ТЕОРИЯ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЛЯПУНОВА

-J!U I'' " I > Ц1111III Ц | II111| I |JJ_f I [1114 1111 p 111 li j 11 LILLI l J LLUUxULo-U^.
I
Б. Ф. БЫЛОВ
P. Э. ВИНОГРАД
Д. M. ГРОБМАН
В. В. НЕМЫЦКИЙ
ТЕОРИЯ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЛЯПУНОВА
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ВОПРОСАМ
УСТОЙЧИВОСТИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966
517.2
Б 95
УДК 517.91
Борис Федорович Былов
Роберт Эльюкимович Виноград
Давид Матвеевич Гробман
Виктор Владимирович Немыцкий
ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ВОПРОСАМ УСТОЙЧИВОСТИ
М., 1966 г., 576 стр. с илл.
Редактор А. Ф. Лапко
Техн, редактор С. %. Шкляр	Корректор А. Ф. Серкина
Сдано в набор 29/ХП 1965 г. Подписано к печати 9/VI 1966 г. Бумага 84хЮ8,/г2-
Физ. печ. л. 18. Условн. печ. л. 30,24. Уч.-изд. л. 28,61. Тираж 8000 экз.
Т-08246. Цена книги 2 р. 04 к. Заказ № 1.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.
2-2-3
,73-66
ПОСВЯЩАЕТСЯ
памяти
нашего общего учителя
Вячеслава Васильевича
СТЕПАНОВА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана в основном
моими учениками Б. Ф. Быловым, Р. Э. Ви-
ноградом и Д. М. Гробманом — участниками
руководимого мной семинара по качественной
теории дифференциальных уравнений. Со-
держание книги дает полный обзор иссле-
дований, проделанных авторами по методу
первого приближения, и, как мне ка-
жется, достаточно полно отражает совре-
менное состояние этого вопроса. Книга пред-
назначена для студентов старших курсов,
аспирантов и научных работников, интере-
сующихся вопросами устойчивости движения
и вообще качественной теории дифферен-
циальных уравнений.
В. В. Немыцкий
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
Знак комплексной сопряженности: г.
Знак производной:	или точка вверху, но не штрих.
Векторы: х, у Л,..х = {хь ..хп}, xt = {ха..........xni}.
Скалярное произведение: (х, у) — 2 Х1У1*
I
Различные нормы вектора: | х | = К(х, х), max | х/1, 2 I Х1 !•
1	i
Линейное n-мерное пространство (действительное или комплексное):
£я, Мп, ...
Линеалы (линейные подпространства) в Ln: £, М, Lr,...
Линейная оболочка данных векторов или линеалов (минималь-
ный объемлющий линеал, т. е. совокупность всех линейных комби-
наций рассматриваемых векторов; линеалы могут пересекаться):
£ == Xi © х2 (+)..., L = ЛА (+) N (+)...
Базис в £я: любые п линейно независимых векторов хь ..хп.
п X m-матрица (п строк, т столбцов): А = || ап || пт. п X п-матрица:
А = ||а0-||.
Единичная п X п-матрица: /, /л.
След матрицы Д: Sp А «= 2 аа-
i
Диагональ матрицы Д: Д^.
Блочная п X /и-матрица, столбцы (блоки) которой суть пХлч-
матрицы Д/ (mj + zn2 -|- ... + тг = т)\
Д=[Дь
В частности, матрица с векторами-столбцами хь хг:
А= ..., хг].
Диагональная пXл-матрица: Д=diag [аь..., ая] или A=diag [aj.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
7
Различные нормы матриц: | А | = max | ац |, S | ац |, У^\ац\29
max-L^L.
I *1
t
Верхнее среднее значение функции p(t): р— lim / p(s)ds.
f->00 f е/
О
•ib'tiW'jtttliriirrlrifflrto
8
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
t
Нижнее среднее: р = lim у- р (s) ds.
b
t
Точное среднее: р = Игл у р (s) dst когда р = р.
о
Дефект функции: \р — р — р.
Показатель или верхний показатель функции х (/) (скалярной
или векторной): х W = X (х) = lim 1п| х (0|.
/->ОО t
Нижний показатель: х (х) = lim у In | х (t) |.
Точный показатель: х (х) = lim ~ In | х (t) |, когда х = X-
Для обозначения ограниченности применяется универсальная
константа D, т. е. если x<D, у < Df то пишется также 2x<D,
x-|-y<D и т. п.; аналогично, если х < Deu, y^DeKt, то пи-
шется 2x<D^, x-\-y^Deu и т. п. Универсальная константа
может зависеть от параметров е, Z,..., и тогда пишется De, D; и т. п.
Запись х-$р(х£-р) означает, что
t	,	t \
' J р (5) ds I	J p(s) ds j
|x(0\|x(0 |>D/«	/
и читается «х имеет рост не выше (не ниже) р».
Если п, nk — натуральные и
п = пх -|~ п2 + ... +
то принимаются обозначения
Zi = /2i,
h = п\ + Л2>
1Г ==	, —|- пг == п,
кроме того, в этом случае обозначает не только натуральное
число, но и соответствующее подмножество индексов: запись
означает, что
1^.
Если функция f удовлетворяет условию Липшица с констан-
той /<, то говорится, что f принадлежит классу Л {К.).
ВВЕДЕНИЕ
Нет нужды начинать книгу, относящуюся к качественной
теории дифференциальных уравнений, с общих фраз о роли
этой теории. Каждому, кто сколько-нибудь сталкивался с за-
дачами автоматики, теории колебаний, телемеханики и не-
бесной механики, хорошо известно, что там, где вычисли-
тельные методы становятся бессильными из-за невозможно-
сти просчитать бесчисленное множество решений или найти
решение на бесконечном интервале, выяснить его поведение
вблизи особой точки, приходится прибегать к качественным
исследованиям.
Чтобы лучше охарактеризовать содержание настоящей
книги, дадим краткий обзор некоторых методов и направле-
ний качественной теории.
Устойчивость решения. Одним из основных понятий явля-
ется данное А. М. Ляпуновым [1] определение устойчивого
решения. Напомним это определение. Пусть система п урав-
нений записана в векторной форме
•*)	(0-1)
и x^t)— ее решение, определенное на [/0, оо.] Оно называ-
ется устойчивым по отношению к возмущению начальных
данных, если по заданному е > 0 можно найти такое т] > О,
что для всех решений x(t) таких, что |х(/0) — *о(А))1< Л» бу-
дет выполнено при t tQ неравенство |х(/) — *о(О| < е.
Устойчивость называется асимптотической, если, кроме
того, \x(t) — х0(/)|—>0 при >оо. Различные модификации
этих определений содержатся в работах И. Г. Малкина [2],
Л. Массера [3], Н. Н. Красовского [4].
В задачах об устойчивости А. М. Ляпуновым были ис-
пользованы приемы, положившие начало двум следующим
методам исследования.
10
ВВЕДЕНИЕ
I метод. Рост нормы |х(/)| решения x(t) при /—>сю опре-
деляется по шкале ростов, заданной некоторым упорядочен-
ным семейством функций действительного переменного, и
тем самым каждому данному решению приписывается опре-
деленная числовая характеристика или вообще какой-то ин-
декс в данной шкале ростов. Таким образом, семейство ре-
шений становится частично упорядоченным по шкале ростов.
Эта упорядоченность может обладать некоторыми дополни-
тельными свойствами, связанными с операциями над решени-
ями. В настоящей книге за шкалу ростов, как и у А. М. Ля-
пунова, берется семейство функций еи и за индекс — число X,
называемое характеристическим показателем решения. Пока-
затель решения определяется формулой
Х(х)= iiin 11п|х(0|
/~> + ОО 1
В качестве шкалы ростов используют иногда двупарамет-
рическое семейство функций, например tmeKt. (См. работу
Б. П. Демидовича [5].)
II метод. Вводится в рассмотрение вспомогательная функ-
ция V (t,x) (обычно называемая функцией Ляпунова), и с по-
мощью производной V {tt х), найденной в силу системы (0,1),
исследуется поведение решений этой системы по отношению
к семейству поверхностей уровня V(t, х) в пространстве^, х).
При удачном выборе V (t, х) это позволяет сделать необхо-
димые заключения об устойчивости либо неустойчивости изу-
чаемого решения.
Стоит сказать, что, в отличие от А. М. Ляпунова, кото-
рый рассматривал только функции V (t, х) со знакопостоян-
ной производной (/, х), в настоящее время вошли в
обиход функции, меняющие знак и с незнакопостоянными
производными. (См., например, статью В. В. Немыцкого [6],
в которой имеется и библиография по этой теме.)
Оценить в общих чертах и сравнить действенность каж-
дого метода не представляется возможным. Часто эти методы
дополняют друг друга. Следует, пожалуй, только отметить,
чго второй метод более употребителен в приложениях ввиду
простоты его применения (при условии удачного выбора
ВВЕДЕНИЕ
11
х)). Этим, вероятно, объясняется то большое количе-
ство статей и руководств, которые посвящены различным
способам построения функций Ляпунова (см., например, [2],
[31, [41).
В то же время первый метод оказывается более эффек-
тивным при исследовании асимптотических свойств широкого
класса систем.
Метод сравнения. Основной прием, восходящий к А. М. Ля-
пунову и А. Пуанкаре, который используется в книге, можно
назвать кратко методом сравнения. Общая постановка во-
проса здесь такова: вместо исследуемой системы
X)	(0.2)
рассматривается система
^ = ф(/, у),	(0.3)
называемая	системой	первого	приближения.	Предполагается,
что для системы (0.3)	известно	асимптотическое поведение ре-
шений, и исследуемая система (0.2) рассматривается как воз-
мущенная добавлением в правую часть (0.3) вектор-функции
Л (Л x)=f(t, х) — Ф(Л х).
При некоторых свойствах системы первого приближения
и достаточной малости величины Л(/, х) часто удается сде-
лать заключение о поведении решений возмущенной системы
и соотношениях между показателями решений обеих систем.
В связи с этим вводится понятие «прочности» показателей
невозмущенной системы. Показатели решений невозмущенной
системы считаются прочными, если малые в каком-либо
смысле возмущения вызывают малые изменения показателей.
Более точно это понятие будет дано в соответствующем ме-
сте книги. Важным является случай прочности старшего по-
казателя, особенно для проблемы устойчивости.
В литературе по методу сравнения, главным образом, рас-
сматриваются (со времени работ Ляпунова и Пуанкаре) си-
стемы вида
^ = Ax+h(t, х).
(0.4)
12
ВВЕДЕНИЕ
и в качестве системы первого приближения берется линей-
ная система
=	(0.5)
где А — матрица с переменными или постоянными коэф-
фициентами. Основополагающими работами по методу пер-
вого приближения являются также работы О. Перрона [7] и
И. Г. Петровского [8]. В настоящее время имеется об-
ширная литература по этому вопросу (см., например, [9],
[Ю], [И]).
Асимптотическая эквивалентность. В этот термин раз-
ные авторы вкладывают различный смысл. В настоящей книге
решения x(t) и y(t) систем (0.4) и (0.5) считаются асимпто-
тически эквивалентными, если
для t —> оо . По асимптотической эквивалентности имеются
многочисленные работы, из которых .мы укажем на статьи
Р. Конти [12] и В. А. Якубовича [11]. Кроме асимптотиче-
ской эквивалентности, во многих работах рассматривается
вопрос о сохранении ограниченности решений при переходе
к возмущенной системе.
Предельные режимы. Некоторая вектор-функция (ty
называется предельным режимом или предельным решением
для решения х(/) системы(0.1), если |<р(0 — х(/)|—>0 при
>оо или—сю. Предельный режим может быть или
не быть решением данной системы. Можно также говорить
о предельном режиме для семейства решений. Вектор-функ-
ция ф(/) называется предельным режимом для семейства ре-
шений S, если для каждого е > 0 можно найти такое
и такое решение xs(t)^S, что |<р(0 — лг5(/)|<е Для Не-
интересные теоремы о предельных режимах доказаны
Б. П. Демидовичем [13], а некоторые общие свойства пре-
дельных режимов и их приложения к изучению асимптоти-
ческого поведения решений исследованы В. М. Миллионщи-
ковым (результаты докладывались в МГУ на семинаре по ка-
чественной теории) и публикуются в ДАН.
Асимптотическое поведение в целом. Траектории, на-
чинающиеся в точках некоторого множества, могут иметь
общее асимптотическое поведение. Важнейшими понятиями
ВВЕДЕНИЕ
13
в этом случае являются понятия конвергенции и предельной
ограниченности или диссипативности системы.
Для системы (0.1) наблюдается явление конвергенции к ре-
шению xQ{t\ если для любого ее решения x$(t) является
предельным режимом. Система называется диссипативной,
если существует такая ограниченная область в простран-
стве (х), что все решения при /—>оо погружены в эту об-
ласть. Важные результаты, касающиеся явления конверген-
ции и диссипативности, см. в статьях Б. П. Демидовича [14],
В. А. Плисса [15].
Однородные и неоднородные уравнения. Система (0.1)
по аналогии с линейными системами называется однородной,
если №0 есть решение этой системы. Работы О. Перрона
послужили основой для развития направления, изучающего связь
между решениями однородной и неоднородной систем. Воз-
можность приложения к изучению нелинейных систем осно-
вана на следующем замечании. Пусть х0(/) — некоторое ре-
шение системы (0.4), тогда, очевидно, x0(f) является в то же
время решением неоднородной системы
-g- = 4(0x+/(0.	(0.6)
где f(t) = h{t, х0(О).
Поэтому имеет смысл предварительно исследовать пове-
дение решений неоднородной системы, считая f(f) в (0.6)
произвольно заданной вектор-функцией, и затем полученные
сведения переносить на случай системы (0.4). При этом, как
выясняется, достаточно рассматривать ограниченные и непре-
рывные f(t). Например, если для каждой ограниченной
и непрерывной f(f) все решения (0.6) ограничены, то и все
решения (0.4) с достаточно малыми начальными данными
также ограничены (см. А. Д. Майзель [16]). По этому по-
воду см. также работы О. Перрона [7] и И. Г. Малкина [2].
Предлагаемая вниманию читателя книга в значительной
своей части посвящена методу сравнения, или, как иногда
говорят, первому методу Ляпунова. По содержанию ее
можно условно разбить на три части.
В первых четырех главах изучаются показатели линей-
ных (в частности, треугольных) систем с переменными коэф-
фициентами и для них дается определение центрального
показателя.
14
ВВЕДЕНИЕ
В главах V—VII рассматривается вопрос о прочности
показателей линейной системы по отношению к возмуще-
ниям первого и выше первого порядков малости. В связи
с этим дается классификация линейных систем и изучаются
их преобразования.
В последних трех главах исследуются системы вида (0.4)
с постоянной матрицей А.
В основном здесь устанавливается асимптотическая эк-
вивалентность решений возмущенной и невозмущенной систем.
Кроме того, исследуется поведение решений возмущен-
ной системы на всей действительной оси и даются условия
гомеоморфности систем вида (0.4) и (0.5).
Исследование систем вида (0.4) в книге всегда начинается
с классификации решений (0.4) по их «росту». Далее обычно
изучается асимптотика решений каждого класса и устанав-
ливается асимптотическая близость решений систем (0.4) и
(0.5) «близкого» роста. Такой подход оказался весьма пло-
дотворным.
В классических работах метода сравнения обычно дока-
зывалось существование ^-параметрического семейства реше-
ний возмущенной системы, наследующего определенные
свойства некоторого ^-мерного множества решений линейной
системы.
Однако зависимость семейства от k параметров не яв-
ляется его топологической характеристикой, даже если эта
зависимость непрерывна. Например, нельзя утверждать, что
размерности множеств начальных условий сравниваемых
семейств одинаковы. Поэтому всюду, где только возможно,
в книге устанавливается гомеоморфизм между множествами
начальных данных систем (0.4) и (0.5), обладающий тем
свойством, что через соответствующие точки в начальный
момент проходят решения с одинаковым асимптотическим
поведением. Насколько нам известно, впервые вопрос об
установлении такого рода гомеоморфизма был поставлен и
решен в работе В. А. Якубовича [11].
Одновременно с построением гомеоморфизма доказывается,
что он и обратный ему удовлетворяют условию Липшица,
из чего следует, что множество меры нуль преобразуется
в множество меры нуль. Это обстоятельство, в частности,
является весьма важным для характеристики областей устой-
чивости. Если, например, у системы (0,5) все решения, за
ВВЕДЕНИЕ
15
исключением подпространства размерности меньше п, не ог-
раничены, то из этого следует, что почти все (в смысле ме-
ры и размерности) решения (0.4) также не ограничены.
Для геометрической характеристики множеств начальных
условий различных семейств решений (0.4) всякий раз по воз-
можности отмечается, что гомеоморфизм близок к тождествен-
ному.
Методически более целесообразно было бы начинать книгу
с рассмотрения случая, когда матрица А постоянна. Однако
такое построение книги неизбежно привело бы к дублирова-
нию многих теорем, которые при принятой последовательности
изложения распространяются автоматически из первых двух
частей книги на систему (0.4) с постоянной матрицей А.
Большое место в книге занимают три дополнения, где со-
общаются различные сведения вспомогательного характера.
Кроме того, в дополнения вынесены часто употребляемые
леммы.
Эта мера, хотя и вызывающая, несомненно, некоторые
неудобства в обращении с книгой, также помогла устранить
дублирование и избежать увеличения объема.
Б. Ф. Былову принадлежат §§ 12, 14, 18, 19, 21, ДЗ,
Д4, а также частично §§ 15 и 20. Главы VIII—X и со-
ответствующие места из дополнений написаны Д. М. Гробма-
ном. Введение и остальные разделы написаны В. В. Немыц-
ким и Р. Э. Виноградом.
Материал для написания «Метода замораживания» любезно
предоставлен В. М. Алексеевым, за что авторы ему искренне
благодарны.
Работа по подготовке рукописи к печати осуществлялась
всеми авторами и в этом смысле авторы в равной мере не-
сут ответственность за все недостатки, которые могут быть
обнаружены при чтении книги.
В заключение сделаем несколько замечаний пояснитель-
ного характера.
Библиография дается к каждой главе отдельно. Приве-
денный список можно, несомненно, увеличить, однако после
выхода в свет книги Чезари [17] с великолепно подобранной
библиографией по соответствующим разделам в этом нет не-
обходимости.
Система нумерации легко уясняется из следующих при-
меров. п. 2.3 — § 2, пункт 3. п. Д.2.3 — Дополнение, § 2,
16
ВВЕДЕНИЕ
пункт 3. (5.8)—§ 5, формула 8. (Д.5.8)—Дополнение, §5,
формула 8. Теорема 5.2.1.—§ 5, пункт 2, теорема 1 (так же
для следствий, замечаний и примеров).
Знак комплексного сопряжения заменен: число, сопря-
женное с z, обозначается через z. Это вызвано тем, что
знак сопряжения в книге используется довольно редко, а
черту (линейку) над выражением оказалось удобно применять
для обозначения специальной операции, о которой подробно
сказано в соответствующем месте книги.
Универсальная константа £>е используется при прове-
дении всевозможных оценок в тех случаях, когда важно лишь
знать, что некоторое выражение ограничено некоторой кон-
стантой, зависящей от параметра е, но несущественна вели-
чина этой константы. В этих случаях мы будем считать, что
CDe = С + — DeC = De(C^> 0—произвольная константа).
Правые части уравнений предполагаются заданными для
всех t 0 и n-мерных векторов х, которые могут быть
как действительными, так и комплексными. В случае надоб-
ности действительные функции считаются продолженными
в комплексную область. Требования непрерывности или ку-
сочной непрерывности по t, позволяющие пользоваться ин-
тегралами Римана, могут быть снижены до суммируемости;
в этом случае интегралы заменяются лебеговыми. На этот
счет специальных оговорок не делается.
ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
В этой главе вводится определение показателей и изу-
чаются их основные свойства, главным образом в применении
к линейным системам. Нелинейные случаи рассматриваются
в последующих главах. Читатель, знакомый с теорией Ляпу-
нова, может пропустить §§ 1 и 2 совсем или возвращаться
к ним только по мере ссылок.
§ 1. Понятие показателя
1.1. Определения. Пусть на полуоси </ = [0, оо) задана
действительная непрерывная функция f (t). Ее верхним или
характеристическим показателем или просто показате-
лем называется число
Х(/)=ШН11п|/(О|.	(1.1)
Вообще говоря, оно может быть конечным или бесконечным,
но в дальнейшем встречаются только конечные показатели,
за исключением единственного случая: если / (Z) = 0, то
удобно считать
Х(/) = —оо.
Показателем непрерывной вектор-функции x(f) по опре-
делению называется показатель ее нормы
I = x(*)= iiin yln|x(0|.	(1.2)
/->оо 4
При этом безразлично, какая из норм:
V(x, х), Si Xi | или max|xz|,
будет использована, так как эти нормы эквивалентны, т. е.
их отношения ограничены (см. п. Д. 2.2).
2 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
18
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[1.1
Легко убедиться, что если X есть конечный показатель
вектора x(t), то при любом е>0 функция |jr(/)|e(“x+8)*
не ограничена, а функция
| X(t) I e~^+e)t -+ О
при t~>oo, Наоборот, если найдено число X, обладающее
этими свойствами при любом е > 0, то оно является пока-
зателем.
Введенный таким определением характеристический пока-
затель отличается лишь знаком от характеристичного числа
Ляпунова. Очевидно, это определение можно сформулиро-
вать также следующим образом: число X называется пока-
зателем, если для любого е > 0 выполняется неравенство
|x(Z)|<D/X+8)/	(1.3)
(с некоторой, вообще зависящей от е, константой Z)e),
но при всяком отрицательном е, и любом De это нера-
венство нарушается для бесконечной последователь-
ности tn—>oo.
Еще одно определение (или, скорее, обозначение) пока-
зателя связано с представлением нормы вектора в виде
t
f P(x)d%
|лг(О| = |лг(0)|^	.	(1.4)
Такое представление возможно, если x(t) дифференцируем
(или хотя бы абсолютна непрерывен) и не обращается в нуль,
что всегда соблюдается в дальнейшем. В этом случае его
показателем будет служить, очевидно,
t
(см. Д. 16.1).
Наряду с верхним или характеристическим показателем
введем нижний показатель
Л=х(х)= lim у 1п|х(0|.	(1.5)
/->оо
1.1]
§ 1. ПОНЯТИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ
19
Когда	*
J р(т)4т
|х(О| = |х(0)|е«
то
X (*) = Р = lim у | Р (т) dx.
О
Кроме того, можно дать для X, как и для верхнего пока-
зателя, определения, понятным образом связанные с выпол-
нением неравенства
|x(O|>D/X-e)<.
Очевидно, всегда Х<^Х, если же нижний и верхний пока-
затели совпадают, то их общая величина
X = X == X
называется точным показателем вектора x(t) и обозна-
чается через х(*)-
Чтобы подчеркнуть различие между нижним и верхним
показателями, будем иногда обозначать последний также
через хС*)-
Все ненулевые решения векторного уравнения (системы)
x = F(/, х)
при выполнении «условия Липшица в нуле»
|F(t х)|<К|х|	(1.6)
имеют ограниченные показатели. В самом деле, вычисляя
производную от |х|2 = (х, х) и применяя неравенство Буня-
ковского, получаем
х)| = |(х, х) + (х, x)| = |2Re(x, х)| =
= |2Re(F, х)|<2/С(х, х).
Так как условие (1.6) обеспечивает единственность нулевого
решения, то всякое иное решение не обращается в нуль
ни при каком /, и для такого решения, деля предыдущее
2*
20	ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ	[1.2
неравенство на | х |2, найдем
—/С<-^-1п|х|</С	(1.7)
откуда
(1.8)
В частности, это всегда верно для решений линейной системы
х = А (/) х
с ограниченной матрицей
(1.9)
По поводу расширения условий (1.6) см. § 19.
1.2. Простейшие свойства показателей. Все показа-
тели — верхний, нижний, точный — очевидно, обладают свой-
ством монотонности: если
1/(0|< 1^(0|.
то и
/(/Xxto x(/Xxte).
Далее, верхний показатель в применении как к скаляр-
ным, так и векторным функциям обладает еще двумя свой-
ствами, которые будем называть основными:
О	Х(с*) = Х(*) при с#=0,
2)	X (*i Ч- *2) < max {х (х,). х (•»?)) •
Докажем, например, последнее. Пусть x(-^i) = ^i и
'l(x2) — ^ Это означает, что
Считая для определенности	получаем1)
1*1 + *2 I < I х, I + |х2 К Dte^+eit
или, ввиду монотонности х и произвольности е,
X(*i + x2)<X2>
9 С универсальной Ре.
1.3)
§ 1. ПОНЯТИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ
21
т. е. имеет место второе свойство (1.10). Наконец, отметим
еще одно свойство, относящееся к обычному и скалярному
произведениям: всегда
х(зу)<х(*)+х(у).	(111)
а если
(х(0> У(0) = с = const #= 0,	(1.12)
то, кроме того,
Х(*) + хСУ)>° и	(1-13)
Действительно, из неравенства Буняковского имеем всегда
(х, уХ |*| ЬН’ а в случае j 1.12) еще |*| |^|>|с| > 0,
после чего, учитывая, что х(с) = 0, остается применить
свойства п. Д. 16.4.
1.3. Показатели линейной системы. Множество реше-
ний линейной системы
x = A(t)x,	(1.14)
заданной в n-мерном пространстве Ln (х есть n-мерный век-
тор-столбец, a A(t) — п X n-матрица), само образует п-мер-
ное линейное пространство (см. п. Д. 13.3), которое будем
обозначать через Ln(t). Показатель %(х) решения x(t) можно,
таким образом, рассматривать как действительную функцию,
определенную на элементах этого пространства. Ее значение
на нулевом элементе равно —оо, остальные значения, в силу
предположения об ограниченности A(t), конечны.
Эта функция обладает основными свойствами (1.10), и
оказывается, что из них, с учетом линейности того про-
странства, на котором функция определена, могут быть
выведены все остальные многочисленные ее свойства, изу-
ченные впервые Ляпуновым. То обстоятельство, что элементы
пространства в данном случае возникли как решения системы
дифференциальных уравнений, фактически не играет роли.
Поэтому мы не будем сейчас останавливаться на упомянутых
свойствах, а в следующем параграфе дадим все выводы
в абстрактной форме [1], т. е. отвлекаясь от происхождения
пространства Ln (t) и заданной на нем функции %(х) и по-
стулируя только свойства (1.10). Затем в § 3 мы снова
вернемся к терминологии, связанной с дифференциальными
уравнениями.
22
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
11.4
1.4. Показатели сопряженных систем. Наряду с систе-
мой (1.14) часто рассматривают систему
y = -A'(t)y,	(1.15)
где Л* обозначает сопряженный оператор (транспонирован-
ную и комплексно сопряженную матрицу). Пространство
решений этой системы будем обозначать через Мп (t).
Системы (1.14) и (1.15) называются сопряженными. Они
обладают тем свойством, что скалярное произведение любых
двух решений x(t) и y(t) постоянно:
(х(<М(<))=«.	(1-16)
В самом деле,
X. (х, у) = (X, у) 4- (х, у) =
= (Ах, у) +- (х, — А*у) = (Ах, у) — (Ах, у) = 0.
Это дает возможность рассматривать пространства Ln(t) и
Mn(t) как сопряженные (см. § Д. 3, там же понятие взаим-
ных базисов и пр.), беря в качестве функционала
Ф(*, j) = (-v(O* ЯО)-
Действительно, для этого функционала аксиомы билиней-
ности а) — в) из п. Д. 3.1 выполняются в силу обычных
свойств скалярного произведения, а чтобы проверить
аксиому г), заметим, что если, например, (x(t), y(t)) — Q
для всех j(f), то, беря у (t) с тем же начальным условием,
что и x(t), найдем
0 = (х(0. 5>(/)) = (х(0), j(0)) = |x(0)|2,	(1.17)
откуда лг(О) = О, а в силу единственности нулевого реше-
ния х (t) = 0.
Если базисы пространства Ln(t) и Мп (t) (фундаменталь-
ные системы решений для (1.14) и (1.15))
*1(0.......*„(0	и ^(0........yn(t)
взаимны, то по определению
(*/(0.^(0) = 0 и (хдо. л(0)=1.	(1.18)
а в силу неравенства Буняковского
l*z(0l-|^(0|>l.
1.5]
§ 1. ПОНЯТИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ
23
Отсюда, переходя к показателям, получаем
Х(*/) + X(Л)> 0.	(1.19)
Таким образом, если рассматривать у\х) и XСу) как отдель-
ные функции, заданные соответственно на пространствах Ln (/)
и Мп (t),' то они оказываются связанными между собой нера-
венством (1.19), которое выполняется для любой пары одно-
именных (по номеру) векторов из любых взаимных базисов.
Это неравенство будем называть условием сопряженности
показателей. Оно также будет постулировано при абстракт-
ном изложении теории показателей.
1.5.	Другие виды записи систем. Система (1.14) может
быть записана также в матричной форме
X — A(t)X.	(1.20)
Матрица
Х(0 = [Х1(/), ..., хя(0],
удовлетворяющая этому уравнению, называется базисом лишь
в том случае, когда она невырождена, т. е. detX=/=0, иначе
говоря, ее столбцы xt (/) независимы и образуют базис
системы (1.14).
Сопряженная система пишется теперь в виде
У = —Л*(/)У;	(1.21)
решения сопряженных систем связаны соотношением
У* (О X (0 = С = const.	(1.22)
Действительно,
А (у*Х) = У*Х + Y*X = — Y*AX -J- Y*AX = 0.
Ul
В том случае, когда
=	(1.23)
базисы X и Y называются взаимными. Это определение со-
впадает с (1.18) (см. п. Д. 3.3).
Существуют еще следующие записи сопряженных систем:
вместо (1.15) пишут
ф = — фА,
24
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
12.1
где

(т. е. есть вектор-строка из элементов, комплексно со-
пряженных с элементами j>)» а вместо (1.21) —
V = — УЛ,
где V=Y*. Соотношения (1.22) и (1.23) принимают тогда
вид
VX = const
и
VX^XV = I.
§ 2, Показатели линейных систем
(абстрактное изложение)
2.1. Два определения показателя. Назовем показателем
всякую действительную функцию %(х), определенную на ли-
нейном (вообще комплексном) пространстве Ln всюду, кроме
нулевого элемента, и обладающую свойствами
1)	Х(с*) = Х(*) при с¥=0, 1
2)	X (*i + х?) < шах {х (Xj), х (*2)} • J
(2.1)
Будем полагать еще
Х(о)=—со,
что также не нарушит указанных свойств. Как мы видели,
показатель решения линейной системы дифференциальных
уравнений является именно такой функцией на множестве
решений.
Чтобы исследовать дальнейшие свойства этой функции,
дадим другое ее определение. Введем сначала некоторые
вспомогательные понятия. Если индексы 1, 2......п раз-
биты на подмножества
nf 1	2,	..., 1Ь
и2:	/14-2, ...»	Z2,
(2.2)
пг\	Zr-i4"2....Zr = n,
2.1]	§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
25
то символ подмножества nk обозначает также число nk =
— (см- п- Д’ 5.1); пусть L1 есть линеал (линейное
подпространство) размерности I.
Назовем пирамидой всякую растущую в смысле вложе-
ния последовательность линеалов
o = 6cL'ic ... cL'r-i cLlr=Ln. (£)
Теоретико-множественные разности соседних линеалов
=	(6=1.......г) (2.3)
будем называть ступенями пирамиды и припишем им
веса nk. Введем еще нулевую ступень = o с весом
ло = О. Тогда каждый линеал становится теоретико-множе-
ственной суммой содержащихся в нем ступеней, а его раз-
мерность — суммой их весов:
k
=	^ = no + ni + ••• ~\rnk- (2-4)
z=o
Определим теперь показатель как действительную
функцию, принимающую на ступенях какой-либо задан-
ной пирамиды (L) постоянные значения Лл, расположенные
в порядке возрастания:
Каждое число ЛЛ снабдим кратностью nki равной весу сту-
пени Размноженные таким способом числа (Л) назы-
ваются основными значениями показателя и обозначаются
через
М ^2	^/г	(М
Здесь, следовательно,	при l£nk, т. е.
Aq - • ♦ • - Х/1 == Л1,
4+1 = ... =х<3 = л.’,	(2 5)
Ц._(+1 = ••• = %„ = ЛГ.
Когда
X(x) = Aft.
26
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.1
будем говорить, что вектор х имеет показатель Ал. Со-
гласно определению это равносильно тому, что х лежит
в ступени Lk, а если принять во внимание еще соотноше-
ние (2.4) и порядок возрастания чисел Ал, то убеждаемся
в равносильности следующих записей:
-^6-2% равносильно x(x) = A.k,	(2.6)
x^L1*	равносильно x(x)<^Aft.	(2.7)
Установим теперь эквивалентность двух высказанных выше
определений показателя. Возьмем показатель х(х), опреде-
ляемый с помощью пирамиды, и проверим для него выпол-
нение первого определения, т. е. условий (2.1). Из опреде-
ления ступени следует, что вместе с вектором х она со-
держит и сх, где с #= 0, а так как показатель на ступени
постоянен, то х (сх) = X (х). Это — условие 1) из (2.1).
Далее, пусть /А— минимальный из линеалов нашей пира-
миды, содержащий векторы хг и х2, а следовательно, и их
сумму хг-]-Х2. Соотношение (2.7) показывает тогда, во-
первых, что показатели всех трех векторов не более Aft,
а во-вторых, что один из показателей x(-*q)> Х(*2) равен Aft,
ибо иначе линеал Llk не был бы минимальным. Но это
равносильно условию 2) из (2.1).
Обратно, пусть имеется показатель в смысле первого опре-
деления, т. е. дана функция х(*)» удовлетворяющая услови-
ям (2.1). Требуется доказать существование пирамиды, на сту-
пенях которой эта функция принимает постоянные значения,
возрастающие вместе с номером ступени. Доказательство
разобьем на небольшие этапы. Сначала установим, что если
Х(-*1)=£Х(*2).
то
х (*1	*2) = max (х (*1), X (*2)1 •
Действительно, пусть х(*/) = ^> где	Допустив, что
X (*i + х2) — X max {Aq, Х2) = Х2,
в силу условия 2) из (2.1) получим X < Х2, а тогда с по-
мощью обоих условий (2.1) найдем
х2 = X (*г) = X [(*1 + *2) + (— *1)] <
< шах {х (•*! н- *2). X (-*1)} = max [X,	< Х2.
Полученное противоречие доказывает утверждение.
2.U
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
27
Отсюда и из условий (2.1) с помощью индукции очевид-
ным путем выводится следствие, которое в дальнейшем будем
называть свойством неповышения показателей при линей-
ном комбинировании.
Для любой линейной комбинации векторов
X (2 ел) < max (х (•*/)}•	(2.8)
а если в комбинацию входит с отличным от нуля ко-
эффициентом такой вектор xk, что % (xk) > х (*/) для
всех i k> то
X (2	= max {х (.*/)}.	(2.9)
Далее, векторы, для которых значения уДх) конечны и
различны, линейно независимы.
В самом деле, допуская, что 2 ctxt — °* где все ct #= О
(слагаемые с нулевыми коэффициентами отбросим), a Х(Л/)
конечны и различны, приходим к противоречию с соотно-
шением (2.9), ибо его левая часть обращается в —оо, тогда
как правая конечна.
Но в Ln не существует более чем п линейно независимых
векторов, поэтому %(х) принимает в Ln не более чем п раз-
личных конечных значений
Л1 < Л2 < ... < Лг, г <^п.
Обозначим теперь через L множество векторов с показа-
телями не более Лй. В силу свойства (2.8), любая линейная
комбинация таких векторов снова сообщает функции Х(х)
значение	т. е. принадлежит тому же множеству L.
Следовательно, L есть линеал некоторой размерности lk\
L=Llk.
Для < ЛЛ, очевидно, Lli cz так что найденные
линеалы образуют пирамиду, причем х(х) принимает по-
стоянное значение ЛЛ на ступени -2\ = Llk \ Llk-i и только
на ней. Ступени автоматически получаются занумерованными
в порядке возрастания ЛЛ.
Тем самым эквивалентность двух определений показателя
доказана полностью.
28
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.2
2.2.	Показатели базиса. Упорядоченность. Нормаль-
ные базисы. Пусть в пространстве Ln задан показатель х (х)
и связанная с ним пирамида
6=i'»ci'ic ... cl!'=Ln.	(£)
Возьмем в Ln какой-нибудь базис
<.....х'п	(*')
и обозначим
х«)=Ч-
Числа X/ будут называться показателями базиса. Они со-
впадают с некоторыми, а может быть, и со всеми основ-
ными значениями (X) показателя /(х).
В дальнейшем встречаются иногда дополнительные огра-
ничения, устанавливающие нумерацию базисных векторов,
а тем самым и порядок чисел X/. Однако при отсутствии
таких ограничений условимся всегда считать векторы базиса
занумерованными так, что
Х{< ...	(X')
и в этой нумерации будем называть базис упорядоченным.
Конечно, здесь сохраняется известный произвол за счет ну-
мерации векторов с одинаковыми показателями.
Перейдем к определению нормального базиса, элементы
которого, в отличие от произвольного базиса, будем запи-
сывать без штрихов.
Назовем базис
Хр ...» хп	(х)
нормальным относительно показателя %(х) или опреде-
ляемой им пирамиды (L), если для каждого k=\, . .., г:
а) число векторов базиса, лежащих в линеале /А, равно
размерности последнего, т. е. lk\ или б) число векторов
базиса, лежащих в ступени равно ее весу nk\ или
в) число векторов базиса с показателем А* равно кратности
последнего nk\ или г) показатели базиса совпадают с основ-
ными значениями показателя (X).
Из определений веса ступени и кратности показателя и
из соотношений (2.6), (2.7) видно, что все определения
а) — г) эквивалентны.
2,3.3]	§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	29
Существование нормальных базисов для любой наперед
заданной пирамиды, а следовательно и для любого показа-
теля, легко выводится из п. Д. 1.4. Действительно, выбирая
сначала в z/1 какой-либо базис xv ..., xt и рассматривая Z/2
как пространство, объемлющее Z?1, мы можем пополнить
выбранный базис векторами х/ +1, ..., х^ до базиса xv ..., хг,
х1+г •••» xh пРостРанства Z/2;'поступая таким же образом
с Z?3 и т. д., получаем искомый нормальный базис.
2.3.	Свойства показателей и базисов. Доказываемые
здесь свойства включают в себя известные* теоремы Ляпунова
о показателях (характеристичных числах) и нормальных ба-
зисах, но в абстрактном изложении. По-прежнему рассма-
тривается пирамида (Z,) и связанный с нею показатель х(лг),
принимающий на ступенях
= Ll* \ L‘it-1
постоянные значения Ай,
— оо — Ло < Aj < ... < Лг < оо. (Л)
Свойства показателей. Сначала повторим без до-
казательства некоторые свойства из предыдущих пунктов.
2.3.1.	По определению показателя
X (сх) = х (х), если с =# О,
X(*i +х2)< max {х (Xi). X(*2)}•
2.3.2.	Следующие записи равносильны*.
2.3.3.	Свойство неповышения. Показатель лю-
бой линейной комбинации векторов удовлетворяет нера-
венству
v	XCS < max {х (Ж/)}.	(2.10)
Кроме того,
X(*i + x2) = max{x(Xi), х(*г)Ь если X C*i) ¥= X (*г)>
и вообще
X Qj £/*/) = max (х to)}.	(2.11)
30
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[2.3.4
если в линейной комбинации участвует с ненулевым
коэффициентом такой вектор xk, что X (•**)> X (•*/) для
всех i=^k.
2.3.4.	Векторы с различными конечными показате-
лями линейно независимы.
Перейдем к новым свойствам. В связи со свойством 2.3.3
назовем понижающей такую линейную комбинацию с отлич-
ными от нуля коэффициентами, для которой неравенство (2.10)
является строгим. Условимся еще называть старшими в ка-
кой-либо данной совокупности все те векторы, которые
имеют максимальный для этой совокупности показатель.
2.3.5.	Свойство понижения. Понижающая комби-
нация для конечного множества векторов существует
в том и только том случае, когда она существует для
отдельно взятого подмножества старших векторов.
Доказательство. Обозначим старшие векторы через
хх....хр, а остальные через ....у \ тогда
X(j>;X^<A = x(*i)= ••• = Х(*Д
Если для старших векторов существует понижающая ком-
бинация x = ^ctxe.
Х(*) = А'<А,
то, добавляя к ней любую комбинацию =	в СИЛУ
свойства неповышения найдем
X (*+.?) < max {Л', X} < Л,
так что комбинация —2	+2	— понижаю-
щая. Обратно, пусть дано, что такая комбинация является
понижающей:
Х(*+у)<А.
Тогда комбинация х — 2 ctXi также понижающая. Действитель-
но, предполагая противное, будем иметь х (•*) = Л, X GO 'С
следовательно, х(х)=£Х(.У)» а тогда, согласно (2.11), получим
Х(я+.У) = Л вопреки условию. Утверждение доказано.
Замечание 2.3.1. Отсутствие понижающей комбинации
для всего множества старших векторов еще не означает, что
такой комбинации не существует для части этого множества
(требование отличия от нуля всех коэффициентов понижающей
комбинации заставляет различать все множество и его пра-
вильную часть). По этому поводу предлагаем следующее
2.3.8J
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ^ИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
31
Упражнение 2.3.1. В трехмерном пространстве дана
пирамида, состоящая из начала координат О, прямой L1 Э О
и всего пространства ZA и определен какой-набудь показа-
тель с этой пирамидой. Далее выбраны линейно независимые
векторы Ху х2» х3, ни один из которых не лежит на пря-
мой L1. Доказать, что: а) все три вектора старшие; б) по-
нижающая комбинация для всех трех векторов существует;
в) для любых двух из них понижающая комбинация существует
в том и только том случае, если они лежат в одной пло-
скости с прямой L1.
Свойства базисов
2.3.6.	Если Ik означает число тех векторов произ-
/	/	.1
вольного базиса х\, ..., хп, которые лежат в L&, то
l'k<h (*=1..........г— 1).
If — If — л,
(2.12)
причем базис нормален тогда и только тогда, когда
всюду имеют место равенства.
Это свойство очевидно, поскольку линеал Llk размерно-
сти lk не вмещает более lk независимых векторов, а нор-
мальность по определению требует равенств— lk для всех k.
2.3.7.	Базис нормален тогда и только тогда, когда
каждый линеал заданной пирамиды является линейной
оболочкой содержащихся в нем базисных векторов. При
этом, если нормальный базис упорядочен, то его векторы
оказываются занумерованными в порядке включения
в линеалы возрастающих размерностей, так что
Д/Й = х1©х2® ... ®*ik-	(2.13)
Это свойство вытекает из предыдущего, если учесть опре-
деление нормальности.
2.3.8.	Если нормальный и произвольный базисы упо-
рядочены и показатели первого суть
...	(Ь)
а второго —
М	(V)
32	гл. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ	(2.3.9
то всегда
(Z=l. ...» п — 1),	(2.14)
Х; = ХЛ = ЛГ,	(2.15)
причем для нормальности базиса необходимо и доста-
точно, чтобы всюду имели место равенства.
В самом деле, фиксируем какое-либо I п, и пусть i!k —
минимальный из линеалов нашей пирамиды, содержащий век-
торы нормального базиса хь .. ., xt. Они занумерованы, как
мы знаем, в порядке включения в линеалы возрастающих
размерностей, поэтому ввиду минимальности Llk вектор х1
не входит в
x^L4\L1^ =^k,
и следовательно (см. (2.2)), имеет номер lQnk, а его по-
казатель = совпадает с Лг Векторы x'v ..., х^
также упорядочены, и первые	из них лежат в Llk-* по
свойству 2.3.6, причем /д-i	</. Поэтому x't подавно
не входит в /Л-1 и, следовательно, имеет показатель
что и требовалось. Необходимость и достаточ-
ность равенств для нормальности очевидны.
Из доказанного свойства вытекает следствие
2.3.9.	Сумма показателей базиса достигает минимума
для нормальных базисов и только для них\ этот мини-
мум равен
п	Т
(2.16)
Z = 1 й = 1
Следующее свойство было положено Ляпуновым в основу
определения нормальности.
2.3.10.	Для нормальности базиса необходимо и до-
статочно, чтобы никакое подмножество его векторов
не допускало понижающей комбинации. Более того, любая
совокупность векторов, содержащая не менее п элементов
и обладающая этим свойством, в действительности со-
стоит ровно из п векторов и образует нормальный базис.
Доказательство. Необходимость. Допустим,
что из некоторых векторов
.....хт
2.3.11]
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
33
нормального базиса удалось составить понижающую комби-
нацию
Хо = CiXi + СfXj+ ... 4- стхт,
в которой наибольшим показателем обладает, скажем, век-
тор хт. Тогда по определению понижения
Х(*о)<Х(*т)-
Поскольку ст ф 0, векторы
•*1»	...» Хт-1* *^0» ^т+1* • • •» %п
снова линейно независимы, т. е. образуют базис. Но сумма
показателей этого базиса меньше, чем у исходного, что по
свойству 2.3.9 невозможно. Следовательно, для нормального
базиса таких комбинаций не существует.
Достаточность докажем сразу в расширенном смысле, т. е.
для произвольной совокупности из п или более векторов,
обладающей указанным свойством. Прежде всего, такие век-
торы линейно независимы, иначе существовала бы комбинация
которая, имея показатель —оо, была бы понижающей. Сле-
довательно, их ровно п, и они образуют некоторый базис
<......(*,)
Допустим, что он не нормален. Тогда в одном из линеалов
лежит лишь l'k < lk его векторов (свойство 2.3.6). Значит,
они не образуют там базиса, и найдется вектор х0 £ т. е.
с показателем <^АЛ, не представимый в виде их линейной
комбинации. В таком случае разложение xQ по базису (V)
обязательно содержит с ненулевыми коэффициентами век-
торы, лежащие вне т. е. имеющие показатели > Ай.
Но тогда это разложение является понижающей комбинацией,
вопреки условию. Следовательно, базис (У) нормален.
Из этого свойства с помощью (2.11) получаем следствие
2.3.11.	Если существует п векторов с различными (я
конечными) показателями, то они образуют базис, и
притом нормальный.
3 Б ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
34
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.3.11
А. М. Ляпунов пользовался следующим процессом пере-
стройки произвольного базиса в нормальный. Среди векторов
данного базиса ищем понижающую комбинацию, и если она
существует, то заменяем ею один из старших векторов; по-
лучаем снова базис, но с уменьшенной суммой показателей
(ср. свойство 2.3.10, доказательство необходимости). Над
новым базисом повторяем ту же операцию и т. д. Поскольку
существует лишь конечное число значений показателя, про-
цесс обрывается после конечного числа шагов, и дальнейшее
понижение показателей базиса путем линейного комбиниро-
вания оказывается невозможным. А. М. Ляпунов называл по-
лученный таким путем базис нормальным по определению.
Мы видим, что в силу свойства 2.3.10 такое определение
эквивалентно нашему.
Разберем теперь более подробно вообще переход от од-
них базисов к другим. Будем пользоваться обозначениями
пп. Д. 1.1 и Д. 1.2. Если векторы (х)
• • • • (*)
преобразуются в (£):
=	+	... + cnjxn (J = l.........n), (2.17)
то их матрицы связаны соотношением
s = xc,
(2.18)
где
Сц с12 ...
f21	f22	• • • С2п
_Cnl Сп2 • • • Спп_
Когда (х) независимы, то для того, чтобы (£) также были
независимы, т. е. образовывали базис, необходимо и доста-
точно, чтобы
detC=/=O.	(2.19)
Нас будет особенно интересовать тот случай, когда С имеет
2.3.12)
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
35
квазитреугольный вид с блоками Ск размеров пк\
Применяя теорему Лапласа сначала к первым пг строкам,
затем к следующим п2 и т. д., убеждаемся, что
det С = det (?! • det С2 • ... • det Cr,
и потому условие (2.19) сводится к условиям
detCft^O (А=1, ...» г).	(2.21)
Сделаем еще одно замечание. Пусть базис (х) нормален
и упорядочен, и
Л —	4“ #2-^2 “Ь ••• ~\~ЬкХк,	(2.22)
В силу нормальности эта комбинация не может быть по-
нижающей, в в силу упорядоченности вектор Xh является
в ней старшим. Поэтому
Х(П) = Х(^).	(2.23)
2.3.12.	Пусть базис (х) нормален и упорядочен. Для
того чтобы векторы (£) (или матрица S) также обра-
зовывали нормальный и упорядоченный базис, необходимо
и достаточно, чтобы матрица С имела квазитреуголь-
ный вид (2.20), где размеры блоков пк равны кратностям
соответствующих показателей, и чтобы выполнялись
условия (2.21).
Иначе говоря, все нормальные и упорядоченные базисы.
получаются из одного такого базиса с помощью матрицы С
вида (2.20).
Замечание 2.3.2. Если оба базиса занумеровать в об-
ратном порядке, то, как показывают соотношения (2.17),
матрица С заменится транспонированной, т. е. нижней квази-
3*
36
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[2.3.13
треугольной, в остальном сохраняя те же свойства. Отметим
еще, что матрица С1 также имеет строение (2.20).
Доказательство. Как мы знаем, нормальность и
упорядоченность какого-либо базиса равносильны тому, что
среди его векторов обладают показателем Ak те и только те,
номера которых т. е.	В частности, это
по условию дано относительно (лг). Если векторы (2.47) об-
ладают тем же свойством, т. е.
Х(Ъ) = Х (•*/*) для ./€«*.
то в силу замечания 2.3.2 и (2.23) это возможно только при
chj — O для hy>lkt J £nk, что и означает квазитреугольное
строение (2.20) матрицы С. Необходимость условий (2.21)
очевидна.
Обратно, пусть матрица С имеет указанный вид и дано
условие (2.21). Тогда в каждом столбце блока Ck имеется
хотя бы один отличный от нуля элемент
со#=0 где Z, J^nkt
а в силу квазитреугольного строения (2.20)
с/у = 0 при />/*, J£nk.
Согласно замечанию 2.3.2 и (2.23) это дает для векторов
(2.17)
Х(£/) = Х(^) = Л* при j£nkt
т. е. нормальность и упорядоченность (§). Доказательство
окончено. Из этого свойства вытекают полезные следствия.
2.3.13.	Если базис нормален и упорядочен, то тре-
угольная матрица
при условии ckk^Q (k = 1, ..., п) преобразует его (в смысле
(2.17) в базис с такими же свойствами.
2.3.15)
$ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
37
2.3.14.	Всякий вектор х=#0 может быть включен
в состав некоторого нормального и упорядоченного базиса,
и притом, если его показатель равен Ak, то можно
сделать так, чтобы он занимал любое i-e место среди
I € nk-
Действительно, возьмем какой-либо нормальный и упо-
рядоченный базис
•*1» ..., хп.
Вектор х допускает единственное разложение
X = СгХ! + . . . + СпХп»
которое можно записать также в виде
х=с1х1 + ... +chxh>
где ch—последний отличный от нуля коэффициент из cv ...» сп.
Тогда матрица
переводит базис (х) в базис
Хр ..., хл_р х, хл+1, ...» хя,
который в силу 2.3.13 нормален и упорядочен. Поэтому
в нем показателем Лй обладают те и только те векторы,
которые занимают места £nk, и к ним относится, в част-
ности, х. Теперь путем перестановки х среди этих векто-
ров можно поместить его на любое из мест £nk.
Оказывается, что не только нормальный, но и произволь-
ный базис может быть преобразован в нормальный с помощью
треугольной матрицы. Это важное обстоятельство устанавли-
вается следующим предложением.
2.3.15.	Теорема Ляпунова. Для всякого базиса
...........................<
38
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[2.3.15
найдется такая неособая треугольная матрица С', что
преобразованный с ее помощью базис
— cnxi’
*2 = C12**l С22ХГ
(2.24)
х = с'х. + с'*' + . . . + с' х'
п 1п 1 1	2/1 2 1	1 пп п
будет нормальным. При этом, какова бы ни была тре:
угольная матрица С', дающая такой результат, получим
Х(^)<Х(^)	(* = 1....«)•	(2.25)
Для сравнения отметим, что свойство 2.3.8 устанавливало
аналогичное неравенство лишь в случае упорядоченности
обоих базисов, которая здесь может и не иметь места:
базис (х') вместе с его нумерацией задан произвольно, а
нумерация базиса (х) такова, какой она получается в силу
формул (2.24).
Доказательство. Проведем процесс преобразования
базиса (х') в нормальный следующим образом. Положим
в формулах (2.24) c'kk—\, т. е. возьмем
хъ =с.ъх\... + с'ъ . .xf .-j— х. (2.26)
k Ik 1 1	1 Я —1, k Я —1 1 k	4	'
и подберем остальные коэффициенты этой линейной комби-
нации так, чтобы показатель xk оказался наименьшим. Ввиду
конечности числа различных значений показателя такая ком-
бинация существует; если их окажется несколько, остановимся
на какой-нибудь одной из них. Покажем, что из построен-
ных таким способом векторов
Xi ... хл '	(х)
никакая часть не допускает понижающей комбинации. Отсюда
по свойству 2.3.10 будет следовать, что эти векторы обра-
зуют нормальный базис.
Если допустить, что понижающая комбинация существует,
то по свойству 2.3.5 такая же комбинация найдется для неко-
торых векторов с одинаковыми показателями; пусть это будет
••• +М»>	KJ<-<k,
X (хо) < х = X (»/) = _•• • — X (•«*)•
2.3.17]
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
39
При этом, в силу 1) из (2.1), можно считать bk = \. Но
тогда х0 приводится к комбинации вида (2.26) и имеет пока-
затель меньший, чем xk, что противоречит построению.
Таким образом, базис (х) нормален, т. е. составленная
из коэффициентов соотношений (2.26) треугольная матрица
является искомой.
Пусть теперь при некоторой треугольной матрице С' ба-
зис (2.24) получился нормальным. Обозначим через С мат-
рицу. обратную к С', а следовательно, также треугольную
и невырожденную: ckk4=Q; тогда будем иметь
х'ь = с1Ьх1 4- .. . А-сььхь.
k Ife 1 '	* kk к
Если вычеркнуть отсюда члены с нулевыми коэффициентами,
то во всяком случае останется
*ь = Сьь*ь + • • •»
k kk k 1	’
а поскольку никакая комбинация из векторов нормального
базиса не является понижающей, то
X «) = max {х (хА). ...} > х (**)’
и доказательство окончено.
Базисы, нормальные для двух пирамид
2.3.16.	Теорема существования. Каковы бы на
были две пирамиды в пространстве Ln, всегда найдется
базис, нормальный относительно обеих пирамид.
Доказательство1). Так как предыдущие теоремы
были сформулированы в терминах показателей, а не пира-
мид, то для соблюдения прежней терминологии свяжем с
каждой пирамидой какой-нибудь показатель; ясно, что это
всегда возможно. Возьмем базис, нормальный и упорядочен-
ный относительно первого показателя. Согласно 2.3.13 любое
его преобразование с помощью неособой треугольной матрицы
не нарушит нормальности. Но по 2.3.15 эту матрицу можно
подобрать так, чтобы преобразованный базис стал нормаль-
ным относительно второго показателя. Теорема доказана.
2.3.17.	Теорема инвариантности. У всех бази-
сов. нормальных относительно двух пирамид, количество
!) Это доказательство принадлежит Ф. Р. Гантмахеру.
40
ГЛ. 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.3.17
векторов, лежащих в пересечении двух фиксированных
ступеней разных пирамид, одно и то же.
Доказательство. Пусть из двух заданных пирамид
oczL1' с: ... cz.LlT — Ln
(М
... czMms = Ln	(Af)
выбраны ступени
и
= Lli \ L'l-i
а41к = Мтк\ Мт»->.
Покажем, что для всех базисов, нормальных относительно
обеих пирамид, количество векторов, лежащих в
постоянно и равно
dim — dim (L © М),	(2.27)
где
W = Lli п Mm*, .
L = NfiL'i->,
(2.28)
М = АГПЛГ*->.
Для этого установим сначала, что

(2.29)
По определению ступеней	в том и только том
случае, когда X принадлежит Lli и Мть, но не входит
ни в ни в Л4т^-1. Следовательно,
о = L11 л ЛГ* \ Lli-x \ Mmk-\ == N \ £'«-* \ Mmk-i.
Но
2V\Z.\AJ = W\(Wn //*-•) \ (N П Мтк->) =
и равенство (2.29) доказано.
В силу нормальности базиса относительно обеих пирамид,
количества его векторов, лежащих в линеалах L1*, Мть>
совпадают с размерностями последних. Тогда, согласно
2.3.18]
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
41
п. Д.1.6, это же верно сначала для N, а затем для L и М.
Так как L и 7И суть подпространства 7V, то, согласно
п. Д.1.6, количество векторов, лежащих в (2.29), выра-
жается числом (2.27), что и требовалось.
2.3.18.	Для совпадения двух пирамид необходимо и
достаточно, чтобы каждый базис, нормальный отно-
сительно одной из них, был нормален и относительно
другой.
Доказательство. Необходимость очевидна. Для до-
казательства достаточности нужно установить, что если даны
две различные пирамиды (£) и (7И), то найдется базис, нор-
мальный лишь относительно одной из них. Несовпадение
пирамид означает, что для некоторого k,	—2,
имеем
.....г!к = Мт», НО £'*+«¥= Л4тл+*.
Возьмем сначала базис (х), нормальный относительно обеих
пирамид. По определению нормальности он содержит серию
из lk векторов (/л = 0, если £ = 0):
*.....
общих для [!& и Мть. Некоторая следующая за ними серия
уже не может быть общей для и	иначе по
свойству 2.3.7 эти линеалы совпали бы. Пусть, например,
в £z*+i есть базисный вектор, не входящий в	Дадим
ему номер lk -р 1, и вообще весь базис упорядочим по пи-
рамиде (£):
*.....*ik> Xik+lt .... Xik+1..хп.
Так как здесь первые lk векторов лежат в Мть, a Xzft+i(£
то всякий вектор хр из ступени =
= Мть+\\Мть будет иметь номер
(В обязательно есть векторы базиса ввиду его нор-
мальности относительно (Ж).) Фиксируем такой вектор и
42
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.4
построим базис (У):
Х1ц+1 ~ Xlk+1’
ч ==	•%+!+•»>
Хп
Он получается из (х) треугольным преобразованием и по-
тому остается нормальным относительно (L) (см. 2.3.13).
Но он уже ненормален относительно (Л4). В самом деле,
(ж) был нормальным относительно (М) и, следовательно,
содержал mk+1 векторов, лежащих в Мть+'. У базиса (х')
это число на единицу меньше: хр(£Мт&+1, так как хр при-
надлежит этому линеалу, а x^+i нет. Таким образом, ба-
зис (х') является искомым.
2.4.	Сопряженные показатели. Часто наряду с по-
казателем % (х) в пространстве Ln = {х} приходится рас-
сматривать другой показатель X (У) в сопряженном про-
странстве Мп = [у}.
Так обстоит дело, например, при изучении сопряженных
систем линейных дифференциальных уравнений (п. 1.4).
Понятие показателя в пространстве Л4" ничем не отли-
чается от такого же понятия в Ln, но для него оказывается
более удобным пользоваться противоположными нумерациями.
Именно, пирамиду в Мп будем обозначать через
Мп = Мть^Мт^ . . . о Л4^ = о, (М)
где, следовательно, размерности расположены в порядке
п =	>
> ms = О,
ступени обозначим через
^k = Mtnk-\\Mmkt	и оС+1 = о,
2.51
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
43
а постоянные на этих ступенях значения показателя % (у) —
через
Mj>M2> ... > Ms и Ms+1 =— оо. (М)
Числу Мд припишем кратность pk—mk_1—тк, равную
весу ступени о^д. Повторяя каждое Мд столько раз, какова
его кратность, получим основные значения показателя
Р'1>Р'2> •••	(Н)
где, следовательно,
Ц1=Ф2= •••
— ••• =	= Мг, (2 30)
== ••• = Цд == М5.
Произвольный базис (у') пространства Мп назовем упо-
рядоченным, если он занумерован в порядке
X (X) > X (X) > • • • > X (X)-	(2.31)
Здесь порядок также противоположен по сравнению с п. 2.2.
В связи с этим нужно соответственно изменить формули-
ровки некоторых свойств из п. 2.3. Например, формулу
(2.13) следует брать в виде
. ®У„-1 ®Уп, (2.32)
матрица (2.20) должна быть нижне-треугольной, свойство
2.3.8 нужно писать в виде
Х = Н1.
/, о	ч	(2.33)
(7 = 2....п)
и т. п.
2.5.	Условие сопряженности. Коэффициент непра-
вильности. Если показатели х(х) и х(у) таковы, что для
любой пары взаимных (см. п. Д. 3.1) базисов (х) и (у) вы-
полняется условие
Х(^) + х(^)>0	(/=1.....п),
которое в п. 1.4 было названо условием сопряженности, то
показатели х(х), х (У) назовем сопряженными. Как мы
44
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
р.5
видели, этим свойством всегда обладают показатели решений
сопряженных систем линейных дифференциальных уравнений.
Поэтому и в абстрактной теории будем рассматривать только
сопряженные показатели. Отметим, что условие сопряжен-
ности в сущности является довольно слабым: ему, например,
удовлетворяют любые показатели с неотрицательными зна-
чениями.
Введем ряд величин, характеризующих пару показателей
Х(х) и x(j). Пусть их основные значения суть
^<•••<4	(X)
и
Hi > • • • > н„.	(н)
Коэффициентом Перрона для пары (х(х), х(У)} называется
число
я = шах (Xj + цД
Далее, пусть выбраны некоторые взаимные базисы (л/)—
(У). По определению взаимности их нумерация согласована
так, что для одноименных векторов у)=1, тогда
как для разноименных ф(х', = Установим взаимно од-
нозначное соответствие <р' между их показателями, полагая
х(х{)«?^х(Х)	(/=1.....»)>
и назовем дефектом данной пары базисов число
уф, = шах {х (*;) + X (X)} •	(2.34)
Таким образом, дефект зависит не только от показателей
Х(х), х(У)> но и от выбора взаимных базисов. В отличие
от этого, коэффициент неправильности показателей, опре-
деляемый как
у = т1пуф%	(2.35)
где минимум берется по всевозможным парам взаимных ба-
зисов (л/)— (У), тем самым от базисов уже не зависит
и, следовательно, характеризует свойства лишь самих пока-
зателей.
Из условия сопряженности вытекает, что всегда
Уф- > О,
2.5)
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
45
а потому и
у>0.
Когда
у = 0,
то показатели называют правильной парой или просто пра-
вилъными.
Сделаем одно замечание по поводу соответствия ф'. Вы-
пишем показатели базисов (л/) и (У), пока что без согла-
сования с нумерацией векторов, в порядке
^<•••<4	(*')
и
К > • • • > ц'„.	сю
Теперь упорядочим базис (л/), т. е. изменим в случае на-
добности его нумерацию так, чтобы числа
х(*0< • • •< х«)
совпали с (V). После этого нумерация (У) определится од-
нозначно, так как она индуцируется условием взаимности,
но при этом (У) не обязательно окажется упорядоченным,
так что числа
х(Х).....х(Х)«
хотя и совпадающие в совокупности с (р'), могут располо-
житься в ином порядке. Поэтому примем обозначение
х(Х)=^.
где, вообще говоря, I ht. Теперь можно рассматривать ф'
как соответствие между числами (V) и (р/):
или как подстановку между их индексами:
/1 2 ... п \
Ui *2 ••• V’
Условие сопряженности принимает вид
46
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.6
(для любого I и любой пары взаимных базисов), а дефект
определяется как
уф, = тах{Л; + цу.
2.6.	Свойства показателей и базисов в сопряженных
пространствах. В первую очередь рассмотрим свойства,
основанные на элементарных неравенствах, которые возни-
кают при соответствии между числами (X') и (р') и не свя-
заны с происхождением этих чисел.
Пусть даны некоторые числа
М	W
Hi > • •	• >	(И)
и взаимно однозначное соответствие ф между ними
^Р^»	(2.36)
или, что одно и то же,- дана	подстановка между их индек-
сами
/1	2 ... п \
.	й й •	(2.37)
Соответствие ф0 с тождественной подстановкой
назовем прямым.
Будем придерживаться той же терминологии, какая упот-
реблялась в применении к показателям. Так, если
+	G=h .... п),	(2.38)
то скажем, что при соответствии ф выполнено условие сопря-
женности; число
уф=шах{Х/ + р/г/)	(2.39)
назовем дефектом, а число
л = max {X; 4- pz)	(2.40)
— коэффициентом Перрона. Самые числа (X) и (р) будем
по-прежнему называть показателями, и если уф = 0, то
2.6.3]
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
скажем, что они правильны. Перейдем к изучению их
свойств, основанных на следующем очевидном замечании.
2.6.1.	Пусть ф есть взаимно однозначное соответ-
ствие между конечными множествами А и Аь и пусть
подмножества BczA и Вха.Ах состоят из одинакового
числа элементов. Если хотя бы один элемент В ото-
бражается в Л1\В1, то хотя бы один элемент Вх
отображается в Л\ В.
2.6.2.	Следствие. Если в подстановке (2.37) суще-
ствует такое I, что I > ht, то существуют и такие k
и т, что
k<l^hk, m^ht<Chm.	(2.41)
Аналогично, если существует	то существуют и
l> J>ht, i>hj> ht.	(2.42)
Для доказательства (2.41) достаточно применить 2.6.1,
беря в качестве В ъ Вх один раз множества всех номе-
ров ^1, а другой раз Для доказательства (2.42)
берутся противоположные неравенства:	и
2.6.3.	При любом соответствии ф имеем
min (Хг + цА/) < min (Хг + nz),	(2.43)
max (lz + цА/) > max (Kt + |iz).	(2.44)
Доказательство. Начнем с доказательства неравен-
ства (2.43). Пусть минимум правой части достигается при
1 = 1:
min (Xz + Hz) = + ty.
Во всяком случае,
min (lz -|~ цА/) < Xz + Нлг
Если при этом то из упорядоченности показателей (ц)
следует	так что
^14" 'С + М-р
и неравенство (2.43) доказано. Если же />ЛР то, согласно
(2.41), существует k такое, что
k <
1
-i
48	ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ	[2.6.4	£
откуда	|
< Xz,	Hz	J
и потому	1
min (Xz +	<; Xfe + 'С + Hz = mln (Xz -|- hz). "
Доказательство (2.43) окончено. Неравенство (2.44) дока-
зывается аналогично.
2.6.4.	Если условие сопряженности выполнено хотя бы
при одном соответствии q>:
0	(/ = 1, • • •» я)»
то оно и подавно выполнено при прямом соответствии*.
+ М-/	0	(/ = 1...п).
Это вытекает из (2.43).
2.6.5.	При любом соответствии дефект уф и коэф-
фициент Перрона л подчинены неравенству я ^у^, а если
выполнено условие сопряженности, то и неравенствам
О	(2.45)
Действительно, первое совпадает с (2.44), а второе вы-
текает из 2.6.4 и следующего неравенства, верного при
условии сопряженности:
Y<p = max (%, + nft/) < 2 (\ + НЛ/) =
= 2 (X/ + Hz) 'С п • max (^z + Hz) = ля.
2.6.6.	Теорема Перрона1). Сопряженные пока-
затели (X) и (ц) правильны в смысле обращения в нуль
дефекта уф в том и только том случае, когда обра-
щается в нуль коэффициент Перрона л, т. е. когда эти
показатели суть
Хр Х2, ..., Хл
и
— Хр —Х2, ..., — Хл.

1) Перрон доказывал эту теорему прямо для дифференциаль-
ных уравнений, используя существующее там более сложное поня-
тие правильности и оперируя нормальными базисами [2]. Проводи-
мое здесь рассуждение показывает, что дело сводится к одним
лишь числовым неравенствам (2.45).
2.6.6]
§ 2. показатели линейных систем
49
В этом случае единственно возможным соответствием,
не нарушающим условия сопряженности, является
прямое.
В самом деле, из неравенств (2.45) следует, что уф и л
обращаются в нуль одновременно, а поскольку в этом слу-
чае, согласно 2.6.4,
О	Х^ —|—	л = О,
то получаем
pz = --Xz (Z=l..........ri).	(2.46)
Далее, при всяком соответствии, не нарушающем сопряжен-
ности, имеем
и если выполнено (2.46), то л = 0, откуда уф = 0 и =
= — Хр Следовательно, р,д= а это и означает, что рас-
сматриваемое соответствие прямое.
Перейдем к изучению более общих свойств показателей,
связанных не только с числовыми неравенствами.
Бинормальные базисы. Пусть даны сопряженные
пространства Дл={х} и Л4л={<у} и в первом задан пока-
затель х(х), а во втором % (у)* Взаимные базисы (х)— (у)
назовем бинормальной парой или просто бинормальными,
если (х) нормален относительно %(х) и в то же время (у)
нормален относительно % (у). С тем же успехом можно гово-
рить о бинормальности не относительно показателей, а от-
носительно связанных с ними пирамид. Так как заданный
базис (х) определяет свой взаимный базис однозначно, то
иногда будем говорить о бинормальности одного только (х),
понимая под этим бинормальность пары (х) — (у).
Введем еще одно определение: пирамиды
о = Llo с L1' с ... cl!'-1 <= Llr = Ln (L)
и
Mn =	... =>Lmr = o (L)
назовем ортогональными, если они состоят из ортогональ-
ных (см. п. Д.3.5) линеалов:
lmk±Ll* (6 = 0..........г).
4 Б. Ф. Былов, Р. Э, Виноград и др.
50
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.6.7
Так	как	размерности этих	линеалов	дополнительны	(см.
п. Д.3.5):
mk->rlk = n,	(2.47)
то соответствующие	ступени	имеют одинаковые веса:	=
=	имеет	вес
nk — h ^-1»
a =	— вес
pk = mk_x — mk = (n —	— (n — lk) = nk.
Поэтому любые показатели, заданные на ортогональных пи-
рамидах, обладают одинаковыми кратностями: для
Xj
<^п
(X)
будет Xz = const = A.k при всех I £ nk и для
Hi
(Н)
также Цу = const = Mfc при j£pk-
2.6.7.	Лемма. Из нормальности базиса относительно
данной пирамиды следует нормальность взаимного ба-
зиса относительно ортогональной пирамиды. При этом
упорядоченность одного базиса влечет за собой упоря-
доченность другого, а одноименные векторы принадле-
жат одноименным ступеням:
из х^3\ следует yt £ ^k.	(2.48)
Доказательство. Пусть (х) нормален относительно
(Д). Упорядочивая его, будем иметь по формуле (2.13)
^ = *1 + ... +xlk.	(2.49)
Ортогональный линеал однозначно определяется (см. п. Д.3.5)
формулой
£”»=Я*+1© ••• ©№	(2.50)
которая совпадает с (2.32) и, следовательно, показывает
(см. 2.3.7), что базис (у) действительно нормален и упоря-
дочен нужным образом относительно пирамиды (Z). Соотно-
шение (2.48) теперь автоматически вытекает из (2.49) и (2.50).
2,6.91	§ 2* ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	51
2.6.8.	Теорема существования бинормаль-
ных базисов. Каковы бы ни были показатели х(х) и
Х(у)» заданные соответственно в Ln и Мп, всегда най-
дется пара взаимных базисов, бинормальная относи-
тельно этих показателей, или, что то же самое, от-
носительно связанных с ними пирамид (L) и (М).
Доказательство. Рассмотрим в Ln пирамиду (А4),
ортогональную к (М). По теореме 2.3.16, существует ба-
зис (х), нормальный одновременно относительно (Е) и (А4).
Он и является искомым, потому что, согласно 2.6.7, взаим-
ный с ним базис нормален относительно пирамиды (М).
2.6.9.	Теорема инвариантности. Отметим в пи-
рамиде (Е) определенную ступень 3?^ а в пирамиде (М) —
определенную ступень a4lk. Тогда количество тех век-
торов базиса (х), лежащих в для которых одно-
именные по номеру векторы взаимного базиса (у) лежат
в <Мк,—одно и то же для всех бинормальных базисов.
Для доказательства достаточно снова взять в Е1 пира-
миду (Л4), ортогональную к (М), и применить к пирамидам
(£) и (А4) теорему инвариантности 2.3.17, а затем 2.6.7.
Это же свойство можно высказать в несколько иной
форме. Вспомним, что всякий нормальный относительно х (х)
базис имеет в качестве своих показателей основные значения-
М	(X)
и точно так же нормальному относительно х(.У) базису отве-
чают основные значения
...	(Ц)
Поэтому соответствие ф' между показателями взаимных ба-
зисов:
или
отличается в случае бинормальной пары тем, что в нем
участвуют именно основные значения (X) и (р). А так как
принадлежность вектора к определенной ступени равносильна
4*
52
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
12.6.10
наличию у него соответствующего показателя, то ясно, что
свойство 2.6.9 можно сформулировать и так:
2.6.10.	Все бинормальные базисы порождают соот-
ветствие между основными значениями показателей*.
(/=1.....я).
и притом одно и то же.
Вернемся еще раз к пирамидам (L) и (2И) из доказатель-
ства 2.6.8 или 2.6.9. Применяя к ним условие совпадения
2.3.18 и возвращаясь затем к (L) и (А1), получаем
2.6.11.	Для того чтобы всякий нормальный базис
был бинормальным, необходимо и достаточно, чтобы
пирамиды изучаемых показателей были ортогональными.
В этом случае упорядоченность одного из базисов би-
нормальной пары влечет за собой упорядоченность (об-
ратную) другого, а их показатели имеют одинаковые
кратности.
Отметим, что это свойство не совпадает с леммой 2.6.7,
а содержит ее в качестве необходимого условия.
2.6.12.	Для того чтобы всякий нормальный базис был
бинормальным, необходимо и достаточно, чтобы суще-
ствовал хотя бы один нормальный и упорядоченный ба-
зис (х) такой, что взаимный с ним базис (у) также
нормален и упорядочен и имеет те же кратности пока-
зателей.
Доказательство. Необходимость вытекает из пре-
дыдущего свойства. Перейдем к доказательству достаточ-
ности. Пусть одна бинормальная пара обладает указанными
свойствами. Будем брать ее в матричном виде (см. п. Д. 3.3)
X и У = Х*-1.
Согласно 2.3.12 все нормальные и упорядоченные базисы
получаются из X по формуле
Х' = ХС,
где С — матрица вида (2.20). Но тогда взаимный базис есть
Y' = X'*-1 = Х*~'С*~1 = УС*-1.
т. е. он также получается из Y с помощью нижней квази-
треугольной матрицы С*”1 с блоками тех же размеров (за-
2.6.131
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
М
мечание 2.3.2). Ввиду того, что по условию Y имеет те же
кратности показателей, базис Y' также оказывается нормаль-
ным и упорядоченным (замечание 2.3.2), и доказательство
окончено.
2.6.13.	Теорема о реализации коэффициента
неправильности. Дефект пары взаимных базисов до-
стигает минимума (т. е. по определению совпадает
с коэффициентом неправильности) всякий раз, когда
хотя бы один из двух базисов нормален относительно
своего показателя. В частности, дефект бинормальной
пары всегда равен коэффициенту неправильности, т. е.
не превосходит дефекта любой другой пары взаимных
базисов.
Доказательство1). Пусть даны взаимные базисы
(д;) — (j). Поскольку в условие и заключение теоремы эти
базисы входят равноправно, достаточно рассмотреть случай,
когда нормальным является (х). Требуется доказать, что
дефект такой пары не превосходит дефекта любой другой
пары взаимных базисов (х')— (У).
Воспользуемся обозначениями п. Д. 5.1 и (2.5). Считая (х)
упорядоченным и принимая во внимание его нормальность,
будем иметь в качестве его показателей основные значения
М
где
Xz = Aft при l£nk, т. е.	(2.51)
Пусть дефект достигается при некотором i£nk:
Уф = тах{Ху + ^}=1г + цдг (2.52'1
Без ограничения общности можно считать I минимальным
среди nk, т. е. таким, что
(2.53)
(если k=\, то 1= 1, a nk_x пусто). Ввиду упорядочен-
ности (х) находим, соответственно меняя обозначения (2.13)
на обозначения п. Д. 5.1:
Xj© ... ©Х,_! = Л"'Л2	.
!) Этот вариант доказательства принадлежит Ф. Р. Гантмахеру.
54
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.6.13
В таком случае ортогональный линеал, согласно п. Д. 3.5,
получается по формуле
Л4л*п»+'-^=Л®Л+1® ••• ®уп
и, следовательно, во всяком случае, содержит вектор yt
с показателем
х(Л)=нА/.
Заметив это, перейдем к произвольной паре взаимных ба-
зисов (Xх) и (У) с показателями
М	(А/)
К > • • • > и'.	(и')
причем (х') снова будем считать упорядоченным. Из 2.3.8
и замечания к формуле (2.33) известно, что для всех /=1,
2, ...» п
Сравним числа (V) с числом (2.51), теперь фиксированным,
поскольку фиксировано I. Отметим максимальное по индексу,
а следовательно и по величине, число из (V), подчиняю-
щееся неравенству
Ай-1
(если й=1, таких чисел нет, о чем см. ниже). Упорядочен-
ность базиса (х') позволяет заключить отсюда, во-первых, что
Х(*р)>Л* = *7	при Р>Л (2.54)
и во-вторых, что векторы xj, х'2...хС, а значит и их
линейная оболочка U, подчиняются включению
Тогда для ортогональных линеалов наблюдается обратное
включение
и таким образом, вектор yt с показателем также по-
падает в	С другой стороны,	является,
2.6.14)
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
55
согласно п. Д. 3.5, линейной оболочкой векторов
y'j+v УУ+2.........У'п-	(2.55)
Если бы все они имели показатели
<(Ч’
то это же было бы
верно и для любой их комбинации (свойство неповыше-
ния 2.3.3), т. е. для любого вектора из этого линеала,
в частности для yh что невозможно. Следовательно, среди
них найдется вектор у'р с показателем
>%•
Его номер
чт0 вндно из (2.55), и потому, принимая во вни-
мание (2.54) и (2.52), получаем
Уф, = шах {х (xj) + X (X)} > х (*;)+X (У'р) >	= Уф.
что и требовалось.
Когда й=1, множество iJ пусто, а М{п~^ совпадает
со всем пространством Л4, в остальном же рассуждения
не меняются.
Пример 11.6.7 показывает, что условия теоремы не необ-
ходимы, т. е. что могут существовать не бинормальные и
даже не нормальные взаимные базисы (каждый не нормален
относительно своей пирамиды), дефект которых все же совпа-
дает с коэффициентом неправильности.
2.6.14.	Следствие. Дефект уф, любого базиса,
коэффициент неправильности у и коэффициент Перрона л
сопряженных показателей всегда находятся в соотно-
шениях
О л у пл.
Доказательство. Это утверждение близко к свой-
ству 2.6.5, но не вытекает из него непосредственно, потому
что коэффициент Перрона л определяется через основные
значения
М 'С • • •
Hi > ... >
(1)
(Ц)
занумерованные вне всякой связи с какими-либо базисами,
в то время как дефект и коэффициент неправильности опре-
деляются через базисы. Однако предыдущая теорема позволяет
56
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
р.6.15
свести дело к свойству 2.6.5. Возьмем ’бинормальную пару
(д:) — (у). Согласно 2.6.10 она устанавливает соответствие
именно между основными значениями (X) и (ц), и при этом
дефект уф такой пары по предыдущей теореме совпадает
с коэффициентом неправильности у:
Y=Y<p = max (lzH-|xAz).
Теперь мы оказались полностью в условиях свойства 2.6.5,
и остается только заметить, что неравенство У<^Уф, верно
всегда по определению у как пипуф,.
2.6.15.	Следствие (теорема Перрона). Пока-
затели %(х) и /(у) правильны тогда и только тогда,
когда коэффициент Перрона л обращается в нуль, т. е.
когда основные значения показателей суть
'С • • • 'С
и
—	... Хл.
Пирамиды правильных показателей ортогональны, всякий
нормальный базис бинормален, и устанавливаемое им
соответствие между основными значениями показателей
является прямым.
Доказательство. Первая часть утверждения выте-
кает из неравенств (2.56), которые показывают, что у и л
обращаются в нуль одновременно; при этом из 0 = л =
= тах(Х^ + pj) и Xz + ^>0 следует = —Xz (Z= 1,..., n).
Докажем, что всякий нормальный базис (л/) бинормален.
Пусть (У) — взаимный базис. По условию сопряженности
и потому сумма всех показателей обоих базисов неотрица-
тельна. Согласно теореме 2.6.13 дефект у , совпадает с коэф-
фициентом неправильности у, а последний по определению 
правильности равен нулю. Итак, в наших условиях	.
о = Y = V = max {х (*;) + X (X)} > X (ty + х	>0,	’
ИЛИ
(/=1.....«)•
2.7]
§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
57
и потому сумма всех показателей обоих базисов также равна
нулю. Если допустить, что (У) не нормален, то при пере-
ходе к бинормальной паре сумма показателей первого ба-
зиса сохранится, а второго уменьшится, и общая сумма станет
отрицательной, что невозможно ввиду условия сопряженности.
Значит, (У) также нормален. Возникающее при этом соот-
ветствие между основными значениями показателей является
прямым по теореме 2.6.6, а ортогональность пирамид следует
из 2.6.11. Доказательство окончено.
2.7.	Показатели с малой неправильностью. Некоторые из
предыдущих результатов получают более общее освещение, если
ввести понятие показателей с малой неправильностью. Как и поня-
тие правильности, оно по существу связано лишь с числовыми
неравенствами между показателями.
Пусть снова даны числа (показатели)
W
Р1> ...	(Ц)
среди которых могут быть кратные: Xj = Л2 — • • • “	= Ар + 1 =	••• =		(2.57)
\_,+1 =	••• = и Н1 =	•••	= M	•1»	(2.58)
+ i	••• ~	— ^5» где Aj < А2 < ... < Аг и Mj > М2 > ... > Ms. Положим р' = min (Az — Az_j), р" = min (Му — Му+1).		
Пусть также дано зателями	взаимно однозначное соответствие между пока- (Z = 1	Я)
или подстановка	(л л2" л)’	(2-59) \Л1 л2... лЛ/
58
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
{2.7.1
удовлетворяющие условию сопряженности
+ И/г. > О (Z = 1, ..., п).
По-прежнему введем в рассмотрение коэффициент Перрона
л = шах (Л/ 4- Н/)
и дефект
уф=тах(Л/4-иЛД
Мы знаем, что если показатели (Л) и (ц) правильны, т. е. дефект
данного соответствия равен нулю, то это соответствие оказывается
прямым, а показатели отличаются лишь знаком. Имеет место и
обратное предложение — показатели, отличающиеся лишь знаком,
правильны и допускают только прямое соответствие — и, таким
образом, правильность оказывается свойством самих показателей,
а не того или иного соответствия между ними.
Возникает предположение, не будет ли наблюдаться такая же
картина, если дефект не равен нулю, но достаточно мал. Оказы-
вается, что малость дефекта или коэффициента Перрона по сравне-
нию с введенными выше числами р' и р" или хотя бы с наибольшим
из них:
р = max {р', р"},	(2.60)
действительно приводит примерно к такому же результату, как и
обращение у и л в нуль. Именно, справедлива следующая теорема,
обобщающая в известном смысле теорему Перрона 2.6.6.
2.7.1.	Теорема. Если выполнено одно из условий
a)	V<p<Р
или
б)	л < р,
то уф = л, и соответствие ср прямое.
До казательство. Найдем такое Z, при котором достигается
max (Л = 4-^,	(2.61)
и в то же время
l>ht.	(2.62)
Для этого возьмем сначала любое /, для которого
Если при этом окажется Лу, то j~l и есть искомое. Если же
J < hj, то согласно (2.42), найдется такое Z, что Z > J hb следо-
вательно, также hj> hb откуда, в силу упорядоченности (Л) и (ц),
h +	+ Рйу = Y<f
2.7.1]	§ 2. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	59
Знак > здесь невозможен по определению Уф» и, таким образом,
Уф =* + Ил*	(2.63)
при
н	l>ht.	(2.64)
Следовательно, и в этом случае найдено Z, удовлетворяющее
неравенству (2.62). Покажем, что в условиях теоремы 2.7.1 можно
найти и такое Z, что
Z = ht.	(2.65)
Допустим, напротив, что всегда выполняется неравенство (2.64).
Заметим, что соответствие ф фактически не меняется, если пере-
ставлять местами равные между собой числа (X) или (ц) (хотя
подстановка (2.59) при этом меняется/. Это дает возможность
перевести Az на самое левое, а — на самое правое место в соот-
ветствующей строчке (2.57), (2.58). Если в процессе всех таких
перестановок неравенство (2.64) сохраняется (в противном случае
существование искомого индекса (2.65) доказано), то получаем
из (2.57), (2.58)
bl-i<bb	(2.66)
> *4+1*	(2*67)
Кроме того, поскольку показатели (А) и (ц) участвуют в теореме
равноправно, можно считать, что величина (2.60) совпадает с р':
р - р'.	(2.68)
Пусть теперь выполнено условие а) теоремы 2.7.1. Возьмем
индексы m^hi<hm, существующие в силу (2.41). Учитывая
условие сопряженности, упорядоченность показателей и неравен-
ство (2.67), найдем
° <	+ 1*лг+ (
или, короче,
\ \ > °-
Принимая во внимание (2.64), (2.66) и определение р', имеем
Рх = Р>
и, складывая это неравенство с предыдущим, получаем
Уф = h +	> Р.
что противоречит условию а) теоремы и тем самым опровергает
допущение (2.64). Поэтому Z = hlt	и
Уф = h +	< max = л. (2.69)
60
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(2.7.1
Но так как всегда уф>л, то
Уф = л.
(2.70)
показателей
Остается доказать, что соответствие <р прямое. Только что это
было установлено для одной пары чисел: Az	Выбросим
эту пару из показателей (А), (ц). Для оставшихся
будет
max (Лг-|-ц^)Е=г7*<Уф,
min (Aft — Aft_i)а(/*> р' = р,
♦ . г
так что подавно уф<р t и мы снова оказываемся в условиях
а) доказываемой теоремы, где количество чисел (А) и (ц) умень-
шилось на единицу. Повторяя те же рассуждения, убеждаемся,
что Аг- р/ для всех Z = 1, ..., п, и теорема доказана.
Вернемся снова к допущению (2.64) и рассмотрим теперь слу-
чай б) теоремы 2.7.1. Согласно свойству (2.41) существуют индексы
k < I < Ajfe. По условию сопряженности
+ Vhk о»
а по определению р', учитывая (2.66) и порядок показателей, найдем
^hk	> Р' = Р-
Складывая это неравенство с предыдущим, получаем
л ^hb + ^hh Р’
к к
что противоречит условию б) теоремы 2.7.1 и тем самым опровер-
гает допущение (2.64). Значит, ht = Z, что приводит прежним
путем (2.69) к равенству (2.70). В силу условия б) это влечет
за собой неравенство уф < Р> т. е. выполнение условия а), при
котором теорема уже доказана.
Замечание 2.7.1. В отличие от условия а), в условии б)
фигурирует строгое неравенство. Следующий пример показывает,
что его нельзя ослабить. Пусть
Aj — 1 > ц2 = —1»
А2 = 2	> Цз = —2,
A3 — 3	> Pi — 0.
Здесь
Aj <z А2 < Аз,
> Р2 > Из*
условие сопряженности выполнено, и р7 = р" = л = 1. Однако уф = 3
и соответствие не прямое.
§ 3. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
61
8.1.2]
Ниже мы убедимся (п. 11.6), что этот пример, как и другие
примеры с любыми наперед заданными показателями, удовлетво-
ряющими лишь условию сопряженности, может быть реализован на
системах линейных дифференциальных уравнений с ограниченными
коэффициентами.
§ 3. Свойства показателей в терминах систем линейных
дифференциальных уравнений
Свойства показателей, выведенные выше в абстрактной
форме, автоматически переносятся на решения систем линей-
ных дифференциальных уравнений, а также сопряженных
систем. Здесь мы осуществим перенесение терминологии и
некоторых результатов предыдущего параграфа (разумеется,
без повторения доказательств). Ряд свойств, имевших вспо-
могательное значение, пропустим.
8.1. Линейная система. Решения линейной системы
х = A(t)x	(3.1)
образуют линейное n-мерное пространство Ln(t) (см. п. Д. 13.3),
а покаг^ель %(*), определенный на векторах этого про-
странства (решениях), обладает основными свойствами (2.1):
Х(^) = Х(*) при с#=0, |
X (*i + *2) < шах (Xi), х (ж2)} • }	’ '
Так как только эти факты и были использованы в § 2 для
построения абстрактной теории, то все ее результаты пере-
носятся на рассматриваемый случай без изменений. В част-
ности (цифры в скобках указывают номер аналогичного
свойства в § 2):
3.1.1 (2.3.3). Свойство неповышения. Для
любой линейной комбинации решений имеем
X (Е^ж,) < max {х (ж,)},	(3.3)
а если в комбинации участвует с ненулевым коэффици-
ентом такое решение, показатель которого больше пока-
зателей остальных решений из этой комбинации, то
X (2сл) = max {х (ж,)}.	(3.4)
3.1.2 (2.3.4). Решения с различными показателями ли-
нейно независимы, так что показатель х(ж) принимает
62
ГЛ. I, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(3.1.3
на пространстве Ln(t) не более чем п различных значений
Aj < Л2 < ... < Лг. г < п	(Л)
(дополнительно считается еще Л0 = х(о) =— оо).
Всякое линейное подпространство Ll(t) пространства
решений Ln(t) будет по-прежнему называться линеалом
(I обозначает его размерность), а последовательность вло-
женных линеалов
оэ^с^с • • • <=Ll'(t) = Ln(t) (£)
— пирамидой. Разность двух соседних линеалов
называется ступенью пирамиды; ей приписывается вес nk =
— h
Результаты п. 2,1 можно теперь сформулировать сле-
дующим образом.
3.1.3. «Множества уровня» показателя ^(х) в про-
странстве Ln(t) суть ступени некоторой пирамиды,
притом занумерованные в порядке возрастания значений
показателя, т. е. в Ln (t) существует такая пирамида (L),
что показатель %(х) принимает постоянное значение Л*
на ступени и только на ней, причем
Aj <С •. • <С Лг.
Отсюда следует также, что линеал Ll* (t) есть множество
тех и только тех решений, показатели которых^ Лй.
Всякая фундаментальная система, т. е. совокупность из п
независимых решений, называется базисом пространства
Ln(t) Такое же название применяется к матрице
X(O = [Xi(O, .... xn(t)],
в которой координаты векторов (решений) xt(t) образуют
столбцы и detX^O (ср. пп. Д.1.2 и Д.13.3). Базис счи-
тается нормальным, если в каждом линеале Llk(t) содер-
жится ровно lk элементов (решений, векторов) этого базиса,
или, что одно и то же, в каждой ступени содержится
столько векторов базиса, каков ее вес. Нормальный базис
3.1.41
§ 3. СВОЙСТВА показателей
63
обозначается через
*1(0......*л(0.	(*)
а всякий иной базис, в том числе и такой, относительно
которого неизвестно, нормален он или нет, через
.... <(0-	(У)
Показатели векторов базиса называются показателями
этого базиса и обозначаются через
x(x/') = X$.
Это, разумеется, числа из набора Ар Аг. Если нет
специальных причин, определяющих нумерацию базисных
векторов, то она всегда считается такой, что
М
и при этой нумерации базис называется упорядоченным.
Здесь сохраняется известный произвол за счет нумерации
векторов с одинаковыми показателями.
Припишем каждому значению показателя Ай кратность nkt
равную весу ступени «2^, и назовем размноженные таким
способом числа основными значениями показателя. Это,
следовательно,
Xi ... ^	(X)
где в обозначениях (2.5)
Х/ = АЙ при
Такое определение вводит кратности nk и числа Xz инва-
риантно, т. е. без обращения к понятию того или иного ба-
зиса. В действительности же они тесно связаны с понятием
нормальных базисов, что выясняется следующими свойствами.
3.1.4 (2.3.6). Количество l'k принадлежащих линеалу
Lk(t) векторов любого базиса (xf) не превосходит lk:
(*=1......г);	(3.5)
(для k = r всегда l'r = lr — ri)t (3.6)
я базис нормален тогда и только тогда, когда всюду
имеют место равенства. Поэтому показатели нормаль-
ного базиса и только его суть основные значения (X).
64
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[3.1.5
3.1.6 (2.3.8). У нормального базиса наименьшие пока-
затели, т. е. если нормальный и произвольный базисы
упорядочены и показатели первого суть
Л1< ••• <ХЯ>
а второго —
...
то всегда
(6 = 1, ...» п),	(3.7)
— Хд — Аг,
(3.8)
причем для нормальности второго базиса необходимо и
достаточно, чтобы всюду имели место равенства.
3.1.6 (2.3.9). Следствие. Сумма показателей базиса
достигает минимума для нормальных базисов и только
для них; этот минимум равен сумме основных значе-
ний показателя
2 К — 2 nkAk.
/=1 Й = 1
В связи со свойством неповышения 3.1.1 вводится также
понятие понижающей комбинации. Это такая линейная ком-
бинация решений с отличными от нуля коэффициентами, для
которой в формуле (3.3) имеет место строгое неравенство.
3.1.7 (2.3.10). Для нормальности базиса необходимо
и достаточно, чтобы никакое подмножество его векто-
ров не допускало понижающей комбинации.
3.1.8 (2.3.11). Если существует п решений с различ-
ными показателями, то они образуют базис, и притом
нормальный.
3.1.9 (2.3.12). Пусть даны два базиса
 *1(0............................(X)
§i(0.....§я(0.	(§)
и один из них разложен по другому:
§y(0 = cv*i(04-c2/*2(0+ ••• +cnjxn{t) (/ = 1. .... п).
(3.9)
Если при этом (х) нормален и упорядочен, то для того,
3.1.12)
$ 3. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
65
чтобы (^) также оказался нормальным и упорядоченным,
необходимо и достаточно, чтобы матрица разложения
С = ||ty|| имела квазитреугольное строение
где размеры блоков Ck равны кратностям соответст-
вующих показателей nk, и определители detCft (&=1..г)
отличны от нуля.
Иначе говоря, все нормальные и упорядоченные базисы
получаются из одного такого базиса с помощью преобразо-
вания, матрица которого имеет указанный вид.
3.1.10 (2.3.13). Частный случай. Если базис (X)
нормален и упорядочен, то всякая треугольная матрица
при условии ckk=f=O (k=l, ..п) преобразует его
(в смысле соотношений (3.9)) в базис с такими же свой-
ствами.
3.1.11 (2.3.14). Всякое решение л(/)=^0 может быть
включено в состав некоторого нормального и упорядо-
ченного базиса, причем, если его показатель равен ЛА,
то оно может быть помещено на любое место l£nk.
8.1.12(2.3.15). Теорема Ляпунова. Для всякого
базиса
X'(/) = [*{ (О.......xn(t)\
5 Б. ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
66
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(3.2
найдется такая неособая треугольная матрица С, что
полученный с ее помощью базис
Х = Х'С	(3.11)
будет нормальным. При этом, какова бы ни была треу-
гольная матрица С, дающая такой результат, будем
иметь
Х(*Хх(4)	(*=1.....«)	(3.12)
3.2.	Сопряженные системы (см. п. 1.4). Системы
x = A(t)x	(3.13)
и
;=-л*(оу	(3.14)
называются сопряженными (4* — матрица, транспонирован-
ная и комплексно сопряженная с 4). Их решения обладают
тем свойством, что скалярное произведение
Базис	(х(/), У (0) = const. x\(f)	xn(t)	(3.15) (•«')
системы (3.13)	считается упорядоченным, если	
а для базиса	х(*{)< ••• <х(*л)>	(3.16)
		yn(t)	(У)
системы (3.14) принят обратный порядок: он считается упо-
рядоченным, если
х6Ю> ••• >х6>«).	(3.17)
Для всякого базиса (л/) существует такой единственный ба-
зис (у') (и наоборот), что
U(0. /(О )=&«>•
Такие базисы называются взаимными. Вообще говоря, их
нельзя упорядочить одновременно. Взаимные базисы обладают
тем свойством, что
xW)+xW)>°
3.2.1J
§ 3. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
67
для всех 1= 1, .... п (1.19). Поэтому число
у'= max (х/) + X W)}	(3.18)
i
неотрицательно. Оно называется дефектом данных взаимных
базисов. Минимальный дефект
у = min у',	(3.19)
где минимум берется по всевозможным парам взаимных ба-
зисов, называется коэффициентом неправильности систем
(3.13) и (3.14). Согласно такому определению он не зависит
от выбора взаимных базисов и, следовательно, вполне опре-
деляется свойствами самих систем. Но так как каждая из них
однозначно определяется другой, то можно связывать понятие
коэффициента неправильности лишь с одной из этих систем.
Существуют и другие коэффициенты, характеризующие
неправильность, например коэффициент Перрона к, также
определяемый лишь свойствами систем (3.13), (3.14), т. е.
в конечном счете одной из этих систем. Он вводится сле-
дующим образом. Возьмем по отдельности основные значения
показателей системы (3.13)
(X)
и в обратном порядке — системы (3.14)
Hi	(Ю
(Для этого можно взять по отдельности нормальные базисы
этих систем и выписать в нужном порядке их показатели.)
Тогда коэффициентом Перрона называется
л = max (Xz + p,z).	(3.20)
О третьем коэффициенте — ляпуновском числе а — см. п. 3.4.
Перейдем к свойствам сопряженных систем, их базисов
и показателей.
3.2.1 (2.6.8). Теорема существования бинор-
мальных базисов. Всегда существуют взаимные
базисы
(О, • • •» *п (0,	(*)
Л (0.....J«(O.	Су)
s*
68
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(3.2.2
каждый из которых нормален для своей системы. Такие
базисы (точнее, такая пара базисов) называются бинор-
мальными.
3.2.2 (2.6.9). Теорема инвариантности бинор-
мальных базисов. Пусть какие-либо два одноимен-
ных (по номеру) вектора бинормального базиса имеют
показатели
1{Xk') = Ki, Х(^) = Нл
Тогда при фиксированных X, и Ру количество таких
векторов—одно и то же для всех бинормальных ба-
зисов.
3.2.3 (2.6.11 и 2.6.12). Для того чтобы всякий нор-
мальный базис был бинормальным, а пирамиды были ор-
тогональными (стр. 49), необходимо и достаточно су-
ществования хотя бы одного нормального и упорядочен-
ного базиса, такого, что взаимный базис также нормален
и упорядочен и имеет такие же кратности показателей.
3.2.4(2.6.13). Теорема о реализации коэффи-
циента неправильности. Дефект пары взаимных
базисов достигает минимума, т. е. совпадает с коэф-
фициентом неправильности, всякий раз, когда хотя бы
один из этих двух базисов нормален для своей системы.
В частности, дефект бинормальных базисов равен коэф-
фициенту неправильности.
3.2.5(2.6.14). Связь между разными коэффи-
циентами неправильности. Коэффициент Пер-
рона л, коэффициент неправильности у и дефект любого
базиса у' всегда находятся в соотношениях
(3.21)
3.2.6(2.6.15), Теорема Перрона. Система (3.13)
или (3.14) правильна тогда и только тогда, когда коэф-
фициент Перрона л равен нулю, т. е. когда основные
значения показателей (X) и (р) суть
М 'С * • •
и
--Aq > ... > -Хя.
о	л	у	у
и
о	л	у	пу.
3,2.7]
§ 3. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
69
В этом случае нормальность любого базиса влечет за
собой нормальность взаимного с ним базиса, т. е. бинор-
мальность пары, и при этом
Х(*л) = —Х(Л) (*=1........»)•
Наконец, пирамиды систем (3.13) и (3.14) в этом случае
всегда ортогональны (см. стр. 49).
3.2.7. Случай гамильтоновой системы. Пусть
и g2 — n-мерные векторы, а х— {gp g2} —2п-мерный век-
тор. Система
х = Q (t) х
называется гамильтоновой, если ее матрица имеет строение
В С
Q =
— А —В
где А, В, С — симметрические матрицы я-го порядка.
В более подробной записи система принимает вид
i, = £1,4-012.
12=-a^-b&
Сопряженная система, в силу симметричности А, В, Ct за-
пишется так:
П1 = —ВТ114-4П2.
П2 = —CT)i + £t)2
Если положить Tjj = — g2, Ч2 = Ci> эта система превращается
в предыдущую. Так как сделанное преобразование не ме-
няет показателей (поскольку оно не меняет нормы вектора),
то отсюда следует, что сопряженные системы имеют одни
к те же показатели. Таким образом, если показатели
прямой системы суть
М	^2л»
то показателями сопряженной будут
^2п	Arj.
70
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
(3.3
Эта особенность гамильтоновых систем приводит, в част-
ности, к тому, что существование отрицательного показателя
влечет за собой существование положительного, а следова-
тельно, и неустойчивость тривиального решения. Поэтому
устойчивость возможна только при равенстве нулю всех по-
казателей.
В заключение отметим, что теория показателей с малой
неправильностью (п. 2.7) также переносится без изменений
на системы (3.13) и (3.14).
3.3.	Нижние показатели. Крайние показатели. Спектр.
Подобно тому как верхний показатель характеризует макси-
мальный рост решения, нижний показатель
Х(х) = lim yln|x(/)|
~	/-> оо
характеризует его минимальный рост. Формула (1.8) показы-
вает, что для систем рассматриваемого нами класса не только
верхние, но и нижние показатели всех решений, отличных
от тривиального, ограничены. Однако для них не существует
столь естественной теории, как для верхних показателей.
Об этом свидетельствует хотя бы тот факт, что система я-го
порядка, всегда имеющая, как мы знаем, не более п различ-
ных верхних показателей, может иметь более чем п нижних.
Примеры таких систем были построены еще Перроном. Вот
одна из подобных систем:
Х1 = — p(t)xb
x2 = 2p(f)x2
/>(/)== sin In/ +cos In(3.22)
Она имеет базис
/ e~q \	{ 0 \	f
•*!=( 0 )> Х2=(егдт)’ J pdf = /sin In/,(3.23)
для которого, очевидно,
X (*i) = — 1.	X (*2) = —2.
Однако решение
X--J
3.4]
$ 3. свойства показателей
71
обладает неотрицательным нижним показателем. В самом
деле, беря в качестве нормы сумму модулей, получаем
|х| — e-q-^e2q^a > О,
так как функция e~q-\-e2q имеет положительный минимум
при — оо < q < оо. Отсюда
Х(х)>0.
Следовательно, наша система 2-го порядка имеет по крайней
мере три различных нижних показателя: —1, —2 и третий
неотрицательный.
По этой причине есть смысл рассматривать не все ниж-
ние показатели линейной системы, а только наименьший,
который обозначим через х и назовем младшим показа-
телем системы (не смешивать с наименьшим верхним 1).
Наибольший верхний показатель Ar==A будем теперь на-
зывать старшим показателем. Оба эти показателя будут
называться крайними, а отрезок
[х, А],	(3.24)
содержащий все вообще показатели изучаемой системы — как
нижние, так и верхние — назовем спектром показателей
данной системы.
Чтобы обойти неудобства, связанные с нижними показа-
телями, и тем не менее иметь возможность оценивать снизу
рост каждого решения, можно вместо нижнего показателя
использовать один из верхних показателей сопряженной си-
стемы, взятый с обратным знаком. В самом деле, как мы
знаем, для решений сопряженных систем
y(t)) = c = const,
причем для заданного x(t) всегда можно подобрать y(t)
так, чтобы было с Ф 0 (ср. (1.17)). Тогда, в силу (1.13),
Х(*) + ХСУ)>О,	(3.25)
и таким образом,
X (*)>-/СУ).	(3.26)
Этим приемом будем часто пользоваться в дальнейшем.
3.4.	Дополнительные свойства показателей. Коэф-
фициент Ляпунова. Здесь мы приведем еще некоторые
простые свойства показателей, связанные непосредственно с
72
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[3.4.1
матрицей правой части системы и потому не имеющие ана-
логов в абстрактной теории.
8,4.1. Пусть дана система
x=A(t)x	(3.27)
с показателями Хр ..., Xrt, и X' (/) — [х' (/)» • • •, х'п (0]—
какой-либо ее базис, a &pA(t) — след матрицы A(t).
Тогда
ReSp4 = X (det X'),	(3.28)
Re Sp 4 = % (det X'),	(3.29)
R^SM<Sx(4).	(3.30)
ReSp4<S 4-	(3-31)
k
Доказательство. Из формулы Лиувилля
J Sp А (т) dx
det X' (0 = det X' (0) e*	(3.32)
следует, что
J Re Sp Л (т) dx	;
| det X'(0| = const г0	,	(3.33) |
откуда немедленно получаем (3.28) и (3.29). Далее, в силу
неравенства Адамара (см. п. Д. 4.8),	1
|<1е1Х'|<П|*Я‘	(3.34)
й	I
имеем, согласно (1.11),	1
X(detX')<S Х(**)’	|
что приводит к (3.30). Последнее справедливо для любого 1
базиса, в том числе нормального, показатели которого суть 1
показатели системы Х^, а это дает (3.31).	1
3.4.2.	Для сопряженной системы	|
y = —	I
3.4.3]
$ 3. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
73
с показателями щ, ..., и любого ее базиса Yf (t) =
===[^1(0» •••» «Ул(01 формулы (3.30), (3.31) принимают вид
— ReSp4<2 x(jQ.
*	(3.35)
— Re SpX<2n*>
k
(так как вообще (— р) = — р, a Re Sp А* — Re Sp А).
Объединяя результаты, можно записать
- S X (^) < Re Sp Л < Re Sp 4 < 2 X (х'Л (3.36)
k	k
и	____
— 2nft<ReSp4<ReSp4<2 V	(3.37)
k	---- k
Из последней формулы вытекает также, что
A Re Sp А = Re Sp А— Re Sp А	пу. (3.38)
Действительно,
A Re Sp А 2	+ Нл) = 2	+ Нл J	nV-
It	k
Поэтому для правильности системы необходимо (но
отнюдь не достаточно 1), чтобы след ее матрицы имел точное
среднее значение:
Re Sp А = Re Sp А.
3.4.3.	Введем еще одно число, характеризующее степень
неправильности системы, — число или коэффициент Ляпунова
a = 2^ —Re Sp А	(3.39)
k ------------
Из (3.31) следует, что о^О. Для сопряженной системы
таким числом будет
о* =	+ Re Sp А.
Вообще говоря, эти числа не равны (см. упражнение 11.6.14),
так что коэффициент Ляпунова, в отличие от коэффициентов
неправильности и Перрона, определяется для сопряженных
систем несимметрично. Однако в обоих случаях из (3.37)
74
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
[3.5
получается, подобно (3.38),
о» o*<CnY-
В дальнейшем будет показано (п. 11.3), что о, о*^у* и,
таким образом,
Y<a, о*<пу.	(3.40)
Напомним, что для коэффициента Перрона мы имели
л у пл.
Отсюда видно, что обращение в нуль любого из этих коэф-
фициентов влечет за собой обращение в нуль всех остальных.
Таким образом, все определения правильности:
л = 0, y = 0 и о = 0	(3.41)
эквивалентны.
3.5.	Ляпуновские преобразования. Подробнее по поводу
таких преобразований см. § Д8. Здесь ограничимся опреде-
лением и двумя простейшими свойствами.
Линейное преобразование
x = L(t)y	(3.42)
называется ляпуновским, если матрицы £, L"1 и L непре-
рывны (для L достаточно кусочной непрерывности) и огра-
ничены на всей полуоси:
|£(0|. |l-1(0l.	(3.43)
Такое преобразование, примененное к системе x = A(f)x,
переводит ее в систему
y = B(t)y, где B = L~'AL — L~lL (3.44)
(проверьте). Благодаря условиям, наложенным на преобразо-
вание, из ограниченности А вытекает ограниченность В.
Ляпуновское преобразование не меняет показателей.
В самом деле, мы имеем
|x| = |£(Oy|<K|jr| и =
откуда х(5») = Х(х).
3.6.	Оценки решений с помощью функций. Помимо
оценки роста решения, даваемой показателем (1.3):
|х(0|<Оее(Х+е)/.	(3.45)
3.61
§ 3. СВОЙСТВА показателей
75
иногда есть смысл пользоваться оценками с помощью функ-
ций. Так, например, в п. Д. 12.2 введено понятие вектор-
функции роста г.
Примем обозначение
Х1п|ж(О|=рж(0.
Эта функция по крайнем мере измерима ввиду всегда пред-
полагаемой абсолютной непрерывности x(t), кроме того, для
обычно рассматриваемых нами систем она ограничена, как
показывает неравенство (1.7).
Оценивая эту функцию, будем получать оценки и для
|х(/)1- Например, из интегрального неравенства (см. п. Д. 17.1)
(е)
следует
|Х(О1
|х(4>)1
t
J [p(T)+e]dt
Нужно отметить, что последняя оценка сильно отличается
от (3.45) тем, что она справедлива для всех начальных зна-
чений /0 или, как мы будем в этом случае говорить, равно-
мерна по начальному моменту, чего нельзя гарантировать
для (3.45). Важность такого различия будет выяснена позже
(см. § 7).
Г Л А В A II
ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
Эти системы представляют собой самый простой и в то
же время в известном смысле образцовый класс линейных
систем. Простота заключается в возможности полного инте-
грирования таких систем, а роль образцовых принадлежит
им потому, что, как выяснится в дальнейшем, всякая линей-
ная система может быть приведена, без нарушения свойств
решений, к треугольному виду (и притом с вещественными
коэффициентами на диагонали). Таким образом, все вообще
теоретически возможные случаи поведения решений линей-
ной системы — по крайней мере те, которые изучаются в
теории показателей, —могут быть описаны треугольными
системами.
Особенно простыми являются диагональные системы —
частный случай треугольных.
§ 4. Базисы диагональных и треугольных
систем
4.1.	Диагональная система. Такую систему будем за-
писывать в одном из двух видов:
или	= Pt (t) Xi X = P(t)X,	(1— 1, ..п) P = diag[p(],			(4.1') (4.1")
причем Система	будем рассматривать допускает базис	только вещественные			МО-
	t X(t) = e^	= diag	 t J Pl (t) dx	9	(4.2')
4.1]	$ 4. БАЗИСЫ ДИАГОНАЛЬНЫХ И ТРЕУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ 77
(4.2")
с показателями	_
X (*/) = />/	G=1........«)
Он нормален по свойству 3.1.7, так как из его векторов
нельзя составить никакой понижающей комбинации. Действи-
'дельно, для	имеем
max |czxz|,
t, cz о
откуда x(x)^>maxx(xz), так что понижение невозможно.
<7 ¥= °
Более того, этот базис бинормален: сопряженная система
имеет базис
У = — Р(*)у
Y(t) = e
(4.3)
(4.4)
очевидно, взаимный с Х(/), и также нормальный. Его по-
казатели суть
х (yt) = (— Pi) = — Pl (* = 1.......я).
Отсюда, между прочим, следует, что для построения
сопряженных систем с наперед заданными показателями, удов-
летворяющими лишь условию сопряженности
Х(*1) + х(3’г)>0.
достаточно уметь строить функции pt (f) с заданными зна-
чениями pt и тогда системы (4.1), (4.3) будут искомыми.
Все такие функции можно получить из какой-нибудь одной
78
ГЛ. II. ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
(4.2
р0(/) с Ро=£Ро* полагая p/(f) = a/4-£zp0(f) и соответст-
венно подбирая at и bt. В качестве р0(О можно взять,
например, р0 (/) = sin In Z +cosing у которой
и потому
J р0 dt = t sin In/4"^»
Ро = —Po=1-
Для удобства можно упорядочить базис (4.2), т. е. пе-
ренумеровать его так, чтобы
X(*i)< X (*2) < • • < X(4.5)
а затем в таком же порядке записать саму систему (4.1).
После этого легко указать строение пирамиды, порождаемой
показателями (4.5): пусть X(*zft) < Х(-%+1)’> тогда линеал
Llk(t) состоит из линейных комбинаций первых lk векторов
(4.2), т. е. из решений, не покидающих координатную пло-
скость (неподвижный линеал)
=	.....х1к, 0......0}.
4.2.	Треугольная система. Интегрирование (см. также
§ Д. 19). Рассмотрим систему
x=P(t)x
(4-6)
с треугольной матрицей
Pl Р12 • • • Pin
Р2 • • • Р2л
Р(0 = Р=
Рп
шагональные элементы которой, обозначенные через
Рп (О = Pi (О.
4.2]	§ 4. БАЗИСЫ ДИАГОНАЛЬНЫХ И ТРЕУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ 79
вещественны. Эта система очевидным образом интегрируется
«снизу вверх», т. е. начиная с последних строк. Найдем
вектор-решение =	•••» хл>) с начальными усло-
виями
xk+iti№ = xi+2,jfe(®)= ••• = xnk (0)= 0»
не уточняя пока начальных значений первых k — 1 коорди-
нат. Из последних п — £-|-1 строк системы находим
t
xnk^~	=	xkk^~e^
Продолжая подниматься вверх, допустим, что x'k_x k(t)t ...
..., х'+1 k(t) уже найдены. Тогда Z-я строка системы пре-
вращается в линейное неоднородное уравнение относи-
тельно x'ik.
x'ik (0=Pi (О x'tk+JS, Pit (0 xn (0.
откуда получаем
t	t
$Pidx t ~$Pidx^
p° ^Pirxrkdt-
Вместо неопределенного интеграла можно писать определен-
ный, в пределах от а* до /, где выбор а* подлежит уточ-
нению в зависимости от начальных данных. Проделывая
такие вычисления для всех Л=1, ..., п, получаем базис
х1(0* •••» ^(0 с треугольной матрицей
Хц х12 . . . х1п
Х22 • • • Х2п
Хпп
80
ГЛ. II. ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
(4.3
или, короче, треугольный базис с координатами
t	, $ p((x)dx . J	k S Plr^x'rk^6 r=l + l	s -f Pl (T) dx 0	ds
		при I <	k,
t			
j* pk (x)dt			
x'ik (*)=е°		при Z =	k,
*;*(')=о		при I >	k.
(4.7)
4.3.	Канонический и главный базисы. Укажем два наи-
более часто встречающихся выбора значений ак. Один из них
состоит в том, что полагают все ак = 0. Получаемый в этом
случае базис удовлетворяет начальному значению
X'(0) = Z	(4.8)
(Z—единичная матрица) и называется каноническим. Если
за начальный момент принимается не £ = 0, a t — tQt то
во всех предыдущих формулах нужно заменить 0 на tQ.
Канонический базис принимает вид
t	t k	$
V	f	- $ Pl(x)dx
=	J pir(s)xrk(s, t0)e	ds
при I < k,
t
х/*(Л t^ = e^	при l — k,
X'ik A))= 0	ПРИ * > *
(4.9)
и обозначается через X (t, /0).
Если требуется выразить его координаты через одни
только коэффициенты системы, то нужно подставить x'kh
в k, затем обе последние функции — в х'_2 k и т. д.
Соответствующие вычисления проделаны в § Д.19.
4.3]	§ 4. БАЗИСЫ ДИАГОНАЛЬНЫХ И ТРЕУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ 81
Перейдем к построению другого, так называемого глав-
ного базиса. При этом будем -пользоваться следствием из
леммы Ляпунова (см. п. Д. 20.2).
Возьмем координаты (4.7) вектора x'k. Для &-й коорди-
наты имеем
Перейдем к (k—1)-й координате. Здесь в подынтеграль-
ном выражении встречается функция
t
-J
xkk (0 * 0
показатель которой допускает оценку
X \хкке 0 у	°	/ =
= Pk+ (—Pfc-i) = Ps — Pk-v (4-Ю)
Согласно п. Д. 20.2 ту же оценку будет допускать пока-
затель интеграла,
t
J Pk-x,kx'kke~lPk-'dXds,
ak-i
если положить
0, когда рк— р^^-0,
4-оо, когда рк— Рк-1<0-
(4.И)
Приняв такое правило, получим
^(4-1,i)=xV°
+ X(Z>< Pft-i + P* —Pk-l — Рй + ^Рй-1-
Допустим, что для координат с номерами r=»k, k— 1, .. .,
•••» Z—|—1 правило выбора а&, уже установлено, и притом
6 Б. Ф. Былов, Р, Э, Виноград и др,
82
ГЛ. II. ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
(4.3
так, что получается
x(4)=pt.
X ») Р к “1“ ^Pk-V
(4-12)
x(^+1(i) <Р» + ДЛ»-1 + а^-2+ ••• +ДР/+Г
Так как все Др^О, то правая часть последней строчки
мажорирует все предыдущие, поэтому неравенство
х (*;*)< ^+д^-1+др»_2+ ••• +дрг+1 (4-13)
справедливо для всех r = kt k — 1, .... Z-f-1. Переходя
к координате	из (4.7), мы видим, что в подынтеграль-
ном выражении показатели функций
-Р/Л
Хгке °
допускают оценки (4.13) с добавлением слагаемого — pt.
Обозначаем
+	+	••• H"APz+i — Р/ = Ч (4.14)
и вводим правило выбора:
k |	0, если X/ О,
Д/ —।	&
I +оо, если X/ < 0.
Тогда снова показатель интеграла
/vi
J(*) = j£iPirX'rke ° d$
(4.15)
допускает оценку

(4.16)
S.n
§ 5. СОПРЯЖЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
83
откуда далее
S ?1ах	_	_	_
х(х«)=Де° W < Pi+V=plt+
+ДР»_1+ДРА_2+ • • • др/+1+др/.
Таким образом, к неравенствам (4.12) добавляется следую-
щая строчка, иначе говоря, оценка (4.13) становится верной
также для г = 1, после чего дальнейший выбор а* по пра-
вилу (4.15) можно продолжить. Осуществляя такой выбор
для всех координат вектора лг', а затем для всех k = l,
2....п, приходим к базису, который и называем главным.
При этом неравенство (4.13), делаясь верным для всех ко-
ординат вектора х', принимает вид
Pk~^~^Pk-i~^~^Pii-2~^ ••• +ДЛ
(4.17)
§ 5. Сопряженные треугольные системы
5.1. Канонический и главный базисы сопряженной
системы. Система, сопряженная с (4.6), имеет вид
У1 = —Р1(ОУ1.
У2 — — Р12 (О У1 — Р2 (О У2>
Уп=—Ал (О У1—р2П (0 у2 — • • • —Рп (0 Уп-
(5.1)
Здесь ~ обозначает комплексно сопряженную величину (на-
помним, что pk(t) вещественны). Эта система интегрируется
совершенно аналогично, с той лишь разницей, что интегри-
рование ведется «сверху вниз», т. е. начиная с верхних
строк, при этом мы приходим к нижне-треугольному базису
У1'1
У21У22
Ул! Уд2 * * * У'лл
6*
84
ГЛ. И. ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[5.1
координаты которого выражаются формулами
Ууг=»О	при j <1,
t
-J Pidx
y')t = e 0	при J = l,
t	s
-$pjdx /v»1-	S»jdx
у'л=—е 0 J 2j pgj & y<n(s) e ° ds
при j>l.
(5.2)
Чтобы получить канонический базис, т. е. такой, что Y' (0)=Д
нужно снова положить все а{ = 0.
Что касается главного базиса, то принцип выбора ниж-
них пределов для его получения остается прежним и имеет
целью максимальное снижение показателей каждой коорди-
наты, но обозначения несколько меняются. В частности,
противоположный по сравнению с (4.7) порядок индексов
у здесь не случаен: мы увидим сейчас, что благодаря
этому сохраняется правило выбора (4.15).
Ведя последовательные оценки показателей и выбор а/
с помощью тех же соображений, что и в предыдущем
пункте, мы обнаруживаем, что теперь, благодаря обратному
порядку интегрирования и соотношениям
(—р) = — Р и Д(—р)=Др,
t
показатели слагаемых под знаком J оцениваются величиной
а/
— Pi~^~••• ~^~^Pj-\~^~Pj
которая в точности совпадает с 1/ в обозначении (4.14).
Следовательно, чтобы получить такую же оценку для пока-
зателя интеграла
X
$pJdx
f 2 РЧ]У'^ '
(5.3)
6.2t
§ б. СОПРЯЖЁННЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
85
мы должны положить
О, ' когда А7 О
(5.4)
1 I +oot когда X/ <0,
что полностью совпадает с правилом (4.15). Дальнейшие
вычисления проводятся точно так же, как в предыдущем
параграфе, с той лишь разницей, что в оценках (4.12) или
(4.13) участвуют Др с возрастающими, а не убывающими
индексами. Таким образом, у полученного в результате этих
вычислений главного базиса показатели координат допускают
оценки
X (У^) < - Р[ + Арг+1 + • • • + Др„.	(5.5)
5.2. Взаимность канонических и главных базисов
сопряженных систем. Теорема 5.2.1. Канонические
базисы сопряженных систем взаимны (теорема верна
не только для треугольных систем).
Доказательство. Взаимность базисов в матричной
записи сводится к условию (1.23)
В то же время мы знаем (1.22), что
Y'\t) Xf (0 = const,
так что предыдущее соотношение достаточно проверить при
каком-нибудь одном значении t. Но оно очевидно при / = 0,
потому что матрицы канонических базисов по определению
обращаются в единичные при Z = 0.
Теорема 5.2.2. Главные базисы сопряженных тре-
угольных систем взаимны.
Доказательство. Возьмем условие взаимности в форме
(1.18):
(Ч-Х)=1> (4хЭ=° при k*L
или в координатной записи;
= 0 при k^l. (5.6)
Если k < I, то эти соотношения очевидны, потому что в фор-
мулах (4.7) и (5.2) отличным от нуля координатам х'
86
ГЛ. II. ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[5.2
отвечают нулевые координаты у'г Столь же очевиден из этих
формул случай k = l. Остается рассмотреть k > Z. Так как
вообще (х', y'^j = const, то достаточно проверить второе из
равенств (5.6) при каком-нибудь одном значении t. Его можно
брать и бесконечным, если только все рассматриваемые функ-
ции сохранят смысл, т. е. будут иметь конечные пределы
при t—>оо.
Из формул (4.7) и (5.2) находим для k > I
t t
^iy'iix'ik = — 2 J* f Ids,
1	ak
где Т| и | обозначают соответствующие подынтегральные
функции. Рассмотрим эту сумму при — последняя ве-
личина определялась по правилу
если
если
Х?>0,
К* < 0.
Докажем, что все слагаемые имеют смысл при таком зна-
чении tQ и обращаются в нуль. Возьмем слагаемое
t t
ф(/)= j rjds J £ ds.
л	J*
ai	ai
(5.7)
В силу оценок (4.16) и (5.3) показатель этой функции не
превосходит Х/4-Х?. Но из обозначения (4.14) следует, что
X/ -| X/ = X?»
X (ф) < •
(5.8)
поэтому
Предположим, что оказалось tQ = a^ — -{-oo. В силу пра-
вила (5.4) это означает, что было X/ < 0, откуда подавно
X (ф) < 0- Функция же с отрицательным показателем имеет
смысл при ?0 = -|-оо, обращаясь в нуль, так что в этом
случае
Ф(4)) = о.
5.3]	§ 5. СОПРЯЖЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
87
Допустим, что оказалось /о = а* = О. Это значит, что было
Тогда, как показывает равенство (5.8), одно из чи-
чел Xj, также было неотрицательным, а в этом случае по
правилу выбора (5.4) одна из величин alv akt также равна
нулю. Поэтому в выражении (5.7) участвует интеграл от
а^ = 0 или а* = 0 до tQ = akt = 0, так что снова ф(£о) = О.
Тем самым теорема доказана.
5.3. Нормальные треугольные базисы. Как известно,
если дан один базис X' линейной системы, то все остальные
базисы содержатся в формуле
x = xfc.
(5.9)
где С' — произвольная неособая постоянная матрица. Если
две из написанных матриц треугольные, то третья также
треугольная. Поэтому, подразумевая под Хг какой-нибудь,
например главный, треугольный базис, а под С' любую тре-
угольную постоянную матрицу, удовлетворяющую лишь
условию
detC'=#O, т. е. c'kk + 0	(й=1.....п),
будем получать по формуле (5.9) все треугольные базисы.
Один случай представляет особый интерес: в силу тео-
ремы Ляпунова 3.1.12 матрицу Сг можно выбрать так, чтобы
базис X был нормальным. При этом, согласно той же тео-
реме, будем иметь
(*=1.......")	(5.Ю)
Аналогичные рассуждения, примененные к сопряженной
системе, приводят к нижне-треугольному нормальному ба-
зису У, причем снова
Х(Л)<Х(Х).	(5.И)
Заметим, однако, что поскольку такие преобразования
базисов в нормальные осуществляются для прямой и сопря-
женной систем независимо, в общем случае нельзя утверждать,
что X и У окажутся взаимными.
88
ГЛ. II. ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
(5.4
Б.4. Усеченные системы. Под этим названием будем под-
разумевать системы вида
Х1 = Р1*1 + Р12х2+ •	• • 4“ Р\тхт*
хт ==	Ртхт* .
(6.12)
полученные из данной треугольной системы (4.6) путем от-
брасывания одинакового числа последних строк и столбцов.
Очевидно, первые т столбцов любого треугольного базиса
полной системы после отбрасывания нулевых последних коор-
динат образуют базис усеченной системы. При этом можно
утверждать, что если первый базис был нормальным, то и вто-
рой остается нормальным относительно усеченной системы.
В самом деле, для нормальности базиса необходимо и достаточ-
но, чтобы никакое подмножество его векторов не допускало
понижающей комбинации (см. 3.1.7), а такое свойство сохра-
няется при переходе от полного базиса к его части. Поэтому
показатели усеченной системы составляют часть показателей
полной системы.
Система, сопряженная с (6.12),
У1== — Р1У1,
(6.13)
Ут— Р1тУ1 •••	Рт-1, тУт-1 РтУт
не является «естественным усечением» системы (5.1), потому
что столбцы нижне-треугольного базиса Y удовлетворяют
ей только пЪсле отбрасывания последних п — т координат.
Поэтому показатели этой системы, вообще говоря, не совпа-
дают с какими-либо показателями неусеченной системы (5.1).
Однако можно убедиться, что они не превосходят некоторых
показателей последней системы. В самом деле, возьмем нор-
мальный нижне-треугольный базис У = [уь ...» системы
(5.1) и обозначим через yk вектор, полученный из yk отбрасы-
ванием последних п — т координат; будем иметь | jr' |<С	|,
и следовательно, х(Х)^Х(л)- Нижне-треугольный базис
из таких векторов: Y' =[Х» •••» Уп]— вообще говоря» не
будет нормальным для системы (5.13). Однако, преобразуя
5.4]
§ 5. СОПРЯЖЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
89
его в нормальный по теореме Ляпунова (см. 3.1.12), полу-
чим в силу формул (5.11)
х(л)<х(Х)<х(^>
что и требовалось. Наконец, пусть X — нормальный треуголь-
ный базис неусеченной системы, Yf — взаимный с ним нижне-
треугольный базис, a X' и Yf — базисы усеченных систем,
полученные из предыдущих отбрасыванием соответственно
последних строк и столбцов. Они также взаимны, ибо из
условия
выполненного для неусеченных матриц треугольного вида,
следует и л
У'^х = /т.
(1т— единичная матрица порядка т). Поэтому для коэффи-
циента неправильности у усеченных систем (5.12) и (5.13)
получаем
Y = miny??,
Y?? =, max (х + X (X)} < max {х (*z) + X (X)} •
Но так как базис X по условию нормален, то по теореме
3.2.4 дефект
max {x(*,) + x(X))=Yr
совпадает с коэффициентом неправильности неусеченной си-
стемы: ух = у, и, таким образом,
Y<Y-
Окончательно можем утверждать, что показатели и коэф-
фициент неправильности усеченных систем не превосхо-
дят показателей и коэффициента неправильности исход-
ных сиетем.
ГЛАВА III
ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ПОКАЗАТЕЛИ
Как мы знаем, показатель осуществляет оценку роста ре-
шения
[*(0|<£ее(Х+е)/.
С той же целью иногда применяются функции
t
J* p(s)ds
Поэтому такие функции и показатели используются для ис-
следования асимптотического поведения решений, устойчивости
и т. п. Однако оказывается, что возможность подобного ис-
пользования существенно зависит от равномерности написан-
ных оценок. При этом приходится различать два вида равно-
мерности— по начальной точке и по начальному моменту —
в зависимости от постановки одной из двух классических
ляпуновских задач: об устойчивости по отношению к возму-
щению начальных данных и об устойчивости по отношению
к постоянно действующим возмущениям. (В первой из этих
задач исследуется расхождение между решениями одной и
той же системы с близкими начальными условиями, во вто-
рой — между решениями разных систем с близкими правыми
частями.)
Изучение равномерности по начальному моменту приводит
к понятиям центральных функций и показателей [1].
§ 6.	Равномерность по начальной точке
6.1.	Роль равномерности. Рассмотрим в пространстве
Ln = {х} систему дифференциальных уравнений
x = F(tt х),
6.1]
§ 6. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКЕ
91
удовлетворяющую нашим обычным условиям
F(t, 0) = 0,	\F(t, xJ — Fft, лг2)|С/С Iatj — х2|,
из которых следует существование, единственность и т. п.
свойства решений, а также существование тривиального ре-
шения х(/) = 0 и ограниченность показателей Х = х(х). За
начальный момент примем t = 0. Между решениями и их
начальными точками д:о = х(О) существует взаимно однознач-
ное соответствие, поэтому, чтобы выделить какое-либо мно-
жество решений, достаточно указать множество их начальных
точек.
Старший показатель системы
A = supX	(6.1)
осуществляет оценку
1*(0|<Яс*(Л+е)*’	(6.2)
верную для всех решений и потому позволяющую в какой-то
мере судить об их поведении в совокупности. Однако здесь
требуется известная осторожность, поскольку константа Ве,
вообще говоря, зависит не только от е, но и от решения x(t)
(можно сказать также — от его начальной точки Лд).
Определение 6.1.1. Оценка (6.2) называется равно-
мерной на некотором множестве решений или на соот-
ветствующем множестве начальных точек, если при
любом е > 0 константа Вг может быть выбрана единой
для всего этого множества.
Важность этого понятия становится особенно наглядной
при изучении асимптотической устойчивости нуля (тривиаль-
ного решения системы). Когда старший показатель отрица-
телен, то в силу оценки (6.2) все решения стремятся к нулю.
Однако, как показано далее (п. 6.3), без равномерности этой
оценки отсюда не следует ни асимптотическая, ни даже обыч-
ная устойчивость тривиального решения. Напротив, равно-
мерность оценки хотя бы в малой окрестности нуля обеспе-
чивает его асимптотическую устойчивость. Докажем это.
Лемма 6.1.1. Если оценка (6.2) равномерна на по-
верхности некоторой сферы |х0| = г > 0 пространства L\
то она равномерна и всюду внутри этой сферы.
Доказательство. В силу единственности и непрерыв-
ной зависимости от начальной точки решения, начинающиеся
на поверхности сферы, образуют в пространстве Ln X Я*—
92 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (6.1
топологическом произведении Д" и оси (полуоси) — трубку,
гомеоморфную цилиндру и окружающую ось. Неравенство
(6.2), будучи выполнено для таких решений, означает, что
эта трубка лежит ближе к оси, чем поверхность вращения
с той же осью и радиусом Ве£(Л+е)/. Любое решение, начи-
нающееся внутри сферы |ль| < г, в дальнейшем не может
пересечь трубку, иначе нарушилась бы единственность ре-
шений. Поэтому оно остается внутри трубки и тем более
внутри поверхности вращения, т. е. также подчиняется нера-
венству (6.2). Доказательство окончено.
Следствие 6.1.1. Оценка (6.2) либо равномерна
в некоторой окрестности нуля, либо не равномерна
ни на одной сфере, окружающей нуль.
Теорема 6.1.1. Если старший показатель Л отри-
цателен, а оценка (6.2) равномерна в окрестности нуля,
то последний асимптотически устойчив (устойчивость
по отношению к возмущениям начальных данных в тер-
минологии Ляпунова).
Доказательство. Пусть неравенство (6.2) выпол-
няется для всех решений с начальными значениями |х0| < г.
Если е>0 взято столь малым, что Л-|-е<0, то из нера-
венства (6.2) видно, что эти решения равномерно стремятся
к нулю, а потому при достаточно большом t ta отклоняются
от нуля менее чем на заданное а > 0. В силу непрерывной
зависимости решений от начальных данных можно указать
столь малую окрестность нуля, что начинающиеся в ней
решения не будут покидать a-окрестности также и на про-
тяжении конечного отрезка времени	Следовательно,
эти решения остаются в a-окрестности нуля при всех t,
а при больших t приближаются к нему, что и означает
асимптотическую устойчивость тривиального решения. Тео-
рема доказана.
В заключение отметим, что часто зависимость Вг от | х(0) |
удобнее выражать явно, вводя вместо константу Ое =
— Г » т- е- записывая оценку (6.2) в виде
Iх W |
|х(0 <|х(0)|Оее(Л-+е)<.	(6.3)
Соответственно изменим и определение.
Определение 6.1.2. Оценка (6.3) называется равно-
мерной по начальной точке на данном множестве
6.2]
§ 6. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКЕ
93
решений (или начальных точек), если при любом е > О
константа De может быть выбрана единой для всего
этого множества.
В ряде важнейших случаев при таком определении оценка
оказывается равномерной во всем пространстве, т. е. в ней
константа Z)e вообще не зависит от х(0). К числу таких
случаев относится, в частности, линейный.
6.2.	Линейный случай. Для линейной системы
x = A(t)x	(6.4)
оценка (6.3) всегда равномерна во всем пространстве. Это
вытекает из существования конечного базиса решений и легко
доказывается следующим образом. Возьмем базис
*1(0......*я(0.
который при f = 0 обращается в какой-либо ортонормиро-
ванный базис
вр....	(ez=^(0))
пространства Всякое решение допускает разложение
и имеет начальное значение
*(o)=S^i-
i
В силу ортонормированности et отсюда следует, что
1*(°)1 =1/^21^ I2 > max|cz|.
Если Л — старший показатель, то ввиду конечности коли-
чества решений Xi (t) при любом е > 0 найдется такая общая
константа Z)g, что
|xz(0|<zv(A+e)'.
В таком случае!)
l*(OI =|2ci*i(0|<max|cz| •2|*1(0|<|*(0)|О/Л+8)'.
что и требовалось.
Отсюда с помощью теоремы 6.1.1 получаем
!) Напомним, что мы пользуемся универсальными константами,
т. е. вместо 2D или nD пишем снова D и т. п.
94 гл. HI. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ [6.3
Следствие 6.2.1. Если старший показатель линей-
ной системы отрицателен, то ее тривиальное решение
асимптотически устойчиво.
6.3.	Нелинейный случай. В отличие от предыдущего,
здесь уже не всегда можно гарантировать равномерность
оценки (6.2), более того, не всегда верны и получавшиеся
из нее выводы об устойчивости нуля. Правда, в дальнейшем
мы убедимся, что оценка остается равномерной не только
для линейных, но и так называемых квазилинейных систем.
Точное их определение будет дано позже (гл. V). Грубо
говоря, к ним относятся системы, правые части которых
отличаются от линейных членами высшего порядка малости
относительно |лг| вблизи х = 0. Это определение становится
точным, если ограничиться изучением малой окрестности
нуля. Для выполнения свойства квазилинейности в этом
смысле, очевидно, достаточно, чтобы правые части системы
были непрерывно дифференцируемыми вблизи нуля. Итак,
системы, для которых существенно нарушается равномер-
ность изучаемой оценки, не могут быть квазилинейными,
и, в частности, их правые части
не должны быть дифференци-
руемыми в нуле. Этим объяс-
няются особенности примера,
который сейчас будет ра-
зобран.
Убедимся в существовании
системы с отрицательным стар-
шим показателем, у которой
тем не менее тривиальное ре-
шение не обладает ни асимпто-
Рис. 1.	тической, ни даже обыкновен-
ной устойчивостью. Для такой
системы, следовательно, теорема 6.1.1 не имеет места, так
что оценка (6.2) не равномерна ни в какой окрестности нуля.
Схема подобного явления достаточно ясна из примера
расположения траекторий, изображенного на рис. 1. (Здесь
рассматривается случай плоскости, т. е. системы второго
порядка, для которой координаты вектора будем обозначать
через хг = х, х2 = у, а его норму — через г = ]/ х2 + уМ
Неустойчивость начала координат О следует из того, что
решения, начинающиеся сколь угодно близко от О в областях,
6.31	§ 6. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКЕ	95
обведенных пунктиром, не остаются вблизи О, а огибают
заштрихованные эллиптические области, удаляясь тем самым
на конечное расстояние от О. Чтобы пример отвечал поста-
вленной цели, остается лишь задать такие скорости движения
точек по траекториям, чтобы их приближение к О проис-
ходило с общей показательной скоростью.
Довольно очевидно, что это возможно; но чтобы показать,
что это возможно также при аналитических всюду, кроме О,
правых частях, не зависящих к тому же от времени, при-
ведем конкретный пример.
Пример 6.3.1. Рассмотрим систему второго порядка
• _	х2(2у —х)4-2у*	•_________8у2 (у —х)
(^ + У2) [1 + (*г + у2)2] ’ У - (х2 + у2) [1 + (х2 + у2)2] •
Вблизи О числители правых частей убывают на порядок быстрее
знаменателей, а на бесконечности они растут медленнее не менее
чем на порядок. Поэтому, во-первых, правые части ограничены
во всей плоскости и стремятся к нулю при приближении к О, так
что можно доопределить их в О по непрерывности, полагая рав-
ными нулю, а во-вторых, их первые частные производные также
ограничены во всей плоскости (хотя уже разрывны в О). Это
обеспечивает выполнение условия Липшица с общей константой
для любой пары точек плоскости и тем самым гарантирует суще-
ствование, единственность и продолжаемость всех решений, а также
ограниченность их показателей.
При замене (х, у) на (—х, —у) правые части системы меняют
знаки, поэтому решения симметричны относительно точки О, и до-
статочно изучить их поведение в верхней полуплоскости, включая,
например, правую полуось х>0 и исключая левую.
Исследуем векторное поле, задаваемое системой (6.5). Изо-
клина х —О есть кривая Г, определяемая уравнением
х2(2у — л) + 2у5 = 0.	(6.6)
Для построения этой кривой проще всего найти ее пересечения
с лучами у = kx\ получаем
Х2 (2kx — х) + 2^л5==0,
откуда, кроме л = у = 0, имеем
/1 — 2* и АГ—2*
2*5 > y-ftx —J/ 2Л3 .
Это параметрическое представление кривой Г показывает, что она
лежит ниже луча У = (так как k < уj, касаясь его в точке О
96 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ [6.3
»=1.
при
при
и что х и у неограниченно и монотонно возрастают
убывании k от до нуля. Вид кривой показан на рис. 2. Вне Г
знак х совпадает со знаком ле-
вой части (6.6), откуда получаем
х > 0 выше Г,
х < 0 ниже Г.
Изоклины у == О суть у = 0 и
у = х, причем очевидно, что
у > 0 выше прямой у = х,
у < 0 ниже прямой.
Картина расположения изо-
клин и направлений поля видна
из рис. 3. Изоклины пересекаются в начале координат О, которое,
следовательно, является единственной особой точкой системы.
Рассмотрим заштрихованную область S (рис. 3), ограниченную
кривой Г и окружностью г=1. Покажем, что каждое решение
за конечное время попадает в эту область. С этой целью проведем
вспомогательную прямую у ——х, а также семейство прямых
х — 2у — const и установим сначала, что векторы поля при доста-
точно больших у пересекают семейство в направлении, указанном
на рис. 4. Для этого достаточно убедиться, что производная от
функции и = х — 2у, вычисленная вдоль решений системы (6.5),
положительна в части области —у<х<у, рассматриваемой на
рис. 4. Обозначая через D положительный знаменатель в форму-
лах (6.5), находим
du _ • 2-	-«2(2у —х) + 2у5—16у2(У —•*)
-di ~~х У------------------D	•
6.3]	§ 6. РАВНОМЕРНОСТЬ НО НАЧАЛЬНОЙ тоЧкь	97
и, следовательно, в области — у •< х у
du х2 (2у — у) + 2у8 — 16у2 (у + У) 2у8 — 1 бу3
di	D	D----’
а последнее выражение положительно, если у достаточно велико.
Теперь ясно, что из областей вида а, р, у, 6 на рис. 5 решения
могут выходить лишь через границы соответственно у = — х,
у = х, Г и г = 1. Оставаться же бесконечно долго в этих областях
решения не могут, так как там нет особых точек. Поэтому всякое
решение последовательно переходит из каждой области в следую-
щую, пока за конечное время не попадет в область S.
Для изучения решений в области S перейдем к полярным
у
координатам г, ф, обозначая tg ф = — = kt причем воспользуемся
лишь уравнением для г. После очевидных преобразований получаем
dr _ ** + УУ ----------г_-----/8А«_8лз + 2й_1+
dt /х24-у2 (1+г«) (1 + *2)2\	1+*2/
Исследуем функцию
/(А) = 8А< —8A3-f-2A—1.
Ее производная
f (А) = 32А’ — 24А2 4- 2 = 2 (4Л +1) (2А — I)2
неотрицательна при 0<следовательно, на этом отрезке
/(*></(!)=—р
7 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
98 ГЛ. Ill, ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (6.3
Таким образом, в области S, для которой	и0<г<1,
будем иметь
(1 + D (1 + |)2

Отсюда при возрастающем t
и тем самым доказано, что показатель любого решения — 0,1
Поэтому и старший показатель
A = sup — 0,1,
и все решения стремятся к точке О.
Покажем, что тем не менее точка О неустойчива. С этой
целью установим существование эллиптической области, изобра-
женной на рис. 1 и рис. 6. Проведем луч у = 2х и отрезок PQ
прямой у =аНа отрезке OQ
будем иметь
dy _	8у2 (у — х)_____
dx	х2 (2у — х) -f- 2у5
_	32х2(2х — х)	_
“ х2 (4х — х) + 16х3у2
-	32	32
34-16?2	34-4
Таким образом, векторы поля на
отрезке OQ имеют больший угло-
вой коэффициент, чем сам отре-
зок, а направление этих векторов
было установлено на рис. 3. Если
точка Р' достаточно близка к Р,
то проходящее через нее решение выходит при /->— оо из тре-
угольника OPQ через сторону ОР- Все такие точки лежат левее Q,
и самая правая из них R обладает, очевидно, тем свойством, что
проходящее через нее решение при /-> — оо входит в точку О.
С другой стороны, это решение, как и все вообще решения, с воз-
растанием t входит в область S, а затем при	00 — снова
в точку О. Это решение и представляет собой границу эллипти-
ческой области, наличие которой, как уже отмечалось, означает
неустойчивость О.
7.1]	§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ 99
§ 7. Равномерность по начальному моменту.
Центральные числа
7.L Роль равномерности. Рассмотрим снова оценку (6.3),
но, принимая за начальный момент не t — 0, а какое-либо
t =
|x(0|<|x(^o)|0Ee(Ue)(/-4	(7.1)
Будем изучать также аналогичную оценку с помощью функции
t
*
\x(t)\<\x(tQ)\De<*	.	(7.2)
Определение 7.1.1. Оценка (7.1) или (7.2) назы-
вается равномерной по начальному моменту t0 для задан-
ного множества решений, если константа De, D может
быть выбрана независимо от t0 (для всех и всего
рассматриваемого множества решений', тем самым опре-
деление включает в себя равномерность по начальной
точке).
Оценка (7.1), вообще говоря, может быть неравномерной
даже для отдельного решения. В самом деле, возьмем ска-
лярное уравнение
x = p(t)x.	(7.3)
Здесь решение
J р<к
x(t) = x(tQ)e^	(7 А)
имеет показатель к = р, и с этим числом оценка (7.1) заве-
домо выполняется (при фиксированном /0). Однако величина
7^77 /'’Л
^0
при t -> оо может стремиться к своему пределу р неравно-
мерно относительно £0, и тогда оценка (7.1) также не будет
равномерной (см. упражнение 7.5.11).
Тем более нельзя надеяться на равномерность оценки (7.1)
Для нескольких решений, понимая под X их старший пока-
затель. В этом смысле оценка (7.2), по крайней мере для
7*
100 гл. HI. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИИ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (7,1
рассмотренного скалярного уравнения, предпочтительнее: она
равномерна, так как обращается в равенство (7.4).
С другой стороны, всегда существует столь большая
константа, при которой оценка типа (7.1) становится равно-
мерной для всех решений системы x = F(t, х) изучаемого
нами класса: например, всегда
I*(01<IхIекгде К = sup	. (7.5)
как показывает (1.7).
Понятие равномерности, будучи применено ко всем ре-
шениям линейной системы
x = A(t)xt	(7.6)
имеет тесную связь с оценками решений возмущенной системы
x = A(/)x+/(t х),	(7.7)
а следовательно, и с задачей об устойчивости при постоянно
действующих возмущениях. Установим это.
Лемма 7.1.1. Для матрицы Коти (см. п. Д. 13.4}
линейной системы (7.6) при любых фиксированных tt s
справедливо соотношение
где шах берется по всем решениям x(f) системы (7.6).
В самом деле, всевозможные векторные решения линей-
ной системы (7.6) связаны с ее матричным решением X(t)
формулой х (0 = X(/) а, где а — всевозможные постоянные
векторы. По определению нормы матрицы (см. п. Д. 2.1)
\X(t, s)|=maxH(ffiLL.
Но X(t, s) = X (t) Х~г (s), и, полагая X~l(s)b = a, можем
написать
IV// |___max । а । ___max
|Л(Г, s)l — max |X(s)a| — шах । x(s)| ,
что и требовалось.
Следствие 7.1.1. Равномерность оценки (7.1) или
(7.2) для всех решений линейной системы эквивалентна
7.1]
$ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ
101
существованию такой же равномерной оценки для ма-
трицы Коинг.
|Х(/,	(7.8)
или
t
, ^RdX	Г7<П
\X(t, s)|<Des ,	<7-9>
В дальнейшем будем пользоваться главным образом второй
оценкой, так как она включает в себя первую как частный
случай.
Рассмотрим теперь возмущенную систему (7.7).
Теорема 7.1.1. Если матрица Коти линейной части
допускает равномерную оценку (7.9), а возмущение
f(tt х) удовлетворяет условию малости
\f(t. х)|<б(0|х|, б(О<б (7.Ю)
(по поводу малости возмущений см. подробнее в пп. 12.1 и
19.3), то все решения возмущенной системы допускают
равномерную оценку
i
/ [Я (r)+Dd (т)] dx
|лг(О|С WoW	.	(7.11)
откуда
X(x)</? + D6.	(7.12)
Доказательство. Как известно (см. п. Д. 13.4),
решения возмущенной системы (7.7) удовлетворяют урав-
нению
t
X(f) = X(t, t0)x(t9)+\X(t, s)f(S, X(s))d8.
h
откуда при условиях (7.9) и (7.10) получаем
t	t
f Rdx * J RcH
|-v(/)|<|x(/0)|D^	+ J Des 6(5)|x(s)|ds
102 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (7.1
- pdt
или, если обозначить |х(0| е =У(0»
t
y(O<D|*(fo)|4-D / 6($) у ($)</$,
to
а в таком случае из п. Д. 13.6 следует
t
D J д (т) dr
y(t)<D\x(tQ)\e <>
что приводит к (7.11). Отсюда, поскольку	выте-
кает и (7.12).
Мы видим, следовательно, что равномерность оценок ре-
шений невозмущенной системы позволяет перенести их на
решения возмущенной системы с точностью до «малого по-
казателя» D6.
Как правило, в теории возмущений величина 6 может
предполагаться столь малой, сколь это требуется, поэтому
точность оценки показателя (7.12) зависит в первую оче-
редь от того, насколько удается снизить величину R в не-
равенстве (7.9), не нарушая его равномерности.
Выяснению этого вопроса и посвящены ближайшие пункты.
Для упрощения записи введем обозначения
41п|х(0|=рЛ(0 И In £> = £>,
после чего неравенства (7.2), (7.9) примут вид
t	t
J рх (г) dx < D + J R (r) dx,	(7.13)
tf)	to
t
1п|А-(Л S)|<D + J R(x)dx.	(7.14)
В силу леммы 7.1.1 можно записать последнее также в виде
t	t
max J px(x)dr^.D |-J /?(t)Jt.	(7.15)
* * *
7.2)
§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ
103
7.2. Усреднение сверху. Верхние функции и верхние
центральные числа. Рассмотрим вообще какое-либо се-
мейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных
функций:
^={Рх(0}.	|/>,(0|<К.	(7.16)
зависящее от параметра х непрерывно в том смысле, что из
x-+Xq следует	равномерно по крайней мере
на каждом конечном отрезке [0, /]. Параметр х может про-
бегать некоторое компактное (в частности, конечное) мно-
жество.
Введем действие, которое можно рассматривать как сов-
местное усреднение (сверху) данного семейства и которое
приводит к так называемому верхнему центральному числу
этого семейства. Укажем три различных способа построения та-
кого числа и установим их эквивалентность.
А) Способ верхних функций. Назовем ограни-
ченную измеримую функцию R (?) верхней или С-функцией
для семейства если все функции этого семейства равно-
мерно не превосходят в интегральном смысле (см. п. Д. 17.1)
функцию R(t)\
(8)
рд/хжо.	(7.17)
т. е. если
t	t
J Px(T)dT<D«,e+ f l₽(T) + e]dT, (7.18)
где DRt e — константа, общая для всех рх и t^st но, вообще
говоря, зависящая от выбора R и е > 0.
Совокупность всех верхних функций назовем верхним
классом или С-классом семейства & и обозначим через
<^ = ^(^°). Вычисляя для каждой верхней функции ее верх-
нее среднее R и беря затем нижнюю грань по всему классу
получим число
Q= inf R>	(7.19)
которое назовем верхним центральным или С-числом се-
мейства Оно будет обозначаться также через
или (рх).	(7.20)
104 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ 17.2
Ввиду условия ограниченности R(t) С-число всегда су-
ществует и заключено в границах
—
В дальнейшем верхний класс нужен лишь постольку, по-
скольку он приводит к С-числу. Поэтому распространим
название верхнего класса также на всякое подмножество
Slr с ($, приводящее к тому же значению С-числа, т. е. такое,
что
inf Z? = inf/? = □.
Я7 Я
(Если понадобится делать различие, то St будем называть
полным верхним классом,) Например, когда нижняя грань
(7.19) достигается, т. е. существует такая С-функция /?о(О>
что
для всех /?(0€<Ж	(7.21)
то эта функция одна образует верхний класс (см. упражне-
ния 7.6.12 и 7.5.13) и С-число совпадает с /?0:
Q = /?o-
В) Способ стекловских усреднений. Построим
для каждой функции заданного семейства функцию Стеклова
= P^dx <7-22>
t
с произвольным шагом Н > 0* а затем возьмем
Рн (t) = max	(7.23)
X
В силу ограниченности и непрерывной зависимости рх (t) от х
функция Рн (t) существует, ограничена и измерима. Оказы-
вается, что эта функция всегда верхняя, а совокупность таких
функций при всевозможных Н образует верхний класс, так
ЧТО
InfP^Q,	(7.24)
н
7.2J	§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ Ю5
причем оказывается также, что здесь вместо inf можно брать
Пт . (Последнее означает, в частности, что для вычисле-
Я->оо
ния Q достаточно брать какую-либо одну последователь-
ность Яй-*оо.)
Докажем эти предложения. Условие	и формула
(Д. 18.3) показывают, что равномерно
(0)
Поэтому, согласно (7.23), будем иметь также равномерно
(0)
px(f)<pH(t).
Последнее по определению (7.17) означает, что Рн (/)—
верхняя функция. Следовательно, она входит в полный верх-
ний класс <$, откуда
(7.25)
Поэтому, если взять нижнюю грань Рн по всем Н9 то по-
лученное таким путем число
Й2 = inf Р57	(7.26)
Я>0
также будет удовлетворять неравенству Q2^>Q.
Установим обратное неравенство. По определению Q для
любого > 0 найдется такая С-функция /?i(f), что
fli<Q + ei.	(7.27)
Тот факт, что Z?x (0 есть С-функция, означает, что
(е)
Рх(0<^1(0« Переходя к стекловским усреднениям и ис-
пользуя их свойства из § Д. 18, получаем последовательно
(е)
откуда
(е)
Рн (t) = max р” (/) < R» (О,
и потому

106 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИИ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (7.2
Отсюда	__ ___
lim Р" <Q4-ei,
Н ->оо
и так как произвольно мало, а
p^>q2>q
по определению й2, то
Q2-= Q— Пт Рн.
Н->оо
Доказательство окончено.
В) Дискретный способ. Пусть &т — промежуток
длины Т на полуоси = [0, оо). Положим
«ж = { Рх(Х)^-
(Г у
В силу условий относительно семейства	величина ах
непрерывно зависит от х, пробегающего компактное мно-
жество, так что существует
а==шахах,
X
причем |а|^#7\ Проведем теперь следующее построение.
Разобьем полуось точками О, Т, 2Т, ... на промежутки
^ = ((/5—1)Т, kT) и построим числа
	aft = max J px(x)dr, Х 7*	(7.28)
а затем найдем		
	п. Qr= iim -i-У ak- п+<х> ПЛ ~	(7.29)
Оказывается, что	число	
	Й3 7=2 inf йу т	(7.30)
также совпадает с Q и что знак inf также можно заменить
т
на lim . Последнее означает, что для вычисления Q доста-
Г->оо
7.2]
§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ
107
точно пользоваться какой-либо одной последовательностью
Т оо.
* m *
Для доказательства возьмем любую ограниченную кусочно
непрерывную функцию Рт (/), у которой
JPr(r)dT=a4 =	2, ...)•	(7.31)
Такие функции существуют: достаточно положить Рт (t) на
равной одной из тех функций рх (/), для которых дости-
гается максимальное значение (7.28), или же положить на
Рт (t) — const =	.
Всякая такая функция будет верхней для семейства
В самом деле, если промежуток (5, t) состоит из целого
числа промежутков то
tn	nt
J pxdx = 2 $ Px dx< 2 °* = f рГdXt
s	k = m д' ь	m	s
короче,
t	t
J pxdx^, J PT dx.
3	3
Чтобы перейти отсюда к произвольному промежутку (s, t)9
нужно добавить к обеим частям неравенства по два инте-
грала на промежутках длины не более Т. Ввиду ограни-
ченности всех функций это изменит неравенство не более
чем на константу (зависящую от Т)
t	t
J Рх "С &т 4- J PT dx,
3	s
а это и означает, что Рт (t) есть С-функция. Поэтому
Стоящее слева верхнее число
t
рт= iiin 1 [ Pr(x)dx,
t+cc nJ
108 ГЛ. 1И. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ
как известно из п. Д. 16.5, можно найти, заставляя t про-
багать лишь последовательность t = nT (п = 1, 2, ...). Тогда
последнее неравенство, в силу (7.31) и (7.29), принима-
ет вид
Qr>Q,
откуда и
Чтобы доказать обратное неравенство, а тем самым и
совпадение чисел Q3 и Q, поступим так же, как в Б): возь-
мем верхнюю функцию R^f), удовлетворяющую (7.27), и
(в)
запишем, что, по определению знака рх /?р
ай = шах J	| [/?i(т)-Не]dx.
* tr.
откуда найдем
+j (/?i+e)dr.
1	о
далее,
п
ak	~т^ ~1~ 8 ~l~ "TrF I Ridt*
1	о
и, используя п. Д. 16.5 и (7.27), получим
^7"^’“^' +е + ^ + еь
Отсюда
lim Qy	Q —|— 8	ер
Г->оо
и, следовательно, как в Б),
Oq == Й lim Ор.
Г ->оо
7.3.	Усреднение снизу. Нижние функции и нижние
центральные числа. Эти понятия сходны с предыдущими
и вводятся следующим образом. Ограниченная измеримая
функция r(t) называется нижней или с-функцией для
J
7Л]
§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ
109
семейства ={px{t)\, если равномерно
(е)	/	/
Px(t)>r(t), т. е. J px(r)dx^dr>t+ J (г(т) — e]dr
3	3
(7.32)
с константой dGe, вообще зависящей от выбора r(t) и
8 > 0, но общей для всех рх £ еР и t s. Совокупность
всех с-функций называется нижним или с-классом г = г(^°),
а число
со = sup г	(7.33)
г “
или
— нижним центральным или с-числом данного семейства.
Оно обозначается также через
(7-34)
Его можно еще построить по аналогии с Б) или В) пре-
дыдущего пункта, однако нет надобности доказывать это
заново, поскольку выясняется, что изучение нижних классов
и чисел можно целиком свести к изучению верхних. В самом
деле, всякая верхняя функция семейства еР = {рх(ОЬ взятая
с обратным знаком, служит нижней для семейства {— рх(/)}
(которое будем обозначать через —еР) и обратно, что не-
посредственно видно из неравенств (7.18) и (7.32), взятых
с обратными знаками. Таким образом, между верхним и
нижним классами этих семейств существует соотношение, ко-
торое можно записать так:
(—	= — г (^), г (— <^) = — (^). (7.35)
Отсюда вытекает очевидная связь между С- и с-числами:
й_^ = —	(7.36)
7.4.	Особые числа. Выделим в верхнем классе <$(<^)
подкласс @, состоящий из констант. Таким образом, по опре-
делению константа Q£6 в том и только том случае, когда
t
J pxdT<OQie + (Q-hE)(^ — s).
(7.37)
110 ГЛ. lit. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И Их РАВНОМЕРНОСТЬ [?.4
Нижнюю грань таких констант !)
Q° = infQ	(7.38)
будем называть, следуя М. Г. Крейну, верхним особым
числом семейства Так как	то всегда
Q°>Q,
а поскольку подкласс 6 не обязан быть С-классом, то, во-
обще говоря,
Q°>Q	(7.39)
(см. упражнения 7.5.15 и 7.5.16). Таким образом, особое
число дает более грубое совместное усреднение семейства
чем С-число. Однако поскольку подкласс 6 значительно
проще, чем Дав некоторых случаях он оказывается еще
и С-классом, то за особым числом сохраняется известная
роль.
Особое число можно построить также по аналогии с Б)
или В) п. 7.2 (эта аналогия не является полной, и читатель
заметит соответствующие отличия):
Q° = inf supP"(/)== lim supPw(O, (7.40)
Я>0 t	t
соответственно
Q°= inf supa*= lim supafc.	(7.41)
T > 0 k	T -> oo k
Тем же методом, что и в п. 7.2, доказывается, что эти
определения равносильны предыдущему и что знаки inf дей-
ствительно можно заменить на lim.
Аналогично вводится понятие нижнего особого числа
со° = sup 7,
где есть совокупность всех констант q таких, что
t
J	е + (? —e)(f —s).
*) Заметим, что можно полагать и
2° = inf (Q4-e).
7.5.7J
§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ
111
Оно также связано с верхним особым числом соотноше-
ниями типа (7.36):
=	=	(7-42)
7.5.	Примеры и упражнения. Доказать одним из способов А),
Б), В) п. 7.2, что:
(е)
7.5.1.	Если Px^Qx равномерно по х> т. е.
t	t
f px(r)dr^Ds + e(i — s)-f- J^(T)rfT
$	s
с константой De, не зависящей от x, то
(Л0<(?7) или Q(S»<Qg.
„	(е)	----- -----
7.5.2.	Если равномерно рх = то (рх) = (qx).
(е)
7.5.3.	Если равномерно все рх == р, то верхний класс можно
считать состоящим из одной функции р (0, и
(р^=р-
7.5.4.	Предварительное стекловское усреднение не меняет усред-
нения семейства: (рх} = (Рх) ПРИ Л|°бом фиксированном Н >0.
7.5.5.	Если семейство сужается, то его верхний класс может
только расшириться, а верхнее число уменьшиться: из с &
следует з? (<^')	<5? (J5) и	В частности, для отдельной
функции семейства Рхп^(Рх)> и таким образом, supрх(рх).
°	х
Нижеследующие упражнения показывают, что здесь встречается
как знак <, гак и =. Для простоты рассматриваются в основном
конечные семейства.
7.5.6.	Пусть семейство состоит из двух функций: & == {рь р2}.
(е)
Если при этом р{ < р2, то верхний класс можно считать состоящим
из одной функции р2, и 
(Р\Ръ) = Рг*
7.5.7.	Воспользуемся обозначениями п. Д. 5.1 и § Д. 17. Семей-
ство с^ = {рь рп} называется разделенным, если оно разби-
вается на блоки =	.....&п j таким образом, что
Pj^ — Pi (f»a>b при i^nk, J^nk+l (Л = 1..........s).	(7.43)
Это имеет место в том и только том случае, когда существуют
такие функции rk (t) и Rk (0, что
И r4+J(0-fl*(0>a>0. (7.44)
112 гл. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИИ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (7.5.8
Можно взять, например, rk »» min рр Rk = max рг Для разделен-
1 € пк	l<znk
ного семейства всегда будет
*(^р*сч+1) и
/€Л+*	(745)
k Л+i/	Л+i/ /CVft+1
7.5,8.	Семейство называется интегрально разделенным, если
условие (7.43) выполняется лишь в интегральном смысле:
(е)
Pj(.t)-Pi(t)>a>0, 1£пк, j^nk+Y (7.46)
Для этого необходимо и достаточно существования таких функций
rk & и	что
(е)	(е)	(е)
rk<Pi<^ii' 1^пк, и rk+1 — Rk>a>0 (Л = 1.............а).	(7.47)
Можно взять, например, гь (/) = mln р1, (t), Rk (/) = max р/ (t)
!^пк	1£пк
с достаточно большим Н. Другое условие: для интегральной раз-
деленности семейства необходимо и достаточно, чтобы семейство
функций Стеклова	с достаточно большим Н
было разделено в обычном смысле. Из интегральной разделенности
также следуют соотношения (7.45).
7.5.9.	Семейство называется вполне разделенным, если, кроме
(7.43), выполняется еще условие совпадения функций внутри блоков:
Pi (0 == Р} (0 при I, J € Пк	(к = 1.а).
В этом случае	__ _
'('v.'-J-’N-S' й’"7’”»' <7-*”
1 tnk
где через рп (t) обозначена любая функция-представитель из
Л-го блока. Семейство называется интегрально вполне разделенным,
если, кроме (7.46), выполняется еще условие близости функций
внутри блоков:
Pi(t) = P}(t) при I, j^nk.
В этом случае также верно (7.48).
Для того чтобы семейство после соответствующего изменения
нумерации становилось интегрально вполне разделенным, необхо-
димо и достаточно, чтобы все его функции были попарно сравнимы
(см. § Д. 17),
7.5.14)	§ 7. РАВНОМЕРНОСТЬ ПО НАЧАЛЬНОМУ МОМЕНТУ
ИЗ
7.5.10.	Частный случай вполне разделенного семейства — семей-
ство констант {аь ..., ап}. Здесь всегда
(а, а, ... а, \ = шах а,
к Ч Ч lm) k k
для любого подсемейства.
7.5.11.	Функция p(t) = sin имеет точное среднее
t
,lm 7~7~ [ Г(т)Л = 0,
4
но не равномерно по £0. (Рассмотреть последовательности = (2л)2
и / = (2л+1)2.)
7.5.12.	Для семейства, состоящего из двух функций
& = {ръ Р\ (0 в °, Рг (О = л sin л /Г,
будет А = Р2 — 0, а верхний класс состоит из одной функции
жо=|(а(о+1а(о I).
и при этом 
е<9‘=(/’л)=л=1-
так что	_	____
max pt < (рЛ).
7.5.13.	Для семейства, состоящего из двух функций Pi = 0 и
p2 = sinlnf, также R(t) = ~ (P2 + IP21), но р2 = 1 и (pip2) = Ь
так что max = (р^).
7.5.14.	Пусть отрезок [0, 1] разделен на п равных отрезков б/,
каждый из которых поделен еще пополам, и пусть функция qi (t)
равна 2п на первой половине б/ и нулю в остальных точках от-
резка [0,1], а далее продолжена периодически (с периодом 1) на всю
полуось [0, оо). Для любого количества п таких функций
имеем, очевидно,
max [9i (0} = 2	(t).	(7.49)
г,	l € «1
положим
Pl (0==^ (inO-
Показать, что для семейства «7*, состоящего из пг < п различных
Функций pt (0, будем иметь
=
$ В. Ф. Былов, Р, Э. Виноград и др.
114 гл. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИИ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (7.5.15
т. е. что добавление или изъятие любого элемента семейства ме-
няет результат совместного усреднения.
Указание. Из определения qL (t) и свойства (7.49) вытекает,
что для функций Стеклова с фиксированным Ht начиная с некото-
рого t, будет
maxpf(O=
__	___	*	I
a pf = рг = 1.
7.5.15.	Показать, что в упражнении 7.5.12 й° == 1 (использовать
tQ и t из упражнения 7.5.11).
7.5.16.	Пусть дано семейство & = {рх (/)} и введены обозначе-
ния sup | рх (О |=АГ, sup {рх (0} = Л, Й — верхнее число, й° — осо-
х
бое верхнее. Из общих результатов и из упражнения 7.5.5 следует,
что всегда
—/<<Л<Й<Й°</С.
Знаки < и = возможны здесь в любых комбинациях. Например,
для семейства упражнения 7.5.10 Л = й = Й° = К, для семейства
упражнения 7.5.12 Л < Й < й° = К (ср. 7.5.15), а для & = {0, sin t}
Л = Й = Й° = 0, /<=1.
§ 8. Центральные функции и показатели
линейных систем
8.1.	Линейная система. Пусть дана система
x=A(t)x	(8.1)
и x(t)— ее решение. Рассмотрим семейство функций
^={Рж(0}. Рх(0 = 41п|*</)1> И =	(8-2)
Так как решения x(t) и cx(f)t с = const, приводят к одной
и той же функции px(t)> то для построения семейства до-
статочно пользоваться решениями, начинающимися на единич-
ной сфере. Будем поэтому иногда считать, что индекс х
у функции px(f) обозначает начальную точку решения x(f)
на единичной сфере S. Очевидно,
_1 (х, х)4-(х, х)	2
“2 |хр —	|х(012
8.1|
§ 8. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ
115
Отсюда, в силу ограниченности и кусочной непрерывности ма-
трицы A(t), а также непрерывности решения по t и началь-
ной точке х, следует, что семейство равномерно ограничено,
кусочно непрерывно по t и непрерывно зависит (в смысле
равномерной сходимости на конечных отрезках [0,/]) от
параметра х, пробегающего компактное множество S. Иными
словами, выполняются все условия предыдущего параграфа
относительно семейства, для которого строились понятия
верхних и нижних функций и чисел. Поэтому можно пере-
нести сюда без изменений все конструкции пп. 7.2—7.4, и
мы лишь условимся называть теперь центральные числа се-
мейства & центральными показателями системы (8.1).
Поскольку все свойства системы определяются ее матри-
цей A(t), будем обозначать классы и показатели также че-
рез <$л, £2Л и т. п.
Итак, функции r(t) и R(t) называются соответ-
ственно нижней и верхней для системы (8.1), если они
ограничены, измеримы и осуществляют оценки
t	t
— dr,z+ J kW-e]dT< j px(T)dT<
J	s
t
J U?(T) + e]dT (8.3)
5
для всех t^s и x£S, или, что одно и то же (с заме-
ной e~d, eD на d, D)
J [r (T)-el dr
df <>es
|x(Q|
IX (s) |
J [/? (т)+е] dr
Dr, f£s
(8.4)
Построения n. 7.2 можно также осуществить не с по-
мощью семейства а с помощью матрицы Коши данной
системы. В самом деле, вспоминая лемму 7.1.1:
t
|X(A|
\X{t, s)| = maxbiH-==maxe*
мы можем придать указанным построениям следующий вид.
8»
116 гл. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (8.1
А) Функция /?(/) называется верхней или С-функцией
системы, если она ограничена, измерима и осуществляет
оценку
t
J [Я (Т)+8] dX
\X(t, s)\^DRtie*	.	(8.5)
Совокупность $А всех С-функций называется С-классом,
а число
= inf R
*а
— верхним центральным или С-показателем системы (8.1).
Отметим, что здесь можно пользоваться любым из принятых
в § Д. 2 определений нормы матрицы: это отражается лишь
на константе DR^ поскольку такие нормы эквивалентны,
т. е. их отношения ограничены.
Б) Всегда существует
lim
Я->оо
lim
/->оо
-	t
— inf lim -Ду f In | X (т -Ht t)|Jt
H > 0 f->oo J
(8-6)
и он совпадает с С2Л.
В) Всегда существует
л
lim iiS Аг У In | X(/Т, (/-1)DI
Г->оо й->оо	.
= inf
Т> о
k
л~>оо
(8.7)
и он также совпадает с £2А.
, Теми же способами может быть найден верхний особый
показатель: для этого надо в оценке (8.5) в качестве /?(/) брать
«.11
§ в. Центральные функции
11?
лишь константы или же вместо (8.6), (8.7) полагать
Д9 = lim (4-In rsup|X(/ + H, 0111 =
Я->оо I п L t	J J
=	1п [8иР|Х^ + Я> 01] } , (8.8)
Q»= lim (±ln[sup|A'(*T, (k — l)T)|ll =
, r->ool 1 lk	J J
= inf [4In [sup I ЛГ(ЛГ, (k — 1)T)|11. (8.9)
т>о I 1 I k	J J v '
Наконец, по матрице Коши могут быть найдены также
нижние функции и показатели. Вспоминая, что ¥(/, $) =
= X(t)X^ (5), откуда -¥(5,	= s)t и замечая, что
t
f PXdX	I x (t) I	1
min es = min =	|x($)| =
max тая
1 _ 1
i x(s, /)i	|x“’a,s)| ’
мы видим, что нижний класс гА можно определить как
совокупность ограниченных измеримых функций г(/), осу-
ществляющих оценки
t
J[r(T)-e]dT
_____es
Ix-’a.sjK ле
т. e.
t
f [-r(t)+e]dr
|Х-’(Л «)|<Dr>ee*
(8.10)
а нижний центральный показатель — как
<0д = sup г.	(8.11)
г
Аналоги построений Б), В) и нижнего особого показа-
теля опустим.
Центральные функции и показатели инвариантны относи-
тельно ляпуновских преобразований (п. 3.5). В самом деле,
преобразование x=L (t) z переводит матрицу Коши X^)Х^ (s)
118 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ (8Л
в Z(/,	(s)Z(s), и ввиду условия |Z|,
| Z”1К это дает
\Z(t, s)\^K2\X(tt s)|.
Пользуясь обратным преобразованием z = L~\f) х, находим
аналогично
$)|<К2|£(*, $)|.
Отсюда видно, что центральные классы для X (t, s') и Z (t, s)
совпадают, так как в оценках типа (8.5), (8.10) меняются
лишь константы D, d.
Пример 8.1.1. Пусть Л, Q и 0° суть соответственно
старший, центральный и особый (верхние) показатели линей-
ной системы. Всегда
— K<A<Q<Qo</G где K = sup|A(0| (8.12)
(ср. упражнение 7.5.16).
Пример 8.1.2. Диагональная система
jf = diag[p/(O]Jf
имеет матрицу Коши
’ t
S pidx
X(t, s) = diagUs
с нормой
max J dx
\X(t,s)\ = ets
Поэтому центральные или особые классы и показатели си-
стемы совпадают с таковыми для конечного семейства S^ =
= {/>,(/)}, и результаты упражнения 7.5.16 показывают, что
в соотношении (8.12) знаки равенств и строгих неравенств
возможны в любых сочетаниях. В частности, для диагональ-
ной системы с постоянными коэффициентами (t) = а{ все
три показателя совпадают (упражнения 7.5.9 и 7.5.10).
Пример 8.1.3. Для произвольной (не диагональной) си-
стемы с постоянной матрицей
х = Ах
имеем
и
X(t, s) = eA
|0Л2|<££^Л+е)г,
8.3]
§ 8. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
119
где Л = max Rev, (v,— собственные числа А) — старший по-
казатель системы, а е > 0 служит для погашения членов
полиномиального роста, возникающих в случае существова-
ния жордановых клеток у А (ср. п. 9.1). Поэтому снова
A = Q = Q°.
8.2.	Сопряженная система. Рассмотрим систему, сопря-
женную с (8.1):
; = _Д*(0>	(8.13)
и какой-либо ее базис Y(/)• Как мы знаем, между взаимными
базисами сопряженных систем существует связь У’ = Х*“1,
приводящая к такой же связи между матрицами Коши:
Y (t, s) = Y (0 У-1 (s) = Х*~1 (О X* ($) = [Х-1 (t, $)]*,
откуда
|F(t s)| = |X-’(f, s)|.	(8.14)
Верхний класс ^?_д» по определению состоит из функ-
ций R' (f) таких, что
t
J [Я' (t) +е] dx
\Y(t» s)\^D,e*	.	(8.15)
Сравнивая это с (8.10), мы видим, что он совпадает с клас-
сом — гА — {—г(/)} прямой системы (8.1). Таким образом,
= — ад и аналогично г_д» =— <$д.
Поэтому на основании (7.35), (7.36) заключаем, что спра-
ведлива
Теорема 8.2.1. С-показатель какой-либо системы
равен с-показателю сопряженной системы» взятому
с обратным знаком» и наоборот.
Это, в частности, позволяет полностью свести изучение
нижних показателей к изучению верхних.
8.3.	Треугольная система. Возьмем треугольную си-
стему
x = P(t)x	(8.16)
с вещественными диагональными коэффициентами pt (/). Ока-
зывается, что центральные или особые показатели такой си-
стемы полностью определяются ее диагональю. Более точно,
имеет место
120 ГЛ. III. ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИИ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ 18.3
Теорема 8.3.1. Верхние {нижние) классы системы
(8.16) и ее диагонали Pd, т. е. конечного множества
Pd=[px {t)....рп (0}, совпадают. Поэтому верхний
{нижний) показатель системы (8.16) равен верхнему {ниж-
нему) числу диагонали Pd. То же справедливо для осо-
бых классов и, показателей.
Доказательство. Матрица Коши X (/, s)—X {t) Х^1 {s)
при фиксированном 5 удовлетворяет системе (8.16), и при
t = s обращается в единичную матрицу 7. Следовательно,
она является матрицей канонического при t = s базиса и
имеет координаты (ср. (4.9))
t k xlk (t, s) = J 2 pla(ty) s ct=Z + l t	t J p(dX Xaktti)*'1 dit при I < kt	(8-17)
f pkdx		
Xiktt, s) = es	при I = k>	
xik{t. s) = 0	при I > k.	
Пусть R{t)£<$!p. Это по определению означает, что
t
1п|Х(Л 5)|<ОЛе+ J [/?(T) + e]dr. (8.18)
5
Такое неравенство, будучи верным для нормы матрицы, тем
более справедливо для отдельных ее элементов, в частности
для xkk. Таким образом,
t	t
J	J [/?(т) + 8]dx. (8.19)
5	5
а это означает, что	Тем самым доказано вклю-
чение
{Рd)-
Обратно, пусть R{t)£c$l{Pd). Это значит, что выпол-
няется (8.19), откуда
f Pk dx
t
j* (Я+e) dx
DRes (
$
ZX = Dn fi.
₽ Kt §
(8.20)
8.3]
§ 8. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
121
В дальнейшем при изменении 4>е и е в конечное число раз
будем снова обозначать их через Ое и е. Допустим, что для
а = й» k — 1, ...» /-pl уже установлены оценки
t
J (Я + е) dx
I (^» $) I
Тогда, переходя к xik из (8.17) и принимая во внимание
ограниченность pik, найдем
г VI.
S) I < De J 2 I «Ь	dtX <
t,	t
* J(/?+e)<*r f(₽+e)dr
^Dgje* e‘i dtx-=
s
t	t
$(R+e)dr ‘	f(J?+e)4t <
«= D&es J D&es J dt^-^.
s	s
t
J (/?+e) dx
^zeS
Таким образом, подобная оценка верна для всех элементов
матрицы X(tt 5), а следовательно, и для ее нормы
t
f (/?+е) dx
\X(t9 s)\^D^
Это означает, что	откуда	и окон-
чательно, = Для особых классов достаточно по-
вторить те же рассуждения, беря в качестве R(t) лишь кон-
станты. Переход к нижним классам осуществляется автома-
тически путем перехода к сопряженной системе. Читателю
рекомендуется проследить соответствующие рассуждения.
ГЛАВА IV
ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ
НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ
В этой главе разбираются вопросы вычисления или оценки
показателей невозмущенной линейной системы. Поскольку
даже такая задача в общей постановке чрезвычайно далека
от полного разрешения, основное внимание уделяется частным
случаям: либо оценке одного только старшего (или верхнего
центрального, особого) показателя, либо оценке всех по-
казателей, но для систем треугольного вида. В последнем
случае оцениваются также показатели детерминантов
Грама, составленных из решений, и коэффициент непра-
вильности.
§ 9. Показатели и собственные числа
9.1. Случай постоянной матрицы. Для системы с по*
стоянными коэффициентами
х = Ах
(9.1)
показатели суть действительные части собственных чисел vk
матрицы А.
В самом деле, если А имеет жорданову форму
А =
9.2]
§ 9. ПОКАЗАТЕЛИ И СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
123
то, как известно (и легко получается из формул (4.9)),
существует базис
в котором вектор-столбец
{°.........»•	-ST
.	.....О................о).
очевидно, имеет показатель Xft = Revft. Кроме того, в силу
строения базиса Xt при линейном комбинировании с отлич-
ными от нуля коэффициентами каких-либо его векторов, ни
одна из координат этих векторов не уничтожается. Поэтому
показатель комбинации остается равным максимальному пока-
зателю комбинируемых векторов, что означает нормальность
базиса. Таким образом, его показатели суть показатели самой
системы.
В общем случае существует преобразование В — Т~1А7\
приводящее матрицу А к жордановой форме, и замена Ту
переводит систему (9.1) в систему у = Ву, к которой при-
менимо предыдущее рассуждение. Но показатели этих систем
совпадают (п. 3.5), так что и здесь они равны Rev^.
9.2. Случай переменной матрицы. Для системы с пере-
менной матрицей
x = A(t)x.	(9.2)
вообще говоря, не существует столь прямой связи между
собственными числами vA(/) матрицы A{t) и показателями
124ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ |9.2
системы. Хотя при дополнительных ограничениях некоторую
связь установить удается (см. п. 10.2, метод замораживания),
но в общем случае попытка судить даже только о знаках
показателей по знакам Revft(f) оказывается несостоятельной.
Например, у системы с матрицей
/ — 1 — 2 cos М — 2	2 sin 4£
2 + 2sin4/ —1-|_2cos4*
(9.3)
имеем Vj (/) = v2*(0s 1 (проверьте), а в то же время си-
стема допускает решение (проверьте)
{е* sin2f, e*cos2f}
с показателем* +1.
Можно указать некоторый общий прием построения при-
меров, подобных данному. Возьмем сначала систему второго
порядка
1 =	(9.4)
с постоянной матрицей
у которой
A = detB<0 и S==SpB<0.	(9.6)
Тогда ее собственные числа (корни уравнения X2—SZ-|-A=0),
служащие одновременно показателями системы, имеют разные
знаки, так что один из них положителен. Совершим пре-
образование
(с — s\	с = cos of,
, где .	. ® = const.
$ с]	S —
Так как U(t) — унитарная матрица с ограниченной произ-
водной, то преобразование является ляпуновским (п. 3.5), и
потому показатели преобразованной системы
x = A(t)x, A = U~lBU — U~lU
остаются прежними (п. 3.5). Кроме того, матрица A(t) перио-
дична. Оказывается, что ее собственные числа всегда по-
стоянны, причем надлежащий выбор со делает их либо отри-
цательными, либо комплексными с отрицательными действа-
9.2J
§ 9. ПОКАЗАТЕЛИ И СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
125
тельными частями. Доказав это, мы и получим требуемые
примеры.
Обозначим U~XBU = A'. Так как это — преобразование
подобия, то
SpX' = SpB = S и det Д' = det В = А. (9.7)
Замечая, что
и~1й=и*й—^	f с $\/ — ©s —©с\ /0 —© к — 5 с	©с — ©S /	\©	0
откуда	Sp	= 0.
мы видим, что, согласно (9.6) и (9.7),
Sp А = Sp(д' — и^й) = SpA'=S = const < 0, (9.8)
а
(а' а' + © \
,	, I =
а21-®	4	/
= det А' + (а'2 — af21^ © 4 ©2 = А 4- (а{2 — а'21) © 4- ©2. (9.9)
Далее, непосредственный подсчет показывает, что
A' = U-'BU =
__4“ (*124“^21) CS 4“ *22$2 —*2Г$2 + (^22—*11) CS 4 *12$2\
\^21^2 4“ (*22—*11)	--*12$2	*11^ — (*1г4"*21)	4“ ^22^/
откуда
<2 — *21 = *12 — *21 = COnSt
Таким образом, квадратный относительно © трехчлен
в правой части (9.9) не зависит от /, и так как его корни
действительны в силу условия А < 0, то путем надлежащего
выбора © ему во всяком случае можно придать любое зна-
чение от 0 до 4-°о. В соединении с условием (9.8), где
S < 0 не зависит ни от /, ни от ©, это означает, что соб-
ственные числа Л (/) постоянны (т. е. не зависят от t) и
могут быть сделаны, за счет выбора ©, как отрицательными,
так и комплексными с отрицательными действительными
частями.
126 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [10.1
Приведенный выше пример получается этим способом при
/—з 0\
в=( О 1) " а’=2-
§ 10.	Оценки нормы решения.
Метод замораживания
10.1.	Некоторые оценки центральных показателей.
Грубые, но зато простые оценки центральных, а следова-
тельно, и обычных крайних показателей можно получить,
непосредственно вычисляя и оценивая логарифмическую про-
изводную нормы решения системы x — A(t)x. Напомним,
что если при каком-нибудь (безразлично каком) определении
нормы для всех решений системы выполняются неравенства

(ЮЛ)
а следовательно и
(Ю.2)
с кусочно непрерывными (или измеримыми) ограниченными
функциями r(t) и /?(£), то последние служат соответственно
нижней и верхней для системы, и таким образом, централь-
ные показатели допускают оценки
г<со<2<Я.	(10.3)
Исходя из различных определений нормы, будем получать
различные оценки. Этот прием применялся многими авторами
и обычно доводился до оценок (10.2). Тот факт, что из них
вытекает (10.3), если и отмечался, то лишь в применении J
к крайним, а не центральным показателям. Мы видим, однако,
что если (10.2) выполняется для всех решений, то г и R 1
автоматически оценивают и центральные показатели.	;
Уже по этой причине для крайних показателей оценки, -
вообще говоря, слишком просторны. Другая причина кроется
в неизбежной грубости неравенств, которые удается полу- ?
чить в качестве (10.1).	।
Ю.1] § ю. оценки нормы решения, метод замораживания 127
Перейдем к вычислениям. Сначала найдем производную
произвольной нормы. Заметим, что |х(0| всегда абсолютно
непрерывна вместе с х(/)> так что фигурирующие ниже про-
изводные по t существуют почти всюду. По поводу упо-
требляемых ниже обозначений см. пп. Д. 2.3—Д. 2.5.
Лемма. 10.1.1. Если x(t) абсолютно непрерывна, то
почти всюду
% | х(t) I = N(х(t). x(t)) = N~ (x(t), x(/)). (10.4)
Доказательство. В тех точках, где существует х(f)t
имеем
|х(/+й)| = |х(0+Лх(0| + о(Л),
Откуда
lim 1*(<+'01-1*(01 
Л->+0	,
= lim I х + fr* (А L~l* (A I = дг (x (Q, *(/)).
A->+0	n
Таким образом, правая производная абсолютно непрерывной
функции |х(0| почти везде существует и равна N(x(t).
x(t)). Следовательно, то же можно сказать и относительно
обычной производной. Повторяя рассуждение для h~> — 0,
получим полностью (10.4).
Теорема 10.1.1. Если x(t) является решением си-
стемы x = A(f)x, а функции r(t) и R(t) таковы, что
r(t)< inf ЛГ(|, А(/)§) и sup AZ(g,
П1=1	Н1=1
то выполняются неравенства (10.1), а следовательно»
и (10.2).
Доказательство. С помощью леммы 10.1.1 ип. Д. 2.3
при условиях теоремы находим
и аналогично
Амх^-^лгсх. х» л^)>г(о.
128 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [ЮЛ
Таким образом,
что и требовалось.
Чтобы пользоваться этой теоремой, нужно уметь вычислять
величины inf W (g, Ag) и sup AZ (J, Ag) при различных
Rl=i	i£l=i
определениях нормы. При этом, поскольку почти всюду
№ (g,	— Ag), а в силу п. Д. 2.3 имеем
inf АГ (g, Ag) = inf {- N (g, - Ag)} = - sup N (g, - Ag),
I6l=i	I6l=i	iil=i
(10.5)
то достаточно научиться находить sup AZ (g, Ag). В пп. Д. 2.4
I6i=i
и Д. 2.5 приведены подсчеты для наиболее употребительных
норм. Пользуясь этими результатами и теоремой 10.1.1 и
останавливаясь сначала на оценках сверху, можем утверждать,
что любое решение системы x = A(f)x оценивается нера-
венством
|x(s)|
где | | — какая-либо норма, a R(t)— любая суммируемая
функция, удовлетворяющая соответственно одному из условий:
1)	R(f) = sup Ag) (произвольная |х|),
1*1=1
2)	R(0> lim J1~*. (произвольная Iх|),
л->+о	"
3)	R (0 > А	(| XI = /(Txj),
4)	/?(0>max[Rea/zH- 3	(|х| = max|xz|\,
5)	R(O>max[Rea*j+ 3	(|*1 = S Ix{ A .
k \	i^k } \	i )
(10.6)
Эти оценки получены в разное время разными авторами.
Важевским [2] получена оценка, основанная на 3), Лозин-
ский [3] получил оценку 2) и ее частные случаи 3)—5),
но для непрерывной А(/). Оценка, основанная на 1) (также
10.1) § 10 ОЦЕНКИ НОРМЫ РЕШЕНИЯ. МЕТОД ЗАМОРАЖИВАНИЯ 129
только для непрерывной A(t)) вытекает из работы Эльтер-
манна [4].
Хотя из п. Д. 2.4 и вытекает эквивалентность условий 1)
и 2), тем не менее условие 1), по-видимому, предпочти-
тельнее по тем соображениям, что при конкретном вычисле-
нии R(t) удобнее оценивать верхнюю грань предела, а не
предел верхней грани g(x, h) (п. Д. 2.4), к тому же
sup £(х, Л), т. е. норма некоторой матрицы, не всегда из-
I х| = 1
вестей в явном виде.
Несомненно, в общем случае указанные оценки оказы-
ваются грубыми, тем более, что величины (10.6) не инва-
риантны относительно ляпуновских преобразований системы.
Поэтому, теоретически говоря, их можно улучшать, пере-
ходя от матрицы А к матрице B = L~lAL— L~yL и лишь
затем вычисляя величины (10.6). Подробный разбор этого
приема содержится в работах А. Д. Горбунова [5] и К. А. Ка-
рачарова и А. Г. Пилютика [6]. Практически, однако, трудно
заранее указать полезное ляпуновское преобразование £.
и потому в действительности приходится ограничиваться
величинами (10.6) либо пользоваться лишь простейшими
(в частности, постоянными) преобразованиями, подсказывае-
мыми конкретным видом системы.
Из предыдущего вытекает также
Следствие 10.1.1. Верхний центральный показа-
тель системы x = A(t)x допускает оценку с лю-
бой из функций (10.6).
Чтобы применить проделанные вычисления к нижнему
центральному показателю, достаточно теперь воспользоваться
теоремой 10.1.1 и равенством (10.5). Мы находим, что если
r(t) удовлетворяет одному из условий:
г(0С— sup N(.r, —Аг),
|х| = 1
//ч г |/4~АА | —1
Г(О< hm ' Т-; -'-----,
Л->-0 п
(Д Д* \
—1	(X — наименьшее собственное число),
r(/)<min(Rean — S
г (0 < tnin (Re аЬя —	1 aik I )•
9 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
130 гл. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [10.2
то имеют место оценки
t
с соответствующей нормой | |, а также
г.
Кроме того, их можно применять к матрице B=L~iAL—L~xL.
10.2. Метод замораживания. Идея метода заморажива-
ния состоит в том, что о решениях системы с переменной
матрицей
x = A(t)x	(10.7)
пытаются судить так, как если бы матрица A(t) была по-
стоянной, или «замороженной» в некоторой точке Zo. В част-
ности, рост решений системы стараются связать с наибольшей
действительной частью A(/) = maxRev/(0 собственных чисел
i
матрицы A(t\ или хотя бы с ее верхней гранью
p = sup А(/).
t
То, что эта идея в чистом виде не проходит, показывают
примеры п. 9.2, где р отрицательно, а некоторые решения
имеют положительные показатели.
Ясно, что из-за непостоянства матрицы A(t) должны быть
внесены определенные поправки, которые могут зависеть
как от абсолютной величины изменения A(t), так и от ско-
рости изменения.
Для применения метода замораживания желательно по
возможности точно оценивать рост матрицы	кото-
рую можно рассматривать как матрицу Коши «заморожен-
ной» системы
; = A(Z0)y	(10.8)
Простейшие оценки вытекают из результатов предыдущего
параграфа:
| gA (/0) t | qRqI ,
где Rq = R (t0) — любое число, удовлетворяющее одному из
условий (10.6).
10.2] § 10. ОЦЕНКИ НОРМЫ РЕШЕНИЯ. МЕТОД ЗАМОРАЖИВАНИЯ 131
Более точную оценку содержит
Лемма 10.2.1. Если — собственные числа ма-
трицы А и A = maxRevp то
л-i
IeAt |<ел/ -2-/г ' ’	(10 9)
й = 0
Доказательство. Для получения этой оценки нужно
произвести небольшое уточнение рассуждений из книги
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [7], где доказывается ана-
логичная оценка, но без множителей 4-.
А именно, для любой аналитической функции f (v) и мат-
рицы n-го порядка А имеет место равенство
/ (A) = ^i + ^2 — vi) + h (А — V!) (А — v2) + ...
••• +М-4 — Vj)(A — v2) ... (A — vn_j),
где
1 = J • • • J	Ivl + (V2 — Vl) Л + • • •
о	0
... 4-(vft—
Поэтому
n-1
l/(A)|<2M+i|(MI + |v1|) ... (|A| + |vft|). (10.10)
fc=0
max |(v) |
,... J	- Ji .
0	0
где В — выпуклая оболочка совокупности чисел {vp ..., vfr}
в плоскости комплексного переменного v1).
Нас интересует случай f(y) = evt. Здесь f(k) (у) = tkevt и
№
k\ •
Подставляя эту оценку в неравенство (10.10) и используя
неравенство |vzKJA|, приходим к (10.9).
1) В книге [7] Л-кратный интеграл мажорируется просто еди-
ницей.
1
I ^+i|<max|/(ft)(v)| • f dt
9*
132 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [10.2
Следствие 10.2.1. Если при всех t имеют место
неравенства
|Л(О1САГ и Л(О<р,	(10.11)
то
n-i
I (О | ^. ер<	(10.12)
л=о
Основную роль в методе замораживания будет играть инте-
гральное уравнение, получаемое следующим образом. Рас-
смотрим интегральное уравнение (Д. 13.17). Если возмущение
линейно: /(/,	х, то в соответствующем уравнении
t
x(t) — X(t, Qx(/0)+J X(t, s)B(s)x(s)ds (10.13)
^0
можно подразумевать под x(f) не только вектор, но сразу
фундаментальную матрицу; умножая уравнение справа на
матрицу Х“!(/о), можно переписать его в виде
t
x(t, t0) = X(t, t0) + J X(t, s)B(s)x(s, t0)ds,
где x(t, t0) = x (t) x-1 (t0).
В том частном случае, когда невозмущенная система
имеет постоянную матрицу коэффициентов А, можно писать
X(t, $) = еА(*-$), и, обозначая теперь х через X, получим
t
X(t, to) = eA^-^-\- J eA«-^B(s)X(s, t0)ds. (10.14)
Здесь, следовательно, X есть базис возмущенной системы.
Обратимся к нашей системе (10.7). Перепишем ее в виде
x = A(tx)x+\A(t) — A(tx)}x (10.15)
с произвольно фиксированным tb а затем, рассматривая
[X(0-A(Q]x как возмущение, перейдем к интегральному
уравнению (10.14); получится
t
X (t, to) = еА W «-V + J еА <'> ('-*) [Л ($) — A (tj)] X (s, t0) ds,
10.2] § Ю. ОЦЕНКИ НОРМЫ РЕШЕНИЯ. МЕТОД ЗАМОРАЖИВАНИЯ 133
где X(t, tQ) — базис системы (10.15). Теперь положим / =
и обозначим снова через t\
t
X(t, t0) = ел Ю J (')(<-*) [Л ($) —А (/)]*($, t0)ds.
(10.16)
Это и есть нужное интегральное уравнение1)- (Заметим, что
в нем матрица еА (*)(*-*•) не совпадает с матрицей Коши си-
стемы (10.8).)
Теорема 10.2.1. Если
1)	|*л<')и|<т](^
2)	|А(0 —А($)|<а(/, $),
то
(ю.17)
где g(t)— решение интегрального уравнения
t
=	— to, 0+J n(*~s. f)a(t, s)g(s)ds. (10.18)
/о
9 Его можно получить еще следующим способом. Рассмотрим
матричную функцию
Г(<,5) = вЛ(<>(<-^Х(5, Zo),
где Х(/, tQ) — решение уравнения (10.15), X(fQt £0) = /. Имеем
У (t, t) = X (t, ta) и У (t, t0) = eA (/)
а кроме того,
4г = (0(<-s) 1л (s)- A (0] X(s, t).	(*)
Поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница
t
У(t, s)|'=Zo = J
4
Подставляя сюда (♦), приходим к тому же уравнению (10.16).
134 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [10.2
Доказательство. Из условий теоремы и из уравне-
ния (10.16) следует, что
t
\X(t,	s)\X(s, t0)\ds.
to
Применяя результаты п. Д. 13.5 с
£(£) = т](£ — tQt t) и ф(Л s)==T](Z —	Оа(^> $)»
получаем утверждение теоремы.
Наиболее удобную форму интегральное уравнение (10.18)
приобретает, когда г| (и, t) не зависит от а а(/, s) зависит
только от разности t — s. В этом случае имеет место
Теорема 10.2.2. Пусть
1)	| еА “> и | < т] (и)< DeKu,
2)	|А(О —A(s)|<a(f —s),
и X такое, что
со
J (т) а (т) dx < 1.
о
(10.19)
Обозначим нижнюю грань таких X через Х°. Тогда верх-
ний особый показатель 2° системы (10.7) удовлетворяет
неравенству
2°<Х°.
Этому же неравенству подавно удовлетворяют цен-
тральный и старший показатели системы.
Доказательство. Интегральное уравнение (10.18)
теперь имеет вид
t
g(t) = x\(t — f0)+ | T](/ — s)a(t — s)g(s)ds,
A)
и так как в силу условий 1) теоремы
то к этому уравнению можно применить результаты п. Д. 13.7,
что дает
10.2] § Ю. ОЦЕНКИ НОРМЫ РЕШЕНИЯ. МЕТОД ЗАМОРАЖИВАНИЯ 135
Тогда неравенство (10.17) превращается в
\X(t, f0)|<D/('‘4
а это по определению особого показателя означает, что
Отсюда следует также
2°<АД
и доказательство окончено.
Следствие 10.2.2. Если при	выполняются
неравенства
1)	М(0|<К.
2)	Л(О<р.
3)	|Д(0 —Д($)|<д|/ —S|4-c,
где К, р, д, с — постоянные, то верхний особый показа-
тель 2° системы (10.7) удовлетворяет неравенству
2°<р + |-	(Ю.20)
где С—положительный корень уравнения
3 (2Л')й'1(*&*+1+ <£*)= 1	(10-21)
Л = 1
(единственный в силу монотонности левой части по£> 0).
Такому же неравенству подавно удовлетворяют цен-
тральный и старший показатели.
Доказательство. Применим к рассматриваемому слу-
чаю теорему 10.2.2, используя в качестве т](я) функцию
Ji (2Ku)k
Это возможно в силу неравенства (10.12), причем для выпол-
нения условия 1) теоремы 10.2.2 достаточно взять любое
> р. Однако чтобы удовлетворялось также условие (10.19),
136 гл. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ (10.2
нужно потребовать еще, чтобы было
со
^“Хтт] (т) (6т + с) dx =
о
™	Я”1	к
— I е-<л-р) t	0т»+1 _j_ ст*) ах =
о	л=о
п
Таким образом, для X0 = infX должно выполняться соотно-
шение
п
kb
(l0-p)*+1
с |
(Хо-р)Ч==1
Мы видим, что величина £
удовлетворяет уравне-
Л = 1
1
— р
нию (10.21), и доказываемое утверждение вытекает теперь
из теоремы 10.2.2.
Практически наиболее интересным представляется тот
случай, когда в условии 3) имеем с = 0, в частности, когда
дано условие малости производной A(t). Заметим прежде
всего, что условия
|A(O-A(s)|<6-|f —$| и |А(0|<6
равносильны. Действительно, второе вытекает из первого
очевидным образом, а чтобы убедиться в обратном, доста-
точно воспользоваться результатами п. Д. 9.3. Поэтому из
предыдущего получаем также
Следствие 10.2.3. Если
1)	|4(0|<К.
2)	Л(О<р.
3)	|Л(О — Л($)|<д-1/ — $ |, или |Л(О|<6.
то
0°.
10.2] §Ю. ОЦЕНКИ НОРМЫ РЕШЕНИЯ. МЕТОД ЗАМОРАЖИВАНИЯ 137
где — положительный корень уравнения
п
2 бл(2К)*_Ч*+,==1.
Й = 1
В частности, всегда
л+1 __________
0°<р+2/(Г	•
(10.22)
(10.23)
Доказательство требуется только для последнего нера-
венства, так как все остальное содержится в следствии 10.2.2.
Это неравенство тривиально, когда
бп(и-|-1)
8К2
так как в этом случае оно хуже, чем
Q°<p+2/G
а последнее хуже тривиальной оценки	В самом деле,
в силу условий 1) и 2) мы имеем |Л(/)|<^/С, |р| и
отсюда
О°<К<р + 2/С
Остается рассмотреть случай
&п (п + 1)	1
8№
(10.24)
Полагая 2/С£ = г, перепишем уравнение (10.22) в виде
п
=	(10.25)
*=1
Левая часть монотонно возрастает при z > 0, и при z — 1
удовлетворяет неравенству (10,24). Поэтому положительный
корень 2г0 уравнения (10.25) будет больше единицы. Но тогда
п	п
1 = 5 У kzk+1 с zn+i & У k — zn+x
4К2 Zj 0	0	4/<2 Zj — 0	8К2
Л-1	к=1
138 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [10.2
иначе говоря, положительный корень £0 = -^ уравнения
(10.22) удовлетворяет неравенству
1 <^+1(2Юп+1	•
В таком случае (10.20) обращается в (10.23), и доказатель-
ство окончено.
Итак, отклонение «истинного» особого показателя Q0 от
«замороженного» р, вызванное переменностью матрицы A(t)t
имеет порядок не выше у & при малых д= sup | Д(0|.
Существуют примеры, где это отклонение имеет порядок
п г-
у 6, но неизвестно, можно ли в общем случае снизить до
такого же порядка оценку типа (10.23).
§ 11. Показатели треугольной системы.
Теорема Ляпунова
Показатели треугольной системы определяются в основном
ее диагональными коэффициентами. Например, в случае по-
стоянной треугольной матрицы они просто совпадают с дей-
ствительными частями диагональных коэффициентов, т. е. от
остальных элементов матрицы вообще не зависят. В случае
переменной матрицы это не совсем так, но все же за диаго-
налью сохраняется преимущественная роль, по крайней мере,
в оценке показателей.
Принципиально говоря, можно было бы поставить вопрос
не об оценке, а о точном вычислении показателей треуголь-
ной системы, поскольку ее решения даются в явном виде
формулами (4.9). Однако, не говоря о громоздкости вычи-
слений по этим формулам, оставалась бы еще та трудность,
что описываемый ими базис не обязательно нормален, так что
его показатели не всегда совпадают с показателями системы,
а все известные нам методы перехода от заданного базиса
к нормальному практически неэффективны. Поэтому целью
настоящего параграфа будет построение простых оценок
показателей через диагональные коэффициенты pi (t).
При этом, как и прежде, будет рассматриваться только
случай вещественных (0.
11.1)
§ 11. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
139
Изучая верхние числа этих функций, можно пользоваться
либо индивидуальными, либо совместными их усреднени-
ями (§ 8). Это приводит к оценкам двух разных типов,
которые будем называть соответственно 1-м и 2-м.
11.1. Оценки 1-го типа. Теорема Ляпунова. Пусть дана
треугольная система
x = P(t)Xt	(11.1)
и X' (/) — ее треугольный базис, задаваемый формулами (4.9).
В общем случае он не нормален, так что его показатели не
совпадают с показателями системы. Поэтому рассмотрим сна-
чала переход от него к другим базисам, в частности к глав-
ному (п. 4.3), и оценим их показатели. Пусть X”— другой
треугольный базис. Он получается из X' по формуле Х"=Х'С,
где С — неособая треугольная матрица, и потому его диаго-
нальные элементы суть
J
Xkk ~ CkkXkk ~ Ckhe°
Но xnkk служит одной из координат вектора х" этого базиса,
откуда	и таким образом
«(<)>?,•	(11-2)
Эта оценка верна для любого треугольного базиса, в том
числе и для главного. С другой стороны, показатели всех
координат й-го вектора главного базиса, а следовательно и
показатель самого вектора, допускают оценку сверху (4.17)
Окончательно получаем для векторов главного базиса
... +дрг (н-3>
Аналогичные вычисления, проделанные для главного базиса
сопряженной системы с помощью (5.5), дают
~Л<х(Х)<~Л4 а^+1+л^+2+	(п.4)
Поскольку главные базисы взаимны (теорема 5.2.2), число
Vy” = mfx (X (XD + X (X)}	(1 ‘ -5>
140 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ (11.1
представляет собой дефект этих базисов. Складывая преды-
дущие неравенства, получаем для него оценку
(Н.6)
Оказывается, что все эти оценки остаются верными и
для нормальных базисов, т. е. для показателей самих систем
(прямой и сопряженной).
В самом деле, согласно 3.1.12 существует треугольное
преобразование, переводящее главный базис в нормальный:
X — Х"С'\ и при этом х (хй) X (*£)» так что оценка сверху
сохраняется; с другой стороны, такой нормальный базис
остается треугольным в силу треугольности X" й С", поэтому
для него остается в силе оценка снизу (11.2). В итоге
оценки (11.3) оказываются справедливыми для векторов нор-
мального треугольного базиса, а следовательно, и для пока-
зателей системы. Аналогично получаем (11.4) для нижне-тре-
угольного базиса сопряженной системы и ее показателей.
Отсюда непосредственно еще нельзя получить оценку коэф-
фициента неправильности, потому что участвующие в этом
рассуждении базисы, вообще говоря, не взаимны. Поэтому
поступим несколько иначе. Возьмем снова нормальный и
треугольный базис X, Взаимный с ним базис Y' = АГ*“1 не
обязательно нормален, но имеет нижне-треугольную форму.
Следовательно, остаются в силе как неравенство (11.2), так
и аналогичное неравенство для У', т. е. левая часть (11.4),
откуда
улу,>тахДрй.	’
Но дефект уху, нормального базиса X равен коэффициенту
неправильности у (теорема 3.2.4), так что и
. л
у>тахДрл.
k
С другой стороны, у есть минимум дефектов всех базисов,
поэтому правая часть оценки (11.6) подавно для него верна.
Итак,
Теорема 11.1.1. Для показателей Kku\kku коэффици-
ента неправильности взаимно сопряженных треугольных
li.2|
$ И. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
141
систем имеем оценки l-го типа
Pi
Р2 ^2	Рч 4“ ^Ръ
Рп^^п^ Рп~^~^Рп-1~^~^Рп-'.^Г ••• 4-Ар].
(11-7')
—_Р1^Мт— Р\ 4~	4* ••• 4~Арл>
—— _Рг4-дРз4- ••• 4“Арп>
(11.7")
— РЯ = НЯ.
тах,Дрй<у<2 ДР».
k	k
(11.7'")
(Отметим, что участвующие здесь показатели занумерованы
не в порядке монотонности, а более или менее случайным
образом — лишь в порядке следования столбцов нормальных
треугольных базисов.)
Из этих оценок вытекает известная
Теорема Ляпунова 11.1.2. Для того чтобы тре-
угольная система с вещественной диагональю была пра-
вильной, необходимо и достаточно, чтобы все ее диаго-
нальные коэффициенты имели точные средние значения:
Pk = Pk = Pk'	(П-8)
и тогда эти значения суть показатели системы, а
(— pk) — показатели сопряженной системы.
Действительно, из неравенства (11.7"') видно, что условие
правильности: у = 0 — соблюдается тогда и только тогда,
когда все Дрй = 0, и в этом случае неравенства (11.7') и
(11.7") дают рй = %*. — рй = щ.
11.2. Случай блочно-треугольной системы. Под этим
названием будем понимать систему x = P(t)x с матрицей
Р = diag [/>„_, Р„2.................
где РП/1—треугольная матрица порядка пк; «14-«24“ •••
. .. +пг = п.
142 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ (11.3
Формулы (11.7') — (11.7"') теперь несколько упрощаются:
строчка с номером £nk содержит в правой части члены
только с номерами, также £nk, потому что этим свойством
обладает теперь базис (4.9).
Особо выделяется тот случай, когда внутри каждого
блока РПк все диагональные элементы равны: pt =
для iQnk. Здесь формулы (11.7') — (11.7'") уточняются более
существенно и обращаются в равенства
О	М— P{ky
2)	= —Р(*р
3)	у = тах Др(й).
(11.9)
В самом деле, пусть сначала Р состоит из одного блока Рг
t
J рх dx
с диагональным элементом px(t). Замена х — е® у пре-
вращает систему х = Ргх в систему y=^(J\ — Р\Г)У с нуле-
вой диагональю. Для последней, согласно теореме 11.1.2,
все решения имеют точные показатели, равные нулю. Поэтому
у исходной системы все показатели равны рь что и требо-
валось. Кроме того, отсюда следует, что любой ее базис
нормален, так как не допускает понижающих комбинаций.
Возвращаясь к нескольким блокам, мы видим, что базис (4.9),
имеющий теперь блочно-треугольную форму, также норма-
лен: комбинирование векторов с номерами, соответствующими
одному и тому же блоку, не понижает показателей по при-
чине, разобранной для одного блока, а комбинирование из
разных блоков не уничтожает ни одной из координат, и
потому также не понижает показателей. Внутри &-го блока nk
показатели равны т. е. мы получили равенства (11.9).
11.3. Показатели грамианов. Пусть дана линейная система
x = A(t)x	(11.10)
и несколько независимых ее решений:
••••
Составим из них грамиан Gm и грамов объем Гт=У Gm
(см. п. Д. 4.1). Известно (см. п. Д. 4.2), что когда т = п,
11.31
§ 11. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
143
имеет место равенство
Г; = |det X' |, где Хг = [xj, .... х^].
Поэтому формулы (3.28) — (3.31) можем переписать в виде:
1)	Re Sp Л = % (Г'),
2)	Ё^Л=х(Г),
д,	"	(11.11)
3)	-3z(X)<x(r;)<x(r;)<Sz(x;),
4)	X (Г')~	«Y-
Справедлива также
Теорема 11.31. Для любого количества т^п неза-
висимых решений будем иметь
х(гу<2х«).
х(г'„1)-х(г;)</пу.
(11.12)
п
а для коэффициента Ляпунова а =	— ReSpX
1		
Y<Ca<C^Y-	(11.13)
Сначала проведем доказательство для некоторых весьма
специальных случаев.
I)	Допустим, что изучаемая система треугольна, а выбран-
ные решения х{, ...» х'т совпадают с первыми т столбцами
ее треугольного базиса. Тогда они образуют базис усеченной
системы (п. 5.4), и, применяя к последней формулы (11.11),
получаем
т
z(ry<SzM).
где у — коэффициент неправильности усеченной системы.
Но так как Y^CY (п. 5.4), то приходим к требуемым нера-
венствам (11.12).
144 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕИНОИ НЕВОЗМУП1ЕННОИ СИСТЕМЫ [П.З
Перейдем к числу о. Неравенство а пу было доказано
ранее (п. 3.4), поэтому остается доказать, что а^у. Сначала
также разберем специальный случай.
II)	Пусть система снова треугольна, а ее треугольный
базис бинормален, и притом таков, что максимум
max{x(xft) + x(^)}
k
(равный, как известно (см. 3.2.4), коэффициенту неправиль-
ности у), достигается при k = n:
X (Х„) + X (Уп) = К + Нл = Y-
Для треугольной системы имеем по определению
а = 2 — Sp Р — 2 —(2 рД
поэтому подлежащее доказательству неравенство о у при-
нимает вид
2	^к —(2 Рк)	У-
Ввиду бинормальности базиса для его векторов выполняются
одновременно неравенства (11.7') и (11.7"), в частности
= — Рп- так как вообще (р+?)<Р+?» (р+яХр+Ч
(см. (Д. 16.7)), то можем записать
•	(п \	/п-1	\	п-1 _
Рй/ Рл Ч~ \ S Рн) ^-Рп^Г 2 Рк<
а принимая во внимание левые части (11.7'). будем иметь
/ л \	л-1
Рк) <РП 4“ S ^k-
Теперь
п	п-1
а=2 ^к (2 Pfe) 2 —Рп — 2	=
= — рл = Ч+цл = у>
что и требовалось.
Чтобы провести доказательство в общем случае, доста-
точно воспользоваться теоремой Перрона, независимо дока-
занной в § 20. В самом деле, применяемое там преобразо-
вание U унитарно, а потому не меняет ни грамианов, ни длин
11.4]
§ 11. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
145
векторов, г. е. сохраняет все изучаемые показатели. Беря
изучаемые решения x'v ..., х'т и дополняя их до какого-
либо базиса x'v ...» х'т, x'm+v •••» х'п, мы приходим к спе-
циальному случаю I), как то утверждает п. 2 теоремы Пер-
рона. Наконец, отправляясь от какого-либо бинормального
базиса исходной системы и вычисляя величину
Y = max{x(xft) + x(^)},
k
мы можем изменить нумерацию базиса так, чтобы максимум
достигался при k = n. Если затем строить перроновское
преобразование на основе такого базиса, приходим к спе-
циальному случаю II).
Следствие 11.3.1. Для любого решения x(t)4=Q
будет
х(*) —	(11.14)
и потому
D/x_v_e)/<!x(O|<Dee(X+e)/,	1 = х(х). (11.15)
Это вытекает из (11.12) при k—\.
11.4. Усиление оценок 1-го типа. Оценки (11.7')—(11.7")
в некоторых простейших случаях достигаются, т. е. обра-
щаются в точные равенства, например, при постоянных pt(t)
или вообще при обращении всех \pt в нуль, или в случае
диагональной системы, и т. п. Однако в общем случае они
заведомо завышены. Так, можно показать, что если задаться
фиксированными значениями A/?z > 0, то эти оценки никогда
не будут достигаться (упражнение 11.6.10). Любопытно, что
погрешность при этом зависит от величины /f = sup|P(O|
и может быть сделана тем меньше, чем большие значения К
считаются допустимыми (при фиксированных pz и Дрр см.
упражнение 11.6.10).
Оказывается, что. вводя в оценки 1-го типа величину К,
можно улучшить их так, что они становятся достижимыми
при любых наперед заданных pit &pt и К.
Для упрощения выкладок проведем рассуждения на при-
мере системы второго порядка:
=	pi2(f)x2, I
1	(11.16)
Х2=	P2(t)x2. J
10 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
146 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [П.4
Ее базис имеет вид
I \	f X12
•*1=1 Ь *2 =
\ Х21 /	\ Х22
где
t	t	3
J Pidr	J Pidr *	-j* Pidx
xn = e° .	x12 = e° J Pn^x^sye 0 ds,
a
t
J p,dx
x2i = 0,	x22 = e°
Согласно оценкам 1-го типа
X(*i) = Pi. X(*2)< P2 + ЛР1-
Если же воспользоваться результатом п. Д. 20.4, где в дан-
ном случае г = р2, р = — рь то получим усиленные оценки
Х(х1) = Р1>	х(*2)<?.	(П-17)
где, согласно (Д. 20.16) — (Д. 20.18),
9<p24-Api.
причем неравенство становится строгим, когда
APi (Р2 — Pi) =£ °-
Аналогично для системы, сопряженной с (11.16), найдем
Х(Р1Х?'. х(у2) = — р2.	(11.18)
где
Я' < — Pi -+ Др2 « при Др2 (р2 — Pi) ¥= 0).
Отсюда для коэффициента неправильности получим
у<0(ДР1-4-Др2),	0<1.	(11.19)
Неравенства (11.17) (11.19) представляют собой искомые
усиления оценок 1-го типа (11.7')— (11.7") в случае л = 2.
Они действительно сильнее, когда не все Apz = 0 и р2=/=р\>
а их достижимость иллюстрируется примером 11.6.10.
Аналогичные усиления можно провести для любого п>2.
11.5]	§ П. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ	147
11.5. Оценки 2-го типа. Рассмотрим треугольную систему
х = Р (t) х
(11.20)
и какой-либо треугольный ее базис. Его /и-й вектор
хС, = (х'.......х' , 0.......0]
т I 1т	тт	J
удовлетворяет также усеченной системе
Х1 = Р1 (0 *1 + Р12 (0 х2 +	Р1т (/) хт.
Хщ ==	Рт (О ^т’
(11.21
а потому его показатель не превосходит верхнего централь-
ного показателя этой системы, равного
(Р1  • • Рт)-
(см. (8.12)). Итак, показатели нашего треугольного базиса
допускают оценки
х (*;)</?•
х(*$)<(зд),
(11.22)
Цхп)<(Р1 ••• Рп)-
Но мы знаем (см. п. 5.3), что среди треугольных базисов
имеется и нормальный, а потому написанные неравенства
справедливы также и для его показателей, т. е. для пока-
зателей системы. Итак, используя еще левые части (11.7') —
(11.7"), можем записать
Pi — М»
Р2<^2<(Р1М
Рп<^п<(Р1 ••• Рп)-
(11.23)
Эти неравенства будем называть оценками 2-го типа для
показателей системы. Следует отметить, что в них, как
и в оценках 1-го типа, показатели не упорядочены по
10*
148 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [11.6
величине: их нумерация определяется нумерацией столбцов
нормального треугольного базиса.
Примеры 11.6.13 показывают, что оценки 1-го и 2-го
типов независимы, т. е. в различных случаях каждая может
оказаться лучше другой. Применительно к сопряженной
системе
y = — P*(t)y
те же рассуждения дают для любого нижне-треугольного
базиса У':
x(X)<-(w • • ря>
%$)<- (Р2 • • • РпУ	(11.24)
х(Х)<
В частности, беря какие-либо взаимные треугольные базисы
(например, канонические), будем иметь для их показателей
как неравенства (11.23), так и (11.24). Следовательно, дефект
этих базисов
Y' = max {х«)+х(Х)}<
< max {(ал, ... р*) —(р*рй+1 ... р„)}.
Тем более для коэффициента неправильности получаем
Y<max{(p1 ... рк) — (pk ... р„)}.
й
(11.25)
Эта оценка также независима с (11.7"'), см. пример 11.6.13.
11.6.	Примеры и упражнения.
11.6.1.	Если функция f(t) кусочно постоянна на [0, оо), то точки
ее непрерывности не являются точками строгого экстремума
функции
I J /(T)rfT.
о
Поэтому для вычисления
t	t
f = lim f f (T) dx, f = lim | f (r) dx
~	/~>оо Г X	1 X
11.6.5]
§ и. показатели треугольной системы
149
достаточно заставлять t пробегать лишь множество точек раз-
рыва f (I) (концов промежутков постоянства).
11.6.2.	Возьмем число q > 1 и построим функцию
(	1 при tG [q2ft~~2, q2k~l),
1 Jr 2*-1 2*4	(*=1,2,...) (11.26)
( —1 при i£lq * \ q)
(значения fq(t) на [0, 1) не играют роли; для простоты считаем
здесь fa (/) = 0; функцию можно также определить как fq (i) =
, to* ,\
= sign sin	1J.
Тогда	__
/« = (?,	(11.27V
где
(Э = -|фр 0<Q<l	(11.28)
(применить 11.6.1).
11.6.3.	Определим функцию
f	1 ПрИ *€1(2А —2)1, (2Л —1)!),
Z°°U	(—1 при	1)1, (2А)!)	1	.....’
(или f (t) = sign sin яГ (0, Г (t) — гамма-функция).
Тогда
/оо=-1>	7^=1	(П.29)
(применить 11.6.1).
11.6.4.	Чтобы построить функцию p(t) с наперед заданными
значениями	_
р = а, р = Ъ, а^Ь,
достаточно положить
z..	л+b , b — а . ...	... л4-b . b — л ..
Р ® == ~2 "I---------- (/) ИЛИ Р = 2“ *" ~2Q~ f4
беря и fy из предыдущих примеров. В обоих случаях
|р (OK const.	(11.30>
11.6.5.	Возьмем произвольные К>0 и0</п<1 и положим
р (t) = Kfq (0> а затем
t	S
J pdx t -(m + l) J p dx
F(t) = e° fe 0 ds.
0
Тогда
X(F) = KQ -2 + 1OT^1q-Q)-
150 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕН НОИ СИСТЕМЫ 111.6.6
Указание. Неравенство
x(/?)<kq-2+1w_^-Q)
вытекает из п. Д. 20.3. Для доказательства обратного утверждения
нужно взять tfk = q2k и tk = q2k+\ Тогда, согласно (11.27) и опре-
делению
J pdx = (KQ + e)tk,	e=eft->0,	(11.31)
о
а для s £ [/*,
s	*k S
fpdx = f + f = (-KQ-e.}t'k + K(s-t'k), е = ел->0. (11.32)
о	0	/
ч
Далее,
*k	s
j* pdx -(m+l) j* pdx
j e ° ds,
‘k
после чего остается оценить последнее выражение снизу с по-
мощью (11.31), (11.32).
11.6.6.	Пусть даны числа
М ^п,
Н1> ...
удовлетворяющие условию сопряженности
^ + и/>0	1, ..., л),
л в остальном произвольные. Согласно 11.6.4 существуют функ-
ции pt (/) такие, что
—= Pt^lr	(11.33)
Тогда сопряженные системы
x=diag[pz(/)]x и у = — diag [р. (/)] У
имеют показатели (11.33).
11.6.7.	Ненормальные базисы, дефект которых равен коэффи-
циенту неправильности. Как в предыдущем примере, построим си-
стему 2-го порядка, у которой
= 1,	Z<2 ~ 2,
Hi = — 1, Н2 = о.
11.6.8]
§ И. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
151
Коэффициент неправильности будет у=2. Ввиду различия всех по-
казателей линеал решений с младшим показателем одномерен как
у прямой, так и у сопряженной системы. Поэтому всякий нормаль-
ный базис сколь угодно малым сдвигом начальных условий можно
вывести из состояния нормальности; напротив, ненормальный базис
остается таким и при всех достаточно малых сдвигах. Отсюда ввиду
непрерывной зависимости взаимных базисов друг от друга (выте-
кающей, например, из п. Д. 3.3) следует существование взаимных
базисов (л') — (у')9 из которых ни один не нормален. Но у них
Aj — ^2 == max А^=== 2,
H = H2 = maxHz==0,
и дефект ухгу, остается равным 2.
11.6.8.	Случаи знаков < и = в неравенствах у<б<лу.
Возьмем функцию р (0, У которой р < р, и рассмотрим систему
3-го порядка х = diag [pz (0] х Если рг (t) = р (0, а р2 = р3 = 0, то
Aj = р, А#2 — А3 — О,
И1==— А Ц2 = Из = 0,
У = шах (А/ + pz) = р — р = Ьр>0,
а = 2 А/ — SpP = р — р^ = Др,
и таким образом,
у = о < Зу.
Если Pi=p2 = p, а р3 = 0, то
так что
Aj — А2== р,
И1 = р2 = —р,
у = Др,
о = 2 Др,
A3 = О,
Рз = О,
у < а < Зу.
Наконец, если pj = р2 =? р3 == р, то
Aj = А2 = А3 — р,
И1 = Иг = Из = — А
у = Др,
0=3 Др,
и следовательно,
у < о = Зу.
152 ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕИНОИ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [11.6.9
11.6.9.	Независимость оценок у<о и	Покажем,
к
что встречаются оба случая: о < 2 ^Рк и а > 2 &Рк‘ ®озьмем
систему
*i*=P (0 *1,
= —
у которой /Г=а>0, р —— а (например, p — fq из 11.6.2). Тогда
= =	др==2а, spp = o,
и, таким образом,
2 &рк = 4а,
о = 2 ^к — SpP = 2а,
°<2дЛг
Обратное неравенство для диагональных систем невозможно (про-
верьте).
Поэтому рассмотрим систему
Xl=fq(t)Xi+x2,
хг = 0
t	S	\
Uqdx 1 ~$fgdx	\
е° fe° ds .
о	I
1	/
с базисом
/ ^f9dt
е°
О
Показатель первого столбца есть fq — Q (11.27), а показатель вто-
рого, согласно 11.6.5 (здесь К=1, ^ = 0),—
Так как показатели различны, то базис нормален, и эти числа суть .
показатели самой системы
1 __ Q у ____ 2Q
Al - Q, Л2 - утро-’
При этом
дЛ = Д/? = 20,	Д^2 = °. 2дрл = 2(?,
SpP = /? = _Q,	0 = ^Xft-SpP = 2Q + T^->
11.6.101
§ 11. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
153
и, таким образом,

11.6.10. Достижимость оценок (11.17)—(11.19) при заданном
коэффициенте неправильности и заданном классе ограниченности К
(т. е. sup | Р (t) 1 = К). Рассмотрим сопряженные системы 2-го по-
рядка
Х1=Р(0*1+*2, 1	>i= —Р(ОУь	|
хг = — P(t)x2,	J	У2 = —yi+^(Oy2> J
где функцию p(t) возьмем
зисы суть
J Pdx
из 11.6.5:	Главные ба-
t	S
J р dx t -2 J р dx
— f е °
О
О
t
J Pdx
e*
и в силу 11.6.2 и 11.6.5 показателями служат числа
откуда
Y » + Pi = ^2 + М-2 = ।	•	(11*34)
Допустим, что числа у и К заданы, причем 0 < у < 2К (проверить,
что случаи у = 0 и у = 2К неинтересны, а у > 2К невозможен).
Тогда из (11.34) определяется Q:
Q~ 4К—у’
(11.35)
причем получается 0 < Q < 1, после чего из (11.28) находится q
154ГЛ. IV. ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ [11.6.11
и тем самым полностью определяется функция а следова-
тельно, и коэффициенты наших систем. При этом Aj =£ А2, Щ =й= Нз»
так что эти числа суть показатели систем. Показать, что:
1. Оценки (11.17) — (11.19) дают
то же для и
т. е. обращаются в точные равенства.
2. Оценки (11.7') — (11.7"') дают лишь
A^/CQ, A2<3/<Q,
то же для и
Y<W,
т. е. они заведомо завышены.
3. Если у фиксировано, Q найдено из (11.35) и /С->оо, то по-
следние оценки стремятся к точным равенствам.
11.6.11.	У любой системы x — A(t}x старший показатель А,
верхний центральный Q и верхний особый Й° находятся в соотно-
шениях
— /«A<Q<Qo<K,
где К — sup | A (t) |. (Ср. упражнение 7.5.16.)
11.6.12.	Существуют системы, у которых А < Q < Й°, например
?=0,	}	(11.36)
X2 = nsinny^ х2. J
(Ср. упражнения 7.5.12 и 7.5.15.)
11.6.13.	Независимость оценок 1-го и 2-го типов. Возьмем си-
стему
x=diag[pz (0]х
с разделенными коэффициентами
Pl+lW> — Pt(t)>a>Q
такими, что Др. >0. (Достаточно взять, например, рг = / из 11.6.2
и затем р^ рг + 2(1—1).) Согласно результату упражнения 7.5.7
будем иметь	___________ _
(Р1/>2 -
и потому оценки (11.23) обращаются в точные равенства ^Л = РЛ*
В оценках же (11.7) правые части больше ~pk, так как Др* > 0.
(Проверить, что усиленные оценки (11.17) также завышены.) Про-
11.6.14]
§ 11. ПОКАЗАТЕЛИ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
155
тивоположный пример дает система (11.36): у нее = Zj = О,
д^ = 0, так что оценки (11.7) обращаются в равенства, но (рхр2) =
efi»l, так что (11.23) завышены. Сравните оценки для у.
11.6.14.	Случай несовпадения ляпуновских коэффициентов не-
правильности для сопряженных систем. Пусть
Х1=/?1(0^Ь | У1=“Р1(ОУЬ |
*2 = Р2(*)*2, J У2 = —/>2 (0 У2- /
Тогда (см. п. 3.4)	_	_
о = pi + р2 — (pi ~|““Р2)>
а* = — pi — Pi~\- (р\ + р2)«
Если сделать функции рх и ръ например, такими, что
£i = Р2 — 0, рх р2 = 1,
Р1+/>2 = 0,	р!-|-р2в 1,
то получается а а*. Для построения указанных функций можно
определить их сначала на отрезке [0, 3], полагая
(1	на	[0. Il-
*=(о	на	li. 3],
f о	на	[0. 2],
л=ь	на	[2. 3],
а затем распространить на всю полуось путем линейного растяже-
ния отрезков [0, 1], [1, 2] и [2, 3] на некоторые достаточно быстро
растущие непересекающиеся отрезки, заполняющие тройками всю
полуось (ср. упражнение 11.6.1).
ГЛАВА V
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
1-ГО ПОРЯДКА
Система
х = Л(0х+/(Л х)
(V. 1)
называется линейной системой с возмущениями или воз-
мущенной, или квазилинейной, если возмущение f(t, х)
удовлетворяет тому или иному условию малости. При этом
различают два основных случая:
1.	Возмущения первого порядка малости (по х):
!/(*, х)|
|х|

(V.2)
где функция д(/) в том или ином смысле мала; сюда от-
носятся, в частности, линейные возмущения
f(t, x) = F(t)x, |F(O|<d(O-	(V.3)
2.	Возмущения высшего порядка'.
j*)1—>0	при |л|->0.
I х I
(V. 4)
Для классической задачи об устойчивости по первому
приближению с ее обычным предположением об аналитич-
ности правых частей характерен второй подход. Здесь чаще
всего считается даже, что
l/а, х)|<к|хг,
(V. 5)
где г ^>2— натуральное число. Такой случай будет рассмо-
трен в гл. VI. В настоящей главе мы изучим возмущения
первого порядка. Они представляют для теории показателей
наибольший интерес по следующим причинам. Во-первых,
система (V. 1), полученная из практической задачи, может
иметь погрешности не только в членах высших порядков, но
и в линейной части. Во-вторых, поскольку фактическое вы-
числение показателей удается осуществить лишь в редких
12.1] § 12. ВОЗМУЩЕНИЯ. ПРИНЦИП ЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ 157
случаях, приобретают важность всевозможные методы сравне-
ния, для использования которых нужно в принципе знать
поведение показателей при переходе от линейной системы
к близкой ей системе.
Основной круг вопросов связан здесь с понятиями под-
вижности и прочности показателей. Переход от невозмущен-
ной системы
x = A(t)x	(V .6)
к возмущенной системе (V. 1) сопровождается изменением
показателей, которое не всегда является непрерывным: сколь
угодно малым возмущениям могут отвечать конечные сдвиги
показателей. Коротко говоря, прочностью будет называться
непрерывная, а подвижностью—скачкообразная зависимость
показателей от малых возмущений. Будет показано, что спо-
собность системы реагировать тем или другим образом на
возмущения определяется ее центральными функциями и по-
казателями и что с их помощью отыскивается также вели-
чина скачков в случае подвижности показателей.
Вслед за изменением показателя меняется и множество
решений, обладающих этим показателем. Вопрос о таких
изменениях будем считать включенным в задачу об исследо-
вании подвижности и прочности показателей. В частности,
выяснится, что определенные классы решений также обла-
дают прочностью.
§ 12. Возмущения. Принцип линейного включения
12.1.	Норма возмущения. Функцию 6(f) в условии (V. 2)
будем называть нормой возмущения /(/, х). Для того чтобы
она определялась однозначно, следовало бы брать
6(0 = sup	.
X I Л I
однако обычно в таком уточнении нет надобности. Возму-
щение считается малым, если мала его норма 6(0; в п. 19.3
приводятся и сравниваются между собой различные условия
малости 6(0< и там же показано, что все они в основном
могут быть сведены к двум случаям: 1) б(f)<^6 = const и
2) 6(7)->0 с той или иной скоростью. Большей частью
будем рассматривать первый случай, когда условие (V. 2)
158
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
(12.2
принимает вид
’ЛУ'<6-	(121)
В зависимости от постановки задачи, возмущения (т. е. их
нормы) предполагаются достаточно малыми по сравнению
либо с линейной частью системы, либо с заранее заданной
малостью нужного изменения показателей, и т. п.
Многие последующие результаты верны при одном лишь
условии (12.1), без каких-либо дополнительных предположе-
ний относительно существования и единственности решений,
но, естественно, тогда они касаются либо всех решений
в совокупности, либо могут быть высказаны лишь в услов-
ной форме: «если существует решение такого-то класса, то
оно обладает такими-то свойствами». Во избежание подоб-
ной неопределенности будем чаще всего предполагать, что
выполняются еще обычные условия непрерывности f(t, х)
(кусочной по 0» а также условие Липшица
!/(*, *1)—/(*>..*211^6.	(12.2)
1*1 — х2|	'	7
Отметим, впрочем, что «условие Липшица в нуле» (12.1)
всегда гарантирует существование и единственность тривиаль-
ного решения х = 0, а также ограниченность множества по-
казателей возмущенной системы:
-К<Х(*)<Х(*)<К.	(12.3)
(ср. (1.7); A(t) всегда предполагается ограниченной).
12.2.	Ляпуновские преобразования возмущений. Под-
вергая систему ляпуновскому преобразованию x = L(t)y,
получаем систему
y = B(f)y + g(t, у),
где, как всегда, B — L~lAL— L~lL, а
g(t, y) = L~\t)f{t, L(t)y).	(12.4)
Для этих возмущений в силу (12.2) будем иметь
-----(3^71	|-|й-£Г<|£
12.3) § 12. ВОЗМУЩЕНИЯ. ПРИНЦИП ЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ 159
По определению ляпуновского преобразования
|£Ю|,
и таким образом,
|ff(Ol)~ Г(Ог)| s Lnf.
——<К6-
Поэтому, имея дело лишь с фиксированным преобразованием
и требуя достаточной малости /, будем получать и малость g.
12.3.	Принцип линейного включения [1]. Исследование
любого решения системы (V. 1) значительно упрощается, когда
возмущение /(/, х) линейно. Следующее предложение по-
зволяет всегда свести дело к этому случаю для каждого
отдельного решения, и притом с сохранением нормы возму-
щения.
Теорема 12.3.1 (принцип линейного включе-
ния). Всякое нетривиальное решение х0(О нелинейной
системы
x = A(t)x+f(f, х)	(12.6)
служит также решением некоторой линейной системы
x = [A(t) + F(t)]x,	(12.7)
у которой возмущение F(t)x (линейное!) имеет ту же
норму, что и ft если
(12.8)
I •* I
то и
(12.9)
Доказательство. Тривиальное решение системы (12.6)
обладает в силу условия (12.8) свойством единственности,
поэтому нетривиальное решение xQ(f) не обращается в нуль
ни при каком t. Положим 9
Благодаря непрерывности скалярного произведения эта функ-
ция обладает такими же свойствами непрерывности по t, х,
9 Можно также построить F(tt х) с помощью леммы Адамара
(см. п. Д. 9.3).
160 гл. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ [12.3
как и /. Кроме того, она линейна по х в силу линейности
скалярного произведения. Следовательно, можем писать
F(t X) = F(0x,
где F(t)— линейный оператор (матрица). При этом, согласно
условию (12.8),
х0)|<|х|•&(/), т.е. |F(0l<6(0-
Наконец, если положить х = хо(О, то получается F(t, х0) =
=f(t, следовательно, решение xQ(t) системы (12.6)
удовлетворяет также системе (12.7).
Доказательство окончено.
Подчеркнем, что разным решениям системы (12.6) отве-
чают, вообще говоря, разные системы (12.7), потому прин-
цип линейного включения можно применять только к каждому
решению в отдельности. Тем не менее его удается исполь-
зовать и для исследования всех решений. Например, один
из основных приемов использования этого принципа содер-
жится в следующем предложении.
Следствие 12.3.1. Если для всех решений системы
(12.6) при любых возмущениях малости не выше фик-
сированной справедлива оценка
\x(t)\<\x(t9)\.H(t\	(12.10)
то для всех решений системы
;=_д‘(0+ф(^ у)	(i2.li)
с той же малостью возмущений справедлива оценка
Ь(01>1^о)1яЬу-	(12Л2)
Обратно, из |у|<^|.Уо| • Н следует	.
Доказательство. Возьмем любое решение у(f) си-
стемы (12.11). Оно удовлетворяет некоторой линейной си-
стеме
у = — A*(t)y + ®(t)y
12.31 §13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 161
с возмущением той же малости. Сопряженная система
x = A(t)x — Ф*(Ох	(12.13)
имеет ту же норму возмущения, так как |Ф*| = |Ф |!).
Тогда по условию любое решение последней системы
подчиняется оценке (12.10). Мы знаем, что для любых реше-
ний сопряженных систем скалярное произведение (х, у) =
= const. В качестве y=y(t) возьмем исследуемое нами
решение, а в качестве х = x(t) — решение системы (12.13)
с тем же начальным условием х(/0) —у(/0). Тогда
(х (t), у (0)	(х (f0), у (t0)) = I у (f0) |2 * 0,
откуда в силу неравенства Буняковского |x||y|^-|j>(^0)|2 и
И>ЦтГ--	(12-14)
Теперь из (12.10) следует (12.12). Ввиду равноправия сопря-
женных систем получаем и обратное' утверждение теоремы.
§ 13. Прочность и подвижность
крайних показателей
Всякий показатель под действием возмущений может,
вообще говоря, смещаться как вверх, так и вниз. Когда
речь идет о старшем показателе, служащем для оценки ре-
шений сверху, то для него в первую очередь важна оценка
также сверху. Поэтому основное внимание будет уделено
его смещению вверх. Точно так же, говоря о младшем пока-
зателе, будем в первую очередь интересоваться его смеще-
нием вниз. Сдвиги тех и других показателей в противопо-
ложном направлении будут рассмотрены в конце параграфа.
9 Действительно, согласно определению сопряженного опера-
тора в евклидовом пространстве для любых векторов и и v имеем
| (фд, г>) | = | (д, ф*т>) |< | и | • | Ф*т> | < | Ф* 11 и 11 v |.
Полагая здесь v = Фд, получим
| Фд 12 = (фд, фд) < | ф* | |Фд | | и |,
откуда | Фд I < | Ф* 11 Д I, и следовательно, | Ф | < |Ф* |. Обратное
неравенство доказывается так же.
11 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
162
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(13.1
13.1.	Определения. Уточним понятия прочности и под-
вижности, кратко упомянутые в начале главы. Сначала сде-
лаем это для старшего показателя. Пусть дана возмущен-
ная система
x = A(t)x	(13.1)
со старшим показателем Л, и возмущенная система
x = A(t)x-±-f(t, х).	(13.2)
Определение 13.1.1. Показатель Л называется
прочным вверх, если для любого е > 0 можно указать
такую малость возмущений, при которой старший по-
казатель возмущенной системы не превзойдет Л 4- е.
В противном случае естественно считать Л непрочным,
или подвижным, вверх. Это значит, что сколь угодно малым
возмущениям может отвечать положительный скачок Л вверх.
Однако такой скачок заведомо не может быть бесконечно
большим (12.3). Поэтому имеет смысл следующее
Определение 13.1.2. Число называется огра-
ничивающим сверху подвижность показателя Л {или
верхней границей подвижности Л), если для любого
е > О при всех достаточно малых возмущениях стар-
ший показатель возмущенной системы не превзойдет
Qz —|_ gt
Ясно, что всегда Q' Л (чтобы убедиться в этом, до-
статочно рассмотреть нулевые возмущения) и что число
Q = infQ', Й>Л,	(13.3)
также является верхней границей подвижности. Эту границу
будем называть точной или достижимой. Ее, очевидно, можно
определить еще следующим образом.
Определение 13.1.3. Число Q называется точной
или достижимой верхней границей подвижности, если
оно является верхней границей и при любом фиксиро-
ванном е > 0 найдутся системы со сколь угодно малыми
возмущениями и со старшим показателем > Q — е.
Мы видим, что в силу этих определений для прочности
вверх старшего показателя необходимо и достаточно его
совпадения с точной верхней границей подвижности:
Л = О.	(13.4)
13.2] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 163
Заметим, что в действительности нижеследующие теоремы
будут давать несколько больше, чем указано в приведенных
определениях, а именно, в них будет устанавливаться также
равномерность оценок, даваемых верхними, точными и дру-
гими границами, что важно по причинам, разобранным
в §§ 6 и 7.
Мы знаем, что часто имеет смысл оценивать рост ре-
шений не постоянными показателями, а некоторыми функ-
циями. Поэтому приведем еще одно определение, сходное
с определениями 13.1.2 и 13.1.3, но существенно более
жесткое, поскольку оно включает в себя требование равно-
мерности.
Определение 13.1.4. Функция р(/) называется
ограничивающей сверху или верхней границей для роста
решений системы (13.1), если для любого е > (7 можно
указать такую малость возмущений, при которой все
решения системы (13.2) будут допускать равномерную
по и оценку
t
J lP(T)+ е] dx
|х(0| <De|x(Q|^	.	(13.5)
Функция р(£) называется достижимой, если она яв-
ляется ограничивающей сверху и для любого фиксиро-
ванного е>0 существуют системы вида (13.2) со сколь
угодно малыми возмущениями и с решениями, допускаю-
щими оценку
t
J* |р(т)-е1 dx
|x(f)|>de|x(Q|^	.	(13.6)
Это определение отличается от определений 13.1.2 и
13.1.3 еще тем, что здесь достижимая функция, вообще
говоря, не является единственной и не может быть отожде-
ствлена с нижней гранью верхних границ.
В заключение отметим, что определения прочности и
подвижности младшего показателя строятся аналогично,
с очевидными изменениями.
13.2.	Центральные функции и показатели как гра-
ницы подвижности крайних показателей [2]. В этом
пункте будет показано, что реакция линейной системы на
возмущения определяется ее центральными функциями и пока-
11*
164
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
Ц3.2
зателями (§ 8), а именно что они, во-первых, всегда являются
границами подвижности показателей в смысле определений
предыдущего пункта и, во-вторых, в ряде случаев—дости-
жимыми, т. е. неулучшаемыми границами. По определению
достижимость должна осуществляться при сколь угодно ма-
лых возмущениях и выражается оценкой некоторых реше-
ний снизу. Это делает задачу о достижимости довольно
сложной. Будет установлено, что она решается утверди-
тельно для всех диагональных и некоторых треугольных
систем. В общем случае вопрос остается открытым.
Теорема 13.2.1. Всякая С-функция R(t), а также
С-показатель Q (§ 8) ограничивают подвижность вверх
старшего показателя системы (13.1), т. е, для любого
е > 0 можно указать такое 6 > 0, что при любых воз-
мущениях f(t, х) с нормой <6 будут выполняться
неравенства
t
J [/?(т)+е] dx
|x(0|< Dt\x(t^	(13.7)
и
| х (О I < De I х (t0) I ?а+8)	(13.8)
равномерно по всем решениям всех возмущенных систем
(13.2), причем первое из этих неравенств равномерно
также по всем tQ и t^t^.
Замечание 13.2.1. Для дальнейших приложений мы
рассмотрим не только случай
|/(Л х)|<д|х|,	(13.9)
НО и
|/(t х)|<6(0|х|,	д(О<Л (13.10)
где на функцию б(^) могут накладываться добавочные огра-
ничения, например 6(/)—>0.
Доказательство. Пусть дана С-функция /?(/). По
определению она осуществляет оценку матрицы Коши не-
возмущенной системы (12.1);
/
f (т)+filler
|*(t $)|<Пе*	. е1 = у, (13.11)
13.2] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 165
в которой D зависит только от выбора е. Теперь остается
применить теорему 7.1.1, согласно которой будет
t
J* ргео+^+яб (T)jdr
(13.12)
для всех решений возмущенной системы и всех t^tQ. Тре-
буя достаточной малости б(/):
б(О<д = ^,
получаем	*
J l₽(r)+2e,I dx
\x(t)\^D\x (Q|e'o	,	(13.13)
а следовательно, подавно неравенство (13.7). Далее по опре-
делению
Q = inf /?,
поэтому функцию R(t) можно считать такой, что
R
подробнее,
t
lim - 1-  I /?rfT<Q4"ei
t -> co 1 — ro J
*o
(вообще говоря, неравномерно no f0), откуда
t
J /?(T)dT<(Q4-81)(/-/0) + lnD.
4
(где равномерность по /0 утверждать уже нельзя). Теперь
из (13.13) получаем (13.8).
Следствие. 13.2.1. С-показатель Q всегда оцени-
вает точную верхнюю границу подвижности старшего
показателя
A<Q<2.	(13.14)
Это вытекает из доказанной теоремы и определения
13.1.2. Вспоминая, что С-показатель Q всегда не больше
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
|18.2
166
особого Q0, получаем также

(13.15)
Но в действительности относительно особого показателя
имеет место более сильное утверждение.
Следствие 13.2.2. Особый показатель осущест-
вляет оценку
| х (О I < De I х (t0) I e(2e+e)	Ч (13.16)
равномерную как по решениям возмущенных систем, так
и по если только возмущения достаточно малы.
Для доказательства достаточно повторить все рассужде-
ния теоремы 13.2.1, беря в качестве R(t) константы Q, так
как в этом случае по определению infQ = Q°. Читателю
рекомендуется проследить равномерность.
Следствие 13.2.3. Для прочности вверх старшего
показателя достаточно его совпадения с верхним цен-
тральным показателем и подавно достаточно совпаде-
ния с верхним особым.
Это вытекает из (13.14) или (13.15), если учесть (13.4).
Следствие 13.2.4. Старший показатель системы
с постоянными коэффициентами всегда прочен вверх.
Вытекает из предыдущего следствия и примера 8.1.3
Следствие 13.2.5. Для того чтобы С-показатель
был точной верхней границей подвижности старшего
показателя, необходимо и достаточно, чтобы он был
достижимым в смысле определения 13.1.3.
Вытекает из теоремы 13.2.1, означающей, что Q всегда
есть верхняя граница, и определения 13.1.3
Следствие 13.2.6. Если |А(0— В(0|~>0, то С-
классы и С-показатели матриц A(t) и B(t) (т. е. систем
x = A(t)x и x = B(t)x) совпадают.
Доказательство. Будем рассматривать систему
x = A(t)x	(13.17)
как невозмущенную, а
х = В (0 х = А (0 х + [В (0 — А (/)] х (13.18)
— как возмущенную. По условию норма возмущения 6(0 =
= | А (0 — В (01 -> 0. Поэтому при любом ₽ > 0 можем
13.2] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 167
записать
t
| 6 (т) dx < ₽ (t — s) 4-In Dp для всех t^-s. (13.19)
s
Неравенство (13.12), в котором R(t) обозначает С-функ-
цию невозмущенной системы, т. е. в данном случае системы
(13.17), a x(t)— решение возмущенной системы, т. е. (13.18),
принимает вид *
J U?(t)+ei+Dd(T)J dx
|x(O|<D|x(/0)|«'°	<
j ISW+M
<D|x(Q|?o
Но так как здесь ej —|—можно сделать произвольно ма-
лым, то это неравенство по определению означает, что R(t)
есть С-функция системы (13.18). Меняя в рассуждении ро-
ли А и В, убедимся, что, наоборот, С-функция для В яв-
ляется таковой и для А. Тем самым доказано совпадение С-
классов, а следовательно, и С-показателей для А и В.
Теорема 13.2.2. Всякая нижняя с-функция r(f) и
нижний с-показатель со ограничивают подвижность вниз
младшего показателя, т. е. для любого е > 0 существует
такое 6 > 0, что при любых возмущениях с нормой <&
для всех решений возмущенной системы будут выпол-
няться неравенства
t
j* [г (т)—el dx
I*(O|>I*(Q|^	(13.20)
и
l*(O|>|*(*o)l	(13.21)
причем первое равномерно по tQ.
Доказательство. Пусть дана с-функция г (t). Тогда
R* (t) = — г (/) является С-функцией сопряженной системы
у = — A*(t)y.	(13.22)
и по теореме 13.2.1 можем утверждать, что все решения
системы
у)	(13.23)
168
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[13.3
при любых достаточно малых возмущениях допускают рав-
номерную оценку
t
рЯ*(т)+е[</т
b(0KIX4))lDee'’
причем конкретный вид возмущений не играет роли. Поэтому,
применяя следствие 12.3.1, получаем неравенство (13.20).
Отсюда, как и в теореме 13.2.1, вытекает (13.21).
Отметим, что из теоремы 13.2.2 получаются следствия,
аналогичные следствиям 13.2.1 —13.2.6, с заменой верхних
показателей на нижние и соответствующим изменением зна-
ков неравенств. Доказательства опускаем.
13.3.	Достижимость центральных функций и показа-
телей. Итак, мы обнаружили, что центральные функции и
показатели всегда служат границами подвижности обычных
крайних показателей. Рассмотрим вопрос о неулучшаемости
этих границ, т. е. об их достижимости в смысле определе-
ний 13.1.3, 13.1.4.
Один случай является здесь тривиальным: если централь-
ный показатель совпадает с соответствующим крайним (как,
например, у систем с постоянными коэффициентами, см.
следствие 13.2.4), то для его достижимости не требуется
никаких возмущений, т. е. он всегда достижим в смысле
определения 13.1.3 (при нулевых возмущениях).
Однако, как мы знаем, существуют и такие системы,
центральные показатели которых не совпадают с крайними
(см. упражнение 11.6.12). Для них вопрос о достижимости
становится значительно более сложным. Как уже упоминалось,
он решается утвердительно для всех диагональных и неко-
торых треугольных систем.
Теорема 13.3.1. Для диагональной системы С-по-
казатель Q всегда достижим, т. е. для нее всегда су-
ществуют такие возмущения любой наперед заданной
малости, при которых старший показатель возмущен-
ной системы будет
Мы приведем сейчас более подробную формулировку
этой теоремы, где укажем конкретный вид искомых возму-
щений и те решения, у которых возникает нужный показа-
тель, а кроме того, опишем достижимость С-функций. Поло-
жительным углом Ко n-мерного координатного пространства
будем называть множество точек х с координатами > 0.
13.3] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 169
Пусть дана диагональная система
x = P(t)x,	Р (0 = diag [Pi (01.	(13.24)
Тогда при линейных возмущениях с постоянной матрицей
	0 0 0 . .	.. 0 1	
	10 0..	..00	
фб=6.	0 10..	..0 0	•	(13.25)
О 0 0 ... 1 О
где б > 0 произвольно мало, возмущенная система
х=1Р(0 + Ф6] X,
т. е.
Xi=Pt (t) xt
x2 = bx1^-p2(t)x2,
4 dx„,
(13.26)
n
^n-iTPa (0 Xn
имеет старший показатель ^Q. Множество решений
с таким показателем п-мерно, и к нему принадлежат
все решения, начинающиеся в положительном углу Kq
пространства {xj....хл}, т. е. имеющие начальные
значения
хД0) = ^>0
(Z=l....п).
(13.27)
Более того, фиксируя произвольно малое 6 > 0 а любое
из указанных решений х (t), можно для всякого е > О
указать достижимую С-функцию R(t), т. е. такую, что
J [Я (т) - е] dx
\x(t)\>dRe°
(13.28)
Доказательство. Прежде всего заметим, что по-
следнее утверждение теоремы является наиболее сильным и
влечет за собой все остальные утверждения. В самом деле,
из него вытекает, что
8.
170
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(13.3
Но по определению	так что x(x)?>Q — е, и ввиду
произвольности е, х(х)>.£2. Так как это верно при всяком
фиксированном 6 > 0, то мы и получили достижимость Q.
Для упрощения выкладок удобно записать систему (13.26)
в виде
4 = Ра (0 *а + бха-1>	(13.29)
считая в дальнейшем индекс а циклически повторяющимся
от 1 до п.
Известно, что система может быть решена методом Пи-
кара, сходимость которого для линейных систем с ограни-
ченными коэффициентами всегда обеспечена (см. пп. Д. 13.3
и Д. 13.4). Возьмем начальные условия
*а(0) = *а>0
и перейдем к соответствующей системе интегральных урав-
нений
t	t	t
*e(0 = MxP / Ра(т)йт + 6 J *a-i(s)lexP J Pa(x)dx\ds.
0	0	*	(13.30)
Беря в качестве нулевого приближения
t
•40)(0=^авХр | pa(T)dT,	(13.31)
о
получим
t / 6	t \
X™ (0 = *а0) (0 +	J exp I J pa_i dx + J ра dx | dtb
О \о	Л
где переменная интегрирования 5 заменена на Проведем
индукцию: предположим, что r-е приближение уже предста-
влено в виде
4Г>(0 =	(13.32)
где
* *Г*Г-\	*2	/ *1	*2
Ja4o=j J J ••• / expl j Pa-rdx + f pa_r+1dx+ ...
ООО	0	\ 0	Zj
/ \
... + / padx ... dtT. (13.33)
13.3] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДЁИ>КЙОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ If 1
Напомним, что индекс а циклический. Подставляя Ха-1($)
в (13.30) и учитывая, что результат подстановки Xa-P(s)
есть Ха’(0. находим
t
(s)	exp J pa dx ds —
s
t
x(f+D(0 = 4)(0 + 6 |
0
= x<r)(/) + dr+V(r+i)X
/2	£	\
+ J	• • • + J Pa-1 dx I dtx dt^ ... dtT ds.
Л	fr /
Если теперь внести множитель в квадратных скобках под
знак r-кратного интеграла и обозначить s = tr+lt то полу-
чается
4+1) (t)=4’ (о+бг+1г>0_(г+1)4г+1) (0.
что доказывает представление (13.32) для всех г — 1, 2, ...
Последовательно выражая в нем каждое х{$ через преды-
дущее, получим
t	г
4’ (О = ba exp J ра dx -J-	t?ba_kJ(*} (0,
О	й = 1
откуда, переходя к пределу при г->оо, найдем координаты
искомого решения х={х1......хп} в виде
t	оо
ха (t) = ba exp J padx + 2 b'ba-rfa (t)	(a = 1.......n).
0	r=l
(13.34)
Замечая, что члены рядов положительны, и обозначая
min£a = £ > О
a
172
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(13.3
имеем, оценивая норму x(t) с помощью одной последней
координаты,
\x(t)\> xn(t) > Mr4r,(0.	(13.35)
причем это неравенство остается верным при всяком
г=1, 2, ... Воспользуемся им для оценки |х(/)| снизу.
Предварительно рассмотрим некоторые свойства интеграла
4r) (t) (см. (13.33)):
а)	Ввиду положительности подынтегральной функции он
монотонно зависит от /; из t^t* следует
4’(0>Лг)(Л-	(13.36)
б)	По той же причине он уменьшается, если сузить об-
ласть интегрирования любым иным способом. Эта область,
согласно расстановке пределов в (13.33), есть г-мерный
симплекс 5, определяемый неравенствами
0<71<*2< •••	(13.37)
Если же, например, расположить на отрезке [О, слева
направо отрезки /2........1Г равной длины а без общих
внутренних точек, и заставить каждое tt пробегать лишь /р
то получаемый таким способом г-мерный куб U объема аг
лежит в S (так как неравенства (13.37) удовлетворяются),
и потому
(13.38)
(S)	(U)
где р— минимум подынтегральной функции на кубе (/.
в)	Рассмотрим входящую в подынтегральное выражение
(13.33) функцию
Z1	Z2
2(^1. h....tr< 0=J	+ J Pa-r+i^H- •••
0	'i
tr	f
•••	+ f Po-1^+/	padx.	(13.39)
fr ~ 1	tr
При изменении одной переменной	tt	на	величину а	меняются
только два слагаемых:
13.3] § 13. ПРОЧНОСТЬ Й ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 173
причем благодаря условию К их суммарное изменение
не превосходит 2ЛХ Таким образом, когда все переменные
// будут меняться не более чем на а, общее изменение
функции Z не превзойдет 2Каг.
г) Выберем произвольно большое Т > 0 (во всяком слу-
чае, Т > п, где п — порядок системы (13.26)) и натураль-
ное /п, и рассмотрим интеграл J(O)(0 при a = n, r = nm— 1
и t = шТ, В этом случае, учитывая цикличность индекса а,
можно расположить слагаемые (13.39) в виде следующих ш
серий:
4°	4»
Z= j Pjf/T-)- J 4 ... 4- J + (1-я серия)
4“	4*>	е.
4 J p,dr-у [ p .dr i ... 4" J Pnd't 4- (2-я серия)
<?'	v	е.
+......................................4-
+ J	J	••• 4- J Pndx (m-я серия),
<<Qm>	4m)
(13.40)
где вместо (13.37) введены обозначения
о =	< 41) < 41’ < • • • < № < № < • • •
• • •	• • • <4т,< • • • <^ = тТ.
д) Рассмотрим отрезки
^ = [(^-1)Т, kT]
и вспомним, что верхняя функция Рт (t) может считаться
совпадающей на J*k с одной из функций (см п. 7.2 В)).
Индекс последней обозначим через ik:
PT{t) = Pik(t) на
174
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(13.5
Таким образом,
мТ	Т	2Т	тТ
[ PT(x)dx = J p^dx-i- J p^dx-^- ... + J pimdx-
0	0	1	T 2	(/72-1) T m
(13.41)
Мы замечаем, что правую часть можно рассматривать как
одно из частных значений функции Z (13.39), а именно то,
которое получается, когда в &-й серии (13.40) интеграл от
р.^ распространяется на весь отрезок а все предшест-
вующие и последующие промежутки интегрирования в этой
серии стягиваются в точки
/<*> = /<*> = ...	—1)Г,
4?=^+1= ... =t^=kT,
(13.42)
k — 1, 2.............m.
Если позволить переменным отклоняться от этих значений
не более чем на п, то, согласно в), будет
тТ	шТ
Z> [ Рт(т)dx — 2Kn(nm—l)^f Ртdx — 2Kn2m.
6	о
(13.43)
Зададим следующие отклонения переменных. На отрезке
расположим п отрезков единичной длины /2Ч •••, №
Рис. 7.
так, как показано на рис. 7, и заставим каждое перемен-
ное пробегать только Тогда все будут откло-
няться от своих значений (13.42) не более чем на я, и в силу
(13.43) и (13.38) получим
J(anm (тТ)^ехр
" тТ
J PTdx — 2Kn2m
.0
13.3] § 13 ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 175
На этом закончим предварительное изучение и вер-
немся к оценке |х(0| снизу. Выберем произвольно боль-
шое Т (Т > п) и построим функцию Рт (/), как в д). Фи-
ксируя какое-либо t, подберем натуральное m так, чтобы
wT</<(zn+l)T.	(13.44)
Неравенство (13.35) верно для любых г и и мы теперь
воспользуемся им при r = nm—1 и t = mT. В силу а), б)
и д) найдем
| х (0 | > bbnm^J{nnm^ (t) > bbnm'Vnnm^ (mT) >
>Млт-1ехр
Рт dx — 2Kn2m
b
= уехр
г- тТ
f Рт dx—2Кn2mnm\п Ъ
L о
Для дальнейшего удобно преобразовать правую часть к аргу-
менту t. С этой целью запишем
mT	тТ
J Ртdx — 2Kn2m + nm In 6 « J [Рг (т) — er] dx,
о	о
где величина
ег = п(2Кп — \пЬ)	(13.45)
(положительная ввиду малости д) стремится к нулю с рос-
том Т. Принимая во внимание (13.44) и ограниченность Рт:
I РТ (О I 'С получим
mT	t
| (Рг —ег)</т> J (Рг —ег)Л —(Л'4-ег)7’ =
о	о
t
= ^(РТ — er) dx — [КТ п (2Кп — In 6)],
о
после чего оценка | х (/) | принимает окончательный вид
/НМ-е ]</г
| х (/) | > dre°	,
176 ГЛ V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ЦЗ.З
где
J — А g - &Кп - In 6)1 — Const.
1 О
Из формулы (13.45) видно, что, беря достаточно большое Г,
можно сделать ег как угодно малым. Так как здесь Рт (/) —
некоторая С-функция, то этим доказано утверждение тео-
ремы (13.28), а следовательно, и все остальные ее утвер-
ждения.
Следствие 13.3.1. У диагональной системы С-по-
каз а те ль всегда является точной верхней гранью под-
вижности старшего показателя, и для прочности по-
следнего необходимо и достаточно, чтобы он совпадал
с С-показателем.
Это вытекает из доказанной теоремы и следствия 13.2.5.
Теорема 13.3.2. Все утверждения теоремы 13.3.1,
в том числе неравенство (13.28), распространяются на
треугольные системы с неотрицательными внедиаго-
нальными коэффициентами'.
невозмущенную
X = P(t)X, Р =
и возмущенную
Р\ Р12 • • • Pin
Pi . . . Pin
0 Рп
Plk>()'
л = [/>(О + Фб]х.
(13.46)
На эти системы распространяется также следствие 13.3.1.
Доказательство легко получается из доказательства тео-
ремы 13.3.1, если заметить, что при той же конструкции
каждое пикаровское приближение, начиная с (13.31), полу-
чается в данном случае не меньше, чем в теореме 13.3.1.
Теорема 13.3.3. Для диагональной системы, а также
для треугольной системы с неположительными внедиа-
гональными коэффициентами, нижний центральный по-
казатель со всегда является достижимым.
Подробнее: пусть дана диагональная система
У = diag [Pi(t)]y
(13.47)
13.3] § 13 ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 177
или, в более общем случае, треугольная система				
У—Pi (t)y,	Р1=	Р1 Р21 Р2	0	(13.48)
		Рп1 Рп2 • •	• Рп\	1
с коэффициентами Pij^.Q (ее удобнее сейчас писать
в нижне-треугольном виде, что несущественно, так как для
перехода к верхне-треугольному достаточно взять обратную
нумерацию переменных). Тогда при линейных возмущениях
с постоянной матрицей
	0 1 0 ... 0 0’	
	0 0 1 ... 0 0	
Ф16 = — 6			.	(13.49)
	0 0 0 ... 0 1	•
	1 0 0 ... 0 0	
возмущенная система
У=[Р1(0 + Ф16]^	(13.50)
имеет младший показатель <^со. Более того, для фи-
ксированного б > 0 существует такое решение y(f) (в от-
личие от теоремы 13.3.1, множество таких решений может
оказаться лишь одномерным), что для любого е > 0 можно
указать достижимую с-функцию r(t), т. е. такую, что
t
Г (Г (т>+е] dx
\y(t)\^D^	.	(13.51)
В частности, это всегда верно для диагональной си-
стемы (13.47).
Доказательство. Заметим, что здесь, как и в тео-
реме 13.3.1, неравенство (13.51) содержит в себе все осталь-
ные утверждения теоремы. В самом деле, из него следует, что
Х(^<£+е,
и так как по определению ае произвольно мало, то
12 Б- Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
178
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
[13.3
Поскольку это верно при всяком б > 0, мы получаем до-
стижимость со.
Что же касается доказательства самого неравенства (13.51),
то оно потребует некоторых вспомогательных построений.
Разберем сначала их основные идеи. Прежде всего, есте-
ственно попытаться использовать связь, существующую между
решениями сопряженных систем: поскольку система, сопря-
женная с (13.50), относится к типу (13.46), разобранному
в теореме 13.3.2, можно рассчитывать, что полученную там
оценку решения снизу (13.28) удастся превратить в оценку
решений данной системы сверху (13.51). Однако для этой
цели уже недостаточно иметь в распоряжении лишь условие
сопряженности
(х, у) = const	(13.52)
и вытекающее из него неравенство |x||j|^c, как это было
в (12.10) — (12.14). Наоборот, здесь нужно было бы рас-
полагать -обратным неравенством
IX Из» |<С1,
чтобы из оценки |х| снизу получить оценку |у| сверху.
Для этого достаточно было бы оценить снизу величину
так как тогда из
Т7ТЫ>4>0	<1353>
и условия (13.52) мы нашли бы
<135«>
Но это значит, что нам нужно найти такие два решения
сопряженных систем (13.50) и (13.46), которые, рассматри-
ваемые как векторы с началом в начале координат О, ни
в какой момент не становились бы ортогональными или
близкими к ортогональности. Вспоминая, что решение, изу-
ченное в теореме 13.3.2, лежит в положительном углу KQ
пространства Ln, и считая сопряженную систему заданной
в том же пространстве, мы видим, что желательно найти ее
решение, лежащее в том же углу. Более того, нужно было бы
сузить этот угол, т. е. построить некоторый вложенный
13.3]	§ 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ tfQ
в него конус, содержащий оба решения хну, чтобы исклю-
чить предельное положение ортогональности между ними.
Таким образом, мы приходим к следующему кругу вспо-
могательных задач:
а)	Построить удобное семейство вложенных в К$ конусов
с вершиной О.
б)	Проверить условие (13.53) для любых двух векторов,
выходящих из О и принадлежащих конусу.
в)	Найти хотя бы по одному решению данной и сопря-
женной системы, лежащему в таком конусе.
В следующем пункте мы займемся этими задачами, а сей-
час, предполагая их решенными, завершим доказательство
теоремы. Допустим, мы нашли решение y(t) системы (13.50),
остающееся в нужном конусе при всех Л Возьмем сопря-
женную систему
х = [—	— Ф16]х	(13.55)
и какое-либо ее решение x(t), лежащее в том же конусе,
а следовательно, и подавно в положительном углу KQ. За-
мечая, что —Ф*б = Фб (ср. (13.49) и (13.25)), мы видим,
что (13.55) относится к типу (13.46), так что применима
теорема 13.3.2, и поэтому имеет место неравенство
t
J[/?(T)-8jdT
где е > 0 произвольно мало, a R (/) — некоторая С-функция
системы х = — P\(t)x. Теперь из (13.54) следует
t
р-Я(г)+е]*т
Но, как известно, верхняя функция системы, взятая с обрат-
ным знаком, превращается в нижнюю функцию сопряженной
системы. Поэтому r(t) —— есть нижняя функция си-
стемы y = Pv(t)yt так что последнее неравенство совпа-
дает с (13.51), и доказательство окончено.
Следствие 13.3.2. с-показатель всякой треугольной
системы с неположительными внедиагональными коэффи-
циентами, в частности всякой диагональной системы,
является точной нижней гранью подвижности младшего
12*
ISO
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(13.3
показателя, и для прочности последнего необходимо и
и достаточно, чтобы он совпадал с с-показателем.
В заключение докажем теорему об одновременной дости-
жимости верхнего и нижнего центральных показателей.
Теорема 13.3.4. Существуют системы, у которых
одновременно (т. е. при одном и том же возмущении)
достигаются верхний и нижний центральные показа-
тели (а также функции в смысле (13.28) и (13.51)).
Доказательство. Рассмотрим диагональную систему
четного порядка
xt = Pi(t) xt (Z=l, 2,	2n).
По теореме 13.3.1 ее С-показатель достигается при пере-
ходе к возмущенной системе
Xi=PiXi	4-6х2л,
x2=6xt 4-р2х2.
Хл =	^^2л—1~Ь PinXirr
Сделаем замену
Х1 — У2п*
Х2 = У2л-Р
xk —(—О*У2л-Л + 1»
(13.56)
*2Я = У1-
Она приводит систему к виду
У1 =Р2пУ1— ЪУ2>
У2 —	Р2П-1У2--&Уз»
У2я —1 =	Р2У2П -1 — &У2/Р
У2п = —+ />1У2я.
(13.57)
для которого по теореме 13.3.3 достигается нижний пока-
затель. Но наша замена, очевидно, не меняет показателей,
поэтому теорема доказана.
13.4] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 181
13.4.	Вспомогательные предложения к теореме 13.3.3.
а)	Вложенные конусы. Введем обозначения
|х| = УхЦ-хЦ- ... 4-х2. х* = хгх2 ... хп
и рассмотрим в положительном углу К$ функцию
Их) = -|^у.	(13.58)
Она однородна, непрерывна всюду, кроме начала коорди-
нат О, обращается в нуль на поверхности KQ угла KQ и
положительна внутри него. Ввиду непрерывности и одно-
родности она ограничена:
О <£(*)< Ро-
Фиксируем какое-либо р== const, заключенное в этих гра-
ницах, и рассмотрим множества точек для которых
(13.5S)
И
7^й-=₽.	(13.60)
Первое назовем конусом а второе — его поверхностью
Из этого определения видно, что конус расширяется с убы-
ванием р: из Pi > р2 следует	— и при р = 0 обра-
щается в положительный угол Ко.
б)	Для любых двух точек х, у£К$ справедливо нера-
венство
(«зво
В самом деле, принадлежность х и у к означает, что
х’>₽|х|",
У>₽ЫЛ-
Фиксируя х и у, обозначая maxxzyz = a и перемножая не-
равенства, найдем
a" > IJ x^i = х*/ > р2| х | у |"
182
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[13.4
ИЛИ
2
___-__
|х||у| ^р •
Но поскольку xt ^>0, yz > 0, то (х, у) = S xzy, а, и это
приводит к (13.61).
в) В положительном углу /Со функция
— ХП I XL I Х2 L
Х1 ‘ Х2 ' Х3 ’
всегда связана с (13.58) неравенством
__________________________
*>/[₽(*)] п\
То же справедливо для функции
^==^-4-^-+ ...
1 хп 1 Xt Г	Г Х„_(
Доказательство. Фиксируем какой-либо
как все xt > 0, то
хп
•*1
Возьмем наибольшую
координат
т = min xt — Xj, М = max xz = xk.
Тогда, переходя к (13.58), получим
х* т.п
|х|л	/лЛ!2"
хп
(13.62)
vt
1 = п 2,1 .
(13.63)
(13.64)
х£К^. Так
хп-\
—- v........——- <Г v.
х2	ХП
и наименьшую из участвующих здесь'
(13.65)
или
лл 1	±
^>п 2 [₽(*)] Я.
ТТ	М
Но величину можно получить, перемножая несколько
(не более чем п) левых частей
Л4 г
— < V*,
т
Отсюда, в частности, следует,
из (13.65), что дает
п.
что v > 1, и потому
1 1
а это приводит к (13.63). Доказательство для аналогично.
13.4] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 183
г)	Пусть дана система
х = (Р + Ф)х,
(13.66)
где P = P(t)— треугольная матрица с неотрицательными
внедиагональными коэффициентами, а Ф — матрица (13.25).
Тогда всякое решение x(t)t начинающееся в положительном
углу KQt лежит целиком в некотором конусе где
0о>°-
Доказательство. По условию х(0)£KQ, следова-
тельно, по непрерывности, х(Г) остается в Ко на некотором
интервале [0, Г]. Мы будем сначала рассматривать только
этот интервал, а в дальнейшем увидим, что Т = со. Под-
ставим x(t) в (13.58), тогда 0 обратится в функцию от t
с начальным значением 0(0) > 0. Вычислим и оценим ее
производную в силу системы (13.66). Имеем
= <13-67’
Для второго слагаемого достаточно грубой оценки: так как
матрица А = Р-|-Ф ограничена, то
12 Xixi | _ 12 2 ai]XiXj |
“ГхР |*Р
Для первого слагаемого, учитывая (13.25) и (13.62), а также
неотрицательность и ограниченность имеем
откуда с помощью в) получаем
si
— с
с положительными v, В, С. Таким образом, окончательно
— Ср.	(13.68)
184
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
[13.4
Чтобы проинтегрировать это неравенство, обращающееся
в случае равенства в уравнение Бернулли, применим обычный
прием: сначала положим pv = £, что даст
z^b— cz (b = vBt c = vC),
затем, беря z = ye~et, найдем y^>bectt откуда
у (0 > у (0)4-4(^-1).
и поскольку у (0) = Z (0), то
•г(О>г(0)е-"4 |(1 — е~е1).
(13.69)
Так как по условию z(0) = [p(0)]v > 0, то z(f) положи-
тельно и не стремится к нулю на бесконечности. Ввиду не-
прерывности это означает, что z (t) const > 0, а следова-
тельно, и Р(О<>Ро > как бы велико ни было t. Таким
образом, Г =и x(t) лежит в а значит, подавно
в /Со, при всех t £ [0, оо), чем и заканчивается доказа-
тельство.
д)	Пусть дана система
;=(л+Ф1Ь>,	(13.70)
где Р1=Р1(/) — нижне-треугольная матрица с неположи-
тельными внедиагональными коэффициентами, a — ма-
трица (13.49). Тогда существует по крайней мере одно не-
тривиальное решение этой системы, лежащее целиком в не-
котором конусе /Срр где Pj > 0.
Доказательство. Покажем сначала, что существует
решение, остающееся всегда в положительном углу /Со. Со-
гласно пп. Д. 6.3 — Д. 6.5 для этого достаточно убедиться,
что всякая точка поверхности /Со, кроме О (которая, оче-
видно, есть точка покоя системы), служит точкой строгого
выхода. Пусть в момент /0 точка у= {ур ...,	=/= 0 лежит
на поверхности KQ. Это значит, что некоторые ее коорди-
наты равны нулю, а остальные положительны. Пусть, на-
пример, уй = 0, но > 0 (в случае ул = уя надо счи-
тать yk+! = ух). Тогда для £-й строчки системы (13.70),
принимая во внимание, что	получим
y*=/Wi4- ••• 4-Р*,й-1У*-14-Рл-0-ду*+1<-буй+1<0.
13.4, §13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 185
откуда следует, что координата yk, по условию равная нулю
в момент /0, в близкие моменты t > tQ будет отрицательна.
Последнее же означает, что решение выходит из положи-
тельного угла Kq. Итак, все точки KQ суть точки строгого
выхода, следовательно, существует решение y(t), целиком ле-
жащее в Kq. Теперь покажем, что это решение не может под-
ходить как угодно близко к поверхности KQ, точнее говоря,
что для него величина Р(х) (13.58) остается > 0. Для
этого убедимся, что всякое решение, приближающееся в какой-
либо момент достаточно близко к поверхности Kq (т. е.
сообщающее функции р(х) достаточно малое значение), за
конечное время выходит на поверхность, а следовательно,
затем покидает KQ.
Поскольку для изучаемого решения y(t) это невозможно,
отсюда будет следовать нужное утверждение: y(t)£K$xi
Pi > 0.
Рассмотрим производную (13.67), но в силу системы (13.70)
и с соответствующим изменением обозначений. В отличие
от г), здесь вместо б будет фигурировать —6, а вместо
будут	кроме того, замена Ф на Oj при-
водит к замене (13.62) на (13.64). В остальном повторяются
те же рассуждения, и мы получаем, подобно (13.68) и
(13.69),
р<—вр^ч-ср,
z — b-\-cz,
где z = pv, откуда, далее,
V L	ъ J
Мы видим, что если начальное значение z (Zo) = [р (Q]v до-
статочно мало, то правая часть за конечное время перейдет
от положительных значений к отрицательным, т. е. Р(^) обра-
тится в нуль, а это и означает, что соответствующее ре-
шение вышло на поверхность Kq. Этим заканчивается рас-
суждение.
е)	Завершение доказательства теоремы 13.3.3. Возьмем
решение y(t) системы (13.70), лежащее в конусе К^ (Pj > 0);
оно существует согласно д). Затем перейдем к сопряженной
системе — это будет система вида (13.66) с Р = — Р*. У нее,
186
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
[13.5
согласно г), есть решение х(^), лежащее в некотором ко-
нусе Тогда больший из двух конусов ^p0 и — обо-
значим его — содержит оба решения x(t) и y(t), и к ним
применимо утверждение б). Остальное изложено в доказа-
тельстве теоремы 13.3.3.
13.5. Сдвиги крайних показателей внутрь спектра.
Определения границ подвижности крайних показателей были
построены так, чтобы с их помощью можно было следить
за изменением старшего показателя вверх, а младшего вниз.
Но, вообще говоря, возможны сдвиги этих показателей и
в обратных направлениях. Они не представляют большого
интереса, пока речь идет только о прочности самих же край-
них показателей (ср. определения п. 13.1). Другое дело, если
рассматривается прочность всех показателей: здесь в опре-
деление включается вопрос о сдвигах всех показателей в обе
стороны, и, в частности, приобретают интерес смещения стар-
шего показателя вниз, а младшего вверх.
Покажем, что и в этих направлениях возможны скачко-
образные сдвиги крайних показателей под действием сколь
угодно малых возмущений, причем даже в том случае, когда
крайние показатели совпадают с центральными.
Лемма 13.5.1. Если существует линейная система,
у которой старший показатель совершает конечный ска-
чок вверх под действием возмущения, норма которого
стремится к нулю при t-+oo, то существует также
другая линейная система, у которой старший показа-
тель совершает конечный скачок вниз под действием сколь
угодно малых возмущений.
Доказательство. Пусть первая система есть
X = A(t)x.	(13.71)
и ее старший показатель до возмущения равен Л. По усло-
вию существует возмущение, вызывающее скачок показателя
вверх, причем по принципу линейного включения (см. п. 12.3)
можно считать это возмущение линейным. Итак, существует
система
л = [А(04-Ф(0]х	(13.72)
со старшим показателем Л' > Л, и при этом по условию
|Ф(О|-о.
13.5] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 187
Эта система является искомой. В самом деле, рассмотрим
для нее возмущение
О при i < Г,
— Ф(0* при t ^Т.

Его норму можно сделать как угодно малой, беря Т доста-
точно большим, так как
sup|<I>(/)|->0 при Т->оо.
В то же время, будучи приложено к системе (13.72), оно
возвращает ее к системе (13.71), если не считать конечного
отрезка [О, Т], что, очевидно, не влияет на показатели. Таким
образом, невозмущенная система (13.72) имеет старший по-
казатель Л', а возмущенная с помощью ЧГг(О*— пока-
затель
Л<Л',
что и требовалось.
Замечание 13.5.1. Очевидно, аналогичное предложение
справедливо и для младших показателей.
Приведем теперь пример системы, для которой утвер-
ждение леммы справедливо, и притом как для старшего, так
и для младшего показателей.
Пример 13.5.1. Рассмотрим систему 2-го порядка
. /О 0	\
х = L . х.	(13.73)
\0 Л81ПЛу//
Функция р(0 = Я'8тл]/7 подробно изучена в упражнении
7.5.12, и мы можем утверждать, что показатели нашей си-
стемы суть 0 и 0, а центральные показатели 4-1 и —1,
причем С-класс можно считать состоящим из одной функции
R(0 —	 = шах {О, nsinn]/^}, (13.74)
а с-класс — из одной функции
г(/)^ (О —lP(O I =
Возьмем возмущенную систему
• / 0
min {о, nsinn;]/7}. (13.75)
d(0\
z,4 x,
(13.76)
188
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
[13.5
полагая
б(о=}.
(Чтобы избежать разрыва при / = 0 и в то же время не
усложнять дальнейших обозначений выбором другого началь-
ного момента, будем считать, что d(f)=l на [0, 1].) Мы
знаем, что линейное возмущение, норма которого стремится
к нулю, не меняет центральных показателей (следствие 13.2.6),
поэтому для возмущенной системы Q= 1, (о==— 1. Но край-
ние показатели всегда ограничены центральными, поэтому
у возмущенной системы —1<^х<^Л<^1. Покажем, что
в действительности здесь имеют место равенства
и = — 1,	Л=1.
Повторим для этой системы конструкцию доказательства
теоремы 13.3.1 с некоторыми уточнениями. Проследим сна-
чала те незначительные изменения, которые претерпевают
выкладки до формулы (13.35). Теперь а принимает лишь два
значения 1 и 2, и совокупность {ра} состоит из рг = 0 и
р2 = р = rtsinnyT. Кроме того, б=д (/) сейчас зависит от t.
Поэтому нужно считать 6(0 всюду внесенным под знак
соответствующего интеграла, и теперь для а = 2 и четного г
вместо (13.33) получим
2
t *г гт-\ ^2	Г р
W) = J f J ••• | 6(Л)6(^2) ... 6(QeXp J pdx +
о о
О о
+ J pdx+ J pdx+ ... -I- J pdx
*2	*1
dt vdt2
.. dtT.
Далее, после (13.35) свойства a) — в) этого интеграла сохра-
няются, а г) можно уточнить, используя существование точной
верхней функции (13.74). Именно, вместо д'k = [(k— 1)Т, kT]
возьмем отрезки
<7\ —где =
13.5] § 13. ПРОЧНОСТЬ И ПОДВИЖНОСТЬ КРАЙНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 189
и будем оценивать $n\t) для /=Т2л+1=(2л+1)2. Функция
2(Л......tr, /) =
Л	h	t
= J p dx —J” J p dx —J— J p dx —J” * • • *4“ J* p dx
0	^2	^4
при ti = T(, t = T2n+l совпадает c
Г2л+1	2» (2* + l)2
j /? (t) dx = J nsinnyfTdT = (2«4-l)(2n + 2),
0	*=o (2*)»
а при изменении tt в границах \tt —	изменяется не
более чем на 4лге (ср. в) из доказательства теоремы 13.3.1).
Учитывая еще, что при	•••
б (/1) б г) • • • б (t2n) =	<2л > (Г2л+1)г» = (2п + 1)«л ’
а в остальном повторяя рассуждения, приведшие после (13.44)
к оценке |х(0|> получим
\^(Т	h 1	(2/1 + 1) (2/14-2)-4лп
Iх V 2/Н	(2п4-1)4/1‘ е
откуда
х(х)= 1йН 4In |ж(/)|>^—ln\x(T2„+1)i>
f->oo 1	П->со 1 2/1+1
r 1п& — 4п 1п(2л+ 1) + (2Л + 1) (2л Ц-2)— 4лл_.
(2n+I)2	*
Но мы уже знаем, что xW^l, и потому х(л?)=1.
Теперь сделаем замену хх —х2 =— у2, переводящую
(13.76) в систему
.	/ 0	—6(0 \
У \ — 6(0 nsinn]/7/^’	(13.77)
К последней приложима теорема 13.3.3, причем снова
повторяются проделанные сейчас уточнения, и мы находим
решение Jo (0» а следовательно, и хо(О» у которого х(х0)= — 1.
Применим теперь лемму 13.5.1, беря в качестве невозму-
щенной системы (13.71) систему (13.73), а в качестве возму-
щенной (13.72) — систему (13.76). Мы видим, что в силу
этой леммы старший показатель системы (13.76), совпадающий
190
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
[13.5
с верхним центральным и равный —Н 1, под действием сколь
угодно малых возмущений может перейти в нуль. Точно
так же, согласно замечанию 13.5.1 и результату изучения
системы (13.77), младший (он же нижний центральный) пока-
затель испытывает скачок от —1 до 0.
§ 14. Случай почти периодической системы
Мы знаем, что особый и центральный показатели линей-
ной системы, вообще говоря, различны, причем
соо со, Q Q0.
Из результатов предыдущего параграфа видно, что понятия
подвижности и прочности связаны именно с центральными
показателями. Поэтому, несмотря на значительно большую
простоту особых показателей, мы до сих пор не имели
возможности пользоваться ими для анализа разбираемых
вопросов. Снова один случай следует выделить как три-
виальный: у систем с постоянными коэффициентами все
показатели — крайние, центральные и особые — совпадают.
То же самое имеет место для систем, приводимых к по-
стоянным (см. п. 18.4), в частности для периодических
систем, приводимых в силу известной теоремы Ляпунова.
Почти периодические системы, вообще говоря, непри-
водимы. Цель настоящего параграфа состоит в доказательстве
того, что, несмотря на это, их центральные показатели
всегда совпадают с особыми. Кроме того, здесь будет
выделен один класс почти периодических систем с прочными
крайними показателями.
Итак, мы будем рассматривать систему
x = A(t)x	(14.1)
с почти периодической матрицей A(t), которую для простоты
будем считать еще непрерывной. Такая матрица ограничена:
|А(/)|<К	(14.2)
и обладает тем свойством, что семейство ее сдвигом ком-
пактно в метрике С, т. е. из любой последовательности
А^^АЦ-х^
можно выбрать подпоследовательность, равномерно схо-
дящуюся на всей оси к некоторой почти периодической
14.1|
§ 14. СЛУЧАЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
191
матрице А (это — одно из определений почти периодичности,
см., например, [3]).
14.1. Совпадение центральных показателей с осо-
быми [4]. Напомним определение верхнего особого показателя.
Пусть x(t)—всевозможные решения системы (14.1). По-
строим семейство функций
{р(0 = Рж(0 = -^1п|хЮ|}.
и пусть число Q такое, что при некотором D = Dq для
всех функций p(t)£S? и всех выполняется неравенство
t
j p(T)dr<Q(Z — s) + D.	(14.3)
Особым показателем Q° называется нижняя грань всех таких Q
(см. сноску на стр. НО). Из этого определения вытекает,
что если дано число q < Q°, то найдутся такие последова-
тельности функций	констант Z)z—>оо и отрезков
[Tz, ^], ti — tz->oo, что
Ч
J Pid-c>q(tt — rz)-|-Dz.	(14.4)
'i
(заметим, что члены последовательности pt не обязательно
различны). Некоторое усовершенствование отрезков дается
следующей леммой.
Лемма 14.1.1. Для любого I существуют ht и Ht
такие, что Hi—>oo и
t
j Pidx>q(t — ht) при всех f£[£z+l, Ziz + /fz]. (14.5)
ht
Доказательство. Для каждой функции Pj (t) из
указанной выше последовательности проведем разбиение
полуоси /^>0 на отрезки точками hjk (k=\t 2, . . .).
Положим hjQ — O, а способ выбора последующих значе-
ний hjk укажем индуктивно. Пусть hjfc уже найдено. Тогда:
1) Если	hjk+l
J pjdr^q,
hjk
то ПОЛОЖИМ hjt j =	1.
192
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[14.1
2) Если
hjk*x
j Pjdi>q,
hjk
то для всех /, достаточно близких к hjk 4“ 1 также имеем
t
J p}dx>q(t — hjk),	(14.6)
и тогда полагаем h/tk+1 равным наименьшему />АуЛ-|-1,
при котором
t
/ p,dx = q{t — hjfc).
”jk
Если же такого значения hjtk+1 указать нельзя, т. е. если
для всех t выполняется неравенство (14.6), то процесс по-
строения дальнейших точек разбиения на этом шаге заканчи-
ваем. Последний из отрезков разбиения в этом случае будет
иметь бесконечную длину.
Докажем, что совокупность длин полученных таким
способом отрезков не может быть ограниченной. Допустим,
напротив, что существует такая константа Т > 0, что для
всех J и k
+ \ hjk^T.
(В этом случае при любом фиксированном j не может
получиться конечного числа точек разбиения.) Для любой
функции Pj(t) ввиду ее ограниченности (IPyWI'C Ю имеем
при t^s
t	hhi	t
fpidr=l[ + J 4- J-Cs) 4*	+
s	s ft=H hjk hjv
4- к(t-hjv) = (K-q)(h^-s) 4-q(t-s) 4-{K-q)(t-h^
^q(t-s) { 2\K — q\T. (14.7)
(Здесь hj^ и hjv—самая левая и самая правая точки раз-
биения для Pj, лежащие на отрезке [s, /].) Это, однако,
противоречит (14.4), если взять $ = тр t — tlt так как
14.Ц	§ 14. СЛУЧАЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 193
2| К — <7|Г= const, a Z)z->oo. Поэтому числа HJk =
= Лу л+1 — hjk не ограничены, и из них можно выбрать
подпоследовательность Я; л =Hz->oo. Остается перейти также
к подпоследовательностям p^ = pi и = и лемма
доказана.
Теорема 14.1.1. Верхние особый и центральный
показатели почти периодической системы совпадают:
Q = Q°.	(14.8)
Доказательство. Мы знаем, что центральный пока-
затель всегда не больше особого; Q^Q°. Если бы он
оказался строго меньше, то по теореме 13.2.1 можно было бы
указать столь малую норму возмущений, при которой
показатели всех решений не превзошли бы Q' такого, что
Q < Q' < Q0. Поэтому мы докажем требуемое, если установим,
что для нашей системы существуют возмущения сколь
угодно малой нормы, порождающие решения с показателем
^Q° — е при произвольно малом е.
Фиксируем е>0 и положим 0° — & = q. Так как это
число меньше Q0, то по лемме 14.1.1 существуют последо-
вательность функций Pi(t)QS^ и последовательность отрез-
ков [hi, hi-{-Hi], Н1~>оо, для которых
t
J Pl(x)dx>q(t-hi)	(14.9)
hi
при всех / из сегмента	Каждой функ-
ции Pi(t), по определению равной -~-1п |хД/)|, где Ск-
рещение системы (14.1), поставим в соответствие другое
решение той же системы:
Xi(t’ А/)=|зЖг’
очевидно, обладающее тем свойством, что
t
f Pi (t) dx
1ХДЙР Az)| = l и \Xi(t, hi)\=ehi
а следовательно,
A,)|	(14.10)
13 Б. Ф. Былов, P. Э. Виноград и др.
194
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(14.1
при всех t из указанного сегмента. Ясно, что при любом I
вектор jcz (f) — xi (Г-|- hi, ftz) является решением системы
Х = Д(Г-|-Л/)Л,	(14.11)
причем |xz (0)| = |х( (Az, Az)| = 1 и, как это вытекает из
(14.10),
|xz(0| = |xz(r + ftz, Az)| >eqt (14.12)
для всех t из сегмента	Переходя в случае
надобности к подпоследовательности, можно считать индексы I
такими, что:
1) матрицы A(/ + ^z) сходятся равномерно к некоторой
почти периодической матрице A(t)\
2) начальные векторы xz(0) решений xt(t) сходятся
к некоторому вектору х0 такому, что |х0| =1.
Рассмотрим «предельную» систему
х = А(/)х.	(14.13)
Через x(t) обозначим решение этой системы, определенное
начальным вектором х0. Из способа определения системы и
выбора начального условия вытекает, что на всяком конечном
отрезке [О, Т], Т>1, равномерно по t выполняется пре-
дельное соотношение
i -> оо
Так как Hz—>оо, то при всех достаточно больших I будет
выполнено неравенство > Г, и в силу (14.12) из преды-
дущего соотношения получим
при	а благодаря произвольности Т это будет
верно при любых 1. Таким образом, старший показатель
системы (14.13) во всяком случае не меньше q.
Рассмотрим теперь последовательность систем
х = A(t — Az)x,
полученных из (14.13) сдвигом времени на величину —
Этот сдвиг, очевидно, не может изменить показателей, так
14.2)	§ И. СЛУЧАЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 195
что каждая такая система имеет старший показатель^?.
Запишем ее в виде
x = A(t)x + [A (t — hi) — A(t)\x.	(14.14)
Так как равномерно по всем t имело место соотношение
iA(o-xa+^)i->o,
то и
|A(/-^)-A(0|->0
равномерно на всей оси при I -> оо. Следовательно, си-
стемы (14.14) можно рассматривать как исходную систему
(14.1) с возмущениями сколь угодно малой нормы. Но, как
уже было отмечено, старший показатель каждой такой си-
стемы не менее ? = £2°— е, и доказательство окончено.
Теорема 14.1.2. Нижние центральный и особый
показатели почти периодической системы также сов-
падают.
Действительно, перейдем от данной системы к сопря-
женной. По предыдущей теореме ее верхний и особый
показатели одинаковы. Но, взятые с обратными знаками,
они суть нижние показатели исходной системы. Теорема
доказана.
Следствие 14.1.1. Для прочности старшего (млад-
шего) показателя почти периодической системы вверх
(вниз) необходимо и достаточно его совпадения с верхним
(нижним) особым показателем.
14.2. Достаточный признак прочности крайних показа-
телей. Следующая теорема позволяет выделить некоторый
класс почти периодических систем, обладающих прочными
крайними показателями.
Теорема 14.2.1 Если можно указать последова-
тельность L^oo и число р>0 такие, что в каждом
отрезке длины Lt находится по крайней мере одно зна-
чение xit для которого
sup 14 (/-|-tz) — A(t)\<e,i,	(.i—e^, (14.15)
то старший показатель системы (14.1) прочен вверх,
о младший — вниз.
Доказательство достаточно провести для старшего пока-
зателя, так как к младшему можно перейти тем же приемом,
13*
196
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[14.2
что и в теореме 14.1.2. Согласно следствию 14.1.1 нужно
убедиться, что старший показатель А совпадает с особым Q0.
Допустим, что это не так; поскольку всегда А<^Й°, мы
предполагаем, следовательно, что
Qo = A-j-a, a > 0.
Выберем сначала столь малое 0 > 0, что
а—1<°.
а затем р > 0 такое, что
a + ₽-f<0 и ₽(1	<Т-	<1416)
Согласно определению особого показателя, данному в на-
чале п. 14.1, для всех функций	и всех достаточно
больших t —	имеем
t
J p(T)dT<(Q»+₽)a-s)	(14.17')
s
При этом, поскольку Lf -> со, можем считать, что
Lt>\ и LZ>T(P) (/=1,2,...).
С другой стороны, по лемме 14.1.1 для любого I можно
указать такую функцию pt (t) и такой отрезок
\hit	что
t
J	(14.17")
л/
для всех t\ удовлетворяющих неравенству
Az-|-1	(14.18)
и так как >оо определяются независимо от £z, то можно
считать, что
/7Z>(2-|-0)£Z.
Пусть tz — значение, взятое из условия (14.15) и лежа-
щее в границах
Li < "Ч — Az < 2£z.	(14.19)
14.2)
§ 14. СЛУЧАЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
197
Тогда для всех t из сегмента (14.18), используя неравен-
ства (14.17), найдем
t \
Pidx=l — J >(QO-p)(^ —Az)-(Qo+p)(T/_Ai)==
hi hi
= [o° - P - -2Ра(17?' ] (t -	(14-20)
L	v 4) J
Положим
ti = Xi -f- QLi.
Так как	и £Z>1, to
Следовательно, ti принадлежит отрезку (14.18). Вместе с тем
при t = ti имеем из (14.19) и (14.16)
о । 20 (Т/	Л/)	. 20 • 2Д/ а
₽+	<₽+“йГ<2-
Поэтому неравенство (14.20) при t = ti можно записать
в таком виде:
4
j р/</т>(О9-|)(^-тг) = (л+|)0£/. (14.21)
xt
Пусть теперь xz(Z, tz) есть решение системы (14.1) такое,
что
t
J Pldx
!•*/(*. Т;)|=ет*
Очевидно, что вектор xz(/) = xz(/-|~Tz, tz) удовлетворяет
системе
x = A(t + xi)x.	(14.22)
При этом
f+Tz
J Л
+ ^)|=« т*
198
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
114.2
так что, во-первых, по определению особого показателя
(14.17') будем иметь равномерно (т. е. независимо от 0
|х/(0|<£>/а’+₽)/.	(14.23)
а, во-вторых, согласно (14.21), при /==0 = 0^
**
f Ptd% /ац.ЛА 4
|Х/О=*Т/	2 •	(14.24)
Представим систему (14.22) в виде
х = А (0 х 4- [A (t 4- tz) — А (01 х. (14.25)
Пусть xz(0— решение «невозмущенной» системы
х = А (0 х
с начальным условием xt (0) = x-t (0), а X s) — ее матрица
Коши. Тогда xz(0, как решение возмущенной системы (14.25),
удовлетворяет интегральному уравнению (см. (Д. 13.17))
xt (0 — xt (t) = j X (t, s) [A (s + Xi) — A (s)J Xi (s) ds.
0
При этом матрица Коши невозмущенной системы, по опре-
делению особого показателя (см. п. 8.1), допускает оценку
\X{t,
Поэтому из интегрального уравнения, используя еще (14.15)
и (14.23), найдем
I Xi (t) — xt (t) К Op / е(2,+Э) </-s)eze<2°+₽) s ds =
0
p
Полагая здесь t — tt — 0£z и вспоминая, что Q° = Л 4~ а»
получим
\Xi(fi) — Xi(ti)\ <О^/Л+а+₽"ё) \
14.21
§ 14. СЛУЧАЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
199
Отсюда в силу (14.16)
lim |xz(O —=
/->оо
(14.26)
С другой стороны, используя (14.24) и обычную оценку xt
через старший показатель, выводим
|хг(^) — */(^)|>|х/(^)|— М()| >
>e(M)'<_D >4)-<
7
Поэтому
lim | х{ (t)t—х/(//)|е-л'/ = оо.
Z->OO
Это противоречит (14.26) и тем самым опровергает допуще-
ние а>0. Итак, а = 0, т. е. £2 = Л, и теорема доказана.
Пример 14.2.1. Укажем один класс почти периодических
матриц, для которых условие теоремы выполнено.
Пусть А/(0 — последовательность периодических матриц,
равномерно ограниченных
И, (ОК к
и имеющих соизмеримые и неограниченно растущие периоды
7\—>оо.
Тогда для всякого I существует наименьший общий период Lt
конечной совокупности матриц Ар Л2, ...» Ар причем
Lt —>оо.
Пусть, далее, р > 0 произвольно, а числовой ряд 2 ck таков,
что
2 e~PLi'
k = i + l
(Можно, например, считать, что
Ci+1 =	— е-рд/+1),
а сх задать произвольно.) Положим
оо	i
4(0 = 2 ckAk (t),	St (t) = 2 сЛАл (t).
k = l
200
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
{15.1
Так как | At (0|<С К и 3|сд| сходится, то A(t) почти перио-
дична. Согласно предыдущим построениям имеем для всех t
и 1^ 1
оо
|А(0-5/(0| =
й = / + 1
оо
Z + 1
Так как конечная сумма (/) имеет период L{, то при любом
целом т, в силу последнего неравенства,
1Л (t +	- А (01 < | A (t + mLi) - St (t + mL.) | +
+ |Sz(0-^(0K^p£/.
Таким образом, матрица A(f) удовлетворяет условию (14.15).
§ 15.	Поведение промежуточных показателей
15.1.	Предварительные понятия и обозначения. В от-
личие от предыдущего параграфа, мы не будем здесь на-
чинать с формальных определений подвижности и прочности
промежуточных показателей; подобное поведение показателей,
так же как и многие сопутствующие факты, будут описаны
непосредственно в формулировках теорем этого параграфа.
Вопрос о прочности какого-либо промежуточного пока-
зателя естественно включает в себя рассмотрение его крат-
ности, которая, как мы знаем, определяется через размерности
соответствующих множеств решений. Чтобы обеспечить суще-
ствование аналогичных множеств у возмущенной системы,
приходится требовать не только малости возмущения в смысле,
например,
|/(t х)|<д|х|,	(15.1)
но и выполнения условия Липшица
|/(Л	x2)|<d|xl-x2|.	(15.2)
В этом случае, при некоторых добавочных ограничениях на
линейную часть системы, указанные множества решений мало
меняются (топологически и даже метрически) при переходе
от невозмущенной системы к возмущенной, иначе говоря,
также обладают известной прочностью по отношению к ма-
лым возмущениям. При отказе от условия Липшица, есте-
ственно, получаются лишь более слабые утверждения.
15.1.2]	§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
201
Прежде чем описывать поведение множеств решений
в точных терминах, приведем некоторые иллюстрации; их
доказательства будут вытекать из теорем следующего пункта.
15.1.1.	Пусть в качестве невозмущенной системы дана
система 2-го порядка
Х1 = —Хр
«^2 — #2*
Картина расположения ее траекторий изображена на рис. 8.
Решения с показателем —1 заполняют одномерный линеал L1
Рис. 8.
(ось Aq), все остальные решения имеют показатель -|-1 и
и с ростом t концентрируются около линеала L(2) (оси х2).
Таким образом, первые не покидают сколь угодно малого
угла а, а вторые попадают в сколь угодно малый угол 0
при достаточно больших t. Последнее означает, что отноше-
ние становится малым, поэтому будем называть коор-
динату х2 или линеал ведущими для этих решений.
15.1.2.	Под действием автономных (не зависящих от вре-
мени) малых возмущений картина деформируется, как указано
на рис. 9. Кривая заполненная решениями с показателями,
близкими к—1, может рассматриваться как результат малой
202
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[15.1.3
деформации линеала L1. Она расположена так, что ее можно
считать графиком однозначной непрерывной функции, задан-
ной на L1. Иначе говоря, между Eq и L1 может быть уста-
новлен гомеоморфизм путем ортогонального проектирования
Eq на L1. Это значит, что Eq есть регулярный образ линеала L1
(см. п. Д. 7.1). Кривая а следовательно, и лежащие на
ней решения не покидают угла а, а все остальные реше-
ния имеют показатели л* -f-1 и при больших t погружаются
в угол р (так что для них L2 сохраняет роль ведущего
линеала), однако теперь малость этих углов не выбирается
произвольно, а определяется малостью возмущений. Всю
деформацию можно считать малой, если малы углы аир, по-
скольку они в основном задают картину рис. 9.
15.1.3.	Та же картина допускает интерпретацию в про-
странстве «координаты — время», т. е. в трехмерном про-
странстве (хр х2, И (рис. 10). Решения с показателями
«—1 заполняют цилиндрическую поверхность Е\ пересе-
чение которой с любой плоскостью t = const есть кривая Е?,
конгруэнтная Eq. Проектирование на фазовое пространство,
т. е. на плоскость (хр х2}, возвращает нас к интерпрета-
ции рис. 9.
15.1.4.	В случае неавтономных возмущений удобнее на-
чинать прямо с пространства {хр х2, £} (рис. 11). Решения
с показателями « —1 начинаются на кривой Eq и заполняют
поверхность Е1, которая, хотя уже не является цилиндри-
15.1.6]	§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
203
ческой, все же в пересечении с каждой плоскостью t — const
дает кривую Е\, сходную по форме и положению с Eq\ ее
проекция на фазовое .пространство {хр xj, обозначаемая
снова через Е\, есть регулярный образ линеала L1 и лежит
в малом углу а. Будем называть Е} срезом множества Е1.
Эту же кривую можно представить себе, не пользуясь про-
странственной интерпретацией, как результат непрерывной
деформации кривой Eq в плоскости {хр х2} с течением вре-
мени. Таким путем мы возвращаемся к интерпретации всей
картины снова в одном только фазовом пространстве {хр х2},
но, в отличие от рис. 9, с «дрейфующей» кривой £*}.
Все остальные решения имеют показатели «-|-1 и по-
прежнему погружаются в угол 0 при больших t.
15.1.5.	Подслучай 15.1.4, состоящий в том, что возму-
щения берутся линейными, приводит к следующим особен-
ностям: поверхность Ех является линейчатой, срез Е\ есть
прямая, ее дрейф сводится к вращению вокруг начала коор-
динат в пределах угла а. При автономных линейных возму-
щениях она неподвижна, а Ех — плоскость.
15Л.6. Рассмотрим невозмущенную систему 3-го порядка
Xj —* XjXj,
х2 —— Х2х2,
Х3 = Х3Х3,
204
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
J15.1.7
где < Х2 < 13 (рис. 12). Линеал L1 (ось состоит из
решений с показателем линеал £12 (плоскость {хр х2}) —
из решений с показателем Х2 (а за вычетом L1 — с по-
казателем только Х2), все
остальные решения имеют показа-
тель Х3. Первые не покидают
конуса К1, вторые при боль-
ших t погружаются в ко-
нус К2, окружающий линеал £2
(ведущий для этих решений),
точнее — в пересечение этого
конуса с линеалом £12, осталь-
ные при >оо погружаются
в конус К3 (L3 = {х3} есть ве-
дущий линеал для таких ре-
шений). Все конусы могут счи-
таться сколь угодно узкими.
15Л.7. Малые автоном-
ные возмущения деформируют
с показателями « Aq заполняют
« Х2 — поверхность Ej2
показатели « %3.
картину в рис. 13. Решения
кривую Eq, с показателями
четом Eq, все остальные имеют
не покидают конуса /С1, вто-
рые вместе со всей поверх-
ностью Ej2 остаются вне
некоторого конуса с осью х3
и углом раствора, близким
к прямому углу, т. е. при-
легающего к плоскости £12,
а кроме того, эти же ре-
шения при /—>оо погру-
жаются в конус К2 (т. е.
имеют ведущий линеал £2),
наконец, все остальные ре-
шения при >оо погру-
жаются в конус К3 (имеют ведущий линеал £3). Малость раст-
вора перечисленных конусов определяется малостью возмуще-
ний и в свою очередь может считаться мерой малости всей
деформации. Кривая Eq является регулярным образом (см.
за вы-
Первые
Рис. 13.
15.1.9]	§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 205
п. Д. 7.1) одномерного линеала Z?, а поверхность Eq2 —
регулярным образом двумерного линеала £12. Ортогональное
проектирование ее на L12 переводит кривую вообще
говоря, не в I1, а в некоторую новую кривую Е^, кото-
рая, однако, снова является регулярным образом L1 в Z,12.
15.1.8.	Та же картина в случае неавтономных возмуще-
ний отличается тем, что неподвижные многообразия Eq и
EXq EXq заменяются дрейфующими срезами и Е]2 zd Е],
которые в остальном сохраняют те же особенности распо-
ложения.
15.1.9.	В случае линейных возмущений Е* становится
прямой, а Е12 — плоскостью, причем последние неподвижны,
если возмущения автономны.
Перенесем предыдущие понятия на случай системы диф-
ференциальных уравнений, заданной в n-мерном пространстве.
С этой целью введем следующие определения.
Определение 15.1.1. Пусть дано некоторое мно-
жество решений Ф. Совокупность точек этих решений,
отвечающую фиксированному моменту t, назовем сре-
зом Ф, множества Ф. В частности, совокупность всех
начальных точек этих решений при t0 образует началь-
ный срез Ф/о.
В случае интерпретации системы в пространстве «коор-
динаты — время» {х, /}, срез есть пересечение множества Ф
с гиперплоскостью / = const (рис. 10 и И). Как правило,
однако, мы будем считать Ф, спроектированным в подпро-
странство {х, 0}, т. е. будем пользоваться только фазовым
пространством {х} и «дрейфующей» интерпретацией в нем
(ср. 15.1.4.).
В случае единственности и непрерывной зависимости
решений от начальной точки все срезы гомеоморфны началь-
ному срезу Ф/о и непрерывно меняются вместе с t, что и
оправдывает пользование «дрейфующей» интерпретацией.
Определение 15.1.2. Множество Ф называется
неподвижным, если все его срезы совпадают (в прост-
ранстве {х}).
Определение 15.1.3. Множество Ф называется
регулярным t-образом линеала L1, если каждый его срез
есть регулярный образ L1 в смысле п. Д. 7.1.
206
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ (15.1.10
Обычно для этого, в случае единственности и непре-
рывной зависимости решений от начальных данных, доста-
точно, чтобы начальный срез Ф/о был регулярным образом L1.
Определение 15.1.4. Пусть множество решений
линейной невозмущенной системы, отмеченное каким-
либо признаком, есть неподвижный (определение 15.1.2)
линеал L1. Скажем, что это множество обладает проч-
ностью. (по отношению к малым возмущениям 1-го по-
рядка), если для любого Л > 0 можно указать такую
малость возмущений, при которой множество Е решений
возмущенной системы с таким же признаком образует
регулярный t-образ линеала L1, заключенный в конусе
раствора h вокруг L1 (см. п. Д. 5.1).
Определение 15.1.5. Неподвижный линеал Lm на-
зывается ведущим для множества решений с заданным
признаком, если для любого h > 0 можно указать такую
малость возмущений, при которой каждое решение воз-
мущенной системы с таким же признаком при доста-
точно большом t погружается в конус К(Lm, h) (см. § Д. 5).
Приведем дальнейшие иллюстрации к этим определениям.
15.1.10.	В примере 15.1.3 множество Е1 неподвижно:
все его срезы совпадают с — а в примере 15.1.4 мно-
жество Ех не неподвижно: его срезы дрейфуют. (В примере
15.1.3 дрейф сводится к отображению Е\ в себя.)
15.1.11.	Для линейной системы множество решений с по-
казателем не выше данного является: а) линеалом в прост-
ранстве решений Ln(t); б) линейчатой поверхностью (ср.
(15.1.5) в пространстве	(не смешивать с Ln(t)\)\
в) его срез есть линеал в фазовом пространстве Ln, дрей-
фующий так, что принадлежащая ему точка О (начало
координат) остается неподвижной. В случае системы с посто-
янной матрицей А срез неподвижен (дрейф сводится к ото-
бражению в себя) и совпадает с одним из инвариантных
подпространств А.
15.1.12.	Диагональная система
х = diag Ipj (/)] х
допускает множество решений Ф с какими-либо т коорди-
натами, равными нулю. Оно неподвижно и его срезы сов-
падают с соответствующей координатной плоскостью.
15.2J	§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 207
15.1.13.	Рассмотрим систему
x = P(t)x
с блочно-треугольной матрицей, т. е. матрицей вида
/> = diag [/>„,. РПг.../»„,].
где блок — треугольная матрица порядка nit и пусть ее
диагональ интегрально разделена (см. п. Д. 17.2) по тем же
блокам.
Тогда:
а)	Линеал ДЛ1Л2есть неподвижное множество, со-
стоящее из тех и только тех решений, рост которых Rk
(см. п. Д. 12.2).
б)	Ступень
= LnXn2 ••• «й \ ДМ2 •••
состоит из тех и только тех решений, рост которых
rk х -S Rk,
а показатели
где (dk и — нижний и верхний центральные показатели
блока nk.
в)	Для таких решений ведущим линеалом служит Ln*t
т. е. каждое такое решение при достаточно большом / по-
гружается в конус Knk(h) (см. п. Д. 5.1) произвольно малого
раствора h.
15.2.	Основная теорема [5]. Эта теорема будет отно-
ситься к блочно-треугольной системе с интегрально разде-
ленной диагональю и малыми возмущениями. Ее доказатель-
ство разбито на ряд лемм по следующему плану. Сначала
рассматривается простейший случай: чисто диагональная си-
стема с разделенной в обычном смысле диагональю (леммы
15.2.1—15.2.5). Исследование доводится до конца в случае
линейных возмущений (лемма 15.2.6), а затем, с помощью
специального преобразования и принципа линейного включе-
ния, переносится на интегральную разделенность и нелиней-
ные возмущения. Малость возмущений может пониматься
208
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[15.2
в любом из смыслов п. 19.3, но для простоты мы проводим
рассуждения для б(/)
Основная теорема 15.2.1. Пусть дана блочно-
треугольная система
l =	/> = diag[P„i, Р„2.........(15.3)
а выполнены условия интегральной разделенности диа-
гонали п. Д. 17.2:
(е)	(е)
rk{t}<Pi{t)^Rh(t) при
1 £пЬ’
(6 = 1, 2, ... 7).
(15.4)
(8)
Тогда для любых Ej и Л:
°<ei<T-
0<А< 1
(15.5)
можно указать такую малость возмущений, что для
системы
x = P(t)x+f(t, х)	(15.6)
будут справедливы следующие утверждения:
1)	Обозначим через ЕП{ '"пь множество всех решений
роста + (см. п. Д. 12.2). Тогда эти решения до-
пускают оценку
|х(О|<|х(4>)|0еЛ'‘	.	(15.7)
равномерную по всем таким решениям и всем
и «.криволинейная пирамида»
OcEni С2ЕП^С2 ... cEn'n2---n4 = E(t) (15.8)
охватывает все решения системы (E(t) служит для обо-
значения всех решений).
2)	есть регулярный t-образ линеала ЕП{ '*'пь%
принадлежащий классу Jl(h) и, в частности, лежащий
в конусе Kni‘"nk(h) раствора h вокруг Ln''"nk.
3)	Ступень
%>к = Еп1-"пь\Еп''"пъ-'
(15.9)
15.2]
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
209
состоит из тех и только тех решений, рост которых
t	t
I x /а । f№+ei)dT
• (15ЛО)
а показатели
<0»~ «i<XW<XW<2» + ei	(15.11)
(левая оценка (15.10) равномерна для каждого отдель-
ного решения по всем	а правая также по всем
решениям, т. е. d&l не зависит от to, a D£l не зависит
также от х(0). Линеал Ьпь остается, как и для не-
возмущенной системы, ведущим для всех этих решений,
т. е. каждое из них, начиная со своего достаточно
большого t, погружается в конус Кпь (h).
Таким образом, центральные показатели сой и Qk
пк-го блока не возмущенной системы могут рассматри-
ваться как границы подвижности показателей этого
блока, и если крайние показатели этого блока совпа-
дают с центральными, то оказываются прочными по
отношению к малым возмущениям l-го порядка.
4)	Если J—< 0, а возмущения непрерывно диф-
ференцируемы по х, то и срезы многообразий Еп^,
Еп'п*	непрерывно дифференцируемы при
любом tQ.
5)	Для каждого фиксированного момента tQ суще-
ствует общий гомеоморфизм F всего пространства Ln
на себя, при котором каждый линеал Ьп'"'пъ переходит
в свой регулярный образ E^'"nk. Через точки, соответ-
ствующие друг другу в силу этого гомеоморфизма, про-
ходят решения систем (15.3) и (15.6) одинакового с точ-
ностью до роста + более того, для таких
решений
t
|Х(О-КОКОе, I Х(/О)|	(15.12)
равномерно по t0 и x(t0). Гомеоморфизмы F и F~l удо-
влетворяют условию Липшица с константой порядка
\ + О(К).
14 Б. ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
210
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[15.2
6)	Если внедиагональные коэффициенты k-го блока
неотрицательны, то его центральный показатель Qk
достижим, т. е. существуют сколь угодно малые воз-
мущения, при которых в этом блоке возникают реше-
ния с показателем Qk. Точно так же, если эти коэф-
фициенты неположительны, то достижим coft. В част-
ности, оба показателя всех блоков достижимы для
диагональных систем с условиями (15.4).
7)	Если диагональ является вполне разделенной (см.
§ Д. 17), то в неравенствах (15.10) можно брать функ-
цию-представителя k-го блока
Рпк — е1~*х^ Л>* + 81	<15ЛЗ)
и указанные решения имеют, следовательно, показатели
Oft — Si<x(xXx(x)<2ft + ei, (15.14)
где
^Р-п^	^ = ~Pnk-
Доказательство этой теоремы, как уже указывалось,
будет разбито на ряд лемм. В этих леммах часто бывает
достаточно ограничиться рассмотрением тех вариантов, когда
набор индексов 1, 2.п разбит всего на два или три
блока:
п = пх Н-п2 или п = п1 + п2 + лз-
В этом случае блоки будем обозначать через Pt.
Лемма 15.2.1. Пусть Р —diag[Plt Р2]—разделенно-
диагональная матрица, т. е. Рг и Р2 диагональны и
PittXRdt) для l£np I
М0>г2(0 для 1£п2, J	< • )
где
и пусть дана невозмущенная система
MOI
Каковы бы ни были & и h,
п	а
0 с < ,
Л>0,
15.^1	§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 211
найдется такое д > О, что система
x = P(t)x+f(t, х)	(15.16)
с нормой возмущений меньше д, обладает следующими
свойствами*,
1)	Не существует решений роста, промежуточного
между R\ + е и г2— е, т. е. если обозначить через Еп'
множество всех решений роста -S г2— г, то они в дей-
ствительности оказываются роста -S R\ -И е, более того,
допускают оценку
t
f [*i (т)+е] dx
равномерную по всем таким решениям и всем t^tQ,
2	Еп' есть регулярный t-образ линеала Ln\ принад-
лежащий классу <A(h) и, в частности, не покидающий
конуса Kn\h).
3)	Если /?14-е<0, а возмущения непрерывно диффе-
ренцируемы, то и
Еп,£С\
4)	Для каждого фиксированного момента /0 суще-
ствует общий гомеоморфизм всего пространства Ln на
себя, при котором линеал Ln' переходит в срез Е^, при-
чем через точки, соответствующие друг другу в силу
этого гомеоморфизма, проходят такие решения возму-
щенной и невозмущенной систем, что
t
J 1*1 (т)+е]
|х(0-&(0|<Яе|х(4Ж»	dr.
Доказательство. Перечисленные свойства доказаны
п Д. 15.2 для решений интегрального уравнения (системы)
t	t
J Pi i/т t J Ptdx
x(t) — e‘>	x0-f- J es f(s, x(s))ds—
4	t
— J es f(s. x(s))ds, (15.17)
t
14*
212
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(15.2
имеющих рост г2 — е. Поэтому лемма будет доказана,
если мы установим, что все такие решения являются общими
для систем (15.16) и (15.17). В одну сторону это очевидно:
всякое решение системы (15.17), независимо от роста, удо-
влетворяет системе (15.16), как показывает непосредственное
дифференцирование (заметим, что дифференцировать под
знаком интеграла не приходится: множители, зависящие от tt
могут быть вынесены). Докажем и обратное утверждение.
Система (15.16) всегда равносильна системе
t г	5
J Р dx	* - J* Pdx
x(O = e6 x(f0)+je f(s, x(s))ds
ta
(15.18)
(ср. (Д. 13.17)); в данном случае, благодаря диагональности Р,
t
X(t, s) = exp J P(T)dT).
Разбивая x на ортогональные слагаемые:
х — х2 хг £ Ln't х2 £ Ln\
можем переписать эту систему в виде
/г	S
JPtdT	t-fPidx
— Xi(to) + je ‘° f(s, x(s))ds
io
t г	s
x2(0 = ^	*2(*o) + p 4 X(s)}ds
(15.19)
Пусть теперь этой системе удовлетворяет x(f) роста г2—е..
Тогда при любом а > О
s
J (f2-e+a)dr
|/(S. X(s))K6|x(s)|<6Da«/|’
а так как
t
J №
t
J r,dx
I
15.2|
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
213
ТО
$	<S	<J
- J P2dx - $ r2dx J ta-e+a) dx
p tn f ** bDne^	= 6Dne^~£+a^s~^.
&	«л	u	a
Здесь e фиксировано, a a сколь угодно мало, поэтому можно
считать — е -f- а < 0, откуда видно, что интеграл
<$
00 -$P2dx
J е f(s, x(s))ds
to
сходится. При этом его величина не может отличаться от
— х2 (*о)- Действительно, в противном случае квадратная
скобка во втором из уравнений (15.19) стремилась бы к пре-
делу, отличному от нуля, так что для больших t было бы
i
J* ^dx
|х2(/)|>^°	»	с>0,
и тем самым x(t) имел бы рост £-г2 вопреки условию.
Полагая
f° -fp2rfT
*2(U =—J е *' f(s> x(s))ds,
tn
видим, что система (15.19) превращается в (15.17). Итак,
х (t) удовлетворяет системе (15.17), и доказательство
окончено.
Лемма 15.2.2. В условиях леммы 15.2.1 можно ука-
зать и такую малость возмущений, при которой всякое
решение, начинающееся в конусе Kn2(h) любого раствора h
(вокруг второго линеала Ln*), не покинет его и будет
иметь рост — Точнее, для каждого такого ре-
шения будет справедлива оценка
t
J* to (t)-el dx
|x(O|>tZ|x(Q|^	,	(15.20)
равномерная no всем и tQ таким, что x(to)£Kn2>
Доказательство. Введем обозначения
2|xz|2=x,	2|x,|2=y.
2'14
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
(15.2
Принадлежность точки х — {xIf ...» хп} конусу Kn'(ti) по
определению означает, что у < Л2, т. е. что функция
U = h2Y — X	(15.21)
должна принимать положительное значение. Вычислим про-
изводную этой функции в силу системы (15.16), считая
последнюю записанной в координатной форме. Получим
lf7 = l(ft2r_X) = A2^Rei/x/ —JjRe itxt =
п2	пх
= А2 ф Pi I xt I2 4- Re fiXt'j — 2} Pl I xt I2 + Re
\ «2	/	«1
Согласно условиям (15.15)
2 Pi I Xi |2 > r2Y, 3 pi | Xi |2 < RxX < (r2-a) X,
а в силу условия малости f
I ReS fiXJ < |/| |x|< d | x |2 = б (X 4- Y).	(15.22)
I «I I
и аналогично,
I Re 2 fiXt I <d(*4- Y).	(15.23)
I n2 I
Поэтому
~U h* [r2Y — d {X 4- E)] — (r2 — a) X — 6(X 4- Y) =
= (^ — в)(Л2Г — Л’)4-[еА2 — 6(Л24-1)]Г4-
4-[a —8 —д(Л24-1)]Л'.
Так как e <	, то две последние квадратные скобки поло-
жительны, если только б достаточно мало, и окончательно
4 Xf2 — е) (h2Y — X) = (r2 — е) U,	(15.24)
откуда
t
2 J (га-е)4т
.	(15.25)
если только U (/0) > 0.
15.2J
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
215
Таким образом, если начальная точка какого-либо реше-
ния принадлежит конусу: U (/0) >0, то и в дальнейшем
£/(/)> 0, т. е. решение не покидает конуса. Замечая, что
U = h?Y — Х<Л2(Аг + О = Л2|х|2,
можем переписать неравенство (15.25) в виде
t
.	(15.26)
Это показывает, что решение имеет рост г2 — е. Остается
доказать возможность получения равномерной оценки (15.20).
Возьмем какое-либо Aj > h. Считая б достаточно малым,
можем прилагать предыдущие рассуждения к обоим кону-
сам Kn2(h) и Kn2(h^). Возьмем решение, начинающееся
в Kn2{h)\
X0<*2F0, где XQ=X(tJt F0=K(/0). (15.27)
Оно подавно не покидает Kni(h^ так что для него спра-
ведливо неравенство вида (15.26)
t
1	______ J(r2-e)dt
.	(15-28)
где
Принимая во внимание (15.27), имеем
*«о) I2 в *о + Го	ЛУ. + Г, _ А2 _ .2	.
^1(<о)	h\Y0-X^ h2Y0-h2Ya h\-h2	2
или
yT7^)>-^h,
после чего (15.28) превращается в нужное неравенство (15.20).
Леммы 15.2.1 и 15.2.2 обобщаются на случай диагональ-
ной матрицы, разделенной на несколько блоков.
Лемма 15.2.3. Для заданных & и h,
0<е<4- 0<й<1,
216
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[15.2
система
x = P(t)x+f(t, х).
где матрица
P=diag[Pni, Р„2....Рп9]
разделенно-диагональна. при достаточно малых возму-
щениях обладает следующими свойствами:
1)	Не существует решений роста, промежуточного
между	и rft+1—е, т. е. если обозначить через
Еп\п2 ••• nk множество всех решений роста гй+1— е, то
они фактически оказываются роста -S /?А + е, и даже
допускают равномерную по всем таким решениям и всем
оценку
t
J (т>+е) dr
При этом «криволинейная пирамида»
0<иЕп'с1ЕпЛ(= ... с Еп^ - n<i = E(t) (15.29)
охватывает все решения системы.
2)	Еп' *’* пь есть регулярный t-образ линеала Ln' *” nk.
принадлежащий классу и. в частности, не по-
кидающий конуса
3)	Линеал Ьпь является ведущим для всех начинаю-
щихся вблизи него решений множества ЕП{"‘П^. т. е.
каждое решение этого множества, начинающееся в ко-
нусе КПк (h). не покидает его и имеет рост rk — е
с равномерной для этого решения оценкой
t
J [rA(t)-e]dr
4)	Если /?йоН~е<О, а возмущения принадлежат С1,
то и E“i, E“i\ ...» Е”' ”* принадлежат С1 при лю-
бом Zq.
Доказательство. Все пункты этой леммы, кроме 3),
получаются просто из леммы 15.2.1, если диагональ рас-
сматривать как разбитую на две части: первая содержит
блоки пх. ...» nk. а вторая—....nq. Включения (15.29)
15.2J
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
217
при этом очевидны, так как по условию
^(0<гА+1(0</?^1(0,
и, следовательно, из	подавно следует
Остается доказать 3). Условие h < 1 поставлено для того,
чтобы конусы Kni(h) и Kni(h) не пересекались. Проведем
рассуждения, лишь незначительно отличающиеся от доказа-
тельства леммы	15.2.2.	Обозначим
х= 2	kj2.	r=S|x/l2.	2	|хг|2.
Knk	l^nk+\-nq
Мы должны исследовать функцию
U = h2Y — X — Z
и доказать, что она остается положительной вдоль тех ре-
шений, принадлежащих Еп* "'пь, для которых она положи-
тельна в начальный момент /0. Выберем hQ > 0, малость
которого будет указана позже. Предполагая возмущения
достаточно малыми, можем считать, что
(утверждение 2) настоящей леммы), т. е. что для решений
этого множества
Z<h2(X ±Y).	(15.30)
Считая по-прежнему е фиксированным ^0 < е < у), рассмо-
трим сначала случай, когда rk — е^>0. Вычислим произ-
водную функции U вдоль какого-либо решения x(t)£
£Еп'"'пь системы (15Д6). Имеем
1{7 = 1(Л2Г — X— Г) =
= Л2 Rex, хг —	Rex,xz —	Rex,x, =
= А2 2 (pi1 xi I2 + RefiXi)— 2 (Pi I xt	—
Кпк
~	2 (Pi kzl2 + Re/z^).
*€ла+, ...пя
218
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
[15.2
При проведении оценки этой производной будем учитывать
следующие неравенства:
S pJxz|2>rAr,
2 pz|xt.|2<KZ<W2(X + r), (X = sup|/>J),
l^nk+i *"nq
2|Л| |xJ<d(?r+r+Z)<d(l+A2)(^+ К);
последние два неравенства получены с использованием усло-
вия (15.30). Итак,
h2rkY - (гк - а) X -О2(Х + Г) -
—б(1+$(Х+Г)=(гл-е)(л2Г—Х)+
+ X {а — е — Оо—б (1 + *о)} + г{еЛ2 — Оо — 6 (1 + Ло)}.
Предполагая возмущения достаточно малыми, можно считать б
и /г0 такими, что каждая из фигурных скобок неотрицательна.
Поэтому отбрасывание соответствующих слагаемых может
лишь усилить неравенство. Учитывая, кроме того, что в рас-
сматриваемом случае rk— е^>0, усилим дополнительно не-
равенство, вычитая в круглых скобках неотрицательную
величину Z. Таким образом, мы приходим к неравенству
откуда следует, что если начальная точка решения x(t)£
принадлежит	т. е. для нее £/(/0)>0, то
при всех будет выполнено неравенство
t
2 f (rft-e)dx
>0,
т. e. x (t) не покидает конуса К к (h). Неравенство из ут-
верждения 3) леммы устанавливается тем же методом, что
и (15.20) в лемме 15.2.1. Доказательство утверждения 3)
15.2]
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
219
леммы в случае, когда гк—е принимает отрицательные зна-
чения, приводится к предыдущему заменой х' — ек и-^х
в системе (15.16). При этом преобразованная система будет
удовлетворять условиям разделенности диагонали с той же
константой а и функциями r'k = rk + K
а норма возмущения /' (t, х) останется прежней.
Величину X выберем так, чтобы выполнялось нужное
условие
гк — e =	— е>0.
Учитывая далее, что
X' (Q = х (/0), I х' (О I = ] х (/) | «-V
и что преобразование не меняет конусов, а из принадлеж-
ности х' конусу Kk (Л) следует принадлежность х к тому же
конусу, получаем доказательство леммы для общего случая.
Лемма 15.2.4. Если в условиях леммы 15.2.3 возму-
щения линейны (и по-прежнему достаточно малы), то:
1) Множества Е 1 k суть линеалы.
2) Пространство решений можно разложить на та-
кие линеалы Е \ что будут иметь место прямые раз-
ложения
=	... @Еп* (£ = 1, ... q), (15.31)
причем Епь не покидает конуса К** (h) и состоит (не
считая нулевого) из решений роста
гк —	(15.32)
При этом левая оценка равномерна по всем t^t$, а пра-
вая, кроме того, по всем решениям этого роста.
Доказательство. Из того, что возмущенная система
теперь линейна, вытекают некоторые простые следствия.
Во-первых, множество всех решений роста не выше данного
образует линеал, так как их линейная комбинация снова
имеет рост не выше данного; этим доказано утверждение 1).
Во-вторых, любые линейные соотношения между решениями,
выполняющиеся в начальный момент, сохраняются при всех
В частности, всякое разложение линеала решений достаточно
220
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
|15.2
осуществить в начальный момент. Возьмем начальные срезы
(определение 15.1.1), положим
EQk = E^ k(]Lkk+l «
и убедимся, что линеалы с начальными срезами E*k
являются искомыми. Во-первых, по п. Д. 5.2 будем иметь
прямое разложение
_Л, ...	„п.	_ п.
Е0 = Е0 ®Е0 ® ••• ®Е0 ’
а следовательно, и (15.31). Во-вторых, по той же лемме
E„k лежит в конусе /с”*(Л), а тогда, согласно утвержде-
нию 3) леммы 15.2.3, Е k не покидает этого конуса и со-
стоит из решений роста гk—е, причем эта оценка равно-
мерна по t^tQ. В то же время E”k с: £о1 П\ т. е. е”* с:
с ЕП{ л*, и потому эти решения имеют рост + е
также с нужной равномерностью. Лемма доказана полностью.
Лемма 15.2.5. При условиях леммы 15.2.4 ступень
£\=Е1	*\Е1	*-1
пирамиды (15.29) состоит из всех тех и только тех
решений, каждое из которых при достаточно большом t
пъ
погружается в конус К я (h) и имеет рост
гк —	+
Этим при А = 1, ...» q исчерпываются все решения
системы.
Доказательство. Возьмем произвольное решение
По определению Еп'"Пк Оно имеет рост Н /?* + е. С дру-
гой стороны, согласно лемме 15.2.4, это решение можно
разложить в сумму
x(t)=y (0+*(0,
15.2J
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
221
ГДе решение	а решение z(t)£Enk и отлично
от нуля, поскольку х(^Е 1	Теперь каждое слагаемое
разложим по линеалам д”1 я*-1”**1 и Дл*:
У (t) = у 1 (0+у2 (0.	* (О = (О + *2 (О,
x(t) = Xj(O +х2(/),
где ух, zx и хх=ух-± zx£L	Й+1	9, а у2, z2 и
х2=у2-± z2£L k. Такое разложение возможно при любом /,
потому что указанные линеалы в сумме составляют все про-
странство Д" (как пространство векторов вообще, а не ре-
шений), но слагаемые уже не являются, вообще говоря, ре-
шениями системы. Согласно утверждению 2) леммы 15.2.4,
z^K^th), а это означает, что
|«i|<A|«2|.
и, таким образом, (ввиду ортогональности zx и z2)>
l*l2 = l*il244*2l2<(*2+ 1)1^212.
откуда
Поэтому |z2|, как и |з|, имеет рост Ч rk—е (лемма
15.2.4, утверждение 2)). Что же касается IjJ, |у2|, то они
не превосходят |j^|, и потому имеют рост Ч Rk-\ 4“е (лемма
15.2.3, утверждение 1)). В таком случае, используя усло-
вие (15.15), найдем
I xil _ 1.У1 +*11	I I 1 _
IХ2 I	IУ 2 4“ z21	I г21 — | у 2 I
l^il г iJil
_ |z2| + |гг| < fe + D/-a+2e><
, I Уг I l — ^<-«+28) < ’
|«2 I
а это выражение при больших t становится меньше Лр где
> h как угодно близко к h. Следовательно, x(t) погру-
жается в К и потому имеет рост гк — е (лемма
15.2.3, утверждение 3)). Уменьшая возмущения, можем за-
менить hx на h. Доказательство окончено.
222
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
{15.2
Лемма 15.2.6. Все утверждения основной теоремы
15.2.1 справедливы, если матрица Р в лемме 15.2.3
является разделенно-диагональной.
Доказательство. Применим к рассматриваемой си-
стеме лемму 15.2.3. Первые два ее пункта совпадают с та-
кими же пунктами основной теоремы 15.2.1. Третий пункт
дает нужный результат, но лишь для решений, начинающихся
вблизи L тогда как в основной теореме должны участво-
вать все решения из <fk. Возьмем такое решение x(t). Так
как оно принадлежит Е 1 но не Е 1	* *, то в силу
леммы 15.2.3, п. 1) его рост Ч + но не Н Rk-i4“е-
Применяя принцип линейного включения, можем считать, что
x(t) есть решение аналогичной системы, но с линейными
возмущениями. В таком случае из леммы 15.2.5 следует,
что это решение, будучи роста Ч Rk~t е» но не -S
'обязательно имеет рост rk — е и при больших t погру-
жено в конус	Тем самым получаем утверждение 3)
основной теоремы; неравенство (15.11) непосредственно сле-
дует из (15.10) и определения coft и Qk. Далее, п. 4) леммы
15.2.3 и п. 4) основной теоремы снова фактически совпа-
дают, поскольку £2Л = lim R%. Пункт 5) основной теоремы
Н ->оо
получается применением пп. Д. 8.2 и Д. 15.2. Пункт 6) есть
следствие теорем 13.3.1 и 13.3.3, которые нужно теперь
лишь прилагать к каждому блоку в отдельности. Что же
касается п. 7), то его справедливость уже очевидна, так как
в этом случае Rk = rk = рп .
Лемма 15.2.7. Завершение доказательства основной
теоремы.
Это завершение достигается теперь путем несложных
преобразований линейной части системы от блочно-треуголь-
ного вида с интегральной разделенностью к чисто диа-
гональному с обычной разделенностью, что позволяет пол-
ностью свести основную теорему к лемме 15.2.6.
Построим вокруг линеалов и Z?1 ” эллиптические
конусы (см. п. Д. 5.1) Knk(h, р) и /С*1 ” Я*(Л, р) с неопре-
деленными пока раствором h и эллиптичностью р. Применим
к системе (15.6) сначала блочное p-преобразование, а затем
//-преобразование (см. п. 18.3), также не уточняя пока /У*
15.2J
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
223
Эти преобразования ввиду диагональности коммутируют и
оставляют инвариантными линеалы L R и L 1	". Первое
из них уничтожает эллиптичность конусов и уменьшает вне-
диагональные коэффициенты линейной части системы в (J раз.
Второе изменяет раствор конусов (делая его переменным)
в конечное число раз 7V, зависящее лишь от Н, и заменяет
диагональ Ра на Ра- Наконец, оба преобразования меняют
норму возмущений также в конечное число раз, зависящее
лишь от р и Н, Выберем сначала столь большое Н, чтобы
диагональ Ра стала разделенной в обычном смысле. После
этого выберем р столь малым, чтобы внедиагональные коэф-
л.	б	Л
фициенты стали меньше у, где о настолько мало, насколько
это требуется в леммах 15.2.1—15.2.6, когда раствор ко-
нусов мы хотим сделать меньше — , и теперь потребуем
такой малости возмущений исходной системы, чтобы преоб-
разованные возмущения также имели норму <~. После
этого, объединяя возмущения и внедиагональные элементы,
будем рассматривать их в сумме как новое возмущение. Оно
прилагается теперь к разделенно-диагональной системе и
имеет норму < б, так что остается лишь применить лемму
15.2.6. Обеспечив раствор конусов и возвращаясь за-
тем к исходной системе, будем иметь раствор < h, а затем,
с помощью § Д. 5, можем перейти от эллиптических кону-
сов к круглым. В остальном . все утверждения теоремы со-
храняются, так как преобразования, будучи линейными и
взаимно однозначными при каждом не нарушают гомео-
морфизмов, гладкости и т. п.
В заключение заметим, что если f(t, х) удовлетворяет
иным условиям малости, например
J д(ОЛ<Н-оо,
О
то теорему нужно доказать сначала для достаточно боль-
ших tQ, а затем перейти к произвольным tQ, индуцируя
гомеоморфизм F с помощью решений системы (15.6).
224
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
115.3
15.3.	Следствия из основной теоремы. Рассмотрим ре-
зультаты, которые можно получить, варьируя условия осно-
вной теоремы в сторону усиления или ослабления.
Теорема 15.3.1. Если в условиях основной теоремы
15.2.1 норма возмущений b(t) стремится к нулю при
то верны все утверждения основной теоремы и,
кроме того:
1)	Для больших t величина h, обозначающая раствор
конусов, и константа Липшица в утверждениях 2) и 3)
теоремы 15.2.1 могут считаться как угодно малыми.
2)	В неравенствах (15.10) и (15.12) можно полагать
е1==е>0 сколь угодно малым при одних и тех же возмуще-
ниях. а неравенства (15.11) заменяются неравенствами
3)	Гомеоморфизм F из п. 5) теоремы 15.2.1 при боль-
ших t близок к единичному (тождественному)', таким
образом, многообразие е“1 п* с ростом t все теснее
прилегает к линеалу L 1 R, и, в частности, если оно
состоит из решений, стремящихся к нулю, то послед-
ние касаются L R в начале координат.
Доказательство очевидно: если 6(Z)->0, то, беря доста-
точно большое tQ, можно считать норму возмущений меньше
любого наперед заданного б > 0, а затем применять основ-
ную теорему 15.2.1.
Следствие 15.3.1. Те же утверждения справед-
ливы при условии
оо
h
если только tQ достаточно велико.
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить преобра-
зование времени п. 19.2, которое, не нарушая интегральной
разделенности, превращает норму возмущений в б(0~>0.
Обобщим теперь основную теорему на тот случай, когда
возмущения лишь непрерывны и малы в смысле (15.1), но
не обеспечивают единственности решений, в частности, не
удовлетворяют условию Липшица. Анализируя результаты
15.3]	§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 225
основной теоремы, можно заметить, что значительная их часть
сводится к следующему утверждению. Построим в точке
а С I?' к «распорку» D конуса К*'	Л*(Л) (см. пример
Д. 6.2.1). Тогда в любой момент tQ на ней найдется точка,
через которую проходит решение роста + остаю-
щееся затем в том же конусе (совокупность этих точек при
всевозможных а образует срез ’ *). Оказывается, что
существование такой точки (но уже не ее единственность и
непрерывную зависимость от а) можно доказать и без усло-
вия Липшица для f(t, х). Такой результат был получен
Винтнером и Хартманом [6] в случае постоянной матрицы А.
Он переносится также на случай интегральной разделенности.
Теорема 15.3.2. Пусть в условиях основной тео-
ремы 15.2.1 возмущения лишь непрерывны и удовлетво-
ряют условию
\f(t, х)| <6 |х|.
Тогда, если 6 достаточно мало, на любой распорке D в лю-
бой фиксированный момент /0 найдется по крайней мере
одна точка х0, через которую в момент проходит
решение x(t), остающееся бесконечно долго в конусе
КП{ nk (Л) и имеющее рост	Более того, если
оно начинается вне конуса К 1	А-1(Л), то имеет рост
rk — е и при достаточно большом t погружается в ко-
нус К4 (h), т. е. линеал L k является для него ведущим.
Доказательство разобьем на две части. В первой будем
предполагать, что возмущения удовлетворяют еще какому-
нибудь условию, обеспечивающему единственность решений,
а во второй исключим это требование.
Сначала возьмем в условиях леммы 15.2.2 конусы
К 1 nk(h) и	Они дополнительны, т. е.
в сумме дают все пространство. Согласно лемме 15.2.2,
если б достаточно мало, всякое решение, начинающееся
в момент tQ на общей границе конусов, в любой следующий
момент погружается в /С**4-1	\ Но это значит, что для
дополнительного конуса К , все точки границы служат
точками строгого выхода, и по принципу Важевского (см.
15 Б. Ф. Былов. Р. Э. Виноград и др.
226 гл. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ (15.3
пример Д. 6.5.1), найдется решение, начинающееся на D и
остающееся в конусе К при всех t^tQ. Применяя
принцип линейного включения п. 12.3, можно считать, что
это решение удовлетворяет системе с линейными, т. е. удо-
влетворяющими условию Липшица, возмущениями той же
малости. Но по теореме 15.2.1 всякое решение, остающееся
бесконечно долго в /С*1	Л*(/г), имеет рост Ч Rk -f е, более
того, если оно начинается вне К 1	*“!(Л), то имеет рост
rk—е и погружается в К *(/*)• Это доказывает наши
утверждения для системы с разделенной диагональю, а чтобы
перейти к блочно-треугольной системе с интегральной раз-
деленностью, достаточно воспользоваться приемами конца
п. 15.2.
Остается избавиться от требования единственности реше-
ний. С этой целью Винтнер и Хартман [6] применяют сле-
дующий прием1). Построим функции fm(t, х), равномерно
сходящиеся к /(/, х) на каждом конечном отрезке оси t и
удовлетворяющие как условию (15.1), так и условию Лип-
шица (с какими-нибудь своими константами; о возможности
такого построения см. п. Д. 21.2). Каждая из систем
х = Р(Ох-+ fm(t, х)
будет иметь решение х(т} (О нужного вида, начинающееся на D
в некоторой точке х^. Переходя к подпоследовательности,
можно считать, что х^т)—> х0 £ Z), и тогда х<т>(0 сходятся
равномерно на каждом конечном отрезке оси t к некоторому
решению x(t) системы (15.6), начинающемуся в точке х0.
Так как все x{m\t) лежат в Кп* " и допускают равномер-
ную оценку (15.7), то это же верно для x(f).
В заключение рассмотрим локальный вариант теорем 15.3.1
и 15.3.2.
Теорема 15.3.3. Пусть возмущение f(t, х) задано
лить в некоторой окрестности S начала координат,
а в остальном удовлетворяет условиям основной тео-
ремы 15.2.1 или теоремы 15.3.1, следствия 15.3.1. Тогда
i) Другой прием изложен в п. 28.2.
15.3]
i 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
227
утверждения этих теорем сохраняются, лить приобре-
тая локальный характер:
t
1)	Если J i\dx не ограничен, то все решения поки-
h
дают S за конечное время,
t
2)	Если для некоторого kQ J dx const, то всякое
решение x(t), остающееся в S бесконечно долго, имеет
один из ростов
rk— Н x-i /?й + е (k=l,	k0).
Множество Е"1"п* решений роста -Ч/?л-|-е является
локальным t-регулярным образом Ln'"'nk, т. е. доста-
точно близкие к началу координат части множеств
Enr-’nk и Ln'"nk t-регулярно отображаются друг на
друга с выполнением условий 4), 5) теоремы 15.2.1, а все
остальные решения покидают S за конечное время, мно-
жество последних решений имеет размерность п и пол-
ную меру.
3)	Еслй выполнены условия теоремы 15.3.1 или след-
ствия 15.3.1, то выполняются соответствующие пункты
теоремы 15.3.1 в локальном смысле.
Для доказательства достаточно продолжить f(t, х) на все
пространство с сохранением константы Липшица (см. п. Д.21.2)
и затем применить основную теорему 15.2.1 или соответст-
венно теорему 15.3.1, следствие 15.3.1. При этом, однако,
нужно учесть, что некоторые решения, начинающиеся на
Eni'"nk и остающиеся, пока речь идет обо всем простран-
стве, на этом же многообразии при всех t, могут покидать
окрестность S за конечное время, и потому должны быть
исключены из рассмотрения в локальном варианте. Но благо-
даря равномерности оценки (15.10) все такие решения, начи-
нающиеся достаточно близко к О, не покинут S, и именно
эту часть многообразия Еп''"пь нужно считать отображен-
ной гомеоморфно на часть L”1 и к ней же применять
остальные утверждения теоремы.
15*
228
ГЛ. V. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
(15.4
15.4.	Случай постоянной матрицы А. Приложим пре-
дыдущие результаты к изучению систем
5-==^,	(15.33)
•g- = Ar+/(*. х),	(15.34)
где А — постоянная матрица.
При этом будем считать А жордановой, чего можно до-
стигнуть, проводя соответствующее линейное преобразование
переменных. Норма возмущений 6(0 приобретает при этом
лишь ограниченный множитель, и поэтому, обеспечив заранее
малость 6(0 в том или ином смысле, будем, очевидно, иметь
малость этой функции в том же смысле у преобразованной
системы. Проведя дополнительно Re-преобразование (см.
п. 18.3), можно к тому же считать диагональ А веществен-
ной. Итак, будем предполагать, что матрица А треугольная
с вещественной диагональю:
Ad = dlag(A1( A„ .Лр Л2, ..., Л2........Лг, ..., Аг],
Л1	П2	Пг
(15.35)
где Aj < Л2 < ... < Лг — действительные части собственных
чисел матрицы А и пх-\-п2-\- . . .пт = п.
Ясно, что А вполне разделена, и роль функций-представи-
телей Рь исполняют константы Ak. Поэтому к системам (15.33)
и (15.34) приложима основная теорема 15.2.1.
Ввиду важности рассматриваемого случая дадим заново
формулировку теоремы, внося соответствующие изменения.
Теорема 15.4.1. Если диагональ постоянной мат-
рицы А в уравнениях (15.33) и (15.34) имеет вид (15.35)
и при этом ЛЛ+1 —	(Ы1, ..., г—1), то
для любых е«л(о<е<р 0 < Л < 1) можно указать
такую малость возмущений 6(f) <6, что будут спра-
ведливы следующие утверждения*.
1)	Каждое решение x(f) системы (15.34), принадле-
жащее множеству решений Еп1"'пь роста HA^-j-e до-
пускает оценку
l*(0l<k&>W(A*+e>	(15.36)
15.4J
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
229
равномерную по всем таким решениям и всем t ^tQ. Кри-
волинейная пирамида
OczEni сЕп^а ...аЕп1 - nr = Е (t)
охватывает все решения системы (15.34).
2)	Имеет силу утверждение 2) теоремы 15.2.1.
3)	Ступень ^k—En'"' nk\Eni"'nk-i состоит из тех и
только тех решений, рост которых оценивается нера-
венствами
</ее<л*+е) (X)< 1*(01 <Dee(A*+e) (15.37)
где de не зависит от tQ, a Ог, не зависит от t0 и x(t).
Показатели решений из <fk удовлетворяют неравенствам
Л4-е<х(*)<Х(*)<Л* + е.	(15.38)
и линеал Lnk является ведущим для каждого из этих
решений.
4)	Имеет место утверждение 4) теоремы 15.2.1 с за-
меной й*0 на Л*о.
5)	Для каждого фиксированного момента tQ сущест-
вует общий гомеоморфизм £ = Ф* всего пространства Ln
на себя, при котором каждый линеал Гп'"'пь переходит
в свой регулярный образ Е”упь. При этом, если
и х(г0) = Ф_1Оо)).
то x(t)£ и, более того»
IX(0-1(01< DeIх(t0)Iе(л*+е) ('-'о)	(15.39)
равномерно по tQ и x(t^).
Гомеоморфизмы Ф и Ф-1 удовлетворяют условию Лип-
шица с константой порядка 1 + О (h).
Следствие 15.4.1. В условиях теоремы 15.4.1 тре-
бование малости 6(f) можно заменить требованием ин-
тегральной малости
/+1
j б (т) dx < б.
t
230
ГЛ. V. линейная система с возмущениями
|15.4
Для доказательства достаточно воспользоваться преобра-
зованием времени п. 19.2, которое, хотя и превращает диа-
гональные коэффициенты Az из постоянных в переменные,
но оставляет диагональ вполне разделенной. Поэтому для пре-
образований системы будут справедливы утверждения тео-
ремы 15.4.1. Совершая обратную замену времени, легко убе-
димся, что и для первоначально взятой системы будут вы-
полнены утверждения теоремы 15.4.1.
Теорема 15.4.2. Если в условиях теорем 15.4.1
(СО	х
или |б(т)^т<оо|, то
t*	/
верны все утверждения теоремы 15.4.1 (для случая
оо
i
J б dr < оо—при выборе достаточно большого /0) кроме
h
того:
1) Для больших t величина Л, обозначающая раствор
конусов и константу Липшица в утверждениях 2) и 3),
может считаться как угодно малой. В неравенст-
вах (15.37) и (15.39) можно считать е сколь угодно ма-
лым, оставляя в то же время заданные возмущения
без изменений. Неравенство (15.38) заменится равенством
Х(*) = Х(*)«Х(-«)==Л*-	(15.40)
Для доказательства достаточно сослаться на теорему 15.3.1
и следствие 15.3.1.
Теорема 15.3.2. применительно к системам (15.33) и (15.34)
конкретизируется так.
Теорема 15.4.3. Если в условиях теоремы 15.4.1
возмущения непрерывны, удовлетворяют условию
\f(t. х)|<б|х|	(15.41)
и б достаточно мало, то на любой распорке DaKn* ” ‘nk(h)
в любой фиксированный момент tQ найдется по крайней
мере одна точка х0, через которую в момент tQ прохо-
дит решение x(t), остающееся бесконечно долго в ко-
нусе КП{'"Пк (h), и имеющее показатель
Х(ж)<ЛА + е.	(15.42)
15.4]
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
231
Более того, если оно начинается вне конуса Кп* ’’"^(Л),
то его показатель
Х(х)>Лй-е	(15.43)
и при достаточно большом t решение x(t) погружается
в конус Kn*(h).
Следствие 15.4.2. Утверждения теоремы 15.4.3
остаются в силе, если условие (15.41) заменить усло-
виями
t+i
\f(t, х)|<6(0И,	/ 6(T)dT<6.
Этот случай приводится к рассматриваемому в теореме
таким же приемом, как следствие 15.4.1 приводится к тео-
реме 15.4.1.
Теорема 15.4.4. Если в условиях теоремы 15.4.3
(°0	\
или J 6(/)df < оо I, то
h	/
справедливы утверждения теоремы 15.4.3, причем для
больших tQ величина h, обозначающая раствор конусов,
может считаться как угодно малой. Величина е может
также считаться произвольно малой при неизменных
возмущениях f(t, х), в силу чего в неравенствах (15.42)
и (15.43) е заменяется нулем.
Доказательство предоставляем читателю.
ГЛАВА VI
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Здесь мы будем рассматривать системы
x = A(t)x-\-f(t, х\	(VI. 1)
у которых возмущения удовлетворяют условию малости по-
рядка выше первого вблизи нуля. Поэтому речь будет идти
о некоторой окрестности S начала координат, где предпола-
гается выполненным соответствующее условие малости/(/, х).
При этом будем различать два подслучая:
а)	/(Л х) удовлетворяет в S условию Липшица с кгкой-
нибудь константой, малость которой не предполагается,
а кроме того, условию
|/(/, х)|<К|х|*. q>\t	(VI. 2)
где число q будет называться порядком возмущения.
б)	/(Л х) удовлетворяет условию типа Липшица
|/(t	^)|<Af(r)|x1-x2|, (VI. 3)
где r = max{|x1|, |х2|} и 7V(r)->0 при г->0.
Первый подслучай прилагается к исследованию одного
только старшего показателя, а второй — к исследованию также
промежуточных показателей.
§ 16. Возмущения порядка q. Устойчивость по первому
приближению
16.1. Показатель порядка q. Рассмотрим систему (VI. 1), у ко-
торой возмущения удовлетворяют условиям (VI. 2) в области
S: |х|</.	(16.1)
Наметим один из путей обобщения понятия центрального по-
казателя на этот случай и приведем вытекающий отсюда критерий
устойчивости по первому приближению, обобщающий критерий
Ляпунова [1] и Малкина [2].
Рассмотрим снова матрицу Коши X(t, s) невозмущенной си-
стемы. Как и в п. 8.1, будем пытаться оценивать ее норму, но на
16.2]
§ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
233
этот раз с помощью не одной, а двух функций, ограниченных и
измеримых на </ = [/0, со). Соответственно введем понятие верхнего
класса $lq порядка q, состоящего из пар таких функций.
Определение 16.1.1. Пара {R(t), р(0} считается при-
надлежащей Яц, если существует такая константа D = DR
что
t	8
j Rdx + (q- 1)J pdt
| X (t, s)\^Des	для всех tQ < s < £	(16.2)
Показателем порядка q назовем число
Qiq — inf (/?	p).
Сравнивая это определение с определением центрального по-
казателя (см. п. 8.1), видим, что последний можно рассматривать
как показатель первого порядка, а соответствующий верхний класс —
как класс состоящий из пар {/?(/), 0}.
Полагая в (16.2) s = t, находим
t
(tf-l) J pdx
1 = |X(A	.	(16.3)
откуда	*
JprfT> — Do	(16.4)
4)
с некоторым D0>0, или
— J p dx < Do.
Поэтому
J R dx < Do + / (Я + P) dx.	(16.5)
/о	^0
Упражнение 16.1.1. Показать, что есть невозрастающая
функция q для ^>1.
16.2. Устойчивость по первому приближению. Теорема
16.2.1. Предположим, что в верхнем классе %q существует пара
{R(t), р (£)} такая, что
j Rdx < Di < -|-оо,
j
~ (tf-l) J (Я+Р)<Н
Р '°	^ = ^<4-00.
6
(16.6)
234
ГЛ. VI. ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
(16.2
Тогда уравнение (VIЛ) при любом достаточно малом начальном
условии x0 — x(f0) имеет единственное решение, которое про-
должаемо на всю полуось [/0, оо) и подчиняется неравенству
t
J* #dx
|х(0|<|Хо|00?»	(16.7)
с общей для всех таких решений константой £>0.
Доказательство. Как обычно, заменим (VI. 1) интеграль-
ным уравнением
х (0 = X (t, ta) х0 + j X (t, s) f (s, x (s)) ds. (16.8)
h
С одной стороны, поскольку в области S выполнены обычные
условия относительно f(t, х), можно утверждать (см. п. Д. 13.3),
что для любого начального условия xQ£S существует единственное
решение х (/), продолжаемое по t до тех пор, пока оно не поки-
нет S, причем оно может быть получено методом последовательных
приближений, начинающихся с любой непрерывной функции £ (OczS.
С другой стороны, запишем уравнение (16.8) в операторной форме
x=g + Jx	(16.9)
и рассмотрим его в пространстве B# с нормой || ||	|| П^. По
определению этой нормы имеем (см. п. Д. 12.2)
t
J* Rdx
I X(t) к ||x||
поэтому в силу (16.6) [ х (О К || х|| D2t так что всякий элемент
х(0С#я с Достаточно малой нормой
11 х и	(16Л0>
не покидает S. Следовательно, для него определен оператор
t
Jx = J X(t, s)f(s, X (s)) ds,	(16.11)
6
причем в силу условий (VI. 2), (16.2) и (16.6)
t	s	s
t J Rdx+(q—l) J* pdt	q J Rdx
|Jx(OI< J Des	0	K||x||’d 4	ds =
t	s	t
J Rdx t («-I)/(Я+p) dr	Rdx
= DK||x||V0 p 6 ds<DWG||x||V’
6
16.2]
§ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
235
или
II Jx II < DKK\ II х ||* = (DKKx II х 11*-1) II х ||.
Таким образом, беря е-окрестность нуля в с достаточно малым е,
а именно таким, что
DKK^~l < е < 1,	(16.12)
будем иметь в ней
II /л || <01| х ||.	(16.13)
Следовательно, если в уравнении (16.9) будет
II5II < е2 (1 — 0),	е2 = min (е, е,),	(16.14)
то для всех приближений, начинающихся с
*о = £»	+ Л......xk = 5 +	• • •
получим
||xft||<||lll + l|Jx^l||<||lll + 0||x*_ill< ...
... <11111 (1+0+О2+...)=у^-<е2.
Таким образом, они удовлетворяют обоим требованиям малости
(16.10) и (16.12), и потому процесс их построения можно продол-
жать безгранично. При этом будем иметь
или
t
j* Rdx
IxHOKyrrt*'’ •	(16.16)
В нашем случае = X(tttb) х& поэтому в силу условия (16.2)
t
f Rdx
|S(Ol<|xo|De'. ,	(16.17)
т. e.
Ш<|х0|Р,
так что все рассуждения применимы, коль скоро |х0| достаточно
мало — настолько, чтобы выполнялось условие (16.14). Для таких х0
получим из (16.15) и (16.17)
f *dx
|ХА(0| <|Х0| О364	,	03 = -^^.	(16.18)
Сходимость Xk в метрике B# не обеспечена, так как условие
Липшица для J в этой метрике не дано. Однако, согласно замечанию
236
ГЛ. VI. ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
[16.2
в начале доказательства, Xk (0 сходятся в обычном смысле к ре-
шению х(/)> причем, поскольку они определены для всех
лежат в замыкании S и подчиняются неравенству (16.18), это же
остается справедливым для x(f). Доказательство окончено.
Следствие 16.2.1. В условиях теоремы 16.2.1 тривиаль-
ное решение х = 0 системы (VI.1) устойчиво, а если
t
j Rdx-+ — со,	(16.19)
4
то и асимптотически устойчиво.
Действительно, из неравенства (16.7) и условия (16.6) следует
1 х (01 < | х01D0D4,
откуда | х (f) | < в при | х0| < что и означает устойчивость.
Если же, кроме того, дано (16.19), то х(/)->0> т. е. устойчивость
является асимптотической.
Следствие 16.2.2. Если показатель порядка q отрицате-
лен, то решение х = 0 системы (VI. 1) асимптотически устой-
чиво при любых возмущениях порядка q и выше.
В самом деле, из определения 16.1.1 следует, что в случае
< 0 найдется такая пара {/?,	что
В силу 16.5 будем иметь также R < 0. Это обеспечивает выполне-
ние условий (16.6) и (16.19), после чего применимо следствие 16.2.1.
Возмущения порядка > q тем более суть порядка q (в достаточно
малой окрестности нуля), поэтому утверждение верно и для них.
Следствие 16.2.3. Если центральный показатель линейной
части отрицателен, то решение х = 0 асимптотически устой-
чиво как при достаточно малых возмущениях 1-го порядка,
так и при любых возмущениях высшего порядка.
В самом деле, для возмущения 1-го порядка это вытекает
из неравенства (13.8), а для высшего порядка — из предыдущего
следствия 16.2.2 (или из упражнения 16.1.1).
Следствие 16.2.4 (теорема Малкина). Если норма
матрицы Коши при некотором D допускает оценку
| X (t, s) I < Dea ('-*>+₽»	(16.20')
с постоянными а и 0 такими, что
(? —1)а + 0<О,	(16.20*)
то тривиальное решение асимптотически устойчиво при любых
возмущениях порядка q и выше.
В самом деле, неравенство (16.20') означает по определению
что последний содержит пару
R(t)ssa, р(0е 	,
16.2]	§ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
237
откуда
Q. = inf (/? + р) < а + Р =	.+ Р < О,
<f 1	1
и остается применить следствие 16.2.1.
Следствие 16.2.5. Если А — старший показатель линейной
части системы (VI.1), а у— ** коэффициент неправильности,
и если
(?—1)А + у<0,	(16.21)
то тривиальное решение устойчиво при возмущениях по-
рядка q.
Доказательство. Для простоты примем /0 = 0. Возьмем
бинормальный базис X(t) системы л = А(/)л. Тогда
Y(t) = [Х*(0]-1	(16.22)
служит нормальным базисом сопряженной системы. Как обычно,
упорядочим первый базис: пусть его векторы
Xi (t)...Xn(t)
имеют показатели
%!<...	АЛ = А,	(16.23)
векторы второго базиса:
•У1 (0...Уп (0
будут иметь показатели
По определению показателя для любого 8 > 0 будем иметь
(ОI <	\
IVOKd/V’'.
(16.24)
Коэффициент неправильности, согласно теореме 3.2.4, есть
у=тах(Ху4-ц^),
так что всегда

(16.25)
Рассмотрим матрицу Коши. Согласно (16.22) ее можно пред-
ставить в виде
X(t, s) = Х(0 Х~* (s) = X(t) Y* (s).
Элементы последней матрицы суть суммы вида
238
ГЛ. VI. ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
(17.1
где есть Z-я координата вектора х^, a ykj есть £-я координата
вектора у ? Отсюда
kt* I51xtj11ykjI21xj wi \?j<s)|»
а в силу (16.24)
Учитывая (16.23) и (16.25), получаем для всех элементов матрицы
X(t, s), а следовательно, и для нормы всей матрицы оценку
| X(t, s) I < De(A+e) ('-s)+(V+2e) s
Таким образом, мы оказываемся в условиях следствия 16.2.4 с кон-
стантами
а = Л -|- е, р — у 2е.
Ввиду произвольной малости е из (16.21) вытекает (16.20'), и след-
ствие 16.2.4 дает требуемый результат.
Следствие 16.2.6 (теорема Ляпунова). Если линей-
ная часть системы (VI. 1) правильна и имеет отрицательный
старший показатель, то тривиальное решение асимптотически
устойчиво при любых возмущениях порядка выше первого.
Это вытекает из следствия 16.2.5, поскольку сейчас Л < 0
и у = 0.
§ 17. Поведение промежуточных показателей
17.1. Рассмотрим систему
x = A(t)x+f{t, х).	(17.1)
Невозмущенную систему обозначим через
l = A(t)l.	(17.2)
Предположим, что линейная часть удовлетворяет условиям
основной теоремы 15.2.1, причем существует такое kQ,
0 kQ < п, что
t	t
|	const, J гй()+1 </т->+оо.
4
В этом случае у невозмущенной системы -линеал	со-
стоит из ограниченных или стремящихся к нулю решений,
а все остальные решения неограниченно растут (в крайних
случаях kQ = 0 или k — n одно из таких множеств пусто).
17.Ц
§ 17. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
239
Относительно возмущений предположим, что в некоторой
окрестности
S:
|x|<Z
начала координат О они удовлетворяют условию (VI.3).
Теорема 17.1.1. При высказанных предположениях
решения системы (VI. 1) в достаточно малой окрест-
ности начала координат обладают следующими свой-
ствами:
1)	Если &о = О, то все решения покидают S за ко-
нечное время.
2)	Если &0>0, то всякое решение, остающееся в S
бесконечно долго, подчиняется одному из неравенств
t
hrk-^dx
I x(01
I *(*«)!
t
f (**+e)dT
Dze^
(* = 1...........*o).
причем левое неравенство равномерно по всем t^tQ,
а правое еще по всем таким решениям (е > 0 произ-
вольно мало).
3)	Множество Еп'"'пь таких решений является ло-
кальным t-регулярным образом Lni‘"nk, т. е, части
множеств Еп' "'п* и Ln' '"пь, попадающие в достаточно
малые окрестности О, отображаются друг на друга
t-регулярно, причем Eni '"пь касается Ln' ",пь в начале
координат.
4)	Существует гомеоморфизм x = F%, g = ото-
бражающий некоторую окрестность S* точки О на
некоторую область так, что множество
F~\S*(\Ent' -л*)
является частью линеала Ln^'"nk, содержащей все его
точки, достаточно близкие к О. При этом через точки,
соответствующие друг другу в силу этого гомеомор-
физма, проходят в момент tQ решения x(t) и £(/)»
удовлетворяющие неравенствам
t
. f (Rj+zydx
где Rj—рост этих решений и (/, г)->0 при —
240
ГЛ. VI. ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
[17.1
5)	Отображения F и F"1 удовлетворяют условию
Липшица с константой, сколь угодно близкой к единице,
если брать окрестность S достаточно малой. Более
того, они имеют вид
где
Fx = x-3!-q(x),
F-1x —х + ф(х),
(17.3)
и
Ф(х) = о(х), ф(х) = о(х),
IФ (*i) — Ф (*2) I <	(г) | — л21,
IФ (*i) — Ф (*2) К N\ (г) | х, — Х2 |,
Л^(г)->-0 при r = inax{|Xi|, |х2|}~*-0
1<Р<-*)1 >1 nDU X^Q
1Ф(Х)| Р х
6)	Если возмущение f(t, х) непрерывно дифференци-
руемо, то и
Eni •"
Доказательство получается почти дословным применением
теоремы 15.3.3. В достаточно малой окрестности нуля возму-
щения по условию имеют сколь угодно малую константу
Липшица, поэтому константы h и е, фигурирующие в тео-
реме 15.3.3, могут считаться сколь угодно малыми вблизи
нуля. В частности, согласно утверждению 2) этой теоремы,
Еп' ",пь принадлежит классу Л (Л), т. е. всякая точка этого
многообразия допускает представление
х = а + &,	Ш<*.
I I
где /г-> 0 при |а|-> 0. Иначе говоря, & = о(а), что равно-
сильно (17.3) при соответствующем изменении обозначений:
&->ф(х). Все остальное вытекает теперь из общих
результатов п. Д.15.2 и пп. Д.8.1—Д.8.3).
Теорема 17.1.2. Если возмущения f(tt х) в уравне-
ниях (17.1) непрерывны и удовлетворяют условию
\f(t, Х)| <W(|x|)|x|,
17.1]	§ 17. ПОВЕДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 241
где Af(|)->0 при |->0 (ср. с (VI.3)), то в достаточно
малой окрестности начала координат на любой рас-
порке D с к”'	(Ji) (k kQ) в любой момент tQ най-
дется по крайней мере одна точка х0, через которую
в момент проходит решение x(t)t остающееся беско-
нечно долго в конусе к“' ’	(Л) и имеющее рост
Более того, если оно начинается вне конуса К (Ji)>
то имеет рост $-rk—е, а при достаточно большом t погру-
жается в конус К k (Ji), причем г и h можно считать
сколь угодно малыми.
Доказательство, проводимое с помощью рассуждений ана-
логичных тем, которые применялись в теореме 15.3.2, пре-
доставляются читателю.
ГЛАВА VII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
ЛЯПУНОВСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
Ляпунов предложил классификацию линейных систем,
согласно которой в простейший класс выделяются системы
с постоянной матрицей и родственные им приводимые си-
стемы, следующий более широкий класс образуют правиль-
ные системы и, наконец, все остальные составляют класс
неправильных систем. В дальнейшем оказалось полезным
ввести еще класс почти приводимых систем, промежуточный
между приводимыми и правильными системами.
Основу классификации Ляпунова составляют особенности
поведения показателей систем разных классов под действием
возмущений. Так, результаты гл. V—VI показывают, что по-
казатели систем с постоянной матрицей являются прочными
даже по отношению к возмущениям 1-го порядка (§ 15),
правильные системы выдерживают возмущения высших по-
рядков (§ 16), а неправильные системы могут иметь осо-
бенно непрочные показатели.
В этой главе перечисленные классы изучаются более де-
тально. При этом часто приходится прибегать к некоторым
преобразованиям. Естественно пользоваться преобразовани-
ями, не меняющими основных свойств системы: ее линей-
ности, ограниченности коэффициентов и т. п. Это — так
называемые ляпуновские преобразования, кратко упоминав-
шиеся в п. 3.5. Здесь мы изучим их более подробно и раз-
берем частные виды, в том числе перроновские и р-преоб-
разования, приводящие систему соответственно к треуголь-
ному и квазидиагональному видам. Кроме того, будут
рассмотрены и некоторые неляпуновские преобразования.
Сделаем одно напоминание относительно обозначений.
Сис ема
x = A(t)xt	(VII. 1)
будучи записана в координатном виде
Xi = ^aijXj (/=1.........п),
I8.I]	§ 18. ЛЯПУНОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	243
считается заданной в координатном пространстве L" = {x),
Х = (хг....хп) простейший ортонормированный базис ко-
торого образуют векторы
Разложение х относительно этого базиса записывается в виде
х = х1е1 + х2е2 + ... +хяеп.
Не следует смешивать понятия базиса в пространстве Ln
и базиса в пространстве решений данной системы: последний
означает, как было условлено, фундаментальную систему
решений.
§ 18. Ляпуновские и некоторые другие
преобразования
18.1. Линейные преобразования. Подвергнем систему
(VII. 1) преобразованию посредством линейной замены иско-
мого вектора
x = L(t)l	(18.1)
с неособой дифференцируемой (или, по крайней мере, абсо-
лютно непрерывной по t) матрицей L = L(t). Получим +
= откуда | = (L-1AL —	Таким образом,
всякое линейное преобразование переводит данную систему
снова в линейную систему
(18.2)
матрица которой связана с исходной соотношением
B = L~lAL — L~xL.	(18.3)
Это соотношение иногда называется кинематическим подо-
бием матриц А и В. Если матрица L постоянна, оно пре-
вращается в обычное подобие
B = L~XAL.
16*
244
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[18.1
Переход к системе (18.2) можно также трактовать не как
следствие замены искомого вектора, а как результат пере-
хода к новому базису в пространстве Ln. В самом деле,
возьмем в Ln новый, вообще говоря, подвижный (зависящий
от t) базис
Л (О.....W	(О
и каждый его вектор разложим по базису (в):
(/ =	•••	Л/ = Л/(О*
Обозначая теперь координаты х в базисе (I) через ....£л,
получаем
* = 2 xiei = 21// = 2 2	= 2 (2 ЛД/) ei>
откуда
xt — 2 ЛД/»
т. е. мы снова пришли к преобразованию (18.1). Связь
между его матрицей и векторами (I) очевидна: ’
£ = [Л, .... 1п].
Часто в качестве нового базиса выгодно брать ортонор-
мированный базис
«1(0. •••. «л(0-
Это равносильно тому, что матрица преобразования
^ = [«1.....ип\
берется унитарной (см. п. Д.1.3).
Упражнение 18.1.1. Даны сопряженные системы
x = A(t)x и у = — A*(f)y.	(18.4)
Проверить, что если к первой применить преобразование L,
а ко второй L -1, т. е. положить
jf==L§, y = L*~\	(18.5)
то системы перейдут также в сопряженные. (Указание.
Сопряженную систему и ее преобразование записать с по-
18.2]
§ 18. ЛЯПУНОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
245
мощью векторов-строк: у* = —у*А, у* = ц*Ь~1 и восполь-
зоваться правилом дифференцирования обратной матрицы
Т = ~L-'LL-'.	(18.6)
вытекающим из тождества L“1L = Z.)
18.2. Ляпуновские преобразования. Для того чтобы
преобразование не меняло таких свойств системы, как устой-
чивость решений, величины показателей и т. п.» обычно поль-
зуются в качестве достаточного условия ограниченностью
норм матриц L и LT1
|£(0|<К и | L~l (01 < К. (18.7)
Упражнение 18.2.1. Показать, что это равносильно
требованию Ляпунова об ограниченности элементов l^(t)
матрицы L(t\ и величины (detL)“\ в частности, что из (18.7)
вытекает ограниченность детерминантов
|det£|<^ |detL|-1 = | detL-1	(18.8)
При выполнении условия (18.7) имеем для норм отве-
чающих друг другу решений х и g оценки
|ж|=|Ц|</С||| и	(18.9)
из которых действительно вытекает совпадение показателей
и вообще роста этих решений, в том числе равномерных
оценок роста, одновременность их стремления к нулю, и т. п.
Более того, такое преобразование не меняет особых и цен-
тральных функций и показателей. В самом деле, если X и
S — базисы, отвечающие друг другу при преобразовании L:
Х(0 = £(0Е(О,	=
ТО
|Х(Л s)|=e|X(OX-1(s)| =
= IL (О S (О S-1 ($) L"1 (S) | < № IЕ (Л $)|
и также
|S(t 0|<№|X(t s)|.
246
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[18.2
и следовательно, одна и та же функция R(t) осуществляет
оценки вида
t	t
J [Я(т)+еИт	J* U?(T)+e[dr
\X{t, s)\^Dte°	и |S(t s)|<oe^
отличающиеся лишь величиной констант D, т. е. R(f) слу-
жит С-функцией для обеих систем. Значит, их С-классы,
а следовательно, и С-показатели, совпадают. Так же дока-
зывается совпадение особых и нижних показателей.
Далее, преобразование не меняет средних значений следа
матрицы системы:
Re Sp В = Re Sp А и Re SpB = Re SpA. (18.10)
В самом деле, согласно (18.8), имеем
|detX| = |detLH|<^|detZ| и | det S | < |det Х|,
откуда вытекает совпадение показателей:
X (det X) == X (det S). х (det X) = х (det S).
Но последние величины суть (18.10), ибо из формулы Лиу-
вилля
t
J Sp A (T)rfT
det Х= const es	(18.11)
следует x (det X) = Re Sp А и аналогично для S и верхних
показателей.
Наконец, рассматриваемое преобразование переводит ма-
лые возмущения в малые (хотя, возможно, и с некоторым
увеличением нормы): возмущенная система
x = A(t)x+f(tt х)	(18.12)
переходит в систему
l =	(18.13)
с возмущением
g(t, =	1$,
и если |/(/, х)|-<6|х|, то
|*(Л g)|<|l-1||/(/, Ц)|<|£-*|б|А| |g|<№6|||.
18.3]
§ 18. ЛЯПУНОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
247
Следовательно, когда норму f разрешается считать как
угодно малой, то это же верно для нормы g.
Итак, мы видим, что при соблюдении условия (18.7)
преобразование сохраняет большинство интересующих нас
свойств системы. Однако, чтобы сохранялось еще одно свой-
ство, а именно ограниченность матрицы системы, Ляпунов
требовал, сверх того, ограниченности производной £.
При выполнении всех этих условий, т. е. ограничен-
ности норм
|£(0|. |i-1(Ol И |-^|,	(18.14)
преобразование называется ляпуновским.
В этом случае ограниченность матриц А и В действи-
тельно вытекает одна из другой в силу соотношения (18.3).
Обратно, если известна ограниченность А, В и L, то
из (18.3) следует ограниченность Z.
Предыдущие рассуждения можно обобщить, считая ма-
трицы А, В и L ограниченными не в обычном смысле,
а лишь интегрально (см. п. 19.1). Однако, чтобы сохранить
неравенства (18.9) и вытекающую из них общность поведе-
ния решений х и £, нужно по-прежнему считать L и L”1
ограниченными в обычном смысле, Условимся при выполне-
нии этих условий, т. е. обычной ограниченности для L и L”1
и интегральной для £, также называть преобразование ляпу-
новским.
Для унитарных преобразований U (t) всегда
|t7(O|=|t7’*(O| = l,	(18.15)
поэтому их принадлежность к числу ляпуновских зависит
лишь от ограниченности U (или А и В) — обычной или инте-
гральной. Удобство унитарных преобразований состоит в том,
что они, не меняя скалярного произведения, тем самым сохра-
няют не только показатели, но и все геометрические свой-
ства решений: нормы векторов, углы, детерминанты Грама.
18.3. Некоторые специальные преобразования. Пере-
числим несколько простых и часто встречающихся преобра-
зований системы
x=s= A(t)x.
(18.16)
248
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(18.3
1)	f-п реобразование. Выберем число р>0 и сде-
лаем преобразование с матрицей
L = diag[l, р, р2, .... р""1].
(18.17)
Оно является ляпуновским, поскольку р = const. Получим
систему с матрицей
«11	Р«12	Р2«13	. . . Р"”1^
_	г-1-г	Ра23 • • • 2а2л
В = L AL = р
1 1 1
рп-1 ап1 рл-2	рп-з апЗ • • • апп
Таким образом, p-преобразование не меняет диагональных
коэффициентов. Кроме того, если матрица А была треуголь-
ной (ниже-треугольной), то В будет иметь то же строение
и ее внедиагональные элементы можно сделать сколь угодно
малыми путем выбора достаточно малого (большого) р. Сле-
дует, однако, отметить, что в обоих случаях одна из двух
матриц — L или L”1 — будет иметь большую норму.
2)	Блочное p-преобразование. В том случае,
когда А имеет блочно-треугольную форму:
А = diag ^п2» • • •»
с треугольными Ап^ выгоднее употреблять р-преобразова-
ние также в блочном виде
L = diag	• • •»
где
i«ft = diag[l, р. р2...р"*-1].
Тогда в Л-м блоке преобразованной матрицы В будут уча-
ствовать степени р не выше пк — 1.
3)	Преобразование диагонали. Пусть Ad=
= diag[aH]—диагональная часть матрицы А. Преобразо-
вание
t
$ S(x)dr
L — e^	, S = diag[sJ
18.3]	§ 18. ЛЯПУНОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	249
переводит матрицу А в матрицу
у которой
Bd = Ad-S
(внедиагональные элементы преобразуются иначе). Это про-
веряется непосредственным вычислением. Очевидно, преоб-
разование будет ляпуновским, если нормы матриц
t
j* S(T)dr и S(0
О
ограничены.
Рассмотрим некоторые частные случаи такого преобра-
зования.
4)	р-п реобразование и Х-преобразование.
В том случае, когда S = p(/)Z, где р(0 — скалярная функ-
ция, будем иметь
В = А — р1,
так как внедиагональные элементы вообще не преобразуются.
Это также проверяется непосредственно. В еще более част-
ном случае p(t) = k = const получим
В = А — М.
Эти преобразования не являются, вообще говоря, ляпунов-
скими, так как интеграл J pdr не ограничен, но они часто
/о
применяются из-за удобной связи показателей: например,
при X-преобразовании имеем = и
x(x) = X(g) + X.
5)	Re-n реобразование. Это преобразование уничто-
жает мнимую часть диагонали Ad и всегда является ляпу-
новским, когда А ограничена. Оно определяется так. Пусть
где P = P(t) и Q = Q(t) — соответствующие диагональные
матрицы. Положим
t
i j* Q (т) dx
L = e 0
250
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[18.3
Тогда по предыдущему
Bd = Ad — iQ=P = ReAd.
Преобразование унитарно, так как
t
-I J <? (T)rfT
Г = е о = L ’,
и потому будет ляпуновским, если только (ср. (18.15)) огра-
ничена величина
|i|=|ZQL|<|Q||L| = |<?|,
а для этого достаточно ограниченности А.
Упражнение 18.3.1. Re-преобразование постоянной
матрицы А, имеющей нормальную жорданову форму:
4 = diag[CJ,
1
о
10
. *• 1
не меняет ее внедиагональных элементов, т. е. дает
В — Re А = diag [Re CJ,
Relft
0
Re Ck —
ReXft 1
’ . 1
‘ Relft
6)	H-п реобразование. Пусть А ограничена и ее
диагональ Ad действительна: Ad — P. Выберем произвольное
Н > 0 и положим
„	,	/[Р(Г)-Р"(Г)14Г
р = J P(x)dx и L(O = e°
t
Так как
Р, Р" и j(p — Pf,)dx
о
18.4]
$ 18. ЛЯПУНОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
251
ограничены (см. п. Д. 18.1), то преобразование будет ляпу-
новским. Оно заменяет диагональ Ad на
Bd^Ad-(P-Р".
18.4. Приводимость и почти приводимость. Эти поня-
тия подробно изучаются ниже (§ 21). Здесь познакомимся
с основными определениями.
Приводимость. Система
x = A(t)x	(18.18)
называется приводимой к системе
=	(18.19)
если существует ляпуновское преобразование x = L(f)y.
переводящее первую систему во вторую.
Почти приводимость [1]. Система (18.18) назы-
вается почти приводимой к системе (18.19), если для любого
б > 0 можно указать такое ляпуновское преобразование
x = Lb(t)yt которое переводит систему (18.18) в
3 =[в(0+Ф(О]3,	(18.20)
где
|Ф(0| <б.	(18.21)
Те же термины, употребляемые без указания того, к какой
системе приводится (18.18), означают приводимость (почти
приводимость) к какой-либо системе с постоянной матрицей.
Понятие приводимости, очевидно, рефлексивно, и приво-
димые друг к другу системы обладают одинаковыми показа-
телями, одинаковой прочностью этих показателей и т. п.
В частности, поведение показателей, устойчивость решений
и т. п. приводимой системы будут такими же, как у системы
с постоянной матрицей. Это замечание, разумеется, не исчер-
пывает всех трудностей исследования приводимых систем,
поскольку, во-первых, далеко не просто определить, является ли
данная система приводимой, а во-вторых, если даже факт
приводимости известен заранее — как, например, из теоремы
Флоке—Ляпунова в случае периодической матрицы А (0 — все
же остается неизвестным само преобразование, равно как и
получаемая в результате него постоянная матрица, а следо-
252
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[19.1
вательно, почти не уменьшаются трудности вычисления и
исследования показателей.
Тем не менее, поскольку в целом характер поведения
показателей приводимых систем и систем с постоянной мат-
рицей остается одинаковым, мы не будем специально оста-
навливаться на приводимых системах, в частности, не будем
касаться систем с периодическими коэффициентами и относя-
щихся к ним глубоких результатов ряда авторов ([2], [15],
[20] и др.).
§ 19. Интегральная ограниченность
19.1. Системы, ограниченные интегрально. Вся теория,
развитая выше для систем
x = F(Z, х)
(19.1)
с непрерывной функцией F и условием
(19.2)
где l(t) непрерывна или кусочно непрерывна, но во всяком
случае ограничена, в действительности может применяться
при значительно более широких предположениях. Так, изве-
стная теорема Каратеодори [3] обеспечивает существование
решений при условиях лишь непрерывности F по х, измери-
мости по t и суммируемости Z(Z)« Соответственно могут быть
расширены условия, обеспечивающие продолжаемость решений
на всю полуось [0, оо) и существование у них конечных
показателей. В качестве одного из обобщений, почти не тре-
бующего применения новых методов, рассмотрим кратко поня-
тие интегральной ограниченности 1(f).
Назовем вообще измеримую функцию p(t) интегрально
ограниченной на [0, оо), если
м-1
J	< сю для всех Z>.0.	(19.3)
t
Ясно, что Z+1 в этом условии можно заменить на t-\-h
с любым положительным ht что вызовет лишь изменение К.
Упражнение 19.1.1. Для интегральной ограниченности
необходимо и достаточно существование таких констант /^>0
19.2]
§ 19. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ
253
и Cj 0, что
t
J	—sJ + Cj для всех	(19.4)
Скажем, что система (19.1) интегрально ограничена, если
этим свойством обладает функция /(/). В частности, для линей-
ной системы условие сводится к интегральной ограниченности
коэффициентов матрицы A(t). Чтобы применить предыдущую
теорию к интегрально ограниченным системам, можно было бы
просто повторить все прежние рассуждения, лишь немного
изменяя технику оценок и понимая интегралы как лебеговы.
Однако существуют приемы, позволяющие непосредственно
преобразовать интегрально ограниченную систему в обычную,
и тем самым вообще избежать повторения выкладок Не оста-
навливаясь на деталях, опишем один общий метод.
19.2. Преобразование времени [4]. Пусть
т = ф(О и / = ф(т)	(19.5)
— взаимно обратные функции, абсолютно непрерывные и
строго возрастающие, причем т->оо при £->оо. Будем гово-
рить, что ими задается преобразование или замена времени.
Допустим, что
у—>1,	когда г—>оо.
При таком условии сохраняются всевозможные оценки роста
решений на бесконечности, в частности показатели. Однако
в действительности мы будем пользоваться преобразованиями,
подчиненными значительно более жесткому ограничению:
I* — т|<0< 1.	(19.6)
В этом случае скажем, что времена t и т эквивалентны.
Пусть система ограничена интегрально:
f+i
j l(s)ds^K.
t
Построим следующую замену времени. Определим кусочно
постоянную функцию ([ ] — целая часть)
И+1
т(/) = J l(s) ds.	(19.7)
И
254
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[19.2
Очевидно,
0<m(Z)<K,
кроме того,
[П
J (Z—
о
и	t J (Z — т) ds	
	М	
— последнее потому, что
Выберем теперь произвольное 0,
О<0< 1,
и положим
t
T = (p(f) = Z-f--^ J [Z(s)— m(s)] ds.
(19.8)
(19.9)
(19.10)
(19.11)
(19.12)
Во-первых, убедимся, что при таком преобразовании t и
х эквивалентны. Имеем почти всюду
ф(0 = 1-|-А(/ —т)>1--------0>О.
А	А
Поэтому существует монотонная обратная функция / = ф(т),
причем для tx < /2
/а
т2 = /2	Zj —|—	J* (Z /и.) ds =
tt
^2
= (1 - 0) (t, - '1) + 4 J l/ + dS > (1 -0) ^2-0.
ti
Таким образом, ф(т) удовлетворяет условию Липшица (с кон-
стантой 1 j и, следовательно, абсолютно непрерывна.
19.2]
§ 19. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ
255
Наконец, согласно (19.9) и (19.10),
t
t
0.
о
И
Во-вторых, проследим, как преобразуется система (19.1).
Очевидно,
dx _ dx . dx _ F (t, x)
dx dt dt ф (/)
или, заменяя t на i|)(t),
— = Fy(r, x).	(19.13)
При этом, поскольку
получаем
I ф«) I »<о	«
Таким образом, система (19.13) ограничена уже в обычном
смысле, причем за счет выбора 0 можно сделать ограничи-
вающую константу сколь угодно близкой к К.
В случае возмущенной линейной системы
x = A(t)x+f(t, х),	(19.14)
у которой A(t) интегрально ограничена:
/+1
J
t
и возмущение интегрально мало:
/+1
|/(Л x)|<d(0|x|, j S(s)ds<d0, (19.15)
t
можно усовершенствовать замену времени так, чтобы у пре-
образованной систему линейная часть оказалась ограничен-
ной, а возмущающая — малой в обычном смысле. Для этого
нужно изменить предыдущую конструкцию следующим
256
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[19.2
образом. Возьмем положительные и 02, так, чтобы
01 02 = 0 <С 1
и, определив кусочно постоянные функции,
И+1	1Л + 1
M(t)= J )A(s)|ds и m(/) = J 6(s)ds,
Id	Id
положим
t	1
т = *+ф- f (Ml — M)ds + %- I (6 — m)ds.
A J	Oq J
0	0
Повторяя в остальном прежние выкладки, найдем, что
11 — т|< 0 и
^ = Д1(т)х+/1(г, х),	(19.16)
где
Заметим, что в построении А^т) участвуют не только
А(/), но и &(/) из условия (19.15). Поэтому при неизмен-
ности A(t) и варьировании возмущающей функции f(t, х)
будет меняться не только /i(r, х), но и А^т). Это обстоя-
тельство не вызывает существенных осложнений при распро-
странении полученных ранее результатов на случай систем,
изучаемых в § 15. Пусть, например, А = diag [pi (0] есть
разделенно-диагональная матрица. Тогда Aj=diag [qt (т)], где
<р (ф (т))
Если Pi и Pj интегрально близки, то для соответствующих
им qt и qj имеем при любых т2Tj(Tj = i|>(£,), т2 = ф (£2))

МФСО) — Pj (Ф(т))
-------:------------dx
Ч> (Ф (т))
/2
J (Pi(t)-Pj(t))<it
6
< a(^2 — Q + ^(Xa(T2— Tl)“F^la»
19.2|	$ 19. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ	257
где
£>1а =	+ 2а0.
Если же и ру интегрально отделены, то аналогично
т2	4
| (7i(t) —?y(T))dT= J — pjityydt >
ti	6
> a(t2 — /j) — D>a(x2 — tO — Dlt
где
Dj = D -j— 2#0.
Таким образом, интегрально близкие (отделенные) функ-
ции переходят при замене времени в интегрально близкие
(отделенные) и систему (19.16) можно рассматривать как
близкую к разделенно-диагональной в прежнем смысле, с на-
бором основных констант
а1==а. ^i = 4> 6i = -T* £>1а = Яа+2аО.
D1 = D + 2a0,
которые, как легко видеть, не зависят от структуры 6(f).
Поэтому, обеспечив заранее достаточную малость б0 (а сле-
довательно, и di), можно считать, что для системы (19.16)
справедливы все утверждения теорем § 15. Возвращаясь
с помощью преобразования / = ф(т) к системе (19.14), мы
установим и для нее справедливость тех же теорем.
Наконец, заметим, что если 6(f) не только интегрально
мала, но и стремится к нулю в интегральном смысле:
/+1
J 6(t)Jt->0 при f —> оо,
t
то можно сделать такую замену времени, чтобы у преобра-
зованной системы было 6(f)->0. Для этого нужно только
разбить полуось 0 t < оо на равные отрезки достаточно
большой длины и на каждом проделать в отдельности то же
самое преобразование. В частности, это относится к тому
случаю, когда интеграл
оо
J t>(x)dx
сходится.
17 Б. Ф. Былов, Р. Э, Виноград и др.
258 ГЛ. vil. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [19.3
19.8. Условие малости возмущений. Ввиду особо важ-
ной роли возмущений в изучаемой теории остановимся на
них несколько подробнее. Перечислим наиболее употреби-
тельные условия малости возмущения и убедимся, что все
они охватываются интегральной малостью.
Пусть выполнено условие Липшица
!/(*,	х2)| < . (t}
1*1 — *»1 v >
или хотя бы такое же условие в нуле:
Функция 6(0 называется нормой возмущения. Возмущение
считается малым, если функция 6(f) в каком-либо смысле
мала.
Следующее перечисление охватывает все или почти все
встречающиеся на практике случаи.
А.	Равномерная малость
6(0 <е.
Б. Малость в метрике L1
J b(t)dt<E.
О
В.	Малость в метрике £2
| t?(f)dt <е.
О
(Фактически в двух последних случаях достаточно требовать
лишь сходимости интегралов, ибо тогда их можно сделать
как угодно малыми, принимая за начальный момент не О,
а достаточно большое ^0.)
Г. Объединенный случай
где слагаемые подчиняются соответственно трем предыду-
щим условиям.
19.3]
§ 19. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ
259
Д. Интегральная малость
М-1
J б (т) dx < е.
t
Это условие очевидным образом шире предыдущих: если
выполнено одно из условий А — Г, то выполняется и Д
(в случае В это вытекает из неравенства Коши — Буняков-
ского), обратное же, вообще говоря, неверно.
Е. Более общий вид интегральной малости
(ср. § Д. 17)
t
J 6(t)Jt < z(t —
Здесь малость регулируется двумя константами е и D, что
делает это условие еще более широким. Во всяком случае,
из Д всегда следует Е, так что последнее охватывает все
предыдущие условия, обратное же неверно, если D велико.
Наконец, существует еще одно условие, фактически экви-
валентное Е, но несколько отличающееся формой записи и
величиной констант.
Ж. Интегральное условие
°0
J	1.
— оо
(19.17)
Здесь подразумевается, что б(/) = 0 при t < 0, так что
нижний предел —оо введен лишь для симметрии и может
быть заменен нулем. •
Покажем, что это условие эквивалентно Е (хотя и с не-
которым изменением констант). Пусть сначала дано Ж. Это
значит, что положительная функция
Т](0= J
ограничена:
д(т)(/т= ]><*-*)d(i:)dT+| e^~^b(x)dx
(19.18)
(19.19)

17*
260
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[19.3
Дифференцируя по tt находим
Г	t	ОО
(е<*-'>6(т)^т+ре('-т»6(т)<?т ,
П(0 = е
t
откуда
(19.20)
_ —оо t
Дифференцируя т] еще раз, получаем
т) = е2т| (0 — 2еб(0»
и, следовательно,
д(О=«уо ш
Теперь из (19.19) и (19.20) вытекает
S
2е ’
5
(19.21)
J ee«-t)6(T)dT
t
п	е0 n
т. е. условие Е с константами у и 9.
Обратно, пусть дано Е с какими-либо константами а и Ь:
t
J&(T)dt<a(/ — $) + ^.
Зафиксируем tt разобьем полуось \tt оо) на отрезки равной
длины Т > 0 и оценим второе слагаемое правой части (19.18).
Используя (19.21), найдем
00 /+(л+1) г
J e-«d(r)dT<<
О t+nT
„	t+(n+l)T
ПТ) J d(r)dt<
О	t+nT
^е-^ЦаТ +b) = -^±^r.
о	1 *
20.1]
§ 20. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ
261
Аналогично оценивается первое слагаемое, откуда
П(0<2-—-£^г.
1 — е
Беря здесь 7, = ~, что дает 1—£“еГ>0,6, получаем
П (0 <4(7 +*),
т. е. условие Ж с константами е и 9 = 4 (2.	. Следо-
вательно, если а и b достаточно малы-, то из Е вытекает Ж.
§ 20. Приведение к треугольному виду
20.1. Теорема Перрона [6]. В предыдущих главах боль-
шое внимание было уделено треугольным системам. Оно
оправдывается тем, что, с одной стороны, треугольные
системы принадлежат к числу самых простых и потому допу-
скающих наиболее полное исследование, а с другой стороны,
как оказывается, к ним принципиально сводятся любые ли-
нейные системы, и притом сводятся с помощью унитарных
преобразований, сохраняющих все важнейшие свойства ре-
шений. Это утверждает следующая известная теорема Пер-
рона: для всякой системы
x = A(t)x	(20.1)
существует унитарное (и по меньшей мере абсолютно непре-
рывное по t) преобразование x = U(t)^t переводящее ее
в систему,
i = (P = U~lAU — U~1U')
с треугольной матрицей Р, диагональ которой вещественна;
если матрица А ограничена, то Р также ограничена, а пре-
образование является ляпуновским.
Мы докажем эту теорему в несколько более полной фор-
мулировке, а кроме того, установим известного рода един-
ственность перроновских преобразований. С этой целью про-
ведем ряд вспомогательных построений и прежде всего укажем
простую геометрическую интерпретацию перроновского дока-
зательства, которую используем в качестве основы рассу-
ждений (см. [6], а также [7]).
262 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (20.1
Возьмем какой-либо определенный базис системы (20.1)
х?(0.........................................(*°)
и подвергнем его процессу ортонормализации Шмидта; по-
лучим (см. п. Д. 4.4) векторы
«1(0. • • •• «п(0-	(«)
Перейдем в координатном пространстве Ln к базису (в)
(см. п. 18.1). С одной стороны, такой переход, согласно !
п. 18.1, равносилен унитарному преобразованию системы. /
С другой стороны, матрица разложений векторов (х°) по (и)
в шмидтовском процессе получается треугольной (п. Д. 4.4),	,
поэтому система в базисе (и) автоматически принимает тре-
угольный вид.	,
На этом можно было бы закончить доказательство тео- }
ремы Перрона, если бы не добавочные требования, выска-
занные в теореме (вещественность диагонали Р, ограничен-
ность А и Р). Поэтому разовьем намеченный план более
подробно.
Лемма 20.1.1. Если U (t)—унитарная матрица и
существует U(/), то матрица Q(t) = U~x (t)U(t) косо- v
симметрична:	i '
Доказательство. Очевидно (из правила поэлемент-
ного дифференцирования), что для любых матриц
\ dt ) ~ dtK *
Поэтому, используя правило дифференцирования обратной
матрицы (18.6) и унитарность U: U = U~\ найдем
_ и~'йи~х =—v*uu~\
\ dt ) dt dt
Отсюда
q’=(ifи)*=(t/)* и=(— uuir}) u =-q,
что и требовалось.
Теперь сформулируем в развернутом виде и докажем
теорему о приведении линейных систем к треугольной форме;
20.1]
§ 20. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ
263
Теорема Перрона 20.1.1. Пусть дана система
x = A(t)x	(20.1)
и выбран определенный ее базис
x°(t), .... х£(/).
(х°)
Тогда можно указать стандартный (а именно шмид-
товский) алгоритм построения по этим векторам уни-
тарной матрицы U(/), по меньшей мере абсолютно
непрерывной и обладающей следующими свойствами',
1)	Преобразование x = U(t)% или = (t)x при-
водит систему к треугольному виду

Р12 • • • Pin
Р2 • • • Pin
(20.2)
0	Рп
причем диагональные элементы Р вещественны и выра-
жаются формулами
Pk^}— 2 dt ln
(Л = I,....»)	(20.3)
где О0=1, а О!г — детерминант Грама, составленный
из первых k векторов (х°) (см. п. Д. 4.1). Кроме того,
SpP = ReSpX.	(20.4)
2)	Базис X° = [xJ.переходит в треугольный
базис
S0 = t/_IX°.	(20.5)
Иначе говоря, образом т-го вектора xPm(t) является
такой вектор
lm(t) = U-l(t)x°m(t\	(20.6)
У которого лишь первые т координат могут отли-
чаться от нуля.
3)	Из ограниченности матрицы А в обычном или
интегральном смысле следует ограниченность в том же
264
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[20.1
смысле матрицы Р и принадлежность преобразования U
к классу ляпуновских преобразований.
Доказательство. Рассмотрим процесс Шмидта, опи-
санный в п. Д. 4.4, применительно к векторам (х°). Пока-
жем, что возникающая в результате него матрица U (t) удо-
влетворяет всем условиям теоремы. Мы уже знаем, что она
унитарна и абсолютно непрерывна (см. п. Д. 4.4). Совершим
преобразование
Система (20.1) перейдет в систему
| = P(0g	(20.7)
с матрицей
P = U~lAU — Q, где Q = U~'U.	(20.8)
Так как XQ является базисом для системы (20.1), то
2° = U~1XQ будет базисом для новой системы (20.7), т. е.
go —рдо
Но, согласно формуле (Д. 4.22), 2° совпадает с треугольной
матрицей Z (чем сразу установлено утверждение 2) теоремы),
поэтому матрицы
go и р — gogo*1
являются треугольными. Диагональные элементы Р, найден-
ные из последнего равенства, в силу формулы (Д. 4.20)
вещественны и имеют вид (так как 2° = Z)
Pk
d
dt Zkk
2kk
1 d
----- In zkk —
2 dt kk
Отсюда, в частности,
rft
Г*-!
1 d i
2 dt n
Ok
Git-i 

d i
~ dt ln
Sp ? Zd Pk ~~ 2 dt ,n °n'
а это, в силу формулы (Д. 4.7) и формулы Лиувилля (18.11),
дает (20.4). Тем самым доказано и утверждение 1) теоремы.
Для доказательства последнего свойства найдем из (20.8),
20.2]
$ 20. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ
265
принимая во внимание кососимметричность Q (лемма 20.1.1),
матрицу
Поскольку элементы унитарных матриц U и U~l по модулю
не превосходят единицы, то из ограниченности в каком-либо
смысле элементов А следует ограниченность в том же смысле
элементов матрицы Р-\-Р*, которые, в силу треугольного
строения Р и вещественности ее диагонали, совпадают либо
с pip Pip либо с 2 Re pk = 2pk.
Остается отметить, что, согласно п. 18.2, из ограничен-
ности А и Р и унитарности преобразования вытекает его
принадлежность к ляпуновскому классу. Теорема доказана
полностью.
20.2.	Обращение теоремы Перрона. В изложенном
методе доказательства теоремы Перрона матрица U одно-
значно определяется выбором базиса и зависит даже от его
нумерации. Естественно поставить вопрос, все ли преобра-
зования рассматриваемого типа возникают в результате именно
такой конструкции. Утвердительный ответ дает следующая
Теорема 20.2.1 (обращение теоремы Перрона).
Всякое унитарное преобразование, приводящее систему
x = A(t)x
к треугольному виду с вещественной главной диаго-
налью, является перроновским, т. е. получается из не*
которого базиса
•^1 (О» • • •» %п (0
с помощью процесса Шмидта.
Доказательство. Пусть дано унитарное преобразо-
вание х = {7§, в результате которого система переходит
в треугольную систему
g=P(O§.	(20.9)
Ее канонический базис S(/) (п. 4.3) треуголен и имеет диа-
гональные элементы
Ы(0==«°
266
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
{20.3
положительные благодаря вещественности pk. Поэтому ма-
трица $ = Е“1 также треугольна и имеет положительную
диагональ. Рассмотрим матрицу {7Е = X, являющуюся бази-
сом для х = Ах. Мы имеем и = ХЕГ\ причем U по усло-
вию унитарна, а S треугольна и имеет положительную диа-
гональ. В таком случае, согласно п. Д. 4.6, Е есть матрица
Шмидта для матрицы X, иначе говоря, преобразование U
получается из X тем же способом, что и в теореме Пер-
рона. Доказательство окончено.
20.3.	Блочно-треугольные системы [8]. Напомним, что
блочно-треугольной мы называли матрицу вида В =
= diag [ВЯ( ... Snr] с треугольными Вп&, т. е.
К таким матрицам относится, например, жорданова нормаль-
ная матрица
откуда следует, что система с постоянной матрицей всегда
может быть приведена к блочно-треугольному виду. Для
систем с переменной матрицей это не всегда верно. В на-
стоящем пункте приводятся необходимые и достаточные
условия приводимости системы к блочно-треугольному виду.
Мы будем пользоваться обозначениями п. Д. 5.1. Запись
х=\хпе хч.......Х„г]
20.3|	§ 20. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ	26?
будет обозначать, что квадратная матрица X разбита на
прямоугольные блоки: Хп^ состоит из векторов-столбцов xt
с номерами l£nk при сохранении порядка. G[Xn^ есть
грамиан из векторов блока Хп^
Теорема 20.3.1. Если система
x — A(t)x	(20.10)
имеет базис X(t) = [xx(t)....xn(t)] такой, что
= Р> °’ (20-11)
то существует ляпуновское преобразование x — V(t)^t
переводящее систему (20.10) в блочно-треугольную си-
стему
i =	B = 6\3g[Bni....ВПг] (20.12)
с вещественной диагональю.
Доказательство. Для упрощения записи в даль-
нейшем вместо ХП1 будем писать Xt. Ортонормируем в от-
дельности каждую совокупность векторов, составляющих Xh
с помощью шмидтовского процесса. Как показано в п. Д. 4.5,
это равносильно умножению матрицы Xt справа на некото-
рую треугольную матрицу размера ni X с веществен-
ной и положительной диагональю. Положим
$ = diag [$!...$г] и V = XS. (20.13)
Покажем, что преобразование х = V (t) % является искомым.
Пусть преобразованная система есть
1 = В$.	(20.14)
Так как исходная система допускала базис X, то преобра-
зованная допускает базис
E, = V~1X = S~1X~1X = S~1,	(20.15)
являющийся блочно-треугольным. Отсюда следует, что и мат-
рица Z? = ES“1 имеет такую же структуру, а ее диагональ
вещественна. Поэтому, как и в теореме Перрона, основное
место будет занимать лишь доказательство того, что по-
строенное преобразование является ляпуновским.
268
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(20.3
Во-первых, по построению (ортонормировка Х^, каждый
столбец матрицы V имеет единичную норму, и поэтому |У|
ограничена.
Во-вторых, используя условие теоремы и блочную струк-
туру S, а также соотношение О (У) = det Y*Y, имеем
| det V |2 = det (S*X*XS) = | det S12G (X) >
>p|detS|2G(X1)O(X2) ... G(Xr)==
p П | det Sz 12<? (X,) = p p det ($йад) .	|
Каждый множитель det (SiXiXiSt) есть грамиан из ортонор- f
мированных векторов Х^, и поэтому равен единице. Сле-	|
довательно, |detV|2^p>0, что обеспечивает существова-	I
ние и ограниченность обратного преобразования V”1. Таким I
образом, из условий Ляпунова остается проверить только
ограниченность V. Представим V в виде У==[У1, ..., УД,
где Vl = XlSi. Фиксируем какое-либо Z = A и рассмотрим
базис
X=[Xk, X,.......Xk_b Хк+1..........X,],
отличающийся от X порядком блоков. Отправляясь от X,
найдем перроновскую матрицу U — XS, построенную по
правилам пп. Д. 4.4 и Д. 4.5. Так как базис X начинается
с блока Xk, то первые nk столбцов матрицы U получаются
ортонормированием векторов Xki и поэтому совпадают
с соответствующими столбцами матрицы XkSk=Vk. Ограни- '
ченность Vk следует теперь из ограниченности U, установ-
ленной в теореме Перрона (конечно, в предположении огра-
ниченности Применяя подобное рассуждение ко всем
&=1......г, получаем ограниченность V, чем и заканчи- |
вается доказательство.
Справедлива также обратная теорема.
Теорема 20.3.2. Если систему (20.10) можно при-
вести некоторым ляпуновским преобразованием к блочно- I j
треугольному виду (20.12), то она имеет базис Xt для |
которого выполнено условие (20.11).	j
Доказательство. Пусть преобразование X—L1- пе- L
реводит (20.10) в (20.12). Последняя система распадается |'
ад J 50. ПРИВЕДЕНИЕ к ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ 269
на г независимых систем
1 =	(20.16)
и если Ел— канонический базис каждой такой системы,
то канонический базис всей системы есть
3 = diag[S1.....SrJ.
Будем записывать его также в виде
* = [*1* • • • ’ ЛгЬ
где прямоугольная (п X пл)-матрица Eft получается из Ел
добавлением нулевых строк выше и ниже Ел. Матрицу ля-
пуновского преобразования разобьем на блоки тех же раз-
меров:
L = [Li.....Lr],
Базис Е в результате преобразования L переходит в базис
AT = LE, причем блоку Е^ отвечает Xk = LBkt и таким
образом X также разбивается на г блоков:
Х=[Хг.......Хг].
Замечая, что Xk = LE,k = LkBfci и пользуясь формулой
Лиувилля для каждой из систем (20.16), найдем
О (.¥*) = det =
2f SpBfe dx
= det (EUkftS,) = | det S* 12O (£,) = e » О (I,).
Аналогично для всей системы
t
2jSpBdT
G(X)= |detX|2 = |det£|2|detE|2 = e 0	G(L).
Поэтому
t
exp 2 J* SpBrfx- G(L)
G(X) _ о	G(L)
ПО (Xk) — t	“ ПО (Lk) ‘
П exp 2 J Sp Bkdx-G (Lk)
о
В силу свойств ляпуновского преобразования величина
О (£,) = [ det Z, |2 имеет положительную нижнюю грань,
270 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (20.3
а величины G(Lfe), будучи составлены из элементов ограничен-
ной матрицы L, ограничены сверху. Следовательно, левая
часть последнего равенства превосходит некоторую положи-
тельную константу, т. е. для базиса X выполнено условие
(20.11). Доказательство окончено.
Следствие 20.3.1. Условие (20.11) является необ-
ходимым и достаточным для приводимости системы
к блочно-треугольному виду.
Это вытекает из теорем 20.3.1 и 20.3.2.
Следствие 20.3.2. Для приводимости системы
(20.10) к диагональному виду необходимо и достаточно,
чтобы она имела базис, для которого
______>р>0
(I X, II х2| ... |х„|)2^р^и-
Следующая теорема выделяет класс систем, к которым
удается приложить критерий приводимости к блочно-тре-
угольному виду.
Теорема 20.3.3. Линейная система, достаточно
близкая к разделенно-диагональной (в обычном или ин-
тегральном смысле, см. п. Д. 17.2), всегда приводима
;с блочно-треугольному виду [9].
Доказательство. Пусть дана система
i = [P(0 + ®(/)]x,
где P = diag[Prti, ...» Рп^ — разделенно-диагональная мат-
рица, а возмущения Ф линейны и удовлетворяют условию
|Ф|<^&. Если & достаточно мало, то, согласно утвержде-
нию 2) леммы 15.2.3 и утверждению 2) леммы 15.2.4,
пространство решений данной системы можно разложить
в прямую сумму линеалов
Е = Ея1фЕя2ф .... @Епг
так, что каждый линеал Епь при всех t заключен в конус
K"fe(/z), а линеал
. ..
— в конус /С"1 л*(/г). В каждом Епъ выберем базис Xk.
Тогда X = [Xj....XJ будет базисом в пространстве Е.
20.31
§ 20. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ
271
Покажем, что этот базис удовлетворяет условию (20.11).
Этим и будет установлена приводимость системы к блоч-
но-треугольному виду. Применим тот же процесс, что
и в теореме 20.3.1, т. е. ортонормируем в отдельности
каждый блок Xk, умножая его справа на соответствующую
треугольную (nk \ пл)-матрицу Sk и обозначая
S^diaglSp .. ., Sr],
L = l^i...
(20.17)
Из способа определения Lk следует, что при каждом фикси-
рованном t векторы-столбцы матрицы Lk образуют базис
в <z.Knk(h), а совокупность векторов-столбцов ...
..., Ln образует базис в Е*1 л* cz(/г). Убедимся
теперь, что infG(L)>0. Если это не так, то найдется
последовательность {tm}, вдоль которой G	Так
как Lk состоит из единичных векторов, то, не нарушая
общности, можно считать, что
£*(бп)->4.	= .......£?],	О(£°) = 0.
Поскольку при каждом t векторы из Lk(t) ортонормальны,
то это же верно и для I?k. Кроме того, как легко убедиться,
линейная оболочка векторов I?k принадлежит конусу Кпь (Л),
а линейная оболочка совокупности векторов L?.......L°n —
конусу Кп*n*(h). Отсюда следует линейная независимость
векторов Lq = [/?, .... й]. Действительно, пусть
2	2 ctfi Ч” • • • + S ci$=о*
Последняя сумма в левой части есть вектор, принадлежащий
линейной оболочке векторов и, как установлено выше,
принадлежит КПт(Н). Так же убеждаемся, что остальные сум-
мы составляют вектор, принадлежащий конусу КП{ "'“'-'(h).
Так как эти конусы имеют общим лишь нуль-вектор, то
272
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(21.1
И
2	3	• • • Ч" 2 ^//=0.
i^n2	*£пг~1
Но векторы ортонормальны, поэтому первое из ра-
венств возможно лишь при С/ = 0 для всех i£nr. Переходя
ко второму равенству и повторяя для него те же рассуж-
дения, докажем, что cz = 0 при ZCnr-i и т- д- ^акт линей-
ной независимости векторов £° противоречит равенству
О (£°) = 0, которое возникло из допущения inf О (L) = 0.
t
Следовательно,
inf О (L (0) = р > 0.
t
Используя далее вытекающие из (20.17) и п. Д. 4.9 ра-
венства
Q (V \-- @	Q (У\__ @
u(Ak)— । det |« ’	П | det Sfc |2 ’
* а также равенства G(Lk) = 1, справедливые в силу ортонор-
мированности векторов Lkt получаем
ПО (У*) = °(£)>Р>0>
чем и заканчивается доказательство.
Следствие 20.3.3. Треугольная система с инте-
грально разделенной диагональю приводима к блочно-
треугольному виду.
Действительно, с помощью p-преобразования можно как
угодно уменьшить внедиагональные элементы, после чего
остается применить последнюю теорему.
§ 21.	Почти приводимые системы [10]
21.1.	Простейшие свойства. Согласно определению,
которое уже упоминалось выше, система
х = А(0х	(21.1)
называется почти приводимой к системе
$ = В(0з,	(21.2)
21.1J	§ 21. ПОЧТИ ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ	273
если для любого б > 0 найдется ляпуновское преобразование
* = »	(21.3)
переводящее систему (21.1) в систему
| = [В(0 + Ф(0)£,	(21.4)
где норма Ф(0 не превосходит д:
|Ф(01
При всяком фиксированном б величины
sup|L6(Ol и suplLfi1^)!,	(21.5)
t	t
по определению ляпуновского преобразования, должны быть
конечными, однако с уменьшением б они могут неограни-
ченно возрастать.
Матрицы систем (21.1) и (21.4) связаны с соотношением
Lt'ALb — Гб-14 = в + Ф,	(21.6)
и поэтому, чтобы не упоминать всякий раз о системах,
будем говорить также, что матрица А почти приводима к В.
Понятие почти приводимости транзитивно: если А почти
приводима к В, а В к С, то А почти приводима к С. Дей-
ствительно, для произвольных а, р > 0 имеем по определе-
нию
L^ALa — Г;1Га = в + Ф1,	|Ф1|<а,
L^BLfi — Lfi = С -|- Фг*	|Ф2|-^Р-
Поэтому, применяя к А сначала преобразование La, а затем
к результату получаем
(В + ФО Lp — Lp х£р = С+Lp ‘Ф1£р+Ф2 = С-4- Ф.
Если при заданном 6>0 положить р = -|-, затем найти ве-
личину
Af = sup {|£р|, lip1!}.
18 В- Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
274 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [21.1
и в качестве а взять • т0 получается
|Ф|< |£3-1||Ф1||Г3| + |ф2|<М2а + ₽ < 4 + у = б.
что и требовалось.
Если система (21.1) почти приводима к (21.2), то сопря-
женная с ней система
У = — А*У
почти приводима к сопряженной системе
v = — B*v.
(21.7)
(21-8)
Действительно, как мы знаем (18.5), преобразование у —
= £6-1(/)т| переводит систему (21.7) в систему
п = —[В* + Ф*] л,
сопряженную с (21.4), и так как |Ф*| = |Ф| ^б, то мы
имеем почти приводимость к (21.8).
Специальные виды ляпуновских преобразований, рас-
смотренные в п. 18.3, позволяют вывести ряд простых
теорем о почти приводимости.
Теорема 21.1.1. Всякая линейная система почти
приводима к некоторой диагональной системе с веще-
ственными коэффициентами. При этом треугольная
система почти приводима к системе с той же диаго-
налью.
В самом деле, сначала с помощью перроновского пре-
образования можно привести данную систему к треуголь-
ному виду с вещественной диагональю, а затем, не меняя
последней, уменьшить как угодно внедиагональные коэф-
фициенты с помощью p-преобразования (п. 18.3); это и будет
означать почти приводимость данной системы к диагональ-
ной системе
l =	P=di3g[Pil.
Теорема 21.1.2. Если система почти приводима
к некоторой диагональной системе
tl=P(f)U,
21.1)
§ 21. ПОЧТИ ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ
275
то она почти приводима также к системе
u = ReP(t)u.
Для доказательства достаточно применить к системе Re-
преобразование и воспользоваться транзитивностью почти
приводимости.
Следствие 21.1.1. Если система почти приводима
к некоторой системе
и = Ви
с постоянной матрицей В, то она также почти при-
водима к системе
и = Лл1,
где Л — diag [Re vj, a vk — собственные числа В.
(Воспользоваться жордановой формой В и предыдущими
теоремами.)
В дальнейшем, говоря о почти приводимости матрицы А
к матрице Р, будем всегда считать Р диагональной и веще-
ственной.
Теорема 21.1.3. Если A(t) почти приводима к P(t)t
то она также почти приводима к матрице Р, полу-
ченной из Р любой перестановкой ее элементов.
Это очевидно, поскольку указанное преобразование сво-
дится к изменению нумерации координат искомого вектора,
т. е. заведомо является ляпуновским.
Теорема 21.1.4. Если A(t) почти приводима к P(t).
то она почти приводима к
t+H
= P(x)dr,
t
где /7 > О— любая константа.
Доказательство вытекает из существования ляпуновского
//-преобразования (см. п. 18.3).
Теорема 21.1.5. Если диагональные матрицы Р и Q
интегрально близки и А почти приводима к Pt то она
почти приводима также к Q.
Действительно, из условия интегральной близости сле-
дует, что для любого 6 > 0 существует Н > 0 такое, что
\PH(t) — QH(t)\ <б.	(21.9)
18*
876 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (21.2
Преобразование
t
L = exp J [(Q — Q") — (P — />")] dx
0
(очевидно, ляпуновское, ср. //-преобразование в п. 18.3, 6))
переводит Р в С + (РЯ— <?я), откуда ввиду условия (21.9)
и свойства транзитивности получаем требуемое утверждение.
Следствие 21.1.2. Если треугольная матрица
такова, что ее диагональные элементы соответственно
интегрально близки к постоянным то она почти
приводима к A = diag[XJ.
Следствие 21.1.3. Пусть А почти приводима к матрице
P = diag[P/Xft], где каждый блок РПк является диагональной
матрицей из интегрально близких функций. Выберем в каждом
блоке одну функцию-представителя и обозначим ее через рк.
Тогда матрица А почти приводима к матрице
р = diag [р1/Я)....prInf],	(21.10)
где 1п— единичная матрица порядка пь-
В заключение приведем теорему, устанавливающую в одном
случае связь между почти приводимостью и просто при-
водимостью.
Теорема 21.1.6. Если система почти приводима
к разделенно-диагональной, то она приводима к блочно-
треугольной системе.
Действительно, условие теоремы означает, что систему
можно привести к виду, изученному в теореме 20.3.3, от-
куда и следует нужный результат.
21.2.	Почти приводимость к разделенно-диагональной
системе [9]. Лемма 21.2.1. Если система
x = A(t)x	(21.11)
почти приводима к системе с вполне разделенной диа-
гональю
t =	P = diag[p*/„J, (21.12)
то*.
1)	Показатели системы (21.11) суть числа Ak = pk
с кратностями пк.
21.2]
| 21. ПОЧТИ ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ
27?
2)	Показатели сопряженной системы (21.7) суть
М* =—Pk также с кратностями nk.
3)	Для любых решений х и у систем (21.11) и (21.7)
из равенств x(x) = Afe, хОО===Мй вытекают оценки
t	t
<ЛаехР J (Pfe —	<DaexP J (P» + a)^.
t	t
d^exp J (— pk — a)dr <	<Daexp j(-/>*+«)dr,
s	s	)
(21.13)
где dia не зависят от	a Da не зависит и
от выбранных решений.
4)	Функции ReSpX и SpP интегрально близки.
Доказательство. Пусть (21.11) почти приводима
к (21.12). Это значит, что для любого б>0 существует
ляпуновское преобразование, переводящее (21.11) в систему
z = [Р (0 + Ф (01 z, | Ф (01< б. (21.14)
Если при этом выбрать б достаточно малым, то можно
применить теорему 15.2.1, в силу которой п. 1) настоящей
леммы будет выполняться «с точностью до е», причем
соответствующие множества решений имеют размерности пк
(k = 1...г). Показатели таких решений лежат в интер-
валах
XW6(A4 —е, ЛАН-е) ХСУ)6(М* —е,
Так как б, а следовательно, и е можно сделать как угодно
малыми, то отсюда следуют пп. 1) — 3) леммы. Наконец,
как видно из п. 18.2, функция ReSp4 интегрально близка
к Бр(Р + Ф), а так как |Ф|^б и б произвольно мало, то
получаем и п. 4).
Теорема 21.2.1. Для почти приводимости системы
(21.11) к разделенно-диагональной системе (21.12) необ-
ходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия:
1)	Показатели системы (21.11) суть числа Ak=pk
кратности nk.
278
РЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[21.2
2)	Для всех решений с показателем Aft справедлива
равномерная оценка роста
1^)1 <D J'va"'
(21.15)
3)	Функция ReSp4(£) интегрально близка к SpP(t).
Доказательство. Необходимость установлена в пре-
дыдущей лемме. Докажем достаточность. Возьмем нормальный
и упорядоченный базис системы (21.11), который в силу
условия 1) распадается на блоки
*=РЧ......-4J-
и с его помощью приведем систему к перроновскому виду.
Перроновское преобразование не меняет норм решений и
величин АЛ, поэтому условия 1) — 3) теоремы по-прежнему
будут выполняться, а базис X перейдет снова в нормальный
и упорядоченный базис. Согласно утверждению 2) теоремы
Перрона 20.1.1 этот базис будет треугольным. Все другие
треугольные базисы отличаются от него правым постоянным
треугольным множителем и потому также остаются нормаль-
ными и упорядоченными (см. 3.1.10). В частности, это
относится к любому каноническому базису (т. е. канониче-
скому при любом t = s) рассматриваемой перроновской
системы. Чтобы не вводить новых обозначений, будем
считать, что эта система есть (21.11), в частности что
А — треугольная матрица с вещественной диагональю аи — at.
Пусть хД/, s)—вектор канонического базиса X(t, s),
имеющий номер l£nk. С одной стороны, из формул (4.9)
следует, что его норма
t
------------------------------ j* a, dx
I xl I ~ Zj I xlk 12 I xii I = eS
С другой стороны, будучи вектором нормального и упоря-
доченного базиса, он имеет, согласно условию 1) теоремы,
показатель Лй, а потому подчиняется условию 2). При этом
в силу каноничности |хД$, s)| = 1, следовательно,
1*1 (*• 5)1
\Xi(t, $)|
I *1 (S, S) I
t
J (₽ft+a) dr
D^s
21.2]
§ 21. ПОЧТИ ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ
279
Таким образом,
t	t
j dx^ Da+ J + Для всех l£nk. (21.16)
Рассмотрим систему (21.7) сопряженную с (21.11), т. е.
нижне-треугольную. Вектор y^t, s) ее канонического базиса
У(/, $), имеющий номер в силу формул (5.2) также
допускает оценку
t
а^х
s)\^\yit(t, s)\=e s
В то же время ввиду взаимности канонических базисов
(теорема 5.2.1) можно применить формулу (Д. 4.38)
l„ I — г<х»...**-' **+i. •••’ х“>
1Л|—	Г(Х)
Неравенство Адамара (Д. 4.32) дает тогда
а в силу утверждения 2) теоремы (обозначая па = а и т. п.)
t
J (SpP-Pl+a)dr
s)\^Dae°	(Г(х))-\
Но по формуле Лиувилля
t
Г(Х)=Д^
а функции SpX и SpP интегрально близки в силу усло-
вия 3) теоремы, так что
t	t
j (SpA— SpP)dt < Da-|-J adr.
S	J
Теперь
t
1 (-pft+“)dt
\yi(t, s)\^D^	.	(21.17)
280
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(21.2
откуда
—Jat	J(— pk-\- a)dx + Da,
s	s
что вместе с (21.16) означает интегральную близость at
и pk для всех l£nk.
Итак, исходная нетреугольная система приводится перро-
новским преобразованием к треугольной системе, диагональ
которой интегрально близка к разделенной диагонали Р.
Отсюда, на основании теоремы 21.1.5, следует почти при-
водимость (21.11) к (21.12). Доказательство окончено.
Теорема 21.2.2. Если система почти приводима
к разделен но-диагона ль но и, то каждый нормальный
базис бинормален.
Доказательство. Повторим рассуждения предыдущей
теоремы и заметим, что базис X был нормальным и упоря- |
доченным по выбору, а для базиса Y получились оценки
(21.17). Из них вытекает, что
. ХСУ«)<(-	= для l£tik,
и следовательно,	<
Но в силу леммы 21.2.1, п. 2),	является суммой |
показателей сопряженной системы, поэтому строгое нера- I
венство в предыдущем соотношении невозможно, т. е. базис Y |1
нормален и имеет показатели МА кратности nk. Кроме t
того, он упорядочен, так как из условия разделенности
(е)	(е)	(е)	;
Рпх < Рл2 < ... < РпГ следует	j
м,>м2> ... >мг.	?
Итак, базисы X и Y взаимны, нормальны и упорядочены ? |
(встречным образом), причем кратности соответствующих "
показателей одинаковы. Отсюда по теореме 3.2.3 следует, р
что любой нормальный базис будет бинормальным.
Лемма 21.2.2. Если матрица А почти приво-
дима к разделенно-диагональной P=diag	т0 пРи
любом (не обязательно перроновском) ляпуновском
I
4
21.2]
§ 21. ПОЧТИ ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ
281
преобразовании системы к треугольному виду
1=В%	(21.18)
вещественная часть последнего диагонального коэффи-
циента Ьпп будет интегрально близка к одной из
функций pk.
Доказательство. По лемме 21.2.1 решения сис-
темы (21.11) и сопряженной с ней системы подчиняются
оценкам вида (21.13). Ляпуновское преобразование не нару-
шает таких оценок, поэтому они остаются в силе для
решений системы (21.18) и сопряженной с ней системы
т| = — В*ц.	(21.19)
Последняя, будучи нижне-треугольной, допускает решение
t
- f dx
Лл= {0......0,	e 0 J.	(21.20)
Пусть при этом х(Ля) = Мй, гДе —один из показателей
системы (21.7) и, следовательно, системы (21.19). Тогда для
|П«(*)1
справедлива оценка (21.13):
t	i
In da + J (— Pk — a)dt<Re J {—bnn)d%^
s	s
t
<lnDe+ J (— +
s
(S)
которая и означает, что Rebnn = pk. Лемма доказана.
Теорема 21.2.3. Для почти приводимости системы
(21.11) к разделенно-диагона ль ной системе (21.12) необ-
ходимо и достаточно, чтобы при любом ляпуновском
преобразовании системы к треугольному виду диаго-
нальные коэффициенты Ьа матрицы В могли быть
разбиты на г блоков Вп^, Вп^, ..., В„г (с возможным
нарушением естественного порядка индексов у Вп^ так,
282
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(21.2
что вещественная часть каждого Ьи£ВПк интегрально
близка функции pk из (21.12), и достаточно, чтобы
это разбиение можно было осуществить при каком-
либо одном ляпуновском преобразовании системы
к треугольному виду.
Доказательство. Достаточность вытекает из теорем
21.1.1, 21.1.2 и 21.1.5. Докажем необходимость. Пусть
система (21.11) почти приводима к (21.12), а кроме того,
приводима к (21.18). Возьмем нормальный треугольный
базис S последней системы. Он существует согласно п. 5.3.
По теореме 21.2.2 взаимный с ним базис Н сопряженной
системы (21.19) будет также нормальным и, согласно лемме
21.2.1, будет иметь показатели = — pk кратности nk,
причем из равенства % (|,) — Kk следует равенство % (i)z) =
и наоборот. В то же время базис Н, будучи нижним тре-
угольным, содержит, с точностью до постоянного множителя,
вектор (21.20), и из х('Пл) = Н^ следует х(^д)=Хл. Тогда
среди остальных решений • • •>	имеется nk—1
решений с показателем Рассмотрим усеченную систему
порядка п — 1
(21.21)
полученную из (21.18) отбрасыванием последних строки и
столбца. Ее базис полученный из S аналогичным образом,
остается нормальным, и следовательно, показатели системы
(21.21) суть числа кратности nt при i^k и Лй
кратности nk — 1.
Так как каждое решение g' системы (21.21) после под-
писывания нулевой координаты £' = 0 становится решением §
системы (21.18) с той же нормой и тем же показателем,
то, согласно утверждению 2) теоремы 21.2.1 и в силу
общих свойств ляпуновского преобразования, из %(g') = Az
следует оценка вида (21.15), т. е.
t
it'mi
• <2|-22>
Поскольку в силу свойств ляпуновского преобразования
функция ReSpB интегрально близка ReSpA, а последняя,
на основании утверждения 3) теоремы 21.2.1, близка 2 niPt>
22.1]
§ 22. ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
283
то функция ReSpZ? интегрально близка функции
Учитывая вместе с этим, что, согласно лемме 21.2.2, Rebnn
интегрально близка pk, заключаем, что функция
интегрально близка функции
2	i)p*.
i k
Утверждения, выделенные курсивом, составляют, согласно
теореме 21.2.1, достаточные условия приводимости системы
(21.21) к разделенно-диагональной системе, определяемой
матрицей
Р' = diag [piZ„i...pkInk-i......РЛГ].
в которой функция pk встречается уже только nk — 1 раз.
Но тогда к этой системе применима лемма 21.2.2, согласно
которой вещественная часть коэффициента Ьп_^п_х инте-
грально близка к одной из функций, составляющих Р'.
Повторяя все предыдущие рассуждения применительно
к системе (21.21), а затем усекая ее, докажем, что &„_2trt_2
также интегрально близка к одной из функций pk, причем
последняя снова выбывает из дальнейших - рассмотрений,
и т. д. Проводя п—1 усечений, получаем требуемый
результат.
Следствие 21.2.1. Интегрально-разделенная веще-
ственная часть диагонали треугольной системы сохра-
няется, с точностью до интегральной близости и
нумерации, при любом другом ляпуновском приведении
системы к треугольному виду.
Следствие 21.2.2. Если матрица почти приводима
к разделенно-диагональной Р, то последняя един-
ственна с точностью до интегральной близости и по-
рядка нумерации.
§ 22. Правильные системы [11]
22.1. Признаки правильности. Пусть сопряженные си-
стемы
х = A (t) х и у = —A* (t) у
имеют показатели, соответственно
284
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
|22.1
И
• ••
Напомним, что существуют три различных числа, характери-
зующих неправильность системы (см. пп. 3.2 и 3.4): коэф-
фициент неправильности у, коэффициент Перрона л и коэф-
фициент Ляпунова о, причем всегда
о л у пл,
у < о < пу.
Таким образом, обращение в нуль одного из этих
коэффициентов влечет за собой обращение в нуль двух дру-
гих, и в этом случае система называется правильной. В ка-
честве известных признаков правильности можно напомнить
теорему Перрона 3.2.6: сопряженные системы либо обе пра-
вильны, либо обе неправильны; для правильности необходимо
и достаточно, чтобы показатели отличались лишь знаками:
|XZ =— Xz (/=1, ..., п), а также теорему Ляпунова
п. 11.1: треугольная система с вещественной диагональю
х = diag [pz (/)] х правильна тогда и только тогда, когда все
ее диагональные коэффициенты имеют точные средние зна-
чения
pz = lz,
которые и служат тогда показателями системы.
Излагаемые ниже теоремы устанавливают связь между
правильностью системы и поведением ее решений.
Теорема 22.1.1. Для правильности системы необ-
ходимо и достаточно, чтобы грамианы, составленные
из любых ее решений, имели точные показатели, В част-
ности, каждое решение правильной системы имеет точ-
ный показатель.
Доказательство. Будем рассматривать лишь линейно
независимые решения, ибо иначе грамиан равен нулю. Необхо-
димость немедленно вытекает из формул (11.12): если система
правильна, то у = 0 и х (Gm) = % (От). Норма решения как
частный случай грамова объема:
|х|=/0(х) =Г(х)
22.1]
§ 22. ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
285
— также имеет точный показатель. Достаточность же следует
из формул (20.3): существование точных показателей у Ok
(й=1.......п) влечет за собой существование точных сред-
них pk, а следовательно, по теореме Ляпунова, и правиль-
ность системы. Теорема доказана.
Как видно из последнего рассуждения, фактически для
правильности достаточно существования точных показателей
не у всех, а лишь у п грамианов Gk, составленных из век-
торов какого-либо одного базиса. Оказывается, что и эти
требования могут быть снижены, но не далее, чем утвер-
ждается в следующей теореме.
Теорема 22.1.2. Пусть система
x = A(t)x	(22.1)
имеет упорядоченный базис X, разбивающийся по пока-
зателям на блоки
X=[Xni.......(22.2)
т. е.
X(jcz) = A* для Xi^Xnk,	(22.3)
где
Aj< ... <А„
и пусть Гл — грамов объем блока Хп^ Если все Гл
(k — 1.....г) имеют точные показатели, равные сумме
показателей блока:
Х(ГЙ)= 2 X(xz) = «fcAft,	(22.4)
l^nk
то базис X нормален, а система (22.1) правильна.
На одно из требований теоремы не может быть сни-
жено.
Для доказательства выведем ряд вспомогательных пред-
ложений, позволяющих свести рассмотрение к простейшему
случаю.
а) Условие (22.4) автоматически распространяется на гра-
мовы объемы, составленные лишь из части векторов &-го блока:
если, например, Xi....xjQXnk>	то
Х(Г1.../) = /ЛА.	(22.5)
286
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[22.1
В самом деле, из (22.3) и неравенства Адамара (Д. 4.32)
следует, что во всяком случае
Х(Г1...У)</АЛ.
Допустим, что
Х(Г1 ... у) < /Л*.
Тогда из неравенства Адамара в форме
П^Г1...,<Г1...у|ху+1| ... | хп^ |
найдем, используя (Д. 16.11),
X (ГЛ) = X (Гй) < X (Гу) + X (*/+i) + • • •
• • • “Ь X (Хпк) < J^-k + (tlk —
что противоречит условию (22.4).
б)	Всякий базис, полученный из X квазитреугольным
преобразованием (см. (2.20)) с блоками размеров nkt удо-
влетворяет тем же условиям. В самом деле, рассмотрим сна-
чала преобразование одного блока Хп^ с помощью невыро-
жденной (nk X яй)-матрицы Ck:
yi = CkXi, 1£пь.
Получим =	где С = |detC* | (см. п.Д. 4.9),
и следовательно,
Подсчитаем показатель каждого вектора^. С одной стороны,
по обычному свойству неповышения, Х(Л)<Стахх(х/) = ЛЛ,
так что, согласно предыдущему равенству,
х'(г»(Ч))> 2 х(л).
l^nk
С другой стороны, по неравенству Адамара, всегда Х(Гй(УлЛ))<^
2 X (Л)» и окончательно
х(г»(*\))= 5х(Л)=«аЛй
22.1]
§ 22. ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
287
Таким образом, свойство (22.4) сохраняется при преобразо-
вании каждого блока в отдельности. Квазитреугольное пре-
образование отличается от рассмотренного только тем, что
к некоторым векторам могут еще добавляться векторы
с меньшими показателями. Такое преобразование, как из-
вестно, не меняет показателей векторов, а согласно п. Д. 4.3
оно не меняет также показателей объема Г*. Итак, базис У,
полученный из X квазитреугольным преобразованием с бло-
ками размеров nk, удовлетворяет условиям (22.4), а следо-
вательно, как было показано в а), и условиям (22.5). В част-
ности, если l£nk и С; #= 0. то вектор
=	... Ч-С/Х,
имеет точный показатель
Х(Л) = Х(^) = АЙ.	(22.6)
в)	Базис X нормален. Действительно, последнее равен-
ство означает, что никакая линейная комбинация xt не может
быть понижающей, а это — признак нормальности.
г)	Всякий нормальный и упорядоченный базис обладает
свойствами (22.3)—(22.6). Это следует из б), поскольку
такой базис, как известно (см. п. 3.1.9), получается из X
с помощью рассмотренного в б) квазитреугольного преобра-
зования.
д)	Исходя из базиса X, приведем систему к перронов-
скому виду £ = При этом X перейдет в треугольный
базис Е, который благодаря унитарности перроновского пре-
образования сохранит все свойства (22.3) — (22.6) базиса X.
В частности, он останется нормальным и упорядоченным.
В этом случае и канонический базис нормален и упорядочен
(см. п. 5.3), а поэтому, согласно г), также обладает свой-
ствами (22.3) — (22.6).
Итак, наша задача свелась к следующей простейшей .
форме: доказать, что перроновская система x = P(f)x пра-
вильна, если известно, что ее канонический базис обладает
свойствами (22.3) — (22.6). Для этого, в свою очередь, до-
статочно установить, что существуют точные средние pt для
всех Z=1.......п (теорема Ляпунова п. 11.1).
Это легко осуществляется с помощью индукции и ре-
зультатов § Д. 20. В самом деле, первый вектор канонического
288
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(22.1
треугольного базиса
t
f A dx
ef°
(22.7)
о
в силу условия (22.6) имеет точный показатель, а это зна-
чит, что функция имеет точное среднее значение рх. До-
пустим, что для /=1, 2........h — 1 уже доказано суще-
ствование пределов pit и предположим, что
Ph < Ph-	(22.8)
Номер h принадлежит определенному блоку nk\ пусть, на-
пример, этот блок начинается с индекса т, так что
w+L •••>
(в обозначениях п. Д 5.1 m = ZA;_2 1)? Мы убедимся сей-
час, что объем ГОТ| .....h не удовлетворяет условию (22.5),
а именно, что
X (Гот, m+i.л) < (fi — т + 1) Kk.	(22.9)
Этим будет опровергнуто допущение (22.8), и тем самым
доказана вся теорема. Для первых h векторов данного нам
треугольного канонического базиса из условия (22.6) и оце-
нок 1-го типа (11.7) находим
X(xz) = pP <<Л — 1, и x(Xh) = Ph>
а ввиду упорядоченности этого базиса получаем
••• Рт-\ < Рт = Рт+Х^2 ••• “ Л-1 ~	=
Мы оказываемся в условиях (Д. 20.30), из которых вытекает
(Д. 20.6), т. е. в нашем случае
Х(4те))<Ль	(22.10)
22.11	$ 22. ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	289
Заменим в объеме	вектор xh линейной комбинацией
(см. п. Д. 19.4)
4т’=^-^1,А-1-адл-2- •••
что не изменит величины Гт.,,А, Теперь с помощью нера-
венства Адамара найдем
Г А<Г .
ш ... Л	1| Л |
Отсюда, поскольку относительно Гт ...A-i дано условие (22.5),
с помощью (22.10) получаем
X (Гт ... ft) < X (Гт ... Л—1) + X (4"”) < (Л — Ю + 1) АЛ,
т. е. неравенство (22.9). Теорема доказана.
Неулучшаемость теоремы иллюстрируется следующими
примерами.
Пример 22.1. Наличие точных показателей у всех ре-
шений еще не обеспечивает правильности системы, т. е.
условие (22.4) не может быть отброшено; оно также не может
быть ослаблено — вместо х(ГА) нельзя брать х(1\).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему 2-го по-
рядка
= х2,
x2 = p(t)x2,
р (t) = cos In t — sin In t — 1,
считая ее заданной на полуоси t 1. Она неправильна,
так как
t
^pdx — t (eosin/—1) и /? = — 2, р —0.
1
Общее решение имеет вид
t
Xi = Ci4-C2 j q(x)dx,
1
x2 = Crf(t),
где
t
S pdr .
q(t) = e1 = ef(cosin<-i)
19 Б. Ф. Былов, P. Э. Виноград и др.
290
ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(22.1
Имеем х(<7) = 0» откуда при С2=£0 х(*2) = 0- По лемме
/ t	\
Ляпунова (см. п. Д. 20.1) х1 | qdx I 0, и следовательно,
ч	/
% (х)=х (1*114-1 *21)=о.
t
Замечая, что J q dx расходится (почему?), мы видим, что
1
для нетривиального решения" как при С2 =/= 0, так и при С2 = 0
будет х(х)^0, и окончательно
Х(х) = 0,
т. е. все решения имеют точный показатель 0. Кроме того
согласно формуле Лиувилля,
Г12 = const 7 (О,
так что х(Г12) = 0. Поэтому условие (22.4) удовлетворяется,
если вместо точного показателя хОчг) брать верхний пока-
затель; мы видим, что этого недостаточно для правильности
системы.
Пример 22.1.2. В условии (22.4) недостаточно тре-
бовать одного лишь существования точного показателя х(ГД
как в теореме 22.1.1, без равенства его правой части. Дей-
ствительно, система
*1 = Р (О
x2 = — p(t) х2
имеет нормальный базис
/ /рл\ /Х12==о \
I у —~~ />0	I I	л I
1*11 —«	• I -fpdr •
\ х21 = 0	/	\ х22 = е 0	/
для которого Г12 = 1, так что х(Г12) = 0. Однако система
неправильна, если р не имеет точного среднего значения.
ГЛАВА VIII
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
аналогичные линейным
В этой главе мы будем предполагать^ что система пер-
вого приближения является линейной с постоянными коэф-
фициентами. Основные результаты главы, сосредоточенные
в §§ 26 и 27, можно рассматривать как обобщение и уточ-
нение ряда исследований асимптотического поведения реше-
ний системы с «малыми» нелинейностями (см., например, [1],
[2], [3], [4], [5], [6]).
§ 23.	Постановка задачи
23.1.	Определение второго показателя. В главах V и VI
были даны условия, при соблюдении которых системы
х = Ах+/(/, х)	(23.1)
и
j = Aj,	(23.2)
где х, у и f(t, х) — n-мерные векторы, А — постоянная ма-
трица порядка п, обладают одинаковыми или близкими по-
казателями.
Однако показатель решения является довольно грубой
характеристикой его роста. Действительно, у функций е*
и Ре*, которые можно рассматривать как нормы решений,
показатели равны единице при любом п. Поэтому есть смысл
ввести «вторые показатели», характеризующие «степенной
рост» функций1). Именно: вторым показателем вектор-
функции x(t) с показателем Л назовем число
v = X2(*)== Hin -Д-1п|л(0е-х<|-
/-►оо 1П‘
') В. П. Демидович называет второй показатель характеристик
ческой степенью [7].
19*
292 ГЛ VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ 123.2
Из определения ясно, что о втором показателе решения
можно говорить лишь тогда, когда оно определено на полу-
оси [/0, оо) и имеет конечный первый показатель!). Оче-
видно, если первый показатель x(t) равен X, а второй v,
то для любого Г tQ и любого е > 0 найдется такая кон-
станта £>е, г* (зависящая от е и /*), что для t^t*
|X(O|<De,^V+e.
Кроме того, для любого е > 0 существует неограниченно
возрастающая последовательность {ZOT} такая, что
|x(MI>*w<Te.
Ясно, что вторые показатели решений систем с постоян-
ными коэффициентами суть целые неотрицательные числа.
23.2.	Аналогия вектор-функций. Ранее было пока-
зано, что решения систем (23.1) и (23.2) с одинаковыми
показателями сходны в асимптотическом поведении, так как
их ведущие координаты имеют одинаковые номера. Однако
знание номеров ведущих координат дает грубое пред-
ставление об асимптотике. Например, у трехмерных век-
торов
J>(/) — {е~*9	е~2*}
и
x(t) — {tf-'cos/, £“zsin/, e~2t}
ведущими координатами при	являются первые две.
Когда /~->оэ, то y(t) и x(t) входят в начало координат,
касаясь плоскости, натянутой на две первые координатные
оси. Но этим и, исчерпывается асимптотическое сходство
этих векторов, ибо первый входит в начало координат
с определенным направлением, а второй приближается к этой же
точке спиралевидно.
Уточним понятие асимптотической эквивалентности век-
тор-функций.
Рассмотрим два n-мерных вектора x(f) и y(t), опреде-
ленных и не обращающихся в нуль на положительной
полуоси.
*) Во избежание путаницы мы иногда будем называть показа-
тель первым показателем.
23.2J
§ 23. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
293
Отношение	назовем отклонением х от у
или просто отклонением.
Если отклонение х от у бесконечно мало при /—>оо,
то будем говорить, что х аналогичен у или х асимптоти-
чески эквивалентен у.
Из определения аналогии х и у следует, что
*(t)=y(t)+z(t),	(23.3)
где |я(0| = о(|.У(0|) при £->оо. Отсюда
|х(0|
17W
>1, когда /~>сю,
(23.4)
т. е. отношение норм аналогичных вектор-функций стремится
к единице при /->оо. Теперь видно что если х аналоги-
чен у, то и у аналогичен х, ибо отклонение х от у и откло-
нение у от х суть эквивалентные бесконечно малые:
|х — ^1 . 1з> —х| _ |х]
Ы ’ 1*1	|^|
при /—>оо.
Пусть xk, yk, zk означают &-е координаты векторов х,
у, z. Из равенства (23.3) находим
xk = yk + zk.
Разделив обе части этого равенства на 1^1 и принимая
во внимание (23.4), получим
|Ж-1Ш=о(1) при <23-5)
В случае действительных векторов это значит, что раз-
ности между направляющими косинусами аналогичных векто-
ров стремятся к нулю при /~>оо. Таким образом, если вектор
x(t) аналогичен y(t), то ограниченность, стремление к нулю,
неограниченность, касание некоторого направления, бесконеч-
ное вращение вектора y(t) при /—>оо влечет за собой то же
для х(0. Можно интерпретировать аналогию так. Из каждой
точки кривой y(t), соответствующей параметру t, опишем
сферу радиуса |я(/)|. Получим некоторую область, окружаю-
щую «ось» у (t) и напоминающую рог. Если y(f) стремится
к началу координат, то «рог» сужается с ростом t быстрее.
294
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[23.3
чем [у(0| стремится к нулю. Если y(t) остается в ограничен-
ной части пространства и вне некоторой окрестности начала
координат, то «рог» также сужается, все ближе примыкая
с ростом t к траектории y(t). Если же |у(/)|-> оо при/—>оо,
то «рог», быть может, расширяется, но во всяком случае,
медленнее, чем удаляется от начала координат точка у(/).
Очевидно, что «рог» тем сильнее примыкает к своей «оси» y(t)>
чем быстрее стремится к нулю отклонение.
Точка х(/) находится внутри или на границе «рога»
на расстоянии |я(/)| от точки y(t)t поэтому она имитирует
движение y(t).
Факт аналогичности или неаналогичности двух вектор-
функций, как показывает равенство (23.3) есть инвариант
ляпуновских преобразований. Ясно, что первый и второй по-
казатели аналогичных векторов соответственно совпадают.
Не составляет труда убедиться, что равенство (23.3) или
соотношения (23.4) и (23.5) эквивалентны определению ана-
логии.
23.3.	Постановка задачи. Теперь можно сформулировать
задачу настоящей главы так: найти критерии, гарантирую-
щие существование у систем (23.1) и (23.2) аналогичных ре-
шений того или иного типа, оценить их отклонение при раз-
личных предположениях о векторе /(/, х), изучить тополо-
гическую структуру множеств точек пространства Lnt через
которые в начальный момент проходят решения системы (23.1)
с определенными свойствами. Точнее, требуется установить
гомеоморфизм пространства Ln на себя так, чтобы через
соответствующие точки в начальный, момент проходили ре-
шения систем (23.1) и (23.2), по возможности с наименьшим
порядком отклонения.
Поскольку порядок малости отклонения двух вектор-
функций не меняется при ляпуновских преобразованиях
координат, нам достаточно оценить его в каком-либо базисе.
В дальнейшем нам удобно будет считать матрицу А жорда-
новой, и мы вправе это делать, ибо всегда этого можно до-
биться невырожденным линейным (значит, ляпуновским) пре-
образованием переменных х и у Вектор /(/, х) при таких
заменах в случае надобности мы будем продолжать в ком-
плексное пространство так, как это сделано в п. Д. 21.3.
Основные результаты настоящей главы сформулированы
в пп. 26.1 и 27.4,
24.1]
§ 24. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
295
§ 24.	Основные обозначения и свойства
некоторых матриц
24.	1. Матрицы Г, Yk, Yfct v, Y_k, Wkt Zvfc, Будем счи-
тать матрицу А постоянной, жордановой и с собственными
числами Хр Х2.....Хл, расположенными по диагонали в по-
рядке возрастания их действительных частей:
Re Xi < Re Х2 < ... < Re Хл.	(24.1)
Обозначим через Aj < Л2 < ... < Лг (1 г п) все раз-
личные действительные-части чисел Xz, а через Zz—количе-
ство чисел Хр у которых действительные части не превосхо-
дят Az. Пусть числа тх-|- 1, т2+1, znr+l означают
максимальные порядки жордановых клеток матрицы А, со-
ответствующих числам Лр Л2, ..., Лг.
Рассмотрим матрицу Y (t)t столбцы которой являются ре-
шениями системы (23.2) и которая при / = 0 обращается
в единичную: У(0)=1. Очевидно, столбцы Y (t) располо-
жены в порядке возрастания их показателей, ибо для диаго-
нальных элементов Xi....Хл матрицы А удовлетворяются
неравенства (24.1).
Пусть Yk(t) — матрица, у которой первые lk столбцов
те же, что и у У (Z), а остальные нулевые. Ясно, что пока-
затель любого столбца Yk(f) не больше АЛ.
Заменим нулевыми те столбцы матрицы Yk, у которых
первые показатели равны АЛ, а вторые больше <>0. Полу-
ченную матрицу обозначим через YktV.
Пусть
г_й(О=У(О-г»(О.
Wk(t)=Yk(t)-Yk_1(t).
Очевидно, показатели столбцов Y_k больше АЛ, а по-
казатель любого столбца Wk равен ЛЛ.
Матрицы Yk, Y_k, Wk состоят из отдельных блоков У,
соответствующих жордановым клеткам Gl матрицы А, и из
нулевых строк и столбцов. У матрицы Yk не только по-
следние п — lk столбцов нулевые, но и последние п — lk
строк также состоят из нулей. Наоборот, у матрицы Y_k
первые lk столбцов и строк — нули. У матрицы Wk пер-
вые lk и последние п — lk строк и столбцов нулевые.
296 гл. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ [24.1
Верны следующие равенства:
Уо =	= О, (нулевая матрица)
УГ = У_О = У.
Wr = Y_(r_l},
^-1 + ^+У-^У,
Ук = А¥к,	=	(24.2)
У_Й = АУ_Й, У_йа-т)=У_4(ОГ4(-т). (24.3)
W* = AVyft,
yftv = Ayftv. .
Обозначим блоки матрицы Wk через Vp V2.....Vq и
рассмотрим один из них Vy—V (индекс мы опустили ради
простоты письма). Пусть этому блоку соответствует жорда-
нова клетка Gj — G матрицы А с собственным числом V,
Re V = Aft.
Тогда, считая	порядки 0 и V равными р -|- 1 (р mk)>	
можем написать		
	V = evtV',	(24.4)
где		
	1	0	0	... 0’	
	t	1	0	... 0	
	<2	
V' =	"2Т	*	1	• •' 0	(24.5)
	tp	tp-l	tp-2	
	[p!	(/,_!)!	(р-2)!	
Ясно, что V и	V' удовлетворяют уравнениям	
	v =av.	(24.6)
	V'=G'V.	(24.7)
где О' = 0 — V/', а Г — единичная матрица порядка
Пусть V'' (0	О означает матрицу порядка р-|- 1,
у которой последние s столбцов такие же, как у V', а все
24.1]
§ 24. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
297
остальные — нулевые, и
у'-5 _ у'___
Заметим, что V's содержит все те столбцы матрицы V',
которые растут при £->оо не быстрее а у v'~s
столбцы растут не медленнее ts.
Ясно, что
у'° _ у'-(Р+1) _ Q yfP+x — у'“° _ у'в
Условимся также, что при
V's—V', a v'~s = O.
Матрицы V,s и v'~s удовлетворяют уравнениям
V'S=O'V'S,	(24.8)
V'-S = o'v'~s.	(24.9)
Рассмотрим диагональную матрицу
(1 0 0 ... О \
° Т ° ‘’° ]• <24Л0>
О 0 0 ... хр/
Положим
U*(t, т) = ?'(/-т)7,'(т)^(4) V'(— 1)Т'(х~1),	(24.11)
. U~s(t, т) = ек’ (т)	V' (—1) Т' (т-1), (24.12)
U(t, т) = ек' «-ЬТ (?) V (у) V' (—1) Г (т-1),	(24.13)
где V — собственное число, соответствующее клетке O = Gj.
Очевидно,
£/°={Г‘(₽+1) = О, Up+l = U~° = U
и
U(t, x) = Us(t, x)+U~s(t, х).
Покажем, что
U(t, x) = V(t — т).
Дифференцируя U (t, т) по t, имеем
e(Л т)_|_вк-а-х)Г(т)—v'(-1) г (T-J).
298 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ |24.1
Поскольку
и
Т'(т) О' = тО'Г(т),
в чем легко убедиться простым перемножением матриц, то
т). = П/(Л x) + G'U(t, т) =
— (G'-\-\'I')U(t, x) — GU(t, х).
Таким образом, U(tt т) удовлетворяет тому же диффе-
ренциальному уравнению, что и V (t — т). Но
У(т —т)=У(0) = 7', G(t, т) = 7'
(при подсчете U (т, т) мы использовали равенство У'(—1) =
= У7”1 (4-1), вытекающее из того обстоятельства, что ма-
трица У'(0 является решением уравнения (24.7) с постоян-
ными коэффициентами). Значит, U (/, т)=У (t — т).
Дифференцируя равенства (24.11) и (24.12) и принимая
во внимание (24.8) и (24.9), видим, что
dUS£ т). = QUs(t, т).	(24.14)
• dU.~Sdfx} =GU~s{t, х).	(24.16)
Заметим, что хотя в правых частях равенств (24.11) и
(24.12) встречаются аргументы и , матрицы Us(t9 т)
и U~s (t, т) определены для всех т.			Действительно,		
	1	0	0	. 0	
	t	X	0	. 0	
7,'(г)У'(|) =	t2 2	tx	T2	. 0	
	tp	tp-\	tP~* ,	n	
	pl		(P-2)1 X	>. xp	
t
24. J]
§ 24. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
299
Вообще, умножить какую-либо матрицу слева на диаго-
нальную — значит умножить ее строки на соответствующие
элементы диагональной матрицы. Поэтому у матрицы
Т7(т) V,“‘s (-0 пеРвый столбец такой же, как у V,”‘s(/)»
второй получается из второго столбца матрицы V,“S(Z) пу-
тем умножения на т, третий — путем умножения третьего
столбца V'~s(f) на т2 и т. д. То же самое можно сказать
о столбцах матрицы Т' (т)У,5^~)- Ясно, что нулевые эле-
менты матриц V'~s и V's при умножении на Т'(х) остаются
нулевыми.
Умножим теперь матрицу Т'(х) V'~s (yj на V'(-l).
Очевидно, V' (—1) — нижне-треугольная. Если какая-либо
матрица умножается справа на нижне-треугольную, то
Л-й столбец произведения не зависит от первых k—1
столбцов множимого. Значит, у матрицы

(24.16)
первый столбец есть линейная комбинация первого, второго
и т. д. столбцов матрицы Т' (х) V'~s j . Второй столбец
(24.16) комбинируется из второго, третьего и последующих
столбцов матрицы Т'(х) V'~s (у). Следовательно, он со-
держит множитель т. Третий столбец произведения (24.16)
будет содержать множитель т2 и т. д.
Посмотрим, что произойдет при умножении матрицы
(24.16) справа на ^(т-1). Ясно, что первый столбец при
этом останется неизменным, второй умножится на т"1, тре-
тий— на т“2 и т. д. Но так как второй столбец (24.16)
содержал множитель т, третий — т2 и т. д., то элементы
произведения суть многочлены от t и т. Значит, элементы
U~s(t, т) представляют собой произведения многочленов от
t и х на	То же можно сказать об элементах ма-
трицы Us(t, т).
Перейдем к аналогичным построениям для матрицы Wk,
состоящей из блоков У\, V2, . VQ. Обозначим через Mk
Диагональную матрицу, у которой первые и последние
300
Гл. vili. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
|24.1
п — lk диагональных элементов равны нулю, а остальные —
собственным числам клеток .......Qq. Представим Wk так:
Очевидно, W'k состоит из блоков V'i, V2.......... V'Q,
a lk_x первых строк и столбцов, а также п — lk последних
у нее нулевые. Дифференцируя Wk, легко убеждаемся, что
Wk = A'Wk,	(24.17)
где
A' = A — Mk.
Пусть Wkv означает матрицу, полученную из Wk заме-
ной всех столбцов, растущих при >оо быстрее tv~\ ну-
левыми, и
w,-v=w'k — w,\
Ясно, что все ненулевые столбцы W*v растут при /—>оо
не медленнее Л. Кроме того,
w'k° = w*-(m*+1) = о. wkm*+1 = w,"0 = w'k.
Вспоминая соглашение считать v'v=V' и V'~v = O
в тех случаях, когда v больше порядка матрицы V', можем
заявить, что матрицы WkV и состоят соответственно
из блоков
Vjv, Vf2V....VqV И V1'"V, V2"V........V'~\
Из (24.17) следует
W'kv = A'w'kv,	(24.18)
Wk~v = A'Wk~v.	(24.19)
Образуем диагональную матрицу 7\(т). Пусть ее пер-
вые и последние п — lk строк — нули, а вне этих строк
диагональ составлена из матриц Ti(t), ..., 7^(т), порядки
которых равны соответственно порядкам блоков V\.....Vq.
24.2]
§ 24. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
301
Введем новые матрицы:
Zk (t, т) = Tk (т) eMk (/-т) W?	W'k (-1)7* (т“’), (24.20)
Zkv (t, т) = Tk (т)	(1)	(-1) Тк (<*). (24.21)
Zk (t, r) = Tk (r) eMk{t~X}W'k (4) Wk (-1) Тк (t"1).	(24.22)
Из построения матриц Zk и Zkv легко усматривается, что
они состоят из блоков Uv (/, т) и U~v (t, т). Очевидны сле-
дующие равенства:
z\ = z~^ = o.	(24.23)
Zk^ = zf = Zk.	(24.24)
ZVk + ZkV = Zk.	(24.25)
Так же, как для матриц U, Us и U~s, можно	показать, что
r)=Wk(t—г).	(24.26)
dZY(t, т)	< v ’>•	(24.27)
dZbV(t, т)	,	„ —- = AZk (t, т).	(24.28)
Для этого достаточно убедиться, что
ТДт)А' = тА'7\(т)
и что матрицы	и А' перестановочны.
Так как матрицы Z*(/, т) и Z^’v(/', т) состоят соответ-
ственно из блоков Uv(t, т) и U~v (t, т), а элементы по-
следних представляют собой произведения многочленов от t
и т на экспоненты, то то же можно сказать об элементах Zk
и Zk Ясно, что эти матрицы определены для любых t и т.
24.2.	Оценки норм матриц. Введем в обиход функцию

если
если
ld< 1.
302 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ. (24.2
Очевидно,
если
если
К1<1,
Р|>1.
’’Н иг.
Из аналитического вида матриц Y, YY_k, Ykv
следует, что для любого е > 0 найдется такое Do > 0, зави-
сящее от е, что для k = 1, ...» г и v = 1» .... mk выпол-
няются неравенства
| У, (* —T)|<Doe(Aft+8)('"T) Ил V - т) | < Doe‘^	(t - т)	для для	/ — Z1 —	>0, >0,	(24.29)
1(^ -1) | < DoeKk	V (t - т)	для	t —	>0,	
|Wft(/-T)|<Doe<A*+e)(<-T)	для	t —	>0,	(24.30)
1 Wk (t - т) | < Doe^ (t~ t}pm» (t - t)	для	t —	>0,	
| Г_ (* — t) | < £)(/л*+«-e) ('-t)	для	t — т<0,		
|y_*(/ — r)|<DoeA*+1('-V"*+1(*-	-Т)			(24.31)
	для	t~ т<0,		
	для	t — т<0,		
1	— "01 <	(t — т) для		t —	^0.	(24.32)
Здесь неравенства (24.31) теряют смысл при k = r, ибо
Лг+1 не определено. В дальнейшем под Лг+1 будем пони-
мать некоторое фиксированное число, большее Лг. Теперь
неравенства (24.31) удовлетворяются и для k — r, ибо
Y_r—O. В последующем мы будем считать, что
е <-^ min (ЛА+1 —Лй)
(А = 1......г— 1) (24.33)
и что удовлетворяются еще некоторые другие условия ма-
лости, о которых речь пойдет ниже.
Чтобы оценить нормы матриц Zk и Z*v, рассмотрим
сначала матрицы Uv и U~v.

24.2]
§ 24. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
303
Очевидно, |ек (/ т)| = ел*(/ т), ибо 1'—собственное число
клетки Qj=G. Норма матрицы V'(—1) ограничена, ибо
V'(—1) — постоянная. Первый столбец U~v(t, т) есть ли-
нейная комбинация первых р—v-f-1 столбцов матрицы
Л (/~т)7' (т) V'~v .	(24.34)
Поэтому норма этого столбца не превосходит функции
De^(t~x} 2 РУ(ОР₽"У(т).
>=v
где D > 0 — некоторое число.
Второй столбец U~x комбинируется из 2-го, 3-го,
(р —v + 1)-го столбцов матрицы (24.34) и умножается на т"1.
Так как каждый из этих столбцов матрицы (24.34) содержит
множитель т, то после умножения на т-1 их линейная ком-
бинация допускает такую же оценку нормы, как и 1-й стол-
бец. То же самое можно сказать о норме остальных столб-
цов матрицы t7“v. Таким образом, для любых t и произ-
вольного т можно написать
3 р7(/)рр~у(т),	(24.35)
/ = v
где D — некоторое положительное число.
Аналогичные рассмотрения приводят к оценке
V —1
| Uv (t, X) I < De** (,"т) 3 (Оpp-} (т).
/=0
Вспоминая, что матрицы Zl и Z*v составлены из бло-
ков Uv и {7“v и что mk р, мы вправе утверждать, что
| Z?(Л т) | < Секь(<"х) 2 р' (0 рт*-' (г).	(24.36)
/=0
mk
I Zkv (t, т) I < CeKk ('“т) 2 py (0 pm*~J (т),	(24.37)
;=v
где С — некоторое положительное число, t и т произвольны,
...........г, v = 0, 1.......ntk-р 1. При этом, так как
304
ГЛ VHI СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(24.2
Zk = Zk =Ot будем считать, что суммы в правых
частях неравенств (24.36) и (24.37) соответственно равны
нулю при v = 0 и v = —|— 1.
Пусть />т>0. Тогда р(О^Р(т)« Отсюда
pv-1 (0	(т) > р' (0 р"**-' (т),
если J v — 1, ибо отношение левой части неравенства
к правой равно	Поэтому
\zl(t, T)|<D0eA*(/-t)pv-1(Op'”ft'(v-1‘(-r) для *>т>0,
(24.38)
где О0>0— то же, что и в (24.29) — (24.32).
Аналогично устанавливается, что
\Z*\t, t)|<D0^('_tV4*)p'"*"v(t) для 0<7<т. (24.39)
Из неравенств (24.38) и (24.39), очевидно, следует
\zUt-t0, х —7о)|<
<DoeA*(<-V“1(^ — Qp'”*'(v-,)(T —t0) для
(24.38')
Z*v (t -t0,x —10) | < Doe^ (<“t)pv (t -10) p”*-v (t —10)
для	(24.39')
Так как р(/) не убывает для то
| Zvk (t - to, x — to) I < DoeKk ('-V“1 (0 pm»_(v_1) (t) (24.38")
ДЛЯ t	T	^q»
\ziv(t — to, t —/0)|<D0eA*('-V(Opm*-V('O	(24.39")
ДЛЯ X	t	tQ.
Заметим, что неравенства (24.38) и (24.39), (24.38') и
(24.39") верны для А=1.........г, v = 0, 1....т/,-1-1.
(При v = 0 и при v = mA+l они имеют смысл, ибо
z°=z;(m»+1) = o.)
к к	/
24.31	§ 24 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ	305
24.3.	Операторы 7/, /_/, J’, J74 и преобразование ре-
шений системы (23.1) в решения (23.2). В дальнейшем
нам часто придется иметь дело с интегральным уравнением
вида
t
x(0=jr(7)+J Уг-1(7-т)/(т, x(x))dx —
it)
оо
—	J Y_t(t — т)/(т. x(-r))dr +
t
t
+ f Zl(t — t0, x — to)f(x, x (x)) dx —
—	J Z7“ (7 — to, X — to) f(x, x (x)) dx, (24.40)
t
где у — решение системы (23.2), a f(tt х) — вектор, фигу-
рирующий в (23.1). Для сокращения письма введем обо-
значения:
t
4 (Л х) = J Y^t - x)f(x, X (х)) dx, 4) оо	(24.41)
/_*(Л х) = j Y_k(t — X)f(x, x(x))dx,	(24.42)
t t	
Jl(t, x)= J zl{t — to, X —to)fix, x(x))dx.	(24.43)
00	
x)= j Z^it — to, x —to)fix, x(x))dx.	(24.44)
t
Уравнение (24.40) теперь будет выглядеть так:
x=y^It^{t, x) — I-i(t, х)+Л(4 X) — J74{t, x).
20 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
306
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(24.3
Из предыдущего (см. п. 24.1) ясно, что:
J^+l (t, X) = j Z^+1 (t	tQ)f(X, x (t) ) dt =
/о
t
= j	wk(t — T)/(T. x(x))dx, (24.46)	F
6	' I
oo	i
Jk\t, x) = | Z*°(/— t0. t — to)f{x, x(t))Jt =
t
oo	•
= / Wk (t - T)/(T. x (t)) dx. (24.47)
t
Предположим, что x(t) — такое решение уравнения (23.1),
что существуют несобственные интегралы /_/ (t, х) и JT9(tt х).
Рассмотрим вектор
^(0 = х(0-Л-1(^ x) + Z_/(f, х)-4(Л x) + J79(tt х),
(24.48)	'1
и покажем, что y(t) является решением уравнения (23.2).
Положим
V(t, T) = y/_1 + Zj,
W(t. x) = Y-t^-ZTq.
Из '24.2), (24.3), (24.27) и (24.28) следует, что
= И ^ = AW.
at	at
и по определению	|
V(t, x)-^-W(t. T)=yz_1 + Z? + Zz-?+y_i=y(f-T).
Объединив fi-i и в один собственный интеграл, a /_z
и г<-? — в один несобственный, воспользуемся утверждением ;
п. Д. 15.4.
24.4]	§ 24. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
307
Таким образом, если обозначить правую часть (24.48)
через х), то можно сказать, что всякое решение
системы (23.1), для которого оператор &i(t, х) суще-
ствует, преобразуется в решение линейной системы
(23.2). Это преобразование и будет в дальнейшем основным
аппаратом исследования.
24.4. Обозначения некоторых множеств. Напомним не-
которые определения и обозначения, принятые в предыдущих
главах.
Решения системы (23.2) с показателями не больше ЛА
образуют линеал, который будем обозначать через Lk. (Ранее
для обозначения таких линеалов употреблялся символ Ln' '"nk,
что было вызвано необходимостью различать линеалы вида
£лал|3*’,лу при произвольных а, р, у.)
Так как матрица А в (23.2) постоянна, то Lk — непо-
движный линеал, т. е. любой его срез (Lk)t (определение
15.1.1) образует при всех t = tQ один и тот же линеал
в точечном евклидовом пространстве. Ввиду неподвижности
среза будем обозначать его тем же символом Lk, что и
линеал в пространстве решений. Это не вызовет в дальнейшем
недоразумений. Очевидно, что Lkx с: Lk2 для k\ < k*, a LT сов-
падает со всем пространством ZA Как и раньше, через
будем обозначать ступень
&k = Lk\Lk_x.
В линеале Lk выделим линеал LkvczLk, образованный реше-
ниями роста O(eA*zfv) (или точками евклидова пространства,
через которые проходят решения указанного роста, если Lkv
понимается как линеал в точечном пространстве). Следующие
соотношения не вызывают сомнений:
L>k, Vj с v2» если Vi v2,
Lk v = Lk, если v > mk,
Lk^^Lk_x, если v<0,
ибо показатель любого решения системы (23.2), растущего
медленнее екь\ не может быть больше Лй-1. Пусть
~LkiV\LkAv_Xy Очевидно, что через точки v проходят
решения, у которых 1 -й показатель равен ЛЛ, а второй v
20*
308
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(25.1
Отсюда для v(£[0, mk] множество «2^ пусто. Через Ek
обозначим множество решений системы (23.1) с показателем
а через Ek(t^— срез этого множества при t = tQ.
Пусть также
= Ek \ Ek-i-
Все эти множества не пусты, если показатели систем
(23.1) и (23.2) совпадают. Если, сверх того, совпадают и
вторые показатели решений из и то стоит говорить
о множествах V(Q, £%,v(^0), v* &k,v* смысл которых
ясен из предыдущего.
В этом случае между этими множествами имеют место
такие же соотношения, как между множествами v и JS^ktV.
Через Е и' L будем обозначать множества решений систем
(23.1) и (23.2) соответственно, имеющих отрицательные по-
казатели, а через E(t^) и L(t^ — L — срезы этих множеств
при t = tQ. Ясно, что L — неподвижный линеал. Кроме того,
через L_k будем обозначать ортогональное дополнение к Lk.
§ 25.	Аналогия решений
25.1.	Свойства правых частей системы (23.1). Здесь
будут изучаться решения системы (23.1) при следующих
предположениях:
а)	А — постоянная квадратная матрица порядка п, удо-
влетворяющая всем требованиям, изложенным в § 24; х и
у — n-мерные векторы;
б)	f(tt х) — n-мерный вектор, определенный для
и любого х;
В) f(t, о) = о;
г)	\f(t, *i)— f(t, х2)|<б(О|х1-~х2|. где хг и х2 —
любые векторы пространства Ln, а &(/) — неотрицательная
функция.
Задача состоит в том, чтобы указать такие свойства
функции б(/)» которые обеспечивали бы аналогию всех или
некоторых классов решений систем (23.1) и (23.2). Помимо
этого нужно оценить отклонение аналогичных решений в за-
висимости от «малости» 6(0- В последующем будет всегда
предполагаться, что условия а) — г) выполнены, если не
оговорено противное.
25.2]	§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ	309
25.2.	Границы вторых показателей решений из 8*.
Для всякого решения у из (см. п. 24.4) при t^to^O
выполняется неравенство
1^ (О I < Do |у (t0) I	C-Up"1* (t -10).
ибо у (О есть линейная комбинация первых lk столбцов ма-
трицы У(0, т. е.ХО=^-4))Я'о)(см. (24.29)).
Аналогичное неравенство справедливо и для х из <fk,
если функция &(/) в известном смысле мала. Имеет место
Лемма 25.2.1. Если
j xm*b(x)dx < 4-оо,	(25.1)
О
то для всякого решения x(t) системы (23.1) с показа-
телем удовлетворяется неравенство
| х (О I < 2D01 х (t0) I А Мр"* (t -10) |
для t /0 0»	J
где Dq — константа, фигурирующая в (24.29) — (24.32),
a tQ определено условием
оо
. J pm*(T)d(T)dT< -±-.	(25.3)
h
Доказательство. Рассмотрим оператор (ср. п. Д. 15.3)
Jx= J Yb(t, т)/(т, x(x))dx — f Y_k(t, т)/(т, x(x))dx.
t,	t
(25.4)
Покажем, что он определен и является сжимающим в каждом
из пространств
ВЛ(РХ) и Вя(₽2),
где
рх == А pmk (t —10),	₽2 = e(A*+i“e)
и е то же, что в (24.29) — (24.32).
810
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(18.2
(25.5)
Для ЭТОГО положим
Qi (Л т) = Yk (t, х), Q2 (t, х) = Y_ k (t, X),
<?3<t T) = Q4(t x) = O.
Тогда, с точностью до обозначения переменной интегриро-
вания, рассматриваемый оператор примет вид (Д. 15.34). Для
установления сжатости J в	положим дополнительно
к (25.5)
х = ла+1 —с> ®(0=1.
?i(t T) = v2(t т) = О0,	q3(t, х) = ?4(/, х) = 0.
Тогда из оценок (24.29) и (24.31) с учетом того, что
Afc + e<A*+1—е, будет следовать выполнение неравенств
(Д. 15.32). Функция H(t) из (Д. 15.35), как нетрудно заме-
тить, будет такой:
t	оо	оо
J £>06 (х) dx	J D06 (х) dx — Do J d (x) dx.
h	t	4
Так как р(£)^>1, т0 из условия (25.3) следует, что
оо
Do j 6(x)dx<|<l,
4
и таким образом сжимаемость J в Вп(02) установлена. Сжи-
маемость J в (Pi) доказывается аналогичным рассуждением,
если положить на этот раз
Х = АЛ,	©(О = р^(/-^0)>
Ч\ (/• = М)Р * Q. 72 ($* ==: ^0» Яз "0 == 74 (^» *0 ==
и воспользоваться второй оценкой (24.29) и первой (24.31),
причем в последней заменить АЛ+1— е на Лл. Проверяя
выполнение (Д. 15.35), будем учитывать, что для
1 рот* (t — tQ) рть (/). При этом получим на основании
(25.3)
t	оо
J D06 (X) Ртл (х-/0) dx + p_m* (/ - /0) j Dos (X) pm* (x-zo)dx<
*	oo
<D0 J pm*(x)6(x)(/x <y ,
25.2J
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
311
т. е. и в Вп (PJ оператор J является сжимающим. Обратимся,
наконец, к рассматриваемому в лемме 25.2.1 решению x(t).
Так как по условию	то х(0€^л(Р2)- в таком
случае вектор
y(t) = x(t)—Jx(t),	(25.6)
где J определен равенством (25.4), также принадлежит Вп (Р2),
как разность векторов из В"(р2), ибо из сжатости J сле-
дует, что /х£Вп(р2) вместе с х. Но тогда х(^ХЛй+1—е.
В то же время, согласно п. Д. 15.4, вектор у (t) — x(t)—Jx(t)
является решением линейной системы (23.2), и поэтому
оценка х(^ХЛй+1 — е уточняется до хСуХЛл, откуда
следует, что
y(t)=Yk(t, tQ)y(tQ). y(tQ)£Lk.
Из (24.29) далее вытекает оценка
IУ (О I < Do Iу (70) I еЛ*	(t -10),	(25.7)
свидетельствующая о принадлежности y(t) пространству
Вп (Pi). Переписав равенство (25.6) в виде x(t)^y(J)-\~Jx(t),
мы можем рассматривать x(t) как решение соответствую-
щего интегрального уравнения. Так как J является при этом
сжимающим оператором одновременно в ^(PJ и в В"(Р2),
то на основании п. Д. 15.5 можно утверждать, что x(t)
является решением уравнения (25.6) в пространстве Вп($д-
Поскольку справедливо (25.7), то из оценки |х(0|» данной
в п. Д. 15.3, следует (при я = £>о I и ® = у) неРа"
венство
| х (О I < 2D01 у (Q | еЛ* (t -10), t > t0,
которое отличается от доказываемой оценки (25.2) только
постоянным множителем.
При t = tQ из (25.4) и (25.6) получаем
оо
X(t9)=y(to) — J P_ft(/0, т)/(х, х(т))Л.
h
312
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[25.2
оо
Поскольку	a j Y_kfdx£L_k, то |х(^0)|>|у(/0)|,
и (25.2) становится очевидным.
Лемма 25.2.2. Пусть выполнены условия леммы
25.2.1. Если норма некоторого решения x(t) системы
(23.1) есть о{ек^) при f->oo, то его показатель меньше Afe-
Доказательство. Из условия леммы следует, что
|я(0|< е*(0*Л**> где е*(/)->0 при /->оо.
Очевидно, можно считать, что е*(/) стремится к нулю мо-
нотонно и что функция
^е*(0
не убывает при	Пусть
₽2(C = e’(OeA^	(25.8)
В пространстве В”(₽2) рассмотрим оператор
Jx= J Кл_1(/—т)/(т, x(x))dx —
4)	оо
-/	x(x))dx, (25.9)
t
полученный из (25.4) заменой k на k—1. Убедимся, что J
является сжимающим в В"(р2). Положим
<?1(Л T) = yft_1(/-r), Q2(t, т) = У_(й_1)(/-т), |
(WWfcW	|(25Л0)
Используя оценки (24.29) — (24.31), при условии (24.33)»
имеем
iQjtf, T)|<Doe(A*-«+e)(<-t)<DoeA*(,-T)-e(/-t). ]
t — т>0.	(25.11)
|Q2(t OK£)o«Aft('-VtftO‘—-г), t—т<0. |
Будем считать l = Aft> w(Z) = e‘(t), qx(t, t) = Doe“e</_t>,
q2(t, x) = D(fimil(t — т). Функция H(t) из (Д. 15.35) примет
25.2|
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
313
вид
г *
J О0е-е(/-т)д(т)е*(т)йт-|-
- h
со
+ У D^mK(t — T)d(T)e‘(r)dT
t
(25.12)
Оценим каждое слагаемое в (25.12), учитывая при этом
свойства функций е*(/) и р(/):
t	t
[ 6(T)/Te*(T)dT<D0 I pm* (т) 6 (т) dx, (25.13)
ь V? J	J
to	t*
00	oo
f pmt(t — T)6(T)e‘(T)dT<D0 f рт*(т)6(т) dr. (25.14)
6 W 1	t
Из оценок (25.13) и (25.14) получаем
со
Я(О<£)0 У pm*(-r)6(T)<Z-r<y.	(25.15)
to
Дальнейшие рассуждения проводятся, как и в лемме 25.2.1.
Пусть
y(t) = x(t) — Jx(t),	(25.16)
гдех(/) — рассматриваемое решение системы (23.1). Согласно
п. Д. 15.4 y(t)— решение системы (23.2). Очевидно,
Я0€Вл(₽2). т. е. |y(OI=oGM (25.17)
Поскольку система (23.2) линейная, то оценка (25.17) воз-
можна лишь в том случае, когда
Значит,
1^(01 = О (е(л*“®) 9.
Так как в пространстве Вл(₽1), где р1 = е(л*“е)/, оператор
J — сжимающий (что фактически установлено в предыду-
щей лемме, если заменить там k на k — 1), то, согласно
314
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(25.3
п. Д. 15.5,
т. е.
Лемма доказана.
Следствие
уравнения (23.1)
х(06Вп(₽1).
X(x)<Aft— е.
(25.18)
25.2.1. Вторые показатели решений
из (fk лежат на том же сегменте
[О, mk}, на котором расположены вторые показатели
решений из Точнее, если x(t)£&k, то для
|x(/)|<aeA*'pv(0.
(25.19)
где а—некоторое положительное число (зависящее от х),
v£[0. тЛ].
Стоит заметить, что ниоткуда не следует, что v — целое
число.
25.3. Число й' = <р1(й). Оценки норм операторов 4'_i,
!_&• Выше было установлено, что для решений из имеет
место неравенство (25.19). Оценивая нормы операторов
Ikf-i(tt х) и /_£'(/, х), мы будем предполагать неравен-
ство (25.19) выполненным, однако вектор x(t) при этом мы
не станем считать обязательно решением (23.1).
Пусть для некоторых чисел аир, где а О,
оо
j	(?) 6 (?) dx < оо.	(25.20)
*0
Обозначим через Ао какое-либо число, меньшее Aj — а, и
рассмотрим полуинтервалы
(Ло. AJ, (Ар Л2]........(Лг_р Л,].
Так как для любого k = 1, ..., г
то число Лй — а принадлежит одному из этих полуинтер-
валов. Другими словами, для любого k= 1, . . ., г найдется
единственный индекс kf такой, что удовлетворяется нера-
венство
Ад'_1 < Л* —а<Л*'.	(25.21)
Очевидно, число k' есть однозначная функция й:
й' = ф! (й),	1 < й' <
25.31
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИИ
315
Заметим, что при а = 0
k' = q)j (k) — k.
Лемма 25.3.1. Пусть выполнено условие (25.20),
&' = ф1(&) и, кроме того, удовлетворяется требование*.
р — произвольно, если а>0, и $ '^mk в случае а = 0.
Тогда для любого ьектора х(/), удовлетворяющего
неравенству (25.19), имеют место оценки
х)|=о(е(л»-а)^"₽)	при 7->оо.
|7_г (Л х)| =	при t-+oa,
Точнее
Х)|
tp+t
to-t 2	t
аОе^ь~^р^ (0|2|V1,^V 2 J 6*(T)dr+ |б*(т)^т
/о	/о+£
2
(25.22)
 (t, х)|<аОе<л*-а)'pv-₽(О J д*(т) dx,
(25.23)
где D, у и — некоторые числа, не зависящие от х и
f(t, х), причем D и у положительны, а
6*(т) = ^«трР(т)б(т).
Доказательство. Используя неравенства (24.29),
(25.19) и свойства в), г) вектора f{t, х), получим
|/л--1 (Л х)|<аО0е(Л*'-1+8)' J	Tpv(T)6(T)<Zt.
^0
(25.24)
Рассмотрим интеграл
| в(л*"л*'-1-е) Tpv(T)5(T)dt!
h
316
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(25.3
Положим
А* — а —	— е = у,
V —Р = —Vp
е“тр₽(т)6(т) = 6*(т).
В этих обозначениях
t
J= J eV^p-vi(T)d*(T)<ZT.
t»
(25.25)
Так как &' = ф1(£), а е достаточно мало, то из нера-
венства (25.21) видно, что у>0. По п. Д. 21.1 заключаем,
что найдется некоторое число DyVl > 0 такое, что
если />т.	(25.26)
Очевидно,
2	t
eVTp-v,(T)6*(T)dT_|_ |eVTp-v,(T)d»(T)dT.
/о	+ /
2
Применяя неравенство (25.26), находим
j d*(T)dr +
t
+ DVVleV<p-v.(O j d* (?) dx < £>vv,ev<p-v, x
2
h+t
t.-t	2	I
sv	J *(т) л + Jy w
\ 2 / ^°
(25.27)
Нетрудно убедиться, что при t tQ
Pv' (О 9|v‘1
/А>+П	'
(25.28)
25.41
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
317
Подставляя в правую часть неравенства (25.24) оценку
величины J, получим утверждение (25.22).
Займемся оценкой нормы оператора /_*'(£, х). Если
k' — r, то I_k=ot так как У_Г = О, и второе утвержде-
ние леммы очевидно. Пусть k' < г. Рассмотрим подынтег-
ральное выражение /_*'(Л х) при	Из неравенств
(24.31)	и (25.19) следует
Т)/(Т, х(т))|< aD0e(Aft’+1_e)(/_t>6(T)eA*V(т).
(25.29)
Поскольку —а—А*, СО, то —61 = Л*—а—ЛЛ'+1-|-е<0,
ибо е мало. Неравенство (25.29) доказывает в силу этого
абсолютную сходимость /_*' (/, х) и позволяет написать
|/-ИЛ х)|<лО0е(Лй'+1-е)< J e(Aft-Aft'+1+8)Tpv(T)d(T)dT =
t
= aDoe^lt'+1~^i j°e-s,tp-V1(T)6*(T)<ZT,
t
где Vj и б* те же, что и в (25.25). Так как —61 < 0, то
в силу п. Д. 21.1
оо
x)KWo*(A‘’+re)''V'WpW =
t
= D61V1aD0e<A*_a)<pv"₽(O J 6*(r)dr. (25.30)
t
Отсюда следует второе утверждение леммы. Очевидно, функ-
оо
ция, стоящая в фигурных скобках (25.22), и J б*(т)^т
t
стремятся к нулю при /~>оо. Лемма доказана.
25.4.	Число q — Ф2 (Л, v). Оценки норм операторов
Jk' (Л х) и Jk,q (Л х). Пусть по-прежнему вектор x(f)
удовлетворяет условию (25.19) и kf = Определим
целое число q следующим образом:
а)	если \k — a — А*'< 0, то # = 0;
б)	если АЛ — a — Л/г = 0 и v — ₽ С 0, то q = 0;
318
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(25.4
в)	если — а — Aft' = 0 и	mkf—0 > 0, то
q удовлетворяет неравенствам
v +	— 0>tf — 1.
v-р mk' — 0<?;
(25.31)
г)	если А*— а — А*' = 0 и v-]-mk'—0>w*', то
q =	+ 1.
В случае в) 0^v. Значит, q—1 < mk'. Числа q и mk'
целые, поэтому q<^mk'- Так как по условию левая часть
второго неравенства (25.31) положительна, то q в случае в)
может принимать значения 1, 2...mk.
Ясно, что число q условиями а), б), в), г) по заданным
k и v определяется однозначно:
9 = ф2(Л, V).
Заметим, что если считать, что при а = 0 выполнено
неравенство	то при а = 0 могут наблюдаться только
случаи б) и в), ибо k' — k.
Лемма 25.4.1. Пусть выполнены условия леммы
25.3.1 и, сверх того, q = q2(k, v). Тогда
x) I=о о<л*-а> ‘е>+ть'-р), /_> oo.
Точнее
| Ji- (t, x) | = 0, если q = 0.
|Л’(Л x)|<eDe(A‘ a)'pv+m*' P(/)X
(25.33)
если q=\, 2..........4-1>
I (t, x) |< aOe(Aft~a) pv+m*'"₽ (0 J 6* (t)dr,
t
если q — 0, 1......./»*-,
. \ Jr4{t, x)| “0, сели q «г 4- !•
(25.34)
25.4j
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
319
Здесь D не зависит от
+1 - ₽ > О,
{О, если
mk', если
х и f, =	— #-|-
Лл—а —Лг <0,
Лй —а —Лл-=0. <25-35>
Доказательство. В случаях а) и б) q = 0. Поэтому
в соответствии с равенствами (24.23) и (24.43)	— о,
и первое утверждение леммы доказано.
Рассмотрим случаи в) и г). Очевидно,
t
\Л' {t. х)|< J|Zj-(/-/0> т-/0)||/(т, Х(т))|</т.
Вспоминая свойства/(Л х), неравенства (25.19) и (24.38"),
находим:
/о	(25.36)
Положим
v+ffi*'— v+1 — ₽ = 11-
Так как Л* — а — Лй- = 0, то
t	t
J е(л*-лл')Tpv+m*’_?+1 (г)6(т)</т= J р”(т) б* (?)</?,
/о	4
где б*(т) определена третьим равенством (25,25). В силу
первого из равенств (25.31) т| > 0. Поэтому
t	<q	V 4+^	t
J рч (?) б* (?) dx < Р7 (f0-H) J б* (?) dx+р” (0 | б* (?)d?<
6	Ч	V t4+t
( 2L _2L	/
<Р'П(О| 22р 2(0 J 6*(T)dr+ J 6*(T)dTi,
(	z<>	/4+7
ибо Р2, если t^tQ. Так как	— а, то
из (25.36) теперь следует (25.33). Рассмотрим оператор,
320
ГЛ VII! СИСТЕМЫ. АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[25.4
Jk,q (t, X). В случаях а) и б)
Л'9 (t, х) = Л’° (t, х) = J Wk'{t- т)/(т, x (t)) dx, (25.37)
t
ибо в силу равенства (24.26)
т-/0)= W [tf-4))-(T-'o)l===Wr ('“*)•
Оценим норму подынтегрального выражения (25.37).
Неравенства (24.32) и (25.19) позволяют написать в слу-
чае а):
|W (t —с)/(т, x(T))|<aDoe(Aft'-8)(/-t)d(T)eA*tpv(T) =
= aD^k'~^	Tpv-₽(т)6*(т). (25.38)
Считая е достаточно малым, так что
Ал — а — A** + е < О,
и применяя результаты п. Д. 21.1, получим
I Л’9 (t, х) | < aDe^k~a) 'pv-P (t) j 6* (T) dx.
i
В силу универсальности D эта оценка совпадает с утвер-
ждением леммы, ибо здесь zn°, =0.
Пусть имеет место случай б). Используя неравенства
(24.32) и (25.19), находим
|W {t—г)/(т, х(т))|<
< aO0eA*'MA*-a"Aft') tpv+'"*'_|5(x)6* (т). (25.39)
Так как А* — a — Aj- = 0 и v + тк’ — ₽ 0, то
W {t. х) | < аО0е<А*’_о) 'pv+'n*’-₽ (t) J S*(t) dx, (25.40)
t
т. e. неравенство (25.34) удовлетворяется при m°kf = mkr.
В случае г) q —	и J~Q = O. Поэтому можно
считать, что оценка (25.34) верна.
25.51
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
321
Пусть, наконец, наблюдается случай в). Для оценки
нормы подынтегрального выражения воспользуемся неравен-
ствами (24.39) и (25.19). Получим
т)/(т, х(т))|<
< аО0еА*' (/-t)p‘z (0	(?) 6 (?) eA*Tpv (?) ==
= aD0eA*’'p9(f) е(л*-“-л*') у+«г-Р-« (т) (т)>
Так как Л*— а — Лй'=0 и	—р— 7<<0, то
Jk,q(t> х) сходится, и неравенство (25.34) оказывается выпол-
ненным при mQk,==mk,.
Лемма доказана, ибо (25.32) тривиально следует из (25.33)
и (25.34).
25.5.	Интегральное уравнение для решений (23.1)
роста o(eA^/v). Имеет место
Лемма 25.5.1. Пусть выполнены все условия леммы
25.4.1 и, кроме того, вектор x(t) является решением
уравнения (23.1). Тогда вектор
y(t) = x(t)-rk- (t, x)4-Z_r (t,	x) + Jb'4(t, x)
(25.41)
удовлетворяет линейному уравнению (23.2),
|3>(/)| = O(eA*z Z|v]) ([v] — целая часть v), (25.42)
| x (t) — у (t)\ — o («(A*”°) P) npu t -> oo, (25.43)
где число mQk, определено равенством (25.35).
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу
двух предыдущих лемм правая часть равенства (25.41) суще-
ствует. Следовательно, как показано в п. 24.3, y(t) является
решением системы (23.2). Из оценок, данных в леммах 25.3.1
и 25.4.1, видно, что равенство (25.43) справедливо. Если
а>0, то нормы операторов из (25.41) бесконечно малы по
сравнению с e^kt tv при t->oo и
\y(t) I = О(еА*' Zv).	(25.44)
Так как y(t) — решение системы (23.2), то из последнего
равенства следует (25.42). Если а = 0, то р^>/пл,	=
21 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
322 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ (25.6
Равенство (25.43) в этом случае примет вид
|x(0—J>(OI = o(«A*'^v)-
Отсюда опять приходим к (25.44) и, значит, к (25.42). Лемма
доказана.
Установленная лемма позволяет высказать следующее
предложение: всякое решение x(t) роста O(eA*z/v) удовле-
творяет уравнению
x(t)=y(t)	(t. x) +
4- 4-(Z, x) —	X), (25.45)
где k' — ^(k), ^ = <p2(^» v), a y(t)— некоторое решение
из Lkt\v\ (свое для каждого х).
25.6.	Существование и единственность решения урав-
нения (25.45). Здесь мы докажем предложение, в некотором
смысле обратное лемме 25.5.1. Предварительно сделаем не-
сколько замечаний.
Пусть по-прежнему удовлетворяется условие (25.20) и
число р произвольно при а> 0 и $^>mk, если а = 0. Возь-
мем любое v £ [0, mk] и положим
v — 1, если v — целое положительное,
v0 =	0,	если v = 0,	(25.46)
	. м.	если v — не целое.	
Пусть
m* = max{^—1, v* + т^ — Р},	(25.47)
где v* может равняться или v, или v0.
Рассмотрим функцию рт*“р(^)е”а/. Очевидно, если а > 0,
она стремится к 0 при t~>oo. Если же а = 0, то Р^/пй
и, значит, эта функция ограничена. Положим
D1 = Domaxpm*",’(Oe"“' на [0. оо). (25.48)
t
По результатам п. Д. 21.1 для &! = Л^ — а — АЛ' + 14~е<0
и —\i = mk—р существует константа D2 такая, что
DoeftiTp“v* (т) < D2e6'fp-Vi (/), если т > / > 0.
Легко видеть, что для v^.mk будет удовлетворяться не-
равенство
Do£6>Tpv*“₽(T)<D2*6^v*-p(O ПРИ	(25.49')
25.6]
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
323
Точно так же, если у = Ал—а— Ak' <0, то для любого
найдутся такие числа D3^l, £>0, что
DoeVTpV’+mA'"₽ W<D3evpv*+m*'~3(O при x^t^O. (25.49")
Отметим, что числа Dlt D2, D3 зависят от индекса k и
не зависят от V. Возьмем константу Do из неравенств (24.38)
и (24.39) и рассмотрим величины
t	оо
4-О0в-«'р"’’ (0 / 6*(T)dT + D3e-V*+'"A’"₽ (0 J б’ (т)dx.
6	t
(25.50')
i	со
Фо =	| 5* (т) dx 4- Dop-f> (0 J 6* (т) dx +
to	t
t
4-Dop'“*-v* {t - f0) J 6’ (T) dx 4-
4
co
4-D0pm»_₽(/ —10) j 6*(T)dT. (25.50")
t
Очевидно, функции фа и ф0 зависят от /, £0, v*. Покажем,
что для достаточно большого	и функции
Фа и Фо удовлетворяют неравенству
Фа. Фо <|-	(25-51)-
Функция	(t) при а>0 ограничена на полу-
оси Z^>0, так как стремится к 0, когда t—>oo. Обо-
значим через D4 число, большее или равное максимуму
этой функции на [0, оо), и будем считать, кроме того, что
D4^D0, Dp Ясно, что сумма первых двух слагаемых пра-
вой части равенств (25.50') и (25.50") не превосходит
со
D4 J 6*(T)dT. Сумма двух последних слагаемых в (25.50')
to
21*
324
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[25.6
не больше
J 6* (т) dx \poe~atpm* (0 н- D3e-at^+m^' "р (0).
to
Так как а > 0, то выражение, стоящее в фигурных скобках,
ограничено на [0, оо) для любых v£[0, тк]. Оценим сумму
двух последних слагаемых правой части равенства (25.50"),
считая а = 0и р ^тк. Очевидно, эта сумма не превосходит
оо
Do / 6’ (т) dx	-t0) 4. (f - f0)}.
4
Ясно, что mk— P<CO. Покажем, что и m*— v*<^0. Дей-
ствительно, если q = 0, то zn* = max(—1, v*-\~mk— p)^
<^max(—1, v*) = v*, ибо mk— p^O, v*^0.
Пусть q > 0, т. e. наблюдается случай в) или г) п. 25.4.
Следовательно,
v 4- т^ — Р > q — 1.	(25.52)
Так как kf = k, $^>mk = т^, то v > q — 1 и v*^ v0> q— 1,
ибо v0 и q—1 —целые числа. Отсюда m*— v*<^0. Значит,
и для функции фа, когда а > 0, и для функции ф0, когда
а = 0, но р^/пй, удовлетворяются неравенства
оо
Фо. Фо<°5 / b*(x)dx,	(25.53)
где D5 — некоторое положительное число, зависящее от v и k. I
Теперь ясно, что подходящим выбором tQ можно добиться
выполнения неравенств (25.51).
Лемма 25.6.1. Пусть v — любое неотрицательное
число, не превосходящее тк, v0 определяется условием
(25.46), и пусть выполнены все требования леммы 25.4.1
и для решения y(t) системы (23.2) имеет место оценка
у (t) ==0(^*1?),	(25.54)
где v* равно или v, или v0.
Тогда уравнение (25.45), где k'= q = ^2 (k, v),
а нижние пределы интегралов Ik'-i и равны числу
25.6] ‘
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
325
/0, выбранному в соответствии с неравенством (25.51),
является уравнением типа (Д. 15.28), для которого усло-
вие сжимаемости (Д. 15.35) выполнено с константой
0 < — • Поэтому у (25.45) существует решение x(t)9
являющееся одновременно решением дифференциального
уравнения (23.1), единственное в классе векторов роста
О(екь* /v) и удовлетворяющее неравенству
IX (ОI < 2D0| у (t0) I Z*	pv’(t - Q.	(25.55)
Доказательство. Применим результаты п. Д. 15.3.
Роли матриц Qp Q2, Q3» Qi здесь исполняют соответственно
матрицы
Уг-1. Y.k; zl и a J =	+
Из условия (25.54) вытекает
[v-|(* — *о)у(*о).
ибо y(f) комбинируется из тех столбцов матрицы Y (t — tQ)9
которые растут не быстрее e^t^V Поэтому
IУ (О I < AZ* <'"'«>pv* (t -10) | у (Q I-
Будем считать
« = |j>(*o)l« * =	®(0 = pv’(*—4))-
Из (24.29) имеем
| Qi (t, т) | = | Yk>_! (t - t).| < D^*' -.+*)<
(/-T) при t — т 0,
ибо kr = q)j (k)k при любом а>0и, значит, A*'_i < Л*.
Поэтому мы можем написать qx(t, т) = £>0. Из неравенства
(24.31) следует для t —
|(?2(t т)| = |У_га-т)|<
<П0^(Л^+1"е) ('"т) = £>огл*	('"т).
Заметим, что последняя оценка имеет смысл и для kf = г,
ибо У_Г = О, а под Аг+1 мы условились понимать некото-
рое число, большее Лг. Поэтому
?2(/, т) = £>ое(л*'+1-Е-л*) {‘~х\
326
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(25.6
Далее, из (24.38') и (24.39') вытекает для 7=1, 2, ...
..., nik' + 1
1<г3а. т>|=|^(t~t0, т-/0)|<
< dZ*'{t-у-1 ц - /0) Рт*' -(?-,) (т - /0)=
= Doehk	('~ V"1 (t — /0) р”*'(г —10).
И ДЛЯ 7 = 0, 1..
|<?4(Л T)| = |z?’ (t-t0, т —/0)|<
< О0ел* <'-’>е(лг- л*)	_/q) р-v-о (т _ /о)>
т t /0.
Отсюда для 7 = 0, 1........+1
9з(Л т) = О0е(л»'-л»)	(т —f0)
при
q4(t, т) = О0е(л*'-А*>	(т-^о)
при
При этом нужно считать, что для q = 0
q3(t, т) = 0, ибо Z°kt = O‘i для q =	+ 1, q^(tt т) = 0
ибо +1) = О. Оценим функцию Н (t) (см. (Д. 15.35)).
Очевидно,
t	t
J qx (t, т) & (т) о (t) dx = Dq J pv* (t — tQ) б (t) dx
^0	^0
t	t
< Do J pv* (r) 6 (t) dx < Dx J б* (t) dx, (25.56)
Zo	4
Ибо
DtfiV* (T) < D<pm,t CO < °1PB (О e“T для T > ^0
(cm. (25.48)).
25.6J	§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИИ	327
Далее,
ОО
J t)6(?)©(?)dx =
t
ОО
= D0 J е(л*'+1-е-л*) (,"V’(T-Od(T)dT<
t
оо
<Рое(л*’+1_£"л*)' у е(л»-а"л*'+1+е) V’-₽(T)d*(r)<ZT,
t
где 6* определена третьим равенством (25.25). Если а > О,
то, применяя неравенство (25.49'), получим
У T)6(T)a(T)dT<D2e-a/pv’-P(/) у b*(x)dx. (25.57')
t	t
В случае а = 0, k' = k,	и при х— ^о^-О
имеем р-Р(?—10) р-Р (?). Так как к тому же Лй<+1 —
— е — ЛА > 0, то
У q2 (t, г) 6 (?) © (?) dx < Do у pv*(? — t0) р-Р (x—t0) b* (?) rf?<
t	t
< Dopv*-P (t —t0) у 6* (?) dx. (25.57")
t
Займемся оценкой третьего слагаемого функции Н:
t
У 9з(/, ?)6(?)©(?)^?<£>0р<7-1(/-г'о)е(Лй'~ЛлИХ
^0
t
X У e-(Ar-A*)Tpmft-W-l) (t _/o)6(T)pV*(T_Zo) dx (25.58)
4
Допустим, ^>0. Это возможно лишь тогда, когда Лл —
— а — Л^=0 и	—₽>0 (см. п. 25.4). Поэтому
328
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[25.6
Ak’—Лй = а, и неравенству (25.58) можно придать вид
t
| q3(t, t)6(t)co(t)<Zt<
4	t
(25.59)
Рассмотрим случай a > 0. Так как p(O не убывает, то
для +	—(д— 1) — Р^>0 левая часть (25.59) не больше
t
Dop~atfF+m*'~* (t) J 6*(r)dT.
A)
Если же v*-|-znft'—(q—1)—p< 0, то она не превосходит
t
D0e-°'p«_I(O/6*(r)dT.
4
Вспоминая равенство (25.47), а также то, что для 7 = 0
т) = 0,
можем написать для a>0 и любого 7=0, 1..........
t	t
j qz(/, т) d (t)® (r) dx < Doe-«'p™’ (0 J 6*(t) dx. (25.60)
A)	to
Когда a = 0, то по условию	и k' = k. Так как
P^0, то р’р(т)<р"₽(т — tQ). Из неравенства (25.59) по-
лучаем
t
J т)6(т)ю(т)й?т<
to
— j pv*+™ft-w-i)-₽(T_tjb\x)dx.
to
25.6]
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
329
Если v*4“^—(Я—О — Р^>0, то левая часть (25.59)
не больше
—10) Jd*(t)dT.
В случае, когда v* + ^ — (q—1) — р < О, она меньше или
равна

Если вспомнить обозначение (25.47), то для любого q
и а = 0 можно утверждать
J q3(t, т)д(т)®(т)</т<О0р'я* (t — f0) j	(25.61)
Оценим, наконец, последнее слагаемое функции Я. При
этом будем считать, что g<znft'4“h ибо при q = mk>-\-\
q^(t, т) = 0 и оценка тривиальна. Рассмотрим сначала слу-
чай а > 0. Здесь могут представиться два подслучая: Ай—
—а—Л*' < 0 и Aft—а—Aft' = 0. Если Лл—а—Aft' =у < 0,
то <7 = 0 и
| ?4(Л т)б(т)о(т)</т
<О0е<л*'-л*)/ J e-(A*'-Aft)tpn,fe'+v*(r — /0)6(т)</г<
Doe(A*'"A*>1 J evtpv*+m»'"₽(T)б’(т)dx
< D3e~ V’+m*'-13 (0 / <>* CO dt.
330 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ (25.6
где £>3— константа из неравенства (25.49"). Предположим
теперь, что Л* — а — Лг = 0. Тогда
оо
J q4(t, т)б(т)©(т)</т<
t
ОО
< Р0Г“'р’(t -10) J	(т - /0) р-Р (т) б* (т) dx <
t
со
< Doe“a/p? (0 J pv’+mfe'-’-P (т) 6* (т) dx <
t
oo
<D0e-cV*+”Ift'"₽(O/ б’(т)</т,
t
ибо по выбору q	— p— и> значит, тем более
v*+mft'— р — 7<0.
Таким образом, при а>0 можно считать, что для
и любого q
J q4 (t, т) б (т) © (т) dx < D3e-a/pv*+mfe'"₽ (О f в’ СО dx, (25.62)
t	t
ибо D3^>D0. Если a = 0, то k' = k,	р_Р(т)<^
<^р~Р(т — tQ). Поэтому
J т)б(т)®(т)</т<
t
OO
< (t -10) J	(T - d’ (r) dx <
t
< Z)opv’+m*-P (t — tQ) j 6* (r) dx. (25.63)
t
Для оценки сверху функции Н в случае a > 0 доста-
точно просуммировать правые части неравенств (25.56),
(25.57')» (25.60), (25.62) и результат разделить на ©(/) =
= pv*(/ — /0). Легко видеть, что при этом получится вели-
25.61
$ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИИ
331
чина, не большая чем фа. Значит, при а > 0 и tQ Н <
(см. (25.51)).
Если а = 0, то функция Н оценивается сверху суммой
правых частей неравенств (25.56), (25.57"), (25.61) и (25.63),
деленной на pv* (t — tQ). Ясно, что здесь при ока-
жется Н ф0 < у» что и доказывает сжатость J. Поэтому
и при а>0, и при а = 0 существует решение x(t) урав-
нения (25.45), для которого справедливо неравенство (25.55).
Согласно п. Д. 15.4 x(t) является в то же время реше-
нием (23.1).
Во всех рассуждениях мы считали, что <o(/) = pv*(/ — /0),
где v* равно или v, или v0. Полагая v* = v, мы на основании
п. Д. 15.3 приходим к выводу, что x(f) является единствен-
ным решением уравнения (25.45) в классе вектор-функций
роста O(eA^tv). Лемма доказана.
Следствие 25.6.1. Пусть v — произвольное число
сегмента [0, mk], [v]—целая часть v и |Х0| =О(еАь*№).
Тогда у интегрального уравнения (25.45) существует
решение x(t), единственное в классе векторов, растущих
как O(e^^tv)t удовлетворяющее неравенству
для t>to
и являющееся решением уравнения (23.1).
Следствие 25.6.2. Пусть v — целое неотрицатель-
ное число, не превосходящее mk, и
Ь(0| = O(eA^v~1).
Тогда у уравнения (25.45) существует решение, растущее
не быстрее eAft7v-1, единственное среди векторов роста
0{еАк1е) и удовлетворяющее уравнению (23.1).
Это утверждение тривиально вытекает из леммы 25.6.1
в случае, когда v>0, ибо можно считать v* = v0 = v—1.
Если же v = 0, то
lXOl=o(eAftZ)-
Сформулированное выше следствие 25.6.1 позволяет сказать,
что в этом случае существует решение x(t) (25.45) роста
332 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ 125.7
О(еА**) и что оно единственно среди векторов с нормами
О(гл**)« Осталось доказать, что
|х(/)| =	при /~>оо.
Нормы операторов, стоящих в правой части (25.45),
согласно леммам 25.3.1 и 25.4.1, суть
о\е' k 't k J, ибо v = 0.
Если а > 0, то их нормы суть о (гЛ**)- При а=0 т^ =
и, значит, эта оценка остается в силе. Так как
и |у(0| =о(гЛ*9’ т0 из (25.45) видно, что |х(0|= о(еА^).
По лемме 25.2.2 заключаем, что показатель x(t) меньше ЛЛ,
ибо x(t) — решение (23.1). Таким образом-, можно считать,
что утверждение следствия 25.6.2 верно и для v = 0.
25.7. Совпадение вторых показателей решений из &к
и ^k. Лемма 25.7.1. Если вектор x(t)£gk и v* — его
второй показатель, то v*—целое неотрицательное число,
не превосходящее тк, и
|X(0|=0(A^.	(25.64)
Доказательство. По следствию 25.2.1 второй по-
казатель x(t) из Ек принадлежит отрезку [0, тк\. Если
v* — mk, то равенство (25.64) вытекает из оценки (25.2).
Пусть v* < тк. Возьмем v > v*, но так, чтобы было
и целые части v и V* были равны
[v] = [v*]=v0.
По определению второго показателя можем написать
| х (01 < aeAk*gv (/) для t tQ,
где а зависит от v и х. Для данных k и v найдем индексы
= Ф1(£) и ^ = ф2(&, v) и построим вектор y(t) с помощью
формулы (25.41). По лемме 25.5.1 этот вектор y(t) яв-
ляется решением системы (23.2) и
1^(01= о (А'Л).	(25.65)
Мы будем считать, что число /0» фигурирующее в (25.41),
достаточно велико, так что удовлетворяется (25.51). Равенство
25.8]
§ 25. АНАЛОГИЯ РЕШЕНИЙ
333
(25.41) эквивалентно равенству (25.45), и можно рассматри-
вать вектор x(t) как решение уравнения (25.45). Для этого
уравнения выполнены все условия леммы 25.6.1. Равенство
(25.65) показывает, что имеет силу и следствие 25.6.1. Зна-
чит, у уравнения (25.45) среди векторов роста О(гА^)
существует единственное решение и его норма есть O(^A^V°).
Этим единственным решением, очевидно, может быть только
х (/). Отсюда, если v* > v0, то v* не может быть вторым
показателем x(f), ибо невозможно существование такой
последовательности {/J->оо, что
|x(*/)|>
где v* — е> v0. Таким образом, v* = v0 — целое число. Вспо-
миная, что |х(/)|= 0(eA^vo), видим, что верно и равен-
ство (25.64).
25.8. Аналогия решений из &k и Здесь будет
показано, что для всякого решения x(t) уравнения (23.1)
с показателем существует аналогичное ему решение y(f)
системы (23.2) и наоборот.
Так как второй показатель любого решения из может
быть только целым числом, принадлежащим отрезку [0 mk],
то достаточно доказать это предложение для решений из v
и LktV, где	— любое число. Имеет место
Лемма 25.8.1. Если второй показатель вектора x(t)
из равен v, то вектор y(t). определяемый формулой
(25.41), является решением системы (23.2) и анало-
гичен вектору х(0- Обратно, если вектор у
то решение x(t) интегрального уравнения (25.45) или
(25.41), существование и единственность которого гаран-
тируются леммой 25.6.1, аналогично y(t) и принадле-
жит &ktV- При этом отклонение x(f) от y(t) есть
( -at.nPbf-f£\	,
о\е t ) при t->ca
или, что то же самое,
|х(О —у(t)| = оnpU
Доказательство. Пусть второй показатель некото-
рого решения x(t) из равен v. На основании предыдущей
леммы заключаем, что v — целое число и x(0 = O(eA*'/v),
334
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[25.8
когда >оо. Найдем числа &' = ф1(£) и q = q2(k, v) и
построим вектор y(t) по формуле (25.41). Лемма 25.5 1
гарантирует, что у (t) £ Lk >v. Покажем, что .у(0Е~5\ v- Для
этого достаточно убедиться, что
LHOlXjZ'W).	(25.66)
где > 0. Действительно, равенство (25.41), связывающее
x(t) и y(t)9 можно рассматривать как интегральное уравне-
ние (25.45), где tQ достаточно велико, так что обеспечи-
вается требование (25.51).
Если бы неравенство (25.66) не удовлетворялось ни при
каком су, то это означало бы, что
Ь(01= о (А'Г”1).
поскольку y(t)—решение линейной системы (23.1). Следст-
вие 25.6.2 в этом случае утверждает, что
|x(0l = O(eW_1).
Но это невозможно, ибо х(0€^\, v- Значит, неравенство
(25.66) справедливо. Из (25.41) или (25.45) видно, что
x(t)= y(t)-±z(t)t
где =	—	—	х).
Согласно леммам 25.3.1 и 25.4.1
|z(O|=o(e(A*-a)7v+m*'~0 при /->оо. (25.67)
Отсюда — отклонение х от у есть
Ясно, что при а>0 оно стремится к 0 при /~>оо.
При а = 0 оно также бесконечно мало, ибо k' — k, гпкг = щк
и $^тк. Этим доказано, что вектор y(t) аналогичен x(t)
и отклонение у от х есть величина того порядка, который
гарантируется леммой.
Пусть теперь y(t)Q^kt v. Возьмем снова ^' = ф1(^) и
дг==ф2(&, v). В силу следствия 26.6.1 можно утверждать,
что у интегрального уравнения (25.45) существует реше-
ние x(t), удовлетворяющее в то же время дифференциаль-
26.1]
§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
335
ному уравнению (23.1), норма которого есть O(eA*'/v) при
Z->oo. Поэтому справедлива оценка (25.67). Используя не-
равенство (25.66), вытекающее из принадлежности вектора
y(t) множеству	мы опять придем к той же оценке
отклонения х от у. Лемма доказана.
Следствие 25.8.1. Если x(t)^^ktV, то найдутся
такие константы Сх > сх > 0 (зависящие от х), что
cX4V(0<l*(0|<^eA*V(0 для f>*0. (25.68)
Действительно, x(t) аналогичен некоторому решению у (t)
из v. Поэтому
x(t)=y(t) + z(t),
где |z(/)| = e(/)|,y(/)| и e(f)->0 при f->oo. Отсюда
Ь (О I -12 (f) I < IX (О I < b (О Н | z (О I
и
|у(0|{1 - е(0} <|х(0|<1Я01|1+е(0Ь
Так как для y(t) существуют такие числа Су > су > 0, что
(о < ь (ty । < cyZ4v (о.
то неравенство (25.68) становится очевидным.
§ 26.	Гомеоморфизм начальных условий.
Основные теоремы
26.1.	Формулировка теорем. В конце § 25 была уста-
новлена аналогия решений систем (23.1) и (23.2) с показа-
телями Ай. Точнее, было показано, что любое решение х(0
из аналогично некоторому решению y(t) из KS,k и для
всякого ^(ОЕо^й существует аналогичный ему вектор
х(/)Е^\- Из этого, в частности, следует непустота мно-
жеств ^ktV для v = 0, 1...mk, ибо оба показателя ана-
логичных решений одинаковы.
Можно было бы сказать, что семейство зависит от
такого же числа произвольных постоянных, как и семейство
^ktV, но для того чтобы это утверждение несло некую
более точную информацию о множестве £\v(0), нужно изу-
чить эту зависимость.
336
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(26.1
Здесь будут даны условия, при соблюдении которых
существует такое топологическое отображение Ф* простран-
ства Ln на себя, что через соответствующие точки при t == О
проходят аналогичные решения систем (23.1) и (23.2) с по-
рядком отклонения, указанным в лемме 25.8.1. Благодаря
этому мы сможем сказать, что размерности множеств S%,v(0)
и 'З’ь'Ч одинаковы. Поскольку к тому же будет показано,
что отображения Ф* и Ф*”1 удовлетворяют условию Липшица,
то оба они почти всюду дифференцируемы и лебегова мера
в Ln всех множеств v (0) при k < г или г < тг равна
нулю. Таким образом, будет установлено, что все точки
пространства Д", за исключением множества меры нуль и
размерности меньше и, принадлежат множеству шД0),
Стоит отметить, что при неудачном выборе соответствия
порядок отклонения может оказаться большим, чем в лемме
25.8.1. Значительная часть трудностей этого параграфа свя-
зана как раз со стремлением обеспечить минимальный поря-
док отклонения.
Заметим, что результаты этого параграфа можно рас-
сматривать как уточнение некоторых утверждений теоремы
15.4.1 в тех случаях, когда к функции б(/) предъявлены
более жесткие требования. Сформулируем теоремы.
Теорема 26.1.1. Пусть удовлетворяются условия
а), б), в), г) п. 25.1, р — некоторое неотрицательное
число и
J T₽6(T)dr <Н-оо.	(26.1)
О
Тогда существует топологическое отображение Ф*
пространства Ln на себя со следующими свойствами:
1)	Через соответствующие в силу Ф* точки в момент
t = 6 проходят решения x(t) и y*(t) систем (23.1) и
(23.2) с одинаковыми показателями, и при этом
IX (t) —у* (/) I < D6,1 х (0) I е(л»+6/) t.	(26.2)
где Лл — показатель х и у, 6' — произвольное положи-
тельное число, Dv > 0 — константа, зависящая только
от 6' (но не от х).
26.11	$ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ	337
2)	Если Р~^-тк, у*(0)£Lk и = Ф*(х(0)), то реше-
ния x(t) и y*(t) систем (23.1) и (23.2) аналогичны, их от-
клонение есть о и для них при / О верна оценка
\x(t)—y*(t)\^\x (0) I е (t) eA4v+m*“15 (0	(26.3)
где v — их второй показатель, е*(/)->0 при /—>оо и
не зависит от х.
3)	Отображения Ф* и Ф*”1 удовлетворяют условию
Липшица.
Кроме того, если $^mk и x(t)£&k, то
|x(/)|<D|x(0)|eA*'pv(O.	/>0,	(26.4)
где D > 0 не зависит от х, v — второй показатель x(t).
Теорема 26.1.2. Пусть правые части системы (23.1)
удовлетворяют условиям а), б), в), г), п. 25.1, а и ₽ —
некоторые действительные числа, а > 0 и
| гатт% (т) dx < -|-оо.	(26.5)
о
Тогда на Ln определен гомеоморфизм Ф*, отобра-
жающий Ln на себя так, что через соответствующие
точки в момент t — Q проходят аналогичные решения
х(О и y*(t) систем (23.1) и (23.2). При этом для реше-
ний x(t) и y*(t) с показателями Лл отклонение есть
величина порядка o(e~attmkf~^} при	и для /^«0
выполняется неравенство
IX (f) —у* (t)I < е* (ОI х (0)I	' pv+m*'"₽(t), (26.6)
где Л' = <р1(Л) и тьг определены соотношениями (25.21}
и (25.35), v — второй показатель x(t) и y*(t), г*(/)-*0
при t->oo и не зависит от х. Кроме того, Ф* и Ф*“х
удовлетворяют условию Липшица и для любого решения
системы (23.1) с первым показателем Лл и вторым v
справедливо неравенство (26.4).
Доказательство теорем 26.1.1 и 26.1.2 составляет содер-
жание всего параграфа.
22 Б. Ф. Былов, Р. 8. Виноград и др.
33g гл. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ [26.2
26.2.	Две оценки нормы разности решений системы
(23.1). Верны следующие предложения.
Лемма 26.2.1. Пусть правые части системы (23.1)
удовлетворяют условиям а), б), в), г), п. 25.1 и xx(t),
х2(/)— произвольные решения системы (23.1). Тогда
1*1(0—*2 (ОК
t
(Ar+e)(f-/*)+D0 f6(r)dT
<D0|x1(O)-*г(О1*	**	(26.7)
при всех t^t* и
1*1(0 —*2(0К
t
(A1-e)(<-/*)-D<l j 6(т)<?г
<О0|х1(О)-х2(О)|е	(26.8)
при всех
Здесь Dq то же, что и в (24.29) — (24.31).
Доказательство. Для рассматриваемых решений
имеем
*1 (0 - *2 (0 = Y (f - О) [Xj (О) - х2 (0)1 +
t
+ / Y(t—x) {/(т, Xj (т)) — f(x, х2 (т))} dx, (26.9)
откуда
I *1 (0 - *2 (О КIY (t -t*) 11 Xi (0) - *2 (0)1 +
+ J |F(f — T)|d(T)|X!(T)-x2(T)|dT<D0e(Vt-e)<<-<*)x
t
Xlx^O-x^l-F J Doe(Ar+O(<-’>6(T)|x1(T)-x2(T)|dT,
и, следовательно,
l*i (0 - *2 (0К(Л'+8) * < Д)|*1 (О) - x2 (0)1 е"(лг+е)+
-+ j Dfl&COIxjCO — х2(-г)|е_(лг+От dx.
t*
26.2J	§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ	339
Применим далее неравенство Веллмана — Гронуолла, записан-
ное в виде (Д. 13.26). Для этого положим
|х1Ю-х2(/)|е-(лг+е)/=^(О,
00|Х! (О - *2 (ПК(Л'+е) = Ь.
D0d(O = <p(O.
что приводит к оценке
|х1(0-х2(0К(А'+е)/<
t
-(hr+e)f+D0\b{x)dx
<D0|Xi(O— л2(П|е	. (26.10)
равносильной (26.7). Неравенство (26.8) для случая t <t*
устанавливается аналогично.
Лемма 26.2.2. Пусть векторы Xj(t) (/=1, 2) при-
надлежат Ekv и удовлетворяют тождествам
ху(0=^(0+х;)+
+ Л- (t, xf) -	(t, xf, (26.11)
где
У/ € Lk, V k' = Ф1 (*)> Я = ф2 (£. V),
а нижние пределы интегралов Л.*» и Jk,Q равны числу /0,
выбранному в соответствии с требованием (25.51), Тогда
для t^tQ
| (о - х2 (01 < 2О01уЧ - у°21 е^ ('-'o)pv (t -10), (26.12)
где
Доказательство. То, что каждый вектор Xj(t) mEktV
удовлетворяет уравнению (26.11) при некотором (/)£ v,
следует из леммы 25.5.1. По лемме 25.6.1 к уравнению (26.11)
применимы результаты п. Д. 15.3. Вспомнив определение
матрицы YktV(t) (см. п. 24.1), мы можем написать
от-г,.
Принимая во внимание первую оценку (24.30), получим
|Л (О -Л (01 < DeA*C-'V(t - QДО-y°21.
22*
340
ГЛ. VIH. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(26.3
Считая Х==Лл, co(/) = pv(/— tQ), из (Д. 15.36) получаем
(26.12), ибо в = у.
26.3.	Отображение Ф*, v. Пусть вектор x(f)£Ek>v,
a y(f) определяется равенством (25.41). В силу леммы 25.5.1
y(t)£LktV. Полагая x(t()) = x0, у(10)—Уо и считая в (25.41)
t = tQ, имеем
А’о = ^о + /-г ('о- *)+4’('о’ 4	<26ЛЗ>
или, что то же самое,
Уо = *о + j У-к’ (*0 — т)/(т, X(т)) dx +
+ J Zkf (0, х — t0)f(x, х (т)) dx.	(26.14)
Каждой точке х0 изЕ^ v (£0) формула (26.13) или (26.14) ставит
в соответствие точку yQ^LktV. Так как для уравнения (23.1)
задача Коши решается единственным образом, то формула
(26.13) осуществляет однозначное отображение Ф*, v множе-
ства E^fV(/0) в линеал Lkv. Вместо формул (26.13) или (26.14)
будем писать
Уо = Ф*, v (хо)» хо 6 v (*о)>
или вообще
y==Oft.v(x), x£EktVtfQ).	(26.15)
Ясно, что Фл>¥(о) = о. Кроме того, если решения x(t) и
у (t) систем (23.1) и (23.2) проходят в момент t = tQ через
точки, соответствующие в силу Фл>¥, то x(t) и y(f) свя-
заны уравнением (25.41) или (25.45).
Лемма 26.3.1. Для всех достаточно больших tQ фор-
мула (26.15) доставляет взаимно однозначное отобра-
жение множества EktV(tQ) на LktV, оставляющее точку
х — о неподвижной.
Доказательство. Каждой точке х°£EktV(tQ) фор-
мула (26.15) ставит в соответствие единственную точку у° из
Lkv. Пусть х1 и Х2 — любые две различные точки из Ekt v(/0).
26.3]
§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
341
Покажем, что Фй> v(^) ¥=Ф^ v(x£). Обозначим через Xj(t)
иуДО решения систем (23.1) и (23.2), проходящие в момент
t = tQ через точки xQ и У* = Фй v (х°) (J = 1, 2). Из определе-
ния Ф*, у следует, что векторы Ху(О и J;(O связаны урав-
нением (26.11). Поэтому, как утверждает лемма 26.2.2, спра-
ведливо неравенство (26.12), из которого видно, что если
то х^ = х£. Значит, различным точкам из EktV(tQ)
соответствуют в силу Ф*, v различные точки из Lk v. Нам
нужно еще удостовериться, что любая точка у0 множества £*>v
является образом какой-нибудь точки из Eft>v(/0) при ото-
бражении ФА> v. Через точку у0 в момент t = tQ проходит
единственное решение y(f) системы (23.2), причем y(f)£LktV.
По лемме 25.6.1 этому y(f) соответствует единственное ре-
шение x(t) из EktV, являющееся в то же время решением
интегрального уравнения (25.45). Точке yQ поставим в соот-
ветствие точку х0 = х(/0). Ясно, что эти точки связаны урав-
нением (26.13), ибо (26.13) получается из (25.45) заменой t
на /0-	__
Но это означает, что = Фл> v (х0). Непосредственная
проверка показывает, что Фл v(o) = o. Лемма доказана.
Лемма 26.3.1 утверждает, что на линеале LktV опреде-
лено отображение Ф*Л» переводящее точки из LktV
в точки из EktV(fQ).	__
Лемма 26.3.2. Отображения Ф^ v и Ф^Л непрерывны.
Более того, они удовлетворяют условию Липшица соот-
ветственно на множествах EktV(tQ) и LktV. Константы
Липшица выражаются через величины, определяемые
матрицей А и функцией 6(0 и не зависят от f.
Доказательство. Возьмем в Lkt v две произвольные
точки и у%, и пусть
4=ф-(^.
Обозначим решения систем (23.2) и (23.1), проходящие
при t = t0 через точки y°t у%, х%, х§ соответственно Ji(0>
-МО. *1(0. X2(t).
Очевидно, что Xj(t) и yj(t) (/ = 1, 2) связаны уравнением
(26.11). Поэтому, по лемме 26.2.2 для	будет
342
ГЛ. VI11. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(26.3
удовлетворяться неравенство (26.12). Полагая в нем t —
видим
|х?-х°|<2О0|^-^|.	(26.16)
что и доказывает утверждение леммы 26.3.2 относительно Ф£V
Займемся отображением Фл v. Пусть	и — произ-
вольные точки Ek)V(tQ), a Xi(/0) и х2(0 — решения из Ekv,
проходящие через них при t = tQ. Пусть и — образы
точек х® и х% в силу Фл v. Из определения Фл v следует
У1~ ^2 = x°i — х° +
+ J Y-k> (t0 — т) {/(-г, х1 (т)) —/(т, х2 (т))} dr 4-
^0
4- J Zr? (0, х - Q {/(т. Xl (т)) -f(x, х2 (т))} dr, (26.17)
h
где k' = ф1(й), 0 = ф2(й, v).
Возьмем t* > tQ. Очевидно, неравенство
Н-*§|+
4- J |У_*< (tQ—т)|д(т)|Х1(т)—xj(г)рт4-
/о
t*
4- J 1^(0. т —/0)|б(т)|х1(т) —x2(T)dT4-
4- J I Y-k’ (tQ — T)|6(T)|X1(T) — Х2(т)рт4-
4-	T —^Id^lx^T) —x2(T)px. (26.18)
Для оценки предпоследнего слагаемого правой части не-
равенства (26.18) воспользуемся неравенствами (26.12) и
26.3|	§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ	343
(24.31). Имеем1)
ОО
/* = J |У-Г (*0 —т)|д(т)|Х1(т) —x2(T)|dr<
t*
CO
< DI j? - I ] в(л»'+1-е-л») Co-t)pv (T _ /o) б (T) dT.
Полагая, как при выводе неравенства (25.30),
Л*-+1 —е —Aft + a = di
и используя обозначения (25.25), получим
/* < D де—| е<6‘~ “>f' J e-6.tp-v, (т) (т)<Ут.
Здесь мы заменили pv(r— /0) на pv(r), так как при т — /о^О
р(т)>р(т — f0).
Очевидно, —< 0, ибо k' = ф1(/г), а е — достаточно мало.
В силу леммы п. Д. 21.1, принимая во внимание, что
находим
^p-a/°P’V1(^0) J б*(т)^т.	(26.19)
Поскольку при kr = г /* = 0, то эта оценка верна и при
k' = г. Так как имеет место неравенство (26.12), то интеграл
J*= j°|zp?(O, T-^o)|6(T)|x1(T)-X2(T)|dT
можно оценить таким же способом, как это было сделано
при выводе (25.34).
Учитывая, что	находим
о 00
J‘<D|yO-yOp-aV+mft’“Pao)J’ 6»(т)Л. (26.20)
/•
!) Здесь D — универсальная константа.
344
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[26.4
Возьмем t* столь большим, чтобы выполнялось неравенство
f д’(т) dx < 1 {op-vi(f0)e-“<<’ + De'eV+m°*'-₽(Q} \
Существование такого следует из сходимости интеграла.
Теперь ясно, что сумма двух последних слагаемых в нера-
венстве (26.18) меньше	Из (26.18) получим
/•
+ 2 J {| Y-r (t0 - т)| +1 Z?? (t0, т) |} 6 (т) | хг (t)-Xj (т)| dx.
ft
Для |Xj(/)—х2(0| справедлива лемма 26.2.1. Подставляя
в последнее неравенство оценку (26.7), где нужно считать
t* = tQt и увеличивая константу D, получим
|^-^|<О|х0-х0|.	(26.21)
Здесь D — константа, одна и та же для всех Xi и х2 из
Ekt v(^o)» ибо не зависит от хг и х2. Поскольку У® —
= ФЙ v(x°) (/=1» 2), то неравенство (26.21) завершает до-
казательство леммы. Ясно, что D зависит от k, v, от d(Z)
и не зависит от f(t, х).
Следствие 26.3.1. Если xP£EkiV(Zo) и yQ = Фй>v(х°),
то
|У>|< D|x°|.	(26.22)
Действительно, если положить л^ = х°, л^ = о, <yj = y°,
то, так как Фл	= доказываемое неравенство
тривиально следует из (26.21).
Леммы 26.3.1 и 26.3.2 показывают, что Фй, v есть гомео-
морфизм, отображающий множество EktV(tQ) на ли-
неал Lkt v.
26.4.	Оценка нормы решений из В лемме 25.2.1
рост решений из Ek оценивается некоторой функцией, ко-
торая игнорирует их вторые показатели. Более точную
оценку дает
26.41
§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
345
Лемма 26.4.1. Для любого x(t) из EktV удовлетво-
ряется неравенство
\x(t)\^DktV\x{T)\e^t-T>iiv(t — Т) для t>T, (26.23)
где и константа Dk v зависит от Т, б(/) и не
зависит от х и f.	_
Доказательство. Пусть у° — Фй>v(x(^0)). По самому
определению отображения Ф^ v это означает, что через
точку yQ в момент t = tQ проходит решение y(f) уравнения
(23.2), связанное с x(f) уравнением (25.41) (см. п. 26.3).
Лемма 25.5.1 гарантирует, что y(f)£LktV и, следовательно,
1X01 = о (Л?).
Число tQ выбрано так, что выполняется неравенство (25.51).
Значит, по лемме 25.6.1 вектор x(t) удовлетворяет неравен-
ству (25.55), где нужно считать v* = v. В силу следствия
из предыдущей леммы |у°|Z)|x(Zo)| и из (25.55) вытекает
неравенство
I х (ОI < DIх %)I	<<-'o)pv (t - t0),
справедливое для При увеличении числа /0 неравен-
ство (25.51) не перестает удовлетворяться. Поэтому при
Т > /0 в последнем неравенстве можно заменить tQ на Т и
прийти к (26.23).
Пусть Т < tQ. Поскольку справедлива лемма 26.2.1, то,
полагая в неравенстве (26.7) хг = х, х2 = о, t* = Tt нахо-
дим для Z£[T, £0]
|x(0|<D1|x(T)|,
где
t
(Лг+е) (t-T)+Da J 6 (T)rfr
Dj = Domaxe	т ,	t^[T,t0].
Ясно, что найдется такое число v > 0, что при t^T
еЧ ('-zo)pv (t — to) < £>*,	(<-r)pv (t — T).
Теперь оценке |x(/)| для можно придать такой вид:
| х (t) К DI х (Т) I еЛ* ('-r)pv (t — Т).
Так как для t £ [Т, ^0]
min A(/-r)pv(Z—7’)>0,
346
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(26.5
то, увеличивая в случае надобности константу D, из послед-
ней оценки |х(0| получим утверждение леммы.
26.5.	Гомеоморфизм Ф*, v. Перечислим все свойства ото-
бражения Ф*, v.
Лемма 26.5.1. Пусть выполнены условия а), б), в),
г) п. 25.1, числа а и (J удовлетворяют требованиям
леммы 25.3.1 и соблюдено условие (25.20). Пусть для
v = 0, 1, ...» mk число tQ выбрано в соответствии с не-
равенством (25.51). Тогда для v = 0, 1, ...» mk верны
следующие утверждения',
1)	Отображение Фл, v множества Ekv(tQ) на LktV —
гомеоморфизм.
2)	Ф*, v # Ф*Л удовлетворяют условию Липшица
с константами, зависящими от функции 6(f) и не за-
висящими от f.
3)	В силу Ф*,у множество £\>v(£0) отображается
на Ф*^0)^0-	__
4)	Через соответствующие в силу Ф*>¥ точки в мо-
мент t = t$ проходят решения x(t) и y(t) систем (23.1)
и (23.2), для которых при удовлетворяются не-
равенства
|x(0-J’(0|<^,v|x(^)|8A,v(0^~a>/pV+'"‘'"3(0. (26.24)
где D*k,v — положительная константа, не зависящая от
X и f,
ta+t
р-2 Uv(/) J	J 6*(X)dr,
Vi9+t
4,(0 =
если q — ^2 (k> v) > 0,
t0+t
।	2	oo
6*(r)dr-f- J d*(r)dT.
2
если q = q>2(k, v) = 0,
(26.25)
= a —Aft._i-e>0;
Пй, v = v + mk’ — q + 1 — p > 0.
26.5J
$ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
347
5)	Через точки множеств	и	соот-
ветствующие в силу Фл> v, в момент t — tQ проходят
решения систем (23.1) и (23.2), аналогичные и с откло-
нением
o(e-attm°k’ Э).
Доказательство. Утверждения 1) и 2) установлены
в п. 26.3. Утверждения 3) и 5) содержатся в лемме 25.8.1.
Чтобы убедиться в справедливости утверждения 4), вспомним,
что через соответствующие в силу точки проходят
решения x(t) и y(t)t удовлетворяющие уравнению (25.45).
Поэтому
|x(0-X0KI4'-i(0 x)| + |/_ft>(t, л)| +
+ |Л- (0 х)1 + |/??(Л х)|- (26.26)
В силу монотонности функции р(0 неравенство (26.23) можно
переписать так:
|х (OK Dk< v\x(t^\e-^e^ (/), t > t0.
Считая a = Dkt Jx(/0)|e-A*4 из лемм 25.3.1 и 25.4.1 в слу-
чае ^ = ф2(&, v) > 0 получаем
X (0 - (О КIX (to) I Dk, ve-^o е(^-0 'pv+m*' -₽(0D X
j б*(т)(/т 4-
^o+Z
T"
(26.27)
где Z), у, vp т] — положительные константы, смысл которых
указан в леммах 25.31 и 25.4.1.
При больших t имеем У tQ 4- t < + *. Так как б* (т) О,
то сумма вторых слагаемых в обеих квадратных скобках
оо
неравенства (26.27) не превосходит 2 J 6* (т) dx. Сумма
Vti+t
348
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(26.5
остальных слагаемых фигурной скобки не больше
tg + t
1 2
ср"2 ”(/)]’ 6*(T)dT.
где c>0 — некоторое число. Вспоминая, что константы
D, DktV, т], Vi зависят от k и v, получим отсюда оценку
(26.24), где функция eft>v(0 определяется первым равен-
ством (26.25). Если <7 = ф2(&, v) = 0, то из лемм 25.3.1 и
25.4.1 легко следует оценка (26.24) с функцией ekt v(f), опре-
деленной вторым равенством (26.25). Ясно, что &kt v(0~>0
при £->оо. Лемма доказана.
Гомеоморфизм Ф^>¥ связывает аналогичные решения си-
стем (23.1) и (23.2) в момент t = tQ, где tQ достаточно велико.
С помощью мы построим гомеоморфизм Фй> v, который
будет также обладать свойствами 1), —5), указанными
в лемме 26.5.1, но роль момента tQ будет исполнять началь-
ный момент £ = 0. Точнее, имеет место
Лемма 26.5.2. Пусть выполнены условия леммы 26.5Л.
Тогда существует гомеоморфное отображение Фй> v мно-
жества EktV(Q) на линеал LktV, для которого верны
утверждения 2) 3) 5) леммы 26.5.1, если в них всюду
считать /о = О.
Кроме того, через соответствующие в силу Фл> v
точки в момент Z = 0 проходят решения x(t) и y(t)
систем (23.1) и (23.2), для которых при удовле-
творяются неравенства
IX (о — у (t) I < D^v I х (0) I v (0	'рv+m°' ~₽(О. (26.28)
где DQk v> 0 не зависит от х, функция е£ v(/) = eft
на отрезке [0, /0] и совпадает с &ktV(t) для Кон-
станты Dk v и функции &ktV определяются матрицей А
и функцией 6(0, но не зависят от f.
Доказательство. Обозначим через
х(х*. Г, 0 и у (у*. t\ t)
решения систем (23.1) и (23.2), которые при t = t* обра-
щаются соответственно в х* и у. Точке x?£EkiV(Q)
26.51
§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
349
поставим в соответствие точку yQ, определяемую формулой
=	4>).	0).	(26.29)
Смысл этой формулы ясен: через точку x?£Ekt v(0) в мо-
мент t — 0 проходит решение из Ekt v: на этом решении
берется точка, соответствующая значению параметра / = /0
и принадлежащая, следовательно, множеству Ek v(t^\ эта
точка отображается гомеоморфизмом Фл>¥ в точку из Lkv>
через которую в момент t = /0 проходит некоторое решение
из £*tV, обращающееся в у* при £ = 0.
Так как для уравнений (23.1) и (23.2) имеет место един-
ственность и непрерывная зависимость решений от начальных
условий, то формула (26.29) осуществляет топологическое
отображение множества E^v(0) на Это отображение
мы обозначим через ФЛ}¥ и вместо равенства (26.29) будем
писать
У> = Ф^(^ xoGFft,v(O). (26.30)
Из определения ФЛу видно, что Фл v(o) = o и для
верны утверждения 3) и 5) леммы 26.5.1, если положить
там — Поскольку вектор у{у\ £*, t) является решением
линейной системы (23.2), то
у(у\ t\ t) = Y(t — t*)y*.	(26.31)
Поэтому
У’ = Фй,у(хО) = У(-/о)Фй^(х(х'>. 0, f0)). (26.32)
Из последней формулы видно, что для Фл>¥ выполняется
условие Липшица, ибо условию Липшица удовлетворяют
отображения Ф* v и х(х°, 0, /0)(см. леммы 26.5.1 и 26.2.1).
Отображение Ф^Л определяется, очевидно, равенством
х°=Ф^(/) = л(ФГЛ(у(у°. 0. /0)), t0, 0). (26.33)
ИЛИ
х° = ФГЛ(/) = х(ФГЛ(Г(^о)Л t0, о). (26.34)
Так как отображения х(х*,	0) и Ф*Л удовлетворяют
условию Липшица (см. леммы 26.5.1 и 26.2.1), то условию
Липшица удовлетворяет и ФГ/v
Таким образом, нам осталось убедиться в справедли-
вости неравенства (26.28). Если у) = ФЛ у(л°), то решения
350
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[26.6
x(t) и у(/), проходящие при / = 0 через х° и у0, в мо-
мент /0 связаны гомеоморфизмом v. Поэтому при / > /0
для них верно неравенство (26.24). Вместе с тем для
/£[0, *ob в СИЛУ леммы 26.2.1,
где К\ и К2 не зависят от решений и /.
Так как у° = Фй>¥(х°), а Ф^¥(о) = о и удовле-
творяет условию Липшица, то для t £ [0, /0]
где С > 0 — абсолютная константа.
Если положить m= min [е°, v(^o)^A* *pv+m* ”Р(о] Для
££[0, то из последнего неравенства следует для
*СЮ, /0]
I х (о - у (01 < £ I х° I еЬ (О е(л*-°) 'pv+m°' Лс-
Отсюда, из неравенства |х (/0)| Кх| х°| и из (26.24) выте-
кает утверждение (26.28), если считать там DQkt v достаточно
большим. Последнее утверждение леммы очевидно.
Лемма доказана.
26.6	. Замечания о функциях гк v(t). Константы yk v и v>
встречающиеся в равенствах (26.25), положительны. Поэтому все
функции Eft, v(0->0 при /->оо. Так как они выражаются через
б* (0 = га/р^ (/) б (0 (см. (25.25)), то скорость их стремления к О
зависит от того, насколько удачно выбраны числа аир, фигури-
рующие в условии (25.20). Дело в том, что не всегда существуют
максимальные значения аир, при которых условие (25.20) соблю-
дается. Например, для функции 6(1)==е~* 1п/ в качестве а можно
выбрать любое число, меньшее 1, но считать а = 1 нельзя, ибо
при любом р
t
J ^Р+1п/^->оо,
т
т. е. условие (25.20) нарушается. Для функции 6(/) = ^”z/ можно
взять а=1, р< — 2. В этом случае максимальное а = 1, но ма-
ксимального Р нет. Если б (0 — б* (О, где функция б* (/)
такова, что
оо
| б* (т) dx < 4- оо
h
26.61	§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ	351
и при любом > О
оо
J т6‘д* (т)^т==оо,
/о
то числа а= 1, ₽ = 1 максимальны.
Имеет место следующее предложение, характеризующее ско-
рость стремления к 0 функций ektV(t) (в предположении, что
Nk, v > 0 и U v > °)-
Лемма 26.6.1. Пусть
оо
J 6* (т) dx < -|- оо.
Л)
Если для некоторого > 0
оо	*
J ев,т6* (т) dx = со,	(26.35)
it
то первые показатели функций e^v(t) не меньше —
Если для некоторого е > 0
оо
| т8 6* (т) dx = оо,	(26.36)
h
то первые показатели функций е$, v (/) равны нулю, а вто-
рые— не меньше — е.
Доказательство. Согласно (26.25)
оо
Eft. v(O>J 6*(T)dT для Z>/0.
t
Если предположить, что показатель v (Z) равен — X, и — X < —
— Ло < — 6Ь то из вытекающего отсюда неравенства е*, v (t) <
< Се~^* для (где С>0 — некоторое число) следует, что
| 6* (т) dx = f (/) е~^,	(26.37)
t
причем 0</(/)< С. Дифференцируя последнее равенство, имеем
6*(0 = — [/(Ое’МГ-
352
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
рб.7
Отсюда
t	t
j ?‘т6* (т) dx = — J e6,T [/ (r) dx =
= _	X f (T)	+ 6, J	X f dx
h
Так как 6i — X0<0, a f (x) ограничена на [/0, oo), to
t
J £61T6* (x) dx < + oo,
4
что противоречит условию (26.35).
Если для любого $! > 0 удовлетворяется условие (26.35), то
показатель е^, v (0 равен нулю (быть положительным он не может,
ибо v (0 “> 0). очевидно, если для некоторого е > 0 имеет место
равенство (26.36), то условие (26.35) будет выполняться при любом
Oj > 0. Значит, в этом случае первый показатель v (0 равен
нулю. То, что второй показатель е^, v(t) не меньше — е, доказы-
вается аналогично предыдущему.
Таким образом, если можно подобрать числа а и ₽ так, чтобы
выполнялись условия (26.35) или (26.36), то функции е^, v (0 стре-
мятся к 0 не быстрее Поэтому, если в неравенствах (26.28)
заменить функции v(t) функцией
е°(0 = *"в,*+ max е? (t),
k, V
(26.38)
где индексы k и v принимают все допустимые значения, то нера-
венства станут ненамного грубее. Очевидно,
и
е° (0 -> 0, при
8»(0>«-Ч
(26.39)
Возможно, ни при а и б| условие (26.35) не выполняется, что будет
наблюдаться, например, для функций б (0 с бесконечным отрица-
тельным показателем. Тогда можно показать, что функции v (0
стремятся к нулю быстрее произвольной экспоненты.
26.7	. Доказательство теорем 26.1.1 и 26.1.2. Предпо-
ложим сначала, что выполнены условия теоремы 26.1.1.
С помощью теоремы 15.4.2, применяя такой же прием, как
в лемме 26.5.2, без труда докажем, что существует гомео-
морфизм Ф*, обладающий всеми свойствами, указанными
в утверждениях 1) и 3) теоремы 26.1.1. Если	то
лемма 26.5.2 для v = 0, 1...ntk гарантирует существо-
26.7]	§ 26 ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ	353
вание гомеоморфных отображений Фл>у множеств £,ft>v(0)
на LktV со свойствами, перечисленными в утверждении
2) теоремы 26.1.1. Для построения искомого гомеомор-
физма Ф* мы воспользуемся результатами пп. Д. 8.2 и Д. 8.8.
Перенумеруем множества EktV, LktV и гомеоморфизмы Ф^ v.
Рассмотрим число тх. Если тх р, то положим
£1>o(O) = eL	Ех, i (0) = Е2, ...» Elt m^) = E1 (0) = ^1+1,
£i, o = £i»	£1,1 = ^»...»	£i,	= £i = £^+1»
Ф1,0 = ^'1»	Ф1,1=^,2..... Ф1,Л!| = Emi + i.
Если > p, то будем считать, что
Ех(О) = Е*-	ф-‘=Л.
В любом случае можно написать, что
Е\ (0) = Еjit	£i = Lj^
где j\ равно или 1, или л^+1.
Пусть /п2<+ Тогда обозначим
£2,0(0) — Ej i+i,	^2, 1 (0) = £/1+2, . .	•. £2,m2(0) = E2(0) =
£2, O = £/j+b	£2. 1 = £/1 + 2» . •	U,ms = U = _ /* — L)l+mi+V
Ф2, о = Л/1+1*	Ф2, 1 = Eji+2, . .	.	Ф2, m2 = = Л/1+™2+Ь
В случае т2	> Р положим	
Е2 (0) =	£2 = £;1+1,	
Если считать, что j2 равно или /1 + ^1+или /1 + 1,
то
e2(0)=e;2, l2 = l\.
Далее рассмотрим число т3 и введем аналогичные обо-
значения для Е31(О) и L3i.
23 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
364 ГЛ. VIH. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ рб.7
В конце концов, когда эта процедура будет проделана
для всех множеств EfttV(0) и Lkv, мы получим серию много-
образий Ef-, линеалов Ц и гомеоморфизмов F/. При этом
будут иметь место включения
О £ Li cz L*cz . .. с:Д^,	(26.40)
О^сЕ^с: ... cEJ.	(26.41)
Так как всякий гомеоморфизм Fz совпадает либо с Ф”1,
либо с то справедливы равенства
=	(26.42)
Ft (Г{_!)=Е;_ъ	Ft(o) = o (26.43)
И
Fi+AL'l+1\L^ = E*M\E* (/=1,2...........q—\). (26.44)
Если удовлетворяются условия теоремы 26.1.2, то занумеро-
вав подряд множества Ekv(0), Lk v и гомеоморфизмы ФГ/v
и обозначив множества и гомеоморфизмы через Е/, Lt и F/,
вновь видим, что справедливы соотношения (26.40) — (26.44).
На основании теоремы из п. Д. 8.2 заключаем, что и при
условиях теоремы 26.1.1 и при условиях теоремы 26.1.2
существует гомеоморфизм Ф =F~1 пространства Ln на себя
(£;=/,;=г), отображающий многообразия Е/ на линеалы Lt.
Отображения Ф* и Ф*”1 удовлетворяют условию Липшица,
ибо условие Липшица выполняется для всех F/ и Ff1.
Чтобы закончить доказательства теорем 26.1.1 и 26.1.2,
мы должны убедиться, что гомеоморфизм Ф* обладает нуж-
ными свойствами. Прежде всего покажем, что если
У* = Ф* (X),
то через точки х и у* в момент f = 0 проходят решения x(t)
и у*(0 систем (23.1) и (23.2) с одинаковыми показателями.
Действительно, если х£Е*\E*_i, то У = Ф*(х)££/
ибо
ф’(е;)=/.;	</=1,2.......?),

26.7|	§ 26. ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ	355
и поэтому
Поскольку всегда для любого I = 1, ... , q найдется индекс к
такой, что
и	(26.45)
то х£#\(0),	что равносильно доказываемому.
Если или выполнены предпосылки теоремы 26.1.2,
то из построений настоящего пункта видно, что
Е\ \Е*_х = v (0), L] \ L'l-i = v (26.46)
Поэтому в этих случаях у решений x(t) и y*(t) совпадают
не только первые показатели, но и вторые. Чтобы доказать
неравенства (26.2), (26.3), (26.6), оценим норму разности
решений x(t) п у (t), связанных при t = 0 гомеоморфизмом Fp
Здесь имеются две возможности. Если Fz = ®“1, то по тео-
реме 15.4.2
. |х(0—ЯО|<Яд’|х(0)|е(л*+в'>',	*>0,
где Лл — показатель x(t) и y(t).
Если Fz = ®r,v» то по лемме 26.5.2, заменяя e°>v(0
на е°(О и на	(см. (26.38)), получим
I X (t) — у (О К DI х (0) I е° (0	'pV+m*' “₽ (0.	t > 0.
(26.47)
где Лл и v—первый и второй показатели x(t) и y(t).
Таким образом, если х (0) = {у (0)), то можно считать,
что для решений x(t) и y(t) систем (23.1) и (23.2) выпол-
няется неравенство
I х (0 — у (t) | < Dt | х (0) | (0,	(26.48)
где функция |z(/) равна либо e(A*+6')*t либо
(Лv+zn£,-p
е°(0^ * ' р k (t)9
a k и v зависят от Z.
В условиях теоремы 26.1.2 всегда
h (0 = е° (О pv+m*'_₽ (0	(26.49)
23*
356 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ [И.7
(A, v вависят от 0. Покажем, что найдется такое число
О0 > 1, что
ОЛ+1(0>Ь(0.	(26.60)
Действительно, если имеет место (26.40), то
£?+1 = E*t V+1 (0), Е' = Ekt v(0).	(26.51)
Если	—1, то
^+i(o=P(oiz(o.
т. е. неравенство (26.50) соблюдено с Z)0=l. Если v = /n^,
то '
Так как Лй+1 > Лл, то неравенство (26.50) удовлетворяется,
если считать О0 достаточно большим.
Убедимся, что (26.50) выполняется и в условиях теоремы
26.1.1. Здесь может представиться несколько случаев.
Случай 1. Fz+1 Ф”1 и Г1=^Ф~1. Значит, имеют
место равенства (26.51). Хотя в данном случае а = 0 и
mQk,=mk9 рассуждения остаются прежними и неравенство
(26.50) будет соблюдаться.
Случай 2.	= Очевидно, должно
быть
Е/ = Еь (0), Et+x =	0(0).
Значит, согласно теореме 15.4.2 и лемме 26.5.2,
^(0 = е<Л»+6')/,
^+1(О = ео(0елА+«<ртй+1-₽(0.
Считая < у (Лл+1 — Лй) и вспоминая (26.39), видим, что
при некотором О0 неравенство (26.50) выполняется.
Случай 3. Р<+1 = Ф-*. F, Ф Ф *. Следовательно,
Е* = Ек, тк (0) = Ек (0), E*i+l = Ек+1 (0).
Э7.1|
I Ю. АНАЛОГИЯ систем ВБЛИЗИ особой точки
357
Поэтому
1<(О = е°(О«А*<Р2т*"р(О.
5<+1(0»э(А*+«+б')‘.
Неравенство (26.50) очевидно.
Случай 4. £/+1 = Ф“1, FZ = O“1. Значит,
E/=E^(0),	£/+i = Ek+i (0),
11 (О = е(Л*+6'> '.	1/+1 (О = в(А*+«+д’И.
Условие (26.50) будет выполнено с константой О0=1.
Таким образом, условия теорем 26.1.1 и 26.1.2 обеспечи-
вают выполнение неравенства (26.50). Соотношения (26.40) —
(26.44), (26.48) и (26.50) показывают, что множества Е/, Li
и гомеоморфизмы удовлетворяют условиям теорем пп. Д 8.2.
и Д. 8.11, ибо можно считать T)z (t9 г)^1. Поэтому справед-
ливо неравенство (Д. 8.37) (с т]/^1), причем функция |z(f)
в условиях теоремы 26.1.2 определяется равенством (26.49),
где следует положить %(х) = Лл, /2(х) —v, а в условиях
теоремы 26.1.1
| ^(Лл+б )*,	если
11 (0 — j eAftlpv+mftесли
Х(х) = Лй и
Х(х) = Ай и /пй>р.
(Напомним включения (26.45) и (26.46).) Если обозначить
DeQ (t) — &* (t), то (Д. 8.37) переходит в (26.2), (26.3) и (26.6).
Из неравенств (26.3) и (26.6) вытекает аналогия решений и
требуемые оценки отклонения. Неравенство (26.4) устано-
влено в лемме 26.4.1. Доказательство теорем 26.1.1 и 26.1.2
окончено.
§ 27, Аналогия систем вблизи особой точки
27.1.	Задача. Мы по-прежнему будем сравнивать реше-
ния систем (23.1) и (23.2), считая, что для их правых частей
выполняются требования:
а)	А—постоянная квадратная матрица порядка п, х и
у — ^-мерные векторы;
358
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(27.1
б)	f(t, х)— n-мерный вектор, определенный в цилиндре:
t>0, \х\</?о< 1;
В) о) = о;
г) |/(t *1)х2) |< WG) | X! -х21.
где £ = шах (| хг |, | х21), W(£)— монотонно возрастающая на
[О, /?0] функция, стремящаяся к нулю при |->0.
Таким образом, в отличие от § 25, вектор f(t, х) опре-
делен не для всех х, и вместо функции б(/) в условии г)
здесь появилась 2V(£).
Если считать число 7?0 настолько малым, что в замкну-
той окрестности 3 (О, /?0) функция N (£) окажется достаточно
малой, то из теоремы 17.1.1 легко получается следующее:
1)	Показатель всякого решения системы (23.1), остаю-
щегося в окрестности S бесконечно долго, равен одному
из чисел Az 0.
2)	Для всякого решения x(t) системы (23.1), кото-
рое при t = Q проходит через точку xQ£S и показатель
которого не превосходит Л* < 0, удовлетворяется нера-
венство
|x(0|<De|Xol«(A/+e)'.	'>0,
где е > 0 как угодно мало, a De не зависит от х0.
3)	Если Лг < 0, то решение х — о асимптотически
устойчиво, если Лг > 0, то оно неустойчиво.
Если Aj > 0, то все решения, кроме тривиального,
уходят из S при конечных значениях t.
4)	Существует гомеоморфизм Ф, отображающий
некоторую окрестность 3* точки х = о(3*с3) на неко-
торую область О и такой, что:
а)	образ множества S* — E(G)[\S* в силу Ф лежит
в линеале L и содержит все точки из L, достаточно
близкие к точке х — о, Ф(о) = о1);
б)	через точки из Е(0) и L, соответствующие в силу Ф,
в момент / —0 проходят решения x(t) и y(t) систем
(23.1) и (23.2) с одинаковыми показателями: кроме того
для
IX (О-у (t) I < IX (0) IЕ1 (Л I х (0) I) е(А/+8>
1) Определение множеств Е и L см. в п. 24.4.
27.2]
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
359
где Az— показатель х и у, е>0 произвольно мало,
£i(t £)->0, когда Z + ^“1->oo;
в)	отображения Ф и Ф1 удовлетворяют условию
Липшица и имеют вид
Ф(х) = х + ф(х),	Ф"1О)=3’ + *О).
где
I ф (X) | = О (| X |) при х->0,
|ф(Х1) —Ф(Х2)К^1(У|Х1 —х2|, g = max(|x1|, |х2|),
^а)->0 при
и, сверх того,
когда х->0.
5) Кроме того, если среди чисел Аь Л2, Лг нет
равного нулю, то через точки S\E(Q) в момент / = 0
проходят решения системы (23.1), покидающие окрест-
ность при конечных t.
Настоящий параграф мы посвятим более детальному изу-
чению решений системы (23.1) с отрицательными показа-
телями, считая, что 7V(£)->0 достаточно быстро.
27.2.	О малости функции ЛГ(£). Мы будем считать, что
функция N (|) имеет вид
М(1)=8(|)^|1п|Г для ^С(0. /?о1.
W(0) = 0.
(27.1)
Здесь е (£) > 0 — монотонно возрастающая на [О, /?0] функ-
ция такая, что
Яо
е(ё)
61М|
оо,
(27.2)
а X и ц — некоторые числа, удовлетворяющие условию: если
Х = 0, то ц < О, если X > О, то ц произвольно.
Очевидно, при N Q,) монотонна на всем отрезке
Ю. /?01-
Если же > 0, то и X > 0. Легко видеть, что в этом
случае функция | In £ |и будет монотонно возрастающей на
360
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(27.2
полуинтервале (0, Ц, где £ = min (/?0, е х). Поскольку
и е(£) монотонно возрастает на этом промежутке, то это же
верно и для N (£).
Так как ц < 0 при 1 = 0, то можно считать, что в этом
случае | = /?0.
В дальнейшем мы всегда будем считать /?0 настолько
малым, что для &£(0, /?0] функция | In £ |ц (и значит, ?/(£))
монотонна.
Заметим, что условие (27.2) соблюдается, если е(£) =
= | 1п||~\ где &! — любое положительное число. Поэтому
функция
N = 7V0 |1П£|“\	(27.3)
где и у — некоторые положительные числа, есть функция
типа (27.1), ибо, считая < у, ее можно записать в виде
Na)=^iin^-6i|in^rv+e‘.
Аналогично функцию
=	(27.4)
где > 0, у > 0 можно также рассматривать как функцию
типа (27.1), ибо, полагая е(£) = М0£б1» видим, что
WG) = eGHv“e-.
Функция вида (27.4) встречается, например, в тех слу-
чаях, когда правые части (23.1) разлагаются в степенные
ряды и вектор /(Л х) представляет собой совокупность
всех членов разложения порядка выше первого.
Рассмотрим функцию
W =	(27.5)
где 1о 0» v 0, Л < 0 — некоторые числа.
В соответствии с равенством (27.1) можно написать
д (0 = е GZV (О)	Vv (011 n feZ'pv(O) |ц. (27.6)
Положим
|ХЛ|=а°’	|	(27 7)
lv + |x+l=-p0. /
27.2) '	§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 361
Имеет место следующее предложение.
Лемма 27.2.1. Если	&ЛЯ
то функция 6(0 монотонна по £0 и стремится к нулю
при —> 0 равномерно по Кроме того,
оо
J еОвТрРо	< -{- оо.
(27.8)
Доказательство. Первое утверждение есть следствие
двух обстоятельств: во-первых, функция W(&)->0 при
£->0, и притом монотонно, если	и, во-вторых,
величина £ = £o0A/pv(/) для не превосходит |0Л4, где
М = max [^pv (t)] на полуоси [£0, оо), который существует
из-за отрицательности Л.
Докажем неравенство (27.8). Для этого достаточно убе-
диться в сходимости
J e(e<‘*v). dt.
(27.9)
где T^tQ — любое положительное число.
Заметим, что функция	начиная с
t = t\ стремится к нулю монотонно.
Будем считать, что l"^t\ Сделаем замену
некоторого
|0^v = x.	(27.10)
Очевидно, т —>0 при /—>оо.
Обозначив т(Т) = т0, имеем равенство
t
т
dt = —\ —^Lydr,
J T(A/4-v)
0
(27.11)
где следует считать t функцией т. Так как >оо, когда
т->0, то для сходимости интеграла (27.9) достаточно
доказать сходимость
(27.12)
о
362 гл VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ (27.3
Очевидно, соел%г Отсюда из-за отрицательности Л имеем
t _L in (так как т -> О, то можно считать ~ In > ок
Л g0 \	.	Л so /
Значит,
£ (т)	Ле(т)
xt . Г’
xln-^—
So
и из условия (27.2) вытекает сходимость интегралов (27.12),
(27.9) и (27.8).
27.3.	Асимптотика решений системы (23.1) с отрица-
тельными показателями. Пусть х (О — какое-то решение
системы (23.1) и < 0 — его показатель. Для изучения
поведения x(t) применим принцип линейного включения
(см. п. 12.3).
Рассмотрим систему
г = Л^ + Ф*(Л z),	(27.13)
где
i(/))-	-(27-14)
Ясно, что x(f) удовлетворяет системе (27.13), вектор-
функция Ф*(£, z) линейна относительно г,
|Ф*(Л гО-Ф*^. «2)|<W(|x(O|)l«i-г2|. (27.15)
Ф*(Л О) = о.	(27.16)
Образуем числа
а= 1ЛЛ.1,	1
P = -(Xv+H+1). |	<2717>
Лемма 27.3.1. Если Х = 0, а	или р,
произвольно, а К > 0, то всякое решение системы (23.1)
с показателем < О аналогично некоторому решению
системы (23.2) и их отклонение есть o(/'A^m*'+Xv+g+1),
где v — второй показатель этих решений (см. п. 25.3
и равенство (25.35)).
Доказательство. Пусть x(t)— решение системы
(23.1) с показателем Лй. Тогда |х(/)|<Ce(Afc+6i)/ для
t 0, где С — некоторое положительное число, > О,
Лд + 61 < 0.
27.4]
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
363
Начиная с
станет меньше
написать
некоторого ^ = /о^О, функция
Rq, и в силу монотонности N (%) мы можем
W(|x(Ol)<W(C*(A‘+6,) ')•
Покажем, что функция
d(/) = JV(Ce(A*+ei)')
удовлетворяет условию
J tmkb(t)dt < 4-00,
ft
(27.18)
которое, как видно из теоремы 26.1.1, является достаточным
для того, чтобы любое решение системы (27.13) с показа-
телем ЛЛ (включая и х(0) было аналогично некоторому
решению системы (23.2). К функции &(Z) применима лемма
27.2.1. Если X > 0, то иао=|ХАй| > 0 и из условия (27.8)
вытекает (27.18). При Х = 0 и Oq = 0, но по условию
леммы — (1 —|—znfe). Значит, р0 =— (14“H)^wft. По-
этому из (27.8) снова следует (27.18).
Таким образом, всякий x(t) из <fk аналогичен неко-
торому y(t) из Поэтому их вторые показатели оди-
наковы. Предположим, они равны v. Тогда по теореме 26.1.1
\x(t)\=O(e^tv).
Значит для больших значений t будет удовлетворяться
неравенство
|x(OI<sZ*W(O</?o-
Если ввести обозначения (27.17) и определить функ-
цию б(^) равенством (27.5), то по лемме 27.2.1 окажется
выполненным условие (27.8) с Oq = (x и р0 = р. Теоремы
26.1.1 и 26.1.2 гарантируют, что всякое решение системы
(27.13) с показателем ЛЛ аналогично некоторому решению
системы (23.2) и их отклонение есть о	при Z->oo.
Так как x(t) также является решением системы (27.13), то
лемма доказана.
27.4.	Формулировка теорем. Предыдущая лемма пока-
зывает, что всякое решение	аналогично некоторому
364
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
{27.4
вектору у (t), но оставляет открытым вопрос, можно ли для
любого вектора y(t) из указать аналогичный ему век-
тор	какова структура множества £\(Z0), его
размерность.
На все эти вопросы с достаточной полнотой отвечают
следующие теоремы.
Теорема 27.4.1. Пусть удовлетворяются усло-
вия а), б), в), г) п. 27.1, функция W(£) определяется
равенством (27.1), где Х = 0, а ц— некоторое отрица-
тельное число, и имеет место неравенство (27.2).
Тогда:
1)	Справедливы утверждения 1) — 5) п. 27.1.
2)	Всякое решение x(f) системы (23.1) с показателем
Ak < 0, где индекс k таков, что — (1 -\-mk), ана-
логично некоторому решению y(t) системы (23.2), и
отклонение х от у есть o(f”*+1+,x) при t-+oo. Кроме
того, если точка хо = х(О) принадлежит некоторой
окрестности S* начала координат (S*czS), то для x(t)
верна оценка
|x(O|<D|xo|eA^pv(O,	(27.19)
где D не зависит от х0 и f, a v — второй показа-
тель х.
3)	На S* определен гомеоморфизм Ф*, обладающий всеми
свойствами гомеоморфизма Ф, указанными в утвер-
ждении 4) п. 26.1 и такой, что если Ak < 0,	(1 Д
то решения x(t) и y(t) систем (23.1) и (23.2), проходя-
щие в момент t = 0 через соответствующие в силу Ф*
точки и имеющие показатели, равные Ak, аналогичны,
их отклонение есть o(tmk+x+]i:) при t-+oo и для /^>0
они удовлетворяют неравенству
|х(0-ЯО|<|хоК(*. |xo|)eAftfPv+'"‘+I+,i(O.
где v — второй показатель х и у, &*(t, |)->0, когда
1 —>оо.
Прежде чем сформулировать другую теорему (для слу-
чая Х>0 в (27.1)), определим для каждого индекса k
такого, что < 0, число k' с помощью неравенств
Afc'-i < (1 -р X) Ak А&,
27.4)
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
365
где
А) < (1 +М Ар
Ясно, что k' однозначно определяется числом k\ k' =
Кроме того, положим
10, если (1 -|-Х)Л* < Л*',
т^, если (1-|-Х)ЛА = Лй'.
Теорема 27.4.2. Пусть выполнены условия тео-
ремы 27.4.1 с тем лить различием, что X > 0, а р,
произвольно»
Тогда справедливо следующее*.
1)	Верны утверждения 1)—5) п. 27.1.
2)	Всякое решение системы (23.1) с показателем Aft < 0
аналогично некоторому решению y(t) системы (23.2);
jl	( ХД«t +A,v+|*+1\
отклонение х от у при /—>оо есть о\е k t *	)>
где v — второй показатель х и у.
3)	Существует окрестность S*aS точки х = о
такая, что для всякого решения x(t) системы (23.1)
с показателем Лй < 0, которое при / = 0, проходит
через точку x0£S*, выполняется неравенство (27.19).
4)	В окрестности S* определен гомеоморфизм Ф*,
имеющий свойства гомеоморфизма Ф, указанные в утвер-
ждении 4) п. 27.1. Сверх того, если Ak < 0, то реше-
ния x(t) и y*(t) систем (23.1) и (23.2) с показателями Ak,
проходящие при t = 0 через соответствующие в силу Ф*
( ХД./Av+m2,+g+l\
точки, аналогичны, их отклонение есть о\е &t k j
при	где v — их второй показатель, и для них
при /^>0 выполняется неравенство
|Х(О-/Ю|<
< | х (0) 11+1е* (Л I х (0) I )?1+м л* *p(l+M V+n!*'+g+1 (0.
причем в случае ц<С0
когда t -|- £ 1 -> оо.
а при ц > 0
8’(Л У = |1п||Ч(Л У
и	когда
гл-
VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ
ЛИНЕЙНЫМ
127.5
з«?
(СМ-
5)
п-
0 дополнение к свойству в) гомеоморфизма Ф
27.1, утверждение 4)) можно написать
ф* (х) = х + Ф* (х),	Ф*'1 (х) = х 4- ф* (х),
где
|ф’(х)| =о(|х|1+к),
|ф’(х)|=о(|1п|х||,‘|х|1+1),
если
если
ц «С О,
р. > О,
lim
х-> о
1<Р*(х)1
1Г(л)|
1.
и
Обратим внимание, что, в отличие от §§ 25 и 26,
отклонение зависит здесь от роста решения и его начального
значения.
Отклонение оказывается тем меньше, чем быстрее к нулю
стремится решение и чем ближе к началу координат лежит
начальная точка. Это не является неожиданным. Так как
порядок малости вектора f(t9 х) выше первого, то его
влияние на поведение решения сказывается тем слабее, чем
быстрее решение стремится кои чем ближе к точке х = о
оно было расположено в начальный момент.
Этим же объясняется и близость гомеоморфизма Ф*
тождественному.
Для доказательства теорем 27.4.1 и 27.4.2 нам по-
требуются все последующие построения настоящего пара-
графа.
27.5. Структура ансжеств £*>v(0) и ef*, v(0). В усло-
виях леммы 27.3.1 каждый вектор x(t) из аналогичен
некоторому вектору	Поэтому вторые показатели
решений из могут равняться только числами 0,1,2......tnk.
Но для всякого ли v = 0, 1......ntk существуют реше-
ния из (?k со вторым показателем v, нам’неизвестно, так же
как неизвестно строение множеств §\v(0) и v (0).
Мы дадим довольно точное описание тех частей этих мно-
жеств, которые лежат вблизи начала координат.
Обозначим окрестность точки х = о радиуса через
S(o, и назовем символами E^v(0),	v(0), £^(0) и
<Dk (0) пересечения этой окрестности с множествами EktV(Q\
^,v(0). £Д0),	(0)- Под множествами E'kt v,
27.5]
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
367
будем понимать совокупности решений системы (23.1),
которые при t = 0 проходят соответственно через точки
множеств
£*,v(0),	^(0) и ^(0).
Лемма 27.5.1. Если выполнены условия леммы 27.3.1,
А* < 0, число % достаточно мало, то для любого
v —0, 1, .... mk множество S\v(0) не пусто и на
Ek, v(0) определен гомеоморфизм со следующими
свойствами:
1)	Ф*, v отображает Ek,v я (fk,v (0) соответственно
на некоторые части LktV и oS^k v содержащие все точки
этих множеств, достаточно близкие к началу коор-
динат: Фй v(o) = o.
2)	Фл, v я Ф*Л удовлетворяют условию Липшица.
3)	Имеют место равенства:
Ofc, v (х) = X 4- ф», V (X),	ФгЛ (х) = X +- ф*. V (X),
где
|q>ft>v(x)|<^>v(|x|)|x|,+\
причем в случае
Wft.vtS)-*0 пРи В~*°«
а в случае ц > 0
Ar4>va)==iMi%,v(£)
«	(£)-*• 0 пРи &~*0- Кроме того,
Um
и для любых X! и х2 из Efkt v (0)
I Ф^, V С*1) Фй, V (^)I ^k, V (В) £ 1^1 I »
где | = тах{|х1|, |х2|}.
4)	Через соответствующие в силу Ф*, v точки мно-
жеств E^v(0) и Lk.v в момент t = 0 проходят решения
систем (23.1) и (23.2), аналогичные и с отклонением
о I е t	J при t " оо.
1 368
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
(27.5
i
5)	Решения x(t) и y(t) систем (23.1) и (23.2), про-
ходящие при Z = 0 через соответствующие в силу
точки удовлетворяют для ^^0 неравенству
|х(0-^(01<
<Dk A	1^(0)|)|х(0)| 1+71+X)A*'P(m)(0>
(27.20)
где DfttV>0 — некоторое число, не зависящее от х,
а функция (t9 |)|х монотонна по % и стремится
к нулю, когда / +	При этом, если ц^О, то
е* v(t, £)—>0, когда	->оо, если же ц > 0, то
4,^- l)=MlXv(t & где i|>; v(f, 4)->0, когда t +
+	1->оо.	,
Помимо этого, для любого x(f)£Ek v верна оценка
(27.19).
Доказательство. Постараемся воспользоваться ре-
зультатами §§ 25 и 26. В пространстве (t, х) рассмотрим
область GktV, описываемую неравенствами
*>0,	|x|<W>v(0*A<
(27.21)
где Ай < 0 и число £0 настолько мало, что для t 0

(27.22)
Это означает, что для v = 0, 1...mk область GktV
содержится в цилиндре, где задан вектор f(t, х). Пусть
точки (/, Xi) и (/, х2) принадлежат Gkt v. По свойству г)
вектора f(t, х) (см. п. 27.1)
I /(t *1) —ftt' Х2) I < (£) I *1 — *21.
где § = тах(|х1|, |х2|). Из неравенства (27.21) видно, что
К&оРЧ'М*'.	(27.23)
В силу монотонности ЛГ(|) отсюда вытекает
Полагая
iv(i)<w(lopv(OeAft/)^6(o.
Uov(/)e^' = T](O.
i
27.5]	§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 369
из равенства (27.1) получим
6 (t) = & (Л (0)	(О I In [ VAfe'pV (0) Г- (27.24)
Таким образом, для любых пар (it хг) и (t, х2) из OkiV
удовлетворяется неравенство
|/(/, *1)— f(t, х2)1<6(01*1 —*2|.
где 6(0 определяется формулой (27.24) и зависит от £0.
Применяя обозначения (27.17), образуем функцию 6* (О»
полагая
6* (О = ^рЗ(О 6(0.
Далее, для v* = v и 0 = 0 построим функции фа или ф0
(см. (25.50') или (25.50")) и вспомним, что имеет место нера-
венство (25.53), где нужно положить /о = 0. По лемме 27.2.1
мы можем выбрать |0 настолько малым, чтобы правая часть
(25.53) оказалась меньше у. Таким образом, неравен-
ство (25.51) будет удовлетворяться для всех /^>0, если
только число |0 (от которого зависит 6(0) достаточно мало.
Это мы и будем предполагать.
Обозначим через 0*(£ х) вектор, являющийся продолже-
нием /(/, х) с области GkiV на все пространство (t, х),
/^>0 и обладающий свойством: для любых точек (0 Xj)
и (f, х2), ^^>0,
|0*(Л	—0*(О х2)|<8(0|Xj—х2| (см. п. Д. 21.2).
По лемме 27.2.1
. J eatp₽ (т) 6 (т) dx < -Ь оо.	(27.25)
о
Значит к уравнениям
« = A« + 0*(t «)	(27.26)
и (23.2) применимы результаты §§ 25 и 26.
Введем множества £*(/0), ^й(^о), Ek, v(^o),	v(^o)» ана-
логичные множествам Ek(t^), ^\(/0) и т. Д-» но содержащие
начальные условия решений системы (27.26). Так же опре-
делим множества ^v(^o)’	и т- д-
24 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др,
370 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ 127.5
На основании лемм 26.5.1 или 26.5.2 и 26.4.1 можно
высказать следующее:
I.	Существует гомеоморфизм Фй v, отображающий мно-
жество v(0) на линеал Lk, v и v(0) на v;
II.	ФА> v и Фй/v удовлетворяют условию Липшица.
III.	Через соответствующие в силу Фй >v точки множеств
^,v(0) и v в момент / = 0 проходят решения систем
(27.26) и (23.2), аналогичные и с отклонением о[е **t1^ Р),
где А'= ф1(/г).
IV.	Для любого u(t)£Ek, v выполняется неравенство
I и (ОI < Dkt vI и (0) I eA»'pv (0, t > 0,	(27.27)
причем не зависит от и и 0*.
Так как в любой близости начала координат существуют
точки из и то соответствующие им в силу Ф*, v
точки из Ek, v(0) и ^k, v(0) также близки к началу координат.
Считая |«(0)|С£' = выводим из неравенства(27.27)
при f>0.
Следовательно (см. (27.21)), точка (/, u(f))£GktV и
©•(/, #(/))=/(/,	(27.28)
Поэтому рассматриваемое решение u(t) системы (27.26)
является решением x(t) системы (23.1). Этим доказано, что
множества E^v(0) и v(0) не пусты. Так как любое ре-
шение x(t) из Ekty удовлетворяет системе (27.26) и при-
надлежит Ek, v» то для x(f) выполняется неравенство (27.27),
а значит и (27.19).
Утверждения 1) и 2) доказываемой леммы легко полу-
чаются из установленных выше фактов I и II. Действительно,
гомеоморфизм ФЛ у отображает £$>v(0) на Lk, v и ^tV(0)
на <3?v.
Следовательно, образы множеств E'“v(0) и ^\(0) лежат
соответственно в LktV и J?\,v и содержат все точки LktV
с малыми нормами, ибо Фл> v(o) = o. Поскольку £'“v(0) =
27.5]
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
371
= E'kv(Q) и	=	то утверждения 1) и 2)
доказаны.
Займемся проверкой утверждения 5). Для этого убедимся,
что решения x(t) и y(t) систем (23.1) и (23.2), проходящие
при / = 0 через соответствующие в силу Фл> v точки мно-
жеств Ekt v(0) и связаны интегральным уравнением
t
х(0=>(0+J	т)}/(т, x(x))dx —
о
оо
- J	т)}/(т, x(x))dx, (27.29)
t
где
kf = ^(k)9	0 = ф2(й, v).
Согласно определению гомеоморфизма Фл, v (см. п. 26.3)
для любых соответствующих в силу Фй,v решений u(t)
и y(t) систем (27.26) и (23.2) выполняется при /^>0 ра-
венство !)
t
й(0=3»(0+/ {Yv-^t-xy+Zktt, т)}0’(т, u(x))dx —
О
оо
- J {F_ft,(/-T)+ZP?a. т))0*(т, u(x))dx. (27.30)
t
Так как решение x(t) из EktV принадлежит и Е^ v, то для
u(t) = x(t) и y(t)t связанных гомеоморфизмом Ф^,у» спра-
ведливо равенство (27.30).
Если считать Z)ftf(V^>l, то £'и из того» что
x(t)^E'kt v, следует, что точка (Л x(f))£OktV. В силу (27.28)
равенство (27.30) при u(t) = x(t) переходит в (27.29).
Теперь оценим по норме каждый из интегралов из (27.29).
Так как для x(t) доказано неравенство (27.19) и /(/, х)
удовлетворяет условиям в) и г) п. 27.1, то, положив
D*(Z*W)==0(O.	(27.31)
е (0 (01 х01) D\ v | х0 |Х ?A*'pXv (0 [In (0 (01 хо | )]g = S (t, | х0 |).
(27.32)
9 В данном случае ФЛу == Ф*¥, ибо = 0.
24*
372 гл. vin. системы, аналогичные линейным J27.5
можем написать
|/(т, х(т))|<б(т, |х0|)|х(т)|.	(27.33)
При этом будем помнить, что б(т, |х0|) зависит от k
и v. Кроме того, поскольку xo = »o^£,'“v(O) = £' v(0),
то |х0|< Но, как мы условились выше,	. По-
этому
0(OkoK^A4v(0,	(27.34)
и, следовательно, вспомнив о монотонности функции N (|)
и равенство (27.24), находим
б(^, |*ol)<6(0 *ля	(2^.35)
Рассмотрим функцию
|x0|) = e«WW l*ol).
где числа аир определены равенством (27.17). Очевидно,
6*(t |JCb|) = D*,v|*bl4.v(*, |Хо|).	(27.36)
где
W'- |Jfol) = e<0(OI*ol)p-(l-1 Ю|1п(0(С|хо|)|ц. (27.37)
Из леммы 27.2.1 и (27.35) следует
|б*(т, |х0|)</т<4-оо.	(27.38)
О
Так же, как в лемме 26.5.2, находим из (27.29)
IX (0 — у (О К Dk vekt v (t, I x0 I) e^k	*pv+m*’ ~P (t) | x01
для />0.	(27.39)
где функция ektV определяется формулами (26.25), если
в них вместо b*(t) писать 6*(/, |х0|); DktV — универсальная
константа.
27.5]
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
373
В соответствии с равенствами (27.36) и (27.37) из (26.25)
получим
ел, v(^» |*о|) = Dkt v|^b| ®л, v(^» |*о|).
где
|Хо|) =
। £
1	2	оо
p-T”».v j 6ft |XOI)^+ / **,?(*• 1-*о1)^
о	VT
если ф2(&, v) > О,
2
j 2	оо
J dftjV(r, |лб|)Л4- J 6ft>v(T, IXoDdT,
°	L
2
если ф2(/г, v) = 0,
(27.40)
(смысл констант Лл, и Nk > 0 указан в лемме 26.5.1).
Из неравенства (27.39) теперь легко получить нера-
венство (27.20). Для завершения доказательства утвержде-
ния 5) нужно еще проверить, что функция е* обладает
всеми требуемыми свойствами.
Покажем, что [Xg^e^ v(/, | х01) для малых |х0| является
монотонно возрастающей функцией и стремится к нулю,
когда х0->0. Так как для Хо££\ v(0) справедливо нера-
венство (27.34), то, принимая во внимание (27.22), видим:
|Xq|0(O< /?о- Ни полуинтервале (0, /?0], согласно выбору Ro
(см. п. 27.2), функция ^х|1п £1^ монотонно возрастает. Так
как и 0(01^1 является монотонно возрастающей функ-
цией |х0|,тои 0x(0|xo|x|ln(0(f)|xo|)|'i и |хо|х|1п(0(/)|хо|)|'*
суть монотонно возрастающие функции |х0|.
Ясно, что при |х01 -► 0 все эти функции стремятся к нулю.
Из формул (27.37) и (27.40) теперь видно, что функция
е* v(^’ I хо|) I хо|Х монотонна по | х0| и стремится к нулю
при |х0| ->0.
Равенство (27.37) показывает, что в случае |1<С0
v(t, £)->0, когда	>оо. Из формул (27.40) видим,
что и е* v(f, £)->0, если
374
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ. АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
{27.5
Если ц > 0, то для малых £
| In $0 (0) |* < 2* | In 11“ I In (y0 (0) Г (27.41)
где y>0 — некоторое малое число.
Действительно, пусть у взято из условия у0(О<^“1
для /^0, и пусть у < е"1. Тогда каждое слагаемое в пра-
вой части равенства
|1п (^0(0)1 =|ln|| + |ln(Y0(0)|
больше единицы.
Поэтому
|1п(£0(0)|<2|1п 1| |1п(у0(0)|,
откуда и следует (27.41), ибо ц > 0. Из (27.41) и (27.37)
I х I
получаем, что для < е"1,
W*. l*ol)<в(0(01^ь1)Р"*“1 (0110(70(0)1*2^1^.
Следовательно, в случае ц > 0 можно считать, что
л. I).
где ф^(*. £)-*0, когда / +
Таким образом, утверждение 5) доказано.
Если второй показатель x(t) равен v, т. е. xQ£&kt v(0),
то из неравенства (27.20) легко усматривается, что x(t)
и y(t) аналогичны и их отклонение как раз такое, какое
указано в утверждении 4).
Нами доказано, что соответствующие в силу реше-
ния систем (23.1) и (23.2), связаны уравнением (27.29). Если
положить там t = 0, х(0) = х, jf(O)=j, то можно написать
У ==	V (*) = * + Фй. v (X),
где
со
Фй,у(*)= / {г-И--0 + ^(0. Т)}/(Т. JC(T))dT. (27.42)
о
27.5)	§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 375
Пусть хг и х2 принадлежат v(0) и Xi(t) и x2(f)— ре-
шения системы (23.1), приходящие через эти точки при
t = 0. Оценим | v(Xj) — v (x2)|. Поскольку хг (/) и x2 (Л
удовлетворяют (27.26), то, используя неравенство (27.27
и п. Д. 21.4, лолучим для
-x2\e4(>v(t).	(27.43)
Из неравенства (27.27) и свойства г) вектора f(t, х)
(см. п. 27.1) вытекает
|/(г, х, (х) )-/(х. х2 (х))| < W (|0 (0 )|Х1 (х)-х2 (х)|. (27.44)
где g = max(|xi|, 1x4), а функция 0(/) определена равен-
ством (27.31).
Равенство (27.1) дает
N(|0 (0) = DKk, v(t)г (|0 (0) | In (£0 (/)) |**. (27.45)
Очевидно,
< J | Y_k- (--r) + Zpf (0. x) | |/(x, Xi(t))-/(t. x2(x))|rfx.
0
(27.46)
Напомним, что = O при q =	+ 1» а при q^. ткч
согласно (24.39),
I (0. X) | <	(/), x > 0.
Сопоставляя эту оценку с неравенствами (24.31), видим,
что при q^mk’ и т>0
I Yk-(— т)4- Z?’ (0. х) | < De-^pmk’-<i (т), (27.47)
где D>0—некоторое число. Если же q = tnk'-}-lt то
I Yk- (- х)4- Zk^(0. х)| = | Y_k-(— x)| < Oe-(A*+<-8)T.
x>0.	(27.48)
Оценим подынтегральную функцию в неравенстве (27.46)
для случая q^tnk'. Соотношения (27.43), (27.44), (27.45),
376 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ [27.5
(27.47) показывают, что она не больше функции
5ft>v(T, В)^
= D°k< v|x | Xl - x21e (BO (r))	+(1+X) v-* (r) | In (|0 (Q) |“,
(27.49)
где Da, v — константа, общая для любых и х2 из Е^ v-
Ясно, что при >0 функция стремится к нулю. Если
X > 0, то ХЛл < 0. Поэтому существует
В случае
Х = 0,
оо
JSft>v(T, В) dr.	(27.50)
о
k' = k и
—(1 -h /га*).
Так как q^mk> — mk, то это означает, что	—
— Р— <7<^0 (см. п. 25.4). Вспоминая равенство (27.17),
получим v-\-mk —q-{ р — 1. Из (27.49) при X = 0 имеем
sk,^> £) = О(т-’е(В0(т))).
Значит, чтобы доказать сходимость интеграла (27.50),
нам достаточно убедиться, что сходится
р(|рЛу(Т))^	г>0
Но этот интеграл есть интеграл типа (27.9), сходимость
которого была установлена в лемме 27.2.1.
Таким образом, и при X > 0, и при Х = 0 интеграл
(27.50) существует. Кроме того, при >0 он стремится
к нулю. Из выражения (27.49) видно, что
оо
f5ftiV(T. B)dT = Wft,v(BHN-*i-*2|.	(27.51)
о
где в случае ц^0 Nv(£)->0, когда |->0. Если же
р, > 0, то, используя неравенство (27.41), из (27.49) легко
найдем, что
(Vft>v(B)=|in&r№,v(B),
27.6]
§ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
377
где /V*, v(£)—>0 при >0. Усиливая неравенство (27.46),
можем написать в случае q^.mk'
I <Р*. V (-«1) — <Р*. V (*2) I < К ц. V (В) I *1 — х21 •	(27.52)
Если q = tnk' -{-1, то вместо неравенства (27.47) нужно
будет пользоваться оценкой (27.48). Из-за этого правая часть
равенства (27.49) окажется более быстро (чем при q<^.tnk')f
стремящейся к нулю функцией, и, следовательно, сходи-
мость интеграла (27.50) будет обеспечена.
Поскольку v(o) = o (см. 27.42), то из неравенства
(27.52) следует
|фл.v(l*D W1+X = o(|*l) при
Таким образом, доказана та часть утверждения 3), кото-
рая касается Фл> v и Ф*, v.
Можно показать (см. п. Д. 8.1), что из этого уже сле-
дует справедливость остальных утверждений относительно
ФаЛ» Фл, v и v | • Доказательство леммы завершено.
27.6. Доказательство теорем 27.4.1 и 27.4.2. Восполь-
зуемся способом доказательства теорем 26.1.1 и 26.1.2 и
результатами пп. Д.8.3 и Д.8.12. Числа Dk v в неравенствах
(27.20) заменим числом D = maxD^tV по всем допустимым
k и V.
Так как 4?-	—» то в лемме 27.5.1 можно считать,
Ls	V
что |' = -~ При этом для множеств v(0) окажутся вы-
полненными включения
Efkf v(0)c:E*, v+i(0) и Efe(0)c£y, о(О), если J > k.
Возьмем положительное d0<y(Afe+1— Ал)
и положим
' 0,	если £ = 0,
^“^-{-maxel, v(£, |), если	(27.53)
k, V
е°(Л V).	если £>£'
(индексы k и v пробегают все допустимые значения).
378
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
[27.6
Очевидно, функция е°(/, монотонна по £ и стре-
мится к нулю, когда t I”1 —> оо, ибо таким свойством
обладают все е* . Кроме того, если ц^О, то е°(£, £)->0
при	£>-1 —>оо, а при ц > 0 е°(/, £)= |1пБ|цф°(/, £),
где ф°(?, |) --> 0, когда t -f-1-1—>00.
Ясно, что неравенство (27.20) только усилится, если там
вместо v писать е°.
Заметим, что утверждения 1) и 2) .теоремы 27.4.1 и
утверждения 1), 2) и 3) теоремы 27.4.2 содержатся в тео-
реме 17.1.1 и леммах 27.3.1 и 27.5.1.
Займемся проверкой утверждения 3) теоремы 27.4.1.
Если перенумеровать множества Efk v(0), F'(0) таким же
способом, как это было сделано при доказательстве теорем
26.1.1 и 26.1.2, то роль гомеоморфизмов Ff1 будут испол-
нять либо ФА, у из леммы 27.5.1, либо Ф из утверждения 4)
п. 27.1. Так как верна лемма п. Д.8.1, то мы вправе ска-
зать, что Ft и Ff1 обладают свойствами 1*) и 6*) § Д.8.
Далее, как при доказательстве теоремы 26.1.1, будем счи-
тать, что функции £z(Z) из п. Д.8.11 равны либо
eA^pv4 тй+1+и(^), либо г(л*+е)\ а функции T]z (/, |х0|) =
— тах(е°(/, |х0|),	|х0|)).
Легко видеть, что все требования п. Д.8.12 выполнены.
Пусть kQ—наибольший индекс такой, что А*о < 0, т. е.
F^o(O) = F. Согласно пп. Д.8.3иД.8.12 на множестве £'=
= S'f|£» где S'—достаточно малая окрестность начала
координат, существует гомеоморфизм Ф со свойствами 1*),
6*) и (Д.8.37), из чего следует, что Ф удовлетворяет всем
требованиям утверждения 3) теоремы 27.4.1, если считать
e* = DT]Z.
Так как, согласно теореме 17.1.1, множество Е' является
регулярным образом части L и гомеоморфизм Fo, осущест-
вляющий регулярное отображение, имеет свойства 1*) и 6*)
из § Д.8, то, применяя лемму п. Д.8.6 (в ее локальном
варианте), мы можем сказать, что в некоторой окрестности
нуля S* определен гомеоморфизм Ф* со свойствами 1*)
и 6*), совпадающий с Ф на S*f|£ и потому являющийся
искомым. Теорема 27.4.1 доказана. Доказательство утвер-
ждений 4) и 5) теоремы 27.4.2 проводится аналогично.
27.71	$ 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 379
Различие состоит в том, что здесь всегда =
(0 = *<*+М v+'4+*‘+l(0>
T]Z(/, x(0))=|x(0)|M(f, |x(0)|),
а в условии 6*) § Д.8 нужно считать, что
б(|х|) = о(|х|к) при х->0, если ц<0,
б(|х|) = о(|х|х1пи |х|),	если ц > 0.
То, что Fo обладает таким же свойством 6*), можно вывести
из аналитического представления Fo (см. § 17).
В заключение заметим, что если Лг < 0, т. е. все пока-
затели системы (23.2) отрицательны, то L = Ln и множе-
ство Ef есть окрестность точки х = 0. В этом случае, оче-
видно, Ф* = Ф.
27.7. Обобщение теоремы 27.4.2. До сих пор мы счи-
тали, что вектор /(/, х) удовлетворяет условию Липшица
с функцией W (|) в качестве «константы» Липшица. Есте-
ственным обобщением этого является требование, чтобы
вместо условия г) п. 27.1 удовлетворялось неравенство
|/(t хО-Л/,	&)|х1-х2|,	(27.54)
где, как и раньше, § = max(|x1|, |х2|), a N(tt |)—неко-
торая положительная и монотонная по второму аргументу
функция. В дальнейшем нам придется иметь дело с функ-
цией £) вида
W(t =	(27.55)
где константы у и X положительны. При этом, несмотря
на неограниченный множитель удается установить, в слу-
чае подходящего соотношения параметров у и X и показате-
лей системы (23.2), асимптотические свойства некоторых
решений системы (23.1). Точнее, имеет место
Теорема 27.7.1. Пусть выполнены условия а), б), в)
п. 27.1 и (27.54). Пусть функция N(t, |) определяется
равенством (27.55) и показатель Л* системы (23.2)
880
гл. vin. системы, аналогичные линейным
[27.7
отрицателен. Тогда, вела
y+aa* < 0,
(27.56)
mot
1)	У системы (23.1) существуют решения с показа-
телями <^Aj.
2)	Если показатель некоторого решения x(t) системы
(23.1) не больше Aft, то это решение аналогично одному
из решений системы (23.2); их отклонение есть
0(e(Y+*A/+e)i) где Л/
—их показатель, е > 0 произволь-
но мало.
3)	Существует окрестность S*czS точки х = 0 та-
кая, что для всякого решения x(t) системы (23.1) с по-
казателем	которое при / = 0 проходит через
точку xQ£S*, выполняется неравенство (27.19).
4)	В окрестности S* определен гомеоморфизм Ф*.
отображающий S* на некоторую область, содержащую
начало координат, и обладающий свойствами:
а)	для l^k образ множества S( = Е1 (0)П5* в силу Ф*
лежит в линеале Lt и содержит все точки из Lt с ма-
лыми нормами',
б)	через соответствующие в силу Ф* точки мно-
жеств	и Lt в момент / = 0 проходят реше-
ния x(t) и y(f) систем (23.1) и (23.2), аналогичные,
с отклонением o(^(Y+XA^+8) *) и удовлетворяющие нера-
венству
IX (0 —у (f)I < DIх (0)11+М(1+ад Мv+e](27.57)
в)	отображения Ф* и Ф*-1 удовлетворяют условию
Липшица и имеют вид
Ф* (х) = х + <р* (х)	Ф*"1 (х) = х 4	(х),
где
|<р*(х)| = О(|х|1+х),	когда х->о.
Доказательство. Возьмем А = -у- и совершим пре-
л
образования
х = е-л,в. y — e-^v.	(27.58)
27.7] f 27. АНАЛОГИЯ СИСТЕМ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 381
Тогда системы (23.1) и (23.2) примут вид
« = (А + А/) «+/*(*. в).	(27.59)
i = (A + AZ)v.	(27.60)
ГД»
f*(t.	=	в~А‘и).
Вектор f* определен в области
f>0, |«|<ЯовЧ
Очевидно, в более узкой области
/>0,	|«|<Я0
вектор f* удовлетворяет условию
|/*(Л Bi)-/*(t B2)|<N^I®i-B2l.
где £ = e-A/max(|«i|, |«2|). Поэтому, если положить
|* = тах(|«1|, |«2|), то
|/*(Л «0-/*^. «2)1<^оГ’ь|«1-«2|.
ибо у — ХЛ = 0.
У системы (27.60) показатели равны Aj-f-Л...Лг -|~Л.
При этом первые k из них отрицательны, так как А = —-
и имеет место условие (27.56).
Очевидно, =	Полагая е(Г) = А0|‘в,>
|lx = 0, применяя к системам (27.59) и (27.60) теорему 27.4.2,
возвращаясь с помощью формул (27.58) к переменным х
и у, мы докажем настоящую теорему, но в более слабой
формулировке. Именно, вместо неравенства (27.57) мы по-
лучим, что
|я(0—y(O|<l*(0)|1+’b"6,e,(t |x(0)|)el<1+X)A«+e+vP, />0.
Кроме того, свойство в) гомеоморфизма Ф* будет выгля-
деть так:
Ф* (х) = хН-ф* (х),
где
1ф*(*)1 = <’(И1+л'6‘)-
Однако, поскольку е(£) = |6', из соотношений (27.40),
(27.37), (27.52), (27.49) и (27.46) нетрудно вывести требуемое.
ГЛАВА IX
СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
§ 28. Выводы из теорем главы VIII
Здесь, как и в предыдущей главе, рассматриваются си-
стемы
'x = Ax+f(t, х)	(28.1)
и
у = Ау,	(28.2)
правые части которых удовлетворяют либо условиям а), б),
в), г) п. 25.1, либо некоторым сходным условиям.
28.1. Две теоремы В. А. Якубовича. Из результатов
§ 26 легко получаются две теоремы В. А. Якубовича, в од-
ной из которых .речь идет об асимптотике решений почти
линейных систем, в другой — о приводимости ([1], [2]).
Положим
О,	если среди чисел	Лх Лг нет
р—	равного нулю,
тк,	если Лй = 0.
В принятых в п. 24.1 и (25.35) обозначениях первая
теорема Якубовича звучит так:
Теорема 28.1.1. Пусть выполнены требования а),
б), в), г) из п. 25.1. Предположим, что Лг^>0 и
J е^гхгтг+р6 (т) dx < оо.
о
Тогда существует гомеоморфизм у = Ф(х), отобра-
жающий пространство Ln на себя и такой, что через
соответствующие точки в начальный момент про-
ходят решения x(t) и y(t) систем (28.1) и (28.2),
28.1]
§ 28. ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРЕМ ГЛАВЫ VIЦ
383
удовлетворяющие условию
|л(0—пРи t-+oo. (28.3)
Доказательство. Если Лг=0, то из теоремы 26.1.1,
а при Лг > О— из теоремы 26.1.2, следует, что простран-
ство Ln можно топологически отобразить на себя так, что
через соответствующие точки в начальный момент будут
проходить решения x(f) и y(t)t для которых при
справедлива оценка
|х (0-у (ОК (О ря’г+4-(’»г+0 (0>
ибо каждое решение систем (28.1) и (28.2) принадлежит
соответственно Er m =L, т = Ln.
Чтобы удовлетворялось требование (28.3), достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
тТ + trfy —(тт + р)^,
т. е.
т}, — р<0.	(28.4)
Подсчитаем число г'^ф^г). Неравенство (25.21) при
а —Лг и k = r будут выглядеть так:
ЛГ'_1 < Лг — Лг ЛГ'.
Отсюда ясно, что индекс г' таков, что ЛГ'_1 < 0, а Лг> 0.
Если среди чисел Ль ..., Лг есть равное нулю, то, оче-
видно, должно быть ЛГ' = 0 и по определению р = mrr и
mQr, = mrt. Значит, —р = 0, и условие (28.4) выполнено.
Если же ни один из показателей не равен нулю, то
обязательно Лг/> 0. Поэтому /и°=0. Так каки р = 0, то
условие (28.4) снова соблюдается. Теорема доказана.
Теорему о приводимости сформулируем следующим об-
разом.
Теорема 28.1.2. Пусть дана система уравнений
x = Ax-\-B(t)x>	(28.5)
где В(t) —ограниченная и непрерывная (пу^п)-матри-
ца. Если
J t2m\B(t)\dt	(28.6)
о
384	ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	(28.1
где w = max(m1, ...» тГ), то уравнение (28.5) приво-
димо к уравнению (28.2) с помощью ляпуновского пре*
образования
х = <2(0^	(28.7)
причем матрица	когда >оо.
Доказательство. Так как уравнение (28.5) есть
частный случай уравнения (23.1) и роль функции б(/) ис-
полняет 1*(0|. то условие (28.6) и теорема 26.1.1. гаран-
тируют, что для любого решения x(t) системы (28.5) най-
дется аналогичное ему решение y(t) системы (28.2) с от-
клонением о
Матрица У (t), как говорилось выше, состоит из бло-
ков вида
	1	0	... 0’	
	t	1	... 0	
	t2 ~2	t	... 0	(28.8)
fl-'
q\ (?-1)!
Возьмем для каждого столбца yk(t) матрицы Y анало-
гичное ему решение xk(t) системы (28.5) и составим из них
матрицу X(f). Так как
хь (0=^(0+^ (О,
где
то, обозначив через Z матрицу со столбцами zkt имеем
X—Y-\-Zt
Рассмотрим матрицу
Q = XY~1.
Очевидно,
Q = (Г+Z) У-1 = /+ ZY~\
Легко видеть, что если вектор y(t) является решением
(28.2), то вектор x(t) = Q(t)y(t) удовлетворяет (28.5).
28.1]
§ 28. ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРЁМ ГЛАВЫ VIII
385
Действительно, так как
3»(0 = Г(0л.
то
X (0 = Q (О Y (t)y0 = X(t) У-1 (О Y (0у0 = X(t)y0.
Для доказательства теоремы достаточно убедиться, что мат-
рица Ф(0 = -г(0У-1(0-*О. когда /->оо. Из этого, в
частности, будет следовать ограниченность матриц Q, Q-1,
а следовательно, и Q (см. п. 18.2), т. е. принадлежность
преобразования к классу ляпуновских.
Обозначим элементы матриц Ф, Z, У”1, Y соответст-
венно через <pzjfe, zlk, ulk, ylk. Оценим <pZy(/). Рассмотрим
столбец Uj(t) матрицы У”1 (О- Так как У“1(/) = У(—/),
то состоит из блоков вида (28.8), в которых t заме-
нено на —t. Предположим, j-й столбец матрицы У”1 (О
пересекает какой-то блок С, составленный из столбцов и
строк с номерами kt &+1, . .., k-\-q. Следовательно, для
s <Z k и	элементы usj = Q. Поэтому
k + q
zlsus).	(28.9)
s-k
Так как норма каждого столбца матрицы Z бесконечно мала
по сравнению с нормой соответствующего столбца У^7”, то
|^(0| = о(1л(0|Гт).
Первым столбцом блока С матрицы Y является yk, поэтому
| yk (t) | = О	при	£ —> оо,
где со — действительная часть собственного значения Z, соот-
ветствующего этому блоку. Для k s k~\~q> очевидно,
1^(01 = О (eW- <*-*>), t-+oo.
Значит,
Поскольку Y~1(f) = Y(—t), то для	и
'С J & + Ч
25 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
386	ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	|28.2
£
Из (28.9) получим
=	при	/—>оо,	f
ибо q^m, a j^k. Теорема доказана.
28.2.	Случай Гартмана и Винтнера [3]. Пусть вектор
/(Л х) вместо условий в) и г) п. 25.1 удовлетворяет
условию
|/(/, х)| <б(0| х|,	(28.10)
которое, разумеется, менее ограничительно. Из теорем
26.1.1 и 26.1.2 с помощью принципа линейного включе-
ния можно получить следующие предложения.
Теорема 28.2.1. Пусть А — постоянная матрица,
вектор f(t, х) непрерывен по совокупности аргументов
и удовлетворяется неравенство (28.10). Пусть $^>mk
и выполняется условие
j тЗд(т)Л<Н-оо.	(28.11)
о
Тогда:
1)	Справедливы утверждения теоремы 15.4.4.	I
2)	Всякое решение x(t) системы (28.1) с показате-
лем Ak аналогично некоторому решению y(f) системы
(28.2); их отклонение есть o(tm*~$) и
l*(0—y(OI<l*(0)|eWA*V+m*-p(O,	*>о,
где v — второй показатель х и у, е*(О~>0 при >оо.	|
3)	Для любого решения у (t) системы (28.2), х(у)=ЛА,	'
найдется аналогичное ему решение x(t) системы (28.1)
с такими же оценками отклонения и нормы разности,
как в предыдущем пункте.
4)	Всякое решение x(t) системы (28.1) с первым по-
казателем Ak и вторым v удовлетворяет неравенству
| х (t) I < DI х (0) I eA*'pv (/),	/>0,
где D не зависит от х.
Теорема 28.2.2. Пусть выполнены предположения
теоремы 28.2.1, но вместо условия (28.11) пусть

28.2]	§ 28. ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРЕМ ГЛАВЫ VIII	387
удовлетворяется требование
f еатт»д(г)</т < + оо,	(28.12)
О
где а > 0, a (J — любое действительное число.
Тогда:
1)	Всякое решение x(t) системы (28.1) аналогично
некоторому решению y(t) системы (28.2)
|х(О-y(t) I < I X (0) | е*(О е(лл-а) /Pv+m*'_₽(0.
где Лл и v — первый и второй показатели х и у,
£*(/)-> 0 при /~>оо; их отклонение есть
2)	Для любого решения y(t) системы (28.2) най-
дется аналогичное ему решение x(t) системы (28.1),
причем отклонение х от у и норма их разности оце-
ниваются так же, как в утверждении 1).
3)	Справедливо утверждение 4) теоремы 28.2.1.
Доказательство. Теоремы 28.2.1 и 28.2.2 полу-
чаются соответственно из теорем 26.1.1. и 26.1.2 с по-
мощью одного и того же рассуждения. Поэтому мы
ограничимся выводом только теоремы 28.2.2. Рассмотрим
какое-либо решение x(t) системы (28.1). Применяя прин-
цип линейного включения (см. п. 12.3), видим, что x(t)
удовлетворяет линейной системе
z = Az + ®(t, x(t))z,	(28.13)
где
Так как | Ф |	6 (t), то к системе (28.13) приложима
теорема 26.1.2, из которой следует, что каждое решение
этой системы, включая x(t), аналогично некоторому реше-
нию системы (28.2), с отклонением, как в утверждении 1).
Утверждение 3) и оценка нормы разности аналогичных ре-
шений также вытекают из теоремы 26.1.2, ибо число D и
функция е*(/), как это показано в леммах 26.4.1, 26.5.1 и
26.5.2, выражаются через величины, зависящие лишь от
матрицы А и функции &(/). Применительно к системе
25*
388	ГЛ IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	128.2
(28	.13) это означает, что D и е*(^) не зависят от x(t),
хотя х(0 и является аргументом «возмущения» Ф(/, x(t))z.
Таким образом, для завершения доказательства теоремы
28.2.2 нам нужно еще убедиться, что для всякого решения
y(t) системы (28.2) найдется аналогичное решение x(t) си-
стемы (28.1) с требуемыми оценками отклонения и нормы
разности.
Пусть y(t)— любое решение системы (28.2), и пусть Лй
и v — его первый и второй показатели. Возьмем произволь-
ную точку х° и рассмотрим какое-либо решение х°(/) си-
стемы (28.1), проходящее через точку х° в момент /==0.
Подставим х°(0 в систему (28.13) вместо x(t) и найдем,
согласно лемме 26.5.2, решение zx(t) этой системы, ана-
логичное y(t) и удовлетворяющее условию
I г1 (0-у(ОI< ОА> v I ? (0) Iе°(0'pv+ra*’"₽(0. t>0.
(28.14)
По лемме 26.5.2 | z1 (0) | < Л41у (0) |, где Л4—константа
Липшица гомеоморфизма Фд/v Числа М и Dk, v и функ-
ция е°(0 не зависят от матрицы Ф(£, х°(0) и определяются
матрицей А и функцией &(/). Поэтому можно написать, что
|г’ (О -у (О I < D |у (0) I е°<0	'pv+OT*'"₽(0.
|г1(0)-Я0)1<£>|у(0)|е°(0).
(28.15)
где D не зависит от х°(0-
Обозначим z1 (0) — х1 и рассмотрим какое-нибудь реше-
ние х1 (/) системы (28.1), удовлетворяющее условию х1(0) =
= х1. В системе (28.13) положим х(/) = х1(0 и найдем
решение z2(t), аналогичное y(t) и удовлетворяющее нера-
венству (28.14), если в нем вместо Z1 написать z2. Очевидно,
для Z2 будут выполняться неравенства, получаемые из (28.15)
заменой Z1 на z2t и число D, фигурирующее в этих нера-
венствах, не будет зависеть от Xх (t). Далее положим
z2(fi) = x2 и найдем решение x2(t) системы (28.1) с на-
чальным условием х2(0) = х2. Продолжая этот процесс,
получим последовательность точек
х1, х2, ...» х\
28.2]
§ 28. ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРЕМ ГЛАВЫ VIII
389
и решений системы (28.1).
х1 (0, х2(0» • • •. xr(t), ...
При этом верны следующие соотношения:
xr = xr(0)==zr(0) (г = 1, 2, ...),
I — y(t) I < D | у (0) | е°(0 е(л*"“) /pv+'”»'"₽(0. (28.16)
I zr (0) -у (0) | < D |у (0) | е° (0),	(28.17)
где D не зависит от г и у
Так как все xr = zr(0) лежат в ограниченной области,
определяемой неравенством (28.17), то у последовательно-
сти {хг} есть предельная точка х, к которой сходится не-
которая подпоследовательность. Чтобы не вводить новых
индексов, будем считать, что V —>х.
Рассмотрим семейство решений хт (t) системы (28.1).
Очевидно, на любом конечном и фиксированном интервале
оси t эти решения равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны. Поэтому существует подпоследовательность
{хГ/(0Л которая сходится равномерно на к некоторому
вектору x(t). Диагональным процессом можно выделить из
{хг/(0} подпоследовательность, которая будет равномерно
сходиться к x(t) не только на </, но на любом конечном
интервале. Мы будем считать, что этим свойством обладает
как раз	Тогда и подпоследовательность матриц
ф(^, хГ/(0) равномерно сходится к матрице Ф(/, x(t)).
Поэтому решения zTt(t) систем
Z —Аг + Ф(л xrt(fj)z
равномерно сходятся к решению z(t) системы (28.13), где
следует считать x(t) = lim xri(f).
I -> оо
Так как zr*(0) = лЛ(0), то z(0) = x(0). Но у системы
(28.13) есть единственное решение, удовлетворяющее условию
z(0) = x(0).
Это решение — x(t). Значит, последовательность Zz(0 рав-
номерно сходится к x(t) на любом конечном интервале.
Поскольку имеют место неравенства (28.16), то и для x(t)
390	ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	|28Л
справедливо неравенство (28.16), если заменить там zr на х.
Отсюда и из того обстоятельства, что показатель y(t) ра-
вен Лл, следует аналогия х и у с требуемым порядком
отклонения. По лемме 26.5.2 |у (0) | М | zr (0) |, где М—
константа Липшица гомеоморфизма v, зависящая от А
и б(/), но не от Ф(£, xr (t)). Поэтому |j(0)| М | х(0)|
и справедливо утверждение 2) доказываемой теоремы, где
нужно считать е* = М De0. Теорема 28.2.2 доказана. Стоит
отметить, что теорема 28.2.1 близка одному предложению
работы [3].
Следствие 28.2.1. Если выполнены условия тео-
ремы 28.2.1 и либо Лг < 0, либо Лг —0 и тг = 0, то
тривиальное решение системы (28.1) либо асимптоти-
чески устойчиво, либо просто устойчиво.
28.3.	Другой случай Гартмана и Винтнера. В работе [3]
Гартман и Винтнер изучали поведение решений системы
вида (28.1). При этом делалось предположение, что вектор
/(/, х) непрерывен в цилиндре
*>0,	| х | < /?0 < 1
и удовлетворяет некоторым условиям малости, например
условию вида
|/(Л x)|<tf(|х|)|х|,	(28.18)
где /V(£)—>0, когда | -> 0, и притом достаточно быстро.
Так как из неравенства (28.18) свойства в) и г) п. 27.1
не вытекают, то в настоящем случае к системе (28.1) нельзя
применить результаты § 27. Однако верны следующие пред-
ложения.
Теорема 28.3.1. Пусть выполнено неравенство
(28.18) и
(28.19)
где ц < 0 «
R.
Je7Mt«<00'	(28'20’
о
Тогда:
1)	Верны утверждения теоремы 17.1.2.
2)	Если Ak < 0,	— (1	^^). то всякое решение
системы (28.1) с показателем ЛЛ аналогично некото-
28.3]
§ 28. ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРЕМ ГЛАВЫ VIII
391
рому решению y(t) системы (28.2); отклонение х от у
есть
o\t ) при 1-+ОО.
3)	Если, кроме того, норма вектора х(0) достаточно
мала, то x(t) удовлетворяет неравенству
|x(0|<£>|*ol«Vp'W	*>0,	(28.21)
где D не зависит от х(0), v — второй показатель x(t),
и для вектора x(t) найдется аналогичное ему реше-
ние y(t) системы (28.2) такое, что при /">0
|х(0 — ЯО|<|*(0)|е*(Л I x(0)|)/»'pvt	1+ц (0. (28.22)
где е*(Л |)-+0, когда /-|-£_1->оо.
4)	В условиях пункта 2) для любого решения y(t)
системы (28.2) с показателем Лл и достаточно малой
нормой найдется решение x(t) системы (28.1), анало-
гичное y(f) и с отклонением o\t к ).
Теорема 28.3.2. Пусть имеет место неравенство
(28.18) и
М(|) = е(^|1п|Г	(28.23)
где X > 0, р, произвольно, функция е(|) удовлетворяет
условию (28.20).
Тогда:
1)	Верны все утверждения теоремы 17.1.2.
2)	Всякое решение x(t) системы (28.1) с показателем
Ak < 0 аналогично некоторому решению у (t) системы
(28.2); отклонение х от у есть
0(/A^4-+Xv+tl+iy	(2824)
где v — второй показатель хи у, индекс kr определяется
так же, как в теореме 27.4.2.
3)	Решение x(t) системы (28.1) с первым показате-
лем ЛА < 0 и вторым показателем v, проходящее при
/ = 0 через точку х(0) с достаточно малой нормой,
удовлетворяет неравенству (28.21). Кроме того, для
392
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[28.3
вектора x(t) найдется аналогичное ему решение y(f)
системы (28.2) такое, что
<|х(О)|е*(/, |х(О)|)е(1+мл*/р(1+’1)''+'Я*'+Ц+1(О.	/>0,
(28.25)
где при ц<^0, е*(/, £)->0, когда ^-1->оо, а в слу-
чае ц > О
l) = |ln|lV(/, £),
ф*(/,	когда / +
4) Для любого решения у (t) системы (28.2) с пока-
зателем Aft < О и достаточно малой при t = Q нормой
существует решение x(f) системы (28.1), аналогичное
y(t) и с отклонением (28.24).
Заметим, что теорема 28.3.1 близка некоторым резуль-
татам работы [3].
Доказательство теорем 28.3.1 и 28.3.2. Утвер-
ждения 1) этих теорем очевидны, утверждения 2) легко
получаются с помощью принципа линейного включения,
точно так же, как лемма 27.3.1 (по существу при доказа-
тельстве леммы 27.3.1 мы пользовались условием (28.18),
но не условиями в) и г) п. 27.1). Далее поступим, как при
доказательстве леммы 27.5.1. Рассмотрим область Ok v,
определяемую неравенствами (27.21) при условии (27.22).
Очевидно, если точка (Z, x)£Ok v, то
|/(Л
и из неравенства (27.21) следует, что
W (IX |) < N (lopv (О е^) = b(t)	(28.26)
(число мы считаем столь же малым, как в лемме 27.5.1).
Далее строим вектор ©*(/, х), являющийся продолже-
нием /(/, х) на все пространство (Л х) и удовлетворяющий
неравенству
|0*(f, *)I<W)I*|-	(28.27)
Как в лемме 27.5.1, убеждаемся, что выполнено условие
(27.25), где аир определены равенствами (27.17). Поэтому
28.3]
§ 28. ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРЕМ ГЛАВЫ VIII
393
к уравнению (27.26) применима теорема 28.2.1, если Х = 0,
или теорема 28.2.2, если X > 0. Из утверждения 4) этих
теорем вытекает, что всякое решение системы (27.26), у ко-
торого первый показатель равен Лл < 0, а второй v, при-
надлежит области Gkt v, если только норма и(0) мала. Но
в таком случае вектор u(t) удовлетворяет системе (28.1),
и неравенство (28.21) становится очевидным.
Пусть для решения x(t) системы (28.1) выполняется не-
равенство (28.21). Рассмотрим систему (28.13), построенную
для х (/)• Очевидно,
|Ф(Л x(t))Zi — Ф(^ *(0)«2l<W(l*(0l)l*i — *2l-
В силу монотонности функции N(I)
^(|x(0|)<^(D|ж(0)|e%v(0)^S(Л |х0|).
Из выражений (28.19) и (28.23) для ЛЛ(|) и леммы 27.2.1
следует, что
J	(М’+ц+1) (t) 6 (t, | х0 |) dt < oo. (28.28)
0
Поэтому, считая норму x(0) достаточно малой, мы, как
в лемме 27.5.1, добьемся выполнения неравенства (25.51)
для всех /^-0. По лемме 25.8.1 для любого решения си-
стемы (28.13), первый показатель которого равен Лй, а вто-
рой v, имеет место равенство (25.41), где следует писать z
вместо х и Ф(/, x(t))z вместо f(tt х). Так как
Ф(^, x(t))x(t) — x(t) и x(t) является решением уравнения
(28.13), имеющим показатели и v, то для x(t) оказывается
верным равенство (27.29). Оценивая интегралы из правой
части (27.29), мы придем (как и в лемме 27.5.1) к нера-
венствам (28.22) или (28.25).
Для доказательства утверждений 4) снова рассмотрим
системы (27.26) и (28.2), к которым применима или тео-
рема 28.2.1 или теорема 28.2.2. В силу этих теорем для
любого решения у (t) системы (28.2) найдется решение u(t)
системы (27.26), аналогичное и с требуемым отклонением.
Из доказательства теорем 28.2.1 и 28.2.2 видно, что
|«(0)-Я0)|<£>1Я0)|8°(0).
394
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
(29.1
где D не зависит от у (см. (28.17)). Если вектор у(0) мал
по норме, то, как видно из последнего неравенства, мала и
норма и(0) и, значит, вектор u(t) остается при всех ^^>0
в области Ok v и является решением системы (28.1). Этим
утверждения 4) доказаны.
§ 29. Случай переменных коэффициентов в системе
первого приближения
29.1. Почти линейные системы. Рассмотрим уравнения
x = B(t)x+f(t, х),	(29.1)
y =	(29.2)
где B(f)— матрица, интегрально ограниченная (см. п. 19.1)
для /^0, х, у и f(tt х) — n-мерные векторы f(tt х) опре-
делен для f > 0 и всех х !).
Если предположить, что система (29.2) приводима в смысле
Ляпунова к линейной системе
i=Av	(29.3)
с постоянной матрицей А, то решения y(t) и <о(1) систем
(29.2) и (29.3) будут связаны соотношением
у = (О и <o(t) = L~1 (t)y(t),	(29.4)
где L(t) и Л1 (/)— ограниченные на [0, сю) матрицы. Из
равенств (29.4) следует, что первые и вторые показатели
этих решений одинаковы и, более того,
1Х01<С|-п(01,	|^(OI<C|y(O|,	(29.5)
где С > 0 — постоянная.
Поэтому вопрос об аналогии решений систем (29.1) и
(29.2) может быть сведен к изучению этого же вопроса для
систем (29.3) и
« = Au + L~' L (t) и),	(29.6)
1) Интегральную ограниченность B(t) можно заменить более
слабым требованием (см. задачу 31.3.3).
29.1]
§ 29. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
395
ибо уравнение (29.6) получается из уравнения (29.1) с по-
мощью замены
х = £(Оя.	(29.7)
Но к системам (29.6) и (29.3) применимы результаты § 26.
Благодаря соотношениям (29.4) и (29.5) они легко пере-
носятся на системы (29.1) и (29.2).
Если система (29.2) неприводима, то результаты § 26
могут быть применены для изучения асимптотики решений
уравнения (29.1) лишь в случае, когда функция б(/) подчи-
нена достаточно жестким ограничениям. Справедлива
Теорема 29.1.1. Если вектор f(t, х) удовлетво-
ряет условиям в) и г) п. 25.1 и если найдется такое
а > 0, что
оо
j e(v+a) t ft (Т) dx < оо,	(29.8)
О
где у — коэффициент неправильности системы (29.2),
то показатели систем (29.1) и (29.2) одинаковы. Точ-
нее, существует гомеоморфизм Ф, отображающий про-
странство Ln на себя, со следующими свойствами:
а)	Через соответствующие в силу Ф точки в мо-
мент t = 0 проходят решения x(t) и y(f) систем (29.1)
и (29.2) с одинаковыми показателями.
б)	Для этих решений справедливо неравенство
IX (/) - у (0 | < Оао | X (0) | ^-а0)	t > 0, (29.9)
где Л — их показатель, а0 — любое число, меньшее а, и
Dao не зависит от х(0).
в)	Ф и Ф"1 удовлетворяют условию Липшица.
Кроме того, для любого решения x(t) уравнения (29.1)
при выполняется неравенство
IX (О К £>е I х (0) I	8)	(29.10)
где Л — его показатель, De не зависит от х, е— произ-
вольное положительное число.
Доказательство. Согласно п. 19.1 из интегральной
ограниченности B(t) следует конечность всех показателей
системы (29.2). Как всегда, обозначим их через и будем
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	(29.1
считать
где
Пусть
^2	^п»
при nk и Aj <
<Ar
a Y (f)— матрица нормального базиса уравнения (29.2), на
которой реализуется коэффициент неправильности у и
столбцы которой расположены в порядке возрастания их
показателей (см. п. 3.2). Рассмотрим преобразование !)
y = Y(t)e-M‘v.	(29.11)
Легко видеть, что если y(t) есть решение системы, то вектор
удовлетворяет уравнению с постоянными коэффициентами
/У©
% =	(29.12)
Ясно, что всякое решение v(t) системы (29.12) имеет вид
V (0 = eMtto (0)
и показатели системы (29.12) равны 12.........^п-
Покажем, что если решения y(f) и v(t) систем (29.2) и
(29.12) связаны формулой (29.11), то их показатели одина-
ковы. Действительно, пусть показатель *о равен Ай. Тогда
<o = eMtCik> где а— вектор, у которого все координаты
с номерами, большими lkt — нули и хоть одна координата,
номер которой больше /л-1, отлична от нуля. По формуле
(29.11)
у (О = Y (0 е-м*ем‘с1к = Y (/) ак.
Так как Y — нормальный базис, то показатель у равен Aft.
Верно и обратное.
1)	Это преобразование встречается в книге Ляпунова [4].
29.1]
§ 29. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
397
Если показатель y(t) равен Лл, то
y(t) = Y(t)clk
и, значит,
v (/) = e^Y-1 (t) У (0 Clk = eMtclh,
поэтому показатель я(/) равен ЛЛ.
Наряду с заменой (29.11) совершим преобразование
x = Y (t)e~Mtu.	(29.13)
Уравнение (29.1) при этом примет вид
«==М«+/'(*, «),	(29.14)
причем ,
/'(Л и) —eMtY~l Y(f)e~Mtii). (29.15)
Очевидно,
f' (t, о) = о,	|
17'(Л uj-f'tf, «2)|<д'(О|«1-«2|, } (29,16)
где
6' (t) = | eMtY~} (t) | • | У (0 е~ м‘ | д (0.
Так как показатели столбцов матрицы Y (t) равны ...
..., то у матрицы Y(t)e~Mt показатель каждого
столбца равен нулю. Следовательно, показатель функции
|У(/)^-м/| также равен нулю. Далее, из определения
коэффициента неправильности вытекает, что показатель
не превосходит у. Поэтому для &'(/) при лю-
бом е > 0 справедлива оценка
д' (0 < De^(Y+e) (0.	(29.17)
Сопоставляя условие (29.8) с неравенством (29.17), находим
| e(«-e)T§'(T)rfT <4-00.	(29.18)
О
Так как можно считать а — е > 0, то к уравнениям (29.14)
и (29.12) применима теорема 26.1.2, которая в данном слу-
чае утверждает, что существует топологическое отображе-
ние Ф' пространства (и) на себя, при котором:
1)	Через соответствующие в силу Ф' точки в мо-
мент t-О проходят решения и(/) и ф(Г) систем (29.14)
398	ГЛ. iX- СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	[29.1
и (29.12), аналогичные и с отклонением о(е~(а~е^) при
t->оэ;
2)	Для решений u(t) и я(/), соответствующих друг
другу в силу Ф', выполняется при ^^0 неравенство
I и (О — (О К | и (0) 16?(A-a+e)	(29.19)
где Л — их показатель.
3)	Фх и ф'-1 удовлетворяют условию Липшица.
Легко видеть, что формула
у = У(0)Ф'(у"1(0)х)	(29.20)
доставляет топологическое отображение у = Ф (х) простран-
ства Ln на себя и что Ф и Ф”1 удовлетворяют условию
Липшица. Покажем, что Ф удовлетворяет требованиям а) и
б) теоремы. Действительно, если точки х и у соответствуют
друг другу в силу Ф, то точки u = Y~x (0)х и <о ~
— (O)jj связаны гомеоморфизмом Ф'. Обозначая через
и (Г) и v(t) решения систем (29.14) и (29.12), проходящие
при / = 0 через точки и и <о, из неравенства (29.19)
получим
«(0 = *(0 + ф(0.	(29.21)
где
IФ (О I <	11 и (0) |.	(29.22)
Умножая обе части равенства (29.21) слева на Y(t)e~Mt и
принимая во внимание формулы (29.11) и (29.13), находим !
x(t)=y(t) + z(t),	(29.23)
где£(/) = У	При этом ясно, 4toj(0) = ®(x(0)).
Выше было показано, что y(t) и <o(t) имеют одинаковые
показатели, если они связаны формулой (29.11). Значит,
показатель y(t) равен А. В то же время
|г(0|<|У(0*-л,'||ф(01-	(
Так как показатель | Y(t)e~м/| равен нулю и справедливо
неравенство (29.22), то
| Z (01< Z)£e(A-a+2e) q в (0) | <	| У (0) 11 х (0) | е(Л-«+2«) <.
(29.24)

29.1]
§ 29. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
399
Поскольку можно считать, что —а~4>-2е<0, то, как видно
из (29.24), показатель z меньше Л. Поэтому показатель х,
как и показатель у, равен Л. Таким образом, свойство
а) гомеоморфизма Ф установлено. Свойство б) также сле-
дует из неравенства (29.24), ибо ввиду произвольности е
можно считать, что а0 — а — 2е > 0.
Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, заме-
тим, что показатели решений x(t) и u(t) систем (29.1) и
(29.14), связанных равенством (29.13), одинаковы. Действи-
тельно, для u(t) и x(t) справедливы представления (29.21)
и (29.23), где v и у имеют равные показатели, совпадаю-
щие к тому же с показателями и и х. Пусть показатель
x(t) равен 1. По формуле (29.13) найдем u(t). Очевидно,
Х(я) = 1. В силу теоремы 26.1.2 для решения u(t) выпол-
няется при t 0 неравенство
|«(O|<D|«(0)|*4
где D > 0 не зависит от и.
Поскольку показатель \Y(t)e~Mt\ равен нулю, то из
формулы (29.13) вытекает оценка (29.10). Теорема 29.1.1
доказана.
Простым следствием теоремы 29.1.1 является
Теорема 29.1.2. Если выполнены все условия пео-
ремы 29.1.1, но а > у, то сверх утверждений теоремы
29.1.1 справедливо следующее: решения систем (29.1) и
(29.2), проходящие при t = 0 через соответствующие
в силу Ф точки, аналогичны и их отклонение есть
о	где > у — любое число, меньшее а.
Доказательство. Для любого решения у(t) системы
(29.2) с показателем Л выполняется неравенство
|j(0l> v(A“Y"e)/’
где е как угодно мало (см. (11.15)). Так как для соответ-
ствующих в силу Ф решений с показателями Л справедливо
неравенство (29.9), то их отклонение есть о (е<т-«о+е)/)ф Ввиду
произвольности е у — а04-е < 0 и, значит, отклонение стре-
мится к нулю при /~>оо. Отсюда следует аналогия соот-
ветствующих решений. Справедливость утверждаемой оценки
отклонения очевидна. Теорема доказана.
Следствие 29.1.1. Если выполнены условия тео-
ремы 29.1,1 и все показатели системы (29.2)
г
400	ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[29.2
отрицательны, то тривиальное решение системы (29.1)
асимптотически устойчиво.
Это утверждение вытекает из оценки (29.10).
29.2. Асимптотическая эквивалентность систем с раз-
рывными и гладкими коэффициентами. Заметим, что
в предшествующих рассуждениях допускалось, что матрицы
B(t) и f(t, х) могут быть разрывными по t. Благодаря
этому мы сумеем показать, что с точки зрения асимптоти-
ческого поведения решений нет различия между системами
с разрывными коэффициентами и системами с непрерыв-
ными и даже гладкими коэффициентами. Именно, имеет
место
Теорема 29.2.1. Пусть дана система
x = B(t) х,	(29.25)
где B(f) лишь интегрально ограничена на полуоси д' —
= [0, оо) (см. п. 19.1). Тогда для любого а>0 суще-
ствует система
y = H(f)y	(29.26)
с непрерывно дифференцируемой на д' матрицей Н (t),
обладающая тем свойством, что всякое решение x(t)
системы (29.25) аналогично некоторому решению y(t)
системы (29.26), причем их отклонение есть o(e~at),
когда Z->oo.
Доказательство. Запишем искомую систему (29.26)
в виде
y = B(t)y+[H(t)-B(t)\y.
Из теоремы 29.1.2 теперь ясно, что для аналогии решений
систем (29.25) и (29.26) с требуемым отклонением доста-
точно, чтобы было
оо
| |Я(0 —B(0|e(2v+a+e)z^<oo,	(29.27)
о
где у—коэффициент неправильности системы (29.25), е> 0—
произвольное число. Поэтому матрицу H(t) нужно построить
так, чтобы соблюдалось условие (29.27). Такое построение,
очевидно, достаточно проделать для каждого коэффициента
матрицы
29.3]	§ 29. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ	401
Итак, задача свелась к следующей.
На полуоси f задана интегрально ограниченная функ-
ция b(t). Требуется построить на $ тмщп функцию h(t)
так, чтобы выполнялось условие
оо
J |Л(0 —6(O|e(2v+a+8,'<ft <оо.
о
Решение легко получается из известных результатов теории
функций действительного переменного. Если разбить на
отрезки точками 0, 1, 2, ..., то на каждом из этих
отрезков, используя С-свойство измеримых и конечных
почти всюду функций, абсолютную непрерывность инте-
грала Лебега и теорему Вейерштрасса об аппроксимации
непрерывных функций многочленами, можно построить много-
члены pk(t) такие, что
J I Рк (0 — ь (f)I e(2v+e+e) * dt <
Далее, взяв достаточно малые окрестности точек A, k 4-1,
мы можем так изменить значения полиномов pk (t) в этих
окрестностях, что вновь полученные функции hk(t) будут
удовлетворять условиям
hk = ^k+i (^)>	= hk+i(k},
/ I hk (0 — b (O|e(2v+e+8)/dt < 2”*.
7k
Теперь ясно, что за функцию h(t) можно принять функ-
цию, которая на отрезке J*k совпадает с hk(t). Теорема
доказана.
Стоит заметить что если B(t) ограничена на </, то и
Я (0 ограничена на </.
29.3. Окрестность особой точки. Здесь мы будем рас-
сматривать системы (29.1) и (29.2), считая, что вектор
f(tt х) обладает свойствами б), в) и г) § 27. Совершенно
ясно, что результаты § 27 легко переносятся на системы
(29.1) и (29.2), если только система (29.2) приводима. Как
и в п. 29.1, мы не будем считать систему (29.2) приводимой
26 Ь. Ф. Былов, Р, Э. Виноград и др.
402
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ. ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
|29 .3
и займемся изучением асимптотического поведения ре-
шений системы (29.1), почти не делая никаких ограничений
относительно матрицы B(f). Верна
Теорема 29.3.1. Пусть матрица B(t) интегрально
ограничена, а вектор f(t, х) обладает свойствами б),
в), г) п. 27.1 и
где Ао > О, X > 0. Тогда, если < 0 и
1 > та 	<29-28)
то:
1)	Для I — 1, 2, . . k существуют решения системы
(29.1) с показателями
2)	Если показатель некоторого решения x(t) си-
стемы (29.1) не больше Ak, то он равен одному из
чисел Ар Л2, ...» Aft; при этом в случае
Х>7^Т’	л‘<0>	(29-29)
всякое решение x(t) системы (29.1) с показателем <^AZ
аналогично некоторому решению y(t) системы (29.2);
отклонение х от у есть о (г(2у+х,л/+б) при /~>оо, где
б > 0 произвольно мало.
3)	Существует окрестность S*czS точки х = о
такая, что для всякого решения x(t) системы (29.1)
с показателем Az Лй < 0, которое при t = 0 выходит
из точки х0 £ 5*, выполняется неравенство
|х(0|<О6|х0|е<л‘+6)'.	/>0,
где б > 0 произвольно мало, D6 зависит от б и не за-
висит от xQ.
4)	В окрестности S* определен гомеоморфизм Ф*,
отображающий S* на некоторую область и обладаю-
щий свойствами:
а)	если Si = Ei (0) П S*. mo
и содержит все точки Li с достаточно малыми нор-
мами; Ф*(о) = о;
29.3]	§ 29. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ’	403
б)	если уо — Ф*(х0) и Xo£S*, то при 1 = 0 через точки
х0 « Уо проходят решения x(f) и y(t) систем (29.1) и
(29.2) с одинаковыми показателями; при этом для
удовлетворяется неравенство
|х(0—Я0| <D|x0|1+M(1+X)Ai+v+6K
где — показатель x(t) и y(t); в случае выполнения
неравенства (29.29) решения х(/) и y(t) аналогичны и
их отклонение есть величина порядка o(e(2v+KA<+6)/)
при t-+co;
в)	отображения Ф и Ф1 удовлетворяют условию
Липшица и имеют вид
Ф* (х) = х + ф* (х), Ф*“1 (х) = х + ф* (х),
|<р*(х)| — О(|х|)1+х';
1> когда х-*о.
1 М>* (X) I
Доказательство. Попытаемся вывести теорему 29.31
из теоремы 27.7.1 таким же способом, каким теорема 29.1.1
была получена из теоремы 26.1.2. Пользуясь обозначениями,
принятыми при доказательстве теоремы 29.1.1, рассмотрим
матрицу
М0 = А4 + 2е/,
где е — произвольно малое положительное число, 7—еди-
ничная матрица. Очевидно, на диагонали матрицы Мо стоят
числа X9 = Xz + 2e. Преобразование
y=Y(t)e-M^	(29.30)
переводит решение y(f) системы (29.2) в решение я(/) си-
стемы
v = MQv	(29.31)
с постоянной матрицей. Показатели системы (29.31) равны
числам X? и при этом X/=Ай-|-2е — для l£nk. Не-
трудно проверить, что если у (Г) есть решение системы
(29.2) с показателем Лр то показатель вектора v(t)t свя-
занного с у (t) формулой (29.30), равен Л?. Наоборот, если
я (О— решение системы (29.31) и показатель я(/) равен Л?,
26*
404	* ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	{23.3
то у вектора y(t), найденного по формуле (29.30), показа-
тель есть
Сделаем замену переменных:
х =	(29.32)
Уравнение (29.1) примет вид
и = MQu +/*(/, а),	(29.33)
где
f\t, =	Y{t)e-M^u\
Показатель функции |У(#)е-л,«,| равен —2е. Поэтому
\Y(t)e-"<t\<De~?,	(29.34)
где D — некоторое положительное число, и вектор f*(t, и)
определен в области
/>0,	(29.35)
Очевидно,
/*(/, о) = О,
и для любых «j и «2 из области (29.35)
|/*1(Л «О—/*(Л «2)1<
< I eMttY~x (011 Г (t) IW (|) | Й1 - «21,
где
| = тах(|У(0е-Л,»/в1|, |У (0 «""«'«d )<£>«-е'Г.
|* = max(|«1|, |«2|).
Поскольку
|/’0'у-1(/)|<£>е(у+3£)/ для f>0,	(29.36)
ТО
]Г«.	e2)|<De(V+2e)W(H|«1-«2|.
Считая е достаточно малым, из (29.28) получим
у + 5е+%Л*<0.
По теореме 27.7.1 у системы (29.33) есть решения с пока-
зателями	Формулой (29.32) эти решения преобра-
зуются в решения системы (28.1) с показателями
Отклонение аналогичных решений u(t) и v(f) систем (29.33)
29.3]
§ 29. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
405
и (29.31) есть
при /->оо,
где Л? — показатель и и V. Так как матрица Л4о диаго-
нальна, то верна оценка
|®(О| = о(еЛ//) при t->oo.
Поэтому, вспоминая определение отклонения, можем написать
й (/) = »(/)+«>(/),	(29.37)
где
|w(£)|==оfe(A«+v+3e+1A/)/) ПрИ f_>oo. (29.38)
Умножая обе части равенства (29.37) на	получим
х(/)=у(0+т
Здесь x(t) и y(t)— решения систем (29.1) и (29.2), а
|г(0| = о(^Л°+У+28+ХЛ”^)	при /—>оо,
ибо имеют место оценки (29.34) и (29.38). Так как Л? =
= Л/ 4- 2е, y + 4е + ХА? < 0 при I k, а показатель у (t)
равен Лг(ф(/) имеет показатель Л/), то показатель x(t)
равен также ЛР Для y(t) справедливо неравенство
|yW|>c0/ArV”e)<,
ибо у — коэффициент неправильности системы (см. (11.15)).
Поэтому, чтобы отклонение х от у стремилось к нулю,
достаточно выполнения неравенства
2у+5е + Л,Л?<0,
или, ввиду произвольности е,
2y + lAz<0,
что равносильно (29.29). Ясно, что отклонение в этом случае
есть	где б > 0 произвольно мало. Таким
образом, утверждения 1) и 2) теоремы установлены. Утвер-
ждения 3) и 4) можно доказать таким же способом.
406
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
(30.1
Следствие 29.3.1. Если Аг < 0 и Х> j-j-p «о три-
виальное решение системы (29.1) асимптотически устой-
чиво (ср. также следствие 16.2.5).
§ 30. Примеры и замечания
30.1. Точность теорем 26.1.1 и 26.1.2. Для иллюстра- ции точности условия (26.1) теоремы 26.1.1 рассмотрим		
системы		
*1 = —Х1 + 6(О*4-		
Х2 = Xj — х2,		(30.1)
Х3 =	Х3,		
Х4 = х3 — х4		
И		
У1~ — Уи		
Уг = У1 —Уг.	(30.2)	
Уз = —Уз>		
У4 = Уз —У4«		
где 6 (/) — некоторая положительная при t 0 функция.
Пользуясь ранее принятыми обозначениями, можем написать
Aj = Л2 = 1,	тг = т2 = 1.
ОО
Если | тб(т) dx < оо, то по теореме 26.1.1 любое решение
о
системы (30.1) анологично некоторому решению системы
(30.2). Оказывается, если
оо
J тб(т)^т = оо,	(30.3)
о
то у системы (30.1) найдутся решения, для которых у си-
стемы (30.2) нет аналогичных.
Пусть x(t) — вектор-функция, удовлетворяющая системе
(30.1) и начальному условию х(0)={0; 0; с\ 0}. Оче-
30.1]
§ 30. ПРИМЕРЫ И ЗАМЕЧАНИЯ
407
видно, вторая координата х2(0 этого решения дается фор-
мулой
x2(t) = ce-t J dx J $6(s)ds.
о о
Положим
т
J $6 (s) ds = ф (т).
о
Ясно, ЧТО ф(т)->ОО при т->оо, и притом монотонно, ибо
sd(s)>0 при s>0. Каково бы ни было решение y(t)
системы (30.2), его вторая координата y2(t) имеет вид
у2 (0 = + *)*-'.
где а и Ь — постоянные. Очевидно,
|х(0 - у (01 > I х2 (0-у2(01
t
с J Ф (т) dt — at — b
о
t
с J ф (т) dx
о
Из монотонности и положительности ф(^) следует: при t > О
t	t
|<р(т)£?т> J ф(т)i/T > -^ф
о	t
2
Отсюда
|х(0- у (01
1^(01
Так как \y(t)\ = O(te'“t)t а ф0^)->оо при £->оо, то от-
клонение x(t) от произвольного решения y(t) системы (30.2)
неограниченно растет, т. е. для x(t) у системы (30.2) нет
аналогичного решения.
408
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[30.1
Покажем, что условие (26.5) теоремы 26.1.2 также
нельзя ослабить. Рассмотрим системы
хг = — 2хг + 6 (0 х4,
x2 = Xi—2х2,	_
.	(30.4)
х3 =	х3,
х4 = х3 — х4
и
у = — 2У1.
* = У1-2У2’	(30.5)
Уз = ~ Уз-
У4 = Уз —У4-
Здесь 6(0» как и прежде, положительная функция,
At = — 2, Л2 = —1,	/п1 = /п2 = 1.
Если
00
| £тт6 (т) dr < оо,
о
то по теореме 26.1.2. решения систем (30.4) и (30.5) могут
быть поставлены в соответствие так, что они окажутся
аналогичными и с отклонением	Покажем, что это
не так, если
J етт6 (т) dr = оо.	(30.6)
о
Рассмотрим решение x(t) системы (30.4), проходящее
в момент f = 0 через точку (0; 0; с\ 0). Вторая координата
х2(0 этого решения имеет вид
/ т
х2(О = ^”2/ J dr J ess6(s)ds.
о о
Положим
т
J ess& (s) ds = ф (т).
о
30.1]
§ 30. ПРИМЕРЫ И ЗАМЕЧАНИЯ
409
Ясно, что ф(т) монотонно и неограниченно растет, когда т->оо,
и что
t
j	(30.7)
О
Поэтому
|х(0— y<t)\>e~2t с
t
ф(т)«?т — at — b
где у (О— любое решение системы (30.5), а а и Ъ, как
и в прежнем примере, — произвольные постоянные. Исполь-
зуя неравенство (30.7), можем написать
I х (О-У (О I
1У (О I
1
|У(О1
-2G) |С| . (t\ I , 6 I)
е ЧУ*r+vlh
Отсюда видно, что отклонение выбранного решения x(f)
системы от любого решения y(t) бесконечно велико по
сравнению с е~\ ибо ф^)->о°, а| у| = О (te~*).
Мы показали, что отказ от условия (26.5) приводит
к тому, что теорема 26.1.2 перестает быть верной. Убедимся
теперь, что оценка отклонения, данная в этой теореме,
точна. Для этой цели рассмотрим системы
хг= — 2xj + d(O х3,
х2 = х1 — 2х2,
х3 = — х3
У1 = — 2У1,
У2 = У1 — 2у2.
Здесь б (/) > 0,
со
J (т) dx < оо
о
(30.8)
(30.9)
(30.10)
и р > 1. Очевидно,
Лх = — 2, Л2 — — 1,	= 1, т2 = 0, а — 1.
410
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ. ПРИМЕРЫ. ЗАДАЧИ
[30.1
По теореме 26.1.2 всякое решение x(t) системы (30.8)
аналогично некоторому решению системы (30.9) и наоборот.
При этом отклонение решений с показателем Л2 есть
о (в t * PJ. Найдем число 2' = <р1(2). Оно определяется
неравенствами
Л2 — а — Лг/-! ?> 0,
Л2— а — Л2/<0.
Имея в виду, что Л2 = —1 и а=1, видим, что 2'=1,
ибо Ло можно считать < — 2. Так как последнее неравен-
ство выполняется к тому же со знаком равенства, то zn2/ =
— nt2f = т\ = 1. Значит, для решений с показателями — 1
теорема 26.1.2 гарантирует отклонение о(е~Чх~Ъ).
Покажем, что, каково бы ни было е, найдется функция
6(0 такая, что для нее верно (30.10), и в то же время
отклонение некоторых решений системы (30.8) от любого
решения системы (30.9) стремится к нулю не быстрее,
чем	Положим: для

где — р — £=/=0, —р —	— 1. Очевидно, условие (30.10)
для этой функции будет выполнено. Возьмем решение x(f),
проходящее при t = tQ > 0 через точку (0; 0; с). Так как
третья его координата х3 =	, то показатель x(t)
равен —1. Вторая координата этого решения
t т	I
х2(0	J dx J es6(s)ds =
= ce~it+tl> (a*t 4- b* + c*t~ ₽-e+1).
Здесь a*, Ь* и c* — некоторые числа, которые легко под-
считать. Далее,
|х(0-^(0|>|х2(0-у2(01 =
= e~2t [(a* — a) t 4- (b* — b) 4- с*Гp-e+1],	(30.11)
где а и b произвольны. Если бы a* — а Ф 0 или Ь* —
то отклонение х от у было бы порядка, не меньшего
чем
3O.2j
§ 30. ПРИМЕРЫ И ЗАМЕЧАНИЯ
411
При р^>1 теорема 26.1.2 дает более точную оценку
отклонения. Значит, при Р^>1 мы должны считать а* — а =
= #*— # = 0, и из неравенства (30.11) в этом случае по-
лучаем, что отклонение рассматриваемого решения системы
(30.8) от любого решения системы (30.9) стремится к нулю
при f->oo не быстрее
Если р< 1, то ввиду произвольной малости е можно
считать, что 1 —р — е > 0. Здесь могут представиться такие
случаи:
1)	1 —р < 1,
2)	1 —р= 1,
3)	1-р>1,
т.	е.	р > 0,
т.	е.	р — 0,
т.	е.	р < 0.
В случаях 1) и 2) главным членом в квадратных скоб-
ках неравенства (30.11) является член (а* — а)/-{-Л“0~8+1,
если только а* а и с* =# 0. Полагая снова а* — а =
= Ь* — Ь = 0, мы придем к прежней оценке отклонения.
Если же имеет место случай 3), то можно считать, что
1—р — е> 1. Из неравенства (30.11) теперь при любых а
и b опять получится та же оценка отклонения.
30.2. О точности результатов § 27. Рассмотрим си-
стему
Х\=— Х! + /(Х4),
Х-7 == X1 — Xnt
1	(30.12)
х3 = —х3,
Х4 = Х3 —Х4,
где
№) = /тВр-’ (3013)
о
а е($) — некоторая монотонно возрастающая функция. Оче-
видно,
/(0) = 0,	=	Е=|х.|.
r= 1, Aj = — 1, mi=\t ц = — 2, Х = 0.
Если для е(£) удовлетворяется условие (27.2), то по тео-
реме 27.4.1 любое решение системы (30.12) аналогично
412
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
J30.2
некоторому решению системы (30.2). Можно показать, что
если
[ ds = oo,	(30.14)
J s|lns|	v 7
о
то у системы (30.12) найдется решение, для которого не
существует аналогичного решения системы (30.2). Действи-
тельно, рассмотрим решение x(t) системы (30.12), прохо-
дящее при / = 0 через точку (0; 0; с; 0), где с =/= 0 мало
по модулю. Очевидно, x4 — cte~‘t. Функцию /(х4) для
x4 = cte~f можно представить так:
/(х4) = б(0х4,
где
cte~t
д(О = с"*Г1/ |
Q
£ (s) ds
ln2s
и б(0) = 0. Таким образом, x(t) удовлетворяет системе
(30.1) с начальными условиями (0; 0; с\ 0). Но в п. 30.1
было показано, что для решения системы (30.1) с такими
начальными условиями у системы (30.2) нет аналогичного,
если только выполнено условие (30.3). Убедимся, что (30.3)
действительно имеет место. Для любого т > 0 имеем
схе~х
б(т)>с-Ч-^ J ^Т->
схе~~х
2
Положим
С т
2™~x = s.
(30.15)
Если т t0, где t0 достаточно велико, то
s>e~x и — 1ns.
30.2]	§ 30. ПРИМЕРЫ И ЗАМЕЧАНИЯ	413
Из неравенства (30.15) получим
t
[т6(тМт>4 [ -------------------Г’
6	st - ins-Ц1-1)
С ,
где 50 = -2“V •
Так как т = ?($)—> оо, когда $->0, то можно считать
(при достаточно большом /0), что т-1 < 1 и
t	s0
р(г)Л>± j	(30.16)
4	4 te~*
Поскольку ^te~* -> 0 при /-*оо, то, по предположению
(30.14), интеграл, стоящий в правой части неравенства (30.16),
расходится, что и доказывает (30.3).
Таким образом, условие (27.2) теоремы 27.4.1 не может
быть ослаблено.
Для демонстрации точности теоремы 27.4.2 рассмотрим
системы (30.5) и
Х1 = —2Х1 + /(Х4),
Хсу — Хл — 2хо,
.2	1	2	(30.17)
х3 =	х3,
х4 = х3 — х4.
Пусть
х4
г / ч Г е (5) s ds
f^=\ "ПпГр” ’
о
гдее($) — монотонно возрастающая функция. Ясно, что
/(0) = 0,	=	=	£ = |х4|,
г = 2, Aj = — 2, Л2 — —1,	m1~m2=l,	Х=1,
Ц= — 3,	2' = 1,	>4 = 1.
Если условие (27.2) выполнено, то для решений х и у си-
стем (30.17) и (30.15) с показателями Л2 = —1 теорема
414
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[30.2
27.4.2 гарантирует отклонение о (e-*Zv-1), где v — второй
показатель х и у. Так как v<^l, то можно считать, что
отклонение есть	Если же условие (27.2) не удовле-
творяется, то отклонение решения x(t) системы (30.17)
с начальными условиями (0; 0; с\ 0) от любого решения си-
стемы (30.5) бесконечно велико по сравнению с е~1. Покажем
это. Очевидно, четвертая координата вектора x(t) дается
формулой х^ = с1е~\ и можно написать
где
/(х4) = б(0х4,
cte~i
W = c~'r'e‘\
о
б (0) = 0.
Поэтому вектор x(t) является решением системы (30.4).
В п. 30.1 показано, что если выполнено условие (30.6),
то отклонение решения системы (30.4) с начальными усло-
виями (б; 0; с\ 0), т. е. х(0» от любого решения системы
(30.5) бесконечно велико по сравнению с Покажем, что
расходимость интеграла в условии (27.2) влечет за собой (30.6).
Действительно,
схе~х
J I In S I3
cxe~x
2
— cxe~x
4
Теперь, используя выкладки, примененные в предыдущем,
примере, придем к (30.6).
Покажем, что оценка отклонения, указанная в теореме
27.4.2, не может быть улучшена. Рассмотрим системы (3.9) и
xi—	11п | х311 ,
Х2 = *1
— 2х2,
(30.18)
—	Х3,
30.3]
§ 30. ПРИМЕРЫ И ЗАМЕЧАНИЯ
415
где е > 0. Очевидно,
ЛГ(£) = £| 1п£Ге[2 —ерп^Г*],	£ = |х3|.
г = 2, Aj = — 2, Л2 = —1,	т1=\,	/п2 = 0,
Х=1, ц = 0, е(^) = |1п|Ге. Ф1(2)=1,
т®, =тх — 1.
По теореме 27.4.2 всякое решение системы (30.18) с пока-
зателем Л2 аналогично некоторому решению системы (30.9)
и их отклонение есть о(£“^2) при /—>оо. Возьмем реше-
ние x(f) системы с начальными условиями (0; 0; с), |с| < 1.
Интегрируя систему (30.18), найдем, что вторая коорди-
ната х2 этого решения имеет вид
х2 = {a*t + b* + [с* -t- ф (01 *2-8},
где a*, b*t с* — некоторые числа, с*#=0, а ф(/)->0 при
>оо. Отсюда видно, что отклонение решения x(t) от лю-
бого решения системы (30.9) стремится к нулю при f—>оо
не быстрее, чем функция
30.3.	Неулучшаемость условий теорем 29.1.1 и 29.3.1.
Теорема 29.1.1 получена нами весьма простым способом.
Тем не менее условие (29.8) является довольно точным.
Слегка изменив пример Перрона [5], рассмотрим системы
хх — — a (sin In t + cos In t) xit
x2 — be~^tx1 + a (sin In t + cos In t) x2
и
У! = — a (sin In t + cos In t) yp
y2 = a (sin In t + cos In t) y2.
(30.19)
(30.20)
Здесь а и 6 — произвольные положительные числа, р 0.
Решения систем (30.19) и (30.20) даются формулами
xx = kxe~at slnln',
t
х2 = k2eat^n{nt +	j £-2flTsinInT-gT
и
y2 = c2eat sin lnJ
(30.21)
(30.22)
416
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ. ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[30.3
Показатель любого (нетривиального) решения системы (30.20)
равен а. У системы, сопряженной с (30.20), показатели
также равны а. Отсюда коэффициент неправильности у
системы (30.20) равен 2а:
у — 2а.
В обозначениях теоремы 29.1.1 мы должны считать, что
вектор f(tt х) имеет вид
/ 0 \
/(/, х) =	.
и что функция 6(f) = де~^. Поэтому условие (29.8) пере*
пишется так:
p(2“+«)t6e-nrdT<oo,
/о
где а — любое положительное число. Отсюда, если ц > 2а,
то для систем (30.19) и (30.20) верна теорема 29.1.1 и,
следовательно, показатели этих систем совпадают и равны а.
Предположим, что pi < 2а. Покажем, что в этом случае
у уравнения (30.19) найдется решение с показателем, боль-
шим а. Рассмотрим две последовательности {/*} и
= 2Л е	2, ...),
где 0 < е < у. Очевидно, при k -> оо оо и > оо, и
J g-(2«slnJnr+|i) т > J g-(2a sin In т+ц) т fa
При т£|/й, tk\ справедливы неравенства
2fat —л —	2kn — у л,
— cos e = sin (— у — ej sin In t,
2ат cos e — 2ax sin In x.
30.3!	§ 30. ПРИМЕРЫ И ЗАМЕЧАНИЯ	417
Поэтому
*k	'k
Г -(2аз1п1пт+ц)т^т> Г ^созе-цИ
Если выбрать е достаточно малым, то окажется
2а cos е — ц — г > 0,
ибо, по предположению, Ц < 2а. Так как
j eTXdx = 1 ег,к (1 - Д'*"'*)) > с А,
4
где с > 0, то тем более при tk to
fk
J e-(^slnlat+^rdx>certk
to
Если положить
• я 2йл+-|-л
fjt —	--е »
то, очевидно, будет
# » *
pat*k sin In /* | 2лт sin In Т—ЦТ dx >
A)
> 3 J e-2aTS,n ,n т-цт dx > сеа*»+^=сеа+те~^
4)
Из формул (30.21) теперь видно, что если д =£ 0 и р < 2а,
то у системы (30.19) есть решение с показателем, большим
или равным а-{-г£“я.
Чтобы проверить точность условия (29.28) теоремы 29.3.1,
рассмотрим системы
= [— о — a (sin In t + cos In /)] xlt	|
*	Zz+i I (30.23)
x2 = [—co—a(sinln tcos In /)] *2*4“ I xi I I
27 Б. Ф. Былов, P. Э. Виноград и др.
418	ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[30.4
И
Vi = [— о — a (sin In t + cos In /)]	.
•	(30.24)
y2 = [— © + a (sin In 14- cos In Z)] y2.
Здесь co > я > 0, X^O. Показатели системы (30.24) равны
—	коэффициент неправильности у — 2а, и
w(B)=a-t-№
По теореме 29.3.1 для совпадения показателей системы (30.23)
й (30.24) достаточно, чтобы выполнялось неравенство
со — а
Пусть
со — а

Рассмотрим какое-либо решение x(t) системы (30.23), пер-
вая координата хг которого дается равенством
— g-at-at sin In t.
Можно считать, что это решение удовлетворяет системе
хг = [— со — a (sin In 14- cos In £)]
x2 = l— co 4“ a (sin In / 4“ cos In /)] x2 4" ft (0
(30.25)
где *
b(t) = e
-©M-flMslnln t
(-(d+a)kt

Далее, так же как при рассмотрении системы (30.19), можно
убедиться, что всякое решение системы (30.25), у которого
*1 * 0, обладает показателем, большим —со-|-а.
30.4. Замечания. Рассмотренные примеры показывают,'
что требования к функциям 6(0 или 2V(|) в случае произ-
вольной системы первого приближения не могут быть сни-
жены. Однако это не означает, что не существует более
точных теорем о поведении решений систем, близких к ли-
нейным. Если подчинить систему первого приближения не-
которым ограничениям, например считать ее матрицу диа-
гональной или состоящей из одного жорданова ящика или
из нескольких ящиков, но с различными показателями, то,
по-видимому, можно сделать довольно глубокие заключения
31.1]
§ 31. ЗАДАЧИ
419
об асимптотике решений возмущенной системы при более
слабых предположениях о свойствах вектора f(t, х). Весьма
перспективным нам представляется путь исследования систем
вида (28.1), развиваемый в работе [6].
§31. Задачи
31.1. Аналогия в области. Здесь мы будем предполагать, что
правые части системы (28.1) заданы не во всем пространстве £л,
а лишь в некоторой ограниченной, содержащей' начало координат
области S. Естественно, теперь можно изучать асимптотику только
ограниченных решений.
Пусть Lq и L означают линеалы из Ln, через точки которых
соответственно проходят ограниченные решения системы (28.2) и
решения с отрицательными показателями. Ясно, что L с LQ. Если
ни одно из чисел не равно нулю, то L~L0. Под Ео (tQ) и Е (tf0)
будем понимать множества точек пространства Ln, через которые
при / = проходят ограниченные решения (28.1) или решения
с отрицательными показателями *)• Очевидны включения
£(*0)с£0
Пусть в области S вектор /(/, л) удовлетворяет условиям в) и г)
из п. 25.1, А — постоянная матрица.
Доказать теоремы:
Теорема 31.1.1. Если
оо
J 6 (О dt < оо,
о
то:
1)	Показатель всякого решения уравнения (28.1), определен-
ного при /~>оо, равен одному из чисел Л^<0.
2)	Если не все числа Л/ положительны, то множество £0 (0)
содержит точки, отличные от начала координат.
3)	Для всякого решения x(t) системы (28.1), у которого
показатель не больше Aj < 0, удовлетворяется неравенство
|х(0|<О|х(0)|е(Л<+8)< для
где е > 0 как угодно мало, a D >Q не зависит от х.
4)	Если Лг < 0 или Лг = 0 и тг — 0, то решение х=о
асимптотически устойчиво, или просто устойчиво', если Л! > 0,
то все решения, кроме тривиального, уходят из S при конеч-
ных t; если Аг > 0, то тривиальное решение неустойчиво и при
1) Ср. с п. 24.4.
27*
420
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[31.1
этом размерность множества точек из S, через которые
в начальный момент проходят решения, покидающие S при
конечных t, равна п, а мера этого множества равна мере S.
5)	Существует гомеоморфизм Ф, отображающий область S
на некоторую область G, такой, что:
а)	образ множества EQ (0) лежит в подпространстве LQ
и содержит все точки из LQ с достаточно малыми нормами',
Ф о) = о;
б)	через соответствующие в силу Ф точки из Ео(О) и G
в момент / —0 проходят решения х (t) и у (t) систем (28.1)
и (28.2) с одинаковыми показателями: кроме того, для
IX (/) - у (t) |< D I х (0) I
где — показатель этих решений, D и £—те же числа, что
в пункте 3);
в)	Ф и Ф-1 удовлетворяют условию Липшица.
Теорема 31.1.2. Если 0 > 0 и
оо
| тр6 (т) dx < оо,	(31.1)
о
то'
1)	Верны все утверждения теоремы 31.1.1.
2)	Если Л*<0 и mk^$, то для любого решения x(t) си-
стемы (28.1) с показателем Лй найдется аналогичное ему ре-
шение у (/) системы (28.2).
3)	В области S определен гомеоморфизм Ф* со свойствами
гомеоморфизма Ф, указанными в утверждении 5) теоремы 31.1.1
и такой, что если Лй <0, т^ < 0, то решения х (/) и у* (/) си-
стем (28.1) и (28.2) с показателями А*, которые при Z=0 про-
ходят через точки множеств Ео (0) и G, соответствующие
в силу Ф*, оказываются аналогичными, их отклонение оцени-
вается величиной o(tmk и для них выполняется неравенство
IX (t) — у (f) I < I х (0) | г* (/) eA*<pv+mfe_₽ (<),
где v—второй показатель х и у, е*(/)->0 при t^oo.
Теорема 31.1.3. Пусть правые части системы (28.1) удо-
влетворяют всем условиям, указанным в теореме 31.1.2, но
вместо требования (31.1) выполняется неравенство
оо
J e*xxfy(x)dx < +<эо, а>0, 0 — любое. (31.2)
о
Тогда справедливы все утверждения теоремы 31.1.1 и, кроме
того:
31.21	§ 31. ЗАДАЧИ	421
1)	Любое решение x(t) системы (28.1), определенное при
f->oo, аналогично некоторому решению у (t) системы (28.2) и
l*(0-j*(Ol<|x(O) |е (о / k > р k (о, (31.3)
где Ak и v—первый и второй показатели этих решений,
k' = ф] (Л), £*(/)—> О при /~>оо; отклонение х от у есть
f -at m?,-p\
oU t )	(31.4)
2)	Любое решение у (t) системы (28.2) с отрицательным
показателем аналогично некоторому решению х (t) системы
(28.1).
3)	Существует топологическое отображение Ф* области S
на некоторую область G со свойствами а), б), в), указанными
в утверждении 5) теоремы 31.1.1; кроме того, через точки £0 (0)
и G, соответствующие в силу Ф*, проходят аналогичные реше-
ния систем (28.1) и (28.2), удовлетворяющие неравенству (31.3)
и с отклонением (31.4).
Указание. Построить вектор f* (t, х), являющийся продол-
жением f(t, х) на все пространство и удовлетворяющий для лю-
бых Xj и х2 условию
। г а, ло - г а, х2) । < б (о । Х1—х21,
где 6 (0 — та функция, которая фигурирует в условии теоремы !).
Рассмотреть системы (28.2) и
а = Ла+/*(/, я).
Какие выводы о поведении решений системы (28.1) можно
сделать, если считать, что вектор f(t, х) вместо условий в) и г)
п. 25.1 удовлетворяет в 5 условию (28.10)?
31.2. Окрестность бесконечно удаленной точки. Будем счи-
тать, что вектор f(t, х) непрерывен для £>0 и х, принадлежащих
окрестности G бесконечно удаленной точки. Пусть, кроме того,
в области G выполняется неравенство (28.10). Доказать теоремы:
Теорема 31.2.1. Пусть удовлетворяются неравенства
(28.10) и условие (31.1). Тогда:
1)	Если Лг>0, то у уравнения (28.1) существуют решения,
определенные при t оо.
2)	Показатель любого решения системы (28.1), которое
определено при равен одному из чисел Л/>0.
3)	Если Лл>0 и	то для любого v=0, 1,..., mk
множество %k, v не пусто; всякое решение х (t) из v анало-
гично некоторому решению у (t) из v. Для всякого реше-
ния у (t) из' v» норма которого, начиная с некоторого t,
становится достаточно большой, найдется аналогичное ему
9 Возможность такого продолжения доказана в п. Д. 21.2.
422
ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
[31.2
решение х (0 из %k, v; отклонение аналогичных решений есть
Р) при /->оо.
Теорема 31.2.2. Пусть имеют место неравенства (28.10)
и (31.2), где а — произвольное положительное число, а ₽— любое
действительное число.
Тогда'.
1) Справедливы утверждения 1) и 2) теоремы 31.2.1.
2) Всякое решение x(t) системы (28.1) с неотрицательным
показателем аналогично некоторому решению у (/) системы
(28.2); для любого решения у (t) системы (28.2), норма которого,
начиная с какого-либо момента, оказывается достаточно боль-
шой, найдется аналогичное ему решение x(t) системы (28.1);
отклонение этих решений (с показателями Л^>0) есть
o(e~att k' Р) при t->cQ,
где = cpt (&) (см. (25.21)), число mQk, определяется формулой
(25.35).
Пусть вектор f(t, х) непрерывен в области G*:
|л|>Я0>1
и удовлетворяет условию (28.18), причем функция W (g) монотонно
убывает и стремится к нулю, когда g-»oo.
Доказать следующие две теоремы:
Теорема 31.2.3. Пусть в области G* выполняется нера-
венство (28.18) и
Na) = ea)|lng|'i,	(31.5)
где ц < 0 « е (£) удовлетворяет условию
Тогда:
1)	Если Л* > 0, то у уравнения (28.1) существуют решения
с показателями, равными Ад.
2)	Показатель любого решения системы (28.1), которое
определено при t^co, равен либо нулю, либо одному из чисел
Az > 0.
3)	Если среди чисел нет равного нулю и функция N(g)
достаточно мала для g > RQ, то у системы (28.1) нет решений
с нулевыми показателями.
4)	Если Лл > 0 и	— (1-f-	то всякое решение х (t)
системы (28.1) с показателем^ аналогично некоторому реше-
нию у (t) системы (28.2) и для каждого у (t) из найдется
аналогичный ему вектор x(t) из отклонение аналогичных
решении есть o\t *	) при /->оо.
§ 31. ЗАДАЧИ
423
31.3j
Теорема 31.2.4. Пусть выполнены все условия теоремы
31.2.3, но вместо равенства (31.6) имеет место равенство
ЛЦ£) = е(£)Гх|1п61ц,
где X > 0, ц— произвольно, е(£) удовлетворяет условию (31.6).
Тогда верны утверждения 1), 2), 3) теоремы 31.2.3. Кроме
того, всякое решение x(t) системы (28.1) с положительным
показателем аналогично некоторому решению у (t) системы
(28.2); наоборот, всякому решению у (t) системы (28.2) с пока-
зателем отвечает аналогичное решение х (/) системы (28.1);
отклонение этих решений есть
о\е R t	J при /->оо,
где Kk и v —их первый и второй показатели.
Указание. Для доказательства теорем 31.2.1, 31.2.2,31.2.3
и 31.2.4 нужно продолжить вектор f(f, х) на все пространство так,
чтобы для любого х удовлетворялось соответственно условие
(28.10) или (28.18).
31.3. Разные задачи. Закончим этот параграф формулировкой
нескольких задач.
Задача 31.3.1. Пусть вектор f(t, х) вместо условий в) и г)
п. 25.1 удовлетворяет условию (28.10) и выполнено требование (29.8).
Что можно сказать в этом случае о поведении решений системы
(29.1)?
Задача 31.3.2. Тот же вопрос для случая, когда f(t, х) обла-
дает свойством (28.18), N (£) =» и выполнено неравенство (29.28).
Сформулировать и доказать теорему об асимптотической устойчи-
вости тривиального решения системы (29.1).
Задача 31.3.3. В теоремах 29.1.1 (29.1.2 и 29.3.1) предполо-
жение об интегральной ограниченности матрицы В (/) заменить
более слабым требованием
t
1 j |В(т) |dr< D < оо.
О
где интеграл понимается в смысле Лебега. Показать, что утвер-
ждения этих теорем останутся верными.
Задача 31.3.4. Теорема 29.2.1 допускает аналогичное обоб-
щение. Доказать.
Задача 31.3.5. Насколько точна теорема 29.1.2? Построить
пример точности или уточнить теорему.
Задача 31.3.6. Пусть выполнено условие (28.10). Доказать
теорему: если tmk б(/)->0, то второй показатель любого
решения системы (28.1) с показателем равен одному из чисел
О, 1, 2..mk.
424	ГЛ. IX. СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ	[31.3
Задача 31.3.7. Пусть выполнены условия теорем 27.4.1 и 27.4.2.
Будет ли множество Ek (0) (Ад < 0) связным? (Если / (t, х) не
зависит от t, задача имеет положительный ответ.)
Задача 31.3.8. Гомеоморфизм Фд, v, о котором говорится
в лемме 26.5.1, зависит от tQ. Показать, что Фд, v->/ (тождествен-
ному гомеоморфизму), когда /0->оо.
Задача 31.3.9. Если обозначить через Ф*° гомеоморфизм, по-
строенный с помощью гомеоморфизма^ Фд, v таким же способом,
как строился Ф* с помощью Фд, v, то Ф/о->/, когда /0->оо. Дока-
зать (см. § 26).
Задача 31.3.10. Пусть правые части системы (23.1) непре-
рывно дифференцируемы. Будет ли дифференцируем гомеомор-
физм Ф*, существование которого гарантируется теоремами 26.1.1,
26.1.2, 27.4.1, 27.4.2?
ГЛАВА X
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 32.	Постановка задачи
32.1.	Задача Пуанкаре. В двух предыдущих главах мы
рассматривали неавтономные системы дифференциальных
уравнений, близкие в различных смыслах линейной системе
с постоянными коэффициентами. Было показано, что мно-
жества EktV(tQ) гомеоморфны или подпространствам LktV,
или некоторым их частям. Если предположить, что возму-
щающий вектор в системе (23.1) не зависит от /, т. е.
/(/,	то можно надеяться, что между системами
(23.1)	и (23.2) будет наблюдаться большее сходство, чем
было отмечено в теоремах 27.4.1 и 27.4.2.
Легко видеть, например, что в этом случае множества
Ek V(Q (Л* < 0) не зависят от t0 и связны, ибо состоят
из полутраекторий системы (23.1).
Изучая автономные системы вида (23.1) с голоморфными
возмущениями и диагональной матрицей А, Пуанкаре [1] при
некоторых предположениях о собственных числах А показал,
что система (23.1) вблизи начала координат может быть
приведена к виду (23.2) с помощью аналитического и взаимно
однозначного преобразования. Поиском преобразований в бо-
лее общих случаях занимались многие авторы ([2], [3],
[4], [5]). Представлялось естественным требовать от матрицы
только то, чтобы у нее не было собственных значений с ну-
левой действительной частью. Однако в такой постановке,
как показал Гартман [6], гипотеза неверна, даже если ана-
литичность преобразования заменить дифференцируемостью.
32.2.	Пример Гартмана. Рассмотрим системы
х = 2х,
у — у + XZ,
(32.1)
z = — z
426	ГЛ. х- КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ [32.2
И
U — 2й,
V — V,
W = — W.
(32.2)
Очевидно, решения этих систем даются формулами
x(t) = xe2tt	у (f) = [у 4- txz\	z(t) = ze^t (32.3)
u(t) = ue2tt	ъ(Г) = ъе*,	<w(t) = 'we~tt (32.4)
где х, у, z и я, V. w— константы.
Предположим, что существует гомеоморфное отображе-
ние Ф:
х = / (и, vt -w), y = g(ut v, w), z = h (ut v, w) (32.5)
некоторой окрестности начала координат на некоторую об-
ласть, обладающее тем свойством, что решения системы (32.2)
оно преобразует в решения системы (32.1) и наоборот.
Покажем, что гомеоморфизм Ф не может быть дифферен-
цируемым. Прежде всего заметим, что начало координат о
является решением системы (32.2). Значит, Ф (о) должно
быть решением системы (32.1), и это решение ввиду взаим-
ной однозначности Ф должно состоять из одной точки. По-
этому
Ф(о) = о.	(32.6)
Далее, решения системы (32.2), входящие в точку о при
t—>оо (t—> — оо), гомеоморфизм Ф обязан переводить
в решения системы (32.1), стремящиеся к о при >оо
(/->—оо), ибо доказано (32.6). Отсюда и из формул (32.3)
и (32.4) получаем
/(О, 0, w) = g-(0, 0, <ш) == 0,	(32.7)
h(u, v, 0) = 0.
(32.8)
Рассмотрим вектор = [ue2tt 0, we-*}, являющийся, оче-
видно, решением системы (32.2). Так как Ф(ф(/)) удовле-
творяет системе (32.1), то, сопоставляя формулы (32.3) и
32.2J
§ 32. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
427
(32.5), находим
f(ue2tt 0, ме~*) = f (и, 0, w)e2f,	(32.9)
g(ue2t, 0, ме~*) = \£ (ut 0, w)-|-//(zz, 0, w)A(w, 0, w)]ez,
(32.10)
h(ue2t, 0,	=	0, w)e~*.	(32.11)
Возьмем последовательность чисел /л,
lim tn = оо,
Л->ОО
и пусть
ип = ие~”«.	(32.12)
Обозначим через ?П(О решение системы (32.2), проходящее
при / = 0 через точку (ип, 0, w), т. е.
фл(О={«,Х*» 0» we~'} = {ue2?~*'i\ о,
Из (32.10), полагая t — tn и заменяя и на ип, получим
g-(zz, 0,	=
= (£(«„. °. «’) + V(«n. 0.	0, «у)]Л. (32.13)
Предположим, что ^'(0, 0, о>) существует. Так как
£•(0, 0, w) = 0 (см. 32.7), то
£•(«„. 0, w) = g'a (0, 0, w) «„ + <>(«„).
Поскольку к тому же
R==f(un, О, «>)Л(«Я, 0, ю)е*п =
= f(un, 0, «»)г2<яЛ(ая, 0, ‘ш)е~*п
и имеют место равенства (32.9) и (32.12), то
R = f(a, 0, тое-/я)Л(ип, 0, w)e~tn.
Соотношению (32.13) теперь можно придать вид
g(u, 0, ‘we~(») = g^l (0, 0, w) + ° (ия) +
+	О, •we ~'n)/i(un, 0, ш).	(32.14)
428	ГЛ. х- КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ [32.3
Устремляя п к бесконечности и имея в виду равенство (32.12),
приходим к выводу: если g'(0, 0, w) существует, то
g(u, 0, 0) = 0.	(32.15)
Допустим еще, что существует и g'w(u, 0, 0). Принимая
во внимание (32.15), видим, что
g(ut 0, we~ty = g'w (и, 0, 0) we~tfi-[- o(we~*n). (32.16)
Деля обе части равенства (32.14) на 1пе~\ учитывая (32.12)
и (32.16) и переходя к пределу при п —>оо, имеем
/(и, 0, 0)/г(0, 0, w) = 0.
Если /(«, 0, 0) —0 (и Ф 0), то равенства (32.8) и (32.15)
показывают, что точка (и, 0, 0) отображается гомеоморфиз-
мом Ф в точку о, что вместе с равенством (32.6) противо-
речит взаимной однозначности Ф. Если же h (0, 0, w) = 0,
то вместе с равенством (32.7) это снова обнаруживает от-
сутствие взаимной однозначности отображения Ф, что не-
возможно.
Таким образом, доказано, что в любой сколь угодно
малой окрестности начала координат не существует диффе-
ренцируемого гомеоморфизма, отображающего эту окрест-
ность на некоторую область так, что решения системы (32.2)
переходят в решения системы (32.1). Это означает, что
в окрестности точки о нельзя найти 'такого дифференци-
руемого преобразования переменных с якобианом, отличных
от нуля, которое переводило бы систему (32.2) в систему
(32.1) и наоборот.
32.3.	Постановка задачи. Еще задолго до опубликова-
ния примера Гартмана В. В. Немыцкий дал такую модифи-
кацию задачи Пуанкаре: найти условия, при соблюдении
которых системы (23.1) и (23.2) оказались бы топологически
эквивалентными вблизи особой точки.
Термин «топологическая эквивалентность» требует уточ-
нения. Введем определение.
Системы дифференциальных уравнений назовем го-
меоморфными или топологически эквивалентны ми в об-
ластях Gt и О2, если существует топологическое ото-
бражение Ф области Gx на при котором решения
одной системы переходят в решения другой и наоборот.
33.1
§ 33. ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТРАЕКТОРИЙ
429
Точнее, если x(t) есть решение одной системы, то Ф (х(/))
является решением другой, и обратно, если у (ft) — реше-
ние второй системы, то Ф-1 (y(t)) удовлетворяет первой.
Ответом на задачу В. В. Немыцкого явились работы [7],
[8], в которых эта задача решена при дополнительных огра-
ничениях. Полное ее решение дано в статьях [9], [10]. Почти
одновременно, но при более жестких требованиях к возму-
щающему вектору в работе [6] было найдено другое реше-
ние этой задачи.
В настоящей главе излагается теорема 34.1.1 о гомео-
морфизме систем (23.1) и (23.2). Прежде чем перейти к этой
теореме, мы установим в § 33 некоторые черты поведения
решений системы (23.1) на всей действительной оси. Так
как эти черты свойственны и неавтономному случаю, то
в § 33 мы будем считать, что возмущающий вектор f(t, х)
зависит от t и определен для всех t. Для понимания § 34
из § 33 понадобятся только пп. 33.1, 33.3 и 33.6. Осталь-
ное содержание § 33 представляет самостоятельный интерес.
§ 33.	Поведение целых траекторий
33.1.	Минус-показатели. До сих пор мы интересовались
поведением решений системы
x = Ax+f(t, х)	(33.1)
на положительной полуоси. Изучение асимптотических свойств
решений при t->— оо (если вектор f(t, х) определен для
£<;0) можно свести к уже известным теоремам, ибо за-
мена
приводит систему (33.1) к виду
% = - Лх -f(- %, х),	(33.2)
причем т—>-|-оо, когда /—>— оо.
Для характеристики роста решений при — оо введем
понятие минус-показателя: минус-показателем вектора
x(t), определенного при t-+— оо, назовем число
Х"(*)= ns -Lifl|x(0|.	(33.3)
/-►-оо	4
430
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
|33.1
Иногда число х” (*) мы будем называть верхним минус-
показателем и обозначать через х" (*), в отличие от ниж-
него минус-показателя х” (*)> определяемого равенством
%"(х) = lim J—1п|ж(0|.	(33.4)
/-> —ОО
Если х“ (•*) = X" (*)» то будем говорить, что x(t) обладает
точным минус-показателем.
Очевидно, минус-показатель решения системы (33.1)
является показателем системы (33.2). Для функции еи ми-
нус-показатель равен —X , для решений системы с посто-
янными коэффициентами минус-показателями служат взятые
с обратными знаками действительные части корней характе-
ристического уравнения.
Из формулы (33.3) видно, что если
X" (*) = *-.
то для любого е > 0 найдется число De > 0 такое, что
при t 0
|x(0|<2V“(X+e)' •
Кроме того, существует последовательность {/*},	— оо
при &->оо, для которой
Значит, если X"W<0« то х(/)->0, когда — оо,
если же х“ (*) > б, то вектор x(t) неограничен при t->— оо.
Ясно, что минус-показатели не меняются при ляпунов-
ских преобразованиях переменных.
Предположим, что вектор f(tt х) при всех t и х удов-
летворяет условию
|/(Л Х)|<6|Х|,	(33.5)
где б достаточно мало, и пусть Aj < ... < Ar — все раз-
личные действительные части собственных значений матрицы
А. Тогда в силу теоремы 15.3.2 показатели (верхние и
нижние) системы (33.1) расположены вблизи чисел Az, а по-
казатели системы (33.2) — вблизи — Az. При этом для лю-
бого /5=1,’..., г у этих систем есть решения, показатели
которых соответственно близки числам Az и —Az.
Так как минус-показатели системы (33.1) являются по-
казателями системы (33.2), то нами установлена
33.2]
$ 33. ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТРАЕКТОРИЙ
431
Лемма 33.1.1. Если при всех t выполнено неравен-
ство (33.5) с достаточно малым б, то верхний и ниж-
ний показатели любого решения x(t) системы (33.1)
близки к одному из чисел Л,, а верхний и нижний
минус-показатели x(t) расположены вблизи числа—Лк
(Z, k = 1, .... г). При этом для каждого I = 1......г
существует решение (33.1) с показателем, близким к
(и минус-показателем, близким к некоторому —Aj),
и для каждого k = \......г найдется решение с минус-,
показателем, близким к —Ak (« показателем, близким
к некоторому Л5).
Простым следствием леммы 33.1.1 является
Лемма 33.1.2. Если для любых tux
\f(t. х)|<б(|х|)|х|, .	(83.6)
где функция б(£) достаточно мала при всех и
б(^)~>0, когда £->0 или |->оо, то всякое решение x(t)
системы (33.1) имеет точные показатель и мину с-пока-
затель, равные числам Az и —Ak (I, k=l, ..., г).
При этом для каждого 1=\, ..., г существует реше-
ние с показателем Az (и каким-то минус-показателем
— Лу), и для каждого k = \, ..., г существует реше-
ние с минус-показателем —Лй (и каким-то показа-
телем Л5).
33.2.	Формулировка задачи. В леммах 33.1.1 и 33.1.2
ничего не говорится о соотношении между показателем и
минус-показателем одного и того же решения системы (33.1).
Из аналитического вида решений системы z
у = Ау	(33.7)
с постоянной матрицей легко усматривается, что если пока-
затель некоторого решения системы (33.7) равен Лй, то
его минус-показатель не меньше —Kk. Отсюда, между
прочим, следует, что всякое решение системы (33.7) с от-
рицательным показателем имеет положительный минус-пока-
затель, и наоборот, всякое решение с отрицательным минус-
показателем обладает положительным показателем. Оказы-
вается, подобное обстоятельство имеет место и для решений
системы (33.1), если только выполнено условие (33.5) с дос-
таточно малым б (или условие (33.6)). Так как для случая
г = 1 это очевидно, мы будем предполагать далее г 2.
432
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
133.3
Как известно, ляпуновские преобразования переводят
малые возмущения в малые, поэтому можно считать, что
приведение матрицы А к нужному виду не нарушает вида
условий (33.5) и (33.6). Так как эти преобразования не
меняют также показателей и минус-показателей, то в даль-
нейшем мы будем считать матрицу А жордановой с диаго-
нальными коэффициентами, расположенными в порядке воз-
растаний их действительных частей и с достаточно малыми
внедиагональными коэффициентами.
Настоящий параграф мы посвятим выяснению зависимости
между показателем и минус-показателем одного и того же
решения системы (33.1). Попутно мы получим новые дока-
зательства почти всех утверждений лемм 33.1.1 и 33.1.2.
’Оговоримся сразу же, что многие рассуждения будут по-
добны рассуждениям § 15.
33.3.	Основные оценки. Как и в п.23.1, обозначим
через lt количество собственных чисел матрицы А, дейст-
вительные части которых не превосходят Лр и пусть
L,ni — линеал, состоящий из векторов, у которых первые/^
и последние п — lt координат — нули. Заменим в матрице А
первые li_1 и последние п — Ц столбцов нулевыми, и полу-
чившуюся матрицу назовем Az. Очевидно, в Az войдут жор-
дановы блоки А с собственными числами, действительные
части которых равны ЛР Ясно, что у Az первые i и
последние п — lt строк нулевые.
Условимся под zl понимать компоненту вектора z. ле-
жащую в линеале Lnt. Тогда всякий вектор х можно пред-
ставить в виде суммы попарно ортогональных векторов
х = х1 + х2+ . ..+<	(33.8)
а уравнение (33.1) записывается как система
=	(Z=l.......г).	(33.9)
Матрица Az равна сумме матриц и 1\, где ML диагональ-
ная, а 1\ содержит все внедиагональные элементы Az.
Как было установлено в п. 33.2, мы вправе считать,
что для любого 1= 1.......г

(33.10)
33.41
§ 33. ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТРАЕКТОРИИ
433
где а—некоторое малое число. Таким образом, систему
(33.9) можно переписать так:
xz= Mixi-j~rixt +/z(x) G=i.........Г). (33.11)
Выведем некоторые неравенства, которым удовлетворяют
компоненты xl(t) решений системы (33.1). Пусть x(t)—ре-
шение системы (38.1). Подставим x(t) в систему (33.11) и
умножим Z-e тождество скалярно на x*(f). Получим
(xz, xz) = (Mzxz, хН(Г/, xz) + (/z(x), xz). (33.12)
Так как вообще
Re(*. х) = |А(г> г) = ^|г|2> (ззлз)
то из (33.12) вытекает, что
xz) = Re(-Mzxz, xz) + Re(rzxz, xz) + Re(/z(x), xz).
(33.14)
Но
Re (М{х1, xl) = Az (xz. xl) = Az | x112,
| Re (Fzxz. xl) |< | (Fzxz, xz) К a | xz |2,
|Re(/z(x), xz)|<|(/z(x). xz)|<6|x||xz|<d|x|2,
и из равенства (33.14) получаем
4^|x42<(Ai + a)|xz|2+d|x| И.	(33.15)
~\х1\2>(\-а)\х1\*-Ъ\х\ |xz|.	(33.16)
33.4.	Конусы Kt и поведение решений системы в Ki.
Обозначим через Kt и назовем конусом (этот конус отли-
чается от круглого или эллиптического конусов из § Д. 5)
множество точек пространства Ln, описываемое системой
неравенств
|xz|>|x'|	(/=1......I— 1. /+1.......г).	(33.17)
Множество
принадлежит границе конуса Kh
28 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
434
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
[33.4
Пусть х — произвольный вектор пространства. Разложим
его на составляющие х1 £ £Л:
Х= 2 X1.
Z = 1
Пусть |x*| = max|xz|. Тогда для | х11 выполняется (33.17)
и, может быть (при каком-нибудь наборе индексов), имеют
место соотношения (33.18), т. е. х находится или внутри,
или на границе Значит, сумма конусов Ki покрывает
все пространство:
r = U^-
Z = 1
Посмотрим, как ведут себя решения системы (33.1) в кону-
сах Ki и на их границах.
Лемма 33.4.1. Пусть при t — tQ решение x(t) системы
(33.1) находится на границе конусов Kt2./G*.
где	.. • <	Тогда при t = t$ для
любого q <ilk
^|xW>^|x?(O|2-	(33.19)
Доказательство. Из условия леммы вытекает, что
для компонент xl (t) вектора x(t) в момент t = tQ выполнены
соотношения
IV11 = |х‘2| = . .. = |xz*| > |х*| для q^ip 12............lk.
(33.20)
Напишем неравенство (33.16) для 1 = 1к и неравенство (33.15)
для i^q. Усилим еще (33.15), заменив в правой части
|х*|2 на | х^|2. Вычитая полученные таким образом нера-
венства одно из другого, находим
Так как
Т
I X I2 = S I X112 Г тах | X112,
3.4]
§ 33. ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТРАЕКТОРИИ
435
то из предыдущего видно, что в точке tQ
Для достаточно малых а и б (что и предполагается) правая
часть последнего неравенства положительна, ибо Л,* > Л^.
Лемма доказана.
Следствие 33.4.1. Если в момент t = tQ решение
системы (33.1) находится на границе двух или
нескольких конусов Kit то при возрастании t x(t) вой-
дет в тот из них, у которого наибольший номер.
Действительно, пусть х(/0) лежит на границе Ktx,
Ki2.....Ktk, где < Z2 < • • • < т. e. для компонент
вектор^ x(/0) имеет место соотношение (33.20). Поскольку
производная от | х1ь (t) |2 в момент t = tQ больше производ-
ных от | xQ (t) |2, то для значений t, больших /0 и близких
к /0, будет
|х'*(0|> 1*Чс1	($ = 1. 2....k — 1).
Так как при t — tQ
> k?(4>)l
для любого q^ls ($«=!, 2, ..., k), то для близких к /0
значений t это неравенство сохранится. Значит, x(t)£Ki .
Следствие 33.4.2. Если в момент t = tQ x(t) вы-
ходит на границу конуса Kt изнутри него, то с воз-
растанием t решение x(t) покидает Кг Другими сло-
вами, выйти на границу и вернуться назад решение
не может.
Точка x(tQ) является граничной для Kt и некоторых
других конусов KQ. Выберем из них тот, номер которого
максимален. Если его номер больше I, то по следствию 33.4.1
x(t) перейдет в этот конус, и следствие 33.4.2 доказано.
Убедимся, что быть меньше Z этот номер не может. Дей-
ствительно, если считать, что I — максимальный номер всех
конусов, граничащих в точке x(Z0), то по лемме 3.3.1.1
при t — tQ
28*
436
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
f33.4
Значит, с уменьшением t наиболее быстро убывает | xl (t) |,
а потому для близких t < tQ оказалось бы
|xz(()| < l*W
ибо | xl (f0) | = |	(t0) |. Последнее неравенство противоречит
предположению, что вектор x(t) достигает граничной точки
изнутри
Лемма 33.4.2. Пусть на отрезке [£0, Т] реше-
ние x(f) системы (33.1) находится в Кр.
xtf)^.
Тогда для любого t £ [/0, Т] справедливы неравенства
| х (t) I < I х1 (t0) | е(л«+е) (''»),	«(33.21)
| xl (t)1 > | xl (t0) I в(Лг"е)	(33.22)
где 8 = a-|-6yrr.
Доказательство. Так как x(f)£K(, то |д?|^-|х,|
для любого q. Поэтому | х (f) |2 •< г | jfz(() |2 для t£{t0, Г].
Из неравенств (33.15) и (33.16) получаем
14-и2<(л/+а+б1<7)И2-
у I I2 > (л/ — а — 6	I I2.
откуда и следует утверждение леммы.
Следствие 33.4.3. В условиях леммы ЗЛ4.2 верны
неравенства
IX(о| < /71 х((0) I 8<Л'+е)	(33.23)
IX (t)1 > •j/’l | х (t0) | е(л/"е) «-‘J.	(33.24)
Действительно, | х (О12	г | х1 (() |2. Значит, | х (01
|xz(()|. и из (33.21) легко следует (33.23), ибо
|х(^о)1>1^(^о)1- Из (33.22) получаем
I х (t) | > | х‘ (to) | е<Л'"е) ('"'Л.	(33.25)
Так как | х1 (t0) |2	у | х (/0) |2> то (33.25) приводит к (33.24).
33.5]
§ 33. ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТРАЕКТОРИЙ
437
33.5.	Выводы. Объединяя полученные результаты, мы
можем сказать следующее. Всякое решение х (t) системы (33.1)
в любой момент t пребывает в каком-либо конусе Kt
(/=1, ..., г). Пока оно принадлежит Kh его норма удо-
влетворяет неравенствам (33.23) и (33.24). Если в некий
момент решение x(t) выходит на границу конуса Kit то при
возрастании t оно обязательно погружается в конус /Q,
где j > I. Поэтому для любого решения x(t) количество
переходов из конуса в конус на интервале [0, оо) не пре-
восходит г, и, начиная с некоторого tQ, x(t), остается
в одном и том же конусе Кj. Так как верны (при i = j)
неравенства (33.23) и (33.24), то верхний и нижний пока-
затели этого решения окажутся близкими к Л у (ср. с лем-
мой 33.1.1).
При /-> — оо наблюдается аналогичная картина. Реше-
ния системы (33.1) могут переходить из одного конуса Kq
в другой Ks только при условии s < q. Остаться в Kq
после выхода на границу при убывании t или перейти
в конус с большим, чем q, номером, никакое решение не
может, так как тогда при возрастании t это решение вело бы
себя непозволительно: оно или переходило бы при возра-
стании t из конуса с большим номером в конус с меньшим
номером, или, выходя на границу конуса, возвращалось бы
в него снова.
Таким образом, и при — оо возможно не более г
переходов из конуса в конус. Поэтому для любого реше-
ния x(t) существует некий момент такой, что при t<Zt*
решение x(t) остается в одном и том же конусе Ks. В соот-
ветствии с неравенствами (33.23) и (33.24), заменяя там I
на 9, tQ на и имея в виду, что t < t*, можем написать
IX (QI < /71 х (t) I е(Л«+г) ('."О,
•х I > рт-1х Iе(Л*-е)
Отсюда	_
IX (О К /71 х (/,)I е(л«-8) ('"У,	(33.26)
| x(t) | >	| х(/,) | е(л«+е) С-Q.	(33.27)
Из последних неравенств следует, что верхний и нижний
минус-показатели близки к —Л,.
438	ГЛ. х- КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 133.6
Так как номер j конуса Kj, где решение x(t) остается
при /~>оо, не меньше номера 5 конуса Ks, в который х(Г)
погружается, когда Z->— оо, и Лу— Л5^0, то спра-
ведлива
Теорема 33.5.1. Если удовлетворяется условие
(33.5) с достаточно малым 6, то верны все утвержде-
ния леммы 33.1.1 и, сверх того, для любого решения x(t)
системы
X (л)+ х“ (-*)> — 2е.
Если же выполнено неравенство (33.6), то, помимо
утверждений леммы 33.1.2, справедливо неравенство
Х(*) + Х" (*)><>•
Следствие 33.5.1. Всякое решение системы (33.1)
с отрицательным показателем имеет положительный
минус-показатель, и всякое решение с отрицательным
минус-показателем обладает положительным показа-
телем. Таким образом, если среди чисел нет равных
нулю, то у системы (33.1) нет траекторий, которые
сходят в начало координат двумя концами (т. е. нет
эллиптических решений}.
33.6.	Об отсутствии эллиптических решений. Утверждение,
содержащееся в следствии 33.5.1, может быть получено более про-
стым путем. Пусть для Z = 1, 2.г числа Л/ =/= 0. Рассмотрим
случай, когда среди них есть отрицательные и положительные.
Пусть Л* < 0, а Л^+1 > 0.
Любой вектор х можно представить в виде суммы
X = и +
где и = л1 + х2 4- ... 4“— *k+l 4" • • • 4"Очевидно, и и v
ортогональны и (х, х) = (и, и) 4"(^» <0*
Так же, как выводились неравенства (33.15) и (33.16), можно
показать, что для любого решения х (f) — и (0 4~* (О системы (33.1)
справедливы соотношения
1А|Я|2<(Лй+а)|«Р + 6|хР = (Л^ + а + б)|«Р + д|®Р,
(33.28)
y-J- 11»|2 >(Aft+I —a) | ® |2 —d I х|2 = (Aft+I—а —6) | о |2 — б |и |2.
(33.29)
Отсюда
|4(^Г-|«Г)>(Ай+1-а-26)И|2-(Лл + а + 26)|И|2.
33.7]	§ 33. ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТРАЕКТОРИИ	439
•
Так как Л^+1 > Л^, то, считая ct-|—26 достаточно малым,
имеем
Л*+1—а —25>р>0,	Л* + а4-2д< — р < 0.
Поэтому
у-^(1®|2-|«12)>₽(1®12 + 1«12) = ₽1*12.	(33.30)
Отсюда, если в некоторый момент t =* f0 решение л (0 выхо-
дит на границу конуса а2 = 02, т. е. | и (fa) | = | я (f0) |, то при воз-
растании t оно обязательно входит в область |я| > [и|. Из нера-
венства (33.30) видно, что в таком случае это решение навсегда
останется в этой области. Более того, так как |х(0 |2>| 0(0 I2 —
— I и (0 I4, то
y-^-(l®l2-l»l2)>P(l^l2-l«l2).
Поэтому из положительности функции | я (t) |2—| и (0 |2 при неко-
тором t, следует, что ее показатель не меньше 2р > 0. Но
1
|лс(01>(1®(012-1»(012)7
и, значит, %(л)>р.
Таким обравом, если показатель решения х(0 отрицателен, то
при всех t оно должно оставаться в области |п| > | 01.
Из (33.28) вытекает в этом случае
Интегрируя это неравенство, получим для
|«(0l>l«(0)R-₽z.
Поэтому в(0 обладает положительным минус-показателем, и,
поскольку 1 х (01 > | и (0 |, это же верно и для х (0. Аналогично
доказывается обратное:
если х" (*) < 0, то % (х) > 0.
Мы рассмотрели случай, когда встречаются показатели разных
знаков. Если все Л/ одного знака, то утверждение остается в силе,
но вместо двух неравенств (33.28) и (33.29) придется пользоваться
лишь одним из них, так как либо и (0 = о, либо я (0 = о.
33.7.	Задачи. Если векторы х(0 и y(t) определены
при /->— оо, то естественным образом для них можно вве-
сти понятия отклонения и аналогии при >— оо. Усло-
вимся называть решение x(t) системы (33.1) нормальным,
если существует такое решение y(t) системы (33.7), которое
440 ГЛ. х- КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ (33.7
аналогично x(t) как при /~>оо, так и при /->— оо.
Доказать теоремы: *
Теорема 33.7.1. Пусть р, = max (znb m2, ...» тТ)
(см. п. 24.1) Лх < Лг, выполнены условия а), б), в), г)
п. 25.1 и
| 11	< оо.
— со
Тогда все решения системы (33.1), за исключением мно-
жества меныией чем п размерности, нормальны, при-
чем почти всякое (в смысле размерности) нормальное
решение аналогично такому решению системы (33.7), у
которого показатель равен Лг, а минус-показатель ра-
вен— ЛР
Указание. На основании теоремы 26.1.1 показать,
что почти все (в смысле размерности) решения системы (33.1)
имеют показатели Лг и минус-показатели—Ар Далее, поль-
зуясь линейностью системы (33.7), убедиться, что всякое ре-
шение системы (33.1), у которого сумма показателя и ми-
нус-показателя положительна, аналогично некоторому реше-
нию системы (33.7) как при Z->oo, так и при /-> — оо.
Теорема 33.7.2. Пусть для любых хх и х2
|/(Л*1) — /(Л*г) К W (I Jfi I, I х21) | Xl — х21.
где функция N достаточно мала при всех аргументах
и стремится к нулю достаточно быстро, когда IxJ-h
+ I Х21	0 или когда |xj| и |х2|->оо. Если Aj < Лг,
то почти все решения системы (33.1) нормальны. Анор-
мальными могут быть лишь такие решения системы
(33.1), у которых сумма показателя и минус-показателя
равна нулю.
Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей
задаче и теоремами 33.5.1, 27.4.1 и 31.2.3.
Задача 33.7.1. Показать, что у системы
1
Х1 — Хр Х2 — Х2 "4” । । ^2 Х2* Х3 — х3
есть анормальные решения.
34.2]
§ 34. ГОМЕОМОРФИЗМ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
441
§ 34. Гомеоморфизм систем дифференциальных
уравнений
34.1.	Формулировка теоремы. В настоящем параграфе
мы займемся построением гомеоморфизма
3» = ф(х),
который преобразует решения системы
х = Лх+/(х)	(34.1)
в решения системы
У = Лу	(34.2}
и наоборот. Весьма существенным здесь является предполо-
жение об автономности правой части системы (34.1). Спра-
ведлива
Теорема 34.1.1. Если действительные части всех
собственных чисел матрицы А отличны от нуля*
f(o) = o и в какой-либо окрестности Gx точки х = а
вектор /(х) удовлетворяет условию Липшица с доста-
точно малой константой б, то системы (34.1) и (34.2)
гомеоморфны в областях Gx и О2, где G2— некоторая
область, содержащая начало координат.
Доказательство разобьем на несколько этапов.
34.2.	Предварительные замечания и оценки. Построим
вектор F(x), обладающий следующими свойствами:
a)	F(x) определен для любого х;
б)	F(x) = o, если |х|>/?, где /?> О достаточно велико;
в)	F(x)=/(x) для x£Gj и удовлетворяет условию Лип-
шица с той же константой б, что и /(x)i во всем простран-
стве Ln.
Существование такого вектора доказано в [11]. Очевидны
неравенства
|F(x)|<6|x| для любого х,	(34.3)
|F(x)|<6 7?	для любого х.	(34.4)
Будем рассматривать систему
x = Ax + F(x).	(34.5}
442	ГЛ. х. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ [34.2
Заметим, что любое решение системы (34.3) определено
для всех действительных tt и если при некоторых t оно
принадлежит то оно удовлетворяет системе (34.1).
В то же время всякое решение (34.1) является решением
(34.5).
Если мы установим гомеоморфизм Ф систем (34.5) и
(34.2) в и некоторой области Л4, то, очевидно, суже-
ние Ф, отображающее область Gr на некоторую область
G2 cz Л4, и будет искомым.
Так как у матрицы А нет собственных значений с ну-
левой действительной частью, то, считая константу Лип-
шица б столь малой, как это требуется в теореме 33.5.1,
мы вправе утверждать, что у системы (34.5), как и у (34.2),
существуют решения лишь трех типов:
1)	О+-кривые, стремящиеся к о при t —>оо и к оо при
t —> — оо;
2)	0“-кривые, уходящие в бесконечность при /~>эо
и стремящиеся к о при /-> — оо;
3)	седловые кривые, неограниченно удаляющиеся от на-
чала координат как при	так и при /—> —оо.
В дальнейшем точки, лежащие на 0+-, 0“- или седло-
вых кривых, будем называть соответственно О+-точками,
©“-точками или седловыми точками. Не уменьшая общности,
мы будем считать, что матрица А жорданова и ее диаго-
нальные элементы расположены в порядке возрастания их
действительных частей. Польвуясь обозначениями п. 24.1,
рассмотрим матрицы U(t) и V (t)t где U (/) — матрица, по-
лученная из Y (t) заменой столбцов с положительными по-
казателями столбцами из нулей; V(t) «= Y (/) — U (t) — ма-
трица, столбцы которой, отличные от нулевых, имеют по-
ложительные показатели.
Ясно, что если все показатели системы отрицательны, то
V(/) = 0, U(t) = Y(t), если же Ах > 0, то U(t) = O,
а У(О = У(О-
Очевидно, всегда найдутся такие положительные числа
а и О, что
|£7(£)|<^ De-aZ Для />0.
(34.6)
|V(0|<De»< для /<0.	(34.7)
34.3]
§ 34. ГОМЕОМОРФИЗМ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
443
34.3.	Отображение Ф. На множестве непрерывных век-
торов г (/) рассмотрим преобразование
t
= j U (t — T)F(«(T))rfr +
—oo
+ J V(t — x)F (z(x))dx.	(34.8)
t
В силу ограниченности F для всех z (см. (34.4)) и оце-
нок (34.6) и (34.7) каждый из интегралов равенства (34.8)
существует и не превосходит по норме числа
Поэтому для любого t
|*(0l -2D/?|<|<D,(z)|<|z(0| +2D/?|. (34.9)
Верна
Лемма 34.3.1. Если x(t) — решение системы (34.3)»
то вектор
= x(t) — ju(t — T)F(x(T))dr+ j V(t — T)F(x(T))dT
—oo	t
(34.10)
является решением уравнения (34.2), и притом того же
типа.
Доказательство. Заметим, что
U(t — x) = U(t)U(— т),
U(t)=AU(t),
dU{t~x) =AU(t — x),
V (t — x) — V (t)V (—-r),
V(0 = AV(0.
dr(^~T) = AV(t — x').
(34.11)
Отсюда видно, что правая часть равенства (34.10) имеет
производную по tt ибо из-под интегралов выносятся
444
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
(34.3
множители, зависящие от /, и
У (О = Ах (О+F (х (о) - и (0) F (х (t)) - V (0) F (х (Г)) -
t	оо
— A j U(t — х) F (х(х))dxA j V(t — x)F(x(x))dx.
— OO	t
Так как U (0) + V (0) = Y (0) = I, to

t
x(t) — f U(t — x)F(x(x))dx +
— OO
00 ]
+ J V(/—r)F(x(T) )</?! = Ay (/).
Следовательно, вектору^)» определенный равенством (34.10),
является решением уравнения (34.2).
Если решение x(t) системы (34.5) является О+-кривой,
то из неравенства (34.9) следует, что вектор y(t) ограничен
при /~>оо. Так как y(t)— решение системы (34.2), то
y(t) — О+-кривая, ибо, как сказано в п. 34.2, О“-кривые
и седловые кривые не ограничены при £-> 4- схэ. Такими же
рассуждениями легко убедимся, что О”-кривые и седловые
кривые системы (34д5) переводятся преобразованием (34.8)
соответственно в О -кривые и седловые кривые системы
(34.2). Лемма доказана.
Далее мы будем обозначать через х(Р, t) и y(Q, t) ре-
шения систем (34.5) и (34.2), которые при t = Q проходят
через Р и Q.
Пусть xQ — произвольная точка Ln. В формулу (34 8)
вместо z(t) подставим х(х0, t) и положим там / = 0. Обо-
значая Ф0(х) через yQ, получим
о
Уо = -«о — -T)F(x(Xo, т))Л +
— СЮ
оо
+ J V(-t)F(x(x0. x))dx. (34.12)
о
Так как через любую точку х0 пространства Ltl при t = 0
проходит единственное решение системы (34.5) и оба несоб-
§ 34. ГОМЕОМОРФИЗМ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
445
МЛ]
ственных интеграла из (34.12) существуют, то формула
(34.12) задает однозначное отображение Ф пространства Ln
в себя:
у0 = Ф(х0).
Образ пространства Ln в силу Ф будем обозначать через М:
Ф(£Я) = А1.
34.4.	Свойства отображения Ф. Отметим некоторые
свойства Ф. Справедлива
Лемма 34.4.1. Отображение у0 = Ф(х0) простран-
ства Ln на М переводит решения уравнения (34.5)
в решения уравнения (34.2) того же типа, т. е.
Ф(х(Хо, t))=y(y<), t).
При этом
t
Ф(х(х0. 0) = х(-*о> t)— \U(t—x)F(x(х0, т))+
— СЮ
-|_ j V(t — T)F(x(x0, T))dT. (34.13)
О
Доказательство. Возьмем на траектории х(х0, t)
точку хр соответствующую моменту t = tx: х1 = х(х0, ^).
Покажем, что она отображается с помощью (34.12) в точку
у(у0’ Л)- Этим лемма будет доказана.
По определению отображения Ф точке хг соответствует
точка
о
Л =	= — j £/(—T)F(x(Xj, T))dr4-
— СЮ
+ J V(—t)F(x(xp T))dT. (34.14)
О
Так как правая часть уравнения (34.5) не зависит от t,
то по свойству динамических систем
Х(Хр t) = X(X0, ^iH-T).
446
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
[34.4
Положив = £ и вспоминая, что х1 = х(х0, Q, по-
лучим из (34.14)
Л = Ф(Х(Ло, ^)) = х(х0, tx) —
оо
- J* U(t1-l)F(x(x0, 1))^+/ V(t1-l)F(x(x0,
— оо	tx
(34.15)
Ввиду произвольности это равенство равносильно
(34.13).
По лемме 34.3.1 решению х(лср, t) уравнения (34.5)
в силу (34.10) соответствует некоторое решение y(t) урав-
нения (34.2) того же типа.
Сопоставляя (34.12) и (34.10) при Z = 0, видим, что
у(О)=уо. Следовательно, у(1)=У(Уо, О- Если положить
в (34.10) t — tx и сравнить получившееся равенство с (34.15),
то обнаруживается, что
У1=3’(3’о. Л)-
Таким образом,
Ф(х(х0> Л))=А»(Л- Л).
где tx произвольно, что и доказывает лемму.
Лемма 34.4.2. Отображение Ф непрерывно на Ln.
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка Ln
и {xj—любая последовательность, сходящаяся к х0. По-
кажем, что
Ф(Хл)->Ф(Хо). когда п->оо. (34.16)
Так как решения системы (34.5) непрерывно зависят от
начальных условий и вектор F(x) непрерывен, то при лю-
бом т
U (— т)Г(х(хл, т))->17<— x)F(x(xQ, t)), n->oo,
(34.17)
V(—x)F(x(xn, x))->V(— t)F(x(x0, r)), n->oo.
(34.18)
Неравенства (34.4), (34.6) (и (34.7)) показывают, что
все члены последовательности (34.17) (и (34.18)) ограничены
суммируемой на (0, оо) (на (—оо, 0)) функцией.
-34.41
§ 34. ГОМЕОМОРФИЗМ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
447
Поэтому, применяя теорему Лебега о предельном пере-
ходе под знаком интеграла [12], получим (34.16).
Лемма доказана.
Лемма 34.4.3. Если
(34.19)
то отображение Ф пространства Ln на М взаимно
однозначно.
Доказательство. Допустим, найдутся такие векторы
и х2, что Хг =/= х2, но
ф (Х1) = Ф (х2) =У.	(34.20)
В силу единственности решения задачи Коши для си-
стемы (34.5) при всех t будет
х(хь 0#=х(х2, t).	(34.21)
Равенство (34.20) и лемма 34.4.1 позволяют утверждать, что
Ф(Х(Х1, О) = Ф(*(*2> О)=У(У*. О-
Значит, решения х(хр t) и *(х2, t) системы (34.5) одного
типа с решением у (у*, t) системы (34.2). Поэтому и точки
Хг и х2 одного типа. Подставляя в (34.13) вместо х0 пооче-
редно Х1 и Х2 и вычитая из одного тождества другое, по-
лучим
0 — х(х2, 0 =
t
= ]*£/(/ — т) {Г(x(xv х)) — F(x(Xi, x))}dx —
— ОО
— J V(/ —T){F(X(X!, т)) — F(x(x2, x))\dx. (34.22)
t
Предположим, что хг и х2 суть О+-точки. Тогда х(хр t)
и х(х2, t)— О+-кривые. Поэтому найдется такое Т > — оо,
что при
|x(xz, 01 > Я (/=1,2).	(34.23)
Так как функция |x(Xi, t) — х(х2, /)|—> 0 при /->оо,
то в некоторой точке t0 £ [Т, оо) эта функция достигает
448
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
|34.5
максимума, который мы обозначим через т. Из (34.21) видно,
что т > 0.
Принимая во внимание оценки (34.6) и (34.7), свойства
б) и в) вектора F, из (34.22) и (34.23) получим
m = |x(xb /0) —х(х2> /0)К
/о
< j Ое-а</»-т)6|х(х1, т) — х(х2,	|—
Т
оо
+ J Def1 | х (хь т) — х (х2, г) | dx.
tQ
Так как ^(ХрТ) — х(х2, т)|^т для х^Т и Т>—оо,
m < Dbm
= Dbm--.
а
Вспоминая (34.19), приходим к неравенству m < т, ко-
торое невозможно. Значит, х{ и х2 не могут быть О+-точ-
ками. Таким же способом можно доказать, что хг и х2 не
являются О -точками. Значит, они должны быть седловыми
точками. Но этот случай отличается от рассмотренного
только тем, что неравенство (34.23) оказывается выполнен-
ным не для полуоси, а вне некоторого интервала [7\, Т2] —
обстоятельство, из-за которого проведенные для О+ -кривых
рассуждения не станут неверными.
Лемма доказана.
34.5.	Отображение Ф'1. Поскольку Ф отображает Ln
на М взаимно' однозначно, то на Л4 существует отображе-
ние Ф“\ Верна
Лемма 34.5.1. Отображение Ф-1 непрерывно на 7И,
где М—область, содержащая начало координат.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве Ln
произвольный замкнутый • шар S. Так как S — компакт, то
£* = ф(£) тоже компакт, поэтому отображение Ф-1 непре-
рывно на 5*, компакты S и S* гомеоморфны и внутренним
точкам S в силу Ф соответствуют внутренние точки S* [13].
Значит, образ открытого шара, а потому и всякого откры-
34.6]	§ 34. ГОМЕОМОРФИЗМ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	449
того множества открыт. Иными словами, при отображении
ф-1 прообраз всякого открытого множества открыт и, зна-
чит, отображение Ф-1 непрерывно на ЛГ Таким образом,
ф—гомеоморфизм. Так как М есть гомеоморф простран-
ства Lnt то М — область.
Очевидно точка о принадлежит ЛГ, ибо Ф(о) = о.
Лемма 34.52. Решение системы (34.2) принадле-
жащее Л1, отображением Ф”1 преобразуется в реше-
ние системы (34.5).
Доказательство. Пусть для t из некоторого интер-
вала Д
У (Уо. t)^M.
Рассмотрим вектор z(t) = Ф-1 (у(у$, t)) и предположим, что
Ф“1Ы = *о-	(34.24)
Очевидно, г(0) = х0. Если z(t) = x(x0, /)» то лемма до-
казана.
Допустим, для некоторого Z* £ Д
z(t*)=/=x(xOi Г).	(34.25)
Ясно, что
г(Г) = Ф“1(3’(3’о. П).
С другой стороны, поскольку имеет место (34.24), то
Ф(х(хо, Г))=у(у0, Г),
или
х(х0, П = Ф~\у(у0, Г)).
т. е. х(х0, t*) = z(t*)t что противоречит (34.25). Лемма
доказана.
34.6.	Доказательство теоремы 34.1.1. Итак, установ-
лено, что Ф гомеоморфно отображает пространство Ln на
область М так, что при этом решения системы (34.5) пере-
ходят в решения системы (34.2) и наоборот. Ясно, что
область Ор где система (34.5) совпадает с (34.1), гомео-
морфизм Ф отображает на некоторую область О2 с: ЛГ
Очевидно, на областях Gj и О2 Ф удовлетворяет всем тре-
бованиям теоремы 34.1.
Теорема доказана.
29 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
450
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
134.7
34.7.	Замечания. 1) В лемме 34.5.1 было установлено,
что множество М — область. Нетрудно показать, что М = Ln.
Действительно, для этого достаточно убедиться, что Ж
замкнуто.
Пусть для Z=l, 2, ... точки уг£Ж и У/—>у*> когда
/-> оэ.
Очевидно, для /=1, 2, ...
|Уг|<с.	(34.26)
где с > 0 — некоторое число.
Так как Ф(х0) = Ф0(х) для любого х0, где х = х(х0, t)
(см. п. 34.3), то из неравенства (34.9) получаем
1*о1<|Ф(*о)| + 2£>/?	(34.27)
Полагая Ф-1(у/) = х/ из неравенства (34.27) и (34.26) вы-
водим, что для всех /=1, 2, ...
|хг|<с + 2О/?|.
Значит, из последовательности {xz} можно выбрать схо-
дящуюся подпоследовательность (xWjJ. Пусть xnk ->х* при
k —>оо. Тогда
5^ = Ф(*лй)->Ф (•»*)•
С другой стороны, должно быть
Поэтому
у = ф (х*),
т. е. у*£Ж и Ж замкнуто.
2) В п. 34.2 мы условились считать матрицу А жор-
дановой. Легко видеть, что доказательство теоремы ни-
сколько не изменилось бы, если бы матрица А считалась
канонической (с действительными коэффициентами). Таким
Образом, если правые части системы (34.1) действительны
и начальные условия решений систем (34.1) и (34.2) также
действительны, то гомеоморфизм Ф осуществляет соответ-
ствие между двумя областями действительного пространства.
3) Теорема 34.1.1 доказана в предположении, что /(х)
удовлетворяет условию Липшица с малой константой. Если
35.11
§ 35. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
451
для /(х) выполняется более жесткое условие
|/(*1) —/(Х2) I < W (В) | *! — *2 I •
где | = max(|xt|, |х2|) и М(В)-*0 достаточно быстро, то
можно показать, что системы (34.1) и (34.2) не только гомео-
морфны, но соответствующие О-кривые аналогичны [14].
§ 35.	Топологическая классификация систем
дифференциальных уравнений вблизи особой точки
35.1.	О гомеоморфизме линейных систем. Имеет место
Теорема 35.1.1 (Вайсборд [7]). Системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами порядка п, имеющие одинаковое число отри-
цательных показателей и не имеющие нулевых пока-
зателей, гомеоморфны друг другу во всем пространстве.
Доказательство. Рассмотрим систему (34.2), считая
матрицу А жордановой. Пользуясь обозначениями п. 33.3,
предположим, что
Ai < Л2 < • • • < Afc < 0.
Если k < г, то по условию теоремы
0 <	< ... < Лг.
Чтобы не различать случаи k < г и k — г, введем в рас-
смотрение положительное число Лн! > Лг. Как в п. 24.4,
обозначим через Lk линеал, натянутый на первые lk осей,
и пусть L_k— ортогональное дополнение к Lk. Таким обра-
зом, каждый вектор х может быть представлен в виде
суммы
x — u-\-v,
где u£Lk,	Матрицу А также запишем в виде пря-
мой суммы матриц О и Н, причем будем считать, что О
состоит из тех блоков А, у которых собственные числа
имеют отрицательные действительные части, а Н — из осталь-
ных. Систему (34.2) перепишем так:
и = Си>	(35.1)
v = Hv.	(35.2)
29*
г
452 гл. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ (35.1
Как и раньше, мы будем считать, что все внедиагональные
коэффициенты матриц О и ЛГ по модулю не превосходят а,
где а мало настолько, что
Л^—|—ct<^0,	Лй+1 — ct > 0.	(35.3)
Если по-прежнему составляющую вектора х из линеала Lnt
обозначить через л/, то, очевидно,
а = х1+ ...	® =	... +хг.
Систему (34.2) можно рассматривать как систему (33.1),
где/(/, х) = 0, а значит, и 6 = 0. Используя неравенства
(33.15) и (33.16), легко получим
|4|«|2<(Лл4а)|а|2	(35.4)
И
(355)
Из (35.4) видно, что всякое решение системы (35.1) неогра-
ниченно растет при /-> — оо, стремится к нулю при /->оо
и | и |2 < 0 на сфере | и | = 1. Поэтому можно утверждать,
что любое решение системы (35.1) пересекает, и притом
только один раз, сферу |«| = 1 (лежащую в Lk). Анало-
гично всякое решение системы (35.2) пересекает, и притом
один раз, сферу |<f|=1.
Вместе с системой (35.1)—(35.2) рассмотрим диагональ-
ную систему вида
«* = — «*,	(35.6)
=	(35.7)
причем и* принадлежит я* — вектор из L_k. Покажем,
что системы (35.1)—(35.2) и (35.6)—(35.7) гомеоморфны
в комплексном пространстве. Этого, очевидно, достаточно
для доказательства теоремы, если гомеоморфизм рассматри-
вается в комплексном пространстве.
Пусть х0 — произвольная точка и
X0 = u0 + v0,
Рассмотрим решение u(uQt t) системы (35.1), которое при
/ = 0 обращается в uQ: u(uQ, О) = яо. Как было показано,
35.1]
§ 35. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
453
найдется такое единственное число tQi что
|«(«о- *о)1= 1-
Полагая (ради краткости) и(а0, ^о)==Ро» возьмем решение
«*(р0, О системы (35.6), я*(р0, О) = ро. Точке и0 поставим
в соответствие точку
«о = «*(Ро’ -'о) = «*(«(во' *о)- - *о) = Ф1 («о)-
Легка видеть, что соответствие
»о = ф1(«о)
есть гомеоморфизм линеала Lk на себя, переводящий реше-
ния системы (35.1) в решения (35.6) и наоборот. Так же
строится гомеоморфизм Ф2, я* = ф2(я), линеала L_k на
себя, при котором решения системы (35.2) преобразуются
в решения системы (35.7) и наоборот.
Если обозначить через х* решение системы (35.6)—(35.7),
т. е. положить
х*= {«*, я*} =	v*,
то для любого решения x = « + ® системы (35.1)—(35.2)
вектор
Ф (х) =	(и)Н- Ф2(я) — н*4~ я* — х*
есть решение системы (35.6)—(35.7). Нетрудно показать,
что Ф гомеоморфно отображает пространство Ln на себя, и
в силу Ф решения одной системы переходят в решения
другой.
Таким образом, когда линейная система задана в ком-
плексном пространстве, теорема доказана.
Пусть у системы
z = Bz	(35.8)
все коэффициенты действительны и мы рассматриваем только
действительные решения. С помощью преобразования
z = Cx,
где С — невырожденная действительная матрица, систему
(35.8) можно привести к виду (35.1)—(35.2), где О и И —
действительные матрицы, у которых на диагонали стоят
454
ГЛ. X. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
(35.2
блоки первого или второго порядков, а все коэффициенты
вне этих блоков как угодно малы. Для решения системы
(35.1)—(35.2) можно, как и раньше, доказать неравенства
(35.4) и (35.5), а затем прежним способом установить тре-
буемый гомеоморфизм. Ясно, что этот гомеоморфизм будет
отображать действительное пространство на себя. Теорема
доказана.
Следствие 35.1.1. Всякая система линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянной матрицей по-
рядка п, у которой lk показателей отрицательны и
п—lk положительны, гомеоморфна (во всем простран-
стве) линейной системе с диагональной матрицей,
имеющей lk собственных чисел, равных —1, и п—lk
чисел, равных 4-1. Таким образом, существует лишь
конечное число топологически различных систем с по-
стоянными матрицами с отличными от нуля показа-
телями.
35.2.	Топологическая эквивалентность систем вида
(34.1). Условимся говорить, что системы дифференциальных
уравнений топологически эквивалентны вблизи их общей
особой точки, если найдутся какие-либо области, содержа-
щие эту особую точку, в которых эти системы гомеоморфны.
Теорема 34.1.1 и следствие 35.1.1 позволяют высказать
такое предложение:
Теорема 35.2.1. Существует лишь конечное число
топологически различных вблизи начала координат си-
стем вида (34.1), у которых матрицы А не имеют
собственных чисел с нулевой действительной частью,
а вектор f(x) обладает свойствами:
а)	/(о) = о.
б)	в некоторой окрестности точки х = о
I/(*1) —f{x2) | < TV (У | Х1 — х21,
где | = тах(|лс1|, |х2|) а TV(|)-*O при |->0.
Каждая система вида (34.1) в этом случае топо-
логически эквивалентна линейной системе с матрицей,
у которой диагональные элементы равны -j-1 или —1,
а вне диагонали стоят нули.
Для полноты картины заметим, что траектории упомя-
нутой диагональной системы представляют собой либо лучи,
35.3]	§ 35. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ	455
либо равносторонние гиперболы. Точнее, если lk диаго-
нальных коэффициентов равны —1, п — lk диагональных
коэффициентов равны 4-1» т0 /^-мерный линеал Lk запол-
нен траекториями-лучами, которые входят в точку х = о
по различным направлениям при	ортогональный
линеал L_k сплошь состоит из лучей-траекторий, которые
входят в начало координат при £->— оо; вне этих линеа-
лов лежат траектории—равносторонние гиперболы, асимп-
тотами которых являются траектории-лучи из Lk и L_k.
35.3.	Задачи. Закончим эту главу несколькими задачами.
Задача 35.3.1. Если Лг < 0 и у вектора /(х) существуют не-
прерывные частные производные, достаточно малые по норме вблизи
начала координат, то гомеоморфизм Ф, гарантируемый теоре-
мой 34.1.1, непрерывно дифференцируем всюду, кроме, быть может,
точки о. Доказать.
Задача 35.3.2. Если Л! • Лг < О, Л/#=0, (/=1, 2.г) и вы-
полнены условия предыдущей задачи, то гомеоморфизм Ф дифферен-
цируем почти всюду.
Задача 35.3.3. Если Л/ 0 (/» 1, 2, . . . , г) и частные про-
изводные вектора /(х) стремятся к нулю при х->о со скоростью
| х | \ где Л достаточно велико, то гомеоморфизм Ф дифференцируем
всюду, кроме, быть может, точки о. Доказать.
ДОПОЛНЕНИЕ I
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ЛЕММЫ
§ 1. Линейные пространства
1.1. Базис, основной базис. Всякие п линейно незави-
симых векторов в n-мерном линейном пространстве Ln назы-
ваются базисом. Часто имеет смысл выделить какой-либо
один базис в качестве основного, он будет обозначаться
через
<4.....еп.	(е)
Если пространство евклидово (т. е. в нем введено скаляр-
ное произведение), то в качестве основного всегда будем
, брать ортонормированный базис. В частности, основным ба-
зисом координатного пространства, состоящего из векторов
х={хр ..., хп] —действительные или комплексные
числа) будем считать всегда
ег = {1, 0, 0, ...» 0},
г2 = {0, 1, 0, ..., 0},
ел = {0, 0, 0, ..., 1}
(как правило, все векторы предполагаются записанными
в столбцы, и лишь для экономии места иногда изображаются
строками; в том случае, когда это преследует смысловые
цели, делаются специальные оговорки).
1.2. Х=[хъ хл]. Пусть ..............xk— какие-либо
векторы в Ln. Разложим их по основному базису:
Ху = Х1у^1 + ^2/^2+ ••• +
Числа xtj называются координатами Ху. Через
= [хР ..., xj
обозначается прямоугольная матрица || х^ || (векторы-столбцы).
Если Ху независимы и число их равно п, то они образуют
базис, и тогда Х = Хп будет называться матрицей этого
1-3]
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
457
базиса. Ее признак: размеры п X п и det X =£ 0. Обратно,
при выполнении этого признака матрица однозначно опре-
деляет базис
хР ..., хл.	(х)
Ввиду этого часто будем отождествлять базис с его матри-
цей и называть последнюю также базисом.
В евклидовом пространстве с основным базисом (е) ба-
зис U = [#!.....ип} ортонормирован в том и только в том
случае, когда матрица U унитарна. Действительно, условие
ортонормированности («у, дл) = &/Л и условие унитарности
U*U = I	(1.1)
сводятся к одному и тому же условию
п
2 UijUlk =
I—	1
(1.2)
1.3.	Оператор А, матрица, унитарность £/. Линейный
оператор А в Ln вполне определяется своим действием на
основной базис
Ае^ — -ba2Je2^i~ • ’ • + anj€n^
т. e. матрицей ||aap||. Та же матрица служит для определе-
ния координат преобразованного вектора у = 4х:
У< = лпХ1 + ^2х2+ ... +alnxnt
однако здесь она транспонирована по сравнению с Ца^Ц.
Именно в таком транспонированном виде она и принимается
за матрицу преобразования А в данном базисе:
Л = ||а«|| =
а11
“ni
а1п
апп
Преобразование называется унитарным, если оно не
меняет скалярного произведения:
(Ux, Uy) = (x, у).
Отсюда, по определению сопряженного оператора, (U*Ux,y)~
= (х, у) для любых у9 и в силу свойств скалярного
458
ДОПОЛНЕНИЕ I
[1.4
произведения U*U = 7. Поэтому матрица унитарного пре-
образования в ортонормированном базисе удовлетворяет
условию (Д.1.1).
1.4.	Ступень, пополнение базиса подпространства.
Пусть L1 — линеал (линейное подпространство) в Ln, и
dim [} — I < п. Теоретико-множественная разность
^ = Ln\Ll
называется ступенью, а число п' = п — I — ее весом.
Известная теорема утверждает, что всякий базис в L1 всегда
можно пополнить ровно п' векторами с:^ до базиса всего
пространства Ln, и обратно, всякий базис такой, что I его
векторов лежат в L1, имеет остальные п‘ векторов в
(проверьте). Иначе говоря, при разложении Ln в прямую
сумму L1 и какого-нибудь линеала Д', последний имеет
размерность п' и, за вычетом нулевого элемента, лежит в <3*.
(Сумма называется прямой, если слагаемые пересекаются
только в нуле.)
1.5.	dimZ.©7VL Пусть в Ln даны линеалы L и М раз-
мерностей
dim£ = Z, dimAf = m.
Обозначим
Lf)M = D, dimD = d,
L@ M = R, dimR = r.
Тогда имеет место формула
d —г = I —1~ т,
(1.8)
т. е.
dim(£0 M)4-dim(L©Af) = dim 7,dim AL (1.4)
Доказательство. Выберем в D базис xlt ..., ха,
затем дополним его (см. п. Д. 1.4), с одной стороны, I — d
векторами ..., yt до базиса в 7, а с другой стороны,
т— d векторами £J+1, ..., zm до базиса в AL Совокуп-
ность векторов Хр У) и zk образует базис в R (проверьте),
так что их общее число 1-\-т— d совпадает с г, что и
требовалось.
1.6.	Число векторов в Lf|A4. Близко к предыдущему
такое утверждение: каков бы ни был базис в Ln такой,
что I его векторов лежат в £, и т векторов — в А1, всегда
2.11
§ 2. НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
459
1)	число его векторов, лежащих в £Г|ЛГ, равно
dim (£ fl АГ);
2)	число его векторов, лежащих в Ln \ L \ ЛГ, равно
dim Ln — dim (£ © ЛГ).
Доказательство. Пусть снова через xlt у^ zk обо-
значены векторы базиса, лежащие соответственно в D, L \ D
и М \ D в количестве d't е и / штук. По условию,
df 4~ е = Z, df + / = т, а так как в совокупности эти
векторы образуют базис в /?, то d' еf — г. Подставляя
эти значения Z, /п, г в (Д. 1.3), получаем dr = d, т. е.
утверждение 1). Вне £ и ЛГ остаются векторы базиса,
не перечисленные среди xz, у^ zk. Поэтому их число равно
п — (d'*+ е + /) — п — г. Этим доказано и 2).
§ 2. Нормы векторов и матриц
2.1.	Аксиомы нормы. Норма вектора (оператора) есть
неотрицательная функция, заданная на всех векторах (опе-
раторах) данного пространства и удовлетворяющая аксиомам:
для векторов:
а)	|сх|=|с||х|,
б)	l-v+j’K +
в)	|х| =0 только при х—о;
для операторов:
а)	|Ах|<|А| |х|,
б)	|М| = И|А|,
в)	|A + B|<|A| + |fi|,
г)	|AB|<|A||fi|,
д)	|Д| =0 только при А—О.
Наиболее употребительные нормы:
для векторов
/(х, х).	max|xz|;
460
ДОПОЛНЕНИЕ I
[2.2
для операторов, заданных матрицами,
V^Sl^/l2. Slaz/|. тах2|«н|- тахЗ|а„|.
U	U	ij	Ji
Весьма важна еще операторная норма:
МП =sup -777-= sup |4х|,
(2.1)
и
где |х| —заданная норма вектора.
2.2.	Эквивалентность норм. Две нормы называются
эквивалентными*. I L~| |2, если оба отношения -г—К
I 12
ограничены. Очевидно, такие нормы определяют
одни и те же понятия сходимости х(Л)->х или ЛГЙ)->Л,
непрерывности x(t) или A(t)t один и тот же показатель
/(•*) = fini -pln|x(0|.
t+>co 1
одни и те же верхние классы, функции, показатели (§§ 7, 8)
и т. п.
В конечномерном случае все нормы эквивалентны. Пусть,
например, |х| — произвольная норма вектора в Ln. Выберем
основной базис и положим для x = Sx^z
Докажем, что |х|~|х|0. В силу аксиом имеем
1*1 =IS^J<S	(2-2)
где c = max|ez|. Отсюда следует, что |х|->0 при xz->0,
I
а это с помощью б) дает также |х|->|у| при xz->yz.
•Таким образом, |х| есть непрерывная функция переменных
д	|х|
хп. Функция , рассматриваемая на компактном
I * |о
множестве S \xt |=1, непрерывна и потому достигает на
нем своей нижней грани:
I* Io
— C't
2.4]
§ 2. НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
461
положительной в силу аксиомы в), откуда с помощью а)
следует, что для любых х
|х|
I *1о
>0.
Вместе с неравенством (Д. 2.2) это дает |	| — |	|0. Ввиду
транзитивности знака ~ получаем эквивалентность любых
норм. То же самое получается для норм операторов.
2.3.	ЛГ(х, у). При любом определении нормы вектора
существуют пределы
ЛЦж, у) = lim
А>+0	(2.3)
N~ (х, у) = lim	,
причем они связаны соотношением
N (х, y) = — N(x, —у).	(2.4)
Доказательство,
функция
5(Л)=
Из аксиом а), б) следует, что
Ix^-Ay | —|х|
h
ограничена снизу (числом—|^|)- Кроме того, при й>0и
h < 0 она монотонна: если, например, hx h2 > 0, то и
с (м -: (л2>=1*+М1~|*| _ i^+Mi-ixj-:
 I h2x-{- h2hiy | — | /цх-р h\h2y I —H (^i — ^2) I *1
h\h2
(Л1 — h2) |x| — I hvx — А2л| _n
М2	’
Аналогично проверяется, что	при
Отсюда вытекает существование пределов (Д. 2.3). Соотно-
шение (Д. 2.4) очевидно.
2.4.	Логарифмическая норма. Логарифмической нормой
Лозинского [1] называется

462
ДОПОЛНЕНИЕ I
[2.5
где ||	|| есть (Д. 2.1). (Ее название несколько условно,
так как она не обладает свойствами обычной нормы и упо-
требляется в несколько иных целях.) Докажем, что она
может быть получена с помощью величины (Д. 2.3)
sup 2V(x, Лх) = |Л|! .	(2.6)
1*1 = 1	*
Положим
С(х ft)= |* + М*|-1*1 .
Соотношение (Д.2.6) эквивалентно равенству
sup Г lim £(х,<Л)1 = lim [sup£(x, h
|л7| = 1|й->+0	1	Л->+0 1|ж |=1
Правую часть его для краткости обозначим буквой с.
Согласно п. Д. 2.3 для любого х функция £(Л) = £(х, h)
не убывает при h > 0. Тем же свойством, очевидно, обла-
дает и функция sup£(x, h). Поэтому
sup С(х, h) > с — е
l*i = i
при всех h > 0, е > 0, и следовательно, множества
£*={*: £(х, Л)>с —8, |х| = 1}
не пусты. Они замкнуты, и из монотонности Z(x, h)
вытекает, что Е^х с Е^ если h\ < hi. В силу компактности
единичной сферы существует точка х0£ П Для всех
h > О
h > 0 будет £(х0, h)^>c — е, и потому
sup lim £(х, lim ^(Хо,	— е.
1*1 = 1 Л->4-0	ft->+0
Ввиду произвольности 8 это означает, что
sup lim £(х, h) с.
I *1=1 л->+о
Обратное неравенство очевидно.
2.5,	Примеры. Формула (Д. 2.6) позволяет легко вычи-
слять логарифмическую норму при различных конкретных
определениях нормы вектора. Будем считать, что Ln — евкли-
дово пространство с ортонормированным основным базисом,
и операторы задаются матрицами в этом базисе.
2.5]
§ 2. НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
463
1) Пусть |х| =]Л(х, х). Здесь для х^о
N(x, у) = lim 1	(х, x)-\-fi (х, y)-\-h (у, х)+А2 (jf, у) —
/г->+0 "
-У(^)]= (*^> + СУ.х) = ReCjoO
r v /J 21х |	| x|
откуда, в силу экстремального свойства собственных чисел
симметрического оператора,
sup ЛГ(х, Ах)= sup Re(x, Лх) =
|Х| =1	] АГ 1=1
= sup у[(х, Ах) + (Ах, х)] =
"=' =,ж(^м=лт.
где символ Л обозначает наибольшее собственное число.
Итак,
।А Ilog = ] supj NAv) = Л	.	(2.7)
2) Пусть |х|=шах|ху|. Обозначим через j(x) сово-
купность индексов / таких, что |ху| = |х|. Заметим, что
для комплексных чисел z=£0 и и достаточно малого h > О
имеем
| z + h<w | = V\z + hw) (z + hw) =
= V | £ |2+ 2/1 Re (^w) + /i2|w|2 =
= | z | + h Re (sign zw) + о (Л),
где sign a= — el afs«, a=£0, sign 0=0, и для краткости
~ Ia I ~
[(sign z)w] = (sign zw). Поэтому при x Ф о и малых h
|x + Zry| =шах|Ху + Луу| = max |х. + Луу.| =
j	iUW
= |x|+A max Re (sign х^уу) -|- о (h).
jW
464
ДОПОЛНЕНИЕ I
(2.5
Следовательно,
М (х, jf) = max Re (sign xjyy).
J W
В этом случае
sup 2V(x, 4x) = sup JmaxRe(signx/2a7£xjfcH==
l*l=i	l*l=i I /(*)	\ k J JI
= sup JmaxRe[ay/+ 2 aik sign 1 "C
l*l=i I /(*) L k^j	J If
max [Re a;/+ 2 I ttjk I 1 •
J L	k^j J
С другой стороны, построим для любого фиксированного /,
вектор xz={xz...............х1п], полагая
{sign а1к,	кф I,
1,	£=/.
Тогда | л/| = 1 и
sup Nix, Ax)^N(xl, 4xz) = max^Resignxy2a/fcA;ftj^’
> Re sign x'2 aikXlk = Re au + 2 | atk |.
k	k=^i
Таким образом,
Щ = su₽ N(x> Ак) = тах[>еау7+ 2 |ayft 11. (2.8)
g l*l=i	j L	k^j J
3)	Пусть |x| = 2 lx/l- Теперь мы имеем
|x+fry|= 2i |ху-4-Луу| =
— 2 [|xyH-ARe(signxyyy) + o(A)) + A 2 |У/1 =
л*7¥=о	Л*7=о
= |х|Н-Л 2 Re(signXjyj) + h 2 1У/1+о(Л).
Поэтому
N(x, у)= 2 Re(signxyyy)-|- 2 |У/1-
/,^¥0	Л -о
з.ц
§ 3. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
465
В этом случае
sup W(x. Ах) =
|*1 = 1
= sup Г 2J Re (sign 5	+ 3 12 aikxk 11 <
I * 1 = 1 L/, *у=/=0	k	Л*у = О| k	I J
<sup[ 2 (Reayy|xy| + S\aJk ||xj)+ 2 2
1*1 = 1	k=£j	j,Xj=Qh	J
< sup f2ReMxJ+2 2 I«;»II*J1 =
i*i=i L k	k j^k ' J
= sup Г21JC*I(Re«*feH- 2
i*i=iL k \	j^k /J
< max (Re акк +	| aJk |) .
Для доказательства обратного неравенства положим
х^=дуГ Тогда
sup AZ(x, Ax)>Re2«zAz+ 2 |2а;Л1| =
|x|=l	k	j^il k I
= Reazz4“ 2 I aji \ •
Таким образом,
1Ли= SUP N(x> Ax) = max(ReaAft+ 2 1«/л IV (2.9)
1*1=1	л\	у^л /
§ 3.	Сопряженные пространства
3.1.	Определение Ly М, ф, существование взаимных
базисов. Два линейных пространства Ln и Мп называются
сопряженными, если для векторов x£Ln и у^Мп опре-
делен билинейный функционал ф(х, у):
а)	Ф С*1 + х2, д>) = ф(Х1. _у) + Ф(х2. Л 3’14-5'2) =
= Ф(х. 5’1) + Ф(Х Уз)>
б)	^) = Хф(х, з>).
в)	ф(х, \у) = Хф(х, у),
и притом такой, что
г)	из ф(х, у) = ® для всех х следует у = ®, и
из ф(х, у) = 0 для всех у следует х~ 0.
30 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
466	ДОПОЛНЕНИЕ I	[3.1
Базисы сопряженных пространств
(х): Xi....xn<=Ln,
(УУ У1.....Уп<=мп
называются взаимными, если
Ф(Лр ^) = до.	(3.1)
Для всякого базиса (х) существует, и притом единст-
венный, взаимный базис (у) и наоборот. Докажем это. Рас-
смотрим ф(х, у) при фиксированном х#=0. Заметим, что
для любых двух линейно независимых векторов и у2
найдется линейная комбинация у0 ¥= О такая, что
л) = °-	(3-2)
В самом деле, если, например, ф(х, .У О —О, то
а если ф(х, yi) = ci=^0, то в качестве yQ достаточно взять
1	1
Уо = ~ У1 — Уя •
С1	с2
Пусть Мх— множество всех у, для которых ф(х, ^ = 0.
Ввиду линейности ф по у, Мх есть линеал. Разложим Мп
в прямую сумму Мх и некоторого линеала М'. На Мх,
и только на Мх, ф(х, у) = 0, поэтому ф(х, = 0 на М'
только в нуле. Следовательно, в силу (Д. 3.2) размерность М'
не может быть больше 1. С другой стороны, она не может
быть и меньше 1, ибо иначе Мх~Мп, т. е. ф(х, у) = 0,
что противоречит г), поскольку х=£0. Итак, dim/VT —1,
откуда dimMx = n—1. Возьмем теперь базис (х) и, фикси-
руя какое-либо k, 1	построим линеал Yk = Q ЛЦ.
i=£k
Из формулы (Д. 1.3) следует, что пересечение zn-мерного
и (п — 1)-мерного линеалов имеет размерность — 1 (так
как всегда Пользуясь этим и учитывая, что dimAfx. =
= п — 1, получаем dim/^^l. Поэтому в Yk существует
вектор у'=£ 0. Для него будем иметь ф(хг у') = 0 при
I4=k, Ф(хл, y'k) = ck^®- В самом деле, согласно опреде-
лению Yk, ф(хр ^) = 0 Для всех l^k, и если бы было
еще ф(хл, jQ = O, то
Ф(2Мр /»)=2М(^ Х)=°
3.2)
§ 3. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
467
для любого X = 2#ZXZ. Но в силу г) это возможно только

при У'к = °- ,БеРя вместо y'k
вектор
получим

Векторы ук при k= 1, ..п образуют искомый базис (у),
взаимный с (х). В самом деле, условие взаимности (Д. 3.1)
уже выполнено, а из него вытекает независимость векто-
ров ук, так как равенство
+	••• +^пУп = о
ввиду условия (Д. 3.1) влечет за собой
0 = ф(хЛ,	... +	= ук) = ак
(7г =1......и).
Остается доказать единственность. Допустим, что есть другой
взаимный с (х) базис y'v ..., у'п. Тогда при произвольно
фиксированном k и всех /=1, ..., п имеем
У1— Х)=°-
откуда следует, что
’!’(*. у{— Х) = о
тождественно по х, а это возможно только в случае
yi~y'i — °-
3.2.	Взаимные (е) и (/);	Выберем в сопряжен-
ных пространствах Ln и Мп какие-либо взаимные базисы (е):
еп и (/): Л..............fn и, считая, что они в даль-
нейшем фиксированы, назовем их основными. Если векторы х
и у разложены по основным базисам:
то из условия i|)(^z, /y) = dZy и билинейности ф получаем
t	(3-3)
/=1
30*
5
468	дополнение i	(З.а
Эта формула для вычисления, а в других случаях для зада-
ния функционала ф будет в дальнейшем наиболее употреби-
тельной. Например, два произвольных линейных простран-
ства Ln и /И71 можно сделать сопряженными, и притом так,
что наперед заданные базисы (е)с£л и (/)сЛ1л станут
взаимными: достаточно определить ф формулой (Д. 3.3).
3.3.	Y*X = I. Пусть, кроме основных, заданы еще базисы
(х): Xi....x„cLn,
О’): Л.....Уп<=Ма.
Рассмотрим их матрицы X и Y (п. Д. 1.2). Для взаим-
ности (х) и {у) необходимо и достаточно, чтобы
У*Х = /.	(3.4)
Действительно, это равенство эквивалентно системе равенств
2 ха/УаА =	(З.Б)
а
левые части которых, согласно (Д. 3.3), могут быть заме-
нены на ф(Х/, j*). Таким образом, при заданном базисе X
можно строить взаимный базис Y, полагая
У = (Л'-1у = Х‘-1	(3.6)
(если (е) и (/) даны).
3.4.	Сопряженность евклидовых пространств. Евкли-
дово пространство Ln можно рассматривать как самосопря-
женное, беря в качестве ф(х, у) скалярное произведение
(х, у). Всякий ортонормированный базис получается взаим-
ным самому себе, и скалярное произведение в нем выражается
формулой
(3.7)
где т]у — координаты векторов в этом базисе, что соот- *
ветствует формуле (Д. 3.3). Два различных евклидовых I
пространства Ln и Мп с заданными ортонормированными I
базисами (е) и (/) можно с помощью (Д. 3.3) сделать со- >
пряженными так, что (е) и (/) станут взаимными. После
этого всякому ортонормированному базису (х)с£л будет
соответствовать в качестве взаимного также ортонормиро-
ванный базис (<у)сЛ1л. В самом деле, ортонормированность
4.П
§ 4. ГРАМОВЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ И ОБЪЕМЫ
469
(х) означает, что его матрица X унитарна (см. п. Д. 1.2).
В таком случае по формуле (Д. 3.6) получаем также унитар-
ную матрицу Y, т. е. (у) ортонормирован.
3.5.	Ортогональные линеалы. В евклидовом пространстве
X и у называются ортогональными; х у, если (х, у) = 0.
Вектор х ортогонален линеалу L: х _|_£, если он ортого-
нален ко всем y£L. Наконец, два линеала ортогональны:
£ J__M, если xJ_M для всех x£L и у J_£ для всех у£М.
Аналогичные понятия существуют в сопряженных про-
странствах: говорят, что х]_.У» если ф(х, у) = 0, иу_|_£,
если у ортогонален ко всем x£L. Ввиду билинейности ф
совокупность всехуД_£ образует линеал М, который на-
зывается ортогональным к £. Свойство ортогональности
взаимно: ортогональным к М является £ (проверьте, исполь-
зуя пп. Д. 3.1 и Д. 3.3). Если £_]_Л4 и £'J_ Л1' то из
LaLf следует МзэЛГ.
Если (х) и (у) — взаимные базисы, то линеалы
£/ = х1® ... ©х;
И
ЛР-^Улы© ... ©ул
ортогональны (проверьте). Отсюда вытекает следующий спо-
соб построения линеала, ортогонального данному. Пусть £
имеет размерность I. Выберем базис (х), у которого пер-
вые I векторов лежат в £, а остальные — вне £ (см. п. Д. 1.4),
затем возьмем взаимный базис (у) и положим
Л! =Л+1© • • •	(3.8)
Это показывает, между прочим, что ортогональные линеалы
имеют дополнительные размерности
dim £ + dim Л4 = п.	(3.9)
§ 4.	Грамовы детерминанты и объемы
4.1.	Gy' * у*)’ ® = Пусть Xj.............xk и уь  • •
. ..,уЛ— векторы евклидова пространства • £л. Назовем
.....^ = det{(x/(^)) =
\Ji. • • •. Уь /
(Х1, А>1) ... (Хр ук)
{Хк, У1) (Хк, ук)
(4.1)
470	ДОПОЛНЕНИЕ I	[4.1 t
обобщенным детерминантом Грама. Частным случаем '
является обычный детерминант Грама, или грамиан
(Хл.....хЛ
* =def{(xz, */)}•
\xi> . . . , xkj
обозначаемый также через 0^...* или, короче, Oi...ft,
Ниже показано, что он 0, поэтому существует действи-
тельная неотрицательная величина
Г1... k = /01... k
— грамов объем векторов хг.......xk. Заметим, что для j
отдельного вектора он совпадает с нормой	I
Г/ = | xt |.
Детерминант (Д. 4.1) полилинеен относительно своих
аргументов, т. е. удовлетворяет условиям а) — в) п. Д. 3.1
по каждому xt и у^ и обладает свойством
0^........=	(4.2)
\Хь....Хк}	\ух.....ук/
Всякая линейная зависимость между xz (или yfi порождает
точно такую же зависимость между строками (столбцами)
(Д. 4.1), а следовательно, и обращение О в нуль. Отсюда
следует также, что О не меняется при добавлении к одному
из xt линейной комбинации остальных х (то же для yj).
Из условия 0 = 0 вытекает зависимость столбцов (Д. 4.1),
сводящаяся к равенствам
(Xj, 3c;j>7)==0,
(х2, 2^)=о.
(хь Зс^,) = О.
Умножая на и складывая, получаем
(3czxz, Зс^7) = 0.
В том случае, когда речь идет о 01 ... это дает
(SiCiXt. 3<?zxz) = o	1
4.2]
§ 4. ГРАМОВЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ И ОБЪЕМЫ
471
и по свойству скалярного произведения = Таким
образом, для линейной независимости векторов хг.......х^
необходимо и достаточно, чтобы
01... k ¥= 0.
4.2.	G = det Y*X.Пусть (tf) — ортонормированный основ-
ной базис в Ln, xit ..., xk и ...........yk — какие-либо
векторы и
X* = 1*1» • • • • xk\> Yk — 1У1> • • •»
— их матрицы	(см. п.	Д.	1.2). В базисе (е) скалярное произ-
ведение	выражается	формулой (Д. 3.7), поэтому,	как не-
трудно заметить по (Д. 4.1)
of*1..........Xk ) = det(y;x*).	(4.3)
.....Ук)
В частности, при k = n, опуская индексы у Xk и Yk, по-
лучим
О Г1......*" I = det Y* det X.	(4.4).
....Уп /
Далее,
где Xkj и Ykj — всевозможные одноименные миноры &-го
порядка матриц Xk и Yk. Чтобы убедиться в этом, соста-
вим определитель порядка k-\-n
	Уп У12	У21 •• У22 ••	• У«1 • У«2	0
Y*k 0 =	Уи	У2* ••	• Vnk
	—1	0 ..	0 хи х12 ... xAk
	0	—1 ..	.	0	Х21	Х22 • • • %2k
	0	0 ..	.	1 ХЛ1 Хп2 . . . Xnk
с одной стороны, раскрывая его по правилу Лапласа па
первым k строкам, убеждаемся, что он совпадает с правой
472	ДОПОЛНЕНИЕ I	(4.3
частью (Д. 4.5). С другой стороны, прибавляя к t-tt строке,
строки с номерами k -1, k-f-2.............умно»
женные соответственно на yu, y2i, ..., yki, приходим к опре-
делителю
О Y*kXk
-In Хк
равному правой части (Д. 4.3). Формула (Д. 4.4) есть част-
ный случай (Д. 4.5). Наконец, в том случае, когда векторы
• • •» Уь совпадают с хь ...» xk, выведенные формулы
обращаются в	j
<?!...* = det(ХХ)= 2	(4.6)	'
J
и
G1... п = det (Х*Х) = I det X|2.	(4.7)
Таким образом, всегда
О1...л>0,	(4.8)
причем
Oi..., = О	(4.9)
тогда и только тогда, когда хр ...» xk линейно зависимы
^см. п. Д. 4.1).
4.3.	Гх — Гу <ГХ-ЬГ^. Пусть (х, у) — скаляр-
ное произведение, а |х| = ]/(х, х)—введенная на его
основе норма. Тогда имеет место неравенство Буняковского
|(х у)К|х||Д>|.
из которого вытекают неравенства треугольника
1*1 —1^К1*+^К1*И-|^|-
Известный вывод этих неравенств, основанный на изучении
дискриминанта квадратичной функции (х-|-(у, x-\-ty) па-
раметра tt использует лишь билинейность (х, у), свойство $
(у, х) = (х, у) и неотрицательность (х, х), но не использует
той аксиомы, что из (х> х) = 0 следует х = 0. Поэтому он
остается в силе для любого билинейного функционала,
обладающего лишь первыми тремя свойствами.
4.4]
§ 4. ГРАМОВЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ И ОБЪЕМЫ
473
Зафиксируем хъ .... xk и рассмотрим функционал
Л / X, Х2, • • • , Хь
О(х, y) = G	k
\У> х2, ..xk
Он билинеен и обладает свойством G(yt x) = G(x, у)
(Д. 4.2), кроме того, в силу (Д. 4.8) G(x, х)^0. Поэтому
для V"О (х> х) — ГХХ2 ... х^ выполняются неравенства
ГХх2...хк~ Гуж2...Xk<Гж+у, х2 ... Xk <Гхд.2...... X/t.
(4.10)
4.4.	Процесс ортогонализации и нормировки Шмидта.
Пусть имеется т^п линейно независимых векторов хр ...
...» хт. Построим векторы
®1=о11Х1,
®2 = ®12^1 Ч- ®22^2’
(4-11)
— °1т*1 Ч- ®2т^2 4“ • • • 4“
и подберем числа aik так, чтобы выполнялись равенства
(®Л. хг) = б«.	/<&.	(4.12)
Для этого oik при каждом фиксированном k должны удо-
влетворять системе уравнений
а1й (*1» *1) + а2Л (х2» *1)4- •••	xi) — 0»
<h*(*P Х2) + а2Л (Х2* Х2)Ч" ••• -\-Gkk(Xk* —
<h*(*l. Xk) + <J2lt(X2, Хй)+ ... +окк(Хк, ХЛ)=1.
Ее детерминант Gi...*#=0, следовательно, oik существуют
и находятся однозначно. В частности, по правилу Крамера
=	(4.13)
(Чтобы эта формула годилась также при k = \t будем счи-
тать G0=l.) Так как решение системы не тривиально, то
в &-й строке (4.11) не все о/й = 0, и потому, в силу не-
зависимости векторы 0. Эти векторы оказываются
474
ДОПОЛНЕНИЕ I
[4.4
ортогональными: при j < k, согласно (Д. 4.12), имеем
(V*. Vj) =	о1}х^ = О,
а следовательно, они линейно независимы. Процесс ортого-
нализации закончен. Перейдем к нормировке. Имеем, исполь-
зуя (Д. 4.12),
/ k	\
(**.	=	=	(414)
так что для нормировки достаточно положить
и — *°k	—
k 110 k I	V <*kk
т. e. переписать формулы (Д. 4.11) в виде
Я1 = $цХ1,
И2 = $12X1	$22^2»
==	*~Н §2т%2 ~Н • • • "4“ ^тт^т*
где матрица
$п $12 . .
522 • •
о •
slm
5 2т
mm
(4.15)
(4.16)
которую назовем матрицей Шмидта векторов х19 хт>
имеет элементы
(4Л7’
в частности,
>„ = К,= /^Й =	<4.18,
Процесс ортогонализации и нормировки окончен.
4.5]	§ 4. ГРАМОВЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ И ОБЪЕМЫ	475
Полагая Sm1=ZOT, можно теперь выразить xk через uk\
Xi = znub
х2 = *i2«i + z22u2,
*т =	+ Z2mU2 + ... + Zmmam.
Ввиду треугольного строения Sm и Zm будет
Формула (Д. 4.14) показывает, что все okk > 0, и если по-
нимать как арифметический корень, что в дальнейшем
и подразумевается, то диагональные элементы матриц Sm и
Zm получаются положительными.
Заметим, что k-ft главный минор матрицы Sm и первые k
векторов ut выражаются только через первые k векторов xz,
и потому не пре1^рпевают изменений, когда меняются или
добавляются векторы xt с номерами Z > k.
Наконец, когда xt суть функции некоторого параметра Z,
то по формулам (Д. 4.11)— (Д. 4.17) легко проследить, что
sik (О и uk (0 наследуют такие свойства xt (Z), как непрерыв-
ность, абсолютная непрерывность, дифференцируемость и т. д.
4.5.	Um~ XmSm. Пусть построения предыдущего пункта
выполнены в пространстве, где выбран основной базис (см.
п. Д. 1.1). Тогда возникают матрицы векторов xt и ut
(см. п. Д. 1.2)
== 1*^1» • • •»	т == I® 1 * • • •» &т],
причем, согласно (Д.4.15) и (Д. 4.19), они связаны соотно-
шениями
Um = XmSm,	Xm = UmZm.	(4.21)
Когда т=п, будем опускать индексы:
U = XS, X = UZ.	(4.22)
В этом случае ортонормированность равносильна уни-
тарности U (см. п. Д. 1.2). Согласно п. Д. 4.4 непрерыв-
ность, дифференцируемость и т. п. векторов xt влечет за
собой такие же свойства матриц Um = Um(t)9 U — U(t).
476
ДОПОЛНЕНИЕ I
(4.6
4.6.	Единственность матрицы Шмидта. Пусть S = Sm—.
некоторая треугольная матрица с положительной диагональю
и такая, что построенные с ее помощью векторы (Д. 4.15)
получаются ортонормированными. Покажем, что она совпа-
дает с матрицей Шмидта (Д. 4.16). Векторы (Д. 4.15) ввиду
ортонормированности независимы, следовательно, detSOT=#O,
и матрица Sm допускает обратную, так что справедливы
соотношения (Д. 4.19), причем
_ 1
Zkk~^
(4.23)
Умножая &-ю строку (Д. 4.19) скалярно на uit i^.k, имеем
(xk, Ui) = 0, i<ik, и (xft, uk) = zkk. Теперь, умножая &-ю
строку (Д.4.15) на xit i<^k, найдем
яО-НгД-Кг. *1)+ •••	*i) = 0,
sik(.xu лг) + s2k (<^« х2)+ ••• + $*&(•**> Jf2) = O,
..................................ЯЙ-’.......
xk) + s2k(x2, Xk)+ ...	x*) = *M,
(4.24)
Из этой системы, по правилу Крамера
ZkkGl ...(й-1)
Skk =----п-------•
ai ... k
1
и так как zkk =	, то
skk
|5„р=£^1.
и1... k
При условии положительности величина skk (т. е. и zkk)
определяется отсюда однозначно. Но тогда из системы
(Д.4.24) определяются однозначно и все остальные sik. Таким
образом, матрица Sm с указанными свойствами единственна.
Этими же свойствами обладала матрица Шмидта, следова-
тельно, с нею совпадают все такие матрицы.
Следствие 4.6.1. Для (пХ п)-матрицы X сущест-
вует единственная треугольная матрица S с положи-
тельной диагональю, такая, что матрица U = XS уни-
тарна.
4.8]	§ ГРАМОВЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ И ОБЪЕМЫ	477
4.7.	Проектор Р. Пусть дан линеал L с= /Л Всякий
вектор х однозначно представим в виде
х = а + Ь,	(4.25)
где a£L, a bj_£. При этом | х |2 = [ а |2 +1 Ь |2, так что
|а|, |6|<1х|.	(4.26)
Кроме того,
|6| < |х —а'\	(4.27)
для любого а' £ L, отличного от а, поскольку
х — а' = (х — а) + (а — а') = Ъ + (а — а')> b J_ (а ~ а').
Вектор а называется проекцией х на £. Оператор Р, пере-
водящий всякий вектор в его проекцию:
Рх = а,
называется проектором (на L) и является линейным. Его
основные свойства:
а)	Ра = а для а £ L, или Р2 = Р,
б)	РЬ — о для bj_£,
в)	(Рх, j0 = (*» Ру) (симметричность),
г)	|Р| = 1 в смысле (Д. 2.1) при |х| = ]Л(Х *) •
Докажем, например, в). Пусть х = « + 6, у = а' +
Тогда
(Рх, у) = (а, а'+ &') = («, а')» (X Ру) =
= (а4-Ь, а') = (а, а').
4.8.	Обобщенное неравенство Адамара. Пусть хь ..., xk
линейно независимы и положено
... ®х{.	(4.28)
Проектирование хк на	т. е. представление
xk = ak + ak €	» bk _\_L
можно осуществить, пользуясь результатами п. Д. 4.4.
Именно, переписывая k-ю строку (Д. 4.11) в виде
478	.	ДОПОЛНЕНИЕ I	[4.8
и полагая
получим в силу (Д. 4.12) требуемые векторы ak и bk.
Будем рассматривать Г12...Й как объем параллелепипеда,
построенного на векторах	xk. Тогда можно считать
hk = | bk I высотой, опущенной на грань, лежащую в L12	.
Для ее подсчета воспользуемся формулами (Д. 4.14), (Д. 4.18):
(4-29)
Отсюда
Г12 ... ft = Г12 ... (ft-l) • hk,
и так как, согласно (Д. 4.26) и п. Д. 4.1, Лй^|хл| = Гй, то
Г1... *	... (л_1)Г/г.	(4.30)
При подсчете других высот и объемов граней того же
параллелепипеда в формуле (Д. 4.29) соответствующим обра-
зом меняются индексы. Например, высота h'k параллелепипеда
(чс v v	г 1 nnvniPMHaa ня z !•..(/ —1) (Z + l)...(ft—1)
..., р ..., •X'ftJ» опущенная на ъ	•
есть
Г1... (i-l)(i+l)... (fe-l)ft
пь == г	*
М ...(/ — !)(/ + !) ... (ft-l)
Так как эта высота равна норме вектора xk—a'k, где
а' — проекция xk на L1 *“ (Z-1) (Z+1) то в силу (Д. 4.27)
hk^\xk aft| = ^ft-
Таким образом,
... ft	... (Z-1)(Z + 1) ... ft
...ft-i	... (z-du+1) ... (ft-i)
причем, разумеется, могут быть взяты и другие индексы.
Например, для	опуская т-{-1.......и, получим
^ft ... n < ^ft ... т
G(ft + 1) ... п	G(ft+1) ... т
4.9]
§ 4. ГРАМОВЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ И ОБЪЕМЫ
479
откуда
Gk ... п < g(fe + l) ... п
Gk ... т	G(k + 1) ... т
и следовательно,
G1 ... п	G2 ... п	... п
G1 ... т	G2 ... т
Но последняя дробь, согласно (Д. 4.30), не превосходит
О(/и+1)... л» откуда получаем обобщенное неравенство Ада-
мара
01 ... п	... т@(т + 1) ... п*	(4.31)
п
Из него вытекает как следствие	или
Г1...Л<ПГЙ	(4.32)
Л = 1
(последнее вытекает также из (Д. 4.30)), что совпадает
с обычным неравенством Адамара
|(1е1Я-|<П|*й|. Х = [Х1.........хп\, (4.33)
Л = 1
так как Г1...я = |detX| (см. Д. 4.7), а Гй = |х*| (см.
п. Д. 4.1).
4-«-	•Рассмотрим в Ln невы-
рожденное преобразование Q, переводящее векторы xt
в x't = Qxr Допустим, что линеал L1 *** к (Д. 4.28), где k п,
инвариантен относительно Q. Тогда векторы х{....х' раз-
лагаются по ху ..., xk:
=	••• +4klxk, l<k, (4.34)
и матрица
Qk = IM
есть матрица преобразования Q в базисе хг.....xk линеала
г 1 , , , J({
ь , рассматриваемого как самостоятельное пространство.
Если в Ln имеется основной базис, то матрицы
= 1^1» • • •» и = [•*!* * * * *
480
ДОПОЛНЕНИЕ I
[4.10
в силу (Д. 4.34) связаны соотношением X'k=XkQk, и, при-
нимая во внимание (Д. 4.6), получаем
... 4=deWA)=°i... л Idet I2- (4-35)
Если все линеалы L1, £12,	£12*"л инвариантны относи-
тельно Q, то соответствующая этому преобразованию ма-
трица Q будет в базисе х19 ..., хп верхнетреугольной,
а матрица Qk будет получаться из нее отбрасыванием послед- л
них п — А строк и столбцов. В случае неинвариантности связь
между грамианами исходных и преобразованных векторов
усложняется. Однако существует один простейший случай:
унитарное преобразование, независимо от инвариантности,
не меняет вообще никаких грамианов, так как не меняет
скалярного произведения.
4.10. О и Пусть Ln и Мп—сопряженные евклидовы
пространства, a X=[xlt ...» хп] и ysstyj.уя]— их
взаимные (не ортонормированные) базисы. Матрицы Х*Х и
Y*Y суть матрицы Грама (Д. 4.7), причем ввиду взаимности
у*Х = /, откуда
Таким образом, матрицы Х*Х и Y*Y обратны и
detX*X- detY*Y=1
или
Oj... л<£?1... я= 1,	(4 36)
где
01... /1 = 0^ ... Xft> ... п = оУ1 ...Уя.
Кроме того, из взаимной обратности матриц Х*Х и Y*Y и »
правила вычисления элементов обратной матрицы следует, *
что при любом I
|х,| = ]/	(4.37) ,
1л! =	(4.38)';
5Л1
§ 6. конусы
481
§ 5. Конусы
5.1. Обозначения nt, Knt. Здесь будут приняты следую-
щие обозначения. Индексы 1, 2, ...» п считаются разби-
тыми на подмножества
пг:	1,	2,	....	1р
«2:	Л+1...........*2’	(5.1)
V	 1г	= п,
причем символ подмножества rij обозначает также число
= — Zy-p из текста всякий раз ясно, о чем идет речь.
Запись	... пт означает, что I принадлежит одному
из подмножеств nki ..., пт. Символы tij никогда не пе-
ремножаются, как числа, но иногда складываются: £яУял*,ят
обозначает линеал размерности Лу4~/ц + • •• +
Большей частью Ln будет координатным пространством
с базисом (е) из п. Д. 1.1, и изучаться будут линеалы
(2° — знак прямой суммы):
£Я1 •••''’/=	2° е/ = {Х1, .... хг 0.........0).	(5.2)
••• «у 1	7	1
и т. п. Вообще L или L1 есть произвольный линеал, a Z—
его размерность.
Конусом (круглым) К (£, h) раствора Л > 0 вокруг
линеала L назовем совокупность нуля и всех точек (век-
торов) вида
х = а + &,	(5.5)
где
a£L, b±L	(5.6)
и
(5.7)
Множество тех х, для которых имеет место равенство
31 Б. Ф. Былов, Р( Э, Виноград и др.
482
ДОПОЛНЕНИЕ I
|5.1
JJLL = /ir, назовем поверхностью конуса и обозначим
через К. Заметим, что точка 0 (нуль) не включается в это
множество, если не будет сделано специальной оговорки.
В том случае, когда L есть линеал вида (Д. 5.2), усло-
вия (Д. 5.6) означают, что у вектора а могут быть отличны
от нуля лишь координаты с номерами 1^пг ... п^, а у век-
тора Ь — с номерами 1^пх ... Пу, поэтому условие (Д. 5.7)
принимает вид
|xz|2<*2 2	(5.8)
ЦП1 ... «у	1£п{ ... Лу
Например, в трехмерном пространстве {х, у, г} совокуп-
ность точек, у которых £2^х2 + у2, есть конус раствора 1
вокруг оси Оя, а совокупность z2<^x2-\-y2— конус такого же
раствора вокруг плоскости Оху.
Конус вокруг LninV*nn будет обозначаться через
KninJ ”* nm(h) с теми же индексами, иногда без указания ра-
створа h. Введем еще эллиптический конус Кп'п} nm(h, 0)
(число 0<р< 1 назовем эллиптичностью конуса), опре-
делив его следующим образом. Пусть индексы £nk вре-
менно обозначены через р, p-f-l....Построим
квадратичную форму
и зададим Knini'"nm(h, 0) неравенством
2	2 Qk-
k=/=l, j ...tm
Такой конус, очевидно, заключен между двумя круглыми
$
h г Л
конусами раствора — и Л0 соответственно, где г и
0^
5	— максимальные степени 0 в левой и правой частях нера-
венства. Таким образом, при фиксированном 0 и малых h
все три конуса прилегают к линеалу Lninr" пт. Заметим,
что блочное 0-преобразование (см. п. 18.3) переводит эллип-
тический конус в круглый.
5.2]
$ 5. КОНУСЫ
483
Наконец, можно рассматривать конусы «переменной во
времени ширины», полагая h = h(t).
5.2.	•••я/сгЛСЛ1 ”,Я/(Л). Пусть даны две пирамиды
из линеалов одинаковых размерностей-.
ocLn^c Ln'n2 с ... с £Я|Л2 nr = Ln, (5.9)
о с Еп1 С2 Еп'п* с ... сгЕл1я2-лг = £л,	(5.10)
и известно, что Еп'nf-i пересекается с Ln] пг только
в нуле, /=1......г. Тогда пересечение
Enj = En' -nj-'nj[\Lnj -nr	(5.11)
является п^мерным и имеет место разложение в пря-
мую сумму
ЕПХ	(5.12)
а следовательно, и
• • я/ = Ея1©Ея2© ... ©£*/.	(5.13)
Если, кроме того, пирамида (Д. 5.9) состоит из ли-
неалов вида (Д. 5.2) и если Еп' ”’я/с:/Ся1 ”‘Я/(Л), то
EnlcKn/(/i) (/=1, .... г).	(5.14)
Доказательство. Размерности линеалов Ея1*,,яЛ-1
и Lni '"пг в сумме дают п, а так как эти линеалы пересе-
каются только в нуле, то их прямая сумма по формуле
(Д. 1.3) п-мерна, т. е. составляет все пространство. Тем более
n-мерна сумма Eni ”'ni и Lnl *"пг, поэтому, также на осно-
вании (Д. 1.3), пересечение (Д. 5.11), обозначенное через
Еп/, действительно имеет размерность
(Л1+ ••• +Л/)+(Л/“Ь ••• -рлг) — n=snj.
Этот линеал по построению лежит в LnJ”'nr, и значит,
пересекается с Ея|,в,я/-| только в нуле. В таком случае
сумма ЕЯ| **’я/-1 и Eni является прямой и имеет размерность
Л1Н~ • •.	а следовательно, совпадает с Ея»
так как оба слагаемых лежат в этом линеале, имеющем
31*
484
ДОПОЛНЕНИЕ I
[5.3
такую же размерность. Этим доказано (Д. 5.12), откуда
автоматически вытекает (Д. 5.13).
Остается доказать (Д. 5.14). Пусть x£Eni"'njc:Kni "'nj\h)9
тогда, согласно (Д. 5.8),
2 |xj2<*2 2
Яу+1...дг	Я1...Яу
Если, кроме того, x£Lni “* пг, то его первые + • • • +
координат равны нулю, так что предыдущее неравенство
допускает еще запись
2 |х/|2<л2 2 W2.
которая и означает, что x£Knf (h).
5.3.	Леммы. Лемма 5.3.1. В обозначениях (Д. 5.2),
(Д. 5.3) конус	любого раствора, а следова-
тельно и всякое множество О£Е с.Кп* ”* V-i, пересе-
кается с LnJ”'nr только в нуле.
Лемма 5.3.2. Конусы КП1П?"'Пт и /fVp с непе-
ресекающимися наборами символов ns и раствора < 1
также пересекаются только в нуле.
Доказательства обеих лемм почти непосредственно выте-
кают из (Д. 5.2), (Д. 5.3) и (Д. 5.8) и предоставляются чи-
тателю.
Лемма 5.3.3, Если о пирамидах (Д. 5.9), (Д. 5.10)
известно только, что они состоят из линеалов оди-
наковых размерностей (где Lni :”nJ суть (Д. 5.2)) и что
Еп'	...... г), то имеют место
все утверждения п. Д. 5.2.
Действительно, в этом случае по лемме Д. 5.3.1
”* П LnJ *“ пг = О, после чего вступает в силу пред-
ложение п. Д. 5.2.
§ 6.	Топологический принцип Важевского [2]
6.1.	Ретракты. Пусть в топологическом пространстве
даны два множества ВсА. Говорят, что В является ре-
трактом для А, если существует непрерывное отображение
(ретракция) А на В, оставляющее точки В неподвижными.
6.2]
$ 6. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВАЖЕВСКОГО
485
Примеры: сторона квадрата—ретракт для него, а весь
контур — нет. Вообще, поверхность 5 n-мерного шара (или
симплекса) D не есть ретракт для него. Действительно, до-
пустим, существует ретракция D на S. Отображая затем
каждую точку S в диаметрально противоположную, получаем
непрерывное отображение замкнутой сферы в себя без непо-
движных точек, что противоречит теореме Брауэра.
6.2.	О непрерывности отображения. Пусть даны мно-
жества A, DuS = Af)D. Если S является ретрактом
для Л, но не для D, то не существует непрерывного
отображения D в А с неподвижным S.
Действительно, если бы оно существовало, то, применяя
после него ретракцию А на S, мы получили бы ретракцию D
на S.
Пример 6.2.1. Рассмотрим конус /С и его поверх-
ность К из п. Д. 5.1. Возьмем в конусе множество D точек
х = а-\-Ь (см. (Д. 5.5)) с фиксированным а и всевозмож-
ными &, подчиняющимися условиям (Д. 5.6), (Д. 5.7). Оче-
видно, D есть (п — /)-мерный шар с центром в а и ра-
диуса Л|а|. Пересечение его с поверхностью К есть сфера S:
|&| = const = Л|а|
— граница шара D. Согласно п. Д. 6.1 она не является ре-
трактом для D. Покажем, однако, что она есть ретракт
для К- Всякая точка хг^К допускает представление
Xi = ai-H6i,	|bj| =Л|а1|=5^= 0.
Зададим ее отображение на S, полагая
V у у____________________ д> I I а I А
Так как компонента Ьх вектора х{ зависит от него непрерыв-
но, то и х есть непрерывная функция от Хр при этом S->S.
Таким образом, не существует непрерывного отображения
D в К с неподвижным множеством 5.
Пример 6.2.2. Частным случаем предыдущего примера
является тот, когда конус К берется вокруг одномерного
линеала. В этом случае множество D является (п—1)-мер-
ным шаром и играет роль «основания» конуса. Фактически
конус распадается на две полости, и мы сейчас будем
486
ДОПОЛНЕНИЕ 1
[6.3
рассматривать только одну из них — ту, которая содержит D.
Этому конусу гомеоморфен положительный угол Kq коорди-
натного действительного пространства — множество точек с
координатами xz 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно
пересечь Kq плоскостью, пересекающей все положительные
полуоси {xj, и полученный в сечении (и—1)-мерный сим-
плекс отобразить гомеоморфно на D, а затем естественным
образом перенести это отображение на лучи, выходящие из
начала координат и проходящие через соответствующие друг
другу точки. Следовательно, не существует непрерывного
отображения симплекса с неподвижной границей в поверх-
ность угла KQ.
6.3.	Принцип Важевского. Пусть в пространстве
— полуось t 0) задана система дифференциальных урав-
нений
х = Г(/, х),	(6.1)
обладающая свойствами существования, единственности и про-
должаемости решений (а следовательно, и свойством непре-
рывной зависимости от начальных данных), и имеется некото-
рая область G с границей Н. Точка Mq(xq, /0) называется
точкой выхода, если траектория M(x(t), t), проходящая
через эту точку, для всех t < лежит внутри О; если,
кроме того, она лежит вне G[}H при всех t > /0, доста-
точно близких к /0, то Мо называется точкой строгого вы-
хода. Множество точек выхода обозначим через Д*, а стро-
гого выхода — через А. Пусть еще дано множество D, ле-
жащее в замкнутой области G (J Н, и положено S == А П D.
Топологический принцип Важевского гласит: если А = Д*
и S является ретрактом для Д, но не для D, то на
D\S найдется точка, через которую проходит реше-
ние, остающееся в О при неограниченном возрастании t.
Доказательство. Допустим противное и покажем,
что тогда найдется непрерывное отображение D на А с непо-
движным S; согласно п. Д. 6.2 в этом будет заключаться
противоречие. Возьмем точку /И^Хр D и проходящую
через нее траекторию M(x(t), t), и пусть M2(x(t2), t2) —
первая точка ее попадания на Д; по допущению, такая точка
существует При конечном	При этом для точек £S
будет t2 = ti и Л42=Л!1, а для остальных точек D \ S,
принадлежащих открытому множеству G, t2>t\ и M2=^Mlt
6.4]	§ 6. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП важевского 487
Рассмотрим отображение 7И1^7И2, переводящее D в А.
Множество S, как уже отмечалось, остается неподвижным.
Теперь нужно только убедиться, что отображение непре-
рывно, и мы получим требуемое противоречие. Возьмем
столь близкое к t2 значение t3 > /2, что М3 лежит вне G[)H,
и построим сферу V3(M3), также лежащую вместе с замыка-
нием вне G (J Н. В силу непрерывной зависимости найдется
окрестность V1(M1)cG, образ которой при движении по
траекториям попадает в V3 в моменты, близкие к t3. Каж-
дая траектория, переходя из V\czG в V3qtG, тем самым
пересечет А в момент, заключенный между и t3, если V\
и V3 достаточно малы. Пусть теперь последовательность
мг(хт. t[k))£D
сходится к Мг, а соответствующие точки первой встречи
траекторий с А суть (х(4А))» Если допустить, что
последовательность имеет предельную точку, отличную
от t2, то обычное рассуждение, использующее непрерывную
зависимость решений, приведет к тому, что М пересекает А
дважды на протяжении времени от tx до t3. Значит, >^2>
откуда М<р->М2, т. е. отображение непрерывно. Доказатель-
ство окончено.
6.4.	Ослабление условий выхода. Условия Важевского
иногда можно облегчить. Понятие выхода (М£О при всех
/</0) включалось в определение строгого выхода (выход
плюс требование	при близких t > /0). Отделим
теперь эти определения и заметим, что первое из них может
оказаться более трудным для проверки ввиду своей нелокаль-
ности. Но в действительности нам удастся обойтись локаль-
ными условиями.
Изменим предыдущие определения.
Точка М0(х0, /0) 6^ называется точкой выхода
(локального), если ее траектория M(x(t), t) при всех
t < ^о» достаточно близких к tQ, лежит в G; она
называется точкой строгого выхода (локального), если,
кроме того, M(x,(t)>t) лежит вне G\}H при t > tQ,
близких к tQ.
Теорема 6.4.1. Если(в локальном смысле) все точки
выхода суть точки строгого выхода, то утверждение
теоремы Важевского остается в силе.
488
ДОПОЛНЕНИЕ t
|6.5
Для доказательства достаточно заметить, что в рассуж-
дениях п. Д.6.3 фактически не используются отрицательные
полутраектории, начинающиеся на О, а для положительных
полутраекторий ход доказательства остается прежним.
6.5.	Пространство {х}. Принцип Важевского часто удоб-
нее применять, оставаясь в пространстве Ln — {х}, а не Ln X </•
Пусть, например, все множества из п. Д. 6.3 заданы в Ln
и обладают прежними свойствами (локальный выход теперь
нужно понимать так: решение, начинающееся в точке х0 £ Н
в любой момент /0, оказывается вне О при близких t > /0).
Выйдем в пространство Ln X </» полагая
О1 = ОХ(Г,
Х\7.
но оставляя множество D лежащим в Ln. Будем иметь
DnA = Dn А = 5,
и это множество по-прежнему не ретракт для D, но ретракт
для так как можно сначала непрерывно отобразить Д1
на А (проектированием на Ln вдоль оси </), а затем ретра-
гировать А на 5. Ясно, что все остальные условия также со-
храняются, и по принципу Важевского найдется решение,
начинающееся на D \ 5 и остающееся бесконечно долго в Ор
но, очевидно, можно сказать также, что оно остается в О.
Пример 6.5.1. Возьмем в пространстве Ln конус К из
примера Д. 6.2.1, его поверхность К и одно из множеств D.
Напомним, что полная граница К состоит из К и начала ко-
ординат О (см. п. Д. 5.1). Пусть в том же пространстве Ln
задана система (Д. 6.1) с перечисленными в п. Д. 6.3 свой-
ствами, для которой О есть точка покоя, а все точки К —
точки строгого выхода. Тогда на множестве D найдется
точка через которую проходит решение, остающееся в ко-
нусе при всех t > 0.
Пример 6.5.2. Если на поверхности положительного
угла KQ (пример Д. 6.2.2) все точки суть точки строгого
выхода, а О — точка покоя, то по крайней мере одно решение .
остается в углу Kq при всех t > 0 (см. предыдущий пример;
следует учитывать также возможность применения п. Д. 6.4). ?
7.21
§ 7. РЕГУЛЯРНЫЕ ОБРАЗЫ
489
§ 7.	Регулярные образы
7.1.	Определение. Пусть в пространстве Ln дан ли-
неал Ll\ через Lf обозначим его ортогональное дополне-
ние. Проекторы на L1 и U будем обозначать Р и Р'.
Назовем многообразие Е1 регулярным образом линеала L1,
если оно проходит через начало координат и располо-
жено так, что его ортогональное проектирование на L1
является в то же время гомеоморфным отображением
на весь L1.
Всякая точка (вектор) из Ln, в частности всякий х £ Е1,
допускает единственное представление
х — а 4- Ъ, |
a^L1, &±ZAJ
(7.1)
Ясно, что а = Рх и Ъ = Р'х всегда непрерывно зависят
от х, в нашем же случае, поскольку соответствие между
х£Е1 и а по условию есть гомеоморфизм, то и х опреде-
ляется по а однозначно и непрерывно. Тогда Ь = Р'х также
однозначно и непрерывно зависит от а.
Обратно, если для каждого a£Ll задан вектор Ь =
=/(a)J_£z, однозначно и непрерывно зависящий от а и
обращающийся в нуль при а = 0, то представление (Д. 7.1),
очевидно, задает регулярный образ Е1 линеала L1. Итак,
можно придать определению Е1 следующую форму: регу-
лярным образом Е1 линеала L1 называется совокупность
точек (концов векторов) вида
х = а+/(а),	(7.2)
где а
&=/(«)	(7.3)
есть однозначная непрерывная вектор-функция, определен-
ная всюду на L1, ортогональная к L1 и обращающаяся в нуль
в начале координат:
/(о) = о.	(7.4)
7.2.	Е1^ Л (Л), С1. Если в предыдущем определении
функция /(а) удовлетворяет условию Липшица
|/(«) —/(«')|< h |а — а' |	(7.5)
490
ДОПОЛНЕНИЕ I
[7.2
или непрерывно дифференцируема, то скажем, что много-
образие Е1 принадлежит классу <A(h), соответственно
классу С1.
Заметим, что многообразие класса dt{h) всегда лежит
в конусе К (Llt h), так как из (Д. 7.4) и (Д. 7.5) вытекает
(Д. 5.7). Сами гомеоморфизмы между L1 и Е1
F: x = F(a) = «+/(«) и №: а = F"1 (х) = Рх (7.6)
в этом случае удовлетворяют условию Липшица с констан-
той У1 + А2. Действительно,
F (а) - F (а') = (а - а') + (/(«)—/(«')),
и ввиду ортогональности слагаемых и условия (Д. 7.5)
|F(a) — F(a')|</1+*2 |a — а' |.
а что касается отображения F^-P, то, согласно п. Д. 4.7,
его константа Липшица равна единице.
§ 8. Объединение гомеоморфизмов
Цель настоящего параграфа состоит в следующем. Пусть
в пространстве Ьп даны линеалы
о с с: L2 с ... с Lk	(8.1)
и некоторые множества
ос£1сЕ2с ••• (=‘Fk	(8.2)
и заданы гомеоморфизмы Fi(Li) = Ei для всех Z = 1..kt
обладающие одним или несколькими из следующих свойств,
обозначаемых звездочкой *):
1*) Условие Липшица для Fz и F/"1 с какой-нибудь
константой К.
2*) Условие Липшица для Ft и Ff1 с константой, близ-
кой к 1.
3*) Для регулярных образов Е1 класса	(Л) — принад-
лежность Fz классу <_/£ (у/" 1 —|—Л2) (см. п. Д. 7.2).
4*) Гладкость, т. е. принадлежность Fi и Ff1 классу С1.
5*) Близость Ft тождественному гомеоморфизму вбли-
зи нуля:
Ft (х) = х + о(х).
8.11
§ 8. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
491
6*) Условие 1*) плюс представление в виде
Fi (x) = x + <pz (х),
где <pz(х) = о(6(|х|) • |х|), б(|х|) монотонно стремится
к нулю при х->0, и
14>i (*1) — Ф; (х2) I < Ni (г) I Xj — Х21,
r = max{|x1|, | х21}.
Wz (/•)-> О при г->0.
Требуется, если возможно, построить единый гомеомор-
физм F, переводящий все Lt в (I = 1, ..., k) с сохра-
нением свойств *). При этом сохранение *) означает, что F
обладает свойствами 1*), 2*), 4*), 5*), если они имелись
у Fz, свойство 3*) заменяется принадлежностью Р классу
Л(1 Dh), где 1 —некоторое число, а функция б (|х|)
из свойства 6*) — функцией 6(D|x|).
Соответствующие теоремы сформулированы в пп. Д. 8.1 —
Д. 8.3, а их доказательства разбиты на леммы, составляю-
щие содержание остальных пунктов этого параграфа. Под-
разумевается, что все последующие пункты включают в себя
утверждение: «если заданные гомеоморфизмы обладают одним
или несколькими из свойств *), то это же верно для вновь
строящихся отображений». Это либо не оговаривается вовсе,
либо упоминается как «сохранение свойств *)». Во избежа-
ние повторений сохранение свойств *) будет проверено лишь
однажды (в п. Д. 8.5).
Отметим, что самый факт сохранения будет вытекать из
существования аналитических выражений для новых гомео-
морфизмов через старые с помощью проекторов Р, которые
всегда дифференцируемы (см. п. Д. 9.2) и имеют константу
Липшица =1 (см. п. Д. 4.7).
Свойства 1*)—4*) задаются как для Fit так и для F71»
а что касается 5*) и 6*), то нижеследующая лемма позво-
ляет ограничиться требованием только к Fz.
8.1.	Добавочные свойства. Лемма 8.1.1. Пусть X
и Y суть множества в Lr\ содержащие начало коор-
динат. Пусть существует гомеоморфизм
_У = Ф(х),
492
ДОПОЛНЕНИЕ t
|8.1
отображающий X на Y, и при этом
Ф(х) = х-|-<р(х), где <р(х) = о(х) при х->0. (8.3)
Тогда:
a)	+ где ip (у) = о (у) и
ф (Ф (х)) = — <р (х).	(8.4)
б)	Если, кроме условия (Д. 8.3), для любых хг и х2
из области существования ф(х) удовлетворяется не-
равенство
1<р(Х1)—q>C*2)KW)l*i — *2|.	(8-5)
где r = max(|x1|, |х2|}, a N(r)->Q при г-* О, то
когда г->0.
в)	Если дополнительно Ф-1 удовлетворяет условию
Липшица, то
11 (Ji) — t (^2) К Ni (И |Л—У21.
где г = max {[j,]|, |л|}. ^(г)->0 при г—>0.
Доказательство. Если у = Ф(х), то по условию
у = х4-<р(х).	(8.6)
С другой стороны,
х = Ф-1(у).
Обозначив Ф-1(у)—у через ф(у), имеем
х = Ф-1(у)=у+ф(у).
Сопоставляя это равенство с (Д. 8.6), приходим к (Д. 8.4).
Поэтому
H(J)I _	1<Р(*)1
|У|	|* + ф(*)Г
и так как по условию ф(х) = о(х), а х->0 при у—>0,
то утверждение а) леммы доказано. Для доказательства
утверждения б) возьмем х = Ф~1(г). Тогда ф(г) =— ф(х).
В то же время
z = Ф (х) = х + ф (х).
Поэтому
Н(г)1 _	1<Р(х)1	zo 7ч
1ф(*)| ~ I Ф(х + ф(х))| *
8-3J
§ 8. ОВЪЕДИНЕНИЕ гомеоморфизмов
493
В силу условия (Д.8.5)
|ф (Л Ч> (•*-) ) — Ф (х)|	ЛГ(г)|ф (х)|,
где г — max {|x-f-<p(x)|, |ф(х)|}. Отсюда
lq>(x)| —^(г)|ф(х)|<|ф(х+ф(х))|<
< |ф(*)| + ЛГ(г)|ф(х)|.
Так как г->0 при х->0, а х->0, когда 2->0, то из
равенства (Д. 8.7) видно, что утверждение б) также спра-
ведливо. Утверждение в) следует из (Д. 8.4). Действительно,
Ф(.у)=—ф(Ф“’(.у)). поэтому
I* (л) - ♦ (Л)|< ЛГ (Л) I ф-1 (Л) - ф’1 (Л) |.
где R = max {|Ф-1 Ог) |, | Ф-1(_у2)1 }• Поскольку Фч удо-
влетворяет условию Липшица, то
11 (Уi) - (у2) I < (/?) АГ |У1-У21 •
Очевидно,	когда |yz|—>0, что и доказывает утвер-
ждение в).
8.2.	Теорема об объединении. Теорема 8.2.1. Пусть
в Ln даны линеалы
oc.LxczL2c. ... с£Л, k^n,
и множества
оаЕ^Е^с: ... czEk
и заданы гомеоморфизмы Fl(Li) = Ei такие, что
Fd^ = Ei^	W-	(8.8)
Тогда существует единый гомеоморфизм F, переводя-
щий все Lt в Et(l=\, ..., k) с сохранением свойств*).
Если при этом Ek есть регулярный образ Lk, то F
можно считать определенным на всем пространстве Ln
и переводящим его на себя (также с сохранением
свойств*)). Наконец, если все Et суть регулярные
образы Lf (/= 1...д), то теорема верна и без пред-
положения (Д. 8.8) (в этом случае под Fl нужно пони-
мать отображения (Д. 7.6)).
8.3.	Локальный вариант. Все утверждения п. Д. 8.2
остаются справедливыми в локальном варианте, т. е.
494	ДОПОЛНЕНИЕ Т	(8.4
когда гомеоморфизмы Ft (так же как и множества Е^
заданы лить вблизи нуля. Нужно только заменить
требование (Д. 8.8) на Ff1 (Z^-^czZ^-p Для доказатель-
ства нужно применять те же леммы пп. Д. 8.4 — Д. 8.9, что'
и для теоремы Д. 8.2.1 (см. ниже), лишь каждый раз соот-
ветственно уменьшая окрестность нуля. После конечного
числа шагов приходим к нужному гомеоморфизму в доста-
точно малой окрестности нуля.
8.4.	Продолжение Gx в О2. Пусть даны линеалы
L1(^L2. Всякий гомеоморфизм Gx линеала LY на себя
можно продолжить на L2, т. е. построить такой го-
меоморфизм G2(L2) = L2, что G2 = G1 на Lv Он допу-
скает аналитическое представление
б2х = О1(Р1х)4-Р'х.	02-1х = 0Г1(Р1Х)-|-Р'х, (8.9) '
где Рх и Р' — проекторы соответственно на и на
ортогональное дополнение к в L2. Кроме того, он
сохраняет свойства *).
Доказательство. Всякий вектор х£Д2 однозначно
представляется в виде
х = хг 4- х',	хг = Ргх, xf = Р'х.
Зададим его отображение О2 в вектор	полагая
у = а2х,	где = GjXp	У = х',
x = G^y,	где Xi = ОГ1<уь	х'=у.	(В-1 °)
Взаимная однозначность и взаимная непрерывность О2 еле- I
дуют из таких же свойств Ор причем когда x£Llt то ।
хг = о и G2 совпадает с Ор Ясно также, что (Д. 8.10) сов-
падает с (Д. 8.9), а отсюда следует сохранение свойств *)
(проверьте).
8.5.	F — Fx на Lx. Если ЬХ<=.Ь2, Е^Е2, Fi(Li) = Ei
(Lit Е^И1, Z=l, 2) и известно, *что F2(L1) = E1, то
существует гомеоморфизм F(L2) = E2, совпадающий на Lx
с Fp Он допускает представление
1)	Fx = F2 |F2" ’FjPjX 4- Р'х].
2) F-1x = Fr1F2PiF2'1x4-P'F2'1x,
1
j
(8.11)
и сохраняет свойства*).
8.51
§ 8. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
495
Доказательство. По условию F2 xFj(Li) есть гомео-
морфизм на себя, т. е. в обозначениях п. Д. 8.4 Fz^Fi = Gi,
и его можно продолжить до гомеоморфизма О2. Тогда го-
меоморфизм F = F2Q2 является искомым. В самом деле,
F (^2) = ^*2®2 (^2) === &2 (^*2) == ^2»
а так как О2 = на Lb то
F (Lj) = F2G2 (IO = F2Gt (Lj) = F2Fi1F1 (Lt) =» Ft (L0.
что и требовалось доказать. Из (Д..8.9) вытекает 1) в (Д. 8.11).
Докажем справедливость 2) из (Д. 8.11). Убедимся прежде
всего, что отображение
Фх = FilF2PiF2'x + P'F2'x
имеет смысл для любого х£Е2. Для этого нужно удосто-
вериться, что F2PiF2"1xGM. Действительно, если х^Ег
то по условию <y = F2’1x£L2. Значит,
= и F^E^i.
что и требовалось доказать. Теперь проверим, что Ф = F~*.
Пусть y£L2, x = Fy. Очевидно, х£Е2 и
Фх = ФРу = FT lF2PiFi lFy 4- P F2 'Fy.
Заменяя Fy по формуле 1) из (Д. 8.11), получим
ФРу = F^FiPi [F^FiP.y +	+ Р' [P^FiPty + P'j»].
Так как F21FiPiy^Ll и Pxz = z для z£Llt кроме того,
P L1 = o, PjP ^O, Р Р' = Р', то
ФРу = Ргу + Р'у = У»
т. е. Ф = Р~1. Проверим сохранение свойств*). Начнем
с 1*) и 2*). Пусть Ft и FF1 удовлетворяют условию Лип-
шица с константой ^. Возьмем точки xit x2QE2. Ввиду
ортогональности слагаемых в представлении 2) из (Д. 8.11)
имеем
IF"1^ - F-lx212 = | Ff xP2PiF2lxl - Fr’FsPtFz"1^ |2 +
4-|p'(f2-1x1-f2-1x2)|2.
г
I
496
ДОПОЛНЕНИЕ I
(8.5
Поскольку Fi1 и Fi удовлетворяют условию Липшица, то,
полагая Ft *Xi — FilX2 — z, получим
F~xXi — F-1X212 < ^|Pi2|2+ I P'z |2 =
= (£4 — 1)|/>1«|2 4- IPXZ |« + |P'z|2.
Ho PiZ^_P'z, а |Р1г|2<|г|2, поэтому IP^I2-!- |P'z|2 =
=И2 и
If"1*!—f"1x2|2<(k4^i)|z|24-|«12==k4I*I2-
Замечая, что
И = I FilXi — F2_1X21 < KI*! - X2I.
получаем окончательно
I F.~lXi — F~xx2 К № I Xi - x21.
Если выполняется 2*), т. e. /C^l, то и Л?«1. Таким
образом, 1*) и 2*) доказаны для F*1. Доказательство для
F аналогично. Свойство 3*) вытекает теперь из 2*) и
п. Д. 7.2, а 4*) очевидно из аналитического вида F и F”1
(см. (Д. 8.11)). Установим 5*). Из представления 1) в (Д. 8.11),
полагая
F2XFiPiX + Р'х = и,
имеем
Fx — F2u = а + <р2 (а),	(8.11')
где по условию <р2(в)=о(ю). По лемме Д. 8.1.1 из 5*) сле-
дует, что
F7*(x) = x4-tz(x), W tz— о(х) (I — 1, 2).
Используя это и 5*), находим
u=FiX [FiPiX] + Р’х = FxPiX+ о [FjPjXl+P'x =
= Ргх 4- о (Ргх) 4- о (FiPjx) 4- Р'х = х 4- о (х).
Переход к последнему равенству возможен, ибо |PiX|<C|x|
и Fil = O(£). Поэтому (8.11') дает F (х) = х 4- о (х).
Займемся проверкой 6*). Это условие для Ft и равен-
ство 1) из (Д. 8.11) позволяют написать
Гх = и 4- <р2(«),
8.6!
§ 8. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
497
где
u = FT1F1P1x + P'x.
По лемме Д.8.1.1
Fj- ’«> = w +1|>2 (W).
Значит, для w = F1Plx
Fx = FJ\x + ф2 <JFJ\x) + Р'х + ф2 (Fi 'FiPiX 4- Р'х).
Но
F1s = s4-<p1(s),
следовательно, при s = Pxx
Fx = Р\Х -j- q)j (A’iXX-H ^2 (Р\Р\Х) + Рх +
4- (Fi lF[Pix 4- Р'х) = x 4- q>! -j- ip2 4- <р2 = x 4- <p (x).
где ф = <P14“ 4>14“ ф2- При этом, в силу условий Липшица
для Ft, FT1, условия 6*) для ф, и утверждения в) леммы
Д.8.1.1, будем иметь
<p = o{6(D|x|)|x|}.
По этим же причинам
I<Р (-*1) — <Р (Xi) К W (г) I Xi — х21,
/V(r)->0 при г->0.
8.6.	E-+L вместе с пространством. Пусть Lcz.Ln,
а Е есть регулярный образ L. По определению проек-
тор Р (на L) осуществляет гомеоморфизм P(E) = L, и
существует обратный гомеоморфизм Ф(Е) — Е. Пусть,
кроме того, задан еще один гомеоморфизм FX(L) = E
(в частном случае он может совпадать с Ф). Тогда
существует общий гомеоморфизм всего пространства*.
F(Ln)r=zLn, который на L совпадает с Fx (в частном
случае—с Ф), т. е. переводит L в Е. Он допускает
представление
y = Fx = F1Px+Px,	y£L (8.12)
(Pr — проектор на ортогональное дополнение к L) и
сохраняет свойства*).
Доказательство. Отображение (Д.8.12), очевидно,
однозначно и непрерывно, а так как для x£L
Рх — х, Р'х = О,
32 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
498
ДОПОЛНЕНИЕ I
18.7
то на L оно совпадает с Остается доказать существова-
ние однозначного и непрерывного обратного отображения.
По определению регулярного образа Ф имеет вид
Фа = a -\-f(a)t
где а £ Д, /(а) | L. Положим
X = FT1 (Ру +f(Py)) + [Р'у —f(Py}\ = Xj + х'
и убедимся, что это отображение обратно к (Д.8.12). В пра-
вой части первое слагаемое лежит в £, так как Py-\-f(Py)—
= a+/(a)£F, а второе ортогонально к L. Поэтому
Рх = Xl = Fi-1 (Ру +f(Py)).
Р'х = х' = Р'у —f(Py).
Применяя к первому равенству Ег и складывая со вторым,
найдем
FxPx + Р'х = Ру+Р'у=у.
Но левая часть этого равенства есть у, задаваемый отобра-
жением (Д.8.12), что и требовалось. Проверьте свойства*).
8.7.	Проекция Е\ на L2. Пусть даны линеалы
и пусть Ех есть регулярный образ Lt. Тогда
проекция Е{ множества Ех на L2 также есть регуляр-
ный образ Lx (с сохранением свойств*)).
Доказательство. Пусть Р есть проектор на L2.
По условию Ех состоит из точек вида
х = a +f(a)t а £
а Ei — из точек
у = Рх = Ра-±-Pf(a).
Но так как a^ZqCzig, то, в силу свойства проектора (см.
п. Д. 4.7), Ра = а, т. е.
y = a-+-Pf(a).
Это — регулярное представление. В самом деле, ввиду орто-
гональности f к Lx и симметричности Р (п. Д. 4.7) имеем
для всякого a' £ Lx
(Pf(a), a') = (f(a), Pa') = (f(a). a') = 0.
т. e. вектор Pf(a) ортогонален к Его непрерывность,
а также обращение в нуль при а = о следуют из таких же
8.10)	$ 8. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ	499
свойств f и линейности Р. Значит, выполнены все усло-
вия п. Д. 7.1, определяющие понятие регулярного образа.
Проверьте свойства *).
8.8.	Гомеоморфизм Fo. Если ЕХ<=.Е2 суть соответ-
ственно регулярные образы Lic^L2i то существует го-
меоморфизм FQ(L2) = E2 такой, что
FM = E1.
Доказательство. Проектирование Е2 на L2 есть гомео-
морфизм по определению регулярности. Согласно п. Д. 8.7
он переводит Ех в регулярный образ Ех линеала Lv Далее
мы можем отобразить L2 на себя так, что Ех перейдет в £х;
для этого нужно применить результаты п. Д. 8.6, полагая
сейчас L = Lb Е = ЕХ, Ln = L2, FX = <I>. Последовательное
применение двух указанных отображений есть искомый
гомеоморфизм, лишь взятый в виде Fq1(E2) = L^
8.9.	Доказательство теоремы п. Д. 8.2. Пусть сначала
даны только условия (Д.8.8). Применим последовательно
несколько раз результаты п. Д. 8.5, начиная с младших
гомеоморфизмов. Именно, сначала на основе Fx и F2 по-
строим с помощью п. Д.8.5 гомеоморфизм Fg, переводя-
щий Lx в Ер а А2 в ^2- Затем по F2 и F3 строим F3; он
на L2 совпадает с F2, т. е. по-прежнему переводит Ег в Elt
L2 в Е2, но, кроме того, отображает £3 на Е3. Продолжая
так же, приходим к гомеоморфизму F, определенному на Lk
и отображающему все Lt на Et. Если теперь Ek есть регу-
лярный образ, то с помощью п. Д. 8.6 можем отобразить Ln
на себя так, что Lk отобразится на Ek тем же гомеоморфиз-
мом F, что и прежде. Этим доказана первая часть теоремы.
Если же условие (Д.8.8) не дано, но Et суть регулярные
образы £z, то п. Д. 8.8 позволяет для каждой пары Lt__x и Lt
сконструировать F? такой, что
Таким образом, снова выполняется условие (Д. 8.8), и дока-
зательство завершается, как выше.
8.10.	Решения, связанные гомеоморфизмом F. Пусть
в Ln даны системы дифференциальных уравнений
x = A(t)x+f(t> х),	(8.13)
; = A(OJ,	(8.14)
32*
500
дополнение i
18.10
а также линеалы Lx<z.L2 и множества ЕгаЕ2, нахо-
дящиеся в условиях п. Д. 8.5, причем выполнено Г).
Предположим, что для любых решений x(t) и y(t) си-
стем (Д. 8.13) и (Д. 8.14), проходящих при t — О через
соответствующие в силу гомеоморфизма Fx точки
выполняется для неравенство
I х (0 - у (/)1 < | х (0) |	(О Л1 (t, | х (0) |),	(8.15')
где и Th — некоторые положительные функции, при-
чем т]! не убывает по второму аргументу. Пусть,
сверх того, для любой пары решений x(t) и y(t), соот-
ветствующих друг другу в момент t = Q в силу гомео-
морфизма F2, удовлетворяется для /^>0 неравенство
|х(0-^(0|<|х(0)|^2(От]2(^ |х(0)|),. (8.15")
причем |2>0,	а Л2 не убывает по второму
аргументу. Пусть, наконец,
£1(0П1(Л г)<£>1Ы0Л2('. г),	^>0.	(8.16)
Тогда найдется такая константа С (не зависящая от
решений), что для решений x(t) и y(t), связанных при
Z = 0 гомеоморфизмом F, гарантируемым в п. Д.8.5,
будет верна оценка
|х(О-ЯО|<|*(О)|С|2(ОП2('. №|*(0)1), *>о. (8.17)
Доказательство. Обозначим F”1 = Ф. Пусть х—лю-
бая точка из Е2 и у = Фх, т. е.
У = Ff xF2P\F2xx + P'F2" 'х.	(8.18)
Введем обозначения:
jf2 — F2 х,	(8.19)
Jl = ^1^2 ~ P\P 2 Х'	(8.20)
y2^=pfy2 = pfF2lx*	(8.21)
x^ = F2yr = FgPjFg x,	(8.22)
у[ = р;\ = Р;1р2р^Х.	(8.23)
8.10|
§ 8. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
501
Тогда, согласно (Д. 8.18),
У=У\+&	(8-24)
и, кроме того, в силу (Д. 8.19) — (Д. 8.21)
*=*+*.	(8-25)
откуда
X — У=(X—у2) 4- (* — Xj) + (*! — /)•	(8.26)
Решения систем (Д. 8.13), (Д. 8.14), проходящие в момент
f = 0 через точки (Д. 8.19)— (Д. 8.23), будем обозначать
теми же буквами с аргументом t.
В силу (Д. 8.24) и (Д. 8.25) и линейности системы
(Д. 8.14)
(8.27)
Уъ (О =* (0+*(0-	(8.28)
Поэтому, подобно (Д. 8.26), справедливо тождество
X (О -у (О = [X (0—у2 (0] 4- [ух	(0] 4- [* (0-х (О].
(8.29)
из которого следует
\x(t)-y (OKI Х(О-Л (0|+|* (О—* (01+1 * (0-х (01.
(8.30)
Векторы х, у2 и xlt yt соответствуют друг другу в силу F2
(см (Д. 8.19) и (Д. 8.22)), а х, и у*—в силу Fj (см. (Д. 8.23))..
Поэтому, согласно (Д. 8.15").
|х(0-л(0К1*(0)|£>Ы0п2(0 |Х(0)1),	(8.31)
|х1(О-У1(ОК1*1(0)Р|2(ОП2(О |Хх(0)|), (8.32)
а согласно (Д. 8.15') —
I Хх (0 -у; (О I < I Xj (0) | Dli (о th (О I Хх (0) |). (8.33)
Так как Хх = Р2Ух и F2(0) = 0, то из условия Липшица
для F2 следует
1^1КАГ|У1| =К|Р1У2К^|Л|.
Но в силу (Д. 8.19)
1лКВД.
502	ДОПОЛНЕНИЕ I	|8.п
и окончательно
|х1«№|х|.	(8.34)
Из монотонности т)!(t, г) и x^(t, г) по г вытекает (при
К>1)
Ш	К2И) (/=1.2).
Усиливая этим способом (Д. 8.31), (Д. 8.32), а с помощью
(Д. 8.16) также и (Д. 8.33), получим из (Д. 8.30)
|х(/)-У(/)|<12(/)П2(/. №|x|){D|x|
где х = х(0). Применяя (Д. 8.34), получаем (Д. 8.17).
8Л1. Обобщение предыдущего пункта. Пусть выпол-
нены условия теоремы Д. 8.2.1 и свойство Г), и для
любой пары решений x(t) uy(t) систем (Д. 8.13) и(Д. 8.14),
для которых
Xi(0) = F/y(0),
удовлетворяется неравенство
|x(/)-y(/)|<|x(0)|D^(O^(^ |х(0)|),	(8.35)
где £/> 0, т], > 0, причем г) яе убывает по г, и
существует такое число DQt что
'С	+М+!•	(8.36)
Тогда для решений x(t) и y(t) таких, что
x(0) = Fy(0) и y(O)£Lz
(F — окончательный гомеоморфизм из теоремы Д. 8.2.1),
верна оценка
|x(/)-y(/)l<|x(0)|DU/)M/. К,\х(0)|), (8.37)
где D и К\ выражаются через константы Dt из (Д. 8.35)
и К из 1*).
Доказательство проводится так же, как доказательство
теоремы Д. 8.2.1 с использованием п. Д. 8.10.
8.12.	Локальный вариант. Утверждение п. Д. 8.11
имеет также место в локальном варианте, рассмо-
тренном в теореме п. Д. 8.3.
ДОПОЛНЕНИЕ II
НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Обозначения: J" ~ [^0,	—конечный или бесконеч-
ный промежуток, В, Вг, ... — банаховы пространства, и, х,
у, §, ... —их элементы, A, F, J, ... —операторы, 7—еди-
ничный (тождественный) оператор. Модуль числа, евклидова
длина вектора и норма матрицы обозначаются через | |,
в отличие от этого, знаком нормы в бесконечномерном В
служит || ||.
§ 9.	Некоторые операторы
9.1.	Перечисление операторов. Пусть у = Fx — отобра-
жение пространства Вх = {х} в В2 = [у). Оператор F назы-
вается:
1)	непрерывным, если || Рх — Fx0||->0 при х~>х0 для
всех х0;
2)	удовлетворяющим условию Липшица, если
||Fx-Fxo||<0||x-х0||;
3)	ограниченным, если он линеен и -СК; при
II ^11
этом число
supl^l = ||F||
называется его нормой; для линейного оператора 1), 2) и 3)
равносильны; он называется непрерывно зависящим от па-
раметра a: F — Fa, если из а->а0 следует ||Ffl —
при этом а может быть числом или элементом любого
метрического пространства;
4)	сжимающим, если выполнено 2) с 0 < 1;
5)	дифференцируемым (в точке х), если существу-
ет такой ограниченный линейный оператор, называемый
504	ДОПОЛНЕНИЕ II	19.2
производной1) и обозначаемый через.
%=^™=А-
что
lim .И5‘	". = о. (9.1)
Точнее говоря, норма элемента
8 =	+	_ Аа	(9,2)
должна стремиться к нулю при Л->0, равномерно для всех
таких, что ||а||= 1;
6)	непрерывно дифференцируемым, если A = (Fx)’ су-
ществует для некоторой окрестности точки х и зависит
от х непрерывно (см. 3)).
9.2.	Правила дифференцирования. Производная опера-
тора, удовлетворяющего условию 2) п. Д. 9.1, если она
существует, имеет норму ^0. Для линейного оператора
(Ах)’=А.	(9.3)
Если z = <$y, y = Fx, то из существования производных
вытекает существование и формула для производной
^ = СЛ.	(9.4)
(правило дифференцирования сложной функции).
Если F и F”1 существуют и удовлетворяют условию
Липшица, а производная A = (Fx)' существует и имеет
ограниченный обратный оператор А”1, то существует и
(9.5)
(правило дифференцирования обратной функции; условия
можно ослабить).
9 Чаще определяют дифференциал Adx. При нашем опреде-
лении несколько затрудняется введение старших производных,
однако последними, кроме (Д.9.8), мы пользоваться не будем.
9.31
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ
505
Докажем, например, последнее правило. По условию
имеем Рхг — Fx — A(x1— х) = е||х1 — х||, где || 81| -> 0 при
||л?!—х||—>0. Обозначая Fx—y, Fxx=yit применяя А”1
и деля на ——у ||. найдем
Г->!,~F~^~ 4~	. = _ ^4 л-»,. (9.6)
1У1— >11	bi—>11	4 7
Ввиду условия Липшица для F-1 величина	0ГРа*
ничена, и из —_у|| ->0 следует ||х!—х|| ->0. Но тогда
и || 81| -•>0, а ввиду ограниченности А-1 стремится к нулю
вся правая часть (Д. 9.6). Согласно определению этим дока-
зано (Д. 9.5).
9.3.	Лемма Адамара. В случае конечномерных пространств
51 = {х}=£", B2={y} — Lmt выбирая в них ортонормиро-
ванные базисы, можно представить оператор у —f(x') в коор-
динатной форме:	.....хя) (Z=l......т). Об-
ратно, задание таких функций определяет оператор. Произ-
~ df
водной служит оператор с матрицей
По формуле Ньютона—Лейбница
о
а по правилу (Д. 9.4) в данном случае
^=ф(х + аю)в,
откуда
f(x+a)—f(x) =
(лемма Адамара).
Г 1
J Ф(х+аа)^а
(9.7)
и
506
ДОПОЛНЕНИЕ П
[10.1
Линейный оператор у = Ах имеет производные всех по-
рядков, причем нужно считать
= d2y
dx ' dx2
dky
dxk
= 0.	(9.8)
§ 10.	Принцип сжатых отображений
В следующих пунктах, если нет специальных оговорок,
пространства Вх и В2 считаются совпадающими, т. е. опе-
раторы переводят некоторое пространство В в себя.
10.1.	Существование решений. Если J— сжимающий
оператор, то при любом 1$£В уравнение
x = l + Jx	(10.1)
имеет в В единственное решение и оно может быть
получено методом последовательных приближений, начи-
нающихся с любого элемента
xo6*.
Доказательство. Двух решений быть не может: из
X = % + Jx, y = l + Jy следовало бы
II* -я = Р* -Jy II <0||х-Я.	(10.2)
т. е. ||х—у||=0, х=у. Отправляясь от любого х0 и
полагая последовательно
xk = l + Jxk_x,	(10.3)
получаем
llx*+i х* II = l|toft to*-1IIIIх*	xk-ill»
что дает
llX* + l Xk II 9* 11Х1 хо II •
Ввиду полноты В отсюда следует существование элемента
* = lim xft = x0+2 (Xi+i — X/),	(10.4)
*->оо	/=0
и предельный переход в (Д. 10.3) показывает, что х удовле-
творяет (Д. 10.1).
10.4)
f 10. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
507
Заметим, что в случае линейности J для х получается
из (Д. Ю.З) и (Д. 10.4) выражение
x =	+	...)£.	(Ю.5)
10.2.	В\С,В. Если J переводит в себя подпространство
В^В и если то, очевидно, и решение х£Вь при-
чем оно остается единственным во всем пространстве В.
10.3.	Локальный вариант. Результат п. Д. 10.1 допу-
скает локальное применение. Пусть, например, J определен
только в е-окрестности нуля Уе, и пусть Jo = o. Тогда
в силу (Д. 10.2) J(Ve)c:V£t и для всякого достаточно малого
% 6^(1-0) е уравнение (Д. 10.1) имеет единственное реше-
ние, лежащее в Ve Для доказательства достаточно заметить,
что, беря х0 = £, Util <(1—0)е, будем иметь
1|Х111<11111 + 11Д11<(1 +0)е,
и далее, из (Д. 10.3) —
+11^-111 <
<(1+0-|-02 _|_ ...	|| g|| <	||g|| < е.
Таким образом, все приближения, а с ними и решение,
лежат в Ve.
10.4.	Сохранение порядка. Если В частично упорядо-
чено, a J сохраняет порядок, т. е. из Xi<^x2 следует
/х1^/х2, то для любых двух элементов х и у таких, что
X = g-h Jx,
У&Ъ+Ъ
будем иметь
У^х.
(10.6)
Действительно, начиная процесс (Д. 10.3) с xQ—yt полу-
чим в силу (Д. 10.6)
Xi — 1+Jy^y.
и вообще, если уже доказано, что Xk-г^У* то
Поэтому и
X— lim хк^у.
508
ДОПОЛНЕНИЕ II
IU.1
§ 1L Существование и свойства обратного
оператора
ILL Существование F и F“l. Пусть J — сжимающий
оператор:
рх-Jy||<0 ||х —jrlb	0<1.	(11.1)
Положим F = 7— J, Результаты предыдущего пункта показы-
вают, что обратный оператор f"1 существует и обладает
рядом удобных свойств. Действительно, уравнение (Д. 10.1)
можно переписать в виде
Fx = l,	(11.2)
и тот факт, что оно имеет единственное решение при любом
как раз и означает существование обратного оператора
F~\ = x.	(11.3)
Формула (Д. 10.5) показывает, что в случае линейности J
оператор F”1 задается рядом Неймана
F"1 = 7+J +	(11.4)
11.2. Условия Липшица. Оба оператора F и F 1 удо-
влетворяют условию Липшица:
||Fx — Fy|| <(1 + 0) ||х-у||.
(П.5)

В самом деле, из Fx — %>, Fy = x\, т. е. х—Jx = %,
у — Jy = i\, следует в силу (Д. 11.1)
(1-0) ||х—у|| < ||§ -1) II «1 +0) ||Х - J||. (11.6)
Заметим еще, что (Д. 11.6) с помощью (Д. 11.1) дает
IIJx-JylKY^-l^-nH	(11.7)
и что в том случае, когда Jo —о, из (Д. 11.5) — (Д. 11.7)
получается при = o
11§11<(1 + 0)1|х||.	HxlKj^- ||g||,	(11.8)
ii^iic т4ё iisii-	(ц-9)
11.4] СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА 509
11.3, Непрерывная зависимость от а. Если J линеен
и непрерывно зависит от параметра а, то это же верно
для F и F“\ Относительно Fa = 7— Ja это очевидно. Дока-
жем то же для Fa1- Пусть для заданного е > О
||Л — Л011<е при ||а — а0И <S(e). (11.10)
Покажем, что
(11.11)
Проведем индукцию. Мы имеем (Д. 11.10), и если уже дока-
зано (Д. 11.11), то, учитывая, что ||/в||<^0. найдем
|4+1 - 4+III=14+* - л4+л4 - 4II <
<цлц -14-411+11Л-Л.11 • 1141 <
< ОЛО^’е + е0‘ = (* + 1) 0*е-
Таким образом, (Д. 11.11) верно для всех k =1,2,...
Поэтому, пользуясь (Д. 11.4), получим
что и означает непрерывную зависимость Fa 1 от а.
11.4	. Л7, dF, dF~\ Если J дифференцируем или не-
прерывно дифференцируем, то это же верно для F
и F-1, причем
MH = ||(Fx)-||<H-0,	(11.12)
Доказательство. Пусть (Jx)'=C, тогда
A = [(J — J)x]' ==1—С,	(11.13)
причем, согласно п. Д. 9.2,
||С||<0< 1.	(11.14)
В таком случае из пп. Д. 11.1 и Д. 11.2 следует, что F,
F1, А, А~1 существуют и удовлетворяют условиям Липшица.
510
ДОПОЛНЕНИЕ II
(12Д
Поэтому существование производной (F*1?)* вытекает
из правила (Д. 9.6). Для получения (Д. 11.12) достаточно
применить (Д. 11.5), (Д. 11.6) и (Д. 11.13), (Д. 11.14), а для
непрерывной дифференцируемости—п. Д. 11.3.
§ 12.	Пространства Вя(р) и В?
12.1.	Пространство /?”(₽). Пусть Вп есть множество
всех заданных на непрерывных вектор-функций со зна-
чениями в n-мерном пространстве Lnt и пусть на задана
еще непрерывная положительная скалярная функция р(/).
Обозначим через ВЛ(Р) пространство всех х£Вп таких, что
х(0 = О(р(0),
то есть
|x(0|<DP(0.
Очевидно, ВЛ(Р) линейно. Из рх < Рг следует
Вя(₽1)ЕВл(р2).
Введем в ВЛ(Р) норму, полагая
(12.1)
(12.2)
(12.3)
Тогда Вп (р) становится банаховым пространством; его пол-
нота обнаруживается немедленно, если заметить, что оно
изометрично пространству ограниченных непрерывных вектор-
функций
с нормой
Ы =8Up|^(0|.
и сходимость в норме || ||(р) эквивалентна равномерной схо-
димости y(t). Сами x(t) при этом сходятся равномерно по
крайней мере на каждом конечном отрезке cj*. а в случае
ограниченности р (7)—просто равномерно.
Замечание 12.1.1. Когда есть конечный отрезок,
условия (Д.12.1), (Д.12.2) не налагают на x(t) никакого
ограничения, так что В”(Р) совпадает с Вп.
12.41
§ 12. ПРОСТРАНСТВА Вй (Р) И В*
511
12.2.	Пространство В?. В дальнейшем 0(f) часто встре-
чается в виде
t
J r(T)rft
р (/) =
где г интегрируема на каждом конечном отрезке. Для крат-
кости вместо
(t \
j* rdx I
/
будем писать
и говорить, что х имеет рост не выше г. Пространство
В"(Р) обозначим через 5?, а норму || ||(р) — через || ||г:
/
-J rdx
||x||r = sup|x(O|e •	(12.4)
12.3.	Пространство о). В определении нормы (Д. 12.2)
или (Д.12.4) фигурирует не только функция р, г, но и
промежуток </0 = [£0, ^). Чтобы подчеркнуть последнее об-
стоятельство, будем писать иногда В?(</о)- Пусть сначала
дана полуось (/ = [0, оо) и функция г на ней. Фиксируя
затем различные (/оСс/, будем получать пространства В? Qfо)»
хотя и состоящие из функций одного и того же роста, но
отличающиеся нормой (Д.12.4). Это уточнение понадобится
при исследовании равномерности оценок роста. Если нет
специальных оговорок, считается фиксированным.
12.4.	||х||<К. Согласно определению нормы в Вл(р),
неравенство ||х|| (&> К равносильно неравенству
(01 <*₽(*)•
В частности, всегда
|х(0|<1М(3)Р(0.
и следовательно,
|*(QI<II*II (р) (W
(12.5)
(12.6)
512
ДОПОЛНЕНИЕ II
(12.5
В частном случае (Д.12.4) получаем
t
1*(0|
l*(QI<ll*llr
(12.7)
(12.8)
12.5.	Вп (Р)->/Л Рассмотрим отображение $ прост-
ранства Вп (Р) в Lnt ставящее в соответствие элементу
я£Вл(Р) вектор . Ясно, что $ линейно, а (Д. 12.6)
показывает, что оно ограничено и его норма ||S||^1. По-
этому, если х зависит от параметра а непрерывно, или с
условием Липшица, или дифференцируемо и т. п., то это
же верно для х(/0) (без повышения константы Липшица).
§ 13.	Операторы в В?
13.1.	х = О(Р), Jx = O(P). Чтобы прилагать к В"(Р)
результаты §§ Д.10 и Д.11, нужно рассматривать лишь
такие операторы J, которые, во-первых, переводят В”(Р)
в себя, т. е. преобразуют х = О(Р) снова в n-мерную не-
прерывную функцию порядка р:
|Jx(0|<Dp(O	(13.1)
(важно отметить, что в случае конечного </0 достаточно
непрерывности	и, во-вторых, удовлетворяют усло-
вию (Д.11.1), которое, согласно (Д.12.5), равносильно ус-
ловию
1^(0 — Jy(O|<0||x^ 3>M(0-	(13.2)
Заметим, что из последнего вытекает (Д. 13.1), когда Jo = о,
в частности, когда J линеен.
Ниже приводятся примеры интегральных операторов
вида | ф(/, 5, x(s))dst где х и ф— n-мерные векторы.
Мы будем предполагать, что относительно ф выполняются
условия, обеспечивающие преобразование непрерывной функ-
ции x(t) снова в непрерывную, например непрерывность ф
по совокупности аргументов t, s, х или ослабление этого
условия до кусочной по Л s непрерывности (существова-
13.21
$ 13. ОПЕРАТОРЫ 6 В?
513
ния в плоскости t, s конечного числа гладких линий раз-
рыва первого рода). Другие требования будут оговариваться.
13.2.	Оператор Вольтерра. Пусть конечен и
t
Jx(t) = J <j>(/, s, x(s))ds.
Ясно, что это — непрерывная функция от tt так что усло-
вие (Д.13.1) проверять не нужно. Допустим, что ф удов-
летворяет еще условию Липшица по х:
|<р(*, s, x)-<f(t. s,	(13.3)
для	и всех х, у.
Тогда в Вп можно ввести такую норму, при которой будет
выполняться (Д. 13.2). Действительно, выберем произвольное
0 == const < 1 и положим
г (0=^=4.
Учитывая (Д.13.3) и (Д.12.7), получим
t
|/х(0-/у(01< J *|x(s)-y($)|rfs<
t
*9
t. e. условие (Д.13.2) для нормы || Ц^. Таким образом,
оператор J в пространстве 5^ относится к изученному
выше типу. Следовательно, уравнение Вольтерра
t
*(0 = S(0 + / V(t	x(«))ds	(13.4)
^0
при всяком	имеет единственное решение, которое
может быть получено методом последовательных прибли-
жений, начинающихся с любого х0(£)£В”. Заметим, что
величина константы К в условии Липшица фактически не
играет роли: важна лишь ее конечность. Поэтому реше-
ние x(t) может быть продолжено с сохранением единствен-
ности на всякий больший конечный отрезок <7':Э(/0, для
33 Б. ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
514
ДОПОЛНЕНИЕ И
(13.3
которого остаются в силе условия непрерывности £ и ф и
условие Липшица для ф, несмотря на то, что в последнем
константа К может увеличиваться при переходе к </'.
Уравнение (Д.13.4) часто встречается в форме
t
х(0 = £(0+ / ®(/. s, x(s))ds, (13.5)
/0
где Ф(/, $) — линейный оператор (матрица), непрерывно или
кусочно непрерывно зависящий от /, $. В этом случае ве-
личина |Ф(^, $)| ограничена на замкнутом треугольнике
/0 'С5	поэтому условие Липшица по х для
Ф(/, $)ф(/, $, х) продолжает выполняться, и предыдущая
теория остается в силе. В частности, это всегда верно для
линейного уравнения
t
х (/) = £(/) + / Ф(*. s)x(s)ds. (13.6)
13.3.	Метод Пикара. Этот метод по существу является
частным случаем предыдущего. Дифференциальное уравне-
ние (систему)
х = ф(Л х)	(13.7)
заменяют интегральным уравнением
t
x(/) = x(/0)+ J ф($, x(s)}ds. (13.8)
h
к которому применимы все рассуждения п. Д. 13.2, если ф
непрерывна по 5, х (кусочно по 5) и удовлетворяет усло-
вию Липшица по х. В случае лишь локального выполне-
ния указанных условий требуются уточнения, на которых
останавливаться не будем. К числу нелокальных всегда при-
надлежит случай линейной системы
x = A(f)x	(13.9)
с кусочно непрерывной функцией 4(/), так как здесь по-
лучается уравнение типа (Д.13.6)
t
x(0 = x(/q)+ J A(s)x(s)ds. (13.10)
13.41	§ 13. ОПЕРАТОРЫ в в*	515
Следовательно, система (Д.13.9) имеет единственное реше-
ние для всякого начального значения х(£0) = х°. Простран-
ство ее решений, в силу линейности самой системы, линейно.
Решения, соответствующие линейно независимым начальным
векторам xj, ..., х^, остаются независимыми при всех t.
В самом деле, допустим, что	= где не все cit
и рассмотрим решение х(/) = 2 cixt (О* С одной стороны,
при t = t* оно обращается в нуль, и потому, в силу един-
ственности, должно совпадать с нулевым решением. С дру-
гой стороны, при t = tQ оно отлично от нуля в силу неза-
висимости Аналогичным приемом доказывается, что все
решения выражаются линейно через какие-либо п незави-
симых решений или базис
•*1(0...xn(t).
Можно рассматривать последний как матрицу
А'(0 = [х1(0....х„(0Ь
удовлетворяющую системе (Д.13.9), записанной в матричной
форме X = A(t)X.
13.4.	Возмущенная линейная система. Рассмотрим
сначала неоднородную систему
x — A(t)x-\-f(f).	(13.11)
Ищем ее решение в виде x = X(f) g, где X(f) — решение
системы X—A(t)X. Тогда
X(t) I + X (01 = A (t)X(t) I
откуда
i=х-1
так что
t
W)=c+\x-'(s)f(s)ds
h
и окончательно
t
x(t) = X(t)c+ J X(t, s)f(s)ds. (13.12)
33*
516	ДОПОЛНЕНИЕ II	(U.8
Здесь
X(t, s) = X(f)X~1(s)	(13.13)
— так называемая матрица Коши или матрицант. Пола-
гая t — tQt имеем
x(t0) = X(tQ)c, c = X-1(/0)x(Q,	(13.14)
откуда
X(t)c = X(tt /0)х(/0).	(13.15)
Применяя те же рассуждения к линейной системе с возму-
щением:
х = А(Ох+/(Л х).	(13.16)
видим, что она равносильна интегральному уравнению
t
x(t) = X(t, *0W0)+ J X(t, s)f(s, x(s))ds. (13.17)
Последнее относится к типу (Д.13.5), следовательно, при
выполнении обычных требований к f оно имеет единствен-
ное решение, которое может быть получено последователь-
ными приближениями. Эти приближения сходятся к реше-
нию равномерно на каждом конечном отрезке	на
котором выполняются требования для /. В частности, если
возмущения /(/, х) сами линейны, т. е. f(tt х) = Ф(£)х, и
матрица Ф(0 кусочно непрерывна, равномерная сходимость
будет наблюдаться на каждом конечном отрезке (/'с[0, оо).
13.5.	Одномерный случай. Применим теорию п. Д.13.2
к одномерному случаю: пусть В1 есть пространство непре-
рывных скалярных функций. Рассмотрим уравнение (Д.13.6),
которое запишем в виде
t
s)x(s)ds, (13.18)
где ф — также скалярная функция. Пространство В1 частично
упорядочено в смысле обычного неравенства (О'С *2 (О»
и если
ф(Л $)^>0,
L3.6]
§ 13. ОПЕРАТОРЫ В В*
517
то оператор
t
Jx(t) = | <р(/, s)х($)ds
сохраняет этот порядок. Поэтому можно применить резуль-
таты п. Д. 10.4. Так, если x(t) удовлетворяет уравнению
(Д. 13.18), a у(0—неравенству
У(0^£(0+ J<p(t s)y(s)rfs.	(13.19)
У(0^х(0.	(13.20)
В частности, когда £(0 сохраняет постоянный знак, то x(t)
имеет тот же знак:
sign х (0 = sign £ (0,
(13.21)
поскольку тогда функция у (0 = 0 удовлетворяет соответ-
ствующему неравенству.
13.6.	Лемма Веллмана —Гронуолла. Из п. Д. 13.5 вы-
текает известная лемма Веллмана — Гронуолла: если ф(0	0,
то из неравенства
t
У (0I (0+ J Ф(«) У (s)(13.22)
6
следует неравенство
t
У (0 I (0+ J 1(*)Ф(*)^ ds. (13.23)
• dt
которое в случае существования	может быть запи-
сано также в форме
t	Г	S
j*q>(T)rfT	* -fq>(T)dr.
- h
(13.24)
518
ДОПОЛНЕНИЕ II
[13 7
В частном случае £, = £0 — const утверждение принимает
вид: из
t
(13.25)
следует
t
j* Ф (J) ds
•	(13.26)
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить рассужде-
ния п. Д. 13.5 к случаю, когда ф не зависит от t\ ф(£, $) =
= ф($)^>0. В качестве (Д. 13.18) получается уравнение
t
x(O = UO+f <p(s)x(s)ds. (13.27)
h
которое в случае существования ( сводится к дифферен-
циальному
*= £ + <Р*
с начальным условием x(£0) = £(Q» откуда
t	t
J Ф</т	* j* q>dt
x(t) = e‘'	l(t0)+f l(s)*s ds,
а интегрирование по частям дает
t
f	1фл
х(0 = £(0+J ^)Ф(^ ds.
h
Непосредственная подстановка показывает, что последнее
решение удовлетворяет уравнению (Д. 13.27) и без предпо-
ложения о дифференцируемости |(/). После этого остается
применить (Д. 13.20).
13.7.	х — О(еи). Рассмотрим один частный случай.
Пусть
Н'»о,
<p(t $)==<p(* —$)>0
13.71
§ 13. ОПЕРАТОРЫ В В?
519
и у (0 есть неотрицательная функция, удовлетворяющая не-
равенству
t
У(0<£(0 + / <p(t-s)y(S)ds.
Л)
Тогда, согласно результатам п. Д. 13.5,
0<У(0<*(0>	(13.28)
где x(t) есть решение уравнения
t
х (0 = I (0 + J <р(/ — s) X (s) ds. (13 29)
4
Если | (О и ф (z) непрерывны для всех t tQt z 0, то,
согласно п. Д. 13.2, решение x(f) продолжаемо на беско-
нечный промежуток д' = [tQt оо) и остается на нем един-
ственным. Покажем, что если, кроме того,
(13.30)
и
j	1,	(13.31)
О
то x(t), а следовательно, и у (0 имеют рост Ч %:
0 < У (О < х (0 <	.
(13.32)
Положим г(/) = Х и рассмотрим пространство в\,. Усло-
вие (Д. 13.30) означает, что	Введем оператор
t
Jx (t)= J ф(/ — s) x (s) ds.
A)
Он удовлетворяет условиям п. Д. 13.1. Всамом деле, ввиду его
линейности достаточно проверить (Д. 13.2). Учитывая (Д. 12.7),
Делая замену t — s = z и применяя (Д. 13.31), находим для
520
Дополнений it
П4.1
х, y£Bl
t
| Jx(t) — Jy(0|< II* — У Ik j <p(( —$) <?’<*-'«> ds =
t~h
= || x — у Ik eK J <p (z) e~Kzdz	01| x — у |k eK <*-'•).
о
Поэтому уравнение (Д. 13.29) имеет на [/0, оо) решение
роста Н X. Ввиду единственности оно совпадает с продол-
женным на [f0, оо) прежним решением x(t\ для которого
было справедливо неравенство (Д. 13.28). Тем самым полу-
чаем (Д. 13.32).
§ 14.	Основной оператор в В" (Р, </0)
14.1.	Оператор J. Пусть </0 = [^0, оо). Основным опе-
ратором в пространстве Вй(р, </0) будем называть
со
Jx(f) = J Z(t, s)f(s, x(s))ds (14.1)
*9
при следующих условиях: матрица Z(t, s) и вектор f(t,x)
удовлетворяют обычным условиям непрерывности или кусоч-
ной по /, s непрерывности, далее
f(t. о)±=о,	(14.2)
|/(Л	у)1<б(О|*-у|.	6(О>0. (14.3)
\Z(t, $)|<Т](*. S)	(14.4)
и, наконец,
ОО
J Т}(Л s)S(s)₽(s)ds<6< 1 для всех ^€<7’0.	(14.5)
/о
Покажем, что при этих условиях оператор J удовлетворяет
требованиям п. Д. 13.1. В самом деле, для х, у£Вп (₽, </0),
учитывая (Д. 14.3) — (Д. 14.5) и (Д. 12.5), имеем
оо
— /у(/)|< J n((. s)6(s)|x(s)— y(s)|ds<
4 t
<11*— Jll(p) J* П(А s)5($)P(s)ds<||x—3>||ф)6₽(0.
4
14.3Т
§ 14. ОСНОВНОЙ ОПЕРАТОР В Вп (0, J^o)
521
то есть
II л?—/У Идо <0II*— Дю.
Следовательно, при ££В"(р, <То) вся теория §§Д. 10—Д. 13
применима к уравнению
=	+	(14.6)
которое в обозначениях § Д. 11 может быть записано также
в виде
Fx = % или x =	(14.7)
Таким образом, при всяком |£В"(р, (/о) решение этого
уравнения существует единственно в том же пространстве
(вообще говоря, могут существовать и другие решения, но
роста ^=О(Р)) и удовлетворяет неравенствам (Д. 11.8) или
в силу (Д. 12.5) неравенствам
1£(0|<(1+0)11*11^(0.
Кроме того, для решений двух уравнений
X=% + Jx,	y = x\-\-Jy,
согласно (Д. 11.6) и (Д. 12.5), справедливы неравенства
|£(О-П(0|<(1 Н-0)||х-jyll^PW ]
й |х(0-п11(₽)Р(0. j (14’8)
14.2.	Случай Р1 ₽2* Пусть даны две функции:
0 < Pi(O<P2(O.
Если известно, что условие (Д. 14.5) выполняется как для
Р = РЬ так и для р ===== р2. то, принимая во внимание п. Д. 10.2
и (Д. 12.3), можем утверждать, что при всяком § = О(Р1)
уравнение (Д. 14.6) имеет решение роста О(рх) единственное
среди вектор-функций роста О (Р2).
14.3.	Дифференцируемость F, F-1. Если в условиях
(Д. 14.3) и (Д. 14.5) б(0 = б = const, а р(/) ограничена,
и если вектор f(t, х) имеет производную по х
(см. п. Д. 9.3)
£=*<'*)•
равномерно непрерывную для ценной конечно# областц
522
ДОПОЛНЕНИЕ П
[Т4.3
изменения х и всех t (для этого в случае независимости
от t достаточно обычной непрерывности Ф(х)), то
оператор F”1 непрерывно дифференцируем.
Доказательство. Согласно п. Д. 11.4 достаточно
установить существование непрерывной производной (Jx)*=4.
Покажем, что ею служит оператор А, определяемый фор-
мулой
оо
Au— J Z(t. $)Ф($, x(s))u(s)ds.
to
По условию норма матрицы
Ол = ф(£, x-±ha) — Ф(/, х)
для малых h равномерно мала при изменении х, и в любой
ограниченной области и всех t. Так как р(0 ограничена, то
пространство ВЛ(Р, </0) состоит из ограниченных вектор-
функций, и потому | Ол| будет оставаться малой также при
любых фиксированных x(t)t u(t)£Bn (р, </0). То же самое
можно сказать о матрице
1 1
И — $ Gahda = J [Ф(Л х + аЛя) —Ф(^, x)]da.
о	о
Из формулы (Д. 9.7) видно, что
В таком случае, проверяя выполнение определения (Д. 9.2)
с ll«IU=1’т-е-
и учитывая (Д.9.7) и (Д. 14.5), найдем
J (х + hu) — Jx
h
4а|= s)Hu(s)ds
t
j\(*. S)₽(S)6^<-!4L0P(Z).
t'
Таким образом, левая часть в метрике Вп (р, <7q) не превос*
15.11
§ 15. ПРИМЕРЫ
523
ходит -Цр-9, а так как |Я| равномерно мала при малых Л,
то определение (Д. 9.2) выполнено. Непрерывность А по х
доказывается аналогично.
14.4.	Зависимость х от а. Если § зависит от пара-
dl	z	ч dx
метра а и производная существует (непрерывна), то
также существует (непрерывна). Это вытекает из (Д. 14.7)
и п. Д. 11.4. Применяя результаты п. Д. 12.5, можем пере-
нести эти утверждения также на x(f0).
§ 15.	Примеры
Здесь будут рассмотрены некоторые более конкретные
примеры основных операторов и уравнений вида (Д.10.1).
15.1.	Z=diag[V, —Пусть дана матрица Z(t, s) вида
V(t. $)	0
0	— W(t, s)
где У(Л $) = 0 при $>/, a W(t, $) = 0 при $</, и
существуют две функции p(t) и q(t) такие, что
(15.2)
и
t
S рах
|У(Л $)|<О* для s<^tt
t
hdx
|W(f, $)|О5 Для s>t.
Фиксируем число е:
о <е < 2-,
и какую-либо функцию r(t) такую, что
/’(0 + 8<г(0<?(0 —е.
(15.3)
(15.4)
524
ДОПОЛНЕНИЕ II
(15.!
и рассмотрим в пространстве В1} С/о). <7о = ро» оо), оператор1)
t	оо
Jx(O=J V(f. s)f(s, X(s))ds— j W(t, s)f(s, x(s))ds,
4	t
(15.5)
где вектор f удовлетворяет условиям (Д.14.2) и (Д.14.3).
Ясно, что этот оператор относится к типу (Д. 14.1), причем
в силу условий (Д.15.2)—(Д.15.4) выполняется неравенство
t
J rdT-8|/-sI
|Z(£, s)K>s	для всех 5,	(15.5')
т. e. условие (Д.14.4) с
t
J rdx-z\t-sI
т] (/, s) = es
t
J* rdx
Требуя выполнения условия (Д.14.5) с =	, мы
должны иметь
t	t	з
-Jrdt ®° j\rdt-81/-$!	J rdx
e t* Г es	6 (s)e^ ds^Q,
to
t. e.
oo
J	(15.6)
4
В частном случае 6 = const для этого достаточно, чтобы
было
(15.7)
так как
t	со
Г	Г	2
j	j	е
6	-ОО
О Матрица V действует лишь на первые, а W-на последние
координаты вектора /.
15.2)
§ 15. ПРИМЕРЫ
525
Итак, при выполнении условий (Д.15.7) или (Д.15.6) опе-
ратор (Д. 15.5) удовлетворяет всем требованиям п. Д.14.1. По-
этому уравнение
х(0 =
t	оо
= fc(0 + J V(t, s)f(s, x(0)da-J W(f, s)f(s, x(s))ds
to	t
(15.8)
при всяком | г имеет решение x 4 r.
Важным частным случаем будет тот, когда
t	t
J Ptdx	J P2dx
V(t, s) = es , W(t, s) = e* ,	(15.9)
где
P1(0 = diag[p1(0......л(0].
P2(0 = diag[p,+1(0, .... p„(t)]
и
{•< p (t) для I < i,
>9(t) для l>l, P " Я — функции из (Д.15.2).
15.2. Интегральное уравнение. В качестве уравнения
(Д.15.8) возьмем
x(O = V(/,	+
t	ОО
+ / V(t. s)f(s, x(s))ds — J W(/. $)/($, x(s))ds, (15.10)
*9	t
где V и W суть (Д.15.9), a a—постоянный /-мерный век-
тор вида а,— {ар ...» az,0.....0}. Таким образом, в этом
уравнении £ (0 = V {t, t0) а. причем § £ В" (^о) и
||g||r = |a| = |g(/0)|.	(15.11)
Действительно, согласно (Д.15.3),
t
- J rdx
l(t)e
<|a|.
526
ДОПОЛНЕНИЕ П
(15.2
где при t — tQ получается равенство. Аналогично можно
показать, что для % = Va, ^ = Vax будет
||£-Мг = |«-«1|-	(15.12)
Итак, уравнение (Д.15.10) относится к типу (Д.14.6), и
к нему применима вся предыдущая теория. В частности,
поскольку можно брать как г — гх — р —|—е, так и г = г2 =
— q — е, справедливы следующие утверждения:
1)	Уравнение (Д.15.10) при всяком g(/) = V(O Z0)a
имеет решение x(t) роста /?—|—е, единственное среди
вектор-функций роста Sq— е; при этом
(15-13)
т. е.
t
]•(₽+€) rfT
i*(()|<t=V'°	(15Л4)
и
(15.15)
В частности,
П*-и+е = 11«М₽+е< Т~0’ 1«1-	(15-16)
так что
t
n	f(P+eMr
|х(0 - § (О| < 7ТТ0 I 6 (*о) I	(15.17)
и, кроме того,
t
J (p+e)dr
|*(0-.	(15.18)
2)	Множество Е/о начальных точек х(/0) таких реше-
ний (срез в терминологии п. 15.1) при любом tQ состав-
ляет регулярный образ линеала L1— {хь ...» xz,0, ..., 0},
принадлежащий классу Л Jjg j и, в частности, погру-
женный в конус К1 1 р-j вокруг L1.
3)	Если выполняются условия п. Д.14.3, то много-
образие EfQ непрерывно дифференцируемо.
15.2]
$ 15. ПРИМЕРЫ
527
(15.20)
4)	Есла
t
+	—оо,	(15.19)
*0
а вектор f(tt х) в некоторой окрестности S точки
х = о удовлетворяет условиям
f(tt О) = О,
|/tf, x2) — f(t, XiJKWCp)).^ — xj,
где p = max{|x1|, |x2|}, и
Л^(р)->0 иря p->0,	(15.21)
то для любого достаточно малого |а| решение x(t)
уравнения (Д.15.10) и вектор %(t) = V(tt tQ)a подчи-
няются неравенству
t
f (р+е)</т
|х(О-^(О|<|х(/0)|е1(Л |х(/0)|)^	.	(15.22)
где
z)->0 при f+y-*00-	(15.23)
Доказательство. Из (Д. 11.8) получаем (Д.15.13),
а из (Д. 11.7) получаем (Д.15.15), которое при а1 = х1 = о
дает и (Д.15.16). Отсюда с помощью (Д.12.7) и (Д.15.11)
приходим к (Д.15.14) и (Д.15.17). Чтобы убедиться в спра-
ведливости (Д.15.18), достаточно заметить, что |х(/0)|
>|£О = 1а1 (см- ниже).
Перейдем к утверждениям 2) и 3). Положим в (Д.15.10)
/ —/0. Тогда
х(Ы = а+Ь>	(15.24)
где
оо
Ь = — | W(t0, s)f(s, x(s))ds. (15.25)
4
В силу строения W первые / координат этого вектора равны
нулю, т. ,е. он ортогонален к Ll — {jCj.0. . . . 0|.
Из ортогональности слагаемых вч (Д. 15.24) следует, что
|х(Г0)|>|а (/Далее, х(0 зависит от а непрерывно и даже
528
ДОПОЛНЕНИЕ II
П5.2
с условием Липшица с константой	(см. п. Д.11.2
и (Д. 15.12)), а кроме того, согласно (Д.14.2) и свойству
единственности, вектору а = о соответствует х(0 = о.
На основании п. Д.12.5 те же утверждения относятся
к х(^0), а следовательно, и к Ь. Итак, b ортогонален к Llt
обращается в нуль при а = о и зависит от а непрерывно
(и даже b (г^б)’ см* (Д‘И-9))» что и означает, что
Е,о= {х(/о)} есть нужный регулярный образ линеала Z/. Чтобы
убедиться в том же самом для среза с любым tx =/= /0,
достаточно заметить, что уравнение (Д.15.10) можно пере-
писать в виде
t	оо
x(0eV(t *1)01+J V(/, s)fds — J W(t, s)fds,
h	t
где начальный вектор
6
Oi = V(*i. *о)«+J V(*i. s)fds,
to
очевидно, снова принадлежит Ll. Наконец, поскольку
в (Д.15.10) вектор 1* — Va зависит от а линейно, что обес-
печивает существование
г= v<f- '»>.
можно применить результаты п. Д.14.4.
Сделаем еще следующее замечание. В правых частях не-
равенств (Д.15.14), (Д.15.17) и (Д.15.18) фигурируют х(/0)
и g(f0) — начальные точки решений, соответствующие друг
другу в силу гомеоморфизма, отображающего Z/ на Ef0.
В дальнейшем этот гомеоморфизм придется перестраивать
по способу п. Д.8.2. При этом точке х(/0) станет соответ-
ствовать другая точка	и другое решение ^(0
с этой начальной точкой. Однако неравенства типа (Д.15.17)
и (Д.15.18) останутся в силе с заменой £(0 на |j(0 и не-
которым изменением константы -j—. В самом* деле, по-
скольку окончательный гомеоморфизм, устанавливаемый
15.2|
§ 15. ПРИМЕРЫ
529
в п. Д.8.2, переводит нуль в нуль и удовлетворяет усло-
вию Липшица, отношение
I х(*0) |
Hi (*о) I
остается ограниченным, и замена |х(£0)| или |§(/0)| на
|^(/0)| в правых частях (Д. 15.14), (Д. 15.17), (Д. 15.18)
влечет за собой лишь изменение константы j . С другой
стороны, левые части (Д. 15.17), (Д. 15.18) можно записать
в виде
|*(0-£1(0|<|*(0-£(0| + 11(0-11(01.
и так как £(/) и ^(0 суть решения невозмущенной линей-
ной системы, имеющие одинаковый рост, то |£(0 — £1(01
заведомо допускает оценку типа (Д. 15.18). Отсюда следует
наше утверждение.
Займемся утверждением 4). Считая вектор /(/, х) задан-
ным лишь в малой окрестности начала, мы можем затем
продолжить его на все пространство с сохранением малой
константы Липшица (см. п. Д. 21.2), после чего становятся
справедливыми утверждения 1) — 3). В частности, согласно
(Д. 15.14) и сделанному выше замечанию,
t
J rdx
|x(O|<D|x(*0)k’	.	D>1.	(15.26)
Поэтому, оценивая из (Д. 15.10) разность x(t)— |(0 и
принимая во внимание (Д. 15.5') и (Д. 15.20), получим
t
°° J г dt-e |
|x(»-£(O|<J	7V(|x(s)|)|x(s)|d$,
to
что в силу (Д. 15.26) дает
рл °°
|x(0-6(0|<D|x(/o)|^‘ J '-'I W (|x(s)|)ds.
<0	(15.27)
Так как малым |а| соответствуют малые |х(£0)| (см.
(Д. 15.24) и ниже) и выполнено условие (Д. 15.19), то
3^ Б. Ф. Былов^Р. Э. Виноград и др.
530
ДОПОЛНЕНИЕ II
[15.3
(Д. 15.22) видно, что |х(О| мала и стремится к нулю, а из
(Д. 15.21) следует тогда, что 2V(|х($)|)->0 как при $->оо,
так и при | х (/0)| ->0 (в последнем случае — равномерно по $).
Отсюда легко следует, что функция
еЛЛ |х(^о)|)= J e-el'-*W(|x($)|)d$
to
обладает свойством (Д. 15.23), и неравенство (Д. 15.27) пре-
вращается в доказываемое неравенство (Д. 15.22) с г = р 4- е.
15.3.	Уравнение специального вида. Одно из уравнений
вида (Д. 15.8) будет нам встречаться в форме
х(0=У(*)+ J s)+Q3V, s)]f(s. x($))ds —
to
- f *)4 Q^t, x(s))ds, (15.28)
t
где векторы у и f и матрицы Q, удовлетворяют следующим
условиям:
/(*, о) = о.	(15.29)
|/(Л х,) — f(t, x2)|<d(Z)|x1 —X2I. (15.30)
|у(0|<л«м'"ад®(0.	<о(О>0,	(15.31)
1 >-0 для 1= 1,3,
1СДЛ $)|ОМ'-%(Л $). где/-$|<0 для / = 2>4 (15.32)
Этот случай отличается от п. Д. 15.1 только обозначениями
и сводится к нему, если считать
Р(О = еМ/-'’)ю(О.
I +
Z( . s)-| _(<?2 +
при
при
t < s,
।	_f_ q3) при t~^s,
|	<t-S!	При t <•
(15.33)
t^S,
15.41
§ 15. ПРИМЕРЫ
531
причем, как легко проверить, условие (Д. 14.5) сжатости
оператора
t
Jx(t)= J К?!(Л s)+Q3(t Ш X.(s))ds —
oo
— J lQ2(t. s)+Q4(t, s)]f(s, x(s))ds (15.34)
t
принимает вид

[<7i (A s) + q3(t> $)]6(s)co(s)ds +
OO
4-J l?2(z- +	s)] 6 («) ® ($) ds
t
<0.
(15.35)
Таким образом, к уравнению (Д. 15.28) приложима вся
предыдущая теория, согласно которой уравнение (Д. 15.28)
при всякому £Вп ф)(или, иначе говоря, приу=0(гМ*-Л>)(о(/))
имеет единственное решение того же роста. При этом из
оценки (Д. 15,31) следует оценка
IX (!) К ек »-'•>© (О-
Если же даны два уравнения вида (Д. 15.28) с y=y1(t) и
y = y2(Z), причем
|Л (0 — У2 (О К D0 |Л (U — У2 ((о) I ® (0.	® (^о) = 1 •
то для соответствующих решений xx(t) и х2(0» согласно
(Д. 14.8), будет выполняться неравенство
|Ж1(о-^(О|<т^0	(15.36)
15.4.	Y = V + Пусть линейная система
у = Л(0у	(15.37)
имеет матрицу Коши Y (t, 5), которая распадается на сумму
У(/, s)=V(t s)+W(f, 5)	(15.38)
34*
532
ДОПОЛНЕНИЕ tt
115.4
так, что V и W снова удовлетворяют системе (Д. 15.37) и,
кроме того, могут быть представлены в виде произведений
V(t, =	V2(s), W(t, s)=Wl(t) W2(s). (15.39)
Пусть x(t) удовлетворяет возмущенной системе
x = A(t)x-\-f(t. x)	(15.40)
и известно, что интеграл
J W2 ($)/($, x(s))ds
(15.41)
сходится. Тогда можно утверждать, что вектор, y(f)t опре-
деляемый формулой
y(t) = X(t) — Jx(t)==
’ t	ОО	”
=Л(О- / V(t s)/($, x(s))ds— J* W(t, s)f(s,x(s))ds ,
-t*	t
(15.42)
является решением невозмущенной линейной системы (Д. 15.37).
Действительно, так как по условию
V = AV и IV=AW,
т. е.
V1(0V2(s) = 4(0V1(0V2(5)
и
W1(t)W2(s) = A(t)W1(t)W2(s),
а кроме того, согласно (Д. 15.38),
У(/, 0+W, 0==Д
то, дифференцируя (Д. 15.42) (причем под знаками интегра-
лов дифференцировать не приходится, так как множители Vj
и Wj выносятся), находим
y = x—[V(t,	t)f]-
Г t	со
t
—A [vfds—^Wfds = Ах — А[х—у] = Ау.
$ 15. ПРИМЕРЫ
533
13.51
Так же легко проверить, что если y(t) есть решение урав-
нения (Д. 15.37) и x(t) удовлетворяет уравнению (Д. 15.42),
то х(0 является в то же время решением уравнения (Д. 15,40).
Перечисленные условия автоматически соблюдаются,
когда А имеет блочно-диагональную форму
А = diag (Др Д2) =
4! 0
0 Д2
а V и W суть матрицы Коши уравнений соответственно
V = AiV и W=A2W.
(Сумму (Д. 15.38) нужно тогда понимать как У = diag (V, IV))-
Кроме того, когда А постоянна, всякая матрица Z(tt s),
удовлетворяющая уравнению
Z = AZ>
представима в виде
Z(t. s)^Zx(t)Z2(s)t
так как
Z (f, s) = еА V-$Z (s, 5) = eAt. e~AsZ (s, s).
15.5	. Случай ₽i*Cp2. Пусть в случае п. Д. 15.4 даны
₽1(0<₽2(0
и J является сжимающим как в метрике рь так и в мет-
рике р2. Если известно, что всякое решение y(f) линейной
системы (Д. 15.37) роста О(р2) в действительности оказы-
вается роста О (Р0, то это же верно для решений возмущен-
ной системы (Д. 15.40).
В самом деле, для х=О (р2) получаем по формуле (Д. 15.42)
решение у системы (Д. 15.37). Так как х и Jx суть О(р2),
то и у = О(р2). Но тогда по условию у = О (Р0. Рассматривая
теперь (Д. 15.42) как уравнение относительно X, замечаем,
что оно имеет решение роста O(Pi). единственное среди
векторов роста О (Р2), а потому совпадающее с прежним х.
Следовательно, х = О (рх).
ДОПОЛНЕНИЕ III
РАЗНЫЕ ЛЕММЫ
§	16. Средние значения функций на полуоси
16.1.	р, р, р. Пусть обозначает класс действи-
тельных функций p(t), кусочно непрерывных или, в более
общем случае, измеримых на полуоси = [0, оо) и огра-
ниченных константой /С
(16.1)
Назовем числа
t	t
Р = lim —Ц- | p(x)dx, ~р= iim-т-Ц- [ p(x)rfi
“ SJ	‘-s У
соответственно нижним и верхним средними значениями
функции p(t), а число
Ьр = р — Р
— ее дефектом. Если он равен нулю, т. е. р и р совпа-
дают, то их общая величина
р = р = р
называется точным средним или просто средним значением
функции, а сама функция называется правильной.
Операции вычисления средних будем обозначать так:
p(t)=p,	~p(i)=p.	p(t)=p-
16.2.	Равномерность среднего. Средние значения не за-
висят от выбора $: из тождества
yzry J pdx = -j^ (у j* pdx — у J pdxj (16.2)
16.31
§ 16. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ НА ПОЛУОСИ
535
следует, что при любом фиксированном s
t	t
lim —P dx — Пт ~ Г pdxt
t-^co	s	t-^CQ Q
и так же для lim, lim. Однако равномерность последних
пределов относительно s не всегда имеет место и нуждается
в специальной оговорке. Введем ее для точного среднего
значения р. Согласно определению для любого е > 0 и фи-
ксированного s существует такое TetS,—вообще говоря,
зависящее как от е, так и от s, — что при всех t и 5, удовле-
творяющих условию t—	выполняются неравенства
/
Р— 8<тзгг J P(.-t)dx< Д + е. (16.3)
5
Назовем среднее значение р равномерным, если TetS=T&
т. е. может быть выбрано независимо от s. Замечая, что при
i
It—$|СТ8 интеграл J pdx в силу условия (Д. 16.1)
.9
равномерно ограничен:
pdx <КТ&
видим, что из (Д. 16.3) получается для всех
t
pdx<(p+t)(f-s)+Dv (16.4)
s
где De зависит только от е. Обратно, выполнение таких
неравенств означает равномерность р.
16.3.	Соотношения между р, р. Для функций
имеют место соотношения
— К<Р<Р<К.	(16.5)
(— р)= — р, (— р) ——~р, k(—p) = kp, (16.6)
[ Pi + Р2 1	----
Р1 + Р2< Pl + Р'2<1-	Р'2<Р1 + />?• (16.7)
I Pl + Р2 I
536
ДОПОЛНЕНИЕ III
(16.4
При этом, если существует рр то
Р1 4“ Р2 = Pi + £2»	Р1+ Pi = Р\ + Рг» (16.8)
а если существуют оба рх и р2, то существует и
(pH-Рг)=Р1+р2-
причем равномерность слагаемых влечет за собой равномер-
ность суммы.
Докажем, например, одно из неравенств (Д. 16.7). Для
упрощения записи положим
t
7 J —
и
Шп/^Л, lim/2 = ^, Iim(/1 + /2) = C.
Требуется доказать, что А-^-Ь^С*, допустим, напротив, что
А^-Ь>С.	(16.9)
По определению понятий Пт и Нт, при любом е > О
/1(0+ /2 (0 < С + е для всех достаточно больших /,
/2(0>0—£ для всех достаточно больших tt
fi(tk)>A—е для некоторой последователь-
ности tk—00.
(16.10)
Для этой последовательности, в силу двух последних
неравенств,
/1(^) + /2(^)>^+^-2е.
что противоречит (Д. 16.9)'и (Д. 16.10), когда е достаточно
мало.
Аналогично доказываются остальные утверждения.
16.4.	Соотношения между X, X. Соотношения, сходные
с (Д. 16.7), имеют место для показателей:
X (*i)+ X (*2)< X ((Х1Х2)) <
WR	“
X(JCi)H-X(Jf2)
X(JCi) + x(x2)
< х ((-«I*?)) < X (xi) + X (•«?)•
(16.11)
17.11	§ 17. ИНТЕГРАЛЬНАЯ РАЗДЕЛЕННОСТЬ И БЛИЗОСТЬ 537
Доказательства можно либо получить непосредственно, либо
свести к (Д. 16.7), полагая
•^ln|xz(O| =Pl(t)
и т. д.
16.5.	Вычисление р, р по tm = mT. Для вычисления р
и р достаточно заставлять t пробегать лишь последователь-
ность
tm = mT (/п==1, 2, ...)
с произвольным Т > 0. В самом деле, для mT	1)Т
имеем
откуда и следует утверждение.
§17	. Интегральная разделенность
и близость
(е)
17.1.	рх^.рт Пусть даны две функции рь р2£<£Г-
Скажем, что между ними существует одно из соотношений,
обозначаемых через:
(8)
1)	/Ш-Р1(0>0,
(е)
2)	P2(0~ Pi(O>#>0,
3)	Р1(0 = Р2(0.
(17.1)
и называемых соответственно неравенством, разделен-
ностью и близостью в интегральном смысле, если для
538
Дополнение nt
117.1
любого е > 0 существует такое £>е, что соответственно:
t
1) / (Р2 — Pi) dx > — е (t~s) — Ве,
S
t
2) j*(P2 — Pi)dx>(a—&){t—$)—De
s
для всех
(17.2)
t
J (j»2—Pi)dx
s
< e|/ — s| -J- Dz для всех tt s.
Может оказаться, что эти неравенства остаются справедли-
выми и при е = 0, с некоторой константой D=D0; в этом слу-
чае соотношения (Д. 17.1—17.2) будем иногда обозначать через:
1)
2)
3)
(0)
Pi~
(0)
Pi — Р\>^
Pi=P\-
(17.3)
Величину а > 0 назовем константой разделенности.
Соотношение 1) из (Д. 17.1) обозначим также через
(е)
(17.4)
В тех случаях, когда верно соотношение 2) из (Д. 17.1),
но конкретное значение а не играет роли, будем писать
Р1<Р2-	(17.5)
Смысл выражений «интегрально не превосходит» и «инте-
грально меньше (больше)» теперь ясен.
Функции, подчиняющиеся одному из соотношений 2) или
3) из (Д. 17.1) (но не 1) из <Д. 17.1)!), назовем сравнимыми,
в противном случае — несравнимыми. Для сравнимых будем
иметь: в случае соотношения 2) из (Д. 17.1)
Р2>Р1 + «.	<17.6>
а в случае 3) из (Д. 17.1):
Р1 = Р2>	Р1 = Р2-
(17.7)
17.2]	§ п. ИНТЕГРАЛЬНАЯ РАЗДЕЛЕННОСТЬ И БЛИЗОСТЬ 539
Кроме того, для соотношения 1) из (Д. 17.1) всегда
Р1<Р2.	Р1<Р2-	(17.8)
Если дана функция р2(/) и некоторое семейство функ-
ций	зависящее от параметра х, и если при этом для
любого е > 0 выполняется одно из неравенств (Д. 17.2) с кон-
стантой De, зависящей только от е, т. е. общей для всего
семейства, то скажем, что соответствующее неравенство вы-
полняется равномерно для данного семейства, и будем упо-
треблять выражения «интегрально равномерно меньше»,
«интегрально равномерно близки» и т. п.
17.2. Разделенная диагональ. Пусть дана конечная со-
вокупность функций
Р1(0. Р2(0, ...»	(17.9)
Как правило, это будет диагональ некоторой треугольной
или диагональной матрицы. Скажем, что она является инте-
грально вполне разделенной, если любые два ее элемента
сравнимы в смысле п. Д. 17.1.
Группируя близкие между собой функции, а затем рас-
полагая их в порядке разделенности, будем иметь
М') = ...
Л1+1(0= •••	°<Z1< ••• <lq = 4. (17.10)
V>+1(0=
и
(8)	(8)	(е)
или, в обозначениях п. Д. 5.1
(в)	♦	•
Pi = Pj при I,
(е)
PiCPjjipM l£nk, J£nm, k<m,
а отсюда, полагая pz = Xz,
4 = ... = 4 (= Aj),
4+i = ... =4 (=A2),
(17.11)
4-i+1 = ... =hq (= A?)
540
ДОПОЛНЕНИЕ HI
118.1
Ai < Л2 < ... < Л^.
То же самое справедливо для нижних средних pL =
Н/ = МЛ при i£nk.
В том случае, когда соотношения (Д. 17.3) и (Д. 17.5)
выполняются не только в интегральном, но и в обычном
смысле (при этом (Д. 17.5) означает, что р2<> Pi + a), будем
говорить, что функции вполне разделены в обычном смысле.
Ослаблением понятия вполне разделенности (в интеграль-
ном или обычном смысле) будет служить понятие просто
разделенности. Оно будет означать, что функции (Д. 17.9)
можно разбить на блоки л2, ..., nq так, что существуют
функции rk(t) и /?*(/), удовлетворяющие условиям
(е)
(Л = 0, 1, .... п)
(17.12)
(считая /?0=— °°» ^+1 = + °°) и
(е)	(е)
для l£nk. (17.13)
Заметим, что вполне разделенность вытекает отсюда при
(е)
rk = Rk. Если соотношения (Д. 17.12) и (Д. 17.13) выпол-
няются в обычном (не интегральном) смысле, то и разделен-
ность будем называть обычной.
§ 18.	Стекловские усреднения
(0)
18.1.	Определение и р = ри. Функция
t+H
рН^ — 7Т^ p(r)dx
(18.1)
называется функцией Стеклова для p(t) шага
Всякая функция «интегрально равна» своей функции
Стеклова:
(°) ,
=	(18.2)
18.2]
$ 181 СТЕКЛОВСКИЕ УСРЕДНЕНИЯ
541
так как
t	t
J рн dx— J pdx = J(t, s), где |J(/, s)|	(18.3)
s	s
В самом деле, используя перемену порядка интегрирования,
имеем
t	t х+Н
J рн (х) dx =jj J dx J p(y)rfy =
s	S	X
t	У
==77-J P(y)dy | dx + /(O—/(s) =
5	У-Я
t
= j* P(y)rfy+/(O-7(S).
s
t
p(y) dy J dx,
t	y-H
t+H *
l'(0|<4l dy J dx = -^-.
t y-H
Полагая I(t) —	=	s), получаем (Д. 18.3).
Следовательно, согласно (Д. 17.7),
рН=р9 pH = pt pH — pt	(18.4)
причем из равномерности р следует равномерность рн.
18.2.	Условие разделенности и близости. Для того
чтобы Pj (0 и р2(0 были интегрально разделены (близки),
необходимо и достаточно, чтобы функции Стеклова р^(0
и p^(t) при всех достаточно больших Н были разделены
(равномерно сколь угодно близки) в обычном смысле:
Pitt)—p?(f»a>Q, 1
(|^(0~pf(0|<8). J	(18,5)
В частности, из
(е)
Pi<Pt	(18.6)
542
ДОПОЛНЕНИЕ HI
[18.3
подавно следует
(е)
(18.7)
а поэтому, согласно (Д. 17.8),
(18.8)
Действительно, из 2) из (Д. 17.2), фиксируя е < ~- и доста-
точно большое H = t — st найдем
s+H
= -jj J (р2 — Pi) dx > а — в —	>а — 2е = «j > О,
5
и обратно, если дано p^(t)—р^	Q, то, согласно
(Д. 18.3),
t
j (Р2—Pi)^ =
t
= / (p% — p?)dx — Jx(t,	— s) — 2KH.
s
Аналогично получаем второе неравенство из (Д. 18.5).
18.3.	Условие разделенности диагонали. Для того чтобы
диагональ (Д. 17.9) была вполне разделена, необходимо и
достаточно, чтобы среди функций Стеклова
pf (О....р"(0
с достаточно большим Н любые две были либо разделены,
либо равномерно сколь угодно близки в обычном смысле.
§ 19.	Интегрирование треугольной системы
19.1.	Обозначения. Формулы (4.7) позволяют найти
явные выражения для xik через piJt. Введем с этой целью
специальные обозначения. Положим
t
J dx
qi}{t, xi)=Pi}{xi)exi	.	(19.1)
19.2)	§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 543
Таким образом, индекс у всегда совпадает с первым из
индексов функций и
Пусть I < k фиксированы и дана какая-либо (быть может,
и пустая) совокупность индексов, удовлетворяющая условию
Z</i< ... <lr<k.
(19.2)
Введем обозначения
(11х ... lrk) = J J J • • • J	• • • 4irit dxtr ... dxit dxi
ООО о
(19.3)
(19.4)
где суммирование распространяется на все системы индексов
(Д. 19.2). Например,
|1з = (13) + (123).
Подставляя последовательно нижние строки формул (4.9)
в предыдущие и беря £о = О, убеждаемся, что
J Рк dx
xik — 6 ilk
t
x/4 = 0
при
при
при
(19.5)

Рекомендуем сделать проверку для систем 2-го и 3-го
порядков.
19.2.	Перемена порядка. Изменим в (Д. 19.3) порядок
интегрирования. Получим
t t	t t
lrk) — J J ... J | qii^^ it... qirk dxi dx,t... dxtr.
О T;	T; • T.
*r z2 0 .
(19.6)
544	ДОПОЛНЕНИЕ HI	[19.2
Введем в рассмотрение интегралы сходной структуры:
/ xlT Xir_\ T*s+1 t
••• /	• ••qirkdxidxii ... dxir. (19.7)
T<i
T	t
В отличие от (Д. 19.6), здесь встречаются как J , так и J ,
'	0	т
причем слева черточками выделены индексы, показывающие,
на каком месте одни интегралы сменяются другими. Верх-
ний индекс т пока произволен в пределах условия
(19.8)
(где считается lQ = lt ir+i = k)- Таким образом, могут суще-
ствовать одинаковые интегралы (Д. 19.7) с различными
индексами т. Напомним, что г всегда обозначает количество
индексов, промежуточных между Ink. При г = 0 положим
по определению
= (/*).
Вообще же, как показывают сами формулы, (Д. 19.6) является
частным случаем (Д. 19.7):
(Hi ... ZrI)(ft) = (ZZj ... lrk).	(19.9)
Примеры. Для (146)(/га> имеем ls = l = l ($ = 0), 1г=в
= /1 = 4 (г = 1), следовательно,
_ _ _ z 14
(146)(2) = (146)(3) ==(146)<4) == — J J
О о
а для (146)(wl) ZJ = Zr = /1==4 ($ = г=1), следовательно,
t t
(146)<5) = (146)<6)= J /
О т4
что совпадает с (146) из (Д.19.6).
19.3]	§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 545
Интегралы (Д.19.7) обладают следующим свойством: при
l<h<k
(«1 • • •	X
X (4+1... Z^)(A+1) = («1.. -2.-1Ч+1 • • • tTk)w- (19.10)
Например,
(123)<3) — (£2)(2) (23)(3) = (123)(2’.
В самом деле, замечая, что
t	t	tt
*(23 У ) = J #i2dx± JQ^dx2 = J j* 712Ч23^2»
о 0	00
находим
t t	t	t	t T2
J j 712^23^1^2—J 712 ^T1 J 723 ^2 =— J J 712 723^1^2*
0 T2	0	0	0	0
В общем случае доказательство проводится по такой же
схеме.
19.3.	Суммы Фиксируем	и составим
№ = 2 («! • • • £А+1 • • •	(19.11)
где суммирование распространяется на все системы индексов,
удовлетворяющих условиям (Д.19.2) и (Д.19.8). Например,
= Q4)(3’+ (124)(3) 4-(134)(3)+ (1234)(3).
Функции сходны с (Д.19.4) и обращаются в них, ког-
да т = k.
Докажем для i < h < k соотношение
|(A+1) -	= $’•	(19.12)
Установим, что каждый член левой части содержится в пра-
вой. Возьмем слагаемое
(«1 ... /Л+1 ••• W(A+1)	(19.13)
35 Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.
546
ДОПОЛНЕНИЕ III
[19.4
из (Д.19.11). Согласно (Д. 19.8)
Если ls = h, то в составе имеется ... (у_1Л)(А,> а в
составе имеется (/г/5+1 ... lrk)(h+1\ В силу (Д.19.10)
последние два интеграла в совокупности с (Д.19.13) (учи-
тывая минус) образуют интеграл
(ZZ1 ...	• • • ^&)( »
входящий в правую часть (Д.19.12). Если же ls < h, то в
составе нет интеграла с индексами is, ls+1............. ir,
k, т. e. интеграл (Д.19.13) не имеет «подобного члена»
среди	иначе говоря, он является самостоятельным
членом левой части (Д.19.12). Но в этом случае он входит
также и в правую часть (Д.19.12), ибо в силу условия
ls < h верхний индекс h-\- \ в (Д.19.13) разрешается заме-
нить на А.
Таким образом, каждый член левой части (Д.19.12) дей-
ствительно содержится в правой. Обратное включение до-
казывается аналогично.
19.4.	Функции Определим для фиксированных k
и m,	и всех /=1, ..., п функции
t
f Рь dx
eQ	для I < т,
m 0	для m << I < kt
xTk = t	(19.14\
f Pkdx
eQ	для	i = kt
0	для	I > k.
Они сходны с (Д. 19.5) и обращаются в последние при т — k.
Имеет место соотношение
у(Л+1)	_ (Д)
Xik —Xihihk —Xik-
(19.15)
При I < h < k оно вытекает из (Д.19.12), а при остальных
I — непосредственно из самих формул (Д.19.14).
20.11
§ 20. ЛЕММА ЛЯПУНОВА
547
§ 20.	Лемма Ляпунова
20.1.	Показатель интеграла. Пусть f(t) — evt и ее
t
первообразная взята в виде F(/)= j* /(t)Jt. Для vi>0
о
будем иметь
Х(П = Х(/).	(20.1)
В самом деле,
когда	v>0,	то	F ——-—	и	x(F) = v,
когда	v = 0,	то	F — t	и	х(^) = 0.
Но для v<0 равенство (Д.20.1) нарушается, так как здесь
evt — \	1
р = —---------откУда Х(Л = 0.
t
Однако если в этом случае полагать F(f)— J fdx, то
оо
F=^evt, и равенство (Д.20.1) восстанавливается. Поэтому
принято, следуя Ляпунову, полагать
F(f)= [ f(x)dx, где a = f °’ когда v^>0, (20.2)
J	(	-|-оо, когда v < 0.
Это же правило выбора а применяется и в том случае,
когда известна не самая величина показателя /, а лишь ее
оценка. Именно, пусть дано, что x(T)<>v> и положено
f /чл л (0,	когда v>0, /о_
Ф (0 = Ф СО dx, где а = {	(20.3)
*	[ + оо, когда v < 0.
В таком случае и
X(®)<v	(20.4)
(лемма Ляпунова о показателе интеграла). Для доказатель-
ства достаточно заметить, что, по определению показателя,
35*
548
ДОПОЛНЕНИЕ III
|20,2
причем, когда v < 0, можно взять е > 0 столь малым, чтобы
и v-pe<0, и далее повторить предыдущие вычисления.
20.2.	Следствие 20.2.1. Пусть функции Pi(t) ограни-
чены, a xt(t) имеют показатели, не превосходящие К.
Положим
t
J(t)= J ^PtXtdr,
a i
где принято правило выбора:
[ 0,
а — <
( -|-оо,
если Х^О,
если X < 0.
(20.5)
Тогда показатель J(f) допускает ту же оценку, что и
показатели x^t):
X (</)<*•	(20.6)
20.3.	Точная оценка показателя. Пусть р(О6е2Г*
Рассмотрим функцию
t	s	t
 -J1 Pdx t I Pdx f -J p dx
° j e° ds = J e s ds,
a	a
где
f o*
a = j
I -poo,
если p^0,
если p < 0.
(20.7)
Ее показатель можно оценивать двумя способами. Грубая
оценка получается так: показатель интеграла по лемме Ля-
пунова не превосходит р, а
(/ \
е 0	/ = — р,
откуда
Х(О<Р — Р = Лр-	(20.8)
Однако существует более точная и даже неулучшаемая
оценка
<20-9>
20.3}
| 20. ЛЕММА ЛЯПУНОВА
549
(К = sup|р(f)I). Заметим сразу, что при р<р и р=£0 это
дает строгое неравенство
Х(/)<р —р = Др.	(20.10)
Доказательство. Разберем сначала случай р^О,
а = 0. Возможны три подслучая:
1)	р=—/<. Доказываемое неравенство обращается
в Х(О<^ Но
t /	.	t
Г ~Spdx Г	Л' —1
е 5 dx I ds = ——
।	о
откуда действительно х(/)<САГ.
2)	р = р. Здесь нужно доказать, что х(/)<С0» но это
вытекает уже из (Д. 20.8).
3)	Основной подслучай: —К < р < р. Выберем доста-
точно малое е > 0 и обозначим
р + е = Л, р — е = Х.
Согласно п. Д.16.1 будем иметь
t
— j р dx < In D — U,
\	ШО = О,
J pdt <\aD-YKt,
(20.11)
Возьмем 0 < T < t и разобьем / на два слагаемых:
t	s	t
* ~f Pdx r f Pdx / -J Pdx
I(t) = e 0 J eQ ds + J e s ds.
о	т
Оценивая первое с помощью (Д. 20.11), а второе с помощью
K = sup|p(0|, найдем (Z)— универсальная константа)
т	t
I(t) De~Kt J	J ек ds D \e~Kt i вк
о	т
550
ДОПОЛНЕНИЕ III
[20.4
Подберем теперь Т так, чтобы обе экспоненты в правой
части имели одинаковую степень. Для этого нужно взять
Т- K + l t
~ К + Л
(при малом е будет 0 < Т < /), после чего получается
-m+at=w-t)=(A-1)4a'-
и, таким образом,
Ввиду произвольности е отсюда следует (Д. 20.9).
Случай р<0, а = 4-оо разбирается аналогично, стой
лишь разницей, что нужно брать
Т — % —К t^>t
1 — К-Л 1
По поводу неулучшаемости см. упражнение 11.6.5.
20.4.	Обобщение предыдущего пункта. Пусть при
тех же обозначениях дана еще функция x(t) с показате-
лем причем |г|<К; и пусть
t
/ -$pdx
I(f)=^x(s)es	ds,	(20.12)
a
где	_
a = 0, если	(20.13)
a = 4-oo, если r4“P<0-	(20.14)
Тогда существуют оценки: во-первых, грубая —
х (/)</• +Др,	(20.15)
и, во-вторых, более точная —
Х(0<<7.	(20.16)
где в случае (Д. 20.13)
К + р	4 К
Ч =	<20.17)
К+р К-тР
20.5)
§ 20. ЛЕММА ЛЯПУНОВА
551
в случае (Д. 20.14)
наконец, в вырожденном подслучае (Д. 20.13): г = — р —
= —р = К, когда (Д. 20.17) теряет смысл,
q = K.	(20.18)
В частности, когда x(t)— ограниченная функция или вообще
имеет показатель 0, то
х(/)<Др——,	(20.19)
/<+1р1
так же как в п. Д. 20.3. Доказательство проводится тем же
методом и предоставляется читателю.
20.5.	Показатели функций (г... й)(Ш). Приложим ре-
зультаты пп. Д. 20.3 и Д. 20.4 к функциям из § Д. 19. Введем
обозначение
t
J {Pj-ph>dx
Qjh(t> а) = ф(а)еа ,	(20.20)
где ф(а)— какая-нибудь функция с показателем <^0 (по а).
Частным случаем Qjh является (Д. 19.1). Будем рассматри-
вать Qjh с точностью до множителя ф, т. е. считать
Q'jh = Q^	(20.21)
если даже ф' ¥= ф. Ясно, что
Q jhQhi — Qji •	(20.22)
В дальнейшем будет ph — Pj^Q, поэтому функция
1 J (Ру-РА)^
u(f)= J ф(а)еа	da = I Qjh(t, а) da (20.23)
о	о
относится к типу (Д. 20.12)—(Д. 20.13) с —P — Pj— Р&
Наибольший интерес будут представлять два случая:
1)	pj и ph имеют точные средние, причем
Pj<Ph-	(20.24)
552	ДОПОЛНЕНИЕ III	(20.5
Тогда, согласно (Д. 20.19),
Х(«)<0.	(20.25)
2)	имеет точное среднее, a ph нет: Ph<Ph* причем
Pj<Ph-	(20.26)
Тогда
А(Рл —/’? = дРл>0’ Ph~Pj = Pn — Pj> °-
и в силу (Д. 20.19) имеет место строгое неравенство
Х(«)<Л~_Рл-	(20.27)
В случае (Д. 20.24) можем также утверждать, что
(в смысле (Д. 20.21))
/\й(ММР==<2ул(А а).	(20.28)
о
Действительно,
t	t	p
f \{prpt^dx hpJ-ph)dx f -!(pj-ph)dx
J ф (0)	d$ = ea	J ф (0) e	dp =
о	о
t
f (.рГрй px
= ea	и (а).
и так как верно (Д. 20.25), то правая часть по определению
есть Qjh(t> <0-
Докажем следующее предложение относительно функций
(Д. 19.7): если существуют точные средние pj для всех
J < &, но pk не имеет точного среднего;
Pk < Pk<	(20.29)
и если при атом
Л < Л < • • • <Рт-1 < Рт= • • • = Л-1 = Pk’ (20.30)
то выполняется строгое неравенство
X[(«I • • • 2Л+1 • • •	< ~Pk - Pk’ (20.31)
’0.6]
§ 20. ЛЕММА ЛЯПУНОВА
553
Доказательство. Прежде чем оценивать (Д. 19.7),
заменим в (Д. 19.1) все их модулями. Это даст возмож-
ность оценивать интегралы без оговорок относительно знака
подынтегральной функции. Кроме того, перейдем от обоз-
начений (Д. 19.1) к (Д. 20.20). Наконец, напомним, что
ls < w 'С ^+1* и потому
Pi<Pis<Pk-	(20.32)
Заменим в (Д. 19.7) нижние пределы интегрирования
Т/1 ,..., Xis нулями и вынесем за знак интеграла получаю-
щееся произведение
t	t	t
J	j Qi^dx^ ... J
0	0	0
В силу соотношения (Д. 20.23) это естьПя(О, и, согласно
(Д. 20.25), его показатель 0. Остаемся оценить
0 0 о
Последовательно применяя правила (Д. 20.28.) и (Д. 20.22),
что возможно вплоть до h^lr^k — 1, придем к интег-
ралу
| a)da,
о
после чего остается лишь применить (Д. 20.23) и (Д. 20.27).
20.6.	Следствие 20.6.1. При условиях (Д. 20.29) и
(Д. 20.30) вектор с координатами (Д. 19.14) имеет ниж-
ний показатель
Х(4т,)<Р*-	(20.33)
Действительно,
t
$рках
|хГ|=*° В.
где
i=у т+[уд + • +иа. j+1 
554
ДОПОЛНЕНИЕ HI
(21.1
Все суммы (Д. 19.11) (а также единица) подчиняются стро-
гому неравенству (Д. 20.31), поскольку оно справедливо
для слагаемых. Отсюда
\
_ *0Рк / 4- х (£) < Pk+(pk — Pk) = Pk>
что и требовалось.
§21. Разные леммы
21.1.	Функция р(/). Введем в обиход функцию р(/),
определяемую равенствами
{1, если 1^1 << 1,
|<|. если |С|> 1.	<21J>
Очевидно,	*»
{1, когда 11\1,
l/lv	(21.2)
111v, когда 111 > 1.
Пусть дана функция
ф(*, у, v) = 0Y'p-v(O.
Для любых v и у, где у > 0, существует такая кон-
станта Dyv, что
е^р-v (т) < D^p-v (0, если * > т > 0, (21.3)
и
e-yxp-v w D^e-Y/p-v если т > / > 0. (21.4)
Доказательство. Чтобы установить неравенство
(Д. 21.3), достаточно убедиться, что функция
ф(/, т) = е-?<'-*)Г£Д.Т'
'	Lp(t)J
(21.5)
ограничена для t т 0. В последнем случае дробь
Поэтому,
если v<^0, то второй сомножитель
в правой части равенства (Д. 21.5) не больше единицы.
Значит, ф(/, т)<С 1» ибо и	при t— т^>0.
21.2]
§ 21. РАЗНЫЕ ЛЕММЫ
555
Пусть v > 0. Положим t — т = |. Очевидно, при т^>1
Р(0 __ РЦ+Ц —Л±1=1 . 1	•
р (т) Р (т) т т т f
Если 0	1, то
^ = P(t + £Kp(l+&)=lH
Значит,
Ш T)O-Y*(l+|)v.
Ясно, что правая часть последнего неравенства стремится
к нулю, когда |->оо. Поэтому она ограничена для |i>0.
Обозначив верхнюю грань этой функции через Z>YV, полу-
чим из (Д. 21.5) неравенство (Д. 21.3).
Второе утверждение доказывается аналогично.
21.2.	Продолжение функции с условием Липшица.
Пусть в пространстве {х, t} выделена область S:
|х| </?(/).
где /?(0 > 0 — некоторая непрерывная функция, и в этой:
области задана функция f(t, х), удовлетворяющая усло-
вию Липшица по х:
\f(t, x2)-f(t, x1)|<d(0|x2-x1|.	(21.6)
Тогда эту функцию можно продолжить !) на все про-
странство {х, £} с сохранением «константы» Липшица
6(f), полагая
f(t, x) для |x|</?(^),
для \x\>R(t).
F(t, x) =
Ясно, что F(t, х) наследует такие свойства f(t, х), как
измеримость, непрерывность и т. п.
Проверим сохранение условия Липшица. Для хр x2£S
оно очевидно. Пусть хр x2(£S и
/?(0<|х1|<|х2|.	(21.7)
1) Продолжение возможно также для функций, заданных на про-
извольных множествах, но для рассматриваемого здесь «тела вра-
щения» S способ продолжения упрощается.
556
Дополнение ni
(21.3
Тогда
\F(t, x2)—F(t, х,)| = |/(t A R (/)) -/(л A R (О) | <
= д<(,(1 nH*’-Х1
Остается доказать, что последняя скобка не превосходит
1*2 — ЛС1|- Полагая
Х1 — а’ Т§|'Л2“6’
имеем
х2—x1 = ikb-^-(b—а),
и в силу (Д. 21.7) Ц>0. Отсюда
| Хг - х,|2 = ц2| 6|2 4- 2g (I ft|2 - Re (а, &)) + | b - а|2.
Так как ц > О, а а| = |&|, то из неравенства Буняковского
следует, что 2р. [ &|2 — Re (а, &)]^0. Поэтому
1*2 — -*112>|Ь — а|2.
и доказательство окончено. Случай Xj^S, x2f£S разби-
рается аналогично.
21.3.	Комплексный случай. Функция f(t, х), определен-
ная для действительных х и удовлетворяющая условию
(Д. 21.6), может быть продолжена, с сохранением
этого условия, на комплексные значения х — х. Для
этого достаточно положить
Очевидно,
Ф(*, z)=/(Z, Re г).
|Ф(/, г2) — Ф(/, г1)| = |/(#, Rez2)— f(t, Re^K
<б(/)| Re 22 — Re^Kd^ — zj.
21.4]
§ 21. РАЗНЫЕ ЛЕММЫ
557
21.4.	Рассмотрим систему
x = Ax+f(t, х),	(21.8)
где А—(пХ п)-матрица, х, f—п-мерные векторы, f
определен для любого х и /^>0,
/(л о) = о,
|/(Л х2) — f(t, x1)|<&(0|x2 — xj.
Предположим, что матрица А и функция 6(0 таковы,
что всякое решение x(f) системы (Д. 21.8), растущее
при t->oo не быстрее некоторой функции G)(t), удовле-
творяет неравенству
|х(О|<£>|х(0)| <о(О,	^>0.
Тогда для решений 21.8) xx(t) и х2(0 роста
выполняется неравенство
|х1(0-х2(0|<О|х1(0)-х2(0)| о(0.	(21.9)
Доказательство. Применяя принцип линейного вклю-
чения, положим
z.(t) = xx(t)-x2(t)	(21.10)
и рассмотрим уравнение
z = Az + <b(t, xx(t),x2(t))z,	(21.11)
где
ф(t. х,(0.Х2(0) =	(г> Zo(Z))
I ^0 VJ I
Очевидно,
|Ф(0 Xi (0, x2 (0)1 <6(0.
По условию отсюда следует, что для любого решения z(t)
уравнения (Д. 21.11) удовлетворяется неравенство
|2(0|<П|^(0)|о(0.
Так как £0(О является решением (Д. 21.11) и растет не бы-
стрее о (0, то и для Zq(0 справедливо последнее неравенство.
Поскольку имеет место равенство (Д. 21.10), это равно-
сильно утверждению (Д. 21.9),
БИБЛИОГРАФИЯ
К введению
1.	А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения,
М.—Л., Гостехиздат, 1950.
2.	И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, М.—Л., Гос-
техиздат, 1952.
3.	I. L. М a s s е г a, Contributions to stability theory, Ann. Math. 64,
№ 1 (1956), 182—206.
4.	H. H. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости
движения, М., Физматгиз, 1959.
5.	Б. П. Демидович, Об одном обобщении критерия устойчи-
вости Ляпунова для правильных систем, Матем. сб. 66(108): 3
(1965), 344—353.
6.	В. В. Н е м ы ц к и й, К проблеме качественного исследования в
целом методами функций Ляпунова, Вестник МГУ, № 6 (1962),
26—27.
7.	0. Perron, Die stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen,
Math. Zs. 32 (1930), 703-728.
8.	И. Г. Петровский, О поведении интегральных кривых си-
стемы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи осо-
бой точки, Матем. сб. 41(103), (1934), 107—156.
9.	К. П. Персидский, Об устойчивости движения по первому
приближению, Матем. сб. 40 (1933), 284—293.
10.	И. Г. Малкин, Об устойчивости по первому приближению, Сб.
научных трудов Казанск. авиац. ин-та (1935), 7—17.
11.	В. А. Якубович, Об асимптотическом поведении решений
системы дифференциальных уравнений, Матем. сб. 28(70)
(1951), 217—240.
12.	R. Conti, Sulla eqivalenza asintotica dei sistemi di equazioni
differenziali ordinarie, Ann. Math. Рига e Appl. S. IV 41
(1956), 196—204.
13.	Б. П. Демидович, О диссипативности некоторой нелинейной
системы дифференциальных уравнений, Вестник МГУ, № 1
(1962), 3—8.
14.	Б. П. Демидович, О диссипативности некоторой нелинейной
системы, Вестник МГУ, № 6 (1961), 19—27.
15	В. А. Плисе, О явлении конвергенции в периодических нели-
нейных системах, ДАН 138, № 2(1961), 301—304.
БИБЛИОГРАФИЯ
559
16.	А. Д. Майзе ль, Об устойчивости решений систем дифферен-
циальных уравнений. Труды Уральского политехнического инсти-
тута 5 (1954), 20—50.
17.	Л. Чезари, Асимптотическое поведение и устойчивость реше-
ний обыкновенных дифференциальных уравнений, М., «Мир»,
1964.
К главе 1
1.	Ю. С. Богданов, Нормы Ляпунова в линейных пространствах,
ДАН 113, № 2 (1957), 255—257.
2.	О. Perron, Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungs-
systeme, Math. Zs. 31 (1930), 748—766.
3.	Ю. С. Богданов, Характеристические числа систем линейных
дифференциальных уравнений, Матем. сб. 41(103): 4 (1957), 481—
498.
К главе II
1. Р. Э. Виноград, К теории характеристических показателей
Ляпунова, Докторская диссертация, Москва, МГУ (1960).
К главе III
1. Р. Э. Виноград, О центральном характеристическом показате-
ле системы дифференциальных уравнений, Матем. сб. 42(84): 2
(1957), 207-222.
К главе IV
1.	В. М. Алексеев, Об асимптотическом поведении решений
слабо нелинейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений, ДАН 134, № 2 (I960), 247—250.
2.	Т. Wazewski, Sur la limitation des integrates des systemes
d’equations diff£rentielles lineaires ordinaires, Studia Math. (1948),
48—59.
3.	С. M. Лозинский, Оценка погрешностей численного инте-
грирования обыкновенных дифференциальных уравнений, Изв.
вузов, № 5 (1958), 52—90.
4.	Eltermann, Fehlerabschatzung bei naherungsweiser Losung
von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung, Math.
Zs. 62, 4 (1955), 469—501.
5.	А. Д. Г о p б у н о в, Некоторые вопросы качественной теории
обыкновенных линейных однородных дифференциальных урав-
нений с переменными коэффициентами, Учен. зап. МГУ, VII,
вып. 165 (1954), 39—78.
6.	К. А. Карачаров и А. Г. П и л ют и к, Устойчивость неуста-
новившегося движения на конечном отрезке времени, ч. I, ч. II,
М., Физматгиз, 1958,
560
БИБЛИОГРАФИЯ
7.	И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы тео-
рии дифференциальных уравнений, М., Физматгиз, 1958.
8.	Р. Э. Виноград, К теории характеристических показателей
Ляпунова, Докторская диссертация, Москва, МГУ (1960).
9.	R. Bellman, On the boundedness of solutions of nonlinear dif-
ferential and difference equations, Trans. Amer. Math. Soc. 62
(1947), 357—386.
10.	Z. В u 11 ewski, Sur les integrales d’un systeme d’equations
differentielles lineaires ordinaires, Studia Math. 10 (1948), 40—47.
11.	A. Wintner, Asymptotic integration constants, Amer. Journ.
Math. 68 (1946), 553—559.
12.	T. К i t a m u r a, Some inequalities on a system of solutions of
linear simultaneous differential equations, Tohoku Math. Journ.
49 (1963), 308—311.
К главе V
1.	Б. Ф. Былов и Д. М. Г р о б м а н, Принцип линейного вклю-
чения для систем дифференциальных уравнений, УМН 17,
вып. 3(105) (1962), 159—161.
2.	Р. Э. Виноград, О центральном характеристическом показа-
теле системы дифференциальных уравнений, Матем. сб. 42(84):2
(1957), 207-222.
3.	Б. М. Левитан, Почти-периодические функции, М., Гостехиз-
дат, 1953.
4.	Б. Ф. Было в, Об устойчивости сверху наибольшего характе-
ристического показателя системы линейных дифференциальных
уравнений с почти-периодическими коэффициентами, Матем. сб.
48(90):1 (1959), 118—128.
5.	Р. Э. Виноград, К теории характеристических показателей
Ляпунова, Докторская диссертация, Москва, МГУ (1960b
6.	Ph. Hartman, A. Wintner, Asimptotic integrations of ordina-
ry non-linear differential equation, Amer. Journ. Math. 77, № 4
(1955), 45—86.
7.	Д. M. Г p о б м а н, Характеристические показатели систем, близ-
ких к линейным, Матем. сб. 30(72) :1 (1952), 121—166.
8.	В. В. Н е м ы ц к и й и В. В. Степанов, Качественная теория
дифференциальных уравнений, М.—Л., Гостехиздат, 1949.
9.	Н. A. Antosiewicz, Forced periodic solutions of systems of
differential equations, Ann. of Math. 57 (1953), 314—317; 58
(1953), 592.
10.	Б. Ф. Былов, О характеристических числах решений систем
линейных дифференциальных уравнений, ПММ 14, вып. 4 (1950),
341—352.
11.	М. Golomb, Bounds for solutions of non-linear differential sy-
stems, Arch. Rat. Meeh. Anal. 1 (1958), 272—282.
12.	И. Г. Малкин, О характеристических числах систем линейных
дифференциальных уравнений, ПММ 16, вып. 1 (1952), 3—14.
13.	С. О lech, On the characteristic exponents of the second order
linear ordinary differential equation, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser,
sci. math., astron, et phys. 6, № 9 (1958), 573—579,
БИБЛИОГРАФИЯ
561
14.	А. В. Farnell, С. Е. Lan gen hop, N. Levinson, Forced
periodic solutions of a stable non-linear system of differential
equations, Journ. Math. Phys. 29 (1951), 300—302.
15.	H. M. Chang, On the invariableness of characteristic exponents
under small perturbations, Sci. Rec. 2, № 11 (1958), 351—
354.
16.	M. Г. Чет а ев, О наименьшем характеристичном числе, ПММ
9 (1945), 193.
17.	Z. Szmydtowna, Sur failure asymptotique des integrates des
equations differentiates ordinaires, Ann. Soc. Polon. Math. 24
(1951), 17—34.
18.	В. А. Якубович, Оценка характеристических показателей и
критерии устойчивости для линейного дифференциального урав-
нения второго порядка с периодическими коэффициентами, ДАН
97 (1952), 345—348.
19.	В. А. Якубович, Оценки характеристических показателей си-
стемы линейных дифференциальных уравнений с периодически-
ми коэффициентами, ПММ 18 (1954), 533—546.
20.	Hoang huu Duong, Sur la stabilite des exposants caracteri-
stiques des systemes d’equations differentielles lineaires, Acta Sci.
Vietnam 1 (1964), Hanoi.
К главе VI
LA. M. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения,
М.—Л., Гостехиздат, 1950.
2.	И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, М.—Л., Гос-
техиздат, 1952.
3.	Э. А. Коддингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, М., ИЛ, 1958.
4.	С. Лефшец, Геометрическая теория дифференциальных урав-
нений, М., ИЛ, 1961.
5.	И. Г. Малкин, Об устойчивости по первому приближению, Сб.
научных трудов Казанск. авиац. ин-та, № 3 (1935).	'
6.	И. Г. Малкин, Об устойчивости движения по первому при-
ближению, ДАН 18, № 3 (1938).
7.	И. Г. Малкин, Теорема об устойчивости по первому прибли-
жению, ДАН 76, № 6 (1951), 783-784.
8.	О. Perron, Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen,
Math. Zs. 32 (1930), 703—728.
9.	К. П. Персидский, К теории устойчивости интегралов си-
стем дифференциальных уравнений, Изв. физ.-матем. об-ва при
Казанском гос. ун-те 8 (1936—1937).
10.	Н. Г. Чет а ев, Теорема о неустойчивости для правильных си-
стем, ПММ 8, вып. 5 (1944), 323.
11.	Н. Г. Чет а ев, Устойчивость движения, М—Л., Гостехиздат,
1946.
12.	Н. Г. Ч е т а е в, О некоторых вопросах об устойчивости и не-
устойчивости для неправильных систем, ПММ 12, вып. 5 (1948),
639—642.
Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград и др.

562	БИБЛИОГРАФИЯ
К главе VII
1.	Б. Ф. Былов, Об устойчивости характеристичных показателей
систем линейных дифференциальных уравнений, Кандидатская
диссертация, Москва, МГУ (1954).
2.	Н. П. Е р у г и н, Приводимые системы, Труды матем. ин-та им.
В. А. Стеклова 13 (1946).
3.	С. Caratheodory, Vorlesungen fiber reelle Funktionen, Teub-
ner, 1927.
4.	Б. Ф. Было в, Преобразование времени в задачах об устойчи-
вости по первому приближению, Диф. уравнения I, № 9 (1965),
1149—1154.
5.	О. Perron, Uber eine Matrixtransformation, Math. Zs. 32
(1930), 465—473.
6.	S. P. D i 1 i b e r t o, On systems of ordinary differential equations.
Contrib. to the theory of non-linear oscillations, Ann. Math. Stud.
20 (1950), 1-38.
7.	P. Э. Виноград, Новое доказательство теоремы Перрона и
некоторые свойства правильных систем, УМН 9, вып. 2(60)
(1954), 129—136.
8.	Б. Ф. Было в, Обобщение теоремы Перрона, Дифф, уравне-
ния 1, № 12 (1965).
9.	Б. Ф. Былов, Почти приводимые системы, Сиб. матем. журн.
7, № 4 (1966).
10.	Б. Ф. Былов, Почти приводимые системы дифференциальных
уравнений, Сиб. матем. журн. 3, 3 (1962), 333—359.
11.	Р. Э. Виноград, Необходимые и достаточные признаки по-
ведения решений правильной системы, Матем. сб. 38(80) : 1
(1956), 23—50.
12.	Л. Я- Адрианова, О приводимости систем линейных диффе-
ренциальных уравнений с квазипериодическими коэффициента-
ми, Вести. ЛГУ, № 7 (1962), 14—24.
13.	Ю. С. Богданов, Нормы Ляпунова в линейных простран-
ствах, ДАН 113, № 2 (1957).
14.	A. Wintner, Linear variations of constants, Amer. Journ. Math.
68 (1946), 185—213.
15.	И. M. Гельфанд и В. Б. Лидский, О структуре областей
устойчивости линейных канонических систем дифференциальных
уравнений с периодическими коэффициентами, УМН 10, вып.
1(63) (1955), 3—40.
16.	Б. П. Демидович, О некоторых свойствах характеристиче-
ских показателей системы обыкновенных линейных дифферен-
циальных уравнений с периодическими коэффициентами, Учен,
зап. МГУ 163, Матем. 6 (1952), 123—132.
17.	R. Conti, Sulla Z-similitudine tra matrici e la stability dei siste-
mi lineari, Rend. Accad. Lincei 19 (1955), 247—250.
18.	I. C. L i 11 o, Perturbations of non-linear systems, Acta Math. 103
(1960), 123—138.
19.	I. C. L i 11 o, Continuous matrices and the stability theory of dif-
ferential systems, Math. Zs. 73 (1960), 45—58-
БИБЛИОГРАФИЯ
563
20.	I. С. L i11 о, Approximate similarity and almost periodic matrices,
Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961), 400—407.
21.	I. C. Lillo, A note of the continuity of characteristic exponents,
Proc. Amer. Soc. 46 (1960), 247—250.
22.	L. Markus, Continuous matrices and the stability theory of
differential systems, Math. Zs. 62 (1955), 310—319.
23.	В. А. Якубович, Некоторые критерии приводимости системы
дифференциальных уравнений, ДАН 661 (1949), 577—580.
К главе VIII
1.	И. Г. Петровский, О поведении интегральных кривых си-
стемы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи осо-
бой точки, Матем. сб. 41 (1934), 107—156.
2.	J. Haag, Cols, noeuds et foyers, Bull. Sci. Math. 74 (1950),
167—192.
3.	Д. M. Г p о б м а н, Системы дифференциальных уравнений, ана-
логичные линейным, ДАН 86, № 1 (1952), 19—22.
4.	Д. М. Г р о б м а н, Асимптотическое поведение решений нелиней-
ных систем, близких к линейным, ДАН 108, № 4 (1956), 571—
574.
5.	Э. А. Ко д д ин гт о н, Н. Левинсон, Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, М., ИЛ, 1958.
6.	S. L о j a s i е w i с z, Sur failure asymptotique des integrales du
systeme d’equations differentielles au voisinage de point singulier,
Ann. Polon. Math. 1 (1954), 34—72.
7.	Б. П. Демидович, Об одном обобщении критерия устойчи-
вости Ляпунова для правильных систем, Матем. сб. 66(108):3
(1965), 344—353.
8.	Д. М. Г р о б м а н, Асимптотика решений почти линейных си-
стем дифференциальных уравнений, ДАН 158, № 4 (1964), 774—
776.
9.	Д. М. Г р о б м а н, Аналогия систем дифференциальных уравне-
ний вблизи особой точки, ДАН 166, № 1 (1966), 15—18.
10.	С. Лефшец, Геометрическая теория дифференциальных урав-
нений, М., ИЛ, 1961.
И. В. В. Немыцкий и В. В. Степанов, Качественная теория
дифференциальных уравнений. М. — Л., Гостехиздат, 1949.
К главе IX
1.	В. А. Якубович, Об асимптотическом поведении решений диф-
ференциальных уравнений, ДАН 63, № 4 (1948), 363—366.
2.	В. А. Якубович, Некоторые критерии приводимости системы
дифференциальных уравнений, ДАН 66 (1949), 577—580.
3.	Р. Hartman, A. Wintner, Asymptotic integrations of ordinary
non-linear differential equations, Amer. Journ. Math. 77, № 4
(1955), 692—724.
4.	A. M. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения,
М.—Л., Гостехиздат, 1950.
36*
564
БИБЛИОГРАФИЯ
5.	О. Perron, Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungs-
systeme, Math. Zs. 31 (1930), 748—766.
6B. M. Миллионщиков, Асимптотика решений линейных си-
стем с малыми возмущениями, ДАН 162, № 2 (1965), 266—268.
7. С. О 1 е с h, On the asymptotic behaviour of the solutions of a sy-
stem of ordinary non-linear differential equations, Bull. Acad. Po-
lon. Sci. cl. 3, 4, № 9 (1956), 555—561.
К главе X
1.	А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями, М.—Л., Гостехиздат, 1947.
2.	Н. Dulac, Solutions d’une- systeme d'equations diff6rentie!les
dans le voisinage a valeurs singulieres, Bull. Sci. Math. 40,
(1912), 324—383.
3.	E. Picard, Traite d’Analyse III, 1896.
4.	К. Л. Зигель, О нормальной форме аналитических дифферен-
циальных уравнений в окрестности положения равновесия, Ма-
тематика 5, № 2 (1961), 119—128.
5.	А. Д. Брюно, Нормальная форма дифференциальных уравне-
ний, ДАН 157, № 6 (1964), 1276—1279.
6.	Р. Hartman, A lemma in the theory of structural stability of
differential equations, Proc. Amer. Math. Soc. 11, № 4 (1960),
610—620.
7.	Э. M. В а й с б о p д, Об эквивалентности систем дифференциаль-
ных уравнений в окрестности особой точки, Научн. докл. выс-
шей школы (физ.-матем. науки), № 1 (1958), 37—42.
8.	Р. М. Минц, О топологической эквивалентности некоторых со-
стояний равновесия системы 3-х дифференциальных уравнений,
Научн. докл. высшей школы (физ.-матем. науки), № 1 (1958),
19—24.
9.	Д. М. Г р о б м а н, О гомеоморфизме систем дифференциальных
уравнений, ДАН 128, № 5 (1959), 880—881.
10.	Д. М. Г р о б м а н, Топологическая классификация окрестностей
особой точки в n-мерном пространстве, Матем. сб. 56 (98):1
(1962), 77—94.
11.	В. В. Немыцкий и В. В. Степанов, Качественная теория
дифференциальных уравнений, М.—Л., Гостехиздат, 1949.
12.	Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь, Лекции по функцио-
нальному анализу, М., ИЛ, 1954.
13.	П. С. А л е к с а н д р о в, Комбинаторная топология, М.—Л., Гос-
техиздат, 1947.
14.	Д. М. Г р о б м а н, Топологическая и асимптотическая эквива-
лентность систем дифференциальных уравнений, ДАН 140, № 4
(1961), 746—747.
15.	Д. М. Г р о б м а н, Топологическая и асимптотическая эквива-
лентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб.
61 (103): 1 (1963), 14—39.
16.	Д. М. Гр обман, Показатели и минус-показатели систем обык-
новенных дифференциальных уравнений, Матем. сб. 46 (88):3
(1958), 343—358.
БИБЛИОГРАФИЯ
565
17.	S. Sternberg, Local contactions and a theorem of Poincare,
Amer. Journ. Math. 79 (1957), 809—824.
18.	P. Hartman, On the local linearization of differential equation,
Proc. Amer. Math. Soc. 14, № 4 (1963), 568—573.
19.	Л. Э. P ейз инь, О гомеоморфизме систем дифференциальных
уравнений в окрестностях замкнутых траекторий, Матем. сб.
63(105).3 (1964), 392—408.
20.	М. N a g u m о, I. К u s и о, On the normal forms of differential
equation in the neighbourhood of an equilibrium point, Osaka
Math. Journ. 9, № 2 (1957), 221—234.
К дополнению I
1. С. M. Лозинский, Оценка погрешностей численного интегри-
рования обыкновенных дифференциальных уравнений, Изв. вузов,
№ 5 (1958), 52—90.
2. Т. W a z е w s k i, Une methode topologique de I’examen du pheno-
mene asymptotique relativement aux equations diff£rentielles ordi-
naires, Rend. Accad. Lincei 3 (1947), 210—215.
К дополнению III
1. P. Э. Виноград, Необходимые и достаточные признаки пове-
дения решений правильной системы, Матем. сб. 38(80) :1 (1956),
23—50.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара лемма 505
—	обобщенное неравенство 477
Аксиомы нормы 459
Аналогия в области 419
—	вектор-функций 292
—	решений 308
—	систем вблизи особой точки 357
Асимптотическое поведение 12
Асимптотика решений системы 362
Асимптотическая устойчивость 399,
406
—	эквивалентность 12, 400
//-преобразование 250
Базис 62, 456
— главный 80
— канонический 80
— нормальный 28, 31, 32, 62
— упорядоченный 63
Базисы бинормальные 49, 52
—	взаимные 466
—	нормальные для двух пирамид 39
---треугольные 87
Веллмана—Гронуолла лемма 517
Близость интегральная 537
Блочная матрица 6
Бло4но-диагональная матрица 7
Блочное ^-преобразование 248
Блочно-треугольная матрица 7
---система 141, 266
^-преобразование 248
Важевского топологический принцип
484, 486
Вариант локальный 493, 502, 507
Вектор 6
Верхнее среднее значение функции 7
Верхние функции 103, 115
—	центральные числа 103
Верхний класс 103
— показатель 8, 17
Верхняя граница подвижности 162
Взаимность главных базисов сопря-
женных систем 85
— канонических базисов сопряжен-
ных систем 85
Вложенные конусы 181
Возмущения 157
— порядка q 232
Возмущенная линейная система 515
Вольтерра оператор 513
Второй показатель 291
Гамильтонова система 69
Гартмана пример 425
Главный базис 80
Гомеоморфизм линейных систем 451
— начальных условий 335
— систем дифференциальных урав-
нений 428, 441
Грамиан 470
Грамовы детерминанты 469
—	объемы 469
Граница подвижности верхняя 162
------достижимая 162
Границы вторых показателей реше-
ний 309
Детерминант Грама 469
---обобщенный 470
Дефект 534
—	пары базисов 44
-	65
Диагональ разделенная 539
Диагональная матрица 6, 76, .297
— система 76
Диагонально-треугольная матрица 7
Дискретный способ 106
Достижимая верхняя граница по-
движности 162
Достижимость центральных функций
168
Единичная матрица 6
Единственность решения уравнения
роста 322
Задача Пуанкаре 425
Знак комплексной сопряженности 6
— производной 6
Значение показателя основное 25
—	функции верхнее среднее 7
---нижнее среднее 8
--- точное среднее 537
Интегральная близость 537
—	малость 259
—	ограниченность 252
—	разделенность 537
Интегральное уравнение для реше-
ний роста	321
Интегрирование 78
—	треугольной системы 542
Канонический базис 80
Класс верхний 103
---полный 104
—	нижний 109
-	С 103
-	с 109
Классификация систем дифференци-
альных уравнений топологическая
425
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
567
Колебание функции 8
Комбинация понижающая 64
Константа разделенности 538
— универсальная 8, 16
Конус круглый 481
— эллиптический 482
Конусы 481
— вложенные 181
Кососимметричная матрица 262
Коши матрица 130, 238, 516
Коэффициент Ляпунова 71, 143
— неправильности 53, 55, 67, 143
— Перрона 44, *46, 48, 55, 67
Коэффициенты гладкие 400
— разрывные 400
Крайние показатели 70
Кусочно-непрерывная матрица 384
Лемма Адамара 505
— Веллмана—Грануолла 517
— Ляпунова 547
Линеалы 6
— ортогональные 469
Линейная оболочка 6
— система 114
---с возмущениями Pro рода 156
Линейное пространство 456
— n-мерное пространство 6
Липшица условия 508
Логарифмическая норма 461
Локальный вариант 493, 502, 507
Ляпунова коэффициент 71, 143
— лемма 547
Ляпуновские преобразования 74, 243,
245
---возмущений 158
---системы 129
^-преобразование 249
Малость в метрике L* 258
-------L2 258
— равномерная 258
— функция Af(£) 359
Матрица блочная 6
— блочно-диагональная 7
— блочно-треугольная 7
— диагональная 76, 297
— диагонально-треугольная 7
— единичная 6
— кососимметричная 262
- Коши 130, 238, 516
— кусочно-непрерывная 384
— нижне-треугольная 7
— нормального базиса уравнения
396
—	переменная 123
—	постоянная 122, 228
—	треугольная 7
—	унитарная 7
—	Шмидта 474, 476
Матрицант 516
Метод замораживания 126, 130
— сравнения 11
— Пикара 514
Минус-показатель 429
— верхний 436
— нижний 430
---точный 430
Младший показатель 71
Множество неподвижное 205
—	регулярное 205
—	уровня 62
Неоднородные уравнения 13
Непрерывность отображения 485
Нижнее среднее значение функции
8
Нижне-треугольная матрица 7
Нижние функции 108, 115
—	центральные числа 108
Нижний показатель 8, 18, 70
Норма вектора 6
—	возмущения 157, 258
—	логарифмическая 461
— матриц 7
Нормальность базиса 50
Нормальные треугольные базисы 87
Нормальный базис 28, 31, 32, 62
Обобщенное неравенство Адамара
477
Обозначения некоторых множеств
307
Оболочка линейная 6
Образ регулярный 489
Обращение теоремы Перрона 265
Объединение гомеоморфизмов 490
Ограниченность интегральная 252
Однородные уравнения 13
Окрестность бесконечно удаленной
точки 421
Оператор Вольтерра 513
—	дифференцируемый 503
—	ограниченный 503
— непрерывно дифференцируемый
504
—	непрерывный 503
—	сжимающий 503
— удовлетворяющий условию Лип-
шица 503
-	/ 520
Операторы в банаховом пространст-
ве 503
-	- вп 512
-	li< l-l> JIq 305
Ортогональные пирамиды 49
Ослабление условий выхода 487
Основное значение показателя 25
Особое число 109
Особый показатель 191, 193
Отклонение 293
Отображение 443
—	области топологическое 421
-	Ф*^ 340
—	Ф_443
—	Ф “1 448
Оценки 2-го типа 147
—	норм матриц 301
---операторов 314, 317
—	нормы разности решений 338
---решения 126
— 1-го типа 139
— центральных показателей 126
568
предметный указатель
Переменная матрица 123
Перрона коэффициент 44, 46, 48, 55,
— теорема 261, 263
Пикара метод 514
Пирамида 25
Пирамиды ортогональные 49
Поведение целых траекторий 429
Поверхность конуса 482
Подвижность крайних показателей
161
Показателей свойства 20, 29, 61, 71
---в сопряженных пространствах
46
Показатели базиса 28, 63
— грамианов 142
— крайние 70
*	— линейной невозмущенной системы
122
---системы 21, 24
— промежуточные 200, 238
—	с малой неправильностью 57
— сопряженные 42, 43
—	сопряженных систем 22
—	треугольной системы 138
—	функций 551
— центральные 115, 191, 193
Показатель 8, 17, 24
—	верхний 8, 17
—	второй 291
—	интеграла 547
—	младший 71
—	непрочный 162
—	нижний 8, 18, 70
— особый 191, 193
—	подвижный вверх 162
—	прочный вверх 162
—	старший 71
*	— точный 8, 19
— характеристический 17
- С 118, 119
Понижающая комбинация 64
Постоянная матрица 122, 228
Почти линейные системы 394
— периодическая система 190
— приводимая система 272, 281
— приводимость к разделенно-ди аго-
нальной системе 276
Правила дифференцирования 504
Правильная пара показателей 45
— система 283
Предельный режим 12
Преобразование времени 253
— диагонали 248
— Ляпунова 74, 243, 245
•--возмущений 158
---системы 129
—	линейные 243
—	линейных систем 242
—	решений 305
—	унитарное 457
—	Н 250
— Р 248
---блочное 248
— X 249
— р 249
— Re 249
Приводимость 251
Признаки правильности 283
— прочности крайних показателей 196
Пример Гартмана 425
Принцип линейного включения 157.
159
— сжатых отображений 506
Продолжение функции с условием
Липшица 555
— Gi в G2 494
Проектор Р 477
Произведение скалярное 6
Пространства сопряженные 465
Пространство 488
— линейное 456
--- п-мерное 6
-	в" 511
-	Вп (6) 510
-	в? (Уо)511
Процесс нормировки Шмидта 473
— ортогонализации Шмидта 473
Прочность крайних показателей 161
Пуанкаре задача 425
—	преобразование 249
Равномерность оценки 99
—	по начальной точке 90
Разделенная диагональ 539
Разделенность интегральная 537
Регулярный образ 489
Режим предельный 12
Ретракт 484
^^-преобразование 249
Свойства базисов 29, 31, 63
---в сопряженных пространствах 46
—	матриц 295
—	обратного оператора 508
— показателей 20, 29, 61, 71
---в сопряженных пространствах
46
Свойство неповышения показателя 27,
29, 61
—	понижения показателей 30
Сдвиг крайних показателей 186
Система блочно-треугольная 141, 266
—	возмущенная линейная 515
—	гамильтонова 69
—	диагональная 76
—	линейная 114
---с возмущениями первого рода
156
—	почти линейная 394
--- периодическая 190
---приводимая 272, 281
—	правильная 283
—	разделенно-диагональная 270
—	треугольная 78, 119
— усеченная 88
Скалярное произведение 6
След матрицы 6
Следствие теоремы Перрона 56
Случай Гартмана — Винтера 386, 390
Совпадение пирамид 41
Сопряженные пространства 465
— системы 66, 119
— треугольные системы 83
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
569
Сохранение порядка 507
Спектр показателей 71
Способ верхних функций 103
— дискретный 106
— стекловских усреднений 104
Средние значения функций на по-
луоси 534
Срез множества 205
Старший показатель 71
Стекловские усреднения 540
Стеклова функция 540
Структура множеств 366
Ступень 458
Ступени пирамиды 25
Существование обратного оператора
508
— решения уравнения роста 322
С-класс 103
С-показатель 118, 119
С-функция 103, 116, 164
2-функция 108
Теорема инвариантности 39, 51, 68
— Ляпунова 139, 141
— о реализации коэффициента не-
правильности 53, 68
— об объединении 493
— Перрона 48, 68, 261, 263
— существования бинормальных ба-
зисов 51, 67
— Якубовича 382
Топологическая классификация си-
стем дифференциальных уравне-
ний 425
Топологическое отображение обла-
сти 421
Точка выхода 486
— строгого выхода 486
Точное среднее значение функции 8
Точный показатель 8, 19
Треугольный вид 261
Треугольная матрица 7
— сйстема 78, 119
Универсальная константа 8, 16
Унитарная матрица 263
Унитарное преобразование 457
Упорядоченность 28
Упорядоченный базис 63
Уравнение для решений роста
О(Л^) 321
— неоднородное 13
— однородное 13
— специального вида 530
Усеченная система 88
Усиление оценок 1-го типа 145
Условие близости 541
—	разделенности 541
— сопряженности 43, 48
Условия Липшица 508
Усреднение сверху 103
—	снизу 108
—	стекловское 540
Устойчивость асимптотическая 399,
406
— по первому приближению 233
— решения 9
Функция верхняя 103, 115
—• достижимая 163
— няжняя 108, 115
— Стеклова 540
— центральная 114, 163
- С 103
- с 108
Характеристический показатель 17
Центральные показатели 115, 191.
193
— функции 114, 163
Число верхнее центральное 103
—	нижнее центральное 109
особое 109
—	С 103
—	с 109
Шмидта алгоритм 263
матрица 474, 476
Эквивалентность норм 460
Якубовича теорема 382
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	...................................... 5
Обозначения	и термины ............................ 6
Введение .............................................. 9
ГЛ АВ А 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
§ 1.	Понятие показателя............................... 17
1.1.	Определения (17). 1.2. Простейшие свойства показателей (20). 1.3. Пока-
затели линейной системы (21). 1.4. Показатели сопряженных систем (22).
1.5.	Другие виды записи систем (23).
§ 2.	Показатели линейных систем (абстрактное изложение) . . 24
2.1.	Два определения показателя (24). 2.2. Показатели базиса. Упорядочен-
ность. Нормальные базисы (28). 2.3. Свойства показателей и базисов (29).
2.4.	Сопряженные показатели (42). 2.5. Условие сопряженности. Коэффициент
неправильности (43). 2.6. Свойства показателей и базисов в сопряженных
пространствах (46). 2.7. Показатели с малой неправильностью (57).
§ 3.	Свойства показателей в терминах систем линейных диф-
ференциальных уравнений .............................. 61
3.1.	Линейная система (61). 3.2. Сопряженные системы (66). 3.3. Нижние
показатели. Крайние показатели. Спектр (70). 3.4. Дополнительные свойства
показателей. Коэффициент Ляпунова (71). 3.5. Ляпуновские преобразова-
ния {74). 3.6. Оценки решений с помощью функций (74).
ГЛАВА II
ДИАГОНАЛЬНЫЕ И ТРЕУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 4.	Базисы диагональных и треугольных систем......... 76
4.1.	Диагональная система (76). 4.2. Треугольная система. Интегрирова-
ние (78). 4.3. Канонический и главный базисы (80).
§ 5.	Сопряженные треугольные системы.................. 83
5.1.	Канонический и главный базисы сопряженной системы (83). 5.2. Взаим-
ность канонических и главных базисов сопряженных систем (85). 5.3. Нор'
мальные треугольные базисы (87). 5.4. Усеченные системы (88).
ОГЛАВЛЕНИЕ
571
ГЛАВА III
ОЦЕНКИ РОСТА РЕШЕНИЙ И ИХ РАВНОМЕРНОСТЬ.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ПОКАЗАТЕЛИ
§ 6.	Равномерность по начальной точке........................ 90
6.1.	Роль равномерности (90). 6.2. Линейный случай (93). 6.3. Нелинейный
случай (94).
§ 7.	Равномерность по начальному моменту. Центральные
числа ....................................................... 99
7.1.	Роль равномерности (99). 7.2. Усреднение сверху. Верхние функции и
верхние центральные числа (103). 7.3. Усреднение снизу. Нижние функции
и нижние центральные числа (108). 7.4. Особые числа (109). 7.5. Примеры
и упражнения (111).
§ 8.	Центральные функции и показатели линейных систем . . 114
8.1. Линейная система (114). 8.2. Сопряженная система (119). 8.3. Треугольная
система (119).
Г Л А В А IV
ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ
СИСТЕМЫ
§ 9.	Показатели и собственные числа......................122
9.1.	Случай постоянной матрицы (122). 9.2. Случай переменной матрицы (123).
§ 10.	Оценки нормы решения. Метод замораживания.........126
10 1. Некоторые оценки центральных показателей (126). 10.2. Метод замо-
раживания (130).
§11.	Показатели треугольной системы. Теорема Ляпунова . . 138
11.1.	Оценки 1-го типа. Теорема Ляпунова (139). 11.2. Случай блочно-тре-
угольной системы (141). 11.3. Показатели грамианов (142). 11.4. Усиление
оценок 1-го типа (145). 11.5. Оценки 2-го типа (147). 11.6. Примеры и упраж-
нения (148).
ГЛАВА V
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
1-го ПОРЯДКА
§ 12.	Возмущения. Принцип линейного включения.............157
12.1.	Норма возмущения (157). 12.2. Ляпуновские преобразования возму-
щений (158). 12.3. Принцип линейного включения (159).
§ 13.	Прочность и подвижность крайних показателей .... 161
13.1.	Определения (162). 13.2. Центральные функции и показатели как гра-
ницы подвижности крайних показателей (163). 13.3. Достижимость централь-
ных функций и показателей (168). 13.4. Вспомогательные предложения
к теореме 13.3.3 (181). 13.5. Сдвиги крайних показателей внутрь спектра (186).
§ 14.	Случай почти периодической системы..................190
14.1.	Совпадение центральных показателей с особыми (191). 14.2. Достаточ-
ный признак прочности крайнид показателей (195).
572
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 15.	Поведение промежуточных показателей.........200
15.1.	Предварительные понятия и обозначения (200). 15.2. Основная тео-
рема (207). 15.3. Следствия из основной теоремы (224). 15.4. Случай по-
стоянной матрицы А (228).
ГЛАВА VI
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 16.	Возмущения порядка q. Устойчивость по первому при-
ближению .........................................232
16.1.	Показатель порядка q (232). 16.2. Устойчивость по первому приближе-
нию (233).
§ 17.	Поведение промежуточных показателей.........238
17.1.	(238).
ГЛАВА VII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
ЛЯПУНОВСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
§ 18.	Ляпуновские и некоторые другие преобразования .... 243
18.1.	Линейные преобразования (243). 18.2. Ляпуновские преобразования (245).
18.3.	Некоторые специальные преобразования (247). 18.4. Приводимость и
почти приводимость (251).
§ 19.	Интегральная ограниченность..............................252
19.1.	Системы, ограниченные интегрально (252). 19.2. Преобразование вре-
мени (253). 19.3. Условие малости возмущений (258).
§ 20.	Приведение к треугольному виду...........................261
20.1.	Теорема Перрона (261). 20.2. Обращение теоремы Перрона (265).
20.3.	Блочно-треугольные системы (266).
§ 21.	Почти приводимые системы.................................272
21.1.	Простейшие свойства (272). 21.2. Почти приводимость к разделенно-
диагональной системе (276).
§ 22.	Правильные системы.......................................283
22.1.	Признаки правильности (283).
ГЛАВА VIII
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
АНАЛОГИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫМ
§ 23.	Постановка задачи.................................291
23.1.	Определение второго показателя (291). 23.2. Аналогия вектор-
функций (292). 23.3. Постановка задачи (294).
ОГЛАВЛЕНИЕ
573
§ 24.	Основные обозначения и свойства некоторых матриц . . 295
24.1. Матрицы У, У^, v, У_л, Wk, Z%, Z£V (295). 24.2. Оценки норм
матриц (301). 24.3. Операторы /*, I jj, и преобразование решений
системы (23.1) в решения (23.2) (305). 24.4. Обозначения некоторых мно-
жеств (307).
§ 25.	Аналогия решений............................................308
25.1.	Свойства правых частей системы (23.1) (308). 25.2. Границы вторых пока-
зателей решении из gft (309). 25.3. Число kf-qx(k}. Оценки норм операто-
ров 1» 7—(314). 25.4. Число ^ = ф2(й, v). Оценки норм операторов
(/, х) и (t, х) (317). 25.5. Интегральное уравнение для решений (23.1)
роста О (/Л ) (321). 25.6. Существование и единственность решения урав-
нения (25.45) (322). 25.7. Совпадение вторых показателей решений из g^
и (332). 25.8. Аналогия решений из g^ и (333).
§ 26.	Гомеоморфизм начальных условий. Основные теоремы. 335
26.1.	Формулировка теорем (335). 26.2. Две оценки нормы разности решений
системы (23.1) (338). 26.3. Отображение Ф^}У/ (340). 26.4. Оценка нормы ре-
шений из v (344). 26.5. Гомеоморфизм Ф^ v (346). 26.6. Замечания о функ-
циях (/) (350). 26.7. Доказательство теорем 26.1.1 и 26.1.2 (352).
§ 27.	Аналогия систем вблизи особой точки.........................357
27.1.	Задача (357). 27.2. О малости функции N (|) (359). 27.3. Асимптотика реше-
ний системы (23.1) с отрицательными показателями (362). 27.4. Формулировка
теорем (363). 27.5. Структура множеств v (0) и g^ (0) (366). 27.6. Дока-
зательство теорем 27.4.1 и 27.4.2 (377). 27.7. Обобщение теоремы 27.4.2 (379).
ГЛАВА IX
СЛЕДСТВИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ
§ 28.	Выводы из теорем главы VIII...............................382
28.1.	Две теоремы В. А. Якубовича (382). 28.2. Случай Гартмана и Винт-
нера (386). 28.3. Другой случай Гартмана и Винтнера (390).
§ 29.	Случай переменных коэффициентов в системе первого
приближения.....................................................394
29.1.	Почти линейные системы (394). 29.2. Асимптотическая эквивалентность
систем с разрывными и гладкими коэффициентами (400). 29.3. Окрестность
особой точки (401).
§ 30.	Примеры и замечания.......................................406
30.1.	Точность теорем 26.1.1 и 26.1.2 (406). 30.2. О точности результатов
§ 27	(411). 30.3. Неулучшаемость условий теорем 29.1.1 и 29.3.1 (415).
30.4. Замечания (418).
§ 31.	Задачи.....................................................419
31.1.	Аналогия в области (419). 31.2. Окрестность бесконечно удаленной
точки (421). 31.3. Разные задачи (423).
574
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА X
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 32.	Постановка задачи...........................425
32.1.	Задача Пуанкаре (425). 32.2. Пример Гартмана (425). 32.3. Постановка
задачи (428).
§ 33.	Поведение целых траекторий..................429
33.1.	Минус-показатели (429). 33.2. Формулировка задачи (431). 33.3. Основ-
ные оценки (432). 33.4. Конусы и поведение решений системы в (433).
33.5.	Выводы (437). 33.6. Об отсутствии эллиптических решений (438). 33.7.
Задачи (439).
§ 34.	Гомеоморфизм систем дифференциальных уравнений . . 441
34.1.	Формулировка теоремы (441). 34.2. Предварительные замечания и
оценки (441). 34.3, Отображение Ф (443). 34.4. Свойства отображения Ф (445).
34.5.	Отображение Ф”1 (448). 34.6. Доказательство теоремы 34.1.1. (449).
34.7.	Замечания (450).
§ 35.	Топологическая классификация систем дифференциаль-
ных уравнений вблизи особой точки.................................451
35.1.	О гомеоморфизме линейных систем (451). 35.2. Топологическая экви-
валентность систем вида (34.1) (454). 35.3. Задачи (455).
ДОПОЛНЕНИЕ I
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ЛЕММЫ
§ 1.	Линейные пространства...................................456
1.1.	Базис, основной базис (456). 1.2.	..., лгл] (456). 1.3. Оператор А,
матрица, унитарность U (457). 1.4. Ступень, пополнение базиса подпро-
странства (458). 1.5. dim L ф М (458). 1.6. Число векторов в L П М (458).
§ 2.	Нормы векторов и матриц.................................459
2.1.	Аксиомы нормы (459). 2.2. Эквивалентность норм (460). 2.3. N (х, у) (461).
2.4.	Логарифмическая норма (461). 2.5. Примеры (462).
§ 3.	Сопряженные пространства................................465
3.1.	Определение L, М, ф, существование взаимных базисов (465).
3.2.	Взаимные (е) и (/); £ fynj (467). 3.3. Y*X=I (468). 3.4. Сопряжен-
ность евклидовых пространств (468). 3.5. Ортогональные линеалы (469).
§ 4.	Грамовы детерминанты и объемы...........................469
4.1.	oQ1...; 0 = 0 (469). 4.2. G = det У*Г (471). 4.3.	<
(472). 4.4. Процесс ортогонализации и нормировки
Шмидта (473). 4.5. ^т~^т^т (475). 4.6. Единственность матрицы
Шмидта (476). 4.7. Проектор Р (477). 4.8. Обобщенное неравенство Ада-
мара (477). 4.9. Q f	, = detf	Q) (479). 4.10. Q и (480),
Xi .•. Xt, \	к ft j
ОГЛАВЛЕНИЕ
575
§ 5.	Конусы.................................................481
5.1.	Обозначения /(ЛЦ481). 5.2. ЕП1 П] CZ	П) (А) (483). 5.3. Лем-
мы (484).
§ 6.	Топологический принцип Важевского......................484
6.1.	Ретракты (484). 6.2. О непрерывности отображения (485). 6.3. Принцип
Важевского (486). 6.4. Ослабление условий выхода (487). 6.5. Простран-
ство {х} (488).
§ 7.	Регулярные образы.......................................489
7.1.	Определение (489). 7.2. Е1 CZ Л (Л), С1 (489).
§ 8.	Объединение гомеоморфизмов..............................490
8.1.	Добавочные свойства (491). 8.2. Теорема об объединении (493). 8.3. Ло-
кальный вариант (493). 8.4. Продолжение Gx в G2 (494). 8.5. F=FX на Lx (494).
8.6.	E->L вместе с пространством (497). 8.7. Проекций Ех на £2 (498).
8.8.	Гомеоморфизм Fo (499). 8.9. Доказательство теоремы п. Д. 8.2 (499).
8.10.	Решения, связанные гомеоморфизмом f (499). 8.11. Обобщение преды-
дущего пункта (502). 8.12. Локальный вариант (502).
ДОПОЛНЕНИЕ П
НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 9.	Некоторые операторы.....................................503
9.1.	Перечисление операторов (503). 9.2. Правила дифференцирования (504).
9.3.	Лемма Адамара (505).
§ 10.	Принцип сжатых отображений.............................506
10.1.	Существование решений (506). 10.2. Вх CZ В (507). 10.3. Локальный
вариант (507). 10,4. Сохранение порядка (507).
§11.	Существование и свойства обратного оператора .... 508
11.1. Существование F и F~l (508). 11.2. Условия Липшица (508). 11.3. Не-
прерывная зависимость от а (509). 11.4. dj, dF, dF~l (509).
§ 12.	Пространства Вп (0) и В1}.............................510
12.1.	Пространство Вп ф) (510). 12.2. Пространство в” (511). 12.3. Простран-
ство В? (J'q) (511). 12.4. 11*11 < К (511). 12.5 в" (0) -► Z." (512).
§ 13.	Операторы в Впг .......................................512
13.1.	лг = Оф), А =	(512). 13.2. Оператор Вольтерра (513). 13.3. Метод
Пикара (514). 13.4. Возмущенная линейная система (515). 13.5. Одномерный
случай (516). 13.6. Лемма Веллмана —Гронуолла (517). 13.7. х=О(е^0 (518).
§ 14.	Основной оператор в Вп (0, <7%).......................520
14.1.	Оператор J (520). 14.2. Случай ft < & (521). 14.3. Дифференцируе-
мость F, F~l (521). 14.4. Зависимость х от а (523).
§ 15.	Примеры...............................................523
15.1.	Z—diag (V, -IV] (523). 15.2. Интегральное уравнение (525). 15.3. Урав-
нение специального вида (530). 15.4. У= И+ IV (531). 15.5. Случай
ft < ft (533).
576
ОГЛАВЛЕНИЕ
ДОПОЛНЕНИЕ HI
РАЗНЫЕ ЛЕММЫ
§ 16.	Средние значения функций на полуоси................534
16.1.	р, р, 'р (534). 16.2. Равномерность среднего (534). 16.3. Соотношения
между р, р (535). 16.4. Соотношения между х> х (536). 16.5. Вычисление р
и р по *т~тТ (537).
§ 17.	Интегральная разделенность и близость..............537
(8)
17.1.	pi < р2 (537). 17.2. Разделенная диагональ (539).
§ 18.	Стекловские усреднения ........................... 540
18.1.	Определение и	(540). 18.2. Условие разделенности и бли-
зости (541). 18.3. Условие разделенности диагонали (542).
§ 19.	Интегрирование треугольной системы.................542
19.1.	Обозначения (542). 19.2. Перемена порядка (543). 19.3. Суммы (545).
19.4.	Функции х\^ (546).
§ 20.	Лемма Ляпунова..............’......................547
20.1.	Показатель интеграла (547). 20.2. Следствие 20.2.1 (548). 20.3. Точная
оценка показателя (548). 20.4. Обобщение предыдущего пункта (550). 20.5. По-
казатели функций (/ ... Л)(т) (551). 20.6. Следствие 20.6.1 (553).
§ 21.	Разные леммы.......................................554
21.1.	Функция р (/) (554). 21.2. Продолжение функции с условием Лип-
шица (555). 21.3. Комплексный случай (556). 21.4. (557).
Библиография.............................................558
Предметный указатель.....................................566