Текст
Математическое
просвещение
РОБЕРТ Р. СТОЛЛ
М ножества.
Логик а.
Аксиоматические
теории
Перевод с английского
Ю. А. Г а с т е в а
и И. X. Ш наин
Под редакцией юл ш нтновичл
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 19 6 8
Sets, Logic, and
Axiomatic Theories
By ROBERT R. STOLL
Oberlin College
drawings by EVAN GILLESPIE
W. H. Freeman and Company
SAN FRANCISCO AND LONDON
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................. в
Глава 1, Множества и отношения
1.1. Картеровское понятие множества..................................11
J.2. Основные принципы интуитивной теории множеств...................13
1.3. Включение...................................................... 20
L4 Операции над множествами......................................... . 23
1.5. Алгебра множеств................................................28
1.6. Отношения................................................... . 37
1 7. Отношения эквивалентности.....................................43
1.8. Функции........................................................ 49
L9 Композиция и обращение функций .................................. 55
1 10. Отношения порядка..............................................61
Глава И, Логика
2.1 Исчисление высказываний. Сентенцнональные связки ................72
2 2 Исчисление высказываний. Истинностные таблицы..................76
2-3- Исчисление высказываний. Общезначимость.........................81
2.4. Исчисление высказываний Логическое следствие .................. 93
2.5. Исчисление высказываний. Приложения.............................Ю1
2.6, Исчислений предикатов. Символизация обычного языка.............108
2.7. Исчисление предикатов. Общая формулировка......................116
2,8. Исчисление предикатов. Общезначимость..........................122
2.9. Исчисление предикатов. Логическое следствие................. . 133
1
Оглавление
Глава lit Аксиом этические теории
3,L Понятие аксиоматической теории .........................................139
3,2. Неформальная аксиоматика........................................145
3.3* Неформальные теории в рамках теории множеств....................152
3*4. Дальнейшие свойства неформальных теорий..........................155
3.5. Формальные аксиоматические теории ..............................165
3.6, Исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория . . . 167
3 7. Исчисление предикатов как формальная аксиоматическая теория . > . 173
3,8. Аксиоматические теории первого порядка................................176
3,9. Метаматематика........................................................183
Глава IV, Булевы алгебры
4.L Определение булевой алгебры...........................................191
4.2. Некоторые основные свойства булевых алгебр............................194
4.3. Другая формулировка теории............................................198
4.4. Отношения конгруэнтности для булевых алгебр...........................203
4.5. Представления булевых алгебр..........................................2J1
4.6. Исчисления высказываний как булевы алгебры ...........................217
4.7. Свободные булевы алгебры..............................................218
Указатель символов........................................................... 223
Указатель терминов.............................................................225
Указатель имен.................................................................231
Предлагаемая вниманию читателя книга Р. Р. Столла может быть ре-
комендована в качестве первоначального пособия —помимо тех категорий
читателей, которые указывает в своем предисловии автор,— каждому,
кто хочет ознакомиться с основными понятиями, идеями, методами
и результатами математической логики и теории множеств; элементарному
изложению этих вопросов посвящены первые две главы книги. Несколько
более трудна (по степени абстракции и сложности излагаемых в ней концеп-
ций) третья глава, в которой разъясняются важнейшие установки ак-
сиоматического метода, затрагиваются проблематика оснований математики
и взаимоотношения между формализованными логико-математическими
теориями, их метатеориями и интерпретациями; изложение этих вопросов
носит более эскизный характер, нежели в первых двух главах. Заклю-
чительная, четвертая глава иллюстрирует содержание предыдущих глав
на богатом и разнообразном материале теории булевых алгебр; некото-
рые из аксиоматических рассмотрений этой главы, быть может, окажутся
небезынтересными и для математиков.
Главы I и III книги переведены Ю. А. Гастевым, главы II и IV —
И. X. Шмаиным; однако за перевод книги в целом переводчики и ти-
тульный редактор Ю. А. Шихановнч несут общую ответственность. С дру-
гой стороны, за каждое из добавленных при переводе подстрочных при-
мечаний отвечает его автор. Немногочисленные исправления явных опечаток
нами специально не оговаривались.
Список литературы, заключающий английское издание книги и содер-
жащий в основном книги, недоступные для русского читателя, мы сочли
возможным заменить подстрочными отсылками к литературе на русском
языке, причем в отличие от автора мы стремились привязать эти отсылки
к конкретным местам текста.
13 нюня 1967 г. Ю. А. Гастев
Ю. А. Шиханович
И. X. Шмаин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книжка была задумана как учебник для полугодового
курса и как справочное издание. Ее содержание примыкает к той части
математики, которую принято называть основаниями. Термин «основания
математики» для разных людей имеет различный смысл. Что касается
меня, то я понимаю под основаниями математики анализ основных ма-
тематических понятий, проводимый с целью подготовки к изучению всего
основанного на них здания математики с некоторой общей и единой
точки зрения. Надеюсь, что материал этой книги сможет оказаться по-
лезным для нескольких групп читателей. К одной из таких групп от-
носятся те, кто желает, будучи студентами старших курсов, изучить не-
которые разделы абстрактной математики. Другая группа (если только
она отличается от первой) — это будущие преподаватели математики
в высшей школе. Еще одна группа читателей—преподаватели математики
средней школы. Наконец, я надеюсь, что большая часть этой книги может
оказаться небесполезной для способных студентов, начинающих испыты-
вать вкус к математике. Постараюсь подтвердить сказанное.
Во многих опубликованных за последние годы учебниках, вводящих
в те или иные абстрактные разделы математики, имеется особая «глава О»,
посвященная краткому обзору понятий, нужных для понимания даль-
нейшего материала. Для студентов, впервые сталкивающихся с этими
вопросами, такая вводная глава зачастую представляет трудность. Глава I
настоящей книги представляет собой расширенный вариант подобной
«главы 0», снабженный примерами и упражнениями1. Эта глава—вме-
сте с первыми четырьмя параграфами главы III, посвященными понятию
аксиоматической теории, с которым ежедневно сталкивается каждый ма-
тематик,— должна способствовать преодолению разрыва между первона-
1 Другой вариант «главы 0* читатель может найти в главах II, III, V — VII моей
книги «Введение в современную математику (начальные понятия)» (М., «Наука», 1965);
ети главы примерно соответствуют главе I книги Столла.— Прим. ред.
Предисловие
7
чальными представлениями студентов о математике как о вычислительной
теории и абстрактной природой более глубоких и более современных ее
разделов. Так, я полагаю, овладение материалом главы I и первой по-
ловины главы III позволит студенту, приступающему к изучению курса то-
пологии, начать прямо с топологических понятий, а слушающему началь-
ный курс абстрактной алгебры —с алгебраических понятий, не тратя
времени на предварительное обсуждение понятий множества, функции,
отношения порядка и т, п, Конечно, тот, кто преподает математику
в высшей школе, хорошо знаком с этими понятиями. Но вполне может
оказаться, что современное состояние предмета и современная термино-
логия знакомы такому преподавателю уже не столь хорошо. Насколько
такое близкое знакомство может оказаться важным, известно тем, кому
приходится читать статьи в современных математических журналах, хотя
бы в Mathematics Teacher, или готовиться к чтению какого-нибудь курса
повышенного типа, или только разбираться в уже существующих новых
разделах математической программы.
Глава И посвящена символической логике. В ней подробно излагается
простейшая часть традиционной проблематики этой дисциплины —исчис-
ление высказываний. Узкое исчисление предикатов, небольшим фрагмен-
том которого служит исчисление высказываний, рассматривается уже
довольно бегло, Однако достаточно основательное рассмотрение исчисле-
ния высказываний позволит читателю, который при изучении исчисления
предикатов будет следовать образцам рассуждений, характерных для
исчисления высказываний, добиться удовлетворительного понимания даже
бегло освещаемых вопросов исчисления предикатов. Такая степень об-
стоятельности изложения символической логики, по-видимому, для боль-
шинства читателей будет достаточна, В то же время излагаемый минимум
сведений не выходит за пределы того, чем должен владеть образованный
человек. Относящимися к этой области проблемами занимались некото-
рые из величайших мыслителей, и полученные ими результаты — после
надлежащего их осмысления — вошли в число наиболее впечатляющих
творений человеческого интеллекта. Любой серьезный студент-математик
должен знать элементы символической логики; удобства этого символизма
он легко сможет оценить, пытаясь точно сформулировать отрицание ут-
верждения непрерывна при х = п»1.
1 Другое изложение вопросов, рассматриваемых в главе II книги Столла, можно
найти в главах 1 и П1 Юснов теоретической логики;* Д, Гильберта и В. Аккермана
(М-, ИЛ, 1947) и в главах I и Ш «Элементов математической логики» П. С. Нови-
кова (М.т Физматгиз, 1959). Укажу также на главы 1 и IV моей книги (см. преды-
дущее примечание), соответствующие параграфам 2J, 2.2 и 2,6 книги Столла.—
Прим. ред.
s
Предисловие
Заключительная часть главы III предназначена для читателя, же-
лающего ознакомиться с той ролью» которую играет символическая ло-
гика в современных исследованиях проблем» относящихся к формальным
аксиоматическим теориям1.
В главе IV излагается теория булевых алгебр3» Она предлагается
в качестве награды тем, кто справился с главами I и II п первой поло-
виной главы I1L Многие из введенных в этих главах понятий способст-
вуют созданию на немногих страницах полной картины элементарной
части теории, представляющей не только исторический интерес, но и
значение для современной математики. Для достойного завершения книги
я избрал теорию, буквально ошеломляющую богатством своих возмож-
ностей.
Эта книга содержит заимствования из готовящегося к изданию учеб-
ника, являющегося более исчерпывающим изложением проблем оснований
современной абстрактной математики» Приношу благодарность всем» кто
помог мне в написании этой книги. Национальное общество оснований
науки предоставило мне годичный отпуск за счет фонда Оберлинского
колледжа, позволивший мне целиком посвятить это время своей работе.
Калифорнийский технологический институт создал мне обстановку, чрез-
вычайно благоприятствующую работе. Я весьма обязан также своему
бывшему коллеге профессору Angelo Margaris, способствовавшему моему
логическому образованию. Профессор Margaris и издательский рецензент
прочли всю рукопись, отметили мои ошибки и внесли многочисленные
предложения, способствовавшие улучшению книги» Наконец—но не в пос-
леднюю очередь — я выражаю благодарность моей жене за перепечатку
последовательно исправляемых вариантов текста и за терпение, прояв-
ленное ею, пока я преодолевал трудности писания.
3 сентября 1960 г. Роберт Рл Столл
* По вопросам, рассматриваемым в главе [И книги Столла, можно прочитать
также часть первую (особенно §§ 8, 12, 14, 15) и часть вторую «Введения в метамате-
матику» С К Клини (М , ИЛ, 1957), введение и главы II и IV «Элементов матема-
тической логики» П. С Новикова и введение (особенно § 07) г главы 1—IV «Введения
в математическую логику»» т» 1, А. Черча (М», ИЛ, 1S60) —Прим, ред,
1 О булевых алгебрах см» также главу X «Теории структур» Г. Биркгофа (М.,
ИЛ, 1952) и главу IV «Лекций ио обшей алгебре» А. Г. Kvpoma (М., Фнаматгиз,
1962).— Прим ред>
ГЛАВА I
МНОЖЕСТВА Н ОТНОШЕНИЯ
Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким
математиком Г. Кантором (1845—1918). Исчерпывающее освещение проб-
лем, связанных с ее возникновением и развитием, выходит за рамки на*
ших задач, поскольку это потребовало бы довольно серьезных предва-
рительных математических сведений. Вместо этого мы вынуждены,
в порядке неудобного компромисса, дать поверхностный очерк этих во-
просов. Не беда, если этот очерк не сможет в полной мере удовлетворить
читателя; даже частичное понимание этих вопросов может оказаться
полезным. й
Проводившиеся Кантором исследования, относящиеся к тригономет-
рическим рядам и числовым последовательностям, привели его к задаче
выяснения тех средств, которые необходимы для сравнения бесконечных
множеств чисел по величине. Для решения этой проблемы Кантор ввел
понятие мощности (или объема) множества, считая по определению, что
два множества имеют одинаковую мощность, если члены любого из них
можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих
членов. Поскольку между членами двух конечных множеств можно уста-
новить такое попарное соответствие в том и только в том случае, когда
они имеют одинаковое число членов, мощность конечного множества
можно отождествить с количественным числом. Таким образом, понятие
мощности бесконечного множества представляет собой обобщение обыч-
ного понятия количественного числа. В построении теории таких обоб-
щенных (или трансфинитных) чисел, включающей в себя их арифметику,
и состояло создание Кантором теории множеств. Полученные им в этом
10
Г лава I .Множества и отношения
направлении результаты представляют собой исключительный образец
математического творчества,
Настойчивое требование Кантора рассматривать бесконечность как
нечто актуально данное (он рассматривал бесконечные множества и транс-
финитные числа наравне с конечными множествами и натуральными
числами) было для того времени большой новостью. Предубеждение по
отношению к такой точке зрения обусловило непризнание работ Кантора
со стороны некоторых математиков, реакция других была более благо-
приятна, тем более что новая теория давала доказательство существова-
ния трансцендентных чисел. Были получены также приложения теории
множеств к анализу и геометрии, так что к 1890 году канторовская
теория множеств получила признание в качестве самостоятельного раз-
дела математики. В самом конце прошлого столетия обнаружилось, что
позиция эта связана с определенными опасностями—оказалось, что
в теории множеств могут возникнуть противоречия. Но это обстоятель-
ство не воспринималось как очень серьезный дефект теории1—на это
указывает и то, что эти противоречия стали именоваться парадоксами,
т. е. такого рода дефектами теории, для устранения которых достаточно
лишь как следует разобраться в сути дела.
Идеи канторовской теории не только оказались полезными для су-
ществовавшей математики; они постепенно привели к созданию самостоя-
тельной дисциплины—общей теории абстрактных множеств. Этой общей
теории множеств и посвящена в основном данная глава.
В частности, в этой главе обсуждаются в рамках теории множеств
три важных математических понятия: функция, отношение эквивалент-
ности и отношение порядка, Параграфы 1.3—1.6 содержат необходимые
предварительные сведения; в §§ 1,1—1.2 описывается наша исходная
точка зрения на теорию Кантора.
Можно было бы усомниться в разумности такой точки зрения—из-
вестно, к каким неприятным последствиям она в конце концов приво-
дит®. Мы полагаем, однако, что важнейшие выводы, которые делаются
в этой главе, не зависят от тех особенностей, которые характерны для
канторовского (или «наивного») подхода к теории множеств. В самом деле,
любая теория множеств, предназначенная для того, чтобы служить ос-
новой математики, должка включать основные определения и теоремы,
содержащиеся в этой главе. Наивными являются лишь методы, с помощью
1 Впрочем, это относится не ко всем математикам даже в того времени. См. ниже,
главу III, особенно § 3 9.— Прим, перев.
* Речь идет о так называемых антиномиях (противоречиях) теории множеств; см.
ниже, §5 1.2, 3.3 н 3.9. — Прим, перев.
1 1, Квмторавское понятие множества 11
которых мы получим некоторые из этих результатов. В пользовании та-
кого рода методами нет ничего особенно страшного — это обычное орудие
математики Ч
В этой главе мы будем предполагать, что читателю хорошо известны
системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.
Знание этих систем расширяет возможности построения примеров, спо-
собствующих усвоению определений, теорем и т. д. Для обозначения
множеств целых, рациональных, действительных и комплексных чисел
мы будем использовать, соответственно, буквы Z, Q, R и С; для обозна-
чения множеств положительных целых, положительных рациональных
и положительных действительных чисел—соответственно, символы Z+,
Q+ и R+
1.1. Канторовское понятие множества
Рассмотрим, как Кантор понимает термин «множество», и разберемся
вкратце, из чего складывается это понимание. Согласно канторовскому
определению, множество S есть любое собрание определенных н разли-
чимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое
как единое целое. Эти объекты называются элементами, или членами,
множества S.
Существенным пунктом канторовского понимания является то, что
собрание предметов само рассматривается как один предмет (мыслится
как единое целое). Нет нужды еще раз подчеркивать, что внимание здесь
переносится с отдельных предметов на их собрания, в свою очередь по-
нимаемые как предметы—это обстоятельство очевидным образом отра-
жено в таких словах нашего языка, как «компания», «стая», «стадо».
Что касается предметов, которые могут входить в множество, то фор-
мулировка «объекты нашей интуиции или интеллекта» предоставляет нам
в этом отношении значительную свободу. Прежде всего эта формули-
ровка не накладывает никаких ограничений на природу предметов, вхо-
дящих в множество. Множество может состоять, например, из зеленых
яблок, песчинок или простых чисел. Однако для приложений матема-
тики в качестве элементов множеств имеет смысл выбирать такие мате-
матические объекты, как точки, кривые, числа, множества чисел и т. п.
Отметим также, что канторовская формулировка допускает рассматривать
множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно
1 Насколько в действительности убедительны ссылки на «обычность» паянных тео-
ретико-множественных методов, читатель более квалифицированно сможет судить после
чтения последних параграфов главы III.— Прим, персе.
Г лава i. Множества и отношения
12
указать, В этой связи стоит вспомнить, что элементы любого бесконеч-
ного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную сово-
купность1, Примерами могут служить, скажем, множество всех простых
чисел или множество точек евклидовой плоскости, координаты которых
(в некоторой фиксированной системе координат) рациональны. Имеются
и конечные множества, обладающие в этом отношении той же степенью
неопределенности, что и любое бесконечное множество
В основе известного примера, подтверждающего это последнее об-
стоятельство, лежит допущение, что линотипная машина, имеющая 10 000
различных литер (среди которых имеются строчные и прописные буквы
всех существующих на Земле алфавитов различных размеров и фасонов,
цифры, знаки препинания, всевозможные специальные знаки и пустая
литера для пропуска между словами), пригодна для печатания на лю-
бом языке, (Точный объем этого множества литер не играет никакой
роли; читатель может заменить в этом рассуждении 10000 любым целым
числом, превышающим 1.) Условимся теперь под «книгой» понимать лю-
бую последовательность, состоящую из 1000000 знаков, напечатанных с
помощью имеющихся литер (включая пустую литеру н соответствующий
ей «пустой знак» —пропуск). Таким образом, книга может содержать от
0 до 1000000 непустых знаков. Рассмотрим теперь множество всех книг.
Поскольку для каждого из 1000000 мест, которые в книге могут быть
заняты знаками, имеется 10000 различных возможностей, общее число
книг оказывается равным 10 0001 °00, Число это очень велико (но ко-
нечно!). Кроме всяческой тарабарщины, в это множество будут входить
все учебники, когда-либо написанные или задуманные, все когда-либо
напечатанные газеты, все противоправительственные памфлеты, все же-
лезнодорожные расписания, все таблицы логарифмов и т. д, и т, п.
Совокупность эта столь же необъятна, как и бесконечное множество.
Остается еще пояснить участвующие в канторовской концепции мно-
жества слова «различимые» и «определенные». В первом случае, как
обычно, имеется в виду, что для любых двух предметов, рассматри-
ваемых как элементы некоторого множества, должна иметься возмож-
1 И тем не менее, как отметил выше автор, именно это делал Кантор, а вслед за
ним—большинство математиков. Речь идет, таким образом, о том, что, рассматривая
в математике множества, элементы которых «даже теоретически нельзя собрать в за-
конченную совокупность», мы отвлекаемся от этой невозможности. Подробнее об этой
так называемой абстракции актуальной бесконечности см., например, в соответствую-
щей статье из первого тома «Философской &нциклопедииэ (М.г I960),— П рим. перев.
1 Примеры: множество букв древнейшего алфавита ближайшей к Земле из суще^
ствукмцнх во Вселенной цивилизаций; множество /юдей, погибших в троянскую войну;
множество возгласов <бис!я на л|ослезавтрашнем конверте Рихтера ... Читатель легко
продолжит список.— Прим, переа.
1.2. Основные принципы интуитивной теории множеств 13
кость решить, различны они или одинаковы. Эпитет «определенный»
понимается в том смысле, что если дано какое-либо множество и неко-
торый предмет, то можно определить, является этот предмет элементом
данного множества или нет. Отсюда вытекает, что множество полностью
определяется своими элементами.
i
1.2, Основные принципы интуитивной теории множеств
Согласно Кантору, всякое множество состоит из некоторых предме-
тов, называемых его членами, или элементами (мы будем пользоваться
обоими терминами как синонимами). Требование, согласно которому для
любого конкретного предмета и любого конкретного множества можно
определить, является ли этот предмет элементом данного множества,
означает следующее: если первое пустое место выражения «__есть эле-
мент______________________________________________________» заполнено названием предмета, а второе—названием множества,
то предполагается, что о получающемся в результате предложении можно
решить, является оно истинным или ложным. Таким образом, принад-
лежность, или членство, есть отношение между предметами и множест-
вами. Мы будем обозначать это отношение символом £ и писать:
xg А
если предмет х является элементом множества А. Если же х не есть
элемент множества А, то мы будем писать:
А
Записью
*2> ’ ‘
мы будем пользоваться в качестве сокращения для «х-^Л н хг£Л
и ., . и хл С Л».
В терминах отношения принадлежности канторовское требование,
согласно которому/ множество определяется своими элементами, может
быть сформулировано следующим образом.
Интуитивный принцип объемности1. Два множества равны & том
и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство двух множеств X и Y будет обозначаться через
1 Употребителен также термин принцип экстенсиональности. — Прим, пере*.
14
Глава h Множества и отношения
а неравенство множеств X и У через
Х^У.
Следует уяснить, что принцип объемности есть нетривиальное допу-
щение об отношении принадлежности. Доказательство равенства каких-
либо двух конкретных множеств А и В состоит, вообще говоря, из двух
частей; в первой части доказывается, что если то х£В; во вто-
рой—что если х$В, то х$Л. Пример такого доказательства приво-
дится ниже.
То (однозначно определенное) множество, элементами которого яв-
ляются предметы xt, х2, ... , хп, будет обозначаться
{Л. *2- • • . *»}•
В частности, —так называемое единичное множество — есть одно-
элементное множество, единственным элементом которого является х.
Примеры А
1. Докажем, что множество Л всех положительных четных целых
чисел равно множеству В положительных целых чисел, представимых
в виде суммы двух положительных нечетных целых чисел. Допустим
вначале, что Д, и докажем, что Если xgj4, то х = так
что х = (2т—Этой означает, что х^В. Предположим теперь,
что и выведем отсюда, что Если х£Вг то х = (2р—1) +
+ (2?—1), откуда х = 2(рЧ-£/—1), из чего следует, что Таким
образом, мы доказали, что множества А и В состоят из одних и тех же
элементов.
2» {2, 4, 6} есть множество, состоящее из первых трех положитель-
ных четных целых чисел. Поскольку {2, 4, 6} и {2, 6, 4} состоят из
одних и тех же элементов, они являются равными множествами. Кроме
того, по той же причине {2, 4, 6} = ^2, 4, 4, 6}.
3* Элементы какого-либо множества сами могут быть множествами.
Например, географическая область, известная как Соединенные Штаты
Америки, есть множество из 50 элементов — штатов, каждый из которых,
в свою очередь, есть множество округов. Далее, {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}}
есть множество из трех элементов, а именно: {1, 3|, {2, 4} и {5, 6},
Множества {{1, 2}, {2, 3}} и {1, 2, 3| не равны, так как элементами
первого являются {1, 2} и {2, 3}, а элементами второго—1, 2иЗ,
4. Множества {{1,2}} и {1,2} не равны, так как первое —одноэлементное
множество, имеющее единственным своим элементом {1т 2}, а второе имеет
своими элементами 1 и 2. Это иллюстрирует то общее замечание, со-
1.2, Основные принципы интуитивной теории множеств 13
гласно которому следует различать предмет и множество, единственным
элементом которого является этот предмет.
Сделаем небольшое отступление, чтобы пояснить символику, исполь-
зуемую нами при обсуждении теории множеств. Как правило, мы будем
пользоваться строчными курсивными латинскими буквами для обозначе-
ния элементов, а для обозначения содержащих их множеств будем упо-
треблять (пока) прописные курсивные латинские буквы. Далее, для
обозначения множеств некоторых определенных видов мы будем исполь-
зовать строчнЕяе греческие буквы* Если элементы какого-либо множества
в свою очередь являются множествами и если мы желаем подчеркнуть
это обстоятельство в обсуждении, мы будем употреблять для обозначе-
ния таких множеств, содержащих множества, прописные рукописные ла-4
тине кие буквы и будем называть их системами множеств. Например,
мы можем в случае необходимости говорить о системе еГ всех конечных
множеств А целых чисел х. Можно сказать в качестве мнемонического
правила, что уровень, занимаемый множеством в рассматриваемой ие-
рархии множеств, определяется размером и фасоном буквы, используемой
для его обозначения.
Обозначение множества с помощью фигурных скобок, употребитель-
ное для явного задания множеств, составленных из небольшого числа
элементов, слишком громоздко, чтобы его использовать для задания
множеств, имеющих хотя и конечное, но большое число элементов, и вовсе
неприменимо для бесконечных множеств (множеств, имеющих бесконечно
много элементов). Как можно задать множество, состоящее из большого
числа элементов? Имеется инстинктивная тенденция различать конечные
и бесконечные множества, исходящая из того, что конечное множество
можно фактически представить в виде некоторой полностью составленной
совокупности, а бесконечное—нельзя. Однако обширные конечные мно-
жества (например, описанное в § 1.1 множество книг) в той же мере «не-
исчерпаемы», как и любое бесконечное множество* Такого рода примеры
приводят нас к заключению, что проблемы эффективного описания ка-
кого-либо обширного конечного множества и описания бесконечного мно-
жества практически представляют собой одну и ту же проблему.
Обычное решение этой проблемы, исходящее от Кантора, основано
на понятии «формы от х»1. Пока мы ограничимся следующим интуитив-
ным описанием* Будем понимать под высказыванием повествовательное
1 В оригинале—formula (формула); в переводе мы предпочли воспользоваться
более подходящим (и употребительным) для дайкой цели термином «форма», тем бо-
лее, что слову «формула* ниже (начиная с § 2.3) будет придаваться специальное зна-
чение.— Прим, перев.
16
Г лава Л и отношения
предложение» которое можно охарактеризовать как истинное или ложное.
Тогда под формой от х мы будем понимать конечную последователь-
ность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхож-
дение х в эту последовательность заменить одним и тем же именем не-
которого предмета соответствующего рода, то в результате получится
высказывание. Например, каждое из следующих выражений есть
форма от х:
5 делит х; ха фх+ 1 > х;
х любит Джона; ха = 2.
х < х;
Напротив, ни одно из следующих выражений формой от х не является:
для всех х ха—4^=(х— 2)(х + 2);
существует такое х, что ха^0.
Каждое из них попросту является высказыванием. Сточки зрения'грам-
матики форму от х можно определить и по-другому — как предложение,
в котором что-то утверждается об х. Ясно, что каждое предложение
первого из приведенных списков обладает этим качеством, предложе-
ния же из второго списка не обладают им. Еще один, отличный от пре-
дыдущих подход к понятию формы использует понятие функции — так» как
оно употребляется в элементарной математике. Форма от х может быть
определена как функция одной переменной х, значениями которой (при
надлежащим образом выбранной области определения функции) являются
высказывания.
Мы будем пользоваться прописными латинскими буквами, стоящими
перед символом (х) для обозначения форм от х. Если в некотором кон-
кретном контексте Р(х) обозначает какую-либо определенную форму, то
Р (а) будет обозначать ту же самую форму, но с заменой х на а.
Наша цель описывать множества в терминах форм достигается с по-
мощью следующего принципа.
Интуитивный принцип абстракции1. Любая форма Р (х) определяет
некоторое множество 4 посредством условия, согласно которому элемен-
тами множества А являются б точности такие предметы а, что Р(а)
есть истинное высказывание.
Поскольку множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны,
то любая данная форма Р (х) определяет в точности одно» вполне оп-
1 Принцип этот часто называют также принципом свертывания: в формулировке
его обычно говорят не о форме, а о формуле, но мы (см, предыдущее примеча-
ние) предпочитаем резервировать этот термин для обозначения формальных выраже-
ний определенного вида (см. §§ 2.3» 2.7 и особенно 3.8).— Прим, перев.
1.2, Основные принципы интуитивной* теории множеств
17
ределенное множество, обычна обозначаемое в математике через
{.<|Р(Х)},
что читается так; «множество всех таких х, что Р(х)». Таким образом,
a g {х j Р (х)} в том и только в том случае, если Р (а) — истинное выска-
зывание. Можно сказать, что решение вопроса, является ли данный
предмет а элементом множества {х| Р (х)}, есть решение вопроса, обла-
дает ли а некоторым определенным свойством (качеством). Поэтому, когда
какую-нибудь форму от х, Р(х), используют для построения некоторого
множества, ее обычно называют свойством х-а (property of х) или, по-дру-
гому, определяющим свойством множества {х|Р(х)}. В таком случае
принцип абстракции можно сформулировать в виде утверждения: «Каждое
свойство определяег некоторое множество».
Мы допускаем возможность вхождения в форму от х других симво-
лов, отличных от х. Если Р (х) есть форма от х, а у—символ, не вхо-
дящий в Р(х), то свойства Р(х) и Р(у) неразличимы, гак что {х|Р(х)} =
— (у | Р (у)}. Равенство эго, однако, не обязательно справедливо в том слу-
чае, когда у входит в Р(х). Например,
{xlx делится на и} = {у^у делится на w},
но
{х|х делится на делится на и}.
С другой стороны, если F(x) и G(x)—два свойства, такие, что F (х)
справедливо для х тогда и только тогда, когда G (х) справедливо для хг
то согласно принципу объемности {x|F{x)} ={x|G(x)}. Например,
(х)х£Л и х£3} = (х|х£В и хб4)
и
{x|xez” и х <5H{x|x€Z+ и (X-НРС29).
Примеры В
1. Введение в обращение бесконечных множеств с помощью опреде-
ляющих их свойств—процедура, хорошо знакомая каждому, изучавшему
аналитическую геометрию. Обычное определение таких геометрических
мест, как, скажем, конические сечения, придется слегка переформули-
ровать. Например, окружность радиуса 2 с центром в начале координат
есть множество всех таких х, что х есть точка плоскости и х находится
на расстоянии в две единицы от начала координат.
2 У, 21 19
18
Г лава I. Множества и отношения
2, Легко видеть, что следующие выражения представляют собой мно-
жества, определенные посредством некоторых свойств:
(a) <^х | х есть целое число, большее 1 и не имеющее делителей,
меньших или равных х ’
(Ь) (х [х есть положительное целое число, меньшее 9};
(с) {х|х есть кривая третьего порядка в координатной плоскости};
(d) {х | х есть ф\ нкция, непрерывная на замкнутом отрезке от 0 до 1}.
3. {х[х = хх или х = х2 или ... или х = х„} есть множество, которое
мы выше договорились обозначать через {хх, хг, ... , х„}.
4. В некоторых случаях язык позволяет нам дать более краткое опре-
деление какого-либо конечного множества, чем то, которое получается
перечислением его элементов. Например, некоторое конкретное множество
из 100 людей может быть более коротко определено с помощью свойства
«х—сенатор», нежели перечислением имен его элементов1.
5. Если А—множество, то х £ А есть форма от х, которая может
быть использована в качестве определяющего свойства некоторого мно-
жества. Поскольку у£ {х|х£ А} в том и только в том случае, если у£А,
то по принципу объемности '
А = {x}xg А}.
Для обозначения множеств используются и различные видоизменения
основной скобочной записи. Например, для того чтобы обозначить мно-
жество всех предметов, являющихся элементами множества А и обла-
дающих свойством Р, вместо {xjxgA и Р(х)} часто пишут: {xgA|f’(x)}.
Это множество можно по-другому охарактеризовать как «множество всех
элементов из А, обладающих свойством Р (х)», и новая запись как раз
отражает этот способ описания. Например, {xgR|0^x^l} обозначает
множество всех действительных чисел между 0 и 1 (включительно), а
{x£Q+|х®< 2}—множество всех положительных рациональных чисел,
квадраты которых меньше числа 2.
Если Р (х) есть некоторое свойство, а / —ф\ нкция, то через
мы будем обозначать множество всех таких у, для которых имеется х,
обладающий свойством Р (х) и такой, что Например, вместо
того, чтобы писать {у\ имеется такой х, что х есть целое число и у = 2х},
мы будем писать
{2x|x£Z}.
1 Разумеется, речь идет о сенате США — Прим. пере*, и^ред.
L2 принципы uwmj/umиеной теории 19
Аналогично через {№|xgZ} обозначается множество квадратов целых
чисел. Такие обозначения допускают естественные обобщения; для пони-
мания смысла в каждом конкретном случае достаточно опираться на
интуицию. Скажем, имея дело с координатной плоскостью, точки кото-
рой отождествляются с элементами множества R3 всех упорядоченных
пар <х, 1 действительных чисел х и у, естественно понимать под
(О, #>€ R2! £ = 2*:} прямую, проходящую через начало координат и
имеющую \главой коэффициент, равный 2.
Принцип объемности, принцип абстракции и принцип выбора (пока,
за ненадобностью, не сформулированный) —это та основа, на которой
строится канторовская теория множеств. Интересно отметить, что, хотя
мы и постарались, прежде чем вводить первые два из этих принципов,
пояснить, что такое множество, ни один из этих принципов (так же
как и третий) не использует определение термина «множеством Факти-
чески каждый из них есть некоторое допущение о множествах. Основ-
ное понятие, используемое при формулировке этих принципов,—это
принадлежность. Таким образом, в качестве важнейшего понятия теории
множеств выступает не столько само понятие множества, сколько отно-
шение принадлежности.
Мы уже упоминали о том, что в интуитивной теории множеств могут
быть получены противоречия. Источником этих неприятностей является
неограниченное употребление принципа абстракции. Самым простым из
известных теоретико-множественных противоречий является то, которое
было открыто Бертраном Расселом в 1901 году. Оно связано с мно-
жеством 7?, определяющим свойством которого служит форма и
может быть сформулировано следующим образом: с одной стороны, RgR,
а с другой — R^R. Неформальные доказательства обоих этих противо-
речащих друг другу утверждений читатель проведет без труда.
Упражнения
1. Объясните, почему 2g {!, 2, 3}.
2. Верно ли, что {1, 2}g{{l, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Ответ обосновать.
3. Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным
элементом.
4. Приведите пример таких множеств А, В и С, что AgB, BgC,
но не AgC.
5. Опишите словесно каждое из следующих множеств;
(a) ^xgZ|x делится на 2 и х делится на 3};
(Ь) {x|xg А и х g В};
1 Здесь мы пользуемся обозначением, подробно обсуждаемым ниже.
2*
20
Глава L Множества и отношения
(с) «л*1
(d) {х ё Z+ [ х б {* € Z i для некоторого целого у, х = 2у} и х £ {х € 21
для некоторого целого у, х = 3у}};
(е) {хг|х—простое число};
(f) {o/b€Q|a+&= 1 и a, fr^Q};
(g) {<*- y>€R*l*s+0*«=lh
(h) {<x, ^>eR2|!/ = 2* и ff=3x}.
6. Докажите, что для любых, не обязательно различных между собой
предметов а, Ь, с и d {{а}, {а, 6}} = ({с}, {с, d}} в том и только в том
случае, когда а = с и Ь — <1.
1.3. Включение
Теперь мы введем еще два отношения между множествами. Если А и
В суть множества, то говорят, что А включено в В (символическая за-
пись: A s В), если каждый элемент множества А является элементом
множества В. В этом случае говорят также, что множество А есть под-
множество множества В. Далее мы условимся считать выражение
«В включает А» (символически: В э Л) синонимом для «Л включено в В».
Таким образом, как XsB. так и В = А означает, что для каждого х,
если то х£В. Множество А строго включено в В (символически:
А с В), или, по-другому, В строго включает А, или А есть истинное
подмножество В, если А е В и А В. Например, множество четных
чисел строго включено в множество Z целых чисел, а/множество Q '
рациональных чисел строго включает Z.
Основные свойства отношения включения следующие:
XsX;
Х<=У и Ys=Z влечет XsZ;
X — У и У s X влечет X — У,
Последнее из этих соотношений выражает в терминах отношения
включения два шага в доказательстве равенства двух множеств: для
того чтобы доказать, что Х=У, надо доказать, что Х = У, а затем,
что У s X.
Для отношения строгого включения справедлив аналог лишь одного
из этих трех свойств—второго. Доказательство того, что X с У и У cZ
влекут X с Z, составляет предмет одного из упражнений в конце этого
параграфа. Там же читатель найдет я другие свойства строгого вклю-
чения, в том числе вытекающие из свойств отношения включения, част-
ным случаем которого оно является. г
1.3. Включение
21
Поскольку начинающие склонны смешивать отношения принадлеж-
ности и включения, мы при каждом удобном случае будем подчерки-
вать различия между ними. Заметим сразу же, что аналоги первых двух
из перечисленных выше свойств отношения включения для отношения
принадлежности не верны. Например, если X есть множество простых
чисел, то Х^Х. Другой пример: хотя 16Z и Z(E{Z}, не верно, что
1 G(Z}i так как единственный элемент множества {Z}—это множество Z.
Обратимся теперь к рассмотрению подмножеств какого-либо мно-
жества, т. е, множеств, включенных в некоторое множество. Образова-
ние новых множеств из уже имеющегося множества — процедура, игра-
ющая важную роль в теории множеств. Определять подмножества дан-
ного множества позволяет принцип абстракции- В самом деле, если Р(х)
есть форма от х и Л есть некоторое множество, то форма
х £ А и Р (х)
определяет то множество, которое мы выше условились обозначать через
{х€ А | Р(х)}. Если Л— произвольное множество, а в качестве Р{х) мы
выберем хФх, то результат будет {х£Л — это множество, оче-
видно , не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может
быть только одно множество, не имеющее элементов. Мы будем назы-
вать это множество пустым множеством и обозначать его через
0,
Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы уста-
новить это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то
каждый элемент множества 0 есть элемент множества Л. Поскольку 0
не имеет элементов, это условие выполняется автоматически. Хотя такое
рассуждение правильно, в нем есть нечто неудовлетворительное. Имеется
и другое, косвенное доказательство, которое может оказаться более удоб-
ным. Допустим, что 0S А ложно. Это может быть лишь в том случае,
если существует некоторый элемент множества 0, не являющийся эле-
ментом множества Л. Но это невозможно, так как 0 не имеет элементов.
Значит, 0s Л не является ложным, т. е. 0s Л.
Каждое множество А^ф имеет по крайней мере два различных
подмножества: само Л и 0, Кроме того, каждый элемент множества А
определяет некоторое подмножество множества Л, Если ag Л, то
{a}s Л. В некоторых случаях бывает нужно говорить не об отдельных
подмножествах некоторого множества, а о множестве всех подмножеств
этого множества- Множество всех подмножеств множества А называется
22
Глава L Множества и отношения
множеством-степенью множества А и обозначается через
^(Л).
Таким образом, ^(Л) есть сокращенное обозначение для
{В|В = Л}.
Например, если А ~ {1, 2, 3}, то
^(Л) = {Л, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, <2}, {3}, 0}.
В качестве другого примера различия между отношениями принадлеж-
ности и включения мы отметим, что если В = А, то В£^(Л), а если
а^А, то {а}еЛ и {а|€^М)-
Термин «множество-степень множества Л» в качестве наименования
множества всех подмножеств множества А ведет свое происхождение
от того случая, когда Л есть конечное множество; в этом случае для
А, состоящего из п элементов, ^(Л) имеет 2" элементов. Чтобы дока-
зать это, рассмотрим следующую схему для описания Подмножества В
множества Л = {ап .... a,J: последовательность п нулей и единиц,
первый член которой есть 1, если Ог^В, и 0, если а-^В, второй
член есть 1, если а2бВ, и 0, если оа£В, и т. д. Ясно, что каждое
подмножество множества Л можно поставить в соответствие некоторой
такой последовательности нулей и единиц; например, если п = 4, то
{^1, п3} определяет последовательность 1010 н само определяется ею.
Поскольку общее количество таких последовательностей равно
2-2- ... -2 — 2", число элементов множества ^(Л) также/равно 2".
Упражнения
1. Доказать каждое из следующих утверждений, используя необхо-
димые свойства чисел.
(а) {л ё Z | для некоторого у х = 6#} = {х $Z | для некоторых целых
чисел и и v х = 2и и х = 3п};
(b) pcgR| для некоторого действительного числа у х = #а} =
== {x£R| х>0};
(с) {x£Z| для некоторого целого числа у х = 6у} {x^Zj для
некоторого целого числа у х = 2у}.
2. Доказать каждое из следующих утверждений для произвольных
множеств Л, В и С:
(а) Если Л = В и В = С, то A s С.
(Ь) Если А е В и В с С, то Л с С.
(с) Если Л сВ и В = С, то А с С.
(d) Если Л cz В и В сС, то Л сС.
1Л. Операции над множествами
3. Привести пример множеств А, В, С, D и Е, удовлетворяющих
одновременно следующим условиям: А а. В, В£С, СcD и D с Е.
4. Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А,
ВаС?
(а) Если А$В и В$С, то А$С.
(Ь) Если А г^= В и ? =£ С, то А Ф С.
(с) Если AgB и не верно, что BsC, то А$С.
(d) Если А с В и В ^С, то не верно, что Се А.
(е) Если 4 s В и В^С, то А^С.
5. Показать, что для любого множества А ф^ А и что А^ф тогда
и только тогда, когда А—ф.
6. Пусть Ах, А2, .. , А„ — п множеств. Показать, что
Аг£= Ай = . .. <= А„ = Ах
тогда и только тогда, когда
Aj = А2 — • • • — Аи.
7. Привести несколько примеров таких множеств X, для которых
каждый элемент множества X есть подмножество множества''Х.
8. Перечислить все элементы множества I? (А) для множества
Д = {{1, 2}, {3}, 1}.
9. Для каждого положительного целого числа п указать пример
такого множества А„, состоящего из п элементов, что для каждой пары
элементов множества А„ один из элементов есть член другого.
1.4. Операции над множествами
Продолжая описание методов получения новых множеств из уже
существующих, мы опишем два метода, при помощи которых из двух
множеств строится новое множество. Эти так называемые операции над
множествами в некоторых отношениях аналогичны операциям сложения
и умножения целых чисел. Объединение (соединение, сумма) множеств
А и В (обозначается через А и В', A U В читается как «объединение
А и В» или «А чашка В») есть множество всех предметов, которые
являются элементами множества А или В; иными словами,
AllS = {x|x€A или х£В}.
Здесь подразумевается неисключающий смысл слева «или»1.
1 См. §§ 2.1 и 2.2. —Прим, перев.
24
Г лава Д Множества и отношения
Таким образом, по определению xg А и В тогда и только тогдя, когда
х есть элемент хотя бы одного из множеств А и В. Например,
{1, 2, 3| U {1, 3( 4} = {1, 2, 3. 4}.
Пересечение (произведение) множеств Л и В (обозначается через
А Л В; Лпй читается как «пересечение Лий» или «Л крышка Вэ)
есть множество всех предметов, являющихся элементами обоих мно-
жеств Л и В; иными славами:
ДЛВ = {х|х£Л и xgB}.
Таким образом, по определению х^ЛпВ тогда и только тогда,
когда х£А и х£В. Например,
{1, 2, 3} Л {1, 3, 4} = {1, 3}.
Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что для
всякой пары множеств Л н В имеют место следующие включения:
Два множества Л и В называются непересекакнцимися (или расчле-
ненными), если ЛпВ = <£, и пересекающимися, если ЛпВ^^, Система
множеств называется расчлененной, если любая пара ее различных эле-
ментов является непересекающейся. Разбиением множества X мы будем
называть такую расчлененную систему непустых и различных под-
множеств множества X, что каждый элемент множества X является
в то же время элементом некоторого (а следовательно, в точности
одного) элемента системы Ж. Например, {{1, 2}, j3}T ^4, 5}} есть раз-
биение множества {1, 2, Зг 4, 5).
Следующая операция —операция перехода к дополнению —позволяет
образовать новое множество из одного ранее существовавшего множе-
ства. Абсолютное дополнение множества А (обозначается через Д) — это
не что иное, как множество {х |хе Д}. Относительное дополнение мно-
жества Л до множества /— это множество X Л А; оно обычно обозна-
чается через X —Л, что читается как «X минус Л». Таким образом,
X — А есть сокращение для
{хех|х£л},
т, е. для множества тех элементов множества X, которые не являются
элементами множества А.
I 4. Операции над множествами 25
Симметрическая разность множеств А н В обозначаемая через
Д + В, определяется следующим образом:
Л4-В-(А—В)и (В—А).
Эта операция1 коммутативна [А4-В = В-}-А] и ассоциативна {(А-рВ)+
+С = A -HB + Q]* Кроме того, Л + Л=0иЛ + ф = Л. Доказательства
этих утверждений предоставляются читателю.
Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения мно-
жества являются подмножествами некоторого множества Ut то это мно-
жество U называют универсальным множеством (для этого рассуждения1 2).
Например, для элементарной арифметики универсальным множеством
служит Z, а для аналитической геометрии плоскости — множество всех
упорядоченных пар действительных чисел. Для графической иллюстра-
ции отношений, которые могут иметь место между подмножествами
какого-либо универсального множества U, часто используют так назы-
ваемые диаграммы Венна. Диаграмма Венна представляет собой схема-
тическое изображение множеств в виде точечных множеств: универсаль-
ное множество U изображается множеством точек некоторого прямо-
угольника, а его подмножество Л —в виде круга или какой-нибудь
другой простой области внутри этого прямоугольника3 * * &. Дополнение
множества А (до U)} которое мы можем, не опасаясь двусмысленности,
обозначать через .4, изображается в таком случае той частью прямо-
угольника, которая лежит за пределами круга, изображающего Л
(рис. 1). Если изобразить таким образом какие-нибудь множества А и В,
являющиеся подмножествами множества (7, то множества ДлВ н ЛиВ
изображаются областями, заштрихованными, соответственно, на рисунках
2 и 3. Непересекающиеся множества изображаются неперекрывающимися
областями, а включение множеств соответствует тому обстоятельству,
что одна из областей на диаграмме Венна целиком лежит внутри дру-
гой. Построение диаграммы Венна для сложного выражения, составлен-
ного из нескольких множеств посредством объединения, пересечения,
1 Читатель, возможно, привык к использованию различных терминов для наиме-
нования какой-либо операции и ее результата' «умножение^— «произведение», «сло-
жение»— «сумма», «вычитание* — «разность** В этой книге во многих случаях (хотя
к не всегда) для обоих понятий используется один термин; к двусмысленностям это не
приводит, поскольку из контекста ясно, о чем именно идет речь,— Прим, перев.
а Под «рассуждением# здесь может пониматься и целая книга или даже некото-
рая научная теория; ср, ниже авторские примеры. Вместо «универсальное множество»
часто говорят «универсум рассуждения» пли просто «универсум*.— Прим. перев.
& Этот способ изображения отношении между множествами (или классами, поня-
тиями, свойствами) известен также под именем «кругов Эйлера*.—Прим, перев.
26
Г taea I Множества и отношения
дополнения и включения, осуществляется’комбинированием описанных
способов построения диаграмм для этих составных частей. Диаграммы
Венна применяются главным образом для упрощения некоторого дан-
ного сложного выражения или совокупности условий на подмножества
универсального множества. Ниже мы приведем три простых примера
_ Рис 1
А заштриховано
Рис 2
ДПЙ заштриховано
Рис 3
Л(J5 заштриховано
такого рода Во многих случаях такие диаграммы оказываются недоста-
точными, но их использование все же может помочь при освоении алгеб-
раического подхода, развиваемого в следующем пара1рафе
Примеры
1. Пусть А и В — два таких множества, что Я —В = В— А=ф-
Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?
Рис 4
Рж 5
Рис 6
Поскольку А — В"ф означает, что Аг\В=ф, области, представляющие
Л и В на диаграмме Венна (рис 4), не перекрываются Очевидно!
В —В, так что мы получаем Л sВ (рис 5). И обратно, если As В,
то, очевидно, А—В = ф. Мы приходим к выводу, что А~В=ф равно-
сильно А^В Поменяв ролями А и В, мы получим, что В — А = ф
равносильно В^А Таким образом, заданные отношения между А и В
равносильны тому, что AsB и 6sA, т е А = В
2. Рассмотрим вопрос, можно ли указать три таких подмножества
Я, В и С универсального множества U, для которых одновременно
имели бы место следующие соотношения
С^Ф, А[}В=£ф, АпС^ф, (А[]В) — С = ф
1 над множествами
27
Из второго условия вытекает, что Л и В пересекаются, из чего,
кстати, следует, что оба они непусты Согласно примеру 1 четвертое
условие равносильно тому, что А п В s С, из чего видно, что первое
условие является излишним С помощью диаграммы Венна легко убе-
диться, что Л и С пересекаются, т. е, что второе и четвертое условия
противоречат третьему Следовательно, множеств, одновременно удов-
летворяющих всем приведенным условиям, не существует
3 Пусть F, G и L—такие подмножества множества U, что
F^G, G[}L^F, LnF — ф
Можно ли на самом деле найти такие множества F, G и L, которые
удовлетворяли бы этой совокупности условий^ Диаграмма Венна (рис 6)
иллюстрирует только первое и третье условия Но теперь из второго
условия следует, что L и G не могут пересекаться, так что GnL=0.
С другой стороны, если FsG и GnL = 0, то выполняются все задан-
ные условия Таким образом, данная система условий может быть све-
дена к более простой F-~G и <?ПТ = Ф
Упражнения
Замечание В упражнениях 1—8 надо обойтись без использова-
ния диаграмм Венна
I. Доказать, что для любых множеств А и В верно 0ЕДлВ£ДиВ.
2. Пусть универсальным множеством служит Z и пусть
X = {x£Z| для некоторого положительного целого числа у х — 2у},
В ~ {х € Z} | для некоторого положительного целого числа у х = 2у— 1}
С = {x€Z |х< 10}.
Опишите множества А, Ди В, С, А—С и С — (Ди В) словесно или
с помощью определяющего свойства
3. Рассмотрим следующие подмножества множества целых положи-
тельных чисел Z +
4={х€2+Гдля некоторого целого числа у х = 2у}„
B = {x€Z+| для некоторого целого числа у х = 2у4-1},
C = {xgZ+| для некоторого целого числа у х = 3у}
(а) Опишите ДПС, Ви С и В — С
(Ь) Проверьте, что Дл(В иС) = (Дп В)и(ДЛС)
28
Г лае а /, Множества и отношения
4. Пусть А — произвольное множество. Что представляют собой сле-
дующие множества: Л ПФ, Лиф, А—ф, Л— Л, ф—Л?
5. Определите: 0П{0}, {0}П{0}, {0, {0}}— ф, {ф, {0}} —{0}.
{0, {0}К{Ш
6. Пусть А и В — подмножества множества L'. Покажите, что для
каждой приведенной ниже системы соотношений (а), (Ь) и (с) из спра-
ведливости одного соотношения системы вытекает справедливость всех
других соотношений данной системы:
(а) А = 7зВ, А иВ = В, АпВ~А;
(Ь) Лпб = 0, Аз В, ВзА;
(с) ДиВ=С/, АзВ, Вз А.
7. Докажите, что для произвольных множеств А, В н С
(Л П В) и С = А п (В и С) равносильно С з А.
8. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С
(Я — В)—С = (А —С) — (В—С).
9. (а) Постройте диаграмму Венна, соответствующую симметрической
разности А 4- В множеств Л и В;
(Ь) с помощью диаграммы Венна покажите коммутативность и
ассоциативность операции симметрической разности;
„ (с) покажите, что для любого множества А А~А —ф, Л + 0 = А.
1й. На диаграмме Венна для подмножеств Л, В и С универсального
множества U прямоугольник, соответствующий U, разбивается, вообще
говоря, на восемь неперекрывающихся областей. Укажите, какие ком-
бинации множеств А, В и С соответствуют каждой из этих областей.
11. С помощью диаграмм Венна исследуйте вопрос о справедливости
каждого из следующих рассуждений:
(а) Если А, В и С—такие подмножества множества U, что
А П В £ С и АцСзВ, то ЛпС = 0.
(Ь) Если А, В и С—такие подмножества множества (/, что
4 = ВиС и Вз А UC, то В=ф.
1.5. Алгебра множеств
Если мы захотим приняться за рассмотрение более сложных вопро-
сов, касающихся различных соотношений между множествами, нежели
те, которых мы касались выше, то мы сразу же ощутим необходимость
1.5. Алгебра множеств 29
в более систематизированных методах обращения с множествами, отно-
сящихся к включению, объединению, пересечению и дополнению.
Иначе говоря, то, что ниже будет естественным образом названо
«алгеброй множеств»—это не что иное, как дальнейшее развитие основ-
ных свойств операций и, п. ” и s и связей между ними. Можно ска-
зать, что алгебра множеств представляет собой теоретико-множествен-
ный аналог обычной алгебры действительных чисел, исходящей из свойств
операций +, и < и их взаимосвязей. Алгебра множеств представ-
ляет собой совокупность тождеств—равенств, справедливых независимо
от того, каково универсальное множество U и какие именно конкрет-
ные подмножества множества 17 обозначаются входящими в эти равев-
ства буквами (отличными от U и ф).
Первый наш результат устанавливает основные свойства объединения
и пересечения. Ради единообразия все эти свойства будут сформулиро-
ваны для подмножеств универсального множества U. Однако для неко-
торых из этих свойств упомянутое ограничение является совершенно
несущественным, что видно из приводимых ниже доказательств.
Тео ре’ма 1.1. Для любых подмножеств А, В u С универсального мно-
жества U следующие равенства являются тождествами (А здесь исполь-
зуется в качестве сокращения для U—Л):
1. Ли(ВиС) = (ЛиВ)иС. 1'. Ап(ВЛС) = (АпВ)ЛС.
2. АиВ = ВиЛ. 2'. АпВ=ВлЛ.
3. Ли(ВАС) = (ЛиВ)Л(Л UC). 3'. ЛП(ВиС) = (ЛАВ)и(ЛпС).
4. АиФ = Л. 4'.‘ ЛП U_ = A.
5. AljA=U. 5'. ЛпЛ^ф.
Доказательство. Справедливость каждого из этих утверждений
можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от
знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от
этого знака равенства. В качестве примера докажем тождество 3.
(а) Доказательство того, что A U (В А С) S (A U В) П (Л Ц С). Пусть
х^Ли(ВПС)- Тогда х£А или х^ВПС. Если х^Л, то х£ЛиВ и
х€ЛиС, а, следовательно, х есть элемент пересечения этих множеств.
Если х£В[\С, то х € В и х £ С. Следовательно, х g А и В и х^ЛиС.-
так что и в этом случае х есть элемент их пересечения.
(Ь) Доказательство того, что (Л и В) Л (Л и С) s А и (В А С). Пусть
х€ (Л и В) А (Л и С)- Тогда х^АиВ и x€A(jC. Следовательно, х€Л,
или же х£В и х£С. Из этого и вытекает, что x£Au(BnC).
30
Г лава /. Множества и отношения
Тождества 1 и Г называют ассоциативными законами, соответственно,
для объединения и пересечения, а тождества 2 и 2'— коммутативными
законами для этих операций. Тождества 3 и 3'.— это дистрибутивные
законы для этих операций. В этом пункте нарушается аналогия, имею-
щая место между свойствами объединения и пересечения множеств,
с одной стороны, и, соответственно, сложения и умножения чисел —
с другой. 3' в точности соответствует дистрибутивному закону арифме-
тики. Расхождение проявляется в тождестве 3, для которого в арифме-
тике нет аналога.
Согласно ассоциативному закону (тождество I), два множества, кото-
рые можно образовать с помощью операции объединения, исходя из мно-
жеств А, В и С, взятых в определенном порядке, равны. Условимся
обозначать это единственное множество через АиВиС. Ассоциативный
закон утверждает, что не играет роли, как расставить скобки в этом
выражении. При помощи математической индукции этот результат можно
обобщить следующим образом. Все множества, получаемые с помощью
операции объединения из заданных множеств Л1Г А2, ..., Аа, взятых
в фиксированном порядке, равны друг другу. Множество, получаемое
таким способом из Ах, А2, ..., А„, мы будем обозначать через
A U ASU • U Ап. '
В силу тождества I' соответствующее обобщение справедливо и для опе-
рации пересечения. Эти общие ассоциативные законы позволяют нам уста-
новить общие коммутативные законы: если Г, 2', .. , п' суть числа
1, 2, ... , п, взятые в произвольном порядке, то
А и Л и ... U Л„ = А- и АЕ. и ... U АЛ>.
То же можно сказать и об общих дистрибутивных законах;
A U (В1ЛВ2п ЛВ„) = (АиВ1)П(ЛиВг)П •.. П (A U В„),
А Л (Вх U В2 U ... и Вл) = (А П Вг) U (А Л Bg) U .. • U (А П В„).
Законы эти также могут быть доказаны по индукции.
Подробные доказательства дальнейших свойств объединения и пере-
сечения не требуют никаких ссылок йа отношение принадлежности — эти
свойства непосредственно следуют из тех, которые устанавливаются
в теореме 1.1. Это относится, в частности,'и к тем свойствам, которые
фигурируют в следующей теореме. Эго обстоятельство можно расценивать
как источник «аксиоматического подхода» к алгебре множеств, разви-
ваемого ниже, в главе IV. Подход этот основан на том, что любая теорема
алгебры множеств выводима из 1—5 и Г—5'.
1 5. Алгебра множеств 3t
Указанные десять свойств позволяют сделать и другой интересный
выгод. В теореме 1.1 эти свойства фигурируют попарно таким образом,
что каждый член любой пары получается из другого члена одновремен-
ной взаимной заменой U и Л, ф и U. Равенство (или выражение, или
утверждение) алгебры множеств, полученное из другого равенства (соответ-
ственно, выражения или утверждения) заменой всех вхождений и на л ,
Л на и,фна£/и(/на0, называют двойственным исходному. Мы утвер-
ждаем, что предложение, двойственное любой теореме алгебры множеств,
сформулированной в терминах и> Л и ", для доказательства которой
можно обойтись лишь тождествами 1—5 и Г -5', также является теоремой.
В самом деле, допустим, что доказательство исходной теоремы пред-
ставлено в виде последовательности шагов, а рядом с каждым шагом
записано его обоснование. По предположению каждое такое обоснование
является одним из тождеств 1—5, Г—5' или условием теоремы. Заменим
теперь каждое тождество и соотношение, встречающееся в доказательстве
и обосновании, двойственным ему. Поскольку тождество, двойственное
каждому из тождеств 1—5, Г—5', снова является одним из этих тож-
деств, а утверждение, двойственное посылке исходной теоремы, является
посылкой новой теоремы, результат замены каждого шага обоснования
в доказательстве исходной теоремы может служить обоснованием соот-
ветствующего шага новой последовательности, которая, следовательно,
будет являться доказательством. Таким образом, последняя строка новой
последовательности является теоремой, двойственной исходной теореме.
Согласившись, что любая теорема алгебры множеств может быть выве-
дена из условий 1—5 и 1'—5', мы приходим к принципу двойственности
для алгебры множеств: для любой теоремы Т, формулируемой в терми-
нах (J, П и двойственное ей предложение также является теоремой.
Из этого принципа, например, получается, что если какое-нибудь утверж-
дение следующей теоремы непосредственно вытекает из теоремы 1.1, то
соответствующее ему (т. е. находящееся в паре с тем же номером) утверж-
дение также в силу двойственности вытекает из теоремы 1.1. Читатель
сам сможет убедиться, что все утверждения теоремы 1.2 истинны, используя
определения для и, Л и “ в терминах отношения принадлежности.
После этого стоило бы попытаться вывести некоторые из этих утвержде-
ний прямо из теоремы 1,1, т. е. без какой бы то ни было апелляции
к определению отношения принадлежности. Некоторые примеры такого
рода читатель найдет ниже, в доказательстве теоремы 4.1.
Теорема 1.2. Для произвольных подмножеств А и В множества U
справедливы следующие утверждения (Л здесь служит секращением для
U— А)-.
32
Г лава. L Множества и отношения
6. Если для всех А А()В = А,
то В = Ф-
7.7'. Если А и В
8.8'.
9. ф=и.
10. АиА = А.
11. AUl/=i/-
12. A U (А Л В) = А.
13. А иВ = А ПВ.
6'. Если для всех А АПВ — А,
то В = 17.
= U и АпВ=ф, то В = А.
Л= А.
9'. й=ф.
10'. апа = а.
11'. АП0 = 0.
12'. АП(АиВ)=_А.
13'. AfiB = AuB.
Некоторые из тождеств теоремы 1.2 известны под специальными име-
нами. Так, 10 и 10' — это законы идемпотентности, 12 и 12'—законы
поглощения, 13 и 13'—- законы де Моргана. Каждое из тождеств 7,7' и 8,8'
занумеровано дважды, чтобы подчеркнуть, что каждое из них не меняется
при преобразовании, переводящем его в двойственное; такие формулы
называют самодвойственными. Заметим, что 7,7' утверждает, что каждое
множество имеет единственное дополнение.
По поводу следующей теоремы требуется пояснение. Утверждение
вида «Предложения попарно эквивалентны» означает:
«Для любых i и / /?, эквивалентно /?,», что, в свою очерепь, справедливо
в том и только в том случае, когда l?s влечет Rtf R2 влечет R9, ..., Rk^
влечет /?к, Rk влечет Ях. Содержанием теоремы является /о, что отно-
шение включения множеств может быть определено в терминах объеди-
нения, а также в терминах пересечения.
Теорема 1.3. Следующие предложения о произвольных множествах А
В попарно эквивалентны:
(I) As В;
(11) АЛВ = А;
(III) АиВ = В.
Доказательство. (I) влечет (II). Пусть А е В. Поскольку для
всех А и В ArBsA, нам достаточно доказать, что AsAnB. Но
если х£ А, то х£В и, следовательно, х^АпВ. Значит, As Af] fi-
ll!) влечет (III). Пусть Апй = Л. Тогда АиВ = (АпВ)Цб =
«(АиВ)л(ВиВ)=(АиВ)ЛВ = В.
(III ) влечет (I). Пусть A(jB=£. Но из этого тождества и тожде-
ства А = А и В следует А s В.
I 5. Алгебра множеств _ _ _ 33
Принцип двойственности в том виде, как он был сформулирован выше,
не приложим непосредственно к выражениям, содержащим знаки ~ или^
На вычитание этот принцип может ^ыть распространен использованием
несокращенной формы, а именно А п В вместо А—В. Точно так же в силу
теоремы 1.3 В можно заменить на А П В = А (или А и В == В). А еще
лхчше будет сказать, что, поскольку двойственным к А П В А является
соотношение А[]В — А, эквивалентное А з В, то принцип двойствен-
ности может быть расширен на тот случай, когда в выражение входит
символ включения, распоряжением, чтобы при переходе к двойственному
выражению все знаки заменялись на (соответственно, э) и
обратно.
Примеры
1. Установленные нами тождества позволяют упрощать различные
сложные выражения, содержащие множества, подобно тому как такие
упрощающие тождественные преобразования делаются в алгебре.
Приведем три примера
(а) АПВиВ^= MJBUB=AUB.
(Ь) (АпвпОиЙ п в пс) и в и с=[(Д и Л)пвпс]и£ис==
_ _ =[t/nBnc]UBnc^(BnC)uB-nc^t/.
(с) (ААВПСПХ)и(АпС)и(ВпС)ЩСпХ)^
= (А п в n С n X) и [(Л и в и X) л С] =
-[(АпВпХ) иАлВп^]ПС = С'ЛС = С.
2, В алгебре множеств имеется своя теория уравнений, значительно
отличающаяся от той, которую мы знаем из курса алгебры. В качестве
иллюстрации мы опишем здесь метод решения одного уравнения с одним
«неизвестным», т. е, выражения, построенного с помощью последователь-
ного связывания знаками П, U и —1 символов Ар А2.Аи,обозна-
чающих некоторые фиксированные подмножества некоего универсального
множества Ur и символа X, обозначающего некоторое подмножество мно-
жества 6/, причем условием, определяющим X, как раз и является дан-
ное уравнение. Средствами алгебры множеств удается ответить на вопрос,
при каких условиях такое уравнение имеет решение, и, если эти усло-
вия выполнены, найти все такие решения. Опишем этот метод; доказа-
тельство того, что он является таковым (вернее, доказательство правила
1 И знаком равенства,— Прам. перев.
3 AR э 1 I <>
34
Глава Л Множества и отношения
ности каждого шага), предоставляем читателю в качестве упражнения
{см. упражнение 7).
I шаг. Два множества равны в том и только в том случае, если их
симметрическая разность равна ф. Следовательно, любое уравнение {от-
носительно Л) равносильно некоторому уравнению, в правой части кото-
рого стоит ф.
II шаг. Любое уравнение (относительно X), в правой части которого
стоит ф, равносильно некоторому уравнению вида
(Л ЛХ)и(ВлХ) = 0,
где А и В — обозначения некоторых множеств, не содержащие символа X.
III шаг. Объединение двух множеств равно ф в том и только в том
случае, когда каждое из них равно ф. Значит, уравнение, получаемое
на II шаге, равносильно системе двух уравнений
А(\Х = ф, В[]Х = ф.
IV шаг. Выписанная на Ш шаге пара уравнений, а следовательно
и исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда fis Л ,
При этом условии любое множество X такое, что Вс X = А, является
решением данного уравнения.
В качестве примера найдем необходимое и достаточное условие суще-
ствования решения уравнения ХиС = О:
хи^-о,
[(X и С) П D] и [D П (X и С)] = ф, (I шаг)
[<ХиС)пО]и[ОлХАС] =0,
(X nD)U(CnD)U(£>ПХПС) = 0,
(5пХ)и[(СпО)П(ХиХ)]и(ДпСп Х) = ф.
(Введение в предыдущее уравнение члена X U X обсуждается ниже,
в упражнении 7 (Ь).)
(DOX) U (С П D П Х)ЩСЛ D П X) (J (ОлСп Х) = ф,
ДОЩСЛР)] Л X} и {[(СП D) U(D ПС)] ЛХ} =ф,
(ДПХ)и[(С + О)лХ) =Ф,
D Л X = ф и (С -j- D) Л X = ф.
(II шаг),
(III шаг).
1.5. Алгебра множеств
35
Итак, уравнение ХиС = О имеет решение в том и только в том случае,
когда
С -L>^D. (IV шаг)
Предоставляем читателю показать, что это условие можно упростить,
приведя его к виду С S D.
Упражнения
1. Доказать, что соотношения 3', 4' и 5' из теоремы 1.1 являются
тождествами.
2. Доказать соотношения 6—13 теоремы 1.2, исходя из отношения
принадлежности. Попробуйте получить эти же результаты, пользуясь
только теоремой 1.1. Хотя бы для одного такого доказательства выпи-
шите соотношения, двойственные каждому его шагу, чтобы получить дока-
зательство двойственного утверждения.
3. С помощью только теорем 1.1 и 1.2 докажите, что следующие
равенства являются тождествами:
(а) (Л АВлХ)и(ЛпВпСлХПУ) и(Лп X ЛА)= ДЛВЛХ;
(Ь) (Л Л В л С) и (А п В л С) ивис = (/;
(с) (ДЛВпСлХ)и(ЛпС)и(ВпС)и(СпХ)=С,
(d) [МлВ)и(ЛпС)и(ДпХПП1П
n [MnBnC)U(JnXnF)U(4nBnr)] =
= (ДПВ)и(ЛПВЛХЛК).
4. Выполнить упражнение 9 (Ь) из § 1.4, пользуясь только средст-
вами алгебры множеств, описанными в настоящем параграфе.
5. Пусть At, А2, ... , А,множества; пусть далее
Sa=4jU • • U 4* (ft=l, 2, .. , га).
Доказать, что
si= Их. Aa-Sa, . ..,А„—5Я_Д
есть расчлененная система множеств и что
... U(4„-SB_I).
При каких условиях есть разбиение множества Sn?
3*
36
Глаза 1. Множества и отношения
6, Доказать, что для произвольных множеств Alt A2t ... , Ап 2)
Лил8и... иЛ„ = (Л1-Л8)и(Лг— Д3)и... ЩЛ^я-Л^и
и(Ли-Л1)и(Л1лЛ,П ...Л„).
7. В связи с примером 2 доказать следующие утверждения:
(а) Для любых множеств А и В А =В тогда и только тогда,
когда А + В = Ф-
(Ь) Уравнение X с ф в качестве правой части может быть при-
ведено к виду (А Г)Х)и(В ЛХ)=0.
Указание. Доказательство можно провести по следующей схеме. Прежде всего
применять законы де Моргана до тех пор, пока операция дополнения не будет
относиться лишь к отдельным множествам. Затем развертывать левую часть уравне-
ния согласно дистрибутивным законам! пока она не преобразуется в объединение
нескольких членов 7\, каждый из которых представляет собой пересечение нескольких
отдельных множеств, Далее, если в какое-либо 7f- не входит ни X, ни X, заменить
такое 7\ на и развернуть согласно предыдущему пункту, В заключение
сгруппировать вместе члены, содержащие X, и отдельно, члены, содержащие X, и при-
менить к полученному выражению второй дистрибутивный закон.
(с) Для любых множеств А и В АцВ = ф тогда п только тогда,
когда А - В = ф,
(d) Уравнение (4 Г| X) и (В П X) = ф имеет решение тогда и только тог-
да, когда В = А, причем решением является любое такое X, что В s X s А.
(е) Другая форма решения уравнения из (d) есть X =(BuTjn4,
где Т—произвольное множество.
8. Доказать, что для произвольных множеств А, В, С, D и X:
(а) [(ЙпХ)и(ВАХ)] = (4 П X) U (S П X);
(Ь) [(4 n X) и [В П X)] и [(С П X) и (D П X)] -
_ =[(4 UC)nX]U[(B иД)П X];
(с) [<4nX)U(BflX)]f)[(CnX)U(DnX)] =
= [(ЛпС)ПХ]и[(ВПО)ПХ].
9. Пользуясь результатами упражнений 7 и 8, доказать, что урав-
нение
(4 П X) U (В П X) = (С ПХ)и(ДпХ)
имеет решение в том и только в том случае, когда В 4- D = А 4- С. Найти
в этом случае все решения.
I 6. Отношения
37
1.6. Отношения
В математике часто пользуются для обозначения какой-либо связи
между предметами или понятиями термином «отношение». Следующие
неполные предложения (или предикаты) могут служить примерами отно-
шений:
. .. меньше, чем ... . . конгруэнтно ... ... член ...
, .. делится на ... ,,. включено в ... ... мать ...
В настоящем параграфе понятие отношения будет освещено в рамках
теории множеств.
Формулируемое ниже определение исходит из следующего предвари-
тельного представления: (бинарное) отношение используется в связи
с парами объектов, рассматриваемых в определенном порядке; оно
касается существования определенного типа связи между некоторыми
парами- Мы считаем при этом, что отношение дает критерий для отли-
чения одних упорядоченных пар от других в следующем смысле. Если
перечень всех упорядоченных пар. для которых имеет смысл говорить
о данном отношении, задан, то с каждой такой парой мы связываем
слово еда» или «нет» в качестве указания на то, что данная пара нахо-
дится или, соответственно, не находится в рассматриваемом отношении. Оче-
видно, что к этому же результату можно прийти, перечислив в точности
те пары, которые находятся в данном отношении. Такой перечень пол-
ностью характеризует данное отношение. Таким образом, для определения
понятия отношения мы исходим из представления о множестве упорядо-
ченных пар, для чего в свою очередь нужно предварительно уточнить
понятие упорядоченной пары.
С интуитивной точки зрения упорядоченная пара —это просто сово-
купность, состоящая из двух предметов, расположенных в некотором
определенном порядке. Когда это понятие используют в математике,
предполагают, что упорядоченная пара обладает двумя свойствами: (1)
для любых двух данных предметов х и у существует объект, который
можно обозначить через <х, #>, называемый упорядоченной парой хну
и однозначно определяемый предметами х и у\ (2) если <л, у> н <Х р> —
две упорядоченные пары, то <х, уУ =^<и, в том и только в том случае,
когда х = и и у—о, Теперь мы можем определить объект (на самом деле
являющийся множеством), который обладает обоими этими свойствами: упо-
рядоченная пара предметов х и у, обозначаемая символически через <х, #>
есть множество
{И. И};
иначе говоря, это двухэлементное множество, один из элементов кото-
38
Г лава f. Множества и отношения
рого, {х, у}, есть неупорядоченная пара, а другой, {х}, определяет, какой
из членов этой неупорядоченной пары считается «первым». Мы можем
теперь, исходя из этого определения, доказать, что упорядоченные пары
обладают обоими упомянутыми выше свойствами.
Теорема 1.4. Упорядоченная пара предметов х и у однозначно опре-
деляется через хну. Кроме того, если <х, у> = <м, у>, то х = и и у —~е.
Доказательство. То, что х и у однозначно определяют <х, у~>,
следует из принятого нами выше допущения, что множество однозначно
определяется своими элементами. Обратимся ко второй части утвержде-
ния. Пусть <х, #> = <и, и>. Рассмотрим два случая:
(I) u = v. Тогда <и, »> = {{«}, {и, о}} = {{«}}. Следовательно,
{{х}, {х, у}} = {{«}}, из чего следует, что {х} = {х, у} = {«), из чего, в свою
очередь, вытекает, что х=н и у —о.
(II) и^и. Тогда {«}#={«, г} и {х)=^{и,у}, Поскольку {х} ё 4{w), {и, у}},
то {x) = {u} и, следовательно, х = и. Поскольку {и, п} {*.!/}} и
{«, 1)}^£={х}, то (й,и} = (х, у}. Значит, {х}^{х, у} и, далее, х=^=у и
у=£и. Окончательно, y = v.
Будем называть х первой координатой, а у — второй координатой
упорядоченной пары <х, у>. В терминах упорядоченных пар можно
определить теперь упорядоченные тройки н, вообще, упорядоченные л-кн.
Упорядоченная тройка предметов х, у и г, обозначаемая через <х, у, г},
определяется как упорядоченная пара «х, у>, г). Если понятие упоря-
доченной (п — 1)-ки уже определено, то упорядоченная п-ка1 предметов
ха, ... , х„, обозначаемая через <хх, хг, ..х„>, есть по определению
«Xj, ха, ..., Хй_!>, хя>.
Возвращаясь теперь к основной теме этого параграфа, мы определим
бинарное (двуместное) отношение как множество упорядоченных пар, т. е.
множество, каждый элемент которого есть упорядоченная пара. Если р
есть некоторое отношение, то мы считаем выражения <х, у> Е р и хру
взаимозаменяемыми и говорим, что х p-относится к у в том и только
в том случае, когда хру. Для некоторых отношений — например, равен-
ства, принадлежности, включения, конгруэнтности — приняты специаль-
ные обозначения. Такие привычные обозначения, как х=*у, x<Zy и
х==у, исходят как раз не от обозначения <х, а от хру.
Естественным обобщением понятия бинарного отношения является
понятие п арного (п-местноео) отношения, определяемого как множество
1 В качестве синонимов употребляются также термины м-мерный вектор» и «кор-
теж».— Прим, перев.
1 6. Отношения
39
упорядоченных я-ок. Термин «бинарное отношение»относился, разумеется,
к случаю ft —2. Аналогично, вместо тога чтобы говорить «3-арное отно-
шение», мы будем пользоваться термином тернарное отношение.
Примеры А
1. Множество (<2,4>, <7, 3>, <3, 3>, <2, !>}, будучи множеством
упорядоченных пар, есть бинарное отношение. Не имея никакого кон-
кретного значения, это отношение, естественно, не получило и специаль-
ного названия.
2* Отношение «меньше чем» для целых чисел есть множество {<л\ уу |
для целых чисел х и у найдется такое положительное целое число zr что
х — Zz=y\, Если это отношение выразить символически обычным образом,
предложения «2<5» и «<2, 5> £ О будут синонимичны (и оба
истинны).
3. Если ц обозначает отношение материнства, то <Джейн, Джон>
означает, что Джейн является матерью Джона.
4. Отношение между родителями и ребенком представляет собой при-
мер тернарного отношения. Если обозначить это отношение через р, то
<Элизабет, Филип, Чарлз> € р означает, что Элизабет и Филип —
родители Чарлза. Другой пример тернарного отношения дает нам опера-
ция сложения в Z; запись «5 — 24-3» можно представить и в форме
утверждения <5, 2, 3> 6 + -
5, Отношение, связанное с операцией извлечения кубического корня
j
из действительных чисел: {<х3, х> Rb Одним из элементов этого от-
ношения является пара <2, 8>.
6. Функция «синус» в тригонометрии определяется посредством пра-
вила, по которому каждому действительному числу сопоставляется неко-
торое действительное число от —1 до 1. В практической работе часто
используются специально изданные таблицы значений этой функции для
различных значений аргумента. Такая таблица служит простым и ком-
пактным способом задания множества упорядоченных пар. Таким обра-
зом, для практических надобностей функция «синус» задается множеством
упорядоченных пар чисел, представленным в виде таблицы (вместе с пра-
вилами пользования этой таблицей). Заметим, что такую таблицу можно
изобразить в виде совокупности пар вида (л, sinx>; при этом существен
порядок, в котором мы указываем координаты каждой пары. Для произ-
вольного отношения р мы истолковываем запись <я, А> как выражаю-
щую тот факт, что а р-отнссится к 6;в частности, наличие пары <у, 1>
в таблице функции «синус» мы понимаем как сообщение о том, что первая
40
Глава Г Множества а отношения
координата этой пары синус-относится ко второй координате (вторая
координата является синусом первой координаты),
В дальнейшем мы будем широко пользоваться тернарными отноше-
ниями; пока же мы интересуемся бинарными отношениями; их мы и будем»
если не возникнет опасности путаницы, называть просто «отношениями»*
Областью определения отношения р (обозначение: D?) мы будем назы-
вать множество {х| для некоторого у. <х, уУ £ р}, областью значений
отношения р (обозначение: 7?р) —множество для некоторого л\
<х, #>€р^‘ Иными словами, область определения отношения р —это мно-
жество первых координат элементов из р, а область значений отноше-
ния р —множество вторых координат элементов из р. Например* как
областью определения, так и областью значении отношения включения
для подмножеств множества U является множество а, скажем,
областью определения для отношения материнства служит множество
всех матерей, в то время как область значений этого отношения — мно-
жество всех людей1* Один из простейших типов отношений — это мно-
жество всех таких пар <х, г/>* что х есть элемент некоторого фиксиро-
ванного множества X* а у —элемент некоторого фиксированного множе-
ства Y. Это отношение называется прямым2, произведением множеств X
и К и обозначается через ХхК Таким образом,
ХхУ = {<Х у>|хбХ и #€У}.
Очевидно, каждое отношение р есть подмножество некоторого пря-
мого произведения ХхУ, такого, что и У Если р —
такое отношение, что ps ХхУ\ то говорят, что р есть отношение от X
к ¥, Если р — отношение отХ к У и тор есть отношение
от Z к Z* Отношения от Z к Z называют отношениями в Z.
Выражения «отношение от X к У» и «отношение в Z» исходят из воз-
можного применения понятия отношения к задаче отличения одних
упорядоченных пар от других* Если X есть какое-то множество, то ХхХ
есть некоторое отношение в X, которое мы назовем универсальным отно-
шением в X; название это оправдывается тем, что для каждой пары х, у
элементов из X имеет место х(ХхХ)у. Другим крайним примером слу-
жит пустое отношение в X, совпадающее с пустым множеством* Проме-
жуточное положение занимает тождественное отношение в X, обозначае-
мое через i или ix:{<x, х> | х £ X}. Очевидно, для любых х и у из X
х^хУ равносильно х = у.
1 Если, конечно, с самого начала ограничиться рассмотрением этого отношения
у людей*—Прим, перев.
а Или «декартовыми—Прим. мрев.
1.6. Отношения
41
Если р —отношение, а А — множество, то р[Л] определяется как
{#| для некоторого х из А хру}. Это множество естественно называть
множеством р-образов элементов множества Л. Разумеется, p[DJ = R и
для произвольного множества А р[Д]^/?с, р
Примеры В
1. ЕСЛИ У ТО = И если ТО
2. Аналитическая геометрия плоскости основывается на допущении о
возможности попарного соответствия между точками евклидовой плоскости
и элементами множества R XR— множества упорядоченных пар действи-
тельных чисел. Таким образом, изучение геометрических конфигураций
может быть сведено к изучению некоторых подмножеств множества R х R,
т. е. отношений в R. Естественно ожидать, что для представляющих
наибольший интерес геометрических конфигураций определяющими свой-
ствами соответствующих им отношений в R будут служить алгебраиче-
ские уравнения относительно х и у, неравенства, содержащие хну,
а также некоторые комбинации таких уравнений и неравенств. В таких
случаях определяющее свойство отношения, связанного с какой-либо
конфигурацией, относят обычно в качестве описания к самой этой кон-
фигурации, а об отношений явным образом и не упоминают. Например,
«прямая с сравнением у =2x4-1» есть сокращение для «множество точек,
соответствующих множеству {<х, у> g R х R | у = 2х + 1}», Аналогично «об-
ласть, для которой у < х»— это множество точек, соответствующих мно-
жеству {<х, у> £ R X R - х). Еще пример: соотношения
х <С О, у 0 и у 2х 4- I,
как легко проверит читатель, служат определением для некоторой плос-
кой треугольной области.
Если основным предметом изучения служат не множества точек на
плоскости, а сами по себе отношения в R, то множество точек, соответ-
ствующих элементам отношения, называют графиком этого отношения
(или графиком его определяющего свойства), Ниже {на рис. 7—10) при-
водятся четыре примера отношений, для каждого из которых схемати-
чески представлен его график. В тех случаях, когда график является
частью плоскости, эта часть плоскости на чертеже заштриховывается.
Если р есть отношение в R с определяющим свойством 0^х^2, а
а —отношение в R с определяющим свойством 0 у <1 1, то отношение,
иллюстрируемое рисунком 9, есть р и о, а отношение, иллюстрируемое
рисунком 10, —рПа. Таким образом, рисунки 9 и 10 иллюстрируют то
обстоятельство, что график объединения двух отношений р и о есть
42
Г лава Л Множества и отношения
Рис. S,
{<*, 0>€RxR|#s=*}
Рис. 9.
{<*, jf>£RxR 10<.х<2
или 0<ji < 1}
Рис. 10.
{X y>£RxR |0
и 0<у <1}
объединение графиков этих отношений, а график пересечения отноше-
ний р и а есть пересечение их графиков.
3. Пусть р —это отношение «быть отцом». Если А—множество всех
нынешних жителей Соединенных Штатов, то р[А]—множество всех лю-
дей, чьи отцы проживают в настоящее время в Соединенных Штатах.
Если .4- {Адам, Ева}, то р[А]-{Кэин, Авель}.
Упражнения
1- Показать, что если <х, у, г> = <а, о, ш>, то х — и, y = v и г==ш.
2. Выписать элементы множества {!, 2}х{2, 3, 4}. Каковы область
определения и область значений этого отношения? Что представляет
собой его график?
1.7- 0/пношетшя эквивалентности
43
3- Найдите область определения и область значений каждого из сле-
дующих отношений, после чего постройте их графики:
(a) {<x,.y>£RxR| х2 + 4у2= 1};
(b) {<*,</> €RxR| хя = у2};
(с) {<х, (/>£RxR| |х| + 2|j/| = 1};
(d) {<Х У> € R X R f x2 + ys < 1 И х > 0};
(е) {<х, у) €RxR| у >0 и у^х, и
4. Представьте отношение из упражнения 3(c) в виде объединения
четырех отношений, а отношение из упражнения 3(e)—в виде пересече-
ния трех отношений.
5- Образование прямого произведения двух множеств есть бинарная
операция над множествами («прямое умножение»). Покажите на приме-
рах, что эта операция не является ни коммутативной, ни ассоциативной.
6. Пусть 0— отношение «...есть брат,..», а о—отношение «...есть сес-
тра...». Опишите отношения 0Uo, 0 Г) о и 0—о.
7. Пусть 0 и ст имеют те же значения, что в упражнении 6. Пусть
А—множество студентов, обучающихся в настоящее время в том же ин-
ституте, что и читатель. Что представляет собой 0 [Л]? (0 По) [Л]?
8. Доказать, что для произвольных множеств А, В, С, D (AfiB)x
х (С П D) = (Л х С) П (В X D). Доказать, что прямое умножение множеств
дистрибутивно относительно операции пересечения, т. е. что для любых
Л, В и С (ЛпВ)хС = (ЛхС)Г)(ВхС) и Лх(ВпС) = (Л ХВ)П(ЛХС).
9. Укажите такие четыре множества А, В, С и D, для которых
(АиВ)Х(СПО)^(Л xC)U(BxP).
10. Несмотря на результат предыдущего упражнения, прямое умно-
жение дистрибутивно относительно операции объединения. Доказать.
11. Исследуйте, дистрибутивны ли объединение и пересечение отно-
сительно прямого умножения.
12, Доказать, что для любых непустых множеств Л и В и любого
множества С из (Д хВ)и (В х Л) = С хС следует А=В=С.
1.7. Отношения эквивалентности
Отношение р во множестве X называется рефлексивным, если для
любого элемента х из X хрх; симметричным, если хру влечет урх; тран-
зитивным, если из хру и ypz следует хрг. Отношения, обладающие всеми
этими свойствами, столь часто встречаются в математике, что нм при-
своили специальное название. Отношение в некотором множестве вазы-
44
Г лава L Множества и отношение
вается отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично
и транзитивно. Если отношение р в X есть отношение эквивалентности,
то, очевидно, Ор = X. Вследствие этого отношения эквивалентности в X
называют также отношениями эквивалентности на Л\
Примеры
Каждое из следующих отношений является отношением эквивалент-
ости на соответствующем множестве:
L Равенство в произвольной системе множеств,
2. Геометрическое отношение подобия в множестве всех треугольни-
ков в евклидовой плоскости,
3. Отношение сравнимости по модулю п в Z. Это отношение опре-
деляется для любою не равного нулю целого числа п следующим обра-
зом; х сравнимо с у по модулю и, если х—у делится на гг; обозначе-
ние: х^у (mod и).
4, Отношение ~ в множестве всех упорядоченных пар положитель-
ных целых чисел, где <х, у) ~ Си, о), если xv^yu.
5, Отношение параллельности в множестве прямых в евклидовой пло-
скости.
6. Отношение равночисленности в произвольной системе конечных
множеств,
7. Отношение «проживания в одном доме» в множестве жителей Соеди-
ненных Штатов.
Последний из приведенных примеров иллюстрирует на языке повсе-
дневной жизни основное свойство любого отношения эквивалентности:
это отношение разбивает соответствующее множество на непересекаю-
щиеся подмножества, в данном случае —на множества людей, живущих
в одном доме. Дадим обоснование этого предложения в общем виде.
Если р есть отношение эквивалентности на множестве X, то подмноже-
ство А множества X называется классом эквивалентности (^-классом
эквивалентности), если существует такой элемент х из А, что Л совпа-
дает с множеством всех у, для которых хру. Таким образом, А есть
класс эквивалентности тогда и только тогда, когда существует такой х
из X, что А = р [{х}], Если насчет самого отношения р нет никаких не-
ясностей, то множество р-образов элемента х из X сокращенно обозна-
чается через [х] и называется классом эквивалентности, порожденным эле-
ментом х, Вот два основных свойства классов эквивалентности:
(I) хё[х];
(II) если хру, то [х] = [«/].
Первое из этих свойств вытекает из рефлексивности отношения эк-
вивалентности. Чтобы доказать второе свойство, допустим, что хру;
1.7. Отношения эквивалентности
45
тогда fy]^[xj; в самом деле, из г£[у] (что означает ypz) и хру в силу
транзитивности отношения р вытекает хрг, т. е, г€[х]. Симметричность
отношения р позволяет доказать обратное включение из чего
уже следует равенство классов W и (у].
Из свойства (I) вытекает, что каждый элемент множества X принад-
лежит некоторому классу эквивалентности, а из (П) — что два класса
эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, так как, если
z е [х] и z е [г/Ь ТО [х] = [z] и [у] = [z]. Следовательно, [х] = [#]. Вспо-
миная определение разбиения непустого множества, мы получаем, что
совокупность различных p-классов эквивалентности является разбиением
множества X. Это доказывает первое утверждение следующей теоремы
Теорема L5. Пусть р есть отношение эквивалентности на X. Тогда
система р-классов эквивалентности представляет собой разбиение мно-
жества X. Обратно, если 3* есть некоторое разбиение множества X, а
отношение р таково, что, по определению, apb, когда в 3* существует Л,
для которого а£А и £?£ Аг то р есть отношение эквивалентности на Л.
Если, далее, какое-либо отношение эквивалентности р определяет разбие-
ние S' множества X, то отношение эквивалентности, определяемое этим
разбиением 3>, совпадает с р. Обратно, если некоторое разбиение 3 мно-
жества X определяет отношение эквивалентности р, то разбиение мно-
жества X, определенное этим отношением р, совпадает с У,
Доказательство. Докажем второе утверждение теоремы, Пусть
3' есть разбиение множества X. Отношение р, о котором говорится в
условии теоремы, по определению симметрично. Если а£Х, то в 3s най-
дется такое множество 4, что а £4, так что р рефлексивно. Покажем
теперь транзитивность отношения р. Пусть apfr и Ьрс. Тогда в 3* най-
дется такое 4, что а, А, и такое В, что Ь, с£В. А раз й € 4 и b € В,
то, значит, 4 = В. Следовательно, яре.
Чтобы доказать следующее утверждение, предположим, что на X
задано отношение эквивалентности р, определяющее разбиение 5s мно-
жества X, и что 3* определяет отношение эквивалентности р*. Покажем,
что р = р\ Пусть <х,#>€р- Тогда х, у £ [х] и [х]£5\ Из определения
отношения р* следует, что хр*у, т. е. <х, у> £ р*\ Обратно, если <х, у> € Р*,
то в 3 найдется такое А, что х, у£А. Но А есть p-класс эквивалент-
ности н потому хру, т. е. <х, #>€р- Таким образом, р = р*.
Заключительная часть теоремы предоставляется читателю в качестве
упражнения.
В качестве примера, иллюстрирующего только что доказанную тео-
рему, рассмотрим отношение сравнимости по модулю п на множестве Z,
46
Г лава!, Множества и отношения
определенное в третьем из примеров* В этом случае класс эквивалент-
ности будет состоять из всех чисел а-р/т, где k принадлежит Z* По-
этому, очевидно, [0], [1], ,[л— 1] суть различные классы. Других
классов нет, так как произвольное целое число а можно записать в виде
a = qn-\-rT 0^г<л, и следовательно, а С И- Класс чисел, сравнимых
между собой по какому-либо модулю п, часто называют классом вьметов
по модулю п. Совокупность классов вычетов по модулю п мы будем обо-
значать На данном примере мы можем еще раз подчеркнуть то об-
стоятельство, что для любого отношения эквивалентности р каждый
класс эквивалентности определяется любым из своих членов, так как
если яр#, то [х] = [у]. Таким образом, (0] = [п] = [2лг] и т. д*, [I] =[л +
+ = — я] и т* д,
Пусть р есть отношение эквивалентности иа X, тогда разбиение мно-
жества X, определяемое отношением р, мы будем обозначать через Х/р
(читается «X по модулю р») и называть фактормножеством множества X по
отношению р> Значение разбиения множества X, соответствующего произ-
вольному отношению эквивалентности р на X, легче уяснить путем срав-
нения отношения р с предельным случаем отношения эквивалентности
на X —с отношением тождества* Мы характеризуем тождество как пре-
дельный случай отношения эквивалентности, исходя из того, что един-
ственный элемент, равный какому-либо данному элементу, есть этот
самый элемент* Иначе говоря, разбиение множества X, определяемое
отношением тождества, есть самое полное разбиение — класс эквивалент-
ности, порождаемый каким-либо элементом х, состоит из одного этого
С другой стороны, чтобы два элемента были p-эквивалентны, они
должны быть сходны между собой лишь в одном-единстве ином отноше-
нии, а имённо в отношении, характеризуемом как р- p-класс эквивалент-
ности состоит из всех элементов, которые неразличимы с точки зрения
отношения р. Таким образом, произвольное отношение эквивалентности
на X определяет на X обобщенною форму равенства- Переходя ог эле-
ментов множества X к p-классам эквивалентности, мы попросту иден-
тифицируем любые р-эквивалентные между собой элементы* Если ока-
зывается, что р сохраняет какие-либо структурные особенности множе-
ства X (в предположении, что таковые имеются), то в XJp эти струк-
турные особенности множества X проявляются в более простой форме
благодаря отождествлению элементов, обусловленному переходом от X
к Х/р* Весьма естественные примеры такого рода встретятся нам ниже*
Среди различных применений отношений эквивалентности укажем на
формализацию математических понятий, или, как часто говорят, форму-
лировку определений через абстракцию. Суть этой процедуры состоит
в том, что понятие определяется как множество всех предметов, обла-
1.7. Отношения эквивалентности
47
дающих каким-либо свойством, характеризующим по предположению это
понятие. На первый взгляд, этот метод может показаться противоесте-
ственным, но на практике он оказывается весьма удобным. Рассмотрим,
например, следующую проблему: как определить положительные рацио-
нальные числа в терминах положительных целых чисел. Вместо того чтобы
прямо определять отношения целых чисел, мы вводим понятия пар целых
чисел, имеющих равные отношения, посредством определения:
<х, у> о>, если хо = уи. Определяемое таким путем отношение есть
отношение эквивалентности на Z+xZ+, я мы можем теперь определить
рациональное число как класс эквивалентности. Иными словами, поня-
тие эквивалентности пар целых чисел позволяет нам не различать между
собой эквивалентные пары из Z+ xZ+. Поскольку отношение это явля-
ется отношением эквивалентности, мы имеем разбиение универсума рас-
суждения1, а каждый класс эквивалентности представляет собой аб-
стракцию свойства, общего для всех элементов этого класса. Именно в
виде такого рода классов эквивалентности мы и определяем рацио-
нальные числа. Привычный символ xjy оказывается сокращением для
класса эквивалентности «х, х/>]. То обстоятельство, что класс эквива-
лентности полностью определяется каждым из своих элементов, вле-
чет, что в качестве имени для того же самого рационального числа мо-
жет быть выбран любой другой символ обладающий тем свойством,
2 4 2
что <и, у> € [<х, у>]. Например, утверждение у = у истинно, так у и
У суть различные имена для одного и того же рационального числа.
Другим примером определения через абстракцию может служить оп-
ределение понятия направления, исходящее из отношения параллель-
ности, являющегося отношением эквивалентности: направление есть класс
эквивалентности, состоящий из параллельных между собой прямых. Так
же можно трактовать и понятие (геометрической) формы: подобие гео-
метрических фигур есть отношение эквивалентности на множестве фи-
гур, расположенных в евклидовой плоскости, и форма может быть опре-
делена как класс эквивалентности, связанный с отношением подобия.
Основной результат, касающийся отношений эквивалентности,—то,
что система всех различных p-классов эквивалентности является расчле-
ненной и хру в том и только в том случае, когда х и у принадлежат
одному и тому же классу эквивалентности, —до сих использовался нами
исключительно в связи с приложениями отношений эквивалентности. Но
он может также быть положен в основу’ характеристического свойства.
См. примечание 2 на стр. 25. ~Прим. перев.
48
Глава f, Множества и отношения
выделяющего отношения эквивалентности среди отношений вообще. Такую
характеристику и описывает следующая.
Теорема 1.6. Отношение р тогда и только тогда является отно-
шением эквивалентности, когда существует расчлененная система 9* та-
кая, что
р = {<х, уу | для некоторою С из <х, у>£СхС).
Доказательство. Пусть р есть отношение эквивалентности на
некотором множестве X. Тогда система различных p-классов эквива-
лентности является расчлененной. Покажем, что если взять эту систему
в качестве то р будет обладать описанным в формулировке теоремы
свойством. Покажем прежде всего, что {<х, у>) для некоторого С из З1
<Х У> ёС хС} s р. Пусть <х, уу принадлежит множеству, стоящему слева
от знака включения в предыдущей фразе. Тогда существует такой класс
эквивалентности [г], что х, у£ [г]. Поэтому zpx и zpy, а следовательно,
и хру, что и означает, что <х, у>ёр. Чтобы доказать обратное включе-
ние, допустим, что О, ^>ёр. Тогда х, yg[x], 3, следовательно, <х, у>€
€ [*)х[4
Доказательство обратного утверждения совсем просто; предоставляем
его читателю.
Упражнения
1. Если р есть отношение в R+, то его график есть некоторое мно-
жество точек первого квадранта координатной плоскости. Какова харак-
теристическая особенность этого графика, если (а) р рефлексивно,
(Ь) р симметрично, (с) р транзитивно?
2- Используя результаты упражнения I, попытайтесь дать краткую
формулировку характеристического свойства графика отношения экви-
валентности в R\
3. Семейство множеств {{1, 3, 4|, {2, 7}, {5, 6}} есть разбиение мно-
жества 2, 3, 4, 5, 6, ?}♦ Постройте график соответствующего этому
разбиению отношения эквивалентности.
4- Пусть р и о—отношения эквивалентности. Докажите, что рАо
также является отношением эквивалентности,
5. Докажите, что р есть отношение эквивалентности на множестве
У тогда и только тогда, когда рП(УхУ) есть отношение эквивалент-
ности с областью определения У,
6. Приведите примеры:
(а) отношения, рефлексивного и симметричного, но не транзитивно! о
в некотором множестве;
1 &» Функции 4t1
(Ь) отношения, рефлексивного и транзитивного, но не симметрич-
ного в некотором множестве;
(с) отношения» симметричного и транзитивного, но не рефлексив-
ного в некотором множестве,
7, Завершите доказательство теоремы 1.5.
8. Каждое отношение эквивалентности на множестве Л определяет
по теореме 1*5 некоторое разбиение множества X* Каким отношением
эквивалентности порождается самое мелкое разбиение? Самое крупное?
9. Завершите доказательство теоремы 1.6.
10* Пусть р—отношение, рефлексивное и транзитивное в множестве А.
Определим для а, б£ Д отношение полагая а<^Ь, если арб и бра.
(а) Докажите, что ~ есть отношение эквивалентности на А.
(Ь) Докажите, что если a't b^br и арб, то arpbr. Выведите от-
сюда, что в фактормножестве можно определить новое отношение
р': [а] р' [б], если арб.
(с) Докажите рефлексивность и транзитивность отношения р', а
также, что если [а] р' [б] и [б] р' [а], то [а] — [б].
11. Во множестве Z+xZ+ положим по определению <а, d).
если a-^d — b + c. Докажите, что является отношением эквивалент-
ности на данном множестве. Какой вид имеет график этого отношения?
Опишите '-'--классы эквивалентности.
L8* Функции
Понятие функции мы можем определить в терминах уже введенных
ранее понятий. Это определение исходит из известного по многим учеб-
никам обсуждения понятия функции, согласно которому график функ-
ции есть множество упорядоченных пар. Поскольку ясно, что любая
информация о функции может быть извлечена из ее графика, то нет
никакой надобности различать функцию и ее график. Поэтому при опре-
делении функции имеет смысл исходить из таких характеристик мно-
жества упорядоченных пар, которые специфичны именно для графиков
функций. Эго достигается посредством соглашения, по которому функ-
ция есть такое отношение, никакие два различных элемента которого
не имеют одинаковых первых координат. Таким образом, / тогда и толь-
ко тогда является функцией, когда оно удовлетворяет следующим тре-
бованиям:
(I) элементами / являются упорядоченные пары;
(II) если<х, У> и <л, z> суть элементы f, то y = z.
4 № 5 [ 1S
50
Г л я в а /, Множества и отношения
Примеры А
1. {<1, 2>, <2, 2>, <Рузвельт, Черчилльу} есть функция с областью
определения {1,2, Рузвельт} и областью значений (2, Черчилль}*
2. Отношение {<1, 2>, <1, 3>s <2, 2>J не является функцией> так как
различные элементы <1, 2> и <1, 3> имеют одинаковую первую коор-
динату.
3. Отношение {<х3 № + *+ 1> £ R} есть функция, так как если х = и,
то х2 + х + 1 = и2 + и + 1.
4, Отношение {<ха, х> | R} не является функцией, так как его эле-
ментами являются как <1, 1>, так и <1, —1>,
Слово «функция» имеет многочисленные синонимы, в частности: пре-
образование, отображение, соответствие, оператор1. Если / — функция
и <Х #>€/- так что xfy, то х есть аргумент функции /. Для обозначе-
ния у в этом случае терминология весьма разноречива; например, у
называют значением функции f на х, образом элемента л при [, элемен-
том, в который / переводит х. Для обозначения у также употребляют
различные символы: xf, f (х) (или еще проще fx)f х?. Обозначение / (х)
можно рассматривать как сокращение для / [{х}]— множества /-образов
элемента х. В этих терминах характеристическое свойство функций, вы-
деляющее их среди отношений вообще, можно сформулировать следую-
щим образом: каждый элемент области определения имеет единственный
образ,
Читатель должен привыкнуть ориентироваться в этих обозначениях
функции, так как в разных книгах он будет встречать различные сим-
волы и названия* Определения и теоремы, относящиеся к функциям, в
этой книге всюду будут формулироваться в обозначениях / (%) или fx
для (единственного) элемента, соответствующего элементу х в функции /.
С этим хорошо согласуется также обозначение / [Л] для множества
{у | для некоторого х из А <х, уУ Ё/}. Впрочем, в приложениях понятия
функции мы будем пользоваться различными обозначениями* Когда
вместо / (я) нам будет удобнее применить обозначение х/, тогда естест-
венно и вместо /[Л] писать [А]/* Если же вместо /(х) мы будем пи-
сать х*, то в этих местах вместо /[Aj будет использоваться обозначение
[A-Q или А<
Поскольку функции являются множествами, к ним применимо обычное
определение равенства: две функции f и g равны в том и только в том
случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Очевидно, что
то же самое можно сказать и другими словами: f — g тогда и только
1 В математической литературе термины «соответствие», «функцияв, «отображе-
ние», «преобразование» и «оператор» часто не являются синонимами.—Прим ред.
L8, Функции 51
тогда, когда Df^Dg и /(x) = g(x) для любого х из общей области оп-
ределения. Следовательно» функцию можно определить, указав область
ее определения и задав значения функции для каждого элемента об-
ласти определения. Мы видим, таким образом, что вторая часть опре-
делений такого рода имеет вид некоторого правила. Например, одно
из возможных определений функции {<х, ха + х + 1 |х£ R} таково: функ-
ция f с областью определения R такова, что f (х) = х2 + х-у Е Когда
функция задается указанием на ее область определения и заданием ее
значений для каждого элемента этой области, область ее значений мо-
жет быть вовсе не очевидна. В приведенном только что примере, чтобы
прийти к заключению, что R;= «jxgR|х^ надо проделать неко-
торые вычисления. С другой стороны, то обстоятельство, что в этом
случае 7?y^R + , едва ли не очевидно. Вообще, при точном определении
области значений мы сталкиваемся с определенными трудностями, но
указать некоторое множество, включающее в себя область значений, обычно
удается без труда. В связи с этим представляется разумным принять
следующую терминологию. Функция f есть функция со значениями1 в
У, если область значений функции f есть подмножество множества У,
и функция f есть функция со значениями на У, если Rf=Y, Вводя
аналогичные терминологические соглашения для области определения
функции, мы будем говорить, что f определена на X, если X есть об-
ласть определения функции Желая сказать, что f есть функция, опре-
деленная на множестве X со значениями в множестве У, обычно поль-
зуются символикой
f-.X — Y, или хЛу.
Множество всех функций, определенных на X со значениями в У,
есть подмножество множества У*(ХхК); обозначим это подмножество
через У\ Если X пусто, то Ух состоит всего лишь из одного элемента,
а именно из пустого подмножества множества ХхУ. Это единственное
подмножество множества ХхУ, так как последнее само пу сто, если
пусто X, Если У пусто, а X непусто, УЛ пусто.
Если /:Х—*У и Л^Х, то f А (ЛхУ) есть функция, определенная
на А со значениями в У (эту функцию называют сужением функции f
на множество А и обозначают через /1 Л). Подробнее: f\A есть функ-
ция, определенная на Л и такая, что (/1 Л) (a) = f (а) для любого а, при-
надлежащего множеству Л. Функция g является сужением функции f
1 Выделенные курсивом слова вставлены в эту и в следующую фразу при пере-
воде во избежание двусмыслицы, связанной с одинаковым переводом двух различных
английских предлогов: onto и он. — Прим, перев,
4*
52
Г лава 1. Множества и отношения
на некоторое подмножество области определения функции f тогда и
только тогда» когда область определения функции g есть подмножество
области определения функции f и для x£Dg g(x)^=f{x)\ иначе говоря,
g^f, В дополнение к определению сужения назовем функцию / про-
должением функции gf если В качестве примера, иллюстрирую-
щего понятие продолжения функции, мы обратимся к описанному выше
отношению тождества lx в X, Очевидно, это отношение является функ-
цией; поэтому, в соответствии с принятыми нами обозначениями функ-
ций посредством малых латинских букв, мы обозначим это отношение
через ? или ix. Назовем гх тождественным отображением на X. Если
Л^Х, то = Если рассматривается как функция, опреде-
ленная на 4 со значениями в А, то это — инъективное отображение
множества А в X.
Функция называется взаимнооднозначной, если она переводит различ-
ные элементы в различные. Иначе говоря, функция f тогда и только
тогда взаимно-однозначна, когда
х\=Аха влечет / (д^) (ха).
Взаимно-однозначность функции иногда удобнее доказывать, рассмат-
ривая контрапозицию к написанному выше:
/ (*i) = / (хэ) влечет = лу
Например, функция / на R такая, что f (г) = 2хф 1, взаимнооднозначна,
так как 2хх—1 =2хг-Ь 1 влечет х1 = х2.
Взаимно-однозначная функция ft определенная на X со значениями
на У, образует пары из элементов множеств X и У; именно, в каждую
пару входит / (х) из У вместе с соответствующим х из X. В самом деле,
поскольку f есть функция, f(x) есть однозначно определенный элемент
множества Y\ поскольку [ принимает значения на У, каждое у сопостав-
ляется некоторому х; поскольку, наконец, f взаимно-однозначна, каж-
дое у сопоставляется единственному х, Ввиду полной симметричности
картины, возникающей при взаимно-однозначном отображении множества
X на У, его часто называют взаимно-однозначным соответствием между
X и Y. Если два множества связаны между собой такой функцией, то
говорят, что они находятся во взаимно-однозначном соответствии.
Примеры В
1- Хорошо известная читателю показательная функция есть функция,
определенная на R со значениями в R; символически:
f‘R —* R, где /(х) = е\
8 Функции 53
Мы можем также сказать более точно, что f есть фу нкция, определен-
ная на R со значениями на R+. Вообще, если * Y, то f — функция,
определенная на X со значениями на f [X], т. е. на области значений
функции f.
2. {а, Ь, с}!1-2} есть множество всех функций, определенных на {], 2}
со значениями в {а, Ь, с}. Один из элементов этого множества — {<1, с>,
<2, с>}.
3. Если А и В —множества, имеющие одинаковое число элементов,
то они, очевидно, находятся во взаимно-однозначном соответствии \
Тогда, как легко показать, для любого множества X множества Ах и В4
находятся во взаимно-однозначном соответствии. В соответствии с этим
множество, всех функций, определенных на некотором множестве X со
значениями в произвольном множестве, состоящем из п элементов, обо-
значают обычно через гах. Так, 2х обозначает множество всех функций,
определенных на X со значениями в множестве из двух элементов, в
качестве какового обычно берут множество {0, 1}. Если А X, то один
из элементов множества 2х есть функция хл, определяемая следующим
образом:
Zi(x)~ 1. если х^4, и Ха|(х)=О’ если х£Х — А.
Мы будем называть Ха характеристической функцией множества А. Рас-
смотрим теперь функцию f, определенную на ^(Х) со значениями в 2х,
взяв в качестве образа подмножества А множества X [А является эле-
ментом множества ^(Х)] характеристическую функцию этого подмно-
жества А (являющуюся элементом множества 2х). В качестве упражне-
ния предлагаем доказать, что f есть взаимно-однозначное соответствие
между 5*(Х) и 2х. В силу этого взаимно-однозначного соответствия мно-
жества З1 (X) и 2х обычно просто отождествляют, свободно заменяя в
рассуждениях одно из этих множеств другим, если это удобно по каким-
либо соображениям.
4. Пусть f—функция, а 4 и В —множества. Можно доказать, что
/fA иВ] = /[А]и/[В] и f[A Г) В] Sf [А] П f [В]. В случае А П В отно-
шение включения усилить нельзя.
В элементарной математике приходится использовать и функции не-
скольких переменных. В рассматриваемых нами терминах функция (от) п
1 Точнее было бы сказать: «могут быть поставлены во ваанмво-однозпачное со-
ответствие», так как никакой конкретной функции» осуществляющей такое соответ-
ствие между равночисленными множествами, вместе с ними не задается (хотя такие
функции существуют, и не одна). Подобные небрежности встречаются в тексте и
дальше; там, где игнорирование их могло бы привести к недоразумениям, они будут
оговариваться.— Прим. перев.
54
Глава I, Множества и отношения
переменных (п^2) есть попросту функция, аргументами которой слу-
жат упорядоченные л-ки, Под эту схему можно подвести и случай
« = ], согласившись, что «упорядоченная 1-ка» <х> есть просто х.
Если обозначить множество всех упорядоченных n-ок <х1т х2, jq,
где каждое х; (f=L и) принадлежит некоторому множеству X,
через то можно сказать, что функция, определенная на Хч и при-
нимающая значения в X, есть п-арная операция в X. Вместо «1-арная»
мы будем говорить «унарная»1; например, дополнение есть унарная
операция в множестве всех подмножеств какого-либо множества; вместо
«2-арная» мы будем говорить «бинарная»1 2. Фактически мы уже исполь-
зовали это понятие, рассматривая операции над множествами; так, пе-
ресечение есть бинарная операция в соответствующей системе множеств.
Аналогично, сложение в Z есть бинарная операция; если х, yQZ, то
значение этой функции от у> обозначается через х + у.
Упражнения
1. Привести пример функции, определенном на R со значениями
на Z
2. Показать, что если A s Л, то сх|А = г\д.
3< Если Хи/ суть множества, состоящие, соответственно, из п и т
элементов, то из скольких элементов состоит множество Какое число
элементов множества ^(ХхУ) суть функции?
4. Пользуясь только отображениями вида *Z+, приведите при-
мер функции:
(а) взаимно-однозначной, но со значениями не на Z+;
(b) со значениями на Z+, но не взаимно-однозначной.
5. Пусть А ={1, 2, Доказать, что если отображение [: А —► А
принимает значения на А, то оно взаимно-однозначно, и что если отобра-
жение g:A —>А взаимно-однозначно, то оно принимает значения на А.
х
6. Пусть fiR4-—► R, где /(x) = Jy. Доказать любым доступным ено-
1
собом, что / есть взаимно-однозначная функция, принимающая значения
ня R,
7, Доказать, что функция Л определенная в третьем из примеров В,
является взаимно-однозначным соответствием между 5*(Х) н 2\
8. В связи с четвертым из примеров В доказать, что если f — функ-
ция, а А и В —множества, то /"[A IjB] [А] и/ [В].
1 Иначе—о д но м е ст н а я, или сингулярная, — Прим, перед.
2 Иначе—д в у м ест пая,— Прим, нерев.
1.9. Композиция и обращение функций 55
9. В связи с предыдущим упражнением доказать, что при тех же
предположениях f [Л П В] / [А] П f [5], и показать, что случай стро-
гого включения действительно может иметь место.
10. Доказать, что f [Л П В] = f [А] П f [В] ДЛЯ любых множеств А и В
тогда и только тогда, когда f взаимно-однозначна.
Замечание. В упражнениях 11—13 читателю предлагается отобрать только
легко доказываемые утверждения к доказать их. Доказательство остальных утвержде-
ний можно отложить до изучения § 1.9.
11. Пусть А, В, А', В'—множества, причем А находится во взаимно-
однозначном соответствии с А’, а В — во взаимно-однозначном соответст-
вии с В'. Показать, что:
(а) можно установить взаимно-однозначное соответствие между
А хВ и А' хВ';
(Ь) можно установить взаимно-однозначное соответствие между
Ая и А'в';
(с) если ЛпВ = 0 и А'пВ' = ф, то можно установить взаимно-
однозначное соответствие между AuS и A'ljB'.
12. Для произвольных множеств А, В и С доказать, что:
(а) Ах В находится во взаимно-однозначном соответствии с ВхА;
(Ь) (АхВ)хС находится во взаимно-однозначном соответствии
с Ах(ВхС):
(с) А X (В U С) находится во взаимно-однозначном соответствии
с (Ах В) и (Ах С).
13. Для произвольных множеств А, В, С доказать, что:
(а) (А х В)с находится во взаимно-однозначном соответствии с
АсхВг,
(Ь) (Ай)с находится во взаимно-однозначном соответствии с АВхС;
(с) если ВпС = Ф> то АВиС находится во взаимно-однозначном
соответствии с АВХ Ас,
1.9. Композиция и обращение функций
Чтобы читателю был ясен смысл следующего определения, мы рас-
смотрим вначале один пример. Пусть функции f и g определены сле-
дующим образом:
f;R —R, причем f(x) — 2x4-1;
1
g:R+—*R + , причем g(x) = x*.
56
Глава L Множества и отношения
Хорошо известно, что из такой пары функций можно образовать
новую функцию Л, такую, что h(x)~g(f (х)). Поскольку область опреде-
ления функции g по определению есть R+, то для того, чтобы й(х) было
определено, значения х должны быть ограничены такими действитель-
ными числами, для которых 2x~j-1 > 0. Иными словами, комбинируя
таким образом функции / и g, мы получаем функцию, область опреде-
ления которой есть множество действительных чисел больших, чем—,
1
и значение которой для apij мента х есть g (/'(%)) = (2х-]-1)2.
Основная идея этого примера как раз и сохранена в следующем
определении. Пользуясь обозначениями, введенными нами ранее для
упорядоченных пар, мы сможем избавиться от ограничений, связанных
е возможным различием между областью значений функции f и областью
определения функции g. Композицией функций f и g, символически обо-
значаемой через gof, мы будем называть
г> | существует такое у, что xfy и ygz}.
Читателю предоставляется доказать, что это отношение является функ-
цией. Сама описанная операция над функциями также называется (функ-
циональной) композицией *. Стоит отметить следующий частный случай
нашего определения. Если a g-.Y—*Z, то gcf'.X—>Z и
(go/)(x) = g(/(x)).
Из приведенного только что примера видно, что операция функцио-
нальной композиции не коммутативна: равенство f vg = gvf редко бывает
справедливым. Однако композиция — ассоциативная операция. Иначе
говоря, для произвольных функций /, g, h
/о (gvh) = (fog)eh.
Чтобы доказать это, допустим, что <х» и> €/ o(go/i). Тогда найдется
такое z, что <х, 2>£goh и <z, и>€Л Поскольку <х, zy^goh, сущест-
вует такое у, что <х, y>£h и <у, Но из <#» z>gg и <z,
следует» что Наконец, из <х, y>£h и <у, «>€следует,
что Проведя все шаги этого рассуждения в обратном
порядке» мы получим и противоположное включение, а следовательно»
н нужное равенство.
1 Или суперпозицией*, в оригинале для операции композиции и ее резуль-
тата употребляются различные, хотя и похожие термины' соответственно, composition
и composite,—Прим. перев.
1.9. Композиция и обращение функций
57
Приведенное доказательство, возможно, станет более ясным для чи-
тателя, если он сформулирует его в терминах значений функций. В то
же время наше доказательство, исходящее из приведенного выше опре-
деления функциональной композиции, обладает тем достоинством, что
мы не обязаны принимать во внимание обстоятельства, связанные с раз-
личием между областью значений функции / и областью определения
функции g. Из ассоциативного закона для композиции следует и обоб-
щенный ассоциативный закон, который мы предоставляем сформулиро-
вать читателю. Единственная функция, определяемая посредством ком-
позиции функций /2, . , f„, взятых в этом порядке, будет в даль-
нейшем обозначаться просто через
/1О/2О . of„.
Примеры А
1. ПустьЛ: R -+R + , где h(x) = (1 + х2)а. Тогда h — gof, где /:R —* R + ,
t
причем f (х) - 1 №, a g:R+—- R+, причем g(x) = x2. Это как раз то
разложение функции й, которым пользуются при вычислении ее произ-
водной.
2. Разложение произвольной функции можно провести и способом,
несколько отличным от описанного в предыдущем примере, воспользо-
вавшись некоторыми уже обсуждавшимися нами понятиями. Введем
прежде всего еще одно определение. Пусть р есть отношение эквива-
лентности с областью определения X; тогда отображение
/:Х—»Х/р, где j(x) = [xl,
принимает значения на фактормножестве Х/р; / называется каноническим,
или естественным отображением множества X на Х/р. Если, далее, f
есть некоторое отображение X в Y, то отношение, определенное посред-
ством
х,рх2, если f —
есть, очевидно, отношение эквивалентности на X, Пусть /— канони-
ческое отображение множества X на Х/р. Мы утверждаем, что равен-
ство g[x] = f(x) определяет функцию g, определенную на Х/р со значе-
ниями в f [X] (область значений функции f). Чтобы доказать, что g
является функцией, надо установить, что из [х] = [у] следует f(x)=f(y)-
Но [л'] = [у] тогда и только тогда, когда хру, что, в свою очередь, спра-
ведливо в том и только в том случае, когда f (x) = f (у). Следовательно,
g есть функция. Пусть, наконец, i есть инъекция множества f[X] в Y.
58
Г лава /.Множества и отношения
Подведем итоги. Мы определили три функции /, g и к
};Х—-Х/р, где
g:X/p—ЦХ], где (х),
i:f{X]-+y, где !(у)=у.
Ясно, что функция / принимает значения на Х/р, a i взаимно-одно-
значна. Предоставляем читателю убедиться в том, что g взаимно-одно-
значна и принимает значения на /[X] и что
; = iogo/;
Это равенство и было нашей целью- Из него следует существование
разложения произвольной функции /; разложение это во многих случаях
оказывается полезным.
3- Если f есть известная функция с областью определения X, область
значений которой есть некоторое подмножество множества У, то обозна-
чение /:Х~* У несет в себе избыточную информацию. Предполагается,
однако, что рассмотрение f в качестве функции связано с парой <Х, У>
множеств X и У. Если g:Y—*Z аналогичным образом связано с парой
<У, Z>, то композиция gof должна быть связана с парой <Х, Свя-
зывание каждой функции f с парой множеств X и У, из которых первое
есть область определения функции ft а второе включает в себя ее область
значений, и соглашение, согласно которому композиция gof функций
/:Х—►У и g:WZ может быть образована лишь в случае UZ = У,
имеют определенные достоинства. Например, идя по этому пути, можно
охарактеризовать свойство «принимать значения на» (наряду со свойством
«взаимно-однозначно») как некоторое свойство функций. Кроме того,
можно определить оба эти свойства как, в некотором (поясняемом ниже)
смысле, двойственные.
Характеристику свойства «взаимно-однозначно» можно дать следую-
щим образом:
(I) Пусть /:Х—* У. Тогда / взаимнооднозначна тогда и только тогда,
когда для любых функций g н h таких, что ^:У^Х и Л; У X, из
f og = foh следует g = В самом деле, пусть f:X—+Y взаимно-одно-
значна и пусть £:УX, k:Y X и fag = foh. Тогда / (g (//)) = f (h (//))
для всех у из У. Отсюда и из взаимно-однозначности функции / выте-
кает, что g(y) для всех у из У. Таким образом, g = h. Доказа-
тельство обратного утверждения предоставляется читателю.
Простое видоизменение утверждения (I) дает и характеристику свой-
ства «принимать значения на».
L9. Холеко.зццыя и обращение функций 59
(II) Пусть f:X —► К Тогда f принимает значения на У тогда и только
тогда, когда для любых функций g и К таких, что и fv„Y—*X,
из gaf = hQf следует g=h. Доказательство предоставляется читателю,
С помощью (J) и (II) разложение, полученное в примере 2, можно
описать более ясно следующим образом. Для каждой функции f суще-
ствует взаимно-однозначная функция i, принимающая значения на функ-
ция j и взаимно-однозначная, принимающая значения на функция g
такие, что f — iagoj.
Если поменять местами координаты каждою элемента функции Про-
сматриваемой как множество упорядоченных пар), то в результате полу-
чится некоторое отношение g, которое может и не быть функцией. В са-
мом деле, g будет функцией в том и только в том случае, если из того,
что <#, х> и <у, z> принадлежат g, следует, что x = z. В терминах, от-
носящихся к функции /, это означает, что из того, что <х, уу и <z, уУ
принадлежат f, следует, что x=z, т. е, что / взаимно-однозначна. Если
/ взаимно-однозначна, то функция, получающаяся из / переменой мест
координат элементов функции /, называется функцией, обратной к
и обозначается через f-1. Эта операция, определяемая только для вза-
имно-однозначных функций, называется (функциональным) обращением.
Если f 1 существует, то область ее определения есть область значений
функции /, ее область значений есть область определения функции f, и
равносильно y~f{xY Далее, f~L непременно взаимно-одноз-
начна, причем обратная к ней функция (Z"1)-1 совпадает с f. Если f —
взаимно-однозначная функция, определенная на X со значениями на
У, то — взаимно-однозначная функция, определенная на И со зна-
чениями на X. Наконец,
/ lo f = ix и fof~l = iv.
Имеется еще одна важная связь между операциями композиции и
обращения функций. Если /ng взаимно-однозначны, то go/ также
взаимно-однозначна, причем
(Я®/) ^f^og1.
Доказательство последнего утверждения мы предоставляем читателю.
Примеры В
1. Функция /:R —- R, где / (х) = 2х + 1» взаимно-однозначна. Обра-
щение функции / может быть записано в виде {<2х +1, х>| x€R}. Но
такое описание, конечно, не удовлетворит того, кто предпочел бы рас-
полагать определением функции через ее область определения и значение
для каждого элемента из области определения.
60
Глава Г Множества и отношения
Чтобы удовлетворить такому пожеланию, мы заметим, что
{<2x4-1, х> |хеR] = {</, ~ (/-1)> |/6 r|-
Таким образом, /-1 есть функция, определенная на R со значениями в R
и такая, что /-1 (х) = у (х—1).
2. Функция g;R+—»R+, где g(x) = x2, взаимно однозначна, так как
из х; = х’ при условии, что хг и хг положительны, следует х1 = х2. Тогда
g ]:R*-*R+, где g ’(х)=х~.
3. О функции f.R-^R\ где /(л’)=10л, известно, что она взаимно-
однозначна и принимает значения на. Функция, обратная к функции /,
называется логарифмической функцией по основанию 10 и значение ее
для аргумента х записывается в виде loglox. Уравнения
logio 10* = х, где х € R,
и
10|<32'’' = х, Где х>0,
являются частными случаями уравнений (/“1о/)(х) = х, где x£Df, и
(/о/-1) (х) =х, где x£Rf, справедливых для любой взаимно-однозначной
функции.
4. Если для функции /: R—>R существует обратная, то график функ-
ции f-1 можно получить из графика функции / зеркальным отражением
относительно прямой у = х. Доказательство предоставляется читателю.
5. Согласно четвертому из примеров В в § 1.8, если для некоторой
функции / определена обратная функция, то
Г’МивЫ’Ии/ ЧВ]
и
ГЧ»лв] = /-чл]п/-ЧВ]-
Последнее соотношение можно усилить: для обратных функций / 1 [А П
П В] = /“* [/1] Л/-1 [В]. Доказательство предоставляется читателю. Мно-
жество вида ГЧЛ1 мы будем называть прообразом множества А при /.
Упражнения
1 1
1- Пусть /:R—j-R, где /“(Ч —П+П—х)3)5. Представить f в виде
композиции четырех функций, ни одна нз которых не есть тождественная
функция.
2. Доказать, что если ftX—и А^Х, то /|Л=/огл.
1 10. Отношения порядка
61
3. Завершить доказательства утверждений, высказанных во втором
из примеров А.
4. Завершить доказательство утверждения (I) и доказать утвержде-
ние (И) в третьем из примеров А.
5. Доказать, что /:А—*В есть взаимно-однозначное соответствие
между А н В тогда и только тогда, когда существует такое отображе-
ние g:B—что gof — iA и /og = tB.
6. Доказать, что если f:A—>В н g-.B—*С взаимно-однозначны и
принимают значения на, то go/:А—»С также взаимно-однозначна и
принимает значения но, причем (go f) “* = f~1og~1.
7. Пусть f;A-—* А; обозначим, как обычно, через /™ функцию
/о/о ... о/ (и вхождений буквы /). Доказать, что если fn = iA, то f
взаимно-однозначна и принимает значения на.
8. Доказать теорему 1.5 в следующей формулировке: для любого
множества X существует взаимно-однозначное соответствие между мно-
жеством отношений эквивалентности на X и множеством разбиений мно-
жества X.
9. Доказать, что если у функции /:R -R есть обратная, то график
функции /"' можно получить зеркальным отображением графика функ-
ции / относительно прямой у~х.
10. Доказать, что каждая из следующих функций имеет обратную.
Найти область определения каждой из этих обратных функций и ее зна-
чения для каждого элемента области определения. Начертить графики
каждой обратной функции.
(a) /;R —>R, где f(x)~2x — Г,
(b) /:R—-R, где f(x) = xs;
(с) / = {<*. (1-х’)Ъ | 1};
<d> /={(«•
11. Доказать тождество (gof) 1 =f для взаимнооднозначных
функций fug.
12. Доказать, что если функция f имеет обратную, то =
=Г1М]пГЧ5].
§ 1Л0. Отношения порядка
В этом параграфе мы определим несколько видов отношений, про-
образом которых служит интуитивное понятие отношения порядка (пред-
шествования— следования), т. е такого отношения р, что в соответст-
62
Глава /, Множества и отношения
вующем множестве X для некоторых пар его различных элементов
хи у имеет место хрг/, но не урх> В этом случае при помощи отно-
шения р можно решить, в каком порядке поставить эти элементы: л\
у, а не £/, х, так как имеет место хру, но не урх. Из такого рода от-
ношений для множества действительных чисел хорошо известны отно-
шения <, > и Аналогичную роль для систем множеств играют
отношения с: и
Первый тип отношений порядка, который мы сейчас рассмотрим,
будет характеризоваться основными свойствами, общими для упомянутых
выше отношений для чисел и для множеств. Предварительно мы
введем одно понятие: отношение р во множестве X будет называться
антисимметричным, если для любых элементов хну множества X из
одновременной истинности хру и урх следует х = у. Частичным упоря-
дочением. или отношением частичного порядка, во множестве X мы будем
называть рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение
в X, Поскольку можно пожелать рассматривать частичное упорядочение
в X относительно некоторого другого, отличного от X множества (на-
пример, обычное упорядочение в Z относительно множества четных
чисел), удобно ввести еще одно определение: отношение р частично
упорядочивает множество Y, если р П(УхУ) есть частичное упорядочение
в Y. Отношение рЛ(УхУ) есть «сужение» отношения р на множество V
в том смысле, что оно исключает из рассмотрения те упорядоченные
пары, у которых хотя бы одна из координат не есть элемент множества У.
Примеры.
L Отношение «является целым кратным» в Z+ есть частичное упоря-
дочение.
2, Иерархия или схема организации в торговой фирме определяется
частичным упорядочением в некотором множестве должностей.
3. Если р есть частичное упорядочение в X, то рПМх Л) частично
упорядочивает подмножество А множество X.
4. Для любого отношения р обратным к нему называется такое
отношение р, что урх равносильно хру. Если р есть частичное упоря-
дочение, то р также есть частичное упорядочение.
5. Любое рефлексивное и транзитивное отношение называется пред-
упорядочением. Такого рода отношение может обладать тем неудобством,
что при попытке упорядочить с его помощью какое-либо множество это
отношение не позволяет «различать» некоторые пары различных объектов
х, у—в том смысле, что будет иметь место как хру, так и урх. Напри-
мер, пусть для некоторого множества людей и? будет функцией веса,
1.10. Отношения порядка
63
a h—функцией роста, т. е. ia(x) и ft(x) будут, соответственно, означать
вес и рост некоторого индивида х. В таком случае отношение р такое,
что хру равносильно w (я) w (у) и h (х)< h (г/), будет предупорядочением,
но не частичным упорядочением, если найдутся два индивида, имеющие
одинаковый вес и одинаковый рост.
Если р есть предупорядочение множества X, то это отношение опре-
деляет частичное упорядочение в некотором разбиении множества X
(согласно упражнению 10 из § L7). Во-первых, утверждается, что отно-
шение для которого х~у равносильно по определению хру и урх,
является отношением эквивалентности. Во-вторых, устанавливается, что
отношение р', для которого [х] р' [у], если хру, является частичным
упорядочением, областью определения которого служит соответствующее
множество классов эквивалентности [л]. Окончательно можно сказать,
что если р есть предупорядочение в некотором множестве X, то оно
является частичным упорядочением в множестве, получающемся из X
в результате идентификации элементов, не различимых с помощью отно-
шения р.
Сказанное хорошо иллюстрируется следующим примером: в качестве р
берется отношение во множестве комплексных чисел такое, что
если действительная часть числа z меньше или равна действительной
части числа да.
Следуя традиции, мы будем обозначать частичные упорядочения сим-
волом Если отношение частично упорядочивает множество X, а
х и у суть элементы множества X, то соотношение х^у может иметь
или не иметь места. Аналогично, если х^у и х^у, мы будем писать
просто х < у и говорить, что х меньше, чм у, или х предшествует у,
или у больше, чем х. Мы будем также использовать, если это нам почему-
либо окажется удобным, записи у^х и у>х в качестве альтернативы
для х^у и x<Zy соответственно.
Отношение р во множестве X является, по определению, иррефлексив-
ным, если ни для какого х из X не имеет места хрх. Если ^ — частич-
ное упорядочение в X, то <—иррефлексивно и транзитивно в X.
Обратно, исходя из иррефлексивного и транзитивного отношения < в X
и полагая x^yt по определению, равносильным х<у или х = у, мы
приходим к частичному упорядочению в X. Доказательства этих
фактов мы предоставляем читателю. Получение < из и наоборот,
может быть проиллюстрировано на примере определения строгого вклю-
чения множеств в терминах включения и наоборот. Если частично
упорядочивает конечное множество X, то отношение < можно описать
посредством следующего понятия. Элемент у множества X, по определе-
64
Г лава I. Множества и отно шенич
нию, покрывает элемент х, если х<у и не существует такого и, что
х<.и<у. Если х<у, то, очевидно, можно найти такие элементы мно-
жества Л:*:, л2, .... хв, что x = Xt <л.2 < ... < х„ =у, причем каждое
г1+1 покрывает х,. Обратно, из существования такой цепочки следует
х<у.
Отношение р есть простое (или линейное} упорядочение, если оно
является частичным упорядочением и, каковы бы ни были различные
элементы х и у области определения (совпадающей с областью значений)
отношения р, непременно имеет место либо хру, либо урх. Отношение р
просто упорядочивает множество Y, если рл(ЕхУ) есть простое упоря-
дочение в У. Обычное упорядочение действительных чисел по величине
есть типичный пример простого упорядочения. В противоположность
этому включение множеств не является, вообще говоря, простым упо-
рядочением.
Нечего и говорить, что отношения порядка применяются для уста-
новления порядка в различных множествах. На практике отношение по-
рядка для какого-либо данного множества X задается обычно постули-
рованием или доказательством некоторых структурных характеристик
множества X. Иными словами, определенные особенности строения мно-
жества X, например существование операции или отображения какого-
либо специального типа, позволяют определить для X отношение порядка;
пример такого рода будет приведен в упражнениях к этому параграфу.
Свойства такого отношения порядка могут оказаться полезными для
выяснения и описания дальнейших характеристик множества X. Поэтому
удобно располагать специальной терминологией, приспособленной в пер-
вую очередь именно к множествам, а не к отношениям порядка в них.
Частично упорядоченное множество есть упорядоченная пара <Х, ^>,
где отношение частично упорядочивает множество X. Просто упоря-
доченное множество, или цепь,—это упорядоченная пара <Х, <?>, где
просто упорядочивает множество X. Например, если ZF есть некото-
рая система множеств, то <<F, е> есть частично упорядоченное множество.
Если, далее, есть обычное упорядочение целых чисел, то <Z,
есть цепь. С точки зрения теории множеств более экономно рассматри-
вать отношения порядка, а не упорядоченные множества (т. е. множе-
ства вместе с упорядочивающими их отношениями). Если, скажем.
<Х, есть какое-то частично упорядоченное множество, то ^П(ХхХ)
есть частичное упорядочение в X. Поэтому вместо того, чтобы рассмат-
ривать X и отношение частично упорядочивающее X, нам достаточно
рассматривать лишь само отношение порядка Л (X х X), поскольку'
оно полностью определяет X как область своего определения. Иначе
говоря, для любого предложения об упорядоченных множествах можно
5
1 10* Отношения порядка 65
указать эквивалентное ему предложение об отношениях порядка и
обратно.
В качестве иллюстрации предыдущего замечания мы переформулируем
данное нами ранее описание отношения < для конечного множества X,
частично упорядоченного отношением Пусть <Х, =SC> есть конечное
частично упорядоченное множество; тогда х<у равносильно тому, что
скщепвует цепь вида х~xt< х2< ... <х„ = у, в которой каждое xi+l
покрывает хг Это обстоятельство позволяет представить любое конечное
частично упорядоченное множество в виде наглядной схемы. Элементы
изображаемого множества Л изображаются при этом точками, располо-
женными на схеме в соответствии со следующим правилом. Точка, изо-
бражающая у, располагается выше точки, изображающей х, в том и только
в том случае, когда х<_у, причем, если у покрывает х, то х и у соеди-
няются прямолинейным отрезком. Таким образом, х<~у равносильно
тому, что на диаграмме имеется ломаная линия, восходящая от х к у.
Вот несколько схем такого рода
На первой схеме представлена цепь, состоящая из пяти элементов.
Ясно, что схема любой цепи имеет такой вид. На последней схеме изо-
бражено множество-степень трехэлементного множества, частично упоря-
доченное посредством отношения включения; точка, расположенная на
самом низком уровне, изображает пустое подмножество, точки, расположен-
ные на следующем (втором снизу) у ровне,—одноэлементные подмножества
и т. д. Такие схемы используются не только для того, чтобы изображать
уже заданные каким-либо образом частично упорядоченные множества,
представляя в наглядном виде упорядочивающие их отношения; их можно
использовать и для задания частично упорядоченных множеств—отно-
шение порядка в этом случае, по определению, есть отношение, связы-
вающее элементы, изображаемые точками, соединенными восходящими
ломаными.
Перед тем как ввести еще одно определение, относящееся к понятию
частично упорядоченного множества, нам будет полезно обсудить пред-
варительно один пример. Множество {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30), элементы
5 Л> 2 J19
66
Г лава !. .Множества и отношения
которого суть делители числа 30, частично упорядочено отношением
где, по определению, х^у, если у кратно х. Предлагаем читателю а ка-
честве упражнения показать, что схема этого частично упорядоченного
множества совпадает с последней из приведенных выше схем, изобра-
жающей множество-степень трехэлементного множества, частично упоря-
доченное отношением включения. Сами эти множества (множество-степень
трехэлементного множества и множество делителей числа 30), разумеется,
различны, но рассматриваемые с точки зрения их структуры —именно
как частично упорядоченные множества—они неразличимы. Именно
поэтому-то их схемы и совпадают. Этот тип отношений между двумя
частично упорядоченными множествами заслуживает особого внимания,
поскольку любому свойству каждого из таких множеств, формулируемому
исключительно в терминах упорядочивающего его отношения, соответ-
ствует совершенно аналогичное свойство другого множества. Поэтому
мы хотим выразить такого рода «неразличимость» в точных формальных
терминах. Тождество изображающих такого рода множества схем озна-
чает, прежде всего, наличие некоторого соответствия, связывающего
попарно элементы этих множеств. Это обстоятельство может быть опи-
сано как существование взаимно-однозначного соответствия, что, кстати,
удобно еще и тем, что мы не обязаны ограничиваться рассмотрением
лишь конечных множеств. Интересующее нас соответствие между мно-
жествами проявляется, далее, и в том, что любое соотношение между
какой-либо парой элементов одного из множеств, полностью определя-
емое его упорядочением, сохраняется и для соответствующей (в смысле
упомянутого взаимно-однозначного соответствия) пары элементов другого
множества (относительно аналогичного соотношения между членами этой
пары, определяемого упорядочением этого второго множества). Точная
формулировка рассматриваемого отношения между множествами фикси-
руется следующим определением. Функция f-.X—►X' называется сохра-
няющей порядок (или изотонной) относительно упорядочения множе-
ства X и упорядочения множества X', если х^у влечет / (х) f (у).
Теперь обсуждаемое нами подобие множеств можно описать как суще-
ствование такого взаимно-однозначного соответствия, что оно само и
обратное к нему сохраняют порядок. В этой связи принято пользоваться
следующей терминологией. Изоморфизм между частично упорядоченными
множествами <Х, и <Х', <?> есть взаимно-однозначное соответствие
между X и X' такое, что как оно, так и обратное к нему сохраняют
порядок \ Если такое соответствие существует, то одно из этих частично
упорядоченных множеств называют изоморфным образом другого, или
1 О более общем понятии изоморфизма см. ниже § 3.4 — Прим, перев.
1.10. Отношения порядка
67
говорят просто, что эти частично упорядоченные множества изоморфны.
Таким образом, отношение «подобия», которое, как мы видели, имеет
место между множеством всех подмножеств трехэлементного множества
и множеством всех делителей числа 30, рассматриваемыми вместе с частич-
ными упорядочениями этих множеств, можно описать, сказав, что эти
множества суть изоморфные частично упорядоченные множества.
Когда выше мы определили понятие частично упорядоченного мно-
жества, было отмечено, что типичным примером этого понятия является
система множеств, частично упорядеченная включением. Конечно, это
было сказано довольно-таки приблизительно—ведь смысл слова «типич-
ный» имеет так много разных оттенков. Одно из возможных уточнений
может быть дано в виде следующего важного утверждения: каждое
частично упорядоченное множество изоморфно некоторой системе мно-
жеств, частично упорядоченной включением. Это утверждение доказывает
следующая
Теорема 1.7. Любое частично упорядоченное множество <Х, =О
изоморфно некоторой системе множеств, а именно, некоторой системе
подмножеств множества X, частично упорядоченной включением.
Доказательство. Для произвольного элемента а из X обозначим
через Se множество {х£Х| х^ок Тогда отображение /, определенное
на X со значениями в {Se|a^X}, где f(a) = S(t, удовлетворяет утвер-
ждению теоремы. Детали доказательства предоставляются читателю
в качестве упражнения.
Этот результат часто формулируют так; «Каждое частично упорядо-
ченное множество может быть представлено посредством некоторой си-
стемы множеств (частично упорядоченной включением)». По сути дела,
эта теорема означает, что изучение произвольных частично упорядочен-
ных множеств можно без потери общности свести к изучению систем
множеств, частично упорядоченных включением. На практике подобный
перевод обычно все же не осуществляется, так как многие из непосредст-
венно усматриваемых свойств конкретных частично упорядоченных мно-
жеств при этом были бы утрачены. Отметим, наконец, что теорема 1.7
отнюдь не утверждает, что каждое частично упорядоченное множество
изоморфно множеству всех подмножеств какого-либо множества. Такие
частично упорядоченные множества {т. е. множества вида
не могут считаться типичными примерами произвольных частично упоря-
доченных множеств, поскольку они обладают рядом специфических осо-
бенностей. Например, любое такое множество содержит элемент (а именно,
0), меиьший любого другого элемента, и элемент (а именно, 4), боль-
ший любого другого элемента.
5*
Глава L Множества и отношения
В заключение этого параграфа мы введем еще несколько определений,
относящихся к частично упорядоченным множествам, которые нам впо-
следствии понадобятся. Наименьшим элементом множества X относительно
частичного упорядочения мы будем называть такой элемент у мио-
жества X, что для всех х из X верно у^х, Если такой элемент суще-
ствует, то он единствен; поэтому, говоря о наименьшем элементе какого-
либо множества, имеют в виду вполне определенный его элемент. Мини-
мальным элементом хмножества X относительно частичного упорядочения
называют такой его элемент у, что ни для одного xg X не имеет
места x<Zy. Минимальный элемент может быть и не единственным, как
это видно, например, из второй из приведенных выше (стр, 65) схем
частично упорядоченных множеств. Наибольшим элементом множества
X относительно называют такой #£Х, что для любого х g X х^у*
Наибольший элемент, если таковой существует, единствен, так что и в
этом случае можно говорить о вполне определенном наибольшем эле-
менте, Максимальным элементом множества X относительно называют
такой f/gX, что ни для какого xgX не верно
Частично упорядоченное множество <Х, О называется вполне упо-
рядоченным, если каждое непустое подмножество множества X имеет
наименьший элемент. Хорошо знакомым всем примером вполне упоря-
доченного множества является множество всех неотрицательных целых
чисел, упорядоченное естественным образом. Каждое вполне упорядо-
ченное множество <Х, является цепью, так как для любых двух
различных элементов л, у множества X множество {х, у\ должно иметь
наименьший элемент; следовательно, имеет место либо л " у, либо
у <х.
Если <Х, есть частично упорядоченное множество и А X, то
элемент х£Х называется верхней границей множества А, если для лю-
бого а$А имеет место а^х. Аналогично, элемент xfX называется
нижней границей множества А, если для любого А х^а. Множество
может иметь много верхних границ. Элемент xgX называется наимень-
шей верхней границей, или супремумом, множества А (в символах: sup А),
если х есть верхняя граница множества А и для всех верхних границ
у множества А имеет место х^у. Иными словами, наименьшая верх-
няя граница есть верхняя граница, являющаяся нижней границей мно-
жества всех верхних границ. Элемент х g X называется наибольшей
нижней границей, или инфимумом, множества А (в символах: inf А), если
х есть нижняя граница множества А и для любой нижней границы у
множества А верно х^у, Легко видеть, что если множество А имеет
наименьшую верхнюю границу, то она единственна; аналогично — для
наибольшей нижней границы.
L10, Отношения порядка gg
Упражнения
1. Доказать, что если р есть отношение частичного порядка, то об-
ратное отношение р также является отношением частичного порядка.
2. На множестве всех непрерывных функций, определенных на мно-
жестве неотрицательных действительных чисел и принимающих действи-
тельные значения, f = O(g), по определению, означает: существуют такие
положительные константы М иЛ1, что для всех х > N f По-
казать, что определенное таким образом отношение является предупо-
рядочением, и определить соответствующее отношение эквивалентности.
3- Пусть есть частичное упорядочение множества X; доказать:
< иррефлексивно и транзитивно в X. Пусть, обратно, <—отношение,
иррефлексивное и транзитивное в X; доказать: отношение такое, что
равносильно х < у или х=у, есть частичное упорядочение в X.
4. Для каких множеств А <5)(Л), => является линейно упорядо-
ченным множеством?
5. Пусть <Х, О и <Х', </>—частично упорядоченные множества.
Показать, что множество ХаХ' частично упорядочено отношением р,
где <х, х'> р <#, #’>, по определению, равносильно х^у и х'^.'у'. Ча-
стично упорядоченное множество <ХхХ', р> называют (прямым) про-
изведением данных частично упорядоченных множеств,
6. Двойственным к частично упорядоченному^ множеству <Х, р> на-
зывают частично упорядоченное множество <Х, р> (см. упражнение 1).
Пусть <Х, —частично упорядоченное множество, а, Ь^Х и а^Ь-,
множество всех таких xgX, что а^х^Ь, называют отрезком (замкну-
тым интервалом) (а, д]. Показать, что множество отрезков частично
упорядоченного множества <Х, =C>, частично упорядоченное включением,
изоморфно некоторому подмножеству произведения частично упорядо-
ченного множества <Х, и двойственного к нему.
7. Частично упорядоченное множество называют самодвойственным,
если оно изоморфно двойственному к нему множеству. Доказать, что:
(а) имеются в точности два неизоморфных частично упорядоченных
двухэлементных множества, каждое из которых самодвойственно;
(Ь) имеется пять попарно неизоморфных частично упорядоченных
трехэлементных множеств, три из которых самодвойственны.
8. Показать на примере, что если <Х, и <Х', ^'> суть частично
упорядоченные множества и f’.X—^X'—взаимно-однозначное соответ-
ствие, сохраняющее порядок, то может и не'сохранять порядок.
9. Доказать, что если / есть изоморфизм между частично упорядо-
ченными множествами <Х, и <Х', то х<у равносильно
/ W < 1(и)-
70
Глава I. Множества и отношения
10. Восполнить недостающие шаги доказательства теоремы 1.7.
11. Пусть <Х,<> есть частично упорядоченное множество. Доказать,
что и есть максимальный элемент тогда и только тогда, когда из у£Х
и у^и следует у—и. Доказать, что о есть минимальный элемент тогда
и только тогда, когда из у£Х и следует y = v.
12. Пусть есть система всех подмножеств множества Z+, имеющих
не более п элементов (п—фиксированное положительное целое число),
a F—совокупность всех конечных подмножеств множества Z+. Дока-
зать, что относительно включения
(а) каждый элемент множества 1ГЯ, имеющий п элементов, максимален;
(Ь) ¥ не имеет максимальных элементов.
13. Пусть X — множество всех квадратов, лежащих внутри некото-
рого прямоугольника, не являющегося квадратом. Каковы максималь-
ные элементы этого множества относительно включения?
14. Доказать, что для линейно упорядоченного множества понятия
наибольшего (наименьшего) и максимального (соответственно, минималь-
ного) элемента совпадают.
15. Пусть <Х, —частично упорядоченное множество, обладающее
тем свойством, что каждое его непустое подмножество, имеющее верх-
нюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу. Доказать, что каж-
дое непустое подмножество множества X, имеющее нижнюю границу,
имеет наибольшую нижнюю границу.
16. Доказать, что любое вполне упорядоченное множество <Х, О
обладает свойством частично упорядоченного множества, сформулирован-
ным в условии предыдущего упражнения.
17. Пусть X—множество, р—операция в X. (Эго значит, что р есть
функция, определенная на ХхХ со значениями в X; значение функции р
на <х, уу мы будем обозначать через ху.) Пусть, далее, р коммутативна,
ассоциативна и идемпотентна [т. е. ху = ух, x(yz} = (xy)z и хх = х
для всех х, у, z£XJ. Пусть, наконец, х^у для х,у£Х означает, по
определению, ху=^х. Доказать, что
(а) частично упорядочивает X;
(Ь) если X имеет наименьший элемент 0, то 0х = 0;
(с) ху^х-, ху^у\ из г^х и z^y следует хуУ^г.
18. Отношение где т п означает, что л делится на т, частично
упорядочивает множество Z+. Доказать, что любая пара целых чисел
имеет относительно этого упорядочения наименьшую верхнюю границу
и наибольшую нижнюю границу.
19. Доказать, что любое подмножество множества 3* (А), частично
упорядоченного включением, имеет наименьшую верхнюю границу и
наибольшую нижнюю границу.
ГЛАВА 11
ЛОГИКА
В том виде, в каком мы будем изучать математическую, или симво-
лическую, логику, она имеет два аспекта. С одной стороны,—это логи-
ка—аналитическая теория искусства рассуждения, целью которой явля-
ется систематизация и кодификация принципов правильного рассуждения.
Она возникла из изучения использования языка в споре для убеждения
слушателя и основывается на выделении и исследовании тех сторон
языка, которые существенны для этих целен. Она формальна в том
смысле, что не делает ссылок на значение. Посредством этого она до-
стигает многосторонности: она может быть использована для суждения
о корректности цепи рассуждений (в частности, «математического дока-
зательства») исключительно на основании формы (а не содержания)
последовательности утверждений, образующих эту цепь. Существует
много символических логик. Мы будем заниматься лишь логикой, охва-
тывающей большинство выводов того рода, какие встречаются в мате-
матике. В пределах самой логики—это «классическая» символическая
логика.
Другой аспект символической логики переплетается с проблемами,
связанными с основаниями математики. Вкратце он состоит в формули-
ровании математической теории как логической системы, расширенной
дополнительными аксиомами. Идея рассмотрения математической теории
как «прикладной» системы логики принадлежит немецкому математику
Г. Фреге (1848—1925), который разработал систему логики для приме-
нения в своем труде об основаниях арифметики. Уайтхед и Рассел в
«Principia mathematics» (1910—1913) продолжили работу Фреге и пока-
72
Глава П Логика
зали, что математика может быть «сведена к логике». В следующей
главе, рассматривающей аксисхматнческие теории, будут даны некоторые
указания об этом подходе к математическим теориям,
2J. Исчисление высказываний. Сентенциональные связки
В математических и других рассуждениях постоянно встречаются
повествовательные предложения, образованные путем видоизменения
некоторого предложения с помощью слова не или путем связывания
предложений с помощью слов или, если..,, /по (или влечет). тогда
а только тогда, когда. Эти пять слов или комбинаций слов называются сен-
тенцаональныма связками, В первую очередь мы проанализируем струк-
туру сложных предложений (т. е. таких повествовательных предложений,
в которых содержится одна или более чем одна связка), составленных
из простых предложений (т. е. таких, каждое из которых или не содер-
жит связку, или рассматривается как «неразложимое»). Рассмотрим сна-
чала каждую связку отдельно.
Предложение, видоизмененное словом «не», называется отрицанием
первоначального предложения. Например, «2 не есть простое число» —
это отрицание предложения «2 есть простое число», а предложение
«Неверно, что 2 есть простое число и 6 есть составное число» — отрица-
ние предложения «2 есть просгое число и 6 есть составное число». Грам-
матика заставляет нас применить выражение «неверно, что» вместо
простого слова «не», потому что последнее предложение — сложное.
Слово «и» употребляется, чтобы соединить два предложения в слож-
ное, которое называется конъюнкцией этих двух предложений. Например,
предложение «Солнце светит и на дворе холодно» представляет собой
конъюнкцию предложений «Солнце светит» и «На дворе холодно». В обы
денной речи в качестве синонимов вместо «и» пользуются различными
другими словами, вроде «а». Однако мы не будем обращать внимания
на возможные различия в оттенках смысла, связанные с применением
одного синонима вместо другого.
Предложение, образованное соединением двух предложений словом
«или», называется дизъюнкцией этих предложений, Мы будем всегда
предполагать, что «или» употребляется не в разделительном смысле
(либо — либо), а в том значении, как в официальных английских доку-
ментах, где это часто выражается варваризмом «и/или». Напомним, что
мы интерпретировали «или» таким же образом в определении объедине-
ния двух множеств.
Из двух предложений можно построить одно вида аесли то...»,
которое называется импликацией (или условным предложением). Предло
2.1. Исчисление высказываний, Сентенциональные связки
73
жение, непосредственно следующее за «если», есть антецедент, а пред-
ложение, непосредственно следующее за кто», есть консеквент. Например:
«Если 2 > 3, то 3 > 4»—условное предложение, в котором «2 > 3» —
антецедент и «3>4»—консеквент. Ниже приведено несколько выраже-
ний, которые мы будем считать имеющими тот же смысл, что и «если
Р, то Q» (где Р н Q—предложения):
Р влечет Q;
Р только тогда, когда Q;
Р есть достаточное условие для Q;
Q при условии, ЧГО Р-,
Q, если Р;
Q есть необходимое условие для Р.
Слова «тогда и только тогда, когда» употребляются, чтобы из двух
предложений получить эквиваленцию (или биусловное предложение). Мы
рассматриваем экви вале нцию
Р тогда и только тогда, когда Q
как имеющую то же значение, что и
если Р, то Q, и, если Q, то Р;
Q есть необходимое и достаточное условие для Р.
Введением букв P.Q, ... для замены простых предложений, специаль-
ных символов для каждой связки и круглых скобок там, где это может
понадобиться для пунктуации, мы можем показать эффективным обра-
зом связную структуру сложного предложения.
Выберем следующие символы для связок:
"w для «не»
Д для «и»
V для кили»
—»• для «если .. , то..
w для «тогда и только тогда, когда»
Так, если Р и Q—предложения, то
~Р, Р P\'Q. P~*-Q, P<~>Q
будут, соответственно, отрицанием предложения Р, конъюнкцией пред-
ложений Р и Q и т. д.
74
Глава И, Лагцка
Приведем конкретные примеры анализа связной структуры сложных
предложений, составленных из простых предложений.
Примеры
1. Предложение
«2 есть простое число и 6 есть составное число»
может быть символически записано, как
РЛС,
где Р—«2 есть простое число» и С—«6 есть составное число».
2. Предложение
«Если Пираты или Щенки проиграют и Великаны выиграют, то
Увертыши потеряют первое место и, кроме того, я проиграю пари» —
импликация, поэтому оно может быть символически записано в виде
А-+С.
Антецедент составлен из трех простых предложений: Р (Пираты про-
играют), С (Щенки проиграют) и G (Великаны выиграют), а консеквент
есть конъюнкция предложений D (Увертыши потеряют первое место) и
В (я проиграю пари). Первоначальное предложение может быть симво-
лически записано при помощи введенных обозначений для простых пред-
ложений как
((PVC)AG) —(DAB).
з. Предложение
«Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет
урегулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется су-
дебного запрещения, но войска не будут посланы на завод» является
импликацией. Антецедент есть дизъюнкция предложений L (рабочие
упорствуют) и М (администрация упорствует). Консеквент есть эквива-
ленция, левая часть которой есть S (забастовка будет урегулирована),
а правая часть есть конъюнкция предложения G (правительство добьется
судебного запрещения) и отрицания предложения 7? (войска будут по-
сланы на завод). Итак, первоначальное предложение может быть сим-
волически записано так:
(LVM)-..(Sw(GA(~ Я)».
Чтобы устранить чрезмерное количество круглых скобок при записи
сложных предложении в символической форме, мы вводим некоторые
2Л. Исчис мине высказываний^ Сектен^иенальные связки
75
соглашения (как в алгебре). Условимся, что *-» есть сильнейшая связка
(это значит, что она имеет наибольшею область действия), а за ней
следует —Далее следуют V н Л> которым приписывают равною силу,
и затем ~, слабейшая связка. Например,
Р Л Q —» R означает (Р /\Q) ► /?;
в PO(Q ./();
P*-*Q Л Я » P*->(Q Л Я);
~ р Л Q » (~ Р) Л Q;
теперь третий из вышеописанных примеров может быть записан сле-
дующим образом:
LV Л~Я)-
Упражнения
1. Запишите символически следующие сложные предложения, упот-
ребляя буквы для обозначения простых компонентов предложения (под
простыми компонентами мы подразумеваем предложения, не содержа-
щие связок):
(а) Идет дождь или кто-то не выключил душ.
(Ъ) Если вечером будет туман, то Джон или останется дома, или
должен будет взять такси.
(с) Джон сядет, и он или Джордж будут ждать.
(d) Джон сядет и будет ждать или Джордж будет ждать.
(е) Я поеду или на автобусе, или на такси.
(f) Ни Север, ни Юг не победили в гражданской войне.
(g) Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты
ирригационные канавы; если хлеба не уцелеют, то фермеры обан-
кротятся и оставят фермы.
(h) Если я устал или голоден, я не могу заниматься.
(i) Если Джон встанет и пойдет в школу, он будет доволен, а
если он не встанет, он не будет доволен.
2. Пусть С будет «сегодня ясно», R—«сегодня идет дождь», S—
«сегодня идет снег» и Y—«вчера было пасмурно». Переведите на обыч-
ный язык следующие предложения:
(a) C^~(R Л 5);
(Ь) Е^С;
(с) Y Л (С V Л);
(d) (r^«)VC;
(е) C^(R A~S)V Y\
(f) (С^^?)Л(~5уГ).
7fi
Г лава 11. Логика
2.2. Исчисление высказываний. Истинностные таблицы
Выше мы условились, что под высказыванием мы понимаем повест-
вовательное предложение, которое имеет то свойство, что оно может
быть классифицировано либо как истинное, либо как ложное, но не как
то и другое вместе. «Истинность» или «ложность» предложения, которую
мы приписываем высказыванию, и есть истинностное значение высказыва-
ния. Мы будем часто кратко обозначать «истинность» через Т и «ложность»
через F. Если Р и Q — высказывания и связки употребляются в их
обычном смысле, то каждое из предложений
~Р, Р AQ, р V (?, P->Q, P«->Q
есть высказывание. Рассмотрим вопрос подробнее.
Исходя из обычного значения слова «не», если высказывание истинно,
то его отрицание ложно, и наоборот. Например, если S есть истинное
высказывание (имеет истинностное значение Т) «Луна—спутник Земли», то
~ S ложно (имеет истинностное значение F).
По определению конъюнкция двух высказываний истинна тогда и
только тогда, когда оба составляющих высказывания истинны. Напри-
мер, «3 — простое число и 2~-2 = 5»— ложное высказывание, потому что
«2 + 2 = 5» — ложное высказывание.
При условии, что связка «или» понимается в неразделительном смысле,
обычное употребление квалифицирует дизъюнкцию как ложную тогда и
только тогда, когда оба составляющих высказывания ложны. Приписы-
вание истинных значений, которым мы занимаемся, может быть сведено
в краткие истинностные таблицы, при помощи которых можно припи-
сывать истинностное значение любому высказыванию для всех возмож-
ных случаев приписывания истинностных значений составляющим его
высказываниям.
Ниже следуют истинностные таблицы для тех типов сложных выска-
зываний, которые мы уже рассмотрели, а также для импликации и
эквиваленции.
Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиаале нция
р ~р PQ | P/\Q PQ | PV Q PQ Р-* Q PQ PwQ
т F т т т т т т г т г т т Т
F Т Т F F Т F т Т F F Т F F
F Т F F Т т F Т т F Т F
F F F F F F F F т F F Т
2 2. Исчисление высказываний. Истинностные таблицы
77
Обоснование истинностных значений, приписываемых импликации,
состоит в том, что по интуитивному^ пониманию Р —* Q истинно тогда
и только тогда, когда Q следует каким-либо образом из Pt Так, если Р
истинно и Q ложно, то мы хотим, чтобы Р Q тоже было ложно; этим
объясняется вторая строка таблицы. Далее, предположим, что Q истинно.
Тогда естественно считать, что P^Q истинно, независимо от Р и его
истинностного значения. Это рассуждение объясняет истинностные зна-
чения в первой и третьей строках таблицы. Чтобы обосновать четвертую
строку таблицы, рассмотрим высказывание Р ,\Q^P. Мы полагаем,
что эта импликация будет истинна независимо от выбора Р и Q. Но,
если Р и Q оба ложны, тогда Р /\Q ложно; таким образом, мы вынуж-
дены считать, что если и антецедент и консеквент ложны, то импли-
кация истинна.
Таблица для эквиваленции определяется из таблиц для конъюнкции
и импликации, исходя из того, что P++Q значит то же самое, что и
(P—Q) A(Q —РЛ
Эти пять таблиц должны пониматься как определения; это обычные
определения, принятые в математике. Мы лишь попытались как-то со-
гласовать их с естественным пониманием сентенниональных связок. Из
этих определений непосредственно следует, что если Р и Q — высказы-
вания, то Р, Р р Q, Р V Q, P-+Q и P<^>Q— тоже высказывания.
Отсюда непосредственно вытекает, что каждое сложное предложение,
чьи простые компоненты — высказывания, само есть высказывание,
Если истинностные значения простых компонентов известны, то истин-
ностное значение сложного высказывания может быть определено меха-
нически.
Примеры
1. Предположим, что сложное высказывание символически записано
так:
PVQ->(P«->~S)
и что истинностные значения Р, Q, Р и S будут Т, F, F и Т соответ-
ственно. Тогда значение Р V Q есть Г, значение ~S есть F, значение
P«-+^S есть Т и, следовательно, значение первоначального высказы-
вания есть Т, так как эта импликация имеет истинный антецедент и
истинный консеквент. Такого рода вычисление можно сделать быстро,
если написать под каждым простым высказыванием его истинностное зна-
чение, а истинностное значение каждого сложного высказывания — под
соответствующей связкой. Итак, для приведенного выше сложного выска-
78
Глава IK Логика
эыеання мы можем написать следующее (здесь в учебных целях после'
довательные шаги помещены на отдельных строчках, один под другим).
Р Q~ 3)
Т F F Т
Т F
Т
т
2. Рассмотрим следующее рассуждение.
«Если пены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или
применяется регулирование цен. Далее, если применяется регулирование
цен, то нет инфляции. Наблюдается инфляция. Следовательно, заработ-
ная плата высока».
Предположим, что мы согласны с каждым из первых четырех выска-
зываний (посылок). Должны ли мы согласиться с пятым высказыванием
(заключением)? Чтобы ответить на этот вопрос, запишем сначала рассуж-
дение символически, употребляя буквы Р, W, С и J вместо соответ-
ствующих высказываний. Так, Р есть предложение «Цены высоки».
Тогда мы можем представить рассуждение следующим образом:
Р— Г
Р VC
С- -.
J
W
Предположение, что мы согласны с посылками, равносильно при-
писыванию значения Т всем высказываниям над чертой. Тогда поставлен-
ный вопрос может быть сформулирован так: если посылки имеют истин-
ностное значение Т, имеет ли заключение значение Т? Ответ будет
утвердительным. Действительно, если J и С —> — J имеют значение Т,
то значение С есть F согласно истинностной таблице для импликации.
Следовательно, Р имеет значение Т (поскольку Р\/ С имеет значение Т)
и, следовательно, HZ имеет значение Т (поскольку Р —»№ имеет значе-
ние Т),
3. Рассмотрим конъюнкцию
(Р С) \ (С ~ J)
двух высказываний, приведенных в предыдущем примере. Вообще го-
воря, истинностное значение, которое получит такое высказывание, за-
2.2. Исчисление высказываний. Истинностные табгицы 7g
висит от значений, приписанных составляющим его простым высказыва-
ниям. Естественно предположить, что в период неустойчивых экономи-
ческих отношений истинностное значение, приписываемое одному или
нескольким из высказываний Р, С и J, будет меняться, переходя из
Т в F или наоборот. Так, может возникнуть вопрос о комбинациях
истинностных значений Р, С и J, для которых (Р V С) Л (С -+ ~ 7)
имеет значение Т или значение F. На это можно будет ответить при по-
мощи таблицы, в которой приведено истинностное значение сложного
высказывания для каждого возможного распределения (2а) истинностных
значений высказываний Р, С и J. Она называется истинностной табли-
цей для данного высказывания и приведена ниже. Каждая строчка
включает в себя какое-либо из распределений истинностных значений
высказываний Р, С и J вместе с соответствующим значением высказы-
вания (Р v С) /\ (С —► ~ J). Последнее может быть вычислено так же,
как и в приведенном выше первом примере.
Р С J
(PVC) Л (С— ~ J)
т т т
Т Т F
TFT
Т F F
F Т Т
F Т F
F F Т
F F F
F
Т
т
т
F
т
F
F
Однако при заполнении таблицы читатель, конечно, в самом процессе
работы нащупает кратчайшие пути.
4. Если Р—«2 есть простое число» н L—«Логика—занятное дело»,
то никто не мешает нам построить сложные высказывания такого рода,
как
PV L, P-+Lt ~P-+P\/L.
Поскольку Р и L имеют истинностные значения (ясно, что оба есть Т),
эти сложные высказывания тоже имеют истинностные значения, которые
мы можем указать. Первая наша реакция на такой вздор — «нужно за*
Г л два [/. Логика
претить такие построения», так как де образование конъюнкций,
импликаций и т. д. следует допускать только в том случае, когда
составляющие их высказывания связаны по своему содержанию или
предмету. Однако не требуется долгих размышлений, чтобы понять, с
какими трудностями связано определение столь неясных понятий. Го-
раздо проще пойти легким путем, т. е. допустить образование сложных
высказываний из любых простых. С точки зрения смысла это иногда
приводит к высказываниям, представляющим собой вздор, но вреда от
этого не будет. Мы ведь заняты формулированием принципов правиль-
ного рассуждения. В приложении к систематическому рассуждению слож-
ные высказывания, сводящиеся к нечленораздельной болтовне, просто
не встречаются.
Упражнения
I. Предположим, что высказываниям Р, Q, R и S соответственно
приписаны значения Т, F, F и Т. Найти истинностные значения каж-
дого из следующих высказываний'.
(a) (PVQ)V R,
(b) P v (Q v Я),
(с) P — (SAP).
(d) P-^(P-S),
(e) P — (P V S),
(f) Р V R^R A~S,
(g) S*+P^(~P V S),
(h) Q
(i) Д Д S(P — ~ С? V S),
(j) (PV ~<?)V R-AS A~S).
2. Составить истинностную таблицу для каждого из следующих вы-
сказываний:
(a) P^(P^Q)t
(b) PV <?*->QVP,
(c) P —(ОЛ
(d) (P-*Q)^->~P V<?,
(е) (Р—>-Q AP)V (~Р AC?),
(f) P /\Q-*(Q A~Q^RaQ).
3. Пусть значение высказывания P-+Q есть T. Что можно сказать
о значении высказывания Q++P\/ Q?
4. а) Пусть значение высказывания P*-+Q есть Т; что можно ска-
зать о значениях высказываний Р<-»~Q и ~ Р Q?
b) Пусть значение высказывания Р«->(? есть F; что можно сказать
о значениях высказываний P«->~Q и ~Р «->(??
5. Для каждого из помещенных ниже высказываний определить,
достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить истинностное
значение высказывания. Если достаточно, то указать это значение. Если
2.3. Исчисл ен не высказыва ни й. Общезн д ни мост &
81
недостаточно, то показать,
ные значения,
(а) (Я — Q) — /?,
т
(b) Р A(Q-^P),
т
(с) Р V (Q — /?),
т
что возможны и одно, и другое истннност-
(d) ~(Р\/ Q)~~P/\~Q,
Т
(е) (P^Q)^(~Q^~P)i
Т
(f) (Р AQ)-(PV S).
Т F
6. В третьем примере параграфа 2.1 мы записали символически вы-
сказывание
«Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет
урегулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется судеб-
ного запрещения, но войска не будут посланы на завод»
в следующем виде:
Д V (S«->G Л ~ Я).
Путем рассмотрения истинностных значений определить, истинно или
ложно это высказывание при каждом из следующих предположений:
а) Рабочие упорствуют, а администрация нет, забастовка будет
урегулирована, правительство добилось судебного запрещения и войска
посылаются на завод.
Ь) И рабочие, и администрация упорствуют, забастовка не будет
урегулирована, правительству не удалось добиться судебного запрещения,
к войска посылаются на завод.
7. В связи с высказыванием в предыдущем примере примем следую-
щее: «Если правительство добьется судебного запрещения, то на завод бу-
дут посланы войска. Если на завод будут посланы войска, то забастовка
не будет урегулирована Забастовка будет урегулирована. Администрация
упорствует».
Определить, истинно ли высказывание из упражнения 6.
2.3. Исчисление высказываний. Общезначимость
Изложенное в предыдущих napai рафах предназначено для того, чтобы
дать представление о характере исчисления высказываний как анализа
логических связей между предложениями, зависящих исключительно от
построения новых предложений из составляющих с помощью сентенцио-
нальных связок. Условия для такого анализа включают наличие исход-
6 № 2П9
82
Г лава II. Логика
кого множества предложений («простых предложений») и два следующих
допущения:
1) Каждое простое предложение есть высказывание, т. е. простому
предложению можно приписать истинностное значение.
2) Каждое из рассматриваемых предложений составляется из простых
с помощью сентенциональных связок и при данных истинностных зна-
чениях этих простых предложений получает истинностное значение в со-
ответствии с приведенными выше истинностными таблицами для отрица-
ния, конъюнкции и т. д.
Имея это в виду, подойдем с новой стороны к исчислению высказы-
ваний. Пусть дано непустое множество отдельных предложений; расши-
рим это множество, присоединив к нему как раз все те предложения,
которые можно образовать, используя многократно и всевозможными
способами различные сентенциональные связки. В таком случае это расши-
ренное множество будет обладать следующим свойством. Если А н В—
элементы этого множества, то его элементами будут и ~ А, А V В, А /\ В,
А^-В и Бхдем называть элементы этого расширенного множе-
ства формулами. Элементы первоначального множества называют про-
стыми (или элементарными) формулами, а остальные—составными фор-
мулами.
О простых формулах, входящих в составную, говорят, что они содер-
жатся в ней, и называют их ее простыми компонентами. Чтобы не-
двусмысленно записать составную формулу, применяют скобки. Однако,
чтобы избежать чрезмерного числа скобок, мы будем пользоваться вве-
денными ранее условными соглашениями.
В классическом исчислении высказываний, — а только его мы и рас-
сматриваем,— принимается, что каждой простой формуле сопоставляется
один элемент из {Т, F}. Далее принимается, что не имеет значения, какое
из истинностных значений, Т или F, приписывается данной простой фор-
муле. Этим достигаются наибольшее разнообразие и гибкость использо-
вания формул—истинностные значения можно приписывать в соответст-
вии с конкретными условиями. Истинностное значение составной формулы
определяется индуктивным способом в соответствии с приводимыми ниже
таблицами.
А В А/\В А\/В А->-В А*-+В А ~Д
Т
F
F
Т
Т
F
F
Т
9 3- Исчисление высказываний. Общезначимость g3
Примеры А
1. Если простыми компонентами формулы А служат Pj, Р2, ..., Р ,
то определение истинностного значения формулы А по истинностным
значениям компонентов Plt Р2, .... Рп можно представить в виде таб-
лицы, как было описано выше. Такая таблица состоит из 2й строк,
каждая из которых изображает одно из возможных распределений Т и
F, приписываемых компонентам Р2, Р2, .... Р„.
2. Истинностная функция есть функция, определенная на Vя со зна-
чениями в V, где V={T, F} и п^1. Иными словами, истинностная
функция есть функция от п аргументов, причем каждый аргумент может
принимать значение Т или F и сама функция имеет значение Т или F.
Мы будем обозначать истинностные функции символами
f (Pi> Pt...Р«)> g(<h> <7i. • •. ?«) и т. д.
Отметим, что мы отступаем от принятой нами практики обозначения
функций одной буквой и пользуемся обозначениями, которые до сих
пор применялись к значениям функций. Оправдание этому заключается
в том, что составление функций можно при этом описать более просто.
Например, обозначение
!(Pi....P,-r SWi,-- , «/J, Р.- + 1, Р„)
самоочевидно; оно указывает на функцию, полученную из истинностных
функций fen аргументами и g с т аргументами. Мы будем говорить
об этой функции, что она получена подстановкой функции g вместо
t-той переменной в f. Ясно» что такие функции, составленные из истин-
ностных функций, снова являются истинностными функциями.
Другой подход к исчислению высказываний можно получить, поль-
зуясь истинностными функциями. Существует 2s" различных истинност-
ных функций от п переменных. Из четырех, соответствующих ту>
которая имеет значение F при ТиТ при F, мы будем обозначать ~р.
Из шестнадцати функций истинности, соответствующих и —2, мы выде-
ляем четыре. Их определения и обозначения даны в следующей таблице:
Л (Р. Р) V (р, ?) -*(Р, Q) <-*(р> <?)
<т, т> Т Т Т т
<Т, F> F Т F F
<F, Т> F Т Т F
<F, F> F F Т Т
6*
84
Г лава ii. Логика
Ясно, что мы просто подражаем здесь символам и истинностным таб-
лицам конъюнкции, дизъюнкции и т. д. Наружное расположение сим-
вола в этих обозначениях кажется неестественным. Для упрощения мы
будем в большинстве случаев применять привычное внутреннее распо-
ложение [например, р Л <7 вместо д (р, ?)].
Везде далее мы ограничим употребление термина «истинностная
функция» тем, что будем относить его только к элементам множества
3, которому дается следующее индуктивное определение:
(I) Каждая из функций ~ р, р /\q, p'V q, p—*q и p++q есть эле-
мент множества 3.
(II) Если то элементом множества 3 будет и функция, получен-
ная подстановкой функции f вместо одной из переменных в любую из
функций, перечисленных в (I).
(III) Функция является элементом множества 3 тогда и только тогда,
когда она входит в 3 на основании (I) и (II).
Следующие выражения представляют собой примеры истинностных
функций:
(~ р) V q,
~(Р V ?).
Р) —(<? V (г As))-
Очевидно, что каждая истинностная функция, если она построена с по-
мощью принятых здесь обозначений, задает формулу в смысле данного
выше определения и, наоборот, каждую формулу можно рассматривать
как истинностную функцию. Далее, должно быть ясно, что для того,
чтобы приписать истинностное значение формуле А при данных истинно-
стных значениях простых компонентов формулы Я, нужно рассмотреть
структуру составной формулы Д как функции, Когда это будет удобно,
мы будем считать себя вправе рассматривать формулу как истинностную
функцию. В таком случае простые компоненты (символы-высказывания)
будут рассматриваться как переменные, могущие принимать истинност-
ные значения Т и F.
Исчисление высказываний имеет дело с истинностными значениями
составных формул, выраженными через истинностные значения, припи-
санные простым компонентам, и с взаимосвязями истинностных значении
составных формул, имеющих некоторые общие простые компоненты. При
дальнейшем изучении вопроса мы увидим, что основную роль играют
те формулы, истинностное значение которых есть Т при любых истин-
ностных значениях, приписываемых простым компонентам таких фор-
мул. Формула, истинностное значение которой есть Т при любых
возможных истинностных значениях, приписываемых ее простым ком-
2.3. Исчисление высказываний, Общезначимость
85
понентам, является тавтологией; говорят также, что такая формула
общезначима 1 (в исчислении высказываний). Мы будем часто писать
для обозначения того, что «Л общезначима» или «Л есть тавтология»8.
Представляет ли собой формула А тавтологию или' нет, можно опреде-
лить, рассмотрев ее истинностную таблицу. Если простые компоненты,
входящие в А, суть Р1г Р2, ...,Рп, то А представляет собой тавтоло-
гию тогда и только тогда, когда ее истинностное значение есть Т при
каждом из 2" приписанных Рг, Р3.Р„ распределений значений Т
и F. Например, Р—*Р и Р Д(Р—>Q)—являются тавтологиями,
тогда как Р —* (Q —► 7?) — не тавтология. Этот вывод основывается на рас-
смотрении помещенных ниже таблиц I, П и III.
Табл. I
Р Р-^ Р
Табл. II
Р Q Р Д(Р->
т т т Т Т
Т F F F т
F Т F Т т
F F F Т т
Табл. Ш
Р Q R Р-ь (Q— Я)
т т т Т т
Т Т F F F
TFT Т т
Т F F Т Т
F Т Т Т Т
F Т F т F
F F Т т Т
F F F т Т
Т
F
Т
Т
Определение общезначимости дает нам механический способ для ре-
шения того, общезначима ли данная формула, путем вычисления и рас-
смотрения истинностной таблицы. Хотя такой метод может быть утоми-
тельным, но его всегда можно применить для исследования общезначи-
мости предложенной формулы. Но ясно, что это непрактичный путь для
обнаружения тавтологии. Такое положение привело к разработке правил
образования тавтологий из тавтологий. Зная ограниченное число про-
стых тавтологий и несколько таких правил, можно вывести большое
число различных общезначимых формул. Мы сейчас выведем несколько
таких правил, а затем дополним их списком удобных для использования
тавтологий.
1 Весьма распространен также синоним «тождестаенно-истинна*.-— Прим, перев.
3 Такой символ для общезначимости, видимо, введен Клини.
86
Глава Н. Логика
Теорема 2.1. Пусть В есть некоторая формула, а В*—формула,
получаемая из В подстановкой формулы А вместо простого компонента Р
везде, где он встречается в В. Тогда, если ]— В, то В*.
Доказательство. Для произвольного распределения истинностных
значений, приписываемых простым компонентам в В*, получаются зна-
чение v (А) формулы А и значение о (В*) формулы В*. Но и (В*)=ц (В),
где о (В)—истинностное значение формулы В для данных истинностных
значений, приписываемых ее простым компонентам, включая и значе-
ние о (Л) для Р. Если формула В общезначима, то о(В), а следовательно,
и о (В*) всегда есть Т. Следовательно, если формула В общезначима,
то общезначима и формула В*.
Примеры В
I. Из таблицы IV (см. ниже) вытекает |— Р V Q-«-»Q V Р. Следова-
тельно, на основании теоремы 2.1 (7? -+ 3) V Q <-» <2 V (R —5). Ска-
занное можно пояснить, если нужно, подвергнув результаты прямой
проверке (табл. V) и пользуясь при этом тем же рассуждением, что и
в доказательстве теоремы 2.1. Чтобы пояснить зависимость между таб-
лицей V и таблицей IV, рассмотрим выделенную в таблице V строку.
Табл. IV
PQ Px/Q^Q'V'P
Табл. V
RSQ (R^S)V Q<-»QV (R — S)
Т Т
Т F
F Т
F F
Т
Т
т ТТТТ F
т
F Т Т F
Сначала в таблицу внесли (в двух местах) значение F для R -+ 3, так
как R было приписано значение Т, а 3—значение F- Затем дважды
вписали приписываемое Q значение Т. Остальная часть вычисления
представляет собой повторение того, что помещено в третьей строке
таблицы IV после того, как были внесены подчеркнутые в ней истинно-
стные значения.
2. Формула (R V Q) Л (R V Q —* Q) —* Q есть тавтология, полученная
из тавтологии Р /\(Р—+ Q) —* Q (табл. II) подстановкой такого типа,
как описанная в теореме 2.1.
2.3. Исчисление высказываний. Общезначимость 87
Введем теперь новое отношение между формулами. Для его опреде-
ления удобно интерпретировать формулы как истинностные функции;
заметим, что формулу, простыми компонентами которой являются Plt
Ps, ..., Р„, можно рассматривать как функцию с расширенным составом
переменных: Рх, .... Рп,..., Рт. Условимся теперь называть формулу А
эквивалентной (равносильной) формуле В (символическая запись: A eq В),
если они равны как истинностные функции для перечня переменных
Plt Р2, .... Рт, где каждое Р, входит в качестве простого компонента
по меньшей мере в одну из формул А и В. Если пользоваться истинност-
ными таблицами, то приведенное определение сводится к следующему.
Предположим, что {Рх, Рг, .... Рт} есть объединение множеств простых
компонентов, входящих в Л и В соответственно, и что мы вычисляем
истинностные таблицы формул А и В так, как если бы обе формулы
содержали Рх, Р2, ...,Рт как простые компоненты. В этом случае А
eq В тогда и только тогда, когда получающиеся истинностные таблицы
одинаковы. Например, из приводимых ниже таблиц VI и VII мы за-
ключаем, что Р —+ Qeq ~Р V Q и Р eq Р A (Q V ~Q)-
Табл. VI Табл. VII
Р Q Р~> Q ~PV Q Р Q р р acqv
Т Т Т Т Т Т т т
т F F F Т F т т
F Т Т Т FT F F
F F Т Т F F F F
Предоставляем читателю в виде упражнения доказать, что eq есть
отношение эквивалентности на каждом множестве формул и, далее, об-
ладает следующим свойством подставимости: если СЛ есть формула,
в которой выделено некоторое вхождение формулы А, а Са есть
результат замены этого вхождения формулы А на формулу В, тогда
если В eq А, то Св eq СА.
Везде далее будем считать эквивалентные формулы взаимозаменяемыми
и будем пользоваться свойством подставимости без всяких оговорок. Эк-
вивалентность формул можно охарактеризовать, пользуясь понятием обще-
значимой формулы при помощи следующей теоремы.
88
Г ла ба II. Логика
Теорема 2.2, тогда и только тогда, когда A eq В.
Доказательство. Пусть Рь Р2, .. . , Рт есть совокупность всех
простых компонентов в А и В. Если этим компонентам приписаны оп-
ределенные истинностные значения, то первая часть вычисления значения
формулы состоит в вычислении значений формул Л и В, после
чего вычисление заканчивается применением таблицы для эквивалентна
По этой таблице истинностное значение формулы есть Т тогда и
только тогда, когда вычисленные для А и В значения одинаковы.
Следствие. Пусть СА есть формула, в которой выделено некото-
рое вхождение формулы А, и пусть Сн есть результат замены этого
вхождения формулы А формулой В. Тогда, если Д <-+ В, то
если \~А4г*В и |~С^Т то
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Теорема 2.3, Если А и А —> В, то |= В,
Доказательство. Пусть Р^ - < есть совокупное гь всех
простых компонентов в А и В. Если этим компонентам приписаны истин-
ностные значения, то первая часть вычисления значения формулы А —> В
состоит в вычислении значений формул Л и В, после чего оно закан-
чивается применением таблицы для импликации. Допущения А и
I— А --> В влекут за собой, что как истинностное значение, полученное
для А, так и истинностное значение, полученное для А-+В, будут Т.
Из таблицы для А В вытекает, что В тоже должно иметь значение Т.
Так как это верно для любых значений, приписываемых компонентам
PL, Р2, * - Рт. формула В общезначима.
В качестве следующей теоремы мы приводим перечень некоторых тав-
тологий. Нет надобности запоминать их; перечнем следует пользоваться
для справок. То, что многие из перечисленных эквиваленций являются
тавтологиями* должно представляться очень правдоподобным с точки
зрения смысла в соединении с теоремой 2. L Что каждая из приведенных
формул — тавтология, можно доказать, составив для нее истинностную
таблицу, причем входящие в формулу буквы следует рассматривать как про-
стые формулы. Затем, когда показано, что истинностное значение фор-
мулы для всех значений, приписываемых компонентам, есть Т, мы обра-
щаемся к правилу подстановки, данному в теореме 2.1, чтобы снять этим
ограничение, что буквенные символы обозначают простые формулы.В упраж-
нениях к этому параграфу читателю предлагается установить общезна-
чимость некоторых формул нижеследующего перечня путем применения
2t3. Исчисление высказываний. Общезначимость
89
одной или нескольких из теорем 2.1—2.3 к тавтологиям, помещенным
в предшествующих строках этого перечня.
Теорема 2.4. Тавтологические импликации-
1. А Л (А —> В) —* В.
2. [- -В Л(А-В) —А.
3. [— ~ А Л (А V В) —В.
4. [“ А -* (В -+ А Л В).
5. |— А ДВ-> А.
6. |=z А — А V В.
7. }=(А -> В) / (В —► С)—► (А-* С).
8. |~ (А А В -+ С)~> (А -> (В С)).
9. [—(А —(В—> С))-* (А Д ВС).
10. |~(А — В л~В)-+ -А.
И. |==(А —* В)—► (А V С-* В V С).
12. |= (А В) — (А Л С — В Л С).
13. I- (А —> В) -* ((В — С) (А — С)).
И. |— (А <->В) Л(В*-*С)-+ (А<->С).
Тавтологические эквиваленции:
15. |~А«-»А
16. ,=---А<г+А.
17. ]—(A е-*В) w(B*-> А).
18. [—(А — В) ' (С — В)<-+(А
19. |=(А ->В) \(А — C)w(A—*
20. (А^ В)«^(~В-> ~ А).
21. |=т А \ В<-+В < А.
22. i= (А V В) V С w А V (В V С).
23. AV(3AC)«-*(AVfi)A(AVC)
24. |— А V А<~* А.
25. |zr ~ (А V В) е-> ~ А Д ~ В.
^В).
Л С).
2Г. |— А Л В*-»В Л А.
22'. [—(А ДВ) ACwA А(В лС).
23'. |= А Л (В \/ С) w
«-♦(А А В) V (А Д С).
24’. |~ А Л А А.
25'. |=~(А /.BJw^AV-'B-
90
Глава // Логика
Тавтологии для исключения связок:
26. 4-*В*-+~ Л V В.
27. |=4-*В~~(4 Д~В).
28. |= А V 4-+В.
29. |=4 V А А~В).
30. 1= А л В <-> - (4 — ~ В).
31. |=Л ДВ<-»~(~ 4 V ~В).
32. |=(4wB)<->(4->B) Л(В->4).
Закончим этот параграф описанием мощного метода получения тав-
тологий непосредственным путем. Сначала рассмотрим только формулы,
составленные из простых формул Plt Р2.....Рл с помощью Л И V.
Негатив Лй такой формулы А есть формула, получающаяся из А
заменой каждого вхождения Д символом V и наоборот и заменой
каждого вхождения Pz вхождением ~ и наоборот. В качестве при-
мера негативов в этом смысле отметим, что негатив формулы Р V Q есть
~ Р Д Q, а негатив формулы Р V Q) есть Д Q). При-
ведем теорему, связывающую негативы и тавтологии.
Теорема 2,5. Пусть А есть формула, составленная из простых
компонентов с помощью только д и V. Пусть Лл есть негатив
формулы А. Тогда |—
Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по
числу символов, входящих в формулы. Мы не будем этого делать, но
включим в первый из приводимых ниже примеров вывод конкретного
случая этой теоремы, В другом примере описано распространение этой
теоремы на случай формулы, в которую входят -* или ч-к
Примеры С.
1* Конкретным случаем теоремы 2,5 является утверждение, что
= -((-PVQ) V (QA(₽V ~ Р)))^> (Р A-Q) ЛQV (~ ^ Л^)).
или, другими словами, что левая и правая стороны эквиваленции яв-
ляются эквивалентными формулами. Пользуясь свойствами транзитивно-
сти и подставимости эквивалентности, мы ниже доказываем наше утвер-
2 3. Исчисление высказываний. Общезначимость
91
ждение. Каждый шаг подкрепляется ссылкой на соответствующую часть
теоремы 2.4 (с учетом теоремы 2.2):
~((~PVQ)V(QA(PV ~Р)))
eq~(~P <2)A~(<?A(/?V ~ Р)У (25)
eq(~~P A~Q)A(~QV ~(PV ~ Р)) (25,26')
eq(-~PA~Q)A(~QV(~P/\-~P)) (25)
eq(P Л~<2) A(~QV (~Я ДР))- (16)
2. Пользуясь тавтологией 32 из теоремы 2.4, мы можем получить из
формулы, содержащей <->, эквивалентную формулу, в которой w отсут-
ствует. Например,
P«->(Q Л P)eq(P — QAJ?) Д (Q Д Р—Р).
Следовательно, символ *-+ можно исключить из всякой формулы. Подоб-
ным же образом, пользуясь тавтологией 26 или 27, можно исключить
из всякой формулы символ —». Таким образом, любая формула А эк-
вивалентна формуле В, составленной из простых компонентов с помощью
~, Л и V. Установив это, мы можем определить негатив формулы А
как негатив формулы В.
3. Как показано в предыдущем примере, «-> и —► можно исключить
из любой формулы. Пользуясь тавтологией 29, можно исключить \/ или
(с помощью тавтологии 31) Д. Иначе говоря, любая формула эквива-
лентна формуле, составленной из простых компонентов с помощью —
и V или же — и Л-
4. Из тавтологии 22 следует общий ассоциативный закон для V,
утверждающий, что, каким бы образом ни были вставлены скобки в фор-
мулу V Аъ V ... V Anf чтобы сделать ее недвусмысленной, получа-
емые при этом формулы будут эквивалентными. Соответствующий резуль-
тат по отношению к Д следует из тавтологии 22'.
Упражнения
1. Пользуясь вторым из примеров А, написать каждую из следующих
формул в виде истинностной функции с помощью наружных символов.
Например, ~ Р— iQ V (R aS)) записывается в виде
— (~Р, V (Q, Л (R, S))).
(а) Р Д ~ Q,
(b) ~Р —Q,
(с) Р V (Q V Я),
(d) р л(е-Р),
(е) p^(Q^R}^Q^(P .R},
(f) PV A (SV ~P)),
(g) (P-Q)-(Sa-p—Q).
92
Глава IL Логика
2. Пусть Р1Т Р-2..—простые компоненты формулы А Пока-
зать, что истинностную таблицу для формулы А рассматриваемой как
формула, составленная из простых компонентов Pv , Рл> ,.*, можно
разделить на 2Ш"4 частей, каждая из которых дублирует истинностную
таблицу для Л, вычисленную с Р1Т Р2т *. Рп в качестве простых ком-
понентов*
3. Доказать, что eq есть отношение эквивалентности на всяком мно-
жестве формул и что оно обладает свойством подставимости, описанным
в тексте*
4. Доказать результаты, сформулированные в следствии из теоре-
мы 2*2*
5* Вывести тавтологии 28—31 из помещенных над ними тавтологий
теоремы 2,4, пользуясь свойствами эквивалентности формул. В качестве
примера выведем из предшествующих тавтологию 27* Из тавтологии 26
находим А^~ В eq ~ А V ~ В и, в свою очередь, А V ~В eq ~ (^Л^)
на основании 25\ Отсюда А ~ ~ В eq ~(Л /\ ~ В). Применяя 16,
находим, следовательно, что А^ В eq ~ (Л Л и это то же, что
тавтология 27*
6- Пусть дана истинностная таблица формулы, содержащей в каче-
стве простых компонентов Р1Ь Ptr Описать, как, пользуясь —,
/\ и V, построить из простых компонентов Ри Pg, .Рп9 такую фор-
мулу Л, которая имела бы заданную истинностную таблицу в качестве
своей истинностной таблицы*
Указание, Если из таблицы видно, что истинностное значение формулы при
любых приписываемых Рп Р2, P# значениях есть F, та мы можем выбрать в ка-
честве *4
(Pi А - Pi) A (Р2 А ~ PJ А *.. А (/\ А - PtiL
Если значение хотя бы одной строки таблицы есть Т, то из всех 2” возможных ком-
бинаций вида Pj А Р2 Д *. * A P,t. — Рт А Рй Л . *. А Ра.Pi Л Ра А * * * Л ~ Р„, ♦ * .,
** Pi Л * Р2 Л А — Рп, полученных отрицанием ни одной, некоторых или всех
букв во всех возможных сочетаниях, мы можем выбрать в качестве А дизъюнкцию
некоторых из элементов этого множества*
7* Вместо того, чтобы для вычисления истинностного значения фор-
мулы пользоваться истинностными таблицами, можно применить ариф-
метическую процедуру Основой для такого подхода служат следующие
соглашения:
I. Т изображается числэм 0, a F числом 1.
II. Формула интерпретируется как истинностная функция, где каж-
дый простой ко*мпонент является переменной, которой можно припи-
сать значения 0 и L
2.4. Исчисление высказываний. Логическое следствие
93
111. Суммы и произведения, в которые входят слагаемые и сомно-
жители Он 1, подсчитываются как в обычной арифметике за одним
исключением: 1 1 = 0.
Принимая во внимание сказанное выше, находим, что основные
истинностные функции задаются следующими формулами:
~Р = 1 + Р,
Р /\ <2 = /= + <?+•?(?,
PV Q = PQ,
P^Q = (14-P)Q,
P<-*Q = P + Q.
Оставляем читателю проверку высказанного утверждения в качестве
упражнения.
В этих терминах тавтологиями будут те истинностные функции, ко-
торые тождественно равны 0. Например, то, что |~PV ~ Р, ясно из
того, что PV ^Р = Р(1-гР). Чтобы доказать, что формула 1 из тео-
ремы 2.4—тавтология (если рассматривать Л и В как простые компо-
ненты), мы образуем сперва [это соответствует А Д (Л ->В)] Я+(1 -у Л) В 4-
4- А (1 + А) что сводится к А 4- (1 4- /1) В, поскольку А (1 Д- Л) В тож-
дественно равно 0. Тогда вся формула 1 дает функцию (14-Л4-
+ (1 + 4)В)в, При В=0 это дает 0; если же В=1, то функция сво-
дится к 1 — А + (14- А) =0.
В такой алгебре 2хилс(х4-1) тождественно равны нулю. Это делает
упрощение длинных выражений очень легким.
Читателю предлагается доказать этим методом какие-либо тавтологии
из теоремы 2.4.
2,4. Исчисление высказываний. Логическое следствие
Во введении к этой главе было сказано, что задача логики — дать
принципы рассуждения, т. е. теорию вывода. Практически это сводится
к получению критериев для решения механическим путем вопроса о
том, можно ли некоторую цепь рассуждений, основываясь на ее форме,
считать правильной. Цепь рассуждений представляет собой просто конеч-
ную последовательность высказываний, приводимых в обоснование
утверждения, что последнее высказывание в этой последовательности
(заключение) может быть выведено из некоторых начальных высказы-
94
Глава II, Логика
ваний (посылок). В обыденных условиях посылки вывода считаются
истинными (на основании имеющегося опыта, эксперимента или убеж-
дения). Если признать посылки вывода истинными, а принципы, исполь-
зованные в цепи рассуждений, основанных на этих посылках, пра-
вильными, то мы вынуждены рассматривать полученное заключение
как истинное. В математической теории дело обстоит иначе. Там мы
интересуемся исключительно заключениями (так называемыми «теоре-
мами» теории), которые можно вывести из принятой начальной си-
стемы высказываний (так называемых «аксиом» теории) в соответствии
с правилами, установленными в какой-либо логической системе. В част-
ности, в самой теории понятие истинности не играет никакой роли.
Вклад исчисления высказываний в теорию вывода заключается в следую-
щем: оно дает критерий вместе с практическими формами его применения
для решения того, когда заключительному предложению рассуждения
следует приписать истинностное значение Т, если каждой посылке этого
рассуждения приписывается значение Т. Критерий этот имеет форму
определения.
Высказывание В есть логическое следствие высказываний А1а А2, ..
., Ат (в исчислении высказываний), что символически записывается
в виде
Л., Д2, .... ЛЯ|=В,
если для всякого распределения истинностных значений, приписываемых
каждой из простых формул Рр Р2, ..., Р„, входящих в одну или в несколько
из формул Лх, Л2, ..., Ат и в В, формула В получает значение Т всякий
раз, как каждое Л( получает значение Т. Если пользоваться истинно-
стными таблицами, то «Aj, At, ..., ЛИ[“В» означает просто, что прн
построении истинностных таблиц для А1Г Ла, ..., Ат и В по перечню
Pi, Ра, ..., Р„ простых формул, входящих в одну или в несколько из
этих формул, В получает истинностное значение Т по меньшей мере
для каждого приписывания отдельным Р истинностных значений, которое
одновременно дает всем значение Т.
Пример А
Рассматривая таблицу VIII, получаем следующие три иллюстрации
к приведенному определению:
Р, R> Q ДР —* ~ Р |= ~ Q, (строка 3)
Р, Р—> R, R^PX/Q—* R, (строки 1 и 3)
QAP^^P, ~Q, Р -->/?|=: ~(PaQ). (строки 3, 7, 8)
2*4. Исчисление высказываний .Логическое следствие
95
Таблица VIII
Р g Я | <2ЛР-^~К ^QP-^R p\[Q~+r ~(Рд<2)
т т т F F Т Т F
Т Т F Т F F F F
TFT Т Т Т т Т
Т F F т Т F F Т
F Т Т т F Т Т Т
F Т F т F т F Т
F F Т т Т т т т
F F F т Т т Т т
Теорема 2.6, (1) тогда и только тогда, когда [— А —*В.
(II) A, Ait ..., тогда и только тогда, когда Л1дЛгд...
...ЛЛга|=В, или тогда и только тогда, когда |~ Ад АЛ • Л А —►
-^В(т>2).
Доказательство. Докажем (I). Пусть А |~ В. По таблице для —>,
А —* В получает истинностное значение F тогда и только тогда, когда А
получает значение Т н одновременно В получает значение F- На осно-
вании принятого допущения такая комбинация истинностных значений
не встречается. Следовательно, А —> В всегда получает значение Т, т. е.
| ~ А —> В. Для обратной теоремы пусть А —► В; рассмотрим такое рас-
пределение истинностных значений, приписываемых простым компонентам,
что А получает значение Т. Поскольку А—*В получает значение Т,
из таблицы для —+ следует, что В получает значение Т, откуда А В.
Первое из утверждений в (II) следует из таблицы для Л» а второе
из первого, если использовать (I).
Следствие. А.......А-и Al—тогда и только тогда, когда
Л1, Ла, ..., Л,*.! [= Ат —* В. В более общей форме'. Лх, ..., Ат_1г Ат |= В
тогда и только тогда, когда |“ Дх —* (Л2—> (.. (А —- В)...)).
Доказательство. Прн т = 1 первое утверждение есть (I) теоремы.
Итак, примем, что А» .... Am_u Ат|= В, при т>1. Тогда (ЛХД . .
... Д А„.^ i) A Ат-~>- В на основании теоремы. Из тавтологии 8 теоремы 2.4
и следствия из теоремы 2.2 выводим, что |~ (ЛХД • • Л A-i)~* (А —* В).
В соответствии с п, (I) теоремы находим, что ^Д. * - ЛА-,1=А^я.
и, следовательно, на основании п. (II), Лх.А-х|-~ А-- Обратная
теорема доказывается применением тех же операций в обратном порядке.
Наконец, второе утверждение получается последовательным приме-
нением первого.
Г лава. Ц Логина
56
Таким образом, вопрос о том, какие высказывания представляют
собой логические следствия других высказываний (в исчислении выска-
зываний), сводится к вопросу о том, какие высказывания общезначимы
(этим объясняется важное значение тавтологий). С другой стороны, можно
указать и прямые доводы в пользу нашего подхода к понятию логичес-
кого следствия. Один из доводов заключается в возможности превратить
определение в рабочий аппарат, напоминающий тот, какой применяется
в математике для вывода теоремы из системы аксиом. Действительно,
мы можем осуществить такой аппарат в виде последовательности формул
(последняя формула представляет собой искомое заключение из посылок)
таких, что наличие каждой из них обосновывается правилом, называемым
правилом вывода (для исчисления высказываний). Основой для правил
вывода, которые мы введем, служит следующая теорема.
Теорема 2.7. (I). Alt As, ..., AtB |=Л,- для i=t, 2, ..tn.
(II). Если Aj, At, ..., Ат j—для /' = 1,2, p и если Вх, Вг, ...
...,BF|~C, то Ла, .... А„|~С.
Доказательство. (I) непосредственно вытекает из опреде-
ления «Лх, Д2, .... Л„)~В». Для доказательства (II) строим истин-
ностную таблицу по перечню всех простых компонентов Рх, Ра, .... Р(1,
входящих хотя бы в одну из формул А, В н С. Рассмотрим какой-нибудь
ряд, в котором каждая формула At, Аа.А„ получает истинностное
значение Т. Тогда на основании сделанных допущений каждая формула В
имеет значение Т и, следовательно, и С имеет значение Т, т. е. при
всяком распределении истинностных значений для Р, при -котором
каждое А получает значение Т, формула С получает значение Т. Это
и есть искомое заключение.
Основываясь на этом результате, можно представить доказательство
того, что формула В (заключение) есть логическое следствие формул
4Х, As......А„ (посылок), в виде цепочки (т. е. конечной последова-
тельности) формул, последней из которых является В, и притом такой
цепочки, что наличие в ней каждой из формул Е обосновывается приме-
нением одного из следующих правил.
Правило р\ формула Е есть посылка.
Правило t: формуле Е в цепочке предшествуют такие формулы А...С,
что I— Л,л ... дС^ Е.
Иными словами, мы утверждаем, что At, Аа, ..., А„ В, если мы
можем составить такую цепочку формул
2-4, Исчисление высказываний. Логическое следствие__________ 97
Е., Е......ЕГ( = В), ”
что каждая Е есть посылка (правило р) или же в этой цепочке есть пред-
шествующие формулы такие, что если С —их конъюнкция, то С—► Е
(правило t). В самом деле, примем, что каждое вхождение в рассматри-
ваемую последовательность может быть оправдано указанным способом,
и докажем, что тогда А., Л4, ... 4^1— (любое Е в этой последователь-
ности). На основании теоремы 2.7 (1) это верно в отношении Et. Примем,
что каждая из формул Elt Ег, ... Ек_х есть логическое следствие из
формул А. Докажем, что то же верно и в отношении следующей фор-
мулы Ек. Если Ек есть посылка, то к ней применима теорема 2.7 ([).
В противном случае существуют такие формулы, предшествующие Ек,
что если С —их конъюнкция, то > Ек. Пусть, скажем,
Тогда по теореме 2.6 (I!)
£/,. Е„.....Е^\=Ек,
и на основании принятого допущения
Л1Р .... Ат |—.5 /“L 2, $.
Отсюда по теореме 2.7 (II)
21*,
Заметим, наконец, что, применяя правило tf можно ввести в вывод
люб^ю тавтологию. В самом деле, если |=О, то для всякой формулы Л
имеем |zz A ->D. Таким образом, D можно включить в вывод, применяя
правило Л в котором мы считаем какую-либо посылку формулой «Л»*
Примеры В
1, Докажем, что
А\/В, А-+С, B^D\=C\/D.
Объяснение цифр, стоящих слева в нижеследующих строках, дано
дальше:
{1} (1) А -С правило р;
(2) А\/В-+С\/В правило t; (=(!)“ *(2) на основании
тавтологии П;
{3} (3) В -D правило р;
[3} (Ч C\'B—rC\/D правило t; !-(3)~ *(4) на основании
тавтологии И;
7 jm? гиэ
$8
Глава IL Логика
{1, 3} (5) AVB-+CVD
{6} (6) А\/В
{1,3,6} (7) CVD
правило (2)Д(4)—*-(5) на основа-
нии тавтологии 7;
правило р;
правило f; |~ (5)Д(6) —» (7) на основа-
нии тавтологии 1.
Цифры в круглых скобках рядом с каждой формулой обозначают
и номер формулы, и номер строки вывода, в которую она входит. Номера
в фигурных скобках в каждой строке соответствуют посылкам, от которых
зависит формула в этой строке, т. е. формула в строке п есть логическое
следствие из посылок, обозначенных номерами в фигурных скобках в этой
строке. Так, формула в строке 5 есть логическое следствие посылок
в строках 1 и 3, а формула в строке 7 есть логическое следствие посылок
в строках 1,3 и 6, т. е. всех посылок. В частности, в строке, заключаю-
щей в себе посылку, в фигурных скобках слева стоит как раз номер
этой строки, поскольку такая формула не зависит от других строк.
Фигурные скобки применены в номерах слева у мышление, так как такое
обозначение напоминает о том, что формула в этой строке есть логи-
ческое следствие совокупности посылок, обозначенных этими номерами.
Перепишем теперь помещенный выше вывод, вводя при этом некоторые
практические сокращения. Читателю предлагается в этой записи добавить
номера использованных тавтологий:
{1} (1) А->-С р
{1} (2) А\/В—г С\/В It
{3} (3) B-»D р
! 13} (4)CV5^CVO з;
{1, 3} (5) AX/B^CVD 2, 4t
{6} (6) AVB р
{I, 3, 6} (7) CVD 5, 6/
2. В качестве более сложного примера докажем, что
WVP^J, J->'CVS, S-+U, ~сд~у|—
пользуясь при этом следующей цепочкой из тринадцати формул:
{1} (1)~Сд~[/ Р
1} (2)- U и
3} (3)S-* U Р
1, 3} (4)~S 2, 3/
{1} (5)-С 1/
{1- 3} (6)~Сд~8 4,5*
2.4. Исчисление высказываний, Логическое следствие 99
{1, 3} (7)-(CVS) 6t
{3} (8)WVP^J P
{9} (9) J^CVS P
(8, 9} (10) U7VP -> CVS 8, 9/
{!> 3, 8, 9} (ll)-(rvP) 7, 10/
{1, 3, 8, 9) (12) - W P 11/
(1, 3. 8, 9} (13)- «z 12/
Отметим, что приведенная выше цепочка заменяет истинностную таб-
лицу, содержащую. 2® = 64 строчки, при помощи которой проверяется, что
|-0FVP-> J)AG/ - CVS) Л (S— Щ Л (~ CA-i/) — .
3. Многие теоремы в математике имеют форму импликации, причем
допущениями служат аксиомы развиваемой теории, В символической
форме^такая теорема имеет следующий вид:
Д2, ..лк;=в
где”формулы А — аксиомы, С— следствие, которое доказывается.
Обычный способ доказательства такой теоремы состоит в том, что В
принимают в качестве еще одного допущения, а затем выводят С как
логическое следствие. При этом используется, что /2, .,ЛИ(~В—>С
тогда и только тогда, когда Alt A2t . ,., А^, В |zzС, Это верно на осно-
вании следствия из теоремы 2.6. Удобно сформулировать это положение
в качестве третьего правила вывода — правила условного доказательства —
в исчислении высказываний.
Правило ср: формула В-+С оправдана в выводе, посылками кото-
рого служат А2, . если установлено, что С есть логическое
следствие формул Да ,Аг^ и В.
В качестве примера использования этого правила докажем, что
-flVА, В|—D—С.
{0 (1) a — P
|2) (2) -Р\/Л P
{3} (3) В P
{4} (4) D p (здесь D вводится в качестве доба
вочной посылки)
{2. 4 (5) A 2, 4/
{I, 2, 4} (6) B—* c 1, 5/
(1, 2, 3, 4} (7) C 3, 6/
|l, 2, 3} (8) D — C 4, 7ср
Удобство номеров в фигурных скобках очевидно: они точно указы-*
вают, какие посылки входят в вывод формулы в этой строке.
7*
100
Г .1 а в а Ц, Липка
4. Если даже доказываемое следствие некоторой системы посылок
и не имеет формы условного высказывания, то применение описанного
в предыдущем примере хода рассуждений может упростить вывод. В ка-
честве иллюстрации этого положения мы вернемся к первому приме-
ру, качав с наблюдения, что заключение CX/D эквивалентно ~С—»-D.
Это наводит на мысль добавить ~ С в качестве посылки в расчете
на то, что D можно вывести как следствие из этой и других посы-
лок. Этим достигается некоторое преимущество, заключающееся в том,
что добавляется простая исходная формула. Ниже приводится весь
вывод:
{1} (1) Луд Р
{2} (2) Л->С Р
{3} (3) В-- D Р
{<} (4) ~С Р
{2, 4} (5) ~А 2, 4/
{1, 2, 4} (6) В 1, 5/
р, 2, 3, 4} (7) D 3, Ы
{1, 2, 3} (8) ~C^D 4, 7ср
{1, 2, 3} (9) CVD 81
5. Каждая из тавтологических импликаций в теореме 2.4 порождает
некоторое правило вывода, а именно частный случай применения пра-
вила I, который обосновывается ссылкой только на одну эту тавтологию.
Например, тавтология I в теореме 2.4 определяет правило:
из А и Л-^В выводится В.
Правило это называется правилом отделения, или modus ponens. Названия
многочисленных правил вывода такого рода можно найти в учебни-
ках логики. Вероятно, modus ponens употребляется в выводах чаще
всего.
Упражнения
1. Рассмотрев таблицу VIII примера А, подтвердить заключения,
сделанные в этом примере.
2. Дополнить каждое из приведенных ниже доказательств логических
следствий указанием использованных тавтологий и нумерацией по типу
рассмотренной в первом из примеров В.
2.5. Иснивленив высказываний. Приложения
101
(а) А^В, ~(5VC)|=~-4t
А- >В
* ~(ВуС)
-вл-с
~В
~а
(с) (ДЛВ)У(СДО), А —*-—А|—С
—AV—А
-А
-AV— В
-(ЛАВ)
(AAB)V (САВ)
С АО
С
(b) А-+В, С-+В,
D-+AVC, D\~B
D-+A\'C
D
АУС
А-+В
с—в
АуС^В
В
(d) Л-^(С-^В), ~DyA, C\~D^B
~DyA
I)
А
А -(С^В)
С 'В
С
В
D—.B
3. Доказать, пользуясь только правилами put:
(a) -AVB, С—+~ В |~ А —« ~С;
(b) A—+(B—+C)t (C/\D)-+E, ~F-^(D/\~E)\=A — (B^Py,
(с) AVB-^CAO, DVB^FI—Л — В;
(d) A-*(BAC), -BVD, (£^~F)-+~D, В—»-(A A—-E) |—8—*£'.
(e) (Л—>B)A(C —»D), (B—* E)/\(D—>F), ~ (£ AF),A^C|~ ~A.
4. Попробуйте сократить ваши доказательства из упражнений 3 (а),
(Ь), (с) и (d), пользуясь правилом ср (вместе с правилами р и ().
5. Можно ли с успехом применить правило условного доказательства
в упражнении 3 (е)? Аргументируйте ваш ответ.
2.5, Исчисление высказываний. Приложения
Обратимся теперь к обыденным приложениям теории вывода, рас-
смотренной в предыдущих параграфах. Обычно в число условий, сопут-
ствующих изложению какого-либо доказательства, входит наличие слуша-
теля, имеющего право принимать или отвергать утверждение, что
некоторое высказывание В представляет собой логическое следствие
высказываний А1Г А2, .... Ат. В этом случае самостоятельно рассуждаю-
щий человек захочет доказать либо, что В — логическое следствие из всех А,
102
Г л а з д II. Логика
либо, что рассуждение не логично, т* е. что можно приписать рассматривае-
мым простым компонентам такие истинностные значения, что одновременно
все А получат значения Т, а В—значение F. Самый подходящи < Способ
решения всего вопроса состоит в следующем: принять, что истинностное
значение ^высказывания В есть F, а каждого из А — Т, и проанализи-
ровать, что получается из необходимого приписывания истинностных
значений для простых компонентов* Такой анализ приводит либо к про-
тиворечию, доказывающему, что В есть логическое следствие из всех Л,
либо к приписыванию для каждого из простых компонентов такого
истинностного значения, что все допущения будут удовлетворяться;
последнее подтверждает, что это рассуждение не логично*
Изложенный здесь метод доказательства того, что некоторая формула
есть логическое следствие других, обесценивает метод, выдвинутый
в предшествующем разделе, поскольку второй метод так быстро приводит
к результату. Однако первый метод имеет свои достоинства (во всяком
случае, с педагогической точки зрения)* Например, он ведет к озна-
комлению с тавтологиями теоремы 2,4. Случаи использования тавтологий
весьма обычны в математических доказательствах, н читателю следует
приобрести навык в распознавании тавтологий, как таковых, Например,
тавтология 20 оправдывает привычное заключение, что если контрапозиция
Q ~ р высказывания P^Q есть логическое следствие из Л, то
и Р —► Q — тожз логическое следствие из А,
Примеры А
L Рассмотрим слецуюд?з рассуждение
Если я пойду завтра на первое занятие, то должен буду встать
рано, а если я пойду вечером на танцы, то лягу спать поздно* Если
я лягу спать поздно, а встану рано, то я буду вынужден довольство-
ваться пятью часами сна, Я просто не в состоянии обойтись пятью
часами сна. Следовательно, я должен или пропустить завтра первое
занятие, или не ходить на танцы.
Чтобы исследовать, справедливо ли это рассуждение, символизуем
его, заменяя простые высказывания буквами. Пусть С означает «Я иду
(пойду) завтра на первое занятие»; G— «Я должен встать рано*; D —
иду (пойду) вечером на танцы»; S — лягу спать поздно», а Е— «Я
могу обойтись пятью часами сна»* Тогда посылки можно записать симво^
лически в следующем виде:
(C^G)A(D^S),
SAG^ Е,
~Е,
2,5. Исчисление высказываний. П риммсения
J03
а искомое заключение будет
~CV~D.
Следуя описанному тише методу анализа, примем, что ~CV~D
имеет значение F, а каждая из посылок имеет значение Т. Тогда и С,
и D должны иметь значение Т. Далее, как следует из первой посылки,
и G, и S имеют значение Т. Зто и вторая посылка влекут за собой, что Е
имеет значение Т. Но зто противоречит допущению, что третья посылка
имеет значение Т.
Таким образом, доказано, что ~-C\/-~D есть логическое следствие
имеющихся посылок.
2. Предположим, что дано следующее утверждение:
А—> В. C-+D, AVCf^BAD.
Примем, что B/\D имеет значение F, а каждая из пссылок —Т.
Первое допущение удовлетворяется, если приписать В значение Т, а
D — значение F- В таком случае С имеет значение F и А — значение Т.
При таких истинностных значениях каждая из пссылок получает значе-
ние Т, a BAD принимает значение F. Следовательно, рассуждение
не логично.
С изложенным выше связав, но отличается от него вопрос о непро-
тиворечивости множества высказываний, которое предлагается рассмат-
ривать как систему пссылок для вывода. Множество (Л1( Л2, .... Л„)
высказываний нспрстиеоречиео (в исчислении высказываний), если сущест-
вует по меньшей мере одно такое распределение истинностных значений
простым компонентам, что все Л одновременно получают значение Т.
Противсрсчиеость множества высказываний есть отрицание его непро-
тиворечивости. Так, {Л), Л2, Аа} есть прстиеоречиесе множество,
если при гсяксм распределении кстиннсстьых значений простым компо-
нентам по меньшей мере одно из А получает значение F. Короче говоря,
Л2, .... Л.т} непротиворечиво, если Л1ДЛ2Д.• • ДЛ„ имеет значе-
ние Т но меньшей мере для одной комбинации приписываемых простым
компонентам истинностных значений, и {Лп Л2, ..., Ля) противоречиво,
если Д1ДЛ2Д... ДЛЩ имеет значение F для всех комбинаций истин-
ностных значений, приписываемых простым компонентам.
Противоречивость множества высказываний можно установить, поль-
зуясь системой методов, описанных в предыдущем параграфе, как только
мы введем следующее определение. Прсткоречие есть формула, которая
всегда принимает истинностное значение F (например, Лд~Л).
104
Глава IL Лагипа
Теорема 2.8. Множество высказываний {Дх, A.zr . Л„} проти-
воречиво, если из него в качестве логического следствия можно вывести
противоречие.
Доказательство. Примем, что для некоторой формулы В
Al, .......AJ— В/\~В. Тогда ItzjAaXjsA. ..ЛА,-*ВЛ~В, и
искомое заключение следует из истинностной таблицы для импликации.
Противоречия играют также важную роль в методе косвенного дока-
зательства (называемого также доказательством от противного, или
доказательством reduct to ad absurdum). Основой такого вида доказатель-
ства сложит следующий результат:
Теорема 2.9. Л.2, .... X^|zzB, если в качестве логического
следствия из Л1Ф A2J ,,г,Ати можно вывести противоречие.
Доказательство. Примем, что для некоторой формулы С
Д2, А„, Тогда Дт, A, .AJzz -B ^СД~С.
Рассмотрим теперь такое распределение истинностных значений, припи-
сываемых данным простым компонентам, что каждая А принимает зна-
чение Т Тогда ~В —>С/\^С имеет значение Т. Эго и то, чтоС/\ *- С
получает значение F, влечет за собой для значение F, и, следова-
тельно, В имеет значение Т.
Примеры В
L В качестве иллюстрации полезности теоремы 2.8 докажем проти-
воречивость некоторого множества высказываний. Доказательство следует
той же схеме, какая указана для установления правильности рассуждения,
во всем, за одним только исключением: в доказательстве правильности
рассуждения последняя строка, т. е. заключение, задается заранее, тогда
как в доказательстве противоречивости последней строкой служит любое
противоречие. Например, предположим, что речь идет о непротиворечи-
вости множества высказываний, которые можно записать в следующем
виде:
А<г+В, В^С, ~C\/Dt ~A~+D,
Примем их как систему
из них сделать
посылок и исследуем, какие выводы можно
Г) (Г А++В Р
{2} (2) В ~С. Р
{3} (3) ~C\/D Р
{4} (О ~A-+D Р
2,5. Исчисление высказывании. Приложения
105
{5} (5) -D Р
(4. 5} (6) ~ -.4 4, 5/
{4, 5} (7) А 6/
U. 2} (8) А^С 1, 2/
{1, 2. 4, 5} (9) С 7, 8/
(3, 5} (10) 3, Ы
{1, 2, 3, 4, 5} (И) СА~С 9, 10*
Мы заключаем, что множество противоречиво.
2. Можно было бы ввести еще одно правило вывода, основанное на
теореме 2,9. Вместо этого можно применить правило условного дока-
зательства и тавтологию С/,~С)—> В в качестве основы
доказательства от противного. Для иллюстрации сказанного проделаем
заново первый из примеров А этого параграфа и начнем при этом
с отрицания требуемого заключения, взяв это отрицание как добавочную
посылку:
(1) (С-+G)/'(D —с S) р
(2)S/\G^E р
(3) ~Е р
(4) ~(~CV~D) р
(5) СдО
С
C>G
G
D—+S
D
S
sag
е
Е \~Е
~(~CV~D)-+£A~£
~C'/~d
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(П)
(12)
(13)
(14)
(15)
Читателю предоставляется в виде упражнения восполнить это доказа-
тельство недостающими подробностями.
Упражнения
Применить рассмотренный в этом параграфе метод для доказательства
логичности или нелогичности рассуждений, приведенных в упр. 1 —12,
Если рассуждение логично, построить для него формальное доказатель-
106
Г лава IL Логина
ство. Пользуйтесь везде предложенными в тексте буквами для символи-
ческой записи рассуждения.
1. Я пойду домой (И) или останусь здесь и выпью стаканчик (3).
Я не пойду домой. Саедэвагельнэ, я останусь н выпью.
2. Если Джон ляжет сегодня поздно (S), он будет утром в отупении (О).
Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться, что не стоит жить (L).
Следовательно, или Джон будет завтра в отупении, или ему будет
казаться, что не стоит жить.
3. Заработная плата возрастет (IP) только, если будет инфляция (У).
Если будет инфляция, та увеличится стоимость жизни (С). Заработная
плата возрастет. Следовательно, увеличится стоимость жизни.
4. Если 2—простое число (Р), то это наименьшее простое чнсчэ (L).
Если 2 — наименьшее простое число, то 1 не есть простое число (N).
Число 1 не есть простое число. Следовательно, 2 — простое число.
5. Джон или переутомился (Е), или болен (S). Если он переутомился,
то он раздражается (С). Он не раздражается. Следовательно, он болен.
6. Если завтра будет холодно (С), я надену теплое пальто (Я), если
рукав будет починен (S). Завтра будет холодно, а рукав не будет почи-
нен. Следовательно, я не надену теплое пальто,
7. Если исход скачек будет предрешен сговором (7?) или в игорных
домах будут орудовать ш/леры (Я), то доходы от туризма упадут (О),
и город пострадает (S). Если доходы от туризма упадут, полиция будет
довольна (Р). Полиция никогда не бывает довольна. Следозагельно,
исход скачек не предрешен сговором.
8. Если Доджеры выиграют (D), то Лос-Анджелес будет торжество-
вать (L), а если выиграет Уайт-Сэкс то торжествовать будет Чи-
каго (С). Выиграют или Доджеры, или Уайт-Сэкс. Однако если выиграют
Доджеры, то Чикаго не будет торжествовать, а если выиграет Уайт-
Сокс, то не будет торжествовать Лос-Анджелес. Итак, Чикаго будет
торжествовать тогда и только тогда, когда не будет торжествовать Лос-
Анджелес.
9. Или Сэлли и Боб одного возраста (S), или Сэлли старше Боба (О).
Если'Сэлли и Боб одного возраста, то Нэнси и Боб не одного возраста (N).
Если Сэлли старше Боба, то Боб старше Уолтера (IF). Следовательно,
или Нэнси и Боб не одного возраста, или Боб старше Уолтера.
10. Если 6—составное число (S), то 12—составное число (IF). Если
12—составное число, то существует простое число, большее чем 12 (Р).
Если существует простое число больше 12, то существует составное число
больше 12 (С). Если 6 делится на 2 (О), то 6—составное число. Число
12 составное. Следовательно, 6—составное число.
2-5, Исчисление высказы/ваний^ Приложения
IG7
11. Если я пседу автсбуссм (В), а автсбус опоздает (L), то я про-
пущу назначенное свидание (Л4). Если я пропущу назначенное свидание
и начну огорчаться (D), то мне не следует ехать домой (И). Если я не
получу эту работу (/), то я начну огорчаться и мне следует поехать
домой, Следовательно, если я поеду автобусом и автобус опоздает, то
я получу эту работу.
12, Если Смит победит на выборах (Лг)т он будет доволен {Н), а если
он будет дсЕОлен, то сн плохой борец в предвыборной кампании (С).
Но если он провалится на выборах, то потеряет доверие партии (Р)т
Он плох ей бореи в предвыборной кампании, если он потеряет доверие
партии. Если он плохой борец в предгьборной кампании, ему следует
выйти из партии (/?). Смит или победит на выборах, или провалится,
Следовательно, ему нужно выйти из партии.
13. Исследовать противоречивость помещенных ниже систем пссылок.
Если путем приписывания истинностных значений будет установлено,
что множество противоречиво, то подтвердить это, используя теорему
2.8, и наоборот. Доказать каждое утверждение о непротиворечивости
множества посылок соответствующим распределением истинностных зна-
чений:
(а) Л^~(ВДС) OV£-*G G^~(WV/) -СДАД// (с) (Л->В)А(С — D) (В^О)Л(-С^А) (£^G)A(G-+~D) ~Е^Е
ft) /vb-*cad DVE^G AV ~G (d) (A^BAC)A(D-. B/\E) (G —~ (H-+I)^GAD ~(~C^E)
е) Контракт будет выпелнен (С) тогда и только тогда, когда
дом будет закончен в феврале (/У). Если дом будет закончен в феврале,
то мы можем переезжать 1-го марта (jW). Если мы не сможем переехать
1-го марта, то мы должны внести квартирную плату за март (/?). Если
контракт не будет выполнен, то мы должны внести квартирную плату
за март. Мы не будем вносить квартирную плату за март,
14. Дать косвенное доказательство каждого из следующих рассуж-
дений:
(а) Второго из примеров' В параграфа 2,4,
(Ь) Третьего из примеров В параграфа 2.4,
(с) Первого из примеров А в этом параграфе.
<d) Упражнения 7 (см. выше).
108 ____________ _____________________________Г лава Н. Логика
(е) Упражнения 11 (см. выше).
(f) Упражнения 12 (см. выше).
15. Доказать или опровергнуть, что А В —-* С тогда и только тогда,
когда .4, ~ В|'=С.
2.6. Исчисление предикатов. Символизация обычного языка
Теория вывода, которую дает исчисление высказываний, недостаточна
для математики, да и для обычных рассуждений. Например, из посылок:
«Всякое рациональное число есть действительное число»,
«3 есть рациональное число»,
конечно, можно вывести заключение
«3 есть действительное число».
Однако логичность этого рассуждения нельзя установить в исчислении
высказываний. Объясняется это тем, что исчисление высказываний ограни-
чивается структурой предложений в терминах предложений-компонентов,
а приведенный выше вывод требует анализа структуры предложения
в смысле связи субъекта и предиката, как это делается в грамматике.
Иными словами, исчисление высказываний не разделяет предложение
на достаточно «тонкие» составляющие для удовлетворения большинства
целей. С другой стороны, оказывается, что, добавив три дополнительных
логических понятия, называемых термами, предикатами и кванторами,
можно символизовать очень многое в обычном и математическом языке
так, что становится возможным анализ рассуждения. Опишем эти три
понятия.
В математике практикуется введение букв вроде х или у, занимающих
место названий отдельных предметов. Например, чтобы описать те дей-
ствительные числа, квадраты которых минус сами числа равны 12, мы
пишем равенство Xs—х=12, рассматривая таким образом х как заме-
ститель названия любого такого числа (пока неизвестного). Или, при
обычном употреблении х, оно в равенстве
sinBx4-cos2x = 1
замещает название произвольного действительного или даже комплекс-
ного числа. При таком применении, как в равенстве ха—х=12, мы
привыкли называть х неизвестным, а в равенстве sin3x+cos®x= 1
обычно х называют переменной. Мы будем пользоваться буквами из вто-
рой половины алфавита при символизации обычного языка подобно
2.6. Исчисление предикатов. Символизация обычного языка цщ
тому, как это сделано выше, т, е. в качестве неизвестного или пере-
менной. В логике принято употреблять слово «переменная» в обоих
случаях, и вопрос, должно ли х служить переменной в интуитивном
понимании слова или неизвестным, решается в зависимости от формы
выражения, в которое х входит. Поскольку в конце концов мы намерены
освободить все символы от какого бы то ни было смыслового значения,
проще всего сделать это с самого начала в отношении переменных.
Мы достигаем этого, определяя предметную переменную как букву или
букву с нижним или верхним индексом. Переменные образуют один из
классов термов.
Мы будем также пользоваться буквами и символами в качестве на-
званий конкретных, вполне определенных предметов, т. е. применять
буквы и символы вместо собственных имен. Применяемые с этой целью
буквы и символы называются предметными постоянными. Например, «3»
есть предметная постоянная, так как это название числа 3. «Уинстон
Черчилль» тоже предметная постоянная. Чтобы сделать обозначение
кратким, мы будем пользоваться вместо собственного имени, если для
него нет общепринятого символа, одной из первых букв алфавита.
Например, можно положить, что
а = Уинстон Черчилль,
если мы хотим перевести в символическую форму предложение
«Уинстон Черчилль был великим государственным деятелем».
Собственные имена часто даются в виде «описания», которое мы
считаем названием предмета, по самой своей структуре недвусмысленно
обозначающим этот предмет.
Например,
Первый президент Соединенных Штатов
и
Такое действительное число х, что для всех действительных чисел у
*У=У
представляют собой описания. Если положить
Ь~ Георг Вашингтон,
то мы можем написать
Ь = первый президент Соединенных Штатов.
ПО Г л а & а ! !.^Логике
Далее, мы имеем
J=такое действительное число л\ что для всякого у ху — у.
Предметные переменные и предметные постоянные (в виде собствен-
ных имен или описаний), вместе взятые, называются термами. Грам-
матическая функция переменных подобна функции местоимений и нари-
цательных имен в обычном языке, а ф>нкция предметных постоянных
подобна роли имен собственных.
Перейдем теперь к понятию предиката. В грамматике предикат (ска-
зуемое) есть то слово (или несколько слов) в предложении, которое
выражает, что говорится о субъекте (подлежащем): например, ^есть дей-
ствительное число», «имеет черный цвет», «завидует»* В логике слово
«предикат» употребляется в более общем смысле, чем в грамматике.
Дело в том, что, вводя в предикате переменною, замещающую нужный
предмет (например, «х есть действительное число»), мы получаем «выска-
зывательную функцию» в том смысле, что для каждого значения пере-
менной х (из соответствующей области определения) результат есть вы-
сказывание* Хотя в грамматике «Джон любит» не будет предикатом, но
если ввести букву заменяющую объект (любви Джона), т< е. написать
Джон любит х,
то полученный результат становится высказывательной функцией в опи-
санном здесь смысле. Сразу же напрашивается обобщение, а именно
распространение сказанного на высказывательные ф\ нкции со многими
переменными, Вот несколько примеров;
х меньше у. у делится на xt z есть сумма х и у.
Результатом является понятие об п-местном предикате как о выра-
жении, обладающем тем свойством, что, приписав значения переменным
х1т х2, ,, * , хп из соответствующих областей определения, мы получаем
высказывание. Для удобства в число значений п включаем и 0, понимая
под 0-жс/ганьш предикатом высказывание.
Рассмотрим теперь примеры перевода в символическую форму*
Примеры А
L Предложение
Каждое рациональное число есть действительное число (1)
можно перевести в следующее:
Для любого х, если х есть рациональное число, то х есть действи-
тельное число, (2)
2.6. Исчисление предикатов. Символизация обычного языка щ
В обычной грамматике «есть действительное число»—предикат в пред-
ложении (1). В переводе (2) дополнительный предикат «х есть рацио-
нальное число» заменяет имя нарицательное «рациональное число».
Обозначая через Q(x) «х есть рациональное число», а через R(x) «х есть
действительное число», мы можем выразить (2) в символической форме
в виде
Для любого х, Q(x) —* R(x). (3)
Далее, высказывание «3 — рациональное число» можно записать симво-
лически так:
Q(3). (4)
С использованием введенных пока символов (3) и (4) дают переводы
посылок рассуждения, приведенного в начале этого параграфа.
2, Предложение
Некоторые действительные числа являются рациональными
можно перевести так:
Существует такое х, что х—действительное число и
х — рациональное число.
Пользуясь введенными выше предикатами, можно теперь символически за-
писать наше предложение в виде
Существуег такое х, что R(x)'/\Q(x). (5)
3/ Предложение
Существует такое х, что R (х)]—(6)
должно иметь тот же смысл, что и
Существует такое х, что ~ 7?(х) V Q (%)> (?)
поскольку мы только заменили «7? (х) —> Q (х)» его эквивалентом
7? (х) V Q (х)». Можно (7) перевести теперь словами так:
Существует нечто, которое или не есть действительное число, или есть
рациональное число.
Конечно, это высказывание [имеющее тот же смысл, что и (6)] не
имеет того же смысла, что и (5). В самом деле, как только мы укажем
предмет, не являющийся действительным числом, мы должны будем
согласиться с (6). Резюмируя, можно сказать: смыслы (6) и (5) различны.
На основании принятых допущений, если переменным предиката
приписать подходящие значения, то мы получим высказывание. Напри-
мер, если S(x) обозначает «х есть второкурсник», то из этого предиката»
112 Г ;овя /у Л кики
получается высказывание «Джон есть второкурсник». Высказывание можно
получить из S (х) также, если предпослать ему выражение «Для всякого х».
Для всякого х х есть второкурсник. (8)
Несомненно, мы предпочли бы перефразировать (8) в виде:
Всяким человек — второкурсник. (9)
Выражение «для всякого х» называется квантором общности. Мы
считаем «для всякого х», «для всех х» и «для каждого х» выражениями,
имеющими одинаковый смысл, и символически записываем любое из них
в виде
(ух) или (х).
Пользуясь этим обозначением, мы можем записать (8) или (9) в сле-
дующей символической форме:
(х) S (х).
Подобным же образом, предпослав S(x) выражение «существует х
(такое, что)», получаем высказывание, имеющее тот же смысл, что и
«существуют второкурсники». Выражение «существует х» называется
квантором существования. Мы считаем «существует х», «для некоторых х»,
«по меньшей мере для одного х» выражениями, имеющими одинаковый
смысл, и символически записываем любое из них в виде
(Эх).
Таким образом, «(3 х) S (х)» представляет собой в символической форме
предложение «существуют второкурсники».
В каждом из примеров А квантор стоит не только перед предикатом,
но и перед «формой от х»1; под этим мы будем понимать временно выра-
жение, составленное из одноместных предикатов Р(х), ... с использова-
нием сентенциональны х связок. Применяя обозначение, введенное для
квантора общности, мы можем теперь записать предложение «всякое
рациональное число есть действительное число» в окончательном виде:
(x)(Q(x)-»R(x)). (10)
Возможно, читатель уже заметил, что это просто значит то же, что
и Q^R, В самом деле, если вспомнить определение «отношения вклю-
чения» для множеств, то станет ясно, что (10) представляет случаи, под-
1 И здесь (ср. со сноской на стр. 15) слово яформап является переводом автор*
сного «formula»; термин ^формула» появится начиная с § 2.7.— Прим, ред.
2 6, Исчисление предикатов* Символизация обычного языка j 13
ходящий под это определение. Далее, отметки, что (10) типично для
высказываний вида «всякое то-то есть то-то».
Подобным же образом предложение «некоторые действительные числа
являются рациональными» можно перевести в символическую форму сле-
дующим образом:
(3x)(R(x) /\Q(x)). (11)
Смысл этого предложения сводится просто к тому, что R п Q — не-
пустое множество; это—симметричная форма первоначального предложе-
ния. Обычная ошибка начинающих состоит в следующем: исходя из того,
чго высказывание вида «всякое то-то есть то-то» можно символически
записать в виде (10), они заключают, что высказывание «некоторые то-то
суть то-то» можно символически записать как
(Эх)(/?(х) -> Q(x)).
Однако, как отмечено в третьем из примеров А, такое высказывание
имеет тот же смысл, что и
(Эх)(~ Я(х) V Q (X)).
Мы должны признать это истинным, как только будет указан предмет,
который не является действительным числом. Следовательно, выражение
(Зх) (R(х) —+ Q(x)) не имеет отношения к тому, что мы хотели сказать,
т. е. что некоторые действительные числа являются рациональными.
Примеры В
I. Понятие формы от х, описанное (несколько неопределенно) выше,
совладает с тем, которое было дано в главе I. Там было сказано, что
такое выражение часто называется свойством (х-а). С понятием свой-
ства, в соответствии с интуитивным принципом абстракции, связывается
некоторое множество. Распространяя очевидным образом понятие формы
от х на форму от х и у, мы можем связывать с формой А (х, у) такие
упорядоченные пары <а, 6>, что А (а, Ь) истинно. Иначе говоря, форму
от х и у можно применить для определения бинарного отношения.
Вследствие этого формы о г двух переменных часто называют бинарными
отношениями, формы от трех переменных—тернарными отношениями
И т. д.
2. Пусть А(х) есть форма от х. Рассмотрим следующие четыре вы-
сказывания:
(а) (х) А (х); (с) (х) Л (х));
(Ь) (Зх)Л(х); (d) (Нх)(~ Л(х)).
9 X» л 19
114
Глава 11, Логика
Мы можем выразить их словами следующим образом:
(а) Всякий предмет обладает свойством А,
(Ь) Нечто обладает свойством А.
(с) Всякий предмет не обладает свойством А.
(d) Нечто не обладает свойством А.
~FHo (d) есть отрицание для (а), а (с) есть отрицание для (Ь) на осно-
вании обычного смысла этих выражений, Таким образом, например,
квантор существования можно определить через квантор общности, усло-
вившись, что «(Эх)А(х)^ представляет собой краткую запись вместо
(х) (~ А (х))».
3. Традиционная логика особое внимание обращала на четыре основ-
ных типа высказываний, связанных в записи с применением кванторов.
Ниже приводятся примеры этих четырех типов вместе с их переводом
в^символический вид. Два из этих переводов уже рассмотрены выше.
Все рациональные числа действительные
Ни одно рациональное число не является
действительным
Некоторые рациональные числа действи-
тельные
Некоторые рациональные числа не являются
действительными
(x)(Q(x)^2?(x)).
W (Q (х) ~ R (х)).
(3x)(Q(x)A/?(x)).
(3x)(Q(x)A~/?(x)),
4. Если вформу входят символы отрицания и кванторы, то порядок
их расположения в ней имеет значение. Например, словесным перево-
дом для
~ (х) (х смертен)
будет «не всякий смертенэ или же «кто-то бессмертен», тогда как пере-
вод для
(х) (х смертен))
будет «всякий бессмертен».
5. Поставив перед формой от нескольких переменных квантор (тот или
другой) для каждой из переменных, получаем высказывание. Например,
если условиться, что все переменные относятся только к множеству
действительных чисел, то
(*) (У) (г) ((х 4- у) + Z = X + (у 4- £))
есть высказывание, утверждающее, что операция сложения 'ассоциативна.
Аналогично
(х)(Ну)(х5—х)
2.6. Исчисление предикатов. Символизация обычного языка
U5
переводится фразой «для всякого (действительного числа) х существует
такое (действительное число) у, что ха—у — уг—х~». Это высказывание
истин»*. Отметим, однако, что,
(Sir) (лг) (х2 —у = у2 — X),
полученное из предыдущего перестановкой кванторов, является другим,
и притом ложным, высказыванием,
6. В дополнение к первому замечанию в предшествующем примере
отметим, что форма от нескольких переменных может быть сведена
к высказыванию еще и подстановкой вместо всех вхождений некоторых
переменных их значений и присоединением кванторов, относящихся
к остальным переменным, Например (ложное) высказывание
(х) (х < 3)
получается из двуместного предиката «х < уъ подстановкой некоторого
значения вместо у и квантора, относящегося к х,
Заканчивая этот параграф, отметим, что для перевода предложений
с русского языка на язык введенных здесь логических обозначений не
существует механических правил* В каждом отдельном случае нужно
сначала установить, каков смысл переводимого предложения, а затем
пытаться передать тот же смысл с помощью предикатов, кванторов и
в иных случаях предметных постоянных*
Начиная с помещенных ниже упражнений, мы будем часто опускать
круглые скобки при записи предикатов* Например, вместо «Л (х)» мы
будем писать «Лх» и«Л(х,у)» будем записывать престо в виде «Дху»*
Упражнения
1, Пусть Рх обозначает «х—простое число», Ех—«х—четное число»,
Ох—#х—нечетное число» и Dxy—ъу делится на х»* Перевести на рус-
ский язык:
(а) ;Р7; (с) (х) (~ £х ~ О2х);
(Ь) £2 Л Р2; (f) (х) {Ех /\ {у) {Dxy Еу))>
(с) (x)(D2x^£x); (g) (х)(Рх-* (Зу) (Еу Д Dxy))-' .
(d) (Зх)(ЕхДГх6); (h) (х)(Ох — (у)(Ру~Dxy))-,
(i) (Зх) (Ех/\Рх) Д ~ (Эх) ((ЕхДРх) Д (Эу) (х^у/\Еу/\Ру)).
2, Ниже помещены двадцать предложений на русском языке, за ко-
торыми следует столько же предложений в символическом виде. Попро-
буйте соединить в пары элементы этих двух множеств так, чтобы каждый
член пары был переводом другого ее члена.
8*
116
Глава II. Логика
(а) Все судьи—юристы (Jx, Lx).
(b) Некоторые юристы—жулики (Sx).
(с) Ни один судья не является жуликом.
(d) Некоторые судьи—старики, но бодрые (Ox, Vx).
(е) Судья Джонс не стар и не бодр (у).
({) Не все юристы—судьи.
(g) Некоторые юристы, являющиеся политиками, — члены коя-
] ресса (Рх, Сх).
(h) Ни один член конгресса не бодр.
(j) Все старые члены конгресса—юристы.
(j) Некоторые женщины одновременно являются юристами и чле-
нами конгресса (И^х),
(к) Ни одна женщина не является одновременно политиком и
домашней хозяйкой (Нх).
(I) Некоторые женщины-юристы являются домашними хозяйками.
(т) Все женщины-юристы восхищаются каким-нибудь судьей (Лху).
(п) Некоторые юристы восхищаются только судьями.
(о) Некоторые юристы восхищаются женщинами.
(р) Некоторые жулики не восхищаются ни одним юристом.
(q) Судья Джонс не восхищается ни одним жуликом.
(г) Существуют как юристы, так и жулики, которые восхищаются
судьей Джонсом.
(s) Только судьи восхищаются судьями.
(t) Все судьи восхищаются только судьями.
(а') (ЗхНМ/хЛСхдДх);
(b') ~ Oj к ~ V/;
(с') (x)(Jx^~Sx);
(<Г) (Зх)(1Гх д£х Л fix);
(е') (х) (Д/х -+ ~ Sx);
(Г) (x)(Jx—>-Lx);
(g') ~(x)(Lx — Jx);
(h') (х) (Сх Д Ох —> Lx);
О') (Sx)(LxASx);
(j') (Эх) (Lx ДР* Л&);
(V) (х)(Гх—~(РхД//х));
(1') (х)(Сх— ~Vx);
(m') (Эх) (Jx Л Ох Л Vx);
(п') (х) (у) (Аух Д Jx -> Jy);
(o') (Эх) (Sx Л (У) (Аху -> ~Ly));
(р') (3 х) (3 у) (Lx /\Sy Л Axj л Ayj);
(q') (x)(Wx/\Lx—>-(3y)(Jyf\Axy));
(г') (Эх) (Lx Л (3y) (IFy Л ^ху));
(s') (х) (J х—* (у) (АхуJу));
(*') (3х) (Lx Д (у) (Аху -*-Jy)).
2.7. Исчисление предикатов. Общая формулировка
Примеры и упражнения предыдущего параграфа служат для обосно-
вания утверждения, что обычный язык можно в значительной мере
скмволизовать точным образом, если дополнить сентенциональные связки
2.7 Исчисление предикатов. Общая формулировка
117
предикатами и кванторами. Исчисление предикатов занимается теорией
вывода, основанной на структуре предложений, использующей связки,
предикаты и кванторы. Таким образом, оно, в частности, представляет
собой расширение исчисления высказываний. Тот тип исчисления пре-
дикатов, который мы будем рассматривать, допускает применение кван-
торов только к предметным переменным. Чтобы отличить этот простой
тип исчисления от других, его обычно называют узким исчислением
предикатов или исчислением предикатов первого порядка. Кстати, мы
не собираемся излагать узкое исчисление предикатов с такой же полнотой,
как исчисление высказываний. Мы только сформулируем его и наметим,
как его можно развить и применять. Отправной точкой послужит фор-
мулировка вроде той, какая была дана для исчисления высказываний
в § 2.3.
Примем, что для каждого u — G, 1, 2, ... дано некоторое число
« местных предикатов (или высказывательных функций от п переменных).
Будем обозначать их символически через Р (х, у) (для какого-нибудь
одного двухместного предиката), Р{х, у, z) (для какого-нибудь одного
трехместного предиката, который по необходимости будет отличаться
от предиката, обозначенного через Р (х, у), так как представляет собой
функцию другого числа переменных), Q(x, у, z) (для другого трехмест-
ного предиката), 7? (для 0-местного предиката, т. е. для высказывания)
и т. д. Примем, что множество всех н-месгных предикатов при п = 1,2,.,.
не пусто. В дальнейшем данные нам предикаты будем называть преди-
катными символами.
Пользуясь данным множеством предикатных символов, мы образуем
выражения, которые будем называть «формулами (исчисления предика-
тов)». Простая (или элементарная) формула есть выражение, получаю-
щееся из предикатного символа подстановкой в него вместо переменных,
входящих в предикатный символ, каких-либо (не обязательно различных)
переменных. Например, из предикатного символа Р{х, у, г) получаются
простые формулы Р (х, у, г), Р(х, у, у), Р (у, х, х) и Р(й, и, и). Мы
расширим множество простых формул, присоединив к нему все те вы-
ражения, какие можно образовать, применяя повторно и всевозможными
способами сентенциональные связки и кванторы. Точнее, мы расширим
множество простых формул до такого наименьшего множества, которое
удовлетворяет следующим условиям: если А и В — элементы данного
множества, то элементами его будут и ~(Д), (4) А (В), (А) V (В),
(4) (В) и (4)«->(В). Кроме того, если Л—элемент данного множества,
а х — переменная, то (х) А и (Эх) Л—тоже элементы этого множества.
Элементы такого расширенного множества называются формулами. Те из
них, которые не являются простыми, называются составными формулами.
118
Г лава II, Логика
Скобки вводятся в формулу автоматически, но в некоторых случаях
излишни. (Собственно говоря, единственная цель такого щедрого исполь-
зования скобок заключается в возможности сформулировать при этом
механическую процедуру для доказательства того, что некоторая сово-
купность стоящих рядом символов является формулой-) В других слу-
чаях скобки можно опустить, пользуясь теми же соглашениями, какие
были установлены выше. Мы расширим число этих соглашений, уело- .
вившись, что кванторы —наряду с символом--------имеют наименьший
возможный охват. Например, (Нх)Д V В заменяет ((Зх)(Л)) V (В)^
Некоторая неопределенность приведенного здесь описания существует
только по отношению к характеру предикатного символа, С точки зре-
ния теорий узкого исчисления предикатов характер предикатных сим-
волов не имеет значения, так как мы обращаемся с ними чисто фор-
мально, т. е. просто как с определенным рядом букв, скобок и запятых*
С точки зрения приложений исчисления эта неопределенность сохраняется
сознательно, так как таким путем достигается многообразие применений.
Приводимые ниже примеры послужат для обоснования нашего утвержде-
ния. Каждый из примеров описывает начальные шаги, какие можно
применить при аксиоматизации математической теории.
Примеры
I. Предположим, что занимающийся аксиоматическим методом возьмется
за построение теории, изложенной в главе 1, как аксиоматической теории.
Проанализировав, как развита эта тема, он может заключить, что все
понятия теории вытекают из отношения принадлежности, т, е. из двух-
местного предиката к является элементом». Это может побудить исследо-
вателя создать систему такого типа, как описано выше, с применением
одного-еди ястве иного предикатного символа £(х, #), который должен
обозначать принадлежность. Конечно, предполагаемая интерпретация
предметных переменных истолковывала бы их как множества. Простые
формулы такой системы состояли бы из всех выражений вида £(х, у)
или, пользуясь более выразительным обозначением, х£У- Затем можно
было бы вводить с помощью определений, для удобства, другие преди-
каты. Приведем несколько таких примеров
х « у означает (х С р);
хсу » (я)(а£х—
х = У ъ (х^у) /\(у^х)‘,
х^у » — (х = у);
xcz# » (х<=у) Л(х=#£/)*
2.7. Исчисление предикатоа. Общая формулировка
119
Следующим шагом было бы принятие некоторых формул в качестве
аксиом.
2, Как известно всякому ученику средней школы, основными поня-
тиями элементарной геометрии являются «точки», «прямые» и отношение
инцидентности «____ лежит на ______». Формулируя аксиоматическую тео-
рию, интерпретацией которой должна служить интуитивная геометрия,
можно выбрать в качестве первичных терминов список предметных
переменных (охватывающих точки и прямые), два одноместных преди-
катных символа, Р(х) и L (х), и один двухместный предикатный сим-
вол, I (х, у). Эти символы в написанном порядке можно читать как
«х — точка», &х—прямая» и «х лежит на уъ. Среди аксиом могут ока-
заться следующие формулы:
(Зх)Р(х); (3x)L(x);
(х) (//)(/ (х, у) <->! (у, х));
(х) (Р (х) (3 у) (L (у) Д / (х, у))).
3, В качестве первого шага в аксиоматизации теории частично упо-
рядоченных множеств, описанной в главе I, можно ввести как первичные
термины список предметных переменных и два двухместных предикат-
ных символа, = (х, у} и < (х, у). Тогда простые формулы будут состоять
из всех выражений вида х = у и х < у, если пользоваться привычными
обозначениями. Мы могли бы принять за нелогичсские аксиомы теории
(т. е. за аксиомы, служащие основой для создаваемой математической
структуры) формулы
(х) (х=х), (х) (у) (X = у -* у = х), (х) (у) (г) (х = у д у = z х -= г)
(это означает, что « = я есть отношение эквивалентности),
(x)(y)(x)(x = t/ Дх <г-> у <z), (х) (у)(z) (х = у Да <х— z < у)
(это выражает утверждение, что «равные величины можно подставлять
вместо равных») и, наконец,
(х)~ (х<х), (х)(у)(г)(х <£/Др <z-> х < z)
(устанавливая этим, что «О выражает отношение порядка).
В состав формулировки исчисления предикатов необходимо ввести
определения, позволяющие отличать обстоятельства, в которых перемен-
ная должна играть роль переменной, от обстоятельств, в которых она
играет роль неизвестного в интуитивном смысле, В качестве предвари-
тельного шага определим область действия квантора, входящего в неко-
торую формулу, как ту формулу, к которой он относится. Возможная
120
Глава Н Логика
двусмысленность устраняется применением скобок. Приведем несколько
примеров, иллюстрирующих область действия квантора «(х)». Область
действия показана подчеркиванием:
(x)P(t)AQW;
(3jf) (х) (Р(х, y)-+(z)Q(z)y,
(X) (у) (р (X у) /\Q (у, г)) Л (3 X) Р (X, уу,
(х) {Р (х) л (Зх) Q(x, г) — (Зу) Я (х, у)} у Q (х, у).
Теперь можно дать главные определения, связанные с рассматриваемым
вопросом. Вхождение переменной в формулу называется связанным, если
оно находится в области действия квантора, использующего эту пере-
менную, или же оно является вхождением в этот квантор. Вхождение
переменной в формулу называется свободным, если оно не является
связанным. Например, в
(х)Р(х, у)
оба вхождения х связанные, а единственное вхождение у свободно.
В формуле
(Зу)(х)(Р(х, y)—^(z)Q{z))
каждое вхождение каждой из переменных связанное. Переменная сво-
бодна в формуле, если по меньшей мере одно ее вхождение свободно;
переменная связана в формуле, если по меньшей мере одно ее вхождение
связано. Переменная может быть одновременно и свободной и связан-
ной в формуле. Так обстоит, например, дело с г в формуле
(z) (Р (г) л (3 X) Q (X, г) (3 у) R (г, у)) V Q (г, х).
Если переменная свободна в формуле и входящим в формулу преди-
катам приписать значения, то эта переменная будет играть роль не-
известного в привычном смысле, поскольку формула становится выска-
зыванием об этой переменной. Поясняющими примерами могут служить
формулы х<7 и (3#)(;/<х), в каждой из которых переменная х сво-
бодна. Формула
(Э^) {у < х) Д (х; (х > 0),
в которой первое вхождение х свободно, а другие два связанные,
иллюстрирует замечание, что, пока речь идет о смысле, свободное н
связанное вхождения одной и той же переменной в одну и ту же
формулу не имеют ничего общего. В самом деле, формула (х) (х > 0)
2-7. Ис-шелемие предикатов. Общая формулировка 121
является просто высказыванием и имеет тот же смысл, что и («) (и > 0)
и (u’)(w > 0).
В своих связанных вхождениях в формуле переменная играет роль
переменной в интуитивном смысле. Например, в формуле
(х)(х2—1=(х—J)(x+1))
все вхождения х связанные, и, очевидно, х служит переменной. То, что
в формуле
(Эх) (у^х)
х служит переменной, становится более понятным, если вспомнить, что
эта формула имеет тот же смысл, что и
~(х)~(у=/=х).
Отметим в заключение, что мы можем теперь дать точное определение
слова «высказывание;». Высказывание есть формула, в которой нет сво-
бодных переменных.
Упражнения
1. Перечислить свободные и связанные вхождения каждой из пере-
менных в каждой лз следующих формул.
(а) (х) Р (х); (d) (3 х) А (х) Д В (х);
(Ь) (х)Р(х)-Р(у); (е) (3x)(y)(P(x)AQ(f/))-><x>^(x>;
(с) P(x)^(3x)Q(x); (f) (3x)(3y)(P(x, у) Л $(?))
2. Пользуясь символами, введенными для предикатов, и арифме-
тическими знаками {например, « + » и «<»), перевести:
{а) Если произведение конечного числа сомножителей равно нулю,
то по меньшей мере один из сомножителей равен нулю (Рх обозначает
«х есть произведение конечного числа сомножителей», a Fxy—«х есть
один из сомножителей числа у».
(Ь) Наибольший общий делитель чисел а и b делится на всякий
их общий делитель (Fxy обозначает «х есть один из делителей числа г/ъ
a Gxyz—«z есть наибольший общий делитель чисел х и уя)>
(с) Для всякого действительного числа к существует большее
действительное число y(Rx).
(d) Существуют такие действительные числа х, у и 2, что сумма
чисел л и у больше, чем произведение чисел х и z.
(е) Для каждого действительного числа х существует такое у,
что для каждого г, если сумма я и 1 меньше у, то сумма х и 2 меньше 4.
122
Глава [К Логика
3. Абелеву группу можно определить как (непустое) множество А
вместе с бинарной операцией в А, которая ассоциативна, коммутативна
и такая, что для любых данных х и у из А уравнение х-[-г=у всегда
имеет решение г в А, Хорошо известным примером служит Z с обычным
сложением в качестве бинарной операции.
Можно дать формулировку в исчислении предикатов, взяв в качестве
первичных терминов список переменных, двухместный предикатный
символ = (х, у} и трехместный предикатный символ S(x, у, г). Простая
формула х—у читается «х равно р», а простая формула S(x, у, г)
читается «г есть сумма х и у». В качестве аксиом примем следующие
формулы:
(х)(х=х);
(х)(^)(х-г/ —у = х);
(*) (У) (г) {х = у /\y = z-^ х = г);
(«) (») (®) W (у) (г) (S (и, v, W) Л « = X Д v = у A w = z -> 5 (х, у, г));
(x)(y)(3z)S(x, у, г);
(г) (5<лс, у, z)AS(x, у,
(н)(0(ш)(х)(^)(5(и, V, w) Д5(и>, х, у) aS (у, х, z}~^S(u, z, у))-,
W О) (г) ($ (х, у, z)-^S (у, х, z));
(x)(y)(3z)S(x, г, у).
Написать краткий текст, доказывающий утверждение, что эти аксиомы,
вместе взятые, действительно служат определением абелевых групп,
2.8. Исчисление предикатов. Общезначимость
Описанная в предыдущем~параграфе система по существу представ-
ляет собой исходную точку для формулирования различных исчислений
предикатов. Отличительные особенности классического исчисления пре-
дикатов (которое мы рассматриваем) включают в себя дальнейшие пред-
положения, распространяющие единственное допущение, сделанное
в § 2.3 и относящееся к исчислению высказываний, а именно, что каждой
простой формуле поставлено в соответствие только одно истинностное
значение Т или F- Соответствующее допущение относительно простой
формулы в исчислении предикатов гораздо сложнее. Мы введем его
несколькими последовательными шагами.
Прежде всего примем, что системе, описанной в предыдущем па-
раграфе, поставлено в соответствие непустое множество D, называемое
2.8. Исчисление предикатов. Общезначимость 123
полем, что каждая предметная переменная черпает свои значения в D.
Примем, далее, что каждому д-местному предикатному символу по-
ставлена в соответствие логическая функция, т. е. функция, определен-
ная на £?" со значениями в {Т, F}1. (Для 0-местного предиката
поставленную ему в соответствие функцию примем за постоянную Т или
F.) Примем, наконец, что простой формуле Р (ух, у2, , уп) приписы-
вается истинностное значение, связанное с приписыванием элементов из
поля D каждой переменной из числа yt, у2, .... уп, следующим обра-
зом. Если переменной у( приписывается элемент d{ поля D и если
предикатному символу Р (х-, х2........хп) приписывается значение X:
D';-4T, F |, то истинностное значение для Р (ylt y2t . r yj будет
а2, , dIL). Например, если Р(х, у, х) есть простая формула
и формуле Р (х, у, z) приписывается значение Л, то истинностное зна-
чение Р (х, у, Л'), связанное с приписыванием элемента а переменной х
и элемента b переменной у. будет А (а, 6, я),
В теории исчисления высказываний мы приняли, что не имеет зна-
чения, которое из двух истинностных значений Т и F приписывается
простой формуле, В исчислении предикатов делается расширенное до-
пущение, что теория не зависит от поля D и приписывания функций
предикатным символам.
Вышеизложенное служит основой оценочной процедуры для фор-
мулы С б исчислении предикатов, В этой процедуре предполагается,
что I) дано поле D; 2) каждому предикатному символу, входящему в С,
ставится в соответствие функция и 3) каждой из свободных перемен-
ных в С приписывается значение в D.Взятые вместе эти три положения
задают приписывание для С. Истинностное значение, приписанное С,
находится процедурой, которая аналогична образованию формулы С:
I) Если Р (уг, yt> -- . , уи) —простая формула, входящая в С, и фор-
муле Р (хп х£т .,. , xj ставится в соответствие функция 2ц а переменной у(
приписывается dh то истинностное значение у Р (у^ y%t . ♦ уП) будет
X(dlt ... f dj.
II) При данном приписывании значений предикатным символам и
свободным переменным в ~ А значение у ~ Л есть F, если значение
у А есть Т, и значение у ~Л есть Т, если значение у Л есть R
Подобным же образом при данном приписывании значений предикатным
символам и свободным переменным в формулах Л V В, Л д В, А —>8
и Л w В применяются соответствующие истинностные таблицы исчисле-
ния высказываний*
1 В нашей литературе то, что автор назвал логической функцией, часто назы-
вают предикатом, а то, что он называет предикатом,— выскаэызательной формой.
Прим, ред.
124
Г лава II. Логика
III) При данном приписывании значений предикатным символам и
свободным переменным в (х) А значение у (х) А есть Т, если значение А
есть Т для каждого приписанного х значения, и значение у (х) А есть F,
если значение А есть F но меньшей мере для одного приписанного х
значения. При данном приписывании значений предикатным символам
и свободным переменным в (Эх) Л значение у (Эх) Л есть Т, если зна-
чение у А есть Т по меньшей мере для одного значения х; в противном
случае значение у (Эх) Л есть F.
В качестве примера рассмотрим вопрос о приписывании истинностных
значений формуле
(х) (Р (х)—»(?) V (Q А-?(</))-
Хотя поле D фиксировано, оно неизвестно, Предположим, что £> = {л, Ь\.
По предположению формуле Р (х) поставлена в соответствие логическая
функция, определенная на D со значениями в {Т, F}, а формуле Q --
некоторое истинностное значение. Далее, свободная переменная у может
принимать любое значение в поле D. Логические функции, которые
могут быть поставлены в соответствие формуле Р (х), даны ниже
в таблице:
X Л1 (х) h (*) Л4 (х)
а т т F F
b т F Т F
Значениями, которые можно поставить в соответствие формуле Q, яв-
ляются Т и F, а у можно приписать значение а или Ь> Таким образом,
мы можем внести в таблицу 16 (=4-2 2) записей, показывающих все
возможные случаи распределения истинностных значений:
Р(х) У (X) (Р (X) - -Q)V(Q ДРДО)
М*) т а Т т Т
(х) т b Т т т
Мх) F а F F F
Мх) F Ь F F F
ks (х) Т а Т Т Т
м*) Т b Т т F
X» (х) F а F F F
Ха(х) F b F F F
М*) Т а Т Т F
2.8. Исчислен tie пред икатов. О бщ езн а чим ост ь
125
Продолжение
Р(Х) Q у | (x)(PW-*Q)V(QA₽(x))
Т ь т Т Т
М*) F а F F F
А, (ж) F b F F F
м*) т а Т Т F
М*) т b Т Т F
М*) F а Т Т F
АДж) F b Т т F
Значения, стоящие в столбцах под Р(х), Q и у в какой-либо данной
строке, составляют приписываемые рассматриваемой формуле значения.
Подробности вычисления, связанные, например, с приписыванием зна-
чений, внесенных в девятую строку таблицы, заключаются в следующем.
Сперва мы подставляем приписываемые значения в формулу и получаем
(X) (Л3(л-)— Т) V (Т /\ Х3 (а)).
Чтобы приписать значение формуле (х) (Xs (х) —Т), мы должны вычис-
лить Аа (х) —Т как логическую функцию х.
Соответствующая таблица дана ниже:
х Х3 (х) —+ Т
a F Т Т
ъ т т т
Поскольку истинностное значение импликации есть Т для всех зна-
чений, приписываемых х в D, (х)(кэ(х)^>- Т) получит значение Т.
Поскольку As(a) = F, формула Т дЛ3(а) будет иметь значение F- На-
конец, на основании таблицы для V вся формула в целом получает
значение Т. Резюмируем все шаги этого вычисления в табличной форме:
(WW-
(х)(А3(х)->
Т
т
Q)V (О Л Р (у)),
T)V (ТДМа)).
V (Т AF),
V F
Т
Мы стремимся дать такое описание исчисления предикатов, которое
развивалось бы аналогично описанию исчисления высказываний, начи-
ная с § 2.3. До сих пор мы ввели для исчисления предикатов символы,
126
Г лае a fl, Логика
которыми будем пользоваться, дали определение формулы к описали
оценочную процедуру. Следующий шаг в изложенной выше теории
исчисления высказываний мы воспроизведем здесь в виде аналогичного
определения общезначимости в исчислении предикатов. Формула обще*
значима й данном поле, если она принимает значение Т при каждом
приписывании значений предикатным символам и свободным переменным
в ней. Формула общезначима, если она общезначима во всяком поле.
Тот факт, что формула А общезначима, мы будем выражать так:
|=А
Уместно воспользоваться той же терминологией и теми же символами,
что и раньше, поскольку приведенное определение общезначимости
формулы представляет собой лишь расширение прежнего. Очевидно,
при установлении общезначимости формулы истинностные таблицы
должны уступить место процессам рассуждения. С другой стороны, для
установления того, что формула не общезначима, достаточно будет
одного поля D и одного приписывания, основанного на этом поле.
Например, четвертая строка помещенной выше таблицы показывает,
что рассматриваемая формула не является общезначимой. Легкость,
с которой устанавливается, что некоторая формула не является обще-
значимой, может показаться читателю неожиданной.
Примеры А
L Приведем пример, показывающий, как в исчислении предикатов
предикатным символам ставятся в соответствие логические функции.
Предположим, что Z— поле, и пусть нам известно, что Р (х, у, z) должно
интерпретироваться как «z есть сумма х и уъ. Мы можем тогда поста’
вить в соответствие этому предикатному символу функцию k: Z3 —+ { Т, F }
такую, что А (а, 6, с) = Т, если а4-Ь = й, в противном же случае
Х(«, Ь, с) = р. Если, с другой стороны, нам известно, что Р (х, у, z)
должно интерпретироваться как «г есть произведение х и то мы
припишем А (а, Ь, с) значение Т, если а£> = с, и значение F —в против-
ном случае,
2г Докажем, что
|=(х)Р(х)^Р(у).
Необходимым условием того, чтобы значение этой формулы было F,
является истинностное значение F формулы Р(у) при некотором рас-
пределении значений в некотором поле. Но в этом случае (х)Р(х) ПО'
лучаег значение F- Следовательно, (х) Р (х) —* Р [у) всегда получает
значение Т.
2.Й. Исчисление предикатов. Общезначимость 127
3. Докажем, что
1=^)- (Эх)Р(х).
Как и в предыдущем примере, нам нужно только рассмотреть вопрос
о таком распределении приписываемых значений в некотором поле D,
при котором (Зх)Р(х) принимает значение F- Это будет иметь место,
если Р (х) получает значение F при изменении х в пределах поля D.
Но тогда Р (у) должно получить значение F-
4. Установим, что формула (Эх)Р (х) —- (х) Р (х) не является обще-
значимой. Пусть поле D содержит, по крайней мере, два элемента а и Ъ.
Поставим в соответствие формуле Р (х) такую логическую функцию X,
что Л (а) = Т и X (fi) = F. Тогда (3 х) Р (х) получит значение Т и (х) Р (х) —
значение F. Отсюда следует, что вся формула получит значение F.
5. Доказательство того, что
|= (х) Р (х) V (X) Q (х) — (X) (Р (х) v Q (X))
можно изложить в следующем виде. Предположим, что консеквент при-
нимает значение F при приписывании Хй для Р(х), Q(x) соответ-
ственно. Тогда для этого приписывания P(x)V Q(x) принимает значе-
ние F при дополнительном приписывании для х некоторого элемента а.
Следовательно, Xl(a) = F и A2(q) = F, откуда следует, что (х)Р(х) и
(x)Q(x), а значит, и их дизъюнкция, принимают значение F.
Обратимся теперь к вопросу об общих методах доказательства обще-
значимости формулы и посмотрим, что мы можем здесь заимствовать из
исчисления высказываний. Теорема 2.2 (если теперь «Д eq В> припи-
сать смысл, соответствующий нашей теперешней оценочной процедуре)
и теорема 2.3 переходят в новое исчисление без изменения. В доказа-
тельствах используются по существу прежние рассуждения. Сущность
теоремы 2.1 заключается в возможности доказать общезначимость фор-
мулы, не разделяя ее на простые компоненты. Та же техника приме-
няется и в исчислении предикатов. Назовем формулу исчисления пре-
дикатов простой в исчислении высказываний, если в ней отсутствуют
сентенциональные связки. Рассматривая построение формулы из таких
простых формул, мы можем ввести в исчисление предикатов понятие
тавтологии. Например, Р(х)—>Р(х)—тавтология, и мы можем узнавать
в формуле тавтологию (например, 4—* Я), даже если простые формулы
не показаны. Ясно, что тавтология—общезначимая формула. В частно-
сти, теорема 2.4 действительна и в исчислении предикатов.
Чтобы пояснить подробнее рассматриваемую технику, требуется
ввести некоторые определения. Подставить переменную у вместо пе-
ременной х в формулу Д —значит заменить каждое свободное вхожде-
128
Г л (iff а /К Логика
ние переменной х в А вхождением у. Если вместо х в А подставляется у,
то хдобно ввести составное обозначение для формулы, в которую де-
лается подстановка, скажем, «А (х)», а результат подстановки записать
в виде «А (г/К Обозначение «А (х> для формулы А, применяемое исклю-
чительно для того, чтобы показать зависимость А от х, не следует
смешивать с предикатными символами: мы не требуем, чтобы буква х
действительно входила как свободная переменная в А, и не исключаем
возможности того, что А (х) может содержать другие свободные пере-
менные» кроме х. В будущем мы будем часто пользоваться такими
обозначениями, как «А (х> или «Л (х, г/)» вместо А, когда нас будет
интересовать зависимость А от переменной х или от переменных х и у,
независимо от того, собираемся ли мы делать подстановку или нет.
Рассмотрим пример. Если А (х) есть
(х-1)Л(Эу)(у^х), (!)
то ясно, что A G/) говорит об у нечто совершенно отличное от того,
что А (х) говорит об х\ Причина этого в том, что вхождение х
в (Зу)(у#=х) свободное, тогда как вхождение у в ту же формулу свя-
занное. В обычной математике вряд ли возможно сделать подстановку,
которая изменила бы смысл формулы» Можно указать меру, предохра-
няющую против неподходящих подстановок в чисто формальных слу-
чаях. Формула А (х) свободна для у, если в А отсутствуют свободные
вхождения х, входящие в область действия кванторов (у) или (3#).
Например, если формула А (х) есть Р(х, у) Л (#)£?(#)> т0 эта формула
свободна для yt но если А (х) есть формула (1), то она не свободна
для у. Если подстановки вместо х в А (х) ограничить такими перемен-
ными у. что А (х) свободна для у, то трудности вроде упомянутой здесь
устраняются.
Обратимся теперь к третьему из примеров А, где мы доказали, что
Р (у)—> (Эх)Р(х) для предикатного символа Р(х). Пользуясь тем же
рассуждением, мы можем доказать, что А (у)~^ (Эх) А (х), где А (л) —
любая формула, свободная для у, Вычисление значения рассматривае-
мой формулы для данного приписывания состоит из (1) вычисления
значения логической функции, поставленной в соответствие формуле А
и (2) вычисления значения всей формулы. Второй шаг вычисления
совпадаете вычислением значения у Р (у) —•- (3 х) Р (х) для некоторого
приписывания, а это, как мы видели, всегда дает Т. Вообще, хотя
формула А может содержать несколько простых формул, мы можем
рассматривать А как простую формулу и говорить о «логической функ-
ции, поставленной в соответствие формуле А». Изложим полученный
2 8. Исчисление предикатов. Общезначимость
129
здесь результат вместе со связанной с ним общезначимой формулой
в виде следующей теоремы:
Теорема 2.10. Пусть А (х) —формула, свободная для у. Тогда
I. |~(х)Л(х)^ А (у).
П. |~Л(</) —(Зх)Л(х).
Следствие. Если |— (х)Л(х), то А(х).
Доказательство. Воспользуемся пунктом I теоремы и, беря х
в качестве у, получим (х) Л(х)~* Л(х). Допустим теперь, что
(х)Л(х). Тогда мы можем заключить, что ]~Л(х), на основании
упомянутого выше распространения теоремы 2.3.
Теорема 2.11. Пусть х—какая-либо переменная, В—какая-либо
формула, не содержащая свободных вхождений х, и. Л(х)—какая-либо
формула. Тогда
I. Если |~В—*Л(х), то ]~В —► (х) А (х).
II. Если А (х) —> В, то (Эх) А (х) —+ В.
Доказательство. Допустим, что |zzB—>-Л(х). Пусть D—про*
извольное поле; рассмотрим некоторое приписывание а для формулы
В—* (х) Л (х), основанное на этом поле. Отметим, что а не включает
в себя значения, приписываемого х в поле D, поскольку х не входит
как свободная переменная ни в В, ни в (х) А (х). При а В принимает
значение F или Т. Если В принимает значение F, то В —> (х) А (х)
принимает значение Т. Если В принимает значение Т, то расширим а,
приписав х любое значение в поле D. При таком распространении а
формула А (х) получает значение Т, поскольку по допущению В А (х)
имеет значение Т. Это значит, что для данного приписывания а фор-
мула (х) А (х) получает значение Т. Отсюда следует, что |~ В —► (х) А (х).
Доказательство пункта П подобно изложенному и предоставляется
читателю в качестве упражнения.
Следствие. Если |~ А (х), то |~(х)А{х).
Доказательство. Допустим, что jrz А (х). На основании тавто-
логии 1 теоремы 2.4, если Р — 0-местный предикатный символ, то
А (х) —► (Р V ~ Р —+ А (х)) ’. Следовательно, по теореме 2.3
Р V ~ Р —► А (х). Из пункта I приведенной выше теоремы сле-
дует, что |= Р V ~ Р —> (х) А (х). Наконец, поскольку |~Р V ~Р.
повторное применение теоремы 2.3 дает (х)Л(х).
’ 1 Я яе понимаю» причем здесь тавтология 1 из теоремы 2-4, Требуемое заклю-
чение получается из тавтологии А —► (В —► Д).— Прим. ред.
9 ЛЪ 2119
130
Глава IL Легака
Поясним (в привычных терминах) помещенное выше следствие. До-
казательство того, что «для всех действительных чисел х sin2х ф- cos2 х I»
начинается с того, что х рассматривается как некоторое неизвестное (но
фиксированное) действительное число. Доказав, что для этого х sin2x - -
4- cos2x=- 1, утверждают, что доказываемое положение вытекает отсюда,
поскольку х есть любое действительное число. Отметим, что такое
рассуждение связано с переходом от рассмотрения х как свободной
переменной к рассмотрению его как связанной переменной.
В следующей теореме дается перечень некоторых основных обще-
значимых формул. Поскольку формулы теоремы 2.4 распространяются
и на исчисление предикатов, мы будем нумеровать помещаемые ниже
формулы как продолжение формул, приведенных в указанной теореме,
чтобы подчеркнуть, что здесь вводятся дополнительные общезначимые
формулы исчисления предикатов.
Теорема 2J2. Пусть х и у — две различные переменные, ^(х),
В (х) и А (х, у) — любые формулы и А — любая формула, не содержащая
свободных вхождений х. Тогда
33. |=(3х)(3г/) А (х, /у)е->(3 £/)(Зх) А (х, у).
33'. 1= (х) (у) А (х, у)<->(у)(х) А(х, у).
34. |= (3 х) 4 (х) ~ (х) - А (х).
34|= (х) 4 (х) w ~ (Эх) ~ А (х).
35. |= ~ (3 х) А (х) w (х) ~ А (х).
35'. [— ~ (х) А (х)(3х) ~ А (х).
36. (3 х) (у) А (х, у)—>Q/)(2x) А (х. у).
37. |= (Эх) (А (х) V В (х))«-+ (3 х) А (х) V (В х) В (х).
37'. |= (х) (А (х) Л В (х)) <-> (х) А (х) Д (х) В (х).
38. |= (х) А (х) V (х) В (х) -> (х) (А (х) V В (х)).
38'. |= (3 х) (А (х) Л В (х)) -> (3 х) А (х) Л (Э х) В х)
39. ]=(Эх)(4 V В(х))<->|~ А V (Зх)В(х).
39'. |= (х) (А Д В (х)) 4 Д (х) В (х).
40. |_ (х) (А V В (х)) е Л V (х) В (х).
40'. |—(Эх) (4 Л В (х))<-> А Л (Эх) В (х).
Доказательство общезначимости этих формул предоставляется чита-
телю как упражнение. То, что некоторые из этих формул общезначимы,
должно казаться вполне правдоподобным, если исходить из их смысла:
к этой категории относятся формулы 33 и 33', выражающие, что кван-
торы существования (а также кванторы общности) можно как угодно
переставлять. Таковы и формулы 34 и 34', которые, как было показано
в предыдущем параграфе, описывают, как’квантор существования можно
2.8. Исчисление предикатов. Общезначимость 131
выразить через квантор общности и наоборот. Формулы 35 н 35' дают
правила переноса ~ через кванторы. Формулы 37, 37', 38 и 38' отно-
сятся к переносу кванторов в общем случае через V и д, а формулы
39, 39', 40 и 40' к особым случаям такого переноса.
Примеры В
1. Рассмотрим несколько практических примеров применения фор-
мул 35 и 35' в арифметике, т. е. в качестве поля D возьмем множество
натуральных чисел. Далее, пусть < и + имеют свой обычный смысл.
Так, < (х, у) есть двухместный предикатный символ, а +(х, у, z) —
трехместный. Высказывание (истинное) «не существует наибольшего
натурального числа» можно записать символически в виде
(х) (9у) (х < у)'
Его отрицание
~ (х) (Зу)(х <*у)
можно переписать, пользуясь 35', в виде
(Эх)~фу)(х<у).
В свою очередь эту формулу, применяя 35, можно переписать сле-
дующим образом;
(Зх) (у) ~ (х <£) или (Зх)(у)(х>г/).
По-русски последняя формула читается так: «Существует наибольшее
натуральное число».
Высказывание (ложное) «для каждой пары т, п натуральных чисел
существует такое натуральное число р, что т + р “ и» можно символически
записать в виде
(щ) (я)(Эр)(т+р = п).
Его отрицание можно преобразовать к виду
(3 /п) (3 и) (р) (/п + р п).
Читатель может сам перевести последнюю формулу русским предложением*
2* Примем за поле£) множество действительных чисел R. Определение
непрерывности функции / в точке а, т. е. непрерывна в точке at если
для всякого & > 0 существует такое б > 0, что для всех х, если jx—а | < б,
то | / (х)—/ (а) | < можно перевести в символическую формулу так;
(е) (8 > о ((3 б) (б > 0 Д(х) (| х - а | < 5 | / (х) - / («)! < О))) *
9*
132
Г лава II. Логика
Эту запись можно значительно сократить, пользуясь ограниченными
кванторами, т. е. ограничивая область изменения е и 6 множеством
Тогда приведенную выше формулу можно записать сокращенно в виде
(Е)(3д)(х)(|х-п|<б^|/(х)-/(а)|<е).
С небольшими ограничениями общезначимые формулы теоремы 2.12
остаются общезначимыми, если некоторые кванторы применяются ограни-
ченно. Это позволяет, например, быстро получить отрицание сложных
формул и притом в сильно сокращенной форме. В качестве примера пред-
лагаем читателю образовать отрицание приведенной выше формулы и
показать, что при ограниченном применении кванторов оно сводится
к отрицанию сокращенной записи первоначальной формулы, т. е. к
(3 е) (б) (3 х) (| х ~а | < б А | Ж - / («) I > е).
Упражнения
1. Для поля из двух элементов построить истинностную таблицу для фор-
мулы
(x)(PVQ(*))<-*PV(x)Q(x).
2. Доказать, что формула в четвертом из примеров А общезначима
в поле, состоящем из одного элемента.
3. Установить общезначимость формул 34, 35 в 36 теоремы 2.12, рас-
сматривая все составляющие их формулы как простые.
4. Установить общезначимость формул 37, 38 и 39 теоремы 2.12, рас-
сматривая все составляющие их формулы как простые.
5. Привести пример, показывающий, что обращение формулы 36
теоремы 2.12 не является общезначимым.
6. Доказать теорему 2.11 (II).
7. Как и в первом из примеров В, примем за поле D множество
натуральных чисел. Пользуясь теоремой 2.12, показать эквивалентность
левых и правых частей каждой из следующих пар формул.
(а) (Эх)(у)~(у>х), {Зх)~(Эу)(у>х);
(Ь) (3x)(y)(y>xV~(y> 0)), (Эх) (г/) (//> 0 —х);
(с) (х) (3 у) (3 z) (х < у л 2г > у), (х) (3 у) (х < уЛ(3 z) (z2 > у)).
8. Пусть а0, alt ..., а„, ... представляет собой последовательность
действительных чисел. С помощью ограниченных кванторов перевести
в символическую форму:
а) утверждение, что а есть предел этой последовательности;
Ь) утверждение, что эта последовательность имеет предел;
2.9. Исчисление предикатов. Логическое следствие
133
с) утверждение, что эта последовательность есть последователь-
ность Коши (т. е, что если дано е > 0, то существует такое положительное
целое число k, что из и, m> k вытекает — ат| <е).
9* Написать отрицание каждой из формул предыдущего упражнения.
10, Для поля R перевести помещенные ниже высказывания в симво-
лическую форму, написать отрицание каждого из них (перенося ~ за кван-
торы) и полученные в результате формулы перевести на русский язык,
а) При х, уg R и zgR* xz = yz влечет х = г/.
Ь) Число а есть наименьшая верхняя граница множества А s R.
с) Множество А имеет наибольший элемент.
2.9- Исчисление предикатов. Логическое следствие
Понятие логического следствия, введенное в § 2,4 для исчисления
высказываний, распространяется и на исчисление предикатов. Теперь нам
придется иметь дело не только с символами, обозначающими высказыва-
ния, но и с предикатными символами, а приписывание значений происхо-
дит несколько более сложно. В исчислении предикатов начинает играть
роль еще один фактор — возможность свободного вхождения какой-либо
переменной, Например, в арифметической теореме исходное допущение
может иметь форму «пусть х есть целое число больше 0» или «предположим,
что х делится на 3». Исследование того, как такое х «рассматривается»
в доказательстве, обнаруживает, что х считается постоянной, т, е. одним
и тем же предметом на протяжении всего доказательства. Однако вне
контекста доказательства это х — переменная. (Например, доказав неко-
торый результат, относящийся к х, которое делится на 3, мы считаем,
что имеем право применять этот результат ко всем таким числам.) Чита-
телю хорошо известны такие названия, как «параметр» н «произвольная
постоянная» для символов, используемых подобным образом.
Так мы приходим к основному определению: формула В есть логичес-
кое следствие формул А2, —, Ат (в исчислении предикатов), что
символизируется записью
л, А2, .... Ат\=В,
если для каждого поля D и для каждого приписывания формулам А в
D формула В получает значение Т каждый раз, как каждое А получает
значение Т. Далее, если переменная х входит как свободная в какую-
либо формулу 4, то при каждом приписывании формулам А для всех
свободных вхождений х в поле D выбирается одно и то же значение,
т. е., выбирая приписывание формулам А, такое х рассматривают как
постоянную.
134
Глава if. Логика
Формулировка и доказательство теоремы 2,6 и ее следствия без всяких
изменений относятся к рассматриваемому случаю. Таким образом,
этими результатами мы уже располагаем. В частности, для того чтобы
заключить, что A^f— В, достаточно доказать, что
|— AL М2д , .дЛ^ —+В. Поскольку теорема 2.7 также распространя-
ется на исчисление предикатов, можно представить доказательство того,
что формула В есть логическое следствие формул 4Р Л2, .. , Д,л, в форме
конечной последовательности шагов, последним из которых будет В, Для
исчисления предикатов можно ввести дополнительные правила, кроме
основных правил р и /, служащих в исчислении высказываний оправда-
нием появления в доказательстве формулы Е. Самыми основными из этих
правил являются следующие два:
Правило us (универсальной конкретизации). Существует формула
(х) А (х), предшествующая формуле £, такая, что Е есть А (#), резуль-
тат подстановки в формулу Л (х) переменной у вместо х, причем под-
становки эти ограничиваются требованием, чтобы ни одно из получающихся
в результате вхождений у не было связанным.
Правило ug (универсального обобщения). Е имеет форму (х)Д(х),
где .4 (х) является предшествующей формулой, такой, что х есть пере-
менная, не имеющая свободных вхождений ни в одной из посылок.
Положение вещей в вопросе о доказательстве логического следствия
в исчислении предикатов оказывается, таким образам, следующим. Мы
утверждаем, что Alt Asr . . , |_ В, если мы можем образовать цепочку
формул
..., ЕГ(^В),
такую, что наличие в ней каждого Е можно оправдать на основании
одного из правил р, t, us или ug. В самом деле, как и в §2*4, можно
доказать, что если наличие в цепочке каждого Е можно оправдать таким
способом, то
4г, .. , Л]Я)=(любое Е в последовательности).
Прежнее доказательство сохраняет силу (причем достаточно использовать
расширенную форму теоремы 2.7) для случая, когда наличие в цепочке
какого-либо Е оправдывается правилами р или Е Те случаи, когда ис-
пользуются правила us или ugt охватываются применением теорем 2.10 (I)
и 2.11 (]). Подробное доказательство предоставляется читателю в качестве
упражнения.
Мы теперь в состоянии построить формальные выводы для простых
рассуждений в том стиле, какой применялся в § 2А.
2 9 Исчисление предикатов. Логическое следствие
135
Примеры
I* Рассмотрим следующее рассуждение.
«Ни один человек не является четвероногим. Все женщины —люди.
Следовательно, ни одна женщина не является четвероногой».
Пользуясь методами перевода, данными в §2.6, запишем это рассуж-
дение в символической ферме:
(x)(Hx->~Qx)
{x)(Wx-+ Их)
(х)
Вывод строится следующим образом.
{1} (1) (x)(Hx^~Qx) P
{2} (2) (x)(Wx~^Hx) P
{2} (3) Wy-^Hy 2us
{О (4) Hy-^~Qy Iws
11,2} (5) Wy^~Qy 3,4f
м (6) (x)(lFx-+ ~Qx)
2. Следующее рассуждение несколько сложнее,
«Каждый, купивший билет, получает премию. Следовательно, если
нет премий, то никто не пеку па л билетов».
Если Вху означает «л покупает гр, Тх—«л есть билет», Рх—«х есть
премия» и Rxy—«х получает уъ, то посылку и заключение можно сим-
волически записать так:
{х) ((Эу) (Вху \Ту) (Зу) (Ру/\Рху))
~ (Зх) Рх (х) (у) (Вху ~ Ту)
Поскольку заключение — условнее высказывание, мы используем в при-
водимом ниже высоде правило гр. Читателю предоставляется исследовать
и оправдать выведение строки 3 из строки 2, строки 7 из строки 6 и
стрски 11 из строки 10.
{>} (1) (x) ((By) (Вху/,Ту) -> (By) (Py/\Rxy)) p
12} (2) ~(3x)Px p
12} (3) (x) ~ Px 2t
12} (4) ~Py 3us
136
Глава f f, Логика
{2} (5) ~Py\f~Rxy 4/
{2} (6) (y)(~PyV~Rxy) bug
{2} (7) ~(3(/)(Р^Д/?ху) Gt
СУ (8) (3 у) (Вху/^Ту) -»(3у) (Ру/\ Rxy) las
{1.2} (9) ~(Зу)(Вху,\Ту) 7,8f
{1.2} (Ю) (у) {~ Bxy V~ Ту) 9?
{1.2} (Н) (У) (Рху -+~Ту) 10?
{1.2} {О (12) (х)(у)(Вху—+ ~Ту)
(13) ~ (Зх) Рх (х) (у) (Вху -Ту) 2,t2cp
3. Если читатель согласился с правильностью вывода в предыдущем
примере, то он, собственно, принял новые правила вывода, помогающие
строить рассуждение. Введем еще два производных правила, играющих
ту же роль. Правила эти представляют собой формальные аналоги двух
обычных, хорошо известных явлений в математике. Если мы уверены
в том, что истинно, то мы считаем себя вправе «выбрать»
такое у, что Р (у)> Тогда у есть неизвестная, но определенная величина,
такая, что Р(у). Наоборот, если дано, что существует у такое, что P(z/),
то мы, не колеблясь, выводим, что «(Зх)Р(х)» истинно. В исчислении
предикатов правило, позволяющее перейти от (Эх)Р(х) к Р(у), казьь
вается правилом es (правило экзистенциальной конкретизации).
Правило, позволяющее перейти от Р (у) к (Эх)Р(х), называется
правилом eg (правило экзистенциального обобщения). Эти правила
представляют собой такие же аналоги квантора существования, как пра-
вила ust ug— аналоги квантора общности. Мы не будем ни обосновывать
эти правила, ни даже рассматривать ограничения, которые необходимо
соблюдать при пользовании ими, В приводимом ниже простом примере
мы будем пользоваться строчной греческой буквой для обозначения
предмета, участвующего в «выборе», сопровождающем случай применения
правила es.
«Каждый член комитета богат и республиканец. Некоторые члены
комитета—старики. Следовательно, существуют старики—республиканцы».
{1} (1) (x) (Cx^WxfrRx) P
{2} (2) (Зх) (СхДОх) P
{2} (3) СадОа 2es
{U (4) Са —» IFa Д7?а lu$
{2} (5) Ca 3t
{1.2} (6) UAiAfla 4,5?
2.9. Исчисление предикатен. Логическое следствие
137
{2} (7) Оа 3/
9.2} (8) /?а 6/
f-2} (9) ОаД 7?а 7,8/
9.2} (Ю) (Зх)(0хДЯх) 9eg
4. В выводе, соответствующем приведенному ниже рассуждению,
используются все описанные нами правила,
«Некоторые республиканцы любят всех демократов. Ни один республи-
канец не любит ни одного социалиста. Следовательно, ни один демократ
не является социалистом».
Причина введения х в строку 3 вывода заключается в следующем.
В силу формы заключения (х) (Dx —> ~Sx) приводится условное доказа-
тельство. Таким образом, в строке 3 в качестве посылки вводится Dx,
Поскольку вхождение х здесь свободное, мы отмечаем его наличие (как
и в последующих строках, зависящих от этой посылки), чтобы помочь
избежать неправильного употребления правила ug.
{П (О (3x)(/?x/4(y)(Zty-+ Lxy)) P
12} (2) (х) (Rx — (у) (Sy — ~ Lxy)) P
13} (3) Dx X,p
Pl (4) RaA,(y)(Dy-+Lay) les
Ш (5) (у) (Dy -> Lay) 4/
0} (6) Dx —> Lax 5us
1h3} (7) Lax x,3,6/
12} (8) Ra -> (y) (Sy ~ Lay) 2ws
{'} (9) Ra 4/
Р.2} (Ю) (y) ~ Lay) 8,9/
(1-2} (И) Sx —? ~ Lax lOws
{1,2,3} (12) ~ Sx х,7,Ш
{1,2} (13) Dx - Sx 3,12cp
9,2} (14) (x) (Dx ~ Sx) 13wjf
Предыдущие примеры сообщают правдоподобие утверждению, что
исчисление предикатов представляет собой адекватный способ форма-
лизации весьма разнообразных рассуждений. Читателю может показаться
неудобным, что такие простые рассуждения, как рассмотренные выше,
требуют таких длинных выводов, но мы можем заверить его, что под-
робное изложение исчисления предикатов включало бы в себя еще новые
производные правила, позволяющие сильно упростить выводы. В конечном
138
Г лава II. Логика
итоге мы приходим к понятию «неформального доказательства». В матема-
тике это приводит к выводам в привычной разговорной манере: упоми-
нания о правилах вывода и тавтологиях опускаются, и внимание обра-
щается только на математические (те. не логические) аксиомы и ранее
доказанные используемые теоремы* (Подробнее об этом говорится в сле-
дующей главе-) Главная выгода, получаемая от неформальных доказа-
тельств, возникающих из развития формальных выводов, заключается
в том, что создается система, в рамках которой можно объективно, механи-
ческим путем решить, в случае разногласий, представляет ли собой
спорное доказательство действительно доказательство.
Упражнения
Построить выводы, соответствующие следующим рассуждениям.
1. Ни один первокурсник не любит второкурсников. Все, живущие
в Даскомбе,—второкурсники. Следовательно, ни один первокурсник не
любит никого из живущих в Даскомбе (Fxt Lxy, Sx> Dx).
2. Арт —мальчик, у которого нет автомобиля. Джейн любит только
мальчиков, имеющих автомобили. Следовательно, Джейн не любит Арта
(Вх, Ox, Lxy. а, /).
3. Ни один республиканец или демократ не является социалистом.
Норман Томас —социалист. Следовательно, он не республиканец (/?х,
Dx. Sx. t),
4, Всякое рациональное число есть действительное число* Существует
рациональное число. Следовательно, существует действительное число.
5. Все рациональные числа являются действительными числами.
Некоторые рациональные числа —целые числа. Следовательно, некоторые
действительные числа —целые числа (Qx, /?х, Zx),
6. Все первокурсники встречаются со всеми второкурсниками. Ни один
первокурсник не встречается ни с одним студентом предпоследнего курса.
Существуют второкурсники. Следовательно, ни одни второкурсник не
является студентом предпоследнего курса.
7- Ни один торговец наркотиками не является наркоманом. Некоторые
наркоманы привлекались к ответственности. Следовательно, некоторые
люди, привлекавшиеся к ответственности, не являются торговцами нар-
котиками,
8. Некоторые первокурсники любят всех второкурсников. Ни один
первокурсник не любит никого из студентов предпоследнего курса.
Следовательно, ни один второкурсник не является студентом предпос-
леднего курса (Fx, Lxy. Sx, Jx).
9. Некоторым нравится Элвис. Некоторые не любят никого, кому
нравится Элвис. Следовательно, некоторых любят не все (Рх, Ex, Lxy).
ГЛАВА Hl
АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Одной из замечательнейших особенностей математических исследо-
ваний двадцатого столетия является исключительно быстро растущая роль
аксиоматического подхода Конечно, сам по себе аксиоматический метод
не нов для математики — он использовался еще Евклидом в его «Началах»,
Но лишь в относительно недавнее время он проник из геометрии в другие
области математики. Это стало возможным лишь после того, как было
как следует осознано, что такое аксиомы и что такое аксиоматический
метод. Впервой половине настоящей главы (§§ 3 J—3.4) мы рассмотрим
аксиоматический метод (при помощи понятия так называемой неформаль-
ной аксиоматической теории) примерно в том объеме, в каком он исполь-
зуется в повседневном математическом обиходе. Понимание этой части
главы есть существенная предпосылка для овладения материалом сле-
дующей главы. Вторая же половина настоящей главы вводит читателя
в обсуждение аксиоматических теорий, логической базой которых служит
узкое исчисление предикатов и которые явным образом включают в себя
эту часть логики. Благодаря этому мы сможем с достаточной степенью
точности поставить и обсудить различные специальные проблемы, возника-
ющие в связи с рассмотрением аксиоматических теорий,
3.L Понятие аксиоматической теории
Понятие, к описанию которого мы приступаем, восходит к методу,
использованному Евклидом при изложении классической геометрии греков.
Его «Начала» построены следующим образом. Сначала даются определе-
140
Г лава IH. Аксиоматические теории
ния (по всей вероятности, считавшиеся Евклидом удовлетворительными)
некоторых первичных терминов, таких, как точка, прямая я плоскость.
Затем описываются различные свойства этих первичных терминов (некото-
рые из этих описаний Евклид называл аксиомами, другие—постулатами).
Очевидно, утверждения о наличии этих свойств воспринимались как истин-
ные на основании смысла предложенных определений рассматриваемых
терминов. Далее, с помощью первичных терминов определялись некото-
рые другие понятия, а из аксиом и постулатов выводились логическим
путем описания новых свойств, называемые теоремами. Поскольку пред*
полагалось, что геометрия Евклида есть описание реального физического
пространства, в котором мы живем, вполне естественно, что Евклид
полагал значение таких терминов, как «точка» и «прямая», достаточно
ясным, а относящиеся к ним аксиомы считал «самоочевидными истинами».
Такое отношение к аксиомами в наше время достаточно распространено.
В самом деле, нет ничего более привычного, чем встретить в обычном
нематематическом тексте фразы вроде «Это аксиома, что ...» или «Это
основной постулат .,расцениваемые их авторами как утверждения,
застрахованные от каких бы ни было сомнений в их истинности. Внутри
же математики этот взгляд на аксиомы претерпел самые решительные
изменения. Эта эволюция точки зрения на аксиомы была постепенной;
связана она прежде всего с осознанием открытия, сделанного Я. Бойаи
и (независимо от него) Н. И* Лобачевским — открытия неевклидовой
геометрии* Суть этого открытия состояла в следующем.
В традиционном понимании неевклидова геометрия — это геометрия,
формулируемая в точности так же, как геометрия Евклида, но за одним
исключением: пятый постулат Евклида («постулат о параллельных») в этой
геометрии отрицается. Формулировка пятого постулата такова: «Если
две прямые пересекаются третьей прямой таким образом, что сумма
внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, то эти
прямые, если их продолжить, пересекаются и притом с той стороны,
с которой эта сумма меньше двух прямых углов». Другая, эквивалент-
ная формулировка этого постулата (под эквивалентностью двух форму-
лировок здесь понимается возможность получить из любой из них, при-
соединенной к остальным постулатам, другую формулировку), более
удобная для интересующих нас целей сравнения, гласит: «Если на пло-
скости точка А не лежит на прямой /, то существует в точности одна
прямая, проходящая через А и параллельная /». Эта формулировка —
одна из многочисленных эквивалентных форм постулата о параллельных,
полученных в качестве побочного результата безуспешных попыток
удостовериться в том, что постулат о параллельных можно вывести из
остальных евклидовских аксиом. Бойаи и Лобачевский подорвали эту
3.L Понятие аксиоматической теории
141
уверенность, развив геометрию, в которой постулат о параллельных
заменен предложением: «Если на плоскости точка А не лежит на прямой/,
то существует более чем одна прямая, проходящая через А и параллель-
ная /»* Естественно, «истинность» этой новой геометрии казалась вначале
сомнительной. Однако никакие измерения, производимые в доступной нам
части физического пространства, не смогли выявить каких-либо заметных
расхождений между прогнозами, исходящими из геометрии Бойаи—Лоба-
чевского и евклидовой геометрии. К тому же каждая из этих геометрий,
рассматриваемая как дедуктивная система, оказалась непротиворечивой —
во всяком случае, ни в одной из них не было обнаружено никаких про-
тиворечивых предложений. Возможность рассматривать эти геометрические
системы с такой точки зрения явилась несомненным прогрессом; она по
существу означает отказ от непременного приписывания какого-либо физи-
ческого смысла таким исходным понятиям, как точка, прямая и т. п*
Следующим достижением на п^ти укрепления позиций, связанных
с аксиоматическим методом, оказалось построение различных моделей
геометрии Бойаи—Лобачевского средствами геометрии Евклида, Типичным
примером такого рода моделей является модель, предложенная в 1871 году
Феликсом Клейном; в этой модели первичные термины: плоскость, точка
и прямая — интерпретируются, соответственно, как внутренность какого-
нибудь круга в евклидовой плоскости, евклидова точка внутри этого
круга и хорда этого крута, рассматриваемая без своих концов* Если
определить теперь в этой модели расстояния и углы согласно формулам,
предложенным1 в 1859 году А* Кэли, то все аксиомы планиметрии
Бойаи—Лобачевского оказываются истинными предложениями* Из этой
интерпретации сразу вытекает относительная непротиворечивость (это
понятие будет подробно описано ниже) геометрии Бойаи—Лобачевского*
Это означает, что если евклидова геометрия представляет собой непро-
тиворечивую логическую систему, то таковой является и геометрия Бойаи—
Лобачевского* Осознание возможности приписывать различные значения
первичным терминам аксиоматической теории сыграло громадную роль
в понимании сущности аксиоматических теорий и позволило сосредото-
чить внимание математиков на их дедуктивном строении*
Эта эволюция взглядов на природу аксиоматического метода привела
к следующей концепции аксиоматической теории. Слово «теория» пони-
мается теперь в определенном специальном смысле; термин этот приме-
няют по отношению к двум множествам высказываний, одно из которых
есть истинное подмножество другого. Большее (объемлющее) множество
высказываний определяет предметную область теории* Элементы же
1 Для введения проективной метрики* — Прим, персе.
142
Г ла 8 a JJI. Аксиоматические теории
меньшего (охватываемого) множества высказываний — это те высказыва-
ния теории, которые считаются в ней истинными или доказуемыми.
В нематематических науках высказывания этого рода представляют собой
истинные высказывания о внешнем мире, и истинность их устанавли-
вается в конечном счете на опыте. В аксиоматической же теории выска-
зывания, принадлежащие к этому меньшему множеству, называются
доказуемыми высказываниями, или теоремами; они определяются как
высказывания, выводимые чисто логическим путем из некоторых заранее
выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами.
В аксиоматической теории, как таковой, понятию истинности просто нет
места — понятие истинного высказывания имеет смысл лишь в связи с воз-
можными приложениями теории. Во всяком случае, коль скоро аксиомы
предполагаются истинными, то истинными должны быть и теоремы (при
условии, конечно, что принятая нами логика обеспечивает правильность
умозаключений), так как теоремы чисто логически следуют из аксиом.
Сказанное приводит нас к точной формулировке понятия теоремы.
Сначала» однако» мы определим понятие доказательства. (Формальным)
доказательством мы будем называть конечную последовательность
Slf 5ЙТ ,. ., высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых
либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих
высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода.
Теоремой) или доказуемым высказыванием, называется высказывание, явля-
ющееся последним высказыванием некоторого доказательства. Отметим
сразу же, что любая аксиома является теоремой, причем доказательство
ее состоит из одного шага.
Теперь мы введем одно обобщение понятия доказуемого высказыва-
ния. Пусть Г — конечное множество высказываний какой-либо аксиома-
тической теории. Тогда говорят, что предложение С выводимо из Г, что
обозначается через
ГНС,
если существует конечная последовательность высказываний Su 5а, . ..» SA,
в которой SA есть С, а каждое из есть либо аксиома, либо вы-
сказывание из Г, либо выводится из одного или более предыдущих высказы-.
ваний последовательности S; по какому-либо из правил вывода рас-
сматриваемой теории. ПоследовательностьS2, . .,, S& называется в этом
случае формальным выводом высказывания С из Г; высказывания, входя-
щие в Г, называются допущениями (или посылками). В частном случае,
когда Г пусто, мы пишем
НС.
3.L Понятие аксиоматической теории
143
Вывод высказывания С из пустого множества посылок есть, очевидно,
доказательство высказывания С.
Аксиоматические теории часто исходят из некоторых интуитивных тео-
рий, В качестве примеров сразу приходят в голову такие теории, как ариф-
метика, механика, теория вероятностей и геометрия, развиваемые обычно
на интуитивной основе. После того, как интуитивная теория развита нас-
только, что ее основные свойства считаются известными, тогда уже можно
рассчитывать (или хотя бы попытаться) ее аксиоматизировать, Первым ша-
гом в этом направлении является перечисление основных объектов, кладу-
щихся в основу рассматриваемой теории, и основных свойств, которыми
обладают эти объекты. Затем в качестве имен для этих выбранных объектов
вводятся какие-нибудь символы (в частности, такими символами могут
быть и слова), после чего выбранные нами основные свойства избранных
объектов записываются с помощью отобранных' символов. Символы эти
носят название первичных терминов (или символов) формализуемой теории,
а исходные высказывания, составленные из них, — аксиом данной теории.
Теперь в рамках некоторой фиксированной системы логики выводятся
теоремы. Одно из требований, предъявляемых к аксиоматической теории,
состоящее в том, что понятие истинности не должно в ней явным образом
использоваться, удовлетворяется благодаря тому, что первичные термины
не определяются, а аксиомы понимаются просто как исходный список
теорем. Степень успешности аксиоматизации какой-нибудь интуитивной
теории определяется числом теорем, которые (после приписывания вхо-
дящим в их формулировки первичным терминам интуитивно подразуме-
ваемых значений этих терминов) обращаются в истинные —с точки зре-
ния ваших знаний-- - утверждения. Осуществление такой программы
аксиоматизации интуитивной теории допускает довольно значительный
произвол в выборе основных понятий, и фактически отбираемые понятия
часто очень отличаются друг от друга. Например, в общепринятой
в настоящее время аксиоматике евклидовой геометрии, идущей отД. Гиль-'
берта, имеется шесть первичных терминов: «точка», «прямая», «плоскость»,
«инцидентно», «между» и «конгруэнтно». В то же время в аксиоматике,
предложенной М. Пиери, всего два первичных термина: «точка» и «дви-
жение».
Другим источником возникновения аксиоматических теории явилось
осознание глубокого сходства между основными чертами совершенно
разных теорий. Это обстоятельство, естественно, могло навести исследо-
вателей на мысль попытаться выделить эти общие черты и, руководствуясь
ими, построить в описанном выше смысле аксиоматическую теорию. Каж-
дая из теорий, для формализации которых предназначена какая-либо
аксиоматическая теория, служит для этой аксиоматической теории потен-
]44 Глава И1. Аксиаматичесяие теории
циальным источником определений и теорем. Аксиоматическая теория,
с успехом осуществляющая формализацию какой-нибудь интуитивной
теории, является источником проникновения в природу этой теории, так
как аксиоматическая теория строится без обращения к смыслу- Аксиома-
тическая теория, являющаяся формализацией нескольких теорий, при-
влекательна еще в известной мере своей «простотой» и «эффективностью».
Под «простотой» мы здесь понимаем то, что для любой из конкретных
теорийт служащих интерпретациями нашей аксиоматической теории,
удается обойтись одним и тем же числом исходных допущений, нужных
для получения конкретных теорем любой из этих теорий. Говоря об
«эффективности», мы имеем в виду то, что каждая теорема аксиоматической
теории может быть автоматически перенесена на любую из ее интерпре-
таций. Это-то обстоятельство и оправдывает в первую очередь неопределим
емость первичных терминов аксиоматической теории1.
Побочным результатом развития аксиоматической теории, формализу-
ющей несколько теорий, является возможность сравнительно простого
дальнейшего расширения и обогащения этих аксиоматизированных теорий.
Например, теорема какой-нибудь теории может быть выведена из теоремы
теории вторичного происхождения, которая, в свою очередь, может быть
источником новых результатов для другой родственной теории. Кроме
возможности обогащения содержания родственных теорий, обусловлен-
ного общей для них аксиоматизацией, здесь возможно также «перекрестное
оплодотворение» теорий методами подхода к решению рассматриваемых
в них проблем. Скажем, метод доказательства, типичный для какой-
нибудь теории, может оказаться совершенно новым и плодотворным для
другой теории, а сама мысль о перенесении метода на другую теорию
может быть подсказана идеями некоторой третьей теории.
Полное понимание замечаний, сделанных в предыдущем абзаце,
может прийти к читателю только после близкого знакомства с различ-
ными конкретными теориями и разбора успешных попыток построения
разнообразных теорий на общей основе. Особенно много такого рода
примеров дает нам алгебра. Пожалуй, именно алгебра является наибо-
лее ярким свидетельством плодотворности такого аксиоматического постро-
ения теорий, богатых разнообразными приложениями. Ниже мы обсудим
несколько важных примеров алгебраических (аксиоматических) теорий.
1 Независимо от каких бы то ни было подобных «оправданий», неопред ел яемость
первичных терминов (понятий) объясняется, конечно, попросту тем, что попытка все
определять приводит либо к «регрессу в бесконечность» (процесс последователь-
ных определений никогда не оканчивается), либо к «порочному кругу» (ситуация, при
которой в результате конечного числа последовательных шагов понятие определяется
через самое себя—обе альтернативы достаточно безрадостны.—Прим, перев.
3.2. Неформальная аксиоматика 145
§ 3.2* Неформальная аксиоматика
Если при описании какой-либо аксиоматической теории используе-
мая система логических правил предполагается уже известной, ми будем
говорить, что эта теория есть неформальная (содержательная) теория.
В математической практике аксиоматические теории обычно описываются
в виде неформальных теорий; что же касается предполагаемой при
этом логики, то обычно считается, что это та интуитивная логика, кото-
рая усваивается в ходе изучения математики! Сказанное отнюдь не имеет
характер порочного круга, как это может показаться вначале. Из ска-
занного в главе II ясно, что логическая система, пригодная для боль-
шей части математики, может быть описана в точных терминах (что и
будет вкратце сделано ниже, в настоящей главе)* Более того, можно
привести многочисленные доводы в защиту нения, согласно которому
точное определение логической правильности, выдвигаемое символичес-
кой логикой, хорошо согласуется с тем интуитивным представлением
о строгости рассуждений, которым пользуются математики* Многочис-
ленные примеры, подтверждающие тот тезис, что логические принципы,
считающиеся строгими большинством математиков, принимаются в каче-
стве таковых в символической лен ике (и наоборот), собраны в книге
Дж* Б. Россера Logic far Mathematicians1. На наш взгляд, не будет
преувеличением сказать, что в глазах подавляющего большинства мате-
матиков современная символическая логика есть попросту формализа-
ция того интуитивною способа рассуждений, которого они фактически
всегда придерживаются* Это мнение, правда, не выглядит столь убеди-
тельным по отношению к тем математикам, которые проводят формаль-
ные доказательства и используют для проверки их правильности фор-
мальные процедуры исчисления предикатов. Однако и для таких мате-
матиков проверка доказательств формальными, механическими методами
играет скорее роль некоторой страховки в сложной цепи рассуждений,
дополняющей в сложных случаях содержательные методы рассуждений,
но не подменяющей их*
Опишем теперь несколько конкретных примеров неформальных
теорий.
Пример А
Наш первый пример неформальной теории основан на сходстве,
обнаруживаемом в двух хорошо известных математических системах*
Первая система — это множество G (X) всех взаимнооднозначных отобра-
1 «Логика для математиков»* — Прим персе,
10 № гнэ
146
Глава III. Аксиоматические теории
жений некоторого непустого множества X на себя, рассматриваемое
вместе с функциональной композицией. Вторая система—множество Z
целых чисел, рассматриваемое вместе с определенной на этом множестве
обычной операцией сложения- На основании результатов, полученных
нами в главе I, и того, что мы знаем о числовой системе, мы можем
утверждать: 1) каждая из упомянутых операций есть бинарная опера-
ция в соответствующем множестве; 2) каждая из этих операций ассоциа-
тивна; 3) в каждом из этих множеств есть некоторый особый элемент
(а именно, ix—в множестве С (X) и 0—в множестве Z), обладающий
тем свойством, что операция, примененная к этому элементу и любому
другому элементу рассматриваемого множества, дает в результате снова
этот другой элемент; 4) для каждого элемента обоих из названных
множеств существует такой элемент из того же множества, что в резуль-
тате применения к такой паре элементов рассматриваемой операции
получается указанный в 3) особый элемент соответствующего мно-
жества [а именно = ix и x-h ( — х) (— х) -рх = 0].
Это сходство можно положить в основу описания аксиоматической
теории, известной под именем теории групп. В качестве первичных
терминов мы выбираем некоторое (непустое) множество Gr бинарную
операцию, для которой мы будем использовать «мультипликативное»
обозначение (т. е. обозначать ее точкой как обычный знак умноже-
ния1), и некоторый элемент е множества G. Аксиомы этой теории имеют
следующий вид:
Go, Для любых а и b из G произведение2 а-b есть однозначно
определенный элемент из G.
Gr Для любых а и b из G а (b-t)-(a-b) с.
Ga* Для любого а из G а*е = е а = а.
G3, Для любого а из G имеется такой элемент а* из G, что
a-af — а' а
Приведенные нами аксиомы—те самые, с которых начинается опи-
сание теории групп в любом учебнике алгебры* Элемент, удовлетворяю-
щий аксиоме Ga, называют единичным элементом (или просто единицей]
для G, а элемент, удовлетворяющий аксиоме G3 для какого-либо данного
элемента а,— обратным для а элементом (относительно е). Термин «бинар-
ная операция» означает просто функцию определенную на GxG*
Значение этой функции на <а, Ь> записывается с помощью символов,
использованных выше для ее определения, как а-b, или просто ab>
1 Да и саму «групповую операцию» называют в таких случаях обычно «умноже-
нием». — Прим, переа.
1 См* предыдущее примечание*—Прим. перел.
3.2. Неформальная аксиоматика
147
Tot да Go есть условие, согласно которому abgG, т. е что / есть бинар-
ная операция в G (если пользоваться терминологией главы I). В каче-
стве альтернативной формулировки мы можем сказать, что - есть
бинарная операция в G (что неявно содержится в Go), и рассматривать
тогда G1, Gs и G3 в качестве аксиом.
Докажем несколько основных теорем теории групп.
G4. В группе имеется ровно один единичный элемент.
Доказательство. Ввиду G2 нам нужно доказать лишь единст-
венность. Допустим, что в G имеются две единицы: с?а и е,. Тогда для
любого а и ае9~а. В частности, еуег = е^ и eles = e1. Следова-
тельно, в силу G(l и свойств равенства, el = et.
G6. Для каждого элемента группы имеется ровно один обратный.
Доказательство. Поскольку существование обратного элемента
для каждою элемента утверждается аксиомой Gs, остается доказать
лишь его единственность. Пусть а' и а" суть два обратных элемента
для а. Тогда аа~е и аа‘=е. В силу G, (а"а) а' = а’(аа') и, следова-
тельно, еа'— а"е. Согласно G2 нз этого следует а'—а*.
В мультипликативных обозначениях обратный элемент для а обо-
значают через а-1, таким образом, a~la=uu~L = e (здесь е—единствен-
ная единица из G).
G(. Для любых элементов а, b и с группы G из ab = ac следует
Ъ — с и из bit^ca следует Ь = с.
Доказательство. Пусть ab = ac. Тогда a1 (ab) = (а"1«)Л ~eb—Ь.
С другой стороны, a~1(ab)=a~i(ac) — {a~ia)c = ec = c. Следовательно,
й = с. Второе утверждение теоремы доказывается точно так же.
Предлагаем в качестве упражнений доказать следующие две теоремы.
G,. Для любых элементов а и b из G каждое из уравнений ах = Ь
и уа^Ь имеет в G единственное решение.
Gg. Для любых элементов а и b нз G (ай)'1 —
Пример В
Теория, которую мы теперь опишем, имеет своим источником обыч-
ную евклидову геометрию плоскости. Речь пойдет об одном обобщении
евклидовой геометрии, известном под именем аффинной геометрии.
Первичными терминами этой теории являются: множество 5* (элементы
которого, называемые точками, будут обозначаться прописными латин-
скими буквами Р, Q, ...), множество (элементы которого, называе-
мые прямыми, будут обозначаться строчными латинскими буквами
I, т, ...) и множество 5, называемое отношением инцидентности).
Аксиомы теории:
10*
148 Глава 1П. Аксиоматические теории
AGr «Л l> Е: 3 читается кр лежит на /в, или «/ содер-
жит Р», или «/ проходит через Р»1),
AG2. Для любых двух различных точек Р и Q существует в точно-
сти одна прямая, проходящая через Р и Q (такая прямая будет обо-
значаться через P + Q),
AG3. Для любой точки Р и любой прямой / существует в точности
одна прямая т, проходящая через Р и параллельная прямой I (т, е.
либо /п = Е либо не существует точек, лежащих на обеих прямых I и/я).
AG4. Если А, В. Cf D, Е и F суть шесть различных точек, причем
А + В параллельна С + £>, C-4-D параллельна E + F, А рС парал-
лельна В Н D и С ДЕ параллельна D^-F, то А -Р Е параллельна
SH F.
AG5. Существуют три различные точки, не лежащие на одной прямой.
Ниже, в упражнениях, сформулировано несколько простых теорем,
доказываемых с помощью этих аксиом.
Пример С
Теория, которую мы сейчас введем^ исходит из свойств последова-
тельности натуральных чисел. Более того, ею можно воспользоваться
как основой для аксиоматизации системы натуральных чисел. Первич-
ними ее терминами служат два множества Л и s, а аксиомы имеют
следующий вид:
Рр s есть функция, определенная па X со значениями в Д'.
Р2. X—s[X]^0.
Р3. s взаимно однозначна,
Р4- Если Г^Х, и Y П (X - a[X]) ^0, то Z-X.
Эти аксиомы по существу совпадают со знаменитыми аксиомами
Пеана для натурального ряда. Теория эта была развита итальянским
математиком и логиком Дж. Пеано в его книге, вышедшей в свет
в 1889 году. Сами же аксиомы были предложены в 1888 году немецким
математиком Р. Дедекиндом.
Поскольку аксиоматические теории имеют зачастую весьма сложное
строение, они заслуживают, чтобы их обозначали специальными симво-
лами. По мнению автора, для этого подходят прописные готические
буквы. Пусть имеегся неформальная теория Приписывание значений
первичным терминам теории J называется интерпретацией теории
Если некоторая совокупность предметов, выбранных в качестве значе-
ний первичных терминов теории S, т. е. в качестве ее интерпретации,
1 Либо, наконец, «Р и I инцидентны*. — Прим перед
3,2, Неформальная аксиоматика j
удовлетворяет аксиомам теории X, она называется моделью теории S,
Эти определения можно следующим образом переформулировать в функ-
циональных терминах. Интерпретация теории Т —это просто функция,
областью определения которой является множество Т первичных тер-
минов теории 3. Если же /[Т] удовлетворяет аксиомам теории I, то
это модель теории В рассмотренном выше примере А множество
О (X), рассматриваемое вместе с операцией функциональной композиции
и функцией ix, является моделью теории групп, или, проще, группой.
Аналогично, Z с операцией сложения и числом 0 также есть группа.
Далее, R\ рассматриваемое вместе с обычной операцией умножения
и числом 1, также является группой. Наконец, множество всех подмно-
жеств любого непустого множества вместе с определенной на нем опе-
рацией симметрической разности и множествомфтакже является группой.
Если обратиться к примеру В, то каждый, хоть в какой^то мере
знакомый с евклидовой геометрией, согласится, что евклидова геомет-
рия есть аффинная геометрия. Совершенно другого рода модель мы
получим, взяв 5* = {1, 2, 3,4},^’ = {{1, 2}, {1, 3}, {1,4}, ]2, 3}, {2, 4J,
{3, 4}} и положив, ио определению, что «Р лежит на Ь означает Pg/,
Проверка того обстоятельства, что все аксиомы аффинной геометрии
будут удовлетворены, предоставляется читателю,
Возьмем, наконец, наш пример С. Если интерпретировать X как
множество N = {0, 1, 2, ...} натуральных чисел, a s интерпретировать'
как функцию следования (г. е, s(x)=x+l), то аксиомы будут выра-
жать общеизвестные свойства натурального ряда. Поскольку N — s[N] =
аксиому Р4 можно теперь сформулировать более просто; если М
есть такое множество натуральных чисел, что 0 g Л! и из k£M следует
k + 1 Е М, то Л1 = N. Это не что иное, как принцип математической
индукции для N. Другую модель рассматриваемой теории мы получим,
взяв в качестве X последовательность {а, аг, . аг\ , (где аи
г—произвольные не равные нулю действительные числа1), а в качестве
$—такую функцию, что 5(йгл)^аго+1,
С помощью понятия модели можно следующим образом выразить
обстоятельство, на которое мы обращали внимание в предыдущем
параграфе. Если еегь модель аксиоматической теории Тт то из каж-
дой теоремы теории J мы получаем теорему для ''JJl, приписывая каж-
дому первичному термину теории 31 его значение в соответствии
с данной интерпретацией. Рассмотрим, например, теорему Ge из при-
мера А. Если мы возьмем в качестве G множество G(X), а в качестве
определенной на нем операции —функциональную композицию, го GB
1 Надо еще потребовать: г / I и г / —L ^Прим. ред.
150 лава III. Аксиоматические теории
перейдет в теорему, утверждающую, что для любых функций f и g
в G (X) (go/)-1 = f“1og“1. Этот важный частный случай теоремы Ge мы
уже получили выше, в § 1 9 (перед примерами В), Если же, далее, взять
в качестве G множество Z, а в качестве определенной на нем опера-
ции— обычное сложение, то Gs даст нам, что —(a-f-/f)=(— Ь) + ( —^),
Таким образом, оба эти результата, кажущиеся столь различными,
являются частными случаями одного и того же общего результата.
Упражнения
I. Доказать теоремы G7 и Gg из примера А.
2. Теория коммутативных (или абелевых — ср. с упр. 3 к § 2.7)
групп отличается от теории групп добавлением еще одной аксиомы:
G,. Для любых а и b из G ab — Ьа.
Для обозначения операции в коммутативной группе обычно исполь-
зуют аддитивные обозначения (т. е. вместо ab пишут a-J-fr), пишут 0
вместо е и —а вместо а-1.
Пусть G вместе с 4- и 0 есть kommj гативная группа. Докажите
следующие теоремы.
(а) —(а + Ь) = (—о) 4-(—ft).
(b) Если вместо «« + ( — Ь)ъ сокращенно писать «о —&», то
a + h=*c равносильно Ь=с~а.
(с) а — (— b) = a-\-b и —(а— b) = b — а.
(<1)'Если I.G—+G, где /(«)= — щ то / есть взаимно-однозначное
отображение со значениями на.
3. Пусть Z„ есть множество классов вычетов [я] множества Z по
модулю п (см. § 1.7), Доказать, что отношение (<<[а], [й]>, [а+&]> | [о],
[ft] € есть бинарная операция в Z„. Доказать, что Z„ вместе с этой
операцией и классом [0] есть коммутативная группа.
4. Показать, что в множестве I классов эквивалентности, опреде-
ленном в упражнении И из §1.7. можно ввести операцию положив
по определению [а, 6] -|- [с, d} = [ас, d], где [а, Ь] есть класс
эквивалентности, определяемый парой <а, />> и г. п. Доказать, что I
с этой операцией и классом [1. 1] есть коммутативная группа.
5. Доказать, что множество R с операцией ★, определяемой как
I
х ★ у = (х3 + х/э)3, и числом 0 есть группа.
6- Выписать все элементы множества G(X) для Х = 2} и для
Х = {1, 2» 3}. Показать, что группа, связанная со вторым из этих мно-
жеств отображений, не коммутативна.
151
3,2, Неформальная аксиоматика
7. Пусть G есть непустое множество с определенной в нем бинар
ной операцией - такое, что для него имеют место Gt и G:. Доказать,
что G с этой операцией * есть группа.
8« Пусть G есть непустое конечное множество с определенной в нем
бинарной операцией ' т такое, что для него выполняются Gx и Ge.
Доказать , что G с этой операцией - есть группа.
9. В этом упражнении речь идет об аффинной геометрии (пример В)
(а) Доказать, что к,„параллельна.*,а есть отношение эквивалент*
ности на Соответствующие классы эквивалентности называют в этом
случае пучками прямых,
(Ь) Пусть Ll и —два пучка прямых. Пользуясь только аксио-
мами AGa и AGg, установить взаимно-однозначное соответствие между
точками, лежащими на некоторой прямой I из L15 и прямыми, входя-
щими в пучок
(с) С помощью (Ь) доказать, что если существуют три различных
лучка параллельных прямых, то существует взаимно однозначное соот-
ветствие между прямыми двух произвольных пучков*
(d) Вывести из AG6 существование по крайней мере трех различ*
ных пучков прямых.
(е) Показать, что описанное выше множество, состоящее из четы-
рех точек и шести прямых, является моделью рассматриваемой теории.
(f) Доказать, что любая аффинная геометрия1 содержит по
крайней мере четыре точки и шесть прямых,
10* Пусть S есть аксиоматическая теория, первичными терминами
которой служат два множества Р и L, имеющая следующие аксиомы:
АР Если то / Р,
Если а и b — различные элементы множества Р, то существует
в точности один элемент I множества L такой, что a,
Аа, Для любого I из L существует в точности один Г из L такой,
что I и I' не пересекаются.
А4, L непусто,
А&* Каждый элемент множества L конечен.
Установите следующие теоремы теории S.
(а) Каждый элемент из L содержит по крайней мере два эдеме hi а.
(b) Р содержит по крайней мере четыре элемента,
(с) L содержит по крайней мере шесть элементов,
(d) Каждый элемент из L содержит в точности два элемента.
1 То есть произвольная модель системы аксиом аффинной геометрии. — Прим.
лё pea.
152
Г лаза Ш, Аксиоматические теории
§ 3.3. Неформальные теории в рамках теории множеств
По поводу сказанного до сих пор относительно неформальных тео-
рий не может не возникнуть некоторое недоумение С одной стороны,
неоднократно подчеркивалось, что первичные термины такой теории
никак не определяются (кроме как перечислением тех их свойств, кото-
рые явным образом предписаны аксиомами теории); с другой же сто-
роны, в каждом из рассматривавшихся до сих пор примеров в каче-
стве первичных терминов брались некоторые множества. Иными словами,
общая природа первичных терминов ограничивалась. Для преодоления
этого видимого противоречия имеются различные пути; одному из них
мы сейчас и последуем.
Наш подход будет состоять в том, что в качестве первого шага
предусматривается некоторая аксиоматизация теории множеств, позво-
ляющая затем уже определять интересующие нас теории посредством
теоретико-множественных предикатов. Мы не будем здесь излагать
никакой определенной аксиоматизации теории множеств мы только
заверим читателя, что такую аксиоматизацию можно провести, и притом
так, что 1) всех нежелательных ситуаций (например, парадокса Рассела)
удается, по всей видимости, избежав1 2 3 и 2) все желательные ситуации,
совместимые с выполнением условия 1), сохраняются. Итак, будем
исходить из того, что мы уже располагаем такой неформальной тео-
рией множеств. Сделаем теперь одно замечание общего характера (под-
тверждаемое, в частности, рассмотрением теорий, описанных в приме-
рах А, В и С предыдущего параграфа). Первичные термины большинства
математических теорий представляют собой некоторое множество X и
определенным образом связанные с X константы. Константы эти могут
быть различных типов: элементы множества X (скажем, единичный
элемент группы), подмножества множества X, семейства подмножеств
множества X (например, совокупность всех прямых аффинной геомет-
1 О различных путях аксиоматизации теории множеств можно прочесть в кЕзиге
А Френеля и И. Бар-Хиллела «Основания теории множества (М.г «Мир», 1966) —
Прим, перез.
3 Говоря «всех нежелательных ситуаций , . . удается, по всей видимости, избе-
жать^. автор имеет в виду, что, хотя для всех известных в настоящее время анти-
номий (парадоксов, противоречий) «наивной» канторовскай теории множеств удается
показать, что их нельзя вывести в общеупотребительных системах аксиоматической
теории множеств, ни для одной из этих систем не удалось пока (во всяком случае,
средствами, общепризнанными для математиков и логиков различных направлений)
установить их непротиворечивость (см. ниже, §§ 3 4 и 3.9), т. е. отсутствие каких
бы то ни было противоречий. — Прим, перев.
3.3. Неформальные теории & раджах теории множеств
153
риит) подмножества множества Хп для некоторого п (сюда входят
отношения в X и операции в X) и др. Константы служат основой для
фиксирования структуры множества X (являющейся предметом изуче-
ния данной теории)» Сама структура задается аксиомами, являющимися
допущениями относительно X и констант (в том числе, быть может,
о наличии некоторых соотношений между ними). Короче говоря, тео-
рия множеств, охватывающая интуитивную теорию множеств, доста-
точно богата для описания самых разнообразных математических теорий.
Рассмотрим два примера определения математических теорий в рам-
ках теории множеств. Первый пример—теория частично упорядоченных
множеств» Чисто теоретико-множественный характер предиката «быть
частично упорядоченным множеством» со всей очевидностью усматри-
вается из следующего определения.
Определение А, 5( есть частично упорядоченное множество, если ?!
есть упорядоченная пара <Х, р> такая, что X — некоторое множество,
р — бинарное отношение, причем
Op р рефлексивно в X;
02. р антисимметрично в X;
Од. р транзитивно в X.
Эго определение иллюстрирует соглашение, которому мы будем следо-
вать: основное множество берется в качестве первой координаты упо-
рядоченной /2-ки, а связанные с этим множеством константы, в неко-
тором определенном порядке, — в качестве остальных координат.
Определению А можно придать несколько другую, более близкую
к обычной математической практике форму условного определения.
Определение В. Пусть X — множество, а р — бинарное отношение»
Тогда <Х, р> есть частично упорядоченное множество, если
Од. р рефлексивно з X;
02. р антисимметрично в X;
Оа. р транзитивно в X.
Определение это—условное в том смысле, что собственно определению
предпосылается некоторая гипотеза. Когда определение формулируется
таким образом, то в формулировке теорем теории гипотезу эту обычно
опускают.
1 Эго замечание в скобках является, по нашему мнению, недоразумением: сово-
купность всех прямых аффинной геометрии лишь в том случае будет константой,
если приведенное в примере В предыдущего параграфа определение аффинной гео-
метрии модифицировать таким образом, чтобы в качестве исходной фигурировала
одна предметная область (а не две, как там), а именно, множество точек аффинной
геометрии.—Прим, перее. и ред.
154 Гло^а //Л Аыаомхттгасие теории
Второй наш пример относится к определению теории групп, исхо^
дяшему из той аксиоматизации этой теории, которая описана в при-
мере А предыдущего параграфа.
Определение С W есть группа, если 0 есть упорядоченная тройка
<Х, е>, где X—некоторое множество, '—бинарная операция в X,
е — элемент множества X, причем
Gt для любых а, b и с из X а (Ь'С) = (а*Ь)-с;
G3 для любого а из X ае = еа^а;
G3 для каждого а из X существует такой элемент а' из X, что
а а' = а' й = е.
Нередко пользуются и каким-либо равносильным видоизменением
этого определения вроде, скажем, следующего:
Определение D, Множество X есть группа огнэсительЕЮ бинарной
операции -, если .. . .
Предикат здесь описан таким образом, что его следует относить
к множеству X как таковому, называя группой само множество.
Строго говоря, это неверно, но это молчаливое соглашение освящено
давней традицией.
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний. Во-пер-
вых, когда какая-нибудь математическая теория формулируется в рахг-
ках теории множеств, высказывания, которые мы вначале называли
аксиомами этой теории, теперь выступают в качестве составных частей
ее определения. Затем надо заметить, что само выражение «первичный
термин» оказывается теперь не совсем уместным, поскольку в этих
условиях единственными пераичными терминами являются первичные
термины теории множеств. Однако на практике (которой придержи-
ваемся и мы) это обстоятельство обычно игнорируют. Отметим также,
что, когда теория формулируется в рамках теории множеств, теоремы
этой теории принимают вид условных предложений. Например, произ-
вольная теорема теории групп формулируется теперь так: «Если G есть
гру ппа, то...». Наконец, отметим, что если теория £ определяется
посредством некоторого теоретике-множествепкого предиката, то модели
теории X—это просто объекты, удовлетворяющие этому предикату.
Например, для теории групп это обстоятельство выражается следую-
щим тривиальным образом: если <Х, , е> — группа, то <Х, *, е> есть
модель теории групп.
Упражнения
В этих упражнениях рассматривается теория линейно упорядочен-
ных коммутативных групп. Понятие это можно определить следующим
3,4. Дальнейшие сеайстеа неформальных теорий 155
образом: (5 есть линейон упорядоченная коммутативная группа (л.у.к,г.),
если W = <Gt +, О, О, причем
SGV <G, -|-t 0> есть коммутативная группа;
SG3. <Gt =О есть линейно упорядоченное множество;
SGa, Для лкбых а, b и с из G из а < b следует а + с<й-]-с (здесь
<ш < Ь есть сокращение для и а^Ьъ)>
Все рез^ътаты, полученные выше для групп, в частности для ком-
мутативных групп, могут быть в случае необходимости использованы.
А палогично можно пользоваться и установленными ранее свойствами
частично упорядоченных множеств.
L Укажите два примера л.у.к.г., состоящих из действительных
чисел.
2. Пусть <G, -h , О, О есть л.у.к.г. Определим G^ как {#£ G j О -’ л}.
Докажите следующие свойства G'\
(а) Если a£G\ то — a£G+.
(b) Если то либо a€G\ либо —
(с) Если a, b£G+, то tf-J-££G + .
3. Доказать следующие свойства л.у.к.г.
(а) Если а < Ь, то а—с<Ь—с,
(Ь) Если а + с < &"Нс, то а < Ь.
(с) Если а < b и с < d, то а + с < b d,
(d) Если a<br то —b<—а.
4. Доказать следующую теорему: если С имеет более одного элемента
и <G, + Д есть л. у. к. г., то G имеет бесконечно много элементов.
§ 3.4. Дальнейшие свойства неформальных теорий^
В этом параграфе мы введем несколько понятий, относящихся
к неформальным аксиоматическим теориям. Понятия эти позволяют
определенным образом классифицировать аксиоматические теории по их
свойствам и возможностям.
Пусть 5 — высказывание некоторой теории J, обладающее тем свойст-
вом, что как S, так и являются теоремами этой теории. В таком
случае, если используемая в теории логическая система включает в себя
исчисление высказываний с modus ponens в качестве правила вывода,
то любое предложение Т этой теории является теоремой. В самом деле,
S —- S —> Т) есть теорема, так как это высказывание — тавтология;
пользуясь дважды правилом modus pcmens, выводим Т в качестве
теоремы. Теория $ называется противоречивой (или несовместной) г если
она содержит такое высказывание 5, что как S, так него отрицание
являются теоремами. Теория, не являющаяся противоречивой, низы-
156
Глава IIГ Аксиоматические теории
вается непротиворечивой (или совместной); иными словами, в непротиво-
речивой теории нет такого высказывания S, что и S и являются
теоремами*
Поскольку во всех теориях, которые нам предстоит рассматривать,
используется логический аппарат исчисления высказываний, противоре-
чивые теории следует считать не имеющими никакой ценности, так как
любое предложение такой теории есть теорема. Таким образом, проблема
установления непротиворечивости теории приобретает первостепенную
важность. Для неформальных (аксиоматических) теорий вопрос этот
во многих случаях удается решить с помощью понятия модели, В самом
деле, если теория противоречива, каждая ее модель содержит противо-
речие, так как пара противоречащих друг другу теорем теории пере-
водится в два противоречащих друг другу высказывания о модели.
Значит, теория непротиворечива, если для нее удается указать свободную
от противоречий модель. Если для теории <Х, * *.> можно найти такую
интерпретацию, что интерпретацией для Л служит конечное множество, то
можно рассчитывать на то, что вопрос об отсутствии в этой интерпретации
противоречий удастся решить непосредственным ее рассмотрением. Напри-
мер, то обстоятельство, что одноэлементное множество, состоящее из единст-
венного предмета в, вместе с определенной на нем операцией е*е^е
является моделью теории групп, позволяет без всяких колебаний решить
в положительную сторону вопрос о непротиворечивости теории групп.
Однако в других случаях обоснование непротиворечивости модели
(г* е* отсутствие в ней противоречий) может быть достигнуто лишь
посредством сложной цепи далеко не очевидных рассуждений* Это может
иметь место, например, в том случае, когда теория имеет только беско-
нечные модели (т. е. такие модели, в которых интерпретации предметной
области теории бесконечны). Таким образом, во многих случаях попытки
установления непротиворечивости с помощью модели по самому своему
существу имеют относительную ценность: теория непротиворечива, если
непротиворечива сама модель. Рассмотрим несколько примеров. Как уже
было сказано в § 3*1, можно предложить интерпретацию геометрии
Бойаи—Лобачевского средствами геометрии Евклида. Тем самым установле-
на относительная непротиворечивость геометрии Бойаи—Лобачевского: опа
непротиворечива, если непротиворечива евклидова геометрия, Непротиво-
речивость же евклидовой геометрии (точное описание которой было дано
в 1899 году немецким математиком Д, Гильбертом в его Grimdlagen der
Geometric1) никогда не была доказана, хотя почти все «уверены» в ее
1 Русский перевод: Д. Гильберт. Основания геометрии. JVL—Л*, Гостех-
нздат, 1948.—Прим, мрев.
34, Дальнейшие свойства неформальных теорий J57
непротиворечивости. Доказательство ее относительной непротиворечивости
может быть получено с помощью интерпретации, при которой точки
интерпретируются посредством упорядоченных пар действительных чисел,
а прямые — посредством отношений, определяемых линейными уравне-
ниями; разумеется, эта интерпретация по существу содержится в хорошо
известной идее декартовой координатной системы в евклидовой геометрии.
Но непротиворечивость системы действительных чисел также до сих пор
не доказана, так что мы можем лишь сказать, что евклидова геометрия
непротиворечива при условии непротиворечивости системы действительных
чисел. Таким же или каким-либо другим образом непротиворечивость
обширных областей классической математики сводится в конечном счете
к непротиворечивости арифметики натуральных чисел, например, к теории,
основанной на аксиомах Пеано, или к теории множеств, достаточно
сильной, чтобы вывести ее средствами пеановские аксиомы.
В предположении, что непротиворечивость некоторой теории доказана
или хотя бы принята на веру, имеет смысл поставить проблему полноты
этой теории. Теория называется полной, если она содержит достаточное
для какой-нибудь цели количество теорем. Исходя из различных целей,
которые мы ставим при построении теории, мы приходим к различным
техническим значениям понятия полноты, Ограничимся следующим из
возможных определений; теория S называется полной* если для любого
высказывания S згой теории либо S, либо ~ S есть теорема. Определение
это исходит из того обстоятельства, что любое высказывание 3 теории д,
будучи интерпретировано в некоторой модели, оказывается непременно
либо истинным, либо ложным. Следовательно, в этом случае либо S,
либо ~S оказывается истинным и должно быть теоремой в теории л.
Теория, являющаяся одновременно непротиворечивой и полной, является
максимальной в отношении непротиворечивости — в том смысле, что
добавление к такой теории в качестве аксиомы любого предложения,
которое можно в ней сформулировать, но не являющегося ее теоремой,
приводит к противоречивой теории. Проблема полноты может быть лучше
всего рассмотрена по отношению к таким аксиоматическим теориям,
в которые явным образом включена используемая теория логического
вывода, Такие теории мы будем рассматривать э следующем параграфе.
Пока же мы ограничимся замечанием, что для многих важных математи-
ческих теорий задача сочетания обоих названных качеств—непротиво-
речивости и полноты—оказывается невыполнимой.
Приведенной здесь краткой характеристики понятия полноты оказы-
вается вполне достаточно для обсуждения следующего понятия, отно-
сящегося к аксиоматическим теориям. Понятие эго характеризует
теорию относительно той цели, ради которой теория строилась* Если
158 Глава Hi. Аксиоматические теории
исходить из того, что аксиоматическая теория предназначается для
формализации некоторой интуитивной теории, тогда мерой успешности
этой аксиоматизации служит неразличимость любых двух моделей этой
теории (с точностью до терминологии и обозначений). В таком случае
мы можем сказать, что первичные термины и аксиомы дают исчерпы-
вающую совокупность основных принципов интуитивной теории. Этот
тип неразличимости двух моделей известен под именем изоморфизма.
Попытка предложить точное определение этого понятия, покрывающее
все мыслимые ситуации, где оно может встретиться, была бы слишком
затруднительной для осуществления. По этой причине мы предпочитаем
дать несколько определений, относящихся к различным интересующим
нас случаям употребления термина «изоморфизм». Мы ограничимся тремя
такими точными определениями (обозначаемыми ниже, соответственно,
через I1T L и 13), предоставляя читателю распространять эти определения
естественным образом на более сложные ситуации1.
Iv Пусть <ХП р!> и <Х3, р2> суть две модели какой-либо теории,
первичными терминами которой являются некоторое множество и опре-
деленное на нем отношение. Тогда <Л\, pi> изоморфна <Х2, р2>, если
существует такая функция /, что:
I) f есть взаимно-однозначное соответствие между Хх и Х3;
2) из х, у$Хг и хр^ следует /(x)pj(y);
3) из х, и хр2у следует Г10) Р1Г1 (#)
Это определение покрывает, в частности, то, которое было дано вы-
ше (§ 1.10) для частично упорядоченных множеств. Оно приложимо к
случаю, когда pz есть функция, определенная на Хх со значениями в
Xt(i^l, 2). Для этого случая, как читатель может легко проверить,
оно может быть упрощено следующим образом.
Пусть <Х1Т fi> и <Ха, /г> суть две модели какой-либо теории, пер-
вичными терминами которой являются некоторое множество и функция,
отображающая это множество в себя. Тогда <XL, fYy изоморфна <Х2,
если существует такая функция /, что:
1) / есть взаимно-однозначное соответствие между Хх и Ха;
2) нз Л-ex, следует /(/,(*)) = /а(/(де)).
Как видим, в этом случае для установления изоморфизма двух моде-
1 Достаточно строгое определение понятии изоморфизма (не связываемое непре-
менно с понятием модели, хотя и непосредственно применимое к нему), покрывающее,
в частности, все рассматриваемые в этой книге модификации этого термина, можно
найти в статье «Изоморфизм» во 2-м томе «Философской энциклопедии» (М.Ф 1962);
более подробное и доступное его освещение содержится в моей статье «Содержатель-
ная и формальная математика» (сб. «О некоторых вопросах современной математики
и кибернетики». М., «Просвещение», J964).— Прим, иерее.
3.4. Дальнейшие свойства неформальных теорий
1S9
лей достаточно доказать выполнение только одного нз условий 2) и 3) оп-
ределения Ijj второе из этих условий, характеризующее симметричность,
присущую понятию изоморфизма, немедленно вытекает из первого.
1а. Пусть <А'1, ог> и <А'а, о4> суть две модели какой-либо теории,
первичными терминами которой являются некоторое множество и бинарная
операция в этом множестве. Тогда <ХП ох> изоморфна <Х2, оа>, если
существует такая функция f, что:
1) f есть взаимно-однозначное соответствие между А\ и Х2;
2) из х, у ё X! следует f (х о^) = / (х) о3 f (у).
Предоставляем читателю убедиться в том, что эта формулировка по-
нятия изоморфизма характеризует его как отношение эквивалентности в
произвольной совокупности моделей рассматриваемой теории1- В част-
ности, поэтому, как и в приведенном выше частном случае определения
11? отсюда автоматически следует симметричность понятия изоморфизма*
13, Пусть <Л\, У1э р}> и Y2f р2> суть две модели какой-либо
теории, первичными терминами которой являются два множества и от-
ношение, областью определения которого служит одно из этих множеств,
а областью значений—второе, Тогда <Хх, У\, рд> изоморфна <Х2, р3>,
если существует такая функция f, что:
]) f есть взаимно-однозначное соответствие между ХхиУ1 и X2U?2t
причем f(X1) = X2 и =
2) / сохраняет отношения р± и р2 в смысле определения 1П
Это, конечно, не единственный возможный вариант определения
изоморфизма для моделей указанного вида. Данное определение отно-
сится к сохранению теоретико-множественных взаимосвязей между мно-
жествами X; и <t = 1, 2)*
Аксиоматическая теория, две любые модели которой изоморфны2,
называется категоричной. Таким образом, категоричная теория имеет
по существу единственную модель* Именно достижение такой ситуации
преследуется при аксиоматизации некоторых интуитивных теорий, скажем,
евклидовой геометрии или теории действительных чисел* Простой пример
категоричной теории можно получить, добавив к пяти аксиомам аффинной
геометрии (пример В из § 3-2) следующую аксиому:
AG^ Множество Р имеет в точности четыре элемента*
Получающаяся в результате теория непротиворечива — это видно из
рассмотрения ее модели, приведенной после примера С из § 3*2* Дока-
зательство категоричности этой теории предоставляем читателю*
1 Отношение изоморфизма при любой его формулировке является отношением
эквивалентности (ср* предыдущее примечание).—Прим, перев,
« В смысле любого из данных определений или любой их модификации. —
Прим- перев.
160
Г лава !!L Аксиоматические теории
Некатегоричная теория имеет существенно различные (т. е. неизо-
морфные) модели. Это как раз то, что следует ожидать от теории, пред-
назначенной для аксиоматизации общих свойств нескольких различных
теорий. Превосходным примером такой теории служит теория групп.
Именно в силу своею общего характера она имеет разнообразные модели,
что и обусловливает многообразие ее применений,
В заключение этого параграфа — несколько дополнительных замечаний.
Первое из них ставит своей целью уточнение смысла неоднократно
употреблявшегося нами слова «формулировка». Как 5 же говорилось,
неформальная теория 2 включает в себя некоторый список TQ неопре-
деляемых терминов, список 7\ определяемых терминов, список аксиом
и список Р± всех остальных высказываний) которые можно вывести из
Рп по некоторым фиксированным логическим правилам. Назначение
множества То состоит в том, чтобы получить из него множество T0U7\
всех используемых в теории X терминов; аналогично, множество Ро нужно
для получения множества Ро U всех теорем теории 7. Упорядоченную
пару ел» Ро> мы и предлагаем называть «формулировкой» теории
Изучение теория X может привести нас к обнаружению самых разно-
образных и полезных других ее формулировок. Задание какой-либо из
этих формулировок равносильно заданию 1) некоторого подмножества
множества T0UPi (могущего как отличаться от 7’0, так и совпадать
с ним) н 2) подмножества Р^ множества P0UPi> состоящего из выска-
зываний, выразимых в терминах элементов множества Т;, причем из
высказываний, входящих в Р^ можно вывести все остальные теоремы
данной теории1. Чтобы пара вида <T'D, Ро> была формулировкой теории X,
достаточно, очевидно, чтобы термины из могли быть определены через
термины из То и чтобы высказывания из Ро могли быть выведены из вы-
сказываний из 7%. Для многих общеизвестных аксиоматических теорий
имеются различные формулировки. Примером может служить теория буле-
вых алгебр, которой посвящена глава IV. Довольно тривиальный при-
мер такого рода, приведенный в § 1.10, уместно 6} дет здесь напомнить:
в качестве формулировки теории частично упорядоченных множеств,
отличной от основной, мы можем взять формулировку, в которую вхо-
1 Ро может, в принципе, и совпадать с PojPp такая «переформулировка» осо-
бенно употребительна для задания подсистем интересующих нас теорий, на аксиома-
тике которых по каким-либо причинам не хочется сосредоточивать внимание. В таких
случаях описание аксиом теории начинают словами вроде «аксиомами системы
являются все теоремы исчисления высказываний, а также...а; как станет ясно из
последующих параграфов, посвященных формальным аксиоматическим теориям,
именно такой путь—по отношению к часто упоминающейся автором «системе логиче-
ских правил теории» и т, п.—и избран им в настоящем изложении. — Прим, ререв.
3,4, Дальнейшие свойства неформальных теорий 161
дит некоторое множество X вместе с некоторым отношением, нрре-
флексивным и транзитивным на X (см. упражнение 3 к§ 1.10), Другой
пример неявным образом содержится в замечании, сделанном нами в
§3.1, сводящемся но существу к тому, что Гильбертом и Пиери были
предложены различные формулировки теории, аксиоматизирующей ин-
туитивную евклидову геометрию.
Различные формулировки какой-либо теории — это не что иное, как
различные возможные подходы к одной и той же математической
структуре* В зависимости от принятых критериев можно предпочесть
ту или иную из таких различных формулировок. Основаниями для такого
предпочтения могут, например, служить соображения эстетического
характера; важною роль может здесь играть и желание иметь как можно
более простое множество аксиом, а также возможность более изящных
доказательств теорем. Одни исследователи предпочитают какую-либо
конкретную формулировку теории, находя ее более «естественной», нежели
остальные. Другие стремятся располагать формулировкой, включающей
минимальное количество первичных терминов или аксиом.
Формулировки неформальной теории можно характеризовать с помощью
такого понятия, как независимость множества аксиом. Множество аксиом
называется независимым, если исключение любой из аксиом из этого мно-
жества приводит к уменьшению запаса теорем; в противном случае
множество аксиом называют зависимым. Отдельная аксиома (рассматри-
ваемая как элемент множества аксиом некоторой формулировки) незави-
сима, если ее исключение из этого множества уменьшает запас теорем,
и зависима в противном случае. Ясно, что независимая аксиома не может
быть выведена из остальных аксиом. Разумеется, независимость какого-
либо множества аксиом равносильна тому, что независима каждая аксиома
из этого множества. Для установления независимости аксиом можно поль-
зоваться моделями. Например, независимость аксиом О1тОг, Оэ теории
частично упорядоченных множеств (см, § 3.3) может быть доказана по-
средством построения такой модели для каждой из трех теорий, содержа-
щих в точности два из высказываний Olt О2, О3 в качестве аксиом, в кото-
рой интерпретация опущенной аксиомы является ложной. Независимость
множества аксиом свидетельствует в известном смысле об изяществе
содержащей это множество формулировки теории. Зависимое множество
аксиом попросту содержит одну или более излишних аксиом, но сама
теория не становится от этого сложнее.
В целях мотивировки нашего последнего замечания мы напомним
читателю теорему 1.7, согласно которой каждое частично упорядоченное
множество изоморфно некоторой системе множеств, частично упорядочен-
ной включением. Иными словами, с точностью до изоморфизма все модели
11 Ле 2119
162
Глава III. AttciiOAiлогические теории
теории частично упорядоченных множеств представляются посредством
систем множеств. Вообще, теоремы, согласно которым для данной аксио-
матической теории X некоторое определенное подмножество множества
всех ее моделей обладает тем свойством, что каждая модель теории X
изоморфна некоторому элементу этого подмножества, носят наименование
теорем о представлении теории X. Аналогично тому, как это имеет место
для теории частично упорядоченных множеств, для которой обладающее
только что упомянутым свойством подмножество множества ее моделей
состоит из систем множеств, для случая произвольной теории X, даже
если она и некатегорична, какой-либо частный тип ее моделей может
оказаться в каком-то смысле более естественным, В этой связи встает
проблема о представлении — вопрос о возможности доказать теорему
о представлении теории X, согласно которой этот «более естественный»
класс моделей давал бы — с точностью до изоморфизма — все модели
теории X- В тех случаях, когда такая проблема решается в положи-
тельном смысле, для X открывается возможность доказательства новых
теорем посредством перенесения методов доказательств, применимых
к такому «представляющему» классу моделей, па произвольные модели.
Упражнения
1. (а) Установить непротиворечивость теории частично упорядоченных
множеств посредством какой-нибудь модели,
(Ь) Показать, что теория частично упорядоченных множеств не
категорична,
(с) Доказать независимость множества аксиом О3, О3} теории
частично упорядоченных множеств.
2. (а) Показать, что теория групп не категорична*
(Ь) Определяя группу как упорядоченную тройку е>, для
которой имеют место Gn G2 и G3 из примера А § 3,2, установить не-
зависимость множества {GiT G2? G3}* (Указание. Для задания операции
в каждом из вводимых множеств воспользоваться таблицей умножения,}
3. Рассмотрим аксиоматическую теорию, имеющую в качестве первич-
ных терминов два множества А и Я а в качестве аксиом следующие
высказывания:
1) Каждый элемент множества 33 есть двухэлементное подмножество
множества А,
2) Если а и а' — различные элементы множества Л, то (а,
3)
4) Если В и В' — различные элементы множества >0, то В А В'£А~
[ азать непротиворечивость этой теории. Категорична ли она?
3.4. Дальнейшие свойства неформальных теорий
4. Ра ссмотрим аксиоматическую теорию, первичными терминами кото-
рой являются непустое множество А и бинарная операция <х, у'^—>-х___у
(т. е. образ пары <х, у> мы записываем в виде х— у) в Д, удовлетво-
ряющая тождеству
у = X — Щ — Z) — (у—Z)].
Доказать непротиворечивость этой теории.
5. Рассмотрим аксиоматическую теорию, первичными терминами кото-
рой являются непустое множество А, бинарная операция —
в А и унарная операция х —* х1 в Л, со следующими аксиомами:
1) х—ассоциативная операция.
2) (хXJ/)' - /хх'.
3) Если для некоторого г xxy = zxzf, то х = у\
4) Если х = уг, то для всех г xxy = zxz\
(а) Показать непротиворечивость этой теории.
(Ь) Показать, что это множество аксиом зависимо,
6. Доказать высказанное в тексте утверждение, согласно которому,
коль скоро р, есть функция, определенная на Xi со значениями
в Х[ (i = lt 2), то рт> изоморфна <Х2, р2>, если существует такое
взаимно-однозначное соответствие f: что / (рх(х)) = рг Для
всех х из
7, Доказать, что разновидность изоморфизма, описанная нами как 1а,
есть отношение эквивалентности в любом множестве, элементами которого
являются системы, состоящие из какого-нибудь множества и определен-
ной в этом множестве операции,
8, Пусть одна из двух изоморфных моделей теории, описанной
в упражнении 4, есть группа. Доказать, что тогда и другая из этих
моделей — группа.
9. Множество {е, a, bf с} с определенной на нем операцией, заданной
следующей таблицей умножения, есть группа. Описать шесть изомор-
физмов этой группы с самой собой.
е а b с
е е а b с
а а е с b
b b с е а
с с Ь а е
10- Сформулировать определение изоморфизма для систем, состоящих
из некоторого множества с двумя операциями.
и*
164
Глава Н Г Аксиоматические тюри и
11. Рассмотрим аксиоматическую теорию Т, заданную в терминах
двух множеств, элементы которых называются, соответственно, точками
и прямыми. имеющую следующие аксиомы:
1) Каждая прямая есть непустое множество точек.
2) Пересечение двух прямых есть точка.
3) Каждая точка есть элемент в точности двух прямых.
4) Имеется в точности четыре прямых.
(а) Показать непротиворечивость теории i.
(b) Показать, что в любой модели теории S имеется в точности
шесть точек.
(с) Показать, что каждая прямая состоит в точности из трех точек.
(d) Указать две модели теории X.
(е) Категорична ли 3? Обосновать ответ.
12. Показать, что аксиоматическая теория, описанная в упражнении 4,
есть формулировка теории коммутативных групп.
13. Показать, что аксиоматическая теория, описанная в упражнении 5,
есть формулировка теории групп*
14. Показать, что нижеследующее представляет собой иную формули-
ровку теории групп. Группа—это упорядоченная тройка <G, '>, где
G — некоторое множество, *—бинарная операция в G, а г~унарная
операция в О, причем:
1) G непусто;
2) * ассоциативна;
3) af (ab) = b = (Ьа) аг для всех а и Ь.
15. Показать, что нижеследующее представляет собой иную форму-
лировку теории групп. Группа—это упорядоченная тройка <G, ♦ , е>, где
G — некоторое множество, —бинарная операция в Gt а е—элемент
множества G, причем:
1) - ассоциативна;
2) для каждого а из G еа = а и существует такой а1 из G, чтоа'я = е.
16. Рассмотрим теорию, первичными терминами которой являются
некоторое множество X и бинарная операция - в X со следующими
аксиомами:
1) X непусто.
2) - ассоциативна.
3) Каждому элементу а нз X соответствует такой элемент е из X, что
еа = ае — а и а имеет обратный относительно е элемент а' из X
(т* е. аа' =а'а=^е).
Показать, что если <S, > есть модель этой теории, то существует
такое разбиение множества S, что каждое множество, являющееся
элементом этого разбиения, определяет группу*
3.5. Формальные аксиоматические теории
165
17, Рассмотрим теорию 2\ первичными терминами которой являются
множество-степень некоторого множества S и отображение f множества
5’(S) в себя, со следующими аксиомами:
1) Для всех X нз 5»(5) Х-'±..Х.
2) Для всех X нз 5s (S) (Х*У = ХУ
3) Для всех X и Y из ?*(S) X = У влечет Х^ S Y?.
Показать что для 3! можно получить другую формулировку, приняв
в качестве единственной аксиомы следующее высказывание:
(ХиУУ^Х'УиУ'и^ Для всех X и Y из 5»(Х).
§ 3.5. Формальные аксиоматические теории
Для более точного представления математических теорий широко
используются символы. В формальных теориях символизация доведена
до такой крайней степени, при которой никакие слова вообще не допу-
скаются— они заменяются символами. Более того, в формальной теории
символы воспринимаются просто как значки, с которыми обращаются
согласно определенным правилам, зависящим лишь от формы выражений,
образованных из символов. Таким образом, в отличие от обычного
употребления символов в математике, символы в формальных теориях
не заменяют собой никаких других объектов. И еще одна важнейшая
отличительная черта формальных теорий состоит в том, что предпола-
гаемая логическая система явным образом включается в теорию.
К формальным теориям, к рассмотрению которых мы сейчас перехо-
дим, мы предъявим еще дополнительные требования. Эти требования
связаны с одним вспомогательным понятием, которое мы прежде всего
и опишем. Речь идет о понятии эффективной процедуры (или эффектив-
ного метода)1 — так мы будем называть совокупность предписаний, позво-
ляющую чисто механическим путем2 в конечное число шагов получить
ответ на любой вопрос из некоторого класса вопросов. Эффективная
процедура—это нечто вроде рецепта, в котором указано, что именно
надо делать на каждом шаге, причем для пользования таким рецептом
не требуется никакой мыслительной работы. В принципе для выполнения
такого рода предписаний всегда можно построить специальную машину.
Формальные теории, с которыми мы будем иметь дело,—это аксио-
матические теории. Формулы в такой теории представляют собой
1 Или алгоритма (алгорифма). О понятии этом—одном из основных для
математической логики и ее приложений— см., например, статью «Алгоритм» из Ьго
тома «Философской энциклопедии» (М., I960). — Прим, перев.
г То есть посредством чисто формального выполнения этих предписаний; ср. ниже
о «машине» и конец предпоследнего абзаца этого параграфа. — Прим, перев.
16G Г шаШ. Аксиоматические теории
определенного рода строчки (т. е* конечные последовательности) снмво-
лов. Мы потребуем! чтобы формулы обладали следующими свойствами:
(1) Понятие формулы должно быть эффективным* Иными словами, долж-
на иметься эффективная процеди ра, позволяющая для произвольной строч-
ки символов решить, является ли она формулой.
(II) Понятие аксиомы должно быть эффективным. Иными словами,
должна иметься эффективная процедура, позволяющая для произвольной
формулы решить, является ли она аксиомой.
(Ill) Понятие вывода должно быть эффективным. Иными словами,
должна иметься эффективная процедура, позволяющая для произвольной
конечной последовательности формул решить, может ли каждый член
этой последовательности быть выведен из одной или нескольких пред-
шествующих формул этой последовательности посредством некоторых
фиксированных правил вывода.
В такой формальной аксиоматической теории оказывается эффективным
и понятие доказательства; иными словами, в такой теории имеется
эффективная процедура, позволяющая для произвольной конечной по-
следовательности формул решить, является ли она доказательством.
Из существования такой эффективной процедуры отнюдь не следует
наличие метода, позволяющего открывать новые доказательства Но если
нам уже предъявлена некоторая последовательность формул, являющаяся
по предположению доказательством, то эта эффективная процедура
позволяет подтвердить (или отклонить) это предположение.
Мы не требуем, чтобы эффективным было и понятие теоремы. Если
для какой-либо теории удается найти эффективную процедуру, позво-
ляющую для произвольной формулы решить, является ли она теоремой,
то эта теория теряет для математиков привлекательность. Дело в том,
что если понятие теоремы какой-нибудь теории оказывается эффектив-
ным, то из этого следует возможность составления некоторой системы
предписаний, пользуясь которой проверку вопроса о том, является ли
теоремой любая данная формула этой теории, могла бы производить
машина. В математической логике установлено, что для многих инте-
ресных и важных аксиоматических теорий понятие теоремы не является
эффективным* Отсюда следует, что в математике необходимы человече-
ская изобретательность и способность к открытиям®.
J Эго утверждение автора кажется редактору не верным: в теории, удовлетворяю-
щей вышеуказанным условиям (I) — (III), можно перечислять, перебирать одно за
другим все доказательства. — Прим. ред.
а Если последнее угверждение из чего-либо и следует, то никак уж не «отсюда»
(чтобы понять, что, если нз некоторого утверждения А следует другое утверждение В,
то отрицание А не обязательно исключает £JT не требуется даже знакомства с мате-
167
^.Исчисление gfrcraaweawtrn как формальная аксасмстическая теория
При описании формальной аксиоматической теории нам приходится
решать проблему точного выявления используемой в ней логической
системы. Один из очевидных путей ее решения состоит в задании опре-
деленных правил вывода. Во всех представляющих интерес системах
множество правил бесконечно, и возникает проблема, каким образом
описать это множество, чтобы можно было определить, относится ли
любое конкретное правило к этому множеству. Решение этой проблемы,
которого мы будем придерживаться, состоит в том, что выделяется
конечное число правил вывода, к которым присоединяются логические
аксиомы данной аксиоматической теории, из которых затем уже можно
получить теоремы, выражающие дальнейшие логические принципы.
Иначе говоря, решение это означает объединение аксиоматизированной
системы логики с данной аксиоматической теорией, в результате чего и
получается формальная аксиоматическая теория. Из логических систем,
которые могут быть использованы для этой цели, мы остановим свой
выбор на узком исчислении предикатов. Основанием для такого выбора
служит то обстоятельство, что в исчислении предикатов получает свое
формальное выражение большая часть логических принципов, прини-
маемых большинством математиков, и что это исчисление дает все логи-
ческие средства, необходимые для построения многих математических
теорий. Аксиоматизацию мы опишем в следующих двух параграфах.
3.6 , Исчисление высказываний как формальная
аксиоматическая теория
Ввиду той роли, которую играет исчисление высказываний в теории
вывода (§ 2.4), целью его аксиоматизации является формальная аксио-
матическая теория, теоремы которой в точности суть тавтологии. Впервые
это удалссь сделать Фреге в 1879 году. С тех пор было предложено
много других форму л и рсвс к, Формулировка, которую мы изложим ниже,
магической логикой в объеме хотя бы этой книги). Аргументация автора с самого
начала этого параграфа (см. выше) неявно подразумевает отождествление понятий
йзффеии^Еой процедуры» и «того, что может делать машина». Обсуждение вопроса
о границах возможностей «машинного мышления# (или, как часто говорят, «модели-
рования кышления») далеко выходит за рамки настоящей книги, и мы хотели бы
лишь предостеречь читателя, во-первых, от принятия на веру элементарных софизмов
Вроде последней фразы автсра и, во-втсрых, от склонности к поспешной (хотя, к со-
жалению, очень распространенной) вульгаризации при подходе к этой далека не
тривиальной прсблеме. Из литературы, посвященной этому вопросу, упомянем широко
известную книгу А. Тьюринга «Мсжет ли мгшина мыслить?» (Мм Физматгиз, 1960)
и статью Хао Вана <гНа пути к механической математике» («Кибернетический сбор-
ник», 1962, X» 5, Мм ИЛ).—Прим. перее.
168
Глава 1И .Аксиоматические теории
принадлежит Уайтхеду и Расселу {Principia Maihematica) и несколько
видоизменена впоследствии П, Бернайсом. Первичные символы (или
формальные символы) исчисления таковы:
~ V ( )
Л SB % Л! 58i .
Символы, стоящие во второй строке, называются высказывательными
(или пропозициональными) буквами. Три точки, не являющиеся фор-
мальными символами, указывают, что этот перечень можно продолжать
бесконечно. Формулу мы определим следующим образом:
(I) Каждая высказывательная буква есть формула.
(11) Если А и В—формулы, то (Л) \/(В)—формула.
(Ill) Если А—формула, то ~(А)—формула,
(IV) Формулами являются лишь строчки формальных символов.
Строчка формальных символов является формулой, только если она
является таковой в силу (I)—(III).
Можно доказать, что это понятие формулы эффективно. Подразуме-
ваемая интерпретация высказывательных букв состоит в том, что они
обозначают простые высказывания некоторой теории. Подразумеваемая
интерпретация формул состоит в том, что они обозначают некоторые
высказывания. Мы будем для обозначения произвольных формул при-
менять прописные латинские буквы (это соглашение было уже исполь-
зовано в определении формулы). Кроме того, мы будем придерживаться
описанных выше соглашений, относящихся к опусканию скобок. Наконец,
мы введем следующие сокращения для определенных видов формул:
А —* В вместо ~ Ау В,
А Д В вместо ~ (~ А V ~В),
А -- В вместо (Я —> В) Л (S —► Л).
Аксиомамн теории являются следующие формулы:
(PCI) ~(А V Л) V А,
(РС2) ~ Л V(A VB),
(РСЗ) ~(А V В) V (В V А),
(РС4) - (~ Л V В) V (~ (СУ А) У (С У В)),
или в сокращенных обозначениях
(PCI) А V Л^ А,
(РС2) Л —* А V В,
(РСЗ) А У В—> В V А,
(РС4) (Л — В) (С V Л ->С V В).
3,6. Исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория
169
Запись аксиом с помощью обозначений для произвольных формул озна-
чает, что каждая из них заключает в себе бесконечно много аксиом — по
одной для каждого конкретного выбора формул, входящих в аксиому.
[Это соглашение означает, что каждое из выражений (РС1)—(РС4)
понимается как схема аксиом (или аксиомная схема).] Например, в силу
(РС2) каждое из выражений
Л VS-*(Л V Й) V («А V Sj),
Л V 53 (Л V 39) V (Л V 58),
— ~Л v ~л
является аксиомой. Но хотя аксиом имеется бесконечное множество,
понятие аксиомы эффективно, так как каждая аксиома должна иметь
одну из указанных выше четырех форм.
Единственным правилом вывода является modus ponens (см. пятый
из примеров В, в § 2.4): А и А—+ £> в качестве непосредственного след-
ствия имеют В.
Точная форма определения выводимости (§ 3.1) получает в исчислении
высказываний следующий вид: формула В выводима из (принятых
в качестве посылок) формул ..., Ап, что записывается симво-
лически как
A№ —- В,
если существует такая конечная последовательность формул Вх, Bt
что Bt есть В и для каждой Bz:
1) В( есть посылка, или
2) Bi есть аксиома, или
3) В; есть непосредственное следствие из каких-либо двух ранее
стоящих в этой последовательности формул Bj и Вй.
Предъявление последовательности В1( Bt, обладающей перечислен-
ными свойствами, доказывает утверждение Лх, . .., Ля В1.
Вывод формулы В без использования посылок (из пустого множества
посылок) есть доказательство (proof) формулы В, а сама В в этом слу-
чае— теорема. Напомним, что мы уже в свое время условились пользо-
ваться в этом случае аналогичным предыдуще му обозначением
1 В оригинале вместо этой фразы сголг неточная, но аашэиу мнению, фраза:
«Произвольная последовательность, подобная Bt, Bt, . Bt, есть доказательство
(demonstration) утверждения An Л», А„|— В». Как уже указывалось в § 3.1,
последовательность 5lt .... Bt называется в этом случае выводам формулы В^=В‘ из
посылок А1( Ат—Прим, перев. и ред.
170
Глава Iff. Аксиоматические теории
Приведем пример доказательства. Ниже следует доказательство формулы
Л V ~Л. Из него вытекает утверждение — Л V ~Л.
(1) Л \/ Л —>«4 Схема аксиом (РС1)
(2) (Л V Л — Л) -* (~ Л V (Л V Л) -> ~ Л V Л) Схема аксиом (РС4)
(3) ~ Л V V Л) —*Л V Л 1,2, /nodws porters
(4) {Л ~+ Л V Л )—>-(Л—>- Л) [это та же формула, что в (3)]
(5) Л—*Л,\1 Л Схема аксиом (РС2)
(6) Л Л 4, 5, modus ponens
(7) ~ЛУ Л [это та же формула, что в (61]
(8) ~ Л V Л —► Л У ~ Л Схема аксиом (РСЗ)
(9) Л V ~ Л 7, 8, modus ponens
Обычно, как в приведенном примере, параллельно с выписыванием
доказательства приводят его анализ1. Это, однако, вовсе не обязательно,
так как для выписывания анализа к доказательству имеется эффективная
процедура.
Мы видим, что простым повторением приведенной цепочки формул
с заменой Л на <59 или, скажем, на /\Л мы так же легко получим
Н & V ~ S3 или, соответственно, Д Л) V ~ (# Л Л). В самом деле,
переписывая такую цепочку, заменяя каждое вхождение Л произволь-
ней формулой Д, мы автоматически получим, доказательство формулы
Л V ~ Л. Последний результат правильно именовать схемой теорем
(или теоремной схемой), а его вывод—схемой доказательства. Дело
в том, что само А не является формулой нашей системы, а лишь обо-
значает произвольную формулу, так что приведенную схему мы выдви-
гаем в качестве образца для построения доказательства формулы
А V ~ А, где А обозначает некоторую фиксированную, но произвольную
формулу. Теоремные схемы — как и экономные схемы—удобны тем, что,
заменяя каждою входящую в них букву некоторой формулой, мы полу-
чаем теорему.
То обстоятельство, что доказательство даже такой несложной тео-
ремы, как А \/ •— А, оказывается столь длинным, может вызвать неко-
торое беспокойство. Вообще, построение начал какой-нибудь аксиома-
тической теории есть дело довольно скучное, хотя и не трудное. Раз-
витие нашей формальной теории затрудняется тем, что в ней имеется
только одно правило вывода. При систематическом построении теории
начинают с того, что выводят новые правила вывода, утверждающие
существование некоторых доказательств при определенных условиях.
1 То есть указания, откуда и по каким правилам получена очередная формула
доказательства. — Прим, перев.
3 6. Исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория 171
Мы наметим ниже такое построение, обращая особое внимание на то,
чтобы удостовериться, что наша формальная теория удовлетворяет
поставленным при ее формулировке целям.
Мы покажем прежде всего, что понятие выводимости может быть
сведено к понятию доказуемости—подобно тому как понятие логиче-
ского следствия сводится к понятию общезначимости (§ 2.4). Эго сведе-
ние достигается при помощи следующей теоремы, доказанной в 1930 году
Ж Эрбраном.
Теорема 3.1 (теорема о дедукции, или дедукционная теорема).
Если Л1Э А,, . А„{—В, то А> Л2.........A-iH А —В и, Общёе,
,{Ат^В) „)),
Доказательство первого утверждения теоремы, которое мы здесь
опускаем, проводится индукцией по длине вывода» существование кото-
рого предполагается в посылке теоремы, а именно вывода формулы В
из А1Г Д, ЛЛ* Повторные применения этого результата дают нам
второе утверждение теоремы. Верна и обратная теорема:
Теорема 3.2. Bc.ili j—А-ЧА-Ч )).™>А-А> ...
..., А1Я Н В.
Доказательство. Пусть А —> (А —*(.. .(А —► В)...)) есть
теорема и пусть С,, С3, Ct есть ее доказательство. Тогда доказа-
тельством того, что А", А* • •» А Н В, будет (при т = 3) следующая
последовательность:
(I)
(<-1) ct_.
(О А —(А —(А —Я))
(/ + 1) А
(f+2) а^(А^В)
(/+3) А
(? + 4) А3 —>- В
tf + 5) А3
(/ + 6) В
Посредством этих двух теорем и достигается сведение понятия выво-
димости к понятию доказуемости. Сравнение этих теорем со следствием
из теоремы 2.6 обнаруживает аналогию между этим результатом и све-
дением понятия логического следствия к понятию общезначимости.
Таким образом, если мы сможем показать, что произвольная формула А
172
Глава П[, Аксиоматические теории
есть теорема в том и только в том случае, когда опа является тавто-
логией, то мы сможем установить эквивалентность неформального и
формального исчисления высказываний—как самих по себе, так и при
использовании какого-либо множества формул-посылок. Этот результат
устанавливается в следующих двух теоремах. Заметим сначала, что в
рассматриваемой ситуации под тавтологией мы понимаем формулу, ко-
торая при произвольных приписываниях значений истинности входящим
в нее высказывательным буквам принимает истинностное значение Т
(в соответствии с истинностными таблицами для и V)*
Теорема 3,3 (теорема полноты). Если Д есть тавтология, то А
доказуема*, иными словами, из [— А следует h А.
Доказательство этой теоремы при всей своей элементарности довольно
громоздко; поэтому мы его опустим. Доказательство же обратного
утверждения, как мы сейчас увидим, оказывается совсем простым*
Теорема 3.4. Если А доказуема, то А—тавтология; иными сло-
вами, из ]— А следует Jzz Л*
Доказательство. Прежде всего мы видим, что каждая формула,
получаемая из любой аксиомной схемы, есть тавтология, Далее» по
теореме 2.3 из [= А и jzr: А —> В следует В* Поскольку каждая
теорема есть либо аксиома, либо получается из аксиом посредством
одного или нескольких применений modus ponens, то каждая теорема
оказывается тавтологией.
Таким образом, понятия общезначимости и доказуемости для исчис-
ления высказываний равнообъемны. Этот результат1 был получен
в 1921 году американским логиком Эмилем Постом. Поскольку вопрос
об общезначимости может быть эффективно решен для произвольной
формулы, понятие теоремы в исчислении высказываний эффективно.
В заключение этого параграфа мы приведем один пример включения
логической системы в состав аксиоматической теории, идея которого
была высказана в конце предыдущего параграфа* В качестве такой
включаемой в аксиоматическую теорию логической системы мы как раз
и возьмем исчисление высказываний. Достичь этого можно следующим
образом:
I) в число правил образования теории включаются правила:
если А и В — формулы, то (Л) V (В)—формула;
если А—формула, то (Л) —формула;
1 Речь идет именно о теореме полноты, а не об обратной ей, гораздо более три-
виальной, теореме 3.4.—Прим. перев.
3.7, Ис *шсл ен ие пр едикатов ка к форма ль ная аксиома т а ческая тео рия 173
2) к аксиомам теории добавляются четыре аксиомные схемы, которые
мы выбрали выше для формулировки исчисления высказываний;
3) к числу правил вывода присоединяют zraodws ponens.
Формулы данной теории можно тогда рассматривать как формулы ис-
числения высказываний, в которых роль высказывательных бука играют
формулы, не имеющие вида (А) V (В) или (А) (т, е. формулы, кото-
рые нельзя с помощью связок V и ~ разложить вышеуказанным
образом на более простые формулы). Г/Д'Ч * . -
В результате такого включения исчисления высказываний в аксио-
матическую теорию каждая тавтология станет теоремой данной теории.
Но более существенно то, что исчисление высказываний может играть
роль теории логического вывода. Например, доказательство некоторой
формулы В можно получить, убедившись, что А и А суть
теоремы. В самом деле, из тавтологии 2 из теоремы 2.4 вытекает, что
А, ~ В —► А Н В* В качестве другого примера напомним, что во
втором из примеров В из § 2.5 тавтология В—>СЛ ~С) —j-В ис-
пользовалась для обоснования доказательств от противного. Эту тавто-
логию можно применять для той же цели и в теперешней ситуации-
Другими словами, доказательство формулы В можно получить, устано-
вив, что Б j— С и ~ В\— -С. Тогда ~ В [— С Д ~ С, или Д- В
—> (С Д С), Но из упомянутой тавтологии мы теперь получаем
~ В (С Д ~ С) В и, следовательно, Н В.
§ 3.7. Исчисление предикатов как формальная аксиоматическая теория
Предлагаемая нами аксиоматизация исчисления предикатов первого
порядка исходит по существу от Гильберта и Аккермана. Впервые она
описана в их книге Grundzuge der Theoretichen Logik (1928); второе
издание было переведено на английский язык под названием Principles
of Mathematical Logic1.
Первичные символы: ~ V ( )
бесконечный список (предметных) переменных:
а Ъ с ...
бесконечный список одноместных предикатных букв:
г
1 Русский перевод (со второго немецкого издания, 1946): Д. Гильберт
В. Аккерман, Основы теоретической логики. М., ИЛ, 1947.— Прим, перев.
174
Глава I// Аксиоматические теории
и бесконечные списки й-местных предикатных б> кв (для каждого целого
положительного k):
Л* . .
Формум определяется следующим образом:
(I) Если Р — поместная предикатная буква, а Лф, х8, х,, —пере-
менные (не обязательно различные), то P(xlt х2, х„)— формула ‘.
(II) Если А и В — формулы, то (Л) V (В)—формула.
(III) Если А—формула, то --'-(А)—формула.
(IV) Если А—формула, а х—переменная, то (х)А—формула.
(V) Формулами являются только строчки символов, являющиеся
таковыми в силу (I)—(IV).
Можно доказать, что определенное таким образом понятие формулы
эффективно. Мы будем пользоваться теми же определениями и согла-
шениями, что и для исчисления высказываний. В частности, мы будем
обозначать прописными латинскими буквами произвольные формулы.
Далее мы вводим обозначение
(Эх) 4 (как сокращение) для ~ (а) ~ А.
Кроме того, определяются—в точности так же, как в § 2,7, — понятия
связанного вхождения и свободного вхождения переменной в формулу
и понятия переменной, связанной в формуле и свободной в формуле.
Вводится также понятие подстановки одной переменной вместо другой.
Наконец, на описываемое исчисление переносится описанная в § 2.8
процедура оценки, приводящая к понятию общезначимой формулы.
Аксиомами теории служат схемы аксиом (PCI) —(РС4) исчисления
высказываний и следующие две схемы аксиом:
(РС5) (х) А (х) —- А (у), где А(х) есть произвольная формула такая,
что, когда переменная у подставляется вместо х в 4(х), никакое из
получающихся вхождений у не оказывается связанным; иными словами,
А (х) свободна для у.
(РС6) А (у) —> (3X) А (х) с теми же ограничениями, что в (РС5).
В качестве правил вывода мы возьмем modus ponens плюс следующие
два правила (см. теорему 2.11):
Правило обобщения. Из формулы В —* А (х) при условии, что В не
содержит свободных вхождений х, непосредственно след; ет В —< (х) А (х).
Правило конкретизации. Из формулы 4(х) —>-В при условии, что В
не содержит свободных вхождений х, непосредственно следует
(Эх) А (х) —> В.
1 Из этого пункта определения формулы видно, что в список первичных симво-
лов должен быть добавлен знак «,».—Прим. ред.
3.7. Исчисление предикатов как фбриальная аксиоматическая теория 175
Определение выводимости в исчислении предикатов является расши-
рением соответствующего определения для исчисления высказываний,
данного в предыдущем параграфе. Формула В выводима из (принятых
в качестве посылок) формул Д1т .........что записывается симво-
лически в виде Л2, Ля|— В, если существует такая конечная
последовательность формул В2, Bv что Bt есть В и для каж-
дой Вр
1) Bt есть посылка, или
2) есть аксиома, или
3) существуют такие / и k, что j < i и k < i и есть BL, или
4J Bt- есть В -* (х) А (х) и существует такое / < i, что Bf есть
В —> А (х), причем В не содержит свободных вхождений х, а х есть
переменная, не входящая свободно ни в одну из форму л-посылокг или
5) В{ есть (3 х) А (х) —В и существует такое / < it что Bj есть
А(х)—В, с теми же ограничениями на В и х, что и в 4).
Ограничение на х в 4) и 5) можно опустить, если Bz предшествует
всем вхождениям Л1? Л2, в выводе. Вывод формулы В из
пустого множества посылок есть доказательство этой формулы, а сама
формула В есть теорема, Ввиду того, что в числе правил вывода есть
modus ponens, среди теорем исчисления предикатов содержатся все тео-
ремы исчисления высказывании. Таким образом, каждая тавтология
исчисления предикатов является теоремой (термин «тавтология» пони-
мается здесь в смысле, разъясненном в § 2.8).
Понятие выводимости в исчислении предикатов может быть редуци-
ровано к понятию доказуемости способом^ аналогичным соответствующей
редукции в исчислении высказываний: дедукпионная теорема, сформу-
лированная в виде теоремы 3.1, может быть перенесена на исчисление
предикатов, н то же самое справедливо по отношению к теореме 3,2.
Из обоих этих расширений вытекает, что если мы сможем доказать
равносильность утверждений |=Л и Л, то мы получим доказатель-
ство эквивалентности неформального и формального исчисления преди-
катов— как самих по себе, так и при использовании какого-либо мнсн
жестка формул-посыл ок. Как и для исчисления высказываний в одну
сторону, это доказывается легко.
Теорема 3.5- Если в исчислении предикатов Н Л, та и |~24-
Доказательств о, Как и в доказательстве аналогичного утвер-
ждения для исчисления высказываний (теорема 3.4), мы убедимся прежде
всего в справедливости утверждения теоремы для любой конкретной
аксиомы, получаемой из каждой схемы аксиом исчисления. Для этой
пели нам понадобится теорема 2.10, Далее, в силу теоремы 2.3 (расши-
176
Глава III, Аксиоматические теории
ренной на случай исчисления предикатов) и теоремы 2.11, если С есть
произвольная теорема, полученная из некоторой теоремы В применением
какого-либо из правил вывода, причем В, то С общезначима, Следо-
вательно, любая формула Л, являющаяся теоремой, общезначима.
Обращение этого результата следует из теоремы, доказанной в
1930 году К- Гёделем. Результат этот, хотя и не сагный выдающийся
из полученных Гёделем, весьма замечателен. Мы сформулируем его без
доказательства.
Теорема 3,6 (теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов).
Для любой формулы Л исчисления предикатов из | “ А следует Н А)
§ 3.8. Аксиоматические теории первого порядка
Теорией первого порядка (или теорией со стандартной формализацией,
называют формальную теорию, логической базой которой служит исчис-
ление предикатов первого порядка. Именно такие теории мы и будем
иметь в виду, говоря ниже об аксиоматических теориях.
Перед тем, как перейти к обсуждению технических подробностей,
относящихся к такого рода теориям, полезно будет составить некоторое
общее интуитивное представление о том, что они собой представляют.
Мы будем исходить из данного в § 3.3 описания первичных терминов
неформальной теории как некоторого множества X и некоторых связан-
ных с X констант. Мы считали тогда, что каждая такая константа есть
либо элемент множества X (г. е. является предметной константой),
либо некоторое подмножество множества X" (иными словами, есть
некоторое отношение или операция в X). Теперь мы сможем сопоставить
каждому отношению и операции в X некоторый предикат. Скажем,
«-местному отношению1 р мы сопоставим предикатную букву
P(xtt х3, ♦.., хп) таким образом, что простой формуле P(yvyv .,г/л)
будет приписываться значение Т при значениях uh приписанных, соот-
ветственно, аргументам ylt в том и только в том случае, когда
<и1т «а, ил>£р. Теперь, однако, мы предпочитаем вместо
^предикатные буквы» говорить предикатные символы, оставляя термин
я предикатные буквы» для обозначения каких-либо фиксированных пре-
дикатов. Итак, в качестве первичных терминов теории у нас будет
некоторое множество X, затем (быть может, пустое) множество пред-
1 п может быть равно и 1—тогда речь идет об одноместных предикатах (свой=
ствах), определенных для элементов множества X. — Прим. перев.
3.8, Аксиоматические теории первого порядка 177
метных констант (элементов множества X) и, наконец, некоторое мно-
жество предикатных символов* Рассмотрим теперь формальную теорию,
формальныто символами которой являются предметные константы,
имеющиеся в интересующей нас неформальней теории, бесконечный список
предметных переменных, предикатные символы, определенные, исходя
из рассматриваемой неформальной теории описанным выше образом, и
логические символы исчисления предикатов. В качестве аксиом теории
мы возьмем аксиомы соответствующей неформальной теории и аксиомы
исчисления предикатов* Правилами вывода будут правила вывода исчис-
ления предикатов* То, что получается в результате, — это и есть аксио-
матическая теория первого порядка! Когда исчисление предикатов вклю-
чается таким образом в какую-либо аксиоматическую теорию, получаю-
щуюся в результате теорию часто называют прикладным исчислением
предикатов—в отличие от описанного в § 3*7 не имеющего никаких
«примесей» чистого исчисления предикатов.
Перед тем, как уточнить понятие теории первого порядка «по всем
правилам», к которым мы пытаемся приучить читателя, предварительна
скажем еще несколько слов* В большинстве теорий, которые могут быть
аксиоматизированы как теории первого порядка, используется понятие
равенства* Мы покажем сейчас, каким образом теория равенства при-
соединяется к чистому исчислению предикатов* Согласно интуитивному
пониманию, соотношение означает, что х и у—это один и тот
же предмет или что «х» и суть имена одного и того же предмета*
Все свойства равенства, используемые в математике, сводятся к тому,
что 1) оно есть отношение эквивалентности и 2) оно обладает следующим
подстановочным свойством: если х -=у и Q есть результат замены одного
или нескольких вхождений «х» в высказывание Р вхождениями гуъг то
Q имеет то же значение, что и Р1. Оказывается, свойства симметрич-
ности и транзитивности равенства можно вывести из подстановочного
свойства и рефлексивности. Мы установим это, представив в виде аксио-
матической теории исчисление предикатов первого порядка с равенством.
Такое исчисление получается расширением описанного в § 3*7 исчисле-
ния за счет включения 1) предикатного символа — в число формальных
символов теории, 2) пункта «если х и у—переменные, то (х = у)—фор-
мула» в определение формулы и 3) аксиомы
(РС7) (а)(а = а)
и схемы аксиом
1 Это свойство равенства чаще всего фигурирует под и мене кг лрдядхс
равного равным. — П рим. nepeet
12 № 2П9
178
Глава III. Аксиоматические теории
(РС8). Если х, у, г—различные переменные и Л (г) свободна для
х н для у, то (х) (if) (х = у -* (А (х) — А (у)))х.
Мы можем теперь дать точное описание теории первого порядка 'а.
Формальные символы теории следующие:
(Is) Некоторое множество предметных констант (быть может, пустое).
(Н9) Бесконечная последовательность предметных переменных
(IIIS) Множество предикатных символов, содержащее символ =.
(IVS) Логические символы исчисления предикатов и скобки.
Предикатные символы обозначаются как символы отношений или как
символы операций. Любой «-местный предикатный символ, в зависимо-
сти от его назначения, будет называться символом я-местного отноше-
ния или символом n-арной операции. В частности, ~ понимается как
символ бинарного отношения. Символы отношений и операций и пред-
метные константы — это нелогические константы теории а. Символ ра-
венства и логические символы исчисления предикатов — это логические
константы теории X. Символ равенства, хотя и рассматривается как
логическая константа, включается в число символов отношений.
Дальнейшее описание теории X требует прежде всего индуктивного
определения терма:
(1() Предметная переменная и предметная константа суть термы.
(IIt) Если rlt гй, .... г„— термы и А—символ «-местной операции,
то А (/у, г.3, .... rt) — терм.
(Illt) Никаких других термов, кроме определенных согласно (IJ и
(lit), в 3; нет.
Определение формулы тоже индуктивное:
(1() Если А — символ «-местного отношения, а гр г2, ... , г„— термы,
то A(rlt rg, ... , r„)—формула. В частности, если г и у—термы, то
(r=s)—формула.
(IIf) Если А п В—формулы, то ~(А) и (А) V (В)—формулы.
(Ill,) Если А—формула, а х—переменная, то (х) А— формула.
(IVf) Формулами теории ££ являются лишь цепочки, состоящие из
символов и термов %, являющиеся таковыми согласно (1()—(HIt).
1 Этот формальный аналог упомянутого в предыдущем примечании правила замены
равного равным является по существу символической записью так называемого «за-
кона Лейбница», согласно которому «все, что верно для какого-либо объекта, верно и
для любого равного ему объекта»; при содержательном рассмотрении закон Лейбница
часто выступает в роли определения понятия равенства (тождества)—Прим,
перге.
3 8. Аксиоматические теории первою порядка
179
Мы будем пользоваться в $ всеми сокращениями* соглашениями и
определениями, принятыми нами для исчисления предикатов. Кроме
того, (г = s) будет сокращенно записываться в виде r = s, a ^ (r^s) в виде
r^s. Единственный пункт из приведенного описания теории X, к ко-
торому читатель не был подготовлен предыдущим изложением, — это
понятие терма. Согласно естественной интерпретации, терм —это имя
некоторого предмета. Кроме переменных и предметных констант, тер-
мами являются цепочки, образованные из переменных и предметных
констант посредством символов операций, поскольку в подразумеваемой
интерпретации они истолковываются как значения некоторых функций.
Для теорий первого порядка предполагается, что иелогические кон-
станты имеют интерпретацию в некотором непустом поле D. В общих
словах, это означает, что каждая предметная константа интерпретиру-
ется как некоторый фиксированный элемент поля D, каждая предметная
переменная имеет D в качестве своей области изменения, символы от-
ношений интерпретируются как подмножества множества Dn (для ка-
кого-либо л) и символы операций интерпретируются как функции, опре-
деленные ня Dn (для какого-либо п) со значениями в D. Подробнее это
описывается оценочной процедурой (являющейся обобщением аналогич-
ной процедуры для исчисления предикатов, описанной в § 2,8) для
теорий первого порядка.
При описании оценочной процедуры для теории первого порядка "X
мы будем прежде всего исходить из того, что все нелогические константы
теории X могут быть расположены в виде (конечной или бесконечной)
последовательности <С^ С1( , Сл, . ..> без повторений. Пусть D —
некоторое непустое множество и ...у— последова-
тельность предметов, находящаяся во взаимнооднозначном соответствии
с предыдущей последовательностью, определяемая следующим образом.
Если Сп есть символ гм-мест него отношения, то есть подмножество
множества D*. Если С„ есть символ /та-местной операции, то #п есть
функция, определенная на Dm со значениями в D, Если, наконец, С„
есть предметная константа, то есть попросту элемент множества D.
Последовательность £)=^<Ь, S?ot ... , ^л, . называют тогда ин-
терпретацией теории X; сказанное, по существу, есть просто некоторая
детализация определения этого же понятия, данного в § 3.2. Пусть те-
перь ST есть интерпретация теории X и пусть /1 есть формула из X.
Говорят, что последовательность <d0, ..., dnT . _>, где
выполняет формулу А в 5), если имеет место одно из следующих условий:
(Ij) А имеет вид at =а; и и обозначают один и тот же эле-
мент множества D.
12*
Глава I!!. Аксиоматические теории
180
(II,) А имеет вид aiif , а,в), где В есть символ п-местного
отношения и <d,,, d<E, ... ,d1B> есть элемент отношения, сопоставлен-
ного этому символу.
(IHj) А имеет вид В(а„, at,, а/п)=ву, где В есть символ
п-арной операции, сопоставленный такой функции f:Dn->-D, что
/ (dj,, dt,, , din) = dj.
(IVj) А имеет вид где В есть формула, не выполняемая после-
довательностью <d(„ dlt . , dn, .. .>.
(VJ А имеет вид 2J V С, где В и С суть формулы, причем по край-
ней мере одна из них выполняется.
(VI;) А имеет вид (ак)В, где В есть такая формула, что для всех d
из D <d0, , ds„lt d, dk+t, ...> выполняет В.
Далее, высказывание S теории называется истинным в 3), если
каждая последовательность <d0, dt, ... , dn, ...>, где dj £ D, выполняет
Sb©. При этих условиях мы будем говорить, что © есть модель для
S, уточняя тем самым наше прежнее определение этого понятия.
Описанная здесь оценочная процедура является распространением
на теорию л уже знакомой нам по § 2.8 оценочной процедуры для
исчисления предикатов. Распространение это основано на некотором
соглашении, а именно, мы считаем, что интерпретация © теории Ж со-
держит аналог приписывания логических функций (относительно неко-
торого поля) предикатным символам теории 3:. Условия, при выполнении
которых какая-либо формула S теории i считается истинной в ©, явля-
ются обобщением условий, при выполнении которых формула считается
принимающей значение Т относительно некоторого приписывания логи-
ческих функций. В соответствии с нашей прежней оценочной процеду-
рой, мы будем пользоваться и некоторыми введенными нами ранее
(§§ 2.8, 2.9) терминами. Формулу S теории $ мы будем называть обще-
значимой, если она истинна в любой интерпретации теории ©. Аналогично,
S будет именоваться логическим следствием из некоторого множества Г
формул, если она истинна в каждой интерпретации, при которой все
формулы из Г истинны.
Задание аксиом и определение понятия доказуемости превращают
теорию со стандартной формализацией $ в аксиоматическую теорию.
В качестве аксиом теории Z мы берем все формулы, получающиеся из
схем аксиом исчисления предикатов с равенством (PC!) — (РС6) и (РС8),
и аксиому (РС7) со следующим видоизменением: под «у» в (РС5) и (РС6)
из § 3.7 мы разрешаем теперь понимать не только переменную, как
в § 3.7, а—более общо—любой терм г такой, что когда он подставля-
3.8, Аксиоматические теории первого порядка
181
ется вместо (свободных вхождений) х в А (х), то в получающейся в
результате формуле А (л) ни одно свободное вхождение какой-либо пе-
ременной в г не становится связанным вхождением, Далее, мы вводим
множество нелогических аксиом, составляющих математическое содержа-
ние теории. В качестве правил вывода мы возьмем правила вывода
исчисления предикатов. Определения доказуемости и выводимости оста-
ются без изменений, но объем самих этих понятий расширяется благодаря
добавлению нелогических аксиом. Как и в случае чистого исчисления
предикатов, выводимость характеризуется в терминах доказуемости:
если Г есть некоторое множество формул теории г п В есть формула
теории ц, то для того, чтобы В была выводима из Г, необходимо и
достаточно, чтобы Г было пусто, а В была теоремой, или же чтобы Г
содержало такие формулы Д2, ... , А„, что
НАЛ А Л ... ДЛ.-*В.
Следующее важное свойство аксиоматических теорий первого порядка
состоит в том, что в любой такой теории каждая общезначимая формула
есть теорема. Это утверждение составляет содержание теоремы Гёделя
о полноте, сформулированной нами выше для чистого исчисления пре-
дикатов (теорема 3.6).
Примеры
1. Исходя из формулировки теории групп, данной в упражнении 15
§ 3.4, мы можем предложить следующее описание этой теории в виде
аксиоматической теории первого порядка. К логическим константам
(включающим и знак равенства) мы присоединяем одну предметную кон-
станту е и один символ бинарной операции. Термы теории определяются
следующим образом: каждая переменная и каждая константа суть термы,
и если г и s суть термы, то r-s также есть терм. Определение формулы
описываемой теории—то аге, что для исчисления предикатов, но с одним
дополнительным пунктом: если г и з—термы, то(г = $)—формула. Нело-
гические аксиомы:
(х) (у) (z) (x(y-z) = (x-y)-z),
(х) (е-х = х),
(х) (д//) (у-х — е).
Если же мы будем исходить из формулировки теории групп, неявно
содержащейся в упражнении 7 к § 3.2, мы придем к другому описанию.
Единственной нелогической константой будет теперь символ бинарной
182
Г лава III. Аксиоматические теории
операции •, а нелогическими аксиомами будут следующие:
x(t/2)=(x-f/)-z,
(32) (X = 4-2),
<ЗУ)^ = у-г).
(Здесь мы следуем обычаю, согласно котором} кванторы общности, тре-
буемые для превращения каждой формулы в высказывание, опускаются.)
Обе предложенные формулировки суть формулировки элементарной
теории групп. Эпитет «элементарная» означает, что положенной в основу
теории логикой является исчисление предикатов первого порядка. Не
вся теория групп—в принятом математиками понимании этой дисцип-
лины—формализуется элементарной теорией групп. Дело в том, что б
теории первого порядка кванторы навешиваются лишь по предметным
переменным, а этого оказывается недостаточным для формализации не-
которых теорем.
2. Формальная арифметика (number theory) служит формализацией
арифметики (arithmetic) неотрицательных целых чисел. Одна из ее моди-
фикаций (основанная на аксиомах Пеано) такова, Нелогическне кон-
станты: индивидная константа 0, два символа бинарных операций +
и • и символ унарной операции '. Нелогическими аксиомами служат
следующие шесть аксиом и одна аксиом на я схема:
а'= Ь’ -+а--Ь, 4
аН-0 = в,
а-0 = 0,
а' 5^ О,
й + У = (а + &)',
а-b' =аЬ-\-а,
А (0)д(х)(Л(х)—Л(х'))^Л(х),
где х —произвольная переменная, А (а) — произвольная формула, Л (0)
и А (х')—результаты подстановки, соответственно, 0 и х' вместо свобод-
ных вхождений х в Л(х).
Подразумеваемая интерпретация нелогических констант очевидна.
0 интерпретируется как число «нуль», х'—как натуральное число, сле-
дующее за х (т. е. х+1), х-;-^ —как сумма х и у, х-у— как произведе-
ние хну. Приведенная схема аксиом есть принцип математической
индукции.
3 9, .Метаматематика
1S3
§ 3.9. Метаматематика
Описание формальной теории должно быть дано на некотором языке,
понятном как тому, кто ее описывает, так и его читателю (слушателю/
До сих пор мы для этой цели пользовались обычным русским1 языком.
Язык, на котором дается описание какой-нибудь формальной теории,
принято называть метаязыком (или синтаксическим языком)] этот язык
употребляется для высказываний об этой теории. Формальные же сим-
волы самой формальной теории составляют в совокупности* 2 3 некоторый
язык, который используется для высказываний внутри самой этой тео-
рии; этот язык называют ее предметным языком (или языком-объектом).
Скажем, «Элементарная теория групп неразрешима» есть высказывание
о теории групп, сделанное на русском языке, т. е. на метаязыке. В про-
тивоположность этому «(а) (&) (с) (а • b = а * с —► b — ф есть высказывание
теории групп, записанное на предметном языке. Соотношение между
метаязыком и предметным языком можно в некотором смысле уподобить
соотношению между русским и французским языками с точки зрения
человека, родным языком которого является русский и который изучает
французский. Все начальные сведения и пояснения в словарях, грам-
матиках и т. п. учащийся воспринимает на русском языке (на мета-
языке). Впоследствии же он начинает писать по-французски, т. е. строить
предложения на предметном языке.
Теоремы, описывающие какие-либо свойства формальной теории,
называются метатеоремами] их следует отличать от «предметных» тео-
рем самой теории. Различение это не представляет труда, так как
теоремы формальной теории записываются в символике этой теории, а
метатеоремы — на метаязыке. Высказывание в предыдущем абзаце, отно-
сящееся к теории групп и сформулированное на русском языке,—мета-
теорема; высказывание же теории групп, записанное в терминах — и
т. п., есть теорема теории групп. Поскольку доказательство метатеорем
требует некоторых логических средств, система этих средств должна
быть известной тем, кому адресованы эти доказательства. Можно, ко-
нечно, формализовать метаязык3 — в принципе таким же образом, как
] У автора, разумеется, «английским». — Прим, перев.
2 Вместе с правилами образования термов и формул.—Прим. перев.
з Точнее было бы сказать, «метатеорию», имея в виду ие только «язык» (первич-
ные термины, правила образования выражений}, но н используемую логику (систему
аксиом и правил вывода); вообще, метатеоремы, будучи выражены средствами мета-
языка, доказываются средствами метатеории; в согласии с таким уточнением автор
вводит ниже и термин «метаматематика» (с дополнительными ограничениями на допу-
скаемые логические средства).—Прим, пер&в.
L?4
Глава III. Ai-cuc.vnmti'igcKtte теории
мы формализовали исчисление предикатов. Но тогда нам придется поль-
зоваться каким-то метаметаязыком» по отношению к которому встанет
та же проблема, и так далее—без конца. Другая возможность, указан-
ная Гильбертом, состоит, в двух словах, в том, что в метаязыке1 допу-
скаются только бесспорные средства обычной логики: основные прин-
ципы такой логики должны быть ясными, понимаемыми без затрудне-
ний. Разумеется, такие спорные средства, как доказательство от
противного или лемма Цорна (см. ниже, § 4.5), должны быть сразу же
исключены. Что касается теорем существования, то их доказательства
должны быть конструктивными; иными словами, для любого объекта,
существование которого утверждается, должна указываться эффективная
процедура его построения. Вообще, в метатеории можно использовать
только «финитные» методы доказательства; это значит, что ни в одном
доказательстве не допускается аргументация, апеллирующая к бесконеч-
ному множеству структурных свойств формул или же к бесконечному
множеству операций над формулами. Далее, предполагается, что если,
скажем, в качестве метаязыка взят русский язык, то фактически будет
использоваться лишь некоторый очень узкий его фрагмент. (Если раз-
решить использовать в качестве метаязыка весь русский язык, то
возникает опасность возможности вывода его средствами классических
парадоксов —например, парадокса Рассела.) Исследование формальных
теорий, использующее логические средства, соответствующие указанным
здесь ограничениям, называется метаматематикой. Говоря коротко,
метаматематика—это исследование формальных теорий теми методами,
которые, по общему мнению, и должны использоваться для такого рода
деятельности.
Примером метаматематического понятия служит понятие непротиво-
речивости, рассмотренное нами в § 3.4. Данное там определение прило-
жимо к любой формальной теории, включающей в себя исчисление
высказываний* Докажем одну относящуюся к таким теориям метатеорему.
Теорема 3.7. Пусть S — формальная теория, включающая в себя
исчисление высказываний. Тогда $ непротиворечива в том и только в том
случае, когда не каждая формула теории $ является теоремой.
Доказательство. Предположим, что противоречива и что А
есть такая формула теории SE, что как так и ~А. Вспомним,
что А —А —► В) есть теорема при любой формуле В, так как это
1 И здесь правильнее сказать «в метатеории»; эту поправку, ниже не оговарива-
емую, следует иметь в виду до конца настоящего параграфа,—Прим, п&рев.
3 9 Метаматематика
185
тавтология. Таким образом, В, т. е. произвольная формула, оказывается
теоремой (доказывается двукратным применением modus ропепз). Чтобы
доказать обратное утверждение, допустим, что любая формула теории J
есть теорема. Тогда, какова бы на была формула А из и сама Л и
А—теоремы. Следовательно, в этом случае противоречива.
Впредь мы всетда будем ограничиваться рассмотрением формальных
теорий, включающих в себя исчисление высказываний, т. е* теорий, дчя
которых теорема 3.7 справедлива. Следующий наш результат — метатсо-
рема, относящаяся к исчислению высказываний.
Теорема 3.8. Исчисление высказываний непротиворечиво.
Доказательство. П^сть Л—теорема исчисления высказываний.
Тогда Л есть тавтология, не является тавтологией и, следова-
тельно, ~А не есть теорема.
В точности такая же цепь рассуждений дает нам доказательство
непротиворечивости исчисления предикатов. Однако для исчисления
предикатов такое доказательство не будет принадлежать метаматематике,
так как оценочная процедура, на которую опирается теорема 3.5, не
является эффективной. Но непротиворечивость исчисления предикатов
можно доказать и метаматематически, исходя из того обстоятельства,
что оценочная процедура для фиксированной конечной области является
эффективной, так как для предикатных букв и предметных переменных
в конечной области существует лишь конечное количество приписываний.
Не приводя здесь этого доказательства, сформулируем сам результат.
Теорема 3.9. Исчисление предикатов непротиворечиво.
Следующее метаматематическое понятие—полнота. Напомним, что
значение этого понятия заключается в достаточности запаса теорем
теории для какой-либо цели. Известны две важные модификации этого
понятия: одна из них заключается в «максимальной непротиворечиво-
сти», другая состоит в том, что каждая общезначимая формула есть
теорема* Один из возможных способов определения понятия полноты
в первом смысле — это тот, который приведен в § 3*4. Мы будем назы-
вать такое понятие полноты отрицательной полнотой', таким образом,
формальная аксиоматическая теория отрицательно полна, если для
произвольной формулы S этой теории либо Н 5, либо Другая
разновидность понятия полноты в смысле максимальной непротиворечи-
вости такова: формальная теория называется абсолютно полной, если
186
Г лава НI. Аксиоматические теории
добавление к ней в качестве аксиомы любой недоказуемой в ней фор-
мулы делает систему противоречивой. Если мы условимся называть, по
определению, разрешимой такую формулу S, что имеет место в точно-
сти одна из доказуемостей pS или |—~S, то получится, что каждая
формула непротиворечивой и отрицательно полной теории разрешима.
Исчисление высказываний не является отрицательно полным, так
как ни^1, ми не являются теоремами, В то же время это исчис-
ление абсолютно полно при условии, что в определении абсолютной
полноты мы под аксиомами согласимся понимать схемы аксиом. Дока-
жем это.
Теорема 3.10. Если А есть произвольная формула исчисления выска-
зываний, то либо А есть теорема^ либо присоединение формулы А к
исчислению в качестве схемы аксиом приводит к его противоречивости.
Доказательство, Пусть А —формула, не являющаяся теоремой.
Докажем, что если А присоединить к системе в качестве схемы аксиом,
то она станет противоречивой. Поскольку А не теорема, то она не яв-
ляется тавтологией. Поэтому в ее истинностной таблице найдется такая
строка, в которой стоит значение R Фиксируем какую-либо одну такую
строку. Подставляя теперь вместо входящих в А простых формул, при-
нимающих для этой выбранной строки значение Т, формулу
а вместо простых формул, принимающих значение F, формулу Л Д
мы получим некоторую формулу В, которую и возьмем в качестве ак-
сиомы. Очевидно, что В будет всегда принимать значение F. Значит,
В есть тавтология, а потому —теорема. Итак, обе формулы — В и
^В — являются теоремами в полученном расширении системы.
Исчисление высказываний полно в том смысле, что каждая общезна-
чимая его формула является теоремой; именно это утверждение состав-
ляет содержание теоремы 3.3, причем доказательство ее принадлежит
метаматематике, Аналогичное утверждение справедливо и для исчисления
предикатов (гёделевская^теорема о полноте), но доказательство его уже
не принадлежит метаматематике. Исчисление предикатов не является
ни отрицательно полным, ни абсолютно полным. Оба эти утверждения
могут быть доказаны метаматематически.
Чтобы подойти к определению еще одного (на сей раз последнего—
в этом изложении) метаматематического понятия, нам понадобится
вспомнить описанное в § 3.5 понятие эффективной процедуры. Говоря
1 Здесь Л—высказывательнаа переменная. — /7р^лс, перо.
ЗА Метаматематики
1S7
кратко, эффективная процедура (или разрешающая процедураг) — это
метод, который можно описать как выдачу, по мере продвижения вперед,
в конечное число шагов, ответов «да» или «нет» на каждый из некото-
рого определенного класса вопросов. Проблема нахождения разрешающей
процедуры для данного класса вопросов называется проблемой разре-
шения этого класса. Для понятия доказательства в формальной аксио-
матической теории мы потребовали существованиеразрешающей процедуры;
но для понятия доказуемости мы этого требования не выставляли. В от-
личие от вопроса, является ли данная последовательность формул дока-
зательством (решаемого исследованием рассматриваемого конечного объ-
екта), для ответа на вопрос, является ли данная формула теоремой,
приходится производить рассмотрения, выходящие за пределы данного
объекта. Кроме того, в определении понятия доказательства не накла-
дывается никаких ограничений на длину доказательства, так что иссле-
дование всех возможных доказательств, без каких-либо ограничений на
их длины, не является процедурой, которая давала бы ответ на вопрос
о доказуемости в конечное число шагов в случае, когда данная формула
теоремой не является, В силу указанных обстоятельств для формальных
теорий приобретает особое значение проблема разрешения для доказуе-
мости, которую часто и называют просто «проблемой разрешения данной
теорию, Теория, проблема разрешения которой решается в положитель-
ную сторону, называется разрешимой. в противном случае теория назы-
вается неразрешимой. Примером разрешимой теории является исчисление
высказываний: поскольку формула исчисления высказываний является
теоремой тогда и только тогда, когда она — тавтология, метод истинно-
стных таблиц дает эффективную процедуру разрешения. Исчисление пре-
дикатов—пример неразрешимой теории; ниже мы вернемся еще к этому
вопросу.
Теперь мы коснемся вопроса о роли метаматематики в исследовании мира.
Отметим прежде всего, что открытие того, что в наивной теории множеств
можно получить противоречия (иными словами, обнаружение противоре-
чивости этой теории), произвело на многих математиков совершенно оше-
ломляющее впечатление. Это открытие побудило математиков к попыткам
спасения теории множеств, и одной из таких попыток явилось предпри-
1 Второй (стоящий в скобках) термин является синонимом первого лишь по отно-
шению к определенному (весьма, впрочем, широкому) классу проблем —к рассматри-
ваемым ниже проблемам разрешения, Подробнее об этих понятиях и связи между
ними см., например, уже упоминавшуюся книгу «Введение в метаматематику»
С, К. Клини; сводку важнейших определений можно найти также в статьях «Алгоритму
«Массовая проблема» и «Разрешения проблемы* в ], 2 и 4-м тт. "Философской энци-
клопедии».— Прим, перев.
188
Г ла* a HL Аксиоматические теории
пятое Э. Цермело построение теории множеств в виде формальной аксио-
матической теории. Другая позиция была провозглашена Расселом и
Уайтхедом в Principia Mathematica. Формальная теория множеств Цер-
мело с последующими видоизменениями и усовершенствованиями оказы-
вается полноценной основой для построения той теории множеств, которая
нужна для известной нам математики, причем в этой аксиоматической
теории удается избежать появления классических теоретико-множествен-
ных парадоксов —их нельзя вывести из аксиом этой формальной теории,
В то же время ее непротиворечивость не была доказана \ Проблема непро-
тиворечивости такой теории есть по существу проблема непротиворечи-
вости классической математики — в Principia Mathemaiica было показано
(косвенным образом), что в рамках такой теории можно построить всю
классическую математику. Человеком, посягнувшим на проблему доказа-
тельства непротиворечивости классической математики, стал Давид Гиль-
берт. Он поставил себе целью сформулировать классическую математику
в виде некоторой формальной аксиоматической теории, после чего попытать-
ся получить прямое решение проблемы непротиворечивости. Поскольку по-
средством построения конечных моделей нельзя было рассчитывать решить
эту проблему, Гильберт предложил вместо этого использовать конечные
(финитные) методы доказательства. Точнее говоря, он провозгласил в каче-
стве допустимых методов как раз то, что мы в начале этого параграфа оха-
рактеризовали как метаматематику- Целью Гильберта, если говорить более
подробно, было построить такую формальную аксиоматическую теорию, ко-
торая была бы адекватной формализацией для построения существовавшей
тогда математики, была бы, далее, непротиворечивой и, наконец, была бы
полной в том смысле, что каждая формула этой теории была бы в принципе
разрешимой (т, е. чтобы либо она сама, либо ее отрицание являлось теоре-
мой), В § 3.4 мы уже отмечали, что проблема непротиворечивости значитель-
ной части классической математики может быть сведена к проблеме непроти-
воречивости арифметики натуральных чисел (или, короче, просто арифме-
тики)— в виде теории, основанной на аксиомах Пеано, или же в виде теории
множеств, достаточно сильной для вывода в ней пеановских аксиом. После
некоторых частичных успехов гильбертовской школы в доказательстве не-
противоречивости арифметики надежды на получение желаемого результата
были разбиты результатом, полученным в 1931 году Гёделем. Этот результат
утверждает невозможность доказательства непротиворечивости формальной
теории, включающей формальную арифметику, конструктивными методами,
^формализуемыми в рамках самой этой теории», Чтобы охарактеризовать
1 Подробнее об этой проблематике см,: А, Френкель и И. Ба р-Х и л л е л.
Основания теории множеств, пер, с англ. М , «Мир», 1966. —Прим, перел.
3.9. Метаматематика
189
такого рода методы, достаточно сказать, что к ним относятся все логиче-
ские принципы, принятые в метаматематике. Таким образом, метаматемати-
ческое доказательство непротиворечивости арифметики или классического
анализа оказывается невозможным.
Этот замечательный результат является следствием еще более порази-
тельной теоремы, также доказанной Гёделем. Значение последней теоремы
(называемой обычно теоремой Гёделя о неполноте) исключительно велико —
она показала невыполнимость программы Гильберта в ее полном виде, так
как утверждает, по существу, что любая непротиворечивая формальная
теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не полна. Основ-
ную роль в доказательстве этой теоремы играет некоторое арифметическое
высказывание S, обладающее тем свойством, что ни S, ни^З не явля-
ются теоремами, что и доказывает отрицательную неполноту теории. По-
скольку 5 и суть именно высказывания (а не просто некоторые фор-
мулы), то — если интерпретировать их как высказывания содержательной
арифметики — одно из них истинно, а другое ложно. А так как ни одно
из них не доказуемо, то получается, что в арифметике имеется истинное,
но не доказуемое высказывание. Иными словами, в арифметике имеется
неразрешимое высказывание.
Можно было бы подумать, что этот недостаток — неполноту теории,
являющейся формализациейарифметикинатуральных чисел,—можно устра-
нить, попросту присоединив к такой теории в качестве аксиомы одно из
высказываний S или ~S, где S — неразрешимое высказывание. Но Гёдель
доказал, что всякая теория, являющаяся формализацией арифметики, не-
пременно должна содержать неразрешимые высказывания. После присо-
единения к такой теории неразрешимого высказывания в качестве аксиомы
расширенная теория по-прежнему является формализацией арифметики,
и в ней по-прежнему имеются неразрешимые высказывания1.
В заключение упомянем о второй из важнейших теорем метаматема-
тики, а именно о теореме, доказанной в 1936 году американским логиком
Алонзо Чёрчем. Эта теорема утверждает отсутствие эффективной про-
цедуры для решения вопроса относительно произвольной формулы фор-
мальной теории, содержащей арифметику натуральных чисел, является
1 То есть теорема Гёделя утверждает не только неполноту, но и, как говорят,
непополнимость формальной арифметики. Подчеркнем еще раз, что неразрешимое
высказывание S, существование которого утверждается теоремой Гёделя, выразимо на
языке рассматриваемой теории (а не только является высказыванием содержательной
арифметики), т. е, доказывается именно метаматематическое (или, как еще
говорят, синтаксическое) свойство неполноты формальной арифметики, а не только «се-
мантическая» неполнота относительно ее подразумеваемых содержательных арифме-
тических интерпретаций. —Прим. персе.
j SO __ Г лае a HI Аксиоматические теории
ли эта формула теоремой1, Эта теорема, являющаяся примером «теорем
о невозможности», подобна по существу теореме о невозможности три-
секции произвольного угла с помощью циркуля и линейки. Однако от
обычных теорем о невозможности теорема Чёрча отличается совершенно
фундаментальным образом: необходимой предпосылкой доказательства
Черча является выдвигаемое им точное определение понятия эффективной
процедуры» претендующее на то, чтобы охватить все мыслимые виды
вычислительных процедур, несмотря на довольно расплывчатый интуи-
тивный смысл этого понятия. (Между прочим, утверждение, что чёрчев-
ское точное определение понятия эффективной процедуры действительно
охватывает содержание этого понятия, известно под именемтезш&Чёрча.)
Гёделевская теорема 1931 года легко следует из теоремы Чёрча*
С помощью теоремы Чёрча нетрудно показать я неразрешимость исчис-
ления предикатов* После 1936 года другими математиками была доказана
неразрешимость большого числа алгебраических теорий; это относится,
в частности, к упоминаемым в этой книге элементарной теории групп
и теории структур1 2 3*
1 Указанная теорема была доказана Черчем лишь для теорий, удовлетворяющих
некоторому добавочному условию; это условие было впоследствии снято (точнее, ослаб-
лено) Дж* Б, Россером,— Прим. ред.
3 См*, например, монографию А. Тарского, А. Мостовского и Р, Робинсона
«Undecidable theories* (Амстердам, 1953)* См. также статью IO. Л* Ершова, И- А. Лав-
рова, А, Д* Тайманова и М. А. Та кили на «Элементарные теории» («Успехи математи-
ческих наук», 1965, т. XX, вып, 4, стр. 37—108),— Прим. ред.
ГЛАВА IV
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Теория булевых алгебр важна и с исторической» и с современной
практической точки зрения. Изложение этой теории может послужить
для начинающего удобным средством для усвоения ряда понятий» рас-
смотренных в общем виде в главе III. Кроме того, эта теория представ-
ляет собой пример того имеющего важное значение типа аксиоматичес-
кой теории» который носит назвашге «алгебраической теории». Теория
булевых алгебр, с одной стороны» сравнительно проста, с другой—чрез-
вычайно богата по структуре. Так, ее подробное изучение в некоторых
отношениях служит превосходным введением в технику, которую можно
использовать в разработке какой-либо аксиоматической теории. Единст-
венный возможный ее недостаток заключается в том, что легкость,
с какой ей можно придать сравнительно законченную форму, несколько
обманчива, поскольку речь идет об аксиоматических теориях вообще.
В этой главе прежде всего дается естественная формулировка теории.
Затем приводится ф°РмУлировка. которую обычно считают более изящной.
Эта вторая формулировка используется для развития следующей темы —
представления теории булевых алгебр в терминах алгебр множеств. Затем
в качестве другого типа модели теории излагается исчисление высказы-
ваний и в заключение дается понятие о свободной булевой алгебре.
4.L Определение булевой алгебры
Под алгеброй множеств на базисе U мы будем понимать непустую
совокупность 91 подмножеств непустого множества U такую, что если
A, то АиВ, А Л В £ 91, и если Д£?(, то А^ЗС. Например, мно-
жество-степень множества U, т. е. ((7), представляет собой алгебру
192
Г лава IV. Булевы алгебры
множеств. Однако, некоторые истинные подмножества множества
тоже могут быть алгеброй множеств (см. упражнение в к § 4.2). Если 31
есть алгебра множеств на базисе U, то 31 (поскольку, если А € И, то
С/ = /ЦМС20 и Фе St (поскольку, если А € 3(, то ф = ЛлА£5().
Далее, теорема 1.1 может интерпретироваться как перечень свойств
алгебры множеств. Что это перечень основных свойств, видно по разно-
образию других свойств (например, приведенных в теореме 1.2), кото-
рые можно вывести, пользуясь только этим перечнем. Как будет видно
из данной ниже формулировки, теорию булевых алгебр можно рассматри-
вать как аксиоматизированный вариант алгебр множеств, если подходить
к ним как к системам, обладающим свойствами, указанными в теореме 1.1.
Мы будем говорить, что $—булева алгебра, если 33 есть упорядочен-
ная тройка <В, и, П>, где В—множество, U—бинарная операция
(называемая соединением, или объединением.) в В, л—бинарная операция
(называемая пересечением) в В, и выполняются следующие аксиомы х:
1) Каждая операция ассоциативна: для всех а, Ь, с£В
a U (ft и с) = (a U b) U с и а П (& П с) — (а П Ь) П с.
2) Каждая операция коммутативна; для всех а, Ь£В
a\Jb = bUa и а Л £ = b П а.
3) Каждая операция дистрибутивна по отношению к другой: для
всех а, Ь, В
a U (Ь Л с) = (а и Ь) П (а Цс)
и
а Л (ЯМ = (аП6) U (ал с).
4) Существуют различные элементы 0 и I в В такие, что «иО=аи
а Л 1 = а для всех a g В.
5) Для каждого элемента а в В и каждой пары 0,1, удовлетворяю-
щей пункту 4), существует элемент а' в В такой, что
a U а' = I и а Па' = 0.
Здесь уместно сделать несколько замечаний относительно аксиома-
тической теории и приведенной формулировки. Непротиворечивость
теория можно установить, выбрав в качестве В множество-степень конеч-
ного множества U, имеющего не менее одного элемента, полагая, что
U —объединение множеств, Л — пересечение множеств, а 0 и 1—Ф и U,
1 Пункты 1—5 должны рассматриваться как десять аксиом. Для упрощения их
изложения мы сгруппировали их в пять пар.
4,1 T Определение булевой амебры 193
и, наконец, выбрав в качестве а' относительное дополнение для а в U
Единственность двух элементов, постулированных в пункте 4), устанав^
ливается в теореме 4J, Эти два однозначно определенных элемента
называются, соответственно, нулевым элементом и единичным элементом
булевой алгебры. Именно, имея в виду их единственность и название,
мы и применили в аксиомах обозначения «О» и «1». Мы могли бы посту-
лировать единственность этих элементов, но тогда мы были бы обязаны
включать доказательство их единственности как часть проверки того,
что система, предлагаемая как булева алгебра, действительно является
таковой. Элемент а\ относящийся к а, как указано в аксиоме 5), есть
дополнение для а. Ниже будет доказано, что каждый элемент имеет
единственное дополнение. Аксиомы 1)—5) не являются независимыми,
поскольку два ассоциативных закона можно вывести из остальных
аксиом как теоремы. Указания, как это сделать, даны водном из упраж-
нений, помещенных в следующем параграфе. Остальные аксиомы, кото-
рых в действительности только восемь, расположенные в виде четырех пар,
независимы друг от друга. Это впервые показал Э. В» Хантингтон
в 1904 году, приведя соответствующие примеры.
Упражнение
Если временно принять сделанное в тексте утверждение, что ассоциа-
тивные законы 1) в формулировке теории булевых алгебр излишни, то
можно доказать независимость остальных восьми аксиом с помощью
совокупности восьми систем вида <5, и, Л>, первая из которых удов-
летворяет всем пунктам 2)—5), кроме коммутативности операции U,
вторая—всем пунктам 2)—5), кроме коммутативности операции Л, и г. д.
Для В, включающего лишь несколько элементов, можно представить
операцию в В с помощью «таблицы умножения», т. е. расположенных
квадратам символов, строки и столбцы которых перенумерованы элемен-
тами множества В и заполнены так, что в пересечении a-той строки и
6-того столбца стоит «произведение» элементов а к 6. Например, следую-
щие две таблицы определяют две операции в множестве ZJ = {er, 6}
и 1 а ь Л а b
а а ь а а а
b b а Ъ а b
Показать,что <В, U, П> с а в качестве 0 и b в качестве 1 удовлетво-
ряет всем пунктам 2)— 5), за исключением первой половины пункта 3),
и тем самым доказать независимость этой аксиомы.
13 № 21 п
194
Г a as a / V Булевы алгебры
Показать также, что <5, U > Л>, где В = {аг 6} и
U | а b Л | а &
а а Ь a I b а
Ь b b b а Ъ
доказывает независимость второй половины пункта 3). Построить шесть
других систем, доказывающих независимость остальных аксиом.
4.2. Некоторые основные свойства булевых алгебр
В качестве введения в систематическое развитие теорем теории булевых
алгебр мы рассмотрим, исходя из данной выше формулировки, принцип
двойственности. Определим как двойственное к высказыванию, сформу-
лированному в булевой алгебре, то высказывание, которое получится
при сплошной замене и на Пн Л на U, 1 на 0 и 0 на 1; мы видим
тогда, что каждая из аксиом представляет собой двойственную пару
предположений. Следовательно, если Т—какая-либо теорема для бу лесы х
алгебр, то двойственное ей утверждение есть тоже теорема, доказываемая
шагами, двойственными шагам доказательства теоремы Т. Принцип двой-
ственности для булевых алгебр дает дополнительную теорему на каждую
доказанную, если только теорема не окажется двойственной самой себе.
В качестве первых теорем для булевых алгебр можно взять утверждение
об общем коммутативном законе, общем ассоциативном законе и общем
дистрибутивном законе для каждой операции. Эти теоремы доказываются
точно так, как показано после теоремы 1.1. Затем можно установить
единственность элементов 0 и 1 и доказать утверждения, приведенные
в теореме 1.2. Это сделано частично ниже.
Теорема 4.1. В каждой булевой алгебре В, (J, П> справедливы
следующие утверждения:
6) Элементы 0 и 1 являются единственными.
7) Каждый элемент имеет единственное дополнение.
8) Для каждого элемента а, (а')'~а.
9) 0' = 1 и Г = 0.
10) Для каждого элемента а, а(]а = а и аПа=«.
11) Для каждого элемента a, яр1 = 1 иоГ)0 = 0.
12) Для всех а и b, a\J{af\b) = a и а Л (а и Ь) = а.
13) Для всех а и Ь, (аи&)' — а' п&' и (а Л Ь)' =а' и 6'.
4,2, Некоторые основные сбог/г/пая булевых алгебр
Доказательство. Для доказательства утверждения 6) примем,
что 0г и 02 — элементы множества В такие, что для всех а auOi = a и
aL)02 = a. Тогда 0ги01 = 0г и 01U02 = 01. На основании аксиомы 2)
02 и 01 — С\ U 02 и, следовательно, 02 = 0v Значит, есть только один эле-
мент в В, удовлетворяющий первому свойству п. 4). (Единственность
элемента 1 вытекает отсюда на основании принципа двойственности.)
Для доказательства утверждения 7) примем, что а[ и ль оба являются
дополнениями для а. Тогда
o^a^UO-
= О1'и(аПвг) =
= («; U «) Л (а[ U ai) =
= (о и а;) л (а; и <) =
= 1 Л (о; U а’г) =
= (щ и di) л 1 =
= aiUa'3J
на основании н. 4),
поскольку а П 02 = 0;
на основании п. 3);
на основании п. 2),
поскольку aUа[=1;
на основании п. 2);
на основании п. 4).
Аналогичным образом доказывается, что aj = a2Uai. Следовательно, на
основании п. 2) а^ = а^
Для доказательства п. 8) отметим, что по определению дополнения
к a a U о' = 1 ийЛо' = 0. Отсюда на основании п. 2) a’ U a = 1 и а' Г) а = 0,
т. е. (а')'=о по п. 7).
Доказательство утверждения 9) предоставляется читателю в качестве
упражнения.
10) доказывается следующим вычислением:
aUO = (aUa)nl =
= (flUa)n (aU<*') =
= aU(ana') =
= aU0 =
no 4);
no 5);
no
no 5);
no 4).
Доказательство остальных частей теоремы предоставляется читателю
в качестве упражнения.
Свойства дополнений, изложенные в п. 7), 8) и 13), можно сформу-
лировать и другим способом, заслуживающим внимания. То, что каждый
элемент булевой алгебры имеет единственное дополнение, означает, что
f = {<a, a'>|a£B} есть функция, определенная на В со значениями в В
(т. е. взятие дополнения есть унарная операция в В). На основании п. 8)
/ о f~iB и, следовательно, f взаимно-однозначна и принимает значения
на (упр. 7 к § 1.9). Чтобы сформулировать 13) в намеченном нами виде,
необходимо сделать предварительное замечание. Рассмотрение понятия
13*
1%
Г лава £У Булевы алгебры
изоморфизма в § 3.4, в особенности определение 12, сразу приводит к
определению изоморфизма двух булевых алгебр. Булева алгебра
<В, U, Л> изоморфна булевой алгебре <В*, U *, ГГ>, если существует
взаимно-однозначное соответствие g между В и В* такое, что если
а, Ь£В, то
g(aU&)=g(a)U*£(&) и g(anb)=g(a)n *£(&).
Ясно, что это определение применимо и в том случае, когда эти две
алгебры — одна и та же алгебра. Но определенная выше функция f похожа
на изоморфизм алгебры и s Л > с самой собой в соответствии с п, 13),
за исключением того, что операции объединения и пересечения в правых
частях заменены одна на другую. Это явление достаточно важно, чтобы
заслужить имя — антиизоморфизм. Таким образом, и. 13) можно кратко
изложить, сказав, что отображение а —> а' представляет собой антиизо-
морфизм алгебры с самой собой.
Можно ввести в множество В произвольной булевой алгебры <В, и, П>
отношение частичного порядка, напоминающее отношение включения
множеств. Описание отношения включения в теореме 1.3, использующее
пересечение множеств, служит источником следующего определения. Если
<5, II, Л> есть булева алгебра, то для а, Ь$В положим
а < й, если а Л Ь = а.
Нет надобности отдавать предпочтение операции пересечения, поскольку
совершенно так же, как и в алгебре множеств,
аП& = а тогда и только тогда, когда йиЬ = &-
Доказательство этого, как и доказательство связанных с этим фактов:
а^Ь тогда и только тогда, когда дл6' = 0,
a^Zb тогда и только тогда, когда
предоставляем читателю в качестве упражнения.
Важные особенности нового отношения излагаются в следующей
теореме:
Теорема 4.2. Если <В, U , Л > есть буле&а алгебра, то <В, есть
частично упорядоченное множество с наибольшим элементом (а именно, 1)
и наименьшим элементом (а именно * 0). Кроме того, каждая пара {а,
элементов имеет наименьшую верхнюю границу (а именно, а и 6) и наи-
большую нижнюю границу (л именно, аП&).
Доказательство несложно и предоставляется читателю в качестве
упражнения.
4 2. Некоторые основные свойства булевых алгебр 197
Упражнения
1. Обратившись к теоремам 1.2 и 4.1, ясно видим, что п, 8)—13)
теоремы 4.1 представляют собой абстрактную форму п. 8, 8'—13, 13'
теоремы 1.2, Показать, что п. 6) и п, 7) теоремы 4.1 являются обобще-
ниями п. 6, 6' и 7, 7' теоремы 1.2 соответственно,
2. Привести доказательства п. 9), 11) и 12) теоремы 4.L
3. По поводу доказательства утверждения, что ассоциативные законы
для U и А можно вывести из остальных аксиом булевой алгебры, от-
метим прежде всего, что доказательства, приведенные для п 6) —8) и
10), не используют п. 1). Далее, доказательства, которых требует пре-
дыдущее упражнение, не нуждаются в использовании п. 1). Следова-
тельно, мы располагаем п* 2) —12) для доказательства п* 1), Привести
такое доказательство.
Указание Для данных а, д, с рассмотреть x = и y==(aU&)lk »
вывести последовательно, что д'Л х = а'Л и»
4. Установить, что каждое из следующих ниже утверждений является
теоремой для булевых алгебр:
(а) а^Ь тогда и только тогда, когда a\jb = b,
(Ь) а^Ь тогда и только тогда, когда аЛй' = 0, что, в свою оче-
редь, равносильно й'и£=1,
(с) а^Ь тогда и только тогда, когда
(d) для данных х и у х = у тогда и только тогда, когда
0 = (xA/)U(#Ax')-
5< Доказать теорему 4,2,
6. Пусть §1 — совокупность всех подмножеств А множества Z+ таких^
что либо Д, либо А конечно. Показать, что <9(, Ц, п>» где операции—
обычные в теории множеств объединение и пересечение, представляет
собой булеву алгебру.
3 амеч а ни е. Остальные задачи этого параграфа относятся к тому обоб-
щению понятия булевой алгебры, которое называется структурой. Струк-
тура есть тройка <Х, U , Л >, где X — непустое множество, Ц и А —бинар-
ные операции в X (читаются: «объединение» и «пересечение» соответ-
ственно), причем выполняются следующие аксиомы: для всех а, &,
Lv a U (& U г) = (a U 6) U с; Ц. а П (Ь А^) = (а А Ь) Л с;
La. аиб^биа; Ц. aQb = bQa;
L3. (а U Ь) П а = а; Ц. (а П b) и а = а.
198
Глава IV. Булевы алгебры
7, Сформулировать и доказать принцип двойственности для структур,
8, Удостовериться в следующих свойствах структур:
(а) Для всех а #иа = а и a ft а = а.
(Ь) Для всех а, b соотношения = а и йГ|Ь=& эквивалентны.
(с) Для всех а, b соотношения аП& = аи аий=й эквивалентны
9. Пусть <Л\ — частично упорядоченное множество такое, что
каждая пара элементов имеет наименьшую верхнюю границу и наиболь-
шую нижнюю границу в X, Таким образом, если мы положим aU& =
— sup Ь) и а П b = inf {а, £}, то U и Л—операции в X. Доказать,
что <Xt U, fl > есть структура. Затем доказать обратное, т. е. если
в структуре <Х, U , П> мы определим отношение через
а ^6, если а =
то <Х, есть частично упорядоченное множество такое, что каждая
пара элементов имеет наименьшую верхнюю границу (а именно, йЦЬ)
и наибольшую нижнюю границу (а именно, арб)-
Замечание. Этот результат дает фактически вторую формулировку аксиомати-
ческой теории, называемой теорией структур. Таюш образом, о структурах можно
мыслить двояко. Если формулировка использует то под U и П мы понимаем
операции, указанные в упражнении 9. Если же формулировка использует □ и Л, та
под мы понимаем отношение порядка, как оно определено в том же упражнении 9,
10, Пусть U, П> и <Х\ U г, Л '>—структуры. Показать, что
они изоморфны между собой тогда и только тогда, когда <Х,
и изоморфны.
1L Показать, что существует ровно пять неизоморфных структур
с числом элементов меньше пяти и что существует ровно пять неизо-
морфных структур с пятью элементами. (Указание, В этой задаче
удобнее рассматривать структуру как частично упорядоченное множество.)
4.3. Другая формулировка теории
Можно многое сказать о преимуществах данной нами формулировки
теории булевых алгебр. Первичные термины немногочисленны, а форму-
лировки аксиом изящны — просты и симметричны. Кроме того, если
опустить ассоциативные законы, то остающиеся аксиомы независимы.
Наконец, в формулировке ясно отражен определивший ее создание тип
системы. Однако, мы всегда стремимся попробовать, нельзя ли в том
или ином отношении упростить формулировку, сократив что-либо. В бу-
левых алгебрах это стремление успешно проявилось в создании многих
4.3. Другая формулировка теории _____[99
различных формулировок. Мы опишем здесь одну из формулировок,
получившею широкое признание. В произвольной булевой алгебре
с помощью этой формулировки получается аналогия хорошо известного
положения в алгебре множеств, где любая из двух операций—объеди-
нение и пересечение—может быть выражена через другую и операцию
дополнения (например, ЛиВ = (ЛлВ)).
Если <В, U. П>—булева алгебра, то В—множество с не менее
чем двумя различными элементами, как следует из п. 4). Кроме того,
бинарная операция Л и унарная операция ' имеют следующие свойства:
Г) —коммутативна,
П —ассоциативна.
Для а, & в В, если для некоторого с в В, то а(]Ь = а.
Для а, b в В, если а(]Ь=а, то a[]b' =cf]c' для всех с в В.
Первые два свойства—аксиомы, а последние два вытекают из того, что
для всех с в В, сПс'=0 и аП^'=0 тогда и только тогда, когда
aftb—a. Мы докажем сейчас, что тройку <Д, П> '> имеющую упомя-
нутые выше свойства (точное описание их приведено в следующей тео-
реме), можно считать формулировкой теории булевых алгебр, т. е. что
первичным терминам первоначальной формулировки теории можно дать
определения и аксиомы 1) —5) можно вывести как теоремы.
Теорема 4.3. Нижеизложенное есть формулировка теории булевых
алгебр. Первичные термины: некоторое множество В, содержащее не менее
двух элементов, бинарная операция П в В и унарная операция ’ в В;
аксиомы:
Bx. Л —коммутативная операция.
В2. Л —ассоциативная операция.
Вя. Для всех а, b в В, если а()Ь' =сПс' для некоторого св В, то
аГ\Ь — а.
В4. Для всех а, Ь в В, если ал& = о, то a{li'=cf]cf для всех св В.
Доказательство. Остается доказать, что первичным терминам
первоначальной формулировки можно дать определения и аксиомы
можно вывести из тройки <В, л , '>, удовлетворяющей аксиомам BL—Bt.
В качестве исходного множества и операции пересечения первоначальной
формулировки возьмем, соответственно, Ви П Операция объединения
определена ниже. Первые приведенные ниже десять результатов
(Т1—Т10)о<В, П । '> вместе с аксиомами Вх и В2 устанавливают спра-
ведливость всех аксиом первоначальной формулировки, за исключением
200
Г лава IV. Б улгвы алгебры
дистрибутивных законов. Остальная часть доказательства посвящается
им. Для удобства чтения используется весьма краткая «телеграфная»
запись.
Т1. аЛа = а.
Док. afia'=af]a'. Затем применяем В3.
Т2. ana' =b[)b’.
Док. Т1 и В4.
Полученный результат обосновывает следующее определение:
01. О = а П а' н 1 = О'.
ТЗ. с Л 0=0.
Док. аПО =ап(а Л а') = па 01.
= (аЛа)Лв' = по ва.
= 0 ио Т1 и 01.
Т4. а’=о. Док. 1. а" Л а' =0 из 01 н вг
2. а"Па = а" из 1 по Bs.
3. а""Па"=а"" из 2.
4. а"” Ла=а"" из 2 и 3 по Вг.
5. а""Ла' = 0 из 4 по В4 и 01.
6. а’ Ла'" = а' из 5 по В4 и В3.
7. а"'Ла'=а"' из 2.
8. а"'=а' из 6 и 7 по Bj
9. af]a'"=O из 8 и 01.
10. аЛа" = а из 9 по Bs.
11. а"=а из 2 и 10 по В4.
Т5. а Л 1 = а. Док. аЛ (а Л а')" = 0 по Т4, Т1, 01 и Bs.
аЛ(аЛа')'=а из предыдущего по Вэ
а Л 1 =а по О1.
Тб. 0=^1. Док. 1. Допустим 0 = 1 2. аЛ0 =а из 1 и Т5.
3. аЛ0 = 0 по ТЗ.
4. а = 0 из 2 и 3.
5. Эго противоречит допущению, что в В существует по мень-
алей мере два различных элемента.
02. аи£» = (а'Л
Т7. (а и Ь)' = а' Г) Ь' и (а Л &)' =а' U Ь’.
Док. И то и другое следует из 02 и Т4.
4 3. Другая формулировка теории
201
Т8. a U b = b U а и a U (b U с) = (a U i) U с.
Док. Первое следует из Bb а второе из T9. aUa'= 1. Док. Это вытекает из 02, Т4, Bt и 01. Т10. a U 0 = а. в3 и Т4.
Док. Это следует из 02, 01 и Т4. Т11. а Л (а U Ь) = а. Док. 1. Ь'Л(аЛа') = О по ТЗ и 01.
2. а л (а' Л Н = 0 из 1 по Bt и В.
3. аП(а'ЛЬ'Г = О из 2 по Т4.
4. afi(a' fib')’ ~а из 3 по В3.
5. а Л (а U Ь) — а из 4 по 02.
Т12. а П (а П М' — a fib'.
Док. 1. а Л Ь" Л (а Л Ь)' = 0 по 01 и Т4
2. «Л(аП&)' Л&* = 0 из 1 по Bj.
3. а Л (а Л Ь)' П Ь‘ ^afi(afiby из 2 по В,.
4, a fib' Л (я Л 6)' = аЛ (а Л Ь)г из 3 по В±.
5. afib'fi(afib)' =
= аЛ &'Л (Ь'иа') по Т7 и Вт.
6. afib' Л (b' Ua') = аЛ Ь' по Т11.
7. «Л (аЛ Ь)' = аЛ Ь’ из 4, 5 и 6.
Т13. а Л с—-а, аЛс'=0 и аиа = с—эквивалентные свойства.
Док. Предоставляется читателю в качестве упражнения,
Т14. af]c = « и bfic--=b влекут {a U &) П с = а и Ь.
Док, Допустим, что аГ1с=а и bfic=b. Тогда aUc = c и f>Uc = c
по TI3. По Т11
(я U Ь) П [(a U 6) U с] = a U Ь.
Две подстановки в скобках и ВЕ дают требуемый результат
Т15. аП(ЬЦе) = (аГ)Ь)U(«Пс) и а U (£> Пс) = («U Л (а U с).
Док. 1, (ап6)Л[afi(&U<0] =
= af]6fl(6(R) = an6
2. (аПс)П[аП0ис)] = апс
3- [(аПй)и(аПс)]П[аЛ(&Uc)]-
= [(а ЛЬ) U (ап г)]
4. [аЛ(6ис)]П[(аЛ^)и(аЛс)]'=
= ап (ftUc) Л (а Л £)'П(а Л с)'=
= аЛб'Лс'Л(йис) =
= аЛ(6ис)'Л(Ьис) =
= 0.
ПО Ba, Т1 И Т11.
подобным же образом
из
1, 2 и Т14.
по
по
па
по
Т7.
Bt и Т12.
Т7.
01 и ТЗ.
202
Г лава IV. Б улевы алгебры
5. [аЛ(£>ис)]Л[(йЛб)и(аПс)1 =
= аП(^ис) из 4 по TI3.
6. an(£> U<0 = (a Пб)и (а Пс) из 3 и 5 по Bv
Доказательство другого дистрибутивного закона предоставляется чита-
телю в качестве упражнения-
Аксиомы в новой формулировке теории булевых алгебр независимы.
Доказательство этого требует определения системы <ZJ, П/>, которая
удовлетворяла бы всем аксиомам, кроме B;(i=l, 2, 3, 4). Ниже даются
определения четырех систем, доказывающих независимость аксиомы
с соответствующим значком.
, 6, с} (Ва) В = = {о, Ь, с} (Ва)В = {а, Ь}
П а b с П а Ь с Л а b
й а а а а а с Ь а а b
b abb b с Ь а b b b
с асе с b а с
г / г
а Ь а а а ь
Ъ а Ь с b ь
с а с b
(В4).В = {А £ У (Z+) | Z* — Д— конечное множество}.
П —пересечение множеств,
' определяется следующим образом. Заметим, что для каждого А из
В существует наименьшее положительное целое число а такое, что [а]
(множество всех целых чисел х^й) содержится в А. Тогда А есть
объединение непересекающихся множеств [а] и — некоторого подмно-
жества множества {1,2, ... , а—2} (если только не имеет места A =Z+;
в этом случае А [1]). Теперь мы определяем А' как U [а + I j, где
Ац — дополнение к Ло в {1, 2, ...,й—1} (если только не имеет места
Л = 2 + ; в этом случае А' = [2]).
Некоторые указания для анализа этого примера, устанавливающего
независимость аксиомы В4, даются в одном из упражнений. В другом
упражнении описываются возможные замены аксиомы В4.
4.4» Отношения конгруэнтности для булевых алгебр
203
Упражнения
1. Доказать Т13 и остающийся дистрибутивный закон в доказатель-
стве теоремы 4,3.
2. При рассмотрении системы <В, П » 'X которая, как мы утверж-
даем, устанавливает независимость аксиомы В4, очевидно, что аксиомы
Bj и В2 справедливы. Доказать, что система удовлетворяет аксиоме Ва,
но не В4.
Указание. Для В3 показать, что если С = С0J ]с]п то CQC' = [с-|-1], и если
Д = Л„и1а] И В = ДЖ ™
. п_, ( (Л П 8о) U1Ь 4- И- еслий<^,
Л f I я = \
I, (Л0ПВ9и[«Ь если а > Ь,
3- Показать, что каждое из утверждений Вь, Bs, , В101 форму-
лировка которых дается ниже, влечет за собой В4 при наличии Вр В3
и В3* Вывести, что каждое из утверждений Вв, . . , , Во вместе с
Вп В2 и В3 дает формулировку теория булевых алгебр.
Вй. Для всех а и b af]af—b()bf.
Bs, Для всех a af~a.
Вг Существует в В элемент т такой, что, если хГРя = хт то х^т.
Bs, Существует целое число такое, что для всех а а”
(п штрихов) равно а.
В^ Для всех а и b а^Ь влечет bF ^af.
В10, В конечно.
4.4. Отношения конгруэнтности для булевых алгебр
Обратимся к исследованию одного, еще не затронутого нами аспек-
та двух приведенных систем аксиом для булевой алгебры. Доста-
точно рассмотреть вторую систему аксиом, поскольку читателю лег-
ко будет понять, какие изменения потребуется внести, чтобы наши
замечания были приложимы и к первой системе. Когда мы ввели вы-
сказывания, обозначенные В1Т В3, В3 и В4, не было упомянуто о том,
каков точный смысл приписывается отношению, символически обозна-
ченному через к = »; имелось в виду, что читатель сам припишет ему
свое понимание равенства, Отстраняя всякие имеющиеся у нас уже на
этот счет понятия, определим совокупность условий, пригодных для
наших целей. Анализ доказательств теорем TJ — Т15 в доказательстве
теоремы 4.3 обнаруживает, что совокупность приводимых ниже условий
является достаточной.
204
Г ла&а IV. Булевы алгебры
(Е) « = » есть отношение эквивалентности.
(S) Пусть F—элемент булевой алгебры <В, П, 'X получающийся
из элементов a, bt , множества В с помощью операций в В, и п\сть
a = alf b~blr ... Тогда, если /4 —элемент, получающийся из F путем
замены некоторых или всех вхождений а через оу, b — через blt . . ,
то F Гг
Мы можем вывести (S) из следующих двух простых случаев этого прин-
ципа подстановки:
с Если а^Ь, то af]c = bf]c для всех с.
Если a = bf то а'=Ь'.
Доказательство» которое мы опускаем, ведется индукцией по числу
cимвoлoвJ входящих в элемент F. Таким образом, (Е) и (С) дают (Е)
и (S) и, следовательно, (Е) и (С), являющиеся, очевидно, необходимыми
свойствами равенства, также достаточны для наших целей. В таком
аспекте равенство есть частный случай отношения конгруэнтности для
булевых алгебр — понятия, которое мы сейчас рассмотрим*
Перед тем, как сосредоточить внимание на отношениях конгруэн-
тности для булевых алгебр, сделаем об этом понятии несколько заме-
чаний общего характера.
Когда нам дана или строится какая-нибудь конкретная математиче-
ская система, среди ее составных частей в явной или неявной форме
присутствует «естественное» отношение конгруэнтности. Это значит, что
имеется отношение эквивалентности, которое сохраняется при рассмат-
риваемых в системе операциях в смысле, аналогичном смыслу (С),
Обычно мы обозначаем это отношение через к = называем его равен-
ством и применяем без всяких пояснений. Например, в случае множеств
это отношение есть равенство множеств; оно является отношением
конгруэнтности на любой совокупности множеств* Если мы пытаемся
доказать, что некоторая система (S имеет свойства Вг — В4, то мы ис-
толковываем встречающиеся знаки равенства как естественное равенство
для G. Например, если проверяется утверждение, что<?(Х), П, '>
есть булева алгебра» то будет считаться обозначением равенства
множеств. Резюмируя, можно сказать, что символ равенства» как он
применяется в В± — В4, может носить не абсолютный, а только относи-
тельный характер* Достаточно, если он обозначает некоторое отношение
конгруэнтности*
Вернемся к общему рассмотрению вопроса, заметив при этом, что,
изучая какую-либо определенную математическую систему <Х, .**>,
мы часто испытываем необходимость в идентификации элементов мно-
жества Л, которые отличаются друг от друга по естественному отно-
шению конгруэнтности. Это сводится к введению отношения эквивален-
4.4« Отношения конгруэнтности для булевых алгебр $05
тности р, отличного от естественного. Мы обращаемся тогда к X/pt
элементы которого представляют собой p-классы эквивалентности, и
рассматриваем это множество как базис. Если р есть отношение не
просто эквивалентности, а конгруэнтности, то оказывается возможным
вводить в Х/р аналоги любых операций и отношений, которые определены
для X. Перейдем теперь к подробному рассмотрению вопроса приме-
нительно к булевым алгебрам.
Пусть <В, П, '> — булева алгебра и пусть О — отношение конгруэн-
тности на ней, т. е. пусть й—отношение эквивалентности на В такое>
чго справедливы следующие утверждения:
vCJ. Если afri, то для всех с,
(С2), Если то
Далее, условимся исключить раз навсегда тривиальное отношение
конгруэнтности, связывающее между собой каждую пару элементов
в В. Выведем теперь из (С^ частный случай ранее отмеченного свойства
подставимости (S),
(С3). Если аЬс и b$dr то
Для доказательства допустим, что и fr&d. Тогда afifefrcnfr и
&ГКМГ|с на основании (Сг). Поскольку операция пересечения комму-
тативна, а й транзитивно, мы получаем требуемый результат.
Вывод двойственного к (С3) свойства предоставляется читателю как
упражнение. Если В/ft есть множество 4-классов эквивалентности
то в В/ft полученный выше результат (Сз) переходит в следующий.
Если а = с и b^= d, то Это значит, что отношение
{«a, b,y af\b>\a£B/$ и Ь^В/Ь}
есть функция, определенная на (В/0)х(В/Ф) со значениями в В/0, т. е,
операция в B/tL Будем обозначать эту операцию в В/® символом П,
а ее значение на <а, &> записывать в виде аЛ^- Итак, по определе-
нию
ДП& = оП&.
Далее, из (Са) непосредственно следует, что если a = b, wa‘=b'.
Следовательно, отношение {<а, а'>| а£В/0} есть функция, определен-
ная на В/О со значениями в В/Ь. Обозначим эту функцию символом
а ее значение на а через а'. Итак, по определению
а' =а'-
Проверка того, что <В/б1, Г) , '> есть булева алгебра, представляет
собой простое упражнение.
206
Глава IV. Булевы алгебры
Например, чтобы проверить В3, допустим, что а р|Ь'= сf]c\ Тогда, в
свою очередь,
а Л bf = сГ1 с’
аГ\Ьг =с(\с'
afib'ftcftc',
(anb')'ft(cric')'
a' U0O1
(e'UtynaOl Па
а П &<fra
а Л b = а,
а Л Ь — а,
по определению х';
по определению хПу,
xfiy тогда и только тогда, когда х==у,
по (Cg);
по свойствам алгебры <В, Л > '>;
ПО (CJ;
по свойствам алгебры <В, Л , '>;
х = у тогда и только тогда, когда хОу;
по определению я П У-
Резюмируя, можно сказать: мы показали, что из булевой алгебры
<В, Л, '> и отношения конгруэнтности О на ней можно получить
булеву алгебру <В/О, Л, '>, элементы которой — О-классы эквивалент-
ности и операции, на которой определяются в терминах первоначальной
алгебры при помощи представителей классов эквивалентности. Если О
отличается от отношения равенства в В, то производная алгебра
существенно отличается от исходной. Соотношение между исходной и
производной алгебрами описано после приводимого ниже примера.
Пример
Рассмотрим булеву алгебру <^(Z), Л, '), элементами которой явля-
ются подмножества множества целых чисел Z. Вспомним определение
симметрической разности A-f-B двух множеств как множества всех
объектов, содержащихся иля в А, или в В, но не в обоих множествах.
Для А и В в ^’(Z) определим ЛОВ следующим образом: ЛОВ озна-
чает, что A-j-В имеет конечное число элементов. Легко удостовериться,
что О есть отношение эквивалентности на ,”?(Z). Далее, если ЛОВ, то
Л л СОВ л С, так как для всех Л, В и С
(ЛЛС) + (ВЛС) = (Л + В)ЛС,
н, следовательно, если Л + В конечно, то конечно и (Л Л С) -|-(В П С).
Наконец, если ЛОВ, то Л'OB', поскольку А-}- В = А' + В'. Таким
образом, О есть отношение конгруэнтности на данной алгебре, и, если
ввести определения
ЛлВ = ЛпВ и А' = А',
4Л. Отношения кокгрузнткоети для булевых алгебр 2Qj?
то получится новая булева алгебра, элементами которой являются
^-классы эквивалентности. При переходе от первой алгебры ко второй
элементы склеиваются: в первой алгебре нулевой элемент — ф, тогда
как во второй нулевым элементом Ф является семейство всех конечных
подмножеств множества Z.
Дальше будет удобно упростить нашу терминологию, называя ал-
гебру так же, как ее базисное множество. Так, вместо «булева алгебра
<5, П, '>* мы будем пользоваться выражением «булева алгебра Въ.
Рассмотрим теперь соотношение между булевой алгеброй Вр& и алгеб-
рой В, из которой получается В/ft с помощью отношения конгруэнт-
ности. Пусть р—естественнее отображение (см. § 1.9), определенное
на множестве В со значениями на множестве В/#, т. е. отображение
Р'.В—> B]$t где р(Ь) = Ь*
Так как аП& = лП& и а = а,
p(anb)=p(a)f}p(b) и р (д') =<Р («))'
Иначе говоря, р есть «много-однозначное^ отображение (за исклю-
чением случая, когда О —отношение равенства в В), которое сохраняет
операции. Отображение, определенное на одной булевой алгебре В со
значениями на другой алгебре С, которое отображает пересечения в
пересечения и дополнения в дополнения, является гомоморфизмом, и С
есть гомоморфный образ алгебры В. Понятие гомоморфизма представляет
собой обобщение понятия изоморфизма (см. § 3.4.) и, подобно изомор-
физму, получает особое определение для каждого типа математической
системы. Возвращаясь к рассматриваемому случаю, мы можем сказать,
что Р'—гомоморфизм, а 5/0 —гомоморфный образ алгебры В, т. е* каж-
дое отношение конгруэнтности на булевой алгебре определяет гомо-
морфный образ* Обратно, каждый гомоморфный образ С булевой алгебры
В определяет отношение конгруэнтности на В. Действительно, если
f; В —* С есть гомоморфизм, то отношение О, определяемое как
если f(a) = f{b) представляет собой отношение конгруэнтности на В.
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. По-
кажем далее, что 5/0 (алгебра 0-классов эквивалентности) изоморфна
алгебре С. Введем для этого отношение g. которое определим как
{<х,
208
Глава IV, Булевы алгебры
Легко видеть, что g есть функция, взаимно-однозначно отображающая
Дб на С, и что
g (л А у) =g(х А У> = f (х П У) = t{x} П f (у) =g (х) A g (#),
g (х') = g (х') f (х') = (J (х))' = (g (х))',
т. е. что g есть изоморфизм. Кроме того, если р —естественное отобра-
жение, определенное на В со значениями на В/d, то мы видим, что для
данного гомоморфизма /:В—>С мы имеем f=gop< Результаты наши
резюмируются в следующей теореме:
Теорема 4.4. Пусть В —булева алгебра, а 0—отношение конгру-
энтности на В. Тогда алгебра В/й д-клаесов эквивалентности есть гомо-
морфный образ алгебры В при естественном отображении, определенном
на В со значениями на В/0. Обратно, если алгебра С есть гомоморфный
образ алгебры В, то С изоморфна некоторой алгебре B/fr. Кроме того,
если f:B —> С есть рассматриваемый гомоморфизм, то f =; £ о р, где
р —естественное отображение, определенное на В со значениями на B^t
a g—изоморфизм алгебры В/д с С.
Из предыдущих замечаний ясно, что гомоморфизмы булевой алгебры
находятся во взаимно-однозначном соответствии с отношениями конгру-
энтности на этой алгебре. Важность той роли, которую играют отно-
шения конгруэнтности, наводит на вопрос о практических путях нх
порождения. Один такой путь дает особый тип подмножеств булевой
алгебры, которому мы сейчас дадим определение, Непустое подмноже-
ство 1 булевой алгебры В есть идеал, если
1)х€7и#€ / влекут xijyEl и
2) х 6 / и у £ В влекут х А у € Т
Например, если а^В, то есть идеал. Это главный идеал.
порожденный элементом а; он обозначается через (а). Чтобы показать,
что (а) — идеал, заметим, что если х£(я) и у£(а}, то а—верхняя граница
множества {д\ у} и, следовательно, а больше или равно х (1д— наимень-
шей верхней границы х и у (см. теорему 4.2). Таким образом,
Наконец, если и У^В, то так как х^.а. Два триви-
альных идеала алгебры В, а именно {0} и В—оба главные. В самом
деле, {0} = (0) и В=(1). Идеал (0) называется нулевым идеалом, а идеал
(I) — единичным идеалом алгебры В. Зависимость между идеалами
алгебры В и отношениями конгруэнтности на В дана в следующей
теореме:
Отношения квнгр узнт нос тид ля булевых алгебр 20Я
Теорема 4.5. Пусть В—булева алгебра и О — отношение конгру-
энтности на В. Тогда / = {т€В|х/Ю} есть идеал алгебры В, отличный
от В, и хбу тогда и только тогда, когда существует элемент tel
такой, что x\Jt =yl)t- Обратно, если I есть какой-либо идеал алгебры
В, отличный от В, то отношение й на В, определенное как х&у, если
в 1 существует t такое, что xl) t = y\}t, является отношением конгру-
энтности на В, причем 1 есть множество элементов, конгруэнтных с 0.
Таким образом, отношения конгруэнтности на В находятся во взаимно-
однозначном соответствии с идеалами алгебры В, отличными от В. Каж-
дое й соответствует идеалу 1 из элементов, конгруэнтных с 0.
Доказательство. Случай идеала В алгебры В приводит к уни-
версальному отношению на В, которое мы исключили из отношений
конгруэнтности на В. Предоставляем читателю рассмотреть подробно
эту крайнюю ситуацию и рассмотрим только нетривиальный случай.
Пусть О — отношение конгруэнтности на В и пусть / определено
так, как это указано выше. Тогда {0}s/cBt и если х$! и у£1, то
хйО, х'Й1, х' Аг/'Ф} fry’, х'[\у'Иу‘, хЦубу. Последнее выраже-
ние, если его соединить с убО, влечет хиуй’О, из чего видно, что /
удовлетворяет первому из условий, определяющих идеал. Далее, пусть
х£1 и у^В, Поскольку хЙО влечет выполняется и второе
условие и I — идеал.
Допустим теперь, что для некоторого i в /хЦ/=уи/- Из /00 вы-
водим, что xU/йх и y\]idy и, следовательно, что хОу. Обратно, до.
пустим, что хйу, и образу ем t = (х Л у') U (х' Л у). Тогда x(j/ = xUy = yUi-
Далее, /00, так как хйу влечет хЛу'00 и х'ЛуйО, откуда /00.
Докажем обратное утверждение. Пусть I — идеал алгебры В; определим
отношение О так, как указано в теореме. Очевидно, О — рефлексивное
и симметричное отношение. Оно транзитивно, так как если x(J/=у11/
и yUu^zUu, причем /£/ и «ЕЛ то xU(/(Ju)=yU/U«=yUwU/ =
— г U и U / — г U (/ U и), а это значит, что хйг, поскольку t\ju£l. Сле-
довательно, & — отношение эквивалентности. Теперь докажем, что если
хйу, то хЛхйуЛг. Пусть хбу. Тогда x(J/ = yU/, где /£/, и
(хЛх)и/ = (хиОЛ(ги/) = (уи/)П(ги/) = («/Пг)и/.
Следовательно, х(] z&yC\ г. Наконец, докажем, что если хйу, то х'Йу'.
Допустим, что хйу. Тогда xU/ —уЛ/, где t£l. Отсюда находим, что
х'л/'=у'п/'.
(x'A/')U/ = (y'А/')и/,
(х'и/) Л 1 =(у'и/)Л 1,
или, иными словами, х' U t ~у' U С Таким образом, х‘бу’.
.V- 2(19
210
Г лава IV, Булевы алгебры
Закончим доказательство обратной теоремы, доказав, что х&О тогда
и только тогда, когда x£L Допустим, что хАО* Тогда хи/—/, где
t^L Следовательно, а, значит, Тождество x{jx — х
доказывает обратное.
В заключение отметим, что из двух предшествующих теорем следует
существование взаимнооднозначного соответствия между гомоморфизмами
булевой алгебры В и теми идеалами алгебры В, которые отличны от В,
Упражнения
L Доказать двойственное к (С3) свойство отношения конгруэнт-
ности А, а именно
(С,) Если flttc и bQd> то aU&AcUd*
2. Закончить доказательство утверждения, приведенного в тексте:
<B/$t П, '> есть булева алгебра, если <В, Г1, — булева алгебра
н 4—отношение конгруэнтности на В
3« Доказать предшествующее теореме 4А утверждение; если
/:В—>С есть гомеоморфизм, то отношение fl1, определяемое как аОЬ,
если /(а) = /(&), является отношением конгруэнтности на булевой
алгебре В. Далее, доказать, что f^=gopt где g и р— отображения,
определенные в тексте*
4. Начертить диаграмму алгебры 31 всех подмножеств множества
{а, Ь, с, Й}. Отметить на диаграмме элементы идеала (а). Затем исполь-
зовать диаграмму для определения ft-классов эквивалентности, где
'S—отношение конгруэнтности, определяемое идеалом (я) в соответствии
с теоремой 4.5. Наконец, начертить диаграмму гомомор фного образа И/fl
алгебры 31.
5, Обосновать сделанное в тексте утверждение, что гомоморфизмы
булевой алгебры находятся во взаимно-однозначном соответствии с ее
отношениями конгруэнтности.
6, Для примера этого параграфа привести доказательство шагов,
заканчивающихся утверждением, что fl — отношение конгруэнтности
на <^(Z).
7, В следующем параграфе ат ум булевой алгебры определяется как
отличный от нуля элемент а такой, что если Ь^а> то или й —0, или
Ь = Показать, что в булевой алгебре классов эквивалентности, опре-
деленной в примере этого параграфа, нет атомов.
8, Для того же примера пусть AfltB означает, что А АВ и что 3 не
является элементом множества А-^В. Доказать, что fl2 — отношение
конгруэнтности на 5*(Z)* Определить атомы алгебры ^(ZJ/flp
4.5. Подставления булевых алгебр _________ 211
4.5. Представления булевых алгебр
Теоретико-множественным аналогом второй из наших формулировок
теории булевых алгебр является алгебра множеств. Так как по суще-
ству структура такой системы и вызвала создание рассматриваемой
аксиоматической теории, возникает очевидная проблема представления:
изоморфна ли каждая булева алгебра алгебре множеств? На этот
вопрос мы можем ответить утвердительно.
Начнем со случая, в котором множество В содержит конечное число
элементов, хотя наше первое определение применимо к любой булевой
алгебре. Элемент а булевой алгебры есть атом, если и Ь^а
влечет Ь<=0 или Ь^а< Для л из В пусть А (л ) обозначает множество
всех атомов я, таких, что a^Zx. Выведем несколько свойств атомов н
множеств А (х) для случая алгебры <В, А, '> такой, что В конечно,
Аг Если х^О.то существует атом а, для которого а^х.
Доказательство. Это утверждение прямо следует из допущения о
конечности В. Подробности доказательства предоставляются читателю
в качестве упражнения.
Аа. Если а — атом и х$В, то истинно одно и только одно из двух:
a^Zx или аПх=0. По-другому: истинно одно и только одно из двух:
а^х или a^ZxZ
Доказательство. Поскольку йПа'^й, либо либо
«Ох“0, Кроме того, не могут быть истинными оба утверждения, так
как с=^0.
А3. А (х П у) А (х) П А (у).
Доказательство. Заметим прежде всего, что хГ)у есть пересе-
чение двух элементов в В, а А (х) п А (у)—множество элементов, общих
для Л(х) и Л (у). Допустим теперь, что а€Л(хПу). Тогда в^СхЛ*/, и
следовательно, а^х и а^у. Таким образом, а С Л(х)лЛ(#). Отсюда
А (х П у) — А (х) П А (у). Обращение приведенных шаюв устанавливает
обратное включение и, следовательно, доказывает равенство.
А4. Л(х') = Л(1) — А (х).
Доказательство. Отметим сначала, что Л (j)—множество всех
атомов алгебры В. Пусть а£Л(х')- Тогда на основании А4 ложно
а€ Л (х). Следовательно, А (]) — А (х). Обратно, если а£ А (1)—Л(х),
то а(£ Л (х). Следовательно, на основании А2 й€Л(х').
А6. А(х)~А(у) тогда и только тогда, когда х = у.
14*
212
Главна IV. Булезы алгебры
Доказательство. Допустим, что х=Ау. Тогда по меньшей мере
одно из утверждений х^у и у ^х ложно. Предположим, что ложно
х^у. Тогда хПу'^0 и, значит, на основании Аг существует атом
а^хпу'. На основании А3 а£А(х) и а£А(у'). Таким образом,
а^А(х) и на основании А4 а^А(у). Следовательно, А(х)^=А(у). Ана-
логично то же самое заключение получается, если допустить, что ложно
Ав. Если й1, па, , аА — различные атомы, то
Axilla,II •• Ua*)={fli, .а*}.
Доказательство. Очевидно, что {яр а2, s А (at и а2 U
Для доказательства обратного включения допустим, что
•Ufy) и fl (г — 1, 2,
Тогда на основании А3 а Г) а; = 0 (i 1, 2, ♦, . , fe) и, следовательно,
а~аП 01U U > - * U= (a f] %) U (я fl a2) U * - U (afl ак) = О,
что невозможно.
Теорема 4.6, Пусть В—булева алгебра аз п элементов. Тогда В
изоморфна алгебре всех подмножеств множества атомов алгебры В. Если
т — число атомов алгебры В, то я = 2^
Доказательство. Пусть В* есть множество-степень множества
а2, . .. , атомов алгебры В. Тогда ft В —>В*, где f(x) = A(x),
взаимно-однозначна на основании А5 и принимает значения на В* на
основании Ае. На основании А3 образ пересечения в В есть пересечение
соответствующих образов в В*. По А4 образ А (хг) элемента х' есть
дополнение образа элемента х, т. е* относительное дополнение мно-
жества А (х) в множестве всех атомов. Таким образом, / — изоморфизм.
Утверждение n~2m вытекает отсюда, так как ранее было установ-
лено, что множество всех подмножеств множества, содержащего т эле-
ментов, состоит из 2™ элементов,
Следствие. Две булевы алгебры, имеющие одинаковое конечное число
элементов, изоморфны между собой.
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
4.5. Представления булевых алгебр 213
Пример
В качестве В возьмем множество делителей числа 30 — {1? 2, 3, 5,
6, 10, 15, 30}, Для а и b из В определим как наименьшее общее
кратное чисел а и b и а' как 30/д, Легко удостовериться, что <В, п/>
— булева алгебра. Отношение частичного порядка, вводимое для
элементов булевой алгебры, примет для данной алгебры следующую
форму; a^bt если а кратно Ь. Таким образом, 30—наименьший (и ну-
левой) элемент, а 1—наибольший (и единичный) элемент этой алгебры.
Атомами являются 6, 10 и 15, и, следовательно, эта алгебра изоморф-
на той алгебре, которая определяется всеми подмножествами множе-
ства {6, 10, 15} с обычными операциями. Отображение, устанавлива-
ющее этот изоморфизм, сопоставляет, например, 2 с j6, 10} и 30 с ф.
Читателю в качестве упражнения предоставляется удостовериться, что
пийт которое во второй из наших формулировок булевых алгебр опре-
делено как (а'П&Т, является наибольшим общим делителем чисел а
и Таким образом, если бы мы с самого начала ввели в В вместе с
операцией Л вторую бинарную операцию U , определив a LJ Ъ как наиболь-
ший общий делитель чисел а и Ь, то результат был бы тот же. Однако,
при этом нам пришлось бы проверять дистрибутивные законы, что
в данном случае было бы не очень легким делом.
Прежде чем идти дальше в рассмотрении теории представлений, мы
настойчиво советуем читателю остановиться и подумать над тем, в какой
степени теорема 4.6 разъясняет структуру конечных булевых алгебр
(т, е. алгебр, содержащих конечное число элементов). В самом деле,
в смысле теоремы о представлении она не оставляет желать лучшего.
Возможно, ее определенность как в отношении арифметического аспекта,
так и в смысле включения явного рецепта для построения утверждаемого
изоморфизма будет оценена по достоинству уже после получения соот-
ветствующего результата для случая бесконечных алгебр. Здесь потре-
буется иной подход, так как существуют булевы алгебры, не имеющие
атомов (см. упражнение 7 к § 4.4). В случае бесконечной алгебры атом
заменяется особым типом идеала, который мы сейчас опишем. Пусть
—множество всех идеалов, отличных от В, в булевой алгебре В.
Поскольку (0}£К, это непустое множество. Далее, элементы множе-
ства можно охарактеризовать как идеалы алгебры В, не содержа-
щие 1. Как и любая система множеств, ё частично упорядочена
отношением включения; значит, определено понятие максимального
элемента в Максимальный элемент в $ есть максимальный идеал
алгебры В. Существование максимальных идеалов в бесконечной буле-
2Н
Глава /У. Булезы алгебры
вой алгебре обосновывается применением третьего и последнего допу-
щения интуитивной теории множеств. Это допущение занимает то же
положение, что и принципы объемности и абстракции, введенные
в § 1,2* * Существует несколько эквивалентных формулировок этого нового
принципа; некоторые из них имеют установившиеся названия (например,
«аксиома выбора» и «теорема о вполне упорядочении»). Для наших
целей наиболее удобно сформулировать его в видз так называемой
«леммы Цорна»1. Чтобы понять ее, читателю, может быть, придется
перечитать часть § L10, следующую за теоремой 1,7.
Лемма Цорна, Частично упорядоченное множество, каждое из
линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю границу,
содержит максимальный элемент.
Теорема 4.7. В произвольной булевой алгебре В существуют мак-
симальные идеалы. Более того, существует максимальный идеал, включа-
ющий любой заранее заданный идеал, отличный от В.
Доказательство. Рассмотрим определенное выше частично упо-
рядоченное множество <#, Если S? есть линейно упорядоченное
подмножество множества S’, то А = (х £ В | для некоторого / в
есть, очевидно, верхняя граница для Для читателя будет
несложным упражнением удостовериться, что А— идеал* Кроме
того, так как ни в одном из элементов множества не содер-
жится 1 и, следовательно, 1 не содержится и в Л, Таким образом, так
как каждая цепь в имеет в ₽ верхнюю границу, можно применить
лемму Цорна и заключить, что существует максимальный элемент. То
же рассуждение, если его приложить к где J — данный
идеал, отличный от В, приводит к существованию максимального эле-
мента, включающего J.
Докажем теперь ряд теорем о максимальных идеалах булевой алгебры
В, весьма близких теоремам, полученным ранее для атомов*
Мх. Если то существует максимальный идеал Р, для которого
или, что сводится к тому же, х^Р,
1 Как уже мог заметить читатель, различие между терминами «аксиома» и *тео
рема» (в частности, «лемма») весьма относительно: аксиомы отличаются от других теорем
лишь тем, что при данном изложении теории они принимаются в качестве
первичных предложений (постулируются). Слова «аксиома» в названии «аксиома
выбора», пеорема» в термине «теорема о вполне упорядочении», «лемма» в выражении
*лемма Цорна* общеприняты в математике по причинам чисто историческим. Любое
из перечисленных эквивалентных между собой утверждений можно принять в
качестве одного из исходных принципов теории множеств, - Прим, перге.
4 5. Представления булевых алгебр 215
Доказательство. Это вытекает непосредственно из последнего
утверждения теоремы 4.7, если выбрать (х) в качестве данного идеала.
Мг. Для каждого максимального идеала Р и каждого элемента х из В
истинно одно и только одно из двух: х£Р или х'^Р.
Доказательство. Отметим прежде всего, что ни для одного х
не выполняется х£Р и х'^Р, поскольку, если бы эти утверждения вы-
полнялись, то мы бы имели 1( — xUx')€P, что невозможно. Допустим,
теперь, что х^Р, и рассмотрим множество Q всех элементов из В вида
b (Jp, где Ь^х и р£Р. Тогда Q —-идеал, так как
1) U U (Ь2 U Р2) = U bt) U (Pi U Р8) = Ь3 U р3 и
2) если у£В, то (Ь и р) П У = (Ь П у) U (р Л у) = Ьл и рх.
Затем, Рсф.так как, очевидно,P^Q и x£Q, но х^Р. Таким образом,
Q-. В, поскольку Р—максимальный идеал. Следовательно, для некото-
рых и р£Р, b[}p=-L Отсюда вытекает, что хи (^Up)^xul или
x(Jp= 1. Тогда х' =х' П 1 = х' Л (х Ц р) = (х' Пх) U (хг 0 р) — х’ Л р. Из вто-
рой части определения идеала следует, что х'^Р.
Продолжая вывод свойств максимальных идеалов, которые как бы
дополнительным образом параллельно следуют свойствам атомов, введем
аналог множеств Л(х). Если х£В, то пусть М (х) будет множеством
всех максимальных идеалов Р таких, что х4Р, или, что сводится к
тому же в силу Ма, х' С Р- Множества /И (х) обладают следующими
свойствами:
М8. М(хЛр)=М(х)пМ(р).
Доказательство. Пусть РСАЦхП^). Тогда (хру)’=х‘ Uy' GP-
Так как х’ = х’ Л (*' U у‘) и у‘ = у' Л (х‘ U у’), то х' g Р и у‘ £Р. Следова-
тельно, Р ё М (х) и РбА1(р), или Р е М (х) П Л4 (у)- Так как каждый из
этих шагов обратим, отсюда следует, что приведенное в М3 равенство
справедливо.
М4. М (х') -- Л4 (1) — М (х), где М (1) —множество всех максимальных
идеалов рассматриваемой алгебры.
Доказательство. Р£М(х‘) тогда и только тогда, когда х'$Р,
что равносильно х£Р, а это равносильно Р£А1(1)—7Й(х).
Ме. М (х) = М (у) тогда и только тогда, когда х=у.
Доказательство. Допустим, что х#= у. Тогда по меньшей мере
одно из утверждений х-ё^у и у ^х ложно. Достаточно рассмотреть след-
ствия одного из этих случаев. Пусть, например, ложно у^х. Тогда
и» значит, существует максимальный идеал Р такой, что
216 Г лае a IV Булевы алгебры
х1]у'£Р> Но (xU/У и, следовательно, на основание М3
РСЖ(х') и Р£М(//) или Р£М(х) и Таким образом,
М (х) #= М (//)*
Обещанная теорема о представлении легко выводится из Mj — М->.
Она справедлива для произвольной болевой алгебры, но ввиду того,
что для конечных алгебр имеется более точный результат, эта теорема
представляет интерес только для бесконечного случая* Первое доказа-
тельство этого результата было дано в 1936 году американским матема-
тиком Маршаллом Стоуном,
Теорема 4*8* Каждая булева алгебра В изоморфна алгебре мно-
жеств на базисе множества всех максимальных идеалов алгебры В,
Доказательство, Пусть В* = {М (х) । х £ В}* На основании Ма,
если М (х) и М (у) — элементы множества то элементом множества
В* является и их пересечение. На основании М4, если М(х)£2?*, то
дополнение для М (х) в М(1) —тоже элементна В*. Таким образом,
В* есть алгебра множеств* Отображение /: В^В\ где /jx) = Af(x),
принимает значения на по определению В* и взаимно однозначно на
основании М5. На основании М3 и М4 оно сохраняет пересечения и допол^
нения. Таким образом, <В, П > '> и <В*, П ♦ '> изоморфны между собой.
Имея в виду теорему о представлении для конечного случая, есте-
ственно спросить, нельзя ли уточнить только что доказанную теорему,
получив теорему со следующей формулировкой: «Каждая булева алгебра
изоморфна алгебре всех подмножеств некоторого базисного множества»*
Поразмыслив, читатель сумеет убедиться, что предпосылкой для такого
утверждения является требование, чтобы булева алгебра была атомной,
т. е* обладала следующим свойством: для каждого элемента Ь, кроме ну-
левого элемента, существует атом а, для которого а Ь. Читателю уже пред-
лагалось удостовериться, что алгебра, описанная в конце §4*4, не имеет
атомов. Таким образом, эта алгебра не атомная, и вопрос решен* Най-
дены необходимые и достаточные условия изоморфности булевой алгебры
и алгебры подмножеств некоторого множества* Приводим один из спис-
ков таких условий. Алгебра <В, ГН '> должна быть атомной, полной
(т* е* каждое непустое подмножество А множества В должна иметь
sup А по отношению к частичному упорядочиванию алгебры В) и дист-
рибутивной (т* е. для каждого подмножества А множества В, для
которого существует sup А, и для каждого элемента b множества В
должно выполняться равенство Ь П sup A =sup {fi fla ja £ А})* Булева ал-
гебра, удовлетворяющая этим условиям, изоморфна алгебре всех под-
множеств множества атомов* Этот результат мы не будем доказывать*
4.6. Исчисления высказываний как, булевы алгебры
217
Упражнения
1. Доказать Аг
2. Доказать следствие теоремы 4.6.
Зч В примере этого параграфа удостовериться, что делители числа
30 определяют булеву алгебру. Удостовериться, что в этой алгебре
аиб есть наибольший общий делитель чисел а и Ь.
4. В связи с тем же примером показать, что множество делителей
любого целого числа п, не делящегося на квадрат никакого простого
числа, определяет булеву алгебру таким же точно образом, как и де-
лители числа 30.
5. В связи с предыдущим упражнением сформулировать и доказать
теорему относительно числа делителей целого числа, не делящегося на
квадрат никакого простого числа.
4,6. Исчисления высказываний как булевы алгебры
Описанные в §2.3 исчисления высказываний могут служить моделями
булевых алгебр. Нужно только ограничиться алгебраическим аспектом
исчисления высказываний* что мы здесь и сделаем.
Как сказано в § 2.3, ядром исчисления высказываний служит не-
пустое множество высказываний 50. Это множество расширяется до
наименьшего множества S высказываний (т. е. формул) такого, что
отрицание каждого элемента из 5 есть элемент из S и каждые конъюнк-
ция, дизъюнкция, импликация и эквивэленция двух любых элементов
множества S является элементом из S, Поскольку было условлено, что
два элемента множества S будут считаться неразличимыми, если они
дают одинаковые истинностные функции (это отношение eq для формул),
и поскольку было показано, что каждая формула эквивалентна такой,
в которой нет других связок, кроме «не» и «и», мы можем принять (и
примем), что 5 есть просто замыкание множества So по отношению к этим
связкам, Тогда , играет роль бинарной операции в S, а ' (который мы
будем применять как символ отрицания)—роль унарной операции в S*
Для того чтобы дать точное описание структуры системы <S, А, '>>
т, е. множества S вместе с двумя его операциями, мы должны решить
вопрос о «естественном» отношении конгруэнтности для S. Очевидно,
следует выбрать отношение eq. Принимая eq за отношение равенства
на S, мы утверждаем, что <5, Д, А — булева алгебра- Для доказатель-
ства отметим прежде всего, что eq для этой системы является отноше-
нием конгруэнтности. В самом деле, мы знаем уже, что это отношение
эквивалентности, и, пользуясь истинностными таблицами, легко доказать
218
Г лава IV. Булевы алгебры
что Л eq В влечет за собой (Л д С) eq (В Д С) и Л'eq В'. Кроме того,
читатель может в качестве несложного упражнения удостовериться,
что аксиомы Вх — В4 теоремы 4.3 выполняются, т. е. что (Л д В) eq (В \Л)
и т, д. Нулевой элемент булевой алгебры <S, Д, '> есть А Д А' для
всякой формулы А, а единичный элемент —(Л д А')'.
Полученный нами результат часто формулируется так: «Исчисление
высказываний со связками и и не является булевой алгеброй». Такая
формулировка несколько сбивает с толку, так как для каждого мнсн
жества существует свое исчисление высказываний. Фактически зна-
чение имеет лишь объем множества So (если считать, что два множества
имеют одинаковый объем, когда между ними существует взаимноодно-
значное соответствие). Два исчисления, у которых соответствующие
множества базисных высказываний имеют одинаковые объемы, отлича-
ются между собой только словесным оформлением. Таким образом, более
точное утверждение, учитывающее существование различных исчислений
высказываний и применение отношения конгруэнтности, имеет следу-
ющий вид: «Любое исчисление высказываний со связками и и не
является булевой алгеброй относительно эквивалентности». Такие систе-
мы служат моделями теории булевых алгебр, существенно отличающи-
мися от алгебр множеств (во всяком случае, внешне).
4,7, Свободные булевы алгебры
Предыдущий параграф дает путь к созданию метода для построения
чисто формальным образом булевой алгебры из любого непустого мно-
жества. Это требует применения отношений конгруэнтности способом,
представляющим собой распространение описанного в § 4.4. Сперва
разберем этот вопрос.
В § 4.4 было высказано в грубой форме утверждение, что если
<Х, , ..> — математическая система и р —отношение конгруэнтности для
нее, то соответственно каждой операции (или отношению) в X можно
в Х/р определить операцию (или отношение), обладающую всеми свой-
ствами первоначальной операции. (Это было точно сформулировано и
доказано для случая булевой алгебры.) Но может случиться, что полу-
ченная система с базисным множеством Х/р имеет еще добавочные
свойства, кроме унаследованных от первоначальной системы. Интуи-
тивно такое утверждение кажется вполне правдоподобным: если X
соответствующим образом сжимается, то нерегулярное поведение, свой-
ственное первоначальной системе, может изгладиться в производной.
Ниже дается такой пример: система, имеющая некоторые необходимые
4,7. Свободные булевы алгебры 219
для булевой алгебры свойства, превращается в такого алгебру введе-
нием соответствующего отношения конгруэнтности.
Мы начнем с системы, представляющей собой абстракцию самых
очевидных особенностей интуитивного исчисления высказываний. Пере-
ходим к ее определению. Пусть — произвольное непустое множество,
а \ и '—два символа, не обозначающие элементов множества
Дадим индуктивное определение множества S, элементы которого —
определенные конечные последовательности элементов множества
SoU {Лт вместе с круглыми скобками,
(1) Если sgS0, то
(II) Если / С5, то (/)'££,
(Ш) Если s, t ^5, то (5) Д (/) ё 5,
(IV) В S входят только элементы, получающиеся от конечного числа
применений п. (I), (П), (III).
Из определения непосредственно следует, что хмы можем рассматри-
вать д как бинарную операцию в S, а 1 как унарную операцию в 5,
При таких формальных условиях естественное отношение конгруэнтности
для системы <S, Д, '> есть отношение элементов, имеющих одинаковую
форму. В этом случае <5, / , '>, конечно, не является булевой алгеброй.
Можно ли для этой системы определить отношение конгруэнтности так,
чтобы получить из нее булеву алгебру? На основании изложенного в
§ 4.4 необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетво-
рять такое отношение состоят в том, что это должно быть отношение
эквивалентности, отличное от универсального отношения на S (послед-
нее требование отражает тот факт, что булева алгебра имеет больше
одного элемента), и что для всех элементов S должны быть справедливы
следующие утверждения.
Если зФД то s д л и для всех и1.
Если sW, то
(С) s Д Дя.
s Л {t Д а)й($ А /) Д и.
Если s Д /'# и Д uf для некоторого и, то s Д /fls,
Если s / jffts, то s /х /'(hi д и' для всех и.
Можно показать, что множество # таких отношений # не пусто,
интерпретируя элементы множества S как истинностные функции исчи-
сления высказываний и определяя Ф как sfM (при s, t g S), если s и t
равны как истинностные функции.
1 Мы здесь начали пользоваться обычными математическими соглашениями,
опуская асе лишние скобки.
220
Г ласа IV. Булевы алгебры
Рассмотрим теперь отношение ц в S, определенное следующим обра-
зом: s^t, если $&/ для каждого Ф в <ё. Читателю предоставляется в
качестве упражнения доказать, что Это наименьший элемент
частично упорядоченного множества s> (вспомним, что отноше-
ния— множества!) в том смысле, что он связывает между собой наи-
меньшее возможное число пар элементов множества S. Поскольку
первые два утверждения из (С) справедливы для р, мы можем опреде-
лить операции в 5/р, положив
и s' = s'.
Так как остальные утверждения из (С) выполняются для ц, то
А, '> есть булева алгебра—так называемая свободная булева
алгебра, порожденная множеством 30*
Можно дать интересное описание отношения конгруэнтности.
Введем для этого подмножество V множества 3, определив V следующим
образом:
V ~{s€ S]sp(/ д f)' для некоторого t в 3},
Если Ф — какой-либо элемент множества К отношений конгруэнтности,
то ДО''®для всех t и а из Зи, следовательно, (I дГ) р (иди')'
для всех / ни- Отсюда следует, что для любого t в St V
(/Таким образом, V есть p-класс эквивалентности и
в число его элементов входят все элементы множества 3, имеющие
форму (/д/')\ Читателю предоставляется в виде упражнения показать
далее, что если t и s содержатся в 5, то sp/ тогда и только тогда,
когда
(зДО'А(/А5Т€К
Приведенное описание отношения р с помощью подмножества V
множества 3 остается безнадежна туманным, пока мы не интерпрети’
руем 3 как множество формул исчисления высказываний. При такой
интерпретации становится видно, что р должно интерпретироваться как
отношение eq, а V как множество общезначимых формул. В итоге опи-
сание отношения р с помощью V сводится к следующему: две формулы
s и t эквивалентны тогда и только тогда, когда эквиваленция —
общезначимая формула. Подозрение, что такая интерпретация множе-
ства 3 лежала в основе программы построения рассматриваемой фор-
мальной системы, вполне обосновано.
Та же самая интерпретация множества 3 наводит на мысль о дру-
гом возможном подходе к определению алгебры, порождаемой множеством
£0: сначала ввести множество V, а затем определить р с помощью V.
4,7. CgagodKwe б у лены алгебры 221
Такой путь возможен, если использовать некоторую формулировку
исчисления высказываний как аксиоматической теории, Набросаем в
общих чертах такой подход, Исходной точкой служит индуктивное
определение множества S через элементы множества So U {д , '} совер-
шенно так же, как и раньше, Идея способа заключается в том, чтобы
определить подмножество V множества 3 как множество тех элементов
из S, которые в его интерпретации являются тавтологиями, Обратимся
для этого к § 3.6. Вводя $\/^ и качестве сокращений для
(з'Д^)' и (5Д/'>* соответственно, определим V следующим образом.
(1) Любой элемент множества 3, имеющий одну из следующих че-
тырех форм, является элементом множества V:
(а\'а) — щ
а ^(n./fe),
(aVb)^+(Wa),
(а Ь) —((с\М) —(с\/7<))*
(II) Если s и i — элементы из 3 такие, что и s и являются
элементами из V, то t — элемент множества V,
(Ш) Элемент из 3 является элементом из V тогда и только тогда,
когда это можно объяснить на основании п* (1) и (II)*
Согласие между двумя данными определениями множества V как
раз и составляет содержание теоремы о полноте (теорема 3.3) и обрат-
ной к ней теоремы (теорема 3.4). Исходя из последнего определения
множества У, мы можем определить отношение ji в 3 в виде
spf, если (s -+ /) Л (/ —*s) СК
а затем показать, что оно совпадает с отношением, определение которого
дано выше.
Выбирая один из указанных подходов к определению свободной
булевой алгебры, мы можем получить различные определения исчисле-
ния высказываний. Например, систему <S, П , '> с отношением равен-
ства р можно принять в качестве точного определения исчисления
высказываний (базисные высказывания которого образуют множество
объема So), Можно также определить р-класс" эквивалентности V как
множество общезначимых формул в 5* Пользуясь этими определениями,
можно рассмотреть теорию доказуемости с помощью исчисления выска-
зываний. Предположим, что А — подмножество множества S; определим
р^ как наименьшее отношение в 3, которое, кроме шести условий (С),
удовлетворяет также условиям, налагаемым множеством А. Присоеди-
нение А к (С) приводит к расширению конгруэнтности р, Эго значит,
что р^-класс эквивалентности представляет собой объединение нескольких
222 Глава VL Булевы алгебры
р-классов эквивалентности. В частности, тавтологии принадлежат к
одному и тому же цд-классу эквивалентности. Элемент этого цл-класса
эквивалентности является логическим следствием исходных формул
подмножества А.
Этим замечанием, дающим пищу для размышлений* мы заканчиваем
налгу маленькую книжку об основаниях математики.
Упражнения
1, Для системы <S, Д, '>, порожденной из 50и{Д, показать,
что отношение р, если его определить через семейство ё* всех * отноше-
ний эквивалентности, удовлетворяющих условиям (С), является эле-
ментом из
2. Написать распространенное изложение (с доказательствами) того
абзаца в тексте, где множество V определено с помощью р, а затем р
описывается через V.
3. Пусть S(j—непустое множество. Пусть 3*—его расширение, по-
строенное с помощью пары {-+ , точно так же, как в тексте для
перехода от So к S применялась пара {Д, '}, Тогда —> является би-
нарной операцией в S*, а г — унарной операцией. Определим подмно-
жество V* множества S* следующим образом:
(I) Если s, то (s —(^3))€У*.
(И) Если s, к g S*т то ((и -^(5 — /))—$) —► (и —►/)))€ V*-
(III) Если s, £££*, то ((s' V) — (f -> s)) € V*.
(IV) Если st (s —* то
Показать, что {S*, Г*} представляет собой другое возможное опре-
деление исчисления высказываний.
223
УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
Z 11
Q И
R 11
С 11
€ 13
Хд, Xg, • • 1 Хд € А 13
= 13
Й'1- Ъ, • • • . *„} 14
{х|Р(х)} 17
{/(х)|Р(х)} 18
<= 20
=> 20
0 21
И 23
А и А, и ... и Ап 30
А 24, 25
Л+В 25
<х, у> 37
<х> 54
хру 38
D, 40
ХхУ 40
4 40
i 52
P[AJ41
Z+ 11
Q+ 11
R+ 11
i 13
14
{х€Л|Р(х)} 18
Ё 23
c 20
(Л) 22
П 24
X-A 24
xa, ... , хлУ 38
Rf 40
Xn 54
ix 40
ix 52
224
Указатель са/лволпв
x = ^(mod я) 44 [x] 44, 202
Zn46 Xjp 46 xf 50 fx 50 /:Х^У'51 У* 51 /J Л 51 Хл 53 gcf 56 f” 61 /-1 59 < 63 63 < 63 sup A 68 [a, 6]69 ~ 73 A 73 -И 73 T 76 |= 85, 94, 126,133 eq 87, 127 4d90 /(x) 50 x1 50 Х-Ду 51 п* 53 fi°k° • • • o/„ 57 p62 > 63 inf A 68 V 73 73 F 76 H 142, 169, 175
(yx) 112 (x) 112 fi’1 147 ! 1 193 e 146 a' 193 (a) 208 A (x) 21J (3x) 112,174 — a 150 0 150, 193 M(x) 215
Указатель терминов
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
225
Абелева <abellan> группа 122, 150
Абстракция актуальной бесконечности 12
Аксиома НО, 142, 143
Аксиомы нелогические 181
Аксиомы Пеано 148
Алгебра множеств 191
Алгоритм 165
Алгорифм 165
Антецедент (antecedent > 73
Антиизоморфизм J96
Аргумент 50
Арифметика (number^ theoi у 182
Атом 210
Аффинная (affine? геометрия 147, 151
Больше, чем (is greater than? 63
Булева алгебра (Boolean algebra^ 192
— — атомная <atomio 216
— — дистрибутивная 216
----полная (complete) 216
— — свободная (free) 220
Вектор 38
— л-мерный 38
Взаимнооднозначное соответствие (one-
to-one correspondence? 52
Включать (include) 20
Включение (inclusion) 20
Влечет (implies) 73
В вождение (occurrence ♦ свободное (free) 120
— связанное (bound? 120
Выводимо (is deducible) 142, 169, 175
Выполнять (satisfy) 179
Высказывание (statement) 15, 121
— доказуемое (provable' 142
Высказывательные б\квы «'statement let*
ters> 168
Гомоморфизм 207
Граница abound;
— верхняя (upper) 68
— наибольшая нижняя 68
— наименьшая верхняя 68
— нижняя (lower) 68
График (graph) 41
Двойственный (dual) 31, 69, 194
Двуместный 54
Диаграмма Вейна 25
Дизъюнкция (disjunction) 72
Доказательство <proof> 169
— (demonstration) 142, 169, 175
— косвенное <indirect^ 104
- - от противного <.by coutradvction) 104
— формальное 142
— reductia ad absurdutn 104
Дополнение -(complement? 24
— абсолютное 24
— да В (relative io В> 25
— для a (of я? 193
— относительное (relative? 24
Допущение (assumption? 142
Единица 146
Если <if> 73
Если ч. , то (if ♦ , then) 72
Зависимый (dependent)- 161
Закон ассоциативный 30
— де Моргана 32
— дистрибутивный 30
— идемпотентности 32
— коммутативный 30
— Лейбница 178
— поглощения <absorbtlon> 32
is As 2119
226 _ _ _ _
Замкнутый <closed> интервал 69
Значение *;value> 50
— истинностное <truth> 76
И <and> 72
Идеал 208
— главный <principab 208
— единичный <umt> 208
— максимальный 213
— нулевой <zero> 208
Изоморфизм 66» 158
Изоморфные 67, 158, 159, 196
Или <ог> 72
Импликация 72
Интерпретация 148, 179
Инфимум 68
Истинностные таблицы <trnth tables> 76
Истинность <truth> 76
Истинный <true> 180
Исчисление предикатов predicate calcu-
‘ lus> 117
— — прикладное <applied> 177
---с равенством <with equality> 177
---узкое <restricted> 117
— — чистое <риге> 177
Квантор <quantifier>
— общности <universal> 112
— ограниченный <restricted> 132
— существования <existential> 112
Класс вычетов по модулю п <residue class
modulo n> 46
эквивалентности <equivalence> 44
Композиция Composite, composition/ 56
Консеквент <consequent> 73
Константа 152
Константы логические 178
— нелогические 178
Конъюнкция <conjunctlon> 72
Координата 38
Кортеж,1 38
Указатель терминов
Круг Эйлера 25
Лемма Цорна 214
Ложность <falsity> 76
Меньше» чем <i$ Jess ttian> 63
Метаматематика 184
Метатеорема 183
Метаязык J83
Множество <set> 11
— вполне упорядоченное <well-ordered> 68
— единичное <wiit> 14
— просто упорядоченное <simply order-
edy 64
— пустое <empty> 21
— степень <the power-set> 22
— универсальное 25
— частично упорядоченное <partially
ordered> 64,153
— р-образов <of p-relatives> 41
Модель 149, 180
Мощность <power> 9
Не <not> 72
Негатив <denial> 90
Независимый <independent> 161
Н е изве ст ное <un kn own> 108
Непересекающиеся <disjoint> 24
Непротиворечивый <consistent> 105
Область действия <scope> 119
Область значений <range> 40
Область определения <doniain> 40
Образ <image> 50
— гомоморфный 207
— изоморфный 66
Обратный для a inverse of а> 146
Обращение <inversion> 59
Общезначимый <vaHd> 85, 126, 180
— в данном поле <in a given domain> 12G
Объединение <join( union> 23, 192, 1&7
Указатель терминов
227
Объем <size> 9
Одноместный 54
Оператор 50
Операция 54, 70
— ассоциативная 70
— бинарная <binary> 54
— двуместная 54
— идемпотентная 70
— коммутативная 70
— одноместная 54
— сингулярная 54
— унарная <ипагу> 54
— а-арная <п-агу> 54
Описание <descriptlon> 109
Определена на X <оп Х>54
Отно шеи не <r еI a t ion> 38
— антисимметричное 62
— бинарное <binary> 38, 113
— в Л' <in Х> 40
— двуместное 38
— инцидентности < incidence relation, re-
lation of incidence) 119, 147
— иррефлексивное 63
— конгруэнтности <congruence> 205
— обратное <converse of p> 62
— от X к У <from X to У> 40
— порядка <ordering> 10
— пустое <vold> 40
— рефлексивное 43
— симметричное 43
— сравнимости по модулю a <of congru-
ence modulo «> 44
— тернарное < fernary> 39, 113
— тождественное <identity> 40
— транзитивное 43
— универсальное 40
— частичного порядка 62
— эквивалентности <equivaletice> 44
— п-арное <n-ary> 38
— н-местное 38
Отображение <map, mapping>50
Отображение естественное <natural> 57
— инъективное <injection> 52
— каноническое 57
— тождественное <identity> 52
Отрезок 69
Отрицание <negation> 72
Отрицательная полнота <negation com*
pleteness^ 185
Параллельный 148
Параметр 133
Первичный TepMHH<primitive term) 140,143
Переводить <саггу> 50
Переменная <variable> 108
— свободная <free> 120
— связанная <bound> 120
Пересекающиеся <intersect> 24
Пересечение intersection, meet>24,192Д97
Подмножество <subset> 20
— истинное <ргорег> 20
Подставить <substilute> 127
Покрывает <is a cover о!> 64
Поле <domain> 123
Последовательность Коши <Cauchy sequ-
ence) J33
Постулат 140
Посылка <assumption) 142
Правило <rule'>
— вывода <of inference) 96
— замены равного равным 177
— конкретизации <of specification) 174
— обобщения <of generalizations 174
— отделения <of detachment) 100
— универсальной конкретизации <of uni-
versal specification) 134
— универсального обобщения <of univer-
sal generalizations 134
— экзистенциального обобщения <of
existential generalizations 136
— экзистенциальной конкретизации <of
existential specification? 136
15"
228
Указатель терминов
Привило ср 99
— eg 136
— es 136
— modus ponens 100
- рЭб
— f 96
- 134
— us 134
Предикат (predicate) 110,123
— п-местный (n-place) 110
— 0-местный (О-place) HO
Предложение (sentence)
— биусловное (biconditional) 73
— простое (prime) 72
— сложнее (composite) 72
— условное (conditional) 72
Предметная (individual) переменная (va-
riable) 109
— постоянная (constant) 109
Предупорядочение (preordering) 62
Предшествовать (precede) 63
Преобразование -(transformation) 50
Принадлежность (membership) 13
Принцип (principle)
— абстракции (of abstraction) 16
— выбора (of choice) 19
— двойственности (of duality) 31, 194
— объемности (of extension) 13
— свёртывания 16
— экстенсиональности 13
Приписывание (assignment) 123
При условии (provided) 73
Проблема о представлении (representati-
on) 162
— разрешения (decision) 187
Продолжение (extension) 52
Произведение (product) 24, 69
— декартово (cartesian) 40
— прямое (cartesian) 40
Прообраз (inverse image, counter image) 60
Пропозициональные буквы 168
Простые \prime) компоненты 75, 82
Противоречивый (inconsistent) 103
Противоречие (contradiction) 103
Процедура оценочная (valuation) 123,179
— разрешающая (decision) 187
— эффективная 165
Прямая (line) 147
Прямое умножение (cartesian multiplica-
tion) 43
Пучок прямых (pencil of lines) 151
Равносильны 87
Разбиение (partition) 24
Расчленённая (disjoint) система 24
Расчленённые (disjoint) множества 24
Самодвойственный (self-dual) 32, 69
Свободная для у (free for у/ 128
Свойство (property) 17
— определяющее (defining) 17
— подставимости (substitutivitу) 87
— подстановочное (substitution) 177
Сентенциальные связки (sentential con-
nectives) 72
Символ 143
— операции 178
— отношения 178
— предикатный (predicate letter) 117, 176
Симметрическая разность (symmetric
difference) 25
Сингулярный 54
Система множеств (collection of sets/ 15
Следствие логическое (valid consequen-
ce) 94, 133, 180
Содержится (is contained) 82
Соединение (join, union) 23, 192
Co значениями в К (into К) 51
— на Г (onto У) 51
Соответствие (correspondence) 50
Строго включает \properly includes) 20
Строчка (string) 166
Указатель терминал
229
Структура /lattice) 197
Сужение Restriction) 51
Сумма /sum) 23
Суперпозиция 56
Супремум 6В
Схема аксиом 169
— экономная 169
— доказательства 170
— теорем 170
— теоремная 1 70
Тавтология 85» 127
Тезис Чёрча 190
Теорема 140, 142, 169, 175
—Гёделя о неполноте /GodeTs incomple-
teness theorem) 189
— Гёделя о полноте /GodeTs complete-
ness theorem) 176,181
— дедукционная /deduction theorem) 171
— о дедукции /deduction theorem) 171
— о представлении Representation the-
orem) 162
— полноты /completeness theorem) J 72
Теория 141
— абсолютно полная (absolutely consi-
stent) J 85
— групп 146
— категоричная /categorical) 159
— непротиворечивая /consistent) 156
— неразрешимая «(undecidable? 187
— несовместная inconsistent) 155
— неформальная informal) 145
— первого порядка /first-order) 176
— полная /complete) 157
— противоречивая inconsistent) 155
— разрешимая /decidable) 187
— совместная Consistent) 156
— содержательная informal) 145
— co стандартной формализацией 176
— элементарная 182
Терм /term) 109, 178
Тогда и только тогда, когда <if and only
if «4uiff> 73
Тождество /identity) 29
Только тогда /only И> 73
Точка <point) 147
Трансфинитные числа 9
Узкое исчисление предикатов /restricted
predicate calculus) 117
Унарный /unary) 54
Универсум рассуждения 25
Упорядочение /ordering) линейное ib
near) 64
— простое /simple) 64
— частичное /partial) 62
Упорядоченная /ordered) пара /pair) 37
— тройка /triple) 38
— гька /я-tuple) 38
Упорядочивает /orders) просто <simply> 64
— частично /partially) 62
Условие достаточное /sufficient) 73
— необходимое /necessary) 73
Фактормножество /quotient set) 46
Форма высказывательная 123
Форма от х /formula in х) 15, 112» 113
Формальное доказательство /formal proof)
142
Формальный вывод/formal deduction) 142
Формула 82, 117, 168, 174, 178
— общезначимая /valid) 85, 126, 180
— простая /prime) 82, 117, 127
— разрешимая /decidable^ 186
— свободная для i; /is free for у> 128
— составная /composite) 82t 117
— тождествен но-истин нал 85
— элементарная 82, 117
Функция 49
— взаимно-однозначная /one-to-one) 52
— высказывательная /statement) ПО
— изотонная 66
230
Функция истинностная <truth> 83
— логарифмическая 60
— логическая 123
— обратная <Jnverse> 59
— определеЕ1а на X <оп Х> 51
- от л переменных <.of п variables> 53
— со значениями в Y <into У> 51
— со значениями на <onto> 58
— со значениями на Y <oiito /> 51
— сохраняющая порядок border-preser-
ving} 66
— характеристическая 53
Цепочка \string> 96
Цепь \chain> 64
Член 'inember> 11
Членство <membership> 13
Эквивалентны <eqijivaleni> 87
Указатель терминов
Эквиваленцпя 73
Элемент 11
— единичный <identity> 146
-----<unit> 193
— максимальный 68
— минимальный 68
— наибольший <greatest> 68
— наименьший <least? 68
— нулевой <zero> 193
— обратный «"inverse? 146
Язык-объект 183
— предметный <object> 183
— синтаксический 183
modus ролен $ 100
p-класс эквивалентности <p-equivalence
class> 44
р-образ <p-relative> 41
p-относится к <is p-related to> 38
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Аккерман <W. Aekerniann> 173
Бернаме <Р. Bernays> 168
Бойаи <J. Bolyai> 140, 141, 156
Гёдель <К. Gddel> 176, 188, 189,
Гильберт Ф. Hilbert> 143, 156, 161, 173,
184, 188, 189
Дедекинд <R. Dedekind> 148
Евклид <Eux>,€i6£> 139, 14Q, 141, 156
Квнтор ф. Сгп1ог> 9, 10, И, 12, 13, 15
К^лейн <FP KUin> 141
Клини <S. С. Kieene> 85
Кошп <А, L, Cauchy> 133
Кэли <А, Сау!еу> 141
Лейбниц <G* W, Leibniz> 178
Лобачевский Н, И, 140,141, 156
Пеано <G< Реапо> 148, 157, 182, 188
Пиери <М, Ркп> 143, 161
Пост <Е, L. Post> 172
Рассел <В. Russell> 19, 71, 152, 168, 184, 188
Россер В, Posser> 145, 190
Стоун <М, Н, Stone> 215
Уайтхед <А, N. Whitehead;» 71, 168, 188
Фреге <G, Frege> 71, 167
Хантингтон <Е. V. Himtingtotv 193
Цермело <Е» Zennelo> 188
Цорн <М. Zorn> 184, 214
Чёрч <А, Church> 189, 190
Эрбран <J, Herbrand> 17]
Столл Роберт Р.
С 18 Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер.
с англ. Ю. А. Гастева и И. X. Шмаина. Под ред.
Ю. А. Шихановича. М., «Просвещение», 1968.
231 с. с илл. (Математическое просвещение).
Б книге дается элементарное изложение важнейших понятий, идей, методов
и результатов теория множеств (включая алгебру операций над множествами),
математическом логики (элементы логики высказываний и логики предикатов),
оснований математики (аксиоматический метод) и теории булевых алгебр.
Имеется большое число упражнений учебного характера^
2 2 1
<65
517 2
Роберт Р. Столл
МНОЖЕСТВА* ЛОГИКА. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Редактор А. А* Свечников Художественный редактор 5* С Зрденкв.
Технический редактор В. Ф» Косжича* Корректор К* А. Иванова,
Сдано в набор 25/Х 1967 г Подписано к печати 9/!1 1968 г* 70Х9071в.
Бумага тип* 2 Печ* л 1 6,96 (14,5)* Уч.-изд. л 13.53, Тираж 70 тыс. зкз.
(Теи. пл* 1968 г, № 165.) Заказ № 2119
Издательства <Пр освещение* Комитета по печати при Совете Министров РСФСР.
Москва* 3-й проезд Марьиной рощи, 4 1.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первар Образцовая типография имени А, А. Жданова
Глаилолиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Ж 54. Валовая, 28
Цена без переплета 65 к., переплет 13 к.
Отпечатано в типографии № 2 Росглларолнграфлрома, г. Рыбинск, ул* Чкалова» 8*
Заказ 2533