Schváleno rozhodnutím ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy České republiky č. j. 14 464/89-30 ze dne 20. června 1989 jako celostátní vysokoškolská příručka pro vysoké školy technické

Doc. RNDr. Pavel Drábek, DrSc. MATEMATIKA PRO VYSOKÉ ŠKOLY TECHNICKÉ Integrální rovnice Praha 1991 SNTL — Nakladatelství technické literatury

Kniha seznamuje čtenáře se základní problematikou integrálních rovnic, s metodami jejich řešení a s jejich aplikacemi. Pozornost je věnována také vzájemné sou¬ vislosti integrálních a diferenciálních rovnic. Uvádí několik přibližných metod řešení integrálních rovnic včetně některých jednoduchých algoritmů. Kniha je napsána tak, aby čtenář byl po jejím prostudování schopen sám čerpat další informace ze specializovaných zdrojů. Je určena posluchačům vysokých Škol technických. Přivítají ji také absolventi těchto Škol a technici z praxe, kteří se chtějí s touto problematikou seznámit. Lektorovali: doc. RNDr. Jozef Nagy, CSc., prof. RNDr. Alois Kufner, DrSc. Redakce teoretické literatury Hlavní redaktorka RNDr. Blanka Kutinová, CSc. Odpovědná redaktorka Ing. Marcela Hrubá © Doc. RNDr. Pavel Drábek, DrSc., 1991 ISBN 80-03-00280-X

Obsah Předmluva  6 I.  Úvod  9 1.  Klasifikace integrálních rovnic  9 2.  Některé úlohy vedoucí k integrálním rovnicím  13 3.  Integrální operátor, vlastní funkce a charakteristické hodnoty  16 4.  Metoda postupných aproximací  19 II.  Speciální integrální rovnice, obecná tvrzení o řešitelnosti  30 5.  Rovnice s konvolutorním jádrem  30 6.  Rovnice s degenerovaným jádrem  0. .  35 7.  Fredholmova alternativa  42 III.  Řešitelnost integrálních rovnic  53 8.  Operátory v normovaných lineárních prostorech  53 9.  Samoadjungovaný integrální operátor  63 10.  Bilineární rozklad symetrického jádra  72 11.  Řešitelnost rovnic se symetrickým jádrem  84 12.  Integrální rovnice v Lebesgueových prostorech  91 13.  Integrální rovnice prvního druhu  97 IV.  Vzájemná souvislost integrálních a diferenciálních rovnic  104 14.  Cauchyova úloha  104 15.  Okrajová úloha  108 16.  Sturmova-Liouvilleova úloha  111 17.  Potenciály  118 V.  Některé přibližné metody  121 18.  Metoda kvadraturních formulí  121 19.  Metoda momentů, metoda nejmenších čtverců a metoda kolokace  135 20.  Přibližný výpočet charakteristických čísel a vlastních funkcí symetrického jádra 145 21.  Metoda hraničních prvků  %  151 Literatura  160 Rejstřík  161 5

Předmluva Tato knížka si klade za cíl seznámit čtenáře se základní problematikou in¬ tegrálních rovnic, metodami jejich řešení a jejich aplikacemi. Způsob výkladu předpokládá znalost látky v rozsahu prvních tří semestrů matematiky na vysokých školách technického směru. Z tohoto důvodu je převážná většina teorie vykládána v kontextu spojitých funkcí na uzavřeném a omezeném intervalu. Čtenář proto vystačí se znalostí Riemannova integrálu po dobu čtení prakticky celého textu. Látka je rozdělena do pěti kapitol, kapitoly jsou dále rozděleny na články a články na odstavce. První kapitola je kapitolou úvodní a slouží k prvnímu seznámení čtenáře s integrálními rovnicemi. Jsou zde uvedeny také praktické příklady, jejichž matematická formulace vede k integrálním rovnicím. Ve druhé kapitole se zabýváme vyšetřováním řešení některých speciálních typů integrálních rovnic. Je zde použito Laplaceovy transformace jakožto prostředku řešení Volterrových rovnic s konvolutorním jádrem. Na případu Fredholmových rovnic s degenerovaným jádrem je poukázáno na úzkou souvislost mezi teorií integrálních rovnic a lineární algebrou. Na závěr této kapitoly je zformulována Fredholmova alternativa. V úvodu třetí kapitoly zavádíme některé elementární pojmy z funkcionální analýzy, kterých dále používáme ke studiu integrálních rovnic. Výklad se týká integrálních rovnic v jedné proměnné a většinou za předpokladu, že funkce nabývají reálných hodnot. Čtenář se proto nemusí obávat záplavy nových pojmů. Na odpoví¬ dajících místech je pak poukázáno na některé odlišnosti, které je třeba brát v úvahu, když zkoumáme vícerozměrný případ nebo když funkce v integrální rovnici nabývají komplexních hodnot. V této kapitole je také poukázáno na to, jakou úlohu hraje v teorii integrálních rovnic Lebesgueův integrál. V posledním článkuje pak věnována pozornost integrálním rovnicím prvního druhu. Čtvrtá kapitola pojednává o vzájemné souvislosti integrálních rovnic s di¬ ferenciálními rovnicemi. Výsledků kapitoly III je použito ke studiu okrajové úlohy a Sturmovy-Liouvilleovy úlohy. V článku o potenciálech je poukázáno na souvislost Fredholmových integrálních rovnic ve více proměnných s Dirichletovou úlohou (resp. Neumannovou úlohou) pro Laplaceovu rovnici. Pátá kapitola má informační charakter a je věnována některým přibližným metodám řešení integrálních rovnic. Principy těchto metod ilustrujeme na konkrét¬ ních příkladech, kdy je možné porovnat vypočtené přibližné řešení s řešením přesným. 6

Závěrem děkuji všem, kteří svými náměty a připomínkami pomohli vylepšit před¬ kládaný text. Děkuji obzvláště oběma lektorům publikace prof. RNDr. Aloisů Kufne- rovi, DrSc., doc. RNDr. Jozefu Nagyovi, CSc. a svým kolegům z VŠSE v Plzni doc. RNDr. Stanislavu Mikovi, CSc., doc. RNDr. Josefu Polákovi, CSc., RNDr. Petru Toniczkovi a ing. Bohuši Ulrychovi, CSc. Autor i 7

I. Úvod 1. Klasifikace integrálních rovnic 1.1. Lineární integrální rovnice. Čtverec Q = {(t, t); fl I í á M ^  , a, b e R [R = R1 je množina všech reálných čísel] v rovině (t, t) budeme nazývat základním čtvercem. Předpokládejme, že v Q je definována funkce K(t, t) dvou nezávisle proměnných. Rovnici (1.1.1)  y(t) - | K(t, r) y(x) dx = f(t) , kde y(t) je hledaná funkce a f(t) je zadaná funkce na intervalu <a, 6), nazýváme Fredholmovou integrální rovnicí druhého druhu. Rovnici (1.1.2)  í K(í, t) X*) dt = f(t) nazýváme Fredholmovou integrální rovnicí prvního druhu. Funkce K(t, t) se nazývá jádrem integrální rovnice, funkce f(t) její pravou stranou. Má-li jádro K(t, t) speciální tvar k(t, t) , a ^ t ^ ř, 0 , t < t ^ b , potom lze rovnice (1.1.1) a (1.1.2) psát ve tvaru (1.1.3) (1.1.4) XO - J* Xř>T) XT)dT = /(O ’ £ fe(ť> t) Xt) dT = /(o • Rovnice (1.1.3) se nazývá Volterrovou integrální rovnicí druhého druhu, rovnice (1.1.4) se nazývá Volterrovou integrální rovnicí prvního druhu. Funkci k(t, t) nazýváme jádrem Volterrovy integrální rovnice. Volterrovy integrální rovnice jsou tedy speciálním případem Fredholmo- vých integrálních rovnic. Jak uvidíme později (vizčl. 4), v integrálních rovnicích druhého druhuje vhodné 9

zavést parametr a psát je ve tvaru (1.1.5)  y(t) = „J K(t, t) y(x) dx + /(ř) —  Fredholmova integrální rovnice druhého druhu s parametrem p; (1.1.6)  XO = j“ J Xř>T) XT)dT + f(t) —  Volterrova integrální rovnice druhého druhu s parametrem p. Jestliže pravá strana f(t) je identicky rovna nule v intervalu <a, b>, potom se rovnice (1.1.5) (resp. (1.1.6)) nazývá homogenní. V opačném případě se rovnice (1.1.5) (resp. (1.1.6)) nazývá nehomogenní. Nadále budeme předpokládat (pokud nebude řečeno jinak), že f(t) je spojitá funkce v intervalu <a, fc>, jádro K(t, t) je spojitá funkce dvou proměnných v základním čtverci Q a jádro k(t, t) je spojitá funkce dvou proměnných v troj¬ úhelníku q = {(f, t); a ^ t ^ b, a ^ t ^ t} (viz obr. 1). Jinak řečeno, budeme vyšetřovat taková jádra K(t, t), která jsou buď spojitá v Q, nebo která jsou spojitá v q a identicky rovna nule v Q — q. Taková jádra budeme nadále nazývat prostá. Zpočátku budeme předpokládat, že funkce f,K,k a parametr p nabývají pouze reálných hodnot. V kap. III se budeme zabývat také vyšetřováním integrál¬ ních rovnic v komplexním oboru. Každou spojitou funkci y(t) na intervalu <a, 6), která splňuje integrální rovnici v každém bodě t e <a, b}, budeme nazývat jejím řešením. 1.2. Nelineární integrální rovnice. V praxi se často vyšetřují nelineární in¬ tegrální rovnice, které můžeme psát obecně ve tvaru XO - G(ř- T> XT))dT = /(O- kde G je funkce tří proměnných definovaná na Qx R. Speciálním případem je tzv. Hammersteinova integrální rovnice (i.2.i)  XO - í K({'T) f(t> Xt)) dT = /(O. 10

kde F je spojitá (obecně nelineární) funkce dvou proměnných definovaná na <u, b} x R. 1.3. Soustavy integrálních rovnic. Použijeme-li vektorový zápis, pak stejným způsobem jako rovnice (1.1.1) až (1.1.6) můžeme zapsat soustavu m integrálních rovnic. Symboly y(f), f(t) budou nyní vektorové funkce o m složkách, K(ř, t) bude čtvercová matice řádu m x m. Tak například soustavu dvou lineárních integrálních rovnic druhého druhu pb  pb yt(t) - n K^t, x) yx(x) dx - ^  K12(t, x) y2(x) dx = /x(í) , J a  J a pb  pb y2(t) - /i K21(t, x) j>j(x) dx - /í K22(t, x) y2(x) dx = f2(t) J a  J a můžeme pomocí běžných operací násobení matice vektorem zapsat ve tvaru y(í) - n j* K(t, x) y(x) dx = f(t) , kde y(t) = (yx((), y2(t)f, f(t) = (f1(t),f2(t))T a K(t T\=t)’ Ki2(*’ t)] lK2l(t,x), K22(t,x)]' 1.4. Integrální rovnice ve více proměnných. Celá řada úloh z mechaniky, mate¬ matické fyziky a inženýrské praxe vede k integrálním rovnicím v jedné proměnné, kdy integračním oborem je interval (a, b). V řadě případů je však třeba řešit integrální rovnice, ve kterých je neznámá funkce definovaná na nějaké rovinné či prostorové křivce nebo na oblasti ve vícerozměrném prostoru. První případ nepředstavuje z ma¬ tematického hlediska nic nového. Stačí zavést vhodnou transformaci nezávisle proměnné (např. jako novou nezávisle proměnnou zavedeme délku oblouku křivky) a dostaneme integrální rovnici v jedné proměnné, kdy integračním oborem je interval. Druhý případ vede k integrálním rovnicím ve více proměnných. Je-li Q oblast v H-rozměrném euklidovském prostoru R", potom např. Fredholmovu integrální rovnici druhého druhu v n proměnných můžeme zapsat ve tvaru y(P) - J K(P, R) y(R) dfiR = f(P) , P,ReQ, kde neznámá funkce y(P) = y(Pl9 P2, •••, Pn) a pravá strana f(P) = = /(Pl5 P2,Pn) jsou funkce n nezávisle proměnných definované na Q. Jádro K(P, R) = K(PU ..., P„, Rl9..., R„) je funkce 2n nezávisle proměnných definovaná na kartézském součinu Q x Q. Symbol dpR znamená, že integrační proměnnou je R. 1.5. Integrodiferenciální rovnice. Jestliže se v rovnici vyskytují také derivace neznámé funkce y, potom ji nazýváme integrodiferenciální rovnicí. Příkladem takové rovnice je vztah y'(t) + y(t) - n[ K(t, x) (y(x) + y'(x)) dx = /(í) . 11

1.6. Příklady 1.6.1.  Rovnice xo-jy+*2bwd*=<2 je Fredholmovou integrální rovnicí druhého druhu. Jejím jádrem je funkce K(t, t) = = t2 + t2, která je spojitá na čtverci Q = <0,1> x <0,1>, pravá strana f{t) = t2 je spojitou funkcí na <0,1). 1.6.2.  Integrální rovnice XO -1 0 ~x) XXdT = * je Volterrovou integrální rovnicí druhého druhu. Pravá strana f(t) = t a jádro je definováno vztahem k(t, t) = t — t pro všechna O^ř^c,  Podle pova¬ hy problému, který tato rovnice popisuje, může c nabývat libovolné konečné hodnoty. 1.6.3.  Rovnice mS1, je Volterrovou integrální rovnicí prvního druhu. 1.6.4.  Integrální rovnice J y(t) e"' dr = /(t) je Fredholmovou integrální rovnicí prvního druhu. Jádro této rovnice K(t, t) = eiřt je komplexní funkce definovaná na čtverci Q = < — a, a> x < —a, a>. 1.6.5.  Rovnice j* J ei((ltl+(2t2)X^i, *2) dTj ďr2 = f(tu t2) je Fredholmovou integrální rovnicí prvního druhu ve dvou proměnných. Zde Q = = <0,1> x <0,1> je čtverec v rovině R2. Jádrem je komplexní funkce K(h, t2^u *2) =  + definovaná na Q x (2. 12

2. Některé úlohy vedoucí k integrálním rovnicím 2.1. Rovnováha zatížené struny. Vyšetříme strunu délky Z, která se může libo¬ volně prohýbat, ale projevuje odpor vůči prodloužení, který je úměrný tomuto prodloužení. Přesněji, k prodloužení struny o délku AI je nutná síla c A Z, kde c je konstanta úměrnosti závislá na materiálu struny. Budeme předpokládat, že konce struny jsou upevněny v bodech x = 0 a x = Z. Pak v rovnovážné poloze struna splývá s úsečkou 0 ^ t ^ Z na ose t. Jestliže v bodě t = % struny působí svislá síla P = Pt, pak se struna vychýlí z rovnovážné polohy a zaujme tvar lomené čáry t=0  t=r A'  t=l znázorněné na obr. 2. Je-li síla P malá v porovnání se silou T0 napínající nezatíženou strunu, pak napětí zatížené struny lze stejně jako dříve považovat za rovné síle T0. Zanedbáme-li členy řádu <53 (tj. položíme-li sin a = <5/t, sin fi = S/(l — t), potom projekce T0 na vertikální osu v bodě C je rovna T0~+ T0 , T  / — T Z podmínky rovnováhy pak vyplývá, že tato projekce musí být rovna síle Pt, která strunu napíná. Dostáváme tedy = P*. Odtud můžeme vypočítat velikost výchylky (2.1.1)  i.  P,. l0l Nechť nyní u(t) je funkce popisující průhyb struny v bodě t při působení síly Px v bodě t = t. Potom na základě podobnosti trojúhelníků ABC a A'BC' (viz obr. 2) dostᬠváme (2.1.2)  = -, pro 0 ^ t ^ r, 5 r (2.1.3) u(t) _ l — t ~T ~ TTr , pro t š t š l. Po dosazení z (2.1.1) do (2.1.2) a (2.1.3) dostáváme u(í) = PtK(t, t) , 13

kde K(t, r) 10 -T) T0l pro 0 ^ t ^ r , pro r ^ t ^ l. Předpokládejme, že na strunu působí síla, která je spojitě rozložena podél celé délky a má v bodě r hustotu p(r). Je-li tato síla malá, pak deformace struny závisí lineárně na této síle a funkce u(í), která popisuje tvar takto zatížené struny, je dána vztahem Je-li dáno zatížení p, které na strunu působí, lze podle vzorce (2.1.4) nalézt funkci u popisující tvar struny pod vlivem tohoto zatížení. Všimněme si nyní obrácené úlohy: najít takové rozložení zatížení p, aby struna zaujala požadovaný tvar, který je popsán danou funkcí u. Řešit takovou úlohu znamená řešit Fredholmovu integrální rovnici prvního druhu s pravou stranou u a s neznámou funkcí p. Předpokládejme nyní, že struna kmitá. Nechť u(t, o) udává v okamžiku a polohu takového bodu struny, který má souřadnici t, a nechť q j$ lineární hustota struny. Na element struny délky dt působí setrvačná síla, která se rovná d2u(t, a) do2 Q d /, odkud p(r) = - d2u(r, a)  Q . Č<72 Dosadíme-li tento výraz do vztahu (2.1.4), dostaneme (2.1.5)  u(t, <f)  J* K(t, t) q d2“£; dr . Předpokládejme, že struna koná harmonický pohyb s nějakou pevně danou frekvencí co a amplitudou y, závislou na souřadnici /, tj. u(í, a) = y(f) sin coa . Po dosazení do vztahu (2.1.5) dostáváme po jednoduché úpravě pro amplitudu y(t) integrální rovnici (2.1.6) KO - e™2 K{t, t) y(t) dr = 0 . 0 Rovnice (2.1.6) je homogenní Fredholmovou integrální rovnicí druhého druhu. Jestliže struna nekoná volné kmity, ale působením vnější síly koná kmity 14

vynucené, potom má rovnice harmonických kmitů tvar X<) - Qco2 j* K(t, r) y(r) dr = f(t), což je nehomogenní Fredholmova integrální rovnice druhého druhu. Hodnoty funkce /jsou úměrné vnější síle působící na strunu. 2.2.  Řevnicí (2.2.1)  J k(t - t) y(i) dt = f(t) , kde k = k(s), / = f(t) jsou funkce definované na intervalu <a, b>, je popsána řada modelových situací. Tak například y(t) může být vyslaný rádiový impuls, f(t) přijatý signál v některé vzdálenosti od vysílače a k(t — t) je tzv. impulsní funkce závislá na vlastnostech prostředí, kde se tento signál šíří (vlhkosti vzduchu, složení horniny, atd.). Řešit integrální rovnici (2.2.1) znamená na základě známých veličin k(t — t) a f(t) určit vyslaný signál y(ť). 2.3.  Ábelova integrální rovnice. V roce 1823 dospěl norský matematik H. Ábel k integrální rovnici («•»  f#-/ '-/(')• jo V(í - V Tento vztah odvodil při matematické formulaci následujícího fyzikálního problému. Hmotný bod se pohybuje vlivem gravitace po křivce, která leží ve vertikální rovině (£, t) (viz obr. 3). Je třeba nalézt takový tvar této křivky, aby hmotný bod, který í se začne pohybovat z místa se souřadnicí r = t s nulovou počáteční rychlostí, dorazil na osu ^ za čas a = /i(í), kde ft(t) je zadaná funkce. Velikost rychlosti pohybujícího se bodu je V = V(2g(í - t)) , kde g je gravitační konstanta. Označíme-li fi = /?(r) úhel, který svírá tečna ke křivce v bodě t = t s osou <^, potom platí ~ = ~V(2g(í - t)) sin /?(t) do- (průmět rychlosti hmotného bodu do svislé osy t). 15

Odtud V(2g(í - t)) sin P(t) Položíme-li j(t) = l/sin f}(%), potom integrací vztahu (2.3.2) dostáváme J o V(ř - v což je tvar rovnice (2.3.1), kde f(t) = — \/(2g)/i(f)- Ábelova rovnice (2.3.1) je tzv. rovnicí se slabou singularitou, neboť jejím jádrem je neomezená funkce (viz např. [14]). k(t, t) 1 v(í - t) 3. Integrální operátor, vlastni funkce a charakteristické hodnoty 3.1. Integrální operátor. Symbolem C(<a, fe>) budeme označovat lineární prostor všech spojitých reálných funkcí na uzavřeném intervalu <a, &>. V tomto článku budeme předpokládat, že jádro K(t, t) je spojitou reálnou funkcí dvou pro¬ měnných v základním čtverci Q. Potom pro libovolnou funkci y(í) e C(<0, &>) je integrál (3.1.1)  j* K(t,x)y(T)dT spojitou funkcí proměnné t na intervalu <a, &>. Označme tuto funkci z(t). Pomocí výrazu (3.1.1) je tedy každé funkci y(í) e C(<a, b>) jednoznačně přiřazena některá funkce z(t) e C(<a, b)). Toto přiřazení budeme zapisovat Ky = z a K nazveme integrálním operátorem nebo krátce operátorem. Platí tedy (3.1.2)  (Ky)(t) = J‘íC(í,T)Kt)dT. Přímo ze zápisu (3.1.2) vyplývá, že pro libovolné dvě funkce xje C(<a, b>) a pro libovolná dvě reálná čísla a, P platí K(ax + pý) = ocKx + pKy. Integrální operátor K je tedy lineární operátor zobrazující lineární prostor C«a, b» do C«a, fe». 16

Integrální rovnici (1.1.5) můžeme zapsat v ekvivalentním operátorovém tvaru (3.1.3)  y = pKy+f. Označíme-li / identický operátor na C(<a, fc>), tj. takový operátor, že Iy = y pro každou funkci y e C(<a, b>), potom rovnice (3.1.3) bude mít tvar (3.1.4)  Ly=f, kde (3.1.5)  L = I — pK je lineární operátor zobrazující C(<a, b>) do sebe. Je-li / 4= 0, budeme rovnici (3.1.4) nazývat nehomogenní. Rovnici (3.1.6)  Ly = 0 budeme nazývat homogenní (srov. s čl. 1). Z linearity operátoru L vylývají některé jednoduché vlastnosti homogenní rovnice (3.1.6). 3.1.1.  Věta. Homogenní rovnice (3.1.6) má vždy řešení. Skutečně, funkce y(t) = 0, t e <a, b>, je vždy řešením rovnice (3.1.6). Rovnice (3.1.6) však může mít i nenulová (tzv. netriviální) řešení. Jejich vyšetřování závisí podstatně na vlastnostech lineárního operátoru L. Pokud však taková netriviální řešení existují, potom i jejich libovolná lineární kombinace je také řešením rovnice (3.1.6). Tato vlastnost je zformulována v následujícím tvrzení. 3.1.2.  Věta. Řešení homogenní rovnice (3.1.6) tvoří lineární prostor. 3.2.  Charakteristické hodnoty a vlastní funkce. Zapišme rovnici (3.1.6) v ekvi¬ valentním tvaru (3.2.1)  y = pKy . Hodnoty parametru p, pro které má rovnice (3.2.1) netriviální řešení, se nazývají charakteristickými hodnotami (nebo charakteristickými čísly) jádra K(t, t) (nebo operátoru K). Nechť p0 je charakteristické číslo operátoru K a q>0(t) je netriviální řešení rovnice (3.2.1), kde p = p0. Potom cp0 nazýváme vlastní funkcí jádra K(t, t) (nebo operátoru K) odpovídající charakteristickému číslu p0. Podle věty 3.1.2 je libovolná lineární kombinace vlastních funkcí, odpovídají¬ cích charakteristickému číslu /x0, opět vlastní funkcí odpovídající charakteristickému číslu p0 (samozřejmě za předpokladu, že tato lineární kombinace není identicky rovna nule). Maximální počet s lineárně nezávislých vlastních funkcí odpovídajících cha¬ rakteristickému číslu p0 se nazývá násobností charakteristického čísla p0. Jinými slovy, číslo s je dimenze lineárního prostoru řešení rovnice y = p0Ky. Je-li 5 = 1, pak se charakteristické číslo p0 nazývá prosté. V případě 5 > 1 se p0 nazývá násob¬ ným charakteristickým číslem. 17

Číslo g, které není charakteristickým číslem, budeme nazývat regulární hodnotou. Všimněme si nyní nehomogenní rovnice (3.1.4). Jak později uvidíme, tato rovnice nemusí mít vždy řešení. Jestliže však toto řešení existuje, potom jeho jednoznačnost úzce souvisí s vlastnostmi homogenní rovnice (3.1.6). 3.2.1. Věta. Nechť má rovnice (3.1.4) řešení u. Potom je u určeno jednoznačné právě tehdy, když odpovídající homogenní rovnice (3.1.6) má pouze triviální řešení. Důkaz. Označme u(ť) řešení rovnice (3.1.4), jehož existenci budeme nadále předpokládat. Nutnost. Nechť u(ť) je určeno jednoznačně. Bude-li mít homogenní rovnice (3.1.6) netriviální řešení cp(t), potom funkce v(t) = u(t) + <p(t) bude opět řešením nehomogenní rovnice (3.1.4), neboť L(u + (p) =Lu +L(p = f + 0 = /. Přitom u(ť) + v(ť). To je spor, který dokazuje, že homogenní rovnice má pouze triviální řešení. Postačitelnost. Nechť homogenní rovnice (3.1.6) má pouze triviální řešení. Předpokládejme, že rovnice (3.1.4) má kromě řešení u(t) ještě řešení v(ť) a v(t) 4= u(ť). Potom funkce cp(t) = u(ť) — v(ť) bude netriviálním řešením rovnice (3.1.6). Dostali jsme opět spor s předpokladem. Rovnice (3.1.4) má tedy jediné řešení u(ť). 3.2.2. Věta. Nechť charakteristické číslo ji0 má konečnou násobnost s a nechť <Pi(ř), (p2(t), •••> <Ps(0 Jsou lineárně nezávislé vlastní funkce jádra K(t, t) odpoví¬ dající charakteristickému číslu p0. Pak lze obecné řešení homogenní rovnice (32.2) XO ~ rb K(t, t) y(r) dr = 0 zapsat ve tvaru <p{t) = Cj (Plit) + c2 <p2(t) + ... + Cs <pjt). Má-li nehomogenní rovnice (3.2.3)  y(t) - Ho f K(t, t) y(t) áx = f(t) J a řešení Y(ť), potom také každá funkce tvaru y(t) = (p(t) + y(í) je řešením rovnice (3.2.3). Jinými slovy, obecné řešení nehomogenní rovnice (3.2.3) je součtem obecného řešení homogenní rovnice (3.2.2) a některého řešení neho¬ mogenní rovnice (3.2.3). Důkaz této věty vyplývá z linearity operátoruL (prověřte sami!). Tvrzení, zformulovaná v tomto článku, jsou důsledkem linearity operátoru L a budeme je často dále používat. Poznamenejme, že kromě triviálního případu věty 3.1.1 se existence řešení vždy předpokládala. V dalším výkladu bude pro nás podstatná právě otázka existence řešení a jeho přibližného výpočtu. 18

V následujícím článku si ukážeme jednoduchou a přirozenou metodu, pomocí které lze nejen dokázat existenci řešení integrální rovnice, ale také je přibližně vypočítat. 4. Metoda postupných aproximací 4.1. Fredholmova integrální rovnice druhého druhu. Dokážeme existenci řešení integrální rovnice pro některé regulární hodnoty parametru /*. Označíme L = max |K(t, t)| . (í,t)e(2 Připomeňme, že jádro K{t, t) je spojitá funkce na Q, f e C(<a, b>) a že řešení y(t) hledáme v prostoru C(<a, &>). Speciálně odtud plyne, že hodnota L je konečná a že existuje takový bod (í0, t0) g <2, pro který platí |K(t0, t0)| = L. 4.1.1. Věta. Předpokládejme, že Potom existuje právě jedno řešení rovnice (4.1.1). Důkaz. Definujme rekurentně posloupnost funkcí y0(t), yi(t),... pomocí následujících rovností (4.1.1) (4.1.2) y0(t) = /(O. yi(t) = /(*) + v íaK(t, i) y<Á?) dt, (4.1.3) yÁf) = /(O + a* íbaK(t, t) y„-!(T) dt, Vytvoříme nekonečnou řadu funkcí yo(0 + WO - yo(0) + (^2(0 - ^1(0) + ••• (41-4)  ...+wo - n-.(«)) + - - *0 + £w<) - >.-.»)• n= 1 n = 1 Podle (4.1.3) platí Podle (4.1.3) platí ^1(0 - yo(t) = P í K(t, t) Jo(t) dx , a a a 19

Položíme-li M = max |/(t)|, potom odtud plyne xe <a,fc> l^i(í) - ^o(í)| ^ M max |^(ř> T)| max |/(T)| (b - a) = M LM(b - a) ■ Q  te<a,í»> Použijeme-li tento odhad, dostáváme M0 - ^i(0| ^ H J T)| l-KiCO - nWl dz s ii2IíM(b - ay. Indukcí tak dojdeme ke vztahu WO - ^n-i(ř)| ^ |j“| J IK(t, t)|  - >>„-2(z)| dT g |/i|n EM(b - a)”. Z těchto nerovností vyplývá, že geometrická řada s kvocientem \n\ L(b — a) je majorantou řady funkcí (4.1.4) v intervalu <a, b). Protože za podmínky (4.1.2) tato geometrická řada konverguje, je podle Weierstrassova kritéria (viz [7]) řada (4.1.4) absolutně a stejnoměrně konvergentní v intervalu <a, b>. Všimněme si, že n-tý částečný součet řady (4.1.4) je roven yn(ř), neboť yn(t) = y0{t) + É WO - J^-iíO) • k= 1 Označme (4.1.5)  lim yn(t) = u(t) . JI-+00 Protože yn(t) jsou spojité funkce a konvergují stejnoměrně k u(t), je w(í) spojitou funkcí v intervalu <a, fc). Přitom platí I í K(t, t) u(t) dr — í X(ř, t) yjr) dr IJ a  J a  v á Í |K(t, t)| |u(t) - y„(z)| dz^LÍ |m(t) - J a  J a < J^*)! dz. Ze stejnoměrné konvergence yn k u plyne, že můžeme zaměnit limitu a integrál (viz např. [21]): (4.1.6) Přejdeme-li k limitě pro n -* oo ve vztahu y«(0 = /(O + H j* K(t, z) yn. i(z) dz , dostáváme vzhledem k (4.1.5) a (4.1.6) vztah «(0 = /(O + H J K(t, z) m(z) dz, tj. m je řešením integrální rovnice (4.1.1). 20

Zbývá dokázat jednoznačnost tohoto řešení. Předpokládejme, že kromě u(t) existuje ještě řešení v(t). Potom jejich rozdíl u — v musí splňovat vztah u(t) - v(t) = n J K(t, t) [k(t) - u(t)] dr . Odtud vyplývá, že (4.1.7)  max |u(t) — v(t)| ^ L(ř> — a) max |u(t) — v(t)\ . ře<fl,í»)  re<a,fc> Jestliže u(t) #= i?(í), potom max |u(t) — u(ř)| > 0 a ze vztahu (4.1.7) dostaneme íe<a,fc> 1 ^ |ju| L(b — a) . To je však ve sporu s předpokladem (4.1.2). Musí tedy být u(t) = i?(ř), te <u, ů>, tj. řešení u(ř) rovnice (4.1.1) je určeno jednoznačně. Funkce y0(t), yi(t),... sestro¬ jené pomocí předpisů (4.1.3) nazýváme postupnými aproximacemi řešení rovnice (4.1.1). 4.1.2. Poznámka. Z důkazu věty 4.1.1 vyplývá i návod, jak řešení rovnice (4.1.1) přibližně vypočítat. Algoritmus výpočtu je dán vztahy (4.1.3). Přitom je zřejmé, že konvergence postupných aproximací nezávisí na volbě nulté aproximace y0. V důkazu jsme volili y0 = /, ale za y0 můžeme dosadit libovolnou funkci z C(<a, ň>). Jestliže se v řadě (4.1.4) omezíme na prvních n členů, potom se při aproximaci řešení dopustíme chyby, která nebude převyšovat zbytek po n-tém členu geometrické řady -a)f. k=l Tento zbytek pak můžeme jednoduše vyjádřit ve tvaru (4.1.8) M (Ub-ayr*1 1 — |^| L(b — a) Jestliže ve větě 4.1.1 nahradíme předpoklad (4.1.2) předpokladem 1 kde \\K\\ = max J* IK(t, t)| dr, můžeme důkaz provést v podstatě stejným způso- ř6<a,b> bem. Protože platí \\K\\ ^ max |(X(í, t)| (b — a) = L(b — a) , Q dostaneme tak silnější tvrzení (neboť interval přípustných hodnot se rozšíří). 4.2. Příklad. Uvažujme integrální rovnici (4.2.1)  y(t) - u | K{t% t) v(t) dr = 1 y(t) ~ nj *) y(r) dr 21

kde pro 0 ^ t ^ t , pro t ^ ř ^ 1. V rovnici (4.1.1) tedy máme a = 0, b = 1, /(í) = 1 v (0,1>. Dále L = 1 a M = 1. Za předpokladu ju < 1 (viz (4.1.2)) postupné aproximace (4.1.3) konvergují k jedi¬ nému řešení rovnice (4.2.1). Vypočítáme přibližně toto řešení např. pro já = 0,1, přičemž se omezíme na první dvě aproximace: y0(t) = i, yi(*) — 1 + 10*  20* : i-t2  —t2 4. ^2(0 — 1 + 300í  20*  600* t 2400* Ze vztahu (4.1.8) vyplývá, že druhá aproximace y2(t) se nebude od přesného řešení rovnice (4.2.1) lišit o více než 0,13 1 - 0,1 0,001 1 . 4.3. Volterrova integrální rovnice druhého druhu. V tomto odstavci dokážeme existenci řešení integrální rovnice (4.3.1) y(t) - a* J* fc(*>T) XT)dT = /(*) Připomeňme si, že rovnice (4.3.1) je speciálním případem Fredholmovy inte¬ grální rovnice druhého druhu s jádrem (4.3.2) K(t - Jfc(*’T)’ <*£*£*’ kde fc(ř, t) je spojitá funkce v trojúhelníku q = {(í, t); a g t :g t, a ^ t ^ b). Ukᬠžeme, že důkaz věty 4.1.1 je možné provést i pro jádro (4.3.2), položíme-li L = max |k(t, t)| . 9 Definujme postupné aproximace stejným způsobem jako v (4.1.3): yo(t) =/(*)» yn(t) = f(t) + JU j* K(t, t) y„-i(r) dr = = /(*) + H j* K*> T)  dT» n = 1, 2, 3  Odhad členů řady (4.1.4) provedeme nyní takto: W*)M/(*)|sm, |yi(*) - M0| á H |£ k(t, t) y0(x) dr ^ |/i| LM(t - a), 22

MO - yi(OI ^ H |J fcO>T) bi(T) - yo(*)] dx á á \n\2 L2M J (t — a) dx = |/t|2 L2M(í — a)2/2!. WO, - J>n-i(0| ^ |a*| || ^(í. *) [^(t) - _F„-2(V)] dr ^ á H" UM f ~ a^” dr = U|" UM ^ ~ ^ . )a (" - 1)!  M  »! Z výše provedených odhadů vyplývá, že číselná řada (4.3.3)  Aíf [^1 L(b ~ a)]" n = O je majorantou řady funkcí (4.1.4) v intervalu <a, b>. Pomocí limitního podílového kritéria (viz [7]) snadno zjistíme, že řada (4.3.3) konverguje pro libovolnou konečnou hodnotu parametru p. Proto podle Weierstrassova kritéria (viz [7]) řada funkcí (4.1.4) konverguje absolutně a stejnoměrně v intervalu <a, b). Existuje tedy spojitá funkce u(t) e C(<a, b>) taková, že y„(í) konvergují stejnoměrně k u(t) v intervalu <a, b> (neboť yn(t) je n-tý částečný součet řady (4.1.4)). Stejně jako v důkazu věty 4.1.1 je možné ukázat, že funkce u(t) je řešením integrální rovnice (4.3.1). Dříve než ukážeme, že řešení u(ť) je určeno jednoznačně, zformulujeme a do¬ kážeme jednoduché pomocné tvrzení. 4.3.1. Lemma. Předpokládejme, že w(t) je spojitá a nezáporná funkce v inter¬ valu <a, b} a pro libovolné t splňuje nerovnost (4.3.4)  w(f) ^ B J w(r)dr, kde B ^ 0. Potom w(f) = 0 v intervalu <a, by. Důkaz. Položme z(ř) = w(0e-*(‘-‘\ t € (a, by . Funkce z(t) je spojitá a nezáporná v intervalu <a, b>. Existuje tedy bod g <a, b> takový, že z(ři) = max z(f). ře<a,6> Z nerovnosti (4.3.4) nyní vyplývá a- w(ř1) ^ B J eB(ř“fl) z(ř) dř ^ “ B Z^ [—J = eB(řl ^  9 23

odkud z(h) ^ 0. Protože z(t) je spojitá a nezáporná v intervalu <a, fc>, musí být z(t) = 0 v <a, fc>. Tím je důkaz lemmatu proveden. 4.3.2.  Poznámka. Výše uvedené tvrzení je speciálním případem obecnějšího tzv. Gronwallova lemmatu, které hraje velmi důležitou úlohu v teorii diferenciál¬ ních rovnic (viz např. [ll]). Ukážeme nyní, že řešení u{t) rovnice (4.3.1) je určeno jednoznačně. Předpo¬ kládejme, že kromě u(t) existuje ještě jiné řešení v(t)f tj. u(t) = juJ* k(t, x) u(x) dx + /(í) , v{t) = /xj k(t, t) d(t) dx + f(t) . Odečteme druhou rovnici od první a dostáváme odhad (4.3.5)  |u(í) - v(t)\ ^ |/í| l| |u(x) - u(t)| dx . Položíme-li w(ř) = |u(t) — v(t)|, potom z lemmatu 4.3.1 a z (4.3.5) vyplývá, že u(t) = = v(t) na intervalu <a, b). Shrneme-li nyní úvahy provedené v odst. 4.3, dostáváme následující tvrzení. 4.3.3.  Věta. Předpokládejme, ze jádro k(t, t) je spojitá funkce na q, ze / je libovolná spojitá funkce na <u, b} a p je reálný parametr. Potom existuje právě jedno řešení u e C(<u, fc>) Volterrovy integrální rovnice (4.3.1). 4.3.4.  Důsledek. Volterrova integrální rovnice (4.3.1) nemá žádná charakte¬ ristická čísla. 4.4. Příklad. Řešte integrální rovnici (4.4.1) XO - j*e ř 1XT)dT = -— + e - 3ř Řešení. Použijeme metodu postupných aproximací. Položíme e“' + e-3í p*+i(0 =J e ' 'X r)dr + e x + e 3ř Postupně dostáváme ^(0 = se", + Íe-3‘-ie-5'; 47 yi( 0 = íše + -L e-3' - ^ 16 c 3 ^-51 ,  1 0-7ř 48 ' + 48 e’ 24

•VsíO = fHe_' + 3l4e’3' - 384 6_e-5! , _í_e-71  e ^ 384 C  *aA C — e_9ř 384 r _ 3839 -ř ,  -3f _ _10_  -51 , J±_ -It  L_ e~9t 4- -3— e S4VJ ~~ 3940 C ^ 3840 c  3840 C ^ 3840 c  3840 c ^ 3840 c Přesným řešením rovnice (4.4.1) je funkce y(0 = c- -1 lř (prověřte!), pro niž y(0) = 1,000 000, y{1) = 0,367 88. V porovnání s hodnotami čtvrté aproximace máme y4(0) = 1,000 00, j/4(l) = 0,367 83. 4.5. Iterovaná jádra. V tomto odstavci budeme vyšetřovat integrální operᬠtor K se spojitým jádrem K(t, t) v základním čtverci Q. Jestliže funkci Ky zobrazíme pomocí operátoru K, dostaneme opět spojitou funkci (4.5.1)  K2y = K(Ký). Ukážeme, že K2 je opět integrálním operátorem, a najdeme jeho jádro. Na základě vztahu (4.5.1) dostáváme (K2y) (í) = J K(t, x) (JS» (x) dx = J K(t, x) (J K(x, a) y{a) d<r) dx = = J (J K(t, x) K(t, a) dx) y{a) da = J K2(t, a) y(<i) da . Poznamenejme, že vzhledem ke spojitosti integrovaných funkcí je možné provést záměnu pořadí integrace. Z výše provedeného výpočtu tedy vyplývá, že IT2 je integrální operátor s jádrem (4.5.2)  K2(t, a) = j*K(t, x) X(x, a) dx. Ze vztahu (4.5.2) okamžitě vyplývá, že funkce K2(t, t) je spojitou funkcí dvou ne¬ závisle proměnných v základním čtverci Q. Budeme ji nazývat druhou iterací jádra K(t, t) (nebo druhým iterovaným jádrem). Z důvodu větší přehlednosti následujících zápisů položíme K^t, t) = K(t, t) (tj. původní jádro K(t, t) je zároveň prvním iterovaným jádrem). Zobrazíme-li nyní funkci K2y pomocí operátoru K, dostáváme operátor K3: K3y = K(K2y) . Podobně jako v případě druhého iterovaného jádra snadno ověříme, že K3 je in¬ tegrálním operátorem s jádrem K3(í, <x) =  K2(x, <x) dx . Indukcí definujeme integrální operátor Kn pomocí vztahu K”y = K(Kn~ly) . 25

Jádro tohoto operátoru je pak Kn(t, a) = JV(í, t) K.-k, a) dx . Operátor Kn nazýváme n-tou mocninou operátoru K a jeho jádro Kn(t, t) n-tou iterací jádra K(t, t) (nebo n-tým iterovaným jádrem). Poznamenejme, že p-té iterované jádro Kp(t, t) můžeme zapsat ve tvaru (4.5.3)  Kp(t9 t) = f f ... fx(ř, xx) K( t15 t2) ...  t) drt dr2 ... dr,^ . J a J a J a '  v  ' (p— 1)—krát Vzhledem ke spojitosti funkce K(t, t) v Q můžeme v (p — l)-násobném integrálu (4.5.3)  zvolit libovolné pořadí integrace. Dostáváme tak následující jednoduché vlastnosti iterovaných jader a mocnin operátoru K. 4.5.1. Věta. Pro libovolná přirozená lísla n9 m platí Kn+m = 1VK"1 (tj. Kn+my = JP(iry)) , Kn+m(t, a) = jVfc t) Km(x, a) dx . 4.6. Rezolventa. Poznamenejme úvodem, že všechny úvahy provedené v odst. 4.5 lze beze zbytku přenést i na případ obecného prostého jádra K(t, t). Dostaneme tak pojem mocniny Volterrova integrálního operátoru a iterovaného jádra kn(t, t) se stejnými vlastnostmi vyjádřenými ve větě 4.5.1. Pomocí iterovaných jader nyní vyjádříme v explicitním tvaru řešení rovnice (4.1.1) (resp (4.3.1)), jehož exis¬ tenci jsme dokázali pomocí metody postupných aproximací v odst. 4.1 (resp. v odst. 4.3). Při výkladu budeme předpokládat, že jádro K(t, r) je spojitá funkce v základ¬ ním čtverci Q, nicméně všechny úvahy lze opět beze změny provést i pro obecné prosté jádro K(t, t). Funkce rjt9 t) definovaná na Q a závislá na parametru p, pomocí které je možné vyjádřit řešení rovnice (4.1.1) ve tvaru «(0 = /(O + n J rjíu t)/(t) dt, se nazývá rezolventou integrální rovnice (4.1.1). Nyní budeme hledat vyjádření funkce rp(t9 t). Zapíšeme postupné aproxima¬ ce (4.1.3) pomocí iterovaných jader a mocnin operátoru K: =/(<) = V, yi(0 = f(t) + H j* K(t, t)/(t) dx = (/ + nK)f, yz{t) = f(t) + H ř K(t, x) lf(x) + fi í K(x, a)f{a) dal dx = 26

= m + n j* K(t, t)/(t) dx + n kí: K(t, t) K(x, o) dx)/(o) do = = /(O + JU í Ki(t, *)/(T) dx + n2 í K2(t, o)f(o) do = J fl  J a = (I+ HK+ n2K2)f. Indukcí dostaneme vyjádření n-té aproximace ve tvaru ^(0 = f{t) + i fik f Kk(t, t)/(t) dx = (I + fiK + ... + finK”)f. *=1 Ja Limitním přechodem pro n -* co odtud dostáváme vyjádření řešení u(t) ve tvaru (4.6.1) u(í) = f(t) + £ nn í Kn(t, t)/(t) dx = /(í) + n í r„(ř, x)/(x) dx , »=1 Ja  Ja kde jsme označili (4.6.2)  r„(r, x) = Kt(t, x) + nK2(t, x) + ... + ^„+ t(t, x) + ... = = X  t) . «=1 Poznamenejme, že řada (4.6.2) konverguje stejnoměrně v základním čtverci Q, je-li \n\ < [L(b — a)]-1. Proto jsme mohli zaměnit pořadí nekonečného součtu a inte¬ grálu ve vztahu (4.6.1). Funkce rjt, t) je rezolventou (nebo rezolventním jádrem) integrální rovnice y(t) - fi J* K(t, x) y(x) dx = /(í). Pomocí mocnin operátoru K můžeme zapsat postupnou aproximaci yn{t) a řešení u(t) v ekvivalentním tvaru yn = (/ + fiK + n2K2 + ... + u =(I+pK+n2K2 + ... +nnKn +...)/. 4.6.1. Poznámka. V případě Volterrovy integrální rovnice je rezolventa defi¬ novaná pro všechny konečné hodnoty parametru ji, neboť odpovídající řada (4.6.2) (kde místo Kn(t, t) píšeme kn(t, t)) konverguje stejnoměrně v q při libovolné konečné hodnotě (viz odst. 4.3). V odst. 6.3 ukážeme, že také v případě Fred- holmovy integrální rovnice je možné zavést pojem rezolventy, i když parametr /i nesplňuje nerovnost \fi\ < [L(h — a)]"1. 4.7. Příklad. Uvažujme Volterrovu integrální rovnici (4.7.1)  y(t) - ix j e‘_t y(x) dx = f(t) . Vypočteme iterovaná jádra a rezolventu integrální rovnice (4.7.1). 27

Řešení. Na základě vztahu (4.5.2) dostáváme (4.7.2) K2(t,r)= jbK(t, a) K(a,r) do. K2(t, t) = 0 , t < t. t ^ t ; Protože vsak a) = 0 pro a2ía t) = 0 pro cr ^ t, rovnost (4.7.2) bude mít tvar X2 eř ffeff' T d(7 = (ř — t) eř T. Obdobně najdeme K3(í, t) ÍLl^e- 2! a obecně Rezolventa má tvar K„(í, t) o - x-1 c.-« (n - 1)! e' _ Ty-i (n - 1)! _ Qt-TQn(t-z) _ e(/í+l)(ř-x) Uvědomte si, že toto je vyjádření rezolventy Volterrovy integrální rovnice (4.7.1) pouze pro t ^ t. Pro t > ř je rjt, t) = 0 (zdůvodněte!). Řešení rovnice (4.7.2) můžeme tedy napsat v explicitním tvaru XX = XX + /* J e("+1>(,-t)/(T) dr (srov. s (4.6.1)). 4.8. Úlohy 4.8.1.  Ukažte, že konvergují postupné aproximace pro integrální rovnici XX = JV -ett)XT)dt + e'- t. Určete přibližně řešení této rovnice s přesností 10“3. 4.8.2.  Metodou postupných aproximací řešte integrální rovnici 3 cos (f + kde f(t) = i sin t pro 0 ^ t ^ n a f(t) = 0 n xo + -fV «Jo 5- — dT = f(t) , X pro n š t š 2n. 28

4.8.3.  Metodou postupných aproximací řešte integrální rovnici y(t) - J tT2 y(r) dr = 1 . 4.8.4.  Užitím metody postupných aproximací dokažte, že funkce y(t) = sin t je řešením integrální rovnice y({) + J* (ř - T) XT) dt = ř. Návod: Ukažte, že pro n-tou aproximaci platí t3 t5  t7  t2n y„(t) = t  +  1)" 7—  . V ’  3!  5!  7!  V (2n + 1) r] 4 29

II. Speciální integrální rovnice, obecná tvrzení o řešitelnosti 5. Rovnice s konvolutorním jádrem 5.1. V tomto článku se budeme zabývat Volterrovými integrálními rovnicemi, jejichž jádro má speciální tvar. Předpokládejme, že k = k(x) je spojitá reálná funkce reálné proměnné. Potom rovnici (5.1.1)  XO = j* K* -x) XT)dr + /(O nazveme Volterrovou integrální rovnicí druhého druhu s konvolutorním jádrem. 5.2. Konvoluce dvou funkcí. Nechť g a h jsou dvě spojité funkce definované na intervalu <0, oo). Potom integrál (5.2.1)  l(t) = J g(t — t) &(t) dT je spojitá funkce na intervalu <0, co) a nazývá se konvolucí g a h. Vztah (5.2.1) zapisujeme symbolicky (5.2.2)  1 = g*h. Užijeme-li tohoto symbolického zápisu, pak můžeme rovnici s konvolutorním jádrem (5.1.1) psát v ekvivalentním tvaru (5.2.3)  XO = (k * y) (0 + /(O • Při řešení rovnic typu (5.2.3) můžeme využít některých známých vlastností konvoluce, zejména v souvislosti s užitím Laplaceovy transformace (viz [28]). 5.3. Laplaceův obraz rovnice (5.1.1). Zobrazením rovnice (5.1.1) v Laplaceově transformaci S£ dostáváme odpovídající rovnici pro obrazy: (5.3.1)  Y{p) = K(p) Y(p) + F(p) , kde Y(p) = S£ y(t), K(p) = 5£ k(t), F(p) =  f(t). Odtud můžeme vypočítat Laplaceův obraz řešení (5.3.2) Y(P) = F(P) i-k(p)' 30

5.4. Přechod k původní rovnici. Při hledání předmětu y(t)9 který je řešením integrální rovnice (5.1.1), použijeme zpětnou Laplaceovu transformaci Jžf"1. Vztah (5.3.2) zapíšeme v ekvivalentním tvaru (5.4.1) Pro \K(p)\ < 1 pak můžeme psát y(p) - r(p) + 1 - K(p) 1 - K{p) „=i WJ Přejdeme-li v této řadě od obrazů k předmětům člen po členu, dostáváme (5.4.2) kde (na základě vlastností konvoluce) ki(t) = k(t) , k2(t) = k(t) * k(t) , k3(t) = k(t) * k(t) * k(t), í kn{t) = k(t) * k(t) * ... * k{t) (n-krát), .... Označíme-li potom se zpětnou Laplaceovou transformací zobrazí vztah (5.4.1) na rovnost (5.4.3)  y(t)=f(t) + r(t)*f(t). V ekvivalentním tvaru můžeme rovnici (5.4.3) zapsat jako XO = /(O + J r(t - T)/(T)dT • Funkce F je tedy rezolventou Volterrovy integrální rovnice s konvolutorním jádrem (viz odst. 4.6): (5.4.4) y{t) = j* k(í - t) y(T) dr + f(t) V konkrétních příkladech však při přechodu k původní rovnici používáme častěji rozklad na parciální zlomky a slovník Laplaceovy transformace. 5.5. Příklady 5.5.1. Řešte integrální rovnici (5.5.1)  XO = ; í (ř ~ T)2 XT) dT + sin í. 2 Jo 31

Řešení. Jde o rovnici typu (5.4.4), kde k(x) = }x2, f(t) = sin t. Laplaceova transformace jednotlivých výrazů v rovnici (5.5.1) je dána vztahy & XO = Y(p) > ^ sin t =  1 ■■ , p2 + 1 & í \{t - t)2 y(t) dr = £ť(k * y) = ^ L(p). Jo  P Laplaceova transformace rovnice (5.5.1) má tedy tvar Odtud (5.5.2) ^) = pt7T + ^(p). Y(p) = (p “ 1) (P2 + 1) (P2 + P + 1) Při přechodu zpět k předmětu y(t) rozložíme nejprve výraz (5.5.2) na parciální zlomky np) = p +1 + 2) 6(p - 1)  2(p2 + 1)  3(p2 + p + 1) Nyní například pomocí slovníku Laplaceovy transformace najdeme předměty k jednotlivým sčítancům. Z linearity zpětné Laplaceovy transformace potom plyne y(t) = |(eř + 3 cos t + 3 sin t — 4e“ř/2 cos §í) . 5.5.2. Řešme integrální rovnici (5.5.3) y(f) = J sin (t - t) y(z) dz + í. Řešení. Laplaceova transformace jednotlivých výrazů v rovnici (5.5.3) je &y(t)=Y(p), &t = - Jšfsin  , P  P + 1 Jšf I* sin (t — t) j'(t) dt = Jšf(sin t * >’(ř)) =  — Y(p). Jo  P + 1 Rovnice (5.5.3) se tedy zobrazí na rovnici Odtud a odpovídající předmět má tvar y(p) = \ + \ p p y®-t + 6’ 32

5.6. Soustavy Volíerrových rovnic s konvolutorním jádrem. Laplaceovu trans¬ formaci používáme také při řešení soustav integrálních rovnic. 5.6.1. Řešme soustavu dvou integrálních rovnic = 1 - 2 í e2(í-t) y^r) <1t + f y2(r) dx, Jo  Jo (5.6.1) y2(í) = 4ř — f ^(t) dr + 4 f (í - t) y2(x) áx . Jo  Jo Řešení. Přechodem k Laplaceovým obrazům dostáváme soustavu algebraic¬ kých rovnic Yl(p) = i - -J— Yl(p) + - Y2(p) , p p - 2  p y2(p) = -2--yí(p} + -2y2(p). í P -P  P Z této soustavy vypočteme Yi(p), Y2(p) a rozložíme na parciální zlomky P  1  1 YÁP) = y2(p) = (p + i)2 p +1 (p + lY’ 3p + 2 8 1 11 + 8 1 (5.6.2) (p ~ 2) (p + l)2  9 p — 2  3 (p + l)2  9 p + 1 Přechodem k předmětům dostaneme řešení soustavy (5.6.1) ve tvaru y^t) = e"ř - íe’ř, y2(í) = §e2ř + |ře’ř - |e‘ř. 5.6.2. Řešme soustavu integrálních rovnic yi(t) = sin t + í y2(x) dx, J o y2(t) = 1 - cos t - J y^x) dx . Řešení. Laplaceovou transformací soustavy (5.6.2) získáme soustavu algebra¬ ických rovnic YÁP) = ^- + -y2(p), p2 +1 p Y2(p)  i _ P _ I p p2 + 1 p 33

jejímž řešením jsou funkce YÁP) = ^—’  Y2(p) = 0. p + 1 Řešení soustavy integrálních rovnic (5.6.2) má tedy tvar yt(t) = sin t, y2(t) = 0 . 5.7. Úlohy 5.7.1.  Ověřte správnost výpočtů v příkl. 5.5.1, 5.5.2, 5.6.1 a 5.6.2. [Návod: Nalezené funkce y(í), y^t) a y2(t) dosaďte do příslušných rovnic a proveďte zkoušku.] 5.7.2.  Řešte integrální rovnice [y(0 = i(cos 1 + cosh 0-] b) y(0 = ř + \ í (‘ - *)2 y(r) dr. 2 J o o [m-l( V(3)A 1 Tn c) y(t) = sin t + 2 cos (í — t) y(x) dx . Jo WO = <1 d) y(t) = sinh t — cosh(í — t) y(x) dx . o [y(i) = l(cosh t + cos í).] 34

5.7.3. Řešte soustavu integrálních rovnic Ji(0 = e' + í t) dr — f e(,_t) y2(x) d* , Jo  Jo ^(f) = -t - f (t — x) yi(T)dt + f J2(T)dT . Jo  Jo Oi(í) = e2t, y2(t) = i - ie2'.] 6. Rovnice s degenerovaným jádrem Mezi teorií integrálních rovnic a teorií soustav lineárních algebraických rovnic je velmi úzká souvislost. Zvláště to vyniká v případě rovnic, které budeme vy¬ šetřovat v tomto a v následujícím článku. Tvrzení, která zde uvedeme, však mají značně obecnější platnost a shrneme je v odst. 7.5. 6.1. Degenerované jádro. Budeme se zabývat integrální rovnicí (6.1.1)  y(í) = /(í) + n J K(t, x) y(x) dt, /i 4= 0 , jejíž jádro má tvar (6.1.2)  K(t, r) = ÍccJ(t)Pj(r). j= 1 Takové jádro budeme nazývat degenerovaným. Předpokládejme, že funkce aj9 Pj9 j = 1, 2,..., n, jsou spojité na intervalu <a, b>. Ukážeme, že bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že systémy funkcí (a7)"=1 a (j?7)"=1 jsou lineárně nezávislé. Nechť například v systému (<Xj)]=i je pouze p lineárně nezávislých funkcí, p p < n. Označme je a*, a*,..., a*. Potom ay = £ j = 1,2,..., n. Dosadíme-li toto vyjádření do vztahu (6.1.2), dostáváme k=l x(*.T) = Z(E Pj(x) = 1(1 Ty* m «ř(0 = I «*(0 P*(x). j=1k=1  fc=lj=1  fc=l kde &*(*) = £ ?y* /?,(T)» fc = 1, 2,..., p . j=i Našli jsme tedy ekvivalentní vyjádření jádra K(í, t) s menším počtem sčítanců. Pomocí vztahu (6.1.2) můžeme psát rovnici (6.1.1) ve tvaru (6.1.3)  y(t) = f(t) + nEyj ctj(t) , J= i kde (6.1.4)  yj = í j(t) Pj(r) dx, j = 1,2,..., n. 35

Předpokládejme, že existuje řešení integrální rovnice (6.1.1). Vynásobíme-li rovnici (6.1.3) funkcí pi(ť), i = 1,2,..., w, a vzniklou rovnost integrujeme od a do fc, dostáváme n (6.1.5)  y( = /, + nY,aijyj’~ 1,2,..., n, j=i kde (6.1.6) /i= j/(í)j8i(/)dí: d t. To znamená, že z existence řešení y(t) integrální rovnice (6.1.1) vyplývá existence řešení (yř)"=1 soustavy lineárních algebraických rovnic (6.1.5). Předpokládejme nyní naopak, že známe řešení (yř)"=1 soustavy (6.1.5). Potom můžeme na základě předpisu (6.1.3) sestrojit funkci y(t). Po jejím dosazení do integrální rovnice (6.1.1) dostáváme /(*) + A* í* í = 1 n n [ Z «;(') &(*)] [/(*) + /* Z yj «/*)] dt. Využijeme-li označení (6.1.6), plyne odtud Ž y> af(ř) = Z/i a.(0 + Ž (v Z aijyj) a.(0 > i=l  í=i  /=1 j=i neboli Ž «í(0 bi - /í - /í Z = 0 • £=1  y=i Poslední rovnost je splněna, protože (y$=i je řešením soustavy rovnic (6.1.5). Tím jsme ověřili, že námi sestrojená funkce y(t) je řešením integrální rovnice (6.1.1). To znamená, že také naopak každé řešení soustavy rovnic (6.1.5) určuje řešení integrální rovnice (6.1.1). Všimněme si ještě jednoho důležitého faktu. Existují-li dvě různá řešení (>>*)"= i a (ýj)"=i soustavy (6.1.5), potom na základě lineární nezávislosti funkcí (a,-)"^ platí Z yj «A0 + Z h «X0 • j=1  J=l Tedy dvěma různým řešením soustavy (6.1.5) odpovídají dvě různá řešení integrální rovnice (6.1.1). Protože také naopak na základě každého řešení y(t) integrální rovnice můžeme pomocí vztahů (6.1.4) jednoznačně sestrojit řešení soustavy (6.1.5), dokázali jsme následující tvrzení. 6.1.1. Věta (o ekvivalenci). Integrální rovnice (6.1.1) a soustava lineárních rovnic (6.1.5) jsou ekvivalentní v tom smyslu, že každému řešení y(t) integrální rovnice (6.1.1) odpovídá právě jedno řešení (yř)"= i soustavy (6.1.5) a naopak. Vzᬠjemný vztah mezi témito řešeními je dán vztahy (6.1.3) a (6.1.4). 36

6.2. Příklady 6.2.1. Hledejme řešení integrální rovnice (6.2.1)  XO = J (1 + 2ír) Xt) dr - \t - i . Řešení. Jde o Fredholmovu integrální rovnici druhého druhu s degenerova¬ ným jádrem K(t, t) = 1 + 2ít, pravou stranou f{t) = — ř/6 — 1/2 a s parametrem H = 1. V porovnání s obecným tvarem degenerovaného jádra zde máme n = 2, a 1(ř) = 1, /^(t) = 1, a2(ř) = 2t, /?2(r) = Na základě (6.1.3) tedy (6.2.2) y{?) — — í + yi + 2^y2, kde v* (6.2.3) Ji = Í XO dT > ^2 = í * XO dT Jo Jo Dosadíme-li funkci y(t) vyjádřenou vztahem (6.2.2) do integrálů (6.2.3), dostaneme soustavu rovnic  * (6.2.4) yi = J 0>i + 2ty2 - - i) dr, yz = j* Ay 1 + 2ry2 ~ ir - i) dr, která v obecném případě odpovídá soustavě (6.1.5). Soustava rovnic = ^1 + ^2 ~ TI' y2 = iy i + bz - 11 36 má právě jedno řešení yi = i > yz = Tz- Ze vztahu (6.2.2) nyní vypočteme řešení integrální rovnice (6.2.1), y(t) = t + 6.2.2. Řešme integrální rovnici (6.2.5)  XO = V- J 0 + T) XO dT + /(O • Řešení. V tomto případě n = 2, ax(t) = ř, /^(t) = 1, a2(ř) = 1, /?2(t) = t. Na základě (6.1.3) budeme řešení rovnice (6.2.5)diledat ve tvaru XO = /(ř) + Kyš + yi) ■ Vypočteme aÍX = i, aí2 = 1, u21 = i, a22 = i• Soustava algebraických rovnic (6.1.5)  má v tomto případě tvar (6.2.6) -ÍW>1 + (1 - i/í) yz=fz, 37

kde fi = f/Wdř, A = i* í/(ř)dř - Jo  Jo Determinant soustavy (6.2.6) je roven 1 — fi — ^/z2 a rovná se nule pro /Xj. = — 6 + 4 V3 a n2 = — 6 — 4 V3 . Pro fi různá od a /z2 soustava (6.2.6) právě jedno řešení pro libovolné hodnoty a/2. Řešením integrální rovnice (6.2.5) je potom funkce Á<) =/(«) + /• f ^ - 2> <f + ') ~ 12>* - 4" /(,) d, . J0  Ai H- 12/x — 12 Pro li = li i nebo ii = ii2 má soustava (6.2.6) (a tedy i rovnice (6.2.5)) řešení jen pro jisté pravé strany fuf2 (viz odst. 7.3). 6.3. Řešitelnost rovnic s degenerovaným jádrem. Tvrzení věty 6.1.1 můžeme vyslovit v poněkud silnější formě v případě homogenní integrální rovnice. Jeho význam je patrný z následující poznámky. 6.3.1. Poznámka. Množina všech řešení homogenní integrální rovnice XO = aí j* K(t,T) XT)dT ’ K(í, t) = £ Oí/í) /J/t) >=i a množina všech řešení (yy)"=1 homogenní soustavy algebraických rovnic n  fib (6.3.2)  yt = fi £ a^yj, au =  (t) <x,(f) d/, ř = 1,..., n , 7=1  Jo tvoří lineární prostory. Vzájemný vztah (6.3.3)  y(t) = /i£ j= 1 mezi těmito lineárními prostory je lineární a podle věty 6.1.1 také vzájemně jednoznačný. Označme A čtvercovou matici s prvky aij9 i,j = 1, 2,..., n. Potom soustavu lineárních algebraických rovnic (6.1.5) můžeme zapsat v maticovém tvaru (6.3.4)  y = nAy + f, kde y = (yu y2,..., y„)T je vektor neznámých a f = (/j,/2,...,/b)t je vektor pravých stran. Jestliže / značí jednotkovou matici, pak je rovnice (6.3.5)  (l - nA)y = f (6.3.1) kde 38

ekvivalentní rovnici (6.3.4), přičemž 1 / - pA = f^a 11>  — ^12> ^21> 1 “ ^22? /*fl2n - ^nl, - /*a„2, ..., 1 - pann 6.3.2. Věta (o jednoznačné řešitelnosti). Integrální rovnice (6.3.6)  y(t) = n J K(t, z) Xt) dz + f(t) má prárá Jedno řešení tehdy a jen tehdy, když odpovídající homogenní rovnice (6.3.7)  y(t) = n J K(t, t) ^t) dz má pouze triviální řešení. Důkaz. Nutnost viz důkaz věty 3.2.1. Postačitelnost. Rovnice (6.3.6) je ekvivalentní soustavě algebraických rovnic n (6.3.8)  yt = pY,aijyj + /*> 1 = l,2,...,n. 7 = 1 Homogenní rovnice (6.3.7) je ekvivalentní homogenní soustavě algebraických rovnic n (6.3.9)  yt = p £ a^yj , i = 1, 2, ..., w . 7 = 1 Předpokládejme, že rovnice (6.3.7) má pouze triviální řešení. Potom na základě pozn. 6.3.1 má také soustava (6.3.9) pouze triviální řešení. To znamená, že deter¬ minant soustavy (6.3.9), který označíme A(p) = det(/ — pA), je různý od nuly. Odtud vyplývá, na základě známé věty z lineární algebry, že existuje právě jedno řešení soustavy (6.3.8). Podle věty 6.1.1 tedy existuje právě jedno řešení integrální rovnice (6.3.6). 6.3.3.  Jinými slovy můžeme tvrzení věty 6.3.2 zformulovat také takto: Integrální rovnice (6.3.6) má právě jedno řešení tehdy a jen tehdy, když p není charakteristickým číslem jádra K(t, t). 6.3.4.  Důsledek věty 6.3.2. Charakteristická čísla degenerovaného jádra (6.1.2) jsou totožná s kořeny rovnice det (/ — pA) = A(p) = 0 . Důkaž. Podle pozn. 6.3.1 jsou netriviální řešení homogenní rovnice (6.3.1) ve vzájemně jednoznačném vztahu s netriviálními řešeními soustavy (6.3.2). Tato soustava však má netriviální řešení právě tehdy, když její determinant A(p) je roven nule. 39

Má-li rovnice (6.1.1) s degenerovaným jádrem (6.1.2) právě jedno řešení, potom na základě věty 6.3.2 a důsledku 6.3.4 je A(/i) 4= 0. Označme dki = dki(n) = Ski — — iiaki (Ski je tzv. Kroneckerovo delta, tj. Ski = 0 pro k 4= í, Ski = 1 pro k = i) prvky determinantu A(^) a Aki algebraický doplněk prvku dki (viz [6]), k, i = = 1, 2,..., n. Potom za předpokladu A (/z) 4= 0 můžeme jednoznačné řešení soustavy rovnic (6.3.8) vypočítat pomocí Cramerova pravidla (viz [6]) yt = (Aií/i + A2i/2 + ... + Anifn)lA(n) , i = 1, 2,..., n . Řešení integrální rovnice (6.1.1) s degenerovaným jádrem (6.1.2) má tedy v tomto případě tvar y(t) = f(t) + n t A)i/l + Á2l'{2 +  + A"í/n a,.(ř). A(W t= i Dosadíme-li za/£ ze vztahů (6.1.6), dostáváme (6.3.10) Označme XO = /(*) + A* í ~7T £ [Alí0l(X +  + ... + J a Mm) + A„f ai(ř)/(T) dT • 0, a2(0> • Mr)> 1 — fialí9 — flCli2j • .- naín Mr)> — flCl 21, 1 - fia22, • .., — fia2n &(*)> - WnU ~ * • •, 1 - Wnn Provedeme-li rozklad tohoto determinantu podle prvního řádku a minory příslušné prvkům at(ř) rozložíme podle prvního sloupce, dostaneme výraz, který se vyskytuje za znakem sumy v integrálu (6.3.10) (ověřte!). Pro A(/i) 4= 0 položíme (6.3.U)  r,(i, *) - áítiiíá - -L É i áM „jW ,ilW. A (n)  A(fi)i=ij=i Potom můžeme psát rovnost (6.3.10) ve tvaru y(t) = f(t) +  t)/(t) dt. Funkce t) daná vztahem (6.3.11) je rezolventou integrální rovnice (6.1.1) s degenerovaným jádrem (6.1.2). 6.3.5. Poznámka. Výraz (6.3.11) definuje rezolventu pro všechny hodnoty parametru s výjimkou kořenů rovnice A(ju) = 0. V odst. 4.5 byla v případě Fredhol- mova jádra rezolventa definovaná pouze pro malé hodnoty Na druhé straně však metoda sestrojení rezolventy pomocí iterovaných jader zahrnuje obecně všechna jádra, která jsou spojitá v základním čtverci Q (resp. spojitá v q a nulová v Q — q), zatímco předpis (6.3.11) definuje rezolventu pouze pro jádra degenerovaná. 40

V obecném případě je rezolventa dána předpisem A(f, t; h) A(/X ’ kde každou z funkcí A(í, t; ji) a A (/i) je možné rozložit v mocninnou řadu v pro- měnné p, která konverguje pro všechny hodnoty parametru p v komplexní rovině. Přitom funkce A(p) má v každé omezené množině nejvýše konečný počet nulových bodů a každý takový nulový bod má konečnou násobnost. Taková konstrukce rezolventy b>la provedena švédským matematikem E. I. Fredholmem v roce 1900 na základě teorie analytických funkcí. Na závěr odstavce ještě ukážeme, že z existence řešení rovnice (6.3.6) pro libo¬ volnou pravou stranu / e C((a, b)) již vyplývá jeho jednoznačnost. Větu 6.3.2 můžeme tedy formulovat v následující silnější formě. 6.3.6. Věta. Integrální rovnice (6.3.6) má řešení pro libovolnou pravou stranu f e C(<a, b}) právě tehdy, když odpovídající homogenní rovnice (6.3.7) má pouze triviální řešení. Přitom pro jcaždou pevnou funkci f(t) je již takové řešení určeno jednoznačně. Důkaz. Nutnost. Nechť má rovnice (6.3.6) řešení pro libovolnou pravou stranu /e C(<a, b)). Na základě věty 6.1.1 tedy existuje řešení soustavy n (6.1.5)  y{ = nY aijyj + ft, i = 1,2,..., n, j= i pro libovolný vektor f = (fuf2> •••>/«)• Potom příslušná homogenní soustava n (6.3.12)  yi = nY aijyj > i = 1, 2,.... n J=} má pouze triviální řešení, a tedy (6:3.13)  det (I — pA) = A(p) 4= 0 . Odtud a z důsledku 6.3.4 ale vyplývá, že homogenní rovnice (6.3.7) má pouze triviální řešení. Každé pevné funkci / e C((a, b>) odpovídá na základě vztahů (6.1.6) některý pevný vektor f = (fl9/2, ...,/„). Za předpokladu (6.3.13) má soustava (6.1.5) právě jedno řešení y = (yi, •••> yn)> kterému odpovídá jednoznačně určené řešení y(í) integrální rovnice (6.3.6) dané vzorcem (6.1.3). Postačitelnost se dokáže stejně jako v důkazu věty 6.3.2.* 6.4. Příklad. Řešme integrální rovnici (6.4.1)  XO = ^ J (tt2 + í2X XX d-r + /(f) , kde /je spojitá funkce na intervalu < —l,l)a/zje reálný parametr. Řešení. V souladu s obecným označením položíme .yi = J T2 XX dx , y2 = J T XX d* • 41

Vektor y = (yí9 y2) je pak řešením soustavy rovnic (6.4.2) yi - 5W2 = j* t2/(t)c1t, -|m+y2=J  t/(t)<1t. Snadno vypočteme determinant této soustavy A(p) = 1 — tš^2- Jestliže p 4= 4= ± V(l5)/2, má soustava právě jedno řešení .Vl = J-i t2/(t) dt + |aí Jit t/(t) dr = J-i t/(t) dr + \p t2/(t) dr 1-že1  ■ Odpovídající řešení integrální rovnice (6.4.1) je dáno vztahem y(t) = /(O + Wi + nt2y2 = = /(ř) + (1 - iV2)-1 J)1 + §/*0 ^ J T2 /(T) dt + (l/J + ř)/iřj* T/(T) dtj • Přitom toto řešení y(t) je určeno jednoznačně pro libovolnou pravou stranu f(t) e eC«-1,1». 7. Fredholmova alternativa 7.1. Transponované jádro. Připomeňme si, že v lineární algebře se matice all> a2U al2> a22> lln> a2n nazývá maticí transponovanou k matici A = all> al2> a2U a22> • > ^nl •9 an2 an * * 9 aín *2 n 1> ^n2>  • * * 9 &nn V analogii s tímto pojmem zavedeme transponované jádro KT(t, t) k jádru K(t, z) předpisem (7.1.1)  KT(t, z) = K(t, t) (tj. v jádru K(t, t) vyměníme proměnné ř a t). Homogenní rovnici

budeme nazývat rovnicí transponovanou k homogenní rovnici (7.1.3)  f(0 = n j* K(t, t) y(t) dt. V operátorové formě budeme transponovanou rovnici (7.1.2) psát ve tvaru (7.1.4)  z = pKTz , kde operátor KT je definován vztahem KTz = J K(t, t) z(t) dr . Je-li jádro K(t, t) degenerované, tj. X(ř, t) = f ay(ř) /?/t), ;=i potom transponované jádro KT(í, t) je také degenerované a má tvar xT(ř, t) = i ^(0 aXT) • *  ;=i Odtud vyplývá, že při přechodu od homogenní transponované rovnice (7.1.2) s de¬ generovaným jádrem k ekvivalentní soustavě algebraických rovnic dostáváme soustavu (7.1.5)  z = pATz , kde z = (zuz2,..., z„)T , Pb  (*b Zj =  z(t) a,(f) dí, AT = (aT.),v , ajj =  a,(í) /?;(í) dí = a;f, i,j = l,...,n. J a  J a Přitom vzájemná souvislost mezi řešením integrální rovnice (7.1.2) a řešením soustavy (7.1.5) je dána vztahem z(t) = ni Z j pj{t) j= 1 (srov. s (6.3.3)). Matice soustavy rovnic (7.1.5) je tedy transponovanou maticí k ma¬ tici soustavy y = pAy, která odpovídá původní homogenní rovnici (7.1.3). 7.2. Kolmost dvou funkcí. V lineární algebře odpovídá soustava lineárních rovnic EM; =/í> í = 1,2,..., n j= i lineárnímu zobrazení, které převádí vektor y = (yu y2,..., yn) euklidovského prostoru R” na vektor f = (/i,/2, ...,/„) e R”. Při studiu takového zobrazení hraje důležitou roli skalární součin dvou vektorů x, yeR" definovaný předpisem 43

71  H (x, y) = Yj *ďi- Dva vektory x,yeR" nazýváme kolmé, jestliže (x, y) = £  = 0. i=i  »=i Řekneme, že dvě funkce x(t), y(í) spojité v intervalu <u, b> jsou kolmé (a bude¬ me psát x J- y), jestliže (viz např. [ll]). V následujícím odstavci použijeme toto známé tvrzení z lineární algebry (viz [6]). 7.2.1.  Lemma. Soustava lineárních algebraických rovnic 71 Y*btjyj =fi> ř = 1,2, ...,n j=1 má řešení právé tehdy, fcdyz je vektor pravých stran f = (fí,f2, • ..,/„) kolmý ke všem řešením homogenní transponované lineární soustavy 71 y = 0 , Í = 1, 2,..., n . ;=i 7.3. Řešitelnost Fredholmovy integrální rovnice druhého druhu pro libovolnou hodnotu parametru p. V tomto odstavci dokážeme tvrzení, které nám dává informaci 0  struktuře množiny řešení nehomogenní rovnice s degenerovaným jádrem 1  v případě, že parametr p je charakteristickým číslem jádra. 7.3.1.  Věta (o řešitelnosti). (i)  K tomu, aby integrální rovnice (7.3.1)  y(t) = n j* K(t, r) y(t) dr + f(t) mela řešení y(t) e C(<u, b>), je nutné a stačí, aby funkce f(t) byla kolmá ke všem řešením odpovídající transponované homogenní rovnice (7.3.2)  z(í) = p J K(t, í) z(t) dr . (ii)  Je-li splněna výše uvedená podmínka kolmosti, potom obecné řešení y(í) rovnice (7.3.1) ma toar y(0 = p(í) + y(ř) , kde <p(t) je obecné řešení homogenní rovnice (7.3.3)  XO = V- J ^(í, T) XT)dT a Y(t) je nékteré řešení rovnice (7.3.1). (iii)  Homogenní integrální rovnice (7.3.2) a (7.3.3) mají stejný počet lineárně nezávislých řešení. í x(t) y(t) dt = 0 44

Důkaz (i). Nutnost. Nechť y(t) je řešení rovnice (7.3.1) a z(í) je řešení transponované rovnice (7.3.2). Vynásobíme rovnici (7.3.1) funkcí z(t) a integrujeme od a do b. Protože všechny integrované funkce jsou spojité, můžeme zaměnit pořadí integrace a obdržíme vztah (7.3.4)  j* XT) j^z(T) “ M J K(t, t) z(í) dřj dr = J /(ř) z(í) dř. Levá strana (7.3.4) je rovna nule, neboť z(t) řeší rovnici (7.3.2). Tedy Protože z(t) bylo libovolné řešení homogenní rovnice (7.3.2), je důkaz nutnosti podmínky kolmosti proveden. Postačitelnost. Předpokládejme, že jádro K(t, t) má tvar K(t, t) = Z «i(t) Pii?) . *=i Nechť/lz pro všechna řešéní z(t) homogenní rovnice (7.3.2). Tato rovnice je ekvi¬ valentní soustavě algebraických rovnic (7.3.5)  Zí = V'YJajizj> ž = l,2, ...,n, y=i přičemž vzájemný vztah mezi řešeními rovnice (7.3.2) a soustavy (7.3.5) je dán předpisem (7.3.6)  z(í) = /i £ z, &(í) . £ = 1 Předpokládejme, že hodnost matice / — /MT, kde AT je matice transponovaná k matici A, je rovna r. Potom má soustava (7.3.5) s = n — r lineárně nezávislých řešení z1 z2 z5 “ , “ , * • *, * • Tyto vektory tvoří bázi prostoru řešení homogenní soustavy (7.3.5). Na základě této báze můžeme sestrojit pomocí předpisu (7.3.6) odpovídající lineárně nezávislá řešení integrální rovnice (7.3.2): z\t), z2(í),...,zs(í). Obecné řešení z(t) rovnice (7.3.2) má tedy tvar (7.3.7)  z(ť) = ax zl(t) + a2 z2(t) + ... + as z5(ť). Podmínka kolmosti/lz pro libovolné řešení z(t) rovnice (7.3.2) je pak ekvivalentní rovnostem (7.3.8) i = 1, 2,..., s . Každou z funkcí zJ(í) můžeme vyjádřit pomocí vztahu (7.3.6). Označíme-li z1 = 45

= (z[, z2,..., z*), potom (7.3.9)  z\t) = nt z) dlt). j=i Dosadíme-li (7.3.9) do (7.3.8), dostáváme n ~ 0 >  * = 1, 2,.... s , j= i neboli (zř, f) = 0, í = 1, 2,..., s . Jinými slovy, vektory z\ i = 1,2,..., s, jsou kolmé k vektoru f pravých síran lineární soustavy n (7.3.10)  yt - n'Laijyj = fť i = í,2,...,n, j=i která odpovídá integrální rovnici (7.3.1). Odtud a z lemmatu 7.2.1 vyplývá, že sousta- va (7.3.10) má řešení y = (yl5 y2,..., y„)T. Pomocí vektoru y = (ťi, y2,..., y„) n potom sestrojíme řešení y(ť) = f(t) +  integrální rovnice (7.3.1). Tím je důkaz tvrzení (i) proveden.  -7"1 Důkaz tvřzení (ii) vyplývá z věty 3.2.2. Důkaz tvrzení (iii) plyne z následující jednoduché úvahy. Je-li hodnost matice / — fiAT rovna r, potom také hodnost matice l — jxA je rovna r (neboť / —  = = (/ — /M)T). Proto soustava (7.3.5) má s lineárně nezávislých řešení z1, z2,..., z5 právě tehdy, když také soustava n (7.3.11)  yi = vY.aijyj> i — 1, 2,..., n y=i má s lineárně nezávislých řešení y1, y2,..., y5. Poznamenejme, že věta 6.3.2 (o jednoznačné řešitelnosti) je speciálním přípa¬ dem právě dokázané věty 7.3.1. Uveďme ještě následující jednoduché tvrzení. 7.3.2. Důsledek věty 7.3.1. Jádro K(t, t) a transponované jádro XT(ř, t) mají stejná charakteristická čísla. Důkaz vyplývá z analogického tvrzení o vlastních číslech matice A a transpo¬ nované matice AT (proveďte podrobně sami!). Důsledek 7.3.2 neplatí v této podobě, pokud budeme uvažovat jádra K(í, t) nabývající komplexních hodnot. V tomto obecnějším případě úlohu transponovaného jádra KT(í, t) přebírá tzv. hermitovsky transponované jádro X*(ř, t) = K[t, í) (zde pruh nad výrazem značí hodnoty komplexně sdružené). Charakteristická čísla jader K a K* jsou pak navzájem komplexně sdružená. 46

7.4. Příklady. 7.4.1. Budeme pokračovat ve studiu integrální rovnice (6.4.1)  j(í) = n J (íx2 + í2x) y(x) dx + f(t) (viz příkl. 6.4). Nechť nyní /z = -v/(l5)/2. Potom homogenní soustava Jl - §«>2 = 0 , -fm + yi = o má řešení <p = (V(3/5) c, c), kde c je libovolné reálné číslo. Homogenní integrální rovnice (7.4.1)  y(t) = ji J (ít2 + ř2T)y(r)dT má tedy řéšení tvaru <p{i) = (V(3/5) t + ř2) c . Všimněme si, že jádro K(t) t) = řr2 + í2t splňuje vztah X(í, t) = K(r, ř), tj. XT(ř, t) = X(t, t). Odtud vyplývá, že řešení rovnice transponované k rovnici (7.4.1) je také rovné funkci cp(t). Soustava rovnic (6.4.2) má pro fi = V(l5)/2 tvar Ji - V(3/5) y2 = j* t2/(t) dx , Ji - V(3/5) j2 = j* (- V(3/5) x)/(x) dx . Tato soustava má řešení právě tehdy, když (7.4.2 neboli (- V(3/5) x)/(x) dx , - 1 (7(3/5) x + x2)/(x) dx = 0 . Poslední vztah v souladu s tvrzením věty 7.3.1 znamená, že pokud má existovat řešení integrální rovnice (6.4.1), musí být její pravá strana kolmá k libovolnému řešení transponované homogenní rovnice. Tak například pro f(t) = 1, te < —1,1), není tato podmínka splněna. Rovnice (6.4.1) tedy nemá řešení. Je-li f(t) = ř3 — 3ř/5, f e < —1,1), má integrální rovnice (6.4.1) nekonečně mnoho řešení, která můžeme vyjádřit ve tvaru y(t) = t3 - 3í/5 + (V(3/5) t + í2) c , kde c je libovolné reálné číslo (srov. s tvrzením (ii) věty 7.3.1). Analogicky můžeme vyšetřit případ = — V(15)/2 (proveďte sami!). 7.4.2. Hledejme charakteristická čísla a vlastní funkce homogenní integrální 47

rovnice (7.4.3) y(t) = p j K(t, t) y(x) dr , Jo kde K(t, t) = cos2 t cos 2t + cos 31 cos3 t. Řešení. V tomto případě an = \ cos2 t cos 2t dr = - , -r. --í: a“=L -í: cos2 t cos3 t dr = 0 , cos 3t cos 2t dt = 0 , a22 = I cos 3t cos3 t dr = - . 8 Rovnice A(/i) = — pi012 1 - 0 4 — ^ . n 1 - /*«22 °, 1 - n- 8 má dva různé reálné kořeny = 4/7C a. fi2 = 8/tc. Soustava rovnic (7.3.11) má tvar (l-A*^i =0.  (l-A*^)ya=0. Je-li/i = fií = 4/71, potom y2 = 0 a ji je libovolné reálné číslo. Je-li ^ = fi2 = 8/71, potom ^ = 0 a y2 j® libovolné reálné číslo. Závěr: Integrální rovnice (7.4.3) má dvě charakteristická čísla = 4jn a fx2 = 8/71. Charakteristickému číslu  = 4jn odpovídá vlastní funkce yx(ř) = = Cj cos2 t, charakteristickému číslu /z2 = 8/tc odpovídá vlastní funkce y2(t) = = c2 cos 3í, přičemž cx a c2 jsou libovolné konstanty. V následujícím odstavci shrneme výsledky odvozené v tomto článku. Připo¬ meňme ještě, že všechna tvrzení nebyla dokázána v plné obecnosti, neboť jsme se omezili na případ degenerovaného jádra. K těmto výsledkům se ještě vrátíme v článku 12, kde také čtenář najde odkaz na literaturu, ve které jsou níže uvedená tvrzení dokázána v plné obecnosti. 7.5. Fredholmova alternativa. Při vyšetřování řešitelnosti integrální rovnice (7.5.1)  y(t) = n J K(t, r) y(x) dr + f(t) mohou nastat následující dva navzájem se vylučující případy: 48

1.  případ. Hodnota parametru p není charakteristickým číslem jádra K(t9 t) a potom rovnice (7.5.1), resp. rovnice (7.5.2)  z(t) = n j* K(r, t) z(t) dt + g(t) má právě jedno řešení pro libovolnou pravou stranu f e C(<a, b>), resp. g e g C(<a, fc>). Přitom odpovídající homogenní rovnice (7.5.3)  y = pKy , resp. z == pKTz má pouze triviální řešení. 2.  případ. Hodnota parametru p je charakteristickým číslem jádra K(t, t); potom rovnice (7.5.1) má řešení právě tehdy, když je pravá strana f(t) kolmá ke všem řešením homogenní transponované rovnice z(t) = p J K(t, í) z(t) dr . Přitom homogenní rovnice (7.5.3) mají stejný (konečný) počet lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení integrátní rovnice (7.5.1) se skládá z obecného řešení homo¬ genní rovnice y(t) = n j* K(t, t) y(t) áz a nékterého řešení rovnice (7.5.1). Fredholmova alternativa platí speciálně také pro Volterrovy integrální rovnice druhého druhu. Z důsledku 4.3.4 vyplývá, že pro tyto integrální rovnice nastává vždy prvhí případ alternativy. 7.6. Praktická poznámka. Vyšetřování integrálních rovnic s degenerovaným jádrem je důležité z hlediska početní praxe. Při řešení konkrétních úloh nám jde převážně o nalezení přibližného řešení integrální rovnice. Širokou třídu jader K(t, t) můžeme s libovolnou přesností aproximovat jádrem degenerovaným. Řešení integrál¬ ní rovnice s takovým degenerovaným jádrem se potom bude málo lišit od řešení původní rovnice. Úloha nalezení přibližného řešení lineární integrální rovnice dru¬ hého druhu spočívá pak v řešení soustavy lineárních algebraických rovnic odpovída¬ jících integrální rovnici s aproximujícím degenerovaným jádrem. Pro ilustraci hledejme přibližné řešení integrální rovnice (7.6.1)  y(t) = J í(l - e'1) y(r) dr + e' - t. Jádro této integrální rovnice K(t, t) = í(l — eřT) není degenerované. Použijeme rozvoj exponenciální funkce a budeme jádro K(t, t) aproximovat polynomem (7.6.2) í3T2 H(t, t) = — í2x  íV 49

Místo původní rovnice (7.6.1) budeme řešit integrální rovnici s degenerovaným jádrem H(t, t) f1 /  t3 T2 /4t3\ H1) = -  + — + —J  dr + e‘ - K řešení této rovnice použijeme metodu z odst. 7.3. Položíme ^(í) = e‘ — t — ctt2 — c2t3 — c3t4, kde f1  f1 t2  r1 t3 = z <A(z) dz , c2 =  — ý(z) dz , c3 = I — \j/(r) dz . Jo  Jo 2  Jo 6 Konstanty c2, c3 pak dostaneme řešením soustavy lineárních rovnic 4C1  5C2 "1" 6^3 = 3 > 5C1 H 6*^2 "b 7C3 = e ""‘ 4 > lr i ir _L.19  _ 29 _ ? 6C1 + 7C2 + 8 C3 “ 5  Ze • Determinant této soustavy je různý od nuly; při zaokrouhlerií na čtyři desetinná místa dostáváme ct = 0,501 0 , c2 = 0,167 1 , c3 = 0,042 2 . Potom ý(t) = eř - t - 0,501 Oř2 - 0,167 1 ř3 - 0,042 2 ř4 . V tomto případě se snadno přesvědčíme, že funkce <p(t) = 1 je přesným řešením integrální rovnice (7.6.1). Vyčíslením přibližného řešení ij/{t) pro ř = 0; 0,5; 1, dostáváme \l/(0) = 1,000 0 ; ^(0,5) = 1,000 0 ;  1) = 1,008 0 . Porovnáme-li tyto hodnoty s přesným řešením cp(t) = 1, můžeme si udělat představu o tom, jak velké chyby se dopouštíme při záměně původního jádra K(ř, t) degenero¬ vaným jádrem (7.6.2). 7.7. Úlohy 7.7.1. Řešte integrální rovnici ><ř) = J“ J K{u z) XT) dz + f{t) v následujících případech: a) K(t, z) = t - 1, f(t) = í. 2 t{n + 1) — n H + 2 •] j^Pro n = — 2 řešení neexistuje. Pro n + —2 je >’(í) = b) K(t, z) = 2eř+\ f{t) = e‘. iPro u  = —-—  řešení neexistuje. Pro u 4= —-—je  y(t)  -  7-  .1 L  e2 - 1  e2 - 1 W 1 - /i(e2  - 1) J 50

c) K(t, z) = t + z — 2ít, /(ř) = t + í2. J^Pro /í = 2a/i = —6 řešení neexistuje. Pro /i 4= 2, —6 je 12 n2t — 24fit — n2 + 42[i 6{n + 6) (2 - n) J 7.7.2. Řešte integrální rovnici XO = ^ cos (21 + t) j>(t) dr 3  3 Pro fi = ± -—- řešení neexistuje. Pro ^ 4= ±  je + sin t. 2 y/2 2 V2‘ [ XO = sin t + ^  ^ (2/r cos 2í + § sin 2í).J 7.7.3. Řešte integrální rovnici XO = fij K(t, t) X*) dt + f(t) v následujících případech: a) K(t, z) =  + Vt, /(ř) = 1 - 6ř2. Pro /i * + ^ je y(t) = 5  12/i (5yř + 6/i) + j _ 6ř2. [^' r' '  12/i2 — 5 pro n = ±Y2 řešení neexistuje] b) K(ř, t) = í4 + 5í3t, f(t) = í2 - ř4. fPro fi * f a n =J= i je XO = 5^ „3| *4 + í2í pro fi = i je L  2fij y(t) = ct3 + t2 — |í4, kde c je libovolná reálná konstanta; pro \i = § řešení neexistuje 7.7.4. Řešte integrální rovnici XO = ^ J K({>T) XOdr + /(O v následujících případech: a) K(t, t) = sin (2t + t), f(i) = n — 2t. [Návod: Jádro je degenerované, neboť sin (21 + t) = sin 21 cos t + cos 2t sin t; pro \x + | a \i 4= — | je y(í) = 12ju/(3 — 4/z) sin 2í + tc — 2í; pro \i = — | je y(í) = 7i — 2ř — 2 sin 2í + c cos 2í, kde c je libovolná reálná konstanta; pro H = | řešení neexistuje.] 51

b) K(t, t) = sin t + t cos t, f(t) = i — 2t/n. [Pro ju =t= ±i Je Kř) = 1 — —  cos t; pro \i = \ je n 6(1 + 2ju) 4 2í y(í) =  f- (8 + 7i2 cos t) c, kde c je libovolná reálná konstanta; pro }i = — 3 TU řešení neexistuje. J 7.7.5. Nalezněte všechna charakteristická čísla a všechny vlastní funkce rovnic: Í2n [sin (t + t) + |] y(r) dt. Pro = - je y1(í) = sin t + cos t, y^t) = 1; pro = — - je n  n [ y2(t) = cos t — sin í.J b) XO = (sin t sin 4t + sin 21 sin 3t + sin 31 sin 2t + sin 4í sin t) y(r) dr. 2 . [Pro  = — - je <y1(ř) = sin t — sin 4ř, yx(ř) = sin 2ř — sin 3f; pro 7C \i2 = - je y2(ř) = sin 2í + sin 3ř, y2(í) = sin t + sin 4t. n  J 7.7.6. Určete ty hodnoty parametrů a, b, c, pro něž má následující integrální rovnice řešení pro libovolnou hodnotu parametru ju: y(í) = já j* (řr + ř2r2) y(r) áx + at2 + bt + c . [b = 0, 3a + 5c = 0.] 7.7.7. Nalezněte rezolventu a řešení integrální rovnice r2n Í2 n (sin t sin t + sin 2t sin 2t) y(r) dr + f(t). t- z v sin t sin t + sin 2í sin 2t / x f2ít _ / x r( x , r,. r,M =  ; XO = a* r,(ř,T)/(T)dT+/(ř) 1 -  Jo pro n 4= i ; pro p = - má rovnice řešení právě tehdy, když 7C  7C p2rc  p2rt I /(t) sin t dr =  /(t) sin 2t dr = 0, Jo  Jo a obecné řešení má tvar y(t) = f(t) + sin t + c2 sin 2t, kde ci9 c2 jsou libo¬ volné reálné konstanty.J 52 S)!1—1

III. Řešitelnost integrálních rovnic 8. Operátory v normovaných lineárních prostorech 8.1. Normovaný lineární prostor, skalární součin. V tomto odstavci uvedeme několik netriviálních tvrzení, která budeme používat v následujícím výkladu a jejichž důkazy vybočují mimo rámec této knížky. Čtenáře, který se hlouběji zajímá o tuto problematiku, proto odkazujeme na publikaci [13]. Doposud jsme vyšetřovali pouze integrální operátor K v lineárním prostoru spojitých funkcí definovaných na intervalu <a, fo>. Za účelem dalšího výkladu zave¬ deme v prostoru C((a, b)) norfnu (viz např. [9]). V lineárním prostoru C(<a, b)) můžeme definovat normu různými způsoby. Jestliže každé funkci / e C((a, b>) přiřadíme reálné číslo (8-1-0  |/|U = max |/(*)| > jce<a,b> potom je veličina H/jl^ normou v C(<a, b>). Lineární prostor C(<a, fo>), ve kterém je definována norma pomocí předpisu (8.1.1), nazýváme normovaným lineárním prostorem a budeme Jej značit CL^a, b)). Přiřazení (8.1.1) si můžeme názorně představit jako vzdálenost prvku / od nulového prvku prostoru C(<a, fc>). Vzdálenost libovolných dvou prvků f,ge C(<a, fo>) můžeme ,,měřiťť následujícím způsobem (8-1.2)  gjf, g) = ||/ -  = max |/(x) - g(x)| . V některých praktických případech však nemusí pojem vzdálenosti definovaný vztahem (8.1.2) odpovídat skutečnosti. Měříme-li například na oscilografu průběh nějaké veličiny, která v několika málo bodech vykazuje ,,skokyťť (obr. 4), je přiroze¬ nější definovat vzdálenost dvou prvků f,ge C((a, b>) pomocí střední odchylky / 53

1 od g QÁf> 9) = —^— í |/(x) ~ g{x)\ dx, o ~ aj„ případně střední kvadratické odchylky Qz(f> 9) = 7^— í |/(*) - g(x)|2 dx, 0 ~ aJ<. nebo zcela obecně eP(f,g) =  f |/(*) - g{x)\pdx b — a Ja pro libovolné číslo 1 ^ p < 00. Proto v lineárním prostoru C(<a, b>) můžeme definovat normu (8.1.3)  1/1, = (J |/(x)|pdx) , 1 á P < co . Dostáváme normovaný lineární prostor, který budeme značit CLp(<a, b>). Takový způsob zavedení normy v C(<n, by) má tu nevýhodu, že normovaný lineární prostor CLp(<a, b}) není úplný, xj. existují takové funkce fk e C((a, b>), že lim || fn - fm\\p = 0, a přesto pro žádný prvek/ e C«a, 6» neplatí lim \\fk - /||p = n,m~> 00  fc-^oo = 0. Tento problém se dá odstranit tak, že k prostoru C(<a, fc>) přidáme některé limitní prvky a dostaneme tak úplný normovaný lineární prostor. Protože limitou stejnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí /„ na intervalu <n, b> je opět spojitá funkce /, tyto potíže nenastanou v případě p = 00. Způsob zavedení normy pomocí předpisu (8.1.3) má však svoje výhody, které využijeme i my v dalším výkladu. Zvláštní postavení mezi normovanými lineárními prostory CLp(<a, by) zaujímá prostor CL2((a, by). V tomto prostoru můžeme totiž zavést pojem skalárního součinu libovolných dvou prvků f,ge CL2{(a, by) pomocí předpisu Norma v prostoru CL2(<n, by) (tzv. L2-norma) je pak určena pomocí tohoto skalár¬ ního součinu následujícím způsobem: (8-1-5)  ||/|| = V(/,/) (index p budeme v případě p = 2 vynechávat). V dalších článcích této knížky se budeme zabývat také funkcemi, které nabý¬ vají komplexních hodnot. Lineární prostor spojitých funkcí zobrazujících interval <a, by do množiny komplexních čísel C budeme značit symbolem C(<a, by). V tomto prostoru můžeme také zavést normu pomocí předpisů (8.1.1) a (8.1.3). Dostanemě tak normované lineární prostory CLj^a, by) a CLp(<a, by). Je-li p = 2, potom 54

skalární součin dvou prvků /, g e CL2(<a, fc>) definujeme vztahem (/, g) = | /(*) g(x) dx, kde g(x) značí hodnoty komplexně sdružené ke g(x). Norma v CL2((a, b)) je pak dána opět pomocí (8.1.5). Shrneme nyní některé základní vlastnosti skalárního součinu a normy, které budeme nadále používat. Předpokládejme, že /, g,fuf2 e CL2(<a, by), a e C. Potom platí (51)  (/, g) = (g,f) (hermitovská symetrie). (52)  (a/, g) = a(/, #) (homogennost vzhledem k prvnímu argumentu). (53)  (A + /2, 0) = (/i,0) + (/2, 0) (distributivita). (54)  (/,/) ^ 0, přičemž z rovnosti (/,/) = 0 vyplývá, že / = 0 (pozitivní de- finitnost). Poznamenejme, že z vlastností (Sl) a (S2) vyplývá (55)  (/, otg) t= (<xg,f) = %,/) = á(/, g) . Skalární součin v prostoru reálných funkcí CL2((a, b>) má zcela analogické vlast¬ nosti (uvědomte si, že pro libovolné reálné číslo x platí x = x). Norma má následující vlastnosti: (NI) ||/|| ^ 0, přičemž [|/|| = 0 právě tehdy, když / = 0. (N2) ||a/1 = |a| ||/||. (N3) ||/ + ^|| ^ [|/|| + H0II (trojúhelníková nerovnost). 8.1.1. Definice. Předpokládejme, že £ je libovolný lineární prostor a že libovol¬ nému prvku feE můžeme přiřadit hodnotu ||/||, přičemž jsou splněny vztahy (NI) až (N3). Potom E nazýváme normovaným lineárním prostorem. Jestliže každé dvojici prvků f,g e E můžeme přiřadit číslo (/, g), přičemž platí (Sl) až (S4), potom E nazýváme prostorem se skalárním součinem. V prostoru E se skalárním součinem platí následující důležitý vztah: C8-1-6)  |(/,0)| š ||/1 Ml pro libovolné dva prvky f,g e E. Nerovnost (8.1.6) se nazývá Schwarzova nerovnost a v případě E = CL2(<a, b)), resp. E = CL2(<a, fe>), má tvar (8.1.7) J| /(*) g{x) dx| g ( | |/(*)l2d*) (| k(*)l2 d*) resp. (8.1.8) || /(*) g(x) dx| á | fcb \1/2 /rb \!/2 J f\x)dx\ í 1 g2(x) dxj . Poznamenejme, že Schwarzova nerovnost zapsaná v podobě (8.1.7) nebo (8.1.8) se často nazývá Cauchyovou-Buňakovského nerovností. 55

8.1.2.  Definice. Nechť E je prostor se skalárním součinem. Dva prvky f,geE nazveme kolmé (ortogonální), jestliže platí (/,</) = 0 (srov. s odst. 7.2). Nechť M je nějaká (konečná nebo nekonečná) podmnožina přiro¬ zených čísel. Systém prvků ((pi)ieM c E, které jsou navzájem kolmé, tj. ((ph (p}) = 0 pro i #= j, nazýváme ortogonálním systémem v E. Jestliže platí ||^>ř|| = 1, ieM, nazýváme ((Pi)ieM ortonormálním systémem (stručně budeme psát ONS) v E. Je-li (lAi)ieM nějaký systém prvků v E, potom lineárním obalem systému (^i)ieM nazýváme všechny prvky prostoru E, které můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci prvků ieM. Na základě tzv. Schmidtova ortonormalizaéního procesu můžeme pomocí prvků ij/t vytvořit ONS (<Pi)ieN takový, že prostor všech lineárních kombinací funkcí (ph i e N, je totožný s prostorem všech lineárních kombi¬ nací funkcí ýi, i e M (podrobně viz [11]). Dá se snadno ukázat, že prvky ONS {(Pi)ieN }sou lineárně nezávislé (ověřte!). 8.1.3.  Definice. Systém lineárně nezávislých prvků (efc)£°=1 <= E nazýváme bází prostoru E, jestliže je možné libovolný prvek / e E vyjádřit jednoznačně ve tvaru řady / = £ ckek ■ k= 1 Konvergenci této nekonečné řady chápeme ve smyslu (8.1.9)  lim ||/ - t ckek\\ = 0 . rt-k oo  k= 1 Předpokládejme, že ((Pí)?=i je ONS v E. Potom můžeme libovolnému prvku f e E přiřadit nekonečnou řadu (8.1.10) i= 1 kde oíí = (/, <Pi). Taková řada se nazývá formální Fourierovou řadou prvku f vzhledem k ONS (<Pí)?=i, čísla ať se nazývají Fourierovými koeficienty prvku f vzhledem k ONS (<pf)®Lj. Mezi koeficienty oct a prvkem/platí vztah (8.1.H)  f«;si/p, i= 1 který se nazývá Besselova nerovnost. V souvislosti s konvergencí řady (8.1.10) (ve smyslu limity (8.1.9)) vzniká přirozená otázka: Kdy konverguje řada (8.1.10) k prvku /? Ukazuje se, že v řadě konkrétních případů (např. když E = CL2((a, fe>), CL2(<a, fe>) atd.) je možné nalézt v prostoru E takový ONS (cp^)f= í9 že pro každý prvek f sE jeho formální Fourierova řada (8.1.10) konverguje a platí (8.1.12)  / = Ž • i= 1 56

8.1.4. Definice. Nechť (q>i)?=1 je takový ONS, že pro každý prvek f e E jeho formální Fourierova řada (8.1.10) konverguje a platí (8.1.12). Pak jej nazýváme ortonormální bází (budeme psát ONB) prostoru E. Řadu (8.1.10) pak nazýváme Fourierovou řadou prvku feE a výraz (8.1.12) rozvojem prvku f ve Fourierovu řadu podle ONB (cpi)fL1. Předpokládejme, že ((pi)?=í je ONB prostoru E a feE je libovolný prvek. Vynásobíme-li rovnost (8.1.12) skalárně prvkem /, dostaneme vzhledem k linearitě a spojitosti skalárního součinu (viz [ll]) (8.1.13)  (/,/) = (/, £ ak(pk) = £ ak(f, <pk) = £ a2 . k= 1  k= 1  k= 1 Tento vztah se nazývá Parsevalova rovnost. Jinými slovy, je-li ONS (cPi)?=1 zároveň ONB prostoru E, přechází Besselova nerovnost (8.1.11) v Parsevalovu rovnost (8.1.13) . 8.1.5. Příklady, a) Trigonometrický systém funkcí cos nt sin nť\ (1 cos nt sin nA00 V2tc5 V71 5 Vrc A=i tvoří ONB prostoru CL2(< —tt, tc>). b) Systém funkcí /e^X00 \vW„ = tvoří ONB prostoru CL2(< —tu, 7t>). c) Systém Legendreových polynomů (2 n + —(*2 - i)”V / 2”n! dť V A=0 tvoří ONB prostoru CL2(<-1, 1>). 8.2. Lineární operátor 8.2.1. Definice. Předpokládejme, že X a Yjsou normované lineární prostory, D je podmnožina množiny X. Jestliže je každému prvku f e D přiřazen jednoznačným způsobem nějaký prvek A(f) = ue Y, potom říkáme, že je zadán operátor A z X do Y s definičním oborem D = D(^4). Množinu všech prvků A(f) e Y, kterou dostaneme, probíhá-li / množinu D, nazýváme oborem hodnot V = V(Á) operᬠtoru A. Poznamenejme, že jako synonymum slova operátor se často užívá také termínu zobrazení. Tu skutečnost, že operátor A zobrazuje z X do Y, budeme zkráceně zapi¬ sovat symbolem A:X-> Y. 57

8.2.2.  Definice. Operátor A: X Ynazýváme lineárním operátorem (zX do Y), jestliže: (LI) D(A) je lineární podprostor prostoru X, tj. pro libovolná dvě čísla s, re C (resp. R) a libovolné dva prvky f,ge D(A) platí sf + rg e D(A). (L2) A(sf + rg) = sAf + rAg (u lineárních operátorů se obvykle píše pouze Af místo A(f)). 8.2.3.  Příklady lineárních operátorů a)  Integrální operátor (8.2.1)  (*>)(*) = j\(f,x)X*)dT definovaný v článku 3 je lineárním operátorem z C(<a, by) do C(<a, by) s definičním oborem D(K) = C(<tf, by). Za předpokladu, že K(t, t) je spojité jádro na základním čtverci Q, je možné ukázat, že obor hodnot V{K) je částí C(<a, by), ale nerovná se celému prostoru C(<a, by). b)  Označme symbolem C(n)((a, b>) prostor všech funkcí, jejichž všechny derivace až do řádu n (včetně) jsou spojitými funkcemi v <a, by. Potom C(n)(<a, by) je zřejmě lineárním prostorem a platí &nX<a,by)czC«a,by). Definujeme operátor D: C1(<<3, by) C(<a, b>) předpisem Df=r pro každou funkci / e C1(<a, by). Potom D je lineární operátor, pro který D(D) = = Cl«a9 by), V{D) = C«a, by). c)  Operátor /(D) = a0Dn + atD"*1 + ... + anI: C(n)«a, b» C«a, fc» definovaný předpisem /(D)/=a0/W+ «!/("" 1> + ... + an/, kde <z0, fll5..., ane R, je lineárním operátorem, přičemž D(l(D)) = C<">«a, b}) , V(l(D)) c C«a, b}) . d)  Speciální postavení mezi lineárními operátory zaujímá identický operátor /, definovaný předpisem If = / pro všechna / e X (potom /: X -* X, D(I) = X, V(l) = X), a nulový operátor 0: X -* Y, definovaný předpisem 0f = 0 eY, pro všechna f e X , kde D(0) = Jí, F(0) = {0}, O je nulový prvek prostoru Y. 58

8.3. Norma omezeného lineárního operátoru. Nadále se budeme zabývat lineár¬ ními operátory A: X Y, pro které D(A) = X. 8.3.1. Definice. Lineární operátor A:X -+Y, D(A) = X, se nazývá omezený, jestliže existuje konstanta c > 0 taková, že nerovnost (8-3-1)  \Af\r ^ c|/||, platí pro všechny prvky fe X. Symbolem ||* \\x, resp. || • ||značíme normu v prosto¬ ru X, resp. 7. Nejmenší taková konstanta c, pro kterou je splněn vztah (8.3.1), se nazývá normou operátoru A a budeme ji značit ||/4|J = ||^||(jrřy>- Poznamenejme, že normu omezeného operátoru A :X -> Y můžeme charakte¬ rizovat následujícím způsobem. Na základě definice 8.3.1 platí m, < imii ii/iu pro všechna f eX. Pro / #= 0 můžeme psát (8.3.2) a protože \\A|| je nejmenší konstanta splňující (8.3.2), dostáváme (8.3.3) M = sup 11/11**0 IdÚi V ekvivalentním tvaru můžeme psát vztah (8.3.3) takto: (zdůvodněte proč!). 114 = sup \\Af\\Y 8.3.2.  Věta. Každý omezený lineární operátor A: X -+Yje spojitý v následu¬ jícím smyslu: pro každé s > 0 najdeme takové 5 > 0, že pro libovolné dva prvky f,geX splňující \\f - g\\x < 5 platí ||Af - Ag\\Y < e. Důkaz. Pro libovolné dva prvky f, g eX platí ||Af — Ag\Y = ||^(/ “ 9)\\y = 1^1 ||/ “ d\\x na základě linearity a omezenosti operátoru A. Položíme-li ó = el^l"1, dostáváme ||/ ~ d\x < & ^ ||~~ ^q\y < e • 8.3.3.  Poznámka. Tvrzení věty 8.3.2 se dá obrátit, tj. je možné dokázat, že každý spojitý lineární operátor je omezený. Odtud vyplývá, že v případě lineárních operátorů jsou pojmy spojitosti a omezenosti ekvivalentní. 8.3.4. Příklady, a) Uvažujme integrální operátor K: CL^a, fe>) -> -> CLj^a, b}). Potom \m max íe<a,b> á max í |K(í,T)|dr ||/||oo Ja 59

Pro konkrétní jádro K(t, t) můžeme nalézt takovou spojitou funkci /0 (viz [12]), že |*/o|U = max f \K(t, t)| dz ||/0|[co • te<a,b}Ja Odtud vyplývá, že H^lIcCLocCLoo) = max í \K(t, t)| dT . ře<a,b>Ja b) Uvažujme nyní integrální operátor K: CL2((a, fe>) -► CL2(<0, b>). Potom na základě Cauchyovy-Buňakovského nerovnosti dostáváme rb r rb  12 (8.3.4) < •b / pb  \ / rb \ rb rb M K2(t, t) drj íj /2(t) drj át = J I K2(t, r) d t dr Opět je možné najít funkci f0 e C(a, b>) takovou, že v (8.3.4) nastane rovnost pro f = fo (viz [12]). Odtud potom plyne, že K (CL2,CL2) -Al^) 8.4. Vlastní čísla a vlastní prvky lineárního operátoru. Spektrum lineárního operátoru. Označíme symbolem L(X, 7) množinu všech lineárních operátorů A: X-* Y. Pro libovolné dva operátory A,BeL(X,Y) můžeme definovat součet A + B a násobek číslem AA pro A e C (resp. A e R) následujícím způsobem (A + B)f =Af+Bf, (AA)f = A(Af), feX. Snadno ověříme, že A + BeL(X, 7), AA e L(X, 7) (prověřte!). Množina všech lineárních operátorů L(X, 7) je tedy lineárním prostorem. Nulovým prvkem tohoto prostoru je nulový operátor 0 definovaný v příkl. 8.2.2. Jestliže v prostoru L(X, 7) definujeme normu předpisem pro každé A e L(X, 7), potom dostaneme normovaný lineární prostor L^X, 7). V případě X = 7 označíme L(Z, X) = L{X). 8.4.1. Definice. Uvažujme operátor A e L(X). Číslo A e C, pro které existuje netriviální řešení (p e X (tj. (p 4= 0) rovnice Aq> = A(p , nazýváme vlastní hodnotou (nebo vlastním číslem) operátoru A. Odpovídající netri¬ viální řešení (p nazýváme vlastním prvkem odpovídajícím vlastnímu číslu A. Z definice 8.4.1 okamžitě vyplývá, že množina všech vlastních prvků odpovída¬ jících stejnému vlastnímu číslu A, doplněná nulovým prvkem 0 e X, tvoří linenární podprostor v X. Jinými slovy, libovolná netriviální lineární kombinace vlastních 60

prvků, které odpovídají některému vlastnímu číslu A, je opět vlastním prvkem od¬ povídajícím A. 8.4.2. Definice. Největší počet lineárně nezávislých prvků, které odpovídají vlastnímu číslu A, se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla A. Množina všech vlastních čísel operátoru A se nazývá bodovým spektrem operátoru A. Je-li A 4= 0 vlastním číslem operátoru A, potom p = 1/A nazýváme charakteristickým číslem operátoru A. Množinu všech charakteristických čísel operátoru A nazýváme charakteristickým spektrem operátoru A. Z def. 8.4.2 plyne, že p je charakteristickým číslem operátoru A, jestliže má rovnice (p = pA(p netriviální řešení. Vlastní prvky (p, odpovídající charakteristickému číslu p, splývají s vlastními prvky odpovídajícími vlastnímu číslu A = 1 jp. Číslo p = 0 nemůže být charakteristickým číslem operátoru/í. Na druhé straně však číslo A = 0 může být vlastním číslem operátoru A (proč?). * 8.5. Samoadjungovaný operátor. V tomto odstavci budeme předpokládat, že E je prostor se skalárním součinem a A e L(E) je omezený lineární operátor. Pro názornost je možné všechny úvahy, které zde budou provedeny, interpretovat v případě, že E = CL2((a, &>), A = K, kde iřje dáno vztahem (8.2.1). Pomocí operátoru A je možné za jistých předpokladů definovat operátor A* předpisem (8.5.1)  (Af, g) = (/, A*g) pro libovolné dva prvky f,g e E. Pokud takový operátor A* existuje, nazývá se operátor f adjungováný k operátoru A a je opět lineárním operátorem z E do E. Skutečně, pro libovolné prvky f, g,he E platí (Af, g + h) = (Af, g) + (Af, h) = (/, A*g) + (/, A*h) . Odtud (/, A*(g + h) - A*g - A*h) = 0 pro libovolné f e E. Pro / = A*(g + h) — A*g — A*h dostáváme podle (S4) vztah A*(g + h) = A*g + A*h . Analogicky je možné ověřit, že pro libovolné AeCa f e E platí A*(Af) = AA*f. Adjungovaný operátor, pokud existuje, je určen jednoznačně. Předpoklᬠdejme, že by tomu tak nebylo a že by existovaly dva adjungované operátory Af a A* k operátoru A. Potom z rovností (Af, g) = (/, A*g), (Af, g) = (/, A*g) 61

vyplývá vztah (f,(A*-Al)g) = O pro libovolné dva prvky f,geE. Pro / = (A* — A*) g dostáváme na základě (S4) rovnost \\{Al-At)g\\E = 0 pro libovolné g e E. To však znamená, že A* — A* = O (nulový operátor), tj. A* = At Z výše provedených úvah dále vyplývá, že je-li A* adjungovaný operátor k operátoru A, potom operátor A je adjungovaným operátorem k A*. 8.5.1.  Věta. Existuje-li adjungovaný operátor A* k omezenému lineárnímu operátoru A e L(E), potom A* je také omezeným lineárním operátorem a platí (8.5.2)  \\a\\l(E) = ||^*||l(e)- Důkaz. Předpokládejme, že existuje operátor A* adjungovaný k A. Potom, jak bylo ukázáno výše, A* je lineárním operátorem, který splňuje vztah (8.5.1). Pro / = A*g dostáváme na základě (8.5.1) (8.5.3)  (Af, g) = {A(A*g), g) = (A*g, A*g) = \\A*g\\2E . Užijeme-li Schwarzovu nerovnost (8.1.6), potom (8.5.4)  |(A(A*g), g)\ ^ [|^(^*^)||£ [|^||£ ^ M|l(e) |M*0||e I^IIe » což spolu s (8.5.3) dává nerovnost = IMII^) MU pro libovolný prvek g e E. Odtud plyne, že A* je omezený operátor a platí (8.5.5)  M*||l(e) ^ MI|l(e) • Vyměníme-li mezi sebou A a A* ve vztazích (8.5.3) a (8.5.4), obdržíme v (8.5.5) opačnou nerovnost, a tím je důkaz proveden. 8.5.2.  Definice. Omezený lineární operátor A e L(E) se nazývá samoadjungo- váným operátorem, pokud existuje adjungovaný operátor A* sl platí A = A*. Z definice 8.5.2 vyplývá, že samoadjungovaný operátor A můžeme charakteri¬ zovat následujícím způsobem: Platí (4f,g) = (f,Ag) pro libovolné dva prvky f,geE. 8.5.3.  Příklady, a) Z lineární algebry víme, že spojitému lineárnímu operátoru A z n-rozměrného euklidovského prostoru R" do R” odpovídá čtvercová matice A typu n x n. Adjungovanému operátoru A* potom odpovídá transponovaná 62

matice AT (dokažte!) a samoadjungovanému operátoru A: R” -> R” odpovídá symetrická matice A. b) Uvažujme nyní komplexní n-rozměrný prostor C". Připomeňme, že prvky lineárního prostoru C" jsou uspořádané n-tice komplexních čísel z = 0i,z2, s obvykle definovaným součtem z1 + z2 a násobkem Xz pro libovolné z1, z2 6 C” a A e C. Skalární součin je v prostoru C" definován předpisem (8.5.6)  (z, w) = £ ZjiVi. i=í Nechť A e L(Cw) je lineární operátor zobrazující Cn do Cn, Az = u a z, u e C”. Potom z linearity A vyplývá, že n (8.5.7)  Uí = yLaijzj’ i = 1,2,..., n. j=i Operátoru ^4 tedy odpovídá matice («iy)řj=i,2,...,n s komplexními prvky. Ze vztahů (8.5.6) a (8.5.7) vyplývá (^Z, w) = £ l^VVf = Y (t aijZj) Wi = Z (zj Z 5ywi) = (z> i=i  i= i .7 = 1  y=i í=i (zde jsme použili známé vlastnosti (a) = a, (a + b) = u + B komplexních čísel a, h). Operátoru A* tedy odpovídá matice (u*)iJ= Pro jejíž prvky platí a*J = aJi, i,j = 1,2,..., n . Samoadjungovanému operátoru ^4 eL(C") pak odpovídá hermitovsky symetric¬ ká matice, jejíž prvky splňují vztahy 9. Samoadjungovaný integrální operátor 9.1. Y tomto článku budeme studovat vlastnosti integrálního operátoru (9.1.1)  (Ky)(t) = !*£(*, T)y(T)dT za předpokladu, že jádro K(t, t) je spojitá reálná funkce v základním čtverci Q. Operátor# však budeme vyšetřovat jakožto operátor z CL2(<u, b>) do CL2(<u, h>). Funkce y(í) tedy může nabývat obecně komplexních hodnot. Na ,,reálná“ jádra se omezíme z toho důvodu, že se v aplikacích vyskytují častěji než jádra „kom¬ plexní, a také proto, že vše, co odvodíme pro reálná jádra, se prakticky beze změny dá provést i v případě jader nabývajících komplexních hodnot. Na případné odlišnosti bude pak v průběhu výkladu poukázáno. Na druhé straně by nebylo vhodné omezit se pouze na vyšetřování operátoru K: CL2(<u, ů>) -> CL2(<tf, ů>), protože také 63

jádra K{t, t) nabývající reálných hodnot mohou mít komplexní charakteristická čísla, která musíme brát v úvahu. Dříve, než zavedeme pojem samoadjungovaného integrálního operátoru, uvede¬ me několik vlastností operátoru K. 9.1.1. Věta. Integrální operátor K: CL2((a, by) -> CL2{fa, by) definovaný předpisem (9.1.1), jehož jádro K(t, t) je reálnou spojitou funkcí na Q, je nulovým operátorem 0 e L(CL2(<a, by)) tehdy a jen tehdy, když K(t, t) = 0 na Q. Důkaz. Postačitelnost. Je-li K(t, t) = 0 v Q, potom zřejmě (Ky)(t) = j\(í,T)XOdT = 0 pro libovolnou funkci y e C{fa, by), a tedy K = O. Nutnost. Předpokládejme, že K = O. Platí tedy (9.1.2)  Ky eeO, pro libovolnou funkci y e C(fa, by). Předpokládejme, že existuje bod (t0, r0) e Q takový, že K(t0, z0) > 0. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že bod (t0, t0) leží uvnitř Q. Potom ze spojitostiK v Qplyne existence takového okolí O bodu (*o> To): O = {(í, t) g R2; 11 - í0| < 5, |t - t0| < S} cz Q, že K(t, t) > 0 pro libovolný bod (ř, t) g O. Definujme spojitou funkci g{t) takovou, že g(t) > 0 pro |í — í0| < ó a g(t) = 0 jinde v <a, by (viz obr. 5 a 6). Potom pro \t — í0| < 5 platí Pb  Pto + d (9.1.3)  h(t) = K(t, t) g(x) dx = K(t, t) ^(t) dx > 0 , Ja  J to —č což je ve sporu s (9.1.2). Podobně ukážeme, že neexistuje bod (ř0, ?0) e Q takový, že K(t0, t0) < 0. Musí tedy být K(t, t) = 0, a tím je důkaz proveden. Z věty 9.1.1 okamžitě plyne, že integrální operátor K s nenulovým spojitým 64

jádrem má nenulovou normu danou vztahem (9.1.4) [|JSj| = sup ■ yeCL2 y* 0 > 0. Skutečně, uvažujeme-li funkce g a h z důkazu věty 9.1.1, potom Ml Ml ’ neboť h(t) > 0 pro 11 — ř0| < d. Supremum v (9.1.4) je tedy kladné. 9.1.2. Věta. K integrálnímu operátoru K: CL2((a, by) -> CL2(<a, by) se spo¬ jitým reálným jádrem K(t, t) existuje adjungovaný operátor K*: CL2((a, by) -► CL2((a, by). Operátor K* je integrálním operátorem, pro jehož jádro platí K*(í,t) = K(t, t),tj. (9.1.5)  (lř*z) (0 = J 0 Z(T) dt • Důkaz. Nechť y, ze C((a, by) jsou libovolné dvě funkce. Potom (9.1.6)  (Ky, z) = J (JE>) (ř) z(ř) dř = J (j* K(t, t) y(x) dr) z(í) dí = Íb  /•b   y(r) dr K(t, t) z(ř) dř (zdůvodněte, proč je možné zaměnit pořadí integrace!). Položíme-li (K*z) (/) = J K(t, t) z(t) dr, bude na základě (9.1.6) platit (Ky, z) = j* y(x) (K*z) (t) dr = (y, K*z) , tj. operátor K* definovaný vztahem (9.1.5) je adjungovaným integrálním operátorem k operátoru K. 9.1.3. Věta. Integrální operátor K se spojitým reálným jádrem je samoadjun- govaný právě tehdy, když je jeho jádro symetrické, tj. K(t, t) = K(t, ř) . Důkaz. Nutnost. Předpokládejme, že operátor K je samoadjungovaný, tj. K = K*. Odečteme-li od sebe rovnice (Á» (ř) = f K(t, x) j>(t) dz a (K*y) (/) = í K(x, t) y(x) dr , J a  J a dostaneme rovnost  /•& [íC(ř, x) - K(x, í)] y(x) dr = 0 65

pro libovolné y e C((a, b)). Z věty 9.1.1 pak plyne, že K(t, t) s K(t, i) . Postačitelnost. Je-li jádro K(t, t) symetrické, potom pro libovolné y 6 e C((a, b}) platí (*» (t) =  t) dt = J6X(t, t) y(t) dt = (K*y) (t), tj. K = K* . 9.1.4. Poznámka. Vidíme, že v případě operátoru K s jádrem K(t, t), které nabývá reálných hodnot, pojem jádra adjungovaného operátoru K* splývá s pojmem transponovaného jádra K*(t, t) = KT(t, t) = K(t, ř). V případě, že jádro X(ř, t) nabývá komplexních hodnot, jádro K*(t, t) adjungova¬ ného operátoru K* je dáno vztahem (9.1.7)  K*(t, t) = K{Ť~t). O tom se snadno přesvědčíme, když provedeme důkaz věty 9.1.2 za předpokladu, že funkce K(t, t) nabývá obecně komplexních hodnot. Komplexní jádro K(t, t), které splňuje vztah (9.1.7), se nazývá hermitovsky symetrické. 9.2. Vlastní čísla a vlastní funkce samoadjungovaného integrálního operátoru. Úvodem zformulujeme následující tvrzení. 9.2.1. Věta. Integrální operátor K: CL2(<^, b>) -► CL2(<fl, b)) se spojitým hermitovsky symetrickým jádrem K(t, t), které není identicky rovno nule, má alespoň jedno vlastní číslo různé od nuly. Důkaz tohoto tvrzení provádět nebudeme, čtenář jej může nalézt např. v [14]. Tvrzení věty 9.2.1 platí tedy speciálně i pro integrální operátory se symetrickým jádrem, jejichž vlastní čísla a vlastní funkce (uvědomte si, že prvky prostoru E = = CL2(<a, b}) jsou funkcemi) budeme nadále vyšetřovat. Stejně jako v minulém odstavci upozorníme na případné odlišnosti, jestliže jádro K(t, t) nabývá obecně komplexních hodnot. Pokud budeme nadále mluvit o vlastních funkcích (p operátoru K, budeme auto¬ maticky předpokládat, že platí 9.2.2. Věta. Vlastní čísla operátoru K se symetrickým jádrem K(t, r) jsou reálná. Důkaz. Nechť X je libovolné vlastní číslo operátoru K a cp je odpovídající 66

vlastní funkce. Potom Kcp = Xcp . Jestliže vynásobíme skalárně obě strany této rovnice prvkem <p e CL2{fa, &>), dostáváme {Kcp, <p) = {Xcp, <p) = X{cp, cp) = X\\cp\\2 = X . Užijeme-li toho, že K je samoadjungovaným operátorem, obdržíme (Kcp, <p) = {cp, Kcp) = (cp, Xcp) = l{cp, cp) = X. Odtud X = I, tedy X je reálné číslo. Z důkazu věty 9.2.2 vyplývá, že její tvrzení platí i v případě operátoru K s her- mitovsky symetrickým jádrem. Ve větě 9.2.1 se tedy mluví o existenci reálného nenulového vlastního čísla. 9.2.3.  Věta. Nechť K je operátor se symetrickým jádrem a X je jeho vlastní číslo. Potom existuje reálná vlastní funkce odpovídající X. Důkaz. Nechť cp(t) = a(ř) + if{t) je libovolná vlastní funkce odpovídající vlastnímu číslu X. Potom platí J K(1’ T) [a(T) + í0(t}] dt = x[a(t) + ip(tj] . Protože K(t, t) a X jsou reálné hodnoty, obdržíme í K(t, t) a(t) dr = X oc(t), f X(ř, t) f(x) út = X f}(ť). J a  J a Odtud plyne, že reálná část a(í) i imaginární část fí(i) vlastní funkce q>(ť) jsou také vlastními funkcemi, které odpovídají X. V tom případě je ovšem také funkce cp(t) = = a(t) — ifi(t) vlastní funkcí odpovídající vlastnímu číslu X. Přitom cp a cp jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když a a /? jsou lineárně nezávislé (zdůvodněte!). Proto můžeme dvojici vlastních funkcí cp aťp nahradit dvojicí reálných vlastních funkcí a a /?. Z vět 9.2.2 a 9.2.3 vyplývá, že operátor K se symetrickým jádrem (nabývajícím reálných hodnot) můžeme vyšetřovat jakožto operátor z CL2(<a, b>) do CL2((a, ů>), aniž bychom ztráceli informaci o vlastních číslech a vlastních funkcích K jakožto operátoru z CL2(<n, 6)) do CL2(fa, 6)). Zároveň je třeba si uvědomit, že věta 9.2.3 neplatí v případě operátoru iST s hermitovsky symetrickým jádrem, nabývajícím obecně komplexních hodnot (zdůvodněte proč!). 9.2.4.  Věta. Vlastní funkce samoadjungováného operátoru K, které odpovídají různým vlastním číslům, jsou navzájem kolmé. Důkaz. Nechť cp^ť) je vlastní funkce odpovídající vlastnímu číslu Xh i = 1,2, přičemž Xt 4= X2. Potom K(Pi = Xicp1 a Kcp2 = X2cp2 . 67

První rovnost vynásobíme skalárně funkcí cp2, druhou rovnost vynásobíme skalár¬ ně (p1 a přejdeme v ní k výrazu komplexně sdruženému. Takto vzniklé vztahy od sebe odečteme a obdržíme (K<Pl> <Pl) - (K<P2, <Pl) =  <Pl) - *2(<P2> <Pl) • Levá strana je rovna nule, protože K je samoadjungovaný operátor. Tedy i  ^2) (<Pi-> 92) = 0 • Tvrzení věty nyní vyplývá z toho, že =1= A2. 9.2.5. Věta. Nechi K je integrální operátor se symetrickým jádrem. Potom každý omezený Uzavřený interval <A, B} obsahuje nejvýše konečný počet charak¬ teristických ěísel operátoru K. Důkaz. Předpokládejme, že tvrzení věty neplatí a že můžeme vybrat nekoneč¬ nou posloupnost navzájem různých charakteristických čísel (^ř)?Li, /zře<A, £>. Označme systém vlastních funkcí odpovídajících vlastním číslům = 1 jph i = 1,2,.... Podle věty 9.2.3 můžeme tyto vlastní funkce zvolit reálné. Potom, na základě věty 9.2.4, tvoří (^>i(ř))^= ± ONS v prostoru CL2((a, b)). Pro pevné t e <a, 6) vypočítáme Fourierovy koeficienty funkce jedné proměnné K(t, t) vzhledem k ONS (K(t, •), <pi) = I* K(t, t) (pi(z) dx = K<p, = Xtfi = — <pf(í) . Ja  Hi Podle Besselovy nerovnosti (8.1.11) pro libovolné přirozené číslo p dostáváme Položíme-li M = max{|^|, |B|}, je l/^tzf ^ l/M2. Potom z (9.2.1) vyplývá, že pro libovolné přirozené číslo p platí p g N2M2 . To však není možné, neboť M a N jsou pevně určená čísla. Tím je důkaz proveden. 9.2.6. Důsledek. Množina charakteristických čísel operátoru K s nenulovým symetrickým jádrem K(t, t) je buď konečná, nebo spočetná. Ve druhém případě platí lim \pn\ = 00. 91(0> <ř>2(0’•••’<?»(*)>••• Integrujeme levou a pravou stranu od a do b Pí (*b (*b /r\ rs. 4 \  V-i 1  ^ I I -r^?/ . Důkaz vyplývá přímo z věty 9.2.1 a z věty 9.2.5. 68

9.2.7.  Věta. Geometrická násobnost libovolného charakteristického íísla p operátoru K je konečná. Důkaz. Předpokládejme, že tvrzení věty neplatí. Potom existuje posloupnost lineárně nezávislých vlastních funkcí (9.2.2)  M*)>Mt)> které odpovídají charakteristickému číslu p. Pomocí Schmidtova ortonormali- začního procesu (viz odst. 8.1) můžeme přejít od posloupnosti (9.2.2) k ONS (9.2.3)  <ř>i(0> Vlit),.• <pjt), přičemž každá z funkcí cp^t) je lineární kombinací konečného počtu prvků z (*A;(0)í°= i- Poznamenejme, že lineární obal systému (9.2.2) je totožný s lineárním obalem ONS (9.2.3) . Zároveň každá z funkcí (pt je také vlastní funkcí operátoru K odpovídající charakteristickému číslu p. Nyní můžeme postupovat stejně jako v důkazu věty 9.2.5, položíme-li p = ph i = 1, 2,..., a M = \p\. Dostaneme spor, který dokazuje platnost věty 9.2.7.  i 9.2.8.  Poznámka. Nechť má charakteristické číslo p geometrickou násobnost rovnou s. Potom lineárně nezávislé vlastní funkce q>l9 <p2> • • •> (ps> tvoří bázi v prosto¬ ru řešení rovnice y = v&y • V případě charakteristických čísel integrálních operátorů se symetrickým jádrem budeme nadále používat místo termínu geometrická násobnost pouze termínu násobnost. Symetrie jádra zaručí, že nemůže dojít k nedorozumění, neboť v tomto případě se geometrická násobnost charakteristického čísla rovná jeho al¬ gebraické násobnosti (viz [9]). 9.2.9.  Poznámka. Integrální operátor K může mít vlastní číslo A = 0. Přecho¬ dem k charakteristickým číslům p = 1/A ztrácíme informaci o vlastních funkcích operátoru K příslušných vlastnímu číslu A — 0. Tak například, je-li K(t, t) = = cos (t — t), <a, by = < — tu, tu), potom q>n(t) = cos (n + 1) f, n = 1, 2,... , jsou vlastní funkce operátoru Ky = j* cos (í — t) y(r) dr odpovídající vlastní hodnotě A = 0 (dokažte!). 9.3. Příklad. Uvažujme integrální rovnici (9.3.1)  y(t) = n J K(t, t) j(t) dt, 69

kde jádro K(t, t) je definováno takto: í(í-t) *0 - 0 0 ^ t <, x. X < t < l , Nalezněte charakteristická čísla a jim odpovídající vlastní funkce jádra K(t, t). Řešení. Zřejmě K(t9x) = K(x9 t), tj. jádro je symetrické. Rovnici (9.3.1) můžeme zapsat ve tvaru (9.3.2)  y(t) = j  x(l - t) y(r) dr + j f t(l - r) y(r) áx . I J o  * J t Odtud vyplývá  ,<0) - ,<() - 0. Derivováním rovnice (9.3.2) podle t dostáváme y'(í) = - j J* x j;(t) dx + jj (l - x) y(x) dx . Derivujeme-li ještě jednou, obdržíme rovnici y"(t) = -ny(t). Integrální rovnici (9.3.1) jsme tedy převedli na okrajovou úlohu (9.3.3)  y"(t) + n y(t) = 0 , y(0) = y(l) = 0 , která je s ní ekvivalentní. Netriviální řešení úlohy (9.3.3) jsou tvaru z N . nnt yn(t) = sin — , přičemž yn(t) odpovídá parametru n2n2 (viz např. [18]). Není těžké se přesvědčit, že funkce (y„(í))®=1 tvoří ortogonální systém funkcí v prostoru CL2(<0, /)). Zároveň II l'" II2 =|0sin2Tdí = 2‘ Odtud plyne, že systém 4tt n2n2 je systémem charakteristických čísel jádra K(t, r) a **W = J(?) sin 2, „(,) - J(?j »i„ 2-f  vM - ^0 sin !f , je systém jim odpovídajících vlastních funkcí. 70

9.4. Úlohy Nalezněte charakteristická čísla jádra K(t, t) a jim odpovídající vlastní funkce. [Návod: Integrální rovnici XO = ^ J K(>’z) XT)dt převeďte derivováním podle t na diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty.] 9.4.1. K(t, t) = t pro 0 ^ ř ^ t ^ 1; K(t, t) = t pro 0 ^ t ^ í ^ 1. \^k = ^2 + 9  ~ (2 + ty ^ = J 9.4.2.  ^(í, t) = ř( 1 — t) pro 0 ^ t ^ t ^ 1; * X(ř, t) = t(1 — t) pro 0 ^ t ^ ř ^ 1. = k2n2, cpk(t) = sin nkt, k = 1, 2,... .] 9.4.3.  X(f, t) =  t pro 0 ^ ř = ^ = 1 ; a K(t, t) =  t pro a \_Hk jsou kladné kořeny rovnice tg yJn = (1 — a) y/n, cpk(ť) = sin y/(fik) t.~\ 9.4.4.  K(t, t) = {t + 1) t pro 0 ^ t ^ t ^ 1; K(t, t) = ř(r + 1) pro  0<n<lje konstanta. \ji0  =  1,  <p0(í) = eř;  /z* =  — n2n2,  <pfc(ř) =  sin nkt  + 7rfc cos tc/cí.] 9.4.5.  K(t,  t)  =  (e* — e“ř)  (eT +  e2_T) pro  0 ^  ř  ^ t  ^  1; X(í, t) = (eř + e2_í) (eT — e"T) pro [“* = n 4 ’ = SÍn (k + $ nt’ k = °’ *’ 2’''' ] 9.4.6.  K(t,  t)  =  sin t sin (l  — t)  pro 0 ^  t  ^ r  fg 1; K(t,  t)  =  sin (l — i)  sin t  pro „ 1, (pk(t) = sin nkt, k = 1, 2,... .1 I  sm 1 71

9.4.7. K{t, t) = cos t sin z pro 0 ^ í ^ z ^ ti; K(í, t) = cos t sin í pro 0 ^ z ^ t ^ n. (X = 1 - (fc + i)2. ^>fc(0 = cos (/c + i) t, k = 0, 1, 2,....] 9.4.8. K(ř, t) = sin t cos t pro 0 ^ t ^ t :g 7c; K(t, t) = sin t cos t pro 0 ^ t ^ t ^ ti; X = (fc + i)2 - 1, <?*(*) = sin (/C + i) Í, k = 0,1, 2,....] 10. Bilineární rozklad symetrického jádra 10.1. Maximální ONS jádra. V minulém článku jsme ukázali, že integrální operátor Kse symetrickým jádrem má pouze reálná vlastní čísla a navíc příslušné vlastní funkce mohou být vybrány tak, že nabývají pouze reálných hodnot. Proto můžeme nadále K studovat jakožto operátor z CL2(<a, by) do CL2(<a, by). Množinu všech charakteristických čísel operátoru K se symetrickým jádrem K(t,t) uspořádáme podle velikosti jejich absolutních hodnot. Dostaneme systém (pt), přičemž při rovnosti absolutních hodnot dvou charakteristických čísel uvažujeme vždy nejdříve číslo kladné. V systému (pj) se každé charakteristické číslo vyskytuje tolikrát, kolik činí jeho násobnost (viz obr. 7). Takto zkonstruovanou posloupnost (pi) budeme nazývat maximálním systémem charakteristických čísel jádra K(t, z) (resp. operátoru K). Na základě výsledků minulého článku je tato posloupnost buď konečná, nebo spočetná. Ke každému charakteristickému číslu násobnosti s můžeme přiřadit s lineárně nezávislých vlastních funkcí (viz obr. 7). Dostáváme tak ONS vlastních funkcí (cpt), který budeme nazývat maximálním ONS jádra K(t, t) (resp. operátoru K). <fs1 + 1 <ři ¥**♦1 <U.s^2 <fsn + 2 fi-2 <p2 fsj.2 P s2 A*, X, Pro takto zkonstruované posloupnosti (pí) a (<př) můžeme dokázat následující tvrzení. 10.1.1. Věta. Integrální operátor K: CL2((a, by) -> CL2((a, b)) se symetric¬ kým nenulovým jádrem K(t, t) e C(Q) má buď konečný, nebo spočetný maximální systém charakteristických čísel (pt). Přitom platí (ío.u)  XI g xi ^... a v případe, že množina (/iť) je nekonečná. pak (10.1.2)  lim |^ř| = co . 72

Rychlost divergence \pt\ v (10.1.2) je taková, že (10.1.3)  J 1 < co . i= 1 Vi Důkaz. První část věty včetně (10.1.1) vyplývá přímo z konstrukce posloup¬ ností (gi) a (cpi). Podle věty 9.2.5 a vzhledem k tomu, že násobnost každého charak¬ teristického čísla je konečná, každý konečný interval <^4, By obsahuje nejvýše konečně mnoho prvků z (juř). Odtud vyplývá platnost (10.1.2). Položme nyní t = t0 pro některé pevné t0 e <a, h). Potom Fourierovy koeficienty funkce K{t0,x) vzhledem k maximálnímu ONS (^(1))?°=! jsou Cb  1 (K(t0, •), q>i) =  K(t0, x) <P;(t) dx = — cp^t0) . Ja Na základě Besselovy nerovnosti (8.1.11) pak pro libovolné p platí Í^_<fV(Í0,t)dT. f^i Ja Integrujeme-li tuto nerovnoát od a do b podle t0y potom po limitním přechodu p -► 00 dostáváme 00  1  Cb Cb Z — ^  KZ({> t) dT dí > • = J a J a což dokazuje (10.1.3). 10.1.2.  Poznámka. Z věty 9.2.1 vyplývá, že integrální operátor K: CL2((a9 6)) -► CL2(<a, b>) se symetrickým spojitým jádrem K(t, t) má prázdné charakteristické spektrum právě tehdy, když K{t, x) = 0. 10.1.3.  Věta. Symetrické jádro K(í,t), fcíere je spojitou funkcí na Q, má koneč¬ né charakteristické spektrum právé tehdy, když je degenerované. Důkaz. Postačitelnost. Protože v případě degenerovaného jádra odpovídají charakteristická čísla jádra charakteristickým číslům čtvercové matice, plyne důkaz této části z lineární algebry (viz [6]). Nutnost. Nechť (<Pi)f=i je maximální ONS jádra K(t, t). Položíme (10.1.4)  £(<,t> = z fiňiM, i= 1 Ví Ukážeme, že symetrické jádro H(t, t) = K(t, t) — K(t, t) má prázdné charakteristic¬ ké spektrum. Skutečně, necjiť p je charakteristické číslo jádra H(t, t) a cp(t) je odpo¬ vídající vlastní funkce. Potom f H(t, x) <pk(x) dx = f K(t, x) <pk(r) dx - Z  í <?;(*) <?*(<) d^ = Ja  Ja  í=l  Ja = ^*(0 _ ^(0 = 0 Vk  Vk 73

Ze symetrie jádra H(t, t) tedy plyne pb.  pb  pb {<P,<Pk)=\ <K0 <Pk(t) dí = /i q>(x)ái\ H(t, t) q>k(t) dř = O, k = í,2,...,N. J a  J a  J a Vlastní funkce (p(t) je kolmá ke všem funkcím (ph i = 1,2,..., iV, a zároveň (p(t) = nj H(t, t) <p(t) dt = n J K(/, t) q>{t) dt - - Z — <Pi(<) í <PiW <ř>(T) dz = /t f K(í, t) <p(t) dt, *“ * /^i J a  J a tj. <K0 Je také vlastní funkcí jádra K(t, t). To je však ve sporu s tím, že (<?>,•)JL i je maximální ONS jádra t). Podle poznámky 10.1.2 tedy if(ř, t) = 0, tj. K(t, t) = = K(t, t). V dalších odstavcích tohoto článku se budeme zabývat otázkou, zda vyjádření (10.1.4) je možné zobecnit i na případ nedegenerovaného jádra, tj. zda platí rovnost (10.1.5) oo i= 1 <Pj(0 <Pí(t) Ví kde (/Xf)^! a ((Pi)fLi je maximální systém charakteristických čísel a maximální ONS jádra l£(ř, t). Ukazuje se, že platnost této rovnosti závisí na tom, v jakém smyslu chápeme konvergenci řady (10.1.5). Dokážeme, že rovnost (10.1.5) platí za před¬ pokladu, že tuto konvergenci chápeme ve smyslu L2-normy, tj. <PÁ}Y Ví lim r ÍTk(í,t)-£ ^Ml)T n~*’co J a J a L  Í=1 Pi J dr dř = 0. Na druhé straně vsak řada v (10.1.5) nemusí konvergovat ani bodově, ani stejno¬ měrně. Jestliže ale víme, že tato řada konverguje stejnoměrně, potom již její součet musí být roven K(tf t). Řadu (10.1.6) £ <Pi(Q <Pi(?) i=l  Hi budeme nazývat bilineární radou jádra K(t, t). Výše provedené úvahy nyní zformu¬ lujeme v následující tvrzení. 10.1.4. Věta. Nechť bilineární řada (10.1.6) jádra K(t, t) konverguje stejno¬ měrně v Q. Potom platí rovnost (10.1.5). Důkaz. Označme »(., t) = K(t, ,) - I  . i= 1 Vi Potom Jf(ř, t) je spojitá a symetrická funkce v Q (zdůvodněte!). Nechť H(t, t) ^ 0. Potom podle věty 9.2.1 existuje alespoň jedno charakteristické číslo \i jádra H(t, t) 74

a jemu odpovídající vlastní funkce cp(t) ^ 0. Vzhledem k definici funkce H(t, t) tedy platí (10.1.7)  (p(t) = \i f K(t: t) (p(r) dr — \i í £ ^*(0 ^»(T) Ja  J a 1 Pi Vynásobíme vztah (10.1.7) funkcí cpjt) a vzniklou rovnost integrujeme od a do b. Na základě stejnoměrné konvergence řady (10.1.6) můžeme zaměnit pořadí sčítání a integrování. Dostáváme (10.1.8)  í (p(í) (pk(t) át = n I* <p(t) dr í K(t, t) <pk(t) dt - J a  J a  J a OD j - H£ — <Pi{t) <Pk(t) dř cp(i) <p,(t) dr = Ja = — Í <KT) <Pk(*) dt - — I q>(r) <pk(r) dt = 0. Mk Ja  MkJa Ze vztahů (10.1.7) a (10.1.8) píyne, že <p(t) = /i J K(t, t) cp(t) dt, tj. n je charakteristické číslo jádra iC(í, t) a (p(t) je odpovídající vlastní funkce. Platí tedy fi e (fii)T= u kde i je maximální ONS jádra K(í, t), tj. existuje takové i0, že ^ = Vio • Předpokládejme, že násobnost charakteristického čísla fiio je rovna 5, a označme systém lineárně nezávislých vlastních funkcí odpovídajících charakteristickému číslu /j0, který je obsažen v (<p,)£Lx. Potom existují takové konstanty cx, c2,..., cs, pro něž (10.1.9)  <p(0 = cx ^x(í) + c2 il/2(t) + ... + cM \l/s(t) . Ze vztahu (10.1.8) plyne (<p, ^ř) = 0, i = 1,..., s, a ze vztahu (10.1.9) pak (<p, ^ř) = = ch i = 1, ..., s. Odtud Ci = 0 pro všechna i = 1,..., 5, tj. cp(t) = 0. Došli jsme ke sporu, ze kterého vyplývá, že H(t, t) = 0 v g a důkaz je proveden. 10.2. Bilineární rozklad iterovaných jader. Jak již bylo řečeno v předcházejícím odstavci, v obecném případě spojitého symetrického jádra K(t, t) nelze zaručit ani stejnoměrnou, ani bodovou konvergenci řady (10.1.6). Na druhou stranu však je možné dokázat, že iterovaná jádra Kn(t, t), n ^ 2 mají stejnoměrně konvergentní bilineární řady. V následujícím tvrzení se odráží vzájemná souvislost mezi maximál¬ ním systémem charakteristických čísel jádra K(t, t) a systémem charakteristických čísel iterovaných jader Kjt, t), n ^ 2. 75

10.2.1. Lemma. Nechť ((pi(t))°°=í, (Pi)f= i je maximální ONS vlastních funkcí a maximální systém charakteristických čísel jádra K(t, t). Potom pro iterované jádro Kn(t, t), n ^ 2, je posloupnost n-tých mocnin (pf)?= i maximálním systémem charakteristických čísel a (<ř»£(ř))S= i maximálním ONS vlastních funkcí. Důkaz provedeme zatím pro n = 2 a n = 4. Důkaz pro obecné n ^ 2 plyne z Hilbertovy-Schmidtovy věty 10.3.1 (viz pozn. 10.3.6 a úlohu 10.4.3). Podle definice druhého iterovaného jádra je (10.2.1)  K2(l, x) = j\(<> č) X(f, t) dč . Předpokládejme, že <př(í) je vlastní funkce jádra K(t, t) odpovídající vlastnímu číslu pt. Potom J K2(t, x) <Pi(x) dt = J K(t, Z) (j* K(Z, x) <p,(t) dr) d£ = = ~[bK(t, «)fl»,(í)dí = -^^(0- Odtud plyne, že (pt je vlastní funkce jádra K2(t, t) odpovídající charakteristickému číslu p]. K dokončení důkazu pro n = 2 zbývá ukázat, že kromě p?, i = 1, 2,... , nemá jádro jK2(*> t) žádná jiná charakteristická čísla. Nechť v je charakteristické číslo jádra K2(t, t) a ij/ je odpovídající vlastní funkce: (10.2.2)  \//(t) = v fK2(t, t) ^(t) dr . Yynásobíme-li rovnost (10.2.2) funkcí ý(t) a potom integrujeme od a do b, dostávᬠme na základě (10.2.1) vztah v í |í K( t, x) i/V(t) dx 2 dř > 0. Můžeme tedy definovat funkce \j/+ a iMO = <K0 + Vv| *(í, *) <H*) dr , <Mř) = ip(t) - Vv| K(t, t) ^(t) dt. Zřejmě platí (10.2.3)  lK(0 + MO = 2  • Nechť například ij/+(t) = 0 v <u, 6>. Potom z výše uvedených rovností plyne, že ij/(t) je vlastní funkcí jádra X(í, t) a Vv Je příslušné charakteristické číslo. V případě MO - o v <a, &> zjistíme podobně, že i//(t) je opět vlastní funkcí jádra K(t, x) 76

a — y/v je odpovídající charakteristické číslo. Předpokládejme nyní, že ani jedna z funkcí  ý-(t) není identicky rovna nule v <a, b>. Vynásobíme rovnosti ^±(t) = 4f(t) + Vv í K(t, |) ip(š) funkcemi + y/(y)K(t9x) a integrujeme od a do b. Užijeme-li při úpravě vztahu (10.2.2), dostáváme postupně ± y/v í K(t, t) íA±(t) dr = + y/v í K(t, t) ^(t) dr J a  J a + v f *({) dč  t) K{x, £) dr = J a  J a = v j* K2(t, £) ý(£) df + Vv í K(t, t) ý(t) dt = J a  J a = 'HO ± Vv j* K(t, t) ^(t) dr = iA±(í) . + Odtud vyplývá, že \j/± jsou vlastní funkce jádra K(t, t), které odpovídají charakteris¬ tickým číslům ± Vv- Ve všech třech případech jsme tedy zjistili, že v e i a vlastní funkce \j/ jádra X2(ř, t) buď přímo splývá s některou vlastní funkcí jádra K(t, t), nebo je lineární kombinací některé dvojice vlastních funkcí jádra K(t, t). Tím je tedy dokázáno, že (<p ř)?L t je maximální ONS jádra K2(t, t) a (/r?)?L i je maxi¬ mální systém charakteristických čísel K2(t, t). Důkaz tvrzení pro n = 4 vyplývá bezprostředně z toho faktu, že K4(t, t) je druhou iterací jádra K2(t, t). Podle definice K4(t, t)= fx2(ř,{)^2(€^)d« a v první části důkazu bylo ukázáno, že a (/i?) jsou maximální ONS a maximální systém charakteristických čísel jádra K2(tf t). 10.2.2. Věta. Nechť ((p^i a i je maximální ONS a maximální systém charakteristických éísel jádra K[t, t). Potom (10.2.4)  *4M = i; yí(ř)r(T), í=i Ví přičemž rada v (10.2.4) konverguje stejnoměrné. Důkaz. Na základě lemmatu 10.2.1 je řada v (10.2.4) bilineární řadou jádra K4(t, t). K důkazu rovnosti (10.2.4) stačí tedy dokázat stejnoměrnou konvergenci této řady a použít větu 10.1.4. Platí = f K(f> t) <pí(t) dt • Hi J« Odtud, z Cauchyovy-Buňakovského nerovnosti a ze spojitosti jádra K(t, t) 77

H/2 = c na uzavřeném čtverci Q, plyne odhad (10.2.5)  ^ P |K(í, t)| dT ^ J a /rb  \ 1/2 /(*b  \ 1/2 š (J |^(í, t)|2 dr) ( |<ř>i(ř)|2 dT) g [ max^|(X(ř, t)|2 (h - a)]1 kde c je konstanta nezávislá na i = 1,2,... . Na základě odhadu (10.2.5) potom platí (10.2.6)  £ k»(r)l \(Pi(T)\ _ £ k<(0l J^M J_ <: c2 ^ i. í=i  í=i Hi Hi  i=ítf Podle Weierstrassova kritéria a vzhledem k (10.1.3), (10.2.6), řada (10.2.4) konverguje absolutně a stejnoměrně. Tím je důkaz proveden. Následující tvrzení hraje důležitou úlohu při důkazu věty Hilbertovy- Schmidtovy (viz odst. 10.3). 10.2.3, Věta. Funkce h e C(<a, by) je kolmá ke všem funkcím maximálního ONS symetrického jádra K(t, t) právě tehdy, když je kolmá k jádru K(t, t), tj. když platí  ch K(t, t) h(t) dr = 0 . Důkaz. Postačitelnost. Nechť h je kolmá k jádru K(t, t). Potom 0»> <?;) = í h(t) cp,(t) dř = í /t(í) dř Hi í K(t, t) <p,(t) dr = J a  J a  J a *b  ř*b — fa  dr X(ř, t) /z(ř) dř = 0 . J a  J a Nutnost. Předpokládejme, že (/*, <pf) = 0, i = 1,2,... . Protože (<Pi)?= \ je maximální ONS jádra X4(ř, t), plyne z věty 10.2.2 (10.2.7)  f K^t, t) Ji(t) dr = X f <pt(t) h(r) dr = 0 Jo  *=i  Ja (zdůvodněte, proč je možné zaměnit pořadí sčítání a integrování!). Rovnost (10.2 7) vynásobíme funkcí h(t), integrujeme od a do b a využijeme vztahu K4(í,t) = j\2(í,č)K2(č,T)dč. Dostáváme postupně nX4(ř, t) ft(ř) h(t) dř dr = 3 -ra ÍC2(í, <?) K2(?, t) d<?) ft(ř) h(r) dř dt = 78

Tedy (10.2.8) -m. K2(t, £) h(t) d/) (J K2(£, t) h(x) dx)J d£ = =  r) ft(x) dxj d£ = 0. j* K2(t, x) h(x) dx = 0. Jestliže nyní vynásobíme rovnost (10.2.8) funkcí h(t), integrujeme od a do b a užijeme vztahu rb K2M=J K(t,Z)K(i, x)d{, dostaneme pomocí analogických úprav rb což bylo třeba dokázat. J K(t, t) /*(t) dr = 0, 10.3. Hilbertova-Schmidtova věta a její důsledky. V tomto odstavci dokážeme jednu z fundamentálních vět teorie integrálních rovnic. 10.3.1. Věta (Hilbertova-Schmidtova). Předpokládejme, že K(t, t) Je spojité a symetrické jádro na Q a (<p,)£Li Je odpovídající maximální ONS vlastních funkcí. Nechť g = #(ř) Je spojitá funkce na h). Jestliže je možné vyjádřit funkci f = /(í) ve tvaru (10.3.1)  f(t) = j* íC(f, t) fif(t) dx, potom ji můžeme rozvinout ve Fourierovu řadu vzhledem k ONS ((Pi)T=i: (10.3.2)  f(t) = f /, (pit) . í= 1 Tato řada konverguje absolutné a stejnoměrné v intervalu <a, h). 10.3.2. Poznámka. Než přistoupíme k důkazu této věty, pokusíme se ukázat, jak by tento důkaz vypadal, kdyby bilineární řada jádra K(t, t) konvergovala stejnoměrně. V takovém případě totiž můžeme zaměnit pořadí sčítání a integrování: m = f K(t,x)g{x)dT = f t  dx = = |^ f5(x)«Pi(T)dx = I í_ 1 Fi J a  1-1 Fi tedy /, = g,lnt. 79

Protože však v obecném případě bilineární řada jádra K(t> t) nemusí konver¬ govat stejnoměrně, výše provedený jednoduchý výpočet k důkazu věty 10.3.1 nestačí. Důkaz věty 10.3.1. Předpokládejme na okamžik, že platí rovnost (10.3.2). Potom fi = (/. (Pí) = J (| K(t, r) g(t) dx) (pi(t) dt = = I* g(t). f K(t, t) <Pi(t) dt di = — f ^(t) <?{%) dx = — . J a J a  J a Nyní dokážeme stejnoměrnou konvergenci řady (10.3.3)  ífiCPi(t). i= 1 Na základě známých nerovností dostáváme odhad m + p Ě i = m  Hi m + p  /m + p 2(^\\ 1/2 / oo 2/,\\ 1/2 m + p s(E«!r  s(z#) (S«?)'«. i = m  \i = m fii J  \i= 1 [i i J i = m Člen  Je omezený, neboť na základě Besselovy nerovnosti 1 = 1 (8.1.11) platí X! ^*2~~ — í ^2(ř> T) = max ^2(ř> T) {p — a) • i=1 Hi Ja  (í,t)eQ Z Besselovy nerovnosti pro Fourierovy koeficienty ^ pak plyne, že člen m + p ( Z 0?)1/2 může být libovolně malý, je-li m dostatečně velké. Tedy pro libovolně malé e > 0 můžeme nalézt takové m0 e N, že pro všechna m > m0 'a p ^ 1 platí < e. i = m fii Odtud přímo plyne stejnoměrná konvergence řady (10.3.3), Protože stejný postup můžeme použít pro důkaz stejnoměrné konvergence řady £ i /i ?i(o i. i = 1 je tím dokázaná i absolutní konvergence řady (10.3.3). Nyní dokážeme, že součet řady (10.3.3) je roven /(ř). Položíme (10.3.4)  K0=/(0-Ž/^(0- í= 1 Potom vzhledem ke stejnoměrné konvergenci řady (10.3.3) platí Í h(t) (pk(t) dt = í [/(f) - £/; <pi(tj] (pk(t) dí = Ja  Ja 80

= í fit) <Pk(t) dí “ tfi í <Pff) <Pk{t) dí = O , Ja  i=l Jo neboť ((pí, (pk) = 0, i + k a {(pk, <pk) = 1. Platí tedy (10.3.5)  (h,<pk) = 0, k = 1,2,.... Z věty 10.2.3 a ze vztahů (10.3.5) plyne (10.3.6) J*jR:(ť, t) h(t) dr = 0 . Nyní vynásobíme rovnost (10.3.4) funkcí h(t)r integrujeme od a do b, za / dosadíme z vyjádření (10.3.1) a užijeme vztahů (10.3.5), (10.3.6): í h2(t) dt = í f(t) h(t) dt - Yft í h(t) (pit) d t = J a  J a  I=lja = | h(t)f(t) dř = J* h(t) (j* K(t, t) g(x) dt) dí = J g(t) (J K(t, r) h(t) dí) dt = 0. Odtud vyplývá, že h(t) = 0 V <a, h), tedy řada (10.3.3) konverguje k funkci /(í). Tím je důkaz věty 10.3.1 proveden. 10.3.3.  Poznámka. Důkaz výše uvedené věty 10.3.1 zůstává v platnosti také v případě, kdy g = g(t) je po částech spojitá funkce v <a, b) (prověřte!). V tomto odstavci ještě dokážeme, že bilineární řada jádra K2(t, t) konverguje stejnoměrně v Q a bilineární řada jádra K(t, t) konverguje v L2-normě v Q. Dříve však zformulujeme jedno pomocné tvrzení. 10.3.4.  Lemma (Dini). Nechť řada (10.3.7)  I u,(í) i= 1 spojitých a nezáporných funkcí na intervalu <a, h) konverguje k funkci U(t) e g C(<a, h)). Potom již tato řada konverguje stejnoměrně. Důkaz viz např. [8]. 10.3.5.  Věta. Bilineární řada druhého iterovaného jádra K2(t, t) konverguje stejnoměrné v Q. Důkaz. Podle definice K2(t, t) = | K(t, QK(t, r)d(. Je-li t = t0 pevné, potom funkce K2(t, t0) jedné proměnné ř leží v oboru hodnot integrálního operátoru K s jádrem K(t, ^) a je obrazem funkce X(<^, t0) g C(<a, by). Potom podle Hilbertovy-Schmidtovy věty (10.3.8)  K2(t, t0) = f ck <pk(t), jt=i 81

kde Ck=[ K2(t, T0) <pk(t) dí =  , Ja  f^k přičemž řada v (10.3.8) konverguje absolutně a stejnoměrně. Dosadíme-li za ck do (10.3.8), dostáváme vyjádření (10.3.9) K2(t, r) = £  . Tato řada konverguje absolutně a stejnoměrně vzhledem k t e , fc) pro každé pevné t. Se zřetelem na symetrii však také konverguje absolutně a stejnoměrně vzhledem k t g <u, &> pro každé pevné í. Pró t = t můžeme (10.3.9) psát ve tvaru (10.3.10)  K2(í, t) = £ ^ . Protože 0 je spojitá funkce na intervalu <u, &>, konverguje podle lemmatu 10.3.4 řada (10.3.10) stejnoměrně v <u, &>. Zvolíme-li m dostatečně velké, můžeme tedy dosáhnout toho, že je výraz 1/2 libovolně malý. Protože však m£p <pk(t) <pá?) k = m  tLl g y \<p*(t)<Pk(r)\ š r^p rí(t)\112 r^1 rfwv121 k = m ni  \k = m nl ) \k = m nl ) plyne odtud stejnoměrná a absolutní konvergence řady v (10.3.9). 10.3.6. Poznámka. Užijeme-li rekurentní formuli rb K„(t,x) = J K(t,š)K„_t(Z,x)dZ, můžeme pomocí Hilbertovy-Schmidtovy věty, podobně jako ve výše provede¬ ném důkazu, prověřit platnost rozkladů (10.3.11) i=i ^ pro libovolné n ^ 3. Přitom pro každé n řada v (10.3.11) konverguje absolutně a stejnoměrně vzhledem k (ř, t) g Q. 10.3.7. Věta. Bilineární rada ^ (piiy) í=i ^ symetrického a spojitého jádra K(t, t) konverguje k tomuto jádru v L2-normě. Důkaz. Je-li /g C(<u, h» a jsou Fourierovy koeficienty funkce / 82

vzhledem k maximálnímu ONS ((Pí)T=í jádra K(t, t), potom (10.3.12)  f [/(t) - £/, <pi(t)]2 dr = í f2(z) dr - £/? . J a  1 — 1  J a  i —1 Platnost této rovnosti je možné prověřit přímým výpočtem. Položíme-li pro pevné t e <a, b} K(t, z) = f(z) , potom ffeí,z)-i MMi)TdT = (V(ř)z)dz-i ^ = = ÍV t) X(t, 0 dT - i ^ = **('> 0 - i # • Jo  ;=i ^  *=1 nt ■y lim fTx(ř, t) - £ <dňlM\2 dT = o "-00 Jal i  i=1 Vi J Podle věty 10.3.5 tedy stejnoměrně vzhledem k te (a, &>. Proto také lim r f \k(, t) - £ ^íí?Ml)]2 dT dí = 0 , n~*00 J o J o L í=i J a tím je důkaz proveden. 10.3.8. Uvažujme jádro (10.3.13)  K(t, t) ' t(l — t) Ž *0 - 0 Ogrli, t ^ ř ^ í. V odst. 9.3 jsme vypočítali maximální ONS tohoto jádra a systém odpovídajících charakteristických čísel. Na základě tohoto výsledku můžeme zapsat bilineární řadu jádra (10.3.13) ve tvaru (10.3.14) . jKt . JUT sin — sm — 21 * Z l 1  .2 ?r;=i  r Tato řada konverguje stejnoměrně a absolutně k funkci K(t, t) v základním čtverci Q = <0, Z> x <0, Z). Vyplývá to z Weierstrassova kritéria, neboť je konvergentní majorantou řady (10.3.14). 83

10.4. Úlohy 10.4.1. Dokažte, že Fourierova řada (10.3.2) konverguje k funkci f{t) v Za¬ nořme. 10.4.2. Dokažte, že K.(r,t) = £ i=i přičemž řada konverguje absolutně a stejnoměrně v Q. 10.4.3. Nechť (pí)?=i je maximální systém charakteristických čísel jádra K(t, t). Potom (/j") je maximální systém charakteristických čísel iterovaného jádra Kn{ty t), pro libovolné n ^ 2. Dokažte! [Návod: Použijte vztah (10.3.11) a ukažte, že Kn(t, t) nemá kromě (pí) žádná jiná charakteristická čísla.] 11. Řešitelnost rovnic se symetrickým jádrem 11.1.  Jednoznačná řešitelnost. V tomto článku se budeme zabývat vyjádřením řešení Fredholmovy integrální rovnice druhého druhu se symetrickým jádrem (íi.i.i)  XO = vj* K(t’T)>’(T)dT + /(O > nebo krátce y = fiKy + f. Jestliže známe maximální systém charakteristických čísel a maximální ONS vlastních funkcí jádra K(t, t), potom můžeme doplnit některé výsledky obdržené v čl. 4 a 7. V následujících dvou odstavcích budeme značit  maximální systém charakteristických čísel a ((Pi)?=i maximální ONS vlastních funkcí symetrického jádra K(t, r). 11.1.1.  Věta. Předpokládejme, že \i není charakteristickým číslem jádra K(t, t), /g C((a, ())). Potom má rovnice (ll.l.l) právi jedno řešení 7(t), ktere můžeme vyjádřit ve tvaru (11.1.2)  Y(t) = f(t) + fif: -Ji- cpit), kde fi jsou Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k ONS ((Pi)T= i a rada v (11.1.2) konverguje absolutné a stejnoměrné v <a, b>. Důkaz. Předpokládejme na okamžik, že Y(t) je spojitá funkce na <a, b>, která je řešením rovnice (11.1.1). Označíme-li 84

potom můžeme vzhledem k (11.1.1) psát (11.1.3)  y(í) = /(O + IX h(t) . Podle Hilbertovy-Schmidtovy věty platí (11.1.4) 00 h(t) = 'Zhi 4>t(0 . i= 1 kde jsou Fourierovy koeficienty funkce h vzhledem k ONS (<P;)J°=i a řada v (11.1.4) konverguje absolutně a stejnoměrně v <a, b}. Po dosazení z (11.1.4) do (11.1.3) bude i= 1 Dosadíme-li tento tvar řešení do rovnice (11.1.1), dostaneme f(t) + f* Ž hi (Pi(t) = f(t) + H í K(t, t) [/(t) + n £ h, (Pí(t)] dT , i=i  J„  í=i odkud (11.1.5)  £ ht <Pi(t) = í A,(ř, t)/(t) dr + /t f K(t, r) <p,(r) dt. 1 = *  J a  1 = * J a Podle Hilbertovy-Schmidtovy věty je K(t, t)/(t) dt = £ £ «j9j(ř) í=i ^ a z vlastností systému (hí)T=i a systému (^i)^! plyne í: í b  i X(ř, t) (Pí(t) dr = - ^i(í). Hi Po dosazení do (11,1.5) tedy Ž <í»í(0 = S - 9i(0 + n E — <*>.(0 • i=i  i=i/í{  i=i/iř Porovnáme-li koeficienty u stejných funkcí <pf, dostáváme tj- /**=£- +/A Hi Hi i = 1,2,.... Ze vztahů (11.1.3) a (11.1.4) potom plyne vzorec (11.1.2), tj. y(t) = f(t) + f;  <pt(t). i=l jUf — M Přitom řada v (11.1.2) konverguje absolutně a stejnoměrně v <a, &>. Dosazením do (11.1.1) prověříme, že funkce Y(t) daná vztahem (11.1.2) je skutečně řešením 85

rovnice (11.1.1). Odtud vyplývá, že integrální rovnice (11.1.1) má řešení (11.1.2). Tím je důkaz věty proveden. 11.1.2. Poznámka. Formule (11.1.2), kterou je dáno řešení rovnice (11.1.1), se nazývá Schmidtovou formulí. 11.1.3. Hledejme řešení integrální rovnice (11.1.6) y(0 = A* J K(t, r) y(x) dx + f(t) , s jádrem K(t, t) definovaným v 10.3.8. Řešení. Jestliže p # i2rc2//2, i = 1,2,..., potom řešení rovnice (11.1.6) můžeme vyjádřit ve tvaru kde (11.1.7) r(0 _ /(,) + „1 V(20 f  sin ^ , i= 1 l %  — \i\  l fi = J f /(f)sin^dí, i = 1,2,.... / Jo  l 11.2. Případ charakteristického čísla p = p. 11.2.1. Věta. Budiž p charakteristické číslo jádra K(t, t) násobnosti s9fe g C(<u, h>). Potom má rovnice (l 1.1.1) řešení právě tehdy, fcdyz/ Je kolmá ke všem vlastním funkcím (^i)f=i odpovídajícím číslu p. V takovém případe můžeme řešení rovnice (11.1.1) vyjádřit ve tvaru (i i.2.i)  y(í) = f(t) + a £' - A_ «,/,) + £ *X0. i = ipi-p  j= i 00 kde symbol  znamená, ze součet neobsahuje vlastní funkce odpovídající číslu p i=í a (cí)í=i Jsou libovolné konstanty. Důkaz. Řešení rovnice (11.1.1) s p = p budeme hledat (podobně jako v důkazu věty 11.1.1) ve tvaru Y(t) = /(O + £ Z c; <P.(0 i= 1 a stejným postupem jako v předcházejícím odstavci odvodíme vztahy (11.2.2)  c(=£ + /ž^, í = l,2,.... Pi Je-li /íř = /z, potom z (11.2.2) plyne (H.2.3)  (/,^)=/. = 0, í = 1,2  S, přičemž koeficienty c2,..., mohou nabývat libovolných reálných hodnot. 86

Pro \íí + fi vypočteme w —  ~ • Ví ~ H Funkce Y(t) má tedy tvar (11.2.1). Dosadíme-li nyní tuto funkci do rovnice (11.1.1), kde ju = /x, prověříme přímým výpočtem, že funkce Y(t) je skutečně jejím řešením. 11.2.2. Poznámka. Věty 11.1.1 a 11.2.1 jsou vlastně Fredholmovou alter¬ nativou pro integrální operátory se symetrickým jádrem. 11.3. Vyjádření rezolventy. Odvodíme vyjádření rezolventy rjj, t) integrální rovnice (11.1.1) se symetrickým jádrem K(t, x) pomocí vlastních funkcí ((Pi)?=i a charakteristických čísel (hí)?=í. Na základě rovnosti n =E +  v2 Hi ~ M Ví vint - n) můžeme Schmidtovu formuli zapsat ve tvaru (11.3.1)  Y(t) = /(*) + /*£ - <Pi{i) + ťí  V'®• Í=1 fii  Í=1 ntjii - li) Protože podle Hilbertovy-Schmidtovy věty platí (11.3.2)  £ ÍL <pjt) = f K(t, r)/(t) dr , první řada na pravé straně rovnosti (11.3.1) konverguje stejnoměrně. Dále (11.3.3)  £ JjitL = £ r/(T) <pM±M dT. i=i lišili- li)  i = ija  liiito-li) Na základě stejnoměrné konvergence řady (10.3.12) můžeme podobně jako v důkazu věty 10.3.5 dokázat stejnoměrnou konvergenci řady £ <?i(Q Vij1) »=i Hi(hí - fi) ’ pro ií + fik9 k = 1,2,.... Na pravé straně (11.3.3) tedy můžeme zaměnit pořadí sčítání a integrování. Po dosazení z (11.3.2) a (11.3.3) do (11.3.1) obdržíme no-/*fl*M + ní ^l^M]/(T)dT +f(t). Jal  J Odtud vyplývá, že rezolventa má tvar (11.3.4)  r„(í, t) = K(í, t) + PL £  , pro všechna ií 4= iik, k = 1, 2,... . Pokud bilineární řada jádra K(t, r) konverguje stejnoměrně, můžeme výraz 87

(11.3.4) zjednodušit (n.3.5) r„(<,,) - £ tiMtí + „ £ tíÚJ*) , £ tíi)Wl>, Í=1 fli  i=i fifai-n) Í=1 Hi-fi Protože podle věty 10.3.6 konverguje bilineární řada k jádru K(t, t) v L2-normě, platí vyjádření rezolventy ve tvaru (11.3.5) pro libovolné symetrické jádro, pokud chápeme konvergenci řady na pravé straně (11.3.4) ve smyslu L2-normy. 11.4. Příklad. Hledejme řešení integrální rovnice (11.1.6) s parametrem H = n2n2jl2y pro nějaké pevné ne N. Řešení. Na základě obecného postupu můžeme řešení této rovnice vyjádřit ve tvaru Y(t)=f(t) + n2 1.2 fi -i i — n int -sin  h 2 / + n2 . nnt sin — , l kde c je libovolná konstanta a/Jsou dány vztahy (11.1.7). Protože bilineární řada jádra (10.3.13) konverguje stejnoměrně (viz 10.3.8), dostáváme pro fi =t= k2n2\l2, k = 1, 2, ... , následující vyjádření rezolventy 00 ^M = 2*L i= 1 int . íkt sin — sin — l l ii2n2 — fil2 11.5. Hermitovsky symetrická jádra. V tomto odstavci upozorníme na některé odlišnosti, které nastanou při přechodu od symetrického jádra k jádru hermitovsky symetrickému. Předpokládejme, že K(t, r) je spojité, hermitovsky symetrické jádro, tj. X(ř,t) = X(M). Potom zobrazení K: CLz{(a, by) —> CL2((a, by) definované předpisem (Ky) (í) = j* K(t, t) ><t) dr je samoadjungovaný omezený operátor. Jak bylo ukázáno v odst. 9.2, operátor K má pouze reálná charakteristická čísla (odpovídající vlastní funkce však mohou být obecně komplexní). Přitom vlastní funkce cph <pj operátoru K odpovídající jeho různým vlastním číslům Ař a Xj jsou vzájemně kolmé: (<Pí, <Pj) = j* <Pi(t) <Pj(t) dí = 0 (věta 9.2.4). Dále je možné ukázat, že každé charakteristické číslo operátoru K má koneč¬ nou násobnost a že můžeme podobně jako v případě symetrického jádra vytvořit 88

maximální systém (Pi)f=l charakteristických čísel hermitovsky symetrického jádra K{t, t), který splňuje vztahy |/*i| š \pz\ ž •••, lim |/i,| = oo . Í~* 00 Tomuto systému odpovídá maximální ONS ((p,)f=1 vlastních funkcí jádra K(t, t). Bilineární řada hermitovsky symetrického jádra K(t, t) má tvar y <Pi(t) <Pi(t) i=i  Hi Hilbertovu-Schmidtovu větu pak můžeme vyslovit v následující formě. Nechť g e CL2«a, h» a f(t) = J K(t, t) g(t) dr . Potom můžeme funkci f(t) rozvinout v absolutné a stejnoměrně konvergentní Fourierovu řadu vzhledem k ONS (<;)™=í: ‘ /(O = Z/.- p.W» kde i = i rb fi = (/. (Pi) = í /(O dí = - . Ja  Hi Čtenář, který je znalý základních početních operací s komplexními čísly, si nyní snadno odvodí, jak budou vypadat tvrzení dokázaná v čl. 10 a 11, když symetrické jádro nahradíme jádrem hermitovsky symetrickým. 11.6. V aplikacích se často vyskytují integrální rovnice, které můžeme převést na rovnici s hermitovsky symetrickým jádrem. Patří k nim například rovnice (11.6.1)  XO = Aí j* Ht, X p(t) y(x) dx + f(t) , kde L(ř, t) = L(r, t) a p{x) ^ 0 v (a, b>. Vynásobíme-li obě strany rovnice (11.6.1) výrazem V(K0)> obdržíme vztah V(K0) X') = /í | V(K0) L(ř>T) V(XT)) V(Kt)) XT),dT + /(O • Nyní položíme <p(t) = v(K0) XO a ^(ř>x) = V(K0 XX) L(ř>T) • Potom X(í, t) = 1C(t, í) a rovnici (11.6.1) můžeme psát ve tvaru XO = P J K(t, x) <p(r) dx + /(í), což je rovnice s hermitovsky symetrickým jádrem. 89

11.7. Úlohy 11.7.1. Prověřte podrobným výpočtem, že funkce Y{t) tvaru (11.1.2) je řeše¬ ním integrální rovnice (11.1.1) a funkce tvaru (11.2.1) je řešením integrální rovnice (11.1.1) pro/x =/t! 11.7.2. Nechť K2{t, r) je druhé iterované jádro hermitovsky symetrického spojitého jádra K(t, t). Dokažte, že oo K2(t,x) = Y k= 1 <Pk(*) <Pk{*) kde  a ((Pí)íL t je maximální systém charakteristických čísel a maximální ONS vlastních funkcí jádra K(t, t), přičemž uvedená řada konverguje stejnoměrně. [Návod: Použijte „komplexní verzi“ Hilbertovy-Schmidtovy věty z odst. 11.3 v důkazu věty 10.3.5.] 11.7.3. Dokažte komplexní analogii věty 10.3.7, tj. dokažte, že k(,,,)_£ %(f)i®, k=í  \li přičemž konvergenci řady chápeme ve smyslu L2-normy v prostoru CL2((a, ť?>). [Návod: Modifikujte důkaz věty 10.3.7 a použijte tvrzení 11.7.2.] 11.7.4. Ukažte, že rezolventu rjt, t) integrální rovnice y(t) = v dr + f(t) s hermitovsky symetrickým jádrem můžeme vyjádřit ve tvaru r,((,r)=.*(.,,) + „£ títo «=* Pi\Pi - Jestliže tato řada konverguje v L2-normě prostoru CL2(<a, 6>), potom ukažte, že platí r.(,,,) = £ ;=i \ii-\i [Návod: Úvahy z 11.2.3 proveďte pro funkce K(t, t) a ((Pi)T=u které nabývají obecně komplexních hodnot.] Napište řešení integrální rovnice y(t) = n J* K(í, t) y(t) dr + f(t) , kde/(í) £ C(<0, 1)) a jádro K(/, r) je dáno vztahem 90

11.7.5. K(t, r) = t pro 0 rsS ř t ^ 1; K(t, t) = z pro 0 ^ r ^ t ^ 1. y(0 = /(O + 2/i Ž 7  ~2~— sin (~ + nk] ř> k=o fn .V  \2  / L  (i+*fc)-'‘ kde/* = 1 /(t) sin ^ + Tcfc^ í d t, pro \i 4= ^ + 7ifc^ , A: = 0, 1, 2,... ; no = no + 2 (í + ™J i‘ ,A  —n **" (i+  '+ (. +  _ (_ + «„j + 2 f1- + im) £  . ■/* ,  — siní- + JiíAí + csinf- + iwA í, {2  +  + ^ U )  {2  ) •  Au \2 kde c je libovolná konstanta, pro fi = 1- + nnj . 11.7.6.  K(t, z) =  ( pro O ^ í g t g 1, a K(ty t) =  t pro 0 ^ t ^ t ^ 1. a [Návod: Využijte výsledku úlohy 9.4.3 a vztahů (11.1.2), (11.2.1).] 11.7.7. K(ty t) = sin t sin (1 — t) pro 0 ^ t ^tgl, K(t, t) = sin (1 — i) sin t pro 0 ^ t ^ ř ^ 1. [Návod: Využijte výsledku úlohy 9.4.6 a vztahů (11.1.2), (11.2.1).] 12. Integrální rovnice v Lebesgueových prostorech 12.1. V některých praktických příkladech je třeba řešit integrální rovnici (12.1.1)  y(t) - n J* K(t, t) .p(z) dz = /(í) , jejíž jádro K(t9 t) není spojitou funkcí v základním čtverci Q a pravá strana f(ť) není spojitá v intervalu {a, b). Často také řešení y(t) takové rovnice můžeme hledat v nějakém „širším“ prostoru než je prostor C(<a, by). Požadujeme např., aby y(t) 91

byla po částech spojitou funkcí v uzavřeném intervalu <u, b>, nebo aby kvadrát této funkce byl integrovatelný v intervalu (a, b), atd. Ukazuje se, že prakticky všechno, co bylo řečeno v předcházejících článcích v kontextu prostoru spojitých funkcí C(<u, by) a spojitých jader K(t, t), lze bez podstatných změn přeformulovat, užijeme-li prostoru lebesgueovsky integrovatelných funkcí na intervalu (ia, b) a tzv. L2-jader K(t, t). Čtenáře, který není obeznámen s teorií Lebesgueova integrálu, odkazujeme na publikace [21], [24]. Dříve než, zavedeme prostor L2(u, b) jakožto přirozené rozšíření prostoru C(<u, ů>), ukážeme, jak je možné převést některé výsledky z čl. 7, týkající se degenerovaného jádra, na případ spojitého jádra K(t, t). 12.2. Princip důkazu Fredholmovy alternativy pro spojité jádro. Předpoklᬠdejme, že jádro K(t, t) integrální rovnice (12.1.1) je spojitá funkce v Q. Podle Weierstrassovyvěty můžeme potom takovou funkci K(t, t) aproximovat s libo¬ volnou přesností pomocí mnohočlenů v proměnných t a t (viz [13]). Přesněji, ke každému s > 0 najdeme takové n = n(e) a systémy mnohočlenů (ak(t))l=í, (M?))"=i, že (12.2.1) kde K(t,T) = £ak(t)bk(r) + Ke(t,-i), k — 1 (12.2.2) max |Kjt, t)| < e . (ř,t)ee Označme Kd(t> T) = Z flk(ř) 6*(t) • k= i Potom můžeme rovnici (12.1.1) psát v ekvivalentním tvaru (12.2.3)  y = fiTy + jiSy + /, kde (z» (í) = í K/t, t) y(t) dt, (5>) (ř) = í Ke(t, t) j(t) dr . J a  J a Zvolme e > 0 tak, aby bylo e < 1 jj.i(b — a). Podle odst. 4.1 má rovnice (12.2.4) ý = uSý + g právě jedno řešení ^ e C(<u, ů>) pro libovolnou funkci g e C((a, b}). Přitom toto řešení můžeme vyjádřit ve tvaru (12.2.5)  ý(t) = g{t) + n J Rt(t, t; g) g(t) dt, kde /?4(í, t; g) je rezolventou jádra Kjt, t). Položíme-li g = gTij/ + f, je rovnice (12.2.4) ekvivalentní rovnici (12.2.3). Pomocí vztahu (12.2.5) můžeme 92

rovnici (12.2.3) zapsat formulí y(t) = p. í Kd(t, x) y(x) dx + f(t) + y.2 í í Re(t, x; n) Kjx, s) y(s) dr ds J a  J a J a +  Re(t,x;  n)f(x)dx. Po úpravě bude (12.2.6)  y (t) = f(t) + n J Re(t, x; n)f(x) dx + + R j*  s) + R J Re(t, t; h) K/x, s) dtj y(s) ds . První dva sčítance v pravé části (12.2.6) jsou známé funkce. Dále nb  r*b  rt Re(t, x; n) Kd(t, s) dx = Re(t, x; fi) £ ak(x) bk(s) dx = Ja  Ja  ‘=1 n  pb  n = Z bk(s) Re(t, t; Ai) ak(r) dr = ^ Ah(t, fi) bk(s), k= 1  Ja  fc=l + odkud vyplývá, že jádro integrální rovnice (12.2.6) je degenerované pro každé pevné fi. Ukázali jsme tedy, že integrální rovnici (12.1.1) se spojitým jádrem můžeme převést na ekvivalentní integrální rovnici (12.2.6) s degenerovaným jádrem. Můžeme tedy využít známých výsledků pro degenerované jádro a dokázat Fredholmovu alternativu (viz odst. 7.5) i v případě libovolného spojitého jádra K(t, t) (podrob¬ ný důkaz najde čtenář např. v [15]). 12.3. Lebesgueův prostor. V odst. 8.1 jsme se zmínili o tom, že prostor CLp((a, b}) není úplný, pokud 1 p < oo. Zároveň jsme však poznali, že L2-norma má řadu výhod a že se bez ní v řadě případů neobejdeme. Typickým pří¬ kladem je tvrzení věty 10.3.7. Zavedeme-li prostor integrovatelných funkcí L2(a, fc), využijeme všech předností L2-normy a zároveň se vyhneme obtížím způsobeným skutečností, že CL2(<a, b)) není úplným prostorem. 12.3.1. Symbolem L2(a, b) budeme označovat množinu reálných funkcí/ = f(t) definovaných skoro v každém bodě (ve smyslu Lebesgueovy míry) intervalu (a, b), pro které je Lebesgueův integrál dí konečný. Množina L2(a, b) je úplným normovaným lineárním prostorem 93

s normou i/ii-dW*)1'2. V prostoru L2(a, b) můžeme definovat skalární součin předpisem (/, g) = | /(ř) 0(0dt pro libovolné dvě funkce f,ge L2(a, fe). Množina L2(a, ů) je tedy prostor se ska¬ lárním součinem. 12.3.2.  Platí inkluze C*«a, b}) c C«a, h>) c L2(a, h) . Přitom prostor L2(a, b) můžeme také chápat jako zúplnění prostoru CL2(<íj, by), tj. pro každé / e L2(a, í>) existuje posloupnost (/„) <= CL2(<a, fc>) taková, že (12.3.1)  lim ||/„ - /||2 = 0 n-> oo a také naopak, pro libovolnou posloupnost (/„) c CL2(<a, &>), která splňuje lim ||/„ - fm 12 = O , n,m-+ oo existuje prvek / e L2(u, fc) takový, že platí (12.3.1). 12.3.3.  Pomocí vícenásobného Lebesgueova integrálu můžeme analo¬ gicky definovat prostor 1-2(0). kde Q je ohraničená oblast v n-rozměrném euklidovském prostoru R". 12.4. Formulace některých výsledků v případě jader z L2(Q). Nadále budeme stále předpokládat, že f{t) e L2{a, b), K(t, t) e L2(g), tj. integrály (12.4.1)  P (/(Ol2 dí = ll/lli , f f |*(í. Oř dř dz = ||K\\\ J a  J a J a jsou konečné. 12.4.1. Integrální operátor z L2(a, fe) do L2(a, ů). Nechť K(ř, t) e L2(g). Uva¬ žujme integrální operátor definovaný předpisem (Á» (ř) = | K(t, z) y(z) dz. Podle Cauchyovy-Buňakovského nerovnosti je /rb\rb  2  \!/2 11^12 = M I K(t, r)XOdT át) ^ ab rb  \ 1/2 /fb  \ 1/2 j |K(í, t)|2 d/qt) (J |.j<0|adT)  = fl^lU lb(U • 94

Odtud plyne, že Ky e L2(a9 b) pro libovolné y e L2(a, fc), tj. operátor K je korektně definovaný. Dá se ukázat, že norma operátoru K je dána předpisem Má*,!*)=(j'jV(ř’T)i2dídTy/2 (viz např. [12]). 12.4.2.  Postupné aproximace. Nechť jsou integrály (12.4.1) konečné a nechť navíc platí (12.4.2)  I"! S liji’ Potom postupné aproximace sestrojené v odst. 4.1 konvergují v L2-normé k jedi¬ nému řešení rovnice (12.1.1). Důkaz viz [15]. Jinými slovy, za výše uvedených předpokladů má rovnice (12.1.1) právě jedno řešení y(t) e L2(a, b) a platí .lim |>»n - 3>||2 = 0, n-* oo kde yn(t) jsou postupné aproximace sestrojené v odst. 4.1. 12.4.3.  Fredholmova alternativa (viz odst. 7.5) zůstává v platnosti také v pří¬ padě, kdy K(t, t) e L2(Q) a f(t) e L2(a, b). Princip důkazu je podobný jako v pří¬ padě spojitého jádra K(t, r) a spojité pravé strany f(t). Protože mnohočleny jsou husté v prostoru L2(Q) (viz např. [13]), můžeme ke každému e > 0 nalézt takové degenerované jádro Kd(t, t), že K(t, t) = Kd(t, t) + Ke{u t) , kde KU2 < 8 • Přesný důkaz nalezne čtenář např. v [10]. Důkaz Fredholmovy alternativy založený na jiném principu je uveden v [9]. 12.4.4.  Hilbertova-Schmidtova věta. Předpokládejme, že K(t, r) je symetrické jádro, K(t, t) e L2(Q), g(ť) e L2(a, b). Potom funkci /(O = J K(t, r) ^(t) dT můžeme rozvinout ve Fourierovu řadu vzhledem k ONS ((pi)f=í jádra K(t, t): (12.4.3)  /(/) = £ ^cpít). i=l fli Fourierova řada v (12.4.3) konverguje v L2-normé, (Pi)fL i je maximální systém charakteristických čísel jádra K(t, t) a gt jsou Fourierovy koeficienty funkce g(t) vzhledem k ONS ((Pi)?= 95

Užitím Hilbertovy-Schmidtovy věty ve výše uvedeném znění pak můžeme dokázat větu 10.3.6 pro libovolné symetrické jádro K(t, t) g L2(Q). 12.4.5.  Řešitelnost rovnic se symetrickým jádrem. Uvažujme integrální rovnici (12.1.1) , kde f(t) g L2(a, b), K(t, t) g L2(Q). Nechť \i není charakteristickým číslem symetrického jádra K(t, t). Potom má rovnice (12.1.1) právé jedno řešení Y(t)e e L2{a, b), které můžeme vyjádřit ve tvaru (11.1.2), přičemž konvergenci řady v (11.1.2) nyní chápeme v L2-normé. Jestliže p = jí, kde jí je charakteristické číslo jádra K(t, t), potom má rovnice (12.1.1)  řešení právé tehdy, když f{t) je kolmá ke všem vlastním funkcím odpovída¬ jícím jí. Řešení můžeme vyjádřit ve tvaru (11.2.1), přičemž konvergenci nekonečné řady v (11.2.1) chápeme v L2-normé. 12.5.  Popis charakteristických čísel pomocí extrémů. Předpokládejme, že g(t)eL2(a, b). Podle Hilbertovy-Schmidtovy věty 12.4.4 můžeme psát (12.5.1)  (Kg) (t) = p*(ř, t) g(z) dt = f M <pn(t) . Ja  n=l  11„ Vynásobíme-li rovnost (12.5.1) skalárně (v prostoru L2(a, b)) funkcí g{t),%dostaneme (12.5.2)  (Kg, g) = t ^ (<p„ g) = £  . »= 1 f^n  "=* Vn Protože absolutní hodnoty charakteristických čísel jsou seřazeny vzestupně podle velikosti: \p^ ^ \p2\ ^ ... , plyne z (12.5.2) odhad (12.5.3)  \(Kg,g)\š-L £ \(g, cpn)Y . |A*i| "=1 Čísla g{ = (g, (pj) jsou Fourierovými koeficienty funkce g(t) vzhledem k ONS ((pi)fL1. Z Besselovy nerovnosti (8.1.11) a ze vztahu (12.5.3) pak obdržíme nerovnost \(Kg,g)\š±\\g\\22. V případě || 01| 2 = 1 můžeme psát (12.5.4)  \(Kg,g)\šJ- Snadno prověříme, že ve vztahu (12.5.4) nastává rovnost pro g(ť) = (px(i) (dokažte!). Dokázali jsme tedy následující tvrzení: Veličina \{Kg, g)\ nabývá v množině M° = [geL2(a,b); ||0||2 = 1} svého maxima pro funkci g(t) = (px{t). Toto maximum se rovná 1/|a*i|. Uvažujme nyní množinu Mm_1 = {geL2(a, b); ||gf||2 = 1, (g,<Pi) = 0, i = 1, 2,..., m - 1} . 96

Potom pro libovolné g(ť) e Mm 1 platí «(<)-£ k = m fik Zcela analogicky pak dokážeme tvrzení: Veličina \{Kg, g)\ nabývá svého maxima v množině Mm~1 pro funkci g(t) = = <pm(t). Toto maximum se rovná l/|^m|. 12.6. Rovnice ve více proměnných. Uvažujme Fredholmovu integrální rovnici druhého druhu (12.6.1)  y(P) + n Jo K(P, R) y(R) dfiR = f(P), kde Q je oblast v Rn, /(P) e L2(Q), K(P, R) e L2(Q x Q) jsou zadané funkce a y(P) e L2(í2) je funkce hledaná. Potom všechna tvrzení zformulovaná v odst. 12.4 pro integrální rovnice na intervalu (a, b) platí také pro rovnici (12.6.1). Zůstává přitom zachován i princip důkazů, protože v nich užíváme vlastnosti prostoru L2(Q) podobné vlastnostem prostoru L2{a, b). 13. Integrální rovnice prvního druhu 13.1.  Volterrovy integrální rovnice prvního druhu. V tomto odstavci se budeme zabývat integrální rovnicí (13.1.1)  J K(t, t) y{x) dt = f(t) , kde K(t, t), f(t) jsou spojité dané funkce a y(ť) je hledaná spojitá funkce. V čl. 4 jsme pomocí metody postupných aproximací dokázali, že k jednoznačné řešitel¬ nosti Volterrovy integrální rovnice druhého druhu stačí spojitost K(t, r) a /(í). Přitom její řešení y(t) již musí být spojitá funkce. V případě Volterrovy integrální rovnice prvního druhu je však situace zcela odlišná. 13.1.1.  Pro K(t, t) = 1 má rovnice (13.1.1) tvar (13.1.2)  £ XT) dx = /(O • Hledáme-li řešení rovnice (13.1.2) v prostoru spojitých funkcí C(<u, ů>), potom její řešení bude existovat jenom v případě některých speciálních pravých stran f(t) e C(<u, by). Ze vztahu (13.1.2) je totiž patrné, že f'(t) musí být spojitou funkcí v intervalu <0, fc> a navíc f(a) = 0. Jsou-li tyto podmínky splněny, potom je hleda¬ ným řešením funkce XO =/'(')• 97

13.1.2. Úloha. Uvažujme obecnější rovnici (13-1-3)  Í  }<T) dT = /(O • J« (« “ 1)! Dokažte, že nutnou podmínkou řešitelnosti integrální rovnice (13.1.3) je spojitost všech derivací  ...,/("“1)(ř),/(n)(ř) a splnění podmínek /(a)=/'(^) = ...=/("-1)(a) = 0. •• Ukažte, že tyto podmínky jsou také postačující a v případě jejich splnění má rovnice (13.1.3) řešení tvaru 13.1.3. Konvolutorní jádro. Podobně jako v čl. 5 se můžeme v řadě příkladů setkat se speciálním tvarem jádra K(t, t) = k(t — t), kde k = k(s) je spojitá funkce. V takovém případě se můžeme na levou stranu rovnice (13.1.1) dívat jako nakonvo- luci funkcí k(t) a y(t) a při řešení využít vlastností Laplaceovy transformace. Jako jednoduchý příklad uveďme rovnici (13.1.4) - *) Xt) dT í2. K řešení rovnice (13.1.4) můžeme použít Laplaceovu transformaci. Přejdeme od rovnice (13.1.4) k rovnici odkud Y(p) = 2jp, tj. y(í) = 2. Uvědomte si, že jde také o rovnici (13.1.3), kde f(t) = t2 a n = 2. Funkce f(t) má spojité derivace všech řádů a /(O) = /'(O) = 0. Řešení má tedy tvar y(t) = 2. 13.1.4. Převod na rovnici druhého druhu. Předpokládejme, že spojité jádro K(t, t) má spojité parciální derivace dKjdt podle proměnné t. Nutnou podmínkou řešitelnosti rovnice (13.1.1) je splnění vztahu f(a) = 0. Z předpokladu spojitosti dKjdt plyne spojitost derivace levé strany (13.1.1) podle t. Derivace f'(t) tedy musí být také spojitou funkcí. Derivováním vztahu (13.1.1) podle t dostáváme (13.1.5)  K(t, í) y{t) +| ^ (t, t) j<t) dr = f(t). Předpokládejme, že K(t, t) 4= 0 pro všechna t e <a, ů). Potom můžeme rovnici (13.1.5) psát v ekvivalentním tvaru (13.1.6) dK,  , — (ř, t) ' 8t__ a K(t,t) y(r) d t = m K(t, t) ’ což je Volterrova integrální rovnice druhého druhu. Přitom, za předpokladu spoji¬ 98

tosti f'(t), dKjdt a splnění podmínek f(a) = 0, K(t, t) 4= 0, t e (a, b>, je funkce y(t) řešením rovnice (13.1.1) tehdy a jen tehdy, když je řešením rovnice (13.1.6). Z věty 4.3.3 potom plyne následující tvrzení. Nechť funkce f(t)eC((a,b>), K(t,x)eC(Q) mají spojité derivace f'(ť) a dKjdt, f{a) = 0, K{t, i) + 0, te <u, b>. Potom má rovnice (13.1.1) prdrě jedno řešení y(t) e C(<u, fe>). 13.1.5. Poznámka. V případě, kdy K(t, t) je rovno nule v nějakém bodě t e e <u, by, nazýváme vztah (13.1.5) integrální rovnicí třetího druhu. Vlastnosti tako¬ vých rovnic jsou diametrálně odlišné od vlastností integrálních rovnic druhého druhu (viz např. [2]). Předpokládejme nyní, že K(t, ť) = 0 v intervalu <u, by. Potom je vztah (13.1.5) opět integrální rovnicí prvního druhu (13.1.7)  | ^ (/, t) j<t) dt = /'(*). Jsou-li spojité derivace /"(í), Q2Kjdt2 a f'(a) = 0, pak stejně jako v 13.1.4 přejdeme derivováním podle t od rovnice (13.1.7) ke vztahu (13.1.8)  “ (,. 0 X<) + £  *) <* - /'(I) ■ dK což je integrální rovnice druhého druhu za předpokladu, že — (t, í) + 0 pro všechna t e <u, b}.  ^ Obecně tedy za předpokladů spojitosti ?K(t, z) f(a) = /'(«) = • • • = /("  = °. SkK(t,t) = 8tk k = 1, 2,..., n — 2 a o, dfl te <u,6) . ukážeme, že rovnice (13.1.1) je ekvivalentní rovnici druhého druhu (13.1.9) t) r ygM 3ín_1 W Ja dť y(r) dt = /(n)(í) . Tato rovnice pak má podle věty 4.3.3 právě jedno řešení. 13.1.6. Uvažujme integrální rovnici eř~T y(r) dt = sin t. Derivujeme-li obě strany rovnice podle t, dostáváme y(t) = cos t — j* eř T y{x) áx, což je Volterrova rovnice druhého druhu. 99

13.2. Fredholmovy integrální rovnice prvního druhu. V tomto odstavci budeme vyšetřovat integrální rovnici (13.2.1)  jVř,T)3<T)dT=/(f) se zadanými funkcemi K(t, t), f(t) a hledanou funkcí y(í). V následujících dvou příkladech se pokusíme ukázat, s jakými potížemi se můžeme při studiu rovnice (13.2.1)  setkat. 13.2.1. Předpokládejme, že jádro K(t, t) má tvar K(t, t) = a0(r) tm + ax{t) ím_1 + ... + am(x), kde at(r), i = 0, 1,..., m, jsou dané funkce proměnné t. Potom pro libovolnou funkci y(í) e C((a, b>) bude mít levá strana rovnice (13.2.1) tvar b0tm + &1ť"-1 + ... + fcm. Pravá strana /(ř) tedy musí být mnohočlenem proměnné t, aby měla rovnice (13.2.1)  řešení v prostoru C(<a, h>). Ani pak však není zaručena její řešitelnost, jak ukazuje následující příklad. 13.2.2. Uvažujme rovnici (13.2.2) t. Jde o rovnici typu (13.2.1), kde K(t, t) = 1 a f(t) = t. Snadno nahlédneme, že tato rovnice nemá v C(<a, fe>) řešení. Neexistuje dokonce ani integrovatelná funkce y(í), která by po dosazení splňovala vztah (13.2.2). Tyto příklady nás vedou k názoru, že pro některé funkce f(t) e C(<u, fc>) nemusí existovat řešení rovnice (13.2.1), ať je její jádro ,,sebelepšíť‘. 13.2.3. Symetrické jádro. Budeme předpokládat, že K(t, t) e L2(Q) a K(t, t) = = K{%, ř). Na základě Hilbertovy-Schmidtovy věty 12.4.4 můžeme pravou stranu rovnice (13.2.1) zapsat ve tvaru (13.2.3)  = ;=i kde ((pi(t))<^=í je maximální ONS jádra a řada v (13.2.3) konverguje v L2-normě. Hledáme-li řešení rovnice (13.2.1) ve tvaru (13.2.4)  j<í) = flci <Pi(t) , 1=1 potom po dosazení vztahů (13.2.3) a (13.2.4) do rovnice (13.2.1) můžeme srovnat koeficienty u <Pi(t), i = 1, 2,.... Obdržíme Ci = <Pi), i =1,2,... (zdůvodněte podrobně!). 100

Výše uvedený postup můžeme skutečně použít při hledání řešení rovnice (13.2.1) za předpokladu, že (<;Pi(t))f=1 tvoří ONB v prostoru L2{a, b). Platí následující věta. 13.2.4. Věta (Piccard). Nechť symetrické jádro K(t, t) g L2(Q) je uzavřené, tj. každá funkce cp(t) g L2(a, b) splňující rovnost J K(t, t) <p(t) dr = 0 je rovna nule skoro všude v (a, fc). Potom pro libovolnou pravou stranu f(t) e eL2(a, b) existuje řešení y(t)eL2(a, b) rovnice (13.2.1) práuě tehdy, když konver¬ guje řada ILÁfl, k= 1 fcde /k = (f,<pk) a ((Pi)T=í, (t*i)T= i jsou maximální ONS vlastních funkcí a maxi¬ mální systém charakteristických čísel jádra K(t, t). Důkaz je možno nalézt např. v [10]. i Poznamenejme, že uzavřené jádro K(t, t) je charakteristické tím, že jeho maxi¬ mální ONS vlastních funkcí ((Pi)f=1 tvoří ONB v prostoru L2{a, b). 13.2.5.  Jestliže jádro K(t,f) není uzavřené, potom řešení rovnice (13.2.1) není určeno jednoznačně. Nechť m1(t), ..., cúk(t) jsou funkce splňující rovnost J‘x(ř,T)a»j(T)dt = 0, j = í,k . k Potom, je-li funkce y0(t) řešením rovnice (13.2.1), také y0 + £ Cj cúj(t) je řešením této rovnice pro libovolné konstanty cl9 c2,..., ck.  J=í 13.2.6.  Metoda neurčitých koeficientů. Předpokládejme, že (g„) je ONB v L2(a, b) a w je pevně daná funkce. Položíme K(t) = J K(t, t) gn(t) w(t) dt. Rozviňme pravou stranu/rovnice (13.2.1) ve Fourierovu řadu vzhledem k (13.2.5)  /(í) = f a„ ň„(í) . n= 1 Po dosazem do rovnice (13.2.1) dostaneme formální vyjádření řešení y{t) ve tvaru (13.2.6)  >-(í) = f] gn{t) w(t) . n = 0 V zájmu rychlosti konvergence řady (13.2.6) je vhodné volit váhovou funkci w(í) co nejblíže hledanému řešení y(ť). Pokud však toho o řešení rovnice (13.2.1) mnoho nevíme, můžeme položit např. w(t) = 1. Ukážeme, jak lze určit koeficienty an. 101

(a, b): Jestliže tvoří funkce (hn(t))™=0 ortogonální systém s váhou g(t) na intervalu j* e(t) hi(t) hj(t) dř = &ij , potom můžeme an určit přímo ze vztahu (13.2.5). Dostaneme = 77 í /(O e(0 K(t) dř, Nnj. kde N„=jbe(t)h2n(t)dt. 13.2.7. V řadě případů je třeba řešit integrální rovnice typu (13.2.1), ve kterých je a = — 00, b = +00. Například integrální rovnice (13.2.7) foo m = í J - a t)2 y(r) dr se vyskytuje v úlohách vedení tepla, kdy známe průběh teploty f{t) a hledáme rozlo¬ žení zdrojů y(ř). Řešení rovnice (13.2.7) budeme hledat ve tvaru (13.2.8)  y(T) = fanHn(z)^ n = 0 kde iř„(t) jsou Hermitovy polynomy. Protože platí (13.2.9) e-(r-o* = J e"1 W řn n = 0  tl\ (13.2.10) í H2n(i)e-'2 di = 2nn\y/n J — 00 (viz [13]), dostáváme po dosazení (13.2.8) do rovnice (13.2.7) (s využitím vztahů (13.2.9), (13.2.10)): /(') = V(«)Žfl,2-<-. n = 0 Nyní rozložíme /(ř) v Maclaurinóvu řadu a porovnáme koeficienty u stejných mocnin t; dostaneme _ /<■>(0) 2"n! Vn ' Řešení y(t) rovnice (13.2.7) má tedy tvar 1 v /(n)(°) a„ =

13.3. Úlohy 13.3.1.  Dokažte podrobně, že integrální rovnice (13.1.1) je ekvivalentní integrální rovnici (13.1.9). [Návod: Využijte předpokladů o /, K(t, t) a větu o derivaci integrálu podle para¬ metru.] 13.3.2.  Za předpokladu K(t, i) 4= 0 převeďte rovnici (13.1.1) na integrální rovnici druhého druhu pomocí integrace per partes a porovnejte výsledek s rovnicí (13.1.6). Návod: Označte = J y(r) dr a integrál na levé straně rovnosti (13.1.1) vy¬ počtěte pomocí metody integrace per partes. Obdržíte rovnici 13.3.3. Řešte integrální rovnici „ J cos (t — t) y(r) dr = sin t. [Návod: Použijte Laplaceovu transformaci, vyjde Y(p) = 1/p, y(t) = 1.] 13.3.4. Řešte integrální rovnici J eř“T y(r) dr = sin t. WO = cos ř — ř sin ř.] 103

IV. Vzájemná souvislost integrálních a diferenciálních rovnic 14. Cauchyova úloha 14.1.  Základní úlohou teorie diferenciálních rovnic je tzv. Cauchyova (po¬ čáteční) úloha (viz [20]). Na jednoduché obyčejné diferenciální rovnici prvního řádu ukážeme vzájemnou souvislost Cauchyovy úlohy a integrální rovnice. 14.2.  Definice. Předpokládejme, že / = /(í, y) je spojitá funkce v oblasti G cz R2, (t0,y0)eG. Řekneme, že spojitě diferencovatelná funkce <p = cp(t) je řešením Cauchyovy úlohy (14.2.1)  y' = f(t, y) , y(í0) = y0 , jestliže existuje takový interval <u, b>, že t0 e <a, fc) a (a)  (f, (p{t)) e G pro t e <a, b>, (b)  <?>'(<) s /(<, <ř>(í)) pro t e <a, b>, (c)  <p(í0) = y0 (obr. 8). 14.3. Ekvivalence Cauchyovy úlohy a integrální rovnice. Řešení Cauchyovy úlohy (14.2.1) splývá s řešením nelineární integrální rovnice (14.3.1) y(t) = Jo + Důkaz. Předpokládejme, že funkce (p = <p(t) je řešením Cauchyovy úlohy (14.2.1). Integrujeme-li rovnost 4>'(0 = f(t, <p(t)) , t e <a, b} 104

od t0 do t, dostáváme vit) ~ (p(t0)=r /( t, ^(t)) dt. Jř0 Protože <p(í0) = y0, splňuje funkce <p(ř) integrální rovnici (14.3.1) pro všechna í e O, í?>. Nechť nyní naopak funkce ý = splňuje integrální rovnici (14.3.1). Potom zřejmě \j/(t0) = y0. Derivujeme-li vztah ^(0 = yo + í /(?, */<*)) dr J to podle proměnné ř, obdržíme ^'(0 = /(ř- •/'(O) pro všechna t e <a, b). Funkce i^(ř) je tedy řešením Cauchyovy úlohy (14.2.1). Tím je důkaz proveden. 14.4. Lokální existence á jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy. Budeme před¬ pokládat, že funkce / = f(t, y) je spojitá v obdélníku o = {(t, y) e R2; |f - ř0| ž \y ~ y0\ ž P} , (viz obr. 9). Nechť navíc funkce/splňuje na O Lipschitzovu podmínku vzhledem k proměnné y, tj. existuje taková konstanta L > 0 (závislá pouze na obdélníku O), že pro libovolná t e <í0 - a, t0 + a>, y1? y2 e <y0 - P, y0 + /?> platí (14.4.1)  |/(í, yx) - f(t, y2)\ ^ L\yt - y2\. Označme M = max |/(ř, y)| a /i = min ia, —1, (t,y)eO  ( MJ (zdůvodněte proč existuje konečná hodnota Ml). Definujme postupné aproximace yt = yf(ř), i = 1, 2,..., na intervalu 105

<ř0 — h, t0 + hy podobně jako v (4.1.3): y0( 0 = y0, (14.4.2) .Ki(0 = y0 + dt, y2(0 = y0 + dt, y„(0 = yo + [  , J to atd. Abychom ukázali, že postupné aproximace (14.4.2) jsou definovány korektním způsobem, přesvědčíme se o tom, že pro t e (t0 — h, t0 + hy platí |y«(0 - y0| ^ P ■ Zřejmě (14.4.3)  ^(í) - y0\ = |í /(T> yo)dr| ^ f |/(t, y0)| dt ^ M\t - ř0| • IJ řo  I J řo Odtud vyplývá, že pro |í — í0| = PjM bude \yi(t) — y0\ ^ p. Graf funkce y1 = = yt(t) bude tedy celý ležet v obdélníku O, pokud t e <ř0 — h, t0 + hy. Stejně dostaneme odhady |y2(t) - yo\ á I í /(t, yi(t)) dt g M\t - t0\ ^ p, IJ řo |y„(0 - y0| á I f /(t, y„-t(r)) dt g m|í - í0| á /?, IJ ř0 pro í e <ř0 - h, t0 + Jt>. Řada (14.4.4)  + Ž WO - y»-i(0] = y<> + bi(ř) - yo] + [yz(0 - yi(0] + ••• «=1 má n-tý částečný součet roven funkci yjť). Najdeme konvergentní majorantu této řady. Nerovnost (14.4.3) můžeme „vylepšit“ tak, že místo veličiny M budeme brát v úvahu konstantu M0 = max | f(t, j>0)| ^ M . |ř-řo|^« Na základě (14.4.1) můžeme psát 1^2(0 - yi(OI = I í [/(T> yi(T)) - /(T> yo)] dr ^ IJ ř0 ú I [ I/(*, yiW) - /(t, y0)| dT ^ l| í ^(t) - y0\ dr IJ řo  IJ to 10 6

ÚLM0 |ÍV'o| IJ ío dr = LM0 11 ~ t0 21 Předpokládejme nyní, že platí (14.4.5) Odtud MO - y.-i(OI ^ e~im0 \t - *0 * nl |yn+i(0 - yn(t)\ = I [ [/(t, y„(t)) - /(t, y.-i(t))] dz IJ to á l\I* |y„(t) - jn_!(T)| dtl ^ LL" M° iJío  I  n- t - /nrdT = EM0 V - toh1 (» + 1)! Podle principu matematické indukce je tedy odhad n-tého členu řady (14.4.4) dán nerovností (14.4.5). Pro 11 — t0\ ^ h jsme dostali konvergentní majorantu 00  hn E L”_1M0 —-. n = 1  nl i Podle Weierstrassova kritéria (viz [7]) konverguje řada (14.4.4) absolutně a stejnoměrně v intervalu <ř0 — h, t0 + A>. Protože n-tým částečným součtem této řady je spojitá funkce yn(t), existuje spojitá funkce (p = <p(ř), k níž konvergují funkce yn(t) stejnoměrně na intervalu <í0 — A, ř0 + A>. Z limitního přechodu pro n -+ oo v rovnosti y»+i(0 = y0 + f /(t, yn(t))dT J fo vyplývá, že cp = cp(t) je řešením integrální rovnice (14.4.6)  q>(t) = y0 + í /(t, <p(r)) dz . J t0 Skutečně, na základě (14.4.1), máme I í /(t, <K*)) dT - f /(z, yn(z)) drl g IJ ÍO  J to  I á I í |/(T’ <p(t)) - /(T> y«(T))l dT| = l| í k(T) - y»(T)| d-c , IJ f0  I IJ ío a tedy lim í /(t, yjfr)) dr = Jío Podle výsledků odst. 14.3 je funkce (p = <p(t) řešením Cauchyovy úlohy (14.2.1) v intervalu <u, fc> = <ř0 — h, t0 + A>. Jednoznačnost tohoto řešení se dokáže stejně jako v odst. 4.3. 14.5. Srovnejte metodu postupných aproximací použitou v odst. 14.4 a 4.3. 107

Na rozdíl od Volterrovy integrální rovnice druhého druhu studované v odst. 4.3 je rovnice (14.3.1) nelineární integrální rovnicí. Skutečnost, že nelineární funkce / = f(t, y) splňuje Lipschitzovu podmínku (14.4.1), nám však poskytuje možnost použit principiálně stejnou metodu pro důkaz existence řešení nelineární rovnice jako v případě lineární rovnice (zamyslete se!). 15. Okrajová úloha 15.1. Formulace problému. Vedle Cauchyovy úlohy hrají v teorii diferenciálních rovnic velice důležitou roli okrajové úlohy (viz [18], [19]). K řešení okrajových úloh vede řada příkladů fyzikální a inženýrské praxe. V tomto článku budeme hledat řešení y = y(t) diferenciální rovnice (15.1.1)  Ly = ~(p(t) /)' + q(t) y = f(t) , které splňuje homogenní okrajové podmínky (15 J 2)  h(y) = a y(a) + P y'(a) = o, h(y) = y y(b) + & y'(b) = o. Budeme předpokládat, že p(t) je funkce kladná, spojitě diferencovatelná a q(t),f(t) jsou spojité funkce v intervalu <u, fc>, reálné konstanty a, /?, y, S splňují předpoklady |a| + \fi\ > 0, |y| + \8\ > 0. Přitom řešení okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2) budeme hledat v prostoru C2(<a, b)). Poznamenejme, že úlohu s nehomogenními okrajovými podmínkami h(y) = Cl , l2(y) = c2 , |ci| + |c2| > o, lze vždy převést na okrajovou úlohu s homogenními okrajovými podmínka¬ mi (viz [18]). 15.2. Greenova funkce okrajové úlohy. Řekneme, že je splněna podmínka (P), jestliže má homogenní úloha Ly = 0, 7,00 = 0, l2(y) = 0 pouze triviální řešení. Předpokládejme dále, že podmínka (P) je splněna. Nechť uf = Wj(í), i = 1, 2, jsou řešení Cauchyovy úlohy £«! = 0 , u^a) = P , u[(a) = — a , resp. Lu2 — 0, u2(b) = 5 , u2(b) = -y , definovaná v intervalu <a, h). Jejich existenci lze celkem snadno ukázat (viz např. [20]). Protože |a| + |/?| > 0, |y| + \ó\ > 0, není ani jedna z funkcí u^t) identicky rovna nule a tyto funkce jsou lineárně nezávislé. Potom je wronskián funkcí uu u2 různý od nuly v intervalu <u, b>, tj. W(t) = «l(0> uÁt) «i(ř)> «2(ó 4= 0, / € <a, b} 108

(viz [20]). Je možné též ukázat, že p(t) W(t) = K pro t e <a, h>, kde K je konstanta (viz [18]). Zavedeme-li funkci G(t, t) předpisem (15.2.1) G(t, t) = < Uj(t) U2(t) K «i(t) «2(Q K pro a ^ t ^ r b , pro můžeme řešení okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2) psát ve tvaru integrální rovnice (15.2.2)  XO = j* G(ť, t)/(t) dr (viz např. [18]). Jádro G(í, t) integrální rovnice (15.2.2) se nazývá Greenova funkce okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2). 15.2.1. Úloha. Dokažte, že také naopak každé řešení integrální rovnice (15.2.2) s jádrem G(ř, f) daným pře4pisem (15.2.1), je dvakrát spojitě diferencovatelnou funkcí, která je řešením okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2). 15.2.2. Nalezněte Greenovu funkci okrajové úlohy (15.2.3)  -/'=/(')> *s(0,l); j(0) = 0, >-(1) = 0. Řešení. Přestože tuto úlohu je možné řešit metodou přímé integrace, budeme pro ilustraci ,,kopírovať‘ výše uvedený obecný postup. Stanovíme nejprve řešení uí9 u2 „pomocných úloh“ u'[ = 0 , ux(0) = 0 , uiť = 0, u2( 1) = 0. Je zřejmé, že první úloze vyhovuje každá funkce tvaru ct a druhé úloze pak každá funkce tvaru d(t — 1), kde c, d jsou libovolné konstanty. Zvolíme-li c = d = — 1, dostaneme Wi(t) = —t, u2(t) = 1 — t. Podle (15.2.1) bude mít Greenova funkce úlohy (15.2.3) tvar G(t ví = JX1 - T) Pro o ^ ^ t ^ i, (  '  1<1 - t) pro 0 ^ t g t š 1 . (15.2.4) 15.2.3. Určete Greenovu funkci úlohy -(1 + t2)y" -2ty’ = /(f), t e (0,1) ; X°) - /(O) = 0 , y(l) = 0- Řešení. Obecný tvar řešení homogenní rovnice (1 + t2) y" + 2ty’ = 0 109

je u(t) = c arctg t 4- d , kde c, d jsou libovolné konstanty (zdůvodněte!). Řešením ,,pomocných úloh“ pro rovnici (15.2.4) dostaneme funkce Ui(í) = -arctg ř — 1 , u2(t) = tt/4 — arctg ř. Podle (15.2.1) bude mít Greenova funkce úlohy (15.2.4) tvar '(arctg t + 1) (tt/4 - arctg t) G(ř, x) = 1 + tt/4 (arctg t + 1) (tt/4 — arctg i) 1 + tt/4 ,  0 ^ t ^ T ^ 1 , ,  o ^ T ^ t ^ 1 . 15.2.4. Poznámka. Čtenáře, který se zajímá hlouběji o problematiku Greeno- vých funkcí, odkazujeme na publikaci [18]. 15.3. Úlohy Nalezněte Greenovu funkci okrajové úlohy a vyjádřete řešení ve tvaru integrální rovnice 15.3.1.  + co2y = /(í), y(0) = y( 1) = 0. r  os,stsl. L  co sinh co w v sin cot sinh co( 1 — ř) _  .  ^  , 1 G(ř, t) =  *  ', 0 ^ t ^ t <; 1 . co sinh co  J 15.3.2.  - (o2y =/(<), X°) = X1) = °- G(t, t) = sin 0)1 s‘n ttf(1 ~ T>, Oí.í.íl; co sin co [ ,, sin (ot sin co( 1 — í) .  ^  _ . 1 G(í, t) =  ^ co sin co  J 15.3.3. -*V - 4x3y' - 2x2y = f(t), y( 1) + /(l) = 0, 2y(3) + 3/(3) = 0. [G(ř, r) = ^ , Orgí^t^l; G(í, r) = 2_ , 110

16. Sturmova-Liouvilleova úloha 16.1. Formulace problému. V tomto článku ukážeme, jaká je souvislost mezi řešením okrajové úlohy typu (15.1.1), (15.1.2) a řešením Fredholomovy integrální rovnice druhého druhu se symetrickým jádrem. Síurmovou-Liouvilleovou úlohou budeme rozumět speciální případ okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2). Přesněji, za stejných předpokladů o funkcích p, q a para¬ metrech a, /?, y, 3 jako v předcházejícím článku nám jde o určení parametru X a funkce y(t) ^ 0 takových, aby platilo (16.1.1)  Ly = -(pyj + qy = Xy , (16.1.2)  hOO = l2(y) = 0 . Parametr X, pro nějž existuje netriviální řešení y(t) úlohy (16.1.1), (16.1.2), se nazývá vlastním číslem Sturmovy-Liouvilleovy úlohy a funkce y(t) pak vlastní funkcí odpovídající vlastnímu číslu X. Podmínku (P) z odst. 15.2 můžeme tedy formulovat také takto: X = 0 není vlastním číslem Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (16.1.1), (16.1.2). Splnpní této podmínky budeme v tomto článku nadále předpokládat. 16.2. Přechod k integrální rovnici. Dokážeme následující tvrzení: Sturmova- Liouvileova úloha (16.1.1), (16.1.2) je ekvivalentní integrální rovnici (16.2.1)  y(t) = X J G(t, t) y(r) dr , kde G(t, t) je Greenova funkce okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2). Přesněji, (i)  je-li X vlastním číslem Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (16.1.1), (16.1.2) a cp(t) je odpovídající vlastní funkcí, potom je X charakteristickým číslem integrální rovnice (16.2.1) a q>(t) je odpovídající vlastní funkcí; (ii)  je-li X charakteristickým číslem integrální rovnice (16.2.1) a cp(ť) je odpovídající vlastní funkcí, potom je X vlastním číslem Sturmovy-Liouvilleovy úlohy a (p(t) je odpovídající vlastní funkcí. Důkaz, (i) Jestliže X a cp(t) =(= 0 řeší okrajovou úlohu -(p<pj + q<P = A<p , li{q>) = 12{<p) = o, potom podle výsledků odst. 15.2 (kde klademe /(í) = X <p(t)) je q>(t) = I* G(t, t) (X <p(r)) dz = X í G(t, z) <p(z) dz , J a  J a kde G(t, t) je Greenova funkce daná vztahem (15.2.1). Tedy X je charakteristické číslo a cp{t) je odpovídající vlastní funkce rovnice (16.2.1). (ii) Nechť naopak pro X a (p(t) ^ 0 platí (16.2.2)  q>(t) = A j* G(í, t) cp(z) dz , lil

kde jádro G(í, t) je dáno vztahem (15.2.1). Podle výsledků odst. 15.2 (úlohy 15.2.1) je funkce (16.2.3)  y(t) = J G(t, t) (2 <p(z)) dr řešením okrajové úlohy Ly = X <p(t) , l^y) = l2(y) = 0 . Protože však y(t) = <p(t) (srov. (16.2.2) a (16.2.3)), je X vlastním číslem a <p(t) odpo¬ vídající vlastní funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (16.1.1), (16.1.2). Tím je důkaz proveden. 16.3. Vlastní čísla a vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy. V tomto odstavci zformulujeme některá tvrzení o vlastních číslech a vlastních funkcích úlohy (16.1.1), (16.1.2). Využijeme přitom výsledků, které jsme dokázali v kap. III. Pozna¬ menejme nejprve, že jádro G(t, t) integrální rovnice (16.2.1) dané vztahem (15.2.1) je symetrické. 16.3.1. Všechna vlastní čísla Sturmovy-Liouvilleovy úlohy jsou reálná. Důkaz plyne z věty 9.2.2 a odst. 16.2. 16.3.2. Vlastní čísla Sturmovy-Liouvilleovy úlohy jsou prostá. Důkaz viz např. [18]. 16.3.3. Vlastních čísel Sturmovy-Liouvilleovy úlohy je nekonecne mnoho a můžeme je očíslovat tak, aby platilo 0 < (A,!  |A2| g ... g |A„| ^ ..., lim \Xt\ = oo . i-* 00 Důkaz. Prověříme, že jádro G(trx) není degenerované. Předpokládejme opak. Potom podle věty 10.1.3 existují (A,)f=1, (<pj(í))f=1 tak, že (16.3.1)  6M-É tíMá. i= i xt Ze vztahu (16.3.1) plyne, že G(t, t) je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce v0 = = <a, by x <0, b}. Z definice G(t, t) pomocí vztahů (15.2.1) však vyplývá G;(í,t)|(=i+ - G't(t, r)|(=t u\(t)u2{t)  1 p(t)W(t) p(t)W(t) pit)’ kde G't(t, T)|ř=T± značí parciální derivaci funkce G(t, z) podle t v bodě t = z zprava, resp. zleva. Funkce G(í, t) má tedy nespojitou derivaci podle t pro t = z, což je spor. Tím jsme dokázali, že jádro G(ř, t) není degenerované a tvrzení 16.3.3 nyní plyne z věty 10.1.1 a odst. 16.2. 112

16.3.4. Vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy, které odpovídají různým vlastním číslům, jsou navzájem kolmé. Důkaz vyplývá z věty 9.2.4 a odst. 16.2. Vlastní funkce cph která odpovídá vlastnímu číslu Xt a pro kterou platí U^l = = 1, je podle tvrzení 16.3.2 určena jednoznačně až na znaménko. Pro každé i = 1,2,... označme symbolem (pt jednu z takových vlastních funkcí, která odpovídá vlastnímu číslu 2*. Potom (př(í))?Li tvoří maximální ONS jádra G(t, t). Následující tvrzení dává odpověď na otázku, za jakých podmínek lze zadanou funkci F(t) na intervalu <a, ů> rozvinout ve Fourierovu řadu podle ONS (<Pi(t))f=1. 16.4. Věta (Stěklov). Nechť dvakrát spojité diferencovatelná funkce F(t) na intervalu <a, h) splňuje okrajové podmínky (15.1.2), tj. (16.4.1) Potom platí ocF(a) + fÍF'{á) = 0, y F(b) + <5 F'(b) = 0 . (16.4.2)  F(t) = £ F, ^(í) , F, = (F, <?,.), i= 1 přičemž řada v (16.4.2) konverguje absolutné a stejnomérné. Důkaz. Protože F(t) je dvakrát spojitě diferencovatelná, je (16.4.3)  f(t)= ~(p(t)F'(t)y + q(t)F(t) spojitá funkce na intervalu <a, ů>. Na funkci F(t) se tedy můžeme dívat jako na řešení okrajové úlohy (16.4.3), (16.4.1). Na základě výsledků odst. 15.2 tedy bude F(t) = j* G(í, t)/(t) dT, kde G(t, t) je Greenova funkce. Z Hilbertovy-Schmidtovy věty nyní plyne, že ^(0 = Ž^(0> Ft ~ (F, v,), i= 1 neboť  tvoří maximální ONS jádra G(ř, t). Přitom uvedená řada konverguje absolutně a stejnoměrně v <a, ů). 16.5. Příklad. V [18] je popsán následující problém vzpěrné pružnosti. Uvažu¬ jeme pružnou, dokonale přímou tyč délky Z, která je zatížena silou F působící v ose tyče. Budeme předpokládat, že konce tyče jsou kloubově uloženy (viz obr. 10). Při postupném zvětšování síly F až do určité meze zůstává tyč stále přímá. Dosáhne-li síla F kritické hodnoty Ft, tyč se nucené vychýlí. V této situaci nás zajímá nejen tvar průhybové čáry v(t), ale také kritická hodnota síly Ft. Problém vede k řešení diferenciální rovnice (16.5.1)  -v”(t) - Xv(t) = 0 113

s okrajovými podmínkami (16.5.2)  t<0) = v(í) = 0, kde X = FjEJ, £, J jsou fyzikální konstanty charakterizující materiál tyče (viz [18]). Výpočtem zjistíme, že úloha (16.5.1), (16.5.2) má nenulové řešení tehdy a jen tehdy, když Přitom pro X = Xk = (knjl)2 má odpovídající nenulové řešení tvar vk(t) = c sin , k = 1,2,..., kde c je libovolná konstanta. Průhybová čára tedy není určena jednoznačně. Zvětšu- jeme-li sílu F, dojde k vychýlení tyče při hodnotě F = Fx = EJXÍ = EJ Pokud tyč podepřeme v místě možného maxima výchylky t;1(ř) (viz obr. 11), potom je k vychýlení tyče potřeba větší kritické síly F = F2 = EJX2 = EJ Vzpěru můžeme dále zpevnit tak, že tyč podepřeme v místech maxima výchylky v2(í) (viz obr. 12). K vychýlení tyče je pak třeba větší síly F = F3 = EJX3 = EJ atd. Zjistili jsme tedy, že 114 {(;)'(ť)'(ť)' )

tvoří systém vlastních čísel Sturmovy-Liouvilleovy úlohy a je ortonormální systém jim odpovídajících vlastních funkcí. Jestliže F(t) je dvakrát spojité diferencovatelná funkce na intervalu <0, /> taková, že F(0) = F(Z) = 0, potom ji podle věty 16.4 můžeme zapsat ve tvaru stejnoměrně a absolutně kon¬ vergentní Fourierovy řady f(,)“<l.(I/(,)sinTd')sinT' 16.6. Úlohy s parametrem. V aplikacích se často vyskytují okrajové úlohy (16.6.1)  ~(p(t)  + q{t) y(t) = A j/(í) + f(t) , (16.6.2)  lí(y) = l2(y) = 0, kde X je parametr. Na základě výsledků odst. 15.2 můžeme řešení takové úlohy zapsat ve tvaru (16.6.3)  y(t) = í G(t, t) [A >>(t) + /(?)] dx = A í G(t, z) y(r) dx + g(t) , J a  J a kde G(ř, t) je Greenova funkce úlohy (15.1.1), (15.1.2) a (16.6.4)  g(t) = J G(t, t)/(t) dr. Nechť X není vlastním číslem Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (16.1.1), (16.1.2). Potom má rovnice (16.6.3) (a tedy také úloha (16.6.1), (16.6.2)) právě jedno řešení. Podle 115

věty 11.1.1 toto řešení můžeme zapsat ve tvaru (16.6.5)  y(t) = g(t) + X f —^— <p;(í) . i= 1 Aj — A Přitom z.Hilbertovy-Schmidtovy věty a ze vztahu (16.6.4) plyne (16.6.6)  g(t) = £ j <Pi(t) (tedy  a obě řady v (16.6.5), (16.6.6) konvergují absolutně a stejnoměrně. Po dosazení z (16.6.6) do (16.6.5) dostaneme řešení (16.6.7)  X0 = Ž 7^TÍ>i(0- Protože podle předpokladu (P) A = 0 není vlastním číslem Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (16.1.1), (16.1.2), můžeme řešení okrajové úlohy (15.1.1), (15.1.2) vyjádřit ve tvaru absolutně a stejnoměrně konvergentní řady *<)-1 £ «-<(<). ; = i Ai kde fi = (/> <Pi), ř = U 2,... . Nechť nyní A = 2, kde 2 je vlastní číslo Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (16.1.1), (16.1.2) a 0(t) je odpovídající vlastní funkce. Podle věty 11.2.1 je rovnice (16.6.3) řešitelná právě tehdy, když (16.6.8)  (g,0) = 0. Vztah (16.6.8) však můžeme vzhledem k (16.6.4) psát ve tvaru 0 = J (| G(t, t)/(t) dr) <p(t) dř = = | (J G(t, t) 0(í) dř)/(r) dt = j J 0(t)/(t) dr = 1 (/, 0) . Protože 2 =# 0 (podle podmínky (P)), je (/,0) = 0 nutnou a postačující pod¬ mínkou řešitelnosti okrajové úlohy (16.6.1), (16.6.2). Podle věty 11.2.1 můžeme řešení této úlohy vyjádřit ve tvaru (16.6.9)  y(t) = f'  (pit) + c 4>{t), i — 1 Ai — A 00 kde c je libovolná konstanta a symbol znamená, že součet neobsahuje vlastní funkci $.  1=1 16.6.1. Poznámka. Tvar řešení (16.6.7), resp. (16.6.9) je možné obdržet také užitím tzv. Fourierovy metody (viz např. [18]). 116

(16.6.10) 16.6.2. Hledejme řešení okrajové úlohy n — í -Z! - 2y = , t e (0, n) ,  y(0) = y(n) = 0 . Řešení. Vlastní čísla a vlastní funkce homogenní okrajové úlohy (16.6.11)  -y" = Xy , y(0) = X71) = 0 jsou K — Dále fk — k2 , <pk(t) = sin kt, k = 1, 2, 3,... . - (r. ^ - ^(1) £ ^ si„ d, - y(=) 1. Podle vzorce (16.6.7) je řešení úlohy (16.6.10) dáno ve tvaru absolutně a stejnoměrně konvergentní řady 16.6.3. Hledejme řešení okrajové úlohy (16.6.12)  -4y = f(t), ř e (0, tc) , y(0) = y(n) = 0 . Řešení. V tomto případě parametr A = 4 splývá s druhým vlastním číslem Á2 = 4 úlohy (16.6.11). Nutnou a postačující podmínkou řešitelnosti okrajové úlohy (16.6.12) je tedy splnění rovnosti í; f(t) sin 2t dt = 0 . Za této podmínky pak můžeme na základě vzorce (16.6.9) zapsat řešení úlohy (16.6.12) ve tvaru f  f  f y(t) =  —  sin t + c sin 2t +  — sin  3í +  —  sin 4í + ..., w  -3  5  12 kde fk — a c je libovolná konstanta. = | /(/) si sin kt dt, k = 1, 3, 4,... 16.7. Úlohy Na základě vztahů (16.6.7), resp. (16.6.9) určete řešení následujících okrajových úloh: 16.7.1. — ý* = sin t, te(0, 2k); /(0) = 0, y'(2n) = 0. LKO = — t + sin t + c, kde c je libovolná konstanta.] 117

16.7.2.  — yn — sin 31, te(O, rc); y(0) = y(rc) = 0. 1X0 = ?sin *•] 16.7.3.  -y" =  , t e (O, ti); j>(0) = X*) = 0. [M-Žir] 16.7.4.  — y" = —2 sin t — sin 31, t e (0,7c); ^(0) = y(n) = O. [y(í) = “2 sin t — | sin 3ř.] 16.7.5.  — yn — cú2y = /(í), t e (O, Z); y(0) = y(l) = O, co je zadaná konstanta. Í-KO = E ,2 2kl ,2 2 sin kt’ " + “T ’ /* = 7 [ /(T) sin kt dT-l L k= 1 fc 7T — ZZG)Z  Z  Z Jo  J 17. Potenciály 17.1.  Objemový potenciál. Předpokládejme, že v omezené oblasti Q c= R3 je rozložen elektrostatický náboj a toto rozložení je popsáno tzv. hustotou náboje reprezentovanou spojitou funkcí / = /(P), PeQ. Funkce (17.1.1)  «(m)=-i-rd*i, 4íte Jí, rMP se nazývá objemový (Newtonův) potenciál; zde rMP je vzdálenost bodů M a P, tj. pro M = (mt, m2, m3), P = (p1( p2, p3) je - Pif + (m2 - p2f + (m3 - p3)2], a e je tzv. permitivita prostředí. Máme-li určit takovou hustotu náboje, aby objemový potenciál nabýval předem zadané hodnoty, můžeme se na vztah (17.1.1) dívat jako na integrální rovnici s pravou stranou u(Aí) a neznámou funkcí /(P). Je možné ukázat, že funkce u(M) splňuje vně Q (uzávěr Q v R3) Laplaceovu rovnici (17.1.2)  Au = 0. 17.2.  Potenciál jednoduché vrstvy. Nechť je náboj rozložen na ploše P c R3 a jeho rozložení je popsáno funkcí ft = /i(P), P e P. Funkce (17.2.1)  v(M) = — f dvP 4™Jr rMP se nazývá potenciál jednoduché vrstvy,/x(P) nazýváme plošnou hustotou náboje. 118

Dá se ukázat, že funkce v(M) splňuje mimo plochu P Laplaceovu rovnici Av = 0. Předpokládejme, že P c:R3 je uzavřená a hladká plocha omezující oblast Q e R3. Uvažujme Neumannovu okrajovou úlohu (17.2.2)  Au = 0 v Q, (17.2.3)  r- = 0(p) na r’ dnp kde g(P) je zadaná funkce na ploše r a dujdnP značí derivaci funkce u podle vnější normály plochy r v bodě P. Hledáme-li řešení této úlohy ve tvaru potenciálu jedno¬ duché vrstvy (17.2.1) s neznámou plošnou hustotou náboje /i(P), potom funkci/i(P)je možné určit jako řešení Fredholmovy integrální rovnice druhého druhu (17.2.4) m - f f  dv. -  , j p  t pr  2n kde cos (nP, P — R) je kosinus úhlu, který svírá vektor np vnější normály v bodě P s vektorem P — R (viz např. [3], [23], [24]). Přitom vztah J g(P) dvP = 0 je nutnou a postačující podmínkou řešitelnosti úlohy (17.2.2), (17.2.3). 17.3. Potenciál dvojvrstvy. Představuje-li funkce f2 = /2(P), definovaná na ploše r c= r3, tzv. hustotu dipólových momentů, potom funkci (17.3.1) dvF nazýváme potenciálem dvojvrstvy. Podobně jako v předcházejících případech také funkce w(M) je mimo plochu P řešením Laplaceovy rovnice Aw = 0. Předpokládejme, že P c R3 je uzavřená hladká plocha omezující oblast Q c: Řá, a uvažujme Dirichletovu úlohu (17.3.2)  Au = 0 v Í2 , (17.3.3)  w = § na P . Hledáme-li řešení této úlohy ve tvaru potenciálu dvojvrstvy (17.3.1) s neznámou hustotou dipólových momentů /2(P), dostaneme pro neznámou funkci /2(P) Fredholmovu integrální rovnici druhého druhu (17.3.4)  m - 1 f  *>m dv, , 2tu J r rPR 2n která má řešení pro každou pravou stranu £(P) (nR je nyní vektor vnější normály v bodě P). Podrobnosti může čtenář nalézt např. v [3], [22], [24]. 119

17.4. Poznámky 17.4.1.  Platnost všech uvedených tvrzení lze rozšířit i na prostor Rn pro libo¬ volné n ^ 2. Místo funkce ljrMP však musíme ve vztazích (17.1.1), (17.2.1), (17.3.1) uvažovat funkci rlfPn, je-li n > 3, resp. funkci ln (r^p), pro n = 2. Tato skutečnost mimo jiné znamená, že se také příslušným způsobem změní jádra integrálních rovnic (17.2.4) a (17.3.4) (viz např. [19]). 17.4.2.  Okrajová úloha (17.2.2), (17.2.3) se nazývá vnitřní Neumannův problém a úloha (17.3.2), (17.3.3) vnitřní Dirichletův problém. Pomocí potenciálů je možné podobným způsobem řešititzv. vnější Neumannův (Dirichletův) problém, ve kterém požadujeme splnění Laplaceovy rovnice vně oblasti Q (tj. v R3 \ Q) a vnější normálu nahrazujeme normálou vnitřní. 17.4.3.  Praktické řešení integrálních rovnic (17.2.4) a (17.3.4) bývá obtížné a používá se k němu zpravidla některé z numerických metod. 120

V. Některé přibližné metody V této kapitole si klademe za cíl seznámit čtenáře s některými nejčastěji použí¬ vanými přibližnými metodami řešení integrálních rovnic. Poznamenejme, že již v předcházejících kapitolách jsme se setkali s metodou postupných aproximací (čl. 4 a 14) a s metodou degenerovaných jader (čl. 5), které mají kromě svého teoretického významu také charakter přibližných metod, protože na jejich základě můžeme sestrojit algoritmus výpočtu přibližného řešení Volterrovy či Fredhol- movy integrální rovnice (viz odst. 4.1. 4.3 a 7.6). Z tohoto důvodu se těmito metoda¬ mi dále zabývat nebudeme. Co do hloubky výkladu má tato kapitola pouze informativní charakter. Soustředíme se vždy pouze na vysvětlení principu metody, popis algoritmu výpočtu přibližného řešení a ilustraci metody na příkladu. Nezabýváme se záměrně o <1 hadem chyby, neboť jde o problematiku poměrně složitou, která přerůstá rámec knížky. V těchto případech odkazujeme čtenáře na specializovanou literaturu. Volíme takové ilustrativní příklady, u kterých je možné porovnat přibližné řešení s řešením přesným. V některých příkladech dokonce vypočtené přibližné řešení splývá s řeše¬ ním přesným. V praxi tomu tak samozřejmě není, neboť tato skutečnost je způsobena speciální volbou pravé strany a jádra integrální rovnice. 18. Metoda kvadraturních formulí 18.1. Metoda kvadraturních formulí je přibližnou metodou, jejíž princip spočívá v tom, že integrální rovnici převedeme na soustavu algebraických rovnic pomocí vhodné kvadraturní formule (viz např. [24]). Úlohu neznámých v této soustavě hrají hodnoty hledaného řešení integrální rovnice ve zvolených bodech integračního oboru. Určitý integrál můžeme v obecném případě přibližné nahradit konečným součtem (18.1.1)  f^0dí = É^ «<»,), Ja fl kde í( jsou pevně zvolené body (uzly) v intervalu <a, b}, Ai jsou číselné koe- n ficienty. Obvykle bývá Ai ^ 0, i = 1, 2,..., n, £ A{ = b — a. Často se používá i= 1 121

tzv. ekvidistantního dělení intervalu <a, b>, kdy t, = a + (i - i) h , i = 1, 2,n , V tab. 1 jsou uvedeny hodnoty koeficientů Ah i = 1,2pro některé nejčastěji používané kvadratumí formule, jejich geometrický význam je znᬠzorněn na obr. 13 (obdélníková formule), obr. 14 (lichoběžníková formule) a obr. 15 (Simpsonova formule). 18.2. Fredholmovy integrální rovnice druhého druhu. Zvolíme-li pevně uzly th i = 1,2,..., n, v intervalu <a, b>, potom nalezení hodnot řešení y(t) integrální rovnice (18.2.1) XO - /* f X XT)dT = /(O 122

Tabulka 1 Název kv. formule Koeficienty /Ij a uzly Obdélníková formule b — a A'=n- 1 = b — a ti = a+h(i— 1), í= 1,2, A =  -. «— 1 Lichoběžníková formule h A\ — A„ — A2 — A3 — ... — An_t — h ; b — a tt =a-\-h(i—\)i i= 1,2, h =  . n — 1 Simpsonova formule pro n = 2m + 1 m = 1,2, 3, ... h 4 h A\ — A2m+ i — - , ^2 — ^4 — • * • ~ ^2m — ~ » 2h A3 — A5 — ... — A2m—1 — —; ti — 4 + W 1) , z — 1, 2, .., /r = n — 1 Gaussova formule pro n = 6, a = — 1, b= 1 At = A6 = 0,171 324 492 379 170 345 04 , A2 = As = 0,360 761 573 048 138 607 57 , A3 = A4 = 0,467 913 934 572 691 047 39 ; tt = -t6 = 0,932 469 514 203 152 027 81 , í2 = -í5 = 0,661 209 386 466 264 513 66 , t3 = ~t4 = 0,238 619 186 083 196 908 63. Gaussova formule pro n = 7; a = — 1, 1 Ax = A7 = 0,129 484 966 2, A2 = A6 = 0,279 705 391 5, ^3 = ^5 = °-381 830 050 5, = 0,417 959 183 7; -řj = t7 = 0,949 107 912 3, f2 = f6 = 0,741 531 185 6, -t3 = t5 = 0,405 845 151 4, t4 =0. ČebyŠevova formule pro n = 6; a = — 1, b= 1 2 1 — A2 — ... — A6 — n 5 -tl =t6 = 0,866 246 818 1, -í2 = /5 = 0,422 518 653 8, -t3 = r4 = 0,266 635 401 5. v uzlech tt spočívá v řešení soustavy rovnic (18.2.2) y(ti) - n j* K(th r) y(r) dr = /(í.) , i = 1, 2,..., n . Po záměně integrálů v soustavě (18.2.2) obecnou kvadraturní formulí (18.1.1) dospě- jeme ke vztahům (18.2.3) Xř.) - f*t AjK{th tj) y(tj) = /((,) . 7 = 1 123

Pro určení přibližných hodnot yt řešení y(t) v bodech th i = 1, 2,n, dostaneme soustavu lineárních rovnic (18.2.4) kde jsme označili yt - V Z AjKijyj =fi> i = 1, 2,..., n , j= i K.j^K^tj), /,=/(*,). Přibližné řešení integrální rovnice (18.2.1) na celém intervalu <a, b} pak můžeme z vypočtených hodnot yř, ř = 1,2,..n, určit interpolací. Tak například, použijeme-li metodu lineární interpolace, bude přibližným řešením integrální rovnice (18.2.1) po částech lineární funkce v intervalu <a, 6), jejíž hodnoty se v uzlových bodech řt- rovnají yt (cbr. 16). Přibližné řešení můžeme také zapsat ve tvaru (18-2.5)  y(t)=f(t) + nY.AjK{utj)yj. j= 1 Přitom ze vztahů (18.2.4) a (18.2.5) vyplývá, že ý(u) = yi, i = 1,2,n. 18.2.1. Řešme integrální rovnici (18.2.6)  y(t) = fí + i J ír y(r) dr . Řešení. Zvolíme uzlové body = 0, t2 = j, t3 = 1 a určíme hodnoty K^; ij = 1, 2, 3;/(; i = 1, 2, 3. Platí fi  =/(0) =  0, /2=/(i)  = ^,  /3  =/(l) = f ; = k(o, o)  = o,  k12  =  k(o, i)  =  o,  k13  = k(o,  i)  =  o, í:21  =k(í,o)  = o,  k22  =  *;(*,*)  =  i,  í:23  = íc(íi)  =  í, *31  = K( 1, 0)  = 0 ,  *32  =  *(l, i)  =  i ,  K33  = *(i,  i)  =  i • Použijeme Simpsonovu kvadraturní formuli Jo<K0 dř = ^[>(0) + 4 (p(i) + <p(l)] 124

(viz tab. l). Pro výpočet přibližných hodnot yh i = 1,2,3, řešení y{t) rovnice (18.2.6)  v bodech tt = 0, t2 = \ a t3 = 1 dostáváme soustavu rovnic J>i = 0, 12J72 “ 24173 = 12 ’ _2_ , 11 5 12^2 + 12-173 — 6 * Tato soustava má řešení = o, y2 = i, y$== i • Vyjádření přibližného řešení ý(í) (viz vztah (18.2.5)) má tvar y(t) =  + i . i(0 + 4 . ^+ 1 . lí) = t, ře<0, 1). Toto řešení se shoduje s přesným řešením integrální rovnice (18.2.6) (ověřte!). 18.2.2. Homogenní rovnice. V případě f{t) = 0 je vztah (18.2.1) homogenní Fredholmovou integrální rovnicí druhého druhu. Použijeme-li v tomto případě metodu kvadraturních formulí, dospějeme k homogenní soustavě lineárních rovnic  * (18.2.7)  yt-nt AjKijyj = 0 , i = 1, 2, ..., n . j= i Označme ^(/z, A, K) determinant soustavy (18.2.7). Soustava rovnic (18.2.7) má netriviální řešení právě tehdy, když (18.2.8)  = 0. Vztah (18.2.8) je algebraickou rovnicí stupně n vzhledem k /z. Označme fií9 Au •••» M/i její kořeny. Potom /zř je přibližná hodnota charakteristického čísla fa (i = 1, 2,..., n) jádra K(t, t). Dosadíme-li některou z hodnot \xk (k = 1,2,..., n) do soustavy rovnic (18.2.7), dostaneme netriviální řešení y^, které odpovídá přibližné hodnotě vlastní funkce cpk(t) jádra K(t, t) v bodě th i = 1, 2,.... n. Přibližná vyjádření vlastních funkcí v intervalu <zz, pak můžeme psát ve tvaru 0k(t) = fik £ AiKik 0) jf ’ > k = í,...,n. j= i 18.3.  Poznámky. Přesnost přibližného výpočtu řešení integrální rovnice (18.2.1) závisí na zvolené kvadraturní formuli, hladkosti jádra K(t, t) a hladkosti pravé strany f(t). Při výběru kvadraturní formule je třeba mít na zřeteli tů skuteč¬ nost, že čím přesnější formuli chceme použít, tím větší jsou požadavky na hladkost jádra, pravé strany a řešení rovnice (viz např. PÍ. M, [16])- 18.4.  Způsob zadání pravé strany a algoritmus výpočtu. Při výběru vhodné kvadraturní formule hraje důležitou úlohu způsob, jakým je zadaná pravá strana rovnice (18.2.1). 125

18.4.1. Zadání tabulkou. Je-li funkce f(t) dána tabulkou v některých bo¬ dech ti9 i = 1,2,n, intervalu <a, h> (např. jako výsledek experimentálního měření), potom tato skutečnost určuje výběr vhodné kvadraturní formule s uzly v bodech th i = 1,2,..., n. Je-li fi = 1, potom užitím lichoběžníkové formule s proměnným krokem ht = x{ — Xí-í dospějeme k soustavě lineárních rovnic (která odpovídá v obecném případě soustavě (18.2.4)) (18.4.1)  yt-^ Knyt - *£(*, + hJ+1) Kijyj - ^ Kinyn = /,, 2  j — 2  2 n i = 1,2,..., n, kde ^ = a, t2 = a + h2, t3 = t2 + h3,..., ř„ = řn_! + h„, Y,hi = i —2 = b — a. Je-li ht = h, i = 2, 3,..., n, potom bude mít soustava (18.2.4) tvar (18.4.2)  y, - h £ AjKt}y} =ft, i = 1,2,..., n , j=i kde n-^í + l,  pr0 ■'-1 a y_": h  [1 pro j = 2,..., n - 1 . Je-li ht = h, i = 2,  a n je liché číslo, můžeme použít Simpsonovu kvadraturní formuli. V tomto případě bude mít soustava (18.2.4) tvar (18.4.3) kde yi--Y.AjKijyj=fi, ; = i,2,...,n, 3 j= i pro ý=l, j = n ; pro j = 2, 4, 6,..., n - 1 ; pro j = 3, 5, 7, ..., n — 2 . 18.4.2. Analytické zadání pravé strany. V tomto případě máme při použití metody kvadraturních formulí větší možnosti, neboť při volbě uzlů t{ nejsme ničím omezeni. Tak například, použijeme-li Gaussovu kvadraturní formuli, postupujeme při výpočtu přibližného řešení rovnice (18.2.1) následujícím způsobem. Interval <a, by rozdělíme na libovolný počet m podintervalů 6ř>, i = 1 ,...,m, kde a! = a, bm = b, ai+l = bh i = 1,..., m — 1. Integrál od a do b se tak rozpadne na součet m integrálů Íb  l*bi  rbm <p(t) dt =  (p{t) dí + ... +  <p(f) dí. A  J 4l  J flm Na každém podintervalů se pak použije Gaussova kvadraturní formule pro n uzlů (nejčastěji pro n = 6). Jako výsledek dostáváme soustavu nm lineárních rovnic pro přibližné hodnoty řešení ve zvolených uzlech. Koeficienty a souřadnice uzlů tt jsou velmi často uváděny v tabulkách vzhledem k základnímu intervalu < —1, 1). Chceme-li Gaussovu formuli použít 126

na podintervalu (ai9 bř>, je třeba provést příslušnou transformaci nezávisle proměnné: Za Tk, Ak potom dosadíme např. z tab. 1. Ze vztahů (18.4.4), (18.4.5) tedy vyplývá Označíme-li na každém i-tém podintervalu yik ~ yř(Tk), K. ijk T* + b, + at bi - a i xi + b fík = fi(*k)l * = 1,  = 1,n, potom přibližné hodnoty řešení yik rovnice (18.2.1) s n = 1 v jednotlivých ilzlech vypočítáme ze soustavy rovnic yik - f, bi - a‘ Ž AiKikjyij = fík, i= 1  2 j= 1 i = 1,..., m; j, k = 1, ..., n. 18.5. Fredholmovy integrální rovnice prvního druhu. Metodu kvadraturních formulí můžeme použít také v případě přibližného vyjádření řešení y(t) integrální rovnice (18.5.1)  J*j:(ť,T)j<T)dT=/(í). Pro výpočet přibližných hodnot yt v uzlech th i = l,...,n, potom dostáváme soustavu rovnic (18.5.2)  tAjKijyj=fÍ9 i = 1  #i - j=t Již v odst. 13.2 jsme poukázali na některé těžkosti spojené s řešením Fredhol- mových integrálních rovnic prvního druhu. 18.5.1. Nekorektní úlohy. Pišme rovnici (18.5.1) v operátorovém tvaru (18.5.3)  Ky=f, kde K je integrální operátor daný jádrem K(t, t) (viz (9.1.1)), jehož definiční obor označíme D(K) a obor hodnot V(K). Potom úloha nalezení řešení rovnice (18.5.3)  se nazývá korektní, jestliže jsou splněny následující podmínky: 1.  Řešení rovnice (18.5.3) je určeno jednoznačně; 2.  změníme-li ,,málo“ pravou stranu rovnice (18.5.3), změní se ,,málo“ její řešení. 127

Není-li splněna některá z těchto podmínek, úloha nalezení řešení rovnice (18.5.3) se nazývá nekorektní. Úloha nalezení řešení Fredholmovy integrální rovnice prvního druhu je neko¬ rektní úlohou především proto, že není splněna druhá podmínka. Z toho důvodu musíme být velmi opatrní zejména při použití přibližných metod. Jestliže velmi málo změníme pravou stranu rovnice (18.5.1), může se její řešení změnit natolik, že již nemá s původním řešením vůbec nic společného. Příčinu tohoto jevu je možné vysvětlit v souvislosti s užitím metody kvadra- turních formulí následujícím způsobem. Pro libovolné jádro K(t, t) g L2(Q) se dá ukázat, že jeho vlastní čísla konvergují k nule v komplexní rovině (v případě spojitého a symetrického jádra viz čl. 9, obecně viz např. [14]). Pomocí vhodné kvadraturní formule převedeme rovnici (18.5.1) na soustavu lineárních rovnic (18.5.2). Vlastní čísla matice této soustavy, která aproximují vlastní čísla jádra K(t, t), mohou být všechna různá od nuly. V tom případě má soustava právě jedno řešení, přičemž malým změnám pravých stran v (18.5.2) odpovídají malé změny řešení. S rostoucím n (když zjemňujeme dělení intervalu {a, b>) však dochází k tomu, že vlastní číslo matice soustavy (18.5.2) s nejmenší absolutní hodnotou konverguje k nule. Důsledkem pak může být divergence (pro n oo) přibližných řešení, vypočtených ze soustavy (18.5.2). 18.5.2. Přes všechny potíže, které s tím souvisí, je rozpracována řada metod řešení Fredholmových rovnic prvního druhu, neboť jejich význam v aplikacích je značný. K nejčastěji používaným patří metody regularizace (např. metoda Ticho- novova, metoda Lavrentěvova, apod.). Čtenáře, který se hlouběji zajímá 0  tuto problematiku, odkazujeme na publikace [14], [16], [25]. 18.6. Volterrovy integrální rovnice druhého druhu. Uvažujme integrální rovnici (18.6.1)  XO - | T) XT)dT = /(O • Zvolíme uzly th i = 1, 2,..., n, a budeme hledat přibližnou hodnotu yt řešení y(t) rovnice (18.6.1) v uzlových bodech tt. Z rovnice (18.6.1) vyplývají vztahy (18.6.2)  X*i) “ J* K{U, x) Xt)dx = /(ř0 > * = 1,- K přibližnému vyjádření integrálu ve vztazích (18.6.2) použijeme kvadraturní formuli (18.1.1), kde postupně b = th i = 2, ..., n. Dostáváme (18.6.3)  yiu) - t AjK(tu ts) y(tj) ± /(*,) , ;=i 1  = 2,  , n. Při označení zavedeném v odst. 18.2 obdržíme ze vztahů (18.6.3) soustavu rovnic (18.6.4)  yt=ft, yt-i AjKijyj = ft, i = 2,..n . j=i 128

Protože matice soustavy (18.6.4) je trojúhelníková, můžeme hledané přibližné hodnoty vyjádřit z rekurentních vztahů yi=fi, y2 = {fi + ^1^21^1) (1 ~ ^2-^22) 15 (18.6.5)   = (/„ + "Z AjKnjyj) (1 - AnKnn)-1 , j = 1 za předpokladu (18.6.6)  (1 - Afin)* 0, i = 2,...,n. Splnění předpokladu (18.6.6) můžeme vždy dosáhnout vhodnou volbou uzlových bodů, případně volbou dostatečně malých koeficientů Ah i = 1,..., n. V porovnání s Fredholmovými integrálními rovnicemi je použití metody kvadraturních formulí v případě rovnice (18.6.1) spojeno s některými problémy. Protože počet uzlových bodů v intervalu <a, rovnoměrně vzrůstá pro i = = 1,2,...,n, nemůžeme použít Simpsonovu formuli. Protože je vázána na sudý počet uzlů, můžeme ji použit pouze v kombinaci s jinou formulí, např. obdélníko¬ vou nebo lichoběžníkovou. Také použití Gaussovy, Čebysevovy a jiných kvadratur- ních formulí je spojeno s jistými obtížemi. Proto se nejčastěji používá lichoběžní¬ ková formule. Označme ti = a , t2 = ti + h2 , t2 = t2 + /ř3, ...,  — b . Potom rekurentní vztahy (18.6.5) mají tvar yi =fi> y2 = A + jJW, 1 (18.6.7) fi +  + i Z(hj + hJ+1)Kljyt 2  2 j=2 yt = 1 - ~tku 2 i = 3,4,..., n; hj = Xy — Xy-j. Rekurentní vztahy (18.6.7) můžeme použít za před¬ pokladu K + , i — 2,..., n , *(fi, který odpovídá vztahu (18.6.6). Je-li speciálně hx = h, i = 2,..., n, potom můžeme systém formulí (18.6.7) 129

psát ve tvaru = a , z-1 (18.6.8)  fi + hT,iAJKijyj kde i = 2, 3,((b — a)lh) + 1, ti = a + (i — 1) h, Aj = 0,5 pro j = 1,  = 1 pro j > 1. Uvědomte si, že při výpočtu hodnoty yt používáme kvadraturní formuli (18.1.1)  na intervalu <a, í£>. Proto je v příslušném vztahu vždy Ax = hj2. 18.7, Příklad. Je dána integrální rovnice (18.7.1)  XO = J  XT) dT + e"‘, (e<0,^>. Užitím lichoběžníkové kvadraturní formule vypočítáme přibližné hodnoty řešení rovnice (18.7.1) v bodech = 0 , t2 = 0,02 , t3 = 0,04 , í4 = 0,06 , ts = 0,08 , t6 = 0, 1 . Řešení. Označíme-li tyto přibližné hodnoty yh i = 1, ..., 6, budeme je počítat na základě vztahů (18.6.8), kde h = 0,02 a i = 1, ...,6. V tab. 2 jsou vyčísleny hodnoty Kíj = e (,< ,j), pro Tabulka 2 i ^ j a i <D II v uzlových bodech ti- 'i <j > tv = 0,00 t2 = 0,02 t3 = 0,04 r4 = 0,06 t5 = 0,08 *6 = 0,1 <i II 0,00 1,000 0 1,000 0 0,02 0,980 199 1,000 0 0,980 199 0,04 0,960 789 0,980 199 1,000 0 0,960 789 0,06 0,941 765 0,960 789 0,980 199 1,000 0 0,941 765 0,08 0,923 116 0,941 765 0,960 789 0,980 199 1,000 0 0,923 116 1,00 0,904 837 0,923 116 0,941 765 0,960 789 0,980 199 1,000 0 0,904 837 Dosazením těchto hodnot do vztahů (18.6.8) postupně dostáváme Ti =/i = 1,000 00; y2 =  J  (7, +  = I. 1-í^  2  ' 000 001 ; 130

^3 =  ~h  (/3  + \ K31yt  +  hK32y2)  = 0,999 405 ; 1 ~ — ^33 2 y* =  J  [/♦  +  + *43J>3)J = 1,000 002 ; 1 — —k44 2 ys =  £  [Vs  + J K51yt  +  h(K52y2  + K53y3 + X54y4)J = 0,999 991 ; 1 ” “ ^55 2 )>6 =  “  |^/ó  + —Kóiyi  +  ^(^62^2  + -^63^3 + ^64^4 + ^65^5^  = = 0,999 991 .  * Přesným řešením integrální rovnice (18.7.1) je funkce y(ť) = 1 (přesvědčte se o tom). V tab. 3 je uvedeno srovnání přesného řešení a vypočteného přibližného řešení v uzlových bodech th i = 1,..., 6. Tabulka 3 ‘i 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 yOi) 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 001 0,999 405 1,000 002 0,999 991 0,999 991 yih) - yt 0,000 000 0,000 001 0,000 595 0,000 002 0,000 009 0,000 009 18.8. Volterrovy integrální rovnice prvního druhu. Metodu kvadraturních for¬ mulí můžeme použít také při řešení rovnice (18.8.1) í*t K(t, x) y{x) áx = f(t). Použijeme-li stejného postupu jako v odst. 18.6, dostaneme místo soustavy (18.6.4) soustavu rovnic (18.8.2)  ÍAjKijyj=fi, i =2,...,n. j = i Odlišnost od přibližného řešení Volterrovy rovnice druhého druhu nyní spočívá v tom, že nemáme k dispozici výchozí vztah yx = fx. V odst. 13.1 jsme ukázali, že rovnost f(a) = f1 = 0 je nutnou podmínkou řešitelnosti rovnice (18.8.1). Protože pro t = a je integrál na levé straně (18.8.1) roven nule, musíme nalézt jiný způsob, jak určit hodnotu yv Má-li jádro K(t, t) parciální derivaci 8K(t, t)/3í, potom 131

derivováním rovnice (18.8.1) podle proměnné t dostáváme í: (18.8.3) odkud pro t = a vypočítáme y(a) = yi = U  K[a,a) Klt za předpokladu Kxí =1= 0. Nyní opět využijeme toho, že matice soustavy (18.8.2) je trojúhelníková. Výpočet hledaných hodnot yh i = 2,..., n, pak provedeme na základě rekurentních vztahů 1  (f2 - AlK21y1), (18.8.4) za předpokladu y 2 = yz = ^2^22 1 ^3^33 {fz ~~ ^1^31^1 A2KZ2yi) 5 yn = —-(fn-lAjKnJyJ)) AnKnn j= 1 Afin 4= 0 , i = 2,..., n . Pro přibližné řešení rovnice (18.8.1) je vhodná lichoběžníková kvadraturní formule. Označíme-li h( = tt — ř£_l9 i = 2,..., n, kde tx — a, t2 = a + hu ...,tn = = b, budou mít rekurentní vztahy (18.8.4) tvar ^22 {J1!  ^ J X«L*i 2A,  2; = 2  ht J i = 3, 4, 5, ..., n. Je-li ht = /i, i = 2,..., n, můžeme psát systém vztahů pro výpočet hodnot yh i = 1,..., n ve tvaru v -£!fl _ ' i = 2, 3,..., n. Derivaci f'(a) pak můžeme přibližně vyčíslit např. pomocí kvadra¬ tické interpolace f(a) = rr [-3/(a) + 4/(a + /t) - /(a + 2/i)] . 2 h 132

18.9. Nelineární rovnice. Uvažujme nelineární integrální rovnici (18.9.1)  y(t) - j* K(t, x, >>(t)) dx = f(t), kde K(t, r, 5) a /(ř) jsou spojité funkce. Nahradíme-li integrál na levé straně (18.9.1) kvadraturní formulí (18.1.1), dostaneme vztah (18.9.2)  y(t) - £ AjK(t, xp y(tjj) = f(t) . j= 1 V  uzlových bodech ti9 i = 1,2,..., n tedy platí y(U) = E AjK(t„ tj, y(tj)) + /(ti) , j= 1 i = 1,2,..., n. Pro určení přibližných hodnot yt řešení y(t) v bodech íř dostaneme soustavu rovnic (18.9.3)  yi^ÍAjK(ti9tj9yj)+fi9 j= 1 i = 1, 2,..., n. Poznamenejme, že soustava rovnic (18.9.3) je nelineární. K jejímu řešení se obvykle používá opět některé přibližné metody (viz např. [17]). Z vypočtených hodnot yi9 i = 1, 2,..., n, můžeme interpolací získat přibližné vyjádření řešení rovnice (18.9.1) na celém intervalu <u, by. Můžeme také využít vztahu (18.9.2). Zaměníme-li v součtu přesné hodnoty y(rř) za vypočítané hodnoty yi9 dostaneme výraz pro přibližné řešení Kt) = 'fcAJK(t’tj>yj) +/(')• j= 1 Také v případě nelineární Volterrovy rovnice (18.9.4)  XO “ J K({» Kt)) dT = /(O můžeme použít metodu kvadraturních formulí. Vzhledem k proměnné horní mezi v integrálu na levé straně rovnice (18.9.4) však bude mít soustava rovnic (18.9.3) speciální tvar (18.9.5)  yi =fi, yi = É AjK(lh tj, yj) + /.•, i = 2,..n . j=1 V  praxi se často vyskytují jádra tvaru K(t, x, s) = K(t, r) F(s) , kde K(t, t) a F(s) jsou spojité funkce. V tomto případě dostáváme pro výpočet přibližných hodnot yh i = 1, 2,..., n, posloupnost rekurentních vztahů yi =/i y2 — A2K22 F(yz) — fi + ^1^21 F(yi), (18.9.6)   - A„Km F(y„) =/„ + E A fa F(yj) . j= i 133

18.10. Příklad. Pomocí lichoběžníkové formule řešme nelineární integrální rovnici (18.10.1) y(t) - J* e (í l) y2(t) dt = e ‘, t e <0,  . Řešení. Zvolíme h = 0,02 a uzlově body řt = 0; t2 = 0,02 ; ř3 = 0,04 ; í4 = 0,06 ; ř5 = 0,08 ; t6 = 0,1. Potom (18.10.2) yi=fi, i- 1 y, - 0,01 Kiiy] =fi + 'Z 0,02 Kijyj , j=1 i = 2, 3, ...,6. K nalezení přibližné hodnoty yř je tedy nutné řešit kvadratickou rovnici (18.10.2), pro každé i = 2,..., 6. Vyhovuje kořen i-i J7! = 1 - V[1 - 4 0,01(/ř + Z0,02XlV^)]  j±i  0,02 Kn i = 2, ..., 6. K výpočtu použijeme hodnot z tab. 3. V tab. 4 jsou uvedeny hodnoty yi9 i = 1,..., 6, a jejich rozdíl od přesného řešení y(t) = 1. Tabulka 4 t 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 y(‘i) 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 1,000 000 yt 1,000 000 1,010 005 1,015 890 1,010 650 1,010 865 1,011 090 yt ~ y(‘i) 0,000 000 0,010 005 0,015 840 0,010 650 0,010 865 0,011 090 18.11. Úlohy 18.11.1.  Ověřte platnost vztahů (18.4.1) a (18.4.2). [Návod: Do vztahu (18.2.4) dosaďte koeficienty At odpovídající lichoběžníkové kvadraturní formuli s proměnným krokem ht a s konstantním krokem /z.] 18.11.2.  Ověřte platnost vztahu (18.4.3). [Návod: Do vztahu (18.2.4) dosaďte koeficienty odpovídající Simpsonově kvadra- turní formuli z tab. 1.] 18.11.3.  Metodou kvadraturních formulí řešte integrální rovnici y(t) + J *(eřT - 1) y(r) dr = eř - t. 134

[Užitím Simpsonovy formule [/(O d* = i(/(0) + 4/(i) + /(l)) J 0 dostáváme y(0) = 1,000 0; y(^) = 0,999 9; y(l) = 0,999 6.] 18.11.4.  Metodou kvadraturních formulí řešte integrální rovnici y(í) + J e"'-' >>(t) dx = -—. [Návod: Zvolte uzly = 0; t2 = 0,2; t3 = 0,4; ř4 = 0,6; t5 = 0,8; t6 = 1 a použijte lichoběžníkovou formuli. Vychází y1 = 1,000 0; y2 = 0,820 6; y3 = 0,673 1; y4 = = 0,551 8; y5 = 0,452 2; y6 = 0,370 5.] 18.11.5.  Metodou kvadraturních formulí řešte integrální rovnici y(t) - j* (t - r)/(x) dx = í2 . [Návod: Zvolte tí = 0, t2 = t3 = 1 a použijte lichoběžníkovou formuli. Vychází 19. Metoda momentů, metoda nejmenších čtverců a metoda kolokace 19.1.  Metody, kterými se budeme zabývat v tomto článku, mají poněkud jiný charakter, než měla metoda kvadraturních formulí. Zatímco v čl. 18 jsme vycházeli z aproximace rovnice,v následujících metodách budeme vycházet zaproximace řešení. Zvolíme pevně lineárně nezávislé funkce na intervalu  (tzv. bázové funkce) a hledané přibližné řešení vyjádříme jako lineární kombinaci těchto funkcí. Koeficienty této lineární kombinace potom vypočítáme ze soustavy rovnic, kterou sestavíme z integrální rovnice na základě zvolené metody. 19.2.  Metoda momentů. Předpokládejme, že {\J/i(t),  • • •> ie systém lineárně nezávislých funkcí na intervalu <0, fc>. Přibližné řešení Yn(t) rovnice (19.2.1)  y(t) - n j* K(t, x) X*) dx = f(t) budeme hledat ve tvaru (19.2.2)  YJ[t)=f(t) + tc,Ut)> i= 1 kde ch i = 1, ..., n, jsou zatím neznámé koeficienty. 135

Označme Lu = u(t) — ii J* K(t, t) m(t) dt — /(ř) . Dosadíme-li za u(t) funkce Yn(t), dostáváme Ly„ = ic |V .(0 - /xj K(t, t) «Ař(r) dx - P ř K(t, x)/(x) dx s $(ř; c1( c2)..c„) . Určíme-li cí} určíme i přibližné řešení Yn. K určení čísel ct můžeme volit různé postu¬ py. Jeden z nich spočívá v požadavku, aby funkce <P(t; clf c2,cn) bylo kolmá ke všem funkcím \//1 (ř), i^2(í), • • •> ^n(0: (19.2.3) J <ř(ř; cu c2,..., c„) ýi(t)dt = 0 , i = Po dosazení za cP(ř; cl9..., c„) se můžeme dívat na vztahy (19.2.3) jako na soustavu lineárních rovnic (19.2.4) n £ cXaO' “ rfij) = Mi, i = 1, •.n , j = i kde Cj, 7 = 1 jsou neznámé a a‘j = J •Aí(ř) </o(0 dí, Pij = | |J K(ř, t) i/o(ř) 1/0(1) dxj dř, Ti = J |J* t) «Ai(ř)/(t) dxj dř. Řešením soustavy rovnic (19.2.4) získáme koeficienty ci9 a tedy i přibližné řešení Yn(t)- 19.2.1. Jako ilustraci uvedeného postupu řešme integrální rovnici (19.2.5) y(t) = 1 + J (tr + t2) y(r) dr . Řešení. Za bázové funkce zvolíme první tři Legendrovy polynomy na intervalu < —1, 1> •/o(0 = i > ^(0 = t, ^3(0 =3t „ 1 • Přibližné řešení budeme hledat ve tvaru (19.2.6)  Y3(t) = 1 + ct + C2t + c3 -1 136

Po dosazení z (19.2.6) do rovnice (19.2.5) dostáváme 312 — 1 f1 ,  2\ A  3t2 — A ct + c2t + c3 —-— = I  (tr + r) í 1 + cx + c2t + c3 —-—J dr . 3ř2 - 1 neboli (19.2.7) 2t c1 + c2t + c3  1 = 212 + 2t1c1 + — c2 . Nyní vynásobíme rovnost (19.2.7) postupně 1, í, (3í2 — l)/2 a obdržené vztahy integrujeme podle t od — 1 od 1: 2cx = í + fc1 , &2 = 9^2 > 2  8_ . _8_ 5C3 “ 15C1 + 15 • Odtud vyplývá Cl = 2 , c2 = 0 , c3 = 4 . i Po dosazení do vztahu (19.2.6) dostáváme Y3(t) = 6í2 + 1 . Toto přibližné řešení splývá s přesným řešením rovnice (19.2.5) (ověřte!). 19.2.2. Poznámka. Metoda momentů je vlastně obdobou Galerkinovy metody, které se používá k přibližnému řešení diferenciálních rovnic (viz např. [2], [19]). Předpokládejme, že ^(í),..., \J/n(t) je prvních n funkcí, které náleží úplnému ortonormálnímu systému (^,•(*))£ i- Funkce y(t) je přesným řešením integrál¬ ní rovnice (19.2.1) právě tehdy, když je funkce Ly(t) kolmá ke všem funkcím z mno- žiny (*Ai(ř))r=i: (19.2.8) i = 1,2,.... V metodě momentů se však v (19.2.8) omezujeme pouze na konečný počet rovností pro i = 1, 2,..., n. Podstata metody tedy spočívá v tom, že rovnici (19.2.1) uvažu¬ jeme pouze v konečněrozměrném podprostoru, který je lineárním obalem funkcí (*Ai(ř))"= i- V tomto podprostoru vychází pak i přibližné řešení Yn(t). 19.2.3. Homogenní rovnice. Soustava rovnic (19.2.4) má právě jedno řešení tehdy a jen tehdy, když je různý od nuly determinant této soustavy: = det (au - nfiij) . Hledáme-li netriviální řešení homogenní rovnice (19.2.9)  y(t) - H f K{t, t) y(x) dt = 0 , 137

potom stejným způsobem jako v případě rovnice nehomogenní dospějeme k soustavě rovnic (19.2.10)  i c/«y - pPij) = 0 , i = 1, 2,..., n . j= 1 Ta má netriviální řešení právě tehdy, když (19.2.11)  9(p) = 0. Kořeny rovnice (19.2.11) pak můžeme pokládat za přibližná vyjádření charakteris¬ tických čísel fil9 ii2, /v Po dosazení nk do soustavy (19.2.10) vypočítáme její netriviální řešení r(k) r(k)  Jk) C1 » c2 > • • •> cn a na jeho základě funkci 1=1 která je přibližným vyjádřením vlastní funkce (pk{t) jádra K(ř, r). 19.2.4. Uvažujme integrální rovnici (19.2.12) y(t) - P J K(t, r) y(t) dr = 0 , kde í(l - t) t(l -1) pro 0 ^ ř ^ t ^ 1 , pro 0 ^ t ^ t ^ 1 . Hledejme přibližné vyjádření prvních dvou charakteristických čísel jádra K(t, t) a jím odpovídajících vlastních funkcí. Řešení. Přibližné netriviání řešení rovnice (19.2.12) budeme hledat ve tvaru y3(0 = c, + c2í(l - i) + c3t( 1 - i) (1 - 2i) . Zvolili jsme tedy *i(0 = i. ^2(0 = <1 - *), ^3(0 =  - 0 (i - 2í). V souladu s obecným postupem požadujeme splnění vztahů (19.2.13)  J1 ^,.(()iy3(() dí = 0 , i = 1, 2, 3. Platí LY3(í) = c3 + c2í(l - ř) + c3í(l - í) (1 - 2t) - -  - o + ^ [4i2(i - í2) + í4(i - o +  - O4] + + £2. [5ř2(l - í)4 - 5f4(l - tf + ř(l - tf + ř(l - t)5 - í5(l - »)] 138

Po dosazení do (19.2.13) dostáváme (19.2.14) J‘ «« d, - 7 (« - ů) + U‘ - S) ■ 01 £wo«k«>*-^(i-í)-o. Soustava (19.2.14) odpovídá v obecném případě soustavě rovnic (19.2.10). Vztahu (19.2.11) pak odpovídá rovnice (li2 - 180/z + 1 680) (ii - 40) = 0, jejímiž kořeny jsou 0!= 9,875 1, ^2 = 40, ii3 = 170,124 9. Po dosazení n = iix do soustavy (19.2.14) dostaneme ai = —0,011 76 c2 , c3 = 0 . Jestliže c2 zvolíme tak, aby příslušná aproximace vlastní funkce y^t) splňovala vztah vyjde c2 = 5,817 0, a tedy y3(1)(ř) = -0,068 4 + 5,817 0 t( 1 - i) . Dosadíme-li fi = \i2 do soustavy (19.2.14), obdržíme cí = c2 = 0, c3 je libovolné reálné číslo. Pokud má také aproximace druhé vlastní funkce y2(t) splňovat podmínku dostaneme c3 = 14,49, a tedy Y^2)(ř) = 14,49 ř(l — ř)(i — 21) . Pro srovnání uveďme, že přesné hodnoty prvních dvou charakteristických čísel rovnice (19.2.12) jsou fi1 = n2 = 9,869 6 , \i2 = 4n2 = 39,478 4 a jim odpovídají vlastní funkce <Pi(0 = V(2) sin nt, <p2(í) = y/(2) sin 2nt. 19.2.5. Poznámka. Metoda momentů odpovídá řešení rovnice s degenero¬ vaným jádrem K(n)(t, t), které aproximuje jádro K(t, r) a je sestrojeno následujícím způsobem. Předpokládejme, že (\j/i(t))f=l je úplný ONS na intervalu <a, h>. Rozvi¬ neme jádro K(ř, r) jakožto funkci proměnné t (při pevném r) ve Fourierovu řadu 139

vzhledem k ONS (ýt(ť))f=1. Označme KM(t, t) její n-tý částečný součet. Potom (19.2.15)  = i= 1 kde U;(t) = J K(t, x) ^,.(í) dí, i = l,2,... jsou Fourierovy koeficienty. Přibližné řešení rovnice s degenerovaným jádrem (19.2.16)  y(t) - n J K(n\t, x) y(x) dx = f(í) , které hledáme pomocí metody momentů, splývá s jejím přesným řešením (zdůvod¬ něte!). Přitom soustava rovnic (19.2.17) i = l,2,...,n, ;=i kterou obdržíme z podmínek (19.2.3) pro K(t, r) = Kfn\t, t), se neliší od soustavy (19.2.4). Skutečně, ocy = o$>, y( = y^">, lJ P(u = | [J K"(ř>T) tfXO fXT)dT] dř = = j* u1M*^ ^ dT] dí = = £ í «*(T) ^Áx)dT í 'MO <Ai(ř) = Í «í(t) ^(t) dx k“1Jfl  Ja  Ja a Pij = j* JJ* K(í, *) ^i(0 ^/*) dxj dí = = J JV/*) I K(í, x) t^j(í) díj dx = | iAj(x) «,(x) dx . Odtud vyplývá, že řešení rovnice (19.2.16) s degenerovaným jádrem X(n)(ř, t) splývá s přibližným řešením rovnice (19.2.1) nalezeným pomocí metody momentů. 19.3. Metoda nejmenších čtverců. Přibližné řešení rovnice (19.2.1) budeme hledat ve tvaru J = 1 kde (ýi(ťj)ni=1 je pevně zvolený systém lineárně nezávislých funkcí na intervalu <a, b}. Neznámé koeficienty lineární kombinace ch i = 1,2, ...,n, určíme tak, aby integrál (19.3.1) J = j v\r, cx, ^2) • > • > í«) dí 140

nabýval své nej menší hodnoty, kde V(t; cu...,cn) =LY„(t) = = Z ci '1'Áf) - »í K{t>T) Z ci ^í(t) dt - /(O • f=i  ja  <=i Vzhledem k tvaru funkce W(t; cí9..., cn) se dá ukázat, že podmínka minima integrálu J je ekvivalentní soustavě rovnic (19.3.2)  — = 0, i = 1, 2,..., n . dCi Dosadíme-li do (19.3.2) explicitní vyjádření funkce !P(í; ct,..., c„), dostaneme (19.3.3)  Z a0(/i) Cj = bt, i = 1, 2,..., n , j = i = J ~ A‘ J ^ dTJ ~ ** J ^ T) ^<(T) dTJ dř ’ bi = J f(t) |V i(0 - /i J ^(ř, t) ^;(t) drj dí. 19.3.1. Řešme rovnici (19.3.4)  y(t) = t + J tx y(r) áx pomocí metody nejmenších čtverců. Řešení. Zvolíme *Ai(0 = 1 , ^2(0 = t a přibližné řešení budeme hledat ve tvaru ^(0 = ci + C2t • Vypočtěme příslušné koeficienty aij9 v soustavě (19.3.3): _ 8 _  _ 2 _ 2 all — 3 > a12 — a2í — ~ 9 > ^22 ~ 27 ’ bt = -! , *2 = § (ověřte!). Soustava rovnic (19.3.3) má tedy tvar 8  2  2 3C1  9C2 —  3 » 2  i 2  2 9C1  + 27C2  ““  9  • Jejím řešením získáme ci = 0, c2 = 3 a přibližné  řešení y2(í) = 3t. Tato funkce splývá s přesným řešením rovnice (19.3.4). Stejného postupu můžeme použít také při řešení Fredholmových integrálních rovnic prvního druhu. 141

19.3.2. Řešme integrální rovnici (19.3.5)  j* K(t, t) u(t) dt = t - 21 3 + í4, kde «ft*>4$l-opro os,s,sl t) pro (srov. s odst. 2.1). Řešení. Budeme nejprve hledat tzv. první přiblížení řešení rovnice (19.3.5) ve tvaru Y2(t) = Ci + c2t. Soustava rovnic (19.3.3) má v tomto případě tvar 14cx 4- lc2 = 34, 63cx 4- 32c2 = 153 . Jejím řešením je dvojice cí = 2,428 6 a c2 = 0, tj. Y2(t) = 2,428 6 . Hledejme nyní druhé přiblížení řešení rovnice (19.3.5): YŠÍO = C1 + C2Í + C3Í2 . Potom dostáváme soustavu rovnic (ověřte!) 84c! 4“ 42c2 4“ 25c3 =  204 , 252cx 4- 128c2 4- llc3 =  612 , 450c! 4- 231c2 4- 140c3 = 1 092 , jejímž řešením je trojice c1 — 0, c2 = 12, c3 = —12. Druhým přiblížením je funkce y3(í) = i2t(i - t), která splývá s přesným řešením rovnice (19.3.5). 19.3.3. Homogenní rovnice. Metodu nej menších čtverců můžeme užít také k přibližnému výpočtu charakteristických čísel jádra a jim příslušných vlast¬ ních funkcí. Je-li rovnice (19.2.1) homogenní, je bt = 0, i = 1,2, ...,n, kde bi jsou definovány na začátku odst. 19.3. Přibližné vyjádření prvních n charakteristic¬ kých čísel (včetně násobnosti) tedy dostaneme řešením algebraické rovnice (19.3.6)  ®(«y00) = 0 • kde Sf (al7(ju)) značí determinant soustavy (19.3.3). Přibližné vyjádření odpovídajících vlastních funkcí jádra vypočteme tak, že nejprve vyřešíme homogenní soustavu £ atj(Hk) CT = 0 > i = 1, 2,..., n , }= 1 142

kde fik je kořen rovnice (19.3.6) a potom položíme 1Í‘)(0 = Z^) U<)- i — 1 19.4. Metoda kolokace. Přibližné řešení rovnice (19.2.1) budeme hledat ve tvaru (19.4.1)  Yn(t) = t Cj ^(t), 7= i podobně jako v předcházejícícím odstavci. Zvolíme systém uzlů (í,)?=1 v intervalu <a, by tak, aby a = t1<t2<...< í„-1 <tn = b. Koeficienty (cf)"=1 lineární kombinace z (19.4.1) určíme z podmínek ZY^íj) = 0 , ý = 1, 2,..., n , tj. (19.4.2)  Ící  ~ »J K(*j> *) *Aí(t) dtj = /(<_,), j = 1,..., n. Označíme-li «řf(í, /t) = ^i(ř) - n j* K(t, t) ^í(t) dt, můžeme (19.4.2) psát v ekvivalentním tvaru (19.4.3)  X CiŤfaj, ji) = f(tj), j = 1,..., n . i = 1 Je-li determinant soustavy (19.4.3) různý od nuly A*)) + 0 ’ můžeme jednoznačně určit koeficienty (ct)"=1, a tedy i přibližné řešení Yn(t) rovnice (19.2.1). Z rovnice (19.4.4)  = 0 pak můžeme vypočítat přibližné hodnoty fík charakteristických čísel jádra K(t, t). Zvolme jeden kořen rovnice (19.4.4), např. \i — p,k. Platí f(tj) = 0, j = 1,..., n. Je-li i = 1,..., n, nenulovým řešením homogenní soustavy n Z ci<ří(0> Ak) = 0 > 7 = 1,..., n, f = 1 bude funkce nk\i) = ic?'m i= i přibližným vyjádřením vlastní funkce jádra K(t, t). 143

19.4.1. Řešme rovnici (19.4.5)  y(t) = 1 + fí -b J (ít2 - t) y(t) dr kolokační metodou. Řešení. Zvolíme systém funkcí *Ai(0 = 1 > ^2(0 = *, ^3(0 = 3r - 1 a uzlové body Potom ři — — 1 , t2 — 0, í3 — 1 . 3^2  j ^(0 = ci + "b c3  : xy3(í) = Cl(i + fí) + c2t + c3 (3í - •1 + |í) - 1 - fí. Podmínky (19.4.2) pak mají tvar soustavy rovnic ic3 + c2 + fc3 = i, Cl = 1. hi + c2 + fc3 = l. Protože řešením této soustavy je trojice čísel = 1, c2 = c3 = 0, dostaneme n(0 = 1 • Tato funkce splývá s přesným řešením rovnice (19.4.5). 19.5. Úlohy 19.5.1.  Na příkladu 19.2.1 ověřte správnost úvah provedených v pozn. 19.2.5. 19.5.2.  Metodou momentů určete přibližně první tři charakteristická čísla K(t T\ _ í±(2 - t) t. (’ )_U(2-0^ *ŽT. [/*i = 4,16; n2 = 24,14; fi3 = 63,61.] 19.5.3.  Metodou nejmenších čtverců řešte integrální rovnici xo = L (l + íx) <p(t) dr + í2 + t + 1. LKO = t2 + 3í - f.] jádra 144

19.5.4. Kolokační metodou řešte integrální rovnici b® = # - i ] (t - 1) y{z) dz + ř. 20. Přibližný výpočet charakteristických čísel a vlastních funkcí symetrického jádra 20.1. Ritzova metoda. V tomto článku budeme předpokládat, že jádro integrální rovnice (20.1.1)  y(t) = \i J X(í, t) y(z) dz je symetrické, tj. platí K(t, t) = K(z, i). V odst. 9.2 jsme ukázali, že homogenní rovnice (20.1.1) má pouze Reálná charakteristická čísla. V tomto odstavci vysvětlíme princip tzv. Ritzovy metody, pomocí níž je možné tato charakteristická čísla přibližně určit. Předpokládejme, že (il/k(t))k=í je systém lineárně nezávislých funkcí, který je úplný v prostoru L2(a, b). Vlastní funkce jádra K(t, t) hledáme ve tvaru (20.1.2)  </>„(*) = 0. k= 1 přičemž požadujeme splnění podmínky (20.1.3)  IWOII2 = [J6 cp2n(t) díj1/2 = 1 (tj. hledáme takové vlastní funkce, jejichž norma v L2(a, b) je rovna jedné). Funkce (20.1.4)  F(al, a2,..., O = J K(t, r) (pjr^j dt) (p„(t) dř je funkcí n nezávisle proměnných au a2i..., an. Pro dostatečně velké n se na tuto funkci můžeme dívat jako na aproximaci výrazu (20.1.5)  (Ky, y) = j* K(í, r) y(t) dt) y(t) dt. V odst. 12.5 jsme ukázali, že za podmínky ||y||2 = 1 jsou kritické hodnoty výrazu (Ky, y) rovny vlastním číslům jádra K(t, z). Přitom ty funkce y(t) e L2(a, b), ve kterých se těchto kritických hodnot nabývá, jsou příslušné vlastní funkce. Je proto přirozené vyšetřovat vázané extrémy funkce F(au ..., an) jako funkce n proměnných au a2,..., an. V tom spočívá podstata Ritzovy metody. Použijeme-li metodu Lagrangeových multiplikátorů, potom z podmínky 145

dFjdcii = 0,i = 1, 2,..., n, při vazbě \\(pn\\2 = 1, dostaneme soustavu rovnic (20.1.6)  £ l(K\l/p ýk) - <r(\l/j, i//k)] ak = 0 , j = 1,..., n , k= 1 kde a je Lagrangeův multiplikátor. Homogenní soustava (20.1.6) má netriviální řešení právě tehdy, když je její determinant roven nule: (20.1.7) t/^) - a(\j/u ij/j), .. .,{K\pu ipn) - <r(ýu \j/„) <Al) -  ^l), ■■■, (*»l>n, ýn) ~ <#„, 'J'*) = 0. Vztah (20.1.7) je algebraickou rovnicí n-tého stupně v proměnné o. Vzhledem k sy¬ metrii matice soustavy (20.1.6) (předpokládáme symetrii jádra K(t, r)) má rovnice (20.1.7) pouze reálné kořeny ak, k= 1 , ...,n, (včetně jejich násobnosti), které aproximují vlastní čísla  2, — n rovnice (20.1.1). Po dosazení ak do sousta¬ vy (20.1.6) nalezneme její nenulové řešení, např. (a(ik), fl(2k),...,a^). Požadujeme-li navíc, aby koeficienty aik\..., a(nk) splňovaly podmínku (20.1.3), dostaneme na zákla¬ dě vztahu (20.1.2) vyjádření odpovídající vlastní funkce. 20.2. Příklad. Určete přibližnou hodnotu nejmenšího charakteristického čísla jádra (20.2.1)  K(t, t) = t2x2 , které je definované na základním čtverci Q = <0,1> X <0, i>. Řešení. Za (il/k(t))kzsi zvolíme systém Legendrových polynomů na in¬ tervalu <0, 1), přičemž budeme uvažovat n = 2, tj. <Ai(0 = 1 , il/2(t) = 2t - 1 , t e <0, 1> . Vypočítáme (ýi> ti) = j dí = 1 , (^„ \p2) = {Ýz, Ýi) = f (21 - 1) dt 0 JO ('J'2> ti) = j 1 (2f — l)2d/ = i, 0 (^1, <^l) = f1 píVdídT = 1 , JOJO (Kif,u ý2) = í í íV(2í - 1) dí dr = = (K\p2, ipj , JO JO ^2) = í f t2T2(2ř — 1) (2t — 1) dř dr = 3^ . Jojo 146

Soustava rovnic (20.1.6) má v tomto případě tvar — (j)  + 7*8#2 = 0 J TŠa 1 + (j6 “ \G) a2 = ® a rovnice (20.1.7) je kvadratickou rovnicí (20.2.2)  i*2-*(£ + £) = 0- Řešením rovnice (20.2.2) jsou čísla <rí = 0 a <t2 = která aproximují vlastní čísla jádra (20.2.1). Přibližná hodnota nejmenšího charakteristického čísla jádra (20.2.1) je tedy rovna Mi = 1 A7! —  • 20.3. Kellogova metoda. Budeme předpokládat, že symetrické jádro K(t, t) je pozitivně definitní, tj. že pro libovolnou nenulovou funkci <p(t) e L2(a, b) platí nerovnost (20.3.1) í:í ^(ř, t) cp(t) cp(t) dř dr > 0 . Pozitivně definitní symetrické jádro má pouze kladná charakteristická čísla (zdůvodněte!). Zvolíme libovolnou funkci co(t) e L2(a, b) a sestrojíme posloupnost funkcí co,(t) = í K(t, t) čo(t) dt, >2(í) = j* K(t, t) ťu1(x) dr , '.(0 =| ^(í,x)íon_1(T)dT Nechť 0 < iix ^ \i2 ^ ... jsou charakteristická čísla jádra K(t, t) a <^1(ř)9 <p2(0> ••• jsou jim odpovídající navzájem kolmé vlastní funkce. Předpokládejme, že funkce m(í) je kolmá k funkcím q>i(t),..., cp*-^), ale není kolmá k funkci <pk(t). Potom platí lim n~*co || 2 Přitom posloupnost funkcí = M*- konverguje k některé lineární kombinaci vlastních funkcí odpovídajících charak¬ 147

teristickému číslu \ik. Je-li speciálně (co, <Pi) = J co(t) <Pi(t) dt 4= 0 , potom kromě vztahu (20.3.2) platí také (20.3.3) lim n-*ao CU- L = Vl lim - n-oo l/\\(Ú, = Vl 'n 2 Předností Kellogovy metody je ta skutečnost, že je poměrně jednoduchá. Pokud však nemáme dostatek informací o vlastních funkcích jádra K(t, t), potom nevíme, které z charakteristických čísel se nám podařilo přibližně určit. Pokud není jádro K(t, t) pozitivně definitní, tj. není splněna podmínka (20.3.1), jsou limity (20.3.2) a (20.3.3) rovny nejmenší z absolutních hodnot charakteristických čísel. 20.4. Příklad. Vypočtěte přibližně nejmenší charakteristické číslo jádra K(t, t) = ťc, 0 ^ í, t ^ 1. Řešení. Položíme co(í) = 1, te <0, 1>. Sestrojíme posloupnost ©i (0 = f ltdt =. t 2’ C02(í) = I"t“- _ ř 1 “ _ ^ f Jo 2 2 3 Cú3(í) = Jo 2 • 3 _ ř 1 ~ 2 32 "-(O = t 1 2 3"_1 ‘ Platí m V 3 Nejmenší charakteristické číslo 2.3"-2V3  , ii, = lim  = 3 . n-*ao  1 2.3"_1 V3 148

20.5. Metoda stop. Číslo A m t, t) ďr, kde Km(t, t) je m-té iterované jádro, nazýváme m-tou stopou jádra K(t, t). Z předpokladu dtdx < oo a z Cauchyovy-Buňakovského nerovnosti plyne, že stopy Am nabývají konečných hodnot. Platnost rovnosti (20.5.1) 0° 1 = y - /C vyplývá z definice ^4m a z rozkladu m-tého iterovaného jádra (viz (10.3.11)). Na plat¬ nosti (20.5.1) jsou založeny následující formule, které pro dostatečně velké m apro¬ ximují nejmensí (v absolutní hodnotě) charakteristické číslo jádra K(t, t): (20.5.2) i *i*ir*-. V ^2^ + 2 (“'5.3) v A2m Číslo s ve vztahu (20.5.3) značí násobnost charakteristického čísla pt. Jsou-li pt a —pí zároveň charakteristickými čísly jádra K(t, t), potom s značí součet násob¬ ností charakteristických čísel px a — px. Pomocí vztahu (20.5.2) aproximujeme hodnotu \px\ shora, pomocí vztahu (20.5.3) aproximujeme \pt\ zdola. Podobné vztahy je možno získat i pro aproximaci dalších charakteristických čísel. Tak například jsou-li pl9 p2 jednoduchá charakteristická čísla a současně — Px, — p2 nejsou charakteristická čísla jádra K(t, t) (taková situace nastává napří¬ klad v případě, kdy K{t, t) splňuje vztah (20.3.1)), potom (20.5.4) (20.5.5) kde &2 m ^2m + 2 &2m ~ ^2m A, 4 m Vztah (20.5.4) aproximuje \p2\ shora, vztah (20.5.5) zdola. Za podobných předpokladů atd. M = 1 2ml 8 |^1 ^1 j ^2m ~ 2B4m 149

Poznamenejme, že při výpočtu stop A2m (se sudým indexem) je možno využít symetrie jádra (20.5.6) A2m = CK2m{t, í) dt = f (bK2m(t, x) dí dx = 2 f f K2m(t, x) dr dí. J a  J a J a  J a J a Použití formule (20.5.6) k výpočtu Alm je výhodnější, neboť potřebujeme pouze poloviční počet iterací jádra K(t, t). 20.6. Příklad. Vypočtěte první dvě charakteristická čísla symetrického jádra (20.6.1) v }  yj{tx) ln t, t ^ t na intervalu (a, č>) = (0, 1). Řešení. Vypočteme druhé iterované jádro K2(t, t) = ^ [(í2 + r2)In í + 1 - í2] , t ž x . Dosazením do (20.5.6) pro m = 1,2, dostaneme 11 . _ 1  .11 o A2 — — , A4 —  , b2 — 32  12 288  12 288 Použijeme vzorců ^ = i7 1 . 1 /2 ^2 = — —• \f^4  ^1 V &2 Odtud ^ = 5,781 3, //2 = 24,116 2. Přesné hodnoty charakteristických čísel jx1 a ju2 jsou ve skutečnosti o něco větší. Poznamenejme, že charakteristická čísla jádra (20.6.1) splývají s druhými mocninami kořenů Besselovy funkce J0(t). Dostali jsme tedy přibližné vyjádření prvních dvou kořenů funkce JQ(t) ai =  = 2,404 4 , a2 = V/^2 = 5,207 3 . Přesnější hodnoty těchto kořenů, které lze získat jinými metodami, jsou rovny <*! = 2,404 8 , a2 = 5,520 1 (viz např. [l]). 20.7. Úlohy 20.7.1. Ritzovou metodou nalezněte přibližně první dvě charakteristická čísla jádra (2°.7.i)  *>-{;; (/, x)e <0,1> x <0, 1>. [Návod: Zvolte \J/X(í) = 1, *j/2(t) = 21 — 1; vychází = 2,485 9, ji2 = 32,226.] 150

20.7.2.  Užijte Kellogovu metodu k přibližnému vyjádření nejmenšího .charak¬ teristického čísla jádra (20.7.1). [Návod: Zvolíme-li postupně n = 2 a n = 3, vychází px = 2,475 a. = 2,477.] 20.7.3.  Pomocí metody stop určete přibližně nej menší charakteristické číslo jádra (20.7.1). [Návod: Ve vztahu (20.5.2) položte m = 1 a dostanete aproximaci shora pí = = 2,532; pro m = 2, s = 1, ve vztahu (20.5.3) dostanete dolní odhad: /^ = 2,460.] 20.7.4.  Pomocí metody stop vypočtěte přibližně první charakteristické číslo jádra K(t, t) = tz , (t, z) e <0,1> X <0, 1> . [Návod: Vypočteme /t2 = A4 = po dosazení do (20.5.2) vychází fil = 3.] 21. Metoda hraničních prvků  =  1  21.1.  Metoda hraničních prvků je založena na přibližném řešení integrální rovnice, která obvykle souvisí s některou okrajovou úlohou pro parciální diferenciální rovnici. Při numerickém řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice se často používá metoda konečných diferencí nebo metoda konečných prvků. S úvodem do problematiky a s aplikacemi těchto metod se může čtenář seznámit například v [19]. Obě metody jsou v současné době velmi propracovány a zejména metoda konečných prvků se v posledních letech intenzívně rozvíjí. Vedle předností těchto metod je jistou jejich nevýhodou značná náročnost na paměť a stro¬ jový čas počítače. Po této stránce je výhodnější použití metody hraničních prvků (MHP), ve které je diskretizována jenom hranice oblasti okrajového problé¬ mu, což snižuje dimenzi řešení úlohy o jeden stupeň. Kromě toho je při použití MHP řešení úlohy uvnitř oblasti vyjádřeno v analytickém tvaru (integrálním výrazem), takže není zatíženo aproximativními chybami jako u výše zmíněných metod. MHP není sice tak univerzální jako metoda konečných prvků, možnosti jejího uplatnění se však postupně rozšiřují a kombinuje se též použití obou metod. V dnešní době se používá MHP k numerickému řešení okrajových problémů me¬ chaniky, pružnosti, termodynamiky, proudění tekutin, teorie elektro¬ magnetického pole (viz např. [4]) a jiných oborů. Rozlišují se dvě varianty MHP: přímá a nepřímá. V přímé MHP jsou řešeny integrální rovnice přímo pro hledané veličiny, např. potenciál, zatímco v nepřímé MHP se formulují integrální rovnice pro pomocné veličiny a na základě jejich řešení se teprve určí hledané veličiny. Pomocnými veličinami mohou být např. hustoty nábojů či proudů (viz čl. 17). Podstatu přímé MHP si nyní objasníme na jednoduchém příkladu. 21.2.  Poissonova rovnice. Uvažujme omezenou rovinnou oblast Í2, jejíž hranicí 151

je po částech hladká křivka jT, rozdělená na dvě disjunktní části ru P2, tj. platí íi u r2 = r a n r2 = 0. Předpokládejme, že / je daná spojitá funkce dvou proměnných x, y definovaná na oblasti Q. Budeme hledat řešení u = tt(x, y) smíšené okrajové úlohy (21.2.1) -Au(M) = f(M) , MeQ, (21.2.2) u(P) = gi(P), P erlf (21.2.3) ■ "V-M. onP p er2, kde nP je směr vnější normály k hranici r v bodě P, gx (resp. #2) je daná spojitá funkce dvou proměnných x, y definovaná na rí (resp. na P2). Vztah (21.2.2) se na¬ zývá Diňchletova okrajová podmínka a vztah (21.2.3) Neumannova okrajová podmínka. 21.3. Postup řešení smíšené okrajové úlohy metodou hraničních prvku. Při apli¬ kaci MHP pro numerické řešení úlohy (21.2.1) až (21.2.3) rozlišíme následující tři kroky: —  odvození vzorce pro integrální vyjádření hodnot řešení u v bodech oblasti Q; —  odvození hraniční integrální rovnice pro neznámou funkci u na P2 a du/dnP na rx; —  diskretizace hraniční integrální rovnice a numerické řešení vzniklé soustavy lineárních algebraických rovnic. 21.3.1. Odvození integrálního vyjádření řešení u v bodech M = M(xm, yM) e Q. V teorii parciálních diferenciálních rovnic je dobře známo, že řešení u úlohy (21.2.1) až (21.2.3) existuje a má spojité parciální derivace druhého řádu v oblasti Q. Zvolme pevně bod M e Q a uvažujme kruh K se středem v bodě Mas poloměrem e > 0. Označme Qe = Q — Ke af£ nechť je hranice kruhu Ke (viz obr. 17). Protože funkce (2..3„  & ,) - JL - in  ' 152

kde rPM je vzdálenost pevně zvoleného bodu M e Q od proměnného bodu P = = P(x, y) e Q u P, má spojité druhé parciální derivace v oblasti Qe (ověřte!), může¬ me dosadit u a v do druhé Greenovy formule (21.3.2)  f (u Av — v Au) dfiP = í (u — — v —\ ávP . k  JrurA dnP/ Snadno zjistíme, že funkce v definovaná vztahem (21.3.1) splňuje v Qe Laplaceovu rovnici Av = 0. Zároveň (21.3.3)  lim i v dvP = 0 a lim í u dvP = 2% u(M) e-oJre dnP  £_>0 Jrc dnP (ověřte!). Na základě rovností (21.3.3) dostáváme limitním přechodem pro s -> 0 ve vztahu (21.3.2) vyjádření (21.3.4)  u(M) = ± f [ln — ^ - u(P)  ln —1 dv„ - 27cJrL rPM dnp  dnP  rPMJ — J- í ln — Au(P) dfiP . J q rPM Protože u řeší rovnici (21.2.1), můžeme (21.3.4) psát ve tvaru 1 du(P) rPM dn (21.3.5) u(M) = — í [ln —  - u(P) — ln —1 dvP JrL rPM SnP  dnP rPMJ + + ln —— /( 2n J n rPM f(P)dfiP. Pomocí vzorce (21.3.5) máme tedy řešení u okrajové úlohy (21.2.1) až (21.2.3) vyjádřeno v libovolném vnitřním bodě oblasti Q. Abychom však tohoto vyjádření mohli použít, musíme nejprve určit neznámé hodnoty u(P) na P2 a du(P)ldnP na rí. 21.3.2. Odvození hraniční integrální rovnice pro neznámé funkční hodnoty u r2 a du/drip na rí. Limitním přechodem pro  M e Q, dostávᬠme pro jednotlivé členy výrazu (21.3.5) (21.3.6)  lim u{M) = u{P), (21.3.7) M-*P lim M-P 271 - f ln to Jr 1 du{R)dvR = 1 rRM dnR 2tt d . 1 . 1 ln — dvp = dnR rRM 2tc (21.3.9) lim 1 [ ln — f(R) d/tR = ^ [ ln — f(R) dnR . m->p 2k J n rRM  2n rRP Platnost vztahů (21.3.6), (21.3.7) a (21.3.9) vyplývá ze spojitosti funkce u, poten¬ 153

ciálu jednoduché vrstvy a objemového potenciálu. Vztah (21.3.8) plyne z toho, že potenciál dvojvrstvy má skok ve všech bodech křivky T, který je dán hodnotou — tíu(P) (viz např. [23]). Z výše uvedených vztahů vyplývá, že přejdeme-li v rovnici (21.3.5) k limitě pro M -* P e r, dostaneme hraniční integrální rovnici (přesněji integrodife- renciální rovnici) (21.3.10)  «(P) = -f[*ln — n J r L rRP i HR)  ,  i],  ^ - u(R)  ln — ávR + dnR  dnR rRP J + -Í ln — f(Ř) dfiR . 71 Jí2 rRP Protože funkce u splňuje okrajové podmínky (21.2.2), (21.2.3), můžeme rovnici (21.3.10)  psát ve tvaru (21.3.11)  u(P) + - f u(Ř) ln — dv^ — — f  ln — dvR = n)r2 dnR rRP n J Fl dnR rRP ln — dvR + rRP ln — d fi rRP r • 21.3.3. Diskretizace hraniční integrální rovnice a numerické řešení vzniklé soustavy lineárních algebraických rovnic. Hranici r oblasti Q diskretizujeme na části zvané hraniiní prvky. V našem případě za tyto prvky volíme úsečky rl (i = 1, 2, ..., n) a zároveň oblast Q rozdělíme na trojúhelníkové elementy Qk, k = 1, 2,..., m (viz obr. 18). Jsou-li prvky Tl a Qk dostatečně malé, můžeme hodnoty funkcí u a dujdnR na T* aproximovat jejich hodnotami ve středech Pf úseček T\ Podobně hodnoty funkce / na Qk můžeme aproximovat hodnotou v těžištích Tk 154

trojúhelníků Qk. Označíme «, - «(P,). (P-)  1=1,2  »; \SnR/i dnR fk =f(Tk), k = 1,2,..., m. Dále zavedeme označení . 1 f d , 1 . Ca = 1 + - — ln  dvR , 71 Jr* dnR rRPt cu-i Í ln — dv*, n t J TJ VnR rRPi dtj = - í ln — dvjj, i,j = 1,2,n n t /r-f rJ?pť <lik i ln — djiR , » = 1, 2,n ; J Qk rRPi 0Í = 9i(Pi) , Pro*  <= rx ; ^2 = ^2(^0 , pro T‘ <= r2 . Hraniční integrální rovnici (21.3.11) pak můžeme pro každý ze zvolených uzlových bodů Ph i = 1,2,...,n,aproximovat soustavou lineárních algebraic¬ kých rovnic: (2l'3.12) £  ž dJf) = 7=1  y=i \dn/ j rJcr2  rJ<=Ti J ^ dijQ2  c0'^l “f" ^,/kQik 9 i 1, 2,..., w . 7=1  7=1  fc=l r^<=r2  r^cri n  n Symbol £ (resp. £ ) znamená, že sčítáme přes ty indexy j = 1, 2,..., n, pro 7 = 1 rJczr 1 rJ<=r2 něž je rj c:  (resp. P c= r2). Výpočet koeficientů' cij9 dij a qik se provádí buď analyticky, nebo numericky. Numerická integrace se provádí nejčastěji užitím Gaussových kvadraturních formulí (viz čl. 18). K řešení soustavy lineárních rovnic (21.3.12) se nejčastěji používá některé z přibližných metod (např. [17], [24]). 21.4. Příklad. Uvažujme smíšenou okrajovou úlohu (21.4.1)  —A  w(x, y) = 2 sin 3 y cos x ,  (x, y) e 0 , (21.4.2)  w(x,  0) = u(x, n) = 0 , tj.  (x, y) e /\ , (21.4.3)  ux(0,  y) = ux(tt, y) = 0 , tj.  (x, y) e T2 , kde Oje čtverec {(x, y); 0 < x < ti, 0 < y < 71}. Snadno ověříme, že funkce (21.4.4)  u(x, y) = | sin 3y cos x je přesným řešením úlohy (21.4.1) až (21.4.3). 155

Na této jednoduché úloze budeme nyní ilustrovat výše uvedený obecný postup MHP. Výsledky pak porovnáme s přesnými hodnotami (21.4.4). Provedeme nejprve diskretizaci hranice r = J\ u r2 čtverce Q na 32 hraničních prvků (úsečky délky tu/8), zároveň rozdělíme čtverec Q na 32 shodných pravoúhlých trojúhelníků (viz obr. 19). 10,1*1  Pí  ['Tr.irl Výchozím vztahem pro výpočet hodnot funkce u ve středech hraničních prvků na r2 a hodnot normálové derivace u ve středech hraničních prvků na rt je diskrétní podoba rovnice (21.3.11), tj. soustava lineárních rovnic (21.3.12), kde n = 32. Po vyčíslení příslušných koeficientů c0-, dij9 hodnot fk a gik (v našem případě máme gJt = g* = 0) řešíme soustavu rovnic (21.3.12) Gaussovóu eliminační me¬ todou. Obdržené výsledky jsou uvedeny v tab. 5. Je zde provedeno srovnání těchto přibližných hodnot s hodnotami přesného řešení (21.4.4) a jeho normálové derivace ve středech hraničních prvků na T2, resp. na fj. Při volbě jemnější diskretizace hranice Tje možné dosáhnout přesnějších výsledků. Rozdělíme například hranici í = í1ur2 na 64 hraničních prvků (úsečky délky rc/16) a celý čtverec Q na 128 shodných pravoúhlých trojúhelníků. Potom stejným postupem dospějeme k soustavě lineárních rovnic (21.3.12), kde rt = 64. V tab. 6 pro ilustraci uvádíme srovnání vypočtených přibližných hodnot s hod¬ notami přesného řešení (21.4.4) ve středech některých vybraných hraničních prvků. 156

Tabulka 5 Číslo elementu Vypočtená hodnota u Přesná hodnota u Vypočtená hodnota du/dn Přesná hodnota du/dn 1. 0,000 000 0,000 000 -0,633 704 -0,588 471 2. 0,000 000 0,000 000 -0,644 778 -0,498 882 3. 0,000 000 0,000 000 -0,371 842 -0,333 421 4. 0,000 00Q 0,000 000 -0,102 555 -0,117 054 5. 0,000 000 0,000 000 0,190 526 0,117 054 6. 0,000 000 0,000 000 0,454 873 0,333 421 7. 0,000 000 0,000 000 0,719 527 0,498 882 8. 0,000 000 0,000 000 0,705 768 0,588 471 9. -0,113 922 -0,111 140 0,000 000 0,000 000 10. -0,239 661 -0,196 157 0,000 000 0,000 000 11. -0,089 398 -0,039 018 0,000 000 0,000 000 12. 0,022 252 0,166 294 0,000 000 0,000 000 13. 0,026 229 0,166 294 0,000 000 0,000 000 14. -0,080 868 -0,039 018 0,000 000 0,000 000 15. -0,232 160 -0,196 157 0,000 000 0,000 000 16. -0,111 369 i -0,111 140 0,000 000 0,000 000 17. 0,000 000 0,000 000 0,689 715 0,588 471 18. 0,000 000 0,000 000 0,702 415 0,498 882 19. 0,000 000 0,000 000 0,435 608 0,333 421 20. 0,000 000 0,000 000 0,173 445 0,117 054 21. 0,000 000 0,000 000 -0,114 221 -0,117 054 22. 0,000 000 0,000 000 -0,378 827 -0,333 421 23. 0,000 000 0,000 000 -0,648 840 -0,498 882 24. 0,000 000 0,000 000 -0,636 698 -0,588 471 25. 0,101 860 0,111 140 0,000 000 0,000 000 26. 0,203 170 0,196 157 0,000 000 0,000 000 27. 0,032 826 0,039 018 0,000 000 0,000 000 28. -0,088 168 -0,166 294 0,000 000 0,000 000 29. -0,088 724 -0,166 294 0,000 000 0,000 000 30. 0,031 639 0,039 019 0,000 000 0,000 000 31. 0,201 607 0,196 157 0,000 000 0,000 000 32. 0,101 352 0,111 140 0,000 000 0,000 000 Tabulka 6 Číslo elementu Vypočtená hodnota u Přesná hodnota u Vypočtená hodnota du/dn Přesná hodnota du/dn 1. 0,000 000 0,000 000 -0,634 070 -0,597 110 8. 0,000 000 0,000 000 -0,078 546 -0,058 810 9. 0,000 000 0,000 000 0,048 770 0,059 810 16. 0,000 000 0,000 000 0,671 274 0,597 110 17. -0,054 719 -0,058 056 0,000 000 0,000 000 24. 0,180 952 0,191 388 0,000 000 0,000 000 25. 0,191 647 0,191 388 0,000 000 0,000 000 32. -0,054 019 -0,058 056 0,000 000 0,000 000 157

Prvky jsou číslovány stejným způsobem jako na obr. 19, tj. od 1 do 64, počínaje bodem [0, 0] proti směru hodinových ručiček. Výpočet řešení uvnitř oblasti Q se pak provádí na základě diskretizace rovnice (21.3.5). Do její diskretizované pravé strany dosazujeme právě vypočtené přibližné hodnoty u na f2 a dujdy na rv 21.5. Třídimenzionální okrajový problém pro Poissonovu rovnici. Předpoklᬠdejme, že Q c R3 je omezená prostorová oblast, jejíž hranicí je po částech hladká plocha T. Hledejme opět řešení smíšené okrajové úlohy (21.2.1) až (21.2.3), kde nyní u = u(x, y, z) je hledaná funkce tří proměnných. Podobně jako v 21.3.1 odvodíme integrální vyjádření řešení u v bodech M = M(xm, yM, zM) e Q. Do druhé Greenovy formule (21.3.2) dosadíme řešení u a funkci (21.5.1) v(x, y, z) = — =  , rPM V[(* “  ) +(y- yM) + (z - zM)2] která má spojité parciální derivace v Qe a splňuje v Qe Laplaceovu rovnici (Ke je nyní koule se středem v bodě Mas poloměrem e). Limitním přechodem pro e 0 ve vztahu (21.3.2) a užitím vztahů lim í v — dvP = 0 , lim í u — dvP = 4n u(M) , e*+0 J  dltp  e-+0 J dftp (ověřte!) dostáváme (21.5.2) „(„). i r rj. m 4nJrLrPM dnP Odtud pak zcela analogicky jako v 21.3.2 odvodíme pro bod P e T hraniční in¬ tegrální rovnici (21.5.3) „(ř), ± r o. m 2n]r[rRP dnr dvj{ + 1 + — 2n R > jež je prostorovou analogií integrální rovnice (21.3.10). Obdobná je i diskretizace rovnice (21.5.3), která vede k soustavě lineárních algebraických rovnic typu (21.3.12). Za plošné hraniční prvky rl se v tomto případě volí obvykle trojúhelníky, oblast Q se pak dělí např. na čtyřstěny Qk. Hlavní výhody přímé MHP se projevují zejména: 1.  Ve snížení rozměru řešeného problému, a tím i spotřeby paměti počítače. 2.  Hledáme-li řešení jen v určitých bodech oblasti Q. 3.  Při řešení vnějších okrajových úloh. 158

4. V přesnějším výpočtu grád u (analytickým derivováním rovnic (21.3.4) v ro¬ vině, resp. rovnice (21.5.2) v prostoru) oproti numerickému výpočtu v metodě konečných diferencí nebo v metodě konečných prvků. Nevýhodou přímé MHP je skutečnost, že matice vzniklé soustavy lineárních algebraických rovnic (21.3.12) není pásová a obecně ani řídká. Čtenáře, který se chce hlouběji seznámit s aplikacemi MHP, odkazujeme na publikace [4], [25]. i

Literatura [1]  Arsenin, V. J.: Metody matematičeskoj fiziki i speciálnyje funkcii. Nauka, Moskva 1974. [2]  Berezin, I. S. - Židkov, N. P.: Metody vyčislenij. Moskva, Izd. fiziko-matem. literatury, 1959. [3]  Bicadze, A. V.: Uravněnija matematičeskoj fiziki. Moskva, Nauka 1976. [4]  Brož, P. - Procházka, P.: Metoda okrajových prvků v inženýrské praxi. Praha, SNTL 1987. [5]  Dettman, J. W.: Matematické metody ve fyzice a technice. Praha, Academia 1970. [6]  Havel, V. - Holenda, J.: Lineární algebra. Praha, SNTL/Alfa 1984. [7]  Holenda, J.: MVŠT. Posloupnosti a řady. Praha, SNTL 1990. [8]  Jarník, V.: Diferenciální počet II, Praha, Academia, 1976. [9]  Kolmogorov, A. N. - Fomin, S. V.: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Praha, SNTL 1975. [10]  Krasnov, M. L.: Integralnyje uravněnija. Vvedenije v těoriju. Moskva, Nauka 1975. [11]  Lizorkin, P. I.: Kurs diferenciálnych i integralnych uravněnij s dopolniteínymi glavami analiza. Moskva, Nauka 1981. [12]  Ljusternik, L. A. - Sobolev, V. I.: Elementy funkcionalnogo analiza, Moskva, Nauka 1965. [13]  Matušů, J.: MVŠT. Ortogonální systémy. Praha, SNTL 1982. [14]  Michlin, S. G.: Lekcii po linějnym intěgralnym uravněnijam. Moskva, Gosudarstvennoje izdatělstvo fiz.-mat. literatury 1959. [15]  Michlin, S. G.: Integrální rovnice. Praha, Přírodovědecké vydavatelství 1952. [16]  Michlin, S. G. - Smolitskij, K. L.: Approximate Methods for Solution of Differential and Integrál Equations, New York, Amer. Elsevier Publ. Company lne. 1967. [17]  Mika, S.: MVŠT. Numerické metody algebry. Praha, SNTL, 1982. [18]  Mika, S. - Kufner, A.: MVŠT. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Praha, SNTL 1981. [19]  Mika, S. - Kufner, A.: MVŠT. Parciální diferenciální rovnice I, stacionární rovnice. Praha, SNTL 1983. [20]  Nagy, J.: MVŠT. Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, SNTL 1978. [21]  Nagy, J. - Nováková, E. - Vacek, M.: MVŠT. Lebesgueova míra a integrál. Praha, SNTL 1985. [22]  Petrovskij, I. G.: Lekcii po těorii integralnych uravněnij. Moskva, Izdatěrstvo moskovskogo universiteta 1984. [23]  Polák, J.: Variační principy a metody teorie elektromagnetického pole, Praha, Academia 1988. [24]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Praha, SNTL 1968. [25]  Schmeidler, W.: Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft 1955. [26]  Šulista, M.: MVŠT. Základy analýzy v komplexním oboru. Praha, SNTL 1981. [27]  Tricomi, F. G.: Intěgralnyje uravněnija. Moskva, Izdatělstvo inostrannoj litěratury 1960. [28]  Veit, J.: MVŠT. Integrální transformace. Praha, SNTL 1983. [29]  Verlaň, A. F. - Sizikov, V. S.: Metody resenija integralnych uravněnij s programmami dlja EVM, Kijev, Naukovaja Dumka 1978. 160

REJSTŘÍK Odkazy v rejstříku jsou uváděny dvěma údaji ve tvaru a/b, kde a je číslo odstavce, v němž je příslušný pojem definován nebo vysvětlen, a b udává stránku. Alternativa Fredholmova 7.5/48 aproximace postupné 4.1/19 Báze 8.1.3/56 —  ortogonální 8.1.4/57 Čísla vlastní, lineárního operátoru 8.4/60 číslo (hodnota) charakteristické 3.2/17  , násobné 3.2/17  , prosté 3.2/17 Formule Čebyševova 18.2/123 —  Gaussova 18.2/123 —  kvadraturní 18.1./121 —  lichoběžníková 18.1/122 —  obdélníková 18.1/122 —  Schmidtova 11.1.2/86 —  Simpsonova 18.1/122 funkce Greenova 15.2/108 —  vlastní, lineárního operátoru 3.2/17 Hodnota kritická 16.5/113 hustota náboje 17.2/118 Integrál Lebesgueúv 12.1/92 interpolace kvadratická 19.8/132 —  lineární 18.2/124 Jádro integrální rovnice 1.1/9 —  degenerované 6.1/35 —  hermitovsky symetrické 9.1.4/66 —  hermitovsky transponované 7.3/46 —  iterované 4.5/25 —  rezolventní 4.6/27 —  symetrické 9.1.3/65 —  transponované 7.1/42 —  uzavřené 13.2.5/101 Koeficienty Fourierovy 8.1.3/56 kolmost funkcí 7.2/44 konvoluce funkcí 5.2/30 kritérium Weierstrassovo 4.1.1/20 Lemma Gronwallovo 4.3.2/24 Majoranta 4.1.1/20 metoda Fourierova 16.6.1/116 —  Galerkinova 19.2.2/137 —  hraničních prvků 21.1/151 —  Kellogova 20.3/147 —  kolokace 19.4/143 —  Lagrangeových multiplikátorů 20.1/145 —  momentů 19.2/135 —  nejmenších čtevrců 19.3/140 —  regularizace 18.5.2/128 —  Ritzova 20.1/145 —  stop 20.5/149 mocnina operátoru 4.5/26 Násobnost vlastního čísla 9.2.8/69  , geometrická 8.4.2/61 nerovnost Besselova 8.1.3/56 —  Cauchyova-Baňakovského 8.1/55 —  Schwarzova 8.1/55 —  trojúhelníková 8.1/55 norma 8.1/53 —  operátoru 8.3.1/59 Obal lineární 8.1.2/56 obor hodnot operátoru 8.2.1/57 —  operátoru definiční 8.2.1/57 obraz Laplaceův 5.3/30 operátor 8.2.1/57 —  adjungovaný 8.5/61 —  identický 8.2.3/58 161

—  integrální 3.1/16 —  lineární 8.2.2/58 —  nulový 8.2.3/58 —  omezený 8.3.1/59 —  samoadjungovaný 8.5.2/62 Podmínka Lipschitzova 14.4/105 podmínky okrajové, homogenní 15.1/108  , nehomogenní 15.1/108 polynomy Hermitovy 13.2.7/102 potenciál dvojité vrstvy (dvojvrstvy) 17.3/119 —  jednoduché vrstvy (jednovrstvý) 17.2/118 —  objemový 17./II8 proces ortonormalizační, Schmidtův 8.1.2/56 prostor Lebesgueův 12.3/93 —  normovaný, lineární 8.1/54 —  se skalárním součinem 8.1/54 prvky lineárního operátoru, vlastní 8.4/60 Rezolventa 4.6/26 rovnice integrální, Ábelova 2.3/15  druhého druhu 1.1/9  , Fredholmova 1.1/9  , Hammersteinova 1.2/10  , homogenní 1.1/10  , nehomogenní 1.1/10  , nelineární 1.2/10  prvního druhu 1.1/9  s degenerovaným jádrem 6.1/35  s konvol utorním j ádrem 5.1/30  ve více proměnných 1.4/11  , Volterova 1.1/9 —  integrodiferenciální 1.5/11 —  Laplaceova 1.7.1/118 —  Poissonova 2.1.5/158 —  transponovaná 7.1/43 rovnost Parsevalova 8.1.4/57 Řada Fourierova 8.1.3/56 —  jádra, bilineární 10.1.3/74 řešení integrální rovnice 1.1 /l 0 Součin funkcí, skalární 8.1/54 soustavy integrálních rovnic 1.3/11 —  lineárních algebraických rovnic 6.1/35 spektrum operátoru, bodové 8.4.2/61 —  lineárního operátoru 8.4/60 systém charakteristických čísel jádra, maximální 10.1 /72 —  ortogonální 8.1.2/56 —  ortonormální (ONS) 8.1.2/56 Transformace Laplaceova 5.2/30   , zpětná 5.3/31 Úloha Cauchyova 14.2/104 —  Dirichletova 17.3/119 —  Neumannova 17.2/119 —  okrajová 9.3/70 —  Sturmova-Liouvilleova 16.1/111 úlohy nekorektní 18.5.1/127 úplnost 8.1/54 Vektor 1.3/11 věta Diniho 10.3.4/81 —  Hilbertova-Schmidtova 10.3.1/79 —  Piccardova 13.2.4/101 —  Weierstrassova 12.2./92 Wronskián 15.2/108 162

MATEMATIKA PRO VYSOKÉ ŠKOLY TECHNICKÉ Doc. RNDr. Pavel Drábek, DrSc. Integrální rovnice DT 517.968(075.8) Vydalo SNTL - Nakladatelství technické literatury, n. p. Spálená 51, 113 02 Praha 1 v roce 1991 jako svou 11 211. publikaci Redakce teoretické literatury Odborná redaktorka ing. Marcela Hrubá Obálku navrhl Vladislav Jacák Grafická úprava a technická redakce Žofie Ryzcová Vytiskla Polygrafia, závod 6 — Prométheus, Praha 8, Rudé armády 171 164 stran, 19 obrázků, 6 tabulek Typové číslo L11-C3-V-41/18056 Vydání první Náklad 2000 výtisků. 10,58 AA, 10,91 VA 03/2 Cena brožovaného výtisku Kčs 13,— 104/21,822 Publikace je určena posluchačům vysokých škol technických. Přivítají ji také absolventi těchto škol a technici z praxe, kteří se chtějí s touto problematikou seznámit. 04-006-91 Kčs 13,-