и часто встречающимся типом отношения является
отношение эквивалентности, или, короче, эквивалентность. Так
называется каждое отношение R, удовлетворяющее трем
условиям:
xRx — рефлексивность,
xRy -> *//?* — симметричность,
xRy Л *//?£ -> */?г — транзитивность
для всех х, у, z из поля F(/?)- .

74 Гл. If. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Ф Пример 1. Отношение параллельности для прямых на
плоскости (т. е. множество таких пар (*,*/), что х и у — прямые
и х параллельна у) является отношением эквивалентности.
Пример 2. Пусть С — множество фундаментальных
последовательностей {ап} рациональных чисел. Отношение /?,
имеющее место между последовательностями {а7) и {&„} тогда и
только тогда, когда lim {an — &„) = 0, является отношением экви-
П->оо
валентности.
Пример 3. Пусть X—множество таких вещественных
чисел, что 0^х< 1. Отношение /?, имеющее место между двумя
числами а, ЬеХ тогда и только тогда, когда (а — Ь)
—рациональное число, является отношением эквивалентности, ф
Пример 4. Пусть X — произвольное множество, К = 2х и
/ — идеал (см. стр. 26). Отношение ^=, имеющее место между
двумя множествами X, 7gK тогда и только тогда, когда
Х~Уе/, является отношением эквивалентности.
Пример 5. Пример 4 можно обобщить, беря в качестве К
произвольное булево кольцо, а в качестве / такое его
подмножество, что
[(а <6)Л(6е /)] -> (а <= /), [(а е= J) Л (6 €= I)] -> (а V 6 е /).
Тогда / — идеал кольца К, а отношение = (пример 4)
является отношением эквивалентности.
Приведем несколько теорем, описывающих структуру
произвольных отношений эквивалентности.
Пусть С — произвольное множество. Назовем разбиением
множества С такое семейство А а 2е, что О^Л, S(A)=C и
любые два различные множества, входящие в Л, не
пересекаются.
Теорема 1. Если А — разбиение множества С, то
отношение Ra, определяемое формулой
xRAy^ V [(*€=У)Л(»е=У)],
есть отношение эквивалентности с полем С.
Доказательство оставляем читателю.
Теорема 2. Если А и В — различные разбиения множества С,
то RA¥=RB.
Доказательство. Допустим, что RA = RB. Докажем, что
тогда А = В. В силу симметрии предположения достаточно по-

$ 5. Отношение эквивалентности
75
казать, что Ас:В. Пусть Y^A и j/eF. Так как S(B) = Cy то
существует такое ZeB, что #^Z. Если xeF, то х/?^*/ и,
значит, xRBy. А так как Z — единственное множество в В,
содержащее у, то x^Z. Аналогично доказывается, что xgZ ->jcgK.
Отсюда следует, что F^Z, значит, УеВ.
Теорема 3. Для каждого отношения эквивалентности R с
полем С ФО существует такое разбиение А множества С, что
Доказательство. Пусть
Л = |Ус:С: V A (uRy = u^Y)\.
Из рефлексивности отношения R следует, что множества
семейства А непустые и S(A) = С. Если Y^A и Zg4, to
\/{ue=Y = uRy), A{u^Z = uRz)
и и
для некоторых уу 2G С.
В силу симметричности и транзитивности отношения /?, если
множества У и Z имеют хотя бы один общий элемент, то они
совпадают. Это и доказывает, что семейство А является
разбиением.
Докажем теперь, что R = RA.
Сначала пусть uRv. Обозначая через Yu множество
{^gC: zRu), получаем УиеЛ и v e Ум, а значит nuRAv,
откуда следует, что RaRA.
Пусть теперь uRAv. Тогда существуют такие Y^A и у, что
Д (г/?# = геУ) и mgF, иеУ. Поэтому а/?г/ и и##, откуда uRv
в силу симметричности и транзитивности отношения R. Это
доказывает, что RAaR, а так как верно обратное включение,
то R = RA.
Из теорем 1—3 следует, что каждое отношение
эквивалентности с полем С Ф О определяет единственное разбиение А
множества С и обратно.
Если R = RA, то множества, принадлежащие семейству Д,
называются классами эквивалентности (абстракции)
отношения R. Класс абстракции, содержащий элемент ху будем
обозначать символом x/R, само же семейство А — символом C/R.
Оно называется фактором множества С по отношению R.
# Примеры. Для отношения из примера 1 каждый из
классов абстракции состоит из всех прямых, имеющих одинаковое

76 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
направление (т. е. взаимно параллельных). Для отношения
из примера 2 каждый класс абстракции состоит из всех
последовательностей рациональных чисел, сходящихся к одному и
тому же вещественному числу. Кантор определял вещественные
числа как классы абстракции этого отношения, ф
Назовем множеством представителей для отношения
эквивалентности с полем С любое подмножество множества С,
имеющее один и только один общий элемент с каждым из классов
абстракции. Существование множества представителей для
произвольного отношения эквивалентности следует из аксиомы
выбора. Во многих случаях без аксиомы выбора мы не умеем
доказывать существование множества представителей даже для
очень простых отношений (например, для отношения из
примера 3 1)).
У пражнен и я
1. Пусть / = {х:0^х<1}; для Ха] обозначим чере^ Х(г) множество
чисел, принадлежащих / и имеющих вид x + r+п, где х^Х, а п — целое число.
Доказать, что если Z — множество представителей для отношения R из
примера 3, то
a) Z(r)(]Z(s)=0 для произвольных рациональных чисел г, s(r=£s)\
b) / = MZ(r), где суммирование проводится по всем рациональным чис-
г
лам.
2. Условие /?д с: RB эквивалентно следующему: каждое множество
КеЛ является суммой множеств некоторого семейства A'czB.
3. Если М — непустое семейство отношений эквивалентности с полем С,
то Р(М) —также отношение эквивалентности с полем С.
4. Сохраняя обозначения упр. 3, доказать, что существует такое
отношение эквивалентности U с полем С, что
a) Rs=M->RczU,
b) если V —отношение эквивалентности с полем Си Д [R^M->RczV],
R
то U с= V.
5. Полагая M = {RA, RB} в упр. 3 и 4, описать Р (М) и U.
§ 6. Функции
Отношение RcziX XY называется функцией2), если
Л [xRyx Л xRy2->{y{ = y2)]. (1)
X, Ух, Уг
Функции обычно обозначаются буквами /, g, ft, ...
') Как показал Витали [1], каждое множество представителей для
отношения из примера 3 неизмеримо в смысле Лебега.
2) Приведенное здесь определение функции исходит от Пеано [1].

§ в. Функции
77
Множества £>л(/) и Dn(f) называются соответственно об-
ластью определения и множеством значений функции. Мы будем
использовать еще следующую терминологию. Если £л(/) = X и
Qn(f)cz У, то f будем называть отображением (или
преобразованием) множества X в У. Если, кроме того, Dn(f) = У, то /
называют отображением множества X на У. Если £л(/) = X, то
говорят, что функция / определена на X.
Множество всех отображений из X в У обозначают
символом Yx. Утверждение fe Yx чаще записывают в виде /: X-+Y
или X —->У.
Если f g Ух и Х£^, то, согласно определению области
определения функции, существует по крайней мере один такой
элемент у е У, что ;ф/. В то же время из определения функции
вытекает, что может существовать не более одного такого
элемента. Следовательно, элемент у определяется однозначно. Его
называют значением функции / для аргумента х и обозначают
f(x). Таким образом, формула у = f(x) означает то же, что
и xfy.
Равенство двух функций f, gy принадлежащих Yxy
определяется очевидным образом:
(/ = *)- Л U(x) = g(x)].
х,у^Х
Если упорядоченные пары представлять себе как точки
плоскости, а их первые и вторые элементы соответственно как
абсциссы и ординаты, то функция будет интерпретироваться своим
графиком.
Определение 1. Функция / называется взаимно
однозначной, если для различных аргументов она принимает
различные значения:
[f(Xi) = f(x2)]-+[xl = x2],
где Х\ и Х2 — произвольные элементы из области определения
функции.
Теорема 1. Если /еУх, то fc является функцией тогда и
только тогда, когда f взаимно однозначна. При этом fc e XY',
где Yx — множество значений функции /, и fc также взаимно
однозначна.
Доказательство. Отношение /с является функцией
тогда и только тогда, когда
Л Шсх{ Л yfcx2-> хх = х2],
Xi, Xtt У

78 Г.1 If. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
т. е. когда
Л [y = f(xi)Ay = f{x2)->xl = x2].
Xi. Х2, У
А это, очевидно, равносильно формуле (1). Вторая часть
теоремы следует из выражений для левой и правой областей
обратного отношения (стр. 72).
Теорема 2. Если f^Yx и g^ZY, то отношение g>f
является функцией и g of e Zx:
если X—f->Y—->Z, то X-—f->Z.
f g ' gof
Доказательство. Из определения суперпозиции отноше1
ний имеем
xgof2==\/ [(xfy) Л (ygz)] =
= VW(x) = y)A{g{y) = 2)] = ff(j(x)V~z9
У
откуда получаем, что
Л [{xg°fz{)A(xgofz2)->(zl = z2)]
X, Z\, Z2
и каждый элемент множества X принадлежит левой области
отношения gof. Так как последняя содержится в праной области
отношения g, то g °/ е Zx.
Из теоремы 2 следует, что
g°f(x) = g{f(x)) для xeI
Теорема 3. Если f еУх, g e ZY и f и g взаимно
однозначны, то их суперпозиция также взаимно однозначна.
Действительно, g{f(x)) = g(/(*')) ->/(х) = f (х')->х = х'.
Определение 2. Взаимно однозначную функцию /, у
которой множество значений совпадает с областью определения и
равно X, будем называть перестановкой множества X.
Простейшей перестановкой множества X является равенство
1Ху т. е. функция 1х(х) = х для всех хе!
Теорема 4. Если f еУх и f взаимно однозначна, то fc of =
— Ix и f ofc = /y , где Y\ — множество значений функции f.
Действительно, так как (fc(y) = х) = (f(x) = y)y то
fc(f(x)) = х и, значит, fc°f = Ix- Доказательство второй части
теоремы аналогично.

§ в. Функции
79
Пусть f e Yx, gGZ^^G Гу, ^ е Г2, и пусть множества
значений функций cpof и \|)°g содержатся в Г. Если сро/: = <ф о g,
говорят, что диаграмма
коммутативна. Эта диаграмма показывает, что от элемента
xgX можно «дойти» до элемента ф °f (x) = г|э ogr(x)e T двумя
способами: через элемент множества Y и через элемент
множества Z.
Пример коммутативной диаграммы будет приведен на
стр. 86.
Определение 3. Функция g называется продолжением
функции /, если fag. Говорят также, что f — сужение
функции g.
Теорема 5. Для того чтобы f с: g, необходимо и
достаточно, чтобы DA{f)a DJl(g) и f(x) = g(x) для всех x^Dn(f).
Доказательство. Необходимость. Пусть fag,
тогда Ол (f)cz Dx(g), так как проекция подмножества является
подмножеством проекции (см. стр. 73). Если x^Dn(f) и
у = f(x), то {х,у) е f, следовательно, (л:, j/) g g и j/ = #(*)•
Достаточность. Пусть Ол(})а DK4(g) и f(x) = g(x) для
всех хеВл([). Если {x,y)^f, то y = f{x) = g{x) и, значит,
(х, у) ее gf откуда f с= g.
Сужение fag, для которого £>л([) = А, обозначают g\A.
Понятие функции следует отличать от понятия операции.
Под операцией мы понимаем высказывательную функцию
Ф(х, у) от двух переменных, удовлетворяющую условиям
Л V Ф (х, у), Л [Ф (х, ух) Л Ф (х, у2) -»(у, = у2)}. (W)
х у х, у{, у2
Эти условия требуют, чтобы для каждого х существовал
единственный элемент j/, выполняющий Ф(х,у). Но если
область определения высказывательной функции Ф(х, у) не
ограничена, то может не существовать множества пар {х,у),
выполняющих Ф(х, у), т. е. может не существовать такой функции /,
что Ф(а:, у) е= [у = f (x)] (например, если высказывательная
функция есть х = у (см. стр. 68)). Вместе с тем верна
Теорема 6. Пусть А — произвольное множество. Если
высказывательная функция Ф{х,у) удовлетворяет условиям (W)>

80 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
то существует такая функция /А, что А является ее областью
определения и для любого х е А и любого у
[0 = Ы*)] = Ф(*. У)-
Требуемой функцией fA будет множество
{t^AXB: V [(* = <*, у))ЛФ(х, у)]},
где В обозначает образ множества А при отображении,
определенном с помощью высказывательной функции Ф (см. стр. 63).
Если, в частности, высказывательная функция Ф имеет вид
... х . .. = у, где слева от знака равенства стоит выражение,
записанное при помощи буквы х, постоянных и символов
различных операций, то функцию fA мы будем обозначать
F [... х ...]. Например,
1х= * [х], /= F [/(*)].
Функции двух и более аргументов. Пусть
XxYxZ = Xx(YxZ)y XxYxZxT = Xx(YxZxT) и
аналогично для любого числа множеств. Если X = У = Z, то
вместо X X X X X будем писать X3 (аналогично для
произвольного числа множеств). Подмножества декартова произведения п
множеств будем называть п-местными отношениями.
Если область определения функции / — декартово
произведение X X У, то / называется функцией двух переменных.
Аналогично, если область определения функции / — декартово
произведение XxY*xZ, то f называется функцией трех
переменных. Вместо f{{xty)) будем писать короче: f(x,y).
° Теорема 7. Если функция f взаимно однозначно
отображает множество X X Y на множество Z, то существуют такие
функции а и р, отображающие Z соответственно на X и У\ что
/(се(г), р(г)) = г для каждого z^Z.
Доказательство. В качестве а достаточно взять
множество пар (z, x)y удовлетворяющих условию \/ [f (xy y) = z],
у
а в качестве р—множество пар (г, у)у удовлетворяющих
условию V [f{x, у) = г].
X
В заключение этого параграфа покажем, как при помощи
понятия функции можно выразить высказывание, эквивалентное
аксиоме выбора.

<5 7. Образы и прообразы
81
0 Теорема 8. Если А — непустое семейство множеств и
О ф Л, го существует такая функция f ^(S(A))A, что f(X)^X
для каждого ХеЛ.
Доказательство. Пусть Л = F[{X}XX]. Для X е Л
хе=Л
тогда /1(^)^0, причем Л (Л) П h(Y) = 0, если Хф Y. Применяя
аксиому выбора к Dn(h), получаем множество, имеющее точно
один общий элемент с каждым из множеств h(X), X ^ А. Это
множество, как легко показать, является искомой функцией /.
Функция, обладающая свойствами, указанными в теореме 8,
называется функцией выбора для семейства А.
Теорема 8 показывает, что исходя из системы аксиом 2°,
можно доказать существование функции выбора для
произвольного непустого семейства, не содержащего пустого множества.
Можно доказать также и обратное утверждение, а именно, что
аксиома выбора выводится из теоремы 8 и системы аксиом 2.
Упражнение
Пусть п^Зи
x = a0u ... im,,-!,
Bb = Ak + i\J ... [jAk+n-ъ Ck = Ab + l\J ... [}Аъ+п-2,
<де индексы приведены по модулю п. Пусть дана система функций fk^Y kf
/V = 0, ..., л—1, удовлетворяющих условию
fk{x) = fk+i(x) для A-e=Cfc + 1.
Тогда существует такая функция f е Кл", что /& = Ля, Для каждого
k -= 0, ..., л — 1.
§ 7. Образы и прообразы
Рассмотрим произвольные множества Л, В и отношение /?,
R cz А X В. Множество
Ю(Х) = \у: V (xRy)l где J с: Л,
называется образом множества X при данном отношении R.
Очевидно, что R1: 2А —*2В.
В частности, если /— функция, то множество fl (X) состоит
из значений, принимаемых функцией / на множестве X. Будем
писать/1 (*) ={/(*): j^gA].
Эта же запись применяется и в случае операций,
например {{х,у): х^Х}, (S(^): Х^А) и т. п. Как мы уже знаем, нет
такой функции, значением которой для произвольного х была
бы пара {х, у), и нет такой функции, значением которой для

82 Гл. П. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
произвольного семейства X было бы множество S(X)y но
каждая такая операция определяет функцию, если ограничить
ее область определения каким-нибудь заданным множеством
(см. теорему 6 § 6). В выражениях типа {{х,у): х е X}, {S(X):
X ^ А} надо бы, строго говоря, вместо символов {х,у)у S(X)
писать значения функций с областями определения X и А
соответственно.
Из определения обратного отношения (стр. 72) следует, что
если У с: В, то образом множества У при отношении Rc является
множество
R-l{Y) = lx: V WUJx: V {xRy)\.
Оно называется прообразом множества У при отношении R. Если
R = / — функция, то
f-l(Y) = \x: V (f(x) = y)\ = {x: /(х)еУ},
I J/еУ J
т. е.
xf=f->(Y)=f(x)<=Y.
Если множество У состоит из одного элемента У = {*/}, то
f~l(Y) называется множеством уровня функции f, определенным
элементом у. Различные множества уровня попарно не
пересекаются, сумма всех множеств уровня совпадает с областью
определения функции.
Докажем несколько простых законов для образов и
прообразов.
Теорема 1. Если R а А X В и Хи Х2 — подмножества
множества Л, то
R'(Xl)\jR{(X2) = Rl(X[\]X2)i (1)
XxcX2-+Rl(Xl)cRl(X2), (2)
Rl(Xl()X2)czR4Xl)r)Rl{X2). (3)
Доказательство. Равенство (1) следует из того, что
у е R1 (X,U*2)« V {[(* е X,) V(xe X2)] A (xRy)}^
« V [[(* е X,) Л (xRy)] V V [(х s Х2) Л (*#*/)]] ^
sj, е/?> (X.) V у s/?»(X2) =
-i/e/?'№) U Rl{X2).

§ 7. Образы и прообразы 83
Для доказательства (2) достаточно заметить, что если
Xi cz Хъ то Х2 = Xi U Х2 и, значит, согласно (1):
Rl(X2) = Rl(X{)URl(X2)=>Rl(Xl).
Наконец, включение (3) справедливо, так как Х{ П Х2 cz Xt
для i = 1, 2; отсюда в силу (2) получаем Rl{Xi П X2)cz R] (Xt)
и R'(Xlf\X2)czR'(X2)% откуда Z?1 (X,(U2) cz tf'^i) П/?1 (Х2).
Теорема 2. £сли / е ВЛ, Yi cz В, У2 cz В, то
rl{Y{[)Y2) = rl (¥{)[)Г1 {Y2), (4)
Г'^ПУаНГ^ШГ'ОУ. (5)
Г^-г^гЧ^-Г1^). (6)
Доказательство. Равенство (4) представляет собой
частный случай формулы (1). Докажем равенство (5):
х <= /"• (Г, П К2)=/ (х) е= К, П y2^(f (ж) е= Г,) Л (f (*) е Г2)^
^(хеГ'(Г,)ПГ'(Г2)).
Равенство (6) доказывается аналогично.
Теоремы 1 и 2 показывают, что операция взятия образа по
данному отношению аддитивна, но не мультипликативна.
Операция же взятия прообраза аддитивна и мультипликативна.
Теорема 3. Если функция f: A —> В взаимно однозначна,
то для произвольных Хи Х2 cz А
fl (х, n xj = f' (х{) n f1 (х2), f1 (х, - х2) = f1 №) - р (х2).
Для доказательства достаточно в теореме 2 заменить f на /с.
Теорема 4. Если f: А -> В, Г cz /* (Л), X cz Л, го
f1(r,(n)=^, г1 (f1 (*))=>*.
Первая формула верна, поскольку
X
^\J[{f{x)(=Y)A(y = f(x))}^(yt?-Y),
X
а вторая — поскольку

84 Гл. II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Во второй формуле знак включения не всегда можно
заменить знаком равенства. Если, например, /—функция
вещественной переменной f(x)=x2, то для Х = {х: х>0} имеем
1~1(1\Х))Ф X. Если же / взаимно однозначна, то очевидно, что
И, наконец, приведем еще одну важную теорему.
Теорема 5. Если SczAxB и RczBxC, то (RoS)l{X) =
= Rl(Sl(X)) для каждого XczA.
Доказательство.
y^{RoS)l(X)=\/ (xRoSy)^
х^Х
ssseV \J[(xSz)A(zRy)}^
^V V [(xSz) Л (zRy)}^
z x^X
z
Из теоремы 5 следует, в частности, что если /: А —► В и
g: B-+C, то (gofy{X) = g4P{X)) для каждого ХсА
У пражне н ия
1. Доказать, что
fl(Xl)-P(X2)ciP(Xl-X2),
f,Unr1(n) = f1wnr.
2. Если g = /Iа, то g~i{Y) = А Г) f~l(Y).
3. Значение у функции f называют значением порядка п, если
множество f~l({y}) содержит ровно п элементов. Говорят, что функция f имеет
порядок ^л, если каждое ее значение имеет порядок ^/г.
Доказать, что если функция /, определенная на множестве X, имеет
порядок ^я и АаХ, то сужение fL-i /л (А)\_А имеет порядок ^л—1.
4. Даны система из г-И непересекающихся множеств Л0, ..., Аг,
являющихся подмножествами множества X, и определенная на X функция
порядка ^ п(п ^ г). Обозначим через В множество ]1(А0) П ... Г) /Ч^г).
Доказать, что сужение f\. __i ,. имеет порядок ^5п — г.
Ai\]t W)
5. Образы и прообразы функций находят важное применение в топологии
при определении непрерывных функций.
Пусть X и Y— топологические пространства, f:X-+Y. Функция f
называется непрерывной, если прообразы открытых множеств в Y являются
открытыми множествами в X.
Доказать, что каждое из следующих условий необходимо и достаточно
для того, чтобы функция f была непрерывной:

§ 8. Функции, согласованные с эквивалентностью
85
a) прообразы замкнутых множеств замкнуты,
b) Г(Л)с=ЙЛ),
c) Л а: Г1 [f1 (A)]L
d) Г1 (В) d Г1 (В),
e) fl[rl(B)]czB,
причем Л cz X и В cz У.
6. Пусть / — взаимно однозначное отображение множества X на Y (т. е.
fc:Y-+X). Отображение / называется гомеоморфизмом, если / и /с
непрерывны.
Доказать, что каждое из условий, полученных из (Ь) —(с) заменой знака
включения знаком равенства, необходимо и достаточно для того, чтобы f
было гомеоморфизмом.
7. Показать на примере, что образ открытого множества не обязательно
открыт, даже если функция непрерывна.
То же для замкнутых множеств.
8. Доказать, что суперпозиция двух непрерывных функций непрерывна.
§ 8. Функции, согласованные с данным отношением
эквивалентности. Булевы факторкольца
Конструкция, которая будет описана в этом параграфе,
играет важную роль в абстрактной алгебре.
Пусть R— отношение эквивалентности с полем X, f —
функция двух переменных, принадлежащая Хххх.
Определение. Функция / называется согласованной с R>
если
Л [№,) Л {yRyi) - (/ (х, у) Rf(xu yi))].
X, Xi, У, Ух
Аналогично можно определить это понятие для функции
большего числа переменных.
Так как xRy = {х е y/R) = (x/R = y/R), то можно
определить согласованность следующим способом: если x^xJR,
// е ji//J, то f(x1y)/R = f(xuyi)/R. Другими словами, класс
абстракции f(x,y)/R зависит только от классов абстракции x/R,
y/R, а не от самих элементов х, у. Отсюда следует, что
существует такая функция ф, определенная на множестве
(X/R)X{X/R), что для произвольных х, у е X
Ф(*/Я, y/R) = f(x, y)/R-
Этой функцией будет множество пар вида {{k',k"), k), где
/?, k\ k" ^X/Rh
V [(x e= fe') A(je k") A (f (x, y) e= k)\.
x, у
Функция ф называется индуцированной из / посредством R.

86 Гл. II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Функция fte(A7'/?)-Y, заданная равенством k(x)=x/Ry
называется каноническим отображением множества X на X/R.
Функция двух переменных k2, заданная равенством k2(xyy) =
= {x/R,y/R), называется каноническим отображением
множества X2 на (X/R)2.
Для функций трех и более переменных определения
аналогичны.
Теорема 1. Если функция f<E=Xxxx согласована с
отношением эквивалентности /?, а функция ф индуцирована из f no-
средством R, то диаграмма
X2 -f-> X
(X/R)2-->X/R
коммутативна.
Доказательство. Для любой пары {ху у) е X2
kof{x, y) = k(f{x,y)) = f{x9y)/R9
<р°Л2(х, y) = y{k2{x, y)) = <p(x/R, ylR) = f(xf y)/Ry
откуда kof = (pok2.
Пример. Пусть Х=К — тело множеств с единицей Uy I —
произвольный идеал в К, R — отношение =^=(mod/) (см. стр. 26).
Множество K/R обозначается К/1 и называется булевым фактор-
кольцом.
Функции f(X,Y) = X[}Y, g{X,Y)=XP{ Y и h(X)=U — X
согласованы с отношением = (см. упр. 4, стр. 27). Обозначим
функции, индуцированные из /, g и h посредством =,
символами V, Л и — соответственно. Тогда
(X/R) V (Y/R) = (X (J Y)/R, (X/R) Л (Y/R) = (X(] Y)/Ry
-{XfR) = {U-X)/R.
Теорема 2. Множество К/1 является булевой алгеброй
относительно операций Л, V, — и элементов 0/R и U/R в
качестве нулевого и единичного.
Доказательство. Достаточно показать, что операции
Л, V, — и элементы 0/R и U/R удовлетворяют аксиомам
(I) — (V), стр. 46. Проверим, например, аксиому (I): пусть
a = X/R и b=Y/R; тогда aVb=(X{]Y)/R и Ъ Va= {Y\jX)/R9
откуда aVb = b V а. Остальные аксиомы проверяются
аналогично.

§ 9. Отношение порядка
87
Замечание. Справедливо равенство 0//?==/, поскольку
условия X =0 (mod /) hIg/ эквивалентны.
Свойства факторколец К/1 во многом отличны от свойств
колец К. С помощью перехода от К к К/1 можно получать новые
интересные кольца.
Упражнения
1. Обобщить пример, принимая в качестве К произвольное булево кольцо,
а в качестве / его подмножество, удовлетворяющее условиям примера 5 на
стр. 74.
2. Пусть К — поле всех подмножеств бесконечного множества U,
а / — идеал, состоящий из всех конечных подмножеств. Показать, что каждый
отличный от нуля элемент факторкольца К/1 может быть представлен в виде
xV </, где х Ф I и у ф I.
§ 9. Отношение порядка
Определение 1. Отношение R называется отношением
порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и
антисимметрично. Последнее условие означает, что
(xRy)A(yRx)->{x = y).
Отношение, которое только рефлексивно и транзитивно, мы
будем называть отношением квазипорядка ]).
Вместо xRy обычно пишут x-^Ry или короче х-*Су. Мы
будем говорить также, что множество Л, являющееся полем
отношения /?, упорядочено (или квазиупорядочено), не указывая
явно отношения R. Так обычно говорят, когда известно, о каком
отношении идет речь. Однако надо всегда помнить, что порядок
не является свойством самого множества. Одно и то же
множество может быть упорядочено различными отношениями
порядка.
Замечание. По другой терминологии (мы не будем ее
употреблять) под отношением порядка понимают отношение,
которое, кроме указанных в определении свойств, обладает еще
свойствам связности, т. е. (а: ф у) -+[xRy V yRx]. Наше
отношение порядка называют тогда отношением частичного порядка.
Связные отношения порядка, называемые еще отношениями
линейного порядка, будут подробно рассмотрены в гл. VI.
') Бурбаки [1, гл. III, § 1, п. 2] называет отношением предпорядка
транзитивное отношение, удовлетворяющее условию
{XRy)->{xRx)A(yRy).

88 Гл. II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Пример 1. Каждое семейство множеств упорядочено
отношением включения. Если оно линейно упорядочено этим
отношением, то оно называется монотонным семейством.
Пример 2. Каждая решетка (в частности, каждое булево
кольцо) упорядочено отношением а^Ь.
Пример 3. Множество натуральных чисел упорядочено
отношением делимости.
Пример 4. Назовем покрытием множества А каждое
такое семейство Р, что A=S(P). Покрытие Рх называется из-<
мельчением покрытия Р2, если для каждого XePi существует
такое Y е Р2, что Хз У. Отношение /?, определенное формулой
P2RPi= (Pl является измельчением покрытия Р2),
является отношением квазипорядка в множестве всех покрытий
множества А. Но оно не будет отношением порядка, так как
могут существовать два различных покрытия Pt и Р2, для
которых PiRP2 и P2RPt.
Если же ограничить поле этого отношения покрытиями, cot
стоящими из непустых попарно непересекающихся множеств
(такие покрытия называются разбиениями; см. стр. 74), то R
будет отношением порядка.
Определение 2. Множество Л, упорядоченное (или ква-
зиупорядоченное) отношением -С, называется направленным,
если для каждой пары хЕу4, у^А существует такое зеу1,
что х < г и I/ < г.
Пример 5. Каждая решетка является направленным
множеством, так как х-^ х V у и у ^С х V у. В частности,
направленными для отношения включения (как =э, так cz) будут
семейство всех подмножеств данного множества и семейство всех
замкнутых подмножеств данного топологического пространства.
Пример 6. Множество всех покрытий данного множества
является направленным для отношения R из примера 4.
Действительно, обозначим через Р* семейство всех произведений
вида X П Y, где ХеРь Уе Р2. Легко проверить, что Р3 —
покрытие и Pi/?P3, P2RP3
Определение 3. Говорят, что упорядоченное
множество А конфинально (имеет общий конец) со своим
подмножеством В, если для каждого хе/1 существует такое у е В, что
х •< у. Аналогично определяются коинициальные множества
(имеющие общее начало).

§ 9. Отношение порядка
m
Ф Пример 7. Множество вещественных чисел
конфинально и коинициально с множеством целых чисел, ф
Если упорядоченное множество А содержит последний
элемент, то оно конфинально множеству, состоящему из одного
этого элемента.
Последний (первый) элемент множества надо отличать от
максимального (минимального) элемента. Элемент х
упорядоченного множества А называется его максимальным
(минимальным) элементом, если в А нет такого элемента у, что х < у
(или у < х). В линейно упорядоченных множествах понятия
максимального элемента и последнего элемента (соответственно
минимального и первого) совпадают. Но для произвольных
упорядоченных множеств это, вообще говоря, не так.
Определение 4. Пусть А—упорядоченное множество,
Т — произвольное множество и / е ATf Элемент «G/1
называется наименьшей верхней гранью элементов {/*}, если ft ^ и
для каждого /еГ, причем и — наименьший элемент,
обладающий этим свойством, т. е.
Л ift<u), (I)
Л &<»)-(«<»)• (Н)
Заменяя знак <! на ^>, получаем определение наибольшей
нижней грани.
Наименьшая верхняя грань, если она существует,
определяется однозначно. Действительно, пусть, кроме (I) и (II),
выполняется еще
Л (/,<!/), (I')
Л (ft<v)->(u'^v). (II")
te=T
Подставляя в (II') и = и и принимая во внимание (I), получаем
а'^и. Аналогично из (II) и (Г) получаем и^Си'.
Следовательно, и = и\ так как отношение •< антисимметрично.
Аналогично доказывается единственность наибольшей
нижней грани.
Наименьшая верхняя грань элементов {ft} (если она
существует) обозначается в теории упорядоченных множеств
символом V /*, а наибольшая нижняя грань — символам Л ft*
te=T te=T
Если Т — конечное множество {1, 2, ..., п} и /i = а, /2 = ft, . ..
. ..,/n = ft, то наименьшую верхнюю грань этих элементов

<Ю Гл. II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
обозначают символом aV&V...V/z, а наибольшую нижнюю
грань — символом а Л b Л .. . [Ah.
Наибольшую нижнюю грань всех элементов множества А
(если она существует) называют нулевым элементом и
обозначают 0А или просто 0. Аналогично наименьшую верхнюю грань
всех элементов множества А (если она существует) называют
единичным элементом и обозначают 1А или 1.
Очевидно, что аЛЬ^Са, аЛЬ^СЬ, если а ЛЬ существует,
и а ^С a V ft, 6 4 a V 6, если а V b существует (в этом случае
А — направленное множество).
Если а<^6, то а V b и а Л b существуют и равны
соответственно b и а. Отсюда следует, что если существуют а Л b и
а V b для всех a, ft g Л, то Л — решетка.
Определение 5. Упорядочение множества А называется
полным, если для каждого Т и каждой функции /е^т
существуют грани Л ft и V ft-
Так как каждая решетка упорядочена (отношением а^СЬ),
то это определение объясняет смысл термина «полная решетка».
Пример 8. Множество 2х для любого X является полной
решеткой относительно операций П, I). Существование
наименьшей верхней грани следует из аксиомы III § 2, а
существование наибольшей нижней грани — из теоремы 6 § 3.
К этому примеру мы еще вернемся в § 1 гл. IV.
Пример 9. Семейство всех замкнутых подмножеств
произвольного топологического пространства является полной
решеткой относительно операций П, U. Здесь \/ Xt — замыкание
t
суммы множеств Xt, а /\Xi— произведение этих множеств.
Определение 6. Два множества А и Б, упорядоченные
отношениями R и S соответственно, называются подобными,
если существует функция /, взаимно однозначно отображающая
Л на В и такая, что для произвольных х, у^А
xRy=f(x)Sf(y).
О функции / тогда говорят, что она устанавливает подобие
множеств Л и В.
Ф Например, функция f(x) =—х для х е <§ устанавливает
подобие множества &, упорядоченного отношением ^С, и того же
множества, упорядоченного отношением >. ф
Понятие подобия является частным случаем понятия
изоморфизма, которым мы займемся в следующем параграфе.

§ 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы 91
У пражнения
1. Пусть А — произвольное множество. Семейство 2А* (т. е. семейство
всех отношений с полями, являющимися подмножествами множества Л)
упорядочено отношением включения. Показать, что семейство всех
транзитивных отношений представляет собой решетку, и описать операции Л и V.
2. То же для семейства отношений эквивалентности.
§ 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы
Пусть А— множество, R0, 7?ь ..., /?^_i — отношения
соответственно от ро, Ри .. ., Pk-i переменных из А (другими
словами, RjCiApi для j<k). Система {А, /?0, Ru •••, Rk-i)
называется реляционной системой характеристики (р0, Ри • • •, Рк~\)у
множество А называется полем этой системы.
Реляционные системы изучаются во многих разделах
математики, особенно в алгебре. Поскольку функции — это
отношения специального вида, можно считать группу реляционной
системой характеристики (3), а кольцо — реляционной системой
характеристики (3,3). Булевы кольца также можно считать
реляционными системами.
Для простоты изложения рассмотрим реляционные системы
характеристики (2), т. е. системы вида {A,R), где R а А X А.
Все рассуждения можно легко обобщить на произвольные
реляционные системы.
Определение. Две реляционные системы {A9R) и
(В, S) называются изоморфными, если существует взаимно
однозначная функция f, отображающая А на В так, что для всех
х, у^А
xRy^f(x)Sf(y).
В этом случае пишут {A, R) « (В, S) или короче R « 5, если
ясно, какие множества А и В имеются в виду.
Теорема 1. Отношение « рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Доказательство очевидно.
Покажем, что каждое свойство системы {A,R), которое
можно выразить с помощью символов исчисления высказываний и
кванторов, ограниченных полем системы, присуще также
каждой системе, изоморфной {A,R), т. е. является инвариантом
относительно изоморфизма.
Пусть Ф — высказывательная функция, содержащая
свободные переменные х, у и, быть может, еще другие переменные

Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Wo, ии ..., uk-Y. Предположим, что Ф построена из высказыва-
тельных функций вида
и* = "/. (1)
(uh щ) е= у (2)
с помощью операций исчисления высказываний и кванторов
V и Л , т. е. переменные хну кванторами не связаны. Для
таких высказывательных функций справедлива
Теорема 21). Если функция f устанавливает изоморфизм:
систем {A,R) и (В, S), то для а0, аь ..., ak-{ e А
Ф(Л, R, а0, ..., ^-^©(В, S^a»), ..., f(afe_t)). (3)
Доказательство. Если Ф — высказывательная
функция вида (1), то (3) следует из того, что / взаимно однозначна.
Если Ф — высказывательная функция вида (2), то (3) следует
из того, что / устанавливает изоморфизм рассматриваемых
систем.
Пусть формула (3) верна для высказывательных функций Ф
и Ф'. Из законов исчисления высказываний следует, что она
верна также и для высказывательных функций ~1Ф и ФУФ'
а следовательно, для всех высказывательных функций, которые
можно получить из Ф и Ф' с помощью операций исчисления вы-
€казываний. Чтобы доказать справедливость теоремы для всех
высказывательных функций (рассматриваемого здесь типа),
достаточно показать, что она справедлива для высказывательнои
функции, полученной из Ф с помощью навешивания квантора
(всеобщности или существования). Достаточно рассмотреть
только один из этих кванторов, например существования.
Пусть W — функция V Ф и аи ..., аыеА Если ^(A.R
Я|, ..., 0/,_i), то Ф(Л,#, а0, аь ..., ak-\) для некоторого а0^А
Тогда (b(BySJ(a0)J(ai)y ..., f(ah-\)) по предположению, от
куда 4^(5,S,f(ai), ..., f(ak-\)). Таким образом, мы доказали
импликацию
Ч^(Л, R, аи ..., afc-,)->V(Bf Sf f(fli), .... f(a*-i)),
а обратная импликация доказывается аналогично.
1) Теорема 2 является схемой: для каждой высказывательнои функции
получаем отдельную теорему.

§ W Реляционные системы, их изоморфизмы и типы 93
Пример. Следующие свойства реляционной системы (Л, R)
в силу теоремы 2 инвариантны относительно изоморфизма.
1. Рефлексивность Л xRx.
2. Антирефлексивность Л ~]{xRx).
3. Симметрия Л \xRy->yRx].
х,у^А
4. Асимметрия Л [xRy~> ~\yRx].
х, у^А
5. Антисимметрия Л [{xRy) Л (yRx) -> (х = у)].
х, уе=А
6. Транзитивность Л l(xRy) Л {yRz)-+{xRz)].
х, у, z^A
7. Связность Л [{xRy) V (х = у) V {yRx)].
х, у^А
О двух изоморфных реляционных системах говорят, что они
имеют один и тот же тип. Очевидно, что это только новый
термин, а не новое понятие. Все теоремы теории множеств можно
вывести, не применяя понятия «типа». Но помимо того, что это
понятие желательно ввести из уважения к традициям (Кантор
строил теорию множеств, употребляя понятие типа с самого
начала), оказывается, что с его введением многие теоремы
формулируются гораздо проще.
Итак, введем новое первичное понятие TR: выражение
aTR(/4, R) читается а является типом реляционной системы
(Л, R). Введем также новую аксиому:
Аксиома VIII (реляционных типов). Для каждой
реляционной системы {AyR), где R а Л2, существует точно один
такой объект а, что aJR{AyR\. Для произвольных систем
{AyR) u{B,S)
(aTR(^,/?))A(pTR(5,S>)-4(a = р) = (Л, R) « (В, S)].
Этот единственный объект а, для которого aTR (Л,/?),
обозначается (Л,/?) или (если это не ведет к недоразумениям)
просто R *).
*) Кантор говорил о типах не произвольных реляционных систем, а
только линейно упорядоченных множеств (см. § 9). Вводил он это понятие не
строго, определяя тип как свойство множества, которое остается, если
отвлечься лишь от свойств элементов, но не от их порядка. Черта над буквой
показывает, что проведен один этот акт абстракции.

94 Гл. //. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции
Объект а называется реляционным типом, если существует
система (Л, R), для которой a TR (Л, R).
У п раж не н ия
1. Пусть А содержит п элементов и гп — число реляционных типоз
системы с полем А. Доказать, что {2п/п\)<гп<2п'-
2. Доказать, что г2=\0 и г3= 104 1).
]) Девис [1] утверждает, что г4 = 3044 и г5 = 291 968.

Гл ав а III
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой главе мы исходим из системы аксиом 2°, причем, как
обычно, теоремы, не помеченные символом °, можно доказать
без аксиомы выбора VI.
§ 1. Натуральные числа
Для каждого множества X обозначим
X' = X U ДО.
Множество X' называется последователем множества X.
Теорема 1. Существует единственное семейство
множеств N, обладающее следующими свойствами:
(I) 0<=N;
(II) XzelN-*X' <=N\
(III) если К удовлетворяет (I) и (II), то N а К.
Доказательство. Из аксиомы бесконечности V следует,
что существует по крайней мере одно семейство /?, обладающее
свойствами (I) и (II). Пусть Ф — семейство всех тех
подмножеств семейства /?, которые обладают свойствами (I) и (II):
<P = iSczR: OeSAAUeS->rsS)i.
Легко проверить, что Р(Ф) является искомым семейством jV.
Элементами множества N будут множества 0, {0}, {0, {0}}, ...
Можно считать, что эти множества играют роль натуральных
чисел 0, 1, 2, ..., а роль операции +1 играет операция '. Мы
докажем теоремы, из которых будет следовать, что для элементов

96 Гл. III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
множества N выполняются известные законы
арифметики 1).
Для упрощения символики будем в дальнейшем обозначать
элементы семейства N буквами т, л, р, ... . Множество К
будем называть индуктивным, если для него выполняются условия
(I) и (II).
Прежде всего докажем, что
m^n->m' а п. (1)
Пусть К = \п: Л {m^n->m' cz n)\. Достаточно показать,
что N а К, т. е. что множество К индуктивно. Условие (I)
выполняется очевидно. Чтобы доказать (II), возьмем п^К и
т^п'. Тогда men или m = n. В первом случае man по
определению множества /С, а во втором т cz n в силу равенства
этих множеств. Следовательно, т cz п\ значит, я'еК и
формула (1) доказана. Доказательства такого вида называют
доказательствами по индукции.
Далее,
п ф п. (2)
Доказательство проводится по индукции, оно основано на
гом, что множество {п: пфп) индуктивно.
т! = п' -> т = п. (3)
В самом деле, т! = пг влечет т е п\ и, значит, т е п или
т = п, откуда, согласно (1), man. Аналогично доказывается
обратное включение.
Пеано показал, что арифметику натуральных чисел можно
построить, исходя из следующих аксиом:
a) нуль является натуральным числом,
b) каждое натуральное число имеет последователь,
c) нуль не является последователем никакого натурального
числа,
') Читатель, считающий неестественным то, что в нашем изложении роль
натуральных чисел играют множества, может в качестве натуральных чисел
рассматривать некоторые предметы, поставленные во взаимно однозначное
соответствие множествам из N. Например, это могут быть типы
реляционных систем S(n) = (п,пх п), где п ^ N. Такой подход мы применим в гл. V,
вводя кардинальные числа. Отождествление натуральных чисел с
множествами семейства N позволяет нам излагать арифметику, опираясь только на
систему аксиом 2° (в основном даже только на аксиомы системы S без
аксиомы замены), в то время как отождествление их с типами систем S(n)
требовало бы обращений к аксиомам системы 2°[TR] и аксиоме VIII.
Подробный анализ того, какие аксиомы теории множеств необходимы
для обоснования законов арифметики и анализа, был проделан Бернайсом в
цикле статей [1—5]. См. также Френкель и Бернайс [1].

§ 1. Натуральные числа
97
d) числа, имеющие одинаковые последователи, равны.
e) множество, содержащее нуль и вместе с каждым числом
его последователь, содержит все натуральные числа.
Из формул (I), (II), (3), (III) и п'ф О следует, что
элементы множества N удовлетворяют всем аксиомам Пеано.
Для произвольных m, n выполняется одна и только одна из
зависимостей m^n, m = п, п^т. (4)
Доказательство. Из (1) и (2) следует, что любые две
из этих зависимостей исключают друг друга. Чтобы доказать,
что для каждой пары т, п одна из этих зависимостей
выполняется, применим индукцию. Обозначим
К (п) = {т: (те п) V (т = п) V (я е т)}.
Утверждение (4) равносильно утверждению Л {N <= К (л)), по-
п
этому достаточно показать, что множество К(п) для любого п
индуктивно.
Множество К(0) индуктивно, так как К(0) состоит из
множества 0 и тех т, для которых Ое/п и Оеш-^Ое/п'. Пусть
К(п) индуктивно, т. е. NczK(n). Покажем, что К{п') также
индуктивно. Из п' е N а К(0) следует, что (п' eO)V (п' = 0) V
V(OErt'). Так как первые два члена этой дизъюнкции ложны,
то Оея', следовательно, О^К(п'). Условие (I) индуктивности
множества выполнено. Проверим условие (II). Пусть т^К(п'),
т. е. выполняется один из случаев т е п', т = п\ п' е т. Во
втором и третьем случае очевидно, что п' е т' и, значит, т' е
е К(п'). В первом случае или т = п, тогда т' = п' и, значит,
/я'е/С(/г'); или же тел, тогда m e/((я) и т'е/С(п),
поскольку по предположению множество К(п) индуктивно. Отсюда
получаем (т' e/i)V (т' = /г) V (ft e т'). Третий член этой
дизъюнкции можно отбросить, так как он вместе с men' дает
п е п, что противоречит (2). Таким образом, остаются только
возможности т' е п и т'= п. Учитывая, что пап', получаем
в обоих случаях и'еКМ, и утверждение (4) доказано.
Множество Z = {m: n^m] совпадает с произведением
Р всех семейств Ка N, удовлетворяющих условию (II) и (5)
содержащих п'.
Доказательство. Множество Z удовлетворяет условию
(II), так как mam'. Из этого следует, что Р a Z, поскольку
nr е Z. Остается показать, что если К удовлетворяет условию
(II) ип'<=К, ToZaK.

98 Гл. III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
Рассмотрим для этого множество L = {п: п е Z —> п е К}.
Достаточно показать, что N a L, т. е. что L индуктивно.
Условие (I) с очевидностью выполняется, так как OgL
Чтобы доказать, что L удовлетворяет условию (II), возьмем
элемент m из L. Тогда или те К или m ф Z. В первом случае
m'^ К, поскольку /( удовлетворяет условию (II), и, значит,
т' е L. Второй случай, согласно (4), распадается на три под-
случая в соответствии с зависимостями п е /п, я = m и т <= п.
Первый подслучай противоречит условию т ф Z. Второй дает
/п' = л' и, значит, т! е /(, откуда т! е L, так как К cz L.
Наконец, в последнем подслучае, согласно (4), (mr Gn)V (т' = n) V
V(/ig m'). Если верны первый или второй члены этой
дизъюнкции, то опять же по (4) п ф т\ поэтому т' ф Z и т' <= L.
Последний член дизъюнкции ведет к противоречию, так как из
него следует, что (п е т) V (п = т), в то время как по
условию men.
В арифметике множество чисел, больших данного числа я,
•определяется как общая часть всех множеств, содержащих
последователь числа п и вместе с каждым числом Ь содержащих
его последователь. Утверждение (5) показывает, что отношение
принадлежности в множестве N соответствует отношению
«меньше» между натуральными числами. Поэтому вместо тел
и т е п! мы будем часто писать ш<«иш4п соответственно.
Введение множества N дает возможность определить в
теории множеств понятия, аналогичные понятиям арифметики и
анализа. Например, функция /, определенная на множестве N,
называется бесконечной последовательностью и иногда
обозначается (/о, /t, ..., fn* •••)• Функцию, определенную на
множестве /ig^, называют конечной последовательностью с п
членами.
Очевидно, что множеством всех бесконечных
последовательностей, члены которых принадлежат множеству Л, будет AN;
множеством всех конечных последовательностей с п членами
будет Ап. Множество всех конечных последовательностей с
членами из А можно определить как
{RaNXA: (Д- функция) Л V фл(Я) = я)1.
I ns=N )
Из этого определения следует, что такое множество
существует.
Упражнения
1. Если m, «gJV, то м е п = (тс: п) Л(т ф п).
2. Доказать, что если 0 ф К a N, то Р (К) е N П К.
3. Каждое непустое семейство К с: N содержит такой элемент к% что
£("}/(:= 0 (см. аксиому регулярности, стр. 64).

§ 2. Определения по индукции
99
§ 2. Определения по индукции
Наиболее характерной особенностью арифметики
натуральных чисел является возможность определять понятия с
помощью индукции. Простейший случай представляет собой
определение последовательности ф (члены которой принадлежат
некоторому множеству Z), удовлетворяющей равенствам:
a) <р(0) = г, <р(л') = e(cp(/i),/i),
где 2gZ, a e — функция, отображающая ZxN в Z.
В более общем случае рассматривают функцию /,
отображающую в Z декартово произведение ZxNxA, и определяют функ-
цию ф£/ , удовлетворяющую равенствам
b) ф(0,а)=#(а), ф(пг,а)=/(ф(/г,а), /г,а),
где g^ZA. Это — определение по индукции с параметром а,
пробегающим множество Л.
Схемы (а) и (Ь) соответствуют переходу «от п к я + 1», т. е.
значение ф(/г') (или ф(я',а)) зависит от значения ф(я) (или
ф(/г,а)). Значение ф(/г') может зависеть от всех значений ср(т),
где тК.п (т. е. m en'). В случае индукции с параметром
значение ф(я', а) может зависеть от всех значений ф(т, а), где
т-*Сп'\ или даже от всех значений ф(т, 6), где бе Л и т^Сп'.
Таким образом, мы приходим к следующим схемам определений
по индукции:
c) ф(0) = г, <р (л') = Л (ф U', л),
d) ф(0, a) = g(a), <р(л', а) = #(ф|„'хл, л, а).
В схеме (с) -г е Z и Ag ZcxiV, где С — множество
конечных последовательностей с членами из Z. В схеме (d) geZA
и Н ^ ZTxNXA, где Г—множество функций со значениями в Z
и областью определения в NxA 1).
Примеры определений по индукции
Пример 1. Функция т + п:
т + 0 = m, m + л' = {т + п)\
Это определение попадает под схему (Ь), где Z=A = N, g(a) =
*= а и /(р, я, а) = р'.
') Схему (с) можно еще обобщить, полагая, что функция h определена
«е на всем множестве CXN, а только на множестве пар вида (с, л), где
се Zn. Аналогично можно обобщить схему (d). Однако такие обобщения не
играют большой роли.

100 Г л III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
Пример 2. Функция (
0\ /п'\ (п
2Го^2|-и + л.
Это определение попадает под схему (а), где Z = N, z = Q,
е(р,п) = р + п.
Пример 3. Пусть в схеме (b) Z = A=Xxy g(a) = Ix и
f(u, n, a)= и о а. Тогда
ф(0, a) = IXi ф(/г', а) = ф(/г, а) о а.
Функцию ф(п, а) будем обозначать ап и называть п-й
итерацией функции а. Таким образом, а°(х)=х, ап'(х) = ап(а(х)),
где xgI.ag Xх, п <= N.
Пример 4. Пусть А = Л^, и пусть в схеме (b) g(a) = а0
и f{u, n, а) = и + аП'. Тогда
Ф (0, а) = а0, ф (п', а) = ф (п, а) + аП'.
Функция ф, определенная по такой схеме, обозначается
п п
2 at. Аналогично определяется Ц аь max a£ и т. п.
Очевидно, что схема (d) наиболее общая из всех
упомянутых здесь схем. Это означает, что при подходящем выборе
функций g и Н можно получить из (d) любую из схем (а) — (с).
Например, возьмем в качестве Н функцию, определенную
равенством
Н (с, я, а) = / (с (я, а), я, а) для аеД п<= N, с <= ZNxA;
получим из (d) схему (Ь).
Покажем теперь, что схему (d) в свою очередь можно свести
к схеме (а). Пусть g и Н — функции, принадлежащие
соответственно ZA и zTxNxAy и пусть ф — функция, удовлетворяющая
схеме (d). Покажем, что последовательность Чг, заданную
формулой хРл = ф1л/ху4» можно определить схемой (а).
Очевидно, что Wn e T для каждого п. Первый член
последовательности Ч* равен ф|о'хд> т- е- множеству
z* = {«0, a), g(a)): ае=Л}.
Связь между Wn и vPn' задается формулой
%.'=^и<р1(„,)хл,
причем второе слагаемое равно
(««',«>, <р(л', a)): a <= А} = {<(«', а), Я(^л, п> а)>: as Л}.

§ 2. Определения по индукции
101
Отсюда видно, что последовательность W можно определить
схемой (а), заменяя в этой схеме Z на Г, элемент z
множеством z* и полагая
е (с, п) = с U {((п'9 а), Н (с, п, а)): а е А} для сеГ.
Теперь докажем существование и единственность функции,
удовлетворяющей равенствам (а). Такая теорема позволит нам
пользоваться определениями по индукции по схеме (а).
Согласно сделанному выше замечанию, отсюда будет следовать
существование функций, удовлетворяющих равенствам (Ь), (с)
и (d). Единственность этих функций доказывается так же, как
и для схемы (а), и в дальнейшем мы будем пользоваться
определениями по индукции по любой из схем (а) — (d).
Теорема 1. Если Z — произвольное множество, z^Z и
е е ZzxN> то существует одна и только одна
последовательность ф, удовлетворяющая равенствам (а).
Доказательство. Единственность. Пусть
равенствам (а) удовлетворяют две последовательности ф1 и ф2.
Рассмотрим множество К = {п: ф1(м) =ф2(п)}. Из (а) следует, что
множество К индуктивно, поэтому N cz К и ф4 = ф2.
Существование. Пусть Ф(г, я, /) — высказывательная
функция e(zyn)=t, а ^(п,^,/7)—высказывательная функция
(F есть функция) Л (£>л (F) = /г') Л (F (0) = z) Л
Л Д <D(F(m), m, F(m')).
Другими словами, F — функция, определенная на множестве
чисел Ог, для которой ^(О) = z и F(mr) = e(F(m)y m) для всех
m < п.
Докажем по индукции, что существует единственная функция
Fn, удовлетворяющая W(nyzy Fn). Единственность доказывается
так же, как единственность последовательности ф. Докажем
существование функции Fn. Для п = 0 достаточно взять в
качестве Fn множество {(0, z)}. Если n^N и Fn удовлетворяет
ЧЧ/г, г, ^п), то jFV = FnU{<i', e(Fn(n)y n))} удовлетворяет1
4(n',z,Fn>).
В качестве ф возьмем множество таких пар (я, s), что /igJV,
Vrn*,*, z7) Л (s = f (*))].
F
Так как Т7 — единственная функция, удовлетворяющая Т (ft, z, T7),
то ф будет функцией. Для п = 0 имеем ф(0) —Fq(Q) — г. Если

102 Гл. 111. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
neJV, то ф(п') = Fn>(n') = e(Fn{ti)> n) по определению
функции Fnj откуда ф(п,)^= е(у(п),п). Теорема 1 доказана.
Часто определяются по индукции не одна, а одновременно
несколько функций (со значениями из одного и того же
.множества Z), например
Ф(0) = г, г|)(0) = /,
Ф (л') = / (ф (п), -ф (л), /г), ф (я') = g (ф (/г), -ф (/г), /г),
где z,*<=Z, f,ge=Z*xz><".
Такое определение также сводится к предыдущим.
Достаточно заметить, что для последовательности 6П = (фп> 'фп)
справедливы формулы
90 = (г, /), 9«' = е(9Л, /г),
где е(и, я) = (f (Я(и). Ци), /г), g(/C(w), 1(и). и)), а К и L-та-
кие функции, что К({х,у)) =х и L({xty)) =y для х, y^Z.
Таким образом, функция в определена индуктивно по схеме (а).
Определим теперь функции ф и -ф равенствами
Ф(п)-К(вя) и 1Кл) = 1(ея).
Теорему об определениях по индукции можно обобщить на
случай операций. Ограничимся только одним частным случаем.
Пусть Ф — такая высказывательная функция, что
Л Л V Ф (г, п, /),
г n<=N t
Л Л А [Ф(г, nt t{) ЛФ(г, п, tj^t^tz].
z ns=N tu U
Теорема 21). Для любого множества S существует одна
и только одна такая последовательность ф, что
Фо=5 и Л Ф(фл, я, Ф*')-
пе=ЛГ
Доказательство. Единственность доказывается так же,,
как в теореме 1.
Для доказательства существования ф рассмотрим высказы-
вательную функцию ^(n, SfF)
(F есть функция) Л фл (F) = п') Л (F (0) = S) Л
Л Д <I>{F{m), m, F (m')).
tn^n
]) Теорема 2 является схемой: для каждой высказывательной функции
получаем отдельную теорему.

§ 3. Отображение множества N X N на N и другие 103
Как и в теореме 1, легко показать, что существует
единственная функция Fnj удовлетворяющая 4я* (n, S, Fn). Чтобы и
дальше следовать схеме доказательства теоремы 1, мы должны быть
уверены, что существует множество, содержащее все элементы
вида Fn(n), где п е N. В случае теоремы 1 таким множеством
было Z, потому что область определения высказывательной
функции Ф, которую мы тогда рассматривали, была ограничена
множеством Z (по последней переменной). Сейчас мы докажем
существование требуемого множества Z с помощью аксиомы
замены VII.
Из единственности функции Fn следует, что высказыватель-
ная функция
Vpr(n, S, F)A(y = F(n))]
F
удовлетворяет условиям аксиомы VII. Поэтому, согласно
аксиоме VII, существует образ множества N, полученный при помощи
этой высказывательной функции. Это и будет требуемое
множество Z, содержащее все элементы вида Fn(n).
Дальше доказательство проводится так же, как в теореме 1.
Пример. Пусть <D(S, t)—высказывательная функция
t = 2s. Для произвольного множества S существует такая
последовательность ф, что фо = S и фп' = 2Ф" для каждого
натурального п.
§ 3. Отображение множества NxN на N
и связанные с ним отображения
Определим по индукции несколько важных отображений,
которыми в дальнейшем будем часто пользоваться.
1. Отображение множества N X N на N. Положим
для х, у еЛ/
( х + у+ 1\
/(*,#) = ( 2 J + x.
Теорема 1. Функция J взаимно однозначно отображает
множество N X N на N.
Доказательство. Пусть / (х, у) = / (а, Ь). Покажем
сначала, что х=а. Если бы было х>а, т. е. х = а + гу г>0,
то мы имели бы
(а + г + у+\\ (а + Ь+\\
{ 2 ;+*+'-( 2 h (1)

104 Гл. III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
откуда следовало бы, что Ь > г + у, так как ( о ) ~~
возрастающая функция. Значит, Ь = г + у + s, где 5 > 0. Подставив в (1)
и обозначив с = а + г + у+ 1, мы получили бы
с\ I с + s
Но это невозможно, так как а + г < с, и, значит,
{^ + a + r<i^ + c-{C+2l)<{CV\
Аналогично доказывается, что не может быть х < а. Значит,,
х = а, и тогда
' а + «/ + 1 \ / а + 6 + 1'
2 ) = [ 2
Предположение у < Ьу т. е. b = у + t, t > 0, ведет к
противоречию
а+6+1\ /а + */ + 2\ /а + у+\
Аналогично сводим к противоречию предположение у>Ь. Итак,,
взаимная однозначность функции / доказана.
Покажем теперь, что .множество Z значений функции /
совпадает с N. Из равенств /(0,0) =0 и /(0, 1) = 1 следует, что
0, IgZ. Пусть neZ. Это значит, что существуют jcgA/ и
y^N, для которых n = J(x,y). Если у > 0, то
'х + у+ 1
Если у = 0, то
п+ ! = /(*, j/)+ 1=1 2 ) + *+ ! = /(*+ 1, у- l)sZ.
/l+,e(2) + x + 1-(X21)+L
Для л: > 0 это выражение можно переписать в виде
1+ (*-!)+1"
+ 1 = /(1, jc — 1),
и, значит, снова п+IgZ. Наконец, если х = у = 0, то п = 0
и п + 1 = 1, так что и здесь п -f lsZ. Теорема 1 доказана.

§ 3. Отображение множества N х N на N и другие 105
Теорема 2. Существуют функции Л, L, отображающие N
на N, для которых J(K(x), L(x)) = x. Эти функции
удовлетворяют неравенствам
К{х)<х, LUX*. (2)
Доказательство. Существование функций К и L
следует из теоремы 7 (стр. 80), а неравенства (2) выполняются,
так как х •< / (х, у), у ^С J (x, у).
Замечание. Интуитивный смысл функций /, /(, L
становится ясным, если расположить пары {ху у) натуральных чисел
в бесконечную таблицу
(0, 0) (0, 1) (0, 2) ...
(1,0) (1,1) 0,2) ... (3)
(2, 0) (2, 1) (2, 2) ...
а затем упорядочить их в последовательность
(0, 0), (0, 1), (1, 0>, (0, 2), (1, 1), (2, 0>, ... . (4)
Пара {х,у) стоит в этой последовательности на месте J(x,y).
Пара, стоящая на месте п, встречается в таблице (3) в строке
с номером К(п)+ 1 и столбце с номером L(n)+ 1.
2. Отображение множества Nn+l на N. Определим
по индукции последовательность взаимно однозначных функций
так, чтобы k-я функция в этой последовательности,
обозначаемая Tk> взаимно однозначно отображала множество Nk+l на
N. Отождествляя каждую одночленную последовательность с ее
единственным членом, положим
т0 (х) = х для х е N,
4+i(e) = J(4(e\k),ek+l) для ^№+2,
Теорема 3. Функция xh взаимно однозначно отображает
#*+» на N.
Доказательство. Для k = 0 теорема очевидна.
Предположим, что она верна для k. Если e^Nh+2y то e\k'^Nk+x, откуда
4k{e\h') ^ N и по определению xk+i(e) 1= N. Это означает, что
функция т/г+1 отображает Nk+l в N. Взаимная однозначность
функции Tfc+i следует из импликаций
[т4+1 (е) = xft+1 (*')] - [М* W = Ч (е' W) Л (ek+l = eJ+I)] -
-*[(« t = «* W Л («4+1 = <+,)]-► (««О-

106 Г л 111. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
Осталось доказать, что для каждого п существует такая
последовательность е£№+2, что Th{e) = п. По предположению
индукции существует такая последовательность / е Nk+l, что
тл(/) = К(п). Искомой последовательностью е будет
последовательность, у которой первые k + 1 члены совпадают с /, а
последним членом является L(n). Действительно, для такой
последовательности е
tft+1 (е) = / (xk(f), L(n)) = J{K(n), L (n)) = п.
3. Отображение .множества всех конечных по-
следовательностей натуральных чисел на N.
Обозначим для е ^ Nh+l
e0{e)=J{k,Tk{e)).
Эта функция взаимно однозначно отображает множество
всех непустых конечных последовательностей натуральных
чисел на множество N. Отсюда легко получается
Теорема 4. Существует функция а, отображающая
взаимно однозначно множество S всех конечных последовательностей
натуральных чисел на множество N и удовлетворяющая
условию а(0) = 0.
Достаточно для непустых последовательностей е положить
о{е) = 1 + о0(е) и сг(0) = 0.
4. Отображение множества Nn+l X 7Vn+I н a Nn+{ и
NN х pjN H a ]\jNt Пусть п — натуральное число. Положим для
е, f ее Nn+l
J'{e9f)= F [J{ek,fh)],
К'{е)= F [K(ek)], L'(e)= F [L(ek)].
Таким образом, если е и / — последовательности длины п + I
с членами ek и fk соответственно, k^Cn, то J'(e,f)
—последовательность длины п+ 1 с членами J(eh,fk), k^n, a K'{e) и
L'(e) —последовательности с членами K(ek) и L(ek), k^n.
Аналогичные определения принимаем и для бесконечных
последовательностей натуральных чисел. Пусть ф, г|) ^ NN.
Положим
Г(ф,г|))= F [/(ер*,!)*)],
kezN
Г(Ф)= F [КШ), Г(Ф)= F [£(Фк)].
Таким образом, /*(ф, г|>)—бесконечная последовательность,
у которой k-и член равен 1(щ, tyh), а /С*(ср) и £*(ф) — бесконеч-

§ 4. Конечные и бесконечные множества
107
ные последовательности, й-е члены которых соответственно
равны К(щ) и L(cpfc).
Теорема 5. Сужение функции У на множество Nn+l X ЛГп+1
взаимно однозначно отображает это множество на Nn+l.
Функция /* взаимно однозначно отображает множество NN X NN
на NN.
Теорема 6. Для любого е е= Nn+l и любого ср ^ Л^
У (К' (е), U (е) ) = е, У (Г (ф), V (ф) ) = ф.
Доказательства этих теорем оставляем читателю.
5. Отображение множества Л^на GvT. Полож им
для k ^ N и фе/
Ф(*> = F [Фу (*.«)],
т. е. ф(*) — последовательность ф^,о), Фль, i)> ф/(/ь,2), ••• •
Теорема 7. Функция М: ф-> F [ф(*>] (ставящая в соответ-
ствие последовательности ф последовательность ф<°\ ф*1), ф<2>, ...)
взаимно однозначно отображает множество NN на множество
(NN)N.
Доказательство. Очевидно, что Л1(ф) ^ (NN)N для
каждого ф е jV^. Функция Л1 взаимно однозначна, так как из
равенства M(q>) = M(ty) следует, что ф^ = г|)^ для каждого
натурального k. Тогда уди, m) = tyj(ktm) для любых k и m. В частности,
для k = К(п) и m = L(n) имеем фп = г|)п для всех п. Наконец,
каждый элемент множества (NN)N или, другими словами,
каждую бесконечную последовательность t, членами 4 которой
являются элементы множества NN (k — произвольное
натуральное число), можно представить в виде М(ф) при надлежащем
выборе ф. В самом деле, если ф задать равенством фп ==
= tKi:n)(L(n)), то ф(*) будет последовательностью с n-м членом
iK{j{k1n))(L{l(k,n))) = th(n), т. е. ф<*) = tk для всех k.
Следовательно. М (ф) = t.
§ 4. Конечные и бесконечные множества
Понятия, введенные в § 1 и 2, позволяют вывести из аксиом
теории «множеств основные свойства конечных и бесконечных
множеств.
Определение. Говорят, что множество X имеет п
элементов (n^N), и пишут 1^1 = п, если существует
последовательность с п попарно различными членами и множеством значе-

108 Г л. 111. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
ний X. (Она называется взаимно однозначной
последовательностью с п членами.)
Множество X называется конечным, если \Х\ = п для
некоторого п (= N\ в противном случае оно называется бесконечным
Множество X имеет 0 элементов тогда и только тогда, когда
\Х\ = 0, так как единственной последовательностью с 0 членами
является пустая последовательность.
Для каждого р ^ N множество р имеет р элементов.
Действительно, функция /р, заданная формулой 1р(х) = к для
каждого х ^ р, является, согласно определению
последовательности, последовательностью с р попарно различными членами и
множеством значений р.
Теорема 1. Если функция f взаимно однозначно
отображает множество X на У, то условия \ X \ = п и \ У \ = п
эквивалентны.
Доказательство. Если е — последовательность с п
попарно различными членами и множеством значений X, то
fog — последовательность с п попарно различными членами
(см. стр. 78) и множеством значений У.
Лемма. Если f — взаимно однозначная функция, Ол(1) =
= X\J{a}, Du(f)= Y[){b} и а(£Х, b(£Yt то существует такая
взаимно однозначная функция g с множеством значений У, что
Доказательство. Пусть f(a)=au fc(b) = &ь Еслв
at = 6, то &i = а и функция f взаимно однозначно отображает X
на У, поэтому достаточно взять g = f\x.
Если ах ф Ь, то ах е У и аналогично Ь\ ^ X. Легко проверить,
что функция g, заданная равенствами
g(x) = f(x), если хфЬи и g(bx) = au
удовлетворяет лемме.
Теорема 2. Пусть п е N. Следующие условия
эквивалентны:
I. \Х\ = п'.
II. Существуют множество ХхаХ и элемент ахфХ\, для
которых \Х\ | = п и X = Х\ U {а\}.
III. ХФО и, если для множества Х2 и элемента а2, не
принадлежащего ему, X = Х2 U {а2}, то \Х2\ = п.
Доказательство. 1-^11. Пусть е — последовательность
с п' попарно различными членами и множеством значений JL
Взяв а = еп и Xi = X — {а}, получим условие II.

§ 4. Конечные и бесконечные множества
109
II —► III. Условие X ф 0 непосредственно следует из II.
Обозначим через Х{ и а4 множество и элемент, удовлетворяющие
условию II. Тогда Х2 U {а2} = Xi U {aj и, значит, существует
взаимно однозначная функция, отображающая Xi U {а{} на
Х2 U {а2}.
Согласно лемме, существует функция g, взаимно однозначно
отображающая Х{ на Х2; следовательно, |J2| = n в силу
теоремы 1.
111-^1. Пусть а— произвольный элемент множества X и
Xi = X — {а}. Согласно условию III, \Xi\ =n и, значит, Xi —
множество значений некоторой последовательности е с п
попарно различными членами. Последовательность е' с п' членами,
заданная равенствами е' =е для р^п, е'п = а, и.меет попарно
различные члены, а множеством значений ее является X.
Следовательно, |Л"| = п'.
Теорема 3. Если \Х\ = my \ Y \ = пу то m^C n тогда и
только тогда, когда существует такое множество Y\ cz У, что X
является его взаимно однозначным образом.
Доказательство. Если т^Спу то mczn. Пусть У—
множество значений последовательности е с п попарно
различными членами, а X — множество значений последовательности
f с т попарно различными членами. Тогда функция eofc
взаимно однозначна и отображает X на некоторое
подмножество множества У (так как /с {X) = т cz n).
Обратно, предположим, что существуют множество Yx cz У и
взаимно однозначная функция /, отображающая У4 на X.
Доказательство проведем индукцией по п. Если п = 0, то У = 0,
поэтому Yi = X = 0 и, значит, т = 0 и т^Сп. Пусть т^Сп для
некоторого ne N, и пусть |У| = п'. Тогда У= У2 U {а}, где
|У2|=п и а^У2. Так как Х=Р(УХ), то /*(Х) =Л (ЪП Yx) U
и/ЧМПУО. Множество {a} (]Y\ или пусто или равно {а}. В
первом случае будет \Y2f]Y\=m. Тогда поскольку Y2(\Y{cziY x и
\Y\\ = m, можно применить индукцию и получить m-*С
назначит, т < я'. Во втором случае в силу теоремы 2 т = р', где
р = |У2ПУ1|. По предположению индукции р^Сп, откуда т =
= р' 4?L п\ и теорема доказана.
Теорема 4. Если \Х\ = т, \Y\=n и Xf]Y = 0, то
\Х U У| = яг+ п.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Для лг = 0
будет У = 0 и, значит, теорема верна. Пусть теорема верна для
некоторого числа п, и пусть \Y\ = п!. Тогда У = Yi U {а}, где
«^Уь и потому X[)Y=(X[)Yi)[){a}9 где fl^(XUKi). По

110 Гл. III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
предположению индукции тогда |Л" U Yi\ = m + п. И теоремы 2
следует, что \Х U Y\ U {а}\ = {пг + п)'. Так как по определению
суммы (см. стр. 99) (пг + п)' = m + п', то теорема доказана.
Следствие 5. Семейство всех конечных подмножеств про-
извольного множества U образует идеал.
Действительно, подмножество конечного множества конечно
по теореме 3, а сумма конечных множеств конечна по теоремам
Зи4.
Теоре.ма 6. Если \Х\ = пг, \Y\ = n, то множество X
является взаимно однозначным образом множества Y тогда и
только тогда, когда пг = п.
Доказательство. Если пг = п, то очевидно, что X —
взаимно однозначный образ множества У, так как существуют
последовательности с п попарно различными членами,
отображающие множество п соответственно на А' и У.
Обратно, пусть X — взаимно однозначный образ множества
У. Тогда пг — взаимно однозначный образ множества п.
Докажем по индукции, что пг = п.
Для п = 0 теорема верна. Пусть она верна для некоторого /г,
и пусть m — взаимно однозначный образ .множества я'.
Поскольку пг ф 0, положим пг = р\ Так как р' = р U {р} и /г' =
«= п[){п}у то, согласно лемме на стр. 108, р является взаимно
однозначным образом множества п и, значит, согласно
предположению индукции, р = п, откуда m = р' = п'у и теорема
доказана.
Следствие 7 (принцип Дирихле). Если \Х\ = т,
| У | = /г, пг> п} то функция f, для которой fl (X) = У, не
взаимно однозначна.
Дирихле формулировал это утверждение так:
Если m предметов разместить в п ящиках, пг> п, то хотя бы
один ящик будет содержать не менее двух предметов.
Очевидно, что наша функция / и есть как раз та функция,
которая ставит в соответствие каждому предмету ящик, в
который помещен этот предмет.
Из доказанных теорем выведем теперь следствия для
бесконечных множеств.
Теорема 8. Если X бесконечно и XczYy то и У
бесконечно.
Это непосредственно следует из теоремы 3.

§ 4. Конечные и бесконечные множества
111
Теорема 9. Если X бесконечно, a У конечно, то разность
X — У бесконечна.
Это следует из теоремы 4.
Теорема 10. Множество N бесконечно.
Доказательство. Докажем методом от противного.
Предположим, что \N\ = п, где п е N. Так как nf с: N, то в силу
георемы 3 множество п' имеет m элементов, где m — такой
элемент множества /V, что гп^Сп. Так как |р| = р для каждого
/?еЛ', то п'^п, что противоречит (4) на стр. 97.
Следствие 11. Множество значений бесконечной
последовательности с попарно различными членами бесконечно.
Действительно, такое множество является взаимно
однозначным образом множества N. Если бы оно было конечным, то по
теореме 1 и N было бы конечным.
Из этого следствия и теоремы 8 вытекает
Теорема 12. Множество, содержащее в качестве
подмножества множество значений бесконечной последовательности
с попарно различными членами, бесконечно.
Множество, удовлетворяющее условиям теоремы 12,
называется бесконечным в смысле Дедекинда1). Таким образом,
теорему 12 можно сформулировать так:
Множество, бесконечное в смысле Дедекинда, бесконечно.
Обратная теорема также верна, но для ее доказательства
требуется аксиома выбора.
°Теорема 13. Бесконечное множество бесконечно в смысле
Дедекинда.
Доказательство. Пусть X — бесконечное множество и
f — функция выбора для семейства 2х — {0}. Продолжим /,
полагая /(0)=jc, где х—произвольный фиксированный элемент
множества X. Таким образом, / ставит в соответствие каждому
подмножеству множества X элемент множества X и f(Y)^Y,
если У Ф 0.
Определим теперь по индукции последовательности
А е= (2*)" и ае=Х*:
а0 = х, Л = {*},
ап> = f(X — Ап), An' = AnU {an>}.
l) Дедекинд первым указал на необходимость определения понятий
конечности и бесконечности. Определение, предложенное им в книге [1],
эквивалентно нашему.

112 Гл. 111. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
Легко доказать по индукции, что любое множество Ап
конечно и AmczAn для т^Сп. Отсюда следует, что X — АпФО
и, значит, ctn'^X — Ап и ап^Ап для каждого п е N. В
последовательности а все члены попарно различны. В самом деле,
если k < /, то ah е /Ц, но а}^ Ak, так как, полагая / = п\
получаем Ak а Ап и а. = ап,^Х — АпаX — Ak. Поэтому а^ ф ak.
Множество X поэтому бесконечно в смысле Дедекинда, ибо оно
содержит подмножество {ап: п <= N), которое является
множеством значений бесконечной последовательности с попарно
различными членами.
У пражнения
1. Если /gXy, Y — бесконечное множество, а X — конечное, то по
крайней мере одно множество уровня функции / бесконечно (принцип Дирихле
для бесконечных множеств).
2. Если \Х\ = т и |У| = л, то \ХхУ\=-т-п и \XY\ = m».
3. Если \Xi\ = tii для /=1, 2, 3; \Xj (] Xh\ = njk для j,k=\t 2, 3, j¥=k и
|^1П^2П^з1=Я123, ТО
I Xi U X2 U ^3 | = П\ + ^2 + П3 - П12 - П2Ъ — «31 + «123-
Обобощить эту формулу на случай произвольного (конечного) числа
множеств.
4. Доказать, что множество XczN бесконечно тогда и только тогда, когда
Д \у (т<х).
т х^Х
§ 5. Теорема Д. Кёнига
Пусть Л, В — множества, В а А и / ^ Ав. Конечная
последовательность с <= Ап (бесконечная последовательность с <= AN)
называется ветвью длины п (бесконечной ветвью), если ст =
= f(cm,) и ст, ^ В лля каждого т' ^ п (для каждого m'^N)^
Элемент с0 (не обязательно принадлежащий В) называется
начальной вершиной ветви.
Если с — ветвь длины п (бесконечная ветвь) и т^п
(т ^ N), то с | т — ветвь длины т.
°Теорема 1 (Д. Кёниг [1]). Пусть все множества уровня
функции f конечны. Если х ^А и для каждого п ^ N существует
ветвь длины п с начальной вершиной х, то существует по
крайней мере одна бесконечная ветвь с начальной вершиной х.
Доказательство. Обозначим через К множество таких
элементов и <= Ау что для каждого п ^ N существует ветвь
длины п с начальной вершиной х. Очевидно, что х ^ К.
Лем.ма. Если и е /С, то f~l ({и}) П К ч= 0.
Действительно, предположим обратное, т. е. что f~l({u})cz
с: А — /С, и будем считать конечное множество W = /_1 ({и})

§ 5. Теорема Д. Кёнига
113
множеством значений некоторой последовательности е длины т.
Тогда для каждого / <= т найдется такое число /ie]V, что не
существует ветви длины п с начальной вершиной е^
Наименьшее число п, обладающее этим свойством, обозначим через rij
и положим р =■ (max rij)'. Тогда щ е р для всех ] е т, и, зна-
/ е= т
чит, ни для одного элемента и множества уровня функции
f~l{{u}) нет ветви, имеющей длину р и начальную вершину v.
С другой стороны, из условия и ^ К следует, что существует
ветвь g, имеющая длиш/ р/ и начальную вершину и. Полагая
с. = gj, для / <= р', получаем ветвь длины р с начальной
вершиной gu что ведет к противоречию, так как gi^/_1({w}).
Теперь пусть ф — функция выбора для семейства непустых
множеств вида ДП/_1({г/}), и <= Л. Дополним область
определения функции ф, полагая ф(0) = х. Тогда ф ставит в
соответствие каждому множеству вида /_1({"}) П /С элемент
множества А. Определим по индукции последовательность с:
*o-*.<v=<p(/-'(K})nK)-
Покажем, что для каждого п е N
Сп>^Г1({сп})Г\К. (1)
Действительно, для п = О имеем с0 = я, значит, с0 ^ /С и,
согласно лемме, /-1({й)}) П Д =£ 0. Следовательно, по
определению функции выбора с0> ^ f~x ({с0}) П Д. Если утверждение (1)
верно для какого-то n^N, то по лемме f"1 ({<v})fl K¥=0 и,
значит,
с* = Ф (Г1 (Ы) П Д) е Г1 М П /С.
Таким образом, утверждение (1) доказано. Из него следует,
что f(cn') = cn,T. е. с — бесконечная ветвь с начальной
вершиной х.
Мы использовали здесь факт существования функции
выбора (см. стр. 81), т. е. мы пользовались аксиомой выбора.
Отметим, кстати, что мы использовали не саму аксиому выбора,
а только один ее частный случай, утверждающий существование
функции выбора для произвольного семейства конечных
множеств. Анализ приведенного доказательства показывает, ч-то
достаточно принять существование функции выбора лишь для
счетных семейств конечных множеств.
Можно доказать, что полностью устранить аксиому выбора
из доказательства теоремы Кёнига невозможно, т. е. что эта
теорема не следует из системы аксиом 2.

114 Гл. 111. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
# Пример. Пусть / — замкнутый интервал [О, 1] =
= {х: О •< х К 1}, и пусть
/,.„ = {*: //2"<х<(/+1)/2я} для /<2Я, n*=N.
Пусть G — такое семейство открытых интервалов, что
S(G) = l. Говорят, что G покрывает интервал /j,n, если
существует такой интервал D ^ G, что l^ n a D.
Теорема 2. Существует такое число п, что G покрывает
все интервалы Ijin для /= 1, 2, ..., 2П — 1.
Доказательство. Пусть А—семейство всех
интервалов Ijin, а В — семейство тех интервалов /j,, п+ь n^N, которые
не покрываются G. Пусть f(Ij,n+\) — тот интервал Ik, n,
который содержит /j, n+i. Тогда определена функция,
принадлежащая Аву причем множества ее уровня конечны. Для
доказательства теоремы достаточно показать, что существует такое число
п, что ни одна из ветвей с начальной вершиной / не имеет
длины п.
Предположим обратное. Тогда по теореме Кёнига
существует бесконечная ветвь, т. е. такая последовательность
интервалов // п, что каждый следующий содержится в предыдущем
и ни один из них не покрывается G. Пусть х — общая точка всех
интервалов этой последовательности. Так как I = S(G), то в G
существует такой интервал Д что х ^ D. Отсюда легко следует,
что // , п <= D для некоторого п, и, значит, G покрывает //^ п >
что противоречит определению этого интервала, ф
Упражнения
1. Привести пример такой функции f e NN, чго для каждого и
существует ветвь длины п с начальной вершиной 0, но не существует бесконечной
ветви с начальной вершиной 0 (множества уровня в этом случае не могут
быть все конечными).
2. Если А — множество таких конечных последовательностей с членами
О или 1, что Д [с е А -> с \п е А], и если для каждого п в А существует
п
последовательность, содержащая по крайней мере п членов, то существует
такая бесконечная последовательность ф, что для каждого п сужение ср|п
принадлежит А.
Верно ли это для произвольного множества А последовательностей
натуральных чисел?
3. Пусть А — множество двуместных отношений с полем натуральных
чисел, A cz 2N x N> удовлетворяющее следующим двум условиям:
a) для каждого n^N существует в А отношение, поле которого
содержит п,
b) если R^ A H/iGAf, то R(] (n X п)^А.
Доказать, что существует такое отношение /?0 с полем N, что Rof[(n х я) еЛ
для каждого ле N.

$ 6. Графы. Теорема Рам се я
115
4. (Кёниг) Если человечество будет существовать вечно, то по крайней
мере один из живущих в настоящее время мужчин будет иметь в каждом
поколении потомка мужского пола.
§ 6. Графы. Теорема Рамсея
Множество G, состоящее из неупорядоченных пар
различных элементов, называется графом. Множество S(G) называется
полем графа, его элементы — вершинами графа. Если
{a, b) ^ G, то пара {а, 6} называется ребром графа. Говорят
также, что вершины а и Ь в графе G связаны ребром. Такая
терминология объясняется геометрической интерпретацией
графа в случае, когда его поле состоит из конечного числа
линейно независимых точек пространства <%2. Эта геометрическая
интерпретация представляет собой ломаную линию, отрезки
которой (ребра) не имеют общих точек, за исключением вершин 1).
Графом является, например, множество всех пар {х, у), где
х, у е X и х ф у. Этот граф будем обозначать символом [Х\2 и
называть полным графом над полем X. Если G — граф над
полем X, то разность G' = [Х]2— G также является графом,
называемым дополнением графа G.
Граф Н называется подграфом графа G, если ЯсС
Изучение графов равносильно изучению симметричных
антирефлексивных отношений, т. е. отношений, для которых
xRy->yRx, xnonRx.
В самом деле, каждому графу G .можно поставить в
соответствие такое отношение, полагая RG = {{х, у) : {х, у} <= G}. И
обратно, каждое симметричное антирефлексивное отношение
определяет граф G = {{х, у}: [xRy]}, причем R = RG.
Теорема (Рамсе и). Если G — граф над бесконечным
полем, то или G или Gr содержит полный подграф над
бесконечным полем.
Доказательство. Пусть / — функция выбора для
2s(g> _ {о}. Положим
К (х) = {у: {х, у) «= G}, L (х) = {у: {х, у} е= G'}.
Тогда множество К{х) состоит из вершин, связанных ребром
сх в графе G, a L(x)—из вершин, связанных ребром с х
в графе G'.
1) Каждой вершине графа ставится в соответствие точка плоскости,
каждому ребру {а, Ь] — отрезок прямой с концами а и Ь. Никакие два ребра не
должны иметь общих точек, за исключением вершин. — Прим. перев.

116 Гл. III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
_Jf(7V), (К(ап-)ПАп, /0, если Та>¥*0,
ап'-\ а0, Ап'-\ О, ф"'-\ 1, если 7V=0.
Определим по индукции четыре последовательности:
7-e(2s<T, Ле(25(Т, a<=(S(G)f и Фе/.
А именно
Г0=Л = 5(С), fl0 = /(S(G)), ф0 = 0,
7V = {а:: (л: е ЛЛ) Л (множество К (*) П ^4« бесконечно)}.
/о,
ф"'=11,
Рассмотрим два случая.
Случай 1. <ptt/ = 0 (Эля всех n^N.
Можно доказать по индукции, что для всех п
ап>^Тп>, (1)
множество К (an) П Ап бесконечно, (2)
А, с:/С(МП А*, (3)
ГЯ'СЛЛ. (4)
Если & > / > 0, то из (3) следует, что Ah cz Ah-i a Ah а так как
ah ^ Ak-i—Ak (по (1) и (4)), то ak е А— >4fe. Поскольку
множество значений последовательности а бесконечно, полный граф,
полем которого является это множество, содержится в G, и
теорема доказана.
Случай 2. Существует такое /, что Фу, = 1. Обозначим
наименьшее такое число через /0. Так как Tj=£0 для /^/0>
то а/0еГ/0. Множество Л/г или равно 5(G) (если /0 = 0), или
имеет вид /C(a/0)f| Ao-i- В обоих случаях оно бесконечно:
в первом по условию, во втором, поскольку а/0^Г/0.
Определим по индукции последовательность В подмножеств
множества Aj0 и последовательность Ь элементов множества Л3-0;
B0=Ah, bo = f(B0),
L(bj)nBh jf(Bj), если В,Ф09
В/+'-\ 0, 6/+1"1 fl0> если Д, = 0.
Множества В^ образуют убывающую последовательность:
By <= В/для j ^ N. Докажем по индукции, что каждое множе
ство Bj бесконечно. Действительно, В0 бесконечно. Пусть
утверждение верно для некоторого j^N. Докажем, что множество
B;+i == L(bj) C\Bj также бесконечно. Если бы оно было конеч-

S б. Графы. Теоремй Рамсея
117
ным, то для каждого х е [Bj — L(bj)] — {bj} было бы {bhx)<=G,
а тогда множество К (by) П Bj и тем более К(Ь})0А1о было бы
бесконечным, откуда следовало бы, что bf^T.', вопреки тому,
что Т.* пусто.
Итак, каждое множество Bj бесконечно. Отсюда следует, что
bj^Bj для всех /. Если k > /, то bk^ Bhcz BjCZ L(bj), a no-'
тому {bk, bj} e G'. Беря в качестве У множество всех значений
последовательности Ь, получаем [У]2 cz G', и, таким образом,
теорема доказана, так как множество У бесконечно.
Пример. Пусть X cz N, и пусть G — множество таких
неупорядоченных пар {х, у], что х, у ^ X и числа х и у взаимна
просты. Применяя теорему Рамсея, получаем, что если X
бесконечно, то оно содержит либо такое бесконечное
подмножество У, что каждые два числа, принадлежащие У, взаимно
просты, либо такое бесконечное подмножество У7, что никакие два
числа, принадлежащие У, не взаимно просты.
Замечание 1. Наглядно теорему Рамсея можно
сформулировать следующим образом: если каждое из ребер полного
графа [Л]г, где X—бесконечное множество, выкрасить в один
из двух цветов, то X будет содержать такое бесконечное
множество У, что все ребра графа [У]2 будут выкрашены в один и
тот же цвет.
Замечание 2. Теорема Рамсея имеет свой аналог (также
принадлежащий Рамсею) для конечных множеств:
Для любого натурального числа п найдется такое
натуральное число q, что если множество X имеет не менее q элементов, то
для каждого графа G cz [X]2 существует такое подмножество
Ус: X, содержащее п элементов, что [Y]2cz G или [Y]2cz G'.
Другими словами, если G — граф над q-элементным полему
то или G или G' содержит полный подграф над п-элементным
полем.
Обобщения, приведенные ниже в упражнениях 1 и 2, также
имеют свои аналоги для конечных множеств 1).
Упражнения
1. (Рамсей) Если G — граф над бесконечным полем и G = G\ U •••U 0}tt
где Gi П Gj = 0 для 1ф\, то хотя бы один из графов G\ содержит полный
подграф над бесконечным полем (теорема о раскраске ребер полного графа
в k цветов).
') Теореме Рамсея посвящено огромное количество работ. См., например,.
Рамсей [1], Сколем [3], Радо [1], Эрдёш и Радо [1]. Последняя работа
содержит подробную библиографию этой темы.

118 ///. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества
2. Обобщить теорему Рамсея следующим образом: Если X — бесконечное
множество, [Х\п — семейство всех его подмножеств, содержащих в точности
п элементов, и [Х]„ = Мх [}М2 U. • • U Mkl где Mi f| M5 - 0 для i ф /, то
существует такое бесконечное подмножество Z с X, что [Z]n a Mj для
некоторого /.
3. Говорят, что граф G содержит треугольник, если существуют такие
три различных элемента я, Ь, с, что {а, Ь) е G, {Ь, с] е G и {а, с} е (3.
Доказать, что если X имеет не менее 6 элементов и G cz [X]2, то или G или G
содержит треугольник.
4. Пусть Af = II Aky причем множества Ak попарно не пересекаются.
k< р
Показать, что для любого натурального числа q существуют такая
бесконечно возрастающая последовательность ф натуральных чисел и такое число
n+q
j0 < р, что 2 Ф* е ^/о для кажД°Г0 п-

Глава IV
БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В этой главе, как и в предыдущих, мы берем за основу
систему аксиом 2°, причем теоремы, не помеченные знаком °, не
зависят от аксиомы выбора.
Цель настоящей главы — обобщить операции сложения,
умножения и декартова умножения на произвольные семейства
множеств.
§ 1. Бесконечные суммы и произведения
Пусть F — функция, значениями которой являются
подмножества некоторого фиксированного множества Sb\ а область ее
определения — непустое множество Т. Тогда F е (2Х)Т. Вместо
F(t) мы будем писать Ft.
Пусть W — множество значений функции F, т. е. семейство
множеств Fu когда t пробегает все Т. Сумму множеств
семейства W будем обозначать S(W), а произведение — P(W). Мы
будем использовать обозначения
S(W = \jFt и P(W) = f)Ft.
t t
Очевидно, что
xt=[}Ft=\/(x*=Ft), xs=f\Ft= /\{xe=Ft). (1)
t t t t
Если Т состоит только из одного элемента а, то
U Ft = Fa= f) Ft;
если же Т состоит из двух элементов а и 6, то
(J Ft = FaUF„ и П F, = Far\Fb.
te=T t<=T
Таким образом, рассматриваемые здесь понятия обобщают
понятия суммы и произведения множеств на случай
произвольного семейства слагаемых (сомножителей).

120
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Из (1) вытекают равенства
[){х. Ф{х,у)}=1х: \/Ф(х, у)),
У \ у \
f]{x: Ф(х,у)} = \х: /\Ф(х,у)),
У к у )
справедливые для каждой высказывательнои функции двух
переменных Ф(х,у) (с ограниченной областью определения).
В самом деле, полагая Fy = {х : Ф(х, у)}, получаем
Ф{г,у) = г<^{х\ 0{x,y)} = z<=Fyi
поэтому
*€={*: VO(x,j/)UV©(zfff)sV(ze^)s
( У ) У У
= zs=\jFu = zs=\J{x: Ф(х,у)}.
У У
Второе равенство в (2) доказывается аналогично.
Используя (1) и формулы, характеризующие кванторы, § I
гл. II, получаем следующие законы для обобщенных операций;
f)Ftc=Ftc=\jFt, (3)
t t
r\(Ft^Gt) = r\Ftr\f)Gt, (4)
t t t
IMUG,) = (JF,U(JG<. (5)
t t t
C\Ft\)(\Gt = (\(Ft[)Gs)^(\(Ft\}Gt), (6)
t t ts t
\J(FtOGt)cz\J(Ftr\Gs) = ljFtr\\jGt, (7)
t ts t t
-(T\Ft) = \J(-Ft), (8)
П(ли^)=лиЛ^- (ю)
t t
\J{A1)Ft)=A(][jFt, (11)
t t
|"AHczf,)]-^c(fV,jj, (12)
^Д(^с=ЛЛ->Г/у^сЛ1. (13)

<$ /. Бесконечные суммы и произведения
12*
В формулах (8) и (9) минус означает дополнение до
множества за'.
Все эти законы непосредственно следуют из
соответствующих законов § 1 гл. II. Докажем, например, закон де
Моргана (8):
t t
Здесь последовательно применяются формулы (2) стр. 16, (6)
стр. 55, (1) стр. 119.
Диаграмма, приведенная на стр. 58, позволяет получить
дополнительные законы для бесконечных операций. Для этого
достаточно знак импликации —► заменить знаком включения cz„
а функцию Ф заменить функцией двух переменных F,
значениями которой являются множества.
В частности, получаем следующую важную формулу:
Un^sc=niK (14)
t s s t
Вообще говоря, знак включения здесь нельзя заменить
обратным (см. стр. 58).
Теорема 1. Сумма (J Ft — единственное множество Sy
t
удовлетворяющее условиям
A(FtczS), (15)
t
/\{[/\(FtczX)]->(SczX)y (16)
Произведение f]Ft — единственное множество Р, удовлетво-
t
ряющее условиям
Л(РсЛ), (15')
t
л
X
{[A(*cF,)]->(*c=P)}. (160
Другими словами, сумма \jFt является наименьшим мно-
t
жеством, содержащим все множества Fu а произведение f] Ft
t
является наибольшим множеством, содержащимся в каждом из
Множеств F^

122
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Доказательство. Из (3)и (13) следует, что сумма (J Ft
t
удовлетворяет условиям (15) и (16). Если какое-то множество S
удовлетворяет этим условиям, то из (15) и (13) непосредственно
следует, что (Jf, c:S. Подставляя X = {jFt в (16) и исполь-
t t
зуя (3), получаем, что Scz[J/> Таким образом, S = \J Ft.
t t
Доказательство для произведения аналогично.
Теорема 2 (обобщенные законы
ассоциативности). Если Т= (J Яи, где И — функция с областью опре-
деления U, значениями которой являются множества (т. е.
Яе(2^), то
U Ft= U U ъ> (17>
Л Ft- Л Л Ff (18)
Доказательство. Полагая
5= (J F, и Sa= (J Ff,
записываем (17) в виде
S=[JSU. (19)
Имеем FfCzS для каждого t e T и, в частности, для
каждого t <= Ни, откуда по теореме 1 Su cz S.
Обратно, пусть XdSu для произвольного и е U. Для
каждого /еГ существует такое и ^ U, что / е Ям, откуда Su =э F*
и, значит, /Y =э F*. Так как это верно для любого ty то X =э S.
Применяя теорему 1, получаем (19).
Равенство (18) доказывается аналогично.
Теорема 3 (обобщенные законы
коммутативности). Если ф — перестановка множества 7\ то
1М=1К«)> C)Ft=nF<*
м-
ts=T
Доказательство. Пусть S = (J/*W). Если /еГ, то
t
£ = ф(фс(0), а так как SzDFq>{U) для произвольного и^Т, то,
в частности, Szd Ft для и = фс (£). Обратно, если X — такое

§ 1. Бесконечные суммы и произведения 12&
М
ТО
множество, что XiDFt для всех ^еГ, то XzDfy{th поскольку
ф(£)е=7\ Отсюда X =э S, а это и значит, что S —наименьшее
множество, содержащее все множества Ftt т. е. S = (J/r/.
t
Вторая формула доказывается аналогично.
Теорема 4 (обобщенные законы
дистрибутивности) {). Если
(J Ти и К=1ГеЕ2^: д (Y(]Tu¥*0)\,
Л U f<= U Л ^ 20>
U П ^= Л U F< (2i)
u^U t<=Tn Y^K t<=Y
Доказательство. Пусть Y^K и u^U. По
определению семейства /С множество У П Ги не пусто, т. е. существует
<оеУП 7V Согласно (3),
f) Ft с Л. cz (J F,.
fey / е- Гн
Так как это верно для любого u^U (но фиксированного У)г
то в силу теоремы 1
Л р*= Л U ^
t*=Y u^U t<=Tu
Так как У произвольно, то, согласно (3),
U Л Ъс Л U f< (22)
Для того чтобы доказать обратное включение, возьмем
aefl U F< (23)
Положим
Г = (^ е д|: а ее FJ. (24)
Если u^U, то, согласно (23), а е (J 7> Значит, суще-
ствует такое £ е Ти, что а <= Л. Поэтому /еУ, откуда У Л Ти Ф
1) См. Тарский [4].

124
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Ф 0. По определению К тогда Y ^ К. Из (24) следует, что
Л (a<=Ft), т. е. ае f| Ft и
iey fey
"^ U П Ff (25)
Уе/С fey
Таким образам, мы показали, что для произвольного а из
(23) следует (25), т. е. что
л и *<= и л/>
Это включение вместе с включением (22) и дают равенство (20).
Для доказательства (21) заменим в (20) Ft на S — Ft, где
Л U (s-Ft)= (J (](s~Pt).
Применяя законы де Моргана (8) и (9) и формулу
— (—Ft) = Ft, получаем (21).
Теперь обобщим формулы (1)—(4), § 8 гл. II,
характеризующие образы и прообразы конечных сумм и произведений, на
бесконечные суммУ и произведения.
Теорема 5. Пусть F е= (2*)г и f<=Yx. Тогда
fl(\jFt) = \Jfl(Ft), (26)
fl(f\F *)<=№№• (27)
Если функция f взаимно однозначна, то знак включения в
(27) можно заменить знаком равенства.
Доказательство. Из определения образа получаем
y^flffj Ft) = V If* e LI Ft) Л (У = f (х))] -
=*y[VUx<=Ft)A{y = f(x)))] =
=з\/ \\/ ({х& Ft) Л(у = Г(хЩ=\/ {у<=Р(Р*))=*у(=ЦР(Р*),
t L * it t
откуда следует равенство (26).

8 1. Бесконечные суммы и произведения
125
Аналогично с помощью (18), стр. 57, получаем
i/e/'(f|F() - у [(X^QFt) Л fo = К*>)] s
«s VAl(xsFM(? = /WF
->AV[(x<=Ft)A(y = f(x))]^
t X
=, A(y<=fi(Ft)) = y<=()r (Ft),
t t
откуда следует (27).
Если функция f взаимно однозначна, то, применяя (27) к
обратной функции fc и множествам fl(Ft), получаем
г1(П/'(^))<=Пг1(/1(^))=Л/7ь
откуда в силу (2), стр. 82,
r\fl(Ft)c=fl(n(Ft)y
Так как обратное включение (27) также выполняется, то
теорема 5 доказана.
Теорема 6. Если G с= (2Y)т и f<=Yx, то
rlffjGty\Jrl{Gt)9 (28)
rVnO/bflrW (29)
(ГК)=П
Доказательство. Из определения прообраза (см.
стр. 82) получаем
y(=rl(\jG?i^f(y)s=[jGt^\/[f(y)t=Gt}^
t t
y^r4f)Gt^f(y)^f)Gt^ /\[f(y)c=G,]-
^ A[yz=r\Gt)}^ye=()rl(Gt),
t t
откуда следуют утверждения теоремы.
Равенства (26) и (28) означают, что операции взятия образа
и прообраза аддитивны, а равенство (29)—что операция

126 Г л IV. Бесконечные суммы, произведения
взятия прообраза еще и мультипликативна. Операция взятия
образа мультипликативна лишь для взаимнооднозначных функций.
Рассмотрим несколько примеров. Пусть множество 1 будет
топологическим пространством (гл. I, § 8).
Пример 1. Если значения функции F — замкнутые
множества (гл. I, § 8, стр. 36), то произведение Р = f]Ft также зам-
t
кнуто.
Доказательство. Так как Р с: Fty то Pa Ft для
каждого t, откуда Pa Ftl поскольку Ft = Ft. Тогда Р czf]Ft= P,
t _
а так как и РаР (аксиома (3), гл. I, § 8, стр. 35), то Р = Р.
Пример 2. Если значения функции G — открытые
множества, то сумма S = (J Gt также открыта,
t
Доказательство. Множества 1 — Gt замкнуты,
поэтому и произведение P)(l — Gt) замкнуто. Согласно закону
t
де Моргана (9), множество 1 —S также замкнуто, а это значит,
что множество S открыто.
Пример 3. Если значения функции D — регулярно
замкнутые множества (гл. I, § 9, стр. 46), то множество S0 = [jDt
t
также регулярно замкнуто и содержит в качестве подмножеств
все множества Dt. Каждое регулярно замкнутое множество, со-
держащее в качестве подмножеств все множества D/, содержит
также и S0.
Доказательство. Очевидно, что SoZDDtl откуда
Int(S0)=> Int(D,) и
Int(S0)=Dlnt(D,)=D,. (I)
Так как / произвольно, то по теореме 1
IHtTSoJ=>(JD' и I^Sol^jjb^So.
t t
В то же время Int(S0)c: 50 и потому
Следовательно, S0=Int(S0), т. е. множество S0 регулярно
замкнуто. В силу (I) S0 содержит каждое множество Dt.
Если Z —регулярно замкнутое множество и Z гэ Dt Для
каждого t> то ZiD\jDt и тогда Z zdZ =э \jDt = S0.
t t

§ 1. Бесконечные суммы и произведения
127
Пример 4. Если значения функции D — регулярно
замкнутые множества, то множество Р0 = Int /Q Dt\ также
регулярно замкнуто и содержится в каждом из множеств Dt. Каждое
регулярно замкнутое множество, содержащееся в каждом из
множеств Du содержится также и в Р0.
Доказательство. Обозначим X = f]Dt. Тогда
t
P()=Int(X) = Zc-c-, поэтому Int(P0) = Xc-c-c-c-.
Применяя формулу (15), гл. I § 8, получаем
Ш(Ро) = Х=Р0.
Таким образом, Р0 регулярно замкнуто.
Так как ХаРи то Int(*)cz Int(D,) и Int(X) cz Int(D,),
т. е. Pocz lnt(Dt) = Dt для каждого t.
Наконец, если Z — регулярно замкнутое множество и Z a Dt
для каждого t, то Zczf]Dt. Поэтому Int (Z)cz Int (X) и Z =
t
= Int(Z)czInt(X) = P0.
Пример 5. В связи с теоремами, сформулированными в
примерах 1 и 2, можно определить топологическое пространство,
беря в качестве первичного понятия, вместо понятия замыкания,
понятие замкнутого множества или открытого множества.
А именно под топологическим пространством будем
понимать множество, в котором выделено некоторое семейство F
подмножеств, называемых замкнутыми множествами,
удовлетворяющих следующим двум условиям:
I. Если WczF, то P(W) ^F (т. е. произведение любого не-
пустого семейства замкнутых множеств замкнуто).
II. Если семейство W конечно и WczF, то S(W)^F (т. <?.
сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута).
Если в качестве первичного понятия взять понятие
открытого множества, то, обозначая через G семейство открытых
множеств, принимаем двойственные аксиомы:
Г. Если WczG, то S{W) gG.
IV. Если семейство W конечно и Wcz G, то P(W)^ G.
Система аксиом (I) — (II) эквивалентна системе (1)_—(4),
гл. I, стр. 35. Последняя выполняется, если определить А
формулой A = P(WA), где WA — семейство всех замкнутых
множеств, содержащих Л. Тогда (Л = А) = (A^F).

128
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Аналогичное замечание относится к системе аксиом
а')-(п').
Пример 6. Замкнутой базой топологического пространства
называют такое семейство RczF, что для каждого ЛеГ
существует непустое семейство W a R, для которого A =P(W).
Замкнутой подбазой называется каждое такое семейство
RczF, что семейство всех конечных сумм множеств из R
образует замкнутую базу.
Пример 7. Открытая база и открытая подбаза
определяются аналогично — заменой F на G, произведения на сумму
и суммы на произведение.
Упражнения
1. Пусть fG(2Y, f^ty* и & = \jFt. ПУСТЬ U = f\F .Доказать,
t t
что rl(Y) = \Jfr{W) для каждого Y аЯ/.
t
2. Доказать, что
(П^)Х(П0«)=П(/?<ХС?«>-
3. Пусть Т — произвольное множество и К d 2Г. Определим операцию
Одна функциях F^(2X)T формулой
х е= DK (F) = {t: x(= Ft} e= К.
Для каких К операция DK совпадает с определенными на стр. 119
операциями сложения и умножения?
4. Если /—идеал в 2Т и К = 2Т — /, то операция DK дистрибутивна
относительно конечного сложения, т. е.
Д (Ff - Gt U Ht) -> (DK (F) - DK (G) U DK (H) ).
5. Доказать, что семейство всех интервалов г < х < s, где г и 5 —
рациональные числа, образует открытую базу пространства t вещественных чисел.
Доказать, что бесконечные лучи вида {х : г < х] и {х : х < г} образуют
открытую подбазу этого пространства.
6. Пусть X — произвольное множество и R — произвольное семейство его
подмножеств. Доказать, что X можно рассматривать как топологическое
пространство с открытой (или замкнутой) подбазой Л.
7. Если X — топологическое пространство, a R — отношение
эквивалентности над полем X, то X/R также будет топологическим пространством, если

§ 2. Операции на бесконечных последовательностях множеств 129
принять, что множество UczX/R открыто в X/R тогда и только тогда, когда
сумма S(U)= (J Z открыта в X.
8. Доказать, что каноническое отображение X~>X/R непрерывно в
определенной в упражнении 7 фактортопологии.
§ 2. Операции на бесконечных
последовательностях множеств
Здесь мы рассмотрим один частный случай, когда область
определения функции F совпадает с N, т. е. функция F
представляет собой бесконечную последовательность множеств. По
аналогии с рядами и бесконечными произведениями
вещественных чисел будем писать
(JFW, или (J Fn, или FoU^iU ... вместо (J Fn\
п л=0 nt=N
оо
f\Fn, или f\ Fn9 или F0(]Fi(] ... вместо fl Fn.
п л=*0 ns=N
Из формул (2) § 1 непосредственно получаем
°° ( ОО |
[J{x: Ф(п,х)} = \х: V Щп,х)\,
f){x. Ф(п,х)} = \х: Д Ф(«,х)|,
п=0 I л=*0 J
(1)
где Ф(п, х)—высказывательная функция двух переменных,
причем множество значений первой переменной ограничено
множеством N, а второй — некоторым множеством X.
Кроме операций бесконечного сложения и умножения,
рассмотрим еще операции
Lim Fn — верхний предел последовательности F0, Fu ...,
rt->oo
Lim Fn —нижний предел последовательности FQl Fu ...,
П-»оо
определяемые равенствами
оо оо оо со
°™ F п = П U pn+k, Lim f„=Un Fn+k.

130
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Легко видеть, что элемент х принадлежит L\mFn тогда и
ГС->оо
только тогда, когда он принадлежит бесконечному числу
множеств Fny и принадлежит LimF„ тогда и только тогда, когда
/г-»оо
он принадлежит Fn для почти всех значений я, т. е. для всех,
кроме конечного числа.
Очевидно, что (см. (18), стр. 57)
Lim Fn cz Lim Fn> (2)
Если знак включения в (2) можно заменить знаком
равенства, т. е. если верхний и нижний пределы совпадают, то их
общее значение обозначают L\mFn и называют пределом по-
tt->oo
следовательности F0l Fu •. ., а саму последовательность
называют сходящейся.
Терминология эта аналогична терминологии, которой
пользуются в теории вещественных чисел. Чтобы подчеркнуть эту
аналогию, введем понятие характеристической функции данного
множества !).
Пусть дано .множество 1 иХс1. Характеристической
функцией множества X называется функция
( 1, если х е X,
№) = 10, если х<=\-Х. (3)
Легко видеть, что для сходимости последовательности
множеств Fo, Fiy ... (являющихся подмножествами данного
множества 1) необходимо и достаточно, чтобы последовательность
характеристических функций этих множеств сходилась к
характеристической функции множества Lim Fn.
П->оо
Понятие сходимости последовательности множеств
обнаруживает очень интересные аналоги с классическим понятием
сходимости числовых последовательностей, если симметрическую
разность — двух множеств рассматривать как модуль разности
двух чисел 2). Докажем, что условия
Um(Fn^A) = 0, (4)
UmFn=A (4')
/г-»оо
равносильны. В самом деле, условие (4) означает, что элемент*
принадлежит Fn—A не более чем для конечного числа значе-
1) См. Балле Пуссен [1].
2) См. Марчевский [1].

$ 2. Операции на бесконечных последовательностях множеств 131
ний п. Другими словами, для каждого х существует такое п0,
что из п > п0 следует
х ее Fn = х е= А. (5)
Пусть х ^ Lim Fn> т. е. х <= /*■„ для бесконечного числа зна-
/г->оо
чений п. Из (5) следует, что х ^ А и xgF„ для всех я > п0,
т. е. л: ^ Lim Frt. Таким образам, из (4) следует
UmFnczAczUmFn, (6)
откуда в силу (2) получаем (4/).
Обратно, если выполнено условие (6) и х <= Л, то х е= Lim Frt.
Значит, x^Fn для я > я0- Если же х^Л, то jc ^ Lim Fn и
тогда х ф Fn для п > п0. Таким образом, из (6) следует, что (5)
выполняется для каждого х и п > п0.
Докажем еще несколько более специальных правил,
относящихся к перестановке символов [^ и (J и замене двух подряд
идущих операций f] или \J одной такой операцией.
Пусть функция F определена на множестве N X N, функция
F' — на множестве NN X NN и F" — на множестве N X NNy
причем значениями этих функций являются множества. Будем
пользоваться символами, введенными на стр. 103—107.
UUf»'n = Ufif(pU (P)*> f)f)Fm n = f)FK(p)L <P>- (7)
m n р m n р
Докажем только первое из этих равенств. Второе
доказывается аналогично. Ясно, что Frm, l (p) <= (JLJfm, я, поэтомУ
m n
(J FK (р), L (р) с= (J (J Fщ, п. С другой стороны, если х е (J (J Fm, n>
р m n m n
то x^Fmtn для каких-то т, п, а тогда хе^(Ри(Рь где
р = j(m, n).
Справедлива также формула
DLK,^ U (Vm,<p(m). (8)
В самом деле, поэтому Р| "m, Ф(т) <>—
c;PHjFm>rt, откуда в силу произвольности ф
m n
и п^Ф^^пи^».»-
me=NN m m "

132
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Если х ^ Р) (J Fm> n, то для каждого т^ N существует
т п
такое /г, что х ^ Fmt n. Полагая ф (m) = min (x ^ Fm, n)9 получаем
п
x&r\Fm,4(m), следовательно х е (Jflfm чх»)-
m Ф m
Тем же методом, что и (7), можно доказать равенства
UUFф.*= U^^*<e>.l*<е>; Л П ^ *= Г)f'k*(0)>^*<«• (9)
ф ф 0 Ф ф 0
Далее
DUC-UnCw <°10>
m ф ф т
В самом деле, y(m)<==:N , поэтому ^ т> ^ (т)^ \J F m> r откуда
ф
П ^т, ф(т) ^ П U ^m, ф- Для доказательства обратного включе-
т т ф
ния возьмем ^^f^U^m,ф и положим Zm={q): x&F'mty}. Так
m ф
как Zm=^=0 для каждого m^N, то существует функция
выбора Л для семейства всех множеств Zm. Полагая h(Zm) = f{m)9
получаем, что / (т) ^ NN и х <= Z7™, f (m) для каждого т^ N.
Из теоремы 7 стр. 107 следует, что существует такая
последовательность ф ^ NN> что ф (т) = f (m) для каждого т^ N.
Тогда xgF^ ф(от) для каждого т^ N, т. е.
Х е I I *m. (p(/n)CUl] ^m, ф (тУ
т Ф т
Выведем теперь из (7) —(10) формулу
UnUn СФ, <р. т. п = L/П GK* (0),L* 0)(*<р)>, К (р), L (р)' И 0
ф m ф дг 0 р
которая нам пригодится в гл. X. Здесь G — функция
четырех переменных, определенная на декартовом произведении
NN X NN X N X N, а значениями ее являются множества.
Заменяя Fm,q> в равенстве (10) на Р|бф, ф, т, я (где *ф — про-
п
извольная, но фиксированная последовательность), получаем
П UR СФ, ф, т, п = U Л П °*. Ф (ш), т. «•
т ф п <р т п

§ 2. Операции на бесконечных последовательностях множеств 133
Таким образом, левая часть равенства (11) равна
ииППСФ,Ф(т),т,«- С помощью (7) и (9) получаем из этого
ф Ф m п
выражения правую часть равенства (11).
Упражнения
1. Доказать, что характеристическая функция (определенная
формулой (3)) обладает следующими свойствами:
а)М*)-0,
b) М*)-1,
c) /_*(*)-l-fx(*),
d) fAt]BW-fA(x)-fB(x)t
e) fA-B(x)-fA(x)-fA[\BW'
oo
2. Если F0 cz F, cz Fa <= «• •» то (J Frt« Lim Fn.
л-0
rt->oo
3. Если F0 => Л => ^2 =>..., то П ^"" Lim ^л*
4. Если Fo53 1» то
oo
\=(FQ-FX)\}(FX~F2)\)(F2-Fb)\} ... Uf)F«'
rt=»0
Если, кроме того, F0 zd Fx zd F2zd .. „ то
oo
(Л-^и^з-^Ш ... uflF^l-K^o-^OU^-^) U ...].
rt=*0
5». Если k\ <k2< ..., то
Lim fn cz Lim Ffe , Lim Fk cz Lim Z5^.
oo oo
6. Если f) Лп П П B„ = 0, то
n=\ n=l
oo oo
f)Ancz\JlAnn(Bn^-Bn)]t где Д0-1..
oo oo
7. (J An=\J Bn, где B,~i4i и B/i-Aj-tMiU ••• UAi-i) для /г>1
в, Если (J f] 5n, m - A « П (J Cn,m и (J Ctt, m+1 с (J C„, w, то
tt m m л n. m я, m
oo
^ = Lim4 где Л„~ [\(Bkt x{\ ... П Я*, «)П (Clf *U ... UC„, k).

134 Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
9. Доказать, что
a) Lim(- Ап)*= - (Lim Ап),
b) Lim(- Ап)= - (Lim Ап),
c) Um {An П Bn) = Lim Л„ П Lim £„,
d) Lim (Л„и^) = ПтЛ„иОт £л>
oo oo
e) f] Ancz Lim Лл cz Lim An cz (J Л„,
f) Lim Лдг U Lim Bn cz Lim (Ля Ц Bn),
g) Urn (Ля П Bn) czLlm Лл П Пт В„,
h) Л — Lim ЛЛ cz Lim (A — ЛЛ),
Л — Lim Лл cz Lim (Л — Лп),
и показать, что обратные включения неверны.
10. Функцию f, сопоставляющую множествам множества, называют
непрерывной, если для каждой сходящейся последовательности Fu F2, ...
//Lim Fn\= Lim f(Fn).
Доказать непрерывность функций X[)Y, X(]Y, —Хи вообще функций
U Ftif i\Fn относительно каждой компоненты.
п п
11. (Марчевский) Доказать, что последовательность Fn сходится, если
для каждой послздовательности пар (т-и щ), для которой lim mi ~
= lim ni = oo.
12. Если К — семейство таких подмножеств множества jV, что их
дополнение до N конечно, то DK (F) = Lim 7^. Если К — семейство бесконечных
подмножеств множества N, то DK(F) = Lim Fn (см. § 1, упражнение 3).
Используя эти результаты, обобщить операции Lim, Lim на случай, когда
аргумент представляет собой функцию, определенную на произвольном
множестве Т (не обязательно на множестве N).
§ 3. Семейства множеств, замкнутые
относительно данной операции
Пусть X — некоторое фиксированное множество, / —
функция произвольного числа переменных, каждое из которых
пробегает какое-нибудь семейство подмножеств множества X. Для
простоты изложения будем считать, что / — функция двух
переменных, т. е. областью ее определения является декартово
произведение 2х X 2х.

$ 3. Семейства, замкнутые относительно операции 135
Семейство R cz 2х называется замкнутым относительно
функции /, если
Л [(Г, с= R) Л (У2 £«)->(/(Klf У2) е *)].
Теорема 1. Для каждого семейства Rcz2x существует
такое семейство Ru что
a) RczRiCz 2ХУ
b) семейство R\ замкнуто относительно операции /,
c) семейство R\ — наименьшее из семейств, обладающих
свойствами а) и Ъ), т. е. если для R' выполнены условия
RaR'a2x, Л [(Yle=R')A(Y2e=R')-+(f(YuY2)<=R% (1)
YuY*
ГО /?! CZ R'.
Доказательство. Пусть К — множество всех семейств
R\ для которых выполняется (1). Оно непусто, поскольку 2х <=
^ К. Искомым семейством R\ будет произведение Q R'.
Семейство Ru обладающее свойствами а)—с), определяется
однозначно. Действительно, если R2 обладает этими свойствами,
то из минимальности семейства R\ (свойство с)) получаем
RiCzR2. Аналогично R2czRu так как R2 также обладает
свойством с). Следовательно, R\ = /?2; мы будем обозначать это
семейство /?*.
Теорема 2. Для произвольных семейств R, Ru R2
выполняются следующие условия:
I. RczR\
II. RiaR2-+R*laR;i
III. /?** = /?*.
Доказательство. Включение I следует из теоремы 1
(свойство а)). Импликация II следует из того, что Rl замкнуто
относительно / и содержит Ru значит, в силу минимальности
R*idR*. Наконец, для доказательства равенства III заметим,
что из условия I следует включение /?* cz /?**. Так как /?* =э R*
и /?* замкнуто относительно /, то в силу минимальности /?**cz/?*.
Теоремы 1 и 2 имеют свои аналоги для случая, когда дана
не одна функция /, а произвольное семейство таких функций,
и /?* — наименьшее семейство, содержащее R и замкнутое
относительно всех функций. Областями определения этих
функций могут быть последовательности подмножеств или даже

136
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
семейства подмножеств множества X. Мы не будем
останавливаться на этих обобщениях.
Пример 1. Пусть / обозначает сложение множеств, т. е.
f(YuY2) = Y\\} Y2. Наименьшее семейство множеств,
содержащее R и замкнутое относительно /, обозначим символом Rs. Это
семейство состоит из конечных сумм вида [J Yh где п ^ Nr
i<n
пфО и У = (У0, Уь ..., Уп-i)—последовательность множеств,
принадлежащих /?, т. е. У е Rn.
Аналогично, если функция g задается равенством g(Yu У2) =
= Yi П Уг, то наименьшее семейство, содержащее /? и замкнутое
относительно g, обозначим символом Rd. Это семейство состоит
из произведений вида f] Yh где п ^ N, п ф О и У <= /?п.
Пример 2. Решеткой множеств, порожденной
семейством R, назовем наименьшее семейство, содержащее R и
замкнутое относительно обеих операций /, g из примера 1.
Теорема 3. Решетка множеств, порожденная R, совпадает
с семейством Rsd, причем Rsd = Rds-
Доказательство. Докажем сначала вторую часть
теоремы. Пусть Z e Rsd, т. е. Z = Q Yh где п & N, пФ=0 и
Yi <= /?s для / < п. Докажем индукцией по п, что Z <= /?d*.
Для я = 1 имеем Z = У0 <= /?s, a /?s cz /?<*.„ так как /? cz Rd.
Предположим, что теорема верна для п = k. Пусть
Z—произведение k + 1 члена Yi и все они принадлежит Rs. В частности,,
пусть Yk= [J Th где m^N,m=£0uTj^R для у < т. Обо-
/ <т
значим Z''= [\ Y(. По предположению индукции Z' <= /?dS и, зна-
i<k
чит, Z' = (J Vh,rjxe p & N, р Ф 0 и Vh<^ Rd для Л < /7. Так как
Z = Z' П УЛ, то
Z = Z'n U Г/в U (^ПГ,)- (J (J (Vh(]T,).
j<т f <т / <т h<p
Поскольку Vh П Tj e /?<ь получаем отсюда, что Z <= /?dS. Таким
образом, Rsd cz Rds. Аналогично доказывается обратное
включение.
Теперь покажем, что Rsd — решетка множеств, порожденная
семейством R. Ясно, что семейство RSd содержится в этой ре-

§ 4. в-аддитивные и а-мультипликативные семейства 137
шетке, так как операции сложения и умножения не выводят нас
из решетки. С другой стороны,
Rsd = (Rsd)d = Rds = {Rds)s>
следовательно, семейство RSd замкнуто относительно операций
сложения и умножения и потому содержит решетку,
порожденную R.
Упражнения
1. Пусть Rr — наименьшее семейство подмножеств множества X,
замкнутое относительно операции Y\—У2. Доказать, что
a) RdczRr,
b) если Хе/?, то Rscz Rr.
Доказать также, что условие Xg/J в пункте Ь) существенно.
2. Наименьшим телом множеств, содержащим семейство R, является
<R[)cR)sd, где cR = {X-Y: Y e= R}.
3. Пусть /?2 (соответственно /?д) означает наименьшее семейство,
содержащее R и такое, что (J Y e= R% /соответственно [) Kg Ra\ для
Y^S \ yes /
каждого непустого семейства S cz R. Доказать, что Я^д = #Д2.
Указание. Использовать теорему 4 § 1.
§ 4. а-аддитивные и а-мультипликативные
семейства множеств
Семейство множеств R называется а-аддитивным
(соответственно о-мультипликативным), если \Jffn^R (соответствен-
п
но f]Hn^R) для каждой последовательности H^RN.
п
Из теорем 1 и 2 (§ 3, стр. 135), обобщенных на случай
функций, определенных на последовательностях множеств, вытекают
следующие две теоремы.
Теорема 1. Для каждого семейства R существует
наименьшее о-аддитивное и ^-мультипликативное семейство B(R),
содержащее R.
Т е о р е.м а 2. Для любых семейств R, Ru R2
RaB(R), (1)
RlczR2^B(Rl)czB{R2)9 (2)
B(B(R)) = B(R). (3)
Выполняя операции (J и f| на последовательностях, члены
п п
которых принадлежат B(R), мы получаем множества, принад-

138
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
лежащие B(R). Это позволяет произвести классификацию
множеств, принадлежащих B(R): для произвольного семейства
множеств R обозначим через RG семейство множеств видаМ #nv
п
где H^RN, и через R6 семейство всех множеств вида(^) Нпу
п
где Н <= RN. Очевидно, что
R cz R' -> (R0 cz R'a) Л (*б с *J).
Можно определить а-аддитивное семейство как такое
семейство, для которого R = Ra, a a-мультипликативное как такое,
для которого R = /?б. Так как семейство B(R) и а-аддитивно и
а-мультипликативно, то
(B(*))G = JB(*) = (JB(*))e,
а так как R a B(R), то справедлива
Теорема 3. Семейство B(R) содержит в качестве
подмножеств каждое из семейств
Ro> Rod* "аба» • • •
*?б> Rbo> *?баб> • • •
Вообще говоря, никакие два из этих семейств не совпадают;
кроме того, они не исчерпывают всего семейства B(R).
Опишем теперь метод, позволяющий решить, принадлежит
ли данное множество, определенное при помощи высказыва-
тельной функции, семейству B(R) l).
Пусть Ф(/, /, ..., k, x)—высказывательная функция,
переменные /, /, . . ., k пробегают множество N. Положим
Z*./..... * = {*: ф ('">/> •••> *. *)}>
W = {х: Q-Qf ... Й^Ф (/, /,..., *, х)},
где каждый из символов й', й", . . ., Й<Л) обозначает либо
квантор всеобщности, либо квантор существования.
Теорема 4. Если для произвольных i, /, .. ., k ^N мно-
жество Z2, jt...t k принадлежит В(R), то W^B(R).
Доказательство. Проведем индукцию по числу
кванторов. Если h = 0, то W = Zt-, j,..., л и тогда W ^B(R) по
условию. Если теорема верна для h—1 квантора, то каждое из
множеств
Wi={x: Q" ... й(^Ф(/,у, ...,*,*)}
*) См. Куратовский и Тарский [1], Куратовский [4].

§ 4. а-ад дативные и а-мультипликативные семейства 139
принадлежит B(R). Если Q' — квантор существования, то
W = (J Wti а если Q' — квантор всеобщности, то W= f] Wt.
В обоих случаях W <= B(R), и теорема доказана.
Наиболее интересный пример семейства B(R) получим, если
в качестве R возьмем семейство F замкнутых множеств
произвольного топологического пространства X. В этом случае B(R)
называется семейством борелевских множеств пространства X 1).
ф Докажем, например, что множество предельных точек
последовательности непрерывных функций есть множество
типа Fa6.
Для этого запишем условие Коши сходимости
последовательности вещественных чисел aiy аг, . . . , ап, . . . :
Л V A[\am+l-am\^l/k].
k m i
Отсюда видно, что множество Z предельных точек
последовательности непрерывных функций fu /2, • • ■ > /п, • • • имеет вид
Z = \x: Л V A[\fm+i(x)-L(x)\<№\.
( k m i )
Полагая
Zk.m. i = (*: I fm + i (*) - fm (*) I < l/*b
получаем
oo 00 00
Так как Zk, m, i (при фиксированных индексах) замкнуто (это
следует из непрерывности рассматриваемых функций), то Z есть
множество типа fa6. ф
Упражнения
1. Доказать, что
a) произведение двух множеств типа Fa является множеством типа F0,
b) сумма бесконечной последовательности множеств типа Fa является
множеством типа Fa.
Аналогичные свойства доказать для множества типа F0b и для
борелевских множеств.
2. Доказать, что каждое открытое множество в %п является
множеством типа Fg-
3. Доказать, что борелевские множества в %п образуют наименьшее
о-аддитивное и сг-мультипликативное семейство, содержащее семейство G всех
открытых множеств.
1) По имени французского математика Бореля, первым рассмотревшего
такие множества.

но
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
4. Заменить в формулах (1) —(3) семейство B(R) на Ra или Rb и
доказать полученные формулы.
5. Привести примеры (конечных) семейств R, для которых R = Ra = Rabr
а также семейств, для которых R ф Ra Ф Rob — Robo *)•
§ 5. Обобщенные декартовы произведения
Пусть F (как в § 1) —функция, значениями которой
являются подмножества множества X, а областью определения —
множество Т Ф 0.
Определение. Декартовым произведением Ц Ft назы-
te=T
вается множество таких функций / с областью определения 7\
что /(0 е Ft Для каждого t e T:
П Ft=lf<=Q>: A [f(t)<=Ft])9 где Ф = ХТ.
оо
Если Т = N, то вместо TJ рп пишут Ц Fn. Элементами
этого декартова произведения будут такие
последовательности ф, что фп <= Fn для п ^ N.
Если все сомножители Ft равны, Ft = У, то П ^= YT- Здесь
t<=T
JJ Ft — множество функций с областью определения Т и
множеством значений У. Множество Уг называется декартовой
степенью множества У.
Для У el Д F^ обозначим через Yt проекцию множества У
t<=T
на F/, т. е. У* = {/(/): / е= У}. Очевидно, что }'i cz У2 -> У{ с: У$
для каждого / е 7".
Замечание. Пусть Г = {1,2}. Декартовы произведения
XI Ft и F\ X F2 не совпадают. Первое имеет в качестве элемен-
тов последовательности длины 2, второе — упорядоченные пары,
а это различные понятия. Однако в действительности различие
между этими двумя произведениями не существенно, потому что
каждой упорядоченной паре (х, у) ^ F\ X Fi можно поставить
во взаимно однозначное соответствие последовательность
{{l,x), (2,i/))gIIF(.
te=T
{) Упражнение 5 связано с проблемой Колмогорова (см. Fund. Math.,
25(1935), 578). До сих пор не решен следующий частный случай этой
проблемы: существует ли такое семейство R, что R0ba Ф Rabab = Robobo?. См.
также Серпинский [10].

§ 5. Обобщенные декартовы произведения 141
Если Ft0 = 0 для некоторого t0, то Ц Ft = О.
t<=T
В самом деле, если /^ Ц Fu то f(t0)^Ftot т. е. Fto¥=0.
Теорема 1. Если Т — конечное множество и Ft Ф О для
каждого t^T, то Ц Ft=£0.
t<=T
Доказательство. Проведем индукцию по числу
элементов множества Т. Если Т имеет один элемент, то теорема
очевидна. Предположим, что теорема верна в случае, когда Т имеет
п элементов. Пусть Тх = Т [} {а}, где афТ. Пусть Ргф§ для
t^Ti- Докажем, что Ц F,=^=0. В самом деле, по ПреДПОЛО-
жению индукции XI f7t¥=0. Возьмем f ^ J] Ft и tQ e Fa.
t*=T t&T
Тогда множество f{ = f [}{(a, t0)} будет функцией,
принадлежащей Ц Ft, следовательно, множество Ц Ft непусто.
Теорема 1 распространяется также на случай
произвольного Т, если все сомножители Ft совпадают.
Теорема 2. Если Y Ф О, то YT ф 0.
В общем случае доказательство того, что декартово
произведение непустых множеств непусто, требует аксиомы выбора.
° Теорема З1). Если Ft=£0 для /еГ, то Ц Ft¥=0.
t^T
Доказательство. Элементом множества Ц Ft будет
функция выбора для семейства {Ft: t^T).
Пользуясь декартовыми произведениями (например, в
алгебре, топологии и т. п.), мы обычно сталкиваемся со случаями,
когда на множествах Ft определены некоторые операции или
отношения или когда множества Ft являются топологическими
пространствами. Рассмотрим сначала случай, когда на каждом
множестве Ft определена только одна операция — для удобства
будем считать ее бинарной. Другими словами, кроме функции
F^(2X)T1 задана такая функция G двух переменных, что
GteE(FtftXFt для каждого t е= Т.
]) Теорема 3 была принята Расселом в качестве аксиомы вместо аксиомы
выбора. Эту аксиому он называл аксиомой мультипликативности (см. Уайт-
хед и Рассел [1]).

142 Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Функция G определяет бинарную операцию ср на элементах
декартова произведения Ц Ft:
t<=T
<p(/,g) = F [Gt(f(t),g(t))], где f,g<=UFt.
t<=T t(=T
Таким образом, cp(f, g)—такой элемент ft декартова
произведения, что h(t)= Gt(f(t), g(t)) для всех t. Операция ср
называется декартовым произведением операций Gt.
Аналогично определяется декартово произведение
отношений. Пусть R — такая функция, что Rt (для каждого t^T) есть
отношение над полем, содержащимся в Ft. Декартовым
произведением этих отношений называется такое отношение р над
полем, содержащимся в XI ^и чт0
<f,g)<=p=/\[(f(t),g(t))&Rt].
Здесь надо заметить, что р не является декартовым
произведением IJ Rt1 поскольку р — двуместное отношение, т. е. множе-
t<=T
ство упорядоченных пар, в то время как XI ^—множество
функций. Однако можно естественным образом поставить в
соответствие декартову произведению XI Rt отношение между
t<=T
функциями f, g\ которое выполняется тогда и только тогда,
когда функция ft, определенная равенством h(t) = {f(t), g(t))
(т. е. функция F [(f(t), g(t))]), принадлежит XI Rt- Это отно-
шение совпадает с отношением р.
Очевидно, что все эти определения без труда переносятся на
случай, когда на каждом множестве Ft задана не одна, а
произвольное число операций (или отношений).
Пример. Предположим, что F(t)—булево кольцо
относительно операций V*, Ль —t и элементов О/, 1/. Обозначим через
V, Л, — декартовы произведения операций \Л, Л/, —и а
через I и i такие функции, что l(t) = 0* и i(t) = lt для всех /gT.
Теорема 4. Декартово произведение Ц Ft является буле-
вым кольцом относительно операций V, Л, — ^ элементов g и t.
Доказательство. Достаточно проверить справедливость
аксиом на стр. 46. Проверим, например, справедливость
аксиомы (IV). Пусть f ^ XI Ft* По определению / V — / — это такая

§ 6. Декартовы произведения
143
функция g, что g(t) = f(t) V/ — tf(t) для каждого /. Так как
для Ft аксиома (IV) верна, то g(t) = \t и, значит, g = i.
Булево кольцо Ц Ft называется декартовым (или прямым)
произведением булевых колец Ft.
Аналогично определяется прямое произведение групп, колец
и других алгебраических систем.
Упражнения
1. Булево кольцо, содержащее 2п элементов, является прямым
произведением п булевых колец с двумя элементами.
Указание: провести индукцию по п
2 Если отношения Rt а) рефлексивны, Ь) симметричны, с) транзитивны,
то их декартово произведение обладает теми же свойствами. Привести
пример свойства, которое не переносится на декартово произведение, т. е.
свойства, которым обладают все отношения Rt и не обладает их декартово
произведение.
F X F
В следующих двух упражнениях Н — функция, для которой Ht^ Fft f*
Rt—отношение эквивалентности в Ft, cp — декартово произведение
операций Ht, p —декартово произведение отношений Rt.
3. Если каждая из функций Ht согласована с Rt, то функция ф
согласована с р.
4. Пусть X — такая функция, что Xt для каждого t является функцией,
индуцированной из Ht с помощью Rt, и пусть % — функция, индуцированная
из ф с помощью р. Доказать, что диаграмма
Я->ф
коммутативна.
§ 6. Декартовы произведения
топологических пространств
Пусть Ft для каждого t e T является топологическим
пространством. Обозначим через CtX замыкание в пространстве Ft
множества X cz Ft. Таким образом, С — такая функция, что
р
Ct e (2Ftf для каждого t.
Очевидно, что существует много способов определения
замыкания в пространстве Ц Ft, так как каждое множество мож-
te=T
но превратить в топологическое пространство различными
способами. Опишем здесь некоторую специальную топологию
пространства II Ft9 введенную Тихоновым [1].
Пусть S — конечное подмножество множества Г, a Gs —
открытое множество в пространстве Fs для каждого s ^ S.

144
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Назовем окрестностью, определяемой множеством S и
открытыми множествами Gs, подмножество
Г = |/<=еП: Л /(sleO.l
декартова произведения П = Ц Ft.
t<=T
Докажем, что произведение двух окрестностей либо пусто,
либо тоже окрестность. В самом деле, если окрестность Г
определяется конечным множеством S и открытыми множествами
Gs(s gS), а окрестность Г' определяется конечным множеством
S' и открытыми множествами g's{s e S')> то
ГпГ'-(/еП: Л Л (f(S)eGM(f(«')eC/)l =
= |/<=П: Л (/(s)e(?M Л (f (s') ее G's) Л
( s<=S-S' s'<=S'-S
А Л (f(s)^Gs()G's)\>
SGSflS' J
Таким образом, множество ГПГ' либо пусто, либо является
окрестностью, определяемой конечным множеством S U S' и
открытыми множествами
Gt для t^S — S',
G\ для t^S' — S,
l GtftGt для f esSflS'.
сГ =
Определим замыкание множества ХсП как множество СЛ'
таких / <= П, что каждая окрестность Г, содержащая /, содержит
по крайней мере один элемент множества X:
Л [(Г - окрестность) Л (/ <= Г) -> (Г П X ^ 0)]. (*)
г v '
Теорема 1. Декартово произведение Ц Ft представляет
te=T
собой топологическое пространство относительно операции
замыкания Х = СХ для X cz П Ft.
ttBT
Доказательство. Проверим справедливость аксиом
(1) — (4), стр. 35. Аксиомы_ (3) и (4) выполняются очевидно.
Аксиома (1). Пусть f^A. Тогда каждая окрестность,
содержащая /, содержит хотя бы один элемент из А. Значит,
ГП (А[)В)Ф0у а отсюда следует, что f^A[)B и тогда
A cz A U В. Аналогично ВаА U 5, следовательно, А И В czAUB.

S б. Декартовы произведения
145
Пусть теперь /ее Л US, f<£A. Тогда ТП(А[)В)Ф0 для
каждой окрестности Г, содержащей /, и Г0 П А = О для
некоторой окрестности Го, содержащей /. Если Г — произвольная
окрестность, содержащая /, то ГПГ0 — также окрестность,
содержащая /, и потому ГПГоГЦЛ UB)¥=0, откуда Г Г) Го Л В Ф О и
тем более Г П В Ф 0. Это значит, что f е В. _
Аксиома (2). Достаточно показать, что ХаХ. Пусть /еХ
и Г —произвольная окрестность, содержащая /. Следовательно,
Г(]ХФ0. Возьмем g^_Tf]X. Тогда Г —окрестность,
содержащая g, и так как gel, то Г Л X =£ 0. Это значит, что
выполняется условие (*), и потому f^X.
Приведем примеры декартовых произведений топологических
пространств.
Пример 1. Множество Кантора. Так называется
множество С = {0, 1}N, т. е. декартова степень двухэлементного
множества. Если в множестве {0, 1} определить топологию, положив
Х = Х для каждого X (дискретная топология), то С станет
топологическим пространством с топологией Тихонова.
ф Ставя в соответствие элементу fsC вещественное число
оо
^j2f(n)/3n+\ получаем взаимно однозначное соответствие ф
множества С и множества вещественных чисел замкнутого
интервала [0, 1], имеющих в троичном разложении только цифры
О и 2. #
Пример 2. Обобщенное множество Кантора Ст. Это
декартова степень {0, 1}г. Топология Тихонова в этом множестве
определяется так же, как для множества С.
Обобщенное множество Кантора можно также определить
как множество характеристических функций подмножеств
множества Т. В действительности можно отождествить множества
Ст и 2Г. Поэтому в дальнейшем мы будем трактовать множество
2Г как топологическое пространство. Аналогично можно
отождествить элементы множества Сгхг = {0, 1}ГхГ с отношениями над
полем, содержащимся в Г, поскольку каждый элемент
множества Стхт является характеристической функцией множества
упорядоченных пар элементов из Т.
Теорема 2. Семейство Kt = {X czT: /g!} замкнуто и
открыто в Ст. Семейство {RaTxT: tRs} замкнуто и открыто в
Стхт*
Доказательство. Обозначим через Г окрестность в Ст,
определенную множеством S = {/} и открытым множеством

146
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Gt = {1}. Тогда /еГ = /(0= 1 и, значит, Г состоит из
характеристических функций множеств, принадлежащих семейству Kt-
Таким образом, Kt— открытое множество. Аналогично
окрестность, определенная множеством S и открытым множеством
G/ = {0}, состоит из характеристических функций множеств,
составляющих семейство 2Г — Kt- Это доказывает, что семейство
Kt замкнуто в Ст.
Вторая часть теоремы следует из первой.
Пример 3. Пространство Бэра. Так называется декартова
степень A7JV, т. е. множество бесконечных последовательностей
натуральных чисел. Топология в NN — топология Тихонова,
причем операция замыкания в N определяется равенством X = X.
Если а = (а0, а\, ..., an-i)—последовательность из п
членов (a^Nn), то множество Na = Na0 an_l = {^- е \n= °)
одновременно замкнуто и открыто в NN, Это множество
последовательностей ф, удовлетворяющих условиям ср;- = а?- для / < /г, т. е.
оно совпадает с окрестностью Г в Л/, определенной множеством
S = {0, 1, ..., п—1} и открытыми множествами С,= [а*} для
/ < п. Дополнение этой окрестности открыто в NN, так как оно
совпадает с суммой окрестностей, определенных множествами
{/} и открытыми множествами G'j = N— {a,], j<n.
ф Ставя в соответствие элементу ср е NN число
|фо+1 |ф! + 1 |фа + 1 ""
получаем взаимно однозначное отображение пространства NN
на множество иррациональных чисел открытого интервала (0, 1).
Таким образом, можно отождествить пространство Бэра с
множеством иррациональных чисел, удовлетворяющих условию
0<*<1. #
Пример 4. Декартово произведение конечного числа
пространств. Конструкция, описанная в этом параграфе, в
одинаковой степени применима как к случаю, когда множество Т в
формуле X = XI Ft конечно, так и к случаю, когда это множество
бесконечно.
Если Т—конечное множество, например Г={0, 1, ..., п—1}»
то декартовы произведения XI ^/> гДе Для каждого t множе-
t<n
ство Vt открыто в Fu образуют открытую базу в XI Ff
t< п
ф Если Ft = <§, где & — множество вещественных чисел, то
пространство X называется n-мерным евклидовым
пространством. Это пространство мы будем применять в дальнейшем

§ 7. Теорема Тихонова
147
только в некоторых примерах, так как в отличие от других
рассмотренных выше пространств оно было определено не только
с помощью понятий теории множеств, ф
В дальнейших главах мы будем пользоваться следующей
теоремой.
Теорема 3. Если X = Ц Ft— декартово произведение та-
t<=T
пологических пространств (с топологией Тихонова), ZtczFt и Zt
для каждого t e Т замкнуто в Fty то Ц Zt также замкнуто.
te=T
Доказательство. Пусть Р = Ц Zt и !ф.Р. Тогда
f(s)^Zs для некоторого s^T. Окрестность Г точки /,
определенная одноэлементным множеством {s} и открытым
множеством Fs — Zs, содержит /и не пересекается с Р, что и требовалось
доказать.
Упражнения
1. Множество рефлексивных отношений с полем, содержащимся в Т,
замкнуто в Стхт. Доказать аналогичные теоремы для множеств
симметричных отношений, транзитивных отношений и отношений эквивалентности.
2. Каждая окрестность в пространстве Бэра содержит некоторую
окрестность вида Na, где а — конечная последовательность.
3. Множество, одновременно открытое и замкнутое в пространстве Бэра,
представляет собой сумму конечного числа множеств вида Na.
4. Показать, что множество {X cz N: X — конечное множество} является
борелевским в пространстве CN.
5. Пусть / — произвольный идеал в 2Г. Показать, что беря в качестве
окрестностей множества вида J"g: Д (g(s)GG^l, где S sf, a Gs от-
крыты в Fs для se5, и определяя замыкание формулой (*), получаем
функцию, удовлетворяющую аксиомам топологии (1) — (4), стр. 35.
§ 7. Теорема Тихонова
Семейство R подмножеств множества X называется
центрированным, если пересечение любого конечного числа множеств
из R непусто.
Топологическое пространство X называется компактным, если
каждое центрированное семейство его замкнутых подмножеств
имеет непустое пересечение. Это значит, что топологическое
пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждое
семейство открытых множеств, в сумме составляющих X,
содержит конечное подсемейство, сумма множеств которого также
равна X.
Приведенная ниже теорема относится, собственно говоря, не
к общей теории множеств, а к топологии. Мы ее поместили здесь

148
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
потому, что она имеет многочисленные приложения (между
прочим, в самой теории множеств), а методы, применяемые в ее
доказательстве, фактически не выводят нас из теории множеств.
° Теорема 1. (Тихонов) Если для каждого t e T
пространство Ft компактно, то пространство Р = \[ Ft также ком-
t<=T
пактно {в топологии Тихонова).
При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться
леммой, которую докажем только в гл. VII, § 8.
° Лемма. Если /?0 — центрированное семейство
подмножеств пространства X, то существует максимальное
центрированное семейство Rcz2x, содержащее /?0, т. е. такое, что
каждое семейство подмножеств пространства X, отличное от R и со-
держащее RQ, содержит конечное подсемейство, имеющее пустое
пересечение.
Воспользуемся следующими двумя свойствами
центрированных максимальных семейств:
I. Если At=R и Bt=R, то A[)B<=R.
В самом деле, в противном случае семейство, полученное из
R прибавлением к нему А Л В, не было бы центрированным и,
значит, содержало бы конечное подсемейство с пустым
пересечением. Очевидно, что множество А Л В должно принадлежать
этому подсемейству, а отсюда следует, что существует такое
конечное подсемейство R' a R, что А(]В (] f] Y = 0, что проти-
воречит центрированности семейства R.
II. Если AczX и A [}Y ФО для каждого Y(=R, то А <= R.
В самом деле, в противном случае семейство R U {А} не было
бы центрированным и, значит, существовало бы такое конечное
подсемейство R'czR, что А{\ f) У = 0. В силу свойства (I)
произведение f] Y принадлежит R, вопреки тому, что
А Л Y Ф О для каждого У е R.
Пусть теперь RQ— центрированное семейство замкнутых
подмножеств пространства Р. Обозначим через R некоторое
центрированное максимальное семейство подмножеств пространства Р,
содержащее /?о. Для доказательства теоремы достаточно
показать, что f) Y =£0.

§ 7. Теорема Тихонова
149
Для произвольного множества Z cz P обозначим через Z1
его проекцию на Ft и положим Ri = {Yt: У <= R}. Семейство R*
состоит _из замкнутых подмножеств пространства Ft. Если
множества У|, /</г, принадлежат /?', причем Yj^R, то |~) Уу^О,
так как семейство R центрировано. Отсюда следует (см. стр. 141),
что Р| Yff ф О и тем более Q У|. Ф 0. Значит, семейство /?'
центрировано. Так как все Ft компактны, то Q У'=^0. Исполь-
зуя общий принцип выбора, получаем отсюда, что существует
такая функция feP, что /(/)<= |~) У' для каждого /еГ.
_ Уе*
Докажем, что fe [] F,
Для этого возьмем множество У из R и окрестность Г,
содержащую /. Надо показать, что ГПУ^О,
Пусть Г определяется конечным множеством S аТ и
открытыми множествами Gscz Fs(s <= S); очевидно, что f(s)^Gs для
sgS. Полагая Г5 = {g: g(s) e GJ, получаем Г = Q Гд.
Если Z — произвольное множество из /?, то f(s)^ZSy
следовательно, Gs\) Zs Ф 0. Поэтому существует такой элемент
zs <= Gs, что g(s)=2s для некоторой функции gsZ и, значит,
gETs. Таким образом, Ts П Z ф 0 для любого Z^R.
Согласно (II), отсюда получаем Ts ^ R, а согласно (I),
Р|Г5е/?, т. е. Г^/?, откуда ГПУ Ф 0. Таким образом, любая
окрестность, содержащая /, имеет общие элементы с У и,
значит, f еУ.
Пример 1. Множества С, Сг, СТХт компактны.
Пример 2. Пусть Ф(#, хи ..., *п)—высказывательная
функция, полученная из высказывательных функций
Xt = Xh (xhXj)EER (*}
с помощью одних только операций исчисления высказываний.
Такие высказывательные функции назовем открытыми. Пусть
гФ = гФ{а[у ..., an) = {R<=TX Г: <b{R,al9 ..., ая)}
для «1, ,..,апеГи произвольной открытой высказывательной
функции Ф.
Множество Z$> одновременно открыто и замкнуто в СТхт~
Действительно, для высказывательных функций (*) это следует

150
Г л IV. Бесконечные суммы, произведения
из теоремы 2 (§ 6), а для других высказывательных функций —
из связи между логическими и теоретико-множественными
операциями и простого замечания, что сумма, произведение и
дополнение открыто-замкнутых множеств тоже открыты и
замкнуты.
Пусть теперь Ф/ — открытая высказывательная функция
<с переменными xilt xj2, ..., xjn.y и пусть aiu aj2, ..., ajn. —
элементы множества Т (/ е N). Из компактности множества Стхт
следует
Теорема 2. Если для каждого k ^ N произведение
Р) Zo> (я/ь ..., а/я) непусто, то и бесконечное произведение
j<k '
f] Zq> (а/i, ..., а/л) непусто.
В этой теореме утверждается, что из существования
отношений Rki удовлетворяющих условиям Ф/(/?ь a/i, ..., a/n.) для
; < k (k = 1, 2, ...), следует существование одного
«универсального» отношения, удовлетворяющего всем этим условиям.
Упражнения
1. Вывести из теоремы Тихонова теорему Д. Кёнига (стр. 112).
2. Доказать, что пространство Бэра NN не компактно.
§ 8. Приведенные декартовы произведения
Комбинируя операцию образования декартова произведения
<: операцией образования классов абстракций, получаем новую
операцию, которая нашла интересное применение в
математической логике 1).
Пусть Т — произвольное множество и F—функция,
определенная на Г и принимающая в качестве значений непустые
множества. Предположим также, что на произведении Ft X Ft
определена функция ft со значениями в Ft и что Rt — бинарное
отношение над полем, содержащимся в Ft. Все дальнейшие
рассмотрения без труда переносятся на случай, когда число функций
или отношений больше 1.
Пусть /—идеал в 2Г. Определим отношение ~у в
Р = II Ft формулой
f~,g^{t:f(t)¥;g(t)}<=I.
1) Эту операцию первым определил Лось [1]. См. также Фрейне, Морель
м Скотт [1].

§ 8. Приведенные декартовы произведения
15Г
Теорема 1. Отношение ~ / является отношением
эквивалентности в Р.
Рефлексивность отношения ~ / следует из того, что 0 ^ /,
симметричность очевидна, а транзитивность следует из того, чта
для произвольных f, g", h <= Р
{t: f(t)¥*g (t)} c= {t: f(t)¥=h (t)} [} {t: h(t)¥=g (*))•
Теорема 2. Декартово произведение ф функций ft
согласовано с отношением ~/.
Доказательство. Необходимо показать, что если
е\ е\ d', d"<=P, то
(е' ~ fin) Л (d' ~ ,d") - [Ф (е\ df) ~ /Ф (е'\ d")].
Пусть A' = q>(e', d'), Л" = Ф(£>", d") и Л = {*: А'(0 ^ А"(0К
Из определения ф следует, что
h'{t) = ft(e'{t)9d'(t)) и Л'Ч0 = М*''(0. <*''('))•
Поэтому
<е Л->[е'(0 ^ е"(*)] V [d'(0 ^ d"(01,
откуда
Л cz {*: е' (0 ^ е" (*)} у {*: d' (0 ^= d" (*)} e /.
Из теорем 1, 2 и следствий, приведенных в § 5 гл. II,
вытекает, что существует множество P/I классов абстракции
отношения ~ / в Р и что в этом множестве определена операция ф//,.
пндуцирэванная из ф с помощью отношения ~/.
Определим отношение р// в P/I формулой
<е//, d/I) ее p/J ^ {^: (г (0, d (0> ^ Я,} е /,
где е// и d// — классы абстракции, содержащие соответственно»
end.
Множество P/I называется декартовым произведением
множеств F/, приведенным по модулю I (короче, приведенным
mod/). Аналогично функция ф// (отношение р//) называется
декартовым произведением функций ft (отношений Rt),
приведенным mod/.
Пусть Ф(х, у, г)—произвольная высказывательная функция.
Главную проблему в теории приведенных произведений можно»
сформулировать так: зная множества {/: 0(Ft, //, /?/)},
определить, когда множество P/I, функция ф/7 и отношение р//
удовлетворяют высказывательной функции Ф.

152
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Для решения этой проблемы рассмотрим более общую вы-
сказывательную функцию Ф(х9 у9 z, щ, ..., uh) произвольного
числа переменных. Пусть еи ..., ^gPh
Ao = {t:<D{Ft9fuRt,e{(t)9 ..., ek(t))}.
(Очевидно, что множество Аф зависит не только от Ф, но и
от выбранных элементов е{9 ..., ek, но мы это не отмечаем
в индексе при Аф ради простоты обозначений.)
Докажем, что справедливы утверждения (I) — (IV).
(I) АФУчф1=(Афф1)\/(Ачгф1).
В самом деле, Лфу^ = AdU Ачг и потому (см. (11), стр. 26)
АФ у v е / = (Аф е= /) Д (Ацг е= /),
откуда по закону де Моргана получаем (I).
(°Н) Если в — высказывательная функция вида V Ф, то
uk
Лв^/= V [АФф1\.
ek<=P
В самом деле, пусть
Ae = {t:B(Ft9ft9Rt9ei(t)9 ..., ek-x(t))}&I.
Для /еЛв существует элемент x^Ft, удовлетворяющий
<D(Ft9ft9Rt9e{(t)9 ..., ek-{(t)9x).
Обозначим множество этих элементов х через Xt и положим
Xt—Ft для tq^Ae. Пусть eft — функция выбора для семейства,
состоящего из всех множеств Xt. Тогда ^еРи для всех /еЛв
<D(Ff9ft9 *„*,('). ..., ek(t))9 (I)
откуда Aq cz Аф. Следовательно, Аф ф. /.
Обратно, если Афф19 то (1) выполняется для всех /е Лф.
Тогда для этих £
e(Ft9ft9Rt9ex(t)9 ..., £*_!(*)),
•откуда <Si4e. Поэтому ЛфСгЛе и А%ф1.
Идеал / называется простым, если для произвольного X аТ
либо Хе/, либо Г — Xs/.
Пример простого идеала дает семейство {Л" с: Г: jc^AJ.
В гл. VII (пользуясь аксиомой выбора) мы докажем, что любой
идеал можно расширить до простого идеала.
(III) Если идеал I простой и W — отрицание ~1Ф, то
Действительно, Ацг= Т — Аф.

§ 8. Приведенные декартовы произведения
15£
(° IV) Если идеал I простой, то
АфАу<£1 = {Аф<£1)Л {Ачг ф/);
если, кроме того, 3 обозначает Л Ф, то
Ч
АЕф1^ А' [АфФ1\.
ek<=P
Это утверждение следует из первых трех.
Доказанные утверждения дают следующее решение
поставленной выше проблемы.
Назовем высказывательную функцию Ф(х, у, г, и\, ..., щ)
элементарной, если она получается из высказывательных
функций
а) щ = Uj,
б) у{щ,щ) = uh,
в) {щ, Uj) <= z
с помощью операций исчисления высказываний и кванторов
V, Л-
°Теорема З1). Если I — простой идеал, Ф(х,у,z,uu ... , uh)
— элементарная высказывательная функция и е\, ..., ek —
произвольные элементы из Р, то
Ф(Р//,Ф//,р//, еД, ..., ек/1) =
^{t:0(Ft,ft,Rt,e,(t), ..., ek(t)))<£I. (2)
Доказательство. Если Ф — одна из функций вида (а),
(Ь), (с), то (2) в этом случае верно. Действительно, левая часть
эквивалентна ejl = e^l в случае (а),ф//(в<//, е^/1) = ек/1 в
случае (b), {ejl, ej/I)^p/I в случае (с). Правая часть
эквивалентна
{t: et(t) = ej{t)}&I в случае (а),
{t: ft {е( {t), ef (t)) = eh (t)} ф! в случае (Ъ\>
{t: (et (0, e} {t)) <=Rt}<£I в случае (с).
Из определения множества P/I, функции ф//, отношения р//
и простого идеала следует, что левая и правая части в (2)
эквивалентны.
В силу утверждений (I) — (IV), если формула (2)
справедлива для высказывательных функций Ф и W, то она также
]) Теорема 3 является схемой: для каждой высказывательной функции
Получаем отдельную теорему.

154
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
справедлива для высказывательных функций, получающихся из
Фи?с помощью операций исчисления высказываний и
кванторов V , Л •
Таким образом, теорема 3 доказана.
0 Следствие 4. Если высказывательная функция
Ф (х, у, г) — элементарная, то
Ф (P/J, Ф//, р/|) - {*: Ф (F„ ft9 Rt)} ф I.
Это следует из теоремы 3, если высказывательная функция
не содержит переменных и\, ..., Uk-
°Следствие 5. Если Ф (х, у, z) — элементарная
высказывательная функция и Q){Ft,ft, Rt) для каждого t, то
Ф(Р//,Ф//,р//).
Это легко получить из предыдущего следствия с учетом того,
что если / — простой идеал, то Т ф I.
Рассмотрим примеры, считая / простым идеалом в 2Г.
Пример 1. Если отношения Rt рефлексивны и транзитивны
и удовлетворяют условиям
Л {[(x,y)<=Rt]A[(y,x)€=Rt]-+(x = y)},
х, y^Ft
Л [{(x,y)ezRt)V{(y,x)G=Rt)],
х, y^Ft
то отношение р// удовлетворяет этим же условиям.
Ф Пример 2. Если Ft — тело с операцией сложения ft и
операцией умножения gt, то множество P/I — тело с операциями
<р// и г|з//, где ф и г|?— декартовы произведения операций ft и gt
соответственно.
Аналогично, если каждое из множеств Ft — упорядоченное
тело с операциями ft и gt и отношением порядка Rtl то P/I —
упорядоченное тело с операциями ф// и гр// и отношением
порядка р//.
Эти утверждения получаются из следствия 5, если высказы-
вательные функции «X — тело с операциями D и М» и «X —
упорядоченное тело с операциями D и М и отношением порядка #»
записать в виде элементарных высказывательных функций
Ф{Х, D, М) и Ф\(Х, D, Af, R) соответственно. #
Эти примеры показывают, что операция образования при»
веденного декартова произведения позволяет получить из
данного семейства моделей для произвольной системы аксиом (ко-

§ 9. Обратные системы и их пределы
155
торые можно выразить спомощью элементарных высказыватель-
ных функций) новые модели для той же системы. Другие
применения приведенных декартовых произведений будут даны в
гл. IX.
У пражне н и я
\. Доказать, пользуясь леммой на стр. 148, что существует простой идеал,
содержащий произвольный данный идеал (не совпадающий со всем
множеством 2Г).
2. Если каждое из множеств Ft является булевой алгеброй с
операциями V/, Л/, — / и элементами О*, Ь и для каждого t
Л|(*-°') V V [(*=0V/2)A(0#O,)A(2#O,)]lf (*)
х \ у, z J
то множество Р/1 является булевой алгеброй с операциями V//, ЛД —// и
элементами £//, i/l, где V, Л, — обозначают декартовы произведения
операций V/, Лл — /, а £ и i—гакие функции, что £(/) = 0t и i(t) = \t для
каждого /. Кроме того, Pjl удовлетворяет условию (*). Показать, что для?
обычного декартова произведения булевых алгебр, удовлетворяющих
условию (*), это утверждение может нарушаться.
§ 9. Обратные системы и их пределы
Пусть даны
a) произвольное множество X,
b) упорядоченное (или квазиупорядоченное) отношением ^С
множество Г,
c) функция F^(2x)r, такая, что FtczX для каждого t^Ty
d) функция f ^ П FFJX, которую можно записать в виде
ku^Ful> или ftotr Fu~>Ft^ где 'о<'г 0>
Пусть функция / удовлетворяет условиям
ftt для каждого t е Т является равенством. (3)
Система U = (X, Г, F, /) называется обратной системой.
Обратным пределом этой системы, обозначаемым
F^ Lim U или Lim(F/>fWi),
"* to < U
называется подмножество произведения \\ Ft, состоящее из^
t£=T
таких элементов ф, что
иш)=*и (4)

155
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Пусть ft обозначает t-ю координату функции ф, т. е.
функцию ft: Foe-* Ft, определенную равенством
Ыф) = ф(0. (5)
Тогда
fv,°ft,-fv (6)
Если даны две обратные системы (X, Т, F, /), (F, T, G, g)
и функция h ^ И Gf', т. е.
ht: Ft-*G
и
и диаграмма
Ft, ^-^- Ft,
i |
"/,1 k
коммутативна, т. е.
VfftA=fto*,°A*i' если
то можно так определить отображение
чтобы диаграмма
/W— Foo
1 1
Gt^-G
ЭО
оо
^o^^i»
для каждого /gF была коммутативна. Для этого достаточно
для каждого ф ^ Foo задать г|) = /^(ф) условием
Ф(') = Мф'(0).
Легко доказать, что если ht — взаимно однозначное
отображение множества Ft на Gt для каждого t, то hoc — взаимно
однозначное отображение множества F«> на Goo.
Пример 1. Пусть множество Т упорядочено отношением
равенства. Тогда /%><, = П Ft.
Пример 2. Пусть множество Т направлено, Ft = X для
каждого /еГи ftt: X -> X — тождественное отображение.
Тогда Foo является множеством всех констант ф: Т—+Х.

§ Р. Обратные системы и их пределы
157
Для доказательства заметим, что если toi^ti, то существует
такое t2, что t0Kt2 и t{^t2. Отсюда fuu [ф(^2)] = ф(*2)> и тогда,
согласно (4), ф(/о) = ф(^). Аналогично ф(^) = ф(^), поэтому
ф(/0)= <p(/i).
Пример 3. Множество Yx всех отображений а: X -> Y
можно с помощью операции сужения а|А представить как
обратный предел множеств КА, где А а X. Для этого надо в
качестве направленного множества Т взять множество 2х,
упорядоченное отношением включения, функцию F задать равенством
Fa = УА для A czX и каждой паре А0а А\ поставить в
соответствие функцию fAA: YAl->YA\ определенную равенством
'Wa)eaU. где aeEjM'-
Здесь роль множества X в обратной системе играет
множество S всех сужений, т. е. S = (J Ул.
АаХ
Поставим в соответствие каждому элементу aeF1 элемент
Ф(а)<= Г1 YA, определенный условием
[Ф(а)]д = а1л.
Легко проверить, что Ф(а)<= Lim(5, 2х, F, /), т. е.
Ф: K*->Lim(S, 2x,F,f).
При этом Ф отображает Yx на все множество Lim(S, 2х, Fhf),
Действительно, пусть ф ^ Lim(5, 2х у F, /). Тогда фА ^ YA для
каждого А а X. Определим a ^ Yx условием а(х) = у{х}(х).
Легко видеть, что Ф(а) = ф, т. е. Фа(*) = Ф{д) (*) для х^А.
Наконец, отображение Ф взаимно однозначно.
Действительно, если а\Фа2у то существует такое х0, что ai (xQ)=£ a2(*o).
т е. а\\ м =^а2|{;Со} Следовательно,
так что Ф(а1)=^Ф(а2).
Следует отметить, что все эти рассуждения остаются в силе,
если X и К—метрические пространства. Тогда 2х будет
семейством компактных подмножеств пространства X, а YA —
семейством непрерывных отображений a: A -> У.

158
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
§ 10. Бесконечные операции в решетках
и булевых кольцах
Утверждения, доказанные в предыдущих параграфах этой
главы, можно рассматривать как теоремы о решетке 2х (см.
стр. 49—52). Как мы знаем, эта решетка полна и является
булевой алгеброй. Естественно возникает вопрос, можно ли
обобщить теоремы § 1 на произвольные решетки, полные решетки,
булевы кольца.
Предположим сначала, что К — произвольное упорядоченное
множество и / <= Кт. Тогда справедливы теоремы, аналогичные
теоремам 1—3 § 1.
Теорема 1. Наименьшая верхняя грань g= V ft [наи-
большая нижняя грань d = Л М, если она существует, яв-
*е=Г )
ляется единственным элементом множества К, удовлетворяющим
условиям
Л ift<g), Л (Ь<а)-*(£<а)
(соответственно
Л (d<ft), Л (a<f,)-*(fl<d))-
Теорема 2. Если Г= (J Ни и для каждого u^U суще-
ствует наименьшая верхняя грань gu= V /*, и если существует
наименьшая верхняя грань g= V fu TO существует наимень-
шая верхняя грань \/ gu и она равна g. Аналогично для
наибольших нижних граней.
Теорема 3. Если ср — перестановка множества Т и
существует наименьшая верхняя грань g= V ft, то существует
te=T
также наименьшая верхняя грань V Lm и она равна g. Ана-
t<=T ^[>
логично для наибольших нижних граней.
Теорема 1 непосредственно следует из определения
наименьшей верхней и наибольшей нижней граней. Теоремы 2 и 3
доказываются точно так же, как теоремы 2 и 3 § 1.
Для произвольного упорядоченного множества можно
доказать утверждение, аналогичное утверждению (3) § 1.

§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах 159
Теорема 4. Если существуют грани g = V ft и d = Л ft*
ts=T t^T
то d^ft^g для всех /gT.
Формулы (4) — (11) § 1 не имеют аналогов в произвольных
упорядоченных множествах.
Теорема 5. Если К — решетка, р, q ^ КГ и существуют
наименьшие верхние грани g{= V Pt и g2z= V gt> то суще-
te=T ts=T
ствует наименьшая верхняя грань V {pt V qt) и она равна
te=T
Si V #2- Аналогично для наибольших нижних граней.
Доказательство. В самом деле, g{ V g2^ Pt V gt для
любого t^T. Если Л {х^ PtV qt)y то Л {x^pt). Поэтому
x^g{ и аналогично x^g2i откуда х^ gx\J g2.
Условие, что К—решетка, мы использовали в самой
формулировке теоремы. Для произвольного упорядоченного
множества мы не смогли бы говорить о pt V qt и g\ V £2-
Теорема 6. Если К — решетка и существуют наименьшие
верхние грани \J ft и V (а A ft), то
t€=T *€=Г
V (aAftXaA V ft.
Аналогично для наибольших нижних граней.
Доказательство. В самом деле, a A ft ^ а и a/\ft^
^ft^ V ft Для любого / ^ Г; поэтому a Aft ^а A V ft> откуда
следует утверждение теоремы.
Неравенство в теореме 6 нельзя заменить равенством даже
в случае полных решеток Брауэра. Вместе с тем верна
Теорема 7. Если К — булево кольцо и существует
наименьшая верхняя грань V ft> то для произвольного а ^ К суще-
t^T
ствует наименьшая верхняя грань V (а A ft) и она равна
te=T
а Л V ft- Аналогично для наибольшей нижней грани.
ts=T
Доказательство. Так как a A ft < a A V ft для каждого
t^T, то достаточно показать, что если Л {a Aft^x), то

160
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
а Л V ft^x- Из условия следует, что — а V {а Л ft)^ — а V ху
te=T
поэтому fy< — a\J х для произвольного (еГ. Отсюда V /^
<-а\/л:, следовательно,
я Л V ^<аЛ (— a V*)<a;.
Наконец, для булевых колец верна теорема де Моргана.
Теорема 8. Если существует наименьшая верхняя грань
£=■- V ft> то существует грань Л {—ft) u она равна — g. Ана-
t<=T te=T
логично для наибольшей нижней грани.
Доказательство. Так как ft < g, то — g < —ft для
каждого t е Т. Если х«< —// для каждого ^еГ, то ff ^ —х, а
потому g<— х и л:<— g, откуда Л (-/*) = ~g.
t^T
Проведенный выше анализ показывает, что все основные
теоремы § 1 можно обобщить на случай полных булевых колец.
Для неполных колец эти теоремы верны при условии, что все
верхние и нижние грани, встречающиеся в условиях теорем,
существуют. Интересно отметить, что, хотя в законе
дистрибутивности не содержится знака дополнения (теорема 7), он
выполняется только для булевых колец. Еще более интересно
складываются обстоятельства для обобщенного закона
дистрибутивности, сформулированного в теореме 4 § 1. Мы покажем, что
булевы кольца вида 2х являются в принципе единственными
булевыми кольцами, для которых этот закон выполняется.
Сначала дадим два определения.
Определение 1. Булево кольцо К называется
дистрибутивным, если оно полно и для каждого множества М, каждой
функции /: М-*К и каждого разбиения М = (J Ти на сумму
непустых множеств
Л V U= V Л ft, . (1)
где
K = {Y<=2M: Л (¥(]ТиФ0)\. (2)
Определение 2. Элемент а называется атомом булева
кольца К, если а^К, афо и х<а-+х = о. Кольцо К назы-

§ JO. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах 161
вается атомарным, если для каждого элемента х ф о существует
по крайней мере один такой атом а, что а-*Сх.
Теорема 9. Каждое полное и атомарное булево кольцо К
изоморфно телу 2Л всех подмножеств множества А его атомов,
а именно существует такое взаимно однозначное отображение ф
множества К на 2А, что
a>(V ft)=\Jo{ft), О)
для любого множества Т и любой функции f^KTl).
Доказательство. Обозначим
Ф(х)={аЕА а<а:}, х^К-
Эта формула задает функцию, определенную на К, значениями
которой служат подмножества множества А. Очевидно, что
х<у-+Ф(х)аФ(у).
Функция Ф взаимно однозначна. В самом деле, пусть х
ну — элементы кольпа К. хАуФО- Т^ак как кольцо атомарно,
то существует такой атом а, что а^х — у. Из неравенств
а ЛхКа и а Л У^Са следует, что
аЛх = о или аЛх = а
и
аАу = о или аЛу = а.
Из равенств аЛх = оиаЛу~о следует, что.
а = а А {х — у) = (а А х) — (а Л у) = о — о = о,
т е. а = о, что противоречит определению 2. Равенства а Л х = а
и а Л У — а дают
а = а Л (я — у) = (а А х) — (а А у) = а — а = о,
что снова противоречит определению 2.
Таким образом, или а Л х = о и а А у = а, или аЛх = а if
аЛу = о. В первом случае anon-^л; и а-*Су, во втором а-^х
и а поп •< у. Значит, или а е Ф (у) — Ф (х), или А£Ф(х) — Ф (у) „
в обоих случаях Ф(х)ФФ(у).
Пусть fe /С7*. Если а е (J Ф(^), то существует такое t ^Ту
что агФ(/;)9 откуда a^.ft*C V ft, а потому сеФ(\/ /Л»
J) См. Тарский [4].

162
Г л IV. Бесконечные суммы, произведения
Итак, мы доказали, что
\J®(U)cz<S>{ V ft). (5)
Пусть теперь а е Ф I V //V т. е. а < V f/. Если a Aft = о
для каждого /, то а = а—(a A ft) = а — /, и, значит,
а = Л (a— ft) = а - V ft=a-(aA V М = а - а = о,
так как а А V /* = #• Но это противоречит тому, что а^Л.
Следовательно, существует такое / ^ Г, что оФ a A ff^a, т. е.
^ < /*, а потому АбФ (f,) cz (J Ф (ft).
t€=T
Итак, включение
доказано. Вместе с (5) оно дает равенство (3)
Еще проще доказывается равенство (4):
*«ф(л м-(а< л м- л (а</,)-
- Л (flsOft))Bfls f) Ф(Л)-
Осталось показать, что каждое множество X а А можно
представить в виде Ф(х) для некоторого х<=К. Положим
Т = Х, ft=U * = V fa
Сэта верхняя грань существует, так как кольцо К полно).
Тогда в соответствии с (3)
ф(*)= U ф(я)= U м-*.
аеХ аеХ
-поскольку а — единственный атом, содержащийся в а, и,
значит, Ф(а) = {а}.
Теорема 9 полностью доказана.
Теорема 10. Полное атомарное булево кольцо К
дистрибутивно.
Доказательство. Согласно теореме 9, существует
функция Ф, изоморфно отображающая К на тело подмножеств неко-

«5 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах 163
торого множества А. По теореме 4 § 1 из формулы (2)
следует
Г) U ф(Ь)= U Пф(/<)>
откуда в силу (3) и (4)
ф(Л V М = ф( V Л /Л.
Так как функция Ф взаимно однозначна, то отсюда еле-
дует (1).
Теорема II1). Полное дистрибутивное булево кольцо
атомарно.
Доказательство. Предположим, что К — полное,
дистрибутивное, но не атомарное кольцо, и пусть а0Фо — тот его
элемент, который не содержит ни одного атома. Пусть Ти = {и, —и}
для и е К и ft = t Aclq для t е К. Так как /( = (J Ти, то, со-
гласно предположению, верно равенство (1), где М = /С,
а К определяется формулой (2) для М = К. Из определения
множества Г„ следует, что
V ft=fuV LB = К Л«)\/(а0Л-«) = а0 A(ttV-«) = а0,
откуда
Л V ft = a0.
u<=U t<=Tu
В силу (1) существует такое множество Y0^K, что
Л !(фо.
Положим
Ь= Л /, = а0Л Л /. (6)
Поскольку а0 не содержит никакого атома, Ь не будет атомом,
т. е. существует такой элемент с, что
офс^Ь и с=И=6. (7)
Согласно определению класса К (см. (2)), У0Г\ Тсф 0, т. е.
или се У0, или —се У0, откуда следует (согласно (6)), что или
Ь^Сс, или 6^—с. В первом случае получаем (учитывая, что
') См. Тарский [4, стр. 195].

№4
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
с^Ь) Ь = с, во втором с^—с. Таким образом, или с = Ь, или
с = о вопреки (7). Полученное противоречие доказывает
теорему.
Ф Пример. Булево кольцо К плоских регулярно
замкнутых множеств полно, но не дистрибутивно.
Действительно, в гл. I (стр. 47) мы доказали, что К
является булевым кольцом с операциями U, ©/ и что в каждом
отличном от нуля элементе этого кольца содержится непустой и
отличный от него элемент. Таким образом, кольцо К не
атомарно. Из примеров 3 и 4 (стр. 126) следует, что кольцо К
полно, а тогда в силу теоремы 11 оно не дистрибутивно.
Этот пример интересен тем, что он показывает, что не все
законы алгебры множеств переносятся на булевы кольца даже
в случае полных колец1), ф
Упражнения
1. Доказать, что в полных атомарных кольцах верно равенство
V ЛИЛ Vf/. w
ue=U tezTtt Уе/С * е= У
двойственное равенству (1), и что существуют полные кольца, в которых
равенство (8) не верно.
2 Привести пример такой решетки Брауэра /С, что для некоторого
множества 7\ некоторой функции f^KT и некоторого элемента ае К
«Л( V ft]* V («AW.
\t€=T / t^T
3. Привести пример такой решетки Брауэра /С, что для некоторого
множества 7\ некоторой функции f е Кт и некоторого элемента а е К
существует наименьшая верхняя грань \/ ft, но не существует грани \/ (aAft)*
t€=T t
§11. Расширение упорядоченного множества
до полной решетки
Покажем, что каждое упорядоченное множество А можно
рассматривать как часть полной решетки (а именно такой, в
которой выполняются основные законы алгебры множеств), и рас-
1) Более глубокие результаты о дистрибутивности в булевых алгебрах
<см. Сикорский [2].
В этом параграфе мы обобщили на булевы кольца операции сложения
;и умножения множеств. Аналогично и другие операции над множествами
обобщались на случай булевых колец. Так, например, операцию декартова
ироизведения обобщает операция, рассматриваемая в цилиндрических
алгебрах, с теорией которых можно познакомиться по книге Генкина [1].

$ //. Расширение упорядоченного множества до полной решетки 165
смотрим аналогичную проблему для булевых колец. Для этого
введем сначала общее понятие вложения одной реляционной
системы в другую.
Определение 1. Реляционная система (Л, R) называется
подсистемой системы (5,5), если Л с: 5 и Л [xRy^xSy]
х,уе=А
(т. е. /? = (Л ХЛ)П5).
Определение 2. Система (5,5) называется
расширением системы (Л,/?), если существует подсистема (5b5i)
системы (5,5), изоморфная (Л,/?).
В последнем случае говорят также, что система (AtR)
погружается в систему (5,5) и функция, устанавливающая
изоморфизм систем (Л,/?) и (5j,5i), погружает (Л, R) в (ByS).
Теорема 1. Каждое упорядоченное множество А можно
погрузить в семейство всех подмножеств некоторого множества
(упорядоченное отношением включения) ы, значит, в некоторое
полное атомарное булево кольцо.
Доказательство. Обозначим
О (а) = {а:: х ^ а}, а^ А.
Из транзитивности отношения <1 следует, что
а<&->0(а)с=0(&).
ТаккакаеО(а), то 0(fl)cO(i)->flGO(())->a<(). Таким
образом,
а < b = 0 (a) с О (Ь),
откуда
0(а)=0(&)->а = &.
Следовательно, функция а-+0(а) погружает Л в семейство
множеств 0(a), упорядоченное отношением включения. Это
семейство, очевидно, можно расширить до семейства 2х, где
Х- (J 0(a).
а&А
Расширение, описанное в теореме 1, не сохраняет, вообще
говоря, граней, т. е. из равенства a = bVc (или а = Ь А с) не
следует, вообще говоря, 0(a) = 0(b) U 0(c) (или 0(a) = O(b)f)
(10(c)). Займемся теперь вопросом, можно ли расширить
множество Л до полной решетки с сохранением граней.

166
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Пусть функция ф погружает упорядоченную систему (Л,<^)
в упорядоченную систему (В, ^>в).
Определение 3. Погружение ф сохраняет верхние грани,
если для каждого множества Т и каждой функции f е Ат\
для которой существует V ft, существует также V ф (ft)
te=T te=T
и ф( V М= V <р(/,).
Аналогично для нижних граней.
Построим теперь расширение упорядоченного множества до
полной решетки с сохранением граней. Пусть А — множество,
упорядоченное отношением ^С Для произвольного множества
X с= А положим
Из этих определений непосредственно следует, что
(X cz Y)->{X+ zd Y+) Л {Х~ с= У)- (1)
ZczZ + ~ и ZczZ~+ для любого Z а А. (2)
В самом деле, по определению
(z€=Z)A(z'^Z+)->(z<z'),
поэтому
Доказательство второго утверждения аналогично.
z+~+ = z+ и z~+- = z~. (3)
Включение Z+czZ+~~+ следует из (2). Пусть а^г+~*>
тогда Л (z^a) и тем более Л (z^a), поскольку Zcz Z+~\
Таким образом, a^Z+.
Второе равенство доказывается аналогично.
Введем теперь для упорядоченных множеств понятие
сечения.
Пара множеств (X, Y) называется сечением упорядоченного
множества А, если Х+ = Y и Y" = X. Множество X называется
нижним классом, a У— верхним классом сечения.
Из этого определения следует, что
(х е X) Л 0/е/)-*(*< У)- (4>

$ П. Расширение упорядоченного множества до полной решетки 167
В самом деле, каждый элемент множества А4 находится
в отношении >• к каждому элементу множества Аг.
Далее, в силу (3)
каждая пара вида (z~, Z~+) и каждая пара вида
(Z+~, Z/ являются сечениями. Любое сечение можно (5)
представить в любом из этих видов.
Наконец, по определению сечения
пара \{а}~~, {а}+), где а^А, является сечением. \6)
Введем отношение порядка между сечениями:
(X, У><<£/, V) = XczU.
Для проверки того, что отношение <^ здесь действительно —
отношение порядка, докажем, что
(X, Г)<((/, V)^VczY. (7)
Пусть X cz U и dgF. Если xgX, то х е U = V~, а
потому х К v. Отсюда v & Х+ = Y и, значит, V cz Y. Аналогично
доказывается обратная импликация.
Обозначим через ^ семейство всех сечений.
$ — полная решетка. (8)
Пусть 8 cz % Обозначим
S= [J X, Т= [J X.
Сечение (S+~, S+) является наименьшей верхней гранью
множества в. Действительно, S с S+", следовательно, (X, X+)K(S+~y S+\
для каждого сечения (^Д+)е8. Если (X,X+)^.(U, V) для
каждого {X, *+> е8, тоХс(/, а потому SczU. Отсюда S+:=>[/+ =
- V, и тогда (5+ - S+) < ([/, К).
Аналогично доказывается, что сечение (Г-, Г_+) является
наибольшей нижней гранью множества 8.
Функция f(x) = ({x}~, {х}+) погружает А в 9$ с сохране- /д\
нием граней.
Доказательство. Из определений следует, что
х<у={х}~ cz{y}- = f{xXfiy).
Возьмем х= V Ф/ в множестве А. Тогда ytKxy а потому
/(фО-^/М Для 'е г-
Пусть сечение (X, Y) таково, что f(yt)^C{X, Y) для /бГ,
Тогда Wei, а так как ф* е {ф J-, то ф*еЛ\ Значит, ф*^//.

168 Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
для любого y^Y, откуда следует, что х<Су. Поэтому ^eF" =
= X, откуда {x}~czX и f(x)*C{X, У). Таким образом, f(x) =
= V Дер*) в множестве $.
t
Для нижней грани доказательство аналогично.
Из (9) следует
Теорема 2. Каждое упорядоченное множество А можно
расширить с сохранением граней до полной решетки 9$]).
Построенную выше решетку 4$ называют минимальным рас-
ширением упорядоченного множества А.
Займемся более подробно случаем, когда А — булево кольцо.
Сначала заметим, что если Z\ и Z2— произвольные
подмножества упорядоченного множества Ау то
(z{[]z2)+ = ztnzL (z, и z2y = zr n z2. (Ю)
Пусть теперь А — решетка. Докажем, что если Yx и Y2 —
верхние классы двух сечений в Л, то Y\ П Y2— множество всех
элементов вида y\Wy2, где уi e Y{ для i = 1,2.
В самом деле, УхУу^Уг и, значит, yxVy2& Yi для i = 1, 2.
Кроме того, у ^Y\ Г) Y2-+y = yVy, причем первое слагаемое
можно считать элементом множества Yu а второе — элементом
множества Y2.
Аналогично доказывается, что если Х\ и Х2 — нижние классы
двух сечений в А, то ХЛ П Х2 — множество всех элементов вида
х\ А х2, где Х{ е Х\ для i = 1, 2.
Из этих замечаний и равенств (10) получаем, что если А —
решетка и {Хх, Ki), (X2l Y2)—два ее сечения, то
(Хх U Х2)+ - Y{ П Y2 = {ух V у2: (ух е= Y{) А (йеГ2)},
(Ух U Y2V = ХХ(]Х2 = {х{ А х2: (хх е= Хх) А (х2 е= Х2)}.
Из определения граней в решетке ^5 (см. доказательство
утверждения (8)) следует, что для любого упорядоченного
множества А и любых двух его сечений
(Хх, Y{)W(X2y Yj = {(Xi[)XJ+-, {Хх\)Х2)+) =
= ((Y{nY2r, YX{]Y2)9 (12)
(Хх, У,) Л (Х2> Y2) = ((Yx U У2Г, (Yx U У2Г+> =
=<*ifU2, (XX()X2)+). (13)
') Метод доказательства теоремы 2 восходит к Дедекинду [1], который
ввел понятие сечения (для линейно упорядоченных множеств) и применил его
для определение вещественных чисел. Обобщение на произвольные
упорядоченные множества' дал Макнейл {1J. Новые результаты в этой области
приведены в статье Брунса [1].

§ //. Расширение упорядоченного множества до полной решетки 169
Наконец, пусть Л—булево кольцо и Z* = {—г: z<=Z] для
произвольного множества ZaA.
Если (X, Y) — сечение в Л, то (Y*, X*) — также сечение в Л.
(14)
Доказательство этого утверждения оставляем читателю.
Теорема 3. Минимальное расширение булева кольца
является булевым кольцом.
Доказательство. Пусть ^—минимальное расширение
булева кольца Л. Достаточно показать, что ty—дистрибутивная
решетка с нулем О и единицей / и для каждого сечении
{X, У)е ^Р существует такое сечение (Х{, Y\)^^t что
(X, Y) A (Xl9 Yx) = О, (X, Y) V {Хи Yx) = / (15)
(см. теорему на стр. 50).
Очевидно, что нулем в Щ является сечение О = {{о}9 А),
а единицей — сечение I = (A,{i}). Сечение (У*, X*),
определенное в (14), удовлетворяет условиям (15). Действительно,
нижний класс сечения (X,Y)A{Y*9X*) есть X Г) К* (см. (13)).
Единственный элемент этого множества — о, поскольку
asXnr->(asJ[)A(-fley)->(a<-a)->a = o.
Это доказывает первое из равенств (15), второе доказывается
аналогично.
Осталось доказать закон дистрибутивности. Так как
(aAc)V(bAc)^(aWb)Ac
для каждой решетки, достаточно показать, что если (Х\, Y\),
(А"2, Y2) и {U, V) —три сечения в Л, то
((Xl9 Y{)V(X2i Y2))A(U, K><
<«*„ Y{)A(U, V))V«X2, Y2)A(U, V)).
Используя (12) и (13), сводим это неравенство к виду
(Yx Л Y2y П U а [(Х{ П U)+ П (Х2 П С/)Т.
или, согласно (11) и определению множеств Z+ и Z-.
Г(ае=£/)Л Л (a^y{Vy2)A
I у^ к.. ^ е у2
Л Л {Ь>х{Ли)А(Ь>х2Ли)\-+(а^Ь). (16)
Предположим теперь, что элементы а и b удовлетворяют
посылке импликации (16). Тогда b^-XiAa для любого Xie4

170
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
откуда —а\/Ь^х\. В силу произвольности Х\ элемент у-=—а\/Ь
принадлежит Y\. Аналогично у ^ Y2. Так как а удовлетворяет
посылке импликации (16), то a^CyVy = у = —aVft н
а<аЛ(—aWb) =a/\b <&. Это доказывает импликацию (16),
а вместе с ней теорему 3.
§ 12. Теория представления дистрибутивных решеток
Основное понятие в этой теории — понятие идеала1).
Определение. Идеалом дистрибутивной решетки А
называется такое непустое множество / с: Л, что
(ae/)A(4e/)-*(aV»e/), (1)
(a<ft) Л (ft€=/)-*(as/). (2)
Идеал / называется простым, если / Ф А и для a, b e A
(aA6)E/^[(ae/)V(6G /)]. (3)
Пример 1. Пусть Л — решетка множеств (например, всех
подмножеств произвольного множества X) и а — произвольный
элемент суммы S(A). Семейство / множеств М^Л, не
содержащих элемента а, образует простой идеал в А.
Если я, ft, с, ..., — произвольные, не совпадающие элементы
суммы S(A), то семейство тех М^А, которые не содержат ни
одного из элементов а, 6, с, ..., также является идеалом, но»
вообще говоря, не простым.
Пример 2. Семейство всех конечных множеств М е А
является идеалом в А.
Ф Пример 3. Если А— семейство всех подмножеств
множества вещественных чисел, то семейство множеств лебеговой
меры 0 образует идеал в А. ф
В произвольной решетке множество {х: х^а} есть идеал.
Называется он главным идеалом, порожденным элементом а.
Мы будем пользоваться следующими общими свойствами
идеалов:
(aV*e/)->(flE/)A(is/). (4)
1) Вместо идеала многие авторы — особенно в последнее время —
используют понятие фильтра, т. е. подмножества множества Л, удовлетворяющего
условиям, двойственным условиям (1) и (2):
(ае/)Л(ЙЕ/)->(аЛ^ /), (а>6)Л(^/)->(ае /).
Все приведенные ниже теоремы об идеалах можно превратить в теоремы о
фильтрах простой заменой символов V, Л, ^ символами V, Л, ^,

§ 12. Теория представления дистрибутивных решеток 171
В самом деле, a^CaVb и 6<aV6. Если avfte/, то а<=1
и Ь е/ в силу (2).
(а €=/)-* (а Л ft) G/. (5)
В самом деле, аЛЬ^Са.
Множество Г (6) таких элементов х, что x^iyb для^не- ,„.
которого /е/, является идеалом и /си/*(6), бе/*(ft). W
В самом деле, если x^iiV b и y^Ci2Vb, то xVy^
K(i\Vi2)Vb, откуда xVye/*(6), поскольку ijV^e/. Если
xKiVb и */<*, то y^CiVb. Таким образом, /*(6)— идеал.
Включения /с/*(6) и 6е/*(&) очевидны.
Пусть идеалы It для t^T образуют такое монотонное
семейство идеалов, что a^It, b<£It для каждого t. Тогда ,_*
сумма I = [J It является идеалом и а^1, Ъф. I.
te=T
В самом деле, если л; е /*, и # e /*2, то оба элемента х, #
принадлежат либо /ь либо //2. В каждом из этих случаев
(jcVy)e /. Если у & It к х ^С у, то х ^ It, а потому х е /. Таким
образом, / — идеал и, очевидно, что а е /, 6^/.
£сли b поп^ а, го существует такой идеал /, «гго й£/, fe ^ /
(8)
Действительно, таким идеалом будет множество {х: х^Са}.
Пусть Ьпоп^Са и Ра,ъ — семейство всех идеалов,
содержащих а и не содержащих Ъ.
Если решетка А дистрибутивна и b поп ^ а, то каждый
максимальный элемент I семейства Ра>ь является простым (9)
идеалом.
В самом деле, возьмем xAy^I. Если хф1, то
/—собственное подмножество идеала /*(я), а тогда 1*(х) не
принадлежит семейству Ра,ъ- Так как йе/*(х), то и 4е/*(х), откуда
b <1 i'i V* для некоторого и е /. Аналогично, если у ^ /, то
b -< i2 Vy для некоторого /2 e /. В силу дистрибутивности
решетки Л
ft = ftAft<(*i Vx)A(i2Vy) =
= (i, Л /2) V (/, Ay)V{xA i2) V (* Л у). (I)
Элементы i'i Л /2, иЛу и хЛ/г принадлежат / в силу (5),
а элемент xAi/ мы взяли из /. Поэтому правая часть в (I)
принадлежит /, откуда, согласно (2), бе/ вопреки условию
/ е Ра, ь- Таким образом, предположение, что. ни jc, ни у не

172
Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
принадлежат /, ведет к противоречию. Так как Ьф1у то I Ф А.
Следовательно, / — простой идеал.
В гл. VII, стр. 268, из (7) и (8) мы получим (с помощью
аксиомы выбора) следующий результат:
Семейство Ра>ь имеет максимальный элемент, т. е.
существует идеал I^Patb, который не является собственным (°10)
подмножеством никакого идеала из Ра,ь.
Итак, мы ввели понятия дистрибутивной решетки, булева
кольца, решетки множеств, тела множеств. Приведем схему,
показывающую взаимосвязь между этими понятиями:
дистрибутивная решетка
/
решетка множеств булево кольцо с 1
\ /
тело множеств
Докажем, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна
решетке множеств, а каждое булево кольцо с единицей — телу
множеств.
°Теорема 1. Для каждой дистрибутивной решетки
существует изоморфная ей решетка множеств.
Доказательство. Пусть А—дистрибутивная решетка.
Элементу а^А ставим в соответствие семейство R(a) простых
идеалов /, для которых аф1.
Это соответствие взаимно однозначно. Действительно, если
афЬ, то либо anon^Cfr, либо Ьпоп^Са. Тогда, согласно (9)
и (10), существует такой простой идеал /, что либо I^Pat*t>
либо /€=Рь>а, т. е. такой, что либо ае/, Ьф1, либо бе/,
аф1. В первом случае I^R(b), I^R(a), во втором —
/e=jR(a), I<£R(b). В обоих случаях R(a) ФR(b).
Из (1) и (4) получаем
Ie=R(a\/b)^(aVb)&I^[(a&I)V(b<£I)]^
^[I^R{a)\/I^R(b)]^[I^R(a)l}R(b)i
а из (3) и (5)
I<=R(aAb)={aAb)<£I=z{a<£I)A{b<£I)^
^[I<=R{a)]A[I^R(b)] = [It=R(a)nR{b)\.
Следовательно,
R{aVb) = R(a)\JR(b), R{a Ab) = R(a)[)R{b).

S 12. Теория представления дистрибутивных решеток 17&
Эти равенства доказывают, что класс, составленный из всех
семейств R(a), является решеткой множеств, изоморфной
решетке А.
°Теорема 2. Для каждого булева кольца существует
изоморфное тело множеств.
Доказательство. Если решетка А из теоремы 1
представляет собой булево кольцо, то в ней существуют нулевой
элемент о, единичный i, и для каждого а ^ А такой элемент
—а^А, что аЛ(—а) = о и aV(—a) = i. При соответствии
a->R(a) элементу о соответствует пустое множество, а
элементу f — все кольцо А. Так как А = R(aV —a) = R(a) U R{—a)
и o = R{aA{—a)) = R(a)()R(—a), то R{—a) = А — R(a).
Таким образом, множество всех семейств R(a)—не только
решетка множеств, но и тело множеств.
Приведем для теоремы 2 еще топологическую интерпретацию.
Пусть А — булево кольцо с нулевым элементом о и единичным i,
и пусть Р — множество всех простых идеалов кольца А.
Каждое из семейств R (а) назовем окрестностью каждого своего
элемента. Для любого множества X а Р будем считать, что
/ ^ Ху если каждая окрестность идеала / содержит элемент
из X.
°Теорема 3. (I) Р — компактное топологическое
пространство. (II) Множества R{a) одновременно открыты и замкнуты
в Р. (III) Каждое открытое и замкнутое множество в Р
совпадает с одним из множеств R(a).
Доказательство. Проверку аксиом топологии оставляем
читателю.
Для того чтобы доказать, что пространство Р компактно,
рассмотрим центрированное семейство К замкнутых множеств.
Покажем, что f] X фО.
Обозначим через /С* семейство всех конечных произведений
вида Q Xj, где п — произвольное натуральное число, а Х$ ^ К.
Таким образом, семейство /С*— это семейство непустых
замкнутых множеств. Положим
■\а*=А: V (*(а)П* = 0)1.
Очевидно, что а\ Ка2 ^ I-+ax e I. Если а\,а2^1> то
R(ai)[) Х\ = 0 = R{a2)[) Х2 для некоторых ХиХ2^К*, поэтому
W{al)[}R(a2)](](Xx0X2) = 0. Так как ХхГ\Х2^К* и R(a])[)
UR{a2) = R(ai\^a2)t то ах\/а2^1. Следовательно, / — идеал.

174 Гл. IV. Бесконечные суммы, произведения
Покажем, что 1ф1. В противном случае для некоторого
множества XgK* было бы R(i)0 X = 0, откуда А Л X = О, т. е.
X = 0, вопреки центрированности семейства К.
Таким образом, в силу (10) существует простой идеал
/o=>/. Значит, он принадлежит Р. Покажем, что IQ^ f] X.
Пусть X — произвольное множество, принадлежащее /С, и
пусть R(a)—окрестность идеала /0. Тогда аф10 и тем более
аф1. По определению идеала / тогда R{a)[\Y ф§ для
каждого У^К*; в частности, R(a)f] X Ф0. Следовательно, каждая
окрестность идеала /0 имеет непустое пересечение с А', а потому
/оеХ = Х, откуда /0е Q X, и утверждение (I) теоремы 3
доказано.
Второе утверждение справедливо, поскольку семейство R(a)
открыто в Р (как окрестность), а его дополнение Р — R(a)
открыто, так как оно равно R(—а), т. е. также окрестность.
Чтобы доказать последнее утверждение, предположим, что
множество X открыто и замкнуто в пространстве Я, и пусть
L = {R(a): R(a)czX}. Так как каждый элемент открытого
множества X имеет по крайней мере одну окрестность R(а),
содержащуюся в X, то (J Y = X и потому X (] Q (Р — Y) = 0.
Следовательно, семейство, составленное из множества X и из
множеств Р—У, где Y ^ Ly имеет пустое пересечение.
Поскольку оно состоит из всех замкнутых множеств, оно не
центрировано, т. е. существует такое конечное подмножество
lR(a0), iR(a,) Jf(an_,)} семейства L, что * П fl{P-R{aj)) =
= 0. Тогда /<я
Х= U *(a,H*(V а,)9
i <n \i<n J
т. е. X имеет вид R(a), что и требовалось доказать.
Построенное в теореме 3 пространство Р называется
пространством Стоуна кольца А.
Из теоремы 3 вытекает
°Следствие 4. Каждое булево кольцо с единицей
изоморфно телу открыто-замкнутых множеств компактного
пространства ]).
1) Изложенная в этом параграфе теория представлений булевых колец
восходит к Стоуну [1]. Обобщили эту теорию на случай булевых алгебр с
операторами Йонсон и Тарский [1]. Существует обширная литература,
посвященная представлениям неднстрибутивных решеток. Литературу до 1948 г.
приводит Биркгоф в книге [1]. Из более новых работ см., например, Йонсон
II, 4, 5] и Гретцер [1].

$ 12. Теория представления дистрибутивных решеток 175
У пражнени я
1. Построить решетку множеств, изоморфную решетке N, упорядоченной
отношением делимости.
2. Если идеал 1Ф А дистрибутивной решетки А максимален (т. е. каждый
идеал, содержащий /, равен либо Л, либо /), то он простой. Обратное не
верно.
3. Если А — булево кольцо с единицей, то идеал / прост тогда и только
тогда, когда для произвольного ае/1 либо а е /, либо —а е /.
4. В булевой алгебре с единицей понятия простого идеала и
максимального идеала, отличного от Л, совпадают.
5. Семейство идеалов дистрибутивной решетки А само будет
дистрибутивной решеткой, если в качестве отношения порядка взять отношение
включения.

Гл ава V
ТЕОРИЯ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В этой и всех последующих главах мы будем использовать
систему аксиом 2°(TR) (см. стр. 63) и аксиому VIII,
сформулированную на стр. 93. Как обычно, теоремы, не отмеченные
знаком °, доказываются без аксиомы выбора.
§ 1. Равномощность множеств. Кардинальные числа
Введем понятие равномощности множеств, одно из самык
интересных и важных понятий теории множеств1).
Определение. Два множества А и В равномощны, если
существует взаимно однозначная функция f с областью
определения А и множеством значений В. В этом случае пишут
А ~ В и говорят, что f устанавливает равномощность мно-
жесте А и В.
Пример 1. Если А — конечное множество, то множество В
равномощно множеству А тогда и только тогда, когда В имеет
столько же элементов, что и А. Таким образом, понятие
равномощности обобщает на произвольные множества понятие
равночисленное™ конечных множеств.
Ф Пример 2. Пусть А — интервал ах < х < а2, В —
интервал Ь\ < х < Ь2. Функция
взаимно однозначна и отображает множество А на В.
Следовательно, А ~ В. ф
Теорема 1. Для произвольных множеств Л, В, С
А~А, (Л~Й)->(Й~Л), (Л~В)Л(Й~С)->(Л~С), (1)
1) Впервые систематически исследовал понятие равномощности Кантор
[I]; раньше него применял это понятие Больцано [1].

§ I. Равномощность множеств. Кардинальные числа 177
т. е. отношение равномощности рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Доказательство. Равномощность множества Л самому
себе устанавливает функция 1А (стр. 78). Если функция /
устанавливает равномощность множеств Л и В, то функция fc
устанавливает равномощность множеств В и А (стр. 77). Если
функция / устанавливает равномощность множеств А и В, а
функция g— равномощность множеств В и С, то суперпозиция
gof устанавливает равномощность множеств Л и С (стр. 78,
теорема 2).
Верны следующие формулы:
(АХ В)~(ВХ Л), (2)
(Ах{а})~А~А{а\ {а}д~{а}, (3)
[ЛХ(ВХС)]~[ИХВ)ХС], (4)
{А{~ВХ)А{А2~В2)->[{А{ X Ай)~{Вх X В2)], (5)
(Л~В)->(2Л~2*), (6)
(Л, - В{) А (Л2 - В2) А (А{ П Л2 = 0 = В, П В2) ->
^(Л.иЛо^В.иВз), (7)
y**'~(K*)rf (8)
(FXZ)^(FXZ^), (9)
(ЛПВ = 0)->(Гли*~ГлХУ*). (10)
Мы опускаем доказательства формул (2) — (7), так как они
не сложны. Докажем формулы (8) — (10).
Пусть |gFxt, т. е. / — функция двух переменных х и i
(первая пробегает множество X, вторая — множество Г),
значения которой принадлежат Y. Для каждого фиксированного I
функция gt (одной переменной х)> определенная равенством
gt(x) = f(x, t), отображает X в К, т. е. принадлежит
множеству Yx. Функция F, определенная равенством F(t) = gt, ставит
в соответствие каждому t ^ Т элемент множества Yx, т. е.
F<=(YX)T.
Если /i и f2— две различные функции, принадлежащие
множеству YXXTt то и соответствующие им функции F\hF2 также
различны. В самом деле, если f\(x0,t0) =£Ы*о, *о), то элементы
^i(^o) и F2(to) множества Yx различны.
Каждая функция F^(Yx)T оказывается сопоставленной
описанным выше способом некоторой функции f^YXXTy a
именно функции /, определенной равенством f(x, t) = gt(x), где
g, = F(t):

178
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Таким образом, сопоставляя функции f ^ YXXT функцию
Fg(F)t, мы устанавливаем взаимно однозначное
отображение множества YXxT на множество (YX)T, т. е. формула (8)
верна.
Чтобы доказать (9), заметим, что если [g(FxZ)x, to f(x)
для каждого х^Х является упорядоченной парой (#(*),Л(*))>
где g(x)^Y и h(x)^Z. Отсюда следует, что jgF и h^Zx.
Легко убедиться, что, сопоставляя функциям f пары (g,h), мы
устанавливаем взаимно однозначное отображение множества
(Y X Z)x на множество Yx X Zx.
Наконец, чтобы доказать (10), сопоставим каждой функции
|£Улив упорядоченную пару сужений (/|а,/|б). Легко
убедиться, что при этом множество YA[jB взаимно однозначно
отображается на YA X YB.
Формулы (2) и (8) —(10) представляют собой частные слу*
чаи следующих теорем.
Теорема 2 (закон коммутативности). Пусть
F(=(2A)X. Если ф — перестановка множества X, то
II Fx~ П F^(x). (11)
хеХ х<=Х Т
Доказательство. Сопоставим каждой функции
/gJI^ суперпозицию £ = /°ф. Если f\-=hf<>, то !\(х)Ф f2(x)
X
для некоторого х е X. Поэтому, полагая £ = ФС(#), получаем
Ыф(#))=£ fc(ф(#)), или Sibf)^ g2(y). Таким образом,
соответствие, установленное равенством £ = /°ф, взаимно однозначно.
Функция £ = /°ф принадлежит декартову произведению
II /><*). В самом деле, если хеХ, то f((p(x))GF(pW, т. е.
X
g (X) <= Fq U).
Наконец, каждую функцию, принадлежащую декартову
произведению Ц /чин можно представить в виде /оф, где
х
f е И Fx. Для этого достаточно взять f равной я°Фс.
х
Теорема 3 (закон ассоциативности). Пусть
F^(2A)X. Если Х= U Ту и все множества Tv попарно не пе~
ресекаются, то
И /vr-Il ( II Fx). (12)
Ах~ II {Ату\ (13)

§ I. Равномощность множеств. Кардинальные числа 179
Доказательство. Обозначим Gy= Ц Fг. Это множе-
хевТу
ство таких функций / с областью определения Ту, что /(*)<=
^ FXl если х^Ту. Множество Ц Gu состоит из таких функ-
ций g с областью определения У, что g(y)^Gyy если у^У.
Значение g(#) функции g будем обозначать gy. Это такая
функция с областью определения Ту, что gy(x)^Fx.
Сопоставим функции g^ Ц G^ функцию /, заданную ра-
венством
f(x) = gy(x), (I)
где #— тот элемент множества У, для которого х^Ту.
Областью определения этой функции служит множество А'
и f(x)^Fx для каждого хе! Следовательно, /^ Ц Fх.
хе'Г
Отображение, сопоставляющее функциям g функции /,
взаимно однозначно. В самом деле, если gO^gf2), то существует
такой элемент # е У, что цух)Фё{у}, и потому существует
такой элемент хе Ту> что g^H*)^gjfM-Тогда в силу (I) f^(x)^
ФРЦх).
Осталось показать, что каждая функция f е Д Т7^ сопо-
ставлена некоторой функции g. Для этого достаточно заметить,
что функция g, значение которой в точке у ^ У равно
Sy = f
Ту,
принадлежит декартову произведению Ц Gy и удовлетворяет
у
равенству (I).
Для доказательства формулы (13) достаточно в (12)
положить Fx = А для каждого х.
Теорема 4 (закон возведения в степень
декартова произведения). Пусть F ^(2А)Т. Для каждого
множества Н
(п^г-пад. (и)
Доказательство. Зададим на множестве ТхН
функцию Gx равенством G<*. л> = Ft. Декартово произведение можно
представить в виде суммы попарно непересекающихся
множеств двумя различными способами:
Т X Я = (J Г„ = U Ни
Лея *е=Г

180
Гл. V. ТеориЛ кйрдинальных чияел
где Th — множество всех пар со вторым элементом /i, а Яг
множество всех пар с первым элементом /.
Дважды применяя теорему 3, получаем
Х€=ГХ Н
П СЖ~Ц ( П Gx), (15)
П Gx~ П /II Gx). (16)
Для х^ Ht имеем х = (/, Н) и, значит, Gx = F/, откуда
x^Ht
Гак как Я/ -^ Я, то
{Ft)H'~F? и Ш/^'-ГИ^).
Из (15) получаем
П G,~ri(/f). (17)
Сопоставляя при данном h функции g^ Л Gx функцию /у
х^тн
заданную равенством /(/) = g(t, Л), убеждаемся, что
П о,~пл,
x*=Th t^T
а в силу (16)
П Gx~(UFt)H. (18)
Формула (14) непосредственно следует из (17) и (18).
Если множества А и В равномощны, то говорят, что они
имеют одинаковую мощность, или одно и то же кардинальное
число. Разумеется, этим не определяется понятие мощности
множества, или его кардинального числа, а только вводится новый
термин для понятия равномощности1). В конечном счете
этот термин не обязателен, поскольку теоремы теории множеств
можно сформулировать так, чтобы в них шла речь не о
свойствах кардинальных чисел (или мощностей), а об отношениях
между ними, и эти отношения всегда можно доказать при
помощи понятия равномощности.
]) Кантор определял мощность, или кардинальное число, множества А
как такое его свойство, которое остается после абстрагирования от качества
элементов множества А и от их порядка. Чтобы подчеркнуть этот двойной
акт абстрагирования, Кантор для обозначения мощности множества Л ввел
символ А.

§ 2. Счетные множества
18F
Однако многие теоремы теории множеств становятся более-
обозримыми, если они сформулированы как теоремы о
кардинальных числах. Это и оправдывает введение в теорию множеств-
кардинальных чисел.
Легко доказывается
Теорема 5. Для того чтобы множества А и В были рав-
номощны, необходимо и достаточно, чтобы реляционные
системы (А, Ах А) и (В,ВХВ) были изоморфны.
Реляционный тип системы {А, А X Л) будем обозначать
символом А и называть кардинальным числом, или мощностью,-
множества А. Из теоремы 5 и аксиомы VIII вытекает
Т е о р е_м а _6. Для произвольных множеств А и В условия
А ~ В и А = В эквивалентны.
Эта теорема позволяет представлять результаты о равно-
мощности множеств в виде равенств кардинальных чисел.
§ 2. Счетные множества
Пусть X — конечное множество, содержащее ji элементов,-
тогда теорема 6 § 1 выполняется, если положить X = п. В
дальнейшем кардинальное число конечного множества будем
отождествлять с числом его элементов.
Таким образом, теория мощностей конечных множеств не
выводит нас за рамки арифметики натуральных чисел. Новые
ситуации появляются только тогда, когда мы переходим к
рассмотрению бесконечных множеств.
Определение. Множество А называется счетным, если;
оно конечно или равномощно множеству натуральных чисел.
Очевидно, что любые два бесконечные счетные множества
равномощны (см. § 1, теорема 1). Кардинальное число
бесконечных счетных множеств обозначим через а.
В гл. III мы определили последовательность как функцию^,
областью определения которой служит множество натуральны*
чисел. Из этого определения следует, что бесконечное
множество А счетно тогда и только тогда, когда оно служит
множеством значений последовательности с попарно различными
членами. Допуская некоторую вольность, можно сказать, что-
множество А счетно, если его элементы можно «расположить»
в бесконечную последовательность аьЯг, #з,... .

182
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Теорема 1. Каждое непустое счетное множество является
множеством значений некоторой бесконечной
последовательности. И обратно, множество значений произвольной
бесконечной последовательности счетно и непусто.
Доказательство. Конечное множество {аи а2, ..., ак)
есть множество значений бесконечной последовательности
f(0) = a0, -.., f{k) = ak, f(k+l) = ak, ..., f{k + j) = ak, ... .
Бесконечное счетное множество ectb по определению множество
значений некоторой бесконечной последовательности.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
множество X значений бесконечной последовательности ф. Пусть
гро = Фо и
*«+1 = Фт> ГДе т = min Г Ля(ф*¥=*/)!,
или же
/Фгг+1==Фо» если нет такого ft, что Л ('ф/^ф/г).
Кп
По индукции легко доказать, что для каждого п существует
такое ft, что Л (г^/^Фь)- Отсюда следует, что Л (<фгг+1=т^'ф/) и
/ ^ п / ^ п
таким образом, все члены последовательности ф различны.
Осталось показать, что каждый элемент множества X будет членом
последовательности *ф.
Предположим, что множество {ft: щ не является членом
последовательности г|э} непусто, и пусть ft0— наименьший его
элемент. Очевидно, что ft0 > 0. Если i < ft0, то фг — член
последовательности гр, например ф* = *фт(*)- Пусть m = maxm(/). Наи-
меньшее такое число ft, что Л (ф^^'ф/)» к^к раз и равно ft0.
Km
По определению последовательности \|? тогда /Фт+1 = Ф^0, что
противоречит выбору k0.
Теорема доказана.
Аналогично доказывается
Теорема 2. Любое подмножество счетного множества
счетно.
Теорема 3. Сумма двух счетных множеств счетна.
Доказательство. Так как случай, когда одно из
данных множеств пусто, не представляет трудности, будем считать,
что А — множество значений последовательности
#0» а1> • • • > ап> • • • >

§ 2. Счетные множества
Ш
а В — множество значений последовательности
&о> Ь\9 ..., Ьп, ....
Тогда сумма А [) В есть множество значений
последовательности
«о» foo> ai> bu аъ b2, ..., аП) bni ...
и потому счетна.
Можно доказать по индукции, что сумма любого конечного*
числа счетных множеств счетна.
Следствие 4. Сумма конечного и счетного множеств
счетна.
Теорема 5. Декартово произведение двух счетных
множеств счетно.
Доказательство. Если множества А и В счетные и
бесконечные, то А ~ N и В ~ Л/, откуда А X В ~ N X N. В силу
теоремы 1 (стр. 103) N X N ~ Л/; следовательно, А X В ~ N.
Если одно из множеств Л, В или оба они конечны, то А X В
равномощно некоторому подмножеству произведения N X N,
т. е. подмножеству множества N. Таким образом, утверждение
нашей теоремы следует из теоремы 2.
Теорема 6. Если множество А счетно, то множество всех
конечных последовательностей его элементов также счетно.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 4
гл. III § 3.
Теорема 7. Если i|) — бесконечная последовательность,
члены которой — также бесконечные последовательности, то
множество X элементов х, являющихся членами последователь-
ноет ей ф„, счетно.
Доказательство. По определению
Х=\х: \/(х = фт, п) X = \х: V {х = $к (р), l <p>) \ •
( /л, п ) К Р J
Таким образом, X — это множество значений
последовательности ф, определенной равенством фр = трщр), цр)-
°Теорема 8. Если А ^-последовательность, члены
которой— непустые счетные множества, то сумма {J Ап счетна.
п
Доказательство. Обозначим через Сп множество
последовательностей ф, для которых Ап будет множеством значений.
По условию Сп 4= 0 для каждого п &~ N. Тогда, согласно аксиоме
выбора, существует такая последовательность i|), что г|)п е Сп

184
Гл. V. Теория кардинальных чисел
для каждого п. Таким образом, сумма (J Ап есть множество тех
п
jc, для которых существуют такие m, n& N, что х = г|)т, п- В
силу теоремы 7 это множество счетно.
Замечание. Необходимость применения аксиомы выбора
в доказательстве теоремы 8 обусловлена тем, что хотя для
каждого счетного множества существует бесконечная
последовательность, состоящая из всех его элементов, но для данного
множества таких последовательностей бесконечно много и у
нас нет способа выделения какой-то одной из них. Другими сло-
шами, у нас нет способа сопоставления каждому счетному
множеству бесконечной последовательности, содержащей все его
элементы.
Ф Приведем теперь некоторые примеры счетных множеств.
Пример 1. Множество целых чисел счетно.
В самом деле, это множество представляет собой сумму
.N U Л/', где N'— множество чисел «<0. Так как N ~ N' (равно-
мощность этих множеств устанавливает функция /(я) =—я), то
множества N и N' оба счетны, а тогда N\)N' также счетно.
Пример 2. Множество рациональных чисел счетно.
В самом деле, последовательность ф, заданная равенством
гфр =/С (/?)//,(/? + 1), содержит в качестве своих членов все
положительные рациональные числа и только их. Значит, множество
всех положительных рациональных чисел счетно, и потому (см.
^пример 1) множество всех рациональных чисел также счетно.
Пример 3. Множество многочленов от одной переменной
с целыми коэффициентами счетно.
В самом деле, каждому многочлену с целыми
коэффициентами взаимно однозначно соответствует последовательность его
коэффициентов, а множество всех конечных
последовательностей целых чисел (согласно теореме 6) счетно.
Пример 4. Множество алгебраических чисел счетно.
В самом деле, каждому многочлену соответствует конечная
последовательность всех его корней: в качестве первого члена
этой последовательности берем корень с наименьшим модулем
и с наименьшим аргументом среди всех корней этого модуля; в
качестве второго члена — корень, отличный от первого, с
наименьшим возможным модулем и с наименьшим аргументом
среди всех корней этого модуля и т. д. Согласно теореме 7,
множество всех алгебраических чисел счетно.
Этот результат можно получить из теоремы 8, но тогда при*
.шлось бы пользоваться аксиомой выбора, ф

S S. Шкала кардинальных чисел
185
У пражнения
1. Доказать, что множество всех* интервалов (в пространстве
вещественных чисел) с рациональными концами счетно.
2. Доказать для трехмерного евклидова пространства и вообще для
пространства %п, что множество шаров рационального радиуса и с центром в
точке с рациональными координатами счетно.
3. Пусть / — функция, определенная на множестве вещественных чисел1
и принимающая значения из этого множества. Говорят, что функция f
имеет собственный экстремум в точке а, если существует такой интервал Я,
содержащий а, что f(x)<f(a) для xgP — (а) (или f(x) >f(a)). Доказать,,
что множество собственных экстремумов функции f счетно.
Указание: используйте упражнение I.
Обобщить на функции, определенные в пространстве %п (заменяя
интервал Р n-мерным шаром).
4. Доказать, что каждое семейство попарно непересекающихся
интервалов (множества вещественных чисел) счетно.
Указание: используйте упражнение I.
Обобщить на семейство открытых попарно непересекающихся множеств,
пространства %п (с помощью упражнения 2).
5. Пусть Z — множество точек на плоскости. Точка р множества Z
называется изолированной, если существует такой открытый круг К (т. е. без
внешней окружности), что {р} = Z П К. Доказать, что множество изолирован-
ных точек множества Z счетно.
Указание: используйте упражнение 2.
Обобщить на пространство %п (заменяя в определении изолированной
точки круг на шар).
6. Доказать, что разрывная монотонная функция (вещественного
переменного) имеет счетное множество точек разрыва.
Указание: монотонная функция в каждой точке имеет левый и правый
пределы. В точках разрыва эти пределы, очевидно, различны. Дальше
воспользуйтесь упражнением 4.
§ 3. Шкала кардинальных чисел
Теперь мы докажем, что, кроме конечных кардинальных
чисел и числа а, существует бесконечно много других
кардинальных чисел. Для этого докажем теорему, играющую очень
большую роль во многих разделах теории множеств.
Теорема I (о диагонали)1). Если область
определения Т функции F содержится в А, а значениями функции F
служат подмножества множества Л, то множество
Z = {ts=T: t<£F{t)}
не является значением функции F.
Доказательство. Мы должны показать, что F(t)=Z
для всех /еГ. Из определения множества Z следует, что длж
Jl [t^Z]^[t^F(t)].
J) Идея этой теоремы принадлежит Кантору,

186 Гл. V. Теория кардинальных чисел
Если F(t) = Z, получаем противоречие
(t <= Z)={t & Z).
В случае А = Т теорема 1 имеет наглядную
геометрическую интерпретацию. Представим множество А X А в виде
квадрата (см. гл. II, § 4) и рассмотрим в нем множество
R = {{x,y): y^F(x)}. Тогда /^х) —проекция на ось ординат
тех точек из /?, абсцисса которых равна х, a Z— проекция на
ось ординат множества тех точек диагонали квадрата, которые
не принадлежат R. Из такого геометрического представления
совершенно очевидно, что Z4=F{x) для всех хеД. В самом
деле, если (х, x)g/?, to jcgF(a:), но хф Z; если же (х, х) ф.R>
то х ^F(x), но x^Z.
Эта интерпретация объясняет название «теорема о
диагонали».
Применим теорему 1 для доказательства существования
различных бесконечных мощностей.
Теорема 2. Множество 2А не равномощно ни самому Ау
ни его подмножеству.
Доказательство. В самом деле, в противном случае
существовала бы взаимно однозначная функция / с областью
определения в Л, значениями которой были бы все
подмножества множества Л, а это противоречит теореме 1.
Теорема 3. Никакие два из множеств
А, 2\ 22Л, 222Л,... (1)
не равномощны.
Доказательство. Обозначим k-e множество этой
последовательности символом Pk- Предположим, что существуют такие
k и /, что k> I и Ри равномощно подмножеству множества Р/.
Ясно, что Pk-\ тогда будет равномощно некоторой части
множества Р^ а именно той части, которая состоит из всех
одноэлементных множеств {*}, где .vgPh. Отсюда следует, что
множество Ph-\ также равномощно некоторому подмножеству
множества Р/. Повторив это рассуждение достаточное число раз,
придем к заключению, что каждое из множеств Ph-\, Ph-2, • • •
..., P/+i равномощно какому-то подмножеству множества Pit
а это противоречит теореме 2, поскольку Р/+1 = 2 1.
Теорема 4. Пусть семейство множеств А обладает
свойством:
Для каждого Х^А существует множество Y^ А, не ,~*
равномощное никакому подмножеству множества X. ^ '

# 3. Шкала кардинальных чисел
1ST
Тогда сумма. (J (А) не равномощна никакому X ^ А и
никакому его подмножеству.
Доказательство. Предположим, что
(JCA)~-Y,cz*€=A.
Тогда существует такая взаимнр однозначная функция /, что
fl(\J(A))=Xx. Согласно (2), существует множество УеЛ, не
равномощное никакому подмножеству множества X. Так как
y<=U-(A), то fl(Y)cr({J(A)), т. е. Г(У)<=Хи откуда
У ~ f](Y)aX. Это противоречие и доказывает теорему.
Из теорем 3 и 4 следует, что различных бесконечных
кардинальных чисел бесконечно много. Исходя из множества N
натуральных чисел, имеющего мощность а, построим множества
N, 2", 22", 22Л ..., (3)
среди которых (согласно теореме 3) нет ни одной пары равно-
мощных. Таким способом можно получить бесконечно много
различных кардинальных чисел.
Из аксиомы замены вытекает существование семейства А,
элементами которого служат все множества (3). Семейство А
в силу теоремы 3 обладает свойством (2). Тогда по теореме 4
мощность суммы P=\J(A) отлична от мощностей любого из
множеств (3) и их подмножеств. Снова применяя теорему 3,
получаем последовательность
Р, 2Р, 22Р, 222Р, .. ., (4)
каждые два множества которой имеют различные мощности и
ни одно из них не равномощно никакому из множеств (3).
Таким образом получаем бесконечно много новых кардинальных
чисел.
Другие кардинальные числа получаем, беря семейство В
всех множеств (3) и (4) и строя последовательность
Q=\J(B), 29, 22<?, 222<?
Этот процесс можно продолжать бесконечно. Отсюда видно,
что шкала всех бесконечных кардинальных чисел намного
богаче шкалы конечных мощностей (которая совпадает со шкалой
целых положительных чисел).
Отметим дальнейшие следствия теоремы 2.
Теорема 5. Не существует такого семейства множеств U,
которое для каждого множества X содержало бы множество У,
равномощное множеству X.

188
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Доказательство. По теореме 2 множество 2^{и' не рав-
номощно никакому подмножеству множества \J(U) и, значит,
не равномощно никакому множеству У, принадлежащему U
(поскольку из KgI/ следует Y с: (J (U)).
Теорема 6. Не существует множества всех множеств.
В противном случае это множество было бы множеством U
тз теоремы 5.
Теорема 6 снова указывает, что нельзя принять аксиому, ут*
верждающую существование для каждой высказывательнои
^функции Ф(л;) множества, состоящего из элементов,
удовлетворяющих этой функции (см. гл. II, § 3).
Теорема 5 еще раз подтверждает большое разнообразие
кардинальных чисел: их так много, что нельзя образовать
множества, содержащего по крайней мере по одному множеству
каждой мощности.
Упражнен ия
1. Доказать, что множество NN несчетно.
Указание: если ср — последовательность элементов из NN, то
последовательность G, заданная равенством Gn = q>n(n) + I, не принадлежит множеству
значений ср.
2. Пусть X — компактное пространство ф О, обладающее следующим
свойством: для каждого конечного множества «S и каждого открытого множества
G Ф О существует такое непустое открытое множество G*, что G* cz G и
C?*"f|S = 0. Доказать, что X Ф а. Применить этот результат для
доказательства несчетности множества Кантора.
Указание: пользуясь аксиомой выбора, сопоставьте каждому открытому
множеству G Ф О и каждому конечному множеству S такое открытое
подмножество G* = G*(G, S) czG, что G* (] S = 0. Обозначая через ф
бесконечную последовательность элементов из Я", рассмотрите множества
■• X, Gn+l = G* (Gn, {ф0 ф„})
а докажите, что
OG"^0.
3. Говорят, что последовательность натуральных чисел Ьи Ь2% ... растет
быстрее, чем последовательность аи а2 если
lim-^ = 0.
rt->oo t>n
Доказать, что
a) для каждой последовательности Ф существует последовательность,
растущая быстрее нее;
b) если множество последовательностей Z обладает тем свойством, что
дли Каждой последовательности аи «2,... в нем существует последовательность
b\,b2, .., растущая быстрее, чем а\,а2 то множество Z несчетно1).
1) В связи с проблемами, поставленными в упр. 3, см. Харди [1].

$ 4. Арифметика кардинальных Чисел
189
Указание: считая» что Z — N, расположите множество Z в виде таблицы
аП а12 • • • CL\n • • •
#21 #22 • • • #2rt • • •
0>П\ аП2 • • • йпп • • •
w постройте диагональную последовательность, растущую быстрее любой
последовательности этой таблицы.
§ 4. Арифметика кардинальных чисел
Определим операции сложения, умножения и возведения
в степень для кардинальных чисел. Определения будут д^ны
так, чтобы для конечных кардинальных чисел (т. е. для нуля и
натуральных чисел) они совпадали с обычными
арифметическими операциями 1).
Определение I. Кардинальное число m называется сум~<
мой чисел п1 и п2, т. е.
m = щ + п2,
если каждое множество мощности т. мбжно представить в виде
суммы двух непересекающихся множеств, одно из которых
имеет «мощность щ, а другое п2.
Лемма 1. Для двух произвольных множеств Ai и А2
существуют такие два множества ВЛ и Въ что
Ах~Ви А2~В2, В{(]В2 = 0. (0)
В самом деле, возьмем а{ =/= а2 (например ах = 0, а2 = {0}).
Тогда множества В\={а\}ХА\ и В2={а2}ХА2 искомые (см. § I,
формула (4)).
Теорема 2. Для каждой пары кардинальных чисел н,, и2.
существует сумма щ + и2.
Доказательство. Пусть Л1 = п1, А2 = п2 и множества
Вх и В2 удовлетворяют условиям (0). Тогда Вх U В2
распадается на два непересекающихся множества мощностей
соответственно п1 и п2. Каждое множество, равномощное множеству
В\ U В2у очевидно, обладает этим свойством. Значит, Вх U В2 =
= Hi + п2, что и требовалось доказать.
Попутно мы еще доказали, что
^i + А2 = Ах U Л2, если Ах(]А2 = 0.
1) Основные определения и теоремы § 4 восходят к Кантору [4J.

199 Гг. V. Теория кардинальных чисел
Теорема 3. Сложение кардинальных чисел коммутативно
и ассоциативно, т. е. для произвольных кардинальных чисел
и,, Щ и л3
И, + 112=112+11,, (1)
и, + (и2 + н3) = (п, + п2) + п3. (2)
Д о к aaaje л ьст во. Если Л = и, + и2, то Л = ALl} Л2, где
Л, П Л2 = 0, Л, = п, и Л2 = и2. Так как А = А2\] Л,, то /Г-~и2 + и,,
и равенство (1) доказано. Равенство (2) доказывается аналогично.
П р и м е р. Из теорем 3 и 4 § 2 следует, что
а + а = а, я + а = а. (3)
Определение 2. Кардинальное число m называется
произведением кардинальных чисел н, и и2, т. е.
m = iij • и2,
если каждое множество _мощности_т равномощно декартову
произведению А{ X Л2, где Л, = и, и Л2 = и2.
Таким образом,
Д, • Л2 = Л, X Л2.
Ясно, что для произвольных чисел и, и и2 произведение и, • и2
всегда существует.
Определение 2 обобщает на случай произвольных
кардинальных чисел обычное арифметическое произведение:
например, 3-4 — это количество предметов, которые можно разложить
на три группы по четыре предмета, т. е. количество элементов
множества А X В, где Л имеет три, а В — четыре элемента.
Теорема 4. Умножение кардинальных чисел
коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, г. е.
для произвольных кардинальных чисел и,, и2 и и3
it, • 1Ъ = и2< п„ (4)
«1 • (»2 • и3) = ("i * п2) • и3, (5)
И, • (И2 + Ид) = (И, • И2) + (И, • И3). (6)
Доказательство. Равенства (4) и (5)
непосредственно следуют из формул (2) и (4) § 1, равенство (6) —из
формул
Л, X (Л2 U Л3) = (Л, X Л2) U (Л, X Л3),
[л2 п л3 = о] -> [(л, х л2) n Hi х л3) = о]
(гл. II, §4).

§ 4. Арифметика кардинальных чисел
191
Теорема 5. Чисто 1 играет роль единицы для умножения,
т. е. для произвольного \\
и • 1 = и. (7)
Это непосредственно следует из формулы (3) § 1.
Пример. Из теоремы 5 § 2 получаем
а .й = ау а . п = а. (8)
Обозначим гс-кратное произведение га • тп • ... • тп символом
тп. Согласно определению 2, \пп является мощностью
множества всех последовательностей (аь..., ап) длины п, где
&и .. ., ап — элементы множества А мощности т. Символически
(гл. II, § 6)
(A)n=JF
ЛП
Определение 3. Кардинальное число т называется
степенью с основанием п и показателем р, т. е.
га = н*,
если_каждое^ножество мощности m равномощно множеству Ав.
где А = п и £Г= 1>.
Таким образом,
(Af= A*.
Ясно, что для любой пары кардинальных чисел и и £
степень п* всегда существует.
Теорема 6. Для произвольных кардинальных чисел и, р, с|
п>+о = пр. пч, (9)
(n-p)q = tf.»\ (Ю)
(и»)в = п»ч, (ll)
и1 = п, (12)
1» = 1. (13)
Эти равенства непосредственно следуют из формул (4).
(8)-(10) § 1.
Теорема 7. Если множество А имеет мощность т, то
множество 2А всех подмножеств множества А имеет мощность
* у т. е. _
2Л =2*.

Г92
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Доказательство. 2 есть мощность множества {О, 1}А
всех функций /, определенных на Л и принимающих значения О
и 1. Каждая такая функция однозначно определяется
множеством Xf тех а, для которых /(а) = 1 (/ называется
характеристической функцией этого множества, см. гл. IV, §2). Различным
функциям /t и /2 соответствуют различные множества Xfl9 Xf,.
Сопоставляя функции /е{0, 1}А множество XfCzA, мы
устанавливаем взаимно однозначное соответствие между
множествами {О, 1}А и 2А.
§ 5. Неравенства между кардинальными числами.
Теорема Кантора—Бернштейна и ее обобщения1)
Введем отношение «меньше» для кардинальных чисел.
Определение. Кардинальное число m не больше
кардинального числа и, т. е.
nt<n,
если каждое множество мощности m равномощно некоторому
подмножеству множества мощности п.
Если ш^и и m =7^=и, то говорят, что m меньше и (или п
больше тп), и записывают это в виде m < п (или u > m).
Например,
п<а, (1)
т<2т. (2)
Для доказательства (2) заметим, что тп^2т, потому что
множество А мощности т равномощно части множества 2Л,
составленной из всех одноэлементных множеств. Вместе с тем
тф2т в силу теоремы 2 § 3.
°Теорема_1. Если функция f определена на множестве X
и Р(Х)= У, то ?<Х.
Доказательство. Множеством уровня функции мы
назвали множество всех тех элементов из Ху на которых /
принимает одинаковое значение (гл. II, § 7). Таким образом, каждое
множество уровня имеет вид
Wy = {xe=X: f(x) = y).
]) Более глубокое изложение проблематики, затронутой в § 5, см. Тар-
ский [8], особенно гл. 1, 2 и 17.

§ 5. Неравенства между кардинальными числами 193
Так как все .множества уровня попарно не пересекаются и
непусты, то, согласно аксиоме выбора1), существует
множество Л, содержащее точно по одному элементу из каждого
множества уровня. Следовательно, А равномощно множеству
множеств уровня и, значит, множеству fl{X). Поскольку А —
подмножество множества X, отсюда следует, что У^Х
Пример. Проекция плоского_ множества Q на
произвольную прямую имеет мощность <^Q. Множества уровня здесь —
произведения Q П L, где L — прямая, параллельная
направлению проектирования.
Замечание. Мы пишем m^*n, если тп = О или если
(каждое) множество мощности тп является образом (каждого)
множества мощности и2). Из теоремы 1 легко следует, что
{тп ^ и} = {тп ^ *н}. При доказательстве этой эквивалентности
используется аксиома выбора, без которой не удается
доказать даже такого интуитивно очевидного утверждения, что
условия тп<*п и и < тп несовместны3).
Отношение -^ обладает свойствами, известными нам из
арифметики:
(т<п)Л(п<р)->(тп<р), (3)
(тп < «) --> (тп + р < п + р), (4)
(тп<п)->(тп. р<и. р), (5)
(т<п)->(т*<и*>), (6)
(m<u)->(pm<pn). (7)
Свойство (3) означает транзитивность, а (4) — (7)
монотонность сложения, умножения и возведения в степень.
Докажем, например, утверждение (3). Пусть Л, В и С —
множества мощностей ш, и и р соответственно. По условию А
равномощно части Bi множества В, а В равномощно части Ci
множества С. Пусть функции fug устанавливают равномощ-
ности А ~ В\ и В ~ С\. Суперпозиция g°f взаимно
однозначно отображает А на часть множества С4 и потому т^ р.
Для отношения < законы монотонности уже неверны.
Например, 2 < а, но 2 + а = а + а = а.а = 2а. Аналогично 2 < 3,
но 2а = За (см. § 6).
*) На тот факт, что при доказательстве теоремы 1 необходимо
использовать какую-то новую аксиому, указал Б. Леви [1] еще до того, как Цермело
сформулировал свою систему аксиом, содержащую аксиому выбора.
2) Тарский исследовал свойства отношения ^* без помощи аксиомы
выбора. См. Тарский и Линденбаум [1].
3) См. Серпинский [6] и А. Леви [1].

194
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Законы, обратные законам (4) — (7), называются в
арифметике натуральных чисел правилами сокращения для
отношения 4^ и соответственно операций сложения, умножения и
возведения в степень. Как известно, для арифметики они верны
(если предположить, что./?>1). В арифметике произвольных
кардинальных чисел все эти правила ложны: достаточно,
например, взять m = 2, и = 3 и р = а.
Зато правила сокращения для отношения < и операций
сложения, умножения и возведения в степень верны.
Доказательство их можно легко получить из следующего закона
трихотомии, который будет доказан (с помощью аксиомы выбора) в
гл. VIII:
Для произвольных кардинальных чисел тип либо ш^и,
либо и< m l).
В оставшейся части этого параграфа обсудим проблему
асимметрии отношения <. Эта проблема исследовалась еще
Кантором (однако ему не удалось решить ее до конца) и
положила начало целому ряду интересных исследований.
Асимметрия отношения < равносильна утверждению
(т < и) Л (и < ш) -> (m = и). (I)
В самом деле, если верно (I), то ни для каких тп и и
не может одновременно быть тп < и и u < m, так как тогда
было бы m = и. Обратно, если отношение < асимметрично и
удовлетворяется посылка импликации (I), то должно быть
m = n, так как в противном случае оба знака ^ в посылке
импликации можно было бы заменить на < вопреки
предполагаемой асимметрии отношения <.
Для доказательства утверждения (I) докажем сначала
более общую теорему2).
Теорема 2. Если А и В — множества, функции f e ВА и
g e Ав взаимно однозначны, то А и В можно так представить
в виде сумм непересекающихся множеств А = Ах U Л2, В =
= Вх U В2, нто
/1(Л,) = В, и g](B2)=A2.
Доказательство. Назовем элемент а^А
продолжаемым, если a<=gl(B) и gc (a) (= fl {А). Для продолжаемого эле-
1) Тарский [1] показал, что правила сокращения для отношения < не
только следуют из закона трихотомии, но просто эквивалентны ему в
аксиоматической теории множеств без аксиомы выбора. Эквивалентны они также
II этой аксиоме. См. гл. VIII, § 6.
2] См. Банах [1].

§ 5. Неравенства между кардинальными числами
195
мента а положим а* = fc(gc(a)) и назовем а* продолжением
элемента а.
Построим максимальную последовательность продолжений
элемента а. Обозначим через п(а) такое наибольшее
натуральное число (если оно существует), что найдется
последовательность длины п(а), образованная из а и всех его продолжений.
Если же такого числа нет, т. е. для каждого натурального k
существует последовательность из k членов, состоящая из
продолжений элемента а, положим n(a) = N. Последовательность,
заданная формулами
Фо(а) = я, Ф/-и(а) = Ф/(а)* для |G/i(a),
и будет искомой максимальной последовательностью
продолжений элемента а. Если элемент а непродолжаем, положим
п(а) = 1 и фо(а) = а.
Если п(а) — конечное число, обозначим
$(а) = Ф„(Я)-,(а).
Обозначим теперь
И2 = {ае=/1: п(а) = NV (s(a)z=g> (В)) Л (gc(s(a)) &fl (A))},
Al = A-A2, Bx=fl(Ax), B2=B-Bl.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что
g*(B2) = Аъ т. е.
»еВ2->г(»)Е4 (8)
A2^gx(B2). (9)
Для доказательства импликации (8) возьмем b e В2, тогда
bqtfl(Ai). Пусть a = g(b). Если Ьф)х(А), то элемент а
непродолжаем, значит, s(a)=a и по определению а ^ А2. Если
b e fl(A)9 то b <= f{{A2), и тогда b = /(а'), где а' е Л2.
Очевидно, что а' = fc(gc(a')), т. е. а'= а*, откуда с* g /12. Если а*
имеет бесконечную последовательность продолжений, то и а
имеет такую последовательность и, значит, aG/l2. В
противном случае s(a*) = s(a) и снова а е Л2.
Докажем включение (9). Возьмем ag^. Если элемент a
продолжаем, то а = g(f(a*)). Если при этом л (а)— конечное
число, то s(a)=s(a*) и потам у a*g4 To же верно в случае
n(a)=N, так как а* тогда имеет бесконечную
последовательность продолжений. Поэтому в обоих случаях a* qk Ai, f(a*)s£
<£fl (Л1) и, следовательно, /(а*)еВг, откуда a = g(/(a*))e
Если элемент а непродолжаем, то 5(a) = а, а так как a e А2у
то a eg"1 (В). Если бы элемент а принадлежал gl(Bi), то по

196
Гл. V. Теория кардинальных чисел
определению множества Вх он имел бы вид g"(/(#'))> т. е. был
бы продолжаемым вопреки предположению. Поэтому а ^ gl(B2),
что и требовалось доказать.
В качестве следствия докажем теорему Кантора — Берн-
штейна 1).
Теорема 3. Если m < п и и < га, то m = п.
Доказательство. Пусть А = т и В = п. Так как тп ^ п,
то существует взаимно однозначная функция /, отображающая Л
на часть множества В. Так как и^тп, то существует взаимно
однозначная функция g, отображающая В на часть множества Л.
По теореме 2 множества А к В можно представить в виде
А = А\ U А2 и В = В\ U В2, где А\ и Л2, а также В\ и В2 не
пересекаются и fl(Al) = Bu gl{B2) = A2. Значит, Ai~Bt и А2~В2,
откуда А ~ В.
Теорему Кантора — Бернштейна можно обобщить. Пусть R —
отношение эквивалентности в семействе 2А, обладающее
следующими свойствами:
XRY-+ V [(/—взаимно однозначная функция) Л
Л Л iZRfl(Z))], (10)
(Хх П Х2 = 0 = У, П Y2) Л (Х,ЛУО Л (X2RY2) ->
-ч^и^ломш. (п)
Теорема 4. Если отношение эквивалентности R с полем 2А
удовлетворяет условиям (10) и (11) для любых подмножеств
множества А и если X находится в отношении R к некоторому
подмножеству множества Y, a Y находится в отношении R к
некоторому подмножеству множества X, то XRY2).
Доказательство. Пусть XRYU где У4 с: У, и YRXU где
X\cz.X. Согласно (10), существуют такие взаимно однозначные
функции fug, что / отображает X в У4 и ZRf1 (Z) для каждого
Z а X, a g отображает Ув^и TRg1 (Т) для каждого Т cz У. По
теореме 2 существуют такие разбиения X = X' U X", У = У U Y"
на непересекающиеся множества, что Y' = fl(X') и X" = g1 (у").
Так как X' с X, то Я'/?/1^'), т. е. Г#У". Аналогично *"# У".
Тогда из (11) следует, что XRY, и теорема доказана.
1) Теорема Кантора — Бернштейна называется еще теоремой Шредера —
Бернштейна. Первое корректное доказательство этой теоремы принадлежит
Бернштейну. Оно опубликовано в книге Бореля [1]. См. также Кёниг [2].
2) Теорема 4 и приведенные ниже примеры принадлежат Банаху [1].

§ 5. Неравенства между кардинальными числами
197
Приведем два примера отношений, удовлетворяющих
условиям (10) и (11).
Пример 1. Отношение равномощности между
подмножествами множества Л. Теорема 4 для этого отношения совпадает
с теоремой Кантора — Бернштейна.
Ф Пример 2. Пусть Л = <§п. Два .множества X и У,
содержащиеся в Л, называют эквивалентными относительно конечного
разбиения и записывают X~nnY, если существуют натуральное
число k и последовательности Х0, . .., Xfi-i и У0, .. •, У/t-i, для
которых
х= и */. F= U ^/.
/ < k 1<k
XinXJ = 0 = Yi[]YIl 0</</<£,
причем множества Х{ и Уг изометричны при i<k.
Теорема 5. Отношение ~нп обладает свойствами (10) &
{11) и является отношением эквивалентности с полем 2А.
Доказательство мы опускаем, ф
Докажем еще одну теорему об отображениях, обобщающую
(как и теорема 2) теорему Кантора — Бернштейна.
Теорема 6 (о среднем значении). Пусть Л, В, С,
Л', В'—такие множества, что A id С id В, A'zdB', А~А' и
В ~ В'. Тогда существует такое множество С, что А' =э С =э В'
иС ~ С'1).
Доказательство. Достаточно показать, что существует
функция ft, отображающая Л в Л7 и такая, что
сужение /г\с взаимно однозначно, (12)
hl{C)=>Bf. (13)
Действительно, если h обладает этими свойствами, то
искомым множеством С будет Л1 (С).
Положим
( f(x) для xgA-I,
h(x) = \ c, ч _ „
V I g (*) ДЛЯ XGl,
где X— (пока) произвольное подмножество множества В, а /
и g" — такие взаимно однозначные функции, что fl(A)=A' и
gl(B')=B. Так определенная функция Л обладает свойством
(12), если
g-1(X)(]f1(C~X) = 0. (14)
]) См. Тарский и Линденбаум [1, стр. 303].

198
Гл. V. Теория кардинальных чисел
В самом деле, при выполнении этого условия h{x') Ф h(x")
для всех х' е X и х" е С — X.
Функция h обладает свойством (13), если, кроме (14), еще
S-1(X)[}J{(C-X)zdB\ (15)
так как /г1 (С) = /г1 (X) U /г1 (С — X) = g~l (X) Vfl{C — X).
Оба условия (14) и (15) выполняются, если
gl(B'-i*(C-X)) = X. (16)
Для завершения доказательства достаточно показать, что
существует множество Xcz В, удовлетворяющее (16). Для этого
обозначим F(X) = gl(B'— f] (С — X)) и заметим, что
XlczX2czB->F {X{) cz F (X2) cz В.
Функция F, отображающая 2В в 2В и удовлетворяющая этому
условию, называется монотонной функцией подмножеств
множества В. Итак, осталось доказать следующую лемму.
Лемма 7. Для каждой монотонной функции подмножеств
данного множества В существует такое множество Ху что
F(X) = X.
Построим это множество X. Пусть
K={XczB: F(X)czX).
Семейство К непусто, поскольку В е К. Покажем, что
множество Х0= f] X удовлетворяет условию F(X) = X.
В самом деле, X е К —► Х0 cz X, а тогда в силу .монотонности
X <= К -+ F(X0)cz F(X)cz X. Отсюда F(X0)czX для каждого
ХеКи потому У7 (J0) cz Q X = Х0. Таким образом, F(X0)c
cz Xq. Но из монотонности следует еще, что F(F(X0))cz F(X0) и,
значит, F(Io)gK, откуда Aocz/^Ao). Поэтому F(Xq)= X0, что
и требовалось доказать.
Теорема Кантора — Бернштейна вытекает из теоремы о
среднем значении. В самом^еле, если ш^п, то существуют
такие множества X, У, что Х = т, У = и и X cz К Если, кроме
того, предположить, что п^тп, то У содержит подмножество Z
мощности т. Полагая в теореме 6 А' = В' = В = Z, А = X и
С = У, получаем такое множество С"', что Л' zd С" zz> В' и С'~С
Поэтому С = Z и С'~ У, т. е. Z~ У и, следовательно, m = и.

§ 6. Свойства чисел а и с
199
Упражнения
1. Кардинальное число п поглощает ш, если m + tt = n. Показать, что
a) » поглощает ш тогда и только тогда, когда а • m ^ п;
b) если п поглощает ш, то и каждое число, большее и, поглощает ш;
c) п поглощает ш тогда и только тогда, когда оно поглощает k - nt
(kz= iV);
d) (Тарский) n поглощает m тогда и только тогда, когда оно
поглощает а • ш.
2. Доказать без помощи аксиомы выбора, что ш^а = in ^ *а.
3. (Тарский) Доказать без помощи аксиомы выбора, чтэ ~1 (2m ^ *ш).
4. Показать, что 2т > а -> 2т > 2а.
5. Показать, что замкнутый крут Т эквивалэнтен относительно
конечного разбиения сумме Т[)Р, где /" — произвольный отрезок, не
пересекающийся с Т.
§ 6. Свойства чисел а и с
Обозначим
с = 2а.
Число с называют мощностью континуума. Это число, как
и число а, часто встречается в различных разделах теории
множеств и ее приложений. Докажем несколько формул,
связывающих числа п (натуральные числа), а и с.
с = с + с. (1)
В самом деле (см. (9), § 4), с + с = 2с = 2 • 2а = 21+а = 2а = с,
поскольку 1 + а = а.
/г<а<с. (2)
Это следует из (1) и (2), § 5.
дг + с = а + с = с. (3)
В самом деле, в силу (2) (см. (4), § 5)
с </г + с<а + с <с + с,
а в силу (1)
с </г + с ^а + с <с.
Применяя теорему 3 § 5, получаем отсюда равенства (3).
с = с - с. (4)
В самом деле, с = 2а = 2а+а = 2а - 2а = с . с, так как а + а = а
(см. (3), § 4).
п • с = а • с = с для п>0. (5)
В самом деле, из (2) в силу (5), § 5, следует, что
с^/г • с ^ а • с ^ с • с,

200
Гл. V. Теория кардинальных чисел
откуда с помощью теоремы Кантора — Бернштейна и равенства
(4) получаем (5).
Из (4) легко получить по индукции
с» = с, az>0, (6>
па = аа = са=С) П>1. (7)
В самом деле (см. (10), § 4),
с = 2а <па < аа < са = (2а)а = 2а*а = 2а = с,
откуда с помощью теоремы Кантора — Бернштейна получаем (7).
Аналогично доказываются формулы, относящиеся к числу
f = 2c:
дг. f = a . f = с. f = f . f = f, n>0, (8)
Aic = ac-cc=fc = f, n>l.
Приведем теперь примеры множеств мощностей с и 2е.
Теорема 1. Множество Кантора С имеет мощность с.
Доказательство. С = {0, 1}дт и, значит, С=2а по
теореме 7, § 4.
Теорема 2. Множество всех бесконечных
последовательностей натуральных чисел имеет мощность с.
Доказательство. Это множество Л^, поэтому его
мощность равна aa = с.
41= Теорема 3. Следующие множества имеют мощность с:
a) множество всех иррациональных чисел интервала (0,1),
b) множество всех точек этого интервала,
c) множество % всех вещественных чисел,
d) множество всех точек пространства &пу где п —
натуральное число.
Доказательство. В самом деле, (а) вытекает из
замечания на стр. 146 и из теоремы 2, (Ь)—из замечания, что
множество точек интервала (0,1) представляет собой сумму счетного
множества рациональных чисел этого интервала и множества
иррациональных чисел, которое имеет мощность с, (с)—из за-
мечания, что функция
y = -j+±arctgx

$ 6. Свойства чисел а и с
201
взаимно однозначно отображает множество & на интервал (0, 1),
(d) — из (с) и равенства (6). ф
Теорема 4. Если Л = с, В = а и В cz Л, го Л — В = с.
Доказательство. Из (6) следует, что А X А ~ А.
Поэтому достаточно показать, что если М — счетное подмножество
произведения Л X Л, то разность А X А — М имеет мощность с.
Проекция на Л множества М имеет мощность не выше счетной.
Значит, существует элемент аеЛ, который не принадлежит
этой проекции. Множество {{а, у): i/g/1} не пересекается с М
и имеет мощность с. Тогда разность АхА — М имеет мощность
^> с. С другой стороны, эта разность имеет мощность <!с,
поскольку она является частью множества А X А. Поэтому,
согласно теореме Кантора — Бернштейна, АхА — М имеет
мощность с.
Ф Следствие 5. Множество трансцендентных чисел
имеет мощность с.
Доказательство. Достаточно применить теорему 4,
принимая в ней в качестве Л множество & всех вещественных
чисел, а в качестве В — множество всех алгебраических чисел.
Это следствие, доказанное Кантором в 1874 г., было одним
из первых приложений теории множеств к конкретным
математическим проблемам.
Теорема 6. Множество %N бесконечных последовательно-
стей вещественных чисел имеет мощность с.
Доказательство. #w = са = с (согласно (7)).
Теорема 7. Множество непрерывных функций
вещественного переменного имеет мощность с.
Доказательство. Пусть ги г2, ..., гп, ... —
последовательность всех рациональных чисел. Каждой непрерывной
функции / вещественного переменного сопоставим последовательность
вещественных чисел
MM, ffo) f{rn) (9)
Если функции fug различны, то и соответствующие им
последовательности
f(r\), f{r2), ...» f(rn), ... и g(r\), g{r2), ...» g(rn), ...
также различны. В самом деле, если f=£g, то f(x)=£ g(x) для
некоторого х. Если тип — последовательность рациональных

202
Гл. V. Теория кардинальных чисел
чисел, сходящихся к х, то f (r*n) = g (r* ) не для всех п, так как
инач^ в силу непрерывности функций fug было бы
/ (х) = lim / (rk ) = lim g (rk) = g (*).
Таким образом, множество непрерывных функций
вещественного переменного равномощно множеству
последовательностей (9), мощность которого по теореме 4 не больше с. С
другой стороны, мощность множества непрерывных функций не
меньше с, так как оно содержит все константы. Согласно
теореме 3 § 5, отсюда следует теорема 7.
Теорема 8. Множество <%"% всех функций вещественного
переменного имеет мощность 2е.
Доказательство. <8 — сс = 2е (согласно (8)).
Упражнение
Доказать, что семейство R всех замкнутых множеств пространства Ч
имеет мощность с. _
Указание: Для доказательства неравенства R ^ С сопоставьте каждому
множеству X <=/? семейство непересекающихся с ним интервалов с
рациональными концами и покажите, что множество всех таких семейств имеет
мощность С. С другой стороны /?^С, поскольку одноточечные множества
принадлежат /?. #
§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел
Пусть Т — произвольное множество, a f — определенная на
нем функция, принимающая в качестве значений кардинальные
числа. Вместо f(x) будем писать fx.
Предположим, что функция f удовлетворяет следующему
условию:
существует такая функция Я0), определенная на Т и_
принимающая в качестве значений множества, что Fx =fx (W)
для всех х^Т.
Для многих функций f выполнение условия (W) легко
проверить, например, когда f имеет только конечное число различных
значений. В гл. VII, § 8 мы покажем, что условие (W)
выполняется для каждой функции f, так что в действительности
условие (W) не ограничивает общности наших рассмотрений.

§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел
203
°Теорема 1. Существует такая функция F, определенная
на Т и принимающая в качестве значений множества, что
Fx = fx для х^Ту (l)
Fx(]Fy = 0 для хфу. (2)
Если, кроме того, Я1) и Я2> — две функции, для которых
выполняются условия (1) и (2), то
\JfV~\Jf*.
х х
Доказательство. Положим
Fx = Ff XW для xgT,
где Я°>— любая функция, удовлетворяющая условию (W). Если
хфу, то Fx П Fy = 0, так как множество Fx состоит из
упорядоченных пар со вторым элементом х, Fy — из упорядоченных
пар со вторым элементом у. Кроме того, Fx = ^и) = fx* Таким
образом, функция F удовлетворяет условиям (1) и (2).
Пусть условиям (1) и (2) удовлетворяют функции Я1) и Я2).
Для каждого х ^ Т множество Фх функций, взаимно однозначно
отображающих F{^ на Ff, непусто. Если х ф у, то Фх П Фу = 0,
так как каждая из функций, принадлежащих Фх, определена на
Fx и, значит, отлична от каждой из функций,
принадлежащих Ф^.
Тогда согласно аксиоме выбора, существует множество W,
содержащее точно один общий элемент с каждым из множеств
Фх. Пусть фх — этот единственный элемент произведения W П Фх,
т. е. некоторая функция, отображающая взаимно однозначно
множество F^ на F®.
Легко показать, что функция /= (J фд отображает взаимно
хе=Т
однозначно сумму (J/7*0 на [jFxK Теорема доказана.
X X
° Определение. Суммой fx (для х 6Е Т) кардинальных
чисел называется кардинальное число \JFX, где F — произволь-
х
ная функция, удовлетворяющая условиям(1) и (2).
Это число будем обозначать символом 2 fх или 2 fx, т. е.
х*= Г
Sf^DX (3)
х<=Т л^Г

204
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Определение это корректно, так как число \jFx не зависит
X
от выбора функции F, удовлетворяющей (1) и (2), и так как
такая функция всегда существует. Последнее нельзя доказать
без помощи аксиомы выбора, так что использование понятия
суммы произвольного множества кардинальных чисел
предполагает прежде всего принятие аксиомы выбора1).
Если Г = {1,2}, то 2f* = fi + f2- Если T = N, то сумма
также обозначается
оо
fo + fi + U + fa + ... или 2 fn
и называется суммой ряда кардинальных чисел.
° Теорема 2 (обобщенный закон
коммутативности). Если ф — произвольная перестановка множества Г, та
2f.*== 2f<p(*)«
Для доказательства достаточно заметить, что в силу
теоремы 3 гл. IV § 1 и равенства (3)
2 f х=U F х = U f ф {х) = 2 f ф <*> >
XXX X
где F — произвольная функция, удовлетворяющая условиям (1)
и (2).
° Теорема 3 (обобщенный закон
ассоциативности). Если Т = (J Ту и множества Ту попарно не Пересе-
lie/
каются, то
Sf,-S/2fxV
*<=Г j/e=/ \х*=Ту J
Доказательство. Обозначим
%= 2 f*, J/e/,
т. е. <\у = [J Fx.
х^Ту
1) На тот факт, что при определении суммы бесконечной
последовательности кардинальных чисел необходима аксиома выбора, обратил внимание
Серпинский [1].

§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел
205
Тогда по теореме 2 гл. IV § 8
2g,= U(U fxUUTx,
откуда
2 Йу = 2 fл:.
и теорема доказана.
°Теорема 4 (обобщенный закон
дистрибутивности умножения относительно сложения). Для
произвольного кардинального числа m
(|f,)-rn = 2(f,.m).
Доказательство. Пусть М = т. Тогда
(Sf^-fU^) хм и 2(Гх-го)-"Ц(?Гхл?).
\ X / \ JC / X X
В то же время (см. упр. 2 гл. IV § 1)
I\Jf^xm = \J(fxxm).
0 Теорема 5. Если flj^f* для х^Т, то
2{Lr<2fv
X X
Доказательство. Пусть Кх— семейство тех X a Fx,
которые имеют мощность gx. Тогда Кх Ф 0 для каждого х е Г.
Значит, существует (см. теорему 3 гл. IV § 5) функция G,
принадлежащая Ц Kxt т. е. GX^KX. Следовательно,
Gxcz Fx и G^=^,
откуда
* х х х
а это доказывает, что 2 9*^2f.*-
х х
0 Теорема 6. Если S а Г, то
2f,<2f,.

206
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Доказательство. Пусть
fx для х е S,
0 для хеГ — S.
Из теоремы 5 следует, что 2 <Ь^ 2 f*» c другой стороны,
хеГ х^Т
2j Ojt = ^J fjr-
° Теорема 7. £ош fх = m для всех х£Г и и = 7\ то
2 fх = Ш • "•
Доказательство. Пусть М = т. Тогда для каждого х
существует функция /, взаимно однозначно отображающая
множество Fx на М. Пусть Фх — множество всех таких функций. По
аксиоме выбора существует множество Ч^, содержащее точно по
одному элементу из каждого множества Фх. Пусть fx — этот
единственный элемент произведения W П ФЛ.
Обозначим для t^{jFx
х
<р(/) = </,(<), х),
где х— (единственный) элемент множества Г, для которого
/ €= Fx.
Функция f отображает сумму [)FX на М X Т. Эта функция
взаимно однозначна. В самом деле, если
<P('l) =</*,(']). ХХ) И y(t2)={fxAt2), *2>,
то Х\ Ф х2 влечет t\ Ф 1% поскольку t\ и t2 принадлежат
непересекающимся множествам Fx, и Fx,. Если же Х\ = х2=х, то из
взаимной однозначности функции fx следует, что <p(/i)=£q>(/2)
влечет \\Ф12.
Таким образом, (J Fx~ M X Г, и теорема доказана.
° Теорема 8. Если \х < m для хеГ « п=Г, то
Доказательство. Полагая тп^ = тп для ^еГ, из
теоремы 5 получаем Sf*^ S т^, а из теоремы 7 —2jmjr= тп • и-
Пример 1. Вычислим сумму 2&л» где kn — натуральное
число, а п пробегает множество натуральных чисел N,

§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел 207
Для этого заметим, что в силу теоремы 7
1 + 1 + 1 + ... = 1 • а = а, а + а + а + ... = а . а = а, (4)
а так как по теореме 5
оо
1 + 1 + 1+ ...< 2 kn^a + a + a+ ...,
п=\
то по теореме Кантора — Бернштейна
В частности,
2 *„ = <»•
п = \
2 + 2 + 2+ ...
1+2 + 3+ ...
1! + 2! + 3!+ ...
. =0,
■ =«,
. = а.
Пример 2. Из равенств (4) следует, что сумма счетного
числа счетных множеств счетна (ср. теорему 8 § 2).
Пример 3. В силу теоремы 7
с + с + с + ... = с • а = с.
Аналогично сумма 2 f*» где множество Т имеет мощность с
и все слагаемые равны с, равна с • с, т. е. с.
§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел
Здесь, как и в предыдущем параграфе, мы будем
пользоваться аксиомой выбора и будем считать, что функция f
принимает в качестве значений кардинальные числа и
удовлетворяет условию (W), стр. 202.
° Теорема 1. Если /7(1) и F{2) — две такие функции, что
^У = h = ^{<х для каждого хеГ, то
жег х*=Т
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1
§ 7, покажем (пользуясь аксиомой выбора), что существует
множество, которое для каждого х содержит точно одну
взаимно однозначную функцию срх, отображающую F{^ на F&K

208
Гл. V. Теория кардинальных чисел
Сопоставим функции f 1 ^ Ц F^ функцию /2, заданную
равенством
Ы0 = Ф*(М0) Для /еГ. (1)
Так как /\ (/) е Я,!) для каждого /еГ, то
а потому f2(t)e=Ff\ или f2 е= Ц F®.
Если 1\Ф1", то ff(/)¥=f"(0 для некоторого *, откуда в силу
взаимной однозначности функции %
или /^(O^f"^)- Таким образом, отображение, сопоставляющее
функции f{ функцию f2, взаимно однозначно.
Заметим наконец, что если f2 e Ц /^2), то функция fp
заданная равенством
М') = ф?(М0),
принадлежит Д/7^ и удовлетворяет условию (1). Значит,
каждая функция, принадлежащая Г1^2)> сопоставляется некоторой
функции из Ц/7^. Теорема доказана.
° Определение. Произведением fx кардинальных чисел
называется мощность декартова произведения Ц Fx, где F —
X
любая функция, для которой Fx = fx, т. е.
П fx= II Рху ГДе Лг = |>
х^Т хег
Так же, как и для обобщенной суммы, само введение
понятия обобщенного произведения требует аксиомы выбора, без
которой нельзя доказать теорему 1, являющуюся основой для
определения произведения.
Если Г = {1, 2}, то Ц ft = fi'h- Поэтому при T = N мы
оо
пользуемся обозначением f0 • f j • f2 • ..., или Ц f„.
n=0

§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел 209
Из теорем 2, 3 и 4, доказанных в § 1, непосредственно
получаем законы коммутативности, ассоциативности и
дистрибутивности:
X X
(где ф — перестановка множества Г),
П(П f*)-m,.
y<=U\xz=Ty J х^Т
(где Г= (J Ту и ТУ1[)ТУж = 0 для ухФу2),
(?f')e"?fJ"
Если все значения функции f одинаковы, то произведение
совпадает со степенью, т. е.
если fjc = fo для х^Т и t—T, то Ц fx = fo- (2)
В силу теоремы 3 § 1 (формула (13)) и определения суммы
кардинальных чисел получаем
f^'-IKf'»). (3)
У
Приведем, наконец, без доказательства теорему,
аналогичную теореме 5 § 7:
если §х < fx, то П 9* < II fjr- (4)
X X
Пример 1. Положим в (2) f0 = ct и T = N. Так как аа = с
(см. (7) § 5), то
а • а • а • ... = с.
Пример 2. Положим в (2) f0 = 2 и T = N. Так как
2 == с, то
2-2-2- ... = с.
Пример 3. Из (4) следуют неравенства
2-2-2. ... <2 -3-4- ... и 2-3-4- ...<а-а-а. ...
В силу теоремы 3 § 5 отсюда получаем
1 -2- 3-4-5- ... = с.
Так же можно доказать, что k\ • &2'&з ••.. = с, если kn > 1 для
всех п.

210
Гл. V. Теория кардинальных чисел
{ а
0 Теорема 2 (Ю. Кёниг)1). Если #х < f х для каждого
х ^ Г, то
X X
Доказательство. Согласно_ условию (W) (стр. 202),
существует такая функция F, что Fx = fx. Можно считать, что
Fx П Fy = 0 для х ф у (см. теорему 1 § 7).
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 5 § 7t
получаем, что существует такая функция G, что GxaFxu
G'x = 9х- Поэтому Gx П Gy = 0 для х Ф у и Fx — Gx Ф 0.
Покажем сначала, что
2й,<Ш,- (5)
X X
Пусть / — произвольная функция из \_l(Fx— Gx). Такая
X
функция существует в силу теоремы 3 гл. IV § 5.
Для каждого a ^(J Gx положим
f(x) для at£Gx,
для а е Gx.
Ясно, что fa ^Ц/v Если а ф by то fa Ф fb, так как а \\ b
принадлежат либо различным множествам Gx, Gy и тогда fa(x) =
= ae=Gx, fb(x)= f(x)^Fx — Gx и, значит, !а(х)Ф fb(x)t либо
одному и тому же множеству Gx и тогда fa(x) = а Ф b = fb(x).
Таким образом, функции fa образуют подмножество
декартова произведения Ц Fx, равномощное сумме jjGx, откуда сле-
х
дует неравенство (5).
Теперь покажем, что
2<з,^=Ш,. (6)
X X
Для этого заметим, что каждое множество 5, равномощное
сумме (JGX, можно представить в виде суммы попарно непере-
х
секающихся множеств
5 = (J Нх, где Нх = %х.
X
Пусть S с: П Fх и h^Hx. Значит, h(t)^Ft для каждого
X
t и, в частности, h(x)^Fx. Следовательно, когда h пробегает
множество #х, элементы h(x) образуют множество Кх> содер*
») См. Ю. Кёниг [1].

$ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел 211
жащееся в Fx, причем (теорема 1 § 5)
Отсюда Fx — Кх Ф 0 для каждого х и, значит, Ц (Fx — Кх)Ф=0-
х
Пусть ф е Ц (Fx — Кх)- Тогда ц>{х)фКх, а потому цфНХщ
х
так как h(x)^Kx для всех А, принадлежащих Нх. Итак,
функция ср не принадлежит никакому слагаемому Нх суммы S, т. е.
q>&S и, значит, S^H/^, откуда следует (6), и теорема до-
X
казана.
Полагая в теореме Кёнига $X=U \х = 2 и m = Г, получаем
неравенство Кантора m<2m (см. (2) § 5). Таким образом,
теорема Кёнига является обобщением этого неравенства.
Следствие 3. Если тп < шл + , для /г = 0, 1, 2, ... ^
Л!0 > О, ТО
оо оо
2 т„ < П "V
n=U n = 0
Доказательство. В силу теоремы Кёнига
ш0 + i»i + Щ + .. . < ш, • ж2 • 7Н3 • ...
и тем более
ш0 + ш, + ir2 + ... < т0 • тп, . тп2 ...
Следствие 4. Ни для какого кардинального числа а
нельзя представить степень иа в виде суммы членов бесконечно
возрастающей последовательности кардинальных чисел.
Доказательство. Допустим, что
иа = тп0+ ш, + т2+ ....
Тогда mp<na ив силу (4)
оо со
11 шр < (и*У = п° = 2 тр.
По следствию 3 последовательность т0, т,, тп2, ... не может
быть возрастающей.
В частности, с и 2е нельзя представить в виде сумм
бесконечно возрастающих рядов. С другой стороны, число
a + 2' + 22a+ ...,
и вообще
и + 2" + 22tt +
не будет степенью с показателем а.

Глава VI
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Введение
Напомним прежде всего определение линейно
упорядоченного множества, данное в гл. II § 9:
Определение 1. Множество Л называется линейно
упорядоченным, если в нем задано отношение порядка R,
обладающее свойством связности, т. е. для всех ху у е Л выполняется
условие (xRy) V (yRx) *).
Типы реляционных систем (Л,/?), где R — отношение
линейного порядка в Л, называются порядковыми типами.
Порядковый тип системы (Л, R) Ыэычно обозначается А (хотя
правильнее было бы обозначать Л).
Пример 1. Для ф, г|з е NN положим ф^1|), если ф = г|?
или фп < г|}п, где п — наименьшее из чисел, для которых ф,г ф г|)п.
Отношение <1 линейно упорядочивает множество NN. Если
А с: NNy то сужение отношения 4 на Л линейно упорядочивает
множество Л.
Ф Пример 2. Множество Л, составленное из натуральных
чисел вида 2п, линейно упорядочено отношением делимости, т. е.
отношением
(т, п): (т*=Л)Л(/геЛ)Л V (т =/m)t.
Пример 3. Множество Л/ X N линейно упорядочено
отношением /?, которое имеет место для пар (т,/г) и (р, q) тогда и
только тогда, когда (2га + \)/2п ■< (2р + 1)/2^. Это отношение
изоморфно отношению ^ в множестве рациональных чисел
вида (2т + 1)/2п.
Пример 4. Пусть Р(т) означает, что т четно.
Множество N линейно упорядочено отношением
«га, л): [Р(т)ЛР(п)Л{т^п)]У[Р(т) AlP{n)]V
. V["1 Р (т)Л1 Р (п)Л(п^т)}}.
1) Понятие линейно упорядоченного множества ввел Кантор [4].

§ /. Введение
213
При таком порядке в N каждое четное число предшествует
каждому нечетному, из двух четных чисел меньшее предшествует
большему, а из двух нечетных большее предшествует меньшему:
2, 4, 6, 8, 10, ..., 9, 7, 5, 3, 1.
Пример 5. Множество комплексных чисел линейно
упорядочено отношением
{<*, у): [Re(x)<Re(y)]V[ [Re(x) = Re(y)]A[lm(x) < Im (у)] ]}.
При таком порядке число х предшествует числу у, если веще-
ственная часть Re(*) числа х меньше вещественной части Re(#)
или если вещественные части равны, а мнимая часть 1т(лг)
числа х меньше мнимой части 1т(у).
Пример 6. Пусть а(п)—число различных простых
множителей натурального числа п. Множество натуральных чисел
линейно упорядочено отношением
{(х, у):[а(х)<а(у)]Ч[[а(х) = а(у)]Л{х^у)]}.
Пример 7. Множество концентрических кругов линейно
упорядочено отношением вложения, ф
Определение 2. Элемент х называется первым
элементом линейно упорядоченного (отношением R) множества Ау если
xRy для всех jsA Если же yRx для всех у, то х называется
последним элементом множества А. Первый и последний
элементы существуют не во всяком линейно упорядоченном
множестве, но если они существуют, то определяются однозначно.
Теорема 1. В каждом конечном непустом подмножестве X
линейно упорядоченного множества А существуют первый и
последний элементы.
Доказательство. Проведем индукцию по числу
элементов множества X. Если X содержит один элемент, теорема
очевидна. Пусть теорема верна для множеств, содержащих п
элементов. Множество X=Y[){a}9 где а фУ, содержит п+1
элемент, причем Ъ\ — первый, а Ь2 — последний элемент
множества Y. Тогда предшествующий из элементов а и Ьх — первый,
а последующий из элементов а и Ь2 — последний элемент
множества X.
В случае отношений линейного порядка обычно вместо
изоморфизм говорят подобие отношений. Следующая теорема
показывает, что определение подобия можно упростить: вместо
доказательства эквивалентности утверждений xRy и f(x)Sf(y)
достаточно доказать только одну импликацию.

•214
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
Теорема 2. Для того чтобы множества А и В, линейно
упорядоченные отношениями R и S, были подобными, необходимо
и достаточно, чтобы существовала такая функция /, взаимно
однозначно отображающая А на В, что для любых х, у е А
xRy-+f(x)Sf(y). (1)
Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что
если х, у^А и f(x)Sf(y)t то xRy. Предположим противное.
Пусть х, j/бЛ, f(x)Sf(y) и ^(xRy). Так как отношение R
связно, то либо х = у, либо yRx. В первом случае xRy, поскольку
R рефлексивно, но это противоречит предположению ~](xRy).
Во втором случае f(y)Sf(x) (в силу (1)) и, значит, f(x) = f(y),
поскольку S антисимметрично. Так как функция / взаимно
однозначна, то х = у, что невозможно, ибо в этом случае xRy.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Подобные множества, очевидно, равномощны. Для
конечных множеств можно доказать и обратное утверждение.
Теорема 3. Любые два конечные равномощные линейно
упорядоченные множества подобны.
Доказательство. Пусть множества Л и В, линейно
упорядоченные отношениями R и S, имеют по п элементов. Для
п = О пустая функция удовлетворяет условиям теоремы 2,
следовательно, устанавливает изоморфизм отношений R и S.
Предположим, что теорема верна для я-элементных множеств,
и пусть А и В имеют по п + 1 элементу. Пусть а — первый
элемент множества Л, а Ь — первый элемент множества В, Согласно
предположению индукции, существует функция fu
устанавливающая подобие множеств А—{а} и В — {Ь}. Легко проверить,
что функция
f = fil){(a, b)}
устанавливает подобие множеств А и В.
На примерах можно убедиться, что эта теорема не
обобщается на бесконечные множества, например на множество
натуральных чисел (ср. примеры 4 и 6).
Из теоремы 3 следует, что для линейно упорядоченного
я-элементного множества А можно положить А = п.
Введем теперь некоторые сокращения и обозначения. Будем
все время предполагать, что множестсо А линейно упорядочена
отношением R.
Говорят, что элемент х предшествует элементу у, если
xRy и хфу.

§ L Введение
215
В этом случае пишут х -$ Ry (или просто x-~iy, когда нет
необходимости отмечать отношение R) или уУ$х(у Ух).
Говорят, что у лежит между х и г, если
хН(/-^2 или х $- у Ь~ z.
Если j^E/1 ив множестве {у: х--$у} существует первый
элемент, то этот элемент называется последователем элемента х
(относительно R). Последний элемент множества {у: у Н х}
(если он существует) называется предшественником элемента х.
Каждый элемент хе/1 имеет не более одного предшественника
и не более одного последователя.
Собственное подмножество X множества А называется
отрезком (остатком) множества Л, если из х ge X следует, что каждый
предшественник (последователь) элемента х принадлежит X.
Множество X а А называется интервалом, если из х, у с^ X
следует, что каждый элемент, лежащий между х и у,
принадлежит X.
Обозначим
Ot(x) = {y: {yRx)A(y^x)} = {y: у Н х}9
иногда индекс R будем опускать.
Легко видеть, что 0R(x)—отрезок. Но не каждый отрезок
имеет вид 0R(x).
О двух интервалах X и Y линейно упорядоченного множества
А говорят, что первый предшествует второму, если
(xEX)A(l/eF)->H^
Каждое семейство непересекающихся интервалов линейно-
упорядочено отношением X предшествует Y или X = Y.
Упражнения
1. Пусть М — такое семейство подмножеств множества Z, чю
(I) М монотонно.
(II) М не содержится ни в одном отличном от него монотонном
семействе подмножеств множества Z.
Доказать, что отношение R, заданное эквивалентностью
xRy^Ux = y)V \/ 1(х&Е)Л{у<=Е)]\,
\ ££Af J
линейно упорядочивает множество Z. Семейство остатков (для этого
отношения) совпадает с М1).
1) См. Куратовский [1]. Этот результат дает возможность заменить
теорию линейно упорядоченных множеств теорией монотонных семейств
множеств.

216
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
2. Пусть М — монотонное семейство подмножеств множества Z.
Доказать, что семейство всех множеств вида yj X и || X, где 5 cz My моно-
тонно.
§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества
Множество А называется плотным, если для любых двух
элементов ху у^А существует элемент zg/1, лежащий между
ними.
В плотном множестве ни один элемент не имеет ни
предшественника, ни последователя. Это свойство —
характеристическое для плотных множеств. В самом деле, если никакой элемент
множества А не имеет предшественника и х, у^А, причем
х-^> у, то х не может быть последним элементом множества
{г: z -3 у}у поскольку тогда он был бы предшественником
элемента у. Значит, должен существовать такой элемент z, что
хННц,т.е. множество А плотно.
Пустое и одноэлементное множество плотны. Остальные
плотные множества бесконечны.
Неплотное множество может содержать бесконечное
плотное подмножество. Например, множество, состоящее из всех
положительных и целых отрицательных чисел и упорядоченное
отношением ^, неплотно, так как между —2 и —1 не лежит нк
один элемент из этого множества. Но оно содержит плотное
подмножество — множество всех положительных чисел.
Линейно упорядоченное множество, не содержащее никакого
бесконечного плотного подмножества, называется разреженным.
Разреженными будут, например, множество всех целых чисел и
множество всех дробей вида l/п (п = ± 1, ±2,.. .), если они
упорядочены отношением ^С
Каждое подмножество разреженного множества разреженно.
Теорема 1. Если А и В— разреженные подмножества
линейно упорядоченного множества М, то сумма A U В также раз-
реженна.
Доказательство. Предположим, что существует
бесконечное плотное подмножество С множества A U В. Так как
С = (СП Л) U (СП В), то одно из множеств СП Л или СП В
бесконечно. Пусть это будет множество С П А. Поскольку оно
неплотно (как подмножество разреженного множества Л), в нем
существуют такие элементы а{у а2, что а\-^а2у и ни один эле*
мент множества СП Л не лежит между ними. Отсюда следует,
что для каждого х е С
(a|-)X^a2)->xG В. (1)

§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества 217
Обозначим Вх = С Л {х: а\ Sx~Sa2}. Это множество
бесконечно, так как между а{ и а2 лежит бесконечно много элементов
множества С. Если х\, x2gBi и х\ -3 х2, то существует элемент
х <= С, лежащий между ними, и потому #<= Вь Это означает, что
множество В\ плотно. Согласно (1), B^czB, т. е. Si —
бесконечное плотное подмножество множества В вопреки условию
(В разреженно). Теорема 1 доказана.
Множество X, содержащееся в линейно упорядоченном
множестве Л, называется плотным в А, если между каждыми двумя
элементами х и у множества Л лежит по крайней мере один
элемент г множества X. Например, множество рациональны?;
чисел плотно во множестве вещественных чисел (если оба
множества упорядочены отношением <<).
Ясно, что если множество X плотно в Л, то и Л и X плотны.
Очевидно, что два множества X и У, плотные в А и не
имеющее ни первого, ни последнего элемента, всегда конфиналънч
и коинициальны. Если X конфинально с У, а У с Z, то X и Z
тоже конфинальны.
Аналогично для коинициальных множеств.
Пусть (X,Y)—сечение линейно упорядоченного множества
Л. Произведение X П У имеет не больше одного элемента.
Действительно, если х, у е X П У, то х _Н У и у ^ х, т. е. х = у. Если
X П У = 0, то говорят, что (X, У) определяет щель в
множестве Л. Если же X П У = а, то говорят, что элемент а лежит на
сечении (X, У). Легко показать, что в этом случае X = {а}~,
У = {а}+ и
a=V^=Aj/1).
Сечение называется собственным, если ХфОФ У.
Множество Л называется непрерывным, если ни одно его
собственное сечение не является щелью.
Если {Х\, Y{) и {Х2, Y2)—сечения в Л, то либо Х\ аХ2, либо
Х2аХ\. В самом деле, возьмем а^Х\— Х2 и b ^ Х2. В силу
связности b предшествует а, так как иначе а е Х2. Поэтому
6e^i и тогда Л^ с: AV Отсюда следует
Теорема 2. Минимальное расширение % (см. стр. 167)
линейно упорядоченного множества непрерывно.
В самом деле, $— полная решетка, причем (как было
показано выше) отношение порядка в ней связно, следовательно,
линейно. Полная линейно упорядоченная решетка % непрерывна,
так как если (ОьОг)—собственное сечение в $, то верхняя
грань множества Di лежит на этом сечении.
*) См. стр. 158. — Прим. перев.

■21S
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
Следствие З1). Каждое линейно упорядоченное множе-
cieo можно расширить (с сохранением граней) до непрерывного
множества.
И в заключение этого параграфа приведем теорему,
показывающую, что исследование произвольного порядкового типа
можно свести к исследованию плотных и непрерывных
порядковых типов. Нам потребуется понятие упорядоченной суммы
линейно упорядоченных множеств.
Пусть Т — множество, линейно упорядоченное отношением
Q, а /? и F — такие функции, определенные для каждого х из 7\
что Rx линейно упорядочивает Fx. Предположим, что FXl П Fx, Ф О
ДЛЯ Х\ Ф Х2.
Теорема 4. Пусть отношение S выполняется для двух
элементов а и Ь суммы [J Fх тогда и только тогда, когда а и Ь
х
принадлежат либо одному и тому же слагаемому Fx и aRxb,
либо разным слагаемым, FXl, Fx, и x{Qx2. Тогда S линейно
упорядочивает сумму (J Fх.
х
Доказательство. Рефлексивность отношения S
очевидна.
Если а и Ь принадлежат различным слагаемым суммы (J^x,
то aSb или bSa, поскольку Q линейно упорядочивает множество
индексов. Если же а и b принадлежат одному и тому же
слагаемому, то aSb или bSa, поскольку отношение Rx связно в Fx.
Таким образом, S тоже связно.
Если a^FX[> b^FXi, aSb и bSa, то x{Qx2 и x2Qxu откуда
х{ = х2, так как Q антисимметрично в Т. Полагая х = х\ = х2>
получаем aRxb и bRxa, откуда а = Ь, т. е. S также
антисимметрично.
Наконец, предположим, что а е FXJ b <= Fyy с е Fz, aSb и bSc.
Тогда xQy, yQz и потому xQz. Если хф z, то aSc. Если же
х = г, то х = у = zy поскольку xQyy yQz и Q антисимметрично
Так как aRxb и bRxc (по определению отношения S), то aRxc
(в силу транзитивности Rx), откуда aSc. Таким образом, S тран-
зитивно.
Следовательно, отношение S линейно упорядочивает
множество (J Fx.
В дальнейшем под упорядоченной суммой линейно
упорядоченных непересекающихся множеств Fx мы всегда будем по-
1) Это теорема Дедекинда [1].

§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества 219
нимать сумму \jFXi упорядоченную отношением S, описанным
х
в теореме 4, причем в каждом таком случае будет установлено
отношение Q, упорядочивающее множество индексов.
Множество (J Fx называют также суммой множеств Fx отно-
х
сительно множества индексов Т.
Пусть А— произвольное множество, линейно упорядоченное
отношением R. Для хуу^А обозначим символом [х, у]
множество тех г, которые либо равны х или у, либо лежат между
ними.
Очевидно, [х, у] = [у, х]. Докажем, что для любых х, у, z e A
[х, у]а[х, z] U [г, у]. (2)
В самом деле, если t е [х, у] и t = х или / = уу то очевидно,
что / е [х, z] U [г, у]. Если х Ч t~i у и t = z или tSzy то
f е [х, г]. Если же zH(, то / е [г, у]. Аналогично, если
уН/Нх, то / е [л:, z] U [г, у].
Пусть Vx — множество всех таких у> что множество [л:, у]
разреженно. Так как л:е Vx> то Vx ФО. Докажем, что множества
Vx разреженно.
Предположим противное, т. е что в Vx существует
бесконечное плотное подмножество С.
Согласно (2), если си с2 е С и С\ -3 с2, то
[си с2]а[си х]\}[с2, х],
т. е. множество [сьс2] содержится в сумме двух разреженных
множеств (которая сама разреженна в силу теоремы 1). Но
это невозможно, потому что между каждыми двумя различными
элементами множества С лежит по крайней мере один его
элемент. Таким образом, предположение, что Vx не разреженно,
привело к противоречию.
Докажем, что Vx — интервал множества А. Пусть у, ze Vx
и у -it H z. Если х = / или х -3 /, то [л:, t]cz[x, z] и тогда
множество [х, t] разреженно как подмножество разреженного
множества [л:, г]. Если же t~ix, то [/, x]cz[y, x] и множество [t, x]
разреженно как подмножество разреженного множества [у, х].
Отсюда следует, что t^ VXy т. е. Vx — интервал.
Если х ф у, то либо Vx П Vy = О, либо Vx = Vy. В самом деле,
если z <= Vx П Vv, то множество [ху у] разреженно как
подмножество суммы [х, z] U [у, z]. Тогда если и <= Vx, то [«, у] разреженно,
поскольку [и, у] с [иу х] U [х, у]. Аналогично и е Vy влечет и е Vx-
Значит, Vx = Vy.

220
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
Пусть А— семейство всех множеств Vx. Оно состоит из
непересекающихся и непустых интервалов множества А и линейно
упорядочено отношением р, имеющим место между Vx и Vu
тогда и только тогда, когда Vx = Vy или Vx предшествует Vц
(см. стр. 215)
Множество А представляет собой упорядоченную сумму
A=\JP,
PeeA
где семейство А линейно упорядочено отношением р, а каждый
интервал Р — отношением R. В самом деле, сумма \Jj (А)
содержится в Л, а каждый элемент х множества А принадлежит
Vx и, значит, некоторому слагаемому этой суммы.
Покажем, что семейство Л, упорядоченное отношением р,
плотно. Пусть VxpVy и Vx Ф Vy, т. е. Vx П Vy = 0. Тогда интервал
[х} у] не разрежен, т. е. для некоторого г, лежащего между х и
уу одно из множеств [х, г], [г, у] — например, первое — содержит
бесконечное плотное множество М. Если т, /г, р — такие
элементы множества М, что х -$ m -3 п -$р H z, то [х, п] и [я, у]
содержат бесконечные плотные подмножества, откуда Vxp VnpVv и
Таким образом, мы получили следующую теорему1).
Теорема 5. Каждое упорядоченное множество можно
представить в виде суммы разреженных множеств относительно
плотного множества индексов.
Упражнения
1. Привести пример такого бесконечного множества, не подобного
множеству натуральных чисел, что в нем есть первый элемент, но нет
последнего, и каждый элемент, кроме первого, имеет предшественника.
2. Показать, что если множество X плотно, а Х\ и Х2 непрерывны и
содержат плотные в них части, подобные X, то множества Х\ и Х2 сами
подобны.
3. Доказать, что множество © отношений R е 2^, устанавливающих
в своих полях линейные плотные порядки, является множеством G& (в
пространстве 2^ ).
4. Сумма разреженных множеств относительно разреженного множества
индексов разреженна.
5. Если бесконечные плотные множества Fx не имеют ни первого, ни
последнего элементов, то сумма ^J Fx плотна (для каждого упорядоченного
множества Т).
1) Теорема 5 принадлежит Шёнфлису [1, стр. 184]. Подробный анализ
разреженных счетных типов провели Эрдёш и Хайнал [1].

§ 3. Типы со, Y\ и X
221
6. Если множество Т бесконечно и плотно и Fx Ф О для каждого х,
то [J Fx содержит плотную часть.
7. Если сумма М Fx непрерывна, то множество Т не имеет щелей.
8. (Хаусдорф) Если множество Т непрерывно и содержит первый и
последний элементы и каждое множество Fx непрерывно, то сумма М Fx
непрерывна.
§ 3. Типы о), ц и X
Проиллюстрируем понятие порядкового типа на нескольких
примерах.
Т и п со. Это тип множества Л/, упорядоченного отношением <^.
Теорема 1. Линейно упорядоченное множество А имеет
тип со тогда и только тогда, когда
(I) А имеет первый элемент а0,
(II) каждый элемент х множества А имеет последователь x*t
(III) если a0^XczA и множество X содержит
последователь каждого своего элемента, то X = А.
Доказательство. Условия (I) — (III) инвариантны
относительно подобных отображений. Так как они выполняются для
множества натуральных чисел, упорядоченных отношением ^,
то они необходимы для того, чтобы множество А имело тип си.
Обратно, пусть для множества Л, линейно упорядоченного
отношением R, выполняются условия (I) — (III). Зададим
функцию fy устанавливающую подобие множества А множеству
натуральных чисел:
f(0) = ao, /(« + 1) = [/(«)]*. (1)
Из этого определения следует, что множество значений
функции f содержит а0 и содержит последователь каждого своего
элемента. В силу (III) оно совпадает с А.
Докажем, что
m<n->f(m)~if(n). (2)
Из (1) следует, что (2) верно для п = m + 1. Если (2) верно
для некоторого /г, то оно верно также для п + 1. В самом деле,
если f(m)~if{n), то f(m) H[/(ai)]*, так как f (n)-i tf (п)]\
Из (2) непосредственно следует, что
тфп->${т)Ф1{п), m^n->f{m)Rf(n).
Первая из этих импликаций доказывает, что функция /
взаимно однозначна, а вместе со второй (теорема 2 § 1)—что f

222
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
устанавливает подобие множества А множеству натуральных
чисел.
Тип к]. Прежде чем определить этот тип, докажем
следующую важную теорему.
Теорема 2. Любые два непустые линейно упорядоченные
счетные плотные множества, не имеющие ни первых, ни
последних элементов, подобны.
Доказательство. Пусть А и В — множества,
удовлетворяющие условию теоремы. Для простоты будем обозначать
отношения порядка в обоих множествах одним и тем же
символом.
По условию множества А и В бесконечны. Значит,
существуют такие взаимно однозначные последовательности a^AN и
Ь €= BN, что a1 (N) = А и bl (N) = В.
Определим по индукции две перестановки ф и ф множества Л/
так, чтобы отображение /: а^п)—* Ь^(П) устанавливало подобие
множеств А и В. Для этого прежде всего положим ф(0) =
= гр (0) = 0. Дальше определяем отдельно для случая п четного
и п нечетного.
Случай 1: п четно. Положим
Ф {п + 1) = min Г Л {акфан})\
k L/</i J
i|)(tt+l) = min[ Л [(ЬкФЬъ(1))л[{Ьъи)^Ь^ = {а4ф-$аНп+\))\}\
Если нет чисел м, удовлетворяющих Ф(п), то будем считать
хп\пФ(к) равным нулю. Это же относится и к случаю 2.
k
Случай 2: п нечетно. Определение аналогично, только ф и \|>
меняются ролями:
•ф(я+ l) = min[ Л {ЬкФЬ^ф)\
k L/</i J
ф(л+1) = ттГ Л 1(ал^аф(/))л[(аф(/)-?а.0 = (Ьф(/)Н &ф(Л+о)]} I.
к L/<« I
Докажем индукцией по п, что если «G N и / < /г, то
Ф(л)^Фог (3)
*(л)=^*(У), (4)
°W) ^ S(/)^^(«) ^ &Ф(/)> S(m) ^ аФ(/)= &Ф(м) ^ &Ф(/Г ^

§ 3. Типы со, ц и X
223
Ясно, что эти формулы верны для /2 = 0. Предположим, что
по > 0 и они верны для п < п0. Пусть п0 = п' + 1. Дальнейшее
доказательство распадается на два случая в зависимости от
четности или нечетности п!'. Рассмотрим только первый случай.
Так как множество А бесконечно, то существуют такие числа
к, что ak¥=a^j) для j^Cn'. По определению ф(/г' + 1) являетсл
одним из таких чисел к, что и доказывает (3) для п = п'+\ =/г:>
Для доказательства (4) и (5) обозначим
Р = {/<*': аф(/)На,(Яо)),
<?={/< л': e,wHa,(/)).
Тогда
H/-)A(9eQ)^(flfW-!%J,
а так как (5) по предположению верно для п^Сп', то
(pePjAtoeQ)-*^-^,,,).
Поскольку В плотно, эта импликация означает, что
существуют такие числа &, что b^(P)-ibk для каждого р из Р и
bk^b^(q) для каждого ^ из Q. Из определения функции if>
следует, что ty(n0) — одно из таких чисел /г. Таким образом,
^Нпо^^Фа) для /e=PUQ- Кроме того,
*Ф(я.) ^ *ФК/) = У S ®Sfl?(«J Н fl«P</>
и аналогично для отношения <- и для / <= Р U Q. Формулы (4)
и (5) доказаны.
Формулы (3) — (5) показывают, что функция f: о,^п)->Ь^П)
устанавливает подобие множеств {a^(n): п <= W} и {б^п): /2 <= /V}.
Остается показать, что эти множества совпадают с Л и В, т. е.
каждое натуральное число принадлежит множеству значений
последовательностей ф и if>. Ограничимся рассмотрением только
последовательности ф.
Предположим противное, т. е. что N — ф1(Л^)^=0 и k0 —
наименьшее число этого непустого множества чисел. Очевидно,
кс > 0. Обозначим для h < k0 через nh такое единственное число,
что ф(/2/г) = /i, и пусть п— четное число, большее всех чисел nhy
h < k0. Так как а фа^ц) для всех /<1/г, и для каждого h < ко
существует такое /<п, что ап = a$Uh а именно / = nhy то
&0 = min Л (ajfe^aqx/)),
k j < п
откуда /?о = ф(/2+ 1) вопреки тому, что ko^^(N). Теорема
доказана.

224
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
Эта теорема утверждает, что существует только один тип
непустых множеств, плотных, счетных, не имеющих ни первого,
ни последнего элемента. Этот тип обозначается символом ц.
Ф Пример упорядоченного множества типа г\ дает
множество рациональных чисел, упорядоченное отношением <С #
Другой пример приведен на стр. 212 (пример 3).
Множества типа г\ обладают следующим свойством
универсальности:
Теорема 3. Если В = ц и А — произвольное линейно
упорядоченное счетное множество, то существует такое множество
С с: В, что А = С.
Доказательство. Можно считать, что А бесконечно.
Сохраняя обозначения, введенные в доказательстве теоремы 2,
определим последовательности ф и ф, как в случае 1, не
ограничиваясь, однако, четными значениями я, а придавая п все
натуральные значения. Формулы (3) — (5) будут верны, и можно
тем же методом, что и в теореме 2, доказать, что yl(N)=N и
множества {аф(п)*. /igJV}h {b${ny n^N} подобны. Первое из
этих множеств равно Л, а второе содержится в В, и теорема
доказана 1).
Тип X. Прежде чем дать определение этого типа, докажем
следующую теорему.
Теорема 4. Если А и В — линейно упорядоченные
непрерывные множества, конфинальные и коинициальные со своими
частями Ах и Ви плотными в А и В и имеющими тип т], то А и
В подобны.
Дадим только набросок доказательства этой теоремы.
Согласно теореме 2, существует функция fu подобно
отображающая А\ на В\. Легко показать, что множества Х(а) = А\ [) {а}~
и у (а) = А\ П {а}+, где а — любой элемент из Л, определяют
собственное сечение в А{. Из свойства функции f\ следует, что пара
(pt Q) = (j\(X (a)), f\(Y (а))) образует собственное сечение в Bj.
Далее полагаем
Х(а) = {Ь<=В: А(Ь^у)\, ?(а)= \b €= В: А (х < 6)1
и доказываем, что пара {Х(а), У (а)) образует собственное
сечение множества В. Так как В непрерывно, то существует
элемент /(а), лежащий на этом сечении: это последний элемент
]) Теоремы 2 и 3 принадлежат Кантору. В последнее время эти теоремы
многократно обобщались на другие виды отношений. См. Фраиссе [1], Ионсон
[2, 3], Морли и Boot [1].

§ 3. Типы со, ц и К
225
множества Х(а) и одновременно первый элемент множества
7(a).
Отображение / удовлетворяет условию
а'<а"->/(а')</(а").
Действительно, если а'^а", то X{а') с X(а") и, значит,
f|(X(aO)c=ft(X(a'')). Следовательно, Y {а') =э Y {а") и, таким
образом, /[а') ^ / (а").
Остается показать, что функция f взаимно однозначна и
отображает множество А на все множество В. Для этого
повторяем предыдущую конструкцию, меняя ролями множества Лий,
и получаем функцию g, отображающую В в Л. Можно
показать, что f(g{b)) = b для каждого JgS, и теорема доказана.
Теорема 4 позволяет принять следующее определение:
линейно упорядоченное множество Л имеет тип X, если оно
непрерывно и содержит плотное в нем подмножество А{ типа г\,
имеющее с ним общее начало и общий конец.
Ф Примером множества типа Я может служить множество &
вещественных чисел, упорядоченных отношением -*С #
Замечание 1. С теоремой 4 связана проблема Суслика:
будет ли непрерывное множество без первого и последнего
элементов, каждое семейство попарно непересекающихся
интервалов которого счетно, иметь тип К (т. е. содержать плотное
счетное подмножество)1).
Замечание 2. Множества типов со, ц и А, имеют
мощность ^Сс. Недавно доказано, что без аксиомы выбора нельзя
вывести из остальных аксиом теории множеств теорему о
существовании отношения, упорядочивающего множество
мощности 2е.
Упражнения
1. Каждое плотное бесконечное множество содержит подмножество типа т].
2. Каждое непрерывное бесконечное множество имеет мощность ^ с.
3. Пусть г0, rt,... — бесконечная последовательность без повторений, со-
оо
ставленная из всех рациональных чисел. Для с =» 2 cifiJ, где С) — О или 2,
/-о
положим Мс = {г,-: Cj = 2} и обозначим через с тип множества Мс,
упорядоченного отношением ^. Доказать, что каждый счетный порядковый тип
можно представить в виде с2).
1) См. Fund. Math., 1 (1920), 223. С. Тенненбаум недавно показал, что
гипотеза Суслина не может быть доказана в аксиоматической теории
множеств.
2) См. Кураювский [9].

226
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
4. Пусть Ст = {с: с = т}. Показать, что множество Кантора С равно
М Ст, где суммирование производится по всем счетным порядковым типам
т
и слагаемые этой суммы попарно не пересекаются.
5. Показать, что множество Сц является множеством G& в
пространстве С.
6. Доказать, что каждое линейно упорядоченное множество, содержащее
плотное в нем счетное подмножество, подобно некоторому подмножеству
множества вещественных чисел (упорядоченному отношением ^).
7. Пусть М — монотонное семейство открытых подмножеств прямой (или
в общем случае пространства tn). Доказать, что это семейство подобно
некоторому подмножеству множества вещественных чисел (упорядоченному
отношением ^).
Указание: Пусть Ри Лг,.. • — последовательность всех интервалов с
рациональными концами. Предположим, что каждый интервал повторяется в этой
последовательности бесконечное число раз. Для данного множества G е М
пусть k\, &2, • • • — последовательность всех таких натуральных чисел, что
Pk a G. Функция
П °° ъ
/(G) =2 */2 • '(ОНО,
п = \
устанавливает требуемое подобие.
§ 4. Арифметика порядковых типов
Для порядковых типов, как для кардинальных чисел, можно
определить операции, до некоторой степени аналогичные
арифметическим операциям. Законы полученной таким образом
арифметики порядковых типов позволяют упростить рассуждения
относительно линейно упорядоченных множеств.
Обратные типы. Легко доказать, что если отношение R
линейно упорядочивает множество Л, то и обратное отношение Rc
линейно упорядочивает Л. Очевидно, что изоморфизм
отношений R и S влечет изоморфизм обратных отношений Rc и Sc.
Порядковый тип множества Л, упорядоченного отношением
7?с, называется обратным порядковому типу множества Л,
упорядоченного отношением R. Если R упорядочивает Л в тип а, то
тип множества Л, упорядоченного отношением Rc, обозначается
через а*.
Так как x(Rc)cy = xRyt то
а** = <х. (1)
Пример 1. Если п — конечный порядковый тип, то я* = п,
поскольку любые два конечные равномощные множества
подобны.
Пример 2. Аналогично ц* = г\ и Я* = Я. Но (о*=£со, так
как множество типа со* (например, множество целых отрицатель*

§ 4. Арифметика порядковых типов
227
ных чисел) имеет последний элемент, а множество типа со его не
имеет.
Сумма порядковых типов. Пусть а и р— два порядковых
типа, А и В — такие два линейно упорядоченные множества
(отношениями R и S), что Л = а, В = $ и Л П В = 0. Можно
добиться, чтобы последнее условие всегда выполнялось, так как
если множества Л и В пересекаются, то их можно заменить
подобными непересекающимися множествами Л X {1} и В X {2}.
Суммой а + Р называется число
сх + р=ЛТГб,
где множество A U В упорядочено так, что все элементы
множества А предшествуют всем элементам множества S, а в
каждом из множеств А и В порядок сохраняется.
В частности, если а и р— конечные числа, определение
суммы совпадает с определением суммы натуральных чисел.
Легко видеть, что сумма а + р не зависит от множеств А
и В, а только от их порядковых типов. Более того,
(а + р) + y = а + (р + y), а + 0 = а = 0 + а.
Закон коммутативности в общем случае не выполняется.
Например, со + 1 Ф 1 + со. В самом деле, 1 + со = со (это тип
множества натуральных чисел), а со + 1—тип множества с
последним элементом.
Произведение порядковых типов. Пусть а = Л, р = В.
Произведением сер называется число
<х.р= А X В,
где множество А X В упорядочено так, что если {х, у),
{х\*У\)—Два его элемента, то первый предшествует второму,
когда у -*>у\ или (в случае совпадения ординат) х Н xh
Например, Я • X = Я2—это порядковый тип плоскости, точки
которой упорядочены описанным выше способом.
Легко видеть, что произведение а»р зависит только от
сомножителей и для конечных типов наше определение совпадает
с определением умножения натуральных чисел. Более того,
(а • p)v = а (р • у), а • 1 = 1 • а = а, а • 0 = 0 • а = 0.
Умножение, как и сложение, некоммутативно. Например,
со2 ф 2со. В самом деле,
2со = {1, 2}Х N = со, со2 = N Х{1, 2} = со + со.
Закон дистрибутивности выполняется:
а (р + y) = ар + cxy.

228
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
В самом деле, пусть
Тогда (см. стр. 71)
а (р + у) = А X (В U С) = (А X 5) U (Л X С) = Л~хНв U Л~>ГС =
= ар + ау,
поскольку
(ЛХВ)П(^ХС) = 0.
Степень с конечным показателем определяется по индукции:
Упражнения
1. Доказать, что г| + г| = г|, Я 4- 1 4- X = X, Х + Х^Х.
2. Построить с помощью операций над со пример бесконечного линейно
упорядоченного множества с первым и последним элементами, в котором
каждый элемент (кроме последнего) имеет последователя и каждый (кроме
первого) имеет предшественника.
3. Доказать, что (а + Р)* = р* +а*.
4. Доказать, что г\2 = ц.
5. (Девис —Серпинский) Доказать, что (сог|)2= (сог|4-со)2, но сог1=£сог] + (1>.
6. Доказать, что со2 является типом множества натуральных чисел,
упорядоченных следующим отношением: m предшествует /г, если m имеет меньше
простых делителей, чем /г, или (если они имеют одинаковое число делителей)
m < п.
7. Доказать, что множество типа А,2 не содержит счетного плотного в нем
подмножества.
§ 5, Лексикографический порядок
С произведением порядковых типов тесно связан так
называемый лексикографический порядок. Чтобы его определить,
предположим, что множество Т линейно упорядочено
отношением Q и каждому jcgT сопоставлено множество Fx, линейно
упорядоченное отношением 7?х. Множества Fx могут
пересекаться. Обозначим
Jeer
Это — множество функций /, определенных на Г и таких, что
f(x) e Fx для всех х е Т.
Любые две функции / и g из Р определяют множество
Dtf, g) = {x^T: f(x)¥*g{x)}.
Очевидно, что D(f,g) = 0 тогда и только тогда, когда / = g.

§ 5. Лексикографический порядок
229
Зададим в Р отношение S, выполняющееся между
элементами [и g тогда и только тогда, когда либо / = g, либо
множество D (/, g) имеет первый элемент х0 и f(xo) RXog{x0):
fSg = {f = g)Vy{(f(x)^Rxg{x))A/\[{y^Qx)^(fM
Если отношение S линейно упорядочивает декартово
произведение Р, то его называют отношением лексикографического
порядка в Р. Говорят также, что Р упорядочено по принципу
первого различия.
Выясним условия, при которых S линейно упорядочивает Р.
Теорема 1. Отношение S рефлексивно, антисимметрично
и транзитивно.
Доказательство. Рефлексивность очевидна.
Предположим, что fSg и gSf. Если бы функции / и g были
различны, то множество D(f,g) имело бы первый элемент х и
для этого элемента было бы f(x)Rxg(x) и g(x)Rxf(x). Так
как Rx упорядочивает Fx, то было бы f(x) = g(x) вопреки тому,
что х е D(f,g). Значит, / = g, т. е. S антисимметрично.
Предположим, что fSg и gSh. Если f = g или g = /i, то
очевидно, что fSh. Если же f¥=g и g Ф h, то D(f,g) и D(g,h)
имеют первые элементы х и у соответственно:
f(x)~iRxg{x), g{y)^Ryh{y).
Если z предшествует х и у, то f (г) = g(z) = Л (г). Если же
z0 — предшествующий из элементов х и у, то либо / (го) ""^я^ёЧ^о)
и g (го) = Л (z0) (если х Hqj/), либо f (z0) = g (z0) и g (z0) H/?Ze Л (z0)
(если jHqx), либо f (z0)H*Zoft(zo) и g(z0)-3*Zoft(zo) (если * = */).
Во всех случаях /(zo) "^#ZoMzo), а это значит, что z0 —первый
элемент множества D(f, h). Таким образом, fSh, и
отношение S транзитивно. Теорема доказана.
Замечание. Приведем пример, показывающий, что
отношение S может не быть связным.
Пусть Т—множество типа о* (например, множество целых
отрицательных чисел), Fx = {О, 1}, a Rx — отношение -*С В
качестве / возьмем функцию, равную 0 для п четных и 1 для п
нечетных, и пусть g(x)=l—f(x). Множество D(f,g) совпадает
с Г, поэтому не имеет первого элемента, откуда следует, что
ни fSg, ни gSf не выполняются.

230
Гл. VI. Линейно упорядоченные множества
Теорема 2. Если Т = п или Т = со, то отношение S
линейно упорядочивает множество Р 1).
Для доказательства достаточно показать, что отношение S"
связно в Р. Возьмем /, g e Я, f=£g. Множество D(f,g) непусто
и, значит, содержит первый элемент х. Из связности
отношения Rx в множестве Fx получаем f{x)Rxg(x) или g(x)Rxf(x)y
откуда fSg или gSf.
Теорема 3. Если множества А ь ..., Ап имеют типы
аь ..., ап, то множество А\ X ... X Лп, упорядоченное
лексикографически, имеет тип anan-i . .. аь
Доказательство. Проведем индукцию по п. Для я = t
теорема очевидна. Предположим, что она верна для некоторого
п и рассмотрим декартово произведение Р = А{ X ... ХАп+\,
упорядоченное лексикографически. Обозначим через В
множество Л2 X ... X Ап+\. Ясно, что если ввести в множество А{ X В
лексикографический порядок, то оно будет подобно Р. Поэтому
достаточно доказать, что множество А\ X В имеет тип
an+ian ... аь А это непосредственно следует из определения
произведения типов.
Подобно лексикографическому порядку, можно определить
антилексикографический порядок (по принципу последнего
различия). Определение произведения типов основано как раз на
антилексикографическом порядке.
Ф Пример 1. Произведение Я-Я представляет собой тип
множества комплексных чисел, упорядоченного
лексикографически (комплексное число х + iy отождествляется с
упорядоченной парой (х,у)).
Пример 2. Произведение цк представляет собой тип
множества комплексных чисел вида г + iy, где г — рациональное,
а у — вещественное число. Это множество упорядочено антилек-
сикографически. Произведение Кц является типом того же
множества, упорядоченного лексикографически. Эти типы различны,
так как множество типа Хц содержит непрерывные интервалы,
а типа г\Х—не содержит.
Пример 3. Пусть Т — множество натуральных чисел с
обычным порядком, Я* = {0, 1} для хеГ, а отношением Rx
пусть будет -*С Тогда отношение S лексикографического
порядка изоморфно отношению <^ в множестве Кантора С (если его
*) Теорема 2 верна в более общем случае, а именно, когда множество Т
вполне упорядочено (см. гл. VII).

§ 5. Лексикографический порядок
231
рассматривать как множество вещественных чисел вида
оо
2 сп/Зп, где сп = О или сп = 2 для n^N). Действительно, со-
п = \
оо
поставляя функции /<= JJ Fx число с* = 2 2f(n)/3n+\ получаем,
х /1 = 0
что Cf < cg тогда и только тогда, когда f¥=g к наименьшее из
чисел /г0, для которых / (п0) Ф g(n0), удовлетворяет неравенству
Пример 4. Пусть снова Г = N (с отношением порядка -<),
и пусть Fn = N для п^ N. Каждой функции f e NN сопоставим
вещественное число
оо
г в у 2-^<°)+^1>+ ••• +f(")+"+1)
Очевидно, что 0<Г/<11, причем каждое вещественное
число л:, удовлетворяющее этим неравенствам, можно
представить в виде Tj единственным способом. Действительно, если
оо
х = 2 2~ф(,г) — двоичное разложение числа х9 имеющее бес-
/1=0
конечное количество отличных от 0 цифр, то
последовательность ф строго возрастает и ф(0)>0. Тогда полагая /(0) =
= ф(0)—1 и f(n) = (p(n)—ф(/г—1)—1 для п > 0, получаем
X = Гр
Для того чтобы было а*/ < rg, необходимо и достаточно, чтобы
$=t=g и наименьшее из чисел /г0, для которых f(п0)Ф g(n0),
удовлетворяло неравенству f(n0)<g(no).
Отношение S лексикографического порядка в этом случае
подобно отношению ^ в множестве чисел х, 0<х<Л, и
потому имеет тип К + 1. #

Глава VII
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Определения. Принцип трансфинитной индукции
Отношение R вполне упорядочивает множество X, если она
линейно упорядочивает X и каждое непустое подмножество
множества X имеет первый элемент (относительно порядка R) ]).
Пример 1. Каждое множество типа со вполне
упорядочено.
Ф Пример 2. Множество, состоящее из числа 1 и чисел
вида
"я"' ^==
вполне упорядочено по типу со + 1 отношением <.
Пример 3. Пусть а (и)—число различных простых
делителей числа п. Отношение
[<х, у): [а{х)<а{у)] V ([а{х) = а(у)] А [х<у])}
вполне упорядочивает множество натуральных чисел по типу со2
(см. упр. 6 гл. VI § 4). ф
Пример 4. Упорядоченная сумма
S- (J F*
где множество Т и слагаемые Fx вполне упорядочены, также
вполне упорядочена.
В самом деле, пусть Y — непустое подмножество суммы S.
Множество тех х, для которых Y[\Fx^Oy будучи непустым под*
множеством множества Г, имеет первый элемент *0. Произведем
1) Понятие вполне упорядоченного множества ввел Кантор [3, § 3]
Интересно, что понятие линейно упорядоченного множества он ввел позже (см.
И]), по всей вероятности, при систематизации своих результатов из теории
вполне упорядоченных множеств.

§ 1. Определения. Принцип трансфинитной индукции 233
ние Y П Fх0> будучи непустым подмножеством вполне
упорядоченного множества Fx„ имеет первый элемент, который и
служит первым элементом множества У.
Пример 5. Декартово произведение любого конечного
числа вполне упорядоченных множеств вполне упорядочено
отношением лексикографического или антилексикографического
порядка.
Пример 6. Каждое подмножество вполне упорядоченного
множества вполне упорядочено.
Теорема 1. Любое вполне упорядоченное множество имеет
первый элемент. Каждый элемент, кроме последнего (если
такой существует), имеет последователя.
Теорема 2'. Вполне упорядоченное множество не
содержит подмножества типа со*.
Эти теоремы непосредственно следуют из определения.
0 Т е о р е м а 2". Линейно упорядоченное, но не вполне
упорядоченное множество А содержит подмножество типа со*.
Доказательство. Пусть Р — непустое подмножество
множества А, не содержащее первого элемента. Обозначим
Q (*) = {</: (У -? х) Л (у €= Р)}.
Тогда Q(x)=t=0 для каждого xgP. Согласно теореме 8, стр. 81,
существует функция /, определенная для каждого х е Р и
такая, что f{x)^ Q(x).
Пусть ро — произвольный элемент множества Р. Определим
последовательность р\, /?2, ..., Рп, ... по индукции, полагая
Pn=f{Pn-l) ДЛЯ М>0.
Так как f(x)Sx, то тип этой последовательности равен со*.
Из теорем 2' и 2й получаем теорему 2.
° Теорема 2. Для того чтобы линейно упорядоченное
множество было вполне упорядоченным, необходимо и достаточно,
чтобы оно не содержало подмножества типа со*.
Теорема 3. Каждый отрезок X вполне упорядоченного
множества А можно представить в виде О(х) для некоторого
х<=А.
В самом деле, если х — первый элемент разности А — X, то
0(х) = Х (см. стр. 215).

234
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Теорема 4 (принцип трансфинитной
индукции)1). Если множество А вполне упорядочено, В а А и для
каждого х ^ А
[0(х)сВ)~>(хеВ), (1)
то В = А.
Доказательство. Пусть А — ВФО. Тогда существует
первый элемент х множества А — В. Это значит, что если у -^>ху
то уф. А — В, т. е. у^В. Отсюда 0(х)аВ. Но в силу (1)
х е В, что противоречит предположению х ф В.
Теорему 4 можно переформулировать следующим образом.
Назовем подмножество В вполне упорядоченного множества А
наследственным, если для него выполняется условие (1).
Теорема 4 гласит, что единственным наследственным
подмножеством множества А является само множество А.
Для многих высказывательных функций Ф можно доказать,
что множество {х^А: Ф(х)} наследственное. Для таких
высказывательных функций утверждение /\ Ф(х) истинно. Такой ме-
тод доказательства теорем вида Л Ф(*) называется методом
трансфинитной индукции. Имеется очевидная аналогия между
этим методом и методом обычной арифметической индукции,
состоящим в доказательстве индуктивности множества
{aigeM: Ф(/г)}.
Применим метод трансфинитной индукции для
доказательства нескольких теорем о подобии вполне упорядоченных
множеств.
Пусть множество А линейно упорядочено отношением R.
Каждую функцию /, устанавливающую подобие между А и
множеством fl{A), содержащимся в Л, т. е. такую, для которой
x-iy->f{x)-lf(y), (2)
назовем возрастающей функцией.
Теорема 5. Если f — возрастающая функция, определенная
на вполне упорядоченном множестве Л, то xRf(x) для каждого х
(т. е. х Н /(х) или х = f (х)).
Доказательство. Пусть В = {х: xRf (х)} и О (х) а В.
Докажем, что х ^ В.
Действительно, пусть у^О(х), т. е. у^х. Тогда f(y)^f(x)
в силу (2). Так как у^Ву то yRf{y)> откуда y^f(x). Таким
J) Теоремой о трансфинитной индукции в таком виде пользовался еще
Кантор [5, стр. 336—339]. Явную формулировку теоремы дал Гессенберг [1^
стр. 53].

§ 1. Определения. Принцип трансфинитной индукции 235
образом, элемент f(x) следует за каждым элементом у^О(х)
и потому f(x)^A — О(х). Но так как х — первый элемент
множества А — О (х), то xRf (х), т. е. х <= В.
Следствие 6. Если вполне упорядоченные множества А и
В подобны, то функция, устанавливающая их подобие,
определяется однозначно.
Доказательство. Предположим, что множества А и В,
вполне упорядоченные отношениями R и S, подобны и их
подобие устанавливают функции / и g. Очевидно что gc о/ —
возрастающая функция в А (см. стр. 214). Тогда по теореме 5 для
каждого xg/1 будет xRgc(f(x)) и, следовательно, g(x)Sf(x).
Рассматривая вместо функции gcof функцию /c°g\ получаем
f(x)Sg(x)> a потому f{x) = g(x), так как отношение S
антисимметрично.
Следствие 7. Никакое вполне упорядоченное множество
не подобно своему отрезку.
Действительно, если бы множества А и О(х) были подобны,
то функция /, устанавливающая это подобие, была бы
возрастающей и было бы f(x)^ О(х), т. е. f(x) -$ х, вопреки теореме 5.
Следствие 8. Никакие два различные отрезка вполне
упорядоченного множества не подобны.
Для доказательства достаточно воспользоваться
следствием 7; заметим, что из двух различных отрезков один всегда
является отрезком другого.
Теорема 91). Если множества А и В вполне
упорядочены, то либо они подобны, либо множество А подобно отрезку
множества В, либо множество В подобно отрезку множества Л.
Доказательство. Пусть отношения R и S вполне
упорядочивают множества А и В. Обозначим
Z = \xeeA: V 0^)==07Ы1,
т. е. (см. обозначение на стр. 215)
(х е Z) === {отрезок 0R{x) множества А подобен
некоторому отрезку Os(y) множества В}.
Согласно следствию 8, отрезок 08{у) для данного xgZ
определяется однозначно, т. е. существует такая функция /,
определенная на Z, что этот отрезок имеет вид Os(f{x)).
*) Эта теорема принадлежит Кантору [5, стр. 216].

236
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Докажем сначала, что либо Z = Л, либо Z— отрезок
множества Л, т. е. существует аеЛ, для которого Z = 0R(a). Пусть
xHx'eZ. Так как множество 0R(x)—отрезок множества
0R{x'), то функция, устанавливающая подобие между Оя(л:/)
и Os(f(x')), отображает 0R(x) в отрезок множества Os(f{x))
и, значит, в отрезок множества В. Следовательно, х е Z.
Аналогично, либо fl(Z) = By либо fl(Z) — отрезок множества
В, т. е. fl (Z) = Os{b). Для этого достаточно заметить, что
I xeZ J ( ye* В )
Действительно, если множество Os(y) подобно некоторому
отрезку множества Л, то у имеет вид у = f(x), где х е Z.
Наконец, заметим, что функция / устанавливает подобие
множеств Z и f(Z). В самом деле, как мы уже показали, и^
jcHjc'sZ следует, что Os(f{x))—отрезок множества Os(f(x')h
а потому f(x) -if(x').
Априори возможны четыре случая:
I. Z = Л и fl{Z) = B.
И. Z= Л и fl{Z)=Os{b).
III. Z=0R{a) и fl{Z) = B.
IV. Z = Oa(a) и /1(Z)=05(&).
Первые три случая соответствуют трем возможностям,
упомянутым в теореме, а четвертый случай невозможен, так как тогда
Or(gl)= Os(b) и, значит (по определению множества Z), a^Z+
т. е. аеОд(а), что противоречит определению отрезка.
Следствие^ 10^ Если множества А и В вполне
упорядочены, то либо Л^СВ, либо В^СА, т. е. для мощностей вполне
упорядоченных множеств выполняется закон трихотомии.
§ 2. Порядковые числа
Типы вполне упорядоченных множеств называются
порядковыми числами1). Число 0 (тип пустого множества) также
является порядковым числом. Теорема 9 §1 дает возможность
определить для порядковых чисел отношение меньше (которое
нельзя никаким разумным способом определить для
произвольных порядковых типов).
Определение 1. Говорят, что порядковое число ее
меньше порядкового числа р, и пишут а < р или р > а, если
множество типа а подобно отрезку множества типа (5.
1) Понятие порядкового числа ввел Кантор [3, стр. 548]. (Порядковые*
числа часто называют еще ординальными числами. — Перев.)

§ 2. Порядковые числа
237
Вместо а < р или а = р пишут а <^ р.
Теорема 1. Для произвольных порядковых чисел а и р
выполняется одна и только одна из возможностей а < р, а = р>
а>р.
Это непосредственное следствие из теоремы 9, § 1.
Теорема 2. Если а, р и у— такие порядковые числа, что
а < Р и р < у, то а < у.
Доказательство. Пусть Л, В и С — множества типов а,
Р и у- По условию множество Л подобно отрезку множества В,
а множество В — отрезку множества С. Следовательно,
множество А подобно отрезку множества С, что и требовалось
доказать.
Легко доказать, что
(а<р)Л(Р<а)->(а = р), (а<р) Л (Р<y)->(<*<y).
Теорема 3. Если множества Л, В вполне упорядочены
по типам а, р и А подобно подмножеству В\ множества Ву
то а ^ р.
Доказательство. В противном случае было бы р < а>
т. е. В было бы подобно отрезку множества Ви что
противоречит теореме 5 § 1.
Перейдем теперь к исследованию множеств порядковых
чисел.
Теорема 4. Множество W(a) всех порядковых чисел,
меньших а, вполне упорядочено по типу а отношением ^С.
Доказательство. Пусть Л — вполне упорядоченное
множество типа а. Сопоставляя элементу а^А тип отрезка 0(a),
получаем (согласно аксиоме замены) множество W(а) и
взаимно однозначное отображение на него множества Л. Легко
проверить, что следующие условия эквивалентны:
I. а\ предшествует а2 или ах — а2.
II. 0(а\) — отрезок множества 0(а2) или 0(а{)=0(а2).
III. Тип множества 0(а\) не больше типа множества 0(а2).
Это доказывает, что отношение ^ упорядочивает
множество W(a) в тип а.
Теорема 5. Каждое множество порядковых чисел вполне
упорядочено отношением •<, т. е. в каждом непустом множе-
стве Z порядковых чисел есть наименьшее число.

238 Гл. VIL Вполне упорядоченные множества
Доказательство. Возьмем aEZ. Если это число не
наименьшее в Z, то Z[]W(а)ФО. Тогда в Zf|W(a) существует
наименьшее число р, поскольку W(a) вполне упорядочено (по
теореме 4). Число р и будет наименьшим числом в Z. В самом
деле, если ^gZ—W(a)y то £>a, откуда | > р.
Теорема 6. Для каждого множества Z порядковых чисел
существует порядковое число, превосходящее каждое
порядковое число из Z.
Доказательство. По аксиоме замены существует
семейство К множеств W(a)> соответствующих числам aeZ:
№(a)eE/( = aeEZ.
Рассмотрим сумму
5= (J X
Хе=К
всех множеств из К. Согласно теореме 5, эта сумма вполне
упорядочена отношением ^С Пусть ее порядковый тип равен а.
Для любого aGZ либо W(a)—отрезок множества S, либо
W(a) = S; в обоих случаях a^Ca. Отсюда следует, что a<a+l
для любого aeZ, т. е. число a + 1 больше любого числа из Z.
Следствие 71). Не существует множества всех
порядковых чисел.
Следствие 8. Среди порядковых чисел, не
принадлежащих данному множеству Z, существует наименьшее.
Действительно, пусть а ф Z (такое число существует
согласно следствию 7). Если а не наименьшее среди чисел, не
принадлежащих Z, то множество W(a)—Z не пусто. Наименьшее
число этого множества (см. теорему 5) и будет наименьшим
числом, не принадлежащим Z.
Следствие 9. Если множество Z порядковых чисел
таково, что (y<^gZ)->(ygZ), to существует такое порядковое
число а, что Z = W(a).
А именно: это число а — наименьшее среди порядковых
чисел, не принадлежащих Z.
В самом деле, если ^gZ, то g < а, так как а^Ь, влечет
aGZ. Следовательно, Za W(a).
Если же pGlF(a), ToP<aHpeZno определению
числа а. Следовательно, W(a)aZ.
1) До аксиоматизации теории множеств это следствие считали
антиномией. Эту антиномию привел Бурали-Форти [1].

§ 3. Трансфинитные последовательности
23Э
§ 3. Трансфинитные последовательности
Порядковое число называется предельным числом, если оно
не имеет предшественника. Таким образом, 0—предельное
число.
Теорема 1. Каждое порядковое число можно представить
в виде К-т-п, где X— предельное число, а п — натуральное.
Доказательство. Пусть а — порядковое число, А —
множество типа а. Множество вида А— 0(a) назовем
остатком множества А. Очевидно, что
А-О(ах) а А-О(а2) == (а, >а2) V (а, = а2).
Отсюда следует, что не существует монотонно возрастающей
последовательности различных остатков и, значит, найдется
только конечное число таких /nGJV, что существуют остатки
мощности т. Если п — наибольшее из этих чисел, а А — 0(a)
есть остаток мощности /г, то отрезок 0(a) не имеет последнего
элемента и, следовательно, 0(a)—предельное число X. Отсюда
а = X + п, что и требовалось доказать.
Трансфинитной последовательностью типа а, или а-последо-
вательностыо, называется функция ф, определенная на W(a).
Если значениями этой последовательности (называемыми также
членами а-последовательности) служат порядковые числа и из
Y<P<cc следует ф(у)<ф(Р), то эта последовательность
называется возрастающей.
Пусть ф обозначает ^-последовательность порядковых чисел,
где X—предельное число. По теореме 6 § 2 существуют
порядковые числа, большие каждого из чисел ф(у), гДе Y < ^-
Наименьшее из них (см. § 2, следствие 8) называется пределом
последовательности ф(у) для y<^ и обозначается Птф(у). На-
\<i
пример,
(0= lim n = lim я2.
Говорят, что X конфиналъно предельному числу а, если X —
предел возрастающей а-последовательности:
Х= limq>(£). (1)
Очевидно, что порядковое число, конфинальное предельному
порядковому числу, само будет предельным числом.
Связь этого определения с определением конфинальности
множеств устанавливает

240
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Теорема 2. Для того чтобы порядковое число К было
конфинальным предельному числу а, необходимо и достаточно,
чтобы множество W(k) содержало конфинальное ему
подмножество типа а.
Доказательство. Пусть Л — такое подмножество
множества W(k)> что А = а и Л конфинально W(k). Для каждого
1<а существует такое порядковое число ф(£)еЛ, что
множество {ц: (г\ е Л) Л (г| < ф(£))} имеет тип £. Последователь-
кость ф(£) возрастает и ф(£)<Я для £ < а, поскольку ф(£)е
^А czW(K). Если |ы < Я, то существует такое £еЛ, что ji < |,
так как множества Л и №(>,) конфинальны. Следовательно,
[я<£^ф(£) (см. теорему 5 § 1), а потому К— наименьшее
число, большее всех ф(£), и равенство (1) доказано.
Обратно, пусть выполняется (1). Обозначим через А
множество всех членов последовательности ф. Таким образом,
т] <Х для г]еД следовательно, поскольку X—предельное
число, существует такое £е W(X), что ц < §. С другой стороны,
если g e №(Х), то g < Я и (по определению предела) существует
такое £' < а, что £<ф(£'), т. е. в Л есть число больше g.
Значит, множества А и W(X) конфинальны и А = а.
Из определения предела следует, что
Нтф(у)>ф(у) Для y<^ (2)
И
{ Л [|х>Ф(\)]}-||*>НтфМ|. (3)
Теорема 3. Если ф и гр — возрастающие трансфинитные
последовательности, X— предельное число и |= lim г|?(у), го
Y<^
lim ф(б)= lim ф(г|?(у)).
6<£ Y< Л,
Доказательство. Если у < Ху то, согласно (2), \|) (у) < £
и (снова по (2)) ф(\Ь(у)) < Птф(б). Применяя (3), получаем
Нт ф (г|? (v)) ^ lim ф (6). (4)
Если б < |, то в силу (3) \|)(y)>6 для некоторого числа
Y < А,. Так как последовательность ф возрастает, то ф(г|?(у))^'
>ф(6), откуда Птф(\|)(у))> ф(б). Снова применяя (3), по-
у<к
лучаем
Нт ф (г|э (y) ) ^ lim ф (6).
Y<a ь<1

§ 3. Трансфинитные последовательности 241
Одновременное выполнение этого неравенства и неравенства
(4) доказывает теорему.
Из этой теоремы следует, что если предельное число г\ кон-
финально предельному числу £, a g конфинально предельному
числу X, то ц конфинально К.
Трансфинитная последовательность ф типа а непрерывна,
если для каждого предельного числа X < а
ф(Я)= Нтф(у).
Теорема 4. Пусть ф — возрастающая непрерывная транс-
финитная последовательность типа а. Для данного у < а
положим
ку=\\туп, где Yo = Y и Y„+i = Ф Ы- (5)
П< (О
Тогда cp(xY) = xY (если xY < а и уп<а для п = 1, 2, ...).
Доказательство. Согласно (5), xY > уп+\ = ф(уп),
откуда по (3)
xY > lim ф (уя) = Ф( Hm yn) = ф (ky).
/г<(0 Vrt<w /
С другой стороны, щ ^С у (ку), так как последовательность ф
возрастает (см. теорему 5 § 1).
Порядковое число £, для которого ф(^) = g, называется
критическим числом последовательности ф. Теорема 4 гласит, что
если у принадлежит области определения возрастающей
непрерывной последовательности ф, то существует критическое число
этой последовательности, превосходящее уу если только
последовательность ф определена для достаточно больших
порядковых чисел.
Так как нет множества всех порядковых чисел, то нет и
трансфинитной последовательности всех порядковых чисел. Но
в то же время существуют такие высказывательные функции
Ф(т], g) (например, | = tj+1), имеющие по крайней мере две
свободные переменные, что для каждого порядкового числа г\
найдется одно и только одно число g, удовлетворяющее Ф(т|, £).
Таким образом, каждая такая высказывательная функция
определяет операцию на порядковых числах. Для этих операций
можно определить много понятий и доказать много теорем,
аналогичных теоремам о трансфинитных последовательностях.
Сформулируем аналог теоремы 4 для операций.
Пусть Ф — высказывательная функция, содержащая
свободные переменные х, у, Ри..., рн- (Мы не исключаем случая k = О,

242
Гл. VII Вполне упорядоченные множества
когда Ф имеет только две свободные переменные.) Для
простоты переменные pj будем опускать. Порядковые числа будем
обозначать строчными греческими буквами.
Обозначим
П{Ф}=Л V Л[Ф{х,у)ЛФ{х9г) = {г = у)]9 (6)
х у z
Я{ф}= Л VO(S, £)Л Л [Ф(6, т|)ЛФ(2, т)ЛЙ<Й-(т|<т)],
(7)
Lim {Ф} = min Л Л [Ф (g, £)->(£< |х)], (8)
Согй{Ф} = Л [(Я, - предельное число) ->Ф(к, 1лт{Ф}\|. (9)
Высказывательная функция (6) читается: Ф определяет
операцию. Эта функция эквивалентна конъюнкции высказыватель-
ных функций
Л\/Ф{х9у) и Л[Ф{х9у)ЛФ{х,г)->{у = г)],
х у х, у, z
которую мы часто будем записывать в виде Л\/!ф(#, у\
х у
\/\ — квантор существует единственный элемент у.
у
Высказывательная функция (7) означает, что операция,
определенная посредством Ф, — возрастающая, а (9) — что эта
операция непрерывна. В формуле (8) вводится обозначение предела
этой операции. Если не существует числа \х, удовлетворяющего
высказывательной функции, стоящей справа от символа min,
и
то мы полагаем его равным нулю.
Теорема 5.
П{Ф} Л /?{Ф} Л Согй{Ф}-> Л V [(v<6) Л Ф(6, g)].
Доказательство. Теорема доказывается аналогично
теореме 4. Определим по индукции последовательность порядковых
чисел
Yo = Y, у«+1 = П1т(Ф(уЯ1 £))•
с
Число | = Lim {yn} будет искомым порядковым числом.
В § 4 мы будем пользоваться следующей теоремой об
операциях.

§ 4. Определения по трансфинитной индукции 243
Теорема 6.
П{ф}-> Д V ! Г(ф есть ^-последовательность) Л Л (Ф(£, Ф^))1-
Доказательство. По аксиоме замены существует
множество {(£, у): (К«)ЛФ(У)}. Это и есть требуемая
последовательность, единственность которой очевидна.
Теорему 6 можно записать в виде П{Ф}-* ЩЧ*1}, где W — вы-
сказывательная функция (ф есть а-последовательность) Л
Л Л Ф(£, ф|)- Единственную последовательность ф, удовлетво-
ряющую ^(а, ф), будем обозначать символом Са{Ф}.
Здесь следует отметить, что определения (6) — (9), а также
теоремы 5 и 6 являются схемами. Для каждой высказыватель-
ной функции Ф мы получаем свои определения и теоремы.
§ 4. Определения по трансфинитной индукции
Теория, изложенная в этом параграфе, аналогична теории
определения по индукции в арифметике натуральных чисел.
Теорема 1 (об определении по
трансфинитной индукции)1). Пусть даны множество Z и число сс? и
пусть Ф — множество всех ^-последовательностей (§<сс),
значения которых принадлежат Z. Тогда для каждой функции
Ае2ф существует одна и только одна трансфинитная
последовательность /, определенная на ^<а и такая, что
/(£) = h\f |r(6)] для каждого £^а. (1)
Доказательство. Покажем сначала, что условию (1)
удовлетворяет не более одной последовательности /.
Предположим, что g— последовательность, определенная на множестве
W(a + 1) и такая, что
S(l) = h[s\w(i)] для каждого £<а. 2)
Обозначим В = {1: f{l) = g(l)}. Если §<а и W{l)czB, то
f\w(i) = g\w(t). Поэтому f(l) = g(l) по (1) и (2), т. е. ?gB.
Таким образом, W(Qcz:B влечет ^gB. По принципу
трансфинитной индукции тогда W(a+l) а В, т. е. f{£>)=g(Q для
каждого g<^a, а это значит, что f и g совпадают.
Докажем теперь, что функция /, удовлетворяющая условию
(1), существует.
1) Частный случай этой теоремы сформулирован Кантором [5, стр. 231].

244
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Предположим противное, т. е. что для данного а такой
функции нет. Возьмем в множестве W(a) наименьшее из порядковых
чисел а, обладающих этим свойством. Для каждого g < а
существует такая функция /^, что
h(v) = fi[h\w{y)] для каждого y<£. (3)
В первой части теоремы мы доказали, что для данного |
функция fiy удовлетворяющая (3), единственна. Отсюда fi | w(Y+d = fv
для y^£- Таким образом, М£) = Ы£)» если £<Y-
Следовательно,
fy\w(y) = h\ww для V<6- (4)
Положим
f(l) = h(l) Для К а и /(а) = Л(С„), (5)
где Са — такая а-последовательность, что Са(^)=/^(|) для
| < а. Функция / удовлетворяет условию (1). Действительно,
если у ^ I < а, то по (3) — (5)
/(Y) = Л[/Y \w(Y)] = h[k\w(Y)] = h(Y), (6)
откуда f\W(D = Mw<tt» и по (3)
/ (6) = Л [/б \w a)\ = h[f\w a)] для I < a.
Наконец, /(a) = Atflwxa)], поскольку /|w(a)==c>a (в силу (5)).
Применяя эту теорему, функцию h часто определяют тремя
формулами: первая дает значение Л(ф) для
последовательности ф типа 0 (т. е. значение Л(0)), вторая—значение Л(ф) для
последовательностей ф е Z°, тип которых не является
предельным числом (т. е. имеет вид | + 1), третья — значение Л(ф) для
последовательностей, тип К которых является предельным
числом. Например, первая формула имеет вид
А(0) = Л,
вторая —
Л(ф) = /Чф(!)),
третья —
A(<P)=G/(J<P0l)) или А(ф)=б(Пф(4
где F и G — данные функции, а А — данное множество.

§ 4. Определения по трансфинитной индукции
24S
Тогда для последовательности /, существующей, согласно
теореме (1), выполняются условия
f(0) = A,
f{l+D = F{f(D),
/(*) = 0(11/(4)) или /М = С/П/Ц.
Обычно при применении теоремы 1 для доказательства
существования функции f проверяют только эти три формулы.
Ф Пример 1. Производная порядка а1). Пусть А —
подмножество прямой (в общем случае Acz&n). Производная
Л (а) порядка а множества Л определяется по трансфинитнои
индукции формулами
АФ)=А, Л(|+1) = (Л(?))', A^=()AM,
у<1
где А, — предельное число, не превосходящее а.
В этом случае Z = 2A, Л(0) = Л, Л(ф) = [ф (£)]', если ф имеет
тип £+ 1, и Л(ф)= Р) ф(у)» если ф имеет тип К (предельный). #
у<х
Пример 2. Борелевские множества порядка а2).
Определим семейство Fa борелевских множеств порядка а по
трансфинитной индукции:
(I) F0— семейство всех замкнутых множеств (данного
пространства),
(II) Fs = /(J F^ или F6 = / (J ''v) для 0<£<а в зависи-
\У<1 /6 \У<1 la
мости от четности или нечетности | (числа вида К + п, где
X — предельное число, называются четными, если п четно, и
нечетными, если п нечетно). Определения символов а и 6
см. на стр. 138.
Тогда
h(0) = F0 и л(ф) = ШфМ) или M<p) = (U <p(y))
\у<1 1ь Vv<£ /о
в зависимости от четности типа % последовательности ф.
*) Напомним, что производная порядка 1, т. е. А',— это множество
предельных точек множества А.
2) Борелевские множества ввел Борель [1].

246
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Аналогично определяем семейство Ga:
(III) G0 — семейство открытых множеств,
(IV) Gi = / (J GA или Ф- = / (J Gy) Для 0<К«в зави-
\У<1 /О \У<1 /6
-симости от четности g.
Ф Пример 3. Аналитически представимые функции
класса а1). Множество этих функций, обозначаемое Фа, определяем
по трансфинитной индукции:
a) Ф0— множество всех непрерывных функций
(вещественного переменного, принимающих вещественные значения),
b) Ф| = /и Фу) Для °<£<а-
\у < I п
В общем случае А^ обозначает множество всех функций,
являющихся пределами сходящихся последовательностей функций,
принадлежащих классу Д.
В нашем примере
z = 2**f л(0) = ф0, л(Ф) = /и фМ) ,
\У<1 k
тде g — тип последовательности ф. ф
В качестве еще одного примера применения теоремы 1
докажем следующую теорему.
Теорема 2. Каждое предельное число вида Х = Птф(£)
конфинально некоторому числу y^cc2).
Доказательство. По теореме 1 существует такая сс-по-
следовательность \|?, что
(I) \|?(g) — наименьшее число £, для которого ф(£)<£<>1 и
Л ф(л)<£> если такое порядковое число существует;
(II) \|)(g) = >i, если такого порядкового числа нет.
Рассмотрим два случая.
1. Не существует такого £<а, что i])(g)=>i. Тогда согласно
(I), последовательность \|? возрастает и (по индукции) \|)(£)><р(£)
для всех |. Так как К — наименьшее число, превышающее все
ф(£), то lim \|?(£) = К. Следовательно, X коинициально а.
2. Существуют такие числа £<сс, что -ф(g) = X. Пусть у —
наименьшее из этих чисел, т. е. ^(у)=К и г|)(т])<Х для rj<Y-
Отсюда следует, что у —предельное число. Действительно, если
1) Этот класс функций исследовал Бэр [1].
2) Функция ф не предполагается возрастающей.

S 4. Определения по трансфинитной индукции 247
бы y = S+1> то ty(6)<>i, и тогда существовало бы такое
порядковое число \i, что \|)(б)<|1<>1 и ф(6) <\i<X вопреки тому, что
я|)(у)=Я. В силу (I) Ъ(Ь)<Ъ(Ь) для £i<£2<Y> т. е.
последовательность i|?|r(Y) возрастает.
Пусть р= lim г|)(£). Покажем, что р = К. Предположим, что
p<>i. Число р больше всех 'ф('п) для г]<у, поэтому существует
число <КУ превосходящее ф(у) и г|?(т]) для т]<у (таким будет
число, лежащее между большим из чисел р, ф(у) и числом Я).
А это противоречит тому, что г|)(у)=^> значит, р^>А. В то же
время р<^Х, поскольку г|э(£)<Х для g < Y. Следовательно,
Х = р= lim г|э(£), т. е. X конфинально у.
&<Y
Докажем для операций аналог теоремы 1. Пусть Ф — выска-
зывательная функция, имеющая по крайней мере две свободные
переменные х, у, р\, ..., pk. Обозначим через М{Ф}
вспомогательную высказывательную функцию (со свободными перемен*
ными а, ф, Ри ••-, Pk)
(ф — трансфинитная последовательность типа а+1)Л
Л5£«Ф(ф|"«>'Ф5)'
которая читается ф — индуктивная последовательность типа
а+1 для Ф.
Лемма. (Р<а)Л М{Ф}(а, ф)->М{Ф}(р, <p\wq+1)).
Действительно, если ф — индуктивная последовательность
типа а Л- 1 для Ф, то ее сужение i|> = Ф l^p-fi) удовлетворяет
^СФ 1\П£)» %) для кажД°Г0 £^Р и потому является индуктивной
последовательностью типа р+1 для Ф.
Обозначим через Ind {Ф} высказывательную функцию
V [М{Ф} Л (фа= я)] со свободными переменными а, а, ри ..., Pk-
ф
Покажем, что с помощью высказывательной функции 1пс1{Ф}
можно сформулировать для операций теорему об определении
по трансфинитной индукции. Для простоты вместо 1пс1{Ф} будем
писать Ч* (по поводу определения С^Ч*} см. стр. 243).
Теорема 3.
(I) П{Ф}-П{^};
(II) П{Ф}ЛТ(а,с)^Ф(СДа),

248
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Доказательство. (I) Пусть П{Ф} и а — порядковое
число. Теорема эквивалентна конъюнкции утверждений
¥(а, а1)Лг^(а, а2)->(а{ = а2), (7)
VT(o,a). (8)
а
Импликация (7) легко следует из импликации
М {Ф} (а, фО Л М {Ф} (а, Ф") -> (Ф' = Ф"),
которую можно доказать, обозначив через В множество
(£^а: ф| = Ф|}и заметив, что W(Q czB->£eB для всех |-^а,
т. е. B=W (а+1).
Утверждение (8) докажем методом от противного.
Предположим, что существуют порядковые числа а, для которых
Л ~]Чг(а, а)- Следовательно, существует наименьшее а. Для каж-
а
дого р < а существуют элемент ар и индуктивная
последовательность ф(р) типа р + 1 для Ф, удовлетворяющая Ф(ф(р) |Г(^, ф(Р))
для g^p и Ф?) = ар. Согласно (I), ф(р) и а^ определяются
однозначно. По лемме Фр1у^+1) = Ф(6) Для ^<Р и, значит, ^ = ф^ =
= Ф|)для £<р.
Последовательность ф типа а, определенная равенствами
ф (Р) = ф{р) (Р) = ар для Р < а, удовлетворяет условию ф |г(|3) =
==Ф(Р)1Г(Р) для каждого р<а, поэтому Л Ф(Ф11Г(Р), Фр)- Пусть
л — единственный элемент, удовлетворяющий Ф(ф, а).
Последовательность ф*, определенная равенствами Ф^ = Ф^ для £<а и
чр* = а, имеет тип а + 1 и является индуктивной
последовательностью для Ф, т. е. М{Ф}(ф*, а). Так как у*а = а, то ^(а, а),
вопреки предположению. Утверждение (I) доказано.
Для доказательства (II) предположим, что П{Ф} и 4я(а,а).
Тогда существует последовательность ф типа а+1, для которой
М{ф}(а,ф) и фа = а.
Достаточно показать, что ф=Са{Ч/}, т. е. ^(g, ф|) для каж*
дого l^-а. А это непосредственно следует из леммы и
единственности индуктивной последовательности.
Теорема 3 является схемой: для каждой высказывательной
-функции Ф получаем отдельную теорему,

§ 4. Определения по трансфинитной индукции
249
Пример 1. Пусть Ф = Ф(С, У, Р) — высказывательная
функция
[(С не есть трансфинитная последовательность) Л {Y = 0)] V
V [(С — последовательность типа 0) Л (Y = Р)] V
V
V
(С — последовательность типа y + 1) Л (У = 2^<Y )] V
(С — последовательность типа К, где А —предельное число) Л
л/г-и с*)!
\ 6<Я /J
Очевидно, что Л \/!ф(С, У, Р). Применяя схему, описанную-
с у
в теореме 3, получаем такую высказывательную функцию 1пс1{Ф}
со свободными переменными а, Р, У, что Л V 1пс1{Ф}(а, У, Р).
а У
Единственное множество У, удовлетворяющее 1пс1{Ф}(а, У, Р),
обозначим через /?а(Р). Из теоремы 3 следует, что
U в* (Р)
/?о (Р) = Р. /fc+i (Р) = 2^<v f /?я (Р) = (J Яг (Р). (9>
Если Р=0, будем писать /?а вместо /?а(Р) и называть это
множество семейством множеств типа не выше а1). Эти
множества более подробно будут изучаться в § 7 гл. VIII.
Пример 2. Пусть Ф = Ф(С,у,/?)—высказывательная
функция {[(С не есть трансфинитная последовательность порядковых
чисел) V (р—не порядковое число)] Л (# = 0)} V [(С = 0) Л (*/ = 1)] V
V {[(тип С имеет вид y + 1)Л {у = CY • р)] V [(тип С — предельное
число к) Л(у= lim C&)]}.
Очевидно, что Л \/'Ф(С, у, р), т. е. П{Ф}. Применяя схему
с у
теоремы 3 к этой высказывательной функции, находим такую
высказывательную функцию 1пс1{Ф}, что Л V 1пс1{Ф}(а, у, р).
а у
Обозначая через яа единственное порядковое число у, для
которого 1пс1{Ф}(а, у, я), получаем
я°=1, я*+|=я*-я, 71к=\\тп*. (10)
*) Это понятие типа ввел Рассел. Объекты, не являющиеся множествами,,
он назвал объектами типа 0; множества, все элементы которых имеют тип
я, — множествами типа я + 1. Рассел рассматривал только конечные типы и
«однородные» множества, т. е. множества, все элементы которых имеют один
и тот же тип. См. Рассел и Уайтхед [1].

250
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Упражнения
1. Показать, что при подходящем выборе высказывательной функции
можно получить из теоремы 3 теорему 1.
2. Построить высказывательную функцию, определяющую отображение
<х-»аа порядковых чисел в кардинальные числа так, что
а0 = ау aY+1=2\ a^= 2 al-
§ 5. Арифметика порядковых чисел1)
Из определений, данных в гл. VI, § 4, непосредственно
следует
Теоре'ма 1. Сумма и произведение двух порядковых чисел
являются порядковыми числами.
Из примера 4 (стр. 232) следует
Теорема 2. Если множество индексов вполне упорядочено,
то упорядоченная сумма порядковых чисел является
порядковым числом.
Теорему 1 можно вывести из теоремы 2. Действительно, взяв
в качестве множества индексов множество из двух элементов?
получим утверждение о сумме двух порядковых чисел, если ж§
в качестве множества индексов взять множество типа р, а все
слагаемые — типа а, получим утверждение о произведении ар.
Докажем некоторые арифметические законы для сумм и
произведений порядковых чисел.
Первый закон монотонности для сложения:
(a<p)->(Y + a<Y + P). (1)
Доказательство. Пусть С = у, J5 = p и ВПС=0. Так как
а<р, то множество В содержит отрезок А типа а.
Упорядоченная сумма CU/1 типа у + а будет отрезком суммы С[)В типа
*у + р. Следовательно,
Y + a<v + p.
В частности (для а = 0),
(P>0)->(Y + P>Y), (2)
т. е. сумма двух отличных от 0 порядковых чисел всегда больше
первого слагаемого.
) Определения и теоремы § 5—7 принадлежат Кантору [3].

§ 5. Арифметика порядковых чисел
25Г
Второй закон монотонности для сложения:
(a<P)-^(a + Y<P+Y). (3)
Доказательство. Пусть Л=а, В = $, С = у, А а В и
ВПС = 0. Применяя теорему 3 § 2 к упорядоченным суммам
/1UC и BUC, получаем (3).
В частности,
P + Y>Y, (4)
т. е. сумма двух порядковых чисел не меньше второго
слагаемого. В то же время из равенства 1 + со = со следует, что она не
обязательно больше второго слагаемого (хотя первое слагаемое
и не равно нулю).
Теорема 3. Если a > р, то существует точно одно такое
порядковое число у, что a = P + Y-
Доказательство. Пусть Л=а, В — отрезок в А типа р
и у=А — В. Очевидно, a = p + Y- Для доказательства
единственности y предположим, что р + Yi = Р + Y2- Из (1) следует, что
Yi <t Y2 и Y2 <fc Yi> а тогда по теореме 1 § 2 Yi = Y2-
Отсюда с учетом (2) получаем, что для того чтобы уравнение
а = р+х имело решение, необходимо и достаточно, чтобы a ^ р.
В то же время уравнение a=x + p не всегда имеет решение, на-
пример, ыФх + 2 для любого порядкового числа х.
Теорема 3 дает возможность ввести следующее определение:
Разностью порядковых чисел а и р(а^-р) называется такое
единственное число y» чт0 cc = P + y- Это число обозначается
а— р. Таким образом,
a = p + (a-p). (5)
Например, со —я = со, поскольку я + со = со, и со2 —со = со2,
поскольку со + со2 = со2.
Законы монотонности для вычитания:
(a>a1)->(a-p>a1-p), (6)
(P>P,)->(a-p<a-p,), (7)
причем для того чтобы вычитание было выполнимым, полагаем в
(6) оы > р и в (7) а > р.
Доказательство. Предположим, что а — р^сы — р. Из
(5) и (1) сразу получаем a = P+(a — Р).^Р+(оы — Р) =оц,
вопреки условию a>ai.

252
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Предположим теперь, что а—р>а—Рь Из (5) и (1)
получаем сс = р+ (а— Р)>р+ (а — Pi), вопреки условию р>Рь так
как это условие с учетом (3) влечет р+(а— Pi)5>Pi +
+ (а — Р0=а, откуда а>а.
Равенство со — 2 = со — 3 = со показывает, что знак ^ в (7)
нельзя заменить знаком <.
Первый закон монотонности для умножения:
(<x<P)->(y<x<yP) для y>0. (8)
Доказательство. Если 2? = р и C = y, to yP— тип
декартова произведения С X В, упорядоченного антилексикографи-
чески. Пусть 1 = аи А — отрезок в В. Декартово произведение
СхА с антилексикографическим порядком будет отрезком в
СХВ, а это и доказывает (8).
Второй закон монотонности для умножения:
(<x<p)->(aY<pY). (9)
Доказательство. Рассмотрим множества Л, В, С
типов a, p, y соответственно и пусть AczB. Тогда АхСа ВхСу
что и доказывает (9).
В силу равенства 1 • со=2• со знак ^ в (9) нельзя заменить
знаком <.
Закон дистрибутивности умножения
относительно вычитания:
<*({* — y) = c$ —<*Y Для P^Y- (10)
Доказательство. Из закона дистрибутивности
умножения относительно сложения (стр. 228) с учетом (5) получаем
ap = a[Y + (p — y)] = <ху + а(р— y), откуда следует (10) (по
определению вычитания).
Докажем теперь теорему о делении порядковых чисел.
Теорема 4. Если р — порядковое число >0, то для
каждого порядкового числа а существуют такие числа у и р, что
a = pY + p и р<р, (11)
причем у и р определяются однозначно.
Доказательство. Так как 1 ^ р, то a-<Pa в силу (9).
Если a = pa, то достаточно взять Y = a и р=0. Поэтому
предположим, что a<pa.

$ 5. Арифметика порядковых чисел
253
Произведение ра есть тип множества ВхА, где 5 = р, А = а.
Так как а<|3а, то это множество содержит отрезок 0((Ь,а))
типа а. Так как
(у, х)<=0 «6, а» ^ {(* н а) V [(х = а) Л (у Н ft)»,
то
О {(Ь, а» = (5X0,(а)) U (Ов(Ь) X {а}),
причем каждый элемент первого слагаемого предшествует каж-
дому элементу второго слагаемого. Первое слагаемое имеет тип
|3-0A(a)=PY> второе —тип Ов(Ь)=р, а потому а = Ру + Р» гДе
Y<a, p<p. Таким образом, числа у и р, удовлетворяющие
условию (11), существуют.
Для доказательства единственности предположим, что
PY + P = pYi + Pi, Р<Р> Pi<P- (12)
Если y>Yi> то Y = Yi + (Y—Yi) и
pY + P = P[Yi + (Y-Yi)] + p = pYi + P(Y-Yi) + p. (13)
Так как у — Yi ^ 1» то п0 (8)
P(Y-Yi)>P. (14)
В силу (12) и (13)
PYi+Pi>PYi+P(Y-Yi)>
откуда в силу (14)
PYi + Pi>PYi + P- (15)
Так как р>рь то по (1) Pyi + P>PYi + Pi» и из (15) следует
PYi + Pi>PYi+Pi-
Итак, предположение y>Yi привело к противоречию.
Аналогично к противоречию приведет предположение yi>Y-
Следовательно, yi = Y- Тогда из (12) получаем Py + P = Py + Pi> откуда в
силу (1) р = рь Теорема 4 полностью доказана.
Число y называется частным, а р — остатком.
Из теоремы 4 следует алгоритм Евклида для порядковых
чисел.
Теорема 5. Для любых отличных от нуля порядковых чисел
ао и cti существуют такие натуральное число п 1> 1 и
последовательности об2, ..., ап, Рь -.., Рп, что oci>oc2>. ..>ап>0 и
щ = а^! + а2, а{ = а2р2 + а3, ..., <x„_2 = ап^п^{ + ая> ап-х = аяря.
Доказательство. Согласно теореме 4 и теореме об
определении по индукции, найдутся такие бесконечные последова-

254
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
тельности ф и \f, что
и для />1
Ф/-1 = Ф/Ф/+1 + Ф/+1
и
Ф/.^Ф/, если фу=^0,
Ф/+1 = г|)/+1=0, если фу = 0.
Так как не существует бесконечно убывающей
последовательности порядковых чисел, то начиная с некоторого места, все
Ф? равны нулю. Пусть п' = min (ф7 = 0). Очевидно, м'>0, ибо по
условию ф0 и ф1 отличны от нуля. Для доказательства теоремы
достаточно взять м = п'—1, о^ = ф; для 2^Cj<n' и Pj=i|)j+i для
Kj<n'.
Выведем теперь несколько формул, в которых встречается
операция взятия предела (см. § 3). Пусть к — предельное
число, а ф — возрастающая ^-последовательность. Тогда
Нт[а + ф(6)] = а+Нтф(6). (16)
Доказательство. Обозначим р = Нтф(£). Если £<Х, то
ф(£)<Р и потому а + ф(£)<а + р. Пусть £<а + р. Покажем, что
существует такое число £<А,, что £<а + ф(£). Если £<а, то
£<а + ф(0). Если же £>а, то £ = а+ (£ — а) и £— а<(а + Р) —
— а<р. Отсюда £ — а<ф(£) для некоторого £<Х, а поэтому
£<а + ф(£). Таким образом, порядковое число а + р—
наименьшее порядковое число, превышающее ос + ф(£) для всех 1<К
и равенство (16) доказано.
Нт[а.ф(£)] = а- Нтф(£). (17)
Доказательство. Очевидно, можно считать афО.
Обозначим р= Нтф(^), тогда ф(^)<Р для 1<Х и потому а-ф(£)<
<а-р. Пусть £<а-р. По теореме 4 существуют такие
порядковые числа у и р, что £ = ау + р и р<а. Если у ^> р, то £>ар +
+ р>ар, что противоречит выбору числа £. Следовательно,
Y<P, откуда у^-ф(1) Для некоторого £<Х Тогда
С<а-ф(|) + р<а.ф(6) + а = а.[ф(|)+11
и
С<а.ф(|+1),

§ в Степени порядковых чисел
255
поскольку функция ф по условию возрастает. Так как % —
предельное число, то %+КК, и неравенство £^а«ф(£+1) означает,
что £ не больше некоторого числа вида cfcp(ri), где т]<Х.
Значит, ар — наименьшее порядковое число, превышающее а-ф(г|)
для всех ц<К и равенство (17) доказано.
Замечания. Полагая cp(g)=g, получаем из (1) и (16), что
функция s(l) = а + l возрастает и непрерывна (на множестве
W($) для каждого р). Из (8) и (17) следует, что теми же
свойствами обладает функция p(Q=a*i. В силу теоремы 4 § 3 для
функций s и р существуют критические порядковые числа. Для
5 таким числом будет £ = а • со и вообще каждое число вида
а-со + р, где р — произвольное порядковое число. В самом деле,
s(a-cD + p) = a + a«(D + p=^a(l + to) + p = a-co + p.
Критическим числом для р будет, например, lim an, где
П< (О
a" = a-a ... а. Все критические числа функции р мы опишем
п
в следующем параграфе.
Упражнения*)
1. Верно ли, что lim [ф(|) + г|) (£)]== lim ф (£) +lim г|) (£)?
2. Верно ли, что lim [<p (|) • a] = [lim <p (£)] • а?
3. Доказать, что если ai+Pi = a + p и Pi>P, то a^a.
4. Показать, что для произвольного а существует только конечное число
таких р, что уравнение <х = £ + Р разрешимо относительно | (каждое из
таких р называется остатком числа а).
5. Показать, что если последовательность <р возрастает, a = lim <p (£) и
«=Ф (£) + р (£), то существует такое ц,<Я, что функция р (£) постоянна для
|г<£<Л и равна наименьшему остатку числа а2).
§ 6. Степени порядковых чисел
Определим возведение в степень по трансфинитной индукции:
Y°=l, (1)
Y*+1 = Y*-Y. (2)
Y*= limy1, (3)
где X — предельное число.
1) Большой материал, связанный с этими упражнениями, можно найти
в книгах Серпинского, в частности см. [11J.
2) См. Гоборский [1J.

256
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Число уа называется степенью числа y» Y — основанием
степени и а — показателем степени. Непосредственно из
определения следует, что степень — возрастающая функция, т. е.
<x<p->Ya<Yp> Y>L (4)
Докажем, что
уЪ+ч\ = уЪ • у\ (5)
Для данного числа | пусть В будет множеством тех
jGffri+l), для которых Y*+t =* Y* ■ Yc« Покажем, что если
£^г], то
1FK)cB->5gB. (*)
Возможны три случая: (I) £ = 0; (II) £ —не есть предельное
число и (III) £ — предельное число > 0. В случае (I) ^gB,
поскольку y*+0 = Y^ = Y* • 1 = Y^ • Y°» В случае (II) £ = £i+l, где
Ci€W(g)9 тогда gj e В по определению множества В. Тогда
Y*+C« = у% • y4 а потому
yl+t = Y*+Ki+i> = y(S+Ci)+1 = y(I+s,) • Y = (Y1 • YC|) • Y =
= y^ • (y^1 • v) == Y^ • Y^l"*~* = y^ • y^
откуда ?gB. Наконец, в случае (III) £+£ — предельное число,
значит,
yl+t = nm Ya.
Применяя теорему 3 § 2 к функциям cp(a) = Ya и ^(a) = | + a,
получаем
lim Ya== Hm yl+a, или у|+?;=: Hm yl+a.
Так как a e W {Q для a<£, то a e В, т. е yi+(I = Y* • Ya-
Следовательно,
yl+l = iim (y^ . y°) = yl lim Ya = Y* • Y?>
откуда £s B.
Таким образом, импликация (*) доказана. Из нее по
индукции следует, что B=W(r\+\), т. е. tjgB, и равенство (5)
доказано.
(Y^«Y|T1. (6)
Доказательство аналогично доказательству (5). Пусть В —
множество тех geUPfa+l), для которых (у^)с = Y^- Достаточно
показать, что верна импликация (*). Рассмотрим, как и раньше,
случаи (1)-(Ш). В случае (I) gesfl, ибо (y1)0 = 1 = Y° = У10-

§ 6. Степени порядковых чисел
257
В случае (II) £ = £i + l, причем (y^) = Y^l> откуда
(ylf = (yrfl+l = (ye)Si Y^ = YSS,YS = Ysc,+S = Y^ (^1+1) = Y^,
т. e. £^B. И, наконец, если £— предельное число >0, то
(Ys)c = Hm (у*)а = Hm y^a.
В силу теоремы 3 § 2
lim Y^a= lim y11^ Y^>
следовательно, £еВ, и равенство (6) доказано.
Y>1->Y^>&. (7)
Это легко получить из (4) с помощью теоремы 5 § 1,
Операция возведения в степень позволяет найти все
критические числа функции p(fe) = a-£ (см. стр. 255). Этими
критическими числами будут все порядковые числа вида а*0*0, где а —
произвольное порядковое число. Действительно,
р (а04-0) = а • а0+(Т = а1+(со+а) = а(1+0))+а = а0+(Т.
Согласно (3) и (4), функция /(£) = Y^ возрастает и
непрерывна на каждом множестве W(a) и, значит, по теореме 5 § 2 имеет
критические числа. Согласно этой теореме, их можно получить
как пределы последовательностей an, где а0 — произвольное
число и an+1=Ya"-
Например, взяв у — со, а0=1, получим
щ = со, а2 = со0, а3 = (0е00, ....
Предел этой последовательности
8= lim an
является наименьшим критическим числом функции со^, т. е.
наименьшим из порядковых чисел, для которых
ю* = е. (8)
Числа е, для которых выполняется (8), называются эпсило-
новыми.
Упражнения
1. Пусть Я —предельное число. Показать, что если функция <р
непрерывна на множестве W (Я) и ср (0) = 1, ф (1) = у, Ф (a + P) — ф (а) • ф (£) для
а, р, а + р<Я, то ф(£) = ^ для |<Л.

258
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
2. Показать, что если or = а + р и р Ф 0, то р = со^.
3. Показать, что для каждого порядкового числа а существует эпсило-
ново число, превышающее а.
§ 7. Разложения порядковых чисел
по произвольному основанию
Возведение в степень можно использовать для представления
порядковых чисел в виде, напоминающем представление
натуральных чисел в десятичной системе. Сначала докажем
вспомогательную теорему.
Теорема 1. Если у>\ " l^a<v^, то существуют такие
т], р и р, что
a = Y^ + p, 0<л<&> P<Y, P<Y^
Доказательство. Пусть £ — наименьшее из порядковых
чисел, для которых а<у^. Очевидно, что 0<£-<£. Если бы число
£ было предельным, то было бы у^ = lim y^ и v^^a Для ^<£-
Отсюда yfi^a, что противоречит определению числа £. Значит,
E=Ti+l, где
0<г]<£, YT1<«<YT1+I.
По теореме 4 § 5 существуют такие порядковые числа р и р, что
a = v'nP + P, P<YT1.
Если P^Y> T0 a ^ Y^Y + P ^ YT,+1' что невозможно.
Следовательно, P<y и тогда р, г\ и р удовлетворяют всем условиям
теоремы.
Теорема 2. Если y>1> 1^cc<yt1, го существуют такое
натуральное число п и такие последовательности рь Рг, ..., рп и
Ль Л2, .... Лп, <^о
a = vt,|Pi + YT,2P2+ ... +Y^Pn, (1)
Л>Л1>Л2> ... >Л«, 0<pt<Y <3ля /=1,2,..., я. (2)
Доказательство. Теорема доказывается так же, как
теорема 5 § 5. Определяем по индукции последовательности ф, ф, 0
так, что
Фо = а> i|)0 = min(a<Y^), 60 = 0,
<P/+i<Y*/+1, 4>/+i<4>/, 6/+i<Y. если ф/^0,
И
Ф/+1 = */+i = e/+i = °- если Ф/^0-

§ 7. Разложения порядковых чисел по произвольному основанию 259
Такие последовательности существуют в силу теоремы об
определении по индукции и теоремы 1. Очевидно, что ф;- = 0,
начиная с некоторого /.
Обозначим yC = min (ф;- = 0), п = п* — 1, и пусть rij = \|)j, |3j = 0j
для 1 </<м*.
Формула (1) для чисел (5j и гу?, удовлетворяющих условиям
(2), называется разложением числа а по основанию у. Числа (}j
называются цифрами, а числа r\j — показателями степеней этого
разложения.
Если y = 2, то все цифры равны 0 или 1 (причем можно
опускать слагаемые, в которых цифры равны 0). Если у = (оу то
цифрами будут все натуральные числа.
Примеры. а = со2 + со-5 + 9 является разложением числа а
по основанию со. Чтобы разложить то же число по
основанию 2, достаточно заметить, что со = lim 2п = 2°\ Тогда со2 ==
- iff = 20'2, со • 5 = 20+2 + 2е0, откуда
со2 + со . 5 + 9 = 20*2 + 20+2 + 2е0 + 23 + 2°.
Тем же способом получаем
со 0{°2
(о =2 .
Для эпсилоновых чисел разложением по основанию о будет
б = со8, и представить их в виде (1) с у = со и показателями
степеней, меньшими их самих, невозможно.
Два числа, представленные в виде (1), можно сравнивать по
величине благодаря следующей теореме.
Теорема 3. Если г\>1\>.. .>1Р и y>Qn для п^Ср, то
Доказательство. По условию rj^gi + 1 и у — 6i>0,
откуда
уЪ > ygiy = уЩ{ + Y£i (Y - Э,) > Y1^! + Y^1-
Так как Y^^Y*2Y» to Y^1^Y^202 + y4 a потому
Y^^Y'^i+Y^ + Y12-
Повторяя этот процесс р раз, получаем
YT1>Y^10i + Y^202+ ••• + У1% + у1р9
а так как у1р > 0, то теорема доказана.

260
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Теорема 4. Если
а = уУ]% + ... +YT1/-1P/-i + YT1^+ ... + У%$п,
g = Y,,,Pi+ ... +YT,/-1P/-i + v4+ ... +YSpep,
где
Л1>Л2> ... >Лп, Л*-1>&> ... >Ь>
o<plf..., p,<Y, o<e„ ..., ep<Y
" Y^'ft^Y^, ™
(<*>£) = (л,- > Ы v [(л/ = У л (ft > e,)].
Доказательство. Пусть г]г > |*. По теореме 3
Y^ft^- ... +YT,rtP«>YT,/>Y6/e/+Y5£"+1Bi+i+ ... +Y6pep>
откуда а > £, так как по (1) § 5
<x-YT1/Pi+ ... +YT1/-1ft-,+YT1/ft+ ... +У%^п>
>YTllPi+... +YT,/-,ft-i + Y4+ ... + YSp0p = С.
Пусть теперь г)г = Ь и р* > 0г-. По теореме 3
YT1/(ft-e,)>YT1/>Y^+%+i+ ... +Ys'ep>
откуда
Y4- + YT14ft-e,)>Y4 + Y^+10/+i+ ... +yH'
или
YT1/ft>Y4- + Yi/+10i- + i+ ... + Y5p9P-
Тогда тем более
Y^ft+ ... +Y^>y4+ ... +Vl%,
откуда а > £.
И, наконец, если либо x\i < £*, либо г]г- = £г- и р^ < Эг-, то с
помощью аналогичных рассуждений получаем а < £, и теорема
доказана.
Эта теорема показывает, что разложения порядковых чисел
обладают такими же свойствами, как разложения натуральных
чисел по произвольному основанию. Сравнивая два числа по
величине, принимают во внимание первые неравные слагаемые их
разложений и сравнивают показатели степеней. Если
показатели равны, сравнивают коэффициенты.
Теорема 5. Разложение порядкового числа по данному
основанию единственно.

§ 7. Разложения порядковых чисел по произвольному основанию 261
Доказательство. По теореме 4, если
Y^PiHh ... + yH, = y4 + ... +Y6p0P,
Ц\ > . . . > T)n, gi > . . . >£p,
o<Pi,...,pn<Y. o<eb...,eP<Y,
то л = p и \}k = ёл, pfe = 0fe для ft < я.
Теорема 4 позволяет установить связь между понятием
степени порядковых чисел, введенным в § 6, и понятием
лексикографического порядка, введенным в § 5 гл. VI.
Теорема 6. Степень уп представляет собой порядковый тип
множества функций, принадлежащих лексикографически
упорядоченному множеству W(y)W(J]) и отличных от нуля лишь в
конечном числе точек.
Доказательство. Согласно теореме 4 § 2, y^=W(y^).
Каждому числу a^W(y^) соответствует единственное
разложение
уц% + ... + y^,
где y] > y]i > ... > Y]n и 0 < pi, ..., рп < Y- Этому разложению
в свою очередь можно сопоставить функцию /а е W (y)w (r,),
заданную равенствами
/а(Л/) = Р/ Для /= 1, 2, ..., и,
/аШ = 0 ДЛЯ 1Фг\г, %, ..., Г\п.
Обратно, каждой функции g e W(y)w{vi\ отличной от нуля
лишь в конечном числе точек, соответствует порядковое число
а е W(y^), для которого g = fa.
Наконец, из теоремы 4 следует, что при лексикографическом
порядке в множестве W(y)w{r]) элемент fa предшествует
элементу fi тогда и только тогда, когда а < £.
В качестве другого применения разложений вида (1)
установим характеристическое свойство степеней числа со.
Определение. Порядковое число р называется остатком
числа ее, если р^О и существует такое порядковое число а, что
а = а + р.
Теорема 7. Для того чтобы каждый остаток числа афО
равнялся ее, необходимо и достаточно, чтобы число а было
степенью числа со.

262
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Доказательство. Если каждый остаток числа а равен
а, то в разложении
а = оЛр, + оЛРз + ... +и*п$п
п=\ и Pi = 1, т. е. а = со111.
Обратно, пусть а = сор и р — остаток числа ос. Для
некоторого числа g
а = о + р и а<а, т. е. а<оА (3)
Разложим g по основанию со:
G = (дЦП + (дГ){П1 + . . . + (iPknk.
Тогда ц < р, т. е. ц + 1 < р. Обозначим т = сор— ©т»+1. Полу*
чаем
©Р < а + соР < со^ (п + 1) + сор = со** (/г + 1) + co^+I + т =
= оЯ (/г + 1 + со) + т = оясо + т = со^+1 + т = со^,
откуда сор = а+сор, т. е. а = а + а. В силу (3) а + р = а + а, а по*
тому р = а, и теорема доказана.
При помощи разложений по основанию со можно определить
на порядковых числах две операции, называемые натуральным
сложением и натуральным умножением1). Эти операции имеют
больше аналогий со сложением и умножением натуральных
чисел, чем сложение и умножение порядковых чисел, которые мы
до сих пор рассматривали.
Чтобы определить эти операции, рассмотрим числа
а = (о]1п1 + а^2п2+ ... +®4nk,
р = ©с,т1 + со^2т2 + ... +co^mz.
Дополняя эти разложения степенями с коэффициентами,
равными нулю, добьемся того, чтобы в каждом разложении
встречались одни и те же степени числа со:
а = со^р!+ со^2р2+ ... + ю6л/?Л, (4)
Р = ©6i<7, + соЦ2 + ... + ©Чтя- (5)
Натуральной суммой аир называется число
a( + )p = coii(p1 + ^I) + ^2(P2 + ^)+ ... +<*h(Ph + 4h)>
а натуральным произведением а(-)р называется число, полу*
чающееся в результате формального умножения разложений
1) См. Гессенберг [1, стр. 591—594].

§ 8. Теорема Цермело
263
(4) и (5) как многочленов относительно со: умножая две
степени числа со, берем натуральную сумму показателей степеней
и располагаем одночлены по уменьшению показателей.
Натуральное сложение и натуральное умножение коммутативны.
Пример 1. Натуральная сумма может отличаться от
обычной, например
[со2 + со + 1] ( + ) [со3 + со] = со3 + со2 + со • 2 + 1,
[со2 -г со + 1] + [со3 + со] = со3 + со.
Пример 2. [со2 + со + 1]( • )[со3 + со] = со5 + со4 + со3. 2 + со2 + со.
Пример 3. [со00"" + cow + 1]( • )[cow+1 + cow + со] =
= со0,2*2 + со0,2*1 • 2 + со0,2 + cow+2 + со*0*1 • 2 + со00 + со.
Пример 4„ Разложения (4) и (5) можно переписать в
виде
а = ю61р1( + )ю5»р2( + ) ... ( + )<о6лРл,
P=co4i( + )cd4>( + ) ... ( + )©Чл.
Упражнения
1. Показать, что сумма а( + )Р возрастает с ростом как а, так и р.
2. Показать, что для каждого порядкового числа у существует не более
конечного числа таких пар а, р, что а( + )р = у«
3. Доказать, что если | < со0 и г\ < со0 , то | • г\ < (0е0 . Обратно, если
число £ таково, что
(1<5)-(ч<0—>(6-л<5), (6)
то существует такое а, что £ = со .
Замечание. Числа £, удовлетворяющие условию (6) при любых | и т),
называются главными числами умножения 1).
§ 8. Теорема Цермело
Широкое применение вполне упорядоченных множеств в
теории множеств объясняется главным образом тем, что для
каждого множества существует отношение, вполне
упорядочивающее его. Эта теорема, называемая теоремой Цермело2),
эквивалентна в системе аксиом 2[TR] аксиоме выбора. Мы докажем
1) Главные числа для других операций определил и исследовал Дже-
Кобсталь [1].
2) Впервые ее доказал Цермело [1].

264
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
эту эквивалентность, сформулируем эквивалентные (в той же
системе аксиом) ей теоремы и дадим их приложения.
Теорема 1. Если А — такое множество, что существует
функция выбора для семейства 2А — {0}, то существует
отношение, вполне упорядочивающее А.
Доказательство. Пусть / — функция выбора для
семейства 2А — {0}.Продолжим эту функцию на все семейство 2А,
полагая /(0) = р, где р — произвольный фиксированный
элемент, не принадлежащий А.
Обозначим через С семейство отношений R а А X А, вполне
упорядочивающих свое поле. По аксиоме замены существует
множество, содержащее такие порядковые числа Л, что R е С.
Пусть а — наименьшее из порядковых чисел, превышающих
все R.
Согласно теореме об определении по индукции, существует
трансфинитная последовательность ф типа ос, для которой
ФБ = f И - {qv Л<£})-
Если ц>\Ф р, то ф^еЛ — {ф : Л < D и Ф* =£ Фт1 Для каждого
т) < £. Если бы для каждого \ < а было ф| ф р, то
существовала бы трансфинитная последовательность типа ее, все члены
которой различны и все принадлежит Л, т. е. существовало бы
отношение, вполне упорядочивающее подмножество множества
А в тип а. Но это противоречит определению а. Поэтому
существует такое наименьшее число р, что qp = р. Тогда
А = {фл: ц < р} и, значит, А — множество значений
трансфинитной последовательности типа р с попарно различными членами.
Следовательно, существует отношение, вполне упорядочиваю»
щее множество А в тип р, что и требовалось доказать.
Замечание. В приведенном доказательстве мы
пользовались только порядковыми числами вида Л, где Rcz A X А, м
порядковым числом ее. Это доказательство легко можно
модифицировать так, чтобы вообще элиминировать понятие
порядкового числа. Для этого достаточно заменить R семейством всех
отношений 5 с: Л X Л, подобных R, и а — семейством всех
отношений полного порядка RczAxA. Такое модифицированное
доказательство опирается на систему аксиом 2 и не зависит от
аксиомы замены !).
Другой метод элиминации порядковых чисел заключается в
замене их порядковыми числами в смысле фон Неймана, о
которых будет идти речь в § 9. Таким образом, модифициро-
1) Такое доказательство можно найти во многих книгах; см., например*
Френкель [2, стр. 309—315].

§ 8. Теорема Цермело
265
ванное доказательство теоремы 1 также опирается только на
аксиомы системы 2, но на этот раз использует аксиому замены.
Верна также теорема, обратная теореме 1.
Теорема 2. Если существует отношение, вполне
упорядочивающее множество А, то существует функция выбора для
семейства 2А — {0}.
Действительно, достаточно для множества X е 2А — {0} взять
в качестве f(X) его первый элемент.
Из теоремы 1 сразу получаем
0 Следствие 3. Для каждого множества существует
отношение, вполне упорядочивающее его.
Сформулируем теперь принцип максимума, который часто
применяется вместо теоремы Цермело.
Пусть А— упорядоченное множество. Назовем множество А
замкнутым, если для каждого линейно упорядоченного
подмножества В а А существует в А верхняя грань V #. Элемент х
назовем максимальным, если нет такого j/G/4, что у > х.
Теорема 4. Если А — замкнутое упорядоченное множество
и существует функция выбора f для семейства 2А — {0}, то в А
существует максимальный элемент1).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 1,
продолжим /, полагая f(0) = p, где р — произвольный элемент,
не принадлежащий А. Пусть ос— порядковое число,
определенное в доказательстве теоремы 1. По теореме о трансфинитной
индукции существует такая последовательность ф типа ос, что
<h = f({xs A: х> У^'ч})'
причем множество в фигурных скобках пусто, если не все щ,
ц < I, принадлежат А или если не существует грани \/ qp^.
В силу замкнутости множества А, если щфр, то щфр
для всех г) <1, существует верхняя грань k = V Фл и она
ч\<Ъ
меньше ср^. Если бы для каждого g < ос было qp^ ф р, то
существовала бы трансфинитная последовательность типа ос, все
члены которой различны и принадлежат А, что противоречит
определению числа ос. Значит, найдутся такие числа |, что
щ = р. Если р — наименьшее из этих чисел, то нет такого
]) См. Цорн [1]. См. также Куратовский [2].

266
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
х^А, что х > V Фб« Поэтому верхняя грань V Щ — макси-
мальный элемент множества Л, и теорема доказана.
° Следствие 5 (принцип максимума ЦорнаК
Каждое замкнутое упорядоченное множество имеет
максимальный элемент.
Частным случаем теоремы 4 является
Теорема 6. Если А — семейство множеств, обладающее-
свойством
(и ХУ
А для каждого монотонного семейства В cz A (*),
и существует функция выбора для семейства 2А — {0}, то А
имеет максимальный элемент1).
Для доказательства достаточно заметить, что семейство А
упорядочено отношением включения и сумма (J X — верхняя
грань множества В.
Теоремы 4 и 6 показывают, что с помощью аксиомы выбора
можно доказать существование максимальных элементов.
Покажем теперь, что из существования максимальных элементов,
следует аксиома выбора.
Теорема 7. Если каждое семейство множеств Л,
удовлетворяющее условию (*), имеет максимальный элемент, то для
каждого семейства Z непустых множеств существует функция
выбора.
Доказательство. Пусть А — такое семейство, которому
принадлежит функция /, если ее областью определения служит
некоторое семейство CfczZ и если f(X)eX для всех XgC/.
Напомним, что функция / на С/ представляет собой
множество пар (X, f(X)), где XgC/. Таким образом, f{ czf2 означает,,
что Cix cz Cf2 и /, (X) = f2 (X) для всех X е= Cfx:
fxczf2 = t(CfxczCh)A Л [f,W = f2(*)]}, (О
т. е. /г — продолжение функции f\.
Покажем, что семейство А удовлетворяет условию (*).
Для этого возьмем в А монотонное семейство В и обозначим
через F сумму (J В. Элементами множества F будут пары
!) Теорема 6 доказана Куратовским [1].

$ 8. Теорема Цермело
267
вида {Х,у), где X е Z, поскольку каждое слагаемое / суммы Г
представляет собой множество таких пар. Если (X, у{) е F и
(X,y2)^F, то существуют ft и /2, Для которых (X.j/Jg/igB
и (X, г/2) ge /2 ^ Я, откуда */i = /1 (X) и */2 = Ь (Я).
Так как семейство В монотонно, то либо /i с:/2, либо f2 cz fh
В обоих случаях (в силу (1)) у\ = fY (X) = f2(X) = y2.
Множество F удовлетворяет условию
[(X, ух) ef]A [(X, у2) е F] -> (у, = у2),
т. е. F — функция. Областью ее определения служит (J Cfl
f<=B
т. е. некоторое семейство, содержащееся в Z.
Если (X, y)^F, то существует функция f^B, для которой
(X,y)<=f, откуда y = f(X) и потому y = F{X) =f(X) e= X.
Таким образом, функция F принадлежит семейству Л, а это
означает, что семейство А удовлетворяет условию (*).
По условию семейство А имеет максимальный элемент /0-
Покажем, что Cfo —Z. Если бы существовал элемент X
разности Z—С/0> то он был бы непустым множеством и, значит,
существовал бы элемент х е X. Полагая / = /0 U {{X, х)}, мы
получили бы /ос:/, /о=£/ и /^Л, что противоречит максимальности
элемента /о.
Следовательно, функция /0 удовлетворяет условию f0(X)^X
для всех X ^ Z, что и требовалось доказать.
Приложения
1. Расширение любого порядка до линейного порядка.
° Теорема 8. Для каждого отношения R0,
упорядочивающего множество Л, существует отношение, линейно
упорядочивающее А и содержащее R0.
Доказательство. Пусть К — семейство отношений,
упорядочивающих А и содержащих Ro. Легко доказать, что это
семейство удовлетворяет условию (*) теоремы 6, а потому
содержит максимальный элемент R.
Покажем, что R и есть искомое расширение отношения Ro
до линейного порядка. По определению R — отношение порядка,
поэтому достаточно доказать лишь его связность. Предположим
обратное, т. е. что существуют элементы а, Ь^А, для которых
^i(aRb) AI(bRa). Если мы покажем, что отношение
R' = R U {<*, у): (xRa) A (bRy)} = R{)S
упорядочивает Л, то придем к противоречию, так как R' zd R и
R' ф R, ибо aSb.

268
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Очевидно, что xR'x для каждого х^А. Чтобы доказать
транзитивность отношения R\ возьмем xR'y и yR'z. Тогда могут
представиться только случаи
(I) (xRy) A (yRz),
(II) (xRy)A(yRa)A(bRz),
(III) (xRa)A(bRy)A(yRz),
(IV) (xRa)A(bRy)A(yRa)A(bRz).
Случай (IV) невозможен, поскольку он дает bRa, что
противоречит нашему предположению. В случае (I) получаем xRzy
так как R транзитивно. Но тогда также и xRfz. В случаях (II)
и (III) получаем (xRa) A(bRy) в силу транзитивности R,
следовательно, xSz и потому xRfz. Итак, отношение R' транзитивно.
Наконец, чтобы доказать антисимметрию R\ возьмем xRfy
и yRrx. Тогда могут выполняться только случаи (I) — (IV), где
злемент z заменен на х. Но теперь случаи (II) — (IV) ведут к
противоречию, а в случае (I) x = у. Теорема доказана.
° 2. Существование максимальных идеалов. Пусть
Л—дистрибутивная решетка, а /0 — ее идеал, не содержащий элемента
Ь (гл. IV § 12). Семейство всех идеалов / zd /0 решетки Л, не
содержащих элемента &, удовлетворяет условию (*) теоремы 6.
Следовательно, это семейство обладает максимальными
элементами. В частности, максимальными элементами обладает
семейство Ра, ъ тех идеалов, которые содержат а, но не содержат Ь
(если только а поп ^> Ь).
Если А — решетка с единицей t, а / — идеал, отличный от А
(и, значит, не содержащий t), то существует по крайней мере
один максимальный идеал, отличный от Л и включающий в
себя /. Этот идеал будет простым (см. стр. 175, упражнение 2).
° 3. Существование особых множеств. Пусть Л = ш^а и
М — семейство подмножеств множества Л, каждое из которых,
имеет мощность т. Тогда существует такое множество Z, что
Z cz Л, Z = m, Л —Z = m,
гПХфОфХ-Z для всех X е= М. (2>
В самом деле, пусть а — наименьшее из порядковых чисел,
для которых существует последовательность типа а без
повторений, составленная из всех элементов множества Л (по
теореме Цермело такое число есть). Обозначим через х% g-й член
этой последовательности, а через М| £-й член некоторой
последовательности типа а (не обязательно без повторений),
содержащей среди своих членов все множества из М.

# 8. Теорема Цермело
269
Определим по трансфинитной индукции две
последовательности р и q типа а: пусть р% будет первым членом xv,
принадлежащим М^ — Sb a q\ — первым членом х^, принадлежащим
(M-{pJ)-Sb где
56 = {рл: 4<SU{?t|: Л О-
Элементы /?$ и q\ существуют, так как мощность множества
Si меньше т, а мощность множества М% равна т.
Множество Z, составленное из всех р\, где g < ее,
удовлетворяет условиям (2).
Ф Доказанное только что утверждение имеет интересное
топологическое применение1). Пусть А = & (значит, m = с) и
М — семейство непустых совершенных множеств, т. е.
совпадающих со своей производной. Мощность таких множеств
равна с2). Следовательно, существует множество Z, имеющее с
каждым совершенным подмножеством множества 8 общую точку
и такое, что его дополнение обладает тем же свойством. Можно
доказать, что множество Z неизмеримо в смысле Лебега, ф
4. Существование максимальных центрированных семейств
множеств. Пусть X — произвольное множество, /?* — некоторое
семейство из 2х. Докажем, что множество А всех
центрированных семейств /?, для которых R* cz R cz 2х, удовлетворяет
условию (*) теоремы 6.
Предположим, что BczA и множество В линейно
упорядочено отношением включения. Покажем, что (J R е Л.
Очевидцев
но, достаточно показать, что эта сумма центрирована. Пусть
я е Л/ и Х{^В для i<n. Значит, для каждого i найдется
такое семейство /?г е В, что Xi e /?*. Так как В линейно
упорядочено, то одно из этих семейств, скажем /?0, содержит все
остальные. Тогда Х{^ R0 для i < n, а так как /?0 центрировано,
то f^Xj^O, что и требовалось доказать.
i
° Из теоремы 6 следует, что для каждого центрированною
семейства R0 cz 2х существует максимальное центрированное
семейство R cz 2х, содержащее его.
ф 5. Базис Гамеля3). Множество Xczco называется
независимым, если для любой конечной последовательности х0,
..., хп-\ различных его элементов уравнение
г0*о + П*1 + ••• +rrt-i*rt-i = 0
1) См. Бернштейн [2].
2) См. Куратовский [9].
3) См. Гамель [1].

270 Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
разрешимо в рациональных числах г0, ..., гп-\ тогда и только
тогда, когда все они равны нулю. Например, множество
(1^2 , |/"3 } независимо.
Легко показать, что если В — монотонное семейство
независимых множеств, то сумма (J X также независима. По тео-
реме 6 отсюда следует
0 Теорема 9. Существует максимальное независимое
множество.
Такое множество называется базисом Гамеля для &.
Если Н — базис Гамеля, то каждое число хфО можно
единственным образом представить в виде
*= 2 rtbh (3)
i <n
где n^N, bi — различные элементы базиса, а г* —
рациональные коэффициенты, отличные от 0. Действительно, если бы
некоторое число х не имело такого представления, то множество
Н U {х} было бы независимым, что противоречит
максимальности Н. Если бы для х ф 0 было два представления
то элементы множества [b'0, b'v ..., brn__v &", b"> ..., &£_,}
не были бы независимыми.
0 Следствие 10. Существуют такие разрывные функции f
одного вещественного переменного х, что для любых х, у ^ <%
f(x + y) = f(x) + f{y).
Действительно, пусть Н — базис Гамеля и х0^Н. Обозначим
через f(x) такое число г0, что в разложении (3) число х0
встречается с коэффициентом г0. Эта функция будет искомой. Она
разрывна, так как принимает только рациональные значения и
не является константой, ф
6. Семейства множеств заданных мощностей. В заключение
докажем теорему, о которой мы упоминали на стр. 202.
0 Теорема 11. Если f — функция, определенная на
множестве Т и принимающая в качестве значений кардинальные
числа, то существует такая функция F, определенная на Г, что для
каждого t ^Т значение Ft этой функции будет множеством
мощности f *.

<5 9. Элиминация порядковых чисел методом фон Неймана 271
Доказательство. Пусть t^T. Так как ft —
кардинальное число, то ft = X для некоторого множества X. Согласно
следствию 3, существуют порядковое число а и отношение /?,
упорядочивающее X по типу ос. Пусть а*— наименьшее число,
обладающее этим свойством. Тогда функция F определяется
равенством
Ft=WisH).
Упражнения
1. Семейство множеств А называется индуктивным, если ХеЛ тогда
и только тогда, когда каждое конечное множество YczX принадлежит Л.
Показать (не пользуясь аксиомой выбора), что принцип максимума
равносилен теореме: каждое индуктивное семейство обладает максимальным
элементом 1).
2. Показать (не пользуясь аксиомой выбора), что принцип максимума
равносилен теореме: каждое линейно упорядоченное подмножество Z
упорядоченного множества Л содержится в максимальном линейно
упорядоченном подмножестве множества Л2).
3. Показать (не пользуясь аксиомой выбора), что принцип максимума
равносилен теореме: для каждого семейства F непустых множеств существует
максимальное семейство непересекающихся множеств, содержащееся в F3).
§ 9. Элиминация порядковых чисел методом
фон Неймана
В этом параграфе мы пользуемся только системой аксиом 2.
Покажем, что можно определить множества, обладающие
теми же свойствами, что и порядковые числа. Мы установим
взаимно однозначное соответствие между этими множествами
и типами вполне упорядоченных множеств.
Определение4). Множество А называется порядковым
числом в смысле фон Неймана (сокращенно п.ч. Н.), если оно
обладает следующими свойствами:
1. Каждый его элемент является множеством.
2. Если Ig/1, to XczA.
3. Если X, У е Д то либо X = У, либо X е У, либо Y^X.
4. Если 0=t=BczA, то существует такое множество X, что
Хе=ВиХГ\В = 0.
1) Такую формулировку принципа максимума дал Тейхмюллер в
работе [1]. В этой работе приведены также и другие формулировки принципа
максимума.
2) См. Биркгоф [1].
3) См. Boot [1, стр. 66]. Много других теорем, равносильных принципу
максимума, и много примеров применения аксиомы выбора и теоремы Церме-
ло можно найти в книге Серпинского [И]. См. также Рубин Г.и Рубин Дж. [1].
4) См. фон Нейман [1].

272
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
Примеры п. ч. Н.: пустое множество Л/0 = 0, множества
tfi = {0}, 7v2 = {о, {0}} = {л/0, л/!}, л/3 = {М), л/ь yv2}, л^ =
= {Wo, Nu Л/2, . . .}, Nv+x = A^ + {yVto}.
Выведем еще несколько свойств п. ч. Н.
5. £сла Л — п. ч. Я, то нет такой конечной
последовательности множеств A~i, . . ., Хи, что
XfeG^G ... GlwGlfeGA
В самом деле, предположим, что такие множества
существуют. Обозначим В = {Хи ..., Xh}. Так как IftG/l, то XkczA
в силу свойства 2. Тогда Xk~\^Ay откуда 1^-2 G Л и т. д.
Следовательно, все множества Хи . . ., Xk принадлежат Л, поэтому
В cz Л. Но ни одно из множеств Аг- не удовлетворяет условию 4,
Действительно, А~г-_1 е А"г- П В для t > 1 и Xh^X\f] В для t = 1,
6. Если А — п.ч.Н и МеЛ, то М — также п. ч. Н.
В самом деле, покажем, что М удовлетворяет условиям 1—4.
(1) Если ХеМ, то ХеЛ, так как М cz А (поскольку Л
обладает свойством 2), следовательно, X — множество.
(2) Возьмем XgMh У ее X. Тогда
УееАГееМее Л
и потому FgIg/I (так как MczA). Отсюда Y се А (в силу
свойства 2). Согласно свойству 3, либо У = М, либо Me У, либо
У е М. В первом случае
МееХееМее Л,
во втором
Me Y£=X^M<=A,
что противоречит свойству 5. Следовательно, FgM, а так как У
произвольно, то X cz М.
(3) Если A, Y^M, то X, КсЛ, поскольку MczA. Так как
Л обладает свойством 3, то либо А = У, либо А" е У, либо УеА\
(4) Предположим, что ОфВсиМ. Тогда В — непустое
подмножество в Л и в силу свойства 4 оно содержит такой
элемент А, что X П В = 0.
7. Вела Л «В — п.ч.Н, то
(Л ее В) ^ (Л с: В) Л (Л ^= В).
В самом деле, если Лей, то Лей (в силу свойства 2),
причем А Ф В, так как иначе 6gB, вопреки свойству 5.
Обратно, пусть А ф В и A cz В. Тогда В — Л будет непустым
подмножеством в В и, согласно свойству 4, существует такое
множество АеВ— Л, что А Л (В — А) = 0. Теперь достаточно

# 9. Элиминация порядковых чисел методом фон Неймана 273
доказать, что X = А. Поскольку X е В, отсюда будет следовать,
что /5gB.
XgejS влечет ХаВ, а так как ХП(В — Л) = 0, то X — Л = 0,
т. е. Л'сгЛ. Предположим, что Л — ^ =£ 0. Тогда существует
такое множество У, что Y^A—X и У Л Л — X = 0. Так как
Л—X cz В, то Уеб и, согласно свойству 3, либо FgX, либо
X е У, либо А" = У. Первая из этих возможностей исключается,
так как Y^A — X. Вторая также исключается, так как она дает
X фА — X, т. е. XgIg/1 (ибо Ig/1), что противоречит
свойству 5. Наконец, третья также исключается, поскольку Уе/1 и
IgB-A
Таким образом, мы доказали, что Л — X = 0, т. е. A cz X и,
следовательно, Л = X.
8. Каждое п. ч. Н вполне упорядочено отношением
включения.
В самом деле, достаточно показать, что если Л — п. ч. Н., то
отношение включения связно в Л и каждое непустое
подмножество в Л имеет первый элемент. Первое утверждение следует
из свойств 3, 6 и 7, а второе — из свойств 4 и 7.
9. Если А и В — п.ч. Я., то А Г) В — также п. ч. Н.
Покажем, что Л Л В удовлетворяет условиям 1—4.
(1) X е Л П В влечет X е Л, т. е. X — множество.
(2) Х^Л Л В влечет Х^А и XgS. Следовательно, Хс=Д
и X с В, а потому ХсЛП'В.
(3) X, У^ Л Л В влечет X, УеЛ, поэтому либо X = У, либо
X е= У, либо KgI
(4) О^МсЛ ПВ влечет 0 Ф М cz А и, значит, существует
такое X, что I G М и X П М = 0.
10. Вела Л и В — п.ч. И., то либо Л с: В, либо В с: Л.
Действительно, предположим, что А ф А П В ф В. Из свойств
7 и 9 следует, что ЛЛВеЛ и ЛЛВе^В, откуда ЛЛВеЛЛВ,
что противоречит свойству 5, так как ЛПВ — п. ч. Н. (в силу
свойства 9). Значит, либо Л = Л Л В, либо В = Л Л В.
11. Если А и В — различные п.ч.Н., то либо А — отрезок
в В, либо В — отрезок в Л. Следовательно, эти множества не
подобны {относительно отношения включения).
В самом деле, пусть АФВ. Тогда в силу свойства 10 либо
Л сг В, либо ВсгЛ. Допустим для определенности, что верно
первое включение. Тогда А ^ В (по свойству 7) и, значит,
элементы множества Л предшествуют в множестве В элементу Л.
Следовательно, Л — отрезок множества В и может быть ему
подобным (см. следствие 7 § 1).

274
Гл. VII. Вполне упорядоченные множества
12. Для каждого отношения /?, вполне упорядочивающего
свое поле, существует точно одно п. ч. #., упорядоченное
отношением включения подобно R.
В самом деле, пусть Z— поле отношения /?, а Н—множество
rex z e Z, для которых существует точно одно п. ч. Н. Л/2,
упорядоченное отношением включения подобно отрезку O(z)
множества Z (символически: Nz ~ O(z)).
Пусть 0(х)аН. Докажем, что х^Н. Согласно свойству 11,
существует не более одного п. ч. Н., подобного О(х). Поэтому
достаточно показать, что по крайней мере одно такое п. ч. Н.
найдется.
Обозначим
NX = {X: V(z^>x)A(X = Nz)y
Докажем, что Nx — п. ч. Н. Условие 1 выполняется очевидно.
Если NZ<=NX и У^Л/2, то У—п. ч. Н. Более того, так как
УеЛ/2~0(г), то в силу свойства 11 У подобно некоторому
отрезку множества Nz и, значит, некоторому отрезку O(t)
множества О (г). Так как t -Зг-Зх, то t^O(x), а потому fetf
и Y ~ Nt. Согласно свойству 11, Y = Nt и тогда Fg]Vx, ибо-
Nt е Nx. Поэтому Nz cz NX9 т. е. Nx удовлетворяет условию 2.
Условие 3 непосредственно следует из свойств 7 и 10.
Пусть В — непустое множество, содержащееся в Nx и z0 —
первый элемент в Z, для которого NZo^B. Если бы существо*
вало такое Y<=NZo, что У^В, то было бы У = Л/2, где z -^z0r
что противоречит выбору z0.
Следовательно, Nx— п. ч. Н. Если z\ Н г2 Н х, то NZl~0(z\)
и Nz2~0(z2), поэтому NZi подобно отрезку в N22y откуда NZlcz
czNZi и NZl=^=NZ2 (в силу свойства 11). Таким образом, Nx ~
~ О(х), т. е. х^ Н.
Согласно принципу трансфинитной индукции, Н = Z.
Множество
ЛГ={Х: \/{xe=Z)A{X = Nx)\
будет п. ч. Н., упорядоченным подобно Z. Это доказывается так
же, как для множества Nx.
Из свойств 12, 11 и 8 следует, что п.ч. Н. удовлетворяют
всем требованиям, предъявляемым к порядковым числам.
В связи с проведенными здесь рассуждениями стоит
заметить, что при доказательстве свойства 12 мы существенным
образом использовали аксиому замены, без которой нельзя доказать
существования множеств Nx и N*.

Глава VIII
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ АРИФМЕТИКИ
КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Цель настоящей главы — показать применение теории вполне
упорядоченных множеств в арифметике кардинальных чисел.
§ 1. Порядковые числа мощности а1)
Мощностью порядкового числа g называется мощность
произвольного упорядоченного множества типа £. Это
кардинальное число обозначается g. Таким образом,
f=F?E
Порядковые числа мощности а можно определить как типы
вполне упорядоченных счетных множеств. Отсюда
непосредственно следует
Теорема 1. Существует множество всех порядковых
чисел мощности а.
Определение 1. Q — наименьшее из порядковых чисел,
превышающих все порядковые числа мощности а. Это число
существует в силу следствия 8 § 2 гл. VII.
Теорема 2. (g<Q)=(|<a).
Доказательство. Если |^а, то g<Q по
определению 1. Обратно, если g < Q, то найдется такое число £, что
£<£ и £ = а, откуда |<£ = а.
Определение 22). «i = Q, т. е. K,=1F(Q).
Полагая в теореме 2 I = Q, получаем &*inon<!a, а так как
очевидно, что a^ tf ь то отсюда вытекает
1) Эти числа Кантор называл числами второго класса (к первому классу
Кантор относил конечные числа).
2) к (алеф) — первая буква еврейского алфавита.

276 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Следствие 3. Ki> а.
Таким образом, множество чисел £, для которых |^а, т. е.
множество W(Q), несчетно.
Теорема 4. Если m < Кь то т<^а.
Другими словами, между а и &х нет кардинальных чисел*
Доказательств о._ Пусть тп < К,. Существует такое
множество MczW{Q), что М = тп. Обозначим М = £. Тогда_£<Й.
Но l^Q, потому что в противном случае было бы | = Q, т. е.
ш= К1# Значит, 1<Q и по теореме 2 |<а, а потому m^cu
Для порядковых чисел g< Q принцип индукции имеет
следующий вид.
Теорема 5. Пусть множество А порядковых чисел
удовлетворяет условиям
(I) ОеЛ,
(II) (Ее=Л)-МЕ+1)е=Л,
(III) если ф — возрастающая последовательность и ф(л)еА
(Элл n^N, то \\\m qp (/г)] е Л.
Тогда W(Q)c:A.
Доказательство. Предположим противное и обозначим
через а такое наименьшее порядковое число, что ос<£2 и ос^Л.
По (I) афО. Если ос — не предельное число, т. е. ос = £+1, то
в силу (II) £^Л влечет ос^Л, что противоречит определению ос.
Пусть а — предельное число. Так как a^ct, то существует
отношение R, вполне упорядочивающее множество натуральных
чисел N в тип ос. Определим по индукции последовательность
/г0, k\, ... натуральных чисел: k0 — первый элемент множества N
относительно R и kn+\— наименьшее среди чисел k>kn, для
которых 0R(kn)<0R(k), где 0R(k) —отрезок множества N,
определяемый числом k. Так как ос — предельное число, то такое k
существует.
Пусть ф(п) = On(kn). Тогда ф(я)<ф(п+1). Кроме того,
ф(я)<ос для п = 0, 1, 2, ..., поскольку 0R(kn)—отрезок
множества типа ос. Если £<ос, то найдется такое число т, что Оя(ш) =
= £. Так как последовательность &0, &ь ... возрастает, та
Оц(гп) a 0R(kn) для некоторого /г, поэтому £<ф(я).
Следовательно, a= lim ф(я). Так как ф(я)<ос, то ф(я)еЛ для
П < Си
п = 0, 1, 2,... и по (III) ос е Л. А это снова противоречит
определению числа ос, и потому наше предположение неверно.
Очевидно, что множество W(Q) удовлетворяет условиям (I)
и (II). На самом деле для W(Q) верна даже более общая

# / Порядковые числа мощности а
277"
Теорема 6. Если 1<Q и r\<Q, то g + r]<Q и g• r|<Q.
Действительно, г| Ч- g = ii + 1 и g.r| = !-ij. Так как |<а и
fi^a, то g + ri^a и £ • т] = а (ибо а + а = а = а-а).
С помощью аксиомы выбора покажем, что множество W(Q)
удовлетворяет условию (III).
°Теорема 7. Если ф(1)<ф(2)< ... и ф(я)<й, то
lim ф(п) < Q.
П< О)
Действительно, пусть a= lim ф(/г). Тогда №(a) = (J №(ф(/г)).
М<0) Л
Множество W(a), будучи суммой счетного числа счетных
множеств, счетно. Значит, а < Q.
Пусть Fa— множество, определенное на стр. 245.
°Т е о р е м а 8. Семейство Fq совпадает с семейством В боре-
левских множеств ( т. е. с наименьшим о-аддитивным и о-муль-
типликативным семейством, содержащим все замкнутые
множества).
Доказательство. Трансфинитной индукцией по а легко*
показать, что FaczB для каждого а (в частности, для ос = й).
Остается доказать, что семейство Fq a-аддитивно и а-мульти-
пликативно. Обозначим через X такую последовательность
множеств, что I„£Fq для каждого п. Тогда для каждого п
существует такое порядковое число <хп, что Xn^Fan. Для
определенности будем считать ап наименьшим порядковым числом,
превышающим о&п-ь из всех, для которых Xn^Fan. По теореме 7
найдется такое число р, что an<P<Q для каждого п. Более того,,
можно считать р, например, нечетным.
Тогда
\JXn^(\jFy) =Fp+icF0 и [)Хпе=( (J Fy) =F^+2czFQy
\Y<P la \Y<P+1 /6
и теорема доказана.
Упражнения
1. Доказать (не пользуясь аксиомой выбора), что если a<Q и Р<Й,
то ар<&.
# 2. Пусть Фа —семейство аналитически представимых функций класса a
(см. стр. 246). Доказать, что сумма U ®a будет наименьшим из семейств
a< Q
функций вещественного переменного, удовлетворяющих условиям:
(I) каждая непрерывная функция принадлежит этому семейству;
(II) если fn принадлежит этому семейству для п е N и f (х) = lim ,f п(х),
для каждого х, то / также принадлежит этому семейству.

"278 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Обсудить роль аксиомы выбора в доказательстве этого утверждения.
3. Если {Ха}а < Q — последовательность типа Q замкнутых множеств
пространства % или NN и Ха=эХа+1 для всех <x<Q, то существует такое
число р < Q, что Ха = Хр для всех а ^ р.
Указание: Обозначьте через N0, Nh N2,... такую последовательность
окрестностей рассматриваемого пространства, что каждое открытое
множество содержит хоть одну окрестность этой последовательности. Поставьте в
соответствие порядковому числу а, для которого ХаФ Ха+и наименьшее
из чисел т, для которых Nm(]ХаФ0 = Nm — Xa+l, и покажите, что
различным а соответствуют различные натуральные числа.
4. Доказать, что если А— произвольное подмножество в & (или NN)y
то в трансфинитной последовательности его производных (см. пример 1
§ 4 гл. VII) существует такой член А®\ что Л(^ = А{а) для а>р и p<Q.
Указание: Используйте упражнение 3 и то, что все множества А^
замкнуты.
5. Доказать следующую теорему Кантора — Б^ндиксона: каждое
множество А а % (или AczN ) представляет собой сумму счетного множества
и совершенного множества.
Указание: Покажите, что разность А—А' счетна (см. упражнение 5 § 2
гл. V). #
6. Показать (не пользуясь аксиомой выбора), что 22tt ^ К1#
Указание: Разложите множество 2^ х N в сумму Z(J U ^Ь где ^£—
множество отношений, вполне упорядочивающих свои поля в тип £, a Z —
множество отношений, не являющихся полными порядками.
§ 2. Кардинальное число К(т). Функция Хартогса
Обобщим конструкцию, изложенную в § 1 для кардинального
числа а, на случай произвольного кардинального числа т.
Теорема 1. Для каждого кардинального числа т
существует множество __
Z(m) = {£:i<m}. (1)
Доказательство. Пусть Л = ш. Каждое отношение /?,
поле которого содержится в Л, представляет собой
подмножество произведения ЛхЛ, т. е. Rcz2AXA. Поэтому существует
множество R отношений /?с=2АХА, вполне упорядочивающих
свои поля. Сопоставим каждому отношению R^R его тип. По
аксиоме замены получим такое множество Z(m) порядковых
чисел, что
£ ge Z (m) -> g"< m.
Обратно, если £^тп, то существует отношение /?,
упорядочивающее некоторое подмножество множества А по типу |,
откуда |e=Z(m).

§ 2. Кардинальное число К (т). Функция Хартогса 279
Теорема 2. Если l<=Z(m)y то W{QczZ{m).
Действительно, r\ < g влечет г]^|.
Определение. tf (m) = Z (m).
По этому определению каждому кардинальному числу ш
ставится в соответствие некоторый алеф Z (m). Это соответ-
ствие называется функцией Хартогса *).
Теорема 3. N(m)non^m.
Доказательство. Множество Z(m), будучи множеством
порядковых чисел, вполне упорядочено отношением <^. Пусть
£ = Z(m). Предположим, что К(т)<т, т.е. 1<т. Тогда 1^
^Z(m) и по теореме 2 множество W(l) является отрезком
множества Z(m). Но это невозможно, потому что, согласно теореме
4 § 2 гл. VII, W(l) =£ = Z(m), а ни одно множество не может
быть подобно своему отрезку.
Следствие 4. m<m+K(m).
Неравенство ^ очевидно, а равенство невозможно,
поскольку оно влечет m^K(m).
Теорема 5. Если существует порядковое число £
мощности тп, то К(тп)>тп.
Доказательство. Пусть l^Z{m). Тогда по теореме 2
W{l)czZ(m) и, значит, N(tn)>| = m, откуда по теореме 3
К(тп)>тп.
Теорема 6. Для каждого множества X порядковых чисел
существует такое порядковое число а, что | < а для каждого
Доказательство. Пусть S = (J W(Q, m = S и а = Z (in)-
l^x
Так как l=W(h) и W(g)c:S для каждого ^gI, to по
теореме 5 _ = __
I=F(|)<S = m< к(т) = гЩ = а.
Т е о р е м а 7. К (т)<2* (™><22т2.
Доказательство. Пусть Л = шиХ — семейство отношений
RczAxA, вполне упорядочивающих свои поля. Очевидно, что
Xcz2AXA. Множество X разлагается в сумму
Х= (J Ха, (2>
^ aGZ(m)
*} См. Хартогс [1]. Теоремы 3 и 5 принадлежат Хартогсу.

1280 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
где Ха — подсемейство в X, состоящее из отношений типа а.
Каждому множеству 7czZ(m) взаимно однозначно
соответствует сумма (J Ха = F{Y)a X, поэтому семейство этих под-
множеств Y имеет мощность <2* = 22Ш. Отсюда 2«<m><22m2,
что и требовалось доказать.
Упражнения
1. Пользуясь аксиомой выбора, доказать, что
к(ш)<2т2. (3)
Указание: Из аксиомы выбора следует, что существует множество Г,
содержащее по одному элементу из каждого множества Ха (см. формулу (2)).
Из равенства ш2 = ш, которое мы докажем в § 6 (формула (2)),
получите более сильное неравенство, чем (3), а именно
к (т) < 2т.
2. (Линденбаум) Заменить в определениях множества Z (m) и
кардинального числа К(ш) отношение < на <* (стр. 193) и доказать для так
определенных чисел К* (ut) теоремы, аналогичные теоремам 3 — 5.
§ 3. Начальные числа
Бесконечное порядковое число qp называется начальным, если
оно наименьшее среди порядковых чисел £, для которых 1 = ф,
т. е.
Y<qp->Y<<P. (1)
Например, числа со и Q — начальные; мы будем обозначать
их соо и coi в соответствии с обозначением начальных
порядковых чисел, которое мы введем в этом параграфе.
Теорема 1. Для каждого бесконечного кардинального
числа m тип ф множества Z(m) (множества всех порядковых чисел
у мощности ^т) является начальным числом..
В самом деле, так как g < у е Z (тп) влечет l^Z(m),
то Z (тп) = W (ф) (см. стр. 238). Но так как ф ф W (ф), то ф ф. Z (тп),
т. е. фпоп^тп. В силу неравенства т^у имеем ф > у, откуда
следует (1).
Аналогично доказывается более общая
Теорема 2. Тип (J Z (mj, где шх^а для каждого x^Xt
является начальным числом (X — произвольное множество)%

# 3. Начальные числа
281
Для данного начального числа ф обозначим через Р{ц)
множество начальных чисел г|)<ф и положим
1(ф) = >1ф). (2)
Определение 1. Порядковое число ь(ф) называется
индексом начального порядкового числа ф.
Очевидно, что i(co)=0, i(Q) = l.
Теорема 3. Если ф и ф — начальные числа, причем г|)<ф,
ТО 1(^)<1(ф).
Действительно, по условию г|)^Р(ф) и, следовательно,
Р(^>)—отрезок множества Р(ф), откуда Р(чр) <Р(у).
Теорема 4. Различным начальным числам соответствуют
различные индексы.
Теорема 4 следует из теоремы 3.
Теорема 5. Каждое порядковое число а является индексом
некоторого начального числа.
Доказательство. Предположим, что нет такого
начального числа, для которого ос будет индексом. Будем считать а
наименьшим числом, обладающим этим свойством. Покажем^
что это противоречит теоремам 1 и 2.
Действительно, если ос = ft + 1, то пусть -ф — такое начальное
число, что i(i|))=p, и пусть (p = Z(}p). По теореме 1 ф —
начальное число. Более того, _
Ч7(Ф) = г(*)=1Г(ф)и{у: (Y-*)>.
откуда Я(ф) =P(ty) U{i|)}. Следовательно, ь(ф) = t(гр) + 1 = ос.
Рассмотрим теперь случай, когда а — предельное число >0.
По предположению каждому числу £<ос соответствует одно (и
по теореме 4 только одно) порядковое число г|)|, для которого
l(^s)=£- Пусть ф= (J Z(if)|). По теореме 2 ф — начальное чис-
ло. Более того, г|^еР(ф) для £<ос. Наконец, если феР(ф), то
ifeZ(%) для некоторого £<ос, поэтому а|)<гр£+ь что по теореме
3 дает l(яр) < I + 1 < ос. Значит число г|) принадлежит
последовательности {г|^}, откуда Р(ф)=ос, т. е. 1(ф)=ос.
Теорема 5 дает возможность принять
Определение 2. соа — начальное порядковое число, индекс
которого равен ос, т. е. i(coa)=a.
Таким образом, каждому порядковому числу мы поставили
в соответствие некоторое начальное число. Каждое начальное

'282 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
число получило индекс, а различные начальные чи-сла получили
различные индексы.
Легко доказать справедливость теорем 6—8.
Теорема 6. (ос<р) = (соа<соз) е= (соа<соз).
Теорема 7. Z(wa) = W(cDa+i), г. е. tf(coa) = coa+1 и
(J Z(cofc) =W^(cox), ec^w Я — предельное число.
Теорема 8. Если К — предельное число, то ®к = lim щ.
Таким образом, функция со^ непрерывна и потому число сох
конфинально К.
Теорема 9. Каждое начальное число а имеет вид coy для
некоторого у.
Доказательство. Предположим, что а>0 и соа =
= coYj • п{ + coY2 • п2 + ... + coY* . nk9 где Yi > у2 > • • • > Vk-
В силу теоремы 4 § 7 гл. VII
o>Yl<(oa<(oY.(/21+ 1). (3)
Так как у\фО, то Yi=l+fi Для некоторого б, откуда
g>yi(a1i+ 1) = со1+6(/г1+ 1) = со.(об(я1 + 1).
Мощность порядкового числа gr| равна, мощности числа r)g,
поскольку первая — мощность множества №(£) X Щт))> а вторая —
мощность множества №(т)) XЩ£).
Следовательно,
a>Y'(ii+ 1) = ("i + 1) со • со6 = со- со6 = со^
и по (3) (oYi^(oa. Так как (oYi^a)a, то в силу (1)
C0a = G>Vi.
Теорема 10. Каждое предельное порядковое число %Ф0
конфинально начальному числу а — наименьшему из порядко-
ных чисел, конфинальных %.
Доказательство. Докажем, что наименьшее порядковое
число ос, конфинальное А,, является начальным числом. Пусть
у<а. Достаточно доказать (см. (1)), что уфа. Предположим
противное, т. е. что у = а. Тогда существует последовательность
Ф типа у, которая принимает в качестве значений все числа
|<а, т. е. a= lim ф(£). Отсюда по теореме 2 § 4 (гл. VII) еле-

§ 4. Алефы и их арифметика
283"
дует, что число ос конфинально некоторому числу р^Су> а т0~
гда % конфинально р, что противоречит определению числа а.
Для каждого предельного числа ос^О обозначим через cf(a)
такое наименьшее число £, что ос конфинально со$. Например,
£?/(©) = О, C/(Q)=1, cf((Dj = 0, Cf(©0)=l.
Очевидно, что для каждого предельного числа ос
с/ («а) ^ а и с/(а)< а, (4).
поскольку а^Ссоа, и, значит, ос конфинально щ для некоторого
| <^ ос. В § 4 мы докажем (теорема 9), что
с/(©а+1) = а+1. (5)
§ 4. Алефы и их арифметика
Алефами называются мощности вполне упорядоченных
бесконечных множеств, т. е. мощности порядковых чисел ^ со.
По аксиоме выбора каждое бесконечное кардинальное число
есть алеф (следствие 3 § 8 гл. VII). Но многие теоремы об але-
фах можно доказать без аксиомы выбора, в частности закон
трихотомии.
Для каждого порядкового числа ос обозначим
Ка=соа, т. е. «a=F(©3.
В частности, Ko = a» Ki = Q (определение 2 § 1). По
теореме 7 § 3
K(Ka)=«a + l-
Теорема 1. Если ос<р, то Ка< Кр.
Эта теорема вытекает из теоремы 6 § 3.
Теорема 2. Если m^ tfa, то т — алеф.
Действительно, если w<jNa, то m — мощность вполне
упорядоченного множества.
Теорема 3. Кардинальное число Кa+i непосредственно
следует за Ка, т. е. между Ха и Ка+1 нет кардинального числа.
Доказательство. Если m < Ka+1, то m — мощность
подмножества множества W((Da+i)> T« е- некоторого вполне
упорядоченного множества. Следовательно, ш —алеф: m = К ^
Если ^а<ш< ^а+ь то по теореме 1 а<р<а+1, что
невозможно.
Аналогично доказывается

"284 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Теорема 4. Если а — предельное порядковое число и
&Z<m для каждого £ < а, то mnon< tfa.
Теоремы 3 и 4 показывают, что иерархия алефов в некотором
смысле полна: между алефами нельзя вставить новые
кардинальные числа.
Теорема 51). Х^=Ха для каждого а.
Доказательство. Пусть £<соа и т]<соа, причем %Ф0 или
к\ФО. Разлагая числа g и ц по основанию со (теорема 5 § 7
гл. VII) и добавляя, где необходимо, члены с коэффициентами,
равными 0, представляем g и г| единственным образом в виде
£ = coYlm, + coY2m2 + ... + coVfemfe,
(1)
Т1= COYlM! + (0Y2M2+ ... + G>Vfettfe,
где Yi>Y2>--->Yk и Для каждого i^k либо тг->0, либо /г,->0.
По теореме 9 § 3 найдется такое число А,, что соа = аЛ
Так как £<соа и т]<соа, то из формул (1) получаем A,>yi.
Пусть Ф(0,0)=0 и
Ф (£, т|) = coV (ш1э /г,) + ... + a>v*/ (mfc> /ife). (2)
Тем самым мы поставили в соответствие каждой паре чисел
£, т), меньших соа, число Ф(^, т]), которое тоже меньше соа (так
как yi < ^)» причем
[Ф (Б, л) = Ф (£, т)] ->(£ = £) л (л = *)• (3)
В самом деле, если Ф(£, ц) = 0 = Ф(£,т), то l = r\ = 0 = t>=r.
Если же Ф(£, tj) = Ф(£,т)>0| то £>0 или ц>0 и £>0 или т>0.
Пусть разложения чисел £ и т имеют вид
£ = оЛр1 + со%2+ ... + ©%&*>
т = со ^! + со 2q2 + ... + со ^
где для каждого iKh либо Рг>0, либо <7г>0. Тогда
Ф(£, т) = аЛ/(р„ (7,)+ ... +coV(p„ ^). (5)
Так как все коэффициенты в разложениях (2) и (5)
положительны, то в силу единственности разложений по данному
основанию
h = k, yt = bh J{mh nt) = J(ph qt) для 1=1,2,..., ft.
Тогда mi = pi и яг = ^г для /44ииз разложений (1) и (4)
получаем £ = £ и т| = т. Импликация (3) доказана.
1) Впервые эту теорему доказал Гессенберг [1, стр. 593].

§ 4. Алефы и их арифметика
285
Наконец, каждое число 0<соа будет значением функции Ф.
Действительно, если
9 = coYi • г, + (oY2 . г2 + ... + ©YVfe>
тде гь г2, ..., rk положительны, то достаточно в качестве !■ и ц
взять порядковые числа (1), причем тг=/((гг) и пг = 1(г;) для
i=l, 2, ..., k. Если же 8 = 0, то достаточно взять | = т] = 0.
Таким образом, функция Ф устанавливает взаимно
однозначное соответствие между элементами множества W(coa) и
упорядоченными парами его элементов, откуда следует, что
множества W(wa) и №(coa)X W(wa) равномощны, а это и
требовалось доказать.
Следствие 6. Ка+ Кр= Nmax(a.p) = КаКр, где тах(а,р) =
= а, ££лм а^З, w max (а, Р) = р, если р > а.
Доказательство. Пусть max (а, р) = а. Тогда N р ^ К а и
ка<ка. кр<ка. ка=ка,
и следствие доказано в силу теоремы Кантора — Бернштейна.
Теорема 7. Щсоа+1) - Щсоа) = Ка+1
Доказательство. Пусть W(cDa+,) = Л и №((оа) = В.
Разность А —В будет вполне упорядоченным множеством,
поэтому ее мощность будет алефом, который мы обозначим
через KY. Так как А = (А — В)[)В, то Na+i = NY+ &*a = Nmax(Y,«)»
откуда а + 1 = max(y, а). Но так как a < a + 1, то y = a + 1 •
°Лемма 8. IJFt<2fi» где F — произвольная функция,
принимающая в качестве значений множества.
Действительно,
S Ft = {(t,x): ((er)A(xef,)}, (6)
а множество (J F* можно получить из {{t,x): (/еГ)Л
A(xgF/)} с помощью функции /, определенной формулой
f^tix))=xy и поэтому его мощность не превосходит мощности
последнего множества (теорема 1 § 5 гл. V).
°Теорема 9. cf(coa+i) = а + 1.
Доказательство. Пусть P = f/(cDa+i). Тогда порядковое
число сор конфинально (оа+ь т. е. существует трансфинитная

286 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
последовательность ф типа сор, предел которой равен о>а+ь
Отсюда следует, что если £<соа+ь то найдется такое поридковбе
число £<со|з, что £<ф(£), а это значит, что
^K+i)c: [J W4q>(Q). (7)
Так как W(cop) = Kp и для каждого £ < сов
^1ф(£))<«а+1> Т.е. И7(ф(£)Х»а.
то в силу леммы 8 и теоремы 8 гл. V с учетом (7) получаем
Следовательно, а+1^тах(ос,р) и, значит, а + 1 •< р, но так
как одновременно c/(coa+i)^a + 1, или Р^Са + 1 (см. (4) § 3)г
то р = а + 1.
°Теорема 10. Для произвольного а
2 Жб-кв.
Доказательство. Так как (£-<a)->fc*$^CKa и
2 Кб=Кв- (8)
1<а
то по теореме 8 § 7 гл. V
откуда следует (8), поскольку
«а< 2 *1.
°Теорема 11. Если а = р+1, то
2 К6=Кц. (9)
Если же а—предельное порядковое число >0, то
2 к6=кв- (Ю)
|<а
Доказательство. Пусть а=Р + 1. Тогда (5<а) = (!^р)
и по (8)
,2 «6=Se«6=«,.
к* к»

S 4. Алефы и их арифметика
287
Пусть теперь а — предельное число. Тогда
Следовательно (см. лемму 8),
£<а 1<а £<а
откуда получаем равенство (10), так как по (8)
Аналогично доказывается более общая
°Теорема 12. Если а — предельное порядковое число, ф —
возрастающая трансфинитная последовательность типа а и
Л = lim ф(^), то
1<<х
2 КФ(6)= Кг,.
Замечание. Интересно, что Si и вообще любой алеф &п
можно определить без помощи понятий кардинальных и
порядковых чисел. Чтобы сформулировать соответствующую теорему,
назовем множество А, содержащееся в декартовом
произведении Хп = X X X X ... X Ху конечным в направлении k-й оси,
если для каждого элемента (хи ..., *л-ь xk+[l..., хп) из Хп~ь
множество
Xх k* \xi> • • • > xk-\9 xk> xk+u • • • > хп) ^ А)
конечно (другими словами, каждая прямая, параллельная k-ft
оси, пересекает А в конечном числе точек).
Теорема 13 !). Для того чтобы множество X имело
мощность <С&п (я — конечное число >0), необходимо и достаточно,
чтобы Хп+2 можно было представить в виде А\ U ... 1Мп+2, где
множество Ak конечно в направлении k-й оси.
1) Теорема 13 принадлежит Серпинскому [9], см, также Куратовский [8].
Дальнейшие обобщения дает Сикорский [1].

288 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
§ 5. Степени алефов
Теорема 1. Если а<р, то К*Р = 2*Р.
Доказательство. Из неравенства 2 < &а< 2*а с
учетом законов возведения в степень для кардинальных чисел
получаем
2*Р < N *р < 2*а'*& = 2\
откуда следует утверждение теоремы.
°Теорема 2 (рекуррентная формула Хаус-
до р ф а) !).
Доказательство. Рассмотрим два случая.
Случай I: a+1 ^ р. По теореме 1
N?+1 = ^=S^, (2)
но так как Na+, < N е< 28р, то
<е*а+. = 2йв- Ка+1<2^.28Э = 2^+«' = 2^ О)
Из (2) и (3) получаем
откуда следует (1)
Случай II: р<а+1. В этом случае
ла ла+1^ла+1 wa+l "a+l Ka+1' Г/
Осталось показать, что верно также и обратное неравенство.
Рассмотрим для этого множество W(®a+l)w^\ т. е. множество
трансфинитных последовательностей типа сор, все члены
которых меньше coa+i. Покажем, что
Що»а+/(^с U ^(<V. (5)
Если ф — трансфинитная последовательность типа (оз<соа+ь
то (см. теорему 9 § 4) множество ее членов не конфинально
W{wa+\). Значит, существует порядковое число £<соа+ь для ко-
1) См. Хаусдорф [1].

$ 5. Степени алефов
289
торого W(Q содержит все члены последовательности ф. Таким
образом, (p^W(l)w(eft), и включение (5) доказано.
Так как Щ|) = |<«а для |< а>а+1, то IF(^N<K?.
Из (5) по лемме 8 § 4 и теореме 8 § 7 гл. V получаем
кЙ. = *К+«)Г(,,р)< U *(&)г™<
< 2 V(9rw<n?.Ke+1,
а так как одновременно выполняется и (4), то равенство (1)
доказано.
°Теорема 3 (рекуррентная формула Тарско-
го)1). Если ф — возрастающая последовательность типа ее (а —
предельное число), Л = lim ф(£) и $ < cf(a), то
»? = S к?(,г (6)
5 частности,
К?= 2 К? (7)
для каждого предельного а и каждого р < cf(a).
. Доказательство. По условию cf(k)=cf(a), поэтому ни
одна трансфинитная последовательность типа со^ со значениями
из W(X) не сходится к А,, и, значит, для каждой такой
последовательности существует такое порядковое число £<а, что
данная последовательность принадлежит W(q>{%))w^>
Следовательно,
lT(4fWcUy(?(a)F(4 откуда К?»< 2 *?<*>•
В то же время верно обратное неравенство, так как Кх^>а
влечет
К?=Кх-К?>а«?>> 2 *}};
£<а ^vl)
°Теорема 4 (обобщенная формула Хаусдорфа).
Если п — конечное число, то
* Ч - к ^ • N (8)
J) См. Тарский [2].

290 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Доказательство. Для я=1 (8) совпадает с (1). Пусть
теорема верна для некоторого п. Заменяя в (1) ос на ос + n,
получаем
^а+n+l °а+п "о+п+Р
откуда по предположению индукции и следствию 6 § 4
^а+n+l ^ а Л а+п ^a+n+l k а ^ а+я+Г
Таким образом, (8) верно для п + 1 и, значит, для любого
конечного п.
Из формулы (8) (сс = 0) и теоремы 1 вытекает
°Теорема 5 (формула Бернштейна) [). Для
конечных п
«|JP-2"P.KB. (9)
Пример 1. Из равенства (9) следует, что
Пример 2. В силу теоремы 1
sso = I .
Пример 3. Положим в (7) a = coi = Q, р = 0. Так как
с\(coi) = 1, то по теореме 3
№ = 2л &Ъ .
Приведем теперь теорему, в доказательстве которой
используется теорема Ю. Кёнига (стр. 210).
°Т е о р е м а 6. Если а — предельное порядковое число и р >
Q>c/(cc), to для каждого кардинального числа m
ХаФт"*и (Ю)
Доказательство. Пусть £ = с/(ос). Тогда порядковое
число щ конфинально ос, т. е. существует такая возрастающая
последовательность ф типа (0£, что
lim qp(£) = a.
1) См. Бернштейн [1]. Много других результатов, касающихся
возведения в степень алефов, приведено в книге Бахмана [1? стр. 143—155].

$ 5. Степени алефов
291
По теореме 12 § 4
«а- 2 КФ(о, (11)
а по теореме Кёнига
2 «Ф(С)< II Кф(0. (12)
С другой стороны, так как Кф<С)<Ка и а>£ = N^< Kp> то
Д *,«><"?• ИЗ)
Из формул (11) —(13) получаем
Ka<K?- (14)
Если бы существовало такое кардинальное число ш, что
Ka = m4 то было бы
что противоречит (14).
Таким образом, неравенство (10) доказано.
Следствие 7. Если р>с/(а), то Ка< N*3.
Из теоремы 6, в частности, следует, что ни для каких ш
и Р не верны равенства К<о=тп*Р, ^(D^=mK3, Ke=m*P
(определение е см. на стр. 257). Действительно, cf (со) = cf ((uoj) =
= с/(е) = 0.
Из теоремы 6 следует также, что если К©Г1 = тп«з, то р
может принимать только одно из значений 0, 1, ..., п—1. В
самом деле, cf(u>n)=n и потому К<оЛ^тп*р для р>я.
Следствие 8. Kffl^2*°.
В самом деле, если к0 = 2*°, то к*о = 2*°'*° = 2*° = «ю, в то
время как в силу следствия 7 К^°> Ки.
В заключение этого параграфа подсчитаем мощность
множества ___
Pn{M) = {XczM: Х = п}, где M = m.
fm
Для конечных шип она равна I
° Т е_о р е м а 9. Если М — бесконечное множество мощности m
и п<Л1, то Рп (Af) = mn.

292 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Доказательство. Пусть Z —фиксированное множество
мощности п. Каждому I g Pn (Af) соответствует непустое
семейство С(Х) взаимно однозначных функций f^Mzy для
которых f{(Z) = X. Очевидно, С (X') П С (X") = 0 для Х'ФХ". С
помощью аксиомы выбора получаем, что мощность множества
Рп(М) не превышает ЛР = тп\
С другой стороны, каждой функции / е Mz поставим в
соответствие множество
A, = {(z,f(z)): (*eZ)},_
мощность которого равна п, поскольку Z = и. Более того,
Af cz Z X М и Z X М = n . m = т. Если ¥ф¥\ например f (г0)Ф
Ф¥'(г0)9 то Л^ ^ Лг, так как (г0, Г(г0)> е= Л^ - Л^. Тогда
Pn(Z X M)>mn, откуда Pu(M)>mn, ибо множества Pn(ZXM)
и Рп(М) равномощны.
_ Следствие 10. Если М = т^а, то множество {ХаМ:
Х<т} имеет мощность 2 т?-
§ 6. Эквивалентность некоторых теорем
о кардинальных числах аксиоме выбора
Из теоремы Цермело (по существу из аксиомы выбора)
вытекает, что каждое кардинальное число является алефом.
Значит, законы арифметики кардинальных чисел совпадают с
законами арифметики алефов.
СТ е о р е м а 1.
Л [(m<n)V(H<m)], (1)
m, n ф. N
Л [m2 = m], (2)
Л [(nt • ii = m + и = m) V (m • n = m + it = it)], (3)
m, n ф. N
Д f(m2 = n2)->(m = n)]> (4)
m, n ф N
A [(m<n) Л (»><<!)-*■ (m + )><n + q)l, (5)
A [(m<n)A())<q)-*(m.p<n.q)], (6)
A [(m + p<n + p)-».(m<n)], (7)
A [(m-p<n-p)->(m<n)]. (8)
m, n, рф-N

$ 6. Эквивалентность некоторых теорем аксиоме выбора 293
Каждый из законов (1) — (8) следует из аксиомы выбора.
Мы покажем, что в то же время каждый из этих законов
совместно с системой 2[TR] и аксиомой VIII влечет аксиому
выбора.
Теорема 21). Если для произвольных бесконечных
кардинальных чисел man либо т^п, либо н<лп, то для каждого
семейства непустых множеств существует функция выбора.
Доказательство. Пусть X — произвольное бесконечное
множество и m = X. По условию либо ш^^(тп), либо
К(т)^тп. Второй случай невозможен по теореме 3 § 2,
а в первом тп —алеф, поэтому существует отношение, вполне
упорядочивающее X. Таким образом, из условий теоремы
следует теорема Цермело и, значит, существование функции
выбора.
Замечание. Теорему 2 можно сформулировать проще:
формула (1) для бесконечных шип влечет аксиому выбора.
Аналогично будем формулировать дальнейшие теоремы; в них
слово «влечет» будет означать, что существует доказательство,
не использующее аксиому выбора.
Лемма 3. (3)-*(2)-*(4).
Действительно, если m<£N, то из (3) получаем m2=m»
Если тп, п ф N, то по (2) т2 == тп и п2 = п, откуда ш2 = п2 -> m = п-
Лемма 42). Если p<£N и р- $ 0>) = р+ X (Р), то р-алеф.
Доказательство. Пусть А = р, В = & (р). Тогда по
условию существует разбиение множества А_ X В на_такие два
непересекающихся множества Р и Q, что Р = р и Q= & (р)-
Следовательно, Q — алеф и существует отношение, вполне
упорядочивающее Q. Априори возможны два случая:
I. Найдется такой элемент а из А, что {а} X В а Р. Но так
как (а}ХВ= К {Р), то tf(p)< p вопреки теореме 3 § 2.
Случай I отпадает.
II. Для каждого аеЛ пересечение ({a}xB)f\Q не пусто.
Поскольку существует отношение, вполне упорядочивающее Q,
то существует функция, ставящая в соответствие элементу
aei первый элемент q(a) множества ({а} X В) Л Q. Более того,
так как q(a) имеет вид (a, ft), где freB, то д{а')Ф q(a") для
1) Эту теорему впервые доказал Хартогс [1].
2) Эта лемма, а также приведенные ниже теоремы 3—8 принадлежат
Тарскому [1].

294 Г л VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
а' ч= а". Следовательно, функция q устанавливает взаимно одно-
значное_отображение множества А на подмножество множества
Q, т. е. А ^С Q и А — алеф.
Теорема 5. Формула (4) влечет аксиому выбора.
Доказательство. Пусть t —произвольное бесконечное
кардинальное число. Обозначим p = t*\ m = p+N(p) ии =
= p-tf (р). Очевидно, что
р2 = (t»o)2 = р. = р9
откуда р<!р+1<:р-р = р2=р и, значит,
р + 1 - р.
Так как
2«(rt-K(rt= mp)+i = [k(p)]2,
то
ш2 = [р + К (р)]2 = р2 + 2р • К (р) + [к (Р)]2 = Р + Р[Н (Р) • 2]+ К (р) =
-Р f РК(р)+ К(р) = р[1+ «(*>)]+ К(Р) = РМ») + N(p) =
= (p+l)K(p) = PN(p) = p2[«(p)]2 = n2.
В силу (4) m = п, т. е. р + X (р) = р К (р), и по лемме 4 р — алеф.
Так как t^p, то t —также алеф, что и требовалось доказать.
Следствие 6. Каждая из формул (2) и (3) влечет
аксиому выбора.
Теорема 7. Каждая из формул (5) и (6) влечет аксиому
выбора.
Доказательство. Пусть t—бесконечное кардинальное
число. Очевидно, что
t<t+ M(t) и K(t)<t+ K(t).
Если бы эти неравенства были одновременно строгими, то
из (5) мы получили бы t -4- ^< (t) <C t -4- &< (t), поэтому либо
t = t+N(t), либо K(t) = t+tf(t). Из первого равенства
следует t^ К (t), что противоречит теореме 3 § 2. Значит, верно
второе равенство, а из него следует t^ К (t), т. е. t—алеф»
что доказывает, что (5) влечет аксиому выбора.
Для доказательства утверждения о формуле (6) надо
вместо суммы t+ ^ (t) рассмотреть произведение t- ^ (t).
Теорема 8. Каждая из формул (7) и (8) влечет аксиому
выбора.

§ 6. Эквивалентность некоторых теорем аксиоме выбора 295
Доказательство. Пусть t — произвольное бесконечное
кардинальное число. Если m=N0-t, то m + m = m. Если
ii=K(m) и J> = тп, то m + j> = m и п +р = тп + К (тп), откуда
тп + ))<п + р. Равенство т + р = \\ + р дает m> к (тп) вопреки
теореме 3 § 2. Значит, т + р<п + р. Тогда в силу (7) тп<п,
т. е. т< К (тп) и тем более t< К (тп), а потому t— алеф, что
доказывает, что (7) влечет аксиому выбора.
Для доказательства утверждения о формуле (8) надо в ка^
честве m взять tK° и вместо сумм тп + р, п + р рассмотреть
произведения т • р и п • р 1).
Что касается формулы
Л [тп-ь тп = тп],
неизвестно, эквивалентна ли она в системе S[TR] плюс аксиома
VIII аксиоме выбора.
Из теоремы 1 (доказанной при помощи аксиомы выбора)
следует, что тп<2т для каждого бесконечного кардинального
числа m и п е N. Шпеккер показал, что более слабое
утверждение тп" поп ^ 2т можно доказать без помощи аксиомы
выбора. Мы воспользуемся этим в гл. IX.
Теорема 92). Если m — бесконечное кардинальное число и
n^Nt to mnnon>2w.
Доказательство. Пусть А = т. Предположим, что
существует функция F, взаимно однозначно отображающая 2А в
Ап. Покажем, что тогда существует функция /, ставящая в
соответствие каждой трансфинитной последовательности ф
различных элементов из А элемент из Л, не являющийся членом этой
последовательности.
Если такая функция / будет построена, то, обозначив через
а наименьшее порядковое число мощности X (тп), получим из
теоремы об определениях по индукции, что существует такая
а-последовательность ф, что г|)| = /(ф|^) для g < а. Тогда ф^ не
будет_членом последовательности i|5|t, ty$ Ф г^ для \Фх\>
значит, Л^а= К (тп), что противоречит теореме 3 § 2.
Для построения функции / возьмем число k0> 1, для
которого 2*о>/го. Выберем из A k0 различных элементов а0> ...
..., ako-i и пусть ср = (ф0, ..., фь-i). Обозначим через 5(ф)
1) Теоремы о кардинальных числах, эквивалентные аксиоме выбора,
подробно изучаются в книге Рубин Г. и Рубин Дж. [1, стр. 47—63].
Большинство из них принадлежит Тарскому.
2) См. Шпеккер [1].

296 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
множество {ф0, ..., фь-i}. Если k < k0y то положим /(ф) = #.,,
где j = тп'т(а1ф cps для s<k). Если же £>£0 и все ф*
i
(i = 0, ..., k—1) различны, то представим 2k подмножеств
множества 5(ф) в виде {фг: i^Z} = S(q>, Z), где Z —
подмножество множества {0, 1, ..., k— 1}. По определению функции F
каждое множество ^(5(ф, Z)) будет дг-членной
последовательностью. Так как существует только kn последовательностей в
Лп, члены которых — элементы из 5(ф), и так как 2k>kn, то
найдется по крайней мере одно такое множество Z, что не все
члены последовательности ^(^(ф, Z)) принадлежат 5(ф).
Упорядочим множество этих множеств Z так, чтобы оно было
подобно лексикографически упорядоченному множеству их
характеристических функций, и пусть Z0 — первый элемент этого
множества. Определим /(ф) как первый член
последовательности ^(^(ср, Z0)), не принадлежащий 5(ф).
Предположим, наконец, что тип а последовательности ф
бесконечен. Так как а — алеф, то существует взаимно однозначное
отображение множества W(a) на W(a)71. Пусть порядковому
числу £ < а соответствует при этом отображении
последовательность (£<°>, ..., g^-1)).
Положим #| = 0, если (ф^(о),.. ., ф^л-о) не принадлежит
множеству значений функции F, и Н^ = Fc ((ф|(о>, ..., Ф^с-о))
в противном случае, и пусть Х0= (ф^ :ф& ф #g], (а0, . ..,ая_,) =
= F(X0). Если все элементы а7- — члены последовательности ф,
то (а0,..., an-i) = (ф <0) ,..., ф(^_1) ) для некоторого £0 < а и
эта последовательность принадлежит множеству значений
функции F. Отсюда Н%0= Хо и тогда ф^Е10=ф^еЯ|о. Но по
определению множества Х0 имеем ф.Е10=ф^Я^о для
каждого £. Следовательно, хотя бы для одного / элемент а-2 не будет
членом последовательности ф. Достаточно положить /(ф) = а.;,
где /—наименьший из этих индексов.
Следствие 10. Если тп — бесконечное кардинальное число,
то m+l<2m.
Доказательство. Так как 2т>тп, то 2m^tn+l.
Допустим, что m + 1 = 2т. Так как т2^т-2^т+1, то тогда
m ]>2m вопреки теореме 9.
Упражнения
1. (Шпеккер) Вывести из теоремы 9 неравенство Кантора ш<2т и его
усиление f«m<2m (для конечных ! и бесконечных ш).

§ 7. Степенная иерархия кардинальных чисел
297
2. (Лесьневский) Доказать, что каждая из формул
Д [(m + rt = m)V(m + n = n)], (a)
Д [(m-n = m)V(m-n = n)] (b)
m, n ф. N
эквивалентна аксиоме выбора.
3. (Линденбаум) Доказать, что формула
Л [(m<*n)V(n<*m)]
m, n ф N
эквивалентна аксиоме выбора (отношение ^* определено на стр. 193).
Указание. Повторите доказательство теоремы Хартогса, заменив к (ш)
на К* (т) (см. упражнение 2 § 2).
4. (Тарский) Доказать, что формула
Л [(m»<m<)-*(p<q)]
эквивалентна аксиоме выбора.
Указание. Положите m = 2^ °', q = К (ш) и покажите, что m* = m^ma»
а равенство in*5 = mq дает ш > к (ш).
§ 7. Степенная иерархия кардинальных чисел
В § 4 мы показали, что сложение и умножение алефов очень
просты и по существу сводятся к сравнению алефов. Столь же
просты сложение и умножение произвольных кардинальных
чисел, если мы принимаем аксиому выбора, причем (как было
показано в § 6) даже очень специальные законы арифметики
кардинальных чисел, записанные при помощи операций
сложения и умножения, влекут аксиому выбора.
Вместе с тем, как было показано в § 5, возведение в степень
алефов не просто даже при условии принятия аксиомы выбора.
В этом параграфе мы рассмотрим класс порядковых чисел, для
которых законы возведения в степень относительно просты.
В следующей главе мы обсудим гипотезу, согласно которой все
кардинальные числа принадлежат этому классу.
На стр. 249 мы определили по индукции множества Ra:
Яо = 0, /?а+1 = 2Ч
Rk = (J R%, X — предельное число.
1<ь

298 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Обозначим ^ = /?ю+е. Кардинальные числа ct& образуют так
называемую степенную иерархию кардинальных чисел.
Чтобы вывести арифметические законы для этих чисел,
перечислим сначала ряд свойств множеств Ra.
Теорема 1. (a) RaczR^ для а<Р; (b) XGi?p->Ici?p.
Доказательство. Проведем индукцию по р. Достаточно
показать, что если р0Х) и теорема верна для р < р0, то она
верна для ро-
Случай ро = 0 очевиден. Если р0 = р+1 и а<р0, то а^р и
и по условию RaczR^ a в силу (b) R^czR^{. Если р0
—предельное число и а<р0, то RaczR$oJ так как по определению
^Эо= (J R*e Утверждение (а) доказано.
Если ZGi?p0) то ро^=0 и либо Ро = Р+ 1, либо р0 —
предельное число. В первом случае X е 2*Э, т. е. X cz R^ и, значит,
X cz R$Q в силу (а). Во втором случае существует такое число
р<Ро, что X е /?р. По предположению индукции X cz R^ тогда
в силу (а) X cz /?Ро. Утверждение (Ь) доказано.
Теорема 2. Ra X Ra cz Ra+2.
Доказательство. Элементами множества RaX Ra
служат пары (X, У), где X, Y <ee Ra. Так как {X, Y} cz Ra и {X}cz Ra>
то {X, Y} е= Ra+l и {X} <= /?a+1> откуда {{X}, {X, Y}} cz Ra+U а тогда
{{XI {X, У}}е/?а+2.
Аналогично доказывается
Теорема 3. Если а — предельное число, то Ra X Ra cz Ra.
Теорема 4. Ra=z> Na, где Na есть а-е порядковое число
в смысле фон Неймана.
Доказательство. Если а = 0, то Ra = Na = 0. Если
RaZDNa, то #ае2** = #а+1, а потому {Na}czRa+l. Так как
NaczRai то tfaUWc:/?aU/?a+i = #a+i. т- е- Na+{czRa+l. Если
а —предельное порядковое число и теорема верна для £<а,
то Nacz \J Ri = Rat поскольку Na= (J N$.
Теорема 5. Rn = 2n для я<со; а0= к0.
Доказательство. Первое равенство следует по индукции
из определений. Для доказательства второго достаточно
показать, что существует взаимно однозначное отображение vn
множества Rn B As причем vn+i является продолжением отображе*
ния vn.

§ 7. Степенная иерархия кардинальных чисел
299
Положим v (0) = 0 и для X е Rn+i пусть vn+i (X) = vn (X), если
X<=Rn. Если же X ее Rn+l — Rn> то пусть vn+{(X)= 2 2v"(y/> ,
где У0, Уь ..., У^_1 — элементы множества X, упорядоченные
так, что vn(y;-i )<vn(Yj) для 1</<£. Легко показать, что
функция vn взаимно однозначна и vn+i — ее продолжение.
Теорема 6. аа+, = 2а«, аа<а3 для а<р.
Эта теорема следует из определений и теоремы 1.
Теорема 7. а« = аа.
Доказательство. Для а = 0 теорема очевидна. Если
она верна для ft, а а = р+ 1, то она также верна и для а,
поскольку аа = #р-и = 2а0 и, значит, аа = 2аЗ+аР, откуда а« = аа, ибо
а0^ае + а3^а3 = V Если а —предельное порядковое число, то
по теореме 3 ^^аа, а так как ^^аа, то а^ == аа.
Следствие 8. аа + ар = ааар = атах(а,Р).
Это можно получить из теоремы 7 тем же способом, что и
аналогичное утверждение для алефов (см. стр. 285).
°Теорема 9. Если а — предельное порядковое число, то
Доказательство. С одной стороны,
£<а £<а £<а
£ другой стороны, аа = аа . аа^аа . а по теореме 4, поскольку
Л/а= а. Но так как
аа • а > 2 а6,
то теорема доказана в силу теоремы Кантора — Бернштейна.
Замечание. В теореме 9 используется аксиома выбора,
так как этой аксиомы требует само определение бесконечной
суммы кардинальных чисел.
Теперь мы установим некоторые законы возведения в
степень кардинальных чисел ctg.
Теорема 10. Если а^р, то ааР==ар+г
Доказательство. ар+1 = 2аР<а^<(2я«)ар = 2а«*аР = 2я|з = ар+1.

300 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Теорема И. Если а4- 1 >Р, то а°0_, = аа+г
Доказательство, а^ = 2°а'а3 = 2а« = аа+1.
Чтобы получить полное описание степеней чисел ct&,
необходимо иметь еще выражения для а^, когда а — предельное число
и р<а. Оказывается, что для таких степеней нет простых
выражений. Некоторые, очень отрывочные сведения о них будут даны
в следствии 18, а сейчас мы установим связь между иерархией
алефов и иерархией степеней.
сТеорема 12. Если К — предельное порядковое число >0, то
&),+п<Ч+п для л = 0, 1, 2, ... . (1)
Доказательство. Предположим, что существуют числа
А и м, для которых неравенство (1) нарушается. Среди этих
чисел X есть наименьшее А,о. Существует также наименьшее п0г
для которого при Х = А,о и п = п0 неравенство (1) не верно.
Случай Яо = 0 и Яо = 0 невозможен, так как K0 = ct = a0.
Покажем, что п0 = 0. Допустим, что это не так, т. е. azo = ^i + 1.
Тогда по определению п0
откуда по (3), стр. 280,
и, следовательно.
Но так как N (*Ur+AO= tf м-n.+i = Кх0+^ (см. стр. 283), то
что противоречит выбору /г0. Итак, п0 = 0.
Каждое порядковое число £<А0 можно представить в виде
Y + n, где y — предельное число, меньшее Ао (теорема 1 § 3
гл. VII). Тогда по определению числа Я0
откуда
и по теоремам 4 и 7

§ 7. Степенная иерархия кардинальных чисел
301
Так как tf a,0= 2j ^ь то tf А,0^ал0> что противоречит выбору
Ко. Таким образом, предположение, что существуют такие X и
п, для которых (1) неверно, ведет к противоречию.
Теорема 12 дает для алефов оценку сверху при помощи
степенной иерархии. Оценить числа а^ при помощи алефов
невозможно даже для 5=1.
Из теоремы Цермело следует, что для каждого порядкового
числа а существует такое порядковое число я(а), что aa= tf жсо»
Из аксиом теории множеств можно получить только
отрывочные сведения о числах jt(a). Легко доказывается
'Теорема 13. a<p-^jt(a) <я(р).
°Теорема 14. Функция л непрерывна (на каждом
множестве вида W(a)).
Доказательство. Пусть а — предельное порядковое
число и X = \\mn(l). В силу теоремы 12 § 4
откуда Х = я(а).
Из теоремы 14 легко вывести
Следствие 15. Если а — предельное порядковое число
Ф0, то
cf(a)^n(a).
Действительно, пусть с/(а)=6 и ф—такая возрастающая
последовательность типа оз6, что a = lim ф(|). Тогда
я(а)= lim я(<р(Ш= Hm-фЙ),
причем суперпозиция ф=л;°ф также возрастает. Следовательно,
л(а) >оз6> б.
°Теорема 16. Если п(у+1) не является предельным
числом, то Jt(y+1)>YI если я(у+1)—предельное число, то
cf(n(y+l))>y.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, по*
скольку я — возрастающая функция.

302 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Пусть теперь я(у+1)—предельное число и 6 = cf(я(у+ 1)).
Если 6<y> то в СИЛУ следствия 7 § 5 K„(Y+1)< **nY(Y+i)» т- e-
а < a*Y = 2aY*Y = 2°Y = а
что невозможно. Поэтому 6>y> что и требовалось доказать.
С помощью чисел я (а) вычислим степени а^З, где а —
предельное порядковое число.
°Теорема 17. Если а>0 — предельное порядковое число, то
U(X ~l°a+i» если с/(а)<р<я(а).
Доказательство. Пусть p<cf(a). Очевидно, достаточно
показать, что a^^Oa. По теореме 3 § 5
П (а) I <а Я (|) I <а Я (^ +1)#
Последнюю сумму можно разбить на две: к одной 2'
отнести числа £, для которых я(£+1)^Р, а к другой 2" —
для которых р<я(£+1). По теореме 1 § 5 |-е слагаемое
суммы 2' равно 2*&, и так как ttp <ctp<a^(a) ^aa, то
2'<P-aa<Va«==a«-
|-е слагаемое суммы 2" равно Л = 2a&'^<2a£'a£+1 = ag+2>
поскольку Хр< Кя (|+1) = as+i- Таким образом,
2"< 2 tt6+2<aa.a = aa>
откуда
Предположим теперь, что ф — возрастающая
последовательность типа a>c/(a)=Y» сходящаяся к а, и cf(a) <р<я(а). Тогда
<р«л(а> = <°<2°« = аа+1.
С другой стороны,
6<Y Ч
и теорема доказана

$ 8. Некоторые проблемы мощности
303
Следствие 18. Если а — предельное порядковое число, то
|аа, если я(р)<с/(а),
аа+1, если cf (а) <! я (р) <[ п (а),
Из этого следствия видно, почему нельзя вывести общие
формулы для степеней а^. Мы не знаем характера функции п.
§ 8. Некоторые проблемы мощности,
связанные с булевыми кольцами
Покажем, как можно вычислить мощность множества с
помощью мощности множества простых идеалов полного
атомарного булева кольца. Как известно, такое кольцо изоморфно телу
27 всех подмножеств некоторого множества Y. Обозначим
Y = тп, где m бесконечно.
°Теорема I1). Тело 2Y содержит 22 простых идеалов.
Для доказательства этой теоремы потребуется
°Л е м м а 2. Существует такое семейство Scz2Y мощности
2т, что каждое конечное подсемейство S\cz S независимо.
Действительно, допустим, что лемма доказана, и сопоставим
каждой функции / е{0,1}5 семейство
S(f) = {Z: ([(ZeS)A(f(Z) = 0)]V[(y-ZsS)A(f(Z)=l)])}.
Очевидно, что различным функциям соответствуют различные
семейства.
Если k — натуральное число >0 и Zt<^S(f) для /<ft, то
(J Zi=£Y. В самом деле, возьмем Z^S, где i<p и W( =
i<k
= У — Zt^S для /?<л<&. Если (J Z,= F, то
i<k
p\{Y-Zt){\ f) ^/ = 0,
i<P p^i<k
что противоречит независимости семейства Z0, ..., Zp-ь
]) Впервые эту теорему доказали (для nt = K0) Фихтенгольц и
Канторович [1]. Более подробное доказательство дал Хаусдорф [4]. Проблемы
подобного типа исчерпывающе исследованы Тарским [3, 7].

304 Гл. VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Пусть /(/)—семейство множеств Zcz У, для которых
найдется конечное число таких множеств Zu ..., Zn^S(f), что
ZdZiU-.-UZn.
Ясно, что
Z'aZe=Hf)->Z'e=I(f)
и
(Ze=I(f))A{Z'eEl{f))->{Z[)Z'eEHf))f
т. е. 1(f) —идеал. Так как никакая конечная сумма Z\\J...[)Zn
множеств из S(f) не равна У, то У<^/(/). Наконец, S(f)al(f)
по определению.
Существует максимальный (а значит, простой) идеал /(/),
содержащий /(f) (см. упражнение 2 § 8 гл. VII).
Если /1=^/2, то J(f\)=j=J(f2). Действительно, если например,
/i(Z)=0 и f2(Z) = l, то Ze=S(/,) с/(/,) и Y-Z е= S(ft) с J(/2),
а потому идеалы J(/i) и J(/2) различны, так как в противном
случае было бы y = ZU(y— Z) e/(/i) вопреки тому, что идеал
/(/) простой. Таким образом, мощность множества всех простых
идеалов не меньше мощности множества функций fe{0, 1}5,
т. е. 2 .С другой стороны, каждый простои идеал содержится
в семействе 2Y и, следовательно, мощность множества всех про-
стых идеалов не больше 2 .
Прежде чем перейти к доказательству леммы, введем еще
новые понятия. Пусть X — произвольное множество и R—
семейство его подмножеств. Будем говорить, что R
a) сильно независимо,
b) слабо независимо,
c) очень слабо независимо,
если
a) каждое конечное подсемейство R\czR независимо,
b) М— (J М(ф0 для различных М, М0} ..., Mk^{ e R
i<k
(* = 0, 1, 2, ...),
c) М\ — M2=t=0 для любых различных MuM2^R.
Будем говорить, что кардинальное число m выполняет
условие (А), (В) или (С), если существует множество X мощности
m и семейство Rcz2x мощности 2т, удовлетворяющие условиям
(а), (Ь) или (с) соответственно.
Ясно, что если m выполняет условие (А), то для каждого
множества X мощности m найдется сильно независимое
семейство Ra2x мощности 2т. Аналогично для условий (В) и (С).
Наша лемма эквивалентна утверждению, что каждое
бесконечное кардинальное число выполняет условие (А).

§ 8. Некоторые проблемы мощности
305
Покажем, что условия (А), (В) и (С) эквивалентны.
Импликация (А) -+- (В) -+- (С) очевидна. Покажем, что
(В)->(А), (1)
(С)-(В). (2)
Схема доказательства следующая: предполагаем, что
существуют множество X мощности m и семейство R с: 2х мощности
2т, удовлетворяющие условию (Ь) ( или (с)), и строим
множество К мощности m и семейство Scz2K мощности 2т,
удовлетворяющие условию (а) (или (Ь)).
(В)-^(А). Пусть X — множество мощности m и R— слабо
независимое семейство его подмножеств, имеющее мощность
2т. Обозначим через К семейство всех конечных подмножеств
множества X. Ясно, что К=\]Кп, где Кп — семейство всех под-
п
множеств множества X , содержащих ровно п элементов. Таким
образом, Жп = mn = nt (см. стр. 291), а потому К = т-а = т.
Пусть для Ге/?
X{T) = {ZezK: Z П Т Ф 0}
и S — семейство всех подмножеств из К, имеющих вид Х(Т).
Докажем, что каждое конечное семейство {Х(Т[), ..., X(Tk)},
где Гь ...,Tk — различные элементы из /?, независимо.
Покажем, например, что множество
Х(Т{){] ... ПХ(Тр)П[К-Х{Тр+1)]{) ... П[К-Х{Тк)]
непусто. Так как R слабо независимо, то
к
Если Xj — элемент этой разности, то очевидно, что множество
{хх, ..., хр} принадлежит X(Tj) и К — Х(Т{) для /=1, ..., р,
i = p+l, ..., k. Так как Х(Т)фХ(Т') для Т = Т\ то S
—семейство мощности 2т, состоящее из множеств семейства /С, и
каждое конечное подсемейство S\ cz S независимо, т. е. S обладает
свойством (а).
(С)-^-(В). Пусть X—множество мощности m и R — очень
слабо независимое семейство мощности 2т, состоящее из
подмножеств множества X. Для каждого множества Z пусть
Z' = (J Zn, т. е. Z' состоит из всех конечных последовательно-
стей, члены которых принадлежат Z.

306 Гл. VIII, Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел
Пусть К = Х'. Очевидно, что К = (J Хп> а так как
= _ nEBN
Хп = тп=^ щ, то К = ша = т. Тогда семейство_Я = {M/:Mg/?}
состоит из подмножеств множества К и S = /? = 2m, поскольку
отображение М->М' взаимно однозначно.
Покажем, что семейство S слабо независимо. Пусть Му
MQj ..., iWfe_i — различные элементы из R и М' cz (J M^. Тогда
М — М{ Ф 0 для i < /г; обозначим через х\ элемент этой разности.
Последовательность (л-0, ..., xk-i) принадлежит М\ но не
принадлежит М\ь так как ее /-й член не принадлежит Mh
Полученное противоречие доказывает слабую независимость семейства S.
А теперь докажем лемму. Пусть X и X' — два
непересекающиеся множества мощности лп, и пусть / взаимно однозначно
отображает X на X'. Для Мс: X обозначим через М* множество
M\J[X'~ fl(M)] и через S семейство всех таких множеств. Это
семейство состоит^ из подмножеств суммы К = Х[)Х', причем
/£ = го-Ьт = тп и S = 2m, поскольку отображение М-+М*
взаимно однозначно.
Если МХФМ2 и Ми M2czX, то М\ФМ\. Действительно,
х ^ М{—- М2 влечет х^М\ — М\, а х^М2—Мх влечет
/ (х) е М* — М*2. Таким образом, S очень слабо независимо, а
это значит, что кардинальное число m выполняет условие (С).
В силу (1) и (2) m выполняет условие (А), и лемма доказана.
У пражне ния
1. Доказать, что если в булевом кольце ровно 2П элементов, то у него
ровно п простых идеалов.
Указание. Каждый простой идеал имеет вид {х: х Л а = 0}, где а — атом.
2. Булево кольцо К с единицей бесконечной мощности m имеет не
менее одного и не более 2т простых неглавных идеалов.
Указание. Пусть at — все такие элементы из К, что идеал {х: х ^ at}
простой. Тогда существует собственный идеал I, содержащий все
элементы — at.
3. Построить счетные булевы кольца, имеющие соответственно /г, а и 2*
простых неглавных идеалов (п ^ N).
4. Множество X элементов булева кольца К называется базой идеала /»
если
(О 1с/,
(И) для каждого / существует конечное число таких элементов хи ...,хп
из X, что а < jc, V х2 V ... V хп,
(П1) никакое собственное подмножество множества X не удовлетворяет
условиям (I) и (II).
Показать, что идеал является главным тогда и только тогда, когда его
база состоит из одного элемента.
5. Простой неглавный идеал кольца К = 2* не имеет счетной базы.

Глава IX
НЕДОСТИЖИМЫЕ ЧИСЛА.
ГИПОТЕЗА КОНТИНУУМА
В этой главе мы изучим свойства так называемых
недостижимых кардинальных чисел, расположенных, как мы увидим,
очень далеко в иерархии кардинальных чисел. Хотя свойства
этих чисел можно исследовать на основе системы аксиом
2°[TR], существование их нельзя установить без введения новых
яксиом.
Кроме того, мы обсудим гипотезу континуума и некоторые
ее следствия. Эта гипотеза сформулирована Кантором и
относится к вопросу о взаимосвязи между степенной иерархией и
иерархией алефов. Установлено, что она не зависит от аксиом
системы S°[TR] и аксиомы VIII. Некоторые математики
рассматривают ее в качестве новой аксиомы теории множеств.
Мы излагаем эти два вопроса в одной главе потому, что они
неразрешимы в принятой нами аксиоматике.
§ 1. Недостижимые числа
Разобьем начальные числа, т. е. порядковые числа вида соа,
на регулярные и нерегулярные 1) числа. Число соа называется
нерегулярным, если оно конфинально меньшему числу, т. е.
если существует последовательность qp типа р, где р —
предельное порядковое число, Р<соа и lim щ = соа; в противном случае
порядковое число соа называется регулярным.
° Теорема 1. Порядковое число coa+i для каждого а
регулярно.
Доказательство. Если a)a+1 = lim qpt, где р —
предельно
ное число < a>a+h то, обозначив y = cf($), получим y<<*+1 и
^/(gWi)^Y^a вопреки теореме 9 § 4 гл. VIII.
1) Нерегулярные числа иногда называют особыми.—Прим. перге.

308 Гл. IX. Недостижимые числа Гипотеза континуума
Начальное число соа называется слабо недостижимым, если
оно регулярно, а его индекс а — предельное число. Например,,
со слабо недостижимо, а со^, сои, со©^ и т. д. нерегулярны и
потому не будут слабо недостижимыми.
Теорема 2. Если а>0, то соа слабо недостижимо тогда
и только тогда, когда а = соа = с/(а).
Доказательство. Пусть а>0 и соа слабо недостижимо.
Тогда а — предельное порядковое число, не равное нулю. Если
бы было а<соа, то из равенства соа= lim cot следовало бы, что
(оа нерегулярно. Значит, а==соа, так как р-^сор для всех р.
Пусть y — cfia). Тогда существует такая возрастающая после-
довательность ср типа coY, что а= lim qp(£), откуда соа= lim соф(^.
Действительно, если бы было y<<*, to а>а было бы нерегулярным.
Обратно, пусть а = соа = г/(а) >0. Тогда а — предельное
порядковое число. Чтобы доказать, что соа слабо недостижимо,
достаточно показать, что оно регулярно. Пусть р — предельное
порядковое число ^соа и соа = Нтф(|). Если Y = c/(p), Т0 Р бу-
дет пределом возрастающей последовательности \|э типа coY.
Поэтому соа = lim ф(\|)(|)), откуда cf(a) К у. С другой стороны»
Y^coY и coY^p, поскольку \|)(£) >£ для £<coY. Таким образом*
cf(a) ^у^Щ*С p<Ccoa, откуда по условию теоремы ос = р.
Значит, wa не конфинально никакому порядковому числу < соа, и
теорема доказана.
Замечание. Равенство а = соа не характеризует
недостижимые числа. Действительно, если р — последовательность типа со,
определенная по индукции с помощью формул р0 = 0, $п+\ = Щп>
то порядковое число а=Нтрл удовлетворяет уравнению а = сосе
п
(см. стр. 241), но соа нерегулярно, ибо cf(a) = 0 (см.
упражнение 3, стр. 312).
Введем теперь понятия слабо и сильно недостижимых
кардинальных чисел. Кардинальное число m называется слабо не-
достижимым1), если оно является алефом, m = Ка, а соа — слабо
недостижимое порядковое число.
Охарактеризуем слабо недостижимые кардинальные числа
в терминах теории мощностей.
*) Это понятие впервые ввел Хаусдорф [2].

tf /. Недостижимые числа
30£
°Теорема 3. Кардинальное число m слабо недостижимо
тогда и только тогда, когда оно бесконечно и удовлетворяет еле-
дующим условиям:
(I) если и<ш, то найдется такое кардинальное число р, что-
n<p<m,
(II) если I — множество мощности < m, a f — функция,
определенная на I и принимающая в качестве значений
кардинальные числа < т, то 2 [*<т.
Доказательство. Пусть m — слабо недостижимое
кардинальное число, т = Ка. Тогда а будет предельным порядковым
числом, откуда следует (I). Пусть множество / и функция )
удовлетворяют условию (II). Можно считать, что / = Щсох), где-
%< а, и f (л:) = Кф(х), где ср(х) < а для х < сох.
Если среди порядковых чисел qp(x) существует наибольшее,
скажем ц,, то
2 КФЫ< Кх^ц55» Ктах(Х.ц)< Ка-
В противном случае положим |Л = HmqpC*;). В силу недостижи-
мости тогда |л<а, откуда
д:<сол
В обоих случаях Sfjr<m-
лее/
Обратно, пусть m — бесконечное кардинальное число,
удовлетворяющее условиям (I) и (II). Пусть т=Ка. Из условия (I)
следует, что а — предельное число. Если бы а>а было
нерегулярным, то нашлись бы такое предельное порядковое числа
р<(оа и такая возрастающая последовательность ф типа р, что
юа = lim ср (6). Полагая /=№(Р) и
*<р ====^^
fs=s И7(о>ф(6+1))— U7(G><p(6)) для £е=/,
получили бы тогда (см. стр. 284 — 286)
Na= 2 f6.
бе/
что противоречит условию (II). Теорема доказана.
Кардинальное число m называется сильно недостижимым1)»
если оно слабо недостижимо и
(III) n<m->2n < m.
!) Это понятие ввел Тарский (см. его статью [6, стр. 87, примечание 1]).
Первой публикацией, d которой оно используется, была работа Серпинского
и Тарского [1]. Эквивалентное определение сильно недостижимых чисел дал.
Цермел© [3].

"310 Гл. fX. Недостижимые числа Гипотеза континуума
Очевидно, что условие (I) следует из условия (III).
Вопрос о том, существуют ли слабо недостижимые
кардинальные числа, не являющиеся сильно недостижимыми, нельзя
решить на основе принятых нами аксиом. Из обобщенной
гипотезы континуума, которую мы будем обсуждать в § 6, следует,
что каждое слабо недостижимое кардинальное число сильно
недостижимо.
°Теорема 4. Кардинальное число т=Ка сильно
недостижимо тогда и только тогда, когда оно слабо недостижимо и
я(а) = а (определение операции я см. на стр. 301).
Доказательство. Если m слабо недостижимо и я (а) = а,
то n<m влечет n< tf0 или n= tfp для некоторого р<а. В
первом случае 2n<m, во втором 2П ^2ар = ар+1 = Кя(р+1). Так
как я строго возрастает, то 2tt< КЯ(а)= tta = m- Следовательно,
число m удовлетворяет условию (III), т. е. сильно недостижимо»
Обратно, если m сильно недостижимо и а = 0, то очевидно,
что я(а) = а. Если а^О, то а —предельное порядковое число,
т. е. а = limp. Так как операция я монотонна и непрерывна,
то я(а) = lim я(Р). В силу условия (III) тогда р<а-> Кя<р>< &*<*
и, значит, я (Р) < а для Р < а, откуда lim я (Р) = а. Следовательно,
я(а) = а, что и требовалось доказать.
°Теорема 51). Для того чтобы кардинальное число га = Ка
было сильно недостижимым, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия (III) и
(IV) 2 m£ = m.
Доказательство. Пусть m = Na сильно недостижимо-
Достаточно показать, что оно удовлетворяет условию (IV)*
Более того, очевидно, можно предположить, что ш> К0 и,
значит (по теореме 2), что a=coa=c/(a). Пусть j<m. Тогда
либо i конечно, либо J=tt&, где |<а. В первом случае
mJ = m. Во втором случае равенство a = cf(a) влечет l<cf(a)
в силу следствия 18 § 7 гл. VIII и теоремы 4 и
Поэтому т* = т для всех j < m, откуда
2 mr = tn . m = m.
l) Теоремы 5 и 6 принадлежат Тарскому [6].

S /. Недостижимые числа
311
Обратно, пусть выполняются условия (III) и (IV). Покажем,
что тогда выполняются условия (I) — (Ш). Так как условие
(III) влечет условие (I), то остается показать, что выполняется
условие (II).
Пусть f — трансфинитная последовательность кардинальных
чисел, меньших т, и пусть тип этой последовательности равеа
сор, где р<а. Согласно теореме Ю. Кёнига (стр. 210),
2 fY< m*P < 2 mJ = m,
что и требовалось доказать.
°Теорема 6. Пусть m и п — кардинальные числа и т^ К0.
Число т сильно недостижимо и больше \\ тогда и только тогда,,
когда существует такое семейство R мощности т, что
среди его множеств найдется множество А мощности ^и, (1)
хеУе/{->(^- множество) А {х ^ jR), (2)
Хе=/?->2*еЕ#, (3)
(XczR)A Л [{feRX)-+V4X)¥*R)]-+(XeR). (4)
Д оказательство. Пусть m= Na сильно недостижимо и
ш>п. Если а = 0, то требуемым семейством, очевидно, будет
/?м (см. § 7 гл. VIII). Покажем, что при а Ф 0 требуемым
семейством будет /?а.
Семейство 7?а_имеет мощность тп, так как со + а = а и
потому &а = Ra+a= #a> a B СИЛУ теоремы 4 аа = «а.
Условие (1) выполняется, если п<^о. Еслии = Кр, где р<а,.
то 7?со+з содержит подмножество мощности Кр, поскольку
#<о+р ^ йЭ- Но так как со + р<со + а = а, то /?а>+р е /?(о+з+1С=/?а
и, значит, некоторый элемент семейства Ra имеет мощность > п.
Таким образом, условие (1) выполняется.
Если 1£УеЛа, то 1е»/?а, что доказывает условие (2)..
Условие (3) следует из теоремы 1 § 7 гл. VIII, так как
Ie/?a-> V (XezR*) и X е= /?в ->2* с /?3-*2* е /?р+1 cz 7?a.
Наконец, для доказательства выполнимости условия (4)
предположим, что X cz Ra и не существует функции,
отображающей X на /?а. Для каждого Y^X найдется такое
наименьшее порядковое число r\(Y)y что Уе/?тку). Если бы множество^
всех этих чисел было конфинально а, то существовала бы
сходящаяся к а возрастающая последовательность типа сос/(а^

"312 1л. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
членами которой были бы порядковые числа вида r\{Y). Так как
cf(a) = а = соа, то множество членов этой последовательности
должно иметь мощность m=Na, откуда X ^m=Kct = aa=7?C0+a =
= Ra. Тогда вопреки нашему предположению существовала бы
функция, отображающая X на Ra. Таким образом, мы показали,
что найдется такое порядковое число у < ос, что r\(Y) <y для
каждого KgX, т. е. XczRy, X е /?Y+i и X е /?а.
Обратно^ пусть семейство Л удовлетворяет условиям (1) —
(4) иш = /(. Из (1) и (2) вытекает, что m > n, а из (3) — что
m удовлетворяет условию (III), а значит, и условию (I).
Осталось показать, что m удовлетворяет условию (II).
Для этого заметим, что из (4) вытекает, что каждое
подмножество семейства R мощности, меньшей т, принадлежит /?.
В силу условий (2) и (3)_каждый элемент семейства R будет
множеством мощности < R = т, содержащимся в R.
Следовательно, R совпадает с семейством всех своих подмножеств
мощности < т. Согласно следствию 10 § 5 гл. VIII, тогда т= 2 т5>
и по теореме 5 m строго недостижимо.
Упражнения
1. (Серпинский — Тарский) Пусть Sa (X) (Ра (X) ) — семейство сумм
(произведений) менее »а множеств из X. Доказать, что если Ка сильно
недостижимо, то
Sa(Pa(X))=Pa(Sa(X)).
2. (Тарский) Показать, что бесконечное кардинальное число in строго
недостижимо тогда и только тогда, когда JJ [*<ш для каждой функции f,
область определения / которой имеет мощность <т и которая принимает
в качестве значений кардинальные числа <т.
3. Показать, что кардинальное число m = Ka слабо недостижимо и
больше К0 тогда и только тогда, когда a — предельное порядковое число и
cf(a) = a,
Указание. Если р —такая возрастающая последовательность типа (ucf(a)>
что <х= Игл Р|, то а>р^>| для |<о^(а) и потому а > со^ (а) = соа.
6<<DJ(a)
§ 2. Классификация недостижимых
кардинальных чисел [)
Сильно недостижимое кардинальное число tfa называется
недостижимым числом класса 1, если множество сильно
недостижимых чисел К з < tfa упорядочено отношением ^ по типу а.
]) Идея этой классификации принадлежит Мало, но в его статье [1] речь
.ядет только о слабо недостижимых кардинальных числах.

§ 2. Классификация недостижимых кардинальных чисел 313
Число Ка называется недостижимым числом класса 2, если
множество недостижимых чисел &*з<Ка класса 1 упорядочено
отношением -^ по типу а. Очевидно, так можно определить
недостижимые числа класса 3, 4 и т. д.
Определим £-е кардинальное число класса г\. Мы будем
говорить, что а является £-м кардинальным числом класса ц
(и писать УИ(5, т],а)), если существует такая трансфинитная
последовательность ф типа т]+1, что
(I) фо представляет собой множество всех сильно
недостижимых кардинальных чисел -^ Ка,
(II) если £^г), то ф£-н — множество таких кардинальных
чисел &*з< Ка, что Креф^ и тип множества {Ку^ф^ : у<Р)
равен р,
(III) если К < т] + 1 — предельное порядковое число, то
(IV) множество {Кр е фп : Р < а} имеет тип £,
(V) Каефт,
Кардинальное число Ка называется недостижимым числом
класса т], если найдется такое число I ^С а, что М(£, т], а).
Предоставляем читателю самому убедиться в том, что для
г] = 1, 2, ... это определение совпадает с первоначальным.
Другой принцип, также предложенный Мало, используется
для определения гипернедостижимых кардинальных чисел.
Чтобы объяснить основу этой классификации, предположимг
что Ка — первый сильно недостижимый алеф. Тогда a = lim l и.
ни один из алефов К$ не будет недостижим. Следовательно, а
можно представить как предел такой возрастающей
непрерывной трансфинитной последовательности \р типа т^а, что
каждый из алефов N^d, £<t, достижим. Подобное представление,
очевидно, возможно для второго, третьего и т. д. сильно
недостижимого алефа.
Будем называть сильно недостижимое кардинальное число
Ка гипернедостижимым числом типа О, если для каждой
возрастающей непрерывной последовательности ф порядковых
чисел, имеющей тип 6^ а и такой, что lim ф* = а, по крайней
Мере одно из чисел Кф , £<Р, сильно недостижимо.
Заменив в конце этого определения слова сильно
недостижимо словами гипернедостижимо типа О, получим определение
гипернедостижимых кардинальных чисел типа 1. Подобно тому
как это сделано для недостижимых кардинальных чисел класса
ц, можно определить гипернедостижимые числа типа £, где g —
произвольное порядковое число.

314 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
Упражнение
1. Показать, что первое недостижимое число класса 1 не гипернедости-
;жимо.
Указание. Рассмотрите последовательность критических чисел для
соответствия, определенного формулой со^ = х\.
§ 3. Измеримость кардинальных чисел
Абстрактная теория меры возникла в связи с измерением
площадей подмножеств евклидовой плоскости. Обсуждение этой
проблемы1) привело к новой гипотезе о существовании
некоторых кардинальных чисел, намного более сильной, чем гипотеза
существования, связанная с классификацией Мало.
Определение. Кардинальное число m называется
измеримым, если для любого множества А мощности m булева
алгебра 2А содержит а-аддитивный простой идеал /, для которого
(jy=A
Уе/
Другую формулировку этого определения дает
Теорема 1. Для того чтобы кардинальное число m было
измеримым, необходимо и достаточно, чтобы существовали
множество А мощности m и функция /, определенная на всех
элементах семейства 2А, принимающая значения О или 1 и такая,
что
(I) f(A) = L
(II) /({fl})=0 для а ее А,
(III) если Хп — последовательность попарно непересекаю-
щихся подмножеств из А, то Л [) Хп)= 2 fWn)-
\п=0 ' п=0
Доказательство. Пусть / — такой а-аддитивный простой
идеал алгебры 2А, что \JY=A, и пусть f(X)=0, если Xg/, и
f(X) = 1, если X §£/. Условие (I) следует из того, что А ф /,
условие (II)—из того, что каждое одноэлементное
множество содержится в некотором Уе/. Если Хп — последо*
вательность непересекающихся подмножеств из Л и 1пе/ для
всех я, то условие (III) выполняется, ибо \JXn^I в силу
о-аддитивности идеала / и f(Xn) = 0 для всех п. Если же ХПо ф!
1) Эта проблема была сформулирована Банахом. См. Банах и Куратов-
ский [1].

§ 3. Измеримость кардинальных чисел 315
для некоторого п0, то А — ХПо ^ /, поскольку ХПг Г) (А — ХПо) =
= 0е/. Так как Хп Л Xi0 = 0, то Хп^1 для пФщ, а так как
оо
(J Хпф1, то левая и правая части равенства в условии (III)
п=0
равны 1.
Обратно, пусть / — функция, удовлетворяющая условиям
(I) —(III). Обозначим I = {XczA: f(X)=0}. Из условия (I)
следует, что А ф. I и, значит, 1Ф2А. Если Ycz X е /, то /(К) =0,
поскольку 0 = f(X)=f(KU(X—У))=/(У)+/(Х—У). Если Xl€=/№
А'г ^ /, то
f№Ul2) = f((lrl2)Uft-l,)U№fll2)) =
— f (-ЯГ! — JT2) + / (ЛГ2 — -ЯГО + / (А-, П -ЯГ2) — 0,
так как каждое из множеств Х\—X2j X2 — Хи Х\Г\Х2
принадлежит /. Следовательно, / — идеал.
Пусть 1ф1. Чтобы доказать, что идеал / прост, достаточно-
показать, что А—Zg/. Представив А в виде Z[)(A—Z),
получим, согласно условию (HI), f(A) =f(Z) +/(Л—Z), откуда,
f(A— Z)=0, т. е. A — ZceL
Условие (II) дает
(J Yzd (J {a) = A,
и остается показать, что идеал / а-аддитивен. Для этого
предположим, что Хп е / для n^N. Так как
й*.-щ*--и**)-й*«
п=0 л=0\ k<n J n=0
и каждое из множеств Хп принадлежит / и ХпПХт^О длж
пфт, то, согласно условию (III),
\п=0 ] п=0
следовательно,
оо оо
\Jx'n<=I, или \JXn^I.
п=0 п=0
Функция, удовлетворяющая условиям (II) и (III),
называется о-аддитивной нуль — единичной мерой, определенной на
А. Если она удовлетворяет еще условию (I), то ее называют
нетривиальной. Вместо «а-аддитивная нуль — единичная мера>
мы будем в дальнейшем говорить просто «мера», так как других.

316 Г л IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
мер мы рассматривать не будем. Если / — идеал в 2А и все
элементы некоторого множества Хф1 обладают некоторым
свойством W, то говорят, что почти все элементы из А обладают
•свойством W. Аналогично, если функция определена на
множестве Хф1, то говорят, что она определена почти всюду.
Теорема 2. Если п<шип! неизмеримо, то и п неизмеримо.
Доказательство. Пусть Л с В, А — \хч В = т и / — мера
на А. Продолжив / на 2В, полагая g(X) =f(Af]X), получим меру
на В. По условию мера g тривиальна. Тогда g(B) = 0, и тем
более g(X)=0 для всех Xcz В. Следовательно, g(A) =/(/4) =0.
Очевидно, что кардинальное число К0 неизмеримо. По
теореме 2 неизмеримые числа образуют «отрезок» в классе всех
бесконечных кардинальных чисел. Следующие теоремы дают не-»
которую информацию о величине этого отрезка.
Идеал / называется xsi-аддитивным, если (J Y^I для каж*
дого семейства Rczl мощности т.
°Теорема З1). Если 1 есть ^-аддитивный простой идеал
в 2А и (J К=Л, а т —неизмеримое кардинальное число, то
идеал I m- аддитивен.
Доказательство. Пусть М = т и F&IM. Мы должны
показать, что (J F{m)^I. Предположим сначала, что
те=М
F(mx) f\F(m2) = 0 для m{-=fcm% Зададим семейство J cz 2м,
полагая Zg/= (J F(m)^I. Семейство / будет идеалом в 2м.
Действительно, если 2\ ei и Z2e/, то
U ^WU (J F(m)el.
Следовательно, (J F (m) e /, откуда Z, (J Z2 <= /. Если
m s Z, U Z?
Zj cz Z2^ i, то
(J F(m)c= [J F(/n)G/,
поэтому
(J F(m)e=/ и Z,e/.
me2i
*) См. Улам [1].

# S. Измеримость кардинальных чисел
317
Покажем теперь, что (Z, П Z2 = 0) -+[(ZX e /)V (Z2 e /)].
Пусть Zj nZ2 = 0. Так как F(mi) П/7(^2)=0 для тхФт2, то
Г (J ^("ОШ (J /4m)l = 0€=J
LmeZ, J |_mez? J
■и потому одно из множеств (J F(m), *=1, 2, принадлежит / и,
следовательно, одно из множеств Zu (=1, 2, принадлежит /.
Далее, идеал J а-аддитивен. Действительно, если Zn^J для
«GiVjo (J F (m) e / для /г e N и потому (J (J f(m)G/,
m^Zn n*=N me=Zn
откуда (JZrte=J.
Наконец, покажем, что (J Y = M. По предположению
f(m)e/, поэтому (J F(n)s/, откуда {/n}G/. Так как
ne{m)
М = (J {^} с: (J К, то отсюда следует, что (J К = М.
тем Key 7gJ
Если идеал J отличается от 2м, то он а-аддитивен и прост
и для него (J Y = M. Тогда число М измеримо вопреки усло-
УеУ
вию. Значит, M^J и (J F(m)^L
me М
Общий случай (когда мы не предполагаем, что /Ч^ОЛ
П/7(т2) = 0 для т]Фт2) можно свести к рассмотренному.
В самом деле, пусть ^ — отношение, вполне
упорядочивающее М, и пусть F'{m) = F{m)- (J F(n). Тогда Ff(mx)(] F' (m2) = 0
rc<m
для тхфт2. Таким образом, (J F'{m)^I, и теорема дока-
тем
зана, так как (J F'(m) = (J f(m).
тем те=М
°Следствие 4. Если М неизмеримо и на М определена
функция f, значения которой fm для всех m& M неизмеримы^
го сумма 2 fm неизмерима.
Доказательство. Если Л= 2 fm> то Л— (J Лт, где
= тем тем
Ат = \т и Лт,П>4т2==0 для т{фт2. Сужение меры f на
подмножество Лт будет мерой на Ат, которая должна быть
тривиальной. Поэтому f(Am) = Q для теМ и тогда по
теореме 3 /(Л) = 0.

318 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
°Теорема 5 ]). Если кардинальное число m неизмеримо*
то и 2т также неизмеримо.
Доказательство. Предположим, что 2т измеримо, и
пусть т= к а, Л = {0, 1} , т. е. Л —множество
последовательностей типа ша, составленных из 0 и 1. Пусть / будет
а-аддитивным простым идеалом в 2Л и (J К=Л.
Для каждого 1<а>а множество А можно представить в виде
Af(]A(i\ где Af = {q><== Aiy^i}. Ясно, что Af п4] = 0, и
поэтому либо Ai\ либо Ali принадлежит идеалу /. Пусть
il~ то из чисел 0 или 1, для которого А\^ е=/.
Из теоремы 3 следует, что (J Л[*е>€=/. Тогда f) Л*1""^/,
i<coa ^<«а
что невозможно, так как это произведение содержит ровно
один элемент — такую последовательность ф, что q^ = 1 — it для
|<coa, а каждое одноэлементное множество принадлежит /.
Следствие 6. Каждое кардинальное число, меньшее пер-
вого сильно неодстижимого числа, неизмеримо2).
Следствие 7. Первое измеримое число сильно
недостижимо.
Следствия 6 и 7 непосредственно получаются из следствия 4
и теоремы 5.
§ 4. Неизмеримость первого недостижимого алефа
Проблема измеримости недостижимых кардинальных чисел
намного труднее проблем, которые обсуждались в предыдущем
параграфе. Первые результаты в этом направлении получили в
1960 г. Ханф и Тарский (см. Тарский [9]). Метод, найденный
ими, позволил доказать неизмеримость многих недостижимых
кардинальных чисел (см. Кейслер и Тарский [1]), но не дал
ответа на вопрос, существуют ли вообще измеримые
кардинальные числа.
В этом параграфе мы приведем наиболее простой результат
Тарского3).
°Т е о р е м а 1. Первое сильно недостижимое кардинальное
число неизмеримо.
1) См. Улам [1, стр. 146, теорема 1].
2) Этот результат принадлежит Уламу и Тарскому (см. Улам[1,стр, 150])#
3) Приведенное гдесь доказательство принадлежит Кейслеру [1].

§ 4. Неизмеримость первого недостижимого алефа 319
Доказательство. Пусть m = Kv — первое сильно
недостижимое кардинальное число. Предположим, что существует
а-аддитивный простой идеал / в W (\) и (J Y=W{v). Рассмо-
трим множество К всех начальных порядковых чисел оа, a<v,
и пусть Z=/(w(v) — множество последовательностей типа v,
членами которых служат эти числа. Наконец, пусть Z/I — декартово
произведение Kw(v\ приведенное по модулю / (гл. IV § 8), т. е.
его элементами являются классы эквивалентных
последовательностей, причем последовательности ф и \|> эквивалентны, если
Ф£ = \|)£ для почти всех §. Класс последовательностей,
эквивалентных ф, будем обозначать символом ф*.
Множество Z/I линейно упорядочено отношением .Н,
задаваемым формулой
Ф*Н<ф* = {£: ф6>г|з5}е/.
Покажем, что отношение Н. вполне упорядочивает Z/I.
Предположим, что существует такая последовательность
<p(rt,(rtGJV) элементов из Z, что ф(гг+1)* Н ц(п)* для n^N. Тогда
для каждого леАг существует такое множество Хп е /, что
Ф<6Л+1> < ф^ для 6 ф Хп. В силу a-аддитивности идеала |~) Хп = X ф1
п
и потому ф^Л+,)<ф^> для всех n^N и для всех g e X. Таким
образом, для фиксированного £0 Ф X получаем строго
убывающую последовательность порядковых чисел, что, как известно,
невозможно.
Класс, содержащий стационарную последовательность (т. е.
последовательность, определенную для £<v равенством ф^ = соа),
будем обозначать символом ш*. Эти классы образуют
собственный отрезок множества Z/I. Действительно, если ф*Н_со*,
то существует такое множество X^It что ф^^соа для всех
%фХ. Обозначим *р= {£:(£<= W{v)-X) \/(ф6 = юр)}.
Множества Хр при р<а образуют семейство мощности a<v= Xv.
Если бы все они принадлежали идеалу /, то, согласно
теореме 3, было бы (J Хр^1у откуда W{v) = X[) (J Х^ е /, воп-
Р< a 6<a
реки предположению об /. Следовательно, Хпф1 для
некоторого р<а, а потому ф^ = со* для почти всех £, т. е. ф* = со^.
Таким образом, классы <а*а образуют отрезок множества Z//.
Чтобы показать, что этот отрезок собственный, рассмотрим
функцию фо, определенную равенством ф0(|) = со^ для £<v.
Очевидно, что {£: ф0 (|) < coa} = W (а). Если ф^ -? со*, то множество

320 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
W{v) — W(a) принадлежит идеалу. Покажем, что это
предположение ведет к противоречию. Рассмотрим семейство
мощности а< Kv, состоящее из множеств {£}, £<а, и из множества
W{v)— W(a). Так как все эти множества принадлежат идеалу/,
то по теореме 3 их сумма принадлежит / вопреки
предположению, что W(v)&I.
Выберем ф так, чтобы класс ф* был первым элементом из
Z//, следующим за классами ш^, a<v. Рассмотрим функцию ф
и покажем, что ее существование ведет к противоречию.
Прежде всего заметим, что множество {£: ф$ = со}
принадлежит /, ибо ф*^ о*. По теореме Цермело для каждого р
существует точно одно порядковое число д(р), для которого 2кр =
Обозначим через Р множество порядковых чисел £<v, для
которых ф£ = о или найдется такое р, что 6)р<ф^ ^ <*%>). Если
^gP и Ф^со, то обозначим через р(£) наименьшее из
порядковых чисел, для которых
Юр (£)<Ф&0<7(р
СНЕСЛИ ф£ = (0, ПОЛОЖИМ р (g) =0.
Случай I: Рф1. Зададим последовательность ч|?, полагая
Фб = (0Р(6) для S ^ Р и ^£ = 0 Для | ф. Р- Для почти всех £ будет
г|>£<ф£, т. е. г|э*Н ф*, откуда следует, что существует такое p<v,
что г|?^==сое Для почти всех £. Таким образом, р(£)=Р для почти
всех I и, значит, o)g(p(^) = o)g(3) и Фб<<о«кз), откуда ф*Н.(ю<г(3))*.
Но так как число Kv недостижимо, то g(P)<v, что противоречит
определению ф*.
Случай II: Ре/. Для почти всех I имеем ф^=^о) и
Л [(юр<Фб)->К(р)<Фб)1- (О
р
Положим ф^ = о)^(^) для Ъ>фР. Тогда из (1) получим £(£)>0 и
p<Z(t)->q(p)<Z(t),
т. е. £(£)—предельное порядковое число и
Ш= Hm q(p).
P<C(fc)
Зададим последовательность \|}, полагая
icf(m) д^ 1фр,
** 10 для JeA

# 4. Неизмеримость первого недостижимого алефа 321
Если бы для некоторого 1фР было \|^ = £(£), то порядковое
число £(|) было бы сильно недостижимым (см. упражнение 3
§ 1) вопреки тому, что £(£) <cp£<v. Поэтому г|^<£(£) для почти
всех I и со. <ф£, т. е. 6*Чф* для последовательности 0| = ©ф
Значит, существует такое p<v, что 6^ = со|з для почти всех |,
т. е. г|?| = р. Обозначим через X множество тех £, для которых
\|)$ = р. В дальнейшем полагаем, что ^е!
Как было показано, порядковое число £(!■) является
пределом трансфинитной последовательности типа co£<v. Применяя
аксиому выбора, ставим в соответствие каждому порядковому
числу 1^Х возрастающую последовательность а&) типа сор,
члены которой принадлежат К и ф. = lim <xjp.
Для фиксированного т1<соз положим
П:
а® для I е= X,
О для ^ X.
Тогда т^<ф| для всех I е X, т. е. т*Нф*. Отсюда следует, что
существует такое порядковое число an<v, что для почти всех I
a<f = a„. (3)
Пусть Х^ обозначает множество тех £<v, для которых это
равенство верно. Тогда W(v) —^g/ для каждого г]<со0. Так
как co0<v и Кз неизмеримо, то
(J {W(v)-Xjel.
Tl<0)ft
Следовательно,
J0= П Х*&1>
т,<вр
и равенство (3) верно для каждого ц и каждого I e Х0.
Последовательность типа co|3<v порядковых чисел ал,
меньших v, не может сходиться к v, поскольку cf(v)=v. Значит,
существует такое порядковое число coY, что aT1<coY<v для всех
т)<соз, откуда по (3)
ФЕ = lim a^ = lim a < со
T»<ep i<e>P
для всех I e Xq. Тогда ф*Н.(соу)*, что противоречит
определению ф.
Теорема 1 доказана.
Подобным образом можно показать, что много других
недостижимых кардинальных чисел неизмеримы. Так, например,
первое гипернедостижимое число и первое гипернедостижимое
число типа 1 неизмеримы.

322 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
До сих пор неизвестно, противоречит ли аксиомам теории
множеств
Гипотеза. Существуют измеримые кардинальные числа.
Если окажется, что эта гипотеза непротиворечива, то она
будет наиболее сильным из всех до сих пор известных
экзистенциальных высказываний, утверждающих существование
больших кардинальных чисел.
Свойства неизмеримых кардинальных чисел часто играют
важную роль в абстрактных разделах алгебры и топологии1).
Ниже мы докажем теорему, показывающую их значение для
понятия компактности. Пусть m — бесконечное кардинальное число.
Определение. Топологическое пространство X
называется m-компактным, если каждое семейство R открытых
множеств, покрывающее X (т. е. такое, что X = (J К), содержит
подсемейство R\ cz R мощности <m, также покрывающее X.
Примером m-компактного пространства служит пространство
мощности <т с дискретной топологией (т. е. такое, что каждое
одноэлементное множество {х} открыто).
Для т = Ко понятие m-компактности совпадает с обычным
понятием компактности. Теорема Тихонова утверждает, что
декартово произведение любого числа К0-компактных пространств
Ко-компактно. Покажем, что таким свойством обладает
только К0.
Теорема 2. Если m — неизмеримое кардинальное число и
тЖо, то существует не m-компактное декартово произведение
подмножеств из N (рассматриваемого как топологическое
пространство с дискретной топологией).
Доказательство. Нам потребуется
Лемма 3. Если пространство X m-компактно, то для
каждого множества Y cz X мощности m существует точка
накопления, т. е. такая точка х, что для каждого непустого открытого
множества V, содержащего х, пересечение КП V бесконечно.
Действительно, в противном случае пространство А' можно
бы покрыть семейством R таких открытых множеств, что для
V ge R пересечение КП V конечно. Тогда найдется семейство
мощности _r[< m, обладающее этим же свойством, откуда
следует, что y^Ctt'K0<nt. Лемма доказана.
]) Детально эти приложения обсуждаются в работе Кейслера и Тарского
[1, стр. 225—308].

§ 4. Неизмеримость первого недостижимого алефа 323
Пусть m — неизмеримое кардинальное число и М = т. Пусть
/ = NM и Т = Ц ф1 (М), где ф принимает значения из /. Таким
образом, элементами пространства Т служат функции g,
отображающие /в JV, а окрестность функции g, определенная
элементами фь ..., ф/г ^ /, СОСТОИТ ИЗ фуНКЦИЙ g\ ДЛЯ КОТОрЫХ
g'(<Pj) =§(ч>з) ПРИ /^*- Окрестности такого вида образуют базу
пространства Т.
Для произвольного тп е М обозначим через gm функцию,
определенную на / равенством gm((p) =ф(ап). Ясно, что £теГ
и gm'¥=gm" для т'фт". Следовательно, множество К,
составленное из всех функций gmi имеет мощность т. Покажем, что
если бы существовала точка накопления а множества К, то
существовал бы такой а-аддитивный простой идеал / подмножеств
из М, что (J Z = M.
Пусть а — точка накопления множества У. Положим Zф =
= {тп е М: ф(т) Фа(у)} для фЕ/ и обозначим через /
семейство всех множеств Z<$.
Каждое подмножество Z множества М можно представить
в виде {тп е М: (р0(тп) = 0}, где ф0 е {0, 1}мс= /. Это означает, что
Z = Zф0, если а(ф0)=т^0, и Z = М — Zcp0, если а(ф0)=0. Поэтому
для любого Zcz М либо Ze/, либо М — Ze/.
Рассмотрим окрестность точки а, определенную элементами
Фь ..., ф&. По предположению она содержит бесконечное число
функций ^п(/пеМ), т. е. существует бесконечное число
элементов т, для которых gm(q>i) = я(фг). Это равносильно тому,
что фг(т) =#(фг) и гп ф Z<p.. Другими словами, множество
О (Af — Zф/) бесконечно для произвольных фь ..., щ.
Отсюда следует, что каждое подмножество множества Z(p
принадлежит J. В противном случае для некоторого \|? было
бы М — Z^ с: Z(p и, значит, пересечение (М — Zф) П (М— Z^)
было бы пусто. Аналогично Zfp (J Z^ e J для произвольных ф, \|?т
так как в противном случае Zq, U Z^= M — Ze для некоторого 0
и, значит, (М — гф)Г)(М — Z^)f1(M — Ze) = 0. Наконец, М<£/,
поскольку равенство М = Z<p означало бы, что М — Zф = 0.
Таким образом, семейство / образует простой идеал в кольце
подмножеств из М.
Осталось показать, что этот идеал / а-аддигивен.
оо
Пусть (JZф/^=^. Дополнение этой суммы имеет вид Z9c,
откуда (J Zq>t = М. Положим | {тп) = min (m <= Zф.). Тогда

324 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
l^NM = I и а (I) — некоторое натуральное число п. По
определению £
(Е (т) = я) = (I (т) = а (g)) -> (m е= ZqJ
и, значит, (m ^ Zg)->(m e ZipJ, откуда (М — Z^) fl (M — Z<pJ = 0,
что противоречит доказанному выше свойству множеств Zr
оо
Следовательно, (I Zy.^J, т. е. идеал / а-аддитивен.
i = \
Итак, мы показали, что существование у множества У точки
накопления влечет измеримость числа т. Так как по условию т
неизмеримо, то У не имеет точек накопления, а тогда по
лемме 3 пространство Т не т-компактно.
Тот факт, что декартово произведение m-компактных
пространств не обязано быть m-компактным, имеет ряд интересных
алгебраических следствий1). До сих пор не решен вопрос, не
приведет ли к противоречию предположение существования
таких кардинальных чисел m > K0, что декартово произведение
m-компактных пространств всегда m-компактно. Неизвестно
также, совпадало бы наименьшее из этих чисел с наименьшим
измеримым числом или нет2).
§ 5. Аксиоматическое построение недостижимых
кардинальных чисел
Покажем, что существование недостижимых кардинальных
чисел нельзя вывести из системы аксиом S°[TR]. В то же время
эту систему можно обогатить новыми аксиомами,
гарантирующими существование недостижимых чисел.
Аксиома Тарского3) Для каждого множества М
существует такое семейство R, что
(I) М<=#,
(II) *<=УЛ Уе=#->Х<=#,
(III) X^R-+2X^R,
(IV) (*с*)ЛЛ (Р(Х)ФИ)-+Хе=Ц.
f^RX
1) См. Лось [2], Эренфойхт и Лось [1], Мыцельский [1] и Кейслер и Тар-
ский [1].
2) В связи с этой проблемой см. Лось [3], Монк и Скотт [1], Кейслер и
Тарский [1, теоремы 2.30 и 5.11].
3) См. Тарский [6].

§ 5. Аксиоматическое построение недостижимых чисел 325
°Теорема 1. Из аксиомы Тарского следует, что для
каждого кардинального числа m существует сильно недостижимое
кардинальное число > т.
Действительно, таким числом будет R, где Я^—любое
семейство, удовлетворяющее условиям (I) — (IV), и М = т.
Утверждение существует семейство R мощности Ка,
удовлетворяющее условиям (II) — (IV), мы будем обозначать In (а).
Аксиома Тарского не позволяет доказать существования
кардинальных чисел первого класса Мало и тем более чисел
высших классов. Это можно сделать с помощью схемы аксиом,
сформулированной А. Леви [2].
Схема Леви:
П {Ф} Л R {Ф} Л Cont {Ф} -> V [Ф (а, Р) Л In (р)]
(значение символов П, /?, Cont объясняется на стр. 242).
Схема Леви утверждает, что каждая возрастающая и
непрерывная операция, определенная для всех порядковых чисел,
принимает по крайней мере для одного а такое значение р, что
число Kfl строго недостижимо.
Аксиому Тарского можно получить из схемы Леви.
Действительно, если в качестве Ф взять высказывательную функцию
ц + £ = £, то по схеме Леви для каждого \х существует сильно
недостижимое кардинальное число >р,.
С помощью схемы Леви можно доказать, что справедлива
° Теорема 2. Существуют кардинальные числа первого
класса Мало.
Доказательство. Пусть высказывательная функция Ф
ют двух свободных переменных х, у имеет вид
[{х не является бесконечной возрастающей
последовательностью порядковых чисел) Л(# = 0)] V
V {(х — бесконечная возрастающая последовательность
порядковых чисел) Л
Л [(тип а последовательности х есть предельное
порядковое число) Л (у = lim х.)] V
V [(тип а последовательности х равен Р+1)Л
Ли = тт[(£>хр)Л1п(Ш]}.

326 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
Из аксиомы Тарского следует Л V !Ф(*, у), г- е- Функция Ф
х у
определяет операцию. Пользуясь конструкцией, описанной на
стр. 247, получаем высказывательную функцию 1пс1{Ф} = Ч', для
которой
П{¥}, ¥(а, а)->Ф(С«ГО, а).
Обозначим через \ха единственное порядковое число р,
удовлетворяющее ^(а, Р). Тогда <D(ix\wa), jh) для каждого
порядкового числа £, откуда индукцией по £ находим, что
^<^п Для 1<ц,
1^=Птщ, если А, •—предельное порядковое число,
^a+1 = min[^>[ia)A In(£)].
Можно задать отображение £->~|Х£, полагая \xi+\ наименьшим
из порядковых чисел а > \х%, для которых число Ка сильно
недостижимо; если X —предельное порядковое число, положим
u, =lim u>.
Применим теперь схему Леви к высказывательной функции
6(£, rj), заданной формулой 11 = ^©.. Очевидно, что П{0)Л
Л R {©} Л Cont {в} и, следовательно, найдется порядковое
число а, удовлетворяющее In (HwJ, т. е. число К^ = ш сильна
недостижимо. Это кардинальное число принадлежит первому
классу Мало. Действительно, с/(fi©J = cf(a), ибо jli^ конфи-
нально а. Так как m недостижимо, то cf{a) = \i(d . Множества
порядковых чисел g <м-« » удовлетворяющих In (g), имеет,
очевидно, тип ^jxa. С другой стороны, это множество содержит все
числа Ц©,. + 1, где £<а, и потому его тип не меньше a^cf (a) =
=[Х(й . Следовательно, это множество имеет тип jx© и числа
К^ принадлежит первому классу Мало.
Аналогично с помощью схемы Леви можно доказать
существование кардинальных чисел в любом классе Мало. Но эта
схема недостаточна для доказательства существования
гипернедостижимых чисел. А. Леви [2] сформулировал еще одну
схему аксиом, с помощью которой можно доказать
существование любых гипернедостижимых чисел. Процесс
последовательного усиления аксиоматики теории множеств новыми
аксиомами, гарантирующими существование все больших и больших
мощностей, можно, без сомнения, продолжать до бесконечности.

$ 6. Гипотеза континуума
327
§ 6. Гипотеза континуума
Кантор предполагал, что числа К) и а2 совпадают. Но
оказалось, что это предположение, названное гипотезой континуума,
не зависит от аксиом теории множеств.
Гипотеза континуума представляет собой частный случай
обобщенной гипотезы континуума, по которой иерархия алефов
и степенная иерархия совпадают:
па = ЪЬа для любого порядкового числа а. (1)
Эта гипотеза также не зависит от аксиом теории множеств.
Для краткости мы будем обобщенную гипотезу континуума
обозначать через (Н).
°Теорема 1. В системе аксиом S°[TR] и VIII гипотеза (Н)
эквивалентна утверждению
если m — произвольное кардинальное число, то не
существует такого кардинального числа J, что m<£<2m. (С)
Доказательство. Если m = Ка, то, согласно
гипотезе (Н),
и между m и 2т нет никакого промежуточного кардинального
числа. Обратно, предположим, что между m и 2Ш нет никакого
промежуточного кардинального числа, и докажем по индукции,
что равенство (1) верно. Для а = О это очевидно. Если (1)
верно для некоторого а, то оно верно и для a + 1, поскольку
и если бы было аа+1Ф №а+1, то число tfa + 1 лежало бы между
2а<х и аа. Наконец, если (!) верно для всех I < X, где X —
предельное порядковое число, то
a < К а<Х
Обобщенная гипотеза континуума упрощает законы
возведения в степень кардинальных чисел.
°Теорема 2. Из (Н) следует, что
a) я (ос) = а для всех а,
b) если а— предельное порядковое число и (3 < а, то
( аа для р<с/(а),
а р = {
а I aa+i для с/(а)<р<а.

328 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
Доказательство. Очевидно, что я(0)=0. Если я(а)=а,
то по определению КЯ(а+п = аа+ь а согласно (Н),Кя(а+1) = Ка+и
откуда я (а + 1) = а + 1. Если А- — предельное порядковое число
и (а) верно для всех а < X, то
«лoi)= 2 «л(б>= 2 к6 = «х
и, значит, я (X) = X.
Из (а) с учетом теоремы 17 § 7 гл. VIII получаем (Ь).
°Теорема 3. Из (Н) следует] что для sa ft = 2 О
,р £<3
(I) sa.a+i = aa*.
(II) sY+lip = aY+1, если р<у+1» $ —предельное порядковое
число,
(III) 5Y+lip = apj если p>v+l, ft —предельное порядковое
число,
(IV) sa>p = aa, если а а $ — предельные и p^cf(a),
(V) sa, p = cta+1, ec^w a w ft — предельные и cf (a)<p^a?
(VI) sa,p = ap, еслг/ а ц р — предельные и р>а.
Доказательство. (I) Так как 5^a6, то
(II) По определению
sT+1. р = Д 2V4 - Д 2av = Д av+I - р • aY+1 = av+1.
(III) Аналогично
«v+i.p = av+i + v+1S <э^+1 = ap.
(IV) По теореме 2
s„ ft = 2 <# = 2 лп = ct • p = a .
a'p s<P a so a a
(V) Аналогично
s^ = ft« + ^)I<3<l = aa + P_cf(a)'a-' = a«+1-
(VI) Из простой формулы a^ = a^+1 для a<£ получаем

§ 6. Гипотеза континуума
329
и в то же время очевидно, что
Гипотезу (Н) мы использовали только при доказательстве
(IV) и (V). С помощью теоремы 2 можно выразить sa> б+1 через
значения а, б.
Аналогично можно вычислить сумму ta R= 2 a*p- Приведем
этот результат без доказательства.
°Теорема 4. Пусть а — предельное порядковое число. Тогда
(I) *v+i. , = *?».
(II) fa,p = ap+1, если p>a,
(III) ^a,p = cta, ес/ш p<a.
Формула (I) сводит вычисление /Y+i, 3 к теореме 2.
Принимая гипотезу (Н), можно не различать слабо и сильно
недостижимые кардинальные числа. Это показывает
°Теорема 5. Из (Н) следует, что каждое слабо
недостижимое кардинальное число сильно недостижимо.
Доказательство. Если выполняются условия (I) и (II)
теоремы 3 § 1, то m = Ka, где а — предельное порядковое число.
Поэтому п < m влечет п = Щ, где g < а. Следовательно,
согласно (Н), 2n = tffc+i < Ka = m и, значит, m удовлетворяет
условию (III) (стр. 309).
Существует много простых свойств кардинальных чисел,
эквивалентных гипотезе (Н). Приведем несколько примеров1).
° Теорема 6. В системе аксиом S°[TR] гипотеза (Н)
эквивалентна каждой из следующих формул:
лКа+1 = ка+1). о)
Л (*&.<*&,). (2)
Л(2 к?+1-кв+1). (3)
Замечание. Равенство (3) означает, что для каждого
множества X мощности Ka+i семейство всех множеств, неравно-
]) См. Бахман [1, стр. 157]. Эта книга содержит много других эквивалент-
яостей подобного рода.

330 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
мощных ему, имеет ту же мощность, что и X. Для множеств Ху
мощность которых выражается алефом с предельным индексом,,
такая формула неверна (если мы принимаем гипотезу (Н); см.
теорему 3, формулу (V)).
Доказательство. (Н)==(1), ибо
(Н)~^(2), поскольку
И
K«a2 = (2»«+.)S«==2S«+I=«a+2.
Докажем, что "1(Н)-> "](2). Если Кв+1<24 то Ka+1<Ka+2<
^2Я« и потому
откуда следует 1 (2).
(Н)->(3), так как, согласно (Н), 2 ^a+i = 5a+1 а+1,апотео-
реме 3 (I) легко получить 5а+Ьа+1 = аа+1 = Ка+1. С другой
стороны, (3)~>(Н), ПОСКОЛЬКУ &$а+1^**а+1 И> ЗНаЧИТ,
откуда ка+1 = 2*<*.
° Теорема 7. В системе аксиом 2°[TR] гипотеза (Н)
эквивалентна утверждению
для каждого бесконечного множества X множество 2х можно
представить в виде суммы (J М\ строго возрастающей после-
довательности множеств М%, равномощных X. (Т)
Доказательство. (Н)->(Т). Пусть Х= tfY. Из (Н)
следует, что 2х равномощно №(coY+1)= (J W {щ). Выбирая
<*>y<£<<dy+1
в качестве Mi образ множества ^(а^), получаем нужное
представление множества 2х.
(Т)->(Н). Предположим, что множество 2х можно
представить, как указано в (Т), и пусть Х= KY. Тогда 2*v = KY-a
и, значит, a> NY+1 и a>coY+1.

§ 6. Гипотеза континуума
331
Положим 5 = (J М\. Тогда 2х = 5. Действительно,
«S=tfY+i, ибо по условию М^аМ^ М^ф Мц и М^ = KY для
I < т] < а. Если У_еЕ 2х, то найдется такое число ц < ос, что
17€= Мл. Так как М^ = fctY, то множество Мц не может
содержать всей суммы 5; поэтому найдется такое число £<(dy+i, что
Mi — Мц ф О, откуда ц < £ и ц < coY+i. Следовательно, 2х cz 5.
Обратное включение очевидно. _
В силу только что доказанного равенства 2*y = S = KY+1,
что и требовалось доказать.
В следующем параграфе мы выведем из гипотезы (Н)
некоторые теоремы теории упорядоченных множеств.
Гипотеза (Н) и даже ее частный случай 2Х° = Si имеют
много следствий в различных разделах математики и, в
частности, в теории функций вещественного переменного. Мы
приведем только один характерный пример.
Ф °Теорема 81). Существует такое несчетное
подмножество Z множества & вещественных чисел, что его пересечение
с каждым нигде не плотным в & множеством счетно.
Доказательство. Пусть R— семейство замкнутых
нигде не плотных в 8 множеств. Так как R = с (см. упражнение
на стр. 202), то найдется последовательность F типа Q, членами
которой служат все элементы из R.
Обозначим Е% = F^— (J Е^. Тогда Е^ФО для несчетного
числа индексов g, ибо в противном случае нашлось бы такое
порядковое число а < Q, что
U Fn = (J рч *ля «<p<Q
Т1<а ti<3
и [J f^^, так как каждое одноэлементное множество при-
ri<a
надлежит R. Тогда & можно было бы представить в виде суммы
счетного числа нигде не плотных множеств, что противоречит
одной из основных теорем топологии — теореме Бэра2).
Обозначим через S семейство непустых множеств Е\. В силу
аксиомы выбора существует множество Z, содержащее по_одной
точке из каждого из этих множеств. Следовательно, Z > К0.
Пусть Н — нигде не плотное в & подмножество. Так как
замыкание Н множества Н также нигде не плотно и принадлежит R,
1) См. Лузин [1].
2) См. Куратовский [9].

332 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
то Н = Fi для некоторого I < Q. А так как ZO^^CKo, то тем
более 7ТГЯ<«о. #
В заключение этого параграфа докажем теорему,
показывающую, что из гипотезы (С) следует аксиома выбора.
Теорема 9. Если m — бесконечное кардинальное число и ни
между m и 2 , ни между 2 и 2 нет никаких промежуточных
кардинальных чисел, то ш — алеф.
Доказательство. Пусть #(т) обозначает высказыва-
тельную функцию
Л 1(m<S<2m).
I
В силу следствия 10 § 6 гл. VIII тп = т+1, поскольку т^
<m+l<2m. Так как m<m + m<2m . 2 = 2m+1, то т<2т<2\
откуда по условию либо m = 2m, либо 2m = 2m. Но второе
равенство невозможно в силу теоремы 9 § 6 гл. VIII, ибо
тп2>2ш.
Докажем теперь, что Н (тп) влечет тп2 = т. Действительно,
тп<т2<2т.2т = 2т+т = 2т, но равенство m2 = 2m невозможно
по теореме 9 § 6 гл. VIII, и остается тп2 = т.
По теореме 7 § 2 гл. VIII 2*(tn)<22m и
2т < 2т + К (т) < 2(2т+«(т)) = 22W • 2»(т) < 22W . 22т =
= 22т,2 = 22Ш+1 = 22Ш
а из Я(2т) получаем 2т = 2т + N (т), откуда К (m)<2m.
Так как
т<т + К(тп)<тп. К(тп)<2т. К(т)= 2т . 2т = 2т+1 = 2т,
то т+ « (т)= т- к (т) в силу #(т), а тогда (см. лемму 4 § б
гл. VIII) т — алеф.
Следствие. Из гипотезы (С) следует аксиома выбора1).
§ 7. Множества х\%
Здесь мы покажем, как можно использовать гипотезу
континуума для решения следующей проблемы теории линейного по-
х) Это следствие было доказано Тарским и Линденбаумом [1].
Приведенное здесь доказательство принадлежит Шпеккеру [1]. Еще одно
доказательство дал Серпинский [4].

§ 7. Множества щ
333
рядка1): верно ли, что для каждого кардинального числа m
существует такое линейно упорядоченное множество Я
мощности т, что каждое линейно упорядоченное множество
мощности <^т подобно некоторому подмножеству множества Я?
Для m = K0 положительный ответ на эту проблему мы нашли
в гл. VI.
Определение. Линейно упорядоченное множество Я
(произвольной мощности) называется множеством тц, если
Я ф О и для любых двух его подмножеств А и В мощности
< К5» Для которых
(az=A)A(b<=B)->(a<b), (1)
существуют такие элементы u,v, w e Я, что
{az=A) A{bz=B)->{u<a<v<b<w). (2)
Множества т]о— это плотные множества без первого и
последнего элементов.
°Теорема 1. Если Я — множество щ, а X — линейно
упорядоченное множество мощности ^С Kg, то X подобно некоторому
подмножеству из Я.
Доказательство. Пусть X = Ка, а^£, и т —
последовательность типа соа, все члены которой различны и в
совокупности дают X. Пусть, кроме того, %— последовательность
(типа o)Y), все члены которой различны и в совокупности дают Я.
Определим по трансфинитной индукции такую
последовательность элементов из Я, что множество ее членов подобно X.
Эта конструкция почти дословно повторяет конструкцию,
использованную в аналогичной ситуации множеств типа ц.
Положим для р < оа
Фр= min Л {(хс¥=Хф(11))Л[(ТрН^п) = (Хс-?яХф(ч))]}.
£ ii<p
где знаки Н* и -Зн обозначают отношения «меньше» в
множествах X и Я соответственно. Функцию min надо при этом
понимать так, что гшпЛ(£) = 0, если ПЛ(£) для каждого £.
Покажем по индукции, что срр ф щ для ц < р < соа.
Обозначим
С=Лр<соа: Л (фр^ФгЛ
{ *1<Р J
1) Эту проблему поставил и решил Хаусдорф [3, стр. 181]. Данная здесь
конструкция принадлежит Серпинскому [7].

334 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
и предположим, что р< соа и W(p)aC. Чтобы показать, что
рЕС, достаточно показать, что найдется такой элемент а^Н,
что для всех ц < р
а Ф Хф<п) и (а НяХф(л)) — (тр Н W-
Для этого рассмотрим множества
Л = {%Ф(л): (л<Р)Л(тТ1Нх'гр)}>
5 = {хФ(п)- (л<Р)Л(ТрНх^п)}-
Эти множества имеют мощность ^р<соа^К^ и
удовлетворяют условию (1), а потому существуют элементы и, у, до,
удовлетворяющие условию (2). Положим
( до, если В = О,
а = | а, если Л = 0,
li>, если (Л#0) Л (ВфО).
Так как ф0 = 0, то из полученного выше следует, что
Хф(р) НяХф(т1) = тр Hxtti»
и теорема доказана.
Построим теперь множество ть, считая со^ регулярным
порядковым числом (см. упражнение 3 в конце этого параграфа).
Пусть Н%—упорядоченное лексикографически множество тех
последовательностей фе{0, \}W (%\ для которых найдется
такое число х < со^, что фх = 1 и фа = 0 для о > х.
Теорема 2. Если со*— регулярное порядковое число, то
Н^ — множество ru.
Доказательство. Пусть А и В— подмножества из #£
мощности < Kg, а а, р — последовательности типов со^, cov
соответственно (|i<£, v<£), все члены которых различны и в
совокупности дают соответственно множества А и В.
Предположим, что А и В удовлетворяют условию (1). Пусть <
обозначает отношение лексикографического порядка.
Для каждого р < со^ член ар сам будет последовательностью
типа 0)^ из нулей и единиц и найдется такой индекс х = х(р)<
< со^, что оср.х(р) = 1 и a9)G =0 для а>х(р). Этот индекс х
назовем критическим индексом для последовательности ар.
Аналогично для последовательности рр, p<cov; критический индекс
для ра будем обозначать К (а).
В силу регулярности числа со^ последовательность
критических индексов для ар, р < соц, не конфинальна со^. Поэтому най-

§ 7. Множества г\%
335
дется такое порядковое число £<<±>£, что >с(р)<£ для всех р<озц.
Положим фу = 0 для у Ф1 и (р^= I. Тогда фЕ//^ и ф < ар для
всех р < соц. Аналогично найдется такое порядковое число
£' < со&, что Я(а)<£' для всех а < cov. Если t|?Y = 1 для у^Г и
-фу = 0 для у > ?', то \|) G Я^ и ра < \|? для всех а < coY.
Для доказательства теоремы осталось построить такую
последовательность 9g% что а9 < 0 < р0 для всех р < со^ и
а < cov.
Сначала построим по трансфинитной индукции
последовательность 6* типа со^, которая не обязательно принадлежит Н^,
но
<Хр<9*<ра ДЛЯ Р<С0Ц, G<CDv.
Пусть т — порядковое число ^ со^ и ф g {О, 1}W^. Для
Y<t положим F(($, у) = 1, если найдется такое порядковое
число р < од, что ф | Y = а91Y, ар, Y = 1, и F (ф, у) = О, если такого р
нет.
Из теоремы о трансфинитной индукции следует, что
существует такая последовательность 0* типа со. что
eY = /7(e*|Y, у) для Y<cor
Таким образом,
(в; = о = v л [(арб=в;) л (арб=О].
р < о)}1 б < у
Если ар > 0*, то найдется такое порядковое число у<®*,
чтоару = 1, 0*=О и арб = 0о для 6 < Y- По построению
последовательности 0* тогда 0* = 1, что невозможно. Следовательно,
ар-<0* для каждого р<сод.
Если 0* > ра, то найдется такое порядковое число y < Щ*
что 6* = 1, PaY = 0 и 06 = Раб Для б < y- По построению
последовательности 0* тогда ap|Y = 0*|Y и aPY = 1 для некоторого
р<соц, откуда ap>pa, что противоречит нашему
предположению.
Перестроим теперь последовательность 0* так, чтобы
получить нужную последовательность 0. Рассмотрим два случая.
Случай I. Для каждого у0 < со^ существуют такие числа
у > yo, что 0* = 1. Тогда 0* ф. Н% и, следовательно, ар < 6* < ра
для произвольных р < сод и а < cov. Пусть yo — такое порядковое
число, что 0*о=1- Положим 0Y = 0* для y<yo и 0Y = ° Для
Y>Yo- Очевидно, что для каждого yo полученная
последовательность 0 принадлежит Я^. Покажем, что можно выбрать Yo
так, что последовательность 0 будет искомой.

336 Гл. IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума
Пусть vo > max(£, £'). Так как 0* < ра, то найдутся такие
порядковые числа б, что 9g=^=Pg6, а для наименьшего такого числа
бо будет 0^ =0 и ра, б0 = 1. Таким образом, бо-^Г (поскольку
Ра, 6 = 0 для б > £') и, значит, 0бо<Ра, б0 и 9б = ра>6 для б<б0.
Следовательно, 0 < ра.
Для каждого р < сод найдется такое порядковое число
бо(р)> что ар,б0(Р) = 0, 0*о(р)=1 и ap>Y = 0*Y для всех y<Mp)-
Выберем Yo > ^о(р) для всех р < сод. Полученная
последовательность 0 удовлетворяет, очевидно, условию ар < 0 для р < озд.
Случай II. Существует такое число yo < Щ> что 0Y = 0 для
Y > Yo- Возьмем yi > max(Yo, £, £') и перестроим
последовательность 0* так, чтобы 0Y = 0^ для y^Yi и 9Yi = 1- Легко проверить,
что полученная последовательность принадлежит Я| и
удовлетворяет условию оср < 0 < ра.
°Теоре_ма 3. #a+1 = 2*V Если ^ — предельное порядковое
число, то #£ = 2 2*°.
Доказательство. Пусть £ = а + 1 и у0<щ. Множество ZYo
последовательностей фЕ{0, \}w(®l\ для которых q)Yo=l и
<pY = 0 при Y>Yo> имеет мощность ^2*4 Так как Я^= (J ^Yo»
y0<«>6
то
Я^<2*«. со£ = 2*«. Кв+1<2*«.2*« = 2*«.
Так как мощность множества Z^ равна 2*° и Z© cz Я^, то
Я| = 2V
Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.
°Следствие4. Если число m = К^ сильно недостижимо, то
существует множество щ мощности т.
Действительно, для таких | будет 2 2*« = &*£.
Следствие 5. Если 2**°= Na+i> Т0 существует множество
Va+\ МОЩНОСТИ Ха + 1-
Это следует непосредственно из теорем 2 и 3.
Можно доказать, что если 2*°>Ka+i, то никакое
множество T]a+i не имеет мощности Ka+i. С другой стороны, для
порядковых чисел |, для которых число со£ не регулярно, мощность

S 7. Множества r)|
337
множества щ всегда больше К$. Эти результаты вытекают из
теоремы (доказанной Хаусдорфом), утверждающей, что каждое
множество T]a+i содержит подмножество мощности 2**« 1).
Упражнения
1. (Хаусдорф) Любые два множества т^ мощности Kg изоморфны.
Указание. Воспользуйтесь рассуждениями, аналогичными доказательству
теоремы 2 § 3 гл. VI.
2. Если Я —множество ть, а #' — плотное в нем подмножество, то #' —
также множество ть.
3. Если (Ot не является регулярным порядковым числом, то каждое
множество T^t есть в то же время множество ть ..
4. (Кочен) Если R = т], а / — простой неглавный идеал в семействе 2N,
то приведенное прямое произведение RN/I имеет тип t]i.
Указание. Пусть fn и gm(n,m^N)—такие элементы из RN, что
{i'-fn{i) ^ gm(i)}<^ 1 для любых п, т. Существенный шаг доказательства
заключается в построении такой последовательности h e RN, что множества
{i: fn(i) > h(i)} и {i:h(i)^gm(i)} принадлежат I. Если fn(i) < fn + i(i) и
gm+\{i) <gm(i) для всех п, т, i^N, то выбираем убывающую
последовательность множеств Xjt не принадлежащих I и таких, что Х0 = Nt \\Х}- = О,
и полагаем для /е Xj — Xi+X
A<')-j[^(/,(0 + ^(/)(0].
Если последовательности frt и gm не удовлетворяют указанным
неравенствам, то изменяем их так, чтобы получить функции, принадлежащие
одному и тому же классу mod / и удовлетворяющие требуемым
неравенствам. Например, монотонность можно получить, полагая !'0(1) =f0(i),
/n+i(0 = max(^(i), fn(i)) и аналогично для gm.
1) Простое доказательство этой теоремы см. Серпинский [7]. Интересные
.алгебраические применения множеств r\i см. Эрдёш, Гилман и Хенриксен [1].
Применение к логике дает Кочен [1].

Глава X
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АНАЛИТИЧЕСКИХ
И ПРОЕКТИВНЫХ МНОЖЕСТВ
В этой главе мы рассмотрим так называемую операцию А и
операцию проектирования, а также различные семейства
множеств, получающиеся при помощи этих операций из множеств
некоторого фиксированного семейства, в частности, из
семейства замкнутых множеств пространства А^. Изложенную
теорию можно считать введением в дескриптивную теорию
множеств.
§ 1. Операция А
Операция Л, введенная Суслиным при исследовании борелев-
ских множеств1), определяется следующим образом.
Пусть функция Н определена на множестве конечных
последовательностей натуральных чисел и принимает в качестве
значений некоторые множества. Такую функцию часто называют
определяющей системой. Для данной определяющей системы Н
и произвольной последовательности (psF положим
ne=N
где ф|п — последовательность фо, фь .. • , Фп-i (составленная из
первых п членов последовательности ф).
Сумму всех Рф называют результатом операции А на
определяющей системе Я:
а(ю= U ^=ип^|„.
q>e=NN Ф п
[) М. Суслин (1894—1919) построил первые примеры проективных
множеств, не являющихся борелевскими. Для этого он ввел операцию на
семействах множеств, получившую позже название операции А. Интересно, что на
идею этой операции его натолкнула ошибка, которую он нашел в одной из
работ Лебега. Более подробно об эгой теме см, Серпинский [1, стр. 28].

,<5 /. Операция Л
339
Пример 1. Пусть/7 — бесконечная последовательность
множеств. Зададим определяющую систему Я, полагая
Не = Feo
для е е jVn+1 и #о = FQ для пустой последовательности е = 0.
Тогда
Пример 2. Пусть н'е= Fn для ee^Nn+l и Hq=Fq. Тогда
Л(Я') = П^'
Эти примеры показывают, что операция /I обобщает
операции бесконечного сложения и бесконечного умножения.
Операция А монотонна: если Не cz #" для каждой конечной
последовательности £ натуральных чисел, то А (#') cz A (#")•
Определяющая система Я называется регулярной, если для
любой конечной последовательности ^ и любого п^ N
Не С= #е|л.
Другими словами, если е' — начальный отрезок
последовательности е, то Не а Не'.
Для любой определяющей системы Н определяющая система
Н\ заданная формулой
Н'е= П Не\. для etENN,
i <n ]
регулярна и А (Н') = А (Н).
Таким образом, во многих случаях можно ограничиться
регулярными определяющими системами.
Через m; e будем обозначать последовательность, первым
членом которой служит т, а дальше расположены члены
последовательности е. Вообще, если eGJV" и / е Nm, то через e\f
будем обозначать последовательность длины п + т, первые п
членов которой совпадают с членами последовательности е, а
остальные с членами последовательности f.
Лемма. Если определяющая система Н регулярна, то
иЛ^|„=ииП^;ф|„, о)
ф п m ф п
иПне*п=ииПн°(к*п) (2)
ф П k Ф П

340 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Доказательство. Если х е |~) Н ф| , положим \|)Л = Ф^
Тогда ф |Л, = ф0; ф |я и, следовательно,
n m ф п
Обратно, если ^ЕЯт;ф| для фиксированного т и
произвольного /г, положим ф0 = т, фгг' = ,фЛ. Тогда х ge ЯФ|и/ для всех п.
В силу регулярности Н получаем хе#ф|0 и, значит, *^Р)#ф| *
Равенство (1) доказано.
Равенство (2) следует из (1), если в нем вместо Н взять
систему #', для которой Hf = He-f, где / — некоторая конечная
последовательность.
Следующие простые теоремы устанавливают связь между
операцией А и операциями декартова умножения и
проектирования.
Теорема 1. Если Н и Q — определяющие системы и Неа Ху
QeczY для каждой конечной последовательности e^Nny то
A(H)XA(Q) = A(U),
еде определяющая система U задается формулой
Ue = HK>(e)\Kin)X Qu{e)\L{n) для ^еГ.
(Определение функций /С, L, K\ L' см. в гл. III § 3.)
Доказательство. Пользуясь дистрибутивностью
декартова умножения относительно сложения и умножения
множеств, получаем
л(я)хл(д) = (иП^|ч)х(иП^Фи)=и n^fuxonj.
\фп / \ Ф m / Ф,Ф л, m
Заменим здесь двойную сумму (J на (J и двойное произве-
ф.ф в
дение £\ на f), в слагаемых заменим ф на /С*(0), г|э на L*(0),
п, m p
п на К (р) и m на L (р) (гл. IV § 2). Тогда А{Н)Х A (Q) = A (£/)>
ибо /С*(Э)1^(П) = /(/(9 In) 1^(Л)1 и аналогично для функции L.
Теорема 2. Множество А (Н) представляет собой проекцию
на ось X множества М = [~] Мп пространства X X А^, еде
п
Мп={(х, ф>: лгеЯФ1п}.

§ 1. Операция Л
341
Действительно,
хе=-А(Н) = V Л(*еЯф.)=\/(<*> Ф)ЕПМ^
ф
Рассмотрим теперь итерацию операции Л. Предположим, что^
каждой конечной последовательности е сопоставлена
определяющая система G(e\ и положим
Ф п
м = л(я) = иП"Фи = иПиЛеЙ'т)-
ф m ф т Ф л
°Теорема 3. Существует такая определяющая система S,
что М = A (S) и для каждого е множество Se совпадает с одним
из множеств Gf».
Доказательство. В силу формулы (11) § 2 гл. IV
е р *-*<е) \l(p)
Пусть для произвольной конечной последовательности е е Nn
i<t
где / — наибольшее из натуральных чисел, для которых
/(m, t)-*Cn. Заметим, что последовательность е(т) пуста, если
/(т,/) > п для каждого /. Обозначим через d(e) длину
последовательности е и положим
с = д{к'{е)]к&т) (4\
L (*) '/, (d (e))
Тогда для каждого Q ^ Nn
Действительно, подставляя в (4) е = 0|р и принимая во
внимание равенство d(9|p) = /?, мы видим, что достаточно доказать,
что
(б>
i'(e|Pf(p))li(p) = ^(ef(p))luP)- (7)
Равенство (6) верно, поскольку K'{Q\P)—конечная
последовательность длины р, членами которой служат /С(0г), и потому

342 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
левая и правая части этого равенства представляют собой
последовательности длины К(р), членами которых служат /С(0г). (Мы
учитываем здесь, конечно, что К{р) ^С р> см. стр. 105.)
Для доказательства равенства (7) заметим, что Z/(0|P)(K(P)) —
конечная последовательность длины /, членами которой служат
L(Qj(K(p),i)), причем t — наибольшее из чисел, для которых
J(K(p), t)^Cp. Так как /(/((/?), L(p)) = p и функция J(x, у)
возрастает по у, то t = L(p) и, значит, последовательность
//(0|р)(ВД) совпадает с L* (Q)(K^\L(p). Так как L(p)<p, то
обе части равенства (7) обозначают одну и ту же
последовательность.
Итак, равенство (5) доказано. Сравнивая его с (3),
получаем M = A(S), что и требовалось доказать.
§ 2. Семейство A (R)
Пусть R— произвольное семейство множеств. Через A(R)
обозначим семейство всех множеств вида А (#), где Н —
определяющая система и Яее/( для каждой конечной
последовательности е. Множества, принадлежащие A(R), называются
^-множествами относительно R.
Для семейства A(R) выполняются условия (гл. IV § 3):
(I) *сЛ(*),
(II) R'cz R"-+A(R')czA(R").
Действительно, если Ig/? и определяющая система Н
задается уравнением Не = Х для всех еу то А(Н) = Х и, значит,
X^A(R). Условие (II) очевидно. Докажем теперь, что
условие (III) также выполняется.
°Теорема 1. A{A(R)) =A(R).
Доказательство. Включение A (R)cz A(A(R)) следует
из условий (I) и (II). Для доказательства обратного включения
предположим, что Me^A(A(R))y т. е. М = А (Н), где Не^А (R)
для каждой конечной последовательности е. Следовательно, для
каждой последовательности е найдется такая определяющая
система G, что Gf^R для каждой конечной последовательности
f и H^=A(G). Пользуясь аксиомой выбора, сопоставим
каждой последовательности е одну из таких определяющих систем
&е\ Тогда
М = А(Н),
Не-= A{G(e)) для всех е,
G\e)^R для всех е и f.

§ 2. Семейство A(R)
343
По теореме 3 § 1 существует такая определяющая система S,
что Se^R для всех e^Nn и M = A(S). Следовательно,
M^A(R), что и требовалось доказать.
Так как операции счетного сложения и умножения
представляют собой частные случаи операции А (см. примеры 1 и 2
§ 1), то из теоремы 1 непосредственно следует
Теорема 2. Для любого семейства R семейство A(R) о-ад-
дитивно и о-мультипликативно.
Теорема 3. Семейство A(R) содержит семейство B(R) (см.
гл. IV § 4).
Действительно, B(R) есть наименьшее а-аддитивное и
а-мультипликативное семейство, содержащее /?.
Теорема 4. A(R) — наименьшее семейство S, содержащее
R и замкнутое относительно операции А (т. е. результат
операции А на определяющей системе Н, для которой Не^ S при
всех е, принадлежит S).
Доказательство. Семейство A(R) содержит R и по
теореме 1 замкнуто относительно операции А. С другой стороны,
если семейство S содержит R и замкнуто относительно А, то
RczS и потому A(R)cA(S) = S.
В § 4 мы рассмотрим случай, когда семейство R состоит из
замкнутых множеств пространства NN, и установим критерий
того, что множество из A(R) — борелевское. А пока докажем
основную теорему, верную для произвольных семейств R, из
которой будет следовать этот критерий.
Определение. Пусть R — семейство подмножеств
множества X, и пусть Л, Ва X. Множества А и В называются R-отде-
лимыми, если существуют такие множества P,Q^R, что
Лс=Р, ficzQ и Pf|Q = 0.
0 Л е м м а. Если A =(J Ап, В = \jBn и каждая пара Апу Sw>
п п
R-отделима, то множества А и В R^-отделимы.
Доказательство. Пусть АпаРп,т1 BmczQn}mi где
* п, т ^ А, Цеп, т ^ А И гП} m
П Qntm = 0- Тогда
п, т
n m m n
И
, т е А*ба>
п т т п

344 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
откуда
иГК.тЛиЛ<Э<ьт = и r\(Pn.mnQ<,,p)<=\J(Pn.pf\Qn.p) = 0,
п m m п п, р m, q п,р
л лемма доказана.
Замечание. В этом доказательстве аксиома выбора
используется, когда мы сопоставляем каждой паре Ап, Вт
отделяющие их множества Рп,т и Qn,m-
°Теорема 51). Если определяющие системы Н и Q
регулярны, Не^ R, Qe e R и для любых последовательностей
Ф, \|) ge NN найдется такое число п, что Н<$\п П0ф|л = О, то
множества А(Н) и A(Q) В(R)-отделимы.
Доказательство. Предположим, что А (Н) и A(Q) не
В(R)-отделимы. Так как B(R)bG=B(R) и
мю=ииПнр:*1п> ^(Q)=UUr)Q<;*u
р ф п q ф m
(см. формулу (1) стр. 339), то по лемме найдется такая пара
чисел p0,q0, что множества \JC\HPo <*\п и \JC\Q%^\m не будут
Ф п ф m
В (R) -отделимыми.
Определим по индукции две такие последовательности р и а,
что для каждого k множества
не будут В (R) -отделимыми. Для этого положим для
произвольных конечных последовательностей f и g натуральных чисел
наименьшее из чисел р, для которых множества
К(р);<р\п и \JC\Qg; L(Py,q>\n
Ф п ф п
не будут В(#)-отделимыми,
I 0, если такого р не существует.
Тогда последовательности р и а, заданные равенствами
Ро = Ро» а0 = q0,
pk+l = Kl (р 1ь о У, ak+l = LI (p 1ь о У,
будут искомыми. Действительно, для k = О множества (8) не
будут В(R) -отделимыми по определению чисел р0 и q0. Пред-
t(f,g)"
!) См. Серпинский [3].

§ 3. Операции Хаусдорфа
345
положим, что они не будут В (R) -отделимыми для некоторого k.
Согласно (2), их можно представить в виде
uuOpi^u и иил<ч:Л:Ф1„.
туп R n h ф п R n
тогда по лемме найдутся такие пары чисел т, А, что множества
иПН9\и;т;у\п И U Л ^l* * <Pl#i Не бУДУТ Я (Я)ва-ОТделИМЫМИ.
ф П ф П
Одна из таких пар — числа pft+i, он+\- Так как B(R)6a = B(R)r
отсюда следует, что если в (8) заменить k на k + 1, то новые
множества не будут В(/?) -отделимыми.
В силу регулярности определяющей системы H9\k- ф| cz //pi^r
и, значит,
Un^Pl*:4.Uc^Pl*sJf-
ф /г
Аналогично
Так как множества в левых частях этих включений не B(R)~
отделимы, то Я . flQaj ^ О для всех А, что противоречит
условию теоремы.
§ 3. Операции Хаусдорфа
В этом параграфе мы дадим обобщения операции А.
Заметим прежде всего, что операции на произвольных
последовательностях множеств не всегда будут функциями (см.
стр. 79). Так, например, суммирование последовательности
множеств определено высказывательной функцией
/\[xs^y(xsFn)]f
а операция А — высказывательной функцией
/\\X^X=W Л(*<=ЯФ,)1.
х L Ф п ч шJ
Операции Хаусдорфа1), к рассмотрению которых мы сейчас
приступаем, также определяются высказывательными функциями
!) Операции Хаусдорфа (называемые в литературе также 6s-onepa-
циями) были определены независимо Хаусдорфом и Колмогоровым в 1927 г.
См. Канторович и Ливенсон [1]. Более поздняя библиография по этому
вопросу приведена в работе Очана [1].

346 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
с тем, однако, отличием, что каждая такая операция зависит от
фиксированного множества BczNN, называемого базой
операции. Операция Хаусдорфа с базой В определяется высказыва-
тельной функцией
Л\Х€5Х= V Л(ДСеРф(я))1.
х L cpe=B n J
Множество X, удовлетворяющее этой функции, будем
обозначать через HB{F)y так что по определению
Нв(П= U flV»»- 0)
фЕВ П
Пример 1. Если В содержит только одну
последовательность 0, 1, 2,..., то
п
Пример 2. Если В состоит из последовательностей фЕ^,
множество значений которых бесконечно, то
HB(F) = U^Fn.
Действительно, если xeWB(F), то существует такая
последовательность феб, что JceF(p(n) для каждого п.
Следовательно, х принадлежит Fh для бесконечного числа значений ky ибо
множество значений ф бесконечно.
Обратно, если x^Lim Fn, то существует бесконечное число
таких k, что x^Fk. Если ф — бесконечная последовательность,
членами которой служат числа ky то
х<=()Р,(я)с=Нв(Р)-
П
Пример 3. Если В — множество всех стационарных
последовательностей, то
HB{F) = \jFn.
П
Операции Хаусдорфа характеризует
Теорема 1. Для каждой операции Хаусдорфа Ф = Нв
(I) <S>{F)<=i\jFn9
п
<II) (a<=<b(F))A{b<£Q>(G))-+\/l{af=Fn)A(b&Gn)].
П
Обратно, каждая операция, удовлетворяющая условиям (I)
и (II), является операцией Хаусдорфа.

§ 3. Операции Хаусдорфа
347
Доказательство. Свойство (1) непосредственно следует
из определения операции Хаусдорфа.
Если ae^HB(F) и b^HB{G), то существует такая
последовательность ф0еВ, что Л {ае= Лр0(гг)). С другой стороны, для
п
каждой последовательности ф£В существует такое число /г, что
Ь ф. G(p(n). В частности, для ф = фо существует такое число п0у
что b <£G%(n0). Таким образом, условие (II) выполняется для
л = фо(Яо)-
Пусть теперь Ф — операция, или, что эквивалентно, высказы-
вательная функция, и пусть Ф удовлетворяет условиям (I) и (II)
для произвольных последовательностей множеств F и G. Пусть
Dk = \q>'- V(9rt = &)}, т. е. D — последовательность множеств,
содержащихся в NN, и (b(D)cz NN. Покажем, что Ф = ЯБ, где
fl = <D(D).
Предположим, что существует такое а, что либо
atEHB(F), a<£Q>(F), (2)
либо
a&HB(F), fleO(F). (3>
В случае (2) найдется такая последовательность фбВ, что
АеП^(р). (4)
р
Так как ф£ф(С) и a^O(F), то в силу условия (II) для
некоторого п
а потому (р(р) = п и a^F^n)y что противоречит (4).
В случае (3) в силу условия (I) ae^\jFn, а по определению
п
операции Нв
A V(a<£F,in)). (5)
(рев п
Пусть Z = {п: AG Fn} и фо — бесконечная последовательность,
множеством значений которой служит Z. Тогда Л (а ^ />„ (п>) и
в силу (5) фо^=В, т. е. фо^Фф). Так как в то же время
аеФ(/7), то из условия (II) получаем что cpo^Dp и a^.Fp
для некоторого /?. По определению Dp тогда cpo^Dp влечет
p^Zt a a^Fp влечет /? е Z. Итак, оба случая (2) и (3) ведут
к противоречию, а потому HB(F) = Ф(/^) для всех F, т. е. ЯБ =
= Ф, что и требовалось доказать.

348 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Покажем теперь, что операция А в некотором смысле
эквивалентна операции Хаусдорфа.
Пусть eG^, f^N**. Будем называть последовательность е
непосредственным продолжением последовательности /, если
р = q + \ ъ e\q = f (другими словами, е получается из f
добавлением одного члена). Пусть ас взаимно однозначно отобра^
жает N на множество всех конечных последовательностей
натуральных чисел, причем ас(0) = 0. Обозначим через В0 множество
{ф: (ф(0) = 0) Л Лас(ф(п+ 1)) — непосредственное продолже-
п
ние последовательности ас(ф(га))}.
Для каждой определяющей системы Q положим Q^ = Qac(/l).
Таким образом, определяющим системам взаимно однозначно
сопоставлены последовательности множеств.
Теорема 2. Для каждой определяющей системы Q
A(Q) = HBo(Q').
Доказательство. Из определения операции А следует,
что
^^(Q)=v/\(^Q,ln)-v/\(^Q;(„re)).
Для каждой последовательности феР последовательность г|),
заданная равенством \|)п = а(ф|п), принадлежит B0l так как
г(5 (0) = 0 и ac(\|)n+i) — непосредственное продолжение
последовательности ac(\|)n)- Действительно, первая из этих
последовательностей есть ф|п+ь а вторая ф|п. Отсюда получаем, что
x<=A(Q)-*x€= (J П0ф(»>ЕЯ*еЯв.Ю')-
ф SB0 n
Предположим теперь, что xt=HBc{Q')> т- е- х^Г\%(п) Для
п
некоторой^ последовательности г|)еВ0, т. е. x^f^Qac^(n)y По
п
определению В0 последовательность ас(ф(я)) содержит для
каждого п ровно п членов. Обозначая через ф^ последний член
последовательности ас(\|)(я)), легко получаем, что ас(ф(п)) = ф \nt
и потому #ер|<2ф1 , откуда xgA(Q). Теорема доказана.
п п
Упражнение
1. Найти все множества В, для которых
HB(F)-UmFn.

§ 4. Аналитические множества
349
§ 4. Аналитические множества
Пусть X — топологическое пространство и F — семейство его
замкнутых подмножеств.
Определение. Семейство A(F) называется семейством
аналитических множеств пространства X.
Из теорем § 1, 2 вытекает ряд утверждений об
аналитических множествах:
°Теорема 1. Семейство A(F) а-аддитивно и о-мультипли-
кативно.
°Теорема 2. B(F) a A(F), т. е. каждое борелевское под-
множество пространства X аналитическое.
°Теорема 3. Семейство A (F) замкнуто относительно
операции Л. В частности, результат операции А на определяющей
системе Я, для которой Не — борелевское множество (для всех
е)у будет аналитическим множеством.
Теоремы 1 и 2 следуют из теорем 2 и 3 § 2, а теорема 3 —
из теоремы 1 § 1.
Теорема 4. Декартово произведение двух аналитических
множеств в пространствах X и Y соответственно является
аналитическим множеством в пространстве X X У.
Доказательство. По теореме 1 § 1 это произведение
есть результат операции А на определяющей системе £/, для
которой Ue (для всех е) является декартовым произведением
замкнутого множества в X на замкнутое множество в Y.
Следовательно, Ue — замкнутое множество в пространстве X X Y, что
и требовалось доказать.
Теорема 5. Каждое аналитическое множество
пространства X является проекцией на ось X замкнутого множества
пространства X X Л^.
Доказательство. В силу теоремы 2 § 1 достаточно
показать, что множество
Мп = {(х, ф): шЯф,я}
замкнуто в X X NN, если множества Не замкнуты в X. Пусть
{хо,Ч>о/&Мп, т. е. лг0^Яфо|л. Тогда существует такая
окрестность U точки лг0, что ифН^\ для всех u^U. Множество
1/ = {ф: ф|Л = фо1Л} будет окрестностью точки ф0 в пространстве

350 Гл. X. ^ведение в теорию аналитических и проективных множеств
NNy а потому декартово произведение U X V будет окрестностью
точки (лго, фо) в пространстве X X Л^. Для \х, ф) е UX V
получаем хфНц\ , т. е. (х, ф) фМп. Следовательно, дополнение к
Мп открыто, т. е. Мп замкнуто.
Более глубокие теоремы об аналитических множествах
требуют дополнительных условий на пространство X. Здесь мы не
будем развивать общей теории, а ограничимся лишь случаем
X = (NN)h (k = 1,2,...). Все основные свойства аналитических
множеств проявляются уже в этом простом случае1).
Заметим, что можно рассмотреть только случай k = 1:
теоремы, доказанные для пространства NN, автоматически
переносятся на пространство (NN)h, так как NN и (NN)k гомеоморф-
ны, т. е. существует взаимно однозначное отображение р
пространства JV^ на (NN)hy причем и р, и рс непрерывны. Это
отображение задается формулой
Р(Ф) = (Ф(0), ..., Ф^"0),
где qW(n) = y(kn + /) для n^N и / < k.
Докажем это для частного случая k = 2.
Функция р взаимно однозначна. Пусть ф ф \|? и
р(ф) = <Ф«\ Ф«>), р{^) = (^\ г|><'>>.
Если <${2п)Ф \J: (2/2), то
ф(0) (п) = ф(2п)фЦ{2п) = ф(0) (п).
Если ф(2п + 1)фу(2п + 1), то
Ф*1* {п) = ф (2лг + 1)=^ф (2лг + 1) = ф(1) (")•
Таким образом, во всех случаях р{(р)Ф p(ty)-
Функция р непрерывна. Для этого достаточно показать,
что прообраз каждого открытого множества открыт, т. е.
если U — окрестность точки /?(ф) = (ф(0), ф(1)), то p~l(U)
содержит некоторую окрестность точки ф. Каждая окрестность
U содержит окрестность вида N (о) \ X N(n i 2). Легко убедиться,
4T0^^N^hk+l влечет р(ф)е^ф(о)^Х^(1)|^
Функция рс непрерывна. Действительно, если /?(ф) = (ф(0), Ф(1))
и Nq\n — окрестность точки ф, то p{(Nq\n) содержит окрестность
Л/гф<о)| ХЛ^ф(0| точки /?(ф), где k>n/2.
J) Теорию аналитических множеств для сепарабельных пространств (т. е.
непрерывных образов пространства NN) см. Лузин [3], Куратовский [9]; для
более общих пространств см. Фролик [1].
2) Определение множества Net где е — конечная последовательность
натуральных чисел, см. на стр. 146.

Ф 4. Аналитические множества
351
Так как функция р взаимно однозначна и непрерывна в обе
стороны, то отображение х-^р(х) переводит семейство
открытых множеств пространства NN в семейство открытых
множеств пространства (NN)k. To же относится и к семейству
замкнутых множеств, а также к семейству аналитических
множеств.
Докажем теперь несколько теорем, устанавливающих связь
между аналитическими множествами и непрерывными
функциями пространства NN.
Теорема 6. Если f — непрерывная функция, отображающая
пространство NN в себя, a Z — замкнутое множество в NN, то
f{(Z)— аналитическое множество.
Доказательство. Пусть Qe = f1 (Ne f] Z) — замыкание
множества fl(Nef]Z). Определяющая система Q регулярна, ее
значениями будут замкнутые множества. Покажем, что
fl(Z) = A(Q).
Если (peZ, то ф£ Nq>\ f] Z для каждого я. Поэтому
/(Ф)е/1(ЛГФ,ЙП2), откуда / (ср) е= f| Q,, ,я и f (q>)«= 4(Q). Таким
образом, fl (Z) a A (Q).
Для доказательства обратного включения возьмем aG/1(Q).
Тогда существует такая последовательность ф, что aeQQ(fj
п
Мы должны показать, что а = /Чф). Если аФЦц), то найдутся
непересекающиеся окрестности Ne и Nd точек а и /(ф): если в
последовательностях а и f(y) первые k—1 членов совпадают,
а k-e члены различны, то достаточно взять e = a|ni и d =
= f(<p)U+i-
Так как а принадлежит замыканию множества f (Nq>\n(]Z),
то Ne0fl(Ny\ () %)Ф 0, т. е. для каждого п найдется такая
точка1) ч>пе=Мр|яП2, что f($n)€=Ne.
В силу непрерывности / множество f~l(Nd) содержит
некоторую окрестность точки ф, например окрестность Мр| . Тогда
я|)7 е f~l (Nd) и /(\|?q)e Nd, так что f(\$Q)^Ne. Полученное
противоречие доказывает, что а = /(ф).
1) Существование точки г|)п следует из неравенства Ne(]flfN^ [)Z\^0.
С другой стороны, существование последовательности \|э следует из аксиомы
выбора. Однако здесь можно элиминировать использование этой аксиомы,
так как на основе одних только аксиом системы 2 можно доказать, что
существует функция, которая каждому непустому замкнутому подмножеству из
NN ставит в соответствие один из его элементов.

352 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Осталось показать, что фЕ^ В противном случае некоторая
окрестность Мр| не пересекалась бы с Z, что противоречит
определению точки \|?т. Следовательно, cpeZ и а = f(cp)e fl(Z).
Докажем теперь обращение этой теоремы.
Теорема 7. Каждое аналитическое множество в NN имеет
вид P(Z), где Z — замкнутое множество в NN, a f —
непрерывное отображение из NN в NNl).
Доказательство. По теореме 5 аналитическое
множество А есть проекция замкнутого множества W a NN X Л^, т. е.
A = g1(W), где функция проектирования g непрерывно
отображает NN X Л^ на NN. Применим теперь отображение рс
(стр. 350). Множество Z = p~l(W) замкнуто в NN, суперпозиция
f = ё ° Р непрерывно отображает NN в себя и
f4Z) = gl(p4Z)) = g4W)=A.
Следствие 8. Если g: NN-*NN — непрерывное
отображение и А — аналитическое множество, то множество gl(A) также
аналитическое.
Доказательство. По теореме 7 множество А имеет вид
fl(Z), где / — непрерывное отображение пространства NN в себя,
a Z — замкнутое множество. Следовательно, множество gl(A)
совпадает с образом hl(Z), где h = gof — непрерывное
отображение пространства NN в себя.
Аналогично можно доказать, что если g: (NN)k-+(NN)m—
непрерывное отображение, то образ gl(A) аналитического
множества в (NN)h будет аналитическим множеством в (NN)m.
В частности, проекция аналитического множества является
аналитическим множеством. Следовательно, для пространства NN
верно обращение теоремы 5.
°Теорема 9 (первая теорема отделимости)2).
Любые два непересекающихся аналитических множества X, Y
пространства NN отделимы борелевскими множествами, т. е.
существуют такие борелевские множества Pt Q, что X с= Р,
YczQ и Pf]Q = 0.
1) Можно доказать, что каждое замкнутое подмножество пространства
NN является его непрерывным образом. Следовательно, семейство
аналитических множеств пространства jV^ совпадает с семейством его непрерывных
образов. См. Куратовский [9].
2) Эта теорема (и ее название) принадлежит Лузину [3]. При
доказательстве теоремы 9 мы используем теорему 5 § 2 и, следовательно, аксиому
выбора.

§ 4. Аналитические множества
353
Доказательство. Пусть Я — такая регулярная
определяющая система, что для каждой конечной последовательности
е множество Ne замкнуто в NN. Обозначим N'e = NK,.e) (] NL,{e)t
Ясно, что А(Н')а А(Н). Верно также обратное включение.
Действительно, если феЛ(Я), то существует такая
последовательность ф, что -феЯф| для каждого п. Так как -феМц ,
то ф^Яе|л, где в =/*(Ф, Ф).
Предположим теперь, что множества А=А{Н) = А(Н') и
В = A(Q) = A(Q')—аналитические в NN, но не отделимы боре-
левскими множествами. По теореме 5 § 2 найдутся такие
последовательности р, o^NN, что множества Я', и Q', не будут
отделимыми ни для какого п. Значит, для каждого п существует
точка ^еЯ' flQai- Из определения систем Я' и Q' точ-
p,/i u '/г
ка 1^ принадлежит Л^Х'(р|п)П ^Vl'(а у, а потому первые п
членов последовательностей Qn\ р* = Х*(р) и a* = L*(a)
совпадают. Так как п произвольно, то р* = а*.
Покажем, что р*^А[)В. Для этого выберем произвольное
число tio^N и произвольную окрестность Г точки р*. Эта
окрестность содержит окрестность вида Np*\n== Мк'(р\п)> гДе
п — любое число, большее п0. Таким образом, Г содержит
точку 1{п\ принадлежащую #£. и тем более Яр| ^Я^ .
Следовательно, ГП#Р|Лв¥=0, т. е. р* <= ЯР |Яо = ЯР|Яо, так как
множество Яе для всех е замкнуто. В силу произвольности щ
тогда р*^рЯР|/гс=Л.
Точно так же доказывается, что g*gB, а так как р* = о\
то это показывает, что если два аналитических множества
неотделимы борелевскими множествами, то они пересекаются.
°Теорема 101). Каждое аналитическое подмножество про-
странства NN, дополнение которого также аналитическое,
является борелевским.
Действительно, борелевские множества, отделяющие X
и NN — X, совпадают с X и NN — X.
Аналогичные теоремы верны для пространства (NN)k.
Теорема отделимости и доказанная здесь для пространств
(NN)h теорема 10 справедливы для некоторых более общих
1) Эта теорема принадлежит Суслину [1]. Верна также и обратная
теорема, ибо каждое борелевское множество — аналитическое (см. стр. 349), а
в пространстве (NN)k дополнение борелевского множества само является
борелевским.

354 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
типов пространств, например для произвольных компактных
пространств, а также для полных сепарабельных пространств1), но
для произвольных полных пространств и даже для метрических
локально сепарабельных пространств2) они не выполняются.
Упражнения
1. С помощью теоремы 5 § 2 доказать теорему отделимости для
компактных пространств.
2. (Суслин) Если f — взаимно однозначное непрерывное отображение
пространства NN в себя, то образ fl (А) борелевского множества А является бо-
релевским.
Указание. Покажите, что дополнение к fl(A) —аналитическое множество.
Используйте эквивалентность (psf1 (Л) = /\ [((p = f(a))->(aE A)].
a
3. Если В — аналитическое множество в NN, а F — последовательность
аналитических множеств в NN, то операция Хаусдорфа с базой В,
примененная к последовательности F, дает аналитическое множество.
4. (Серпинский) Пусть А — множество точек плоскости (*, у), где
0<*<1,0<г/<1. Зададим топологию в X, беря в качестве базы семейство
всех открытых отрезков, параллельных оси X. Показать, что непрерывный
образ замкнутого множества в этом пространстве не всегда будет
аналитическим.
Указание. Пусть М — множество мощности континуум, лежащее в
интервале (0,1) оси X и не аналитическое, а \|) — взаимно однозначное
отображение интервала (0,1) оси У на М. Возьмите в качестве f функцию f(x,y) =
= <Ф(0),О>.
§ 5. Проективные множества
Эти множества ввел Лузин [3]. Он рассматривал их как
обобщения аналитических множеств. Мы познакомимся с
основными определениями теории проективных множеств, причем
сформулируем их при достаточно общих предположениях. Из-за
этой общности связь между аналитическими и проективными
множествами не будет столь заметна, но зато станет ясно
значение проективных множеств для математической теории
определимости 3).
Пусть S — непустое множество. Для X cz S^ и Y a Sr
положим
X®Y = {(xl, ..., xq, уи ..., уг)\ (хи ..., xq)e=X\/
V(yu ..., Уг)еП,
XQY = {(xu ..., xq, yu ..., yr): (xu ..., xq)e= X A
Л (ух, ..., уг) е= У}.
1) См., например, Куратовский [9].
2) См. Серпинский [5].
3) Связь теории проективных множеств с логикой и понятием
определимости установили Куратовский и Тарский [1].

§ 5. Проективные множества
355
Назовем эти множества свободной суммой и свободным
произведением (через {ии .. ., uq) обозначены элементы из S(i\ для
q = 1 мы отождествляем их и (wi)).
Если я — перестановка множества {1,...,^} и XczSv,
обозначим через Хл множество
{(хи ..., xk): (хя(0, ..., хл{д))^Х}
и будем говорить, что Хл получено из X перестановкой
координат.
Для 1 <л < / *Cq и X cz Sv положим
lduX = {(xu ..., xq_{): (xu ..., xj_u xh xJ+l, ..., xq)e=X]
и будем говорить, что множество Idij X получено из X
идентификацией i-й и \-й координат.
И, наконец, для lO< q обозначим через Pqr (X) множество
(хь ..., хг): V (хи ..., хг, уи ..., //rr)Gl),
т. е. Рг{Х) будет проекцией множества X на Sr.
Отметим ряд простых законов для введенных операций.
(I) [Р? (*)]„ = №„<),
где я' — перестановка множества {1,..., а), совпадающая с я на
множестве {1,2,...,/"} и с тождественной перестановкой на
множестве {г + 1,..., а).
(II) Р?(Ми(Х)) = Ыц(Р?(Х)) для 1 </</</- <q.
(III) Если XczS и YaS, то
ldl2(X ®Y) = X[}Y и ldn(XQY) = X[]Y.
Вообще, если X<=S<? и YczS^, то
IdIi(7 + 1Id2.,+2... ldq,3<l(X®Y) = XUY,
Id,.,+1Id2.,+2... ld,,2q(XOY) = Xf\Y.
(IV) Если XczS*, то
(S"-X)n = S"-X„.
(V) Если Xcz S« и \<i<j<q, то
Id(7(S"-X) = S"-1-Idj7(X).
(VI) Если XczSi и YczSr, то
{Sq -X)@ {Sr -Y) = S"+r - (X 0 У),
(S" - X)Q(Sr -Y) = Sq+r -{X® Y).

356 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
(VII) Если Y — последовательность подмножеств из Sr и
X cz S«, то
X&\jYn = \J(X®Yn), \jYn®X = \J(Yn®X),
п п п п
Х®Г\Уп-Г\(Х®Уп\ f)Yn®X = f)(Yn®X).
п п п п
(VIII) При тех же условиях, что в (VII),
*OU^ = U(*©r»)' UYnQX = \J(YnQX),
п п п п
xQf)Yn-f)(xOYn), f)YnOx^f)(Ynox).
п п п п
Доказательства простые, и мы их опускаем.
Перейдем теперь к определению проективных классов.
Пусть К0а (J 2sQ\ Обозначим через Koq пересечение КоП25<7.
q >0
Будем предполагать, что семейство Ко удовлетворяет (для
произвольных q, г > 0) следующим условиям:
1. OgeKoi и SerKoi.
2. Koq представляет собой тело подмножеств из S**.
3. Если ХеКо^и Ye=Kor, то X®Y<=K0,q+r и XQ Ye=Ko,Q+r.
4. Если X^Koq и я — перестановка чисел 1,2, ...,(7, то
Хп ^ Koq-
5. Если 1 <л < / Kq и X^Koq, то Id^ X е Ко, q-i.
Семейство Ко, удовлетворяющее условиям (1) — (5),
называется базой.
Для произвольного семейства La (J 2s обозначим через
q>0
P(L) семейство проекций множеств из L, т. е.
Р(1) = {У: V V [(l<r<q)A(xe=L()2sq)A(Y = Pqr(X))]].
Кроме того, пусть
С(1) = (Г: V V [(х eiofl Л (Y = S* - X)]} ,
т. е. C(L) — семейство дополнений множеств из L.
Применяя к базе Ко поочередно операции Я и С, получаем
проективные классы относительно базы Ко:
Ki = Р (Ко), К2 = С (К\), . . . , К2п + \ = Р (К2„), К2п+2 = С (К2„ + 1), • • •

§ 5. Проективные множества
357
Семейство Кп называется п-м проективным классом относи-
тельно Ко, а сумма UKrt = K00— семейством проективных мно-
п
жесте относительно Ко. Обозначим
sq
Кп. q = Кп Г) 2 .
Теорема 1. Для всех n^.N и каждой базы Ко семейство
Кп удовлетворяет условиям (1) и (3) — (5).
Доказательство. Утверждение семейство Кп
удовлетворяет условию (I) будем записывать коротко в виде (1п).
Очевидно, что (1о)Л(Зо)Л(4о)Л(50). Предположим, что я>0 и
(1п)Л(Зп)Л(4п)Л(5п). Покажем, что тогда (1п+1) Л (Зп+1) Л
Л(4п+1)Л(5п+1).
Случай 1. п — четное число. Так как OczS2 и 0$=Кп в силу (1Я),
то Ое=Р{Кп) = Кп+\, ибо 0 = Р?(0). Аналогично S = P2(S2) влечет
5gK„+i. Таким образом, (lrt+i).
Утверждения (4n+i) и (5n+i) следуют из законов (I) и (II).
Чтобы доказать (3„+1), предположим, что X = Pqqi(X*) и
У = #(А где 1 <</,<</, 1 <г{<г и /е/(м, Y*e=Kn,r.
Тогда
<Хр ..., Xqi, yv ..., //r}Gl®^
s V [<дгр ..., * ир ..., и >е=Г V
V<{/p .... yrx, vv ..., иг_Г1)еГ].
Так как утверждения (ln), (4n) и (5П) справедливы, то
существуют множества X' и У, принадлежащие Кп, q+r. и такие, что
<*,, -.., V ^р •••» ^> uv •••> V*' ур •••> <V-ri>^*' =
<*р . . . , V Ур • • • , »Г1, "„ • • • , V^, UP • • • ' ^-r) S Г S
^<*/р ..., рГ1, ир ..., vr_r)^Y\
Сумма X'\]Y' = Z принадлежит Кп, q+r- Действительно,
свободная сумма этих множеств принадлежит Кп, 2(д+Г), а обычную
сумму получаем из свободной многократным применением
операции Id (закон III)), которая, согласно (5П), не выводит из Кп.

35В Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Следовательно,
<*р •••> V »р •••> »Г|)е^®^
"1 "<7-<7i» и1 vr-rx
т. е. Х0К = Р«;!£Дг)е=*й>,+г.
Аналогично доказывается, что Х0КеКП)(7+г.
Случай 2. п-нечетное число. Утверждение (ln+i)
непосредственно следует из (ln), a (3n+i) — из (Зп) (в силу (VI)).
В силу (IV) и (V) утверждения (4П) и (5П) влекут (4п+1) и
(5n+i).
Теорема 2. Если q > 0, то каждое из семейств Кп Q являет-
ся решеткой множеств, а семейства К^ П 2s и Kn,q(]Kn+i,q —
телами множеств.
Доказательство. Свободная сумма и свободное
произведение двух множеств из Knf\ 2s принадлежат тому же классу.
Применяя операцию Id, получаем обычную сумму и обычное
произведение, а операция Id не выводит из класса К^
Следовательно, Kn[\ 2s =Kn>q — решетка множеств. Семейство К^ П 2s
будет телом множеств, поскольку если X^KnC\2s , то SQ — Ig
^Kn+if]2s для нечетных я, SQ — X е Кп-\ Г) 2s для четных
п>0 и Sq — X^KqO 2s для д = 0. Наконец, семейство
Kn,qCiKn+i,q будет телом множеств, поскольку по доказанному
оно является решеткой, а по определению семейства Кп оно
удовлетворяет условию X^Kn,qf]Kn+uq->Sq-X€=Kn,Qf\Kn + \,q-
Теорема 3. Между классами Кп имеют место следующие
отношения включения (знак ->- стоит здесь «место знака с:):
К] -*" Лз -*" ... Л2п-1 ~** А.2П+1 -•
к/\/ \/
Ко\/\ /\
Доказательство. Пусть 1еК0П25<?. Тогда X©Se
е/С0П2^+1 и X = Pq+l{XOS)e=K{. Следовательно, К0^К{ и,
беря дополнения, получаем Kq = С {Kq)czC {Ki) = К2-

§ 5. Проективные множества
359
Рассуждая по индукции, предположим, что Кгп с= К2П+2 и
iC2n-i с: К2п+1- Тогда
^2дг + 1 = Р (К2п) ^ ^ (^2дг+2) = ^2п+3»
откуда
Аггг+2 — С (/V2rt + i) cz С (Кггс+з) = А2п+4*
Таким образом, доказаны включения в верхнем и нижнем ряду
нашей схемы.
Включение K2n cz K2n+i следует из того, что К2п+\ = Р{К2п) =э.
:эК2п- Применяя операцию взятия дополнения, получаем
C(K2n)CI C(K2n+l), ИЛИ К2П-1 CI K2n-f2-
Объясним теперь значение проективных классов для теории
определимости множеств. Пусть Ф — высказывательная функция
от д> 1 свободных переменных, принимающих значения из
множества S. Множество
Zo = {(xu ..., xq)e=Sq: Ф{хи ..., xq)}
называют графиком этой функции и говорят, что функция Ф
определяет множество Z<$>. Главная задача теории проективных
множеств заключается в исследовании, к каким проективным
классам принадлежат множества, определяемые различными
высказывательными функциями.
Высказывательная функция Ф называется проективной
относительно базы Ко, если Z0 e Кх>. Функция Ф называется выска-
зывательной функцией класса п относительно Ко, если !<$> еКп.
Теорема 41). Если ф, Ф! и Ф2 — высказывательные
функции класса п, то
a) Ф, ДФ2 и Ф} V Ф2 — высказывательные функции класса п\
b) ~]Ф — высказывательная функция класса я+1, если п —
нечетное число, класса п—\, если пФ О — четное число, и
класса О, если п = 0;
c) V Ф — высказывательная функция класса я+1, если п
X
четное, и класса п, если п нечетное;
d) Л Ф — высказывательная функция класса п, если пФО
X
четное, класса лг -h 3, если п нечетное, и класса 2, если п = 0.
Доказательство. Утверждение (Ь) следует из того, что
.Z-]<x>—дополнение к 1ф\ (с) — из того, что график функции
1) Теорема 4 является схемой: для каждой высказывательной функции мы
лолучаем отдельную теорему.

360 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
V Ф представляет собой проекцию графика функции Ф, a (d)
х
следует из (Ь) и (с) по законам де Моргана.
Для того чтобы доказать (а), предположим сначала, что
высказывательные функции Ф1 и Ф2 не имеют общих
свободных переменных. Тогда графиком функции Ф] V Фг будет
Ze^ffiZo,, графиком функции Ф{ Л Ф2 будет Z<x>1©Z<d2 и они оба
принадлежат Кп- Если Фх и Ф2 имеют общие свободные
переменные, то графики высказывательных функций <DiV<D2 ir
Ф1ЛФ2 получаются из свободной суммы и свободного
произведения множеств Z<d( и Zo2 с помощью идентификации и
перестановки координат.
Значение теоремы 4 в том, что она позволяет по записи вы-
сказывательной функции определить ее проективный класс.
Приведем теперь примеры баз. Наиболее важный пример
дает семейство всех борелевских множеств конечной размерности.
Если S — топологическое пространство, то множества S* (q e N)
также можно рассматривать как топологические пространства
(с тихоновской топологией).
Пусть B(Sv)—семейство борелевских множеств
пространства Sv и
B = B(S)=\jB(Sq).
Теорема 51). Если каждое открытое множество
пространства S — борелевское, то семейство В является базой.
Доказательство. Условие (1) (стр. 356) очевидно. Для
доказательства (2) достаточно показать, что дополнение боре-
левского множества само будет борелевским. Пусть R —
семейство множеств ZczS^, дополнения которых борелевские. По
условию теоремы семейство замкнутых подмножеств содержится
в R. По законам де Моргана семейство R а-аддитивно и а-муль-
типликативно и, значит, содержит семейство борелевских
множеств пространства S?.
Чтобы доказать (3), положим для X a Sv
U{X)={Yc:Sr: I0 7gB(S^)),
V(X)={YaSr: XQYzEB{Sq+r)}.
l) Условие теоремы 5 выполняется, в частности, для пространства NN9
где каждое открытое множество можно представить в виде суммы всех
окрестностей вида Ne, содержащихся в нем, т. е. в виде суммы счетного числа
замкнутых множеств. Аналогично для пространства (NN)h,

§ 5. Проективные множества
361
Так как свободная сумма и свободное произведение двух
замкнутых множеств замкнуты, то
lGf^(fc(/(I))A(fcF(Jf))(
где F— семейство замкнутых множеств пространства SQ.
Равенства (VII) и (VIII), стр. 356, показывают, что
семейства U (X) и V(X) а-аддитивны и а-мультипликативны и, значит,
Xe=F-+(B(Sr)<=U(X))A(B{Sr)<=V(X)).
Обозначим через U семейство {XczS^: B(Sr)cz U(X)} и
через V семейство {X cz S<?: B(Sr)czV(X)}. Тогда F cz U и FczV.
Покажем, что семейства U и V а-аддитивны и
а-мультипликативны.
Предположим, что Xi^U для ig А/, т. е. B(Sr) cz U(Xi), или
Xi © У е B(S^+r) для каждого борелевского множества У a Sr.
В силу равенств (VII) и (VIII)
(Uteres я (s'+r) и (Г\х(\®у^в{^+Г)
для каждого Y^B(Sr) и, значит,(^Хг-е £/ и ^ X^gI/. Следо-
/ i
вательно, семейство U а-аддитивно и а-мультипликативно.
Аналогично доказывается, что семейство V а-аддитивно и а-мульти-
пликативно. Так как оба эти семейства содержат семейство F
замкнутых множеств, то они содержат и семейство B(S(i). Это
означает, что X©У еВ(^+г) и XQY^B(S^r) для любых
множеств X<=B(SQ) и Y(=B(Sr). Условие (3) доказано.
Условия (4) и (5) доказываются аналогично: обозначаем
через W и W" семейства множеств XgB(S^), для которых
Хл^ B(Sg) и Idij X е B(Sq~l), и показываем, что эти семейства
содержат F и оба а-аддитивны и а-мультипликативны.
Множества, проективные относительно В, называются
проективными классами. Нулевой проективный класс обычно
обозначается через B(S), класс 2/г + 1 через Pn(S), а класс 2я + 2—
через Cn(S).
Из теоремы 5 вытекает
Следствие 6. Декартово произведение двух множеств,
принадлежащих одному из классов B(S), Pn(S), Cn(S) (/г>-1),
принадлежит тому же классу.
Действительно, декартово произведение получается из
свободного произведения с помощью идентификации аргументов.
Следствие 7. Если f^(Sp)sQ и график функции f (т. е.
множество W = {(х, у) е Sp+Q; f(x) = у}) принадлежит классу

362 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Pn(S)y где я> 1, то
Y^Pn(S)-+rl(Y)^Pn(S) и Yz=Cn(S)-+rl(Y)z=Cn(S).
Доказательство. В силу эквивалентностей
xe=rl{Y)=f(x)<=Y^\/[(f(x) = y)Aiye=Y)] =
= \/[{(x,y)<=W)A{y^Y)}
У
f~l (У) есть проекция множества {(л:, у): ((х, у)^ W) Л (у е У)},
которое получается из множеств W и У с помощью операций
взятия свободного произведения и идентификации аргументов,
и потому принадлежит классу Pn(S). Так как я>1, то /-1(^)
также принадлежит Рп(5).
Доказательство второй импликации аналогично и опирается,
на эквивалентность
xe=rl(Y)=lVW(x) = y)A(y&Y)].
У
° Теорема 8. Если S=(NN)h, то класс P\(S) совпадает
с классом аналитических множеств.
Действительно, в этом случае проекция борелевского
множества будет аналитическим множеством и обратно (§ 4).
Замечание. Теорема, аналогичная теореме 8, верна не
только для пространства (NN)h, но для любых полных сепара-
бельных пространств1).
Приведем еще один пример базы.
Множество X a Nq называется элементарным, если
существуют такие многочлены f, g от q переменных и с натуральными
коэффициентами, что
<*„ ..., xq)(=X = [f{xu ..., xq) = g(xu ..., xq)].
Пусть Dq — наименьшее тело множеств из Л/?, содержащее
все элементарные множества.
Теорема 9. Семейство D = {JDQ является базой.
q
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Множества, проективные относительно Д образуют
семейство арифметически определимых множеств. Они находят
многочисленные применения в математической логике2).
1) Подробности теории проективных множеств для таких пространств
можно найти в монографии Куратовского [9].
2) См. Клини [1].

§ 5. Проективные множества
363
В заключение дадим примеры проективных множеств.
Ф Пример 1. Будем обозначать через G семейство
открытых множеств рассматриваемых пространств.
Пусть F — замкнутое множество, лежащее в плоскости (или,
в более общем случае, Fens'71). Говорят, что точка p^F
линейно достижима, если существует отрезок pq, который, кроме
точки /?, не имеет ни одной общей точки с F. Если А — множество
линейно достижимых точек из F, а \р — q\ — расстояние между
р и q, то
A = F(]\p: V(q¥=p)A
Л /\(\p-r\ + \r-q\ = \p-q\)A(r^p)^l(r^F)}} =
= F(]\p: V A(q^p)A
t q r ■
A{(\p-r\ + \r-q\¥=\p-q\)V(r = p)Vl(re=F)]y
Множество Л — проективное, поскольку каждая из высказы-
вательных функций
П/>, <7) = (<7 = />)> b(P,q,r) = [\p-r\ + \r-q\ = \p-q\],
проективная (переменные р, q и г принимают в качестве
значений элементы из &1).
Исходя из определения множества Л, найдем его класс.
Именно покажем, что А — множество первого проективного
класса.
Так как каждое из множеств
{</?> q)- Г(Р> <7)Ь {(/>, <7> г): Л(р, </, г)} и {г: А (г)}
замкнуто, то множество {{p,q,r): Q)(p,q,r)}, где
Ф(р, q> r)^{q¥=p)A
Л [(I р - г\ + \г - q |Ф| р - q |) V (г = р) V 1 (г е= F)],
есть множество G6, ибо его можно представить в виде
произведения открытого множества на сумму двух открытых и одного
замкнутого множества. Действительно,
{(/?, q, г): Ф(р, q, r)} = {(p, q, r): ^Фр)}Г\
ШР, Q>&- (\р-г\ + \г-Ч\Ф\р-Ч\)}{)
U{(p, Я, г): (r = p)}[}{(p, q, r): l(ref)}).

364 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Множество {{р, q): /\ Ф(р, q, г)} есть множество G6l), и тогда
г
^ = )p:V%?)j, где Ч(р,д)^/\Ф(р,д,г),
будет множеством первого проективного класса как проекция
множества G62). ф
Пример 2. Пусть а — двойная последовательность
натуральных чисел (т. е. ае NNXN), для которой {{т,п,р): атп =
=/?} — арифметически определимое множество. Тогда
множество А = {т: lim атп = + оо} арифметически определимо. Дей-
А2->оо
ствительно,
те А=А V Л [/i>^->aW/i>/?]-
Р q n
Если вместо х^// писать V [х + г/ = г], то эта формула примет
вид
/п€=Л=Л V Л V [(я + и=</) V (/> + *> = 01 =
р g я «и
= Л V Л V \{хюфатп) V (п + к = </) V (/в + о = ш)].
р q n uvw
Так как каждая из высказывательных функций до =£ атпг
п + и = q, р + у = w проективна относительно Z), то и
множество Л проективно относительно D. С помощью теоремы 4 легко
показать, что если высказывательная функция w = ашп есть
функция класса Ко относительно Д то множество Л
принадлежит классу К4 относительно D.
§ 6. Универсальные функции
Пусть S — множество и Ко — база, т. е. семейство
подмножеств суммы (J 2s , удовлетворяющее условиям (1) — (5),
q> О
стр. 356. Обозначим, как и там, п-й проективный класс
относительно Ко через Кп и положим KA2t<7==2s П Ки.
1) Это следует из того, что проекция замкнутого ограниченного
множества пространства &п замкнута, а проекция произвольного замкнутого
множества есть множество F^. Для других пространств (например, NN)t как мы
знаем из § 4, это утверждение неверно.
2) Из этих рассуждений не следует, что класс определен точно, т. е. что-
его нельзя понизить. Но класс, действительно, нельзя понизить, так как
существует замкнутое множество F а $3, для которого множество А не
будет борелевским. Это доказали Никодим [1] и Урысон [1].

§ 6. Универсальные функции
365
Определение 1. Функция / называется универсальной
для произвольного семейства R подмножеств суммы (J SQ,
q^N
если 5 — ее область определения, R — множество ее значений.
Определение 2. Последовательность F функций
называется нормальной последовательностью универсальных
функций для /?, если
Fq — универсальная функция для R[)2sQ (q^N, q>0); (1)
Tq = {(x, s): x^Fq{s)} принадлежит R{]2sq+\ q>0. (2)
Теорема 1. Если F — нормальная последовательность
универсальных функций для п-го проективного класса КП1 то
множество
Мд = {(х0, ..., л^-2, s): (х0, ..., xq.2i s)&.Fq(s)}
принадлежит Kn+i,q — Kn,q, если п нечетное, и Kn-\,q — Кп, q>
если п четное.
Доказательство. Если Mq e Кп, q, то для некоторого
s0(=S
\Xq, ..., Xq-2> xq-l) ^= Mq^\X0l ..., Xq-2, Xq- \) ^= Fq (Sq)
для любых x0j . .., xq-\ e 5. По определению Mq
(X0, ..., Xq-2, Xq-i) ф Fq{Xq-i)^\Xo, ..., Xg-2> Xq-l) ^ Fq (5o)-
Подставляя xq-\ = s0, получаем противоречие. Значит, МяфКп, q.
Множество Mq получается из Tq с помощью операций
идентификации q-ft и (q + 1)-й координат и взятия дополнения.
Первая операция ведет от множества, принадлежащего Кп, <н-ь к
множеству, принадлежащему Кп, q (см. теорему 1 § 5). Вторая
ведет от множества, принадлежащего Kn,q, к множеству,
принадлежащему Kn+\,q или Kn-\,q в зависимости от четности
числа п (см. стр. 359). Теорема 1 доказана.
Следствие 2. Если для каждого п >- 1 существут
нормальная последовательность универсальных функций для класса
Kni то все включения в диаграмме
К1—^КЪ-*- . -*~К2п-\—*~А2л+1 -*■ •••

366 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
строгие. Более того,
К2п + \ — К2п+2Ф0фК2п + 2~' #2rt + l для Я^О.
Доказательство. По теореме 1 для каждого я > О
Если К2п-\ = Кгп+i, то из диаграммы получаем
А 2л+2 CZ A2/2-1 = К2п + 1>
что противоречит (3). Аналогично, если К2п = К2п+2, то
А2М + 1 С- ^2м = ^2п + 2у
что также противоречит (3). Равенство К2п-\ = К2п+2 влечет
K2n+2C=K2n+i, а равенство #2n = #2n+i влечет /С2л+1 с: Кгп+г-
Аналогично доказывается, что КоФК\ и КъФК2.
Следствие 2 показывает, что если для каждого п ^> 1
существует нормальная последовательность универсальных функций
для Кп, то для любого п !> 1 существуют множества,
принадлежащие точно п-му проективному классу. Следовательно, данная
классификация проективных множеств не может быть сведена
к меньшему числу классов.
Докажем теперь, что условие следствия 2 выполняется, когда
S = NN, п > 0, и база Ко представляет собой семейство
В = B(NN) борелевских множеств.
Построим нормальную последовательность универсальных
функций. Обозначим через Gq семейство открытых множеств
пространства (NN)<* и положим G = (J Gq.
q>0
Лемма 3. Существует нормальная последовательность
универсальных функций для семейства G.
Доказательство. Каждое открытое множество X е Gq
можно представить в виде суммы содержащихся в нем
окрестностей, т. е. декартовых произведений
NeoXNeiX ... XNe = П Ne
4 I <Q
где е—конечная последовательность натуральных чисел. С
помощью взаимно однозначной функции ас (стр. 106),
отображающей N на множество конечных последовательностей
натуральных чисел, можно представить каждую окрестность в виде
П No4aA ГДе Ъ<='Ы ДЛЯ /<?• ПуСТЬ фуНКЦИЯ £ = Т* (СМ.
j<q \ ]'* ч ч
стр. 105) взаимно однозначно отображает N на ЛЧ Тогда £>я{п)

$ 6. Универсальные функции
367
будет последовательностью из q членов £д(п, 0), £д(я, 1),. . .
- - - *Z>q(n,q— 1). Произвольную окрестность в (Л^)« можно
представить в виде
где n e Л;. Положим
я,(ф)= (J 0(фИ).
Функция Яд — универсальная для семейства Gq.
Действительно, для каждого ф множество #д(ф), будучи суммой
окрестностей, открыто. Если X <= Gq и ф — последовательность
натуральных чисел т, для которых 0(т)а X, то X = На(ц>).
Следовательно, множеством значений функции #q служит G9.
Осталось показать, что множество Tq = {{х, ф): лсе//д(ф)}
открыто. Это множество представляет собой сумму (J ^, m>
те N
где Га, т = {{х, ф): хеО(ф(/п))}, поэтому достаточно показать,
что открыто множество Tq,m. Предположим, что {х, ф) =
= <ф0, • • • , фд-Ь ф) S TQj пи Т. е.
<Фо> • ••> Ф,-1>^0(ф(т))= П ^ос^(Ф(т),/)'
или
ф <= Л/" с ДЛЯ /<0.
W ос^ (Ф (т), /) J ^
Пусть О- П ^ос^(Ф(т),/)ХЛ^ф|т+Р Т' е- °' ~ окрестность
точки (ф0, .. ., ф7_!, ф) в пространстве {NN)q+l. Тогда 0'аТ„ от.
Действительно, если (cpj, ..., ф^_,, ф^еО', то ср' 1т+1 = ф1т+, и
ф'еЛ^,, для /<я.
W ос^ (Ф (т), У) J V
Отсюда ф/(т) = ф(т) и, значит,
ф'еЛ^. , , ч для j<q.
/ асС7(ф (m), /) М J ч
Это показывает, что (ф^, ..., ф^_,)^ О (ф'(т)), или
<Фо>..., ф;-рф'>^г,,т>
что и требовалось доказать.
Лемма 4. Существует нормальная последовательность
универсальных функций для семейства Р{ (NN) аналитических
множеств.

368 fA x. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Доказательство. Пусть
Fxq (ф) = {NN)q П \х: V <х, ф> ^ Я,+1 (Ф) 1 =
К Ф )
= (Wfl{*: у«*,ф,Ф>£Г,+1)}.
Так как множество Гд+i открыто, то F\q(q>)—аналитическое
как проекция замкнутого множества. Если X — аналитическое
подмножество пространства (NN)v, то оно будет проекцией
(например, на q-ю ось) замкнутого подмножества У пространства
(NN)v+l (§ 4). Поэтому Y = (NN)<i+l— Яд+1(ф) для некоторого
<р, откуда X = /мд(ф). Наконец, множество {(х, ф): хе^^ф)} —
аналитическое, так как
х е F„ (Ф) ^ х <= (#")« Л V [<*, ф, ф) <£ Г?+1],
Ф
т. е. оно является проекцией замкнутого множества в (NN)v+l.
Лемма 4 показывает, что для семейства проективных
множеств условия следствия 2 выполняются в случае п = 1. Чтобы
обобщить этот результат на высшие проективные классы,
воспользуемся отображением, которое позволяет заменить»конечное
число проектирований одним.
Пусть h — фиксированное натуральное число. Для / < h и
произвольного феР положим (см. § 4) ф(;) = F [ф(Аа1 + /)].
neJV
Легко проверить, что если q > О, то функция
fqh- (фо> • •> Ф,7-1,Ф>-*<Ф0» •••» Ф^-МФ^» ..- Ф(Л~°>
взаимно однозначно отображает (NN)^+X на (NN)4+h.
Лемма 5. £сл^ п^-l, В принадлежит одному из
проективных классов Pn(NN) или Cn(NN) и В си {NN)(i+h, то множество
f~h(B) принадлежит тому же самому проективному классу и
содержится в (NN)Q+l.
Доказательство. Сохранение проективного класса
вытекает из следствия 7 § 5 и из замкнутости множества W =
= {{х,у)'- fqh(x) = y}. Чтобы доказать, что W замкнуто,
предположим, что {х,у) ^Vh
X = (фо, . . . , фд-1, ф), У = (l|?o, • • • , фд-1, Эо, • • • , Э/г-i).
Так как y=hfqh{x), то либо фг-=£ г|)г, либо ф^"> ф 0j по крайней
мере для одного г < q, j < h. Если, например, фг(я) Ф tyi(n), то
взяв в качестве окрестности U точки (х, у) множество точек
(х'*У') = Уо> • • Ф<-1>ф', *i, .... ^_рео> •••• ел-1>

§ 6. Универсальные функции
369
для которых <pj(л) = Фу (я) и фу (п) = -фу (л) (j<q), получаем, что
множества £/ и W не пересекаются. Аналогично показывается,
что если фО') =£ 0J-, то найдется окрестность точки (х,у), не
пересекающаяся с U?. Следовательно, дополнение к W открыто, а
само W замкнуто.
Теорема 6. Для каждого проективного класса Pn(NN) и
Cn(NN)1 я !> 1, существует нормальная последовательность
Яп), F'(n) универсальных функций.
Доказательство. Существование последовательности FW
было доказано в лемме 4. Достаточно показать, что
(I) из существования Яп> следует существование F'(n\
(II) из существования F'(n) следует существование Яп+1).
Полагая
<)(ф)=(^Г-П'!)(ф).
получаем (как легко показать) нужную последовательность
универсальных функций. Утверждение (I) доказано.
Для доказательства утверждения (II) положим
Fr)(<P) = 0v'Tn{*: у<*,*><=5#(ф)}.
Множество {(х, ф): х^ ^(^+1)(ф)} есть проекция множества из
класса Cn(NN), ибо
Следовательно, это множество принадлежит классу Prt+i (NN).
Так как множество Ff+l){q>) есть проекция множества F^+i (ф),
то ^"^(ф^Рдг-иОО для каждого ф. Осталось показать, что
каждое множество X из класса Pn+\(NN) можно представить
в виде ^(^+1)(ф) для некоторого ф0. Если X cz(NM) , то X
получается из множества £ ^ С„ (ЛЛУ) при помощи конечного
числа проектирований. Если h — число проектирований, то
Ba{NN)q+h.
Поскольку перестановка координат не изменяет проективного
класса, можно считать, что
хееХ^ V [<*, фо, ..., ifo-i) e Л]-

370 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Это условие эквивалентно условию
V[<x,cp(0\ .... Ф'^-'^В],
Ф
или
vl<*.<p>sf ;*(*)]•
ф
Так как множество Г^(В) принадлежит Pn+l(NN) (лемма 5),
то f~l (В) = F^lx (ф0) для некоторого ф0, откуда
х^ х - у [<*, ф> <= f;(;; (Фо)] - * ^ С° М.
что и требовалось доказать.
Из теоремы 6 следует, в частности, что в пространстве A/*v
для каждого п найдутся множества, принадлежащие п-ыу
проективному классу и не принадлежащие никакому низшему
проективному классу.
В заключение приведем примеры семейств, для которых
не существует нормальной последовательности универсальных
функций.
Теорема 7. Не существует нормальной последовательности
универсальных функций для семейства В борелевских множеств-
и для семейства Кос проективных множеств пространства NN.
Доказательство. Предположим, что
Ф—универсальная функция для семейства В f| 2 1 \для К^ П 2 ' ).
Достаточно показать, что множество {(г|э, ф): я|)^Ф(ф)} не является
борелевским (проективным). Если бы это множество было бо-
релевским (проективным), то множество {ф: ф£ф(ф)}, а
значит и {ф: ф^Ф(ф)}, было бы борелевским (проективным), ибо
операции идентификации координат и дополнения не выводят
из классов В и Коо. Из предположения, что существует
нормальная последовательность универсальных функций, следует, что
для некоторого ф0
{Ф: Ф ф Ф(Ф)} = Ф (ф0), т. е. Ф ф Ф (Ф) = Ф е= Ф (Фо).
Подставляя ф0 вместо ф, получаем противоречие.
В § 11 мы воспользуемся следующей теоремой, которую мож*
но легко доказать развитыми выше методами.

S б. Универсальные функции
371
°Теорема 8. Для произвольного п и для k > 1 классы
B(NN)f](NN)\ Pn(NN)[](NN)k и Cn(NN)[]{N")k
^-аддитивны и о-мультипликативны.
Доказате льство. Для нулевого проективного класса
теорема верна, поскольку он совпадает с семейством борелевских
множеств. Если теорема верна для класса 2/г + 1 (т. е. для
Pn(NN))1 то она верна и для класса 2/1 + 2 (т. е. для Cn(NN))y
потому что множества класса 2/7+2 представляют собой
дополнения множеств класса 2/2 + 1. Таким образом, достаточно
доказать теорему для множеств класса Pn+i(/ViY), предполагая,
что она верна для множеств класса Cn(NN). (Если п = 0, то
вместо Cn(NN) берем класс борелевских множеств.)
Пусть Xi^Pn+i(NN) и Xid (NN)k для /gJV. Тогда по
лемме 5 существует такое множество Y{ a (NN)k+\ что Y{^ Cn(NN)
и
х€= Xt= V [(х, е)е= Yt] для i<=N.
е
Следовательно,
i в L i \
откуда \JXi^Pn+l(NN)y ибо по предположению индукции
UYte=c'n{NN).
i
Чтобы показать, что ["]l,-GPn + 1(JViV), применим формулу
i
(10) гл. IV § 2 и получим
*efl^sAV «х> в>e),i)=VA «*> 0<m)>e yj
i i e em
(0<m) определяется, как на стр. 107).
Осталось показать, что множество {{х, 0): (х, 0<m>) <= Ут}
принадлежит классу Cn(NN). Но это множество совпадает с
множеством f~l(YmX NN), где / — функция, заданная равенством
/(л:, 0) = (х, 0<т)). Так как график функции / представляет собой
борелевское множество, то в силу следствия 7 § 5 теорема
доказана.
Упражнения
1. Доказать, что классы Pn(NN), n 7^ h замкнуты относительно
операции А.
2. Доказать существование нормальной последовательности
универсальных фуькций для семейств Fa, G&, Fab, G^a, ... в пространствах N^t

372 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
(NN)2, ... и вывести отсюда теорему об отношении включения между этими
семействами,
• 3. (Лузин) Пара (U, V), где U и V— подмножества пространства {NN)2,
называется универсальной парой для семейства К подмножеств
пространства NN, если для произвольных множеств Л, В е К существует такой
элемент фЕЛ/^ что Л = {я|з: (ф, -ф) е U} и В = {ф: (ф, ф) е F}. Доказать, что
если Т7 — нормальная последовательность универсальных функций для п-то
проективного класса Pn{NN) или Cn{NN), то пара (U, V), где £/ =
= {(ф, ф): ф е Т7! (/С* (ф))} и F = {(ф, ф>: 1|зе^ (L* (<р))}, универсальна для
семейства Pn{NN)[\NN или Cn{NN)(]NNt и множества £/ и V оба
принадлежат Pn(NN) или СП(Л^).
§ 7. Решета
В § 7—11 мы займемся применением теории порядковых
чисел к изучению проективных множеств пространства (NN)k.
Будем обозначать это пространство через X, a k будет
произвольным фиксированным натуральным числом (без потери
общности можно считать k = 1, см. § 4).
В применениях, о которых будет идти речь, мы будем
пользоваться специальным порядком в множестве 9> = \^Nn+x всех
п
непустых конечных последовательностей натуральных чисел.
Через о будем обозначать функцию, взаимно однозначно
отображающую множество 9> U {0} всех конечных
последовательностей натуральных чисел на множество N, для которой о(0)=0
(см. стр. 106).
Для произвольных последовательностей е е Nn, f e N™-
(п > 0, m > 0) положим
e-S.f^ V \(ek<fk)A Л (ep=fP)},
k < min (n, m) L p <k J
e-?2/^ V tf = e|»),
/г < m
e^f^l(e = f)V(e^lf)V(e^2f)}.
Отношение еНг/ означает, что последовательность /
является собственным отрезком последовательности е. Суть
отношения Hi объясняют следующие примеры:
(2,10)^,(3,10), (1)^,(5), (4,1,5)^(4,2,8,2).
Теорема 1. Отношение ^упорядочивает множество 9* по
типу ц.
Доказательство. Рефлексивность отношения Н.
очевидна.

§ 7. Решета
373-
Для доказательства антисимметрии предположим, что е ^if
и /Hi е. Если ни одна из последовательностей е и / не является
собственным отрезком другой, то либо е Ф f, либо существует
такое наименьшее число k<m'm(n, m), что eh = fh. Во втором
случае было бы еН/ и / Не. Но еН/ противоречит
неравенству fk<ek, a f^e противоречит неравенству fk > eh.
Следовательно, остается одна возможность е = /.
Для доказательства связности предположим, что еф] и
П(еН /). Если / есть собственный отрезок последовательности е,
то еНг/ и, значит, Н[. В противном случае существует такое
наименьшее число k < min (/г, m), что eh Ф fhl и так как "1 (е Н /),
то eft > /ft, откуда /Не.
Докажем теперь транзитивность отношения Н_. Очевидно, что
e^2f^2g->eh-2g.
Если ehjh2^ и k — такое наименьшее число, что екФ\ку
то ek > /ft и £ft > gft, ибо / — собственный отрезок
последовательности g и ер = fp = gp для р < k. Следовательно,
Если eb-2/c^ig и k — такое наименьшее число, что !кФ gkr
то fk> gk и fp = gp для р < k. Если длина последовательности е
больше й, то ek = fk> gk и ер = gp для р < й и, значит, е S~i g.
Если же длина последовательности е меньше й, то eh-2g,
поскольку 6j = fj = gj для всех членов последовательности е.
Следовательно,
Предположим наконец, что e£~i/£-ig, и пусть k и h — такие-
числа, что
ek>fk, P<k->ep = fpi
fh>gh, Q<h->fq = gr
Если й</г, то ek>gk и p<k-+ep=gp. Если &>/i, то eh<gh
и g <h-+eq = gq. Следовательно,
Эти четыре случая охватывают все возможности, и, таким
образом, транзитивность отношения^ доказана.
Далее, множество 9> не имеет первого и последнего
элементов. Действительно, если п > 0 и е = (е0, £ь • • ., £n-i), то
(е0 + 1, еи ..., en_,) S- e h- (e0, eu ..., еп-и 0).

374 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Множество У плотное. В самом деле, пусть e$~2f и е =
= (/о, •. . , fk-\), f = (/о,. . . , /ft-ь /л,..., fm), где k <, m. Тогда
последовательность (/0, /ь • • • , /ft-ь /ft + 1) лежит между e и /.
Предположим теперь, что e*>~\f и k — такое наименьшее
число, что екФ]к. Тогда eh > fk. Если длина последовательности
/ больше k + 1, то
е^{(е0, ..., ek-ufk9 fk+l + 1> = (/о> •••> /fe-i> /ь /fe + i + 0 ^i/-
Если же длина последовательности / равна k + 1, то
£?^2(£?0, ..., еЛ_,, еь 0) = (/0, ..., /fe_,, е*, 0) S-J.
Таким образом, множество 9> упорядочено, плотно и не
имеет первого и последнего элементов, т. е. это множество
типа г\.
Ф Теорему 1 можно доказать и другим способом. Пусть
До—множество всех рациональных чисел вида (2га + 1)/2п,
лежащих в открытом интервале (0, 1). Каждое число г <= R0 имеет
п
единственное представление вида 2 2~с*, где п > 0 и 0 < с\ <
<с2 < .. . < сп. Сопоставляя числу г последовательность е(г) =
■= (с\ — 1, с2— С\ — 1,...,сп — cn_i — 1), получаем взаимно
однозначное отображение множества R0 на 9?, причем г\^-г2==в
= е(гх)3.е(г2). #
Те о р е м а 2. Если ф е /V^, то ф | п h- ф | n+i 5^л я > 0.
Действительно, последовательность ф|п является
собственным отрезком последовательности ф|п+1-
Теорема 3. Пусть е{п) е Л^п для п<= N и k^ > 0. £сла
г(п) ^ ^(п+1) д^я я <= /V, го существует такая возрастающая
последовательность натуральных чисел рп, что kp ^n+1, w ио-
следовательность е(р") \п+1 является собственным отрезком
последовательности е^Рп+1Цп+2 для каждого n^N.
Доказательство. Если е(п)$-\е(п+1\ то е{0п)^е(0п+1\ Если
же е(?г) ^-2 £(п+1\ то e^} = е^+Ч Таким образом,
последовательность е(0п) не возрастает, а так как не существует бесконечно
убывающей последовательности натуральных чисел, то,
начиная с некоторого и, все ее члены равны. Пусть ро— первое число,
для которого
е^ = е^ при я>р0.
Тогда йРо>1 и e[nUi = е{Р9) \ъ при п>р0«

§ 7. Решета
375
Предположим, что s>0 и числа Pj таковы, что для j<s
Ро<р{< ... <ps-u kPj^j+\,
n>PI->(kn^j+l)A{e(n)\I+l = e(pO\j+l).
Рассмотрим последовательность чисел е[п) для п^ ps-{. Так
как еп \s = е^Рз-1Ц3, то для /г^р5_, длина последовательности
е{п) не меньше s и равенства е1/1* = e(.rt+1) верны для всех j<s.
Если е^-^з^, то последовательность е{п) имеет по
крайней мере s + 1 член. Если же e^Ps-^^-xe{n\ то найдется
такое число A<min(£p , &я), что e^s-^>efK Тогда /i>5 и
снова kn^s+l. Итак, длина всех последовательностей е{п}
для д^р5_, не меньше 5+1 и, значит, член ef] определен.
Для n^ps_x числа e{sn) образуют невозрастающую
последовательность. Следовательно, найдется такое наименьшее число-
р5>р5_,, что e^]^=e^s' для всех n^ps, а потому k ^s + 1
и /1>р5->(/гя>5+1)лИ|5+1 = ^и,).
Построенная по индукции последовательность чисел рп
удовлетворяет условию теоремы.
Следствие 4. £сли выполняются условия теоремы 3, то
существует такая бесконечная последовательность ф <= NN, что
для некоторой бесконечно возрастающей последовательности на-
туральных чисел рп
Ф U = ^(Prt) U+i для hzeN.
Действительно, в качестве ф можно взять последовательность,
заданную равенством ф„ = ^ , где рп есть п-й член
последовательности, построенной в теореме 3.
Введем теперь понятие решета ').
Назовем решетом каждую функцию L <= (2х) , т. е. функцию
с областью определения 9> и такую, что Le является
подмножеством пространства X для каждого е <= 9*. Решето L
называется открытым {замкнутым, борелевским, аналитическим и т. п.),
если для каждого е ^ 9 множество Le открыто (замкнуто, боре-
левское, аналитическое и т. п.).
Для произвольного решета L я х ^ X положим
IL(x) = {ee=9>: x^Le},
т. е. для каждого х множество Il{x) содержится в 9>.
*) Понятие решета ввел Лузин [2]. Для одного частного случая это
понятие рассматривал Лебег [1] еще в 1905 г.

376 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Обозначим через R(L) множество элементов х из X, для
которых существует такая бесконечная последовательность е<п)
элементов из IL{x), что е^ Ь- e<n+1) для n^N, т. е. x<=R
означает, что /jl(*) — не вполне упорядоченное множество.
Говорят, что множество R(L) просеяно через решето L.
Можно схематически представить функцию L как
подмножество плоскости, где 9 и X*—соответственно вертикальная и
горизонтальная оси, a Le — горизонтальный отрезок с ординатой е.
Если ех -$ е2, то говорят, что ех лежит ниже е2- Множество 1ь(х)
тогда состоит из тех е, для которых вертикальная прямая,
проходящая через х, пересекает Le. Просеянное множество R(L)
состоит из точек х, для которых проходящая через них
вертикальная прямая пересекает такие отрезки Le, что ординаты
точек пересечения не образуют вполне упорядоченного
множества (т. е. множество этих ординат содержит бесконечно
убывающую последовательность).
° Теорема 5. Множество, просеянное через аналитическое
решето, будет аналитическим.
Доказательство. По определению x^R(L) тогда и
только тогда, когда существует такая бесконечная
последовательность элементов из 9, что
en^-e(n+i) и x^Le(n) для всех n^N.
Полагая фп = а(е(п)), получаем, что
Ф„^0, ас(ф„)^ас(ф„+1) и *е=1ас(фя)
для всех n^N. Таким образом,
.Е^(1) = уЛ[(^о)л(сс(Фл)Ь((Фл+|))л(^1а[(,в|
Очевидно, что множество Qn nap (ф, х), для которых фп ф О,
борелевское.
Множество Qn nap (ф, х), для которых х <= L0c (Ф^
аналитическое. Действительно,
(ф, х) e=Q'n= V V [{х е Le) А (<р„ = q)A(a {e) = q)],
и, значит,
Qn = U U К*" X L^) П «Ф: <Vn = q}XX)f) Zeq],
где Zeq = 0 или Zeq = NNXX в зависимости от того, o(e)¥=q
или <т(е) = 9- Так как множество Л^ X Le — аналитическое, то и
Qn — тоже аналитическое.

§ 7. Решета
377"
Аналогично доказывается, что множество Q"', состоящее из
пар (ф,х), для которых ас(ф„)с- ас(фп+1), борелевское. Таким
образом,
хm R(L)^ V f<Ф. ^>efl(Q«ПQ'n ПQ»")l
ф L n J
и, значит, множество R(L) представляет собой проекцию
аналитического множества, т. е. само является аналитическим
(см. § 4).
Теорема 6. Каждое аналитическое множество можно
получить из замкнутого решета при помощи операции R.
Доказательство. Пусть M = (Jf}#cp|tt, гДе Н — такая
ф П
регулярная определяющая система, что для каждого е<=9*
множество Не замкнуто. Для простоты можно считать, что
Н0 = Х.
Пусть Le = Не для е <= 9*. Тогда L — замкнутое решето.
Покажем, что М = R(L).
Предположим сначала, что х е М, т. е. существует такая
последовательность ф£Л/ЛТ, что х е Г\Нч>\п = П ^ч>\п- Тогда
п п
<р\п^ IL(x) для каждого п > 0 и потому множество 1ь(х) не
будет вполне упорядоченным, поскольку ф|п^"ф|(м+1) для
каждого п > 0. Следовательно, x^R(L) и MczR(L).
Пусть теперь x^R(L), т. е. существует такая
последовательность элементов из 9>у что
е{п) е= /£ (х), т. е. х е 1е<я) = Я е(„ь
и е(п) Ь-е<п+1) для всех n^N. Согласно следствию 4, существует-
такая последовательность cp^NN, что е(Рп'\п = ф 'я для
некоторой бесконечно возрастающей последовательности натуральных
чисел рп- Так как система Н регулярна, тох^Н <р \czH tp \\ =
= ЯФ| и, значит, х^иС}Нц>\п> чт0 и требовалось доказать.
ф П
Из теоремы 6 не следует, что существует взаимно
однозначное соответствие между аналитическими множествами и
замкнутыми решетами: различные решета могут определять одни и те
же множеству. Действительно, пусть V — такой отрезок
множества 9, что V = т], и функция / отображает 9 на V с сохране-

378 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
лием порядка. Для произвольного решета L положим
( LfC(e), если eGl/,
I 0, если e&V,
тогда
(e<=V)-> [(e e IL. (x)) ^ (f (е) е /L (x))].
Таким образом, для произвольного е^^ получаем f{e)^IL'{x) =
= е<^ IL(x), т. е. ///(*) = f {Il(x))- Очевидно, что множества
IL(x) и hf{x) подобны, и, значит, R(L) = R(L'), хотя решета L
ъ Z/, вообще говоря, различны.
Пусть теперь v — элемент из 9*, следующий за всеми
элементами из V, и пусть L" отличается от U только тем, что Lv = X.
Очевидно, что lL" (*) = Il'{x) [){v}> откуда R(L") = R(L'). Итак,
справедлива
Теорема 7. Для каждого аналитического множества М
найдется такое замкнутое решето L, что М = R(L) и множество
IL{x) имеет для каждого х^Х последний элемент.
Аналогично, заменяя v последовательностью типа о, все
члены которой превосходят элементы из V, получаем, что
справедлива
Теорема 8. Для каждого аналитического множества М
найдется такое замкнутое решето L, что М = R(L), и ни для
какого х <= X множество 1ь{х) не имеет последнего элемента.
§ 8. Конституенты
Применим решета к анализу множеств класса Си т. е.
таких множеств, дополнения которых—аналитические.
Для данного решета L и данного порядкового числа а < Q
положим
Ca(L) = {x: IL(x) = a)
ii назовем это множество а-й конституентой, определяемой
решетом L.
Теорема 1. X-R(L)= \J Ca(L).
Действительно, х е X — R(L) тогда и только тогда, когда
существует порядковое число а, являющееся типом множества
/L(x). В этом случае a<Q и потому x^Ca(L).
Покажем, что в определенных условиях все конституенты
будут борелевскими множествами. Нам потребуется несколько
вспомогательных теорем.

§ 8 Конституанты
379>
Обозначим для произвольных решет L и L'
Т =Т (L, L') = {(x, х'): множество IL(x) подобно части
множества lL> (xf)}.
Т* = T*{L, L') = {(ху x'): существует в lL'(x') такой элемент е,
что множество IL (x) подобно части
отрезка 0(e) множества ///(л/)?*
Лемма 2. Если решета L и U борелевские, то множества Т
и Г* аналитические.
Доказательство. Утверждение
(х,х')^Т (1)
эквивалентно утверждению о том, что существует взаимно
однозначная функция, отображающая множество /ь(х) в 1ц (х') с
сохранением порядка. Так как множества 1ь(х) и IL> (xr) счет-
ны, то утверждение (1) можно сформулировать следующим
образом: существуют такие две бесконечные последовательности
е(0\ е"\ ... и /<°>, /(1\ ...
элементов из 9^, что 1l{x) совпадает с множеством членов
первой последовательности, a lL> [x') содержит в себе множество
членов второй последовательности, причем eW H_ еО') = fW zi f{j]
для всех i,j^N. Пользуясь отображением о (см. стр. 106),
можно это утверждение переформулировать иначе: существуют
такие последовательности ф, г|) <= N1*, что
Л [(ф„ Ф 0) Л fo„ Ф 0)], (2)
п
Л | (ас (Фп) е= 1L (х)) Л [(<тс (n) e lL (х)) - V (п = <р„)]} , (3)
A(ac(i|>n)e=M*')), (4)
/г
Л [(ас Ш d <тс (Ф/)) ^ (ас (ф,) d <тс (*,))]. (5>
Пусть Я,- — множество четверок (ф, ф, х, х') <= NN X NN X
ХХхХ, удовлетворяющих условию (/), 1 = 2, 3, 4, 5.
Очевидно, что Н2 — борелевское множество.
Множество Я5 также борелевское, ибо
(ф, -ф, х, х') €= Я5 = Л V {(<р, = р) Л (ф, = q)A (Ф/ = г) Л
г, / р, q,r, s
Л (V/ = s) Л [(ас (/>) Н <тс (г) ) ^ (ас (q) Ц ас (s))]},

380 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
откуда
#5=П U (AlpnA,rnBtq(]BlsnZpqrS),
if р, q, r, s
где
А™ = {<Ф> "Ф, *> х'): фт = /г}, £m„ = {(ф, -ф, л:, л:'): -фот = "}
и Zpgrs равно нулю, если утверждение
(стс(Р)^стс(г)) = (асЫЧас(5))
ложно, и NN X Л/^ X X X X, если оно истинно. Так как
множества Атп, Втп и Zpqrfi борелевские, то Я5 также борелевское.
Множества Я3 и Я4 борелевские. Докажем это только для
множества Я3, потому что доказательство для Я4 аналогично. По
определению множества 1ь(х)
<Ф, г|), а;, *') ^Нъ =
^AV{K^)AHLac(jA[^L0e(rt))vV(^n)]|,
п q \ р )
откуда
"з "QUI! И»,П(ЛГ" X ЛГ" х L/wXZ))n
П [(#" X N« X (X - L0c№) X X) U Лр„].
Следовательно, Я3 — борелевское множество, поскольку класс
борелевских множеств замкнут относительно операций
сложения, умножения, декартова умножения и взятия дополнения
(см. § 5).
Утверждение (1) эквивалентно утверждению
V [<Ф, -ф. х, х') е= Я2 П Я3 П Я4 П Я5],
т. е. Г — проекция борелевского множества, а потому Т —
аналитическое множество.
Аналитичность множества Г* доказывается аналогично,
только условие (4) заменяется условием
V Л [(ac (k) e lv (*')) Л (ac (i|>n) -? ас (Л)) Л (ас Ы е lL. (*'))].
/г /г
Множество На четверок, удовлетворяющих этому условию,
борелевское, а так как Т* — проекция множества Я2ПЯ3П
ПЯ4ПЯ5, то Г* — аналитическое множество.
°Теорема 3. Если L — борелевское решето, то каждая кон-
ституента Ca(L) принадлежит классу Р\[)Си т. е. представляет
собой аналитическое множество с аналитическим дополнением.

§ 8. Конституенты
381
Доказательство. Можно считать, что конституента
Ca{L) = Са непуста. Пусть х0 <= Са и Т = T(L, L). Очевидно, что
(х €= Св) -> «*, х0> еГ)Л ((хо, х) ge Г).
Обратно, пусть (*, х0) £ Г и (*0, х) <= Г. Так как (*, *0) е Г,
то множество 1ь(х) подобно части множества IL(xo). Последнее
имеет тип а, а потому 1ь(х) вполне упорядочено по типу ^а.
Аналогично из второго условия получаем, что тип множества
Il(x) не меньше а. Следовательно, 1ь{х) имеет тип а, откуда
Са = {х: «*, х0) еГ)Л «*<>■ *) ^ Г».
т. е. конституента Са представляет собой аналитическое
множество. Его дополнение состоит из тех х, для которых а)
множество Il(x) не будет вполне упорядоченным, либо Ь) 1ь{х) вполне
упорядочено по типу < а, либо с) IL{x) вполне упорядочено по
типу > а.
Множество элементов х, удовлетворяющих условию а),
аналитическое, ибо это есть R{L). Множество элементов х,
удовлетворяющих условию Ь), равно {х: {х, х0) е Г*}, а условию с)
равно [Л" — R(L)]C\{x: (x0, x) <= Г*}. Тогда
X - Са = R (L) U {х: (х, х0) е Г} U {*: (х0, х) е Г},
т. е. X — Са — аналитическое множество.
Следствие 4. Каждая конституента представляет собой
борелевское множество.
Действительно, семейство Р\ П Сг совпадает с Во (см. § 4).
Следствие 5. Каждое множество М gCi можно
представить в виде суммы &$! борелевских множеств.
Действительно, каждое такое множество равно X — R{L),
где L — борелевское решето. Следовательно, М есть сумма Ki
конституент, каждая из которых представляет собой
борелевское множество.
Упражнения
1. Вывести из следствия 4, что каждое множество, принадлежащее Рг,
можно представить в виде суммы Nj аналитических множеств, а
следовательно, и в виде суммы ttt борелевских множеств.
2. (Серпинский) Пусть Я — такая определяющая система, что множества
Не — борелевские. Положим
Н\ = О Я| для предельных порядковых чисел Л
6<л

382 Гл X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
(е\ k означает последовательность, полученную из е приписыванием к ней к
в качестве последнего члена). Доказать, что
Ф п а < Q, е е N
(суммирование производится по последовательностям, состоящим из одного
члена) ').
§ 9. Универсальное решето и функция t
Каждой точке ф пространства ЛЛУ сопоставим порядковый
тип /(ф) множества
{(тс (ф0), (тс (ф1), . .., стс (Фя), . . .} - {0} cz £\
упорядоченного отношением Н..
По теореме 1 § 7 и в силу универсальности типа г| (стр. 224)
для каждого счетного порядкового типа т найдется такая точка
Ф е NN, что /(ф) = т. Действительно, если т — порядковый тип
непустого множества Е а 9? и е0,е\,... — бесконечная
последовательность (возможно, с повторениями) элементов из Е, то
достаточно в качестве ф взять последовательность фп = о(еп).
Если £ = 0, то в качестве ф достаточно взять
последовательность, все члены которой равны 0.
Обозначим через Q множество тех ф, для которых /(ф) —
порядковое число.
Теорема 1. Множество NN — Q — аналитическое.
Существует такое борелевское решето U (точнее, решето класса F0)>
что NN — Q = R(U), и для каждого a<Q конституента Ca(U)
состоит из тех ф, для которых /(ф) = а.
Доказательство. Для е <= У положим
</, = {<р: V(ac(cpJ = <>)}.
Множество Ue принадлежит классу Fa, поскольку
?el/isV [(Ф„ = q) Л (q Ф 0) Л (ac(q) = e)],
п, q
а множество {ф: фп = q) = Anq замкнуто. Множество /[/(ф) со*
стоит из всех непустых последовательностей ас(фп), поэтому
/1/(ф)=/(ф), и теорема доказана.
]) Результат, сформулированный в этом упражнении, показывает, что
аналитическое дополнение можно разложить на сумму ttt борелевских
множеств, не прибегая к понятию решета (см. Серпинский [2]).

§ 9. Универсальное решето и функция t 383
Решето U называется универсальным. Такое название
объясняется тем, что среди множеств /[/(ф) встречаются
упорядоченные множества всех возможных счетных типов. В частности,
конституенты Ca(U) непусты для всех а<й]).
Используя множество Q и конституенты Са(£/), можно
провести геометризацию теории порядковых чисел < Q. Она
заключается в том, что каждое отношение /?(а, (3, у,. ..) между
порядковыми числами < Q можно заменить отношением /?' между
элементами пространства NN, имеющим место для точек
чр, г|), 0, ... тогда и только тогда, когда /?(/(ф), /(г|э), /(8), .. ) 2).
Здесь мы не будем больше останавливаться на этом вопросе,
введем лишь две операции, которые нам понадобятся в § 11.
Для ф£^ и q^N— {0} обозначим через е(ф, q)
последовательность я|), заданную формулой
( Ф,г, если ас(фп)Нас(?) или (p„ = 0,
*л"10, если ас(Ф,)ЬасЫ,
и положим е(ф, 0) = ф.
Теорема 2. Для каждого ф е NN и q ^ N — {0} множество
Л/(б(ф, q)) состоит из тех элементов множества Л/(ф), которые
-boc(q). Более того, для каждого q множество {(ф, гр) : гр =
= е(ф, У)} борелевское.
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует
из того, что /с/(ф) состоит из всех конечных непустых
последовательностей вида ас(фп), а /г/(е(ф, q)) — из тех
последовательностей ас(фп), которые Нас(д). Второе утверждение следует
из того, что
fo = е (Ф, q)\ = Л Щ„ = Ф„) Л [(Ф„ = 0) V (ас (Фп) -5 ас (q))]} V
V[^n=0)A(ac(q)=iae(Vn))])^
=* Л V ( (ф„ = р) Л №п = р) Л [(р = 0) V (ас (р) -S ас (?))]} V
V[(^ = O)A(0c(^?)d<Jc(p))])).
Теорема 3. £сла <7 =£ 0, то множество {ф: ос(^) —
последний элемент в 1и(ц>)} борелевское.
Действительно, это множество равно
| ф: V Л «ф„ = q) Л [(ф„ = 0) V (ас (Фт) Н 0е (</))]} I .
I п m J
1) Фактически (с точностью до несущественных деталей) множество Q
и решето U были определены еще Лебегом [1].
2) Этот способ .исследования порядковых чисел принадлежит Куратов-
скому. Подробное изложение можно найти в его монографии [9].

384 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Докажем теперь две важные теоремы о множествах класса
С\. Первая из них (теорема 4) показывает, что Q — в
некотором смысле универсальное множество, а вторая (теорема 7)
дает необходимое и достаточное условие того, чтобы множество
было борелевским.
Теорема 4. Для каждого множества Ма X из класса Сг
существует функция f^(NN)x, график которой {{х, ф): Ф = /(*)}
представляет собой борелевское множество и M = f~](Q).
Другими словами, каждое множество класса Сх является
борелевским прообразом множества Q.
Доказательство. Пусть е0, ей ••• — последовательность
всех элементов множества 9>.
Пусть X — M=R(L), где L — замкнутое решето, и f(x) —
последовательность ф, заданная формулой
| 0, если еп ф IL (х) (т. е. х ф L,J,
Ф" " 1 о (еп), если еп е= IL (х) (т. е. х €= I,J.
График функции / будет борелевским, поскольку
(/ (*) = Ф)^ Л {[(* ф Len) Л (Ф„ = 0)] V [(х <= Len) Л (Фв = о (еп))}},
а множества Le борелевские по предположению.
Пусть х^ X и ф = /(*). По определению Iu(q>) =1ь(х),
откуда /(ф) =1ь(х). Следовательно, /(ф) будет порядковым
числом тогда и только тогда, когда множество 1ь(х) будет вполне
упорядоченным. Таким образом,
(x£M) = (xgI-j;(L)) = {/ (ф) — порядковое число} ===
s(?eQ) = (f(x)eQ)>
а потому M=f~x (О).
Следствие 51). Множество Q не борелевское.
Доказательство. Пусть М <= С\ — не борелевское
множество пространства NN (см. § 6). По теореме 4 М = f~l(Q)\
поэтому
(ф е М) = (f (ф) е Q) see V [(/ (*) = Ф) Л (ф е= Q)],
ф
(tsJU)=A [(f W = ф)->(Ф е= Q)] ^ 1 V [(f (*) = ф) Л (Ф Ф <?)].
Ф ф
*) Этот результат принадлежит Лузину и Серпинскому [Ц.

§ 9. Универсальное решето и функция t
385
Если бы множество Q было борелевским, то из этих формул
следовало бы, что М также борелевское, ибо оно тогда
принадлежало бы классу PiflCi, а в пространстве NN пересечение Р\{\С\
совпадает с классом борелевских множеств (см. § 4).
Следствие б1). Понятие полного порядка для
подмножеств из N нельзя определить с помощью операций алгебры
высказываний и кванторов, рассматриваемых только на N.
Доказательство. Пусть
{/?—отношение полного порядка для подмножества из М}=Ф(Я)>
где Ф — высказывательная функция, построенная из выражений
вида xRy, x=y с помощью операций алгебры высказываний и
кванторов, рассматриваемых только на N.
Для ф е NN положим
/?Ф = «т, п): (Фда Ф 0) Л (фя ф 0) Л (ос (Фя) Н схс (Фт))}.
Очевидно, что {ф: mR^n}—борелевское множество, тогда и
{ф: Ф(/?ф)}, где Ф — высказывательная функция описанного
только что вида, — борелевское множество.
Следовательно, борелевским будет множество {ф*. /?ф —
отношение полного порядка}, что невозможно, так как
{/?ф — отношение полного порядка} =
^{множество I(j{q>) вполне упорядочено} = ф ^ Q.
°Теорема 7. Пусть М — произвольное подмножество
пространства X. Следующие три условия эквивалентны:
(I) М<=Р\ и для каждого борелевского решета L равенство
M = R(L) влечет существование такого а0<й, что все консти-
туенты Ca(L) для а>ао пусты,
(II) существуют борелевское решето L и число ао<й, для
которых M = R(L) и Ca(L) = 0 при а > а0,
(III) MePiflC,.
Доказательство. (I) ->■ (И). Действительно, если М^Ри
то M = R(L) для некоторого борелевского решета L. В силу
условия (I) для каждого такого решета существует такое
порядковое число а0 < й, что все конституенты с индексами > ао пусты.
(II)-* (III). По условию-(И) Х-М= (J Ca{L)= (J Ca(L).
а < Q а < ап
Каждая конституента Ca(L) представляет собой борелевское
1) Результат принадлежит Тарскому [5], а приведенное здесь
доказательство — Куратовскому [7].

386 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
множество и потому сумма счетного числа конституент также
борелевская. Следовательно, множества X — М и М
принадлежат классу Pj П С\.
(III) ->- (I). Пусть М принадлежит классу PiHCj и L — такое
борелевское решето, что М = R(L). Предположим, что для
произвольно больших а существуют непустые конституенты
C«(L).
Пусть T=T(U, L). Тогда
(ф£«= V «ф,*>е=П. (О
х ф. М
Действительно, если хф.М и (фд)еГ, то множество Лт(ф)
подобно некоторому подмножеству множества Il(x), т. е.
подмножеству вполне упорядоченного множества, а потому само
вполне упорядочено, т. е. ф ^ Q.
Обратно, если ср е Q и /[/(ф)=а, то существует точка х, не
принадлежащая М и такая, что 1ь(х)>а. Следовательно,
(ф, х) е 7\ и формула (1) доказана. Так как дополнение
множества М аналитическое и Т—аналитическое множество (см.
лемму 2 § 8), то в силу (1) множество Q также аналитическое.
Так как Q^CU то QePiDCi, откуда Q — борелевское
множество (как подмножество пространства NN).
Таким образом, предположение, что существуют непустые
конституенты с произвольно большими индексами, ведет к
противоречию.
Следствие 81). Множество МаХ является борелевская
тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий (I) —
(III) теоремы 7.
Упражнения
1. Пусть М — борелевское множество и а — порядковое число < Q.
Построить решето L, для которого R(L) = М и Са (L) Ф 0.
2. (Лузин) Показать, что если L — борелевское решето в NN и Е—
аналитическое множество, содержащееся в X — R(L), то найдется такое
порядковое число a0<Q, что Е cz M Ca(L).
а < а0
Указание. Примените рассуждения, аналогичные использованным при
доказательстве следствия 8.
3. Доказать, что если L — борелевское решето, то множества {*: /. (х) — г\\
и [х: IL (х) = со*} борелевские 2).
1) Это следствие было доказано Лузиным [2, стр. 71].
2) См. Хартман [1]. Скотт [1] доказал, что для каждого порядкового типа
т множество {х • lf<(x) = т}— борелевское (см. также Рыль-Нарджевский [1]).

ф 10 Теорема о редукции и вторая теорема отделимости 387
§ 10. Теорема о редукции
и вторая теорема отделимости
Пусть К—произвольное семейство множеств. Говорят, что
К обладает свойством редукции, если сумму произвольных
множеств М], М2 из К можно представить в виде Zx U Z2, где Zx и
Z2— непересекающиеся множества, принадлежащие К и
содержащиеся соответственно в Мх и М2, т. е.
ZX[}Z2 = MX[}M29 Zx()Z2=*0, ZiCiMt для /=1,2. (1)
°Т е о р е м а I1). Семейство CX = CX(NN) дополнений
аналитических множеств обладает свойством редукции.
Доказательство. Пусть X—- Mi = R(Lt), г=1, 2,
причем борелевские решета Lx и L2 выбраны так, чтобы для
каждого igX множество lix {x) имело последний элемент, а
множество h2{x) не имело последнего элемента (см. § 7).
Положим
Zx={x: (x,x)<£T(L2,Lx)}f\Mx,
Z2 = {x: (x,x)<£T(Ll9L2)}nM2.
Множества Z2 принадлежат классу Сх (см. лемму 2 § 8) и
ZlczMi для /=1, 2. Более того,
х <= Z, == (л: е Мх) Л [h2{x) не подобно никакой части
множества /l,(*)L
х е Z2 = (л: е М2) Л [hAx) не подобно никакой части
множества IlAx)\-
Множества Zx и Z2 не пересекаются. Действительно, если бы
нашлась точка x^Zx[\Z2, то оба множества IlAx) и IlAx)
были бы вполне упорядоченными и ни одно из них не было бы
подобно никакой части другого, что противоречит основным
свойствам вполне упорядоченных множеств.
Осталось показать, что MX{J M2cz ZX\J Z2. Если х ^ Мх — Zx>
то hAx) вполне упорядочено, a hAx) подобно его части.
Отсюда х е М2 и IlAx) не подобно никакой части множества
IlAx)> так как по предположению типы множеств hx{x) и IlAx)
различны.
Следовательно, ieZ2 и Mj — Zx cz Z2. Аналогично можно
показать, что Л12 — Z2czZx. Таким ^образом, MtCzZx{JZ2 для
f = 1,2, и теорема доказана.
Свойство редукции тесно связано со вторым принципом
отделимости. Говорят, что для семейства К выполняется второй
]) См. Куратовский [5], Лузин [2].

388 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
принцип отделимости, если для двух произвольных множеств
#ь Н2^К существуют такие множества Du D2, что
H{-H2a:D2, H2-HxaD{i
АП£>2 = 0, Х-П{^К, i=l, 2.
Следствие 21). Для семейства Р\ выполняется второй
принцип отделимости.
Доказательство. Применяя теорему о редукции к
множествам X — #г-, получаем множества Diy принадлежащие
семейству С\ и такие, что
(X-Hl)[j(X-H2) = Dl[)D29 Dtc=:X-Hh /=1,2.
Тогда Hi()Di = 0 для * = 1, 2 и потому
я2-я1 = я2п[(Х-я1)ии-я2)] = я2п(Аид2) = я2ПА;с:/)1.
Аналогично И\ — Я2 cz D2.
П. С. Новиков [1] показал, что если X = NN (или, в более
общем случае, если X — полное сепарабельное пространство), то
свойство редукции выполняется для семейства Р2, а второй
принцип отделимости — для семейства С2. Для других
проективных классов свойство редукции и второй принцип отделимости,
по-видимому, не зависят от аксиом теории множеств. В то же
время свойство редукции для классов Рп (п^>2) и второй
принцип отделимости для классов Сп (п^>2) не противоречат
аксиомам теории множеств2).
Упражнения
1. Показать, что если свойство редукции выполняется для семейства К,
то второй принцип отделимости выполняется для семейства С (К) всех
дополнений множеств из К.
2. Говорят, что для семейства К выполняется первый принцип
отделимости, если для произвольных непересекающихся множеств Ми М2 е К
существует такое множество Е е КГ[С (К), что М\ cz E и Е(]М2 = 0.
Показать, что если свойство редукции выполняется для семейства К, то первый
принцип отделимости выполняется для семейства С (К).
3. Вывести теорему 6 § 4 из упражнения 2 и теоремы 1.
4. Показать, что для семейства С\ в пространстве NN не выполняются
ни первый, ни второй принципы отделимости.
Указание. Пусть (U, V) — универсальная пара для семейства Сь причем
U и V — дополнения аналитических множеств (см. упражнение 3 § 6). По
свойству редукции найдутся такие множества Ux cz U, V\ cz V, что U\J V =
= U\ U V\. Если бы их можно было отделить борелевским множеством W,
то функция F (ф) = {ф: (ф, ф) е W) была бы универсальной для семейства
борелевских подмножеств пространства N и множество {(ф, ф): ф е F (ф)}
1) См. Лузин [3].
2) См. Аддисон [1].

§ //. Проективность множеств, определенных по индукции 389
'было бы борелевским, что невозможно (см. § 7). Заметим, что для
семейства Сх второй принцип отделимости влечет первый принцип
отделимости.
§ 11. Проблема проективности множеств,
определенных по трансфинитной индукции
Пусть Н — функция, ставящая в соответствие каждому
множеству Ma (NN)h = X множество Н(М)аХ. По теореме об
•определениях по индукции для каждого ZczX существует такая
последовательность типа Q, что D0 = Z, /)|+1 = #(/)|), D^ =
= (J &Ь если X — предельное порядковое число.
Пусть Е= \J D\. В этом параграфе мы исследуем вопрос
о проективности множества Е1).
Воспользуемся общей идеей геометризации порядковых
чисел. Положим
D' = {(<p,x)l (q>€EQ)A(*€EDMq)))}.
Очевидно, что х е £ = V [(ф, х) е £)']. Поэтому для вычисле-
ф
ния проективного класса множества Е достаточно найти
проективный класс множества D'.
Обозначим через А№ множество {у: (ф,//)еЛ}, где Лс
cz NN X У, У — произвольное пространство. Проективные классы
Pn(N")(](NN)k и Cn{NN)n{NN)k будем обозначать Pn,k и
Cnth или просто Рп и Сп, если k фиксировано.
Определение. Функция Н^{2Х) называется
проективной класса Рп(Сп), если для каждого множества А^Рп,к+2
(А <= СП} k+2) множество {(ф, ф, х): х е А^Щ принадлежит
классу Рп, и+2 {Сп, м-2).
В дальнейшем мы будем рассматривать только функции
класса Рп, но все наши рассуждения без труда можно перенести
на функции класса Сп.
Лемма 1. Если Н — функция класса Рп (п^- 1), то
(М cz X) П (М €= Рп)-> Н(М) е Рп.
Доказательство. Если М е Рп, то А = NN X NN X М
принадлежит классу Рп, ь+2, а потому и множество
В = {(ф, г|>, х): х е Я(Л(Ф)(Ф))) = {(Ф, ф, х>; * е Я (М)}
*) Эта проблема в более общем виде была решена Куратовским [61.

390 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
принадлежит классу Рп, л+2- Следовательно, Н(М)—проекция
множества В:
х €= Н(М) = V [<Ф, ф, х) е 5].
ф. Ф
Таким образом, Я(М) GPn, поскольку я>1.
Лемма 2. Если Z^Pnfk и Н — проективная функция
класса Рп (п > 1), то Di <= Pn> ft для всех g < Q.
Доказательство. Пусть /( = {£<Q: D^ <= Рп} и l^(a)cz /С.
Согласно принципу индукции, достаточно доказать, что а^К.
Для а = 0 это очевидно, ибо D0 = Z ePn. Если а — предельное
порядковое число, то Da — сумма счетного числа множеств
класса Рп, поэтому Da^Pn (см. § 6). Наконец, если а =
= Р + 1, то D$^Pn по предположению индукции, тогда Da =
= H(D$) s Рп по лемме 1.
Лемма 3. При тех же условиях, что в лемме 2, сумма
{J (Ci(U)X D^) принадлежит классу Рп, л+ь
к«
Доказательство. Действительно, конституента С$(£/)
представляет собой борслевское множество, а класс Рп замкнут
относительно операций счетного суммирования и декартова
умножения.
Положим
KQ = {(?'- oc(q) — последний элемент множества /^(ф)}.
В теореме 3 § 9 было доказано, что Кя — борелевское
множество. Обозначим через Т множество T(U,U) (§ 8). Для
Ф, \|)gQ условие /(ф) ^/(г|)) эквивалентно условию (ф, \р) <= Т.
Лемма 4. Если Z <= Р„, Я — функция класса Рп (п > 1)
w (ф, л:) <= D', то существует такое множество A с Л^ X А', ^то
(ф, х)^Л, (1)
^eCo^^/^Z, (2)
^^Q)A((^^^T)A^^Kq)A(gфO)^(A^^H{Aв^q)))\ (3)
(♦ед)Л((*,Ф>ЕГ)Л Л (Ф^**)-*М(Ф,= U Л(в(Ф>д,)), (4)
^PrtiH, (5)
Обратно, если существует множество Л, обладающее
свойствами (1) — (5) и ф <= Q, то (ф, x)^D'.

§ //. Проективность множеств, определенных по индукции 391
Доказательство. Прямое утверждение леммы следует
из того, что множество
А= (J (C*(£/)XD6)
обладает свойствами (1) — (5).
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что А обладает свойствами (1) — (5) и qp e Q. Пусть ос = /(ф).
Покажем индукцией по р, что если р <^ а, то
<(ф) = р->Л(ф) = 03. (6)
Обозначим через У множество, состоящее из всех счетных
порядковых чисел >а и тех порядковых чисел ^а, для
которых верно (6). Предположим, что W($) cz У. Достаточно
доказать, что ре У. Очевидно, можно считать, что р^а. Если р = 0,
то р удовлетворяет условию (6), так как ^('ф) = 0 означает, что
Ч>е=С0(1/), и тогда по (2) Л^> = Z = Р0.
Если P = y+1 и ^(it))=P, то hity) =Y+1 ^a- Поэтому
(ф, ф) g Г, \|)eQ и существует такое число q4=Q, что oc(q) —
последний элемент множества Iuity), т. е. ф ^ Kq. Тогда в силу
(3) Л(*) = Я(Л«*.«))), а так как (см. § 9) *(е(ф, q)) = у е= У,
то >!<«<*• «»=DY и i4«» = #(DY)=DY+! = Dfl.
Если р — предельное порядковое число и /(г|э)=р, то /t/(i|))^
•<а, откуда гр е Q и (ф, <р) ^ Т. Кроме того, ty ф Кя для всех
натуральных д=£0. В силу (4) Am = \J Хг<^,ц)). С другой сто-
роны, <(e(i|5, #)) <*(г|э) =p для каждого #, причем каждое
порядковое число y<P можно представить в виде ^(e(\f>, #)), где
q — отличное от нуля натуральное число. Так как /(e(i|), q) )gF,
то
Л(ф) = U A(.«,,)>= U ^v = ^.
и формула (6) доказана. Подставляя в нее р = /(ф) и if> = (p,
получаем A^ = Dm). В силу (1)
(Ф, х)ЕСПф)((/)ХА(Ф)С:1),)
и лемма доказана.
Пусть теперь Z7 — такая универсальная функция для класса
Рп,и+и что множество
W = {{Q,x): xGf(e)}
принадлежит классу Pn,h+2- Существование такой функции было
доказано на стр. 369. Заметим, что по определению
W{Q)=F{Q).

392 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
Каждое множество А е
*п,k+i можно представить в виде
F(Q), т. е. в виде W^\ причем ^e>^Pn>ft+1 для каждого 6.
Подставляя A = W^ в лемму 4, получаем ее новую
формулировку:
Лемма 5. Если Z е Рп> и и Я — функция класса Рп, то
условие (ф, х) е D' эквивалентно существованию такой точки
6 е Л^, «/то (Эля всех «ф
((e,?,x)Gf)A(9EQ), (7)
f^Co(f/)->(lF(0)(lt) = Z), (8)
Л ^^Q)A{{^v)^T)A^^Kq)M^W^H(W^^^% (9>
(« е Q) Л «ф, Ф) е Г) Л Aq (* <£ /С,) ->
V <7=И=0 /
Эта лемма позволяет решить проблему проективности
множества D'. Действительно, по лемме 5
<Ф, х) €= U = V Л [Ф, Л Ф2 Л Ф3 Л Ф4],
0 ф
где 01 — Ф4 — высказывательные функции (7) — (10).
Пусть Яг = {(ф, х, 0, -ф): Фг-} для /=1, 2, 3, 4. Тогда
<Ф,*>еЕ/)'= V Л[(ф,л:,е,г|Э>еЯ1ПЯ2ПЯзПЯ4]. (И)
е ф
Лемма 6. £а/ш я!>1, то множества Hi принадлежат
классу Cn+i, м-з для t=l, 2, 3, 4.
Доказательство. Множество Нх получается из
множества [WXNN] П [A^XA^XQXX] с помощью перестановки и
отождествления координат. Поэтому Н{ принадлежит классу
Рп, ft+з, ибо W е Рп, м-2, Q e Cif I cz Pnt i. Следовательно, Я1 e
^ Cn+i, ft+з-
Множество Я2 можно задать при помощи эквивалентностей
{cpiXiQ^)^H2^^^C0(U))V A\(y^Wie)m)^(y^Z)}^
^A{(4<£C0(U))V№,by)^WA(y^Z)]V
у
V [«в, Ч>, у)фЩМуф Z)]} ш= 1 V fl+ е С0 (£/)] Л
Л [«в, *, г/> ^ Ю V (г/ Ф Z)] Л [«в, г|), y)ef)V(je Z)]}.
Высказывательная функция в в фигурных скобках
определяет множество, представляющее собой произведение борелев-

§ 11. Проективность множеств, определенных по индукции 393
ского множества (первый сомножитель в квадратных скобках),
множества класса Сп (второй сомножитель в квадратных
скобках) и множества класса Рп (третий сомножитель в квадратных
скобках). Следовательно, это множество принадлежит классу
Рп+\- Записывая перед высказывательной функцией © квантор
существования V, мы не изменим проективного класса мно-
v
жества, определенного этой функцией, потому что класс Рп+\
замкнут относительно операции проектирования. Таким
образом, высказывательная функция ~~] V ® определяет множество
у
класса Сп+\.
Для множеств Я3 и Я4 рассуждения аналогичны. Множество
#з можно определить при помощи эквивалентностей
<Ф, х, 6, -ф) €= #3 =
- Д {е«(ф' ^v ^[{у е г(еиф))"{уЕЕ //(r(e)(8("' фщ^
= Л Me>,^)v[(<e,^
V[((e9^y)^W)A(y^H(W{Q)^^))]}t (12)
где @q — высказывательная функция
П[(я|)gQ)A «ф, ф)еГ)Л(фЕ Kq)l
Очевидно, что высказывательная функция Sq определяет
множество класса Р2 (так как Q — множество класса Сь Т —
аналитическое множество и Kq — борелевское множество).
Высказывательная функция (0, я|), у) ^ W определяет
множество класса Рп, так как W е Рп. С другой стороны,
высказывательная функция 1/еЯ(Р^^) определяет множество
класса Рп, так как Я— функция класса Рп. Следовательно,
высказывательная функция
определяет множество класса Рп. Можно показать, что
высказывательная функция, стоящая в последних квадратных
скобках в правой части в (12), определяет класс Сп. Отсюда следует
(подобно тому, как это было для множества Яг), что Я3 е
е Cn+i, k+3- Аналогично из эквивалентности
<Ф, х, 9, -ф> е Я4 =
= Л V |в;у[«е,ф,г/)^Г)Л V (<9,е(^),#)еЕ Г)1 V
У q ФОЛ I ЯФО J
V [«в, Ч>, у) & W) Л Ло«в, в(+, ?), у> 9ё Г)]} J

394 Гл. X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств
где в* — высказывательная функция.
получаем, что #4 ^ Сп_и, ь-ьз-
Из формулы (11) и леммы 6 вытекает
Теорема 1. Если Z^PUik и И — проективная функция
класса Рп (п^> 1), то D' и Е — проективные множества класса
Рп+2-
Доказательство. В силу (11)
(Ф, х) €= D' = V 1 V ((Ф, х, 9, ф> ф Я, П Я2П Я3П Я4).
е ф
Дополнение множества Я1ПЯ2П//3П//4 принадлежит классу
Рп+\. Квантор V соответствует операции проектирования и,
Ф
следовательно, дает множество того же самого класса Рп+и
применение операции отрицания дает высказывательную функцию,
определяющую множество класса Cn+i, а повторное
проектирование, соответствующее квантору V, дает множество класса Рп+2-
е
Из доказанного выше результата и эквивалентности
х €= Е = V «Ф, х) <= D')
ф
следует, что теорема верна и для множества Е.
Аналогично можно показать, что если Z^Cn^, a H —
проективная функция класса Сп (п> 1), то множества D' и Е
принадлежат классу Рп+2-
Проверка проективности функции Н и вычисление ее класса,
вообще говоря, не представляет трудности, если
хееН{М) = Ф(х, М),
где Ф — высказывательная функция, в которой связанные
переменные ограничены множествами /V и NN. Например, если все
кванторы, фигурирующие в Ф, связывают переменные,
пробегающие множество натуральных чисел, то Н — борелевская
функция.

Л ИТЕРАТУРА
Аддисон (Addison J.)
1. Separation principles in the hierarchies in classical and effective
descriptive set theory, Fund. Math., 46 (1959), 123—135.
Банах (Banach S.)
1. Un theoreme sur les transformations biunivoques, Fund. Math., 6 (1924),
236—239.
Банах, Куратовский (Banach S., Kuratowski K.)
1. Sur une generalisation du probleme de la mesure, Fund. Math., 15 (1929),
127—131.
Бахман (Bachman H.)
1. Transfinite Zahlen. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete,
Berlin, 1955.
Бернайс (Bernays P.)
1. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 2 (1937), 65—77.
2. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 6 (1941), 1 — 17,
133—145.
3 A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 8 (1943), 89—106.
4. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 13 (1948), 65—79.
5. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 19 (1954), 81—96.
Бернштейн (Bernstein F.)
1. Untersuchungen aus der Mengenlehre, Math. Ann., 61 (1905), 150.
2. Zur theorie der trigonometrischen Reihen, Leipziger, Berichte, 60 (1908),
329.
Биркгоф Г.
1. Теория структур, ИЛ, М., 1952.
Больцано Б.
1. Парадоксы бесконечности, Одесса, 1911.
Б ор е л ь (В о re 1 Е.)
1. Lemons sur la theorie des fonctions, Paris, 1898.
2. Elementes de la theorie des ensembles, Paris, 1949.
Б р у н с (В г u n s G.)
1. Darstellungen und Erweiterungen geordneter Mengen I, Crelles Journal,
209 (1962), 167—200.
Бурали-Форти (Burali-Forti C.)
1. Una questiene sui numeri transfiniti, Rend. Circ. Mat. Palermo, 11 (1897),
154—164.
Бурбаки Н.
1, Теория множеств, «Мир», М., 1965.

396
Литература
Бэр (Baire R.)
1. Lemons sur les fonctions discontinues, Paris, 1905.
Валле-Пуссен (ValleePoussin Ch.)
1. Integrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Baire, Paris,
1936.
Ван Хао, Мак-НотонР.
1. Аксиоматические системы теории множеств, ИЛ, М., 1963.
Винер (W i e n e r N.)
1. A simplification on the logic of relations, Proc. Camb. Phil. Soc, 17,
(1912—1914), 387—390.
Витали (V i t a 1 i G.)
1. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna,
1905.
Boot (VaughtR.)
1. On the equivalence of the axiom of choice and a maximal principle, BulL
Amer. Math. Soc, 58 (1952), 66.
Гамель (Н a m e 1 G.)
1. Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktional-
gleichung f(x + y)=f(x) +f(y), Math. Ann., 60 (1908), 459—462.
Генкин (Henkin L.)
1. La structure algebrique des theories mathematiques, Paris, 1955.
Гессенберг (Hessenberg)
1. Grundbegriffe der Mengenlehre, Gottingen, 1906.
Гёдел ь (Go del K.)
1. The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum
hypothesis with the axiom of set theory, 4-е изд. Princeton, 1958.
(Русский перевод: Г ё д е л ь К., Совместимость аксиомы выбора и
обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, УМН, 3, № 1
(1948), 96—149, был сделан с 1-го издания этой работы, вышедшего
в Принстоне в 1940 г.)
Гоборский (HoborskiA.)
1. Une remarque sur la limite des nombres ordinaux, Fund. Math., 2 (1921),.
193—198.
Гретцер (GratzerG.)
1. A generalization of Stone's representation theorem for Boolean algebras,
Duke Math. /., 30(1963), 469—474.
Д ев и с (Davis R.)
1. The number of structures of finite relations, Proc. Amer. Math. Soc, 4,
№ 3 0953), 486—494.
Дедекинд (DedekindR.)
1. Was sind und was sollen die Zahlen, Braunschweig, 1881.
Джекобсталь (Jacobstahl E.)
1. Uber der Aufbau der transfiniten Arithmetic, Math. Ann., 66(1909),
145—194.
йонсон (Jonsson B.)
1. On the representation of lattices, Math. Scand., 1 (1953), 193—206.
2. Universal relational systems, Math. Scand., 4 (1956), 194—208.

Литература
397
3. Homogeneous universal relational systems, Math. Scand., 8 (1960),
137—142.
4. Representations of complemented modular lattices, Trans. Amer. Math.
Soc, 97 (1960), 64—94.
5. Representations of the relatively complemented modular lattices, Trans.
Amer. Math. Soc, 103 (1962), 272—303.
Понсон, Тарский (Jonsson В., Tarski A.)
1. Boolean algebras with operators, Amer. Math., 73 (1951), 891—939;
74 (1952), 127—174.
Кантор (Cantor G.)
1. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, /. Reine Angew. Math., 84
(1878), 242—258.
2. Uber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, Math. Ann., 20 (1882),
113—121.
3. Uber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, Math. Ann., 21 (1883).
4. Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann., 46
(1895), 481—512.
5. Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann., 49
(1897).
Канторович, Ливенсон (Kantorowitch L., Livenson B.j)
1. Memoir on analytical operations and projective sets, Fund. Math., 18
(1932), 214—279.
К е й с л е р X.
1. Некоторые применения теории моделей к теории множеств, сб.
«Математическая логика и ее применения», изд-во «Мир», М., 1965,
стр. 90—97.
Кейслер, Тарский (KeislerH. J., Tarski A.)
1. From accessible to inaccessible cardinals, Fund. Math., 53 (1964), 117—
199, 225—308.
Кен и г Д. (Konig D.)
1. Uber eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche, Acta Litt.
Ac. ScL Hung. Fran. Josep., 3 (1927), 121—130.
К ё н и г Ю. (К б n i g J.)
1. Zum Kontinuumproblem, Math. Ann., 60 (1904), 177—180.
2. Sur la theorie des ensembles, Compt Rend. Acad. ScL, 143 (1906),
110—112.
К л и н и (К 1 е е n e S.)
1. Heerarchies of number theoretic predicates, Bull. Amer. Math. Soc, 61
(1955), 193—213.
Кочен (Kochen S.)
1. Ultraproducts in the theory of models, Ann. Math., 74 (1961), 221—261.
КуратовскийК. (KuratowskiK.)
1. Sur la notion de l'ordre dans la theorie des ensembles, Fund. Math.,
2 (1921), 161 — 171.
2. Une methode d'elimination des nombres transfinis des reasonnements
mathematiques, Fund. Math., 3 (1922), 89.
3. Sur l'operation Л —d'analysis situs, Fund. Math., 3 (1922), 182—199.
4. Evaluation de la classe borelienne on projective d'un ensemble de points a
l'aide des symboles logiques, Fund. Math., 17 (1931), 249—272.
5. Sur les theoremes de separation d;-?ns 1я theorie des ensembles, Fund.
Math., 26 (1936), 183—191.

398
Литература
6. Les ensembles projectifs et l'induction transfinie, Fund. Math., 27
(1936), 269—276.
7. Les types d'orders definissables et les ensembles boreliens, Fund. Math.,
29 (1937), 97—100.
8. Sur une caracterisation des alephs, Fund. Math., 38 (1951), 14—17.
9. Топология, т. I, «Мир», М., 1966; т. II, «Мир», М., 1969.
К у р а т о в с к и и, Тарский (Kuratowski К., Tarski A.)
1. Les operations logiques et les ensembles projectifs, Fund. Math., 17
(1931), 240—248.
Лебег (LebesgueH.)
1. Sur les fonctions representables analytiquement, /. Math., 1905, 213—214.
Л е в и A. (Lev у А.)
1. On models of set theory with urelements, Bull. Acad. Polon Sci. ser.
math phys., astr., 8 (1960), 463—465.
2. Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory, Pacific J.
Math., 10 (1960), 223—238.
Л ев и Б. (Levi В.)
1. Intorno alia teoria degli aggregati, R. Instituto Lombardo di science e
lettere, Rendiconti (2), 35 (1902), 863—868.
Лось (Los J.)
1. Quelques remarques theoremes et problemes sur les classes definissables
d'algebres, сб. «Mathematical interpretations of formal systems»,
Amsterdam, 1955.
2. Linear equations and pure subgroups, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math,
and phys., 7 (1959), 13-18.
3. Some properties of inaccessible numbers, сб. «Infinitistic Methods»,
Warszawa, 1960, crp. 21—23.
Лузин Н. (Luzin N.)
1. Sur un probleme de M. Baire, Compt. Rend. Acad. Sci., 158 (1914), 1259.
2. Sur les ensembles analytiques, Fund. Math., 10 (1927), 1—95.
3 Лекции об аналитических множествах и их приложениях, М, 1953.
(Впервые на французском языке в Париже, 1930.)
Лузин, Серпинский (Luzin N., S i e r p i n s k i W.)
1. Sur un ensemble non mesurable (В), J. Math., 1923, 68.
M а к к и н с и, Т а р с к и й (М с К i n s е у J., Tarski A.)
1. The algebra of topology, Ann. Math., 45 (1944), 141 — 191.
2. On closed elements in closure algebra, Ann. Math., 47 (1946), 122—162.
Макнейл (McNeill e)
1. Partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc, 42 (1937), 416—460.
Мало (Ma h 1 о Р.)
1. Ober lineare transfinite Mengen, Leipziger Berichte, math.-phys. Klasse,
63 (1911), 187—225.
Марчевский (Marczewski E.)
1. Independence d'ensembles et prolongement de mesures, Coll. Math.,
1 (1948), 122—132.
2. Concerning the symmetric difference in the theory of sets and in
Boolean algebras, Coll. Math., 1 (1948), 200—202.
M и р и м а н о в (Mirimanov D.)
1. Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondarnental
de la theorie des ensembles, Enseig. Math., 19 (1917), 37—52.

Литература
399
М о н к, Скотт (Monk D., Scott D.)
1. Additions to some results of Erdos and Tarski, Fund. Math., 53 (1964),
335—343.
Монтэгю (Montague R.)
*1. Semantical closure and non-finite axiomatizibility, сб. «Infinitistic
Methods», Warszawa, 1960.
M о р л и, Boot (M о r 1 e у М., V a u g h t R.)
1. Homogeneous universal models, Math. Scand., 11 (1962), 37—57.
Мыцельский (MycielskiJ.)
1. a incompactness of Na. Two remarks on Tychonoff product theorem,
Bull. Acad. Polon. Sci, ser math, and phys., 12 (1964), 437—441.
фон Нейман (von Neumann J.)
1. Zur Einfuhrung der transfiniten Zahlen, Acta Lltt. Ac. Sci. Hung. Fran.
Joseph., 1 (1923), 199—208.
2. Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Z., 27 (1928), 669—752.
H и к о д и м (N i k о d у m О.)
1. Sur une propriete de l'operalion (A), Fund. Math., 7 (1925), 250.
Новиков П. С.
1. Sur la separabilite des ensembles projectifs de seconde classe, Fund.
Math., 25 (1935), 459—466.
О ч а н Ю. С
1. Теория операций над множествами, УМН, 10, № 3 (1955), 71 — 128.
П е а н о (Peano G.)
1. Sulla definizione di funzione, Atti Real Ac. Lin., 20 (1911), 3—5.
Радо (Rado R.)
1. Direct composition of partitions, /. London Math. Soc, 29 (1954),
71—83.
Рамсей (Ramsey F.)
1. On a problem of formal logic, Proc. London Math. Soc, ser. 2, 30
(1929), 264—286.
Рассел, Уайтхед (Russell В., Whitehead A.)
1. Principia mathematica, Cambridge, 1925.
Рубин Г.Рубин Дж. (Rubin H., Rubin J.)
1. Equivalents of the axiom of choice, Amsterdam, 1963.
Рыль-Нарджевский (Ryll-Nardzewski C.)
1. On Borel measurability of orbits, Fund. Math., 56 (1964), 129—130.
Серпинский (Sierpinski W.)
1. L'axiome de M. Zermelo et son role dans la theorie des ensembles et
I'analyse, Bull. Acad. Cracovie, 1918, 97—152.
2. Sur une propriete des ensembles (A), Fund. Math., 8 (1926), 362.
3. Le theoreme d'unicite de M. Lusin pour les espaces abstraits, Fund.
Math., 21 (1933), 250—275.
4. L'hypothese generalisee du continu et l'axiome de choix, Fund. Math.y
34 (1947), 1-5.
5. Sur un espace complct qui n'admet pas le theoreme <ie Souslin, Fund-
Math., 34 (1947), 66—68.

400
Литература
6. Sur une proposition qui entraine l'existence des ensembles non mesu-
rables, Fund. Math., 34, (1947), 157—162.
7. Sur une propriete des ensembles ordonnes, Fund. Math., 36 (1949),
56—67.
8. Les ensembles projectifs et analytiques, Memorial des Sciences Mathe-
matiques, fasc. CXII, Paris, .1950.
9. Sur quelques propositions concernant la puissance du continu, Fund.
Math., 38 (1951), 1 — 13.
10. Algebre des ensembles, Warszawa, 1951.
11. Cardinal and ordinal numbers, Warszawa, 1965.
Серпинский, Тарский (Sierpiriski W., T a r s k i A.)
1. Sur une propriete caracteristique des nombres inaccessibles, Fund. Math.,
15 (1930), 292—300.
СикорскийР. (SikorskiR.)
1. A haracterisation of alephs, Fund. Math., 38 (1951), 18—22.
2. Representability and distributivity of Boolean algebras, Coll. Math., 8
(1961), 1-13.
3. Булевы алгебры, «Мир», М., 1969.
Сколем (SkolemT.)
1. Untersuchungen uber die Axiome des Klassenkalkuls..., Skrifter utgit
av Videnskapsselskapet i Kristiania, I Klasse, № 3, Oslo 1919.
2. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begrundung den Mengenlehre,
Wissenschaftliche Vortrage gehalten auf dem funften Kongress der Skan-
dinavischen Matematiker in Helsingfors, 1922, 217—232.
3. Ein Kombinatorischer Satz mit Anwendung auf ein logisches Entschei-
dungsproblem, Fund. Math., 20 (1933), 254—261.
Скотт (Scott D.)
1. Invariant Borel sets, Fund. Math., 56 (1965), 117—128.
Стоун (Stone M.)
1. The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math.
Soc, 40 (1936), 37—111.
С у с л и н М.
1. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombre transfinis,
Compt. Rend. Acad. ScL, 164 (19F), 89.
Тарский (Т а г s k i A.)
1. Sur quelques theoremes qui equivalent a l'axiome du choix, Fund. Math.,
5 (1924), 147—154.
2. Quelques theoremes sur les alephs, Fund. Math., 7 (1925), 7.
3. Sur les classes d'ensembles closes par rapport a certaines operations ele-
mentaires, Fund. Math., 16 (1930), 181—304.
4. Zur Grundlegung der Boole'schen Algebra I, Fund. Math., 24 (1935).
195—197.
5. Grundzuge des Systemenkalkuls II, Fund. Math., 26 (1936), 301.
6. Ober unerreichbare Kardinalzahlen, Fund. Math., 30 (1938), 68—89.
7. Idealle in vollstandigen Mengenkorpern, Fund. Math., 32 (1939), 45—63.
8. Cardinal algebras, New York, 1949.
^9. Некоторые проблемы и результаты, связанные с основаниями теории
множеств, сб. «Математическая логика и ее применения», изд-во
«Мир», М., 1965, стр. 146—158.
Тарский, Линденбаум (TarskiA., LindenbaumA.)
1. Communication sur les recherches de la theorie des ensembles, Compt.
Rend. Soc. Sci. Let. Varsovie, CI. Ill, 19 (1926);, 299—330.

Литература
401
Тейхмюллер (Teichmuller)
1. Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom? Deit. Math.. 4 (1939),
567—577.
Тихонов А. Н.
1. Ober die topologische Erweiterung von Raumen, Math. Ann., 102 (1930),
544—561.
Уайтхед, Рассел (Whitehead A., Russell B.)
1. Principia Mathematica, I, изд. 2. Cambridge, 1925, стр. 536.
У л а м (U 1 a m S.)
1. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fund. Math., 16 (1930),
140—150.
Урысон П. С.
1. Sur les points accessibles des ensembles fermes, Proc. Amsterdam Akad.,
28 (1925), 984—993.
Фихтенгольц Г. М., Канторович Л. В.
1. Sur les operations lineares dans l'espace des fonctions bornees, Stud.
Math., 5 (1934), 69—98.
Ф p а и с с e (F г а 1 s s e R.)
1. Sur l'extension aux relations de quelques proprietes des ordres, Ann.
Set. Ecole Normale Sup., 71 (1954), 361—388.
Ф р е г e (F r e ge G.)
1. Grundgesetre der Arithmetik, B. 2, Jena, 1903.
Фрейне, Морель, Скотт (Frayne Т., Morel A., Scott D.)
1. Reduced direct products, Fund. Math., 51 (1962), 195—228.
Френкель (Fraenkel A.)
1. Zu den Grundlagen der Cantor—Zermeloschen Mengenlehre, Math. Ann,
86 (1922), 230-237.
2. Abstract set theory, Amsterdam, 1953.
Френкель А., Бар-Хиллел И.
1. Основания теории множеств, «Мир», М., 1966.
Френкель, Бернайс (Fraenkel A., Bernays P.)
1. Axiomatic set theory, Amsterdam, 1958.
Ф р о л и к (F г о 1 i k Z.)
1. A contribution to the descriptive theory of sets and spaces, Proceedings
of the symposium on General Topology and its relations to Modern
Analysis and Algebra, Praha, 1961, 157—173.
Халмош (Halmos R.J
1. Lectures on Boolean algebras, Princeton, 1963.
X a p д и (Н а г d у G.)
1. Orders of infinity, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical
Physics, № 12, изд. 2, Cambridge, 1924.
Хартман (Hartman S.)
1. Zur Geometrisierung der abzahlbaren Ordnungstypen, Fund. Math., 29
(1937), 209—214.
Хартогс (Hartogs F.)
1. Ober das Problem der Wohlordnung, Math. Ann., 76 (1915), 442.

402
Литература
X а у с д о р ф (Н a u s d о г f f F.)
1. Der Potenzbegriff in der Mengenlehre, Jahr. Deutsch. Math. Ver., 13
(1904), 570.
2. Grundzuge einer Theorie der geordneten Mengen, Math. Ann., 65 (1908),
443.
3. Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig, 1914.
4. Ober zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch, Stud. Math.r
6 (1936), 18—19.
5. Теория множеств, М.—Л., 1934.
Цермело (Zermelo E.)
1. Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann., 59
(1904), 514—516.
2 Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I, Math. Ann.r
65 (1908), 261—281.
3. Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche, Fund. Math., 16 (1930), 29—47.
Цор н (Z or n M.)
1. A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc, 4t
(1935), 667—670.
Шёнфлис (Schonflies)
1. Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen,
Leipzig—Berlin, 1913.
Шпеккер (S pecker E.)
1. Verallgemeinerte Kontinuumhypothese und das Auswahlaxiom, ArcK
Math., 5 (1954), 332—337.
Эрдёш, Гилман, Хенриксен (Erdos P., Gillman L., Henrik-
sen M.)
1. An isomorphism theorem for real closed fields, Ann. Math., 61 (1955),
542—554.
Эрдёш, Радо (Erdos P., Rado R.)
1. A partition calculus in set theory, Bull. Amer. Math. Soc, 62 (1956),
427—489.
Эрдёш, X а и н а л (Erdos P., H a j n a 1)
1. On a classification of denumerable order types..., Fund. Math., 51 (1962),
117—129.
Эренфойхт, Лось (EhrenfeuchtA., Los J.)
1. Sur les produits cartesiens des groupes cycliques, Bull. Acad. Polon. Sci.>
ser. math, and phys., 2 (1954), 261—263.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
р /\q конъюнкция (логическое произведение) высказываний р и q 11
pV Я дизъюнкция (логическая сумма) р и q 11
p->q импликация (если р, то q) 11
р = <7 эквивалентность высказываний /? и q 12
"1 р отрицание высказывания р 12
Z (jc) * есть множество 15
х^у х есть элемент множества у 15
хфу, ~~\(х^у) х не является элементом множества у 15
jt TR */ х есть реляционный тип */ 15
А[] В сумма (объединение) множеств Л и В 16
А —В разность множеств Л и В 16
Л(]£ произведение (пересечение) множеств А и В 16
А —В симметрическая разность Л и В 17
cz отношение включения 17
О пустое множество 18
Л^=В (mod/) множества Л и Б равны по модулю / 26
пространство (универсум) 27
дополнение множества А 27
-А /
А 1 - I 35
\ замыкание множества Л
Л~ J I 37
Int (Л) внутренность множества Л 37
Fr (Л) граница множества Л 40
А' производная множества Л 41
а\/ b сумма элементов булева кольца 42
а — Ь разность элементов булева кольца 42
a A b симметрическая разность элементов булева кольца 42
а /\ Ь произведение элементов булева кольца 42
о нулевой элемент булева кольца 42
/ (а а ...) значение булева многочлена f 43
f~g булев многочлен f непосредственно преобразуется в g 43
a^b отношение порядка в булевом кольце 45
/ единица булева кольца 45
а -JL.fr псевдоразность элементов решетки Брауэра 50
— b псевдодополнение элемента решетки Брауэра 51
Д квантор всеобщности 54
V/ квантор существования 54
£Н класс высказывательных функций общей теории множеств 58
di[P, Q,'...] класс высказывательных функций общей теории множеств с
дополнительными первичными понятиями Р, Q, ... 59
5(A) |
U *\
сумма (объединение) множеств семейства А 60

404
Указатель обозначений
[Xi
:А: Ф(х)}
{Ф}" А
2°
2
{а,Ь)
(а,Ь)
Р(А)
п*
XfsA
XXY
{a,b)e=R |
aRb )
Da
F(R)
R*
R°S
xIR
CIR
Yx
!■■ x->y\
Xl+YJ
f(x)
g\A
Rl(X)
P(X)
R-1 (Y)
Г' (Y)
Kll
V ft
t€=T
Aft
t<=T
0,1
1,
. i
(A, Ro,
..,/fft-i)
x (A,R)
(A,R)~(B,S)
S
Ru
R
X'
семейство подмножеств множества А 60
множество тех х из Л, для которых Ф(л:) 62
образ множества А при отображении Ф 63
система аксиом теории множеств 63
система аксиом без аксиомы выбора 63
неупорядоченная пара элементов а и Ъ 66
упорядоченная пара элементов а и Ъ 67
произведение (пересечение) множеств семейства А 68
декартово произведение множеств X и У 70
множество вещественных чисел 70
а находится в отношении R к Ь% отношение R имеет место-
между а и Ъ 72
левая область отношения 72
правая область отношения 72
поле отношения R 72
отношение, обратное к R 72
суперпозиция (композиция) отношений R и S 72
класс эквивалентности (абстракции), содержащий элемент * 75-
фактор множества С по отношению R 75
множество всех отображений из X в У 77
/ отображает X в У 77
значение функции f для аргумента * 77
сужение функции g на множество А 79
функция, определенная высказывательной функцией ...х... 80*
образ множества X при отношении /? 81
множество значений, принимаемых функцией f на
множестве X 81
прообраз множества У при отношении R 82
прообраз множества У по функции / 82
булево факторкольцо 86
наименьшая верхняя грань множества 89
наибольшая нижняя грань множества 89
нулевой элемент упорядоченного множества 90
единичный элемент упорядоченного множества 90
реляционная система характеристики (р0, Ри *. ♦» Ph~\) 9i
реляционная система характеристики (2) 91
[изоморфизм реляционных систем {A,R) и {В, S) 91
последователь множества X 95
п-я итерация функции а 100

Указатель обозначений
405
\Х\ = п
[Х}2
S(W) = \jFt
t
P(W) = f\Ft
t
Lim Fn
tl->oo
Lim Fn
n-»oo
Lim Fn
П->оо
Xs
Ra
*6
B(R)
С
cT
~/
Lim U
•1 < M /
(X,Y)
A~B
A
a
*~finK
£
A
0R(x)
множество X содержит п элементов 107
полный граф над полем X И5
сумма множеств семейства W значений функции F П9
произведение множеств семейства W значений функции F П9-
верхний предел последовательности FQ, fi, ... 129
нижний предел последовательности F0, Л, ••• 129
предел последовательности Fq, Л, ... 130
наименьшее семейство, содержащее R и замкнутое
относительно сложения множеств 136
наименьшее семейство, содержащее R и замкнутое
относительно умножения множеств 136
семейство множеств вида \\нп, где Н е RN 138
п
семейство множеств вида Г\Нп, где Я е /?w 138
п
наименьшее а-аддитивное и а-мультипликативное семейство,,
содержащее R 137
декартово произведение множеств Ft 140
декартова степень множества У 140
множество Кантора 145
обобщенное множество Кантора 145
эквивалентность по модулю идеала / 150
обратный предел обратной системы £/= (X,T,F,f) 155
сечение упорядоченного множества 166
отношение порядка для сечений 167
семейство всех сечений упорядоченного множества 167
множество А равномощно множеству В 176
кардинальное число (мощность) множества А 180
кардинальное число бесконечных счетных множеств 181
множества X и У эквивалентны относительно конечного раз*
биения 197
мощность континуума 199
порядковый тип реляционной системы (Л, R) 212
элемент х предшествует элементу у 215
отрезок, определенный элементом х при отношении порядка R
215
( 221
порядковые типы множеств { 222
1 224
порядковый тип, обратный типу а 226

406 Указатель обозначений
lim ф (y) предел последовательности ц>(\) для у < X 239
Y< A.
П (Ф) высказывательная функция Ф определяет операцию 242
R (Ф) операция, определенная посредством Ф, является
возрастающей 242
Lim (Ф) предел операции, определяемой высказывательной функцией Ф
I < Я. 242
Cont (Ф) операция, определенная посредством Ф, непрерывна 242
V ! существует единственный элемент у 242
у
anin (.. .\i...) наименьшее порядковое число |ш, удовлетворяющее условию
» ...(я... 242
М {Ф} ф — индуктивная последовательность типа а + 1 для Ф 247
Ind (Ф) формализация определения по трансфинитной индукции 249
Ra семейство множеств типа не выше а 249
ла ос-я степень порядкового числа л 249
а( + )Р натуральная сумма порядковых чисел а и (3 262
a (•) Р натуральное произведение порядковых чисел а и 0 262
п. ч. Н порядковое число в смысле фон Неймана 271
1 мощность порядкового числа £ 275
Й наименьшее несчетное порядковое число 275
tfi мощность порядкового числа Q 275
К (ш) функция Хартогса 279
со0 ^
} начальные порядковые числа мощностей а и &?! 280
COi )
Р (ф) множество всех начальных порядковых чисел г|? < ф 281
I (ф) индекс начального порядкового числа ф 281
со,, начальное порядковое число, индекс которого равен a 281
ccj (a) наименьшее из чисел £, для которых предельное порядковое
число а конфинально со £ 283
$а мощность начального числа индекса a 283
a^ |-e число из степенной иерархии кардинальных чисел 298
In (a) $а— сильно недостижимое число 325
m\ e последовательность, первый член которой равен т, а
остальные — члены последовательности е 339
е\ f последовательность, полученная в результате выписывания
сначала всех членов последовательности е, а за ними —
всех членов последовательности f 339
A(R) семейство Л-множеств относительно R 342
A (F) семейство аналитических множеств топологического
пространства 349
XQ)Y свободная сумма множеств X и Y 354
X 0 Y свободное произведение множеств X и Y 354
Хл множество, полученное из X перестановкой координат 355
Id// X множество, полученное из /V идентификацией i-й и /-и
координат 355
Pqr (X) проекция множества X на множество Sr 355
Р (L) семейство проекций множеств из L 356
С (L) семейство дополнений множеств из L 356
& множество всех непустых последовательностей натуральных
чисел 372
L решето 375
<Са (L) сс-я конституента, определяемая решетом L 378

именной указатель
Лддисон 388
Банах 194, 196, 314
Бар-Хиллел 66
Бахман 290, 329
Бендиксон 268
Бернайс 65, 66, 96
Бернштейн 196, 197, 198, 269, 290
Биркгоф 49, 271
Больцано 7, 176
Борель 61, 139, 196, 245
Брауэр 50
Брунс 168
Буль 19
Бурали-Форти 238
Бурбаки 87
Бэр 246
Валле-Пуссен 130
Ван Хао 66
Винер 67
Витали 76
Boot 224, 271
Гамель 269
Генкии 164
Гессенберг 234, 262, 284
Гёдель 8, 65
Гилман 337
Гоборский 255
Гретцер 174
Девис А. 228
Девис Р. 94
Дедекинд 7, 111, 168, 218
Джекобсталь 263
Дирихле ПО, 112
Дюбуа-Реймои 7
Исеки 41
Йонсон 174, 224
Кантор 7, 8, 69, 76, 93, 176, 180, 185v
189, 192, 196, 197, 198, 212, 224, 232,
234, 235, 236, 243, 250, 275, 307,
327
Канторович Л. В 303, 345
Кейслер 318, 322, 324
Кёниг Д. 112, 115
Кёниг Ю. 196, 210
Клини 362
Колмогоров А. Н. 140, 345
Кочен 337
Коши 139
Коэн 8
Лебег 61, 338, 375, 383
Леви А. 193, 325, 326
Леви Б. 193
Лесьневский 297
Ливенсон 345
Линденбаум 193, 197, 280, 297, 332
Лось 150, 324
Лузин Н. 331, 354, 372, 375, 384, 38fr
Маккинси 35, 50, 52
Макнейл 168
Мак-Нотон 66
Мало 313
Марчевский 31, 130, 134
Мириманов 65
Монк 324
Монтэгю 63
Морган де 13, 22, 55, 121, 160
Морель 150
Морли 224
Мыцельский 324

408
Именной указатель
Нейман фон 65, 271
Никодим 364
Новиков П. С. 388
Очан Ю. С. 345
Пеано 76, 96
Радо 117
Рамсей 115, 117
Рассел 69, 141, 249
Рубин Г. 271, 295
Рубин Дж. 271, 295
Рыль-Нарджевский 386
Серпинский 61, 140, 193, 204, 228, 271,
287, 312, 332, 337, 338, 344, 354, 382,
384
Сикорский 41, 164, 287
Сколем 34, 64, 117
Скотт 150, 324, 386
Стоун А. 40
Стоун М. 23, 174
Суслин М. 338, 353, 354
Тарский 8, 35, 50, 52, 123, 138, 161,
163, 174, 192, 193, 194, 197, 289, 293,
295, 297, 303, 310, 312, 318, 322, 324,
325, 332, 354, 385
Тейхмюллер 271
Тенненбаум 225
Тихонов А. Н. 143, 147
Уайтхед 141, 249
Улам 318
Урысон П. С. 364
Фихтенгольц Г. М. 303
Фраиссе 224
Фреге 69
Фрейне 150
Френкель 8, 61, 65, 66, 96, 264
Фролик 350
Хайнал 220
Халмош 41
Хантингтон 49
Ханф 318
Харди 188
Хартман 386
Хартогс 278, 279, 293
Хаусдорф 23, 27, 61, 288, 303, 308,
333, 337, 345
Хенриксен 337
Цеомело 8, 65, 66, 193, 263, 264, 309
Цорн 265
Шёнфлис 220
Шпеккер 295, 296, 332
Шредер 196
Эрдёш 117, 220, 337
Эренфойхт 324

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстрактная теория меры 314
Аксиома бесконечности 60
— выбора 61
— выделения для высказывательной
функции 62
•— замены для высказывательной
функции 62
— мультипликативности 141
— объемности 15, 69
— пары 60
— пустого множества 59
— разности 15
— регулярности 64
— реляционных типов 93
— степени 60
— суммы 15, 60
— существования 15
— Тарского 324
Аксиоматическая система теории
множеств Гёделя — Бернайса 65
фон Неймана 65
Цермело 65
Цермело — Френкеля 65
Аксиомы булевой алгебры 42
— Пеано 96
— теории решеток 49
Алгебра Брауэра 50
— булева 41
Алгебры цилиндрические 164
Алеф 283
Алефов степени 288
Антиномия Рассела 69
Атомарные функции класса Ш 59
Атом булева кольца 160
Л-множество 342
База 356
— идеала 306
— операции Хаусдорфа 346
— топологического пространства 128
Базис Гамеля 270
Брауэра алгебра 50
— решетка 50
Булев многочлен 42
Булево кольцо (алгебра) 41
атомарное 161
дистрибутивное 160
— факторкольцо 86
Верхний класс сечения 166
Вершины графа 115
Ветвь 112
— бесконечная 112
— длины п 112
Второй принцип отделимости 388
Высказывательная функция 53
открытая 148
проективная относительно базы
359
элементарная 153
Гипотеза континуума 327
обобщенная 327
Главные числа умножения 263
Гомеоморфизм 85
Граф 115
— полный 115
График высказывательной функции
359
Декартово произведение 142
булевых колец 142
множеств 140, 70
(функций, отношений),
приведенное 150
приведенное по модулю /
151
операций 142
отношений 142
пространств 146
Дескриптивная теория множеств 338
Доказательство по индукции 96
— эффективное 55
Дополнение графа 115
— множества 27
— элемента булевой алгебры 45

410
Предметный указатель
Закон ассоциативности 178
для дизъюнкции 13
конъюнкции 13
сложения кардинальных
чисел 190
умножения кардинальных
чисел 190
обобщенный 122, 204
— возведения в степень декартова
произведения 179
— дпойного дополнения 27
— — отрицания 13
— дистрибутивности второй 13
для кардинальных чисел 209
— -- обобщенный 123
умножения относительно
сложения 205
первый 13
— исключенного третьего 13
— коммутативности 178
для дизъюнкции 13
— конъюнкции 13
сложения кардинальных
чисел 190
— произведения кардинальных
чисел 209
умножения кардинальных
шсел 190
обобщенный 122, 204
-1 контрапозиции 13
— - монотонности второй для
сложения 251
— умножения порядковых
чисел 252
первый для сложения 250
умножения порядковых
чисел 252
— противоречия 13
— силлогизма 13
Законы де Моргана 13, 22, 55, 160
— логические (тавтологии) 12
— поглощения 13
— сокращения 194
Замкнутая подбаза топологического
пространства 128
Замыкание 35
Значение булева многочлена 42
— функции 77
Идеал 26
— главный, порожденный элементом
а 170
— дистрибутивной решетки 170
— простой 152, 170
— а-аддитивный 316
Идентификация координат 355
Измельчение покрытия 88
Импликация 11
Инвариант относительно
изоморфизма 91
Индекс начального порядкового
числа 281
Интервал 215
Кардинальное число 181
гипернедостижимое 313
измеримое 314
недостижимое 312
класса ц 313
— — сильно недостижимое 309
— — слабо недостижимое 308
Кванторы 54
Классификация Мало недостижимых
кардинальных чисел 313
Класс эквивалентности (абстракции)
отношения 75
Кольцо 25
— коммутативное 25
Коммутативная диаграмма 79
Конституента 29, 378
— определяемая решетом 378
Конъюнкция 11
Мера а-аддитивная нуль — единичная
315
— нетривиальная 315
Метод трансфинитной индукции 234 .
Минимальное расширение
упорядоченного множества 168
Множества борелевские порядка а
245
— внутренность 37
— граница 40
— декартова степень 140
— коинициальные 88
— конфинальные 88
— независимые 31, 269
— непересекающиеся 19
по модулю I 26
— образ 63
— перестановка 78
— подобные 90
— покрытие 88
— последователь 95
— прообраз 82
— равномощные 176
— равные по модулю / 26
— разбиение 74
— степень 60
— фактор по отношению 75
— эквивалентные для конечного
разбиения 197

Предметный указатель
411
Множество аналитическое 349
— арифметически определимое 362
— бесконечное 108
в смысле Дедекинда 111
— вполне упорядоченное 232
— граничное 40
— замкнутое 36, 127
— — упорядоченное 265
— значений функции 77
— индуктивное 96
— Кантора 145
обобщенное 145
— квазиупорядоченное 87
— конечное 108
— направленное 88
— наследственное 234
— независимое 269
— непрерывное 217
— нигде не плотное 40
— открытое 36, 127
— плотное 216
— — в линейно упорядоченном
множестве 217
себе 41
— представителей 76
— проективное 354
— просеянное через решето 376
— пустое 18
— разреженное 216
— регулярно замкнутое 46
— совершенное 269
— счетное 181
— упорядоченное 87
— уровня функции 82
— элементарное 362
— /^-отделимое 343
Множеств произведение
(пересечение) 16
— равномерность 176
— симметрическая разность 17
— тело 42
Мощность континуума 199
Наибольшая нижняя грань 89
Наименьшая верхняя грань 89
Натуральное число 96
Начальная вершина ветви 112
Непосредственное продолжение
последовательности 348
Неравенство между кардинальными
числами 192
Нижний класс сечения 166
Область определения функции 77
Обратная система 155
Обратный порядковый тип 226
Окрестность 144
Операция 338
— Хаусдорфа 345
Определяющая система 338
регулярная 339
Определение по индукции 99
Остаток множества 239
— порядкового числа 255, 261
— упорядоченного множества 215
Открытая подбаза топологического
пространства 128
Отношение 72
— включения 17
— квазипорядка 87
— «лежит между» для элементов
множества 215
— линейного порядка 87
— «не больше» для кардинальных
чисел 192
— обратное 72
— порядка 87
в булевом кольце 45
решетке 49
— предпорядка 87
— «предшествует» 214
— транзитивное 17
— частичного порядка 87
— эквивалентности 73
Отношений суперпозиция
(композиция) 72
Отображение 77
Отрезок 215
Отрицание 12
Пара неупорядоченная 66
— универсальная для семейства 372.
— упорядоченная 67
Первая теорема отделимости 352
Первый принцип отделимости 388
Перестановка координат 355
Подграф 115
Подмножество 17
— собственное 17
Подобие отношений 213
Поле графа 115
— отношения 72
— реляционной системы 91
Порядковое число 236
— — в смысле фон Неймана 264
— — конфинальное 239
критическое ос-последователь-
иости 241
начальное 280
начальное оа 281

412
Предметный указатель
Порядковое число начальное
нерегулярное 307
регулярное 307
нечетное 245
предельное 239
слабо недостижимое 308
четное 245
эпсилоновое 257
Порядковый тип 212
Порядок антилексикографический 230
— лексикографический 228
Последователь 215
Последовательность бесконечная 98
— взаимно однозначная 108
— конечная 98
— нормальная универсальных
функций 365
— сходящаяся 130
— трансфинитная типа а (а-последо-
вательность) 239
возрастающая 239
непрерывная 241
— фундаментальная 74
Правила сокращения 194
Предел верхний 129
— нижний 129
— обратный обратной системы 155
— последовательности 130
— ^-последовательности 239
Предшественник 215
Принцип двойственности 49
— Дирихле ПО
— индукции для порядковых чисел 276
— максимума 265, 271
Цорна 266
— трансфинитной индукции 234
Проблема Суслина 225
— элиминации 32
Продолжение элемента 195
— функции 79
Проективный класс 361
относительно базы 356
Проекция 357
— отношения 72
Произведение кардинальных чисел
190, 208
— натуральное порядковых чисел 262
— порядковых типов 227
чисел 250
— свободное 335
Производная порядка а 245
Пространство 27, 35
— Бэра 146
— Стоуна 174
Псевдодополнение 51
Псевдоразность 50
Разбиение 88
Разложение порядкового числа 259
Разность множеств 16
— порядковых чисел 251
— элементов булева кольца 42
симметрическая 42
Результат операции Л 338
Реляционная система 91
изоморфное погружение 165
подсистема 165
расширение 165
тип 93
характеристика 91
Реляционные системы изоморфные
91
Реляционный тип 15, 93
Решетка 49
— дистрибутивная 49
— множеств, порожденная
семейством, замкнутым относительно
операции 136
— модулярная 51
— полная 90
Решето 375
— открытое (замкнутое, борелевское,
аналитическое) 375
— универсальное 383
Свойство редукции 387
Семейство множеств борелевских 139
замкнутое относительно
операции 135
индуктивное 276
монотонное 88
независимое 31, 269
очень слабо независимое 304
сильно независимое 304
слабо независимое 304
типа не выше а 249
а-аддитивное 137
а-мультипликативное 137
— центрированное 147
Сечение 166
— собственное 217
Сложение натуральное порядковых
чисел 262
Степенная иерархия кардинальных
чисел 297
Степень кардинального числа 191
— порядкового числа 256
Сумма кардинальных чисел 181, 197
— логическая 11
— множеств 16, 60
— натуральная порядковых чисел 262
— порядковых типов 227

Предметный указатель
413
Сумма последовательности
кардинальных чисел 203
— упорядоченная линейно упорядо*
ченных множеств 218
— элементов булева кольца 42
Схема Леви 325
Тавтология 12
Теорема Кантора—Бендиксона 278
— Кантора — Бернштейна
(Шредера — Бернштейна) 196
— Кёнига Д. 112
— Кёнига Ю. 210
— об определении по трансфинитной
индукции 243
— о диагонали 185
— — среднем значении 197
— Рамсея 115, 117
— Тихонова 147
— существования пары 66
суммы 66
неупорядоченной тройки, чет*
верки и т. д. 67
— Цермело 263
Топологическое пространство 35, 127
компактное 147
т-компактное 322
Топология 35
— дискретная 145
— тихоновская 143
Точка декартова произведения 70
— изолированная 185
— линейно достижимая 363
— предельная 28, 41
— топологического пространства 35
Умножение натуральное порядковых
чисел 262
Фильтр 170
Формула Бернштейна 290
— обобщенная Хаусдорфа 289
— рекуррентная Тарского 289
Хаусдорфа 288
Функции аналитически представимые
класса а 246
Функции область определения 77
— порядок 84
— собственный экстремум 185
— n-я итерация 100
Функция 76
— взаимно однозначная 77
— возрастающая 234
— выбора 81
— высказывательная 53
открытая 149
проективная относительно базы
359
-с областью, ограниченной
множеством 53
элементарная 153
— индуцированная посредством
отношения 85
— монотонная 198
— непрерывная 84, 134
— нетривиальная 315
— определенная почти всюду 316
— проективная 389
— согласованная с отношением 85
— универсальная 365
— характеристическая 130
— Хартогса 279
Цифры разложения порядкового
числа 259
Частное порядкового числа 253
Числа второго класса 275
Щель 217
Элемент единичный 90
булева кольца 45
кольца 25
— лежащий на сечении 212
— максимальный 265
упорядоченного множества 89
— минимальный упорядоченного
множества 89
— нулевой 90
— продолжаемый 194

О ГЛ АВЛ ЕН И Е
От редактора перевода 5
Предисловие к английскому изданию 7
Глава /. Алгебра множеств И
§ 1. Алгебра высказываний И
§ 2. Множества и операции на множествах 14
§ 3. Включение Пустое множество 17
§ 4. Законы сложения, умножения и вычитания 19
§ 5. Свойства симметрической разности 23
§ 6. Множество 1. Дополнение 27
§ 7. Конституенты 29-
§ 8. Применение алгебры множеств к топологии 35
§ 9. Булевы алгебры 41
§ 10. Решетки 49
Глава II. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции 53
§ 1. Высказывательные функции. Кванторы 53
§ 2. Аксиомы теории множеств 59
§ 3. Простейшие следствия из аксиом 66
§ 4. Декартовы произведения. Отношения 70
§ 5. Отношение эквивалентности 73>
§ 6. Функции 76
§ 7. Образы и прообразы 81
§ 8. Функции, согласованные с данным отношением
эквивалентности. Булевы факторкольца 85
§ 9. Отношение порядка 87
§ 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы .... 91
Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества ... 95
§ 1. Натуральные числа 95
§ 2. Определения по индукции 99
§ 3. Отображение множества N X N na N и связанные с ним
отображения 103
§ 4. Конечные и бесконечные множества 107
§ 5. Теорема Кёнига .112
§ 6. Графы. Теорема Рамсея 115

Оглавление 415
Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения 119
§ 1. Бесконечные суммы и произведения 119
§ 2. Операции на бесконечных последовательностях множеств 129
§ 3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной
операции 134
§ 4. а-аддитивные и а-мультипликативные семейства множеств 137
§ 5. Обобщенные декартовы произведения 140
§ 6. Декартовы произведения топологических пространств . .143
§ 7. Теорема Тихонова 147
§ 8. Приведенные декартовы произведения 150
§ 9. Обратные системы и их пределы 155
§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах . 158
§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной
решетки .... 164
§ 12. Теория представления дистрибутивных решеток .... 170
Глава V. Теория кардинальных чисел 176
§ 1. Равномощность множеств. Кардинальные числа .... 176
§ 2 Счетные множества .181
§ 3. Шкала кардинальных чисел 185
§ 4. Арифметика кардинальных чисел 189
§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема
Кантора — Бернштейна и ее обобщения 192
§ 6. Свойства чисел а и с 199
§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел £02
§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел .... 207
Глава VI. Линейно упорядоченные множества 212
§ 1. Введение . 212
§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества . . . 216
§ 3. Типы со, г] и X . 221
§ 4. Арифметика порядковых типов 226
§ 5. Лексикографический порядок 228
Глава VII. Вполне упорядоченные множества 232
§ 1. Определения. Принцип трансфинитной индукции . . . 232
§ 2. Порядковые числа .... 236
§ 3. Трансфинитные последовательности 233
§ 4. Определения по трансфинитной индукции 243
§ 5. Арифметика порядковых чисел . 250
§ 6. Степени порядковых чисел » 255
§ 7. Разложения порядковых чисел по произвольному
основанию .... 258
§ 8. Теорема Цермело . 263
§ 9. Элиминация порядковых чисел методом фон Неймана . .271

416
Оглавление
Глава VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел . . . 273
§ 1. Порядковые числа мощности а 273
§ 2. Кардинальное число К (ш). Функция Хартогса . . . 278
§ 3. Начальные числа 280
§ 4. Алефы и их арифметика 283
§ 5. Степени алефов 288
§ 6. Эквивалентность некоторых теорем о кардинальных
числах аксиоме выбора 292
§ 7. Степенная иерархия кардинальных чисел 297
§ 8. Некоторые проблемы мощности, связанные с булевыми
кольцами 303
Глава IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума 305
§ 1. Недостижимые числа 305
§ 2. Классификация недостижимых кардинальных чисел . . 312
§ 3. Измеримость кардинальных чисел 314
§ 4. Неизмеримость первого недостижимого алефа .... 318
§ 5. Аксиоматическое построение недостижимых
кардинальных чисел 324
§ 6. Гипотеза континуума 327
§ 7. Множества г) g 332
Глава X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств • . 338
§ 1. Операция Л 338
§ 2. Семейство A(R) .....' 342
§ 3. Операции Хаусдорфа 345
§ 4. Аналитические множества 349
§ 5. Проективные множества 354
§ 6. Универсальные функции 364
§ 7. Решета 372
§ 8. Конституенты • 378
§ 9. Универсальное решето и функция t 382
§ 10. Теорема о редукции и вторая теорема отделимости . . 387
§ 11. Проблема проективности множеств, определенных по
трансфинитной индукции 339
Литература 395
Указатель обозначений 403
Именной указатель 407
Предметный указатель 409

К.КУРАТОВСКИИ
А.МОСТОВСКИЙ
■*
ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ
*