Ik В. НЕМЫЦКИЙ и В. В. СТЕПАНОВ
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
О г из
государственное издательство
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 4 7 ЛЕНИНГРАД
Редактор Б.П. Демидович.	Техн, редактор Н- А. Тумаркина.
Подписано к печати 20/VIII 1947 г. 28 печ. л* 29,33 уч.-изд. л. 41 900 тип. зн.
в печ. л. Тираж 10 000 экз. А-06409. Цена книги 17 р. 50 к. Переплёт 2 р.
Заказ № 445.
16-я типография треста «Полиграфкнига» ОГИЗа' при Совете Министров СССР.
Москва, Трёхпрудиый, 9.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. .................................................... 5
Введение......................................................... 7
§ 1.	Теоремы существования и основные свойства семейств
интегральных	кривых................................... 10
§ 2.	Основные	свойства	интегральных кривых на плоскости . .	24
§ 3.	Некоторые особенности поведения траекторий на поверх-
ности тора..............................*................ 34
Глава I. Траектории в окрестности особой точки на плоскости 37
§ 1.	Система линейных уравнений с постоянными коэффициен-
тами .................................................... 37
§ 2.	Геометрическая классификация	особых точек............. 45
§ 3.	Исключительные направления. Поведение интегральных
кривых в нормальной области.............................. 49
§ 4.	Аналитические критерии для различения типов особой
точки ............................................... .	54
§ 5.	Первая и вторая проблемы различения................... 64
§ 6.	Проблема центра и фокуса.............................. 77
Глава II. Поведение интегральных кривых вблизи собой
точки в n-мерном пространстве.............................. 87
§ 1.	Постановка задачи.................................... 87
§ 2.	Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . .	92
§ 3.	Нелинейные уравнения. Исследование поведения интеграль-
ных кривых для случая отсутствия чисто мнимых и нулевых
корней характеристического уравнения ........	108
§ 4.	Разыскание аналитических решений.................... 129
§ 5.	Исследование поведения интегральных кривых в случае
наличия у характеристического уравнения чисто мнимых
корней ................................................... 143
§ 6.	Устойчивость по Биркгофу..........................   170
Глава III. Поведение интегральных кривых в окрестности пе-
риодического движения..................................... 179
§ 1.	Постановка задачи..................................  179
§ 2.	Изучение линейной системы..........................  186
§ 3.	Метод Ляпунова......................................  193
§ 4.	Метод формальных разложений.......................... 202
§ 5.	Случай канонической системы уравнений ........	205

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6.	Метод поверхностей сечения......................... 211
§ 7.	Каноническая система двух уравнений................ 212
§ 8.	Структура окрестности гиперболической точки........ 214
§ 9.	Структура окрестности эллиптической точки.......... 232
Глава IV. Общая теория динамических систем...............; •	245
§ 1.	Метрические пространства........................... 246
§ 2.	Общие свойства динамических систем................. 265
§ 3.	«а- иa-предельные точки ........................... 271
§ 4.	Устойчивость по Пуассону........................... 276
§ 5.	Возвращаемость областей. Центральные движения ....	285
§ 6.	Минимальный центр притяжения....................... 294
§ 7.	Минимальные множества и рекуррентные движения . . .	306
§ 8.	Почти периодические движения....................... 316
§ 9.	Вполне неустойчивые динамические системы........... 323
Глава V. Системы с интегральным инвариантом ...... .	344
§ 1.	Определение интегрального инварианта................ 344
§ 2.	Мера Каратеодори..................................   351
§ 3.	Теоремы возвращения................................. 365
§ 4.	Теоремы Гопфа....................................... 372
§ 5.	Эргодическая теорема Биркгофа....................... 377
§ 6.	Добавления к эргодической теореме................... 387
§ 7.	Статистические эргодические теоремы................. 390
§ 8.	Обобщения эргодической теоремы...................... 393
§ 9.	Инвариантные меры произвольной динамической системы 405
Библиография . . . .........................................   441
Алфавитный указатель . . •...................................  447
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая монография возникла в результате совместной
работы авторов в качестве руководителей ряда семинаров в
Московском университете. Это в значительной мере определило
содержание книги. Она не ставит своей целью дать энциклопедию
качественных методов в теории дифференциальных уравнений;
выбор материала обусловлен научными интересами авторов и
общим направлением московской математической школы. Разби-
раемые в этой книге темы объединены одной общей идеей: по
существу это теория геометрических и даже, точнее, топологи-
ческих свойств семейства интегральных кривых. Некоторым от-
ступлением от этой программы являются главы II и III, где
рассматриваются также аффинные инварианты этого семейства,
а также глава V, где мы имеем дело с метрической геометрией
семейства интегральных кривых. Ввиду такого плана монографии
в ней, в частности, совершенно не представлена столь богатая
результатами и приложениями теория устойчивости по Ляпунову,
бесспорно относящаяся к качественной теории дифференциаль-
ных уравнений.
В заключение укажем, что хотя работа над книгой прохо-
дила в тесном контакте между авторами, но отдельные главы
написаны отдельными авторами. Именно: введение и гл. IV и V
написаны В. В. Степановым, а гл. I, II и III — В. В. Немыцким.
Авторы
Редактор Б.П. Демидович.	Техн, редактор И- А. Тумаркина.
Подписано к печати 20/VIII 1947 г. 28 печ. л* 29,33 уч.-изд. л. 41 900 тип. зн.
в печ. л. Тираж 10 000 экз. А-06409. Цена книги 17 р. 50 к. Переплёт 2 р.
Заказ № 445.
16-я типография треста «Полиграфкнига» ОГИЗа' при Совете Министров СССР.
Москва, Трёхпрудиый, 9.
ВВЕДЕНИЕ
Классический период развития теории дифференциальных урав-
нений, начавшийся с Ньютона и Лейбница и в основном завершив-
шийся во 2-й половине XIX века работами Софуса Ли, ставил своей
основной задачей нахождение общего решения возможно широких
классов уравнений, в элементарных функциях или при помощи
выражений, содержащих квадратуры от элементарных функций.
Но очень скоро обнаружилось, что для подавляющего большин-
ства уравнений и систем уравнений так поставленная задача нераз-
решима; таким образом, на этом пути оказалось невозможным
построить общую теорию дифференциальных уравнений. Между
тем задачи математического естествознания, главным образом
механики и в особенности небесной механики, требовали разреше-
ния часто весьма сложных систем уравнений.
В связи с этими требованиями математической практики по-
лучили широкое развитие методы численного интегри-
рования дифференциальных уравнений, которые в до насто-
ящего времени применяются каждый раз, когда для конкретной
задачи нужно получить числовой ответ. Существенным дефектом
этих методов является то, что они принципиально дают только одно
частное решение; для нахождения другого частного решения нужно
все вычисления производить заново. Поэтому численные методы не
могут служить базой для создания общей теории дифференци-
альных уравнений.
Классическое направление дало фундамент для общей теории,
в основном, линейных дифференциальных уравнений: известные
теоремы о характере зависимости'общего решения от постоянных
интеграции и от начальных данных, получение общего решения
из частных (Лагранж) и т. д. Теория нелинейных дифферен-
циальных уравнений ведёт своё начало от Коши (первая поло-
вина XIX в.), который дал доказательство существования и един-
ственности, при известных условиях, решения дифференциаль-
ного уравнения—как методами теории функций комплексного
переменного (применением мажорантных функций), так и мето-
дами анализа в действительной области (аппроксимация интег-
ральных кривых полигональными линиями). Дальнейшие сущест-
венные результаты принадлежат в направлении комплексного
переменного—Пуанкаре (исследование зависимости решения от
8
ВВЕДЕНИЕ
параметра) и Пенлеве (зависимость решения от начальных усло-
вий), а в действительной области-—Пикару (метод последова-
тельных приближений и его следствия) и Линделёфу (дифференци-
руемость по начальным данным).
Следует отметить, что теоремы существования немедленно
нашли и практическое применение в виде приближённых
методов интегрирования дифференциальных уравнений. Сте-
пенные ряды и пикаровские приближения не только в пределе дают
точное решение данных уравнений, но и позволяют приблизиться
к нему с любой степенью точности, причём часто можно усмотреть
из этих приближений характер зависимости от начальных значе-
ний и параметров.
Наиболее важное место в общей теории дифференциальных
уравнений занимает качественная теория, основателем которой
является Пуанкаре. В своих работах Пуанкаре, начиная с 80-х
годов XIX века, пришёл к разработке качественных методов в
связи с вопросами небесной механики и космогонии, в которых
важно не только определить характер решений в течение заданного
конечного интервала времени, но также иметь сведения о поведении
решения при неограниченном возрастании времени. Начиная с
Пуанкаре исследования этого рода ведутся, главным образом, по
отношению к системам уравнений, правые части которых не зави-
сят явно от независимого переменного t (времени)—эти системы
впоследствии (Биркгоф) получили название динамических
систем. При этом без ограничения общности можно ограни-
читься (при помощи введения вспомогательных зависимых пере-
менных) случаем системы 1-го порядка вида
§ =	(t = l,2, ..., л).	(1)
Переменные ®l5 xs, ..., хп при этом рассматриваются как ко-
ординаты точки «-мерного пространства (фазовое про-
странство), а решения системы (1) называются движе-
ниями.
Пуанкаре дал достаточно полную качественную картину по-
ведения интегральных кривых системы (1) на плоскости, т. е.
в случае п—2; его исследования получили завершение в работе
Бендиксона; Броуер провёл те же исследования для случая,
когда в системе (1) на плоскости не выполняется условие единствен-
ности. Для случая п )> 2 следует отметить исследования Пуанкаре
об интегральных кривых на поверхности тора, дополненные
в последние десятилетия исследованиями Данжуа и X. Кнезера.
Для общего случая системы (1) Пуанкаре получил только пред-
варительные результаты. Одновременно с Пуанкаре исследованием
систем вида (1) и даже более общих, где правые части могут опре-
делённым образом зависеть от i, занимался А. М. Ляпунов. Основ-
ВВЕДЕНИЕ
9
ная проблема, которую изучал Ляпунов, это устойчивость
решения уравнения (1) (главным образом, решения, представ-
ляющего равновесие или периодическое движение) на бесконеч-
ном интервале временной оси при малых изменениях начальных
условий, определяющих данное решение.
Как для вопросов устойчивости, так и для общего качественного
анализа дифференциальных уравнений большое значение имеет ис-
следование особых точек или точекпокоя системы (1). Это
те точки	,...,ж<°>), для которых Xi (жф,	ж<“))=0,
i=i, 2, ..., п. Изучение расположения интегральных кривых
в окрестности особой точки, для случая в =2, проведено
Пуанкаре, Бендиксоном и другими авторами. Для общего
случая исследование характера особых точек начато Пуанкаре
и ещё далеко не закончено. Наиболее общие результаты
здесь принадлежат Перрону и И. Г. Петровскому. Кроме того, в
направлении устойчивости по Ляпунову исследование окрест-
ности особой точки далеко продвинуто работами математиков
Казанской школы (Н. Г. Четаев, И. Г. Малкин, Г. В. Каменков,
К. П. Персидский).
Теория динамических систем, намеченная Пуанкаре, получила
дальнейшее широкое развитие в работах Биркгофа. Можно ска-
зать, что Биркгоф положил основание общей теории динамиче-
ских систем, выделив в них особенно интересные классы движений—
центральные и рекуррентные движения. Биркгоф
также продолжил изыскания Пуанкаре о существовании периоди-
ческих решений в окрестности данного периодического решения.
Он ещё- больше, чем Пуанкаре, пользуется топологическими мето-
дами (принцип неподвижной точки и др.).
Среди общих динамических систем большое развитие получила
теория динамических систем, обладающих интегральным
инвариантом; в частности к этому классу относятся
системы уравнений Гамильтона в классической динамике.
Важная роль этого класса динамических систем отмечена ещё
Пуанкаре, который доказал для них «теорему возвращения».
Дальнейший крупный успех этой теории опять связан с именем
Биркгофа—с его знаменитой эргодической теоремой (1932 г.),
имеющей большие приложения в области статистической ме-
ханики. Вопросу о том, в каких системах может быть введён
интегральный инвариант, посвящён ряд работ Биркгофа,
Э. Гопфа и др.
Наконец, в порядке обобщения понятия интегрального инва-
рианта, Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым создана общая
теория инвариантной меры в динамических системах.
В дальнейших параграфах этой вступительной главы мы дадим
изложение теоремы существования решений для систем диффе-
ренциальных уравнений, введём некоторые основные понятия,
10
ВВЕДЕНИЕ
важные для теории динамических систем, а также дадим крат-
кое изложение наиболее существенных результатов, касающихся
динамических систем, заданных на плоскости и вообще на дву-
мерном многообразии.
§ 1. Теоремы существования и основные свойства
семейств интегральных кривых
В теории динамических систем, при её элементарной постановке
рассматриваются решения системы дифференциальных уравнений:
^ = Х*(ж1,я2, ...,«n)	(i = 1, 2, ..п).	(1)
Правые части Xi (i = 1,2, , п) мы будем предполагать функ-
циями от совокупности переменных (ж15 ж2,..., жп) или, что то же,
от точки р, с. координатами (ж1, ж2, ..., жп), n-мерного евклидова
пространства Еп (так называемого фазового простран-
ства). Эти функции определены и непрерывны в некоторой об-
ласти jDcZ-E”; мы будем предполагать эту область открытой; в ча-
стности может быть £>=£п. Далее, на функции Xi в области
Е налагается дополнительное условие, обеспечивающее един-
ственность решения; в качестве такого условия мы возьмём
выполнение условий Липшица в любой компактной, т. е.
замкнутой ограниченной области G(Z.D. В таком случае имеет
место теорема существования и единственности
решения системы (1).
Теорема 1. Если правые части уравнений (1) непрерывны
в области D и удовлетворяют во всякой компактной замкну-
той области GqD условию Липшица
I "Xi J • * • ,	(*^1> ^2! " ’ • , I
< L{\ жх — а\| +1 Я2—«2 Н---ЬI х„—х"„ |}, i = 1, 2,..., п, (2)
где L есть постоянная {зависящая вообще от области G), то
начальные условия'.
t =	= «а = 40)> ... , хп==х®1,
где tB — данное число'. сс	оо и р0 — (ж)°\ х«»,. .. , х^0))
есть точка области D — определяют единственное решение'.
.ж^жД/)	(z=l,2,...,n), (3)
удовлетворяющее начальным условиям:
xi {ро, t0, ж<°>, ж<°), ... , ж<°>) = ж<°)	(i = 1,2, ... , п).
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
11
Доказательство этой теоремы имеется в каждом полном курсе
дифференциальных уравнений ’), и мы .не будем его здесь по-
вторять. Сделаем только ряд добавочных замечаний.
1) Теорема существования доказывается обычно для более
(широкого класса систем, а именно для систем вида
^ = ji(t,xL,xt,... ,хп) (i = l,2, ... ,п),	(!')
где правые части могут зависеть также от независимого пере-
менного t.
2) Теорема существования в её первоначальной форме обес-
печивает существование решения (3) лишь для интервала изме-
нения независимого переменного:
-С ^0 "Т	(^)
где Л= min -^0 . При этом числа а и b берутся из условия,
что правые части системы (1) непрерывны и удовлетворяют усло-
вию Липшица в замкнутой области R-.
|г —*ol<e, |жг —	(i = l,2, ... , «),
а М есть наибольший из максимумов функций 12СХ|, |Х2|, . .., | Хп|
в области R.
Для. уравнений специального вида (1), где правые части не
зависят от t, число а может быть взято сколь угодно большим.
Поэтому в условии (4) значение h определится, как где
b есть половина ребра того «-мерного куба с центром в точке
р0 и рёбрами, параллельными осям координат, который вместе с
границей принадлежит области D.
Определённое в интервале (4) решение (3) может быть про-
должено.
Рассмотрим, например, его продолжение при возрастании t.
Точка
^4) = Xi (tB 4- h; t0,	x<°>,	, x^) (i = 1, 2, . .. , n),
в силу выбора числа Ь, лежит в области Z); её можно взять за
начальную точку, а значение времени ix = t04rA принять за
начальный момент. Тогда решение
х	...,4й)	= 2, ...,п)	(3')
х) См., напр, Гур с а, Курс математического анализа, т. 2, ГТТИ,
М. — Л. (1933); В. В. Степанов, Курс интегрирования дифференциаль-
ных уравнении, изд. 4-е, ГОНТИ, М.—Л.. (1945); И. Г. Петровский,
•Лекции по дифференциальным уравнениям, ГОНТИ, М.—Л. (1939).
12
ВВЕДЕНИЕ
опять существует в некотором интервале

(4'>
причём в общей части интервалов (4) и (4') решения (3) и (3'),
совпадают. Выражения (3') в замкнутом интервале [iv ij + AJ
мы будем рассматривать как продолжение решения (3), кото-
рое, таким образом, будет определено уже для
В теории динамических систем наибольший интерес пред-
ставляет тот случай, когда решения системы (1) — движения—
могут быть определены для интервала времени, бесконечного'
в обе стороны. Достаточное условие для возможности такого
продолжения даёт следующая теорема.
Теорема 2. Если траектория движения (3) при возра-
стании времени остаётся в замкнутой ограниченной области
G6Z.D, то движение может быть продолжено на бесконечный
интервал р0, -j-oo).
В самом деле, замкнутое множество G лежит в открытой
области D; поэтому для каждой его точки р найдётся окру-
жающая её сферическая окрестность радиуса d (р) > 0, лежа-
щая внутри D. В силу компактности множества G нижняя
граница значений d(p) положительна:
inf (Z(p) = d0> О1).
рЕбг
Пусть Gj есть замкнутая —окрестность множества G, т. е-
совокупность точек, расстояние которых от области G мень-
ше или равно ~2). Очевидно, GjGZ-O-
Обозначим через МЛ наибольший из максимумов абсолютных:
величин функций Xlf Xz, ... , Хп в области Сг. Каждая точка обла-
сти G является центром куба, целиком лежащего внутри Gv поло-
х) Если допустить обратное, мы могли бы найти последовательность,
точек { рп } такую, что lim d (рп) = 0. Эта последовательность имеет пре-
п->оо
дельную точку рв, для которой d (р0) > 0. Пусть подпоследовательность-
{ Pnji } сходится к р0. Тогда для всех достаточно больших расстояние между
•1 1
точками рп^ и р0 меньше — d (р0). Л потому	d(p0), что про-
тиворечит условию lim d (рп ) = 0.
fe->co *
2) Под расстоянием точки р от множества А понимается нижняя
грань расстояний точек р и а, где а£А.
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
13
шина ребра которого не меньше, чем —(n-мерный куб,
2р п х.
вписанный в сферу радиуса . Поэтому для каждой точки
(ж(°>,4с>, ... ,	£ G можно взять значение h в неравенст-
вах (4) равным —-° /—.
Так как по условию траектория движения не выходит из
•области G, то мы можем неограниченное число раз продолжить
её на интервал одной и той же длины h, т. е. достигнуть сколь
угодно больших значений t, что и доказывает теорему.
Следствие. Если начальная точка рв принадлежит замк-
нутой ограниченной области GC.D и если при возрастающем t
•движение не продолжаемо неограниченно до + со, то дви-
жущая'ся точка необходимо покидает G в некоторый момент
времени Т >tB.
Очевидно, теорема 2 и следствие имеют место и в случае
продолжения решения для значений t, меньших чем i0.
Для дальнейших приложений очень важную роль играет
теорема о непрерывной зависимости решения (3)
•от координат начальной точки (4°\ ж<°>, .. . , 4°0- Непрерыв-
ность по этим аргументам легко устанавливается для достаточно
малого участка интегральной кривой ^например, при 1t—10\	.
Дальше можно показать, что эта непрерывность сохраняется и
мри продолжениях интегральной кривой. Мы здесь дадим неза-
висимое от теоремы 1 доказательство указанной теоремы, при
котором будет установлена оценка отклонения изменённого
решения от данного, зависящая от постоянной Липшица.
Теорема 3. Если решение (3): хг = х.;(£) (i = 1, 2, ... , ri),
существует при	то для любого е>0 можно найти
такое 8 > 0, что решение:
x^Xiit; t0,	40), . . ., 4°))= X; (i) (i= 1, 2, ..., п), (3")
определённое начальными данными (4°\ 40)« • • - > 4°>) пРй t = t0>
где 140) — 40) I < с, | 4С) — 40) I < • • •, I 40) — 40) I < ° сущест-
вует в том же интервале и удовлетворяет для всех значений
t в интервале tu^t^T неравенствам:
к/(*)— <s	(j = l,2, ... ,n).	(5)
Заметим, прежде всего, что при доказательстве теоремы,
очевидно, можно считать число s сколь угодно малым.
Пусть е меньше, чем расстояние от дуги траектории (3)
между t0 и Т до границы области D.
и
ВВЕДЕНИЕ
Мы сначала допустим, что решение (3") существует во всём
интервале	Так как (3) и (3") являются решением
системы (1), то мы имеем тождества
d-^ =Xi(x1(t),xi{t),...,xM
=	^n(O)
(г = 1,2,...,п). (6)
Траектории обоих движений (3) и (3") лежат в. ограничен-
ной замкнутой области, входящей в Z), поэтому по условию
теоремы 1 существует постоянная L > 0 такая, что выполня-
ются условия Липшица (2). Вычитая тождества (6) почленно
и применяя оценку (2), мы получим:
d (xj - Xi)
dt
< L{\xx — tfj + l x* — ж,Ц-----—®n|}
(i = l,2, ... , n).
(7>
Заметим, что равенство
\Xj
dt
справедливо во
|<Z (я:^ — х£) | ,, q
всех точках, кроме тех, где х{ = ж, и одновременно |---j =#v,
так как в этих последних точках производная в правой части
равенства не существует. Но эти точки являются изолирован-
ными, и функция — xt] интегрируема по Риману.
Делаем указанную замену в неравенствах (7) и складываем
их, получаем:
п
<пь 'SIXi~x*\-
8=1
Замечая, что в силу теоремы единственности ни при каком
п
значении t сумма I xt — ж,- j не равна нулю, деля обе части
последнего неравенства на эту сумму, будем иметь:
•;=i
пL или
п
'^tln Xi-Xi if <nL.
8 = 1
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
15
Отсюда, интегрируя последнее неравенство в пределах от tB до
t, где	находим:
п	п
^яЛ	'	' 1 ^аваЛ
»=1	г=1
8 = 1
Выбираем о < Ле-пЕ(т-to); тогда, если взять |ж/0) —я40)| < &
(i = l, 2, ..., п), то мы получим:
п
2 I xi № — xi (О I < п ЪепЬ(Т~^ < е,	(5')
8=1
для	Отсюда, очевидно, и следуют неравенства (5).
Теперь легко освободиться от сделанного вначале ограниче-
ния и показать продолжаемость решения (3") до t = T. Допу-
стив обратное, мы имели бы, что решение (3") при t <Т покинуло
бы замкнутую область, заключающую все точки (Ех, с2, •••, 5П)» для
которых при некотором t, 0<?<7’ имеем:
п
£=1
а это противоречило бы выбору е и неравенству (5'). Теорема
доказана.
Совершенно аналогичное рассуждение применимо к интервалу
(Л> Q, где Тг < 1В.
Изложенные теоремы справедливы с некоторыми изменениями
и для систем более общих, чем системы (1), именно для таких,
правые части которых зависят от t. Следующее свойство напротив
является характеристическим для систем уравнений вида (1),
т. е. таких, в которых правые части являются функциями только
точки пространства, а не времени. (Если рассматривать Xi как
компоненты скорости, можно сказать, что уравнения (1) опреде-
ляют стационарное движение.)
Для вывода этого свойства уточним в формулах (3) зависи-
мость решения от начального значения независимого перемен-
ного, т. е. от tB.
Именно, правые части равенств (3) могут быть преобразованы
так:
ъ (t; 40)> 4°),..., 4”))=Xi (t~tB-, о, х<°>, 4°), ..., 4°>)
(г = 1, 2, . .., и).
16
ВВЕДЕНИЕ <
В самом деле, правые части последних равенств удовлетворяют
системе (1), так как эта система не содержит явно t и, следова-
тельно, сохраняет свой вид при замене t на I —10. Далее, при
•t = te в силу выполнения начальных условий обе части равенства
обращаются в яр.
Следовательно, мы имеем два решения, совпадающие при
•t = t0, и в силу единственности они совпадают для всех значений t.
Поэтому решения (3) мы будем далее записывать в форме:
=	— t0;	x^°>, ..., яР) (г = 1, 2, ..	п).	(3"')
Дадим теперь переменной t любое значение ilt принадлежа-
щее интервалу, где определены правые части (3'"), и обозначим
^0) ар, ....яр)=яр (i= 1,2, ..., п).
Составим далее решение, определённое начальными данными
яр, хр.........xW), т. е.
Xi =Xi (t—ty- x[l), x^), ..x^) (i = 1, 2, .. ., n).
'Тогда имеют место тождества:
ж2- (f — tp, яр, х®, ...» xW) == Xt —	я<р>, яр, . .., яр)
(г = 1, 2, ..., п).
В самом деле, оба написанных решения при t = обращаются
в одни и те же числа яр, х^, ..., х<£\ следовательно, в силу
единственности они совпадают для всех значений t, для -которых
определено решение (3"').
Заменяя для простоты в последних тождествах —t0 через
a t —1± через ?2, мы получаем искомое свойство:
Теорема 4. Решения системы (1) определяют группу с
параметром t, т. е. имеют место тождества:
К; (гх; ар, • • • > 4Р),  • • > хп (ti, ар, • •  > 40))]
«р,   > 4°))	(г = 1, 2,	п).
Заметим далее, что в случае системы (1) для нахождения
только формы траекторий нет нужды рассматривать t в ка-
честве независимого переменного; можно перейти к симметрической
форме системы из п — 1 уравнений:
__dx% 	__dx^	, q.
Мы возьмём такую начальную точку (яр, яр, . ..,яр), в кото-
рой не все функции Xt обращаются в нуль; такая точка назы-
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВО ВАНИН
17
вается обыкновенной .точкой для системы (8) или (3). Без огра-
ничения общности можно предположить, что
хп(4°),44 ...,4”))^о,
и в системе (8) рассматривать хп как независимое переменное.
Для последующего вывода введём вместо условия Липшица
более сильное условие: а именно, предположим, что функции
Xi обладают непрерывными частными производными по
ж,, ж2, .. ., хп. Тогда система (8) допускает, в окрестности точки
(44 Ж2СЭ’	п— 1 первых интегралов1):
Y1	? ' ’ ’ ’	1’ Хп) ’	1> 7*2 (^1 ’ *^2* " * * ’ Жп-1, Жп) ^2* * ’ "
• • •> ^П—1 (®1, ®2’ ’ ’ ’ ’ ХП-1> Хп) ~ in— 1’ (9)
причём <pj (44	хи-1’ 40)) — ж(р И = 1,2, ..., п — 1). Якобиан
Д U1, ^2, • • S«-t)
Д(аТ, ж2, . . .iji-j)
равен 1 при ж1 = 40), ж2 = 44 •• •> жп = 4»4 поэтому он отличен
от нуля в некоторой окрестности точки (4С\ ж^С), • • • > 40))> и в
этой окрестности уравнения (9) разрешимы относительно
/у» zy*	•
</zj, <X/g, • • • »
^=•4- (?1, «2> • «J (У =1> 2, • • П~ 1),
где 4 j- — непрерывно дифференцируемые функции своих аргумен-
тов.
Внося эти выражения для Xj в последнее из уравнений (1),
получим:
-% = Хп (?., ?2, ..., 5П_Р жп), Ч?2 (;,, е2,  • •, 5n_v ж„), ...,
• • •> ^П-1 (’!’ ^2’ • • ' ’	Жп)] =^ ы (?!» *=2, • * ’ ’ ^П-1, Жп).
Замечая, что вдоль каждой траектории величины $1г	.. .,
•сохраняют постоянное значение, мы из этого уравнения, прини-
мая во внимание начальные условия, получим:
t — «0 =
жп
С___________________________
J а (?1, ?2> • • •> ?Я-1> Ж«)
ж(0)
п
(10)
Введём теперь ещё одну новую координату:
хп
?n= \	-----у = х(^^2. •••>и1,жл;40))- (9')
х(ОЭ
П
9 В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. VII.
Лемыцкий и Степанов
ВВЕДЕНИЕ
При жп = ж£°> мы имеем: Sn = 0, Ф 0,|?=О(у = 1, 2...../г—1)_
Отсюда легко получаем, что при х. = х'^ {i = 1, 2, ..., п) якобиан
-Р fa. • • ч ^п) г Q
Р (^1. Х2»  * • —«)
Таким образом, при замене переменных (9), (9'), некоторая
окрестность обыкновенной точки (ж(с\ х®\ ..., х^) пространства
(ж1> жг, • • •, жп) взаимно однозначно и взаимно непрерывно ото-
бражается на окрестности точки (а?(с>, х^\ ...,	0) простран-
ства fa, fa ..., Ёп). При этом траектории и движения системы-
(3) переходят в силу равенств (9) и (9') в прямые, проходимые
равномерным движением:
?! = const, g2 —const,	₽=const, En=£ —fa
Это замечание мы сформулируем в виде теоремы.
Теорема 5. В окрестности обыкновенной точки семейство
траекторий системы (1) топологически отображается на семей-
ство прямых, проходимых движущейся точкой в равномерном
движении.
Заметим, что теорема 5 доказана нами в предположении
дифференцируемости правых частей уравнений (1) цо всем аргу-
ментам. Однако эта теорема имеет место только при условии
единственности решения системы (1).
Теорема 5 даёт очень простую топологическую характеристику
движений в окрестности обыкновенной точки.
Определение. Если в точке (ж-fa, х®), ..., х(п°)), принадле-
жащей области D, все функции X,- обращаются в нуль, то эта
точка называется особой для системы (1) и системы (8).
Исследованию особых точек будет посвящена значительная
часть этой книги; здесь мы дадим только некоторые основные-
их свойства.
Рассмотрим систему (1). Пусть мы имеем:
Хг (4°), х®>,	ж(0)) = 0, Хг (ж<°), ж(0), . .., ж(0)) = о, ...
...,Х„(4°>,	...,ж<°>)==0.	(11)
Тогда начальные данные t0, ж)0), х^'\ ..., ж(°) определяет един-
ственное решение:
fa = х<Х>, х2 ж<°>, . .., хп =	,
и соответствующее ему движение обратится в покой. Поэтому
мы будем часто называть те точки (особые), где имеют место
равенства (11), точками покоя.
Легко убедиться, что ни одно движение х1 (2),	..., хп (£),
начинающееся при t = t0 в точке, отличной от точки покоя.
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ	3 9
(а^°\	, х$У), не может достигнуть этой последней ни в
какой конечный момент времени Т, так как в противном случае
начальные данные Т,	, а;^0) определяли бы при t <_Т
два решения системы (1) — покой и рассматриваемое движение.
С другой стороны, имеет место следующий факт.
Теорема 6. Если решение системы (1) определяется
функциями
МО, МО, • • МО,
которые имеют при t—> + со (или t—> — со) пределы х<ф\..., ж£0),
причём точка р (ж^°\ х[°\ ..ж<°>) принадлежит области D,
то точка р — особая.
Допустим обратное; тогда по крайней мере для одной из
функций Хк мы имели бы:
ХЛ.(я<0),	ж<0)) = а =Р 0.
В силу непрерывности функции Хк найдётся некоторая окрестность
U точки р:
| х — ж£0) | <С 8, i — 1, 2, .. ., п,
в которой
х2,	|>-^-
По предположению найдётся такое Т, что при t~>T мы
будем иметь:
[^•(t)-^0)|<8 (i = l, 2, ...,n).
С другой стороны, так как ^==Х/;, то» интегрируя это равен-
ство в пределах от Т до t > Т, получим:
t
I «г (О - Л0) | = |5	IX (0> (0>  • • . х. (01 dt | >
т
Последнее неравенство протаворечит условию lim^(^) = .4A
t—/CQ
Теорема доказана.
Заметим, что в силу непрерывности функций Х{ скорость
движения точки при приближении к точке покоя неограниченно
убывает; если некоторое движение примыкает при t—>оо к точке
покоя, то из непрерывной зависимости от начальных условий
следует, что достаточно близкие движения в течение сколь
угодно большого промежутка времени задержатся около точки
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
покоя, но при дальнейшем возрастании t каждое из этих дви-
жений может покинуть окрестность этой точки.
Иногда в теории динамических систем заменяют систему (1)
новой системой:
~ -^г (^1’	• • • , ^п)	(*^1> -^2’ • • • ’ ®n) (f — 1, 2, . . • , 7l). (1*)
Если функция ф (предполагаемая непрерывной) не обращается
в нуль нигде в области D, то система (1*) имеет те же особые
точки и те же траектории, что и система (1); последнее следует
из того, что для обеих систем симметричная система (8) одна
и та же. Переход от системы (1) и (1*) можно интерпретировать
как изменение скорости в отношении хг, ..., хп) в каждой
точке области, или же можно считать, что изменяется «вре-
мя»— вводится новое независимое переменное t', связанное
с первоначальным t соотношением: dt' = ©(ж^ ж2, ... , хп) dt.
Если мы перейдём от системы (1) к симметрической системе
Хх У-2’ * •  ,
______ dx2 		_ dxn
Xg (Л1> ^2* • •  » ^i)_______(Т-i» *^2» • • • । Ля)
то точка {х^, ж‘м, ... , ж„’), в которой все Xi обращаются в нуль,
окажется для системы (8) особой в том смысле, что при любом
выборе независимого переменного, будь то xv ж2, .. . , хп, пра-
вые части полученных уравнений будут неопределёнными в этой
точке и в общем случае разрывными в её окрестности.
Исключительным представляется тот случай, когда функции
X* имеют вид:
Xj = <р (xlt xz, ... , хп)  Хх, Х2 = ф (жх, х2, ... , хп)  X,L . ..
..., Хп = © (х„ х2, ... , х„)  Хп,
где © есть непрерывная функция, множество {ф = 0} не содер-
жит внутренних точек и <р (а?'0’, х2у, ..., х™') = 0, а функции
X’ (i = 1, 2, .... п) непрерывны, и по крайней мере одна из них
в рассматриваемой точке отлична от нуля. Тогда система (8)
может быть заменена системой
dXj __ dxz_.	__ dxn	, 2\
xi ~ х2 ~    х„ ’
для которой точка (яф”, x(z\ ... , ж®)) уже не является особой.
Интегральные кривые системы (12) будут расположены в окрест-
ности этой точки так же, как в окрестности всякой другой
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
21
обыкновенной точки; при обратном переходе от системы (12)
к системе (1) интегральные кривые системы (12), не содержа-
щие точек геометрического места
у (хи х2, ... , хп) = О,
перейдут в дуги траекторий; но интегральные • кривые системы
(12), имеющие общие точки с местом <р = 0, дадут, на тех отрез-
ках, где <р =# 0, куски траекторий, принадлежащих различным
движениям системы (1), причём эти движения при t —>	со
или t —> — со будут приближаться к точкам покоя, где <р = 0-
Назовём геометрическими особыми точками системы (1) или (8)
те особые точки, которые остаются особыми для всякой
системы (12)..
Таким образом, система (8), определяющая поле направле-
ний, если это поле дополнить непрерывным образом во всех
тех точках неопределённости, где это возможно, и получающая
тогда вид (12), может дать расположение интегральных кривых,
не тождественное с системой (1); в системе (1) могут оказаться
лишние особые точки.
Можно поставить обратный вопрос. Пусть дана система (12),
причём в некоторой области Dx для каждой точки {xL, х2, ... , ж„)
найдётся такое /, что отношения Xi: Xj определены и непре-
рывны в этой точке (область не содержит геометрических
особых точек). Можно ли от системы (12) перейти к системе (1),
так, чтобы траекториями этой последней были интегральные
кривые системы (12) и чтобы система (1) не имела лишних
особых точек (покоя) по сравнению с системой (12)?
Для предварительного выяснения этого вопроса заметим, что
система уравнений (1) относит каждой точке (хг, х2, ..  , хп)
пространства вектор (Хх, Х2, ... , Хп), тогда как система (8)
или (12) ставит в соответствие каждой точке линейный эле-
мент (направление) dxl: dx2 dxn — Хг: Х2: ... : Хп; один ли-
нейный элемент порождает два вектора (Х1( Х2, ..., Хп) и
( — Xv —Х2, ... , — Хп). Задача сводится геометрически к тому,
чтобы определить на всех линейных элементах положительное
направление так, чтобы полученное векторное поле оказалось
непрерывным всюду, кроме особых точек.
Эта задача ориентации поля линейных элементов эквива-
лентна задаче установления направления на поле интеграль-
ных кривых системы (12), причём близкие кривые должны иметь
согласное. направление.
Аналитически задача состоит в нахождении такой функции
(ж„ х2, ... , хп), что произведения Х& Х2<р, ..., Хп<р станут
непрерывными в Dl и нигде в этой области не будут одновре-
менно обращаться в нуль.
22
ВВЕДЕНИЕ
Задача ориентации поля линейных элементов на плоскости
в общем случае невозможна, как показывает следующий пример.
Пример. Пусть поле линейных элементов на плоскости
определяется дифференциаль-
ным уравнением:
dy . s
где о —полярный угол. Как
обычно, в окрестности точ-
т ки, где правая часть по мо-
дулю неограниченно воз-
растает, мы рассматриваем
уравнение
dx . а
------------- — fcr -Д- ,
dy 2
Очевидно, поле линейных
элементов определено и не-
прерывно всюду, кроме точки
(.0> 0). Вводя полярные координаты, мы легко проинтегрируем
это (однородное) уравнение
За ,	. Зе ,
cos	dr = г sin ~ dv
и получим три интегральные полупрямые
т,	5т:	. Л
9 = V >	? = ё- > г > О
о	о
и три семейства подобных кривых
(И),
а — произвольная постоянная (см. черт. 1). В этом поле нельзя
ввести ориентацию.
В самом деле, будем определять направление линейного эле-
мента поля углом Ф:
о
tg Ф = etg у .
Если для точек, лежащих на положительной полуоси ж-ов, мы
предпишем, например, положительное направление вверх в сто-
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
23
рону положительных у, т. е. положим Ф = у, то при движении
по окружности вокруг (0, 0), продолжая непрерывное значение
угла Ф, мы возвратимся в исходную точку со значением
Ф = — V’ т‘ е< ориентация направлений невозможна.
Заметим, что если мы аналитически, переходом к декартовым
координатам, представим правую часть нашего уравнения в виде
.дроби, например
dy__ sin _____ г sin и ___ у
dx 1 — cos ® г — г cos е |/’x2_i_y2 _ х *
то, написав систему в форме (1):
dt ? х -гУ х, ц-У>
мы вводим новые особые точки (точки покоя), заполняющие полу-
прямую:	г/=0.
В этом примере область не односвязна (точка (0, 0) в неё
не входит). Как показывает следующая теорема, это не случайно.
Теорема 7. Если непрерывное поле линейных элементов дано
в односвязной плоской области D, то оно может быть ори-
ентировано.
Область D можно аппроксимировать изнутри ограниченными
областями Dlt составленными из квадратов, поэтому достаточно
.доказать теорему для области D±. Выбираем сторону квадрата на-
столько малой, что внутри каждого из них колебание направле-
ния линейного элемента не превышало бы . В силу этого, если вы-
•бр ать положительное направление на одном элементе, оно однознач-
но перенесётся по непрерывности на все элементы этого квад-
рата. Заметим, наконец, что для полученного внутри квадрата
векторного поля его вращение при обходе по периметру квадрата
равно нулю. Установивши положительное направление в одном
элементе, мы затем определяем его на смежных квадратах и т. д.
При этом не может случиться, чтобы, подойдя к некоторому квад-
рат;/ по двум разным последовательностям квадратов, начиная от
исходного, мы получили противоположные направления векторно-
го. поля.
В самом деле, в этом случае вращение векторного поля вдоль
по некоторой замкнутой ломаной линии, составленной из сторон
квадратов, было бы равно я (к целое); но это вращение равно
алгебраической сумме вращений по периметрам всех квадратов,
заключённых внутри замкнутой ломаной, т. е. равно нулю, и мы
приходим к противоречию. Теорема доказана.
ВВЕДЕНИЕ
2'»
§ 2. Основные свойства интегральных кривых
на плоскости
Мы будем рассматривать в этом параграфе динамическую'
систему
в которой правые части являются непрерывными функциями
от х и у в некоторой открытой области D плоскости (х, у)-
(в частности, быть может, во всей плоскости Е2), и удовлетворяют
условию Липшица во всякой ограниченной замкнутой области,
содержащейся в D.
В силу общих теорем существования (§ 1) начальные зна-
чения I = 0, хй, уа определяют единственное решение (движение):
x = x(t; х0, у0),	y = y(t-,x0, ув),
которое может быть продолжено для значений t как положи-
тельных, так и отрицательных, пока движущаяся точка (х, у}
не выходит из области D. Мы сосредоточим своё внимание на
тех движениях, которые при возрастании или при убывании t
остаются в некоторой ограниченной замкнутой области R ( D;
такие движения могут быть продолжены для всех значений
времени от 0 до + со или до — со.
Множество точек плоскости, изображающих положение дви-
жущейся точки, при изменении времени t от 0 до -ф со (вклю-
чая значение 4 = 0) будем называть положительной полутраек-
торией. Множество точек, соответствующих изменению времени
t от 0 до — со (включая значение t = 0) назовём отрицатель-
ной полутраекторией' наконец, кривую, состоящую из множе-
ства всех точек плоскости, проходимых в рассматриваемом дви-
жении, мы назовём траекторией движения. Если положи-
тельная полутраектория лежит в замкнутой ограниченной обла-
сти, мы скажем, что соответствующее движение положительно
устойчиво по Лагранжу, аналогично определяется движение,.
отрицательно устойчивое по Лагранжу. Наконец, если вся
траектория движения лежит в замкнутом ограниченном множе-
стве, мы назовём траекторию (двусторонне) устойчивой по
Л агранжу.
Итак, рассмотрим положительно устойчивое по Лагранжу
движение, т. е. решение
ж =»(*), y = y(t)	(2}
системы уравнений (1), остающееся в R при 0	4 < -фсо.
Рассмотрим неограниченно возрастающую последователь-
ность значений 4:
0<4х < t2 < . . . < ta < ... , lim 4n = _]_ со.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
25
Последовательность точек
(ж(гп), y(Zn))
(3)
по теореме Вейерштрасса-Больцано имеет в R по крайней мере
одну предельную точку. Каждую точку плоскости, являющуюся,
предельной хотя бы для одной последовательности вида (3),.
мы назовём w-пределъной точкой движения (2).
Аналогично, точку (х0, ув) мы назовём и.-пределъпой точкой’
движения (2), если найдётся убывающая последовательность зна-
чений > t2 > ... > tn > ... , lim tn = — co, такая, что
n-»co
limy(Zn)=--y0.
71->CO	71-^CO
Для «-предельных точек мы имеем теорему:
Теорема 1. Если (к1; у±) есть ^-предельная точка для-,
движения (2), то все точки траектории х — x(t', xv y^t.
у — у(1\	У1) являются тоже ^-предельными для того же~
двимсения.
В самом деле, на траектории, проходящей через (xv yj,,
рассмотрим любую точку
х(Т-, xv yj, y[T-xv yj,
где Т — данное фиксированное число. В силу теоремы о непре-
рывной зависимости от начальных условий для любого наперёд
заданного г > 0 и для данного Т мы можем подобрать такое
о>О, что из неравенств |ж' — ж11<3 и | у'— у | < 8 будет
следовать:
I»х[, у[) — х (Z; xv ух) | < г, | у (Z; х[, у[) — у (Z; xlt у J | < е,
для всего интервала 0 < t Т.
Так как (а^, у^) является «-предельной точкой движения (2),.
то найдётся сколь угодно большое значение t = t’, такое, что-
\ х(1') — а\|<6, | у (t') — у± | < о. А тогда, замечая, что в пилу?
свойства группы
х & х (О, У (О) = х (t + «'), у (Z; х («'), у (Г)) = у (t + Г)
мы получим при t=*T;
]a:(i' + Т)— х(Т; xlt ух)| < е, |у(«' + Т) — у (Г; xv yj| < s.
Так как г > 0 сколь угодно мало, a Z' + T сколь угодно велико,,
то это и означает, что точка с координатами х(Т; xlf у^, .
y(T;xlt уг) есть «-предельная точка движения {«(Z), y(Z)}-
Очевидно, аналогичная теорема имеет место также и для.
a-предельных точек.
26
ВВЕДЕНИЕ
Если движение x(t), y(t) имеет единственную <»- или
а-предельную точку (ж; у), то существуют предельные значения
limx(t) = x, lirny(t)==y,
где t стремится к со того или иного знака, и по теореме 6 из
§	(х> у) есть необходимо точка покоя.
Заметим, что доказательство использует только непрерывную
зависимость от начальных условий, и полученный результат
верен не только для плоскости, но и для движений в фазовом
пространстве любого числа измерений. Мы ещё вернёмся к нему
в главе IV.
Следующая теорема существенно использует свойство пло-
скости и не обобщается на движения, протекающие в фазовом
пространстве более двух измерений.
Теорема 2. Если какая-нибудь <»- или а-пределъная точка
лежит на самой траектории, то траектория—замкнутая
кривая, и движение — периодическое.
Если движение сводится к покою, то его можно рассматри-
вать как периодическое с произвольным периодом. Мы остав-
ляем этот случай в стороне; тогда всякая точка траектории
отлична от точек покоя. Пусть
Р(ж0, ?/0) есть w-предельная точка
движения {ж(£), К траекто-
рии последнего построим в точке
Р отрезок нормали NPN' длины
2s, с серединой в точке Р, при-
чём выбираем г > 0 столь ма^
лым, что круг С: (х — ж0)2 + (у —
—не содержит особых то-
чек системы и что наклоны каса-
тельных к траекториям в этом кру-
ге отличаются от наклона каса-
тельной в точке {х0, уъ) не больше,
чем на (черт. 2). Тогда все тра-
ектории, пересекающие отрезок NPN', при возрастании t пере-
ходят п одной его стороны (отрицательной) на другую (поло-
жительную).
Заметим, что поскольку круг С не содержит точек покоя,
то в нём
[X(x.y)]* + [Y(x,yW>m>>0.
Из отмеченных свойств следует:
1) каждая точка, лежащая внутри этого круга, рассматри-
ваемая как начальная, покинет его (при изменении времени t в
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
27
положительном или отрицательном направлении) через проме-
жуток времени, не превышающий }/2;
2) траектория, проходящая через любую точку круга
S2
‘С':(х—ж0)а + (у—Уо)2 <у> пересечёт отрезок NPN', не выходя
из круга С-
Йо свойству w-предельной точки найдётся значение
i > — ]/2, при котором точка (x(t), y(t)) лежит внутри-С', и,
следовательно, траектория, не выходя из круга С, пересечёт-
нормаль при значении t>^]z^2.
Таким образом, движущаяся точка (rr(Z), y(t))> выходя из
начального положения Р, покидает круг С и затем возвращается
в него, пересекая NPN'.
Пусть наименьшее значение t > 0, при котором траектория
«нова пересекает отрезок NPN', есть x(t^ — хг, y(t1) = yL-
Мы утверждаем, что (хг, у1) = (хе, ув)-
Допустим обратное. Пусть (xL, y^ — Pr=f=P. Рассмотрим про-
стую замкнутую кривую, образованную дугой траектории
-г = х (Z), у = у (Z), (0 < t < fj) и отрезком нормали РРХ. Эта кривая
ограничивает некоторую область D. При значениях t > tr поло-
жительная полутраектория или: а) входит в область D или Ь) вы-
ходит из неё. В случае а) полутраектория не покинет область D,
тан как она не может пересечь дугу траектории РРг в силу
теоремы единственности и не может пересечь отрезок нормали
Р1\ в силу выбора числа е. Итак, в этом случае (черт. 3) тра-
ектория при t > навсегда останется в области D и никогда не
пересечёт отрезок Р Р±; по-
этому в круге С' при
1 > Й +~ )/2 не содер-
жится точек траектории,
что противоречит предпо-
ложению, что Р есть со-пре-
.дельная точка. В слу-
чае Ь), если траектория
при t > Zr выходит из об-
ласти D, аналогичное рас-
суждение показывает, что
если РфРг, то при t > tr траектория не может снова пере-
сечь отрезок нормали PPlt т. е. она навсегда оставляет об-
ласть D (черт. 4). Опять оказывается, что Р не есть («-предель-
ная точка.
Противоречие доказывает, что х (ZJ — х0, у (ZJ = уй- Рассматри-
а ая У1) как начальную точку движения и применяя свой-
28
ВВЕДЕНИЕ
ства единственности решения и группы, находим:
x(t}~x(t- х„, ya}=x{t- жх, yt) = x(t; ж(ZJ?/О =г
=г(* Н; х0, у0) = х (I + Q
и аналогично
Н0 = Нг + *1),
т. е. x(t) и ^(f) —периодические функции с периодом.^.
Движение происходит по замкнутой кривой, причём по исте-
чении промежутка времени t± всякая точка траектории возврат
щается в своё начальное положение. Теорема доказана.
Доказательство для случая a-предельной точки совершенно?
аналогично. Таким образом, точка покоя и периодические движе-
ния .не имеют других со (а)-предельных точек, кроме точек самой
траектории.
В главе IV мы увидим, что не только в плоском случае, но и
гораздо более общих динамических системах это свойство являет-
ся характеристическим для замкнутых траекторий и точек покоя.
Лемма. Если — замкнутая траектория на плоскости,
то для любого достаточно малого г > 0 найдётся о > 0 такое,
что у траектории L, проходящей через любую точку {хй) у0),
координаты которой удовлетворяют неравенствам'.
|ж*—ж0|<8, \у* — г/о|<8,	(4)
где Р(х*,у*}—какая-нибудь точка на L1; хотя одна из двух,
полутраекторий лежит внутри г-окрестности кривой L±.
Так как £, есть замкнутая- траектория и, следовательно, но
имеет на себе особой точки, а множество особых точек замкну-
тое, то можно выбрать s настолько малым, что е-окрестность
траектории L± не содержит особых точек. Далее подчиним' а
тому же ограничению, что в теореме 2, а именно потребуем,,
чтобы каждая траектория, имеющая точку внутри круга С' ради-
уса около точки Р, пересекала нормаль NPN' длины 2s, не-
выходя из круга С, с центром в точке Р, радиуса г. Пусть
период движения по будет Т. Для чисел ~ и Т мы можем
найти число о > 0 такое, что из условий (4) следует:
I х (I; х*, у*) — х (Г, хб, ?/в) | < у ,
\уР; у*)—у& х0, 2/о)|< f
(5)
при 111 < Т.
Обозначим через L траекторию, определённую начальной
точкой М (х0, у0), координаты которой удовлетворяют неравен-
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
29
ствам (4). Без нарушения общности доказательства можно пред-
положить, что точка М лежит на отрезке NPN'. В силу выбора
числа о и неравенств (5) точка, движущаяся по L, по истече-
нии времени Т будет находиться внутри круга С' и, следовательно,
при возрастании или убывании времени t пересечёт отрезок NPN'
в точке Мг, не выходя из круга С.
Если Мг совпадает с М, то L — замкнутая траектория, и
в силу (5) теорема для неё доказана.
Если Мг Ф М, то, так как М и Мг лежат в одной и той же
из областей, на которые Lr разбивает плоскость, могут быть
только два порядка точек на нормали: РМГМ и РММг. Рас-
смотрим кольцеобразную область G, ограниченную кривою Llt
дугою MMlt кривой L и прямолинейным отрезком ММх. В слу-
'чае расположения РМ,М точка, движущаяся по кривой L,
при возрастании t входит в область G в точке Ми там остаётся,
так как не может пересечь интегральных кривых и не может
пересечь нормаль в обратную сторону. Таким образом, в этом
случае вся положительная полутраектория из точки (хв, уа) не
выходит из кольцевой области G и, следовательно, целиком
содержится внутри е-окрестности траектории Lv Если же мы
имеем расположение РММ±, то отрицательная полутраектория,
исходящая из точки (хв, ув), не может покинуть область G,
поэтому отрицательная полутраектория находится в г-окрестно-
<ти траектории Лемма доказана.
Заметим ещё, что г можно выбрать настолько малым, что
жаждая траектория, пересекающая нормаль длины 2s с центром
® любой из точек траектории Llf переходит с отрицательной
стороны нормали на положительную.
Теорема 3. Если положительно устойчивая по Лагранжу
траектория L не является замкнутой и множество её ы-пре-
•делъных точек не содержит особой точки, то все ^-предельные
точки траектории L лежат на замкнутой траектории L
•к которой L спиралевидно приближается при со.
Пусть М ~(х*, у*} — одна из «-предельных точек для L. Со-
гласно теореме 1 все точки траектории Lx движения
x = x{t-,x9,y9), у ~ у (t-, я”, у*)
являются «-предельными для L- Из положительной устойчиво-
сти траектории L следует, что её положительная полутраектория
•лежит в замкнутой ограниченной области R.
Допустим, что Lj не является замкнутой траекторией. Тогда
она имеет «-предельную точку Р, не лежащую на Lt- Это при-
ведёт нас к противоречию.
Точка Р, будучи предельной для точек траектории яв-
ляется в силу этого «-предельной для траектории L. Следова-
тельно, по условию теоремы, Р не есть особая точка.
30
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим траекторию, проходящую через Р, и отрезокNPX'
нормали к этой траектории, длины 2s, где число г > 0 выбрано
так же, как в теореме 2.
В силу нашего предположения положительная полутраекто-
рия £* бесконечное число раз пересечёт отрезок N'PN при
t—*4-со. Пусть отрезок PN содержит бесконечное множество-
точек, лежащих на Lx и отличных от Р. Возьмём одну из этик
точек Рг (ж1, ух), где
=	ж’, у’), у = у (£г; ж*, у‘),
и пусть при t2 > tr траектория Л, впервые пересекает отрезок
РРХ в точке jP2(«2, у2) (черт. 5):
ж2==аф2; ж*, у*), у2==у(«2;а:*,у*).
При значениях t > t2 кривая не может снова пересечь
отрезок нормали Р тР так как она не может попасть в область,.
т
Черт. 5.
ограниченную дугою РгР2 и
отрезком нормали РХР2. Если
i8 есть значение, при котором
Lx снова пересекает отрезок PPt
в точке Рг, соответствующей,
значению > i2, то Рг лежит
между Р и Р2. Точка Р2, лежа-
щая на Lj, является по усло-
вию предельной точкой для L;
поэтому, если мы построим око-
ло неё окружность С с ради-
усом меньшим, чем длина на-
именьшего из отрезков Р2Рг и
Р2 Plt делённая на 2, то вну-
три этой окружности найдутся
точки траектории L- Следова-
тельно, найдётся или точка
пересечения траектории L с от-
резком PJ\, или точка Q2 пере-
сечения L с отрезком PJ?S~
Пусть эта точка лежит на отрезке РгР2- Проследим течение траекто-
рии L от точки в направлении возрастания t. Траектория при
этом или входит в область, ограниченную дугою траектории PjnP^
и отрезком нормали РгР^, или выходит из этой, области; в обоих
случаях она не может снова пересечь отрезок РХР2- Анало-
гично, если L имеет точку Q2 на отрезке нормали Р2Р-3, то
она при возрастании t или входит в область D2, ограниченную
дугою Р2Р? и отрезком Р2Р„ или выходит из этой области
и опять при дальнейшем возрастании t не может снова пересечь
отрезка PZPZ. Итак, при 1^>Т, где Т есть наибольшее из
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ	34
значений параметра t, соответствующих точкам Q, и Qz, траектория
L не имеет точек пересечения с отрезком PXPS и, следовательно, не-
попадает в круг С'. А это противоречит тому, что точка Р2, при-
надлежащая Z.15 есть <о-предельная точка для L. Противоречие
доказывает, что £1 есть замкнутая кривая.
Далее, если взять в какой-нибудь точке Q кривой L, малый
отрезок нормали, то кривая L при возрастании t пересечёт его-
последовательно в точках^, Q2,	, причём мы будем иметь.
порядок (), Q.^ Q,, и в силу леммы положительная полутраектория
L не выйдет из s-окрестности кривой А1, переходя при возраста-
нии t с отрицательной на положительную сторону любой нормали
к Z.J. Этим и доказывается спиралевидное приближение траекто-
рии L к Lx. Замкнутая траектория Z.1 называется в этом случае
предельным циклом для L.
Очевидно, утверждение, аналогичное высказанному в теореме 3.
справедливо по отношению к a-предельным точкам отрицатель-
но устойчивой траектории.
Примечание. Траектория L, не являющаяся замкнутой
и устойчивая в обе стороны, может иметь предельный цикл как
при 2—>4- со, так и при —со. Оба эти цикла необходимо различ-
ны, так как в случае их совпадения кривая L пересекала бы нор-
маль к предельному циклу в любой от него близости, переходя
ври этом с положительной её стороны на отрицательную как при.
позрастании, так и при убывании I.
Следствие. Если положительно-устойчивая полутра-
ектория не содержит в числе своих ш-пределъных точек особой точки,
то она или замкнутая траектория или спираль, навиваю-
щаяся на замкнутую траекторию.
Бендиксон исследовал и тот случай, когда среди си-предсль-
ных точек траектории находится конечное число особых точек.
Приведём здесь результат, когда среди «-предельных точек
траектории L находится одна особая точка.
Теорема 4. Если положительно устойчивая по Лагранжу
траектория L содержит в числе своих ы-предельных точек одну
особую точку Р и сверх того имеет и неособые предельные точки,
то эти последние лежат на траекториях {Z^}, каждая из которых
примыкает к Р как при t —> -|- со, так и при t —> — оо.
Пусть М—какая-нибудь «-предельная точка для L, отличная
от Р. По теореме 1 все точки траектории Lr, проходящей через
М, являются «-предельными для L. Следовательно, 2.1 устойчи-
ва в обе стороны. Эта траектория имеет в числе своих предельных
точек особую точку Р. В самом деле, в противном случае сущест-
вовала бы окрестность. U кривой (например, окружающая Lx
полоса шириною 2s), не содержащая точки Р. По теореме 3 кри-
вая Ег была бы замкнутой траекторией, a L—приближающейся
к ней спиралью, т. е. точка Р не была бы «-предельной для L.
32
ВВЕДЕНИЕ
Аналогично убеждаемся, что Ег не может иметь предельными осо-
бых точек, отличных от Р.
Но 2, не может иметь в качестве предельных и обыкновенные
точки; если бы такая предельная точка принадлежала L1} то по
теореме 2 кривая была бы замкнутой и, следовательно, не
имела бы Р своей предельной точкой; невозможность существо-
вания для Zj предельной точки вне кривой L, следует из рас-
суждения, применённого в доказательстве теоремы 3. Итак, Рг яв-
ляется устойчивой и не имеет других предельных точек, кроме В,
значит, она примыкает к Р как при t—»+<от, так и при i—->—от.
Очевидно, совокупность co-предельных точек для L состоит
из точек траектории {2^} и особой точки Р.
Т е о р е м а 5. Внутри плоской области G, ограниченной замк-
нутой траекторией и целиком принадлежагцей области суще-
ствования и единственности решений, существует по крайней
мере одна особая точка.
Пусть траектория L замкнута, и допустим, что ограниченная ею
область G не содержит особых точек. Через каждую точку (я0, г/0) gG
проходит траектория. В силу теорем 2 и 3 эта траектория или
является замкнутой или приближается к замкнутой траектории
(предельному циклу)(как при £—> + от, так и при — со, причём
по крайней мере один из этих предельных циклов отличен от L
(см. примечание к теореме 3). Итак, внутри L необходимо суще-
ствует замкнутая траектория Lt, отличная от L, ограничиваю-
щая область Gt. Повторяя то же рассуждение, мы доказываем
существование вложенных друг в друга замкнутых траекторий
L, Llt L2, ... , Ln, .. . , ограничивающих, соответственно, области
G, G„ Gt, ... , Gn, ... , где GZDG1ZD...r)G„ZD...
Рассмотрим последовательность замкнутых областей Ri=Gi.
Очевидно,
GZD^ZD ..-Z)2?nZ) ...
©О
Пересечение этих областей JJ2?,= 2?ш не пусто.
Если замкнутое множество 7?ш не содержит внутренних точек,
то все его .точки — особые. В самом деле, иначе траектория,
проходящая через некоторую точку P^R^, определила бы замк-
нутую кривую ограничивающую область Gu>, которая должна
лежать внутри всех кривых Li (i = 1,2, . .., п, .. .), т. е. внутри 7?и,
которое имело бы, таким образом, внутренние точки. В этом
случае теорема доказана.
Если же множество Rw содержит внутренние точки, то про-
ходящая через такую точку Р^ траектория определяет предель-
ный цикл £<u+i, ограничивающий область G^ i CZ Ru>- Тогда мы
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
33
получим новую последовательность замкнутых множеств:
Иш+г —(i —1,2,...),
причём каждое следующее множество является истинной частью
предыдущего. По теореме Бэра, на некотором непредельном
II класса трансфинитном числе р последовательность {7?а} обо-
рвётся, т. е. необходимо непустое, уже не содержит внутрен-
них точек. А тогда, по уже приведённому рассуждению,
состоит из особых точек. И в этом случае мы пришли к проти-
воречию. Теорема доказана.
(Бендиксон доказывает эту теорему, не пользуясь теоремой
Бэра, см. «Успеха математических наук», вып. IX, стр. 202.)
При помощи теоремы 5 можно подробнее анализировать кон-
фигурацию случая теоремы 4. А именно, имеет место теорема:
Теорема 6- Если траектория примыкает к особой точке Р
как при со, так и при t—^—со, и область G, ограниченная
етой траекторией, целиком расположена в Du не содержит дру-
гих особых точек, кроме Р, то всякая траектория L, проходящая
через внутреннюю точку области G, примыкает к Р как при
t—> + со, так и при t—>—со.
В самом деле, траектория L устойчива в обе стороны. Если бы
она не примыкала к особой точке, например, при £—»+со, то в силу
теоремы 2 или следствия из теоремы 3 она была бы или замкнутой
траекторией или спиралью, навивающейся на замкнутую траекто-
рию. Как в том, так и в другом случае, в силу теоремы 5, это влекло
бы существование внутри области G особой точки, что противоре-
чит условию теоремы.
Область, заполненная траекториями, которые примыкают к
одной особой точке как при t—»-|-со,так и при t—>—оо, назы-
вается замкнутой узловой областью (Бендиксон), или
областью эллиптического типа (Броуэр).
В доказательстве теорем 2, 3, 4 и 5, 6 мы существенно исполь-
зовали тот факт, что простая замкнутая дуга разбивает плоскость
на две области. Теоремы 2,3,4 останутся в силе, если рассматри-
вать движения на двумерном многообразии, разбиваемом на две
области любою замкнутой кривою, например, на цилиндрической
поверхности. Теоремы 5 и 6 справедливы для любого двумерного
многообразия, если замкнутая кривая, образованная траекторией
или траекторией вместе с особой точкой, ограничивает область
односвязную, т. е. область, в которой каждая замкнутая кри-
вая может быть непрерывно деформирована в точку.
Естественно, что эти теоремы не имеют аналогов в про-
странстве трёх или более измерений. Но и среди двумерных много-
образий эти теоремы не имеют места для движений на поверхности
рода больше нуля, в частности, на поверхности тора, пред-
ставляющей собой двумерное многообразие рода 1.
Немых иий и Степанов
3
ВВЕДЕНИЕ
34
§ 3. Некоторые особенности поведения траекторий
на поверхности тора
Рассмотрим в трёхмерном пространстве поверхность обыкно-
венного тора, заданную при помощи криволинейных координат Q, ф:
х = (R + г cos 0) cos ф, ?/= (7? + г cos &) sin ф, z = rsin&;
0<o<^2ii,	0<&<2rc (0<r<H).
Чтобы задать динамическую систему на торе, надо опреде-
лить на нём векторное поле при помощи непрерывных и одно-
значных на торе функций: Ф (&, ф) и 0(&, ф). Отсюда следует,,
что Ф и 0 необходимо являются периодическими функциями
аргументов <р и & с периодами 2к по каждому из них. Подчиним,,
сверх того, функции Ф и 0 условиям, обеспечивающим един-
ственность решения. Динамическая система на торе имеет вид:
^=ф(?л), !=©(<?, в).	со
На торе существуют динамические системы, не имеющие шг
одной особой точки; в таком случае уравнения Ф(с,8)^0.
0 (©,&) = 0 не имеют общих решений. Здесь мы предположим,
что функция Ф (<р, &) нигде не обращается в нуль; тогда для
изучения траекторий можно заменить систему (1) уравнением:
dft 0 (о, 0)	сГО л , q.	,п,
Д- = /ь /	> иЛи тг = А (?» &)>	(2)
ау Ф(о, »)	44	7	v 7
где А — непрерывная периодическая функция обоих своих ар-
гументов, периода 2к по каждому из них, и такая, что имеет
место единственность решений уравнения (2).
Общая качественная теория движений на поверхности тора
принадлежит в основном Пуанкаре. Мы здесь не будем её
развивать, а ограничимся как в настоящем параграфе, так и в
других главах приведением ряда важных примеров, иллюстри-
рующих те или иные положения теории.
П ример 1. Рассмотрим движения на торе, заданные урав-
нением:
£
do g ’
где q— натуральное число, р— целое число и дробь в правей
части несократима. Решение, определяемое начальными данными
® = 0, & = 80, имеет вид:
0 * q 4
Заметим, что мы можем рассматривать бесконечную область
изменения переменных ф и &: — со < <р<^ ф- со, — оо<&<^-рсс„
помня, что координаты (<р4-2ттг, &4-2гек) при целых т и п
определяют ту же точку, что и координаты (ф, &). Каждая па
§ 3. ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ТОРА
35
интегральных кривых замыкается при увеличении ф от 0 до 2^-;
при этом & монотонно изменяется от 80 до 8C-|- 2р~.
Вся поверхность тора покрыта замкнутыми кривыми, но ни
одна из них не ограничивает односвязной области; теорема 5
неприменима —особых точек на поверхности тора нет.
Пример 2. В динамической системе (2) положим: Ф=1,
0 = sin 8; уравнение траекторий имеет вид:
Имеются две замкнутые траектории 8=0 и 8 = к; остальные
даются формулой:
8 = 2 arc tg (j (g у e'Q ,
и спиралевидно приближаются к предельному циклу 8 = it при
>п-со (следовательно, при t—>-{-сс) и к предельному циклу
8=0 при <р—»—cc(t—— со).
П ример 3. Уравнение траекторий
где а — иррациональное число. Семейство интегральных кривых
^ = ®о + а? не содержит ни одной замкнутой; допустив, что
после п оборотов около оси вращения тора кривая замкнулась,
мы получили бы: 8„-|-2пка = 80-4-2tw (т —целое), откуда »== ,
т. е. а было бы рационально. Таг: как все траектории получаются
из одной из них, например, 8 = а<р, переносом вдоль оси 8, рас-
смотрим подробнее эту траекторию. Точки её пересечения с мери-
дианом ф = 0 будут 9=0, 8п=2пка, n = 0, ± 1, ±2,... Эти
точки всюду плотны на меридиане. В самом деле, каково бы
ни было е 0, мы можем найти такое целое число N, что дробная
часть выражения TVa, (Л'а) 2) заключена между 0 и s.
В этом можно убедиться так: выберем натуральное число.р
таким образом, чтобы имело место неравенство: — < г, и разде-
лиминтервал (0,1)нар частей: ^0,	>• •  >
Рассмотрим р + 1 чисел (Ла) (Л = 1, 2, ... , р+1). В силу
того, что а иррационально, между ними нет равных; по крайней
мере два из них попадут в один и тот же из р интервалов;
пусть это будут (Л'а) и (Л"а) и пусть (Л"а) > (Л'а). Мы имеем
О < (Л"а) — (Л'а) < — или 0 < ((Л" — Л') а) < j < г. Обозначая це-
лое число к"—к' = N, получим: 0<(7Va)<^=.
х) Через (а) мы обозначаем правильную нецелую часть, числа а, т-.ej
(а) = а— [а].
3*
36
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим теперь числа
О, (Ж), (2Ж), ... , (INa),
пе != [<ку]
р. Разность между каждыми двумя соседними
числами этой последовательности меньше е; следовательно, рас-
стояние между точками 2кАа и 2~ (N 4-1) а меньше 2~е, и рас-
стояние по кругу от последней точки 2nlNa. до точки 8 = 0
тоже меньше 2кг.
Таким образом, каждая точка окружности © = 0 является
предельной для точек © = 2пк, 8 = 2пак рассматриваемой траек-
тории. Аналогично, каждая точка <р = ©0, 8=80 является пре-
дельной для точек
у ss 2пк 4- ©°,	8 = а (2пк 4- 80).
Итак, любая траектория нашей системы всюду плотна на
торе. В частности, каждая траектория имеет предельные точки
на самой себе, не являясь в то же время замкнутой.
Определение. Точка (я4°>,	.... ж<°>) = Р пространства
динамической системы называется положительно устойчивой
по Пуассону, если для любой её окрестности U и любого задан-
ного Т > 0 найдутся такие значения t > Т, при которых точка
(xt (2), x2(t),..., Xn{t)) траектории, проходящей через Р, будет
принадлежать окрестности U. Аналогично определяется отрица-
тельная устойчивость по Пуассону и двусторонняя устойчи-
вость по Пуассону.
Из определения следует, что в случае положительной устой-
чивости точка (а40>, х(20),.. ., x£0J) является ©-предельной для
проходящей через неё траектории.
В этих терминах теорема 2 настоящего параграфа утвер-
ждает, что всякая траектория на плоскости, устойчивая по
Пуассону хотя бы в одном направлении, является замкнутой.
Пример 3 показывает, что на поверхности тора существуют
незамкнутые траектории, обладающие свойством устойчивости
по Пуассону. И подавно этот последний случай может иметь
место в пространстве п измерений при п 3.
ГЛАВА I
ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Система линейных уравнений с постоянными
коэффициентами
Пусть дана система уравнений
%-xfry). у).
и пусть х = хе, у = уй—её особая точка, т. е.
X (х0, у„) = 0, У («0, у0) = 0.
Предположим, что эта особенность не исчезает при рассмо-
трении вместо системы одного уравнения
_ У (ж. У)
dx Х{х,уУ	* >
Далее мы будем предполагать, что точка (хе, у0)—изолиро-
ванная особая точка, т. е. вокруг (ж0, ув) можно описать
столь малую окрестность, что внутри неё нет других особых
точек.
Поставим следующие проблемы:
1. Характеризовать возможные топологические типы поведе-
ния интегральных кривых в окрестности изолированной особой
точки.
2. Дать аналитические критерии, которые позволили бы,
исходя из функций X (х, у) и У (ж, у), конечным или счётным
числом операций определить, какой тип расположения инте-
гральных кривых имеет место для данного уравнения, причём
при решении этой задачи, в некоторых случаях, мы будем опре-
делять тип расположения интегральных кривых с точностью
до инвариантов линейного преобразования.
Для решения этих проблем нам потребуется наложить ряд
ограничений на функции X (ж, у) и У (ж, у). Именно, считая
38 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
для простоты хо = 0,	предположим, что уравнение (1)
имеет вид

(1')
где Рп (ж, у) и Qm (ж, у) — однородные полиномы степени пит,
а функции Tjj (ж, у) и т]2 (ж, у) соответственно суть о (гп) и о (г”1),
где г2 — ж2-}-г/2, т. е., иными словами, мы требуем, чтобыж = ж0,
У — Уо было нулём не низке первого порядка, а также Y (ж, у)
п X {х, у) были достаточное число рав дифференцируемыми
в окрестности ивучаемой особой точки.
Основой для классификации встречающихся случаев служит
классификация, предложенная Пуанкаре для случая системы
однородных линейных уравнений
— ^Cx-^-Dy,
— Ах + By;
at
пли одного уравнения
dy _ Ах + By
dx. Сх + Dy ’
где
Приведём эту классификацию.
Замена z~~ приводит нас к уравнению
dz ____ А + Hz - Cz- Dzr‘
dx C 4~
(2)
(П
Рассмотрим квадратное уравнение
A + (B-C)z-Dz2 = 0.	(3)
Могут представиться следующие четыре случая:
1°. Корни этого уравнения аг и х2 действительны и различны.
2 . Уравнение имеет кратный корень.
3°. Z) = 0, т. е. уравнение линейное.
4‘. Корни и а2 комплексны.
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
1-й случай. Корин ос, и а2 действительны и раз-
личны. Тогда онп дают два решения дифференциального
§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 39
уравнения (2'):
z = аг И z = а2
или соответствующие два решения уравнения (2):
у == агх и у = а.2х.
Перепишем уравнение (2') в виде
dz D(z — a,) (z — a2)
X ~dx ~	77 Di *
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
С ,	С ,
л I	Г) 7	.
---«—7—lnl z —ai|4"T—— ln|z —aJ = ln|a;| + lnC.
Ct j — (*2	1*2
Введём сокращённые обозначения:
С ,	С ,
,	1	Г 77 "	.
a,-а, ’	в!-^ ’
тогда имеем
| z—a1|_fei|z —а1|ьг = С|гс|,
пли
| у — ххх |~fci | у — аях |йа = С |rC |i-
Так как кг— к2=Л, то окончательно:
| у — а.2х | ~hl | у — х2х = С.
Здесь могут представиться два подслучая:
а)	кг и к2 имеют различные знаки;
Ъ)	к1 и к2 имеют одинаковые знаки.
Введём на плоскости х, у косоугольные координаты:
£ = ?/—Я1Ж5 ’<]=y—V,
и рассмотрим семейство интегральных кривых в новой системе
координат. Мы имеем:
^17)^2 = ^;
г-	kl
или, обозначив ~ через получим:
’1==С1|5|П	(4)
Z1O гл. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Если kt и к2 имеют различные знаки, то показатель у отри-
цателен, и в семействе интегральных кривых будет только две
кривые, проходящие через начало: i — 0 и т] = 0. Каждая из осталь-
ных интегральных кривых остаётся внутри координатных углов.
Мы можем приблизительно представить себе вид интеграль-
ных кривых: они напоминают собою ветви гиперболы. В этом
случае особая точка (0, 0) называется седлом, так как инте-
гральные кривые напоминают собой линии уровня некоторой
седлообразной поверхности (черт. 6).
Если к, и kz имеют одинаковые знаки, то показатель у поло-
жителен, и каждая кривая семейства при любом проходит
через начало координат. Причем, если у > 1, то все интеграль-
ные кривые, кроме прямой $ = 0, касаются в начале координат
оси £, а если у < 1, то все они, кроме т]=0, касаются оси
На плоскости (х, у) это же явление будет наблюдаться не по
отношению к осям координат, а по отношению к прямым
у = агх и у=агх. Такое расположение интегральных кривых
называется узлом (черт. 7).
2-й случай. Уравнение (3) имеет кратный корень
а0. Тогда дифференциальное уравнение (2') примет вид
dz
d
D(z- а0У
C + JDz ’
и общий интеграл получит выражение:
с
р+а° „
(у—1 е v-<h>* =С.
§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 41
Все кривые этого семейства входят в начало координат
и там касаются прямой у = аож (вырожденный узел) (черт. 8).
В самом деле введём новые переменные посредством равенств:
у —	= ж = и положим к0 = -j- +%.
В новых переменных семейство примет вид
Tj = A:0-151nCc.
Пусть, следуя по интегральной кривой, мы приближаемся:
к началу координат с = 0, т} = 0. Тогда tj—»0, при этом, оче-
видно, — -
у - аох  у
0. Переходя к прежним переменным, получим:
а0—>0 при х —->0, что и докаэывает наше утвер-
ждение.
3-й случай. D —0.
Этот случай распадается на ряд подслучаев.
а) Общий подслучай: С 0 и В — С =р= 0.
Исследуемое уравнение имеет вид
где

ГЛ, I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Отсюда получим:
1
или
y=~q [Сх^ — Рх].
-Из последнего вида общего интеграла имеем:
x~QX Q •
Если Q^>0, то при ж—>0 также у—>0 и lim А = — ^
при любом С, т. е. имеем узел. Все интегральные кривые,
кроме интегральной кривой х = 0, касаются прямой у——$х.
Пусть теперь Q < 0. Этот случай разбивается на три:
х.) — 1 < Q < 0; В) (5 = - 1; у) Q < — 1-
а)	—	Все интегральные кривые входят в начало;
lim—— со, т. е. все интегральные кривые касаются оси у
в начале координат (вырожденный узел).
a)'Q = — 1; у => - С-}-Рх. Интегральные кривые параллельны
прямой у~-рРх. Особая точка—исчезающая (вырожденное
седло) (черт. 9).
у) Q < — 1; у ~Ux'+Q — Ах. Единственными интегральными кри-
выми, входящими в начало, будут: х — 0 и у = — Ах. Все остальные
кривые —типа	гипер-
бол, т. е. имеем седло.
Ъ)	Первый осо-
бый случай:
Исследуемое уравне-
ние принимает вид:
dz А
X = “Т7" •
dx С
Если А Ф 0,_ то
z = jPln|a:|-bC,
Л
где Р = -^г ; отсюда
у — Рх In | X | 4- Сх.
Все кривые этого семейства проходят через начало и каса-
ются .в нём оси 2/; поэтому в рассматриваемом случае имеем
узел (вырожденный).
•§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С'ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 43
dz
Если А = 0, то уравнение превращается в 0. Отсюда
а = 0 и z = C, т. е. у =Сх- Интегральные кривые входят в начало
по всем направлениям (дакритиче-
екий узел) (черт. 10).
с)	Второй особый случай:
С==0, В =Р 0. Из условий С = 0,
D — 0 вытекает, что рассматриваемая
«система превращается в систему
J=0; d/t = Ax+By (5)
ИЛИ
dy >
т. е. х = const. Все интегральные
кривые параллельны оси у. Однако,
чтобы выяснить «динамическую» картину, т. е. зависимость
шения от параметра t, - будем интегрировать систему (5),
сводя её к одному уравнению.
Прежде всего заметим, что прямая Ах -{- By — 0 есть особая
ре-
пе
линия, т. е. она сплошь
состоит из особых точек.
Приступаем к интеграции
системы1 (5). Пусть я = а:(0),
у = у(°) при t — 0, причём
ByW ф о, т# е, ТОчка
?/(0))не является особой.
Имеем:
х = »(°> при любом t, и
^ = Ая^> + Ву.
Отсюда
Ах(°У By —
= (Ах<°)4-Ву(°)) eBt.
Следовательно, при t —> — со или при t —> со, смотря по тому,
•будет ли В > 0 или В < 0, координата у, монотонно изменяясь,
_дж(0)
приближается к------, т. е. точка (ж(0), у) приближается к точ-
ке, лежащей на «особой прямой».
На чертеже (черт. 11) изображён примерно ход интегральных
кривых.
4-й случай. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение
(3) имеет комплексные корни: a1 = a-]-id; as==a — ib.
44 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Дифференциальное уравнение (2') можно записать в это®
случае следующим образом:
_ dz____D [(z — а)2 + Ьг]	, 9„ч
dx	C-i-Dz ’	'
Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграла
ln|a:|= — -j-In [(z — ау-\-Ъ*} — ~ (Jy + у) arc tg + const.»,
или
In [(у — ах)2 + б2ж2] = —	arc tg	+ const.
Преобразуем плоскость (х, у), положив
s ~ bx, fi = y — ах,
и введём на плоскости (<-, т;) полярные координаты:
г ~ ]/с2 4- т)2, ¥=arctg-^-,
тогда общий интеграл (2") примет очень простой вид:
ZT Ао	7	С dD
т = Се •, где к =-----.
oJy
Интегральные кривые уравнения (2") после преобразование
плоскости (ж. у) превратились в семейство логарифмических
спиралей. Если fc>0, то при з—>—со мы имеем р—>0, т. е. при-
неограниченном возрастании числа оборотов по направлению-
часовой стрелки кривая асимптотически приближается к точке-
(0, 0). Если k<Q, то мы имеем то же самое при ср—-> + со, т. е.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК
45
при вращении против часовой стрелки. Если /i=0, то решения
суть концентрические окружности.
При переходе обратно к плоскости (х, у) картина меняется
лишь незначительно: логарифмические спирали остаются кривыми,
которые закручиваются вокруг особой точки, асимптотически
к ней приближаясь. Особая точка этого рода называется фокусом
(черт. 12).
Окружности также остаются замкнутыми кривыми, превращаясь
в эллипсы. В этом случае особая точка носит название центра
(черт. 13).
§ 2. Геометрическая классификация особых точек
Пусть точка О—изолированная особая точка. Различаем прежде
всего два класса особых точек: устойчивые и неустойчивые. Осо-
бую точку называем устойчивой по Биркгофу, если существуют
замкнутые интегральные кривые произвольно малого диаметра,
окружающие особую точку, во всех остальных случаях точку
называем неустойчивой. Для того чтобы выяснить дальнейшую
структуру точек того и другого типа, докажем несколько общих
предложений.
Теорема!. В достаточно малой окрестности изолирован-
ной особой точки не может содержаться замкнутых траекторий,
не заключающих внутри себя эту особую точку.
Для доказательства этого положения, очевидно, достаточно
доказать теорему, что внутри любой замкнутой траектории
имеется особая точка; это утверждение было доказано во вве-
дении (см. § 2, теорема 5).
Теорема 1 позволяет провести анализ возможного поведения
интегральных кривых в окрестности устойчивой особой точки.
Пусть О—устойчивая особая точка и пусть 5 (О, г)—столь малый
круг, описанный около особой точки, что внутри него и на границе
нет других особых точек.	__
Рассмотрим какой-либо радиус ОР этого круга. Обозначим
•через М верхнюю границу множества таких точек на этом радиусе,
через которые проходят замкнутые интегральные кривые, содер-
жащиеся целиком внутри или на границе круга (О, г). Через
-точку М, как это непосредственно вытекает из теоремы о не-
прерывной зависимости от начальных условий, проходит тоже замк-
нутая кривая L, содержащая О. Будем рассматривать толькв
интегральные кривые, лежащие внутри кривой L. Отметим на
радиусе ОР совокупность точек, лежащих внутри L или на
ней самой, через которые проходят замкнутые кривые, очевидно,
•окружающие точку О. Множество точек этих кривых, если доба-
вить к нему точку О, будет замкнутым множеством, которое мы
•обозначим черезF. Допустим, что существует точка (ж, у), лежащая
46 гл. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
внутри L и не содержащаяся в F. Движение х = х
y=y(t’, х, у), оставаясь всё время в кольцеобразной области между
двумя замкнутыми кривыми, окружающими точку О, в силу
теоремы 3 § 2 введения, имеет все свои предельные точки как при
t—>+со ,так и при t—>—со, на ограничивающих эту область замк-
нутых кривых и, следователь-
но, представляет собой спи-
раль, навивающуюся на эти-
кривые. Подобное располо-
жение интегральных кри-
вых назовём центро-фокусом
(черт. 14). Следует выделить,
SL особо тот случай, когда вну-
три L заключаются только
замкнутые кривые; подобное
расположение, как уже упо-
миналось, Пуанкаре назвал:
центром.
Переходим к изучению ок-
рестности неустойчивой точки..
Т е о р е м а 2. Если изо-
лированная особая точка не-
устойчива, то всегда существует полутраектория, имеющая эту
особую точку единственной своей предельной точкой.
Пусть О—неустойчивая особая точка. Возьмём столь малую её-
окрестность 5(0, г), чтобы ни внутри, ни на границе этой окрест-
ности не было ни особых точек,отличных от О, ни точек периодиче-
ских движений, и будем рассматривать дуги траекторий, заклю-
чённых в 5(0, г).
Проведём произвольный радиус ОР. Пусть q—произвольная;
точка на этом радиусе. Рассмотрим движение, проходящее в момент
времени t =0 через точку q, и обозначим через / (q, t) точку этого
движения для момента времени t. Если f(q, t) не входит в особую
точку, то может быть два случая: либо / (q, t) имеет среди своих.
о> или a-предельных точек точку О, либо нет.
В первом случае по теореме Бендиксона (см. введение, § 2,
теорема 4) имеется интегральная кривая, входящая в особую точку
обоими концами, и наша теорема доказана.
Во втором случае в выбранной окрестности может находиться
только дуга конечной длины по параметру. В самом деле,
если бы вся полутраектория находилась внутри выбранной
окрестности, то должна была бы существовать внутри
окрестности либо особая точка, отличная от О, либо перио-
дическое решение; и то и другое исключено выбором окрестности.
Следовательно, остаётся разобрать тот случай, когда через каждую-
? 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК
47
точку q радиуса ОР, кроме О, проходят траектории, выходящие
из 8(0, г) обоими своими концами.
Пусть точка q по радиусу ОР движется к О', тогда точка выхода
(первый раз!) дуги траектории из 5 (О, г) как в положительном,
так и в отрицательном направлении передвигается монотонно.
Заметим, однако, что это передвижение может и не быть непрерыв-
ным. Рассмотрим теперь множество Е точек выхода при положи-
тельном t. Пусть при движении точки q к центру О точки выхода'
передвигаются против часовой стрелки; рассмотрим тогда верх-
ний предел множества Е. Пусть это будет точка т.
Покажем, что через т проходит такая траектория, отрицатель-
ная полутраектория которой неограниченно долго находится в
8(0, г). Пусть q2,..., qn, ,—последовательность точек ради-
уса ОР, сходящихся к О, и притом таких, что точки тг, т2, ...,
тп,... выхода дуг, начинающихся в них, сходятся к т. Времен-
ные длины дуг qpn^ q2m2, ..., qnmn, ... неограниченно возрастают
при п—»со, иными словами, каково бы ни было положительное
число?1 в произвольной близости от точки т, можно найти точки
такие, что отрицательные полутраектории, начинающиеся в них,
в течение промежутка времени большего Т остаются внутри 8 (О, г).
Допустим теперь противное, что f(m,t) через конечный промежуток-
времени длины Т покидает8 (О, г), тогда отрицательные полутраек-
тории, выходящие из всех достаточно близких к m точек, должны
покидать 8 (О, г) в течение промежутка времени, не большего, чем
Т -ре, где Р>0 произвольно мало. Полученное противоречие дока-
зывает теорему.
Теорема 3. Около неустойчивой особой точки всегда можно-
найти столь малую окрестность, что каждая полутраектория-
будет либо входить в особую точку, либо покидать окрестность
через конечный промежуток времени.
В самом деле,пусть О—неустойчивая особая точка; возьмём столь
малую окрестность точки О, чтобы внутри её не было ни особых
точек, ни периодических траекторий.Пусть/ (р, I)—некоторая полу-
траектория, начинающаяся во внутренней точке р этой окрестности,
и допустим, что она целиком заключается внутри выбранной окрест-
ности. Если эта полутраектория не входит в особую точку, то
она должна среди своих предельных точек заключать траекторию
f \P-L-: обоими своими концами входящую в особую точку.
Пусть диаметр траектории /(рг,1) есть d. Рассмотрим 8 (О, ^);
легко видеть, что эта окрестность удовлетворяет условиям теоремы.
В самом деле, отметим на ней две кривые Oq,, Oq2, идущие от
границы окрестности к центру и принадлежащие траектории
/ (Pii t). Пусть теперь г—точка внутри^ (О, ф, но не находящаяся на
кривых Oq, и Oq2. Если одна из двух полутраекторий, выходящих
48 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
из точки г, не выходит из 5 (О,~), то она либо входит в особую точку,
либо должна навиваться как спираль на некоторую кривую, при-
мыкающую обоими концами к особой точке; последнее невозможно
ввиду наличия кривых Oqr и Oq„. Этим теорема доказана.
Итак, все траектории, которые могут наблюдаться в достаточно
малой окрестности неустойчивой особой точки, могут быть раз-
делены на три класса:
1.	Параболические—одним концом входящие в особую точку,
другим—выходящие за границу окрестности.
2.	Гиперболические или седловые—в обе стороны выходящие
за границу окрестности.
3.	Эллиптические —обоими концами входящие в особую точку.
Соответственно, эти же названия мы присвоим областям, за-
полненным траекториями того или иного сорта.
Теорема4. Точки из достаточно малой окрестности изо-
лированной особой точки, лежащие на эллиптических и гиперболи-
ческих траекториях, если таковые имеются, заполняют множества,
содержащие внутренние точки, причём лежащие на гиперболиче-
ских заполняют области.
Пусть р—точка, через которую проходит гиперболическая тра-
ектория, т. е. траектория, выходящая обоими концами за границу
области, но тогда по непрерывности и все достаточно близкие
траектории будут выходить за границу. Пусть теперь р лежит на
эллиптической траектории, тогда об-
ласть, лежащая внутри этой эллипти-
ческой траектории, целиком заполне-
на эллиптическими траекториями.
Теорема доказана.
Итак, пусть дана особая точка О',
опишем около неё малую окрестность
S (О, г), удовлетворяющую условиям
теоремы 3.
Рассмотрим точки границы этой об-
ласти. Выделим сначала множество та-
ких точек, через которые проходят ин-
тегральные кривые, хотя бы одним кон-
цом входящие в особую точку. Множе-
ство этих точек на основании теоремы
4 замкнутое. В этом замкнутом множестве содержится замкнутое
.множество Ф, состоящее из точек, через которые проходят траекто-
рии,обоими своими концами входящие в особую точку. Наконец,
через точки смежных интервалов проходят гиперболические кри-
вые.Они заполняют некоторую счётную совокупность областей, рас-
положенных внутри рассматриваемой окрестности. Среди этих об-
ластей будут области двух типов: истинные гиперболические об-
§ 3. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
49
ласти, т. е. такие, которые на своей границе имеют особую точку,
и ложные гиперболические области; легко видеть, что истинных
гиперболических областей может быть лишь конечное число и что
все ложные гиперболические области находятся от особой точки на
расстоянии Зга>0. Топологическая структура гиперболической
области весьма проста, именно интегральные кривые, заполняющие
эти области, могут быть топологически отображены на семейство
отрезков, расположенных на системе параллельных прямых1).
Множество Ф состоит из точек, определяющих эллиптиче-
ские области. Но следует отметить, что,-во-первых, не все эллип-
тические области определяются этими точками, во-вторых, топо-
логическая структура эллиптической области может быть весьма
сложной, и эллиптические области могут принадлежать к бес-
численному множеству различных топологических типов (черт. 15).
§ 3.	Исключительные направления. Поведение
интегральных кривых в нормальной области
Для проведения дальнейшего анализа окрестности особой точки
введём понятие исключительного направления..
Для простоты будем предполагать, что исследуемая особая точка
находится в начале координат.
Опр е' д е л е н и е. Направление, определяемое полярным
углом 60, назовём исключительным направлением, если существует
последовательность точек Л^Д), Л2(г2,	..., Лп(г„,бп),... та-
кая, чтогп—>0, б„—>60и сверх того, если апобозначает тангенс угла
между направлением 6п и направлением поля в точке Ап, то ап—->0.
Если некоторая интегральная кривая входит при t—>-{-со
или при t—>—то в особую точку с определённым направлением
касательной, то Это направление, очевидно, является исключи-
тельным. Следовательно, если мы сумеем определить все исключи-
тельные направления, то мы сможем найти все направления, по ко-
торым интегральные кривые могут входить в начало координат.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 1 2). Если на числовой оси—со<б< + оо нет ин-
тервалов, целиком заполненных исключительными направлениями,
то каждая полутраектория, содержащаяся в некоторой доста-
точно малой окрестности особой точки, либо входит в него с опре-
делённой касательной,либо представляет собой спираль3 *), неогра-
ниченно приближающуюся к особой точке.
1) Это положение может быть доказано непосредственно, однако дока-
зательство его сложно, поэтому мы отсылаем читателя к гл. IV настоящей
книги, где оно следует из более общей теоремы (см. гл. IV, § 9).
2) При формулировке этой теоремы переменные р и О мы трактуем как
декартовы координаты.
s) Мы называем интегральную кривую р = р (г) и 6 = 0 (г) спиралью (в
обобщённом смысле), если sop| 6 (f) | = + со при t —> -р со или t—> — со.
Немыцний и Степанов
4
50 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Будем считать угол между элементом поля и направлением
некоторого радиуса-вектора б=60 положительным, если для
совмещения радиуса-вектора с элементом поля, при котором
угол поворота не превышает радиус-вектор следует вращать про-
тив часовой стрелки; в противоположном случае будем считать
его отрицательным. Далее, будем говорить, что инте-
гральная кривая в точках Аг и Ла пересекает радиус-вектор в
противоположных направлениях, если углы между
радиусом-вектором и направлением поля в точках At и А
имеют противоположные знаки.
Прежде всего заметим, что если 6 = 60 не есть исключитель-
ное направление, то, какова бы ни была интегральная кривая
p = p(f), б = б (£), удовлетворяющая условию lim р=0 при
t—оо (или i—»—оо), всегда можно найти такое i0, что для
t > te (или, соответственно, t < t„) эта кривая может пере-
секать радиус-вектор 6 = 60 лишь в направлении одного
какого-либо знака. В самом деле, пусть (р,, б0), Л2 (ps, 0о), ... ,
Лп (рп, 60), ... есть последовательность точек пересечения неко-
торой интегральной кривой
с радиусом-вектором 6 = 60,
причём: 1) р„ —> 0 при »со,
Рп+1 < Рп и 2) в точке Ак (рА_, 6е)
угол между направлением по-
ля и направлением радиу-
са-вектора положительный,
а в точке Aktl (pft+1, 60) — от-
рицательный, и таких пар
имеется бесконечное множе-
ство. Тогда по непрерывно-
сти поля между каждой
парой точек Ак (рА, бе),
Акы (р/«ч 6о) найдётся точ-
16) такая, что направление
направлением радиуса-векто-
10 есть исключительное наира-
Черт. 16.
ка Ак (pt, б0) (pft > ?fc+i) (черт,
поля в этой точке совпадает с
ра. А это означало бы, что 6 = I
вление.
Пусть теперь дана интегральная кривая C:p = p(i), 6==6(£),
причём при t—>4-co(Z—>—со), p(i)—>0. Будем считать р и б
декартовыми координатами. Рассмотрим случаи, которые логи-
чески тут могут представиться.
1-й случай. Кривая С при £—»-)-со (£—>—со) не имеет
на оси Ь-прсдельных точек. Это, очевидно, влечёт условие:
sup । б (Z) | = + со,
1—>со
т. е. кривая С есть спираль.
§ 3. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ	51
2-й случай. Кривая С имеет на оси & только одну пре-
дельную точку, допустим: Ло(О, 6„). В этом случае, по самому
определению предельной точки, вытекает, что кривая С входит
в начало координат с определённым направлением касательной.
3-й случай. Существуют по крайней мере две предельные
точки кривой С на оси 6. Пусть это будут точки Аг (О, 6,) и
Л2 (0, 62). Пусть 6 = 60—некоторое неисключительное направление,
лежащее между О, и 62. Тогда точка Ло(0, 0О) есть предельная
точка для рассматриваемой интегральной кривой, и, следователь-
но, найдётся последовательность точек: Ак(рк, 6„) (А' = 1, 2, ...}
рА.—>0, в которых кривая С пересекает радиус-вектор: 6 = 0О.
Так как 6 = 0с—неисключительное направление, то по доказан-
ному выше найдётся t0 такое, что для t > t0 (или t t0) все
пересечения будут происходить в одном и том же направлении.
А это значит, что
sup 1б(£)|= 4-оо,
т. е. кривая С есть спираль.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть О1с6^02 есть угол, не заключающий
исключительного направления. Тогда можно найти столь
малое р0, что на всякой интегральной кривой, начинающейся
в секторе 61<6<02, 0< р< р0, переменная 6 меняется моно-
тонно вместе с t и интегральная кривая выходит из этого
сектора.
В самом деле, допустим противное, что каково бы ни было р0,
найдётся интегральная дуга, заключающаяся в секторе 61<0О<02
и такая, что на ней 6 (t) меняется немонотонно. Рассмотрим
теперь последовательность чисел: р2, р2, ... , рп, ... —>0, и пусть
Llt L2, . . . , Ln, . —последовательность интегральных дуг, за-
ключающихся соответственно в секторах:
Тр 0<р<р„
Т2: 0<р<р2,

Тп'. 0<р<рп,	6,<6^62;
Так как, по предположению, на Ln (п — 1, 2, ..._) функция
6(t) меняется немонотонно, то существует точка (рп, 6„), заклю-
чающаяся в Тп, в которой направление поля совпадает с напра-
влением радиуса-вектора 6 == 6П или ему прямо противоположно.
Числа {6П} образуют ограниченную последовательность, поэтому
из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Без
4=5--
52 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТ
ограничения общности можно допустить, что первоначальная
последовательность есть сходящаяся. Пусть предел этой после-
довательности будет &0. Очевидно 01<бо<б2. Тогда, по опреде-
лению исключительного направления, направление 6 = 60 являет-
ся исключительным, и мы, таким образом, приходим к противо-
речию с условием теоремы.
Теорема доказана.
Введём теперь определение нормальной области.
Определение. Некоторый достаточно малый сектор с
центром в особой точке и радиуса R называется нормальной
областью, если:
1.	он заключает одно и только одно исключительное напра-
вление;
2.	внутри и на границе направление поля не ортогонально
к направлению радиуса-вектора, проведённого в эту точку.
Обозначим радиусы, ограничивающие сектор, через и £.г.
Будем рассматривать интегральные кривые, пересекающие
Л и L2.
В точках пересечения рассмотрим касательные к этим кри-
вым и отметим на них направления, по которым кривые входят
в рассматриваемый сектор. Тогда, как нетрудно убедиться,
могут наблюдаться следующие три случая:
1-й тип. На Lt и L2 касательные к интегральным кривым
направлены «к центру» (черт. 17а).
2-й тип. На Lj и L2 касательные к интегральным кривым
направлены «от центра» (черт. 17b).
3-й тип. На одном из радиусов £* или L2 касательные
направлены «к центру», а на другом «от центра» (черт. 17с).
Изучим возможное поведение интегральных кривых в каждом
из этих случаев.
Радиусы L2 и L2 будем называть боковыми сторонами
нормальных областей, а дугу окружности её задней стен-
кой.
§ 3. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ	53
Теорема 3. Если интегральная кривая при возрастании
или убывании t входит в нормальную область первого типа,
то она при дальнейшем продолжении войдёт в начало координат .
Пусть траектория / (р, £) входит в нормальную область пер-
вого типа. Если бы она выходила из неё, то на ней обязательно
нашлась бы точка q, в которой векторное поле было бы орто-
гонально радиусу-вектору, проходящему через q, что исклю-
чается. Итак f(p,t) остаётся внутри области, а тогда, не имея
возможности навиваться на замкнутую кривую, она входит в
начало координат.
Теорема 4. Если интегральная кривая входит в нормаль-
ную область второго типа через боковую сторону, то она
при дальнейшем продолжении выходит из этой области; однако
на задней стенке существует точка, или целая дуга, состоящая из
точек, через которые проходят интегральные кривые, входящие в
начало координат при t—>+ со или при t—>—со.
Рассмотрим какую-либо кривую, входящую в область через
боковую сторону; выйти через противоположную боковую сторо-
ну или войти в особую точку (начало координат) эта кривая может,
лишь нарушив второе свойство нормальной области, следова-
тельно, она выходит через заднюю стенку.
Возьмём на одной из боковых сторон, например на движу-
щуюся точку М-, по мере продвижения точки М к центру точка
выхода Ж, кривой /(71/, 7) из нормальной области движется по
задней стенке АВ от А по направлению к В. Пусть R—предельная
точка для М,. Покажем, что через R проходит интегральная кри-
вая, входящая в особую точку. В самом деле, пусть эта кривая,
войдя в область, выходит через боковую сторону (через заднюю
стенку она выйти не может, так как нарушилось бы свойство 2)
в точке Т. В этом случае кривые, входящие в область через ду-
гу ОТ, не могли бы из неё выйти, чего, как показано было вначале,
быть не может. Следовательно, кривая, проходящая через R,
входит в начало координат. Аналогично найдём точку S, такую,
что через точки дуги BS. проходят кривые, выходящие через /2,
а через саму точку S—кривая, входящая в начало. Кривые RO
и SO имеют, очевидно, общую касательную в точке О (соответ-
ствующую особому направлению), а тогда все кривые, входящие
в область через RS, должны входить в начало по этому же направ-
лению (выйти они не могут опять-таки вследствие условия 2).
Этим теорема 4 доказана.
Итак, второй тип приводит к возможности существования
двух случаев, которые мы в дальнейшем будем называть с л у-
ч а й единственности и случай неединст-
венности.
Теорема 5. Если нормальная область принадлежит типу 3
{например, на L, входящие кривые направлены от центра, а на
54 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
£3 к центру), то либо все интегральные, кривые, входящие в об-
ласть, из неё выходят, либо на отрезке Lz можно будет найти
отрезок OS, через все точки которого проходят интегральные кри-
вые, входящие в начало координат.
Для доказательства рассмотрим сначала поведение интеграль-
ных кривых, входящих в область через £*; они не могут оставаться
в области, так как это возможно лишь при нарушении второго свой-
ства. Следовательно, они выходят либо через заднюю стенку, либо
через £2. Рассмотрим снова точку М, движущуюся на L, по напр яв-
лению к центру; точка выхода М, кривой / (М, I) будет монотонно
двигаться по задней стенке, азатем, быть может, по£2 по направле-
нию к центру. Пусть снова S—предел множества точек М, при
М —>О. Точка 5 может совпасть с О, тогда ни одна кривая не вхо-
дит в особую точку.
Пусть теперь S^O. Через точку S проходит кривая, входящая
в начало, по причинам, выясненным при доказательстве тео-
ремы 4. Тогда все кривые, входящие в область через OS, будут
при дальнейшем продолжении входить в начало координат.
В самом деле, выходить через заднюю стенку они не могут, так
как это означало бы снова нарушение условия 2, а через £2 они
все входят. Оставаться в области, не входя в О, они не могут по
причинам, уж не раз выяснявшимся.
Итак, третий тип области тоже приводит к двум случаям, кото-
рые мы в дальнейшем будем называть случаем отсутствия
входящей кривой и случаем неединствен-
ности.
§ 4. Аналитические критерии, для различения типов
особой точки
Пусть дано уравнение	*и ПУСТЬ особая точка, являю-
щаяся изолированной, есть начало координат, что, очевидно, не на-
рушает общности нашего рассмотрения. Дадим аналитические кри-
терии, позволяющие установить, какое расположение интеграль-
ных кривых имеется в окрестности начала координат. Согласно
плану геометрического исследования мы должны для этого после-
довательно решить следующие проблемы:
1.	Установить, имеются ли исключительные направления.
2.	Найти исключительные направления.
3.	Определить, возможно ли данное исключительное направ-
ление заключить в нормальную область.
4,	Определить тип нормальной области.
5.	Установить, какие из возможностей расположений инте-
гральных кривых представляются для исследуемого уравнения
при нормальной области второго и третьего типа.
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ	55
Мы будем решать эти проблемы при следующих предположен
ииях относительно Х(х, у) п Y(x, у).
Пусть Х(х, у) имеет непрерывные частные производные до
zrt-r-1-го порядка включительно, а У (а:, у) до и 4-1-го порядка
включительно; пусть далее первая не обращающаяся в нуль в точке
(0,0) производная от Х(х, у) порядка и Си и первая не обращаю-
щаяся в нуль в точке (0, 0) производная от У (ж, у) порядка
т^т. Функции X (х, у) и У (х, у), удовлетворяющие этим
условиям, назовём а л г е б р о и д н ы м и, а соответствующую
систему
(А)
.а лгебр о идн ой системой.
Представим X (х, у) и У (х, у) в виде
x(®’^) = <2n + 'zi2> Y(x,y) = Pm + r\lt
где Рт (х, у) и Qn (х, у)—однородные полиномы, соответственно,
степени т и п, а т], и ?]г объединяют члены высшего порядка,
т. е. т]! есть о (г7^) и т;г есть о (г") где, г — Уз? 4- у2.
В системе (А) перейдём к полярным координатам г и ср.
Если ограничиться сначала случаем тп = и, то система уравне-
ний относительно г и <э будет иметь вид:
Г = (xQn 4- уРп) 4- (ЯЯ], 4- ЭТ1),
7,2 5=(хРп ~	~ эт2)>
агли, вводя обозначения
G](<?) — Qn (cos ?» sin ?) cos «р 4- Pn (cos sin <p) sin tp,
F (<p) = Pn (cos <p, sin <p) cos <p — Qn (cos sin <p) sin
/ (r> ?) = 'll003 ? — ’’'la sin ?>
g (r, ©) = 7]х sill <P 4- 7]g cos Q,
имеем:
r“r
Уравнение
56 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
назовём характеристическим уравнением; очевидно.,
это уравнение определяет всё возможные исключительные
направления, причём направление 9 = <э0, где F(<pe)==Q, заведомо
является исключительным, если G (<р0) =# 0.
Так как это уравнение алгебраическое относительно u = tg7>-,
то возможны два случая: либо исключительных направлений
имеется конечное число, либо F(<$>)==0, и все направления исклю-
чительные *).
Выражение даёт тангенс угла между направлением поля
и направлением радиуса-вектора в данной точке, следовательно,
если мы предположим, что для достаточно малого г0 и для
достаточно малого 8 в секторе 0<г<го, <р0 — 8<<р<<э0-|-8, гДе
%—корень характеристического уравнения, знаменатель G (?) +
4~—не обращается в нуль, то можем утверждать, что
в этом секторе поле направлений нигде не ортогонально радиусу-
вектору. Но так как ?^ = о(1), то при достаточно малых г0
и 8, в предположении, что G(<?0) ¥= 0, знаменатель не будет обра-
щаться в нуль.
Рассмотрим сектор |® — <р0|<с8, который содержит только»
один нуль, а именно <э0, функции F(<p) и далее предположим,
что <р0 не. есть корень функции G (<?)- Так как функции т], и
а следовательно, и функции fug, порядка о (гп), мы можем найти
столь малое К (8), что в области S (8):
I? —	0<г<Я(8),
будем иметь
и сверх того на границах
? = ?о±8,	0<r<F(8)
получим:
Из первого условия, в частности, вытекает, что если рассматри-
вать г как параметр на интегральной кривой, то можно выбрать
*) В самом деле, пусть F(<f) = О. Так как F2 + G2 == + Qn Ф 0, то урав-
нение G = 0 имеет, самое большее, конечное число корней и, следовательно,
лишь конечное число направлений, быть может, не является исключитель-
ным. Но множество исключительных направлений замкнуто. Отсюда
следует, что все направления суть исключительные.
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
57
такое направление изменения t, при котором, пока кривая
находится в области 5,(6), переменное г уменьшается.
Положим далее, что
^(?)=C(?-?o)i+e(|?-?. Р),
G (?<,) = GB.
Тогда могут представиться следующие случаи. В выбранном нами
секторе: 1) <р0 — корень нечётного порядка, a CGB > 0, 2) ©0 — корень,
нечётного порядка, a CG0 < 0; 3) ©0—есть корень чётного порядка.
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
Пусть сначала имеет место случай 1), т. е. <э0— корень нечёт-
ного порядка и CG0 > 0. На стороне ф = ?0 — 6, 0 < г <i?(6) знак
dr	„
произведения г определится знаком числа Gn, знак выражения
, do	’
г -^1 — знаком Числа — С и, следовательно, на этой стороне
на Другой стороне, 0<r<i?(6) <э = е04-о, напротив,
знак функции F (<р) изменится, и будем иметь г > 0. Следо-
вательно, 5 (6) есть нормальная область 1-го типа, т. е. имеем
теорему:
Теорема 1. Если ©0—корень нечётной степени для уравне-
ния F (<?) = 0 и CGB > 0, то все интегральные кривые в некотором,’
узком секторе, описанном около этого направления, будут вхо-
дить в начало, т. е. сектор будет параболическим сектором,.
Переходим к случаю 2); т. е. <р0—снова корень нечётного
порядка, но CGB < 0. Снова строим .сектор, как и при анализе
первого случая. Также показываем, что г > 0 на стороне
?==?0 —0<г<7?(6) и г^<0на стороне ф = <р0 + 8, 0<г<
<2? (8). Следовательно, 5(8) есть нормальная область 2-го типа,
а тогда имеет место теорема:
Теорема 2. Если ©0 есть корень нечётной степени для?
уравнения F(<p) = O и CGB < 0, то либо существует только одна
интегральная кривая, входящая в начало внутри этого сектора,
либо таких кривых имеется бесчисленное множество.
Установить, какая из этих двух возможностей представляется
для данного уравнения, можно лишь с помощью дополнитель-
ного исследования, которым мы и займёмся в следующем пара-
графе.
Переходим теперь к случаю 3). Пусть <р0 — корень чётного
порядка функции F(y). В этом случае можно предполагать, что
С > 0 и Со > 0. Этих неравенств мы можем достичь либо умно—
58 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
жая функции F и G на —1, либо изменяя направление поляр-
яной оси, либо делая и то и другое. Так как число к чётное,
то F(<p) по обеим сторонам сектора S (8) имеет одинаковые знаки,
-а следовательно, и г по обеим сторонам нашего сектора имеет
также одинаковые знаки. Таким образом, сектор S (8) есть нор-
мальная область третьего типа, и, следовательно, имеет место
теорема:
Теорема 3. Если <р0 есть корень чётной степени для
уравнения 2?(<р) = 0, то возможны два случая: либо в особую
точку входит бесконечное множество интегральных кривых,
-либо ни одной.
Проблемой различения этих случаев мы займёмся в следую-
щем параграфе; здесь только отметим, что в аналитическом слу-
чае в данном секторе всегда есть интегральная кривая, вхо-
дящая в особую точку. Доказательство этого читатель найдёт
тоже в следующем параграфе.
Случай:
^(<Ро) = О, G(?o) = 0,
"оставляем без рассмотрения.
Пусть теперь степень числителя не равна степени знамена-
теля, т. е. имеем
dy — Рт (м)+Мм)4
d-C Q,t(®, У) + ъ(х, У)
Путём перемены ролей оси х и оси у всегда можно добиться
того, чтобы степень числителя была больше степени знаме-
-нателя, т. е. можно предположить, что т > п. Перейдём теперь
fK полярным координатам; получим:
dr
г — rn+1Qn (cos <$>, sin <j>) cos © + rm+1Pm (cos o, sin <p) sin -|- о (г”*1),
7,8-St ~ гГЛ*Х^т (C0S ?, 8in o) COS — Fn+1 Qn (cos ©, Sin <p) sin <p 4- 0 (rn*l),
или
r~t = rntl (?n(cos<p, sin COS © + o(rnl’1),
— г"*1 (?n(cos<p, sin<p) sin <p4~° (r”+1).
4 Этот случай: m=£n, можно трактовать как вырожденный, так
адак при сколь угодно малом повороте осей координат рассматриваемое
^уравнение переходит в уравнение того же типа, где т = п.
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ	5&
Следов ательно,
d?   Qn (cos ?, sin о) sin о + о (1)
dr	Qn (cos ?, sin tf) cos c + о (1)
Для дальнейшего развития теории предположим, что
<?п (1, 0) #= 0-
Уто ограничение означает, что ось х есть простое исключитель-
ное направление, т. е. <р = 0 представляет собой простой корень
характеристического уравнения F (<р) = 0. Из этого ограничения
заключаем, что в секторе —8<<р<; -f-8, 0<г<;го не содер
жите я нулей функции F(<p), кроме ;у = 0, и, следовательно, г^ =
= — tgip4-o(l). Но есть тангенс угла ф между радиусом-
вектором и направлением поля. Следовательно, предположив,
что мы находимся на сторонах <р = ± 8, имеем приближённые
равенства
— tgo,
т. е.
ф ^ — 8.
Таким образом, мы будем иметь нормальную область второго
типа, и, следовательно, в рассматриваемом случае возможно, что
в особую точку или входит одна интегральная кривая или бес-
конечное множество их. Как мы покажем в дальнейшем, при
некоторых ограничениях, второй случай невозможен.
В общем случае, чтобы изучить всевозможные исключитель-
ные направления, мы должны непосредственно исходить из
характеристического уравнения
F = sin • Qn (cos ср, sin <j>) = 0.
Найдя корни этого уравнения, мы тем самым определим возмож-
ные исключительные направления.
Если корень окажется простым, то соответствующим преоб-
разованием мы сможем перевести это направление в ось ж-ов
м, следовательно, сделать нужные нам заключения.
Если же корень кратный, то сделать какие-либо общие заклю-
чения весьма затруднительно. В этом случае иногда полезно
непосредственно строить нормальную область, составляя функцию
ф(и’ж) = Й^-и’
60 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
представляющую собой разность между тангенсом направления
поля и тангенсом угла радиуса-вектора, и изучать её знак на
границах области.
Пуст^например,у' = У здесь характеристическое урав-
нение есть: cos <? sin3 <р~0. Отсюда: <р = у— простой корень, сле-
довательно, вдоль оси у может входить только одна интеграль-
ная кривая; <р — 0—трёхкратный корень.
Для исследования последнего случая составим функцию
.	x3us — хъи	и3—х2и + х3и.
’1 (и, х) = — -— 0-и =-----’
где u = igo>. Пусть х весьма мало, тогда
ТСи.я)-----
следовательно, для х > 0
W ( + о, х) < 0,
ч-(-г, ж)>о
имеем фундаментальную область второго типа: для х < 0
Т(4 2, х)> 0,
’Г( — 2, ж)<0,
т. е. имеем фундаментальную область первого типа.
Остаётся теперь рассмотреть тот случай, когда	это
возможно лишь при т—п.
Произведём замену переменных: у = их, получим:
, , Р(г, w.t)	ux)4-7], « их)
и х 1 В “ Q(x, их) ~ Qn (х, их) -I- (х, их) 1
или, разрешая относительно и', имеем:
,  Pn — uQ.n+ »]! —ч-<]3
х (Q« + ’ii)
В исследуемом случае Рп—uQn~Q. Следовательно,
f	V},-UT,2
и = ~(О»+ъ)'’
Рассмотрим две вспомогательные функции
Н1 (Ж, и) =	Н (х, U) = >	.
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
61
Эти функции согласно предположениям непрерывны при ж = 0.
С помощью этих обозначений получим
и) — и.Н2 (х, и)
и ~ х [П(и) + Н2 <х, и)] ’
где
= Ъпл + Ьп_^и +... +	= П (и)
— полином (п — 1)-й степени относительно и; в самом деле, для
того чтобы иметь yQn(x, у) = хРп(х,у), очевидно, необходимо,
чтобы Qn (ж, у) не содержало члена Ь0,пуп.
Если теперь на функции Ht и Hs не наложить никаких дру-
гих ограничений, кроме того, что они обращаются в 0 при х = О,
то не удаётся сделать общих заключений о поведении интеграль-
ных кривых около подобной особой точки. Поэтому предполо-
жим, что Н, (ж, и) — xF (х,,и) и Н2(ж, u) = xG(x, и), где F (х, и)
Ji G (ж, и) — непрерывные и ограниченные функции вблизи ж = 0 и
в этой области удовлетворяющие по и условию Липшица. Тогда
дифференциальное уравнение примет вид:
,_F (х, г/.)—и G (х, и)
U	П(и) + xG (х,и)
При ж = 0 знаменатель уравнения может обращаться в Отоль-
жо для конечного числа значений uv и2,	, ип-\ обращающих
.в 0 полином П (и). Все остальные точки (0, и) будут обыкновен-
ными точками уравнения, следовательно, через них проходит
только по одной интегральной кривой на плоскости (ж, и), т. е.
ла плоскости (ж, у) будет иметься одна интегральная кривая,
входящая в начало координат по направлению:
lim — = и (и=р щ),
х->0 ж
Рассмотрим теперь исключительные точки (0, и,),..., (0, и2),...,
определяемые корнями полинома П (и). В этом случае они будут
особыми точками для уравнения
F (х, и) — uG (х, и)
U ~ n(u) + xG (ж, и) ’
-и его придётся исследовать аналогично заданному уравнению,
причём могут представиться снова все три фундаментальных
случая, т. е. в частности по этому направлению могут вовсе не
входить интегральные кривые.
Если и для этого уравнения снова представился особый слу-
чай, то, проделывая над этим уравнением снова преобразование
переменных, мы можем либо прийти к заключению, что йо этому
направлению атроходит бесконечное множество интегральных
62 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
кривых, либо одна, либо ни одной. Заметим, что так как сте-
пень полинома П (и) при каждой замене переменного будет по-
нижаться1), то через конечное число шагов мы придём либо к
одному из случаев, которые мы разобрали, либо к уравнению^
не имеющему особых точек.
Чтобы исследовать интегральные кривые вблизи оси у, делаем
преобразование ж=к?/ и проводим аналогичный анализ.
Подведём некоторые итоги и сопоставим с той классифика-
цией, которую мы дали в § 2.
Прежде всего мы имеем классы устойчивых и неустойчивых
точек. Ясно, что наличие исключительных направлений, заклю-
чённых в одну из областей типа 1 или 2, исключает возмож-
Черт. 18а.	Черт. 18b.
ность устойчивой особой точки. Но вообще наличие исключитель-
ного направления не препятствует устойчивости точки, даже
наличию центра. Так например, для уравнения
dy______2х=
dx у
ось х есть исключительное направление, однако, системой инте-
гральных кривых будет семейство кривых
ж4 + ^ = С.
Но эти случаи устойчивости могут быть признаны исключитель-
ными, и для них пока не найдено никаких аналитических крите-
риев. Основной случай устойчивости—это тот, когда исключитель-
ных направлений нет, и характеристическое уравнение не имеет
вовсе корней. Однако даже в этом случае далеко не обязательно
*) Вспомним, что при первой вамене переменных исходное уравнен ие
имело в знаменателе в качестве главного члена однородный полином п-го
порядка и П (и.) оказывалось полиномом (п—1)-й степени. В новом уравне-
нии порядок главного члена будет определяться степенью полинома П (и}
ине будет его превосходить. Таким обравом, наше утверждение доказано.
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
6&
наблюдается центр. В самом деле, интегральная кривая, если она
даже входит в начало координат, то не обязательно с определён-
ным направлением касательной, например, она может представлять
собою спираль. Если все интегральные кривые, входящие в начало с
определённым направлением вращения (6(2)—>4-со или 6(2)—>—со),
есть спирали, то особая точка является фокусом.
Итак, отсутствие исключительных направлений приводит, во-
обще говоря, к двум возможным случаям: или особая точка есть
особая точка. Но последняя
мы убеждаемся, что оба
фокус, либо устойчивая
возможность сама, как мы показали, приводит к двум подслучаям:,
центра и центро-фокуса. В § 6 мы займёмся изысканием аналитиче-
ских критериев для установления
типа устойчивой особой точки,
причём мы покажем, что в ана-
литическом случае центро-фокус
невозможен.
Пусть исключительные направ-
ления имеются в конечном чис-
ле. Легко видеть, когда могут воз-
никать в окрестности начала коор- \
динат эллиптические, гиперболи- \
ческие и параболические обла-
сти х).
Параболическая область может
возникнуть при областях: типа 1,
2 и 3 (черт. 18 a, 18b и 18с).
Гиперболическая область — в
том случае, если, рассматривая два
соседних исключительных направления,
они могут быть заключены в области типа 2 (или 3) (черт. 19).
Наконец, эллиптические области получаются в том случае,
если два соседних исключительных направления могут быть
заключены в области типа 1 (черт. 20).
J) Терминологию см. § 2 настоящей главы.
S4 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Наконец, если правая часть характеристического уравнения
тождественно обращается в!0, то только по конечному числу на-
правлений в особую точку могут не входить интегральные кривые.
§ 5. Первая и вторая проблемы различения
В предыдущем параграфе было показано, как конечным числом
операций можно найти исключительные направления и определить,
какого типа нормальными областями они могут быть окружены.
Для дальнейшего выяснения поведения интегральных кривых необ-
ходимо уметь конечным числом операций различать между собой
возможные случаи расположения интегральных кривых для обла-
стей второго и третьего типа. Эти две проблемы различе-
ния оказываются имеющими неодинаковые решения. Если для
нормальных областей третьего типа возможен, как мы покажем для
аналитического случая, только один способ расположения инте-
гральных кривых, то для областей второго типа на расположение
интегральных кривых, как показал Фромм'ср, могут влиять члены
сколь угодно высокого порядка, и для решения проблемы разли-
чения приходится производить для каждой данной задачи хотя и ко-
нечное число операций, однако, число неограниченное, если рас-
сматривать весь класс аналитических правых частей. Процесс для
установления расположения интегральных кривых, предложенный
Фроммером, весьма сложен и всё-таки недостаточен. Мы не будем
его излагать, а вместо этого дадим теоремы Лона, дающие, как
он сам выражается, «почти необходимые» достаточные условия.
Первая проблема различения
Если нормальная область есть типа 2, то, как было показа-
но, возможны два способа расположения интегральных кривых,
именно изображённые на чертеже (21а) случай единственности)
н на чертеже (21Ь) случай неединственности.
§ 5. ПРОБЛЕМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ
65
Укажем на некоторые достаточные условия, при выполнении
которых имеет место расположение (а) (которое только и воз-
можно для линейного случая),
d-
Лемм а. Если г -----------т— = 4'" (г, <□) и если можно найти
Г	G + %
такую непрерывную функцию D (г) > 0, что
Го
+°°,
о
2)	< О (г) при г < R,
то имеет место расположение (а).
В самом деле, допустим, что существуют две интегральные
кривые, входящие в начало координат, ? = ?j(r) и ? = ?2(г);
так как они не пересекаются, то можно предположить, что
о, > ?г при г > 0. Тогда имеем
X { Ж, ?1)- ж, ?*)}
н, следовательно, если 0 < г' < r"< R, то
й
In [?х (г)~?2(г)]’„ <	— dr<k,
о
т. е„
In [ (г") - ?s (г")] - In К?1 (г') — ?2 (г')1 < к,
где к — константа. Отсюда, ?х {г'} — ?2 (г') > L, где.£—некоторая
положительная константа, не зависящая от г', а это противо-
речит тому условию, что <р1(г) и ?2(г) входят в начало с одной
и той же касательной.
Теорема 1. (Лона)1). Если ?0 есть простой корень урав-
нения F (?) — 0 и G (?0) #= 0, причём F' (?0) G (?0) < 0, то для
х) Обозначения см. в предыдущем параграфе.
Мы рассматриваем уравнения
dy	(ж> У) + Ч1(ж У)
или в полярных координатах
Глт О(,) + ^'
НемыцвиЙ и Степанов
5
66 гл. I. ТРАЕКТОРИИ . В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ’
того, чтобы имело место расположение (а), достаточно предпо-
ложить, что функции —и У* удовлетворяют по а ус-
ловиям Липшица со сколь угодно малой константой, т. е.
| 7)/ (г COS <рх, Г sin <?,) — Т); (г COS ?g, Г sin <?2) | < C [ ®x — <?2 | ,
1 = 1,2,
где с сколь угодно мало, если г достаточно мало.
В частности, для аналитических правых частей это усло-
вие всегда выполнено.
Итак, пусть <р0 — простой корень, тогда
F (<?) = G (® — <Ро) + о (ф — <?«), где C — F'(y^.
Кроме того, раз ~ и удовлетворяют условиям Липшица с до-
*7	/ О’» ф) '**
статочно малой константой, то /= —и - - тоже оудутг
г	4	jilt,	v v
удовлетворять подобным же условиям, т. е.
J I ^r'	?*) I „
И	?!-?2
1I g(r’?i)~g(r’ ?г) I / „
г» Г ?1-?2	!^с®*
Пусть
аг
Рассматриваем теперь разность
1Г1 __ ф2 = QG1 +	1 (с2 +	{(^- FJ Gx - Fl (G, - Gz) +-
+ [ (Л - Fz)gl - F^gl - g2) ] 1 + L [ (/i _ Д) Gx _ fi (6i - G2) ] +
+ [ (/1 - /2) - A (?! - gj ] Д
Функции F и G удовлетворяют условиям Липшица, поэтому
(F, — Fz) G±, если только г достаточно мало, с любой степенью-
точности аппроксимируется выражением GoGGpj —<р2), где Go =
— ^(?о)- Берём теперь с^<с и с0<с и если ещё добавить, что
х) Ставя при функции значки 1 или 2, мы будем предполагать,. чтс<
эти функции рассматриваются соответственно при о = и при а =
§ 5. ПРОБЛЕМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ
67
F(<pe) = O и / и g есть о(г”), то при достаточно малых	—<т,(
и |ф2 — <р0] выражение
У(г,е.х)-У(г,?2)
fl— ?2	’
имеет такой же знак, как выражение
(F1-F2)G1
Так как G, для <р, близких к %, имеет знак числа Ga, a — Fz—
знак выражения С (<рх — с2), то знак изучаемой1 дроби тот же,
что и знак произведения CG2 — F' (%) G (<р0), а он по условию
разбираемого случая отрицателен, т. е. функцию сравнения D(r)
можно положить тождественным нулём.
Естественно было бы поставить вопрос, нельзя ли показать,
что для аналитических правых частей или даже хотя бы для
полиномиальных не может наблюдаться вообще расположения
(Ь). На этот же вопрос следует ответить отрицательно, так как
такое расположение оказывается возможным. Например, если
рассмотреть уравнение
то, как показал Фроммер, расположение интегральных кривых
будет, примерно, как на чертеже (22).
Вторая проблема различения
Пусть F (<?) имеет нуль <р0 чётного порядка. Положим
^(т) = С(?—?o)fe+<?(|?- % Iй) (*>2)
и G (<р0) = Go ф 0. Мы можем из всех комбинаций знаков, как
было показано, рассматривать только одну: Ge > 0 и С > 0. Это
5*
68 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
исключительное направление может быть заключено в нормаль-
ную область 3-го типа, и поэтому может представиться два слу-
чая: («)—все интегральные кривые входят в особую точку,
или (t)— нет таких кривых.
Для того чтобы дать критерий для различения этих двух
случаев, рассмотрим вспомогательное уравнение
где к —- чётное, и S — неотрицательные числа и Л (г) — функция
порядка о (гп). В дальнейшем мы эту функцию будем выбирать
так, чтобы уравнение легко интегрировалось.
При 5 — 0 уравнение (1) имеет решение
__£_
? —?0= [(*— ] k
Будем искать решение для общего случая в следующем виде

? —= 2
Подставляя в уравнение, имеем
Полагаем теперь
Тогда имеем
или, сокращая на Г In у | h~1, получим

§ 5. ПРОБЛЕМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ
69
Это уравнение имеет очевидный интеграл
ф (2) =	= ~ 1« (Ь ") + const.
Остановимся теперь на вопросе о корнях полинома N (z). Так
как к чётно, то N"(z) всегда неотрицательно, т. е. кривая
= не имеет точек перегиба. Если S достаточно велико,
то N (z) не имеет вовсе действительных корней, если же оно
меньше некоторой величины <S0, то TV (z) имеет пару действитель-
ных корней. Для S = SB мы имеем двойной корень. Для нахож-
дения SB заметим, что для S = SB существует такое z, что одно-
временно выполняются равенства
+ и	=0.
Отсюда мы находим
н	1
SB = k [/?(&-!)]
Пусть S < SB; N (z) имеет два действительных корня z, и z2.
Z
Между этими корнями, так как R > 0, функция Ф (z) == \
монотонно убывает и на границах интервала (z„ z2) она обра-
щается в со.
—	Г 1 1 ~ ~~—
Пусть теперь г и © = <p04-z In —	ll~1—полярные коорди-
наты; рассмотрим кривую
®(z)=-ln(m 0+G,
где Св—определённая константа интеграции, а величина z будет
представлять некоторый параметр, изменяющийся вдоль кривой
между значениями zx и z2; Ф (z), как мы указали, при этом моно-
тонно убывает от + со до —со, и, следовательно, кат? показы-
вает уравнение кривой, г убывает от 1 до 0. Если теперь г
устремить к нулю, то z приближается к фиксированной вели-
чине z2 и, следовательно,
,р--<р0=2[1п т]
стремится к 0, т. е. изучаемая кривая имеет в начале координат
касательную y = xtgcp0.
>0 гл. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим другой случай: S So. Полином N (z) не имеет
действительных корней, Ф (z) — непрерывная монотонно возра-
стающая функция, причём при изменении z от — со до -}- со она
остаётся ограниченной, так как
что к
> 2.
— со
dz
—сходящийся в силу того.
(z)
На каждой кривой
Ф(2)=-1п0Пу)4-Со
iu	ограничено, следовательно, г не может подходить ни
к нулю, ни к 1. Далее, на этой кривой, как показывает само
дифференциальное уравнение, <р — монотонная функция от г, п
если параметр z меняется от —оо до + °°, то
=гС1пт)
меняется в тех же пределах.
Если взять кусок изучаемой кривой для |<р— <р| -<8, то она
будет итти от одной боковой стороны нормальной области до
другой, не входя в особую точку, причём такие дуги этой кри-
вой будут иметься в любой близости от начала координат. Если
теперь положить C0 = ln^ln^J, то всюду на кривой г < г*.
Используя это исследование, докажем следующую теорему.
Теорема 2 (Лона). Пусть <р0— чётный корень порядка к
(к^ 2) для функции F (<р). Положим С>0 и GB > 0. Пусть
далее
z
Л(г)^гя^1пу)
и
к	1
D = (д	‘
Тогда, если функция / (<р, г) = т;, cos <р — sin <р в секторе
I© — <р0|^8 и для достаточно малого г удовлетворяет условиям
f(r,<?)<CxA(f), 0<Cl<D,	(I)
гпо имеет место расположение (а), а если оно удовлетворяет
условиям
f(r,<?)>CtA(r), C2>D,	(И)
то имеет место расположение (Ъ).
§ 5. ПРОБЛЕМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ
71
Приступаем к доказательству. Предполагаем, что окрестность
особой точки выбрана столь тесной, что неравенства (I), упомя-
нутые в условиях теоремы, имеют место. Тогда
где S —некоторое положительное число, сколь угодно малое, если
•окрестность достаточно мала. Согласно нашим предположениям
и, следовательно, для малых 8
Рассмотрим вспомогательное уравнение
т d£=F 6 - с1+s)+t1 -Н)=ф ?)•
VW	С/ Q	Uq I
Это уравнение есть того типа, который мы только что рассма-
тривали, причём
я-|;(1+г) и 5=|ч1+г).
Имеем
S < $0^к~£~1 (И(к-1)]~^;
следовательно, существует кривая, удовлетворяющая вспомога-
тельному уравнению, которая входит в особую точку с каса-
тельной y = xtg<oo.
Обозначим эту кривую К и настолько уменьшим г, чтобы
для рассматриваемых его значений кривая К оставалась в секторе
|©— ф0| < 8. Теперь уже легко показать, что может иметь место
лишь расположение (а).
В самом деле, если бы имело место расположение (в),
то интегральные кривые должны были пересекать кривую К.
В точке пересечения имело бы место неравенство
tZtP . cZo 1т< ,	——х »Т. I X
г т -г- ~ ® (г, ф) = 4 (г, ©),
dr dr \	\
а это неравенство противоречит ранее установленному. Итак,
имеет место расположение (а).
ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Переходим к доказательству второй части теоремы.
Пусть нормальная область столь мала, что выполнены нера-
венства, записанные в условиях теоремы. Тогда
F4-
do
гп
С (о— ?оУ:+С2-^^
----- — - .-r--(l-o)=T(r,<?),
u0
где о снова сколь угодно малое положительное число, если
только нормальная область достаточно мала. Согласно условиям
теоремы, как легко видеть,
>*’•->	-г-
и для достаточно малого о
k	1
Рассматриваем вспомогательное уравнение
Д = Т(г, ©).
Оно снова изученного нами вида, причём здесь
Д = £-(1-8); S=J(4-3)
и
s>sB.
Рассмотрим теперь интегральную кривую L заданного
уравнения, проходящую через некоторую точку (г*, ©*) нор-
мальной области. Как было показано, для вспомогательного
уравнения существует интегральная кривая К, которая целиком
лежит в круге г < г*. Допустим теперь, что имеет место распо-
ложение (а), тогда интегральная кривая L входит в особую
точку и, следовательно, непременно пересекает К, но это невоз-
можно, так как в точке пересечения (г, © — <») мы имели бы
do . ds
d7<rd7
«•(г,ф)=='Г(г, <?),
что противоречит установленному ранее неравенству. Следова-
тельно, имеет место расположение (в). Теорема доказана.
§ 5. ПРОБЛЕМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ
73
Приведём простой пример
Лу___г.+jrHi
dx	x + ri2
Здесь
Pi (ж, y) = x + y, Q^yj^x.
Характеристическое уравнение
F (©) = [sin © 4- cos ©] cos © — cos © • sin © = cos2 ©
имеет два двойных корня: ® = у и © = ——, т. е. имеет место»
вторая проблема различения. Следовательно, надлежащим под-
бором функций 7)! и т;2 мы можем добиться того, чтобы при
+-?- и —Л имелся случай (Ь); но тогда интегральные кривые-
не будут входить в начало координат с определённой касатель-
ной, т. е. особая точка будет представлять собой фокус или
центр (можно показать, что центр не имеет здесь места, так
Л	dr	„	х
как г , а следовательно, и сохраняет постоянный знак)..
Между тем соответствующее линейное уравнение
dy «> + у
dx х
имело в этой точке узел.
Заметим, что в случае аналитических правых частей необхо-
димо имеет место расположение (а).
В самом деле, в этом случае мы имеем:	ограничено.
при г—>0, следовательно, / (г, о) < С1гп*г < Су'1	к~1
при любом Сг > 0 для достаточно малого г.
Теорема Лона непосредственно не прилагается к случаю раз-
ных показателей степеней числителя и знаменателя, однако,, мы
можем применять непосредственно лемму Лона, или метод
сравнения с вспомогательным уравнением. В частности, для.
изученного в предыдущем параграфе случая, когда
Г	- tg© + о (г),
лемма Лона применима, и мы получаем результат: если т > п
и если ось х-ов есть простое исключительное направление, то
вддлъ него входит только одна интегральная кривая.
Дадим теперь краткий обзор литературы, связанной, с первой
проблемой различения.
ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Перрон {Math. Zeitschr., Bd. 15(1922), 121 —145) в случае
наличия линейных членов (т. е. т — п—1) показал, что для
того, чтобы нелинейное уравнение вело себя, как линейное, доста-
точно, чтобы та и были порядка О (г1+е) с теми же ограни-
чениями, которые имеются в теории Лона. Это условие, очевидно,
содержится в доказанном у Лона.
Форстер {Math. Zeitschr., Bd. 43(1937), 271 — 320) установил
другие достаточные условия. Он предположил, что функция
,/(г, ф) в секторе |<р — е>о|<о удовлетворяет неравенству
|/(r, ?)J<B(r)rn,
Го
_	С В (г) I In г I ,
где \ - у------- dr сходится. Ооласти применимости этих условии
о
и условий Лона перекрываются.
Наконец, Гукухара (Hukukhara, Proc, of the Physico-
Mathem. Society of Japan, Vol. 21, № 5 (1939)) высказал условия,
обнимающие собой и условия Лона и Форстера. Гукухара рас-
сматривает уравнение
_ Р(У) + /Р, а)
dr	G(e) + g(r,e)
'Положим
С> 0, к>1, Gc = G(0)>0:
f{r, ©) < E{r), g{r, ©) = 0
для 0-<©Ce; г<е.
Пусть
^ = 71—Й)6Г’ 5	= (1—в) ОТ ’
(1)
Тогда имеем:
(у) + / (г, <s)'
G (?) + g {г, ?)
At' -f- В (г),
0 <£ © <_ s
Тогда,, для того чтобы имело месторасположение (а), достаточно,
чтобы уравнение
rJ = ^-f-B(r)
-не имело положительного решения, входящего в начало координат.
Итак, вопрос сводится к установлению условий, при которых
вспомогательное уравнение имеет положительное решение,
‘входящее в начало, или его не имеет. Гукухара высказывает ряд
§ 5. ПРОБЛЕМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ
75
таких условий, например, если существует константа к такая,
что
А I In г |х [ \ В (г) I In г | Ул — 1k Ci,
i — л 1 I )	4 '1	1	г j
о
то существует положительное решение, входящее в.начало. Если
же для всех положительных к, не превосходящих единицы, и
при некотором положительном 8
г	j
lim (к - 1) А | In г |х / ^Ilnrl^yV^l-k + o,
то вспомогательное уравнение не имеет положительного решения,
входящего в начало координат.
Эти условия охватывают условия Лона и условия Форстера.
Несомненно, самым важным в проблеме различения является
уже упоминавшийся процесс Фроммера.
Отсылая читателя к оригинальному изложению, имеющемуся
в русском переводе в «Успехах математических наук» (вып. IX),
здесь мы даём только краткое изложение идеи этого метода.
Прежде всего предполагается, что исключительное направление
есть ось ж-ов. Метод разыскания исключительных направлений,
изложенный выше, по существу дела может дать ответ лишь в том
случае, когда их можно получить, отбрасывая бесконечно малые
величины выше первого порядка. Проблема различения имеет дело
с касанием между интегральными кривыми высших порядков, по-
этому ясно, что мы должны для установления различия разбирае-
мых случаев сравнивать интегральные кривые не с прямыми, а с не-
которыми кривыми, например, с параболами. На таком сравнении
и основан процесс Фроммера.
Введём следующие определения.
Если при достаточно малых ж (ж>0) интегральная кривая лежит
под параболой у —х^ для v< v, и выше каждой параболы у —х^ для
v>Vj, то скажем, что v, есть порядок кривизны интегральной кри-
вой: если она лежит под каждой параболой у=х^ при любом v, то
говорят, что порядок кривизны бесконечен. Далее скажем, что дан-
ная интегральная кривая порядка кривизны имеет меру кри-
визны иг, если она при достаточно малых ж лежит под всеми пара-
болами у = их^ при u>w1 и над всеми параболами y=uxVl, при
если же она лежит под всеми параболами у — их^1, то гово-
рят, что мера её кривизны равна нулю.
Для того, чтобы определить возможные порядки кривизны,
делаем замену переменного y = o:'iX'> и приходим к дифферен-
циальному уравнению, особые точки которого могут дать порядки
кривизн. Удаётся установить, что для уравнения с аналнтиче-
76 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
скими правыми частями возможных порядков кривизн конечное
число.
Пусть порядки кривизн определены и суть vt, v2,
Исследуем каждый из них в отдельности и ищем возможные
меры кривизны. Рассмотрим, например, Делаем подстановку
у— и (ж) x'il.
Дальнейший анализ показывает, что существует либо' беско-
нечное множество возможных мер кривизн, либо конечное
число их.
Определяя таким образом параболы касания, мы прежде
всего установим: если подобных касательных парабол суще-
ствует бесконечное множество или интегральная кривая имеет
бесконечный порядок или нулевую меру, то существует беско-
нечное множество интегральных кривых, входящих в начало по-
данному исключительному направлению.
Остаётся исследовать случай конечного числа возможных
касательных парабол конечного порядка и отличной от нуля
меры. Пусть одна из них
п
71 = U;Xj;.
£-1
Чтобы исследовать поведение интегральных кривых в её окрест-
ности, делаем преобразование координат:
п-1
у — 2	4- и (ж) х'>п-
;=i
Пусть дифференциальное уравнение на новой (ж, и)-плоскости
имеет особую точку (ж, un).
Так как парабола rq лежит в такой области, в которой нет
они одного вектора, имеющего направление оси у, то существует
область 0<;ж<1о, \и— un|<s, в которой знаменатель нового
дифференциального уравнения не обращается в 0. Эта парабола
т) аналогична простому исключительному направлению.
Дифференциальное уравнение, после указанной замены пере-
менных, получит вид
п-1
и х<п~	и^х —упия
£=i
Правая часть этого уравнения — это разность между направлением
поля и направлением касательных к параболе; если эту раз-
ность обозначить через *Г’Г1(и, ж), то
гг'х-vn =	(и, ж), а'х =	= фп (и, х).
§ 6. ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА И ФОКУСА	77
'Здесь возможны также три случая:
I.	^(ия,0)>0— вдоль этой параболы входит бесчисленное
множество интегральных кривых в начало;
II.	0)<^0 —вдоль этой параболы входит в начало только
одна интегральная кривая;
III.	^8(ип> 0) = 0 — это соответствует случаю кратного исключи-
тельного направления и. следовательно,
подлежит такому же анализу.
Именно, берём приближённую параболу высшего порядка
а исследуем её окрестность так же, как и раньше. Затем
•оказывается возможным установить, что в случае аналитических
правых частей конечным числом шагов удаётся полностью решить
«проблему различения».
§ 6. Проблема центра и фокуса
Как следует из § 4, если характеристическое уравнение не
(имеет действительных корней, то может наблюдаться либо устой-
чивая особая точка, либо фокус. Постараемся найти аналити-
-ческий критерий для отличения центра от фокуса. При этом
окажется, что существование центра можно уста-
новить, вообще говоря, лишь бесконечным чис-
лом операций.
Пусть дано уравнение
, —	+	(•«’	+	(-’•’ У)+~"
y	Qn (x> у)+(a v)+(», у) h— ’
где P{ (ж, у) и Qi (ж, г/) —однородные полиномы t-ой степени, и
предполагается, что числитель и знаменатель правой части
являются аналитическими функциями от ж и у в некоторой
•окрестности точки (0, 0). Если ввести полярные координаты г и
<?, то это уравнение перейдёт в следующее:
dr _ rPm*i + ?’2Аг+2 + r8/Ws + • • •
т§5Ь+а4-с29я+3-г 	’
причём
Pn^i+1 ~ Рп+1 (сов Ф, sin ф) Sin Ф + Qn\i (cos ф, sin ф) cos Ф,
5п+<!+1 = Pn-'ei (cos sin ф) cos Ф — Qn^i (cos Ф, sin ?) sin ф,
и qn+1 не имеет действительных корней в силу отсутствия
исключительных направлений.
Рассмотрим семейство замкнутых кривых
/ (г, ?) = г/0 (?) + rzf1 (?) -{- г3/2 (ф) -Н • • = const.
78 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
и поставим себе задачу определить /0(<р), /До), /а(о), как
периодические функции от о и притом так, чтобы
/ (г, <») = const.
было интегралом нашего уравнения.
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет это
семейство кривых, имеет вид
dr _ _ r,’0 + r2 i + r3f'2 + ... .
d’f	/о + 2ГД + 3r2/2 + ... ’
чтобы получить желаемый результат, должно быть выполнено
следующее равенство:
rp^l+ r2p,ltz + r3pn+s+.... __ __ г/о + ггА + г3;а + ••• . .
r3fS + 2 + Z'2?-a+S + 	/о + 2r/l+ 3^/2 + • •♦
Если произвести операции над рядами, то получим уравнение
в виде ряда
Г (?п+1/о 4“ Рп ti/o) 4“ (?n+i/i 4-	4~ /оЗ'п+г 4“ /оРп+а) 4“ • • •
Следовательно, если мы хотим, чтобы левая часть формально
обратилась в нуль, необходимо и достаточно, чтобы счётное число
линейных дифференциальных уравнений имело периодические
решения.
Эта система может быть записана в следующей форме
Чпг1Ь~\~ (г’4- l)Pn+iA‘4- Ri = 0 (t^O, 1, 2, ...),	(А)
где R; зависит лишь от /;., //>, где к < г.
Докажем теперь теорему.
Теорема. Для наличия центра необходимо и достаточно,,
чтобы бесконечная система уравнений (А) имела периодические
решения периода 2к.
Покажем сначала необходимость этого условия. Пусть fk—
первая непериодическая функция в последовательности /х, /2,
/я,	••• Тогда существует вполне определённая константа.
Dk 0 такая, что уравнение
qn^F-k4- (к 4-1) pn„Fk + Rk = Dk 1)	(В)
*) Уравнение
где q (t), p(t) и R(t) суть непрерывные периодические функции периода.
2и, D—константа и q(t)=f=Q, имеет решение:
с
§ 6. ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА И ФОКУСА
(S'n+i 0) имеет периодическое решение Fk. Воспользуемся те-
перь семейством периодических кривых
rf0 + r7i + • • • + rhf1;^ + rft+{ Fk = const.
и сравним направление поля, определяемое этими кривыми, п
направление поля, определяемое заданным уравнением, т. е.
вычислим тангенс угла между направлениями этих полей. Тогда,
по самому построению получится, что в числителе пропадут все
члены, содержащие г в степенях меньших или равных к, а при
будет коэффициент Dk. Следовательно, можно найти такую
окрестность начала, что в ней числитель не будет обращаться
в 0, например, будет положительным. Отсюда вытекает, что
направление поля, определяемое уравнениями, нигде не совпадает
с направлением поля, определяемого семейством замкнутых
кривых, а следовательно, интегральные кривые либо должны с
определённым направлением касательных входить в начало, либо
быть спиралями. Первое исключено предполагаемым заранее
отсутствием исключительных направлений. Следовательно, инте-
гральные кривые спирали, и мы имеем фокус.
Условие периодичности
.т (2я) — л: (0) = 0
даёт:
2п	t
dt=0.
0
273
Если — dt ф 0, то определение константы С из последнего урав-
и
нения возможно, и, следовательно, наше уравнение, при лкбом JD, имеет
периодическое решение.
273
Если же F dt= 0, то из условия периодичности выводим:
и
С е	С	R	г' q
I) \ -------— dt — \ — е° dt = O,
J	9	J	7
0	0
f -Р- dt
.1 q
причём так как е° > 0 и функция q (t) сохраняет постоянный знак,
то коэффициент при D не равен 0. Отсюда условие периодичности, при
некотором значении постоянной D, будет выполнено. Следовательно, и в
этом случае существует периодическое решение.
Очевидно, всегда можно предполагать, что
D 0.
«о гл. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Докажем теперь достаточность высказанного условия. Рас-
смотрим заданное уравнение, написанное в полярных коор-
динатах
__rPn+i “I”	4* rSP9i+3 4“ • - *
^7,i+14~	4-су,г+3-р...	2
Так как gn+1 есть левая часть характеристического уравнения,
то Z есть функция, не обращающаяся в нуль при малых значе-
ниях г. Найдём теперь дающее периодические решения уравне-
ние сравнения
так, чтобы в числителе дроби, выражающей разность г' — г',
«сокращались все члены до порядка 2п ф-1 относительно г.
Так как при этом в знаменателе стоят функции, не обращаю-
щиеся в нуль для малых г, то мы получим для малых г сле-
дующую оценку:
] г' — г'\<г2П*гМ',
где М' некоторая константа.
Возвратимся снова к заданному уравнению и будем искать
его решение методом последовательных приближений.
Пусть г < к — область, в которой знаменатель выражения
dr
для не обращается в нуль и, следовательно, сохраняет постоян-
ный знак. В таком случае существует константа М такая, что
выполняется неравенство: | <
В этой области имеем: —М < < +-/И; пусть г0<Л, тогда
интегральная кривая должна заключаться между двумя архи-
медовыми спиралями г = М©-|-г0 и г ——М© + ^0-
При к—->0 константа М тоже стремится к нулю; поэтому,
если выбрать гв достаточно малым, то при изменении у от О
до 2-г интегральная кривая будет оставаться в области г < к,
т. е. в области постоянства знака знаменателя.
Будем теперь искать решение, проходящее через точку (г0, 0),
методом последовательных приближений. Ясно, что и приближе-
ния будут находиться в области постоянства знака знаменателя.
Их представления в виде рядов будут иметь в качестве началь-
ных членов разложений частичные суммы ряда
г = го«'| + ?,>2 + 7'ом’з+
где ^ — непрерывные функции, зависящие только от sin© и cos©.
§ 6. ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА II ФОКУСА	81
Так как для	все приближённые кривые находятся
в области г < к и приближения сходятся на [0, 2—], то, следо-
вательно, ряд, написанный выше, сходится и в точке 2~.
Пусть
Р = г0% (2*) + ^>2 (2^) + • • 
Рассмотрим функцию
^(го) = гс—+ G'о + •••
Покажем, что все С, равняются нулю.
В самом деле, пусть п фиксировано, но сколь угодно велико,
bi
и пусть г	—уравнение определяющее систему замкнутых
•^1 ____________________
кривых, такое, что в разности г' — г', разложенной по степе-
ням г, пропадают все члены, начиная с 1-го до (2п4- 1)-го. Тогда,
если решение этого уравнения изобразить в виде ряда, так, как
это мы сделали для основного уравнения, т. е. положить
г = ra (V1 (ф) р г- w2 (<?) 4~ ... + Г>п (?) 4- ...
и соответственно в точке 2~
Р = г(2к) = г0W1 (2к) 4- г2ws (2тс) 4- ...,
и если для уравнения сравнения образовать функцию
ОО
4,('’о) = ^о--?=2^гГ«’
«=0
то она тождественно равна нулю, т. е. С{ =0.
По условию уравнение сравнения выбрано так, что
w’i (<р) = w’i (<р)	(1=0, 1,2, ...,2п4-1);
поэтому все Ci = Ci для i < 2n -f-1. Но эти Ct равны нулю, следова-
тельно, Q(i = 0, 1, 2, ... , 2n-f-l) тоже должны равняться нулю;
а так как п произвольно велико, то все CI = 0(i —О, 1, 2, ...).
Но С, — wt (2гс) — н’ДО), следовательно, wt (2т:) — wt (0)
(1 = 0, 1, 2, . . .); т. е. высказанное условие достаточно.
Процесс, с помощью которого мы можем установить наличие
центра, как мы видели, является трансцендентным и требует
решения дифференциальных уравнений; но если уравнение начи-
нается с членов первого порядка, то в аналитическом случае
рассмотренный процесс может быть заменён другим, требующим
Пеммцкпй и Степанов	6
82 ГЛ. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
лишь решений алгебраических уравнений. Такого рода алгоритм
для нахождения периодических решений был указан Пуанкаре.
Изложим вкратце этот последний метод.
При наличии членов 1-го порядка центр может существовать
лишь в том случае, когда с помощью неособого линейного
преобразования мы можем систему уравнений привести к виду:
^-t=y+q{x, у),	= — х — р(х,у),
где р(х,у) и q{x,y) суть аналитические функции, начинаю-
щиеся с членов 2-го порядка. Итак, пусть
9 У) = (*, У)+ (®, ?/)+••• + 9t (ж, у) +
Р&, У) = РЛХ> У\+р*(х, ?/)+••• У) +   ,
где Pi(x, у) и qt (х, у) — однородные полиномы i-ro порядка.
В качестве уравнения сравнения возьмём уравнение
dyj _ (аг, у) _ _	4- /зх у) (-Т, у) —   •
dx	2y + f'3y(x, y) + fiu(x, y)-T • •  ’
где
/(ж, у) = x2 + у2 + f3 + ft + ..  +fk~   
—семейство замкнутых кривых, причём коэффициенты однородных
полиномов /3, /4, ..., Д, . . . соответственно порядка 3, 4, . ..,
к, .. ., заранее не определены. Образуем разность
У’~ У1 = [ — (^ + Р2 + /’з+ • • •) (2?/ + /з!/+/а»+ •••) +
+ (у + (?, + qs 4- • • •) (2а; + f3X 4- f'iX + ...)] {{у + д(х,у)) /' (х, у)]-1.
Непосредственно видно, что члены второго порядка в числи-
теле пропадают.
Совокупность членов 3-го порядка есть
~ xj'3V — "~УРг + yi™ + 2х9-2’
это выражение можно представить в следующем виде:
( "^/зу ж yfzx) 4- (2а:<7 2 ^УР^)-
Полином, стоящий во вторых скобках, имеет коэффициенты,
линейно выражающиеся через коэффициенты полиномов .рЛх, у)
и д2(х, у). Обозначим его через
Взе х3 ф В21 х2у + В12 ху2 + ВС8 у3.
§ 6. ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА II ФОКУСА
83
Что касается полинома —xfsv-fyfsx, то он имеет вид
— ж/ад + УГгх = ~х (А1 + 2А2 хУ + Злоз У2) +
+ У (ЗЛ30 хг + 2ЛК1 ху + Л12 у2) =
= А1 я8 + (— 2Л12 + ЗД„) х*у 4- (— ЗЛ03 + 2 Л21) xyz ф- А12 if.
Следовательно, если мы хотим, чтобы члены третьего порядка
исчезли, то следует определить Л03, Л12, Л21 и Ase из уравнений:
— л214-в30=о,
— 2Я12 + ЗЛ30 4- В21 = О,
- ЗЛ03 4- 2Ла14- в12 = о,
Als + В03 — 0.
Рассмотрим члены 4-го порядка: сумма их имеет вид
' щ Рг tzy ‘^‘УРя 4" yftx 4~ ?2 /зх4~ 2®ffs>
ИЛИ
( Х1*В У У141) 4“ ( Рз/зр 2урз 4“ §2/зж “Ь 2"Т§3)-
Во второй скобке снова стоит многочлен с коэффициентами
уже ранее определёнными. Обозначим его
В40 rz4 4~ В31 хАу 4- В22 xAif 4- В13 хуя 4- Bai у*.
Полином в первой скобке напишется следующим образом
— х (Л31 Xs 4- 2Л22 х*у 4- ЗЛ13 ху* 4- 4Л01 у8) ф-
4* у (4Л40 Xs 4- ЗЛ81 х*у 4- 2Л22 ху- 4- Л18 f).
Если потребовать, чтобы члены 4-го порядка исчезли, то
получим систему уравнений, которая, вообще говоря, не имеет
решений, но мы можем всегда выбрать коэффициенты Aik так,
чтобы все члены четвёртого порядка свелись к выражению
А +
В самом деле, приравнивая коэффициенты при хАу, хлу , xf
нулю и приравнивая между собой коэффициенты при ж4 и ?/4,
получаем систему уравнений:
4gi “Г" В 1а — А13	В01,
— 2<42« 4"	4- В31 ~ О,
-3^4-3^ + ^ = 0,
-4Л44-2Л22 + Аз = 0.
Из этих уравнений неизвестные Л13 и Л31 определятся одно-
значно, а Л40> Л22, Л04 будут зависеть от произвольного значения
одного параметра.
6*
84 гл. i. траектории в окрестности Особой точки на плоскости
Для Л.,, мы получим выражение
Л81=4(ЗВ40-Ви-ЗВм),
и, следовательно, коэффициент при ж4 и yi будет иметь вид
-Л31Ч-^0 = |(ЗВ40 + В22 + ЗВ04).
Может быть или ф 0 или D, = 0.
Если Dr =# 0, то около начала координат можно описать
столь малый круг, что направление поля нигде не совпадает
с направлением поля, определённого уравнением, взятым для
сравнения, следовательно, все интегральные кривые входят
в начало, но так как, с другой стороны, исключительных напра-
влений нет, то все они спирали, входящие в начало либо при
I—- со, либо при t—»4-со в зависимости от знака и, сле-
довательно, изучаемая особая точка есть фокус.
Пусть 2)1 = 0. Тогда рассматриваем члены пятого порядка.
Оказывается, возможно их уничтожить выбором неопределённых
коэффициентов при /'ж и f.v. Далее рассматриваем члены шестого
порядка, их, вообще говоря, нельзя уничтожить, но можно свести
к выражению D2(xeф-?/6). Снова, если Z>2	0, то имеем фокус,
а если D2 — 0, то продол?каем процесс.
Следовательно, для наличия центра необходимо выпол-
нение бесконечного числа условий.
Если проделать проводимые нами рассуждения для общего
случая, то можно доказать, что совокупность этих условий
достаточна.
Кроме этой общей теории, может быть указан ряд достаточ-
ных условий для установления наличия центра. Тут прежде
всего отметим, что если для изучаемой системы характеристиче-
ское уравнение не имеет действительных корней и если можно
установить существование голоморфного интеграла, то, очевидно,
изложенная теория показывает, что точка будет центром:
например, это будет иметь место, если системы канонические.
Но, конечно, могут быть указаны и другие случаи (см., например,
Ляпунов, Исследование одного из наиболее особенных слу-
чаев задачи об устойчивости движения).
Второе направление в разыскании достаточных условий центра
исходит из гипотезы, что для тех уравнений, у которых в пра-
вых частях стоят полиномы данной степени, для установления
наличия центра должно быть достаточно конечного числа условий.
Для случая полиномов второй степени эта проблема решена
в утвердительном смысле. Оказалось, что если уравнение напи-
сать в виде:
,	х + ах2 + (26 — а) ху 4- су2
У	У 4-бх2-;-(2гxy-^dy2 ’
§ 6. ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА И ФОКУСА
85
то центр имеет место в следующих случаях:
I.	а 4- с = 0, b-rd=O;
II.	4 = 6^ = А-, ак2-ЗЬк2 +3ck-d = 0-
;s	а-\- с
III.	а=0, 8 = 0.
Аналогичная проблема для полиномов третьей степени не
решена до конца, но. например, Альмухамедов (Известия
Казанского математического общества, т. 9, сер. 9), показал, что
если уравнение имеет вид
Ау __ — ж + Сэр ж8 + са1 .с2у -|с ,2 хуг Д- с0з у8
dx	У + bgo s8 J- Ь21 я2у + 612 ху2 + 6О8 у'-'- ’
то будет наблюдаться центр, если
^21 ~ ^03 = 9, ^30 ~ ^12 ~ Oj
или
^gl 4" ^03	9, ^12 4 ЗЬ30 ~ 9, ^03 = ^Зв’
Для уравнений вида
dy __ -JB-j-FQ.-, у}
dx	у ’
И. С. Куклес установил некоторые общие критерии для нали-
чия центра. Эти критерии ему удалось приложить к случаю,
когда F (ж, у) — полином третьей и пятой степени. Для случая по-
линома третьей степени, например, им получен такой результат.
Пусть
— х + F (х, у) = а“ 4- а® у + а°г у2 + a°sys +
+ « + «1У + < У2) х + (а2 + а[ у) х* + asoxs;
для того чтобы написанное выше уравнение имело центр, необхо-
димо и достаточно выполнение одной из четырёх серий условий
1)	a = a’(a11)24-af(aX4-3a®) = 0;
О = [За® (a*al 4- За®) 4- (а®а[ 4- За®)2 4- аДа*)2] а* —
- За? («X + За®)2 - а’ (а[)2 (а«а^ 4- За®3) = 0;
^(«з+йД^ + ^ + Зй^О;
т = 9а‘ (а;)2 4- 2 (а^ 4 9 (а°Х 4- За®)2 4-
4-27а®(аХ + 3^) = 0.
2)	а“ = а = 8 = х = 0,
3)	а® = а* = а2 = О,
4)	а® = а® = а2 = а2 = 0.
86 гл. I. ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ
Аналогичные 9 серий условий им получены для случая по-
линома пятой степени (И. С. Ку к лес. ДАН, т. 57, (1944),
№ 4 и № 5).
Наконец, третий тип условий — это условия, хотя и нало-
женные на бесконечное число коэффициентов, но выражающиеся
тем не менее в определённых заранее высказанных правилах.
Таковы, например, следующие условия Альмухамедова (Изв.
Казанского математического общества, т. 8, сер. 3). Записывая
уравнение в форме
dy_Xh+X'
dx У;,-гУ' ‘
где XhnYh однородные полиномы степени h и xYh— yXh^= O
(характеристическое уравнение не имеет действительных корней)^
получим, что будет центр, если в разложении X' = У ЬткхГу
k> h
отсутствуют чётные степени, а в разложении Y'= 3 ст1хту
отсутствуют нечётные степени.
Однако, исследования во всех этих направлениях не следует
считать законченными.
ГЛАВА II
ИОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ
ТОЧКИ В //-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Постановка задачи
Пусть дана система уравнений
^ = Х.;(Ж1> Х„ ...,Хп)	(4 = 1,2,..., П),	(1)
и пусть начало координат есть изолированная особая точка,
-г. е. Х{ (0, 0, ..., 0) = 0 (i = 1, 2, ..., п). Требуется, зная функции
X; (х,, xs, .. ., хп) в некоторой окрестности начала координат,
узнать поведение решений этой системы в некоторой, быть
может и меньшей, окрестности начала координат. Эта общая,
постановка требует уточнения в двух направлениях: во-первых,
следует уточнить выражение «зная, функции Х>» и, во-вторых,
следует более конкретно указать, о каких свойствах решений
будет итти речь. Остановимся сначала на первом вопросе.
Может быть несколько различных постановок.
I. Функции Х{ (ж1; х2, .. ., хп) (/ = 1, 2, . . ., п) — непрерывные
(в окрестности начала) функции, следовательно, они вполне
определены, если задано некоторое счётное множество чисел.
Это может быть множество их значений на счётном всюду
плотном множестве точек или множество коэффициентов поли-
номов, приближающих данную функцию; в частности, если
функции Xi (х^, хг, .. ., хп) аналитические, то это может быть
множество коэффициентов тейлоровских разложений. Опреде-
ление свойств решений по счётному множеству условий, выра-
женных числами, нас может удовлетворить в. двух случаях: ли-
бо, если мы узнаем свойства решений, не используя фактически
величин всех членов числовой последовательности, а лишь зная
некоторые свойства, присущие членам этой последовательности;
либо, если мы распознаём эти свойства решений: постепенно, т. е.
если уже конечное число начальных элементов последовательно-
сти даёт нам возможность нечто установить относительно реше-
ний, Эта постановка отчасти нами использовалась при решении
вопроса о различении центра и фокуса.
£8	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Первая постановка вопроса может быть ещё высказана следую-
щим образом. Пусть дана система (1). Зная некоторое конечное чис-
ло условий, т. е. фактически некоторую конечную совокуп-
ность чисел, определяемых с помощью функций Xi (ж15 ж2,..., жч),
(1 == 1,2,... ,и), требуется построить некоторую систему уравнений
=	(*=1,2...п),
которую естественно назвать приближённой систе-
мой, свойства решений которой легко определить, и такую,
что некоторые свойства её решений совпадают со свойствами ре-
шений системы (1). Этой проблемой мы и будем заниматься в
дальнейшем.
II. Известны некоторые качественные особенности правых ча-
стей уравнений (например, монотонность по тем или иным перемен-
ным; положительность или отрицательность правых частей в тех
или иных областях изменения переменных или соответствующие
свойства их производных; или вообще подобные свойства неко-
торых функций, построенных на основе правых частей уравнений);
исходя из этих данных, требуется вывести заключения о поведении
решений уравнения. Подобная постановка применялась Ляпуновым
в его так называемой второй методе исследования
устойчивости. Другие авторы, например, Лузин, применя-
ли её к исследованию некоторых конкретно заданных уравнений.
В настоящем сочинении мы этому пути следовать вовсе не будем.
Переходим теперь ко второй стороне поставленной задачи, имен-
но, к характеристике тех свойств решений, которые мы хотим уста-
новить. Решение системы мы представляем себе выраженным в ви-
де системы равенств
= я2 = ф2(0, • ••»
Будем изучать предельные свойства решений, т. е. поведение этих
функций при t, стремящемся к 4-со или к —со, если при любых
значениях t решение, трактуемое как кривая, остаётся внутри рас-
сматриваемой окрестности начала координат, или же будем гово-
рить о свойстве кривой выходить из окрестности начала координат <
Предельные свойства решения могут быть связаны с характером
приближения его к пределу,т. е. с поведением производных от функ-
ций при I—>4-со или при i—>—со. Они могут иметь и чисто
топологическую природу, например, это будет тйк, если речь идёт
о топологических свойствах множеств а и о>-предельных точек
решения.
При решении поставленной задачи возникают два основных за-
труднения. Первое—связано с существом самой проблемы, имен-
но, заведомо известно, что не всякое топологическое свойство ре-
шения системы (1) может быть найдено путём построения естествен-
ным образом получаемой приближённой системы, например, в за-
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
89
даче о характеристике центра нам было необходимо знать все ко-
эффициенты тейлоровских разложений для того, чтобы ус-
тановить наличие центра, т. е. никакого приближённого уравне-
ния для этого недостаточно.
Второе затруднение связано с несовершенством исследований
по интересующему нас вопросу. Именно, даже в том случае,,
когда конечное множество чисел полностью определяет функции
Xi(xlt хг, ..., хп) (Z = 1, 2, ..., п), как это, например, имеет
место, если Xi (xt, xz, ..., хп)—полиномы некоторой степени, мы
не всегда умеем найти предельные свойства решений. В част-
ности, например, даже для случая двух уравнений не можем
решить вопроса о существовании периодических решений вблизи
начала координат.
При исследовании поведения решений вблизи особой точки
является существенным рассматривать тот случай, когда прибли-
жённая система уравнений
^=^г(У1,у2,	(* = 1,2, ...,«)
есть система линейных уравнений с постоянными коэффициентами..
Итак, пусть дана система (1). Допустим, что некоторое-
конечное множество чисел, вычисляемых на основе знания,
функций X{(xlt ж2> ..., жп) (i = l,2, ..., ??), позволило нам по-
строить линейную систему уравнений
= алуг + а^у2 Н---+ ainyn (г = 1, 2, ...,	(2)
Требуется, зная топологические и аналитические свойства
решения системы (2), заключить о наличии этих же свойств
в решении системы (1).
Ясно, что не всякая произвольным образом построенная
система (2) позволит нам сделать нужные заключения. Есте-
ственно ожидать, что если линейные функции а-цх1 + аджа -|-.. .
... -f- ainxn (г = 1, 2, ..., п) наилучшим образом, среди всех
линейных функций, представляют функции Хг (х1г х2, ..., хп)>
(i = 1, 2, .. ., п), то и свойства решений соответствующей си-
стемы (2) будут наилучшим образом представлять свойства реше-
ний системы (1). Допустим, например, что в некоторой опреде-
лённой окрестности начала координат числа
п
max | Xt — ath^h| = s(O (f = 1, 2, ... , n)
fe=i
имеют минимальные значения. Можем ли мы надеяться
получить желательные нам заключения и относительно каких
свойств это можно надеяться сделать? Легко видеть, что ответ
будет отрицательный.
90
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
В самом деле, система (1) может быть переписана в виде
+ «/Л Н-----------------+	+ & («1, *а, ... , жп),
причём относительно функций фДЖц ж2, . .., мы, вообще
говоря, можем только сказать, что max I <р;. (rct, х2, ... , хп )| С s<0,
где е<0 хотя и малые, но постоянные .числа. А тогда на осно-
вании метода последовательных приближений можно утвер-
ждать, что если обозначить через	(£), ...,a?n(t)] реше-
ние системы (1), а через [г/х (i), у2 (I), -.. , уп(0] решение
системы (2), удовлетворяющее тем же начальным условиям, то
|a?(W-^P)l<^(,'w	(»==1, 2, ..., и),
где М nN—некоторые константы, причём показательный порядок
расхождения кривых фактически наблюдается, если функции <рг
суть константы, равные е<г’>. Поэтому уменьшение е(О позволяет
нам, правда, по решениям системы (2), определить свойства
решений системы (1) для всё более широкого промежутка измене-
ния параметра t или, как мы часто будем говорить в дальней-
шем, — для всё большего промежутка времени, но о предель-
ных свойствах мы ничего сказать не сможем. Нельзя также
сделать заключений и о выходе кривой из окрестности, если
только промежутки времени, которые проводят кривые в окрест-
ности, неограничены сверху. Итак, близость нулевого по-
рядка не даёт нам возможности сделать нужных заключений.
Следовательно, необходимо допустит!., что функции <рг- (х2, х2,..., хп)
имеют начало координат нулём более высокого порядка, чем
первый.
Для уточнения постановки задачи проведём классификацию
возможных типов интегральных кривых.
Пусть задана некоторая, радиуса р0, сферическая окрестность
начала координат, расположение интегральных кривых в кото-
рой мы желаем изучать. Возьмём фиксированную точку из этой
окрестности, отличную от начала координат, и рассмотрим
интегральную кривую
(0> ^2 = W> • • • , «п = Жп (t),
начинающуюся в этой точке.
Составим выражение
r(=+	+	+
Могут наблюдаться следующие случаи:
1°. Ро > SUP > 0 для 0<4<п-оо и —оо<4<0.
В этом случае интегральную кривую назовём устойчивой
(по Лагранжу). Среди устойчивых кривых играют особую роль
периодические или замкнутые интегральные кривые.
§ i. постановка задачи
91
2. pe > sup гг = А-> 0 для 0<£<+со и p0 = supr( для
7'< (<б0, где Т >—'Со или наоборот. Тогда интегральную
кривую назовём асимптотической или положительно (отрица-
тельно) устойчивой.
3\ limr( = O при t —>-j-oo или lira77 = 0 при t —>—со;
интегральная кривая называется (9-кривой. Среди (9-кривых
«будем различать два типа: правильные (9-кривые, приближаю-
щиеся к началу с определённым направлением касательной,
и особые (9-кривые, не имеющие определённого направления
касательной в начале координат.
4°. p0 = supr( и для	Т<4-со и для
Тг > — со; такие интегральные кривые назовём седловыми кри-
выми. Седловые кривые имеют некоторое минимальное расстоя-
ние от начала координат и через конечный промежуток времени
покидают рассматриваемую окрестность как при продолжении
в отрицательном направлении, так и при продолжении в по-
ложительном направлении.
Различие между «устойчивыми», «асимптотическими» и «сед-
ловыми» кривыми лишь относительное, т: е. если кривую рассматри-
вать в большей или меньшей окрестности, то кривая одного типа
может перейти в кривые другого типа. Это различие может стать
независимым от окрестности, если вместо условия p0=sup rt тре-
бовать выполнения условия sup г, =+со. Однако, рассмотрение по-
добных характеристик интегральных кривых не служит предметом
настоящей главы; здесь мы изучаем лишь поведение интегральных
кривых вблизи начала координат или вообще вблизи изолирован-
ной особой точки.
Как показывает рассмотренная в главе I проблема о различии
центра и фокуса, надеяться на основе знания линейных членов за-
ключить о наличии у семейства решений данной нелинейной систе-
мы устойчивых или асимптотических кривых, в общем случае,
нельзя. Поэтому мы сначала остановимся на такой проблеме.
Дана система уравнений (1), и пусть существует линейная си-
стема с постоянными коэффициентами (2) такая, что функции
ж2, • - •, хп) (г=1,2,..., п) имеют в начале координат нуль
порядка выше, чем первого. Тогда требуется".
!) зная топологическую структуру семейств О-кривых и сед-
лообразных кривых системы (2), т. е. линейной системы, сделать
заключения о структуре семейства 0-кривых и семейства седлооб-
разных кривых системы (1) и
2) зная о существовании или несуществовании предела произ-
водных от yL(t) при >-}-co или t-^>—со для системы (2), сделать
подобные заключения для кривых системы (1).
В отдельных случаях и при специальных ограничениях удаётся
получить заключение о наличии в семействе решений устойчивых
и асимптотических кривых.
$2	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
§ 2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
1. Пусть дана система уравнений:
dyt _ dt dyz dt	~а1лУ1~*ГаугУг. i • • • а1пУп> = «2t?/i + «22^2 + • • • + аЛпУп,
+ «Л2^2 4” ’ • • I аппУп‘-
коэффициенты которой а,/ (г = 1, 2, ..., и; / = 1, 2, .. ., п) посто-
янны. Так как в дальнейшем мы будем изучать лишь такие
свойства решений, которые остаются инвариантными при линей-
ной замене переменных, то для того, чтобы максимально упро-
стить вид уравнений, мы подвергнем заданную систему линей-
ной замене переменных.
Напомним теперь следующие определения.
Рассмотрим матрицу
А-кЕ =
«11	ais
«21	«22 S'
&П1	^П2	* ’ ‘ &ПП
(к) называют инва-
Пусть Di (к) (£ = 1,2, . .., п)— общий наибольший делитель всех
определителей порядка i матрицы А— кЕ. Тогда, очевидно, что
многочлен Di (к) делится на D,-_i(k), (г > 2).
Многочлены Е-i (к) = и Е. СК) — D±
^i—l V')
риантными множителями матрицы А — 'кЕ. Очевидно, Рг(к) =
= Ег (к) Ez (к). .. Е{ (к). Далее доказывается, что в ряду инва-
риантных множителей Е1 (к), Ez (к), ..., Еп(к) каждый из них
делится на все предыдущие. Напишем разложение инвариант-
ных множителей на линейные факторы:
Ег (к) = (к - (к _ ка)^а...(к -
где к1} к2, ..., ks— различные корни характеристического урав-
нения
«Л1 <l;lg • . . Unn К
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ясно, что ец > 0 (i = l,2,	/ — 1, 2, .. ., s), кроме того,
в силу указанного выше свойства	если i<i'.
Те из двучленов
(к — Х3-)е«/ (г = 1, 2, ..., п; /= 1, 2, ..., s),
которые не равны постоянному, т. е. для которых ец > О,
называются элементарными делителями матрицы А — \Е, соот-
ветствующие корню X/. Число Cjj называется степенью делителя.
В дальнейшем, если число элементарных делителей есть X,
то сами делители будем-обозначать так: (X— XJ6!, (X—Xg)% ...
.. . , (X — X^)«fc, причём среди чисел Х1; Х2,, .. ., Х7. могут быть
п равные. Здесь
«1 + е2 + .. . + ек^=п.
Отметим без доказательств следующие довольно очевидные
положения: а) матрица
==М,
у которой все элементы равны 0, кроме элементов квадратных
матриц Mlt Мг, ..., Мк, имеет элементарные делители те же,
что и квадратные матрицы Mi, и Ь) матрица
е, столбцов
Х; —X г 0 . . . О
О Х4 — е . . . О
О 0	0 .. . Xi—X
где s — любое число, имеет элементарный делитель (X —Х,-)Ч
Матрицу Mi назовём матрицей, соответствующей кор-
ню Х4. Заметим, что каждому корню характеристического урав-
нения может соответствовать несколько матриц Мt одного и того же
или различных порядков.
Матрицу М, частичные матрицы Mz-(t = l, 2, . . ., к) которой
имеют структуру Ь), назовём нормальной матрицей, а процесс
получения матрицы М ив некоторой другой матрицы назовём
процессом приведения данной матрицы к каноническому виду.
Напомним теперь следующую основную теорему линейной
алгебры.
94
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Пусть К — произвольная неособая матрица, тогда матрица
К(кЕ-А)К^
имеет те же элементарные делители, что и 7Е— Л, и обратно^
если ХЕ— В и ХЕ — Л — матрицы, имеющие одинаковые элемен-
тарные делители, то всегда найдётся неособая матрица К та-
кая, что
\Е^В = К(кЕ-А)К-1.
В частности, за матрицу В = j| bik\\ мы можем, очевидно, взять
матрицу, имеющую нормальную форму, т. е. имеющую вид
где Bi =
Хг s 0. . .0
0 Х,: г . .0
0 0 0. . .X,-
Пусть из системы
п
= 2 aik Ук 2>  • •,п)
(1)
линейным преобразованием переменных
Ze 2а{кУк
k=i
12)
с неособой матрицей ||агй|| получается линейная система
??
(^ = 1,2, ...,П).	(3)
/г=1
Полагая: А — ||«,й|;, В = Ц6/а|| п К= будем иметь:
ХЕ - В = К ('/Е - Л) К -1.
В самом деле, подставим в систему (3) вместо z{ их выраже-
ние через ylt yz, .. уп. Получим:
п	п п
v „ ау« _ V г. V „ „
b>h 2d ahiiJs'
й= 1	k= 1 s= I
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	№
Отсюда, пользуясь системой (1), находим:
п р.	п п	п п
~ Уь	Уз 2
k=l	1	8= 1 fe=l	8=1 А=1
Так как эти соотношения должны выполняться тождествен-
но по yS) то при s=l, 2,..., п имеем:
п	п
&ik(l ks =
hi	к= 1
а это значит, что
КА = ВК или В=-КАК^.
Кроме того, очевидно, имеем:
Е = КЕК~1.
Отсюда
~> Е— В = К (У.Е— А)К~1.
Следовательно, утверждаемое нами равенство доказано.
Таким образом, на основании приведённой выше основной
теоремы линейной алгебры и замечания к ней, можно утверж-
дать, что систему
h=l
путём линейного преобразования (2) с неособой матрицей всег-
да возможно преобразовать к новой линейной системе:
= (3)
h=l
в которой матрица || Ьцг\\ = В будет иметь каноническую форму.
После преобразования вся система уравнений разобьётся на
группы уравнений. Уравнения каждой группы могут быть про-
интегрированы независимо одна от другой. Рассмотрим одну иа.
таких групп. Имеем
dz; -	,	1
di ->-iZi+zz{+1,
= kiZi-r 1 +	,
dt 1гг1	l‘~’	(Л\
где г — некоторая константа.
96
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Если корень Xs характеристического уравнения комплексный,
г. ©.. Xs = a-kip, то характеристическое уравнение будет иметь
сопряжённый корень той же кратности, и так как, кроме
того, все инвариантные множители — многочлены с действи-
тельными коэффициентами, то каждому элементарному делителю
[К — (a_|_/p)] es матрицы В—кЕ, соответствует элементарный
делитель	(а — гр)] е« той же матрицы.
Тогда в нормальную матрицу М будут входить матрицы
X — a — г'З	s	0 ... О О
О	}— а —гр е ... О О
О	0	0 ... О X — a — г’З
	X — a-J	- гЗ	г	0 .	. 0	0
М1 1	0	X —a-f-гр г .	. 0	0
	0	0	0 .	. 0 X — х + гр
Так как матрицы и М® расположены в разных строках и
в разных столбцах матрицы М, то их можно объединить в од-
ну, т. е. рассмотреть матрицу
Я®
,|м(1) ।	;
Матрица М®, как уже было указано, имеет два элементарных
делителя
(X — a — г‘р)®8 и (X — а -ф г’Й)с.
Её можно заменить эквивалентной матрицей, т. е. имеющей
те же элементарные делители:
		0	0	а — X	
с=		0	0	Р	а
		0	0	0	
		0	0	0	
0	0	0 ..	. 0	0	
0	0	0 ..	0	0	
р	0	0 ..	0	0	
к	— г	0 . .	0	0	1
О 0 О...я — X -3
О 0 0... 3 a —X
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ’ УРАВНЕНИЯ
97
где г — произвольно выбранная константа. Эквивалентность их
может быть доказана путём непосредственного подсчёта элемен-
тарных делителей.
Напишем группу уравнений, соответствующую матрице G.
Для простоты записи переменные будем нумеровать цифрами
от 1 до 2s:
D
dz2 о ,
^--ljZi~aZ2 SZ:
dt	8 I 4,
J7 = ?2S + a34 —SZi
(5)
_	____ О,-
2S-1 1 3S’
Таким образом, вся преобразованная система распадается на
группы либо типа (4), либо типа (5). Каждая из этих групп
может быть проинтегрирована отдельно и притом в элементар-
ных функциях.
Пусть дана группа уравнений типа (4), соответствующая
корню X характеристического уравнения, и пусть эта группа со-
держит s = уравнений для переменных z,, z2,..., zs. Тогда легко
непосредственным интегрированием показать (см. Степанов,
Курс дифференциальных уравнений, ГОНТИ (1938), изд. 4). что
мы получим следующую фундаментальную систему решений:
, , /а-i e>t
Z11 (0'= (7~1)T ’
...
*12 г) - (s _-2-J
*2i(0~ (s_2)p • • •
... , zs_1;1(Z) = teu, zs^(t) = eu;
(t\~tS~SeU
••• , 2s_1>2(0 = e’-‘, z,2 = 0;
(А)
zls (О = f, z,, (Z) = 0, ... , zs^s (Z) = 0, zss (£) = 0.
Эта система решений порождает решения всей преобра-
зованной системы (2), которые получаются, если положить
НемЕЩКпЙ и Степанов
7
98
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
равными нулю остальные искомые функции, не входящие в
таблицу (^).
Если группа уравнений, которую мы интегрируем, будет ти-
па (5), т. е. если она соответствует паре сопряжённых корней
a-f-i'P и а — г’р и содержит 2s уравнений, то фундаментальная
система решений будет иметь вид:
zn = (Г-Г1)Г C0S = (7^2)!C0S  • 
... , zsl = e“f cos pi,
zs+i,i =	sin Zs+2,1 = (7^2)!Sin  •
.. . , z2S;1 = eai sin ptj
ts~2eai	ts~3e<*t
^12 “ ^„2)1 C°S Za2 (i — 3)! C°S
2	0
• • • i ~sa
%(>at	ts~seai
zs«.s =(7ZZ2)iSinpi, zs +2,2 = (T=3j!sin pi, . . .
• • • ’ zss,2 ~
zls = e“l cos pt, z2s = 0.....zss = 0,
zs+1,s = eKfsinpt, 2S+2>S = 0, ..., z2SiS=0;
. a.	ts~zeat .
Чы = — (j—ijisin Z2.^i = — тг^2)Гsm ‘ '
— , zs>s+1 = — e“fsinpt,
ts~^eat o.	tss~ie°'t
"S-l l.S+l (7^1)! COS 2S*2.Si-l 2)7 COS pt, ’  
. . . , z2Sj2s = Cat cos pt;
fS-2ea(	ls~3eat
Z1>S12= — 7------svr-sin ₽t, Z, = — -----------5TJ- sin pt, ...
1^-5 2	(s_2)!	1 ’	2»s+2	(s— 3)! s ’
• • ’ i
ts~'2eat o	ts~seat „
z; -n.s+2 •	— 2)T CO® zs+a,s.j ___________з)Т С08	• • •
Z!,2S = e“' Sil) Z2,2S = °- ‘	> Z«!2S = 0>
Zs+1,2>- = COS [ji, 2)2S 0, . . . , ^’25,2S	J
Эти 2s решений порождают 2s решения всей преобразованной
системы.
Объединяя все эти решения вместе, мы получим совокупность
п линейно независимых решений преобразованной системы; функ-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
99
о
Таблица С.
ции, составляющие эти решения, мы все сразу занумеруем в
виде таблицы с двойным входом ||zik(i)||. Полученная система
решений может быть записана символически в виде таблицы С,
где в квадратах (Л) и (В) стоят функции, составляющие либо
таблицы типа А, либо таблицы типа В, а ос-
тальные места заполнены нулями.
Если теперь воспользоваться преобразо-
ванием переменных
У г = ailz1 + а-2з2 + • • • + я-гтАп (1 = 1, 2,. . ., и),
то мы можем получить п линейно независи-
мых решений первоначальной! системы
где
ytk =	4- SisS2j;+  • • + ajaZnJ;,
т. е. каждая из фундаментальных функций уц> представляет
собой либо Pik(t)eu, либо eat [Pjfe(i) cos Bi + <2^ (t) sin pi], где
(i) и Qn.Q)— полиномы степени, не превышающие кратности
элементарного делителя соответствующего той группе уравнений,
в которую входят отличные от нуля функции zlk, zik, ...,znk.
Наконец, общее решение первоначальной системы имеет вид
У1 	У11 Ч“ ^2 У12 Ч~ • • • ~Ь С’П У1П1
У2 В1 У21 "1" В2 У22	' Ч"
Уп —~ 1 УП1 Ч- Р 2 Уп2 Ч” • • • Ч- Рп Упп •
Следовательно, самый общий вид функции у„ определяющий
общее решение, будет такой:
уч = Рл (0 e’-lf Ч- А-2 (0	+---+РП («) +
+ .е“^й [Р{,l+i (t) cospi t i tA-Qi,i-A (f)sin ₽i+i Л 4-
Ч" [Pi, 1^2 (t) cos Вг_д„2 t 4- Qi, l-J-2 (0 sin Pi! £ Л 4~ • • •
- • • 4~ eai*rt [Pi, (t) cos p! ' r 14- Qi, i+r (i) sin pi+r i],
(i=l, 2, ... ,n),
где Pik(t) и QikQ) — полиномы или константы, лх, а2, ... , —
действительные корни характеристического уравнения, и
’-f-1-ri ± pi-1 У — 1, 3-1+2 Ч- Ри-2]/Г — 1, ... , ai+г ±pi+r]/ — 1
— комплексные корни характеристического уравнения.
100
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Заметим, наконец, как видно из формулы для у , в состав
правой части равенства, определяющего у , при любом i входят
слагаемые, соответствующие, вообще говоря, всем различным
корням характеристического уравнения. Общее решение зависит
от п параметров Сг, С2, . . . , Сп, которые мы будем считать
координатами начальной точки решения.
Приведём теперь анализ возможных случаев с точки зрения
поведения интегральных кривых около начала координат. Воз-
можны следующие 6 случаев.
1.	Все корни характеристического уравнения имеют отличные
от нуля действительные части, причём действительные части кор-
ней одного знака.
2.	Все корни характеристического уравнения имеют отличные
от нуля действительные части, но имеется хотя бы одна пара кор-
ней, у которых действительные части различных знаков.
3.	Существуют корни, отличные от нуля, действительные части
которых равны нулю. Все остальные корни имеют действительные
частя одного знака.
4.	Существуют корни, отличные от нуля, действительные части
которых равны нулю. Действительные части остальных корней
неравны 0, и среди них есть хотя бы одна пара корней, имеющих
действительные части различных знаков.
5.	Все корни имеют действительные части равными нулю, но
среди них нет равных нулю.
6.	Имеются нулевые корни.
Каждый из этих случаев соответствует особому топологиче-
скому типу расположения интегральных кривых около начала
координат.
Введём следующую терминологию. Будем говорить, что поч-
ти в с е интегральные кривые—седловые или О-кривые, иляасимп-
тотаческие. т. е. принадлежат к определённому типу, если в не-
которой достаточно малой окрестности особой точки все кривые,
кроме, быть может, кривых, заполняющих многообразие меньшего
чем п числа измерений, принадлежат к этому типу.
Разберём отдельные случаи последовательно.
1.	Если действительные части всех корней характеристического
уравнения имеют один и тот же знак, то все функции ipk (£) обла-
дают тем свойством, что либо при t—>+со, либо при t—>—со они
стремятся к 0, а тогда всякое решение, поскольку оно является
линейной комбинацией функций yk (£), будет обладать этим же
свойством. В этом случае мы будем говорить, что решения обра-
зуют в начале координат обобгц'ённый узел. Все интегральные
кривые будут О-крпвыми.
2.	Пусть теперь к (0 < к < п) корней Х2, ... , имеют
отрицательные действительные части, а остальные п — к кор-
ней Х/;+2, . .. , /,п — положительные действительные части.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10:1
Пусть y1Jt y2j-, ... ,ynj (/ = 1, 2, ,.. , к) — решения фундамен-
тальной системы, соответствующие корням X,, Ха, ... , Хь, и yljr
Уар •  • > Угу (7 = ^ + 1, А+ 2, ... , п)—решения, соответствующие
корням ,а, . -. , Х„. Тогда семейство решений?/15у3,   ,уп,
определяемых линейными комбинациями у}-~ Сх у^ +С^у^+ ...
 - •	будет образовывать семейство от к параметров, и их
начальные значения заполнят гиперплоскость к измерений. Все
интегральные кривые взятой гиперплоскости при Z—>-}-со вхо-
дят в начало координат. Аналогично решения =
+	;,+2 + ..,	у;-к находятся в ортогональной к первой
гиперплоскости п — к измерений, заполненной интегральными
кривыми, приближающимися к началу при Z—>—со. Остальные
интегральные кривые, начальные точки которых принадлежат
многообразию 7г-измерений, представляющему собой некоторую
окрестность начала за вычетом указанных гиперплоскостей, имеют
положительное минимальное расстояние от начала координат
и при t как возрастающем, так и убывающем выходят из окрест-
ности начала, т. е. являются седловыми кривыми. Особую
точку подобной структуры назовём обобгцённым седлом (пер-
вого рода).
Итак, в окрестности «обобщённого седла» почти все интеграль-
ные кривые седловые.
3.	Прежде чем перейти к анализу остальных случаев, напом-
ним характер фундаментальных функций, соответствующих паре
чисто мнимых корней: pJc}/ —1 и —— 1. Это будут функ-
ции вида Pjk(t) cos fik t и Q,k (t) sin t. При этом, если этому корню
соответствует р различных простых элементарных делителей,
то р полиномов из числа Ру. (7) и р полиномов из числа Qjk (X)
являются константами. Обозначим фундаментальные функции,
у которых Р,к (7), Qy. (i) являются константами, соответствен-
но через
ЫрЩ, ujz(t), . ..
МО,
так что
njfc = Cj-fcCos fat,	vy, = Dy. sin Qkt	(k =1,2,... , p).
Переходим теперь к рассмотрению случая 3. Пусть X,, Х2,..., Хар—
отличные от нуля корни (равные и неравные) характеристиче-
ского уравнения, имеющие действительные части, равные нулю
(т. е. чисто мнимые корни), и Ха , Х2р+2, ... , Хп—остальные
корни, причём действительные части последних отличны от нуля
и одного знака, допустим, для определённости, положительного.
Пусть различных элементарных делителей, соответствующих
корням Хг, Ха., ... , Хар, будет 2g. Существенно отличны будут
подслучаи: 1) 2р = 2§'и 2) 2р<2д.
102
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Рассмотрим сначала первый подслучай:—все корни, имеющие
нулевую действительную часть, имеют простые элементарные
делители первой степени.
Рассмотрим тогда два исключительных семейства интеграль-
ных кривых- Первое определяется равенством
У} = ^*1 м/1 + С г 11 р + • ' • + ^-р ujp +	l'ji + ^2 ГД> + •  • + ^р vjp
U = 1,2, • • •, »)•
Начальные значения для этих интегральных кривых будут запол-
нять гиперплоскость 2р измерений. Координаты, определяющие
кривые, будут почти периодическими функциями, причём среди
них будут и периодические функции. Это семейство кривых будет
заполнять поверхности торов различного числа измерений.
Второе семейство интегральных кривых имеет координаты,
определённые выражениями
У)~С± tjji (t) + Сzy]2(t) + • • • + Сп-грУрюр(1) (I = ^> 2! •  • , п)>
где	при t —>— со; это будут О-кривые; они запол-
няют гиперплоскость п — 2р измерений.
Остальные кривые, заполняющие всё пространство, кроме
двух вышеупомянутых взаимно перпендикулярных гиперплоско-
стей, будут иметь координаты, определяемые выражениями
У] = у]г (0 + Cz yj2 (t) + . .. + On_2f, yh п^р (i) +
+ Cj Ujr +	+ ... + Cp iijr + D1 Cj, -j- D„	DpV;p
U = 1, 2, - •. , n),
причём хотя бы одно С], и хотя бы одно Ci или Dt не равно
нулю.
При t —> — со эти кривые будут асимптотически приближаться
к кривым, координаты которых изображаются почти периодиче-
скими функциями. Согласно введённой терминологии подобные
кривые будут асимптотическими (отрицательно).
Итак, в разбираемом случае почти все интегральные кривые
будут асимптотическими кривыми. Подобное расположение кри-
вых около начала координат назовём обобщённым фокусом.
Перейдём теперь ко второму подслучаю. Пусть 2р < 2qt т. е.
среди элементарных делителей, соответствующих этим корням,
есть делитель порядка выше первого. Тогда снова будем иметь
семейства почти периодических кривых, начальные значения ко-
торых зависят от 2р параметров; затем семейство (9-кривых,
зависящих от п— 2q параметров, и, наконец, семейство асимпто-
тических к почти периодическим решениям, начальные значения
которых зависят от п — 2q-\-2p параметров; но почти все кри-
вые, т. е. все, за исключением кривых, заполняющих многообра-
зие низшего числа измерений, будут кривыми седловыми, так
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	103
как их координаты будут изображаться выражениями
У/==С'1?/;т+С'2?/./2+ * ' ' -^T^nyjn (/ = 1,- 2, • •• , П)>
причём среди функций уу. имеются такие, которые при I—*4-оо
не ограничены, аналогично найдутся члены, которые при t —>— оо
являются неограниченными. Итак, в рассматриваемом случае
почти все интегральные кривые будут седловыми, поэтому
подобное расположение кривых около особой точки тоже назовём
обобщённым седлом', если же будет требоваться отличить рас-
сматриваемый случай от ранее рассмотренных, то будем говорить,
что имеем обобщённое седло второго рода.
b Переходим к четвёртому случаю. В этом случае анализ
возможного расположения интегральных кривых проводится
так же, как и в третьем случае. Поэтому приводим только
результаты исследования.
Пусть kj, ... , л.— корни характеристического уравнения,
имеющие положительные действительные части; Хр+1,7 р+2,.--, Xp+Q—
корни характеристического уравнения, имеющие отрицательные
действительные части, и пусть, наконец, Х2, ... , Xs—корни,
имеющие нулевые действительные части, причём каждый корень
мы выписываем столько раз, какова его кратность. В разбирае-
мом случае р ф 0 и q 0. Тогда имеются три взаимно ортого-
нальных гиперплоскости: первая р измерений—заполняется (9-кри-
выми, приближающимися к началу координат при t—>—оо;
вторая q измерений—заполняется кривыми, приближающимися
к началу при t—>4-00; третья s измерений—заполняется почти
периодическими решениями. Кроме этого имеются два семейства
асимптотических кривых: одно, заполняющее многообразие p + s
измерений и состоящее из кривых, асимптотически приближаю-
щихся к почти периодическим при t—> — со, и другое, запол-
ияющее многообразие q-^-s измерений и состоящее из кривых,
асимптотически приближающихся к почти периодическим при
t—»4-со. Все остальные кривые, начальные значения которых
заполняют многообразие п измерений, седлообразны. Таким обра-
зом, в этом случае почти все интегральные будут седловыми
кривыми. Начало координат назовём сложным седлом.
5. Наконец, разберём 5-й случай. Заметим с самого начала,
что этот случай возможен лишь, если п чётное. Опять будет
резко отличаться тот подслучай, когда все элементарные делители
первой степени, от того подслучая, когда среди них есть степени
выше первой.
Если элементарные делители первой степени, то все коор-
динаты интегральных кривых будут иметь вид:
— С± Uj, 4- Cz -f- ... -f- Ср и3-р 4- Dr 4- D3 4-   • 4-	(6)
(j = 1, 2, ... , n; n = 2p),
ш
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
и, следовательно, будут представлять собой почти периодические
функции. Отметий важный частный случай, когда мнимые части
корней характеристического уравнения р8, ... , соизмеримы
между собой; тогда все решения периодические. Начало коор-
динат в этом подслучае назовём обобщённым центром.
Пусть теперь не все элементарные делители просты. Тогда,
помимо семейства кривых, определяемых уравнениями (6), будут
ещё кривые, в изображение координат которых будут входить
фундаментальные функции вида
/>.*(«) sin fe*
причём полиномы Pjk и Qjk не сводятся к константам; все подоб-
ные кривые будут седловыми, т. е. снова почти все кривые
будут седловыми. Подобного типа седло назовём обобщённым
седлом (третьего рода).
6. Обобщённый узел, обобщённый фокус, обобщённые сёдлр>
первого, второго и третьего рода, сложное седло и обобщённый
центр исчерпывают возможную структуру окрестности особой
точки, если все корни характеристического уравнения отличны
от нуля.
Остановимся кратко на последнем случае, когда среди корней
характеристического уравнения имеются равные нулю, и поло-
жим, что
Xt = A2=... «xs=o,
причём ограничимся лишь тем случаем, когда нулевым корням
соответствуют элементарные делители 1-го порядка.
В этом случае система дифференциальных уравнений может
быть с помощью линейного преобразования приведена к виду
п
dt ~ ’ dt  ’ ‘ ’
— л ^£±1 — )	,.
dt ’ dt — 'Zs+n-• •
Для этой последней системы фазовое пространство (уи у2, ....
..., ys, у^г, ... , уп) расслаивается на гиперплоскости п— s изме-
рений, в каждой из которых картина расположения интеграль-
ных кривых одна и та же, определяемая подсистемой:
\
dt
т. е. расположение кривых имеет один из тех характеров, кото
рые разобраны раньше.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	105
Заметим, что в этом случае начало координат не есть изо-
лированная особая точка. Особыми точками заполнена гипер-
плоскость s измерений.
При рассмотрении всех случаев поведения интегральных
кривых мы отметили наличие О-кривых, асимптотических кри-
вых и седловых кривых. Теперь постараемся различить правиль-
ные О-кривые от особых О-кривых.
Пусть характеристическое уравнение имеет комплексный
корень с элементарным делителем 1-й степени. Тогда, если
положить все переменные равными нулю кроме тех, которые
соответствуют паре сопряжённых комплексных корней, мы полу-
чим систему
du,	-
=
Интеграция этой системы даёт функции
u = Aeat cos pi,
v — Beat sin pi,
т. e. семейство спиралей. Итак, проекции интегральных кривых,
на плоскость (и, с) суть спирали. Сами интегральные кривые рас-
положены на некоторых многообразиях, проходящих через начало-
координат, и имеют характер винтовых линий. В частности,
например, если бы рассматриваемое пространство было трёхмер-
ным, то интегральные кривые находились бы на поверхностях
типа параболоидов с вершинами в начале координат и образовы-
вали бы на параболоидах винтовые линии. Отсюда легко полу-
чаем следующее предложение: если характеристическое уравне-
ние имеет пару комплексных корней, то у системы суще-
ствуют особые О-кривые.
Докажем теперь теорему.
Если все корни характеристического уравнения действи-
тельны и одного знака, то все интегральные кривые в окрест-
ности начала координат будут правильными О-кривыми.
Для определённости положим, что все корни положительны-
Это доказательство будем проводить в пространстве канонических
переменных zlt z2,..., zn.
Направление касательной в начале координат характери-
зуется косинусами углов или величинами
lim g, где !{'=]/ 2? + ^ + . . .
406
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Пусть есть корень, которому соответствует простой
элементарный делитель, тогда Zj = Cie'A. Если же корню X,-
соответствует элементарный делитель степени к, то решения
zi,, .., Zjfe соответствующей группы уравнений будут линей-
ными комбинациями функций
е1»*, iex«f,..is“lexi(, где s^k.
Поэтому искомый косинус имеет вид
Иш mW-1 + ^(pts~2+...+4°i	1}
«-♦-ОО	}^zf +21+'. . . +Z®
Возможны два случая: либо X есть наименьший корень,
либо нет.
Рассмотрим сначала первый случай. Разделим числитель и
•знаменатель дроби на ex‘f, получим:
2_; _	+	+ ...+А^_____
R У(z1C-Xi!)2-|(z3e-Xi')2+ ... +(2Me-x«f)®
Так как Xi по условию наименьший показатель степени, то
все выражения zje^-A, кроме тех zi, которые содержат множи-
тели ex*f, будут содержать показательный множитель е<х/-х*>‘,
где X, — Х,:>0 и, следовательно, стремиться к 0 при t—> — оо.
Поэтому lim равен пределу выражения
A^ts-i + ^ts~2+ . . . +ЛУ>
(t)-r +Pi (О
при t—±—оо, где Pj (£), p2 (i),..., p, (t) — многочлены no t, среди
которых есть многочлен, совпадающий с числителем1).
Если среди многочленов рДО, р2(0,- • , Ps (0 есть много-
член более высокой степени, чем s — 1, то lim ~^=0; если
среди этих многочленов только один многочлен степени s— 1
(очевидно, в этом случае именно тот, который стоит в числи-
теле) а остальные низшей, то lim ^ = 1. Наконец, если таких
(->•-со R
многочленов несколько, то lim ~ зависит от значений констант
при степенях ts~l в этих многочленах, т. е. может быть сделан
равным произвольному числу в зависимости от выбора началь-
1) Заметим, что наличие многочлена данной степени зависит не толь-
-ко от степени элементарных делителей, но и от выбора начальных условий.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
107
ных условий. Для каждого данного решения он, конечно,
вполне определён.
Во втором случае, когда X,- не является наименьшим корнем,
очевидно,
lim ^ = 0.
«-5--ОЭ К
Итак, для данной интегральной кривой косинусы углов
в пределе могут быть отличны от 0 и 1 только в том случае,
если существует несколько элементарных делителей одной и
той же степени. Отсюда выводим, что в т.ом случае, если нет
одинаковых элементарных делителей, каждая интегральная
кривая при t—->—со коснётся одной из осей координат. Если
терейти к первоначальной системе координат ytf	уп,
то это будет означать, что все интегральные кривые в окрест-
ности начала координат являются правильными О-кривыми
и в случае отсутствия элементарных делителей степени выше
'1-й каждая интегральная кривая касается в начале координат
одной из п прямых, выходящих из начала координат.
Можно пойти несколько далее и изучить размерность сово-
купностей тех точек, через которые проходят интегральные кри-
вые, касающиеся той или иной оси Oz$. Предполагая, что все
корни характеристического уравнения
‘ > Лп,
имеют положительные вещественные части, расположим их в по-
рядке возрастания действительных частей.
Для простоты рассуждения ограничимся только тем случаем,
когда различны и действительны, и пусть 0 < X, < X, < ...
... < Х„. Рассмотрим отношения
Cj
Пусть 0, тогда lim |ь = 0, i=£l, т. е. все интегральные
t-*— со "1
кривые, кроме тех, начальные значения которых принадлежат
многообразию п — 1 измерений, определяемому условием:
<?1==0, будут касаться оси zx. Пусть теперь С1 = 0, С2 =#= 0«
Тогда
lim Ь —0,	i #= 1, i¥=2,
t->-COZS
"Т. е. все кривые из рассмотренного выше многообразия п — 1
измерений, кроме кривых, начальные значения которых запол-
няют многообразие п — 2 измерений, определённое равен-
ствами: С1 = 0, С2 = 0, будут касаться оси z2 и т. д. Таким
образом, мы сможем разбить все кривые на п — 1 классов;
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
каждый следующий класс будет содержаться в предыдущем,-
причём начальные значения 1-го класса заполняют плоское^
многообразие п — 1 измерений; 2-го класса — заключённое в нём
плоское многообразие п — 2 измерений и т. д.
В случае наличия комплексных или кратных действительных
корней картина значительно усложняется, и мы не будем её-
до конца анализировать.
Пусть вещественные части корней характеристического урав-
нения положительны. Назовём ведущей координатой
ту координату z£, которая соответствует корню характеристическо-
го уравнения, имеющего наименьшую действительную часть; если
таких координат несколько, то будем говорит!, о группе ведущих ко-
ординат. Пусть zx, za,..., Zj. — группа ведущих координат. Тогда,
если Сг, С2,..., С\.не равны одновременно нулю, то lim = 0, если
/ <7с, a i>k, т. е. все интегральные кривые, кроме много-
образия кривых, определяемых равенствами:	= С2 =  • •
• • • — С к — 0, будут касаться в начале координат плоскости,
определяемой координатами z,, z2,..., zJ;. В частности, если
такая ведущая координата только одна, то все интегральные-
кривые, кроме многообразия п — 1-измерения, будут касаться!
оси гг.
На этом мы заканчиваем анализ линейных уравнении с по-
стоянными коэффициентами. В дальнейшем мы покажем, что
для нелинейных уравнений, в ряде случаев, картина расположе-
ния интегральных кривых, в существенных чертах, сохраняется-
§ 3. Нелинейные уравнения. Исследование поведения
интегральных кривых для случая отсутствия чисто мнимых
и нулевых корней характеристического уравнения
Пусть дана система уравнений
— == ацх\ +	+ ... + ainxn 4- <э£ (ал, х2,..., хп) (1)
(i == 1, 2,..., п)
и предположим, что сами функции ©£ и их частные производ-
ные 1-го порядка непрерывны вблизи начала координат и там-
обращаются в 0; это условие может быть заменено другим:
каково бы ни было положительное число г, можно найти такую
столь малую окрестность начала координат: | ж»-1 8е (7=1,2,
что в этой окрестности имеют место неравенства;
I (4,	, О —	х"п) | <
—жЛ + !ж'—	. . . +!<—ж'|)	(2)
(7 = 1, 2,..., и).
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЙ
109
Эти условия в дальнейшем мы будем называть «о с н о в н ы м и
условиями».
Ограничим пока наше исследование тем случаем, когда
корни характеристического уравнения
а^-г-к	й!2	• . .		
«21	а22 - X	’ • •		= 0
	«Л2		«пл	
(3)
имеют действительные части, отличные ОТ нуля. Если это не
так, то, как мы уже знаем, даже для случая системы двух
уравнений с двумя неизвестными линейные члены не определяют
качественное поведение интегральных кривых, и этими случаями
мы займёмся в следующих параграфах. Наше исследование
будет распадаться на три части. Сначала мы покажем, что
у системы (1) в начале координат будет обобщённый узел и
обобщённое седло тогда, когда эти же явления наблюдаются
для линейной системы
+ <ц>Х,_•+ ... + ainxn	(i — 1, 2,..., n).	(4)
Затем покажем, что в случае обобщённого узла почти все
интегральные кривые будут касаться плоскости, определяемой
ведущими координатами. Наконец, установим наличие спиралей
в случае комплексных корней.
/Для доказательства некоторых теорем нам будет необходимо
рассмотреть более общий вид системы уравнений, именно:
~ = anxi 4- ai2x2 + ... + ainxn + <р,- (xi, х2,..., хп; t) (5)
(1=1, 2,..., и),
где
фДО, О,...,О;0 = О (i = l, 2,...,zi).
Относительно функций а,- здесь предполагается, что они
определены в области:
(ж,, х2!.xn)eG,
— оо <4 t <С
“Г 0°»
где G — некоторая область, содержащая начало координат, непре-
рывны по Л и удовлетворяют по координатам х2, ж2,..., хп
«основным условиям». Под этим,-в рассматриваемом слу-
110
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
чае, понимается следующее: при заданном а > 0 можно, не-
зависимо от t, найти cs > 0 такое, что из условий j жг | < 2®
(г'= 1, 2,..., ?г) вытекают неравенства:
I («Г. х'г,х„; г) — ©г (х", х", t) | <
71
—«/!	(i=l, 2,..., п).
i=i
Ясно, что обычная для нашей теории геометрическая интер-
претация решений как семейства кривых в п-мерном простран-
стве не имеет силы для этой системы, так как решение системы
определяется заданием начальных значений величин: хг, х,,...
..., хп, t и может быть записано в форме
ж1 = ф1(Г, «<>), 1
жг = ф2(*, I
%п — Фп(^» ^о)* j
Однако, и для таких систем мы можем определить понятие 0-
кривой. Именно: решение (6) назовём О-кривой при t—>-j-cc,
если, каково бы ни было положительное число г, найдутся
такие числа М и Т, что если t0 > М л t^T, то
|®х 1“ + |®8Г + ...+|жпГ<£2.
Аналогично вводится понятие О-кривой при if—>—оо.
Конечно, здесь мы имеем дело не с одной кривой, а с семей-
ством кривых, зависящих от одного параметра t0.
Если желательно проблему поставить чисто геометрически,,
то можно вместо заданной системы рассмотреть эквивалентную-
ей систему:
"4* Т • • • ^inXn *4“	(Я-1, Xs, . • ., Хп, .)
(f = 1, 2,..., п),
Эта новая система не будет иметь точек покоя в ограниченной
области, но зато бесконечно удалённую точку можно будет рас-
сматривать как точку покоя; 6>-кривые будут кривыми, ухо-
дящими в бесконечность и асимптотически приближающимися
к оси т.
В дальнейшем изложении мы будем стоять на первой точке
зрения.
Так как интересующие нас свойства интегральных кривых,
а также перечисленные выше свойства функций (жх, ж2.хп\ t)
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ш
не меняются при линейных преобразованиях с отличным от-
нуля детерминантом, то мы будем предполагать, что система
уравнений (5) уже приведена к каноническому виду, т. е..
такому, при котором матрица линейных частей будет нормаль-
ной. Это позволяет нам считать, что действительному корню X,-
характеристического уравнения соответствует группа уравне-
ний вида:
57 =	+
^y1 = xA-+i + Ya;i+2 + ?bV .
где -1- или равно 0 (если элементарный делитель первой степени),
или произвольно малая положительная величина.
Паре сопряжённых комплексных корней )I = a р (Z — 1 от-
вечает система уравнений:
dug	_	1
^ = Зв.4-аг. + Тй.+1 + ^+1,
dwj+i	—
т=аМл1-₽сЛ1 + ?7+2,
о . I	—	(8)
dt ~ auj*p-i ₽rj+p-i + ?/+sp-2,
dL — PM/+P-1 + al,J+p-l + ?J+sp-l>
где через us и vs (s = j, / + !,.•., j + p— 1) обозначены дейст-
вительная часть и коэффициент при мнимой части соответ-
ствующих координат; функции <ps обладают теми же свойст-
вами, что и <ps; у опять либо нуль, либо сколь угодно малое
положительное число, одно и то же для всех уравнений
системы.
Если не избегать комплексных чисел в правых частях урав-
нения, то все уравнения системы (5) можно привести к виду (7).
Переходим к доказательству основных теорем.
Теорема 1. Еслифункции <р, (хг, х2,..., хп; Z) (г = 1,2,..., п)
в системе (7) удовлетворяют основным условиям и если харак-
112
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
теристическое уравнение имеет п — k корней с положитель-
ными действительными частями и к корней с отрицательными
действительными частями, то существует семейство О-кри-
вых, зависящих от п— к параметров и от t0) приближающихся
к началу координат при i—»— оо, и семейство кривых, зави-
сящее от к параметров и от tB) приближающихся к началу
координат при t—> -р оо.
Если правые части не содержат t, т. е. дана система (1),
и если п — к — О или k — Q, то начало координат есть обоб-
щённый узел, если же п — к Ф 0,. к #= 0, то начало координат—
обобщённое седло.
Итак, пусть корни X,, с2,. .. , к,. характеристического урав-
нения имеют отрицательные действительные части, а корни
кк¥1, Х,.+2> . .. , Х„—положительные действительные части.
Рассмотрим систему, в которой линейные части приведены к
каноническому виду-.
=	+	+	... ,zn;ty) (i = 1,2, ... ,п).	(9)
Заменим эту систему дифференциальных уравнений системой
интегральных уравнений, причём постоянные интеграции опре-
делим частично с помощью начальных условий, частично с
помощью граничных условий; именно z, для i^k при t—> — оо
должны оставаться ограниченными и z{ (i0) — Ci для i к, т. е.
напишем:
t
Zi — e1# е~М £угг_1 + <р2- (zp z2, .. . , zn; t) J dt,
—GO
t
Zi = e'-!t |Cie-Xf<>+ e-^t [	+ <Pi(zu z2,..., zn; i) J Ji J , i>k;
t,
причём здесь — сс<г<^0.
Мы покажем существование решений этих уравнений для
— со < t < i0 0, где t0 достаточно велико по абсолютной вели-
чине, методом последовательных приближений.
Еыберем положительные числа у и е столь малыми, чтобы
соблюдалось неравенство
n(s + y)	_1
min | Re (Л,) |	4
(10)
х) При подобной записи системы у или произвольно малое фиксиро-
ванное число или нуль. Эта двойственность, как видно из дальнейшего,
не вызовет никаких затруднений.
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
113
Далео, выберем число т = ^ столь малым, чтобы из усло-
вия | z, | <; т в силу «основных условий» вытекало
l?i(Zl, Z2, • • - , ty j—
n
= I <=; (2i, z2,  •  , zn‘> t) - ®t- (0,0, -.., 0; t) | <	21 zi I < 4 m
i=i
(i = 1, 2, . .. , n).
Примем теперь за начальные приближения для искомых
функций произвольные константы	В частности, в наших
формулах | Ci | меньше или равны т. Рассмотрим произвольный
промежуток Т < t < и покажем, что на рассматриваемом про-
межутке последовательность приближений равномерно сходится
к определённым функциям, которые остаются для Т < t <
меньшими или равными т.
В самом деле, пусть zu z2, ..., zn — произвольные непре-
рывные функции, остающиеся меньшими или равными т для
— co<Z<z0. Введём обозначения:
2,. = еН«	dt, i^k, Re(k,-) < 0;
t
|Сге-Мо.-|- e-M +	z2, . .., zn; £)] dt\ ,
i > к, Ве(Хг) > 0.
Покажем, что из условия	на —оо< t^.t0 следует,
что | z.:\ с гп на этом же участке изменения t.
Для iilk, Re(}y) < 0 имеем:
gRe(>.j)t к g-Re (Ц)4 sm)-dt =
__(T + HTO
lRe(M
gRe (Xj)i
g-Re — Q
|Re(A4)|	4	*
Если i~>k, Ве(кг)>0, то
t
]z,|< g Re(l)t |	| g—Re(Xi)to_J_gRe(Xi)t{	(v s) mdt j
to
Очевидно
/1=ейе(14)(4-Ь)|СД.	(I)
Немыцкий и Степанов	8
114
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Далее
.Re(Xj)t |	е-Ве(Х;)1 (у-|-е) mdt [
«о
<h + s)m  CRe(R)f	— е-Ве(>.,н|;
'• 1 ’	Re (At) I	|
но
t < t„ < 0, Re (If) > 0,
поэтому
g-Re(7.j)t ^.g-Re(li)to
и, следовательно, оцениваемая нами величина меньше, чем
Итак,
(уЧ-е)та
Re(Ai)
g — Re(Xj)t _— g — Re()4) to
gReljf e
|Re(Ai)|
1—gRe().£)(« -to)
(II)
Таким образом, из неравенств (I и II), принимая во внимание,
что
. .	у + в	,1
11 < т И । Re(A,)|	4 ’
имеем:
I z‘\<1Ц 1 + 1^21 <т—A meRe(R)(«-to).
Так как для I > к : Re () ,) > 0 и так как t — £о<^0, а, следова-
тельно, eReRiRf-i<>) < 1, то окончательно получим:
3	.1
z, т 4- т- т = т.
г 1  4	1 4
(HI)
Этим доказано, что все наши приближения остаются в рас-
сматриваемой окрестности начала координат для любого про-
межутка:
Покажем теперь, что они равномерно сходятся на этом
промежутке. Для этого достаточно показать, что можно найти
положительное число d < 1, независимое от t и независимое
от выбора функций z, (/), удовлетворяющих единственному усло-
вию: |zi(i)| <m при — oo<i<te, такое, что
maxi
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ .УРАВНЕНИЯ
11»
Переходим к оценкам.
I. Кк, Re ().;)< О:
z' ; < eRe(’-i)t
г ।
e-Rep-i)H V \z". , — z. . 1 +
• 1 г — l	г — 1 * ‘
(2> • ‘ • I %П9
> dt
или
п	t
^max|z' —z'|
— 1	—оо
Отсюда
,	‘	7, max I z.
| не (ЛО |	1 г
х_I
(i = 1,2, ... , п).
Суммируя эти неравенства, получим

»(y + s)
| не (;.;)!
n
2 max | z. — z. I,
г= 1
т» e.
V|z'-z.l<i Vmax|z* — zJ.
I г г I 4	I
i	i = l
II. Пусть теперь i~>k, Re(Xj)>-0; тогда
l	n
] z* — z' । <e-ReRi)f (y 4- e) J? max | z*—z. | dt <
iy	i— 1
n	n
< i 9 У; max z' — z' I < у max I z. — z' ‘.
[ He (Zj)| jU	11 4 4 Л 1 ®	1
2=1	i=l
Следовательно, предыдущая оценка сохраняется.
Этим доказано существование семейства решений, зависящих
от п—к параметров С’*^, С^42, ... , Сп и таких, что при нео-
граниченном продолжении в отрицательном направлении они
остаются в достаточно малой окрестности начала координат.
При этом при заданных достаточно малых значениях С^г,
, Сп ,н выбранных граничных условиях мы получаем
единственное решение.
8*
116
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Покажем, что эти решения асимптотически приближаются
к началу координат. Предположим, что в области Um: 1 Zt | < т
(i— 1, 2, . . . , п) существует интегральная кривая, которая при
— от < t < tB остаётся в этой окрестности и не имеет начало
координат своей единственной a-предельной точкой. Обозначим
через L наибольший из верхних пределов функций | z, (/) |
(i— к ф-1, ... , п), при t—— от. Согласно нашему предположению
L > 0. Мы можем предположить, что L Д> ~ .
Действительно, заметим прежде всего, что если рассмотреть
некоторую окрестность Um-: |	<т' (i—1, 2, .. . ,п), где
L < т' < т, то для любого решения, принадлежащего области
t/m', наибольший из верхних пределов функций | z,- (t) I при
t—»— со будет равен L.
В самом деде, обозначим этот предел через L' и покажем
сначала, что /,'<£. Пусть L' > L; тогда существует интеграль-
ная кривая, заключающаяся в Um', а, следовательно, и в Um
такая, что наибольший из верхних пределов одной из функций
| z{ (t) | больше, чем L. Это противоречит определению L.
Покажем теперь, что L’ L- В самом деле, пусть L' < L.
Тогда в Um нашлась бы интегральная кривая, выходящая для
произвольно больших, по абсолютной величине, отрицательных
t из Um-. Следовательно, наибольший верхний предел функций
| zt (t) | вдоль этой кривой был бы не менее т', т. е. больше,
чем L, что опять-таки противоречит определению L. Итак, L' = L.
Таким образом, уменьшая т, мы можем достигнуть требуе-
мого неравенства.
Обращаемся к ранее полученным оценкам. Для i <. к и для
достаточно малого т и всех t мы имели: | z{ (t) |<-£- •
Следовательно, для этих zi не может достигаться верхний
предел L. Но и для тех гг(/), у которых-i > й, он тоже не
может достигаться. В самом деле, мы имели для i > к:
I МО! < IЛI ф-1ЛI <	1С; I + т>
и так как для отрицательных, но достаточно больших по абсо-
лютной величине значений t eRe	произвольно мало, в
1
частности меньше, например, , то для этих t, учитывая
неравенство (10), получим: । zs(t) i <-- ф- — = — , т. е. верхний
предел L этих функций при t—-> — от меньше, чем , в. то вре-
мя как нами доказано, что если L =2= 0, то
Следовательно, L = 0, и утверждение доказано.
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
117
Аналогично доказывается существование О-кривых, зави-
сящих от п параметров и стремящихся к началу при t—»4-со.
Для окончания доказательства теоремы проведём следующее
рассуждение. Так как каждому заданию величин Ск+1,	 • ,Сп
соответствует только одно решение, остающееся в достаточно
малой окрестности начала и траектория которого, как мы пока-
зали, есть О-кривая, то все остальные решения, не входящие
в это, зависящее от п — к параметров семейство при t—>—со
выходят из достаточно малой окрестности начала координат.
Аналогично строится зависящее от к параметров семейство
0-кривых, приближающихся к началу координат при Z->4-co.
Теорема доказана.
Прежде чем переходить к теореме, характеризующей способ
приближения кривых к началу координат, введём понятие
о «Х-пр еобр аз ов ании ».
Если произвести преобразование координат
Ж. —— М .
i -- О «А/2,
(это преобразование мы и будем называть «Х-п р е о б р аз о в а-
нием»), то исходная система (1) перейдёт в систему
__ п
^-'=2 aikxk~lxi + е'1'Ц fae't, х2еи, . . ., хпе,л)
k=i
(i = 1,2, ... , п),
причём легко видеть, что если ). > 0, то все корни характери-
стического уравнения преобразованной системы уменьшатся на
X. Вводя новые обозначения, имеем:
_ п
^^^a‘kXk~~^Xi + ^dxi, , ХП,	С11)
Л- 1
причём, если функции (fi(x1, х2, . . ., хп) удовлетворяли основным
условиям, то если Х>0, то для ФД®,, х2, ..., ®п; £) будет вы-
полнено следующее условие: производные функций Ф,- по всем
Xi во всякой ограниченной области (ау, х2, ..., хп) при t—>—со
будут равномерно стремиться к нулю.
В самом деле,
х.2, , яг»; t) _ e_Xf	• ••, *w)	Qi* •’s. • • •. Л»)
dxj	dxj	dxj
Из условия: x{ ограничено при t —> — co, следует, что®,—>0;
отсюда, в
d&i
силу условий, наложенных на
стремится к нулю при t —> — со.
(pi, получим,
что
И8	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Изучим связь между 0-кривыми заданной системы (1) и 0-кри-
выми преобразованной системы (11), предполагая, что Х>0. Прежде
всего всякая О-кривая при t—>—со в преобразованной системе
(a\,r£2, .. . ,жп) будет 0-кривой и в старой системе. Обратного мо-
жет и не быть; именно, интегральные кривые, координаты кото-
рых медленнее, чем e'-f, стремились при —со к О, перейдут
в седловые кривые в новой системе. Однако, мы можем дока-
зать следующую лемму.
Лемм а. Пусть первоначальная система обозначается сим-
волом А, а новая — символом А. Пусть далее символом N
обозначатся О-кривые при't—>—со системы А, а символом
Л~—кривые системы А, соответствующие 0-кривым системы А.
Если в системе А среди корней характеристического урав-
нения к из них имеют отрицательные действительные части,
а п—к—положительные действительные части, то N-крйвые
в системе А образуют п-к-мерную гиперповерхность, и при
соответствующей нумерации координат каждое нормальное
многообразие k-измерений. восстановленное к п—-к-мерной плос-
кости, определяемой координатами (0, 0,... ,0, «Лч1, ж;.42> . . ., жп),
будет пересекать эту поверхность только в одной точке.
Если бы обе системы А и А не содержали I в правых частях,
то теорема была бы очевидной. Но так как А содержит t, то
через одну и ту же точку пространства (жх, ж2, . .., хп) для
различных значений t проходят, вообще говоря, различные кри-
вые, чего не наблюдается в системе А, не содержащей I.
Согласно условию леммы, преобразованная система имеет
к корней с отрицательными действительными частями. При над-
лежащей нумерации координат мояою добиться того, что, задавая
любую точку на гиперплоскости:
х± = 0, хЛ = 0, ..., хк == 0,
из достаточно малой окрестности	(i = 1,2, ..., п) начала
координат и значение t', удовлетворяющее условиям: — оо <
< t' <Je< 0, мы получим С*-кривую при — со из системы Л’.
Пусть GM—-область фазового пространства системы А, нахо-
дящаяся на гиперплоскости, определяемой координатами хк.г,
хк^,   - ,хп, и такая, что координаты точек из GA1 удовлетворяют
условиям: ж£- = 0 при 1<'СЙ; |X; | < Ме~,f« при к 4-1	<п.
Так как система А получилась из системы А посредством
Х-преобразования с положительным I, то эта последняя и подавно
будеть иметь п— к корней с положительными действительными
частями, и, следовательно, каждой точке гиперплоскости, опре-
деляемой координатами ж;.+1, «ь+2, ..., хп, наверняка соответ-
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
US
ствует одна <?-кривая при I —»—со. Но так как система Л могла
иметь, вообще говоря, и больше корней с положительными частя-
ми, то каждой точке гиперплоскости (0,0, ..., 0, жЕ+1, жь+2, ..., жп)
может соответствовать бесконечное множество О-кривых. Однако,
мы покажем, что если это и так, то все эти кривые уже не
являются 0-кривыми, соответствующими 0-кривым из окрест-
ности | х{\ (i = 1,2,..., п), фазового пространства А, т. е. не
принадлежат множеству N.
Будем доказывать от противного. Пусть нормаль, проведён-
ная в некоторой точке гиперплоскости (0, 0, ..., 0, x1iJtl,
..., хп), пересекает две индивидуальные 1) О-кривые:
Xi = fi (£)	(1	и);
Xi = fi(t)	(1<&<п).
Следовательно, для некоторых значений и t2 имеем:
ХгО = А (А) => A (U	(/« + 1 < г < п).
Покажем сначала, что мы можем, изменивши параметр, пред-
положить, что tx = Z2.
_ В самом деле, пусть t2 < < t0. Рассмотрим вместо функций
A(J) функции А(7 = /г (г“А +А)- Так как система А не содер-
жит явно Z, то кривая
% = А(0
.является интегральной кривой системы (1) и геометрически со-
впадает с кривой Xi— fi (Z) (l<i<n).
Теперь нужно убедиться, что прообраз xt = e~uft (t) этой кри-
вой лежит в окрестности |а:г-|<М при — co<t<i0> если кри-
вая Xi — fift) обладала аналогичным свойством.
Положим, что кривая	при не выходит из
области:
При t < tQ имеем:
|e->4A(Oi=^-MA(«-A+A)l = _
__ e--l (tl-f2) |	-- A+A)| =
= e-x ! e-u*fi (t*)\ < j
где ta— A + A < t0. Этим наше утверждение доказано.
’) Под индивидуальной кривой мы понимаем геометрическую кривую
с определённым начальным значением параметра t.
120
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Итак, если допустить существование двух кривых, пересе-
кающих нормаль к гиперплоскости: х1 = 0, ж2 = 0,	ж7; = 0,
то можно найти и такие кривые, геометрически совпадающие
с прежними, для которых xt обращаются в ®io для одного и того
же значения t, параметра t, т. е.
Но тогда, если в пространстве системы А рассматривать инте-
гральные кривые
для промежутка tr > t > — оо (т. е. назад по изменению пара-
метра Z), то эти обе кривые будут определены одними и темп
же начальными условиями:
1	• ti (М = fi (t)	= х*,	{к + 1 < i < и);
2	. Xi(t) ограничены при t—>—со, (0 < i < к).
Кроме того, так как эти кривые принадлежат множеству N,
то, как показано в теореме, они совпадают, а тогда должны в J
совпадать и кривые
Xi = fi (0 И Xi = fi (t) (i =1,2,	, n).
Этим лемма доказана.
Замечание. Пусть теперь все корни характеристического
уравнения имеют положительные вещественные части и а еслъ наи-
меньшая из действительных частей этих корней. Еслибы наши урав-
нения были линейными, то почти все интегральные кривые имели
бы координаты, стремящиеся к нулю при t—>—со не быстрее eof.
Покажем, что это имеет место и для нелинейного случая, т. е. пока-
жем, что интегральные кривые, которые стремятся к О.быстрее, чем
е(°+£)*, где е>0, образуют многообразия низшего чем п числа
измерений.
В самом деле, проделаем с первоначальной системой а + г-пре-
образование, где е^>0. Очевидно, О-кривые, координаты которых
стремятся к нулю быстрее, чем и только они перейдут в
О-кривые преобразованной системы. Так как а была наименьшей
действительной частью корней, характеристического уравнения,
то характеристическое уравнение для преобразованной системы
будет иметь меньшее число корней с положительными действитель-
ными частями. Тогда, на основании теоремы 1, в ней О-кривые
будут образовывать многообразие низшего числа измерений, чем у
первоначальной, и, следовательно, в силу предшествующей леммы,
им в первой системе будут соответствовать О-кривые, образую-
щие многообразие низшего чем п числа измерений. Этим наше
утверждение доказано.
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
121
Переходим теперь к форму лир овке теоремы, выясняющей ха-
рактер приближения точки по (9-кривой к началу координат.
Теорема 2 (Петровского). Если действительные части всех
корней характеристического уравнения нелинейной системы (5)
положительны (отрицательны) и функции удовлетворяют
«основным условиям», то почти все интегральные кривые, при
I—>— оо (£—>4-со), касаются гиперплоскости, определяемой
ведущими координатами.
Общая система уравнений, после приведения к каноническому
виду, распадается на подсистемы вида (7) и (8).
Предположим сначала, что элементарные делители харак-
теристической матрицы, соответствующие комплексным корням
характеристического уравнения, простые.
Введём следующую замену переменных:
где
После этой замены мы придём к системе:
где
(12)
122
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
у — произвольно малое положительное число, и функции ф с лк-
быми допустимыми значками снова удовлетворяют основным
условиям.
Предположим для определённости, что
Re > 0 [i = 1, 2, ..., п),
и пусть
с0= min (Re Ki).
Кроме того, мы предполагаем, что вдоль изучаемых инте-
гральных кривых R (£)—>0 при t—>—оо. Так как все функ-
ции О удовлетворяют основным условиям, то последние слагае-
мые правых частей системы могут быть сделаны меньше, чем
2ТА: + 2вУ ’ есЛи точка (а\,	• • •> хк> Ki> l’i, v2, • • их> vs) на~
ходится в достаточно малой, но фиксированной области N на-
чала координат.
Умножим первое уравнение системы (12) на х1Г второе
на ж2, затем уравнения второй группы на гх, г2 и т. д. Про-
делав это со всеми уравнениями системы (12), сложим получен-
ные уравнения и тогда, пользуясь очевидным соотношением
k	s
1=1	4=1
получим:
l<3 Vi~ 1
“Г f xki+v xki-l-p + l ~Ь Ф1 (ж1>	• • ’ >	К1» С1’ • 	0»
i = l р= 1
где —функция, которая для всех Z, меньших определённого
числа, остаётся по абсолютной величине меньше, чем г.
Выделим ту группу координат Xi и и,-, для которых соответ-
ствующий им корень характеристического уравнения имеет
наименьшую действительную часть <з0. Сумму их квадратов обо-
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
123
значим в>3. Пользуясь этим обозначением, можно полученное
нами равенство написать в следующей форме:
й’З	, Pi	?3 Pi-1
+ 2 СЛ x£+p +22 Xk^p Xki+P+1 +
i=l	i=l p=l
+ Ф1(.«1> Xa> . Хк; иг, ......us, vs; t),
где сумма co штрихом обозначает соответствующую сумму без
штриха, из которой исключены могущие в ней встретиться ве-
дущие координаты. В частности
k	Я
1=1	1=1
Если воспользоваться этим последним соотношением, то преды-
дущее равенство примет вид
Ьзр:-1_
— Y 2 xki+pXki+p+i ~Ф1-	(13)
i=i р=1
Пусть теперь + наименьшая, а -1.- наибольшая из разностей
<h — .с0 и а,- — 50, встречающихся в суммах . Для дальнейших
•оценок заметим, что
й* Pi	йз Pi- 1
1 > 2 2 (ж*нр)2 >22 i^+pi !жы+»+11-
г—11	г=11
Положим теперь
k	S
2=1	2—1
Геометрически р3 — р3 (г) будет обозначать сумму квадратов
косинусов углов касательной к интегральной кривой с осями
неведущих координат. Если мы докажем, что р3—>0 при дви-
жении вдоль О-кривой, то это будет означать, что кривая касается
гиперплоскости, определяемой ведущими координатами.
124
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Из (13) можем получить два неравенства:
(14)
(1о)
Если теперь каждое уравнение системы (12) умножить,
соответственно, на xt (г = 1, 2, . . . , А), или г,- (/ — 1,. 2, ... s) и
просуммировать все уравнения за исключением уравнений, со-
ответствующих ведущим координатам, то получим:
t_dj?
2 dt
(л
R't\ri
-R^
k
^+'^2'
1
где X — наименьшее из тех чисел X,-(i = 1, 2, .. . , к , it
а,- (/ = 1,2, ..., s), которые больше а0, а — функция, которая
при t —» — оо равномерно стремится к нулю.
Пусть е>0 сколь угодно мало- Допустим, что для t=tu
Р2 (Q < %,
где го > 4Ls, но s так мало, что
1
2L’
Наконец, выбираем у, которое было в нашем распоряжении!
меньшим чисел:	и г. Сверх того, потребуем, чтобы [фД О и
| ф21 < s. Последнее возможно, если взять достаточно малую,
окрестность начала координат. В этих предположениях мы мо-
жем утверждать, что lim р (?) = 0.
А—> —со
В самом деле, рассмотрим наибольший интервал / — (?,, ?„),.
в котором р2 (?) остаётся меньше, чем г0, т. е. такой, что р2(?) < £с.
при	и что р2 (£,) = £„.
В интервале I из (15) получаем:
L _«(|<!o+y+s<s
| ° R I I + < +	° < I ' liLj 1	" 2L
Следовательно,
Rl
К
I.
•1
2L
1
2L
0.
(16)
1=	1
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
125
Отсюда далее заключаем, что для тех значений £, из ин-
тервала I, для которых левая часть неравенств
-2	<17>
г=1
неположительна, должны иметь место неравенства
k
г=1
•отсюда
Р2<2£(? + |Ф3|)<з0-
Для тех значений t, для которых правая часть неравенства
(17) положительна, р3 (Z) уменьшается вместе с t. Следовательно,
во всём интервале /ив точке t = tx имеем:
С < so>
что противоречит определению интервала I.
Из доказанного положения непосредственно следует, что при
всех значениях Z<CZ0 величина р2(£) либо удовлетворяет нера-
венству:
Р3<2£ (у + |ф2|),
либо убывает вместе с t.
Отсюда уже легко вытекает, что
НО->о.
В самом деле, если бы, например, при	где Zo произ-
вольно, соблюдалось неравенство: р3 < 2 £ (у +1 ф2;), то из условия
|ф2|—>0 при Z—> —- со и того обстоятельства, что число у, неза-
висимо от t, может быть выбрано сколь угодно малым, причём
при этом преобразовании координат гиперплоскость, определяе-
мая ведущими координатами, не изменяется, сразу вытекало бы
наше утверждение.
Допустим теперь, что имеет место второй из логически воз-
можных случаев, т. е. что, начиная с некоторого достаточно
большого, по абсолютной величине, значения t, величина p(Z)
монотонно убывает. Предположим тем не менее, что при Z—» — со
величина р3 (/) остаётся больше некоторого положительного чис-
ла D. В таком случае правая часть неравенства (17), для всех
достаточно больших по абсолютной величине отрицательных t.
оставалась бы больше некоторой константы, так как
R 4L'
426
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
и, следовательно,
1 д
2 dt > 2L
Ввиду того, что у произвольно мало, а 1Ф2| стремится к 0 при
t —> — со, то, начиная с некоторого достаточно большого, по
абсолютной величине, значения t, мы имели бы:
1	D
2	dt liL'
Отсюда следовало бы, что р2 (Z) при t -> — со убывает до — оо,
что противоречиво.
Итак, во всех случаях
p2(i)—>0 при	—со.
Следовательно, все 0-кривые, для которых р2 (t) ес, будут
при i —> — с» касаться плоскости, определяемой ведущими коор-
динатами.
Покажем, что остальные кривые образуют многообразие низ-
шей размерности.
Эти кривые характеризуются тем обстоятельством, что для
каждой из них можно найти столь большое по абсолютной
величине отрицательное значение 10 параметра t, так что для
всех t < t0 имеем:
Из неравенства (14) получаем
S€<p2(i)<Li91| + po-f ]b + y£.
Так как —> 0 при t —> — со и у, независимо от t, может быть,
взято произвольно малым, то для достаточно больших по абсо-
лютной величине отрицательных t имеем:
т. е. либо
R’t
о,—В <-о
либо
Л; л
°® R > S‘
Так как второе
невозможно, то
неравенство, как видно из равенства (13),
с
с« R
о
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12Г
Отсюда для t < tc имеем:
dH(t)
~ R
и, следовательно,
R («) < Ree(°^ (<-!„) = Се(3»4-8>\
где С — некоторая положительная константа.
Таким образом, координаты этих кривых стремятся при"
I — со к нулю быстрее, чем е<0«+Е)< . А тогда, на основании
сделанных ранее замечаний, они образуют многообразие размер-
ности меньшей п. Этим первая часть теоремы доказана.
Наконец, следует сказать о способе приближения 0-кривых
к началу координат. Полностью этот вопрос не исследован;
можно только сказать, что если ведущие координаты есть пара со-
пряжённых комплексных величин, допустим us ± vs]/~ — 1, при-
чём соответствующим корням as ± ps — 1 характеристичес-
кого уравнения отвечают простые элементарные делители, то»*
О-кривые будут спиралями по отношению к этим координатам,,
т. е. проекции интегральных кривых на плоскость (ws', os.) будут
спиралями.
В самом деле, как непосредственно следует из уравне-
ний (8):
где
Ts ~ ug +
а функция <»s удовлетворяет основным условиям. Так как для.
рассматриваемого случая величины xv хй, . . . , хи и w1} r1( w2,
к2, . . . , us_lr ve^ стремятся к 0 быстрее, чем rs = l/~ и3 -}- г®,,
то левая часть написанного выше равенства при t—>— сю
стремится к ps > 0 и, следовательно,
arc tg -® —> — со при t
Этим наше утверждение доказано.
В каких случаях мы можем утверждать, что при t —> — со
интегральные кривые приближаются к началу координат с опре-
делённым направлением касательной, пока в общем случае неиз-
вестно.
128
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Для завершения доказательства теоремы нам осталось рас-
смотреть тот случай, когда хотя бы один элементарный делитель,
соответствующий комплексным корням а ± [3	— 1 характеристи-
ческого уравнения^ имеет степень, большую чем 1. Запишем груп-
пу уравнений, отвечающих элементарным делителям
[(а + ри [(a-pj<=~i)_kp,
следующим образом:
d“«.+ i
—4—^анп.+1 —8ъ-ге.+ 1 + <p(nJ+ Дж!, «2, . . .,Х]- ult ъг, us,vs; f),
ас	3	3
dvn.+ V	=
--- =pzzn .-1.1 + агп.+ 1"ЬуИп.+2+!? j	..Us,vs',t),
3	3	•	3
А'и.+р.-1
~ aMn.~'rp.- 1 —	1 +
_L_	Xs, ... , xk, и1; L'j, . . . , us, Cs; t),
dvn^p.-l
----ar— = «fi РГ1 + к?; "Д РГ1 +
-f- ^Hn p . Ч- 3 ' P3 (Жг, • • •,	м1, г 1> • •  > ^s>
dUn3+r’j	o	,
di	= липГрз ~~ " V p3+
-f-	3 P 3	, T*g, . . . , X[ j	L j, . • . , Hs, bg, ZJ,
dt "i+₽?
-------= i>un +P + aun ч p +
ье V----J J	J J
+"^(n/p? (®г, ®s, ..., Xl:-, ult t-j, ..., ut, Z).
Проделаем следующую замену переменных.
Для нечётных индексов v:
= Cml (fl0 Zv	U1 Ип^+р^ +
+ а3Г-ггпдр. +  •  + Ьо tv-lUn.+pr 1 + b^~svn,+рг 1 +
+ b3Z*-szzn^^._1+ . - -
---f- l^tVn.+p^-v+l "Г It Mn^.+p^-v+l + unp P^-v)»
21-	- V ~ Cmi(	-f- y4jZv Vn^pj, -f-
+ 21g Zv-2 Un^+Pj +	b0 Zv iVn.+p^l-{-
-f-	2 un^p^i + B& i vn^+p^_ i -|- ...
--—lBt Mn ,4p._v+i -f-£iPn .p r77!T!-'ri ,-p .-v)-'
3	3	3	3	j J
§ 4. РАЗЫСКАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ	129
Для чётных индексов v преобразование будет следующим;
%+*>,- v = emi(a0Zv иП}+р + аг 1У~1 r'nj+p. +
+ «2 ZV^2Wnyj-p^ + ••• + bot^- 1 Vn^+p i -f-
+ Ьг t? ~2	1 + ^2	3 Vn +pj— 1 + • • •
• • • "Ь Iff V«-.+p.-v+i “Ь Л Un^-p.-v + i "Ь Mn^4-p^.-v)>
VnApf-v= ете*(6Zotv vn |_p *f" А±1У-1 un j-p -f-
+ Ajy^ Vnj+Pj "b ••• H“ ^v’"1 "h
+ -Bj 2 vn ,4-pi -f- B2 ty~9un ,_ip ,_i 4- ...
з з _ з з _
... 4* Zo t Un +P.-vt-i + vn 4-p.-v+l + vn .-ip .-v),
J if	if J	J if
причём	—1, m—некоторое положительное число и
«0=7^0, 6о=#0,.... Zc ¥= 0.
Переменные, соответствующие другим группам уравнений, под-
вергнем m-преобразованию. Нетрудно показать, что можно так по-
добрать константы аг, Ь,, ..., Z, и А{, В,, что преобразованная
система будет иметь такой же вид, как первоначальная, с тем только
различием, что диагональные коэффициенты уменьшатся на т и,
самое главное, члены, содержащие у, исчезнут. Доказательство
этих утверждений проще всего проводить методом полной индук-
ции, замечая, что для pj=i они тривиальны.
Если т<а. то почти всем 0-кривым новой системы будут соот-
ветствовать 0-кривые первоначальной системы. Так как порядок
стремления величины р(£) к нулю по координатам больший, чем
степенной, то эти же соображения показывают, что почти всем 0-
кривым новой системы, касающимся npni—>—оо гиперплоскости,
определяемой ведущими координатами, будут в первоначальной
системе координат соответственно О-кривые, касающиеся при
t —> — оо гиперплоскости, определяемой ведущими координатами
первоначальной системы. При этом надо помнить, что ведущие коор-
динаты переходят в ведущие. Наконец, легко показать, что функ-
ции <р и ср преобразованной системы будут удовлетворять основ-
ным условиям, если им удовлетворяли функции <р и <р первоначаль-
ной системы. Применяя к преобразованной системе ранее разви-
тые соображения, мы придём к полному доказательству теоремы 2.
§ 4. Разыскание аналитических решений
Мы снова исходим из системы уравнений;
п
= ^aikXk + <?i(xi’X2’  • ->хп)	(Z=l, 2, . . .,п),	(1)
fc=l
Немьщкий и Степанов
9
S30	гл, И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
но теперь (ж,, Зс2, ..., хп) — степенные ряды, начинающиеся
с членов второго порядка. Для того чтобы подчеркнуть это
последнее обстоятельство, мы будем писать систему (1) в сле-
дующем символическом виде:
п
• • ’*«1	(i==l»2.....п).	(2)
й=1
Заметим, что так как функции а>, аналитические, то разви-
ваемая нами теория сохраняет свой смысл, если как коэффи-
циенты aik (i — 1, 2, .... п; к — 1, 2, ..., п), так и переменные
хг, ж2, ...,хп принимают комплексные значения, что мы и будем
иногда предполагать.
Задача, которую мы ставим здесь, будет несколько отлична
от задачи в общем случае. Мы постараемся найти аналитические
общие интегралы системы около начала координат, выраженные
равенствами
xt-=gi(Zi,zs....zn) (i = l, 2, ..., п),
где gi (i = 1, 2,..., n) — аналитические функции от своих перемен-
ных и zp z3, . . ., zn — интегралы системы линейных уравнений:
п
• • •»п)-
к=1
Мало того, при весьма общих условиях окажется возможным задан-
ную систему уравнений, с помощью аналитического преобразова-
ния переменных, привести к форме последовательно интегрируемой
системы уравнений. Следовательно, изучив интегралы этой послед-
ней системы, мы найдём все свойства интегралов первоначальной
системы, сохраняющихся при аналитических преобразованиях.
В частности, могут быть выявлены топологические особенности
многообразия интегральных кривых и свойства их иметь тот или
иной порядок касания к некоторым осям в начале координат, а это,
всё вместе взятое, собственно говоря, и исчерпывает те свойства
качественного характера, которые мы изучаем для систем п урав-
нений.
Само исследование состоит из двух частей. В первой части, при
весьма общих предположениях, доказывается, что существует
формальный интеграл, т. е. существуют некоторые формальные,,
вообще говоря, расходящиеся степенные ряды, которые удовле-
творяют нашей системе. Во второй части, в значительно суженных
уже предположениях, доказывается сходимость этих рядов. Этими
исследованиями мы обязаны Пуанкаре, Пикару и Дюляку.
§ 4. РАЗЫСКАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ	131
Формальное интегрирование
Допустим сначала:
1)	все элементарные делители характеристической матрицы
простые;
2)	между корнями Хх, Х2, ..., \п характеристического урав-
нения не существует линейного соотношения вида:
Л, Xj \ + • • • + кп кп = О,
с целыми и неотрицательными коэффициентами Лг(1 = 1, 2, .. ., и),,
из которых, по меньшей мере, один не равен 0.
В этих предположениях докажем следующую предваритель-
ную теорему. (В следующей теореме мы откажемся от обоих
ограничений.)
Предварительная теорема. Если условия 1) и 2)
выполнены, то существуют формальные ряды
Zi — g{ (xv х2.жп) (i = 1,2, ..., п),
е помощью которых исходная система может быть приведена
к виду
^ = biZs (г = 1,2,
Предположим с самого начала, что исходная система с
помощью линейного преобразования, вообще говоря, с ком-
плексными коэффициентами, приведена к виду:
^=ХгЖг- + Л-(^®2-----хп) (i=l,2,..., и),	(3)
где F{ (i = 1,2,..., п)—степенные ряды от переменных х±, ж2,...,
начинающиеся с членов не ниже второго порядка.
Рассмотрим аналитическое преобразование вида
уг=^- + ?/2 + ?/з+	(1 = 1,2, ...,7V),
где <pik (i = l,2, ..., Л’) —полиномы степени к от переменных
ж1, ж2, ..., жп. Покажем, что с помощью этого преобразования
исходная системы может быть приведена к виду:
§=Х^ + Ф™ (i = l,2,...,n),	(4)
где фРО — степенной ряд, начинающийся с членов, по меньшей
мере, порядка IV-j-l.
В самом деле, пусть
Fi (Ж1, ж2, .,., Ж„) = Fi2 + Fi., -j- ... + FiN + . ..,
132
ГЛ. П. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
где Fik есть совокупность членов порядка к. Введём в систему (3)
новые переменные yt и постараемся подобрать коэффициенты
полиномов (/г = 2, 3, ..., N) так, чтобы пропали все члены до
порядка N включительно. Получим систему равенств
j = l
(5)
/=1	3	p + Q = _V + l
Рассмотрим эти равенства как уравнения в частных произ-
водных для определения функций: %2, ф/я, ..., <piN (г = 1, 2, ..., и).
Обозначим через с$ коэффициент полинома ®/2 при члене
ж®1 . .. ®f«, где ех е2	+ е„ = 2, и через dt коэффициент
при соответствующем члене F;f, тогда для соблюдения первого
из равенств (5) достаточно, чтобы
+ lei \ + е2 \ + • • • + (fi — 1- -г Сп Хп] С/ — О,
и так как по условию теоремы величина, стоящая в скобках,
не равна нулю, то отсюда можно найти С{.
Дальнейшие уравнения, шаг за шагом, определят коэффи-
циенты полиномов: <рг-3, <рг-4, и т. д. В самом деле, предполагая,
что коэффициенты полиномов с-2, <ргз, ..., «рцй л найдены, пере-
пишем уравнение, служащее для определения полинома <рг-/с
в следующей форме:
(>+2 2 Й?М+2£“’«=^№-
/=1 рл-q^k+i	/==1
Так как §	2, то р ^к —• 1 и, следовательно, то, что стоит в
скобках, есть известный многочлен..Мы, таким образом, при-
ходим к тому же случаю, что и в первом уравнении, с единст-
венной лишь разницей, что теперь e1-j-es4- ... -j-en—-k-
Этим наше утверждение доказано.
В уравнении (4) число N, характеризующее порядок доба-
вочных членов может быть взято произвольно большим,
причём, как видно из свойств системы (5), коэффициенты много-
членов <pi2, <рг-3, ..., <рг/. (& < 7V) и т. д. определяются последова-
тельно и независимо от числа N- Считая наш процесс продол-
женным неограниченно (N—>оо), мы получаем требуемые теоре-
§ 4. РАЗЫСКАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
133
мой разложения
z« = gi (»v х2, . ..,«„)== Ж; +V ?ifc (г = 1,2,
Эти разложения представляют собой очевидные формальные
интегралы уравнений в частных производных
(Ч + Pi) д£+(Ч + Fz) g + ..  + (>„ %n + Pn)	= ^gi (A)
(i= 1, 2, ..., n),
а последовательное вычисление коэффициентов полиномов <pllt
(г = 1,2, ... , n- к = 2, 3, ...) представляет собой процесс вычисле-
ния, с точностью до постоянных множителей, частных производных.
Яе1Ч"с2+- • '~ГеП О.
——---------при Kj = 0, х„ = 0, ..., ха = 0.
. дле” 1	1	2	“
Отсюда легко показать, что функции z, = gi (Xp ж3, ..., хл)
(i — 1, 2, ..., п) удовлетворяют системе уравнений
§=kiZ/(£ = l,2, ...,п).
В самом деле, пусть х1г х2, .., хп удовлетворяют первона-
чально данной системе (3), т. е.
(/=1, 2,..., п).
Пользуясь этим, мы равенства (А) можем записать в форме:
dgj . dgj^a	dgj dxn __ 
d.i\ dt 'дхг dt ' ‘ ‘' • дхп dt ‘ °’
т. е.
g=liZi(/=l, 2,... ,71).
Теорема полностью доказана.
Отметим здесь следующее: нахождение производных
0в1+е2+.. .-'-еп
dxf1 dxz2 ... dx^'Jо
может быть проделано иначе, именно, последовательным диффе-
ренцированием системы (А) уравнений в частных производных.
При атом способе вычисления мы получаем выражение искомой
производной через значения предыдущих ранее вычисленных.
Легко проверить, что коэффициент при искомой производной в
выражении, полученном после надлежащего дифференцирования,
будет равняться:
е1 *'1 + е2 • • • +(ei~- 1)	• • • +еп^п"
134
ГЛ. и. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Этим замечанием мы воспользуемся в дальнейшем. Заметим, что
полученный коэффициент не зависит от специального вида функ-
ций Flt F2, ... , Fn, лишь бы они представляли ряды, начи-
нающиеся с членов второго порядка.
Вопросы сходимости
Полученные формальные ряды будут давать нам возможность
заключить о качественном поведении интегральных кривых
вблизи от начала координат, если они будут сходящимися. Но,
конечно, всякий раз, когда существует аналитическое решение,
рно будет выражаться этими рядами (в силу единственности).
Наложим на корни характеристического уравнения следую-
щие ограничения.
Основное условие. Изобразим комплексные числа
Х2, ..., Хп точками на комплексной плоскости. Потребуем,
чтобы существовала прямая, проходящая через начало коор-
динат, такая, что все полученные п точек будут находиться
по одну сторону от этой прямой.
Это ограничение в случае действительных коэффициентов
сразу исключает возможность некоторым корням иметь положи-
тельные действительные части, а некоторым другим — отрица-
тельные действительные части; также исключается случай хотя
бы одной пары чисто мнимых корней; но этим далеко не исчер-
пываются все исключённые случаи. Основное условие может быть
высказано также в такой форме: если корни Хп Х2, ...,ХП
считать аффиксами точек на комплексной плоскости, то су-
ществует выпуклая область, заключающая эти точки и не
заключающая начала координат. Этой последней формулировкой
мы и воспользуемся для доказательства сходимости ряда.
Пусть нужный контур проведён. Рассмотрим выражение
I Pi + Хй Ра + • •  +^п Рп
I	Pi + Ра + - • - + Рп
(6)
Оно при любых целых неотрицательных (и не всех равных нулю)
Pi (г = 1, 2, .,., п) остаётся больше некоторой константы, так как
определяет собой модуль аффикса центра тяжести масс pt,
ps> • • •» Рп> помещённых в точках Х2, Х2, ..Хп.
Рассмотрим теперь выражение
(Pi ~ t) + Ра + • •. + А, р.п
Pi — 1 + Ра + - - - + Р»
и представим его в форме
Xi />2 + ... + Хи
Р1 +Ра + • •  + P?t Р14~Ра+• • -+Ря
(7)
1
Pi + Ра + • • • + Pn
§ 4. разыскание аналитических РЕШЕНИЙ
135
Модули вторых слагаемых числителя и знаменателя стремятся
к нулю по мере увеличения чисел />„•(£ = 1,2, . Поэтому,
если а+л+ • • • + Рп<-^\ гДе К достаточно велико, то модуль
выражения (7) остаётся больше некоторой положительной по-
стоянной. С другой стороны, когда 1< рх + р2 + • • - -\-рп<К, то
модуль числителя выражения (7) имеет известный минимум и
этот минимум не равен нулю в силу линейной независимости
корней	. ,ХП (условие 2)).
Следовательно, найдётся положительная константа е такая,
что при любых целых и положительных р,-, подчинённых един-
ственному условию: рх +р2+ • • • + рп > 1, будет иметь место
неравенство:
*i (Pi - 1) + Лй рй + .., + Л„ р,г
Pl — 1 + Pl + • • • + Рп
г.
Аналогично, с заменой Хх на Xf (г=1, 2,...,п), получим
1-iPi +	4- — + }-i iPi i + Л, (рх — 1) 4- ^if1Pn.1 + ... 4~Лдрот
Pi + Рп + • • - + Pl-i + (Pi — 1) + Pi*i + -••+/>«
(г = 1, 2,..., я)
>* (8)
п
при условии:	pt > 1, причём положительное число е может
г=1
быть выбрано независящим от г. Эти последние неравенства бу-
дут для нас весьма существенными при доказательстве сходи-
мости.
Переходим теперь к непосредственному доказательству схо-
димости, причём сходимость формальных рядов будем изучать
на комплексной плоскости.
Рассмотрим уравнение
P-А + Fl)	+ (М, + Л) ai + • • • + (> Л + Fn) Д = \ig. (9)
Пусть
gi=Axi + vi
где и —ряд, начинающийся с членов второго порядка, и А —
произвольная постоянная, есть фс>рмальный интеграл этого урав-
нения.
Вставляя в уравнение (9), имеем
1 dv - . dv .	, . а®
Ml	W =
где Flt Fit...,Fa и Н — ряды, начинающиеся с членов, по
меньшей мере, второй степени.
136	ГЛ. и. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Обозначим через М максимум модуля функций Flt F#Fn
и Н, когда переменные меняются в некотором круге радиуса а
с центром в начале координат.
Рассмотрим уравнение
„ f dV . dV ,	, dV TZ\ _	1
=	/ЁК+^+.	(10)
I	a Г I dxt' дх2
\ a	I {	I)
где X = Kj + + • • • + и e — величина, определяемая неравен-
ством (8). Предположим заранее, что. существует интеграл этого
уравнения, обращающийся в 0 вместе с частными производными
первого порядка.
Сравним решение уравнений (9) и (10). Коэффициент с при
74!рг!...ри1 Z gPi+pg+-+pTO х
(.Pl + Pi + • • • +р«)' Ч дхР 1 дх®2 . . . дхУг-У Х1 =0| х2=о,..., яп=0,
при вычислении из уравнения (9), как мы уже видели, есть:
^lPl + ^gPs + • • • + ^i-lPt-l + ^(Pf-“l) + ^f+iPi+i + • ‘ • +^nPn?
в то время как коэффициент с при этой же производной для
уравнения (10) равен*):
s [Pl + Pg + • • • + Pi-1 + (Р~ 1) + Pi +i + • • • + Pnl-
В силу выбора числа s, очевидно
I С I > I с | .
Заметив это, легко установить, что ряд, полученный для интег-
рала уравнения (10), будет мажорантным рядом для интеграла
уравнения (9).
В самом деле, значение производных в начале координат
для и и V получается из уравнений вида
с Pii/’g’..../'»!	ар1+рг+—+рг.®	&
(Pi + Р» + • • • +/U ’• dafidxf*
- Pi! Pg! •  • р»!	дР!+р2+:-+^пУ
(Pi+Pg+...+Ря)!	’
*) При вычислении этого коэффициента нет необходимости произво-
дить вычисления снова, достаточно просто рассмотреть тот частный слу-
чай уравнения (9), когда все равны з, а функции Рг, Fz,..., Fn и Я
равны выражению, стоящему в скобках, ибо, как уже было отмечено,
нужный нам коэффициент не зависит от специального вида этих функций.
§ 4. РАЗЫСКАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
137
причём, как мы только что показали | с | < | с|. Что касается d и dT
то они выражаются через предыдущие производные и функции
и Н и их производные линейным образом, и так как:
1) в уравнении сравнения функции Fv Fz,..Fnw Н заменены
их мажорантами и 2) первые производные, которые не могут
быть вычислены с помощью этого уравнения, равны нулю, то,,
вычисляя d и d последовательно, сможем установить, что |d| < Idl-
Этим доказывается, что ряд для V есть мажоранта ряда для с.
Полагая	• • • + хп — Х, мы видим, что V может быть
получено как функция от X. Уравнение (10) перейдёт в урав-
нение
s Схdx-~v}=С 2 + ~мх) (п 2+0 ’
х.	у х -АГ	& J х	J
а
которое мы можем переписать в следующем виде:
х 2+0 *
(Z-Л-	(Z — uii. х (l-Л. У
где М' — некоторая константа. Отсюда
( \ ^ nM,X*'XdF _ v = пМ'Х*
а-Х JaX ' ~"а-Х ~ '
Соответствующее однородное линейное уравнение
fx-n^)J-r==o
\ а-Х JdX
даёт
dF (a-X)dX dX nM'dX
F ~ X [a - X(l + nM')] “ ~X~ + a - X (1 + nM')
и, следовательно,
n№
V = CX [ a - X (1 + nM')] 1+nM'
То-есть V = X<p(X), где с (X) — голоморфная функция в окрест-
ности начала координат и о (0) =# 0.
Если теперь положить
V = C(X) -Х?(Х),
т0 2 буД(Т голоморфной функцией в окрестности Х^О. После
этого определим её однозначным образом из условия С (0) = 0.
Тогда получим голоморфный интеграл уравнения, разложение ко-
торого начинается с X*. Этим теорема полностью доказана.
i88	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Освободимся теперь от ограничения 2).
Докажем следующую теорему Дюляка (Dulac).
Теорема Дюляка. Еели все элементарные делители
матрицы характеристического уравнения суть первой сте-
пени, то существуют формальные ряды z-L — gi(xlt хг,..., жп)
(i — 1, 2,..., и), приводящие исходную систему к виду
Tt = XiZi + Рг (zls za,..., zU1) (i = 1, 2,..., n),
где Pi(zlt z2t.zt J — полиномы, члены которых имеют форму
Az^zf. .. и ffi, ?2, • • •, Qi-i — целые неотрицательные числа,
удовлетворяющие равенствам
\ = ?Л1+?!Ч + • • •
Занумеруем корни X, характеристического уравнения в таком
порядке, чтобы с увеличением номера i действительная часть не
убывала. Тогда некоторое Хг может быть равно линейной ком-
бинации с целыми неотрицательными коэффициентами только
предыдущих ХД/<7). Перенумеруем все возможные линейные
комбинации и обозначим их в виде
~	+ q^K +  • - + ?(/21 Ai-i,
где г —номер линейной комбинации в нашем способе перенуме-
рования.
Предположим, что линейные комбинации, соответствующие
корню Хй, получили номера, заключённые между r'h и r’k. Пред-
положим теперь, что Хх, Х2,.. ., Хр не выражаются линейно че -
рез другие корни. Тогда, действуя методом предварительной
теоремы, мы сможем найти формальные ряды и преобразовать
систему (1) к виду:
f/ = X,Z/ (/ = 1,2,...,р);	(11)
— Xk~ ХлЖ/;-|- [z,, ZJf. . ., Zp, ®р+1, 2Jp+s,. . . , Жп]
(X-=/> 4-1, p 4-2, . ..,n),
где [ ] имеют смысл тот же, что и в формуле (2).
Пусть Хр+1 уже может быть изображено с помощью линейной
комбинации корней Х1Г Ха,..., Хр и пусть номера этих линейных
комбинаций будут заключены между rPil и Гр+1; пусть далее
целые числа, участвующие в этих линейных комбинациях, бу-
дут
§ 4. РАЗЫСКАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
439
Очевидно	•• •	=0' Образуем многочлен
?Р+1 =
<r'z«(ri ..zejr),
1 1	2	 • • *> pF 1
1гце суммирование распространяется на числа д^'\ участву-
ющие в возможных линейных комбинациях для ).р+1. Коэффи-
циенты аг выберем позже.
Рассмотрим уравнение в частных производных
df , , di ,	. . df , , df . , df ,	,
f'^dz + X2sMz2+ • • •	x?*1 dxp^x^* * 
~~ \*if—
и будем искать его решение в виде
/ ~ Жр+1 + [Zl« Z2' • • • > Zp» ^p-rl’ Жр+2» • • •»жп] •
Вставим ряд / в уравнение и сравним коэффициенты при оди-
наковых степенях переменных.
Для определения искомых коэффициентов С получим равен-
ства:
(?i^i + 52^2+ •   +9p^p’-^p+i)C'eigi...e?= — bq в2...вр»
аде величины, стоящие в правой части, известны. Пока
+?2Ч + • ’ • +	^р+1
эы будем, как и в предварительной теореме, получать коэффи-
циенты С.
Пусть теперь мы имеем комбинацию индексов д<*}, qW,..., qff
'такую, что
К + dr) Ч + • • • + Я? \ - Хр+1 = 0;
тогда правая часть уравнения будет иметь вид:
«г bq(r) e(r) . . . gfr) ,
егде коэффициент be(’,)e(n...efr) определён раньше. Выбираем аг та-
ким образом, чтобы эти разности при любом г равнялись нулю.
Тогда коэффициенты CgW	могут быть в искомом фор-
1	2 р
Kiальном разложении выбраны произвольно.
140	ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Обозначим полученное формальное решение через /р+1и делаем
замену переменных
Zp+1 " /р + l ®р+1 + [Z1 > Z2> ' ' ' ’ Zp’ Жр+1! " ' ‘ »‘®nl"
Первые p уравнений системы (11) не изменяются, а остальные-
уравнения примут вид:
=	+ [Z1, z2,.. ., z.„,,	. ., хп] (к^р + 2,. . .,«).
В самом деле, если уравнение в частных производных пере-
писать в форме
l~ +	?-+•-•+	+
1 1 dzY *	2 2 dz2	‘ Р / dz.p
.	+	+	д-з-' ^ = )
^Xp^dzptl^ р^дхр^"' 1 пдхп Р*1' 1 ‘Р-1
и если положить zp+1 = /р+1, где /р+1 есть решение уравнения.
то левая часть будет представлять а правая даст Ap+1zu+14-
+ ?р+1- А так как равенство zp+1 = ®р+1 + [zir z&,.. ., zp, ®р+1, ..., хп]
показывает, что zp+1 и жр+] с точностью до линейных членов сов-
падают, то полученное уравнение есть результат преобразова-
ния переменных в уравнении
= \о + 1ЖР + 1+ [Zl> Z2>‘ • - , Zp + 1» Жр + 2Т- - Ч Жп]-
Проделывая то же с остальными уравнениями, доказываем’
теорему Дюляка.
Пользуясь этой теоремой, можно получить формальные ин-
тегралы исходной системы. В самом деле после формальною
преобразования система уравнений перейдёт в систему:
= \Zi + Р, (Z^,z,-^) (i = 1, 2,..., n},
где P-—полиномы указанного в условии теоремы состава, при-
чём 0 при i = l,2,...,p (р < п).
Начинаем интегрировать эту систему. Первые р уравнений:
имеют решения:
Z, = Cje^ (j = 1,2,..., р).
Так как в полиноме Рр^1 показатели степеней таковы, что сум*
§ 4. РАЗЫСКАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
141
ма произведений их на соответствующие Х?- равна 1 , то
(zo zs, • • •. +> =	(Ci, Ct,..., Cp).
Следовательно, подставляя ранее найденные решения в р + 1
уравнение, получим уравнение
= Wo + ^tp,^ (Clf Cz,..., cv\
общий интеграл которого имеет вид:
zP+i = е'т+1‘	+ ZPp+1 (C\, Ct, -.. ,C.)].
Поступая аналогично, вообще будем иметь:
=	[Ck + Pk(t, Clf G,..(fc = p + l, p + 2,..., n),
где Pk— полином no t. Наконец, пользуясь равенствами
gi (*^i,	‘ * * ?	®	=== & (Z1, Z2> * * ‘ , %п)1
-МЫ получим, ЧТО
Xi — gf (ex*f, е’г*,..., elnt, t)	(i = 1, 2,..., n),
л. e. ж, изображается степенным рядом по ё1^ с коэффициен-
тами, являющимися полиномами по t. В свою очередь коэф-
фициенты этих полиномов зависят от Cj, причём в коэффи-
циенты при ёк1 входят только постоянные Сх, С2, .., Ск-1-
Это и есть формальные интегралы. Особенно простой вид они
принимают, если все корни характеристического уравнения
простые и между ними нет линейных соотношений. Тогда,
очевидно, получим:
Xi = gi (С,ё>+ С2ё>^,.. .,Cne+t) (t = l, 2,..., ri).
В частности, для чисто мнимых корней характеристического
уравнения будем иметь:
Xi =	Cze-
(i— 1, 2,..., 2q = n),
т. e. ряды, содержащие лишь чисто периодические члены; если
бы они сходились, чего, вообще говоря, не наблюдается, то
представляли бы собой почти периодические функции.
Пусть элементарные делители непростые; тогда, с помощью
линейного преобразования, систему можно привести к канони-
ческой форме (7), указанной в § 3. Выпишем группу уравне-
142
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
ний, соответствующих данному элементарному делителю:
= Чх^л + 7®^+К, х„... ],
“Г = Ту.Ж/..-р Ya:fii+3+ lxi, Х2’ • • ]>
+ [®1, ®2, • • • ],
где у — сколь угодно малая положительная константа-
Проделаем следующее преобразование координат:
— [_ xhi+i + "(t Хк-+/^1 -J- ~2 + • - • +
vpi-l
^GPV7/)!
tp>-
X>4+Pi

Так же поступаем с каждой группой переменных. Переменные,,
соответствующие простым элементарными делителям, оставиаз
без перемен, т- е. положим для них: xi — xt.
Тогда, как можно было бы показать методом полной индук-
ции, начиная подстановку с последнего уравнения каждой
группы, после преобразования получим систему
^ = \xi4^t{x^ ®2,-  -,хп, 0	(i=l, 2,.п),
где <рг—степенные ряды с полиномиальными относительно г
коэффициентами, начинающиеся с членов не ниже второго по-
рядка. Вводим ещё новое переменное жп1л = ef, тогда получим
систему:
= ЧХ! + ?! (®1, Х2, ’ • • , ХП, Хп+1),
= ЧХ2 + ?2 (®1, Ж2,
Ч ---- ^n®n“l fll (Х1> Х2> • * ‘ , ХП> Хп-г1)>
dt —хп+1 )
г) При этом введении новой искомой функции, конечно, могут появляться
соотношения вида: ^ = ^1+^2+	+ Лп+i. где Zn+i = l.
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕИ	W3
К этой системе мы сможем приложить те же рассуждения,
что и к прежней, и, следовательно, сможем её преобразовать
к виду
g + р, (Z1, z2,...,zn) (^1,2,..., »),
dt -Zn+i.
Отсюда получим интегралы
= e‘ki lCk + Pk(t, Q, C,,. .., G-j)] (k = 1, 2,.. ., n + 1).
причём принимают Еначсния дх, a£, . ..,Xn, 1 и, следова-
тельно,
Xi~ gi (eXlf, e’®*,..., e''r,t, el, t).
Ряды, которые мы получим в случае, рассмотренном Дюля-
ком, будут, вообще говоря, расходящимися, и интегралы явля-
ются лишь формальными интегралами. Однако, следует по-
мнить, что если решения выражаются сходящимися степенными
рядами, то эти степенные ряды обязательно находятся среди най-
денных нами, т- е. мы нашим методом разыскали все существую?-
щие аналитические решения заданной системы.
§ 5. Исследование поведения интегральных кривых
в случае наличия у характеристического уравнения
чисто мнимых корней
Обе теоремы предыдущего параграфа касались того случая, ко-
гда все корни характеристического уравнения имеют отличные от
нуля действительные части. В этом случае оказалось, что линей-
ная система полностью определяла топологический характер пове-
дения нелинейной системы. Не так обстоит дело, когда некоторые
или все корни характеристического уравнения имеют действитель-
ные части, равные нулю. Как показывает уже разобранный в пре-
дыдущей главе случай системы двух уравнений с чисто мнимыми
корнями характеристического уравнения, линейные члены не поз-
воляют отличить центр от фокуса. Отсюда ясно, что в n-мерпом слу-
чае мы можем по линейным членам надеяться найти лишь некото-
торые свойства семейства решений. Полностью вся проблема здесь
не рассмотрена, и мы принуждены привести лишь некоторые част-
ные результаты.
Теорема Перрона. Если характеристическое уравне-
ние имеет р корней с положительными действительными частя-
ми uq корней с отрицательными действительными частями, то
каковы бы ни были остальные корни, система имеет семейство
S44	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
О-кривых, приближающихся к началу координат при t—>4-03
зависящее от р независимых параметров, и семейство О-кривых,
приближающихся к началу при t—>—со. зависящее от q произволь-
ных параметров. При этом, конечно, предполагается, что нели-
нейные части удовлетворяют основным условиям.
Эта теорема представляет собой почти непосредственное след-
ствие теоремы 1 и леммы предыдущего параграфа.
В самом деле пусть условия теоремы выполнены и пусть поло-
жительное число определено условием
A<|min(et, с2,..., ср),
гДес1? с£, ...,ср, суть положительные действительные части корней
характеристического уравнения. Произведём л-преобразование;
тогда у преобразованной системы характеристическое уравнение
будет снова иметь р корней с положительными действительными
частями, а остальные корни будут иметь отрицательные действи-
тельные части. На основании теоремы 1. преобразованная система
имеет семейство кривых, зависящее от р независимых парамет-
ров, приближающихся к началу координат при?—>—со; а тогда,
на основании леммы S3, первоначальное уравнение имело подобное
же семейство интегральных кривых. Аналогично доказывается
второе утверждение теоремы.
Переходим теперь к установлению существования семейства
устойчивых интегральных кривых в произвольно малой окрестно-
сти начала координат.Именно мыустановим,при наличии известных
дополнительных ограничений на рассматриваемую систему,сущест-
вование периодических решений системы. К сожалению, разбирае-
мый здесь вопрос не до конца выяснен.в частности, не представляет-
ся возможным ответить сейчас на вопрос, какие из нижеперечис-
ленных ограничений необходимы.
Пусть исследуемая система имеет канонический вид, т. е. пред-
ставляет собой систему
_дН	—	9 гЛ
dt dyt’ dt дщ И—
где Н не зависит от t и обращается, вместе со своими первыми
производными, в нуль при
хх — ж2 = ... = хп = у-,~ У % — • • • Уп = ^-
Относительно функции Н будем предполагать выполненным
следующее:
1) функция Н является голоморфной в окрестности начала
координат, т. е. разлагается в ряд по степеням переменных
Xi, Уз (1==1, 2,. .., п; j = i, 2,. .., п), сходящийся при условии,
что модули этих переменных не превосходят некоторую поло-
жительную константу;
§ 5. СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
145
2) члены наинизшего порядка у функции Н образуют не-
тождественно равную нулю квадратичную форму.
Назовём функцию Н, удовлетворяющую этим двум условиям,
неоеобой.
Теорема Ляпунова. Пусть дана каноническая система
уравнений
dxs  дН dys дН
dt	dys ’ dt dxs
(1)
с неособой функцией Н; пусть далее характеристическое урав-
нение, составленное относительно линейных членов, имеет
к пар чисто мнимых корней, притом таких, что ни одно из
отношений, которое можно из них составить, комбинируя по
два, не представляет собой целого числа. Тогда система (1)
допускает к различных семейств периодических решений, зави-
сящих каждое от одного существенного параметра.
Доказательство этого предложения весьма сложно и осно-
вано на весьма тонких аналитических соображениях. Для
удобства изложения мы разобьём доказательство теоремы
Ляпунова на ряд лемм, которые сами по себе представляют
существенный интерес, так как показывают, что при известных
ограничениях мы можем отказаться от канонического харак-
тера системы.
Лемма 1. Пусть дана система
% == R,	= qS}\ + ?S2Z2 + •   + qsnzn+®s (&) Г+zs
(S=l,2,..., n),	(2)
где qsi, qSi,-  , qSn — постоянные- — линейная форма от sinD-
и cos&; R и Zs — ряды, начинающиеся с членов второго порядка,
расположенные по возрастающим степеням переменных
г, z1( z2, .. ., zn с периодическими гм € периода 2тг коэффициен-
тами. Эти ряды мы предполагаем мажорируемыми рядами
с постоянными коэффициентами, сходящимися для | г | и | zs |
(s= 1, 2,.. ., п), меньших некоторой константы. Пусть далее
характеристическое уравнение
q^-v-Ян qin
q%l	?22 ' Р" •  ?2П
Чт	qnz •  • qnn р
не имеет корней, являющихся целыми кратными числа — 1.
Тогда одно из двух: 1) либо система (2) имеет семейство периоди-
Немыцкий и Степанов	40
J tb	ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
ческах решений периода 2nf представляемое сходящимися для
| с | с св рядами вида
г = с + и& (£))с3 + гг<3> (&)с8+...,	(3)
Zs = U<1>c+n^C2-i-w|8) (&)с3+ . . .	(8 = 1, 2,... и),
где и^ и и^— периодические функции отЬ периода 2) либо,
подставляя ряды (3) в систему (2) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях с, мы получим на конечном шаге,,
что коэффициент и^т~> есть функция вида
г/™) = g&-}-L-(&),
где g—отличная от нуля постоянная, a v (&) —периодическая,
функция периода 2тс, а все и<!> и u(sd для j <m — периодические
функции от 8.
Проделаем над переменными zx, z2,^..,zs линейную подста-
новку, приводящую линейную систему
“ ?SXZX 4" ?S2S2 "Ь • •  + 9snZn (S “	2, • . . , п)
к канонической форме. Тогда коэффициенты (p,j преобразованной
системы все будут равны нулю, за исключением
fflx = Нх> ?22 = Иг >  • •»	~ Рп>
?з»	•••» ЧпМ—
где Рц р2,--.( рп — корни	характеристического уравнения
а °п °2>- • • > сп произвольные постоянные.
После преобразования система (2) перейдёт в. систему
dr D
d» — R'
| = ;М2П1>4Л,
§ = °A + p2z2 + ?2 (&) r + Zs,	>
S” = «п-х^-х +	-P ®n (») r + Zn,
где искомые функции и нелинейные члены для простоты обозна-
чены прежними буквами.
) Среди которых могут быть и равные.
§ 5. СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
14?
Будем искать, как требует условие теоремы, решение системы
(3') в виде рядов
r=K(i)(&) c+u(2)(&)c2 + u(3)(&)cs+ .(n(i)(&) = 1); |
zs = up) (&)c + w/2)(&)c2 + w^) (fl)c3+ ... (s=l, 2,. .., n), f
расположенных по степеням произвольной постоянной с, с не-
определёнными коэффициентами и<!\ и<!>, которые мы постараемся
определить как периодические функции от 8, с периодом 2^. Это
последнее условие далеко не для всякой системы типа (3')
выполняется. Подставим ряды (4) в систему (3'); тогда, срав-
нивая коэффициенты при одинаковых степенях с для опреде-
ления функций и (s - 1, 2,..., п; I = 1, 2,...), получим
следующую последовательность систем дифференциальных урав-
нений:
duW
= а,_1Мр> + asMp) + ?s (8) в”) + ЩО
(8 = 2, 3, ...,П; Z=l, 2,...),
(5)
функции £/<’) и либо непосредственно определяются пра-
выми частями системы (3'), либо зависят от иб) и up), где j <Ц.
Из этого вытекает, что уравнения, входящие в последователь-
ность (5), можно интегрировать постепенно: сначала для l=i,
потом для Z = 2 и т. д.
Пусть для ji<Z уравнения системы (5) были проинтегриро-
ваны, и пусть все функции uw> и up) для j <1 оказались
периодическими по 8, периода 2^; тогда функции Z/W) и СУр)
для / <.Z будут тоже периодическими. В самом деле,
представляют собой коэффициенты при с> в разложении функции
R (г,	z2,..., zn, 8) по степеням с. Так как функция R, рас-
сматриваемая как ряд по степеням переменных г, zlt...,zn,
начинается с членов не ниже второго порядка, а сами эти
переменные изображаются степенными рядами по с без свобод-
ных членов, то коэффициент при ci будет представлять собой
целую рациональную функцию от тех коэффициентов u(fe) (8)
и up) (8) разложений по с переменных г и zs (s = i, 2,..., n)r
верхний индекс к которых меньше, чем /. По предположению,
функции и® (8), пр) (8) (к < j < Z), а также коэффициенты при
членах разложения функции R по степеням г, гл, гг,..zn, перио-
дические по 8, с периодом 2^; поэтому Z7V) для j <.Z окажутся
также периодическими с теми же свойствами. Аналогичное рас-
суждение приложимо к функциям Z7p) (8 = 1, 2, ..., п) при / <Z'.
а о*
148
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Заметив это, возвращаемся к интеграции системы (5).
Первое уравнение даёт
*
B(D(&)=^ #<’>(&)<&.	(6)
b
Может представиться два случая:
1) и<1> (&) окажется периодической;
2) м<1> (&) окажется непериодической.
В первом случае остальные уравнения системы (5) будут
иметь вид:
dud)
-^- = М0+А.(&),
где /и (&) —периодическая, периода 2ге, функция. Периодическое
решение, периода 2к, подобного уравнения, как легко непосред-
ственно проверить, найдётся по формуле
^8» Ч2Я
в«1)==^ J	(7)
О’
Эта формула может не дать периодического решения лишь при
условии:—2rtp.s = — 2кк]/г — 1, где к целое, т. е. когда us = к ] — 1,
но этот случай исключён условием леммы.
Итак, если (&) окажется периодической периода 2~, то
(«=1, 2, ..., п) тоже можно выбрать периодическими.
Во втором случае формула
8
ud) (&) =	С7(1) (&) da
о
даёт непериодическую функцию, т. е.
M(i) (&) = £& +У (Я),
где g — отличная от нуля константа, а V (&) — периодическая
функция периода 2к.
Пусть для всех I наблюдается лишь первый случай. Тогда
мы получим ряды типа (4), формально удовлетворяющие системе
(2). Для того чтобы показать, что эти ряды действительно
представляют решение, надо доказать их сходимость.
Начиная это доказательство, укажем, что для доказательства
теоремы Ляпунова нам придётся установить существование
периодического решения не только для системы (2), но и для
системы несколько более общего вида, поэтому мы будем дока-
зывать сходимость рядов (4) не только для всех действительных
значений &, нои для комплексных, вида 7.4-8}/"—1, где
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕИ
149
а — произвольное действительное число, а действительное число
й не превосходит по абсолютной величине некоторую достаточно
малую положительную константу.
Начнём с некоторых оценок для п и<!).
Для если использовать формулу (7), получим равенства:
»
о	У (8)
= т-2^ т \ е’м 1б~в™ + с&) u(l)+d&
v	—	L	./	I
&	1
(s = 2,..., п).	)
Введём теперь следующие обозначения:
Ч + zs 1/ —
ps = V>C------Ц ~ T—-	—г V1 — 2e_5toAs cos 2irx -f- e^4rJs.
|e-2^.s_1|	|e—«Xs_1|F	зЛ-
Если ls = 0, то положим ps = lim p (?) -~' sin "* I. Так как по
7.-.0	71
условиям леммы	—1, то, как легко непосредственно
проверить, ps, ни при одном s, не может быть равно нулю.
Обозначим далее через и верхние грани модулей,
соответственно, функций	—1) ииР>(аф-^|/—1)при усло-
вии, что а меняется произвольно, а |р| не превышает не-
которую достаточно малую константу, причём «W положим
равным 1. Ввиду периодичности при действительных & функций
и(!) (S) и ггф (&) числа гО) и гр являются конечными. Пусть
далее as — верхняя грань величины |	(&)', в указанной выше
области изменения переменной & = а-|- |3|/ — 1. Пусть, наконец,
р’<1) и Ур) — постоянные, которые мы получим из CW и (7р, за-
менивши входящие в них функции и верхними гранями
их модулей, а коэффициенты при них модулями. Пользуясь
этими обозначениями, из формул (6) и (8) получим:
r(D<CV<'> (Z>1),
где С — некоторая абсолютная константа; далее
^8* — х$?
гр
\ I j { | I + asvW + у(0}	,
(s = l, 2, —, п, о0 =0).
150
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Лёгкие вычисления приводят к оценке
а-4-2тз
«AgX	р
4° < 1-1^^ ,Т \ 6	{ I 1	+ V® + Fi!)}
а
Для s=l получим более простое выражение
е^л

е -, |К {«реФ^-УФ} dy..
Пусть и гр) — величины, последовательно получаемые из
равенств:
Г(О = СУ«;
,	а 4- 2<гг
rs(I)1+vw dy.
(s = 1, 2, . . ., 7i).
Может показаться с первого взгляда, что последние равен-
ства противоречивы, так как левая их часть не зависит от х,
в то время как правая зависит от а. Как мы сейчас убедимся,
зависимость эта лишь кажущаяся. В самом деле имеем
> а	а+2г~
а
=	< I К +	+ V<!>},
пли окончательно
+	+	(s=l, 2, ...,?г).
rs
Очевидно:
пФ <Т<г>.
Переходим теперь к непосредственному доказательству схо-
димости рядов (4) для достаточно малых по модулю значений с.
Функции R и Zs(s= 1, 2, ..., п) предполагались по условию
леммы мажорируемыми сходящимися рядами с постоянными коэф-
фициентами. Можно предположить, что эти коэффициенты получа-
ются тем же процессом, как числа У<1> и Т’ф. Пусть эти последние
мажоранты будут F (г, zlt z2, д.., zj и Fs (г,	z2, ..., zn)
(s= 1, 2, ..., и). Тогда величины vW и определяемые выше-
написанными равенствами, представят коэффициенты в разло-
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕИ
Ш
жениях переменных г и zs:
т = с 4-	+ c<3)cs + .. .,	(N)
Zs = u(Oc + rpc2 + 43)c3+... (s=l, 2, ...,n),
по целым положительным степеням с, где г и xs удовлетворяют
уравнениям:
r = c + CF(r, zx, z2, . .zn),	4
Р1г1 = а1г+Л(?’, zlt z2, .... zn),	J (NJ
?A = cs-izs-i + aX + Fs (r> zi, z-2,   > zn) j
(s = 2, 3,...,n),
п обращаются в нуль при с = 0. В самом деле, если мы будем
решать систему уравнений (/VJ, подставляя в них ряды (N) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, то при
с1 в левых частях получим, соответственно, и psu<p, а в пра-
вых частях их выражения через величины и
Следовательно, эти ряды окажутся сходящимися при доста-
точно малых по модулю значениях переменной с, а тогда и ряды
(4) являются абсолютно сходящимися при всех действительных
значениях &, если | с j достаточно мал, и будут, таким образом,
представлять периодическое решение системы (2). Будем помнить,
что важно для дальнейшего, что мы доказали несколько больше,
именно, что ряды типа (4) сходятся не только для действитель-
ных значений &, но и для комплексных вида a-j-jjj/"—1, где
a — произвольно, а не превышает некоторую константу.
Лемма 2. Пусть дана система
% = ->.,j+X, $=^ + ¥(>.>0);	)
dx	I
=	+	 • • +AA + *S (s = l, 2,	J
где X, У, Xs обозначают ряды no степеням переменных
я, У.>	• • • > хп> начинающиеся с членов не ниже второго
порядка. Пусть далее характеристическое уравнение
Р11 Р Р12	" ’ ’ Pin
Р21	Р22	Р • • • Ргч
I............................
Р П1 Рп.2	Рпп Р
не имеет корней вида т'к ]/" — 1с целыми неотрицательными зна-
чениями т.
152	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Тогда, если существуют формальные ряды, расположенные
по целым степеням переменной с:
х — (с + и^с2 ф- - •.) cos 8; у = (с ф- и<2>с3ф-...) sin 8;
xs ~ и<9сф_ w<z)c2 -j-  • •	(s=l, 2, ...,п),
с периодическими коэффициентами периода Т по t, представляю-
щие (формальные решения системы (9), то они сходятся для
достаточно малых значений | с| 'и определяют тем самым
семейство периодических решений системы (9).
Произведём сначала замену переменных
x = rcos&, у = г sin 8; а,\ — rz,, x2=--rz2, ...,xn — rzn,
где примем 8 за новое независимое переменное.
После нетрудных вычислений получим:
= х cos 8 ф- Y sin 8:
dt	’
4° = 6,
dt '	’
где
Q Y cos 8—X sin &
r
Причём, так как X и Y есть ряды, содержащие члены не
ниже второго порядка, то функция 0 представляет собой сходя-
щийся ряд по степеням перемейных г, z1( z2, ..., zn, с коэффициен-
тами, являющимися целыми рациональными функциями от
sin& и cos&.
Наметим дальнейший, путь вычислений. Имеем:
dr dr dt 1	,,, r, , v -
-тв = j- 7i=jTa (X C0S&4-lSin&)
d8 dt di} Z-j-0'	1
ИЛИ
где R— ряд по степеням г, zlt zs, ... , zn, начинающийся с чле-
нов порядка не ниже второго, с периодическими коэффициен-
тами периода 2к. Так как ряд /? произошёл из рядов для X' и У
путём замены переменных и рациональных операций, то коэф-1
фициенты и этого ряда представляют собой целые рациональные
функции от cos& и sin 8. Следовательно, если положить
8=аф-р|/—1, то соответствующий ряд с постоянными коэф-
фициентами окажется сходящимся при условии, что а произ-
вольно, а [3 достаточно мало по модулю; иными словами, ряд R
мажорируем сходящимся рядом с постоянными коэффициентами.
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕИ
15S
Далее
dzs  1 dxt.	1 . dr 
dt	r dt	rz ^'s dt
.	.	.	. 1 v	1 dr
~~ Psi Z1 ~b Psz %2 ~b • • • ~b Psn %tl ~Ь Xs	~ ~‘S dt
I
Рассмотрим отдельно слагаемое — Xs. В состав Xs могут'
войти члены, содержащие а:, уих{{1 = 1, 2,..., и) во второй степени.
После замены переменных эти члены дадут выражение — rs<ps (®),
где <ps (&) — некоторая квадратичная форма от sin & и cos &. При-
dr
нимая это во внимание, а также учитывая вид , мы получим-
dzs   Psi [ PsZ |	| Psvt „ |	(®) „ , -7
dO-T^ + т z2+.-. + -A-zn + ^-r + Zs,
где функции Zs имеют свойства функций Xs.
Таким образом, после преобразования переменных будем"
иметь следующую систему:
+	+?SnZn + ?s(&)r+Zs
(s = 1, 2, ... , /г),
(10)?
где — , ?«(&)— квадратические формы от sin® и cos®, a Rи
Zs —ряды по степеням г, zx, z2, . .. , zn, начинающиеся с членов-
не ниже второго порядка, с периодическими, периода 2тс, коэффици-
ентами, причём эти ряды мажорируемы сходящимися рядами,,
по степеням тех же переменных, с постоянными коэффициент ами.-
Последнее утверждение нами было доказано для R, но совер-
шенно аналогичные рассуждения докажут его справедливость
п для Zs. Наконец, вспоминая условия нашей леммы, мы можем
утверждать, что характеристическое уравнение
?и Р	• Чт |
*721 Чгг р •   Ч^п =0
4ni Чпг • • • Чпп Р
не будет иметь корней, кратных yf — 1. Всё это показывает, что
мы находимся в условиях леммы 1, и, следовательно, если суще-
154
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
ствуют формальные решения системы (10), представленные в виде
рядов
Г = С + и^С2 + . . . + U<l)cl + • • • ;
zs = w<Oc + U<2V + .. . +	+ ... (s = 1, 2, ... , n)
с периодическими коэффициентами периода 2к, то они опре-
деляют семейство периодических решений периода 2~ по & для
системы (10).
Пользуясь этими рядами, постараемся найти периодическое
решение системы (9). Для этого мы должны вернуться к пере-
менным х, у, х„ ж2, ... , хп и выразить параметр & череэ I.
Применяя формулы для замены переменного и ряда для г
и zs (s —1,2, ... , п), получим:
х = (с + w(2>ca -j- . ..) cos &; у — (с + и®с2 + .  ) sin
ж; = (с + w(2>c2-j- ...) (и^с-Е и<2,с2+ • • •)	(s= 1, 2, ... , ?г).
Воспользуемся, наконец, формулой
= X + е (г, z1( z2, ... , zs).
(И)
Вставим в в вместо г u zs найденные ряды, а затем функцию
Jlge разлагаем в ряд по степеням с; так как эта функция при
с = 0 обращается в 1, то получим ряд вида
~ = 1+е1с+е2с2+...,
где (i — 1, 2,...) — периодические функции от 6, представляю-
щие собой тригонометрические полиномы от дуг кратных &. За-
писывая уравнение (11) в виде
и интегрируя его, будем иметь
&	&
Ф + с 0* tZO + с2 02 db 4- • • • = (t —10),	(12)
о	о
где t0 — произвольная постоянная.
Левая часть этого равенства, кроме периодических членов,
содержит члены, пропорциональные 9. Если теперь обозначить
0md& = Am,
о
§ 5. СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ	155
то совокупность подобных членов представится рядом
(1 + Л1 с-L Л2 с2 4-
и уравнение (12), связывающее t и примет вид
(1 + К с + ht + - • ) R + сФх (&) + с2Ф2 (8) + ... ] = X (t -	(13)
где Ф,(9)—тригонометрические полиномы.
Предположим теперь, что 8= а + р — 1,и воспользуемся схо-
димостью рядов (4), для комплексных значений переменной 8,
доказанной в лемме 1.
Положим
J(l + A1C + Aac2+...) = Z,
— to)	q_____
---j-,- — И V-----Т = ©.
Тогда уравнение (13) приводится к виду
© -f-c®! (© + ~1 + с2Ф2 (<р 4-а) Ц- ... == 0.	(14)
Если в этом уравнении -с считать независимым параметром,
принимающим значения вида t = p-]-a]/r—1, где р считаем про-
извольным, а с по модулю меньшим некоторой достаточно малой
константы, если далее относительно <р сделать такие же предпо-
ложения, то, пользуясь сходимостью ряда
С|Ф1(&)| + са|Ф2(8)|+... ,
можно утверждать, что функция <р, удовлетворяющая уравне-
нию (14), должна становиться произвольно малой при с—>0.
Следовательно, наша задача сводится к определению из уравне-
ния (14) функции <р, зависящей от с, модуль которой выбором
достаточно малого |с| может быть сделан произвольно малым.
Функции Ф/(&) являются тригонометрическими полиномами
по 8, следовательно, ФДср-фт:) можно представить в виде ряда
по степеням ср, сходящегося при всех © и т, т. е. можем сказать,
что левая часть уравнения (14) есть степенной ряд от перемен-
ных с и ср, сходящийся при | с | достаточно малых и произволь-
ных <р; коэффициенты этого ряда зависят от т, причём этот ряд
мажорируем сходящимся степенным рядом по с и <р с постоян-
ными коэффициентами.
Левая часть уравнения (14) обращается в нуль при ср = с = О,
а её частная производная по в этой точке равна 1. Поэтому
искомая функция о может быть представлена степенным рядом
относительно с:
© = ©1с + <?2с2 + ©3 cs+ .
256	ГЛ. II. поведение интегральных кривых
где (к = 1, 2, ...) — некоторые функции ст ?, независимые от с,
которые выражаются через Ф,(т) и их производные и, следова-
тельно, являются периодическими функциями от т, причём этот
ряд будет сходиться для достаточно малых |с|. Отсюда & найдётся
по формуле
& = Т + С + <р2 с2 + • • • + С"Ф -  •
Внося это выражение в ряды, определяющие ж, у и xs (s= 1,2,.. . ,п)
н собирая члены- при одинаковых степенях с и заменяя т выра-
зи (t — tn)
жением —, получим ряды, определяющие х, у и xs как
функции от t и произвольных постоянных tB и с. Эти ряды бу-
дут представлять периодическое решение системы (10) периода 7’3
т. е. периода
Т = XT© = ? (1 + с +/г2с2 + • • •) •
о
Этим лемма полностью установлена.
Предварительная теорема. Пусть дана система
вида (9):
It ь
^ = Psi ^i + Ps-2^+ • •  +pSn^n + Xs	(s= 1, 2, . .., n);
причём выполняются все условия леммы 2. Если, кроме того,
допустить, что эта система Имеет интеграл вида
х2 + уг + Р(х,у,х1,х2, ... ,хп) = С,	(15)
где F — степенной ряд, начинающийся с членов порядка не ниже
второго, а в членах второго порядка не содержащий х и у,
тогда система (9) имеет семейство периодических решений,
зависящее от одного существенного параметра.
Вводим, как мы делали в лемме 2, замену переменных:
Ж = ГСО8&, ?/ = rsin&, x1 = rz1, x2 — rz2,..., xn--rzn.
Тогда преобразованная система будет иметь интеграл вида
г2 + r2F (г, &, zlt z2, ... , zn ) =.С,
где F — степенной ряд относительно переменных т, сов 9, sin Os
Zll Z2> •  • > Zn'
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ	157
Извлекая из него корень квадратный, получим интеграл
г-фг«>(г, 9, zx, z2, ... , zn) = C",	(16)
причём функция о есть степенной ряд, обращающийся в нуль
при г = zx = z2 = . .. — z,t — 0 с коэффициентами, являющимися
периодическими функциями от &.
Допустим от противного, что периодического решения не суще-
ствует; тогда на основании леммы 1 на некотором Z-ом шаге
вычисления коэффициентов формальных рядов типа (4) будет
иметь место следующее обстоятельство:
п®, и&,...,	nW, w<2>, ..., ир-1)	(8=1, 2, ... , п)
представляют собой периодические функции, а функция
имеет вид
um = g^+V,
где g— отличная от нуля константа, а V—периодическая функ-
ция от &.
В этом предположении в выражение (16) интеграла делаем
подстановку
г = с + u(2)c2-ф ...	|	.
zs =	и<')с2 -ф . . . -ф	(8= 1, 2, . .. , п) ] 1
п результат располагаем по степеням с. Так как выражения
для г и zs в подстановке (17) .суть начальные члены формаль-
ных рядов, удовлетворяющих системе (10), и подставляем мы их
в интеграл этой системы, то коэффициенты при степенях произ-
вольной постоянной с, до I—1 степени включительно, должны
получиться независимыми от & постоянными. Однако, в наших
предположениях этого не будет. В самом деле, у члена разло-
жения слагаемого г<р с Z-той степенью параметра с заведомо будет
периодический по 6 коэффициент, и этот коэффициент в сумме
с коэффициентом члена (§гФ-фУ)с( функции т не может дать по-
стоянной величины.
Итак, наше предположение об отсутствии периодического
решения преобразованной системы приводит к противоречию,
а тогда на основании леммы 2 и первоначальная система имеет
семейство периодических решений, зависящих от произвольной
постоянной с с периодом
Т = ^(1 + /г1С+Л2с2 + ...).
558	ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Доказательство теоремы Ляпунова. Сама теорема
Ляпунова явится почти непосредственным следствием доказан-
ных лемм и предварительной теоремы. Итак, пусть дана кано-
ническая система с неособой функцией Н, и пусть характери-
стическое уравнение имеет к пар различных чисто мнимых
корней ± pj]/ — 1, ±- ра|/ — 1, - -. , ± Pj.-]/ — 1; тогда, как мы
покажем ниже, можно проделать линейное преобразование при-
косновения, следовательно, преобразование, сохраняющее гамиль-
тонову форму системы, при котором функция Н, относительно
новых координат, примет вид
2-(^ + ?/Э + у (^ + ^)+---+5 (^+^) + Я2 + Я3, (18)
где Я, содержит члены второго порядка, в которые не. входят
переменные х1г х2, . .. , х1:, у„ у2, ... , ylt а Нг есть функция,
разложение в степенней ряд которой начинается с членов, по»
меньшей мере, третьего порядка. Отсюда вытекает, что если мы
фиксируем своё внимание на какой-то паре переменных, соответ-
ствующих некоторой определённой паре мнимых корней ± ps|/ — 1,
то каноническая система, после указанного преобразования пере-
менных, перейдёт в систему типа (9), имеющую интеграл Н — С
вида (15), и, следовательно, по предварительной теореме, она
будет иметь семейство периодических решений периода
7’е = У(1 + Л1С + Л2сг+...).
Ре
Так как подобное рассуждение мы можем провести для любой
пары переменных (xt, у^}, (ха> уя),  . - , (х,, уу), то в результате
получим к семейств периодических решений, каждое из которых
зависит от одной произвольной постоянной.
Осталось показать существование линейного преобразований
прикосновения, которое приводит функцию Я к форме (18).
Рассмотрим сначала систему
dx* 	ЗНа	dys__dHa	.	. 9	.
dt ~	ду, ’ dt dxs	I5	)’
где Я2 представляет совокупность членов второй степени, вхо-
дящих в Я. Это система линейных уравнений. По предположе-
нию, её характеристическое уравнение имеет корни
±i3lt ± гр2, ... , ± где £ = ]/ — !,
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
15S
так что общее решение имеет вид
= G «11 c’;₽li + С2 aiz ё-Ы 4- ... _|_ спа1П c^nt + •
+ Cn+iau е^^11 + Сп^а12 е~^+ . . . +С2па1пе-^г
х2 = C^e^t _р С2аггег'М т • • • + Спа2Пе‘Ы 4-
+ Cn+ia21e^iM4-Cn+2ag2e-^+ .. . 4- С2Па2Пе~^,
хп = СхаП1ёЫ + С2ап/?®‘ + ... + Cnanne^t 4.
+ Cn+i«me“^lt + Cn+2«n2e~l?2f + • • • +С2Пдппе-г^*;
Ух =	+ C2612ei?«4- - • • + Cnbine*W 4-
+ Cn+ib1ie-^ + C„,26i2e-W+ ... 4-C2n&ine-{M,
Уг = С,Ь21^ + С2Ь22ё?^ + ... +Cnb2ne^ +
+ Cntlb21e-^ + Cnt2b22e-^ + ... + С2ПЬ2Пе~^
Уп =	4- С2ЪП2№ 4-  • • + Cnbnn^nt+
+cn+1w-i?i,+cn+2w-iM+• •  +C2nW-?nt;
где asj, ^/ — комплексные числа, сопряжённые с as. и bs{
(s = 1, 2,.. ., п; / = 1, 2,.. ., п).
Разрешая зти уравнения относительно
С^, С2е^,. .., CneJM, Сп^^{, Сп+2е"4Ч. -Csne-^,
мы для этих величин получим линейные формы относительно
я.., ys (s = 1, 2,. .., п), причём выражение для Сп„е“*?г{ будет
комплексным сопряжённым с выражением для Cse’V:
Cse^‘ = us (х, у) 4- ics (ж, у),
== us {х, у) — ivs (ж, у),
где us,vs — линейные формы с действительными коэффициентами.
Умножая полученные выражения соответственно на e^s*,
находим 2п независимых интегралов линейной системы
(ws4-^s)e“'^‘ — (,us — ivs)ё9в* — Сs^n (s= 1, 2,..n).
По теореме Пуассона *) скобки из каждой пары этих интег-
ралов также являются интегралами системы (или тождественно
') Пусть и и v — две произвольные функции переменных
х-у, , хп', уу, у2,,.., уп', тогда скобкой Пуассона относительно и, v-
называется выражение
п
,	.	/" ди dv ди dv \
(и, и)— У, ( т—-=-т—т— ) •
\дхг ду,- дуг д:сгу
160
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
равны постоянным). Рассмотрим скобки Пуассона
(us ± ivs, ис ± гг0).
Раскрывая скобку, получим четыре члена, каждый из кото-
рых имеет показательный множитель вида
Это выражение умножается, соответственно, на скобки Пуас-
сона (ws, ио), (ws, ъ'9), (rs, сс), которые являются постоянными ввиду
того, 'что us, vs — линейные функции от хг. Рассмотрим два
случая:
1) а =# s. Если бы постоянная (ws-|-irs, и3 + ггс) была неравна
нулю, то мы имели бы интеграл Ce±!(?s±?a)t = const, чего не
может быть, так как t — переменная независимая. Следовательно,
(us + ivs, иа г‘г0) = 0 при с =£ s.
2) s = а. Скобка Пуассона
+	(us —гс8)е{?«‘) = (и8 + гс8, ws—ius) =
= (us, «J + i K, ns) — i (us, »s) + (vs, vs) = - 2г (ws, vs)
не .может равняться нулю. В противном случае для данного
s мы имели бы ‘2п уравнений
(us4-£rs, иг *рггг) = О, (us -j- ivs, ит — ivr) — 0	(r=l, 2,..n).
Рассматривая эти равенства как систему линейных
_	«	3(m, + /vs)	3(w, + ive)
алгебраических уравнении относительно ——- , ——-
Из самого вида скобок Пуассона непосредственно усматриваются
свойства: 1) (att, bv) = ab(u,v), где а и Ъ — постоянные множители;
2) (и,	w); 3) (uj-png, i’) = (w1, e)-p(ttg, u); 4) (u, w) = 0.
Для нас в дальнейшем будут существенны следующие две основные
•теоремы.
I-	Для того, чтобы преобразование переменных
(а.-!, а2,..., ар; уг, у2,..., уп) в (и„ и2,ип: ь\, е2,... ,ея)
было преобразованием прикосновения, достаточно, чтобы
(tp, i(j) = 0; (pi, Vj) = 0	(i, j = 1, 2,.. .,n);
(ui, = O (i, /=1, 2,.n, i=f^ ]"); (iiit ej) = l.
II.	Теорема Пуассона. Пусть о и -Л два интеграла гамиль-
тоновой системы:
dx^-^.dJL- dy^-d2L
dt dys ’ dt dxs ’
тогда (e>, -i) = const при всех' значениях t.
Доказательство этих предложений см., например, в книге Унтек-
кер, Аналитическая динамика, стр- 332—352.
§ 5. СЛУЧАЙ ЧЙСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
161
(Z=l, 2,..., и), замечаем, что детерминант этой системы, с точ-
ностью до знака, равен якобиану
O(Kt-|-rt\, u2 + ir2,., ,,un + ivn; — u2 — iv2,..., um — ivti)
D(xlt xs,..., x„; ylt ys,..., yn)
Так как us-|-ius не тождественно равно постоянной, этот яко-
биан должен был бы обращаться в нуль, что противоречит
независимости системы интегралов us ± ivs.
Выделим теперь действительные и мнимые части скобок
Пуассона. При s Ф s имеем:
(us + ivs, Un ± iva) —
= (us, uc) + (cs, va) -J- i [(us, щ) ± (us, r0)] = 0,
откуда
(hs, Mo) = (u„ i-0) = (ws, r,)==(us, us) = 0.
Наконец, мы имели
(us + ivS} us — ivs) — — 2i (us, vs) — const Ф 0.
Так как (и,, vs) — билинейные формы от коэффициентов при
us,vs, то мы можем (заменяя и, на —vs) в случае отрицательного
знака скобок (us,vs) так нормировать интеграл us-{-ivs, чтобы
иметь: (us,vs) = 1, оставляя при этом коэффициенты при us,vs
действительными. Выполнив это, мы получим окончательно:
(us, и,) — 0, (ks,Kc) = 0, 1 s, а — 1, 2,..., п-
(ws, ro)==0, (us, vs)=H; J
В силу указанной выше теоремы (см. сноску на стр. 159—160),
линейное преобразование переменных с действительными коэф?
фициентами, дающее переход от переменных хг, xs,..., хп;
У1,у2,---,уп к переменным ulf иг,...,ип; vlfvt,..., vn, есть
преобразование прикосновения и, следовательно, сохраняет
гамильтоновский характер системы.
Это можно проверить и прямым вычислением. Мы имеем,
с одной стороны,
		4^1 duc dvs	dvs	о
			Л4 &yr dxr	
I. -	(Га, rs) =	dVs_ dxr dyr	dvn dvs dyr dxr	= 0,
	(Ws, vs) =	vt dus di's dxr dyr	dus ду9 АЛ dyr dxr	= 1.
		r	r	
Немыцкий и Степанов
(° =# s)
11
162
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
С другой стороны, ВЫЧИСЛЯЯ проивводные “ И -7° посред-
C/Uq ОЪ(д
ством переменных хг, уг, имеем (для фиксированного s):
диа  диа дхг	-у, ди3 дуг _ Q
dus ~дхг dus *	ду,. dus
г	Г
II
'V дау । "V	о
dus ^d-dxr dus‘ Ла* dyr dus
Г	T
dus___dus dxr . -ri dus dyr__
dus dxr dus *" dxr du. ’
(«=., 2,
Вычитая из уравнений системы I соответствующие уравне-
ния системы И, получаем однородную систему:
gt<- Z dvs дхгЛ -у дис /дуя дуг\
дхт \дут ди,) ^Лдуг\дхг dus)
Г	г
(с = 1, 2,..., п).
Так как детерминант этой системы не равен нулю (якобиан от
w0, Го), ю имеем тождества:
dvs__дхг	dvs _ ____ду,.
дуг	dus	’	дхг
Аналогично (меняя роли и и и) получим:
dus _дуг	dus__ дхг
дхг	dvs	’	dys	•	dvs '
Преобразуем к переменным ur, i:T каноническую систему
=	(г=1,2,...,п).
dt дуг 9 dt dxv v 9 }	9
Получаем
дхг dus . -vi дхг dvs  	дН dus	dll dvs
dus dt "г" jW dvs dt	dusdyr	dv, dyr ’
ss	s	s
2dyr dus
dus dt
ci dyr dvs_____dH dus ’V' dH dvs
ai dvs dt -Лш1 dus dxr	dv3 dxr
s	s
§ СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
1G3
или, пользуясь последними тождествами, имеем:
V дс°	/' du,. дН\	du f rfi.’s	ЗНУ	i 0
	у dt di'sy	dy? k. At	dus >	I
	/dus , аях	dus ( dvs	dH>	) ~ °>
дх¥	\ dt 1	dt	Ausy	
	(r=t	, 2,.. ., /г).		
Отсюда, в силу неравенства нулю детерминанта, имеем:
dus  дН
dt	dr,. ’
dvs___дН
dt dus
(s= 1, 2,. .	?/),
т. e. снова получается каноническая система.
Для нашей линейной системы (Н = //,,) преобразованные
уравнения имеют вид:
(и*+ird	е~iis'1=°’
(s=l, 2,...,п),
или

Отделяя действительную и мнимую часть, получим:
У'; = _^4,	(s=l, 2, ... , и).	(А)
dt 16 6 dt 1 s s 4	’ ’ 7	k 7
Итак, для функции II2 в новых переменных имеем:
ЭН2
3 г
** S S >
dH р
= рЛ,
dus 1 5 1
т. е.
н2 =	+го + | (ui+гр +... +1 («:+о-
(В)
Если только 2к корней характеристического уравнения яв-
ляются чисто мнимыми (к < и), то, применяя указанное пре-
образование только к переменным
^1» ^2’ • • ° , &!;>	У1> У2* • • ’ > Уи
(например, полагая для г ?> к : хг = иг, уг -= сг), мы выделим пз
совокупности квадратических членов функции Н форму вида (В),
относящуюся к этим переменным, причём после преобразо-
вания переменные us, vs (s^k) не войдут в оставшуюся часть
квадратической гформы (так как иначе производные по us и rs
И*
5 64	гл. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
дали бы в правых частях системы (А) слагаемые, зависящие от
и уг (г > к).
Применим это последнее преобразование прикосновения к ис-
ходной гамильтоновой системе; она перейдёт тоже в гамильто-
нову систему с той же функцией Н, выраженной через новые
переменные; возвращаясь к старым обозначениям, мы получаем,
что функция Гамильтона приведена к виду:
^==-|(^2+2/12)+т(^2+^а)+ ••• +|(^+^)+я;+я;,
где Я' — совокупность членов 2-го порядка, содержащих только
переменные ж7;+1,	. , хп, уп и Н3 — совокупность членов
порядка выше второго.
Таким образом, теорема Ляпунова доказана полностью.
Если не избегать комплексных переменных и ввести новые
переменные
—,»ls = ws + l'us (s= 1, 2, ... , п),
с нормировкой
(»s4-ius, Ms —=
то преобразованные уравнения системы (А) будут
^=-i8s?s,	=
dt 1 s s dt 1 s ,s
и соответствующая функция Гамильтона будет иметь вид
^2 ~ “Ь “Ь •  • 4“
Эту форму мы используем в следующем параграфе.
Нормализация канонической системы.
Некоторые дополнительные сведения, касающиеся поведения
интегральных кривых в случае чисто мнимых корней харак-
теристического уравнения, мы можем получить, если допустить,
что имеем дело с системой гамильтоновского типа. Все эти ре-
зультаты связаны с возможностью приведения гамильтоновых
уравнений в этом случае к некоторой специальной нормализо-
ванной форме, о которой сначала и будет итти речь.
Пусть дана система гамильтоновых уравнений
=	(s=l,2, ... ,п).	(1)
dt dys dt dxs '	'
Мы предположим в дальнейшем изложении, что вблизи на-
чала координат Н есть аналитическая функция от перемен-
ных ж1( ж2, ... , хп, ylt yz, .. . , уп и в начале координат обра-
§ 5. СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ	165
щается в 0, вместе со своими частными производными первого
порядка.
Так как метод дальнейшего исследования требует проведения
нелинейной замены переменных, то для нас весьма важно от-
метить, что при преобразованиях прикосновения1), хотя бы и
нелинейных, форма уравнения (гамильтоновский характер урав-
нений) 2) сохраняется; поэтому, проделывая подобного типа пре-
образования, нам для выяснения вида преобразованного урав-
нения достаточно изучить вид, который примет функция Н
в новых переменных.
Ближайшей задачей будет показать, что, путём преобразо-
вания прикосновения, мы сможем для случая чисто мнимых
корней в «общем случае» функцию Н преобразовать к «нор-
мальному» виду:
я	п
= 2 liPWifliPbQk + • • •
?.=1
к=1
• • • + 2 Cih ' ' • mPlQiPkli?’  • PmQm +
4-Ф (Pl, , Рп, • • • . Зп)> (2)
где X, суть корни характеристического уравнения (мнимые), а
Ф имеет в начале координат нуль порядка 2ш-|-1.
Выражение для Н может казаться не вполне определённым
равенством (2), так как характеристическое уравнение должно
иметь 2п корней, в то. время как в равенстве (2) участвует
лишь п корней, но это затруднение сейчас же выясняется, если
иметь в виду, что для уравнений типа Гамильтона характери-
стическое уравнение содержит лишь чётные степени неизвестной,
а следовательно, вместе с корнем X/ входит корень — X/.
Указанное свойство корней непосредственно вытекает из
вида гамильтоновых уравнений. В самом деле, пусть Н2 есть
совокупность членов 2-го порядка, входящих в состав функ-
’) Преобразование прикосновений можно определить ещё как переход
от системы переменных xt,	yt, у2,..., у„ к системе переменных
л'1> .т2,..хи, г/i, 2/г,-Уп с помощью аналитической системы равенств
У1, у2,..., ytl),	у1гу2,.. .,Уп),
п
притом таких, что дифференциальная форма	(ii;dx;— ytdxi) есть пол-
1=1
ный дифференциал функции от 2п переменных xt, х2,хп, ylt у2,.-^,уп.
2) Доказательство этого положения см., напр., в книге Уиттекера,
Аналитическая динамика, ОНТИ, М. — Л. (1937).
166
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
ции Н. Если обозначить
	_ л.	з2я2 _ R	d2ffe	= Cif,	
	дхгдх}	гВ	dyidyj ~г1’		дл'г дуз		
ТО	характеристическое уравнение имеет вид1):				
		С + ХЕ	В			
		А	С*-ЕЕ			
	Сц + X С21	 • ЕП1 В1г	В21 ..	•	П1	
	с12 С22+Х.	  Сп2	В12	-В22 ’	•	
	^11	^21	 спп+к В1п ' • Ди d 11' ’	S5 • » § •	^пп L in	= 0.
	th». К) К)	• • Ап2 с 21 с	22	А , .	2П	
		А	Г ' • -^пп	Сп2 ..	' Спп	
Легко убедиться, что при замене X на — X вид уравнений не
меняется. Действительно, если после замены X на — X сделать
столбцы строками и строки столбцами, а затем переставить их
надлежащим образом между собою и воспользоваться после
этого соотношениями Ац = Ац и Вц = В/;, то получим исходный
определитель2). Этим наше утверждение доказано.
Мы будем в дальнейшем предполагать, что:
1) все корни характеристического уравнения ± X, (/ = 1,
%,..., п) чисто мнимые (Im X, > 0) и различные;
Ч С* — здесь обозначение транспонированной матрицы.
2) В самом деле. Исходная матрица имеет вид М = j '	“
тт	,	-	I с - 2Е В I „
После замены X на — z получим Л =	rs, _ . Проделаем с ма-
трицей N ряд преобразований, которые могут лишь изменить знак у детер-
минанта матрицы Лт. Именно, переходим сначала к транспонированной
матрице, получим |
переходим к матрице
СА-—2.Е В* I
Л* С + 2.Е I
Затем путём
I Л* С + 2.Е I
|С*—2.Е В* I
. В полученной
столбцы, переходим к матрице
|C + XB Л*
| В* С*—2.Е
перестановки строк
матрице, переставляя
Наконец, замечая,
что А? = А и В* = В, получаем в результате преобразований снова матри-.
цу М =
С + 2.Е А I
В С*—лЕ\ ’
В I
§ 5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕИ
167
2) не существует линейного соотношения с целыми коэффи-
циентами между X/.
Записываем теперь Н в виде
Н = Н„ ф- Н3 ф- Hi 4- ... +-^2>n-l + ^2m + G2m+1,
где Н2, Н3, ... , //„„ — однородные функции от переменных
жи хг, • • • ,	У1> У2' • • • , Уп степеней, соответственно, 2,- 3
и т. д., а <?2,п+1 имеет в начале координат нуль 2m ф-1 порядка.
Прежде всего уже было показано, что с помощью линейного
преобразования прикосновения можно в рассматриваемом случае
привести члены второго порядка в функции Н к виду
//2 = У<1х1у1 ф- Х2ж2у2 ф- ... -j- Хпжпуп.
Далее переходим от переменных , т2, -	, хп, у1г у2, ... ,уп
к переменным у1г у2! ... , уп, xlt х2, ..  , хп с помощью пре-
образования
п
, Vi=— Ц (i = l, 2, ... , п), где = 2	+
dvt	ахг	~
и Ks — однородный полином третьей степени по переменным
жх, ж2, . .. , хп, гд, г/3, . . . , уп, коэффициентами которого мы
в дальнейшем распорядимся.
Выбранное нами преобразование будет контактным преобра-
зованием1), так как выражение
П	п	П	Yb
2Xi dy* - 2 &	+2 £dXi dK
«SC	^308	JSS3S9	r)Q!'	лЯШЕ	V&i
1=1	1=1	0=1	Z=1
есть полный т дифференциал функции К по переменным
-Ж!, ж2, . . . , хп, уи у2, ... , уп, а следовательно, также полный
дифференциал некоторой функции от первоначальных перемен-
ных. Заметим, что это рассуждение показывает, что функцию К
можно взять произвольного вида, лишь бы это преобразование
фактически давало замену переменных.
В рассматриваемом случае преобразование имеет вид
Xi =Xi
-
Г дУ1
dKs
— Уг — я^
х) Т. е. преобразованием прикосновения.
168
ГЛ. п. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Разрешим эти уравнения относительно ,xi и у{. Имеем
Xi = Xi — 4- Ks (х, у),
9yt
— д „ .
?/«== — у~^Кг(х, у),
где для краткости введены обозначения:
x = (x1,xz. ... ,хп) и ?/ = (?/!, у„ ..., у„).
Рассматриваем первые равенства, как уравнения, неявным
образом определяющие хг через Xj и yj (j =1, 2, ... , п). Нахо-
дим Xi в виде ряда
X’i — Xi—	^)-|-члены порядка выше второго,
дУг
где К* получается из К путём замены ж, на х.:.
В самом деле, разложение xt в ряд не содержит свободных
членов. Поэтому, если, предполагая, что разложение уже полу-
чено, мы в правой части равенства xi = xt — подставим вме-
дУг
сто ж/ его выражение, то из членов порядка п относительно х$
и yi, при п > 2, не получим членов более низкого порядка.
Пользуясь выражением для ж,, непосредственно получим:
дК* .	о
у г — —у г--=Л-4-члены порядка, оолыпего 2.
дх^
Переходя к новым переменным в выражении для Н, имеем
„ и Г ~ дК* ,	- дК$ . х , „ ,
Н — Н^( .. . ,жг---=—|- ... ; — у$—h ... )4~/734~ • • -
Ч	dyi	dxi	J
Так как члены второго порядка получаются только из Н2, а
п
1/г=2 ^ix>iyi, то после преобразования они имеют вид
2 = 1
п
—	Члены третьего порядка будут иметь вид:
1=1
5. СЛУЧАИ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕИ
Так как К* содержит члены типа сх^1 х£... ж“” у^1 у™. .. у™ ,
где сч>0, Р;>0 (i = 1, 2, . . ., п) и a1+«i! + ...+an + pi +
-|- 32	рп = 3, то член в изменённом Н3 имеет коэффициенты
с [)ч (рх — ax) + л2 (р2 — а2) + • • • + Xn (pn — an)] + h,
где h — известное число, а именно — коэффициент в Н3(х, у).-
В силу линейной независимости корней 'ь1г , 1п из урав-
нений
с IX (Pi — «О + \ (₽2 — аа) + • • • + МРп ~ «Л + h = О
всегда можно определить коэффициент с. Случай cq = р1Г„
а2 = р2> • • • , ап = Рп невозможен, так' как тогда бы сумма
'fl	п
2 ai + 2 ₽г была бы чётным числом, а не 3.
i=l	i=l
Этим показано, что с помощью контактного преобразования
переменных функция Н принимает вид
п
н =^Wi + Н4 + ...,
г=1
где Нt содержит члены не ниже четвёртого порядка.
Делаем теперь преобразование того же типа
= дК^ . ~________дК^	, 9	.
Xi — ——»	Уг—	——	(г = 1, 2, .. ., п),
дуь	дхг
где
,=1
Рассуждения совершенно аналогичные предыдущим приведут
к тому, что это преобразование запишется в виде равенств
Xi = Xi — Л- Kt (ж, ?/) + ..•,
dyi
yi^-yl~tKl(x,y) + ...i
дхг
где получается из К^ заменой ж, на жг. Поэтому в новых'
переменных функция Н будет .иметь вид
370
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
где Hz—совокупность членов 2-го порядка относительно пере-
менных (ж, у).
Отсюда мы видим, что Нг сохраняет свою форму, членов треть-
его порядка не возникнет, а совокупность членов четвёртого по-
рядка имеет вид
Аналогично предыдущему мы можем утверждать, что коэф-
фициент при любом члене четвёртого порядка имеет вид
с Ри (Pi - <Ч) + К (Ра - а2) + - - - + Хп (8П - ?.„)] + К
где и р.; (Z=l, 2,	— некоторые неотрицательные целые
числа, удовлетворяющие условию:
«* + «,+ • • • +^ + рг + 32+ . .. +В„ = 4.
Следовательно, мы сможем найти с из уравнений
е [К,’ (В, - aj 4- Х2 (В2 - а.) + . . . + Xn (8„ - ал)] h =. О
всегда, за исключением здесь уже вполне возможного случая
«1 = Р1, “2==₽2> • • - «п = рп,
т. е. случая, когда члены четвёртого порядка, имеют вид
cxiyiXjyj.	_
Члены такого типа и.только они останутся в Ht.
Продолжая преобразование аналогичным образом, мы в конце
концов придём к указанной заранее форме для Н.
Подобная же норл!ализация может быть проведена также для
случая, когда Н является степенным рядом по ж,, у (£ =
•= 1, 2, . .., п) с коэффициентами — периодическими функциями от
t периода -с, причём предполагается, что не существует ли-
нейного соотношения с целыми коэффициентами между характе-
ристическими показателями X; и числом ]/~ — 1 (см. гл. III).
§ 6. Устойчивость по Биркгофу
Пусть все корни + Ху(1щ Х,-> 0, j = 1, 2, . . ., п) характе-
ристического уравнения чисто мнимые и между числами X, нет
линейного соотношения. Тогда, по только что доказанному, мы
можем предполагать, что гамильтонова система уравнений при-
§ 6. устойчивость по биркгофу
171
ведена к следующему виду:
dpi
dt
dcjj___дН
dt P1
(i = l, 2,
— д~.-s-J-1,
+ Л/i, s+1,
. . »),
(«
причём
n
H = 2 }'iPdli + НгЛ- . . . +H,,
2=1
где s — чётное число, равное s пли s—1; Hik зависят только от
произведений = Ц = 1, 2, . . ., А) и имеют относительно этих
переменных степень А; наконец, L=, f.;.i и Mt, s+i—сходящиеся ряды
по степеням переменных рг, р2, . .., рп, qlf q2, ..., qn, начинаю-
щиеся с членов порядка не ниже, чем Для общности
дальнейших рассуждений мы можем предположить, что коэф-
фициенты этих рядов суть функции, периодические относительно
t и имеющие период т. Этим обобщением мы воспользуемся в
следующей главе.
Введём теперь следующее определение.
Определение. Начало координат есть точка полной
устойчивости по Биркгофу для системы уравнений
^ = Х{(ж1, ж2, .. ., xtn, t) (i= 1, 2, . .., 2п),
где правые части — степенные ряды по без свободных членов,
€ постоянными коэффициентами при линейных членах, а коэф-
фициенты при прочих членах могут быть периодическими функ-
циями от t периода -с, причём корни + Aj (i — 1, 2, . .., п) харак-
теристического уравнения являются чисто мнимыми, если, для
любых заданных иь > 0 и натурального s, координаты Xi (если
полином Pf(xlt хг, . .., xzn. t) с наименьшей степенью / и коэф-
фициентами периодическими периода т) могут быть аппрокси-
мированы тригонометрическими суммами вида
Д'
2 Mi cos ф Вг-sin Zji), ! It — 1,\> I > 0, Zo = 0
i=l
с ошибкою меньшею, чем МифЛ (или. соответственно, Muf+s+l)
в течение промежутка времени t — t0\</T, где Т =	 Числа
"о 1
N и М зависят только от s (и от Р^); п0 есть расстояние началь-
ной точки (+10, ж20, . . ., ж2п.„) от начала.
372
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Этот тип устойчивости можно также назвать тригоно-
метрической устойчивостью. Так как написанные три-
гонометрические суммы являются квазипериодическими функ-
циями от t, то данное определение выражает тот факт, что
координаты Xi, как функции времени (а также полиномы от
координат) могут быть аппроксимированы квазипериодическими
функциями, причём погрешность для малых начальных значений
может быть сделана порядка произвольно высокого (относи-
тельно начального расстояния) в течение промежутка времени
1
того же порядка относительно —.
и0
Докажем теперь теорему.
Те о р е м а. Если для гамильтоновой системы все корни
± Д-(Im Xj > 0, 7 = 1,2, ..., п) характеристического уравнения
чисто мнимые и между числами к/ нет линейных соотношений
с целыми коэффициентами Qa также между и всли
Pf зависит от то начало координат будет тригономе-
трически устойчивой точкой.
Пусть дана гамильтонова система
= (i=l 2 ... n)
dt dyb ’ dt dxt '	’ ’	’ '
п пусть у неё все корни ± X, характеристического уравнения
чисто мнимые (Im X, > 0) и между числами X, нет линейных
соотношений с целыми коэффициентами. Пусть s — любое нату-
ральное число. Проводим нормализацию нашей системы до
порядка s, получим систему
dpi_ n i Г
dt —
— -—а-+М- <
dt ~
(i — 1, 2, . .., п),

(2)
где •Ki = piqivi Li,s+\, Mi, s+i— ряды, начинающиеся с членов по-
рядка s-j-l по отношению к р, и q^.
Положим
п
Сопряжённые координаты
Р/ и д;-
§ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО БИРКГОФУ
173
являются комплексными сопряжёнными величинами для дей-
ствительных переменных ж;и (i = l, 2, ..., п), так что и2 есть
положительная величина. Следовательно, если функцию и выра-
зить через первоначальные координаты жх, а*2,..., хп, у1} у2,... ,уп,
то она изобразится степенным рядом, начинающимся с опреде-
лённой квадратичной формы, т. е.
п
а* = 2 ар. (i) xjxk,
причём в некоторой достаточно малой окрестности начала коор-
динат будем иметь:
K>k>Q.
/=1 /=1
Итак, и есть величина того же порядка, что и расстояние точки
до начала координат. Пусть задана окрестность начала коорди-
нат и < п0. Выбираем такое М, чтобы было
\Li, s+i | <Mus+1
я
I Mi, s+i | < Mus~i1 (i = 1, 2, ..., n),
если движущаяся точка находится *в этой окрестности начала.
Умножим теперь (для каждого г = 1,2,	первое урав-
нение приведённой системы (2) на qi, а второе уравнение этой
системы на и сложим; имеем
— qiLi, s+1 “Г PiMг, s+1.
Отсюда
<2Mws+2
I dt |
и следовательно:
\u~[<nM»s-2.
I at f
Отсюда при n > 0 следует
Интегрируя, получим
। 1	11
4 — -,\<nsM t — t,
|«g М» |	1
174
ГЛ. II. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Оценим снизу тот интервал времени, в течение которого
а может измениться от и0 до 2и0. Для такого t мы имеем
I J 'С ns^ I — С I,
К8 2м<0®| '	01 ’
1
п так как s > 1, то —< nsM 11 —10' и, Следовательно, если
2г£0
, . , , . 1
I « — го । < s > т0 начальное расстояние не может увеличиться
вдвое.
В течение этого промежутка времени будет иметь место
неравенство:
|JI<2stWw0s+2;
отсюда, интегрируя, получим:
ki - 4°’ I < 2£+8Ми08+2 11 - te I	(£ = 1,2, ..../г)
и, следовательно,
; < П ‘ 2S"MPa"2 Р - *0 I’- (А)
1	"‘i	i-1
для к и тг0 достаточно малых, где Р — константа, характери-
зующая максимум модуля вторых производных функций И в рас-
сматриваемой окрестности начала координат и //"*’ = Н (р?\ дч0>)-
С другой стороны, мы уже имели оценки для
и	<в>
Эти величины в изучаемой окрестности меньше, чем
28+1Ли08+1.
Комбинируя неравенства (А) и (В), получим, что
IdPi , дНт | ldqi дЕ^ I •	. о
I dt + дт^(о)Pi | 11 I dt	для 1~
будут меньше, чем 28+1/lfw08+1 + 2stinMPu^s 1t — t01, так как за
указанный промежуток времени \pi |< 2п0 и [?;|<2гг0.
Ясно, что —= есть чисто мнимая константа. В самом деле,
Лг-
если р- и q-. поменять местами и функцию Н заменить функ-
цией, ей сопряжённой, то тогда уравнения (2) не изменятся.
Следовательно, сопряжённая величина Н совпадает с —Н,
т. е. Н чисто мнимое.
6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ВИРКГОФУ
Обозначая теперь (о) через у(- и учитывая, что j | = 1,
получаем, что последние неравенства эквивалентны таким:
|^(рге^)( и |^(г;е-^)|<28+1Ми08+1 + 2"4пМРи/+г1«-/0|.
Интегрируя эти неравенства получим

< 2”Ч1и**г11 — to 14- 2™nMPu“a H — M 2.
i
До сих пор 11 — t | было ограничено величиною -—.
г ’	* , v ।	x	тем it Q
Сузим этот промежуток (для малых w0), ограничив интервал
изменения t неравенством
I*-h 1 <
1
Тогда полученная оценка даёт
±+г
|р,.—	и |?;-^'0)e-n(t-M|<28tWii()3+2s+3nMw03 .
Но в силу произвола s мы можем вместо снова писать s
и имеем оценку:
4
р£—и гг-^0>е-^(г-{»>|<С1г08^для|г-г0[<—t ,
где С — некоторая константа и i = 1, 2, ..., п.
Так как при нормализации координаты жг и г/, выражались,
через новые переменные р; и q-L при помощи рядов, содержащих
члены 1-го порядка, то, обрывая эти ряды членами s-ro порядка
и заменяя в полученных многочленах ptT&qt через р'Де'*'»0-М
и ^pe-TiO-k), мы аппроксимируем координаты, с точностью до-
величины порядка w08+1, тригонометрическими полиномами. Заме-
чая, что у,; — чисто мнимые константы и обозначая их через
у. == |,/—!•«-,, получим аппроксимирующие полиномы искомого-
вида:
Ао 4- 2 (Лг cos l{ 14- Bi sin h i),
i=l
n
где 1-, —
fe=l
только от s.
n
целые, 2	так что N зависит-
k=i
376
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Если вместо координат x-L рассмотреть полином.?/ (хл,х2,.. .,хп, t),
начинающийся с членов порядка /, то аналогично получим'
приближение его порядка / +	относительно и0 при помощи
тригонометрического полинома, где в состав 1;, кроме р/{, может
войти с целым коэффициентом число .
Наконец, так как	и при те!0> = я‘°’ = ... — -'0> = О,
дН
= а все Х; различны и между ними нет линейных соот-
нг
ношений, то для достаточно малого uQ выполняются условия
|4- — где I зависит от N, следовательно, от s. Теорема
доказана.
Покажем, наконец, что тригонометрическая устойчивость
системы не зависит от выбора системы координат, более того:
тригонометрическая устойчивость есть инвариант аналитического
преобразования. Пусть
х1~Ъ{хт., хг>   •> хп> t} (z = 1, 2, ..., п; п = 2т)
есть аналитическое преобразование, для которого функции о,-
являются периодическими по t, с одним и тем же периодом;
сверх того эти функции равны нулю в начале координат, причём
детерминант ||^~|| отличен от нуля. Из условия аналитичности
преобразования и неравенства детерминанта нулю следует, что
если
_ А	1
ч = [х} + х22+ ... +^]Ч; и = [х2 + х2*+ ... +я£]2|,
то существуют две константы d и D такие, что
О < tZ < — <jD<4-oo
и
в фиксированной окрестности: и < и0 начала координат. Поэтому
и и и и одинаково могут служить величинами, измеряющими
расстояние движущейся точки от начала координат.
Рассмотрим теперь некоторый полином P(xv x2,...,xn,t)
с наинизшими членами порядка / и с коэффициентами периоди-
ческими по t периода т. Напишем этот полином в следующей
форме:
jPf (жп , хп, t) = Р* (хл, xz, ..., хп, t) + Q(xlt хг, ...,хп, €},
где Р* имеет наинизший по степени член порядка /, a Q есть
ряд, начинающийся с членов /-)-«+1 порядка. Как полином ?*,
g 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО БИРКГОФУ
17 7
так и полином Q могут быть представлены тригонометрической
суммой нужного нам типа, с ошибкой порядка /4-54-1 по отно-
шению к иа. Отсюда вытекает, что Pf(xltxz, ...,хп, t) допускает
представление тригонометрической суммой требуемого типа с ошиб-
кой порядка /4-s4-l по отношению к и0, а следовательно, и по
отношению к и порядок ошибки будет тот же.
Заметим, что гамильтоновский характер уравнений существе-
нен для справедливости теоремы. Так, например, в системе
^ = ky + x{x3^-yz),	-кхД-у(х3Д-у3),
хотя её характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых
корней, однако, её решения не удовлетворяют условию тригоно-
метрической устойчивости. В самом деле, умножая уравнения
соответственно на х и у и складывая, обозначая далее х3 -\-у3 = г3,
мы получим:
отсюда, интегрируя, находим:
Если мы подсчитаем интервал времени, за который началь-
ное расстояние г0 не успеет удвоиться, то получим 11 — te | < Т,
где Т определится из равенства
т. е.
Т—
1	16 г* >
между тем для вышеизложенных оценок было достаточно (и необ-
ходимо), чтобы Т было порядка где s—сколь угодно боль-
го
шое число.
Исследуя этот вопрос подробнее, Биркгоф приходит к сле-
дующей теореме.
Теорема. Для того чтобы динамическая система с ана-
литической правой частью была тригонометрически устойчивой
в начале координат, необходимо и достаточно, чтобы с по-
мощью формального аналитического преобразования эту систему
можно было привести к виду
%-Нп,	(<-1.2,...,»),
Немыцкий и Степанов
12
178
ГЛ. И. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
где —чисто мнимые степенные ряды по переменным gf и тк:
п
Мг = х{ —2^"»]/+ •• •	(i = l, 2, .. ,,п)
j-i
и Ь, — сопряжённые пары переменных.
Доказательство этого положения читатель может найти
в книге Биркгофа «Динамические системы».
Подведём некоторые итоги.
Тригонометрические полиномы приближали функции, описы-
вающие движения, с точностью до величин порядка в тече-
ние интервала порядка —. Конечно, при уменьшении ие длина
м0
временного интервала увеличивается. Но главное значение тео-
ремы в том, что, выбирая достаточно большое к, мы одновременно
увеличиваем (при малых и0) и Степень приближения и протя-
жённость временного интервала, конечно, за счёт увеличения
числа членов тригонометрического полинома.
ГЛАВА III
ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ В ОКРЕСТНОСТИ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи
Пусть дана система
S = Ом Уг> •  • ’ у™) (j = 1, 2....« + 1). (О
и пусть = (i = 1,2, ...» n-'p!) есть периодическое реше-
ние, следовательно, его траекторией является некоторая замкну-
тая кривая. Обозначим через ш период движения, т. е.
+ <о) = <рг(t) (i = l, 2, п + 1).
Для случая плоскости все траектории в достаточно малой
окрестности периодического движения могут быть: либо тоже
периодическими; либо спиралями, наматывающимися на замкну-
тую траекторию своим концом; либо, наконец, окрестность
периодического движения заполнена периодическими траекто-
риями, между которыми могут быть спирали, наматывающиеся
одним концом на одну замкнутую кривую, а другим—на другую.
Для случая пространства структура окрестности периодического
движения может быть много сложней. Создатели современной
качественной теории Пуанкаре, Ляпунов и Биркгоф посвятили
изучению окрестности периодического движения многочисленные
работы.
Прежде всего необходимо выделить тот основной случай,
когда структура окрестности периодического движения опреде-
ляется характером линейных членов. Для этого наложим некото-
рые ограничения па правые части системы уравнений (1). Поло-
жим, что:
1) функции Д (ylt у2, ..., yn+1) (I = 1,2.п + 1) непрерывны
и имеют частные производные до второго порядка включительно
по всем своим аргументам в некоторой окрестности G кривой
2,..., n-4-l);
«2*
380	гл. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
2) на самой кривой эти частные производные непрерывны.
Кроме этого, конечно, следует предположить, что для точек
кривой у,= <р( (t) (i = 1, 2,. .., и +1) функция 2 ЩУ1> У» ••>Уп^
i= 1
не обращается в 0 (а следовательно, она не равна 0 и в неко-
торой окрестности этой кривой). Если бы этого условия не соблю-
далось, то на нашей кривой была бы особая точка, а следова-
тельно, система функций yt = <рг (0 (i — 1, 2, ..., п +1) не была бы
периодическим решением. Совокупность этих условий назовём
условиями (А).
Примем за параметр вместо t длину дуги s. Тогда имеем
(js а (.У1> У2’ •   > Уп-п)
1____?г(У1, Уг,---, Уп~
т. е.
dyi _ Уг,
У2’	(2)
ds //2+/!+••• +А.1 k ’
(г- 1, 2, .. .,пф-1).
п+1
Так как 2 /;¥=0 на самой кривой и в её окрестности, то в этой
г=1
окрестности не появится никаких новых особенностей, а изме-
нится лишь режим скоростей на траекториях системы.
Проведём в каждой точке кривой yi = <pi (t) = <э, (s) (г = 1, 2,...
...,п + 1) нормальную гиперплоскость п измерений. Так как
{2/2 = ^ (2)} есть решение системы, и согласно условиям (А) функ-
ции (t) (i ~ 1, 2, ..., п -j-1) допускают непрерывные частные
производные второго порядка, то кривая имеет непрерывно ме-
няющийся радиус кривизны р, где
= _____J_____=,______1------1) .
«4-1	__ *
2	2 ©о*
i=l	i=l
Из последнего равенства видно, что р всюду превосходит не-
которую независящую от s положительную константу. Раз это
так, то можно взять столь малую окрестность периодического дви-
жения, что каковы бы ни были геометрически различные точки
Aj и 52 данного периодического движения, те связные компо-
ненты пересечений этой окрестности с нормальными гиперплос-
г) См., например, Бляшке «Дифференциальная геометрия», ГОНТИ
(1936), стр. 29.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

костями проведёнными в точках S\ и Sz, которые содержат их,
не будут иметь общих точек х).
Введём теперь новую систему координат в этой окрестности.
Проведём в каждой нормальной гиперплоскости п взаимно пер-
пендикулярных осей, принимая за начало координат точку на
периодической кривой. Эти оси мы обозначим через: 0sxlt0sx2t... ,
Osxn. Примем теперь за новые координаты: циклическую коор-
динату s, которая может меняться от — со до -J- со и п коор-
динат xlf х2, ..хп, по отношению к проведённым нами осям.
Тогда каждой точке окрестности будет соответствовать бесконеч-
ное множество значений s и однозначно определённые коорди-
наты хг, ж2, ..., хп.
Так как функции <pj(s) (г = 1,2, . ..,n-f-l) имеют непрерыв-
ные производные второго порядка, то = <рг (s) (i = 1,2,..., п 1)
есть кривая с непрерывно вращающейся касательной, а тогда
п
Ms)a7+'Ms)	•••,«+!),
j=i
где функции фг (s) (t — 1,2, ..., n-J-1; / = 1,2, ..., п) имеют
непрерывные производные по s. При этом, если 6<(s) обозначим
символами п+1, то детерминант
|Ь{а|=± 1 (г = 1, 2, . ..,п+ 1, & = 1, 2,..., n-f-1),
так как замена координат ортогональная в каждой точке.
Произведём теперь соответствующую замену переменных в
системе (2). Имеем
п	п
2 («)2 bi>	хг' ®)
j-i	j=i
(i = 1,2, ..., п -J- 1).
Функции fi (х1г xs, .. ., xn; s') будут непрерывными периодичес-
кими функциями от s периода е>.
Записывая полученную систему уравнений в форме
п	п
2 (s) 5? +	* (®) fs	(i = 1,2, ..., п + 1)
J-i	7=1
1) При этом, очевидно, можно добиться того, чтобы каждая точка
окрестноети принадлежала бы одной, а следовательно, и только одной,
такой связной компоненте.
182
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
и имея в виду, что детерминант] Ь,ь[= 1, ± получим:
, d:c-i_
d s
_	п+1
bn(s) ••• А —•••fei,n+i(s)
7=1
_ тН-1
. - - /2 —..»4n+l(S)
п+1
Ьп+1,1 ($)	• • • / п+1 — 2; ^п+1,т(У) Ж/ . . . Ьп^4>п_: l(s)
/=1
(1=1, 2, ..., 7?)
Обозначим детерминант, стоящий в правой части, через
Fi (xlt xz,..., хп; s'). Так как функции /, (£ = 1,2, . .., п -ф ^непре-
рывны и имеют непрерывные производные по переменным х17 хг,. ..
хп, то функции Fi(i = 1, 2, ..., п), очевидно, также обла-
дают этим свойством. Следовательно, функции F, имеют’ по пе-
ременным xlt х2,...,хп полный дифференциал в смысле Штоль-
ца. В силу того, чтож1 = жг = ... = жп = 0 есть решение системы,
то Fi (0,0, ... , 0; s) — 0 (£ = 1,2,..., п); поэтому F; могут быть
представлены в следующем виде:
Fi (xt хг, ..., хп; s) = 2 аИ (s) xi + lji (xi> хг, xn, «),
i=l
где Oi(x1,xs, ... ,xn; s) таковы, что для малых значений пере-
менных ж$(£ = 1,2, .. ., п) имеют место неравенства:
| Sj (Х1,	’ ’ • > ХП> ®) I S (I Х1 | "Г I Х2 I ~Ь • • • "Ь I ХП |) (^'	2, • • • , 1^) ,
где е—произвольно малое положительное число и не зависит от s.
Итак, изучение поведения решения вблизи периодического
решения мы привели к задаче изучения поведения решений
системы
+bi(.xi>x2,	(£==1,2, ...,п), (3)
7=1
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
183
в окрестности особой точки, находящейся в начале координат.
Причём здесь ац и — периодические функции от s.
Решения этой системы следует писать в форме
Xi==<t>i(S,So) (»=1,2,
При s0 фиксированном мы получим интегральную кривую, кото-
рая будет являться «проекцией» кривой в пространстве локаль-
ных координат, на сечение окрестности периодического решения
жг=0, ж2 = 0,..., «„==0. Поэтому, конечно, только те свойства
интегральных кривых, которые сохраняются при такого рода
проектировании, мы сможем открыть, изучая интегральные кри-
вые преобразованного уравнения.
Разделим всевозможные интегральные кривые в окрестности
периодического движения на несколько классов: замкнутые;
асимптотические — такие кривые, которые при неограниченном
продолжении в одну сторону имеют своими предельными точками
только точки периодического решения, а при продолжении в дру-
гую сторону выходят в конечное время из изучаемой окрестно-
сти; двояко-асимптотические, а и w-предельные точки которых
лежат на периодическом движении; устойчивые по Лагранжу
в одну сторону, т. е. такие, что или а или w-предельные мно-
жества для этих кривых лежат в некоторой ограниченной ок-
рестности периодического движения; устойчивые по Лагранжу
в обоих направлениях; наконец, седловые, кривые которых вы-
ходят из заданной окрестности при продолжении их как в по-
ложительную, так и в отрицательную сторону. Очевидно, что
свойство кривой принадлежать к одному из этих классов сохра-
няется при указанного типа проектировании. Мы ограничимся
для интегральных кривых, лежащих в окрестности данного перио-
дического движения, изучением только этих свойств.
Уравнения в вариациях.
В дальнешйем мы будем независимые переменные в систе-
мах вида (3) снова обозначать буквой t. Сделаем теперь следу-
ющее замечание.
Если Fi (xv x2, ..., sn; i) = 2 aH(t) + 6i • • • »	0
(t = l, 2, ... , n) суть аналитические функции переменных
х2, ..., хп, t, то очевидно ао(0 = (^)	2> • • • > п)>
a Of (а?!, х2, ..., хп; t) (i = 1, 2, ..., п) — степенные ряды, начи-
нающиеся с членов не ниже второго порядка относительно пе-
ременных: хх, х2,..., хп. Тогда изучаемая система (3) перейдёт
8 s
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
в систему
dt 4^9^+ (/<?< )Л+'" i <йг„)0Жп ' 6г(ж1^2, • • •> «n; t)
(i = 1, 2, ...,n).
Линейная система
называется системой уравнений в вариациях для системы (3')..
Это название оправдывается следующим методом её получе-
ния. Пусть »i = <pi(i) (j=l,2, . .., ??) есть заданное периодичес-
кое решение системы (3):
п
®О’ (0 Т" (^17 -^2> • ' • > ^П, О ~~	(®1> “^2’ • • • 1 ^n>
1=1
(7 = 1,2, . . .,11).
Сделаем замену переменных
=	+ «	(i=l,2, ...,п),
где функции ?j (i) (вообще говоря, малые по абсолютной величи-
не) назовём вариациями функций х,. Тогда имеем
J ~ J? + Fi & +	' • • ’ - +	'° (1 = 1,2,..., н)-,
или, так как
?2> •• - >?пД)>
то
• • • +^7?n+ *iG1’?2’ ‘1 ”t} (A)
(i = 1,2, .. •, n),
где фг—ряды, начинающиеся с членов 2-го порядка относитель-
но переменных q, с2, ...,сп. Отбрасывая члены с высшими сте-
пенями малых величин мы и получаем уравнения в вариа-
циях.
Дадим второй вывод уравнений в вариациях, который по-
зволит доказать ряд теорем.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
а 85
Пусть рассматриваемое движение ®s = 'fi(O (i — 1, 2, ..., п)
заключено в однопараметрическое семейство решений
X: = ф,- ft, р) (г = 1, 2, ... , и) так, что при р = р0 имеем
Gift, р0) = ©,- (£). Тождества
?n,t)	(£ = 1,2, .. .,п)
дифференцируем по р и в результате полагаем р = р0. Обозна-
чая ( ^0	==«	(£ = 1, 2, получим:
V	J р.=“Цо
т. о. как раз уравнения в вариациях.
Докажем теорему: Если Ф (хг, ж2, ...,жп)==С' есть интеграл
системы первоначальных (нелинейных) уравнений, то с
52 +  • • rm~ cn = const. есть интеграл системы уравнений
О.',’2С	»-'я0
о	ЗФ
в вариациях. Здесь символы — показывают, что в соответствую-
щей
щие производные нужно подставить вариируемое решение.
Для доказательства заметим, что поскольку xi — ф, (t, р) (i —
= 1,2, ..., п) при любом р есть решение нелинейной системы,
то мы имеем тождество
Ф (?1> ?2>
i ?п) = С(р),
где в силу определения интеграла правая часть не зависит от
t, но, очевидно, является функцией огр. Дифференцируя это то-
ждество по р и подставляя р = р0, мы получаем тождество:
ГйФ >	? , ДдФЛ £ _i_	, (дФ"\ е =Г>
7xi=<pj (О м 1 <5гсг ) Xi^et (t)~'z 1	‘ \дхп J xi^Oi (t) -п
где С — постоянная, что и требовалось доказать.
Следующее замечание является следствием определения.
Пусть заданная система уравнений имеет систему решений,
зависящих от нескольких параметров
Х1 = 91 (г; hi> Л2’ •> kp)>	= ht, h„, ...,hp), ...
• • • ,Жп=9л(г;	• • •> kp)>
причём исследуемое периодическое решение получается при h, =
.... — hp = 0, т. е. ®,- (0, 0, ..., 0;-t) = уг ft) (i — 2, .... п).
186
ГЛ. Ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
(dtCi'X
I 1 обозначает,
\dhjJ о
Здесь символ
водной мы полагаем = /?3 =
Тогда уравнения в вариациях имеют р частных решений;
.-•^“(41 (^=1.2..... Р).
что в соответствующей произ-
^йр = 0.
§ 2. Изучение линейной системы
Предположим сначала, что в системе (3) предыдущего пара-
графа, где переменное s заменено на переменное t, функции
4; («j, жа, ..., жп; t) (i == 1, 2, ..., п) равны нулю; тогда рассматри-
ваемая система уравнений перейдёт в линейную:
п -
(j=i, 2,.(1)
л==1
где «ife(Z) (i = l, 2, .... и; 7« = 1, ’2, ..., n)— периодические функ-
ции одного и того же периода со.
Изучим прежде всего качественную картину решений этой
системы. Пусть п решений
x-ik^iidtb ^k = xik(t); xnk = xak(t) Jc = 1, 2,..n)
образуют фундаментальную систему решений; в таком случае
функции:
®ib = ^1J.(?4-<o); ж2Л = ж2?<(^ + «)), .... жп7; = гпЬ(г + ш)
(Jt = 1,2, .... п),
образуют также фундаментальную систему, и, следовательно, ре-
шения Xik представляют, собой линейные комбинации решений
с детерминантом, отличным от нуля.
Пусть
(« + “) =	(7) + fe12zia (7) 4- ... + binxin (t),
xiz (7 + <o) = Ь21ж71 (i),+ b22xis(t) 4- .. • +	(t),
xin (J 4- “) = bnixH (t) 4- bn,.xi2 (t) 4-... 4- bnnxin (t),
(7=1,2,
тде bik | = 0.
Рассмотрим характеристическое уравнение этой подстановки
I Ь1г s Ь12	. .. Ъ1п	|
Р / ч 1^21	^22 S...b2n	i
bni bn2 ... Ъпп s
§ 2. ИЗУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
187
Допустим сначала, что соответствующая характеристическая
матрица имеет лишь простые элементарные делители
S 81У S 8g, . . ., 8	8П,
где 81( s2, sn —корни характеристического уравнения; тог-
да существует неособенная линейная подстановка, приводящая
характеристическую матрицу к диагональной форме
IlSt-8 0	... О I
•'О	8, — 8 ... О
1	I
il	О 0	. . . Sn — 8
Следовательно, найдётся фундаментальная система решений
PM,	F„7;(i)	(&=1,2, ...,«)
такая, что
Рfl Т ®) = S^Pii (t)’
Ргг [t + w) — SZF
Рin (^4'0)) — snFin (t)’
Положим теперь s, = егаг» (г — 1, 2, .. ., п) х).
«ог.
ж) Заметим, что равенство я,—е » всегда определяет некоторое зна-
чение г,, ибо корни ^характеристического уравнения не могут равняться
нулю, так как определитель | Ъц | не обращается в нуль. Числа г* опре-
<ог.
.Являются не однозначно, так как из равенства Sj = e 1 имеем:
I'-1	<»=».±’.±2..)•
Отметим некоторые частные случаи. Если я;.—-действительное и по-
ложительное число, то мы можем г, тоже считать действительным чис-
лом, причём г'1 будет положительным или отрицательным в зависимости
от того, будет ли s.; > 1 или s, < 1. Вообще, если мы хотим, чтобы число
Г1 имело положительную действительную часть, нам достаточно предпо-
ложить, что | Sj | > 1, а для того, чтобы имело отрицательную действи-
тельную часть, достаточно потребовать, чтобы | sj < 1. Наконец, действи-
тельная часть числа r.-L будет равна 0, если |«,| = 1. В этом последнем
случае г; = - Sl~|~^п,'‘ — 1 (п — 0, +1, 2,.). В частности, если
2п~ -----
корень sL характеристического уравнения равен 4-1, то ri = " V — 1
(тг=О, +1 + 2 . .. ) и мы можем положить его равным нулю; если
(2п 4-1) т. ,-----------------------------------------------------------
корень s-, характеристического уравнения равен —1, то г.;-—------у —1
(тг = 0, + 1, ± 2, ... ), так что г, ф 0.
188 ГЛ. П1. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Пользуясь этими обозначениями, мы можем представить
функции Filt F;i> ..Fin в следующем виде:
Fa (0 = еГ1<<?л (0 = S “ ?,-1
Fiz (С	^9, 2 (Z) = 8 “ ©i2 (i),	(2),
Рщ (0 = еГ!1Ч п (0 = ?.-n W,
где ?£1 (*), ¥<г (О,   •, ?;п (0 (г- = 1, 2, ..., п) — периодические функ-
ции от t с периодом со.
В самом деле, с одной стороны, должно быть:
Fц (t -f- со) = ет№+г>&ц (i - j- со) =	(t -f- со) =sJ-er?'p2j.(i -j- w);
с другой стороны, имеем:
Fij (t + <в) = SjFij (г) = Sje^i^t).
Следовательно,
(j = 1, 2, ...,/z).
Если теперь допустить, что характеристическая матрица имеет
элементарные делители
(s —sx)m, (s —s2)P2, ..., (s-s^k G4 + P-2+ • • • +Н. = «),
то её можно привести к канонической форме
	0 . . .	0		8 — 8г-	0	0 .	. 0	0
0	M J . . .	0		1	8 — sz-	0 .	. 0	0
			1		, где M[ =	0	1	s — sz.	. 0	0
0	0 . , .	\m\		0	0	0 .	. 1	8—8
(j = l, 2, ...,Л),
а следовательно, можно найти каноническую фундаментальную»
систему, распадающуюся на к групп:
[Лв1 w, Fi.2 (t), .... Fiava (i)]	(7. = 1, 2, ..., к- i = 1, 2, . .., и).
Для каждой из этих групп при замене t на i-}-® имеют место
равенства
Fiaz {t + ®) = SaFja2 (£) -f- Fiat (£),
F'^ + ю)= spP^y} + F'^-i
§ 2. ИЗУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
48Э
Найдём аналитическую форму этой канонической фундамен-
тальной системы. Введём следующие обозначения:
«.W-“ . Ч. («)-Цра, • • , й«-,
Определённые таким образом функции gq(t) удовлетворяют сле-
дующим рекуррентным соотношениям (разностным уравнениям):
gl («-+-<») = g't («) 4-1,
g2 (? + <u) = g2(0 + g1 W>
gq (« + <«) = gq (*) + gq^
Пользуясь этими свойствами функций g5(Z), легко проверить
^следующее представление решения:
Fiai(Z)=.e=«« ?р«)(«),
(i) - сгк{ Г G)+4 a) W &+4 (О 1 ,
L	6a	&	J
.................................  -	• • .......................  (3)
(0=с'Га( [ ?£а) w+т„	1 & М*)+”-
где — периодические функции периода ш, (i=l, 2, ... ,п~
у = 1, 2, ..., р^—1; a = 1, 2, .. ., к).
В самом деле, предполагая их периодическими, имеем:
Fiai (t + ®) = er“teo’’«©(ia) (« + «>) = e^Sa^) (Z) = 8яГгя1 (г);
+ ®) =	[ ?(2ia) (0 +	(О + ] =
= sae^ [ ?(«) (г)+4 W ?iia) (0 ] + cratr-?(iia) W =
= saFi!X2(O + ^’i«1(f) и т- Д’
Заметим, что многочлен gm-i (0 получается как конечная
разность многочлена gm (i), а именно gm_± (i) = &gm(t) =
190
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
со)—g’m(i). Отсюда формулы (3) могут быть записаны
в более сжатом виде. Пусть
— eratPia (г) (i — 1, 2, . .п- а — 1, 2, ..., к),
где РгЯ есть многочлен степени ра— 1 от t с периодическими
коэффициентами. Условимся символом А обозначать взятие раз-
ности от такого полинома (мы будем считать, что разность
берётся только от степеней t, а коэффициенты рассматриваются
как постоянные). Тогда мы имеем:
Pi*^ = ^Pia(t),
Fi^er^~^Pia\t),
Fi^e^^P^t).
Как известно, конечные разности иг-го порядка от полинома
выражаются через линейную комбинацию производных полинома,
начиная с m-го порядка и обратно, m-ая производная выра-
жается линейно через разности порядка т и выше, причём
коэффициенты в этой зависимости зависят только от степени
многочлена (и от шага разности со) и не зависят от его коэф-
фициентов *).
На основании этой теоремы мы можем таблицу (3) фунда-
ментальных решений заменить новой таблицей, где вместо после-
’) В самом деле, пусть Р (ж) — многочлен степени п. Имеем по фор-
муле Тейлора
ДР (х) = р (Х + «>) - Р (х) = ир' (х) +	Р” (х) + . . . + Р<Р> (х).
Далее, применяя операцию А к обеим частям, получим
А2Р (х) = е>*Р" lx) +	~ -0 Р'" (х) + ...
- •+ -[ 7^,У + 4	+  • • + 7^1). ] ” «=
аналогично
{х)+ ...
Д”Р (ж) = wnP(n) (ж).
Иг этих соотношений легко выразить последовательно
Р(!5)(ж), р<”-1)(ж),...
через Д»Р(®), Дк“1Р(ж), ... Наше утверждение доказана
§ 2. ИЗУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
191
довательных разностей некоторого полинома от t степени ра—1
(с коэффициентами являющимися периодическими функциями
периода w) входят производные от этого полинома (причём при
дифференцировании коэффициенты рассматриваются, как посто-
янные). Итак, обозначая такие производные символом D, мы
получаем новую фундаментальную систему

или записывая многочлен Pw(t) в развёрнутом виде:
F^=eral	1	^р.а~2 (На—1)! Апап-1 I (К—2)!
	(но-2)!	1 (Ио—3)!	+ •   +	(0
Fiai — erat Pia^a_ J (О
(a — 1, 2, ..., k- [J.J p2 -}- . • 	= n‘ i — 1, 2, ..., n),
где рг-<^(у==О,1,.ps_i) —периодические функции периода w.
Так как корни характеристического уравнения суть ин-
варианты линейных подстановок с постоянными коэффициентами,
то они, а следовательно, и числа гя, г2,..., гА., не будут зависеть-
от выбора фундаментальной системы, и мы будем их называть.
характеристическими показателями дляданной системы, с перио-
дическими коэффициентами, или, исходя из представления о том,
что решения данной системы характеризуют поведение интеграль-
ных кривых в окрестности данного периодического движения ха-
рактеристическими показателями данного периодического движе-
ния. При качественной характеристике решений мы будем исходить
из этого же представления.
Прежде всего заметим, что ни один характеристический пока-
затель не может быть равен нулю, так как детерминант подстановки,
не может равняться нулю. Возможные случаи разобьём на те же
классы, как и для случая уравнений, с постоянными коэф-
фициентами.
Итак, пусть дано периодическое решение С и её самонепе-
ресекающаяся торообразная окрестность U. Тогда возможны сле-
дующие 4 случая.
1-й случай. Периодическое решение—асимптотически устой-
чиво или, как мы будем говорить, представляет собой предельный

Гл. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
цикл. В этом случае кривая С является a-предельным множест-
вом ((«-предельным множеством) для каждой из интегральных
кривых начинающейся в окрестности U кривой С. Если исследуе-
мая система состоит только из двух уравнений, то подобную струк-
туру окрестности называют параболической. Для линейной си-
стемы периодическое решение будет асимптотически устойчивым,
если действительные части всех характеристических показателей
отличны от нуля и имеют одинаковые знаки.
2-й случай. Периодическое решете неустойчиво^ т. е. инте-
гральные кривые в окрестности U образуют седло. Здесь все инте-
гральные кривые, начинающиеся в точках окрестностиU кривой С,
кроме самой кривой и некоторой совокупности кривых, заполняю-
щих многообразие меньшего чем п числа измерений, седловые,
т. е. выходят из окрестности и при возрастающем и при убываю-
щем t. Если исследуемая система состоит из двух уравнений,
то подобную структуру окрестности называют гиперболической.
Для линейной системы периодическое решение будет неустойчи-
вым в одном из следующих двух подслучаев: 2а) существует по
меньшей мере одна пара характеристических показателей, имею-
щих действительные части различных знаков; 2Ъ) все характе-
ристические показатели чисто мнимые, но у характеристичес-
кой матрицы существуют элементарные делители выше первой
степени.
3-й случай. Периодическое решете устойчиво или периодиче-
ское решение представляет собой усложнённый предельный цикл.
Есе интегральные кривые, начинающиеся в некоторой окрестности
U', принадлежащей U, имеют или a-предельное множество или
«-предельное множество, заключающееся в U. Среди этих кри-
вых имеется семейство F кривых, замыкания которых принад-
лежат U. Интегральные кривые этого семейства состоят из а
или «-предельных точек кривых, не принадлежащих семейству F.
Для системы, состоящей из двух уравнений, подобное распо-
ложение кривых, а также то расположение, которое будет опи-
сано в следующем, четвёртом, случае, называется эллиптиче-
ским. Для линейной системы периодическое решение будет
усложнённым предельным циклом, если некоторое количество
характеристических показателей имеет действительные части,
равные нулю, а действительные части остальных характеристи-
ческих показателей одинакового знака.
4-й случай. Периодическое решение вполне устойчиво. За-
мыкание всех интегральных кривых, начинающихся в некото-
рой окрестности U' кривой С, принадлежащей окрестности U
принадлежит £7.»
Рассмотрим возможные расположения интегральных кри-
вых в 4-ом случае для линейной системы. Для этого разберём
два подслучая строения характеристической матрицы.
§ 3. МЕТОД ЛЯПУНОВА
193
Подслучай 4а). Все элементарные делители простые, и коэф-
фициенты при мнимых частях характеристических показателей
соизмеримы с <о —общим периодом коэффициентов системы (1).
Тогда фундаментальная система (1) заменится системой
=<p;-i{«)sinr;z,
Fit (0 =	(t) cos г'г (j = 1, 2,... ,n; 2p = n)
F'ip(t) = <э<р(0 sinr^i,
Pip = cosrpt,
где функции <p-,, (г j= 1, 2, ... n; / — 1, 2, ..., p) имеют период и.
Следовательно, все координаты будут периодическими функциями
от i, а сами интегральные кривые замкнутыми кривыми, окру-
жающими данные периодические решения.
Подслучай 46). Все элементарные делители простые, но не-
которое г} несоизмеримо с и. Тогда соответствующее решение:
—	(«) sinr/i,
F’h (0 = <р"/(0 cos r'/t, (i = 1, 2, ..., n)
будет представлять собой почти периодическую функцию по
Бору. Все кривые будут почти периодическими и будут распо-
лагаться на семействах друг в друга вложенных торов.
§ 3. Метод Ляпунова
Пусть дана линейная система:
п
t) (i==l, 2,	(1)
h=i
с переменными ограниченными коэффициентами:
|cit(0|<M, — оо	оо.
Введём следующее определение.
Систему (1) назовём приводимой системой, если существует
линейная подстановка
zs =	(0 Ъ + ?02 (0	. 4- qsn (t) xn	(2)
(8=1,2, . . .,72),
переводящая заданную систему в систему с постоянными коэф-
фициентами. От подстановки (2) мы будем требовать, чтобы
коэффициенты qsi (t) (s = 1, 2, ..., тг; / =-- 1, 2, .... п) и их произ-
водные q'sj(t) были непрерывными ограниченными функциями
Немыцкий и Степанов	13
194
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
от t и чтобы обратная величина определителю подстановки, т. е.
——была ограниченной функцией на всей числовой оси.
Докажем теперь основную теорему.
Теорема Ляпунова. Всякая линейная система (1) с пе-
риодическими периода ю коэффициентами aik{t) (i,k = 1, 2, .. ., п),
имеющими непрерывные производные, приводима, причём -коэф-
фициенты qsj (i) подстановки (2) (s, / = 1, 2, ..., п) мы можем
выбрать периодическими вещественными функциями.
Рассмотрим систему уравнений, присоединённую к данной,
именно:
п
(i = l,2,	(3)
h=l
Тогда, если
У11’ У21» • •  > Ут>
У12> У22’   Упъ’	(4^
У1П’ УчП’ •  •> Упп
есть фундаментальная система решений для присоединённой
системы, то функции
Ф1 (г) = Уи ^i + yti^+  •• + Ут хп,
9г (0 = У12 Х1 ~Ь У211 ‘З'а ~Ь ’ • • ~Ь Упп хп>
(0 == У in %i “F Ут -^2 ~Ь • • • ~Ь Упп хп s
будут образовывать п линейно независимых первых интегралов
данной системы. Это утверждение легко проверить, используя
необходимое и достаточное условие для первого интеграла:
dt	dxnJn~ U-
Присоединённая система уравнений есть тоже система с
периодическими коэффициентами. Если r1( rz,...,rn — характе-
ристические показатели системы (1), то —	— г2, •••, —гп, как
нетрудно убедиться, будут характеристическими показателями
системы (3), причём мы предполагаем, что в этом ряду чисел
каждый характеристический показатель встречается столько раз,
сколько элементарных делителей ему соответствует.
Каждому rs (8 = 1,2, ...,1с) можно поставить в соответствие
решение системы так, чтобы все эти решения были линейно
.§ 3. МЕТОД ЛЯПУНОВА
195
независимы, причём, если степень элементарного делителя, соот-
ветствующего рассматриваемому характеристическому показа-
телю— rS) есть то ему можно поставить в соответствие
решений.
Поэтому, если воспользоваться правилом составления инте-
гралов, о котором сказано выше, то для системы (3) получится
4 систем по интегралов. Первый из них имеет вид:
, 'а	о п
^-1 = С ’« ‘	2 Pi*v*~ 1 Xi + (p.s-2j! 2 Pis^-z (г) Xi +  '
i=l
i=^i
где Pisa{t) периодические функции; или, вводя новые перемен-
ные z£p как линейные комбинации от xi с периодическими
коэффици ентами:
п
= y^Pism(i)xi (т=0, 1, 2, .. .,р5--И),
4=1
можно написать этот интеграл в виде:
( il-'s 1	jV-s-2	>
= e~rs t !----------I---------------z(s) -4-... -4- z(s) >
‘•а-i	j (ц8—1)1 1	(n8—2)! 2 1	hs j
Следующие интегралы по правилу составления таблицы (IV)
получаются дифференцированием многочлена в фигурных скоб-
ках по t, причём рассматриваются как постоянные.
Итак, имеем первые интегралы {&£?} (пг=О, 1, 2, — , ps—1;
8=1, 2, ... , k). Число величин z равно Pi + p2+...=
Эти величины z примем за новые переменные, что возможно,
так как они линейно независимы.
Для> того, чтобы найти уравнения, которым удовлетворяют
переменные z, выпишем подробно одну группу интегралов.
Например, для 8 = 1 имеем:
<1>W — e~rit,
= [z|4 t + z(i)] e~rii,
«=V?' (gy,+(^1;
S3*
1%
ГЛ. ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
так как есть интеграл, то
dzp dtf> dzV> _ 0
йг '	!
т. е.
— гр)г, e~rii+ e-rif ~т—= 0, или
1	1	dt	dt
Итак, уравнение для функции имеет вид
^12=r ZG)
de 1 1 •
Далее,
д^1 + д$1dz™ _j_ ^12
dt dz^> dt ' dz^ dt
т. е.
— т\ e~rit [zp t z^>] + z(1'>e-rit 4~e -г^ t 4- e ri«-^—= 0;
отсюда

Проделывая аналогично дальнейшие вычисления, получим,
что группа неизвестных z^, z^, ..zV>, будет удовлетворять
системе, уравнений:
^ = r1z<1),
dt	11’
dt	12	1
dZ^L = Гг Z(1) — Z^d j.
dt 1 1X1
Для остальных групп неизвестных вычисления будут проте-
кать так же и, следовательно, в результате мы получим систему
уравнений с постоянными коэффициентами, уже приведённую
к канонической форме.
Теперь остаётся показать, что обратная величина детерми-
нанта, из коэффициентов найденного преобразования будет огра-
ничена. Чтобы это доказать, сошлёмся сначала на одну фор-
§ 3. МЕТОД ЛЯПУНОВА
467,
мулу из общей теории линейных уравнений. Именно, если через
Д (t) обозначить определитель фундаментальней системы (1), то
г п
f 2css <f>л
A(f) = 4(Je)etoS=1
отсюда
J4<o n	i-r<o п
$ 2<!ssC<)df	j 2°ss(Odf
Д(£4-«))=:Д(£0)е/0 S=1	= &(t)e 1 s=i
или, в силу периодичности коэффициентов ass, имеем:
со п
§ 2 °88^dt
A(f + o)) = A(Z)e° 8=1
Но так как определитель Д(г + 0)) есть произведение опреде-
лителя Д(0 на определитель подстановки ||6{/|| (см. § 2), то
^11 ^12
(-1)пл =
• • &in
• • Ьгп
со п
j 2
= е° 8=1
(В)
^П1 ^П2 • • • ^пп
где Ап есть произведение корней характеристического уравнения.
Пусть sv sg, ..., sn суть корни характеристического уравне-
ния (среди чисел s могут быть равные). Тогда si — evyri и, сле-
довательно
п
гг ==— LllSj, т. е. 2	=	(S1 S2 • •  sn)-
i=l
Отсюда, пользуясь написанной, выше формулой, имеем
1=^-1	0
где Лг — некоторое целое число.
Переходим теперь к сценке обратной величины —--------------- .
Прежде всего имеем
198
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Следовательно,
1____=I
Z)(...z<s)...)/ D{...xa...)
(m — 0,1,2,..., [j.s — 1; s= 1,2, .. .,k-, h + p2+ • • • +H: = n)-
Но так как
x- .712-1	-m— 2	x
TO ----------^е-СмиЛнгГа+.-.-Н!^) t или
ЛОЙ (6), получим
пользуясь форму-
D(..№...)	'
<0 n
J 2 ass (i) dt
0 s=l
t
Далее, если воспользоваться непосредственно равенствами (5)
определяющими интегралы то получим:
D (	)
ЖГ^ТУ = 11	11 = Д^о)-е
t п
j 2 °** wdt
О s=l
Следовательно, окончательно имеем:
<о n	tn
'u I 2 °ss (() df-J 2Css (i) dt)
------------= L (t) • e ° S=1	0 8=1
Л’ ~ C-l
где £—функция от t вида Се	и С—постоянная. Функция
п
2 ass (0 есть периодическая функция периода а тогда величина
со	n	tn
~ 5	5 ^iass(t)dt
О	s=l	0 s=l
остаётся ограниченной на всей бесконечной числовой оси:
— оо< t < 4- 00, что и доказывает наше утверждение.
§ й, МЕТОД ЛЯПУНОВА
ада
Этим теорема Ляпунова полностью доказана.
Сделаем теперь следующие замечания.
Замечание 1. Если заданная система
п
§ = 2 aihXk (* = 1,2,	, п)
h—i
есть система с постоянными коэффициентами, то характе-
ристические показатели суть корни характеристического
уравнения.
В самом деле, решения её имеют вид (3) из § 2, где функ-
ции <р (Z) с различными значками являются постоянными, a rs
суть корни характеристического уравнения.
Замечание 2. Подстановка с периодическими коэффициен-
тами, обратная величина определителя которой ограничена,
не меняет характеристических показателей.
В самом деле, пусть Д (t) есть матрица, составленная из
функций некоторой фундаментальной системы и пусть над этой
фундаментальной системой произведена подстановка, характе-
ризующаяся матрицей А (/), составленной из периодических
функций периода ю. Тогда, если матрицу, составленную из
функций новой фундаментальной системы, обозначить через
Д(г), то
Д(/)=Д(ОЛ(О	(7)
или, пользуясь существованием обратной к -4(f) подстановки,
имеем
Д(0 = Д(О4-1(«)-	(8)
Воспользуемся теперь равенством
A(i + ®) = BA(i),	(9)
где Б есть матрица, определяющая характеристические показа-
тели; из (9) и (8) получим:
Д (t -J- со) = 7?Д (/) A'1 (t).
Умножая обе части этого равенства справа на A (it), получим
Д(«4~со) A(t)~	(10)
Но из равенства (7), имея в виду, что A(t) состоит из
периодических функций, получим
Д (г 4-со) = Д (2со) Л (£)	(11)
я, следовательно, из (10) и (11) будем иметь:
Д(г + со) =БД (г).
200 ГЛ. ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Этим показано, что при подстановках указанного типа не
только сами корни, но и характер элементарных делителей не
меняется.
Всё, что мы до сих пор говорили, касалось линейной системы.
Переходим к нелинейному случаю.
Рассмотрим ту нелинейную систему, к которой мы при-
шли в § 1:
п
= 2аг7(«)а;/+бг(а;1,а;2, . .. ,яп;г) (i=l, 2,... , п). (12)
Относительно функций 0, (я1; х2, . . . , хп; t) было предположено,
что для достаточно малых значений переменных: xlf хг, . .. , хп
и всех t, выполнены неравенства:
IM®»®!. . • •, хп\ 0|<г{>1| + КН--------F|^nl}(i = 1,2, • • - ,п),
где s произвольно мало. В частности 6^(0,0, . .. , 0;?) = 0
(г = 1, 2, . . . , п), т. е. начало координат является особой точкой
нашей нелинейной системы. Как было показано в § 1, изучение
поведения движений в окрестности данного периодического дви-
жения сводится к изучению поведения решений надлежащим
образом построенной системы (12), в окрестности начала координат.
Теорема 2. Если характеристические показатели линей-
ной системы
п
~	2 Яг, (?) ж, (i = 1,2, .. ., ге)
й=1
имеют действительные части одинаковых знаков, то исследуемое
периодическое решение есть предельный цикл] если же действи-
тельные части их отличны от нуля, и имеется хотя бы одна пара
имеющих противоположные знаки, то периодическое решение
неустойчиво, т. е. расположение интегральных кривых гипер-
б олическое.
В самом деле, проделаем над переменными xt, х2, . .. , хп.
подстановку, указанную в теореме Ляпунова; тогда мы придём
к системе вида
Л7(«)
== rs4s) + Fls) (Zl, z*, • • • , zn, t),
= rs4s) ~	+ ^(26) (Zl, , ’n; t),
= r z(s) — z<®> F^ (zn z .. . z ;t)
6 P-s Ps^l	\	2?	» П>
(s =1,2,..., 7r; u-j + u24- •  • u.;. = n},
§ 3. МЕТОД ЛЯПУНОВА
201
где гп г2, . . . , гк, как показано, суть характеристические-
показатели линейной системы. Так как подстановка, произведен-
ная над переменными, была линейной с периодическими коэф-
фициентами, имеющими непрерывные частные производные, то-
функции будут удовлетворять тем же условиям, что и функ-
ции 0р). Следовательно, мы пришли к системе, рассмотренной в-
гл. II, § 3 и, на основании доказанных там результатов (теоре-
ма 1), для преобразованной системы мы имеем: в случае, если
характеристические показатели обладают действительными частя-
ми одного знака — обобщённый узел; а если действительные части
всех характеристических показателей отличны от нуля и найдётся
по меньшей мере одна пара действительных частей противопо-
ложного знака, то — обобщённое седло.
Пусть теперь дана некоторая интегральная кривая преобра-
зованной системы, имеющая своей единственной ® или «-пре-
дельной точкой начало координат. Пусть её уравнение есть
z,= z,-(«, «0)	(1 — 1,2, . . . , п).
Вернёмся от переменных Zt(i= 1,2, ... , п) снова к переменным
ж, (г = 1,2, . -. . , п). Обратная подстановка имеет непрерывные-
периодические коэффициенты, так как обратная величина опре-
делителя ограничена, следовательно
»*=2	(м0) (z==:1>2>•• • >«)>
;. = i
где ограниченные периодические функции. А тогда х, (t)
(j = 1, 2,. . . , п) тоже будут стремиться к нулю при оо или
при t—> — со и следовательно, если все интегральные, кривые*
преобразованной системы будут рассмотренного типа, то изучае-
мое периодическое движение есть предельный цикл.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть
У X SP W
(6 - 1, 2, ... , nj.
h=i
Тогда

Следовательно,
V
s	s г/Гi2
а=- l	h= 1
202
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Функция, стоящая в знаменателе, непрерывная периодиче-
ская функция, не обращающаяся в нуль; следовательно, она
имеет положительный минимум. Обозначим этот минимум
через т\ Тогда
п
Это неравенство показывает, что если в пространстве z-ob
некоторая интегральная кривая имеет минимальное, расстояние
от начала координат, отличное от нуля, то в пространстве ж-ов
она будет обладать таким же свойством.
Пусть в пространстве z-ов мы имеем седло, т. е. существует
такая положительная константа А, что какую бы мы малую
окрестность около начала ни взяли всякая выходящая из точек
-этой окрестности интегральная кривая, кроме интегральных кри-
вых, начальные значения которых образуют многообразие низ-
шего числа измерений, при продолжении как в положительную,
так и в отрицательную стороны удаляется от начала больше чем
на А. Неравенство, установленное выше, показывает, что это свой-
ство выполняется и в пространстве ж-ов; а следовательно, если
имеется седло в пространстве z-ов, то в окрестности данного
периодического движения будет гиперболическое расположение
кривых.
§ 4. Метод формальных разложений
Рассмотрим снова систему уравнений
п
T£i:=2	+	, xn,t) (f-1,2, ... , 7l), (1)
fe=l
где 6,- суть степенные ряды по переменным хг, ж2,	, хп, на-
чинающиеся с членов не ниже второго порядка, причём коэф-
фициенты этих рядов — периодические функции от t, период
которых мы для простоты примем равным 2л.
Предположим далее, что характеристическая матрица имеет
простые элементарные делители и что между характеристиче-
скими показателями гх, г2, ... , гп, а также числом ]/" — 1нет
линейного соотношения с целыми коэффициентами. На основании
теоремы Ляпунова, с помощью линейного преобразования с
периодическими коэффициентами мы сможем привести заданную
систему (1) к виду1):
..., хп- t);	(15 = 1,2, . ,, ,п),	(Г)
1) Здесь новые переменные обозначены темп же буквами, что и прежние.
§ 4. МЕТОД ФОРМАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
203
(где Г{ (г = 1, 2, ... , п) есть характеристические показатели и Fi
снова степенные ряды с аналогичными свойствами, что и прежде.
Постараемся теперь найти такое преобразование переменных
Zi~ Xi + fy.(xlt xs, ... ,xn;t) (i = l,2, ... , и),
где ф; (ж1} ж2, .. . , хп; t) — формальный ряд с периодическими
.коэффициентами периода 2к, начинающийся с членов не ниже
второго порядка, что после него заданная система перейдёт
® систему
£^riZi (г = 1,2, ... ,п).
Введём обозначения
Fi = F& 4- F(z + • • • + Fin + •  •
4“ ФгЗ 4~ ’ ' ‘ 4” tyin 4“ " ' * >
где Fik и 6ik—есть совокупность членов, соответствующих раз-
ложений, измерения к. Подставляя в систему (Г) вместо за-
разность Zj —<lij (ж,,ж2, ..., хп; t), получим
п
л дТ “ Ju аТ. ~dt =TiZi — r^i 1	(ж1’Хг’  *  ’ Жп’
J=1	>
(i = 1, 2, ..., n).
Так как по предположению— = гг-г, ,то
di>i__-vn di>i dxj
dt	дхл dt
i=i J
гфг 4* Fi (з-jj 3-g > «  • ,	0
или
— Mi 4-^ + 2 й ^xi +	-r Fi (жп жа, ... , Xn; t) = 0.
/=i"
Приравнивая нулю совокупность членов данного измерения,
получим систему уравнений для определения функций ф/2,
• • • , *in, • • •
204
ГЛ. Ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Эта система будет иметь вид
'•А.=>+2Й7'->ч+^.,
/-1
, йф,3
г .01.	—LS?
i ‘г3 dt
^xj
/=1
r^ik
>ih г-т- 4- V
. Г]Х] +	д
р+в=л+1	3
Рассмотрим один из членов функции он будет иметь вид
ci W . -х2п 12 0,. .., 1п 0; 1г -j-Z2-j- ... + In. — 2)»
Если теперь обозначить через tZ£(Z) коэффициент при соответ-
ствующем члене из Fi2, то для определения c-(t} мы получим
уравнение:
где
kt = liri + ^г2 + • • • + (lt — rt + • • • + 1пГп-
Так как мы предположили, что т\, г2!..., гп линейно независимы,
то коэффициент при c^t) не равен нулю и полученное линейное
уравнение имеет периодическое решение
‘'	e*r.ht _ 1 J	’
t
если kt не является кратным числу ]/ — 1. В нашем случае
это имеет место, так как гг, г„...,гп не имеют линейной
связи с ]/ — 1.
Найдя все с,-, соответствующие 2 Zj = 2, мы можем перейти
к определению коэффициентов при <р-3; для их вычисления мы бу-
дем иметь уравнение того же типа, так как коэффициенты
п
выражения ~У уже оказываются известными. Эти рассужде-
г=1
ния показывают, что предполагаемое формальное преобразование
существует, и следовательно, при рассматриваемых ограничениях
уравнения могут быть формально преобразованы к виду
d~l = riZl
f 5. СЛУЧАЙ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
205
§ 5. Случай канонической системы уравнений
Пусть рассматриваемая система уравнений имеет канониче-
ский вид:
=	(s==l 2,... п),	(1)
dt dys’ dt dxs '	> />	' '
причём функция Н предполагается разложимой в ряд по целым
положительным степеням переменных хг, хг,..., хп, yt, yv. .yR
и периодической по t с периодом Т, т. е.
Н = ф- Н3 + Hi +... -f- Hs
где II s — форма степени s.
Для такого типа уравнений возникают некоторые особенности,
о которых и будет речь ниже.
Докажем прежде всего теорему Пуанкаре.
Теорема Пуанкаре — Винтнера. Если линейная систе-
ма с периодическими коэффициентами имеет каноническую
форму (1), то соответствующее характеристическое уравнение
возвратное.
Для симметрии дальнейших выкладок перенумеруем заново
искомые функции xv хг,..., хп, ylt у2,..., уп, а именно я-м
придадим лишь нечётные номера, а ;//-м лишь чётные номера;
тогда исследуемая каноническая система примет вид
= (i = l, 2,. п}Л	(Г)
dt dy2t dt dxzi-i 4	! ‘	4 '
Если H = H3 -J- Hs -j- ... + Hs	то уравнения в вариациях
для заданной системы будут иметь вид:
^r2i—i,  di! 2 - dy2l  ЭИ
dt dy2i ’ dt —
(2)
Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов при
переменных х и у в у равнениях в вариациях (2) через A (/) =
= ||a/7;(f)||. Непосредственно проверяются следующие соотно-
шения
-1,2h = azh-i> 2t>
C2/,2ft-l = a2h, 2<-ii
®2<-l, 2/1-1	®2/l, 2t В
(/г, 1 = 1, 2,..., n}
(3)
В самом деле, например,
и т. д.
31 1,27‘ йул dy2:dy2h’
«27=1,2., ду^	ду^ Ьу^
206
ГЛ. ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Отсюда вытекает важное соотношение между двумя решениями
линейной канонической системы (2).
Пусть
™(1> ,,<!> ™<1> ,,<!>	„(О.
’ У 2 » ‘*'3 ’Л ’ ‘	Улп 1
™<2> ,,<М ™<2)	~<2>	,,<3>
> У1 >	’ У1 »  • • > ‘Чи-р !Ьп
два произвольных решения канонической системы (2); тогда
величина:
кт ^(0
у и {t)!
не зависит от t.
В самом деле,
г-'с__Х? Л„<1>	।	(s; ^21-1 __ (S) dy.iL___ с1> dx,^ _____
dt \ si-i dt	’ dt ii~1 dt	dt J ~
i=l
n
~ ei l^M-l (°2ЫЖ1 5 “b fl2(, 2 У 2 1 + • • • “F a2l, 2П-1 X2n~l “F a2.l, 2П У2n) 4*
i=l
~^~У11 (^21-1,1^1 "F^Si-i.sZ/s T • • ' 4"flSi-l,2n-ia'.»-14“®2j-l,2n3/in )
(^2i, 1	~F^2i>2^2 1“ * ’ " Д” ®3£,2П—1^2-H-l ‘Г ^2i, 2П У’2П )
’“У2Л	~T~ а21-1,гУ1 + • • • +fl2;-l,SH-ia-2»-l +
“ ®21-1,2П?/2Я )}'
Пользуясь соотношениями (3), убеждаемся, что в правой части
стоит тождественный нуль. Для примера рассмотрим совокуп-
ность членов вида:	Таких членов, очевидно, будет
два, а именно: + аЙ11ж.^Дж'2’ и —	На основании
второго равенства (3), полагая /г=1, получим, что
а21,1 --- ®2, 2i-lJ
следовательно, рассматриваемые члены взаимно уничтожаются.
Аналогично можно доказать наше утверждение и для всех
остальных подобных членов.
Переходим непосредственно к доказательству теоремы. Пусть
, -  •,	yin (У = 1, 2> •  • > 2^) фундаментальная система
решений системы (2).
Введём следующие четыре, основные для всего дальнейшего,
иатрицы:
.¥ (7) — неособая матрица, составленная из фундаментальной
системы решений уравнений в вариациях;
А (7) —матрица коэффициентов при ж-ах и у-ах в правых
частях уравнений в вариациях;
§ 5. СЛУЧАЙ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
207
Сх — матрица, элементы которой постоянные (в силу только-
что доказанного свойства):
.	^’(0 -У ж^1(0)’ ^’(0) •
й1«&ю,- “й	’
Гх —характеристическая матрица, т. е. матрица с постоян-
ными элементами, определяется равенством
Х(г+7) = гхХ(0-
Матрица Гу не особая матрица, так как X (t + T) есть матрица-,
составленная из фундаментальной системы решений.
Наша задача показать, что уравнение:
det | sE — Гх | = 0,
где Е — единичная матрица, есть возвратное.
Установим следующие соотношения между введёнными нами»
матрицами:
Сгхх = Сх,
Н.	Скх=КСхК*-
III-	Гкх = К Г хК"г.
Первое непосредственно следует из независимости элементов-
матрицы Сх от t.
В самом деле
Сгхх •— Сх (t+т) = С х.
Для того чтобы вывести второе, заметим следующую непо-
средственно доказываемую формулу:
где
Сх = Х1Х*,
	0	1 0	... 0	0
	i-1	0 1	... 0	0
z =	 0	-1 0	... 1	0
	! 0	0 0	...—1	0
0	.
0	j
0	4
,1
1	!
и X* — соответствующая транспонированная матрица. Отсюда-
имеем
Скх == KXI (КХ)* = КХ1Х*К* = КСХК*.
Заметим, что из равенства Сх — XIX* непосредственно выте-
кает, что
detCy=[det(X)]s
и следовательно, Сх не особая матрица.
203	ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Третье соотношение получаем совершенно формально. Имеем
КХ (t + T) — (ЯГХ) X (t) = КГхК^КХ («).
Так как X (t)— фундаментальная матрица, а К—не особая,
то КХ (0 есть фундаментальная матрица, а по определению матри-
цы Ткх имеем:
КХ (t + T) = VKxKX(t);
отсюда, так как 1'кх определяется данной фундаментальной
системой единственным образом, получим
Tkx^KI'xK-1.
Из этих трёх соотношений утверждение теоремы вытекает
почти непосредственно. Прежде всего соотношение (III) показы-
вает, что при переходе от данной фундаментальной системы
к другой фундаментальной системе, корни характеристического
уравнения
det | sE — Гх | = 0,
а также элементарные делители матрицы || sE — Гх|| остаются
неизменными.
Из соотношения (II), беря за неособую матрицу К характе-
ристическую матрицу 1'х> имеем
С гхх = 1'хС хГ х
или, используя соотношение (I):
Сх — ^хСх^х •
Наконец, так как Сх и не особые, то из полученного соотно-
шения выводим
^xiCx = Сх^'х
и
С±1Г£1Сх = ТЪ.
Это последнее равенство показывает, что 1'х1 и 1’1- имеют
одни и те же корни характеристического уравнения, а тогда Г^1
и 1’х тоже имеют одни и те же корни. Так как корни характери-
стического уравнения для обратной матрицы обратны по величи-
не корням характеристического уравнения прямой матрицы,
-то, следовательно, в уравнении det | sE—Тх | =0 каждому корню s
1
должен соответствовать корень —.
Этим теорема Пуанкаре полностью доказана. Заметим, что
это доказательство независимо от предположений о простоте кор-
ней. Сделаем из зтого положения ряд элементарных выводов.
Во-первых, так как характеристические показатели есть ло-
гарифмы корней характеристического уравнения, то все характе-
§ 5. СЛУЧАЙ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	20'S
диетические показатели можно будет разбить на пары так, что
в каждой паре будут заключаться характеристические показатели,
равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.
Во-вторых, если характеристическое уравнение имеет корень
4-1, то он обязательно кратный, а следовательно, если один харак-
теристический показатель равен нулю, то равен нулю и ещё один;
вообще равных нулю характеристических показателей будет
чётное число.
Мы покажем теперь, что для канонической системы всегда
имеются характеристические показатели, равные нулю.
Теорема Пуанкаре. Если каноническая система
уравнений имеет р + 1 аналитических интегралов- Н=0, Н1=0,...
HD — 0, периодических по I, то р+1 характеристических
показателей этой системы равны нулю.
Пусть дана гамильтонова система
dl"~ дур dt ~ dxs	2,. .	И),
где 7/ — степенной ряд, и пусть F (ж1; х2,..., хп) = 0 есть анали-
тический интеграл. Тогда, по доказанному в § 1, функция
Л дР е . 9F	. dF r . dF , dF	ЭР
ф •— ;Г“ ?! + д С,	-д— Zn -j- ~д— Til Н- — ’Ча Т" • • • "Г а— Vns
дЛ1 1 дх2 «	дхп п дуг 11 ду2	дуп ,пз
приравненная постоянному, есть интеграл уравнения в вариа-
циях, которые в гамильтоновых системах имеют вид
d£s___	д2Н <- -ti dsH
dt JU dvs dfa	dys dy<s 7‘1’
c=l	»=1
dt дх-дзч, +* dxsdya
Следовательно, взяв полную производную от Ф по t, мы должны,
в силу системы уравнений в вариациях, получить нуль.
Имеем
п	г>.
v !?£ Г У дЧ1 е д_ У д*н 1 
J—i Ox -, L	dy t дхс	‘ dy-i дус J *
О=Л
Г V	! V1
т" дуг L	? ‘ ^дх^уа
Немецкий и Степанов
ЕЮ
ГЛ. ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Так как выражения производных от F и Н являются определён-
ными функциями от I, а чц, входящие в последнее выраже-
ние, представляют любое решение уравнений в вариациях
и, следовательно, зависят от 2п произвольных постоянных, то
коэффициенты при и тц обращаются в 0, иначе мы получили
бы (линейное) соотношение между произвольными постоянными
и t. Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых и vti,
получим
_ Г aF 1 — у дЧ/ А _ у 941 <
dt L^i J dy^dxi \^dxkJ dxkdxt \dyk J
£	'1	— У S*H (Sp'\ у d2g ZdFA
clt L dyi J ~~ dyk dyi \dxkJ Zd dxk дуг \~dyk)
или, сравнивая с уравнениями в вариациях, убеждаемся, что
г. др _ др
ki~dyi'	дх.,
(i = 1, 2, ..п)
есть решение уравнения в вариациях.
Уравнения в вариациях имеют систему решений в виде
eatp(t\
где p(t) полином note периодическими коэффициентами, который
может сводиться к периодической функции. Следовательно,
dF 9F	ах.
и — - тоже должны быть функциями подобного типа; но
они суть периодические функции по f, при условии, что ж1Т
х27...,хп заменены периодическим решением, окрестность которого
мы исследуем. Следовательно, для них а=0.
Итак, мы имеем, что если
Н = 0, Нх = 0, Н2 = 0, .... Нр = 0
суть аналитические интегралы, периодические по t и независимые
между собой, то р+1 характеристический показатель равен нулю.
Заметим, что эта теорема имеет место и не для гамильтоновых
систем; кроме того, Пуанкаре показал, что если для гамильтоновой
системы интегралы Н, Hi, Н2,...,Нр находятся в инволюции,то число
характеристических показателей, обращающихся в нуль, есть 2р.
Из первой и второй теорем Пуанкаре непосредственно вытекает,
что для гамильтоновой системы по крайней мере два характери-
стических показателя равны нулю.
§ 6. МЕТОД ПОВЕРХНОСТЕЙ СЕЧЕНИЯ	211
§ 6. Метод поверхностей сечения
Метод характеристических показателей Пуанкаре-Ляпунова
позволил нам выяснить до конца структуру интегральных кривых,
если характеристические показатели различны и их действительные
части не равны нулю. В остальных случаях мы могли либо выска-
зать весьма мало, либо даже ничего, так, например, в случае чисто
мнимых и нулевых характеристических показателей характери-
стические показатели вовсе не определяют поведения инте-
гральных кривых. Между тем, теоремы Пуанкаре показы-
вают, что для систем канонических уравнений этот послед-
ний случай является типичным и кроме того он весьма важен,
так как необходимая для приложений «устойчивость» решения
может наблюдаться, большей частью, только в случае чисто мни-
мых характеристических показателей. Это побудило ещё Пуан-
каре искать более тонких методов. Одним из таких методов,
предложенным Пуанкаре, но фактически разработанным только
Биркгофом, явился метод поверхностей сечения.
Чтобы характеризовать его, обратимся к первому параграфу
настоящей главы. Там мы поступали следующим образом: через
каждую точку исследуемой периодической траектории была про-
ведена нормальная гиперплоскость, одна из этих гиперплоско-
стей была принята за начальную, и система была отнесена
к подвижной системе координат, причём первые п координат
характеризовали положение точки в гиперплоскости, а и-]-1-я
определяла положение самой гиперплоскости. Допустим теперь,
что решения в новых координатах представлены в виде степен-
ных рядов по начальным данным:
п
а;, = V dis (t) xSl) 4- члены более высокого порядка
S=1
относительно ж10, ж20, ..., жп0 (г = 1, 2, ..., п), где члены 1-го
порядка представляют собою решения уравнений в вариациях,
а х1В, хгв, ..., хпв суть координаты точки в начальный момент
t — 0. Пусть период изучаемого движения есть 2л; тогда
п
жи =
2 diS (2л) xsB члены более высокого порядка
1
(i = l,2, ...,n)
представят собой для малых {a:s0} преобразование первоначаль-
ной плоскости сечения t = 0 в себя. Изучая свойства этого пре-
образования, мы тем самым изучаем свойства интегральных кри-
вых в окрестности данного периодического движения.
К*
212
ГЯ. Ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
В ряде случаев легко установить связь менаду характеристи-
ческими показателями и свойствами этого преобразования Т.
Пусть дана система
п
ж«’ •••»0-=2> - • - гп),
3 = 1
где 6Z- (i = 1, 2, ..., п) представляют собой совокупности нелиней-
ных членов правых частей уравнений. Если корни характери-
стического уравнения простые, то эту систему неособым линей-
ным преобразованием с периодическими коэффициентами можно
привести к форме:
+	«2, .. хп; t) (г = 1, 2, ..., п),
а следовательно, решения этой системы могут быть написаны в
виде:
Xi-=xiKer^ (t10) ж20, ..х„0; t) (i== 1, 2, ..и),
где <|д (i = 1, 2, ..., и) аналитические функции от переменных:
ж1о> ж»с) • • •, жпот разложения которых начинаются с членов не
ниже второго порядка, причём коэффициенты этих разложений
суть периодические функции от t периода 2к.
Поэтому, если через хц обозначить величину решения при
t = 2jc, то
яи = ®/ое^ + ф1(а£о, яа0, ..., а>п0; 2тс) (t = l, 2, . ..,п)
или
Хи = SiXiO + фг,
где = и ф.— ряд по начальным данным, не содержащий
членов первого порядка.
§ ". Каноническая система двух уравнении
Пусть изучаемая система уравнений есть каноническая система
с двумя искомыми функциями, т. е. имеем уравнения
du__ ЗЯ dv  дН ,
dt	dv ’ dt du ’
тогда в зависимости от наличия, того или иного типа корней
характеристического уравнения преобразование Т может быть
приведено к одной из следующих форм:
1.	Пусть корни характеристического уравнения действительны.
Тогда, если один из них р ¥= 1, то другой, как показано в пре-
§ 7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИИ
213
дыдущем параграфе, есть — , и преобразование будет иметь форму:
СО
W! = pi^+ 2 TrnnW’”»”,
т 4-71=2
со
*•1 = 7»+ 2 ^v^vn,
*	m+n=2
причём здесь следует различать случай положительного р и отри-
цательного р.
2.	Пусть | р | = 1, т. е. p1 = ei0, p2 = e~i0 и при 6 = 0, к —
элементарные делители, соответствующие этим корням, различны:
тогда путё’м линейного преобразования, не содержащего мнимых
количеств, мы приходим к системе
= U COS 6 — Г sin 0 4- 2 ?mn UmVn,
m-j-n -^2
co
= U sin 6 4“ V cos 64- 2 9mn Uml'n.
Этот случай приходится делить на два подслучая: 2') когда
е	0
-- иррационально; 2 ) когда — рациональное число.
Наконец, к этому же случаю можно отнести по делу чан:
2"') Pi = l, Р2 = 1 и 2iv) Р1= — 1, ра= — 1.
3.	р==± 1 и элементарные делители не простые; тогда
!*1-±в+ 2 ?mn
/«4-п=2
ri = 4- v 4- du 4- V Фтп в’гег-,п, d =£ 0.
ти+п=2
Рассмотрим ближе каждый из этих случаев.
Если нет нелинейных членов, то в первом случае точка (щ <•)
двигается, оставаясь на гиперболе ио=1, поэтому этот случай
назовём гиперболическим', во втором случае преобразование
сводится к вращению на угол 6, поэтому этот случай назовём
эллиптическим', в третьем случае точки прямой и=0 остаются
инвариантными — этот случай назовём параболическим.
2W гл. Ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Дадим краткий обзор тех геометрических свойств преоб-
разований Т, которыми мы будем пользоваться для анализа пове-
дения интегральных кривых.
1. Инвариантные точки преобразова-
ния Т. Каждая инвариантная точка даёт нам периоди-
ческое решение в изучаемой окрестности. Заметим, что всякая
точка, инвариантная при преобразовании Т, есть в то же время
инвариантная точка при итерациях этого преобразования, т.е. при
Т2,Т3,..., но могут быть точки, инвариантные при Tk, но не инва-
риантные ни при каком Тт, где т<к. Такие точки тоже дают
периодические решения, т. е. замкнутые интегральные кривые,
но они несколько раз обходят данное периодическое решение.Такие
решения Пуанкаре назвал периодическими решениями второго
рода или гомоклинными.
2. Инвариантные многообразия преоб-
разования Т. Некоторое многоообразие М называют
инвариантным многообразием относительно преобразования Z,
если всякая точка этого многообразия после преобразования Т
либо переходит в точку того же многообразия, либо выходит за
пределы изучаемой окрестности периодического движения.
Пусть, например, существуют инвариантные многообразия, не за-
ключающие начала координат. Это будет обозначать существование
в изучаемой окрестности семейства интегральных кривых, не при-
ближающихся к периодическому решению. Особую наглядность
приобретают рассуждения, если поверхность сечения двумерная
и инвариантные многообразия суть кривые. Все могущие предста-
виться тут случаи разобьём на два класса:
1-й случай — существуют инвариантные кривые, входящие
в начало, и 2-й случай — когда таких кривых не существует.
1-й случай по ряду причин, связанных с аналитическим харак-
тером преобразования, разбивается на два:
1а) входящие в начало инвариантные кривые аналитические
(гиперболический случай) или же аналитических инвариантных
кривых, входящих в начало, не существует (это происходит, на-
пример, в так называемом эллиптическом неустойчивом случае);
1б) существуют инвариантные кривые, окружающие начало;
это будет в так называемом эллиптическом устойчивом случае.
Может случиться, что вся окрестность исследуемой инвари-
антной точки заполнена однопараметрическим семейством инвари-
антных кривых. Этот случай Биркгоф называет интегрируемым
случаем.
§ 8. Структура окрестности гиперболической точки
Гиперболической точкой, исходя из аналитиче-
ского критерия, мы будем называть такую особую точку, для ко-
торой характеристическое уравнение имеет действительные и раз-
§ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
215
личные корни. Мы ограничимся при этом случаем канонической
•системы двух уравнений с аналитическими правыми частями; тогда
характеристическое уравнение возвратное, и если р один корень,
то ~~ другой. Отсюда вытекает существование четырёх различных
случаев: 1) р>1; 2) р<1; 3) р= 4-1; 4) р= —1.
Характеристические показатели г связаны с корнями характе-
ристического уравнения соотношением г = — 1пр, где ®—период
исследуемого решения. Поэтому в первом и во втором случаях
мы видим, что с точки зрения характеристических показателей
эти случаи не отличаются друг от друга—в обоих случаях дей-
ствительные части характеристических показателей будут отличны
от нуля и противоположных знаков. Следовательно, согласно
общей теоремы Ляпунова-Пуанкаре, почти все движения седло-
вые, за исключением двух однопараметрических семейств асимп-
тотических движений—одно при t—>4- со, другое при t—>—со.
Наша дальнейшая задача—уточнить структуру семейства асимп-
тотических движений.
Преобразование Т, о котором шла речь в предыдущем пара-
графе, здесь имеет вид
Wi = pw+ 2 <Р»«"и’ПуП»
tn-4-n—2
<20
2 ^numvn,
m-f-n=2
где и фтп — постоянные. Заметим сразу, что если р < О, то
преобразование Г1 всё равно будет иметь вид
“2 = 1?2“-г 2 ?№Пи,псп,
п
2 ^nUmVn,
и следовательно, в случае отрицательных корней, преобразова-
ние Т* имеет те же свойства, что преобразование Т для случая
положительных корней; поэтому для наших целей достаточно
рассмотреть только случай положительных корней.
Теорема Адамара. Если преобразование Т имеет вид:
u^fty, v) = su-[-F(u, с),
г, = ф (и, v) = s'v 4- Ф (и, г),
где s и s'—действительные числа, s > 0, ’s' |< s, F и Ф раз-
гл. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
ложения, начинающиеся с членов второго порядка, то суще-
ствуют две инвариантные кривые, проходягцие через начало
координат.
Проведём через начало координат кривую С, которая^
1) не касается в начале координат оси и; 2) вдоль неё v есть
однозначная функция от и; 3)	где а некоторое поло-
жительное число (см. черт. 23).
Рассмотрим образы этой кривой при преобразовании Т. Пусть
это будут кривые Сг, С %,  Они будут обладать теми же свой-
ствами, что и С, пока остают-
ся в некоторой малой окрест-
ности начала.
В самом деле, после перво-
го преобразования получим
кривую Си имеющую парамет-
рические уравнения (пара-
метр и):
Ux — 5И + F (и, V («)),
= s'v («) 4-Ф (и, и(«)).
Следовательно,
dvx s'v' (и;4-Ф'
dux ~	s + F'
(il
где Ф' и F’— полные производные по и, и так как s'v' (0) =# 0,.
то первое свойство доказано. Второе свойство, в силу (1), обес-
печивается условием s Ф 0. Третье свойство, очевидно, тоже
имеет место.
Пусть теперь С : v. = v' (и), вторая кривая, обладающая этими
же свойствами. Тогда функция и' — v обращается в нуль при
л	dv	dv
и = и. Ьолее того, так как -j— и по абсолютной величине-
’	du	du
_	I®'—®l
меньше а, то функция 1  ц - 1 непрерывна и ограничена в неко-
торой замкнутой области D около начала и, следовательно,,
имеет там максимум р.
Пусть, далее, Сг и С{ образы, соответственно, кривых С и С
при преобразовании Т и пусть р, число, определённое относи-
тельно этих кривых так же, как р относительно С и С'
Покажем теперь, что отношение -- остаётся меньше неко-
11	Is'!
торого положительного числа а, которое отличается от — на
произвольно малую величину, если область D имеет доста-
точно малый диаметр.
§ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
Й47
Пусть v и г' ординаты кривых ‘С и С', соответствующие
одному и тому же значению и, которое, в дальнейшем, будем
считать положительным, а и г?—-ординаты для того же значе-
ния и на кривых и С}. Точки А (и, 1\) и Л(ц, t>[) суть образы
некоторых точек В(ив, г0), В (и", с') на кривых С и С, где и0
и к', очевидно, положительны.
На основании свойства 3) кривой С при достаточно малом
и, имеем
1у01<сш0.	(2)
Далее, так как и = suB -ф F (ив, г0), то, исходя из бесконечной мало-
сти функции F во отношению книг, получим:
| и — suB I < IF (ив, г0)| < 7] (и0 4-1 г01),	(3)
где 7) = max (|g|, ||J|, |g|, |^|) в рассматриваемой обла-
сти D— бесконечно мала по отношению к её диаметру». Нера-
венства (2) и (3) дают
| и — $и01 < 7)B0 (1 + а),
откуда
и — suB > — 7)iz0 (1 - а),
т. е.
и > [«— ’i(l-ra)]
и, следовательно,
Uo<- s—	'
Так как кривая С имеет те же свойства, что и кривая С, то-
для и" имеет место то же неравенство:
ио < s-—»j(l-}-a)
Пусть теперь г' есть ордината кривой С', соответствующая
абсциссе ив; тогда, по определению числа и, имеем
iro — rol <Р«о <	+
Далее, так как точка В (и'в, в') и точка с координатами (и„, г*)
находятся на кривой С', которая имеет свойство 3), то
Наконец, рассмотрим точки В (ив, г0) и В(ив, г'). Так как при
218 гл. Ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
преобразовании Т точка В (w0, и0) гхереходит в точку А (и, vt), а
точка В (и',«') переходит в точку А(«, г\), то имеем:
u = su0-|-F(u„, с0),
u = su0 + F (ue,v'o).
Отсюда выводим:
s|u0 — и'[ = |F(«0, и0) — F(u'o, <)[
ИЛИ
s|u0 — Й^!<'»1[|Ио — «ol + l«o — <|],
где 7l = max(|g’|, |g|, |*®|, |^|) в рассматриваемой
области.
Следовательно,
|ио-в'|<~^|со-Го1-	(6)
Принимая во внимание неравенства (4), (5) и (6), мы можем
получить оценку |с0 — v'| сверху.
В самом деле,
т. е,
следовательно,
|„ ——	____________________цм(8 —Ч)
1 • •' |-^Г	" (s-,<*+”1' 
По определению точек В и В имеем:
И1=«Ч4-Ф(Ио, «о),
К, <);
отсюда
К — «J — s'(Do— ио)1 <^(1мо — »о14>1ио — <1)'	(7)
Неравенства (6), (б') и (7) приводят к нужной нам оценке
для |г\ — v*|. Имеем
I»!—«Я < iqluo — <1+ Oj + |s'I)I«o — о»I •
Пользуясь (6), имеем
К—«11< [—^ + Cq+I »'!)]
§ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
219
Пользуясь теперь (6'), получим:
ри ($ — »])
I - »'г ( <
[S —т;(1 + а)Р
_ Г__________Is'ls + igs-- |s'h____
‘ L «2 + Ч2 (1 + “)2— 2s>](14-a)
или
р и
I s' | s у А
sz-—qB
где _4 и В — величины, не стремящиеся к 0 при iq—>0. Отсюда
получим:
где е сколь угодно мало, если •»} достаточно мало. Итак,
для всех значений независимого переменного, а следовательно,
Pi<P
или окончательно
ь^_1£1 + г
£ 1
Этим наше утверждение доказано.
Пользуясь последним неравенством, установим, что кривые
Си С2, ...,Ск, ... сходятся к некоторой кривой S. В самом
деле, предположим, что С' = С1, тогда образ её С{ будет, совпа-
дать с С2. На основании полученных оценок имеем: разность
•ординат С и Сг меньше ри, разность ординат между Сг и Са
меньше рои, между Сг и С2 меньше ро2и, и т. д., что и дока-
зывает сходимость, так как а<1.
Покажем теперь, что кривая S не зависит от выбора исход-
ной кривой С. В самом деле, та же оценка
|	— о' | < рои, о < 1,
.показывает, что разность ординат, соответствующих данному и,
будет стремиться к 0, если номер итерации стремится к оо.
Если теперь за исходную кривую принять кривую вида и = и (v),
обладающую свойствами, аналогичными свойствам кривой
и = р(п), и рассмотреть итерации преобразований Т~г, где Т~1 —
220
ГЛ. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
обратное преобразование, то получим последовательность кривых,
которые сходятся к некоторой предельной кривой S', причём так
же, как и выше, устанавливается независимость кривой S' от вы-
бора начальной кривой.
Других дифференцируемых инвариантных кривых быть нс-
может. В самом деле, пусть подобная кривая 6'" нашлась бы. Тогда
она в начале координат не касается либо оси и, либо и и, сле-
довательно, её можно было бы принять за исходную кривувт
либо вида v~v(u), либо вида и~-и (и). Следовательно, применяя;
к ней соответственно итерации Т или итерации 7"1, мы должны,
были бы прийти либо к<$, либо к5', что противоречит предполо-
женной инвариантности кривой S".
Кривые S и S', вообще говоря, могут совпадать, однако, если
дополнительно предположить, что и	то из вида
преобразования непосредственно вытекает, что точка инвариант-
ной кривой «S1 при применении к ней преобразования 71"1 прибли-
жается к началу, следуя по кривой S; точнее, и, <г«, где г<3
и не зависит от выбора точки на кривой5, а точка кривой/?' при:
применении к ней преобразования Т приближается к началу,
следуя по кривой S', т.е. с, <??.•, где г<1 и не зависит от выбора'
точки на кривой S'. Следовательно, S и S' различны.
Из неравенств u1<Zm и иг<ги вытекает, что при неограничен-
ной итерации соответственно отображений У"1 и Т точки на кривых:
S иS' неограниченно приближаются к началу, т. е. наличие кри-
вых S и S' доказывает существование двух семейств решений,
асимптотически приближающихся к данному периодическому
решению, соответственно при t—>—со и t—>+со.
Эта теорема хотя и даёт нам характеристику расположения
интегральных кривых в окрестности начала координат, но нн-
позволяет установить существования других инвариантных кривых,
в этой окрестности. Однако, мы можем получить и более полную,
характеристику окрестности гиперболического периодического ре-
шения. В самом деле, если преобразование Т сведётся к преобра-
зованию вида:
7Л1—0П,
или может быть путём аналитических преобразований переменных;
приведено к такому виду, то мы будем иметь интегрируемый слу-
чай, при котором вся окрестность точки (и—0, v~0) будет запол-
нена гиперболами «? = const., представляющими собой инвари-
антные кривые. Так как, по предположению, окрестность столь,
мала, что в ней нет других инвариантных точек, то каждая точка
после конечного числа положительных или отрицательных итера-
ций выйдет за пределы рассматриваемой малой окрестности. Соот-
ветствующая ей кривая имеет минимальное расстояние от начала
§ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
221
координат, а при возрастании и убывании времени будет выходить
из окрестности данной гиперболической точки. Эти «седловые»
кривые образуют семейство аналитических поверхностей, напол-
няющих всю окрестность рассматриваемого периодического дви-
жения.
Но и в неингегрируемом случае наблюдается, как установил
Биркгоф, подобная же картина. Для доказательства и для самой
’формулировки теоремы мы должны будем воспользоваться сле-
дующей леммой, доказательство которой, основанное на теории
формальных разложений, мы опустим, хотя оно отнюдь не
тривиально г).
Лемм а. При соответствующем выборе переменных и и и
можно преобразование Т написать в одной из следующих форм-.
I.	щ = puecul'el (1 -ф uWP (u, с)),
vi — ~- ee~culxf	(щ u));
IL	r)),
V1e ~ v (! +	(M> B))»
причём сиу положительны и p сколь угодно велико, I—не-
которое натуральное число, а Р и Q аналитичны в начале.
Для того чтобы формулировать нижеследующую теорему,
мы введём такое определение: некоторую кривую L, за-
ключающуюся в достаточно малой окрестности начала координат,
^назовём «почти инвариантной» относительно преобразова-
ния Т, если расстояние между образом любой её точки А, при
преобразовании Т, и некоторой точкой самой кривой ^сть беско-
нечно малая произвольно большего (показательного) порядка
’но отношению к расстоянию точки А от инвариантной точки
(начала координат).
Пользуясь леммой и определением, формулируем следующую
теорему.
Теорема 1 Биркгоф а. Пусть координаты ии v выбраны
так, что преобразование Т имеет вид I или II. В этих перемен-
ных существует семейство «почти инвариантных» кривых
класса Ср, где р — любое натуральное число, заполняющих
всю окрестность, кроме точек асимптотических инвариант-
ных кривых', инвариантные кривые весьма похожи на гипер-
Е)	Доказательство см- G. Birkhoff, «Nouvelles recherche» sur les syste-
rues dynamiques». Memorial Pont. Acad. Scient. Nori Lyncaei Ec. ser. Ill,
•vol. 1;
222
ГЛ. ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
болы но = const. в том смысле, что они совпадают с ними до
бесконечно малых произвольно большого порядка, а наклоны их
касательных совпадают с — —, опять-таки с точностью до бес-
и
конечно малых этого же порядка.
Введём для и > 0 и и > 0 новые переменные
и = е~и; v~e~v.
Если теперь взять преобразование Т напр. в форме I, то-
в новых переменных оно примет вид
иг = U—1пр — се-+е~^+у) т (е- и, е ~ v),
Vi = y + lnp + ce- KU+v) + е-	v> Ф (е - и, е~ v),
где с > О, <р и Ф — аналитические функции при и = 0, к = 0 и не
содержат в своём разложении членов ниже второго порядка.
В самом деле,
и-^— Inu; V=— In о.
Следовательно,
In lij = — U\ == In р 4" In U + CUlVl 4- In (1 + и№Р (и, V})
или
In lij = — U\ = In p -J* In и 4- cult~l — иУчРо {u, v),
где <p(u, с) —функция, аналитическая в начале, т. е.
Ux = U — 1пр — се- W+V) + e-*^u+v)y (е~и, e~v).
Аналогичная выкладка для даст
У1==У 4- In р4- се-г<и+у>4- е~^и+у)ф (е~и, e~v).
Всякая область и<е~к, о<е-к окрестности начала (К боль-
шое) соответствует в плоскости (и, о) область Гк, для которой
U>K-, V>K.
После п
Пусть теперь W = U 4~F, тогда
W1 = иг 4- к = W 4- е-Т (е "v, е- v).
Рассмотрим теперь Гк. при К достаточно большом; тогда в ней»
U.<U—|lnp, F1>F4-|lnP> Р>1*
^^^4-1 итераций преобразования Т будем иметь:
un<u-w, vn>v+w,
§ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ S23-
т. е. Un и Vn не смогут быть одновременно большими К. Следова-
тельно, итерируемая точка выйдет из области Гд. Но пока мы
находимся в области Гд, то
где М— представляет собою максимум функции
Х(е^, e-v) = z(?7, у).
Полученное в этой области неравенство показывает,что = И;(п)
растёт вместе с п не быстрее, чем функция W (п) (17(0) = W),
определяемая дифференциальным уравнением:
= е-^М,
ан,
и не убывает быстрее, чем функция W (п) (W (0) = Т7), опреде-
ляемая дифференциальным уравнением:
ап
Эти уравнения дают
eixw(n) _ eVw _	,
ep.W(n)—eV-W-- —
Следовательно, если число итераций
. 9 W
п < 2 ,— ,
1П р ’
то мы будем иметь
Д ln	(„Х-Мп (> + 2Jg2) .
Из этих неравенств можно заключить, что
\W(n) — W]<WQe~^,
где Q — числовая постоянная. К этому неравенству мы можем
прийти, например, следующим образом.
Из написанных выше неравенств имеем
ev-w _	ev.wcri) < eV.w
In P	1 In p
1 _ МЛ7 g-|1W eu(W0O-W) < 14-	g-v-w
lnp	Inp
или
2”24
ГЛ. Ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Отсюда, предполагая, что
„ту ц
------.e-p.lV < получим
|W(п) — WI ^WQe~v-w,
где Q—некоторая константа, что и требовалось доказать.
Полученное неравенство можно интерпретировать следующим
образом: UV = W при итерациях преобразования Т остаётся
в области Гк постоянным с точностью до We~^w, т. е. беско-
нечно малой произвольно высокого порядка по отношению к W,
т. е. кривая	= const., если не неинвариантна, то во всяком
случае «почти инвариантна».
С другой стороны, равенство, определяющее U и V, а следо-
вательно, и Un и Vn дают:
/л — U — п In р — спе~	-{- пе~^и^\п (е~и, v),
trn = V -L n In р -J- me -	4- пе~^^">^п (e~u, e~v),
, 2И
т. e. если n < .	, to
In p
|Z7n — U ^nln?^cne~lw\<CWQ*e~v-w
и
i Vn — V — n lnp — cne~lw j Q*e~v-W.
Рассмотрим на плоскости (U, V) линию U+V = const. Каждая
точка (Ko, Fe) этой линии преобразуется в точку (fZx, Fx), коор-
динаты которой почти равны
Uo —- lnp се~ l * * 4<Uo+vc).	-|_ in р _|_ се- 1(По4
Примем Ue = V0 и соединим точки (Ко, Fo) и Fx) прямоли-
нейным сегментом. Как показывают равенства, определяющие
t' i и Fx, длина этого отрезка мало отличается от |/2 In р, а угол
наклона к оси U от . Образ этой линии есть некоторая ана-
литическая дуга, соединяющая (?ZX, Fx) и (?Z2, F.j; опять-таки,
как показывают формулы для итераций, угол наклона этой кри-
вой тоже мало отличается от — *
4
Заменим теперь прямолинейный отрезок, соединяющий точки
(?70» ^о) и Vi)r регулярной дугой, соединяющей эти две
точки, которая по положению и наклону мало отличается от
этого отрезка, но которая имеет общую касательную с образом
$ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
225
прямолинейного отрезка в точке (Ulf Ух). В частности можно
взять эту кривую в следующей форме:

Уг~У0
иг-ив
^(C/X-C7O) + ^(FX-FO)'
ГДе U^V-
Это уравнение представляет собой параболу третьей степени
от U, которая проходит через точки (UB, Уо), (U\, Ух), и притом
так, что направления касательных в точках (Uo, Vo) и {Uv Fx)
совпадают, соответственно, с направлением отрезка, имеющего
концы в этих точках, и с направлением касательной в точке
(C/j, Ух) к образу этого отрезка. Первые три утверждения оче-
видны. Для того, чтобы доказать четвёртое, заметим, что
dF \
AU J(_v и vf)
|^(rx-r0) + |p(Fx-FB)
^(£71_Pe)+^(F1-Ko)
а это доказывает наше утверждение.
Выразим (Ult Ух) через параметр UB — VB, т. е. положим
их~ив—In р — ce~2!t7o + е~ Ф (e-uo, е~и»),
Ух==?704-1пр-J- ce~ziu°-j-e~SvV° W[e~v«, е~и°)„
Тогда уравнение параболы примет вид
V = 2UB- U + е-аайо (U-UB) {а (е-^’о) + р (е-йо) (Ц- UB) +
+ Y(e-^)(«7-?7e)«},	(8)
где а, р и у аналитические функции от е~и°. Следовательно,
дуги этих парабол, соединяющих всевозможные пары точек
(UB, Уе) и (Ult Ух), представляют собой семейство аналитических
дуг, которые заполняют область между линией U 4~ V = 0 и её
образом и притом так, что каждая точка находится на одной из
этих кривых и только на одной, как это непосредственно видно
яз последнего равенства г). Кроме того, сами эти кривые и их
х) Параболы (8), соответствующие равличным достаточно большим
еначениям параметра 17в, не могут пересекаться, так как производная
правой части уравнения (8) по переменному С70 отлична от нуля.
Немыцкий в Степанов
226
ГЛ. ш. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
последовательные образы суть кривые класса С1 и находятся
вблизи от линий U V = 2U0 или, более точно, расстояние между
этой линией и построенными параболами не превосходит
SUee~z^uo, где 5 некоторая константа. Этим первая часть теоремк
доказана, по крайней мере для р = 1.
Изучим теперь наклоны инвариантных кривых. Очевидно,,
для основной дуги наклон касательной отличается от — 1 на
количество порядка е~‘^и°. Чтобы изучить дальнейшее поведе-
ние наклона, обратимся к выражениям U1 через /7 и т/, через F;
дифференцируя их, находим:
dU± = d (U - се "1 <u+v>) + е - ^<^+v) (Flx dU + Fls dV),.
dV^d^V 4-ce-'№4^)4-e-^u-H')(F21dC7+F2i<ZF),
где Fii(i = i, 2; / = 1,2) аналитические функции от и = е~и
и v = e~v, обращающиеся в нуль для и = 0, г—0, т. е. в начале-
координат на плоскости (н, v). Из этого уравнения мы получаем:
dV dUr - dU dV± = Ice ~ 1(~и+^ (dU + dV'f +
+ e-H(i7+v) [gii (dU? + 2g12 dU dV + g2,(<WT> (10)
где функции gij такого же характера, что и Рц.
Обозначим через & угол между касательной к изучаемой инва-
риантной кривой и направлением прямой: У=—U-{-const
и через ds элемент дуги инвариантной кривой в точке (F, F)^
и соответственно через &х угол между инвариантной кривой
и прямой семейства V = — U -J- const, проходящей через точку
(?7i, У,) и dSj элемент дуги инвариантной кривой в точке (£у,Ух)
(черт; 24).
Пользуясь этими обозначениями, выражение для dV dUг —
— dU dFx можно переписать в следующей форме:
sin(&1-&) = [2^e-Hir+v)sin«& + e-u(i7+V)^(e-u e~v, &)]	, (И)
где А — ограниченная периодическая функция периода 2к отно-
d ds ds.
сительно & ив силу (У), ограничены.
В самом деле, пусть а и а, углы, образуемые касательной
к инвариантной кривой, соответственно, в точках (JJ, У) и (Uu Ух)
и осью Uo. Тогда Sj — О — а, — а, т. е. sin (&х — &) = sin (аг — а)у
с &=+	+ ]Z 2 sin 8= sin а + cos а.
Заметив эти соотношения, делим обе части равенства (10}
на dsds1. Получим
Z .	= J/ce-/№+n . rZZZYi
ds dst ds ds.	ds J
>'[<» (f )’+2g„f g+^CJ)'] } 'Д .
S S. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
227
т. е.
cos a sin ах — sin а cos ах = [Zee ~ 1<U+V) (cos а sin а)2 -|-
_}_ e-p(i7+'O	cos2 а + 2g12 cos а sin а -}- g2? sin2 а)]
Отсюда непосредственно видна справедливость равенства (11).
Из полученных равенств мы получаем неравенство
| &х - & | < К (е-	+ е-
где К некоторая постоянная. Следовательно, j 0 j вырастет
после итерации не быстрее, чем решение дифференциального урав-
нения

но так как W растёт при итерации, то мы ещё более усилим
неравенство, если вместо этого дифференциального уравнения
возьмём другое
= К (е - lw«&2 +
Наконец, принимая во вни-
мание, что We = 2Ue, мы мо-
жем ещё более усилить не-
равенство, если взять урав-
нение
^=^(e-iuo&4-e-pb’0v
ап '	1	'
и так как в начальный мо-
мент, как было показано,
есть величина порядка e~2vV°,
то можно предположить, что
&0 = Се~^и«,
где С — некоторая константа. Интегрируя это уравнение, имеем:
2Кп —
f _____
j (е-1и^+е-^и°)-
Е28
ГЛ- III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
ИЛИ
__	еше
2Kn=—^+e_IirJo|8 ,
•т. е.
„	glU$	glUo
2Кп =	улио^г^твъ •
Для оценки &(п) рассмотрим решение того же дифферен-
циального уравнения с начальным значением &о = 0. Это реше-
ние будем обозначать через &*. Имеем
2Кпе~ 2Kne~vV° = — elv° + e^oQ* ет«,
или
„и,	. 1Кпе-^и° __ 2Kne~2vVo
^П-	~ё^и0_2Кпе~1и°~ 1 — 2Кпе~(-'’-+1'>и°
При п = 1 получим
„	1Ке-^
1	1 — 27fe~(|1'!~!)tZo
т. е. О* для больших Uo эквивалентно 2Ke~'zv-Uo, т. е. как раз
начальному условию для &0.
Следовательно, & (п) не превосходит решения Я* (и -j-1) того
же уравнения, но при начальном условии Ф*(0) = 0. А тогда,
в силу полученного решения для 0* (и), заключаем, что &(п)
в Тк не превосходит Le~'^v°, где L—некоторая постоянная.
Итак, наша теорема полностью доказана, если требовать су-
ществования семейства кривых класса С1, т. е. имеющих первую
производную.
Аналогично мы могли бы построить семейство кривых любого
класса с мало отличными от 0 высшими производными и тем самым
доказать теорему в общем случае.
Если инвариантные асимптотические кривые не пересекаются
между собой, то структура окрестности такого гиперболического
решения весьма проста, но совсем иначе будет, если инвариантные
ветви пересекаются. Заметим сразу, что если они пересекаются
только в конечном числе точек, то их точки пересечения будут
соответствовать периодическим решениям, ибо при применении
отображения Т они должны оставаться на обеих кривых, т. е.
переходить друг в друга. Но может случиться, что они пересекают-
ся в бесконечном числе точек, тогда могут возникать двояко
асимптотические движения. Присутствие этих движений вызо-
вет, вообще говоря, как мы покажем, существование целого
класса периодических движений, хотя и не находящихся в лю-
§ S. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКц Й&2
бой близости от начала, но среди которых имеются однако реше-
ния, имеющие точки в любой близости отгг =0, о = 0. Пуанкаре
показал, что подобный случай реально может встретиться.
Обнаружив подобный случай, Пуанкаре пишет: «Постараемся
представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми
и их пересечениями в бесконечном числе, каждое из которых со-
ответствует дважды асимптотическому решению; эти пересечения
образуют нечто вроде решётки, или ткани, или сетки с бесконеч-
но тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не
должна сама себя пересекать, но она должна изгибаться столь
сложным образом, чтобы пересечь бесконечное множество раз
все петли сети.
Приходится.поражаться сложности этой фигуры, которую да-
же не пытаюсь начертить. Ничто не может дать нам лучшее пред-
ставление о сложности проблемы трёх тел и вообще всех про-
блем динамики, где нет голоморфного интеграла и ряды Болина
расходятся» {Methodes nomelles de la mecanique celeste, t. Ill,
стр. 389).
Из теорем Адамара и Бкркгофа может быть выведено сущест-
вование бесконечного множества периодических движений «вбли-
зи» данного неустойчивого периодического движения. Чтобы опре-
делить нужное нам здесь понятие близости, введём понятие
^расширенной окрестности».
Пусть Р есть инвариантная точка при преобразовании Т,
а Ек — инвариантная относительно преобразования Т кривая,
входящая в точку Р, и такая, что для любой точки А ( Sa её обра-
зы: Т’"1 (A), Т^(А),..., Т~п(А),... неограниченно приближаются
к Р при п —» со. Соответственно пусть —инвариантная относи-
тельно преобразования Т кривая, входящая в точку Р, и такая,
что для любой точки ЛсЕи её образы: T(A),Tz(A),...,Tn(A) не-
ограниченно приближаются к точке Р при п —> ос. Как было упо-
мянуто выше, Пуанкаре показал, что кривые Еа и могут
пересекаться в бесконечном множестве точек, очевидно, скопля-
ющихся к точке Р. Если <9 одна из точек пересечения, то решение,
проходящее через неё, будет двояко асимптотическим. Самую
точку Q Пуанкаре назвал гомоклинной и двояко асимптотическое
решение гомоклинным решением.
Рассмотрим две ветви инвариантных кривых РА и РВ, исхо-
дящих из инвариантной точки Р, которые по предположению пере-
секаются в точке Q и не совпадают между собой. Точка Q есть
след гомоклинного решения. Подобная точка пересечения по
предположению может быть взята сколь угодно близко от точки Р.
Дадим теперь определение «расширенной окрестности» гипер-
болического периодического решения.
На поверхности сечения расширенная окрестность есть ок-
рестность, заключающая инвариантные кривые исходящие из
230
ГЛ. HI. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
точки Р. Мы построим её следующим образом. Рассмотрим не-
которую кривую Pa.Q в пространстве траекторий, которая соеди-
няет точку P-гиперболического периодического движения с гомо-
клинным решением и остаётся всё время на многообразии, за-
полненном а-асимптотическими решениями. Каждая конечная
часть этого многообразия гомео.морфна куску плоскости, а семей-
ство траекторий — семейству отрезков прямых. Следовательно,
можно выбрать кривую PaQ таким образом, чтобы все траектории
пересекали бы её только в одном направлении. Таким же об-
разом строим кривую PmQ.
Итак, в пространстве траекторий мы сможем найти кривую
PaQwP, вдоль которой можно будет построить локальную поверх-
ность сечения (интегральные кривые её пересекают, не касаясь,
и всегда в одном направлении). Окрестность, образованную
такими поверхностями сечения, мы назовём «расширенной окрест-
ностью» в трёхмерном пространстве. На поверхности сечения ей
будет соответствовать некоторая окрестность инвариантных кри-
вых, которую мы назовём «расширенной окрестностью на поверх-
ности сечения».
Теорема 2 Биркгофа. Если существует гомоклин-
ное решение г то существуют в расширенной окрестности перио-
дические решения, которые обходят к раз, раз и т, д. во-
круг расширенной окрестности решения, попадая при этом однаж-
ды в любую заданную окрестность данного гомоклинного решения.
В самом деле, пусть гомоклинная точка Q существует,—строим
расширенную окрестность. Кривые Pu>Q и Pa.Q, на основе которых
она построена около точки, представляют собой инвариантные
кривые.
На основании предыдущей теоремы Биркгофа можно утвер-
ждать, что вблизи точки Р преобразование
Т имеет «в существенном» форму:
Черт. 25.
w,= p«cClA’z, = е-сА^ 0 < f < 1
и, в частности, существует семейство ин-
вариантных кривых, подобных uv — const;
они, вообще говоря, не аналитические,
однако, имеют достаточно большое число
производных.
Пусть далее криволинейный пятиу-
гольник APDCB (см. черт. 25) ограни-
чен кусками кривых PaQ и PwQ, куском
инвариантной кривой ВС (типа гиперболы uv—c) и дугами типа
сечения АВ и CD семейства инвариантных кривых. Если
параметр с приближается к 0, то кривая uv — c приближается
§ 8. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 231
® осям и—О, v~Q, а число итераций?1, в течение которых точка
«остаётся внутри пятиугольника, неограниченно возрастает. Выбе-
рем теперь сг столь малым, чтобы кривая типаас = с, при!с[-<с,
-оставалась в расширенной окрестности вблизи от асимптотиче-
ских кривых вплоть до точки Q и даже несколько далее; тогда,
будучи регулярной, она должна самопересечься в некоторой
точке 6’1) и пересечь кривые Pa.Q и PaQ в некоторых точках Т и R.
'Таким образом, получится криволинейный четырёхугольник.
Каждой точке этого четырёхугольника соответствует пара зна-
чений с' и с" параметров гипербол, пересекающихся в данной точ-
ке, а именно: с'—параметр «гиперболы», близкой ка-ветвям, и с"—
параметр гиперболы, близкой к ш-ветвям. Следовательно, должна
существовать кривая, на которой с' = с"—геометрическое место
точек S' самопересечения кривых uv = с.
Дуга 5'13'С'3' содержит (ввиду близкого расстояния от непо-
движной точкиР) некоторое количество, пусть Аточек:*?', T(S'),...
...Tk (S') и т. д.: изменяя*?' отЗ к Q вдольSQ, мы будем получать
•инвариантные кривые, самопересекающиеся в S', для которых это
число к стремится к-}-со. Тогда вся диагональSQ разобьётся на
бесконечное число частей, соответствующих одному и тому же
числу к. Ясно, что общие предельные точки этих частей отве-
чают точкам, периодически возвращающимся. Следовательно,
ж получим бесконечное число точек Sk, *?ь+1,... таких, что
:T'(Sr)~Sr(}'>k). Этим теорема Биркгофа доказана.
Заканчивая этот параграф, мы укажем уже без доказательства,
в каких направлениях шла работа по разбираемому нами во-
просу. Прежде всего, Пуанкаре пытался ещё дальше уточнить рас-
положение двояко асимптотических движений в разбираемой им
задаче. Заметим, что хотя задача, которую он разбирал, весьма
частная, но если предположить заранее, что существует гомо-
клинное решение и что существует поверхность сечения, йричём
площадь всей поверхности сечения конечна, то результаты Пуан-
каре могут быть получены уже без дальнейших предположений.
Так, например, в последней 31 главе «Methodes nouvelles...»
книги Пуанкаре имеется теорема:
На асимптотических поверхностях, между каждыми двумя
двояко асимптотическими решениями, существует бесконечное
множество других двояко асимптотических.
Более того, он высказал гипотезу, что на асимптотических
поверхностях, при вышеперечисленных условиях, двояко асимп-
тотические движения всюду плотны, но не приводит никаких оправ-
даний этому факту. Далее, там же Пуанкаре указал на возмож-
ность существования ещё одного класса решений, которые он
назвал «гетероклинными». Эти решения асимптотические к двум
*) Для случая плоскости.
Е32
ГЛ. П1. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
периодическим решениям. Он не мог доказать существования
подобных решений, однако, указывал на тот факт, что сущест-
вование одного решения этого типа влечёт за собой существова-
ние бесконечного множества решений того же типа. Кроме того,
он показал, что вопрос существования этих решений связан с во-
просом о расходимости рядов, служащих для некоторых перио-
дических решений:
Биркгоф, в своём уже не раз цитированном мемуаре «Nouvelles
recherches sur les systemes dynamiques», продолжил исследования
Пуанкаре, предполагая существование гомоклинного решения..
Он показал, что в «расширенной окрестности» этого решения будут-
всегда иметься следующие типы решэний:
1.	Периодические решения, любое число раз обходящие перио-
дические движения перед тем, как замкнуться.
2.	Асимптотические к периодическим движениям.
3.	Рекуррентные движения.
4.	Асимптотические к рекуррентным.
5.	Асимптотические, одновременно к двум периодически»
или двум рекуррентным движениям, к одному—в одном на-
правлении, к другому—в противоположном (гетероклинные-
движения).
6.	Всюду плотные в расширенной окрестности периодического
движения решения.
Всё это свидетельствует об исключительной сложности струк-
туры расширенной окрестности в гиперболическом случае.
Однако, если обратимся к структуре собственно малой окрест-
ности, то изложенная выше вторая теорема Биркгоф а вполне-
характеризует эту окрестность. Заметим, что в цитированном!
мемуаре Биркгоф указывает, что если не накладывать анали-
тических ограничений, а лишь исходить из факта существо-
вания двух асимптотических семейств, то можно прийти к такой
же структуре окрестности. Однако, подробного доказательства,
этого утверждения не даётся.
§ 9. Структура окрестности эллиптической точки
Рассмотрим на поверхности сечения эллиптическую точку..
Возможны два случая: 1) либо внутри всякой достаточно малой
окрестности (сферической) Us этой точки, можно найти другую
столь малую окрестность с, такую, что множества Т (а), У8 (с),...»
Тп(с),... остаются внутри Us\, 2) либо существует фиксированная
сферическая окрестность Us, такая, что какую бы малую окрест-
ность а внутри неё мы ни взялиj одно из множеств Т (а), Т2(с)....,
Тп (с),... будет иметь точки вне U-s. В первом случае мы скажем,,,
что точка О—устойчивая эллиптическая точка, во втором случае—
неустойчивая эллиптическая точка.
g а. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ точки

В дальнейшем изложении мы ограничиваемся рассмотрением
того случая, когда преобразование Г является сохраняющим
площадь, Ti е. если S (с) есть площадь (точнее: мера!) области с,
®о
S(g) = S(T(O)).
Заметим, что если система уравнений — каноническая, то пре-
образование Т является сохраняющим площадь (см. гл. V).
Сначала докажем ряд теорем, которые не зависят от аналити-
ческого характера эллиптической точки.
Теорема Пуанкаре. Для того, чтобы некоторая
эллиптическая точка была устойчивой относительно сохраняю-
щего площадь преобразования Т, необходимо и достаточно, чтобы
е любой произвольно малой окрестности её существовала инвари-
антная замкнутая кривая, окружающая эту точку.
Достаточность этого условия очевидна. Покажем его необхо-
димость.
Возьмём произвольно малую окрестность Us и внутри неё
столь малую окрестность а, что никакая итерация преобразо-
вания Т не выводит её за пределы Us.
Рассмотрим
7», Т* (о),	Т"(а), ...
Пусть теперь
(?=с +Т (а) 4-Г2 (а) 4- ... +Гг(®)+  - -
Область G должна переходить в себя при преобразовании 7,
но она не может перейти в свою правильную часть вследствие-
того, что преобразование Т сохраняет площадь. Следовательно,
T(G}=G.
В таком случае граница области G представляет собой искомую
инвариантную кривую. Так как Us произвольно мала, то теорема-
Пуанкаре этим доказана.
Теорема Пуанкаре показывает, что если преобразование Т со-
храняет площадь, то в случае устойчивой эллиптической точки Г/
логически возможны два случая: либо некоторая достаточно малая-
окрестность точки О сплошь заполнена инвариантными кривыми,
либо существуют кольцевые области в любой окрестности точки О,
внутри которых нет инвариантных кривых и границами которых,
служат инвариантные кривые. Такую область назовём кольцом
неустойчивости. Это название оправдывается следующей теоре-
мой Биркгофа.
Теорема. Пусть С‘ и С"—две инвариантные кривые, отно-
сительно сохраняющего площадь преобразования Т, образующие
границы кольца неустойчивости. Тогда, какова бы ни была точка
РнаС' (или на С"), можно найти в любой её s-окрестности точку-
Р’, такую, что некоторый образ Тп(Р!) содержится в сколь угодно
234
ГЛ. MI. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
малой окрестности некоторой точки кривой С (или соответст-
венно кривой- С).
Допустим, что утверждение теоремы неправильно и пусть суще-
ствуют точка Р, лежащая на кривой С, и столь малое е, такое,
что в s-окрестности точки Р нельзя найти точку Р', которая при
последовательных итерациях преобразования Т неограниченно
приближалась бы к кривей С". Рассмотрим тогда s-окрестность
точки Р  внутри кольца. Пусть эта окрестность есть £76, а Т (IE),
Т3 (Jj\), . .Tn(Ue),... — её образы.
Рассмотрим область:
Ge^Ue+T(UJ+ ... 4-Гг(£7е)+ ...
Эта область по предположению не имеет среди своих предельных
точек точек кривой С". Ясно, что Gs при преобразовании Т перехо-
дит в самое себя; она не может вследствие сохранения площади при
преобразовании Т перейти в свою часть, следовательно, её
границы инвариантны при Т. Так как кривая С' инвариантна,
то внешняя граница области GE совпадает с С, а внутренняя
образовала бы тогда инвариантную кривую, лежащую между
С и С", что противно допущению.
Остаётся открытым вопрос, могут ли в аналитическом случае
наблюдаться кольца неустойчивости в любой окрестности особой
точки. Однако, Биркгофу удалось построить пример такой дина-
мической системы
dp   ЭН
dt	dq ’
dq _дН
dt др ’
имеющей кольца неустойчивости, где Н = Н (р, q, t) имеет бес-
конечное число производных по своим аргументам и аналитична
всюду, кроме, быть может, значений: t = 0; ± 2к;...; ±'тиг,_
На основе- доказанных теорем можно формулировать следую-
щее предложение:
Теорема. Если имеем устойчивое эллиптическое периоди-
ческое движение, то в окрестности этого движения возможны
следующие два расположения интегральных кривых: либо не-
которая 3-мерная торообразная окрестность периодического
движения целиком заполнена двумерными торообразными инва-
риантными поверхностями; либо имеется система торообраз-
ных интегральных поверхностей, между которыми существуют
интегральные кривые, имеющие точки в произвольной близости
от одной и от. другой интегральных поверхностей. Последний
случай, возможно, и не наблюдается для аналитической системы
ипавнемий.
§ 9. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 235
Переходим теперь к неустойчивой эллиптической точке.
Лемма. Существуют континуумы £а и £ш, содержащие
начало координат О и точки на границе фиксированного круга
Us, такие, что	и
Рассмотрим последовательность замкнутых сферических
«окрестностей: а1г с3) с3,... , ск,.. . точки О, радиусы которых
стремятся к нулю.
Для каждой из этих окрестностей с7 (А = 1,2,...) построим
последовательность:
ГДсД...,Ти(СД....
Точка О по условию леммы неустойчивая, следовательно,
существует некоторый замкнутый круг Vs, такой, что для каждого
ак с достаточно большим номером, найдётся тг(сл)г) такое, что
Тп(а*)(ал) имеет точки вне tZs, а71п(о^_1(сл) ещё целиком лежит внутри
Us. Множество	(с/;) есть замкнутое связное множество, со-
держащее точку О и имеющее точки на границе круга Us. Рас-
смотрим теперь компоненту множества
содержащую точку О и точку границы; обозначим эту компонен-
ту через Z.fc. Множество Lk есть континуум, причём по определению
Г ' (£Д Г s.(Zt.),..., Т-«(»«(£*)
лежат в Us.
Рассмотрим теперь последовательность континуумов
Д, Z2, 4,..., где Lk = Lk 4- Г'1 (ZJ:) + ... + Т~(£*),
лежащих в U, и выделим из него сходящуюся подпоследователь-
ность: Lin, Lh2,   , Ь!;п,- .. Пусть предельный континуум для этой
подпоследовательности есть Покажем, что он обладает всеми
требуемыми свойствами.
В самом деле, так как все Lk содержат О и точки на грани-
це круга Us, то Ёа тоже содержит О и точки на границе круга Us.
Покажем теперь, что 71 (Ей) ( £л.
.Для того, чтобы это показать, заметим, что из взаимной не-
прерывности преобразования Т и того обстоятельства, что радиус
окрестности <зк стремится к нулю при неограниченном возраста-
нии её номера, следует, что множество Cj.-j-Z1 (с/;) имеет диаметр,
•стремящийся к 0 при к —> со.
*) В силу непрерывности преобразований Тп (п — 1, 2,...) число
а(о») неограниченно растёт при к —>са.
Ё36
ГЛ’ И1.ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим множество Т"1 Это — связное множество, при-
чём оно состоит из точек £к и точек, входящих в Т~1 (аД, т. е»
Т^(1к)(ЛЦ^Т^(ак).
Но
lim(L*n + T-* (%.)) =
П-+СО
и так как lim d (T~l (®/: )) = 0 и ак содержит инвариантную точ-
я—ге	11	П
ну 0, то 7' 1 (о^) при п —> оо сходится к точке 0. Итак,
lim Т~* (Lkn) CZ SE. Отсюда, так как 7' 1 (Sa) = lim Т'1 (Lkn), то
ts—п—>СО
т-рдсЛ,
что и требовалось доказать.
Аналогичное рассуждение для преобразования 71"1 доказывает
существование континуума
Эта лемма, если ей придать динамическую формулировку ?
приведёт к следующей теореме.
Те о р е м а. В окрестности эллиптического неустойчивого
периодического движения существуют два континуальных семей-
ства движений, из которых одно устойчиво по Лагранжу в по-
ложительном направлении, т. е. при -|-оо, а другое — е от-
рицательном, т. е. при t—> — оо.
Мы видим здесь некоторую аналогию с гиперболическим слу -
чаем. Однако, асимптотичность этих семейств в общем случае-
мы утверждать не можем.
Для получения более точных результатов приходится ввести
дополнительные ограничения, уже чисто аналитического харак-
тера. Прежде всего мы рассмотрим, если следовать терминология
Биркгофа, общий устойчивый случай, т. е. тот случай, когда
преобразование Т, с помощью формального преобразования пере-
менных, может быть приведено к форме
иг = и cos (р 4- cr3rn) — г sin (<р + cr'im},
t’j — и sin (ф + cr2,n) + v cos (<p + crsm),
где r —]/ ?z.2-f-r2, <p=arctg ~ и с>0г).
Заметим, что случай ш=1 наиболее общий, так как
уже требует для своего осуществления выполнения некоторого
соотношения; наконец, совершенно вырожденный случай т = + «' ,
Иными словами, преобраеование Т представляет собой закручива-
ние, увеличивающееся по мере удаления от периодического решения.
g 9. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 237
т. е. его осуществление требует выполнения счётного числа соот-
ношений. В дальнейшем мы ограничимся анализом случая т = 1.
Если формальные преобразования выполнять до членов не-
которого порядка о., то иг и Pj могут быть действительными ана-
литическими преобразованиями переменных приведены к виду:
— и cos (<р Ч-сг2) — v sin {^-\-сг^)Л-Р{и, v),
= и sin (<р 4- er2) 4- v cos (<р + сг2) + Q {и, v),
где Р и —степенные ряды, начинающиеся с членов порядка
•р+1. Если ввести полярные координаты г и 6, то эти уравне-
ния перейдут в следующие:
Г, = Г 4-Л (г, 8), ®1 = ?4-64-сг24-5(г, б),
где R и S представляют собой непрерывные функции от пере-
менных г и в, разложимые по степеням г, с аналитическими
по б коэффициентами. Первый из этих рядов начинается с членов
у.1-го порядка, а второй—с членов порядка р. Таким образом,
при преобразовании Т, для малых г, радиус-вектор г не меняет-
•ся с точностью до членов p-j-1-го порядка, а угол увеличивает-
ся на б-j-cr2 с точностью до членов порядка р. Во всяком
«случае, для малых г, радиальное направление = const, переходит
в кривую ®1 = 'р1(г), все точки которой перешли в точки с боль-
шим <$>, т. е., фигурально выражаясь, точки радиуса поворачи-
ваются в положительном направлении, причём закручивание тем
больше, чем мы находимся дальше от центра. При 7’"1 вращение
происходит в обратном направлении.
Перейдём на декартову плоскость (г, <р), причём точ-
ки (г, <р) и (г, ф4~2йя) будем считать за конгруентные, как соот-
ветствующие одной точке в полярной плоскости. Направление осей
выберем следующим образом: ось направим горизонтально
влево, а ось г вертикально вверх. В таком случае, прямая
«р = <рс будет переходить в кривую, расположенную от неё вправо,
«если смотреть в сторону уменьшающихся г, при Г и влево
при Т~г (черт. 26).
238 гл. III. ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Некоторую окрестность эллиптической точки назовём регуляр-
ной, если она столь мала, что преобразование Т вращает каж-
дое радиальное направление в положительную сторону (против
часовой стрелки), а Т1 — в отрицательную сторону (по часовой
стрелке).
Указанный выше вид преобразования показывает, что в общем
устойчивом случае такие регулярные окрестности существуют. На
декартовой плоскости (г,<р) регулярная окрестность будет пред-
ставлять собою полосу, расположенную выше оси г=0.
Пусть дана кривая, начинающаяся от некоторой точки .4 на
границе регулярной окрестности, ограниченной прямой r—d,и про-
текающая далее в этой окрестности. Мы скажем, что эта кривая
достижима справа, если существует гладкая кривая, идущая из
некоторой точки В, расположенной на прямой r—d левее точки А,
если смотреть к центру на прямую r—d, в произвольную окрест-
ность любой точки заданной кривой, причём эта кривая не пере-
секает данной кривой, нигде не имеет вертикальной касательной
и вдоль неё монотонно возрастает-при убывании г (черт. 27).
Аналогично скажем, что кривая достижима слева, если суще-
ствует гладкая кривая, идущая от точки В, расположенной на
r—d левее точки А 1) к заданной кривой, причём она нигде
не пересекает данной кривой, не имеет вертикальной каса-
тельной и вдоль неё монотонно убывает при убывании г
(черт. 28).
Пользуясь этой терминологией, установим некоторые даль-
нейшие свойства инвариантных кривых, как в устойчивом, так
и в неустойчивом случае, если эти кривые расположены в регу-
лярной окрестности особой точки.
Начнём с устойчивого случая.
Лемма. Если преобразование Т сохраняет площадь, то
инвариантные кривые, окружающие устойчивую особую точку,
пересекают каждый радиус-вектор только в одной точке.
) Координата у точки В меньше, чем координата ? точки Л.
§ 9. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
Переходим на декартову плоскость (г, и допустим, что утвер-
ждение теоремы неверно.
Пусть L соответствующая инвариантная кривая, а Г область,
которую она заключает. Рассмотрим совокупность точек, дости-
жимых исходя от г=0 по линиям const. Совокупность этих;
Черт. 28.
точек образует некоторую замкнутую же область Г*; граница
этой области состоит из точек инвариантной кривой L и прямо-
линейных интервалов, расположенных на прямых const. Если
Г и Г* совпадают, то утверждение теоремы справедливо. Если же
нет, то граница области Г* содержит вертикальные сегменты.
Могут представиться два случая: 1) имеются части области Г,
ограниченные кривой L и сегментом, лежащие справа от верти-
кального сегмента или 2) существуют подобные области, лежащие
слева от вертикального сегмента.
Рассмотрим первый случай. При преобразовании Т радиус
-4В превратится в кривую А'В', так как все точки двигаются на-
право (черт. 29). Кривая L инвариантна, следовательно, изучае-
мая область должна была бы перейти в заштрихованную часть,
что невозможно, ввиду свойства преобразования Т сохранять
площадь. Следовательно, подобных областей быть не может.
240
ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Аналогично, применяя преобразование У"1, мы докажем невозмо-
жность областей левого типа. Этим теорема доказана.
Переходим к неустойчивым точкам и уточним структуру кон-
тинуумов £в и Ещ.
Лемма. Континуум Еа достижим слева, а континуум So,
достижим справа.
Рассмотрим образ континуума Еа на декартовой плоскости
(г, ср). Он представляет собой, собственно говоря, счётное число
экземпляров одного континуума. Возьмём его ветвь, начинаю-
щуюся на прямой r= d в отрезке от 0 до 2~, причём в качестве
начальной точки А (<р) берём самую левую точку (с наименьшей
координатой <р).
Будем рассматривать граничные точки множества Ев, т. е.
точки, образующие границу области между Еа и прямой r = d.
Вопросом, существуют ли другие точки в Еа, мы не интересуемся.
Заметим теперь, что Еа не может содержать вертикальных частей
в регулярной окрестности, так как из равенства:
?i — ? + -4- сг2 S (г, 6)
вытекает, что в достаточно малой окрестности точки О, в си-
лу условия с > 0, tpj увеличивается вместе с г при преобразо-
вании Т.
Рассмотрим теперь некоторый радиус <р = <р0, идущий левее 
точки А: <р0 < <р; так как на Еа нет вертикальных участков, то
на пересечении Еа с <р = <р0 получим нигде неплотное замкнутое
множество, причём каждый смежный интервал в изучаемой обла-
сти между r==d и Еа будет определять либо правую область I,
т. е. лежащую справа от радиуса, и слева от Еа, либо левую
область II, т. е. лежащую слева от радиуса и справа от кривой
2 а
То
Черт. 30.
(черт. 30). Покажем, что не может быть правых областей. В
самом деле, вследствие инвариантности относительно Т множества
Еа изучаемая область будет ограничена частью кривой Еа и обра-
зом радиуса AQP. Но преобразование Т в регулярной окрест-
ности увеличивает угол ф, следовательно радиус AQP (<p=const)
§ 9. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
241
займёт положение AQ1P1 (считая, что на г = 0 он не двинется *)
левее того, которое он занимал первоначально (черт. 31), т. е.
область PSQ должна перейти в свою часть P1S1Q1, что исклю-
чается ввиду свойства преобразования Т сохранять площадь.
Следовательно, не существует правых областей. Поэтому все
точки континуума Еа достижимы слева.
Аналогичное рассуждение доказывает наше утверждение и
для Ею.
Пользуясь этой леммой, можно показать далее:
Лемма. Множества Еа, 71"1 (Ек),.. . ,Т'п (Еи),.. ., а также Еш,
7(ЕЮ),..., 7,'(Е(.1),.. . при п—>со стягиваются к началу координат.
Допустим противное — положим, что существует последователь-
ность натуральных чисел п1г п2, п„,. .., где щ —>со при i ~^со, такая,
что множества 71~И1(Еа), 71_,,2(Еа),. .., 71_,i‘(EK),. .. имеют точки на
некоторой окружности г = га (га>0). Рассмотрим связное зам-
кнутое подмножество
Е’CZ Т1-^ (£к), содер-	р	£а
жащее начало коор-	3~—~~Г"------------
динат и хотя бы одну
точку на г = га. Все	WOa
множества?^ (£*) для	Q
А-О, находятся вну-
три исходного круга	\	J
Us. Выберем из кон-	___.-А-
Е’ сходя-	\
щуюся последова-	_____________
тельность. Обозна-	А
чин предельный кон-	ч 31
тинуум через Sa(fl.
Все образы множе-
ства Ею., как при итерации преобразования Т, так и преобразо-
вания 71-1 находятся внутри Еяш.
В самом деле, с одной стороны, Е„„, состоит из точек предель-
ных для Т~т (Еа), т. е. из точек множества Еа, так как
Т - (Еп) CZ Ео; с другой стороны, в любой близости к предельному
множеству Еки находятся точки множеств Е’, образы которых
при Tk продолжают входить -в Ек, причём чем ближе множе-
ство к предельному, тем большее число образов его находятся в Еи.
Следовательно, «полнаятрубка» 2), построеннаяна Екю, будет связ-
ным инвариантным множеством, соединяющим начало с точками на
та и, следовательно, к нему приложимы все рассуждения пре-
L) Т. е. с точностью до поворота-
2) Под полной трубкой, построенной на некотором множестве А, по-
нимается сумма всех множеств Тп (-4) (п = 0,+ 1, + 2, . . •)•
Немыцкий и Степанов
16
242
гл. Ш- ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
дыдущей леммы. Оно должно быть достижимым и справа и слева,
т. е. должно содержать радиально направленные отрезки, что
невозможно, так как радиусы изменяются в различных точках
по-разному. Итак, существование множества Еаш противоречи-
во. Этим лемма доказана.
Очевидно, доказанные леммы устанавливают следующую
теорему.
Теорема. Если «площадь сохраняющее'» преобразование Т
имеет неустойчивую эллиптическую точку «общеустойчивогс
типа», то в окрестности данного периодического движения
существуют два непрерывных семейства движений, асимпто-
тически приближающихся к началу: одно при + оо, а другое
при t — ос.
Заметим теперь, что множество при приближении к прямой
г = 0 должно неограниченно распространяться влево. Для этого
достаточно показать, что на нём имеются точки с произвольно
большим углом.
Преобразование Т в рассматриваемом случае имеет вид
+ сг“ + 5 (г, 6),
r1—r-\-R (г, 6).
Из этих равенств заключаем, что
—г|<с'т*+1,	— <р > & -[-с "г2, с'> 0; с" > 0.
Второе из этих неравенств даёт:
п- 1
<Рп>? + ^-4-с"2/’г
/=о
Далее первое неравенство даёт:
Л- 1
I г„ — г I < с' V г!Д1 .
> 0
Если теперь предположим, что р > 3 и rj < 1, что мы всегда
можем сделать, и обозначим через М максимум, через т мини-
мум rj, то последнее неравенство даёт
п- 1
М — т < с' М2 V г’,
що
и, следовательно,
Л—1 1
2 2 \	1 С 7 т Л -V 1
г> >	лгу > rtf'
/=0
§ 9. СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 243
Итак, если при всех изменениях изучаемое множество оста-
ётся в малой окрестности, то М тоже достаточно мало, а,
п- 1
следовательно, г,- достаточно велико. Следовательно,
/=о
сколь угодно велико. Так как Еа при всех итерациях остаётся
в окрестности Us, то на нём © должно стать сколь угодно боль-
шим для точек, близких к началу. Этим и доказывается наше
положение.
Это последнее рассуждение показывает, что Еа и S<„ суть
спирали вокруг начала координат, завёрнутые, однако, в про-
тивоположных направлениях и, следовательно, пересекающихся
в бесконечном множестве точек. Каждая точка пересечения,
как вытекает из предыдущей теоремы, приводит к существова-
нию двояко-асимптотического движения. Итак:
Теорема. В произвольно малой окрестности неустойчи-
вой эллиптической точки общеустойчивого типа имеются двояко-
асимптотические движения.
Последним вопросом, связанным со структурой окрестности
эллиптической точки, будет вопрос о периодических движениях
вблизи данного эллиптического периодического движения. Прежде
всего, те исследования, которые были приведены в главе II
относительно существования периодических движений вблизи
положения равновесия, почти без всяких изменений переносятся
на случай эллиптического периодического движения, и мы по-
этому можем формулировать следующую теорему.
Теорема. Около каждого движения общеустойчивого эллип-
тического типа существует бесконечное множество движений
периодических.
Хотя эта теорема и может быть выведена из общей теоремы,
но мы приведём доказательство её, опуская, правда, некоторые
подсчёты, имея в виду, что многие соображения здесь несколько
упрощаются.
В общеустойчивом случае преобразование Тп имеет вид:
rn = r + /?ll(r, 6),
<рл = <р+ «& +пег®-j-Фц (г, б), 0<6<2тс,
где ]ЯИ| и j Фи | порядка Кг'е- при р. сколь угодно большом, если
п< Lr-v-, причём можно было показать, что подобным же нера-

венствам удовлетворяют
d'f
“зГ| и
Следова-
тельно, если к и п выбрать соответственным образом, то коли-
чество
Тг. — ? —	= пб пег2 + Фи — 2йж
16*
214 ГЛ. Ш- ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
при г—О становится отрицательным. Оно возрастает вместе с г,
переходя от отрицательных к положительным значениям.
Предположим, что к и п не имеют общих множителей.
Очевидно, что существует кривая Dn^, на которой <рп = <р + 2Аж,
и зта кривая пересекает каждый радиус, выходящий изначала,
только в одной точке. Так как при преобразовании Тп площадь
н₽ изменяется, то площадь, заключённая в Dn>h, должна быть
равна площади, заключённой в 71П(7)П>;>). Обе кривые окружают
особую точку. Следовательно, эти кривые имеют по меньшей
мере две общие точки: Р и Q. Поскольку	-|-2Аж, то
точки Тп(Р) и Р, а также Tn(Q) и Q имеют соответственно
одну и ту же угловую координату и, следовательно, совпадают
между собой. Таким образом, мы обнаружили существование
точек Р и Q, инвариантных относительно преобразования Тп.
Движения, соответствующие этим точкам, очевидно, являются
периодическими.
Эта теорема доказана.
Можно несколько продолжить эти исследования, изучая самый
характер периодических движений, расположенных вблизи от дан-
ного периодического движения эллиптического типа.
Ещё Пуанкаре *) в частных случаях показал, что всегда
существуют периодические движения и устойчивого и неустой-
чивого типа. Но для ббщеустойчивой эллиптической точки
не удаётся обобщить этого положения. Однако Левис показал,
при дополнительных ограничениях, которые, к сожалению, нельзя
формулировать, не излагая самого метода доказательства, что
это утверждение Пуанкаре имеет место и в произвольно малой
окрестности эллиптической точки в «общем случае», а именно, в
такой окрестности существует бесконечное множество как устой-
чивых, так и неустойчивых периодических движений. Более того,
множество периодических движений в окрестности общеустойчи-
вого эллиптического движения в «общем случае» будет плотно
в себе.
Ч См. «Methodes nouvelles de la Mecanique celeste».
ГЛАВА IV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изложенная во вступительной главе классическая теория
динамических систем рассматривала движения, определённые
системой дифференциальных уравнений
=	(/=1,2, ...,п),	(1)
где правые части являются непрерывными функциями точки
Р (xi, х2,  • •, хп) в некоторой замкнутой области D «-мерного
евклидова «фазового пространства». Сверх того предполага-
лось, что эти функции удовлетворяли дополнительному условию,
обеспечивающему единственность решения, определённого началь-
ными данными:
ж1=а:10). х% — ж20)>	, хп — х<я* при 2 = 0,
где ра	есть начальная точка движения;
таким достаточным условием является, например, условие
Липшица.
В этом случае1 был доказан ряд общих свойств движений,
определённых системой (1): всякое решение или может быть
неограниченно продолжаемо при t —> ± оо или достигает при
конечном значении t — T границы области D; всякое решение
(/ = 1,2, ...,«)
является непрерывной функцией от времени I и координат началь-
ной точки; наконец, поскольку правые части уравнений (1) не
зайисят от времени, то если движение, начинающееся в точке р,
в момент t, достигает точки а движение, начинающееся в
в момент f2 достигает точки р2, то первое движение достигает
точки р2 в момент ix+if2 (свойство группы).
При наиболее общих исследованиях динамических систем пред-
ставляется целесообразным отвлечься от . определения динами-
ческой системы при помощи дифференциальных уравнений (1)
и ввести абстрактное определение динамической системы, которое
включает йсе те её свойства, которые должны быть использованы
246	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
мри доказательстве теорем. Наконец, если итти дальше по этому
пути абстракции, нет оснований ограничиться n-мерным евкли-
довым-пространством Еп. В самом деле, при доказательствах мы
будем пользоваться только некоторыми свойствами пространства;
поэтому естественно аксиоматически определить такие возможно
более общие пространства, в которых задаётся динамическая
система и в которых её свойства будут те же, что и в обычном
евклидовом пространстве. Все теоремы, полученные на этом пути
абстракции, в качестве частного случая, будут иметь место для
систем, заданных уравнениями (1) в Еп (или в его части, напри-
мер, в компактном подмножестве, если теорема доказана для
компактного абстрактного пространства).
§ 1. Метрические пространства
Мы будет рассматривать динамические системы, определённые-
в метрических пространствах1).
Метрическим пространством R называется множество эле
ментов (точек), в котором для каждой пары точек p,q£R опре
делена неотрицательная функция р(р, q)— расстояние, удо-
влетворяющая трём аксиомам:
I- Р (.Р> q) > 0, причём р(р, ?) = 0 тогда и только тогда,
когда р=д;
II. р(р, §) = р(9, р)— аксиома симметрии;
III. р(р, г) <р(р, q)ф- р (q, г) — аксиома треугольника 2).
Если А любое множество в R, то расстояние от точки р до
множества А определяется, как нижняя грань расстояний до
точек множества А:
р(4, р) = р(р, 4) = infp(p, q).
Последовательность точек p^,pt, ...,рп, ... сходится к точ-
ке р, если lim р(рп, р) = 0; в таком случае мы будем писать:
п->оо
limpn = p или рп~^-р-
п->со
Имеет место соотношение: если р = lim рп и д' —любая точка,
то lim р(рп, д) = р(р, д). Это следует из аксиомы III:
П~>со
Р (Р. ?) — Р (Р, Рп) < Р (Рп, 9) < Р (Рп, р) + Р (F, ?)•
*) См, X аусдорф, Теория множеств, §§ 21—26. ОНТИ, М.—Л. (1937) -
-) Мы будем говорить, что в пространстве установлена м етр и к а.
если в нём определено расстояние.
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	247
Точка р называется предельной для множества А, если
существует последовательность {pn}CZA такая, что limpn = ,p.
П->00
Очевидно, что в этом случае р(р, А) — 0. Обратно, если выпол-
няется последнее равенство, то или р£А или р является пре-
дельной для А.
Множество FCZ^ называется замкнутым, если оно содер-
жит все свои предельные точки. Пустое множество и множество
из конечного числа точек не имеют предельных точек и являются
замкнутыми. Дополнение к замкнутому множеству называется
открытым множеством.
Введём обозначение: множество точек p£R, удовлетворяющих
неравенству р(р, р0) < е, где p£R, а е — любое положительное
число, мы будем обозначать S (рв, е) и называть сферой радиуса
з вокруг точки рв. Аналогично, множество точек р таких, что
р (р, А) < е, будем обозначать через S (A, s) и называть е-окрест-
ностью множества А.
Если F — замкнутое множество в p£R — F, то р(р, F)^>0.
В самом деле, допустив р(р, F) = 0, мы имеем inf р (р, q) = О,
значит, существует последовательность {<?n}CZF такая, что
limp(?n, р) = 0, а тогда р является предельной точкой для F,
>со
т. е. в силу замкнутости F мы имели бы: p£F, против пред-
положения.
Отсюда непосредственно следует: если G открытое множество
и р € G, то существует такое е > 0, что S (р, е) G, т. е. каждая
точка входит в открытое множество вместе с некоторой окру-
жающей её сферой. Это свойство характерно для открытого
множества. Пусть в самом деле G обладает тем свойством, что
для любой точки p£G найдётся е>0 такое, что S(p, е) CZ.G.
Покажем, что R—G есть замкнутое множество. Если R—G пусто
пли содержит конечное число точек, теорема очевидна. Если
R—G содержит бесконечное число точек и существует сходя-
щаяся последовательность {pn}, limpn — р0, то в силу определе-
п->со
ния сходимости для любого г > 0 найдётся такое рп, что
p(p0, Рп) < е, т- е. Pn£S (ре, е). Таким образом, в любой сфере,
содержащей точку рв, найдутся точки pn£R — G, значит рв не
есть точка G. Таким образом, pa£R— G, т. е. R — G замкнутое
множество, a G — открытое.
Из этого критерия сразу следует, что S(pB, е) есть множество
открытое, так как, если р£8(рв, г), то Р (р, Ро) = <Л< е и в силу
-аксиомы III: S(p, г — d)C2 S (ре, s).
Имеют место теоремы:
Теорема А. Пересечение любого множества замкну-
тых множеств есть замкнутое множество (может быть
пустое).
£48
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Пусть A~TIFa, где Fa—замкнутые множества. Допустим,
а
что {Рп}сЛ и рп—>Р', покажем, чтор£Л. Из условия {/?„} CZ Л
следует, что для любого множества Fa мы имеем {pn} r~ Fa, а тогда
в силу замкнутости Fa также p^F”-, значит р £117<’а = А,
а
Переходя от замкнутых множеств Fa к их дополнениям, от-
крытым множествам G — R — Fa, получаем:
Теорема В. Сумма любого множества открытых мно-
жеств есть открытое множество (может быть всё про-
странство R).
Пусть A C.R любое множество. Множество А, получаемое
присоединением к А всех его предельных точек, называется
замыканием множества А. Для всякого множества А мы имеем:
А СЕ А; для замкнутого множества F имеем:
F=F.
Теорема 1. Замыкание А любого множества А есть
замкнутое множество, т. е. А = А.
В самом деле, пусть {рп}СЕ.А есть сходящаяся последова-
тельность: рп—>р0; покажем, что рв£А. Пусть г > 0 произ-
вольно задано. Из определения сходимости следует, что найдётся
точка рп с расстоянием р(р0, рп) < у . Так как рп£ Л, то она или
входит в Л или является предельной точкой для Л; в обоих
случаях существует точка д£А такая, что Р (<?, рп) < 4>-•
В силу аксиомы III получаем р(р0, ?) < г, т. е. рв является
предельной точкой множества Л, иными словами, р0 € Л, что
и требовалось доказать.
Легко убедиться, что р(Л, а) = р(Л, г).
Иногда мы будем рассматривать множество точек р, удо-
влетворяющих условию р(р0, р)-<е; мы будем называть это мно-
жество замкнутой сферой радиуса е около точки рв и обозна-
чать iS'fPo, е]. Легко показать, что это множество замкнутое
(если р(р0, рп)<* и рп-^р, то р(р0, р)<^е), но оно может и не
быть замыканием открытой сферы S (р„, е). Вот пример: R есть
множество чисел х, удовлетворяющих условиям: —оо<ж<—1
или 0Сж<4-со; расстояние определяется, как обычно, на чи-
словой прямой: р(ж, у)-\х—- у | . Тогда S (0, 1) — [0, 1), т. е.
множество 0<ж < 1, его замыкание — 5 (0,1) есть [0,1], а замкну-
тая-сфера iS'[O,l] = [O,l]-j-( —1).
Множество ErR называется связным, если его нельзя пред-
ставить в виде суммы Е — А-\- В, где Л и В не пусты
§ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	249
и АВ А- ВА = 0, т. е. Е нельзя представить так, чтобы каждое
слагаемое не имело предельных точек на другом. Если же
такое разложение возможно, то множество Е называется не-
связным, Ал В — его компонентами.
Из определения следует, что замкнутое связное множество
не мож т быть представлено как сумма двух замкнутых непу-
стых множеств без общих точек; в самом деле, мы имели бы:
Е^А + В, АВ = 0,	А^А,В=В~,
т. е.
АВ + В 4 = 0,
т. е. F — несвязное множество.
Теорема 2. Компоненты несвязного замкнутого множества
суть множества замкнутые.
Пусть F замкнутое множество и пусть F — AA-B, где
ABA-BA — Q. Допустим, что, например, А незамкнуто; тогда
существует последовательность точек {р^} CZ .4 такая, что рп—>р
и р не содержится в А. Так как {pn}CZ.F и F замкнуто, то
p£F л значит р£В.
С другой стороны, р£А, значит р£А В, которое таким
образом не пусто. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Всякое открытое множество U(р), содержащее данную точ-
ку р, мы будем называть окрестностью точки р; из опреде-
ления следует, что U (р) является окрестностью для любой
точки q£U(р}. Система окрестностей {Ua} называется базой
пространства В, если для любой точки р С В и любой её ок-
рестности U (р) найдётся окрестность Ua из базы такая, что
Ptusc:U(p).
Всякое открытое множество G6Z.R может быть представлено
как сумма окрестностей, составляющих базу. Действительно,
по условию для каждой точки p£G найдётся окрестность U(р)
из базы такая, что р £U (p)CZ.G. Но тогда очевидно
^U(p) = G.
rtG
В приложениях мы почти исключительно будем встречаться с
метрическими пространствами, обладающими счётной базой:
{UltU„ ...,ип,
Определение: Множество Лей называется всюду плот-
ным в В, если А —В.
Теорема 3. В метрическом пространстве со счётной базой
существует счётное всюду плотное множество.
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
250
В самом деле, в каждой окрестности Un отметим одну точку
PnWn (среди точек рп могут быть и равные). Тогда {рп} и есть
искомое всюду плотное множество. Пусть, в самом деле, p£R
произвольная точка и е > 0 произвольное число. Для открытого
множества S (р, в), в силу определения базы, найдётся Un такое,
что p£UnC.S(p, s), а тогда для pn£Un имеем: р(р,рп) < е,
что и доказывает теорему.
Теорема 4. Если метрическое пространство R обладает
счётным всюду плотным множеством, то в нём существует
счётная база, все окрестности которой суть сферы.
В самом деле, возьмём счётное множество всех положитель-
ных рациональных чисел г,, г2, ... , гп, . .. и счётное всюду плот-
ное множество {рп} и построим счётное множество сфер S (рп, гД
(п = 1, 2, ... ; Л = 1, 2, ...). Этой есть искомая база. Действи-
тельно, пусть U (р) — любая окрестность точки р. По свойству
открытого множества существует е > 0 такое, что S (р, е); £7 (/>);
далее найдутся точка pn£S Qp, и рациональное число г,.,
S
гДе y > rk > р (рп, р), Тогда мы имеем:
PWpn, rk)CZS(p, e)CZtf(p).
Из теорем 3 и 4 вытекает:
Следствие. Если метрическое пространство имеет счёт-
ную базу, то оно имеет также счётную базу, составленную
из сферических окрестностей.
Примером метрического пространства со счётной базой яв-
ляется евклидово пространство £'п = {(ж1, х2, . . . , хп)} с рас-
стоянием
Р [(«,, х2, ... , хп), (У1, у2, ... , уп}} =	У«)*•
Здесь счётное всюду плотное множество есть, например, множе-
ство рациональных точек — rl2, .. . , Д), т. е. точек, у ко-
торых все координаты рациональны. Счётной базой является
семейство сфер с рациональными центрами и рациональными
радиусами.
Теорема 5 (Бэр). Если в пространстве со счётной базой
имеется вполне упорядоченная последовательность вложенных
друг в друга замкнутых множеств, которые все различны, то
мощность этой последовательности не выше счётной.
Пусть имеем последовательность замкнутых множеств:
F1ZDF2ZD...Z)FnZD...Z3F0>ZDF0>+1^...,	(F)
причём по условию	есть истинная часть множества Ft.
§ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
251
Рассмотрим возрастающую последовательность открытых мно-
жеств
GXCZG2CZ ... CZGnCZ.--CGn.CZ GM+1CZ-. - ,
где Ga = Pi — Fa. Пусть {Un} есть счётная база пространства Pi.
Для любого а найдётся точка />«6Gh|1 — GK (эта разность не
пуста, так как она равна Fr, — Fa+i) и содержащая её окрестность из
базы GnacZGa+i. Очевидно, Una не содержится целиком в G«.
В силу этого двойного свойства, если а Р, то U„a =# Un?. Так
как мощность базы счётная, то множество индексов а в после-
довательности (F) не более, чем счётно, откуда и следует
теорема.
Итак, последовательность (F) имеет тип натурального
числа или трансфинитного числа II класса. Если
В' последовательности (F) допускать возможность равенства
F* — Fa+t, то из теоремы следует, что, начиная с некоторого
числа не выше II класса, мы будем иметь: Fa=Fa+i (Fa может
быть пусто).
Теорема 6. Если некоторая система открытых мно-
жеств {G-Л покрывает пространство R, обладающее счётной
базой {Gn}: Pi = 2 G^, то из этой системы можно выбрать
систему мощности не выше счётной, обладающую тем же
свойством:
R = ^Gn.
п—1
Эту теорему не трудно вывести из предыдущей. Дадим не-
зависимое её доказательство.
Из системы {Gn} отберём те окрестности {Un'}, которые це-
ликом лежат внутри какого-нибудь множества Gv, и для каждой
такой Un- выберем одно множество GvZZ)t/n-, которое обозначим
через Gn'. Совокупность {Gn<} имеет, очевидно, мощность не выше
счётной. Покажем, что она покрывает R. Пусть p^R—любая
точка; в таком случае найдётся Gv такое, что р g Gv. Далее по
свойству базы найдётся Un такое, что р g Un CZ Gv, а значит, эта Un
входит в систему {Un-}. Пусть Un~Um--, так как CZ Gm', то
p^Gm', т. е. S Gn- покрывает R.
п'
Теорема 7. В метрическом пространстве со счётной базой
всякое открытое множество может быть представлено как
сумма счётного числа замкнутых множеств.
Пусть G6E.R открытое множество. Каждой точке P6.G можно
поставить в соответствие число г (р) > 0, такое, что S (р, г (р)) G;
если же взять г'<г(р), то очевидно 5(p,r')CZG. Из покрытия
множества G множествами S (р, г') можно, по теореме 6, вы-
252
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ"
брать счётное покрытие {5 (рп, г„)}, так что 2 $ (Рп> г'пУР-G;.
п=1
но по построению мы имеем:
со	оо
3 s (Рп> г‘п) С 2 cz G.
п~I	п — 1
Следовательно, G представляется как сумма замкнутых множеств:
G = 2jS(Pn>r'n),
n~i
Пространство R называется компактным, если любая беско-
нечная последовательность его точек содержит сходящуюся под-
последовательность. Примером компактного пространства может-
служить любое замкнутое ограниченное множество евклидова,
пространства Еп (принцип Больцано-Вейерштрасса).
Теорема 8. В компактном пространстве счётная после-
довательность вложенных друг в друга замкнутых (непустых);
множеств имеет непустое пересечение.
Пусть эти множества будут: F,, 1<\, . .. , Fn, . ..
Если, начиная с некоторого к, мы имеем FJ.=FA+1=FA+2= ... ,
то I[Fn — Fk не пусто. Если среди {F,,} есть бесконечное число
п=Л
различных, то выбираем подпоследовательность множеств
FniZDF?l2ZD -   ГЭЕ,,*:!) .. . ,
так что каждое следующее составляет истинную часть преды-
дущего и выбираем точки pk£Fnk—Fnk^ (к — 1, 2, ...). Вейлу
компактности последовательность {рк} имеет предельную точку у.
Так как по построению pk+mC^Fпк (т=^ 1,2, .. .) и так как F„fc
замкнутее, то pC.Fnk для любого к, т. е.
penF„fc= п Fn.
];=Л n—i
Теорема доказана.
Следствие. Если компактное пространство R покрыто
счётной, системой открытых множеств {Gn} (п = 1, 2, ...), то
из этой системы можно выбрать конечную систему, покры-
вающую R.
Допустим, что это предложение неверно. Строим последова-
тельность замкнутых множеств:
п
F3 = R-Gp, F^R-iG^G,), Fn = R~ .
i— 1
§ 1. метрические ПРОСТРАНСТВА
253
В силу допущения ни одно из них не пусто, причём, очевидно,
/j ZDF2ZD ... ZDFnZD - •  По теореме 7, не пусто их пересече-
со	т	гп
нпе П Fn. Но П Fn = Fm = R —	следовательно,
n=i	n=l	г — i
co	co
Г1^п= R-^Gi
n=l	i=l
CO
не пусто, а это противоречит условию /?= 2 Gi-
i-1
Для компактного метрического пространства имеет место
Теорема 9. Компактное метрическое пространство имеет
счётную базу.
Докажем сначала, что компактное метрическое простран-
ство К для любого а>0 имеет s-сеть, т. е. конечное множе-
ство точек plt р.„ . . . , рк, обладающих тем свойством, что
для любой точки рб К найдётся точка р,, такая, что р(р, pi) < s.
В самом деле, если бы для некоторого г > 0 не существовало
s-сетп, то, выбрав одну точку р,, можно было бы найти р2 так,
чтобы было р (рх, р,,) > г; вообще для любого п, найдя точки
Pi, Рг>    > Рп, такие, что р(р,, pi) > г (/, /= 1, 2, ... , л), мы
могли бы найти точку рп+1 так, что & \pn,.i, Pi)i>e (/= 1, 2, . .. , ri).
Построенная таким образом счётная последовательность {рп} нс
имела бы предельной точки. В самом деле, допустив существо-
вание такой точки р, мы имели бы для пг > и2 > N,
?{Рп1,р)<^,ге(рП2,р)<^, т. е. р (р)31, р„2) < г в противоречии
со свойством последовательности, точек {рп}. Но несуществова-
ние предельной точки для {рп} противоречит компактности про-
странства К. Существование s-сети в К для любого г > 0, та-
гким образом, доказано.
11 1
Построив е-сети для e = l,-g-,—и взяв сумму
соответствующих конечных множеств, мы получаем счётное
множество точек q\, q2, ... , qn, ... , которое, как легко видеть,
всюду плотно в К. Теперь мы можем в качестве счётной базы
для К взять совокупность сфер S (qn, г1:), где {г/;} — множество
всех положительных рациональных чисел, как в теореме 4.
Расстоянием между двумя множествами А и В в метри-
ческом пространстве R называется
inf р (р, q).
Т>^ -А
g € в
Теорема 10. В компактном пространстве К расстояние
между двумя замкнутыми множествами Р\ и F2 без общих
точек положительно.
254
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Допустим, что FxF2 = 0 и р (Flt Рг) = 0. Из последнего
условия следует существование последовательностей {рп}С-Р1
и {Qn}CZFz таких, что lim р (рл, qn) = 0. В силу компактности
и—>со
пространства К из {рп} можно выбрать сходящуюся подпосле-
довательность {рлк}; lim Рпк~Р- Очевидно, что также	р,.
fe—>co
и в силу замкнутости F, и Р\ точка р принадлежит и к Д и
к Р\, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Примечание. Условие, что Ft и F2 лежат в компактном
пространстве—существенно. Рассмотрим, в самом деле, на Е2 (х, у)
два замкнутых множества: F1={y=0', 1 < ж< со} и F2=-ly
1 <	+ СО ] ; мы имеем Р\Р\ — 0 и р (7Д, F2) = 0.
Теорема 11 (Гейне-Борель). Из любого покрытия ком-
пактного метрического пространства открытыми, множе-
ствами можно выбрать конечное подпокрытие.
Эта теорема непосредственно следует из теорем 9 и 6 н
следствия теоремы 8. В самом деле, так как компактное метри-
ческое пространство имеет счётную базу, то из любого покры-
тия открытыми множествами можно выделить счётное покры-
тие, а в силу компактности из счётного покрытия можно выде-
лить конечное.
Нам придётся в дальнейшем встречаться с локально-
компактным пространством. Пространство R называется
локально-компактным, если каждая точка p£R имеет такую
окрестность U (р), что U (р) есть компактное множество.
Примером локально-компактного пространства может слу-
жить Е1 — бесконечная числовая прямая, а также любое про-
странство Еп.
Нам придётся пользоваться одним свойством локально-ком-
пактного (метрического) пространства.
Т е о р е м а 12. Всякое локально-компактное метрическое
пространство R со счётной базой может быть представлено-
как сумма счётной возрастающей последовательности замкну-
тых компактных множеств:
П=1
(п=1, 2, ...).
Пусть {tip} есть счётная база пространства R. Заметим прежде
всего, что её можно заменить счётной же базой из окрестно-
стей, замыкания которых компактны. В самом деле, пусть.
p£R любая точка, у неё из условия найдётся окрестность V (р)
такая, что V (р) компактна; а так как {£Д} составляет базу,
то найдётся окрестность Un' такая, что р g Un> CZ V (р)- Оче-
§ 1. метрические пространства
255
видно, так как /7П'СЗС(р), то множество Un- компактно. Со-
вокупность всех окрестностей, обладающих этим свойством,
имеет мощность счётную, как часть совокупности {£/„}. Она со-
ставляет, как легко видеть, базу пространства R. Назовём
эту базу {Z7*}.
Теперь нетрудно доказать теорему. В самом деле, определяем
п
F^U*, Fn=^u; (n = 2,3, ...).
i=l
Очевидно, Fn— компактные множества, Fntl7Fj Fn (n—1,2,...),
и так как, по определению базы, 2 U„ = R, то и подавно
П = 1
со	со
n—i	п—1
Теорема доказана.
Дополнение- Пусть pn£_R—Fn, тогда последователь-
ность {рп} не имеет ни одной предельной точки.
Допустим обратное. Пусть подпоследовательность {рпД схо-
дится и пусть p0 = limp„A.; U*n<j (р0)—компактное замыкание
окрестности точки р0. Из предельного соотношения следует,
что рпк g Uп0 для к > Кдля к < К же пусть точки pnk g U*nk
и пусть N — max [n0, mlt тг, . . . , m^j. Тогда очевидно {pnfc}
тогда как из условия следует, что для пк > N имеем:
Pm.FR- FnkC.R-FN.
Это противоречие и доказывает наше утверждение.
Метрическое пространство R называется полным, если любая
фундаментальная последовательность {рп} имеет предельную точку.
Последовательность {рп} называется фундалюнталъной, если она
удовлетворяет критерию Коши: т. е. для любого s > 0 найдётся
такое N, что р (pn, pn+m) < е для п -> N; т 1. Очевидно, фунда-
ментальная последовательность не может иметь более одной пре-
дельной точки, поэтому в полном пространстве всякая фундамен-
тальная последовательность сходится.
Всякое компактное пространство является полным. Связь
между полным и компактным пространством даётся следующей
теоремой.
Теорема 13. Если полное пространство R для любого г > О
имеет конечную e-сетъ, то оно компактно.
В самом деле, пусть дана последовательность {pn}CZR~
Строим Е-сеть для е = 1, пусть это будет q*M, q^,   , q^>.
256
Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
АТ
'Гак как R = 2 S (q(,^> 1), то найдётся S (д<У>, 1), содержащая
к=1 к	'1
бесконечное множество точек последовательности {рп}. Пусть рП1
точка этой последовательности, например, с наименьшим индексом,
лежащая в S 1).
Далее, для s=g- строим сеть: qW, q&), ... , q&>; рассмотрим
открытые множества 8 (q^> 1) • 5	(А=1, 2,	, TV2).
Их сумма даёт S (§(*>, 1), следовательно, хоть одно из них, пусть
««>. 1) • S СФт) 
содержит бесконечное множество точек из {рп}; выбираем из
них точку р,,2 с индексом п2>п1.
Вообще, выбрав точку рПк из бесконечного множества точек
последовательности, лежащих в
мы рассматриваем пересечения этого множества с каждым из
множеств S ^q<i!l+i'>,	(1 = 1» 2, ..., Nk^), где	есть
1
A-pj ‘сеть- Затем, выбираем то из пересечений, которое содержит
бесконечное число точек последовательности {/>„}, и из этих точек
отмечаем точку рпй+1, где nktt>nk.
Докажем, что подпоследовательностьрП1, рп„_,  • Рпк, • • • схо-
дится. В самбм деле, так как рп С=5( о®, 4- ) для т — О,
к*т \ ‘1с	/ J
1, 2, ..., то р (рПи, рИй!+1.) < для т >к, г > 1; т. е. критерий
Коши выполняется, и в силу полноты подпоследовательность
сходится.
Мы выбрали из произвольной последовательности {рп} схо-
дящуюся подпоследовательность, т. е. R компактно.
В качестве примера полного (некомпактного) пространства
можно взять Еп. Более интересен следующий пример.
Рассмотрим множество непрерывных функций {/(х)}, опреде-
лённых, например, на отрезке 0 < ж < 1 (или определённых в любом
компактном метрическом пространстве), как метрическое про-
странство С. За расстояние двух, «точек» Д (ж) и /2(«) примем
sup | (ж) — /2 (ж) Легко убедиться, что расстояние удовлетво-
ряет аксиомам I — III. Очевидно, что последовательность {/п(х)}
будет сходящейся к /(«) в смысле этой метрики, если последо-
§ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
257
вательность функций fn (х) равномерно сходится к / (х). Полнота
пространства следует из критерия Коши: если для любого е > О
найдётся N (е) такое, что р (/п (ж), /п+т (ж)) < е для п > N (s), т> 1,
то последовательность сходится равномерно, следовательно, схо-
дится к непрерывной функции. Это пространство, как легко
видеть, не является компактным; более того, не является ком-
пактным и ограниченное множество S (0, к), где 0 изображает
функцию /(ж) = 0, 0<ж<1, и к — любое положительное число,
так как, например, из последовательности {к sinnx}, п — 1, 2, ...
нельзя выбрать сходящейся последовательности. Таким образом,
пространство С не есть локально компактное. В главе V мы
докажем, что это пространство имеет счётное всюду плотное
множество, т. е. обладает счётной базой.
Другим важным примером полного пространства является
счётномерное гильбертово пространство Точками
этого пространства служат счётные последовательности чисел
СО
ж = (жх, ж2, ... , жп, .. .) таких, что ряд 2 х\ сходится. Числа Xi
г=1
называются координатами точки ж. Расстояние между
двумя точками ж = (жх> ж2, ... , жп, ...) и у = (у1, у„ -. • , уп,  • •)
определяется формулой
Р(ж, у)=	§ (xi — УгУ,
i = i
причём ряд под радикалом сходится в силу неравенства:
(ж,— ^<2^-Не-
определённое таким образом расстояние удовлетворяет
аксиомам I — III. Для I и II аксиомы это очевидно. Для III
мы имеем:
[р (ж> г/) + р(^, =)]* =
со	со	/со
=2	+2 ~+2 V 2 ~ у^г z^-
r—1	i=l	i—i
Но из неравенства Коши-Шварца следует:
2	—е*  2 &- ег > 2!~ У11~ '•
г—1	i—1
отсюда получим:
/ О®
Р {X, у) 4- Р (у, z) >|/ 2 (xi — zi¥ = ? (х> *)•
Немыцкий и Степанов
17
258
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Если последовательность точек х^,	....,	... удовле-
творяет критерию Коши, т. е. если для е>0 существует А’(г)
такое, что x(n+m^) < е при п N, ш > 1, то эта последо-
вательность имеет предельную точку.
В самом деле, написав расстояние в развёрнутом виде, имеем:

— х^п+т^)2
отсюда для любого фиксированного i (z'= 1, 2, . ..) получим:
.О)	„(«+”>)
• i
(А)
т. е. существует lim х^ = х[°\ Переходя в неравенстве (А)
П“>00
к пределу при т—>со, будем иметь:
СО
2(4П)-40))2<г2»
г-1
откуда легко получается, что ряд 2 [ж^0)]2 сходится. Таким обра-
г==1
зом, точка — (гс[(|), х[°\ ...) является предельной для данной
последовательности и, следовательно, наше утверждение доказано.
Это пространство не является компактным уже потому, что
координаты могут неограниченно увеличиваться. Но интересно
отметить, что 5 [0, а] при любом а > 0 некомпактна. В самом
деле, возьмём последовательность точек: х'Г) = (а, 0, 0, . ..),
= (0, а, 0, ...) и вообще = (я< *>, х^>,...), где х^ = 0 при
к, ж^ = а. Эта последовательность не имеет ни одной пре-
дельной точки, так как р (х^~>,	= а ]/^2 для i=kj. Также не-
компактна любая сфера.
Таким образом, гильбертово пространство не локально-ком-
пактно. Это пространство имеет счётное всюду плотное множе-
ство— множество точек, у которых все координаты рациональны.
Следовательно, в силу теоремы 4 оно обладает счётной базой.
Теорема 14. В полном пространстве R последователь-
ность вложенных друг в друга замкнутых непустых множеств,
по диаметру 1), стремящихся к нулю, имеет непустое пересе-
чение (точку).
Пусть ) F2 ) ... уз Fn . последовательность замкну-
тых множеств и D (Fn) = dn —-> 0. Если, начиная с некоторого к,
*) Диаметром множества А называется число D (Л) = sup р (р, ?).
г.- ебА
Очевидно, если А С. В, то D (A)^,D(B).
§ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	259
имеем Рк = Fkil = ... , то В(/\-) = 0, и так как Fk не пусто,
СО
то Fk состоит из одной точки р; П Fn==p, и теорема доказана.
п=Л
Если указанное обстоятельство не имеет места, то найдётся
последовательность F«2ZZ) -. . "djFn,. такая, что Fnjt~ Аг,
непусто; тогда в этой разности выбираем любую точку и обо-
значаем её рк. Последовательность {р;£} удовлетворяет критерию
Коши, так как 2 Pf;CZF„m и, следовательно, р (ps, р„г) < d„m
h=m
при s^m, Z > 1. Отсюда, в силу полноты пространства R,
последовательность {рп} сходится к точке р. Эта точка, являясь
предельной для последовательности {рк, рк+1, ..входит в зам-
кнутое множество РПъ (к = 1, 2, ...). Следовательно,
со	со
р6 П F = П рп.
fe=l Л П=1
Но пересечение П Fn не может содержать более одной точки.
п=1
В самом деле, допустим, что их было две рг и р2 и пусть
р (рх, р2) = а>0. Найдётся Fn такое, что Р> (Fn) — dn <Z а;
но, с другой стороны, Pt-гpzCZ'Fn, следовательно, D(F^)~
= dn^> p(Pi, рг) = а, и мы приходим к противоречию.
Теорема доказана.
Определение. Множество А неплотно в R, если в любом
(непустом) открытом множестве GCZ.R найдётся такое (непустое)
открытое множество Gr G, что G± • А = 0.
Конечная или счётная сумма неплотных в R множеств назы-
вается множеством I категории Бэра в R; дополнение к мно-
жеству I категории называется множеством II категории Бэра.
Имеет место теорема.
Теорема 15. В полном метрическом пространстве R
множество II категории всюду плотно в R.
СО
Пусть множество I категории Е — 2 гДе Дэ неплотно в R.
Пусть GC.R любое открытое множество. Теорема будет дока-
зана, если мы покажем, что G содержит точку p£R — Е. Так
как -4t неплотно в R, то найдётся G,CZG, так что G, -2^ = 0,
причём можно взять G, так, что D (GX)<1. В множестве Gz
найдётся непустое открытое множество G^ такое, что G^C.GV
В самом деле, пусть р±^С 1У тогда существует <S(р, е,)CZGp,
в качестве можно взять S	• Тогда G(1> • At= 0.
Внутри G(<) в силу неплотности As найдётся открытое множе-
17*
260	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ство G2 такое, что G2-/i2=^0; причём выбираем G2 так, что
/)(С2)<-|- . Далее, находим такое что G(2)CZG2. Мы имеем
G<2)CZGW и G^Aj— 0 (i = l, 2). Вообще, после того как по-
строено множество G(k\ обладающее свойствами: 7) (Gf/;))	,
G(fe)  At — 0 (i= 1, 2, ... , к), мы находим открытое множество
G;,+1CZG&)такое, что D (GJ;+1)	GJ;+1-Ak+1=0 и затем строим
открытое множество G(ft+1) CZ G^+1 так, что G^+i) CZ GA+1. Тогда
GW) с G^n G^+i>~- A = 0(j=l,2,...,/c + l)-	_
Рассмотрим пересечение замкнутых множеств G(fc):
П GW.
h = l
По теореме 14 оно определяет точку p£R. При этом
СО
г—1
В самом деле, допустив обратное, для некоторого i мы имели
бы pG.At. Но jigGPO при любом к, в частности pgG(!); между
тем по построению А-- G^i)~0. Теорема доказана.
Заметим, что если А неплотно в Д, то А тоже неплотно.
ОО
Поэтому всякое множество I категории Е = 2 At содержится
15 = 1
СО
в множестве I категории E1='^l AL. Множество Ег есть сумма
4=1
замкнутых (неплотных) множеств. Счётная сумма замкнутых
множеств называется множеством типа Fa. Итак, всякое мно-
жество I категории заключено в множество типа Fa I категории.
Дополнительное множество к Et множество II категории
СО	со
2 А = П {Я-Ai),
4=1	4=1
есть пересечение счётного числа открытых множеств; такое мно-
жество называется множеством типа Gs, и мы находим: всякое
множество II категории заключает в себе множество типа Gs
второй категории.
Теорема 15 показывает, что полное пространство R, равно
как и всякое множество II категории в R, не может быть исчер-
пано при помощи счётной суммы неплотных множеств.
? 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	261
Заметим, что всякое множество R1CZ.R можно рассматривать
как метрическое пространство, сохраняя для точек ту же
метрику, которую они имеют в R. Чтобы различать такие поня-
тия, как замкнутое, открытое, неплотное множество в Rlt рас-
сматриваемом как пространство, мы будем говорить об отно-
сительно замкнутом множестве F^dR^, относительно
открытом множестве GtdRi и т. п.
Например, множество Рг относительно замкнуто в Rt, если
всякая его предельная точка, которая содержится в 7?п принад-
лежит Fp, тогда множество Gr-= Rt— Р\ будет относительно
открытым в У?,. Легко показать, что всякое относительно замкну-
тое множество Fx GZ Ri есть пересечение (абсолютно) замкнутого
множества F в R с пространством Rlt например, Ру—РД^,
где.замыкание взято в пространстве R. Аналогично относи-
тельно открытое множество
=	=	=	(R—F)
есть пересечение абсолютно открытого множества R — F с про-
странством R±.
О некоторых свойствах непрерывных функций
в метрическом пространстве. Начнём с очевидного
замечания: если <р(р) (p£R) непрерывная функция, то мно-
жество {р; а> (р) > а}, замкнуто.
Докажем затем лемму, которая для метрического простран-
ства R вполне элементарна.
Лемма об интерполяции. Даны два замкнутых мно-
жества AcyR и BCPR \AB = Q) и два действительных числа
а и Ь. Существует непрерывная на R функция, принимающая
во всех точках множества А. значение а и во всех точках мно-
жества В значение b и заключённая между а и Ь.
Искомою функцией /оЬ(р) является, например, функция
,	,	&р(р, Л) + ар(р, В)
р(р, Л) + р(р, В) '
Действительно, fab определено всюду в R, так как знамена-
тель #= 0 в силу условия А В = 0. Непрерывность её непосред-
ственно следует из непрерывности р (р, А.) и р (р, В), как функций
точки р. Если р б А, то р (р, А) = 0, fab (р) = а и аналогично, если
р£В, то /аЬ(р) = &. Заметим, наконец, что если p£R — А — В
и если, например, а < Ь, то а < /аЬ(р) < Ъ.
Теорема 16 (теорема о продолжении) (Броуэр-Урысон).
Если непрерывная ограниченная функция <р (р) определена на
замкнутом множестве F C.R, то можно построить непрерыв-
262
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ную функцию f (р), определённую для всех p£R и совпадающую
с ?(р) для p£,F.
Пусть sup|?(p)| = p#.
pGF
Определяем ?0 (р) — <р(р) для p^F. Далее, множества Ло =
= (Р', ?о (р) < — ъ-) и Вв = -Гр; % (р) > vl > заключённые в F.
I	а j	i	'-’J
замкнуты. Пользуясь леммой, строим для p£R непрерывную
функцию /0(р), принимающую на Ао значение — ~ и на Во зна-
чение у . Имеем | /„ (р) | <- °-.
Далее, определяем для p£F функцию ?*(р) = ?0(р) — /„(р);
она непрерывна, и sup | ?г (р)! = и, =	. Множества Л,=
= ! р; ?! (р) < — ту- > и В, = -! р; ?! (р) > v ? входят в F и зам-
I	о J	I	о J
кнуты. Определяем для p£R непрерывную функцию /Др),
принимающую на Л, значение —п на Вг значение Далее
для p£F определяем ?2 (р) = ?i (р) ~~ Л (р), имеем:
supl?2 (p)| = Hg = v Pi-
per	6
Продолжая это построение неограниченно, получаем для р gF
последовательность непрерывных функций ?с(р), ?t(p), -
• •	?п(р), ... и для p£R последовательность непрерывных
функций /„ (р),	(р), ... , /п (р), - •  , причём
<1 (?) = ?п (р) — /п (р), Рп = sup i ?п (р)
sup !/п(р)Н (4) 3 *
рев	\ / з
Полагаем теперь для p^Rt

(Р)-
В правой частя стоит равномерно сходящийся ряд непрерыв-
ных функций, таким образом / (р) непрерывная функция. Далее
СО
I / (р) I с 2 С зО ¥==“0’ т’ е" '-^Р^ ограничена тем же числом,
п=0 4
§ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
26?.
что | о (р) |. Наконец, для p£F имеем
п	п
2 а (?)=2	~ u =~?п; 1 № •
г—0	2=0
так что для p£F получаем:
/ (?) =	[То (?) ~ ?п+1 (?)] = То (?)•
Теорема доказана.
Заметим, что если заданная функция <р (р) ограничена числами а
я 3, например, inf <р(р) = аг sup<p(p) = 6, то, применяя изложен-
p£F	p£F
ное построение к функции ф (р) — ~^г~ , получаем для / (р) нера-
венства «</ (р)<р.
Для метрических пространств R со счётной базой гильбертово
пространство является универсальным, в него может быть топо-
логически помещено любое такое R.
Теорема 17 (Урысон). Всякое метрическое пространство
R со счётной базой гомеоморфно некоторому множеству гиль-
бертова пространства Е°.
В гильбертовом пространстве множество точек (xt, ж2,..., хт,
в котором | хт | с называется основным параллелепипедом (£°.
Пространство 2?“, как мы видели, не компактно (и не локально-
компактно). Но QmGZ.Em является.компактным.
В самом деле, пусть дана последовательность {pn} CZ ,
где рп =	я1”), ...,	...). В силу ограниченности мно-
жества (п = 1, 2,.. .) из него можно выбрать сходящуюся под-
последовательность (k = 1, 2, ...); пусть lim —	;
k->co
из чисел nlk можно выбрать подпоследовательность nzk такую, что
lim = ж20), и т. д. Тогда, рассматривая диагональную после-
довательность niv nt, . . nk‘k, мы будем иметь lim	для
Л->оэ
т = 1, 2, 3, ..., причём, очевидно, | Хт I < — • Обозначая через р0
точку с координатами (ж<°>, ж<°), ..., ж',0), .. .), докажем, что
lim р„й = Ре, где рщ;к =	ха<-п^,...). Пусть е > 0 произ-
-с—>00
вольно. Находим такое Р, чтобы иметь V Д < % • Выбрав Р,
т—Р4~^
определяем 7V(- из условия — xt	== для п > jV{ (i —
J' 'zp
£64
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
= 1, 2,..., Р). Наконец, обозначим N = max N;. Тогда при
1=1,2,..., р
Л > N мы получим:
[р ₽.)!=2 (Л”"1 - =2 ri”"’ - +
7П=»1’	7Г'==1
CO	CO	co
+ 2 (o£"’-4fr</>£+2 2	^”“’'+2	2
rn—Ppi	m.=P-\-l	m—P-f-l
e-2	P2	=2
<-t + 2t + 2^ = ^
Это доказывает, что lim p„ =рв.
k-*co klt
Компактность таким образом доказана.
Теперь мы можем уточнить утверждение теоремы: метриче-
ское пространство R со счётной базой может быть гомеоморфно
отображено на некоторое подмножество пространства
Переходим к доказательству теоремы. Заметим сначала, что
мы всегда можем предположить, что расстояние р удовлетворяет
условию р(р, В самом деле, если бы это не имело места*
мы ввели бы новую функцию
Р {Р’ V I + pQa q) ’
тогда р* (р; q) < 1, и топологические свойства пространства при
этой новой метрике не изменятся, так как, если р(р, p,-J—> О
при к—>оо, то р*(р, р/;)—>0, и обратно.
В силу теоремы 3 в R существует счётное всюду плотное
множество Л = {ап}. Поставим в соответствие точке p£R точку
5€(?°° с координатами Zm = ~^ р(р, с'-т) (m = 1, 2, 3, ... ). Это и
есть искомое отображение: ? = Ф (р).
По построению каждой точке p£R соответствует единствен-
ная точка В Е Пусть теперь р ф q. Так как А всюду плотно,
в R, найдётся точка ак такая, что р(р, «;<) <-у р(р, §), тогда
Р (?, ай) > у ? (Р> Я), и если Ф (<?) = Т( = (ъ, т)2, ...), то тд. > ;л.„
т. е. т) =£= ?.
Докажем непрерывность отображения Ф. Пусть р(р, й) < г,,
тогда jp(p, ат) — р (§., ат) | < р(р, ?)< е; следовательно, если
ф^р) = £, ф(д) = -цг то |$т —	и если расстояние в гиль-
бертовом пространстве обозначим pt, то имеем
СО	оо
Ip 1 («» 'OF = 2^m~73Os	2 i	=т; Р1(5’	£-
m~i	т—1
2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
265
Следовательно, отображение Ф является даже равномерно-непре-
рывным.
Докажем, наконец, непрерывность отображения Ф-1. Пусть
обрав R в Qm есть М, Ф"1 (В) = р £R, и пусть е>0 произ-
вольно. Требуется найти такое о > 0, чтобы из рх(5, tq) < о сле-
довало Р(Р, ?)<г, где § = Ф-1 (/}). Пусть ап первая точка
из А, для которой р(р,	Тогда достаточно положить
8=~. В самом деле, если, pt(B, у) < о, то в частности,
— Tjnl <8, а припоминая определение ?п, находим: [ р(р, ап) —
— Р(?> «п) I < ?г8 = -|-. Наконец, ив аксиомы треугольника имеем?..
Р(Р, ?)<Р(Р, «п) + р(?, ап)< 2р(р, an)+-|-<s.
Итак, Ф 1 непрерывна, но вообще неравномерно (она будет
равномерно непрерывна, если R компактно).
§ 3. Общие свойства динамических систем
Пусть дано метрическое пространство R и задано семействе
его отображений на себя, т. е. функция
f(P, t),
которая любой точке р g R к любому вещественному числу
£ (— со< t < -}- со) ставит в соответствие некоторую определённую
точку f(p, t)£R. Параметр t мы будем называть временем.
На функцию /(р, t) мы наложим следующие условия.
I.	Начальное условие:
/(р, 0) = р.
II.	Условие непрерывности по совокупности
переменных р и t: если дана сходящаяся последовательность,
чисел {£п}, где limin = Z0, и сходящаяся последовательность.
п—>оо
точек {рп}, где limpn —р0, то имеет место соотношение:
71->оо
lim / (Рп, tn) = f(pe, г0).
Легко видеть, что это определение непрерывности эквива-
лентно таковому: для заданной точки pa£R и заданного числа
t ( — со < г-}- с©), для любого е > 0 найдётся такое В > О, что если?
? (Р, Ро)<^ И |	о, ТО
?(/(Д, О,/О», !„))<г.
2*’*'>	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИ ЧЕСКПХ СИСТЕМ
Из II условия в качестве следствия получается свойство:
II'. Непрерывность зависимости f(p,t) от началь-
ной точки. Это свойство мы сформулируем так: для любой
точки р£Н, любого (сколь угодно большого) числа Т > 0 и любого
(сколь угодно малого) е > 0 найдётся такое число о > 0, что
если р(р, ?)<о и	то имеет место неравенство:
Р {f(P, 0, /(<?, 0]<®-
Иначе говоря, если начальные точки выбраны достаточно
близко, то в течение заданного, сколь угодно большого проме-
жутка времени, — 7’<i<7’ расстояние между одновременными
положениями движущихся точек будет оставаться меньше задан-
ного положительного числа е.
Доказательство. Если бы предложение было неверно,
то нашлась бы последовательность точек {$?„}, lim qn = p, и соот-
ветствующая последовательность чисел {£,,},	такая, что
Р(/(Р, M,/(ffn/n))>a>0.
Последовательность чисел {7,(} содержит по теореме Вейерштрасса
сходящуюся подпоследовательность; чтобы не осложнять обозна-
чений, предположим, что {£„} и есть эта подпоследовательность.
Итак,
limZ„ = £0; |£0|<3£.
В силу свойства III метрического пространства (§ 1) мы имеем:
tn), f(qn, tn))^[f(p, tn), f(P, Q] + P [f(P, tt), f(qn, tn)\.
Ввиду непрерывности функции /, оба расстояния в правой
части при достаточно большом п могут быть сделаны < ~ , и мы
получаем противоречие:
а < а.
III.	Условие группы:
Q, t2) = f(p, tt + t2)
для любого p^R и любых действительных р и t„. Переменное
t есть параметр группы.
Из свойств I и III следует существование обратного преоб-
разования к преобразованию /(р, t). Таковым является преоб-
разование /(р, —t), так как оно удовлетворяет соотношению:
/(/(/?, —t), t)=-p.
Значению параметра t = 0 в силу (1) соответствует тожде-
ственное преобразование группы.
§ 2. О15ЩИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
267
Группу / (р, t) преобразований пространства R на себя, обла-
дающую вышеприведёнными свойствами, мы будем называть
динамической системой, а параметр t временем.
Итак, динамическая система есть однопараметрическая группа
/(Р, 0 ( — СО t<+ со) преобразований пространства R{p£R}
на себя, (f(p,t)£R}, удовлетворяющая условиям:
1-/(р,О) = р,’
И- / (Р> О непрерывна по совокупности переменных р и t;
Ш. t<j{P> ^i), U = / (Р> + М (свойство группы).
Функцию f(p, t) при фиксированном р мы будем называть
движением; при фиксированном р множество точек
{f(P,t)j ~ сю<£<4-со}
•будем называть траекторией этого движения и обозначать сим-
волом / (р; — со, 4-со) или короче /(р;1); аналогично множества
{j\P> t); 0<£ < + с©} и {f(p, t); — оо<£<0}
будем называть соответственно положительной и отрицательной
полу траекториями с обозначениями
/(Р5 °> +°°) и /(р; —со, 0).
Наконец, конечной дугой траектории мы назовём множество
точек
{/(р. t); Т\<Л<Т2},
где р фиксирована и —оо< 711<71г<-J-оо; её обозначение будет
/(р;Л, Л)-
Положительное число У—1\ назовём временной длиной этой
дуги траектории.
В динамической системе могут существовать такие движения,
у которых для всех значений I
j{p,t)^p.	(1)
Точку р, которой соответствует подобное «движение», будем
называть точкой покоя.
Если для какого-нибудь движения / (р, t) имеет место
равенство
i{p. Q =	t2)
то, обозначая Za—^ = т, для любого t мы получим в силу
свойства III:
/ (р, * + ?) = / (р, г + Ц - Q = / (/(р. *2), t - О =
= О, =	0-
268
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Движение, удовлетворяющее для любого t условию
f(P> t + ^ = f(p, t),
(2>
мы назовём периодическим, допускающим период т. Легко убе-
диться, пользуясь свойством III, что периодическое движение-
допускает в качестве периодов наряду с т также все числа пт
(п = ±1, ±2,...). Наименьшее положительное число т, удо-
влетворяющее условию (2), называется периодом движения.
f(p,t)- Если у периодического движения такого наименьшего
периода не существует, то /(р, t) сводится к покою.
В самом деле, для любого s > 0 в силу свойства II най-
дётся о > 0 такое, что р (р, f (р, t)) < г при 111 < о. Но по усло-
вию, для }{р, t) существует период т, меньший о, поэтому
представляя любое t в виде t = nT-}-t' (п — целое, 0<3'<'),.
получаем р (р, f (р, t)) <Z s для всех значений t, а отсюда, ввиду
произвола г, следует: •/(р, t) —p, что и требовалось доказать.
Траектория периодического движения с периодом т есть, оче-
видно, простая замкнутая линия- взаимно однозначный и непре-
рывный образ отрезка числовой оси [0, -г], у которого отожде-
ствлены точки 0 и т. Очевидно, она является замкнутым ком-
пактным множеством.
Справедливо и более общее утверждение.
Теорема 1. Конечная дуга траектории f{p',l\,TJ) есть
замкнутое компактное множество.
Пусть, в самом деле, имеется последовательность точек
{^}cz/(p;	Л).
Пусть р = f{p, tn), причём, по условию, < tn < (п = 1,2,...).
Из ограниченной последовательности {£„} можно выбрать схо-
дящуюся подпоследовательность {£„/}> limZnfc = т; очевидно
В силу свойства II имеем: limp?lfc = Iim f(p, tri!^ —
k—>co	k—*oo
= / (P> z) = <Г, значит существует предельная точка q С / (р; 7\, Т2),
что и требовалось доказать.
Образ множества А при преобразовании группы, соответ-
ствующем данному t, будем обозначать f(A, t).
В дальнейшем важное значение будут иметь инвариантные
множества. Множество А называется инвариантным (по отно-
шению к динамической системе / (р, t)), если при всех преобра-
зованиях группы оно переходит в себя, т. е. удовлетворяет-
условию
f(A,t)=A (—co<Z<-)-oo).	(3)
Выясним смысл этого определения. Пусть р £ А; тогда в силу
§2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ	26?
условия (3) мы имеем:
/(р, о С/(Л г)с:Л
-г. е., если точка р принадлежит инвариантному множеству, то
в это множество входит вся траектория, определяемая этой
точкой.
Очевидно, каждая целая траектория представляет инвариант-
ное множество. Множество, являющееся суммой любого мно-
жества траекторий, есть также инвариантное множество. В част-
ности, всё пространство R также является инвариантным мно-
жеством.
Таким образом, инвариантное множество есть множество,
составленное из целых траекторий, и обратно.
Теорема 2. Замыкание инвариантного множества есть
инвариантное множество.
Пусть А инвариантное множество и А его замыкание. Если
.ре.Л, то, по отмеченному выше свойству инвариантного мно-
жества, f(p, t)CZAczA. Пусть теперь р£А—А: это значит,
что существует последовательность точек
{рл]СД limpn = p.
3 силу свойства II для любого t мы имеем lim/(pn, t) = f(p, t)
я так как {/(pn, f)}CZ Д то /(р, t)£A.
Значит, / (A, t)CZ А при любом t; обратно, из последнего
включения следует Л( / (Л. —t) для любого t. Следовательно,
Примечание. Система движений, определяемая дифферен-
циальными уравнениями (1) § 1, если каждое решение
этой системы может быть продолжено для всех значений
4( — co<z<J-oo), является динамической системой в и-мерном
эвклидовом пространстве Еп. Та же система определяет дина-
мическую систему на множестве М CZ Еп, если для любого р£М
решение / (р, t) определено для — со <£<-[-со. Очевидно, такое
множество является инвариантным и может быть рассматри-
ваемо как пространство R.
Приведём несколько теорем о точках покоя.
Теорема 3. Множество точек покоя есть замкнутое
множество.
Пусть р1( р2,. .., рп,... — точки покоя, п пусть
lim рп = р0.
270	гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Покажем, что рв тоже точка покоя. Возьмём любое значе-
ние t. мы имеем:
/<Рп> 0==Рп-
Переходя к пределу при п—> «> и используя II свойство,
получаем:
/ (р0, 0 = Р<.>
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Ни одна траектория не входит в точку
покоя при конечном значении t.
Допустим, что /(р, Т) = рв, где р=^рои рв есть точка покоя.
Тогда по III свойству имеем:
P = f{P^-T},
т. е. /(р0,—Т) Ф рв, что противоречит определению точки
покоя.
Теорема 5. Если для любого о > 0 существует точка
4^.S(p,o) такая, что полутраектория / (q; 0, -Р и)с5 (р, 3),
то р есть точка покоя.
Допустим, что р не является точкой покоя, тогда для неко-
торого tB > 0 мы имеем: / (р, t0) фр. Пусть р (р, / (р, £с)) = d > 0.
В силу свойства II существует В такое, что
р(/(Р> 0’ /(<?» 0) < 4 ’
для 111 < tB и любого q, удовлетворяющего неравенству: р (q, р)<
< В< —. По условию в S (р, В) найдётся такая точка q, что
/(?; 0,+ оо)С1£(р, В).
Мы получаем в силу III аксиомы метрического пространства
Р (Р> /(Р. U)<P(P, /(<МС)) + Р(Ж гс), /(Р> U) <s +'2 < d'
Полученное противоречие доказывает теорему.
Очевидно, теорема остаётся в силе, если в её условия заме-
нить положительную полутраекторию отрицательной.
Следствие. Если существует
lim f(q, t}—p,
то р есть точка покоя.
§ 3. to- II «-ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
271
Б самом деле, в этом случае, по определению предела для
любого о > 0, имеем:
р(Ж *),р)<8 для t>t0.
Обозначая g1 = /(g, zo), мы непосредственно выводим из свой-
ства III, что
Ж; о, +сс)С5(р, 8),
т. е., в силу нашей теоремы, р есть точка покоя.
§ 3. (о- и a-предельные точки
Пусть в метрическом пространстве R задана динамическая
система /(Р> t).
Рассмотрим некоторую положительную полутраекторию
/(р;0,4~со). Возьмём любую неограниченно возрастающую
последовательность значений t:
0<i1<I2<...<Zn<...,limZn = -f-ос.
П-7СО
Если последовательность точек
/(р> f(P> Q,..., f(P> tn),---
имеет предельную точку q, то мы будем называть эту точку
(л-пределъной точкой движения /(р, t). Аналогично, всякая
предельная точка q' отрицательной полутраектории /(р; —со, 0)
называется а-пределъной точкой движения /(р, I).
Те о р е.м а 1. Как множество Qp,maK и множество Ар, со-
ответственно, всех 1в- или а-пределъных точек движения f(p, t)
сеть инвариантное замкнутое множество.
Докажем теорему для «-предельных точек.
Пусть q какая-нибудь «-предельная точка для /(р, I).
Тогда существует последовательность, значений
(tn —>-ьсс) такая, что
lim/(p, £n) = g.	(1)
n~>co
Пусть /(g, т) произвольная, но определённая точка траектории,
проходящей через q.
В силу свойства II' для любого е > Ои для данного Т — j т |
найдётся такое 8, что если
< е.
Р (/ (р. tn), q) < S, то Р (/ (р, tn 4- т), / (д, -с))
2'2	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Но в силу (1) первое неравенство удовлетворяется для
и>Аг(8), п значит удовлетворяется и второе, т. е. f(q, т) есть
предельная точка последовательности {/(р, tn + т)}, и, следо-
вательно, «-предельная точка движения f(p, t). Таким образом,
в Qp вместе с каждой точкой q входит вся траектория /(<?, t),
т. е. 2р есть инвариантное множество.
Чтобы доказать замкнутость множества Qp, возьмём последова-
тельность точек q„ q£,. . ., qn,. ..; qn g Qp (n = 1, 2,...); lim qn = q,
n—xx,
и покажем, что q g Qp. Задаём любое г>0 и определяем
такое п, что ?(?„, q) < ~ ; так как qn есть «-предельная точка
для f(p,t), то найдётся такое t=zn, что p(f(p, тп), qn) <-°- .
Откуда р(/(р, тр), <?) < е, т. е. q есть «-предельная точка для
Теорема доказана.
Всегда имеют место соотношения:
%,CZ/(p; о, 4-сс); Apcz/(p; -ос, 0),
(2)
так как замыкание полутраейтории содержит все её предельные
точки.
Рассмотрим структуру множеств Вр и Ар для наиболее
простых видов траекторий.
Если р есть точка покоя, то очевидно Qp=Ap = p. Если
имеем
lim / (р, i) = q,
t-H-co
то йр = q, причём q, как мы видели, есть точка покоя.
Теорема 2. Если f(p, t) — периодическое движение, то
Qp = ^r==f V-
В самом деле, если	имеет период т и q — f(p, Z„)
—-любая точка траектории, то мы имеем также:	t0 ± nz),
п — 1, 2,..., т._ е. gr = lim/(p, t0 ± пт); но lim(te + пт) = ± оо;
п—>со	п~>оо
следовательно, q £ йр и q С Ар.
Пусть, обратно, ^gQp; значит, существует такая последова-
тельность {£„}, tn—>+ со, что <7 = lim/(p, tn). Всякое число tn
можно представить в виде in = knz-[-t'n, где кп — целое
и0<^<т. Из ограниченной последовательности {t'n} можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность , lim tnk—10.
ft-9-СО
3. ш- И а-ПрЕ ДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
273
Е таком случае
« = lim / (р, tn) = lim f (p, t'n) = lim f (p, t’n^ = / (p, tB),
n-rCO	Tl-rCC)	k—rtx>
t. e. любая ш-предельная точка q лежит на траектории перио-
дпческого движения. Теорема доказана.
Определение. Движение j (р, 1} называется положи-
тельно устойчивым по Лагранжу (сокращённо: устойчиво £'),
если замыкание полутраектории f(p;O, + со) является ком-
пактным множеством. Аналогично, движение отрицательно
устойчиво по Лагранжу (сокращенно: устойчиво Lr), если
/(р; —0) компактно. Движение одновременно положительно
и отрицательно устойчивое по Лагранжу (что мы будем обо-
значать: устойчиво L) называется устойчивым по Лагранжу.
Очевидно, если пространство R компактно, то все движения,
устойчивы по Лагранжу. Вообще же, если /(р; 0, 4- оо) лежит
в компактном подмножестве М CZR, то она положительно
устойчива по Лагранжу. Из определения непосредственно
«•ледует, что точки покоя и периодические движения устойчивы по
Лагранжу. В случае евклидова пространства Еп устойчивость
по Лагранжу означает, что траектория находится в ограничен-
ной части пространства Еп.
Далее, из определения следует, что для положительно
устойчивого по Лагранжу движения f(p, t) множество Ц,
не пусто, а для отрицательно устойчивого движении не. пусто
множество Ар.
Обратное утверждение несправедливо.
Пример 1. Рассмотрим на вспомогательной плоскости XOY
семейство движений, совершающихся по логарифмическим
спиралям: р = се#, где р и & — полярные координаты, причём
закон движения задан дифференциальными уравнениями
do о d0 1	.
= — •	=	- ; р _> 0.
dt l + o (It i - о
Легко убедиться, что все движения продолжаемы для
— сс < I < со, т. е. мы имеем динамическую систему; прп
зтом все движения отрицательно устойчивы по Лагранжу,
имея начало координат (точку7 покоя) своей а-предельной
точкой; все движения положительно неустойчивы по Лагранжу,
гак как при t—->-f-cc радиус вектор р—>4~со.
Отобразим теперь плоскость XOY на полуплоскость
— со < у < 4- со, — 1 < х < 4- со преобразованием
Х = 1п(14-Ж), У = р.
Не?.1т,щг:иЗ и Степанов
13
‘£1*	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Мы будем иметь:
о ==	+	& == arg {In (1 -V ж) 4- iу].
Интегральные кривые будут иметь вид, изображённый на черт. 32.
а дифференциальные уравнения новой системы будут:
z(in(1+«)-»]	___। ь(1+ж)
Х	1+”р	' ’	'	1 + р ‘ 1-тР
Дополним наше пространство еще прямою а: = —причём
движение на ней определим, как предельное для написан-
ных дифференциаль-
ных уравнений при
х 14-0.
Так как при ото,и
остаётся конечным,
мы получим на пря-
мой х-- —1:
»=0, у= — 1.
Таким образом, ди-
намическая система
определена для зам-
кнутой полуплоско-
сти — 1. Очевид-
но, все движения
оказываются поло-
ч ерт. 32.	жительно неустойчи-
выми по Лагранжу,
так как при t —> 4" 03 пни не остаются в ограниченной части пло-
скости; между тем легко видеть, что для любой точки р — (ж0, yti).
х0 > —-1, р #= (0, 0), множество есть прямая: — 1, т. е. Й,
не пусто.
Теорема 3. Если ]{р,Р) положительно устойчиво по
Лагранжу, то
lim
г-Н-оо
Допустим, что утверждение неверно; тогда найдётся, после-
довательность положительных чисел {in},limfn= 4- со, и число
а > 0 такое, что
? [/ {Рг ^п)« ^р] > “•	(31
Множество точек {qn} = {f(p,tn)}, принадлежащее компактному
множеству /(р; 0, 4~сс)> имеет предельную точку д, которая
по определению множества Я входит в него: с другой стороны.
§ 3. ш. И ^-ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
275
иеравенство (3) при переходе к пределу по соответствующей
подпоследовательности даёт
? (?, £Р) >
Противоречие доказывает теорему.
Аналогичное утверждение имеет место для движений, отрица-
тельно устойчивых по Лагранжу.
Теорема 4. Если f(p, t) положительно устойчиво по Ла-
гранжу, то множество Q связно.
Допустим, что не связно. Тогда, так как оно замкнуто,
мы имели бы Q == А--- В, где А и В замкнутые непустые множе-
ства без общих точек и, следовательно, так как множество
Qp, очевидно, является компактным, р (А, В) — d > 0. Так как
ЛСбр и В с~ Q^_ то найдутся значения t'K, сколь угодно боль-
шие; для которых j(p, t'„) gS Qa, , и значения Z", сколь
угодно большие, для которых f{p, t/}£S (jB, . Можно вы-
брать последовательности {Z'J п {/*} так, чтобы выполнялись
неравенства
о < z; < t'i < к < *;•<
<Х< С <*;«<•• •
Так как р(/('Р, Z),A) есть непрерывная функция от I и мы
имеем:
р(/(р, Q, А) < f-; ? U(р> О, > р (А В)-р(в, /{Р, О) > ’
то найдётся такое значение zn (t'n < zn < Q, что
P (/ tP> -^) О •
В силу компактности множества / (р, 0, + со) из последователь-
ности точек {/(р, можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой точке q, и мы будем иметь:
р(9.А) = у; р ({?,' В) > р(А, В) — р(А, q)—~ ;
т. <». йр=ьА-4-В. Противоречие доказывает, что 2р связно.
Заметим, что если R компактно, для любой точки p£R
множества Qp и Ар не пусты и связны.
Пример 2. Покажем, что в случае некомпактного про-
странства R множество Qp может быть несвязным. Для построе-
ния примера возьмём ту же вспомогательную плоскость X0Y
18*
276
ГЛ- IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НО
и те же
стоящего
отобразим на этот раз плоскость
дифференциальные уравнения, что в примере 1 на-
параграфа,
Черт. 33.	Полученная динамическая си-
стема (см. черт. 33) неустойчива
по Лагранжу в положительном направлении; легко видеть, что
множество U для любой точки р — (®с, у0) ( — 1 <	< 4)*
р (0, 0) связно; оно состоит из двух прямых: ж= 1 и х~ — 1.
§ 4. Устойчивость по Пуассону
Определение. Точка р называется положительно устой-
чивой по Пуассону (обозначение: устойчивая Р*), если для
любой окрестности U точки р и для любого Т > 0 найдётся
значение tp>T такое, что / (р, t) £U. Аналогично, если найдётся
такое £< —Т, что /(р, t)£U, то точка р отрицательно устой-
чива по Пуассону (обозначение Р").
Точка, устойчивая по Пуассону как при t—>-j-oo, так и при
t——со, называется (просто) устойчивой по Пуассону (устой-
чивая Р\.
Можно сказать, таким образом, что точка р устойчива Р*, если
найдутся сколь угодно большие значения t, при которых точка
оказывается в любой окрестности своего начального положения.
Примечание. Можно ослабить в условии устойчивости
Р* требование: /(р, при некотором I, большем любого задан-
§ -i. УСТОЙЧИВОСТЬ ИО ПУАССОНУ
277
него Г; достаточно потребовать, чтобы для любой окрестности
U (р) нашлось значение / > 1 такое, что f(p, t) £U (р).
В самом деле, допустим, что при выполнении этого условия
точка р неустойчива Р*. Это значит, что найдётся такая окрест-
ность U,(p) и такое число Т > 1, что f (р, t) • U (р) = 0 для
t '> Т. Рассмотрим дугу траектории f(p-l,T). Если f(p,t)=p
для некоторого t	то движение периодическое, и утвер-
ждение доказано. Если f(p,t)=pp	то рассматри-
ваемая дуга, будучи замкнутым множеством, находится на
конечном расстоянии от точки р, и найдётся окрестность
U2 (р) C.U, (р), не имеющая общих точек с этой дугой. Но в таком
случае полутраектория / (р- 1, + со) не имеет общих точек
с Uz(p), что противоречит новому определению.
Теорема 1. Если точка р устойчива Р*, то всякая точка
траектории f (р; I) тоже устойчива Р*.
Для доказательства заметим, что данное выше определение
устойчивости Р* равносильно следующему: существует последова-
тельность значений {tn}, lim tn = -f- то, таких, что lim / (р, tn) = р.
7i“»co	со
В самом деле, из последнего свойства первое следует непосред-
ственно; обратно, если первое свойство выполнено, то для любой
последовательности гх > $ >.. . > гп >.. ., lim гп = 0, найдутся
Н~>СО
числа tn > п такие, что р (р, / (р, £„)) < гп. Очевидно, lim tn == -роо
и lim(p, £n) = р, т. е. выполняется второе определение.
77—00
Рассмотрим теперь произвольную точку траектории /(р, £).
В силу II свойства динамической системы имеем: lim /(р,£ + tn) =
— i(P, И, т.-е. точка /(р, t) устойчива Р*.
Теорема доказана.
Аналогичная теорема имеет место для устойчивости Р~ и
устойчивости Р.
Таким образом, в дальнейшем мы будем говорить о движе-
нии и траекториях, положительно, отрицательно и просто устой-
чивых по Пуассону.
Условие, что / (р, t) устойчиво Р*, очевидно, может быть
записано так: / (р; 1) Г~ f (р; 0, -рею); условие устойчивости
— со, 0). Выполнение обоих условий одновре-
менно эквивалентно устойчивости Р.
Очевидно, что точка покоя представляет движение устойчи-
вое Р. В самом деле, в таком случае j(p,t)=p для —со <
< f < -р 00, т- е. / (р, t) C.U (р), и условие устойчивости Р выпол-
нено.
Другим примером устойчивости Р движений являются движе-
ния периодические: / (р, t-\- t)=f(p, t) (— со < £ < -р оо), где т
278
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
постоянное. В самом деле, мы имеем: / (р, 0) = / (р, nz)
(n=± 1, ±2, ...). Таким образом, для t — nz точка f(p, t) со-
впадает со своим начальным положением, т. е. попадает в любую
окрестность U (р).
На плоскости единственными траекториями, устойчивыми Р,
являются точки покоя и траектории периодических движений..
Пример 1. Простейший пример устойчивого Р движения,
отличного от покоя и периодического движения, есть движение
на поверхности тора Ж[0<о<1, 0<Л< 1; (ф4-А>, й-|~Л-') =
~(ф, &), если к и к' целые], определяемое дифференциальными
уравнениями
где а — положительное иррациональное число (см. Введение, § 3).
Здесь траектория каждого движения всюду плотна на торе;
каждое движение устойчиво Р; множества Qp и А, для всякой
точки совпадают с поверхностью тора.
Пример 2. Определим движения на торе уравнениями
Й=ф(?Л)>	(2)
где Ф (<?,{)) непрерывная функция на торе (периодическая по
аргументам «, Й-, с периодом 1), всюду положительная, кроме
точки (0,0): Ф(0,0)=0, и удовлетворяющая условиям Лип-
шица. Кривые, по которым совершаются движения, остались
те же, что в системе (1), так как они определяются дифферен-
циальными уравнениями
с!Л _ Аз
а 1 ’
по характер движения изменился. На кривой —а<э имеют
место три движения: 1) ч> = 0, <р = 0 (покой); 2) движения по
положительной дуге: 0<ф<-|-со; для этих движений положи-
тельная полутраектория всюду плотна на торе и поэтому устой-
чива отрицательная полутраектория при t—>—со стремится
к точке покоя (0, 01, она неустойчива Р~; 3) движения по отрица-
тельной дуге: — оо < © < 0; они устойчивы Р~ и неустойчивы
Р*, так как движущаяся точка при t — -> К ..е стремится к точке
покоя.
Все остальные траектории остались те же, что в системе
(1), так как вдоль них Ф(В, ©)=^0; они всюду плотны на Ж
и, следовательно, устойчивы Р в обе стороны; однако, движения
по этим траекториям уже неравномерные—скорость равна
Ф (&, ср) • }/~ движение замедляется при прохождении около
точки (0, 0).
? 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПУАССОНУ
-279
Пример 3. Слегка усложняя пример 2, можно построить
систему, обладающую: движениями, устойчивыми Р (включая
точки покоя), и движениями, неустойчивыми Р ни в одну сторону..
Для этого на меридиане тора ® = 0 построим счётное множе-
ство точек покоя, которые лежат на кривой & — аф и имеют
единственной предельной точкой (0, 0). Если, например, разло-
жить а в бесконечную непрерывную дробь и выписать её после-
довательные подходящие —:
<11:
р-
<12
Pi
<Ii
< Рг < £1
<1г <li ’
то можно в качестве точек покоя взять точки с координатами
7 — 0 и соответственно
«л-- a»,. (mod 4)	(0 <	< 1);
Q'k	(mod 1)	(0 < ©ft < 1).
Мы будем иметь (так как рк и q]: целые):
Л f I	I = Pit j -	1 i.
°*’ == i W-ppl-qp I« -- I < qJ; 
я аналогично для
Непрерывную, удовлетворяющую условию Липшица функцию
Л> (0, ®) строим так, чтобы она была положительна всюду, кроме
множества точек (0,0), (0, &;.), (0, &£) (& == 1, 2, ...), где она
обращается в 0.
Соответствующие уравнения вида (2) будут обладать теми
же траехсториями, что уравнения (1), т. е. устойчивыми Р, за
исключением траекторий, лежащих на кривой & = а®. Эта по-
следпяя разобьётся на счётное множество дуг:
0 < ? < 93
q^ •••
разделённых точками покоя. На каждой такой дуге, например,
qk < <р < qk^ движение будет неустойчивым Р (в обе стороны),
так как при t—>-4-со оно приближается к точке покоя
? —gf?c+1=~0(mod 1), & = (mod 1) и аналогично при £-~»—ос
оно приближается к точке ?=g^0 (mod 1), &sx£fc(mod 1).
Обратимся к изучению структуры множеств йр и Ар для
движений, устойчивых Р.
Если / (р, t) устойчиво Р-, то, в силу теоремы 1 настоящего
параграфа, все точки его траектории являются для него «-пре-
дельными, т. е.
ftp; i)c:Qp.
880	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Так как 2р замкнутое множество, из последнего включения
следует:
ОсХ
Сопоставляя с обратным включением (2) § 3, которое всегда имеет
место, имеем для движения, устойчивого Р'.
QP=fTpTi)-
В частности, из той же формулы (2) имеем AoQZ.f(p',lj- Отсюда
следует:
Теорема 2. Для движения f(p, t), устойчивого P~r, имеем:
ApczQp=ftoT)
(множество Ар может быть пусто1)). Аналогично: для движения
j[p,t), устойчивого Р~,
QpCLA^fTpTl)
(2р может быть пусто). Наконец, сопоставляя эти факты, находим:
Если f(p, t) устойчиво Р .(в обе стороны), то
Qp = Ap = f(^7).
Мы видели в предыдущем параграфе, что для покоя и перио-
дического движения, которые являются устойчивыми Р, имело
место соотношение
КрПУ-^Нр;!)-
С другой стороны, в примерах 1, 2 и 3 настоящего параграф'*,
замыкание траектории, устойчивой Р, содержало, кроме точек са-
мой траектории, также другие точки. Этот факт является общим,,
если траектория отлична от точки покоя и периодической
траектории. Надо только наложить дополнительное ограничение
на пространство R. Здесь существенно, чтобы пространство было
полным, т. к., например, траектория ё = а<р движения, опреде-
ляемого системой (2), очевидно, устойчива Р, если взять в ка-
честве пространства R только точки этой траектории, но её
замыкание не содержит никаких других точек.
Теорема 3. Для траектории движения f (р, I), устойчи-
вой P+f не являющейся точкой покоя или замкнутой кривей
{траекторией периодического движения) и расположенной в пол-
ном метрическом пространстве R, в множестве 2р всюду плотны
*) Достаточно, наир, в системе (2) примера 2 рассматривать дви-
жения в пространстве X, из которого выброшена точка (0, 0): движение,
по траектории в= «?, 0 < f < 4- оо, устойчиво Р* и не имесч
«-предельных точек.
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПУАССОНУ
28--
точки, не принадлежащие траектории j{p,l), т. е.
f (р; Л—t (р; /) = /(р; Ъ = QP-
Так как в силу свойства группы любая точка р траектории-,
является начальной для некоторого движения, нам достаточно
доказать, что в любой замкнутой окрестности S(p, г) (s > 0)
найдётся точка q g / (р- I), не лежащая на траектории
В силу устойчивости Р+ существует последовательность-
точек {рп = f{p, in)} такая, что 0 < t, < tz < •  ., lim tn — oo
?г—>со
и lim pn== p. Выбираем > tx так, что q^—t{p, ч) 6*5(p, ®)-
Очевидно, q,  f(p; — tlt tJ — O, и так как дуга f(p; —tlt
есть замкнутое множество, то р(?х, f {р; —zj) > 0.
Пусть
si = min [-J ; s- р (р, gj; А р (д1т / (р; -t„ и)) ] ;
тогда
S (qlt eJCZS (р, s) и S (q^sJ-ftp-. — t^ *х) = 0.
Вообще, пусть qn_, g / (р; Z) и гп_^ уже определены; выбираем-
тп > 1„ так, чтобы точка qn ==/ (р, тп) ( S (qn^ , zn-i), что возможно
в силу устойчивости jP-; траектории f(p; Г); затем определяем
Sn П11П , сп—1 Р (?n-i> ?п)> ~9-р(?п» /(р»	^n> ^n)) J 
Вэметим, что [>(qn,f(p; — tn, tn)') > 0, так как в силу неравен-
ства tr, > in точка qn не принадлежит дуге /(р; —tn,
Очевидно, мы будем иметь:
S \Qn, ®n) CZ S {qn_x,	; S~(qn, sn)  / (р; - tn, tn) = 0.
Последовательность {gn} по построению обладает тем свой-
ством, что p(?n, ffn-x) <еп-!<-^й для п = 1,2,3,...; в силу
полноты пространства эта последовательность имеет предельную
точку q, и lim qn — q.
n->co
Так как g'ng/(p, Z), то gg/ (р; Z), и так как р (р, qn) < е,.
то р (р; q) <_ г. Остаётся показать, что q не принадлежит траек-
тории
Допустим обратное, пусть д-—/(р, т). Найдётся такое и,,
что Zn> t|; тогда q£f(p-, —tn,tn). Но мы имеем q£S (§,„ гп},,
а по построению
5’ \qa> е„) • j (р; — 1П! 1п) = 0; значит q  f (р; — tn, гп) = 0.
Противоречие доказывает наше утверждение.
282
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Легко видеть, что для движения, устойчивого Р~ или устой-
чивого ,Р и не являющегося покоем или периодическим, в пол-
ном пространстве имеет место то же соотношение:
=Д^Т) = ар.
Следствие. В условиях теоремы 3 всякая конечная дуга
j (р; 1Л. t2) нигде не плотна в f (р; I).
В самом деле, / (р; tlf t2) есть замкнутое компактное множе-
ство. Какое бы относительно открытое множество U с / (р; I)
мы ни взяли, множество U — Uf(p, t„ ta) будет непустым,
относительно открытым множеством, не имеющим общих точек
0 / (?j ii, tz)- А это и есть условие неплотности.
Замечание. Во многих вопросах приходится рассматривать
устойчивость для дискретного множества положений точки
!{р,п\ (72=1,2,3, . ..). Мы назовём в этом случае точку' р.
устойчивой Р\ если последовательность точек
(А)
имеет р в качестве своей предельной точки. Всякая точка, устой-
чивая Р* при этом дискретном изменении t, очевидно, устойчива
Р" при непрерывном изменении I. Однако, справедливо и обрат-
ное— если точка р устойчива _Р' при непрерывном изменении
-рсо, то она является предельной для точек последо-
вательности (А).
Докажем это.
Пусть lim / {р, tn)=p, где limZn= -(-со.
П—Х»	П-»СО
Представим каждое tn в виде tn~kn—са, где кп целое и
Множество чисел тп имеет предельную точку
(0«С т-С 1), и из последовательности {с,,} можно выбрать подпо-
следовательность, сходящуюся к 'с. Для сокращения письма,
предположим, что сама последовательность {-„} обладает этим,
свойством: Нтта=т. Итак,
lim / (/?, кп - у,0 = р.
Отсюда, в силу’ непрерывности функции /, имеем:
lim/(p,/f„) = /(/?, -Н).
Таким образом, точка / (р, + т) является предельной для после-
довательности (А). Очевидно, тем же свойством обладают точки
Лк, * + 1), f(p, -с ± 2), • • •, / (р, - ± 1П)>  • , так как ПРИ L Целом
/ Л х + 0 == lim / (р, кп 4- Z) И / (р, кп Д Z) € (А).
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПУАССОНУ
283
Далее, точка /(р, 2х) являемся, очевидно, пределом последова-
тельности {f(p, Лп-г”0}> Покажем, что она является предельной
.для последовательности (А). Задаём е > 0. Пусть
Р [/ (/>.	’), f(p, 2')] <у.
Для дуги /(р; х, 7<\ + ') и числа -А находим в силу свойства II'
такое о, что если р [/ (р, -с), д] < 8, то р [f (р, x-f-z), / (g, г)] < А
для 0 < Z <Z:V. В о-окрестности точки f(p, т), ио доказанному,
найдётся точка / (р, ЛД = д; тогда р [/ (р, т -j- 7cv), / (р, 7ск+	,
т. е. р [/ (р, 2т), / (р, Л..х-|-Л7)| < г, и, следовательно, точка /(р, 2т)
является предельной для (А).
Такое же рассуждение покажет, что точки /(р, 3t), ...
/(р, Л-), ... тоже являются предельными для этой после-
до ва дельности.
Сопоставляя это заключение с ранее доказанным, находим,
что точки f(p,k~—m) при целых к и т являются предельными
для (А).
Рассмотрим 2 случая: 1) число трациональное,	пола-
гая к — a,	находим, что точка /(р, 0) = р предельная для
последовательности (А); 2) т иррациональное, тогда множество
чисел к~ — т {к, т = 1, 2, ...) всюду плотно на числовой
прямой; в частности, существует последовательность, сходящаяся
к нулю, и точка р, являясь пределом соответствующей после-
довательности f(p,kx— т), является предельной для последова-
тельности (А).
Наше утверждение доказано.
Примечание. Точка р по доказанному всегда является
предельной точкой для (А); если -с иррационально, то все точки
/(р; 7) также суть предельные точки (А); в случае рациональ-
ного т этого утверждать нельзя; в самом деле, для периоди-
ческого движения /(р, ') с целым периодом I только ко-
нечное число точек / (р, к) (к — 0; 1, . ..,Z — 1) будет предель-
ным для (А).
В силу доказанной теоремы при исследовании точек, устой-
чивых p-f целесообразно рассматривать это множество, как мно-
жество точек, предельных для {/(/?,«)}•
Применим это замечание к разысканию всех точек, устойчивых
Р'. Определим множество точек, устойчивых />*,. во всём про-
странстве R, причём пространство предполагается метрическим
со счётным базисом.
284	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим сначала произвольное множество А. САЛи выде-
лим из него множество А* следующим образом:
А* = А-А  V /(Л, — п),
п= 1
т. с. А* есть множество точек р(-А, не принадлежащих ан-
одному из множеств f(A, —п) (п = 1, 2, ...). Заметим, что по
определению множества А* имеем:
/(А, — п) А* = 0	(и—1, 2, ...);
откуда, так- как А* ( А, то
/(А* -л) • А* = 0 (п = 1, 2, ...).
Беря образы множеств в обоих соотношениях в момент f =
получаем:
/(А*, в)-А = 0 и /(Л*,л)-А*=0	(п=1, 2, ...).
Пусть теперь Ult Us, .. ., Un, . . . есть определяющая система:
окрестностей пространства R. Строим описанным образом для
каждого Un соответствующее множество J7*.
Обозначим 2 О* = У+ и R — У"~Е*.
П=1
Тогда Е* есть множество точек, устойчивых Р', а У+- мно-
жество точек, неустойчивых Р'.
В самом деле, пусть р£Еу, и пусть U.,— любая окрестность,
содержащая р. По определению множества Е* точка р не-
принадлежит Z7*, следовательно, принадлежит для некоторого
значения к к множеству • f(Uy, —к):
ptm-f{U.b -к}.
Возьмём образ обеих' частей этого соотношения- в момент
имеем:
f{p,k)£Uv' f(Uv, к) CZ U„
где 7с > 1, a Uy — любая окрестность точки р. Отсюда, в силу
второго определения (см. примечание) следует устойчивость Р~
точки р.
Пусть теперь рбУ"; значит, найдётся некоторая окрестность.
Up. точки р такая, что p£U*. Так как по доказанному’
/(U*, п) • Up = ог для « = 1( 2> • •  >
окр^юстЛ^т’ гТаКИМ образом’ р навсегда покпдает свОк>
рылиость Ср., 1. е. она неустойчива Р\
а. нОЗВр кТЦЛЕМОСТЬ ОБЛАСТЕЙ. ЦЕНТРАЛЫ ИДЕ ДВИЖЕНИЯ 285
СО
Аналогично, строя множество U**=Un— Un l^f(Un,k), мы
получим V' = 2 Е** — множество точек, неустойчивых Р~, и мно-
п- I
жество точек R— V~ = Е~, устойчивых Р~. Очевидно, Е'Е"
•есть множество точек, устойчивых Р.
Из этого построения легко определить класс Бэра, например
для множества Е‘. В самом деле, 17*, являясь разностью
двсх открытых множеств Un и Un 2/(^.п,—Е), может быть
представлено, как сумма счётного числа замкнутых множеств,
со
•т. е. имеет тип ТЕ; г) V* = 2 есть сумма множеств т. е.
я=1
тоже FB.
Наконец, Е", как дополнение FB, есть Gt-
Аналогично, Е’ есть Gt- Наконец, множество точек, устойчи-
вых Р (как прп t—> — со, так п при I— »4-со), есть Е+Е",
Д. е. тоже Gt-
§ 5. Возвращаеместь областей- Центральные движения
Введём принадлежащее Биркгоф;' понятие возвращаемости
областей.
Оп р е д е л е и п е. Динамическая система / (р, 1}, определён-
ная в некотором метрическом пространстве R, обладает в R
свойством возвращаемости областей, если для любой области
ACZjR и любого 7’ найдётся значение t>T такое, что
G • / (G, I) =р 0. Применяя к последнему неравенству преобра-
зование группы с параметром — 7, имеем также G  f {G, — t) ¥= 0,
т. е. определение возвращаемости одновременно относится к по-
ложительным и к отрицательным значениям I. Этим свойством
•обладают системы с инвариантной мерой, которые. будут изу-
чаться в следующей главе.
В настоящем параграфе мы покажем, что при весьма общих
предположениях относительно динамической системы, из про-
странства R можно выделить подпространство М, в котором
будет иметь место возвращаемость областей.
Назовём точку р блуждающей, если существуют её окрест-
ность U (р) и положительное число Т такие, что
Е (р) • / (U (р), 1} = 0 для t>T.	(1)
1) Пусть U и V открытые ^множества, Z7Z)F; тоща U—К = ?7 (7? — F),
где R—V замкнуто; по доказанному в § 1, £7= 2 Р,, следовательно,
г
«7-7 = 2 Fi(-R-F).
286
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Применяя к этому равенству преобразование с параметром —I.,
каки в предыдущем определении, получаем: U [p)-f(U (р),—1} = О,,
т. е. определение блуждающей точки симметрично относительно
положительных и отрицательных значений I.
Множество W блуждающих точек является инвариантным.,
так как для точки jip.tp имеем также пз формулы (1), при-
меняя к ней преобразование •; параметром ic:
Ж(₽), М • /[/(-Чр), П] = 0 для t>T.
Далее, это множество открытое, так как, в силу (1), вместе
с точкой р блуждающими являются все точки окрестности U (р).
Множество неблуждающих относительно R точек
Мг = R — TF
является таким образом замкнутым инвариантным. Оно может
быть пусто. Например, для динамической системы, определённой
на Е" уравнениями: ^== 1,	— Щ все точки являются олуждаю-
щими.
Неблуждающая точка р £ Мг характеризуется тем свойством,
что для любой содержащей её окрестности U (р) найдутся сколь-
угодно большие значения г, для которых
U(p)4(U(p),t)^O.	(2)
Если точка р устойчива Р* пли /*', то по определению для
любой U (р) её содержащей найдутся сколь угодно большие по
абсолютной величине значения I, для которых
Н'Р> $ 'и (?)= tip, №0,
следовательно, и подавно выполняется (2), т.. е. каждая точка
устойчивая Р* или Р~ является неблуждающей.
Обратное утверждение неверно: во всех примерах предыду-
щего Параграфа все точки поверхности тора являются, как.
легко убедиться, неблуждающими, но в примере 3 существовали
точки, неустойчивые Р ни в одну сторону.
Если замкнутое множество неблуждающих точек М1 содер-
жит в себе открытое инвариантное множество G, то в этой
области G имеет место возврйщаемость областей, что непосред-
ственно следует из определения и соотношения (2), в котором
U(р) выбрано под условием U(p')CPG.
Теорема 1. Если динамическая система обладает хота
одним движением, устойчивым II или Е~, то. множество
неблуждающих точек не пусто.
Пусть f(p, t) устойчиво L": тогда множество не пуста-
й компактно.
S 5. ВОЗВРЛЩЛЕМОСТЬ ОБЛАСТЕЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 28/
Рассматривая 2р как пространство движений R, мы докажем
теорему, если покажем, что в компактном метрическом про-
странстве R (которое в силу доказанной в § 1 теоремы имеет
счётный базис) множество неблуждающих движений непусто.
Допустим, что W есть множество блуждающих точек и
М, ~R — W = 0. Тогда для каждой точки p£R найдётся окрест-
ность U (р), удовлетворяющая для I '.> Т соотношению (1), В силу
компактности пространства R можем выбрать из этих окрестно-
V
стен конечное число U, U2, ...,Uy, так что 2	= пх’сть
Л- 1
им соответствуют числа 7’,. Т2, . . ., Ту.
Произвольная точка p£R пусть входит в [7К1; в силу (1) по
истечении времени <ТП1 она из неё выйдет навсегда; пусть,
она попадает в Unp. по истечении времени сна из неё выйдет
v
навсегда и т. д. Наконец, при £ > 5 2Д ей будет некуда де-
fe-=i
ваться. Это противоречие доказывает теорему.
В дальнейшем изложении этого параграфа мы будем рас-
сматривать движение /(/;, г) в компактном метрическом про-
странстве, обладающем в силу этого счётной базой.
В силу доказанной теоремы множество Мг не пусто и ком-
пактно, как замкнутое подмножество компактного пространства.
Покажем, что любое движение стремится к множеству Мг.
Именно, имеет место
Теорема 2. Если пространство R компактно, то каково
бы ни было г > 0, всякое блуждающее движение f (р, t) проте-
кает только конечное время, не превышающее Т (е)’, вне множе-
ства SiM^s}.
В самом деле, так как R компактное, a S(Mt. s) открытое
множестве, то R— 5(МП г) компактно и всё состоит из блуж-
дающих точек. Поэтому для каждой точки p6R —
найдётся окрестность U (р), удовлетворяющая условию (1) для
«>Т(р).
Повторяя рассуждение теоремы 1 настоящего параграфа,
мы покрываем R — S(Mr, s) конечным числом этих областей
, Uy и, обозначая соответствующие числа Т (р) че-
рез 7\, 7\, ....Ту, убеждаемся, что время пребывания точ-
V
ки р в Я — 5 (М,, s) не может превышать 7—2 7\. Теорема
доказана.
Дальнейшая задача Бпркгофа состоит в том, чтобы ещё
сузить то множество, в окрестности которого по преимуществу
протекают движения блуждающих точек. На этом пути он при-
ходит следующим образом к понятию центра.
288
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим множество неблуждаюгаих точек из R, как
пространство новой динамической системы. Это пространство ком-
пактно, и в нём по предыдущему можно определить замкнутое
инвариантное не пустое множество Mz точек, не блуждающих
по отношению к Мг. Продолжая этот процесс, мы получим цепь
вложенных друг в друга замкнутых множеств
AfiZZ)M2Z)....ZDM„ZZ) ...
Если па каком-либо числе мы получим = то
Мк =	= ..., и множество М к есть искомое множество
центральных движений.
Если каждое Mkil есть истинная часть Мк, то определяем
Ж = П^-
г= 1
Множество М,я опять является компактным и инвариантным.
Этот процесс может быть продолжен на все числа II класса
методом трансфинитной индукций: если а. 4* 1 есть число 1-го рода,
л М„, уже определено, то Ma^iC.Ma есть множество неблуждаю-
щих точек в пространстве движений если р— трансфинитное
число 2 рода, и уже определены все Л/а(а<^), то М₽ = П/Иа.
Мы получаем трансфинитную последовательность замкнутых
множеств
М. TD MsZD •. • ZD MnZD • • - ZDMwZD ... ZDAfaZD. • •
По теореме Кантора (§ 1) для некоторого значения а не выше
трансфинитного числа II класса, мы получим: Ма~ Ма_. > =• ...
Множество Ми есть множество центральных движений. Будем
обозначать его буквой М. Очевидно, М есть компактное инва-
риантное множество.
Пример. Покажем случай, когда M—Mt. Движения опре-
делены в области х3-ру2<1 плоскости Ег. Они совершаются по
кривым, определяемым дифференциальным уравнением
dy_ я +	—?/2)
dx~~ -у + :г.(1-я*-у*)	Vе
>илн, в полярных координатах,
dr
(0<г .1).
Система интегральных кривых имеет особую точку (фокус)
в начале, а также замкнутую кривую г=1; все остальные кри-
вые являются спиралями, приближающимися при &—»— со к осо-
§ 5. ВОЗВРАЩАЕМ ОСТЬ ОБЛАСТЕЙ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 289
бой точке, а при 8—>-j-co навивающимися на предельный
цикл г= 1.
Переходя к динамической системе, мы построим её так,
чтобы точка я—1, р = 0 была, наряду с точкой х — 0, р=0.
точкой покоя. Этого мы достигнем, определив, например, движе-
ния системой уравнений
J = I - У + х (1 - - у2)] [(* -1)2 + ,
‘di= +У ~ у^
пли в полярных координатах
г = г(1 — г) (1 + г3 — 2r cos 8),
8 = 1 -j- г* — 2г cos 8.
На кривой г=1 существует две траектории движений: точка
покоя г — 1, 8 — 0 и движение по дуге: г—1, 0 < 8 < 2щ опре-
деляемое уравнением:
8 (г) = 2 arc cig ^etg — 2t
причём
lim &(£)=0; lim &(£)==2r.
t->—со	f->4-co
Точки области G = {O<r<l} все являются блуждающими,
так как они приближаются к г —0 и к г = 1 соответственно
при t—»— со и t—>+ со-, т. е. каждая точка оставляет навсегда
свою достаточно малую окрестность U (р). Точка г = 0, как
точка покоя, неблуждающая. Все точки окружности г = 1 тоже
неблуждающие, так как в любой окрестности U (р) такой точки
найдутся точки, не лежащие на окружности ?•==!, и следова-
тельно, при возрастании t, когда полярный угол 8 увеличится
на величину, кратную 2гс, эти точки ещё более приблизятся
к дуге г == 1 и будут снова и снова пересекать U (р). Таким
образом, Мг состоит из точки г— 0 и окружности г=1.
Рассмотрим теперь движения только на множестве Мг.
Точки покоя: г = 0 и г = 1, 8 = 0, очевидно, неблуждающие;
всякая другая точка р, с координатами: г==1, 8 = 80зёе()
(mod 2тс) является блуждающей, так как она имеет предельные
положения при I —> — со и t —»-|- оо и навсегда оставляет свою
относительную окрестность U (р), если последняя не содержит
точки покоя.
Тот же самый результат, очевидно, получится при после-
дующем процессе выделения относительно неблуждающих точек.
Таким образом, М~М2 состоит только из двух точек покоя.
Немыцкий в Степанов	49
290
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ динамических систем
Примечание. Остаётся открытым вопрос, не обрывается
ли цепь .множеств М L М2 > •  • на конечном шаге в случае
системы, определённой в Еп.
Мы видели, что всякая траектория, устойчивая Р' или Р~,
принадлежит М4. Так как все её точки неблуждающие по отно-
шению к пространству самой траектории, то она войдёт и в М,.
Путём трансфинитной индукции легко доказывается, что всякая
траектория, устойчивая Р хоть в одну сторону, войдёт в мно-
жество центральных движений М, которое может быть опреде-
лено как наибольшее замкнутое множество, все точки которого
являются неблуждающими по отношению к атому множеству,
или, что то же, как наибольшее замкнутое множество, в котором
имеет место возвращаемость для любой относительной области.
Структура множества М выясняется следующей теоремой.
Теорема 3. В множестве центральных движений JI
всюду плотны точки, лежащие на траекториях, устойчивых Р.
Рассмотрим данную динамическую систему на множестве Jf.
Пусть р'£_М—любая точка и г>0— произвольное число. Тре-
буется доказать, что f;S(ppp-e найдётся точка, устойчивая/*.
Берём последовательность возрастающих положительных чисел
{Тп}, где lim 71n=-j-oo. В силу возвращасмости областей пай-
и—>оо
дётся П > Т\ такое, что пересечение 5 • / (S, не пусто. Так
как пересечение двух открытых множеств есть открытое мно-
жество, то найдутся точка рг и число sx > 0 такие, что S (р1; г,) CZ
CS-f(S, tj. Обозначим: S1 — S (р1; ° ) . В силу той же воз-
вращаемости найдётся —12 <С— Т2 такое, что	—12) не
пусто, и найдутся точка р, и число г2 > 0, так что
Очевидно, г2<|‘. Обозначим: S2=S ( р2,	. Далее —имеются
точка ps и число s8 > 0 такие, что S (рг, г8) CZ *S’2 • /(5г, Z3), где
и ss<f • Пусть S (^р:л	= >?8, После итого определяем
точку р4 и число 34> 0, для которых: 5 (р4, г4)	5., • /(£., —Л,),
где /4< —Ту и и т. д.
Продолжая этот процесс неограниченно и замечая, что
^nCZ5n_i (71=2,3, ...) и, кроме того, что D (5„) <2гл< в
силу компактности пространства М мы в пересечении множеств
Sn получим точку q:
П~ 1
§ 5. ВОЗВРАЩЛЕМОСТЬ ОБЛАСТЕЙ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 291
Покажем, что точка q устойчива Р". Пусть задано сколь
угодно большое число Т 0 и сколь угодно малое число о > 0.
Определяем натуральное число п так, чтобы одновременно было:
Т-\п..1>Т и г2п<о. По построению q£S(p.in.r, е2П+1); с другой
стороны, Ssn = S (р2п, CZS(q, о), так как р (q, ргп) < и
о >ггп.
Таким образом, мы получаем включения:
? 6 $	> ®2'l :-l) CZ S'm • / (*^2П> ^2Пт1);
отсюда, применяя преобразования группы с параметром—tzntlr
будем иметь:
/(?,~О„+1)е5,п  /(52га,— i2n i)CZ5(<?, о),
причём— t,n х < — Т2П_ х < — Т. Устойчивость Р точки q доказана..
Аналогично доказывается её устойчивость Р*.
Примечание. В доказательстве теоремы 3 мы использо-
вали только свойства компактности н возвращаемости областей
множества М. Теорема имеет поэтому место, если вместо М
взять любое компактное множество, обладающее свойством
возвращаемости областей.
На основании теоремы 3 и предшествующего ей замечания
вполне выясняется структура множества М. А именно, множе-
ство центральных движений в компактном прост ранет ее есть
замыкание множества точек, лежащих на. всех траекториях,
устойчивых Р.
Теорема 4. В множестве центральных движений М
точки, расположенные на траекториях устойчивых Р, обра-
зуют множество типа G;, второй категории, т. е. его допол-
нение может быть представлено как сумма счётного числа
замкнутых множеств (возможно, пустых'), неплотных в М-
Зададим последовательность неограниченно возрастающих
положительных чисел {Tn}: IimTn=+oo и последовательность
-п->со
убывающих положительных чисел {=п} таких, что limsn = 0.
п~>со
Обозначим через Fk множество точек р£.М, для которых имеет
место соотношение:
/ (р, t) - S (р, гк) = 0 для t > Tk;
Fk может быть и пусто.
Очевидно, все точки p£Fk неустойчивы Р*, и легко дока-
зать, что каждая точка, неустойчивая Рг, входит в некоторое Fk.
Покажем, что Fk замкнуто. Допустив обратное, мы имели
последовательность {pn}CZ.Fk, для которой lim рп = р9 g Fk.
19*
292	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИПАМИЧЕСГИЖ СИСТЕМ
Отсюда: / (ри, te) g S (рп, еА.) при некотором <0 > Т*; следовательно,
нашлось бы число г>0 такое, что А(/(рв, i0), е.) CZ 5 (р0, е?:).
В силу свойства И' § 2 для точки р0 и чисел t0 и г
можно было бы найти 3 > 0 такое, что если q CZ $ (р0, 3), то
т. е. /(?,£„)(pB,sj.) при Zo > Г7:; следо-
вательно, точки д не входили бы в Fk. Из условия рп—*р0
следует, что рп£S(рк,а) при достаточно большом п, т. е. pn£Fk.
Противоречие доказывает, что Fk замкнуто.
Далее, Fk нигде не плотно в J/: так как если бы оно было
плотно в некоторой относительной области GCM, то в силу зам-
кнутости множества Fk оно содержало бы G, что противоречит тео-
ОО
реме 3. Итак, множество точек р f М, неустойчивых Р*, есть F,.
Аналогично, строим множества F* точек, неустойчивых
P~‘-pF-F*, если /(/>,*) • S(p, s/) = 0, для Z < Тк. Множество
всех точек, неустойчивых А", есть 2 А*.
Теперь ясно, что множество точек pgJf, устойчивых р. есть
м-2 7?*-2 7/*
/.• 1	л 1
т. е. типа Gt второй категории в М.
При меч ап не. Подобно теореме 3, и настоящая теорема
остаётся в силе, если в её условии М заменить любым ком-
пактным инвариантным множеством с возвращаемостыо областей.
Частным случаем инвариантных множеств, в которых имеет
место возвращаемость областей, являются квази-минималъние
множеспюа, введённые Г. Ф. Хильми. Можно определить
квази-минималытое множество 0 как замыкание содержащейся
в компактном множестве траектории движения, устойчивого
по Пуассону: если	устойчива Р и /(рв; Г) CZ /?х, где Ях
компактно (т. е, / (рр.Г) устойчиво по Лагранжу), то
в ==/(?„;/)•
К этим множествам, в силу свойства возвращаемости обла-
стей, применимы теоремы 3 и 4. Но имеет место и более точ-
ная теорема.
Теорема 5. В кеази-минимальном множестве 0 точки,
расположенные на траекториях устойчивых Р и всюду плот-
ных в 0, образуют множество второй категории типа. G.-.
Компактное метрическое пространство Rk имеет счётный
базис: Aj, U„. .. . ,Un, . . .
§ 5. ВОЗВРАЩАЕМОСТЬ ОБЛАСТЕЙ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 293
Обозначим через 1<\ и F, множество точек pf-Rt, У кото-
рых не плотна в в, соответственно, полутраектория f (p;O, + со)
или /(р;—со, О).
Если /(р;0,+сс.) не плотна в в, то найдётся окрестностьU
и число Т такие, что j(p,t) • Uk = 0 для t>T.
Задаёмся последовательностью возрастающих чисел {Тп},
lim Тп = + со и обозначим через F]m множество точек р£0,
п—*со
для которых
f(p, 0 • ^ = ° Для i>Tn-
Те же рассуждения, что и в теореме 4, показывают, что каж-
дое F'in замкнуто; оно не может быть плотным в О, так как
тогда оно содержало бы область, сплошь состоящую из точек,
для которых /(р;0, Д со) не плотно в ©, чему противоречит
существование /(р0,<), для которого /(ро;О, Д-оо) всюду плотно
в © в силу определения. Очевидно
Аналогичное представление в виде суммы замкнутых не-
плотных в в множеств F/'„ получим для F2:
л=2
fe=l n=l
А тогда множество точек в 0, обе полутраектории которых
всюду плотны в в и которые поэтому устойчивы Р, есть
О — F, — F8, t. е. Gs второй категории.
Следствие. Если квази-минимальное множество 0 отлично
от точки покоя и траектории периодического движения, то оно
содержит несчётное множество движений, всюду7 плотных
и устойчивых Р.
В самом деле, для каждого движения jустойчивого Р
и всюду плотного в 0, имеем f(p;l) = Q; в силу следствия тео-
ремы 3 § 4 каждая конечная дуга j(p-.,tt,t^ не плотна в 0.
Допустив, что множество плотных в 0 движений, устойчивых Р,
счётно, мы представили бы совокупность точек их траекторий
СО со
кая счётную сумму неплотных множеств 22 /(р,-; А,А + 1),
/=1 й=1
чего не может быть, так как это множество 2-й категории
в полном пространстве.
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В качестве примеров квази-минимальных множеств, кроме точек
покоя 11 траекторий периодических движений, могут служить все три при-
мера § I. Разиина между примером 1, с одной стороны, и примерами
2 н з, с другой, выяснится в § 7.
§ 6. Минимальный центр притяжения
В этом параграфе мы будем иметь дело с понятием «в е р о-
ятности нахождения точки / (/>, t) в множестве Е»
при t—*-|-оо или при t—>—со. Под этим мы понимаем следу-
ющее. Рассмотрим дугу траектории О, Т) и множество тех
значений t g[0, 7’], длякоторых f(p, t) ZE; пусть мера этого множе-
т
ства есть т — т (уд Т,Е)=	t)) dt, где оЕ— характеристи-
о
ческая функция множества Е, т. е.
Р^Е-
<?е(р) = ®, p^R — E1).
Отношение ~ естественно назвать относительным временем
пребывания точки р в множестве Е в течение промежутка вре-
мени [О, 7]. Очевидно
Если существует
т
lim \ <fE (j (р, t)) clt = 1 im т •== P (/ (p,7) 6 E),	(1)
то этот, предел мы будем называть вероятностью нахождения
точки р в множестве Е при t—>-|-ос.
Аналогично определится вероятность пребывания р в Е при
t—- со: ?'(/(/?, t) £Е). В дальнейшем мы будем для опреде-
лённости рассматривать лишь случай t — >4-со и для простоты
письма будем опускать значок -f- у Р.
Если Р не существует, то существует нижняя вероятность
Р (f(p, t) £ Е) — lim inf р
(Г)
ь) Множества Е, которые мы будем рассматривать здесь, суть замкну-
тые и открытые множества, поэтому множества значений Г, для которых
/ (р, г) £ Е. как легко видеть, будут измеримы.
§ G. МИНИМАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПРИТЯЖЕНИЯ	295
и верхняя вероятность
Г*(/(Р, 0 €Е) = snP т >	С1")
причем
O F <Р ,1.
Замечая, что числитель т = т (р; Т, Е) в выражении (1) есть
.мера, мы легко получаем следующие равенства и неравенства;
1) Если А С~ В, то Р (/ (р, t) g /I) <Р (/ (р, t) g В) и аналогичные
неравенства для Р и Р.
2) Р (/ (р, 0 € Л +~В) < Р (/ (р, t) g Л) + Р (/ (р, t) g В); если
АВ = 0, то имеет место знак равенства.
Определение. Инвариантное замкнутое множество V
называется центром притяжения движения f(p. t) при t —--р
-- со (i—>-- се) (f. Ф. Хильми), если Р" (Р ) пребывания точки
р в 5 (У, г) прп .тюбом г > 0, равна 1:
Vtf(p,t)£S(V,*))==!.	(2)
Если множество У не допускает истинного подмножества,
тоже являющегося центром притяжения, то У называется мини-
мальным центром притяжения.
Теорема 1. Если движение положительно (отри-
цательно) устойчиво по Л агранжу, то существует минималь-
ный центр притяжения для f(p, t) при t—>4-°° (2—>—со).
Докажем теорему для движения/(р, Z), положительно устой-
чивого по Лагранжу. В силу определения устойчивости по Ла-
гранжу существует компактное множество F такое, что
f (Р‘, 0, + со) CZ F
(в качество F можно взять / (р; 0, °о). В силу компактности
множество F может быть покрыто конечным числом открытых
.множеств U'B диаметра < 1:
>'4
h = l
Так как, очевидно, Р(/(р, t)£F) = i, то существуют замкну-
тые множества \ для которых
P(/ (ZM)€LT) >0,	(3)
потому что если бы для всех к было Р (j(p,t) € Е^) ?= 0, то мы
получили бы противоречие со свойством 2). Обозначим через VL
Е96
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
сумму множеств U^\ для которых имеет место (3); это множе-
ство замкнутое. Вероятность пребывания точки р sF~V1 равна
нулю в силу свойств 2) и 1); следовательно, на основании свой-
ства 2) имеем:
P(/(F, «)€Л)=1.
Компактное множество V\ покрываем конечной системой
1
открытых относительно множеств UF диаметра < у:
«2
к=1
jr'yCS)
и среди и h отоираем те, для которых
P(A?,OetT)>0-	(4)
Обозначая их сумму через У„, мы, как и в случае Vlt убежда-
емся, что V2 не пусто, компактно и
Р(/(р,	=
причём V2CZV1.
Если множество Ут с указанными свойствами уже опреде-
лено, то покрываем его конечным числом относительно откры-
тых множеств диаметра <	:
и полагаем
k
где суммирование распространяется на те U^1^, для которых
Мы получаем, таким образом, счётную последовательность
замкнутых компактных множеств
FZDV1ZDVeZD...23VnZ).. 
Их пересечение (непустое, компактное) обозначим через V (иля
§ 6. МИНИМАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПРИТЯЖЕНИЯ
297
®ерез
если нужно показать его зависимость от точки
У- П
Докажем, что V есть минимальный центр притяжения.
Прежде всего легко показать, что множество V удовлетво-
ряет условию (2)в В самом деле, для заданного з>0 найдётся
такое ?г, что УПС=5(У, г). Так как, по построению Р(/(рД)£
£УЛ) = 1? то в силу свойства 1) для любого г>0, получим
Р(/(А	=
Рассмотрим далее некоторые свойства множества У, Если*
для q£R существует т] > О такое, что
Р(/(Р, ^)6‘5(g’,Ti)) = O,
то qf*R — У.
самом деле,
определим п так,
что
'*Ь
Если*
Уд-i не содержит q, то утверждение доказано; если ggy^, то-
всякое множеств Uk\ содержащее точка- д, находится внутри
5 (д, т)); в силу 1) для него P(f(p,	— О, т. е. такое Uk
не войдёт’ в Уп, а значит qfzR — Vn CR-V.
Обратно, если для любого г > 0, имеем

то 9 g У. В самом деле, существует
бираем гг так, что 5 {д, гl)	.
дует, чт’о
гг(О
такое, что q g
В силу 1) из (5)
Ви-
сле-

т. е. Uki CZFi, и значит, g€Ft. Далее, берём , содержа-
шее д3 и выбираем так, что S	Опять ?7/Г?С2У2 и.
9бУ2/
Индукцией докажем, что ?€УП для любого п, т. е. 9gP\
Таким образом, множество У можно определить, как множество
точек д g Я, в которых для любого г имеет место соотноше-
ние. (5).
Этим доказана независимость У от выбора Ut?\ Покажем,
что У есть инвариантное множество. Пусть q&Vf покажем, что
для любого имеем также / (д, Q g У< Фиксируем /0, выбира-
29R
ГЛ. IV. ОВЩЛЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ем произвольно г > 0. Для в и i0 в силу свойства П/ § 2, мож-
но паши такое 8, что
/ (-5” (?,£), tu)rzS(/ (q, Q,s).
В силу свойства (5) точки q и формулы (1") для Р мы имеем:
,.	? О; T,S(q, Д) п
lim sup —--------—> 0.
3’->сс	'
Очевидно
z [р\ T, S Ц (q, te), г)] > т [p\ T, f {$ (q, o), t0)].
Далее, если / ip. t)c.$ (q, о), то /(рД + ^о) E / (*$ iq, 8), поэтому
[P- T, f (5 iq, o), £0)J > т [p; T,S(q, о)] - Л ’,
n мы получаем:
i-	[z>: T. S ( j (q, tn), s)l - , • т [/.: T. S (rj. S)] — i to i n
Lim sup —M  07’ M- >. 1Ш1 sup —hl : hl;—1Л------------ > 0:
7' -o.	1	' T^a:	7
т. e. точка f(q,t0) удовлетворяет условию (5) и, следовательно,
/(<7,	Инвариантность множества V доказана.
В итоге, таким образом, установлено, что V есть центр при-
тяжения.
Остаётся доказать, что V есть минимальный центр притяже-
ния. Допустим, что существует V', истинная часть множества
Г, являющаяся центром притяжения. Множество V — V не. пу-
сто, и для точки q£V— V' имеем: р (?, Г)=х>0. Берём
г < Множества S (У', г) и S (<?, г) пе имеют общих точек. По
предположению Р (/ (p,t) £S (V', ^)) = 1; поэтому в силу свой-
ства 2) Р (/(/?Д) 6 5 (//, г)) = 0, что противоречит неравенству (5),
так как q£V.
Теорема доказана.
Теорема 2. В минимальном центре притяжения- инди-
видуального движения f ip, t) имеет место возерагцаемость
областей.
Допустим, что теорема неверна. В таком случае в мини-
мальном центре притяжения V найдётся относительная область
U такая, что U f iU,t) — 0 для £ > £0 > 0. Так как U есть отно-
сительная область, то для всякой точки q£ U найдётся такое а,
что S iq, a)Vcz£7- Выберем г < ^- и обозначим S iq, г) V =	.
Далее задаём произвольно малое положительное число и вы-
2f
бираем положительное число Т1 так, что < тр
§ 6. МИНИМАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПРИТЯЖЕНИЯ
29®
Для чисел г и Тг определим такое 8, что для всякой точки
и любой точки ?/, удовлетворяющей неравенству & (ад ?/)<о
выполняется при 0 <£<7, неравенство р(/(ж, i), f{y, t))<Z=.
Наконец, возьмём сферическую окрестность U\ радиуса 8
множества U*:
U'^S(U^O).
Если в момент точка /(/>,£)££’,', то существует точка
г € U jCZ U CZ V такая, что р (/ (р, Q, г) < 8.
Ни предположению относительно V точка /(г, t), принадле-
жащая F, будет находиться при t - t., вне U и, следовательно,
вне S(q, х). В силу выбора числа 8, для 0 < t <. 7\ получим:
Таким образом, для каждого значения t отрезка времени
мы будем иметь:
р(/(рА + О. ?)>р(/(/•» Ол)-р(/А 0- f(P> h + i)) > *-s> s,
т. е. после каждого пребывания в области U[, продолжитель-
ность которого не превышает £(|, точка /(/?,£) в течение време-
ни  Тj — tn находится вне S (q, е). Следовательно,
Р (/ (Р< I) е 5 (су, г)) < ^-г <	< ц.
1 1	<0	1 1
В силу того, что q > 0 произвольное число, отсюда получаем:
P(/(Z>,
а это противоречит свойству (5) для точки q^L’CZV.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Определение. Для любого инвариантного множества
.ЕСЗ-Я центром притяжения при 7—>-|-оо движений множе-
ства Е называется замкнутое инвариантное множество VE та-
кое, что
р* mp^s(vE, s)) = i
для любого г > 0, если р£Е.
Если никакое истинное подмножество множества VE не яв-
ляется центром притяжения для Е, то VE есть минимальный
центр притяжения для движений. Е.
Аналогично определяется минимальный центр притяжения
.при t—s—со. Мы займёмся только случаем t— >-фсо.
300
ГЛ. IV. ОБЩ
АЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Определим множество VE
Теорема. 3. Если все движения инвариантного множе-
с тва Е положительно устойчивы по Лагранжу, то существует
минимальный центр притяжения VE.
Определим множество VE как замыкание суммы мини-
мальных центров притяжения Vp всех движений f[p, I), вхо-
дящих в Е. Очевидно, это есть инвариантное замкнутое мно-
жество. Легко убедиться, что оно является центром притяже-
ния для Е.
В самом деле, рассмотрим любое движение / (р, t) (р^Е).
Так как VpdVE, то S (Vp, е)cS (VE, ®), но в силу определения
Vp имеем: Р(/(р, t) € S (Vp, е)) = 1, а отсюда в силу свойства 1),
получим Р (/ (р, Z) € 8 (ТЕ, «)) = !.
Покажем, что VE есть минимальный центр притяжения для
множества Е. Пусть V'e тоже является центром притяжения для
£, и V'e есть истинная часть VE. В множестве VE — VE найдёт-
ся точка q, входящая в Vp для некоторого р£Е, и найдётся
а> 0 такое, что р(^,УЬ) = а> 0. Повторяя рассуждения в кон-
це доказательства теоремы 1, получаем, чтоР (/ (р, t) g S (q, e)) = 0
при e
а это противоречит условию q£Vp.
Теорема 4. В минимальном центре притяжения VE
множества Е имеет место возвращаемость областей.
Допустим противное. Тогда существует относительная об-
ласть U VZ.VE такая, что Uf(U, £) = 0при	Далее, найдётся
такая точка р£Е, что её центр притяжения У, пересекается
с U, т. е. VpU= Up Ф 0. Up есть относительная* область мно-
жества Vp, и так как UpVZ.U, то имеет место соотношение
= 0 при i> £0, но это противоречит теореме 2.
Теорема доказана.
Сопоставим теорию минимальных центров притяжения о
теорией центральных движении. Пусть пространство R компактно-
Тогда его минимальный центр притяжения Ул как при Z—> +оо,
тахс и при — оо, по теореме 3 не пусти по теореме 4 обла-
дает возвращаемостью областей. Так как множество централь-
ных движений М есть наибольшее множество, в котором осуще-
ствляется возвращаемость областей, то Уд при I—»4-оо входит
в М. Очевидно, что и Уд при —со также входит в Д/- Из
этого замечания как следствие получаем теорему, высказанную
Биркгофом.
Следствие 1. Вероятность пребывания любого движения
динамической системы в ^окрестности мнсжества централь-
ных движений при любом а > 0равно 1, т. е. Р (/ (р/) g 5 {M,s))==l,
где s>0 и p^R произвольны.
1ак как Vp и Ув ооладают возвращаемостью областей, к
жим приложима теорема 4 § 5, и мы получим
§ 6. минимальный центр притяжения
301
Следствие 2. В минимальных центрах притяжения Vp
и VE множество точекt лежащих на траекториях, устойчивых
Р, есть Gs второй категории.
Возникает вопрос, не будет ли всегда множество централь-
ных движений исчерпываться суммой множеств Vr для t—>4-°°
'II t > — СП.
Отрицательный ответ на этот вопрос даёт следующий Пример.
Пример. Мы возьмём в качестве компактного пространства
.R поверхность тора % (ф, &): 0<<р < 1,0< & < 1, (<р 4* к, & к'.) =
-=Дф, &)» если к и к' целые.
Движения определим теми же дифференциальными уравне-
ниями, как в примере 2 § 4:
Й-=Ф(?Л).
•а > 0 иррационально, Ф (0, 0) = 0 и Ф > 0 при | ф 14-	0, при-
чём Ф непрерывна на торе и удовлетворяет условию Липшица.
Дополнительно предположим, что
с с d<fM
ПФ (?> &)
В рассматриваемом случае движения по траекториям & = а® 4~
4-^'о, &о^Ла(то(1 1) при каждом целом А: являются устойчивыми
-Р, и поэтому множество центральных движений совпадает оо-
всею поверхностью тора. Между тем мы покажем, что для
.любого р g £ при любом е > О
Р[/(р,	е)] = 1,
(6)
а?де точка О = (0,0). Таким образом, минимальный центр при-
тяжения как при t-> 4~с°, так и при t—> — оо, состоит только
из одной точки О.
Докажем сначала лемм у: если f (х) — интегрируемая по
Риману периодическая функция периода 1 и а, —иррациональное
число, то при любом х0
А’-1	1
lim 2 +ky)= \ dx-
<5
В самом деле, выберем сначала такое т, чтобы для задаж-
ного г > 0 иметь

s=9
е
¥
302
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
где Д любое число между верхней и нижней гранями / (х) на.
[S“ S -Т~ 1	у
, и зафиксируем ато т.
т’ т J ’	*	1 2 J
Подсчитаем далее, сколько точек (кх), к--=0,	(где
(Ла) обозначает дробную часть числа Ла, т. е. (Ла)=?Ла— [Ла])
Г s s+l\	1
попадет 'на полуотрезок —,	) Длины —• Дпя иррациональ-
болыпим знаменателем q таким, что 1 а —
1	I <7
кого числа а существуют рациональные дроби — со сколь угодно
•I „	..
Берем такое q,
точнее его определим дальше, и пусть N = nq -Jrr!
Возьмём серию пз q точек
0, (а), (2а),..., ((0-1) я)
(0*)
и заменим их точками
о		(0**)
Числа серии	(0**)	отличаются от	соответствующих	чисел	серии
I т?	I d
(О*) меньше, чем на (q — 1) | а — j < Числа серии (0**) рас-
1
положены на (0, 1) с равными промежутками количество
их, попавшее в полуотрезок длиныбудет О, где |б|<1.
Заменяя обратно серию (0**) серией (0*), мы видим, что из серии
(0*) на тот же полуотрезок попадут или из него уйдут не более
2 точек; итак, число точек серии (0*) на любом полуотрезке-
длины — равно ,р + 30 (|6|<1).
Аналогично, вместо серии
(Zga), ((/0-Ь1)а),...,	х)	(I*)
возьмём серию
+0;.. .;(/<; « +	.	(/“)
Опять наибольшая разница между соответствующими числа-
ми
ны
на
серий (/*) и (Z**) меньше —; числа серии (Z**) расположе-
на расстоянии — ,и количество чисел серии (Z*), попавших
полуотрезок длины есть ~	30, | 61 < 1.
§ 6. МИНИМАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПРИТЯЖЕНИЯ	303
Обозначим Nt число точек, попавших в полуотрезок длины:
т
Придавая I значения 0, 1,.... п—1 и суммируя найденпые-
оценки, получим:
т
отсюда
~т _ пд , 6(3и-+г)
~N'~	N
и далее
_т 1	2g . 3n 2g . 3
ТУ т	JV~'~ N	N "Г д'
Обозначая sop] / (я) | =М, мы можем сделать
_т 1_	8
N	т ' 1Мп'
3 е
если сначала выберем а так. чтобы было — < гчт—. а затем N
г	’	g iuMm ’
так, чтобы иметь	.
Очевидно, что полученная оценка для числа точек Ni из (Аа)
ТП
будет справедлива также и для точек вида х9+ка, где ж0.
любое действительное число.
л—1
Теперь в сумме у / (ж^ 4-Ах) отберём слагаемые, для
ь=о
которых дробные остатки аргумента функции попадают на не-
который полуотрезок
и просуммируем их. Обозначая:
соответствующую сумму через получим
____ т ,,
где /'некоторое определённое число, заключённое между верхней:
Г 5-L 1 т
и нижней гранями модуля функции / (х)на| —,	I. Тогда
I ???> Z/i I
304
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Суммируя эти неравенства для s — 0,	1, находим:
А- —1	т-1
г.
Ы	s=0
£
1 ’
ч. е. для достаточно большого N
N-l	1
у2 Н«:о + ^«)— ^f{x}dx
о
Лемма, таким образом, доказана.
Переходим к доказательству нашего утверждения относитель-
но движений на &.
Формула (6), очевидно, верна: если р = О; или. при
Z->4-oo, если р лежит на траектории: О = иф, <э < 0; или для
> — оо, если р принадлежит траектории & — а<р, <р>0.
Останавливаясь для определённости на случае t —>4-со,
рассмотрим теперь движение по траектории: & =	4- «Т<
4>0 ф — ка (mod 1) (к — О, 1,...). Соответствующие движения
устойчивы Р*. Выберем произвольное положительное число
* . 1
о
2J/14-CI
ками (&х, <рх) и (&2, <р2) определяем, как
- и пусть С —8(0, 8), причём расстояние между точ-

(где символ {х} обозначает абсолютно наименьший вычет числа
1 1
х по модулю 1, т. е.—-2<{ж}< у и х — {х}-}-к, к—целое).
Подсчитаем т = х (&0; 7\С) — меру времени из промежутка [О,Г],
в течение которого точка, движущаяся по траектории
& — &04-«'Р, находится в С.
Пусть т (8) > 0 есть минимум функции Ф (<р, &) на Ж —С’.
Определим функцию
v (<р, &) =
1 на С,
О на X — С.
Далее, вводим функцию
^(&о) =
1
C v(f, O04-g-j)dy
J Ф (е, &0 + ау)
Эта функция определена и непрерывна для всех &o=^=0(mod 1);
§ 6. МИНИМАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПРИТЯЖЕНИЯ
305
она имеет период 1 и равна нулю вне интеграла — 8j/"l-j-aa <
< < 8|Zi+а®. В окрестности точки »>о=0 она неограничена,
так как
1
_д	г	с
Оценим величину Т — t длянекоторого движения, начинаю-
щегося в точке р(? = 0, ’>0=^0), причём <р изменяется от Одо
N (N—натуральное число),. Имеем:
т
7’-^(&о)=	[l-v(? (0Л(0)] dt =
о
= [1 — v (*?> &0 + а<?)1-=?--- < —7*г ,
J	°	ПФ(?, »<> + »?)	И‘(®> ’
где т(8) есть минимум функции Ф на X—С, причём, так как
dt — ——, то Т стремится к со вместе с N.
Ф(?. Оо + ау) тахФ’	г
Далее оценим в тех же пределах т(^0):
N „	N-1
ч&о)=	2^(»о+м.
j Ф(?, 0о+«?)	«
Задаём сколь угодно малое число с > 0. Так как Р (бв) d&0
—3
расходится при любом р > 0, то можно выбрать такое положитель-
ное S, < 8|/"14- а2, что
-«1	SV 14-аг
L_F(&°)d8°+ 5
-5У 14-аг	Й!
Обозначим черев Р* (&0) функцию, равную Р (»>„) вне интер-
валов (п — 8Х, п4-8t) (и = 0, ± 1, ± 2,...) и равную нулю на этих
интервалах. Очевидно F* (&„) есть ограниченная периодическая,
с периодом 1, функция, интегрируемая по Риману. В силу леммы
для любого е < 1 найдётся Ne такое, что для ЛГ > NB, имеем:
Л'-1	1
k-О	о
Немыцкий и Степанов	20
306	ГЛ. IV ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Отсюда для т (&0) получаем оценку:
W-1	N-1	_
м®о)= 5	> 2 F* (&<>+йа) >
fe=0	fe=o
>N Г \ F* (&0) d&0-s 1 >	-
I )	\ 0/ U J	G Jft ^0 j
0
Сопоставляя с оценкой для T—t (&e), находим:
T—T C	"С . , „
--- < ---— ИЛИ тр > 1 — с.
•z	1—«	1
Переходя к пределу при Т —> 4-со, получаем:
или, в силу произвола числа а,
v*U(p,t)$c)=i.
Аналогично показывается, что
Р-(/(рЛ)6О=1-
Таким образом, для рассматриваемой системы минимальный
центр притяжения состоит ив одной точки О.
§ 7. Минимальные множества и рекуррентные движения
Пусть динамическая система / (р, t) определена в пространст-
ве R.
Определение 1. Множество £ CZ R называется минималь-
ным, если оно непустое, замкнутое и инвариантное и не имеет
истинного подмножества, обладающего этими тремя свойствами.
Точка покоя и траектория периодического движения пред-
ставляют простейшие примеры минимальных множеств. Более
сложный пример дают движения на поверхности тора (пример
1, § 5), из которых каждое всюду плотно на ней. Здесь мини-
мальным множеством является всё пространство. Наоборот, в
примере 2, § 5, где на поверхности тора существует точка по-
коя,— вся поверхность тора уже не образует минимального
множества, таковым является точка покоя. Все эти минималь-
ные множества компактны.
Траектория одного прямолинейного и равномерного движения
в эвклидовом пространстве даёт пример минимального множества,
не являющегося компактным.
§ 7. МИНИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА. И РЕКУРРЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 307
Значение минимальных множеств заключается в том, что
весьма широкий класс динамических систем обладает минималь-
ными множествами, причём наибольший интерес представляют
компактные минимальные множества.
Теор>ема 1. Всякое инвариантное замкнутое компактное
множество F содержит некоторое минимальное множество.
Если F само есть минимальное множество, теорема дока-
зана. Если нет, то это значит, что существует замкнутое инва-
риантное множество Fv которое 'является истинной частью F.
Если Ft не является минимальным, то существует F2FFlt
замкнутое инвариантное множество и т. д. Если на конечном
числе мы не получили минимального множества, то получаем
счётную последовательность инвариантных множеств:
FZDF1DD ... ZD...
Их пересечение Fw, очевидно, замкнутое, компактное и непустое,
будет также инвариантным множеством.
В самом деле, если p£F,.„ то p£.Fn при любом п; в силу
инвариантности F„ имеем: / (р; I) CZZ Fn для любого п; откуда
/(p;/)CZ^.
Если Fta не является минимальным, то берём замкнутое
инвариантное F„+iCZ^io и т. д. Если р является предельным
трансфинитным числом и построены F,,. для всех а < р, то
Р? = ПРь-
Ъ4ы получаем трансфинитную последовательность вложенных
друг в друга множеств:
F ZD FT ZD ... ZD Fn ZD ... ZD F,o ZD Fm+ t ZD .. . ZD F$ ZD . ..
По теореме Бэра найдётся такое трансфинитноё число второго
класса р, что Ffi—Fg^u т. е. множество Fp не имеет истинного
подмножества, замкнутого и инвариантного. Таким образом, Е\
является минимальным. При этом оно компактно. Теорема
доказана.
Следствие 1. Если пространство движений R компактно,
то оно содержит минимальное множество.
Следствие 2. Если движение / (p,t) положительно устой-
чиво по Лагранжу, то множество Qp его ^-предельных точек
содержит минимальное множество. Это следует из компактности
множества 2р.
Из определения минимального множества непосредственно
следует его характеристическое свойство: если £
есть минимальное множество и р G £ любая его точка, то
= т. е. всякая траектория, заключённая в инва-
риантном множестве £, всюду плотна в £, и обратно.
20*
308
ГЛ. IV ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В самом деле, если выполнено свойство плотности всюду, то
всякое непустое замкнутое инвариантное подмножество мно-
жества £, содержа точку р, содержит в силу инвариантности
далее, в силу замкнутости, содержит /(p;Z), т. е. со-
впадает с £, которое, таким образом, является минимальным.
Если же это свойство не выполнено, т. е. существует р0 6 £
такая, что /(p0;Z) составляет истинную часть множества £, то,
очевидно, £ не есть минимальное множество.
Определение 2. Движение f(p, t) называется рекур-
рентным, если для любого е > 0 найдётся Т (s) > 0 такое, что
любая дуга траектории этого движения временной длины Т
аппроксимирует всю траекторию с точностью до в. Это можно
записать так: для заданного е > 0 существует Т (s) такое, что
при любом t0 имеем:
/(р;/)С5У(р;«^,+Г). *)>
или, иначе каковы бы ни были числа и и о, найдётся число
этакое, что v < w < v-j-T и
Р(/(?.»). /(P.^)XS-
Легко показать, что всякое рекуррентное движение устойчиво
по Пуассону. В самом деле, каково бы ни было малое число
г > 0 и большое число tQ > 0, в силу рекуррентности движения
/(р, 4) для точки р найдутся такие значения 4Х и 42,4О< ta+T,
— t0-—T < 4а < —10, что р (р, f (р, 4j))<s (i = 1, 2,), что и доказывает
устойчивость как Р*, так и Р~.
Связь между рекуррентными движениями и минимальными
множествами устанавливается следующими двумя теоремами
Биркгофа.
Теорема 2 (Биркгоф). Всякая траектория минимального
компактного множества рекуррентна.
Пусть £ минимальное компактное множество, р g £, и допу-
стим, что движение / (р, t) не рекуррентно.
Тогда найдутся число а > 0 и последовательность неограни-
ченно возрастающих интервалов времени (ty—Ty, ty-j-Ty)
Ту—> + со, таких, что каждая из соответствующих дуг:
/(p;4v—Ту, «v + ^v) находится на расстоянии >а от некоторой
точки qy=f (р, Ху) на траектории f(p-P). Всякая подпоследо-
вательность последовательности точек {yv} в силу компактности
множества £ имеет предельную точку.
Рассмотрим, с другой стороны, последовательность точек
{/(р» fv) — Pv}» опять любая её подпоследовательность имеет пре-
дельную точку р*. Мы будем предполагать, чтобы не осложнять
g 7. МИНИМАЛЬНЫЕ!,'МНОЖЕСТВА И РЕКУРРЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 309
обозначений, что {^} и {iv} суть выбранные сходящиеся под-
последовательности, так что limgv=§gS и limpv==p*.
V->co
Рассмотрим движение f(p*,t)-
Возьмём любую дугу f(p*‘,— Т,Т) его траектории, где
Т—сколь угодно большое фиксированное число. В силу свой-
ства II' § 2 можно выбрать 8	, iQ > 0 таким образом, чтобы
из неравенства р(р*, г) < 8 следовало: р(/(р*, I), f(r, £))<-|-для
111 «С Т. Далее можно найти такое v, чтобы одновременно были
выполнены неравенства:
Ту>Т, p(p*,?v)<s и p(?v.?)<-|-
Мы получаем для любого фиксированного ££(— Т, Т7):
?(1(p*,t)> f(Pv,t)) <у-
Но по выбору точки принимая во внимание, что j t| < Т < Ту,
мы имеем:
Р (/ (Ру t), ?v) = Р (/(Р> 1у +1)> ?v) > я.
Сопоставляя эти неравенства с неравенством р	> получаем:
Р [/	|, для \t\<T.
В силу произвола выбора числа Т это неравенство имеет
место для всякого t( — со <2 < 4- со ). т. е. ?(f(p*;I),
Но в силу замкнутости множества Е мы имеем
откуда, в силу инвариантности множества Е, выводим:
7(p*;/)czE.
Но в таком случае инвариантное замкнутое множество
j{p*‘, i)CZE является истинной частью Е, так как оно не
содержит точки q. Мы получили противоречие с предположе-
нием, что Е есть минимальное множество. Это противоречие
доказывает теорему.
Теорема 3 (Биркгоф). Если рекуррентное движение f (р, t)
расположено в полном пространстве, то замыкание f (jr, Г) его
траектории есть компактное минимальное множество.
310
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Сначала докажем, что /(р; /) компактно. Задаём произволь-
но число е> 0. В силу рекуррентности траекторий f(p, t) можно
найти такое Т>0, что дуга траектории /(р; 0, Г) аппрокси-
мирует /(р; I) с точностью до т- е. для любой точки /(р, 1)
имеем р(/(р, $), /(р; 0, Т))<-|. Пусть точка <?6/(р; /); тогда
существует последовательность точек рп —/(Р, еп) таких, что
lim pn = q. Так как р(рп, /(р; 0, ?)) < ®-, то в пределе имеем:
П-ЮЭ
В силу компактности дуги / (р; 0, Т) на ней существует
конечная ^--сеть, т. е. такое конечное множество точек
р(х>, р<2>, ..., p<-v>, что для любой точки г€'/(р; 0,!Г) найдётся
ptv)cp(p<v>, г)<~. Очевидно, что множество pi1), р<2>,..., р<Л)
является e-сетыо для j(p',I), так как для любой ®g/(p; Л
по доказанному найдётся 0, Т) такое, что р(г, ®»
следовательно, р (д, рЬ)) < s.
Отсюда следует компактность множества / (р; /).
Докажем, что множество /(р; I) = Е минимальное. Допу-
стим обратное; тогда найдётся замкнутое инвариантное мно-
жество А, составляющее истинную часть множества £. Очевидно,
точка р не входит в А, так как иначе мы имели бы в силу
инвариантности множества A:	I) CZ А, и в силу замкнутости:
f (р; I) = Е = А. Следовательно, р (р, A)—d > 0. Выбираем е < у
и определяем число 7’(ё)>0, входящее в- определение рекур-
рентности траектории	Пусть Для чисел в и У
и точки д существует, в силу условий И' § 2, такое 3, что из
неравенства р (д, г) < 8 следует: р (/.(?, «),. / (г, Г).) < е, для 111 <Т.
Так как д входит в замыкание траектории / (р; Г), то найдётся
точка этой траектории внутри S(g, 8); пусть она соответствует
значению времени tx:
Тогда р(/(?, t), Цр, £4-11))<г Для	или, так как
f(q>t)CZ.A, то р(Л, f(p, -г- Z)) < е при	Отсюда,
+ > <2—е>в. Следовательно, точка р не лежит
в е-окрестности дуги временной длины 2Г со срединой в точ-
ке f(jMi), что противоречит предположению е рекуррентности
движения /(р, i). Теорема доказана.
? 7. МИНИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА И РЕКУРРЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 311
Заметим, что как при устойчивости Р, так, в частности,
и при рекуррентности движения/ (р, t), при сколь угодно боль-
ших значениях t точка возвращается в окрестность своего
начального положения.
Однако, множество тех Значений, при которых это возвра-
щение имеет место, обладает в случае рекуррентного движения
одним характеристическим свойством.
Определение. Множество чисел называется относи-
тельно плотным, если существует такое L > 0, что любой
интервал (а, а-{-£) длины L содержит хотя бы один элемент
этого множества.
Теорема 4. Необходимое и достаточное условие для того,
чтобы движение, устойчивое по Лагранжу, было рекуррентным,
состоит е том. чтобы для любого е > 0 множество, значений t,
•для которых
<£> (А)
было относительно плотным.
Если движение рекуррентное, то существует Т (е) такое,
что любая дуга временной длины Т аппроксимирует всю тра-
екторию, в частности, точку р. Отсюда сразу следует, что мно-
жество значений t, выполняющих условие (А), относительно
плотно, причём Z(s)=7’(s).
Пусть, обратно, для всякого г существует L(e) такое, что
неравенство (А) выполняется по крайней мере для одного зна-
чения t из всякого интервала (£0, £0 + А)- Докажем, что / (р, I)
рекуррентно. Допустим обратное. Так как множество / (р; I)
компактно, то оно, в силу теоремы 1, содержит минимальное
множество S, причём p^L. Рассуждая, как в теореме 3,
убеждаемся, что р (р, S) = d > 0. Выбираем £ < у • Пусть
ygL. Для точки q, интервала L и числа s находим, в силу
II'§ 2, такое 6, что неравенство: р (р, г) < о, влечёт неравенство
p(/(p,i), /(г,г))<а для	Так как q € ^CZf (р, I), то
найдётся такое, что р (/(р, ZJ, q} < 2, а тогда
р(/(р, Д-Н), <е Для
Отсюда, при б. t <^4- L, имеем:
Р(Л/(Л t))^?(P, -)~ ?(/(?. z)> S)>^-2>s-
Таким образом, точка /(р, t) в течение всего промежутка вре-
мени (ix,	не возвращается в е-окрестность точки р, что
противоречит неравенству (А) и определению числа L(s).
"Теорема доказана.
*«-	ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Обозначим черев Dt совокупность всех минимальных мно-
жеств, принадлежащих инвариантному множеству /(р; J).
Теорема 5. Если j{p,t) устойчива по Лагранжу, то
для всякого е > 0 существует такое L (е) > 0, что для любого
имеем-.
1	^1» +£) ‘ 5 {Df, е) 0.
Иначе говоря, множество значений t, для которых р (f(p,
< s, относительно плотно.
Допустим противное; тогда для возрастающей последователь -
ности Lv Lv .,Ln,—; lim Zn=-f-со, найдутся значения
, tn, ... и число а > 0 такие, что
*п, «п+^п). £/)>*.
В силу того, что р устойчива по Лагранжу, из последователь-
ности точек {/ (р, Zn)} можно выбрать сходящуюся подпоследо-
вательность. Чтобы не усложнять обозначений, допустим, что
lim f (р, zn) == р; для точки р предельным переходом мы пот-
П~>со
чаем: р (/ (р; 0, -f- со), Д) > а, откуда р (/ (р; 0, + оо), D<\
С другой стороны, так как р£/(р, I), то /(р; I)CZ f.(p; Jh
а так как последнее множество компактно, то множество SP
«й-предельных точек движения 1(p,t), по следствию 2 тео-
ремы 1 настоящего параграфа, содержит минимальное множе-
ство "С#,. Но так как
£сй?сЛр;0, + оо),
то получим:
р(£, Л/)>а>0.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Множество Dj является замкнутым компактным и инвариант-
ным; оно обладает тем свойством, что для любого s > 0,  имеет
место неравенство:
Р(/(1М) 65 (Df, е))>о.
В самом деле, определим для заданного е число
теоремы 5. В течение любого промежутка времени длины L.
точка /(р, 4) войдёт в	I, следовательно, проведёт в
g 7. МИНИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА И РЕКУРРЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 313
5 (Df, е) время, превышающее некоторое t > О, не зависящее от-
рассматриваемого промежутка1). Отсюда
Р(/(рЛ 6 •*(£/,*))>£•
Таким образом, множество Df имеет свойство, похожее на свой-
ство центра притяжения для f(p, $); только здесь Р>0, а там
мы имели Р = 1.
Если мы имеем инвариантное компактное множество Е и
обозначим через De сумму всех минимальных множеств-SczE,
то аналогично теореме 5 можно показать, что для любого е > О
множество значений г, выполняющих условие
равномерно относительно плотно для всех рЕЕ,,
так как можно найти число L(s) теоремы 5 одно и то же для
всех р. Доказательство этого предложения представляем чита-
телю. Как следствие, получаем:
P(Hp,t)£S(DE, Ю)>0; рЕЕ.
Множество DB опять аналогично центру притяжения множества.
Однако, мы покажем в следующей главе, опираясь на эрго-
дическую теорему Биркгофа, что множества D^ и DB в общем
случае составляют истинную часть соответствующих минималь-
ных центров притяжения.
Определение. Множество Л называется локально связным,,
если для любой точки р 6 А и для любой окрестности V (р>
найдётся окрестность U (р) CZ V (р) такая, что U (р) А связно.
Континуум С на плоскости жоу, составленный ив кривой’
у — sin - , 0<	1, и сегмента ® = 0, — 1 <?/<!, не является
х) Расстояние от точки входа / (р, t) в множество б" s) до дости-
гнутой точки в S	А , очевидно, >  • Поэтому временная длина
соответствующей дуги будет больше некоторого положительного числа т.
В самом деле, допустим обратное: пусть существует последовательность,
пар точек
(Рп> 4n)CZf(p; 0, + оо) таких, что р(р„, ?„)>—, ?«=/(?«,
причём = Так как / (р; 0, 4-оо) по условию компактно, ив по--
П-»СО
следовательностей {/>„}, можно выделить сходящиеся подпоследо-
вательности; чтобы ие осложнять обозначений, допустим, что рп—>р*.
Чп~>Ч*- Мы получим, переходя к пределу, с одной стороны...
₽(/>*.	ас другой стороны, =	0) = р*. Противоречие дока-
вывает наше утверждение.
314
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
локально связным, так как, например, любая достаточно малая
относительная окрестность точки (0,0) состоит из счётного
числа компонент, т. е. есть несвязное множество.
Рассмотренные нами примеры минимальных множеств —
точка, простая замкнутая кривая, .поверхность тора при всюду
плотных траекториях — были локально связны. Приведём при-
надлежащий Пуанкаре пример минимального множества, не
локально связного.
Пример. Пространством движений является поверхность
тара f (&, &) с координатами (®, $), взятыми по- модулю 1. Пусть
н а окружности у = 0 с угловой координатой ч)-0 (0 < &(1 < 1) задано
совершенное, нигде не плотное множество F, и пусть {(ап, рп)}
(?л — 1, 2,...) — система его смежных интервалов, где ап пред-
шествует Вп в циклическом порядке, установленном при помощи
координаты &(1. Далее задаётся иррациональное число у. На
вспомогательной окружности Г длины 1 рассмотрим множество
точек ty — ky (7с = 0, + 1, Чс 2, . ..), где циклическая координата
ф (— ео < ф < -J-oo; ф-!-А-— ф, при к целом) есть длина дуги
от некоторой точки отсчёта О в установленном положительном
направлении. В силу того, что у иррационально, это множе-
ство всюду плотно на Г. Установим взаимно однозначное соот-
ветствие, с сохранением циклического порядка, между множе-
ством интервалов {(ап, Вп)} на круге <р — 0 и множеством точек
{/су} на г. Упорядочиваем точки- {к\} так:
О,у, — Y, 2у,	—к^, №Ч-1)г,...	(*)
Точке О на Г ставим в соответствие (а1;	В^0)); точке
у — интервал (as, р2)^(аН); BW); точке —у поставим в соот-
ветствие М"1), P(-D)— интервал (an,fin) с наименьшим номером и,
лежащий на той из двух дуг между взятыми интервалами,
чтобы (и<°), р(0'), (а(1),	имели тот же цикли-
ческий порядок на круге ® = 0, как точки 0, у, —у на круге Г.
Пусть первым точкам последовательности (*) уже постав-
лены в соответствие интервалы из множества {(ап, Вп)}; тогда
(Л7-|-1уая точка этой последовательности ациклическом порядке
да Г займёт место между двумя уже взятыми точками йу и к’\
(к, к' — целые); поставим ей в соответствие ещё не использован-
ный интервал рп) с наименьшим индексом и лежащий в ци-
клическом порядке на ®--0 между (?.®, р®) и р(ь'>). Про-
должая этот процесс неограниченно, получим требуемое соот-
ветствие.
Определим теперь отображение Ф (0(.) = ф всей окружности
® = 0 на окружность Г следующим образом: всему замкнутому
интервалу	соответствует одна точка йу£Г. Если Э(1
точка 2-го рода множества F,	то она на окружности
® = 0, из которой выброшен (а1; B-J —	fK°)), образует сечение
во множестве интервалов {(а(7:>, н''’7)}, к === 0, Этому сечению
•§ •?. МИНИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА И РЕКУРРЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЯ 315
•соответствует, в силу совпадения циклического порядка, сечение в
множестве точек {&у}, к == 0, определяющее некоторую точку
9,, €Г- Тогда Ф (&0) = ф0, причём для точки 2-го рода преобра-зо
.ванне Ф взаимно однозначно: &в — Ф-1 (’|в).
Пусть круг Г повёрнут на угол, соответствующий дуге у;
•тогда точка <!>£Г перейдёт в точку й-j-v (mod 1). При этом
отображении 7\(Г) круга Г на себя мы будем иметь Тг{к^) =
-= (к 4-l)Y (А' = 0, ± 1, ±2, .. .). На круге <j> = 0 смежные ин-
тервалы множества F подвергнутся при этом преобразованию
7\, причём Тг {a(-h),	= (a<fe-i 1),	Так как при преобра-
зовании Тг циклический порядок интервалов сохраняется, то
его можно распространить на точки второго рода, п мы
будем иметь: если в(1 = Ф'1 (фа), то Тх(&0) = Ф~х (ф0 + т)-
Распространим отображение 7\ (г)а) на точки, принадлежа-
щие замкнутым смежным интервалам: если &og(a<”\ рб‘>),
пусть &(1 = а*'”) 4- X (р<«) — а<п>),	0<Х<1; тогда положим
7\ (&о)=	+ к (3<7*-: л> — о:<и+1)). Это соответствие взаимно
однозначно и непрерывно (линейно) внутри каждого (?/”>, р(п>)-
,Далее, очевидно, 1\ (&0) взаимно однозначно для всех точек
окружности © = 0 и сохраняет циклический порядок на нем.
Нетрудно показать, что оно непрерывно, следовательно, взаим-
но-непрерывно на окружности <р = 0.
Перейдём теперь к построению динамической системы f(p, t)
на торе $(<р, &).
Сначала определим движения, выходящие из точки <р — О
й„, при 0<£<1. Для точки (О, 0)££ определим / (р, t) так:
з>==«, & = Й\(0), где значение координаты Тг (0) для опреде-
лённости выберем так: 0<Т1(0)< 1. Далее, для любом точки
(О, &о) (° <’%<!), положим o = i, &(£, &0) = t [7\ (&0) — &0] + &„,
где значение 7\ (&0) выбрано так:	(0) < Тг (&0) <
< 7\ (0) 4-i :=	(1). В силу такого выбора траектории между
собой не пересекаются и заполняют весь тор Ж, так как если,
например, 0 <&а < -D-" < 1, то 7\ (0) <Тг (&Д < Тг (&Д < 7\ (0) +1,
п те же неравенства имеют- место для всех значений & при
OCiCl. Далее определим f{p, t) для —0} и любого I:
•если £ = n4~-, п—целое-, 0 -4^ < 1, то полагаем:
? (t) = t - т (mod 1), & (г) - Т" (&0) +,•&(-:; Т“ (&Д),
Наконец, для любой начальной точки (®е, -80) полагаем:
^(i) = ?<. + ?, «W = «(i + T», К),
где есть координата на <» = 0 точки пересечения траектории,
проходящей при 1 = через (»0, t>oj. Динамическая система
построена.
316	гл. IV. ОБЩАЯ ТЁОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Пространство движений £ есть компактное множество*.
Множество Р точек, лежащих на траекториях, выходящих
мВ F, Ъйть замкнутое инвариантное множество, так как мно-
жество из концов смежных интервалов и точек 2-го рода мно-
жества F при преобразовании Тх переходит в себя. Далее, для.
любой точки tydF множество {Т^ф} (£ = 0, ± 1, ±2,
всюду плотно в F-, для концов смежных интервалов это сле-
дует из построения, а для точек 2-го рода из того факта, что
на окружности Г всюду плотно множество точек уе-Ь£у, где
£ = 0, ± 1, ± 2, ... и у0 не кратно у. Следовательно, для
всякого движения /(р, Z), где р€Р, мы имеем: /(р;/)=Р,
т. е. Р есть минимальное множество. Наконец, Р локально
несвязно, так как, например, любая относительная (относи-
тельно Р) окрестность точки pkF содержит бесконечное число
компонент — дуг траекторий, выходящих из соседних с р
точек F.
Относительно структуры минимальных компактных мно-
жеств нам известны только две теоремы: теорема А. А. Мар-
кова о том, что минимальное компактное множество есть, кан-
торово многообразие, и теорема Г. Ф. Хильми, утверждающая»
что размерность минимального множества, расположенного
в евклидовом пространстве Еп, не выше п — 1. Доказательстве-
этих теорем мы не будем здесь приводить, так как они тре-
буют применения теорем из теории размерности, которая
осталась вне программы этой главы.
§ 8. Почти периодические движения
Пусть дана динамическая система / (р, I) в полном метриче-
ском пространстве R. Введём следующее
Определение. Движете f{p, t) называется почти перио-
дическим, если для любого е > 0 существует число £(s), опреде-
ляющее относительно плотное множество чисел {тп} (смещений) 1)1.
которые обладают следующим свойством:
Р (/ {р, t}, f(p,t + тп)) < г для — оо < t < + оо.
Периодические движения являются частным случаем почти
периодических; в самом деле, если движение допускает период т.
то его кратные nt (п = 0, ±1, ±2, ...) образуют относительно
плотное множество, причём & [f(p, t), f (р, I n-t)] — 0.
Почти периодические движения, в свою очередь, являются
частным случаем рекуррентных движений.
Теорема 1. Всякое почти периодическое движение рекур-
рентно.
1) Определение относительно плотного множества дано в § 7.
§ 8. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
317
В самом деле, движение рекуррентно, если для любого в > О
найдётся интервал Т (s) такой, что дуга траектории f (р, i)f
aC^Ca-j-T1, при любом а аппроксимирует каждую точку q
траектории с точностью до s; т. е. найдётся такое £0€(a, a-pT)
что р(?, f(P, t«))<s-
Если обозначить q — f(p,t), где t—произвольное фиксиро-
ванное, то, взяв в почти периодическом движении / (р, £),
число Т (е)=£,(е) и смещение -с, соответствующее е и лежащее
в интервале (а —г, а— i-f-T1), мы получим в силу определения
почти периодичности: р(/(р, £), / tp, t + '=))< е, или, обозначая
i +с = to, р (/ (/>, t), -f (р, t0)) < s, где a < «о < a 4- Т, т. е. усло-
вие рекуррентности.
Обратная теорема не верна: рекуррентное движение может
-не быть почти периодическим (см. дальше, пример 2).
Введём теперь критерий Франклина, определяющий почти
периодический характер движения.
Определение. Движение ftP,t) обладает S-свойством,
«если для любого s>0 найдётся 8>0 такое, что как только
<? (/ (Р, М» f(P, h)) < о, мы имеем Р (/ (р, «, + «), / (р, + £)) < s
для — co < t < + °°»
Мы скажем, что движение обладает &-свойством, если
при выполнении первого неравенства второе неравенство имеет
место для О С £ < 4- со, и 8~-своаством, если оно имеет место
для —оо<£<0 (А. А. Марков).
Теорема 2. Всякое почти, периодическое движение обла-
дает S-свойством.
Пусть дано почти периодическое движение f(p, t); задаёмся
числом е > 0. В силу почти периодичности для найдётся
такое L, что -^-смещения L относительно плотны.
О
В силу компактности множества / (р; /) (см. теорему 3, § 6)
и свойства П'(§2), найдётся такое 8>0, что для любых точек
Я, r£f(p; I), ив условия р(д, г) < В следует р(/(«?, £), /(г, £))<-’-
для 0<£<£. Покажем, что если р(/(р, £j), f(p, А)) <8, то для
всех t имеем: р(/(р, ^4-i), ftp, £2-(-£)) < s- Берём любое фикси-
рованное £; по свойству почти периодичности найдётся сме-
щение т (|) , удовлетворяющее неравенству —t-]-L,
т. е. 0<	При этом, так как т есть у - смещение,
мы имеем:
ftft.P, G + «), ftp, h + t + ^) <j,
'ctftp, to^-t), f(p, ee4-^4-x)) <|,
318
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
и в силу выбора 8, так как	имеем:
? (/ (р, h + * + т). f (Р, ~г £ + т)) < у •
Из трёх неравенств получаем для любого б
?(f(p, h + tf, flp, A + 0)
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если движение, f (р, t) обладает S"-свойством,
и отрицательно устойчиво по Лагранжу (или обладает 5~~-свой
ством и положительно устойчиво по Лагранжу), то оно почти
периодично.
Мы докажем теорему в два шага.
1. В условиях теоремы движение / (р, t) рекуррентно.
Допустив обратное, мы нашли бы в компактном множестве-
Ap==f(p; — оо, 0) минимальное множество 2, составляющее
истинную часть /(р; J); причём, очевидно, точка р не входит
в Е, поэтому р (р, Е) =='а > 0.
Покажем, что любая точка	обладает свойством, ана-
логичным 6", по отношению к точкам f(p;I). По допущению
существует последовательность {рп}, рп-Л{р, —tn), £п~~>+00!
lim= q. Определим N так, чтобы для и > А7 было р (рп, q) < -°-
72—>СО
где 8 входит в определение А'-свойства; тогда р (prt, pn+m) < 2
(т — 1,2,...). В силу А’-свсйства имеем: р (/ (рп, t), / (p^M, t)) < ?
для любого t > 0. Фиксируем tun, устремляем т к бесконеч-
ности. В силу свойства II'§2 мы имеем: lim/(pn+m, i) = f (q, t),_
ТП-^СО
откуда р (/ (рп, t), f(q, t)) < е для любого t > 0, если р (рп, q)<~.
Пусть теперь §gEczAp. Полагаем и Для этого =
и движения / (р, t) подбираем в силу 5+-свойства число о > 0.
Найдётся точка рп — f(p, — tn), in> 0 такая, что р (рп, q) <	.
а тогда по доказанному р (/ (q, tn), f (рп, tn)) = р (/ (q, tn), p) <
s = у . Ho / (q,	а мы предположили, что p (S, p) = tu
Противоречие доказывает наше утверждение.
2. Докажем теперь, что всякое рекуррентное движение, обла-
дающее 5+-свойетвом, почти периодично 1).
*) Это утверждение просто доказывается (Франклин), если предполо-
жить вместо свойство б1; идея топких рассуждений настоящего дока-
зательства принадлежит А. А. Маркову.
§ 8. почти периодические движения
319
В силу S*-свойства для заданного е > 0 определяем о Qyy > О
так, что пз р(/(р, ZJ, f(p, Q) < 8 следует
Р(/(р, «1+ О, f(p, Л + 0) <у, для 0</<4-оо.
В силу рекуррентности для числа ~ существует число L > О,
обладающее тем свойством, что в любом интервале (a, a-\-L)
найдётся число -: такое, что р(р, / (р, т)) < — - Докажем, что с
есть е-смещение для движения /(р, £).
В самом деле, для числа 8, в силу свойства И', § 2 и
компактности /(р; /), существует с>0 (в < 8) такое, что если
?(/(Р, г1), /(Р,^))<сг то р(/(р, Л + Д /(р, «2 + т))<-|- Пусть
теперь t любое число. Ввиду того, что рекуррентное движе-
ние устойчиво Р, найдётся t0 > t такое, что р(р, /(р, i0)) < с>
а тогда, в силу выбора числа а, имеем: о (/(р, т), f(p, f9+t)) < у .
Сопоставляя последнее неравенство с неравенством, определяю-
щим т, находим: р(р, / (р, ?0 + т)) < 8; отсюда, в силу ^-свой-
ства будем иметь: p(f(p, t —t9), f(p, f + T))<y • Наконец, так
как в <8, из -свойства следует: р(/(р, i—£0), /(р, £)) <у .
Два последних неравенства дают: р(/(р, i), ftp, t + ’'))< 8 для
любого f, откуда вместе с относительной плотностью чисел с
и следует почти периодичность.
Теорема 3 доказана. В частности, из теорем 3 и 2 следует,
что свойство 5+ (или 8~) влечёт за собой в компактном про-
странстве свойство S.
Теорема 4 (Бохнер). Если f(p,t) почти периодическое
движение в полном пространстве, то из любой последователь-
ности движений {/(р, ^, + 01 можно выбрать подпоследователь-
ность {/ (р, «пв+0}> которая для — оо < + оо равномерно
сходится к некоторому движению f (g, i); это последнее почти
периодично {с той же функцией L(s.),’KaK f(p, t) (но с неравен-
ством О).
В силу теоремы 2, § 7 множество /(р; /)==£ компактно,
так как /(р, £), в силу теоремы 1 настоящего параграфа, рекур-
рентно. Таким образом, из последовательности точек {/(р, £п)}
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {/(р, гПв)},
где lim / (р, tn.) = q g Е. Для простоты будем обозначать соот-
fe-?co
ветствующук\ подпоследовательность через {£„}, так что
Рл = /(Р,гп)-^?-
320	ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Для любого s > 0 определяем 8 (а) из «S-свойства, т. е. так,
чтобы из р (/ (р, «'), / (р, £")) < следовало:
р(/(А^ + «), /(р, *" + *))<«	( —оо <i <4-оо). (1)
Выбирая па настолько большим, что р(/(р, tn), f(pt &n+nS) < 8
при п > пОг т > 1, и полагая в неравенстве (1) /'==«„, i"--- rn+m,
находим:
?(/(Р, tn + t), ftp, +	t\ f{paim, t))<s
ДЛЯ •—co <£< -]-oo.
А это есть критерий равномерной сходимости, причём, очевидно,
lim/(pn, t + =	t).
П-*СО
Остаётся доказать, что f(q, t) почти периодично. Пусть, для
заданного е>0, г есть смещение функции f{p, t), так что для
Pn = f(p, U имеем:
?(/(Рп, * + т), /(рп, «)) < ®,	(— оо < t < -г оо).
Переходя к пределу при п —> оо и фиксированном t, получаем:
?(/(!?> + Д /(?, «)Х®-
Теорема доказана.
Следствие, Если	почти периодично, отличи,о от
покоя и периодического движения и расположено в полном про-
странстве то каждое из несчётного количества движений, вхо-
дящих в минимальное множество 2 = /(р; I), почти периодично.
Это следует из того, что для каждой точки ggE найдётся
такая последовательность точек ра~Цр> in), что § =
Пример i. В качестве примера почти периодических дви-
жений могут служить движения на торе £: р — (у, &), ?—?0~Н,
О = ао4-а4, и р((ф1? &Д (у„ ай)) = у {?1 —y2}s + {^—а,}* (см. при-
мер в конце § ь), где & + >«===’), у< zn" ~=у при т и /п'полых,
а — иррациональное.
Мы видели в § 7, что поверхность тора представляет мини-
мальное множество; очевидно, р(/(рп «), /(р2, <))=?(?»,?»)» так
что условие S выполняется. Отсюда следует почти периодичность
движений.
Можно привести в качестве примера почти периодических
движений движения на и-мерном торе SXn): р = (ф15 wt, ..., yn),
у;+Л~уг (i= 1, 2, ..., п), при целых А®; движения определя-
ются уравнениями = a; 14-	(i= 1, 2, ..., nj, где «,-=А,.О—
.данные числа, такие, что не существует целых mh которые не
§ 8. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
321
»-е равны нулю, и что 3 mi a-i ~ Минимальным множеством
будет вся поверхность SEX**).
П р и м е р 2. В примере в конце § 7 движения, происходя-
щие в минимальном локально-несвязном множестве jPcz£,
будучи рекуррентными, не являются почти периодическими.
В самом деле, пусть длина наибольшего смежного интервала
(ян0, Рп0) множества 'F на <р = 0 есть d0.
Как бы близко мы ни взяли на круге ср = О две точки
/\==(0. -&J и р2 = (0, &2) второго рода множества F, между ними
найдётся смежным интервал {аП1, рП1}, и по построению суще-
ствует такое преобразование Т®, что Т* (ап1, 8П1) == (аКо, рПо). Соот-
ветственно этому p(/(pi, к), f(p2, kJ) d, т. е. условие S не
выполняется, и соответствующее движение не является почти
периодическим.
. Пример 3. Дадим теперь пример динамической системы,
обладающей локально-несвязным минимальным множеством почти
периодических движений- (соленоид Виториса и Ван-Данцига).
В трёхмерном пространстве (ж, у, z) определим тор со средней
линией К2.
a:=pcosc>, y==psin<p, z — Q,
где р > 0 постоянное; тор Тг будет замкнутая окрестность окруж-
ности Klt которая в пересечении с каждой плоскостью ф = const,
является кругом с центром в точках х — р cos ф, у— psin<p, z = 0,
радиуса аъ < р.
Внутри rJ\ строим простую замкнутую линию K2f которая
замыкается, обойдя Тг два раза; пусть её уравнения будут,
например:
=	cos-g-J cos<p; Qp-i-yCOS-j-Jsin<p; z=ySmy.
Top (топологический) T„ получаем, взяв в каждой плоскости
& = const, замкнутый круг радиуса аа с центром в точке пере-
сечения кривой 7<2 с плоскостью, причём а3 < ~ . Очевидно,
в таком случае Т., Г" Тг.
Внутри Т2. строим простую замкнутую линию К3, которая
замыкается, обойдя Т2 два раза, т. е. при увеличении <р на 8к,
например, определяя К3 уравнениями
ж = (р + у cos	cos 0 cos ф,
у = С₽ + Т 0081 + Т cos 1) sin *’
а. . е» , л о • э
z = -J-siny+-^smT.
Немъвдшй и Степанов
21
322
Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В качестве Ts берём совокупность кругов каждой плоскости
Ф== const, радиуса а8, с центрами в точках пересечения кривой
.К,. с плоскостью; если а8<у, то T^CZT,.
Дальше построение идёт тем же путём:	лежит внутри
Тп и замыкается после двух обходов гнутри 7n; Tnti есть-
достаточно малая замкнутая окрестность Кп^ и ТпЛаТп.
Наконец, определяем
СО
Е-ПТ"-
91^1
Множество Е и есть соленоид. Нетрудно показать, что оно
локально-несвязно.
Покажем, что на соленоиде возможно определить движения
f(p, ^)» тйк, что каждая траектория будет всюду плотна в Е.
Рассмотрим для определённости некоторую траекторию,
начинающуюся ив точки pgE, для которой <р=0. Пересечение-
тора Тл с плоскостью ср = 0 даст круг Г<1 > радиуса at с центром
в точке: ® = р+^, у —О, z — О. Пересечение тора Т, с той же
плоскостью даёт два круга Г<’) и Г£г\ радиуса аа, причём
Ц^4-Г^СГр>. Пересечение тора Ts с .<р = О даёт 4 круга:.
(j = l, 2, 3, 4) радиуса аа, попарно принадлежащее соответ-
ственно pa) и Г<2>. Вообще каждый содержит два Г^,
со 2я—!
Произведение П Г<Н = F есть замкнутое нигде неплотное
множество, представляющее собой пересечение множества £
с плоскостью 0. Пусть p£F. Тогда существует последова-
оо
тельность кругов {Г£<кЭ} таких, что р = П Беря отрезки
91= i
торов Тп, —Ф<<р<Ф, каждый ив которых при- р=0 даёт
круг Г<М (Ф есть фиксированное положительное число), мы
видим, что черев каждую точку р$.Е проходит, единственная
открытая дуга CZ £ ( — со < <р < 4- со).
На Lp определим движение /(р, t) по закону » = £. Покажем,
что /(р;/) всюду плотна на Е и что /(р, I) почти периодично.
Пусть в>0 произвольное число. Находим п такое, что
«п < -у • Пусть р g Г£<п); по построению тора Tnf эта точка
вновь попадёт в после того, как увеличится на 2- • 2П"1;
при значениях 2~к, к— целое, 0<Zc<2"’, она побывает во
всех кругах (4 = 1, 2, ...,2П"1). Ясно, что дуга /(р;0, 2гс-2"~*)
s - аппроксимирует всё множество Е, откуда следует его мини-
мальность.
§ 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 323
Далее р и /(р, 2тгт  2n j), где т— любое целое число,
находятся в одном круге	при изменении t (— со < X < -j- со)
они будут лежать в одной плоскости ф = / и в одном и том же
круге У(Г<1л>, X) радиуса ап; поэтому
р(/(р, fi, f(p,l-t-%zm- 2n~*) < 2ап < s
при — со < t < 4- со. Следовательно, / (р, X) имеет относительно
плотное множество s-смещений 2тг т • 2"'1 (m = 0, ± 1, ± 2,...).
Тем самым доказана почти периодичность любого движения
/(р, *), где р€2.
Можно было бы дополнить поле движений, определённое
нами на £, распростравив определение, например, ва весь
тор 7,; очевидно, в атом расширенном поле множество 2 оста-
нется минимальным множеством.
§ 9. Вполне неустойчивые динамические системы
Ив предыдущих параграфов видно, что общая теория дина-
мических систем получила своё наибольшее развитие в напра-
влении исследования систем, устойчивых по Лагранжу.
В. В. Немыцкий изучил движения однего класса динами-
ческих систем, которые по своим свойствам противоположны
устойчивым системам, это вполне неустойчивые системы.
В работе В. В. Немыцксго такого рода системы рассматриваются
в пространстве /?”, где они заданы системой дифференциальных
уравнений
$ =	(зс15	, ха) (х = 1,2....п),
правые части которых определены для всех значений переменных
и. удовлетворяют условиям единственности. Позднее, эти резуль-
таты были обобщены М. В. Бебутовым на общие динамические
системы М, определённые в локально-компактном метрическом
пространстве Н, что потребовало введения нового вспомога-
тельного аппарата — теории трубок й сечений в общих динами-
ческих системах, В настоящем параграфе мы изложим эти
последние результаты.
Пусть динамическая системам задана в локально-компактном
метрическом пространстве/?. Напомним, что движение называется
положительно (отрицательно) устойчивым по
Лагран ж у, если его цолутраектория /(р;0, 4-оо) или, соот-
ветственно, /(р;0,—сс), лежит в компактном множестве про-
странства R. Движение неустойчиво по Лагранжу, если
оно не является ни положительно ни отрицательно устойчивым
по Лагранжу. Если все движения / (р, X) системы М иеустой-
21*
324	Гл; IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ‘ ДИНАМИЧЕСКИХ -СИСТЕМ
чивы по Лагранжу, то мы будем называть эту систему не-
у с т о й ч и в о й.
Введём повое определение.
Определение 1. Система М называется вполне неустой-
чивой, если все её точки —блуждающие.
Напомним (§ 5), что точка р называется блуждающей,
если существуют такие 8 > 0 и Т > 0, что для  t j >7 мы имеем:
S(P, 8) -/(5(р,о),4) = 0.
Если система вполне неустойчива, то она неустойчива.
В самом деле, если какое-нибудь движение /(pe, Z), напри-
мер, положительно устойчиво по Лагранжу, то множество
его ««-предельных точек не пусто. Всякая точка q £ Ц-.о не
блуждающая. Действительно, для любого в > 0 рассмотрим
S(q, г}, и пусть / (рв, tB) £ 8 (q, е). По определению <о-предель-
яой точки для любого Т > 0 найдётся такое t > Т, что
/ (рс, tB 4-1) £;5 {q, г), но / (рв, t„ 4-1) £ / (5 (q, s), t). Следовательно,
пересечение S (q, г) 	e), t) не пусто, т. e. q—неблужда-
ющая точка. Таким образом, система М не вполне неустойчива.
В пространстве Е* верно и обратное предложение.
Теорема 1. На' плоскости всякая неустойчивая система
вполне, неустойчива.
Дано, что все движения /(р, Z) динамической сястеаы,
определенной на Е\ неустойчивы, я допустим, что точка р„
неблуждающая. По условию рв не есть точка покоя. Строим,
как в § 3 введения (теорема: 2), в точке рв нормаль арвЪ
к траектории /(р„, 4), длины 2 s с центром в рв, причём е
выбрано так, что в круге 8 (р0, 4s) направление поля (Х1} Х2)
отличается от направления касательной в точке рв не более,
73
чем на у и что б этом круге имеют место неравенства:.
4	(Р„) + х: (Р„)] 4 XJ (р) + X® (Р) < 4 [Xi (р0) 4- X; (ре)].
Тогда, во-первых, всякая траектория	имеющая точку
внутри 8 Qptt , пересечёт арвЬ в точке р', и дугарр'С2$
(р8, е). Во-вторых, существует 4о>0 такое, что при t — 1Л
f(S(pB, s), tB)  S(pB, e)=0;
например,
I ==	e
0 -/A’i(Fo) + Al(p8) ’
так как в течение этого промежутка все точки, лежащие
в 8 (рв. г), выйдут из неё, но не выйдут из S(pB , 4г),
§ 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ- СИСТЕМЫ
325
В силу предположения найдется ix > t0 такое, что
Ч'-йХЧ^й)’г*)*0'

и значит найдётся р £ S Q,
Пусть дуга /(р, t) пересекает, не выходя ив 8(р0, s), нормаль
арйЪ в точке д, и дуга / (р, t1 -|f), * > О, Д° выхода ив 8(рс, s)
пересекает cipbb в точке д±. Рассмотрим область D, ограничен-
Ро> ,7
ную дугой траектории f(p, t) от д до д± и отрезком нормали дд±.
Если точки, лежащие на дуге дд1г входят в область D при воз-
растании I, такая точка при t —> -|- оэ не может выйти ив D
и, следовательно, соответствующее движение положительно
устойчиво по Лагранжу. Если эти - точки входят в D при убы-
вании t, то движения, им соответству-
ющие, отрицательно устойчивы. Проти-
воречие доказывает теорему.
Но уже в Ег могут существовать не-
устойчивые движения, которые не яв-
ляются вполне неустойчивыми. Приве-
дём пример»
Пример 1. На плоскости хоу рас-
смотрим однопараметрическое семей-
ство спиралей Архимеда, заполняю-
щее всю плоскость, кроме начала,
уравнения которых в полярных коор-
динатах: р = В — в, 8 > а (а — параметр,
< 2я).
Вовьмём, далее часть поверхности
(--^2 _1_ rj/2_\2	ЧЛГ‘Т 34
вращения z =, проектирую-	’
щуюся на круг ж2-j-?/2 <4. Эта поверхность, очевид-
но, лежит над плоскостью хоу, касается её вдоль окружности
ж*4-у®== 1, и Z--»оо, когда р==]/гх*~+у~— >0. Проектируем па-
раллельно оси z части спиралей семейства, лежащие в круге
ж* + уа<1, на этот кусок поверхности; вне окружности ж2 4* уг = 1
соответствующие кривые продолжаются как плоские спирали.
Полученные кривые имеют всюду Непрерывную касательную
и вдоль них z—>сс, когда р—- 0 (черт. 34). Наконец, подвер-
гаем эту систему кривых параллельным перенесениям вдоль
оси z с параметром 6.
Полученное семейство кривых от двух параметров может
быть представлено уравнениями:
х = (В — a) cos В, у = (8 — a) sin В,	z — / (В — «) + Ь,
826	Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
где / (а) = при 0 < а < 1, и / (а) = 0 при а > 1; причём
0<а<2к; —со <6 <4-со. Добавляем к нему ещё пря-
мую ж = г/ = О. Через каждую точку пространства проходит
единственная кривая семейства, и касательные к кривым обра-
лучившихся кривых, заполняющих
вуют непрерывное поле
направлений.
Подвергнем простран-
ство oxyz преобразованию
^ = 6® —2,. уг = у, z^z,
при котором оно взаимно
однозначно отобразится на
полупространство —2.
При этом векторное поле
останется непрерывным
для а?! > — 2; на плоско-
сти —2 преобразован-
ное поле направлений не-
прерывно примыкает к по-
лю, даваемому прямыми
Zj, — Ъ. Дополняем в полу-
пространстве хг < —2 пре-
образованное семейство
прямыми, параллельными
оси у, (черт. 35). На по-
всё пространство ox^y-fi^ ,
определим динамическую систему, например, как систему дви-
жений с постоянной скоростью = 1; здесь для ж1 > — 2,
zi W + 00, когда t —> -j- оо.
При t—>—со движение, совершающееся на траектории, пре-
образованной из спирали, попадает, начиная е некоторого t, на
плоскость zt~b и имеет в качестве ^-предельных точек, все
точки прямой — — 2, Zj = fe; все эти точки поэтому неблужда-
ющие, т. е. система не является вполне неустойчивой. Между
тем, все движения неустойчивы по Лагранжу как в положи-
тельном, так и в отрицательном направлении.
Простейшим примером вполне неустойчивой системы, является
система движений, протекающих вдоль семейства параллельных
прямых. Нашей дальнейшей целью будет установление необхо-
димых и достаточных условий для того, чтобы существовало
такое топологическое отображение пространства R в коорди-
натное гильбертово пространство Еа' (в случае, если R~-Ent
отображение в при котором траектории данной «системы
отображаются на семейство (бесконечных в обе стороны) парал-
лельных прямых.
$ е. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
32?
Теорема 2. Полная неустойчивость динамической системы,
заданной в локально-компактном метрическом пространстве R,
является необходимым условием для возможности взаимно одно-
значного и непрерывного отображения её траекторий на семей-
ство параллельных прямых в Е03 (или в Ет, где т>п. если
R = En).
Пусть ж==Ф (р), где р££?ия==>(!;0, ёх, .. .,1п, ...),2 ££< + <»,
н=0
есть гомеоморфное отображение пространства R на подмножество
XdE°°, при котором траектории /(р, 4) переходят в прямые
ОО
А = с1, 5» = С3, • • •, 5га = Сп, ... (2 С* < 4- со), причём перемен-
j
ная координата £0 изменяется монотонно при возрастании I,
положим для определённости, что §0 возрастает вместе с t. Тогда
в множестве X определена динамическая система движениями
А (р> О—(f{p, t)). Пусть p£R произвольная точка; берём
замыкание её компактной окрестности, 8(р, а); образ этой по-
следней,Ф (5 (р, е)),есть замкнутое компактное множество в Я”.
В силу компактности множества Ф {S {р, s)) и отсутствия точек
покоя в системе Д (х, I) = /х (Ф (р), I) найдётся такое Т > О, что
при I > Т имеем;
0=Ф(5(^Т)) • /, (Ф О ==ф(8~&Г^ • Ф [/(I)].
Переходя обратным преобразованием Ф1 в пространство R,
получаем S (р, s) - / (S (pt s), t) == 0при I >• Т, т. е. р — необходимо
блуждающая точка. Теорема доказана.
Однако, полная неустойчивость, как будет показано в даль-
нейшем, ещё недостаточна для возможности отображения си-
стемы на семейство параллельных прямых. Для выяснения этого
вопроса вводим определение.
О п р е д елеаие 2. Динамическая система имеет несоб-
ственную седловую точку (col), если существуют такая последо-
вательность точек {рп} и последовательности неограниченно
возрастающих чисел {тп} и {fn}, что ря->р,/(prt,
0<-n<tn» а {/(Pn, Sj)} не содержат никакой сходящейся
последовательности.
В случае, если ZZ--это определение сводится к введённому
В. В. Немыцким определению «седла в бесконечности».
Лемма 1. Если система неустойчива и не имеет несоб-
ственной седловой точки и еслиpn—^P,4n~t {Рп, А) —»Q, то
ограничена.
СО
Обозначим Дп — /(рп; О, tn) и пусть А— 2’Дс Покажем,
П=1
«что А компактно в R. Предположим противное; тогда суще-
328	Ги. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ствует последовательность {?z.}CZ^, не содержащая никакой
сходящейся подпоследовательности. Так как каждое Ап ком-
пактно, то оно может содержать лишь конечное число точек {#*}.
Следовательно, существуют две неограниченно возрастающие
последовательности натуральных чисел {n7f} и {?,.} такие, что
т. е. ?пь = /(ргА, ^i^), 0<
Но тогда мы имеем
а f{Pik> cifc) не содержит сходящейся последовательности, т. е.,
вопреки предположению, система имеет несобственную седло-
вую точку.
Итак, А компактно в Л, следовательно А компактно в себе.
Допустим теперь, что {tn} неограничена, тогда, не нарушая
общности, можно предположить, что tn—»4-со. Пусть 2>О
произвольное число; выберем N так, что tn>t при п>Лг.
Тогда при n~>N имеем f (рпг t) g А, а в силу того, что / (pn,i) —>
получаем:
для любого t > О,
т. е. движение /(р, Z) положительно устойчиво но Лагранжу,,
что противоречит неустойчивости системы.
Следствие. В условиях леммы 1 имеют место соотно-
шения:
и q = f{p, «„).
Допустим, что последовательность {tn} не сходится; тогда,
в силу её ограниченности, найдутся две подпоследовательности
{«„*} и такие, что	lim/„f=F, t"
Тогда мы имели бы:
/ (p„fe, tnft) = lim qnic = f {p,
tni\= limgBl==f (p,
&-н»	й-м»
r. e.
f(p,
что невозможно, так как неустойчивая система не содержит
периодических движений. Следовательно,
tn->ta и q^f(p, te).
§ 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 326
Связь между неустойчивостью, полной неустойчивостью и
несобственной седловой точкой устанавливает следующая теорема.
Теорема 3. Неустойчивая система без несобственной
седловой точки вполне неустойчива.
Допустим обратное: пусть неустойчивая система без несоб-
ственного седла имеет неблуждающую точку р. Зададим две
последовательности положительных чисел:
., е„ —* 0.
Тогда из определения неблуждающей точки следует существо-
вание для каждого п таких рп и tn, что
tn>Tn, р (рп, р) < еп, р(/?, f (рп, tn)) < гп.
Отсюда получаем:
Рп—>Р, f(pn,tn)->p, £п~*+ет,
что противоречит лемме 1.
С другой стороны, вполне неустойчивая динамическая система*
может иметь несобственную седловую точку, как показывает"
следующий пример.
Пример 2. Система, определённая для — оо < х < -{- со
— оо < у < -j- оо дифференциальными уравнениями
d:c	dti	,
— sib у, -г- = cos' у,
dt	dt
1
имеет в качестве траекторий кривые • х С — CQS у 11 прямые-
у — kit к —0, ±1,.. . Ограничимся - рассмотрением полосы R:
-—(черт. 36); строим сферу 5(6, N) (компактное-
множество). Очевидно: Я = 2	7V).
Л’=1
Каково бы ни было N, дуга, соединяющая точки pKQf), — уу-|-
выходит за пределы S (0, Лг), если выбрать
an < arc sin	Таким образом, рп—> ( 0, —0, qn—» (о,^
и, следовательно, зта система имеет несобственную седловую точ-
ку (седло в бесконечности). Кроме того, это вполне неустойчивая
система. Для доказательства достаточно напомнить, что из воз-
вращения областей следует существование движений, устойчивых.
330
Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
по Пуассону, каковых движений в.рассматриваемой системе, оче-
видно. не существует.
Система в примере 2 не может быть отображена на семей-
ство параллельных прямых. Имеет место общий факт:
Теорема 4. Если вполне неустойчивая динамическая
система имеет несобственную седловую точку, то она не может
быть отображена на семейство параллельных прямых.
Заметим сначала, что если рп и qn лезйат на одной траектории
и Рп^-р и qn—>q и если систему можно топологически отобра-
зить на семейство параллельных прямых в
(или Ет), то р и q лежат на одной траектории.
Пусть, в самом деле, отображение, о котором идёт речь,
есть Ф. Тогда, в силу его непрерывности,Ф(рп)—»Ф(р).
Черев Ф(рп) и Ф(р) проходят прямые семейства. Пусть вто
будут: = В‘и>,	= 5‘n>,... и соответственно — с,, $2 = К0’,...
Согласно условию теоремы, Ф (?п) лежит на прямой, проходящей
через Ф(рп), (В; = ?"’), следовательно, предельная точка Ф(?)
лежит на предельной прямой, проходящей через точку Ф(#), т. е.
на прямой В = £‘0>. Но если Ф(р) и Ф(<?) лежат на одной прямой,
то в силу взаимной однозначности отображения Ф точки р и q
лежат на одной траектории.
Переходим к доказательству теоремы. Пространство R ло-
кально-компактно. Пусть, как в теореме 12, § 1 настоящей главы
со
п- 1
где FiCZFsCZ- •. возрастающая последовательность замкнутых
компактных множеств В силу определения несобственной сед-
§ 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 331
ловой точки можно найти последовательность пар точек {рк,
ik= 1, 2,...; q-^f{pk, tk), tk>0) и чисел tk(0< -ck< tk) таких,
что limpt=p', limg^g', тогда как f (pk, кк) g R — Fk.
fe-К»	fe-frCO
Мы покажем, что p' и q’ не лежат на одной траектории,
Покажем сначала, что lim^== со. Допустим обратное, пусть
fe-кю
существует Т > 0 такое, что 0 < tkn < Т, к — 1, 2,. ., Тогда
множество Р=={/(р/г,(; О, Т)} является компактным, так как
каждая дуга 0, 71) компактна, а в силу непрерывности
системы lim / (ркп‘, О, Т) = f (р'; О, Т). Но тогда, так как 0 < хк <
&->со
< tk < Т, точка / (рк} g Р, что противоречит выбору этих
точек. Итак, lim«t==co.
h~>CQ
Допустим, что р' н q' лежат на одной траектории, q' — f {р', t').
Рассмотрим последовательность точек q'ti -~j (рп, t'), очевидно
limg'n==g'. Таким образом, в любой окрестности S(g',3)
точки q’ найдётся такая пара точек (qri, q‘n), что qn — f(pn,tn) =
-fUin, tn — t'), причём tn—t’ при достаточно большом n сколь
угодно велико, т. е. S (q', о) - / (5 (д', 8), t) не пусто для сколь
угодно больших t, т. е. точка q' неблуждающая, а это проти-
воречит условию. Теорема доказана.
Таким образом, из теорем 2 и 4 следует, что необходимым
условием возможности отображения динамической системы на
семейство параллельных прямых являются её полная неустой-
чивость и отсутствие несобственной седловой точки. Цель даль-
нейшего исследования—показать, что эти условия являются
также достаточными. Это исследование потребует введения ряда
новых понятий.
Определение 3. Для любого множества ECZR мы назо-
вём конечной трубкой временной, длины 2Т множество
Ф = /(£; — Т, +Г)= V
|«|<Т
Определение 4. Мы назовём множество FczO, замкну-
тое в Ф, локальным сечением конечной трубки Ф, если каждой
точке 5бФ соответствует единственное число 1(, такое, что
Иначе говоря, каждый отрезок траектории, входящей в Ф,
пересекает F в одной и только в одной точке. Локальное сече-
ние для системы, определённой в Еп дифференциальными уравне-
ниями, легко строится как сечение, перпендикулярное к одной
нз траекторий. Для динамической системы в метрическом
пространстве построение такого сечения является далеко не
тривиальным.
332	Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Теорема 5 (Бебутов). Если р не особая точка динамиче-
ской системы, то для достаточно малого % > 0 найдётся
такое число 8 >- 0, что построенная на S (р, о) трубка времен-
ной длины 2т0 имеет локальное сечение.
Так как р не является особей точкой, то существует таксе
что р [р, j[Pt 8й)] > 0. Определим непрерывную функцию от q и t:
t-r&o
’?{(!> 0=	p]d--
t
Из свойства группы следует:
114'^2'7' &	?2~г$3
?(?>^+<8) = 5 рI/(?>”-), рИх = 5 р№ 
*1 : *В	t\
*г~. &о
= \ р [/'(/(£- ^i)>"), р] d- = v If («?> «»), М-
Функция © = ?(§, t) имеет частную производную
«)*=?[/(?> г + ^о), р}~- ?[/(?. *)> Al-
Очевидно, функция о непрерывна по q и t.
Так как
(Р. 0) = Р I/ {р, ^«)> > °.
то найдётся такое г > 0, что
?f ((?, 0) > 0 для q £ 8(р, г).
Определяем, затем, ~с из условия, чтобы при	имело
место
f(P, t)£S(p, г).
Тогда будем иметь:
<Р (р, ^в) > 9 (А 0) > ® (р, — -0).
Далее берём т, > 0 так, чтобы
5 [77рГ4Г 41 с= (р, г), s [/ (р, - т 0), р] с: s (Р, з)
и чтобы для q £8 \f(p, “ч)» ,fll было <р (§, 0) > © (р, 0), и для
‘3^S[f (р, — -й), т;] было ? (q, 0) < т (р, 0).
Наконец, определяем S > 0 так, что
/ L<M), ^о] С= W, ч). ч], / RK§)> - "«I CZ 5 [/ (р, - т0), -д
§ 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИН ОМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 333
п чтобы при | t । <
7(S(P, ?), OgS(m)
-(черт. 37).
Покажем, что если	о), то существует одно и только
одно значение t | tq j < т0, такое, что
?(?> Q = ?(Р, 0).
Это следует из того, что <р(?, t) внутри 5(у?, г) есть возра-
стающая непрерывная функция от t и о {д, т0) > о (р, 0) У>
>®(<7, —"е), так кал?
Ш 'd£S[f(p, т0), 7j] и f(q, ~-6)eS[f(p, --t0), p]-
Искомое сечение F для трубки Ф = f [S (р, 8); — т0, т0] есть
множество Q точек д£Ф, для которых <р (^, 0) =>р (р, 0). Дока-
жем это. Легко видеть, что трубка Ф, построенная на замкну-
том множестве S (р, о), есть множество замкнутое; отсюда сле-
дует замкнутость F, так как если {?„}€/*’ и	то ?£Ф и
? (?, 0) = <р (р, 0) в силу непрерывности функции ®.
Остаётся доказать, что для любой q g Ф существует единст-
венное число tg, |£в | < 2т0, такое, что f{q,t^^.F. Для данной
точки найдётся в силу определения Ф некоторое t', ] t'\ -<
334
Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
так что д' —	(р, с), а для д' найдётся по доказанному
такое	что /(?',*") 6 Л т..е. /(g, t' + l")^j(q, tq)£Fr
где tq^t' + t", Ue|<2t0.
Допустим, наконец, что существуют два числа tq ц t"r,
t‘q j<2т0, 11” |<2т0, что / (g, Zg) £ F, j (q, tq) £F;пусть опять q' =
= t (Q, t')e s(p,1); 1t' I < T„. Тогда ? (q, [tq — t') = a(q, t"—t') =
==I?(P, °)- Но, так как \tq—t‘ |< 3t0, | t"q— t’ !<3то, и при t, за-
ключённом между t'q—t' и tq — t', a>'t (q, £)>0. to tq—t' = tg—t'.
или tq — tq. Теорема доказана.
Теорема 5 утверждает существование сечения в достаточно
«короткой» трубке. Следующая теорема устанавливает сущест-
вование сечения в трубке заранее данной временной длины, за
счёт уменьшения её 'поперечного сечения.
Теорема 6. Пусть даны точка р£П, не являющаяся точ- -
кой покоя, и числ о Т > 0, ограниченное лигиъ условием Т <	,
если движение f(p st) периодическое периода ®; тогда сущест-
вует 8>0 такое, что конечная трубка
Ф=/(5(Я;-Т, +Т)
имеет локальное сечение.
Определим, согласно теореме 5, числа % и о. Далее берём
тп = F и соответствующее ему по теореме 5 число оп < — •
Тогда трубка («короткая»)
ф;=/(У(рЛ); —
по доказанному Имеет сечение Fn. Далее строим («длинную»)
трубку
~Т, +z>-
Множества Ф'п, Фп и Fn— замкнутые, и для каждой точки
§£ФП найдётся такое tq, (tq |< Т -f-тп, что f{q,lq) 6 Fn.
Покажем, что найдётся такое пй, что Fno будет локальным
сечением трубки Ф«о. Для этого нужно только показать, что
число iq для достаточно больших п0 — единственное. Предполо-
жим противное, тогда для каждого п найдётся точка
такая, что
еt'n^c
§ S. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 335
Пусть, для определённости, **—/"== <п > 0; обозначим
/ fen» “ Яп € Рп,
тогда
/fen» O==/fen, U€-Fn,
причём
С другой стороны, можно найти точку qn С- S (pf 8П) так, что
Яп = t fen, tn), I tn I < S- з аметим, что <f't fen, t) > 0 при /«|< 3t,.
Так как /fen,?„)6Fn и /fenX+QC^n, то <pfen,in) =
==<pfen, *п + гп), следовательно, j tn -J- tn | > 3tOj и ввиду того, что».
tn > 0, имеем:
tn > 3% — 1tn | > Зт0— t0 = 2-c„.
Точки qn сходятся к p в силу выбора -сп и 8П, так как
Qn € Рп CZ / (5 (р, 8n); — Si, + тп); далее из последовательности {«п}
в силу неравенства 2т0<^п<47’ можно выбрать сходящуюся
последовательность {Znfc}, lim 2т0<^<.471; замечаем, что
fe-*oo
/fen, tn)^Pn и потому/fen,tр. В таком случае тождество
/ fens, tn,) — ] (qnk, ini) при Л—>со даёт:
Р = /(Р,О, 2т0<«<4!Г,
т. е. р принадлежит периодической траектории периода ш<4Т,
что противоречит условию. Теорема доказана.
Доказанная теорема локального характера даёт возмож-
ность дать топологическую характеристику динамической систе-
мы, заданной в метрическом пространстве, в окрестности любой
точки, отличной от точки покоя.
Теорема 7. Если конечная трубка Ф временной длины
2Т, построенная на множестве Е, имеет локальное сечение F,
то Ф гомеоморфна системе параллельных отрезков гильбертова
пространства.
Пусть мы имеем отображение множества F в пространство
Ет(-1 Да,- Вп,- Пусть д£Ф; по определению локального
сечения существует число таксе, что /(о,-— tg)€F,	2Т.
Если точке /fe, — tq) соответствует вЕа точка с координатами
• •, ёп,- • •), то ставим точке q в соответствие точку нового
гильбертова пространства ёцёа»..ёп,________) следующим об-
разом:

ззг>
Гл. IV ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Отображение У’ взаимно однозначное; однозначность отобра-
жения 'Г следует из определения, однозначность отображения
У’-1 легко доказать. В самом деле, пусть qx == qz — две точки труб-
ки Ф; тогда, если / {дх,— tJtF, f{q^,— t^F,’so sru6of(q1) — t1)^
/(?2, ~~ 0), либо tx =± i2; в обоих случаях У’^) == У (?s).
Отображение У взаимно непрерывно. Пусть
Iimgn = Тогда по определению сечеппя найдутся числа
;П->СО
{,t, где ! tn| <2Т, 11\<2Т такие, что{/(gn, — tn)}£F, f (q, — i>G
£F. Покажем, что lim tn=t. В противном случае нашлась бы.под-
последовательность {£«$}, lim 0ч; = F А 0 И' |<2Т. Тогда из
замкнутости F следует lim /(^ns,— 0»г)=/(§', —Но по-
следнее включение, вместе с / (б/, — I) g F противоречит опреде-
лению сечения. Следовательно, lim tn= t и lim / (?п,—«„)=/(?—0-
П~>со	п—Х2О
А тогда, обозначая через Р1 р асстояние в гильбертовом простран ст-
/СО
+	где
— координаты точки ’Г (//„). В силу взаимной непрерывности ото-
бражения У на F отсюда следует:
Ит₽1[УЫ,У(?)]-0.
Непрерывность отображения У’"1 очевидна из этой же фор-
мулы: если известно, что левая часть стремится к 0, то tn—>t
11 /(Уп,	>/(<7, — 0, следовательно, qn—>q.
Таким образом, У есть топологическое отображение. При
этом отображении дута траектории /(§; —Т,-}-Т) для любой
точки q£E отобразится в отрезок прямой из У?05:
= В£ (/ {q, — ig)) = const, (i = 1,2,. Т < t < У,
я эти отрезки параллельны между собою.
Следствие. Если р отлична от точки покоя и Т > 0 лю-
бое для непериодического движения и Т < для периодическо-
го движения с периодом ш, то существует 8 > 0 такое, что мно-
жество /(S(р,В); — Г. + У) гомеоморфно системе параллельных
отрезков в Вб0.
Таким образом, локальная структура окрестности обыкно-
венной точки динамической системы в метрическом простран-
стве R топологически подобна локальной структуре окрестности
обыкновенной точки системы дифференциальных уравнений.
§ 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 337
Теоремы 6 и 7 имеют место в любой динамической системе
определённой в локально-компактном пространстве R со счётной
базой. В случае вполне неустойчивой динамической системы
можно ввести понятие сечения инвариантного множества.
Определение 6. Пусть дано инвариантное множество
E^R- Замкнутое в Е множество F назовём сечением множе-
ства Е, если для каждой точки q£E существует одно и только
одно число tq такое, что f(q,tq)£F.
Теорема 8. Во вполне неустойчивой динамической систе-
ме для всякой точки p£R найдётся такое 8 > 0, что инвари-
антное множество {бесконечная трубка}
ф=/(^М;/)
имеет компактное сечение.
Из полной неустойчивости системы следует существование
чисея а > 0 и Т > 0 таких, что для 111 > Т
S (р, а) • f(S {р, а), t) = 0.
Выбираем s' > 0, так, чтобы было s' < я и чтобы S {р, г') было
компактно. Так как вполне неустойчивая система не содержит
периодических движений, то, исходя из г < г', мы можем на
основании теорем 5 и 6 найти такое о > 0, что конечная трубка
ф1=/(5(р,8);-т,7’)
имеет локальное сечение F. Заметим, что так как в построе-
нии теоремы 5множество FczE {р, s) и по определению F зам-
кнуто, то F компактно.
Докажем, что F есть сечение трубки Ф. Пусть д'ЕФ; тогда
существует такое t', что /(ff.	{р, 8), и так как д'£Ф1,
то, по свойству локального сечения, найдётся I" такое, что
t {.q', F) 6 F- Обозначая	имеем:
/(?, t)^F.
Покажем, что такое t найдётся только одно. Допустим об-
ратное, пусть
j{q, Q6F, =
Обозначая /(?, O = ?i> получаем:
Ж> t)eF.
Так как qt £ Ф, и F есть локальное сечение Ф1? то |i | > 27}.
НемыцкмЙ и Степанов	—•
338	Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С другой стороны, по построению
F CZS(p, e) cz S(p.e') cz S(p,^,
и мы получаем для 11 ] > 27 > Tt
«) • /(S(p, a),t)^F-f (F, t)ZD/(?1, i),
что противоречит выбору чисел а и Т. Итак, доказано, что F
есть компактное сечение трубки Ф.
Лемма 2. Если F замкнутое компактное множество и
неустойчивая динамическая система не имеет несобственной
седловой точки,то трубка Ф = /(,F',I) есть замкнутое множество.
Пусть {рп}С2Ф и lim рп = р‘, покажем, что рбФ. По опре-
П—*СО
делению трубки для каждой точки рп существует такое число
tn, что = / (рп, t)£F. В силу компактности F последователь-
ность {gr,} имеет предельную точку q^F; предположим, чтобы
не осложнять обозначений, что limqn — q. Тогда по следствию
П-ьсо
из леммы 1 получим: q — f(p, t), т. е. p~j{q, — £)£Ф. Лемма
доказана.
Следствие. Если бесконечная трубка Ф неустойчивой
динамической системы без несобственного седла имеет ком-
пактное сечение, то Ф замкнута.
Лемма 3. Если замкнутое инвариантное множество Ф
имеет компактное сечение F и если {рп}С2Ф, limpn = p, то,
п—>со
обозначая через qn — f(pn,tn) соответствующие точки на сече-
нии qn€F, имеем:
lim qn = q = f (p, t)£F, где т = Нттп.
n-хоо	П~>оо
В силу компактности множества F существует сходящаяся
подпоследовательность {§ПЙ}, пусть lire </„,. = q. В силу следствия
й-к»
леммы 1 мы имеем:
и q = f(p, t')6F.
Из определения сечения следует: j{p, t'} — f{p, т), т. е.
Так как это имеет место для любой сходящейся подпоследова-
тельности то отсюда следует:
lim?n = g, 1мптп=т,
П-М»	П“>СО
чт» и требовалось доканать.
£ ». ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 339
Нашей дальнейшей целью является построение сечения
всей динамической системы — неустойчивой без несобственной
седловой точки.
Теорема 9. Пусть в неустойчивой системе без несоб-
ственного седла 'дамы два инвариантных множества и Ф,,,
имеющие компактные сечения F1 и Fz; тогда инвариантное,
множество Ф!-1-Ф2 имеет компактное сечение F, притом
такое, что FpjF^.
В силу следствия леммы 2 трубки Фх и Ф2 — замкнутые мно-
жества. Если Ф1-Ф2=0, то F1-|-F2 будет искомым сечением.
Пусть теперь
Ф3 . ф2 = ф3 0.
Обозначим
F, • Ф = F*, F2 • Ф, = F*
В силу компактности сечений F3 и F2 и замкнутости мно-
жества Ф3 множества F* и F* компактны. Определим на F* дей-
ствительную функцию <р (р) следующим образом: пусть pCZF*,
тогда существует единственное значение t такое, что
q = / (р> CZ F*; полагаем
? (?) = tp-
Эта функция непрерывна. В самом деле, пусть {pn}CZF*. рп—- р,
тогда qn= f (рп, t^£F*, где «„ = tp = ?(pn) и j (р, t) £ F*,
t = <p(p). Из леммы 3 следует, что в таком случае
1 im tn = t и lim qn = q = j (p, t) £ F*,
n—>co	П—z<x>
l e.
lim? (pn) = ?(p)>
что в доказывает непрерывность функции <р(р).
Определим далее на компактном множестве F2ZZ)FJ непре-
рывную функцию б (р), совпадающую на F* с с> (р) (это про-
должение возможно, см. теорему Урысона-Броуэра в § 1 этой
главы) и обозначим
^3 = {/(Р> Ф(Р))> РбЛ}-
Определённое таким образом множество F3 I Г\ и пересекается
каждой траекторией из Ф2 в одной и только одной точке.
Докажем, что F3 компактно. Пусть {(/„}CZF3, тогда
9п== t{pn> Ф (Рп))> pnF Fs. Вейлу компактности F2 существует
сходящаяся последовательность {р,ч.}, limpnk== p£F2‘, тогда,
22 »
340
Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
вследствие непрерывности функции ф (р),
= и limgnfc==/(p, ф(р)) 6F3.
h“>CO	ft—>00
Таким образом, Fs есть сечение трубки Ф2. Полагаем
F = F1 + /’S;
F, очевидно, компактно; оно является сечением трубки Ф2 + Ф2,
так как каждая траектория этой последней трубки имеет с ним
одну и только одну точку пересечения; для Фх — Ф8 и Ф, — Ф8
это очевидно, для Ф3 мы имеем:
Ft -%=FS -®S = F*.
Наконец, Fz^F1. Теорема доказана.
Теорема 10. Всякая неустойчивая динамическая система
без несобственной седловой точки имеет сечение.
Так как по теореме 3 система вполне неустойчива, то по
теореме 8 для каждой точки p£R найдётся такое В > 0, „что
трубка f\S(p, 3);/) имеет сечение. Так как R есть простран-
ство со второй аксиомой счётности, то найдётся такая система
окрестностей {5 {рп, Вп)}, что
СО
Я = 2 8(Рп,оп).
П-1
Строим инвариантные множества
ФЛ = /(5(^А);/), п-1,2,...
и обозначим через Fn компактное сечение трубки Ф„.
После чего конструируем последовательность компактных
сечений
FW CLF^CZ,..CZ F™ CZ - • •
следл'Ющим образом:
FW^FZ
есть сечение множества Фх; предположим далее, что мы
построили /Ч"), являющееся компактным сечением инвариант-
ного множества
п
Ф™ = V ф?15
/1=1
g 9. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
341
и пусть
п г 1
ф(« г ‘) = 2 Фл =	+ Ф'1+1’
/1=1
Тогда в качестве множества Е(ит-() возьмём существующее,
согласно теореме 9, компактное сечение множества ф(«+О, при-
чём Е1И+1 > F^'B
Ясно, что
2$(") = Я,
71— 1
Обозначим
Множество F имеет с каждой траекторией из R одну
и только одну общую точку. В самом деле, пусть pg R произволь-
ная точка, и пусть п± наименьшее число такое, что р g S (рП1, 8щ).
Тогда р£фСп1), и в силу определения сечения F^i) найдется
единственное значение t± такое, что / (р, /\) = q± g F&d CZ F.
Если бы существовала другая точка ?2 = /(р, t2)£F, то нашлось
бы натуральное п, >«, такое, что	и так как
/ЧП2)=3/?(П1), то
?! CZ F^,
что противоречит определению сечения F^.
Покажем, рто F замкнуто, т. е. является сечением в R.
Пусть {qn}dF и lim qn — q; тогда найдётся такое йс, что
П-?со
q£S{рпв, §п0)
п такое N, что для п > N
Яп 6 S(pn„, &п0)-
Следовательно, при п О» N имеем:
?пСФ<по) • R—F^.
Тогда в силу замкнутости F<-n<>) находим:
q е F^ CZ F,
что и требовалось доказать.
Теорема 11. Всякая неустойчивая динамическая система
без седла в бесконечности может быть топологически ото-
Гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
бражена на семейство параллельных прямых в гильбертовом
пространстве.
Пусть F есть сечение системы. Определяем отображение
Ч’ пространства R в £'°° следующим образом. Пусть p£R любая
точка, p* = f(p, —t)—-точка соответствующей траектории, лежа-
щая в F. Существует отображение сечения F на гильбертово
пространство	—?*==	?8,.	(§ 1, теорема 17).
Тогда полагаем
ЧГ (р) = (£, Cj, ?2,. ..,	.) = q g Еу\
Обозначим
'!’(/?)== Я* CZ £'°°.
При отображении Ч’ траектории переходят в прямые
?! = const, $2 = const,..., ?rt = const,... Из свойства сечения сле-
дует, что каждой точке р соответствует единственная точка д;
далее, если даны две точки qz и qz, q1CZR* и q2CZR*, то либо
их координаты 'п не совпадают, тогда соответствующие точки р
лежат на разных траекториях, либо при совпадении координат
?2,..., ?п, различаются координаты t, тогда им соответствуют
две различные точки одной траектории. Итак, соответствие
между R и R* взаимно однозначно. Покажем, что оно взаимно
непрерывно.
1. Пусть {рп} C1R, Iimpn = р. Обозначим соответствующие
точки на сечении F через pt~fkPn, ~^п}- Тогда существует
п0 такое, что	(обозначения такие же, как в теореме 10),
а так как {рл} сходится, то найдётся натуральное N, так что
при n^N также рпЕФ1П(|), а тогда p*£F(ni>'>.
Так как сечение компактно, то из леммы 3 следует,
что существуют
lim tn = t, lim p* = / (p, — t).
П-iCD	U-rCO
Отсюда, обозначая
Ч'(р) = (£, q,	q,...)
И
Ч’(р„) = (гп, W.-ЛЧ-).
имеем:
lim Р1 [Ч- (рл), Ч (р)] = lim 1/ (tn - ty + V “М5 = 0-
П-^-оэ	П zoo Г	i==,
2. Пусть {qn}CZR* и limg„ = g, т. е.
lim 1/"(tn - i f + 5	- М* = 0.
§ 0. ВПОЛНЕ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 343
Отсюда
03
lim tn -=1, 1 ini V (£(") —	== 0.
П-*ЭС»	11-
i=l
Обозначаем
‘1’-1Ю = Рп€Л, ЧР" 1 (?) = p 6 ??,
f(pn. -tn) = p*QF, f(p, -t)~p*cF.
Из того, что lim (cJ”) — £,)=0 и из взаимной непрерывности
П-к»
отображения множества F в Ею следует, что 11тр* — р, и далее
limf(p* U = /(p*, t), т. е.
lim рп = lim 'Г'1 (дп)	'Г'1 (?).
П—>СО	П-УСО
Взаимная непрерывность доказана.
Из сопоставления результатов теорем 2, 3, 4 и 11 следует
Основная теорема. Чтобы динамическая систем, задан-
ная в. локально-компактном метрическом пространстве R со
второй аксиомой счётности, являлась гомеоморфной семейству
параллельных прямых в гильбертовом пространстве, необходимо
и достаточно, чтобы она была неустойчива'и не имела несоб-
ственной седловой точки.
Примечание. Если система задана в пространстве
то она гомеоморфно отображается на семейство прямых в £<П+‘Э
следующим образом: пусть р £/?п и q = f(p, —t}€.F (сечение
системы). Тогда, если координаты точки q суть L,,..$„), то
(р) = (*,	-X)-
ГЛАВА V
системы с интегральным инвариантом
§ 1.	Определение интегрального инварианта
Рассмотрим движения динамической системы, заданной
дифференциальными уравнениями
(i = l, 2. ... ,ri).	(1)
Функции Xi определены в некоторой замкнутой области R
«фазового пространства» (xlt xs, ... , жп); мы их будем считать
непрерывно дифференцируемыми по всем аргументам. Тогда
начальные значения	... , гг£0) при t = t0 определяют
единственное движение системы (1):
^1 = 9.4 —	, ж',0’) Д = 1,2, ... , и), (2)
где являются непрерывно дифференцируемыми функциями
от начальных значений х^\ . .. , х^). Движение (2) короче
мы будем записывать так:
x=f(xe,t).
Интегральным инвариантом (?г-го порядка), согласно Пуан-
каре, называется выражение вида
... М (£1, х2, ... , хп) dXi dx2 ... dxn)	(3)
J D
где интеграл распространён на любую область D, если это вы-
ражение обладает свойством:
М (х„ х2, .... 2!n) dxx dx2 . .. dxn =
в
—	М (xlf «2, ... , Жп) dx„ dx2... dxn. (4)
Dt
Здесь Dt — f(D, t) есть область, занимаемая в момент времени
t точками, которые при i = 0 занимают область D.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА
345
Пуанкаре также дал простую механическую интерпретацию
условию (4), характеризующему интегральный инвариант. Рас-
смотрим в трёхмерном пространстве систему
ft=X{x,y,z), ^t^Y(x,y,z),	~ = Z(x,y,z) (Г)
и будем интерпретировать её, как систему уравнений, опреде-
ляющих скорость стационарного движения жидкости, запол-
няющей пространство R. Если через р (ж, у, z) обозначить плот-
ность жидкости в точке х, y,z, то интеграл

х, У у%)	dydz
(3')
D
представляет массу жидкости, заполняющей область X); выра-
жение (3') есть интегральный инвариант, так как эта масса
жидкости остаётся неизменной, когда частицы жидкости, пере-
местившись по своим траекториям в течение промежутка вре-
мени г, займут область Dt. Таким образом, для системы (!'),
определяющей стационарное движение жидкости, существует
интегральный инвариант, в котором функция М формулы (3)
есть плотность жидкости. Если жидкость несжимаемая, то
р (ж, у, z) = const, и мы имеем
dx dy dz.
£>
(4>
Таким образом в случае несжимаемой жидкости интегральным'-
инвариантом является объём.
Выведем теперь уравнение в частных производных, кото-
рому удовлетворяет функция М формулы (3) — «п л о т н о с т ь
интегрального и нв а ри ан т а». Примем сначала «локаль-
ную» точку зрения. Выберем замкнутую область D, целиком
лежащую внутри 7?, и интервал времени (— Т, Т) настолько
малый, что DtdR при — Т < t < Т. Далее возьмём внутри
этого интервала фиксированный момент t и малое приращение-
h такое, что t -'rk £ ( — Т, Т). Обозначим
Тогда можно написать
, хп) dxx dx& .. . dxn.
. . х‘п) dx't dx* ... dx'n
(5)
(o')
346
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
где	... ,х„)—есть точка области Dt^h. В силу единствен-
ности решения и непрерывной зависимости от начальных дэн-
.ных, формулы, которые получаются из (2), если положить
Л— t,ri—-h и обозначить начальные координаты при значении t
•через х,, в момент t-\-h через ж,',
x^ = csi(li-,x1,xi,.. .,ж„) (i = 1,2, ... , п) (2')
определяют взаимно однозначное соответствие между точками
областей Dt и Поэтому в выражении (5') можно перейти от
переменных х'г к переменным причём область Dtth заменится
областью Dt. Из наложенных на Xt условий следует сущест-
вование непрерывных частных производных
dx'i__
Sxj дх}

поэтому в силу формулы замены переменных кратный инте-
грал (&') примет вид:
/(£фй) =
~	М [?1	^1, ^2,  • • , *«), ?2 (^5 *®1> ^2,  • • > ‘^п.)>
 • •, <?n(h', xlt хг .	жп)] • ~х-’ ж*’-' ' dxt dx2... dxn.	(5")
1,	2,	, П/J D (xCj, ^2, . . • ,	1	-	ft \	/
Предположим, что функция M также допускает непрерыв-
ные частные производные по всем аргументам. В этом предпо-
ложении вычислим подинтегральное выражение в формуле (5").
Прежде всего замечаем, что в силу дифференцируемости по k
функций 9, мы имеем:
А/ [ф, (h-,xltxz,.. . ,жп), <p2(h;xlt ж2,..., жп),..., <pn (h; xlfxz,..., жп)] =
= М [Ж1 + л(^^о + о(Л),ж2Н-Л ^)^о + о(Л),
••• »жп+/г(д)г)/1=() + с’(/г) J »
:где через п (/i) вообще обозначены функции, отношения которых
к h при h —> 0 стремятся к 0 равномерно относительно
... ,ж„ в области Dt. Замечая, что выражения (2) явля-
ются peineниями системы (1) и, следовательно,
  ,а:'^ 1>2,••»”),
.мы в силу существования полного дифференциала от М (а это
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА
347
следует из существования непрерывных частных производных)
имеем:
= М (Жц тЕ,
М (.<, ж3, ... , х'п) =
• ,+ hV XiК,Гг, ... , хп)+ 0 (А).
(в>
Далее, функции (i; j = 1, 2, ... , и), как сказано,
непрерывными функциями от /г, хг, х„, ... ;хп- сверх
являются
ТОГО, они
допускают непрерывные производные по /г, причём при h — О
эти производные равны с,ц (т. е. О при i ф ] и 1 при г = /).
Этп производные удовлетворяют уравнениям в вариациях1)
tl д.с[_ ЭХ: (хг, х2, ... , х,^ Oxi
dhdx< j-at	dx;’	дх-/
J k=l
(i, 1 = 1,2, • • • , и);
отсюда

5i/ + h V	A 4 0	=
1	дхк	\дх1у h=0	1
k=i
= 4/ + h	+ 0	•
Подставляя эти. значения в якобиан преобразования и выделяя
в детерминанте член, не содержащий h, и члены первого порядка
относительно /г, получаем:
J9 (а:{, я?2,
Z) (ж15 ж2,
= 14. h V	+ 0 (/г).
хп)	дхь	V 7
(7)
Подставляя значения (6) и (7) в (5"), находим:
л«+*> - S V •  S {*+* 12 х,"+я 2^]+
£;t	4 = 1	г=1
-J- о (/г) I <Ь:Л dx2 ... dxn.
П См. В. В. Степанов, Kvpc дифференциальных уравнений.
ГЛ. VH, £
348
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ННВ \РП \HTOM
Вычисляем производную Г (I):
h^Q	11
= lim И - • • V' 4 V xi + М Е 1 + 0 W - dx*   • dj-'n~
h~Q М J Л	dx-L ' dxi J v 7 J
Jjf	i=l	b=i
Dt i=l
Пусть теперь / (Z) естьннтегральнып инвариант; тогда равен-
ство
Г (0 = 0
имеет место для любой (достаточно малой) области D. Отсюда
получаем необходимое условие для плотности М:
V = 0_	(8)
дх.	7
i= 1
Легко видеть, что если, обратно, условие (8) выполняется тож-
дественно, то выражение (3) есть интегральный инвариант.
Условие (8) есть уравнение в частных производных для М.
Опираясь на теорему существования для этих уравнений, можно
утверждать, что для рассматриваемой системы локальный,
интегральный инвариант всегда существует. Однако, этот факт
не даёт возможности сделать нужные нам выводы качественного
характера, касающиеся динамической системы. Действительно,
мы будем рассматривать только интегральные инварианты поло-
жительные (или, по крайней мере, неотрицательные). Этому
ограничению для достаточно малой области D мы можем удо-
влетворить следующим образом. Для однозначного определения
решения уравнения в частных производных (8) надо задать
начальные данные Коши. Если точка (Д°\ х<,0), .. . , я£0>) не
особая для системы (1), то можно предположить, что в некоторой
её окрестности, например, 0; в таком случае, мы можем
задать при ж. =а<°) начальное условие:	= <р (т2, х„, . .хп),
где <? > 0; тогда, в силу непрерывности решения, М будет
положительно и для достаточно малых значений в окрест-
ности точки хх = Д°).
Но мы рассматриваем систем у вида (1) в некоторой области
R пространства (zx, ж2, ... , (пли на некотором «-мерном
многообразии), которая является инвариантным множеством
системы, т. е. вместе с начальной точкой в R входит вся тра-
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА
349
ектория. Выражение вида (3) мы будем называть интеграль-
ным инвариантом только в случае, если М >0 во всей обла-
сти 11- тогда равенство (4) имеет место для любой области R
и для любого значения £(— со< £ <-j-со). При этом мы будем
вводить ещё ограничение:
п
М dxx dx,, . .. dxn < 4- ос.
Если такой интегральный инвариант существует, то его плот-
ность М удовлетворяет уравнению (8). Но доказать его суще-
ствование для любой системы, удовлетворяющей только усло-
вию дифференцируемости, невозможно. Существование инте-
грального инварианта в этом смысле есть дополнительное огра-
ничение, налагаемое на систему (1).
Примечания: 1. Случай, когда правые части уравнений
зависят от £, сводится к предыдущему заменой t на и
введением добавочного уравнения = 1. Условие (8) после
обратного перехода к переменной t примет вид:
У ^> = 0.	(8')
dt 1	oxi	4
i=l
2.	Функция M, удовлетворяющая уравнению (8) или (8'),
называется множителем Якоби.
3.	Условие того, чтобы система (1) допускала в качестве
«-мерного интегрального инварианта объём, т. е. М = 1, есть
у ^=о.
АЛ дх-с
г=1
Уравнения в форме Гамильтона
dt ~ dq-J dt dpt (i —1,2, . . . ,П),
где
H=>H(Pl)p2, ...	... ,qn),
очевидно, относятся к этому классу.
4.	Любая система (1) с интегральным инвариантом, в кото-
ром М > 0, может быть приведена к случаю М = 1. Для этого
надо изменить независимое переменное (время) с помощью
формулы = тогда уравнения примут вид:
-^^МХ1 = Х-(х1>Х2, ... ,хп);
®50
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
и в силу (8)
v
dxL
i-1
Сущность преобразования указанного вида состоит в том, что мы*
не меняя траекторий частиц, умножаем их скорость . в точке
{xif , хп) иа значение функции М в этой точке. Однако*
это преобразование не вносит в теорию значительного упро-
щения.
5.	Если правые части уравнений (1) подчинены только усло-
виям Липшица по xlt х&,    , хп, то при наличии интеграль-
ного инварианта функция М имеет частные производные почти
всюду (и всюду имеет ограниченные производные числа); усло-
вие (8) выполняется почти всюду (В. В. Степанов, Composilio
Math. 3).
Рассмотрим в частности динамическую систему при п = 2:
~ = Х(х,у), ^ — Y(x,y).	(9)
Выведем необходимое и достаточное условие, при- котором инте-
гральным инвариантом для системы (9) будет площадь. Усло-
вие М = 1 даст из уравнения (8):
|* + |Z = 0.	(8")
дх оу	z
Очевидно, это есть условие того, что выражение
Ydx-— Xdy	(10)
является точным дифференциалом.
В общем случае М 1 уравнение (8) даёт:
^(Л£Г)_О
Эх ' ду
Это — уравнение для интегрирующего множителя М выражения
(10); таким образом, система (9) при наличии настоящего инте-
грального инварианта должна обладать интегрирующим множи-
телем, непрерывным и положительным на всём рассматриваемом
инвариантном множестве.
Рассмотрим далее в качестве примера систему линейных
уравнений
~t=ax + by, ^t=cx + dy,	(11)
а, Ь, с, d- -постоянные, с особой точкой (0,0). Условие инва-
риантности площади (8") даёт:
§ 2. МЕРА КАРАТЕОДОРИ
35.1
Приводя систему (11) к нормальному виду1), мы получаем для
X уравнение
а2 — (« + </) k -J- ad — be — О,
или, в нашем случае,
к = Ч~ j/" — ad -f- be.
Итан, инвариантность площади для системы (11) имеет место
только, в случае, если особая точка есть центр (мнимые корни)?
или седловина, причём в последнем случае должно быть.
Х2== kv
Из сказанного следует, что методы локальной теории диффе-
ренциальных уравнений не дают возможности в общем случае
установить существование неотрицательного интегрального
инварианта, который будет иметь большое значение в этой
главе для исследования динамических систем. Существует ряд
исследований, выясняющих те условия, налагаемые на движе-
ния динамической системы, при выполнении которых существует
интегральный инвариант в вышеуказанном смысле. Эти условия
являются ограничениями, налагаемыми на систему.
Мы пойдём по более абстрактному пути. Подобно предыдущей
главе, мы будем здесь- рассматривать динамические системы в
метрическом пространстве R. Часто мы будем предполагать,
что это пространство имеет счётную базу. В некоторых случаях
мы будем считать, что R компактно или локально-компактно.
Роль интегрального инварианта в этих абстрактных динамиче-
ских системах перейдёт к инвариантной мере. Но до введения
инвариантной меры необходимо обосновать теорию меры вообще.
Изложению одной из таких теорий посвящён следующий параграф.
§ 2.	Мера Каратеодори
Пусть в метрическом пространстве R введена мера Каратеодо-
ри (Caratheodory). Эта мера рЛ (в н еш н я я мера) для любого
множества ACR определяется следующими аксиомами:
I.	р.Л>=0, причём существуют множества положительной
конечной меры, и мера пустого множества = 0.
II.	Если AczR, то рД<СрВ.
III.	Для любой счётной последовательности множеств
имеет место неравенство
СО	со
н {2Ai} S ?Ai-
1	i=l
’) См. В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений,
гл. П, §2.
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
IV.	Если р(Л, .В) > О, то р (Л + .В) --= рЛ4- у В.
Выведем важнейшие следствия пз этих аксиом.
Теорема 1. Пусть GC.R есть открытое множество,
отличное от всего пространства, т. е. его дополнение, замкну-
тое множество F --G — R не пусто. Пусть BC.G любое множе-
ство, для которого рВ конечна: рассмотрим последовательность
(	11
открытых множеств G,,-- -! р; р (р, F) > — k (п= 1, 2, .. .), и
I	J
обозначим Вп = В  Gn. Тогда lim у.В„ =-рВ.
Очевидно мы имеем В.СС-В.^СС  • • CZBnCZ ... CZ .В: откуда,
в силу свойства И,
у 74 < р.В2 < ... < рВп <4. ... <_ у.В.
Следовательно, существует предел
lim y.Bn = k 4 рВ.	(1)
Введём ещё обозначения: В = Вп-\- Rn, Cn — Bn.tr—Вл. Таким
образом,
„ Г ,г,	1	, Г\ 11
^={Рб-В; ->р(р,В)>
II
/?п = С„ + С'п.1 + Сп+2+...
Заметим, что в силл7 аксиомы треугольника, если />П€СП и
Вп^€С'„т2, то
Р (Рп, Рп^) > ? (?п, F} — Р (p,i+2, F) > 444 — PGG2 <
откуда
? (Сп, Сп+2) > 7,4^444417 > °-
Поэтому, в силу II и IV свойства меры, для любого к имеем:
pCj + 1>.CS 4- ... 4. u/72jt_i = Р (^1 + ^3 + •   + С27:-1) < Р-В,
Р-С2 + pCi ... 4- Р-В’2]; == р (С 2 + Ci + • • • + С2к) < рВ.
Поэтому ряд 2 У-Ск есть РЯД сходящийся. Далее, из акспо-
/,-1
5мы III мы имеем:
р.В < рВ„ рВп,
pBn< V ^Ск.	(2)
§ 2. МЕРА КАРАТЕОДОРИ
353
В силу сходимости ряда мер рС'п мы имеем limpBn = 0 и,
W-J-CO
переходя в неравенстве (2) к пределу при п—^оо, получаем:
рВ<л.	(3)
Сопоставление неравенств (1) и (3) даёт:
рВ — lim ».Вп.
П->СО
Следствие. Пусть ТУ—любое множество, для которого
рТУ < 4- со и G, F н Gn имеют то же значения, как в теореме 1.
Мы имеем тождественное представление:
W=WG + (W-WG).
Далее мы имеем:
W-WGC2F, WGnCZGn, WGnczWG;
поэтому
р (W-WG, WGn) > > 0.
По аксиоме III
р!У <t>.WG + v(W-WG).	(4)
С другой стороны, по аксиомам II и IV,
рТУ > Р {WGn + (W - WG)} = »-WGn + р (W - WG).
Переходя в этом равенстве к пределу при п->ся, по доказан-
ному в 1-й теореме имеем:
VW > ДГ6+р (W-WG).
Сопоставляя с равенством (4), получаем:
pW = AVG + р [W - WG)
для любого открытого множества би любого ТУ СТ В, у которого
рТУ С2 + со.
Определение. Множество A'~R называется маме/ш.мыл,
если для любого множества W, такого, что рТУ < со, имеем:
рТУ = pWA + р (W-WA).
Таким образом, нами доказано, что при любой мере р от-
крытые множества измеримы.
Следствие из определения измеримости. Если
множество А измеримо, А-В--(), и множество А-)-В имеет
конечную- меру, то р (Л + В) = р-А + рВ.
Для доказательства достаточно положить А Ц- В = W и заме-
тить, что W — WA---B.
Немадкий и Степанов
23
354	Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Так как в приложениях нас интересуют почти исключитель-
но измеримые множества, то приведём ряд теорем об измеримых
множествах.
Теорема 2. Если А измеримо, то R — A — A' тоже изме-
римо.
Пусть И7—"Произвольное множество, тогда A'W—W—AW,
W — A'W — AW; следовательно
M'W + p (W - A'W) = p (W - AW) -}- pAW,
откуда теорема непосредственно следует.
Следствие. Все замкнутые множества измеримы.
Теорема 3. Пересечение D = АВ двух измеримых множеств
А, В измеримо.
По условию для любого множества W конечной меры имеем,
в силу измеримости А,
u.W ==pAW+ p(W—AW).	(5)
Беря в качестве множества W множество AW, имеем, в силу
измеримости множества В,
pAW = pABW + p(AW-ABW).	(6)
Далее, берём вместо W множество W — АВ и пишем условие
измеримости для А. Предварительно замечаем, что
A (W — WAB) = AW—ABW
п
W - WAB—A (W- WAB) = W - ABW-(AW~ ABW) = W—AW;
имеем:
Р (W-ABW) = p(AW-ABW)-l-v.(W-AW).	(7)
Сопоставляя (5), (6) и (7), получаем искомое условие измери-
мости АВ:
pW = pABW -j- р (W— ABW).
Следствие 1. Сумма двух измеримых множеств измерима.
Пусть А и. В измеримы, тогда A-\-B~R — (R—A)(R—B).
По теоремам 2 и 3 находим, что А-)-В измеримо.
Методом полной индукции легко доказывается измеримость
пересечения и суммы любого вмела измеримых множеств.
Следствие 2. Если At и Л2— измеримые множества без
общих точек, то р (Лх4- Л8)=рД + р Л8.
Если хоть одно из множеств Л, и А2 имеет бесконечную
меру, то обе части = оо (левая в силу свсйства II или Ш).
Если оба множества имеют конечную меру, то в силу III
свойства имеем:
р (Л, 4- А2) < рЛ2 4- рЛ8< со ,
§ 2. МЕРА КЛРАТЕОДОРИ
355
а в силу следствия 1 и из определения измеримости множества
принимая Ж = И14-И2, находим:
р (Лх + А) = Mi + М2-
Полной индукцией зто заключение распространяется на сумму
любого .конечного числа измеримых множеств без общих точек.
Теорема 4. Пересечение счётного числа измеримых мно-
жеств измеримо.
Пусть даны измеримые множества А1, ASJ • - • , АПг . ..
Требуется доказать измеримость множества
Сначала заменим систему {Ап} новой системой {Вп}, где
Вп =	• Л2 • ...  Ап. Мы имеем В± ZD В2 ZD •  - ZD Вп ZD ... По
теореме 3 все Вп измеримы; очевидно 2= П Вп. Пусть W лю-
п— 1
бое множество конечной меры; обозначаем Wп = BnW (и — 1,2,...)
и Wo = QW. Очевидно, мы имеем: Wx ZD Ws ZD... ZD Wn ZD •   ZD Жо,
откуда, по аксиоме И, получим:
рЖх > рЖ2 > ... > рЖп > ... > рЖ0.
Следовательно, существует
lim u.Wn = p-We.
П-+СО
Заметим, далее, что множество W может быть представлено так:
IV = We + (W-PT1)+(W1-W72)+ ... +(Wn-WnJ+
причём слагаемые попарно не имеют общих точек. Из аксиомы III
выводим:
y.w <	+ р (Ж- ж2)+р (Ж-Ж2) + .. - + Р (Wn - Жп+1) + ...
Из измеримости множеств Вп следует:
р (ру — WJ = у (Ж — B.JV) = уЖ— рВ.Ж = рЖ — рЖ2;
р (Жп - Жп - р (Жп - ВП+1ЖП) = рЖ„ - р5п+1Ж„ =
= рЖп-РЖп+1 (и-1,2, ...).
Отсюда получаем опенку для рЖ:
рЖ < рЖ0 + рЖ - lim рЖ„,
п—)СО
НЛП
рЖв > X.
23
356	Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Итак, мы доказали, что
Р17(1 = Х = 11тр1Уп.	(8)
п-ъсо
Далее, из представления
W-ТУ0=(W-WJ+(W, - wj +...+(Wn-wnj 4- ...
в силу аксиомы III следует:
и (W - - WB) < р (W - wj+р (W-W,) +...+р (Wn-wntl)+... =
= р17-к = р1У-р170,
откуда
pW >VWe + y.(W—We).
С другой стороны, в силу той же аксиомы III:
V-WCv-W^ + u-iW-W^
Следовательно,
рРГ = i&W + и (W - QW),
что доказывает измеримость множества Q.
Следствие. Предполагая pf?k<«> для некоторого к 1,
имеем из соотношения (8), беря W—Bk и замечая, что в дан-
ном случае Wn=Bn(n'^k} и WV = Q'.
p2 = limp5n.
пххз
Теорема 5. Если Alt А2, ... , АП1 ... измеримые множе-
СО
ства, то 2 Д, измеримо.
п<=1
Доказательство непосредственно следует из представления
СО	со
2Лп = й-П(Я-Лл)
n—1	n—1
и из теорем 2 и 4.
Следствие 1. Если измеримые множества Air ASl ...
..., Ап, ... удовлетворяют условию’. At CZ А2 CZ • • • ( Ап (3 ...
сю
и 2д=л, то рЛ = lim рЛп.
п=1	п-*со
В самом деле, по теореме 5, множество А измеримо, и по
свойству II: рЛ^НшрЛп. Если ЦтрЛп=сс, то утверждение
п->со	п-*со
очевидно. Если ИтрЛп = Х<«>, то, обозначая A—An = Rn,
имеем: 2?nZDZ?n+1. Отсюда, в силу измеримости множеств А, Ап
§ 2. МЕРА КАРАТЕОДОРИ	357
и Rn находим: рЛ = р.Лп + «./?„, и так как Rn сходятся к пустому
множеству, то, в силу следствия из теоремы 4, имеем: limp/?n = 0.
п->со
Следовательно, рЛ = ИтрЛп.
п-хо
Следствие 2. Если измеримые множества Alt As>... ,ИП,...
со	со
не имеют общих точек и А — 2 Ап, то М = 2 Мп-
п~1	п~1
п
Обозначая Вп = 2 Ак, имеем ZD Вп, отсюда по следствию 1
Л>=1
получаем: рА = ИтрВп; но л0 следствию 2 теоремы 3, имеем:
7WCO
п
м-Вп = 2 Мл» откуда и следует утверждение.
Множества, получаемые из открытых применением счётного
числа операций сложения и умножения, образуют класс мно-
жеств, измеримых по Борелю (измеримые В) в пространстве R.
Из теорем 4 и 5 методом трансфинитной индукции получаем
теорему:
Теорема 6. Для любой меры Каратеодори р все мно-
жества, измеримые В, являются ^.-измеримыми.
Наконец, чтобы связать меру любого множества ACZ.R с мерой
Борелевских множеств, Каратеодори вводит аксиому (регуляр-
ности) .
V. Мера (внешняя) любого множества ArR равна нижней
грани мер Борелевских множеств, содержащих Л.
В некоторых случаях, особенно важных для приложений,
мера Каратеодори для любого множества А может быть опре-
делена как обобщённая внешняя мера Лебега, т. е. как нижняя
грань мер, открытых множеств, заключающих А. Самый важный
из этих случаев тот, когда мера всего пространства R конечна.
Теорема 7. Если v.R < со, то мера р (регулярная) любого
множества ЛI /? равна нижней грани мер открытых мно-
жеств, заключающих А.
Сначала методом полной индукции докажем теорему для
двух частных случаев.
1. Пусть даны измеримые р множества A , ZD As ZD •. • ID Ап ZD •. •,
CO
П An — A (А, по теореме 4, измеримо). Допустим, что теорема
П=1
верна для Ап, докажем её справедливость для А. По следствию
теоремы 4 (в силу конечности меры) для любого е > О найдётся
такое и, что рЛп < рЛ; по предположению, существует
такое открытое множество GZjAn, что pG < ру . Из обоих
358
Гл. V. СИСТЕМЫ с интегральным инвариантом
неравенств следует: v-G <	причём GZJA. Утверждение
доказано.
2. Пусть даны измеримые множества Л1С2^2СЗ- .• -CZ^nCZ- • •,
2 Ап = А. Тогда множество А измеримо и НтрЛп = о.И. Допу-
п = 3	7г-»оо
стим, что теорема верна для каждого Ап и покажем справедли-
вость её для А. Пусть задано е > 0. Для каждого Ап (п = 1,2, ...)
выбираем открытое множество G,, Ап так, что y.Gn < рЛп4- .
Вейлу измеримости множеств Gn и Ап имеем: p(Gn—Лп) =
= V-Gn— v.An <	. Обозначаем 2 &гГ '- G. Очевидно, Gявляется
~	п = 1
открытым множеством и G ~) А.
Подсчитаем
Р- (Gj + G2 + . • • + Gn) - pGn + Р (Gn-i ~ Gn_i  Gn) -4-
+ (Gn_2 - Gn^  V G*) + . • • + u^G, - Gx- 2 Gk) <
A- V-^n + P- (Gn — An) 4- p (Gn^ — An^ +
+ ’’• (Gn 2	^n-s) + • • • +p (Gt At) <СрЛп -J- e.
Переходя к пределу при п—> оо, получаем:
pG "С P'd-j- е-
Таким образом, рЛ является нижней границей мер открытых
множеств GZD-4. Утверждение доказано.
Перейдём теперь к общему случаю.
Так как утверждение, очевидно, справедливо для открытых
множеств и сохраняет свою силу для множеств, получаемых
из открытых операциями сложения и умножения, то оно спра-
ведливо для всех множеств измеримых В. Наконец, из аксиомы V
непосредственно следует, что для регулярной меры внешняя
мера любого множества AgR равна нижней границе мер
открытых множеств, заключающих А.
Теорема 7 легко обобщается на случай, когда пространство
имеет бесконечную меру, но может быть представлено, как счёт-
ная сумма множеств, каждое из которых имеет конечную меру.
Примечание. Заметим, что из доказательства теоремы 7
и предыдущих теорем: следует, что достаточно, чтобы регуляр-
ная мера р, удовлетворяющая аксиомам I — V, была задана для
всех открытых множеств пространства R (которое предполагается
г меющим конечную меру или составленным из счётного числа
§ 2. МЕРА КАРАТЕОДОРИ
359
пространств конечной меры); в таком случае эта мера может
быть распространена на все множества Ac.ll
Наконец, если пространство R имеет счётную базу {Un},
обладающую тем свойством, что пересечение любых двух мно-
жеств базы входит в базу, то достаточно задать меру на мно-
жествах (открытых) Un. В самом деле, тогда будет определена
Р (Z7n + Um) — ut/'n-f- uUin — v.UnUm, и аналогично для суммы
любого числа множеств базы. Далее, любое открытое множество G
может быть представлено как счётная сумма множеств базы
сд	т
(? = 2 Un , и мы определим рС=:Ггтр 2 Легко убедиться,
к	и->со т=1	'*
что если мера на {Un} удовлетворяет условиям I — IV, то
п расширенная мера им удовлетворяет.
Перейдём к изложению некоторых понятий, связанных с ме-
трической теорией функций.
Функция ©(р), где p£R, а значение функции <р есть число,
называется р-измеримой, если для любого а, —оо<а<-|-оо,
множество {р- <р (р) > а} является р-измеримым.
Легко видеть, что если функция о(р) является р-измеримой,
то множество {р; а < ©(р) < S}, где а и любые вещественные
числа, а также множество {р; © (р) == з}, р-измеримы.
Далее для измеримой ограниченной функции © (р) опреде-
ляется интеграл Лебега-, если m <© (р)<<СЛГ, то разбиваем интер-
вал (т, М) промежуточными точками Zo = т < 1Г < ... < 1п = М
п составляем сумму:
п -1	п
х^-р^+У/^рД-,
1=0	«’=0
где
Ei = {р; Ц < ?(р) < k+i}, E’i = {р, © (р) =
Легко доказывается, что эти суммы имеют единственный предел,
когда /j—>со и наибольшая из разностей Z; ;i—Ц стремится
к нулю. Этот предел мы будем называть интегралом Лебега
.(Радона) п обозначать
? (р) du или © (р) р (dp).
В	в
Определение интеграла Лебега обобщается на неограничен-
ные функции. Если ©(р)Р-О и р-измерима, то вводим функции
Г ?(?), ? (?)
% (Р) - |	.
360
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Тогда по определению
? (р) dp = lim \ фп (р) dp-
я	"-"“я
причём, конечный или бесконечный предел существует, так как
правая часть не убывает при возрастании я; если предел нера-
вен + со, то функция ф (р) р-суммируема.
Аналогично определяется интеграл от неположительной изме-
римой функции.
Наконец, если дана любая р-измеримая функция <»(р),
то, как обычно, представляем её в виде суммы неотрицательной
и неположительной функций
где
?(Р)==?1(Р) + ?« (р),
?1 (Р) = |
?2 (Р) = {
?(р)>	если	? (р)	>0,
о,	если	?(Р)-	<0;
о,	если	® (р)	>0,
?(р),	если	?(р)	<0;
тогда, по определению
J Т (р) dp= (р)dp-f- tps (р) dp,
Я	Я	R
если оба интеграла в правой части конечны. В этом случае ф (р)
называется р-суммируемой функцией.
Интеграл Лебега, таким образом определённый, обладает
рядом свойств обыкновенного интеграла Лебега; мы не будем
их перечислять.
В дальнейшем нам часто придётся иметь дело с функциями
вида F(p, Г), где р — точка пространства, a t — действительное
число. Нам потребуется теорема о возможности изменения порядка
интеграции по р и по t — теорема Фубини {Fubini}. Приведём
её доказательство для интегралов той формы, которые у нас
будут встречаться.
Мы будем рассматривать пространство R х /—топологиче-
ское произведение метрического пространства R со счётной базой
и пространства I действительной переменной Z ( — о < f < -} сс).
Точками этого пространства является совокупность точки р
и числа I: (р, t) $R х I. Пространство R х I можно рассматри-
вать как метрическое, если например, определить в нём рас-
стряние
₽[(Pi, h), Ql^VVfPi, p2)+(fi — У2-
§ 2. МЕРА КАРАТЕОДОРИ
361
Далее, если база для R есть {?7П}, то пространство Ry I тоже
имеет счётную базу; в качестве этой базы можно взять сово-
купность открытых множеств {Un х Д,-}, где {А,-}— множества
всех открытых интервалов пространства I с рациональными
концами. При этом ясно, что если база {С7П} обладает свой-
ством, что пересечение Un  Um тоже принадлежит базе, то тем же
свойством обладает база {Un х Д2-} пространства Ry I. На мно-
жествах базы {Un у ДД мы определяем меру v:
v (Un у Д{) = ?Un  mes Д<,
где р обозначает меру Каратеодори в пространстве R, a mes
обозначает обычную Лебегову линейную меру на I (mesA, есть
длина интервала Д,-). В силу примечания к теореме 7 опреде-
лённая таким образом мера распространяется, как мера Кара-
теодори, на все множества пространства Ry I, причём, если
пространство R является суммой не более чем счётного числа
множеств конечной меры р, то пространство Ry I окажется
суммой счётного числа множеств конечной меры. После этих
вступительных замечаний приступаем к формулировке и дока-
зательству теоремы Фубини.
Теорема 8 (Фубини). Если F (р, t) неотрицательная
функция измеримая v, то имеет место равенство'.
F (pr t) tZv = dt\^F (р, t) <Zp = rfp F (р, t) dt.
Rxl	I It	R I
При этом внутренние интегралы могут не иметь смысла для
множества значений t и, соответственно, р меры нуль.
Основная трудность, которую тут нужно преодолеть, состоит
в доказательстве этой теоремы для случая, когда подинтеграль-
ная функция есть характеристическая функция некоторого
измеримого множества, т. е. функция, равная 1 на данном множе-
стве и нулю вне его. В самом деле, от этого случая легко
перейти к случаю функции, принимающей лишь конечное число
значений — она является линейной комбинацией конечного числа
характеристических функций. Далее, всякая измеримая огра-
ниченная функция с любой точностью аппроксимируется функ-
цией, принимающей лишь конечное число значений. Наконец,
для перехода к неограниченной неотрицательной функции
мы пользуемся усечёнными функциями Fn, аналогичными уже
введённым здесь при определении интеграла Лебега х).
*) См. доказательство теоремы Фубини для двойных интегралов—
В ал ле—Пуссен, Курс анализа, т. II, § 106—110, ГТТИ, М.—Л. (1033).
362
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
1. Если <э(р, t) есть характеристическая функция множества
Un X Aj, то по определению меры v имеем:
v (Un X А{) = \ и (р, t) d') = pU - mes Дг- = dv. \ © (p, t) dt =
Rxl	R I
= dt © (p, t) dp.
I R
Точно так же, если <p(p, t) является характеристической
функцией для множества (Un X А{) + ((7т X Aj), то в силу фор-
мулы, определяющей меру,
v п X Аг-	Uт X А;) —
= v (Um X Aj) + v (Um X А/) - v [{Un X Дг-) • (Um X А/)]
и в виду ТОГО, что (Un X Aj)  (Um X Aj) = (Un • Um) X (Aj • Aj), мы
опять получаем:
© (p, t)dv — dp © (p, t) dt = dt \ © (p, t) dv..
Rxi	r	i R
Эта формула легко обобщается на открытые множества, соста-
вленные из суммы конечного числа множеств базы 7? х I.
2. Пусть теперь G— любое открытое множество пространства
ИХ I. Обозначая для простоты базу: {Un X Aj}, пространства
Rxl, через [Vn], мы имеем:
откуда
vG = limv ( V Vnic )•
m->co \	J
\h==i
m
Положим j£V.nk = Gni, и пусть ©,n {p, t)—характеристическая
fe=i
-функция для Gm и ф(р, ^ — характеристическая функция для G.
Мы имеем по доказанному:
®m(p, t)d'/= dp. ©m(p, t}dt= dt ©т(р, i) dp..
RXl	R I	I R
Замечая, что lirn©m(p, 4) = ®(p, t) и что в интеграле Лебега
от ограниченной функции можно переходить к пределу под зна-
§ 2. МЕРА КАРАТЕОДОРИ
363
ком интеграла, получим:
v(?=	© (р, t) dv =
Rxl	R
dp, \ <p(p, t)dt—y dt \ © (p, t) du.,
I	I R
t. e. и в этом случае имеет место формула (9).
Такой же предельный переход докажет справедливость фор-
мулы для любого множества измеримого В, причём оба внутрен-
них интеграла существуют для всех значений параметра.
3. Пусть, наконец, -dcZ/fx!— любое v-измеримое множе-
ство и <?(р, t)— его характеристическая функция. Для простоты
предположим, что	где R1Xl1 одно из счётного
числа множеств конечной меры, составляющих пространство
ЛхТ; переход к общему случаю получится счётным суммирова-
нием.
Пусть, для определённости v (Л1 X Ц)— 1-
По определению v-меры существует последовательность
открытых множеств (здесь, как всюду в дальнейшем — относи-
тельно jRiX/j, рассматриваемого как пространство)
GtZDG2ZD ...ZDGnZD ••• ZD А
таких, что
limvGn = vA.
n->co
Обозначая характеристические функции для А через ©(р, £),
а для Gn через ©n(p, t), по предыдущему имеем:
vGn = ©n (р, t) dv = dt ©n (р, t) dv.	(10)
li Ri
Замечая, что ? и что невозрастающая последовательность
ограниченных функций ©п сходится к предельной функции
©' (р, t), причём ©' (р, t) > ©(р, t), переходя к пределу под зна-
ком интеграла, получаем:
vA = \ dt \ о' (р, t) da.
Ii Ri
(11)
Совершенно аналогично, заключая измеримое множество
X Zj — А в систему открытых множеств
Гх О Г2 ZD ... ZD Гп О ... О R L X 1г — А
я обозначая характеристические функции для Гп через 1 —й>п(р/)
II Ишфп(р, г) =ф"(р, Z), причём уп(р, £)< !р"(р, «)<©' (р, t),
п—>со
354	Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
имеем:
v (7?1 X Ц — А) = dt (1 — ф'' (р, /)) dy.,
I Rx
отсюда
vJL = dt ф" (р, t) dy.	(12)
lx Rx
Сопоставляя равенства (11) и (12), находим:
dt [ф' (р, t) — ф" (р, i)] dy. = 0.	(13)
II Hi
В последнем выражении	(рt t)] dy. есть неотрица-
Ri
тельная функция от t; в силу равенства (13) она почти для всех
значений	равна нулю, т. е. почти для всех значений
?' (Р> t)dy=^ ф" (р, t) dy.
Rx	Ri
и так как мы имеем ©' ф у", то почти для всех значений
?' (Pt t) dy.— ф (р, t) tZp..
Ei	El
Подставляя найденное выражение во внутренний интеграл (11)
и замечая, что значения его на множестве значений t меры
нуль не влияет на величину интеграла, находим:
vA —	<э (р, t) dv — dt ф (р, t) dy..	(14)
Eixli	lx Bl
Переписывая формулу (10) в виде
yGn = dv = dy. фп (р, t) dt
KpXli	Ri li
и повторяя те же рассуждения, мы поручим:
\ ?(Р> 0 dv— \ dy. ф (р, t) dt.	(15)
Eixli	Rx h
Формулы (14) п (15) полностью доказывают теорему Фубинп
для характеристических функций множеств, принадлежащих
пространству — топологическому произведению, конечной меры.
g 3. ТЕОРЕМЫ ВОЗВРАЩЕНИЯ	365
Расширение на характеристические функции любых v-изме-
римых множеств CZ.R X I, а также на любые измеримые неотри-
цательные функции, проводится, как указано выше.
Для нас мера v носит вспомогательный характер, и в прило-
жениях мы будем пользоваться следствием из теоремы Фубини —
возможностью переставлять порядок интегрирования в двух-
кратном интеграле.
Следствие. Если, неотрицательная функция F(p,t)
•^измерима в пространстве Rxl, то имеет место равенство
dt F(p, t) du — dp. F(р, t) dt.
IE	R I
В частности, если один из двух интегралов конечен, то и дру-
гой также конечен.
Примечание: 1. Если F{p,t) v-суммируема в простран-
стве Rxl, то, как обычно, представляем её в виде суммы
неотрицательной и неположительной функции: F — Fr + Рг,
и теорема остаётся в силе.
Примечание 2. Мы провели доказательство теоремы
Фубпни для топологического произведения метрического про-
странства со счётной базой на одномерное евклидово простран-
ство, потому что этот случай будет встречаться в дальнейшем.
Доказательство не изменилось бы, если бы мы имели два метри-
ческих пространства со счётными базами, Rt и У?а, с мерами
Каратеодори и р2, причём каждое является суммой не более
чем счётного числа множеств конечной меры.
§ 3. Теоремы возвращения
Пусть динамическая система /(р, t) задана в метрическом
пространстве R. Определённая в пространстве R мера р назы-
вается инвариантной (относительно системы /(р, £)), если для
любого р-пзмеримого множества А имеет место равенство:
р/(л, 0 = М ( — СО <б t <+ оо).	(1)
Из свойства (1) следует, что образы измеримого множества
измеримы. Эта инвариантная мера является естественным
обобщением интегрального инварианта, рассмотренного в § 1
для систем дифференциальных уравнений.
Системы с инвариантной мерой обладают рядом свойств,
(выделяющих их из общих динамических систем.
В этом параграфе мы рассмотрим теорему Пуанкаре—Каратео-
дори (Garatheodory) о возвращении.
Пусть в пространстве R динамической системы существует
инвариантная мера и. Мера всего пространства конечна, причём
вгая простоты положим': [>.R — 1
366
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Теорема о возвращении естественно распадается на две части.
Т е о р е м а А (возвращение множеств). Пусть Ac_R
измеримое множество, у-А = т^> 0. Тогда найдутся значения
t (| t i > 1) такие, что у. [А - /(А, £)] > 0.
Для доказательства мы рассмотрим положения множества
А для целых значений t(t = 0, J- 1, ± 2, ...) и введём обозначе-
ние:
Ап = /(А,п)	(?г = 0, ±1, ±2, ...).
В силу инвариантности имеем:
у.Ап = у.А = т 0.
Если допустить, что, например, множества Ао, Alf . .., At попарно
пересекаются лишь по множествам меры нуль, то мы получим
Р (А ~r At — ... 4- At) = km,
что приводит к противоречию с предположением у./? = 1, если
к>-.
ГП,
Итак, существуют два множества Ait Aj(i=Pj) таких, что
у.(Аг-А;)>0.	(2)
Пусть г < /; тогда 0<г < ]<к. Применив к множеству Аг  А$
преобразование /(р, —i) из неравенства (2), получим:
что и доказывает утверждение, так как / —г>1; при этом
j — i < Г —1 + 1.
3	т, 1
Если применить к неравенству (2) преобразование/(р, —/)z
то получим:
у(Ао-/(Ай,г-/))>0,	/•--/ . -I.
Теорема доказана.
Замечание- Тем же методом легко доказать, что значе-
ния I, для которых у. (А • / (A, t)') > 0, могут быть сколь угодно
велики по абсолютной величине. Пусть, в самом деле, Т > 0
любое наперёд заданное число; выбираем целое К > Z и рас-
сматриваем последовательность множеств
Ао, А у, А2Т, - - • , Акл, .. о
Предыдущее рассуждение приведёт к соотношению
y(AB-/(Ao,2V(/-i))>0,	А(/-£)>А>Г,
и аналогично для значении t <_ —Т.
§ 3. ТЕОРЕМЫ ВОЗВРАЩЕНИЯ
367
Теорема В (возвращение точек). Если в простран-
стве R со счётной базой для инвариантной меры р имеем
р7? = 1, то почти все точки p£R (в смысле меры р) устойчивы
по Пуассону, т. е. обозначая через множество точек, неустой-
чивых по Пуассону, имеем р<£ = 0.
Берём сначала любое измеримое множество А такое, что
рД = т > 0. Обозначаем, как в предыдущей теореме
Дп = /(Д,и)	(.4 = 0, ±1, ±2, ...).
Далее строим множества
Д« ‘	Д»!» ^0 * -^2 == До2>  • • « Аь • Ап Доп>   1	)
•'^1 ' ^2 - -^12,  • • !	" Д/1 -- Ли1 • ‘ ‘ > -^1	2 ^11 ----- A'ico,
t=2
Докажем, что рДооо = 0- Допустим, что рДосо==^ > 0. Так
как f(A;, 1) = Д,-+5, то/(До;, 1) = Л,г-;-1 и далее, / (Досо, 1)=Д1со-
Повторяя то же рассуждение для множеств А1са, А;?.о, - •  п
принимая во внимание инвариантность меры р, получаем:
1 (Досс, 7?) = Д^со (П = 1, 2, ... ); рД()оо — рД1со= - - • ===рДпсо = . .  =А
Кроме того, мы имеем по построению:
Досо-Д; = 0	(7 = 1,2,...);
откуда, так как ДгДЭДгю, то
Дооэ ’ Дгсо = о (7 = 1,2,...).
Аналогично
Aim' Д;о5 = 0 (у = i +1, i -j- 2, ...).
Итак, множества Д!СС (7 = 0, 1, 2, .. .), попарно не имеют общих
точек; поэтому допущение рД0сс = />0 противоречит конечно-
стп меры пространства R. Утверждение доказано.
Берём теперь определяющую счётную систему окрестностей
пространства R и строим для каждого множество
?7оЙ по схеме (3); по доказанному р£/1Й = 0 (п=1,2, ...).
Определяем множество
= S U^.
п=1
Очевидно, р.(£' = 0. Я утверждаю, что все точки p£R~^
устойчивы Р~.
368
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
В самом деле, пусть p^R— Тогда по определению мно-
жества для любой окрестности U<-K>, заключающей точку р,
найдутся образы этой окрестности, содержащие р, т. е- най-
дётся натуральное число т такое, что
pef(U^, т).
Применяя к обеим частям этого включения операцию /(р, —т),
получим:
/(р, —иг) £ ЕД7’).
Так как U(k^ любая содержащая р окрестность и —— 1,
то отсюда следует, что р устойчива Р'.
Аналогично, повторяя те же рассуждения, начиная со
схемы (3), для множеств Ао, А_и ... , А_п, ... и определяя
множества A$t мы построим сперва множества: EE^Loo
(п = 1, 2, ...), а затем множество:
n — i
такое, что всякая точка /?£/?—-</), устойчива Р*. Таким обра-
зом, всякая точка, принадлежащая к множеству R —	+
устойчива Р, причём р(<^+^’1) = 0. Теорема В доказана.
Примечание 1. Всякая точка р множества как легко
видеть из его построения, является неустойчивой Р~ по отноше-
нию к дискретной последовательности значений: f=—1, —2, ... ,
так как она принадлежит одному из множеств ЕЕом и, следо-
вательно, ни одна из точек /(р, —п) не принадлежит окрест-
ности ЕД”). В силу замечания § 4, главы IV, все эти точки
неустойчивы Р~ при непрерывном изменении t—> — со. Таким
образом, множество + есть множество всех точек p^R-,
неустойчивых Р в обычном смысле.
Примечание 2. Замыкание множества точек, лежащих
на устойчивых траекториях, определяет множество центральных
движений (гл. IV, § 5). Во многих важных для приложений
случаях всякое открытое непустое множество имеет положи-
тельную меру. Таковы, например, рассмотренные в § 1 системы
дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве, п
вообще системы евклидова пространства с интегральным инва-
риантом вида .... М dxx dx2... dxn, где М — положитель-
о
ная измеримая функция. Из доказанного следует, что в системах
с такого рода инвариантной мерой множество точек, неустой-
чивых Р, неплотно в R, следовательно, множество С централь-
ных движений заполняет всё пространство.
§ 3. ТЕОРЕМЫ ВОЗВРАЩЕНИЯ
369
При общем определении инвариантной меры у этот факт не
имеет места, и мы можем только утверждать, что открытое мно-
жество R—С, являющееся дополнением к множеству централь-
ных движений, имеет p-меру равную нулю.
А. Я. Хинчпн уточнил теорему А Пуанкаре. Как мы ви-
дели, теорема А утверждает только, что для любого множества
Е (рЕ > 0), существуют сколь угодно большие по абсолютной
величине значения t такие, что р\Е • / (Е, l)) > 0. Но теорема А
не даёт оценки верхнего предела значения меры пересечения,
а также не даёт сведений о том, как часты значения t, для
которых эта мера превосходит некоторую положительную вели-
чину. Эти факты устанавливаются теоремой А. Я. Хинчина.
Мы приведём доказательство этой теоремы, принадлежащее
Виссеру (Visser).
Лемма (Виссер). Если с пространстве R, в котором опре-
делена мера р множеств EcpR, причём р// =1, дана система
измеримых множеств Eit Ez, . . . , Еь . .. :
EtdR, }>Et^m>Q (1=1,2,...),
то найдутся по меньшей мере, два множества Е{, Ej (i == j)
таких, что у.(Е;  Ед) > лда2, где 'к любое число, меньшее 1.
Поясним значение величины /п2 в утверждении теоремы.
Пусть /п=— , где к целое; pEt = m (г = 1, 2,	, к), и пусть
Е,, Ev ... , Ек попарно пересекаются по множествам меры нуль;
тогда pC^+^-f- ... +^А.)==1, п, если р^А+1 = т, то Ек^
пересечётся по крайней мере с одним Е{ (i= 1, 2, ... , к) по
1	2
множеству меры ^-р-т = тЛ.
Число X в условии теоремы не может быть взято > 1, как
показывает следующий пример: на отрезке [0, 1] пусть
= [о.1]+ГА4]+...+Иг-2,^1
1 1
Здесь mes Е, = — ‘ mes(2?£- • Ej) = -p (i ф Г)-
Доказательство леммы. Дано pH,- У- т; пусть
v-(ЕL  Ед)<Л для любой пары множеств, если i === j • Оценим
снизу величину I. Возьмём конечное число множеств си-
стемы Ev Е2, . .. , Ек, (к > 1). В силу условия теоремы, при
к = 2, 3, ... , имеем:
k	h	k
1 = p# > р V R. > 2 ?Е; “ 2	кт “ L
i=L i=i	i, j — i
Немыцкий и Степанов
370
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Отсюда
1	2(Am —1)
Эта оценка груба для больших к, так как знаменатель
растёт быстрее числителя. Найдём наивыгоднешпее значение к
(т. е. дающее наибольшее значение правой части):
Атп —1 _____ (А — й)т — 1 _	кт —I __ (A + il)»i — 1
к(к — 1)	(k—t) (к—&У ’ Т(А—ij > к (к + 1) ‘
Из этих двух неравенств получаем:
тк <: 2, тк >2 — т,
2	2
пли -у— 1<^к<^—. Итак, наивыгоднейшее значение есть
& = Гту!	гДе 0<6 < 1. Тогда кт— 2 — Ьт.
L. .J
Оценим снизу I, пользуясь найденным значением к. Под-
ставляя это значение в неравенство для I, находим:
}	Ztn2(l—0m)___
(2 — 0m) (2— т — От)
Мы имеем —-—-тг-пв— > 1- Усиливая неравенство,
находим
I < 4
Итак, если Z > i- тг, то найдутся множества Е{, Ej (i'+= i) та-
кие, что р (Е; • Ej) > I.
Чтобы заменить множитель множителем л, где 1 подчи-
нено единственному условию Х<1, прибегаем к такому приёму.
Строим множество RN как топологическое произведение N экзем-
пляров множеств R, т. е. каждая точка р(УНА есть совокуп-
ность (plf р2,   . , рУ), где Pi£R (i= 1, 2, ... , TV); множеству
Ех = {(/>!, />2, ,рУ)},pt^EdR приписываем меру \>кЕ = (уЕ'У.
Заменяем множества Et через Е^ и применяем к ним доказан-
ную часть леммы. Найдутся множества Е^' и ЕУ (j /) такие
что (ЕУ  еУ) >	Но по определению р- имеем:
^{ЕУ .£7) = [р(я-.^-)]-с
Следовательно,
w /~~г
Р (Ez • Ej)> j/ • т\
§ 3. ТЕОРЕМЫ ВОЗВРАЩЕНИЯ	371
При данном к < 1 всегда можно найти такое натуральное N, что
Итак,
u. (Et  Ej) > 'Em?,
что п требовалось доказать.
Теорема X и н ч и н а. В условиях теоремы возвращения А
для всякого измеримого множества Е, v.E=m>0, и любого
г (— ©о < £ < 4' 00 )> неравенство
v.(t) = ^(E-f(E,t))>\m^
выполняется для относительно плотного множества значении
t на оси — со < f < + со (при любом а < 1).
Допустим, что утверждение неверно; тогда существуют из-
меримое множество Е, р.А = тп>-0, число ) „ < 1 и сколь
угодно большие интервалы оси t, где выполняются неравенства
u(t)=~u(E	(4)
Пусть Дг интервал длины так что при имеет место
неравенство (4); пусть его середина есть Zv Существует Д2 дли-
ны L2 > 21 Zx | (Д1-Д2 = 0), где опять выполняется (4), пусть его
середина Z2; так как £ = 0 не входит в Д2, то |Z2| > | Zx|; обозна-
чим, вообще, черев Дп (ДгДпж=0, если Z<2«) интервал длины
Ln > 2 (Zn-ji, в котором имеет место неравенство (4), и его се-
редину через Zn, причём |Zn|>|Zn_,|. Так как число Ij — li вхо-
дит в интервал Д/(/>г), то по предположению
р(Е • t(E,lj-li)}<Km\
Отсюда, в силу инвариантности меры:
р. (/ (Е, li)  f (Е, If)) < k0m2 (Z < ?),
т. e. множества E, /(E,^),..., f(E,ln),... удовлетворяют
неравенству вида (4), что противоречит лемме. Теорема
доказана.
Примечание. Пользуясь теорией спектральных разложе-
ний, А. Я. Хинчин доказал больше. Именно, ив доказанного
+со
им представления p(t) — m § eiixd<p (х), где (ж) есть функция
— со
распределения, т. е. неубывающая функция рт х, для которой
<р( — сс) = 0, <р( + со) = 1, следует, что »(£) есть сумма почти
периодической функции и функции, среднее квадратическое
которой на интервале (—со, -j- оо) равно нулю.
24*
372
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ инвариантом
§ 4. Теоремы Гопфа
Теоремы Гопфа (Е. Hopf) являются обобщением второй
части теоремы Пуанкаре о возвращении — на случай, если мера
всего пространства R равна бесконечности. Очевидно, в этом
случае нельзя утверждать, что при наличии инвариантной меры
почти все движения устойчивы по Пуассону. Достаточно рас-
смотреть в n-мерном неограниченном евклидовом пространстве
систему дифференциальных уравнений, допускающую инвариант-
ный объём:
ЗГ ’	rfF — v'
Все её решения хг = ж‘°’ +1, х2 = гг2°’, . .., хп = ж‘р’ уходят в беско-
нечность при t —-> -р оо и при t—> — со, и траектории не имеют
ни одной предельной точки на конечном расстоянии, т. е.
неустойчивы по Пуассону.
Для формулировки теоремы Гопфа необходимо ввести поня-
тие уходящей точки. Мы будем рассматривать локально-
компактное пространство R со счётной базой,
в котором определены движения. Мы скажем, что точка р — ухо-
дящая при t—>+<», если траектория /(р, t) не имеет w-пре-
дельных точек; аналогично р есть точка, уходящая при
t —-> — со, если/(р, i) не имеет a-предельных точек. Очевидно,
что свойство точки быть уходящей при t —» 4- со или при
t —> — со есть свойство, осуществляющееся одновременно для
всех точек траектории.
Теорема I Гопфа. Пусть дано локально-компактное
метрическое пространство движений со счётной базой- в нём
определена инвариантная мера р, имеющая следующие свойства'.
р/?= 4- со, а для любого компактного множества FCZ.R мера
pF конечна. Тогда почти все точки p£R при t—>-{-eo или
устойчивы по Пуассону или являются уходящими.
Покажем сначала, что при доказательстве можно ограни-
читься рассмотрением только целочисленных значений t. Оче-
видно, что если /(р, t) не имеет <о- пли a-предельных точек,
то последовательность {/(р, и)} (п = 1, 2, ...,) тоже не имеет
соответствующих предельных точек. Докажем обратное пред-
ложение.
Лемма. Если последовательность {/(• , п)} не имеет пре-
дельных точек при я—»со, то f(p, t) не имеет ^-предельных
точек.
Допустим противное, пусть существует последовательность
значений < t2 < ... < tn < . .. lim tn = Д- co такая, что
n->co
lim/(p, tn) = q-
«->co
§ 4. ТЕОРЕМЫ ГОПФЛ
О/О
Обозначая через кп наибольшее число, не превышающее tn,
имеем: tn = 7rn+ сп, 0 < cn < 1. Так как множество чисел {cri}
ограниченное, оно имеет предельную точку с, причём
и существует подпоследовательность, сходящаяся к а. Чтобы
не усложнять обозначений, допустим, что выбор этой подпосле-
довательности уже произведён и что lim ап = с.
п->со
Итак, мы имеем:
п->со
Отсюда, в силу непрерывной зависимости от начальных условий,
для траекторий, близких к /(р, t), находим:
lim/(p, Ап + ап —с)==/(д, —с);
п~>оо
т. е. для любого е>0 и и>Д\(г) имеем:
р[/ (А^п + сп — °),	°)] <4 
Так как точки /(р, кп -J- ап — с) попадают, начиная с некото-
рого п, в компактную окрестность точки f(q, — с), причем
в этой окрестности непрерывность является равномерной, и так
как сп — с—>0, то при n>TV2(s) имеем:
р г/(р, кп+°п—=), нр, &п)1 < 4 •
Из двух неравенств при п > max [A\, JV3] следует:
Р[/(РДП), t(P, -Ю] <е,
т. е. последовательность {/(р, 7fn)} с целочисленным аргумен-
том кп имеет предельную точку /(§, — с) против предположе-
ния. Лемма доказана.
Очевидно, аналогичное утверждение справедливо также и
для a-предельных точек.
Таким образом, чтобы определить множество всех точек р,
уходящих при f—> -J- со, достаточно рассмотреть множество
уходящих точек по последовательности fsl,2,	Мы
видели в § 4 главы IV, что совершенно таким же образом мно-
жество точек, устойчивых по Пуассону при t—> -f-.oo тожде-
ственно с множеством точек, устойчивых по Пуассону по
последовательности t = l, 2, .. ., п,_ Итак, в дальнейшем мы
можем ограничиться рассмотрением последовательностей:
{/(Л «)} (Абй; п = 1, 2, ...).	(1)
374
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Доказательство теоремы. Пусть определяющая счёт-
ная система окрестностей для R есть Ux, Uit .. ., Un, ...
Множество точек p^R, неустойчивых 1У, как мы знаем (§ 3),
есть
где
п= 4
U*~Un-Un- %f(Un, — т).
т=1
Определим теперь, среди множества точек неустойчивых Р*,
множество точек, не уходящих при и—>4-со. Мы видели, что
множество U* обладает свойством:
-й) = 0 (& = 1,2,...),
или, применяя операцию /(р, 7г),
U*- f(U*,k) = O (к = 1,2,...).
Введём временно понятие точки, уходящей (не уходящей';
при t—> -}-оо из компактного множества FC.R; так мы будем
называть точку, для которой последовательность (1) не имеет
(имеет) предельных точек в F.
Пусть А такое множество, что А • f (А, к) = 0 (к = 1, 2, ...).
Построим множество точек р С А, не уходящих из F при
«->4- со. Обозначим
F-t(A, k) = Dk и D*~f(Dk,-k) = f(F, -k).AdA.
Каждая точка p£Z>* есть точка, принадлежащая при t = 0
множеству А, которая при t=k принадлежит множеству F-
множество тех из точек р£А, которые не уходят из F, есть
множество точек, у которых для бесконечного множества
значений 7г>0
f{p, k)£F,
т. е. это множество
И7* (Л; F) = lim sup D* = JJ J? D*.
Задавая последовательность компактных множеств
FiCZFgCZ.. .CZFraCZ..где lirnFm = 7?,
?n-*oo
§ 4. ТЕОРЕМЫ ГОПФА
375
мы получим множество не уходящих точек, содержащихся в
как сумму:
И/+(л)= ^'{А^.
т-=1
Чтобы определить множество не уходящих при t—>-U сс и
неустойчивых Р* точек во всём пространстве R, достаточно для
определяющей системы окрестностей {£7П} построить
СО
п= 1
Переходим к подсчёту меры этого множества. По условию
мера любого компактного множества F конечна: uF < 4- оо.
Далее, все множества Р,. не имеют общих точек и включены
в F. Следовательно, V v.Dk -С т < + оо, т. е. ряд
л= 1
сходится. В силу инвариантности меры имеем:
рР;. = рР
т. е. ряд 2^ * тоже сходится,
ы
Но мы имеем:
СО СО	со
(л, F)=
1=1 k= I	k=l
при любом Z, и в силу сходимости ряда можно взять I столь
большим, что
СО	СО
где s > 0 произвольное число, так что
(A, F) < г,
т. е.
рЖ (4, F) = 0.
376
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Итак, если А  f (А, к) = 0 (к = 1, 2, .. .), то мера множества
точек, содержащихся в А, не уходящих при 4~ со из любого,
компактного множества F, равна нулю..
Далее
Р.ТУ+ (Л) = ;л V И"+ (Л, Fm) < РЛГ+ (Л, Fm) = 0.
т=1	и=1
Поэтому, полагая последовательно: Л = ?7*, U*, .. . п суммируя,,
для меры множества точек не уходящих при i -> + со и неустой-
чивых Ру находим:
уГГ = о,.
Теорема доказана.
Теорема II Гопфа. При условиях теоремы I почти есе
движения, уходящие при t 4- то (t —> — со), уходят также и
при t — со (t —> + то); почти все движения, устойчивые Р~
(Р~), являются также устойчивыми Р~~ (Р‘‘).
Мы видели, что все движения, определённые точками
сэ
П=1
кроме, быть может, множества меры 0, являются уходящими
при t 4- со, причём для доказательства был использовал лишь
тот факт, что	k) = 0 при &=1, 2,... Но из последнего,
соотношения, как было показано выше, вытекает:
Ut-f(UZ,-k) = Q (А'= 1, 2,...).
Отсюда, совершенно аналогичным рассуждением получпм, что-
почти все точки множества Р/+ являются уходящими при t — то.
Следовательно и подавно, почти все точки множества уходя-
щих при t —>-j-со точек: V*—W*C1V*, являются уходящими
также и при t —> — со.
Применяя те же рассуждения к V~, мы найдём, что почти
все движения, уходящие при t —> — со, уходят и при 1—> 4" то..
Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства 2-й части заметим, что мы имеем два
разложения пространства:
R = S* + (У * - Ж) + W* = S* + F*, |
r = R- + (У- - W) 4- W- = 5- + Г J
(2!
на множества точек: устойчивых по Пуассону (5), уходящих
§ 5. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА БИРКГОФА	377
(V—W) и, наконец, одновременно не устойчивых и не уходящих
(IF),— соответственно, при t—» + со и t—>—со.
При этом р FF+ = и.W~ — 0, ио доказанному.
Множество S* • V~ имеет меру 0, так как почти все движе-
ния, выходящие из FA являются уходящими при t —> + СО II.
следовательно, неустойчивы Р+.
Аналогично р (S~ • V*) = 0.
Перемножая оба равенства (2) почленно, мы получаем раз-
ложение R:
R = S^S' + (V+-W+)-(V- — W~)4-E, где р.Е = О,
т. е. с точностью до множества меры нуль все точки R или.
устойчивы Р или уходят как при t —» со, так и при t —> — ос.
Теорема II Гопфа, этим самым, доказана полностью.
§ 5. Эргодическая теорема Биркгофа (Birth off)
I-я часть эргодической теоремы. В вопросах стати-
стической механики большую роль играет вероятность нахожде-
ния точки в некоторой заданной области фазового пространства.
Эта вероятность определяется как предел при Т —> + со от-
ношения времени, проведённого движущейся точкой f(p, t) в
рассматриваемом множестве, к продолжительности всего рас-
сматриваемого промежутка времени, т. е. к Т.
Чтобы выразить эту величину аналитически, рассмотрим
фазовое пространство R с инвариантной мерой р, рй = 1,
и в нём измеримое множество Е. Введём характеристическую
функцию <рЕ (р) множества Е, т. е. функцию, определённую
условиями:
fl, р£Е,
®е(р)-|0, p£R-E.
Тогда множество моментов времени из интервала (О, Т), при
которых точки /(р, t)EE, очевидно, выразится интегралом
¥е(/(Р» 0) dt; предельное значение, о котором идёт речь, есть
о
т
lim А ©Е (/ (p,.i)) dt.
В теореме Биркгофа прежде всего утверждается существо-
вание этого предела для почти всех начальных положений точ-
ки р. .Вместе с А. Я. Хинчиным мы, не усложняя доказатель-
ства, вместо характеристической функции можем в качестве ф (р)
378
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
рассматривать любую р-измеримую абсолютно суммируемую
функцию (по отношению к мере р), т. е. такую, для которой
существует интеграл
|?(Р)| dV-
R
Таким образом, I-я часть эргодической теоремы Биркгофа-Хйн-
чина формулируется так:
Если в фазовом пространстве R определена инвариантная
мера рЛ:р4 = р/(Л, t), причем р/? = 1, то для любой абсо-
лютно суммируемой функции ср (р) существует временное среднее
т
?(/(?,
o’
за исключением, быть может, точек pfz(§, где р^ = 0.
t
Исследуем сначала вопросе существовании \ о(/(р, t)) dt =
"о
= Ф(р, t). Если функция ср{р) ограниченная и измеримая по
Еорелю, то f)) для любого р тоже ограниченная и изме-
римая В, т. е. суммируемая функция от t.
Мы предположим только, что <р(р) измерима и суммируема,
В нашем случае инвариантной меры р легко обнаружить, что
?(/(?,£)) измерима в пространстве R~X.I относительно меры
V (см. § 2).
В самом деле,
Д = {(РД); ®(/(р, «))>«}
получается, как сумма множеств /(Л, — t}, — со < £< 4-ет, где
А={р-, ?(?)>«};
ибо, если обозначить /(р, £) —<7/то из неравенства (/(/?,£))> а
следует:	р£/(Л,— t). Так как по условию А измеримо
Р, то существуют Борелевские множества Вг и В2, B^ZJ AZJ В2,
v.B. — s < р А < и В.2 4-з. Если мы теперь рассмотрим, например,
множества
^ = {(рЗ);р€/(^ -«),
В* = {(P, t);p£f (В13-t), t,<t<t2}.
Bl = {(p, fyptf (B2,-r), tt<t < t2},
то, очевидно, В* ZD В*. Далее В* и В* как множества,
измеримые В, измеримы v, и по теореме Фубини мы, в силу
§ 5. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА БИРКГОФА
37S
инвариантности меры р., имеем:
i 2
vB*= dt u. {dp) — (t3 — Zx)u. Bi,
ti PSfiBu- t>
и аналогично vB* = (fs —
Таким образом, множество А* измеримо В, так как оно
может быть заключено. между двумя множествами, меры кото-
рых сколь угодно мало различаются.. А в таком случае и А
измеримо, как сумма счётного числа множеств вида А*.
Замечаем далее, что в силу инвариантности меры и, мы
имеем:
5 1?(/(л 0)k(^p)= $1®(р)Х<*р)= $l?(p)ldb (*)
R	HR
так как, например.
Et(t)—{p; li_i < |?(/(р, 0)| <	=
=	ii~i<\ч(я)\<к}=1(Ei(0),—t),
и так как pEi = pj(Ei, t), то из определения интеграла Лебега
следует равенство (1). Это рассуждение мы кратко запишем так:
t))\?.(dp)= |?(?)|р(й/(г,—0)=
R	R	R
Рассмотрим теперь интеграл
т
$	^dt<\ 1?(/(а0)|р(^р) =
НХ<Ь,Т>	о н
т
= 5 dt 5 !?.(/’)1н(<гР)=2’ 5 I ? Ср) I
OR	R
Из условия суммируемости <э следует, что он имеет конечную
величину.
Применяя теорему Фубини, получаем:
т
Т • I ® (р) dv. =z dy. | ф (/ {р, t)) [ dt,
R	RO
причём, в силу той же теоремы, внутренний интеграл сущест-
вует (и конечен) почти для всех р£Н. Замечая, что если
т
\ | <? (/ (р, t) | dt существует для данного Т, то он существует и
380
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
для всякого Т' < 71, и мы, давая Т последовательность значений
t
Ti <	<  • - < Тп < Тп-^ + со, получаем: | ср (/ (р, t)'d?
b
существует для всех положительных значений t для любой точ-
ки р£И, кроме, быть может, множества точек р-меры нуль,
а, следовательно, для тех же точек существует и интеграл
t
о
После этих замечаний приступаем к доказательству эргоди-
ческой теоремы. Доказательство будет проводиться при помощи
последовательных редукций к более простым утверждениям.
Первая редукция. Достаточно доказать, что предел,
о котором идёт речь в теореме, существует почти для всех р,
когда t пробегает целочисленные значения.
В самом деле, оценим разность (здесь [£] есть наибольшее
целое число < £)
| тU (Р,	~ [7] \ Т (/(Р, 0) |	?(/(а0)^ —
и	о	6
[р	.	[р
-т5
о	'о
•
' гИ ¥ dt | + тI [7] \ ® (р> dt~\•
Й	О
п
1 С
Если lim — \ ©(/(р, £)) dt существует и конечен, то второ!!
п->со п J
интеграл в последнем неравенстве стремится к 0 при t—>-4-сс:
оценим первый член:
I 1 Г	П+1]
|Т р(/(А 0)^| < ~ \ \^(f(p}t)\dt^=
1*1	W
(-Ид1	>
= -t- { ) I ?(/ (pj)) | <& -А I ф(/ [р, t)) i dt [ =
1 b	о	’
= “7^' • ПРИ 5 I?	f)) 1 dt ~ ? • Г7Т \ 19 (/(P’г)) I dt-
‘a	о
J 5. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА БИРКГОФА
384
Если доказано, что среднее значение по целочисленным значе-
ниям аргумента существует почти для всех значений р для лю-
бой интегрируемой функции, в частности значит и для j ф (р) |,
то последнее выражение стремится к 0 всюду, где этот предел
существует, так как при £—►-}-со предел уменьшаемого равен
пределу вычитаемого.
Итак, достаточно исследовать вопрос о существовании
\	(2)
где п—- натуральное число.
Вторая редукция. Рассмотрим совокупность {(ап, рл)}
всех интервалов числовой прямой с рациональными концами.
Обозначая
п
lim sup \ ф (/ (р, t)) dt== <Ь* (р),
П—>03
п
lim inf \ ф (f(p, tj) dt — б* (р),
П->со
рассмотрим множества Vn — {р; ф* (р) > pn, ф* (р) < «п}- Если
имеют место равенства р Vn = 0 (п== 1, 2,...), то для V' =
также pV' = O. Если pg/? — V", то между ф*(р) и ф*(р) нельзя
вставить интервала с рациональными концами, т. е. вообще
никакого интервала, следовательно, ф* (р)== Ф*(р)-
Итак, чтобы доказать теорему, достаточно показать противоре-
чивость допущения, что существует такое множество Vn, рУ,; > О,
что для p£Vn имеем: ф* (р) < < ₽n < Ф* (р)-
Поэтому, доказывая теорему от противного, мы должны до-
пустить существование двух чисел а < р и множества S, р S > О,
таких, что для pg8 имеем:
ф* (р) > р,
Ф* (Р) <
п показать, что это допущение
Заметим, что множество S
В самом деле, обозначая
приводит к противоречию»
есть инвариантное множество.
t
\ 9 (/(р, t'fidt^F (р, t),
б
382
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
для любой точки / (р, г) мы имеем:
F(J(p, г), к)_ F(p,r + k)-F(p,F __F(p,r + k) f гД F(p,r)
А-	к	— r~k V 1 kJ к 9
и так как по условию
limsup F-,>'>'''~'!-) > 3 a lim Г1+ 4-1 = 1, lim =
к-ж	г + к	*-ксА	к->со к
то
т F (f (р, г). А) „
um sup —'	-—- > 3.
Аналогично получим, что
v - Г F(J(j>, г), к)
lim inf	—- < а.
я.~>оо
Итак, после второй редукции, с учётом последнего за-
мечания, мы получаем: если теорема неверна, то сущест-
вуют два числа а < J3 инвариантное множество 5, где pS > О,
такие, что для всякого p£S
lim sup F-^p’^- > R, lim inf < a.
Ti->oo	n	ПН-CO	n
Покажем, что это допущение приводит к противоречию.
Если р g S, то существуют такие значения п, что
наименьшее из этих значений п обозначим через I. Множество
тех точек p£S, для которых I не превышает данного числа йу
назовём Sp. Очевидно, ZD Sk и
lim Sk=S.
Й->со
Поэтому, если р5 2> 0, то найдётся такое It, что > 0. Это
число /с мы зафиксируем.
Дальнейшее рассуждение проведём согласно Колмогорову.
Назовём сегмент числовой прямой [а, Ь], где а, Ъ — це-
лые, и Ь > а, особым сегментом для данной точки /?,
если
_£!£^)=£^>8, но F^b2"F-^^ ^яа<Ь'<Ы.
h —™п.	i	ь -—а	*
Для данной точки р особые сегменты не могут частично
перекрываться. В самом деле, допустим, что сегменты [a, i>],
§ S. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА БИРКГОФА
383
[а', Ь'] — особые, причём а’ <	Ь'. Рассмотрим отношение
F(p, b)—F(p, д')
F(p, b) — F(p, g)___b — a'____I 1 '	a’ —a______	7
b—a	b—g
Из двух отношений в числителе последнего выражения по
крайней мере одно > р, так как иначе левая часть была бы <_ р.
что противоречит предположению, что [«, 6]— особый сегмент.
Но если бы было -F ^р’	> ₽> то сегмент [а, б] не был
бы особым, а если	> в то сегмент [а', 6'1 не
есть особый. Утверждение доказано.
Для зафиксированного нами числа к назовём /«-особым—
особый сегмент длины, не превышающей к, если он не заклю-
чён ни в каком особом сегменте длины </«. Каждый особый
сегмент длины к заключён в одном и только одном /«-осо-
бом сегменте; это будет наибольший сегмент длины, не превы-
шающей к, заключающий в себе данный: он определён един-
ственным образом, так как особые сегменты частично не пере-
секаются.
Можно в этих терминах определить множество 8к, как
множество точек р £ 5, которым соответствуют особые сегменты
длины, не превышающей к, с левыми концами в начале. Эту
систему особых сегментов можно заменить другою, определяю-
щею то же множество Sk. А именно, каждый особый сегмент
вида [0,7г], где h^k, лежит внутри единственного /«-особого
сегмента [а, 6], где а<0<^6.
Покажем, что, обратно, внутри каждого /«-особого сегмента
[а, 6] такого, что а<С()< Ъ, лежит к -особый сегмент вида [0,/г],
где, очевидно, /г</«. В самом деле, если а = 0, то [а, 6] и есть
искомый сегмент; если а < 0, то имеем:
В< F (р’ ъ}~р (Р> я)
1	Ъ — а
F(p,b) — F(p, 0)	, F(M)-F(m)
b—0_____-н 0—а_______I 1
Ъ — д
F (р, Ъ) F (р, 0) - F (р. g) _
_--------(. а)
b а
Так как сегмент [а, 6] —особый, и так как 0 < Ь, мы имеем
F(p, 0) — F (р, а)	„	F(p.b) г, т-,
—м—Q—a —— <₽• Следовательно, —Если теперь
для всех Ь' (0 < Ъ' < Ь), выполняется неравенство
то искомый сегмент есть [0, 6]; если же для некоторых Ь' > 0
384
Гл. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
имеет место обратное неравенство, то наименьшее из них, Ь",
даёт особый сегмент [О, Ь"] искомого вида.
Изменяя обозначения: —а —г, b—а — 1, причём 0<r< ZC&,
определим 5г1 как множество точек р£8к, которым соответ-
ствует 7с-особый сегмент [ — т, I — г], т. е. -----——р - —- > 9,
а для 0<Z'<Z выполняется обратное неравенство. Так как
каждая точка р £ 8к принадлежит одному и только одному
сегменту [ — г, I — г], то имеем разложение Sk на множества
без общих точек:
k i-i
^=22^
1=1г=0
Выясним теперь, что представляет собою множество
Это —совокупность точек р таких, что / (р, — m) ^Sri, т.е. выпол-.
яяется условие
F(f(p —т), l—г))—F(f(p, —т), —r) r
----------------------------------;> с
а для I', где 0 < V < I, выполняется обратное неравенство,
Подсчитаем вообще
F tf (А т)> пУ = 5 ? I/ (/ (Р> т)> ty]dt=^<p[f(p,m + 0] dt =
о	о
—	’?(/(р» г)) dt — F{p,m-i-n} — F(р, т).
т
Итак. f(Srt, т) есть множество точек, для которых
F(p, Z—г—гп} — F(p, —r—тп}
тогда как для значений Г < I имеет место обратное неравенство.
Таким образом, мы имеем:
/ ^rl> т) ~ $г*т,19
причём <Sr4.m,jCZпри условии, что 0<r-J-m<Z.
Очевидно, сегмент [ — г—т, —г—m-f-Z] тоже особый для
Р £
Переходим к основному пункту доказательства. Идея его
состоит в том, чтобы от интегралов по времени перейти к инте-
гралу по множеству SkC.R и ввести в неравенство меру этого
множества. Именно, от средней временной за единичный про-
§ 5. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА БИРКГОФА	385
1
межуток времени F (р, 1) = j а> (/ (р, £)) dt мы возьмём интеграл по
о
множеству 5/;:
k г-i
F(p, 1) dp = 25$ F(p, 1)ф.
Sfc	1= 1 r=0 Sri
Замечая, что Srt — f(Sol, г), мы имеем:
^F(p,l)du= F(p, 1)ф= F(f(p't г), l)dp =
Sri	pef(.Soi,r)	p’ESol
= \ [F(p, r+l)-F(^,r)]dp.
Sol
Итак,
k i-i
5 lF^r+^-F(P’r^d^-
Sk	1=1 r=0 Sol
k
=2 § F^p’ ®dv"
1=1 Sol
Так как сегменты [0, ZJ особые для точек p(zSei, то для них
F(p, 0 о
———- > р, и мы получаем:
k
F (р, 1) ф > р J? Z • р5ог.
S/г	1=1
Ио так как 5гг = /(5ог, г) (г — 1, 2,..., I— 1), то р5о! = р5гг, и мы
можем написать:
k i-i
F(p, 1)ф> р • 22 U.5rl = В • u5;;.
Sh	1=1 r=0
Так как
S = lim Skt
k~>CO
TO
F (p, 1) dp > p • p5.
s
Рассуждая аналогично, но исходя из неравенства
Lim inf F < а для р 6 S,
Немыцкий и Степанов
25
386
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
мы получаем:
F (р, 1) dp < а • р5, причё м а < В.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Переходя ко второй части эргодической теоремы Биркгофа,
предварительно введём понятие неразложимой (или тран-
зитивной) динамической системы.
Определение. Система/(р, i), p£R. называется неразло-
жимой по отношению к мере р, если R нельзя представить как
сумму двух измеримых инвариантных множеств положительной
меры без общих точек, иначе: если А инвариантно, измеримо
и рЛ >0, то р (R — Л) = 0.
Пример неразложимого множества. Такой при-
мер дают равномерные движения на торе Z (0 < <□ < 1, 0<& < 1)
с иррациональным отношением компонент скорости (см. пример 1,
§ 4 главы IV) и с инвариантной мерой JJd&do = p.4, причём
р£=1.
В самом деле, пусть имеется инвариантное множество
рЛ > 0; тогда пересечение множества Л с меридианом <р = 0
даёт инвариантное множество Е. и его линейная мера mes£ > 0,
в чём легко убедиться, замечая, что рЛ=У</<р{сК}. Следова-
о Е
тельно, множество Е имеет точку плотности &0, т. е. для любого
. л и ..	ч . л	mes {(00 —	ч. л
е > 0 найдется такое S > 0, что -----------------— >1 — е.
Так как множество точек {&„} = {&0 + па} всюду плотно на о = 0,
то существует натуральное число N такое, что для каждой
точки & найдётся	< 2V), удовлетворяющее неравенству
|& — | < 8, т. е. интервалы (&,—6,	(Z = 0, 1, 2,..., N) по-
кроют всю окружность <э = 0. 3 амечая, что mes Е есть инвариантная
мера, находим:  ---------------—-—> i — е. Отсюда следует,
что mes Е > 1 — г, или, в силу произвола числа е, mes Е = 1!
Следовательно, рЛ = 1. Итак, допустив рЛ^>0, мы получили
рЛ = 1, т. е. система неразложима.
П-я часть эргодической теоремы. Если в про-
странстве R с инвариантной мерой р. pZ? — 1, система f(p, t)
является неразложимой (транзитивной) s то временное среднее
lim ~ о (f (р, «)) dt = ф (р)	(3)
Т-+СО -0
имеет одно и то же значение почти для всех точек p£R.
§ 6. ДОБАВЛЕНИЯ К ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЕ
387
Заметим, что функция ф (р) определена почти всюду в R
и измерима (как предел измеримых функций). Далее, эта
функция инвариантная, т. е. принимающая постоянное значе-
ние вдоль каждой траектории (на которой она определена):
Ф(/(Р, О) = ф(р)-
В самом деле, если для точки р предел (3) существует, то мы
имеем для любого фиксированного /0:
to+T	Т
— ф(р) = Нт^- ®(/(р, z))d£ —lim^-V t}} dt =
tJe	о
to+T	T
= ф(р)-ф(р) = О.
Докажем, что при условии транзитивности функция ф (р)
почти всюду равна постоянной. Допустив обратное, обозначим
через М верхнюю грань функции ф (р) на R, вычисленную,
пренебрегая множеством меры нуль ’) и аналогично через тп
нижнюю грань функции ф(р), пренебрегая множеством меры
нуль. Из допущения следует: М > т.
Пусть а удовлетворяет неравенствам m <С Мы получаем:
н {р; ф (р) < = р Еа > О
p(-R — Ю = р{р;ф (р) > к} > 0.
В силу инвариантности функции ф(р), множества Еа и его
дополнение инвариантны, и мы имеем разложение R на два
инвариантных множества положительной меры, что противо-
речит условию неразложимости. Теорема доказана.
§ 6. Добавления в эргодической теореме
Свойства инвариантной функции ф(р). Для того
чтобы вычислить среднее значение, которое является почти
всюду постоянным в случае неразложимой динамической системы,
а также для вывода дру, их следствий из эргодической теоремы,
надо изучить некоторые свойства функции ф (р), определяемой
по данной суммируемой функции о (р) для всех pg Rf кроме,
*) Это значит, что р { р; ф (р) > М } = 0. тогда как для любого в > 0 име-
ем: р { р; ф (р) > М—г } > 0.
£5*
388
ГЛ. V. СИСТЕМЫ с интегральным инвариантом
быть может, множества р-меры нуль:
т
«Ь (р) = lim ~ V с (/ (р, <)) dt.
(3)
Мы уже видели, что эта функция является инвариантной.
Лемма. Семейство функций
т
л Р
?р(р)= у )?(/(?, 0)^
0
равномерно относительно параметра Т, суммируемо в R, т. е.
для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что если рД < 8, то
|?2.(p)'dp<e.
В самом деле, применяя теорему Фубини, имеем:
т
!<?Ир) i dp= \ I <?
А	А о
T	T
< § dp \ ^г|®(/(р, *));' dt = -^ dt fo(Z(p, O)idp =
АО	0	А
Т
= ^r\dt	I ? (р) i	(4)
о Ре/(а,-о
Но, в силу суммируемости ф (р) в R, для данного г и для э (р)
существует такое о > Q, что
| ? (р)! dy. < е
всякий раз, когда рД < 8. Выбирая это 8 и замечая, что если
рЛ<8, то, в силу инвариантности меры р также р/(Д,/)<8,
полагая рЛ < 8, находим:
т
§ I ?т(Р) | dp < у- е = s,
А	о
для любого Т, что и требовалось доказать.
Следствие. Так как для неотрицательной функции инте-
грал от предела меньше или равен пределу интеграла (теорема
§ е. ДОБАВЛЕНИЯ К ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЕ
389
Фату), из неравенства (4) получаем:
|ф(р)Ир< \ | о(р) | dp.
Из доказанной леммы мы можем получить важный результат.
Теорема. Значение.	(и значение функции ф(р)
R
в случае неразложимой системы) равно $ <р (р) dp.
R
Мы имеем
ф(р) = lim <рг(р),
Т->со
3 адаём s > 0 произвольно и для числа и функции <р (р) под-
бираем число о > О согласно лемме. На основании теоремы
Лебега для чисел и 8 существует такое То	, что при
Т > 7’0 имеем:
р^ = р|р;|ф(р)-?г(р)|>4} <й-
Теперь оценим при Г > То разность
^(pjdp —	^(р) dp.
R	R
Мы имеем:
| § ФС/О^р — \	1 < \ |*(р) — Фг(р)1
R	R	' R
< § |Ф(Р) —|ф(р)Мр+|?y(p)|du.
R-Е	Ё	Е
В силу выбора Т первый интеграл < j -5- dp < 4-, а в силу
выбора о, на основании леммы и её следствия, каждый из после-
дующих интегралов < -f-; откуда
О
 \ <b(p)dp— \ <Py(p)du|
Я	R
е, при Т>ТВ,
т. е.
ф(р) dp = lim
Фг(р) dp.
390	ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Но, с другой стороны, по теореме Фубини
т	т
J ?7<Р)Ф = Фу- 5 ?(/(?’ 0)^ = -^ 5 dt ^Н(^Р) =
Й	R 0	0 R
Т
= ~r\dt J о (р') р (df (р'г — 0),
о /ей
или, ввиду инвариантности меры р.,
т
5 Ыр) 5 dt\ ® О’)*1	d^-
R	OR	В
Итак, окончательно
ф(р)йр= jj Ф(р)ф.	(5)
Если система неразложимая, то почти всюду в R мы имеем
ф (р) — с (постоянная), и имея в виду, что u-R — 1, получаем:
с = \ ?(р)<^-
§ 7. Статистические эргодические теоремы
Этим именем Э. Гопф называет теоремы, утверждающие
существование пределов вида (3) из предыдущего параграфа,
но в среднем по пространству R.
Теорема А. Равномерно относительно а (— со < а < / со)
имеет место предельное соотношение:
lim
T-JOO
®4~Г
$ ¥(/(р> *))<**—Ф(р)|p(dp)=o.
а
(1)
Для доказательства, вводя вместо р переменную точку
? = /(Р»а)» замечая, что в силу инвариантности функции ф (р)
имеем ф(р)=ф(5), и принимая во внимание инвариантность
меры р, получим равенство:
«4-Т
R	а	'
T
R
s 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
391
Следовательно, для доказательства существования равномерного
по а предела (1) достаточно доказать существование обычного
предела в случае, когда а = 0, т. е. доказать, что
lim |®г(р) —<1>(р)|ф = 0.
Но в доказатель стве следствия из леммы в предыдущем
параграфе мы уже оценивали этот интеграл и видели, что он
может быть сделан сколь угодно малым при достаточно боль-
шом Т, что и доказывает теорему А.
Теорема В. (Нейман (J. v.Neumann),)Если(р) измеримая
функция с интегрируемым квадратом в R относительно инва-
риантной меры р, то <J»(p) тоже функция с интегрируемым
квадратом, и имеет место предельное соотношение равномерно
по а:
lim
Мы начнём с того же замечания, что и в теореме А, а именно:
при доказательстве теоремы В достаточно рассматривать предел
интеграла
1 (Р) ~ Ф (Р) I2
н
Рассмотрим интеграл
5 ?2(Р)^Н
А
где Ас/? любое р-измеримое множество. Применяя нера-
венство Шварца к внутреннему интегралу, а затем, применяя
теорему Фубини в используя инвариантность меры р, имеем:
г
А	Л О
Т	Т
{у.- § 1 •	~	(/ (р, /)) dt^ р (dp)=
1 г	т
о	А	о	ре/(А О
т
-yj dt §	®2(р)р(^р)-
о ре/ (А, о
392
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Отсюда, в силу суммируемости функции «® (р) следует, что для
любого s > 0 существует такое 8 > 0, что если иА = и. (/ (Л, £)) < 8,
то
т
\ ?г(р)^<4 $ dt $ ?2(p)^<s;
A	Of (A, t)
т. е. установлена равномерная суммируемость семейства функций
{?Мр)}«
В частности, замечая, что почти всюду в R
lim ?г(р)==ф(р),
Г->оо
по теореме Фату, при < 8 мы имеем
8,
откуда следует суммируемость функции <!>® (р).
Итак, равномерно суммируемое семейство функций (р)
сходится почти всюду к суммируемой функции ф® (р). Применяя
к этому семейству рассуждения, аналогичные проведённым
в лемме, получаем для любого s > 0:
фт(р) —<Нр)}*Ф== § ФУ—Ф)®<^ +	фу—<b)®dp.,
К	Е	R—E
где множество Е есть
Е={р; [ 9 (р) - (р) I )•
Для первого интеграла имеем:
С	С S	°2
\ (?р-'?)2^< } к dfi<T	•
Е	R
Оценим, далее, второй интеграл:
Фг—$)*(£}*•< 2	<р®, du„ + 2	\ <b®dp.
R-E	R-E	R-E
Выбирая Т достаточно большим, мы можем по теореме Лебега
сделать v.(R—E) сколь угодно малой, так что в силу равно-
мерной суммируемости функций ф®, и суммируемости функции
§ 8. ОБОБЩЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
393
<!>2 будем иметь:
$ 4 dp < 4 ,
R-E
0s dp < Л-;
R-E
т. e.
(?2-—Ф)2^<Ь-«
R-E
Отсюда следует:
5 (?г — W dp. < е*,
R
а это, в силу сделанного в начале замечания, доказывает теорему
Неймана.
§ 8. Обобщения эргодической теоремы
Эргодическая теорема Биркгофа существенно предполагает,
что мера всего пространства конечна. Нормировкой меры (умно-
жением на положительное число) этот случай сводится к тому,
когда p.R= 1. Однако, и в случае существования в пространстве R
такой инвариантной меры р., что «./?—+ со, можно получить
выводы, относящиеся к временному среднему от суммируемой
функции ф (р).
Мы наложим на R те же ограничения, что в теоремах Гопфа
(§ 4 настоящей главы). Именно, R есть локально-компактное
метрическое пространство со счётной базой, обладающее инва-
риантной мерой у; при этом может быть pR = + со, но для любого
компактного множества F C1R имеем u.F<4-co.
Как в § 4, мы ограничимся рассмотрением предельного пере-
хода при t —»-|-ос. Тогда в силу I теоремы Гопфа почти все
точки являются или устойчивыми Р* или уходящими.
В силу определения уходящей точки p^R для любого ком-
пактного множества FC2.R найдётся такое t0 > 0, что
/(р, t) • F = 0 при t>tD. Поэтому, если <рР(р) есть характери-
т
стическая функция множества F, то J 'PfUAp, t))dt^.t0 при
6
Т > 0; откуда, в частности, следует
т
lim ~ фр (/ (р, t)) dt = 0.
Т-5-ОЭ 1 J
Таким образом, обобщение теоремы Биркгофа на уходящие
точки не представляет интереса.
394
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением мно-
жества	точек, устойчивых Р*. Мы знаем, что R1 есть
инвариантное множество.
Лемма. Пусть	непрерывная функция и p£R}
Тогда
lim \ t))dtсо»
Т->со
Пусть р есть некоторая фиксированная точка ив R±. По усло-
вию теоремы: g (р) = а > 0. Если р есть точка покоя, утвержде-
ние очевидно, так как рассматриваемый интеграл равен аТ.
Если р не есть точка покоя, то существует такая окрестность
S (р> к} {к > 0), что для сколь угодно больших значений t будем
иметь: /(р, t) • S (р, к) = 0 (в противном случае точка р была бы
единственной «^-предельной точкой для движения /(р, £), т. е.
точкой покоя, что абсурдно). С другой стороны, в силу устой-
чивости по Пуассону для любого е > 0 найдутся сколь угодно
большие значения t, для которых /(р, t)$S(p, г).
Выбираем е < — и столь малым, чтобы S (р, 2s) была ком-
пактной и для q £ S (р, 2е) было бы g (?) > у (в силу непрерывно-
сти функции g). Из сделанного только что замечания следует,
что найдутся две последовательности чисел {fn} и
0 < < КО < ta < К2» < ... < tn < **> < ... ,
lim tn = lim tw = + co,

такие, что
f{p, Q • <S(P, 2s) = 0 и /(p, K">)	(p, 8)	(b=1, 2, ...).
Таким образом, за время между и tn движущаяся точка
/ (р, t) по крайней мере два раза пройдёт путь между поверх-
ностью сферы S (р, е) и поверхностью сферы S (р, 2г). Времен-
ная длина каждого такого пути больше некоторого положитель-
ного т0, что следует из равномерной непрерывности функции
/ (р, t) на компактном множестве S (р, 2s) при | £| СМ1). Итак,
мы имеем:
g(f(P, 0) dt> 2(n —1) т0,
*) См. сноску к теореме 5, § 7, гл. IV.
§ 8. ОВОВЩЗНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
395
т. е.
т
lim g (f (р, £)) dt = + со,
т^° о
что и требовалось доказать.
Для вывода обобщений теоремы Биркгофа будем рассматри-
вать положительные непрерывные функции g(p), такие, что
?(Р)Ф< + СО-
R
Покажем существование в пространстве R такой непрерывной
функции g(p) 0 < g(p)< 1, что на некотором данном компактном
множестве FB значение g (р) = 1.
В самом деле, в силу существования в R счётной базы и
локальной компактности пространства можно построить после-
довательность компактных множеств
^осЛС... CZFncIimFn = 2?;
n->co
кроме того, мы предположим, что для каждого п существует
такое s„ > 0, что S (Fn, еп) CZ Fn л.г) Пусть u.F„ = mB, р. (Pt — FB) =
*) Докажем лемму: Если F компактное множество локально компакт-
ного пространства R, то найдётся такое s> О, что S (F, е) компактно.
В самом деле, у каждой точки p£F яайдётся окрестность, замыкание
которой компактно (по следствию теоремы 7, § 1, гл. IV); ив этих окре-
ТП
стностей можно выбрать коне чное число покрывающих F :	Z7* = Z7zdF.
h=l
.Множество U содержит F и компактно. Каждая точка р&Е входит в U
вместе с окрестностью. Возьмём для каждой точки р наибольшее число
е.р такое, что S (р, ер) с V. Лемма будет докавана, если показать, что
iafsp=e>0. Допустив обратное, мы имеем последовательность
{	} С F,b —> 0. В силу компактности F последовательность { рп } имеет
предельную точку />og F; для простоты предположим, что рп —> р0.Точке />в
соответствует еро>0. Пусть JV выбрано так, что р(/>„, />0) < при
n>N. Тогда S (рп, —еРа) С U, т. е. ер^>-р против
допущения, что и доказывает лемму.
Теперь построение последовательности { F},} с требуемым свойством
легко осуществляется. Если исходная последовательность не удовлетво-
ряет добавочному условию, то берём FJ = F0; пусть FJ, FJ,уже
определены; находим ew такое, что S (F£, еи) компактно и полагаем:
F«+1 = F„+<S'(F«, е).
396
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
— mlt..., р. (Fn — Fn-J = тПп^1, - - • - Все эти числа конечны.
Далее, подбираем постоянные а0 = 1 > а, > а2> ... > а.п>    ,
liman = 0, так, чтобы ряд
п—>сс
со
an-i тп
П=1
сходился. Если р£ Fn— Fni, то пусть ещё р (р, Fn l) = dn,.
р (р, R — Fn) = 8П, причём dn + о„ > еп-1 > 0.
Тогда определяем: g(p) = l для P£F„ и g (р) =	>
для р gFn — Fn_±. Легко проверить, что построенная, таким
образом, функция обладает всеми требуемыми свойствами; в.
частности для pgFn—Fn_r имеем g (р) <an-i> а потому
л	со	со
j g(p)du.= dp4-2	g(?)^<a0WIo + 2an-imn< + cc-
Fq n=i Fn—Fn—i	n~i
Обобщённая теорема Биркгофа. Если в локалъно-
компактном пространстве R со счётной базой существует
инвариантная мера р, такая, что (может быть) v.R — оо и
'J.F < оо для любого компактного множества FCZR, если g — g(p)
непрерывная ограниченная положительная функция, для кото-
рой J gd у.< 4-оо, то для всех устойчивых Р* точек p£R, за
к
исключением, быть может, множества \>--меры нуль, и для,
всякой измеримой функции у(р), суммируемой на любом ком-
пактном множестве, существует (конечный или бесконечный)
предел
т
$ ? (/ Ср. 0)dt
lim ---------------= <J> (р).	(1)
Г~*С° 1 ё V (р, t)) dt
Доказательство, за малыми изменениями, следует по тому
же пути, что и доказательство основной теоремы Биркгофа —
Хинчина.
Изменения состоят, главным образом, в том, что в зна-
менателе отношения вместо времени Т стоит интеграл
J 0) dt — xfj), t), причём, в силу леммы этого параграфа,
'ДА lim т (р, t) = со («изменённое время», см. примечание
С-^оо
в конце этого параграфа).
§ 8. ОБОБЩЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
397
Просмотрим с этой точки зрения ход доказательства § 5. Пер-
вая редукция основана на том, что lim И- = lim	= 1. В
>со	t->oo
нашем случае этому факту соответствует предельное равенство:
Иш
1->СО
Чл [»])
^(р> о
= lim
т(р, R]+t)
^(р> О
1,
которое следует ив ограниченности функции g(p) и из того
обстоятельства, что l.imt(Z) = oo. Итак, нам достаточно доказать
соотношение (1) для случая, когда Т равно натуральному числу ni
Вторая редукция проходит без изменения, и доказательство
сводится к тому, чтобы показать невозможность существования
инвариантного множества SczRt положительной меры, для точек
t
.которого, в обозначениях § 5: j t)) dt — F (р, <),мы имеем:
о
Аналогично, как в § 5, определяем особые сегменты [а, 6], где
«, Ъ — целые:
если
P(p, 6)-F(p, а)
Ъ)—о(р, а)
F(P, b') — F(p, а)
Ь')—ч(р, а)
Ъ’<
Ъ.
< Р для а <_
Свойства особых сегментов сохраняются полностью, равно как
и определения и свойства множеств S!; и
Небольшие изменения произойдут лишь в последнем этапе
доказательства, к которому мы сейчас и перейдём. Формула
\ F(p, 1) У F(p, t)du.
Sk	1=1 Sol
(2)
очевидно, остаётся в силе, как опирающаяся на свойства мно-
жеств Sri при применении сдвига на целочисленный интервал
времени. Наряду с нею получим аналогичную формулу, если
функцию о(р) заменим через g(p):
Цр, 1)ф=
к
У § ЧлОФ-
*=-1 sBl
(3)
Но так как сегменты [О, I] особые для ptSoi, то имеет место
неравенство:
F(Р> I) > ₽ • х (Р, fi, откуда F (р, 1) du. > р	т (р, I) du..
boi	Sol
398
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Сопоставляя это неравенство с соотношениями (2) и (3), получим:
1
§ Р(Р, 1)^>₽ т(р, l)dp = p V ju, g(f(p, t))dt =
sk	sk	sk 0
1
= P- dt gU{p,t))v-{dp).	(4)
0 в»
Переходим в равенстве (4) к пределу при к—>со. Замечаем,
что lim Sk — 8 и что множество S инвариантное, поэтому ввиду
lir>co
инвариантности меры р. имеем:
1
\ F (р, 1) dp. = t u. (dp) { © (f (р, t)) dt =
S	so
1 1
= dt \ ?(/(Pt 0)Md/(p. г))= dt \	\ ?(p)d^
0 S
О
8
S
и аналогично
lim \ т(р, 1) u, (dp) = \
sk	s
Итак, из равенства (4) получаем:
(5)
s	s
Заметим, наконец, что ввиду того, что р.5 > О и g(p)>0,
последний интеграл отличен от нуля (он отличен также от + °°>.
так как g (р) выбрано так, что g (р) dp<;
it
Проводя те же рассуждения, но исходя ив рассмотрения тех
сегментов [а, &], где для р£8 выполняются неравенства
т
? (/(/>, t))dt
о	.
у	<
g(f(p> t))dt
О
мы придём к неравенству
(»')
s
s
§ 8. ОБОБЩЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ	399
Противоречивость неравенств (5) и (&') и доказывает обоб-
щённую теорему Биркгофа.
Следствие 1. Если для pQS, где S инвариантное мно-
жество, имеем:
т
§ ?(/(?. О) Л
lim 4----------< а» то ? (р) Ф <	g (р) Ф
Т^ео -	«	S
V(/(p.	Л	s
и аналогично для знака >.
Следствие 2. Нами доказано существование почти для
всех p£Rt предельной функции ф(р). Легко показать, что эта
функция инвариантная, т. е.
Ф(/(Р> *)) = ’?('?)•
Сделаем ещё ряд существенных замечаний.
В дальнейшем предположим, что:
§ I ? (Р) IФ < + 00 •
Ri
Определим разбиение пространства Z?, на инвариантные мно-
жества Et:
Ei = {р,; 4	(р) < 4+1},
соответствующие разбиению числовой оси числами
• • • 4-п<4.п^1 < • • • <4<4••• "С4г< •••»
где
4+1—4 = d.
Мы получим две серии неравенств (1-я серия в силу след-
ствия 1, 2-я —по теореме о среднем):
4 ё (Р)	? (р) dp < 4+i g (р) dp,	1	(6)
Ei	Ei	Et	Li=O, i 1, 4- 2....
4 $ g(p)^< Ф(р)?(р)^“<4+1 g{p)dp. I	(6')
Ei	Е^	E'i	J
Суммируем первую серию неравенств; в силу суммируемости
I ? (р) I РЯД из средних членов неравенств (6) сходится абсолютно;
следовательно, абсолютно сходятся и ряды из первых и третьих
частей неравенств (6) или (6'), так как разности между соот-
400
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
ветствующими суммами не превышают d • g(p)^p. Отсюда сле-
В1
дует абсолютная сходимость ряда
+ео
г=1 Ei	R1
Наконец, устремляя d к нулю, получаем искомое равенство:
?(р)	= \ Ф (p)g(p) d?.
jRi
(7)
Эта формула является обобщением формулы (6), § 6 настоя-
щей главы, в которую она переходит, если в предположении
pR} < + оо положить g (р) = 1.
Укажем одно приложение формулы (7). Предположим, что
«/?,== оо и 2?, не содержит инвариантных множеств конечной
положительной меры; этот случай представляет главный интерес,
так как, если Rr содержит инвариантное множество Е, у-Е < -j- со,
то рассматривая движения f(p, t), р£Е, мы находимся в усло-
виях применимости основной теоремы Биркгофа.
Докажем следующее предложение: если |o(p)!tfu. <4-00,
Hi
то для всех точек р^Е,, кроме, быть может, множества
меры нуль, имеет место равенство:
lim
Т-»со
т
1 г
Т J
о
t})dt.= Q.
(8)
Введём специальную функцию g(p), определённую, как выше:
О < g (р) < 1 и g (р) = 1, когда р £ Fo, где F6 — произвольное задан-
ное компактное множество; \ g(p) dy. < 4- со. Очевидно, что
7
\ g(f(.P> 0) откуда
Вл
т
т	т	I?(/(?. t))\dt
| F (Р> dt j ’9	।dt 0-г-------------
°	0	G(/(p, о)^
§ 8. ОБОБЩЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
401
Поэтому
т
lim sup I ~ ( <? (/ (p, i)) dt I < lim °—-------------- ** (p),	(9)
T-^-OQ I •’	• T->oo f,	y
0	g(f(p> *))df
0
где Ф* (P) определено почти всюду в 7?v причём неравенство
остаётся справедливым при любом выборе функции g(p), удовле-
творяющей указанным условиям. Обращаясь к формуле (7),
находим:
$ ^*(p)g(p)dp|?(р)|Ф=М<4-оо,	(Ю)
Jil	R
где М — константа, не зависящая от выбора функции g(p).
Допустим, что на множестве Е, \>Е > 0, имеем:
I 1 С	I
lim sup I \ ф (/ (р, О) dt j
т-ео М J	'
> а > 0.
Множество Е инвариантное, следовательно, по условию, р7?=со.
Из неравенства (9) следует, что на Е имеет место неравенство
ф*(р) > а, где а, очевидно, не зависит от выбора функции g(p).
С другой стороны, так как pi?-— + со, мы можем выбрать
компактное множество 7\, входящее в определение р(р), таким
образом, что р(£ • Е^ > —. Тогда мы получим:
\ ** (j?) g (Х> Ф* (р) g (?) dV-> j) ’’’*	d"'>
Ri	Е '	Fo-E
>а ^g(p)d? = rj- -^=М-
Ко • Е
Это неравенство противоречит неравенству (10). Равенство (8),
таким образом, доказано.
Из равенства (8), полагая ®(р) равным характеристической
функции любого множества А, заключённого в компактной части
пространства 7?, мы видим, что вероятность пребывания точки р
в множестве А, при нашей дополнительной гипотезе, почти для
всех точек равна нулю. На самом деле, это обстоятельство, как
мы видели во вступительном замечании, имеет место и для дви-
жений, не устойчивых по Пуассону, которые в наших дальней-
ших рассуждениях были исключены.
Случай неразложимой системы. Рассмотрим случай
неразложимой (транзитивной) системы, причём р/? = -р со.
Немыцкий и Степанов
26
402
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Единственным инвариантным множеством положительной меры
является в этом случае всё пространство (или всё пространство
за вычетом множества меры нуль). Рассуждение в конце преды-
дущего раздела применимо и для всякой функции © (р) с конеч-
ным | © (р) | dp (в частности, для всякой характеристической
R
функции компактного в этом пространстве множества), мы почти
для всех p£R имеем:
т
lim-^Д <р(/(р, Z))dZ = O.	(8)
Далее, вводя функцию g(p), ^g(p)^p< + 00» мы имеем
R
по общей формуле:
т
?(/(р. t))dt
Нт у------------=	(!)
Т-к» Д
g (f (р. О) dt
о
почти для всех точек p£R. Но в данном случае легко видеть,
что почти всюду инвариантная функция &в(р) имеет постоянное
значение, так как, допустив обратное, мы получили бы разбие-
ние R на два инвариантных множества положительной меры.
Итак, в случае неразложимости почти для всех точек
*s(p) = C, где постоянная С зависит от выбора функции g(p).
Именно из формулы (7) следует:
ч (р) Ф
---------
g(p)dv-
R
(10
Наконец, хотя в силу формул (8) вероятность пребывания
почти всякой точки р при 0 < t < + со в компактном множестве
(конечной меры) равна нулю, но мы можем оценить отноше-
ние среднего времени пребывания движущейся точки в двух
множествах Et и Е^, компактных в пространстве Rt и, следо-
вательно, имеющих конечную меру.
Пусть F0ZJE1+Et компактное (в себе) множество. Построим
вышеуказанным способом функцию g(p), равную 1 для p£Fa
и такую, что g(p) dp < + оо. По обобщённой теореме Биркгофа
R
£ 8. ОБОБЩЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
403
и в силу (!') мы имеем для всякой интегрируемой функции <р(р)
почти для всех p£R'.
т
?(/(/»> J))dl
lim -у------------= С,
Т-+со г-
\ g(f(p>
о
где
С= 4 --------.
g(jp)dy
R
Введём ©j и — характеристические функции множеств Е^
и Е2. Наша цель—вычислить предел отношения:
jr ?i (/(/>>
lim —-----------------------
Т-^СО j /»
о
Этот предел может быть найден на основании предыдущих
соотношений:
т
¥х(/(р, t))^t
lim -—-Л----------------
Т-~о j
у } ?2 (/ (A t)) dt
о
f ?
|	»1(/(,Р. t})dt
= lim <? ---------------
Т-,оо ,
I ^SU (Р: Э)
т
¥а(/(р. *)) dt
О________
т...
g<J(P, i)}dt
О
т	т
ЪАНР’ £)) dt	?Af(p. d))dt
— lim --------- ------- : lim-j,--------------
'Г—»СО Л,	Т—>СО />
g и (р> 0) dt	g(j(p, t)) dt
О	О
?i (f) dy. г2 (р) dy
R__________. R_______
^8(р)Лу. \g(p)dy
Й	R
26*
404
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Таким образом, в случае неразложимой в R системы средние
времена пребывания точки f(p, t) в двух множествах Ег и Е2
относятся как меры этих множеств.
Примечание. Введённая в этом параграфе функция g(p)
служит для «изменения времени»; в самом деле, если сделать
замену переменного i, введя новое «время»:
t
-лр, г)=5i^dt'
о
то формула (1) настоящего параграфа сведётся к классической
формуле Биркгофа. При этом оказывается, что полученная после
замены времени новая динамическая система ]±{р, t) обладает
инвариантной мерой множеств
g(p)p-(«7p).
Е
Ясно, что при условии g (р) du < 4~ со новая мера всего про-
А
странства оказывается конечной: и.1Д<-[-со. Таким образом,
при помощи замены времени обобщённая теорема Биркгофа при-
водится к классической, в частности, формула (7) в силу фор-
мул (6) и (6') принимает вид:
к	к
Теория изменения времени и инвариантной меры изложена
в мемуарах М. В. Бебутова и В. В. Степанова, О дина-
мических системах, различающихся только временем, Мат. сб.,
нов. сер., т. 7 (1940).
Пример. Мы покажем существование неразложимой (тран-
зитивной) динамической системы с инвариантной мерой, которая
бесконечна для всего и конечна для любого компактного мно-
жества.
Рассматриваем на торе S(<p, &): 0<<р< 1, 0-<8< 1, <р-[-7с=с>,
8-|-к'=$ (к и 7с' —целые), движения, определённые дифферен-
циальными уравнениями:
§ = Ф(о, 8), 2 = аФ(?,«);
где а — иррациональное число, Ф — непрерывная дифференци-
руемая функция, периодическая по обоим аргументам с периодом 1
(непрерывная функция точки тора), причём Ф(0, 0)=0и в осталь-
ных точках Ф(<р, &)>0. Траектории, не проходящие через точку
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
405
(0, 0), даются уравнениями
& = &04-аср; (— сс <^<р < 4- оо; &0 ф 0 (mod 1));
они являются устойчивыми по Пуассону. В качестве простран-
ства R рассматриваем поверхность тора без точки (О, 0). Из § 1
следует, что эта система допускает интегральный инвариант
С С dad,}
J \ Ф(57») ’
т. е. существует инвариантная мера
n С f dadfy
~ J \ Ф (с, 9) •
Е
Выбираем функцию Ф (<р,&) так, что
Г С d<f dU __
j 3 Ф(?. »)	*	’
о о
например, Ф = вй12я®4_8Й12'к&. Тогда »R = + °°, а так как любое
компактное (замкнутое) множество F не имеет (0, 0) своей пре -
дельной точкой, то u.F < 4- ос.
Наконец, эта система неразложима. В самом деле, в § 5
мы доказали, что неразложимой является система;
d<f . db
— — 1	— = п •
dt !	dt ’
с инвариантной мерой	dadft. Но при переходе от
Е
меры jij к мере р и обратно, множества меры нуль переходят в мно-
жества меры нуль, и инвариантные множества обеих систем совпа-
дают (с точностью до траектории, проходящей во второй системе
через (0, 0), но эта траектория, очевидно, имеет р и и^-меру
нуль). Итак, неразложимость нашей первой системы доказана.
Заметим, наконец, что переход от первой системы ко второй
можно рассматривать как замену времени по формуле
й£' = Ф(<р, &) dt.
Таким образом, функция Ф(<р, &) играет роль функции g(p)
для перехода от обобщённой теоремы Биркгофа к классической.
§ 9. Инвариантные меры произвольной
динамической системы
Исследования, изложенные в предыдущих параграфах насто-
ящей главы, предполагали, что a priori известна мера, явля-
ющаяся инвариантной для заданной динамической системы.
Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов в мемуаре: «Ба
theorie generale de la mesure et son application a I’etude des
406
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
systemes dynamiques de la mechanique non lineaire», Annals
of Mathematics (1937), для весьма широкого класса динамиче-
ских систем дали построение меры, инвариантной относительно
данной динамической системы. В этом параграфе мы изложим
главнейшие из этих весьма важных результатов названных
авторов.
Мы будем рассматривать динамические системы в компакт-
ном метрическом пространстве R. В этом пространстве рас-
смотрим множество всевозможных мер р, удовлетворяющих усло-
виям, изложенным в § 1 настоящей главы. В дальнейшем
ограничимся такими мерами р, для которых pR конечно. Помощью
умножения на соответствующее положительное число мы при-
ведём этот случай к тому, когда
uft = l.
Меры, удовлетворяющие этому последнему условию, авторы
называют нормированными мерами.
Определение. Последовательность мер {рп} сходится
(слабо) к мере р, если для любой непрерывной функции ®(р)
отточки p£R имеем:
lim \ ® (р) йрп= \ <р(р) Ф-
n-к» J	£
Основным фактом для последующей теории является то, что
множество нормированных мер в компактном пространстве R
компактно. Прежде чем доказать эту теорему, докажем несколько
вспомогательных предложений.
Рассмотрим множество непрерывных функций {<р(р)}, piR-
Это множество образует метрическое пространство, если в нём
определить расстояние двух функций ®х(р) и <р2(р):
Р (?!, ?2) == 1ПаХ I (/>) — (Р) I-
Р ER
Теорема 1. В пространстве непрерывных функций {® (р)},
p£R Существует счётное, всюду плотное множество (фунда-
ментальная система функций).
Для тройки натуральных чисел s, г, п обозначим через Ф (s, г, п)
подмножество множества {<р}> удовлетворяющее условиям:
|®(р)|<«, |?(р)—если р(рл)<у-
В силу компактности пространства R в нём существует — -
сеть; пусть это будут точки рх, р2, ... ,р^г. Так как множество
значений, принимаемых функциями <р (р) £ Ф (s, г, п), заполняет
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
407
в любой точке pi интервал длины 2s, то найдётся система
Ф*(«, г, п), не более чем (sn)Nr=l функций: ©*, ©*,... , ©* из
Ф(х, г, п) таких, что для любой <р€Ф(х, г, п)	©=£ из
системы Ф*(8, г, п), так что
I 9 (Pt) ~ 9* (Рк) I < 4 (Л=1>2» ••• • Ю-
Тогда счётная система функций
Ф* = 2 ф* (s> г>
S, Г, П=1
и будет фундаментальной системой. В самом деле, пусть задана
любая непрерывная функция ®(р) и произвольное s>0. Берём
‘ ' з	j
целые числа s„ > max I ® (р) I, na >—. Наконец, для числа —
рев	6	п«
находим 8 > 0, такое, что из р (р, q) < 8 следует | © (р)—© (?) | < — ,
и берём целое число г0<С^-. Очевидно, что при таком выборе
<а £Ф (s0, пе, г0), и поэтому в системе Ф*($, г, п) найдётся функ-
ция ©*(р) такая, что в точках соответствующей --сети будем
иметь:
А
для А = 1,2,... ,ЛТ.
Если теперь взять любую точку p£R, то найдётся точка рк
такая, что р (р, рА.) < —, и мы имеем:
^0
I 9 (Р) - 9* (Р) I < I9 (р) - 9 (Рк) I +1 9 (Pi) - «* (рА) I +
4-1?:(рЛ)-?:(р)|<1+1+|=в.
Теорема доказана.
Входящий в определение сходимости мер интеграл
\ <?(р)Ф = Л?,
в
где ®(р) непрерывная функция, есть, очевидно, линейный
функционал от <р, т. е. дистрибутивный: -4(«ч + ?г) =
=Л®, + Аи непрерывный: | Л«р|<тах|ф| • рЛ. Кроме того,
этот функционал положительный, т. е. Л<р > 0, если ?(р)>0;
наконец, если мера нормирована, то для ®=1 имеем
Лу= 1.
Докажем обращение этого факта.
408	ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Теорема 2 (Рис-Радон). Всякий, линейный, положитель-
ный функционал Ау, определённый для всех непрерывных функций
{"?(?)}» P^R, выражается интегралом
? (Р) Ф.
к
где р. есть некоторая мера, причём, если Л1 = 1, то pR — 1,
т. в- мера нормирована.
По условию А<р определён для непрерывных' функций с:
расширим его определения на характеристические функции откры-
тых множеств GCZR, т. е. на функции <pG (р), определённые
так: <pG(p) = l, если p£G‘,	= если p£R — G. С этой
целью представим ®G (р) как предел неубывающей последова-
тельности непрерывных функций {®п(р)}, определив, например,
®п (р) следующим образом: <pn (р) = 1, если р (р, R — G)	;
?п(Р) = 0 Для p£R — G; наконец, если 0<p(p, R — G) , то
®п (р) = и • р (р, R — G),
Мы будем иметь:
Л<р1<Л<р2< ...	... <1.
Поэтому последовательность чисел А<рп имеет предел; положим
по определению
A<pg = lim4<pn.
п-*сю
Можно показать, что этот же предел получится, какую бы
мы неубывающую последовательность непрерывных функций
ни взяли, если только: lim ®n = <pG *)
21—?СО
*) В самом деле, пусть наряду с- {	} имеется неубывающая последо-
вательность непрерывных функций {фи(р)}> Ии1Фй(Р) = ?л(р). Тогда для
п-»оо
любой <fn и любого е>0 найдётся такое т, что ф9И (р) >	(р) — s, p£R-
Действительно, ив сходимости последовательности {} следует,
что для любой фиксированной точки ра найдётся такое тъ, что»
Фмо (Ро) > ?е(ро) - £ >	(Ро)—у • в силу непрерывности функций »и и
в точке ре, найдётся такое й0 > 0, что при ₽(ро>р)<®о одновременно:
19я (р) - (Ро) I < у и | фИо (р) - Ko (до) | < -®- . Отсюда АМо (р) > ¥» (р) - 3.
если о (р, ре) < $0. Так как с возрастанием т функция не убывает, то
для всякого т > те имеем: (р) >	(р) — е.
Итак, каждая точка р» Е -Й является центром некоторой сферы радиуса о»
с указанным свойством. В силу компактности R можно выбрать конечное
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
409
Далее определим Аф для характеристических функций <?р
замкнутых множеств FcF; именно, так как множество R — F
открытое, положим
ApjP ^R-F‘
Определённый таким образом для характеристических функ-
ций открытых множеств G-функционал мы назовём мерой
этих открытых множеств:
A<pG = p-G.
Из ограниченности функционала А следует, что + оо,
и, в частности, если Л1=1, тор/?=1. Легко проверить, что
определённая таким образом для открытых множеств функция р
удовлетворяет аксиомам I — IV- В силу теоремы § 2 настоящей
главы, эта мера может быть распространена на все множества
борелевского корпуса, а затем при помощи аксиомы V и на
любые множества, как регулярная мера Каратеодори-Лебега.
Покажем, наконец, что Аф для непрерывной (р) выражается
интегралом Лебега-Радона. Делим интервал изменения <р на N
равных частей точками деления: min<p = Z0, llt ... , lN= тахо.
Строим вспомогательную функцию полагая <pN (р) = <р (р) = U
(i == 1, 2, ... , TV) на замкнутых множествах Fi, на которых
<?(р) — li\ <?N(p) = k (Z = 0, 1, 2, ...,7V—1), на открытых мно-
жествах G, на которых А < ®(р) < A+i.
В силу линейности и аддитивности функционала А, расши-
ренного на замкнутые и открытые множества, мы имеем

max min у
N
N	N-i	N	N-l
~ 2	+ 2	=2	»”i“ 2
i=l	f=0	1=1	i=0
число сфер S (pv §,), ... , S (pjf, 6Лг), покрывающих всё R, Пусть соответ-
ственные значения т будут m2,.т!{. Беря т = max [mlt ms,т#]
для любой pE-R, будем иметь:
$т (р) >	(р) - ®’
Тогда
А$т> Ачп — а,
и так как в наших условиях последовательности {	} и {	} равно-
правны, то отсюда получим:
Пт Афт = lim Л?,,.
7П->ОО	и—
410
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Замечая, что последнее выражение представляет лебегову сумму,
мы при 7V—»оо получаем:
Л® —	© (р) dp.
в
Теорема 3. Множество нормированных мер {р} в компакт-
ном пространстве R слабо компактно.
Пусть дана счётная последовательность нормированных мер
К, • • • > Нп, • • •
Перенумеруем функции фундаментальной системы Ф*, удовле-
творяющие условию 1<р* | <. 1:
ф* т*	ф* ,
Множество чисел
^<p*(p)dpn (п = 1, 2,...)
R
заключено между —1 и 4-1; из него можно выбрать схо-
дящуюся подпоследовательность, пусть соответствующие меры
с сохранением прежнего порядка будут: р^1), р^1),..р*1),...
Рассмотрим далее ограниченную последовательность чисел
R
Из неё опять выбираем сходящуюся подпоследовательность,
и пусть соответствующие меры, с сохранением исходного порядка,
будут: р<2>, р<2>,... ,р(,2>,...
Продолжая тот же процесс, мы получаем последовательности
мер p<ft>, p<fe>,.. • ,р(и\-• •, обладающие тем свойством, что суще-
ствует предел
lim ®* dp(ft) для г = 1, 2,...,Л.
й->со л’
л
Наконец, беря диагональную последовательность из таблицы
{р£й>}, мы получаем последовательность мер
pt1) = р(1)>	р<2) = р<2), ..., pW — p(fe>,...,
обладающих тем свойством, что для любой <р* (n = 1, 2, ...) суще-
ствует предел
lim 9* dp(ft) = lim
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ	411
Легко убедиться, что этот предел существует для всякой
непрерывной функции такой, что |ф|<1. В самом деле, пусть
задано любое число в > 0; найдётся такая функция <р*, что
IФ—о* I <С •
it .я I 3 •
Тогда для любого к имеем:
С другой стороны, в силу сходимости последовательности А^у*
существует такое ZV, что при к Ss N и О
| Л<*>ф* — A<k+mty* |	.
Сопоставляя эти неравенства, находим:
|	| | АЮу—Л<й>?* 14-
4-1	— Л^+^ср* 14-1 Л<й+т)ф*—| < s
при /с > N и т > 0, т. е. lim Л<Л>ф существует для любой
fe->co
9 такой, что|ф|<1.
Обозначим этот предел через Л<р и определим его для любой
непрерывной функции у условием:
Л® == max I ф I - Л ( —.
т 1 т 1	\_max | у |у
Легко видеть, что Л<р есть линейный функционал, Л1 = 1,
следовательно, в силу теоремы 2, существует такая нормирован-
ная мера р, что
Лф= <р(р)йр.
К
Итак, мы получили р<?1> —при к—>со, в смысле слабой схо-
димости. Теорема доказана.
Всякую меру, в которой сходится (слабо) некоторая подпо-
следовательность ив данного множества мер, назовём предельной
для этого множества; если счётная последовательность {рп} имеет
единственную предельную меру р, то мы скажем, что существует
предел мер, и это обстоятельство будем записывать так:
lim р„ = р.
п->со
Переходим к формулировке и доказательству основной тео-
ремы Крылова и Боголюбова. Заметим прежде всего, что про-
412	ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
странство всегда обладает нормированной мерой; достаточно-
отметить какую-нибудь точку p£R и положить:
трА = 1, если р g А; трА = 0, если р £ R — А *).
Теорема 4 (Крылова и Боголюбова). В компактном фазо-
вом пространстве R динамической системы f (р, t) существует
инвариантная (нормированная) мера.
х) Меры { тр } обладают важным свойством: всякая нормированная
мера т является предельной (в смысле слабой сходимости) для линейных
комбинаций
п	п
а.тр., где > 0 и ^gj = l.
1=1	1=1
В самом деле, пусть дана нормированная мера т (Е) в компактном
метрическом пространстве R. Строим в R счётное всюду плотное множе-
ство точек {рп } так, чтобы конечные их системы { р2,...,р }
4
образовали сеть (/с = 1, 2, 3,...) и чтобы при 2Va_i < i < Атд точка
1- 1
j).
1=1
Составим меру /пА как линейную комбинацию мер m (j = 1, 2,. ..,ДТ7£) еле-
дующим образом. Строим множества:
s 0-т)	s G- т)~6'	т) • £“('< т)
<«1
(i = 2,
Очевидно,	= если / V-В силу выбора точки Р{, при Aj_1<
< 1 < А’л, имеем: PiCE^. Обозначим
гпЕ^ = a\h).
t	А’*
В силу свойства -г--сети имеем: У! а^=даЛ=1. Теперь определяем:
л	1=1
A'fc
а^тр .
1=1 г
Докажем теперь, что тк сходится (слабо) при Уг—>со к мере гп. Дей-
ствительно, пусть f (р)—любая непрерывная функция и в > 0 произвольно»
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
413
Пусть т любая нормированная мера в компактном простран-
стве R. Для данного фиксированного т и любой непрерывной
функции <р(р) определим положительный линейный функционал
а’г ^ ?(/ (а, *))m\dg).
о в
По теореме 2 он определяет нормированную меру га-, и мы
Определяем целое число к так, чтобы ив неравенства р (р, 9) < уг следо-
вало 1<р(р)—?(з)|<в.
Оценим разность:
№
| ?(р) m(dp)-?(p)m*(dp)j<2| J ?(p),n(dP)~
И	И	i= 1
Ук
— у(р)	?(р) w(dp)—
jg(fe)	i=l
Nfc
< 21 ? (pi)—? (₽i):mE^
где pi £ E^{h) Q S (pit	. Отсюда | ? (л) - ? (?i)| < • и, следовательно,
| ? (p) га (dp) — у (p) m* (dp) | < s 2 mElky = ®-
В	R	i=l
Утверждение доказано.
Рассматривая линейные комбинации с рациональными коэффициен-
тами Г|:
п	п
2rimi’ ri>0- 2Г4=1’
i=l	i=l
мы заключаем, что пространство нормированных мер обладает счётным
всюду плотным множеством. Это пространство, как мы видели, компактно.
Оно является метрическим пространством. Метрику можно ввести, напри-
мер, так. Пусть го* и пг2 две нормированных меры; пусть {(р)} фунда-
ментальная система ограниченных функций: | <? (p)J<Jl. Определяем рас-
стояние
СО
Р (™2) = 2 I ?к (Р) mi idP} — \ ?^ (Р)	(dp) | •
п=i ‘R	R
Легко видеть, что все аксиомы метрического пространства вдзсь будут
выполнены.
Итак, пространство нормированных мер в компактном пространстве
со II аксиомой счётности само является метрическим со II аксиомой
счётности.
Wt
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
имеем:
V dt 9 (f(P> *)) т №) = $ ? (?)т* (dp)-
о в	в
В силу теоремы 3 множество мер {тТ} компактно, и поэтому
из всякой последовательности с неограниченно возрастающими
т (например, из последовательности тп} можно выбрать сходя-
щуюся подпоследовательность; пусть это будет {иг-п}, lim тп — со.
П-»СО
Обозначим предельную меру этой подпоследовательности через р*,
Итпгт„=р*;
п->со
для любой непрерывной функции ®(р) мы имеем:
тп
lim ~ V dt у (/(g, f)) т (dq) = lim у (р) т-п (dp) =
п->со -nJ J	п-юэ J
и к	а
= ?(p)p-*(dP)-	С1)
в
Мера р* является инвариантной.
В самом деле, прежде всего, для того чтобы и* была инва-
риантной мерой, необходимо и достаточно, чтобы для любого t0
и любой непрерывной функции <f(p) имело место соотношение:
$ ¥ (р) Р* (dp) = ? (/ (р, «„)) р* (dp).	(2)
в	в
Действительно, при доказательстве теоремы 2 мы видели, что
функционал (1) сохраняетсмысл и в том случае, когда <? является
характеристической функцией <j>g открытого множества. Отсюда,
допуская соотношение (2), мы для любого открытого множества
G получим:
5	(Р) Р1*(dp) = <pG (/(р, tB)) р*(dp) = р#/(G, — te),
в	в
т. е.
p*G = p*(G, -tty.
Далее, это последнее соотношение распространяется на все изме-
римые множества.
Обратно, если последнее соотношение имеет место для всех
измеримых множеств, то интегралы в обеих частях равенства (2),
вычисленные как интегралы Лебега, оказываются равными.
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
415
Итак, нам достаточно доказать соотношение (2), или, в силу
формулы (1), соотношение:
lim — dt <р (/ (q, /)) т (dq) =
== lim — dt ф (/ (q, £0 + 0) т №а). (2')
п^° О R
В последнем равенстве, в силу теоремы Фубини, функции под
знаком lim могут быть переписаны в виде:
Тп
\ m{dq)^\<?(f(q, t))dt и { т (dq)	<p(f (q, tB +1)) dt.
R	0	R	” 0
Оценим разность:
H \ <P(/(P, t))dt~^- f ф(/ (q, t + tB)) dt | <
о	0
to	Т'14-fo
<г{К?(Л<м)И+| ?(/(?,
'•«» 11 j	। I j	। j *•«
0	Tn
где M есть максимум | ф (д’)! на R; М конечно, так как ф (р)
непрерывна и пространство R компактно. При достаточно
большом тп эта разность сколь угодно мала по абсолютной вели-
чине, откуда, в силу существования предела (1), следует соот-
ношение (2'), т. е. соотношение (2). Утверждение доказано.
Дальнейшая задача исследования Крылова и Боголюбова
состоит в том, чтобы изучить совокупность всех инвариантных
мер, допускаемых данной динамической системой, а также выде-
лить из динамической системы ту её часть, которая имеет меру
1 во всякой нормированной инвариантной мере.
Оп р е д еление 1. Множество ECZ.R имеет вероятность
нуль, если для любой инвариантной нормированной меры р
имеем: рЕ —0.
Если же для некоторой такой меры рЕ >0, то Е имеет
положительную вероятность; в частности, если для любой
инвариантной нормированной меры рЕ=1, то множество Е
имеет максимальную вероятность.
Определение 2. Точка p£R называется квази-регулярной,
если для любой непрерывной функции <f(p) существует
lim ф (/ (р, t)) dt.
0
(3)
416
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Теорема 5. Множество квази-регулярных точек U инва-
риантно и имеет максимальную вероятность.
Инвариантность множества U следует из проведённой в до-
казательстве предыдущей теоремы оценки разности:
т	т
140)dt--~ \?(f(p, +
о	т
откуда следует, что
lim -1 <р(/(р, £))dZ = IimM ?(/(?, *„ + *))dt,
т—>-со v «'	т—> со	*2
ъ	0
т. е- точка /(р, 10) квази-регулярна одновременно с точкой р.
Докажем, что U имеет максимальную вероятность. Берём
фундаментальную систему функций {<$>*}. Пусть Еп есть мно-
жество точек таких что для р£Еп не существует предела (3),
при <$> = <?*.
В силу теоремы Биркгофа множество Еп имеет вероятность
СО
нуль. Обозначим Е = 2 Еп, Е тоже имеет вероятность нуль.
п~ 1
Покажем, что всякая точка p£R—Е квази-регулярная,
т. е. что R— E — U. Пусть о (р) произвольная непрерывная
функция и s > 0 произвольное число; пусть р0 g R — Е. Тогда
находим <?*(р) такую, что |<?*t(p)—Далее, в силу
того, что p0£R—Еп, найдётся такое Т, что при т, > Т и -с2 > Т
имеем:
|М ?* (Р°> dt (^> I < Т ’
j	-1 ё	•	3
А тогда
?(/(Р0, «)) dt—~ ?(/(р0, t)) dtl <
О	1,1 о
X1
+ |Г \ 4ndt~г- \	< г>
i v2 J	‘'I J	I
0	0
т. e. предел (3) существует, что и требовалось доказать
$ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ	417
В дальнейшем исходной мерой, на основе которой будут
строиться инвариантные меры, будет уже упомянутая мера,
связанная с некоторой точкой рбЛ:
{1, если
О, если p£R—А.
Исходя из этой нормированной меры, мы строим, как в теореме 4,
меру mPit> определённую равенством (для любой непрерыв-
ной <?(?)):
т
9 (?) Wp,s (dq) = ^-^dt^<p(J(q, «)) тр (dq).
в	ок
Но в силу определения меры тр, мы имеем:
9(/(?» «)) тР (dq)^<?(f(p, «)),
ж
откуда для определения меры тр>х получаем:
9 (?)	№)=9(7 О’» 0) dt •
н	" о
Мы будем рассматривать в последующем лишь квази-регу-
лярные точки р, p^U-, в таком случае предел в правой части
последнего равенства при с—>оо существует, следовательно,
существует инвариантная нормированная мера рр,
Ррhm
Т—KJO
и эта мера определяется равенством (<р (р) —любая непрерывная
функция):
т
\ ?(?) Рр (<*?)=lim “ \ 9 (/(Р> *))	(4)
В	™=о	- ’
Мера Рр(-А) называется индивидуальной мерой, соответствующей
квази-регулярной точке p£U.
Заметим, что множество U измеримо В, как множество
точек, на котором счетное множество непрерывных функций от
р и т имеет предел при т—»со.
Для любого заданного множества А, измеримого В, мера
рй(Л), рассматриваемая как функция точки p&U, также является
измеримой В. В самом деле, при непрерывной функции <р(р)
правая часть равенства (4), а следовательно, и левая, является
Неммцкий и Степанов	27
4IS	ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
измеримой функцией от р, как предел при т —> со па изме-
римом множестве U непрерывней функции от р. Далее, пере-
ход в левой части равенства (4) к мере открытого множества
связан с одним предельным переходом по последовательности
непрерывных функций <р(р), сходящихся к характеристической
функции открытого множества, так что р^ (G) есть измеримая В
функция от р. Наконец, определение меры любого множества,
измеримого В, связано не более как со счётным числом перехо-
дов к пределу, при котором измеримость по Борелю сохраняется.
Утверждение доказано.
Введём теперь соотношение между индивидуальной мерой р,;
и любой инвариантной (нормированней) мерой р. Отправляясь
©т любой непрерывной функции ф (/?), мы в силу инвариант-
ности меры [лив силу того, что V имеет максимальную веро-
ятность, получим:
?(?)p(d?) = J ?(/(?, *))р(Й) = -~-$ dt 0)р (<*?) =
= \ Р (dq) -М <р (/ {р, 4)) df	р {dq) <р (г) рвт {dr)-,
отсюда, ввиду существования предела правой части при т—»со
и на основании формулы (4), выводим:
? (?) I* (dq) = р (dq) ? (г) р, (dr).	(5)
V R
Переходя от непрерывной функции ?(р) к характеристиче-
ской функции открытого множества G, из соотношения (5)
находим:
р(?=	Pe(6)p(d?).
v
Для любого измеримого В множества AC.R интеграл
ре(Д)р(й$)
существует в силу измеримости функции рд(Л). Этот интеграл,
очевидно, определяет меру, которая для открытых множеств
но доказанному совпадает с мерой р; поэтому мы получаем
искомое соотношение:
(Л)р(й?).
(5')
5 9. ИНВАРИА НТНЫЕ МЕРЫ
419
Из соотношения (5') следует справедливость равенства (5)
для любой измеримой В функции <?{р).
Лемма. Множество UT точек p^U, для которых при
любой непрерывной функции у{р) выполняется равенство-.
§ {? (н нв (*•) -А ? со <dr)}2 ^р =°»	(6)
ив	в
имеет максимальную вероятность.
Пусть <р (р) — некоторая непрерывная функция. В силу того,
что левая часть неравенства (6) неотрицательна, нам доста-
точно доказать, что для любой инвариантной меры р. мы будем
иметь:
\ [ ^ {	^т) — \ ф (г) р.р {dr) J* ир (dg)] р (dp) = 0.
Докажем это последнее соотношение.
По формуле (4) мы имеем для данной <р(р), если ?6^7-
\ ? (г) (dr) == lim 4 \ ? (/ (ff, *)) dt = Ф (?)
В	~~>О° * 0
в аналогично для
\^{г)^р{Аг)^^{р).
Поэтому нам надо установить равенство
F (ЙР) (Ф (?) ~ Ф (Р))2 Р> (ЛЯУ=°-
и и
Раскрывая скобки во внутреннем интеграле, получаем:
гФ2 (?) — 2ф (р) ф (?) + ф2 (р)} №) =
Ф* (?)	(rf?) — 2Ф (?) \ Ф (?) ^р (d?) + Ф2 (?).	(7)
Вычисляем далее:
Ф (?) Нр (<*?) =	§ (v $ *	^)
==lim-4 ( dt \ <?(/(?, t))p.p{dq).
т-*°°	® и
27*
V V
420 ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Так как —инвариантная мера, то при любом t
5 ? (/ (9, 0)	(?) = ^? (?) % (?);
V	V
Ф (?) % (?) =Л ? (?) d'tp (?) = lim i V ф (/ (р, f)) dt = * (/?).
V	U	“ 0
Выражение (7) оказывается равным
5 Фг(?)Мс7?)~Ф2 (р)>
v
и нам надо доказать равенство нулю интеграла
Ф* (?)	(Й)—Ф* (?) ] Р (dp) =
= \ ф2 (?) Р;> (dq) р. (dp) — ф2 (р) f* (dp).
v v	и
Но в силу соотношения (5) для измеримой функции ф2(р) пер*
вый интеграл равен \№(p)v-(dp) и, следовательно, написанное
и
выше выражение равно 0.
Итак, для каждой непрерывной функции <р(р) множество
точек, где выполняется соотношение (6), имеет максимальную
вероятность.
Беря в качестве <р последовательно функции фундаменталь-
ной системы <р*, ©*,.. .,<?*,... и, обозначая через Еп множество
тех точек р, для которых
Г	1 2
?* (г) Р5 (dr) - 5 (dr^ / (dl} > °’
JR
имеем «.Еп = 0 для любой инвариантной меры и.
Определяем множество
СО
UT^U-^En.
п=1
Оно имеет максимальную вероятность. Если p£UT) то для вся-
кой непрерывной функции <р(р) имеет место равенство (6).
В самом деле, для фундаментальной системы это следует из
определения, для любой непрерывной—из возможности равно-
мерно аппроксимировать её функциями {©*}.
J 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
421
Лемма доказана.
Заметим в заключение, что в силу инвариантности мер рр
множество UT инвариантно.
Геометрический смысл леммы таков: почти для всех точек р
(в смысле любой инвариантной меры) множество тех точек q,
для которых индивидуальные меры рд отличны от индивидуаль-
ной меры рр, образуют множество р;-меры нуль.
Определение. Инвариантная мера р транзитивно, если
при любом разбиении R на сумму двух измеримых инвариант-
ных множеств без общих точек А и R — А из рЛ>0 следует
р (R — А) = 0.
Теорема 6. Если p£UT (см. лемму), то мера рр тран-
зитивно.
Пусть pfzAdUr, где А—инвариантное измеримое множе-
ство, и пусть <р(г) непрерывная функция.
Так как в силу формулы (6)
? (г)	? W Рр (йг),
R	R
кроме, быть может, точек множества {?} рр-меры нуль, то,
умножая обе части этого равенства на (?)рр№), где <рА (?)
есть характеристическая функция множества А, и интегрируя
обе части по множеству U, находим:
§ { § ? W Рв (*•) }	(в) v-p №) =
й в
=	? (г) Рр (dr) J (?) рр (dq).
ив
Правая часть этого равенства, очевидно, равна
5 * (г) Рр (dr) • § Ч>А (е) Рр (dg) = Рр И) • ? (г) Рр (dr).
R	V	R
Преобразуем теперь левую часть. Имея в виду, что А инва-
риантное множество и поэтому <рА (j (?, t)) = ©д (?), применяя
формулу (4), получаем:
S Т	=
= 5 {Ит т 5?	dt} ®4 ир =
и *	" б
dt.
v
V2.2
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Так как рр—инвариантная мера, то внутренний интеграл не
зависит от t, он равен
v
и мы будем иметь:
5 {5 ?(r)T-e(dr) } ?А (^) = \
и R	j	и
Следовательно,
И/Л  ® (dr) = ® (q) up (dq).
1<	А
Последнее равенства, выведенное для непрерывной функции
о (г), справедливо также для любой ограниченной измеримой
функции. Полагая, в частности ?(г) = ?А(г), находим:
РрЛ • р.рА » р.рА или рр (Л) [рр (Л) — 1] = 0;
откуда или ррА = 0, или ррЛ = 1.
Теорема доказана.
Её можно сформулировать так: множество точек, для кото-
рых соответствующие индивидуальные меры транзитивный,
имеет максимальную вероятность.
Определение. Точка p£U называется точкой плотности,
если для любого е > 0 имеем: рр (S (р, е)) > 0.
Теорема 7. Множество всех точек плотности Uo инва-
риантно и имеет максимальную вероятность.
Для построения множества UnCU строим в R s-сети для
е==^ ^т== 1> 2> 3> • • •>* пусть это будут {Pi”0»	’ • •» р^~
Тогда
NW,	& 9П
п=1	п—1
Для каждой точки р№> строим непрерывную функцию:
1,
=- 2 “ т? Ср’ ^те)) ’ <р {р> р^)} ;
о, р(р,
х) Эти точки будем называть т р а и з и т и в н ы м и.
$ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
423
Для точки р^и полагаем:
т
?,„„(/(/>, t))dt
**» о
(по следствию теоремы Биркгофа это инвариантная функция) и
определяем (инвариантное) множество Епт = {pi Фпт (р) -- О}-
Пусть ;л—любая инвариантная мера; мы имеем (польауясь
инвариантностью меры ;л и множеств J?nm):
Г
\ Ф(₽)Р'(йр)= \ Гlim А- ( фпт(1(р, t})dt)y. {dp) =
Еп,„	e"L	0
= J.im-M^ \ ?nn»(/(A	=
«С-нзо v V J
V iSntn
= 5 «РшпООН'М 5*	Vnm(p)p-(dp).
Епт	Е,ип-Stun
Так как для p£Snm имеем ?nrn = l, то получаем:
Определяем:
V-{EnmSnm)^Q.
03 Nm
UD~U- 2 -Snm.
m—1 n-=l
Так как для любой инвариантной меры p(U—С7Л — О),	Un
имеет максимальную вероятность.
Покажем, что всякая точка плотности p^U входит в мно-
жество UD. Пусть Snm — любая из сфер, заключающая р; най-
дётся такое s > 0, что 5 (р, s) CZ Snm. По определению точки
плотности имеем:
0<P-p(5(p,s))= J) XS(p,e)(r)Pj>(A-) < §<Pnm(r)M'
R	R
= lim — (<?nm(/(p, 1))а1 = Фпт(р)1),
т. e.? если точка плотности p£Snm, то ре£пт,
следовательно,
«j
P^U~^ ^Elim-Snin = UD.
пг=1 к=1
*) Здесь, и в дальнейшем xs (р) обозначает характеристическую функ-
цию множества Е.
424
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Покажем далее, что если р не является точкой плотности,
ТО P$UD.
По предположению существует такое е > 0, что (S (р, е)) = 0.
Для этого е определяем тп ив условия ~ ~. По построению
найдётся точка р(*п> такая, что f (р,	~ .
Тогда
Р 6 «(Л«. С 5	<= 5 (Р,.).
Имеем:
0==^(^(р, е))= ( 7.8(Pfi)(.r)	{dr} С ?пт(г)р-р(^ =
й	и
= Нт ~	(/ (р, 0) dt = Ф„т (р).
г->со * v
Таким образом, Фгт(р) = 0, т. е. р^Епт. Так как рС5,,гп,
то
Р ^Епт • Snm, то-есть plUD,
что и требовалось доказать.
Наконец, множество U D инвариантно, так как, если p^Un,
то для данных t и е>0 найдётся ег > 0 такое, что f(S(p, ej, t)
CS(f(p, t), s); откуда, в силу инвариантности меры рр,
[$0(Р, t), в)] > НР [/ (S (р, еД, «)] =	[5(р, ej] > 0,
т. е. / (р, t) также является точкой плотности при любом t.
Точки P^.Ut-UTj — Uh называются регулярными-, это те
точки, которые являются одновременно транзитивными и точка-
ми плотности.
Множество Un регулярных точек в силу теорем 4 и 5 инва-
риантно и имеет максимальную вероятность.
Теорема 8. Множество Un (замыкание множества регу-
лярных точек) является минимальным, центром притяжения
для системы f(p, t)1).
Обозначая через <ps (р) = (пЕ,в) (р) характеристическую
функцию множества S (Un, s), по определению центра притяже-
’) Мы пользуемся терминологией § 6, гл. IV. Крылов и Боголюбов упо-
требляют термин: «движения j ip,t) являются статистически асимптоти-
ческими к множеству Vjf>.
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ	425
ния для любого s>0 и любой p£R, мы должны иметь:
*с
4 С
р I/ (Р, t) eS(UR, е)] = lim А \ ?s (/ (р, £)) dt = 1.	(8)
‘ <5
Для регулярных точек p^UR равенство (8) очевидно. Допу-
стим теперь, что найдётся нерегулярная точка ре и число
7(0<бу<1) такие, что равенство (8) не выполняется, т. е.
Р[/(?о, Об 8(UR, s)] = 1-Y< 1.
Значит, найдётся последовательность чисел	limtn=oo
п—>со
такая, что
-п
lim 4- ?Д/(Р, 0)	1—у.
Обозначая опять через трв(А) меру, которая равна 1, если рв£А,
и равна 0, ели р„ 6 R—А, образуем последовательность мер трв, тп,
как при построении индивидуальных мер. Теперь эта последо-
вательность вообще не сходящаяся, так как точка рв может и
не быть квази-регулярной, но в силу теоремы 3 (компактности)
существует подпоследовательность {т,'} GZ {т,J такая, что тРс,^
сходятся (слабо) к р*с, где — инвариантная мера. При этом
в силу теорем 6 и 7 имеем:
и? *4=1, р:(^-^в)=о.
Строим непрерывную функцию ®(р):
[ 1, реиРр,
I 4	—
?(?) = { 1 ~ ?(Р, ио<_ Р (р, ип) < s;
I 0, p(p,UR)^s.
Для меры р* мы получаем, применяя рассуждение, приводящее
и формуле (4),
Ит ^ © (/ (р, t)) dt =	? (д)	(dq).
“о	R
Ввиду выбора функции е>(р), имеем длд правой части послед-
него равенства:
? (?) Р* (^) > Хцк (д)	(^) =	=1
к	н
426
ГЛ- V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
и для левой части
lim 4 Л ? (/ (р, «)) <Й < lim	®s (/ (р, *))
П-*0О W ~	52-КХ5	~
Переходя к пределу по последовательности -г', мы получаем:
lim— \?s(/(p, «))(?«=!,
п->оэ «J
что противоречит выбору последовательности {cn}ZZJ{c«}.
Итак, мы доказали, что Ur есть центр притяжения.
Покажем, что вто минимальный центр притяжений. Допу-
стим, что существует центр притяжения М, составляющий истин-
ную часть множества UR. Так как М по предположению мно-
жество вамкнутое, то найдётся точка p^Ur, р(р, М) —а > 0;
тогда
Так как р есть точка плотности, то (^р,	>0; следова-
тельно, u.p5 (м,	< рр (R) = 1. Отсюда
Р [/(Р, 0 €5 (М,-“-)]<!,
т. е М не есть центр притяжения.
Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим движения в области R
я?+у'<1
плоскости Е2, определяемые дифференциальными уравнениями:
57 =	57 = ж + у(1-а;2-у’);
или, в полярных координатах,
л dr /л
dt ’ dt '	7
Мы имеем: точку покоя г-=0 и предельный цикл г = 1; все
движения, для которых начальные значения гв удовлетворяют
условию 0<г0 < 1, неограниченно приближаются при I—>—-оз
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
427
lim — ф(г(£), &(*)) dt =
" о
к предельному циклу. Здесь все точки являются квази-регу-
лярными. Для точки покоя это очевидно; далее, беря сначала
1 = 2пк, где п—число натуральное, имеем для любой началь-
ной точки (г0, &0), гв=^=0, и любой функции ф(г, $), непрерыв-
ной в круге т. е. периодической по & с периодом 2тс:
-	п-1
о	fe=O ’few
n - 1 2n
k=0 0
Но в силу закона движения: lim г (t -f- 2Ате) = 1,	=
= 9 (£) = &of; поэтому
255
О
fa
(Г
Последнее равенство имеет место ввиду периодичности функции
ф по аргументу
Так как функция (г, &), будучи непрерывной, ограничена
в области R, то, очевидно, рассматриваемый нами предел
существует и равен одному и тому же значению при любом
способе стремления -с к со. Следовательно, каждая точка
p£R есть квази-регулярная.
Таким образом, мы имеем две инвариантные меры: во-пер-
вых, р0-меру, соответствующую точке <9(г —0), которая опре-
деляется так:	О Г~ А; р(А) = 0, OCZ.R — А" во-вторых,
каждая из точек р {гвг &0), при 0<г0<1, определяет инва-
риантную меру р.р, одну и ту же для всех этих точек, так как
в силу последнего равенства и формулы (4):
5 ? (г> &)	5 ®
в	о
где правая часть не зависит от (гв, &0).
Из последнего равенства можно найти явное выражение для
В самом деле, мы имеем равенство функционалов, опреде-
лённых для непрерывных функций. Пусть А— любое множество,
428
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
измеримое В. В силу замечания к теореме Риса-Радона эти
функционалы однозначно расширяются на измеримые ограни-
ченные функции, в частности, на характеристические функции
Та (г, ®) множества А, и мы получаем:
2я
Г	4 I*	1
\ (г, % = 2^ J	' <г == 4)Ь
в	о
В частности, рр{г = 1} = 1 и 1!;.Ц} = 0, если 4-{г=1} = П-
Точки (г0, &„) при 0<rt<l не являются точками плот-
ности относительно меры рр, так как, выбирая е •< --  Г|> и пола-
гая
? (г, 8) = 
L
1, РК'оЛо), (г, &)] <s;
2-v l(re, 8Д (Г, 8)], «РЦг0, 80), (г, &)] <2е;
О, ₽ [(г., 6.),^, «)] > 2е,
мы находим:
г.	’	*
О = \ ? dpp = lim — ( © (г (t), 8 («)) dt > lim -- \	(г (i), & («)) dt —
J	т->ео т J	»-и» т J
= P[(r(Z),8(Z))6S((rB,&e), в)],
где <?s — характеристическая функция множества 5 ((r0, &0)rf s).
Таким образом, Р=0.
Всё значение индивидуальных мер рр выясняется следующей
теоремой.
Теорема 9. Всякая нормированная инвариантная тран-
зитивная мера р. совпадает с индивидуальной мерой р-р, еде
р — любая точка некоторого инвариантного множества £>г.
Выделяем из R множество F точек таких, что для p£F
имеем р. (S (р, е)) > 0 для любого s > 0. Легко показать, что
F—замкнутое инвариантное множество и что р(7? — F) = 0,
т. е. y.F= 1.
Ввиду транзитивности меры р существует множество
<§р CZ F, = 1 такое, что для любой точки р £ <§р при любой
непрерывной функции 9(р) временное среднее имеет постоян-
ное аначение, т. е. (в силу следствия из теоремы Биркгофа)
lim 4 \ ф (/ (р, 0) dt =	(р) р (dg, =Д <? (р) р (dq).
т~*°о в	R	<₽»
$ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
425
Сравнивая этот результат с определением (4) инвариантной
меры [1р, мы видим, что р = рр, где	Теорема доказана.
Следствие 1. Множество состоит из регулярных точек,
ч. е. (§рС*7н.
В самом деле, при построении множества мы отобрали
все точки, где существует временное среднее, т. е. <gp(ZUz
далее, мы отбирали «точки плотности» относительно р, т. е. отно-
сительно рр, значит finCUu- Наконец, <§рС^т, так как
выполняется условие (о). В самом деле, если	то
?(г)р«(^г)== § фО^рДйг); множество же точек q$U — (§p
Р-	R
имеет рр-меру нуль. Поэтому интеграл (6) равен нулю.
Следовательно,
SpdUL) - Z7T — UR.
Следствие 2. Множество регулярных точек Ur разбивается
на систему множеств {^} без общих точек, каждое из которых
объединяет точки с тождественными индивидуальными мерами.
Эту общую для индивидуальную меру обозначим через pg,
а каждое из множеств назовём эргодическим. Множество всех
мер, соответствующих эргодическим множествам, называется
фундаментальной системой инвариантных мер и обозна-
чается Sp.. В примере 1 таких мер было две. Их может быть
я бесконечность, даже континуальная.
Пример 2. BE2 система задана дифференциальными ура-
внениями:

dt 
ял и, в полярных координатах,
±1=0 — = 1
dt v> dt
Проводя выкладки, аналогичные тем, какие были в при-
мере 1, легко убедиться, что все точки, лежащие на круге г = а,
где а—постоянное, имеют общую индивидуальную меру:
Р-р М) = mes (А - {г = а}),
и являются точками плотности; следовательно, они образуют
эргодическое множество. Мы получаем континуум эргодических
множеств, и фундаментальная система содержит континуум
различных мер.
430
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Связь любой инвариантной меры р с фундаментальной си-
стемой инвариантных мер получена уже нами в формуле (5')-
М=
V
где А—любое множество, измеримое В.
Заметим, что всякая линейная комбинация фундаментальных,
мер вида:
п	п
Р ==	a.-Psj > °> 2 К; = 9 ’	(9)
i=l	i—'i
является инвариантной нормированной мерой. Далее, из харак-
теристического свойства инвариантной меры р(ш—любая непре-
рывная функция):
? (/ (Р> *) Р	? (Р) Р (dp)t
R	R
следует, что всякая предельная мера для последовательностей
(9) также есть инвариантная мера.
Укажем общую форму всех инвариантных мер. Пусть т(Е)
любая (вообще не инвариантная) мера, нормированная на мно-
жестве U квази-регулярных точек: пг(Й) = пг(Д)=1. Тогда
любая инвариантная нормированная мера имеет выражение
Р (Е) = и,, (Е) т (dp).	(10)
В самом деле, очевидно, «.(/?) = !. Далее, р инвариантна.
Действительно,
Р (/ (Е, 0) = Рр (/ (Е, «)) т (dp) == ^ Рр (Е) т (dp) = и. (Е)
и	и
— в силу инвариантности меры- рр(Е). Наконец, любая инва-
риантная мера рЕ по формуле (&') выражается интегралом
Р(Е)= pp(E)p(dp),
т. е. выражением вида (10).
В силу сноски н начале этого параграфа, мера т является
предельной (в смысле слабой сходимости) для последователь-
ности мер:
PiCU, где а{>0,
«-4	i~t
§ в. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
431
Отсюда следует, что мера р является (слабо) предельной для
мер-
п
(£) =	(Е) тп {dp) =	ai Fp (Е) nlvt (dP) =
U	i~ i XJ
n
= 2 afH>i (E)>
i= i
т. e. любая инвариантная нормированная мера является преде-
лом мер тина (9).
Определение. Система называется строго эргодической,
если она состоит из единственного эргодического множества,
или, что то же, если в системе существует единственная инва-
риантная мера, и все точки системы являются точками плот-
ности относительно этой инвариантной меры.
Теорема 10. Всякое минимальное множество, состоящее
иг почти периодических движений, строго эргодическое.
Для почти периодического движения при любой непрерывной
функции <р (р) функция у (/ (р, t)) почти периодична в смысле
Бора по переменному t, т. е. существует для заданного г > 0
относительно плотное множество смещений {т} таких, что
1?(/(р,«+’))-?(/(?»0)1 <е-
Это легко следует из того, что <р(р) равномерно непрерывно на
компактном множестве / (р; I) - поэтому для данного е > 0
существует такое о, что из р (г, q) < 8 и г £ / (р; I), q£f (р; I) сле-
дует: |<р(г)— ?(ff)i<s- Тогда каждое смещение т(8), такое,
что р(/(р, t-j-т), j{p, /))<8 будет искомым e-смещением для
?(/(А «))•
На основании теоремы Бора существует среднее значение
т
lim ~ ®(/(р, t))dt,
о
т. е. все точки q£j(p. I) квази-регулярны.
Далее, для любой точки q £f (р; I) найдётся сходящаяся к ней
последовательность {pn} :pn==/(p, tn), и так как при этом
/(р, tn +t) равномерно по t, сходится к f{q, t) (см. глава IV, § 8,
теорема 4), то то же среднее значение существует и для q, т. е.
т	т
lim \ <р (f(q, t)) dt ------- lim ~ ( ф (/ (p, t)) dt;
J	т->со Л
•432
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
иными словами, на / (р; 7) существует единственная инвариант-
ная мера р (4), равная вероятности пребывания при t—»со
точки р в множестве А.
Наконец, каждая точка почти периодического движения
является точкой плотности относительно этой инвариантной
меры. В самом деле, опишем вокруг точки р две сферы: S (р, е)
nS(p, 2s), где е >0 —произвольное число. Если /(р, t0)£S(p, е),
то найдётся дуга f(p, [Zlf Z2]) ZZS(p, 2s), причём i1<Z0<Z?
и — z, > a(e) > 0 J). Так как возвращения движения f(p,t)
в S(p. s) относительно плотны с интервалом L(e), то
P[/(p, t)£S(p, 2s)]>^>0,
Xj
а зто показывает, что р есть точка плотности.
Теорема доказана.
Отметим, что в этом случае: UR = fXp;I).
Рассмотренный в § 7 гл. IV пример минимального множе-
ства движений не почти периодических даёт нам строго эрго-
дический случай; в самом деле, если после отображения ме-
ридиана ср =« 0 на круг Г мы отобразим все движения на
тор S(<p, &) с меридианом Г, то иэ движений на совершенном
множестве получатся движения почти периодические, всюду
плотно заполняющие тор (тот факт, что два первоначальных
движения, соответствующих начальным точкам на двух кон-
цах смежного интервала множества, отождествляются в одно,
не влияет на меру). Единственная инвариантная мера этого
почти периодического движения перенесётся вместе со свой-
ством строгой эргодичности на первоначальные движения на
множестве А.
В общем случае нельзя утверждать, что всякое минималь-
ное множество реализует строго эргодический случай. А. А. Мар-
ков построил пример минимального множества, в котором неко-
торое движение не является квази-регулярным, т. е. существуют
по крайней мере две инвариантные меры.
х) Для точки /(р, t), достигшей S (р, в), нижняя граница промежут-
ков времени, протекшего ог входа в S (р, 2s), больше нуля. Допустив
обратное, мы можем найти последовательность пар точек {р„, р„У такую,
что
₽(?«< />)=«, ₽(/>', p) = 2s; /£=Лй4, t„),
n->co
В силу компактности пространства f(p, i) множество {рп} имеет предель-
ную точку р'. Бее ограничения общности можно допустить, что
lim р*—р', причём р ( р‘, р) == з. Мы имеем: lim =lim / (у/, *„)=р"-
n-н» п-к»
Между тем р) —s и р р) = 2$. Противоречие доказывает наше
утверждение.
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
433
Пример минимального множества, не явля-
ющегося строго эргодическим (А. А. Марков). Для
построения этого примера введём метрическое Пространство Rv,
которое представляет большой интерес для целого ряда вопро-
сов, связанных с динамическими системами.
Точками пространства являются непрерывные функции <р(ж),
определённые на всей бесконечной числовой оси —оо<ж<-фсо.
Под расстоянием двух точек <р (ж) и ф (ж) понимается:
р(?»ф)= sup min Г | <j> (ж) — ф (ж)	-1 .	(11)
-оэ<х<4-оо L	I I J
Это определение просто интерпретируется геометрически. Мы
строим на одном чертеже графики функций г/ = |о(ж)—ф (ж)| и
1
у =	1 и затем стро-
им непрерывную
функцию, ордината
которой равна наи-
меньшей из ординат
этих двух кривых.
Максимальная орди-
ната этой последней
кривой и даёт тре-
буемое расстояние
(черт. 38).
Легко проверить, что пространство функций {<р (ж)}, с так
определённым расстоянием является метрическим.
Заметим, наконец, что в этой метрике неравенство: р(у, ф)<г
эквивалентно неравенству: | <р (ж) — ф (ж) | < е, при [ ж | < —.
Следовательно, предельное равенство lim р (<рп (ж), <р (ж)) = О
п->оо
означает, что последовательность {?п(ж)} сходится к ф(ж) для
— оо<ж<-|-оо и притом равномерно на каждом ограниченном
интервале.
Из этого замечания следует, что метрическое простран-
ство йи имеет счётную базу, т. е. счётное всюду плотное
множество точек-функций, а именно: достаточно взять множе-
ство всех многочленов от ж с рациональными коэффициентами.
Действительно, для любого s > О и любой непрерывной функ-
ции <р(ж) найдётся многочлен из этого множества, аппроксими-
рующий на интервале — y ’ 4"^) ЭТУ функцию с точностью до s.
Немыцкий и Степанов	28
434
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
В пространстве Rv определим динамическую систему следу-
ющим образом. Если точка р=^(х), то /(р, 4)==<p(sc4-4), или
/(<р(я), 4)=у(я4-0» т. е. перемещению точки по траектории на
интервал времени I соответствует сдвиг функции вдоль оси ж
(изменение аргумента ж) на длину t. Это преобразование f(p, t)
удовлетворяет всем условиям динамической системы. Для
свойств группы этот факт очевиден, следует проверить лишь
свойство непрерывности.
Пусть р [f^n (я), Т (®)] —> О и гп“>г? таким образом, мы имеем
последовательность функций <ри(я4-4п) и функцию	Тре-
буется доказать, что
lim Р [?п (» + *п), ? (®+*)] = °-
П->оо
Пусть задано произвольное е > 0. В силу первого предель-
ного равенства можно найти такое Nv что для п > при
заданном t и при х, удовлетворяющем неравенству: | х | < —,
мы будем иметь: | <fn (х + 4)—<р (я 4- 4) | < ~. Далее, в силу рав-
номерной непрерывности функции <р(ж) на отрезке — I—
2	1
< х < — t +• — , можно найти такое 5, большее 0 и меньшее — ,
S	S
что
1?М~?ИК у»
если
— 4 — |-<я’<—4-|-|-, —4 —4 + -J и \х' — х"\< &.
Выбираем такое JV2, что |4П — 4 |<S при	Тогда, если
i 1
AT=max [Nv Nt], то для—-<я<— и n>2V имеем:
I (ж+ «„) — ? (я 4-4)[ <
<1?п (®4-М-т(з+У1+|'Р(а:+гп)-+ *)1 <е>
т. е.
Р [<?п (®+	? (я 4- 01 = Р I/ (Рп» U» / {Р> 01 < а-
Непрерывность доказана.
Отметим, что для того, чтобы в пространстве Rv движение,
определяемое функцией ср(ж-{-4), было устойчиво по Лагранжу,
необходимо и достаточно, чтобы функция <р (я) была ограничена
и равномерно непрерывна на интервале (—со, 4-°°)-Это утвер-
ждение является непосредственным следствием условия Арцела
компактности семейства функций на конечном интервале.
$ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
435
Переходим к примеру А. А. Маркова. Рассмотрим движение
в пространстве Ни, определённое в качестве начальной точки
следующей функцией <р(ж):
Мы берём неубывающую последовательность натуральных
чисел {ап}, подчинённую условию:
Затем строим последовательность чисел {рп}:
71
₽х = 2ах+1, Зп = П(2^ + 1).
fe=i
Каждое целое число N единственным образом может быть пред-
ставлено в виде
N = св + сА + с2В2 + ... +	(12)
где целые коэффициенты с, подчинены условию: |cf|<aU1. В са-
мом деле, мы последовательно найдём св, с,, с2)...: деля сначала
N на 2ят4-1 и выбирая частное так, чтобы остаток с0 был наи-
меньшим по абсолютной величине, т. е. | с0 |<ах; далее, деля
полученное частное на 2аг4-1 с наименьшим по абсолютной
величине остатком сх, так что |сх|<а2, и т. д.
Мы можем условно считать разложение (12) бесконечным,
причём cTOtl = cm+a= ... — 0. Далее, определяем целочисленную
функцию: х(Лг) = Л, если в разложении (12) для N коэффициент
ск—0, тогда как ни один из предыдущих коэффициентов нулю
не равен. Теперь мы можем определить <р(№) для целочислен-
ных значений аргумента:
?(2V) = ( —1)/(W>.
Наконец, для нецелых значений х определяем у (ж) линей-
ной интерполяцией между смежными целочисленными значения-
ми аргумента. Определённая таким образом функция <э(ж)
удовлетворяет условиям:
|<р(ж)|<1, |?(®')—?(ж")|<2|ж'—ж"|,
т. е. она ограничена и равномерно непрерывна на интервале:
(— 00,4-0°). В сиду сделанного выше замечания движение
}(р, i) = 9 (ж 4-0	(13)
с начальной точкой р=?(ж) устойчиво по Лагранжу.
28*
436	ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Покажем, что движение (13) рекуррентно. Для этого, в силу
теоремы 4, § 7, гл, IV, достаточно доказать, что для любого
е 0 множество значений t, для которых
р[<?(ж), ?(® + -t)]<s,
относительно плотно.
Лёгкий арифметический подсчёт показывает, что совокупность
чисел yV, для которых cn = cnil = cn^ = ... =0, есть множество
всех целочисленных точек сегмента £ —, ^п2 -J . По дан-
ному s>0 мы находим такое п, что	. Покажем, что
в качестве т можно взять любое число, кратное рп+1: =
т—целое, т. е. что
р[?(ж), ?(ж-Ь»г₽п+1)]<е.
Б самом деле, пусть В = с0 -{- cJB, + ... + cn-iPn-i ~ целое число и
ге[_Ь=>,Ь=1]:
® силу выбора t мы имеем разложение:
т = C!l+1Pn+1 4" Cn+sPn+2 4" • • • ,
где |Cn+*|<an+*-i, приА>1. Отсюда
Е + *= == с0 4- CiPt	. -f-	4~ c'n*i?n*i 4- cn+spn+2 4-.. -
Сопоставляя разложение Е и Е4_'с, мы видим, что оба эти чис-
ла имеют первый равный нулю коэффициент ск при и у
обоих чисел коэффициенты с0, с1,...,сп совпадают. Поэтому для
любого целого Еб £—~~ мы имеем: ?(?)=?(£ 4~'с)-
В силу определения функции <р(ж) мы имеем также для неце-
лых ж:
?(ж) = 9(к4--с), если же [—Цр , ^у^] и ,с=л^п+1.
Отсюда, в силу выбора числа рп и определения расстояния,
следует:
Pl?(Ж),?(ж4--ОК г.
Совокупность чисел {-t}, как образующая арифметическую про-
грессию, относительно плотна. Таким образом, рекуррентность
движения (13) доказана.
Покажем, что минимальное множество, содержащее рекуррент-
ное движение (13), не является строго эргодическим. Для этой
$ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
437
цели определим в пространстве Ru непрерывную функцию Ф(д),
следующим образом: если q = ф (ж), то Ф (?) = Ф (ф (ж)) = ф (0).
Заметим, что в этом случае
Ф (/ {q, «)) = ® (Ф (ж + *)) = Ф (0-
Покажем, что для этой функции не существует предела при
»оо выражения:
Т	Т
— 5	(14>
о	'о
В самом деле, прежде всего, в силу чётности функции <?(£)
выражение (14) можно заменить равным ему выражением:
А <p(i)di.	(14')
Далее, если иг2 и тпг любые целые числа и т1 иг2, то выра-
жения
(Z) dt
m-4
и 2
n=mi
или равны между собой или различаются не более, чем на -%.
Действительно, последняя сумма равна
, 1
”’s+-<
Ф (z) dt,
1
mi—3
где ф (г) = sgn <p(i), так как в каждом интервале (4 —	+
(к — целое) ф (£) равна значению <р (Л). Если <р (к) = ф (А +1), то
fe+i	fe+i
?(«) = ф(«), для &<£<& + ! и поэтому <p(i)di= &(t)dt;
k	k
k+t	Л+1
если <j> (к) = — у (к -f-1), то <р (i) dt = 0 = \ ф (г) dt. Следова-
тельно, интегралы от <р и ф могут различаться только на интер-
валах (гп,^—и ms + 4) в слУчае> еСли
438
ГЛ. V. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
меняет знак при переходе от тг — 1 к или от mt к пг2+1;
но каждый из этих интервалов даёт в этих случаях для
[?(0 — $(£)] dt значение, по абсолютной величине не превы-
1
шающее , что и доказывает наше утверждение.
Поэтому мы будем для оценки выражения
Z(2jV + l) = ^i
(АГ натуральное число) вычислять сумму
5(2274-1) = ^	?(*)•
Положим 22V’4-l = pn, т. е. —	Легко усмо-
треть, что все числа к этого интервала имеют разложения
= ^0	' * + Сп-1 ^П-1»
где независимо один от другого коэффициенты пробегают зна-
чения:
I ®0 I а1> 1^11^ К2> • • * , 1 ^П-1 I ®П»
всего (2^+ 1)(2а±-|-1) ... (2ап--|1) = [В,г чисел. Те из них, в ко-
торых со = 0 и, следовательно, ® = 1, соответствуют фиксирован-
ному значению со = 0, тогда как clt cs, ...,crt_1 произвольны;
следовательно, число их равно ' Далее> те числа к, в
которых с0 чЬ 0, сх — 0, т. е. <р = — 1, соответствуют значениям
са ФО, сх = 0, остальные коэффициенты произвольны; их число
есть «^Г+1 ’ 2а~^л' Вообще в рассматриваемом интервале коли-
чество чисел к, для которых при — 1 имеет место: сг = 0,
с0 =£ 0, q Ф 0, ..., сг_, Ф 0, равно
. 2gt . 2аа .	. 2gZ-l
2аг +1 2at +1	2а3 4-1	' ' '	2aj_! -J-1 ’
причём для соответствующих к имеем: <р (А) = ( — 1/. Наконец,
количество тех чисел к Q к j <	, для которых
Со • «1 • • -  * Сд—1	0,
есть
r 2gt	2,1 -
™ ’ 2^ + 1 ’ 2s2 + l * • • • ’ 2a„4-l‘
§ 9. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
439
12^+1 2as + l
т (_ 4 \n-l Pn
* ’•	4	2an + l
Мы имеем таким образом
2«t 	
‘ Sai + l-1-	1
2<*1 . 2аа #	# 2аи_1
2а, 4-1 2«2 +1	2сси__14-1
_L t  iyi о . 2al , 2g2 .
‘ '	4 Pn 2a,+ 1 Sctg + l
2«л 1
2“n+1J
ИЛИ
£ (₽n) == Bo — Bl + w2---F (— I)""1 Wn-1 + (— l)n nn,
где
. __ _1_	____________2a; • 2a2   .  ч________
°	2a, +1 > u«i (2в1 +1) . (2<% +1) . ... . (2а)я +1) • (2am+1 +1)
(m=l,2,... tn — l) и
n
n =][ 2gl-.
n llZaj+l
1=1
Отметим, что бесконечное произведение
ОО
П=итЩ-П2Йл
1==1 г~
сходится (т. е. П > 0), так как его можно представить в виде
1=1
ОО	03
а ряд L- сходится одновременно с рядом 2^ •
i=i	1-1 *
Бесконечный ряд а0—u,-j-u2—... сходится, так как
Вщ-и = вт 	। л Чщ ® 1 ini = limnm •	, л
“mT1	m-к» т-юа
Обозначим а0— и, + и2— ... = с.
Рассмотрим два случая: п чётное и п нечётное.
I. n = 2m. Мы имеем:
С^аш) — В© Hi И2 . . * ”F nsm,
Ит5фгт) = <;+П = 5'.
«г-н»
II. п = 2пг 4-1. В этом случае
(Ргт+1) = Во — U, 4- . . - 4* В8щ Щлш»
m-^co
Так как П =# 0, то S' S".
440	гл. V- СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
Переходя от сумм к интегралам, мы получаем результат:
"W	п
lim Ф (/ (р,«)) dt = S', если	;
lim -А- ( Ф (/ (р, t)) dt = S", если <n =	.
m-»oo т»> J	2
Таким образом, точка /?=<р(я) не является квази-регуляр-
ной, она определяет более одной индивидуальной меры и, следо-
вательно, минимальное множество f(pjl) не является строго
эргодическим.
БИБЛИОГРАФИЯ
Библиография к «Введению»
Та] В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, Изд. 4,
ГОНТИ, М.-Л., 1945.
[s] L. Bieberbach, Theorie der Dijiereraialglelchimgen, Dritte Aufl.;
Berlin, 1930.
[®] E. Kamke, Differentialgleichungenreeler Fwiktionen, Leipzig, 1931.
[4] M. Petrovitch, Integration qualitative des equations differentielles,
Memorial des sc. Math., Paris, 1931. В книге приведена обширная би-
блиография,
[®] Н. Р о i п о а г ё, Memoire sur les courbes definies par les equations dif-
fereniielles, Joum. de Math., 3 ser., t. 7.(1881); 3 ser., t. 8 (1882).
['] H. Poincare, Sur les courbes definies par les equations differenti.elles,
Journ. de Math., 4 ser., t. 1 (1885); 4 ser., t. 2 (1886). Мемуары Пуанкаре
перепечатаны в книге: «Oeuvres de Henri Poincare», Tome 1, 1928.
[’] J. В e n d i x s о n, Sur les courbes definies par les equations differentielles,
Acta Mathem. t. 24 (1901). Русский перевод I главы: «Успехи мат ем а
тических наук», т IX, 1941.
[®] Н. Dulac, Sur les cycles limites. Bull. Soo. math, de France, t. 51 (1923).
[®] A. D e n j о y, Sur les courbes definies a la surface du tore, Camples Rendus,
t. 194 (1932).
[10] A. D e n j о y, Sur les courbes definies par les equations differentielles a
la surface du tore, Joui-n. de Math., t. 11 (1932).
[“] J. Garleman, Sur les caracteristiques du tore, Comptes Rendus, t. 195
(1932).
[12J A. Wei 1, Of Systems of curves on a Ringshaped surface, The Journ. of
the Indian Math. See., vol. 19 (1931—32).
[M] A. Meier, Trajectories on the closed orientable surfaces., Матем. Сбор-
ник, т. 12 (54), вып. 1 (1943).
[м] Ю. Солнцев, О предельном поведении интегральных кривых одной
системы дифференциальных уравнений, Ивв. Ак. Наук СССР, т. 9, № 3
(1945).
Р5] Е. Барбаши н, Локальные особенности обыкновенных точек для<
системы дифференциальных уравнений ДАН, 41; № 5 (1943).
Библиография к главе I
Общие курсы
Р] В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 4-е изд., ГОНТИ,
М.-Л., 1945, гл. II.
[2]	Г. Гогейвель, Обыкновенные дифференциальные уравнения,
ОНТИ, М.-Л., 1937, гл. I, § 11.
1’1 L- Bieberbach, Theorie der Differeniicdgleicliungen, 3 Aufl., Berlin,
Springer, 1930, Кар. h.
442
БИБЛИОГРАФИЯ
Специальные работы
[4]	Н. Р о i П с а г 6, Sur les eourbes definies par les equations differentielles,
Journ. de Math, pares et appl... 3 ser, t. 7 (1881).
[s]	А. Ляпунов, Исследование одного из особенных случаев задачи об
устойчивости движения, Мат. Сб., т. 17, вып 2 (1893). Статья перепе-
чатана в качестве приложения в книге: А. Ляпунов, Общая задача
об устойчивости движения, ОНТИ, 1935.
[®] J. В е n d i х s о n, Sur les eourbes definies par les Equations differentielles,
Acta math., t. 'Lh (1901).
[7]	L. E. Brouwer, On continuous vector distributions on surfaces,Verhandl.
d. Koninkl. Akad. van. Wet. te Amsterdam, t. 11 (1909); t. 12 (1910).
[8]	O. Perron, Vber die Gestalt der Integralkurven einer Differentialglei-
chung erster Ordnung in der Umgebung eines singul&ren Punktes, Math.
Zeitschr., Bd. 15 (1922); Bd. 16 (1923).
[9]	M. Fro mme r, Die Integralkurven einer gewt>hnli.chen Differentialglei-
ehung erster Ordnung in der Umgebung rationdler U nbestimmtheitsstel-
len, Math. Ann., Bd. 99 (1928).
[»»] M. Fro mmer, Uber das Auftreten der Wlrbeln und Strudeln in der
Umgebung rationeder Uribestimmtheitsstellen, Math. Ann., Bd. 109 (1934).
[и] H. FOrster, Ober das Verhalten der Integralkurven einer gewohnlichen
Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singularen
Punktes, Math. Zeitschr., Bd. 43 (1938).
P*] R. Mises, Ober, den Verlauf der Integralkurven einer Differentialglei-
chung erster Ordnung, Compos. Mathem. Bd. 6, Nr. 2 (1938).
[1S] R. boh n, Ober singulars Punkte gewUhnlicher Differentialgleichungen,
Math. Zeitschr., Bd. 44, Nr. 4 (1938).
I14] II. К у к л e с, О необходимых и достаточных условиях существования
центра, ДАН, т. 42, № 4 (1944).
[15] И. Кукле с, О двух основных группах особых точек, ДАН, т. 42,
№ 6 (1944).
[“] И. К у к л е с, О некоторых случаях отличия фокуса от центра, ДАН,
т. 42, № 5 (1944).
Библиография к главе II
[Ч Е. Picard, Sur la forme des equations differentielles du second ordre
dans le vdsinage de certains points critiques, Comptes Rendus, t. 87 (1879).
[*] E. Picard, Traite d*Analyse, t. Ill, 1896, G.-V. Paris', ll-deed., 1908.
[s] H. P о i n с a r 6, Sur les proprietes des functions definies par les equations
aux differences partielles {These 1879).
[4]	H. Poincare, Sur les points singuliers des equations differentielles,
Comptes Rendus, t. 94 (1882).
[s]	H. P oi near ё, Sur les eourbes definies Equations differentielles, Journ.
de Math., 4 ser., t. 2 (1886).
[®] А. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Харьков,
1892 (Диссертация). Второе издание, ОНТИ, Л.-М., 1935.
[’]	Н. D u 1 а с, Solutions d’un systeme d’equations differentielles dans le
voisinage des valeurs singulieres, BuU. Soc. Math, de France, t. 40 (1912).
[8]	G. D. Birkhoff, Stability and the Equations of Dynamics, Amer.
Journ. of Math., vol. 49 (1927).
[9]	G. D. Birkhoff, Dynamical Systems, N. Y, 1927. Русский перевод:
Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, ОГИЗ, _М.—Л., 1941.
[10]	G. D. Birkhoff and D. С. Lewi s; On the periodic motions near
a given periodic motion of a dynamical System, Annali di Mathem, t. 12
(4), (1933).
БИБЛИОГРАФИЯ
443
[u] О. Perron, Uber Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Integrate
von Diffcrentialglcichun.gssystem.en, Math. Zeitschr., Bd. 29 (1928).
[12J O. Per r’o n, Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleiohungen, Math.
Zeitschr., Bd. 32 (1930).
[1S] I. Pet rowsky, Uber das Verhalten der Integralkurven eines Systems
gewohnlicher Differentialgleiohungen in der Nahe eines stngularen Punktes,
Матем. Сборник, т. 41, вып. 1 (1934).
(“] I. Petrowsky, Nachtrag zu meiner Arbeit: «Uber das Verhalten...»,
Матем. Сборник, т. 42, вып. 3 (1935).
[15] И. Малкин, Некоторые основные теоремы теории устойчивости
движения в критических случаях, Прикладная математика и механика,
т. 6, № 6 (1942).
Библиография б главе III
Общие курсы
I1] Г у р с а, Курс математического анализа ГТТИ, М.-Л., т. II, ч. II,
гл. XX, III, 1933.
[®] G. Horn, GewQhnliche Differentialgleiohungen, Berlin, 1925.
Специальные работы
[®] G. F 1 о q u е t, Sur les equations dtfferentlelles linSairps a coefficients
periodiques, Ann. Ёс. Norm., 2 s., t. 13 (1883).
[4]	H.Poi ncare, Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, t. I, t. II,
t. Ill, 1892.
[s]	А. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Харьков,
1892. Переиздание этой книги: ОНТИ, 1935, гл. III.
[6]	J. Н a d a mard, Sur I’iteraiion et les solutions asymptotiques des equ-
tLons. dtfferentielles, Bull. Soo. Math, de France, t. 29 (1901).
[7]	G. Birkhoff, Surface Transformations and Their Dynamical Appli-
cations, Acta Mathem., vol. 43 (1922).
[31 G. Birkhoff, Dynamical Systems, N. Y., 1927. Русский перевод
книги: Д ж. Д. Биркгоф, Динамические системы, М.-Л., 1941.
[9]	G. В i г k h о f f, Stability and the Equations of Dynamics, Amer. Jown.
of Math, vol. 49 (1927).
[10]	G. Birkhoff, Sur I'existence de regions annulaircs de I’instabilite,
Ann. .de I’Institut H. Poincare, t. 3 (1931).
[lx] G. Birkhoff, Nouvelles recherches sur les systimes dynamiques, Mem.
Pontf. Acad. Scien. Novi Lyncei, ser. Ill, vol. 1.
[I21 G. Birkhoff and D. Lewis, On the periodic motions near a given
periodic motion of a dynamical system, Annalidi Math., ser. 4, t. 12. (1933)-
[131 D. Lewis, On certain periodic motions of dynamical systems with more
than 2 degrees of freedom, Amer. Journ. of Math, vol. 56 (1931).
[l4l А. Андронов и А. Витт, Об устойчивости по Ляпунову, Жур-
нал експер. и теоретич. физики, А? 5 (1933).
[I51 Н. А. Артемьев, Осуществимые движения, Известия Акад. Наук-
СССР, серия матем., № 3 (1939).
[16J Н. А. Артемьев, Осуществимые траектории. Известия Акад.
Наук СССР, Серия матем., № 4 (1939).
[17] Н. А. А р т е м ь е в, Исследование осуществимости периодических
движений, Известия Акад. Наук СССР, Серия матем., т. 5, № 2 (1941).
[м] N. Artemieff, Stabilite аи sens de Liapounoff et nombre de solutions
periodiques, Compos.. Math., t. 6, 1 (1938).
I19] J. Petrowsky, Uber das Verhalten der Integralkurven eines Systems
gewijhnlicher Differentialgleiohungen in der Nahe eines singularen Punktes.
Матем. Сборник т. 41, № 1 (1934).
444
БИБЛИО ГРАФИЯ
Библиография к главе IV
[*] G. D. В i г k h о f f, Quelques theoremes sur les mouvements des systemes
dynamiqu.es, Bull. Soc. Math de France,, vol. 40 (1912).
[2] G. D. Birkjtioff, Ober gewisse Zentralbewegungen dynamischer Systeme,
Gott. Nachr. (1926).
[s] G. D. Birkhoff, Dynamical Systems, N. Y., 1927, Ch. 7;* русский
перевод Дж. Д. Б и р к г о ф, Динамические системы; ОГИЗ, М.-Л.,
1941.
[4] G. D. В i г k h о f f, Some unsolved problems of theoretical dynamics,
Science, vol. 94, № 2452 (1941).
[s] A. M a p к о в, Sur une propriety generale des ensembles minimaux de-
м. Birkhoff, Comptes Rendus, t. 193 (1931).
p] A. M a p к о в, Об одном общем свойстве минимальных множеств, Рус-
ский Астроном, журнал (1932).
[7] А. М а г к о f f, Stabilitat im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizitat,
Math. Zeitschr., Bd. 36 (1933).
[®] P. Franklin, Almost periodic recurrent motions, Math. Zeitschr.,
Bd. 30 (1929).
[®] W. Step an off et Tychonoff, Sur les espaces de functions-
presque-periodiques, Comptes Rendus, vol. 196 (1933).
[j.oj w. S tepanqff und Tychonoff, Ober die Raume der fastperio-
dischen Funktionen, Матем. Сборник, т._ 41, № 1 (1934).
[u] R. L: Moor, On the generation of a simple surface by means of a set of
equicontinuous curves, Fund. Math., vol. h (1923).
[**] H. 4 e t. a e в, Об устойчивости в смысле Пуассона. Записки Каванск.
Матем. О-ва (1929).
[is] Т. W a z е w s k i et S. Zare mb a, Sur les ensembles de condensation
des caractdristiques d’un systeme d’equations differentielles ordinaires, Ann.
de la SocUtd Pol. de Math, t. 15 (1936).
[M] j. Wazewski, Sur les integrates stables non piriodiques des syste-
mes d’equations diffirentielles, Ann. de la Societe Pol. de Math., t. 13.
(1934).
[is] w. Urbanski, Sur la structure de Гensemble des solutions cycliques
d’un systbmed’equations differentielles, Ann. de la Societi Pol. de Math.,
t. 13 (1934).
[is] yy Urbanski, Note sur les systemes quasi-ergodiques, Ann. de la Societe
Pol. de Math, t. 13 (1934).
[ю] Cherry, Topological properties of the solutions of ordinary differential
equations, Am. Journ of Math, vol. 59, № 1, 1937.
[1S] H. H i 1 m y, Sur les ensembles quasi-minimaux dans les systemes dyna-
miques, Ann. of Math., vol. 37 (1936).
[19] H. Hilmy, Sur la structure d’ensembles des mouvements stables au sens
de Poisson, Ann. of Math., vol. 37 (1936).
p°] H. H i I my, Sur les centres d’attraction minimaux des systimes dynami-
ques, Comp. Mathem., vol. 3, f. 2 (1936).
[21]	H. H il my, Sur les theorimes de recurrence dans la dynamique generale,
Amer Journ. of Math, vol. 61 (1939).
[22]	H. H i 1 m y, Sur une propriety des ensembles minimaux, ДАН, т. 14 (1934)..
[23]	H. Whitney, Regular families of curves, Proc, of the Nat. Acad, of
Sc., yd. 18 (1932).
[**] V. Niemytzki, Sur les systemes dynamiques instables, Comptes Ren-
dus, 198, № 1 (1934J.
t2®] V. Niemytzki, fiber vollstandig unstabile dynamisehe Systeme, Annali
di Mat., ser. IV, t. 14 (1935—36).
[acj у Niemytzki, Sur les systemes de courbes remplissant un espace
metrique, ДАН, т. 21, № 3 (1938).
БИБЛИОГРАФИЯ
445
[271 V. N i е m у t z к i, Sur les systemes de eourbes remplissant un espace me-
trique, Матем. Сборник, т. 6 (48), № 2 (1939).
[26]	В. Немы ц кий, Динамические системы на предельном интеграль-
ном многообразии, ДАН, т. 47, Д'? 8 (1945).
[29j М. Б е б у т о в, Об отображении траекторий динамической системы
на семейство параллельных прямых, Бюллетень Моск. Госуд. Ун-та,
Математика, т. II., вып. 3 (1939).
рэ] М. Бебутов, О динамических системах устойчивых по Ляпунову,
ДАН, т. 18, № 3 (1938).
[S1]	М. В ё Ь о U t о f f, Sur les systemes dynamiques dans Vespace des fonctions
continues, ДАН, т. 27, № 9 (1940).
[S2]	M. Бебутов, О динамических системах в пространстве непрерывных
функций, Бюллетень Моск. Госуд. Ун-та, Математика, т. II, № 5 (1941).
р] М. В ё Ь outoff и W. Stepanoff, Sur la mesure invariants dans
les systemes dynamiques qui ne different que par le temps, Матем. Сб., т. 7
(49) вып. 1 (1940).
[31]	С. Т р о и ц к и й, О динамических системах, определяемых всюду плот-
ным в них множеством рекуррентных движений. Ученые записки МГУ,
т. 15 (1939).
[35J A. Wiener and A. W i n t n e r, On the ergodic dynamiqs of the almost
periodic systems, Amer. Journ. of Math., vol. 63, № 4 (1941).
[®s] Барбаши н, О некоторых особенностях, возникающих в динами-
ческой системе при нарушении единственности, ДАН, т. 41, №4 (1943).
Библиография к главе V
[Ч Н. Р о i п с а г ё, Methodes ncuvelles de la micanique celeste, t. Ill, 1894.
[2] С. C ara theodory, Uber den Wiederkehrsatz von Poincare, Sitzbr.
Preuss. Acad., № 32 (1919).
p] G. О. В i r k h о f f, Dynamical Systems, N. Y-, 1927, Ch 7.
[4] G. D. Birkhoff and S. Smith, Structure analysis of surface
transformations, Journ. Math., t. 7 (1928).
[5] G. D. Birkhoff, Proof of a recurrence theorem for strongly transitive
systems', Proof of the ergodic theorem, Proc. Nat Acad.Sci. USA, t. 17 (1931).
[s] G. D. Birkhoff, What is the ergodic theorem, Amer. Math. Monthly,
t. 49 (1942).
J7| A. Kh in tch i n e, The method of spectral redution in classical dyna-
mics, Proceed, of Nat. Acad. Sc, vol. 19 (1933).
[8]	A. К h i n t C h i n e, Einc Verscharfung des Poincareschen dWiederkehr-
satzes», Comp. Math., vol 1., f. 1 (1934).
[9]	A. К h i n t c h i n e, Zu Birkhoffs Losung des Ergodenproblems, Math.
Ann., Bd. 107 (1932).
[10]	A. Kolmogoroff, Ein vere;nfachter Beweis des Birkhoff—Khintchi-
neschen Ergodensatzes, Матем. Сборник, т. 2 (44), № 2 (1937).
[u] А. Колмогоров, Упрощённое доказательство эргодической тео-
ремы Биркгофа—Хинчина, Успехи Матем. Наук, № 5 (1938).
[12] N- Kryloffet N. Bogoliuboff, Les mesures invariantes et
transitives dans la mecanique non lineaire, Матем. Сборн., т. 1 (43), № 5
(1936).
[1S] N. К г у 1 о f f et N. Bogolio ubof f, Latheorie generale de la
mesure et son application a I’etude des systemes dynamiques de la meca-
nique non-lineaire, Ann., of Math. t. 38, № 1 (1937).
[14] E. Hopf, Ergodentheorie, Berlin, 1937.
[15J E. Hopf, Zwei Satze Uber den wahrscheinlichen Verlauf der Bewegungen
dynamischer Systeme, Math. Ann., t. 103 (1930).

БИБЛИОГРАФИЯ
[ie] E. Hopf, Theory о/ measure and invariant integral, Trans. Amer. Math.
Soc., t. 34 (1932).
[17]	W. Steoanoff, Sur une extension du theorime ergadique, Comp. Math.,
№ 3 (1936).
[18]	M. В. Бебутов и В. В. Степанов, Об изменении времени в
динамических системах с инвариантной мерой, ДАН, т. 24, № 3 (1939).
[1Э]	А. Марков, Некоторые теоремы об абелевых множествах, ДАН.
т. 1 (8), № 8 (1936).
[20]	А. М а р к о в, О существовании интегрального инварианта, ДАН,
т. 17, № 9 (1937).
[21]	A. Markoff, On mean values and exterior densities, Матем. Сборник,
т. 4 (46), As 1, (1938).
[221 Б. Д e м и д о в и ч, О существовании интегрального инварианта на
множестве периодических точек, ДАН II (XI), № 1 (1936).
[23]	Б. Демидович, О некоторых достаточных условиях существова-
ния интегрального инварианта, Матем. Сб., т. 3 (45), № 2, (1938).
[24]	I. _С. Ox toby and S. М. Ulam, On the existence of a measure inva-
riant under a transformation, Ann. of Math., t. 40, As 3 (1939).
[2S]	H. H i 1 my, Sur les theoremes de recurrence dans la dynamique generate,.
Amer. Journ. of Math., vol. 61 (1939).
[26]	G. Фомин, О конечных инвариантных мерах в динамических систе-
мах, Матем. Сборник, т. 12 (54), № 1 (1943).
[27]	\у. Hurewicz, Ergodic theorem, without invariant measure, Ann. of
Math., vol. 45, № 1 (1944).
[2S]	C. Visser, On Poincare's recurrence theorem, Bull. Amer. Math. See.,
42 (1936).
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Цифры обозначают страницы)
Адамара теорема 221
Алгеброидная система 55
Атгеброцпные функции 55
Альмухамедов 85
Асимптотические кривые 100
Бебутов 323, 332, 404
Бендиксон 8, 33
Биркгоф 8,9,171,177,179, 2.11, 221, 232, 287
—, устойчивость по Биркгофу 45, 171
Биркгофа теорема 221, 230, 308, 309
—эргодическая теорема 377, 396
Блуждающая точка 265
Боголюбов 9, 406, 415
Бохнер 319
Броуэр 8, 33, 261
Бэр, множества I, II категории Бэра 259
Бэра теорема 250
Вариации, уравнение в вариациях 184
Вектор 21
Вероятность множества 415
Виншера-Пуанкаре теорема 205
Виссер 369
Возвращаемость областей 265
Возвращения теорема 366
Вполне неустойчивая система 324
Временная длина, время 267
Вырожденное седло 42
Вырожденный узел 42
Гейне-Бореля теорема 254
Геометрическая особая точка 21
Гетероклинное решение 231
Гильбертово пространство 257
Гиперболическая структура окрестности 192
—точка 220
Гиперболические траектории 48
Гомоклинная точка 229
Гомоклинное решение 220, 229
гопф 9, 390
Гопфа теорема 872, 376
Гукухара 74
Данжуа 8
Движение 267
Дикритический узел 43
Динамическая система 245, 267
-----неразложимая (транзитивная) 386
Достижимая кривая (слева, справа) 238
Дюляк 130	’
Дюляка теорема 138
Единственности теорема 10
Замкнутая узловая область 33
Замкнутое множество 247
Измеримые множества 353
Изолированная особая точка 37
Инвариант интегральный 344
Инвариантная мера 365
—(почти) кривая 221
Инвариантные многообразия 220
—множества 268
—точки преобразования 220
Инвариантный множитель 92
Индивидуальная мера 417
Интегральные кривые 22, 87
Интегральный инвариант 344
Исключительное направление 49
Каменков 9
Каратеодори мера 350, 357
Каратеодори-Пуанкаре теорема 365
Квази-минимальные множества 292
Квази-регулярная точка 415
Кнезер 8
Классификация геометрическая 45
—Пуанкаре 87
Кольцо неустойчивости 233
Компактное пространство 252
Кривизны мера 75
—порядок 75
Крылов 9, 406, 415
Куклес 85, 86
Лагранж 7
—, устойчивость по Лагранжу 24, 90, 273»
Лебега интеграл 359
Левис 244
Линейная система 186
Линейные уравнения 37, 92
Линейный элемент 21
Локальношомпактные пространства 254-
Локальное сечение 322
Лона теоремы 65, 70
Лузин 88
Ляпунов 8,84,88,179
Ляпунова теорема 145, 194
—метод 193
Малкин 9
Марков 318, 432, 433
Матрица нормальная 93
Мера индивидуальная 417
—Каратеодори 351
—кривизны 77
—нормированная 404
—предельная 411
Метрика, метрическое пространство 246-
Многообразие инвариантное 220
Множество замкнутое 247
Множитель инвариантный 92
Направление исключительное 49
Нейман 390
Немыцкий 323, 328
Неособая функция 145
448
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Неплотное множество 259 Несвязное множество 259 Неразложимая динамическая система 386 Неустойчивая система 324 —точка 45 Нормальная матрица 93 —область 53 Нормированная мера 406	Связное множество 248 Седло 40 —в бесконечности 328 —вырожденное 42 —обобщенное 101, 103, 104 —сложное 103 Седловые кривые 91, 100 —траектории 48 Сечение локальное 332
©-кривые 91, 100 Обобщенное седло lot обобщенный увел юо — фокус 103 —центр 104 Обыкновенная точка 17 Окрестность(в метрическом пространстве) 249 Основное условие 109, 134 Особая точка 18 	геометрическая 21 	изолированная 37 —линия 43 Особые О-кривые 91 Открытое множество 247 Относительно плотное множество 309	Соленоид 322 Спираль 49 Статистические эргодические теоремы 390 Степанов 350, 411 Существования теорема 10 Сфера 247 Тар 34 Траектория 267 Транзитивная, динамическая система 386 Тригонометрическая устойчивость 172 Трубка 332 Узел 40, 42 —вырожденный 41, 42
Параболическая структура окрестности 192 Параболические траектории 48 Пенлсве 8 Период движения 268 Периодические решения 220 Периодическое движение 177, 268 Перрон 9, 74, 143 Персидский 9 Петровский 9, 121 Пикар 8, 130 Плотности точка 422 Плотность интегрального инварианта 34 о Поверхностей сечения метод 211 Показатели характеристические 191 Покоя точка 267 Полное пространство 255 Лопутраектория 24, 267 Почти инвариантная кривая 221 —периодическое движение 316 Правильные О-кривые 91 Предельная мера 411 —точка 25, 247 Предельный цикл 31 Преобразование прикосновенпя 170 Приближенная система 88 Приводимая система 193 Притяжения центр 295 Пространство метрическое 245 Пуанкаре 7,8,9,34,180,179,211,231,244,344 —Виншера теорема 250 —Каратеодори теорема 365 —классификация 38 —теорема 209, 233 Пуассон, устойчивость по Пуассону 36, 276 Пуассона теорема 160	—дикригический 43 —обобщённый 100 Угловая замкнутая область 33 Урысон 261 Устойчивость по Биркгофу 45, 171 — —Лагранжу 24, 90, 273 	Пуассону 36, 276 —тригонометрическая 172 Уходящая точка 372 Фокус 45 —обобщенный 102 Формальных разложений метод 202 Форстер 74 Франклин 318 Фроммер 64, 67, 75 Фубини 360 —теорема 361 Фундаментальная последовательность 255 Характеристические показатели 191 Характеристическое уравнение 56 Хильми 292 Хинчия 369, 377 Хинчина теорема 371 Центр 45, 46., 287 —обобщенный 105 —предельный 31 —притяжения 295 Центральное движение 288 Центро-фокус 45 Четаев 9
Радон 408 Различения проблема 64 Разложений формальных метод 204 Расширенная-окрестность 229 Регулярная окрестность 238 Рекуррентное движение 308 Риз 408	Элементарные делители 93 Эллиптические траектории 48 Эллиптического типа область 33 Эллиптическое расположение 192 Эргодическая теорема 377, 390 	, обобщение 393 Якоби множитель 349