Р. Б ЕЛЛМАН
ТЕОРИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Р. БЕЛЛМАН
ТЕОРИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Перевод с английского
А. Д. МЫШКИСА
И * Л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва —1954
STABILITY THEORY
OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
RICHARD BELLMAN
New York Toronto London
1953
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Всякому, кто имел дело с теорией или с применением обыкно-
венных дифференциальных уравнений, хорошо известно, как важно
уметь выяснять асимптотические свойства решений. Сюда относится
изучение вопросов о том, будут ли решения колеблющимися, будут
ли они ограниченными, устойчивыми в том или ином смысле, вопро-
сов приближенной оценки решений для больших значений аргумента
и многих других вопросов. Между тем получить решение в явном
виде и затем исследовать его непосредственно удается лишь в редких,
исключительных случаях, даже если привлекать специальные функции.
Поэтому со всей остротой встает задача качественного исследования
свойств решений данного дифференциального уравнения или системы
без использования явного вида этих решений.
Задача эта в общем виде чрезвычайно сложна. Даже одно из
наиболее простых уравнений (и притом весьма важное для приложе-
ний) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с пере-
менными коэффициентами, как образно говорит автор настоящей книги,
„представляет собой постоянный вызов искусству аналитика: надо
получать всевозможные свойства решений этого уравнения, не поль-
зуясь такой • роскошью, как представление этих решений через
коэффициенты
Для многих важных классов дифференциальных уравнений суще-
ствует большое количество подчас остроумных и сильных методов
такого исследования. К сожалению, обширная литература по этим
вопросам в подавляющем большинстве состоит из разрозненных жур-
нальных статей. Книга Р. Веллмана — одна из немногих книг по каче-
ственной теории дифференциальных уравнений. Отобрав из богатей-
шего материала ряд узловых моментов, автор сжато и убедительно
показывает силу применяемых здесь методов. При этом он подробно
обосновывает каждый метод, показывая сферу его действия и его
преимущества. Овладев этими методами, читатель сможет успешно
применять их для решения проблем, аналогичных разобранным
в книге.
Значительный интерес представляют упражнения, которыми автор
сопровождает изложение. Некоторые из них содержат материал, исполь-
зуемый в основном тексте книги. Ряд более трудных упражнений
можно рекомендовать для студенческих курсовых и дипломных работ.
I*
4
6t ПЕРЕВОДЧИКА
Особо следует отметить характерную для книги живость изложения,
облегчающую чтение и помогающую усвоениккматериала.
Не все в книге изложено на одинаковом уровне. Многие важные
войросы, непосредственно относящиеся к тематике книги, освещены
бегло и поверхностно. В особенности это касается теории устойчи-
вости по Ляпунову. Книга не дает настоящего представления о со-
временном состоянии этой важной теории, в частности потому, что в ней
не приводятся многие основные результаты русских авторов. Для
восполнения указанного пробела читателю придется обратиться к допол-
нительной литературе, списки которой приложены к гл. II и IV. Боль-
шой список дополнительной литературы прилагается также к гл. VI,
посвященной линейным уравнениям второго порядка.
Кроме того, необходимо отметить, что книга Р. Веллмана напи-
сана с непривычной для нашего читателя небрежностью. Она содержит
ряд неточных формулировок, некоторые доказательства недостаточны,
применяемые обозначения порой неудачны (например, в одном и том же
месте одинаковыми буквами обозначаются совершенно разные вели-
чины) и т. п. Число различных мелких погрешностей и опечаток
в формулах в этой небольшой книге превышает сотню.
При переводе я стремился устранить эти недостатки. Мелкие
исправления редакционного характера внесены в текст без специаль-
ных оговорок, чтобы не затруднять читателя. Небольшие примечания
даны внизу страниц, а более серьезные пояснения вынесены в конец
книги.
Несмотря на указанные недостатки, книга Р. Веллмана предста-
вляет несомненный интерес для широкого круга советских математи-
ков, как специалистов в области теории дифференциальных уравнений,
так и изучающих эту теорию. Она будет полезна также для физиков,
инженеров, работающих в области теории регулирования и автома-
тики, и вообще для всех тех, кто в своей практической деятельности
-сталкивается с применением дифференциальных уравнений.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается
в том, чтобы вывести свойства решений данного дифференциального
уравнения из аналитической формы уравнения. Хотя в некоторых
случаях это можно сделать очень просто, -выразив решение через эле-
ментарные функции, но, вообще говоря, уравнения, появляющиеся
в теоретических исследованиях как в математике, так и в физике,
не интегрируются в конечном виде. Они скорее служат основным
источником новых трансцендентных функций, свойства которых можно
установить только при систематическом и детальном анализе широ-
ких классов уравнений.
Мы будем рассматривать в этой книге вещественные решения
вещественных уравнений и изучать поведение этих решений при неогра-
ниченном возрастании независимой переменной. В задачах, имеющих
физическое содержание, этой переменной чаще всего является время.
Наибольший интерес для нас будут представлять ограниченность,
асимптотическое поведение, колебания и устойчивость решений.
Книга не претендует на энциклопедичность и не представляет
собой каталога всех результатов, которые примыкают к сфере рас-
сматриваемых в ней вопросов. Это и не выполнимо и не желательно
во вводном курсе. Мы скорее пытались, насколько это возможно,
добиться единства при изложении теории, сосредоточивая внимание на
небольшом числе мощных методов доказательства. По этой причине
в некоторых случаях мы без колебания доказывали теоремы по не-
скольку раз, используя различные подходы к ним.
Выводы на протяжении всего изложения элементарны и опираются
только на основные понятия анализа. Поэтому значительная часть
работы оказалась довольно трудной, так как многие из результатов
надо было путем скучных и утомительных вычислений вывести шаг
за шагом из элементарных понятий, причем каждый новый результат
требовал новой конструкции.
Чтобы сохранить элементарный характер работы, мы опустили
исследование периодических решений нелинейных дифференциальных
уравнений, таких, например, как известное уравнение ван дер Поля,
так как это исследование потребовало бы применения сложных ана-
литических и топологических методов.
План книги следующий. В гл. I мы изучаем основные свойства ли-
нейных систем и цолучаем результаты, существенные для дальнейшего
6
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
более глубокого исследования линейных и нелинейных систем. Для
этой цели мы вводим векторно-матричные обозначения и изучаем
простые преобразования матриц, которые оказываются очень полез-
ными в теории асимптотического поведения решений. Целесообразно
было бы иметь независимое краткое изложение основных результатов
теории матриц. К сожалению, нет единого источника, к которому мы
могли бы отослать читателя для более глубокого изучения необходи-
мых разделов этой теории1).
В гл. II мы обращаемся к интересному и важному вопросу, кото-
рый начали изучать еще Дини и Пуанкаре,— об асимптотическом
поведении решений уравнений с коэффициентами, близкими к постоян-
ным. Послечизложения нескольких результатов, в. которых дается
оценка первого порядка, мы рассматриваем задачу получения прибли-
жения произвольно высокого порядка. Это, естественно, приводит
к понятию асимптотического разложения, введенному Пуанкаре. Так
как литература по этому вопросу обширна и значительная часть
материала достаточно сложна, то мы, в соответствии с нашей общей
установкой, показываем только один из наиболее важных результатов,
чтобы дать возможность читателю отведать вкус общей теории.
В гл. II в связи с исследованием асимптотического поведения
решений мы останавливаемся также на понятии устойчивости — этого
сильно перегруженного термина с неустановившимся определением.
Теоремы о существовании и единственности решений для нели-
нейных систем составляют содержание гл. III. Они приводятся не
столько из-за их самостоятельного значения, сколько потому, что дают
возможность продемонстрировать два сильных метода — метод после-
довательных приближений, уже рассмотренный в более простом слу-
чае в гл. I, и метод приближения дифференциальных уравнений разност-
ными уравнениями.
Далее, в гл. IV, мы излагаем основные результаты Пуанкаре и
Ляпунова об устойчивости решений нелинейных систем. Чтобы про-
иллюстрировать многообразие применяемых при этом важных методов,
мы проводим некоторые доказательства при различных ограничиваю-
щих предположениях.
Гл. V посвящена изучению вещественных решений полиномиаль-
ного уравнения P(t, и, da/dt) — ®. Введя важное понятие собствен-
ного решения как решения, остающегося конечным при t^>tQ (это
именно тот тип решений, который требуется в большинстве физиче-
ских исследований), мы излагаем затем замечательные результаты
Бореля и Харди об асимптотическом поведении вещественных собствен-
ных решений.
В гл. VI излагаются результаты, которые получаются сочетанием
изобретательности и специальных приемов. Подобно тому как.эле-
!) Значительное количество важных результатов из общей теории матриц
и ее приложений к дифференциальным уравнениям читатель может найти
в монографии Гантмахера Ф. P,: Теория матриц, М., 1953.— Прим, перев.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
ментарная геометрия на плоскости упорно отказывается довольство-
ваться только следствиями теорем, справедливых для общих алгебра-
ических кривых, и беспрестанно доставляет новые теоремы, о которых
не приходится и мечтать в более широкой области, так и изучение
уравнения u"-[-a(f)u = 0 в изобилии доставляет изящные и неожи-
данные результаты, которые не могут быть получены из общей тео-
рии линейных систем n-го порядка.
Мы старались изложить достаточное количество специальных прие-
мов решения (помня о том, что прием становится методом, если он
применяется по крайней мере дважды), чтобы дать возможность чита-
телю, добросовестно проработавшему главу, получать новые резуль-
таты и читать научные статьи.
Гл. VII посвящена нелинейному уравнению частного вида
а"±?ип = 0. Это уравнение впервые обратило на себя внимание
в связи с астрофизическими исследованиями Эмдена. Некоторые ре-
зультаты, полученные Эмденом в основном полуинтуитивно, с боль-
шой изобретательностью, свойственной физику, были затем уточнены
Фаулером. Это побудило Фаулера и других продолжить изыскания
и дать полное исследование собственных решений указанного урав-
нения для всех значений параметров. Это уравнение, а также тесно
связанное с ним уравнение и" ± еиип = 0 в настоящее время полу-
чают все более возрастающее значение в ядерной физике в связи
с работами Ферми и Томаса.
Цель гл. V и VII заключается не только в том, чтобы сохранить
от забвения целый ряд крайне интересных результатов и методов
в теории дифференциальных уравнений, но также и в том, чтобы
проиллюстрировать тот факт, что нелинейные дифференциальные урав-
нения вовсе не являются теми „непреклонными существами", которыми
они представляются первому испуганному взгляду. Так как совре-
менная физика все более и более приводит к необходимости нелиней-
ного объяснения основных явлений, то мы надеемся, что содержание
этих глав сможет послужить хоть некоторым слабым утешением в
утрате изящного принципа суперпозиции.
Ричард Веллман.
Глава I
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1. Введение. В этой вводной главе мы будем рассматривать
основные свойства решений системы линейных дифференциальных
уравнений
п
1=\, 2, .... п.	(1)
Будем считать, что независимая переменная t меняется в интервале
[О, оо), и предположим, что коэффициенты являются кусочно
непрерывными функциями в каждом конечном подинтервале. При этом
предположении мы можем рассматривать все интегралы, с которыми
будем встречаться в дальнейшем, как римановы интегралы. Для на-
ших целей привлечение интеграла Лебега имеет очень мало преиму-
ществ, и потому мы предпочитаем вести изложение на возможно более
элементарном уровне1).
Мы потребуем, кроме того, чтобы коэффициенты были веществен-
ными. Иногда, в частности при рассмотрении линейных систем с по-
стоянными или с близкими к постоянным коэффициентами, мы будем
вводить комплексные решения. Например, в качестве фундаменталь-
ной системы решений уравнения d?uldt2-\-u = Q удобнее пользоваться
системой (^, чем (cos/, s^n/). Однако это только вопрос удоб-
ства, и в первую очередь мы будем интересоваться вещественными
решениями вещественных систем.
Единственный удобный путь систематического изучения свойств
линейных алгебраических или дифференциальных уравнений состоит
!) Обычно автор не оговаривает подробно предположений о рассматри-
ваемых функциях. В связи с этим читателю надо иметь в виду, что в каждой
формулировке от любой рассматриваемой функции требуется кусочная не-
прерывность (на каждом конечном интервале), а если в этой формулировке
присутствует и производная от данной функции, то от функции требуется
кусочная гладкость (т. е. непрерывность функции и кусочная непрерывность
производной). Там, где производная решения терпит разрыв, в уравнении
надо рассматривать правую и левую производные. Интересующийся читатель
сам проверит, какие формулировки остаются справедливыми, если вместо
кусочной непрерывности и кусочной гладкости от функций требовать соот-
ветственно суммируемости и абсолютной непрерывности (на каждом конечном
интервале).— Прим. перев.
10
ГЛАВА I
в применении понятий вектора и матрицы. В этой главе мы напом-
ним основные определения и докажем некоторые утверждения, необ-
ходимые для теории дифференциальных уравнений.
Упражнение
Показать, что-линейное уравнение n-го порядка
а± (ty 4- ... 4- ап (0 и = 0
может быть преобразовано в линейную систему указанного выше типа (1)
при помощи подстановки и = иь и' = и2,= ип.
2. Векторно-матричные обозначения. Столбец из п величин
У1 '
Л


где yi вещественны или комплексны, мы будем называть п-мерным
столбцевым вектором, а символ (yv у2, ..., уп) — n-мерным строч-
ным вектором. Если yi являются функциями t, то у будет назы-
ваться векторной функцией t\ если они постоянны — постоянным век-
тором. Величину yi будем называть f-й компонентой у. Мы будем
обычно употреблять столбцевые векторы.
Буквы х, у, z, и, v и w будут систематически применяться для
обозначения векторных функций, а буквы а, Ь, с и d— для постоян-
ных векторов. Насколько это возможно, мы сохраним буквы и и v
для обозначения одномерных векторов, которые будем называть ска-
лярами*, буквы q, с2, • • • будут использоваться для обозначения
скалярных постоянных.
Рассмотрим теперь различные действия, которые можно производить
над векторами. Простейшим является сложение. Сумма двух векто-
ров х и у (в записи:	определяется как вектор, i-й компо-
нентой которого служит	Из нашего определения следует,
что сложение векторов коммутативно и ассоциативно. Произведением
скаляра q и вектора у называется вектор сАу с 4-й компонентой сАу^
Пользуясь предельным переходом, мы определим интеграл от y — y(t)
(обозначение: | ydt) как вектор, f-й компонентой которого служит
Для измерения „ величиныи (или длины) вектора у мы введем
скаляр
4=1
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
11
который будем называть нормой у. Легко убедиться в том, что
имеют место соотношения
IIх II <СИ *11 + Н.У II (неравенство треугольника),
ll<Vll =kiw>
ъ	ъ
а	а
и что Цд/Ц =0 тогда и только тогда, когда каждая компонента у
равна нулю. Преимущество этой нормы перед эвклидовой нормой
(Sj'D * заключается в ее простоте.
i=l
Определив векторы, мы введем понятие квадратной матрицы —
единственный тип матриц, которым мы будем пользоваться. Квадрат-
ную таблицу из чисел, вещественных или комплексных,

а11	а12 . <	’ • а1п
а21	а22 • ’	►. а2п
•	•	•
	’	• • ®пп
мы будем называть матрицей порядка п. Величина afj называется
lj-м элементом матрицы X. Матрицу А мы будем называть матрич-
ной функцией, если ее элементы являются функциями t, и постоян-
ной матрицей, если все ее элементы — постоянные величины. Матрица
будет называться непрерывной на интервале (а, Ь), если все ее эле-
менты непрерывны на этом интервале.
Сумма двух матриц А и В определяется равенством
А В = (ац + Ьц),
а произведение — равенством
п
АВ = ( 5 ^ik^kj)*
(2)
Ясно, что сложение, коммутативно и ассоциативно, но умножение,
всегда ассоциативное, вообще говоря, не коммутативно.
12
ГЛАВА I
Упражнение
1.	Показать, что А (В + С) =* АВ + АС и (В + С) А = В А + С А,
Особое значение имеет единичная матрица
	1	0	... 0
- 1=	0	1	... 0
	• • о 	- —	0	... 1.
Для всех А имеем AI = 1А = А.
Произведением скаляра и матрицы А по определению является
матрица с14 = Дс1, равная (qa^). Произведение матрицы А на столб-
цевой вектор у записывается в виде Ау (отметим порядок сомножи-
телей!) и определяется как столбцевой вектор, t-й компонентой кото-
п
рого служит	Легко видеть, что всегда (АВ)у = А(Ву); для
J —-1
краткости мы будем записывать этот вектор в виде АВу.
Определение сложения и умножения, на первый взгляд искус-
ственное, становится обоснованным и естественным, если мы допустим,
что матрица А определяет в n-мерном пространстве линейное пре-
образование
п
Xi = S	J — 1, 2, ..., п.
Если вслед за преобразованием, определяемым матрицей В, произ-
вести преобразование, определяемое матрицей Д, то мы придем
к преобразованию, определяемому матрицей С, которую мы и поло-
жим равной произведению АВ. Легко видеть, что это нйвое опреде-
ление произведения АВ совпадает с тем, которое дается соотноше-
нием (2). Теперь из геометрических соображений ясно, почему, вообще
говоря, АВ ф ВА.
Для измерения „величины" матрицы А введем скаляр
п
цлц = 2 Ы,
который будем называть нормой А, Легко видеть, что
1И+вц < цлц + ||вц,
МВ || < ||Д|| цвц,
IIMII=|q|IM||,
Мх||< ||Д|| ||х||.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Аналогично предыдущему, интеграл J* A dt определяется как ма-
трица, у-м элементом которой служит J* a^dt.
Упражнение
ь	ь
2.	Показать, что || J A dt || < J || А || dt (а < Ь).
а	а
Определив таким способом интегрирование векторов и матриц,
мы подобным же образом можем определить обратную операцию —
дифференцирование:
dA ___/ day \
dt dt J'
dyi
dt
dy __	*•
dt —	:
dyn
dt )
В новых обозначениях наша основная линейная система (1) при-
нимает следующую простую и изящную форму:
т =	(3)
Порядок матрицы А называется порядком системы (3).
Если мы зададим начальное значение у, то получим запись на-
чальной задачи
^ = АУ’ У(9) = с-	(4)
В следующем пункте мы займемся выяснением того, имеет ли за-
дача (4) решение. Прежде чем перейти к этому вопросу, мы при-
ведем еще несколько элементарных сведений о матрицах. С каждой
матрицей связана скалярная величина | А |—определитель матрицы Л.
Если | А | = 0, то мы будем говорить, что матрица А — вырожденная,
в противном случае мы будем называть матрицу А невырожденной.
Упражнение
3.	Показать, что | АВ | = | А | | В |.
Важность этого нового понятия заключается в том, что невыро-
жденная матрица А имеет единственную обратную матрицу, которую
мы будем обозначать А"1. Обратная матрица удовлетворяет следую-
щим соотношениям:
АА~1 = А~1А = /.
14
ГЛАВАi
Улрожяеяая
4.	Показать, что A~l =(аг-//| А |), где есть алгебраическое дополнение
элемента Показать, что (А-1)-1 —А и что (АВ)-1 = В~1А~\
5.	Показать, что

dA D , л dB
-йГ^+^-ЗГ’
-%-(Ау)= ^-у+А^,
Нам понадобится также понятие бесконечных рядов векторов или
матриц. Введем следующие определения:
со	оо
2л(Н1,=(
т-1	т = 1
предполагая, конечно, что ряды, стоящие в правых частях, сходятся.
Упражнение
со
6.	Показать, что достаточным условием сходимости рядов 2
m=i
со	оо	оо
и	является сходимость рядов 2 II и 2 ИУ^П соответ-
271-1	274-1
ственно.
3. Существование решений векторно-матричного уравнения
dyldt=A(t)y. Прежде всего мы докажем теорему о существовании
и единственности решения. Эта теорема является частным случаем
более общего результата, относящегося к нелинейным системам, при-
чем метод доказательства в этом случае в точности тот же, который
будет применен в более общем случае. Тем не менее мы проведем
доказательство во всех деталях, так как оно представляет собой пре-
красное, свободное от посторонних трудностей введение в методику
подобного рода рассуждений, которой мы будем пользоваться в даль-
нейшем.
СВОЙСТВА. ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
15
Теорема 1. Пусть A(f) непрерывна на отрезке [0, /а|. Тогда
на этом отрезке существует единственное решение задачи
^-=A{f)y, у(Ъ) = с.	(4)
Доказательства су шествования. Для доказательства
этой теоремы мы воспользуемся методам последовательных прибли-
жений, принадлежащим Пикару. Этот метод мы часта будем приме-
нять в дальнейшем.
Рассмотрим последовательность (векторных) функций, определяе-
мых по индукции следующим образом г):
^=Л(0Л,	л(0) = е,
^^ = A(t)ym, у^ф) = с, « = 0,1,2,...
Эти соотношения эквивалентны следующим:
Уо = с>	|
^т+1 = с+ fA(h)ymdtv » = 0, 1.2...I	(5)
О	J
Мы докажем, что последовательность функций, определенных равен-
ствами (5), сходится равномерной некоторой функции y(t) для0<^<70.
Тогда в равенствах (5) мы сможем перейти под знаком интеграла
к пределу при /п->со и получим
_у=с + р(4)Я4)^.	(6)
о
Дифференцирование дает уравнение dy(dt= из уравнения (6)
видно, кроме того, что j(0) = c.
Чтобы доказать сходимость последовательности	рассмотрим
ряд
S(0= 2 (Jm+l Ут)'	(7)
m-Q
1) Мы намеренно, чтобы не иметь дела с верхними индексами, нарушаем
здесь наше прежнее соглашение о том, что через у$ обозначаются компо-
ненты у. В данном случае нет опасности смешения.
16
ГЛАВА I
лг
Его 2И-я частная сумма $м= S (Ут+i— Ут) имеет простой вид
7П = 0
=	Уо-
Таким образом, последовательность	будет сходиться равномерно
только в том случае, если ряд (7) сходится равномерно. Но ряд (7)
со
сходится равномерно, если скалярный ряд 2 ||№+х—№11 сходится
Ж~0
равномерно. Из рекуррентного соотношения (5) мы получаем
t
Ут+1 Ут ~ А ((1) (Ут Ут-1) ^1» АП	1,
О
и потому
t
ИЛв+i—Л»|| < JII л ft)II Ил»—Ут-1 II dtv от > 1.	(8)
О
Пусть q = max || 4(f) || для	Тогда из неравенства (8) сле-
дует неравенство	/
t
11Упг+1 “С1 J* ИЛп Ут-1^^1*
о
Так как
t
11Л-Л1К J 1М№)11 Ил11^ <М‘И
о
то мы получаем по индукции
ibw;-№ii<iidi-g^->	о,i>2,...
Равномерная сходимость ряда для показательной функции на каждом
конечном интервале обеспечивает равномерную сходимость ряда
2 11№и—№ll»a потому и равномерную сходимость последователь-
ности (№}•
Заметим, что мы не пытались доказать сходимость последова-
тельности {dym/dt} к dyfdt, а обошли эту трудность, применив ин-
тегральное уравнение (6). Это уравнение показывает, что предельная
функция дифференцируема (это непосредственно не очевидно) и что
ее производная удовлетворяет уравнению (3).
Использование интегральных уравнений для доказательства теорем
существования представляет собой обычный прием в теории диффе-
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
17
ренциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными про-
изводными. Его эффективность связана с тем, что интегрирование,
в противоположность дифференцированию, обладает сглаживающим
свойством. Это свойство хорошо видно на фиг. 1: если две функции
близки друг к другу, то их интегралы также должны мало отличаться
один от другого, в то время как их производные могут значительно раз-
личаться и даже могут не суще-
ствовать.
На протяжении дальнейших
гл&в мы каждый раз будем пы-
таться, если только это возможно,
переходить от рассматриваемых
дифференциальных уравнений к
интегральным. Очень часто и путь
к построению решения лежит
в переходе к соответствующему
интегральному уравнению.
Доказательство единс':
Фиг. 1.
венности. Очень важно дока-
зать единственность решения, так как легко построить уравнения,
для которых аналогичная задача имеет несколько решений х). Конечно,
в этом случае матрица A(t) не может быть непрерывной.
Пусть z—другое решение задачи (4), так что
z(0) = c
при О t Интегрирование дает
t
= J A(t^zdtL.
о
Комбинируя это уравнение с уравнением (5), получаем
и потому
t
z—ym+1 = f A(^)(z—ym)d^,
О
t
II г-ут+л || < j* || А (4) || || z -_ym|| rfZ,.
0
l) Например, уравнение dyjdt = у It при начальном условии у (0) = 0
имеет бесконечное множество решений вида у = с*. Отметим, что это же
уравнение при начальном условии у (0) =Уо #= 0 не имеет ни одного реше-
ния.— Прим, перев.
2 Зак. 1629. Р. Беплман
18
ГЛАВА I
Так как ||z— М)1К1И1 + IIj'olK^2 + Ikll> W c2 = max||z|| Ha 0T-
резке 0 t <; t0, то путем итерирования находим
I|2—л1К(с2+11с11)^
Устремляя здесь т к оо, получаем ||z—0, откуда z^y.
«
Упражнения
1.	Показать, что условие непрерывности матрицы A.(t) может быть за-
менено условием интегрируемости этой матрицы по Риману (при соответ-
ствующем обобщении понятия решения).
2.	Что будет, если матрица А (0 интегрируема по Риману в несобствен-
ном смысле? Существует ли решение? Единственно ли оно? Рассмотрите
пример duldt — и/2 tft, и (0) = 0.
3.	Показать непосредственно, что последовательность {dymfdt} равно-
мерно сходится и что ее пределом является производная dyjdt.
4.	Матричное уравнение dYfdt = A (t) Y. Применяя те же ме-
тоды, что и выше, можно доказать, что начальная задача для мат-
ричного уравнения
^r = A(t)Z, Z(ty — C
имеет единственное решение на отрезке 0 t Подробное проведе-
ние доказательства мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
В дальнейшем Y будет обозначать решение задачи
^=A(tyY, Y(Q) = I,	(9)
где I—единичная матрица.
Упражнение
1. Доказать, что только что введенные матрицы Z, Y и С связаны соот-
ношением Z = YC.
Мы будем иногда применять следующий результат:
Теорема 2. Матрица Y (t) не вырождена на интервале
[0, /J. Более точно, ее определитель
t п
| Y | = еХр{Д2а^]^р.	(10)
0	г=1
Ч Символом ехра обозначается степень еа.—Прим, перев.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
19
п
Величина 2^ часто встречается в теории матриц и потому носит
специальное наименование — след [обозначение: tr(Л)].
Доказательство опирается на следующие два факта:
(а)	определитель d\Y\/dt равен сумме определителей, каждый из
которых получается из определителя | Y | заменой всех элементов
одной из строк на их производные;
(б)	столбцы Y являются решениями векторного уравнения
Упрощая определители, о которых говорится в (а), при помощи (б),
получаем
Так как | Y (0) | = 1, то из последнего равенства следует равен-
ство (10).
Невырожденность матрицы Y будет играть важную роль при ре-
шении неоднородного уравнения dy/dt— A (t)
Упражнения
2.	Доказать, что решением задачи dyfdt = A (t)y, у (0) = с служит^ = Yc,
где Y — решение задачи (9).
3.	Другое доказательство невырожденности матрицы К Пусть означает
Ай столбец матрицы Y. Если | К| = 0 при t = tb то существуют скалярные
постоянные clf с2, ...» сп,„ не все равные нулю, для которых ^ьУ1 + ^2 +
+ • • • + спУп = 0 (нулевой вектор) при t = t±. Применяя теорему единствен-
ности, покажите, что отсюда следует равенство с1у1 + С2У2 + • •. + спУп = 0
для 0 < t < t0, что приводит к противоречию при t = 0.
4.	Пусть иь и2, ип — совокупность п решений линейного дифферен-
циального уравнения n-го порядка «(») 4- ах (t)	an(t) и =
Показать, что определитель Вронского
w (0 =
“1	«2	• • ип
/	/	/
«1	«2	• ип
	4“-1) ..	.. п
t
равен w (0) ехр [— J (^) dtrj .
о
5.	Доказать, что если коэффициенты линейного дифференциального урав-
нения предыдущего упражнения непрерывны на отрезке [0, /0], то это уравне-
ние имеет л решений иь u2i ..., ип с определителем Вронского, не
2*
9
20
ГЛАВА I
обращающимся в нуль на этом отрезке. Вывести отсюда, что равенство cxUi +
+ <?2W2 + • • • + спип == 0 на отрезке [0, f0] возможно лишь при = с2 =
=z ... = сп = 0 (коэффициенты постоянны), и что любое другое решение
на этом отрезке может быть представлено в виде и =	+ . •.
... + спип» гДе ci — некоторые постоянные.
6.	Доказать, что F^1 удовлетворяет уравнению dZjdt = — ZA(t), назы
ваемому уравнением, сопряженным с уравнением dZjdt = A (t) Z.
5.	Линейное неоднородное уравнение dy)dt = A (Oy-f- w. Рас-
смотрим теперь начальную задачу для неоднородного уравнения
-^ = Л(0г+®(0, г(0) = с.	(11)
Пусть у обозначает решение соответствующей однородной задачи
^ = A(f)y, У<9) — с>
a F, как и ранее, — решение матричного уравнения
-^ = Л(/)У,	У(0) = /.
Чтобы решить задачу (И), применим метод вариации произволь-
ных постоянных Лагранжа. Положим z=Yu. Подставив это выраже-
ние в уравнение (11), мы получим
= У (0 % +	« = У (0	+ А (0 Y (0 и = A (t) Y (0 и + w (0.
Отсюда
xz / j.\ du
Y(t)w = w,
т. е.
t
о
(так как с = z (0) = F (0) и (0) = и (0)). Это приводит к следующему
выражению для z\
t	t
z=Y(t)c + f К(0У-1(4)«Й)^ = Н/
0	0
Этот результат достаточно важен для того, чтобы сформулировать
его в виде теоремы.
Теорема 3. Решение задачи (11) определяется формулой
t
z=y + J УфУ"^)^)^,	(12)
о
где у —решение задачи (4), a Y—решение задачи (-9).
ф
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
21
Упражнения
1.	Объяснить, почему из нашего доказательства теоремы 3 автоматиче-
ски следует единственность решения задачи (11).
2.	Применить метод вариации произвольных постоянных Лагранжа для
решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка
«<”) + (0 «(№-1) + ... + ап (0 и
(а)	при помощи перехода к неоднородной системе;
п
(б)	непосредственно, положив и = 2 а1с (О ик (О, где {ик (t)} является
семейством решений однородного уравнения с отличным от нуля определи-
телем Вронского, а функции (t) неизвестны.
3.	Доказать непосредственно, что вектор z, данный формулой (12),
является решением задачи (11).
(13)
6. Уравнение с постоянными коэффициентами. Обратимся
теперь к особо важному случаю, когда А представляет собой по-
стоянную матрицу; тогда задача (4) записывается в виде
^- = Ау, з/(0)== с.
Мы покажем, что это уравнение может быть решено явно, с по-
мощью показательных функций и многочленов. Для этого найдем
сначала некоторые общие свойства решения задачи
^ = AY, Y(0) = I.	(14)
Так как через Y выражается решение задачи (13): y=Ycf то Y
играет важную роль в нашей теории. Это представление очень ясно
показывает зависимость решения от начального условия.
По аналогии со скалярным уравнением и' = аи хотелось бы полу-
чить решение уравнения (14) в виде У==еА#. Чтобы придать смысл
этой формуле, введем матричный ряд
у Amtm
2d т\ ’
где Л° = /; этот ряд определяет матричную функцию Y. Так как
||2, ..., то каждый из м2 рядов (п — поря-
док Л), получающихся в правой части, мажорируется сходящимся
оо
рядом 2 ||4||wfw>//n!. Следовательно, эти ряды сходятся равномерно
на каждом конечном интервале и сумма является непрерывной функ-
цией t для всех конечных £ Так как ряд, получающийся в результате
дифференцирования, сходится равномерно, то

d	ст
dt	(т — 1)!
22
ГЛАВА I
Ясно, что eAt = I при /=0. На основании теоремы единственности
заключаем, что Y(t) = eAt. Точно так же, как из ряда для е* мы
выводим скалярное функциональное уравнение es^t~eset, так из
ряда, представляющего eAt, мы получаем
оо	оо	оо	ш	,	_
оА.лАв ( Amtm\f \\ AmSm\ VHV	\
т-0	т~0	т=0	к=0
_ V1 д™ (s + t)m ___ &А (rf + O
ml
т~0
Здесь перестановка порядка слагаемых основана на абсолютной схо-
димости кратных рядов г).
Приводимый ниже вывод полученного функционального уравнения
для eAt, опирающийся на теорему единственности, значительно про-
зрачнее. Рассмотрим две матрицы У (/)/($) и Y(s 4“ О, где $ фикси-
ровано, a t меняется. Обе они являются решениями задачи
z(O)=y($),
так как А есть постоянная матрица. Из теоремы единственности
сразу получаем требуемое функциональное уравнение
w=iw).	(15)
Упражнения
1.	Доказать, что если У (Z + s) = Y (t)Y (s) для всех 5 и t и притом У (t)
непрерывна на некотором интервале, то dY/dt = AY, где Л —постоянная
матрица (Полна).
2.	Доказать, что е^А+в^ = е^е8^ для всех t тогда и только тогда, если
АВ = В А.
3.	Доказать, что | И* | = и потому матрица eAt не может вы-
рождаться.
4.	Доказать, что (eAtyr = e~At.
5.	Доказать, что если А = Т~АВТ, то еА = Т~1евТ.
Функциональное уравнение (15) позволяет упростить формулу (12)
следующим образом:
Теорема 4. Если матрица А постоянна, то решение за-
дачи
^-^Az-\-vd, z(fi) = c
*) Легко проверить, что основные теоремы о рядах (об умножении, диф-
ференцировании рядов и т. д.) автоматически переносятся на векторные и
матричные ряды. — Прим, перее.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
23
дается формулой
t
z = y + f Yit—t^va (/J dtv
0
где у—решение задачи dyjdt = Ay, y(Q) = c, a Y — решение за-
дачи dY/dt—AY, Y(Q) = L
7. Поведение решений уравнения dyfdt^Ay при £->oo.
Установив общие свойства матрицы Y (t), мы перейдем теперь к ис-
следованию отдельных ее элементов, чтобы определить поведе-
ние Y(t) при >оо. Заметим раз навсегда, что запись /->оо озна-
чает оо.
Подражая методу, применяемому для линейных дифференциаль-
ных уравнений n-го порядка, положим y = extc, где А— скалярная
постоянная, а с — постоянный вектор, который мы будем считать
нетривиальным, т. е. неравным 0 (нулевому вектору). Подставив это
выражение для у в уравнение
получим
= Аеис,
или
кс — Ас.
Это векторное уравнение равносильно системе из п линейных
однородных уравнений
п
S ='~с»>	i'=l, 2.....п.	(16)
Для того чтобы эта система уравнений имела нетривиальное реше-
ние {сг}, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось уравнение
а12	• • • а1п
ао<  к »»•	а.-)*,
/(к)=	21	22.	.2п	=0,
• • • ^пп
которое можно проще записать в виде
|Д —Х/| = 0.
Это уравнение называется характеристическим уравнением ма-
трицы А, а его корни ..., Кп, вообще говоря, комплексные,
называются характеристическими числами матрицы А.
bi
24
ГЛАВА I
Упражнения
1.	Доказать, что матрицы А и Т~*АТ имеют одно и то же характери-
стическое уравнение.
2.	Доказать, что след 4г(Л) равен сумме характеристических чисел ма-
трицы А.
В ближайших нескольких пунктах мы будем предполагать для
простоты, что характеристические числа матрицы А различны.
Это предположение позволяет установить главные результаты очень
просто и изящно. Впоследствии мы покажем, как можно в большин-
стве приложений ограничиться рассмотрением только этого простого
случая. В дальнейших пунктах мы скажем несколько слов о резуль-
татах, соответствующих кратным характеристическим числам.
Чтобы найти компоненты ct, с2, ..., сп вектора с, отвечающего
данному характеристическому числу возьмем алгебраические допол-
нения элементов какой-либо из строк определителя [4 — Взяв,
например, алгебраические дополнения элементов первой строки, мы
получим возможные значения для q, cv сп:
	о tS I to	1	#23 #33	. . .	а2п а3п
сх =	•			•
ап2	апЗ • • • апп
а21	а23
а31	а33 h
^nl	апЗ
&2п
а'3п
апп
а21	а22	а2, п-1
#31	а'32 •	• • •	а3, п-1
&п1
п, п-1
Если окажется, что все эти алгебраические дополнения равны нулю,
то надо испытать алгебраические дополнения другой строки. При этом
в конце концов мы достигнем цели, так как алгебраическое дополне-
ние по крайней мере одного элемента а^ — стоящего на главной
диагонали, должно быть отличным от нуля. Это легко следует из пра-
вила дифференцирования определителя.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
25
Действительно,
/' (Х) = — [алг. доп. (аи — л)] — [алг. доп. (а22 — А)]—
— ... — [алг. доп. (апп — А)].
Если бы все эти алгебраические дополнения обратились в нуль для
некоторого Ай то было бы корнем уравнения /' (А) = 0, т. е. крат-
ным корнем уравнения /(Л) — 0, вопреки сделанному выше упрощаю-
щему предположению.
Заметим для дальнейшего, что компоненты ст, с2, ..., сп вектора с,
который мы будем называть собственным вектором матрицы А, всегда
можно выбрать в виде многочленов от характеристических чисел, как
указано выше.
Пусть с^ — собственный вектор, отвечающий характеристическому
числу Ай .Мы докажем вскоре, что этот вектор, с точностью до ска-
лярного сомножителя, определяется однозначно. Каждому характери-
стическому числу соответствует по крайней мере одно решение
У1 = №<№ нашего дифференциального уравнения dyjdt—Ay. Дока-
жем теперь, что эти п решений, соответствующие п различным зна-
чениям Л;, линейно независимы на любом интервале. Для этого допу-
стим, что имеет место соотношение
а1У1 + Л + • * • + апУп “0,	(17)
где at, а2, ..., ап— скалярные постоянные, а 0 — нулевой вектор.
Дифференцируя k раз, получаем
а1лУ1*с(1)+...4-л„Л^?”М”) = 0, 6 = 0, 1, 2, .... п—1.
Рассматривая только первые компоненты мы получаем п урав-
нений
S	==(},	£ = 0,1,2,..., и—1.
Чтобы не все из п величин равнялись нулю, необходимо, чтобы
был равен нулю определитель
еУ .	. e nf
\elt	. Kne'nt
л 1 е л2 *	• • • еп
Это, однако, невозможно, так как указанный определитель равен
[ехр (Аг-|-.А2 +	4~AW) Z] г/(Л), где ^(л) есть определитель Вандер-
монда для Av А2, ..., кп) отличный от нуля по нашему предположению
о различии К.. Отсюда получаем, что агс^ == 0 для каждого I. Если
26
ГЛАВA I
(ц 0, то 4г) = 0- Рассматривая подобным образом другие компо-
ненты мы приходим к заключению, что если а4 0, то должен
быть нулевым вектором. Но этого не может быть, так как собствен-
ный вектор № по построению нетривиален; значит, все а* = 0, что
и означает линейную независимость решений у^
Решение матричного уравнения dZ/dt — AZ можно теперь полу-
чить, образуя матрицу Z со столбцами, представляющими собой век-
торы у^ То, что матрица Z невырожденная, следует из доказанной
выше линейной независимости. Это не видно непосредственно, но по-
лучается из следующих соображений, уже применявшихся ранее. Если
|Z| = 0 при то при t~t± должно иметь место соотношение
вида аАуА -f - а9у^	апуп = 0, где 0 есть опять нулевой вектор,
а скалярные величины ах, а2, ..., ап не все равны нулю. Так как
у(, у2, ..., уп суть решения векторного уравнения dyjdt= Ay, то и
линейная комбинация «1^1 +^2+ • • • ~\~апУп этих решений также
является решением. Но она равна 0 при / = и потому, в силу тео-
ремы единственности, должна быть тождественно равной 0. Согласно
предыдущему, мы получаем, что все равны нулю, а это противо-
речит сказанному выше. Итак, | Z | =£ 0.
Так как Z (t) Z^1 (0) является решением задачи dYJdt=AY, Y (0)=/,
то Y(/) = Z ($) /-ЦО). Отметим, насколько полезной оказалась тео-
рема единственности для вывода тождеств, связывающих решения.
Последнее соотношение очень ясно показывает структуру матрицы
Y (f) и тем самым структуру каждого решения уравнения dyjdt=Ay
в предположении различия характеристических чисел. Если матрица А
имеет кратные характеристические числа, то структура общего реше-
ния может быть более сложной, коэффициентами здесь будут много-
члены от /.
Упражнения
3.	В предположении различия характеристических чисел матрицы А
вывести необходимое и достаточное условие того, чтобы все решения уравне-
ния dyjdt—Ay стремились к нулю при /->оо.
4.	Решить уравнение t dyjdt— Ау, где матрица А постоянна.
8. Другой метод. В предыдущем пункте мы показали, что реше-
ния линейно независимы. Покажем сейчас, что собственные векторы с№
линейно независимы. Это является непосредственным следствием пре-
дыдущего результата о независимости решений yi9 так как соотно-
шение вида
= 0	(18)
г=1
п
эквивалентно равенству 2 а1Уг~ 0 ПРИ * = 0* Этот факт можно также
1=1
доказать, умножая повторно равенство (18) на А и пользуясь тем, что
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
27
дс(*) == л^). Таким образом мы получим соотношения
п
2^=0, k =- 0, 1,2,...,
и дальнейшие рассуждения проводятся, как ранее.
Упражнения
1.	Показать, что каждое решение уравнения dyfdt = Ay является линей-
ной комбинацией п решений yv у2, ..., уп.
2.	Применяя полученный результат, показать, что при нашем предполо-
жении различия характеристических чисел каждому соответствует, с точ-
ностью до постоянного множителя, только один собственный вектор. Вывести
это же утверждение из того, что ранг матрицы А — равен п — 1.
Рассмотрим матрицу Г, столбцами которой служат векторы №.
Линейная независимость векторов № эквивалентна тому, что | Т|=#0.
Так как А№ = )^№, то
АТ = Т	*•1 0	0 Л2	... О' ... 0
	10	0	.. . лп
		0	...	0 1
	0	X,	...	0
Т~ГАТ —			
			•
	0	0	♦ * *	J
Матрица такого типа, как в правой части, называется диагональной.
Последний результат достаточно важен, чтобы сформулировать его
в качестве теоремы:
Теорема 5. Если характеристические числа Х1, Х2,
матрицы А различны, то существует матрица Т такая, что
Л 0 ... О
6 0 ... кп
При этом элементы матрицы Т можно выбрать в виде много-
членов от kj.
Вот непосредственное приложение этого результата. В задаче
~^AY,	= I
28
ГЛАВА I
положим Y — TZ, где T — матрица, введенная выше. Тогда
T-'ATZ, Z(G)=T-\
пт	х z
или
О
dz_ _ 0 Ч
dt ~~ : :
о о
Z,
Решением этого уравнения будет, очевидно, матрица
о
о
gM О
О ек-^
г-’,
О О
так что матрица Y выразится в виде
(19)
Упражнение
СО
3.	Вывести равенство (19) при помощи соотношения eAt = 2 Antnjn\
п=о
9. Жорданова каноническая форма для матриц с кратными
характеристическими числами. В предыдущих пунктах мы показали,
как можно привести к диагональной форме матрицу с различными
характеристическими числами. Если матрица имеет кратные характе-
ристические числа, то такое приведение, вообще говоря, невозможно.
Например, легко показать, что не существует матрицы Т такой, что
1
0
7-1
1\	/1 0\
Т={	1
1/	\0 1/
Однако имеется изящная каноническая форма, полученная Жорда-
ном для произвольной матрицы, имеющей или не имеющей кратных
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
29
характеристических чисел. Положим
Если k = 1, мы будем называть
Результат Жордана состоит
для которой
эту матрицу простой клеткой.
в том, что существует матрица Т,
7'-1Л7'=
О ...	О
Ч(М •••	о
О
О 0 ... Ч(М
где +	а не обязательно различны. Напри-
мер, три возможных типа матриц третьего порядка с характеристи-
ческим числом кратности 3 таковы:
0 0	At 0 о	Х( 1	0
At = 0 Kj 0	,	A2 = 0 Xt 1	,	43 = 0 Ax 1
. 0 0 At	0 0 Aj	0 0 At
Мы не будем доказывать этот классический результат, так как,
согласно сказанному выше, в наших задачах мы сможем ограничиться
случаем, когда А имеет различные характеристические числа.
Упражнения
1.	Определить вид матрицы eAt для произвольной матрицы А. На основа-
нии этого показать, что если матрица А имеет характеристические числа Xlt
Х2, •••> Хп, то Для матрицы еА этими числами служат	..., е п.
2.	Применить этот результат для получения необходимого и достаточного
условия того, чтобы eAt -> 0 при t -> 00. Доказать, что если при f->oo, то
существуют числа а>0 и с>0, для которых	при 0<f<oo.
3.	Рассматривая решение уравнения dy[dt — Лу, где Л=^ дока-
зать, что матрица А не может быть приведена к диагональному виду.
4.	Таким же образом доказать, что матрицы At, Л2 и Л3 различны в том
смысле, что не существует матрицы Г, для которой 7“1ЛгГ = Л?* при каких-
либо i=£j.
5.	Доказать, что матрица (л) — ХА, возведенная в k-ю степень, дает
нулевую матрицу (здесь /—единичная матрица &-го порядка).
30
ГЛАВА I
6.	Если матрица А имеет различные характеристические числа Хх, Х2, ... , Хп,
то мы можем написать п решений уравнения dyjdt = Ay в виде у = с (к) eXt,
где Xs=Xh Ха, ...» Xw. Если X и р.—два различных характеристических числа А, то
с (к) eKt — с (у.)	_
~~г
также является решением уравнения dy/dt = Ay. Верно ли, что если X — крат-
ное характеристическое число, то lim z = д (с (X) еЩ/д\ = с1 (X) с (X) te^t
также является решением уравнения dyjdt = Ay? Обобщить эту теорему.
10. Другая общая теорема о диагонализации. В предыдущем
пункте мы говорили о жордановой канонической форме матрицы и
о приложении этой формы к представлению общего решения линей-
ного дифференциального уравнения dyjdt — Ay. 1Аъ\ видели, что мат-
рица с кратными характеристическими числами может иметь сложную
каноническую форму. Установим сейчас справедливость одного полез-
ного утверждения, которое сравнительно просто доказывается и ко-
торое вносит некоторый порядок в этот хаос.
Теорема 6. Существует матрица Г, для которой
		^12	• • • ь1п
Т~ХАТ—	0	х2	Ь2п
	6	0	... к
У матрицы в правой части этой формулы все элементы ниже глав-
ной диагонали равны нулю. Матрицу такого вида мы будем назы-
вать треугольной х).
Доказательство проводится по индукции. Рассмотрим
сначала матрицы 2-го порядка. Пусть Хх — характеристическое число
матрицы А и с&— соответствующий собственный вектор. Пусть Т—
матрица с первым столбцом с'1), второй столбец которой выбран так,
чтобы она была невырожденной. Тогда
Г“1ЛГ==( О
^12
^22.
что легче всего получить из равенства Т^АТ— Т-1 (АТ). Далее, эле-
мент Ь2.2 должен равняться Х2, так как матрица Т~гАТ имеет те же
характеристические числа, что и А.
х) Отметим, что если матрица А вещественная и имеет вещественные
характеристические числа, то, как видно из доказательства, и матрицу Т можно
считать вещественной. То же замечание, используемое в дальнейшем, отно-
сится к приведению матрицы к диагональному и нормальному жорданову
виду. — Прим, перев.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
31
Покажем теперь, что, пользуясь нашим утверждением для мат-
риц n-го порядка, можно установить его для матриц порядка п-}"1-
Пусть с'1)— собственный вектор, соответствующий лх, и пусть п дру-
гих векторов	выбраны так, что матрица Т± со
столбцами с^),	я(2), ...,	— невырожденная. Тогда на основе
равенства Т~1АТ= Т"1 (АТ) получим
где Вп— матрица n-го порядка.
Так как характеристическое уравнение правой части имеет вид
(Лх - Л) | Вп — Щ = О,
то характеристическими числами матрицы Вп будут Л2,	.., Лп+1 —
остальные п характеристических чисел матрицы А. По индуктивному
предположению мы знаем, что существует невырожденная матрица Тп,
для которой
с12 ... с1п
[О 0	... \п
Пусть Тм+1 — матрица (п-}-1)-го порядка, образованная следующим
образом:
U 0 ... О
/1 °\ О
7'»+1=1чо	•	Тп
6
Она, очевидно, невырожденная. При этом
#12
T^fT^ATJ Т„+1 =
О О
^1, п + 1 1
^2, п+1
^п+1
Так как С”1 (В-^АВ) С = (ВС)-1 А (ВС), то Т= Т\Тп+1 является
искомой матрицей (п-|-1)-го порядка. Этим доказательство заканчи-
32
глава i
вается. Заметим опять, что элементы матрицы Т могут быть выбраны
в виде многочленов от характеристических чисел т).
Упражнения
1. Если матрица А имеет k простых корней Хх,
* матрица Г, для которой
Х2, ...» то существует
	0	0 х2 ..	.. 0 . 0	Ь1, Л + 1 •• ^2, Л+1	• •	• Кп ' ^2, П
Т-1АТ=	0	0 ..	’ • \	bk,	• 	• • ^к,п
	0	0 ..	.. 0	^4-1	&к+1, п
	0	0 ..	.. 0	0	..	кп
2. Определяется ли матрица Т в теореме 6 однозначно?
11. Замечание к предыдущему пункту. Мы будем далее пользо-
ваться таким замечанием к теореме 6:
Замечание. Матрицу Т можно выбрать так, чтобы сумма
S | Ъц [ была меньше любой наперед заданной положительной
ъэ
постоянной 8.
На первый взгляд, это кажется противоречащим тому, что не каж-
дая матрица с кратными характеристическими числами может быть
преобразована к диагональному виду. Однако дело в том, что мат-
рица Т зависит от 8. Если мы попробуем выбирать последователь-
ность Т, для которой 8 стремится к нулю, то полученная последова-
тельность либо будет приближаться к вырожденной матрице, либо не
будет иметь предела.
Пусть Тг— матрица, которая приводит матрицу А к треугольному
виду, о котором говорится в теореме 6. Замена переменных у = 7\z
переводит уравнение dyjdt=Ay в систему
= K1Z1 4~ ^(2Z2 + • •	• + blnzn.
м24-..	• 4" b.inzn,
dZift,	
dt	
(22)
г) См. примечание 1 в конце книги. Прим, персе.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
33
Теперь легко видеть, как нужно выбрать 7', чтобы удовлетворить
условию нашего замечания. Положим zn = znz'ni zn-i~ zn~lzn-i’ •••
.. ., zx = ez' (s > 0). Новая система будет иметь вид
= Zxz' + ^12*', + • • • +
=	*2^2 + ‘ * * “Ь гП
dzn_
dt	KnZn'
Выбирая s, мы можем сделать сумму абсолютных величин над-
диагональных коэффициентов произвольно малой. Но последнее пре-
образование эквивалентно z = Ezr, где матрица Е невырожденная.
Поэтому матрица Т=7\Е является искомой1).
12. Приложение полученного результата. Последний результат
можно применить для получения общего решения уравнения dyjdt—Ay,
что было сделано ранее на основе недоказанной теоремы о возмож-
ности приведения матриц к жордановой канонической форме. Пусть
Т—матрица, приводящая А к треугольному виду; положим y^Tz.
Тогда для z получится уравнение
лх Ьг2 ... Ь1п
dz __ 0	^2	• • • ^2П
dt~ :	:	:	z-
u 0	0	... Ап
Для компонент вектора z получается система (22) предыдущего
пункта. Из нее можно найти все z^ по одному, начиная с zn; мы
видим, что если все ki различны, то каждая компонента z^ является
линейной комбинацией показательных функций. Если же имеются
кратные корни, то при показательных функциях могут стоять в качестве
коэффициентов многочлены от t. Например, в случае, когда равно Лл,
решение системы
(IZa\ —	•	dZ/vi *
^7	“	—fit '==z
x) Этот результат можно получить без применения дифференциальных
уравнений, прямо полагая Т—7\Е, где Е — диагональная матрица с эле-
ментами на диагонали е, е2,	(е>0, е достаточно малое), так как если
B = то E~rBE —	Заметим также, что аналогичный результат
имеет место также для варианта теоремы 6, приведенного в примечании 1
в конце книги. — Прим, перев.
3 Зак. 1629. Р Веллман
34
ГЛАВА I
дает выражения вида zn =	= (с2 + cj) , если 6n_lt w¥=0.
Вообще, характеристическое число кратности k порождает в решении
слагаемые вида (t) е^*, гдеР^_1 (t)— многочлен не выше (k—1)-й
степени.
Отсюда следует важный результат:
Теорема 7. Для того чтобы все решения уравнения
% = *
стремились к нулю при t->co, необходимо и достаточно, чтобы
вещественные части всех характеристических чисел матрицы А
были отрицательными.
Упражнения
1. Показать, что условие неположительности вещественных частей харак-
теристических чисел недостаточно для того, чтобы гарантировать, что все
решения уравнения dy[dt~Ay ограничены при	Какое нужно допол-
нительное условие?
2. Доказать, что если все решения уравнения dyjdt = Ay стремятся к О
при f->oo, то существует такое постоянное а>0, что для любого решения^
при некотором будет ||j	0<f<oo. При этом в качестве а
можно принять любое число, меньшее min | Re | *).
13. Теорема об аппроксимации. Следующая теорема иногда дает
возможность обойти случай матриц с кратными характеристическими
числами:
Теорема 8. Если дана матрица А, то для любого положи-
тельного а можно найти матрицу В с различными характери-
стическими корнями, для которой ||Л— ВЦ
При этом если матрица А вещественная, то и матрицу В можно
считать вещественной.
Доказательство. Рассмотрим матрицу Л-|-В, где Е = (еф,
а е^ — независимые вещественные переменные. Если А-\-Е имеет
кратное характеристическое число, то функции /(л) = | ZET — Х/|
и f (л) имеют общий корень. Но тогда результант R(E) этих двух
многочленов должен равняться нулю. Докажем, что можно найти
произвольно малые значения е^, для которых R (В)#=0. Действительно,
если это не так, то R (В), как многочлен от е^, должен тождественно
равняться нулю. Но это невозможно, так как для значений = — а^,
i=hj, и еи = 1 — аи матрица ЛЦ-Е не имеет кратных характеристи-
ческих чисел. Поэтому /?(В)^0.
Следовательно, мы можем найти такие элементы е^, для которых
сумма 21^/1 произвольно мала, причем матрица Л-[-Е —В имеет
з
различные характеристические числа.
х) Это упражнение добавлено при переводе.—Прим, перев.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
35
Упражнения
1.	Применяя последний результат и теорему о диагонализации, найти все
непрерывные решения функционального уравнения f (АВ) =f (A) f (В), где
f—скалярная функция матрицы А,
2.	Доказать теорему 8 при помощи замечания п. 11.
14.	Диагонализация переменных матриц. В гл. II, посвященной
асимптотическому поведению решений линейных уравнений вида
^=(л+в(0)л
где А — постоянная матрица, а £(/)-> 0 при /->оо, нам придется
приводить к диагональному виду матрицу A-\-~B(t). Если характери-
стические числа матрицы А различны, то представляется правдо-
подобным, что для достаточно больших значений t характеристические
числа матрицы А -В (t) также различны.
Для того чтобы доказать это, равно как и некоторые другие
необходимые утверждения о зависимости характеристических чисел
матрицы А -|- В (/) от /, мы воспользуемся некоторыми результатами
теории функций комплексной переменной. Конечно, наши утверждения
можно доказать, не используя этот специальный аналитический аппа-
рат. Однако приводимые ниже рассуждения представляются одно-
временно настолько естественными, изящными и поучительными, что
было бы чистым ханжеством уклоняться от них.
Пусть f (X, ^ — характеристический многочлен матрицы A-\-B(t)\
/(X, 0 = М + В(0 — а/|,
а /(X) — характеристический многочлен матрицы Л, /(Х)=/(Х, оо).
Если характеристические числа Л1, Х2, ..., Хп матрицы А различны,
то мы можем построить в комплексной плоскости X такие окруж-
ности с $ с центрами Х^, которые попарно не имеют общих внутрен-
них точек. Как известно из теории функций комплексного перемен-
ного, число корней уравнения/(Х, /) = 0 внутри каждой окружности
определяется формулой
VfA- 1 Cdf^t)/dkdk
J /(k,o
(принцип аргумента). Но у нас /(X, t) = /(X)-|-gr(X, t), где при
/->со g(X, f)->0 равномерно на каждой окружности Cj. Поэтому
для t^t0 функция f(k, t) не имеет корней на Cj. Но так как
А(Х, 0=/'(*)+&>
з*
36
ГЛАВА t
то
/л_ 1 Г Г/'(Х)+£\'|
Ni(t)~ 2*1 J L/(M + £ РЛ —
сз
— 1 f-^bx-L 1 Cf^Sx-f'^S ..
~ 2*1 J /(X) “Г 2ltZ J /(Х)/(Х, 0 ал>
СУ	ei
Так как величина |/(Х)/(Х, 0| равномерно ограничена снизу на
окружности Cj положительной постоянной и так как g и gx стремятся
к нулю при £->оо, то для
N/0=l+o(l)i).
Так как Nj(t) есть целое число, то из этого равенства следует, что
д^(/):=1 для	Это доказывает различие характеристиче-
ских чисел матрицы	для больших значений t.
Установим теперь некоторые дальнейшие свойства характеристи-
ческих чисел Aj(/) матрицы ДЦ-В(/). Для t"^tx имеем
= f
с .
X W(K t)ld\]
f(K О
dX.
Из этого представления чисел Xj мы видим, что если матрица
В(0 непрерывна для t^tx, то и функции Xj(Z) непрерывны при
tx и Xj (0~*Х^ при £->оо. Если же матрица В (t) непрерывно дифферен-
цируемая или кусочно гладкая, то этим же свойством обладают и
ХД/), причем дифференцирование по t можно производить под знаком
интеграла.
Наконец, если попрежнему В(/)—>0 при /—>оо и, кроме того,
оо
j* d£<oo, то
со
f |^Щ|Л<ОО.
J I at I
Это легко следует из того, что коэффициентами при различных сте-
пенях X в многочлене /(X, t) служат многочлены от элементов ма-
трицы B(t).
Для дальнейших ссылок мы сформулируем последние результаты
в виде следующей теоремы:
3) Напомним, что для переменной (или постоянной) в некотором процессе
величины х под о (х) (соответственно О (х)) понимается любая величина
вида ух, где у стремится к нулю (соответственно ограничена) в этом про-
цессе.— Прим, перев.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
37
Теорема 9. Если B(t)-*Q при t-+oo и если характеристи-
ческие числа матрицы А различны, то для t^tx характеристи-
ческие числа АД/) матрицы A-\-B(t) также различны и стре-
мятся к характеристическим числам матрицы А при t-+oo.
со	со
Если, кроме того, ^dBjdt^dt< оо, то и
J \dki(t)/dt\dt< оо.
Заметим еще, что, как видно из доказательства, если B(t) является
аналитической функцией от 1//, то и все АД/) являются аналитиче-
скими функциями от 1//.
рему:
При помощи теоремы 9 можно вывести следующую важную тео-
Теорема 10. Пусть
(а)	характеристические числа матрицы А различны*,
(б)	В(0“>0 при t-+&y,
оо
(в)	[ \\dBldt\\dt<oo.
Тогда существует матрица T(t) такая, что замена перемен-
ного y=Tz переводит уравнение
= +
(23)
в уравнение
f = (Л(04-С(0)^
где
хдо о
L(f)= Г-ЧОИЧ-ВСО] T{t) =
0
0
о
Ч (О
При этом
< 0	0
J ||С(0И<со,
МО
а матрица T(t)
I I 0 #
обладает свойствами: T(t) —> То при
> оо,
Доказательство. Так как матрица А имеет различные харак-
теристические числа, то, как указано выше, этим же свойством
обладает и матрица А-[-В(1) при	Это дает возможность
найти матрицу T(f), приводящую A-\-B(t) к диагональному виду
для достаточно больших значений I, Далее, мы знаем, что в качестве
элементов матрицы T(f) можно выбрать многочлены от АД£). Так
38
ГЛАВА I
как	при t-*oo, то матрицу T(t) можно выбрать так,
чтобы она стремилась к невырожденной матрице Г. Наши предполо-
жения о B(t) показывают, что для каждого элемента t^ матрицы T(t)
оо
будет выполняться неравенство J |dt^dt\ dt < сю *). Подстановка
у = Tz переводит уравнение (23) в уравнение
= Г-1 (О {А + В (01 T(t) z - Т-1 (О
ш	ил
Так как матрица равномерно ограничена для t^t19 то
Этим доказательство теоремы завершается.
15. Линейные системы с периодическими коэффициентами.
В этом пункте мы будем рассматривать уравнение вида
^ = рту-
где P(t)— периодическая матрица, т. е. P(t-\-z) = Р (t), причем
т — отличная от нуля вещественная постоянная.
Хотя это уравнение нельзя решить явно, как для случая постоян-
ной матрицы Р, однако для общего решения можно найти представление,
которое иногда оказывается полезным.
Теорема 11. Решение матричного уравнения
%- = P(f)Y, У(0) = /,
где матрица P(t) периодична с периодом т и непрерывна для
всех t, можно представить в виде
Y = Q(t) eBt,
где В — постоянная матрица, a Q(t) имеет период
Доказательство. Если Y имеет указанный вид, то
Y (t + г) = Q (Z) eBteBz = Y (f) eBz\
в силу теоремы 2 матрица Y (t) не вырождена, и можно написать
Y-1(f)Y(t-]-ec) = eBz, Так как	как одно из решений урав-
нения dY/dt = P(t)Yt равно У (О С, где С — постоянная матрица, то
*) Здесь используется тот простой факт, что если J | dufdt \dt<Z^ и
со	со
J* | dvfdt | dt < оо, то и J \d (uv)!dt | dt оо. — Прим.; перев,
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
39
имеем равенство С = еВх. Для того чтобы существовала матрица В,
удовлетворяющая этому равенству, необходимо, чтобы матрица С
была невырожденной. Это условие выполняется, так как С= У"1 (О X
Мы сейчас покажем, что это условие является и доста-
точным.
Лемма. Если матрица С невырожденная, то существует
матрица В такая, что ев =С.
Доказательство. Если мы воспользуемся жордановой нор-
мальной формой, то доказательство оказывается совсем простым.
Если С имеет жорданову форму
то достаточно показать, что каждая матрица Lk(X) имеет логарифм,
так как если В^ есть логарифм матрицы Л^(Х^), то
является логарифмом С.
Мы применим указанное в упражнении 5 п. 9 свойство, заклю-
чающееся в том, что
(L^)-M)*=0,	(24)
т. е. что (Zfc(X)— есть нулевая матрица. Из этого следует, что
формальный логарифм
В = In Lk (X) = In (X/ + 4 (X) — X/) =
=/,п*+
ткт
7П = 1
fc-1
m=l
существует и, как можно убедиться непосредственно, пользуясь по-
лученной формулой и применяя равенство (24), действительно является
логарифмом.
Когда матрица В определена так, что У”1 (t) Y (/-}- *) = С = еВх,
то Q определяется соотношением Q = Y (/) е~в\ Легко видеть, что
Q — периодическая матрица с периодом т.
40
ГЛАВА I
Ввиду того что мы- не доказывали возможности приведения
к жордановой нормальной форме, так как это длинно и утомительно,
то приведем независимое доказательство нашей леммы.
Мы применим доказанный рыше результат, состоящий в том, что
любую квадратную матрицу А можно привести к треугольному виду;
другими словами, что существует матрица Т, для которой
kt
7
0
(элементы, стоящие под главной диагональю, равны нулю). Если
кратных характеристических чисел нет, то эту треугольную матрицу
можно считать диагональной, а ясно, что любая невырожденная диа-
гональная матрица имеет логарифм. Следовательно, только наличие
кратных характеристических чисел вызывает затруднение. Впредь мы
будем считать, что матрица А треугольная.
Мы проведем доказательство, пользуясь методом математической
индукции. Лемма, очевидно, верна для матриц первого порядка.
Предположим, что она справедлива для матриц п-го порядка при
/г=1, 2, ...» АГ, и покажем, что она верна и для матриц (N-j-l)‘ro
порядка. Запишем матрицу Ду+1 в виде
а# }
J ’
Л*+1 = I о
(25)
где
В формуле(25) ^обозначает Димерный столбцевой вектор, а 0—^мер-
ный строчной вектор с нулевыми элементами.
Пусть Bn — логарифм А% (существование Bn следует из пред-
положения индукции); положим
[Вк х)
&N+1 = л J
где 0 имеет тот же смысл, что и выше, I — 1п а х — неизвест-
ный ДДмерный столбцевой вектор.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
41
Осталось показать, что х можно выбрать так, что === Л#+1.
Применяя метод индукции, нетрудно убедиться в том, что
вЪ (В^г1 + 1ВЪ~2 + •. • + X
О	1к
Отсюда
eBN+l =
3 (Вдг-1 + 1Вы~2 + ... + /Л-17) х/й!
А* = 0
При этом первые два члена полученной суммы равны 0 и х. Если I
не является характеристическим числом матрицы В#, то
“	k\	~~
л=о
Й = 0
Отсюда
|С(/)|
_Гт7^!
- |ВХ-Z/I -11 rk-l ’
(26)
где г, г2, ..., rN — характеристические числа матрицы BN. Из
определения матрицы С(1) мы видим, что C(Z), а потому и | С (Z) |
являются непрерывными функциями Z. Но правая часть равенства (26)
также непрерывна, если мы доопределим (erfc— /)/(rfc— Z) естествен-
ным образом при 1—гк. Следовательно, равенство (26), доказанное
в предположении Z #= гк, справедливо для всех Z. Отсюда следует,
что матрица C(Z) невырожденная. Значит, мы можем определить х
так, чтобы C(Z)x = ay; для этого надо положить х = C(Z)-1 aN,
В заключение заметим, что если характеристические корни An
положительны, то матрица Bn вещественна т).
Упражнение
Найти представление решения уравнения и" + p(t) где р (t 4- 2к) =
!) Ср. примечание на стр. 30. — Прим, перев.
42
ГЛАВА I
ЛИТЕРАТУРА i)
Общая теория матриц изложена, например, в книгах:
1. Wedderburn J. Н. М., Lectures on matrices, Amer. Math. Soc. Col-
loquium Publications, v. 17 (1934).
2*. Г а н т м a x e p Ф. P., Теория матриц, M., 1953.
По поводу приложений теории матриц к дифференциальным уравне-
ниям см.
3.	В е 11 m a n. R., A survey of the theory of the boundedness, stability, and
asymptotic behavior of solutions of linear and non-linear differential
and difference equations, Washington, 1949.
4.	Lefschetz S., Lectures on differential equations, Princeton, 1946.
Содержание n. 14 взято из статьи
5.	C e s a r i L., Un nuovo criterio di stabilita per le soluzioni delle equazioni
differenziali lineari, Ann. R. Scuola Norm. Sup. Pisa, ser. 2, 9 (1940),
163—186.
См. также
6*. Diliberto S. P., On systems of ordinary differential equations, Bull. Amer.
Math. Soc., 54, No 7 (1948), 664—665.
г) Звездочкой отмечены источники, добавленные при переводе. — Прим,
перев.
Глава II
УСТОЙЧИВОСТЬ, ОГРАНИЧЕННОСТЬ
И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.	Введение. В этой главе мы рассмотрим поведение решений
дифференциального уравнения
-^- = (А + В(0)г,	(1)
где А — постоянная матрица, а матрица B(t) в том или ином смысле
мала при	Двумя важными частными случаями этого послед-
него условия являются случаи, когда ||В(0|]-->0 при /~>оо или
оо
оо. К уравнению типа (1) можно свести линейные урав-
нения n-го порядка вида
+ («X + А (0)	. • + (А, + Рп (0) « = 0,	(2)
где pj(t) малы при /~>оо, и, в частности, уравнения второго порядка
вида
-^+(«+р(0)« = 0.	(3)
Для решений уравнения (3) благодаря его специальному виду может
быть получено значительно больше утверждений, чем для решения
уравнений (2) или (1). Поэтому далее, в гл. VI, мы проведем более
полное исследование уравнения (3), а в этой главе рассмотрим только
свойства, общие для систем всех порядков.
Интуитивно представляется естественным ожидать, что решения
уравнения (1) имеют много общих свойств с решениями уравнения
,4’
поскольку рассматривается поведение решений при £->оо. Это пред-
положение в значительной степени подтверждается многими из ре-
зультатов, которые будут получены ниже. Однако мы покажем также
на соответствующих примерах, что поведение решений уравнения (1)
является значительно более сложным, чем это кажется сначала.
Возникает вопрос о том, в каком смысле можно считать ма-
трицу B(t) „малой* при >оо. Первым и простейшим определением
является такое: матрица B(t) мала, если ||В(0||-> 0 при /->оо.
44
ГЛАВА II
Это условие влечет за собой много интересных следствий. Однако иногда
мы будем вводить другие условия, а именно:
оо
/||В(0И<оо
ИЛИ	«
r° II dB (t) || ,.
I —7Г2- Ь#<ОО.
J || dt l|
Мы видим, что в основном наш вопрос сводится к введению под-
ходящей метрики в пространство переменных матриц. Если мы при-
мем такую точку зрения, то станет ясным, что такое же различение
целесообразно и при исследовании поведения решений уравнения (1)
при >оо. Мы будем рассматривать в разных случаях функцио-
налы
firn ||z||,
t ->ОО
ИЛИ
lim ||z||,
f->co
или, если эти пределы бесконечны,
.. In II *||
lim —
t ->ОО *
или, наконец, иногда
оо
/ м|2л.
Каждый из этих функционалов играет важную роль в изучении свойств
решений уравнения (1) для больших значений t.
Смысл сказанного выше состоит в том, что при сравнении реше-»
ний уравнения (1) с решением уравнения (4) мы должны условиться
о допустимом классе возмущающих матриц B(t) и об интересующем
нас свойстве решения. Можно предполагать, и так будет на самом
деле, что некоторые свойства решений сохраняются для одного класса
возмущений и не сохраняются для другого.
Эти предварительные замечания приводят к строгому определению
понятия устойчивости для линейных уравнений.
Определение. Пусть все решения уравнения
(5)
обладают некоторым свойством Р. Будем говорить, что имеет место
устойчивость по отношению к этому свойству при возмущениях В
определенного вида, если этим свойством обладают также все реше-
ния уравнения
^ = (Л(0Н-В(0)^.	(6)
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
45
В противном случае будем говорить, что имеет место неустойчивость
относительно этого свойства Р и вида возмущений В.
Чтобы проиллюстрировать это понятие, рассмотрим два простых
дифференциальных уравнения:
dv z I .
~dT^~au’ -аГ = (-а + Ь^,
где а>0 и #(/)—> О при	Нетривиальные решения обоих
уравнений обладают следующими свойствами:
(а)	и и v ограничены,
.. Ina .. In г/
(б)	lim —— = lim -у- = — а.
Если же а = 0, а #(/)== 1/Л то свойство (б) сохраняется, а свой-
ство (а) не имеет места. Следовательно, здесь мы будем иметь
устойчивость относительно свойства (б) и неустойчивость относительно
свойства ограниченности. Если мы заменим \/t на интегрируемую
в интервале (/0, оо) функцию, то ограниченность будет сохраняться.
Свойство ограниченности представляет собой, вероятно, наиболее
важное свойство решений. Если решение ограничено, то для нас
важно знать, стремится ли оно к нулю при /->оо и, вообще, какие
значения оно принимает при t-r+oo. Если решение не ограничено,
то можно исследовать отношение (In ||j||)// или другую меру неогра-
ниченности.
2. Почти постоянные коэффициенты. Назовем матрицу коэф-
фициентов A(f) дифференциального уравнения dztdt = A(t)z почти
постоянной, если
lim А (0 = Л,
t ->оо
где А есть постоянная матрица. Наши первые результаты будут
связаны с ограниченностью решений уравнений этого типа.
Теорема 1. Если все решения уравнения
> = ЛЛ	(4)
где А — постоянная матрица, ограничены, то этим же свой-
ством обладают решения уравнения
+ (1)
ОО
если J* || В (ОНdt < оо.
Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде
^ = Az-\-B(f)z.	(7)
46
ГЛАВА It
Принимая B(t)z за неоднородный член, мы видим, применяя тео-	I
рему 4 гл. I, что каждое решение уравнения (7) удовлетворяет	;
линейному интегральному уравнению1)
t
z =	f Y^-^B^z^d^	(8)	|
0
где у — решение уравнения (4), удовлетворяющее начальному усло-
вию у (0) = z (0), a Y — решение начальной задачи Y (0) = I для
матричного уравнения dYjdt= AY. Заметим, что у — Уу(0) = Yz(0).
Пусть сг = max (supЦ-У||, sup||K||). Тогда из уравнения (8) получим
*>о
t
1ИКЫ + f IIY(t-Q|| IIВ(Q|| ||z(Q|| dt. <
0
t	i
<q+c,J IBffllMlK	(9) I
’	I
Сейчас мы применим следующую лемму, имеющую настолько
важное значение в этой книге, что мы назовем ее основной леммой.
Лемма 1. Если и (t), v (Z)	0, a ct — положительная по-
стоянная и если для
t
+ J* uvdtv	(10)
о
то для
t
и exp ( J vdt^.	(И)*
о
Доказательство. Из неравенства (10) получаем
uv
-------t--о.
ci+ f uvdti
о
Проинтегрировав обе части этого неравенства от 0 до /, мы полу-
чим неравенство
In + §uv dt^ — In	Jv dtx
О	о
i) Если В (t) определена только при t > tQ > 0, 'то для применения фор-
мулы (8) надо сначала произвести замену аргумента tf = t — В дальней-
шем мы не будем делать подобных оговорок. — Прим, перев.
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
47
или неравенство
t	t
я < Ci + ^uvdix^ ct exp( J v dt^.
о	о
Лемма справедлива и при ^ = 0, что легко показать при помощи
предельного перехода ct —> 0.
Упражнение
1.	Показать, что оценка (11) как следствие неравенства (10) в общем
случае не может быть улучшена.
Применяя лемму 1 к неравенству (9), получаем
t	оо
ClJII ад),
о	о
оо
Так как, по предположению, J ||В|| dt\ < оо, то мы видим, что
норма || z || ограничена.
Тем же методом может быть доказана
Теорема 2. Если все решения уравнения (4) стремятся
к нулю при >.оо, то этим же свойством обладают и решения
уравнения (1), если 115(011^^1 для ^^>0, где постоянная ct за-
висит только от А.
Доказательство. Как и раньше, имеем
t
z = y+ flr(t-tt)B(f1)z(f1)dt1.	(8)
о
Из явного представления решений уравнения dyjdt — Ay следует, что
если || Y || -> 0 при /->оо, то существует положительная постоянная а,
для которой ||.у||*<с2£“0* и ||У(01Ксь^"^ при />0х). Отсюда
t
II * IIС (&-<* + с3 Jв- <*-*.) IIВ (tx) || II z ft) II dtx
о
или
t
II г|| е°* < с2 4- ctc3 J eat* || z (tt) || d^.
О
Применяя основную лемму, имеем
|| z |] еаЬ
!) См. упражнение 2 к п. 12 гл. I. — Прим, перев.
48
глава и
Если схс% < а, то отсюда следует, что ||z||->0 при t~>co, Так как
постоянные с3 и а зависят только от А, то ясно, что и et зависит
только от А
Упражнения
2.	Рассмотреть неоднородное уравнение dzftt = Az + w, где А — по-
стоянная матрица, a w = w(O~>wo (w0 — постоянный вектор) при/->оо.
Исследовать ограниченность решений при различных предположениях:
(а)	все решения уравнения dyjdt — Ay стремятся к нулю при со;
(б)	все решения уравнения dyjdt — Ay не ограничены;
(в)	матрица А имеет k характеристических чисел с отрицательной ве-
щественной частью.
3.	Какое условие на w (t) гарантирует ограниченность всех решений
уравнения
при £оо? Достаточно ли, чтобы w(f)~>w0 при £->оо?
3.	Почти постоянные коэффициенты (продолжение). Мы мо-
жем улучшить теорему 1 следующим образом:
Теорема 3. Рассмотрим уравнение
(12)
где
(а)	А — постоянная матрица, все характеристические числа ко-
торой имеют неположительную вещественную часть, причем харак-
теристические числа с нулевой вещественной частью простые]
оо
(б)	В(/)->0 при t-+oo, J \\dB/dt\\dt < оо;
ОО
(b)J ||С(О||Л < оо;
(г) характеристические числа матрицы A~^B(t) имеют непо*
ложительную вещественную часть для
При всех этих условиях все решения уравнения (12) огра-
ничены при /-^оо1).
Доказательство. Обозначим простые характеристические
числа матрицы А с нулевой вещественной частью через At, Л2, ...,
Тогда, как было указано в упражнении 1 п. 10 гл. I, существует
матрица Т, для которой
Aj . . . 0
р-Хду*__	0 • • - djc,k+l • • • djcn
о ’ • .
(13)
t) См. примечание 2 в конце книги. — Прим, перев.
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
49
Это обозначение указывает на то, что матрица &-го порядка,
стоящая в левом верхнем углу, диагональная и что все элементы под
главной диагональю равны нулю. Как обычно, элементы матрицы Т
выбираются в виде многочленов от элементов и характеристических
чисел матрицы Л.
Обратим теперь внимание на матрицу А -|- B(f), характеристиче-
ские числа которой мы обозначим ^(0, <2(0, • • •> ^(0- Пусть А1(/),
Х2(0, • • •>	— характеристические числа матрицы Л-|-В(0, стре-
мящиеся к ах, Х2, ..., и являющиеся, как мы знаем, простыми
для достаточно большого Л Вещественные части остальных характе-
ристических чисел Xfc+1(0, •••, Для достаточно больших t не
превосходят отрицательной постоянной.
Пусть T(t)— матрица, соответствующая построенной выше ма-
трице Т и образованная так, что матрица T^it) [Д-]-В(7)] T(f)
имеет вид, аналогичный (13), причем аД/)—>/•. Тогда Т при
/-►оо, и потому матрица Т~г наверное равномерно ограничена
оо
при	Далее, предположение J \\dB/dt\\dt < оо влечет за со-
оо
бой неравенство J |]dT/d/||^ < оо. Оба эти факта важны для даль-
нейшего.
Если теперь в уравнении (12) сделаем подстановку z = T(t)w,
то получим
^=r-i(X + B(0)7w + (r-iC7’-7’-i-^)w.	(14)
Из предположения о матрице С и из сформулированных выше
свойств матрицы Т следует, что матрица Т^СТ—T-^dTjdt, кото-
рую мы обозначим через /?, абсолютно интегрируема:
J ||Я|| dt= J\\T-ICT— Т-1 dT/dt\\dt < оо.
Записав уравнение (14) в компонентах, получим
+ 2	i	z=1 - 2 k, (15)
J=fc+1	«7=1
^-=^(o^+	z=fe+1,•••>«> (i6)
J = 24-1	J=1
где	(dy — постоянное) при /->oo и
j* \rij(t)]dt<co.
Зак. 1629. P. Веллман
50
ГЛАВА II
Заметим, что различие между уравнениями. (15) и (16) состоит
только в нижних пределах сумм	это различие определяется
видом матрицы (13).
Исследуем теперь решение уравнений (16). Обратившись сначала
к случаю i — п> мы найдем, что для некоторого сп
t
1Яп = сп ехр Ц \n(tr) dtt j +
t t	n
+ / exP [ J (s)ds] (2 rnj №)	(4))dti-
0	J J=1
Так как вещественные части величин (0 при i в k -|- 1, .. *, п
равномерно отрицательны для достаточно больших значений t, то для
некоторых положительных постоянных а, bt> Ь2> при t^O, мы будем
иметь неравенство
t
\^n\<bie~^-\-b.2 f e-»«-*.)||/?||||w||d/l,	(17)
6
Рассматривая случай i = n — 1, получаем интегральное уравнение
t
w»-! = ^n-iexp [ J Х„_! (tj dtj +
t	t
+j* exp [ I(s)ds]d»-l.»dtl +
0
t	t	n
+ J exp J J (s)ds1(2 r„_1( j(t1)4i>j(t1)^dt1.
o	- j =1
Оно приводит к неравенству
t
I _11 С Ьйе-м -I- bl f I dn_it n (^) | | wn (^) | dtt +
0
t
+ b^e-^-tlW\ ц«,цЛ1.
o
Применяя неравенство (17), получаем
t
I -11 < Ьйе-<ч + bl J	|| R || ,|| w||dtt 4-
0
t	, t.
+«п+л/	+ J e-“(«.-«||/?|| Hwll^te
о	о	1 •	•	' *'
Решения линейных систем	5!
при этом мы использовали то, что W(^)K^W+1- Первый: член
во втором интеграле равен Сп+г^Ь^е-0*. Второй член равен
сп+1^ьл J*	«-»<*•-*«)II/?II ||w|ld/a)rf£t —
О	о
t tx
= cre+iW"e< / (J ***ll«ll кНк-
О о
Интегрируя по частям, получаем
t
(*-*,) *-в«-*‘>||«|| кК-
О
Так как te~at ^.bbe~at для Z>0, если 0 < ах < а, а Ьь подобрано
соответственным образом, то
t '
о
Так как аг < то этому же неравенству удовлетворяет и |ww|,
если в случае необходимости увеличить постоянные й6 и bv
Продолжая таким же образом шаг за шагом, мы найдем, что
существуют положительные постоянные &8, и аа, для которых
t
f	(18)
0
при ЛЦ- 1 <7 «С Я.
Переходя к уравнениям (15), мы получим при
t
Wi = exp £ J Xi
о
t	t	n
+ J* exp [f Ki(s)ds J]	4-
0	\	J
t	t	n
+ J exp | J Kt (s) ds
0	ti	j=l
Так как вещественные части величин А<(0 не положительны, то
для Z = 1, 2, . .., k имеем
t п	t
+ /( 2 |W/|)^ + /||Я|| |®К- .	(19)
о J=fc+1	о
4*
52
ГЛАВА П
Из неравенства (18) получим
t
I I < 4	+ 4 J е~а’ || R || || w ||dtt.
j^k+1	О
Меняя порядок интегрирования, а затем обозначение переменной ин-
тегрирования, находим
t t,
J ^e-M^-^llfliillwIld^A =
О о
t	t
=-ife-aaВR И11w Иdi^+i / IIRIIIIw II
о	0
откуда и из неравенства (19) следует окончательно
t
l^;l<4+4 Jp|| М!^,
0
Комбинируя это неравенство с неравенством (18), получаем
t
IHIK 4+4 JII ^11 Hl^r
о
оо
Так как в силу предположений J* ||Z?||<//< оо, то отсюда с помощью
основной леммы вытекает, что ||w|| ограничена.
Упражнения
1. Применяя жорданову нормальную форму, показать, что предположение
о простоте характеристических чисел с равной нулю вещественной частью
может быть заменено на предположение о том, что этим числам соответствуют
простые клетки.
2. Для каких значений сь с% и с% все решения уравнения
Й“+++(‘+?+»“=«
ограничены?
4.	Уравнения с периодическими коэффициентами. Рассмотрим
теперь уравнения вида
§ = (Л(о + в(О)^	(6)
где матрица A(t) периодическая, а матрица B(f) мала при /->оо.
То, что свойства устойчивости, выведенные для случая постоянной
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
53
матрицы Л, переносятся и на этот случай, является следствием ка-
нонического представления решений невозмущенного уравнения
=	(5)
о котором говорит теорема 11 гл. I; из этой теоремы следует, что
матричное решение задачи
^=Л(0У.	Г(0) = /
имеет вид
Y(t) = P(t) е®,
где P(t) имеет тот же период, что и Л(^), а С—постоянная ма-
трица.
С помощью этого представления может быть легко доказана
Теорема 4. Если все решения уравнения (5) ограничены, то
в предположениях, что
(а)	матрица A (t), периодическая,
(б)	J* ||В ||Л < оо,
все решения уравнения (6) также ограничены.
Если в тех же предположениях все решения уравнения (5)
стремятся к нулю при	то это же имеет место и для
всех решений уравнения (6).
Доказательство. Если все решения уравнения (5) ограничены,
то и норма || ограничена при £->оо; если же все решения этого
уравнения стремятся к нулю, то и || е™ || стремится к нулю и притом
со скоростью показательной функции, т. е. || cxe~at, где а > 0.
Это вытекает из того, что | Y (t) | =# 0; отсюда | Р (01	0 и, следо-
вательно, ет = Р~х (/) Y (/). Так как
t
z = У + J Y (0 Y~l ft) В ft) z ft) dtx =
0
t
= f Pft	ft)Bft) z ft) dtv
0
то имеем
t
Ы<Ы+ f II mi И(<-Ч р-Ч^И limil
0
t
<c2 + c3J||Bft)llkft)||^1. (20)
0
54
ГЛАВА И
откуда, как и ранее, следует ограниченность. Вторая часть утвер-
ждения также выводится аналогично предыдущему г).
5.	Уравнения с переменными коэффициентами общего вида.
Мы уже знаем, что ограниченность решений уравнения
=	(5)
вместе с условием || В (t) || -> 0 при t оо недостаточна для того
чтобы гарантировать ограниченность всех решений уравнения
g=(4(/) + B(0)z	(6)
(ср. пример п. 1). На основании изложенного выше мы могли бы
ожидать, что ограниченность будет иметь место, если заменить
оо
условие || В (/)1| —> 0 на условие J [В(0|| dt<Z оо. Покажем, однако,
на примере, что такая общая теорема несправедлива.
Теорема 5. Существует уравнение вида (5), все решения ко-
торого стремятся к нулю при t-+oo, и матрица B(t), удовле-
оо
творяющая условиям || В (t) [I -> 0 и || В (/) || dt < оо, такие, что
уравнение (6) обладает неограниченными решениями.
Доказательство. Рассмотрим при 0	< оо систему
уравнений
dy-,
^a = (sin In ^Ц-cos In t — 2a)y2,
общее решение которой имеет вид
yt = qe-0*,
у — се1sin ln
*) Так как || eGt ||< cre at, то и ||у ||< с±е ^.неравенство (20) заменяется
неравенством
t
W < cie~at + с6 J е~а^ || В (tt) || || z (fx) И dtb
о
откуда
t
II * II eat < + c6 J || В ft) || || z (Zj)|| eatl dtt (/ > 0),
0
и наше утверждение следует из основной леммы. — Прим, пере в.
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
55
Если а> 1/2, то все решения стремятся к нулю при £->оо. Если
в качестве возмущающей матрицы выбрать матрицу
О
0
0 /
то возмущенная система уравнений будет иметь вид
dzx
dt
== — azlt
— = (sinInf-}"cos In t — 2a)z2-j-z^-01.
(21)
Решение этой системы таково:
zt =
— gt sin In t-Zat
t
J* Q-ti sin In
0
Положим t = е<2п+1/2>к. Так как
t
J g-t. sin In f,
0
J	sin in tt atx > f(e ~2k/3 — е~те) exp
te~K
то мы видим, что если
1 <2а< l+e^/2,
то решения системы (21) ограничены только в том случае, если
q = 0. Это условие выполняется только для тех решений, для ко-
торых ^1(^о) = О.
Постараемся теперь спасти положение дел, дополняя условия
теоремы. Оказывается, справедлива
Теорема 6. Если все решения уравнения (5) ограничены, то
и все решения уравнения (6) ограничены, если имеют место
условия	’
оо
(a)	J ||B(/)||df<oo;
t
(б)	lim J* tr (4) dt± > — oo;
t -> oo -
условие (б), в частности, выполняется, если
(б') tr(A) = O.
56
ГЛАВА П
Условие (б') применимо к важному уравнению	|
zz" + а (/) и = О
— оно эквивалентно двумерной системе, удовлетворяющей этому*
условию.	♦
Доказательство. Выражая z через у, имеем
г=^+/у(ОУадададлР	|
о	;
откуда
t
IWKIb'll+J’ЦГ(OilП-чои ||Bft)|| |адцлг (22)
о
Так как в силу теоремы 2 гл. I
t
det Y = exp £ J tr (Л)	,
то, если условие (б) выполнено, матрица ЦК”1 (ОII ограничена при
t->oo. Поэтому из неравенства (22) получаем
t
1ик<1+ч j* надн иади^
о
и ограниченность решений уравнения (6) следует из основной
леммы.	1
6. Почти постоянные коэффициенты: асимптотическое пове-
дение. Возвратимся теперь к уравнению вида
= (1)
где [| В (/) || ->0 при £->оо, и исследуем поведение ||z|| при
Простейшим и, вероятно, наиболее интересным случаем является
тот, когда матрица А имеет простые характеристические числа.
Случаю кратных характеристических чисел соответствуют резуль-
таты, более сложно формулируемые и доказываемые. Поэтому мы >
удовлетворимся следующим предложением:
Теорема 7. Если уравнение (1) удовлетворяет условиям'. 5
(а) А — постоянная матрица с Простыми характеристике- Д
сними числами;	I
(б)ЦВЦ->0 при	!
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
57
то каждому характеристическому числу \к соответствует ре-
шение удовлетворяющее неравенствам
t
c2exp[Re(Afc)Z —d2 j* |]В|| dt] <||^)|| <
t
< q exp [Re (kk) t + dtf || В || dt] (23)
A)
для t^tQ} где c±, c%, дг и d2— положительные постоянные. При
этом система решений z^ линейно независима.
В частности,
г In II ^||
lim —^-7—- ==
t -> оо *
Re(^).
(24)
Доказательство. Пусть С — постоянная матрица, приводя-
щая матрицу А к диагональному виду, т. е. пусть C~MC=Z,, где
матрица L диагональная. Подстановка z-+Cz преобразует уравнение
(1) в уравнение того же вида, но в котором матрица А будет уже
диагональной, а новая матрица В(/)->0 при >оо. Поэтому мы
будем считать это преобразование уже выполненным, так как ясно,
что если новое уравнение обладает решениями, имеющими нужные
свойства, то и исходное уравнение обладает решениями указанного
типа.
Некоторое осложнение возникает из-за того, что хотя числа
различны, но их вещественные части могут совпадать. Пусть \к—
характеристическое число, для которого ... Re(Xft._1) -CRe(Xfc) <
< Re(Afc+i)<;Re(Afc+2) ..., a. yk — столбцевой вектор с компонен-
тами 0, 0, ..., е"^, 0, .. ., 0, где е1*? стоит на й-м месте. Каждое
решение уравнения (1) удовлетворяет интегральному уравнению
t
z = f Ylt-tjBttJz(ft) dtv	(25)
to
где, как обычно, Y (t) = exp At(tQ будет выбрано ниже), и обратно,
каждое решение уравнения (25) является решением дифференциаль-
ного уравнения (1). Чтобы получить решение уравнения (25), удо-
влетворяющее соотношению (24), мы должны как-то исключить
члены, содержащие е^ при / > k (этого, конечно, не требуется при
<k = п). Это мы сделаем следующим образом. Разложим матрицу Y
58
ГЛАВА И
на сумму Y = Ух -|- У2, где
' <?М
О
о
о
о
о	о
e'k+i*
ем1
О
При таком разложении уравнение (25) приобретает вид
t	t
* = У + / (t -1.) В (tx) z (tx) dt,+J y3 (t -tx) В (tt) z dtx. (26)
*0	#0
Здесь нежелательные члены объединены во втором интеграле. Чтобы
их исключить, мы воспользуемся тем, что для каждого фиксирован-
ного tx вектор Y%(t— В (/t) z ((j) является решением уравнения
dyjdt — Ay, а потому и интеграл
оо
J Y^t — t^B^zkQdt,	(27)
*0
в случае его сходимости х) является решением этого уравнения. От-
сюда, изменяя выбор решения у уравнения dyjdt= Ay, мы можем
переписать уравнение (26) в виде
t	со
* = у 4- J* (t — tx) В (tj г ft) dtx — fya(t — tx) В (tj z (4) dtx. (28)
to	i
9 Конечно, речь идет о равномерной сходимости указанного интеграла
на .каждом конечном интервале изменения Тогда и интеграл
оо
to
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
59
Конечно, существование решения уравнения (28) не очевидно. Чтобы
получить это решение, мы обратимся к помощи метода последова-
тельных приближений. Мы покажем, что при подходящем выборе у
существует решение уравнения (28), удовлетворяющее второму из
неравенств (23), причем для этого решения интеграл (27) сходится,
т. е. уравнение (26), а с ним и уравнение (1) удовлетворяется.
Чтобы удовлетворить первому неравенству, потребуются иные со-
ображения.
Примем у равным вектору ук, определенному выше, и положим

t	оо
^w+1 = У к “Н J* ^1) & (^1)	(4) J* ^2	^1)^ (^1) %т (^t) ^1*
Ъ	t
(29)
Покажем сначала по индукции, что при
t
W <c1exp[Re(Xs)/+d1 f ||В||л]	(30)
#0
для соответственно выбранных постоянных с{ 1, dv > 0 и tQ.
Это ясно при т = 0. Предположим, что неравенство (30) имеет
место для некоторого /п, и выведем отсюда его справедливость для
т -|- 1. Имеем
t
ll^+ill < Ил II4- f ИМ'-Л)11 II в О W dti +
оо
+ .f IIM^i)ll 11^)11 \M\dtv (31)
t
сходится равномерно, так как он равен
оо	оо
J AY2(t—t1)Bzdt1 = A^ —
A)
Значит, по известной теореме анализа, справедливой, и для векторных функ-
ций, дифференцирование под знаком интеграла (27) возможно и уравнение
dy/dt == Ay удовлетворяется. — Прим, перев.
60
ГЛАВА II
Первый интеграл в правой части этого неравенства не превосходит
величины
Ч j* II V- У || ||В (У II exp J П В (У ||dy) еЕе W dtt <
to
< kcr f eRe <x*>(<~4Re t‘ || в (У II exp [d, f || В (у || dtJ dtx <
to	to
<	t exp J n в Ц
Рассмотрим теперь второй интеграл. Он не превосходит величины
ОО	ti
C1(n — k)f Л W<*"**> ||В(у|| exp [Re(Xfc) t^-dx [ ||В|| dt^dtx. (32)
t	to
Чтобы получить дальнейшую оценку, применим следующую лемму:
Лемма 2. Пусть постоянные а, b и функция <?(/) положи-
тельны и удовлетворяют условию
?(0
a.
Тогда
kA-Л
t
Доказательство. Имеем
ae~aty (/) — e~at®' (t) = ae~aty (£) (1 — cp'/^p)
a
Таким образом, пользуясь тем, что
t
lim (/) = exp lim f(—a-
t -> oo	t -> CO L '
to
dt
0,
получаем
_ J [ae~at<D (t) — e-at^f (эд dt^^a — b) J e~at<f (t) dt.
t	t
решения линейных систем
61
Чтобы привести выражение (32) к виду, пригодному для приме-
нения леммы, мы произведем интегрирование по частям; получим
ОО
С1 (Я — k) gRe (Xj.+1)t J	g-Re (Xft+1-Xfc)
X exp J IIВ (ОН л] dtx + eRe (Х*+1>‘ X
А)
х [exp ( — Re (Xfc+1 - Xfc) /t + d. f || В (t) ||	. (33)
^0
Для применения леммы 2 положим a==Re(AA.4_1 — Xfc) > 0 и
|$ = МЖ01|.
Так как ||В||->0 при £->оо, то для где t0 достаточно ве-
лико, будем иметь d± sup ||В|| С г!%а = Ь. Отсюда, применяя лемму,
мы видим, что первый интеграл в выражении (33) не больше чем
t
2e~Be (Xs+i~xfe> * exp pf J || В (^)|| dtx
f.,
Объединяя слагаемые, мы получаем, что второй интеграл в правой
части неравенства (31) не превосходит выражения1)
t
2ct(v*)exp[Re(xfcK+<fl J||В|1 dt\-
Принимая во внимание оценку для первого интеграла, мы видим,
что если положить ct = 2, a d± выбрать настолько большим, что
1 I । 4 (л < 2
d± di
то будет иметь место неравенство (30). После выбора dt надо так
выбрать tQ, чтобы было djsup ||В|| ^Ь. Это завершает индукцию2).
t>t0
!) Отметим простое часто применяемое утверждение: если	и
lim с? (0 < а, то lim — at -f- Г ср (t) dt = — оо. В силу этого второе сла-
/ -> ОО	t -> ОО L	У	J
гаемое в равенстве (33) отрицательно. — Прим, перев.
2) Только теперь построение последовательных приближений полностью
обосновано, так как из оценки (30) следует равномерная сходимость вто-
рого интеграла в формуле (29) и тем самым доказано существование и не-
прерывность всех функций zm (t). — Прим, перев.
62
ГЛАВА ft
Чтобы показать сходимость zmi мы рассмотрим, как обычно,
оо
ряд S(Xm+i — £m). Нетрудно по индукции показать, что для лю-
W» = 0
бого в, 0 < е < Re (Aft+1 — Ал),
II zm+l - zm II < (с2 sup IIВII r+M®’ (Ч>+'Х,	(34)
Л)
где c.2 = c2(s); достаточно положить с2 = £/8-|-(п — £)/1?е(Хл+1—
— кк — е). Следовательно, для достаточно большого tQ ряд сходится
равномерно на любом конечном интервале значений t и предельная
функция непрерывна. Переходя в соотношении (29) к пределу (что
возможно на основании оценки (30)), получаем уравнение (28). Зна-
чит, предельная функция является решением уравнения (1), удо-
влетворяющим второму из неравенств (23).
Пусть г<2),	— решения, соответствующие различным
характеристическим числам ла, ..., При этом если два числа
и кк+1 имеют одинаковые вещественные части, то мы не будем
менять и У2, а лишь заменим ук на
Покажем, что эти п решений линейно независимы. Действительно,
пусть имеет место равенство вида
п	п	п
0 = 2	= 2	+ f [2 {t - в ^*)] dt, -
fc=l	k-1	k=l
00 n
- f 12 ^Y^t-t^B^^dt,.
J k=l
После замены на Y — Y$k получится
00 n
О =2^л~ f [2л(^-^)ва1)^]^1.	(35)
k i„
Все матрицы У2Й. имеют первую строку нулевой. Значит, и вектор,
стоящий под знаком интеграла в (35), имеет первую компоненту,
равную нулю. Приравнивая первые компоненты обеих частей фор-
мулы (35), получаем 0 = А*, откуда = 0. Затем рассматриваем
вторую строку матриц Y2k (fe 2), проводим аналогичное рассуждение
со вторыми компонентами векторов и т. д. Таким образом, получаем,
что все рк = 0 и линейная независимость доказана.
Перейдем теперь к доказательству первого из неравенств (23).
Пусть Z — матрица со столбцами Она не вырождена и удовле-
творяет дифференциальному уравнению (1), а потому ее обратная
матрица Wr=Z“1 удовлетворяет сопряженному матричному уравнению
^=-г(л-ьв).
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
63
Рассмотрим соответствующее векторное уравнение для строк ма-
трицы W\
=----+	(36)
Тот же метод, который был применен для исходного уравнения,
показывает, что для каждого характеристического числа—кк ма-
трицы —А существует решение удовлетворяющее неравенству
t
II w'k' II < 4 exp [- Re (Afc) t -f- d2 J || В || dt. ].
to
При этом значение /0 можно считать тем же, что и ранее.
Пусть V—матрица со строками Она не вырождена и из
теоремы единственности следует, что V = DW, где D — постоянная
матрица, D = (d^). Тогда VZ = DWZ = D. Определим скалярное
произведение строчного вектора у на столбцевой вектор z по фор-
муле	обозначая это произведение через
у • z. Если у и z — векторные функции, то у • z, вообще говоря,
будет скалярной функцией, однако для любых решений и г, соот-
ветственно уравнений (36) и (1), скалярное произведение • z по-
стоянно (это легко проверяется на основании самих уравнений). В ча-
стности,
w(fc) . z[k) =dkk.
Если dkk Ф 0, то из неравенства | dkk |	II получим нера-
венство
t
IIz(k)II > | ^ | exp [Re (kfc) t-d2 J || В (t.) ||dt.l.
t)
Если же dftfc = 0, то мы поступим следующим образом. Вместо
вектора z№ рассмотрим вектор
Л—1
А) — z(k) afz'l>.
7=1
Изменяя, если нужно, постоянные, можно для получить оценку
типа (30). Матрица Z со столбцами z(k> имеет тот же определитель,
что и Z, и потому не вырождена. Аналогично, вместо можно
— п
рассмотреть «ь*) = «И*)S Рассмотрим линейное многообра-
7=А+1
зие М19 состоящее из решений сопряженного уравнения (36), для
которых скалярное произведение
fc-i
™	4- 2 а^г)) = о
7 = 1
64
ГЛАВА tl
при всех az. Это равенство эквивалентно k независимым условиям
<ц) •	== w • 2^ = . . . = W •	= 0.
Так как линейное многообразие М всех решений уравнения (36)
n-мерно, то ML является (п — й)-мерным многообразием.
п
Из линейной независимости следует, что вектор w® -f- S pzw(^
1-к+1
не может принадлежать (п — &)-мерному многообразию при любом
выборе pz. Следовательно, для любого выбранного k величина
не может равняться нулю при любом выборе az и pz, а потому для
каждого k существует решение требуемого вида.
7.	Асимптотические свойства. Мы докажем теперь более точный
результат об асимптотическом поведении решений.
Теорема 8. Пусть
+	+	(37)
где
(а)	А — постоянная матрица с простыми характеристиче-
скими числами;
(б)	<р —> О при t-+oa, a J* \\d<?/dt\\dt < оо;
(в)	р|В(0|1^<оо;
(г)	характеристические числа cL(t) матрицы А(0 имеют
различные вещественные части.
Тогда существует п независимых решений zW(t) (\^.k^n)
уравнения (37) таких, что при t->oo
t
z!M (t) = (exp J	(£() dt^ (ck + о (1)),
t)
где ck— постоянный не нулевой вектор.
Условие (г) можно заменить следующим, более общим:
(гл) имеет место по крайней мере одно из двух неравенств
t
J Re (az (0 — (0) dt > — с при > tQi (38)
t
| Ке(ХД7) — kk(t))dt<c при	(39)
tx
где с — постоянная, не зависящая от t и
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
65
Доказательство. На основании теоремы 10 гл. I мы знаем,
что существует матрица 5(£), для которой
5(4 + <?) 5-1 = А,
где А — диагональная матрица с диагональными элементами, равными
характеристическим числам матрицы (/). При этом
(a)	lim 5(0 = Т (det 7V 0);
£->оо
(б)	lim Х^(О = Н< (Нч— характеристические числа матрицы Л);
£->оо
(в)	j\\dSldt\\dt<oo.
Выполнив замену переменных у = Sz, получим
S+	+	(40)
Так как 5 стремится к постоянной невырожденной матрице, то
Введем новую матрицу R = SBS"1 + (с?5/Л)5"“1 и запишем уравне-
ние (40) в компонентах:
/?(/) = (Гу (/)).	(41)
J=1
Рассмотрим разность 1?е(ХД/)— Хл(/)) для фиксированного k и пере-
менного I в предположении, что выполняется условие (г'). Обозначим
через I множество целых чисел 1(1	для которых эта раз-
ность удовлетворяет неравенству (38). Множество остальных чисел i
обозначим через И; для этих i удовлетворяется неравенство (39).
Отметим, что фиксированное выше число k £ 1. Формально легко убе-
диться в том, что уравнения (41) для всех I можно перевести в инте-
гральные уравнения, которые будут иметь различный вид в зависи-
мости от того, принадлежит ли I множеству I или множеству II.
Именно, для I £ I мы получим
t
У г (0 =	exp ( J Xk (ft) dt^ —
^0
СО	t	п
— J ехр ( J К (s) d.sj У Гу (tj yj (tt) dtx (42)
t	h	J=1
5 Зак. 1629. P. Веллман
66
ГЛАВА И
(3ifc означает символ Кронекера:	равно 1, если Z = A, и равно О
в противном случае). Если же I £ II, то будем иметь
t t	п
yi (0 = f exp ( J kt (s) ds} 2 rtj (ZJ dtt. (43)
Дальнейшее доказательство аналогично тому, которое было при-
менено выше, в теореме 7, когда мы задавались целью указать реше-
ния, имеющие определенный характер роста при /~>оо. Чтобы дока-
зать существование решений и получить для них оценки, применим
метод последовательных приближений, полагая
t
Хо,(0 = 8«ехр(JXfc&HO). Z=l, 2, ...» п,
i'O
t
y«+i)(0 = 8ifceXp.(J*
to
—	<s)ds) S	dtv m > °- 1 € !> <44)
t	tx
л(’»+1)(0 = J exp (J* k< (s) ds) 2	dtv m > 0, Z £ II.
to	Л	J = 1
Так как доказательство принципиально просто, но громоздко, то
мы советуем читателю сначала провести его для систем из двух
уравнений, когда технические затруднения минимальны.
Для упрощения записи положим
t
Re( f ki(s)ds} = Hi(t),
to
M0)^=iX0)(Oi.
w+1) (0 = IXM+,) (0 -~XM) (01.	m > 0.
Из уравнений (44) получаем для т^-1 и
ОО
Длм) (0 < / W IIR (0) 11 2 Дл’”"1) (0)	(Ze I), (45)
t	3
(Z) < f	IIR (ZJII2 Д^"1’ (Zx) dtt (i £ II),
to	1
Решения линейных сисТеМ	gf
в то время как
Покажем по индукции, что число /0 можно выбрать настолько
большим, что
(46)
Утверждение, очевидно, верно при т = 0. Из неравенства (45) полу-
чаем по предположению индукции для zgl
дуг+1) (0 < п2~теНк (t) J" eBi ®~Bje (t}+Sk (#1}~Si w IIR fa) || dtv
t
а для i £ II
ДУГ+1)(О < n2~MeSk(t} J	(#i> ||#(/1)|| dtr.
tl)
Из определения множества I следует, что при i £ I
Л
ехр|—J Re [л4(л?) — AfcО)]«fsу < с',
для некоторой фиксированной постоянной с' = ес. Отсюда при i £ I
дУто+1) (0 < с'п2~теНк (0 | || R (tt) || dtx.	(47)
t
Аналогично, так как при Z£II имеем
t
exp{ J Re [A4(s) — ($)]ds| < c',	t0,
где постоянную cr мы можем считать такой же, как в неравенстве (47),
получаем
t
tky{r+1}(t}^c'n2-meSkW^ Ц/?(^)||Л1.
А?
Если Zo выбрать так, чтобы было
оо
^0
5*
68
ГлАва it
то неравенство (46), в котором т заменено на zn-f-1, будет удовле-
творяться г).
со
Следовательно, ряд 2 (Д”*+1) —У/"') для каждого i равномерно
сходится на каждом конечном интервале значений t, а потому
/<;«), причем функции yt, уа,	уп образуют реше-
ние системы (42) — (43) 2). Кроме того, для каждого I имеем
Возвращаясь к равенству (42), мы видим, что для
| / exp (J	(s) ds\ 2 rtj (4) уf (4) dt± | <
t \	*
<	(<) f || R (4)|| dtt = о (eBk <*>)
t
при /—>oo. Отсюда для
t
yi (t) = (8ifc + 0 (1)) exp (	(4) dt.).
Если i £ П, to
t	t	t*	t
| J* exp (j* (s) ds) 2 Гц {ti)yi (4) й?4 I < I f I +1 f |
4 tx	J	t0 **
при	как надо выбрать /*, мы укажем ниже.
!) Одновременно в силу доказанной в формуле (47) конечности величины
обосновано применение несобственных интегралов в формуле (44)
для индуктивного определения (f). Кроме того, в формуле
(0=
I	i-1
t
(т > О,	0, i € I, Н{ (0 =	(s) ds)
h
в силу оценки (46) интеграл сходится равномерно, и потому по индукции
получаем, что все (0 непрерывны при tQ < t < оо. — Прим, перев.
2) См. примечание 3 в конце книги. — Прим, перев.
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
69
Второй интеграл ограничен величиной
t
(0 f НЖОН dtv
t*
Так как по предположению /£П, то, как легко доказать от про-
тивного,
t
. j* 1?е[ХД$)— \k(s)]ds-+ — оо
$0
при /-> оо. Поэтому мы можем определить =/* (/) так, что t* -> оо
при / —> оо и
t
J Re [Xi (s) — Xfc ($)] ds — oo.
t*
Например, если обозначить
t
= J Re (Х4 (5) — Xft(s)]<fc,
i	0
то мы выберем t* так, чтобы выполнялось соотношение F(/*) = Л(7)/2.
При таком выборе t* второй интеграл, очевидно, равен о (еПк ^). Пер-
вый же интеграл не превосходит величины
t*
2	J	|| R <^) у dti =
^0
£* t*	t
=2eSk {t) f exp (J Re [X< (s)—Xfc (s)] ds } exp { J Re [X, ($)—Xfc ($)] ds }x
to	\	t*
f*	t
x ii₽a1)ii ^<2Cz*(,) J* exp{ / Re iw-Xfc (5)1
to
т. e. тоже равен о(еПк^).
Таким образом, для каждого k мы построили решение
компоненты которого удовлетворяют асимптотическим соотношениям
t
y'i'1 (0 = (8»fc + О (1)) exp (f Xfc (s) ds).
70
ГЛАВА II
Отсюда, рассматривая определитель Вронского, замечаем, что у№
составляют линейно независимую систему решений. Так как z — S-^y
и так как S стремится к постоянной невырожденной матрице, то мы
получаем систему векторных решений, о которых говорилось в теореме.
8. Асимптотические ряды. Обычно о матрице коэффициентов
известно значительно больше, чем то немногое, что требовалось в фор-
мулировках предшествующих теорем. Естественно поэтому ожидать,
что в этих случаях мы можем больше узнать и о свойствах решений.
Мы будем отправляться от важного подкласса уравнений, матрицы
коэффициентов которых имеют в качестве элементов рациональные
функции. Пусть каждый из элементов матрицы стремится к постоян-
ной при /—>оо. Тогда для достаточно^ больших значений t каждый
элемент можно разложить в сходящийся степенной ряд вида
МО = Со + £+---+?! + ••• (ck^ck(i, j)).	(48)
Значит, мы можем записать матрицу А при в виде
»(0 = Л + ^+...(49)
где Ак — постоянные матрицы.
Делая еще один шаг, рассмотрим класс уравнений
где матрица A (f) для достаточно больших значений t обладает разло-
жением указанного выше вида. Если разложение (49) имеет место, то
lim A (t) — Ао,
#->оо
Нт/(Л(0 —ЛО) = ЛР
#->оо
ita /»+.(Л(о-ло-4—...
(50)
Заметим, что соотношения (50) никоим образом не предполагают
сходимости ряда (49) — очень легко привести пример функции, удо-
влетворяющей равенствам (50), для которой ряд в правой части (48)
расходится для всех значений Л В самом деле, рассмотрим скалярную
функцию
оо
о
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
71
Легко убедиться в том, что
lim g(f) = O.
lim t g(t) 1
f->oo
(51)
Hm /«+1 [g(/) — 1 + ... — (— iy»-i	= (— 0re« !>
......................................................................J
в то время как ряд
—1—1-4-	[ (—1)^1
6 W —	“Г • • • ~T fn-t-l
расходится для всех значений t. Заметим, что этот ряд получится,
если написать формально
£(0 =
Г е~х dx
J t [1 + (x/OJ
о
(— 1)«х™
f»
.. . j dx
и произвести почленное интегрирование, что, конечно, совершенно
незаконно.
Несмотря на то, что ряд S(t) расходится для всех значений Л из
формул (51) следует, что для	имеем

Так как n!(l 4“s)/^+1-*0 при /~*оо, то мы имеем здесь удиви-
тельный факт: ряд S(t) расходится, но его последовательные частные
суммы дают превосходные приближения функции g(t) при /—>оо.
Если, например, / = 10, то мы получаем наилучшее приближение,
взяв я = 10. Из формулы Стирлинга имеет
10!ад 1010£~10 /20^,
откуда видно, что погрешность нашего приближения ад £~10 Уи/5.
Такие ряды, которые дают хорошее приближение к данной функ-
ции, если их оборвать на соответствующем месте, даже если они-
расходятся, называются асимптотическими рядами. Дадим теперь
точное определение.
72
ГЛАВА II
Определение. Если бесконечная последовательность {ак},
fe==0, 1, 2, ... определена так, что
Пт /(/) = aQi
t-^сл
\imt(f(t) — a0) = a1,
t-> oo
lim tn+1 (/ (0 - «о -	- • • • ~
f->co '	'
то говорят, что функция f(t) обладает асимптотическим разложе-
нием при	и записывают это в виде
со
(52)
п=0
Ряд в правой части (52) не предполагается сходящимся, он может
сходиться или расходиться.
Исследуем теперь алгебраические соотношения, которым удовле-
творяет только что введенное соответствие между функциями и фор-
мальными степенными рядами. Имеет место следующая
Теорема 9. Пусть
со	со
/(О ~ S	g(t) ~ s ьпгп,
n~Q	п=0
тогда для любых постоянных ct и с2 имеем
q/+	2 («!«»+с2ьп) гп.
Далее,
оо
П=0
где
сп~ 2 ак&1 •
k+l=n
Кроме того, если aQ^=0, то
_ 1 г I С1 I	I Сп I
f(t)~со + —+•••+т«-+•••>
где
аосо=1, a0Ci + 0^ = 0........S a*Cj = O (я>0).
Jc+l^n
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
73
Наконец, если
м=о
то d0 — = 0 и dn = — (п — 1)ап_г при п^>2. Если aQ = at = О,
то
t	п=2
если же по крайней мере один из коэффициентов а0 и аг отличен
со
от нуля, то j J /(f)d/| = oo.
Доказательство следует непосредственно из определения, и мы
предоставляем читателю провести его в качестве упражнения. При
этом проще всего пользоваться полезным и для дальнейшего замеча-
нием: для того чтобы имело место асимптотическое,разложение
п=о
необходимо и достаточно, чтобы для любого целого было
N
/<О=2^+°ЬЧ-
п=о
Из сказанного выше видно, что с асимптотическими рядами, пока
рассматриваются их алгебраические свойства, можно обращаться как
с обычными степенными рядами. То же относится к действиям диф-
ференцирования и интегрирования, если только функции, получаю-
щиеся при дифференцировании, обладают асимптотическим разложе-
нием. Отсюда следует, что если все функции./,	и
коэффициенты некоторого многочлена Р (/, /,...,	обладают
асимптотическим разложением, то и этот многочлен обладает асимпто-
тическим разложением, которое можно подсчитать формально.
Чтобы показать, что производная /' может не иметь асимптоти-
ческого разложения, хотя его имеет функция /, рассмотрим функцию
/ = 2.	e-г sin е2*.
Согласно нашему определению, f—1/t Однако функция
f' = — 2. — e-t sjn e2t 2et cos e%t
не имеет асимптотического разложения, ибо уже lim /'(/) не суще-
t-^CO
ствует.
74
ГЛАВА II
Этот пример показывает также, что хотя каждая функция может
обладать лишь единственным асимптотическим разложением, но раз-
личные функции могут иметь одно и то же асимптотическое разло-
жение.
Обратимся к применению изложенных идей в теории дифферен-
циальных уравнений. Взяв простое уравнение
=	(53)
мы видим, согласно теореме 8, что решения его являются линейными
комбинациями функций порядка и при t —>оо. Будем искать
решение в виде
« = е‘(1+-£+>+•..	(54)
Подставляя в уравнение (53) и приравнивая нулю коэффициенты при
различных степенях /, получим
ф Cl—	СП~ 2п
Мы видим, что ряд (54) расходится для всех значений £ Однако
мы покажем ниже, что этот формально найденный нами ряд на самом
деле является асимптотическим разложением для решения уравне-
ния (53). Принимая во внимание разложение вида (54), полезно
несколько расширить наше определение асимптотического разложе-
ния и писать
(55)
П = 0
если
N
1/(0—<P(0SV”l = l<P(0|O(rx-1)> JV = O, 1,2, ... при^оо.
п=о
Если ср (t) =#0 для то из (55) следует
со
<?(0 п •
п=о
и наоборот.
Заметим, что если мы знаем, что решение уравнения (53) обладает
асимптотическим разложением, то коэффициенты av а.2, ..., ап
легко подсчитать последовательно при помощи сравнения коэффи-
циентов. В связи с применением асимптотических рядов к дифферен-
циальным уравнениям основная проблема состоит в следующем:
оо
Пусть дан бесконечный ряд вида ^ап1Гп, расходящийся при
всех значениях t и формально удовлетворяющий дифференциал
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
75
ному уравнению Р(и, и', я",	я'п)) = 0; при каком условии
этот ряд является асимптотическим разложением решения этого
уравнения?
Мы дадим частичное решение этой проблемы для случая, когда Р
является линейной однородной формой относительно переменных
zz, и', и"\ ..., и(п\ т. е. когда Р = 0 представляет собой линейное
дифференциальное уравнение
и^ + а± (t) u(n~V + • • • + (0 и = 0.
Как мы знаем, теория уравнений такого вида может рассматри-
ваться как часть теории линейных систем
§ =	(5)
и именно для уравнений такого вида мы будем проводить исследо-
вание.
9. Асимптотическое поведение решения уравнения dyjdt=
= A (t)y. Полностью решена задача об определении асимптотиче-
ского поведения решений уравнения
<5>
где элементы матрицы A(t) являются рациональными функциями t
или, в более общем случае, обладают асимптотическими разложе-
ниями вида
(0 Р (0 S » Р — Pij* ст = ст (^> У*)»
т—1
где р (f) — многочлен относительно t. Однако решение, принципиально
простое, оказывается довольно сложным в частностях, и поэтому мы
рассмотрим только простой случай, когда матрица A (t) имеет асимп-
тотическое разложение вида
+	(56)
Кроме того, мы будем предполагать, что характеристические
числа матрицы Ло различны. Легко привести примеры, иллюстрирую-
щие сложную структуру решений в том случае, когда матрица Ло
имеет кратные характеристические числа. Например, пользуясь
теоремой 10, легко показать, что имеются два решения и (t) уравнения
й" —у = 0,
для которых и (/®) обладают асимптотическими разложениями вида
и (?) ~	0 + cxt-1 + ... + с„Гт +...).
76
ГЛАВА II
Упражнение
!• Определить при помощи приравнивания коэффициентов.
Имеется много частных методов, которые в особенности приме-
нимы к уравнениям второго порядка; полное исследование структуры
решений для частных видов уравнения n-го порядка, к которым
применимы эти методы, оказывается значительно проще, чем для
общего уравнения n-го порядка.
Основной результат таков.
Теорема 10. Пусть дано уравнение (5), для которого
(а)	Л(0+	+•••+ АтГт +...;	(56)
(б)	характеристические числа Z1} Х2, ..., Хп матрицы
просты.
Тогда каждому характеристическому числу соответ-
ствует решение ук уравнения (5), обладающее асимптотическим
разложением
+ + . +^+ .. .),	(57)
где с0 — ненулевой вектор.
Для доказательства этой теоремы мы приведем сначала следую-
щую лемму:
Лемма 3. Если каждый коэффициент алгебраического урав-
нения
/(г) = г»4-а1(02:»-14- ... +а„(/) = 0	(58)
обладает асимптотическим разложением
2 <$гт
7П==0
и если уравнение
^(z) = Z-J-ciV_1+ ... +4я, = 0	(59)
имеет простые корни rt, г%, ..., гп, то каждый корень уравне-
ния (58) обладает асимптотическим разложением
г/(02 №t~m.
Ш = 1
Доказательство. Доказательство, как и ранее, удобно про-
вести при помощи методов теории функций комплексного переменного.
Так как уравнение (59) имеет простые корни, то это же верно и
для уравнения (58) при достаточно больших значениях t. Следова-
тельно, для t^tQ мы можем провести в плоскости комплексного
переменного небольшие непересекающиеся окружности С$ с центрами
Решения линейных систем
77
в точках rj, содержащие соответствующие корни г^(0. Применяя
теорему Коши, получаем
«'гИЯг* >=1.2...............».
Gd
При z £ Cj имеем для t -> оо
zf (z) _ zg' (z) et (z)	eN (z)	(2f+1)
/(*) “ g(*) + t +•••+/*	>
Интегрируя почленно и замечая, что оценка 0(/-<я+1)) выполняется
на каждой окружности Cj равномерно по z, мы и получаем искомое
асимптотическое разложение для
Доказательство теоремы 10. Система имеет вид
где ||Ла(0||<;q/”2 при £->оо. Так как характеристические числа
оо
матрицы Ло различны и J || Л2(/)||^ < оо, то наша система удовле-
творяет условиям теоремы 8 г). Следовательно, как мы знаем, суще-
ствуют п решений zv z%, ..., zn асимптотического вида
гк = е^^[ск + о(1)],	(60)
где ск — постоянный ненулевой вектор. Воспользовавшись заменой
переменных z === e'jtz, мы можем всегда предполагать, что все
отличны от нуля. Это несущественно, но упрощает некоторые детали
доказательства.
1) Применяя теорему 8, надо положить А — Ло, ? (О = Л^ \ В (t) = As (/).
При этом, как было указано в связи с теоремой 9 гл. I, характеристические
числа ki(t) матрицы Л + ^(0 являются аналитическими функциями от
/отметим, что поэтому приведенная автором лемма 3 оказывается излишней).
Значит, Re (Хг- (t) —	(/)) = а0 -|-	-f- а2^“3 + . • • Нетрудно проверить,
что если.ао>О или ао = О, ах>0, то выполняется неравенство (38); в про-
тивном же случае имеет место неравенство (39). Так мы проверяем выпол-
нение условий теоремы 8.
Теорема 8 дает решение в несколько ином виде, чем (60). Однако этот
последний вид легко получить на основании того, что
t	t
ехр (Iх* =ехр U+++ ’,)Л1)=
to	to
= ехр (Xftf + In t) exp (— Xft In у exp (pfc -f- О (1)) =
= Л^(а*4-0(1»,
где aft>0.— Прим, перев.
78
ГлАЬА it
Доказательство проводится по индукции, причем надо отправляться
от доказанного выше результата (60) и применять те же интеграль-
ные уравнения, что и ранее. Предполагая уже доказанным, что
zk = Л* A [ск 4- 4’*"1 + ... + с^Г” + О (Г{п +1))1
для n = 0, 1, ..., /и и для всех fe, при помощи интегрального
уравнения можно показать, что эти же формулы справедливы для
т ~|— 1.
Это упражнение в повторном интегрировании по частям мы пре-
доставляем читателю. При этом до проведения общего доказательства
мы советуем проделать упражнения, помещенные ниже !).
Упражнения
2. Получить асимптотическое разложение решения уравнения
=	(61)
где
+	...	(62)
3» Применяя асимптотическое разложение, полученное выше, найти асимп-
тотические разложения для нулей решений уравнения и" + (1 + ^(0) « = 0.
Различные упражнения
1.	Все решения уравнения d*z!dt* = (Л + & (0 + С (0) z ограничены,
если одновременно выполняются условия:
(а)	А — постоянная отрицательно определенная матрица;
(б)	матрица В (/) симметрична;
п	п
(в)	(1 + q) | 2 xixi I < I 2 ai3xix$ I ПРИ ^0 для некоторого
i, 3 =1	if
с1 > 0;
со
(г)	J \\dBldtyt<m,
t
2.	Если dyldl = A (t)y, у (0) = у1у, то ||j || < ||_у01| exp [ J || А &) ||	.
о
оо
3.	Если IIЛ (0И< оо, то lim у существует (Тржитзинский).
J
П оо
4»	Если J I aij + aji I dt < co, то все решения уравнения dyldl =
it3=io
s= A (t)y ограничены при t -> co.
5.	Существует ортогональная матрица В (0, для которой замена
у = В (t)z преобразует уравнение dyjdt » Л (t)y в уравнение dzjdt = Л* (0 z,
где Л*(0 — треугольная матрица (Дилиберто).
6.	Существует ограниченная невырожденная матрица В (0, для которой
матрица Л* (0 диагональна (Дилиберто).
/ ||С(0||^<оо.
1) См. примечание 4 в конце книги. — Прим, перев.
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
70
ЛИТЕРАТУРА
1.	Bellman R., The stability of solutions of linear differential equations,
Duke Math. Journ., 10 (1943), 643—647.
2.	С a 1! g о О., Un criterio sufficiente di stabilita per le soluzioni dei sistemi
di equazioni integrali lineari e sue applicazioni, Rend. R. Acc. d’Italia
(7), 1 (1940), 497—506.
3.	Cesari L., Sulla stabilita delle soluzione delle equazioni differenziali lineari,
Annali R. Scuola Norm. Sup. Pisa, ser. 2, 8 (1939), 131—148.
4.	D ini U., Studi sulla equazioni differenziali lineari, Annali di Mat., ser. 3,
3 (1900), 125-183.
5.	H u к u h a r a M., Sur les points singuliers des equations differentielles lineai-
res: domaine reel, Journ. Fac. of Sci. Hokkaido Imp. Univ., ser. 1, 2
(1934), 13—88.
6.	L e v i n s о n N., The asymptotic behavior of a system of linear differential
equations, Amer. Journ. Math., 68 (1946), 1—6.
7.	Spath H., Ueber das asymptotische Verhalten des LOsungen nichthomoge-
ner linearer Differentiaigleichungen, Math. Zeit., 30 (1929), 487—513.
8.	We у 1 H., Comment on the preceding paper, Amer. Journ. Math., 68 (1946),
7—12.
По поводу основной леммы см. также
9.	О г о n w а 11 Т. Н., Note on the derivatives with respect to a parameter of
the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math., 20 (1918),
292-296.
10.	Guliano L., Generalizzazione di un lemma di Gronwall..., Rend. Accad.
Lincei (1946), 1264—1271.
П. 3. См. указанную выше статью Чезари [3].
П. 5. По поводу теоремы 7 см.
11.	Perron О., Math. Ann., 143 (1913), 25—50.
По поводу доказательства теоремы 8 см. Веллман [1] и Калиго [2], а также
12.	Wintпег A., Amer. Journ. Math., 68 (1946), 185—213.
П. 6.
13.	Bellman R., The boundedness of solutions of linear differential equations,
Duke Math. Journ., 14 (1947), 83—97.
По поводу асимптотического поведения решений см.
14.	Dunkel О., Regular singular points of a system of homogeneous linear
differential equations of the first order, Proc. Amer. Acad. Arts Sci., 38
(1912—1913), 341-370.
П. 7*
15.	Levinson N., The asymptotic nature of the solutions of linear systems of
differential equations, DuKe Math. Journ., 15 (1948), 111—126.
П. 8. Классической статьей по приложению асимптотических рядов к теории
дифференциальных уравнений является статья
16.	Borel Е., Memoire sur les series divergentes, Ann. Ecole Norm., 16 (1899),
9—136.
См. также книгу
17.	Borel E., Legons sur les series divergentes, Paris, 1901.
П. 9. При помощи другого метода этот результат был получен Хукухара [5].
Обзор результатов к 1938 г. см.
18.	Trjitzinsky W. J., Singular points problems in the theory of linear dif-
ferential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 44 (1938), 209—233.
80
ГЛАВА II
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
От переводчика. Укажем еще некоторые работы, имеющие непосред-
ственное отношение к рассматриваемым в гл. II вопросам.
1.	Faedo S., Propriety asintotiche delle soluzioni dei sistemi differenziali
lineari omogenei, Ann. di Math., ser. 4, 26, No 1—2 (1947), 207—215.
2.	Win tn er A., On linear asymptotic equilibria, Amer. Journ. of Math. 71,
No 4 (1949), 853—858.
З.	'Демидович Б. П., Об одном критическом случае устойчивости
в смысле Ляпунова, ДАН СССР, 72, № 6 (1950), 1005—1008.
4.	A s с о 1 i G., Osservazioni sopra alcune questioni di stabilita. I, Atti Acc.
Naz. Lincei, ser. 8, 9, No 3—4 (1950), 129—134.
5.	Levi E., Sul comportamento asintotico delle soluzioni dei sistemi di.equa-
zioni differenzia’i lineari omogenee. I, Atti Acc. Naz. Lincei, ser. 8, 8,
№ 5 (1950), 465—470.
6.	Б а с о в В. П., Необходимые и достаточные условия устойчивости реше-
ния некоторого класса систем линейных дифференциальных уравнений
в одном сомнительном случае, ДАН СССР, 81, № 1 (1951), 5—8.
7.	Демидович Б. П., Об устойчивости в смысле Ляпунова линейной си-
стемы обыкновенных дифференциальных уравнений, Матем. сборник,
нов. сер. 28 (70), № 3 (1951), 659—684.
8.	Antosiewicz Н. A., A note on asymptotic stability, Quart. Appl. Math.,
9, No 3 (1951), 317—319.
9.	С о n t i R., Criteri sufficient! di stabilita per i sistemi di equazioni integral!
lineari, Atti. Acc. Naz. Lincei, ser. 8, 11, No 3—4 (1951), 164—167.
10.	Conti R. Un criterio sufficiente di stabilita per i sistemi di equazioni dif-
ferenziali lineari del primo ordine, omogenee, Bull. Un. Mat. Ital. (3), 6,
No 4 (1951), 288—293.
11.	Гаврилов H. И., Об устойчивости по Ляпунову системы линейных
дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 84, № 3 (1952), 425—428.
12.	Sternberg R. L., Variational methods and non-oscillation theorems for
systems of differential equations, Duke Math. Journ., 19, No 2 (1952),
311—322.
13.	Бурдина В И., Критерий ограниченности решений системы дифферен-
циальных уравнений 2-го порядка с периодическими коэффициен-
тами, ДАН СССР, 90, № 3 (1953), 329—332.
14.	Б у р д и н а В. И., Об ограниченности решений системы дифференциаль-
ных уравнений, ДАН СССР, 93, № 4, 603—606.
15.	Д о н с к а я Л. И., О структуре решений системы трех линейных одно-
родных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой,
Вестник ЛГУ, № 5 (1953), 15—64.
Глава III
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.	Введение. В предыдущих главах мы исследовали свойства
линейных систем вида dzfdt = Az. Мы переходим теперь к предва-
рительному исследованию нелинейных задач вида
^2’ •	£п> 0> 1
^(0) = q, Z== 1, 2, ..., nJ
(1)
Вводя новую зависимую переменную znvX — t, мы можем записать
задачу (1) в виде
dZj f /	\
^2» •••»	^п+1)>
d*n+l ___ 1
dt
= I = 1, 2, ..., п,
zn+i (О) = о,
п,
причем теперь правые части уравнений уже не зависят явно от t.
Задачу (2), и даже несколько более общую задачу, можно записать
в компактном виде
§=/(*).	*(0) = с,	- (3)
где f(z) означает вектор с Ьй компонентой fi(zXi z^ ..., zn+1).
В дальнейшем порядок систем мы будем обозначать через п, а не
через п 1.
Мы выведем теперь некоторые простые условия, гарантирующие
существование и единственность решения задачи (3). Однако более
важно то, что при этом мы будем иметь подходящий случай пока-
зать два основных метода: один, имеющий крайне важное теорети-
ческое значение, и другой, имеющий столь же важное практическое
значение в связи с численным решением дифференциальных уравне-
ний, обыкновенных или с частными производными. Первый метод
6 Зак. 1629. Р. Веллман
82
глава ш
представляет собой встречавшийся нам ранее метод последователь-
ных приближений, второй — метод конечных разностей. Этот послед-
ний состоит в замене уравнения (3) разностным уравнением
z(t-\-h)— z(t) = hf(z), z(0) = с,
в котором t принимает только значения О, Л, 2Л и т. д.
Третий мощный метод доказательства теорем существования —
метод неподвижных точек в функциональных пространствах — не
будет рассматриваться в этой книге, так как он связан с неэлемен-
тарными понятиями.
Так как вопросы существования и единственности в малом не
представляют для нас главного интереса, то мы ограничимся фор-
мулировкой и доказательством лишь основных результатов.
2.	Метод последовательных приближений. Естественным обоб-
щением метода, примененного нами для линейных систем, является
следующее индуктивное определение последовательности
zQ = ct
zm+1(0) = c, т — 0, 1........
Это определение эквивалентно следующему:
*о =	с>	]
г	1	(4)
*m+l =	c + J	|
О	)
Предположим, что f(z) является непрерывной функцией z в некото-
рой окрестнссти с, например в замкнутой области /?, определенной
неравенством ||г — с|| Определение, выраженное формулами (4),
является индуктивным и потому дает повод к вопросу, действи-
тельно ли определены функции zm(t) при	В самом деле,
может случиться так, что функция /(zw) окажется не определенной
для некоторых значений t. Покажем, что, ограничивая изменение
переменной t соответственно выбранным интервалом, мы можем га-
рантировать существование всех zm. Из соотношения (4) получаем
t
II zm+l HI J* II/(^m) II
0
где c2 = max||/Cz)|| при z£R. Поэтому если	то также
будет находиться в области /?. Впредь мы будем считать, что t на-
ходится в интервале 0 <; t С ct/c.2.
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
83
Теперь мы должны рассмотреть вопрос о сходимости последова-
тельности {zm}. Как и раньше, этот вопрос эквивалентен вопросу
оо
о сходимости ряда 2	— £w). Вместо этого ряда мы рассмотрим
ш = 0
мажорирующий ряд 2 ll^m+i — *ш11- Из соотношения (4) получаем
для т > 1 неравенство
IIzm+l *mll J* ll/(^wi) /(^яг-1)И	(5)
О
Чтобы продолжить доказательство по схеме п. 3 гл. I, мы потре-
буем выполнения некоторого соотношения между величинами ||/(£w)—
— /(^m-i)ll и IIzm — ^m-ill- Предположим, что для любых векторов
x£R и y(zR имеет место неравенство
II/(*)—/Су) И	II*—Jib	(6)
где — постоянная, не зависящая от векторов х и у. Условие такого
вида называется условием Липшица. Из него автоматически сле-
дует непрерывность функции f(x).
Возвращаясь к неравенству (5) и применяя условие (6), получаем
t
IIzm+l	IIZm	^яг-111 ^1»	(7)
О
t
Так как ||zx — z0[| = J ||/(z0)|| dtr— ||/(c)|| 1 = то, выполняя
0
итерирование по формуле (7), мы приходим к неравенству
ll^m+l — zm\\ <	+ 1 )f >
откуда заключаем, что ряд 2 ll^m+i — ПРИ О С	схо-
дится равномерно. Отсюда следует, что последовательность {zw}
равномерно сходится к функции z(/), удовлетворяющей интеграль-
ному уравнению
t
z — J f(z)dt,
о
а следовательно, и начальной задаче (3).
Прежде чем перейти к исследованию единственности, упомянем
о простом условии, которое достаточно наложить на функцию f(z)
чтобы для нее выполнялось условие Липшица. Теорема о среднем
значении показывает, что если функция f(z) имеет ограниченные
частные производные по переменным zt в области R, то эта функция
заведомо удовлетворяет в R условию Липшица.
6*
84
ГЛАБА Ш
3.	Единственность. Покажем теперь, что решение, найденное
методом последовательных приближений, при сделанных предположе-
ниях является единственным решением задачи
J =/(*)>	2(0) = с	(3)
на отрезке 0 t Допустим, что существует другое решение у
этой задачи. Так как у непрерывно и его значение при /==0 содер-
жится в R, то у£ R при	где tx положительно. Пусть
f2 = min [q/c2, Для	комбинируя равенство
t
У = с + f f(y)dy
о
с формулой (4) предыдущего пункта, мы получаем неравенство
t
II *m+i — УII < / II/ (*т) — / ky) II
О
и отсюда
t
II	— У К f IK — УII Щ •
о
р/су)!^
Принимая во внимание, что ||z0—
2^>
получаем
при помощи итераций
(т+1)! ‘
Устремляя здесь т к оо, мы видим, что ||z—>||< 0, откуда z=y
на интервале [0, £2]. Если 1% = с11с& то наше доказательство закон-
чено. Если же это не так, то мы можем начать от значения £ = £2 и
получить больший интервал, на котором y=&z. Однако если посту-
пать таким образом, то нельзя быть уверенным в том, что когда-либо
мы исчерпаем весь интервал [О, £0]. Поэтому мы продолжим рассуж-
дения следующим образом. Мы знаем, что можно найти ненулевой
интервал [0, т], на котором z=y. Пусть [0, т]—наибольший из
таких интервалов. Так как у и z непрерывны, то этот интервал
должен быть замкнут. Если т < ct/f2, то мы можем, применяя ука-
занный выше метод, еще увеличить этот интервал. Значит, т = сх/с2.
Итак, мы закончили доказательство следующей теоремы:
Теорема 1. Если для любых двух точек х и у области R,
определенной неравенством ftz — с|| имеет место неравенство
11/(*)—/Су)||<с8||*—Л	(б)
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
85
где — постоянная, то при 0 ^.t^cjc^, где с2 = тах||/(г)||,
существует единственное решение задачи
z(0) = c.	(3)
Упражнения
1.	Рассмотрим последовательность функций, определенную равенствами
*о = W (0,
t
Zn+1 = с + j*/(гга) dtb	п = 0, 1...
о
где w (0) = с. Будет ли эта последовательность при соответствующих пред-
положениях относительно w (0 сходиться к решению дифференциального
уравнения, если f(z) удовлетворяет указанным выше условиям?
2.	Существуют ли функции f(z), отличные от линейных и удовлетворяю-
щие условию Липшица для всех вещественных z?
3.	Необходимо ли для существования и единственности решения, чтобы
функция f(z) была непрерывной? Рассмотрите, например, задачу для скаляр-
ного уравнения
«(0) = 1
где
/(и) = 0	( —со<а<у),	/(а)=1
Какое обобщение теоремы 1 здесь имеет место?
4.	Пример, иллюстрирующий отсутствие единственности. Мы
видели, что условие Липшица влечет за собой существование и един-
ственность решения задачи
Х0) = с.	(8)
(а>т).
Предположим теперь, что функция /(у) только непрерывна. Как мы
увидим ниже, это условие достаточно для того, чтобы гарантировать
существование по крайней мере одного решения задачи (8). Однако при
этом предположении мы не можем утверждать единственности реше-
ния, так как ее, вообще говоря, не будет.
Рассмотрим простой пример. Скалярное уравнение
^ = 1^	«(0) = 0
имеет два решения:
и = 0,
при ^^0. Конечно, функция не удовлетворяет условию Липшица
в окрестности значения и = 0.
86
ГЛАВА Ш
Упражнения
1.	Показать, что задача dujdt = иа, и = 0 при t = 0, имеет по крайней
мере два решения для 0<а<1 и одно для a =* 1.
2.	Рассмотреть задачу du/dt = и (1п и)<\ и = 0 при t = 0. Для каких зна-
чений а она имеет единственное решение?
3.	Рассмотреть задачу dujdt ~f(u)9	и=^0 при / = 0, причем
J du/ |/(а) | = со. Будет ли решение в этом предположении единственным?
о
5. Метод конечных разностей. Заменим дифференциальное урав-
нение, которое мы рассматривали выше, разностным уравнением
£ = 0, А, 2А.....	(9)
Решение уравнения (9) можно продолжить до точки t = ph, если
значения y(kh) при fe = 0, 1, р—1 лежат в /?. Как и ранее,
это справедливо для (р—^h^cjc^ где сх и имеют указанный
выше смысл.
Геометрический смысл этого приближения может быть очень просто
выяснен для случая скалярного уравнения. Предположим, что и яв-
ляется решением задачи dujdt—f(я), zz (0) = с, и мы хотим найти
значение и в точке Положим = 3/г и разделим интервал [0,
на три равные части длины Л, как это показано на фиг. 2. Допустив,
что на интервале [0, h} графиком решения служит прямая линия, мы
найдем, что ее уравнение будет иметь вид
й = с-|-//(0),
так как ее наклон определяется при помощи дифференциального
уравнения. При t = h будет й = с-|-й/(с). Предположим, что между
точками Р и Q график решения есть также прямая линия, наклон
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
87
которой определяется при помощи дифференциального уравнения.
Уравнение прямой PQ будет иметь вид
а = и (h) + f(u (h)) (t—h),	h^.t^ 2hf
где и (h) = c-\-hf(c). Продолжая таким образом, мы определим
прямую QR, а следовательно, и значение и(3/г). Если мы хотим
достичь лучшего приближения, то повторяем процесс, взяв шесть
интервалов вместо трех, затем двенадцать интервалов и т. д.
Покажем, что при единственном предположении о непрерывности
функции f(u) можно получить последовательность решений разностного
уравнения для различных значений /г—>0, которая стремится к ре-
шению дифференциального уравнения. Это доказательство будет только
доказательством существования, не конструктивным, в том смысле,
что таким путем мы не можем с уверенностью действительно под-
считать решение. Если мы хотим получить численные решения, то мы
должны привлечь наше предыдущее условие—условие Липшица. Иссле-
дование вопроса о сходимости при этом условии мы предоставляем
читателю в качестве упражнения и рассмотрим детально только тот
случай, когда предполагается одна непрерывность.
Для простоты положим hr — h> — hJ2 = Л/2т. Для каж-
дого hk мы имеем свое разностное (векторное) уравнение
•у^+Ч-.у.(0 =f(y (0)> t=0> hki 2ftk..........
пк
При помощи разностного уравнения для каждого hk можно подсчи-
тать совокупность значений _у(0), y(hk), ..., y(nhk), где п — наи-
большее целое число, удовлетворяющее неравенству (п—1) hk q/c2.
Фиг. 3.
Ясно, что для каждого k мы будем иметь свое п. Построим теперь
функцию, принимающую значения ^/(0), у(М, ••• соответственно
при £ = 0, hki ... и линейную между этими значениями. Эга функ-
ция схематически показана на фиг. 3.
88
ГЛАВА Ш
Докажем, что последовательность {yk(f)} равномерно по k удо-
влетворяет условию Липшица
1л(0—л(01<ЛК—4 о<7,
где с2 —max||/(y)||, очевидно, не зависит от k.
y£R
В этом мы убедимся следующим образом. Если s и t находятся
на одном и том же отрезке [гЛй, (г-|-1)Лй], то
Л (0—Л («) = (^—«) / (Л W)>
так как на каждом интервале [rhk, (г-имеем
У к (0 = У к W + (t — rhk) f (ук (rhk)).
Если s и t находятся на соседних интервалах, s < rhk < /, то
пишем
У к (0 — У к (0 = У к (0 — У к (rhj	(rhk) — ук (0,
откуда
||Л (0 —Ук (0 II < II Ук (0 —Ук (rhk) Il+||yfc (гЛй) —ук (s)|| <
< с2 [(f—rhk) + (rhk — $)] = cs (t — s).
Вообще, если s и t — любые две точки отрезка [0, £х/с2], то,
написав
Ук (0 —Ук (0 = 1Ук (0 —Ук (rhk)] +
+ 1Ук(гНк')—ук((г— 1)0 + • • • + [Ук(ркк')— Л(01>
мы выведем общее неравенство
11Л(0—Л(0 II <с21*—*1-
Из этого неравенства следует, что на отрезке [0, cjc^]
при |/ — Для всех k будет —Л(^)||<г, причем
5==8(=)>О и не зависит от k. Последовательность {yk(t)\, удовле-
творяющая этому условию, называется равностепенно непрерывной.
Докажем теперь следующий общий результат:
Лемма о выборе (Арцела). Пусть \ym(t')} — бесконечная
последовательность равномерно ограниченных и равностепенно
непрерывных функций на конечном отрезке [а, д]. Тогда суще-
ствует подпоследовательность, сходящаяся на [а, 6] равномерно.
Доказательство. Пусть ft, /2, ...—рациональные точки от-
резка [а, 6], занумерованные в каком-либо порядке. Последователь-
ность \ym(i^)} равномерно ограничена и потому содержит сходящуюся
подпоследовательность i (/,)}. Рассмотрим теперь последовательность
1 (£>)}• Так как она равномерно ограничена, то она, в свою очередь,
содержит сходящуюся подпоследовательность {ут* 2 (?2)}. Продолжая
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
89
таким образом, мы для каждого k получаем последовательность {ут, к (/)},
сходящуюся при t = tlt t2, ..., 4. Рассмотрим теперь последователь-
ность {ук, к (/)}. В силу нашего построения эта последовательность
сходится в каждой из точек tlt ..., tm, ... . Пусть y(t) — пре-
дельная функция, определенная пока только при t = tXi t2, ..., tm, ....
Так как исходная последовательность {,уп(0} была равностепенно
непрерывной, то Цу*. k(fi) — Ук, л(^)|| < з для | ^ —/;|<8(з), при-
чем 8 не зависит от k. Следовательно, этим свойством обладает и
предельная функция >(/), т. е. ||^(Q—«у(£/)||<з при — tj \ < 8(a),
что означает непрерывность y(t} на множестве Определим теперь
функцию y(f) для всех t на отрезке [а, Ь] при помощи соотношения
у (t) = limу (^), когда ti —> t по последовательности рациональных
чисел.
Остается показать, что ук, к (t) —>у (t) равномерно для [а, £].
Разделим [а, на W равных частей, где число W будет вскоре
определено, и пусть точками деления будут а = $0,	...» s^ = b.
Пусть рг — какая-либо рациональная точка отрезка [sy, sr+1]. Если
S	^7*4-1 *
У к, к (f)—y	= (ук, k(f)—yk, к(рг)) + (ук. Тс (рг)—у (Рг)) + (У (РгУ—У (0)-
Выберем так, что Ц^,к(t)—Ук,к(Рг)\\<Сг при
для всех k. Это можно сделать в силу равностепенной непрерыв-
ности. Отсюда следует, что и ||гу(рг)—y(t) ||
Пусть теперь при k^kQ, где k0 зависит от N; для / = 0, 1,
2, ...,W будет ||№й:(а)—j(A)||<s. Тогда при fe>&0, где kQ
зависит только от е, будет ||у&, k(t)—^(/)||<^3з, откуда и следует
равномерная сходимость.
Упражнение
1.	Показать при помощи противоречащих примеров, что последняя теорема
перестает быть справедливой, если в ее формулировке опустить любое из
трех условий: равномерной ограниченности, равностепенной непрерывности
и конечности отрезка [а, Ь].
Установив этот результат, применим его к последовательности
{Л(0}> полученной из разностных уравнений. Надо показать, что
предельная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Это можно сделать непосредственно, однако легче, как обычно,
показать, что у удовлетворяет интегральному уравнению. Для любых/
и k имеем
У к 1(^+0 hk\ — ук (lhk)	hkf	(lhk)].
Просуммировав эти равенства для Z = 0, 1, 2, ..., L, получим
ь
Ук [(£+ 1)Лк] = с+ 2У(у*(ВД.	(10)
ZssQ
90
lt-
ГЛ ABA HI
так как у^(^) — с при каждом k. Пусть L выбрано так, что Lhk-+t
при £->оо инапример L = \tlhk]. Тогдаyk\(L1)/гЛ] -*у(t).
Так как сумма, стоящая в правой части равенства (10), внешне
напоминает интегральную сумму для интеграла Римана, то можно
t
ожидать, что она стремится к J f(y)dt при й—>оо, что нам и тре-
о
буется. Имеем
L	L	L
2Х/ (Л = 5 hkf (lhk)} + ^hk\f Iyk (lhk)] —f[y (lhk)]},
7=0	7=0	7=0
t
где L — целая часть числа //ЛЛ. Первая сумма стремится к J f(y)dt,
о
так как она отличается от интегральной суммы на выражение
(hk (£-]” 1) — 0/I/(^л)Ь очевидно, стремящееся к нулю. Так как после-
довательность {,у/с(О) равномерно сходится и функция /(у) непрерывна,
то П/СуИ^/с)]—/1у(^й)]|К s для всех / при	Отсюда сле-
дует неравенство
ь
II2 hk {/\ук (lhk)\ —f [j (/Лд)]} || < shk (L +1) < 2 + st,
7=0
которое и завершает доказательство.
Упражнения
2.	Доказать непосредственно, что функция у (f) дифференцируема и
удовлетворяет дифференциальному уравнению yf = f(y).
3.	В предположениях теоремы 1 показать, что z является непрерывной
функцией начального вектора с в некоторой окрестности вектора с. При этом
предполагается, что 0 <7 /о < ci/c&
4.	Пусть z(t, с)—решение задачи dzfdt =f(z\ z($)~ct где /удовле-
творяет условиям упражнения 3. Показать, что для достаточно малых $ и /
будет z (s + /, с) — z (s, z (t, с)).
5.	Рассмотреть скалярное уравнение duldt ~ аи-\-и* (уравнение Бернулли).
Его можно решить в элементарных функциях, положив v = Показать
непосредственно, что функциональное уравнение упражнения 4 для него
удовлетворяется.
6.	На фиксированном отрезке [0, а] найти выражение для разности между
решениями двух векторных задач
У=/СУ), J(0) = cx,
*' = £(*), z(P) = c2.
7.	(Обобщение метода Ньютона.) Сравнить скорость сходимости после-
довательных приближений, определяемых формулами
Л+1=/О„). Лн-1(°) = с-
и приближений, определяемых формулами
У n+i ~/(Уп) + (Уп+i УпМ (Уп^* Уп+1^==:С*
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
91
8.	Рассмотрим систему dyjdt = fa(уь у% уп, ? = L 2,..., л, где
п
l/itr, 0—для всехЛ и zh Пусть (уь уа,уп)
к=1
и (зъ ^2,	два каких-либо различных ее решения, для которых-
Ук (^) = zk (*к)> ^ = 1,2,..., п, где tk— некоторые п точек интервала [а, Ь].
п
Тогда b—л>1/2бс» Поэтому если
Л=1
А (0, /) = 0,
то решение системы, не равное тождественно нулю, может иметь компо-
ненты, обращающиеся в нуль в некоторых точках интервала длины b—а,
только в том случае, если b — а удовлетворяет указанному неравенству (Файт).
9.	Применяя нелинейное интегральное уравнение
t
и = exp [— J (t — /х)2 и (0 tfrj, и = w",
о
установить для 0 <7 < оо существование решения уравнения w" + 2ww" = О
при условии w (0) = wz (0), w" (0) = 1 (Вейль).
ЛИТЕРАТУРА
По поводу новых результатов о существовании и единственности реше-
ний систем первого порядка см.
1. La S а 11 е J. Р., Uniqueness theorems and successive approximations, Ann.
of Math., 50 (1949), 722—730.
Здесь можно найти также ссылки на предшествующие работы.
Читателю будет полезно также обратиться к следующим книгам:
2*. Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, М. — Л„ 1952.
3.	Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939.
4.	К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
М., 1950.
5.	Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. I, М.,
1953; т. II, М., 1954.
Глава IV
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.	Введение. В этой главе мы начинаем изучение устойчивости
решений нелинейных дифференциальных уравнений. Мы будем рас-
сматривать только системы вида
п
= S zi+fi *=1.2......................«•	(1)
j-1
где f^z, t) — нелинейные функции Zj. Наиболее важным случаем
является тот, когда не зависят от t и представляют собой суммы
степенных рядов от компонент вектора z без свободного члена и
членов первой степени; этим случаем мы и будем заниматься. При-
меняя векторно-матричную символику, мы можем записать систему (1)
в виде
= А (0 *+/(*).	(2)
Мы будем пользоваться следующим условием нелинейности-.
IL^lUo при И-0.	(3)
Если мы хотим получить сколько-нибудь глубокие результаты,
то нужно ограничить общность и потребовать, чтобы матрица А удо-
влетворяла, например, одному из следующих условий:
(a)	A(t) постоянна,
(б)	A(t)— периодическая матрица,
(в)	A(t) асимптотически приближается к постоянной или перио-
дической матрице.
Сюда не включен важный класс почти периодических матриц.
Несмотря на очевидную важность уравнений этого класса и внима-
ние, которое они привлекли, результаты здесь еще не полны. По-
этому мы не будем приводить ни одного из известных результатов
в этой области.
Из свойства нелинейности /(z), выраженного условием (3), мы
видим, что z~ 0 является решением уравнения (2). Мы назовем это
решение нулевым или тривиальным и будем интересоваться реше-
ниями, остающимися близкими к z = §. Интуитивно ясное понятие
близости будет уточнено ниже.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
93
Наше изложение теории нелинейных уравнений будет существенно
неполным из-за отсутствия упоминаний о периодических решениях.
Несмотря на кажущуюся простоту понятия периодичности, теория
периодических решений является одной из наиболее трудных совре-
менных аналитических теорий и опирается на ряд глубоких и слож-
ных теорем топологии. Поэтому нам кажется, что изложение этого
материала было бы неуместным в книге вводного характера.
2.	Устойчивость. Начнем с определения того, в каком смысле
мы будем применять столь часто употребляемое слово „устойчи-
вость".
Определение. Решение ^==(<г1, z2, ..., zn) уравнения (2)
п. 1 называется устойчивым, если для каждого s>0 существует
такое 8 = 8 (г) > 0, что для любого другого решения у = (у19 у2, ...
. --,уп) этого уравнения, для которого ||з—при t = tQ,
имеет место неравенство |]z—j||O для
Геометрически такое решение z можно представить как кривую
в n-мерном пространстве, окруженную трубкой, обладающей тем
свойством, что каждое решение, попавшее однажды внутрь этой
трубки, в дальнейшем должно оставаться внутри несколько более
широкой трубки г).
Покажем теперь, как вопрос об устойчивости любого решения
можно свести к вопросу об устойчивости нулевого решения w = О
соответственно выбранного уравнения. Пусть уравнение dzjdt = f (z)
обладает решением z, устойчивость которого надо исследовать.
Положим y~z~\-<w, где w — другое решение того же уравнения.
Тогда
dy  dz
di	dt

где J(/, z)— матрица Якоби функции f по вектору z. Уравнением
для w будет
^eJ(/,z)w+„.	(4)
— уравнение вида (2) * 2).
х) Эта иллюстрация не совсем удачна. Устойчивость имеет описанный
геометрический смысл, если решение рассматривать как кривую в п-\- 1-мер-
ном пространстве ylt ..., уп, t. — Прим, перев.
2) Здесь автор допускает неточность: в уравнении (4) вместо z нужно
подставлять исследуемое решение z — z (f), и поэтому, вообще говоря,
получится уравнение вида (1), а не (2), хотя исходное уравнение и имеет
вид (2). В этом легко убедиться на простом примере: пусть dzjdt == z3 и
исследуется решение z == у (t) этого уравнения; подстановка z = у (t) + w
дает dw[dt = 3<?2 (t) w -f- 3<p (0 w2 w3. Таким образом, дальнейшие резуль-
таты этой главы, строго говоря, относятся лишь к устойчивости нулевого
решения. Однако эти результаты можно легко распространить и на системы
уравнений вида (1). — Прим, перев.
94
ГЛАВА IV
Естественно ожидать, что устойчивость нулевого решения урав-
нения (4) тесно связана с устойчивостью нулевого решения линейного
приближения для этого уравнения
-rfF = y(/’ z)w-
(5)
Мы докажем, что при некоторых дополнительных предположениях
о линейном уравнении эта связь представляет собой почти полную
эквивалентность в случаях, когда J—постоянная или периодическая
матрица. А затем при помощи противоречащего примера мы пока-
жем, что естественное предположение о том, что устойчивость реше-
ния w = 0 линейного уравнения (5) всегда влечет за собой то же
свойство для уравнения (4), несправедливо.
Во многих интересных случаях уравнение общего типа при по-
мощи замены переменных можно преобразовать к одному из спе-
циальных типов, с которыми можно оперировать при помощи одного
из предлагаемых здесь методов. В следующих главах мы дадим при-
меры этого при изучении уравнений
и

3.	Предварительный результат. Дальнейшей основой изучения
устойчивости тривиальных решений является следующий результат:
Лемма 1. Рассмотрим систему
^2» •••> ^n)»	i‘=l, 2, ..., п,	(6)
где каждая функция fa не зависит от t и непрерывна по сово-
купности переменных Zi при —оо < ^ < оо. Если z = (zA, z2, ...
..., zn) — решение системы (6), стремящееся к постоянному
вектору с = (сх, с2, ..., сп) при t-+oo, то
fa(clt с2, сп) = 0,	(7)
Доказательство. Из системы (6) видно, что dzjdt-*
~+fa(cv с2> •••» Сп) ПРИ >оо. Если бы было с2, ..., cw) =
= а =/= 0, то, например, при а > 0 для достаточно больших t мы
имели бы dzjdt > а/2 и не могла бы стремиться к конечному
пределу при t—>оо. Лемма 1 доказана.
Замена переменных zi = ci-\-<wi переводит (6) в уравнение, имею-
щее решением нулевой вектор w = 0.
Предположим теперь, что нам дана некоторая механическая си-
стема s, определяемая п . параметрами z2, ..., zn, зависимость
которых от времени выражается системой уравнений вида (6). Если
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
95
мы заметим, что положение равновесия существует, когда все z*
являются не зависящими от времени постоянными, то из уравнения (7)
найдем все возможные такие состояния. Возникает вопрос о том,
что случится с системой, если мы подвергнем ее небольшому возму-
щению, т. е. если перейдем от значений параметров q, с2, ..., сп
к близким значениям с', с', ..., с'п.
Имеются следующие возможности:
1.	При >оо решение уравнения (6), определяемое начальным
условием гД0) = с', /=1, 2, ..., п, стремится к стационарному
решению zt = cit т. е. к исходному положению равновесия *).
2.	При £—>оо решение приближается к другому положению равно-
весия.
3.	При t-+oo решение не приближается к положению равновесия
в указанном выше смысле. Оно может приближаться к периодиче-
скому решению или иметь более сложное поведение.
Приведем простые примеры к сказанному выше. Рассмотрим урав-
нение
Стационарным его решением служит й = 0. Если это решение воз-
мутить, перейдя к другому решению с начальным условием u(t0) =
= сА #= 0 в некоторый момент t0, то при t -> оо это новое решение
стремится к стационарному. В таком случае и
мы скажем, что система имеет устойчивое
равновесие.
Рассмотрим уравнение	/-------------------?
Здесь имеются два положения равновесия, ®	f
и = 0 и zz = 1 (фиг. 4). Если а(0)>0, то	Фиг. 4.
Пшм=1 при >оо. Если же й(0)<0,
то и~+— оо при >оо. Состояние и = 0 является неустойчивым,
а состояние и = 1—устойчивым относительно малых возмущений.
Наконец, рассмотрим уравнение
Его решение и = 0 является стационарным. В одном смысле оно
устойчиво, в другом же смысле неустойчиво. В самом деле, если мы
рассмотрим решение
и = сг cos /-j— с.2 sin t,
отвечающее начальному условию «(0) = ^, я'(0) = с2, то и не будет
стремиться к нулю при t оо. Однако и остается как угодно близким
1) См. примечание 5 в конце книги. — Прим, перев.
96
ГЛАВА IV
к стационарному решению, если взять | <41 +1 1 достаточно
малым. Согласно нашему определению устойчивости, данному в п. 2
(оно естественно распространяется на уравнения высших порядков),
стационарное решение устойчиво.
4.	Основная теорема об устойчивости, первое доказательство.
В этом пункте мы излагаем основной результат, связывающий устой-
чивость нулевого решения нелинейного уравнения с поведением реше-
ний линейного уравнения.
Мы запишем наше уравнение в виде
^- = A?+/(z),	z(0) = c,	(8)
где А — постоянная матрица, a f(z) удовлетворяет условию нелиней-
ности ||/(£)||/|И|->0 при ||г||->0.
Можно привести следующие эвристические соображения. Если
||z(0)|| мало, то в силу условия нелинейности AzA-f(z) очень близко
к Az. Если все решения уравнения dyjdt — Ay стремятся к нулю при
t —>оо, то z не имеет возможности стать большйм. Поэтому для
всех t решение z должно вести себя подобно решению уравнения
dyfdt = Ay.
Это „доказательствои можно сделать корректным, если А — по-
стоянная матрица. Но в общем случае, когда матрица коэффициентов
переменна, это неверно, как мы увидим на особом примере.
Имеет место
Теорема 1. Если
(а)	каждое решение уравнения dyfdt = Ay стремится к нулю
при >оо;
(б)	функция f{z) непрерывна в некоторой окрестности z = 0;
(в)	||/(*)||/1ИН0 при ||*||-^0,
то z = 0 является устойчивым решением уравнения (8).
Кроме того, каждое решение этого уравнения, для которого
|| я(0) || достаточно мало, стремится к нулю при t-+oo.
В этой главе будет дано три доказательства этой основной тео-
ремы. Каждое доказательство имеет свой специальный интерес и свою
область обобщений.
Заметим, что о единственности решения в теореме ничего не
говорится. Вообще говоря, мы можем допускать неединственность,
и интересным моментом является утверждение теоремы о том, что
ни одно непрерывное продолжение решения не может уклониться
слишком далеко от тривиального решения, если начальное условие
достаточно близко к началу координат г).
1) По поводу связи единственности решения с понятием устойчивости
надо заметить еще следующее. Прежде всего, из устойчивости решения
сразу следует его единственность (если решение, как обычно, задается при
помощи начальных условий). Далее, если правые части системы непрерывны
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
97
Первое доказательство. Из нашей основной теоремы
о существовании следует, что уравнение (8) обладает решением в не-
которой окрестности точки t=0, скажем при	Мы хотим
показать, что каждое такое решение можно продолжить на интервал
всех положительных значений t. Для этого достаточно показать, что
|| я || равномерно ограничена при и что z лежит в области не-
прерывности функции f(z).
Первое из наших предположений говорит, что решение задачи
=	Г(0) = /
стремится к нулю при /->оо, откуда, в свою очередь, следует не-
равенство г)
оо
J \\Y(t)\\dt< оо.
Так как решение задачи
^- = Ау, у($) = с
дается формулой у = Yc, то мы видим, что. <|| У|| [|с|| < ||с||
где a1 = max||K(01l> 1.
Применяя теорему 4 гл. 1, заключаем, что нелинейное диффе-
ренциальное уравнение (8) можно преобразовать к нелинейному интег-
ральному уравнению
t
z(t)=y(f)^ Y{t — tj)f(zdtx.	(9)
0
Выведем теперь равномерную оценку для любого решения урав-
нения (9), именно, оценку ||z|| <	(||^1|¥= 0), в предположении
достаточной малости ||с|]. Этим и будет доказана устойчивость.
Предположим противное, и пусть t.2 — первая точка интервала [0, /0],
в которой ||z[| = 2at||c||. Из условия г(О)=д/(О) следует, что f2 > °-
В точке t.2 имеем
2	t,
2 ||с || = || z\\ < ||j|| + J || Y(f.2 - *,) || Ц/(z (/,))||dtt.
0
и удовлетворяют условию Липшица или какому-либо другому условию, обе-
спечивающему единственность решения, то из теоремы о непрерывной зави-
симости решения от начального условия следует, что наличие устойчивости
или неустойчивости данного решения не зависит от того, при каком значе-
нии t задается начальное условие. Если же эта единственность не гаранти-
рована, то начальное значение t, вообще говоря, существенно для систем
вида (1), но несущественно, если t не входит в правые части (например, для
уравнения (8)). — Прим, перев.
i)	См. упражнение 2 к п. 12 гл. I. — Прим, перев.
J Зак. 1629. Р. Веллман
Если || с || достаточно мало, то из нашего предположения (в) сле-
дует, что ||/(^(0)|| < ®1Н^(011 ПРИ	где ®i можно сделать
произвольно малым за счет выбора ||с||. Тогда будем иметь
2Й11| с || < ах || с || + г1(2а11|с ||) J || Y (t.2 - 4)|| dt, <
О
оо
< «х II с II + в1(2й1 II с II) j* || Y (4) II dt, < 2а, II с II,
О
если 1|с ||, а значит, и et достаточно мало. Следовательно, точка /2,
введенная выше, не может существовать. Поэтому решение можно
продолжить интервал за интервалом на всю положительную полуось /,
сохраняя равномерную оценку.
Если с— О, то аналогично докажем, что для любого а>0 будет
l|z(Z)|| <а при />0, откуда 2(/) = 0.
Чтобы показать, что ЦгЦ—>0 при /->оо, если ||г(0)|| достаточно
мало, сделаем замену переменных z = xelt, где X — постоянная вели-
чина, меньшая нуля и большая вещественной части любого характери-
стического числа матрицы А. Новая переменная х удовлетворяет ура-
внению
= (А — X/) х + e~Kt f (xeXi).
Хотя вид нелинейного члена этого уравнения несколько иной, чем
тот, который мы изучали выше, но на основе условия (в) легко про-
вести те же рассуждения. Так как х равномерно ограничена, то
1И1->о.
Упражнение
Показать, что требование непрерывности f(z) в доказанной теореме
можно существенно ослабить.
5. Основная теорема об устойчивости, второе доказательство.
Важнейшим аппаратом, который мы будем еще применять впослед-
ствии, является теорема о преобразовании матриц п. 10 гл. I. Согласно
этой теореме, можно найги такую постоянную матрицу 7*, что

^12	• • •	Ьгп
0	...	ь%п
где элементы, стоящие на главной диагонали, являются характеристи-
ческими числами матрицы А, а |^|О, причем е — любая наперед
заданная положительная величина.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подстановка z—Tx дает
= Т~'АТх-\- Т-' f(Tx).
Положим /[ (х) = T~lf(Tx). Легко видеть, что функция /1(х)
удовлетворяет тому же условию, что и /(х). Переходя к отдельным
компонентам х, получаем
__ Xjx* Ц- -р /и (х),
J>i
= *2*2 + ^bwxj+fvbW*
3>^'

п
Рассмотрим сумму 2 I хк I2- Так как
Л=1
•^г|^|2 = ^
dxk I
dt
dxk
* dt
X
= Ч I *»|2 + S bj'jXjXi, + хк fik (X) -| -
Э>к
+ Ч I хк |2 + S bkj хз хк + /и(х),
где под хк понимается величина, комплексно сопряженная с xkt то
получаем
п	п
I ^-(21 M<Re(42|x*i2)+£i^2+их« ш*)И’
Л=1	Л=1
где л — характеристическое число с наименьшей по абсолютной вели-
чине вещественной частью.
Так как 1?е(л)<0, то при /==0 имеем, если ||х(0)|| достаточно
мало, неравенство
п
Re (л) (S | X* Ь + 8II х II2 + || XII II л (х) II < 0.
к-1
7*
loo
ГЛАВА IV

л
Значит,	убывает в непосредственной близости £ = 0, и
Л = 1
повторяя предыдущие рассуждения, получаем следующее неравенство
для всех значений
п	п
fc=l	fc=l
при некотором а > 0.
Упражнение
Необходима ли в этом доказательстве непрерывность функции / (г)?
6. Основная теорема об устойчивости, третье доказательство.
Дадим теперь третье доказательство, основанное на методе последо-
вательных приближений. Так как предположения и утверждения будут
теперь несколько иными, чем выше, то мы сформулируем резуль-
таты подробнее.
Теорема 1'. Если выполняются условия
(а) каждое решение уравнения dyldt = Ay стремится к нулю
при t-+ оо;
(б)/(0) = 0;
(в) ||/(^)——г9Ц для HzJI и ||za||, меньших с2> где
сЛ -> 0 при -> 0,
то z = 0 является устойчивым решением уравнения dz/dt=Az-\-f(z).
Каждое решение z, для которого ||z(0)|| достаточно мало,
может быть получено при помощи следующего метода последо-
вательных приближений*.
^ = Az0, z0(p) = c,
0°)
^t£ = 42n+1+/(z„),	z„+1(0) = c, и==0, 1,...
и стремится к нулю при t-+oo.
Доказательство. Мы будем исходить из интегрального ура-
внения
t
Yd—^ftza^dt.	(9)
о
и применим метод последовательных приближений, определяемый
формулами (10). Сходимость процесса последовательных приближений,
как мы покажем, равномерна по t на бесконечном интервале 0<У<оо.
Доказательство сходимости мы проведем в два шага; первый состоит
в доказательстве равномерной ограниченности последовательности ||z„||
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	ДО1
при 0</<оо, как всегда в предположении, что ||z(0)[| достаточно
мало. На втором шаге надо установить равномерную сходимость ряда
п~0
Имеем ||z0|| = Ц^Н = ||Ус|| < ||У|| ||С|| <at||C|| <2Л|ЦС||, где
с — z(0) =_у (0). Покажем теперь, что из неравенства |]z„|| <;2а1|]с||
следует неравенство ||^n+i|| ^ЦсН- На основании формулы (10)
имеем
t
II zn+1 II < Ill'll 4-/И(/-4)II 11/(ги)||^<
О
t
<Mdl +ej И(/-4)11 \\zn\\dtx,
О
если только ||с|] достаточно мало. Отсюда
t
Ikn+ill <%И Ч-еЛИ)/ П(/-4)|| dt,<
о
оо
< «1 II с II + eJ(2aJ IIСII) J II Y (4) || dt, < 2а, II с II,
О
если ||с || и, следовательно, et достаточно малы. Так как требуемое
неравенство имеет место для п = 0, то оно имеет место для всех
п > 0.
Докажем теперь сходимость ряда (zw+i— zn). Имеем
п -о
t
^п+ 1	^l) Г/ (^n) f	^1 ’
о
откуда, применяя условие (в), найдем
t
l|2n+t-^|| < J И (/-4)|| ||/(^)-/(zw_1)||d4<
О
t
<qfn(/-4)l|IK-^_i|b	(11)
О
102
ГЛАВА IV
Постоянную et можно сделать произвольно малой, если взять норму ||г[|,
от которой зависит норма всех zni достаточно малой. Из неравен-
ства (11) получаем

\\zn+i — zn II ( max
[0,f]
t
\\Zn— zn-i\\ ) JIIY
0
и потому
оо
max ||*»+i— zn || <(ct f || Г(4)|| max ||г„ — zn„i\\.
[<>.«	' У	> [0,#]
co
Так как c1 j* || Y(^)|]d^=c3 меньше единицы для достаточно малого с2,
о
то ряд
S max ||zw+1—гй||
П = 0	[0,Н
сходится. Эта сходимость равномерна на вещественной положительной
полуоси. Значит, последовательность zn на этом интервале равномерно
сходится к предельной функции z, которая в силу (10) удовлетво-
ряет уравнению
t
z = y + f Y(t-t1)f{z')dti
о
и потому удовлетворяет нашему исходному дифференциальному урав-
нению.
Так как ||/Сг)||<Ст0 получаем неравенство
t	t
IklKbll +31 / II г (/—oil IWI^	e-^wzyt.
о	о
для некоторых положительных постоянных г4, сь и а > 0. Отсюда
следует неравенство
t
1И|е“#	+ f ||z||d4,
о	J
и основная лемма п. 2 гл. II показывает, что ||^||^	Если
достаточно мало, то мы видим, что ||z||->0 при /—>оо.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
103
Упражнения
1. Показать, что указанный выше результат справедлив для уравнения
z/у
-^-=(Л + В(0)г+/(^),
со
если |] В (0 || достаточно мала или если J* || В || ^<оо. Показать, как можно
применить этот результат, чтобы привести уравнение этого типа к случаю,
когда матрица А имеет различные характеристические числа.
2» Показать, что указанный выше результат справедлив для уравнения
d* л । I dz\
dt -Az+f dt)’
если f(z, dz/dt) удовлетворяет соответствующим условиям.
3.	Если величина (и (0) | достаточно мала, то решение и уравнения
dujdt = — 2и ограничено. Обобщить $тот результат.
4.	Верно ли, что если и' и = и"2, а | и (0)| достаточно мало и uf (0)
выбрано соответствующим образом, то существует решение и, стремящееся
к нулю при £->оо?
5.	Рассмотрим нелинейную систему
п	п
-J + Л 2	2	/=!. 2, .... Л,
Л л—1
п
где	в предположении, что имеет место соотношение вида 2
4=1
Показать, что каждое решение, для которого у$ (0) > 0, можно продолжить
на интервал	причем эти решения остаются неотрицательными и
равномерно ограниченными (Карлеман).
7. Асимптотическое поведение решений. Мы знаем, что реше-
ния задачи
^ = Az+/(*). z(0) = c	(8)
при достаточно малой ||с|| в предположениях теоремы 1 или 1'стремятся
к нулю и даже мажорируются показательными функциями вида e~at,
где а > 0. При этом возникает вопрос о точном асимптотическом по-
ведении решений.
Рассмотрим наиболее важный частный случай выполнения указан-
ных предположений, когда компоненты f(z) представляют собой сте-
пенные ряды по компонентам z, причем в этих рядах отсутствуют
свободные члены и члены первой степени.
Уравнение задачи (8) можно тогда записать в виде
э=<л+°<г)^-	(12)
104
ГЛАВА IV
где O(z) означает матрицу, элементы которой являются степенными
рядами по компонентам z без свободных членов. Так как ||£(011~*0
при £->оо, то после подстановки z(t) в выражение G(z) из уравне-
ния (12) получим, что это решение z(f) удовлетворяет уравнению
-§-=(л+в (/))*,	(13)
где В(0 —► 0 при /-> оо и даже ||В(0|| «С cAe~at, а > 0 при /^>0,
причем аналогичная оценка имеет место и для производной.
Если матрица А имеет простые характеристические числа, то асим-
птотическое поведение решений уравнения (13) можно немедленно вы-
вести из теорем 7, 8 и 10 гл. П. Если же А имеет кратные харак-
теристические числа, то асимптотическое поведение легко получается
при помощи аналогичных способов доказательства, если использовать
оценки для B(t) и В' (t). Мы предоставим читателю в качестве упра-
жнения получить точные результаты.
8. Периодические коэффициенты. В п. 4 гл. II мы видели,
что теоремы, аналогичные теоремам об ограниченности, устойчивости
и асимптотическом поведении решений для линейных дифференциаль-
ных уравнений с почти постоянными коэффициентами, легко вытекают
из теоремы о представлении решений линейных уравнений с перио-
дическими коэффициентами; применяя то же средство, мы покажем
здесь, что теорема, аналогичная теореме 1, имеет место в случае пе*
риодической матрицы A(t).
Теорема 2. Рассмотрим уравнение
~ =	(2).
где A(t) — периодическая матрица с периодом т.
Тривиальное решение z = 0 устойчиво, если
(а)	каждое решение уравнения dy]dt= A(t)y стремится к нулю
при
(б)	функция f(z) непрерывна в некоторой окрестности точки
z = 0;
(В) ||/(г)||/||г||->-о при [|z||->0.
Доказательство. Пусть Y — решение задачи
У(0) = /,
£ у — решение задачи
^ = 4(0^,	/(0) = ?(0),	'
Л1О-о
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
105
Тогда z по теореме 3 гл. I удовлетворяет интегральному уравнению
/
Z = y + f YityY-^Qfizyd^.	(14)
о
Согласно теореме о представлении (теорема 11 гл. 1) имеем Y—P(f)eBt;
поэтому (14) приобретает вид
t
z = y-i fp^e^-^P-^Hi) f(,z)dti.	(15)
о
Из неравенства ||^В#|К|| K(Z)|| ||Р“1(0[| и предположения (а) следует
что ||ев*||->0 при >сю, и потому
J* ||ев^< оо.
Из формулы (15) выводим
t
blKlIj'll +*1 flleStf-MI ||/(г)И4.
о
и доказательство далее продолжается, как в п. 4.
Соображения, примененные в п. 4, приводят к заключению, что
при оо1).
Упражнение
Проведите доказательство, применяя метод п. 5.
9. Противоречащий пример к преполагаемой общей теореме
об устойчивости. На основе предыдущих результатов можно было бы
ожидать, что для устойчивости тривиального решения z = Q системы
нелинейных уравнений достаточно, чтобы все решения уравнения
линейного приближения стремились к нулю при	Мы покажем
на примере, что такой общий результат несправедлив.
Решение системы
gi = — ау1г	л(1) = ср
= (sin In/Ц-cosing— 2a)j>2, ,у2(1) = с2
1) При этом решение задачи dYi/dt = (Д (0 4- al) У19	(0) = /, получаю-
щейся после подстановки z = ^-а^г1(«>0), удобно представить в виде
(0 =	= Р (t) e(s+aI>*, — Прим. перев.
106
ГЛАВА IV

имеет вид
Л = М-"«,
4.	л Jsinlnf-2af-Ь2а.
Л = Cf
оно стремится к нулю при /~>оо, если а> 1/2.
С другой стороны, решение нелинейной системы
/14
azt,	^1(1) = Ср
== (sin ln/-|- cos	—2a)Z2-j-Zi,	г2(1) ==с2
имеет вид
- а#4-а
= С±е ,
t
£sinlnf-2af+?a /	।	2 f -tf.sinlnf. \
Z.2 = e	I £2 + Cl I £	afj \
1
и, как мы покажем, стремится к нулю при /—>со только для q = 0,
если 1е~г72 > 2а > 1. Поэтому выбор нормы ||<г(1)И достаточно
малой не гарантирует стремления к нулю решений нелинейного урав-
нения. Более того, мы покажем, что решения даже не ограничены при
/~>оо. Для /=0(2пИ/2)тс имеем
t	te~2тс/^	t в ~2тс/3
J е-(, sinш i,	> J e~f‘sinln* dtx > exp (^”'/2) J dt{ =
== t (e~2K,s — e~K) exp (te“72).
Поэтому в этих точках
t
/sinln£-2a# f -tf.sinlct ..	_ r/i i -к,л г> \ л
e	J e 1	> c^exp ((1 + c /2 — 2a)/].
i
Следовательно, £2->0 при t—^oo только в том случае, если ^ = 0.
10.	Неустойчивость. В предыдущих пунктах мы видели, что
z = 0 является устойчивым решением уравнения
f=^+/(г),
если на Л и f(z) наложены соответствующие условия.
Покажем на простом примере, что для гарантии ограниченности
решения необходимо ограничить величину || z (0) ||, даже если характе-
ристические числа А имеют отрицательные вещественные части, а нели-
нейные члены удовлетворяют обычным условиям. Рассмотрим уравнение
^ = _а + и2,	a(0)==a>l,
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
107
решением которого служит
а
U = ---------------------------------7.
а — (а—1)#*
Очевидно, что при £->1п(а/(а— 1)) функция и неограниченно воз-
растает.
Обратно, положительные характеристические числа не делают
решения обязательно неограниченными. Например, если
^ = и— и2,	0<я(0)<оо,
at
то и —> 1 при /-> оо.
Имеет место следующее утверждение:
Теорема З. Если
(а)	матрица А имеет по крайней мере одно характеристиче-
ское число с положительной вещественной частью]
(б)	||/(г)||/1И|->0 при ||z||-0,
то решение 2 = 0 неустойчиво.
Доказательство. Мы применим метод п. 5. В дальнейшем
мы будем считать, что вещественные части всех характеристических
чисел матрицы А отличны от нуля. К этому случаю всегда можно
прийти, совершая, если нужно, подстановку z = eatzt где а>0 до-
статочно мало. Пусть Т—преобразование такое, что
4 Д<2 • • •
0	Ап . • . ^2Н
L О 0	... Ап
причем |^| s, где е — положительная величина, которая в даль-
нейшем будет задана. Пусть z~ Тх. Тогда
4"	4“ • • • + bAnxn -f- (х),
”7^ = Х3ха	b2nxn -J- §2 (*)»
dxn___
dt

Так как порядок, в котором берутся характеристические числа, не
существенен, то положим, что 1?е(Ах) >0, ..., Re(Afc) > 0, где 1,
108
ГЛАВА IV
Умножая Z-e уравнение на xi9 если вещественная часть положи-
тельна, и на —xi9 если она отрицательна, и применяя условие
' И (з)11	~
~РТ
при • ||-гг|| —> 0, получим
|^(1*1124-к91а+---+1^18-1^+112-•••-!*» Р) =
= Re (Л,) | Xi р + Re (Ха) | х3 р + Re (ЛЛ) | хк р -
- Re (W Iхк+1Р - •  • - Re (Хя) | хп р + ..., (16)
где дополнительные слагаемые не превосходят е 2 I xi I2» причем 8>0
как угодно мало, если все |xj и |^| достаточно малы.
Проведем доказательство от противного. Если тривиальное реше-
ние устойчиво, то, после выбора величины Цх (0)|| достаточно малой,
при будет выполняться неравенство ||x||<Csi» ®i > 0- Из урав-
нения (16) получаем неравенство
^(|X1P+...+|Xft|2_|Xfc+1|2_..._|Xnp)>
> С1 ( I Х1 |2 + I Х-2 |2+ • • • + I Хк I2) >
>C1(|xip+...+|xftp-|xfc+1P-...-|xmp),
где q > 0, и потому
1^12+-..+1^|2-|^+1Р—...-|ХЯР>	(17)
> (IХ1 (0) I2 + • • • +1 хк (0) Р -1 хк+1 (О') Р - ... -1 хп (0) Р)
Если теперь выбрать величины хДО) как угодно малыми, но так *
чтобы было
1*1 (0) Р + •. • +1 Хк (0) р -1 хк+х (0) Р - ... -1 хп (0) Р > 0, (18)
то неравенство (17) для достаточно больших t будет противоречить
неравенству ||х||<;ехх).
11. Условная устойчивость. Несмотря на отрицательный характер
результата предыдущего пункта, мы покажем, что если матрица А
имеет по крайней мере одно характеристическое число с отрицатель-
ной вещественной частью, то решение z — 0 обладает свойством неко-
торой условной устойчивости. Именно, имеет место
Теорема 4. Если
(a) k характеристических чисел (1 < k С п) матрицы А имеют
отрицательную вещественную часть*,
1) См, примечание 6 в конце книги.— Прим. переев
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
109
(б)/(0) = 0;
(В) ||/(«1)——z2|| для IIZjll и ||za||<са, где
^->0 при са—>0,
то существует k-параметрическоех) семейство решений уравнения
^ = Az+f(z),	(19)
стремящихся к нулю при t-+oo.
Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение
z^y+fYtt — tJftz)^,	(9)
о
где у и Y означают то же, что и раньше.
Чтобы получить решения уравнения (9), приближающиеся к нулю
при г-»оо, надо как-то удалить элементы Y (f), не стремящиеся
к нулю при /->оо. Для этого рассмотрим следующее разложение2):
7=^ + ^,	(20)
где Y1 = (uij) и Уа = (^)> а Уц = “ц+оц, где и^ — часть ytj,
стремящаяся к нулю при	a — остающаяся часть, отвечаю-
щая характеристическим числам матрицы А с нулевой или положи-
тельной вещественной частью. Легко видеть, что
Применяя разложение (20), уравнение (9) можно переписать в виде
t	t
z = y + $ Yx(t~tx)f{z)dtx + ^ Y2(t-wa)dt^
0	0
t	CO
=y + f Y1(t~tl)f(z)dtt-f Y2(t-t1)f(z)dti-\-
0	t
oo
+ J Y^t -t^f^dt,.
0
Эти преобразования пока являются чисто формальными, так как
мы не знаем, существуют ли интегралы от t до схэ и от 0 до оо.
Однако если последний интеграл существует3), то он является реше-
нием уравнения dyldt — Ay. Тогда мы можем объединить его с
1) Смысл этого термина выясняется при доказательстве.— Прим, перев.
3) Подробнее об этом см. в примечании 7 в конце книги.— Прим, перев.
3) Ср. примечание на стр. 58. — Прим, перев.
110
ГЛАВА IV
первым членом и, перейдя к новому решению у, рассмотреть интег-
ральное уравнение
t	.	оо
о	t
(21)
Чтобы получить решение уравнения (21), мы применим метод
последовательных приближений. Обращая приведенные преобразования,
мы видим, что каждое решение уравнения (21) является решением
интегрального уравнения (9) с другой функцией у и потому — реше-
нием уравнения (19).
Пусть у в уравнении (21) является любым элементом из ^-пара-
метрического семейства решений уравнения dyjdt = Ay, стремящихся
к нулю при /~>оо, и пусть величина ||_У (0)[| достаточно мала, причем
точная оценка будет указана в дальнейшем. Так как 0 при t-ь оо,
то IIJ'11	для ^>0 и для некоторого а > 0, причем можно
сделать как угодно малым за счет уменьшения ||у(0)||. Кроме того,
существует число ак > а, для которого ЦУДОЦ	наконец,
I ^2 (0IIС c&ebt Для некоторого постоянного ^>-0. Мы продолжим
оценку по индукции. Пусть
= Л
t	оо
*тц = У+/	— f Y^t—t^fCzJdt,. (22)
о	t
Из неравенства для у следует, что l|^oll^f3e“a!f- Покажем, что
£w|i^2c3e”a* при	Из формулы (22) вытекает неравенство
t	со
Н2»1+1 II -С cae~al -|- 2с3с4в J* е ~а‘2с3с6еJ*еь	e~at* dit;
о	t
при этом мы применили условие (в). Если е достаточно мало, то
получаем ||гда+1||<2cze~at.
ОО
Равномерная сходимость ряда 2 ll^m+i — *mll теперь выводится,
т=0
как в п. 6. Аналогично завершается и все доказательство, причем
стремление z(t) к нулю при >оо получается еще проще из того,
что сумма равномерно сходящегося ряда функций, стремящихся
к нулю при £->оо, сама стремится к нулю при
12.	Частный случай нулевых характеристических корней.
Изучение случая, когда А имеет характеристические числа с нулевой
вещественной частью, особенно трудно, и поэтому мы не будем им
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
111
здесь заниматься1). Однако имеется несколько специальных случаев,
когда поведение решений при можно выяснить. Один из них
следующий:
Теорема 5. Пусть дано дифференциальное уравнение
для которого выполняются следующие условия*.
(а)	все решения уравнения dyjdt — Ay ограничены*,
(б)	[|/(z, ОН<g*(01И1 для ||z||<c, с>0, где j g(t)dt<oo.
При этих условиях решение z = 0 данного уравнения устойчиво.
.. Мы предоставляем читателю провести доказательство этого утвер-
ждения в качестве упражнения.
13.	Разностные уравнения. Многие из результатов этой и пре-
дыдущих глав можно распространить на разностные уравнения вида
z(t + h) = Az(t')+f{z{t))i t = 0, h, 2ht ....	(23)
При этом доказательства проходят по той же схеме, как для
дифференциальных уравнений. Поэтому мы предоставляем читателю
провести такое распространение в качестве упражнения.
Упражнения
1.	Каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы все реше-
ния уравнения у (t + h) = Ay (t) стремились к нулю при t -> оо?
2.	Найти формулу, выражающую решения уравнения z (t + h) == Az (t) +
+ w (t) через решение уравнения у (t -f- h) = Ay (/), аналогичную той, кото-
рая приведена в теореме 3 гл. I.
3.	Найти нелинейное уравнение для сумм, эквивалентное уравнению (23).
Применить это уравнение для доказательства разностного аналога теоремы 1.
4.	Применить этот результат для доказательства теоремы 1 при помощи
предельного перехода.
00
5.	Показать, что если || В (mti) || < оо и если все решения уравнения
Ш = 1
у (* + Л) = Ау (О
ограничены, то все решения уравнения z (t 4- h) = (Л + В (0) z (t) ограни-
чены.
Замечание. В предыдущих упражнениях t принимает только значе-
ния t = 0, h, 2ft,...
х) См., например, Малкин И. Г., Теория устойчивости движения,
М. — JL, 1952. — Прим, перев.
112
ГЛАВА IV
ЛИТЕРАТУРА
Приведем некоторые из ранее вышедших важных книг, в которых со-
держатся другие математические аспекты теории линейных и нелинейных
колебаний и физические приложения этой теории:
1.	Андронов А. А. и Хайкин С. Э., Теория колебаний, М.—Л., 1937.
2.	К р ы л о в Н. М. и Б о г о л ю б о в Н. Н., Введение в нелинейную меха-
нику, Киев, 1937.
3*. Булгаков Б. В., Колебания, т. 1, М.— Л., 1949; т. 2, 1954.
4*. Малкин И. Г., Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных
колебаний, М. — Л., 1949.
5*. Т е од о р ч и к К. Ф.. Автоколебания, М. — Л., 1953.
6.	Lefsch etz S., Lectures on differential equations, Princeton, 1946.
7.	Lefschetz S., Contributions to the theory of non-linear equations, v. 1,
Princeton, 1950, v. 2, 1953.
8.	Minorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947.
9.	Ro card I., Dynamique generale des vibrations, Paris, 1949.
10.	Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических
системах, М., 1953.
П. 4. Теорема этого пункта является фундаментальным результатом работ
Ляпунова и Пуанкаре. Первоначальные формулировки и доказатель-
ства можно найти в книгах:
11.	Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, доктор-
ская дисертация, 1892; см. также изд. М. — Л., 1950.
12.	Poincare Н., Les methodes nouvelles de la mechanique celeste, v. 1, 3,
Paris, 1892.
По теории устойчивости имеется обширная литература. Укажем лишь
некоторые основные источники:
13*. Четаев Н. Г., Устойчивость движения, М. — Л., 1946.
14*. Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, М. — Л., 1952.
15*	. Д у б о ш и н Г. Н., Основы теории устойчивости движения, М., 1952.
16*	. Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория диф-
ференциальных уравнений, М. — Л., 1949.
Первое из приведенных доказательств принадлежит Н. Левинсону, ко-
торый сообщил его автору. Второе доказательство принадлежит О. Пер-
рону, см.
17.	Perron О., Math. Zeit., 29 (1929), 129—160.
Идея третьего доказательства принадлежит Э. Коттону, см.
18.	Cotton Е., Ann. Ecole Norm., ser. 3, 28 (1911), 473—521.
См. также книгу:
19.	Cotton Е., Approximations successives et les equations differentielles, Mem.
Sci. Ease., 28, Paris, 1928.
По поводу общего исследования и иных методов доказательства см.
20.	В е 11 m a n R., On the boundedness of solutions of non-linear differential
and difference equations, Trans. Amer. Math. Soc., 46 (1948), 354—388.
21*	. Малкин И. Г., Теорема об устойчивости по первому приближению,
ДАН СССР, 76, № 6 (1951), 783—784.
Пп. 9 и 11. См. статью Перрона [17].
Пп. 12 и 13. См. статью Веллмана [20].
Глава V
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1. Введение. В этой главе мы рассмотрим вопрос об асимпто-
тическом поведении решений полиномиального уравнения вида
P(t, и, =	=	(О
где /, т, п^>0 и l-\-т-\-п N, причем особое внимание будет
уделено важному частному случаю
где Р и Q — многочлены.
В заключение мы укажем некоторые из аналогичных результатов
для уравнения
Р(и, t)
Так как результаты и методы доказательства для этого второго
случая весьма схожи с теми, которые приводятся для уравнения (2),
но значительно более громоздки, то мы ограничимся формулировкой
результатов и опустим доказательства.
Общая задача о существовании, продолжении и аналитическом
характере решений уравнений (1) и (2) является задачей, к которой
с некоторым успехом была применена теория функций комплексного
переменного. Тем не менее в настоящее время не существует общей
теории вещественных решений вещественных дифференциальных урав-
нений и изучение таких решений продолжает представлять значитель-
ные трудности. Чтобы избежать этих трудностей, мы сделаем упро-
щающие ограничения, которые дадут нам возможность исследовать
много интересных и важных случаев. Мы будем изучать только
такие решения уравнения (1), которые существуют для всех доста-
точно больших значений Z. В результате такого сужения нашего поля
зрения мы сможем полнее осветить рассматриваемые вопросы.
2. Оценки сверху решений уравнения P(t, и, u') = Q. Мы
будем называть решение уравнения (1) правильным решением, если
оно существует и имеет непрерывную производную для
Будем говорить, что правильное решение обладает некоторым
свойством (положительность, монотонность и т. п.), если это свойство
3 Зак. 1629. Р. Веллман
114
ГЛАВА V
имеет место для всех достаточно больших значений t. Впредь мы
ограничимся изучением правильных решений и потому для простоты
будем иногда опускать это прилагательное.
Мы начнем с вопроса об оценках решений сверху. Имеет место
Теорема 1. Если и (t) — правильное решение уравнения
P(t, ut uf)~0, то существует постоянная k, для которой
tk+i
I “ I < ехР Г+Т’
Если т— наивысший показатель степени t, содержащийся в мно-
гочлене P(t, и, и'), то для любого в>0 можно положить
k = т-^-г1).
Доказательство. Проведем доказательство от противного.
Если утверждение теоремы неверно, то имеет место один из следую-
щих случаев:
(а)	уравнение | и | = ехр(^+1/(А-|- 1)) имеет как угодно большие
корни;
(б)	| и | > ехр (tk+1/(k -}-1)) при t^tx для некоторого
Покажем сначала, что случай (а) приводит к противоречию. Пусть
Л < Аз < • • • <	< • •.	“* 00 — корни уравнения и (/) = w (/), где
положено w(£)sexp(?c+1/(&-j“ О)- Достаточно рассмотреть только
этот случай, так как случай, когда уравнение —и (t) = w имеет
бесконечно много корней, можно преобразовать к первому при помощи
замены и на —и.
Предположим сначала, что для достаточно больших t при
и (0 = w (/) будет и' (/) w' (О, т. е. пересечение графиков и (t) и w(f)
О Из доказательства теоремы видно, что в качестве k можно выбрать
любое неотрицательное число, большее — а)1(с — ct), где Ltau^u'c— глав-
ный член многочлена Р (определение см. на стр. 115), a L\taiubluC1 — любой
другой член этого многочлена, для которого Z^O, br = b + с, c±<ic.—
Прим, перев.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц5
происходит так, как это показано на фиг. 5. При t = tnимеем =
=	в то время как при t = tn+1 будет u'<tku. Отсюда следует,
что существует точка sn, tn<sn<tn+1> в которой и'= tku.
Определим главный член Т — №иь (и')с многочлена P(t, и, и')
при помощи неравенств
(a)	Ь-Д-с^Ь^с^,
(б)	если + = +	то
(в)	если b + с = Ьг 4- сг	и	с = с19 то а > а±.
При этом, конечно, предполагается, что подобные члены многочлена
приведены, а сравнение происходит только с фактически присут-
ствующими членами	(L{ =# 0). Ясно, что существует только
один главный член.
Рассмотрим теперь отношение R(t) любого другого члена много-
члена P(t, и, и') к главному члену в точке sn. Имеем
| R | = Mf^aub‘-b (И')С1-С = Mta‘-aub‘~b (?«)е‘“в =
__ дд^-а+ЛСс.-с) Л+сН№)
так как u' = tku. Если b-\-c > bt 4- ei> то величина | Р | -> 0, когда
Z—>оо, пробегая последовательность sn, так как в этих точках
и > exp(Yfe+1/(& + 1)). Если i>4~c==^i + fi и с > ci> то с — сх>1,
и на основании нашего выбора k мы снова видим, что lim R (sn) = 0.
W ->оо
Наконец, если b~bA и с = си то а > и вновь мы получаем,
что lim/?(s№) = 0. Итак, во всех случаях имеем lim/?(sw) = 0, т. е.
П->ОО	П-»со
limP(s„, «(sn), и'(sn))/T(sn)= 1, а это противоречит тому, что «(Z)
п->оо
удовлетворяет уравнению Р — 0.
Если пересечение происходит не так, как это показано на фиг. 5,
то должны существовать как угодно большие двойные корни урав-
нения u(f)— w(/) = 0, для которых и' = •&' = tku, и мы получаем
такое же противоречие.
Случай (а) разобран; переходим к случаю (б). Опять достаточно
считать, что w>w(Z). При	должно иметь место одно
из двух неравенств и' —	0 или и' — (w'«/w) < 0, так как
если при как угодно больших t имеет место равенство
то мы приходим к тому же противоречию, что и ранее.
Если и' — (w'zz/w) < 0 при	то мы положим р(/) = а' —
— (w'ul'w) и после интегрирования получим
«(0 = w(0[q +	(4)
8*
116
ГЛАВА V
По предположению р(/) отрицательно при t^tlt Поскольку
.	оо
zz > w > 0, интеграл J [р (^)/w (^)] dtt сходится, так как из фор-
мулы (4) видно, что в противном случае функция и должна была бы
стать отрицательной, начиная с некоторого значения t. Следовательно,
для любого а > 0 существуют как угодно большие значения t, для
которых |р(0М(0| В этих точках
| и' — tkU | SW < SZZ.	(5)
Рассмотрим выражение для |/?|, данное формулой (3). Если
то в точках, где выполняется (5), мы применяем соотношение
и' < им'!*® = tku и получаем
|/?|	д|/а1-а+А:(е^с)йг>1+с1-(&+с)
Как и ранее, отсюда следует, что lim | R | = 0. Если же ct < с, то
f-»co
мы применяем неравенство (5), по которому и'— tku^>—ги, или
zz' > (tk — г) и для как угодно больших значений t. Для этих значений
|/?| < Mta^a(tk—sp-c^+Ci-(b+e),
и доказательство продолжается так же, как раньше.
Остается случай, когда а > w, и' > tku при Вновь рас-
смотрим отношение
| R | = М?'~аиь'~ь (и')с‘~с.
Если	то | Mtai~aubl~b (tku)Cl~e. Рассматривая различные
случаи: b-]-c > +	b-[-c = + с > b = blt с = с1} а > at,
мы видим, что | R | -> 0 при t-+oo.
Чтобы исследовать случай с < с19 нам понадобится следующая
Лемма 1. Если и > 0, и' непрерывна и неотрицательна при
то для любого а>0 справедливо неравенство zz'O1+e при
всех значениях t^tQ, кроме, быть может, множества интерва-
лов общей конечной длины, зависящей от г.
Доказательство. Пусть (tn, тп) — n-й интервал, в котором
и' > я1+® (эти интервалы нумеруются в произвольном порядке). Тогда
сп ur dt_ 1 Г 1	1 ]	,
ОО
откуда следует, что 2 (Ч — Ы < ls« (*о)*1-1 < оо-
П = 1
Пусть теперь t не принадлежит этим интервалам. Тогда, так как
с < q, то
17? | < Mta^aubl~b— Af^1“azzbl+C1'‘(6+c)+t(Cl*"c).
!
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц7
Так как +	т0 | Л |0 при /-»оо, если только е
выбрано достаточно малым.
Это завершает доказательство теоремы 1. После подробного изу-
чения уравнения и' = Р(и, tyQtu, t) мы возвратимся к общему по-
линомиальному уравнению P(t, й,й,) = 0 и получим значительно
более точный результат, применяя методы, развитые при исследовании
уравнения этого частного вида.
3. Противоречащий пример. Хочется ожидать, что методы, при-
мененные в доказательстве теоремы 1, можно использовать для полу-
чения соответствующих оценок решений уравнений вида P(t, й, и',
и") = 0 и т. д. Однако мы покажем на простом примере, что для
полиномиальных уравнений второго порядка такой общей оценки не
может быть.
Теорема 2. Пусть	—произвольная монотонно возра-
стающая функция от t, стремящаяся к бесконечности при t-+oo.
Тогда существует иррациональное число а, для которого веще-
ственная и непрерывная для всех значений t > 0 функция
(f\ —	1
и '	2 — cost—cos at’
удовлетворяющая уравнению вида P(t, и, u't и") = Ъ, удовлетво-
ряет также неравенству lim и (0/<р (t) > 1 •
i->oo
Доказательство. Без ограничения общности можно предпо-
лагать, что ср (t) > 1 при	Выберем а следующим образом.
Пусть (^п) — последовательность целых чисел, для которой
dr > 4кф	г = 1, 2, ...; qr = drd2 ... dr, г > 1.; qQ = 1;
мы положим
оо
«=у1.
^qr
Г=1
Очевидно,
Яг Яп
г-1
где Рп — целое число. Кроме того,
Чп+1 > ^Чп^^Чп^
Чп+2 >	(2^га+1) > ^Чп+1 > С4^»? (2я?„).
вообще, <7n+r > (4it)r qn<o(2vqn). Значит,
ОО
0<a—"<Ы~ 2 Ъ <	(2л?„)
118
ГЛАВА V
Если бы число а было рациональным и равнялось а/й, где а и
b — натуральные числа, то мы имели бы
О < £____&п аЯпт“ ЬРп	J
ь Яп ьЯп **ЯпЧ №Яп) ’
или
1 <aqn — Ьрп < 2я(р(2^п) .
Но этого не может быть, так как <р (2-rcgQ-> оо при и->оо; следо-
вательно, а — число иррациональное. Отсюда следует, что 2 — cost—
— cos at не обращается в нуль, и потому функция tt(f) непрерывна
при всех значениях />0.
По нашему выбору а имеем
оо	оо
cos 2ita^n = cos {2^„ (^ + S	= cos (2it?„	I')
n+1	n+1
и, применяя неравенство (6), получаем неравенство
1 — cos 2itatfw <1 — cos —7^—г < ——r .
? (2^n)	? (2^n)
Значит,
u (Ъцп)	2 — cos 2nqn — cos 2rca^w	1 — cos 2ка^п
Чтобы показать, что функция и удовлетворяет полиномиальному
уравнению второго порядка, рассмотрим три равенства:
v = 2 — cos t — cos at,
v' = sin/-[-a sin a/,
v” = cos t + a2 cos at.
Исключая cos t, cos at, sin t и sin at из этих равенств и двух тож-
деств cos21 -J- sin21 — 1, cos2 at sin2 at = 1, получаем полино-
миальное уравнение, связывающее v, и' и v". Подстановка v = 11 а
дает искомое уравнение для и.
4. Решения уравнения и' -~Р(и, f)/Q(u, t). В этом пункте мы
будем исследовать некоторые свойства решений уравнения первого
порядка
du _ Р(и, t)	9
dt Q (и, t) ’
где P и Q — многочлены, причем дробь Р/Q считается несократимой
и подразумевается, что для рассматриваемых решений Q =# 0.
Лемма 2. Каждое решение уравнения (2), непрерывное и не-
постоянное при t^tQ, \является строго монотонным при доста-
точно больших значениях t.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц9
Доказательство. Достаточно доказать, что производная и'
не может равняться нулю для последовательности значений /, стре-
мящейся к бесконечности. Предположим противное: пусть и' = 0
в точках последовательности |/J, >оо. Тогда при этих значениях t
график функции u(f) и кривая, определенная уравнением Р(и, £) = 0,
пересекаются. Так как Р — многочлен от и и Z, то алгебраическая
кривая, определенная уравнением Р = 0, обладает лишь конечным
числом ветвей, и потому график функции и должен пересекаться
с одной из этих ветвей при как угодно больших значениях t1).
Так как мы, естественно, предполагаем, что Р и Q не имеют
общих множителей, то уравнения Р = 0 и Q —0 обладают лишь
конечным числом общих корней. Следовательно, для t^>tx функция
Q(u, t) сохраняет знак на каждой ветви кривой Р(и> t) = 0.
Ветви кривой Р(и, t) = 0, простирающиеся в бесконечность при
t —>оо, состоят из линий вида
(а)	и == с или
(б)	й = <р(О,
причем ф' (t) =# 0 для достаточно больших значений t.
Рассмотрим сначала линию вида (б) и покажем, что график ре-
шения u(f) уравнения (2) не может пересекать ее при как угодно
больших значениях t. Для таких t точки пересечения должны быть
стационарными точками графика решения — это легко видеть из
геометрических соображений, рассматривая графики монотонной
функции ф(£) и решения u(t). Но очевидно, что если график решения и
и рассматриваемая ветвь кривой Р(и> f) = 0 пересекаются в двух
последовательных стационарных точках кривой и, то они должны
пересекаться также в некоторой точке между этими двумя. В этой
точке производная решения отлична от нуля, что противоречит диф-
ференциальному уравнению. (Мы не хотим излагать здесь все по-
дробности, так как ниже при помощи более мощных и систематиче-
ских методов мы докажем более сильное утверждение.)
Если же рассматривается ветвь и = с кривой Р — 0, то для нее
Р(с, t) = 0, следовательно, функция и~с при удовлетворяет
уравнению (2). Значит, если график исследуемого решения пересе-
кается с ветвью и = с, то по теореме единственности это решение
тождественно равно с при t > tQ. Этим завершается доказательство
леммы.
При помощи менее элементарного метода мы докажем сейчас
более точный результат2).
Лемма 3. Если функция и является решением уравнения (2),
то любая рациональная функция Н(и> t) — К(и, t)/L (и, t) от
1) См. примечание 8 в конце книги. — Прим, перев.
2) В примечании 9 в конце книги приводится лемма, которая полезна
в излагаемой здесь теории; в частности, при ее помощи легко доказывается
лемма 3.—Прим, перев.
120
ГЛАВА V
переменных и и t строго монотонна, за исключением случаев,
когда рассматриваемое решение удовлетворяет уравнению £ = 0
или когда функция Н постоянна вдоль этого решения.
Доказательство. Имеем
dH _дН . дН Р(и, 0 _ Т (и, t)
dt dt ' ди Q (и9 t) Tj (u, t) *
Если производная dHfdt не сохраняет постоянный знак при >оо,
то она обращается либо в нуль, либо в бесконечность при как угодно
больших значениях t, когда точка и пробегает график и = и (0 ре-
шения (2). Рассмотрим сначала случай обращения в нуль, когда,
следовательно, одна ветвь кривой Т(и, 0 = 0 пересекается с графиком
u(f) при как угодно больших значениях t. При эта ветвь
имеет уравнение вида
и = abtc<> +	+ • ••,	•••> ло^О. (7)
Если в точках пересечения с графиком решения заменить функцию
и рядом (7), то получится разложение

В то же время вдоль ветви кривой 0, задаваемой уравнением (7),
имеем разложение
= S = a^c^te> 1 a^f' 1 -]-••• •
Из вида разложений R и S ясно, что при достаточно больших
значениях t имеются три возможности: R > S, R < S или R = S. *
Легко видеть из геометрических соображений, что ни одно из этих
двух неравенств не может иметь места, так как выражения R и S
представляют собой коэффициенты наклона кривых в их точках
пересечения. Если же /? = £ для как угодно больших t, то должно
быть Z>o = aoco, =	..., d^ — CQ—1, dx = cx — 1 и т. д., так
что R = S для всех как угодно больших значений t. Отсюда
следует, что Т(и, =	вдоль графика решения я(/) урав-
нения (2). Значит, dH[dt=Q вдоль этого графика и функция И
постоянна вдоль него.
В случае, когда dH/dt обращается в бесконечность для как угодно
больших значений t, для этих t при и = и (t) имеет место равенство
L (и, t) = 0, так как
dH _L dK/dt — К dL/dt
dt ~	£2	•
Отсюда, как и выше, мы получим, что £ = 0 вдоль u = u(t),
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
121
Из леммы 3 следует, что любая рациональная функция от к,
и', ... становится в конце концов строго монотонной, не считая
[ указанных выше тривиальных исключений. В частности, производная
любого порядка правильного решения уравнения (2) либо постоянна,
г, либо строго монотонна.
5.	Асимптотическое поведение решений уравнения и —
== Р(и, f)!Q(u, t). Теперь мы в состоянии доказать следующий
замечательный результат, принадлежащий Харди:
j	Теорема 3. Каждое ненулевое решение уравнения
du_Р (и, f)	,0.
dt~Q (и, t) ’	w
непрерывное для в конце концов становится, как и его про-
изводные всех порядков, монотонным и удовлетворяет одному из
соотношений
u~aibeF(t\ u~atb	(8)
где P(f)— многочлен относительно t, а с — целое число,
Доказательс тво. Рассмотрим равенство Q (и, 4) и' — Р(и, t) — 0,
члены которого имеют вид artmип или axt™unuf. Так как все рацио-
нальные функции от переменных и, и' и t становятся в конце концов
монотонными, то отношение любых двух таких членов стремится
к пределу при	Этот предел может равняться zboo, 0 или
постоянной, отличной от нуля, причем по крайней мере одно такое
отношение, стремящееся к отличной от нуля постоянной, должно суще-
ствовать.
Если только один из двух членов содержит и', то получаем
U U t	j
(9)
в противном же случае имеем
и ~ c%tM,
где p^q— рациональная дробь, т. е. и имеет вид (8).
Первый случай приводит к различным результатам в зависимости
от следующих возможностей:
(a)	пф — 1,	1,
(б)	п = — 1, zn=£-|-l,
(в) п = — 1, т = +1,
(г) п-£ — 1, т= + 1*
I
122	ГЛАВА V	I
В соответствии с этими возможностями имеем следующие асимпто-
тические формулы х):
л-т
<а> К+Т~‘^+^
(6) In I и I ~с, +
(в) 1п | и | ~ q In
(О jrn~C1’nt
Формулы (а) и (г) имеют вид, указанный в теореме; в случаях (б)
и (в) требуется дальнейшее исследование. Мы воспользуемся методом,
который мы применяли ранее для уточнения результатов и который
состоит в подстановке грубого результата в дифференциальное ура-
внение и повторном применении этого уравнения. Рассмотрим сначала
случай (б).
Запишем уравнение в виде
— —	4“ >»« “Ь	/1 п\
dt 9о«о + <?1^-1+... + 01)’
где Рк и — многочлены относительно t. Мы можем считать раз-
ность 1 —т положительной, так как если она отрицательна, то и~еа^.
Если 1—т > 0 и ct > 0, то на основании (9) и (10) получаем,
что в формуле (10) г = s +1. Поэтому, деля числитель и знамена-
тель (10) на и8, имеем для некоторого а
й=й“+'г‘(')+°(т)’
или
duldt_Pb | п /1\
« “Со"1" W
*) Для доказательства надо ввести новые переменные:
_ | ип+1/(п + 1), «¥= — 1 pt4“w/(l —т),т=£1
[1п|п|, п— —1’ |qlnt т = 1
тогда соотношение (9) перейдет в dy/dx~l. Пусть т < 1; тогда х->оо
при t -> оо, откуда у х, что и утверждается. Действительно, при любом ’	}
£ >0для некоторого х0будет |dyjdx — 1 |< е (х >• Хо), откуда + (1 — е) X
Х(Х — х0) <«У <«Уо + (1 + е) U — х0)(х>х0) и 1 — £ < Iimj/х < Hmj^/x <
< 1 + £. В силу произвольности £ получаем lim у/х = 1.
Пусть теперь т>1. Тогда при /->оо будет х->0 и dy/dx-+l, Если
Нт у = db то у ^di при если же <4 = 0, то из теоремы о конечных
я?->0
приращениях сразу следует, что у~х, Во всех этих случаях получаем
требуемое асимптотическое выражение для а. — Прим, перев,
<
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 123
для больших значений t. Интегрируя, получаем
ln|«| = P(0 + c8liU + o(l).
Случай ct < 0 сводится к только что разобранному при помощи
замены и на 1/и в соотношении (9).
Перейдем теперь к последнему оставшемуся случаю (в), который тре-
бует рассмотрения большого количества возможностей. Здесь имеются
два члена одинакового порядка, ktmunuf и	кроме того, мы
можем считать, что других членов того же порядка нет, так как
в противном случае мы немедленно приходим к соотношению
Если Т—любой другой член, то отношение
ktmunu' — Цт^ип+1
f
стремится к пределу при £->оо. Могут встретиться две возможности:
(а) имеется член, порядок которого равен порядку разности между
обоими данными членами;
(р) такого члена нет.
Рассмотрим первую возможность. В этом случае имеет место либо
соотношение вида
ktmunu' —	~ etfa9,	(11)
либо соотношение вида
fer«V — ит-111п+1~е{иви'.	(12)
Займемся сначала случаем (11). Из (в) получаем грубый результат
и = ± /С1+8, где з=з (0~>0 при /—>сю и cx=l]k. Полагая и = tl^v и под-
ставляя это в соотношение (И), получим
vn-gv'~Ltr+k к .	.	(13)
Заметив, что условие In \и |~(/ In t)/k влечет за собой соотношение
In |<?| = о (In t) при оо, легко показать после разбора всех возмож-
ных случаев, что выражение для и имеет один из видов (8).
Случай (12), а также исследование возможности (р) мы предста-
вляем читателю в качестве упражнения г).
6. Уточнение теоремы 1. Теперь мы можем получить результат,
значительно более точный, чем теорема 1, именно:
Теорема 4. Пусть и — любое решение полиномиального ура-
внения
P(t, и, и') = 0,	(1)
*) См. примечание 10 в конце книги. — Прим, перев.
124
ГЛАВА V
непрерывное при Тогда либо
и = о (tb)
для некоторого постоянного Ь, либо
и = ±ехр [л?(1 + е (0)].
где а и Ь — постоянные, а г(/) ->0 при £->оо.
Все решения последнего класса монотонны, равно как и их
производные всех порядков.
Доказательство. Допустим, что не существует постоянного Ь,
для которого u = o(tb). Тогда для как угодно большого b можно
найти значение t, для которого и > tb, либо и <—tb\ для опреде-
ленности будем рассматривать первый случай. Выберем возрастающую
последовательность оо и такую последовательность t4, 0 < tr <
< < ...» Д, -> оо, что
u(tj> 0=1, 2, ...),
Построим теперь кривую с уравнением и — tb () = eb * = е? ,
проходящую через точки (^, X ) и обладающую следующими свой-
ствами:
(а)	функция Ьг (0 положительна и непрерывна;
(б)	b (t)/tG-+O при t —> оо для любого с > 0;
(в)	b' (f)	-> 0 при t —> оо для любого с > 0.
Это всегда можно сделать,
точки отстоящими друг от
если положить Ьч = v и выбрать
друга достаточно далеко. Переходя
к функции <р (X), из равенства
fcf/ = b't In 1b получаем для
любого с > 0, что
Zcp'—>оо,	(14)
Покажем теперь, что если для
решения уравнения Р (t, и, и') = О
неравенство и (t) > е^ справед-
ливо при как угодно больших зна-
чениях t, то это неравенство имеет
место и для всех значений t. Дока-
зательство проведем от противного.
Если утверждение несправедливо,
то кривые и = и (t) и и — е*№
Фиг. 6.
пересекаются при как угодно больших значениях t, как это показано
на фиг. 6. Если при как угодно больших t рассматриваемые кривые
имеют точки соприкосновения, то рассуждения только упрощаются.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 125
Как в п. 2, показываем, что между точками Рп и Qn имеется
точка Sn, в которой
и' = <?'и,	(15)
где и обозначает решение. Применяя введенное ранее понятие глав-
ного члена1) многочлена Р (t, и, и') и комбинируя соотношения (14)
и (15), легко приходим к противоречию. Значит, для всех достаточно
больших значений t имеет место неравенство zz >	.
В этом случае любое выражение вида H = taub (и')с, где с=#0,
при достаточно больших t монотонно. Чтобы это показать, исклю-
чим и' из равенств taиь (й')с == Н и Р (£, и, я') = 0.
Получится соотношение вида F (t, и, Н) = 0. Из него при помощи
дифференцирования выведем
dt~r~duU “гдН dt ~~ '
Если dHldt=G, то должно быть dF/dt-\-(dF/du) и' = 0. Подста-
вляя это значение для и/ в Р (t, и, и')==0, получаем полиномиаль-
ное соотношение между и, t и Я. Исключая Н из этого соотношения
и уравнения F (t, и,	получаем полиномиальное уравнение
между и и t. Однако это противоречит неравенству	спра-
ведливому для £>^о2)-
Выберем теперь в выражении Р (Л и, и') два члена равного
порядка при
Tt = krta‘ ubl (u'f и T2 ==
Так как	то ct не может равняться в противном слу-
чае соотношение ~d при >оо повлекло бы за собой соот-
ношение	которое противоречит неравенству	Зна-
чит, соотношение 7\]T%~d имеет вид
q=^0,
Ч Определение главного члена (см. стр. 115) здесь приходится изменить
следующим образом: требуется, чтобы b + с	кроме того, если
b -|- с = то а — с — q; если же b + с = 4- и а — с = — сь
то Тогда в точке sn (sn — абсцисса точки Sn) отношение 7? любого
другого члена многочлена P(t, и, и') к главному члену можно оценить так:
| 7?| =	(«')®'-® = МР'~а ^')с~си(Ь^^>~(Ь+с> <
< Mtai~a (y')Gx~Ge И&1+С1Ь(6+С)1<Р =
Разбор всех трех возможностей в определении главного члена показывает,
что Я (sn) -> 0 при п -> оо, откуда получаем противоречие такое же, как
в п. 2.—Прим, перев.
2) См. примечание 11 в конце книги. — Прим, перев.
126
ГЛАВА V
и, учитывая неравенство и > получаем, что необходимо а =—1,
р =/= — 1 (ср. случаи (а) — (г) на стр. 121). Отсюда интегрирова-
нием находим выражение
и = exp [aft (1 + s (0)],
где а (/) —> О при >оо. Более точные асимптотические выражения
для и можно теперь получить, рассуждая аналогично п. 5.
7. Некоторые результаты для уравнения u!f = Р (a, f)/Q(u, f).
Противоречащий пример из п. 3 показывает, что любая общая тео-
рия асимптотического поведения правильных решений полиномиаль-
ных уравнений вида
P(tt и, и', u"y^=Q
должна быть, весьма сложной. Однако если ограничиться важным
классом уравнений вида
,, _ Р (и, t)
~Q(u, /)’
(16)
где Р и Q — многочлены, то можно получить некоторые интересные
утверждения. Доказательства этих утверждений основаны на тех же
соображениях, что и выше, и поэтому мы предложим их в качестве
упражнения.
Упражнения
1.	Если и — правильное, решение уравнения (16), то либо существует
постоянная k такая, что и = О (/ft), либо существуют две постоянные а и b
такие, что и = exp at^6, где е — е (0 -> О при t -> оо.
2.	Если и—правильное решение уравнения м" == Р (и, t), где Р—много-*
член, содержащий по крайней мере один член вида a,t*u$ (р > 1), то и = O(/ft)
для некоторого Л.
3.	Если и — правильное решение уравнения (16), причем степень много-
члена Р по переменному и не превышает на единицу степень Q по то
и = О
4.	Если и — решение уравнения (16), причем каждая рациональная
функция от u't и и t становится для достаточно больших значений t моно-
тонной, то выражение для и при /->оо имеет один из следующих видов:
(a)	exp [(a -f- е) tbep ^];
(б)	ехр [(а + е) ?];
(в)	a(lnlnf)1^;
(г)	а (In о6;
(д)	ехр [(а + е) (fl In
(е)	ехр [(а + е) (In
(ж)	а (In//’(In In//Ч
(з)	ехр [(а-{-е)(1п/)(р'"1^]:
здесь под s понимается функция от /, стремящаяся к нулю при t -> оо, р, q —
целые и а, b — вещественные числа, a p(t) в выражении (а) представляет
собой многочлен.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 127
ЛИТЕРАТУРА
П. 1. По поводу приложений теории функций комплексного переменного
к изучению структуры решений дифференциальных уравнений пер-
вого порядка см.
1.	Boutroux Р., Lemons sur les fonctions definies par les equations differen-
tielles du premier ordre, Paris, 1908.
П. 2.
2.	Borel E., Memoire sur les series divergents, Ann. Ecole Norm., 16 (1899),
9—136.
3.	L i n d e 1 о f E., Sur la croissance des integrates des 6quations differentielles
algebriques du premier ordre, Bull. Soc. Math. France, 27 (1899), 205—215.
П. 3.
4.	V i j a у a r a g h a v a n T., Basu N. M., В о s e S. N., A simple example for a
theorem Vijayaraghavan, Journ. London Math. Soc., 12 (1937), 250—252.
Пп. 4, 5 и 6.
5.	H a r d у G. H., Some results concerning the behavior at infinity of a real
and continuous solution of an algebraic differential equations of the first
order, Proc. London Math. Soc., ser. 2, 10 (1912), 451—468.
П. 7.
6.	Fowler R. H., Some results on the form near infinity of real continuous
solutions of a certain type of second order differential equation, Proc.
London Math. Soc., ser. 2, 13 (1914), 341—371.
Глава VI
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Введение. Перейдем теперь к изучению линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка
+ (1)
Так как совершенно невозможно дать полный обзор всего известного
о свойствах решений этого уравнения, то мы попытаемся показать
различные теоремы и методы, с тем чтобы облегчить читателю изу-
чение оригинальных статей и получение новых результатов.
Хотя некоторые из результатов, приводимых ниже, являются
частными случаями общих теорем, справедливых для линейных урав-
нений любого порядка, все же большинство результатов тесно свя-
зано с простым частным видом (1). Даже если такое обобщение
возможно, мы без колебаний будем излагать доказательство только
для уравнения (1), если это доказательство иллюстрирует важный и
полезный метод.
Значение уравнений указанного вида в физике трудно переоце-
нить; этим объясняется большое количество исследований, связан-
ных с уравнением (1). С математической точки зрения оно предста-
вляет собой постоянный вызов искусству аналитика: надо получать
всевозможные свойства решений этого уравнения, не пользуясь
такой роскошью, как явное представление этих решений через коэф-
фициенты k и /.
Мы начнем изложение с некоторых предварительных лемм, не-
обходимых для дальнейшего. После этого мы перейдем к вопросам
ограниченности, колебания и асимптотического поведения решений.
2. Некоторые леммы. В этом пункте мы соберем вместе неко-
торые результаты, к которым будем неоднократно возвращаться
ниже. Лемма 1 уже сформулирована и доказана в гл. II, а лемму 2
можно проверить непосредственно.
х) В этой главе все рассматриваемые функции считаются веществен-
ными, хотя некоторые результаты обобщаются и на случай функций, при-
нимающих комплексные значения. Функции k(t) и dujdt надо считать
кусочно гладкими. Во всех случаях предполагается, что k (t) >0. — Прим,
перев.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 129
Лемма 1. Пусть u(t)
неравенство
t
и q Ц- J uv dt,
о
Тогда
t
и ^>с1 ехр (J vdt} ,
о
сх > 0 й удовлетворяется
t^Q.
t>0.
Лемма 2. Пусть ut и и.2— два линейно независимых решения
уравнения
и"-\-а(Т)и = $,	(2)
для которых определитель Вронского
йч й2
W ~	,	,= 1
Й! й2
для всех t. Тогда общее решение неоднородного уравнения
и"	= (/)
дается формулой
t
и = с|И1 + са«а + J [«! (О аа (0 —	(0 аа (^)J w (Zt) dtx,
. о
где ct й с2 — постоянные, определяемые начальными условиями.
Лемма 3. Если и{—решение уравнения (2), причем
то функция
t
(3)
/ «1
представляет собой другое, линейно независимое решение этого
уравнения.
Доказательство. Этот результат можно получить при по-
мощи стандартного метода вариации произвольных постоянных после
t
подстановки й.2 = и± J vdt или на основании того, что для любых
to
двух решений и± и й.3 уравнения (2) имеет место соотношение
г /
Й1 й2
(ср. теорему 2 гл. I). Это соотношение является уравнением первого
порядка относительно функции й2, которое можно легко решить,
и тогда получается соотношение (3).
9 Зак. 1629. Р. Веллман
130
ГЛАВА VI
3. Некоторые полезные преобразования. В этом пункте мы рас-
смотрим некоторые виды замены аргумента и функции, которые
значительно облегчают получение свойств решений, а также умень-
шают число различных типов уравнений.
Начнем с того, что покажем два метода, при помощи которых
уравнение
+	(I)
можно привести к более простому виду
g + a(0« = 0.	(2)
Первый метод связан с заменой аргумента и предполагает, что
функция k(f) положительна и что
оо
f dt
J —
t
В этом случае мы положим s = J dtfkffy, тогда уравнение (1) пе-
рейдет в уравнение
g + fe(O/(O« = o,
где произведение k(t)l(t) надо рассматривать как функцию от s.
При этом s —> оо для t-+ оо.
Второй метод связан с заменой искомой функции. Запишем урав-
нение (1) в более подробном виде
«)
к \т) к w
Мы хотим преобразовать (4) в уравнение без среднего члена. То/
что это всегда можно выполнить, утверждает следующая
Лемма 4. Подстановка
t
и = ^ехр(—pdt}
преобразует уравнение
и" -f- р (t) и’ -f- q (0 и = 0	(5)
в уравнение
+	^Р'~	=
Важная особенность этого преобразования состоит в том, что
t
нули функции v совпадают с нулями и, поскольку интеграл J pdt
о
конечен для конечных значений t.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 131
Применяя лемму 4 к уравнению (4), получаем, что функция
v = и ]/ k (t) удовлетворяет уравнению
„ . f Z(0	1 d lk’\ (JfeWl а
” +|Fffl-2®U)-LTLJ’“0'
имеющему вид (2).
Мы хотим привести уравнение (2) к виду, который во многих
случаях поддается более легкому исследованию.
Лемма 5 (преобразование Лиувилля). Замена аргу-
мента
t
s = J a(t)dt
о
преобразует уравнение
и" zt a2 (0 и = 0, a (t) > О,
в уравнение
d^u . ar (t) du t _z4
"Г ^2(f) ~dS ~ U ~~ U‘
Применяя лемму 4 и полагая
1/-~77;Г	Caf(t)ds\\
ti = «K«(0[==«exp(2 J
получаем окончательное уравнение для я:
i 1 * /W)\	1 /W)\2b	p
^2i [	2 ds\a*(t)}	4 \а2(0/ J
Во многих случаях уравнения первого порядка исследовать легче,
чем уравнения второго порядка. Линейное однородное дифферен-
циальное уравнение n-го порядка всегда можно привести к нелиней-
ному дифференциальному уравнению п — 1-го порядка при помощи
преобразования u'!u~v. В случае п = 2 результат особенно прост:
Лемма 6. Подстановка
t
и ехр J v dt
преобразует уравнение (2) в уравнение
я г/2Ц- а (О = 0.	(6)
Уравнения вида (6) называются уравнениями Риккати.
Надо отметить, что во всех указанных случаях применения замены
переменных надо заботиться о том, чтобы преобразование было
взаимно однозначным.
Заметим, наконец, что любое уравнение второго порядка
а" + р (/) и' 4“ q (О и = 0	(5)
9*
132
ГЛАВА VI
эквивалентно некоторой системе второго порядка, именно, системе
и' = V,
v' = — p(t)v — q(t)u.
Иногда удобно вводить полярные координаты вместо декартовых.
Для системы второго порядка общего вида
и' = а1х (0 и + а12 (О v,
•V' = «at (0 и + ааа (О v
это делается на основании следующей леммы:
Лемма 7. Замена переменных
и — р cos ft,
v = р sin ft, р > О
преобразует систему (7) в систему
= .^-*12 _|_| г(0cos (2В + .0,
где
Г == V (ап — eaa)'2 + (flia + flat)’2 >
cos<b= -а21-+аЛ2 ,
sin Ф = £11-^2.
‘ г
4. Теоремы об ограниченности. Применяя эти предварительные *
замечания, перейдем теперь к задаче об определении того, при каких
условиях все решения данного уравнения будут ограниченными при
/—>оо. Мы начнем с рассмотрения уравнения
uff -|-	и = 0, а =^= 0,	(8)
где <р(£) в некотором смысле мало при /->оо. Без ограничения
общности можно предполагать, что а=1.
Возникает естественный вопрос о связи между решениями урав-
нения (8) и решениями простого уравнения
zz"4-zz = 0.
Мы покажем, что в наиболее распространенных случаях эта
связь довольно тесная, однако простого стремления функции ср (0 к О
при Z—>со ни в коей мере не достаточно для того, чтобы гаранти-
ровать ограниченность всех решений уравнения (8).
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
133
Нашим первым результатом будет
Теорема 1. Все решения уравнения
«',+(1+<р(о+ф(О)«=о
ограничены, если выполняются условия'.
(а)	|° | <р (01 dt < оо,
ОО
(б)	j* |<!/(/) \dt < оо, ф(7)->0 при t-+oo.
Доказательство. Покажем сначала, что все решения урав-
нения
az, + (l~H(0)"=0	(9)
ограничены, если выполнено условие (б). Умножая обе части (9) на
и' и интегрируя от некоторого /0 до t, получаем
t
—2—I—2	J* ии'~ с 1 *
^0
Отсюда при помощи интегрирования по частям находим
,2	t
(Ю)
Возьмем tQ настолько большим, чтобы при t^tQ выполнялось нера-
венство 1	> 1/2. Тогда для будем иметь
t	t
«’2<4|ca|4-2 J |	= c3 4-2 J | ф' (tr)\u‘idt1.
to	t.)
Применяя лемму 1, получим, что для справедливо неравенство
t	оо
и2 < с.Л ехр^2 J 1д' (Q I dt^ <с3 ехр ^2 J | <|/(/,) | dt^.
?О	to
Значит, функция и ограничена. Из формулы (10) теперь видно, что
и производная и' также ограничена. Чтобы закончить доказательство,
нам нужна следующая
Теорема 2. Если все решения уравнения
и" -|- a (Z) zz = 0	(2)
ограничены вместе со своими производными первого порядка, то
и все решения уравнения
д'' + (а(0 + *(0)" = 0	(П)
134
ГЛАВА VI
также ограничены вместе с их первыми производными, еслй
только
J \b(t)\dt<<x>.
Однако это утверждение является частным случаем теоремы 6
гл. II, что видно после перехода от уравнения (11) к системе урав-
нений.
Упражнение
Применив лемму 7, показать, что все решения дифференциального уравне-
оо
ния u,f + (1 + /(/)) и — 0 ограничены, если J* | f (t) | dt < оо.
5. Противоречащий пример. Теперь мы покажем на примере,
насколько близка теорема 1 к наилучшему (в некотором смысле)
возможному результату.
Теорема 3. Если при t-+oo
g(0^0,	g'(0-*0,
то функция
t
и — £ехр J* g(s) cos cos t
#0
представляет собой решение уравнения
и" 4- (1 Ц- ф (0) и = 0,
где
Ф (/) = 3g (t) sin t — g (f) cos t — g*2 (/) cos21
стремится к нулю при t-+oo.
Если положить g(t) — (cos /)//, то решение получается неограни-
ченным, хотя как ф(^), так и ф' (/) имеют вид 0(1/0 при £->оо.
6. Случай и"	а (О -> оо. В предыдущих пунктах
мы исследовали случай, когда а(0~>а2=#0 при £—>оо. Здесь мы
рассмотрим случай а(0->оо.
Теорема 4. Если функция a(t) кусочно гладкая и монотонно
стремится к оо, то все решения уравнения
и" + а (0 и = О
ограничены при t-+oo.
Доказательство. Имеем
и'ц" а (0 ци' = 0,
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 135
Интегрируя это уравнение от нуля до t, а затем интегрируя по
частям, получаем
+	— f ^a'(t)dt=.C1,	(12)
О
откуда, считая без ограничения общности, что а(£)>0, выводим
a(04<lcil + /	=
О
— |tf 14- f ц2а! а' dt
— Ici|-Tj 2 a(t) at-
О
Применяем лемму 1:
< | С11 exp (J dt) = с.2а (/).
О
Следовательно, я3 2с3.
7. Случай д"4-а(/)« = 0, a(t)-+Q. Мы рассмотрели случаи,
когда a(t)-+ а2 =Н= 0 и когда а(£)->оо при /—>оо. Перейдем теперь
к случаю, когда a(t)-+O при t-мо. Рассмотрение уравнения
которое имеет два линейно независимых решения вида t*1 и f*, где at
и аа — корни уравнения а3 — а 1 =0, показывает, что решения
уравнений этого типа могут быть неограниченными. Естественно ожи-
дать, что если при t-+oC) функция а(7)—>0 достаточно быстро, то
решения уравнения и" -]-a(f)u = 0 стремятся к решениям уравнения
и" = 0.
Теорема 5. Рассмотрим уравнение
u" + a(t)u = Q,	(2)
где
оо
J t\a{t)\dt <Zcq.
х	Тогда для любого его нетривиального решения и существует
? lim и' и и —	при t—>oo> где и d± не могут одновре-
В	f->oo
менно равняться нулю.
136
ГЛАВА VI
Доказательство. Запишем уравнение (2) в виде я" = — a(f)u.
Дважды интегрируя от некоторого t0^> 1 до f, получаем
t
u=cx-\-c2t— |* (t —	(13)
i
Отсюда для получаем неравенство
t
I и К (I I + | % I) t +1 J I a (/1) II и (QI d/j,
to
или
<1 Ct I +1C21 + J I a (tt) 11^111 dt,.
A,
Применяя нашу основную лемму, выводим для
t
ПГ-<(1с1Ц-|с91)ехр J ti\a(ts)\dt1^.
to
oo
< ( I C1 I + I C2 I ) eXP { ^l«(^)|^l=C3-
to
Но из формулы (13) дифференцированием находим
t
и' = са — J* a (t^ и (^) dtv
to
Так как
t	t
J* |а(^)| |«O^t<cs J ^|a(^)|d^,
to	to
oo
то интеграл J* a и (tt) dtly распространенный на бесконечный про-
to
межуток, сходится и и' имеет предел при ^->оо.
Если этот предел отличен от нуля, то мы видим, что u^d^,
где dt =# 0 при оо т). Теперь заметим, что в силу леммы 3 функ-
х) См. примечание на стр. 122. —Прим. перев.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
137
ция v = и J dtlu? представляет собой другое решение нашего урав-
t
нения, причем для него v — d^1 при t—> оо х), и все доказано.
Чтобы убедиться в том, что указанный предел может быть от-
личным от нуля, выберем с2 = ^'(/0)=1 и cx~u(t^)— c.afo=O и
будем считать t0 таким, что
оо	оо	оо
1 — tt | a (tt) | dtx = 1 — J tx | a (tx) | dtx exp j* tx | a (Ax) | dtx > 0.
t i	Ai	Ai
Эта теорема завершает наше предварительное исследование огра-
ниченности решений уравнения и"-]~а (/) и = 0. В последующих
пунктах мы получим более точные результаты.
Упражнения
1.	Как для уравнения dnufdtn + a (t) и = 0 формулируется результат,
аналогичный теореме 5?
2.	Справедлива ли аналогичная теорема для векторного уравнения
П—1
3.	Показать, что если dnufdn + 2 ап-к (О dkujdtk = 0 и при этом
/с = 0
J*	dt<ca,
то предел lim dn~xu!dn~x существует.
t->oo
8. Ограниченность в пространстве ZA В предыдущих пунктах
мы занимались ограниченностью решений уравнения u"-\-a(f)u — 0
в смысле нормы ||и|| = lim |я|. В этом пункте мы рассмотрим дру-
t ->оо
гую норму, представляющую интерес в связи с различными задачами
математической физики, именно,
И1=(/ |й2(01^)2.
о
1) В самом деле, если | иКсЩ)—1 | < е (0 < £ < 1) при t^tb то для
dx > 0 имеем dx (1 — zjt и (1 -|- е) t, откуда при А > fi
оо
’	1 -£ Г dt 1 + £
'	^i(l+e)2^WJ	4l(1—£)2 ‘
"j —Прим, перев.
I
i
138
ГЛАВА VI
Если эта норма конечна, то мы говорим, что функция а принад-
лежит пространству £2(0, оо), и пишем и££2(0, оо).
Теорема 6. Если все решения уравнения и" a(f)u = Q при-
надлежат пространству Л2 (О, оо), то и все решения уравнения
uff + (a(t)^b(t))u = 0	(11)
также принадлежат этому пространству, если |^(0|	/^0.
Доказательство. Пусть ut и — два линейно независимых
решения уравнения
+	= 0,
для которых
«1


при всех t. В силу леммы 2 каждое решение уравнения (И) удо-
влетворяет интегральному уравнению вида
t
и = са«!+с8и3 — j*(«i (А) «з (0 — «1 (0«з (A)lb (А)«(A) dA- (14)
о
Отсюда получаем неравенство
1«1<Ы I “11 + IaI 1«а1 +
t
+ J [| «1 (А) иа (0| + | «1 (0 «3 (А) I ] I b (А)«(A) I rfA • (15)
Теперь нам потребуется следующая лемма (неравенство Коши — Буня-
ковского):
Лемма 8. Имеем
ь	ъ	ъ
f l/gl dx < (J |/|a^)‘/a(f |	(16)
a	a	a
для всех функций fug, для которых правая часть неравенства
существует.
Доказательство. Так как (и — г02:>0, то
2uv й2 -р v2.
ь	ь
Здесь надо положить =	l/l2^7’, v = \g\/(J	про-
а	а
интегрировать обе части неравенства от а до b и упростить результат
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
139
Возвращаясь ^неравенству (15) и пользуясь тем, что +
2 (и9	<у2)> получаем
«2<4{С2И1 + С3И2 +
t
+ [ f (I «1 ft) «а <014-1 «t ft «а ft) I) I * ft)« ft) I ft]9 }
0
Применяя к последнему интегралу неравенство (16) и затем нера-
венство (ц + Ti)9 2 («9 4" ^9), получаем
t
«9 < 8 fфз + с9^ + Ги« (t) f uf ft) ft 4-
0
f	t
4-	«3 (t) f Uf ft) ft] [ J »2 ft) «2 ft) ,
0	0
откуда, согласно предположениям теоремы,
t
М2<8[ф^+ф*4-ф«?+“Р f “3ft)ft]-
Интегрируя обе части этого неравенства от 0 до /, выводим:
t	t	t
f «2 dtx < 8C2 { dtr 4- 8C2 / «2
ООО
t	h
+ 8c4 J* («2 + «p ( [ «3ft) dt^dt^
0	6
t	ъ
<C5+M[(ai + “22) (/ “2 ft) ft)] ^2-
0	0
На основании леммы 1 это влечет за собой неравенство
j* й9dt± <c6expF8c4J* («24*^2)
о	о
откуда следует, что w£L9(0, 00).
Упражнения
1.	Показать посредством сравнения площадей справедливость нерц->
венства
при а, если />>1 и рг = рЦр — 1).
140
ГЛАВА VI
2.	(Неравенство Гельдера.) Применяя предыдущее неравенство, пока-
зать, что
ъ	ь , ъ
| uvdt^\^ updtyP(^ vpr dtyP
a	a	a	.
при u, v 0, где числа p и p' такие, как указано в 1.
3.	Говорят, что и С Lp (0, оо), если | и f dt < оо. Показать, что если все
о
решения уравнения (2) принадлежат пространствам L? (0, оо) и Lp'(0, оо), то
тем же свойством обладают решения уравнения (11), если |#(0|<<?i для
t>to.
4» Могут ли все решения уравнения (2) принадлежать пространству
£2(0, оо) и быть ограниченными?
5. Показать, что если все решения уравнения (2) принадлежат про-
странству (0, оо) и ограничены, то тем же свойством обладают решения
уравнения (11), если | b (f) | < для всех f>0.
9.	Соотношения между величинами ||д'|| и ||а"||. Рас-
смотрим теперь, каким неравенствам удовлетворяют нормы произ-
водных различного порядка, причем ограничимся лишь наиболее
распространенными нормами:
(a)	||u|| = lim |м|,
t ->оо
оо
(б)	|| а || utdty.
О
Исследованию таких неравенств посвящено много работ, и воз-
можно, что приводимый ниже метод не является наиболее эффектив-
ным. Однако он достаточно интересен и применим ко многим раз- >
личным типам норм.
Теорема 7. Для каждой из приведенных выше норм из
конечности || и || и || и" || следует конечность |] и ’ ||.
Доказательство. Пусть ||и|| и конечны и пусть функ-
ция f(t) определяется уравнением
u”—u=f(t).
По нашему предположению норма ||/(0|| конечна. Рассматривая функ-
цию и как решение линейного дифференциального уравнения второго
порядка, получим для нее выражение
’ t
и = c^t + c^e-t J*	fit*) dtt =
о
t	t
= (q + |	W ^i) + e~*(c3 - 1J <*/('1)^) •
о	0
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
141
В каждой из указанных норм интеграл J	сходится,
о
если норма ||/|| конечна. Далее, легко убедиться в том, что если \\f\\
конечна, то функция е~* J* et^f(tA)dt1 также имеет конечную норму,
о
Отсюда, если и имеет конечную норму, то необходимо выпол-
няется соотношение
оо
с>+4/
о
Применяя это соотношение, можем написать
оо	t
i	О
откуда
оо	t
j ^f(tx)dtx-c^-' + ^ j e^f(t,)dtx. (17)
t	0
До сих пор рассуждения были справедливыми для обеих норм.
Будем пользоваться теперь нормой (а). Тогда получим неравенство
11«'11<|||/11+711/11 = 11/11<11«"11 + 11«Ц.
Отсюда ясно, что если ||#|| и ||я"|| конечны, то и [|и'[| конечна.
Кроме того, из соотношения (17) следует также, что если | и | и | и" | -> О
при £->оо, то так же ведет себя и |а'|.
Аналогичный результат можно получить для нормы (б)г). Это
требует несколько, большего количества преобразований и оставляется
в качестве упражнения. Более аккуратный подсчет приводит для
обеих норм к неравенству
Упражнение
Вывести неравенства, связывающие нормы производных «(*), н(0 и функ-
ции и при Z> 1.
10.	Уравнения с колеблющимися решениями. В этом пункте
мы рассмотрим вопрос об определении условий, при которых все
решения уравнения
й" + <р(0м = О	(18)
])	См. примечание 12 в конце книги.—Прим, перев.
142
ГгЛАЁА Vi
имеют бесконечное число нулей в интервале [0, оо). Такие уравнения
мы назовем уравнениями с колеблющимися решениями, а решения
также назовем колеблющимися.
Отметим, кстати, что, как это следует из теоремы единствен-
ности, нетривиальное решение любого линейного однородного диф-
ференциального уравнения на любом конечном отрезке может иметь
только конечное число нулей.
Свойства решений уравнения
+	= 0	(19)
наводят на мысль о справедливости следующего утверждения:
Теорема 8. Если все решения уравнения
+	= 0	(18)
колеблющиеся и если
то и все решения уравнения
+ ф (/)-у = 0	(20)
колеблющиеся.
Иными словами: если ф(0>*?(0 # некоторые решения урав-
нения (20) неколеблющиеся, то и некоторые решения (18) не-
колеблющиеся.
Доказательство. Имеем
uvrr — vu"	(0 — ф (0) uv = 0.
Пусть t± и два последовательных нуля решения и\ предположим,
что я^>0 между 0 и /а. Интегрируя по отрезку [^, У и учитывая,
что uv" — vu" представляет собой точную производную, получаем
#2
(uvf — vu') |J* + J* (<p (0 — (0) uv dt = 0
и потому
*2
и' (0) v (О — u' (*a)v (*я) + J (Ф (0 — ? (0) uvdt~0,
ti
причем и' (t±) > 0 и a'(/a) < 0. Следовательно, никакое решение урав-
нения (20) не может быть положительным на отрезке [^, /а]. Мы
получили даже более сильный результат, чем сформулированный
в теореме.
Чтобы перенести этот результат на уравнение
<21)
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЦЗ
надо воспользоваться более сложным тождеством, принадлежащим
Пиконе, именно, тождеством
(М'^—*а«®')] = (<?а—<?1) «9 + (*i — *а) и'2 + Аа	,
где v— решение уравнения такого же вида, как (21), с заменой kx
и на йа и оа. Отсюда легко получается
Теорема 9. Если все решения уравнения
колеблющиеся и если
?а>91«
> О»
то и все решения уравнения
колеблющиеся.
Основываясь на этой теореме, весьма полезной в теории Штурма —
Лиувилля, мы сейчас укажем некоторые простые классы уравнений
с колеблющимися решениями. Сравнением с простейшим уравнением (19)
получаем, что если
?(0>^2>0,	(22)
то все решения уравнения (18) колеблющиеся. Ниже мы дадим другое
доказательство, основанное на методе, применимом в более общем
случае.
При помощи повторной замены переменных из уравнения (19)
можно получить некоторые нетривиальные уравнения для сравнения.
Имеет место
Теорема 10. Если
или, в более общем случае, если
? (0	4^"4f21п2/• • • 4" О + ®) 4^2 in 2/ .,.
при и s > 0, где г — некоторое натуральное число, то все
решения уравнения (18) колеблющиеся.
Здесь
lnx(0 = InA
In.2(0 = In (In 0,
Inr(/) = ln (In^).
144
ГЛАВА VI
Доказательство. Доказательство получается при помощи под-
становок
4 = е\
примененных к уравнению
уравнения колеблющиеся,
= е \ ..., tn = /п-i,
(19). Мы знаем, что все решения этого
если /п*2>0. Полагая ^ = 6^, получим
^2^4_/^4-ОТ2И==о..
dt\
Исключая член с du,[dt при помощи подстановки
v
w = —
получим
d*u . /п2-|-1/4 А
Значит, если /п2 > О, то все решения этого уравнения колеблющиеся.
Совершим теперь подстановку t,2 =	, Получится уравнение
2^ dv . /п24-1/4	0
Исключая, как выше, член с dvjdt, получим уравнение
rthrt, I
все решения которого колеблющиеся. Продолжая таким же образом,
мы докажем сформулированную теорему.
Этот результат является в некотором смысле наилучшим, так как
каждое из уравнений
I
ф-2 U — О’
4^ in2 /) М = °
и т. д. не обладает колеблющимися решениями. Именно, как видно
из наших преобразований уравнения (19), в котором положено /п2 = 0,
все решения этих уравнений для достаточно больших значений t мо-
нотонны, ибо они имеют вид	t, (а 1п2V t\nt 9
(а 1п3 £-}-&) }/^ln f 1па^ и т. д.
Если
и
оо,
то, как мы знаем из теоремы 5, все решения уравнения
а" + и = О
1 т£
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 145
не колеблющиеся. Значит, мы снова видим, что теорема 10 близка
к наилучшему возможному результату.
Дадим теперь другое доказательство важного и полезного, хотя
и простого, утверждения о достаточности условия (22) для колебания
решений. Предположим, что для существует решение и > 0.
Тогда мы имеем
и” = — <р (/) и < 0,
и, значит, и’ монотонно убывает. Имеется две возможности: я'>0
для всех t^tQ или и' < 0 для Рассмотрим первую возмож-
ность. Если и' > 0, то и монотонно возрастает и при
Отсюда
и" = — у (/) и — яА?х,	(23)
и, интегрируя, получаем и'—оо при £->оо, что
противоречит неравенству я'>0. Исследуем теперь вторую возмож-
ность: и' < 0 при	Так как и' убывает и отрицательна для
t^t19 то uf С — при отсюда	и ПРИ ^->оо
мы приходим к противоречию.
Возвращаясь к соотношению (23), мы видим, что (22) можно за-
менить более слабым условием:
Ф (0 0, J ? (0 dt = °°-
Теоремы о колебании можно вывести также при помощи урав-
нения Риккати. Как в лемме 6, полагая uflu = v, получим
Это уравнение имеет место на каждом интервале, где Если
?(0>»O, то мы видим, что функция монотонно не возрастает
в каждом интервале, где она непрерывна. Положим w = — v, так что
? (О-
Если <р(0^>/и2>О, то мы имеем
w' W2 4“
откуда при сравнении с уравнением wr = w2 я*2 видно, что w -* оо
при /, стремящемся к некоторому конечному значению, и, кроме того,
что каждое решение уравнения (18) имеет нуль на каждом отрезке,
концами которого служат нули решения уравнения и"-\-п12и = 0,
другими словами, на каждом отрезке длины к/т.
11. Уравнение я" + ? (0 я = О, где ф(0— периодическая функ-
ция. Перейдем теперь к важному и трудному вопросу об условиях
ограниченности решений уравнения
ц"-|-<р(0ц = О,	(18)
где <р(0— непрерывная периодическая функция периода я.
Ю Зак. 1629. Р. Веллман
146
ГЛАВА Vi
Наиболее важным примером уравнения такого типа является урав-
нение Матье
а" (а 4- b cos 2t) и = 0,	(24)
которое встречается в некоторых важных исследованиях математи-
ческой физики. Тесно связанное с ним уравнение
оо
a"-f- [ 2 (ап cos + bn sin nf)] 0 = 0
П = 0
встретилось в работах Хилла по движению Луны. Мы не будем пы-
таться рассматривать эти уравнения здесь, так как уравнение (24)
вполне заслуживает отдельной книги1). Проблема в целом предста-
вляет большую трудность, и мы ограничимся доказательством одного
важного общего результата, принадлежащего А. М. Ляпунову.
Хотя из общей теоремы о представлении (гл. I, п. 15, теорема 11)
мы знаем, что каждое решение уравнения (18) имеет вид
и = ettp1 (t) 4-	(0 или	[pt (О Ц- tpa (t)],
где функции Pj (0 и р.а(0 периодичны с периодом к, но не суще-
ствует простых методов, позволяющих по данной функции ф(0 по-
лучить явно постоянные рис.
Однако имеется простой критерий ограниченности:
Теорема И. Если функция у(0 непрерывна и имеет период те
и если выполняются условия
тс
(a)J<p(0d/>O,
О
те
(6) J1 ф(0|^С4/тг,
О
то все решения уравнения (18) ограничены при /~>±оо.
Доказательство. Пусть функции их и zza образуют фунда-
ментальную систему решений уравнения (18), причем #1(0)=1,
#1(0) = 0, #2(0) = 0, #2(0)=1. Так как функции 01(^4* те) и
яа(^ + те) также являются решениями уравнения (18), то должно быть
«х (*+*) = «х 00 «х (0 + u'l 00 «а (0.	(25)
“а (< + те) = и2 (я) И1 (0 + “2 СО «а (0
(—оо <£< оо). Пусть Xj и Ха — характеристические числа матрицы
u==hi(^) «10О\
	\«a(it) «2 00/
1) См., например, М а к-Л а х л а н Н. В., Теория и приложения функций
Матье, М., 1953. — Прим, перев.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 147
Применяя формулу (25) повторно, мы видим, что
/А (*+от)\ _	fti± (0\
+ Д1Г)/	\й2 (0/
Заметим далее, что определитель матрицы U равен значению опре-
делителя Вронского функций ut и при t==iz. Так как определи-
тель Вронского для этого уравнения постоянен и равен I для t = О,
он равен 1 и для прочих значений t. По теореме Вьета ХхХ2 = | U |
и, следовательно, А1Аа = 1.
Отсюда следует, что если уравнение (18) имеет неограниченные
решения, то матрица U должна иметь либо различные вещественные
характеристические числа, либо кратные характеристические числа 1,
1 или —1, —1. Если U имеет мнимые характеристические числа,
по необходимости различные и равные 1 по абсолютной величине,
то матрицы Un равномерно ограничены при я—>±оо, откуда сле-
дует ограниченность решений уравнения (18). Отсюда видно, что если
существуют неограниченные решения, то должно быть
/X 0 \	At 1 \
U=T-' * Г, либо [7= Т-i 1 Т,
\ Ц ^*2/	\	\1/
где Хх, Ха вещественны, а во второй формуле Ах = ±1. Таким об-
разом, равенства (25) можно записать в виде
или
»а (* + *)/	'	0\ <0	1 т(U1 \иа (0>
		
	\0	' \«а(0
и, следовательно, существует вещественное нетривиальное решение,
удовлетворяющее условию
из(*+’с) = Х1нз(0-	(26)
Покажем, что это условие приводит к противоречию. Из тожде-
ства (26) следует, что функция а3(0 либо не имеет корней, либо
имеет их бесконечно много. Допустим, что н3(/) не обращается в нуль.
Тогда из уравнения (18) находим
/^'л+/тЮЛ=°
о	о
и, интегрируя по частям, получаем
г тс тс f 2	тс
“Ч “з о
10*
148
ГЛАВА VI
Так как «з (и)/й3 (к) = Пз(0)/я3(0), то этот результат противоречит
условию (а).
Рассмотрим теперь случай, когда функция я3 имеет корни. Из
формулы (26) следует, что расстояние между соседними корнями этой
функции непременно меньше либо равно z. Сейчас мы выведем общее
неравенство, из которого получим противоречие с условием (б).
Лемма 9. Пусть и(а) = и (Ь) = 0, где 0 < ft — и и (/) > О
на интервале (а, Ь), Тогда имеет место неравенство
4
b — а*
Доказательство. Имеем
ъ	ь
f 1^-1 dt > («raax)-i f | и" | dt > («max)-i max |«' (t^-u' (tj 11). (27)
Пусть u^ = u(a-\-l1) = u(b — Za), Zx-|-Za = ft—a* Т°гДа по тео-
реме Лагранжа получаем
IZ (Zl) = 4 ^max,	# (^2) = 4 ZZmax»
где 4 и Za— некоторые точки, a < < a-|-Z1 = ft— Za < Za < ft.
Отсюда и из неравенства (27) вытекает неравенство
ъ
J I и I	Zt/2 — и ’
а
поскольку Z1Za<(Z1 + Za)2/4;
Теперь, так как функция и^ удовлетворяет уравнению (18), при- *
чем 0 <ft — то в силу условия (б) теоремы имеем
. Ъ п	Ъ
а	а
и мы получаем противоречие.
12. Асимптотическое поведение решений уравнения и"—(l-f-
+ ?(Z))tt==0. Сводка результатов. Начнем с уравнения
а"_(1+?(0)й==0,	(28)
*) Первое неравенство строгое, так как если бы было | и")и | = («max)”11 и"' I
и t = с — первая точка, в которой и (/) принимает наибольшее на [а, д] зна-
чение Птах, то ПРИ а -С t < с было бы и < «тах, т. е. и" = 0 и и1 s= const > 0;
отсюда в силу непрерывности ur (t) мы имели бы и' (с) > 0, что невоз-
можно.— Прим, перев.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
149
теория которого проще и потому полнее, чем теория уравнения
+ 0 + ?(0)й = 0- В п. 13 будет доказано, что если (0 —> 0
при /—>оо, то существуют два
±^х.
«1
решения и± и я3, для которых
«2
(29)
Согласно теореме 7 гл. IIг), существуют два решения и± и и3, для
которых при достаточно больших t
t	t
expp—J |?(0|л]<в1<ехрp+q J |<p(0l<#
0	о
(30)
t
0
t
0
Упражнение
Будут ли решения, удовлетворяющие неравенствам (30), автоматически
удовлетворять соотношениям (29)?
оо
Если сверх того предположить, что J* 19 (/) | dt < сю, то, как это
следует из теоремы 8 гл. II, можно утверждать существование реше-
ний их и я3, для которых
и1 ~ et>
и2~е~*.
(31)
Результат (31) можно существенно уточнить, если соответственно
сделать больше предположений о функции (0. Так, если (0 обла-
дает асимптотическим разложением
то по теореме 10 гл. II существуют два решения и\ и «3, для кото-
рых
°°
ьо
оо
при t -> 00.	•
1) См. примечание 13 в конце книги,— Прим, перев.
150
ГЛАВА VI
Из общего результата теоремы 8 гл. II следует, что если
j* | <р'(0 l<it < оо.
то имеются два решения и± и «а, для которых
t
— ехр J К1 + *? (0
о
при /->со.	____
Отсюда, применяя формулу Тэйлора -|- <? = 1 + <р/2 —
-?2/(8/(1+е?)»).о < 9 < 1, мы можем заключить, что при допол-
нительном предположении
ОО
J* <р2(0 dt < оо
существуют такие два решения и иа, что
t
~ ехр 1/2 J (4) dtt
t
«а~ехр—t—1/2 j* ср
о
Все приведенные теоремы являются частными случаями теорем
более общих, справедливых для систем дифференциальных уравнений.
Перейдем теперь к некоторым методам, применимым именно к урав-
нениям второго порядка.
13. Уравнение и"—(1	(/))# = 0, где ф(0->0 при /->оо,
В предыдущем пункте мы заметили, что если <р (/) -> 0 при /->оо,
то существуют два решения и zza, для которых
Ц1
«1
«2
«2
(29)
Мы хотим дать доказательство этого результата, основанное на
применении очень полезного и интересного метода. Покажем сначала,
что существует решение, для которого Ui/Ut -> 1, а затем применим
лемму 3 и получим другое решение того же уравнения, удовлетво*
ряющее второму условию (29).
1
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
151
Выберем значение настолько большим, чтобы при удо-
влетворялось неравенство 1 + ?(0> 0- Пусть и — решение уравнения
и"-(1+?Й)й = 0,	(28)
для которого и'(/0) = &>0 и и(<0)=1; положим •и = и']и, так что
функция v удовлетворяет уравнению Риккати
v' + v* - (1 + ? (0) = 0, v а0) = k.	(32)
Из этого уравнения ясно, что я' > 0 при 0 < v < У1 ср (t) и
я' < 0 при У1 —Н ср (£) < v < оо (фиг. 7) и потому построенное ре-
шение существует и положительно на всем интервале t < оо.
Зададим произвольное е > 0 (s < 1) и пусть | ср (£) | О при Те t0.
Тогда при г/>1+£ будет г/<— (1 Ц-е)24-1+?(0 <— 8 — ®2>
а при 0 < vС1 — е будет У ;> — (1 — в)2Ц- 1 + ф(0> 8 — ®2> откуда
для достаточно большого t график решения попадет в полосу Tt,
1 — s <;	1 +8 и будет там оставаться с ростом /. В силу про-
извольности в и получаем, что ^(0~>1 при f->oo.
Так как у нас v — u'lu, то мы доказали существование реше-
ния я, для которого и'/и~+1. Получим теперь при помощи этого
решения другое решение, для которого и'/и —> — 1. Так как а
для достаточно больших t> то функция
существует и, согласно лемме 3, представляет собой искомое другое
решение уравнения (29).
152
ГЛАВА VI
Отсюда
, ОО
и' ( [	(1/а)
= _е	7 _____	=	1/м2
W	<»	и °°
и J (dt/ifi)	j (dt/a*)
и, учитывая, что у нас и'1и-+1, а также пользуясь правилом Лопи-
таля, получаем
Упражнение
Показать, что v = 1 является устойчивым пределом решений уравне-
ния (32), a v = — 1 — неустойчивым пределом.
14. Преобразование Лиувилля. Ранее, в лемме 5 п. 3, мы пока-
зали, как можно применить преобразование Лиувилля, чтобы привести
уравнение
и" ± <р2 (0 и — О
к виду
и"±(1+<?1(0)^ = 0,	(33)
где функция вообще говоря, стремится к нулю при
если <?(£)—>оо.
Мы теперь хотим отметить, что повторение этого преобразования
в ряде случаев переводит (33) в уравнение такого вида, к которому
применимы результаты п. 12. Замена переменных
t
S= j*
о
(мы полагаем tpjscp) преобразует (33) в уравнение
<*2« I ?' (О — zt и = О
ds* ~Г 2 (1 4- <f>f« ds
Последующая замена переменных
8
« = vexp^yj
О
где
a(s)=.^H0_
2(1 + ?Л«’
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 153
приводит к уравнению
#'(s) + [=t 1 -4-	=
v 1 L 2 ds 4 J
имеющему тот же вид, что и уравнение (33).
Этот метод применим, в частности, если ср (0 равна l/ta, 1/lnf
и вообще рациональной функции от /, е*, \nt и т. д. Иногда тре-
буется несколько последовательных преобразований, чтобы прийти
к условиям п. 12.
Упражнения
1.	Найти асимптотический вид решений уравнений и" —	—О,
— tnu = о, и!1 — (In In t) и — 0.
2.	Сформулировать условие, которому должны удовлетворять функции
ср, ср' и ср", так чтобы при выполнении этого условия можно было определить
асимптотическое поведение решений уравнения
о" = ср2 (t) и.
Привести примеры уравнений, не удовлетворяющих этому условию.
оо
15.	Уравнение я"—(1 +? (0) #=0, где у (0 -> 0, J (О <Й< оо.
Имеется обширный класс уравнений вида (33) п. 14, не поддающихся
приведенному выше анализу. Простым примером этого служит урав-
нение
»"-(>+!у)“ = о. }<»<>•
Здесь
оо	со
ЛзтМ	,,	fl	d	sin Л	А.
Л I	J I	dt	ta I
Сейчас мы изложим метод, основанный на связи между уравнением
и№ — (1 4-?(0)« = 0	(28)
и уравнением Риккати
•n'-f-w2—(1 +<р(0) = 0 (v =-£-)•
Полагая ^=1+^, получим для функции w уравнение
wz = — 2w — w2 -f- <p (/).
Мы знаем, что это уравнение имеет решение, стремящееся к нулю
ПрИ /_>оо. Оценим это решение через функцию ©(/). Имеем
t	t
w = f (^) dtt — J	ft) dtv (34)
о	с
154
ГЛАВА VI
где для упрощения записи мы положим нижний предел равным нулю.
Без ограничения общности можно считать, что |<?(0|<С® ПРИ ^^>0.
Применяя метод последовательных приближений, положим
1
*»<>= J
О
t	t
«Wi = f e-2(*-fJ<p ft)dt. — J e'2(M‘4 ft) dt.. (35)
0	0
Используя оценку для функции <?(£), получаем, что |^0|<е/2. От-
сюда следует, что если |	| < е, то и
t	. t
II < J г-1"-*'111 (У I+ J	i+4 <
0
если e 1. Значит, неравенство | wn | < e имеет место для всех п.
Из (35) получаем
t	t
I «Wi I < J e-2^ | <p ft) | dt. + e J e-2«-V | wn | dt..	(36)
0	0
t
Покажем по индукции, что	J	если e
о
достаточно мало. Неравенство, очевидно, верно при п = 0.
Оценка (36) дает
t	t
I I	I ? ft) I <ft + 2a J	(/ e~(t^ | <p ft) |
0	0.0
f	t tt
= J | <? ft) 1 dt. + 2a J е~* (J | <p ft) | dt2) dt..
0	0	0
Оценим второе слагаемое полученной суммы:
tt.	t
2Se-2t J [ J 1 ? 1 ^2] = 28в'2* / е*‘ ~ । । dt* <
0	0	о
t
<2a J e-V-^tt^dt...
0
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
155
Пользуясь этой оценкой, находим, что
t	t
I «’n+i1 < J* I? (4) I + 2s J IФ (f2) 1 dt* <
0	0
t
<2 f
b
если e 1/2.
Применяя развитый ранее метод, легко показать х), что прибли-
жения <wn сходятся к решению w интегрального уравнения (34),
удовлетворяющему неравенству
t
|w|<2 [е~(^ |?(^)|d4.	(37)
О
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем
t	t	t
w2 < 4 (J	dt1) (J	(ft) dt^ < 4 J <p2 ft) dtx.
0	0	0
Возвращаясь к уравнению (34), получаем
w = J	© ft) dt± + 0 (J e-2(#-#1) [J *-<*>-*•’ ?9 (f2) dfj dti} =
0	0	0
t	t
_ С	+ о ( C e-(t-U ?2 (t^dt^.	(38)
b	о
t
Так как и'/и = 1-\-м, то поведение интеграла J* wdt опре-
o
деляет асимптотическое поведение и. Применяя формулу (38),
t
t) Так как |t0„+1 — w„| < ( е~2^-^ lw2 (it) —
О
t
< 2e J | w„ (Zt) — wn-i (У I dtlt to sup | wn+1 — «)„ |< t sup I	—
0
— и ряд	сходится равномерно при 0</<оо. Отме-
тим для дальнейшего, что для доказательства существования решения урав-
нения (34) и для получения оценки (37) мы пользовались только тем, что
<Р (0 -* 0 при t -> оо. — Прим, перев.
156
ГЛАВА VI
получаем
t	t
f wdt^f [J	+
о	о 0	,
t tt
+°(/ [J	dti)-
о 0
Меняем порядок интегрирования в обоих интегралах:
t	t	t	t
f f<p(ta)dta-±-f	?(ta)dta + o(f<?(tjdt9).
о	о	о	о .	'
co
Так как <p (Y)	0 при /->oo и J* о*(/)Л<оо, то мы видим, что
о
t
« = ехр	-i- J «p&Mfi + q-f-ofl))
О
при /-> оо г).
Асимптотическое поведение второго решения, линейно независи-
мого с решением и, можно определить как обычно, применяя в ка-
со
честве этого второго решения = и j* dt/iP. Иначе, можно рассмо-
•	t
!) Последний переход не совсем точен, так как величина 0(1) не обязана
иметь вид с 4-0(1)- Однако в данном случае под О [ <?2 (h) dtz\ пони-
6
i h
мается—f f	dt2 и из ограниченности этого интеграла
о о
t
следует стремление его к пределу при /->сю. Интеграл же J*	(^)(#2
о
стремится к нулю, так как
О 0 f0	О
to
+ о msup I (О I (1 — <?~2(f-fo)) < е-2# Г | <р (/,) | Л2+ sup |<|> (01
2 [0, co)	J	* [0, со)
И Т. Д.
^-Прам. перев.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО поЕядЕа 157
треть уравнение, полученное из уравнения Риккати в результате под-
становки v = — 1 -|-w
w' == 2w — w2 -f~ ? (0.
Соответствующее интегральное уравнение для решений, стремя-
щихся к нулю, будет
w = — f е2(,-Цр &) dtt + J е2^-*'^ (^) dtx.	(39)
t	t
При этом все выкладки аналогичны проведенным выше. Отметим
только, что вместо (38) надо пользоваться выражением
•ау = — J e2<t~tl)tf(f1)df1-j~O^J° /"V Й) ^i) •
t	t
Сформулируем окончательный результат.
Теорема 12. Если функция ? удовлетворяет условиям*.
(а)	<р (0 О при t^oo,
(б)	J ср2 (0 dt <оо,
то уравнение и" — (1 4“ ? (0)« = 0 обладает двумя решениями,
имеющими соответственно асимптотический вид:
t
и1 = ехр^ + -|- J®(0<# + o(l)),
О
t
«3 = ехр(—
О
при t-+oo.
Упражнение
Применить уравнение (39) для вывода асимптотической формулы для и2.
16.	Уравнение и" — (1+? (0)и = О, где J ] ф (0оо.
Метод, использованный в предыдущем пункте, применим для любого
уравнения вида
а" —(1+<?(0)й = О,
со
где -> 0 при > оо и J | ф |ndt < оо для некоторого п > 0.
Однако при этом чрезвычайно возрастают алгебраические затруднения.
158
1*лАвА Vi
Мы ограничимся формулировкой результата при п = 3 и предо-
ставим доказательство читателю в качестве упражнения 1).
Теорема 13. Если функция (f) удовлетворяет условиям
(а) <?(/)-> О при >оо;
(б) f |<р(0|’л<оо,
то существуют два решения уравнения
(1+?(0)й = 0,
имеющие соответственно асимптотический вид:
t
«1 = exp -f--j- J <p ft) dti —
0
t	t,
- T J ’J ?e'2#1+2#’dt*dt* + 0 >)
о 0
t
u.2 = exp (—/ — 1 J Ф ft) dtt +
0
t	t,
о 0
Представляется невозможным преобразовать двойной интеграл
к какому-либо простому выражению, содержащему однократные
интегралы. Можно было бы ожидать, что этот двойной интеграл
t
ведет себя подобно интегралу -g-по аналогии с разло-
о
жением
t	t	t
J /l-f-oft) dtt = / + ± J ?ft)<ft- 1/8 J <?2ft)<ft-b . ..
0	O'	0
В некоторых частных случаях, например для <р = (sinпри-
менимо простое интегрирование по частям.
17.	Распространение на уравнения высшего порядка. Сущность
приведенного выше метода состоит в том, что подстановка
!) См. примечание 14 в конце книги. — Прим, перев.
ЛЙНЁЙНОЁ ДЙФФЁРВнЦИАЛЬнбЕ УЁАВНЁНЙЕ ВТОРОГО ПбРЯДкА
преобразует линейное уравнение
й(л) ai (t)ц(п-1)	an(t) и = О
в нелинейное уравнение п — 1-го порядка типа Пуанкаре — Ляпу-
нова.
Для иллюстрации дальнейших применений метода рассмотрим
уравнение
й'" -f- (0 и"	а2 (О а' + (0 = О,
где аД0->а* при /->оо. Полагая v = uflut получим следующее
уравнение для хг.
v" + 3w' + -у3 + at (t) (v' + v2) -J- a2 (t) v + a3 (t) = 0.
Пусть rt — корень алгебраического уравнения
r3	^1Г2 _j_ a^r _j_ ~ 0;
положим v = r1-{-‘w. Тогда уравнением для w будет
тс/' + 3 (w + ft)	+ ^riw +.ai (0 (w' + ri +	+ w2) +
Зг^2 4~	+ a2 (0 rx a2 (0 w (0 = 0 * (40)
Аппроксимирующим линейным уравнением служит
w" + 3rw' 4~ 3r*w -|- a± (0 w' 4~	(0	(0 + 4 +
+ «1 (0 rf + a2 (0 rt + a3 (0 = 0.
Асимптотическое поведение его решений определяется алгебраи-
ческой природой корней уравнения
а2 + (Зг14- ар а Ц- (Зг2 + 2г1а1 + а2) = 0.
Если эти корни различны и имеют отличную от нуля вещественную
часть, то для получения решений уравнения (40) и выяснения их
асимптотического поведения можно применить обычный метод после-
довательных приближений, предполагая выполненными те или иные
условия интегрируемости, например
J |	(0 |ft dt < оо
для некоторого k 1. Если имеются корни с нулевой вещественной
частью, то надо прибегнуть к помощи условий типа теоремы 8 гл. И.
18.	Уравнение (1 +ф(0)« = 0. Сводка результатов.
Рассмотрим теперь уравнение
а"4-(1+? (0)я = 0, ф (0 —> 0 при >со, (41)
160
ГЛАВА Vt
теория которого значительно сложнее из-за колеблющегося характера
решений. Здесь нет аналогий с теоремами, связанными с асимптоти-
ОО
ческим поведением u'ju. Однако если J |<?(0|d/<oo, то из тео-
ремы 8 гл. II следует, что имеются два решения уравнения (41), для
которых
и± = sin /—о (1),
Я.2 = cos^+o(l)
(42)
При ОО !).
Если сделать дальнейшее предположение о том, что функция <р(/)
обладает асимптотическим разложением

то существуют два решения и± и и2 уравнения (41), имеющие при
t —► оо соответственно вид * 2)
и± == sin t (1 -|- 2	+ cos 12 bhCk + О (Г’*"1),
Zc=l	ft=l
= cos t (1 + 2	+ sJn 2	+ О	(43)
к-1	к-1
Из теоремы 8 гл. II следует, что если
.	оо
J I ?' (О I Л < оо,
Ч Из теоремы 8 гл. II следует существование решения u(f), для кото-
рого и (0 ® (cos t + /sin t) (a 4- bl-f- о (1)), и1 (t) = (cos t-[-lsin t) (c^-di+ □(!)),
причем a, b, с и d вещественны и не все равны нулю. Отсюда легко полу-
чить (от противного), что л2 + ^2>0. Отделяя вещественную часть от мни-
мой, получим вещественные решения (t) = a cos t — b sin t + о (1),	(t) ==
= b cos 14- a sin t + о (1). Беря линейные комбинации этих решений, полу-
чаем решения (42). Аналогичное замечание относится к формулам (44).—
Прим, перев.
2) Из теоремы 10 гл. II следует, что (41) имеет решение
и (t) = (cos t + Zsin t) (ao+ M+ + . • • + -n^n- + O(t -”"1)),
где «о 4" *o > Сравнивая это с предыдущим результатом, находим, что
р, == 0. Отделяя вещественную часть от мнимой и переходя к линейным
комбинациям, получаем решения (43). — Прим, перев.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 161
то имеются два (комплексных) решения, для которых соответственно
t
«1 = [ехр (f J	+	(1 +о(0),
О
t
ехр(-/J? (О d0] (1 +о(1))
О
(44)
при /->оо. Следовательно, если дополнительно предположить, что
<sfi(t)dt < оо,
то можно произвести такое уточнение:
t
U1 = [exp(tt + у J* <p(^)d^)] (1 4-0(1)),
О
t
Ч = [exp (— # — 4 J* ? &) d/i)] 0 + о (1)).
CO	co
Если оба интеграла J | <? (t) | dt и J | o' (0 | dt бесконечны, то
вопрос требует более тщательного изучения. В следующих пунктах
мы рассмотрим задачи этого типа.
19.	Уравнение я"4-(1+? (0)я = О (продолжение). В преды-
дущих пунктах мы изучали асимптотическое поведение решений урав-
со
нения и" 4~ (1 + ? (О) и = 0 в предположении, что либо J* | <р (01 dt < оо,
со
либо J* 1ч>' (0|<«<оо. Теорема 8 гл. II применима в том случае,
когда © является суммой функций, удовлетворяющих этому условию.
Если же мы рассмотрим уравнение
и
zz = О, 0 < а < 1,
то оба указанных интеграла расходятся и должны быть применены
более тонкие рассуждения.
Чтобы расширить сферу действия изложенных методов, будем
поступать следующим образом. Как и раньше, дифференциальное
11 Зак. 1629. Р. Веллман
162
глава vt
уравнение	+ ф(0)й = 0 преобразуется в интегральное урав-
нение
t
u = v—J sin(/ — 4) ф (/i) и (t^dt19	(45)
о
где я = сг cos / —Cg sin t. Заменяя и (^) под знаком интеграла его
выражением (45), будем иметь
t
u = v—J sin(£ — O?(Q—J sin(fi— ^)?(^)«(^)^2	~
о	о
t
— v — J sin(t—(1)? ft) ^(0^1 +
о
t	t,
i J sin — ta) <p <Ya) и (/a) dtal dtt.
0
о
Переставляя во втором интеграле порядок интегрирования, получим
t
u—v—J Sin(t— *i)?ft)tfft)+
о
t	t
+ j* ? (4) [ j* sin (*—4a) sin (4a — 4) ? (4a) rf4a] « (4) dti 
0	J
Теперь мы предоставим читателю в качестве упражнения доказатель-
ство следующей теоремы:
Теорема 14. Для того чтобы все решения уравнения
и"-|~(1-|-ф(/))и = О были ограниченными, достаточно, чтобы для
некоторого tQ одновременно
t	t	t
(а)	интегралы J* ф (^) dtr, J* <р (Q sin 2tt dtr и J ф (Q cos 2tx dtt
были ограниченными при Z < оо;
(б)	при всех t^tQ выполнялось неравенство
t	t
J l^^i) J sin^ — ^)sitf(^a — ^)ф(^а)^а1^1 <k < 1-
t0 h
Упражнения
1.	Доказать, что все решения уравнения и" -|- (1 + sin аЦр) и — 0 огра-
ничены при /->оо, если а ^=2 и ^>1/2.
2.	Доказать, что уравнение «"4- (1 + sin 2^/0 и = 0 имеет Неограниченные
решения, и выяснить асимптотическое поведение последних.
ЛИнеЙнОЕ ДИФФЕ^ЁНЦЙАЛЬНбЁ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1бЗ
3.	Доказать, что все решения уравнения и" + (1 + sin f2a) и = 0 огра-
ничены, если а>1.
4.	Доказать аналог теоремы 14 для общего уравнения (11) и для
векторно-матричного уравнения z" = (А + В (/)) z.
20.	Уравнения в (/)#" + «' + # = 0 и и"-\-a(t)ur= 0.
Обратимся к уравнениям
в (f) + а' + # = 0	(46)
и
и" -j- a (f) иг —|- и = 0,	(47)
где функция s(f) положительна и стремится к нулю при f->oo и
а(/)-*оо при f—>oo.
Сравнивая (47) с соответствующим уравнением, где a(f)— поло-
жительная постоянная, интуитивно можно ожидать, что каждое реше-
ние (47) должно стремиться к нулю при t -> оо. Можно также ожидать,
что найдется решение уравнения (46), убывающее как при f->oo,
если е (f) —> 0 при f->oo.
Интересно заметить, что обе задачи эквивалентны, так как под-
становка и = преобразует (46) в уравнение
',"+(ло-2)'/+г’ = о-
Следовательно, если каждое решение уравнения (47) стремится к нулю
при f —>оо всякий раз, когда a(t) —>оо при >оо, то не суще-
ствует решений и~е~1 уравнения (46); обратно, если уравнение (46)
всегда имеет решение	при f-»oo для любого s(f), стремя-
щегося к нулю при Z—>оо, то не может быть, чтобы все реше-
ния уравнения (47) стремились к нулю при f->oo. Интересное про-
тиворечие с интуицией!
Конечно, возможен и другой интуитивный подход: можно предпо-
лагать, что уравнение (47) для большого aft) должно иметь решения,
соответствующие решениям двух аппроксимирующих уравнений
zz" + a(f)//' = O,
а (/) и' 4-й = 0.
оо
Отсюда видно, что если а(/)->оо настолько быстро, что J* dtjaft) < оо,
то можно ожидать появления ограниченного решения, не стремяще-
гося к нулю.
Читателю будет интересно применить методы предыдущих пунктов,
в частности преобразование Лиувилля, к уравнениям (46) и (47), чтобы
получить условия, в которых имеют место те или иные утверждения.
11*
164
ГЛАВА Vt
Упражнения
1.	Доказать, что если а(0>О для всех />0, то каждое решение
уравнения (2) удовлетворяет неравенству
t
о . ci г I а' (0 I
#2< —X ехР I J----77\ dt
а (0 F J а (0
при />0.
со
2.	Если J* | а (0 | dt < оо, то не может быть, чтобы все решения урав-
нения (2) были ограниченными.
3.	Все решения уравнения (1) ограничены, если &(0>О, /(0>О,
d (fi (0 / (0)A# > 0 при t > ts (Бутлевский).
т
4.	Все решения уравнения d (f (0 duldt^dt-^^ (t) й2^1 = 0 ограничены,
<»о
если (0 > 0,	(0 > 0, d (M)jdt > 0 при t > tQ (Бутлевский).
5.	Уравнение (18) не может иметь нетривиальных ограниченных при
— oo<f<oo решений, если f (0<—-а<0 для — оо</<оо (Маррей).
6»	Если 0 < № < ср (t) < а2 при — оо</<оо и если |ф(0|О1 при
— оо < t < оо, то имеется одно и только одно решение уравнения
и” — <р(0« = ф(0, ограниченное для — oo<f<oo (Маррей).
7.	Рассмотрим уравнение (8). Пусть a (t) — любая монотонно возрастаю-
щая функция, для которой а'(О ==0(1) при ^->оо. Тогда существует такая
функция ср(/), что J у (t) dt<Za(t) для больших t и lim (In | и \)а (t)) >• 1/я
ь
(Левинсон).
8.	Если в уравнении (2) |a(0|<ei при £>0, то не может быть, чтобы
все решения этого уравнения принадлежали Л2 (О, оо).
9.	Если в уравнении (2) | а (0 | < <?х для t > 0 и если решение и этого
уравнения принадлежит £2(0, оо), то dujdt также принадлежит А2 (О, оо).
Этот результат имеет место и в том случае, если потребовать только выпол-
нения неравенства a (t) < ^(Винтнер).
10.	Рассмотрим уравнение u"^f{ut t)t где f(u, t) имеет тот же знак
что и а, непрерывна для всех и при причем решение определяется
значениями а и и' в любой точке интервала	Тогда если
то только одна из функций и и и' может обращаться в нуль при
причем только один раз. Если решение существует при	то при
t-+ca возможны два случая:
(а)	и->.^=оо монотонно;
(б)	и и и1 ->0, обе монотонно, причем одна возрастая, а другая убывая
(Кнезер).
11.	Если 0 <<?!</(t) <С2, то существует одно и только одно решение
уравнения u"=f(t)ut остающееся ограниченным при £->оо, причем это
решение стремится к нулю при /->оо (Осгуд).
12.	Если f(u, t) монотонно возрастает по и для и >0, причем /(0, 0 = 0,
fu(u, 0 убывает с ростом и для и —/(—и, t) имеет те же свойства,
что и/ (и, 0, то каждое решение уравнения «"+/(«, 0 = 0 является коле-
блющимся (Пикар).
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
165
13.	Рассмотрим уравнение и" + d = 0, где d (t) положительна,
непрерывна, монотонно возрастает и ограничена для t > t0, г f (и) нечетна
и монотонно возрастает, причем |/(«t) —/(«2) | < ct | — «21 для — а < щ,
где Тогда частное решение и, для которого и = щ и dujdt = b
при t == tb где | «11 < л и f (wt) =/= 0, является колеблющимся и его ампли-
туда монотонно убывает, но не стремится к нулю (Милн).
14.	Если ср' (0 > 0 для t > t0, причем (t) не возрастает и lim ср (t) == 00,
t -> со
то каждое решение уравнения (18) стремится к нулю при f->oo, но
lim |н(0 У?(01 положителен (Армеллини).
£->со
15.	Достаточно ли условие монотонного стремления ср (/) к оо, чтобы
гарантировать, что все решения уравнения (18) стремятся к нулю при
/->ОО?	1^.
16.	Рассмотрим уравнение (18), где <р(0<0 при а <7 <5. Пусть
и — решение, удовлетворяющее условиям и' (f0) = 0 и и (^) = 1, где а < f0< k
Тогда и можно записать в виде
_гт+г-т
“ “	2
где T=(t—tQ) V— <f>(s) и s — функция t, причем to^s^t (Петрович).
17.	Если ср (t) > 0, то решение уравнения (18) в интервале между сосед-
ними нулями и /3 имеет вид н = соэ[(/— /0) V? ($)],	Здесь
h = fo — “/2 У? («), h = to + "/2 УЙО (Петрович).
18.	Если ср (^)< 0 при t то общее решение уравнения (18) имеет
вид
*	t
u = Ci ^exp j* (ft) «#1J + ^2 Jexp J h (^1) j ,
to	A)
где Xt и — k2 не отрицательны и ограничены, если ср (t) ограничена (Осгуд).
19.	Если ср (/) > 0 и монотонна, то амплитуды решений уравнения (18)
меняются монотонно, возрастая, если cp(f) убывает, и убывая в противном
случае. Кроме того, если ср (t) остается ограниченной при t -> 00, то ампли-
туды заключены между некоторыми границами, зависящими от начального
условия (Маррей).
2Э.	Если ср (f) монотонна и стремится к а2 при f->oo, то для решения
уравнения (18) будет
lim max | if | = сь
t->CQ
lim max | и' [ = с2,
t-> со 0<a<t
причем с2 = а(\ (Асколи).
21.	Если ср (0 не убывает, то для любого решения уравнения (18)
max | и | стремится к конечному пределу при t -► 00, но max | иг | может
стремиться к оо при t -> 00. Если ср (t) не возрастает, то этот результат
имеет место, если переставить и и и! (Асколи).
22.	Если ср' (0 > 0 и не убывает при t > tn и если ср (t + 1/ У? (0)/? (О -* 1
при £ —► оо, то каждое решение уравнения (18) стремится к нулю при /~>оо
(Бьернацкий).
166
ЛИТЕРАТУРА
23.	Показать, что подстановка и = г cos 0, где Я = с J преобразует
уравнение (18) к виду dPrldfi — c2/r% + rq> (0 = 0.
24.	Если Нт ?(/-}“ с/ V? (0)/? (0 = Ъ ? (0 “*00 ПРИ -*°°, то, обозначая
# ~> со
через Д (0 интервал между двумя последовательными корнями решения
уравнения (18), будем иметь lim Д (0^(0 = те (Вимен).
#->оо
25.	В предположениях предыдущего упражнения каждое решение урав-
нения и" — ср (0 и = 0 удовлетворяет соотношению lim и'[и У у (0 = 4- 1
#“>ОО
или — 1 (Вимен)..
26.	Рассмотрим два соотношения:
z ч d2u ... du ...	... л ,. ,
(а)	А (О —А (0 « — (0 = 0, ; > t0;
7^4	7»Ч	Л
(б)	~d&—Pl (0 ~ai ~Pi ^v~4 (() > °>
где и (tQ) = Uq = v (tQ) и и (/0) =	= v (/0). Если существует решение и
уравнения (а), не имеющее корней при	то при
(Вилкинс) 0.
27.	Пусть уравнение uff + pt (0 +р2 (0 и = 0 обладает тем свойством,
что при а<Ц<^Ь существуют решения и «2, для которых ^>0 и
Тогда если функция v имеет три корня в (а, Ь), то существует промежуточ-
ная точка s такая, что v" (s) ~|- (s) v' (s) -j- p2 {$) v (s) = 0; обобщить
этот результат (Полна).
ЛИТЕРАТУРА
Более полную сводку известных результатов, связанных с уравнением (1)
можно найти в гл. III ранее упомянутого обзора автора (см. [3] к гл. I).
П. 4.
1.	As col i G., Sul comportamento asintotico degli integral! delle equazioni
differenziali del 2° ordine, Rend. Accad. Lincei, ser. 6, 22 (1935), 234—243.
2.	Bellman R., The boundedness of solutions of linear differential equations,
Duke Math. Joum., 14 (1947), 83—97.
3.	С a с c f о p p о 1 i R., Sopra un criterio di stabilita, Rend. Accad. Lincei, ser. 6
(1930), 251—254.
4.	Wiman A., Ueber eine Stabilitatsfrage in der Theorie der linearen Dif-
ferentialgleichungen, Acta Math., 66 (1936), 121—145.
П. 5. Первый противоречащий пример был дан Перроном:
5.	Perron О., Ueber ein vermeintliches Stabilitatskriterium, Nachr. Ges. Wiss.
Gottingen, Math.—physik. KL, Fachgruppe I (1930), 28—29.
0 Это предложение является детализацией значительно более общей
теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах, применимой
к уравнениям любого порядка. — Прим, перев.
ЛИТЕРАТУРА
167
Рассуждения, которым мы следовали, принадлежат Винтнеру:
6.	W i n t n е г A., The adiabatic linear oscillator, Amer. Journ. of Math., 68,
(1946), 385—397.
См. также
7.	A s с о 1 i G., Osservazioni sopra alcune question! di stabilita, Rend. Accad.
Lincei, ser. 8, 9 (1950), 210—213.
П. 6.
8.	В i e r n a c k i M., Sur Tequation x" -f- A (t) x = 0, Prace Mat. Fiz., 40 (1933),
163—171.
П. 7. Результат, приведенный в тексте, является частным случаем теоремы
Хаупта; см.
9.	Haupt О., Ueber das asymptotische Verhalten der LOsungen gewisser
linearer gewohnlicher Differentialgteichungen, Math. Zeit., 48 (1943),
289—292.
Подробное исследование случая второго порядка см. в статье
10.	Hille Е., Non-oscillation theorems., Trans. Amer. Math. Soc., 64, № 2
(1948), 234—252.
П. 8.
11.	В e 11 m a n R., A stability property of solutions of linearer differential equa-
- tions, Duke Math. Journ., 11 (1944), 513—516.
П. 9.
12.	Харди Г. X., Л и т т л в у д Д. Е. и Полна Г., Неравенства, М., 1948.
13.	Halperin I., Ann. of Math., 38 (1937), 889—919 (см. лемму 2.1).
14.	Landau Е., Math. Ann., 102 (1929), 177—178. Упрощены некоторые ори-
гинальные результаты Эскландона.
П. 10. По поводу приложений приведенных тождеств к теории дифферен-
циальных уравнений Штурма — Лиувилля см.
15.	Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков,
1939, гл. X.
Изучение соответствующих свойств для общего линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка было начато Кнезером; см.
16.	Fowler R. G., The form near infinity of real continuous solutions of a
certain differential equation of second order, Quart. Journ. Math. Oxford, Ser.,
45 (1914), 289—350.
17.	Kneser A., Untersuchungen liber die reellen Nullstellen der Integrate
linearer Dlfferentialgleichungen, Math. Ann., 42 (1893), 409—435.
IL 11. Результат принадлежит Ляпунову:
18.	Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М. — Л., 1950..
Данное доказательство принадлежит Боргу; см.
19.	Borg G., Ueber die Stabilitat gewissen Klassen von linearen Differential'
gleichungen, Ark. Math. Astr. Fys., ser. 31A, No 1 (1944), 460—482.
П. 12. По поводу более детальных результатов см.
20.	Н а г t m a n n Р., Unrestricted solution fields of almost-separable differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc., 63 (1948).
П. 14. По поводу некоторых физических приложений преобразования Лиу-
вилля см.
21.	S с h е 1 k ounof f S. A., Solutions of linear and slightly non-linear diffe-
rential equations, Quart. Appl. Math., 3 (1945), 349—355.
168
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
См. также
22.	Brillouin L., Quart. Appl. Math., 6 (1948), 169; 7 (1949), 363.
П. 15. См. указанную выше статью Хартмана и статью
23.	В е 11 m a n R., On the asymptotic behavior of solutions of u" —
— G+/(0)a==0, Annali di Matematica, ser. 4, 31 (1950), 83—91.
П. 18.
24.	Kneser A., Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrate
gewisser Differentialgleichungen bei grossen reelen Werten der Arguments,
Journ. fiir die reine und angew. Math., 116 (1896), 178—212; 117 (1897),
72—103; 120 (1899), 272—275.
25.	W i n t n e r A., Asymptotic integration of the adiabatic oscillator, Amer.
Journ. Math., 69 (1947), 251—272.
П. 19.
26.	Prodi G., Nouvi criteri di stabilita per 1’equazione у" + A (x)у = 0, Rend.
Accad. Lincei, 10 (1951), 447—451.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
От переводчика. Имеется значительная литература, посвященная свой-
ствам решений уравнения (1) и смежным вопросам. Укажем еще некоторые
работы, посвященные вопросам, непосредственно связанным с теми, которые
рассматриваются в этой главе:
1.	Dini U., Stud! suite equazioni сifferenziali linear!, Ann. di Mat. pura et
appl., ser. 3, 2 (1899), 297—324; 3 (1899), 125—183.
2.	W i m a n A., Ueber die reellen LOsungen der linearen Differentialgleichun-
gen zweiter Ordnung, Arkiv for Matem., Astr. och Fysik, 12, No 14 (1917).
3.	Mat ell M., Asymtotische Eigenschaften gewisser linearen Differential-
gleichungen, Dissertation, Uppsala, 1924.
4.	G a m b i e r B., LEquation differentiate lin£aire du second ordre x" +
+ xA(0 = 0, Nouv. Ann. de Math., ser. 6, 2 (1927), 2—23.
5.	Mambriani A., Su un teorema relative alle equazioni differenziali ordi-
narie del 2° ordine, Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei, ser. 6, 9 (1929),
620-622.
6.	Caccioppoli R., Una questione di stabilita, Rend. R. Acc. Naz. dei
Lincei, ser. 6, 11 (1930), 251—254.
7.	H u k u h a r a M„ N a g u m о M., On a condition of stability for a differen-
tial equation, Proc, of the Imp. Acad, of Japan, 6 (1930), 131—132.
8.	M i 11 о u x H., Sur Itequation differentielle x" 4- A (t) x = 0, Prace Mat.
Fizy., 41 (1934), 39—54.
9.	A r m e 11 i n i G., Sopra un’equazione differenziale della Dinamica, Rend. R.
Acc. Naz. dei Lincei, ser. 6, 21 (1935), 111—116.
10	Шепелев В. M., К вопросу об устойчивости движения, Прикл. матем.
и мех., стар, серия III, вып. 1 (1936), 144—148.
11.	Butlewski Е., Sur les int£grales d’une equation differentielle du second
ordre, Mathematica (Cluj), 12 (1936), 36—48.
12.	Sansone G., Scritti Matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia, 1936,
385—403.
13.	Ton el li L., Scritti Matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia, 1936,
404—405.
14.	Fubini G., Studi asintotici per alcune equazioni differenziali, Rend. R.
Acc. Naz. dei Lincei, ser. 6, 26 (1937), 253—259.
15.	W i n t n e r A., (^-connections between the potential and kinetic energies
of linear systems, Am. Journ. of Math., 69, No 1 (1947), 5—13,
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
169
16.	Ю р о в с к и й А. В., О некоторых критериях устойчивости интегралов
системы двух линейных дифференциальных уравнений с периодиче-.
скими коэффициентами, ДАН СССР, 62, № 5 (1948), 595—598.
17.	Hartman Р., On the linear logarithmico-exppnential differential of the
second order, Amer. Journ. of Math., 70, No 4 (1948), 764—779.
18.	Hartman P., Wintner A., Criteria of non-degeneracy for the wave
equation, Amer. Journ. of Math., 70, No 2 (1948), 295—308.
19.	Hartman P., Wintner A., On non-conserwative linear oscillators of
low frequency, Amer. Journ. of Math., 70, No 3 (1948), 529—539.
20.	Hartman P., Wintner A., The asymptotic, arcus variation of solutions
of real linear differential equations of second order, Amer. Journ. of Math.,
70, No 1 (1948), 1—10.
21.	Wintner A., A norm criterion for non-oscillatory differential equations,
Quart. Appl. Math., 6, No 2 (1948), 183—185.
22.	Wintner A., Asymptotic integration of the adiabatic oscillator in its hyper-
bolic range, Duke Math. Journ., 15, No 1 (1948), 55—67.
23.	Г у с a p о в JI. А., Об ограниченности решений линейного уравнения вто-
рого порядка. ДАН СССР, 68, № 2 (1949), 217—220.
24.	Г у с а р о в Л. А., Об ограниченности и стремлении к нулю решений
линейного дифференциального уравнения второго порядка, Канд. дисс.
МГУ, 1947.
25.	С о б о л ь И. М., Об уравнениях Рикатти и приводимых к ним линейных
уравнениях второго порядка, ДАН СССР, 65, № 3 (1949), 275—278.
26.	Borg G., On a Liapounoff criterion of stability, Amer. Journ. of Math., 71,
No 1 (1949), 67—70.
27.	Hartman P., Wintner A., A criterion for the non-degeneracy of the
wave equation, Amer. Journ. of Math., 71, No 1 (1949).
28.	Leighton W., Bounds for the solutions of a second-order linear differen-
tial equation, Proc. N.A.S. USA, 35, No 4 (1949), 190—191.
29.	Leighton W., Cn self-adjoint differential equations of second order,
Proc. N. A. S. USA, 35, No 11 (1949), 656-657.
30.	Levinson N„ Criteria v for the limit-point case for second order linear
differential operations, Casop. pest. mat. fys., 74, No 1 (1949), 17—20.
31.	Putnam C. R., An oscillation criterion involving a minimum principle,
Duke Math. Journ., 16, No 4 (1949), 633—636.
32.	Sears D. B., On the solutions of a linear second order differential equa-
tion which are of integrable square, Journ. Lond. Math. Soc., 24, No 3
(95) (1949), 207-215.
33.	W i n t n e r A., A criterion of oscillatory stability, Quart. Appl. Math., 7,
No 1 (1949), 115—117.
34.	Wintner A., A priori Laplace transformations of linear differential equa-
tions, Amer. Journ. of Math., 80, No 3 (1949), 587—594.
35.	W i n t n e r A., On almost free linear motions, Amer. Journ. of Math., 80,
No 3 (1949), 595—602.
36.	Г у с a p о в JI. А., О стремлении к нулю решений линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка, ДАН СССР, 71, № 1 (1950),
9—12.
37.	Г у с а р о в а Р. С., Об ограниченности решений линейного дифферен-
циального уравнения с периодическими коэффициентами, Прикл. матем.
и мех., 14, № 3 (1950), 313—314.
38.	Якубович В. А., Об ограниченности решений уравнений у" + р (t) v=0,
p(t + w)=p(t), ДАН СССР, 74, № 5 (1950), 901—903.
39.	Bielecki A., Sur une equation differentielle binome du П-me ordre, Ann.
Univ. M. Curie-Sklod. (A), 4 (1950), 13—17.
40.	Hartman P., Wintner A., On the derivatives of the solutions of one-
dimensional wave equations, Amer. Journ. of Math., 72, No 1 (1950),
148-156.
170
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
41.	Leighton W., The detection of the oscillation of solutions of a second
order linear differential equation, Duke Math. Journ.. 17, No 1 (1950),
57—62.
42.	Prodi G., Un’ osservazione sugl’integrali dell’equazione у + А (x) у = 0
nel caso Л(х)->сорег x->oo, Atti Ac. Naz. Lincei, ser. 8, 8, No 5
(1950), 462—464.
43.	Z 1dm al M., Oscillation criterions, Casopis pro pest. mat. fys., 75, No 4
(1950), 213—218.
44.	Гольдин A. M., Об одном критерии Ляпунова, Прикл. матем. и мех., 15,
№ 3 (1951), 379—381.
45.	К а м ы н и н Л. И., Об ограниченности решений дифференциального урав-
нения уц + F Му = 0, Вестник МГУ № 5, физ.-матем. сер. № 3 (1951),
3—12.
46.	Соболь И. М., Исследование асимптотического поведения решений
линейного дифференциального уравнения второго порядка при помощи
полярных координат, Матем. сб., нов. сер. 28 (70), № 3 (1951), 707—714.
47.	Н а г t m a n Р., On linear second order differential equations with small
coefficients, Amer. Journ. of Math., 73, No 4 (1951), 955—962.
48.	Hartman P., The number of ZAsolutions of x" + q (t) x = 0, Amer. Journ.
of Math., 73, No 3 (1951), 635—645.
49.	H a r t m a n P., W f n t n e r A., On an oscillation criterion of Liapounoff,
Amer. Journ. of Math., 73, No 4 (1951), 885—890.
50.	W i n t n e r A., On the non-existence of conjugate points, Amer. Journ. of
Math., 73, No 2 (1951), 368—380.
51.	Соболь И. M., Граничное решение уравнения Риккати и его примене-
ние к исследованию решений линейного дифференциального уравнения
второго порядка, Уч. Зап. МГУ, 155, матем. сер. 5 (1953), 195—205.
52	В а г b u t i U., Sulla stabilita delle soluzioni per la equazione x" -f- & (0 x—0,
Atti Accad. Nac. Lincei, ser. 8, 12, No 2 (1952), 170—175.
53.	Leighton W., On self-adjoint differential equations of second order, Journ.
Lond. Math. Soc., 27, No 1 (105) (1952), 37—47.
54.	M a k a i E., On a monotonic property of certain Sturm-Liouville functions,
Acta Math. Hung., 3, No 1-2 (1952), 165—172.
55.	Ubaldo Richard, Sulla rappresentazione asintotica degle estremi delle
soluzioni di equazioni differenziali lineari del 2° ordine, Atti Acc. N; Line.
Rend., ser. 8, 12, No 4 (1952), 382—387.
56.	Choy-tak Taam, Non-oscillatory differential equations, Duke Math.
Journ., 19, No 3 (1952), 493—497.
57.	С e м e н о в H. 3., Три достаточных условия ограниченности решений
линейного уравнения второго порядка, Уч. Зап. Белорус, гос. ун-та,
сер. физ.-матем. № 15 (1953), 38—40.
58.	С т а р ж и н с к и й В. М., Об устойчивости одной механической системы
с одной степенью свободы, Прикл. матем. и мех., 17, № 1 (1953), 117—122.
59.	A s с о 1 i G., Sul comportamento asintotico degli integrali dell’equazione
y" = (1 4-/(0)У in un caso notevole, Riv. mat. Univ. Parma, 4, No 1—2
(1953), 11—29.
60.	H a r t m a n P., On the derivatives of solutions of linear, second order,
ordinary differential equations, Amer. Journ. of Math., 75, No 1 (1953),
173—177.
61.	Lind Potter R., On self-adjoint differential equations of second order,
Pacif. Journ. Math., 3, No 2 (1953), 467—491.
62.	Schafke F. W, Einige Stabilitatskriterien, Z. angew. Math, und Meeh.,
33, No 8—9 (1953), 283—285.
63.	C h о y-t a k Taam, Linear differential equations with small perturbations,
Duke Math. Journ., 20, No 1 (1953), 13—25.
Глава VII
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
1.	Введение. В этой главе мы будем изучать важное нелинейное
уравнение второго порядка
со
Ш \ ttl у
Это уравнение имеет ряд интересных физических приложений,
появляясь в астрофизике в виде уравнения Эмдена и в атомной
физике в виде уравнения Ферми — Томаса. Не приходится сомневаться
в том, что нелинейные уравнения такого типа еще чаще встречались
бы в математической физике, если бы было известно больше спосо-
бов исследования свойств его решений, имеющих физический смысл.
С’ математической точки зрения уравнение также интересно: оно
представляет собой нетривиальное нелинейное дифференциальное
уравнение с широким классом решений, поведение которых можно
определить с удивительной точностью, несмотря на то, что эти реше-
ния, вообще говоря, нельзя получить в явном виде.
Чтобы выделить этот широкий класс поддающихся изучению
решений, мы будем пользоваться понятием правильного решения,
которое встречалось ранее, в гл. V. Мы назовем правильным реше-
нием такое, которое вещественно и непрерывно для значений t, боль-
ших некоторого значения t0.
Впредь мы ограничимся рассмотрением только правильных реше-
ний. Чтобы читатель не забывал об этом, мы будем всегда включать
это предположение в условия теорем. Это предположение является
естественным при рассмотрении многих физических приложений.
2.	Некоторые предварительные преобразования. Сейчас мы
рассмотрим некоторые способы замены переменных, которые приво-
дят уравнение (1) к более простому виду. При этом будем считать,
что п #= 1.
Если р > 1, положим
5 = (р_ I)-1/?-1, и = (р_
Уравнение для v имеет вид
172
ГЛАВА VII
где
01==2±L_(« + 3).
Если р < 1, положим
S = (1 — р)-1?-₽> и = (1 —р)_	v.
Тогда получим
где
Если р = 1, положим 5 = In t, получится уравнение
^±:e(’+1)V = 0.
ds*
Мы начнем с изучения уравнения
d*u
d&
(2)

Для некоторых значений а и п это уравнение можно привести
к нелинейному уравнению, не содержащему t явно, и тем самым
открыть путь применению для его изучения теории Пуанкаре —
Ляпунова.
Попробуем найти решение уравнения (2) в виде и = где с
и *w— постоянные. Подставляя, видим, что решение такого вида
получится, если
-<g + 2-),
п — 1
Г_ (G + 2) (а + 71 + 1)1 V(n-1)	( )
("“О2 J
Эти формулы теряют смысл при п = 1, когда уравнение (2) линей-
ное и поддается исследованию методами гл. VI. Впредь мы предполо-
жим, что наше уравнение является нелинейным, именно, что п>1.
Основываясь на значении с, данном формулой (3), мы видим, что,
вообще говоря, вещественные решения рассматриваемого вида для
уравнения и" — t°un = 0 существуют только в том случае, если
(з + 2)(з4-лЧ- 1)> 0. Мы увидим, что когда эти частные решения
существуют, то они интересны не только сами по себе, но и дают
возможность выяснить структуру множества всех собственных реше-
ний.
Так как мы рассматриваем только вещественные непрерывные
решения, то арифметическая природа числа п значительно влияет на
возможные типы правильных решений. Ясно, что, вообще говоря,
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
173
из-за наличия члена ип правильные решения должны быть положи-
тельными. Однако для некоторых значений п, именно для чисел
вида п — p/q, где q — нечетное, функция и может принимать отри-
цательные значения. Таким образом, мы видим, что для уравнений,
где допускаются отрицательные значения и, либо (— и)п^ип,
либо (— zz)n =— ип. Это простое замечание объясняет наше внима-
ние к положительным правильным решениям.
Мы скажем, что число п— „нечетное*, если n—plq, где р и q
оба нечетные, и что п—„четное*, если п — plq и р — четное.
Исследование уравнения (2) нам придется вести различными мето-
дами в зависимости от знака и величины а и п. Эти методы будут
вводиться один за другим до некоторого момента, после которого
все они будут применяться одновременно. Можно надеяться, что после
изучения изложенного здесь материала читатель сможет применять
имеющиеся немногочисленные методы для исследования любых уравне-
ний аналогичного вида, которые могут ему встретиться в теории или
на практике.
3.	Уравнение и"—Fun = 0, a4-n-J~l<0, положительные
правильные решения. Нашим первым результатом служит
Теорема 1. Если а 4- п 4~ 1 < 0, то любое положительное
правильное решение уравнения1)
и"—t°un = 0	(4)
имеет одно из следующих асимптотических представлений*.
„	Г (° + 2) (з + л +	.-(а+2)/(»-1)	/Ci
м~|_---------------J *	’	<5>
аП^+П+2
и = att+а24-[ 1 + о(1)] (<r + „_|l1)(e + n + 2j(«1 > °)	(б)
—[1 ~}-о (1)1 а” 1п/ при а4”л“М= — О
или
anta+2 *
«==«2 + [1+о(1)](7Т^т^, (а2>0),	(7)
где а± и а2 — постоянные.
Доказательство. Прежде всего ясно, что функция и моно-
тонна при достаточно больших значениях t. Действительно, если
и' = 0 при t — tQ, то и в точке /0 может иметь только минимум,
так как и" — t°un > 0. Значит, при достаточно больших t функция и
монотонно возрастает или монотонно убывает. Кроме того, и' моно-
тонно возрастает, так как и" > 0.
i) При доказательстве автор пользуется теоремой Харди, что законно
только для рациональных п. Это относится также к теоремам 3—5. Прим
перев,
174
ГлАвА Vli
Таким образом, при t-+oo могут представиться три случая:
(а)	я'->0;
(б)	> 0;
(в)	и' ~>оо.
Случай (а). Если zz'~>0, причем и' возрастает, то иг < 0 и
а убывает. Значит, и имеет конечный предел при £->6о, так как
и > 0. Кроме того, этот предел отличен от нуля. Действительно,
если иг (оо) = и (оо) = 0, то мы получаем из уравнения (4)
zz'(/) = — J и"dt— — J Рипdt,
t	t
u(t) = — f u'dt = t’andt^dt.
t	it
Пусть zz(£0) = 8 мало. Тогда в силу монотонного убывания функ-
ции и имеем
со со
оо со
S = a (Q = J (J %ипdt^dt^Z* J (У £^1)dt. (9)
Zq Z	t
Так как n> 1 и а4“п+ 1 < то последний интеграл сходится и
мы получаем противоречие с достаточной малостью 8.
Значит, zz(oo) = a2>0, и (f) = о (V) при	Из фор-
мулы (8) получаем х)
u'(t) = — a” f tadt-[~o(V) J fdt = a% +
t	t
и потому
4 г	,
«(0 = «а - ЯЛ У	dt С1 + °(1» = + (»+!)(» +2) О+о (1))а)-
9 См. примечание 15 в конце книги.—Прим, перев.
2) Повторяя этот прием, можно получить более точное выражение
й”/°+2	лл|«-Ч2<’+2)
«(0-«2+ (а + 1)(в_|_2) +(0	1) (5 + 2) (2а 4-3) (2а + 4) [1 + ° (1)]
и т. д. Аналогично можно поступать и в других подобных случаях. —Прим,
перев.
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА-ФАУлЁРА
176
Упражнение
1.	Применяя метод последовательных приближений, показать, что реше-
ние такого типа при существует, если л2 выбрано соответствующим
образом.
Случай (б). Если и' ->	> 0, то u~axt при Инте-
грируя так же, как в формуле (8), получаем представление (7).
Упражнение
2.	При каких условиях решение такого типа существует?
Случай (в). Согласно равенствам (3), мы видим, что если
п>1, то с вещественно для любого п, так что
имеется частное решение и = ctw уравнения (4), где с и w опре-
делены по формулам (3). Мы хотим показать, что это решение
асимптотически равно всем тем, для которых а'—>оо. Для этого
сделаем подстановку
и = ct^v
и получим для v следующее уравнение:
—1)(г/ — ^) = 0.	(10)
Теперь совершим еще одну замену переменных, / = es; получится
уравнение
g. + (2w-i)g + w(®-l)(^-^) = 0.	(11)
Это уравнение будет играть ниже очень важную роль.
Так как и > 0 и с > 0, то v > 0. Покажем теперь, что все по-
ложительные правильные решения уравнения (10), кроме тех, для
которых v —> 1, лежат в полосе 0 < v < 1. Как только график реше-
ния v пересечет прямую v = 1 снизу вверх (он не может касаться
этой прямой, если v не равно тождественно 1), то функция v должна
продолжать монотонно возрастать, так как если v' = 0 при г/>1,
то v" = — w (w — 1) (v — vn) > 0, что может быть только при
минимуме. Кроме того, такое решение v не может стремиться к ко-
нечному пределу, так как мы увидим сейчас, что если v-+a при
$-->оо, то а — ап=0, а этому противоречит то, что v больше 1 и
монотонно возрастает.
Сформулированное утверждение мы докажем следующим образом.
Допустим, что причем а — ап=^0. Тогда из уравнения (11)
имеем при s -> оо
d2v i/о 1 \ dv , п
_+(2да-1)_~^0.
176
ГЛАВА VII
Интегрируя, получаем при s —> оо
Так как v —> а, то отсюда следует, что dvjds ~ (^s, откуда v^c^/2,
что противоречит ограниченности v.
Покажем, что правильное решение v не может стремиться к оо.
Совершая подстановку dvjds = pi получаем из (11)
Р% + аР Л-Ь(у(12)
где а = 2w — 1 и b =	— 1) (переход к аргументу v законен,
так как dvjds > 0).
Применяя теорему 3 гл. V (Харди)1), мы видим, что если т/->оо,
то либо
р~	(13)
где Р многочлен относительно v, либо
p~ati,(lntr)w.	(14)
Если P(v)-+— оо при г/->оо, то р->0 и dp/dv-^Q (суще-
ствование предела dpjdv следует хотя бы из замечания в конце п. 4
гл. V). На основании уравнения (12) мы видим, что этот результат
приводит к противоречию. Если Р(г/)->оэ при т/-»оо, то
при v —> оо, чего не может быть для правильного решения v на
основании леммы 1 гл. V. Если же P(v) тождественно равен по-
стоянной, то в силу той же леммы и из уравнения (12) вы-
текает, что dpfdv ~ bvnlp~bvn~kla, откуда, интегрируя, получаем
р~byn-k+i	1). Но по (13) р~$ик, и мы приходим
к противоречию. Аналогично рассуждаем в случае асимптотического
представления (14).
Значит, остается исследовать решения, лежащие целиком в по-
лосе 0 < v < 1. Эти решения также должны быть монотонными для до-
статочно больших значений tt так как каждый экстремум должен быть
максимумом. Следовательно, при s -> оо имеем -> 0 или 'У -> 1.
Случай v —> 1 дает нам остающийся тип решения уравнения (4),
выраженный формулой (5), решений же, для которых о->0, в слу-
чае (в) не может существовать2). Между прочим, имеется другой
способ доказательства того, что и не может стремиться к 0 при
х) Здесь требуется рациональность п. В самом деле, теорема Харди до-
казана для полиномиальных уравнений, и чтобы провести (12) к этому виду,
требуется подстановка v = v% (пусть п = p]q). Поэтому в формуле (13) вме-
сто Р (v), должно быть Р (#х) = Р (у v), но это не меняет доказательства. —
Прим, перев.
2) См. примечание 16 в конце книги. — Прим, перев.
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
177
7->оо, основанный на том, что скорость убывания решений нели*
нейного уравнения (10) не может быть слишком большой.
Отметим, наконец, что мы не пользовались видом числа п.
Упражнение
3.	При каких условиях существуют решения уравнения (11) указан-
ного типа?
4.	Уравнение и" — ?ип = 0, а + 2 < 0 < + В этом
случае мы докажем, что справедлива
Теорема 2. Если а + 2 < 0 < 0 +Ь каждое поло-
жительное правильное решение уравнения
u" — t°un = 0	(4)
имеет асимптотический вид
“ =	(д-Ц)(. + 2) 11+<’<‘)|.	СТ
Доказательство. Мы опять имеем те же три случая:
(а)	и'->0;
(б)	я'->а > 0;
(в)	а'->оо
при t-+oo.
Покажем сначала, что случай (б) невозможен. Если и'-*а, то
и u~at и из уравнения (4) находим
\ „ПЛ+П	/1К\
zz > ait	. (1о)
для #>^>0, t^tQ, откуда посредством интегрирования получим
апр+п+1
и' > — 7—j------£.—>00,	(16)
что противоречит принятому предположению. Аналогично показываем,
что случай (в) невозможен. В самом деле, из условия я'->оо еле*
дует, что и'^а для больших t при некотором а, а потому u^aix
Возвращаясь к уравнению (4), получаем, что и""^>апП+\ и'
я i/(a + п + 1) f+n+1 — Ci>tb для некоторого b > 0 и потому
u^tb+1 для некоторого &>0 при £->оо. Продолжая таким же
образом1), получаем, что u^tN для каждого N при £->оо. Отсюда
1) Для этого проще всего заметить, что из неравенства
/>/0) аналогичным образом следует, например, что	* 1 (f>7f)
— Прим, перев.	;
/
12 Зак. 1629. Р. Веллман
178
ГЛАВА VII
и из. уравнения (4) для больших t получаем, что
и" > t?un > zz1+e, s > О
(17)
при /~->оо. Так как в нашем случае и' положительна, то из нера-
венства (17) получаем неравенство
и'и" > zz1+szz',
что после интегрирования дает zz'2 > cazz2+® или uf > ]/ cazz1+s/2 при
t —>оо. Но мы знаем, что для правильного решения этого не может
быть (см. лемму 1 гл. V).
Следовательно, остается случай (а), когда и' —>0. В этом случае zz'
должна быть отрицательной для больших значений /, так как из. по-
ложительности и следует в силу дифференциального уравнения, что
и” > 0 и потому и' возрастает. Установив, что и' < 0, получаем,
что и стремится к пределу при Z—>оо. Доказательство, приведенное
в п. 3 (формула (9) и ниже), показывает, что этот предел не равен
нулю.
Установив это, для получения асимптотического выражения реше-
ния можно применить тот же процесс итерации, что и в п. 3.
Упражнение
При каких условиях существует решение указанного типа?
5.	Уравнение и"—	=	а-{-2<0,
мы имеем те же три случая при /^оо:
(а)	и' ~->0;
(б)	и,' а =# 0;
(в)	и' ->оо.
Как и в п. 4, получаем, что случай (б)
неравенство (16) предыдущего пункта надо
zz' > a? In t — q —> оо.
а п 1 =0. Вновь
невозможен; при этом
заменить неравенством
(18)
Чтобы исключить случай zz' —► оо (случай (в)), рассмотрим урав-
нение, получаемое в результате подстановки zz = vt и затем
d2v . dv
подста-
(19)
новки t — es*.
Так как v > 0, то все решения монотонны для достаточно боль-
ших значений Л Применяя теорему Харди, как и в п. 3, исключаем
случай -у~>оо. Отсюда можно заключить, что v имеет конечный пре-
дел, который, как видно из уравнения (19), может равняться только
нулю. Если (ср. аналогичные рассуждения в п. 3) v —>0, то v имеет
асимптотический вид	причем q #= 0; отсюда u = vt—
при t —>оо. То, что константа отлична от нуля, можно вывести
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
179
из уравнения (19), как мы только что сделали, или можно показать
на основе условия, что с —|— 2 < 0, как мы это делали в предыдущих
пунктах1).
Важно помнить, что к задаче об определении поведения решений
нужно иметь различные подходы, так как в более сложных случаях
некоторые из этих подходов могут быть неприменимыми.
Резюмируем полученный результат:
Теорема 3. Если	=	то каждое поло-
жительное правильное решение уравнения
и" — &ип = 0	, (4)
имеет асимптотический вид
и = аз +	1) (д _(_ 2) С1 + 0 (О)	(7)
при t-+ оо.
в. Уравнение и" — t*ttn = 0,	+ 2 = 0. Докажем следующую
теорему:
Теорема 4. Каждое положительное правильное решение
уравнения
12и" — и” = в	(4)
имеет асимптотический вид
и~\(п— Oln/J-VCn-i)	(20)
при оо.
Доказательство. Положив t = e8, получим
Так как и > 0, то каждое решение этого уравнения монотонно
для достаточно больших t\ значит, и стремится к бесконечности или
к конечному пределу. Конечный предел, к которому она может стре-
миться, необходимо равен нулю. Применяя после подстановки dufds^ р
теорему Харди, как и выше, мы исключаем случай и -> сю, и потому
остается случай я~>0. Чтобы получить асимптотический вид, пола-
гаем и = 1 ]v и затем dvjds = р; будем иметь
р~— ~~ Р2—p4-v2~n = 0.
dv v г 1
Исследование различных возможностей дает формулу (20). Детали
этого исследования мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Упражнение
При каких условиях существует решение указанного типа?
1) См. примеча ние 17 в конце книги. — Прим, перев.
12*
180
ГЛАВА VH
7.	Уравнение д" — /®дл = 0, a-f-2 > 0. Справедлива
Теорема 5. Если a-j-2>0, то каждое положительное пра-
вильное решение уравнения
и" — &ип = 0
(4)
имеет асимптотический вид
и-сГ^1^.	(21)
где с определяется по формуле (3).
Доказательство. Как и выше, все решения монотонны.
Положим и = с№ъ, где с и w даются формулами (3). Уравнением
для v будет
'У,/4~(2w — 1) ‘ti'-f- w (w — l)(-y— vn) = 0.	(11)
Для рассматриваемых а и n имеем
2w— 1 < 0 < w(w— 1).
Рассмотрим теперь возможные случаи для v. Во всяком случае,
имеем v > 0. Если график v пересекает прямую v = 1 снизу вверх, то v
должна продолжать монотонно возрастать, так как при v > 1 каждая
ее экстремальная точка должна быть точкой минимума. Функция v
не может стремиться к конечному пределу, большему 1, так как
любой конечный предел должен быть корнем уравнения v — vn~0.
Значит, iwoo. Мы исследуем эту возможность при помощи теоремы
Харди. Полагая p = v't получим
р % ~ ар+ь ~ ‘°я) = °-
При ^ —> оо должно быть либо
p~«ep^va\
где Р многочлен, либо
р ~ a-v®2 (In-v)a,\
и, рассуждая так же, как в п. 3, мы приходим к противоречию.
Поэтому, если v > 1, то 1 при /~>оо, откуда следует, что v
имеет асимптотический вид (21).
Рассмотрим теперь решения, содержащиеся в области 0 < v < L
Из монотонности решений для достаточно больших t следует, что
при /~>оо либо -и—>0, либо 1. Можно легко исключить возмож-
ность ^->0. Действительно, характеристические числа матрицы, со-
ответствующей линейной части уравнения (11), равны л = — w,
— (^—1)# так как оба они положительны, то решение = 0 Ока-
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА-ФАУЛЕРА
181
зывается вполне неустойчивым1) и поэтому ни одно другое решение
уравнения (10) не может к нему стремиться при	Значит, мы
вновь получаем единственную возможность v-+l, откуда следует (21).
Это завершает исследование положительных правильных решений
уравнения и" — t°un = O. Так как все нетривиальные правильные
решения монотонны, то эти решения для достаточно больших t по-
ложительны или отрицательны. Если и отрицательно, то возникает
вопрос о смысле ип. Либо значение п исключает отрицательные зна-
чения й, либо (—и)п = ±ип, и тогда мы приходим к исследованию
уже разобранного случая или к уравнению и” -\-Рип = 0, которое мы
будем рассматривать в пп. 8—13. При этом мы всюду в пп. 8—13
будем предполагать, что п — „нечетное*.
Упражнение
При каких условиях существует решение указанного типа?
8.	Уравнение и" +	= 0, а +	< 0. Имеет место
Теорема 6. Правильные решения уравнения
(22)
имеют один из следующих асимптотических видов:
(0+Щ^)-(1+°(1))’	(23)
и ~ct
при t-+ оо, если a-j-ft-j- 1 <0.
Доказательство. В этом месте мы применим новый прием.
Имеем
и'и" -\-t?unu' = 0,
откуда
п'2 f
-у + J &ипи' dt = c±.
^0
Интегрирование по частям дает
t
to
Так как а < 0, а п-|-1 — „четное* и, значит, «п+1^>0, то из (24)
получим (°ип+1 < с8. Следовательно,
| «| = О (Г0/(ге+1)).
1) Относительно этого термина см. примечание 6 в конце книги. Впрочем,
можно обойтись без его применения, если заметить, что при v -> + 0 в силу
монотонности v о" будет меньше 0, т. е. о' убывает, а это приводит к про-
тиворечию. — Прим, перев.
182
ГЛАВА VII
Возвращаясь к исходному уравнению, получаем
t
и' + J* tzundt =	(25)
Так как интеграл
t	t	t
$ t°\u\ndt=o(J	di} = О (j*
#0	to	to
oo
и так как а/(га-(-1)<— 1» т0 интеграл J t?undt сходится. Значит,
и' -> с при /->оо. Если с #= 0, то и — ct. Если же с = 0, т. е. если
и' —> О при >оо, то вместо (25) получаем
ОО
и' = J* &и.п dt.
t
Так как и = О (t~aKn+1>'), то имеем
и' = О (J dt} = О (J* М»+1> d/) =
= О (/!’+и+1)/(»+1)).
Если о п -|- 1 < — (п-|-1)> т0 отсюда можно заключить, что
и.—г а при I —> оо. Если же a-j-n-j-1	— (n-|~D> т° u = O(fl-*)
для некоторого s > 0, откуда, повторяя рассуждения, получим
ОО	оо
U' = J Рип(Н = О J р+П-пе rfA —
t	t
= О (/s+n+l-ne) = 0(t~n9)
и т. д., пока показатель не станет меньше —1. Значит, и-+а при
>оо. Если ифО, то а отлично от нуля, что следует из рассуж-
дений, проведенных в случае (а) п. 3, если там в качестве tQ брать
точки, для которых | и (tQ) | = шах | и (t) |. Более точный результат (23)
#0<£<оо
можно теперь получить при помощи интегрирования.
Упражнение
При каких условиях решения указанного типа существуют?
9.	Уравнение и"-\-Fun = 0, cr-j-2>0. Сейчас мы докажем сле-
дующий важный результат:
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
183
Теорема 7. Если аЦ-2^0, то не существует нетривиаль-
ных монотонных решений уравнения
я"4-^” = 0.	(22)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай о 4“ 2 = 0.
Допустим для определенности, что имеется монотонно неубывающее
решение и. Полагая t = es> получим
d?u du у а
— -4-ип = 0.
ds% ds 1
Мы видим, что конечным пределом и может служить только zz = 0.
Чтобы показать невозможность случая, когда и —>оо, мы, как и
выше, применяем теорему Харди.
Остается случай и —> 0. Тогда, если и ф 0, то и < 0. Полагая
и — — 1 /v, р = dv/ds, имеем
2_„=0;	(26)
Jdv и J	7
Затем применяем теорему Харди, чтобы получить возможные виды
решения при -у->оо. Таким образом можно показать, что не суще-
ствует монотонных решений х).
Впоследствии мы будем исследовать колебательные свойства ре-
шений.
Рассмотрим теперь случай а4-2>0. Пусть сначала функция и
монотонно не убывает. Предел ее может быть бесконечным или
нулем, что следует из рассмотрения уравнения для ф — и(е*):
*и,г — v'	= 0.
Рассмотрим сначала случай я->оо. При из (22) получаем
неравенство
и" <— t°	(27)
или, интегрируя,
^+1
и' <ct — j-pj (<^i — In Л если а 4-1=0).
Если о4"1<^0» то это противоречит тому, что и' > 0 при £>0.
Если же о 4~ 1 < 0» то, интегрируя неравенство (27) от t до оо, пог
лучим
^+1 •
и'(0> «'(оо) —ттр
(и'(оо) существует, так как и"(/)<0 и «->оо). Интегрируя от t0
до ?, имеем
“ (0 > (оо) -(g + ъ (с + 2) + са >	8>°-
1) При этом удобно воспользоваться тем, что в силу уравнения (26)
pdpldv> 2p2lv (а р>0, хотя бы в силу теоремы Харди). Отсюда сразу
приходим к противоречию. — Прим, перев.
184
ГЛАВА VII
Возвращаясь к исходному уравнению, получаем
я" — /*+»%
мы повторяем этот процесс, пока не придем к неравенству u^t\
где 1-|-а + пХ^>0, отсюда следует, что и' < 0 для больших /, что
противоречит условию, наложенному на и. Аналогичное рассуждение
показывает, что не может быть и > 0, впрочем, мы это уже
знаем.
Теперь рассмотрим случай, когда и монотонно не возрастает,
причем и > 0. Тогда и->0 при £->со; но из уравнения (22) видно,
что и" < 0, откуда легко прийти к противоречию. Так как п «не-
четно», то случай и < 0 эквивалентен случаю и > 0.
10.	Уравнение и"— 0,	< 0 < а-|-	1, 2а+ +
+ 3 < 0. Рассуждения, применяемые в этом и в следующем пунктах,
более сложны и требуют больших подробностей, чем приведенные
ранее. Это представляется неизбежным, так как множество решений
действительно является более разнообразным.
Нашим первым результатом будет
Теорема 8. Если а-4"2<0<а + л+^ и 2a-(-n-J-3 < 0,
то все правильные решения уравнения
и^Ри^Ъ
имеют асимптотический вид
и ~ ± ctw,
где с и w определены формулой (3), или
(22)
(28)
(23)
anf+2 (l-f-0(l))
(а + 1)(о + 2)	*
и = а
Доказательство. Совершим замену переменных
и = ctwvt
где с и w определены тем условием, что с№ является решением
уравнения (22). Уравнение для v тогда имеет вид
^J-4-(2w—l)~4-w(w—1)(г/—<у») = 0,	(11)
где s = In t и 2te> — 1 > 0, w (w — 1) < 0. Следовательно, мы можем
записать это уравнение в виде
/У2г>	z/fi
+	----«а(^ — ®n) = o, fll>0, а3>0.	(29)
Здесь существенным образом использовано условие 2a-j-/i4r'3 < 0.
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА	185
Умножая на <v' = dvfds и интегрируя, получаем
4+«j>*+«a(^-4)=q. (зо)
о
Значит, |^| ограничено. Отсюда следует, что
со
sup У2 < оо, J v'2 ds < оо.
о
Из уравнения (29) можно также заключить, что 1^'1 ограничено.
Покажем теперь, что из этих утверждений следует, что ^'->0
при s —>оо. Действительно, если	k > 0, то при а>$ по
формуле конечных приращений будем иметь | v'(g) | j </($) | — k(a — s).
Отсюда
8+Т
J 11/ (а) |3 da
8
8+-1- |.'(8)|
J [| ®'(«) | — k (О — S)]8 d9 | v'(s) |9.
8
или
8+4-1 «'Wl	,	*
p'(s)|<(3fc J |У(з)|2^зу/а<(зйJ |v'(9)|3rfa)‘A.
Таким образом, t>'(s)->0 при s->ce.
co
Возвращаясь к соотношению (30) и пользуясь тем, что J* < оо,
•	о
получаем
lim
8->ОО
п+ 1	2 /
— С-2’
Значит, 'и —> г при s •=-=> со, где rn+1/(jl 1) ^2/2 “ са = 0. Но из (29)
следует, что г должно быть корнем уравнения гп — г = 0 и, следо-
вательно, г == 0 или z±z 1.
Если r = ztl, мы получаем требуемое решение вида (28).
Рассмотрим далее случай г = 0, когда v -> 0 и -У —> 0 при s -> оо.
Матрица, соответствующая линейной части	— a.ati = 0 урав-
нения (29), имеет характеристические числа —w и —w-J-1, первое
из который отрицательно, а второе положительно. Значит, если
186
ГЛАВА VII
и v'—>0, то v~c^e~wt при f—>оо. Это приводит к решению, ука-
занному формулой (23) й).
Упражнение
При каких условиях существуют решения упомянутых типов?
И. Уравнение +	= 2a-j-n + 3 > 0, ar4-2 <0<a4‘
4-#4~l* Повторяя предварительные преобразования предыдущего
пункта, получаем уравнение
г/7—av'-\-b(vn— v) = 0, а > 0, b > 0,
(31)
где а =— (2w—1) и Ь = — w(w—1).
Мы начнем с доказательства некоторых отправных результатов,
связанных с поведением решений этого уравнения.
Лемма 1. Кроме v (t) = zt 1, не существует правильных ре-
шений уравнения (31), для которых либо	при t^tQ,
либо ‘У (О’С—1 при Кроме того, не существует решений,
для которых v (/) стремится к 1 или к — 1.
Доказательство. Прежде всего, если то из уравне-
ния (31) видно, что v — монотонная функция и, следовательно,
существует (конечный или бесконечный) lim v. Применяя предыду-
d->oo
щие методы, мы легко исключаем возможности -и—>оо и v—>с>1.
Следовательно, остается случай, когда v—>1 при $->оо, если мы
рассматриваем случай v>0. Полагая v= 14-^1» получим уравне-
ние для
v" — av[ 4- b [(n — 1) 4- О (ггр] = 0.
Характеристические числа матрицы соответствующего линейного урав-
нения либо оба положительны, либо имеют положительную веще-
ственную часть. Значит, г/1 = 0, т. е. v=l, представляет собой
вполне неустойчивое решение. Это также исключает возможность
для v стремиться к 1 при s -> 00, если v ф 1 9). Рассуждения для v < 0
аналогичны.
9 Очевидно, что автор подразумевает здесь применение известных ре-
зультатов о возможной скорости стремления к нулю решений нелинейных
уравнений. Эти результаты в книге не излагаются. Однако в данном случае
нужное утверждение можно получить при помощи теоремы Харди так, как
Это указано в примечании 16 в конце книги. — Прим, перев.
2) См. конец примечания 6 в конце книги. При этом надо перейти к системе
уравнений и воспользоваться тем, что если -* 0, то и vx -> 0. Последнее
доказывается так: имеем — ^=0(1), т. е.	= о (е~а8), откуда
v'e-as — с o(e~as) и = ceasJr о (1); если бы было с 0, то ^->оо;
противоречие показывает, что с = 0, т. е. ^ = 0(1).—Прим, перев.
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА-ФАУЛЕРА
187
Лемма 2. Если — 1 v 1, причем v ф ± 1, то при
v = c1e-w8[l —j— о (1)],
без ограничения общности, что
где w =-----
n — 1
Доказательство. Как видно из рассмотрения знака v — vn,
при —решения монотонны. Так как функция v не может
стремиться к числу /, отличному
от 0 и z+z 1, и не может стремиться
к ztr 1, то она необходимо должна
стремиться к нулю при $->оо.
Поэтому мы можем выяснить по-
ведение v при помощи теории
Пуанкаре — Ляпунова или теоремы
Харди.
Наконец, справедлива
Л е м м а 3. Если v (s) не имеет
вида, указанного в предыдущей
лемме, и ($) ф zt 1, то при
s —> оо lim-и = оо, limг/ = — оо.
Доказательство. Допустим
график v пересекает прямую v = 1 бесконечно много раз. Пусть {sfc} —
последовательность точек пересечения (фиг. 8).
Умножая уравнение (31) на v' и интегрируя, получаем
8к
'2 8fc+i
у
Т
(32)
Следовательно,
/•
S I”'2 (W-®'2 (Sft)] = 2aj v,2as.
Покажем, что J* v'2 ds = оо, откуда будет следовать, что v'2(sk)-+oo.
о
Допустим на время, что этот интеграл конечен. Тогда имеем, умно-
жая (31) на v' и интегрируя,
f
Т~а)
о
л+ 1
1-
влечет за собой ограничен-
Это вместе с неравенством J v'2 ds < оо
о
ность | «г | и \v' |. Из дифференциального уравнения получаем, что и
l^l ограничена. Но, как мы показали в п. 10, эти факты влекут
188
ГЛАВА VII
за собой, что г/ —> 0 при s —> оо. Этому, однако, противоречит ра-
венство (32), из которого следует, что v' ($*+1)2 > v' (sk)*. Итак, мы
&->оо. Покажем теперь, что для
любого А > 0 и достаточно боль-
ших s график решения v обладает
следующим свойством: всякий раз,
когда он пересекает прямую v = 1,
идя сверху вниз, он продолжает
идти вниз и непременно пересе-
кает прямую v =— А и только
после этого может повернуть вверх.
Чтобы в этом убедиться, рас-
смотрим фиг. 9. В точке Р значе-
ние v' (sk) отрицательно и очень
велико, если k достаточно велико.
Так как v'f (sk) = avf (sk), то v' убывает в точке sk> откуда на осно-
вании уравнения (31) заключаем, что v" не может обращаться в О
при s^sk> пока v остается между 1 и —А (ибо в первой точке
s>sk, где t/'(s)==0, величина |г/($)| должна быть еще больше,
Фиг. 10.
чем |V (sk) |). Поэтому при s пока v остается между 1 и — Л,
будет v' (s) v' (sk) < О и график непременно достигает прямой
*п =— Л.
Аналогично показываем, что каково бы ни было Л> 1, график
решения для достаточно больших s всякий раз, пересекая прямую v = 1
снизу вверх, продолжает идти вверх и непременно пересекает пря-
мую <и = А.
Это рассуждение завершает доказательство леммы.
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
189
Получив эти предварительные сведения, постараемся теперь опре-
делить вид графика решения более точно. Мы уже доказали, что
|i/(Sfr)| и |,v(3fc)| стремятся к оо при fe—>оо. Кроме того, на ос-
новании уравнения (31) легко убедиться в том, что между точками
^-1 и производная v' (s) сохраняет свой знак (фиг. 10).
В дальнейшем центральное место занимает
Лемма 4. Разность Sfc+1 — при й—>оо.
Доказательство. Доказательство разбивается на две части.
Сначала мы покажем, что safr— Sk—>0, а затем, что — s.2k->0}
при А->оо. Первое немедленно следует из соотношения | г/'(Sft)|->oo
и из монотонного возрастания функции | v' | на отрезках [Sfc, saJ для
больших значений k. Как мы уже говорили, последнее вытекает из
уравнения (31), если заметить, что 0	| v | С 1 на отрезке [Sk, $а&].
Перейдем теперь к доказательству того, что	— s2fe—>0. Урав-
нение (31) можно переписать в виде
—	v')2 = 2be~2a,i (vn — v)v'.
—2а<з

'k^e~2as. Интегрируя последнее уравне-
ние по отрезку [s, afc], получаем
\п +• 1	2 п 4-1
/ I#*1
(здесь =	Это влечет за собой неравенство
vl t***1 ,	<-1
n + l 2 n +1 + 2 I 1
У2Ьеа{3^ь}
Интегрируя от s2k до ак, получаем
’* ' v”+1 Vk Vn+l v*
n + l	n + l 2
^2b Z1
— (1 —e
a v
Нижний предел здесь можно взять равным 0, откуда, применяя
подстановку v = vkp9 приходим к результату
(1 _	<’fc-W Ч г'	С (1—Рп^ _
1 ^vk 1
о
Как легко доказать, полученные интегралы сходятся и равномерно
ограничены для всех достаточно больших k.
190
ГЛАВА VII
Так как vk —>оо при /г—>оо, то мы видим, что зк— з^-^Опри
fe-»oo. Разность — ак оценивается аналогично и этим доказа-
тельство леммы заканчивается.
Возвращаясь к плоскости uf t и вспоминая, что координата t
в плоскости и, t связана с координатой 5 в плоскости v, s соотно-
шением t—es, мы видим, что для двух последовательных нулей
tk и 4+х решения и (см. фиг. И)
имеем 4+1/4"* 1 ПРИ
1 \	Прежде чем продолжать вывод
/	’ГЧ? \	асимптотических формул для реше-
/	[	\ ,	ний, мы обратимся к другим зна-
/_________J VKti________~ чениям а, при которых существуют
It\	колеблющиеся решения, и покажем,
что в этих случаях также tk+1Jtk 1
Фиг. 11.	в соответствующей плоскости. После
получения этого результата простое
рассуждение позволит нам выяснить асимптотическое поведение ре-
шений во всех случаях.
12. Уравнение и" -|-/<уй«==0, а + 2>0. Отметим прежде всего,
что в силу теоремы 7 и уравнения (22) все нетривиальные пра-
вильные решения являются колеблющимися, причем между последо-
вательными положительными максимумами и отрицательными мини-
мумами производная решения сохраняет знак. Мы хотим показать,
что при обозначениях фиг. 11 имеет место
Лемма 5. Отношение tM!tk-^\ при А-+оо.
Достаточно доказать соотношение xkjtk —> 1, где ък обозначает
точку, в которой | и | достигает наибольшего значения ик, так как
аналогичное рассуждение показывает, что	откуда и сле-
дует лемма 5. Мы начнем с доказательства того, что если о^О,
то
(33)
Из дифференциального уравнения выводим
п	Q-S „П+1
«'>)==- f dt=2 J	(34)
fk
Аналогично, рассматривая отрезок [т^_1э tk}9 имеем
откуда, привлекая неравенство (34), получаем требуемое неравен-
ство (33). Отправляясь далее от уравнения
и'и"-\-Рипи' = 0
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
191
и интегрируя его от t до гк> где tk^t^tk, получаем
2^	/2	2г^
(иГ1 _ ИП+1) < и'2 (0 <	(й„+1 _ вЯ+1)
Отсюда, интегрируя от tk до находим
? d„
V П + 1	(а/2) +1 J У^п+1 _йп+1
9
ИЛИ
2 l-(W(°/2)+1
dv
Так как
(*/2)4-1
кл
— г/п+1
(35)
(36)
(37)
,? + 2ап-1 — I г П-1
К Гъ	*- /£
(g-p2) (И+1)
“Г*
П-1
]п+1
П-1 2п+2о+2
П+If- П+1
1
,(«/2)+1 agt-l)/2
к •*
о
и ък —> оо при k -> оо, то правая часть неравенства (37) стремится
к нулю при £->оо, а потому и /fc/Tfc-->l ПРИ
Рассмотрим теперь случай а < 0, о -J- 2 > 0. Рассуждение, ана-
логичное проведенному выше, вместо неравенств (33) приводит к не-
равенствам
Uk>uk-l>cl> °-
Так как (а/2) —1 >0, а *:л->оо, то из полученных выше резуль-
татов (35)—(37), соответственно измененных, чтобы охватить случай
а < 0, легко заключаем снова, что tk/xk -> 1.
13. Асимптотическое поведение колеблющихся решений урав-
нения wzz + ^»w = 0. Посмотрим теперь, как можно применить пред-
варительный результат 1к/^к -+ 1 для того, чтобы найти асимптоти-
ческий вид ик и tk+1— tk. Рассуждение одинаково во всех случаях,
и мы проведем его подробно при а > 0.
Из неравенств (36) мы видим в силу соотношения tk!%k —> 1, что
V
о___________________
(38)
Вместо этой оценки длины всего интервала гк — tk, которую мы при-
меним ниже, мы хотим сначала оценить t—tk, где tk^,t ^ък. Так
как из неравенств (35) имеем
2	z,/2_. z I--------
л + 1 к и™*1—
192
ГЛАВА VII
то интегрирование от tk до t=tk-\-h дает равномерно по h при
.—=—	i«i
А 1/	=.
У и+1 к / /п”+1 — и»+1
Возвращаясь к уравнению —d(u'2)ldt~2t°anu', полагая /=£й-{-Л
и разлагая & по формуле Тэйлора в окрестности точки tk> получим
—= 2[^ -+- Ло/’"1 (1 4-8)1
где 6 = s(Z)->0 равномерно по h при £->оо. Интегрируя теперь от
tk до тл, получим
2/а ww+1	F
и' (4)а =  * 2 г +	+ ®) J *«”«' dt.
*к
Применяя оценку (39) для величины h, выведем соотношение
«'(**)*
’к	, 1“1
“	/ Г	dw
ЗД+1 2<^(1 + *)	______ „
" + 1	V2/(n + l)i^2	“ U /и”+1—
_ 2«+1 ,	(1 + в) ик
л 4-1	УэднЛ) г?а » + 1 К1‘	( '
где
о
Подсчет интеграла в (40) получается при помощи перехода от не-
зависимой переменной t к и е дальнейшей перестановкой порядка
интегрирования и заменой =
Теперь имеем равенство
v К/ п 4~ 1
, »(1,4-«И1. ,
/ЭДлЧ-!)^2^-^2
(41)
Аналогично, из рассмотрения второй половины предыдущей волны
решения получаем
BW =
2	#ап+1 Г 1
тйт^-ч1
»(1Ч-*)/С1
УРАВНЕНИЕ ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА
193
Возвращаясь к оценке (38) для хк— tk и к аналогичной оценке для
4— мы можем упростить выражения (41) и (42) следующим
образом:

где e = efc-+0 при ft-+oo, а
/г - Г dv______________I Г(1/2)Г[1/(п + П] _ п + 3 „
2 J /Г^«_" + 1Г[1/'2 + 1/(« + 1)|“л + 11’
Так как отношение (тй — t^)lxk, как и (tk —	мало, то мы
можем записать соотношения (43) в виде
\2 — 2/fc“fc+1 (t ।	»+•)/*. _ 2^4+1 /ч\'КЛ1+№, J).
U W ~ n + l	tk J ~ n + l UJ
Аналогично,
Mi.
я'(4)2 = —
4 л/ n + 1 \ tk }
Отсюда
1 = ( V+1 ( Xfc V*1 (1+^Ka 2)
\«Л-1/	\^-l/
Умножая последовательно эти соотношения друг на друга, получаем
к	aK’je Ж2(п+1)
„	„ , °КгЦКа (п+1)] _ -«од, (й+1)] ТТ (У~1\	___
«ft=«l‘tl	Чс	—
== ^“’^1/1^2 (W+l)] + *t
1) В этой формуле
. _= К, I» [1+,(1+g'c‘. (ч - <») ] [•«> I» (1 +	-1
и поэтому,"как легко проверить, е->0 при 1г-+ш.—Прим. перев.
2) В этой формуле
£1П^—£1П ^l+(S""g) ln^fc та
Sft	In — In
= [*"— <1+° 0))+E>  a +
стремится к нулю при k -> оо, —. Прим. перев<
\У(1+О(1))
13 Зак. 1629. Р. Веллман
194
ГЛАВА VII
где е -> 0 при k —> оо, в чем легко убедиться, выражая 8 через.
е3, ...» Заменяя К2 на его выражение через К19 будем иметь
Отсюда получаем, вновь прибегая к выражению (38) и аналогичному
выражению для tM —
/	__/   ' —2a/(n+3)-Ьs,
Чс+1
Дальнейшее применение описанных методов приводит к более
точным результатам:
„____г --*/(п+3)
*к (n—1)/2
2 Г(1/2)Г[1/(п+1)1 -2,(п+з)
п+1 Г[(1/2) + 1/(п + 1)]Тл
где q > 0 — постоянная.
Аналогичные результаты имеют место и для других интервалов
изменения о; мы предоставляем вывод их читателю в качестве
упражнения.
14. Уравнение	= Так как методы, примененные нами
в предыдущих пунктах, применимы также к уравнениям n"z±zevaM = О,
то мы сформулируем результаты и предложим провести доказатель-
ства в качестве упражнения.
Упражнения
Рассмотрим сначала уравнение и" + extun = 0 и положим
W —------- с = w	'
72—1
1.	Если Х>0 и n = p!q, где р и q — оба нечетные, то все правильные
решения являются колеблющимися.
2.	Если X > 0 и n = p/q, где р — четное, a q — нечетное, то правильные
решения образуют одномерное многообразие и все они асимптотически
равны — cewt.
3.	Если п — иррациональное число или рациональное число с четным
знаменателем, то правильных решений не существует.
4.	Если \ < 0 и п — рациональное число, п = p/q, где р — нечетное, то
правильные решения .образуют двумерное многообразие с параметрами
= lim Oq = lim (и — a\t).
t->co	t->oo
5.	Показать, что в условиях упражнения 4
СО	;
и = ayt + Oq 4- ( J (/ — s) е^> (ayS)» ds) (i + о (1)).
t
6.	Какие ограничения надо наложить на параметры а$ и аь чтобы ре-
шение существовало при 0<^<оо?
ЛИТЕРАТУРА
195.
7.	Доказать, что если к<0и n — pjq, где р — четное, a q — нечетное,
то кроме описанных выше решений имеется одномерное многообразие пра-
вильных решений, асимптотически равных —cewt.
В следующих двух упражнениях рассматривается уравнение а"—е^ип = 0.,
8.	Показать, что если Х>0, то правильные •решения образуют одно-
мерное многообразие и асимптотически равны cewi.
9.	Показать, что если Х<0, то кроме указанного одномерного много-
образия существует двумерное многообразие решений с параметрами Oq и аи
указанными выше. Если ^=#0, то имеем
со
и = att+ ао + ( j* —	(а^)» ds^ (1 + о (1)).
' t
Какие условия надо наложить иа Oq и чтобы решение существовало для
всех
ЛИТЕРАТУРА
По поводу того, как возникло уравнение Эмдена — Фаулера, см.
1. Emden R., Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmentheoria
auf Kosmologie und meteorologische Probleme, Leipzig, 1907, Кар. XII,
2*. E d d i n g t о n A. S., The internal constitution of the stars, Cambridge,
1926.
Данная глава представляет собой несколько упрощенное и объединенное
изложение содержания статей:
3.	F о w 1 е г R. Н., The form near infinity of real, continuous solutions of certain
differential equation of the second order, Quart. Journ. Math., 45 (1914),
289—350.
4.	F о w 1 er R. H., The solution of Emden’s and similar differential equations
Monthly Notices of the Royal Astr. Soc., 91 (1930), 63—91,
5.	F о w 1 e r R. H., Further studies of Emden’s and similar differential equationst
Quart. Journ. Math., 2 (1931), 259—288.
По поводу геометрического исследования некоторых из указанных слу«е
чаев см.
6.	Н о р f Е., On Emden’s differential equation, Monthly Notices of the Royal
Astr. Soc., 91 (1931), 653—663.
Более поздняя статья по уравнению Эмдена:
7.	Sansone О., Sulle soluzioni di Emden della equazione di Fowler, Rend^
Sem. Mat. di Roma, ser. 5, 1 (1940), 163—176.
См. также статьи:
8*	. Fair cl ou ch N., Numerical integration of Emden’s polytropic equation of
index three, Monthly Not. of the Royal Astr. Soc,, 91 (1930), 55—63.
9*	. Milne E. A., Note on steady-state distributions which are given by solu-
tions of Emden’s differential equations, Monthly Not. of the Royal Astr
Soc., 91 (1931), 751—756.
13*
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
1. К стр. 32. Это утверждение, неоднократно подчеркиваемое и приме-
няемое автором, является несколько более сложным, чем это кажется на
первый взгляд. Если коэффициенты а^ фиксированы, то и элементы матрицы
Т фиксированы, т. е. утверждение тривиально, так как постоянные величины
всегда можно считать частным случаем многочленов. Стало быть, имеется
в виду случай, когда коэффициенты а с ними и характеристические
>числа — переменные. Но тогда упомянутому утверждению уже не так
просто придать смысл, чтобы оно было верным, так как собственные век-
торы, находимые из системы уравнений (16), определяются различным обра-
зом в зависимости от того, где расположен отличный от нуля минор наи-
высшего порядка матрицы А — \1.
Фактически в дальнейшем применяется следующее утверждение.
Пусть матрица Л ° имеет элементы cfyk и характеристические
кисла причем ранг матриц Л°— kJ/(Z= 1,..., п) равен п — 1 *). Тогда
существует такое е>0 и такая система п* многочленов с^(а1Ь а&,...
...,апп, .....kn) относительно всех своих л2+ п аргументов, что если
дана матрица А с элементами aik и характеристическими числами
причем все \aik — aPik | < е и | k^ — kJ | < е, то матрица Т с элементами
jcik приводит матрицу А к треугольному виду.
Эта формулировка имеет уже точный смысл.
Докажем наше утверждение по индукции; при п = 1 оно очевидно. Пусть
теперь у матрицы п + 1-го порядка Л° — kJ/ минор, соответствующий /&-му
элементу, отличен от нуля. Выберем в качестве компонентов вектора cW
миноры матрицы Л — kxZ, соответствующие Z-й строке и взятые с чередую-
щимися знаками, а в качестве компонентов векторов #(*), ...» aW — любые
постоянные числа (например, равные 0 и 1) такие, чтобы при aik ® а^к,
^1==Х® матрица Т± со столбцами ctt), aU),..., а(п) была невырожденной.
Тогда определитель I | матрицы представляет собой многочлен отно-
сительно всех aik и klt отличный от нуля при aik = a°ik, kt = kJ. Значит, эле-
менты матрицы М?! представляют собой частные от деления некоторых
многочленов относительно aik и kt на |	|; стало быть, эти элементы опре-
делены, во всяком случае, при | aik — а%к |< ер | к* — kJ | < если > О
достаточно мало. Согласно построению, при любых таких aik и kt (если
1) Так как ранг матрицы не меняется при умножении ее на невырож-
денную матрицу, то это условие можно сформулировать так: каждому
характеристическому числу матрицы Л° соответствует лишь один элемен-
тарный делитель; это условие, во всяком случае, выполнено, если все
характеристические числа kJ различны.
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
197
только Xt является корнем уравнения | А —17 ] =0) матрица Т±ГА1\ имеет
вид (21), где все элементы b'ik представляют собой упомянутые частные. При
aik = 4» Х1 = А матрицы Т^АТ\ - = Zf1 (Л - Х«/) T\(i = 2..........n + l)
имеют ранг л. Значит, при этих же значениях aik и Xi ранг матриц Вп—1J7
(7 = 2, ..., и + 1) равен п — 1. По предположению индукции существует
б2>0 и матрица Tnt элементами которой служат многочлены относительно
^22»	^п+1, п+i» Л2» •••» 4i+i> такая> чт0 если Дана матрица В с эле-
ментами ^22» ^23» •••» &п+1, п+1 и характеристическими числами 12,1п+1,
причем все \b'ik—b'ik | < е2, | Х^ — 1$ [ < е2, то матрица Тп приводит В
к треугольному виду. Но если е>» 0 (&<&!, е<е2) достаточно мало и все
\aik—— 1$|<е, то будут также выполнены неравенства
\b'ik—	а матрица Вп будет иметь характеристические числа
Хз,..., Х»+1 (так как матрица Л, а потому и 7'^1Л71 имеет характеристи-
ческие числа Xt,..., Xn+i). Поэтому матрица 717'п+1 приводит А к треуголь-
ному виду. Так как все bijf представляют собой указанные выше частные,
то и элементы матрицы 7\Тп+\ являются частными от деления некоторых
многочленов относительно aik и X; на некоторую натуральную степень | 7\ |.
Но при умножении матрицы на отличный от нуля скаляр она не теряет
свойства приводить матрицу А к треугольному виду. Значит, для достаточно
большого натурального г матрица | Д |гТ1Гп+1 и будет искомой.
Если при некоторых i ранг матрицы Л° — Х®7 меньше п — 1, то приве-
денное утверждение, вообще говоря, становится неверным. Так, возьмем
Л° = (о 1) . *•! = = L ПУСТЬ
№ cos21 + sin21,	cos t sin i (1 — e1^)
cos t sift t (1 —	eA,t sin21 + cos21
Тогда Л(7)->Л° при 7->oo. Если бы упомянутая матрица Т с элементами
сИс(а\ъ #12, «2ь л22, Xt, Х2) существовала, то при 7->оо эта матрица имела
бы определенный предел 7°, причем |7°|=#0. Однако Гц и с21 при любом
t > 0 удовлетворяют системе уравнений
си cos2 * + sin2 * — Ч) + сл cos 7 sin 7 (1 — er,lt) = 0,
cos t sin 7(1 —	) + c21 sin21 + cos21 — Xt) = 0,
где число Xt, найденное из характеристического уравнения, равно 1 или
Поэтому может быть либо гп = a sin 7, c2i — а cos Ь либо ги = — а cos 7,
с21 = — а sin 7, где а (а =£ 0) может зависеть от 7. Но тогда сп/с21 равно или
tg 7, или — ctg 7 (при 7 #= fat/2), и, следовательно, для того чтобы ги и c%t
имели пределы при 7->оо, необходимо выполнение соотношений clt->0 и
с21 -> 0, т. е. а -> 0 при 7 ос. Но тогда матрица 7° должна иметь первый
столбец нулевым, что невозможно, так как | 7° | =# 0.
Поэтому в общем случае изменение элементов aik должно быть не про-
извольным, а подчинено некоторым условиям. Такие условия в связи с при-
ведением систем дифференциальных уравнений с частными производными
к каноническому виду рассмотрены, например, в книге И. Г. Петровского
„Лекции об уравнениях с частными производными" (изд. 2, М., 1953, § 7,
в особенности стр. 76—78). Забвение этих условий может привести к ошиб-
кам, которые, как будет указано ниже, имеются и в данной книге. Вообще
|(7>0).
Л(7) =
198
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
же зависимость „приводящей" матрицы Т от „приводимой" матрицы А изу~
чена в настоящее время недостаточно.
Это замечание относится и к приведенному на стр. 32 упражнению 1 — и
здесь элементы матрицы Т можно выбрать в виде многочленов от элементов и
характеристических чисел матрицы А лишь при дополнительном предполо-
жении, что ранг матрицы Л° —	(Z= +1,..., п) равен п—1.
Необходимо отметить далее, что часто оказывается полезным следую-
щий вариант теоремы 6:
Если матрица А вещественная, то существует вещественная не-
вырожденная матрица Т, для которой
Т~1АТ ~
Iх!	’Ч
—	Iх!
о	Н
— V;
-
причем все элементы, стоящие ниже выписанных, равны нулю. Здесь
ХР ..., Xft— все вещественные xapai теристические числа матрицы А,
а ± fy, ...,	— все пары мнимых сопряженных характеристи-
ческих чисел этой матрицы.
Доказательство можно провести так же, как для теоремы 6, по индук-
ции. Для этого надо заметить, что если Xt вещественно, то матрицу можно
считать вещественной и индукция проходит сразу. Если же Xt = p.t
(vi 4=. О, ^и 4 вещественные) и Xj отвечает собственный вектор
(векторы и е^ — вещественные), то, отделяя в равенстве Лс^1^=Х1с^1^
вещественную часть от мнимой, получаем, что Ad^ =	.
Ае^ =	Векторы и e{v> линейно независимы, так как из
равенства -j-	= 0 следовало бы, что (aj4 + f^i) + (—avi +
+ ₽R)	= 0; но так как и е^ не равны нулю одновременно, то из
последних двух равенств вытекает, что
a
«Iх! +
— ^i + PPl
Таким образом, (а2 + Р2) 4 = 0, откуда видно, что поскольку 0, то
a = р = 0. Пусть п — 1 (вещественных) векторов а^\ ..., выбраны так,
что матрица 7\ со столбцами d^\ е^\ а^\ ..., а^п~^ — невырожденная. Тогда
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
199
и далее индукция проходит аналогично тому, как при доказательстве тео-
ремы 6, причем после построения Тп-1 надо положить
1 0 0 ... 01
0 1 0 ... 0
7*	0 0
2П-|-1 —
* ' T'n-l
.0 0	.
2.	К стр. 48. Теорему 3 можно считать доказанной только в дополнитель-
ном предположении, что ранг каждой из матриц А — V (Z=l,..., л;
К/ — характеристические числа матрицы Л) равен п — 1 и, кроме того, что
при достаточно больших t характеристические числа матрицы А В (t) можно
занумеровать так, чтобы каждое из этих чисел л* (t) (/=!,.•., п) было
со
кусочно гладкой функцией /, причем J | dt^dt | dt < оо. Оба эти условия,
во всяком случае, выполнены, если все характеристические числа матрицы А
различны. Оба условия неявно применяются уже в самом начале доказатель-
ства теоремы: первое — когда говорится о структуре элементов матрицы Т,
оо
а второе — когда утверждается конечность интеграла § \\dT/dt\\dt.
Чтобы избавиться от этих ограничений, необходимо привлечение новых
идей, которые не излагаются в книге. Это относится и к упражнению 1
(стр, 52).
3.	К стр. 68. Так как в формулах (44) присутствуют несобственные инте-
гралы, то на законности предельного перехода при m оо надо остановиться
несколько более подробно. Учитывая оценку 1^—при
Z £ I имеем
ОО	£	п
( ехр ( J (s) ds) 2 ГИ	ft) dti —
— \ exp ( J	(«) dsj S ft) ft) dti | <
OO
<W ||0dty
t
Правая часть последнего неравенства стремится к 0 при m -> оо, следо-
вательно, наш предельный переход законен.
Далее, надо отметить, что все функции у^ непрерывны и
ОО	t	fl
J ехр ( j X/ ($) ds) 2 rU ft) Уз ft) dti =
= exp J (s) ds) • j exp (	(s) dsjjg rH ft)У; ft) dti>
to	t	ti	5 “
200
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
поэтому формальное дифференцирование обеих частей равенства (42) законно
(для равенства (43) этэ видно непосредственно). Отсюда получаем, что функ-
ции уп образуют решение системы (41).
4.	К стр. 78. Мы проведем вывод формулы (57) в одном важном частном
случае, который, между прочим, охватывает все случаи применения теоремы 10
в данной книге. При этом нам понадобятся следующие два асимптотических
разложения.
1) Если а и b комплексные числа, причем Rea>0 или одновременно
Re а = 0, а =# 0 и Re b > 0, то
\t )	1
t	т=0
(А)
Действительно, интегрируя по частям,
этой формулы равен
получаем, что интеграл в левой части

a at J
t
aV J XU
а аН
р
••• 1
w=o
। +i (fr +1) •
•	ap+ltp+x
t
Однако при — Reb имеем
| ]>№-<)	J
t	t
-(Reb+j+l)
1	dil ~ Re&+/>
Значит, если для любого целого Af>0 взять р>—-Re by	М, то получим
оо	М
J* e-af.h-t) 0Л = 2 (— 1)”* *	 t~m + Oft-11-1)
t	т=0	а
(что и доказывает справедливость разложения (А)).
2) Если а и b — комплексные числа, причем Rea<0, и если то
J (t\b dfi (_ jjm+i b(b+\):..(b + m — i)	(Б
1	m=0	а
Действительно» данный интеграл равен
V/ п»+1 *(& + 1)...(& + «-1) Г, „<»(#-#)/Пь+от].
2л(~’ L Vo/ 1 +
Ш = 0
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
201
Однако при р> — Reft имеем
(1Г‘К/"+	«+
to	to t/ъ	t0
t
. Г/ t \®e
+ J(r) *i-o(l)+O(0-O(ft
#/. 1
откуда уже нетрудно получить разложение (Б).
Возвращаясь к выводу формулы (57), предположим, что для любого i =£ k
либо Re Х$ Ф Re Xfc, либо же одновременно Re = Re Xft и lim t [Re (X* (f) —
£->oo
—	где X$ (f) — характеристическое число матрицы Яо + стре-
мящееся к Х$ при ^->эо.
Вспомнив вывод уравнений (42—43), отметим прежде всего, что все функ-
ции Х$ (f), а следовательно, все элементы матрицы S (О (являющиеся многочле-
нами от функций Х$ (0), а с ними и все элементы матриц S"1 (t) и dSjdt пред-
ставляют собой аналитические функции от 1/Л Отсюда по определению матри-
цы R (0 заключаем, что все функции (t) обладают асимптотическими разло-
жениями, причем поскольку^ |	(t) | dt < со, то в этих разложениях отсут-
ствует свободный член и член с t~\ В частности, отсюда следует, что ЦТ? (t) || <
<MJt2 при f >0.
Совершим в системе уравнений (42—43) замену переменных
t
y{ = v{exp^ dtp
to
Так как функция
е -Wfht exp ( j* ХЛ (Zt) dtj)
to
(ср. прим, перев. на стр. 78) разлагается в ряд по степеням t-i с от-
личным от нуля свободным членом, то достаточно проверить, что все
обладают асимптотическим разложением, причем по крайней мере в одном
из этих разложений присутствует свободный член. Тогда аналогичным раз-
ложением обладают функции/” Но/” t **z = S 1 (t)e }(t t ^ку,
и потому асимптотическое разложение для z по формуле (57) вытекает из
разложения матрицы S-1(^) по степеням t-\ причем | £-1 (£)[-> | Т-11=£0.
Исходя из системы (42)—(43), проверяем, что функции удовлетворяют
системе уравнений
о° t	п
Vt (0 =	— f exp ( J (X< (5) — Xfc (s)) ds) 2 rij ft) vj W dtt =
= +	(Z€I),
•	t	t	n
vt (0 = J exp (J (X, (s) — Xft (s))	2 rij ft) vi ft) dti —
= Li(v) (Z€II).
202
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
Здесь Ц (и) — оператор, определенный во всяком случае для непрерывных
ограниченных векторных функций и (Z), -С t < 03 (это следует из неравенств
(38)—(39) и оценки || 7? (t) ||). Значения этого оператора являются скалярными
функциями, непрерывными и ограниченными на участке t < оо. Отметим,
что в силу теоремы 8 функция v(t) ограничена (и, конечно, непрерывна)
на участке (/п, оо).
Докажем теперь, что если функция u(t) обладает асимптотическим раз-
ложением
со
«(0=
ш=0
причем Uq = Ui = ... =	= 0 (# > 0), то и функции Li (и) обладают асим-
птотическими разложениями
оо
(В)
причем =	= ... =/^3 = 0. Действительно, из разложимости функций
следует, что
П	СО
m-q+2
Отсюда получаем разложение
t
ехр (Х< (s) — (s) j ds^ 2 r<J ft) ui ft) ~
\	5=1
2 wr-.
W = 3+2
где (1/Z)— аналитическая функция от 1/Z.
Пусть IСI. Тогда для любого р > ^ + 2 получаем разложение
m=q+2 t
+ тМЛ	| Л,)].
При этом, так как Z СI, то либо Re (X* — Xfc) > 0, либо одновременно
Re — Xfe) = 0 и Re (p-i — p-fc) > 0. В силу полученного выше асимптотиче-
ского разложения (А) интегралы, стоящие под знаком суммы, при Z =# k
обладают асимптотическим разложением; если же Z = k, то указанный инте-
грал равен просто t/(m— 1). Оценим теперь интеграл, стоящий под знаком О,
Имеем
q	। ati< Дй.)_ке dti=
i .	,	*
t
Re(H —
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
2оа
Значит, если для любого М > q 2 выбрать р > Af, то при Z =# k выра-
жение, стоящее в квадратных скобках в формуле (Г), можно записать в виде
м TO-Q-2	(^_|ЛЙ + да—J) ... Ог — р.д.-1-да — 1)
Оч-Ч)’+1	>
4-0 (Г®-1).
Если же i = то эта квадратная скобка приобретает вид
Отсюда и следует разложимость в асимптотический ряд вида (В),
если Z£I.
Если же Z с П, то аналогично получаем
р	t
L, <«> - р, (I) [ 2 %=» J л-v	+
m=£+2	t0
+	о(/1	|	. (Д)
*0
При этом, согласно условию, Re	= — а < 0 (ср. прим, перев.
на стр. 77). Далее, обозначив Re — |xft) р -|- 1 = р (₽ > 0 при достаточно
большом р), имеем
t	’ t
J |	lK»+*’+1 |rff1== J	dti =
откуда уже нетрудно получить разложение (В).
Обозначим теперь
Мо)\	А1(»)\
^0) = »«. ^°! = ( ; I. £(0 = 1 ; ). i(0)(«) = «,
\^)	\Ln(v))
£(«»+!) e L	^m = Qt 1, ..
Тогда систему интегральных уравнений для функций щ (Z) можно записать
в виде v =	(v)> откУДа Для любого целого р > 0 имеем
Р
»=2 ^(ш) (^0))+^+1) (»)•	<Е)
т=0
Согласно только что доказанному, каждая векторная функция
обладает асимптотическим разложением, начинающимся с члена, содержа-
204
ПРИМЕЧАНИЯ ПЁрЕВОДЧИкА
щего t-™. Далее, нетрудно проверить, что если II «(О IKЛ?-в(^о<^<°°)
для некоторого а >• 0, то при I g I имеет место оценка
CO	t
1М«)1<[ |ехр( J(Ms)—W1)II ll«('t) II^1<
t	ti
< f e<s ^5 — dti =	t~(e+1>
J t* t‘ » + l
[см. формулу (38)]; ^сли же /СП, то, учитывая, что Re(X*(/)— Xfc(/))<
— 2?<0 при и достаточно большом t, получаем для достаточно
больших t оценку
t	I
| Lt (и)	ехр (f Re (МО - h (О) ds \~(а+2) dtt =
*0	\
f/2 max (flt t) t f	Ц2 “t
= Aw[jexp( J	+	f)+ /]<ЛМГ[ J exp(J |Re(MO-
to	tk max(#Jt t}	to tQ
t
— Ч (О) I ds)	dtt + J e°ti<a+V dti] = О (Г”1).
t/2
Отсюда для некоторого К при	получаем неравенство ||£(«)1К
< А7~(а+Ч
Так как || v ||< /Со(^0< t<оо), то по доказанному || ZP>+1)(t') ||<
1, 2, ...). Отсюда и из равенства (Е) вытекает существо-
вание асимптотического разложения для функции о, и формулу (57) можно
считать доказанной.
Этим, в частности, доказана теорема 10 в предположении, что все Re Х<
различны; при этом^ можно 4 допустить, что ReXt-=ReXfc при некоторых
'	Z =/= £, но в таком случае дополнительно пред-
х полагаем, что lim flRe (Х^ (/) — Xft (0) = 0.
s's ' к \ В заключение отметим, что эту теорему
-----.J/ S'* х ) у можно применить к уравнению (61) из упражне-
-----( z»x ) J/ ния 2, если4коэффициент. g\ в формуле (62)
----------« вещественен.
—^J^X	\	5. К стр. 95. Интересно отметить, что
у ]	из стремления всех решений к стационар-
х. ------- J	ному решению вовсе еще не следует у стойчи-
вость этого последнего в указанном выше
смысле, если п^ 2. Действительно, будем изо-
бражать решения	в виде линий на плоскости zb z% (так назы-
ваемой фазовой плоскости). Тогда совокупность этих линий может иметь
вид, указанный на фигуре (через О здесь обозначено начало координат). Для
этого примера стационарное решение z± = 0, z% = 0 неустойчиво, однако все
решения задачи к нему стремятся.
6.	К стр. 108. Доказательство теоремы 3 неполно, так как надо еще
проверить, что вещественное значение z (0) можно выбрать так, чтобы имело
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
205

место неравенство (18), Эту трудность можно обойти, если воспользоваться
вещественным преобразованием матрицы А, о котором говорится в приме-
чании 1. После этого преобразования надо воспользоваться тем, что если
переменной отвечает вещественное характеристическое число то
dx^/dt = 2\х^ + ..., а если переменным Xj и х$+\ отвечает квадратик
, то d (Xj + x^^/dt ~ (xj + xj+1) + ..., причем невыписанные
п
члены не превосходят е 2 Дальнейшие рассуждения проходят совер-
шенно так же, как в приведенном доказательстве теоремы 3.
Отметим для дальнейшего (гл. VII) факт, который также вытекает из
этого доказательства. Мы будем говорить, что имеет место полная неустой-
чивость, если вещественные части всех характеристических чисел положи-
тельны. Тогда:
В условиях теоремы 3 в случае полной неустойчивости существует
такое число h^>0, что при 0 < Ц z (0) ||< h неравенство || z (t) ||< h не
может удовлетворяться для всех t>> 0.
7.	К стр. 109. Чтобы получить это разложение, надо более подробно
рассмотреть решение уравнения dy/dt = Ay. Для этого приведем матрицу А
к виду, указанному в конце примечания!, после чего, перейдя от векторно-
матричного уравнения dxjdt = Т~хАТх к системе уравнений, мы легко про-
интегрируем уравнения этой системы последовательно, начиная с последнего;
при этом пары уравнений, отвечающие одному квадратику (_______11 надо
интегрировать совместно. Частные решения неоднородных уравнений и пар
уравнений можно искать хотя бы при помощи известного метода неопреде-
ленных коэффициентов. Полагая затем все произвольные постоянные, кроме
одной, равными нулю, мы получим систему из п векторных решений урав-
нения dxfdt = Т~хАТх (очевидно, линейно независимую, так как из этих
решений образуется общее решение). Перейдя по формуле у = Тх к реше-
ниям уравнения dy/dt = Ay, получим п линейно независимых решений этого
уравнения. Отсюда видим, что каждому вещественному характеристическому
числу Kj кратности k матрицы А отвечает k частных решений уравнения
dy/dt = Ay вида с$.р (t)e $ (р = 1,..k), где c^p(t) —вектор, элементами
которого служат многочлены относительно t степени не выше k—1. Каждой
же паре комплексных характеристических чисел Pj + fy кратности k отвечает
2k частных решений вида [с^р (t) cos р (t) sin №(p = 1,..., k),
где элементами векторов cj,p(t) и d^p(t) также служат многочлены сте-
пени не выше k—1. Полученные п векторных решений линейно независимы
и могут быть приняты за столбцы матрицы Y. После этого разложение Y на
У1 + ^2 очевидно.
8.	К стр. 119. Напомним необходимые факты из теории вещественных
алгебраических кривых1). Пусть многочлен Р(и, t)^0 таков, что на кривой
Р == 0 имеются точки с как угодно большими значениями t. Тогда для неко-
торого tp совокупность точек Р = 0, t^tp представляет собой конечное
число попарно непересекающихся кривых („ветвей"), уравнения которых
задаются при помощи алгебраических функций u = ^P i(t) (tp <f<oo;
Z = 1	k). Если для какого-либо многочлена Q {и, t)^0 одна из функций
*) См^например, Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций,
206	ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
j (0 совпадает с какой-либо из функций срр. i (t) при как угодно больших
значениях t, то для общего наибольшего множителя R(u, t) многочленов Р
и Q будет тождественно срр, i (t) =	$ (/) = г (t) для некоторого I и всех
достаточно больших t Отсюда легко установить, что любая ветвь алгебраи-
ческой функции и = ср (t) (f > /0) удовлетворяет уравнению Ф (н, t) — 0
(^>*1), где Ф^О — многочлен наименьшей возможной степени (по и), причем
если многочлен Р (ср (f), t) = 0 при i то Р делится на Ф. Если Ф (и, t)
не имеет вида и -|- с, то ср' (£) =£ 0 (£ > /3), так как в противном случае мно-
гочлен Ф* должен делиться на Ф, что возможно только если d$/dt~Ot
откуда ср (t) == const. Далее, из сказанного ясно, что для двух различных
ветвей ср (t) и Ф (О каких-либо алгебраических функций (а ветви не раз-
личаются, если ср(О = Ф(О для всех достаточно больших t) всегда ср(/)=/:Ф (t)
при всех достаточно больших t.
Отметим, наконец, что для достаточно больших значений t и для неко-
торого натурального числа р и некоторого целого числа т ветвь ср (f) ф О
представима в виде суммы так называемого ряда Пюизо
w со J
<р(0 = * р	«о^О).
«7 = 0
Ясно, что над этим рядом можно производить обычные действия, допускае-
мые в теории степенных рядов.
9.	К стр. 119. Отметим следующий простой, но замечательный факт:
Лемма 3'. Если решение и (/) уравнения (2) совпадает с ветвью ср (t)
алгебраической функции при как угодно больших tt то u(t)^y (t) при
всех достаточно больших t. 
Доказательство. Проверим, что ср(f) удовлетворяет уравнению (2);
тогда наше утверждение будет следовать из теоремы единственности реше-
ния. Для этого подставим в обе части уравнения (2) вместо и разложение ср (/)
по степеням t (см. примечание 8), предварительно заменив в правой
части (2) t на (^“1^)“^. Тогда в обеих частях получатся суммы рядов вида
00
t^a^s3 2; 5 —Если эти ряды не совпадают полностью, то
;=о
для достаточно больших значений t одна из сумм будет больше другой (это
сразу следует из того факта, что сумма ряда при £->со асимптотически
равна первому отличному от нуля члену). Пусть, для определенности,
?'(0>Р(ф,	0 (*>Л). Тогда если u(t) = y(t) при некотором
то
* ();> Q (<?, 0 Q (и, t) и {t)’
откуда при t > i\ совпадение и (t) с ср (^) может происходить не более одного
раза, что противоречит условию леммы. Итак, лемма 3' доказана.
Лемму 3' можно выразить еще и так: если решение и (t) уравнения (2)
обращает в нуль многочлен P(uf f) при как угодно больших t, то
Р(а(0, 0^0 для всех достаточно больших t.
Надо отметить существенность того обстоятельства, что речь идет о ре-
шениях уравнения (2), разрешенного относительно производной, а не общего
уравнения (1). В этом можно убедиться хотя бы на примере функции и = sin
которая является решением уравнения я'2 + я2 — 1 = 0 и обращается в нуль
при как угодно больших значениях /.
Покажем теперь, как при помощи леммы 3' вывести лемму 3. Пусть
выполнены условия этой последней леммы и решение и (t) не удовлетворяет
1
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
207
уравнению L (и, t)~0. Тогда в силу леммы 3' имеем L(u(t)t 0¥=0 (t^t^.
Кроме того, по определению решения, Q (и (/),	Следовательно, Н (и (f), О
при существует, причем
dH _дН	дН Р(и, 0 __ Т (и, t) .
dt dt	ди Q(u, t) S(u, t) ’
здесь T и S многочлены и S = QL2t t. e. S(u(t), /)=£0 при t^t^ Если
уравнение T (и (0, 0 = 0 имеет как угодно большие корни, то по лемме 3'
получаем, что Т (и (0, 0 = 0, т. е. Н (и (0, 0 = const при t > \ В про-
тивном же случае dHjdt^Q (^>4>^о), откуда и следует лемма 3.
10.	К стр. 123. Теорема Харди имеет большое значение для дальней-
шего (гл. VII), поэтому мы докажем ее до конца. Прежде всего рассмотрим
случай асимптотического соотношения (11) и заметим, что из выражения (13)
к нужному выводу можно придти следующим образом. Мы имеем те же
случаи (а) —(г), что и на стр. 122, где вместо и надо положить vt a ct
заменить на elk. Однако из того, что In | v | = о (In 0, следует, что годятся
только случаи vn+l/(n + 1) ~ ^#=0, In | v |	и уп+Щп + 1)	(e/k) In t.
Та же подстановка u=^f'kv, которая применялась в случае (11), приво-
дит в условиях (12) к соотношению
ktm*'™ (n+l)vn^	+et^’i’(l/k)(ff+1)yffy/.i	(А)
В силу леммы 3' достаточно ограничиться случаем, когда левая часть
(12), а потому и производная у' отличны от нуля при достаточно боль-
ших t (в противном случае u=atl/k\ В соотношении (А) отношение край-
них членов равно
&	(n-g)vn-g __ & ^-f^n-g
е	е
а потому имеет конечный или бесконечный предел при f->oo. Если этот
предел конечен и отличен от нуля, то n^g (ибо в противном случае и m =/,
т. е. члены ktmunu и effu&u—подобные) и на основании соотношения
In | с/1 = О (In 0 мы заключаем, что const =^0 при /~>оо. Если же этот
предел равен нулю или бесконечности, то из (А) заключаем, что отношение
среднего члена к одному из крайних стремится к 1 при /~>оо. Отсюда при-
ходим к нужному выводу так же, как в первом абзаце этого примечания.
Теперь остановимся на возможности ({?) и рассмотрим члены, порядок
которых отличен от порядка разности ktmunu ---1^гип+г. Если имеется
более одного такого члена одного и того же порядка (при f->oo) или если
имеются два члена одинакового порядка, приводящие к соотношению (9)
при лит, относящихся к случаям (а), (б) или (г), а также если оба эти
члена одновременно содержат или не содержат и', то мы приходим к уже
разобранным случаям. Таким образом, достаточно ограничиться случаем,
когда в многочлене R = Qu! — Р нет более двух членов одного и того же
порядка, причем любая такая пара членов имеет вид muk^(ut—си) (£>0,
/> 0, тп=/=0, £=#0)‘ При этом u't— си Ф 0 для достаточно больших t, так как
в противном случае из леммы 3' сразу получаем, что и = const • tc.
Начнем с членов R наивысшего порядка. Их должно быть два, причем
их сумма	tll(ut — схи) должна иметь порядок низший, чем порядок
каждого из слагаемых; отсюда, в частности, получаем, что и = ^+81/*\ где
Cl(0~>0 при f->oo. Если член R следующего по величине порядка имеет
тот же порядок, что и Ti, то мы приходим к возможности (а). Значит, такой
член должен иметь порядок высший, чем Ть а потому должен найтись еще
один член того же порядка. Сумма этих членов имеет вид Т2= т2ик'Иг*Х
208
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
X («'^—с^и) и опять-таки должна иметь порядок низший, чем порядок сла-
гаемых. Отсюда u =	т. е. cz — cx. Если бы Г2 и 7\ имели одина-
ковый порядок, то мы сразу пришли бы к соотношению вида (8). Если же Т%
и 7\ имеют разный порядок, то переходим к членам 7? следующего по вели-
чине порядка. Опять заключаем, что если не имеет места возможность (а),
то их порядок выше, чем порядок и 7\ и Т* что этих членов два и что их
сумма Т% =	— с$и) имеет порядок низший чем порядок слагаемых,
откуда = сь Случай, когда порядок Т3 совпадает с порядком Т\ или Т2,
немедленно приводит к соотношению (8). Далее рассматриваем случай, когда
порядки всех членов 74 Т% и Тх различны и т. д. Продолжая таким образом,
мы видим, что если бы возможность (а) не встретилась и порядки всех
выражений 7\, Т2, • • • были различными, то в конце концов мы представили
бы многочлен R в виде суммы конечного числа слагаемых Ть ..., Т8 попарно
различного порядка, что невозможно. Этим доказательство теоремы Харди
и заканчивается.
И. К стр. 125. На доказательстве монотонности Н следует остановиться
несколько подробнее, так как приведенное автором доказательство не может
считаться полным. Прежде всего отметим, что мы будем считать с — 1, моно-
тонность же будем понимать в нестрогом смысле. Отсюда следует монотон-
ность и общих выражений Н ~tau и'с, так как при с 4= 0 имеем Н == (^с«Ь/сп,)с>
а из монотонности и1 и неравенства	следует, что иг ->оо. Если же
00
с = 0, то dH/dt ^ta^ub (я + btu'/u) и наше утверждение следует из моно-
тонности tuf]u. Отметим, что в отличие от решений уравнения (2) решения
уравнения (1), имеющие вид Oftb), не обязаны быть строго монотонными:
в этом нас снова убеждает пример а = sin t из примечания 9.
Далее, в обосновании нуждается утверждение о существовании произ-
водной dHjdt. Здесь надо напомнить некоторые факты из теории исключения.
Пусть , даны два многочлена относительно и и z вида Р (^ и, z) = Ро(^> «) ^w+
+ РА ft, и) zn-i +	и), Q ft, и, z) =	(/, и) z™ + ... 4- Qm ft, а), где
все P^ ft, и) и Qi ft, u)— многочлены, n>l, m 1, Poft, u)£ 0, QoO\ w)^0.
Тогда результант R ft, и) этих многочленов есть многочлен относительно t
и и, обладающий тем свойством, что для некоторых t = ?, и == и равенство
R и) = 0 имеет место в том и только в том случае, когда либо Pq ft, и) =
= Qo (Л я) == 0, либо уравнения Р ft, и, z) = 0 и Q (7, к, z) = 0 имеют по
крайней мере один (вещественный или комплексный) корень. Тождественное
обращение Rft, и) в нуль необходимо и достаточно для того, чтобы много-
члены Р и Q имели общий множитель, т. е. чтобы можно было написать
р = P-^S, Q = Qt^, где Рь и 9 — многочлены относительно t, и, z, при-
чем Sft, и, z) = Soft, u)zk + ... 4-S&(f, u) (% 9^0, £>1).
Изучая поведение решений aft) уравнения (1), мы без ограничения
общности можем предполагать, что Pft, и, id)— многочлен, степень кото-
рого п относительно id наименьшая возможная для всех многочленов таких,
что уравнение Р = 0 имеет решение « = «(Z). Из неравенства и (0
и конца примечания 8 следует тогда, что и>1, так как для любого много-
члена A ft, и)^0 при всех достаточно больших t будет A ft, w (0)4=0.
Отсюда же следует, что коэффициенты ft, и) многочлена Р можно считать
не содержащими общего множителя (отметим, что постоянные множители
здесь не принимаются во внимание). Теперь легко проверить, что много-
член Р неприводим, т. е. неразложим на произведение многочленов. Дей-
ствительно, если такое разложение
Р (t, и, и') =	(t, и, и') - Р2 (t, а, и') = [Л, о а, в)в'п‘ + • •. + Рьп, (А “)] X
XPW.	+Р&пЛ*. в)] (Л,о^О, Лм^О)
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
209
существует, причем Рх и Р2 не имеют общего множителя, то из сказанного
выше следует, что nt>0 и /г2>0. Так как Л2Т < /г, п2<л, то ни одно из
уравнений РА (t, и, и') = 0 и Р2 (f, и, и') = 0 не может удовлетворяться
функцией u(t) для всех достаточно больших следовательно, функция u(f)
при /->оо удовлетворяет то одному из этих уравнений, то другому. При
смене уравнений удовлетворяются они оба, а потому (так как Pi,o(ttu(t)) 0
и P2(f, «(f))¥=0 при достаточно больших /) обращается в нуль и резуль-
тант R (t, и) многочленов Рх (f, a, z) и Р2 (t, и, z). Так как R £ 0, то мы
приходим к противоречию.
Сейчас уже легко проверить, что р'и, (t, u{t\ г/(/))=£ 0 при достаточно
больших t. Действительно, если п = 1, то это ясно сразу, а если л>1, то
из неприводимости многочлена Р следует, что результант многочленов Р
и Риг не может тождественно равняться нулю, а потому при достаточно
больших t отличен от нуля, откуда и вытекает наше утверждение.
Значит, по теореме о неявных функциях уравнение Р (t9 ut az) = 0 можно
разрешить относительно откуда получаем, что для достаточно больших t
функция и (0 имеет непрерывные производные всех порядков (и даже
аналитична).
Отметим, что во всех этих рассуждениях мы существенно пользовались
неравенством	Для решений вида u = o(tb) наши утверждения
несправедливы, во всяком случае, если определить понятие правильного реше-
ния так, как это было сделано выше. Например, уравнение («2 + я2я'а—1)Х
X («'2—1) = 0 имеет одним из своих решений функцию « = м(0» периоди-
ческую с периодом 4 1/2, для которой и(—t)~u(t), a(j/2-|-0^
=-«(/2-0,
/Л fVl—для 0</<У2/2,
1/2 — t для /2/2</< /2.
Для этого решения многочлен P(t\ и, и') (который в данном случае не
зависит от t) приводим и не может быть заменен каким-либо из своих сомно-
жителей; и" (0 при t = У*2 /2 -[- п (п = 0, zt 1, z±z 2,...) не существует.
Чтобы показать теперь монотонность функции Н = tatfiut продифферен-
цируем соотношение P(t, и, Ht~au~b) = 0 по t, Получим
дР } дР Н	дР Н (Н'	а	b Я \	Q
dt ди taub	ди taub \ И	t	и tau4
Если Н' = 0 при некотором t, то и
Q (/, и, и') = tu -& + tuur-g^ — и' (аи 4- btu') -ggf = 0.
Если Q не зависит от а', то Q = 0, так как в противном случае мы всту-
пили бы в противоречие с неравенством и > & Если же Q зависит от и',
то там, где Н' — 0, должен равняться нулю и результант R (/, и) много-
членов Р и Q. Отсюда и из неравенства и > е* Ю получаем, что R (/, и) == 0,
т. е. что многочлены Р и Q имеют общий сомножитель. Так как Р мы
считаем неприводимым, то Q делится на Р, т. е. опять-таки Q = 0. Отсюда
и из (А) получаем, что Н' дР]диг = 0, и так как дР/да'=£0, то Я' = 0 при
всех достаточно больших tt что и требовалось доказать.
Из доказанного, ясно, что отношение любых двух членов многочлена
P(t, и, и') имеет при f->oo конечный или бесконечный предел.
14 Зак. 1629. Р. Веллман
210
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
12.	К стр. 141. При доказательстве теоремы 7 для нормы (б) можно
воспользоваться переходом к тройному интегралу. Именно, пользуясь этим
приемом, докажем сначала конечность нормы функции J* etlf(tddt\.
о
/[г"* /	= f dt J dtt J ^2#+^+^Л)/(/2)=
0	0	000
со	оо	оо оо оо	со
=| dtx J dt2 j dt... + f dtt f dt2 J dt... = 1J dti J
0	0	0	ta	0	0
+ у fdti f dt^-bfttdfth) = Jdt^ dt^-f^f^) <
o	oo	r
< у p'l J dt^-** [/> (4) +/9 (fs>J = 1 [J Л1в-V3 (4) (*<l -1) +
0	0	0
+ Jdt^f* ft) e-f‘ 1< J/3 (0 dt.
0	0
Точно так же получаем
J [.f ^'f^dtijdt = J dt J dtr f
0 t	0 t t
dti S м*е*~*‘~*г г/3 w+/a =
0 t t
oo oo oo	oo oo
= j* dt J dtt j* «toe2*-*1-*’/2 to) = J dt J* dti?*-*'?* to) =
0 t t	0 t
= J dt! J dt et~tlf2 (ti) < J/2 to) dt!.
0	0	0
Теперь утверждение теоремы следует непосредственно из соотношения (17).
13.	К стр. 149. Это место нуждается в пояснении, так как для примене-
ния теоремы 7 гл. II надо от уравнения (28) перейти к системе уравнений
первого порядка, в результате чего мы получим оценку не и, а суммы
I и I + Iи' В кроме того, и сама оценка (30) по форме несколько отличается
от той, которая гарантируется теоремой 7.
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
211
Отметим прежде всего, что оценку (23) гл. II, гарантируемую теоремой 7,
можно заменить такой оценкой: для некоторого с>0 и всех достаточно
больших t имеет место неравенство
t	t
f IIВII dt
О	о
ехр ГReXftf — с j* || В || dt\ < ||	< ехр
Действительно, при В = 0 это очевидно. Если же	при	где
то для того, чтобы неравенства (А) следовали из неравенств (24)
при t tlf достаточно выбрать постоянную с столь большой, что
tt	tx	tx	ti
e>db c^d* с f	J||B||d# + Jnq, e J* ЦВ||Л>«?2]’||В||Л—l«c2.
0	t'Q	0		t0
Чтобы перейти теперь к оценкам (30) гл. VI, обозначим решения, фигурирую-
щие в соотношениях (29), через tit и ад без ограничения общности их можно
считать положительными для достаточно больших f, так как уравнение (28)
не имеет колеблющихся решений. Сравнивая эти решения с решениями
уравнения и! = rt (1 zt е) и, получаем, что	и2->0 при /->оо. Отсюда
для любого решения и — bu% будет | и |->оо,	если л¥=0 и
«->0, и//и,-+-—1, если а = 0,
Пусть теперь решение Ui таково, что
#	t
ехр р— с ( | <? (0 | л1 < | а, 14-1 «j | < ехр р + с |* | (f) | dt
6	о
Тогда ясно, что в разложении w1 = aa14-&w2 будет а=£0; без ограничения
общности мы будем считать, что а>0. Тогда при	будет «1>0,
|ад/ад— 1|<1/2. Отсюда следует, что 2 (| | + | «^ | )/5<	| | 4~
4- | а[ | (t > /t) и неравенство (30) в случае <р ф 0 (0 t 0 получается, если
взять сх^>с достаточно большим; если же ф — 0 при	и ср^О
при t^>tb то надо увеличить значение Оценка «2 проводится аналогич-
ным образом.
Подобное замечание относится и к соотношениям (31). Из теоремы 8
гл. II следует, что = (k-\- о (1)) е\ иг = (/+ о (1)) eti где |£| + Ш¥=0.
Но в силу сказанного выше ^/^->1, откуда ^=^=0, т. е. ujk^et. Анало-
гично изучается решение ад
Это замечание надо иметь в виду и далее в п. 12.
14.	К стр. 158. Поясним ход доказательства теоремы 13. Как было ука-
зано в прим, перев. на стр. 155, мы сначала можем доказать существование
решения уравнения (34) и справедливость оценки (37). При дальнейшем
исследовании мы вместо неравенства Коши — Буняковского систематически
применяем неравенство Гельдера (см. упражнение 2 п. 8). Прежде всего
аналогично примечанию на стр. 156 из условия ср -> 0 мы выводим, что и
w->0 при Кроме того, из оценки (37) получаем неравенство
|срй)
о
14*
212
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
оо
из которого видно, что J |w|3^<oo. Далее имеем
о
t	t
fw dti = J [1 —	«.)] [<р (^) _ W3 (^)j dt! =
о	о
t	t
= -?fV (Z1) d/! - 4 /	W dt! + о (1).
о	0
Однако
t	t	tt
—	®2W^i = —4 J dtif e-2^'^(t2) dt2 J e-2^-t>')4(ta)dt3 +
0	0	0	0
t t>!	$!
+ J dt	t (t2) dt2 f e~2(t‘-ts)ttfi(t3) dts —
0	0	о
t tl	ti
— -J J d^ J e~2<*>-*•)	(t2) dt2 f e~2^-^ w* (t3) dts =
0	0	.0
t tx	t
= — 4 J* f <f (tt) <e(t2) е-2^‘-^2 + 4 ( J ? (tt) е-2(<_<1)й^У 4-
0	0	0
it!	t
+ 4 / dfif (?(y®2(^ + ?(t2)«’a(t1)]e-2ft-wdt2-4 fvWe-W-^dt!*
оо.	0
t t!
x j* W2 (tt) е~2и-Ыdtt — 4 J dti J* ®2 (tt) ®2 (t2) e-2<t>-t*) dt2 +
0	0	0
t
+ 4(f	= I + H + III + IV+V + IV.
0
Как мы уже видели ранее, II-> О, IV-> 0 и VI->0 при/->оо. Пользуясь
очевидным неравенством | ab21	| я I3 + R |3, легко доказать, что при £-> оо Ш
остается ограниченным и имеет предел. Наконец, при помощи этого же
приема (предварительно воспользовавшись неравенством w2 (\) w2 (^)
<s w2 (\) | w O2) I) получаем, что hV имеет конечный предел при f->oo.
Уравнение (39) изучается аналогично.
15.	К стр. 174. Здесь и далее неоднократно применяются следующие
простые правила интегрирования асимптотических формул, частные случаи
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
213
которых нам уже встречались. Допустим, что дана неотрицательная функ-
СО
ция	причем J*/(f)^ = oo. Тогда
t
J o(f(t))dt
t
[1+0(1)] $f(t)dt,
co
J*/(0[l + o(D] dt = oo.
t
OO, TO
Если же /(O>O(^o<^<°°) и j f(t)di
f o(f(t))df = c-o(ff(t)dty, J
to	t	t
f f(t) П + О (1)]Л =» c-[l + о (1)] J°/(0 Л; j
to	t	t
oo
= (l + o(l)] ff(t)dt.
t
Подобные формулы, конечно, имеют место и при /(0<^0.
Отсюда вытекают следующие правила интегрирования асимптотически
равных друг другу функций. Пусть	где функция f {t) не обра-
со
щается в нуль и сохраняет знак. Тогда, если J* |/(f) | = оо, то
t	t
y(t)dt~ ff(t)dt.
$1	t0
co
Если же J* 1/(0 I^<oo, то
oo	oo
f ’t(t)dt^ff(t)dt,
t	t
a
t	co
J* (0 dt либо c s/= 0, либо ~ — p f (0 dt.
to	i
16.	К стр. 176. Мы приведем доказательство сформулированного пред-
ложения, причем это доказательство в значительной своей части будет при-
годно в различных случаях, как для уравнения (4), так и для уравнения
«" +	= 0. Именно, мы рассмотрим положительные стремящиеся к нулю
решения уравнения (11), причем величину постоянной w уточним позже.
Прежде всего из уравнения (11) получаем, что v->0 монотонно, причем
214
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
dvjds < 0. Совершим замену переменных х = 1/v, у = dxfds. Тогда мы при-
дем к уравнению
У^ — vJa + (2tt» — 1)у — w(yo — 1)(х — х2-») = 0,	(А)
CLX X
причем нам необходимо исследовать свойства решений этого уравнения,
остающихся положительными прих->оо. По теореме Харди для некоторого
а>0 будет
%
у ~ ахке
либо у ~ ах1 (1п х)ш.
Если Р(х)->— оо при х->оо, то у->0, откуда и dyjdx-^O при х->оо;
отсюда видно, что в уравнении (А) последнее слагаемое не компенсируется,
и мы приходим к противоречию. Если Р(х)->оо при х->оо, то мы прихо-
дим к противоречию на основании леммы 1 гл. V.
Итак, у ~ ах1 (In х)т (а > 0); на основании леммы 1 гл. V получаем теперь,
что Если /<Ч, то, принимая, что w(w — 1) + 0, получаем соотноше-
ние у dyjdx ~w(w — 1) х, откуда у2 ~ w (w — 1) .г2, и мы приходим к про-
тиворечию. Значит, I = 1, т. е. у ^ах (In х)т.
Случай zn<0 исключается так же, как в предыдущем абзаце. Если же
т>0, то из уравнения (А) получаем, что dyjdx ~2у/х, откуда у = х2+о^>
и мы опять приходим к противоречию. Значит, т = 0, т. е. у ~ ах (а 0).
Теперь из уравнения (А) получаем, что
иХ	а
Отсюда, интегрируя, выводим соотношение
л /п	1 w(w—1)
а = 2а — (2w — 1) 4--—-----— ,
откуда а — w или а = w — 1.
Возвращаясь к старым переменным, получаем, что dxjds ~х [а-{- о (1)],
откуда х = es = /a+o'i)> Те е, # = /”а +°(1) и и =	и следо-
вательно, и = или И =
До сих пор рассматривался общий случай; для дальнейшего надо уточнить
вид уравнения (2). Если мы изучаем случай (в) п. 3, то и' -> оо и, значит,
годится только вид и = Но тогда из уравнения (4) получаем соотно-
шение и" =	откуда (так как у нас	— 1) заключаем, что и'
ограничена, и мы приходим к противоречию.
Если же рассматриваем случай, когда а + 2<0<с + п+1, откуда
w—1<0<w, то (так как у нас а>0) годится только вид w = На
основании уравнения (2) получаем, что и' имеет конечный предел при t оо,
который по необходимости равен нулю. Отсюда (так как a <— 2) получаем,
что и и (t) имеет конечный предел при f->oo; рассуждая аналогично п. 3,
получаем, что этот предел а отличен от нуля. Теперь из (2) получаем по-
следовательно
и' =
* «+1
аМ*+2
(a + i)(c+2y
[1+о(1)1.
[1+о(1)1,
и == а +
Этот результат будет далее применяться.
I
ПРИМЕЧАНИЯ пёрёводчиКа	215
17.	К стр. 179. Это заключение об асимптотическом виде функции и
। нуждается в более подробном обосновании. Если причем v>0h
I dv[ds<Qt то можно вновь сделать замену х=1/^, у = dxfds. Тогда мы
I приходим к уравнению
<	у^-_ ^-+у+х^-п = 0	(А)
и рассуждая аналогично примечанию 16, получаем, что j~ax*(lnx)m (а>0,
/<1).
j	Докажем, что здесь т = 0. Действительно, в противном случае все
I члены — 2у2/х, у и имеют попарно различный порядок при х->оо, и
поэтому, приравнивая у dyjdx по очереди каждому из этих членов, получаем
во всех случаях противоречие с соотношением у ах1 (In х)т. Итак, т = 0,
т. е. у ~ ах1.
Убедимся теперь в том, что 1=1. Действительно, если I < 1, то из урав-
нения (А) получаем
I	% =	[1 + о (1)1 “ 1 - ^-п-1 [1 + о (1)],
L т. е. dy[dx<Z—1/2 при достаточно больших х. Отсюда у — оо, и мы при-
। ходим к противоречию. Итак, у~ ах. Рассуждая, как в примечании 16, мы
I приходим к уравнению
а —2а— 1,
। ’
; откуда а = 1. Итак, у~х, т. е. dxjds~x и х =	==/1+°(Ч Значит,
=	ии = 10^, Далее рассуждаем, как в конце примечания 16.
Скажем здесь же о том случае, когда вместо (19) мы отправляемся от
аналогичного уравнения
; (это применяется в п. 6). В этом случае исследование совершенно анало-
гично проведенному, и после замены х = 1/и, y = dxjds мы приходим
к уравнению
(Б)
из которого, как и ранее, выводим, что у ~ ах1 (а > 0, I < 1). Однако в этом
случае отсутствие положительного решения уравнения
Sa = 2а +1
влечет за собой неравенство I < 1. Из (Б) получаем
= 1 -1Х2-П-Ч1 + О (1)] +	[1 + О (1)J,
откуда от противного легко вывести, что 2 — п — Z = 0, а = 1. Значит,
у ~ х^~п. Отсюда, возвращаясь к старым переменным, получаем, что
I хп^11(п — l)~s, т. е. О»-*) (п — l)s = (n — 1) In t, откуда и вытекает
асимптотическая формула (20).
Р
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика............................................ 3
Из предисловия	автора ................................ 5
Глава I. Свойства линейных	систем......................... 9
Литература........................................... 42
Глава II. Устойчивость, ограниченность и асимптотическое поведе-
ние решений	линейных	систем..................... 43
Литература.......................................... 79
Дополнительная литература........................... 80
Глава III. Существование и единственность решений нелинейных
систем.................................................... 81
Литература.......................................... 91
Глава IV. Устойчивость решений нелинейных дифференциальных
уравнений................................................. 92
Литература........................................... 112
Глава V. Асимптотическое поведение решений некоторых нелиней-
ных уравнений первого порядка............................. 113
Литература........................................... 127
Глава VI. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка 128
Литература........................................... 166
Дополнительная литература.......................... 168
Глава VII. Уравнение Эмдена — Фаулера....................  171
Литература........................................... 195
Примечания переводчика.................................... 196
Р. Веллман
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВЙЕНИЙ
Редактор А. В, ГЕР МО Г ЕНОВ
Технический редактор В. И. Шаповалов,	Корректор О. П. Горшкова
Переплет художника М, Г, Ровенского
Сдано в производство 19/VIII 1954 г. Подписано к печати 10/XI 1954 г. А-07653. Бумага
60Х9271в=6,7 бум. л. 13,5 печ. л. Уч.-изд. л. 13,3. Изд. № 1/2437. Цена 10 р. 85 к. Заказ № 1629.
Издательство иностранной литературы. Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности.
4-я тип. им. Евг. Соколовой. Ленинград, Измайловский пр., 29.