А. В. Архангельский
КАНТОРОВСКАЯ
ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1988

ББК 22.12
А87
УДК 513.83
Рецензенты: проф. В. Н. Латышев, проф. В. В. Федорчук
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Архангельский А. В.
А87 Канторовская теория множеств. — М.: Изд-во»
МГУ, 1988.—112 с.
ISBN 5—211—00080—3.
В пособии, написанном на основе лекций, читаемых автором
на механико-математическом факультете МГУ, достаточно пол-
полно и доступно для начинающих изложена канторовская теория
множеств. Цель книги — научить практической работе с мно-
множествами. Приведены основные факты арифметики кардиналь-
кардинальных чисел, важнейшие теоремы о вполне упорядоченных мно-
множествах и ординалах, дано введение в комбинаторную теорию
множеств, имеющую глубокие применения. Изложение сопро-
сопровождается большим количеством задач.
Для студентов математических специальностей вузов, а так-
также для широкого круга читателей, интересующихся основами
математики.
д1702020000 D309000000)—082 g0_88 ББК 22 12<
077@2)—88
© Издательство
Московского
ISBN 5—211— 00080—3 университета, 1988 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение |
Глава 1. Сравнение множеств по мощности 15
§ 1. Различные уровни бесконечного 15
§ 2. Упорядоченные множества и принцип сквозной цепи . . 21
§ 3. Теорема о наименьшей мощности и теорема о сравнимости 26
§ 4. Предельные теоремы о мощности для цепей множеств . . 29
§ 5. Теорема о равномощиости бесконечного множества своему
квадрату 31
Глава 2. Вполне упорядоченные множества 33
§ 1. Теорема о вполне упорядочиваемости множеств .... 33
§ 2. Сравнение вполне упорядоченных множеств. Теорема о жест-
жесткости 35
§ 3. Порождающие (минимальные) вполне упорядочения . . 40
§ 4. Трансфиннтная индукция и трансфинитная рекурсия . . 41
§ 5. Вывод принципа сквозной цепи из аксиомы выбора . . 43
Глава 3. Кардинальная арифметика. Ординалы 46
§ 1. Определение кардиналов. Сравнение кардиналов по величине 46
§ 2. Умножение кардиналов 49
§ 3. Сложение кардиналов 52
§ 4. Возведение кардиналов в степень 55
§ 5. Коифинальиый характер кардинала. Регулярные и сингуляр-
сингулярные кардиналы 58
§ 6. Ординалы, сложение ординалов. Шкала ординалов ... 61
§ 7. Лексикографическое упорядочение, упорядочение по послед-
последней разности и умножение ординалов 66
Глава 4. Комбинаторная теория множестя 70
§ 1. Центрированные системы множеств. Фильтры и ультрафильт-
ультрафильтры 70
§ 2. Неизмеримые по Улаиу кардиналы и 6-ультрафильтры . 74
§ 3. Почти- дизъюнктные системы множеств и Д-лемма ... 79
§ 4. Комбинаторные теоремы 81
§ 5. Деревья 88
§ 6. Замкнутые неограниченные множества и стационарные мно-
множества 93
Задачи н упражнения
Часть I 97
Часть II 100
Литература 112

Некоторые стандартные обозначения
0 — пустое множество.
N— множество всех неотрицательных целых чисел, т. е.
N={0, 1 п, ...}.
N+ — множество всех положительных целых чисел, т. е.
N+={1,2, ...,п, ...}.
R — множество всех вещественных чисел.
Множество R называется также вещественной прямой, а че-
через R" (где nsN+) обозначается его п-я степень, т. е. множест-
множество всех упорядоченных n-ок (гь ..., гп) вещественных чисел.
Q — множество всех рациональных чисел. Р — множество
всех иррациональных чисел.
R+ — множество всех положительных вещественных чисел.
/=[0, 1] — вещественный единичный отрезок, т. е. /==
Я0}
}
Z — множество всех целых чисел, т. е. Z={0, 1, —1, 2,.
-2, ...}.

ВВЕДЕНИЕ
В этой книге рассматриваются, основные конструкции и по-
понятия канторовской, или «наивной», теории множеств.
Первоначальное и ведущее положение в этой теории занима-
занимает идея «совокупности», «семейства», «множества».
Вот как начинает разговор о множествах с читателем ака-
академик П. С. Александров в своей элементарной и увлекатель-
увлекательной книге [2], в которой дается введение в этот предмет.
«На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем труд-
трудно определимым понятием, которое выражается словом «сово*
купность». Например, можно говорить о совокупности людей,
присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокуп*
ности гусей, плавающих в пруду, зайцев, живущих в лесах
Московской области, и т. п.
В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «со-
«совокупность» употребить слово «множество».
В математике постоянно приходится иметь дело с различ-
различными множествами: например, со множеством вершин или диа-
диагоналей какого-нибудь многоугольника, множеством делителей
числа 30 и т. д.».
Занимаясь экономикой, политикой, социальными исследова-
исследованиями, психологией, мы непременно рассуждаем о множествах
тех или иных объектов реального мира или мира понятий.
Георгу Кантору принадлежит следующее основополагающее
высказывание: «Множество — это соединение в целое опреде-
определенных различных объектов нашей интуиции или нашего мыш-
мышления. Эти объекты называются точками полученного множе-
множества».
Обсудим это положение. С рассмотрением множеств связано
фундаментальное стремление науки сводить сложное к просто-
простому. Например, отрезок, прямую, окружность, эллипс, плоо
кость, круг при анализе многих их свойств весьма полезно рас»
сматривать как множества элементарных, неделимых далее
объектов — точек. Как геометрические места точек рассматри-
рассматриваются фигуры в аналитической геометрии при описании этих
фнгур уравнениями. Здесь идея множества привлекается для
анализа уже имеющегося относительно сложного математиче-
математического объекта.
Но у идеи множества есть и принципиально важная созида-
созидательная функция, направленная на образование новых множеств

из уже имеющихся объектов. С образованием новых множеств
связан прежде всего фундаментальный процесс перехода от
частного к общему и сопутствующий ему процесс абстрагирова-
абстрагирования. Изучение, классификация и сравнение абстрактных объек-
объектов: натуральных чисел, функций, геометрических фигур и
т. д. — приводит к рассмотрению новых совокупностей: мно-
множеств абстрактных объектов.
Ярким и характерным примером проявления созидательной
функции идеи совокупности является построение системы веще-
вещественных чисел как бы «из ничего», а точнее, на основе простей-
1ией, пустой, совокупности. Определив ноль как пустое множе-
множество, мы затем строим последовательно положительные целые
числа, определяя каждое следующее как совокупность всех
предыдущих. Объединяя все целые числа вместе, мы совершаем
тем самым первый «трансцендентный» акт собирания — получа-
получаем первую бесконечную совокупность. На основе последней
обычным образом строится система рациональных чисел; при-
привлекая множество всех подмножеств множества рациональных
чисел, мы получаем возможность определить класс веществен-
вещественных чисел.
Опыт современной математики и анализ ее оснований пока-
показывают, что множества служат тем основным элементарным
материалом, из которого строятся все основные математические
объекты. Отсюда вытекает универсальность идеи множества и
языка теории множеств для математики. Более того, мощь и
универсальность идеи множества, ее ключевая роль в отражении
двух важнейших сторон, функций мышления — созидательной
и аналитической — столь велика и несомненна, что есть все ос-
основания считать идею множества одной из самых основных и
самых первоначальных форм мышления.
Важнейшей особенностью почти всех абстрактных множеств,
встречающихся в математике, является их бесконечность. Это
связано с характерной чертой математики — идеализацией рас-
рассматриваемых ситуаций.
Можно без преувеличения сказать, что понятие -множества,
совокупности, является основной формой, посредством которой
мышление моделирует и анализирует идею бесконечного и тес-
тесно с ней связанную идею предельного перехода.
В созидательной функции идеи множества отражается еще
одна фундаментальная черта мышления — то, что оно представ-
представляет собой процесс. И как процесс мышления нельзя предста-
представить завершенным, так и идею множества нельзя представить
исчерпанной. Это демонстрирует, в частности, известный пара-
парадокс Рассела, суть которого заключается в следующем.
Предположим, что все множества (совокупности) можно
представить заданными одновременно. Обозначим через Q мно-
множество всех множеств, не содержащих себя в качестве члена.
Содержит ли множество Q себя в качестве члена? Если нет, то
по определению Q, выписанному выше, Q^Q — получаем про-

тиворечие. Но если Q^Q, то, снова по определению Q, множе*
ство Q не должно быть включено в Q в качестве члена, т. е.
должно быть Q^Q. Снова получили противоречие.
Из приведенного парадокса следует, что- нельзя в рамках
«наивного», т. е. не аксиоматического, подхода к понятию мно-
множества, совокупности, считать все совокупности заданными од-
одновременно. Это первый принцип, который мы принимаем в
этой книге (принцип А).
Интуитивно положение можно описать следующим образом.
В каждый данный «момент времени» вместо фикции — совокуп-
совокупности «всех» (в том числе еще не построенных, не «созданных»
и, следовательно, еще не «существующих») совокупностей нам
доступна лишь совокупность «всех уже введенных» в сферу
мышления совокупностей. Разумеется, рассматривая последнюю
как целое, мы образуем новый объект, новую совокупность, но
это требует и нового акта мышления.
Представление о постепенном образовании совокупностей в
результате мыслительной деятельности приводит нас к следую-
следующему положению.
Принцип Б. Никакая совокупность не может быть членом
себя самой.
Интуитивно принцип А можно представить как следствие
принципа Б.
В этой книге мы строим теорию множеств, исходя из интуи-
интуитивного, канторовского, представления о множестве, т. е. прини-
принимая идею совокупности в качестве первоначальной «порождаю-
«порождающей» идеи, но руководствуясь при этом принципами А и Б.
Автор не ставит себе целью дать аксиоматическое изложе-
изложение теории множеств, полагая, что-реальная, «наивная», теория
множеств, возрождающаяся каждодневно из воплощения в ма-
математической практике первоначальной идеи множества, без*
гранично шире любой своей аксиоматизации.
Однако все основные факты теории множеств доказываются
нами таким образом, что без большого труда эти доказатель-
доказательства можно записать в рамках любой известной аксиоматиза-
аксиоматизации теории множеств.
Остановимся на исходных принципах, терминологии, обозна*
чениях и конкретных соглашениях, неформально отражающих
основные аксиомы теории множеств.
К числу главных исходных понятий теории множеств отно-
относится понятие элемента множества. Множества состоят из эле-
элементов и определяются своими элементами. Мы пишем xgX,
если объект х является элементом множества X, отношение е
называется отношением принадлежности. Если хеХ, то говорят
также, что х принадлежит X и что х является членом, или точ-
точкой, множества X.
Термины «множество», «класс», «семейство» и «совокуп-
«совокупность» для нас равнозначны.
Разумеется, два множества X и Y совпадают в том и только

-том случае, если они состоят из одних и тех же элементов; за-
запись X=Y означает, что множества X и У совпадают.
Если каждый элемент множества У является элементом и
множества X, то множество У называют подмножеством множе-
множества X и пишут YczX; не исключено при этом, что Y=K. Если
YczX, то говорят также, что У содержится в X или что X содер-
содержит У,-и пишут X^Y.
Подмножество У множества X называется собвтвенным под-
подмножеством этого множества, если Y¥=X. Пустое множество
обозначается 0; оно характеризуется среди множеств тем, что
не имеет элементов.
Если X — некоторое множество, то его подмножества часто
указываются записью в фигурных скобках, а именно:
Y={x<=X: (утверждение об х)};
эта запись означает, что У множество всех тех д:е! (тех х из
X), для которых сформулированное в скобках утверждение вер-
верно. Таким образом, i/еУ в том и только том случае, если у^Х
и для х=у утверждение в скобках выполняется. Например, если
R — множество всех вещественных чисел, то R+={A;eR:x>0} —
его подмножество, состоящее из всех положительных чисел.
Запись в фигурных скобках можно употреблять и для фор-
формирования новых множеств (совокупностей), не предполагая,
что мы действуем в пределах заданного уже множества X. Од-
Однако во всех случаях участвующее в таких определениях мно-
множеств утверждение об их членах (утверждение об х) должно
быть интуитивно осмысленным — должно не вызывать сомнений,
что это утверждение можно адекватно выразить на формальном
языке. В частности, утверждение об х может относиться тольке
к уже существующим объектам; в нем не должны употреблять-
употребляться без ограничений понятия, объем которых не определен абсо-
абсолютным образом.
Например, определение {х-: х — множество} — множество
всех множеств — незаконно, так как утверждение об х не имеет
ясного смысла: ведь объем понятия множества не фиксирован
заранее и в процессе наших построений подвержен изменениям.
Однако в любой момент наших рассуждений- мы можем образо-
образовать совокупность всех до сих пор введенных в рассмотрение
множеств — это будет новое множество.
Через А[\В обозначается пересечение множеств А а В, т. е.
В{А и jceB}. Пересечение множеств Аи ..., Ak обо-
k
k
значается через Aif\...{]Ak или Л А- Объединение множеств
А и В есть множество А[)В={х:х^А или xefi). 4%рез А\\)...
k
...\JA4 или U Ас обозначается объединение множеств Аи ...
..., Ak. A\B={x^A :x^£B} — дополнение ко множеству В во
множестве А. Множество, единственным элементом которого
является а, обозначается через {а}.
8

Иногда полезно рассматривать индексированные семейств»
множеств. Пусть А — множество и каждому аеЛ поставлено
в соответствие некоторое множество Ра. Говорят тогда, что за-
задано индексированное семейство {Ра: аеЛ} множеств; иногда
это семейство обозначают через {Ра}а^д. Особенно часто прихо-
приходится иметь дело со множествами []{Ра:а^А} и Г\{Ра:а^А} —
объединением и пересечением индексированного семейства
{Ра}*еА ««ответственно. Если у — индексированное или неиндек-
сированное семейство множеств, то его объединение и пересече-
пересечение обозначаются также через Uy и Oy-
Операции объединения, пересечения и дополнения связаны
следующими соотношениями, называемыми формулами де Мор-
Моргана: каковы бы ни были множество X и индексированное се-
семействе множеств {Ха: аеЛ},
Х\[]{Ха : ае=Л}=П{Х\Ха : а^Л}, A)
Х\[\{Ха : а<=Л}=и{Х\Ха : аеЛ}. B)
Проверяются формулы A) и B) без труда; ими пользуются в
теоретико-множественных рассуждениях очень часто.
Произведением множеств X и У называется множество ХхУ
всех упорядоченных пар (х, у), где хе! и (/еУ. Произведение
XiX... ХХп конечной последовательности множеств Хи ..., Хп
состоит из всех упорядоченных л-ок (х\, ..., хп), где х,е1; при
i=l, ..., п. Множество ХХХ .-. ХХп очевидным образом отож-
отождествляется ео множеством (XiX .. .XXn-i) xXn.
Если каждому элементу х множества X поставлен в соответ-
соответствие некоторый элемент f(x) множества У, то говорят, что за-
задано отображение f: X-+Y множества X во множество У, и на-
называют точку f(x) образом точки х при /. Множества X и У
называются при этом областью определения и областью значе-
значений отображения /. Образ множества АсХ при отображении
f:X-*-Y есть множество {f(x) : x^A}aY. Множество
{xeX:f(x)efl} называется прообразом множества BczY при
отображении f:X-+Y и обозначается через /~'E) или f~lB. Мы
пишем f-ly вместо f~l ({у}) и называем множество f~ly прообра-
прообразом точки у при отображении /.
Пусть f: X-*-Y — произвольное отображение. Имеют место
следующие простые формулы.
Для любого семейства у подмножеств множества У
C)
D)
Каковы бы ни были множества AczX и BczY,
Aczrf(A), E)
ff-HB)czB. F)
Несколько более тонким является следующее соотношение.
Пусть ЛсХ, BczY, PczY и f(A)=B. Тогда

r(Af]f-lP)=B[\P. G)
Отображение f:X-*-Y называется инъективным, или вложе-
вложением, если из хи х2^Х и Х\Фх2 следует, что f{xi)¥=f(x2). Если
/(Х) = У, то / называют сюръективным отображением или отоб-
отображением на. Отображения, одновременно инъективные и сюръ-
ективные, называют биекциями, или взаимооднозначными отоб-
отображениями. Для каждого взаимооднозначного отображения
J: X-*-Y определено обратное к нему отображение f~l: Y-*-X
правилом: произвольному элементу y^Y соответствует при f-1
тот (единственный) элемент х множества X, для которого
Каждому отображению f:X-*-Y можно поставить в соответ-
соответствие его график: подмножество Gr (/)={(#, f(x)) :x^X} про-
произведения XXY. Если f(X)=Y, то множество Gr(/) несет пол-
полную информацию об отображении f. Действительно, тогда X —
множество всех первых элементов пар из Gr(f), Y — множест-
множество всех вторых элементов пар из Gr(/), а само отображение /
заключается в том, что произвольному х^Х ставится в соответ-
соответствие то единственное г/еУ, для которого (х, i/)sGr(/). Поэто-
Поэтому сюръективные отображения можно отождествлять с их гра-
графиками. Именно так в аксиоматической теории множеств вво-
вводится, определяется понятие отображения.
Если (:X-**Y и g : Y-+Z — отображения, то определена их
композиция q>=g°f: X-+Z правилом q>(x)=g(f(x))^Y. Тождест-
Тождественное отображение множества X на себя обозначается через
id*; оно описывается формулой: id*(x)=;t для всех х^Х. Оче-
Очевидно, композиция взаимооднозначного отображения и обрат-
обратного к нему является тождественным отображением.
Пусть f:X->Y — отображение, М — произвольное подмно-
подмножество множества X. Тогда определены отображения f\M:M—*■
->-У и \oM:M-+-f(M) правилом: образ произвольной точки
х^М совпадает с образом f(x) точки х при /. Разница между
отображениями f\M и f\oM только в том, что первое рассмат-
рассматривается как отображение множества М во множество Y, а вто-
второе — как отображение множества М во множество f(M)
Отображение f\M называется сужением отображения f на М,
а отображение / j oAf называется строгим сужением f на М.
Есть еще один вид сужений отображения: сужением отобра-
отображения f:X-*-Y на подмножество В множества У называется
отображение f\B:f~i{B)-*-B, описываемое правилом: о.браз про-
произвольной точки хе/~'(В) совпадает с ее образом при f. Отоб-
Отображение /|s обозначается также через fs.
Последовательностью называется отображение множества
N" в какое-нибудь множество X; элемент множества X, отвеча-
отвечающий при этом отображении элементу п, называют л-м членом
последовательности и обозначают буквой с индексом п, напри-
например хп, а всю последовательность обозначают {хп, neN+} или
{xn}neN+. Последовательность {Ап, nsN+} множеств называет-
1*

ся возрастающей (убывающей), если ЛясЛл+1 (если Л„-нсгЛ„)
при всех neN+.
В этой книге важную роль будут играть также трансфинит-
трансфинитные последовательности; это понятие мы определим позднее.
Однако термин «последовательность», не предваренный словом
«трансфинитная», всегда надо понимать обычным образом.
Произведение (декартово произведение) индексированного
семейства {Ха: аеЛ} множеств Ха есть множество всех отобра-
отображений / множества Л во множество и№»:а«=Л} таких, что
/(в)еЯа при всех аеЛ; обозначается это множество
П{Ха:аевА) или П Хв. Если /е П Ха, то элемент Да>
O.ZA <х£А
множества Ха называется а-й координатой точки /. Точка про-
произведения, а-я координата которой есть ха, обозначается также
х={хо,}аеА или {ха, а«=Л). При каждом аеЛ определено отобра-
отображение проектирования яа : I 1 Ха-^Ха произведения на а-й
а€А
сомножитель правилом па(х)=ха при всех *S 1 1 Ха.
аеА
Если А={1, ,.., k}, то, очевидно, П Х^ — Х^ ...ХХ*.
а&А
Если А<=А1[)А2, где Aif\A2=0 и А^0¥=А2, то между произве*
дениямл I 1 %а и ( 11 Xaj х ( 1 1 Xaj имеется каноническое
взаимооднозначное соответствие (под каноническими соответст-
соответствиями между множествами понимаются соответствия, которые
строятся естественным способом, исходя из природы объектов
этих множеств). В этом смысле мы пишем: 1 1 Хо= 1 1 ХаХ.
А А
X 1 ' Ха. Аналогичный смысл имеет очевидная общая форму-
ла этого рода, отвечающая любым разбиениям множества А
на непустые попарно непересекающиеся подмножества.
Рассматривая произведение 11 Ха, мы не исключаем тот
аеА
случай, когда различным аеЛ отвечает в качестве Ха одно и
то же множество У. Если Xa=Y для всех ск=Л, то множества
П у
1 » ло еовпадает в силу данного выше определения со множе-
множеством всех отображений множества-Л во множество Y; послед-
последнее ебовначают через YA (или, что более естественно, но пока
менее принято, через AY). Множество YA называют также сте-
степенью множества У, точнее, YA есть множество У, возведенное
в степень Л Особенно важную роль в приложениях теории мно-
множеств играют степени R4, 1А и № вещественной прямой R, еди-
единичного отрезка /=[0, l]cR и множества N всех неотрицатель-
неотрицательных целых чисел соответственно.
11

Семейство множеств {Ра: аеЛ} называется дизъюнктным,
если Ра-пРа>=0 при а¥а", а', а"е=Л.
Еще одна операция над множествами играет в дальнейшем
большую роль — операция перехода к экспоненте множества.
Экспонентой Ехр^ множества X называется множество
{А:АаХ} всех подмножеств множества X. Заметим, что экспо-
экспонента Ехр 0 пустого множества 0 сама является непустым
множеством, а именно множество 0 является единственным эле-
элементом множества Ехр 0. Если множество X конечно и состоит
из п элементов, то множество Ехр X тоже конечно и состоит из
2" элементов — это легко доказывается по индукции.
* * *
Мы не ставим себе целью определить в терминах теории мно-
множеств те или иные конкретные математические объекты. Наша
главная задача — научить общим правилам работы со множе-
множествами, доказать в рамках «наивного» подхода основные тео-
теоремы теории множеств, управляющие ее конструкциями.
Приступая к построению теории множеств, мы предполага-
предполагаем, что- в нашем распоряжении уже имеется весьма большое
семейство «исходных» множеств, обозначаемое JC, включаю-
включающее важнейшие с точки зрения математики конкрет-
конкретные множества, такие, например, как множество R всех веще-
вещественных чисел.
Семейство Ж мы предполагаем замкнутым относительно
всех основных теоретико-множественных операций в следую-
следующем смысле: если все множества, участвующие в операции,
принадлежат Ж, то и множество, получающееся в результате
этой операции, принадлежит Ж- В частности, предполагаются
выполненными следующие условия.
1. Если Х<=Ж, то {Х}<=Ж.
2. Если Х(=Ж и YaX, то У<е=Ж.
3. Если Х<=Ж, то и Ехр Х^Ж.
4. Если Х=[){Ха: аеЛ), где А^Ж и 1,е/ при всех
и XselM.
5. Если Х=П{Ха:а^А}, где А^Ж и Ха^Ж при всех
то и Х^Ж.
Частным случаем принятого ранее общего принципа Б яв-
является условие
6. Для всех Х<=М Х*$Х.
Из 6 следует, что сама совокупность Ж не является элемен-
элементом семейства Ж. Однако это не• мешает ^нам рассматривать ее,
как мы только что сделали, объявив Ж «новым» множеством.
Удобно принять следующие соглашения.
В. Добавляя к уже имеющимся совокупностям какое-либо
новое множество, мы одновременно присоединяем и все те «но-
«новые» множества, которые должны войти, чтобы расширившееся
семейство множеств удовлетворяло условиям 1—6.
18

Г. Общие принципы, относящиеся ко множествам (например,
принципы А и Б, принцип сквозной цепи, формулируемый да-
лее), а также и доказываемые на их основе теоремы распрост-
распространяются не только на множества из Ж, но и на все множест-
множества, совокупности, которые будут возникать в наших рассмот-
рассмотрениях.
Например, в этом смысле надо понимать следующее утверж-
утверждение, которое вытекает из 2:
7. Если Х^Ж, Y — произвольная совокупность, то Х{\У^.Ж.
В связи с «подвижностью» понятия множества, отражающей-
отражающейся в положениях А, В и Г, важное значение приобретает сле-
следующий принцип абсолютности понятия элемента множества
(т. е. абсолютности отношения принадлежности):
Д. Объем множества X не меняется от появления в сфере
рассмотрения новых совокупностей, т. е. во множестве X не по-
появляется новых членов.
Конечно, принцип Д является следствием нашего интуитив-
интуитивного представления о множествах, из Д следует, что и понятие
■подмножества данного множества абсолютно.
Новые множества будут возникать не только как результат
«собирания» уже имеющихся множеств и объектов. В частно-
частности, мы примем следующий принцип, который позволит широко
вводить новые объекты (не обязательно являющиеся множест-
множествами; впрочем, природа этих новых объектов будет безразлич-
иа):
Е. Для произвольно данной совокупности X можно ввести со-
совокупность Y объектов такую, что Xf\Y=0, и существует взаи-
взаимооднозначное отображение f: X-+-Y множества X на множе-
множество У.
Понятие отображения трактуется нами как первоначальное
(и в соответствии с принципом Д абсолютное). Вопрос о суще-
существовании отображений не ставится в зависимость от возмож-
возможности задать их теми или иными формулами или алгоритмами.
Таковы наши исходные позиции при построении канторов-
•ской теории множеств; анализировать непротиворечивость и
силу принятых принципов и положений в нашу задачу не вхо-
входит.
По поводу описанного подхода можно возразить следующее.
Введение «новых» семейств, классов оказывается связанным с
мышлением конкретного индивидуума. Поэтому, начав даже с
одного и того же семейства Ж, разные исследователи могут
прийти к совершенно разным расширениям семейства Ж. Кро-
Кроме того, даже с точки зрения одного исследователя объем по-
понятия множества оказывается подвижным, неопределенным.
Эти соображения перестанут действовать, если условиться, что
конечная цель всех наших построений — получить теоремы об
элементах класса Ж, об исходных, заданных «абсолютно» мно-
множествах. Все же прочие семейства, возникающие в наших рас-
рассуждениях, можно считать лишь средством к получению этих

результатов — как мы верим, законным и, что не менее важно>.
не влияющим на конечный результат.
Удобно представлять себе элементы семейства Ж «реально
существующими» множествам», прочие же семейства — «идеаль-
«идеальными» объектами мышления, фикциями, необходимыми (или,,
во всяком случае, полезными) для построения теории множеств.
Однако интуитивно предпочтительнее (и содержательнее)
другой тезис: о неединственности Ж и, следовательно, о неабсо-
лю-тном характере того класса Ж, к которому относится наша
теория. Конечно, это внешний принцип в отличие от предыду-
предыдущих, составляющих часть теории. С данным тезисом связав
другой: о том, что границу класса Ж можно провести «как
угодно далеко». Последнее находит выражение в принципе В
Здесь видно, сколь условна с точки зрения метатеории разница
между настоящими — «исходными» — множествами, существо-
существование которых обеспечено теорией с самого начала, и прочими
семействами, существование которых «эфемерно» (см. в связи
с этим принцип Г).
Понятия натурального и вещественного чисел считаются из-
известными, как и связанный с ними элементарный аппарат. Дру-
Другого математического багажа, по существу, от читателя не тре-
требуется.

Глава 1
СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПО МОЩНОСТИ
В этой главе устанавливаются основные принципы, относя-
относящиеся к сравнению множеств по мощности. В частности, дока-
доказывается, что в иерархии множеств нет наибольшего по мощ-
мощности и что каждые два множества сравнимы по мощности.
Понятие кардинального числа в этой главе не вводится,
однако доказательства главных фактов теории кардинальных
чисел готовятся именно в данной главе. В частности, доказыва-
доказывается, что в любом непустом семействе множеств есть множест-
множество, наименьшее по мощности, и что квадрат каждого бесконеч-
,ного множества ему равномощен.
Главным средством доказательства основных теорем явля-
является принцип сквозной цепи. Отношения этого положения к дру-
другим «трансцендентным» принципам теории множеств — аксио-
аксиоме выбора, принципу вполне упорядочения и принципу макси-
максимального элемента — мы анализируем в дальнейших главах.
В этой главе аппарат вполне упорядочений роли не играет;
в этом отношении наше изложение существенно отличается от
традиционного. Вместо теорем о вполне упорядочениях мы поль-
пользуемся двумя естественными, интуитивно ясными фактами, от-
относящимися к цепям множеств. Вполне упорядочениям посвя-
посвящена глава 2
§ 1. Различные уровни бесконечного
Можно ли считать, что если множества X и Y бесконечны,
то число элементов в них одинаково велико? Этому вопросу
можно придать точный характер.
1.1.1. Определение. Множества X и Y называются экви-
эквивалентными, или равномощными, если существует взаимоод-
взаимооднозначное отображение одного из них на другое. Пишут при
этом: Х~У, или |Л|-|У|
Это определение относится как к конечным, так и к беско-
иечным множествам. Очевидно, конечные множества эквивалент-
эквивалентны в том и только в том случае, если они содержат одинаковое
число элементов. Естественно и в случае бесконечных множеств
считать, что число элементов в эквивалентных множествах оди-
одинаково, а ъ неэквивалентных — различно.
Первый вопрос, который возникает, таков: а существуют ли
неэквивалентные бесконечные множества? Ответ дается следу-
следующей теоремой фундаментальной важности.
IS

1.1.2. Теорема (Г. Кантор [5]). Никакое множество X не-
неэквивалентно множеству Ехр X всех подмножеств множества
X, т. е. всегда
X 9^ Ехр X.
Теорема 1.1.2 вытекает из следующего несколько более об-
общего утверждения.
1.1.3. Предложение. Пусть X — произвольное множество
и (p:A-vExpZ — любое отображение. Тогда ф(Х)=^ЕхрХ.
Доказательство. Для каждого х^Х определено мно-
множество <р(я); при этом х может либо принадлежать, либо не
принадлежать множеству ф(х). Множество А={х&Х^()}
является элементом множества ЕхрХ. Покажем, что
тем самым будет установлено, что ф (X) ¥=Ехр X.
Возьмем любое хеХ. Если х<=ф(л:), то, по определению мно-
множества А, х^А и, значит, ц>(х)ФА. Если x<^q>(x), то хеЛ, и
снова заключаем, что у(х)¥=А. Итак, для всех хеХ ц>(х)ФА,
т. е. А€£у(Х).
1.1.4. Следствие. Существуют неэквивалентные бесконеч-
бесконечные множества.
Доказательство. Возьмем произвольное бесконечное
множество X. Множество Ехр X тоже бесконечно и, по теореме
1.1.2, неэквивалентно множеству X.
Таким образом, отношение эквивалентности ~ оказывается
нетривиальным отношением в случае бесконечных множеств.
1.1.5. Предложение. Пусть X, Y и Z — произвольные мно-
множества. Тогда:
а) Х~Х;
б) еслиХ-Y, то Y~X;
в) если X~Y и Y~Z, то X~Z.
Доказательство. Тождественное отображение множест-
множества X на себя дает а). Так как обратное к взаимооднозначному
отображению взаимооднозначно, то при установлении эквива-
эквивалентности неважно, какое множество является областью опре-
определения, а какое — областью значений. Импликация в) имеет
место, так как композиция взаимооднозначных отображений
является взаимооднозначным отображением.
В случае конечных множеств, состоящих из разного числа
элементе», одно из них состоит из меньшего числа элементов,
чем другие.
Нам предстоит научиться сравнивать в этом смысле беско-
бесконечные множества.
1.1.6. Примеры. Множество А всех четных натуральных
чисел является собственным подмножеством множества N.
Отображение ф: N-j-Л, заданное правилом ф(п)=2и, взаимоод-
взаимооднозначно. Следовательно, А ~ N. Множество N+ тоже эквива-
эквивалентно множеству N, так как отображение N->N+, при котором
п соответствует число я+1, взаимооднозначно. Эти примеры,
как и множество других, показывают, что собственное подмно-
16

жество А бесконечного множества В может быть эквивалентно»
всему множеству В. Данное обстоятельство принципиальным?
образом отличает количественную теорию бесконечных мно-
множеств от той же теории для конечных множеств. Поэтому в об-
общем случае неприемлемо следующее определение: число эле-
элементов во множестве X меньше числа элементов во множестве
У, если множество X эквивалентно какому-нибудь собственно-
собственному подмножеству множества У.
Правильный подход к количественному сравнению бесконеч-
бесконечных множеств таков.
1.1.7. Определение. Скажем, что число элементов во
множестве X меньше числа элементов во множестве Y, или что
мощность множества X меньше мощности множества Y, если су-
существует подмножество У множества У, эквивалентное X, но-
новее множество У неэквивалентно X. Условимся при этом писать:
|Х|<|У|.
Если множества X и У удовлетворяют какому-либо из соот-
соотношений |Я|<|У| и |Д| = |У|, будем писать |Л|<|У| и гово-
говорить, что мощность множества X не превосходит мощности:
множества У.
Очевидно, если А — подмножество множества В, то \А\<.
<\в\.
Для любых множеств А, В и С
если |Л|<|5| и |fi|<|C|,To |Л|<|С|. A)
Доказательство импликации A) очевидно.
1.1.8. Теорема. Для каждого множества X |^|<|ЕхрА"].
Доказательство. Множество У={{л:}: лгеХ}с:Ехр X всех
одноточечных подмножеств множества X эквивалентно X: отоб-
отображение ф-.'Х-^У, заданное правилом ц>{х)={х}, взаимоодноз-
взаимооднозначно. Но по теореме 1.1.2 все множество ЕхрХ неэквивалентно
X. Значит, |Х|<|ЕхрЛ|.
1.1.9. Предложение. Для любого множества X Ш<
||
Доказательство. Если Х=0, то это ясно. Пусть ХФ0.
Зафиксируем хо^Х. Отображение у:Х-*-ХхХ, описываемое
формулой <р (*) = (*, Хо), очевидно, является инъекцией.
Любые два конечные множества сравнимы по числу элемен-
элементов. Возникает вопрос: любые ли бесконечные множества срав-
сравнимы по числу элементов в смысле определения 1.1.7?
Вопрос 1. Верно ли для произвольных множеств X и Y,
что либо |Х|<|У|, либо |У|<:|Х|?
В связи с вопросом 1 сразу встает и
Вопрос 2. Пусть множества X и У таковы, что |Я|<|У|
и |У|«|Л"|. Верно ли тогда, что |Л| = |У|?
Расшифруем вопрос 1: верно ли, что из любых двух мно-
множеств одно непременно эквивалентно подмножеству другого?
Интуитивно ясно, что ответ должен быть положительным, од-
однако доказательство не очевидно.
17"

Второй вопрос расшифровывается следующим образом.
Пусть множество X допускает взаимооднозначное отображение
f на некоторое подмножество множества У, а множество У до-
допускает взаимооднозначное отображение g на некоторое под-
подмножество множества X. Существует ли тогда взаимооднознач-
взаимооднозначное отображение множества X на множество У? Как построить
такое отображение по f и g, совершенно не ясно, хотя и здесь
интуитивно ясно, что ответ должен быть положителен.
Мы ответим сейчас на второй вопрос; ответ на первый воп-
вопрос будет получен в следующем параграфе как следствие из
важной теоремы.
1.1.10. Теорема (Шредер — Бернштейн [1]). Пусть X и У —
множества, каждое из которых эквивалентно некоторому под-
подмножеству другого. Тогда множества X и У эквивалентны меж-
между собой. Иными словами, если Ш<|У| и |У|«:Ш, то |У| =
= \Х\.
Доказательство. По условию существуют инъективные
отображения f: X-*~Y и g: Y-*-X; зафиксируем их. Отображения
/ и g никак не связаны между собой. Однако оказывается, что
подмножеств во множестве X так много, что обязательно най-
найдется множество А*аХ, для которого g(Y\f(A*))—X\A*.
Если данное равенство выполняется, то, полагая ty(x)=f(x) для
всех ^еЛ* и ty(x)=g~1(x) для всех х^Х\А*, мы получаем
взаимооднозначное отображение ty : X-*-Y множества X на мно-
множество У — это очевидно.
Осталось найти А*аХ, для которого g(Y\f(A*))=X\A*.
Последнее равенство эквивалентно
A*=X\g(Y\f(A*)). B)
Для произвольного AczX положим
C)
Очевидно, ф(Л)с:Л', т. е. ф является отображением множе-
множества Ехр X в себя. Из C) вытекает такое свойство отображе-
отображения ф:
если AczB, то ф(Л)с=ф(В). D)
Покажем, что найдется множество A*czX, для которого вы-
выполняется соотношение B), т. е. такое,. что ф(Л*)=Л*. Это
ключевой момент рассуждения.
Рассмотрим семейство
&
и положим
Пусть Ле^>. Тогда A*czA и в силу D) ф(Л*)с=ф(Л). Но
ф(Л)с=Л, так как Лей8. Значит, ф(Л*)сгЛ для всех Лей8, т. е.
Ф(Л*)с=П5»=Л*. E)
18

Снова применяя D), выводим из E), что <p(q>{A*))czxp(A*).
Значит,
Отсюда следует, что А*а<р(А*); соединяя это с E), получаем
=Л*. F)
Итак, искомое множество А* оказалось экстремальным (а
именно наименьшим) элементом семейства &. Это неудивитель*
но, так как свойство F) множества А* является экстремальным
вариантом условия, которым было определено семейство 5s.
1.1.11. Примеры. Теорема 1.1.10 — не только результат
принципиального характера, но и весьма «практичное» средства
доказательства эквивалентности конкретных множеств. Так,,
чтобы построить взаимооднозначное отображение отрезка /=
={xeR:0<x<l} на интервал /={xeR: 0<лг<1}, требуются не-
некоторые усилия. Доказать же эквивалентность этих множеств;
на основании теоремы 1.1.10 не составляет труда. Из Jczl сле-
следует, что |/|<|/|. Так как любые два отрезка (с концами)
эквивалентны и интервал / содержит отрезок /'=[7з. 2/з], имеем:.
|/| = |/'|<:|/|.По теореме 1.1.10 тогда |/|-s|/|.
Любые два треугольника эквивалентны (например, их мож-
можно отобразить друг на друга посредством аффинного преобра-
преобразования). Очевидно, и любые два круга эквивалентны (здесь
достаточно воспользоваться переносами и сжатиями (растяже-
(растяжениями)). Так как каждый круг содержит некоторый треуголь-
треугольник и каждый треугольник содержит некоторый круг, заключа-
заключаем на основании теоремы 1.1.10, что любой круг эквивалентен
(равномощен) любому треугольнику. Конечно, это можно дока-
доказать и непосредственно, описав соответствующие отображения.
Иногда бывает полезна следующая формулировка теоремы
1.1.10.
1.1.12. Следствие. Ни для каких двух множеств X и Y
неравенства |Х|<:|У| и \Т\<\Х\ (и тем более неравенства
|.Х|<|У| и |У|<|.К|) не могут выполняться одновременно.
Доказательство. Если |Х|<|У| и |У|<|Л|, то \Х\=-
= |У| по теореме 1.1.10, но последнее противоречит тому, что
|У|<|Я| (см. определение 1.1.7).
Сделаем несколько простых замечаний о подмножествах
множества N, которое играет в канторсвской теории множеств
важную роль как простейшее бесконечное множество с естест-
естественным порядком и операциями.
Понятие конечного множества мы считаем интуитивно ясным
н относим его к числу исходных понятий. Однако можно было
бы определить конечные множества как такие, которые эквива-
эквивалентны какому-нибудь из множеств 1М*={0, 1, .... ft}, где £<eeN.
Можно сделать и обратное: свести понятие натурального числа
к понятию конечного множества. Эта редукция осуществляется
в гл. 2, где вводится понятие кардинального числа (кардина-
19

ла) — натуральные числа оказываются разновидностью карди-
кардиналов.
Характерное свойство бесконечной множества N выражает
1.1.13. Предложение. Каждое бесконечное подмножест.
«о Af множества N равномощно N.
Доказательство. Произвольному числу meAf поставим
в соответствие число ф(т) всех предшествующих m в Af эле-
элементов (т. е. число всех р<=М, для которых р<т). Определен-
Определенное так отображение (p:Af->-N инъективно, так как если ть
m2eAf и т1Фт2, то либо mi<m2, либо m2<mi и, следователь,
но, число предшественников у т{ и т2 в М различно. По индук-
индукции легко доказывается, что для каждого neN найдется эле-
элемент т множества N, у которого ровно п предшественников в
М. Тогда ф(т)=и и, следовательно, q>(Af)=N. Итак, отображе-
отображение q>:M->-N взаимооднозначно и M~N.
На любые бесконечные множества предложение не распро-
распространяется: если А — бесконечное подмножество бесконечного
множества X, то неверно, вообще говоря, что А~Х. Более то-
того, как мы увидим далее, только бесконечные множества, экви-
эквивалентные множеству N, обладают свойством, указанным в
предложении 1.1.13.
1.1.14. Определение. Множество называется счетным,
если оно равномощно какому-нибудь подмножеству множест-
множества N.
Предложение 1.1.13 можно переформулировать теперь сле-
следующим образом.
1.1.15. Предложение. Бесконечное множество счетно в
том и только том случае, если оно эквивалентно N.
Очевидно, каждое конечное множество счетно.
Следующее простое утверждение о счетных множествах сра-
сразу вытекает из определения 1.1.14.
1.1.16. Предложение. Каждое подмножество счетного
множества счетно.
Не всегда счетность того или иного множества очевидна. На-
Например, счетным является множество Q всех рациональных чи-
чисел, но доказательство этого требует некоторых усилий. Нетри-
Нетривиальные примеры счетных множеств будут приведены в сле-
следующих параграфах.
Мы заканчиваем этот параграф общими утверждениями об
отношении эквивалентности, часто применяемыми в дальней-
дальнейшем.
1.1.17. Предложение Пусть X и Y — множества, AczX,
B<=Y иА~В, (Х\А) ~ (Y\B). Тогда X~Y.
1.1.18. Предложение. Если Хи Х2, Y{ и У2 — множества,
такие, что |Х,|<|У,|, |^2|<|У2! ы Yx[\Y2=0, то |*,UX2K
<.\YAjY2\.
1.1.19. Предложение. Для любых множеств X и Y
XXY~YXX.
2»

1120 Предложение. Если \Xi\<\Yx\ и \X2\<\Y<i\, то
§ 2. Упорядоченные множества и принцип сквозной цепи
Пусть X — любое множество и < — бинарное отношение на
X, т. е. задано, для каких х, */<=!" соотношение х<у выполняет-
выполняется и для каких х, i/el места не имеет — в последнем случае
мы пишем ~~}(х<у). Отношение < называется порядком, или
упорядочением на X, если выполняются условия:
1) для всех х<=Х ~\{х<у) (антирефлексивность);
2) если х, у, z<=X и х<у, y<z, то x<z (транзитивность).
Не требуется, чтобы любые два различных элемента множе-
множества X были сравнимы относительно порядка <. Например, на
каждом множестве X можно определить пустой порядок, поло-
положив х<у для всех х, у^Х.
1.2.1. Предложение. Если < — порядок на X, то ни для
каких двух различных элементов х, у множества X соотношения
х<у и у<х не выполняются одновременно.
Доказательство. Если х<у и у<х, то из условия 2)
следует, что х<х, а последнее невозможно в силу условия 1).
Если < — порядок на множестве X, то условимся писать
х*су, когда х<у или х=у (т. е. х и у совпадают). Соотношение
х<у читается: <ах меньше, чем у», а соотношение х<.у читает-
читается: «х меньше или равно у». В соответствии с традицией вме-
вместо х<у (х<у) можно писать у>х (у>-х).
Порядок на X называется линейным, если для любых раз-
различных х, у^Х либо х<у, либо у<х.
Множество называется упорядоченным (линейно упорядо-
упорядоченным), если на нем зафиксирован некоторый порядок (линей-
(линейный порядок).
На некоторых множествах природа элементов этих мно-
множеств позволяет определить естественный порядок — иногда не
один.
1.2.2. Примеры. Пусть 8 — некоторое семейство множеств.
Порядок по включению на 8 определяется так: А<В, если
Лс=В и АФВ, где Л, Ва<£. Условия 1) и 2), очевидно, выпол-
выполняются. Этот порядок на 8 мы будем называть естественным.
В частности, естественный порядок рассматривают на экспо-
экспоненте Ехр X произвольного множества X.
Определим теперь естественный порядок на множестве
S^(X) всех вещественных функций, определенных на множестве
А, следующим образом. Пусть f, geE?~(X). Положим К#> если
T(x)<g(x) при всех хе! и f(x)<g(x) хотя бы для одного
х^Х. Здесь f(x)<cg(x) понимается как обычное неравенство
между вещественными числами. Условия 1) и 2) выполняются.
На &~(Х) полезно рассматривать и другие естественные по-
порядки. v:
Несколькими естественными способами можно упорядочить
21

декартов квадрат RxR вещественной прямой R. Например, так.
Для (хи ух), (х2, #2)eRxR положим (хи У\)<.{х2, у2), если
Xi<x2 и уу<у2.
Классические примеры линейно упорядоченных множеств —
множество всех вещественных чисел и любые его подмножест-
подмножества, в частности, множество всех целых чисел, множество всех
натуральных чисел, множество всех рациональных чисел и мно-
множество всех иррациональных чисел. Порядок естественный —
отвечающий величине чисел.
Можно рассматривать и порядки, никак не отражающие
природу элементов множества. Таков, например, пустой поря-
порядок.
Порядок на множестве X упорядочивает и все его подмноже-
подмножества: если Y<z:X и ylf y2^Y, то полагаем у\<у2, если это соот-
соотношение выполняется для порядка, заданного на X. Говорят
при этом, что порядок на У определен как сужение порядка, за-
заданною на X, но обозначают его так же, когда Y указано, дву-
двусмысленности это вызвать не может. Подмножества упорядо-
упорядоченного множества всегда будут упорядочиваться так.
Подмножество С упорядоченного множества X, < называет-
называется цепью, если отношением < оно упорядочено линейно. В част-
частности, если С — семейство множеств, упорядоченное по вклю-
включению, то оно является цепью в том и только том случае, если
из любых двух элементов Pi и Р2 этого семейства одно содер-
содержит другое: либо PiCzP2, либо Р2аРи
Подмнежество YaX называется конфинальным упорядочен-
упорядоченному множеству X, <, если для каждого х^Х найдется уеУ
такое, что х<.у. Например, множество N конфинально упорядо-
упорядоченному по величине множеству R.
Элемент а подмножества А упорядоченного множества X, <
называется наибольшим (наименьшим) элементом множества
А, если х<са (соответственно а^.х) для всех хеХ. Если наи-
наибольший (наименьший) элемент в А существует, то он единст-
единствен; обозначается он через max Л (соответственно minA).
Понятие наибольшего элемента не следует смешивать с по-
понятием максимального элемента. Элемент т упорядоченного-
множества X, < называется его максимальным (минимальным)
элементом, если в X не существует такого элемента х, что т<х
(что соответственно х<т). Каждый наибольший элемент явля-
является максимальным, но обратное неверно: относительно пустого
порядка все элементы максимальны и минимальны, но наиболь-
наибольшего (наименьшего) элемента в так упорядоченном множестве
нет, если оно содержит хотя бы два различных элемента.
Максимальных элементов в упорядоченном множестве мо-
может быть много (все они между собой несравнимы).
Конечно, не во всяком упорядоченном множестве есть мак-
максимальные элементы. Например, их нет в упорядоченном по
включению множестве всех конечных подмножеетв бесконечно-
бесконечного множества X.
22

Подмножество У упорядоченного множества X, < называет-
называется ограниченным (строго ограниченным) в Х,<, если существует
аеХ такое, что у<а (соответственно у<а) для всех y^Y; эле-
элемент а называется при этом верхней гранью (строгой верхней
гранью) множества У в Х„<.
Несравнимость некоторых элементов относительно поряд-
порядка — черта, которая отличает нелинейный порядок от линейно-
линейного. Однако степень этой несравнимости может быть различна,
как это демонстрирует следующее понятие совместности. Эле-
Элементы х, у упорядоченного множества Х,< называются совме-
совместными (относительно порядка <), если существует элемент г
этого множества такой, что x<z и y*g.z.
Упорядоченное множество Х,< называется направленным
(порядком <), если любые два его элемента совместны; поря-
порядок называется при этом направлением на X.
Конечно, все линейно упорядоченные множества направлены.
Множество всех конечных подмножеств бесконечного множе-
множества X, упорядоченное отношением включения, — характерный
пример направленного, но не линейно упорядоченного множе-
множества, в котором нет наибольшего элемента.
Определим теперь понятие, которому предстоит играть в
дальнейшем основную роль.
1.2.3. Определение. Подмножество У упорядоченного
множества Х,< называется сквозным (в Х,<), если не сущест-
существует х^Х, для которого у<х при всех #еУ, т. е. если Y не
строго ограничено в Х,<.
Мы условимся говорить, что элемент х упорядоченного мно-
множества Х,< доминирует множество У, если у<х для всех уеУ.
Нас особенно будут интересовать цепи, являющиеся сквозными
множествами, т. е. сквозные цепи. Если в упорядоченном мно-
множестве Х,< есть максимальный элемент а, то множество {а} —
сквозная цепь в Х,<. Пример показывает, что сквозная цепь
может быть ограниченным множеством и что сквозная цепь не
обязана быть конфинальна всему упорядоченному множеству.
Если множество линейно упорядочено, то для его подмно-
подмножеств понятия сквозного множества, сквозной цепи и конфи«
нального множества становятся равносильными. Однако не во
всяком упорядоченном и даже не во всяком направленном
множестве есть цепь, ему конфинальная, как показывает следу-
следующий пример.
1.2.4. Пример. Пусть М — множество всех отображений
множества N в N. Упорядочим М следующим образом: для
Гь Ь<=М положим fi<f2, если fi(n)<f2{n) при всех neN. Оче-
Очевидно, М, < — направленное множество. Каждая цепь С в упо-
упорядоченном множестве М, < счетна. Действительно, ставя в
соответствие каждой функции fsC ее значение в нуле-число
ДО), мы получаем взаимооднозначное отображение множества
С на некоторое подмножество множества N. Так как последнее
счетно, то и С счетно. Пусть C={fn :ne=N}. Положим g(n) =
23

=/„(«)+ 1 Для всех ле\. Тогда g^M и gs£fn при всех neN.
Значит, цепь С неконфинальна М, <. Итак, в направленном
множестве М,< нет конфинальной цепи.
Следующий принцип, принимаемый нами в качестве аксио-
аксиомы, будет основным рабочим инструментом в доказательствах^
1.2.5. Принцип сквозной цепи. В каждом упорядо-
упорядоченном множестве существует сквозная цепь.
Подчеркнем сразу, что этот принцип относится не только к.
элементам семейства Ж — исходным множествам, но и к тем
множествам, которые возникли или появятся в наших рассуж-
рассуждениях.
Имеется ряд положений, эквивалентных принципу сквозной
цепи: принцип максимальной цепи, аксиома выбора, принцип
вполне упорядочивания, принцип максимального элемента (лем-
(лемма Цорна). Какой-либо из этих принципов обязательно присут-
присутствует в любой аксиоматизации теории множеств в качестве от-
отдельной аксиомы — из прочих аксиом теории множеств ни одно,
из этих положений не вытекает [10].
Доказательству эквивалентности нринципа сквозной цепи
ряду других «трансцендентных» утверждений этого рода будет
посвящен отдельный параграф — § 5 гл. II. Здесь мы выведем
из принципа сквозной цепи аксиому выбора и принцип макси-
максимального элемента и извлечем простейшие следствия из аксио-
аксиомы выбора.
Замечательной чертой принципа сквозной цепи является его
общность — он относится ко всем без исключения упорядочен-
упорядоченным мнежествам (см. в связи с этим пример 1.2.4 и формули-
формулировку принципа максимального элемента). Интуитивно пояс-
пояснить принцип сквозной цепи можно следующим образом.
Пусть Х,< — произвольное упорядоченное" множество. В нем,
несомненно, есть цепь, например, пустая. Возьмем какую-ни-
какую-нибудь цепь С в Х,<. Если она не является сквозной, то найдется
элемент хс^Х такой, что х<хс для всех хеС. Присоединив
один такой элемент хс к С, мы получаем новую, более длинную^
цепь: Ci=C\j{xc}- Если и цепь d не является сквозной, то мож-
можно и ее удлинить до некоторой цепи Сг. Если этот процесс не
останавливается нн на одном конечном шаге, то мы получаем
растущую последовательность Со=С, С\, ... цепей в Х,<. Оче-
Очевидно, объединение Сш=\]{Сп: neN} тоже будет цепью. Если и
цепь Сш несквозная, удлиним ее до цепи Ca+i и т. д. Вообразить,
что описанный процесс «никогда» не остановится, нельзя: ведь
операцию удлинения цепи, присоединения к ней нового элемен-
элемента нельзя с интуитивной точки зрения осуществить большее
число раз, чем имеется элементов в X; в частности, ее нельзя
осуществить Ехр X раз. Конечно, это только интуитивное обос-
обоснование принципа сквозной цепи, а не его доказательство.
1.2.6. Аксиома выбора. Для любого семейства у непу-
непустых попарно не пересекающихся множеств найдется подмно-
подмножество А множества [}у (объединения семейства у), пересекй-
24

ющееся с каждым элементом семейства у ровно по одному
элементу.
Интуитивно, в рамках принятого нами подхода, аксиома
выбора представляется совершенно очевидным утверждением.
Очень основательное и интересное ее обсуждение можно найти
в [3].
Выведем аксиому выбора из принципа сквозной цепи. Поло-
Положим Х=\)у и рассмотрим семейство & всех подмножеств мно-
множества X, у которых есть не более одной общей точки с каж-
каждым элементом семейства у, такие множества будем называть
тонкими. Пусть < — упорядочение по включению на 9>. Возь-
Возьмем сквозную цепь С в &,<-. Множество А=[]С — тонкое. Дей-
Действительно, если хи x2^A(]F и ххФх2, то xi^Pi, A-2eP2, где Ри
Р2^С. Так как С — цепь в 5s, <, то P\CzP2 или P2<=Pb Получа-
Получаем, что большее из Pi и Р2 множество Pt содержит две различ-
различные точки множества F^y, — противоречие с тем, что Pi —
тонкое.
Множество А пересекается с каждым элементом семейства
^у. Действительно, если Fi^y и Flf\A=0, то, выбрав в непустом
множестве F\ точку Х\ и присоединив ее ко множеству А, мы
получим тонкое множество А. Тогда А^$Р, и так как А=\]С
является собственным подмножеством множества А, то В<А
для всех Be С. Но это противоречит тому, что С — сквозная
цепь в &, <.
Следовательно, множество А — искомое.
Укажем весьма удобную в техническом отношении разно-
разновидность аксиомы выбора, связанную с отображениями.
1.2.7. Аксиом а выбора для индексированных
семейств. Пусть 1={Ха: аеЛ} — произвольное индексирован-
индексированное семейство непустых множеств. Найдется тогда отображение
f'-A-*U {Xa: аеЛ} множества А в объединение семейства | та-
такое, что f(a)^Xa для всех аеЛ.
Выведем утверждение 1.2.7 из аксиомы выбора 1.2.6. Поло-
Положим X={J{Xa:a<=A} и Ха={(а, х) :д;еХ«} для всех аеЛ. Тогда
?={-^а: аеЛ} — дизъюнктное семейство непустых подмножеств
множества АхХ. В силу аксиомы 1.2.6. найдется подмножество
F множества Х=[]{Ха: аеЛ}, пересекающееся с каждым элемен-
элементом семейства | ровно по одной точке. Тогда Fc=AxX и для
каждого аеЛ существует ровно одно jcgX такое, что (а, х)<=/\
Обозначим это х через /(а). Очевидно, (а, f(a))<^Xa и, значит,
лг ^ем самьш определено отображение f:A-+X=
=11{Аа:аеЛ}, для которого /(а)<=-Ла при всех аеЛ (множе-
шо^служит графиком отображения f).
1-2.8. Предложение. Если f:X-+Y — отображение мно-
множества X на множество Y, то \Y\^\X\.
Доказательство. Применим 1.2.7 к индексированному
«емеиству Ц~1 (у) : yf=Y). Существует отображение g : Y^X та-
такое, что g(y)e=f-i(y) для всех y<~Y. Если ухФу2, то f-'^OD
25

f\f~l(y2)=0 и, следовательно, g(yi)^g(y2), т. е. отображение
g: Y-+X инъективно. Заключаем: | У | <: | X \.
Предложение 1.2.8 можно обратить.
1.2.9. Предложение. Если | Y\ <: \Х\ и УФ0 , то X можно
отобразить на множество Y.
Доказательство. Существует подмножество XiCzX, эк-
эквивалентное Y. Зафиксируем биекцию ср: X\-+Y, выберем точку
yo^Y и определим отображение f:X-*-Y правилом: f(x)=(p(x),
если atsXj, и f(x)=*y0, если х<^Х\Ху. Очевидно, f(X)=Y.
Часто пользуются не принципом сквозной цепи, а принципом
максимального элемента. В идейном отношении эти два прин-
принципа почти не отличаются друг от друга, но второй из них от-
относится не ко всем упорядоченным множествам и потому дол-
должен рассматриваться как менее фундаментальный.
Упорядоченное множество Х,< называется индуктивным,
если каждая цепь С в нем ограничена.
Вещественная прямая R с обычным порядком — пример
множества, упорядоченного неиндуктивно.
1.2.10. Принцип максимального элемента (лем-
(лемма Цорна).5 каждом индуктивно упорядоченном множестве
Х,< есть максимальный элемент.
Доказательство. Возьмем "какую-нибудь сквозную цепь
С в Х,<. Она ограничена в Х,<, следовательно, найдется х*^Х
такое, что х<х* для всех хеС. Если х^Х и х*<х, то х<х для-
всех хеС, — в противоречии с тем, что цепь С сквозная. Зна-
Значит, не существует хеХ, для которого х*<х, т. е. х* — макси-
максимальный элемент множества Х,<.
§ 3. Теорема о наименьшей мощности
и теорема о сравнимости
Пусть {Ха: аеЛ} — произвольное семейство множеств Ха и
Х—П{Ха : аеЛ} *- его декартово произведение. Подмножество
Рс=Х назовем тонким, если при каждом аеЛ а-е координаты
х'а и х"а любых двух различных элементов х', х" множества
Р различны: х'аФх"а. Иными словами, множество РсХ являем
ся тонким в том и только том случае, если для каждого ае/1
сужение Яо.\Р :Р-^Ха отображения проектирования па:Х-*-Ха
на множество Ха инъективно, т. е. переводит различные точки
множества Р в различные тючки множества Ха..
Приведем некоторые простые факты, относящиеся к тонкие
множествам.
1.3.1. Пусть Р и Q — тонкие множества в произведенш
Х=П{Ха:а^А}, причем na(P){\na(Q)=0 при всех аеЛ. Тогдо
P[)Q — тонкое множество в X.
Это очевидно.
1.3.2. Объединение произвольной цепи С тонких мнoжecтt
в произведении Х=П{Ха: аеЛ} является тонким множеством.
26

Докажем это. Положим Р*=\]С и возьмем любые различ-
различные х', х"(=Р*. Найдутся Р', Р"тС такие, что х'е=Р' и /еР".
Так как С — цепь, то либо Р'&Р", либо Р"аР'. Пусть для оп-
определенности Р'аР". Тогда х', /еР" и Р" — тонкое множест-
множество. Поэтому если х'Фх", то х'а = т1а(х')фпа(х")^=х"а при аеЛ.
1.3.3. £слы Р—тонкое множество, то яа< (Р) ~ яа» (Р) (Эля лю-
любых а', а".еЛ (т. е. |я«. (Р)| = | ««• (Р) |).
Действительно, отображение я<* \ аР ■ Р-*-па (Р) взаимоодноз-
взаимооднозначно, так как Р — тонкое множество. Значит, ла(Р)~Р для
всех аеЛ. Получаем: ла'(Р)~~Р— яа»(Р), и так как отноше-
отношение равномощности транзитивно., яа>(Р) — яа»(Р).
Следующее утверждение является ключевым.
1.3.4. Предложение. Пусть {Ха.: аеЛ} — произвольное
непустое семейство множеств и Х=П{Ха: аеЛ} — декартово
произведение. Найдутся тогда тонкое множество Р*аХ и а*еЛ
такие, что ла*(Р*) = Ха«-
Доказательство. Рассмотрим упорядоченное по вклю-
включению семейство 9*,< всех тонких множеств в X. Возьмем в
<р,< сквозную цепь С и положим Р*=[)С.
В силу 1.3.2 множество Р* — тонкое, т. е. Р*^9>.
Покажем, что найдется а*, для которого па»(Р) = Ха*-
Предположим противное. Тогда при каждом аеЛ можно
выбрать Ха^Ха\па(Р*) (мы воспользовались аксиомой выбо-
выбора!). Рассмотрим точку х={х*: аеЛ}е^. Для тонких множеств
Р* и {х} выполняется посылка утверждения 1.3.1: па[х)[\
Лла(Р*)=0 при всех аеЛ. Значит, множество P=P*\j{x} —
тонкое, т. е. Р<=9>. Очевидно, P*g.P*<P для всех Р&С, т. е.
цепь С несквозная. Получили противоречие.
С помощью предложения 1.3.4 легко получается следующий
фундаментальный результат.
1.3.5. Теорема" о наименьшем множестве. Пусть
{Ха: аеЛ} — произвольное непустое семейство множеств. Най-
Найдется тогда а*еЛ такое, что |Ха*|^}Ха| при всех аеЛ.
Доказательство. На основании предложения 1.3.4 возь-
возьмем тонкое множество Р* в произведении Х=Т1{Ха: <хеЛ} и
индекс а*ЕЛ, для которых яа.(Р') = Ха*. В силу 1.3.3
Яа(Р) ~яа*(Р") = Ха. при всех аеЛ. Но na(P*)czXa и, сле-
следовательно, |яв(Р*)|<:|Хв|. Получаем: |Ха*| = |ла(Р*Ж|Ха|
при всех аеЛ, т. е. а* — искомое.
Заметим, что в формулировку теоремы 1.3.5 произведения
никоим образом не входят.
Как мы увидим, теорема 1.3.5 является основой доказа-
доказательств по трансфииитной индукции в канторовской теории мно-
множеств. Это обстоятельство и дает теореме 1.3.5 фундаменталь-
фундаментальное значение.
Пусть Х\ и Хг — любые два множества. Применим к семей-
семейству {Хи Х2) теорему 1.3.5. Получаем: либо |Xi|<|X2|, либо
|a2|<|Xi|. Таким образом доказана
27

1.3.6. Те op e м а о с р а в н и м о с т и. Любые два множества
X и Y сравнимы по мощности: либо \X\^.\Y\, либо \Y\^.\X\.
На языке отношения эквивалентности теорема 1.3.6 расшиф-
расшифровывается так: либо X эквивалентно некоторому подмножеству
множества Y, либо в X найдется подмножество, эквивалентное
множеству Y.
Теорему 1.3.6 можно следующим образом уточнить.
1.3.7. Теорема. Пусть X и Y — произвольные множества
Тогда либо \X\<z\Y\, либо |У|<|Х| (причем выполняется
только одно из этих неравенств — см. 1.1.10).
Дока з а те л ьство. Пусть неравенство |Х|<|У| не выпол-
выполняется. Тем более тогда |Х|#|У|. Но из теоремы 1.3.6 следует,
что |У|<:|Х|. Заключаем: |У|<|Х|.
Из теоремы 1.3.5 вытекает любопытное
1.3.8. Следствие. Не существует последовательности мно-
множеств {Лп:пе1М} такой, что |Лп-н|<|Лп| при всех neN.
Доказательство. В противном случае по теореме 135
мы имели бы для некоторого /j*gN:
т. е. противоречие.
Из теоремы о сравнимости следует
1.3.9. Предложение. Пусть X и Y — множества, для ко-
которых |Д|<|У|, и XidX, YiCzY, |Х,| = |У,|. Тогда
\X\Xl\<\Y\Yl\.
Доказательство. Предположим противное. Тогда в сил)
теоремы 1.3.7 |У\У1| «с |X\Ji|. Отсюда и из равенства |yi| =
= |Xi| следует, что |У|<|Х| (см. утверждение 1.1.18), — в про
тиворечии с тем, что |Х|<|У| (см. 1.1.10).
Теорема о сравнимости имеет важное следствие, относящеес!
ко множеству N.
1.3.10. Теорема. Для произвольного бесконечного множе
ства X
|N|<|X|. A)
Доказательство. По теореме 1.3.6 либо |N|<|X| -
и формула A) выполняется, либо |X|<|N|. Рассмотрим вто
рой случай. Существует тогда подмножество М множества N
эквивалентное X. Так как X бесконечно, то и М бесконечно
В силу предложения 1.1.13 множество М равномощно N. Полу
чаем: |X| = |Af| = |N| и тем более |N|«:|X|, т. е. и во второи
случае формула A) справедлива.
Теорема 1.3.10 позволяет сказать, что N — наименьшее бес
конечное множество.
Нам понадобится следующее утверждение, которое затек
будет существенно обобщено.
1.3.11. Предложение. Пусть X,— бесконечное множеств
и а — любой его элемент. Тогда
28

\X\ = \X\{a}\.
Доказательство Множество У=Х\{а} бесконечно; по-
поэтому по теореме 1.3.10 найдется бесконечное множество Лс=Уг
равномощное N. Но N-N+. Значит, А равномощно N+ и Ж=
=А{]{а] равномощно N. Следовательно, А~Ж. Так как Х\1=
=У\Л и тем более Х\Я~У\Л, заключаем (см. предложе-
предложение 1.1.17), чтоХ~У.
Из 1.3.11 можно сделать следующий вывод, который, как и
многое в канторовской теории множеств, имеет философский
оттенок.
1.3.12. Предложение. Множество бесконечно в том и
только том случае, если оно равномощно некоторому своему
собственному подмножеству.
Укажем еще одно следствие теоремы 1.3.10, связанное с
предложением 1.1.13.
1.3.13. Следствие. Если бесконечное множество X равно-
мощно каждому своему бесконечному подмножеству, то оно рав-
равномощно N.
Доказательство. По теореме 1.3.10 найдется множество
Лс=Х, равномощное N. Множество А бесконечно и по условию-
равномощно X. Следовательно, |Х|| = |Л| = |N|.
§ 4. Предельные теоремы о мощности для цепей множеств
Теоремы, которые будут получены в этом параграфе, играют
ключевую роль при построении арифметики кардинальных
чисел.
Начнем с простой леммы.
1.4.1. Лемма. Пусть С — цепь множеств, ус=С и ЛеС, при-
причем А\[]уФ0. Тогда [}у<=А.
Доказательство. Возьмем любое В<=\. Имеем: А\ВФ
Ф0. Но С — цепь и Л, ВеС. Значит, BczA для всех £e\v
t. e. \jyczA.
1.4.2. Теорема. Пусть С — цепь множеств, Y — множество,
для каждого А^С выполняется соотношение |Л|<|К|. Тогда
UC||y| Illl
Доказательство. ПустьХ=иС и,л, :
-+Y — проектирования на множители.
Подмножество Рсг^хУ назовем С-тонким, если оно тонкое-
(т. е. отображения л,|оР : Р->я,(Р) и л21ОР: Р-+л2 (Pj взаимо-
взаимооднозначны), и л,(Р)=иу для некоторого yczC.
Рассмотрим упорядоченное по включению множество ^,<
всех С-тонких множеств Рс=ХхУ. Возьмем в 0>, < сквозную
цепь Як покажем, что множество Р* = \}& — С-тонкое. Множе-
Множество И тонко в силу утверждения 1.3.2. Для каждого Р<=<Г
возьмем ypczC такое, что [)уР=п1(Р). Для семейства Y=
-I |Й"|Р\ f} *>1Т°ГДа ИМеем: У^С и UY=U(UYf: Р<^&}=
-WAP) :Pf=ff}-=nl([&)=nl(P*). Итак, Р* - С-тонкое мно-
множество, т. е. Р*^&.
29

Возможны два случая.
I. ni(P*)=^X. Тогда, так как Р* — тонкое множество, име
ем: \Х\ = \Р*\ и \P*\<\Y\,t. e. \ЦС\=>\Х\<\¥\, что и требо
валвсь доказать.
II. П1(Р*)=7^Х.-Покажем, что на самом деле этого быть не
может.
Зафиксируем х^Х\щ(Р*). Так как X=[jC, найдется Я<=С
для которого х^Ж. Из Р*^.& в силу определения семейства &
«ледует, что Л1(Р*)=11уДЛЯ некоторого у^С. Так как х^Ж\[}У
заключаем на основании леммы 1.4.1, что иу^Ж, т. е. п\(Р*)с
аЖ.
Положим В=Ж\т(Р*) и T=Y\n2(P*). Так как |£|<|У|
и |Я1(Р*) | = |Р*| = |л2(Р*) |, из утверждения 1.3.3 следует, что
|В|<|Г|, т. е. существует инъективное отображение f:B-+T
Множество Р'={{х, f(x)) : х^В} (график отображения f) -
тонкое. Кроме того, ni(P')=B и п2(Р')=Т, откуда следует что
ni(P*)nni(P')=0 и п2(Р*)[\Л2(Р')=0. Значит, множество Р=
=P*LJP' - тонкое (см. 1.3.1). Очевидно, ni{P)=ni(P*)\jni(P') =
=Ж^С. Следовательно, Р является С-тонким множеством, т. е
Р^З". Но P^.R*<P для всех РеС, — в^ противоречии с тем, что
цепь С — сквозная. Итак, случай II невозможен.
1.4.3. Пример. Пусть Y — произвольное бесконечное мно
жество, 1МА={0, .... k}={n<=N:n<k}. C={Nk:k<=ti}. Тогда С -
цепь, каждое Nk конечно и |Ма|<|У| для всех k^N. Для N=
=[)С из теоремы 1.4.2 получаем: |N|«:|y|. Последнее неравен
•ство было установлено ранее посредством другого рассуждения
1.4.4. Теорема. Для каждого бесконечного множествах
найдется цепь С его подмножеств такая, что [)С=Х и |У|<|А'|
для всех Y^C.
Доказательство. Рассмотрим упорядоченное по вклю
ченню семейство &={AczX: |Л|<|Х|}. Возьмем сквозную цепь
8 в #•,< и положим Л*=и<8'. Покажем, что |Л*| = |Х|. Пусть
это не так. Из Л*с=Х следует тогда, что |Л*|<|Х|. Это озна
чает, что А*^&. Тем более, Х\А*Ф0. Возьмем а^Х\А* и
положим А=А*[){а). Если А* конечно, то А конечно и, так как
А' бесконечно, А^&. Если А* бесконечно, то |Я| = |Л*|<|Х|
(см. 1.3.11) и А<^@. Итак, в любом случае А<=&. Имеем: А4
<.А*<Ж для всех A^S", — в противоречии с тем, что & — сквоз
ная цепь в !?,<■ Итак, множества Л* и X равномощны. Возь
мем взаимооднозначное отображение (р:Л*-*-Х. Множество А*
является объединением цепи & множеств меньшей мощности
Отображение ф позволяет представить аналогичным образом
множество X: семейство С={ф(Л) : Ле^Г}, очевидно, являете
цепью (С — ф-копия цепи %>), иС=11{ф(Л) :Ле<8'}=ф(и<8') =
=Ф(Л*)=Х и |ф(Л)| = |Л|<|^| для всех А<=&.
Цепь С, таким образом, искомая.
Ясно, что на конечные множества теорема 1.4.4 не распрост
раняется.

§ 5. Теорема о равномощности бесконечного множества
своему квадрату
В этом параграфе мы устанавливаем одну из главных теорем?
канторовской теории множеств. Это теорема удивительна соче-
сочетанием необычайной общности и нетривиальности, достигнуты-
достигнутыми с помощью минимума математических средств.
1.5.1. Теорема (о квадрате). Для каждого бесконечного1
множества X квадрат этого множества ХхХ равномощен ему
самому.
Доказательство. Предположим противное: пусть мно-
множество X бесконечно и ХхХ ^сХ.
Рассмотрим упорядоченное по включению семейство & всех
бесконечных подмножеств У множества X, квадрат которых им"
неравномощен:
&={YczX: У бесконечно и YxY-jLY).
По предположению Х^3>, т. е. семейство ^ непусто. В силу
теоремы 1.3.5 найдется Уое5* такое, что
|Уо|<|У| для всех У«=^. A)
Множество Уо бесконечно; по теореме 1.4.4 найдется цепь С
подмножеств множества Уо такая, что Уо=1_1С и
|Л|<|У0| для всех ЛеС B)
Семейство &={АхА:А^.С) тоже является цепью множеств,
и из У0=иС следует, что и#=УоХУо.
Покажем, что для каждого А&С
|ЛХЛ|<|УО|. C)
Если множество А конечно, то АхА — конечное множества
и неравенство C) выполняется, так как множество Уо беско-
бесконечно. Пусть множество А бесконечно. Из соотношений A) и
B) следует, что А&&. Это означает, что АХА~А, т. е.
]ЛхЛ [ = ]Л |<| Уо|. Итак, мощность каждого элемента цепи <8"
строго'меньше мощности Уо. Применяя теорему 1.4.2, получаем
|УоХУо| = |и#|<|Уо|. D)
Но |Уо|<|УоХУо| (см. 1.1.9). Значит, по теореме 1.1.10
|Уо| = |УоХУо|, т. е. Уо~УоХУо, - в противоречии с Уое£».
Теорема доказана.
Из теоремы 1.5.1 и предложения 1.1.20 вытекает
1 5.2 Следствие. Если X — бесконечное множество я Y —
непустое множество, для которого | У| < |Х|, то
\XXY\ = \X\.
1.5.3. Теорема (о сумме). Пусть {Ха:а^А} — семейство
множеств, У - множество и \A\<\Y\, \Xa\<-\Y\ для каждого
ссеЛ. Тогда для множества Х=[){Ха : аеЛ} имеем
31

\X\<\Y\. E)
Доказательство. В силу следствия 1.5.2 |У| = |АХУ|
Поэтому достаточно доказать, что
|*|<|ЛХУ|. F)
Положим Уа={а}хУ для всех аеЛ. Так как |Ха|<:|У| =
= | У<х |, существует отображение фа множества Уа на множество
Ха (см. 1.2.9). Отображение у:AXY-+X определим правилом
ф(а, У)— фа(а, у) для всех аеЛ, г/еУ. Ясно, что <р(ЛхУ)=*
Следовательно, в силу предложения 1.2.8 |*|<|АХУ|.
1.5.4. Следствие. Если множество X бесконечно и X*
=*!№, то либо \Х\ = \ХХ\, либо 1*1 = 1*21.
Доказательство. По теореме 1.3.6 либо |*i|<|X2l
либо |*2|«|*i|. Пусть для определенности |*i|<|*2|
Для А={\, 2} имеем: |Л|<|*2|. Применяя 1.5.3 (с У=*2), пс
лучаем ]*|<|*2|-Но |*2| < |*|, так как Z2c:Z. Значит, по тес
реме 1.1.10 |*| = |*2|.
Из утверждений 1.5.1—1.5.4 можно извлечь много конкрет
ных следствий, например такие:
1.5.5. Предложение. Для любого neN+ и любого веско
печного множества X
\Х«\ = \Х\. G)
В частности, |R"| = |R| и |N"| = |N| при всех »eN+.
1.5.6. Следствие. Множество Р всех иррациональных чи
сел равномощно множеству R всех вещественных чисел.

Глава 2
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой главе систематически рассматриваются вполне упоря-
упорядоченные множества. Это особый тип линейно упорядоченных
множеств, выделяемый требованием: в каждом непустом под-
подмножестве есть наименьший элемент. Таковы, например, все
конечные линейно упорядоченные множества и множество N с
обычным порядком. С вполне упорядоченными множествами
связаны построения по трансфинитной рекурсии и доказатель-
доказательства по трансфинитной индукции — уже одно это свидетель-
свидетельствует о фундаментальном значении данного понятия. Принци-
Принципиально важен вопрос о возможности вполне упорядочить про-
произвольное множество.
Центральное место в главе занимают вопросы сравнения
вполне упорядоченных множеств посредством отображений и, в
частности, теорема об их жесткости (теорема 2.2.10). Материал
главы дает основу для введения и исследования кардинальных
и ординальных чисел в следующей главе.
§ 1. Теорема о вполне упорядочиваемое™ множеств
2.1.1. Определение. Линейное упорядочение < на мно-
множестве X называется вполне упорядочением, если выполняется
условие:
для каждого непустого подмножества Р множества X най-
найдется в Р наименьший относительно < элемент — такое Хо^Р,
что д;0<:д; для всех хеР.
Естественное упорядочение по величине натуральных чисел
является вполне упорядочением на N — на этом основаны до-
доказательства по математической индукции.
Как мы увидим в дальнейшем, одно из главных назначений
вполне упорядочений состоит в том, чтобы дать основу рассуж-
рассуждениям по трансфинитной индукции и трансфинитной рекурсии.
Качественное отличие трансфинитной индукции от обычной —
в том, что при ней может многократно преодолеваться барьер
бесконечности и что общее число шагов может быть несчет-
несчетным — сколь угодно большим по мощности.
Принципиальное значение в связи со сказанным имеет во-
вопрос: каждое ли множество может быть вполне упорядочено?
(Вполне упорядоченным множеством будем называть множест-
множество вместе с фиксированным вполне упорядочением на нем.)
2 Зак. 198 ЭЗ

Ответ не кажется очевидным. Более того, представляется а
priori неясным и следующее: каждое ли множество может быть
линейно упорядочено? Важная особенность вполне упорядоче-'
ний, отличающая их не только от произвольных упорядочении,
ио и от линейных упорядочений, состоит в том, что они почти
не встречаются в натуральном виде: очень редко сама «при-
«природа» математических объектов вполне упорядочивает их
(исключение — ряд натуральных чисел). Обычно вполне упо-
упорядочения «навязываются» множеству извне и не отражают
внутренней структуры этого множества. Тем более значитель-
значительным представляется следующий факт: каждое множество может
быть вполне упорядочено. Мы докажем это одним способом в
этом параграфе и другим — в § 5 гл. 2.
Первый (и важнейший) шаг — установить, ч.то все исходные
множества (т. е. все множества, являющиеся элементами исход-
исходного семейства Jt) вполне упорядочиваемы.
Для каждого Xe.Jt обозначим через \Х\ класс всех мно-
множеств УеД равномощных X, т. е.
\X\={Ye=Jt \Y~X\.
Применим аксиому выбора 1.2.6 к дизъюнктному семейству
{\Х\ :X^Jt}. Это дает нам семейство W, обладающее свой-
свойствами:
(a) для каждого X^Jt найдется Y^.W такое, что X~Y.
(b) если F.ZgWh Y^Z, то Уф Z.
Для Y, Z<=W положим Y<Z, если |y|<|Z|.
Из теорем 1.1.10, 1.3.6, 1.3.5 и условия (Ь) следует, что от-
отношение < вполне упорядочивает семейство W.
Рассмотрим произвольное множество Х^Л. По теореме
1.3.6 о сравнимости либо X можно инъективно отобразить в №,
либо W можно инъективно отобразить в X. Покажем, что вто-
второе невозможно.
Пусть АаХ и W~A. Тогда семейство W можно представить
в виде
}
Так как A^.Jt и Уа^Л при всех аеЛ, множество Y=
—\j{Yx : аеА) тоже принадлежит Jt. Для Z=Exp Y тогда имеем:
Z^Jt и |Уа|<|У|<|2| для всех а<=Л (см. 1.1.8). С другой
стороны, в силу условия (а) найдется a*sA такое, что
Ya.~Z, т. е. |Уа»| = |2|- Получили противоречие с
\Ya*\<\Z\.
Следовательно, существует инъективное отображение
f:X-+W. Для произвольных хи х2^.Х положим Xi*^x2, если
f(xi)<f(x2). Так как f инъективно и < — вполне упорядочение
на W, этим определено вполне упорядочение < на Х- Таким
образом, доказана следующая фундаментальная теорема.
2.1.2. Теорема. Каждое множество X^J? может быть
вполне упорядочено (т. е. на нем существует хоть одно вполне
упорядочение).
34

Любопытно, что уже на множестве R всех вещественных v i-
сел не удается указать никакого вполне упорядочения никаким
«конкретным» способом: вполне упорядочение множеству R мо-
может быть навязано только извне, из указанных выше абстракт-
абстрактных соображений (см. [3, 10]).
Сферу действия теоремы 2.1.2 удается радикальным образом
расширить, вспомнив один из наших основных принципов.
Пусть X — произвольное семейство,, не обязательно принад-
принадлежащее Jt. В соответствии с принципом В можно ввести се-
семейство Л* множеств, для которого выполняются условия 1—6
из Введения и вообще все сделанные нами общие предположе-
предположения о классе М, и такое, что X^Jt*.
Заменив в доказательстве теоремы 2.1.2 класс Ji на класс
jP, мы получаем следующий общий результат.
2.1.3. Теорема. Каждое семейство X может быть вполне
упорядочено.
§ 2. Сравнение вполне упорядоченных множеств.
Теорема о жесткости
Пусть X, < — упорядоченное множество. Подмножество Лег
Х называется левым лучом в X, <, если выполняется усло-
условие: для каждого лгеЛ и каждого у^.Х такого, что у<х, непре-
непременно у^А.
2.2.1. Примеры, а) Пустое множество в каждом упорядо-
упорядоченном множестве является левым лучом.
б) Пусть X, < — произвольное упорядоченное множество и
Х. Тогда множества
= {уе Х:у < х)
являются левыми лучами в X, <. Этими обозначениями мы
пользуемся и далее. Лучи Х\х+ и Х\х называются соответствен-
соответственно полным и неполным левыми лучами в Х,<, порожденнными
элементом х (с концом в х); вместо X\t и Х\х мы часто пишем
X\tuX\x.
в) В линейно упорядоченном множестве X, < не всякий ле-
левый луч А можно представить в виде X\t или Х\х. Например,
если X=R\{0} и X упорядочено обычным образом, то множе-
множество Л = {уеЯ : у<0} — левый луч в X, <, но не существует хе
еХ такого, что A=X\t или А=Х\Х.
Полезно следующее простое утверждение.
2.2.2. Предложение. Из любых двух левых лучей в ли-
чейно упорядоченном множестве один является подмножеством
другого.
Левый луч А в упорядоченном множестве X, < называется
собственным, если АфХ. Один из главных фактов, относящихся
ко вполне упорядоченным множествам, таков:
2* 35

2.2.3. Предложение. Для каждого собственного левого
луча А во вполне упорядоченном множестве X, < существует
(и единствен) элемент х^Х такой, что А = Х\Х.
Доказательство. Множество Х\А непусто. Положим
x=min(X\A). Тогда если у<х, то уе=А, т. е. X\xczA. Пусть
1. Так как л;е£Л и Л — левый луч в Хх <, соотношение дг^
не выполняется. Следовательно, z<x, т. е. АаХ\х. Итак,
2.2А. Предложение. В каждом непустом семействе С
левых лучей вполне упорядоченного множества X, < сущест-
существует наименьший левый луч, т. е. такое А<=С, что АаУ для
каждого Y&C.
Доказательство. Можно считать, что все лучи, принад-
принадлежащие С, собственные. По предложению 2.2.3 для Каждого
АС существует и единствен элемент ф(Л)еХ такой, что А =
Множество Р = {ф(Л) :А^С} непусто и лежит во впол-
вполне упорядоченном множестве X, <. Положим xo = minP и возь-
возьмем то ЛоеС, для которого ф(Л0) =хо.
Имеем: ф(Л0) =д;о^ф(Л) для всех А^.С, откуда получаем
Л) = -X | Ф(л.) с: X | ф( а) = Л
для всех Ае.С.
Особую важность имеет вопрос о сравнении вполне упоря-
упорядоченных множеств.
Зафиксируем до конца параграфа произвольные упорядо-
упорядоченные множества X, < и У, <^.
Отображение f: X-*-Y называется строго монотонным, если
из хи х2^.Х и х{<Х2 следует, что f (xi)<^f (x2).
Если отображение f строго монотонно, взаимооднозначно и
обратное к нему отображение f-1 тоже строго монотонно, то
отображение / называется подобием.
Заданное правилом g(n)=2n отображение g:N->-N строго
монотонно, но подобием не является.
Очевидно, имеет места
2.2.5. Предложение. Строго монотонное взаимооднознач-
взаимооднозначное отображение линейно упорядоченного множества на упоря-
упорядоченное множество является подобием.
Пусть f:X->Z — биекция, < — упорядочение на X и отноше
ние < на Z определено правилом: ZcCz2 в том и только том
случае, если f1 {zi) <f'l(z2) для любых ги z2eZ. Тогда <-
упорядочение на Z, и отображение / является подобием упоря-
упорядоченного множества X, < на упорядоченное множество Z, 4
Очевидно, подобия сохраняют все свойства порядка. В част-
частности, множество, подобное линейно упорядоченному, само ли
нейно упорядочено, а множество, подобное вполне упорядочен-
упорядоченному, само вполне упорядочено.
Отметим, что композиция строго монотонных отображений
является строго монотонным отображением и композиция по
добий является подобием.
36

2.2.6. Предложение. При строго монотонном отображе-
отображении / : Х->У прообраз любого левого луча в У, ■< является ле-
левым лучом в X, <.
Доказательство. Пусть В — левый луч в F, -( и А =
^f-^(B). Если а^А, х^Х и х<а, то f(x)<^f(a)^B, откуда
следует, что f(x)<=B и x^f~l(B)=A. Значит, Л —левый луч в
X, <•
Напротив, образ левого луча (даже всего множества X) при
строго монотонном отображении f: X-+-Y может не быть левым
лучом в Y, <^. Действительно, указанное выше отображение
g:N->-N строго монотонно, но множество g(fi) левым лучом в
N, < не является.
2.2.7. Определение. Отображение f:X-*-Y называется
точным, если оно строго монотонно и f(X) — левый луч в Y, -<.
Очевидно, каждое подобие является точным отображением.
2.2.8. Лемма. Если X, < — вполне упорядоченное множе-
множество, то не существует в X последовательности {хп:п^Щ та-
такой, что хп+1<хп при всех neN.
Доказательство. Множество А = {хп'-п^Щ имеет наи-
наименьший элемент а. Тогда а—хк при некотором fteN и xh=a^
^Xh+i, т. е. условие Хь+\<Хк не выполняется.
2.2.9. Предложение. Пусть f—строго монотонное отоб-
отображение вполне упорядоченного множества X, < в себя. Тогда
x^f(x) для всех х^Х.
Доказательство. Предположим противное: пусть на-
нашлось х^Х такое, что f(x)<x. Полагая хо — х и xn+i = f(xn)
при neN, мы получаем последовательность {х„: neN}, для ко-
которой хп+[<Хп при всех neN — это следует из строгой моно-
монотонности отображения /. Действительно, X[ = f(x)<x=xD, отку-
откуда получаем: X2=zf(xi)<f(x(y)=xi, хъ<х2 и т. д. (по индукции).
Получили противоречие с леммой 2.2.8.
Первое основное утверждение о точных отображениях та-
таково.
2.2.10. Теорема (о жесткости). Пусть f :Х~уХ —точное-
отображение вполне упорядоченного множества X, < в себя.
Тогда f(x)=x для всех х^Х, т. е. отображение f тождественно.
В частности, f (X) = X.
Доказательство. Установим сначала, что f(X)=X.
Возьмем любое xel. Отображение f строго монотонно, поэто-
поэтому в силу предложения 2.2.9 x^f(x). Но f{X)— левый луч в
Х,< и f{x)(=f(X). Значит, xesf(X), т. е. Xaf(X)c:X и Х=
Ч(Х
)
так, / является подобием множества X, < на себя (см.
предложение 2.2.5).
К обратному отображению f-l:X~*-X также применимо
предложение 2.2.9. Заключаем: для всех х^Х x^.f~l(x) и в
силу строгой монотонности f f(x)^x. Отсюда и из уже уста-
установленного неравенства x^f(x) следует, что x = f(x) при всех
х<~Х.
37

2.2.11. Пример. Отображение g : R+->R+, где g(r)=r2 при
R+ является подобием (тем более точным отображением)
множества R+ всех положительных вещественных чисел, линей-
линейно упорядоченного естественным образом, на себя. Очевидно,
g нетождественно. Мы видим, что теорема 2.2.10 на любые ли-
линейно упорядоченные множества не распространяется.
Далее часто применяются без оговорок следующие простые
утверждения о левых лучах.
2.2.12. Предложение. Пусть Х,<~линейно упорядочен-
упорядоченное множество, А — левый луч в X, < и ВаА. Тогда множест-
множество В является лрвым лучом в X, < в том и только том случае,
если оно является левым лучом в А, <.
2.2.13. Предложение. Пусть Х,<. — линейно упорядочен-
упорядоченное множество и xi, х2^Х. Тогда левый луч X\Xl является соб-
собственным подмножеством левого луча Х\Хг в том и только том
случае, если xt<X2.
2.2.14. Предложение. Пусть f — точное отображение ли-
линейно упорядоченного множества X, < в линейно упорядоченное
множество Y, -<. Тогда образ левого луча в X, < является ле-
левым лучом в Y, <^.
Из теоремы 2.2.10 вытекает следующий результат принци-
принципиального характера:
2.2.15. Теорема о единственности. Пусть f: X~>-Y
и g:X-*-Y—dea любых точных отображения вполне упорядо-
упорядоченного множества X, < во вполне упорядоченное множество
Y, ■<. Тогда f=g на X, т. е. f{x)=g для всех х^Х.
Доказательство. Положим Y{ = f{X) и Y2=g(X). Мно-
Множества Y[ и Y2 — левые лучи вУ, ■< (так как отображения f и
g — точные). Значит, либо Y{ciY2, либо Y2cY{. Пусть для опре
деленности YicnY^.
Для каждого г/еУ2 положим -ф(у) =fg~l(y)^Yi. Очевидно,
отображение я|э: Y2-^Yx строго монотонно и ty{Y2)=f{X)=Yl —
левый луч в У, ■<(. Значит, г|з — точное отображение. Тогда по
теореме 2.2.10 Yi = ty{Y2) =Y2 и отображение ij> тождественно
■ф(#)=«/ Для всех y^Y2. Но это и означает, что f(x)=g(x) дл?
всех х^Х.
2.2.16. Следствие. Если вполне упорядоченные множест
ва Х,< и Y, < подобны, то подобие f: X-+-Y единственно
2.2.17. Следствие. Пусть X, < и Y, -^—вполне упорядо
ченные множества и Yu Y2 —левые лучи в Y, <, подобные Х,<
Тогда YX = Y2.
2.2.18. Предложение. Пусть Х,< и Y, <_~вполне упо
рядоченные множества, Ai и А —левые лучи в Х,<, причел
Л1СГЛ и А\фА. Тогда:
а) Если левый луч В в У, < подобен А, <, то существуе
левый луч Bi вУ,<. подобный Аи < и такой, что В{с:В, В^
б) если луч Аи < подобен лучу Вх в Y, < и луч А, < подо
бен лучу В в Y, <, то В,с=В и ВхфВ.
36

Доказательство, а) При подобии f:Л-мВ левый луч
Ах переходит в левый луч B\=*f(A\)czB, причем из А\ФА сле-
следует, что В\фВ (см. предложения 2.2.14 и 2.2.17). Лучи Alt < и
Ви ■< подобны.
б) В силу а) существует луч В' в У, ■<, подобный лучу
Ах, < и такой, что В'с:В и В'ФВ. Из утверждения 2.2.17 сле-
следует теперь, что Вх=В'. Значит, Bfc:B и В\ФВ.
Второе основное утверждение о точных отображениях ка-
касается их существования.
2.2 19. Т е о р ем а (о прилегании шкал). Пусть X, < и У,
-< — произвольные вполне упорядоченные множества. Тогда
справедливо ровно одно из следующих утверждений:
a) существует и единственно точное отображение f: X-+Y,
причем {(Х)ФУ;
b) существует и единственно точное отображение f: Y-*-X,
причем 1(У)ФХ;
c) существует и единственно подобие f:X-*-Y.
Доказательство. Положим Х* — {х^Х: в Y, ■<( сущест-
существует собственный левый луч, подобный Х\х, <}. Для каждого
хеХ* обозначим через ф(д;) тот элемент i/еУ, для которого
лучи Х\х,< и Y\v, -< подобны — в силу следствия 2.2.17 такое
у существует и единствен. Из предложения 2.2.18 следует, что
еспн Xi<X2, хх, Х2^Х*, то ф(л;1)*<ф(*2) (строгое включение
Y\'ytcY\y, равносильно тому, что Ух-^Уъ)-
Кроме того, в силу предложения 2.2.18 X* — левый луч в
Покажем, что и У*=<р(Х*) —левый луч в У, <. Пусть у^
^ф(Х*) и ух^-Y, ух-^у. По определению отображения ф левый
луч Y\y, <^ подобен левому лучу Х\х, < для некоторого лсеХ.
Но тогда в силу предложения 2.2.18 левый луч Y\yt, ■<( подо-
подобен некоторому левому лучу А, <. в X, <, где AczX\x и тем бо-
более АфХ. По предложению 2.2.3 A = X\xi для некоторого хх^.
^Х. Из определения отображения ф следует, что ц>(хх)=ух.
Итак, мы имеем подобие ф: Х*-*-У*, причем X* и У* — левые
лучи в X, < и У, -< соответственно.
Покажем, что выполняется хотя бы одно из равенств Х* = Х
и Y* = Y.
Предположим противное. Тогда в силу предложения 2.2.3
найдется х*^Х, для которого Х*=Х|х«. Так как левый луч
Х\х* подобен собственному левому лучу У* множества У, ■<(.,
имеем: jt*eX*. Но тогда лг*еХ|*«, т. е. х*<х* — получили
противоречие. Следовательно, либо Х*=Х, либо Y* = Y. Если
выполняются оба равенства, то имеет место подобие ф: Х->У.
Если справедливо только первое из них, то имеем точное отоб-
отображение ф : Х->У, причем ф(Х) =У*=^=У.
Если справедливо только второе равенство, то отображение
Ч>~1 • Y-+X* — подобие, причем X* — собственный левый луч в
Х> <. То, что существует не более одного отображения f такого,
как в а), Ь) не), следует из предложения 2.2.15.
39

§ 3. Порождающие (минимальные) вполне упорядочения
2.3.1. Определение. Вполне упорядочение < на множе-
множестве X называется порождающим (или минимальным), если
для каждого х^Х мощность множества Х\х = {у^Х :у<х}
меньше мощности всего множества X, т. е. |Х|Х|<|Х|.
Иными словами, вполне упорядочение < множества X яв-
является порождающим в том и только том случае, если мощ-
мощность каждого собственного левого луча в X, < меньше мощно-
мощности самого множества X.
Вполне упорядоченное множество X, < условимся называть
шкалой, если вполне упорядочение < — порождающее.
Разумеется, на конечном множестве всякое вполне упорядо-
упорядочение является порождающим.
2.3.2. Теорема. На каждом множестве X существует по-
порождающее вполне упорядочение.
Доказательство. По теореме 2.1.3 на X существует
вполне упорядочение <. Если < — порождающее, доказатель-
доказательство завершено. В противном случае множество А = {х^Х:
'■ I^UI = |-K|} непусто. Возьмем первый элемент x* = m'mA это-
этого множества. Если у^Х и у<х*, то у^А и, значит, |Х|У|<
<|Х|. С другой стороны, |-Х|**| = |Х|, так как х*еЛ. Следо-
Следовательно, < —.порождающее вполне упорядочение на множест-
множестве Y—X\xt, равномощном множеству X. Остается «скопиро-
«скопировать» < с множества Y на все множество X посредством ка-
какой-нибудь биекции. А именно, фиксируем биекцию <р: X->Y и
полагаем для хи х2^.Х: х\<^х^ в том и только том случае, если
ф(д;1)<ф(д;2).
Очевидно, ■< — порождающее вполне упорядочение на X.
2.3.3. Теорема. Пусть < и <( — два порождающих впол-
вполне упорядочения на множестве X. Тогда множества X, < и X, ■<
подобны (и подобие f:X, <-*-X, <^ единственно).
Доказательство. По теореме 2.2.19 существует точное
отображение / множества X, < во множество X, ■<( . Левый луч
f (X) в X, <( равномощен множеству X. Так как вполне упоря-
упорядочение <( порождающее, левый луч f(X) не может быть соб-
собственным, т. е. f(X)=X. Значит, / — искомое подобие. В силу
следствия 2.2.16 подобие / единственно.
Теоремы 2.3.2. и 2.3.3 выявляют канонический характер по-
порождающих вполне упорядочений.
С помощью порождающих вполне упорядочений удается про-
прозрачно классифицировать совокупность всех вполне упорядо-
упорядоченных множеств меньшей мощности (из Ж).
2.3.4. Теорема. Пусть X, < — произвольная шкала и Y,
■< — любое вполне упорядоченное множество мощности мень-
меньшей мощности X. Найдется тогда хе! такое, что вполне упо-
упорядоченное множество Х\х, < подобно Y, <(.
Доказательство. Применяя теорему 2.2.19, мы заме-
замечаем, что случаи а) и с) невозможны, так как [У|<|%| (точ-
40

нее, так как неверно, что |X|=t^|F|). Следовательно, имеет ме-
место случай Ь): множество Y, -< подобно некоторому собствен-
собственному левому лучу А множества X, <. В силу предложения 2.2.3
А=Х\х Для некоторого xgI.
§ 4. Трансфинитная индукция и трансфинитная рекурсия
Одно из главных назначений вполне упорядоченных мно-
множеств— служить основой доказательств по трансфинитной ин-
индукции. Принцип трансфинитной индукции, обобщающий обыч-
обычный принцип математической индукции, заключается в следую-
следующем.
2.4.1. Теорема (принцип трансфинитной индукции). Пусть
W, < — вполне упорядоченное множество, и каждому ае№ по-
поставлено в соответствие некоторое утверждение Р(а), причем
так, что выполняются следующие два условия:
1) утверждение Р@) верно, где 0 — первый элемент множе-
множества W, <;
2) если peW и Р(а) верно для всех а<Р, aelF, то Р(р)
тоже верно.
Тогда Р{а) верно при всех aelF.
Доказательство. Предположим противное. Тогда мно-
множество М всех aef, для которых Р(а) неверно, непусто: М=^
Ф0. Возьмем наименьший элемент а* множества М. Из a*sM
следует, что Р(а*) неверно. С другой стороны, Р{а) верно для
всех a<a*, aeW, так как a* = minAJ. Из условия 2) вытекает
теперь, что утверждение Р(а*) верно — получили противоречие.
С применениями принципа трансфинитной индукции мы еще-
встретимся (см. гл. 4). Сейчас же остановимся на втором важ-
важнейшем принципе организации рассуждений, связанном со впол-
вполне упорядочениями.
2.4.2. Теорема (о построении по трансфинитной рекур-
рекурсии). Пусть W, < — произвольное вполне упорядоченное мно-
множество, Y—любое множество и каждому jelF отвечает прави-
правило Rx, которое произвольному отображению tp: W\x->-Y ставит
в соответствие определенный элемент Ях(ч>) множества Y. Тог-
Тогда существует и единственно отображение f: W—>-Y такое, что
f(x)=RAf\(W\x)) A)
аля всех ^е W.
Доказательство. Если f-.W-^-Y и g:W-+Y — два раз-
различных отображения, удовлетворяющих формуле A), то мож-
можно взять первое x*z=W, для которого f(x*)^g{x*). Тогда f{x) =
=g(x) при всех х<х*, xz=W, т. е. f\(W\,*) = g\{W\x*), и из A)
следует, что /(*•) = /?„ (ЛОЛ*•)) = £*(£№? !*•)) = £(**)- в
противоречие с выбором jt*ef. Следовательно, существует са-
иое большее одно отображение /: W-+Y, удовлетворяющее ус-
10ВИЮ A).
Докажем теперь, что такое отображение f:W-*~Y сущест-
»ует. Рассмотрим множество А всех тех ,veW, для которых су-
41

шествует отображение fx:W\x+-^Y, удовлетворяющее условию
для всех (/<*, y
Очевидно, множество А является левым лучом в W, <. Если
х\, х2^А и xt<x2, то fXl — сужение отображения fx, на W\Xt,—
это следует из доказанного выше.
Поэтому существует отображение f: A-+Y такое, что
^) = /*Для всех х^А. Очевидно,
Для всех х^А. Осталось показать, что A = W. Предположим
противное. Тогда A = W\X., где x* = min(W\A). Положим
fx* (х) =1{х) для всех х<х* и /*. (**) = #*• (?)• Отображение /*.:
'■№\J*-+Y, очевидно, удовлетворяет формуле A*»)- Следова-
Следовательно, х*^А, в противоречии с x*eW\A.
Заключаем: A = W и отображение f=J :W-*-Y — искомое.
'Замечание. При отображении /: W-+Y образ первого
элемента 0 множества W в силу данного выше определения есть
Яо@) —некоторый элемент множества Y.
При построении по трансфинитной рекурсии в качестве мно-
множества Y выступает обычно семейство подмножеств какого-ни-
какого-нибудь множества Z. Правило Ro говорит просто, какой элемент
множества Y следует поставить первому элементу 0 множества
W. Пусть x^W и существует элемент x'^W, непосредственно
предшествующий элементу х в W, т. е. такой, что х = х'+1. Пра-
Правило Rx в этой ситуации может определять значение f(x) по
уже известному значению /(#'). Если элемент х — предельный
в W, < (т. е. не имеет непосредственно предшествующего), то
связь между f(x) и /| (W\x) может иметь вид: f{x) = F([) )/(*')
или f(x) = F( Л f(x')), где F : Exp Z-^Exp Z — некоторое
отображение.
Правило Rx может иметь и существенно более сложную
природу. Формально в качестве Rx может выступать любое
отображение в Y множества Мх всех отображений множества
W\x в Y, причем отображения RX' и Rx- могут совершенно не
зависеть друг от друга при х'фх".
Иногда построения по трансфинитной рекурсии называют
определениями по трансфинитной рекурсии. В дальнейшем бу-
будет осуществлен ряд интересных конкретных построений этого
рода.
Часто после построения по трансфинитной рекурсии отобра-
отображения f: W^-Y доказываются по трансфинитной индукции те
или иные утверждения, зависящие от aeW и относящиеся к
отображению f. В конечном счете эти утверждения оказываются
следствиями принятого при построении правила Rx.
42

§ 5. Вывод принципа сквозной цепи из аксиомы выбора
В этом параграфе мы принимаем аксиому выбора в. качест-
качестве исходного положения.
2.5.1. Теорема. В каждом упорядоченном множестве X, <
существует вполне упорядоченная сквозная цепь.
Доказательство. Для каждой цепи Л в X, < обозначим
через (А)т множество всех хеХ таких, что а<х для каждого
деЛ. Зафиксируем на основании аксиомы,выбора отображение
с: Ехр Х\{0}-уХ такое, что
c(B)s=B A)
для всех непустых ВсХ.
Для каждой цепи А в!,<, для которой множество (Л),п
■непусто, положим
Ф(Л)=с((Л)т). B)
Подмножество AczX назовем ф-шкалой (в X, <), если вы-
лолняются условия:
I) А, < — вполне упорядоченное множество и
II) для каждого х^А имеет место равенство
фИ1>)=*. C)
Заметим, что (Л|ж)т всегда непусто, так как хе{А\х)т.
Ключевую роль в доказательстве теоремы 2.5.1 играет сле-
следующее утверждение.
2.5.2. Предложение. Пусть А\ и А2— любые две ^-шка-
^-шкалы в X, <. Тогда либо А{ является левым лучом в А2,<, либо
А2 является левым лучом в Аи <.
Доказательство. Положим
Д={хеЛ,ПЛ2:А1|1=Л2и}. D)
Очевидно, AczA\ и AczA2. Покажем, что К является левым лу-
лучом как в А\, так и в А2.
Пусть х^Л и г/eAi, у<х. Тогда j/e^i|x=i42Uc=^2 и, зна-
значит, y^Aif\A2. Имеем
А{\у= (Al\x)\v=(A2\x)\v=A2\y.
Следовательно, у^Л. Итак, Л — левый луч в Аи< и в силу
•симметрии рассуждения А — левый луч в А2,<. Осталось по-
показать, что либо A=Ai, либо Л = А2.
Предположим противное. Так как Ах и А2 — ф-шкалы,
min (Л!\Л:)=ф(Л:)=гтп(Л2\Я) и
где x = (f(A)^Ai(]A2. Но тогда х^А — получили противоречие.
Предложение 2.5.2 доказано.
2.5.3. Предложение. Объединение А* всех щ-шкал в
X, < является ц>-шкалой в X, <.
Доказательство. Пусть *еЛ*. Найдется ф-шкала Л та-
такая, что *еЛ. Покажем, что тогда
43

A*\X=A\X. E)
Из AczA* следует, что Л|жсЛ*|ж. Пусть уеЛ* и у<х. Най-
Найдется <р-шкала Л', для которой уеЛ'. Если Л'сгЛ, то уе.А.
Пусть А'фА. Тогда в силу предложения 2.5.2 А является левым
лучом в Аг, <. Из х<=А и */еЛ', у<х, теперь следует, что </еЛ
Значит, Л*|а;с:Л|зс, и равенство E) доказано.
Так как Л — ф-шкала, из E) получаем
ф(Л*и)=ф(Л|х)=*. F)
Кроме того, из E) и предложения 2.5.2 следует, что множе-
множество Л*, < вполне упорядочено. Действительно, если Х\, х2еЛ*,
то найдутся ф-шкалц А\ и Лг такие, что х\^А\ и л^еЛг. В силу
предложения 2.5.2 либо Л1СЛ2, либо A2czAu т. е. либо Х\, х^
Л либо хи X2^A\, и так как А\ и Л2 — цепи в X, <, либо
либо #2^*1. Следовательно, Л*, < — линейно упорядо-
упорядоченное множество. Пусть ВаА* и Вф0. Зафиксируем хеВ и
tp-шкалу Л, содержащую х.
Очевидно, достаточно найти наименьший элемент во множе-
множестве В(у={у^А* : у^х}. Но последнее в силу E) совпадает со
множеством В' = {у^А : у^х}, которое имеет наименьший эле-
элемент как непустое подмножество вполне упорядоченного мно-
множества Л, <.
Так как вполне упорядоченное множество Л*, < удовлетво-
удовлетворяет условию F), оно является ф-шкалой. Предложение 2.5.3
доказано.
Из предложения 2.5.3 вытекает, что в X, < имеется наи-
наибольшая ф-шкала.
Покажем, что наибольшая ф-шкала Л* в X, < является
сквозной цепью в X, <. Предположим противное. Тогда, по
определению сквозной цепи, множество (А*)т непусто и опре-
определен элемент х* = ф(Л*) =с((А*)т). Положим C=A*\j{x*}. Так
как х<х* для всех л-еЛ* и Л* вполне упорядочено, множествр
С, < вполне упорядочено нА* = С\х*, С\х~А*\х для всех хе
еЛ*. Им,еем: х* —ф(Л*) = ф(С|д:») по определению х*; кроме
того, д: = ф'(Л*|х) =(р(С\х), так к-ак Л*—ф-шкала. Следователь-
Следовательно, С является ф-шкалой в X, <, причем С\А*Ф0, так как
л:*еС\Л*. Это противоречит тому, что Л* — наибольшая
ф-шкала в X, <. Итак, ф-шкала Л* является сквозной цепью в
X, <. Теорема 2.5.1 доказана.
Докажем еще одним способом — с помощью теоремы 2.5.1 —
фундаментальное утверждение (см. теорему 2.1.3):
2.5.4. Теорема. Каждое множество может быть вполне
упорядочено.
Доказательство. Возьмем произвольное бесконечное
множество X. Существует множество Y, для которого \Х\<
<|У|—в качестве Y можно взять ЕхрХ. Семейство & = {Аа
сУ: |Л|^|У|} упорядочим по включению. По теореме 2.5.1 су-
44

шествует вполне упорядоченная сквозная цепь С в &,<.. Пока-
Покажем, что |Х|<|С|.
Предположим противное. Тогда |С|^|Х| (теорема 1.3.7) и
|МС|^|-^|, так как |у4|^Ш для всех ЛеС (по теоре-
теореме 1.5.3). Следовательно, \\]С\<\У\ и тем более Y\\JC¥=0.
Возьмем какое-нибудь x*eF\(JC и положим A*=([}C)\J{x*}.
Тогда |Л*| = |UC|;^|X| и, значит, Л*е^\ Очевидно, А<А* для
каждого АеС, в противоречии с тем, что С — сквозная цепь в
д>, <. Заключаем: |Х|<|С|.
Но тогда X эквивалентно некоторому подмножеству С мно-
множества С. Так как С вполне упорядочено отношением <, то и
С вполне упорядочено отношением <.
Следовательно, можно определить вполне упорядочение и на
эквивалентном С множестве X («перенося» отношение < с С
иа X посредством какой-нибудь биекции).
Заметим, что теорема 2.5.4 относится ко «всем» множествам,
а не "только ко множествам из исходного семейства Ж (см. тео-
теоремы 2.1.2 и 2.1.3).

Глава 3
КАРДИНАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА. ОРДИНАЛЫ
В этой главе вводятся, наконец, «бесконечные числа», кото-
которые будут служить для прямой количественной характеристики
множеств из Ж и множеств, эквивалентных таким множествам
Теперь мы сможем говорить о числе элементов в произвольном
множестве Х^Ж— это будет вполне определенный объект,
обозначаемый через \Х\. До сих пор неравенство |Х|^|У|, где
X и Y—произвольные множества (не обязательно принадлежа-
принадлежащие Ж), имело смысл только в целом — его левая и правая ча-
части \Х\ и \Y\, взятые по отдельности, не имели самостоятель-
самостоятельного значения. Теперь такое значение выражениям \Х\ и \Y\
будет придано, но не для любых множеств X, Y, а в первую
очередь для тех X и Y, которые принадлежат Ж. Так как не
все множества заданы нам одновременно и в процессе расшире-
расширения запаса множеств, с которым мы работаем, возникают все
более крупные множества, не следует удивляться тому, что объ-
объекты, которыми число элементов во множестве будет «изме-
«измеряться», не могут быть все введены заранее. С другой стороны,
при определении операций над новыми «числами» доктрина по-
постоянного их «возникновения» была бы крайне неудобной. По-
Поэтому мы и ограничиваемся определением понятия числа эле-
элементов только для множеств из Ж, причем выбираем путь, ко-
который не допускает автоматического распространения понятия
числа элементов на новые множества.
Главная цель этой главы — построение арифметики карди-
кардинальных чисел. Предстоит определить операции над кардинала-
кардиналами и установить основные законы, которые управляют этими
операциями.
Вводятся также порядковые числа — ординалы — и рассма-
рассматриваются простейшие операции над ординалами.
§ 1. Определение кардиналов.
Сравнение кардиналов по величине
3.1.1. Определение. Множество X назовем ординарным,
если оно эквивалентно некоторому множеству из Ж.
В частности, все множества из Ж ординарны. Не ординар-
ординарные множества условимся называть экстраординарными.
3.1.2. Определение. Назовем мощностью ординарного
множества X класс \Х\ всех множеств из Ж, эквивалентных X
Таким образом,
|Х|={Уе=ЛГ:У~Х}. A)
46

Множества \Х\, где X^JC, называются кардинальными чис-
числами, или кардиналами. Семейство {\Х[ :Х*=Ж\ всех кардина-
кардиналов обозначается через Card.
Очевидно, для каждого ординарного множества X \Х\ —не-
—некоторый кардинал.
В этом и следующем параграфах мы изучаем класс Card:
вводим на нем естественные операции и порядок, устанавли-
устанавливаем свойства этих операций и порядка, выделяем ряд интерес-
интересных элементов класса Card.
Мощности бесконечных множеств из JC называются беско-
бесконечными кардиналами. Данное выше определение кардиналов,
позволяет отождествить конечные кардиналы, т. е. мощности
конечных множеств, с натуральными числами. Действительно^
если X конечно, то существует единственное neN такое, что X
эквивалентно множеству {0,...,п—1} первых п натуральных
чисел. Мы отождествляем тогда \Х\ с п.
3.1.3. Предложение. Пусть X и Y — ординарные множе-
множества. Тогда X и Y эквивалентны в том и только том случае,
если \Х\ и | У| —один и тот же кардинал.
Доказательство. Это прямо следует из транзитивности,
симметричности и рефлексивности отношения эквивалентности
и определения \Х\ и \Y\.
Таким образом, если X, Y^.JC, то равенство |Х| = |К|, кото-
которое ранее обозначало, что множества X a Y эквивалентны,,
можно теперь понимать и так: в левой и правой части стоит
один и тот же кардинал.
Кардиналы обычно обозначаются малыми греческими бук-
буквами тД, A и т. д. Символ т мы будем употреблять только в
этом смысле.
Определим теперь на классе Card естественное упорядоче-
упорядочение, называемое упорядочением по величине.
Пусть X, teCard. Зафиксируем множества X, Y^Jt такие,
что |Х|=Я, и |У| ==тг. Положим Х<х, если "КФх и существует
подмножество Y\ множества Y, эквивалентное X. Как всегда,
неравенство К<х означает, что Я,<т или Я,=т. Если Х<х, то бу-
будем говорить, что кардинал X меньше кардинала т.
Тривиально проверяется, что отношение ^ на классе Card
транзитивно и рефлексивно. Из теоремы 1.1.10 и определения
кардиналов следует, что если к^х и х^к, то к=х. Отсюда вы-
вытекает, что отношение < является упорядочением на классе
Card. По теореме 1.3.6 для любых двух кардиналов }., teCard
либо к<х, либо к=х, либо х<к. Значит, отношение < линейно
упорядочивает класс Card. Наконец, определение кардиналов
позволяет переформулировать теорему 1,3.5 следующим обра-
образом: в каждом непустом множестве кардиналов имеется наи-
наименьший кардинал. Это означает, что отношение < — вполне
упорядочение на классе Card; оно называется естественным
вполне упорядочением или вполне упорядочением кардиналов
по величине. Итак, имеет место фундаментальный факт:
47

3.1.4. Теорема. Класс Card всех кардиналов вполне упо.
рядочен по величине, т. е. отношением <.
Для каждого кардинала т положим
ехрт=|ЕхрХ|=2\ B)
где X — любое множество такое, что X&.JC и |Х|=т. Очевидно,
данное определение не зависит от произвола, допущенного при
выборе X.
Теорему 1.1.8 можно теперь переформулировать так:
т<ехрт C)
для каждого reCard.
Из C) вытекает
3.1.5. Следствие. Не существует наибольшего кардина-
ла, т. е. во вполне упорядоченном множестве Card, < нет наи-
наибольшего элемента.
Так как класс всех кардиналов вполне упорядочен по вели-
величине, для каждого кардинала т существует непосредственно сле-
следующий за ним кардинал, обозначаемый через т+, а именно:
T+=min{X,eCard:T<X}. D)
Формула D) корректна в силу утверждений 3.1.4 и 3.1.5.
Обычно пользуются следующим свойством кардинала т+:
если X.<=Card и г<1, то т+<Я.
Через bio обозначается наименьший из всех бесконечных
кардиналов — это определение корректно в силу теоремы 3.1.4.
Мы уже знаем (теорема 1.3.10), что наименьшим бесконечным
кардиналом является мощность натурального ряда N, т. е.
|N|=N0. E)
Формула D) позволяет нам определить последовательность
простейших несчетных кардиналов (по индукции): полагаем
&1=(Н0)+, и вообще Н„+1=(Н„)+ для всех neN. Кардинал
& i называется первым несчетным кардиналом.
3.1.6. Предложение. Пусть X, < — вполне упорядочен-
упорядоченное множество мощности т. Тогда для каждого кардинала Я<(
найдется х^Х такое, что |Х|Ж|=Х, иными словами, найдется
собственный левый луч в X, < мощности Л,.
Доказательство. Множество L всех х^Х таких, что
мощность левого луча Х\х строго меньше, чем к, образует ле-
левый луч в X, <. Ясно, что в L, < нет наибольшего элемента и
L является объединением цепи С = {Х\Х :х^Ц. По теореме 1.4.2
тогда |L|^X- и, следовательно, L — собственный левый луч в
X, <. Найдется х*^Х, для которого Ь = Х\х*Лак как x*&L
неравенство |L|<X. выполняться не может. Значит, )L| = |X|«»|=
Мы воспользуемся этим утверждением в следующем пара-
параграфе.
Один из интереснейших вопросов, связанных с данными выг
48

ше определениями, таков: как связаны кардиналы ехр Ыо и Ni?
Более общий вопрос: как связаны кардиналы х+ и ехрт?
Ответ крайне нетривиален. Средствами математической ло-
логики доказывается, что в рамках обычных аксиоматических си-
систем теории множеств нельзя дать однозначный ответ на эти
вопросы. Равенство 2N° = K1 называется континуум-гипотезой
и обозначается СН. Отрицание СН (обозначаемое ~|СН) рав-
равносильно неравенству Nx < 2N° (так как неравенство ^^2**'
легко следует из формул C) и D)). Р. Гёдель показал [10, 9],
что равенство 21J1> = K1 не противоречит обычным аксиомам
теории множеств. Много позднее П. Коэн установил [9], что
этим аксиомам не противоречит и неравенство Nx < 2 °. Гипо-
Гипотеза: «т+ = ехрт для всех бесконечных кардиналов %»— назы-
называется обобщенной континуум-гипотезой. Она также совмести-
совместима с обычными системами аксиом теории множеств [9, 10].
Доказательства приведенных утверждений о совместимости
не принадлежат канторовой теории множеств; соответственно в
этой книге мы их не приводим.
§ 2. Умножение кардиналов
Мы приступаем к построению арифметики кардинальных
чисел.
Произведением кардиналов х, к называется кардинал
X-K=\XXY\, A)
гдеХ, У^Ж и |Х|=т, |У|=^
От произвола в выборе X, Y это определение не зависит, так
как из Х~Х' и Y-Y' следует, что XxY~X'XY'. Кроме того,
XxY^-Jt, так как X, Y^Jt; поэтому кардинал |ХхК| опре-
определен.
Множества XxY и YXX эквивалентны — ставя в соответ-
соответствие паре (х, у) пару (у, х), мы получаем биекцию.
Следовательно, х-К= \XxY\ = \YxX\ =%■%, т. е.
т-^=Х-т B)
для всех кардиналов х и к.
Так как всякое бесконечное множество X эквивалентно
своему квадрату (теорема 1.5.1), имеет место
3.2.1. Теорема. Для каждого бесконечного кардинала т
т-т=т. C)
Ясно, что для всех reCard
т-1 = 1-т=т, D)
т.0 = 0-т = 0. E)
Заметим, что если %—пг и Х = п — натуральные числа, то
i-X — m-n — обычное произведение чисел m и п, т. е. введенная
операция произведения кардиналов на множестве NczCard на-
3 Зак 198 49

туральных чисел совпадает с обычной операцией произведения
Очевидно, если ti<t2 и h^fo, то трХ^тг-Хг. Отсюда и и;
формул C), D) вытекает следующее обобщение формулы C):
если хфО, ХфО и хоть один из кардиналов т, Я, бесконечен, то
т-Я.=тах{т, X}, F)
В частности, для любого бесконечного кардинала т
t-No=No-t=t. G)
По аналогии с A) можно определить произведение любого
индексированного множества кардиналов.
Назовем произведением Н та семейства кардиналов {та:
: оеЛ}, где Ле^ (или А ординарно), мощность декартова
произведения * * л„ семейства множеств {Хв : аеЛ} такого,
осбЛ
что ZaejSr и |Ха| =т« при всех аеЛ.
От произвола в выборе Xa^J£ данное определение не зави-
зависит. Так как Ле/ и Xaej? при всех аеЛ, имеем: Х= Пхое
Следовательно, кардинал ' » ^а определен. Если Л^"
, но Л эквивалентно множеству A'^JC, то надо заменить
сначала индексное множество А на индексное множество А' с
помощью какой-нибудь биекции. Таким образом, кардинал
П т
определен корректно.
Очевидно, если все кардиналы ха отличны от нуля, то
11 та -для всех
б
В частности, можно говорить о произведении любого конеч-
конечного и любого счетного множества кардиналов.
Так как операция декартова произведения ассоциативна с
точностью до канонических биекций, то и операция умножения
кардинальных чисел ассоциативна. Например, если A = B\JC,
гдеВПС=0, то П та = (Пта).(Пта).
ос£Л а€В абС
С помощью операции произведения устанавливается сле-
следующий фундаментальный факт.
3.2.2. Теорема. Для любого семейства 1 = {та:аеЛ} кар-
кардиналов такого, что А^Л или А ординарно, существует карди-
кардинал х* такой, что ха<%* для всех аеЛ (т. е. семейство % строго
ограничено в классе Card, <).
Доказательство. Можно считать, что хаф0 при всех
Положим т= П та и т*=т+. Тогда та<т<т+=т* при
ве
всех аеЛ, что и требовалось.
50

3.2.3. Следствие. Не существует множества А^Ж, экви-
эквивалентного классу Card.
Доказательство. Предположим, что такое множестве
А существует. Тогда класс Card можно представить в виде
По теореме 3.2.2 существует кардинал т* такой, что та<т* для
всех а^А. Это означает, что т<т* для всех teCard. Но т*е
^Card. Следовательно, т*<т* — Получили противоречие.
Из следствия 3.2.3 и теорему 1.3.6 о сравнимости вытекает,
что каждое множество Х^Ж эквивалентно некоторому подмно-
подмножеству класса Card. Отсюда и из теоремы 3.1.4 вновь заклю-
заключаем, что каждое множество из Ж может быть вполне упоря-
упорядочено.
3.2.4. Предложение. Для каждого кардинала т множест-
множество Cardt={XeCard : Я<т} эквивалентно некоторому множеству
из Ж.
Доказательство. Зафиксируем вполне упорядоченное
множество X, < мощности т, Xejf. В силу предложения 3.1.6
каждому Жт можно поставить в соответствие элемент х—
= ф(^) множества X такой, что мощность левого луча Х\^у)
равна Я. Очевидно, если Х\фХ2, то у^^фуСкъ). Следовательно,
отображение <р: Cardt->-X инъективно и Cardt~q>(Cardt). Так
как (p(Cardt)cX&^, то и g>(Cardt)ejf.
Так как все множество Card неэквивалентно никакому мно-
множеству из Ж, предложение 3.2.4 означает, что каноническое
вполне упорядочение < класса Card является минимальным.
Множество Card — пример экстраординарного (т. е. не орди-
ординарного) множества.
В отличие от множеств, принадлежащих Ж, ординарные
множества мы не можем все считать заданными заранее и од-
одновременно. Действительно, появление всякого нового множе-
множества X в наших рассмотрениях ведет и к появлению нового ор-
ординарного множества — одноэлементного множества {X}. Как
видно из определения мощности, ординарными являются в точ-
точности те множества, для которых понятие мощности определе-
определено. Очевидно, подмножество ординарного множества ординар-
ординарно; если множество А ординарно и все Ха при аеЛ ординарны,
то и множества
ЩХа : аеЛ} и \}{Ха : ае=Л}
ординарны; если X — ординарное множество, то и ЕхрХ — ор-
ординарное множество. Другие очевидные утверждения этого
рода мы опускаем.
Вполне упорядоченное множество W, < назовем почти ор-
ординарным, если для каждого ае№ левый луч W\a является ор-
ординарным множеством. Если, кроме того, само множество W
неординарно, то скажем, что W, < является универсальной
шкалой (для Ж). В частности, Card, <—универсальная шкала.
3.25. Предложение. Для каждого почти ординарного

вполне упорядоченного множества W, < существует и един-
единственно подобное отображение этого множества на некоторый
левый луч L множества Card, <, причем L = Card в том и толь-
только том случае, если W, < — универсальная шкала.
Доказательство. Достаточно воспользоваться теоре-
теоремой 2.2.19, предложением 3.2.4 и данными выше определениями.
В частности, имеет место
3.2.6. Предложение. Для любых двух универсальных
шкал существует и единственно подобие первой из них на
вторую.
Зафиксируем почти ординарное вполне упорядоченное мно-
множество W, < и подобное отображение /: W-+L на левый луч L
в Card, <. Для каждого aelF положим Ha = /(a). Соответ-
Соответствие a->-Na называется канонической нумерацией .кардиналов
вдоль W,<. В силу предложения 3.2.5 каноническая нумерация
определена однозначно. Очевидно, для каждого У
tta = min{i;eCard: Np<t для всех Р<а}. (8>
Если множество W ординарно, то определен однозначно к
кардинал teCard, для которого /(№)=L=Cardt. Этот кар-
кардинал т естественно обозначить Н (W, <).
§ 3. Сложение кардиналов
Пусть т и I — кардиналы, X, Y^JC, \X\=x, \Y\=X. Предпо-
Предположим, что Xf\Y=0. Назовем тогда суммой т+Х кардиналов
т и К мощность множества X\jY:
A)
Очевидно, это определение не зависит от выбора X и Y прк
условии, что Xf\Y=0 и X, Y^.J[. Кроме того, из X, Ye.JC сле-
следует, что X\JY<=J[ и, значит, кардинал JA"U^| определен.
Для любых множеств X и У множества Х0={(х, 0) :х<=Х} и
^1 = {(У, 1) :j/e^ не пересекаются, так как (х, 0)Ф(у, 1), ка-
каковы бы ни были х^Х и #еУ. Но Х0~Х и Y\~Y. Значит, ус-
условие Xf\Y=0 в данном выше определении суммы кардиналов
всегда можно соблюсти.
Пусть {га:ае.А} — индексированное семейство кардиналов,
где А — любое ординарное множество.
Зафиксируем семейство {Ха '■ аеЛ} множеств такое, что:
1) Ха ординарно и |А'а|=тс1 для всех аеЛ, 2) Ха'ПХа» = 0
при а'фа", а', а"еЛ. Добиться выполнения условия 2) можно
следующим образом. Выберем Хае^ при аеЛ так, чтобы
было | Ха | = та, и положим Ха — Ха X {а} = {(х, а): х е Ха}.
Множество Ха ординарно, \Ха\ = |Ха| — то иХа'П^о"=0
при а'фа." — условие 2) соблюдено.
Множество Х=\]{Ха:а<^А} ординарно.
Положим
52

B)
От произвола в выборе семейства {Ха: аеЛ} это определение
не зависит.
Имеют место следующие простые формулы для любых т,
Cd
Если Тд^т^при
во А ординарно, то
х+1 = %+х\
т+0=т.
всех аеЛ, где \
Card
C)
D)
и множест»
Если х=п и Х — т — натуральные числа, то х+Х=п+т —»
обычная сумма натуральных чисел т и «< т. е. введенная выше
операция сложения кардиналов на множестве NczCard совпа-
совпадает с обычной операцией сложения.
Операция сложения ассоциативна: если А = В[}С, где Bf]C =
= 0, то L, та— iL т«+ Л та» эт°- сразу вытекает из опреде-
Л В С
€ £ б
ления. Ясно, как записать закон ассоциативности сложения
кардиналов в еще более общем виде.
В частности, всегда п+ (тг+тз) = (т1+Т2)+тз.
3.3.К Теорема. Для любого бесконечного кардинала х
т+т=т. F)
Доказательство. Это — основной случай более общей
формулы:
т+Я = тах{т, Я} G)
для любых кардиналов т и %, хотя бы один из которых беско-
бесконечен.
Последняя же является переформулировкой на язык карди-
кардиналов следующей теоремы, доказанной ранее (см. след-
следствие 1.5.4): для любых множеств- X и Y, из которых хоть одно
бесконечно,
\X[)Y\=max{\X\, \Y\}.
Из формулы G), в частности, следует, что
т+л=т+Но=т (8)
для каждого бесконечного кардинала т и любого натурального
числа п.
Следующая теорема — наиболее важный общий факт о сло-
сложении кардиналов. Она получается путем тривиального перево-
перевода на язык кардиналов теоремы 1.5.3.
3.3.2. Теорема. Пусть {т„ : аеЛ} — произвольное семей-
семейство кардиналов, где А — ординарное множество, х — бесконеч-
53

иый кардинал, \А\^.х и т«<[т дл(я всех аеЛ. Тогда
в<т. (9)
Семейство {ха : аеЛ} кардиналов, где А — ординарное мно-
множество, условимся называть ординарным семейством карди-
кардиналов.
Для любого такого семейства g существует по теореме 3.2.2
кардинал х' такой, что та<т' при всех а&А. Наименьший кар-
кардинал х' с этим свойством называется точной верхней гранью,
или супремумом, семейства {ха: аеЛ} и обозначается через
p
«ел
Формулу (9) можно уточнить теперь следующим образом:
, suptj, (9')
£А
если хоть один из кардиналов ха бесконечен или бесконечен
кардинал \А\.
3.3.3. Следствие. Пусть f:X-*-Y — отображение на, где
X — бесконечное ординарное множество. Тогда
|Х|=тах{|Г|, suplf-'r/l}. A0)
Доказательство. Так как X = \]{f~4y)-У^У}, форму-
формула A0) следует из формулы (9') и определения суммы карди-
кардиналов.
Следующая теорема является одним из важных и наиболее
часто применяемых результатов кардинальной арифметики.
3.3.4. Теорема (Кёнига). Пусть А — ординарное множест-
множество и для каждого аеЛ заданы кардиналы h*. и ца, причем
Яо<ца. Тогда
Ьа. (id
Доказательство. Пусть Х=\){Ха:а&А} и К=П{Ка:а<=
€=Л}, где Ха, Yas=Jt, \Xa\=K, \Ya\=\ia. Требуется показать,
что |Х|<|У|. Достаточно убедиться, что, каково бы ни было
отображение <р:Х->-У, непременно ¥фц>(Х). Рассмотрим ком-
композицию отображений
где па : Y-*-Ya — проектирование. Имеем:
naq>(Xa)czYa и |na9(Xa)|<|Xej=Xa<lia=|Ka|. Значит,
nay(Xa)¥=Ya и можно для каждого аеЛ выбрать
^еГа\яаФ(Хв).Тогда / = {г/>еЛ}еГ, и у
54

для всех аеЛ, так как
Поэтому и ф(Л-)=ф(и{Х„:аеЛ})=и{ф(*а) :а^А}^у*, т.е.
Х)ФГ
)
Теорема Кёнига найдет важное применение в следующем
параграфе.
§ 4. Возведение кардиналов в степень
Пусть т и X — произвольные кардиналы, и Х=5^0. Зафикси-
Зафиксируем множество X&Jt мощности т и множество A^Jt мощно-
мощности к. Для каждого аеЛ положим Ха = Х и рассмотрим произ-
произведение ЩХа : аеЛ}. Множество Л{Ха : аеЛ} совпадает со мно-
множеством ХА всех отображений множества А во множество X,
Кроме того, ХА^.Ж. Положим
tM^I. A)
Данное определение не зависит от произвола в выборе X ,и А.
Говорят при этом, что кардинал хх получен в результате
возведения кардинала х в степень К.
Очевидно, т" = т-... • т для всех teCard и всех n^N+.
п раз
Нам понадобятся следующие элементарные утверждения,
которые затем мы переведем на язык кардиналов.
3.4.1. Предложение. Пусть А, В, С — произвольные
жества и Bf\C=0. Тогда
B)
Доказательство. Пусть f еЛвис. Тогда f: В[}С-*-А —
отображение. Поставим в соответствие f его сужения f\B : BA
/|СС4
Отображение ф: Лвис->-ЛвхЛс является, как легко прове-
проверить, биекцией. Значит, Лвис~ЛвхЛс.
Из B) и определения операции возведения в степень выте-
вытекает, что для любых кардиналов х,-К и ц, где КфО и [кфО,
справедлива формула:
x*.+i*=T*..Ti*. C)
Чтобы формула C) оставалась справедливой и в том слу-
случае, если Х=0 или ц=0, примем следующие соглашения:
т°=1 D)
для каждого кардинала т, отличного от 0, к
0° = 0. E)
3.4.2. Предложение. Пусть А, В, С — произвольные мно-
множества. Тогда
(АХВ)С~АСХВС. F)
Доказательство. Пусть /е(Лх£)с. Тогда f:C~*
55

—>-ЛХВ — отображение. Поставим в соответствие f пару (g,h)t
где g — композиция отображения f и проектирования АхВ->~А
и Л — композиция отображения f и проектирования АХВ->-В.
Определенное тем самым отображение множества (АхВ)с
во множество ЛсхВс является биекцией — это очевидно.
Из формулы F) следует, что, каковы бы ни были кардина-
кардиналы тД и ji, выполняется равенство
(т.Я)ц=ти.Яи. G)
3.4 3. Предложение. Пусть А, В, С — произвольные не-
непустые множества. Тогда
(8)
Доказательство. Пусть f^(AB)c. Тогда f:C-*-AB —
б Пй (Ь, ^ВС
у f() f
отображение. Произвольной паре (Ь, с^^ВХС поставим в соот-
соответствие элемент if(b, с) множества А, в который отображение
/(с) : В-+А переводит элемент Ь, т. е.
c)=f(c)(b).
Тем самым определено отображение
которое, как легко проверить, является биекцией.
Из формулы (8) вытекает, что, каковы бы ни были карди-
кардиналы тД я A, выполняется соотношение
Рассмотрим множество D = {0, 1}, состоящее из двух элемен-
элементов, и произвольное множество X. Каждому подмножеству Р
множества X поставим в соответствие его характеристическую
функцию fp — отображение множества X в D, переводящее
точки из Р в 1 и точки из Х\Р в 0.
Ясно, что тем самым множество Ехр X приведено во взаимо-
взаимооднозначное соответствие со множеством их. Следовательно,
Итак, имеет место
3.4.4. Предложение Для каждого кардинала х кардинал
Iх равен мощности множества Ехр^, где \Х\ =т.
Это утверждение верно и для конечных кардиналов (даже
для нуля). В связи с предложением 3.4.4 кардинал 2Т обозна-
обозначают также ехр т.
34 5. Теорема. Для каждого кардинала т
т<2*. A0)
Доказательство. Это утверждение — перевод на язык
кардиналов теоремы 1.1.8.
Часто пользуются формулой
BТ)Т=2Т (И)
для всех бесконечных кардиналов т.
56

Докажем A1). Имеем: B')Х=2ТТ=2Т в силу формулы (9)
и теоремы 3.2.1 о том, что квадрат бесконечного кардинала ра-
равен ему самому.
Очевидно, если п<:т2 и 1\<К2, то tix'<T2*j.
3.4.6. Предложение. Пусть т — бесконечный кардинал
и I — кардинал, для которого 2<:Х^т. Тогда
КХ=2Х. A2)
Доказательство. Имеем:
Следовательно, ХХ=2Х.
Пусть X — произвольное ординарное множество и т ■— лю-
любой кардинал. Положим
A3)
A4)
Этими обозначениями мы пользуемся и в дальнейшем.
Зафиксируем любое множество А мощности т и каждому
отображению /: А->-Х поставим в соответствие множество
f(A)czX. Этим определено отображение множества ХА на мно-
множество ЕхртХ, так как |/(Л) |^|Л |«:т и множество А можна
отобразить на любое подмножество YczX такое, что |К|«:т.
Заключаем (см. 1.2.8):
|Х||Х|
3.4.7. Предложение. Пусть X — ординарное множество*
мощности 2х, где т — бесконечный кардинал. Тогда мощность
множества ЕхрхХ всех подмножеств множества X, мощность
которых не превосходит т, равна 2х.
Доказательство. В силу формул A5) и A1) имеем
С другой стороны, 2Х= \Х\ <:ЕхрД, так как множество X экви-
эквивалентно множеству {{х}: хеХ}аЕхрт X. Значит,
Мощность множества R равна 2N«. Из предложения 4.4.7
вытекает
3.4.8. Следствие. Множество всех счетных подмножеств
множества R равно мощно R, т. е. имеет мощность 2N«.
В силу формулы A0) K0<;2N». Следовательно, ^^2*4
и вообще
т+<2\ A6)
Но равен ли кардинал Hi кардиналу 2Н«? Равен ли кар-
кардинал 2х кардиналу т+ (если кардинал т бесконечен)? На эти
элементарнейшие, казалось бы, вопросы нельзя дать ответ в
рамках обычной теории множеств (см. § 2 гл. 3 и [9, 10]).
Не входя в противоречие с обычными системами аксиом
57

теории множеств, можно считать, что 2N» =Nj (континуум-
гипотеза), но этим аксиомам не противоречит и любое из сле-
следующих предположений: 2Н» —Н2, 2№=N3, ... , 2N» = Nn, . .. .
§ 5. Конфинальный характер кардинала.
Регулярные и сингулярные кардиналы
Кардинал т называется изолированным, если в семействе
{XeCard: Х<т} есть наибольший кардинал, т. е. если т=ц.+,
для некоторого кардинала ц. В противном случае кардинал т
называется предельным. Очевидно, &о — предельный кардинал
а кардиналы Wi, H2 — изолированные.
Если т — изолированный кардинал, то кардинал ц, для ко-
которого т = ц+, определен однозначно. Этот кардинал ц обознача-
обозначается через т".
Можно ли представить бесконечный кардинал т в виде сум-
суммы меньшего, чем т, числа кардиналов, меньших, чем т? Ответ
на этот вопрос зависит, как мы увидим, от кардинала т. Если
ответ положителен, то кардинал т называется сингулярнрш
если ответ отрицателен, то кардинал т называется регулярным
Таким образом, кардинал т регулярен, если из того, чтс
t = J] т<х> где А — ординарное множество и 1</га<т для всех
£А
Л, следует, что |Л|=т.
3.5.1. Предложение. Каждый изолированный кардинал
регулярен.
Доказательство. Предположим, что т+=2{т«: а},
где |Л|<т+ и то<т+ для всех аеЛ. Тогда И|^т и то<т при
. По теореме 3.3.2 /L та^т, т. е. т+^т, — получили
£А
противоречие.
В частности, регулярны кардиналы Ыь Нг, ..., №п
Не все регулярные кардиналы изолированы, например, Ыо
является предельным и регулярным кардиналом, так как объ
единение конечного числа конечных множеств — конечное мно
жествэ.
Обозначим через Nm первый кардинал, следующий за всеми
Ип, где neN (напомним, что fc4n+i= (Nn)+). Имеем
см § 3 гл. 3.
Так как Нп<&ш для всех neN и |N| = Ho<Nm, кардинал
Яш сингулярен
Пусть т — произвольный бесконечный кардинал. Обозначим
через cf(x) минимум мощностей всех таких множеств 4eJ
что кардинал т допускает представление вида: т=2{т<*
5«

где т«<т при всех
Кардинал cf(x) называется конфинальным характером, или
конфинальностью кардинала т.
Например, для кш = у ц„ имеем
= M.. A)
Для каждого бесконечного кардинала f
cf(x)<t. B)
Действительно, т=2{1а : аеЛ}, где Aejf и \А | =т.
Очевидно, кардинал т регулярен в том и только том случае,
если
cf(x)=rr.
Соответственно кардинал т сингулярен в том и толыю том
случае, если
cf(x)<T.
3.5.2. Теорема. Для каждого бесконечного кардинала г
кардинал cl(x) регулярен.
Доказательство. Пусть cf(т) =А, и
т = 2{та:аеЛ}, C)
где то<т для всех а^Л и |Л|=Я. Предположим, что кардинал
Я нерегулярен. Тогда
4
где \Т\ <Я и |5е|<Л для каждого р<=7\
Можно считать, что Вр П Вр« = 0 при рР
В силу ассоциативности сложения кардиналов
: ае= А} = 2{та: реГ}. D)
Положим Яр= £ т«- Так как |Bs|<A,=cf(T) и т«<т при
аеВ6, имеем
при всех ge7. Но \Т\ <X=cf(r). Значит, равенство
pe71( E)
следующее из равенств C) и D), невозможно; из E) вытекает,
что А,=€1(т)<|74.
Регулярен ли кардинал 2N°? Можно поставить и более
тонкий вопрос: чему равен cf BNo)?
3.5.3. Теорема. Для каждого бесконечного кардинала т
t<cfB*).
Доказательство. Предположим, что 2Т=2{ЯЯ : а
где А — ординарное множество, \А |<т и Ao<2t при всех
Положим ц«=2т для всех аеА. По теореме Кенига

2Т< BТ) |л|<: BТ)=2М
получили противоречие: 2T<2t. Значит,
3.5.4. Следствие. X0<cfBN»).
В частности, множество R нельзя представить в виде объе-
объединения счетного семейства множеств, мощность каждого из
которых меньше мощности R.
Обычным аксиомам теории множеств не противоречит ни
одно из следующих утверждений:
a) 2К«— изолированный кардинал;
b) 2К»—сингулярный кардинал;
c) 2N»—предельный регулярный кардинал.
Введем понятие логарифма кардинала.
Пусть Хит — кардиналы, Я>1. Имеем: Хх>х.
Наименьший из всех кардиналов ц таких, что Х»>х, назы-
называется верхним логарифмом кардинала х по основанию X;
обозначается этот кардинал Log* т.
Простым логарифмом (или логарифмом) кардинала х по
основанию X называется наименьший из всех кардиналов \х
таких, что Я">т; обозначается этот кардинал через log* т.
Следуя Д. Курепе, мы полагаем
p(T)=Log<(-r) G)
для каждого кардинала т.
Вместо Log2r и log2T мы пишем соответственно Logt и
log т.
3.5.5. Теорема. Для каждого бесконечного кардинала х
cf(LogxT)=LogTT,
т. е. Log,r — регулярный кардинал.
Доказательство. Положим M-=LogtT и X—cf(]n), Кар-
Кардинал ц имеет вид
где ц<*<ц для каждого аеА и | А \ <Х. Тогда
«6 А
Из M«x<n = LogtT следует, что т"а<т для всех аеЛ. Заклю-
Заключаем:
откуда получаем: n, = LogtT<:^=cf(^). Всегда cf(jx)<:|л. Следо-
Следовательно, n = cf(fi).
60

Приведем теперь характеристику кардинала cf(t)' в терми-
терминах вполне упорядочений.
3.5.6. Теорема. Пусть т — бесконечный кардинал, Х^Ж,
\Х\=х и < — порождающее вполне упорядочение на X.
Тогда
cf(x) =min{|/t| :AczX и А конфинально X ,<}.
Доказательство. Пусть АсХ и А конфинально X ,<..
Для каждого jceX найдется аеЛ такое, что х^а. Следова-
Следовательно,
где La—{xeX :х^а}. Но вполне упорядочение < — порожда-
порождающее. Значит, |La1<|X|=r при аеЛ. Полагая xa=\La\, по-
получаем
где та<т при всех аеЛ. Отсюда следует, что cf(t
Рассмотрим теперь произвольное представление
тде |ть|<х, и покажем, что существует множество AczX, кон-
•финальное X, <, для которого |Л|<|В|.
Для каждого feefi зафиксируем множество Yb^Jt мощности
■%ь и порождающее вполне упорядочение <& на У&. Поставим в
соответствие произвольному &ей элемент <р(&) множества X
такой, что левый луч X\^ь) подобен Yb, <ь. Это можно сделать
в силу предложения 3.1.6. Покажем, что либо множество А =
= фE) коифинально X, <, либо т<|5|, и за искомое А можно
лринять все X.
Пусть |5|<х и А = ц>(В) неконфинально X, <. Найдется
тогда д;*еХ, для которого <р(Ь)<.х* при всех 6еВ. Множества
X\i0) и Yb эквивалентны. Имеем теперь
хь= \Yb\ =|Х|ФF)К|ХЖ.|<|Х| =%,
так как вполне упорядочение < — порождающее.
Для х' = тах{|Х|х.|, |В|) выполняются соотношения:
т'<т, |В|<:т' и ть^т' при всех 6еВ. Следовательно, по теоре-
теореме 3.3.2
т. е, т^т', в противоречии с тем, что х'<х. Теорема доказана.
Из теоремы 3.5.6 следует, что если X, <L — порождающее
вполне упорядоченное множество из Л, то кардинал \Х\ регу-
регулярен в том и только том случае, еслл всякое конфинальное
X, < подмножество YczX равномощно X.
§ 6. Ординалы, сложение ординалов.
Шкала ординалов
Если вполне упорядоченные множества А', <' и А", <" по-
подобны, будем писать:

Пуеть A, <L — произвольное ординарное вполне упорядочен-
упорядоченное множество. Через Р(А, <;) условимся обозначать класс
всех вполне упорядоченных множеств из JC, подобных А, <.
Множества Р(А, <), где Л&/# и < — вполне упорядвчение
на А, называются ординалами, при этом говорят, что ординал
Р(А, <) является порядковым типом вполне упорядоченного
множества А, <. Класс всех ординалов обозначается через
Ord. Таким образом,
Огс1 = {Р(Л, <) :Ле^ и < — вполне упорядочение на А}.
A)
Ординалы обозначаются обычно греческими буквами а, р,
0, б и т. д. со штрихами, индексами или без иих. Порядковый
тип пустого множества обозначается 0.
Порядковый тип множества N натуральных чисел, вполне
упорядоченного по велич-ине, обозначается через шо или через
ш. Через (oi обозначается порядковый тип множества мощности
Hi, наделенного порождающим вполне упорядочением.
Произвольный ординал а «реализуется» любым вполне упо-
упорядоченным множеством А, <, принадлежащим а. Он симво-
символизирует то общее, что есть у всех вполне упорядоченных мно-
множеств, подобных Л, <, т. е. свойства самого порядка <, без-
безотносительно к тому, какие именно объекты в этом порядке
расположены. Таким образом, ординал — это порядок, состав-
составленный из пустых ячеек, на которых могут стоять те или иные
объекты — безразлично какие.
Сами ординалы связаны естественным отношением поряд-
порядка — отвечающим понятию точного отображения. Дадим опре-
определение.
Пусть аир — произвольные ординалы.
Выберем вполне упорядоченные множества (А, <)еа иг
(В, <g;)ep и положим а<р, если А, < подобно собственному
левому лучу множества В,<^.. Как обычно, равенство ординалов
аир означает, что они совпадают. Это равносильно тому, что
множества А, < иВ,< подобны.
Определенное так отношение < на классе Ord всех ордина-
ординалов является, как легко видеть, упорядочением. В силу теоре-
теоремы 2.2.19 это упорядочение линейно. Ояо называется упорядо-
упорядочением ординалов по величине, или естественным упорядоче-
упорядочением на Ord. Очевидно, О^а для каждого aeOrd.
3.6.1. Теорема. Упорядочение ординалов по величине явля-
является порождающим вполне упорядочением класса Ord.
Доказательство. Пусть М — произвольное непустое'
множество ординалов. Зафиксируем ординал а*еМ и вполне
упорядоченное множество А*, < такое, что Р(А*, <)=<х*.
Положим Afo={a<=Af :a<a*}. Требует рассмотрения тольно
случай, когда МоФ0. Для каждого aeAfo найдется, по опреде-
определению упорядочения <, элемент <р(а)еЛ* такой, что левый
лучЛ*|,(в) имеет порядковый тип а. В непустом подмножестве
62

qp(Af0) вполне упорядоченного множества А*, < есть наимень-
наименьший элемент ф(а0). Очевидно, тогда ao=minAfo=rmnAf. Итак,
< — вполне упорядочение.
Осталось показать, что вполне упорядочение < — порож-
порождающее. Это вытекает из следующих утверждений.
3.6.2. Предложение. Пусть А, < — произвольное орди-
ординарное вполне упорядоченное множество и а. — его порядковый
тип. Тогда Ord|a, < подобно А, < и, следовательно, множество
Ord |a ординарно и
P(Ord|a,<)=a. A)
Доказательство. Каждому х^А поставим в соответ-
соответствие ординал ц>(х) — порядковый тип множества А\х, <.
Ясно, что <p(x)<a, т. е. (p(x)eOrd|a. Если jci<X2, to ф(*0<
<ф(х2). Кроме того, для каждого ординала р<а найдется
хе^А такое, что ф(х)=р — это следует из определения отно-
отношения < на Ord. Значит, отображение ф:Л-»-О^|а — сохра-
сохраняющая порядок биекция между А, < и Ord|a, < и множество
Л, < подобно Ord U, <•
Заключаем: множество Ord|a ординарно и
3.6.3. Предложение. Множество Ord экстраординарно и
]Ord|a| < jOrd| для всех aeOrd.
Доказательство. Предположим, что множество Ord
ординарно. Тогда определен ординал P(Ord, о) — порядковый
тип вполне упорядоченного множества Ord, <;. Для а=
= P(Ord, <) имеем в силу предложения 3.6.2: P(Ordfa, <)=a.
Следовательно, P(Ord, <) =P(Ord|a, <), т. е. вполне упоря-
упорядоченное множество Ord, < подобно своему собственному лево-
левому лучу Ord|a, <, в противоречии с теоремой 2.2.10.
3.6.4. Следствие. Вполне упорядоченные множества
Card, < и Ord, < подобны.
Доказательство. В силу утверждений 3.6.2, 3.6.3 и
3.2.3, 3.2.4 и то, и другое множество является универсальной
шкалой, а любые две универсальные шкалы подобны (см. пред-
предложение 3.2.6).
Так как подобие между вполне упорядоченными множества-
тли единственно (если существует), имеет место каноническая
нумерация кардиналов посредством ординалов:
Card = {Na:ae=Ord}, B)
где IV < IV при a'<a".
Такое представление класса Card называется шкалой але-
фов.
На множестве Ord естественно определяется операция сло-
сложения. Пусть a, peOrd. Выберем вполне упорядоченные мно-
множества Д,<иВ,« так, чтобы было: Р(А, <)=а, Р{В, <)=р
и Af]B = 0 — последнего всегда можно достичь (см. § 3 гл. 3).
Ла множестве С=А[)В определим упорядочение •< требования-

ми: сужение <( на Л совпадает с <С, сужение <( на В совпа-
совпадает с<и а-^Ъ для всех аеЛ и всех ЬеВ.
Очевидно, множество С ординарно и <^ — вполне упорядо-
упорядочение на С. Порядковый тип множества С, < называется сум-
суммой а+р ординалов а и |3, т. е.
a+fi=P(C, <). C)
Очевидно, два конечных вполне упорядоченных множества
подобны в том и только том случае, если они состоят из одного
числа элементов (это легко доказывается, например, по индук-
индукции). Поэтому порядковые типы конечных множеств — конеч-
конечные ординалы — можно отождествить с натуральными числа-
числами. В частности, 0 — это порядковый тип пустого множества,
а 1 — порядковый тип множества, состоящего из одного эле-
элемента.
Ординал а+1, получаемый по формуле C), — это наимень-
наименьший ординал, больший, чем ординал а. Мы говорим при этом,
что ординал а+ 1 .непосредственно следует за а, а ординал а
непосредственно предшествует ординалу а+1.
Ординалы вида а+ 1 называются изолированными ордина-
ординалами. Очевидно, имеет место
3.6.5. Предложение. Ординал а изолирован в том и
только том случае, если он является порядковым типом вполне
упорядоченного множества, в котором есть наибольший эле-
элемент.
Неизолированные ординалы называются предельными.
Сложение ординалов в отличие от сложения кардиналов
некоммутативно: почти всегда а + $ф$ + а. Действительно, всег-
всегда афа+\. С другой стороны,
D)
для каждого бесконечного ординала а (бесконечными ордина-
ординалами называются порядковые типы бесконечных вполне упоря-
упорядоченных множеств).
Докажем D). Заметим, что среди бесконечных ординалов по-
теореме 3.6.1 должен быть наименьший.
3.6.6. Предложение. Порядковый тип co = P(N, <) мно-
множества N, упорядоченного по величине, является наименьшим
бесконечным ординалом.
Доказательство. Пусть aeOrd. Каково бы ни было,
бесконечное вполне упорядоченное по типу а множество А, -<,
множество N, < подобно некоторому левому лучу множества
Л, -<. Действительно, А, -< не может быть подобно собственно-
собственному левому лучу множества N, <, так как любой такой луч ко-
конечен (см. теорему 2.2.19). Заключаем:
, <)=a.
Для ординалов (в отличие от кардиналов) определено не-
64

только сложение, но и вычитание — при условии, что вычитае-
вычитаемое не превосходит уменьшаемого.
3.6.7. Предложение. Пусть а ы р — произвольные орди-
ординалы, для которых р^а. Тогда существует и единствен ординал
у такой, что
P+Y-a. E)
Этот ординал у обозначают через а—р и говорят, что он полу-
получен вычитанием р из а.
Доказательство. Существуют по определению поряд-
порядка ординалов вполне упорядоченное множество А, < и левый
луч В в А, < такие, что Р(А, <)=а и Р(В, <) = р. Множе-
Множество С=А\В также вполне упорядочено отношением <.
По определению сложения ординалов для у=Р(С, <) имеем
Единственность ординала у следует из того, что всякое по-
подобие вполне упорядоченного множества на себя тождественно
(теорема 2.2.10).
Предложения 3.6.6 и 3.6.7 влекут
3.6.8. Следствие. Для каждого бесконечного ординала а
существует ординал р такой, что
а=<о + р. F)
Множество N+, < подобно множеству N, <; отображение
ср: N-*-N+, где ф(я)=я+1, является подобием. Следовательно,
P(N+, <) =P(N, <) =ш и из определения сложения ординалов
следует, что
1 + й) = (о. G)
Отметим теперь простое
3.6.9. Предложение. Сложение ординалов ассоциативное
(a+p)+Y=a+(P + Y) (8)
для всех a, p, ysOrd.
Доказательство прямо следует из определения сло-
сложения ординалов.
Теперь формула D) доказывается легко. Пусть a — произ-
произвольный бесконечный ординал. В соответствии с 6.6.8 возьмем
ординал р такой, что а = ш + р. Имеем в силу формул (8) и
G):
= а, т. е. 1+а=а.
Очевидным образом определяется и сумма Zj ц« се-
6А<
мейства ординалов \ia по любому вполне упорядоченному ин-
индексному множеству Л, <С. Ассоциативность здесь имеет место
в полном объеме.
Нормой ||а|| ординала а назовем мощность множества Ау
вполне упорядоченного по типу а.
Пусть х — произвольный бесконечный кардинал. Сколько
65

•существует ординалов нормы т? Этот вопрос тождествен тако-
такому: сколькими существенно различными (т. е. неподобными)'
способами можно вполне упорядочить множество А мощно-
мощности т?
3.6.10. Предложение. Для произвольного кардинала х
множество 0rd<t = {cte0rd : ||а||<х} ординарно и его мощность
равна т.
Доказательство. Зафиксируем шкалу X, < мощности
т. Для каждого ординала а такого, что ||а||<т, возьмем впол-
вполне упорядоченное множество Ya, <a типа а. Тогда |Уа|<|-^|
и по теореме 2.2.19 существует хаеХ такое, что левый луч
Ха — Х\ха, < подобен Ya, <za. Отображение Ord<T->X, опре-
определенное правилом: а-^ха для всех aeOrd<x является биек-
цией, так как вполне упорядочение < — порождающее.
Следовательно, множество Ord<t ординарно и |Ord<t| =
Предложение 3.6.10 относится и к конечным ординалам.
3.6.11. Предложение. Для произвольного бесконечного
кардинала т множество 0drT={ae0rd: ||а||=т} ординарно и
его мощность равна т+.
Доказательство. Очевидно,
0rd<x+=0rdtU0rd<t.
Множество Ord<x+ по доказанному — ординарно, следова-
следовательно, и его подмножество OrdT тоже ординарно. Имеем в силу
лредложения 3.6.10 и теоремы 1.5.4:
t+=|Ord<T+|=maxJ{|Ord,|,
|Ord<T|} = max{|Ordt|,x}>
откуда следует, что |Ordt|=T+.
Порядковые типы счетных (бесконечных) множеств называ-
называются счетными (бесконечными) ординалами. Из предложения
3.6.10 вытекает
3.6.12. Следствие. Мощность множества всех счетных ор-
ординалов равна Н\.
Кардинал т принято отождествлять с наименьшим ордина-
ординалом нормы т.
§ 7. Лексикографическое упорядочение, упорядочение
по последней разности и умножение ординалов
Пусть (Xi, <i) и №, <г) — Два упорядоченных множест-
множества. Для {х\, х'2), (*;, х) sXtxX8 положим (х[, х'2) < {х\, х\)
в том и только том случае, если x/<i Х\" или х\'=х\" и х2'<
<чх{'. Так определенное отношение < на Х\ХХ2 является ли-
линейным упорядочением; оно называется лексикографическим
упорядочением множества Х\ХХ2, а упорядоченное множество
66

XiXX2, < называется лексикографическим произведением упо-
упорядоченных множеств Хи <i и Х2, <2-
В данном определении важен порядок сомножителей. Оче-
Очевидным образом ©но распространяется на случай любого конеч-
конечного числа сомножителей, взятых в определением (линейном)
порядке.
Первое Из следующих утверждений очевидно.
3.7.1. Предложение. Лексикографическое произведение
линейно упорядоченных множеств является линейно упорядо-
упорядоченным множеством.
3.7.2. Предложение. Лексикографическое произведение
двух {конечного числа) вполне упорядоченных множеств явля-
является вполне упорядоченным множеством.
Чуть ниже мы докажем утверждение, равносильное предло-
предложению 3.7.2.
При определении умножения ординалов оказывается удоб-
удобным пользоваться не лексикографическим произведением, а
«отраженной» операцией, определяемой следующим образом.
Пусть (Х\, <i) и (Х2, <г) — Два упорядоченных множест-
множества. Для (х[, х'2), (х\, х)е Ххх Х2 положим (х[, х'2) ■< {x"v х)
в том и только том случае, если х'2 <2 х\ или х'г — х\ и х\<х х\.
Построенное так на ХХХХ2 отношение <^ является упорядоче-
упорядочением; оно называется упорядочением по последней разности.
Упорядоченное множество Х\ХХ2, -К называется произведением:
Хаусдорфа упорядоченных множеств Хи <i и Х2, <Z2. Очевидно,
произведение Хаусдорфа зависит от порядка сомножителей, и
правило (хи х2)->-(х2, xi) задает подобное отображение произ-
произведения Хаусдорфа Х\ХХ2, <^ на лексикографическое произве-
произведение Х2хХи <. В частности, утверждение 3.7.2 равносильно-
такому.
3.7.3. Предложение. Произведение Хаусдорфа Х\ХХ2, -<
двух любых вполне упорядоченных множеств Хи <.\ и Х2, <2
является вполне упорядоченным множеством.
Доказательство. Пусть СсХ^ХХг и СФ0. Через Ь
обозначим наименьший элемент проекции множества С в Х2.
Положим Ci={xeX,: (х, &)еС} и a^minC^ Очевидно, (а, &) —
наименьший элемент множества С.
Пусть теперь А, -^ — произвольное непустое вполне упоря-
упорядоченное множество и для каждого аеЛ задано вполне упоря-
упорядоченное множество Ха, <а. Через х*а обозначим наименьший,
элемент множества Ха, <а, и пусть
аеЛ} = оП Ха
— множество всех точек х={ха}аВА произведения П{Ха:аеЛ},
отличающихся от точки x* = {x*}asA лишь на конечном мно-
множестве координат. Таким образом,
67

A)
Множество X = ffj~I Ха называется о-произведением мно-
б
жесте Ха (по аеЛ) с центром в точке х* = {х£аеА
Для xeof] Ха условимся обозначать через Af(x) мно-
жество всех аеЛ таких, что хафх^. По определению а-про-
изведения это множество конечно.
Если / = ЩеХ и / = ЩеХ, то L{x', x") будет
обозначать множество всех аеЛ, для которых Ха'ФХа.". Оче-
Очевидно, L(x', x")<^M{x')\]M{x") и, следовательно, множество
L(x'', х") конечно.
Если х'Фх", то L(x', х")Ф0 и в L{x', x") есть наибольший
элемент maxL(x\ х"). Пусть a*=maxL(xf, х"). Имеем:
-х'а*Фх"а.. Если *а. <„.*„., то положим х'<.х". Полагаем также
jc<^х для всех хеХ. Этим определено отношение < на мно-
множестве X. Очевидно, если х'Фх", то либо *'<*", либо л;"<д:'.
Проверим, что отношение < транзитивно, — этим будет уста-
установлено, что < — линейное упорядочение на X.
Пусть х'<х" и х"<х"'. Положим ai=maxL(A;/, x") и аг=
= тах£(л;//, х'") и рассмотрим два случая.
Случай I: ai«a2. Имеем: *£,<„,*£, и лс„,<а!^„','* Следо-
(вательно, х'а^<ах'^. Кроме того, х'а = х^ = х'^' при ct2<a.
Значит, аг=тах L(x', х'") и
Случай II: аг<ах. Имеем: x"ai = x£ и х' Ki^x"^. Значит,
лС <„,*„,'• Кроме того, at^ = jc^ = jc^" при ax<a. Следовательно,
а^пмх £(*',«'") и дс'<дс'".
Так определенное упорядочение < на X называется упоря-
упорядочением по последней разности, а множество -Х = (ТП Х«
s
вместе с упорядочением < называется произведением Хаус-
дорфа вполне упорядоченных множеств Ха, <а (по А, -<).
3.7.4. Теорема. Произведение Хаусдорфа Х = ч\\ Ха, <
вполне упорядоченных множеств ХЛ, <Za no вполне упорядочен-
упорядоченному! множеству А,<^ является вполне упорядоченным множе-
множеством.
Доказательство. Предположим противное. Возьмем
наименьший левый луч Ai в А,<^, для которого произведение
Хаусдорфа а |~] Ха, < не вполне упорядочено. Не ограиичи-
вая общности, можно считать, что А\=А. Тогда для каждого
68

собственного левого луча Л' в Л, -< 'произведение сгпХа, <
вполне упорядочено.
Возьмем непустое множество ЯсХ, в котором нет наимень-
наименьшего элемента, и выберем х"еР так, чтобы было хп+1<Схп при
ле!М+^ Множество М (х1) = {a S А : х^Фх*а} конечно; поло-
положим a=maxM(xl). Из определения порядка <С следует, что
-х£ = х* при neN+ и а^а. Множество Л| а = {аеЛ :а<а}—
собственный левый луч в А, <. Следовательно, произведение
Хаусдорфа Х = а [~] Ха, < является вполне упорядоченным
а<^ а
множеством. По предложению 7.7.3 вполне упорядоченным
•множеством является тогда и произведение Хаусдорфа ХхХ^,<
< == о П -Ха. <• Но естественное проектирование
я:о[] Ха~хт \~[ Ха на множестве {x":neN+} взаимоодноз-
начно и сохраняет порядок: п(хп+1)<п(хп) при neN+. Получи-
Получили противоречие с тем, что в \~[ Ха — вполне упорядоченное
•множество.
Пусть А, -< — вполне упорядоченное множество и для каж-
каждого аеЛ Ца — некоторый ординал. Выберем вполне упорядо-
упорядоченное множество Ха, <а, порядковый тип которого равен (Ха, и
через ц = П р« обозначим порядковый тип произведения
ос£Д
Хаусдорфа а ["] Ха, < по А, <. Ординал ц, так определен-
определенен
ный (см. теорему 3.7.4), называется произведением вполне упо-
упорядоченного семейства {\ia ■ аеЛ} ординалов.
Если для всех аеЛ (ха = | — один и тот же ординал и по-
порядковый тип множества А, -< равен i\, то ординал [*] ^
осбЛ
обозначают через |" и говорят, что он получен возведением ор-
ординала | в степень ц.
Очевидно, операция произведения ординалов ассоциативна.
Как легко проверить, она некоммутативна. Для любых ордина-
ординалов |i, аир справедливы
1*«*-|1».|Л B)
(ца)р=Ца?. C)
Вывести эти формулы из определения операции умножения
и операции возведения в степень предоставляется читателю.
69

Глава 4
КОМБИНАТОРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
В этей главе рассматриваются комбинаторные вопросы тео*
рии множеств. Они связаны с разбиениями произведений мно*
жеств на семейства подмножеств и возникающими здесь коли--
чественными оценками в терминах кардинальных чисел.
Сюда примыкает изучение центрированных систем множеств-
(§ 1). Мы доказываем, что на каждом бесконечном множестве
существует максимальная центрированная, система множеств
(ультрафильтр) с пустым пересечением, и устанавливаем ос-
основные свойства таких систем. В § 2 рассматриваются меры
Улама, существование которых связано с наличием ультра-
ультрафильтров, обладающих специальным свойством. На этой основе
вводится' понятие неизмеримого по Уламу кардинала. Устанав-
Устанавливается ряд основных свойств таких кардиналов. Надо отме-
отметить, что центрированные системы играют очень важную роль
в общей топологии и ее приложениях. В частности, они «рабо-
«работают» в теории компактных расширений, при исследовании
компактности, при построении пополнений.
§ 3 и § 4 посвящены собственно комбинаторике кардиналов.
Здесь излагаются начала теории, развитой Эрдешом и Радо и
оказавшей большое влияние на теорию кардинальных инвари-
инвариантов топологических пространств. В работах Юхаса и Хайиала
дано мнего замечательных приложений этой теории [13, б, 7,
16].
§ 1. Центрированные системы множеств.
Фильтры и ультрафильтры
Семейство 1 подмножеств множества X называется центри-
центрированным, если пересечение любого конечного числа его элемен-
элементов непусто.
Очевидно, каждая цепь из ненустых множеств является
центрированным семейством.
Если пересечение ("]£ семейства | множеств пусто, то семей-
семейство 1 называется свободным.
4.1.1. Примеры, а) Зафиксируем точку х^Х. Семейство
1*={ЛсХ: х^А) — центрированное, но несвободное.
б) Для aeR положим Rs={j;gR :a<x}. Семейство rj =
= {Ra :eeR} — центрированное и свободное.
Очевидно, каждое центрированное семейство подмножеств
конечного множества имеет непустое пересечение.
70

С понятием центрированной системы множеств тесно связа-
связаны понятия предфильтра, фильтра и ультрафильтра.
Оистема | множеств называется предфильтром, если все ее
элементы непусты и для любых А, /?е£ найдется Се£ такое,
что СсгЛПВ.
Очевидно, каждый предфильтр является центрированной
■системой множеств.
Пусть &" — некоторое семейство множеств. Фильтром в <£
называется любое подсемейство | семейства 8, состоящее из
.непустых множеств и обладающее свойствами: 1) если Л eg и
Ве^, Лс=В, то Se=g, и 2) если Л, £е=£, то A[\B<=%.
Если & — семейство всех подмножеств множества X, то
фильтр в &" называется фильтром на X, или просто фильтром
(ясно, что X тогда — наибольший элемент семейства &). Оче-
Очевидно, если | — фильтр и Ах Л*е|, то А\[\...[\Ак<^1.
Каждый фильтр является предфильтром и тем более цент-
центрированной системой множеств.
Семейство т) непустых множеств называется п-базой семей-
семейства множеств |, если для каждого £/е| найдется V<=r\ такое,
что Vert/. В этом смысле можно говорить о я-базе центриро-
центрированной системы множеств предфильтра, фильтра и т. д. Семей-
Семейства со счетной я-базой называются счетно порожденными.
Далее мы пишем «центрированная система на X» вместо
«центрированная система подмножеств множества X».
Следующее понятие является основным.
4.1.2. Определение. Центрированная система £ на X на-
называется максимальной (относительно X), если не существует
центрированной системы х\ на X, для которой £ст] и %фх\.
Система %x = {AcX :х<^А) для произвольного х^Х является
максимальной центрированной системой на X. Действительно,
если lxczr\, то {jfje^cn., и если т] центрировано, то для любо-
любого Ре»] имеем: Р[\{х}Ф0, т. е. *еР, откуда следует, что
Р
Ь
Максимальные центрированные системы вида %х называются
тривиальными.
Вопрос, существуют ли свободные максимальные центриро-
центрированные системы, оказывается не только совсем нетривиальным,
но и весьма важным. Прежде чем формулировать основной
результат, выделим полезный вариант понятия максимальной
центрированной системы.
Пусть & — произвольное семейство множеств. Семейство £
называется максимальной в & центрированной системой мно-
множеств, если ^czS', семейство g центрировано и из b,czi\cz& сле-
следует, что либо Ti = g, либо семейство т) не центрировано. Если
<ЁГ=Ехр X, то максимальная в Ж центрированная система —
это максимальная центрированная система на X (т. е. относи-
относительно X).
4.1.3. Теорема. Пусть &" — произвольное семейство мно-
множеств и gcrjf, % — центрированное семейство множеств. Най-
71

дется тогда максимальная в 8 центрированная система | мно-
множеств такая, что £crg.
Доказательство. Упорядочим множество ^=
— {г\сё":ц — центрированная система множеств и £c=ri} естест-
естественным образом. А именно если тц, Ц2^&*, то т\\<.щ в том н
только том случае, если гцсгт12 и Ц\фг]2- Возьмем сквозную цепь
С в &,< и положим ц* = \}С. Очевидно, r\*czS'.
Покажем, что система х\* центрирована.
Пусть Р\,...,Рк^г\. Найдутся щ,...,щ^С такие, что-
Pt^t]i при i—l,...,k. Так как С — цепь, одна из систем
r|i,...,т]а содержит все остальные. Можно считать, что ri&~
= riiU—Ол*- Тогда Ри... ,Pk^r\k и, так как система цк центри-
центрирована, пересечение P\[)...{\Pk непусто. Докажем, что ц* — мак-
максимальная система в ё'. Пусть Tjcrlf, ц — центрированная сис-
система множеств и Т1*сгт]*, ц*фг\. Тогда £,czr\*cr\ и, значит^
г\^.3*. Очевидно, T]<Ti*<ri для всех г)еС, в противоречии с
тем, что цепь С — сквозная в &>, <.
4.1.4. Следствие. На каждом бесконечном множестве X
существует максимальная центрированная система с пустым.
пересечением (т. е. свободная).
Доказательство. Положим
1кон={Х\К: К — конечно и /СсгХ}
и дополним центрированную систему £Кон до максимальной,
центрированной системы | по теореме 4.1.3. Имеем: П1кон=0 и
тем более П£ = 0-
Максимальные центрированные системы в & (на X) называ-
называются ультрафильтрами в &" (на X).
Укажем основные свойства максимальных центрированных
систем на произвольном множестве X.
4.1.5. Предложение. Каждая максимальная центриро-
центрированная система § на X является фильтром на X.
Доказательство. Пусть A, Ss|. Система 1=1[){А[}В),
очевидно, центрирована, и gcrgcrExpX. Значит, 1=1 и А[\В(=1.
Пусть А<=1 и ЛсгВсгХ. Система Ш{В} центрирована и
gc!U{£}<=ExpX. Следовательно, g=|LJ{^}, т. е. 5<ее£.
4.1.6. Следствие. Если | — максимальная центрирован-
центрированная система на X, то Pi[]...[]Pk^% для любого конечного числа
элементов P\,...,Pk системы |.
4.1.7. Предложение. Пусть g — максимальная центри-
центрированная система множеств на X и АаХ, А(]РФ0 для каждо-
каждого Peg. Тогда Л<=|.
Доказательство. Система Ш(^) центрирована. Дей-
Действительно, каковы бы ни были P\,...,Pk, A(=l\}{A} (где
Pu...,Pk^l), имеем: Р,П...ПР*(У1 = .РПА где Р=Р,п...ПР*е=£ в
силу следствия 4.1.6. Но по условию Р[\Аф0. Значит, Pif\...
...ПРь[\Аф0 — система \\}{А) центрирована. Так как |Ш{^}
сгЕхр X, заключаем, что 1 = Ш(^}» т. е. Л eg.
72

Удивительным является следующее свойство ультрафильт-
ультрафильтров.
4.1.8. Предложение. Пусть % — максимальная центриро-
центрированная система на X. Для любого AczX либо Ле£, либо
1
Доказательство. Пусть нашлось AczX такое, что 1
и Х\А^%. По предложению 4.1.7 существуют Plt Рг^|, для
которых ЛГИ = 0 и Р2[]{Х\А)=0. В силу предложения 4.1.5
ЛЛЯ2е|. С другой стороны, имеем: Х^Р^Р2 = (PifV^OfVUU
V(Plf)P2(}(X\A))cz(Pl[)A)l)(P2(}(X\A))=0, откуда следует,
что P\f\P2=0, в противоречии с центрированностью системы g.
Предложение 4.1.8 показывает, что каждая максимальная
центрированная система на бесконечном множестве является
очень большим семейством множеств.
4.1.9. Теорема. Пусть X — бесконечное множество мощ-
мощности т и | — произвольная максимальная центрированная си-
система множеств на X. Тогда ||| =2Х.
Доказательство. Имеем: |ЕхрХ|=2т. Каждому Л eg
поставим в соответствие множество ф(Л)=Х\Л. Этим опреде-
определено отображение q>: £->Ехр X.' Очевидно, отображение q> инъ-
ективно, поэтому |g| = |q>(g) |.Из предложения 4.1.8 следует,что
ExvX=l{Jw(l). В силу следствия 1.5.4 тогда |ЕхрХ| = |£|, т. е.
4.1.10. Следствие. На бесконечном множестве не сущест-
существует счетных максимальных центрированных систем множеств.
Свойства, указанные в утверждениях 4.1.5 и 4.1.6, не харак-
характеризуют максимальных центрированных систем множеств —
нетрудно привести пример фильтра, не являющегося макси-
максимальной центрированной системой множеств. Напротив, пред-
предложения 4.1.7 и 4.1.8, как мы сейчас покажем, обратимы.
4.1.11. Предложение. Пусть % — центрированная систе-
система множеств на X такая, что всякое множество AczX, пересе-
пересечение которого с каждым множеством из % непусто, принадле-
принадлежит |. Тогда | — максимальная центрированная система на X.
Доказательство. Пусть |crr|crExpX и система г\ цент-
центрирована. Для каждого Лет] и каждого Peg тогда имеем:
А{\РФ0. Заключаем: Ле£ и |=т).
4.1.12. Предложение. Пусть | — центрированная систе-
система множеств на X такая, что для каждого АаХ либо Ле|,
либо -¥\Ле|. Тогда | — максимальная центрированная систе-
система на X.
Доказательство. Пусть gcrricrExpX. Возьмем любое
] По условию либо Л<=5, либо Х\А<=1. Но если Х\Ле|,
то Х\Лет], Лет) и, так как система центрирована, (Х\Л)П
(\АФ0 — получаем противоречие. Значит, Ле£, что и требо-
требовалось.
В дальнейшем понадобится
4.1.13. Предложение. Если I — максимальная центриро-
73

ванная система множеств на X и xs("|5, то {х}^1 и £ = £* =
{}
Доказательство. Если х^[)%, то {х}(]Аф0 для всех
A eg и, следовательно, {л:}е| по предложению 4.1.7. Из предло-
предложения 4.1.8 теперь вытекает, что l={AczX: x^A}.
4.1.14. Предложение. Если \ — ультрафильтр на X
и А(=%, то £д = {Ве£: 5сгЛ} — ультрафильтр на А.
Доказательство очевидно.
Приведем несколько основных фактов, относящихся к пове-
поведению центрированных систем множеств при отображениях.
4.1.15. Предложение. Пусть f:X-*~Y — отображение,
g — центрированная система я-а X и ц — центрированная сис-
система на Y. Тогда и системы /|={/(Л) :Ле=г=} и f-1 (ц) ={f'{ (В):
: В^ц) центрированы.
Доказательство очевидно.
4.1.16. Предложение. Пусть f:X-*-Y — отображение,
f(X) — Y и | — ультрафильтр на X. Тогда:
а) f(l)={f{A) :A<=1} — ультрафильтр на У и
б) т] = {£с= У:/-'(£)<=£} — ультрафильтр на Y {совпадаю-
{совпадающий с 1A)).
Доказательство. Из f(X) = Y следует, что т]сг/(£).
Система f(|) центрирована в силу 4.1.15.
Остается доказать б). Возьмем любое CczY. Имеем:
f-l(C)\jf't(Y\C)=X. Так как g — ультрафильтр на X, либо
/-'(С)е=|, либо /-»(У\С)е|. Значит, либо Сет), либо У\Се=цу
чем а силу предложения 4.1.12 (и ввиду центрированности ц)
доказано, что ц — ультрафильтр на Y.
§ 2. Неизмеримые по Уламу кардиналы
и 6-ультрафильтры
Все определения и результаты в этом параграфе относятся
к ординарным множествам и семействам множеств.
Семейство множеств £ назовем т-центрированным, где т —
некоторый кардинал, если для каждого подсемейства г| семей-
семейства | такого, что |т]|<т, пересечение Пл непусто.
Ясно, что центрированные системы множеств — это в точно-
точности &о-центрироеанные системы. Чем больше кардинал т, тем
более сильным становится требование т-центрированности.
С другой стороны, если (}£,ф0, то система т-центрирована при
любом т. Следующий вопрос возникает естественно:
Пусть | — Hi-центрированная система множеств (т. е.
пересечение любого счетного подсемейства семейства g непус-
непусто). Верно лн тогда, что [%Ф0">
Покажем, что ответ отрицателен.
4.2.1. Пример. На множестве W мощности Hi зафикси-
зафиксируем порождающее вполне упорядочение <С Положим Ра —
= {ре№:а<Э} при aelf. Система 1 = {Ра:а^Щ, очевидно,
Ырцентрирована, но Г\% = 0.
74

Существует ли максимальная центрированная система, кото-
которая Ni-центрирована, но имеет пустое пересечение? Если взять
Hi-центрированную систему с пустым пересечением н допол-
дополнить ее до максимальной центрированной системы, то послед-
последняя может оказаться уже не Ni-центрированной. Как мы далее
увидим, не всякая ^-центрированная система содержится в
максимальной Ыгцентрированиой системе.
4.2.2. Определение. Кардинал т называется неизмеримым
(по У ламу), если на множестве X мощности т всякая макси-
максимальная Ырцентрированная система множеств имеет непустое
пересечение.
В этом определении имеется в виду максимальность по отно-
отношению к свойству центрированности.
Очевидно, каждый конечный кардинал неизмерим. Если кар-
кардинал не является неизмеримым, то он называется измеримым
(по Улану).
Далее максимальные центрированные системы, которые
К1-центрированы и имеют пустое пересечение, для краткости
именуются 6-ультрафильтрами.
4.2.3. Предложение. Если g ■— 8-ультрафильтр на X и
Л,eg при teN, то fl Ле g.
Доказательство. Очевидно, что В= П At и произ-
вольного A eg имеем: В[\АФ0. В силу предложения 4.1.7 тогда
Название «измеримый кардинал» связано со следующим. За-
Зафиксируем множество X.
Предположим, что дана функция ц: Ехр Х-+{0, 1}, т. е. каж-
каждому подмножеству А множества X поставлено в соответствие
число |а(Л), равное 0 или 1 и называемое мерой множества А,
таким образом, что выполняются условия:
а) |х({*})=0 для каждого х^Х, т. е. мера каждого одното-
одноточечного множества равна нулю;
б) если у — счетное семейство подмножеств множества X
и \i(A)=0 для всех А^у, то цШуK5^;
в) если ц(Л) = 1, то ц(Х\Л)==0;
г) ц(Х)«1.
Тогда \i называется мерой У лама на X.
Пусть \х — мера Улама на X. Тогда семейство |й=
={AczX: [х(Л) = 1} является максимальной центрированной си-
системой множеств на X, причем N гцентрированной. Действи-
Действительно, из условия б) и формул де Моргана следует Ni-центрй-
рованность !ц.
Из б)—г) следует, что каково бы ни было множество Ас:Х,
либо Ле|ц, либо X\A^v.. Заключаем (см. предложение
4.1.12), что I — максимальная центрированная система. В силу
а) {х}($Ъ№ для всех х^Х. Значит, П^=0. Итак, £ц-6-ультра-
фильтр на X.
Обратно, пусть | — произвольный б-ультрафильтр на X. По-
75

ложим [х(Л)=1 для AczX в том и только том случае, если
Не составляет труда проверить, пользуясь определением 6-ульт-
рафильтра, что \i — мера Улама на X и |ц=|.
Из проведенного рассуждения вытекает
4.2.4. Предложение. На множестве X существует мера
Улама в том и только том случае, если на X существует Ь-ульт-
рафильтр.
4.2.5. Следствие. Кардинал т измерим по У ламу в том и
только том случае, если на множестве X мощности т существует
мера Улама.
Обозначим через Card(£/) класс всех неизмеримых по Ула-
му кардиналов. Наша ближайшая цель — выяснить широту это-
этого класса.
4.2.6. Предложение. Если т — неизмеримый кардинал и
Ti^Card, ti<t, то и %\ — неизмеримый кардинал. Иными слова-
словами, класс Card F0 составляет левый луч класса Card.
Доказательство. Пусть X — множество мощности т и
YaX, |У|=ть Покажем, что если кардинал ti измерим, то и
кардинал т измерим. Пусть |—б-ультрафильтр на Y. Положим.
r\={AczX: Af}Y<^i}. Ясно, что семейство ц центрировано. Если
A\JB=X, то (A[]Y)[](Bf\Y)=Yt и так как i — ультрафильтр на
Y, либо Af}Y<=l, либо B[\Y<=1 (см. предложение 4.1.8). Но тогда
либо Лет], либо Бет).
На основании предложения 4.1.12 заключаем, что г\ — ульт-
ультрафильтр на X.
Пусть Л,ет1 ПРИ »sN. Тогда
(П At)nY=(]{Alr\Y:iefi}^l
i'€N
в силу предложения 4.2.3. Следовательно, П Лг^'П и, так как
семейство г\ центрировано, ПД# 0- Значит, ц — Ы гцентри-
рованный ультрафильтр. Наконец, если х^(]х\, то {х}^г\, так
как ц — ультрафильтр (см. предложение 4.1.13), и тогда {^}П
f\Y^£,, откуда следует, что хеУ и xef]l> ~ противоречие с тем,,
что [)£,=0. Следовательно, [}г\=0 и г\ — б-ультрафильтр на X.
4.2.7. Предложение. Пусть I — 6-ультрафильтр на мно-
множестве X и ус:Ь„ (]\=0. Тогда кардинал \у\ измерим.
Для доказательства нам понадобится
4.2.8. Лемма. Пусть | — ультрафильтр на X, х — бесконеч-
бесконечный кардинал, и если \cl, М<т< т0 f\\^0- Тогда из yal, и
IyI<t следует, что flY^i-
Доказательство леммы. Положим В=Х\С\у. Имеем:
В{\{{\\)=0 и |yU{5}|<t, yczl, откуда следует, что В&1. Так
как | — ультрафильтр на X, заключаем, что Х\В^%, т. е.
Луе£.
Докажем теперь 4.2.7. Предположим, что кардинал \у\ не-
неизмерим. Возьмем наименьший кардинал т*, для которого су-
76

ществует ца£, такое, что |ti|=t* и (]ц=0. Тогда Ni<t*=|yI
и по предложению 4.2.6 кардинал т* неизмерим. Зафиксируем
порождающее вполне упорядочение < на т).
Из леммы 4.2.8 следует, что кардинал т* регулярен. Дейст-
Действительно, если Ti= и^а. где |Л|<т* и |т]о|<т* при а^А,
«ел
то ПЛа^^ по лемме 4.2.8. Тогда и ПТ1= П (П Ла)^ I снова в.
силу леммы 4.2.8.
Через Z обозначим первый элемент семейства ц.
Для z<=Z обозначим через P{z) первый элемент вполне упо-
упорядоченного множества ц, для которого z^P. Так как (]ц=0,.
элемент P(z) определен корректно.
Введем на Z отношение эквивалентности ~. А именно, по-
положим г1~г2 в том и только том случае, если P(z\)=P(z2).
Рассмотрим каноническое отображение it: Z-+M множества
Z на множество М всех классов эквивалентности ~. Для каж-
каждого Рет] положим
Р=(\{Р'<=ц:Р/<Р}.
В силу леммы 4.2.8 Peg, так как
Пусть z<^.P и г'~2. Тогда P<P(z)=P(z') и, значит,
Следовательно,
л~{л (Р)=Р^1 A)
для каждого Р^ц.
Ясно, что |M|<ti и, значит, \М\ — неизмеримый кардинал
(см. предложение 4.2.6). Определим семейство ц подмножеств:
множества М правилом:
В силу предложения 4.1.16 б) и предложения 4.1.14 \i — ульт-
ультрафильтр на М. Так как ультрафильтр | № i-центрирован и
прообраз пересечения равен пересечению прообразов, ультра-
ультрафильтр [х также № i-центрирован.
В силу формулы A) я(.Р)е[х для всех Per). Имеем
я-1 (Л{я (Р) : Реп» =П{я-'я (Р) : Ре=г\}с{){Р : Р^г\}=Пц=0-
Следовательно, П{я(Р) : Р<=ц}=0 и тем более [}\i=0. Мы по-
построили б-ультрафильтр [I на множестве М неизмеримой мощно-
мощности — противоречие. Предложение 4.2.7 доказано.
Из предложения 4.2.7 и леммы 4.2.8 вытекает
4.2.9. Предложение. Пусть I - Отцентрированный
ультрафильтр на X, yczl и \у\ — неизмеримый кардинал. Тогда
Мы приступаем теперь к основным результатам о неизмерим
мых кардиналах.
4.2.10. Теорема. Пусть X={J {Ха: а<=А} — множество, где
| Ха | =та — неизмеримый кардинал для каждого аеЛ и карди-
кардинал \А\ также неизмерим. Тогда \Х\ — неизмеримый кардинал.
77

Доказательство. Пусть \—б-ультрафильтр на X. Воз-
Возможны два случая.
I. Xa> e £ для некоторого а*еЛ. Тогда семейство
go,. = {Л сг Ха.: А е £} является б-ультрафильтром на Л — это
очевидно. Получили противоречие с неизмеримостью кардинала
| Ха | =т<*.
II. Для каждого а<=А Ха&%. Тогда Х\Ха^§ при всех
аеЛ (предложение 4.1.8). Так как кардинал \А\ неизмерим,
из предложения 4.2.9 следует, что П{Х\Ха: а^Л}е£. Но
Л {Х\Ха : а^Л}=Х\и {Ха : аеЛ}=0 — получили противоречие.
4.2.11. Теорема. Если мощность множества X неизмерима,
то и мощность множества Ехр X неизмерима.
Доказательство. Пусть £ — б-ультрафильтр на ЕхрХ.
Для х^Х положим
y\i{x)
Рассмотрим множества
Для каждого х<=Х rii (x) Uil2 (л:) =Ехр X и г\\{х)[\т\2(х)=0.
Значит,
так как | — ультрафильтр. Кардиналы |Ф| и'|5| неизмеримы,
так как |Ф|«|Х|, |F|<|X| и кардинал \Х\ неизмерим.
Следовательно, в силу предложения 4.2.9, A*=[){i\i(x) :
:x<==F}e=% и В*={ц2(х) : л:еФ}е|. Поэтому и А*[)В*Щ.
Покажем, что A*f\B*—{F}, т. е. что множество Л*П^* состо-
состоит ровно из одной точки .FeExpX.
Для всех ^eO=I\F имеем F^r\2(x) по определению цг{х).
Значит, F^B*. Из определения rii(*) следует, что Ferii(je) для
всех x^F. Значит, ГеЛ* и FsЛ*ПS*. Если Qe^A*, то, очевид-
очевидно, QzdF. Если QsB*, то ($Г\Ф=0, т. e. QczF. Следовательно,
если Q(=A*(]B*, то Q=F. Этим доказано, что {F}=^*("|fi*eg.
Но тогда {/Г}=П| — получим противоречие.
Кардинал т называется сильно недостижимым, если он не-
несчетен, регулярен и для каждого кардинала К, меньшего, чем
т, выполняется соотношение:
2*<т.
Из предложения 4.2.6 и теорем 4.2.10 и 4.2.11 вытекает
4.2.12. Теорема. Наименьший из измеримых кардиналов,
если таковые существуют, является сильно недостижимым кар-
кардиналом.
В частности, кардиналы Hi, Hj, ..., Яв, ..., W. и кардина-
кардиналы 2 ', 2 и т. д. являются неизмеримыми кардиналами по
теореме 4.2.12. Теорема 4.2.12 означает, что если измеримый
78

кардинал существует, то он ^необычайно велик и построить его-
«снизу»,«изнутри»,отправляясь от Но и итерируя операции воз-
возведения в степень и сложения, нельзя. Не противоречит аксио-
мам теории множества гипотеза: Card=Card(t/). Статус отри-
отрицания этой гипотезы сложнее [10, 4].
§ 3. Почти дизъюнктные системы множеств и А-лемма
Семейство {Sa: asiW} множеств называется дизъюнктным,
если Sa' П Sa» = 0 при а', а"еМ и а'^а".
4.3.1. Предложение. Пусть {Sa: а^Л} — произвольное
семейство множеств. Существует тогда множество MczA такое^
что:
а) семейство {Sa : aeM} дизъюнктно и
б) множество А максимально в А по отношению к свойст-
свойству а), т. е. если аеЛ\М, то найдется a'eAf, для которого
5S0
Иными словами, в каждом семействе множеств существует
максимальное дизъюнктное подсемейство.
Доказательство. Положим 1?={МcrA : семейство
{Sa: aeM} дизъюнктно} и упорядочим 3* отношением включе-
включения: М]<М2 в том и только том случае, если M\CzM% и М\ФМ.ъ.
Возьмем сквозную цепь С в <р,< и положим М*=[]С. Покажем,
что М* — искомое множество.
Во-первых, М*^<р. Действительно, если a', o"eiH*, то, так
как С —цепь и [)С=М*, найдется МеС, для которого a',a"eiW.
Пусть а'^о". Тогда Sa'[\San = 0, так как Ме^.
Не существует множества MczA, для которого M*czffl,
М*ФМ и семейство {Sa: aejf?} дизъюнктно, иначе было бы
Же^1 и М<сМ*<М для всех М^С, в противоречии с тем, что
цепь С является сквозной. Предложение 4.3.1 доказано.
4.3.2. Определение. Семейство |={Se:a^B} множеств
называется А-системой, если для любых различных а', а"<^В
выполняется равенство:
Sa'nSo»=n{V-aeB}. (О
Очевидно, семейство {Sa: aeB} является А-системой в том
и только том случае, если семейство {Sa\T:a^B}, где Т=
=n{Sa : aeB}, дизъюнктно.
Пусть neN. Обозначим через Y(n) следующее утверждение.
Для каждого семейства {Sa: аеЛ} множеств такого, что
\А\ — бесконечный регулярный кардинал и ]Sa|=n при всех
а^Л, найдется множество ВаА такое, что |Б| = |Л| и семей-
семейство {Sa: aeB} является Д-системой.
4.3.3. Лемма. Утверждение У (л) верно для каждого neN.
Доказательство по индукции относительно neN. Если
л=0, то годится В=А. Значит, У@) верно. Пусть 4eN и Y(k)
верно. Докажем, что верло Y(k+l).
п

Имеем: \Sa\=k+l при всех аеЛ. Рассмотрим максимальное
дизъюнктное подсемейство {5„: аеМ} семейства {5а:ае
(на основании предложения 4.3.1).
Случай I. |М| = |Л|. Тогда подходит В=М.
Случай II. |М|<[Л|. Положим Р=\] {Sa : aeAf}. Имеем
для каждого а^Л, так как &+1>1 и {Sa '■ asM} — максималь-
максимальное дизъюнктное подсемейство семейства {Sa: а^Л}. Далее,
\P\<c\M\-(k+l)<\A\. Для каждого jceP положим Л*=
=*{а<=А : x^Sa}. Тогда иЙ*:*еР}=Л. Но кардинал \А\ регу-
регулярен и |Р|<|Л|. Значит, | Лж« | = (Л| для некоторого х*еР.
Имеем x*^Sa для каждого аб^>. Положим S« = Sa\{A:*}
для а е Л*.. Так как | $£| = £ ДЛя всех а е Лх* и | Л** | = | Л | —
регулярный кардинал, к семейству {Sa: a s Л*.} примени-
применимо утверждение У (ft). Найдется поэтому В а Ах, такое, что
|В|=|Л,»|=|Л| и
B)
для любых различных а', а"еВ. Очевидно, тогда
при а', в'еВ, C)
а/Фа", так как левая и правая части в C) получаются присое-
присоединением к левой и правой части в B) элемента х*. Значит,
В — искомое множество и Y(k+l) верно.
4.3.4. Теорема. Пусть {Sa: а^Л} — семейство конечных
•множеств, причем \А\ — регулярный кардинал и |Л|>Ыо- Най-
Найдется тогда множество ВсгЛ такое, что |£| = |Л| и
для любых различных а', а"еВ (т. е.- семейство {Sa:aeB} яв-
является А-системой).
Доказательство. Положим Л«={аеЛ : |Sa|=n} при
neN. Ясно, что А=\}{Ап: neN}. Так как |М|<|Л| и кардинал
\А\ регулярен, найдется n*eN, для которого |Л„*| = |Л|.
В силу леммы 4 3 3 для семейства {Sa : a£ An*} выполняется
утверждение У (я*). Это и дает нам искомое множество В.
4.3.5. Следствие. Каждая несчетная система конечных
множеств содержит несчетную А-систему.
Полезно следующее обобщение понятия дизъюнктной систе-
системы множеств.
4.3.6. Определение. Семейство {Sa: а&А) множеств на-
называется почти дизъюнктным, если пересечение Sa-flSa» ко-
конечно для любых различных а', а"еЛ.
Семейство £={5Я : аеВ} множеств называется максимальным
почти дизъюнктным подсемейством семейства {Sa: аеЛ} мно-
множеств, если | почти дизъюнктно и не существует множества
80

В'<=А такого, что BczB'<=A, ВФВ' и семейство {S*: аеВ'} поч-
почти дизъюнктно.
4.3.7. Пример. На множестве N существует почти дизъюнк-
дизъюнктное семейство {Sa:as/1} подмножеств такое, что |Л| =2No.
Очевидно, достаточно построить почти дизъюнктное семейство
мощности 2N» на множестве Q всех рациональных чисел (так
как N~Q). Для каждого иррационального числа а зафиксиру-
зафиксируем какую-нибудь сходящуюся к а последовательность рацио-
рациональных чисел и обозначим через Sa множество точек этой по-
последовательности. Ясно, что 5Д'П5а"— конечное множество
при а'Фа". Таким образом, семейство {S0:aeP} (где Р — мно-
множество всех иррациональных чисел) почти дизъюнктно, причем
||
4.3.8. Теорема. В каждом семействе {Sa: аеЛ} множеств
найдется максимальное почти дизъюнктное подсемейство.
Доказательство. Пусть 0> — упорядоченное по включе-
включению семейство всех подмножеств BczA таких, что семейство
{Sa : aeB} почти дизъюнктно. Возьмем сквозную цепь С в {?,<
и положим B*—\jC. Ясно, что В*аА и семейство {Sa: aefi*}
почти дизъюнктно, так как любые а', а"^В* содержатся в не-
некотором элементе В' цепи С. Если ЗаА и В*аВ, В*ФВ, то
семейство {Sa: aeB} не почти дизъюнктно, иначе было бы В^&
и В<В для всех ВеС, в противоречии с тем, что цепь С —
сквозная в &>,<.
§ 4. Комбинаторные теоремы
Через [X]2 условимся обозначать множество всех неупорядо-
неупорядоченных пар {х\ х") различных элементов множества X {{х\ х"}—
={*", х'}). Как обычно, N — натуральный ряд.
4.4.1. Теорема. Пусть <p:[N]2-*{l, ..., п) — произвольное
отображение. Найдутся тогда бесконечное множество AfcrN и
число te{l, ..., п] такие, что q>({xf, x"})—i для всех {х\ *"}е
[М]2
[]
Доказательство. Для reN и £е{1 п} положим
ф^1 @ =foe N : Ф({х, у}) =i}.
Пару множеств (Л, В) (упорядоченную), где ^4c:N и BczN,
назовем отмеченной, если выполняются условия:
а) А конечно, В бесконечно и А[\В=0\
б) если йеЛ и b, c^A{jB, где а<Ь и а<с, то
Ф({й, 6})=Ф({а, с}).
На множестве !? всех отмеченных пар введем косой поря-
порядок: (А1, В')<^{А", В"), если Л'сгЛ", В"аВ' и А"[\В'Ф0.
Очевидно, если (Л', В'Х(А", В"), то Л' строго содержится
в А" и В" строго содержится в В'. Далее < — обычный поря-
порядок на N.
Покажем, что в упорядоченном множестве ^,>С нет макси-
максимального элемента.
4 Зак 198 81

Пусть (Л, fi)e^. В силу а) найдется £efi такое, что
при всех а&А. Положим Л=А[}{х}.
Так как и {ф~'@ : {= 1 ,...,«} = N гэ В, множество ф-1 (Т) П В
бесконечно для некоторого 7е{1, ... , п). Положим 5 = Ф~1@ПЯ*
Ясно, что {Л, Б)<=& и (A, Б)<(Л\ В), т. е. элемент (А, В) не-
немаксимален в 5^<С
Следовательно, найдется цепь С в ^,<S, в которой нет наи-
наибольшего (по отношению к С, <) элемента, — такой будет, на-
например, любая сквозная цепь в Ф, <С
Множество H=\j{A: (Л, В)еС} — объединение всех первых
членов пар, вошедших в С, бесконечно и удовлетворяет усло-
условию:
если т, k, /еЯ и m<k, т<1, то у({т, £})=<р({т, /}). A)
Действительно, существует (Л*, Б*)еС, для которого т, &„
/еЛ*. В силу б) тогда ф({т, £})=ф({т, /}).
Через Н (i) обозначим множество всех т^Н, для которых^
существует АеЯ такое, что k>m и ф({т, fe})=i. Имеем: Я=,
==U{^@-i='> •••>"} и> значит, множество H(i*) бесконечно"
для некоторого t*e{l, ..., л}.
Достаточно теперь показать, что ф({/п, /})=»* при любых.
т, /еЯA*), где т¥=1.
4 4.2. Теорема. Пусть т — бесконечный кардинал, X, Т —
множества, причем \Х\>21 и |7|<т. Пусть дано отображение-
ф:[Хр->Г множества [X]2 всех неупорядоченных пар различных
элементов множества X в Т. Найдется тогда множество ZczX
такое, что \Z\>x и
у1)) для любых iv'v у2},
{у\, y%<={Z\\ tn. e.
Доказательство. Зафиксируем множество W мощности
т+ и порождающее вполне упорядочение < на W.
По трансфинитной рекурсии для каждого aelf будет опре-
определено семейство 9>а непустых подмножеств множества X таким
образом, что будут выполняться условия при всех a, a', o"eW:
1) 0>а. ДИЗЪЮНКТНО;
2) если Л'ен^а-, Л"е<^а'' и а'<а", то либо Л'ПЛ"=0,
либо Л"с:Л';
3)
4)
Зафиксируем функцию выбора с на ЕхрХ\{0}, т. е. каж-
каждому непустому множеству AczX поставим в соответствие не-
некоторую точку с(А)^.А.
Пусть AczX, АФ0 и ter. Положим тогда
{*, c(A)})=t}, B)
=n C)
82

Очевидно, уд — дизъюнктное семейство множеств,
\)ул=А, D)
ш если х, у^А'&ул, где А'¥={с(А)}, то
Ф({*. с(Л)})=ф({г/, с (Л)}). F)
Для произвольного дизъюнктного покрытия 9* множества
X непустыми множествами положим
^+=(^)+=U{Y/4:^e^}. G)
Ясно, что &+ — дизъюнктное покрытие множества X непус-
непустыми множествами и &>+ вписано в &, т. е. каждое А'&.&+ со-
содержится ровно водном Лей9, причем \&+\ < \&\ -т.
Приступим теперь к построению системы {#«: a£f). Далее
а, а', а" — произвольные элементы множества W.
Как обычно, элемент a^W называется предельным, если у
*него в W,< нет непосредственно предшествующего элемента.
Для 0=min W положим &>о={Х}. Пусть a*e W и для каждого
-a<a* семейство непустых подмножеств множества X уже опре-
определено, причем так, что условия 1)—4) соблюдаются для всех
а, а', а"<а*.
Если элемент a*^W предельный, то через ^а. обозначим се-
семейство всех непустых множеств вида П{^«: a<a*}, где Аа.^!Ра.
.для каждого a<a*. Семейство еРа* дизъюнктно, вписано в Р»
при a<a* и
1<^«'КBТ = 2Т, так как | U {#>а : a < a'}|<2T- |Г|а.|<2х-т =
= 2\
Если элементу а* непосредственно предшествует в W,<
элемент а, то положим
см. формулу G). Очевидно,
Кроме того, [)<Ра*=Х, сРа* дизъюнктно и вписано в #*~.
Принцип построения по трансфинитной рекурсии (см. § 4
гл. 2) позволяет считать определение семейства {^»:aef}
завершенным.
Положим <§T=U{^«: ae=W}, #i-*{Ae=£: \A\-1) к Xi=\}8.
Имеем: \&1\<.\&\<21-т+<.2\ Значит, |Xi|<2* и Х\Х^0.
Зафиксируем x*^X\Xi. В силу 4) для каждого aeW мож-
можно выбрать Au<^fPa. так, чтобы было **еЛа. Из д;*^^ следует,
что |Ла|>1 при всех a^W. Отсюда вытекает, что если a'<a",
то
Л* 83

, (9)
см. условие 2) и формулы C), G). Положим
ха=с{Аа) при a<=W. A0)
В силу (9)
ха' Ф ха" при а' Ф а". A1
Следовательно, мощность множества
{
равна j W | =т+.
Пусть a<Pi и а<р2, где а, рь р2е№. Покажем, что тогда
, *Э,}). A2)
При p=min{pb p2} имеем: {xPl, *PJ а Лр. Из а<р следует, что
ЛрегЛ' для некоторого Л'е ула.\{*а}. В силу определения
семейства уд (см. также формулу F)) имеем
мы учли, что с(Аи)=ха.
Положим
$(а)=<?({ха, х,}), A4)
где р — любой элемент множества W_ такой, что а<р. Формула
A3) показывает, что от допущенного произвола в выборе р
определение г|з(а) не зависит. Мы получили отображение г|з:
W-+T. Так как | \Г|=т+>т=|Г|, существуют MczW и to<=T,
для которых \М|=т+ и гр(а) =^0 при всех аеМ.
Если а'¥=а" и а', а"<=М, то ф({ха-, ха"})~ /0- Действительно,,
можно считать, что a'<a", а тогда в силу формулы A4)
г0 = г|> (а') = ср ({*<*-, *a"}) = f0-
Значит, ф({х', x"})=ta для любых различных элементов мно-
множества Z={xa: а^Щ, причем |Z| = |Af|=T+, см. A0). Теорем»
доказана.
В книгах [6, 13, 4] даны многочисленные применения теоре-
теоремы 4.4.2.
Следующая теорема доказывается по той же схеме, что и
предыдущая, но с некоторым усложнением. Кроме того, мы опи-
опираемся на теорему 4.4.2.
4.4.3. Теорема. Пусть h — бесконечный кардинал, т=2\
X — множество, для которого \Х\>2Х, и Т — множество такое,
что |Г|<А,. Пусть, кроме того, дано отображение
где [Xf — множество всех подмножеств множества X, состоя-
состоящих в точности из трех элементов. Найдется тогда множества
такое, что \Z\>k и
для любых К, K'^[Zf={K<=[XY : KczZ}.
«4

Доказательство. Зафиксируем множество W мощности
т+ и порождающее вполне упорядочение < на W.
Для aeW будут определены дизъюнктные семейства &а
непустых подмножеств множества X с соблюдением условий:
2') если А' <= (fa', Л"е <?V и a'<a", то либо А"с=А', либо
ЛТИ
3*)
4*) и
Фиксируем функцию выбора с на ЕхрХ\{0}.
Пусть АаХ, АФ0 и BczX, B[\A=0.
Определим отношение эквивалентности £ на Л следую»
щим образом: x^Ly, если *=г/ или выполняются условия:
а) {x,y}czA\{c(A)},
б) ф(*, с (А), г)=ф(г/, с (Л), 2) для каждого геВ.
При фиксированном zeS условие б) разбивает множество
Л\{с(Л)} на не более чем \Т\=К попарно непересекающихся
подмножеств. Когда z пробегает все В, мы получаем (завися-
(зависящее от В) разбиение |(Л) множества Л\{с(Л)} на классы
эквивалентности £, причем число этих классов эквивалентно-
эквивалентности, очевидно, не превосходит к>в1: ||(Л) |«:А'В1. В частности,
если |5| <:т, то
\1{А) |<А,Т=2Т (так как А,<т). A5)
Перейдем к построению системы {Л:ае¥}. Положим ^0=
={Х), и пусть a^ef и для каждого a<a* дизъюнктное семей-
семейство &*„. непустых подмножеств множества X уже определено»
причем так, что выполняются для а, а', а"<а* условия 2*), 3*)
и 4*).
Если а* — предельный элемент в W,<, то через ff'a* обо-
обозначим семейство всех непустых множеств, представимых в ви-
виде П{Ла: а<а*}, где Аа^&> при а<а*.
Предположим теперь, что элементу а* непосредственно пред-
предшествует в W,< элемент а.
Возьмем любое А е S3^. В силу 2) при а<а в ^а есть ров-
ровно один элемент Аа, содержащий Л. ПоложимВл = {с(Ла) :a< a}.
Тогда \ВА\ ^ l^l-j 1^ т. Поэтому для разбиения |(Л)
множества Л\{с(Л)} на классы эквивалентности ^4 выполня-
выполняется формула A5):
Положим
Ясно, что семейство §>v дизъюнктно, состоит из непустых мно-
множеств, \]ё)а'=Х и !#>„.|<2Х-2Т = 2Т. Кроме того, <£*„. вписано
85

Определение семейства {Л:ае?} в соответствии с прин-
принципом трансфинитной рекурсии завершено.
Положим «r=U{^«:ae=lF}, gx=\Ass.g: |Л| = 1} и Хх=\&х.
Тегда |^>1|<|^>|<:2т-т+<2т. Значит, |Xi|^2T и Х\Х{¥=0.
Зафиксируем х*еХ\Хи а на основании условия 4*) выбе-
выберем для каждого oef множество Хе^ц так, чтобы было
х* Е X. Из x*&Xi следует, что |/C|>1 при всех
Отсюда получаем: если a'<a", то
Al.cz К>\с (/&■). A7)
Положим
ха = с(А*а) при aeW. A8)
В силу A7) имеем
Ха'ФХа' При ъ'фа*. A9)
Следовательно, мощность множества
Y={xa:a<==W}
равна \W\=r+.
Покажем, что если a'<a"<Pi и a'<a"<P2. то
Ч> ({*«', Ха», Хь}) = Ч({Ха-, Хос", ХE,}). B0)
Имеем: {х^, %}сгЛр, где P = min{p1, P2}. Из а" < 0 следует
теперь, что точки х$, и x$t лежат в одном элементе семейства
В"
£(Ла»), т. е., что xpt — х$„ где В" =ВлаГ Так как а' < а", имеем:
Ла»<=Ла' и, значит, Xa-efi.. . Пользуясь определением отноше-
отношена"
в
ния — (см. б)), получаем
Соотношение B0) доказано.
При всех a'<a", a', o"ef положим
, ^а", д:е}), B1)
где р — любой элемент множества W, для которого а"<р.
В силу формулы B0) определение г|з({*а'. *<*"}) не зависит
от произвола, допущенного при выборе peff7.
Тем самым определено отображение ty:[Y]2^"T. Так как
|У|=т+>т=2"' и |Т|<>,, по теореме 4.4.2 существует множество
ZczY, для которого |Z|>A, и
Для любых В', B"^[Zf. B2)
Покажем, что ф(/С') = ф(/С) для любых /С', K"<=[Z]3. Пусть
^С' = {ха„ -«a,, *oj и /С = {хв„ д:р„ XpJ (где хл определено форму-
формулой A8)). Можно считать, что a1<aa<a3 и рх<Ра<Рз- ^з
86

{*<*„ xa,}cZh {xPl, xp,}<= Zследует, что ф({*«„ *«,}) = ф({*Pt, *Pj}).
НО ф({*а„ *«,})= ф({ха„ Ха„ Ха,}) И ф({хэ„ %}) = Ф ({%, ЛГР„ *р,}).
Значит,.ф(^С/)=ф(/С//). Теорема 4.4.3 доказана.
Следующий результат, являющийся следствием теоремы
4.4.2, особенно хорошо приспособлен для применений в общей
топологии — в теории кардинальных инвариантов.
4.4.4. Следствие. Пусть т — бесконечный кардинал, X —
множество, \Х\>2Г и для каждого х^Х дадан предфильтр £*
на X так, что выполняются условия:
а) x^f\lx для всех
б) ||*| <т для всех
в) для любых различных xv x,gX найдутся Vr е |х, «
е %х, такие, что Уг П ^2 = 0 •
найдутся YcX и Vy^\y для каждого г/еУ такие, что
| У|>т и семейство {Vy : г/еУ} дизъюнктно.
Доказательство. Зафиксируем множество Т мощности
т. В силу б) Т можно отобразить на g* при хеХ. Значит, семей"
ство \х можно представить в виде:
& = {К?:*е Г}.
Для каждого двухэлементного множества {х, у}е[Х]2 выберем
t, s&T так, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:
V'ПVй, = 0 и V'{\Vvt = 0, и положим Ф({х, у}) = (t, s).
Этим определено отображение ф: [Х]2-*-ТхТ. Имеем:
\ТхТ\ = \Т\=х. По теореме 4.4.2 найдутся YczX и (t*, s*)s
ТТ такие, что |У|>т и ф({*, #}) = (**, s*) для всех {^, г/}е
По определению ф для любых различных х, y&Y либо
Vxt. П Vft. = 0, либо V£П ^ = 0.
Для каждого jcey возьмем на'основании того, что \х — пред-
предфильтр, элемент Wx^lx такой, что
Очевидно, имеем теперь
Wx(]Wy = VI» П V?. Г) VT. П ^ = 0
для любых различных д: и у из У.
Приведем в заключение этого параграфа общий результат,
охватывающий теоремы 4.4.2 и 4.4.3.
Пусть % — бесконечный кардинал и reN. Положим
ехр°(т)=т и определим ехрг(т) по индукции формулой
ехр*+1 (т) =ехр (ехр* (т)).
Для произвольного множества X и любого feeN через [Х]ь
87

будет обозначаться множество всех подмножеств множества X,
состоящих ровно из k элементов.
Обозначим через У (г, т) следующее утверждение.
Пусть X и Т — множества такие, что |Х|>ехрг(т) и |Г|<:т.
Тогда для каждого отображения <р: [Х]г+1-*-Т найдется YcX
такое, что |У|>т и ф(/() =ф(#') для всех К, K'f=[YY+K
4.4.5. Теорема. Утверждение <У(г, х) верно для каоюдого
бесконечного кардинала х и каждого reN.
Доказывается теорема 4.4.5 по индукции, при этом рассужде-
рассуждение почти полностью повторяет вывод теоремы 4.4.3 из теоре-
теоремы 4 4 2 [13].
§ 5. Деревья
Деревья — особый вид упорядоченных множеств. Они вопло-
воплощают фундаментальную идею ветвления.
4.5.1. Определение. Упорядоченное множество Т„< на-
называется деревом, если для каждого хеГ множество Гж=
={у^Т: у<х) всех предшествующих х в Т,< элементвв вполне
упорядочено отношением <.
Произвольное вполне упорядоченное множество является
деревом.
Если а — ординал и 7\< — дерево, то множество всех х^Т,
для которых порядковый тип множества Т\х,< равен а, назы-
называется а-м уровнем дерева Т,<.
Есл-и множество Т ординарно и а — ординал, норма которо-
которого равна Ехр Т, то а-й уровень дерева Т,<, очевидно, пуст.
В дальнейшем рассматриваются только такие деревья Т,<, для
которых Т ординарно, и наименьший ординал а, для которого
а-й уровень дерева Т,< пуст, называется высотой дерева Т,<
и обозначается через h(T).
Левые лучи дерева называются его поддеревьями. Таки>1 об-
образом, множество Т'сТ является поддеревом дерева Т,<, если
из леГ, у^Т и у<х следует, что у^Т'.
Множество РсТ назовем сквозным путем в дереве Т,<,
если Р линейно упорядочено отношением < и из каждого непу-
непустого уровня дерева Т в Р входит один элемент.
В деревьях, высота которых является непредельным ордина-
ординалом, есть сквозной путь — это очевидно. Однако сквозной путь
есть не во всех деревьях. Это связано с тем, что максимальная
цепь дерева может не быть в нем сквозным путем, хотя, разу-
разумеется, каждый сквозной путь является максимальной цепью
дерева.
Простейший пример бесконечного дерева таков.
4.5.2. Пример. Рассмотрим множество S всех конечных
последовательностей из нулей и единиц: условимся при этом,
что последовательность Si предшествует последовательности s2,
если Si¥=s2 и s2 является продолжением S\. Очевидно, S,< -
88

дереве высоты и, где и — порядковый тип натурального ряда,
причем S счетно, а все уровни дерева S,< конечны.
В S,< есть много сквозных путей; каждый из них имеет вид
{/|n:rtsN}, где f:N->{0, 1} — произвольная бесконечная после-
последовательность из нулей и единиц и f\n — последовательность из
первых п членов последовательности /. Отсюда следует, что
множество веех сквозных путей в S, < равномощно множеству
{О, 1}N, т. е. мощность его равна 2N°.
К множеству S присоединим множество {О, 1}N всех беско*
нечных последовательностей из нулей и единиц. Полученное
множество S упорядочим так: на 5 — порядок прежний, элемен-
элементы из {О, 1}N друг с другом несравнимы и g<f, где g^S и.
/е{0, 1}N, если g=f\n для некоторого neN, f. е. последова-
последовательность f продолжает g.
Получилось дерево S,< высоты со+1; его со-уровень есть
{О, 1}N и |S| = |{0, 1}N|=2N\
4.5.3. Пример. Обозначим через Si множество всех строго
убывающих конечных последовательностей натуральных чисел.
Таким образом, для seSi имеем: s@)>s(l)>sB)>... . Возь»
мем на Si порядок по включению: если Si, s2eSi, то Si<s2 оз-
означает, что s^S2 и S2 является продолжением si. Очевидно, вы»
сота дерева Si равна со, но в Si нет сквозных путей, так как не
существует бесконечных строго убывающих последовательно-
последовательностей натуральных чисел.
4.5.4. Теорема (Кёниг). Если высота дерева Т равна со и
каждый уровень дерева Т конечен, то в Т существует сквозной
путь.
Доказательство. Обозначим через Тп я-й уровень дере-
л
ва Т. Множество Н Т,- конечно, а множество Т бесконечно,
1=0
п
так как й(Г)=со. Значит, бесконечно и множество ^\U ?V
«=о
Поэтому для каждого neN непусто множество Тп всех хеГя»
для которых бесконечно множество {у^Т : х<у).
В упорядоченном подмножестве ljfn, < дерева Т, < возьмем
сквозную цепь С Множество С, очевидно, бесконечно; пополняя
его до левого луча в Т,<, мы получаем сквозной путь в Т,<.
Пусть т — бесконечный кардинал. Дерево Т называется
х-деревом, если высота его равна наименьшему ординалу нор*
мы т и мощность каждого уровня меньше, чем т.
Если кардинал т регулярен и т-дерево Т не имеет сквозных
путей, то Т называют х-деревом Ароншайна. Теорема Кёнига
4.5.4 означает, что &о-деревьев Ароншайна не существует. На-
Напротив, Н i-деревья Ароншайна существуют, см. теорему 4.5.6.
4 5.5. П р и м е р. Пусть а — произвольный ординал и Л —
любее множество. Построим полное дерево высоты а над А
следующим образом. Для каждого ординала р<а обозначим
89

через iA множество всех отображений s: OrdB-wl, где Ordp —
множество всех ординалов, меньших р. Положим
}. A)
Упорядочим <<M:s1<s2, где stepM и saepM, в том и толь-
только том случае, если Pi<P2 и отображение S2 является продол-
продолжением отображения su Получившееся дерево <аА, < назы-
называется полным деревом над А высоты а. Если А={0, 1}, то <аА—
полное бинарное дерево высоты а.
Часто деревья строятся путем выбора подходящего мно-
множества Т в дереве <аА; так мы поступаем ниже при построении
N i-дерева Ароншайна.
4.5.6. Теорема. Существует Н ^-дерево Ароншайна.
Доказательство. Мы пользуемся обозначениями из
примера 4.5.5. В качестве множества А возьмем натуральный
ряд N, а в качестве ординала а — первый несчетный ординал
«см и рассмотрим полное дерево <A)'N = \j {<PN : fi< coj.
Возьмем для p<coi множество T^c^N всех инъективных отобра-
отображений множества Ordp в N.
Множество T=[){Tt: p<coi} с упорядочением из <(BlN яв-
является деревом высоты соь так как каждый счетный ординал
можно инъективно отобразить в N. Однако сквозных путей в
дереве Т нет: каждый такой путь отвечал бы инъективному
отображению несчетного множества W в счетное множество N.
Но в Т есть, очевидно, несчетные уровни. Выделим подхо-
подходящее подмножество множества Т.
Для p<coi и s, ^epN положим s~t, если отображения
s:OrdB->-N и £:Ord|s->-N отличаются лишь на конечном множе-
множестве точек.
По трансфинитной индукции вдоль Ordax будут определены
sae"N для всех a<coi таким образом, что:
(i) отображение sa: Ord«->N инъективно;
(ii) если a<p<coi, то
(iii) множество N\sa(Orda) бесконечно.
Если такое семейство {sa : a<coi} уже построено, то положим
T'a = {t<~Ta:t~sa}, B)
Т* = U {К: a < со,}. C)
Очевидно, Т* — дерево высоты аи и Г„— a-й уровень этого
дерева. Так как a — счетный ординал, множество Га счетно.
Из ЛG")=а>1 и Т*аТ следует, что в Т* нет сквозных путей, так
как их нет в Т. Таким образом, Т* — Ягдерево Ароншайна.
9%

Осталось построить s«^aN для всех a<a>i так, чтобы соблю*
дались условия (i) —(iii).
Полагаем so=0. Если sa определено, возьмем любое
neN\sa(Orda) и определим sa+i ■ Orda+i-^N так: sa+i(a)=n и
()()
P Р P
Предположим теперь, что sa определены для всех а<у, где
Y<coi, y ~~ предельный ординал. Зафиксируем последователь-
последовательность {an:neN} ординалов такую, что an<an+i<Y и
sup{aa} = Y. T-e. (j{Ordan: neNJ^Ordj,. Положим ^ = 8^.
ft £N
ft
Не составляет труда определить по индукции отображения
tn: Ordan-»- N так, чтобы все они были инъективными, tn+\ про-
продолжало tn и выполнялось условие:
fn~San для всех ueN,
Определено тогда и отображение t: OrdT-»-N, для которого
dn== tn при всех «eN. Отображение t инъективно и
sa~^|Orda для всех а<\, это очевидно. Однако множество
N\^(OrdT) может оказаться конечным (и даже пустым). В свя-
связи с этим примем за sT не само отображение t, а его некоторую
модификацию. А именно, положим sr(x)=t(x) для всех х<у
таких, что х^{а„: «eN}, и положим sT(an)=/(a2n) для всех
«eN. Очевидно, отображение sT:OrdT->-N инъективно и
N\sT(OrdT)r>{i!(a2n+i) : neN} — бесконечное множество. Теоре-
Теорема 4.5.6 доказана.
Антицепью в упорядоченном множестве Т,< называется лю-
любое его подмножество А, состоящее и* попарно несравнимых
элементов: каковы бы ни были х, у^А, ни одно из условий.
х<у и у<х не выполняется.
Пусть т — бесконечный кардинал.
4.5.7. Определение. Дерево Т называется х-суслинским,
если \Т\=х и мощность каждой цепи и каждой антицепи в Г
строго меньше, чем т.
4.5.8. Предложение. Если г — регулярный бесконечный
кардинал, то каждое х-суслинское дерево Т является х-деревом.
Доказательство. Каждый уровень Ua дерева Т являет-
является антицепью; поэтому |(/а|<т для каждого aeOrd. Если
иаФ0, то для x<=Ua имеем: |{г/еГ: г/<л:}|=||а||=т, так как
: у<х) — цепь.
Таким образом, T=\j{Ua : aeOrd,}, где 0rdT={ae0rd : Ца||<
<т}. Если Up—0 для некоторого р, где р<т, то получаем: Т—
=11{£Л»: а<р}. Так как число слагаемых зДесь меньше, чем т, в
\Ua\<x для всех а<р, получаем противоречие с тем, что х—
— \Т\ — регулярный кардинал. Следовательно, высота дерева
Т равна в точности первому ординалу мощности т.
4 5.-9. Предложение. Пусть Т — дерево, высота которо*
го — наименьший ординал мощности х.
Тогда следующие утверждения равносильны:
91

а) в Т есть сквозной путь;
б) в Т есть цепь мощности т.
Доказательство. Наименьший ординал мощности т мы
обозначаем тоже через т. Имеем: T=\J{Ua: а<х}, где Ua — а-й
уровень дерева Т. Если Р — сквозной путь в Т, то каждому
«<т отвечает ровно один элемент ра уровня a: P(]Ua={pa}.
Значит, |P| = |{<z<=Ord':a<T}|=T, т. е. Р - цепь мощности т.
Обратно, так как каждая цепь С в Г с каждым уровнем Ua пе-
пересекается не более чем по одному элементу, из |С|=т следу-
следует, что множество {а: а<т и С[}иа^0} конфинально ординалу
т. Тогда множество С={/еГ: существует с^С, для которого
t<c} — сквозной путь в Т.
Из предложений 4.5.8 и 4.5.9 вытекает
4.5.10. Предложение. Пусть х — регулярный кардинал.
Тогда каждое х-суслинское дерево является %-деревом Арон-
шайна.
Обратное не верно. Мы видели (теорема 4.5.6), что Ы(-дере-
во Ароншайна существует. Однако не противоречит обычным ак-
аксиомам теории множеств считать, что не существует Я гсуслин-
ских деревьев (Йенсен, см. [4, 18]). Нельзя доказать «наивно»,
что существует Ы2-дерево Ароншайна (Митчелл, см. [4, 18]).
Однако из континуум-гипотезы можно вывести, что такое дере-
дерево есть. Совместимо с обычными аксиомами теории множеств
считать, что т-деревья Ароншайна существуют для всех не-
несчетных регулярных кардиналов т, не являющихся сильно недо-
недостижимыми; здесь привлекается аксиома конструктивности
{4, 18].
Существование N гсуслинских деревьев равносильно сущест-
существованию континуума Суслина [4, 12, 18].
Тонкие вопросы связаны с понятием х-дерева Курены. Так
называется, для регулярного кардинала т, любое т-дерево, в ко-
котором имеется по крайней мере т+ различных сквозных путей.
Например, ординал т является т-деревом, но не является
т-деревом Курепы — в нем есть только один сквозной путь.
Гипотеза Курепы КН заключается в следующем: существует
Ы i-дерево Курепы. Ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть с
помощью обычных аксиом теории множеств [18, 16]. Напротив,
М о-деревья Курепы существуют — таково, например, полное
бинарное дерево высоты Ыо.
С понятием т-дерева Курепы тесно связано понятие т-семей-
ства Курепы.
Семейство SF подмножеств множества X называется х-семей-
ством Курепы, если |^|=т — регулярный кардинал, |^"|>т+
и для каждого YczX такого, что |У|<т мощность семейства
&~y={A[\Y: А^&") меньше, чем т.
4.5.11. Теорема. Пусть х — регулярный бесконечный кар-
кардинал. Тогда х-дерево Курепы существует в том и только том
случае, если существует х-семейство Курепы.
Доказательство. Пусть Т — т-дерево Курепы и 2Г —
92

множество всех его сквозных путей. Имеем: |#"|>т+- и |7"|=т.
Покажем, что для произвольного XczT такого, что |Х|<т, мощ-
мощность семейства &"Х={А()Х: Ле^"} меньше, чем т.
Так как кардинал т регулярен и мощность каждого уровня
Up дерева Т меньше, чем т, найдется ординал а*<т, для кото-
которого Xcz\j{Uf: р<а*}. Возьмем любое Л *<=#". Имеем:
Af\Ua>={t} для некоторого <е£/<*•• Тогда А(]Х=
{Х: x<t}. Следовательно, мощность семейства ЗГХ={АГ\Х:
} не превосходит мощности множества £/«•, т. е. \&~х\<%.
Обратно, пусть 9~ — т-семейство Курепы на множестве X
мощности т. Зафиксируем порождающее вполне упорядоченное
на X. Для каждого х^Х и каждого Ле^" возьмем на множест-
множестве Хх={у^Х: у<х} характеристическую функцию /л,* множест-
множества Ах={у<=А:у<х}: fAiX(y) = \ при у^Ах и /л,*(г/)=О при
у^Хх\Ах. Множество Г={/л,*: Ле#", х^Х} упорядочим по
принципу продолжения:
/л\*" < !а\к", если х' < х" и Ах, с: А*.
Очевидно, получилось дерево 7\<С, являющееся т-деревом
Курепы; сквозных путей в этом дереве не меньше, чем элемен-
элементов в семействе &~.
§ 6. Замкнутые неограниченные множества '
и стационарные множества
Всюду далее в этом параграфе W — несчетное множество
регулярной мощности, т, < — порождающее вполне упорядоче-
упорядочение на If и для каждого x^W Wx={y^W:у<х}. Если AczW и
А ограничено в W,<, то sup Л — наименьший элемент х множе-
множества W, для которого у<х при всех у^А.
Множество CczW назовем замкнутым, если для всякого
такого, что C(]WX не ограничено в Wx,<, непременно
. Особенный интерес представляют замкнутые неограничен-
неограниченные в W,< множества — интуитивно их следует воспринимать
как «большие» множества, как множества «меры 1». Об этом
свидетельствует, в частности,
4.6.1. Предложение. Пусть т]={Ср: реЛ} — семейство
замкнутых неограниченных множеств в W, < и ^|<t=|W].
Тогда Р=П{С'р: Р^Л} — замкнутое неограниченное множество в
W,<.
Доказательство. Очевидно, множество Р замкнуто.
Проверим, что оно не ограничено. Для каждого реЛ возьмем
отображение f^-.W-^-W, где f({x) — наименьший элемент мно-
множества Сй, больший, чем х для всех x^W. Положим g(x) =
=sup{fi(x) : реЛ}. Так как \А|<| W\=x и т — регулярный кар-
кардинал, определение отображения g : W-+W корректно.
Определим теперь по индукции h(x, п) для всех x^W и
всех neN следующим образом: h(x, 0)=x и h(x, n+l) =
93

g(( я)). Зафиксируем xeW и положим x*=sup{h(x, п) :
n<=N} — это определение корректно, так как в W,< нет счет-
счетных конфинальных подмножеств. Очевидно, х<х*. Множество
C&OWX* не ограничено в Wx> при всех реЛ — это следует
из построения. Так как все Св замкнуты, заключаем: x*sCt
для каждого ВеЛ, т. е. х* е П Са — Р. Мы доказали, что
множество Р не ограничено в W,<.
Продолжая аналогию с теорией меры, мы определим стацио-
стационарные подмножества в W как те, «мера» которых не равна
нулю. Точнее, назовем множество SaW стационарным (в W,<),
если W\S не содержит никакого замкнутого неограниченного-
множества, т. е. если Sf\C=0 для каждого замкнутого неогра-
неограниченного множества С.
Из предложения 4.6.1 вытекают следующие два утвержде-
утверждения.
4.6.2. Предложение. Объединение семейства мощности:
меньшей, чем т нестационарных множеств в W, является неста-
нестационарным множеством.
4.6.3. Предложение. Если S — стационарное множество'
в W и С — замкнутое неограниченное множество в W, то мно-
множество Sf[C стационарно.
Следующее утверждение играет важную роль во многих
комбинаторных рассуждениях.
4.6.4. Теорема (Фодор). Пусть S — стационарное множе-
множество в W и f:S-*-W — такое отображение, что f(a)<a для всех
aeS. Тогда найдется aeW, для которого множество }~1{а),
стационарно.
Доказательство. Предположим противное. Тогда для^
каждого aeW найдется замкнутое неограниченное множество-
Са такое, что a&fiC^S). Положим £» = {§^W:pe П Са}.
«О
Если Pi^DflS, то для ai=/(Pi) имеем: ai<pb PieCa, и, значит,
ах е f(C<x,(]S), в противоречии с определением Са. Следова-
Следовательно, DflS=0. Однако множество D замкнуто — это проверя-
проверяется тривиально. Покажем, что множество D не ограничено в
W, чем будет достигнуто противоречие со стационарностью 5.
Зафиксируем произвольно xo^W и возьмем в качестве хп+\
любой элемент множества {]{Са: а<хп), больший, чем хп (в силу
предложения 4.6.1 множество (]{Са:а<хп} не ограничено).
Ясно, что sup {хп: neN}eO, т. е. во множестве D есть элемент,
больший, чем Хо. Теорема доказана.
4.6.5. Следствие. Пусть S — стационарное множество в
W. Не существует тогда инъективного отображения /:S->-W
такого, что /(a)<a для всех S
Предположим теперь, что | |
4.6.6. Теорема (Улам). Если множество SczW стационар-
стационарно, то S можно разбить на Я i попарно непересекающихся ста-
стационарных множеств.
94

Доказательство. При каждом aeW зафиксируем не-
некоторое отображение fa множества N на множество Wa—
={£<=№: Р<а}. Положим при aeW и «eN:
При любом neN семейство {Aan:a^W} дизъюнктно. Для
каждого asW, очевидно, имеем [} Л£ = {Eе №:a< p}f|S—
стационарное множество. Поэтому в силу предложения 4.6.2
множество Х^ будет стационарным при некотором naeN.
Выберем n*eN так, чтобы множество
: па=п*} было несчетным.
Семейство {А& юе^}— искомое.
Мы видим, что стационарные множества предфильтра не
образуют.
Напомним, что cf(Wa,<) есть минимум мощностей конфи-
нальных Wa,< подмножеств. Для aeW положим cf(a) =
=cf(Wa,<).
Следующее утверждение доставляет нам важные примеры ста-
стационарных множеств.
4.6.7. Предложение. Пусть к — регулярный бесконеч-
бесконечный кардинал, X<x=\W\. Тогда множество SK={a^W: cf (a)=X,)
стационарно.
Доказательство. Пусть С — произвольное неограничен-
неограниченное множество в W,<. Так как cf(x)=x>\, |С|>Я. Найдется
тогда xgC, для которого |{г/еС:у<х}\=К. Обозначим через с*
первый элемент множества С такой, что \{у^С:у<с>}\=к.
Ясно, что cf(cK)=%, т. е. cK^Cf]Sk.
4.6.8. Пример. Если Ы]<т, то S«, и Sn, (см. 4.6.7) — не-
непересекающиеся стационарные множества в W.
В доказательство следующей теоремы понятие стационар-
стационарного множества и теорема 4.6.4 играют существенную роль.
4.6.9. Теорема (Курепа). Пусть Т,< — дерево высоты Ы2
(т. е. высота Т равна первому ординалу нормы Яг)» все уровни
которого счетны.. Тогда в Т,< есть сквозной путь.
Доказательство. Пусть Та—a-й уровень дерева Т. Мно-
Множество S={aeOrd: a<Ht и c/(a)=H,} стационарно в ё
в силу предложения 4.6.7. Для каждого aeS выберем
произвольно. Найдется sa<k, для которого
в противном случае по индукции вдоль Ord«, в Та строится
несчетное множество (здесь используется предположение, что
S) Через q>(a) обозначим порядковый тип множества
:t<sa}. Из Sa<ta^Ta следует, что tp(a)<a для всех S
Мы получили отображение (p:5-»-OrdN2-
95

По теореме 4.6.4 найдутся p<N2 и стационарное множество
А в Огс1ц2> AaS, для которого ф(а)=р при всех аеЛ. Имеем
тогда: sae7f для всех а^А. Так как множество Гв счетно, су-
существуют s^T и множество BczA такие, что |5|=Кг и sa=s
для всех а^В. Из условия A) следует теперь, что множество
C={ta:a<=B} является цепью в 7\< мощности Нг- Тогда мно-
множество всех te7", меньших хотя бы одного элемента из С, яв-
является сквозным путем в Г,<.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Часть I
1. Покажите, что если множества А и В равномощны, то
\А\ = \В\.
2. Пусть А — конечное множество ил — число элементов в
А. Каково число элементов в ЕхрЛ?
3. Приведите пример непустого множества, все элементы
которого являются подмножествами этого множества.
4. Докажите, что множество А конечно в том и только том
случае, если каждое линейное упорядочение на А является
вполне упорядочением.
5. Пусть X, < — вполне упорядоченное множество. При Х\,
х2^Х положим xi<^2, если х2<х:. Покажите, что <^ — вполне
упорядочение в том и только том случае, если множество X ко-
конечно.
6. Пусть X — бесконечное множество. Покажите, что сущест-
существует множество YczX, для которого \Х\ = | Y\ = \X\Y\.
7. Пусть множество X несчетно, а его подмножество А счет-
счетно. Покажите, что |Х\А \ = \Х\.
8. Докажите, что множество Q всех рациональных чисел
счетно.
9. Покажите, что множество Р всех иррациональных чисел
равномощно множеству R всех вещественных чисел.
10. Покажите, что счетно множество всех интервалов на R с
рациональными концами.
11. Покажите, что счетно множество всех полиномов от ко-
конечного числа переменных с рациональными коэффициентами.
12. Назовем восьмеркой множество точек двух касающихся
внешним образом окружностей, радиусы которых могут быть
различны. Покажите, что любое множество попарно непересе-
непересекающихся восьмерок, лежащих на фиксированной плоскости,
счетно.
13. Пусть f:X-+Y—отображение, АаХ и BaY. Покажите,
что f(A(]f->В) =f(А)Г)В.
14. Пусть {Si: ieN}— последовательность непустых конеч-
конечных множеств Si и при каждом ieN задано отображение ф:
: Si+i-+Si. Покажите, что можно выбрать a^St так, чтобы при
всех teN было: фг(аг-+1) =а{.
15. Докажите, что если каждое счетное подмножество линей-
линейно упорядоченного множества X вполне упорядочено, то и все
множество X вполне упорядочено.
1 Звездочкой отмечены более трудные задачи, индексом ° — задачи, до
конца не решенные.
97

16. Пусть X — бесконечное множество и |Х|=т. Покажите,
что множество X можно представить в виде: X=[){Xa:a^A}t
где |Л|=т, |Ха|=т при всех аеЛ и Ха-(]Ха" — 0 при а'Ф
фа", а', а"<=А.
17. Пусть А, < — вполне упорядоченное множество. Опреде-
Определим упорядочение <С на квадрате АхА следующим образом.
Пусть (хи yi), {х2, у2)<=АхА. Если max{xb yi}<max{x2, y2},
то полагаем (хи У\)<(х2, у2). Пусть max{x1( yi} = max{x2, y2}.
Положим (хи z/i)<(*2, у2), если х\<х2 либо если Х\=х2 и #i<
<у2-
Докажите, что ЛхЛ,< — вполне упорядоченное множество.
Оно называется канторовым квадратом упорядоченного множе-
множества А, <.
18. Пусть N, < — натуральный ряд. Покажите, что канторов
квадрат NxN,<c множества N, < подобен N, < (см. № 17).
19. Пусть А — бесконечное множество, <—порождающее
вполне упорядочение на Л и ЛхЛ,<С— канторов квадрат (см.
№ 17) множества Л, <. Покажите, что вполне упорядочение
<С— порождающее на АхА.
20. Покажите, что канторов квадрат бесконечного вполне
упорядоченного множества Л,< подобен А, <, если < — по-
порождающее вполне упорядочение [6, гл. I, № 55].
21. Верно ли, что если X и т — кардиналы и Кт, то 2Я<2Т?
22. Пусть X и т—кардиналы, X<cf(x) и кардинал т — пре-
предельный. Покажите, что тогда
тя=2{цл:ц<т} [6, гл. I, № 111].
23. Покажите, что множество R нельзя представить в виде
объединения счетного семейства множеств меньшей мощности.
24*. Пусть ^ и \ч — фильтры на множествах Х\ и Х2 соответ-
соответственно. Скажем, что gi и £2 эквивалентны, если существует би-
екция f :Xi-^X2, для которой fli = h, т. е. b = {f(A) :Ле^}.
Покажите, что существуют неэквивалентные свободные уль-
ультрафильтры на множестве N [6, гл. I, № 145].
25. Существует ли несчетная цепь множеств на множест-
множестве N?
26. Пусть k и п — натуральные числа и X — множество из п
элементов. Сколько имеется в X подмножеств, состоящих ров-
ровно из k элементов?
27. Проверьте, что для любых двух множеств А и В
28. Проверьте, что для любых множеств А, В, С и D
(А[]В) X (C[}D) == (AxC)ft(BxD).
29. Покажите, что если Л, В, С — «епустые множества и
{АХВ)[)(ВХА)=СХС, то А = В = С.
30. Пусть А, В, С и D — множества такие, что СаА, BaD
и C[]D~C. Покажите, что тогда Ли#~Л.
31. Пусть Ох и Оу — оси декартовой системы координат на
93

плоскости И и ЛсП, А— счетное множество. Покажите, что*
множество А можно представить в виде:
А = В\]С,
где В пересекается с каждой прямой, параллельной оси Ох, па
конечному множеству, а С пересекается с каждой прямой, па-
параллельной оси Оу, по конечному множеству.
32. Докажите, что мощность множества всех' вещественных
функций на множестве R равна 22No.
33. Докажите, что множество мощности 2No имеет 22*° раз-
различных подмножеств мощности 2No.
34. Пусть X — множество мощности т, ZczX, \Z\=% ир,-
кардинал такой, что Х<ц<х. Докажите, что найдется множест-
множество УсгХ, для которого ZczF и | Y\ =\x.
35. Покажите, что существует семейство мощности Ыш=
— sup Nn, состоящее из конечных множеств, никакое подмноже-
n€N
ство которого мощности Я ш не является Д-системой.
36. Покажите, что если кардинал т^Ыо сингулярен, то су-
существует т-суслинское дерево.
37*. Пусть W, < — вполне упорядоченное множество, AaW
и x^W. Точку х назовем точкой прикосновения множества А
(и напишем: хбА), если в /Гсуществует непустое подмножест-
подмножество В такое, что х — наименьший элемент множества W, для ко-
которого у^х при всех z/efi. Множество А назовем замкнутым в
W, <, если оно содержит все свои точки прикосновения.
Пусть x = cf(W)—минимум мощностей конфинальных под-
подмножеств в W, <. Покажите, что если т>Ыо, то пересечение
любого семейства мощности <т замкнутых неограниченных
подмножеств множества W, < является замкнутым неограни-
неограниченным в W, < множеством.
38. Пусть W, < — вполне упорядоченное множество и т=
= cf(W)t>to0 (см. № 37). Подмножество XczW называется ста-
стационарным (в W, <), если оно пересекается с каждым замкну-
замкнутым неограниченным подмножеством множества W, т. е. если
дополнение к X не содержит никакого замкнутого неограничен-
неограниченного множества.
Покажите, что если W=\j{Xa : aeAf}, где \М\ <x=cf (W), то
хотя бы одно из множеств Ха стационарно.
39. Пусть т—регулярный кардинал и Т — дерево высоты т
(здесь т — первый ординал нормы т). Предположим, что суще-
существует кардинал Кт такой, что мощность каждого уровня де-
дерева Т меньше, чем %. Тогда в Т есть сквозной путь.
40. Назовем дерево Т ветвистым, если каково бы ни было
хеГ множество {j/еГ : х<у) не является цепью, т. е. нелиней-
нелинейно упорядочено.
Покажите, что каждое ветвистое №гдерево, в котором все
антицепи счетны, является N i-суслинским деревом.
99

41*. Пусть Р, <—упорядоченное множество такое, что в
каждом семействе {xi,...,xn+1}, состоящем из элементов мно-
множества Р, найдутся хи хи где 1Ф\, для которых либо х{<х,,
Либо Xj<X{.
Покажите, что множество Р можно представить в виде объ-
объединения п линейно упорядоченных (отношением <) подмно-
подмножеств.
42*. Пусть Р, < — бесконечное упорядоченное множество,
все антицепи в котором конечны. Покажите, что в Р, < сущест-
существует бесконечная цепь.
43°. Пусть Р,< — несчетное упорядоченное множество, в
котором все антицепи конечны. Верно ли, что в Р есть несчет-
несчетная цепь?
44°. Пусть Р, < — несчетное упорядоченное множество, каж-
каждое несчетное подмножество которого содержит бесконечную
цепь. Верно ли, что вР,< есть несчетная цепь?
45. Сколько различных линейных упорядочений существует
на множестве мощности 2No?
Часть II
Задачи этой части относятся к кардинальным инвариантам
топологических пространств. Они могут служить введением в
общую топологию. С тем чтобы обеспечить замкнутость изло-
изложения, мы определяем ниже ряд основных понятий общей топо-
топологии— при решении большинства задач, не помеченных звез-
звездочкой, можно обойтись этим минимумом материала. Дальней-
Дальнейшие сведения по общей топологии читатель найдет в [6; 7].
Пусть X — некоторое множество. Семейство &~ его подмно-
подмножеств называется топологией на X, если Х^3~, 0ej", пересе-
пересечение любого конечного числа элементов семейства Э~ принад-
принадлежит 3~ и объединение любого множества элементов из 3"
принадлежит У.
Топологическое пространство X, £Г — это множество X вме-
вместе с некоторой топологией Э~ на X. Обычно пространство X, ЧГ
обозначается просто через X. Элементы топологии Э~ называ-
называются открытыми, в пространстве X множествами.
Пусть Х=(Х, ST)—топологическое пространство.
Замкнутыми в пространстве X множествами называются до-
дополнения до открытых множеств, т. е. множества вида X\U,
где U^T. Окрестностью точки хеХ (множества АсХ) в X на-
называется любое открытое множество, ее содержащее (содержа-
(содержащее А). Если х^Х, АаХ и каждая окрестность Ох точки х пе-
пересекается со множеством А, то говорят, что х является точкой
прикосновения множества А, и пишут: хбА. Множество всех то-
точек прикосновения множества А<^Х называется замыканием
множества А в пространстве X и обозначается через А. Множе-
Множество А замкнуто в том и только том случае, если А=А. Очевид-
100

но, Аса. Легко проверяется, что замыкание множества А все-
всегда является замкнутым множеством.
Точка х пространства X называется изолированной, если
{л;} — открытое множество, т. е. если {х}^Т. Пространство А'
называется дискретным, если все его точки изолированные.
Равносильное последнему условие: все множества открыты в X.
Семейство ЗВ подмножеств множества X называется базой
пространства X, 3", если 38с&~ и каждое открытое в X множе-
множество можно представить в виде объединения некоторого семей-
семейства множеств, принадлежащих 3S.
Базой пространства X в точке х^Х называется любое-семей-
любое-семейство у окрестностей этой точки, удовлетворяющее условию: ка-
какова бы ни была окрестность Ох точки х, найдется i/&v такое,
что x^UczOx.
Сетью пространства X называется любое семейство S под-
подмножеств множества X такое, что для каждой точки хеХ и
каждой ее окрестности Ох найдется P^S такое, что x^PczOx.
Очевидно, база пространства — это сеть этого пространства,
состоящая из открытых множеств.
Множество АсХ называется всюду плотным в пространстве
X, если А = Х.
Семейство y непустых открытых множеств называется п-ба-
зой пространства X в точке х, если каждая окрестность точки х
содержит некоторый элемент семейства у. Если у является п-ба-
зон пространства X в каждой его точке, то у называется п-ба-
зой пространства X.
Симметрикой d на множестве X называется неотрицатель-
неотрицательная вещественная функция d : XXX-»-R, удовлетворяющая ус-
условиям: 1) d(x, у)=0 <=> х = у и 2) d(x, y)=d(y, x) для всех х,
^еХ Если выполняется еще и неравенство треугольника:
3) d{x, z)<d(x, y)+d(y, z) для всех х, у, z^X, то снмметрика
d называется метрикой на X.
Пусть d—симметрика на X. Число d(x, у) называется рас-
расстоянием между точками х, i/eX.
Расстоянием от точки хеХ до множества АаХ в X, d назы-
называется число d(x, A)=M{d(x, у) : у^А).
Симметрика d порождает топологию £Td на множестве X по
правилу: множество UczX открыто в X, если для каждой точки
jc^U расстояние d(x, X\U)>0. Очевидно, множество АаХ за-
замкнуто в пространстве X, &~d в том и только том случае, если
d(x, Л)>0 для всех х^Х\А.
Естественные топологии на множествах возникают не толь-
только в связи с понятием расстояния.
Пусть X, <—линейно упорядоченное множество, в котором
нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Для любых а,
Х положим (а, Ь) ={х^Х: а<х<Ь}.
Множество (а, Ь) называется интервалом в X, < с концами
а и Ь.
Определим топологию ^"< на X так: множество UczX от-
101

крыто в том и только том случае, если оно является объедине-
объединением некоторого семейства интервалов (а, Ь). Семейство 3&=
= {(а, Ь) :а, Ь^Х) образует базу пространства X, д~<.
Пусть X, 3~—топологическое пространство. Если на X су-
существует метрика d такая, что порожденная ею топология 3~&
совпадает с 2Г, то пространство X, 3~ называется метризуемым.
Если на X существует линейное упорядочение <, для которого-
&~<=&~, то пространство X, 3~ называется линейно упорядо-
упорядоченным пространством.
Открытое покрытие пространства X — это семейство y от"
крытых в X множеств, для которого Uy=-^-
Пространство X компактно, если из каждого открытого по-
покрытия пространства X можно выделить конечное покрытие.
Пространство X финально компактно, если из каждого от-
открытого покрытия пространства X можно выделить счетное по-
покрытие.
Пространство X счетно компактно, если из каждого счетного-
открытого покрытия этого пространства можно выделить конеч-
конечное покрытие.
Семейство \a={Ua :<хеЛ} подмножеств топологического про-
пространства X называется локально-конечным (дискретным) в X,
если у каждой точки х^Х есть окрестность Ох, для которой
множество {аеЛ : Ox(]U<l¥z0} конечно (состоит не более чем
из одного элемента).
Естественными ограничениями на топологические простран-
пространства являются аксиомы отделимости.
Пространство X называется:
Ti-пространством, если все конечные множества замкнуты
в X;
Т^-пространством, или хау'сдорфовым, если у любых различ-
различных точек х, у^Х найдутся непересекающиеся окрестности;
Тъ-пространством, или регулярным, если оно — Ti-простран-
ство и для любого замкнутого множества АаХ и любой точки
л:еХ\Л найдутся непересекающиеся открытые множества U и
У такие, что AczU и леУ;
Т ^пространством, или нормальным, если оно — ^-простран-
^-пространство и у любых непересекающихся замкнутых множеств А и В
есть непересекающиеся окрестности.
Регулярные финально компактные пространства называются.
линделефовыми пространствами.
Пусть X, 3~ — топологическое пространство и YczX. Суже-
Сужение STY топологии Т на множество У есть семейство {U[\Y:
: U^lT'} всех следов на Y открытых в X множеств. Очевидно,
3~у — топология на Y; наделенное этой топологией Y назы-
называется подпространством пространства X, 3~.
Пусть X, Э~\ и Y, 3~i — топологические пространства. Отоб-
Отображение f:X^*-Y называется непрерывным отображением пер-
первого пространства во второе, если прообраз каждого открытого»
в Y множества открыт в X : {f~lV: V^jJ"
102

Возьмем произвольное семейство {Ха, STa: аеЛ} топологи-
топологических пространств Ха, Та и на произведении X = П Ха мно-
множеств Ха определим топологию 3~ следующим образом. Пусть
3$ — семейство всех множеств в X, представимых в виде пересе-
пересечения конечного числа элементов семейства {farxUa:Ua^3~a<
<хеЛ}. Тогда семейство 3~ всех множеств, представимых в виде
объединения некоторого множества элементов семейства 3$, со-
составляет топологию на X, называемую топологией произведе-
произведения (или тихоновской топологией произведения), а простран-
пространство X, Т называется произведением пространств Ха, 3~а по
а<=Л; пишут при этом: (X, Т)=Щ{Ха, Та) :аеЛ} или корот-
коротко: Х= 1 1 Ха.Все отображения проектирования па:Х->-Ха не-
прерывны, и можно показать, что топология %Г на X—наи-
X—наименьшая из всех топологий, для которых это условие выпол-
выполняется.
Укажем основные кардинальные инварианты топологиче-
топологических пространств.
Многие из даваемых ниже определений в самой своей фор-
формулировке используют фундаментальную теорему о том, что в
каждом непустом множестве кардинальных чисел есть наи-
наименьший элемент.
Всюду ниже X — топологическое пространство.
Мощность \Х\ пространства X — это мощность множест-
множества X.
Вес w(X) пространства X равен минимуму мощностей баз
пространства X.
Сетевой вес nw(X) пространства X равен минимуму мощно-
мощностей сетей пространства X.
Через nw(X) обозначается п-вес пространства X, равный
минимуму мощностей я-баз этого пространства.
Плотность d(X) пространства X есть минимум мощностей
.всюду плотных в X множеств.
Число Линделефа 1(Х) пространства X — это наименьший
кардинал т такой, что из каждого открытого покрытия про-
пространства X можно выделить подпокрытие мощности^т.
Числом Суслина с(Х) пространства X называется наимень-
наименьший кардинал т такой, что мощность каждого дизъюнктного
семейства непустых открытых множеств в X не превосходит т.
Спрэд s(X) пространства X — это наименьший кардинал т,
для которого мощность каждого дискретного подпространства
пространства X не превосходит т.
Экстентом е(Х) пространства X называется наименьший
кардинал т, для которого мощность каждого замкнутого дис-
дискретного подпространства этого пространства ие превосходит т.
Если в X есть счетное всюду плотное множество, то про-
пространство X называется сепарабельным.
108

Пространством с первой аксиомой счетности называется
пространство, котерое в каждой точке имеет счетную базу.
Через "ф(х, X), где хеХ, обозначается минимум мощностей
баз пространства X в точке х.
Через %(х, X), где х^Х, обозначается минимум мощностей
семейств у открытых множеств таких, что Оу={х).
Кардинал %(х, X) {ip(x, X)) называется характером (псев-
(псевдохарактером) пространства X в точке х. Наименьший карди-
кардинал т такой, что х(х, Х)<т (■$(;<:, Х)<т), обозначается через
%(Х) (через г{з(X)) н называется характером (псевдохаракте-
(псевдохарактером) пространства X.
Теснота t(x, X) пространства X в точке хеХ — это наи-
наименьший кардинал т такой, что если хь^А, то найдется множе-
множество ВаА, для которого |5|^т и лев.
Наименьший кардинал т, для которого t(x, Х)^т при всех
Х называется теснотой пространства X и обозначается
Минимум мощностей я-баз пространства X в точке
обозначается лх(х, X) и называется п-характером пространства
X в х. Наименьший кардинал т, для которого п%(х, Х)^.х при
всех хеХ, называется п-характером пространства X и обозна-
обозначается п%\Х).
Пусть X — топологическое пространство и А— множество.
Через ХА обозначается топологическое произведение ЩХа: ае
sA}, где А — множество мощности т и Ха = Х при всех а&Л.
Обобщенный канторов дисконтинуум веса т — это пространство
DA, где D = {0, 1} — дискретное пространство, состоящее из двух
точек, и |Л|=т. Далее рассматривается также пространство
R*, где R—вещественная прямая с обычной топологией, по-
порожденной метрикой или порядком. Очевидно, Rx — множество
всех вещественных функций на X. В Rx выделяется подмноже-
подмножество С(Х), состоящее из всех непрерывных на пространстве X
вещественных функций. Наделенное топологией подпростран-
подпространства топологического произведения множество С(Х) обозна-
обозначается СР(Х) и называется пространством непрерывных веще-
вещественных функций на X в топологии поточечной сходимости.
Пусть Х= П Xа— топологическое произведение топологи-
ческих пространств Ха и х*еХ — некоторая фиксированная
точка, х* = {х*\а£А, где <<=Ха. Через Е >' х« обозначает-
х* а£А
ся тогда подпространство топологического произведения X, со-
состоящее из всех точек х^Х, отличающихся от ** лишь на счег-
ном множестве координат. Таким образом, J] * ' Ха —
х*аеА
= (л: П }
(л:е П Ха.: |{а<=Л : ха=^л;*}КК0} Подпространство
104

с П Ха пространства X состоит из всех х = {ха}аеА таких, что
множество {а е А: ха^ха*} конечно. Называются пространства
2^ 1 1 л„ и <т 1 1 Ха соответственно ^-произведением и а-произ-
х* а€А х абЛ
ведением пространств Ха.
Компактами называются далее компактные хаусдорфовы
пространства. Диадические компакты — это компакты, на кото-
которые можно непрерывно отобразить пространство DA при подхо-
подходящем А.
Топологическое пространство X называется тихоновским
(или вполне регулярным), если все конечные множества в X за-
замкнуты и для каждого замкнутого в X множества А и любой
точки хе.Х\А найдется непрерывная вещественная функция
/: X->-R такая, что f(x) = 0 и f(y) = 1 при всех у^А.
1. Пусть X — бесконечное множество и Тпп = {Асг:Х: Х\А
конечно или А = 0}. Докажите, что: а) Тцп — топология на X;
б) X, 3~па — ^-пространство; в) любые два непустые открытые
в X, T!in множества пересекаются; г) X, Тип компактно;
д) каждая точка х^Х является точкой прикосновения для лю-
любого бесконечного множества АсХ; е) в X, Тип есть счетное
всюду плотное множество, т. е. пространство X, Тип сепара-
бельно; ж) вес пространства X, Тип равен мощности X.
2. Чему равен л-вес пространства X, Тип, определенного в
задаче 1?
3. Покажите, что для метризуемого пространства плотность,
вес, число Суслина и экстент равны.
4. Всякое ли подпространство сепарабельного пространства
сепарабельно?
5. Покажите, что если пространство X обладает счетной
сетью, то каждое подпространство пространства X сепара-
сепарабельно.
6. Покажите, что если X — пространство со счетной сетью,
то из каждого открытого покрытия пространства X можно вы-
выделить счетное подпокрытие, т. е. X финально компактно.
7. Верно ли, что если в пространстве X есть счетное всюду
плотное множество, то X обладает счетной сетью?
8*. Пусть X—нормальное сепарабельное пространство. По-
Покажите, что если 2N'=K1, то каждое замкнутое дискретное
подпространство,пространства X счетно (т. е. е(Х)^1И0)-
9. Покажите, что вес (сетевой вес) подпространства всегда
не превосходит веса (сетевого веса) всего пространства.
10. Пусть f:X^>~Y непрерывное отображение топологическо-
топологического пространства X на топологическое пространство У. Верно ли
тогда, что вес Y не превосходит веса X? Верно ли, что сетевой
вес пространства Y не превосходит сетевого веса простран-
пространства X"?
105

11. Покажите, что если подпространство Y пространства X
всюду плотно в X, то с(Y) = с(Л").
12*. Пусть X — пространство со счетной базой. Верно ли, что
из каждой базы 38 пространства X можно выделить счетную
базу?
13*. Пусть X — пространство со счетной сетью. Верно лиг
что из каждой сети S пространства X можно выделить счетную
сеть?
14. Пусть Х=[){Ха: а^А}, где X — топологическое простран-
пространство и Ха — его подпространства, причем nw(Xa)^x для всех
аеЛ, где т—некоторый бесконечный кардинал. Предположим
также, что |Л|^т. Покажите, что тогда nw(X)^.x.
15. Приведите пример пространства X и его подпространств
Y и Z таких, что X=Y[jZ, каждое из пространств Y и Z имеет
счетную базу, а у пространства X счетной базы нет.
16*. Пусть X — компактное хаусдорфово пространство со
счетной сетью. Покажите, что тогда пространство X обладает и
счетной базой.
17. Верно ли, что каждое сепарабельное пространство с пер-
первой аксиомой счетности имеет счетную базу (счетную сеть)?
18. Каждое ли пространство со счетной сетью, удовлетво-
удовлетворяющее первой аксиоме счетности, обладает счетной базой?
19. Пусть X — сепарабельное пространство. Покажите, что
тогда в каждом несчетном семействе непустых открытых мно-
множеств пространства X найдется несчетное подсемейство, пересе-
пересечение-которого непусто.
20. Каждое ли регулярное счетное пространство имеет счет-
счетную базу?
21. Каждое ли регулярное счетное пространство обладает
счетной я-базой?
22. Верно ли, что если пространство X регулярно и точка
х^Х является пересечением счетного семейства открытых в X
множеств, то X имеет счетную базу в точке х?
23. Приведите пример нормального пространства X, для ко-
которого i|)(X)<x(X).
24. Покажите, что если X—компактное хаусдорфово про-
пространство, то ф(л:, Х)=%(х, X) для каждой точки х^Х.
25. Верно ли для произвольного компактного пространства
X, чтоф(Х)=х(Х)?
26. Покажите, что вес пространства А не превосходит |л|Х
(Х)
()
27. Покажите, что всегда nw(X)^.d(X) -%(X).
28. Пусть X — регулярное пространство и А — всюду плотное
в X множество. Постройте в X базу мощности ^ 21Л1.
29. Покажите, что w(X)^2^-X) для каждого регулярного
пространства X.
30. Пусть X — регулярное пространство и подпространство
YaX всюду плотно в X. Покажите, что %(у, Y)=%(y, X) для
всех Y
106

31. Пусть X—компактное хаусдорфово пространство и про-
пространство У всюду плотно в X. Предположим, что точка y^Y
является пересечением счетного семейства открытых в Y мно-
множеств (т. е. ф(у, К)^К©). Верно ли тогда, что точка х предста-
вима в виде пересечения счетного семейства открытых в X мно-
множеств?
32. Пусть X = 1 1 Ха— топологическое произведение сепа-
рабельных пространств Ха и |i4|s^2N*. Покажите, что про-
пространство X тогда тоже сепарабельио (т. е. в X есть счетное
всюду плотное множество).
33. Пусть X=llXa—топологическое произведение сепа-
айА
рабельных пространств Ха. Покажите, что тогда число Суслина
пространства X счетно, т. е. мощность каждой системы непу-
непустых попарно непересекающихся открытых в X множеств не
превосходит №0- (Заметьте, что на мощность А нет ограниче-
ограничений!)
34. Кардинал т называется калибром пространства X, если
каждое семейство у мощности т непустых открытых в X мно-
множеств содержит подсемейство у' мощности т, пересечение кото-
которого непусто.
Покажите, что'если в пространстве X есть всюду плотное
множество мощности ^т, то кардинал т+ является калибром
пространства X.
35. Точка х пространства X называется точкой прикоснове-
прикосновения центрированной системы множеств 1 на X, если *&Д для
всех Ле|.
Покажите, что пространство X компактно в том и только
том случае, если каждая максимальная центрированная систе-
система множеств на X обладает в X точкой прикосновения.
36. Точка х пространства X называется точкой полного на-
накопления для множества АаХ, если каждая окрестность Ох
точки х пересекается с Л по равномощному с А множеству, т. е.
\А\ \А\
(\\ \\
Покажите, что пространство X компактно в том и только
том случае, если для каждого бесконечного множества АаХ в
X существует точка полного накопления.
37. Пусть X— П Ха—топологическое произведение про-
е
странств Ха, па : Х-*-Ха — проектирование, | — максимальная
центрированная система иа X и %а = {па(Р) :Р^%}. Предполо-
Предположим, что ха^Ха— точка прикосновения системы £а в простран-
пространстве Ха для каждого ссеЛ. Покажите, что тогда точка х=
= {ха}аеА^Х является точкой прикосновения системы g в про-
пространстве X.
38. Покажите, что топологическое произведение любого
107

множества компактных пространств является компактным про-
пространством.
39. Покажите, что пространства DA и 1А компактны для
любого множества А (где D = {0, 1} и /=[0, 1] crR —отрезок с
обычной топологией). Пространства 1А называются тихонов-
тихоновскими кубами.
40. Покажите, что Hi является калибром пространства /А
(пространства DA) при любом А.
41. Пусть Hi — калибр компактного хаусдорфова простран-
пространства X. Верно ли, что X сепарабельно?
42. Верно ли, что если регулярное пространство X сепара-
сепарабельно, то |X|<2No?
43. Покажите, что всегда c(X)^.d(X)^.nw(X) и
^nw(X).
44. Если X — хаусдорфово пространство веса =^т, то
^2\ Можно ли отказаться здесь от аксиомы Хаусдорфа?
45. Пусть X — хаусдорфово пространство и А — всюду плот-
плотное в X множество. Покажите, что тогда
|Х|<ехрехр |Л|.
46^*. Покажите, что если хаусдорфово пространство X с
первой аксиомой счетности удовлетворяет условию Суслина, то
|X|<2No [6, гл. II, № 131].
47. Приведите пример нормального пространства со счетной
сетью, но без счетной базы [6, гл. II, № 140].
48. Пусть т — бесконечный кардинал. Покажите, что на
каждом множестве X мощности ^ 2х существует регулярная то-
топология веса =^т [6, гл. II, № 377].
49. Пусть Х= 1 1 Ха, где Ха — неодноточечное хаусдорфово
€
пространство веса ^т для каждого аеЛ и |Л|=т^Ыо. Пока-
Покажите, что тогда вес X равен т и характер пространства X в
каждой точке равен г.
50. Пусть Х= I 1 Ха— топологическое произведение, где
е
) для всех аеЛ, и |Л|<2Т,
Покажите, что тогда d(X)^r.
51. Пусть X, < — вполне упорядоченное множество, в кото-
котором есть наибольший элемент, наделенное порядковой тополо-
топологией #-<. Покажите, что пространство X, Т'< компактно.
52. Пространство X называется связным, если в нем нет от-
отличных от X непустых открытых в X множеств, замкнутых в X.
Покажите, что всякое линейно упорядоченное связное сепа-
рабельное пространство обладает счетной базой [6, гл. II,
№ 86].
53. Верно ли, что каждое линейно упорядоченное сепара-
бельное пространство имеет счетную базу?
54. Верно ли, что произведение двух финально компактных
108

пространств финально компактно?
55, Верно ли, что произведение двух счетно компактных про-
пространств счетно компактно?
56. Покажите, что каждое счетно компактное пространства
со счетной сетью компактно.
57*. Постройте сепарабельное счетно компактное регулярное
пространство, которое некомпактно.
58. Пусть X — топологическое пространство. Вполне упоря-
упорядоченное подмножество Y, < пространства X назовем свобод-
свободной последовательностью в X, если для каждого j/eK выпол-
выполняется условие:
Покажите, что теснота t(X) компактного хаусдорфова про-
пространства X счетна в том и только том случае, если мощность
каждой свободной последовательности У, < в X не превосходит
No [6, гл. III, № 142].
59. Пусть X—множество мощности Ni,<— порождающее
вполне упорядочение на X и £Г"< — порожденная им топология.
Покажите, что пространство X, 3~< счетно компактно, удовле-
удовлетворяет первой аксиоме счетности, нормально, но некомпактно.
60. Пусть J/s — семейство всех подмножеств вещественной
прямой R вида [a, b)={xeR:a<x<b}, где a<b, a, b(=R. Че-
Через вГв обозначим семейство всех множеств, представимых в
виде объединения некоторого множества элементов семейства
&s- Тогда 0~в — топология на R и Ms—ее база. Пространства
R, £TS называется прямой Зоргенфрея.
Покажите, что прямая Зоргенфрея является нормальным
сепарабельным пространством с первой аксиомой счетности, но
что в R, 5Ts нет счетной сети.
61. Покажите, что прямая Зоргенфрея (см. задачу 60) фи-
финально компактна, но что ее топологический квадрат не яв-
является ни финально компактным, ни нормальным простран-
пространством.
62. Существует ли счетное компактное ^-пространство бе*
счетной базы? [6, гл. III, № ПО].
63*. Покажите, что если компактное хаусдорфово простран-
пространство X не имеет изолированных точек, то |X|^2N* [6, гл. 1П,
№126].
64*. Пусть выполняется континуум-гипотеза: 2 °=N1. Пока-
Покажите, что тогда каждое непустое компактное хаусдорфово про-
пространство мощности ^ 2Н' удовлетворяет первой аксиоме счет-
счетности хотя бы в одной точке [6, гл. III, № 127].
65*. Покажите, что если компактное хаусдорфово простран-
пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности во всех точках,,
то либо |Х|<Ко, либо \Х\>2Н' [6, гл. III, № 128].
66. Покажите, что для каждого бесконечного кардинала т
109

существует компактное ^-пространство мощности т без изоли-
изолированных точек (ср. с задачей 63).
67. Покажите, что вес компактного хаусдорфова простран-
пространства не превосходит его мощности [6, гл. III, № 107]. Верно ля
это для произвольных компактных пространств?
68. Пусть X—компактное хаусдорфово пространство и Х=
= Y\jZ, где вес У и вес Z не превосходят г^Н0. Покажите, что
тогда и вес X не больше, чем т [6, гл. III, № 108].
69. Пусть Ах— пространство мощности т (где т^Ы0), в ко-
котором все точки изолированы, кроме одной точки ах, а окрест-
окрестностями точки ах служат все множества UcAx, дополнение до
которых конечно. Пространство Лх называется суперпоследова-
суперпоследовательностью Александрова мощности т.
Покажите, что Ах компактно, нормально, имеет счетную тес-
тесноту, но х(^)=ш(^0 = |Лг|=с(Ах)=т, т. е. при т>Ыо про-
пространство Ах не удовлетворяет первой аксиоме счетности (в од-
одной лишь точке — ах).
70. Покажите, что если X — компактное хаусдорфово про-
пространство счетного спрэда, то теснота пространства X счетна.
74. Пусть X — сепарабельное пространство счетной тесноты.
Покажите, что тогда каждое всюду плотное в X подпростран-
подпространство УаХ сепарабельно.
72. Пусть X — компактное хаусдорфово пространство счет-
счетной тесноты и ХФ0. Покажите, что найдутся тогда счетное
множество АсХ и непустое замкнутое множество F типа G9 в
X, для которых FcA.
73*. Пространство X называется № й-монолитным, если за-
замыкание каждого счетного множества в X является простран-
пространством со счетной базой. Компактами называются компактные
хаусдорфовы пространства.
Покажите, что каждый непустой Н о-монолитный компакт
счетной тесноты удовлетворяет первой аксиоме счетности хотя
бы в одной точке.
74*. Пространство X называется секвенциальным, если из
хеХ, АсХ и х<=А следует, что существует последовательность
{хп :neN} точек множества А, сходящаяся к х (последнее озна-
означает, что всякая окрестность точки х содержит все хп при до-
достаточно больших п).
Исходя из СН, покажите, что каждое непустое секвенциаль-
секвенциальное компактное хаусдорфово пространство удовлетворяет пер-
первой аксиоме счетности хотя бы в одной точке
75*. Покажите, что если компактное хаусдорфово простран-
пространство X секвенциально и его число Суслина счетно, то |Х|<2 "
[6, гл. III, № 149].
76**. Покажите, что мощность каждого компактного хаус-
хаусдорфова пространства X с первой аксиомой счетности не пре-
превосходит 2*о [6, гл. III, № 153].
77**. Пусть X — хаусдорфово финально компактное прост-
пространство. Покажите, что |Х|^2Х<Х'
ПО

78**. Покажите, что для каждого компактного ^-простран-
^-пространства X с первой аксиомой счетности |Х|^ 2N\
79°. Пусть X— финально компактное ^-пространство с пер-
первой аксиомой счетности. Верно ли, что |Z|^2N»?
80*. Пусть X — регулярное финально компактное простран-
пространство, в котором каждая точка — типа G6. Покажите, что карди-
кардинал \Х\ неизмерим.
81°. Пусть X — регулярное финально компактное простран-
пространство, в котором каждая точка — типа G«. Верно ли, что |-Х|^
г^ехрехрЫо? Можно ли указать «наивный» пример такого X,
как выше, и мощности, большей, чем 2N°?
82**. Пусть X — хаусдорфово финально компактное про-
пространство счетной тесноты, в котором каждая точка —типа G6.
Покажите, что тогда |X|<2No [6,13].
83**. Пусть X — компакт счетной тесноты. Покажите, что
тогда пространство X имеет счетную я-базу в каждой точке
Х
84*. Покажите, что сепарабельный компакт счетной тесноты
имеет счетный я-вес.
85*. Покажите, что если кардинал & i является калибром
компакта X счетной тесноты, то этот компакт сепарабелен.
86. Пусть X — регулярное пространство, каждое подпро-
подпространство которого финально компактно. Покажите, что тогда
каждое замкнутое в X множество типа G6, т. е. является пере-
пересечением счетного семейства открытых в X множеств.
87. Пусть X — регулярное пространство, каждое подпро-
подпространство которого финально компактно. Покажите, что<
|X|<2No-

ЛИТЕРАТУРА
1. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: ОНТИ, 1934.
2. Александров П. С. Введение в теорию множеств н общую тополо-
топологию. М.: Наука, 1977.
3. Френкель А, Бар-Хнллел И. Основания теории множеств. М.:
Мнр, 1966.
4. Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория мно-
множеств. М: Наука, 1982.
5. Кантор Г. Труды по теории множествам.: Наука, 1985.
6. А р х а н г е л ь с к и й А. В., Пономарев В. И. Основы общей топо-
топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.
7. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986.
8. Й е х Т. Теория множеств и метод форсинга. М : Мир, 1973.
9. Коен П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969.
10. Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
11. Halmos P. Naive Set Theory. N. Y., 1960.
12. R u d i n M. E. Lectures on Set Theoretic Topology-. Providence, R. I.,
1975.
13. Juhasz I. Cardinal functions in Topology. Amsterdam, 1971.
14. Kuratowski K., Mostowski A. Set Theory. Amsterdam, 1976.
15. Comfort W. W., Negrepontis S. The Theory of Ultrafilters. Ber-
Berlin, 1974.
16. Kunen K. Set Theory. Amsterdam, 1980.
17. Fremlin D. H. Consequences of Martin's Axiom. L., 1984.
18. Handbook of Set-Theoretic Topology/Ed. K. Kunen and J. E. Vaghan. Am-
Amsterdam, 1984.
.19. Sierpinski W. Cardinal and ordinal numbers. Warzawa, 1965.
Учебное издание
Архангельский Александр Владимирович
КАНТОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Зав. редакцией С. И. Зеленский
Редактор Г. Е, Горелик
Художественный редактор Е. М. Дёмина
Технический редактор Н. И. Смирнова
Корректоры В. П. Кададинская, Н. И. Коновалова
ИБ № 2958
Сдано в набор 24 09 87 Подписано в печать 1103 88 Формат 60X90/16.
Бумага тип. № 3 Гарнитура литературная Печать высокая. Усл. печ. л. 7,0
Уч -изд л 7,21 Тираж 6670 экз. Заказ 198. Изд. № 4870. Цена 25 коп.
Ордена «Знак Почета> издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы