/
Текст
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................... 3
Глава 1. Линейные электрические цепи постоянного тока................... 4
Глава 2. Однофазные цепи синусоидального тока......................... 28
Глава 3. Трехфазные цепи............................................... 71
Глава 4. Переходные процессы в линейных электрических цепях............ 86
Глава 5. Нелинейные электрические цепи................................. 99
Глава 6. Периодические несинусоидальные токи в электрических цепях . . 1.12
Глава 7. Электромагнитные устройства постоянного магнитного потока . . -130
Глава 8. Электромагнитные устройства-переменного магнитного потока. Транс-
форматоры ............................................................. 147
Глава 9. Основы ' электроники...........:............................. 165
Глава 10. Электрические измерения и приборы......................... 188
Глава 11. Электрические машины постоянного тока..................... 215
Глава 12. Трехфазные асинхронные машины........................... 226
Глава 13. Трехфазные синхронные машины........................... 239
Глава 14. Принципы выбора электродвигателей. Аппаратура управления и
защиты электротехнических устройств................................... 253
Расчеты, электрических цепей синусоидального тока комплексным методом
на программируемых микрокалькуляторах.............................. 279
Список литературы..................................................... 287
Учебное издание
Виктор Григорьевич Герасимов, [Христииа Эдуардовна Зайдель), [Владимир Вик-
торович Коген-Далин), Василий Васильевич Крымов, Эдуард Васильевич Кузнецов,
Ольга Владимировна Николаева, Марианна Самуиловна Цепляева, Валерий Гри-
горьевич Хлебников, Валерий Леонидович Шатуновский, Ян Абрамович Ш нейберг,
Анатолий Яковлевич Шихин
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
И ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОНИКИ
Зав. редакцией Л. А. Романова. Редактор Т. И. Артемова. Младшие редакторы И. А. Исаева,
И. А. Титова. Художественный редактор Т. М. Скворцова. Переплет художника Ю. Д. Фе-
дичкина. Технический редактор Е. И. Герасимова. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 6102
Изд. № ЭР-443. Сдано в набор 10.07.86. Подп. в печать 12.01.87. Формат 60Х901/,,. Бум.
тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 18 усл. печ. л. 18 усл. кр.-отт.
16,69 уч.-над. л. Тираж 80000 экз. Зак. № 2841. Цена 85 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образ-
цовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28.
ББК 31.2
С 23
УДК 621.3
Рецензент — кафедра электротехники и электроники
Московского химико-технологического института
им. Д. И. Менделеева (зав. кафедрой—д-р техн, наук, проф. Г. Г. Рекус)
Сборник задач по электротехнике и основам электроники»
С 23 Учеб, пособие для неэлектротехн. спец, вузов/В. Г. Герасимов,
X. Э. Зайдель, В. В. Коген-Далин и др.; Под ред. В. Г. Гера-
симова.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.; Высш, шк., 1987.—
288 с.; ил.
В сборнике вадачи классифицируются по типам, по каждому типу приводится
общий алгоритм решения с реализацией иа конкретных примерах. Первые задачи каж-
дого типа имеют подробное решение, остальные снабжены указаниями и ответами. По
сравнению с 3-м изданием часть задач обновлена. Содержание задач соответствует
новой учебной программе. Ряд задач снабжен программами для их решения иа ЭВМ.
2302010000—116 ББК 31.2
Ъ 001 (01)—87 175^87 6П2.1
© Издательство «Высшая школа», 1979
© Издательство «Высшая школа», 1987, с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие является четвертым, полностью пе-
реработанным изданием «Сборника задач по общей электротехнике и ос-
новам электроники», под редакцией проф. В. С. Пантюшина.
Авторы изменили структуру и содержание всех разделов пособия
в соответствии с новой программой по электротехническим дисцип-
линам для неэлектротехнических специальностей, утвержденной
Минвузом СССР в 1984 г.
Для облегчения работы с задачами каждая глава содержит внут-
реннюю рубрикацию, соответствующую разделам программы. Так
же как и в третьем издании, для активизации самостоятельной
работы студентов в большинстве глав помещены измененные и до-
полненные типовые многовариантные задачи (отмечены звездочками).
В связи с необходимостью более широкого использования вычисли-
тельной техники при изучении электротехники и основ электроники
в ряде разделов помещены задачи, снабженные программой для
решения их с помощью ЭВМ.
Авторы стремились строго придерживаться правила, чтобы каж-
дая новая типовая задача была снабжена подробным решением и
пояснениями, что облегчает самостоятельную работу студентов над
последующими аналогичными задачами. Поэтому предлагаемый сбор-
ник может быть полезен для студентов-заочников, а также для
студентов вузов, где практические занятия по электротехнике и
основам электроники предусмотрены в малом объеме.
Работа по написанию сборника распределена между авторами
следующим образом: гл. 1—Я. А. Шнейберг, гл. 2—О. В. Нико-
лаева, В. Г. Хлебников, гл. 3—Я- А. Шнейберг, В. Г. Хлебников,
гл. 4—М. С. Цепляева, О.ф. Николаева, гл. 5—М. С. Цепляева,
Я-А. Шнейберг, гл. 6—М. С. Цепляева, О. В. Николаева, гл. 7 —
X. Э. Зайдель, В. В. Крымов, гл. 8—X. Э. Зайдель, В. В. Коген-
Далин, гл. 9—В. Г. Герасимов, Э. В. Кузнецов, гл. 10—X. Э. Зай-
дель, Э. В. Кузнецов, гл. 11, 12 и 13—В. Л. Шатуновский, гл. 14 —
А. Я. Шихин, раздел «Расчеты электрических цепей синусоидального
тока комплексным методом на программируемых микрокалькулято-
рах—Э. В. Кузнецов.
Авторы выражают благодарность рецензентам—коллективу ка-
федры Московского химико-технологического института им. Д. И. Мен-
делеева, возглавляемой проф. Г. Г. Рекусом.
Авторы будут благодарны читателям, которые пришлют свои
пожелания и замечания по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглин-
ная ул., д. 29/14, издательство «Высшая школа».
Авторы
ГЛАВА 1
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
ГЕНЕРИРУЮЩИЕ И ПРИЕМНЫЕ УСТРОЙСТВА,
ИХ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. На рис. 1.1. изображена схема замещения генератора по-
стоянного тока параллельного возбуждения. Номинальные данные
генератора заданы: Т/ЯОМ = 230В, 7„ = 29,6А, внутреннее сопротив-
ление якоря 7?я = 0,7 Ом. При номинальном режиме общее сопро-
тивление обмотки возбуждения 7?в + 7?р = 230 Ом. Определить э. д. с.
Ея, ток возбуждения 7ИОМ и мощность, выделяемую в нагрузке.
Решение. Уравнение электрического
состояния генератора выражается, формулой,
составленной по второму закону Кирхгофа:
О^ЕЯ—R„I„. г.
Отсюда
Е„ = U + 7?И7Я = 230 + 0,7-29,6 = 250,7 В,
Л. но» = + ЯР) = 230/230 = 1 А,
Рном ~ ^ном ~ ^В. НОМ = 28,6 А,
Рн = 30 28,6 = 6578 Вт.
1 2. В условиях предыдущей задачи по-
строить внешнюю характеристику генератора
О (7), определить напряжение и мощность,
выделяемую на нагрузке при 7 = 24 А.
Ответ: U = 235 В; Рн = 6740 Вт.
1.3. Внешняя характеристика источника э. д. с. задана на
рис. 1.3,я. Составить схему замещения цепи и определить Е, 7?вг
и /?и, если ток 7 = 2 А.
Решение. Схема замещения цепи (рис. 1.3,6):
£ = 7/х=120В; при 7 = 2 А 77 = 115 В.
В соответствии с уравнением электрического состояния U — Е —
— RBTI определяем 7?вт = (77—£)// = (! 20—115)/2 = 2,5Ом, U = RKI,
откуда 7?н = 77/7= 115/2 = 57,5 Ом.
1.4. На рис. 1.4 изображена внешняя характеристика источника
питания. Составить схемы замещения. цепи с источником э. д. с. и
тока и определить их параметры.
Ответ: Е = 77х = 40 В; J = 4 А; 7?вг = 10 Ом; GBr = 0,1 См.
1.5. Определить напряжение на зажимах источника тока в схеме
рис. 1.5, если J = 0,1 A, GET= 1 • 10~в См, 7 = 90 мА.,
Ответ'. U — 10 В.
ЦВ г
Рис. 1.5
1.6. На рис. 1.6 изображена мостовая схема с фотодиодом и
указаны токи в двух плечах моста: 7йс=100мкА и 7йЛ = ЗмА. Оп-
ределить ток I.
Ответ', в соответствии с первым 'законом Кирхгофа Ia — 1ас +
+ IUd = 0,1 +3 = 3,1 мА. Отсюда 7 =—7Й = —3,1 мА, т. е. истинное
направление тока 7 противоположно указанному на схеме.
Рис. 1.6
Рис. 1.7
1.7. Два резистора о сопротивлениями 7? и (рис. 1.7) под-
соединены последовательно к источнику постоянного напряжения
U = const. Определить (качественно), как изменятся показания вольт-
метра при подключении резистора /?2 к точкам Ьс, аЬи ас.
Ответ-, увеличится; уменьшится; не изменится.
1.8. При последовательном соединении двух резисторов с сопро-
тивлениями Ri и Rz полное сопротивление /?12 = 5()Ом, а при па-
раллельном соединении тех же резисторов эквивалентное сопротив-
ление /?эк = 12 Ом.
Определить значения сопротивлений Rt и R2.
Ответ: R± = 30 Ом; R2 — 20 Ом.
1.9. Определить входное сопротивление
R /гЦ\х/? /?ВХй6 цепи, схема которой изображена на
У/ U рис. 1’9’
Т > Решение. Поскольку точки с и с' цепи
с К 1 q с заземлены, их можно объединить в одну об-
\\ [j щую точку и тогда резистивные элементы с =•
А4 сопротивлениями Rit R2 и Rs, Rt будут со
Nr единены параллельно, а их эквивалентные со-
Рис. 1.9 противления Ri2 = Rsi — R/2—последователь-
но. При этом /?вхй6 = /?12 + Д34 + 7?5 = 2Р.
1.10* . Определить входные сопротивления Rab цепей, схемы ко-
торых изображены на рис. 1.10.
Ответ: a) Rab = R-, б) 7?йЬ = 2/37?; в) Rab = R/3-, г) Rab = 2R.
Рис. 1.10
1.11. Изменятся ли входное сопротивление в схеме цепи рис. 1.11, а
и мощность каждого резистора цепи, если резисторы с сопротивле-
ниями /?1 = 7?2 = 7?3 = 7?4 будут соединены по схеме рис. 1.11,6?
Ответ: не изменятся.
Рис. 1.11
ЦЕПИ с одним источником ПИТАНИЯ.
РЕЖИМЫ РАБОТЫ ИСТОЧНИКОВ ПИТАНИЯ
1.12. Для электрической цепи, схема которой приведена на
рис. 1.12, а, построить кривые изменения напряжения 172, мощно-
сти источника питания Pt, мощности приемников Р2 и к. п- д. ц в
зависимости от тока 1 при изменении эквивалентного сопротивления
приемников Т?2 от бесконечности (холостой ход) до нуля (короткое
замыкание). Э. д. е. источника питания £ = 220 В, а сопротивление
Рис. 1.12
^Г_
РаЬ
b
U
О
R = 1 Ом включает внутреннее сопротивление источника питания
и сопротивление проводов, соединяющих источник питания и при-
емники энергии.
Ответ: на рис. 1.12,6 построены графики t/2, Pit Pz, т](7).
1.13. На рис. 1.13 показана схема электрической цепи с рези-
сторами, сопротивления которых 7?х = 18 Ом, /?2 = 30 Ом, R3 = 20 Ом.
Определить токи ветвей, если напряжение
U = 120 В.
Решение. Решение проводим методом
«свертывания». Эквивалентное сопротивление
разветвленного участка цепи
п _ Р^Рз __ 30-20 _ J2 ом
Р2 + Р3 ~ 30 + 20 12 м-
Общее сопротивление цепи
£ = £1 + £23=18+ 12 = 30 Ом.
В соответствии с законом Ома ток
= 77/7?= 120/30 = 4 А.
Напряжение на зажимах параллельных ветвей
Uab = R^r= 12-4 = 48 В,
или на основании второго закона Кирхгофа
120-18-4 = 48 В.
Л
Рис. 1.13
Токи ветвей
/2 = fJab/R2 = 48/30 = 1,6 А, /3 = Uab/R3 = 48/20 = 2,4 А.
Эти токи можно определить с помощью формул разброса, со-
гласно которым ток в одной из параллельных ветвей равен произ-
ведению тока в неразветвленной части цепи и отношения сопротив-
ления другой ветви к сумме сопротивлений параллельных ветвей:
г ___j __ л _ 20 _______1 И Д I ___/ R'1 _4 30 __9 4 А
2 ^з+Яз 30+20 ~1,ОЛ’ /з-Л^ + ^-^-30 + 20
1.14. Определить ток, напряжение и мощности цепи (см. рис.
1.13), если заданы сопротивления резисторов Rr — 12 Ом, R2 = 30Om,
/?3 = 20Ом и ток 1г — 2 А.
Ответ". /3 = ЗА; t/ = 120 В; Р = 600Вт.
1.15. Найти распределение токов в схеме цепи рис. 1.15, если
Ri = R2 = 0,5 Ом, R3 = 6 Ом; R4 = 6Om; R5 = R6 = 1Om, R7 = 2Om,
а напряжение на входе U = 120 В.
Рис. 1.15
R2, Л= 120/3 = 40 А.
Решение. Определяем общее соп-
ротивление цепи, заменяя отдельные
участки ее эквивалентными сопротивле-
ниями: .
п (Rs-RR^yRt _____9 ctruf
Rab== 7?в+«7+/?4--2°М’
р _ (Rab + Rs) Rs _ о ом
Rac Rab+Rs+Rs 2
Общее или входное сопротивление це-
пи Rbx = Rac + R1 + R2 = 3 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи,
т. е. на участках с резисторами Ri и
Напряжение Uac можно определить двумя способами:
1) Согласно второму закону Кирхгофа, Uac = U—(Рх + Р2) Л =
*= 80 В; 2) £/йс = РйсД = 80В.
В резисторе Ra ток определяется по закону Ома»
/S = £/OC/RS=13,33A.
В резисторе R5 ток
/5 = ^/(Reb + R5) = 26,7A.
Проверка: /1 = /3 + /5, или 40 = 13,3 + 26,7 А.
Напряжение на участке ab £/йЬ = Rc675 = 53,4 В или Vab = Uac—
— R6IS = 80—26,7 = 53,3 В.
В резисторе R4 ток
74 = £/e6/R4 = 8,9A.
В резисторах Re и R7 ток
Ie = Uab/(R6 + Ri)=17,S А-
Проверка: Ц — Ц + Ц, или 26,7 = 8,9+17,8.
1.16. Найти токи в схеме рис. 1.15, пользуясь методом подобия.
Р е ш е и и е. Задаемся током 7В = 1 А, тогда U’ab = (7?6 + Ri) Ц =
^ЗВ, 7; = //^/7?4 = 0,5 А.
По первому закону Кирхгофа, 76' = 7в-!-74= 1,5 А. Напряжение
^ = (Я5 + ЯоЬ)^ = (1+2)1,5 = 4,5В. Токи /; = U^/R3 = 4,5/6 =
= 0,75 А и /; = /з + /; = 0,75+1,5 = 2,25 А.
Тогда U' = (7?1 + Т?2) /; + UаС = 2,25 + 4,5 = 6,75 В.
Коэффициент подобия К = U/U’ = 120/6,75 = 17,77.
Зная К, определяем истинные токи: /е = 7</в = 17,77-1 та 17,8 А,
/в = 17,77-1,5 = 26,66 А, /4= 17,77-0,5 = 8,88 А, 73= 17,77-0,75 =
= 13,32 А, /1 = 17,77-2,25 = 39,98 А.
Сравнивая полученные токи с соответствующими, токами в за-
даче 1.15, убеждаемся, что погрешность получается незначительной
и объясняется дробным значением коэффициента подобия.
1.17. Пользуясь методом подобия, найти токи в схеме цепи
рис. 1.17, если Е=10В, 7?1 = 7,6Ом, 7?2 = 7 Ом, 7?3=1,9Ом, /?4 =
= 7 Ом, RB = 3 Ом. . .
Ответ: /Х=1А; /2 = 0,4А; 73 = 0,6А; 74 = 0,18А; 76 = 0,42 А.
>гу задачу можно решить методом эквивалентных преобразова-
ний на микрокалькуляторе МК-54 (МК-56) по программе
П—X 4 F 1/Х П—X 5 F IX + F УК X—П 6 П—X 3 + X—П 7 F
IX П—-Х .2 F IX + F IX X—П 8 Н—X 1 + X—П 5 с/п П—X 0
П—X 9 X— П 9 П—X 8 х X—П 8 П—-X 2 Х-—П а. /~/П—X 9
+ X—П Ь II—X 6 X X—П 7 II—X 4 -5- X—П с /-/ II—X Ь + X—П d ей
Исходные данные вводят в регистры: £ = РГО, /?1 = РГ1, R3 =
= РГ2, 7?3 = РГЗ, 7?4 = РГ4, 7?5 = РГ5. После первого автоматиче-
ского останова значения эквивалентных сопротивлений участков цепи
размещаются в регистрах РГ6=/?4_В, PP7 = R3_B, РГ8 = 7?2_В,
РГ9 = R3K. После записи этих результатов и повторного пуска про-
изводят вычисления токов и напряжений. Их значения размещаются
в регистрах: РГ7 = Ubc, РГ8 = 7/ас, РГ9 = /!, РГа = /2, РГй = 73,
РГс=/4, РП/ = /5.
Рис. 1.18
Рис. 1.17
1.18. В схеме цепи рис. 1.18 определить напряжение UАВ. Зна-
чения э. д. с. и сопротивлений указаны соответственно в-вольтах и
омах.
Решение. Для определения UАВ нужно найти токи I и 1г.
Применяя метод свертывания, найдем R3KDB- Очевидно, резистив-
ные элементы с сопротивлениями 5 и 10 Ом соединены последова-
тельно, а с сопротивлением 30 Ом—параллельно:
Rdc 15-рзо = Ю Ом, /?экDB = RBC RCb = Ю + 20 = 30 Ом.
Тогда / = 45/30 = 1,5 А. Так как соотношение сопротивлений
двух параллельных ветвей с сопротивлениями 30 и 15 Ом 2:1, то
ток /х = 1 А и будет вдвое
больше тока /2. Зная токи
Д и I, находим контур
АВСА (мысленно замыкая
его) и составляем уравне-
ние по второму закону
Кирхгофа:
UAB—20/—10/1 = 0;
//лв = 20-1,5 +
+ 10-1=40 В.
1.19* . Найти напряже-
ние 1)аЪ в схеме цепей
рис. 1.19.
Ответ-, a) Uab = 48 В;
б) Но6 = 8В;в) £/аЬ=16В;
г) *Ль = 45 В.
1.20. В схеме, цепи
рис. 1.20 определить ток
Icd (по значению и нап-
равлению), если Е = 48 В,
'1 = /?3 = 8Ом, /?5 =/?е = 2 Ом, /?2 = /?1 = 4Ом.
Ответ: Icd =-AQ А.
1.21. В схеме цепи рис. 1.21, а заданы э. д. с. £ = 20 В и рези-
сторы с сопротивлениями Rt = 4 Ом, /?2 = 1 Ом, R3 = 1 Ом, /?4
= 2 Ом, /?6 = 4 Ом, Re = 5 Ом. Определить токи ветвей. Составить
баланс мощностей.
Указание. Расчет токов целесообразно осуществлять, преобра-
зуя предварительно звезду /?4/?Б/?6 в треугольник по схеме рис.
1.21,6. В соответствии с формулами преобразования звезды в тре-
угольник
D __ р I Р I ^4^6 г> ____ Р | р | ^4^С Р _____ Р I Р ! RsRe
4\45 — 4<4_Г'‘'5_Г > 4<4G—A4+acH , 4\6С—Л5-|-Дв+ •
Токи в ветвях 7?4, Т?4в определяются по закону Ома:
Ii = E/Ri, 14с = E/Rie
и временно их можно исключить из схемы. Ветви Ris, R2, так
же как и ветви 7?зв и R3, соединены параллельно, а эквивалентные
им ветви Rab и Rbc—последовательно, и их общий ток IАвс =>
— E/Rabc"
Зная токи, можно определить напряжения U АВ — RABIАВС и
UBC = RBCIАВС- Тогда токи /2 и 73 в схеме цепи рис. 1.21, а опре-
делятся по закону Ома: I2 = UABIR2, I3 = UBc/Rs, а токи 74, 75,
7e—из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для
узлов А, В, С, например 76 = 73—12 и т. д.
Ток в ветви с источником э. д. с. определяется по первому за-
кону Кирхгофа для узла А: I = 7f + /2 + Ц.
Ответ-. 7= 18,03 A; 7f = 5 А; 72 = 9,63 А; 73= 10,35 А; 74 = 3,4 А;
7в = 0,72А; 7в = — 2,68 А.
Баланс мощностей для всей цепи:
El = 7?x^i + RJ% + R3I3 + R&It + R5I&
20 18,03 = 4 • 53 + 1 • 9,633 + 1 • 10,352 + 2 • 3,42- + 4 • 0,722 + 5 • 2,682,
360,6 Вт ж 358,62 Вт.
1.22. Для определения параметров активного двухполюсника
(рис. 1.22) были проведены два опыта: холостого хода (рис. 1.22, а)
и короткого замыкания (рис. 1.22,6). При этом приборы показали:
вольтметр U = 20 В, амперметр 7к=10А. Определить Е и /?вт.
Решение и ответ: Е = Uж = 20 В; PBT = f/7K = 20/10 = 2 Ом.
Рис. 1.22
Рис. 1.23
1.23. Определить параметры активного двухполюсника (рис. 1.23)
J и GBT, если при проведении опытов холостого хода и короткого
замыкания приборы показали: [/ = 10 В, 7К = 2А.
Ответ: J = 2A; Gbt = 0,2Cm.
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ.
ПРИНЦИПЫ СУПЕРПОЗИЦИИ, КОМПЕНСАЦИИ И ВЗАИМНОСТИ
1.24. Определить токи в ветвях цепи, схема которой изображена
на рис. 1.24, если £1 = 24В, Е2 = 96В, £3 = 48В, Т?2 = 16Ом,
7?3 = 8Ом, Т?4 = 16 0м, 7?6 = 8Ом. Найти значения мощностей ис-
точников и приемников.
Ответ'. 71 = 0; 72 = 73 = 74 = 75 = 3 А. Мощности источников и
приемников равны 432 Вт.
1.25. Как изменятся токи в схеме цепи рис. 1.24, если э. д. с.
Е3 будет увеличена вдвое, т. е. Е3 = 96 В?
Решение. В этом случае для определения токов целесообразно
воспользоваться принципом суперпозиции. При этом достаточно оп-
ределить токи в ветвях цепи рис. 1.25 от источника э. д. с. Е3 —
= Е3—Е3 = 48В, имеющей то же направление, что и э. д. с. Е3 в
схеме цепи рис. 1.25, и наложить токи этой цепи на токи соответ-
ствующих ветвей цепи рис. 1.24.
Определяем эквивалентное сопротивление цепи рис. 1.25:
Яэк = Яз + r^r^r^r^r^ = 12 Ом.
Общий ток
73 = Е3/7?эк = 48/12 = 4 А.
В резисторах 7?6, Т?2 и Т?4 токи от источника э. д. с. будут равны
/; = 2А; Z" = Z"=1 А; /; = 2А.
Результирующие токи заданной схемы:
/; = О + 7;' = 2А; 7' = 7а—7' =3—1 = 2 А; 7' = 73 + /; = 3 + 4 = 7 А;
z; = 74 + z; = 3 + l = 4 А; 7в = 7в + 7б = 3 + 2 = 5 А.
1.26. В соответствии с принципом компенсации заменить ветвь
с резистивным элементом Т?2 (рис. 1.26) источником э. д. с. и оп-
ределить ее значение и направление.
Решение. В соответствии с принципом компенсации пассив-
ный элемент может быть заменен источником э. д. с., значение ко-
торой равно напряжению на элементе и которая направлена про-
тив тока 72. Напряжение на резисторе Т?2 можно определить по
формуле узлового напряжения:
jj - —вдЕз 26/2— 20/4 й и
ab~ g1 + g2 + G3 1/2+1/4+1/4 — ° °-
Следовательно, э. д. с. Е = 8 В й направлена от точки b к точке а.
При n-м количестве ветвей с источниками э. д. с. Ек и резисто-
рами с сопротивлениями Rk междуузловое напряжение Uab удобно
рассчитывать на микрокалькуляторе МК-54 (МК-56) по программе
о х—П 3 Х-*-П 4 It—X 0 cftl П—X 1 П—X 2 4- п—х 3 + X—П 3 П—Х 2
F УХ И—-X 4 + X—П 4 F L 0 03 П—X 4 Г УХ Х-*П 4 П—-X 3 X X—П 3 с/а
Исходные данные вводят в регистры ЕЙ = РГ1, /?Й = РГ2 пооче-
редно для каждой ветви, номер которой находят на индикаторе
после промежуточного останова. Число ветвей п = РГ0 вводят вна-
чале один раз. После ввода параметров всех ветвей вычисляют Uab
(РГЗ и индикатор) и 7?эк (РГ4).
1.27. В соответствии с принципом компенсации заменить в пре-
дыдущей задаче пассивный элемент с сопротивлением Р2 источни-
ком тока и определить его значение и направление.
Ответ’, ток /к = /3 — Uab/R2 = 8/4 = 2 А и направлен от точки а
к точке Ь.
1.28. Пользуясь принципом взаимности, определить ток /3 в
схеме цепи рис. .1.25, .если источник э. д. с. £3 будет включен в
ветвь с резистивным элементом R6 (рис. 1.28).
Решение. Определяем сопротивление А*эк цепи:
^зк = ад + Оз - Мз = 4 + 8 = 12 °М'
Тогда
4 = ВД9к = 48/12==4 A; Uba = E"-~R616 = 48-8-4 = 16 В;
73 = 1/Ьа/Я3 = 16/8 = 2А.
1.29. Пользуясь принципом взаимности, определить ток 13 в
схеме цепи рис. 1.25, если источник э. д.с. Е3 будет включен
В ветви с резистивным элементом R2 (рис. 1.29).
' Ответ’, ток /3 = 1 А и направлен одинаково с током 73.
АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
НЕРАЗВЕТВЛЕННЫХ И РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ
С НЕСКОЛЬКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ
1.30. Найти ток в схеме цепи рис. 1.30 и определить, в каком
режиме работает каждый из аккумуляторов. Составить баланс мощ-
ностей. Э. д. с. аккумуляторов и их внутренние ’ сопротивления за-
даны:
£7=12 6, /?1 = 2Ом, £2 = 30В, Д2 = 2 Ом, £3 = 7,2 В, 7?3 = 1,2Ом,
£4=12 В, Д4=1 Ом.
Ответ: ток I определяется по закону Ома:
= 37,2/6,2 = 6 А. Аккумуляторы £4 и Е3 находятся в режиме ко-
роткого замыкания, поэтому развиваемые ими мощности равны мощ-
ностям, выделяемым во внутренних сопротивлениях’ EJ = 72 Вт и
= 72 Вт, £37 = 43,2 Вт и R3R = 43,2 Вт.
Аккумулятор Е2 генерирует энергию. Его мощность Е27 = 180 Вт,
а мощность, выделяемая во внутреннем сопротивлении, 7?а7- = 72 Вт.
Аккумулятор £4 работает в режиме приемника (заряжается).
Мощность аккумулятора £47 4-Д47? = 108 Вт.
Баланс мощностей:
Е21 + Ег1 + E3I = EJ + (/?, + + jR3 + Р,
30-6 + 12.6 + 7,2-6=12.6 + (2 + 2+1,24-1).36; 295,2Вт = 295,2Вт.
1.31. Определить токи всех ветвей в схеме цепи рис. 1.31, если
э. д. с. Ег = £2 = 30 В и сопротивления = /?а = 1 Ом, /?3 = 4 Ом,
/?4 = 2Ом, /?5 = ЗОм.
Решение. Цепь содержит пять ветвей. Следовательно, имеется
пять неизвестных токов. Выбираем условно-положительные направ-
ления токов (на схеме указаны стрелками), для определения кото-
рых по законам Кирхгофа необходимо составить пять уравнений.
Число узлов цепи равно трем, поэтому по первому закону Кирх-
гофа составляем два уравнения:
Л = А) + Л>> ^2 = Л + Л>-
Для составления недостающих трех уравнений разбиваем цепь
на три независимых контура и составляем для каждого из них
уравнение по второму закону Кирхгофаз
Ei — Rift 4"
0 = 7?373 + /?474—7?Б76.
В результате совместного решения этих уравнений и подстановки
в них числовых значений получаем:
7Х=14А, 72=16,67А, 73 = 4А, 74 = 6,67А, (6 = 10А.
1.32. На рис. 1.32,а приведена схема соединения аккумулятор-
ной батареи и генератора постоянного тока, включенных парал-
лельно приемнику, сопротивление которого непрерывно изменяется
от 7? = 0 до R = oo. Составить схему замещения цепи и построить
кривые зависимости тока I от сопротивления 7? и напряжения U
от тока I при £х=120В, £2 = 130В и 7?х 4-Т?2 = 0,5 Ом. Найти
токи 7Х и 7а при 7? = 1 Ом.
Решение. Определяем напряжение между узлами й д Ы
тт Т! GiEi+GzEz _ 120/0,54-130/0,5 _ 1257?
U — и^ь— gx4-G24-G 1/0,54-1/0,54-1/7? 0,254-7? •
Подставляя вместо 7? его значение R = U/I, получаем U ==
= 125 — 0,257.
Ток приемника 7 = U/R = 125/(0,25 4- 7?).
На рис. 1.32,6, в построены кривые 7(7?) и U (7), при этом мак-
симальное значение тока 7 равно току короткого замыкания 7К —
= 125/0,25 = 500 А.
При 7? = 1 Ом Е/вЬ= 125/1,25= 100 В. Токи 7Х и Ц определяются
по закону Ома для активного участка цепи. Так, в соответствии с
выбранными условно-положительными направлениями токов
7Х = (£Х—[/аЬ)//?х = (120—100)/0,5 = 40 А; 72 = (£2 —£лЬ)/7?2 =
= (130—100)/0,5 = 60 А.
1.33. В условиях задачи 1.32 определить значение э.д.с. Et
аккумуляторной батареи, если при сопротивлении приемника 7? =
к
Рис. 1.34
= 9,5 Ом ток /1 = 0. Э. д. с, Е2 и внутреннее сопротивление обоих
источников остаются неизменными.
Ответ-. Ei = 123,5 В.
1.34. Определить значение э. д. с. Es (рис. 1.34) при условии,
что ток в резистивном элементе R равен нулю, внутренние сопро-
тивления источников 7?f = 0,2OM, R2 =
= 0,6 Ом, э. д. с. Ei = 6B. В каких ре-
R2 жимах работают источники Е± и Е2?
Ответ-. £2=18 В; в режиме коротко-
... го замыкания.
^2 1.35. Определить токи в схеме рис. 1.35,
если £\=11В, £2=2В, 7?i=1Om, R2 =
= 2 Ом и J = 3 А.
Решение. С помощью формулы узло-
. вого напряжения находим
^«ъ = + G2E2-JK)/(Gf + G2) = 6 В.
Токи
цепи-.
/i и /2 определяются по закону Ома для активного участка
Л = (Ег-Uab)/R1 = 5A; I2 = (Es-Uab)/R2 = -2 А,
/2 направлен от точки а к точке Ъ.
" ’ ~ 5—2 = 3.
т. е. ток
Проверка-. I1 + I2 = JK
Рис. 1.36
1.36. В схеме цепи рис. 1.36 заданы: Ej = 20B, 7^ = 2 Ом,
7?2 = 5 Ом, 7 = 30 А. Определить токи в ветвях цепи.
Ответ: 7Х = 22А; 7а = 8А.
1.37. На рис. 1.37, а показана схема цепи, э. д. с. источников и
сопротивления резисторов которой заданы равными Е1=120В,
Рис, 1,37
£2 = 60В, E3=140B, 7^=1 Ом, Z?2 = 0,5Om, 7?3 = 0,4Ом, 7? = ЗОм.
Определить токи в ветвях цепи.
Указание. Для решения задачи целесообразно преобразовать тре-
угольник bed в эквивалентную звезду (рис. 1.37,6). Тогда по фор-
муле узлового напряжения можно определить напряжение Uао и
токи в ветвях.
Ответ-. 11 = 6,8Д-, 72 =—30,9 А; 73 = 24,1А; Л,,= 12,6 A; Ird =
= 18,3 А; 7сЬ = 5,8А.
РЕЖИМ РАБОТЫ АКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ.
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА
1.38. В схеме рис. 1.38 Еэк=100В, /?эк = 2Ом, 7 = 3 А. Опре-
делить напряжение Uab и режим работы активного элемента Еэк.
Решение. Для принятых условно-положи-
тельных направлений тока 7 и напряжения * р. ---------------
£7йЬ уравнение электрического состояния имеет ।—*—
вид' иаь='Е^~R»Ji- Отсюда 77йЬ=100— f /Т\
— 2-3 = 94 В. Активный элемент работает в ре-
жиме источника £эк > Uab, направление тока п &
совпадает с направлением э, д. с.,_ но противо- НЭ1Д '
положно направлению напряжения. Энергия у
источника передается во внешнюю цепь и час- J I
тично преобразуется в теплоту в резистивном
элементе 7?эк. Это следует из уравнения ба- Рис> 1,38
Ланса мощности:
300 Вт = 282 -|18 = 300 Вт.
работы активного
направление тока
1.39. Определить напряжение Uab и режим
элемента в предыдущей задаче, если истинное
изменится на противоположное (рис. 1.39).
Р е ш е н и е. U:ab = £эк + RaJ = 106 В. Активный элемент работает
в режиме приемника, при этом направления тока и напряжения
совпадают, энергия из внешней цепи преобра-
в активном элементе в другие виды
и в теплоту в элементе 7?эк, что сле-
уравнения баланса мощности:
(7сЬ7=£зк7 + 7?эк7%
318 Вт = 300 4-18 = 318 Вт.
Определить ток 7В в измерительной
неуравновешенного моста (рис.
Еэк
а
зуется
энергии
дует из
1.40.
диагонали
1.40, а), воспользовавшись методом эквивалент-
ного генератора, если £ = 6В, Т?1 = Р2 = 1кОм,
R3 = 4kOm, /?4 = 2кОм и /?5 = 2,17кОм.
Решение. В соответствии с теоремой об эквивалентном гене-
раторе воздействие всей цепи на рассматриваемую ветвь с резисто-
Ь
Рис. 1.39
I
ром R5 можно заменить воздействием эквивалентного генератора
(рис. 1.40,6), у которого £эк=+йЬх; Яэк=+вЬвх-
Для определения напряжения Uabx разомкнем ветвь ab с рези-
стором Т?5 (рис. 1.40, в):
^аьх = ^з^зх — ^1Лх= яз+я4 ^ = 4 + 2‘6—Пр’6:=1 В-
Рис. 1.40
Сопротивление Rab вх определяем по схеме рис. 1.40, г:
р _ р __ RjRi I R3R4 _ 1 • 1 I 4-2 . q
RabBX RSK р1 + ра + Рз + Р4 1-4-1+44-2 СОСКОМ.
То.к диагонали находим из схемы рис. 1.40, 6:
Л = ^эД^эк + яв) = 1/(1.83 + 2,17) = 0,25 мА.
Ответ: /5 = 0,25 мА.
1.41. При каком значении сопротивления резистивного элемента
R3 в схеме цепи рис. 1.41 в нем выделяется максимальная мощ-
ность, если Rt = 6 Ом, /?2 = 8Ом, а напряжение £7 = 110 В ?
Ответ: /?3 = 3,43Ом.
1.42. Определить ток в ветви ab (рис. 1.42), если Ег = 20В,
J=10A, /?£ = 4Ом, /?2 = 2Ом, /?3 = 6Ом, +4 = 40м, /?5=Ю0м.
Указание и ответ: при размыкании ветви а&токи73=7Б=7к/2=5А;
1/аЬх = 50В; 7?вЬвх = 8,2Ом; /вЬ = 4,9А.
1.43. Определить токи в термочувствительном элементе Rt и в
измерительной диагонали моста с сопротивлением ₽4 (рис. 1.43) при
температуре / = 180° С, если заданы э. д. с. £’=(7вх==1В и сопро-
тивления /?1= 100 0м; Д3= 10000м; термочувствительный элемент
выполнен из меди и при / = 0°С имеет сопротивление 7?0 = 53Ом,
температурный коэффициент сопротивления а = 0,000427 Ом/° С. Со-
противление /?2 определяется из условий равновесия моста при t = 0,
а сопротивление равно выходному сопротивлению моста при 1 = 0.
Рис. 1.43
Решение,
и Rt:
R.
В соответствии с указанными условиями определяем
/?2
Т?2 = (RtR^lRi = (53 -1000)/100 = 530 Ом,
г>__RtRi । R2R3 53-100 , 530-1000 _______Qon (if),,
Rt+Ri + Я2 + Я3 ~ 53+100 ф530+ 1000“ d6U>DUM-
Для определения тока It воспользуемся методом эквивалентного
генератора. Разомкнем ветвь ас (рис. 1.43,6) и определим напря-
жение холостого хода Досх:
ас ^R~RJ^ 11* = Яз + ^ + Т^ 1
Е 1
l£x = О , Рз(/?1 + Р4) = , 1000(100 + 380,6) ~1.17 мА,
а-+ Яз + JR1 + Pi ф 1000+100 + 380,6
= 1000+100 + 380,6 * 1 ’17 = 0,79 МА>
дссх= 1-100-0,79-10-3 = 0,92В.
Из схемы рис. 1.43, с определяем сопротивление 7?ссвх!'
Р2Р3 1 п о
Rac вх
/ 530-1000
\ 530+1000
530’10^ 4-380,6+100
530+1000* ~
100
— = 87 Ом.
. Сопротивление.и ток термочувствительного элемента при /=80° С
Rt = R0 (!+«/) = 53 (1+0,000427 -80) = 71 Ом, .
It = Uа.Л^ае вх + Rt) = 0,92/(87 + 71) = 5,8 мА.
Для определения тока /4 найдем ток 7,:
j E—R-flt 1—71-5,8-10“3 гпл г г г кп ко л i л
h = —=------------IQQ---= 5,9 мА, /4 = /х — It = 5,9—5,8 == 0,1 мА.
Если бы источник питания Е имел внутреннее сопротивление,
то, зная ток It, можно было бы определить ток 74, воспользовав-
шись принципом линейности. По этому принципу ток 1п ветви п и
ток 1т ветви т связаны линейным уравнением
1п = а + Ыт, (1)
где а и Ъ—постоянные, значения которых определяются из опытов
холостого хода и короткого замыкания ветви т.
Так, если ветвь т находится в режиме холостого хода, то ток
7tex = 0, а ток 1пК—а., Тогда уравнение (1) можно записать в виде
1п=1пх+Ыт. (2)
Если же ветвь т находится в режиме- короткого замыкания, то
токи 7ПК и 1тк ветвей будут связаны уравнением
Лк —Лх + Ь7тк. (3)
По известным токам 7ПК, 1ПХ и 1тх можно определить постоян-
ную Ь:
b = {InK~In.)H^ (4)
Подставляя это значение постоянной в уравнение (2), получаем
(5)
1 Z7ZK
Для схемы рис. 1.43, а ток измерительной ветви пусть будет
неизвестным током Г^ГП, а ток ветви с термочувствительным эле-
ментом /, = /„ = 5,8 мА. Тогда уравнение (5) можно записать в виде
Л=Лх+(Лк—ЦЛЩ1^ V?)
где 74х и 74к—токи ветви с сопротивлением Rt при холостом ходе
и при коротком замыкании ветви с сопротивлением Rt-
Значение тока 74х было определено ранее при рассмотрении схемы
рис. 1.43,6: 74х = 71х = 0,79 мА. Для определения токов короткого
замыкания 74к и 7/к замкнем накоротко, ветвь с сопротивлением Rt
(рис. 1.43, г):
т Е . 7^2 1 1 530 j____л л
4К= RtRz Rz + Ri^ 380,6-530 . 530+ 380^’ М ’
Т^+КГ^8 ’ 380',64-530 +1000
71K = £/7?i = l/100= ЮмА,
Лк = Лк+ Лк= 10 + 0,47 = 10,47 мА.
Подставляя полученные значения токов в уравнение (6), находим
ток в измерительной диагонали:
Л=Лх+(—Лк—Лх)Л/Лк=0,79 + (— 0,47— 0,79) 5,8/10,47=0,093 мА.
1.44. Определить токи в измерительной диагонали моста преды-
дущей задачи при сопротивлениях термочувствительного элемента
Я1 = 76 и 87Ом.
Указание. В том случае, когда требуется определить зависимость
тока в одной ветви от переменного сопротивления в другой, фор-
мулу (5) целесообразно преобразовать следующим образом: согласно
методу эквивалентного генератора, ток
Л» = ^эк/(^эк + 7?га).
Обозначим ток в термочувствительном элементе- через 1т. Тогда
7/а 77вс вх/(/?йс вх)?j), Iтк вх —-77ас в\1^-ас вх*
. Но /т//,лк = Лйс вх/(7?ас вх Н-/?/) и выражение для тока /„ можно
записать в виде
Л = 7Пх + (7Пк-7пх)Лвсвх/(Т?асвх + ^). (7)
При этом токи 1пк и 7ПХ считаем совпадающими по направлению.
В соответствии с формулой (7) уравнение для тока /4 в измери-
тельной диагонали моста в зависимости от сопротивления будет
иметь вид
Л = Лх + (Лк—74х) Rac BX/(Rac вх + Rt)-
’ Значение входного сопротивления Rac вх определим из рис. 1.43, в.
Ответ: /4 = 0,12 и 0,16 мА.
1.45. Определить токи в кремниевом тензодатчике 7?д и в изме-
рительной диагонали моста (рис. 1.45), если заданы напряжение
77= 15 В и сопротивления /?2 = /?4 = 270Ом, 7?1 = 30Ом, /?Б = 54 0м.
Сопротивление датчика с учетом деформации /?д = 40Ом.
Ответ: 7д = 45мА, 7Б = 49мА.
1.46. Методом эквивалентного генератора найти ток в одной из
ветвей схемы цепи рис. 1.46, зная который можно с помощью за-
конов Кирхгофа и Ома определить токи во всех остальных ветвях.
Задано: £1 = £3 = 48В, £2 = 24В, ££ = 7?2 = £3 = = 8 Ом.
Ответ: /1=3,37 А; 72=0,37А; 73=4,87А; 74=1,12А; £.=3,75 А.
Рис. 1.47
1.47* . Определить ток в ветви ab. Значения э. д. с. на рис. 1.47
указаны в вольтах, сопротивлений резисторов—в омах.
Ответ: а) 12 А; б) ЗА; в) 0,7 А; г) 1/3 А.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ОБЛАСТИ
ПРИМЕНЕНИЯ МОСТОВЫХ ЦЕПЕЙ,
ДЕЛИТЕЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА
1.48. Напряжение 1/аЬ = 1/8В. При каком значении 1/вх мост
будет уравновешен (рис. 1.48)?
Решение. При равновесии моста 6£ = 3-2, 7? = 1Ом. Тогда
lab = Uab/R = Ibc=i/8 А, 17вх = uab + 21 Ьс = 1/8 + 2/8 = 3/8 В.
1.49. Вольтметр на номинальное напряжение ЗВ имеет внутрен-
нее сопротивление 400 Ом (рис. 1.49). Определить сопротивление
добавочных резисторов, которые нужно подключить к вольтметру,
чтобы расширить пределы измерения до 15 и 75 В.
Решение. Ток в вольтметре при полном отклонении стрелки
1 v= I^hom/Rv ~ 3/400 А = 7,5 мА.
Добавочные резисторы Rt и R2 при включении вольтметра на
напряжения 15 и 75 В должны быть подобраны так, чтобы ток пол-
ного отклонения оставался равным 7,5мА. Тогда = ЮОООм,
|£2 = 80000м.
1.50. Для регулирования напряжения приемника с сопротивле-
нием 7? = 10 Ом включен реостат (рис. 1.50). Определить токи в цепи
и напряжения приемника 77п для различных положений рукоятки
реостата, если сопротивление каждой его секции 7?0 = 5Ом, а на-
пряжение сети U = 120В.
Ответ-. 7(A): 4; 4,8; 6; 8; 12; 77(B): 40; 48; 60; 80; 120.
Рис. 1.50
1.51. Напряжение приемника с сопротивлением /?п=ЮООм нужно
плавно регулировать в пределах от 10 до 100 В. Напряжение сети
17= НОВ. Можно ли воспользоваться для этого реостатом с но-
минальными величинами 7?ном = 2000м и 7НОМ = 0,6А, включив его
в качестве делителя напряжение (рис. 1.51)?
Ответ-, нельзя, так как ток Ц может быть больше номинального
тока реостата.
1.52. Миллиамперметр на номинальный ток 7НОМ = 30 мА имеет нор-
мированное падение напряжения 17 = 75 В и ток полного отклонения
системы 3 мА. Определить внутреннее сопротивление прибора. Какое
сопротивление должен иметь наружный шунт к этому прибору для
расширения предела измерения по току до 7 = 3 А?'
Решение. Внутреннее сопротивление прибора
7?п = U77НО« = (75 • 10-3)/(ЗО • 10-3) = 2,5 Ом.
Ток шунта 7Ш = 7—7НОМ = 3— 0,03 = 2,97 А.
Сопротивление шунта
7?ш = Т7/7Ш = (75-10-®)/2,97 = 25,3-10“§ Ом.
1.53. Подобрать проволочный реостат (рис. 1.53) для регулиро-
вания напряжения приемника в пределах от 60 до 100 В, если со-
противление приемника 100 Ом, а напряже-
ние сети НОВ.
Указание и решение. На реоста-
тах указываются их сопротивление и допус-
тимый ток. Следовательно, выбор реостата
сводится к определению сопротивления и
ип
Рис. 1.53
тока.
При напряжении на приемнике 77П = 6ОВ
ток 7 = 60/100 = 0,6 А. Напряжение на реос-
тате 77 =50 В, а его сопротивление 7?' =
?=50/0,6=83,5 0м. Аналогично, при 77П=1ООВ ток 7=1 А и сопро-
тивление 7?" = 10Ом.
Следовательно, нужно взять реостат, со-
+W -108
Рис. 1.54
Напряжение
жения:
противление которого должно быть не менее
83,5 Ом, а номинальный ток—не менее 1А.
1.54. Определить выходное напряжение ли-
нейного потенциометра (рис. 1.54) при й.=0,5,
если /?!=ЗкОм, 7?О=7?Н = 4 кОм, /?д=2кОм.
—о Ответ: 17вых = 5 В.
д> 1.55. Определить выходное напряжение ли-
нейного потенциометра (рис. 1.55, а) при А,=
= 0,6, если Ro = 1 кОм, = 0,5 кОм.
Р е ш'е н и е. Рассматриваемому потенциомет-
ру соответствует схема замещения (рис. 1.55,6).
Uab~RiJ определяется по формуле узлового напря-
гЛ _ Ga(Ei+E2-Es) 1-10-3(20+15-5) _
Ав 3G0+GH 3-Ю-з+2-10-3
Следовательно, С/вых = 7ЦК УAR = MJAB = 0,6 • 6 = 3,6 В.
Ответ: £/вых = 3,6 В.
Рис. 1.55
1.56. Типовой расчет. Нелинейная мостовая цепь постоян-
ного тока.
Цель работы
Расчет градуировочной кривой электрического
термометра
Исходные данные
Схема замещения электрического термометра приведена на
рис. 1.56,0!. Параметры элементов схемы зависят от номера учебной
группы К и номера студента в группе J: £=(5 + Ц) В, А?£=200Ом,
U(l, £) = е2«°В, 1Ц = (300 + 437)Ом, Т?2 =/?3 = 500Ом, Яи^1кОм,
ta = 50-+ 150° С.
Содержание работы
1. Найти параметры эквивалентного активного двухполюсника
(Еэк, /?эк), отображающего участок цепи, который выделен пункти-
ром на рис. 1.56, а.
2. С помощью готовой программы решения нелинейного алгеб-
раического уравнения рассчитать на ЭВМ зависимости тока I (t°) и
напряжение U (t°) терморезистора от температуры.
3. Рассчитать и построить зависимости тока индикатора термо-
метра
4. Для температуры /° = 50°С найти все токи цепи и проверить
правильность результатов расчета по уравнению баланса мощностей
источника и приемников.
Методические указания
1. Расчет Езк производят по схеме замещения рис. 1.56, б (Езк —
Uabx)' _ , сг.
2. Для расчета 7?эк используют схемы замещения рис. 1.56, в, г
в исходной схеме (рис. 1.56, в) необходимо произвести
одно из эквивалентных преобразований и перейти к схеме рис. 1.56, г, д.
Формулы для расчета сопротивлений элементов в преобразованной
схеме приведены в [1].
3. Вычисления на ЭВМ проводят по готовой программе решения
нелинейного уравнения вида а = Ьх-\-у(х) итерационным методом
половинного сечения. Найденные параметры эквивалентного актив-
ного двухполюсника £эк и RaK позволяют использовать для расчета
тока и напряжения нелинейного элемента схему замещения рис. 1.56, е.
Исходные данные для вычислений на ЭВМ готовят по приводимому
образцу:
75-82 Иванов И. И.
К = 5 7 = 13
Найти решения нелинейного уравнения
5,7377 = 537,3687% + e2xf
с относительной ошибкой 10~3.
Параметр ^ = 50 4- 150 с шагом 10.
Образец распечатки результатов расчета на ЭВМ приведен в сле-
дующей таблице:
К = 5 7=13
Е = 5,7377 R = 537,3687
Т =50 7 = 0,00418 U =1,5191
7=150° ° ’/ = 0,00281° * U = 2,3216
.4. Ток индикатора термометра 7И для заданной температуры
может быть вычислен одним из следующих способов:
а) терморезистор в схеме замещения заменяют (рис. 1.56, ж) ре-
зистивным элементом с сопротивлением RS=>U/I, где U и I—вели-
чины, взятые из таблицы;
б) терморезистор в схеме замещения заменяют (рис. 1.56, в) иде-
альным' источником э. д. с. En = U, где U — величина, взятая из
таблицы;
в) .терморезистор в схеме замещения заменяют (рис. 1.56, и) иде-
альным источником тока J — I, где I—величина, взятая из таблицы;
далее удобно применить метод эквивалентного активного двухпо-
люсника;
г) используют свойство линейной зависимости токов и напряже-
ния участков линейной цепи: IV = A + BU или 7к = С-фО/, где U
и I—величины, взятые из таблицы.
Постоянные коэффициенты А и В (или С и D) можно определить
по схемам замещения рис. 1.56, б, к. В схеме рис. 1.56,6 17 = 0 и
/и = /и.к, а в схеме рис. 1.56, к U = UabK и 1В = 1К,Х. Из линейной
зависимости следует
—7И. к и 7? = (/и. х —
Аналогично определяют коэффициенты С nD; С~1„ х (рис. 1.56,6),
г»=(4.к-С)//аЬк, гДе Л. к—ток в схеме рис. 1.56, к.
5. Расчет остальных токов цепи производят по найденным зна-
чениям I, U, 1а в схеме замещения рис. 1.56, а с помощью законов
Кирхгофа.
ГЛАВА 2
ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
2.1. Прямоугольная рамка, закрепленная на оси, вращается
в равномерном магнитном поле, имеющем индукцию, В = 0,7 ,Тл,
с постоянной частотой вращения « = 3000 об/мин. Стороны рамки,
параллельные плоскости чертежа (рис. 2.1, а), имеют длину а = 16 см
и делятся осью вращения, перпендикулярной. направлению линий
магнитного поля, пополам; стороны рамки, перпендикулярные пло-
скости, чертежа, имеют длину / = 32см. Число витков рамки 4.
Рис. 2.1
Определить период Т, частоту f и угловую частоту мэ.д.с., инду-
цированной в витках рамки. Записать уравнение для мгновенной
э. д. с. рамки. Изобразив вращающуюся рамку в виде генератора
синусоидальной э. д. с., составить эквивалентную схему и построить
векторную диаграмму.
Решение. Рамка, вращающаяся с постоянной частотой в равно-
мерном магнитном поле, пронизывается потоком [1]
Ф = BS cos а = Bal cos а.
При повороте рамки на угол da магнитный поток изменяется на
величину
<1Ф = — Bal sin a da.
Э. д. с., индуцированная в рамке,
d<I> п , . da
е — — w —гг — wBal sin а —г~.
dt dt
Угол поворота рамки « = □/== со/, так как в рассматриваемой
задаче магнитное поле создается двумя полюсами электромагнита
или постоянного магнита, а угловая частота индуцированной э. д. с.
равна угловой скорости вращения рамки:
и = Q = 2зш/60.
Тогда мгновенная э. д. с. рамки
е = wBalu sin со/ = Ет sin со/.
Амплитуда э. д. с. Е,а = wBaka = 51,4 В. Частота изменения э. д. с.
f = со/(2л) = п/60 = 50 Гц. Период Т =1 If = 0,02 с.
Эквивалентная схема и векторная диаграмма приведены на
рис. 2.1,6, в. Таким образом, при вращении рамки в равномерном
магнитном поле в ней индуцируется э. д. с., являющаяся синусо-
идальной функцией времени.
Приведенные соотношения справедливы и в том случае, когда
рамка неподвижна, а вращаются магниты.
Отметим, что' неподвижные полюсы и вращающиеся обмотки,
в: которых индуцируются э. д. с., применяются главным образом
в машинах- постоянного тока, а неподвижные обмотки и вращаю-
щиеся полюсы—в машинах переменного тока,
2.2. На рис. 2.2, а представлена осциллограмма тока и напря-
жения пассивного двухполюсника. Записать выражения для мгно-
венных напряжения и тока, приняв за начало отсчета точку О.
Найти напряжение и ток для момента времени /1 = 7/12. Записать
комплексные амплитуды напряжения и тока. Построить векторную
диаграмму на комплексной плоскости.
Р ешение. Угловая частота со=2л/ = 2л/7’ = 314 рад/с, / = 50Гц.
В момент времени / = 0 напряжение проходит нулевую фазу, т. е.
начальная фаза напряжения равна нулю: фи = 0. Начало синусоиды
тока сдвинуто вправо от начала отсчета времени, значение началь-
ной фазы тока, отсчитываемое от начала синусоиды до оси, отрица-
тельно: фе=—л/4:
Рис. 2.2
Мгновенные напряжение и той
и = Uт sin (со/ + фа) = 200 sin 314/ В, 1 = 1 т sin (со/ + гр,-) =;
= 6 sin (314/ — л/4)А.
При /1=7712 угол а=со/=л/6. Напряжение «=200sin л/6=100В,
ток i = 6 sin (— л/12) = —1,55 А.
Комплексные амплитуды напряжения и тока в показательной форме
= Um^u = 200 В, im = !”/* А.]
Комплексные амплйтуды напряжения и тока в алгебраической
форме
Um = U„f№ = Uт (cos фа + j sin фа) = 200 В, 4 =
t= Im (cos ф,- + j sin ф,-) = 6 [cos (— л/4) + / sin (— л/4)] =
= 6 (/2/2—//2/2) = (3 /2—/3 /2) А.
ров пропорциональны в выбранном
Векторная диаграмма представлена на рис. 2.2, б. Длины векто-
масштабе модулям комплексных
амплитуд. Начальная фаза
напряжения ф„ = 0, поэтому
вектор напряжения направ-
лен по оси + 1, начальная
фаза тока ф,- = — л/4 отло-
жена от оси +1 по направ-
лению часовой стрелки.
2.3. Выполнить задания к
задаче 2.2, приняв за нача-
ло отсчета времени точки О±
и О2 (рис. 2.2, а).
Ответ: для начала отсчета времени в точке
«i = 200sin(314/ + n/2)B, t, = 6sin(314/ + л/4)A, Uim = 200е'л/2 —
= j 200В, 6е^< = (3/2 + /3 /2) А;
для начала отсчета времени в точке 02
= 200 sin (314/+ л) В, t2 = 6 sin ^314/ +-|- л) А,
й2т = 200е'я = — 200 В, 72и = 6e'sXw = (— 3 /2 + /3 /2) А.
Векторные диаграммы представлены на рис. 2.3, а, б.
2.4 *. Записать выражения для комплексных действующих зна-
чений синусоидальных величин, графики мгновенных значений кото-
рых изображены на рис. 2.4, а—г.
Ответы приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Рис. 2.4
А — комплекс- ное действую- щее значение Схема
а б в г
Показатель- ная форма Ё=~е~1'л'вВ V 2 (7=-^1е/я/2В К 2 гг • 2 5 / —п 1 = —^е. 3 А К 2 i= = 70,7e“^3 мА
Алгебраи- ческая фор- ма £=(123—/70,7)В (7 = 770,7 В /=(— l,8+j4,3) А / = (35,35— — 761,16) мА
2.5 . Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны U ==
— (20 +/40) В, / = (5 +/3) А. Построить векторную диаграмму на
комплексной плоскости. Найти мгно-
венные напряжение и ток.
Решение. На комплексной плос-
кости с ортами +1 и + / строим векто-
ры комплексных тока I и напряжения
U (рис. 2.5). Длины векторов пропор-
циональны в выбранном масштабе мо-
дулям комплексных действующих зна-
чений напряжения и тока-*
U = /204-4(Р = 44,7 В,
/ = /52 +32 = 5,83А.
Их начальные фазы;
tg = 40/20 = 2, фи = 63°25',
tg^ 3/5 = 0,6, ф/ = 31°.
Комплексные действующие напряжение и ток в показательной
форме
U = {/е/Фя = 4417е/вз“26' в, 1 = le'^i = 5,83е'31° А.
Комплексные амплитуды напряжения и тока
ит = /2 Ue^u = 63,3е'вз°26' В, 1т = /2= 8,25е/31° А.
Мгновенные напряжение и ток
и = Um sin (<о/ + ф„) = 63,3 sin (at + 1,11) В, i — Im sin (at 4- фг) =
= 8,25 sin (co/ + 0,54) A.
2.6 *. Заданы комплексные- действующие значения напряжений s
и токов цепи:
а) (/ = (—20 + /40) В и / = (—54-/3)А,
б) (/ = (—20—/40) В и / = (—5—/3)А,
в) О = (20-/40) В и 7 = (5—/3)А,
г) (7 = (20—/40) В и 7 = (—5—/3)’А.
Записать выражения для мгновенных токов ,и напряжений.
Ответ-.
а) и — 63,3 sin (at 4-2,03) В и i = 8,25 sin (at 4- 2,6) А,
б) и — 63,3 sin (at 4- 4,25) В и i = 8,25 sin (со/ 4- 3,68) А,
в) и = 63,3 sin (at—1,11) В и i = 8,25sin (at—0,54)А,
г) н = 63,3 sin (<о( — 1,11)В и i = 8,25sin (at 4- 3,7) А.
ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
ЭЛЕМЕНТОВ
2.7. В сеть напряжением (/ = 220 В и частотой / = 50Гц вклю-
чаются поочередно реостат с сопротивлением 10 Ом, индуктивная
катушка с индуктивностью L = 32 мГн и конденсатор емкостью
317 мкФ. Определить для каждого случая токи в приемниках,
построить векторные диаграммы.
Решение. Схемы замещения цепей представлены на рис. 2.7, а—в.
Комплексные сопротивления
Za = 10 Ом, Z6= jLa = /32 10“3• 314 = /10 Ом,
^ь = —] — ~~1317.314 = ~ /ЮОм.
Направление вектора U на комплексной плоскости выбираем по
оси 4-1. тогда (7 = 22Qei° = 220;Bi. / .
Комплексные действующие значения токов
fR= U/R = 220/10 = 22 A, /Л = Й//Хг = 220/(/10) =
= — /22 = 22е-/”/® А, 7С = С//(— jXc) = 220/(— /10)= /22 = 22е^ А.
Мгновенные значения токов
iR = 22 К2 sin bit A, it• = 22 И2 sin (bit—л/2) A,
ic = 22 J^2 sin (bit + n/2) A.
Векторные диаграммы построены на рис. 2.7, г^е.
2.8. В сеть напряжением 17=120 В и частотой /==50Гц вклю-
чена индуктивная катушка сопротивлением R = 12 Ом и индуктив-
ностью L = 66,2 мГн. Ее последовательная схема замещения изобра-
жена на рис. 2.8, а. Определить комплексный ток, значения полной,
активной и реактивной мощностей. Построить топографическую диа-
грамму напряжений, треугольники сопротивлений и мощностей.
Решение. Индуктивное сопротивление катушки
ХЛ = Leo = 66,2-КГ3-314 = 20,8 Ом.
Комплексное сопротивление
Z = R -J- jXL = 12 4- /20,8 = 24е>«о’ Ом, <р = 60°.
Комплексный ток
/= U/Z = 120/24 e'e0° = 5е- 'с0° А.
Комплексная мощность
S = Й7 = 120 5е'8 °° = 600е'6 °° = 600 cos 60° +
+ /600 sin 60° = (300 + /520) В - А,
откуда Р = 300Вт, Q = 520 вар, S = 600 В-А. Эти мощности могут
быть найдены иначе.
Полная мощность S = 67 = 600 ВА.
Активная мощность P — UI cos <р = RP = 300 Вт.
Реактивная индуктивная мощность QL = UI sin <p = XLP — 520 вар.
Напряжение на активном элементе Ubc = RI = 60е_/60°В-
Напряжение на индуктивном элементе Uab=UL—jXLI=Wleis,,° В.
Вектор тока и топографи-
ческая диаграмма напряже-
ний построены на рис.2.8, б,
треугольники сопротивлений
и мощностей—на рис. 2.8, в.
2.9. В сеть напряжением
U = 220 В и частотой f = 50 Гц
включены последовательно со-
единенные батарея конденса-
торов емкостью С = 290 мкФ
и резистор с сопротивлени-
ем R = 5 Ом (рис. 2.9, а).
Определить комплексный ток, полную, активную и реактивную мощ-
ности. Построить векторную диаграмму.
Решение. Комплексное сопротивление
1 10е
Z-J?-/==5-/g5Ln-5-/ll = 12,08e-M^O».
Комплексные напряжение и ток
Й = 220В, 7 = -^=--------=-=18,2е/«5-«’А.
. 2 12,08е~/ва,в
Комплексная мощность
5 = 67 = 220 • 18,2е-/в»>в° = 4006,6е-/«5>в° = (1657,9 -/3647,5) В-А.
Полная, активная , и реактивная мощности: 5 = 4006,6 В-A, Р =
= 1657,9 Вт, Qc — 3647,5 вар. Векторная диаграмма построена на
рис. 2,9, б. Вектор напряжения Ubc = RI = 91е;’в5’вО В совпадает с век-
тором тока, вектор напряжения 6/оЬ = — jXci = 200 е_;’21’5° В отстает
от вектора тока на 90°.
2.10*. Для цепей, схемы которых приведены на рис. 2.10, а—г,
найти комплексные сопротивления, токи и мощности, если напря-
жение сети U = 100 В. Значения сопротивлений на схемах указаны
в омах. Построить топографические диаграммы напряжений.
Ответы даны в табл. 2.10. Векторные диаграммы приведены на
рис. 2.10, д—з.
Таблица 2,10
Значения Схема
а б в г
Z, Ом 3-/4 = 5е-'53° 3+/4 = • = 5е/53° 8-/6= = 10е~;37° 8+/6= = 10е/3’4
/, А 20е/53°= = 12 + /16 20е"'53° = = 12-/16 10е'3’°= = 8 + /6 10е-'37° = = 8-/6
S, кВ-А 2е-/»®° = = 1,2—/1,6 2е'53° = = 1.2+/Т.6 1е-'3’° = = 0,8 —/0,6 1е;37°= = 0,8 + /0,6 1
2.11*. Найти напряжение Uab в цепях, схемы замещения кото-
рых представлены на рис. 2.11, а—г, если С/.ь = 80В, С/яс = 60В.
Рис. 2.11
Ответы представлены в табл. 2.11.
Таблица 2.И
Значение напряжения Схема
а б в г
В 100 20 20 100
2.12. Катушка с активным сопротивлением R = 6 Ом и индуктив-
ностью L = 25,5 мГн соединена последовательно с конденсатором,
емкость которого С—1590 мкФ (рис. 2.12, а). Найти ток и напря-
жение на катушке и конденсаторе, если напряжение на входе цепи
U = 220 В и частота f — 50 Гц. Построить топографическую диаграмму
напряжений.
Рис. 2.12
Решение. Сопротивления элементов схемы
XL = Leo = 25,5 • 10~3•314 = 8 Ом, Хс = 1/(Ссо) = 10e/( 1590 • 314) = 2 Ом.
Комплексные сопротивления
ZEX = R + iXL—iXc = 6 + /8—/2 = 6 + /6 = 8,5е/'«’ Ом,
= R + jXL = 6 + /8 = lOe^»' Ом.
Комплексный ток
/= L7ZBX = 25,9e-/«°== (18,3—/18,3) АГ
Известный ток в цепи позволяет найти напряжение на отдель-
ных участках цепи, потенциалы отдельных точек. Пусть Г„ = 0,
тогда
Vm = Ri= 155,4е-/«° = (109,8-/109,8)В, Vk^Vm + jXrI =
-(109,8—/109,8)4-/8(18,3—/18,3) = (256,6—/36,6) = 259е-'в° В,
Vf =Vft—/Хс/=(256,6—/36,6)—/2(18,3—/18,3) = 220 В.
.В таком же порядке (начиная с Ve по контуру в направлении,
противоположном направлению..тока), строим.на комплексной пло-
скости топографическую диаграмму напряжений (рис. 2.12, б). Эта
же диаграмма может быть построена относительно вектора тока,
общего для всех элементов схемы (рис. 2.12, в).
2.13. При замкнутом и разомкнутом выключателе В в цепи
рис. 2.13 амперметр показывает одно и то же значение тока /=5,55 А.
Определить сопротивления В и XL цепи, если напряжение источника
питания //=100 В, частота f — 50 Гц, а емкость конденсатора
С — 159 мкФ.
Ответ'. R =15 Ом, Xt=10 Ом.
r
2.14. В сеть напряжением 220 В включены последовательно ка-
тушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 159 мГн,
а также батарея конденсаторов. Определить емкость батареи, при
которой в цепи установится резонанс напряжений. Найти ток в цепи
и напряжения на индуктивном и емкостном элементах. Построить
топографическую диаграмму напряжений.
Решение. Схема замещения цепи представлена на рис. 2.14, а.
Сопротивления ее реактивных элементов при резонансе равны [1]
£ю = 1/(Среэ <о). Отсюда Среэ= l/(La>2) = 63,5 мкФ и Лл = Лс = 50Ом.
Комплексное входное сопротивление схемы при резонансе будет
чисто активным:
ZBX = R + jXL-jXc = R = 10 Ом.
Ток
/рез = ////? = 22 А.
Напряжения на индуктивном и емкостном элементах равны между
собой и значительно превышают входное напряжение:
UL = Uc = XI = 50-22 = 1100 В.
Поэтому внезапное установление резонанса напряжений в цепях
может вызвать аварийную ситуацию, привести к пробою изоляции
и т. д. Топографическая диаграмма напряжений при резонансе при-
ведена на рис. 2.14, б.
2.15. В сеть напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены
последовательно катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом
и индуктивностью L = 0,1 Гн, а также конденсатор емкостью 290 мкФ.
При какой частоте наступит резонанс в цепи? Каковы при этом
будут ток в цепи, напряжения на катушке и конденсаторе, реактив-
ные мощности катушки и конденсатора, а также активная и реак-
тивная мощности цепи?
Рис. 2.16
2.16. Цепь, состоящая из последовательно соединенных катушки
с активным сопротивлением 7?=50 Ом и индуктивностью L=14,9 мГн,
а также конденсатора емкостью С= 1,7 мкФ, подключена к источ-
нику синусоидального напряжения, амплитуда которого неизменна,
пределах 0 < /0 < 2/рез.
Построить частотные ха-
рактеристики элементов
и всей цепи, а также за-
висимость I ([), если
и =100 В.
Ответ', зависимости
^l(/)..^c(/)hZ(/) пред-
ставлены на рис 2.16, а,
а зависимость /(Л—на
рис. 2.16, б; fpe3 = 1 кГц.
2.17. Для цепи рис.
2.17, а найти выходное
а частота может плавно изменяться в
Рис. 2.17
напряжение. Параметры
цепи: (7ех = 10В, 7? = Лс=10Ом, Х£ = 20Ом^
Решение. Для последовательной цепи имеем
U ad/Ubd. — Zadl'Zbd'
Отсюда
fj jj —bd . „ 10—/10 jq 10Ц2е jq /п/2-----/10 В.
Выходное напряжение отстает от входного напряжения на угол
л/2. Топографическая диаграмма напряжений (рис. 2.17, б) построена
в следующем порядке:
1) строим вектор тока /;
2) принимаем 1'4 = 0и помещаем точку d в начало координат;
3) потенциалы точек с, b и а равны Vc = — jXci^= Ucd, Vb =
= VC+RI, Va = Vb + jXLI, поэтому вектор Vcd отстает от вектора
тока на угол л/2, вектор Й6ссовпадает с вектором тока, а вектор Vab
опережает вектор тока на угол л/2;
4) входное напряжение Vad= Ucd + 0bc + Uab, а выходное напря-
жение Ubd^=Ucd + Ubc.
Вектор выходного напряжения отстает на угол л/2 от вектора
входного напряжения, а их модули равны.
С целью определения зависимостей модуля и аргумента напря-
жения UBax от параметров элементов цепи можно использовать
программу для микрокалькулятора МК-54 (МК-56)
f л 2 х П—Х б х X—П 9 П—X 1 х X—П 7 И—X 9 П—Х 2 X F 1К X—П S -
X—П О F X2 П—Х 3 F X2 + F тГ П—Х 4 — -5- П—X 3 F X2 П—Х 8 F X2 +
f >Г х X—П а П—Х 5 П—Х О П—Х 3 4- F tg-1 - П—Х 8 П—Х 3 4 F tg~l -
X—П b П—Х а с]а
Исходные данные вводятся в регистры: L = РГ1, С=РГ2 Р = РгЗ
Пех,в = РГ4, фвх = РГ5, / = РГ6.
Результаты вычислений размещены в регистрах: РГ7 = ХГ
РГ8„= ?с’ РГ0 = Х'~Х<> РГс = ^ь,х РГа = ч|>вых. £’
2.18* . Определить выходные напряжения в схемах цепей
рис. 2.18, а:—а, построить топографические диаграммы напряжений,
если ЦзХ=1О В. Значения сопротивлений на схемах указаны в омах’
Рис. 2.18
Ответы приведены в табл. 2.18.
Таблица - 2.18
Значение напряжения Схема
а б в г
^ЕЫХ1 В lOe'e0° 10eil2O° 10е'9°° юе/9°о
2.19. На рис. 2.19, а изображена схема замещения фазы синхрон-
ного двигателя, представляющего собой активный двухполюсник,
имеющий противо-э. д. с. Ео и внутреннее индуктивное сопротивле-
ние X. Параметры двигателя: (7 = 6 кВ, Х = 9,75 Ом, а вектор Ео
отстает от вектора U на угол. 0 = 30°. Найти значения э. д. с. Ео
и активной мощности Р, потребляемой двигателем из сети, если он
работает с cos <р = 1.
Решение. Уравнение электрического состояния двигателя
имеет вид U = Ё9-\-]Х1. По этому уравнению построена векторная
диаграмма рис. 2.19,6, из которой видно, что если ток совпадает
по фазе с напряжением (cos<p=l), а 0 = 30°, то Ео = (7/cos 30° =
= 6,93 кВ.
Ток, потребляемый двигателем из сети,
й-Ё 6—6,93е-/зо° „ о к к Л „„ Л
Yy —• •----7Г------— 0,355 кА — 355 А.
/Л
Активная мощность
jP = (/7cos(p = 6-355 = 2130 кВт.
Реактивная мощность
Q = (//sin (р = 0.
Изменяя значение э. д. с. Ео, можно регулировать коэффициент
мощности синхронных двигателей, что является их важной особен-
ностью.
2.20. Как изменятся ток статора I и его фаза при изменении
значения э. д. с. Ео синхронного двигателя задачи 2.19?
-Указание и ответ. Изменение тока статора и его фазы можно
показать, построив векторные диаграммы рис. 2.20.
При возрастании э д. с. £0 двигатель работает с опережающим
током, при уменьшении э. д. с. Ео—с отстающим током. Обычно
синхронные двигатели работают с опережающим током при cos<p«0,8.
При этом реактивная емкостная составляющая тока двигателя ком-
пенсирует реактивные составляющие токов индуктивных приемников
(асинхронных двигателей, трансформаторов и др.), что приводит
к уменьшению тока и потерь в линиях.
ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ВЕТВЕЙ
2.21. В сеть напряжением U = 100 В включены резистор, индук-
тивная катушка и конденсатор (рис. 2.21, а). Определить токи, если
параметры цепи равны
7? = Хс = 2Х/ = 20кОм.
Построить векторную
диаграмму токов.
Решение. Комп-
лексные сопротивления
ветвей
Zx = R = 20 кОм,
Zs = jXr = /10 кОм,
Z3 — —jXc - — /20 кОм.
Комплексные токи ветвей
/х = Ё/Zy — 5 мА, /2 = (7/Za = — /Ю мА = 10е_уя 2 мА,
/3 = U/Z3 = j5 мА = 5е/л/2 мА.
Комплексный ток в неразветвлениой части цепи
/= /х + /2-р/3==5—/104-/5 = (5—/5) = 5 И2е_ул/4 мА.
Комплексный ток I может быть найден также через комплексные
проводимости ветвей:
i = уэк17 = (Ki + Yj + У3) U = (0,05—/0,1 + /0,05) 100 = (5—/5) мА.
Построение векторной диаграммы удобно начинать с вектора
напряжения V, так как оно является общим для трех параллельных
ветвей (рис. 2.21,6). Вектор тока первой ветви, содержащей рези-
стивный элемент, совпадает по фазе с вектором напряжения. Вектор
тока второй ветви, содержащей индуктивный элемент, отстает
от вектора напряжения на угол <р2 — л/2. Вектор тока в ветви
с емкостью опережает вектор напряжения на угол <р3 =— л/2. Век-
тор тока неразветвленного участка / найдем путем сложения векто-
ров токов ветвей. Он отстает от вектора напряжения на угол
<р = л/4.
2.22* . Найти ток /х в цепях, схемы которых изображены на
рис. 2.22, о—г, если /2 = 6 А, /3 = 8А.
Ответы приведены в табл. 2.22.
В цепи рис. 2.22, в ток /х = 2 А, если Хс > XL, и /Х = 14А,
если Хс < XL.
Т а б л и ц а 2.22
Значение тока Схема
а б в г
К, А 2 10 2; 14 10
2.23. На рис. 2.23, а приведена схема статорной цепи однофаз-
ного асинхронного двигателя. Для получения сдвигов токов в цепь
одной из обмоток включают фазосдвигающий элемент ФЭ: резистив-
ный, индуктивный или емкостный. Какой из этих элементов позво-
ляет получить угол сдвига фаз а = л;/2 между токами /х и /2?
Рис. 2.23
Ответ', векторные диаграммы токов /х, Ц в обмотках двигателя
с резистивным (б), индуктивным (в) и емкостным (а) фазосдвигающими
элементами приведены на рис. 2.23. Сдвиг фаз а = л/2 обеспечивает
конденсатор.
2.24. Определить значение емкости С конденсатора, при котором
в цепи рис. 2.24, а установится резонанс токов. Найти входное
сопротивление цепи при резонансе, а также токи ветвей. Построить
векторную диаграмму токов. Напряжение сети U = 120 В, а пара-
метры цепи равны R — 3 Ом, Х£ = 4 Ом.
Решение. Условием резонанса токов является равенство мо-
дулей реактивных проводимостей ветвей: BL = BC. Для рассматри-
ваемой схемы
BL = XL/(R* + XI) = 4/25 = 0,16 См, Вс = юС.
Отсюда
С = ^- 10е = 509,5 мкФ, ZBX = = "р1/Г-(7кХс) ~ 8-37 Ом:
Входное сопротивление цепи можно найти иначе. Так как реак-
тивные проводимости ветвей равны, а активная проводимость второй
ветви G2o = 0, то ZBX = 1/Gla = (7?2 + X^)lR « 8,33 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи
/= £/ZBX= 120/8,33 « 14,4 А.
Токи ветвей:
Д = G/Z1 = 24e-/63° = (14,4-/19,2) А, /2 = tf/Z2 = 19е/®о° =/19,2 А.
Проверка'. I = 14,4 А= 14,4 А.
Из векторной диаграммы, изображенной на рис. 2.24, б, видно,
что /2 = /1р, но их векторы направлены противоположно. Комплекс-
ный ток в неразветвленной части цепи / = /1а. Вектор тока I совпа-
дает по направлению с вектором входного напряжения U.
2.25. Построить примерный вид зависимостей токов /х, I2 nJ от
значения емкости С батареи конденсаторов для цепи рис. 2.24, а.
Ответ: зависимости токов /х, /2 и /= / (С) приведены на рис. 2.25, а.
Рис. 2.25
Ток /а = 0 при С = 0 (Хс = 1/(Ссо) = оо) и возрастает с ростом С
по линейному закону /2 = Ccot/.' Ток /х не зависит от параметров
элементов второй ветви, ток I имеет минимум при резонансе.
По этому признаку (минимум общего тока) можно опытным путем
определить момент наступления резонанса токов при изменении
емкости батареи конденсаторов. Векторная диаграмма токов, по-
строенная на рис. 2.25, б, подтверждает эти зависимости.
2.26. Определить резонансную частоту и эквивалентное сопро-
тивление цепи рис. 2.26 при резонансе токов, если параметры цепи
равны 7? = 20 Ом, Ь = 20мГн и С = 2мкФ.
Ответ: /«780 Гц, 7рез = 500Ом.
2.27. ' При какой частоте наступит резонанс токов в цепи
рис. 2.26, если можно пренебречь активным сопротивлением катушки?
Решение. Из равенства BL = Вс следует, что если 7?к = 0, то
1/(С«рез) ’ откуДа
(орез = , а /рез ----= 796,2 Гц.
р К LC р 2л Y LC
Из векторной диаграммы
идеального параллельного контура,
представленной на рис. 2.27, следует, что ток в неразветвленной
части цепи I = /х -ф /2. = 0,
т. е. входное сопротивле-
ние контура при резонансе
2вх.рез=о°* Это СВОЙСТВО
идеального контура поз-
воляет использовать его в
качестве элемента электри-
ческих фильтров.
2.28. Найти токи в це-
пи, схема замещения кото-
рой изображена на рис.
Рис. 2.28
2.28, а, если параметры це-
пи равны /? = Х£ = ХС =
= 10 Ом, a Uab= 100 В.
Решение. Комплексное сопротивление ветвей
£1 = Я1+ /Хл = (10 + /10) Ом, Z2 = T?2—/Хс = (10—/10)Ом.
Комплексные токи ветвей
' 100 — 10 !-/ _ 10(1—7) _5_/5_5Го₽-/«’ Д
1 Z1 104-/10 1+/ 1—/ 2 ""Э /& — ЭИ Ze А,
I _ =*00- = J0_2±7 = >0 0+/) = 5 + i5 - 5 К2е/«° А
2 Z2 10—/10 1—/ 1+/ 2 ' О у Л.
Комплексный ток в неразветвленной части цепи
/=7,4-/2 = 5—/54-54-/5 = 10 А.
На векторной диаграмме токов (рис. 2.28, б) вектор тока 7Х от-
стает от вектора напряжения на угол 45° (R = XL), вектор тока 7.
опережает вектор напряжения на
угол 45° (R = ХС), а вектор тока 7
совпадает с вектором напряжения
UаЬ. Последнее обстоятельство ука-
зывает на то, что в цепи установил-
ся резонанс токов.
2.29. Найти напряжение Ucd в це-
пи предыдущей задачи (рис. 2.28, а).
Построить топографическую диаграм-
му напряжений.
Решение. Составляем уравне-
ние по второму закону Кирхгофа для
контура adca: 0 — Ucd—Rji + Rji.
Отсюда
Ucd = Rjz—Rji = 10 (5 + /5)—10 (5-/5) = /100= 100e'90’ B.
Вектор напряжения Ucd (выходное напряжение) опережает вектор
напряжения Uab (входное напряжение) на угол 90°, их модули равны.
Такая схема носит название фазосдвигающей. Построение топогра-
фической диаграммы напряжений (рис. 2.29) производим в следующем
порядке:
1) строим вектор входного напряжения Uab, общего для обеих
параллельных ветвей;
2) строим векторы токов 7Х и 72 (см. задачу 2.28);
3) принимаем Ё6 = 0 и помещаем точку b в начало координат;
4) потенциалы точек с и d соответственно равны Vc = /Х£7/ = йсЬ,
Vd = — jXci2 = 0db, поэтому вектор Ucb опережает вектор тока 7Х
на угол 90°, а вектор Udb отстает от вектора тока 72 на тот же
угол 90°;
5) потенциал точки а равен Va = Vc 4- RJi и Va = Vd 4- 7?272; сле-
довательно, вектор Uac = Rji совпадает с вектором тока 7Х, а вектор
Uad = Rj2 совпадает с вектором тока 72;
6) входное напряжение (7ВХ = ОаЬ цепи равно сумме комплексных
напряжений на реактивном и активном элементах каждой ветви.
Из векторной диаграммы, видно, что Ucd = Uab, но вектор U cd
опережает вектор ОаЬ на 90°.
2.30. Как изменятся токи и напряжение Ucd на выходе фазо-
сдвигающей цепи рис. 2.28,а, если элементы R± и XL поменять
местами?
Ответ: токи не изменятся, напряжение Ucd станет равным нулю
(рис. 2.30).
Рис. 2.30 Рис. 2.31
2.31* . Найти выходное напряжение С/вых в схемах рис. 2.31,0—г,
если входное напряжение £/вх=10В. Значения сопротивления на
схемах указаны в омах.
Ответы приведены в табл. 2.31.
Т а б л и ц а 2.31
Значение напряжения Схема
а б в г
^ВЫХ> В 0 0 5 5
2.32. Сопротивления всех элементов фазосдвигающей цепи
рис. 2.32, о равны между собой. Построить векторную диаграмму
Рис. 2.32
токов и топографическую диаграмму напряжений и определить по
ней соотношение входного и выходного напряжений по амплитуде
и фазе.
Ответ', топографическая диаграмма напряжений представлена
на рис. 2.32,6. Выходное напряжение равно входному, но отстает
от него на угол л/2.
2.33*. Найти выходное напряжение (7ВЫХ в схемах рис. 2.33, а—г,
если входное напряжение (?И=ЮВ, а сопротивления элементов
равны = Т?2 = XL = Хс = 1 Ом.
Ф # 6) г)
Рис. 2.33
Указание и ответ', потенциал точки с Vc = f/BX/2 = 5 В. Выходное
напряжение равно половине входного и опережает его на угол л/2:
1/В№ = 5е/л/2 = /5 В.
2.34. Определить ток и коэффициент мощности приемника электри-
ческой энергии, подключенного к сети напряжением 120 В и частотой
50 Гц, если параметры схемы замещения приемника R = 12 Ом и
Х£ = 20,8Ом. Как изменятся ток и коэффициент мощности цепи,
если параллельно потребителю подключить конденсатор емкостью
79,5 мкФ?
Решение. Определяем ток и коэффициент мощности приемника
электрической энергии (схема рис. 2.34, а). Ток
/п = U/Zn = 120/(12 + /20,8) = 120/(24е/60°) = 5е_/б0’.А.
. Активная мощность Р = RI2 = 300 Вт.
Полная мощность S = t// = 600 В-А.
Коэффициент мощности Х = Р/5 = 0,5.
Для схемы рис. 2.34,6 Хс= 1/(Ссо) = 4О Ом.
Ток i = /п + 1С= 5е-/в»°4-z^o = 2,5—/4,33 + /3 = 2,5-/1,33 =
= 2,86е-^в° А.
Активная мощность осталась неизменной, полная мощность
уменьшилась до значения S = 67 = 120 • 2,86 = 344 В • А. Коэффициент
мощности возрос до значения Х = 300/344 = 0,87.
Векторная диаграмма изображена на рис. 2.34. е. Из диаграммы
видно, что при подключении конденсатора ток I линии передачи
уменьшается, a X = coscp возрастает (ф < фп, со8ф>созфп).
2.35. Приемник электрической энергии (рис. 2.34, а) имеет сле-
дующие паспортные данные: номинальное напряжение t/HOM = 220B,
номинальную мощность Рном = 1,2 кВт, номинальный cos фном = 0,455.
Определить емкость и мощность батареи кон-
- Рис. 2.35
денсаторов, которую нужно включить парал-
лельно приемнику, чтобы повысить коэффи-
циент мощности установки до 0,91.
Решение. Ток приемника
1„ = ~—=11 А.
” U cos фн
Активная составляющая этого тока
/а.п==/пСО5ф = 5А.
Реактивная составляющая тока
/р. п = /„sin ф = 9,53 А,
Комплексный ток приемника
/п = (5—/9,53) А.
После подключения конденсатора активная составляющая общего
тока остается без изменений, а реактивная составляющая умень-
шается (рис. 2.35):
7р = /а.ntg Ф = 2,28 А, где ф = arccos 0,91 = 24°50'.
Комплексный ток линии
/ = (5—/2,28) А.
Ток конденсатора
/с = /—4 = 5—/2,28—5+ /9,53 = /7,25 А.
Мощность батареи конденсаторов
QC=UIC — 220 • 7,25 = 1600 вар =1,6 квар.
Ёмкость батареи конденсаторов
= 314-220? ’ ^°6= мк®*
2.36. Два•индуктивных потребителя электроэнергии с парамет-
рами = 5,5 кВт, иг = 220 В, /х = 38,8 А, Р2 = 2,92 кВт, U&—220 В,
/2 = 22 А соединены параллельно и включены в сеть напряже-
нием 220 В. Определить их общий коэффициент мощности и подсчи-
тать мощность батареи конденсаторов, которую необходимо подклю-
чить параллельно, чтобы повысить общий коэффициент мощности
до 0,9. Найти ток, полную и реактивную мощности потребления
энергии из сети до и после улучшения коэффициента мощности.
Ответ-, до улучшения коэффициента мощности cos ф = 0,67,
7 = 58 A, 5= 12,6 кВ-A, Q = 9,37 квар; после улучшения коэффи-
циента мощности cos ф = 0,9 Qr = 5,45 квар, 1 = 42 А, 5 = 9,3 кВ-А,
3,92 квар.
2.37. Электрическая энергия подводится к приемнику по двух-
жильному кабелю сечением 70 мм2. Согласно нормам, допускаемая
нагрузка по току для такого кабеля равна 325 А. К сети требуется
подключить дополнительно осветительную нагрузку мощностью
20 кВт. Однако при существующем режиме работы кабеля, этого
делать нельзя, так как ток нагрузки в кабеле равен 318 А.
Определение коэффициента мощности показало, что он равен 0,6
(инд.). Было решено улучшить коэффициент мощности с помощью
батареи конденсаторов, подобрав ее так, чтобы при одновременном
повышении коэффициента мощности и включении дополнительной
осветительной нагрузки ток в кабеле не превышал 318 А.
Установить, какой коэффициент мощности будет в сети после
включения батареи конденсаторов. Определить емкость и мощность
батареи конденсаторов, добавочную активную мощность, которую
можно будет использовать для освещения, и ток добавочной осве-
тительной нагрузки. Напряжение приемника считать неизменным
и равным 220 В.
Решение. Для дальнейших расчетов нужно рассчитать новое
значение коэффициента мощности установки после включения бата-
реи конденсаторов и дополнительной нагрузки.
Вычисляем полную, активную и реактивную мощности установки
до - улучшения коэффициента мощности.
Полная мощность
5Х = 67 = 220-318 = 70 000 В-А = 70 кВ-А.
Активная мощность
Pt = S cos = 70 • 0,6 = 42 кВт.
Реактивная мощность
Qt = S sin = 70 0,8 = 56 квар.
Считая ориентировочно дополнительную активную мощность
Р'доп = 20 кВт, находим, что коэффициент мощности при неизменной
полной мощности должен быть равен
cos фа = (Р + РдопУ/S = 62/70 = 0,885.
Примем новое значение коэффициента мощности cos фа = 0,9, а
следовательно, и sin ф2 = 0,436.
Тогда при неизменной полной мощности 70 кВ-А можно полу-
чить активную мощность
Р = S cos ф2 = 70 • 0,9 = 63 кВт.
Поэтому для освещения можно использовать дополнительную
мощность
Рдоп = 63—42 = 21 кВт.
Добавочный ток осветительной нагрузки
/доп = Р^оп/и = 21 000/220 = 95 А.
Реактивная мощность потребления энергии из сети снизилась до
@2 = S sin ф2 = 70 • 0,436 = 30,5 квар.
Реактивная мощность и емкость батареи конденсаторов
Qc=Qi—@2=56—30,5=25,5квар, 10‘=1680мкФ.
На рис. 2.37, а, б приведены эквивалентная схема и векторная
диаграмма установки.
До компенсации соэф к сети был подключен приемник с сопро-
тивлением 7?п и индуктивностью Ln, при этом ток /п = 318 А. После
подключения ветвей с ак-
тивным сопротивлением
7?доп и емкостью С резуль-
тирующий ток I остался
равным 318 А; уменьшил-
ся лишь сдвиг фаз между
напряжением и током.
2.38. Показания счет-
чиков за 7 ч работы равны:
счетчика активной энер-
гии —210 кВт • ч, счетчика
квар. Нагрузка активно-индуктивная;
реактивной энергии—280
напряжение 380 В.
Какую емкость должна иметь батарея конденсаторов для повы-
шения коэффициента мощности установки до 0,95? Какую дополни-
тельную нагрузку можно включить после улучшения коэффициента
мощности при условии, что ток в питающей сети останется таким
же, как и до компенсации: 1) если созф дополнительной нагрузки
равен 0,95; 2) если дополнительная нагрузка чисто активная? Каким
станет сдвиг фаз после включения чисто активной дополнительной
нагрузки, если емкость батареи конденсаторов не будет изменяться
при включении дополнительной нагрузки, а ток останется тем же,
что и до включения батареи конденсаторов?
Ответ: до включения батареи конденсаторов cos ф = 0,6, /=132 А.
После включения батареи конденсаторов, емкость которой С=670 мкФ,
реактивная мощность Qc = 30,5 квар, cos ф = 0,95, / = 82 А. Допол-
нительная нагрузка с cos ф= 0,95 при токе 7 = 132 А равна 1,85 кВ.А.
При чисто активной дополнительной нагрузке 19,5 кВт сдвиг сЬаз
равен 11 и cos <р = 0,98.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ ПАССИВНОГО
ДВУХПОЛЮСНИКА
2.39. Определить параметры последовательной и параллельной
схем замещения приемника по осциллограммам напряжения и тока
(рис. 2.39, с), если амплитудные значения напряжения и тока
(4 = 100В, а 7и = 10А.
Решение. Принимаем за начало отсчета времени момент про-
хождения напряжения через нуль (точка 0 на рис. 2.39, а), тогда
начальные фазы напряжения и тока равны фи = 0, ф(. = л/3.
Фазовый сдвиг между током и напряжением ф = фа—% =
=—л/3 < 0, что соответствует схемам замещения с элементами
/?зк и XskC (рис. 2.39,6) или 68К и Ввк (рис. 2.39, в). Полное сопро-
тивление Z8K= Uт/1т = 10 Ом.
Активное сопротивление /?эк = ZBK cos ф = 5 Ом.
Реактивное сопротивление Хвк с = ZgK sin ф = 8,66 Ом.
Полная проводимость У8Кс = lmlUm = 0,1 См.
Активная проводимость б8К = У8К cos ф = 0,05 См.
Реактивная проводимость 7?вк с = У8К sin ф = 0,0866 См.
2.40. По векторной диаграмме, приведенной на рис. 2.40, а,
определить параметры последовательной и параллельной схем заме-
щения потребителя электроэнергии, если U = 90 В, 7 = 5 А, ф = 60°.
Решение. Разлагаем вектор напряжения U на активную 0й
и реактивную Uv составляющие (рис. 2.40, б).
Составляющие Vй и Uv можно рассматривать как напряжения
на активном и реактивном элементах последовательной схемы заме-
щения рис. 2.40, в. Тогда
В8К= UJI = 9 Ом, Хэк = Ujl = 15,6 Ом.
Разлагаем вектор тока I на активную 7а и реактивную 7Р состав-
ляющие (рис. 2.40, г): 7a = 7cos<p = 5-0,5 = 2,5 А, 7., = 7sin<p =
= 5-0,866 = 4,3 А.
Рис. 2.40
Составляющие 7а и 7р можно рассматривать как токи в активном
и реактивном элементах параллельной схемы замещения рис. 2.40, с?;
следовательно,
СЭк = К/и = 0,028 См, В8К = 7 р/77 = 0,048 См.
2.41. При испытании однофазного трансформатора в режиме хо-
лостого хода (рис. 2.41,о) приборы показали: 7/1ном = 220 В, 71х =
= 1,4 А, Рк = 39 Вт. Определить параметры схемы замещения транс-
форматора в режиме холостого хода (рис. 2.41,6).
Рис. 2.41
Решение. Полное сопротивление Zo = 771ном/71х= 157,1 Ом.
Активное сопротивление 7?0 = 7’x/7fx = 19,9 Ом.
Индуктивное сопротивление X0 = ]f Z%—=145,9 Ом.
2.42. Индуктивная катушка (рис.
2.42) включается сначала в сеть пос-
тоянного тока (положение 1 пере-
ключателя 77), а затем в сеть пере-
менного тока частотой / = 50 Гц (по-
ложение 2). Приборы показали: на
постоянном токе 7/_ = 120 В, 1_ =
= 20 А, на переменном токе]77„ =
= 120 В, 7_ = 12 А.. Определить ин-
дуктивность катушки.
Указание и ответ.', активное сопротивление катушки определяется
по показаниям приборов в цепи постоянного тока, R = 6 Ом, L ==
=25,5 мГн. -
2.43. В схеме рис. 2.43, а включены три вольтметра, показания
которых равны ^г = 220 В, t/V1 = 110 В, L7Vz= 138 В. Определить
параметры катушки, если сопротивление Z?x = 22 Ом.
Решение. Применяем аналитический метод. Находим ток и пол-
ное сопротивление цепи:
/ = ^/^ = 5 A, Zsx =£/// = 44 Ом.
Определяем полное сопротивление катушки:
Z = l/2/Z = 27,6 Ом.
Сопротивление ZBX и Z связаны с элементами схемы уравнениями
Z2 = /?2 + X? и ZBX = (Z?i + /?)2 -|- X2. Решая эту систему уравнений,
находим /? = 15,7 Ом и Х = 22,7 Ом.
Эту задачу можно решить графически, используя векторную
диаграмму рис. 2.43, б. Для построения диаграммы за исходный
принимаем вектор тока 7 и откладываем в масштабе напряжений ти
совпадающий с ним по направлению вектор напряжения lZt. Зная
направление вектора 0±, достраиваем две другие стороны треуголь-
ника напряжений О и 02. Проецируя вектор 02 на вектор тока
и па перпендикулярное ему направление,
получаем в масштабе напряжений отрез-
ки, пропорциональные активному и реак-
тивному напряжениям катушки, по кото-
рым определяем У? и X:
R — cbmu/I = 15-5/5= 15 Ом,
X = bam^/I — 23 • 5/5 = 23 Ом.
2.44. Цепь, схема которой представле-
на на рис. 2.44, настроена в резонанс изменением емкости батареи
конденсаторов. Определить параметры последовательной схемы заме-
щения индуктивной катушки, если частота / = 50 Гц, а показания
приборов равны IА— 10 А, б/у,= 127 В, £/Ve = 314 В.
Решение. Емкостное сопротивление A' = t/2// = 31,4 Ом. Усло-
вием резонанса напряжений является равенство реактивных сопро-
тивлений
Л£ = Хс = 31,4 Ом.
Входное сопротивление' цепи при резонансе будет чисто актив-
ным, т. е.
R^Z^ = U\II=\2,1 Ом.
2.45. Определить параметры последовательной и параллельной
схем замещения индуктивной катушки, если при резонансе токов, полу-
ченном изменением емкости батареи конденсаторов в цепи рис. 2.45, а,
приборы показали: 7дх = 100 мА, 1а2 = 98 мА, 1а2 = 20 мА, Uv = 20 В.
Рис. 2.45
Решение. Векторная диаграмма токов при резонансе приведена
на рис. 2.45,6. Из нее следует, что sin =/2//х = 0,98, a cos<px =
= 73/Л = 0,2.
Активная и реактивная составляющие напряжения Ut
Uia —~U cos <px = 4 В, f/Xp = U sin<px = 18,8 B.
Параметры последовательной схемы замещения катушки
7?эк = Ga/7X = 40 Ом, Хвк L = Uv/I± = 188 Ом.
Активная и реактивная составляющие тока If
/Ха = /3 = 20 мА, 71р = /2 = 98 мА.
Параметры параллельной схемы замещения
GBK = Zla/t/ = 0,001 См, B9Kl = Iiv/U = 0,0049 См.
РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
2.46. Сопротивления элементов схемы замещения электрической
цепи рис. 2.46, а при заданной частоте источника питания равны
R = 5 Ом, Хс = 5 Ом, Х£ = 2,5 Ом. Определить токи при напряже-
Рис. 2.46
нии (/-=25 В. Построить векторную диаграмму токов и топографи-
ческую диаграмму напряжений.
Решение. Воспользуемся методом эквивалентных преобразова-
ний (свертывания). Заменяем параллельные ветви одной эквивалент-
ной ветвью с сопротивлением Zob, при этом
- 5-j5---------2------(2,0 —/2,t>) Ом.
Участки са и ab соединены последовательно, поэтому входное
комплексное сопротивление цепи
ZEX = Zco Zo6 = /2,5 -f- 2,5—/2,5 == 2,5 Ом.
Отметим, что, поскольку входное сопротивление имеет только
действительную часть, в цепи установился режим резонанса.
Переходим к определению токов:
/8 = (7/ZBX = 25/2,5 =10 А,
Uаь = U-Zcai3 = 25-j2,5.10= (25-/25) В,
Л = ^ab/R = (5- /5) А, /2 = Uab/(- jXc) = (5 + /5) А.
Проверка: = + /2, 10 = 5—/5-Ь5 + /5, ЮА = 10А.
Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма на-
пряжений приведены на рис. 2.46, б.
2.47* . Найти входные сопротивления цепей рис. 2.47, а-^-г, если
^ = Х/==ХС=Ю Ом.
Ответы даны в табл. 2.47.
Таблица 2.47
Значение сопротивления Схема
а б в г
10—/ТО со 5+/5 10
2.48*. Найти токи в схемах рис. 2.48, а—г, если параметры
элементов P = XL = XC = 2 Ом, а входное напряжение (7 = 10 В.
Ответы даны в табл. 2.48.
Таблица 2.48
Значение тока Схема
а б в г
7, А I 1 1+/ 1+/
Л, А i-i —/ 1 /
4, А i 1+/ / 1
2.49. Определить токи и напряжения всех участков цепи рис. 2.49,
пользуясь методом подобия, если напряжение Uad = 120 В. Значения
сопротивлений участков цепи R6 = Х3 = = 1 Ом; = R2 = 2 Ом.
Решение. Задаемся комп-
лексным током на пятом участ-
ке /в = 1 А. Тогда:
напряжение
^d==V6=i в,
с ь с
в) г) (jo
Рис. 2.48 Рис. 2.49
токи
4=*4Д/*4) = I//2=- /0,5А, 4=4+4=(1 -J0,5)А,
напряжение
+ (- Р4) / = I + (- /1) (1 —/0,5) = (0,5—/1) В,
ток
4 = ^/4 = (0,5—/1 )/2 = (0,25-/0,5) А,
общий ток цепи
4=4 + 4=(1,25-/1)А,
' напряжение на выходе
^=^ + №4 = 0,5-/1 + /1 (1,25-/1) =
= (1,5 + /0,25) В = 1,52е'9°28' В.
Для определения действительных значений.токов и . напряжений
все найденные значения надо увеличить в 120/1,52 = 79 раз.
2.50. Для цепей рис. 2.50, а—г построить топографические
диаграммы напряжений и определить напряжение UаЬ, если ток
1=1 А. Сопротивления элементов на схемах указаны в омах.
Ответы приведены в табл. 2.50.
Таблица 2.50
Значение напряжения Схема
а б в г
Uab, В 10 3 К2 е-/45° 10e-9O° 10
2.51. На рис. 2.51 приведена схема электрической цепи с двумя
источниками синусоидально изменяющихся э.д.с. ег = е2 = 141 sin®/ В.
Определить токи ветвей методом междуузлового напряжения.
Решение. Находим узловое напря-
жение цепи при Ё1 = Ё2= 100 В:
V Р -LV Р 100 —|—.ат, ЮО
т'г £iC1 + >_2C2 /5 1 /20
аЬ~ у1+К2 + Г - 1,1,1 ~
/5 "Т"/20 "t" 3
fXp-/90° „
=—. -- г=60е-й^°10'=(36—/48)В.
0,417е-'?° 80 .
Рис. 2.51
Применяя закон Ома для ветвей цепи, получаем комплексные
токи:
V К0Р-/5 3о10'
1 = = - -----= 2Ое-'вз°10 А,
А О
/ _ Ei-Uab _ I00- 36+/48 _ 8Ое;36°50’ _ 1Л_,-ЙЗо10- д
Л /Х'1 /5 ~ 5е/»0° 1
f - Ё2~йаЬ _ 100 -36+748 __ 8Ое,зв°50* . _ л„_,-йао,„, д
2 /Х2 /20 “ 20CJ80°
2.52. Найти ток /2 в цепи рис. 2.52, а, если параметры цепи
равны —1 Ом, А\=1 Ом, 7?3 = 4 Ом, /?2 = 3 Ом, Xz2 = 4 Ом,
а £ = 220е;12о° В.
Решение. По теореме об активном двухполюснике,
Л = ^оЬхЛ^вх
Из схемы рис. 2.52, б следует, что
F 220е/120°
^йЬх = #з4 = #з ^i + ^ + j-Xx = 4 5+/1
= 4'.2.^2£n2— = 176,52е'1 °8 7° В.
5,1е'11>3°
Входное сопротивление относительно зажимов а и Ь
ZiR3 (i+/r)-4 __ 4+/4 _ 5,66е'45°
-БХаЬ~ £1 + £3 - 1+/1+4 — 5+/I ~ 5,1е'11’3’
= 1,11е'33>’° = 1,11 (0,83 + /0,55) = (0,92 + /0,61) Ом.
Ток /2
z 176,52eJ1O8,7° _ 176,52eJ108’7° _ 2 ,69о д
у2— 0,92+/0,61+3 + /4 3,924-/4,61 ’
ПРОСТЕЙШИЕ КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ
2.53. Построить круговую диаграмму тока I неразветвленной
цепи, схема которой приведена на рис. 2.53, а, если напряжение
77=120 В, сопротивление 7? = 6 Ом, а индуктивность £ изменяется
от 0 до оо.
Решение. На комплексной плоскости по оси 4-1 в масштабе
напряжений ти откладываем вектор входного напряжения U = 120 В
и в масштабе токов /и,—вектор тока короткого замыкания (рис.
2.53,6): /К = £7/7К = £7/Д = 120/6 = 20 А.
Так как вектор /к совпадает по фазе с вектором входного на-
пряжения, то он является диаметром окружности токов. Линию
переменного параметра (л. п. п.) строим по сопряженному комплексу
сопротивления цепи Z — R— jX. Для этого по оси 4-1 откладываем
в масштабе сопротивлений mR = 2 Ом/см отрезок О А, соответствую-
щий значению R = 6 Ом: О А = R/mR — 3 см. Из точки А параллельно
оси —j проводим линию, кото-
рая в масштабе сопротивлений mR
является л. п. п. Заданному сопро-
тивлению XL = mR • AM соответ-
ствует отрезок ON, выражающий
в масштабе токов mt ток /.
При изменении XL от 0 (корот-
кое замыкание) до оо (холостой
Рис. 2.54
Рис. 2.53
ход) конец вектора I (точка N) скользит по окружности от точки С
до точки О.
Построив на векторе U как на диаметре окружность, получим
отрезки, определяющие напряжения RI и jXrl (рис. 2.53, б).
2.54. Построить круговую диаграмму тока I для цепи рис. 2.54, а,
если напряжение £7=120 В, сопротивления /?0 = 3 Ом, Х0 = 4 Ом,
а сопротивление R изменяется от 0 до сю.
Ответ и указание: 1К = О= /(7?о+/^о) = 24е-'5301®'.
Вектор тока короткого замыкания /к сдвинут по фазе относи-
тельно вектора входного напряжения на угол 0 < <р < л/2, поэтому
он является хордой окружности токов (рис. 2.54, б).
Линию переменного параметра строим по уравнению
Z = RQ—jX0 + R = ZK + R-
Отрезки OA^Xjmf,, A^A = R0/mR. В точке А л.п. п. перемен-
ное сопротивление R = 0.
Центр окружности Of находится в точке пересечения перпенди-
куляра В'А', восставленного через середину хорды (7К), и линии ОМ,
проведенной из начала координат (точка О) перпендикулярно линии
переменного параметра; отрезок
противления 7? от 0 до оо точка Nit
рис. 2.54, б) перпендикуляры
ОС—диаметр. При изменении со-
определяющая конец вектора
тока 7, скользит по рабочей части
окружности от точки К до точки О
(рис. 2.54, б).
2.55. Для цепи предыдущей
задачи построить кривые активной
и реактивной мощностей при из-
менении сопротивления 7? от нуля
до 20 Ом.
Решение. Опускаем из кон-
ца вектора тока 7 (точка Nt на
на направления координатных осей.
Полученные отрезки и ON в масштабе мощностей тр выражают
соответственно реактивную Q и активную Р мощности цепи:
Q = VI sin ф = UIP = UNNgnp = mpNNlt P = U I cos ф =
- V Ia = V ON mt—mp0N,
где mp — Umj— 120 B-6 A/cm = 720 Bt/cm.
Графики Q (7?) и P (7?) приведены на рис. 2.55.
2.56. Построить годограф вектора тока 7 для цепи рис. 2.56, а,
если напряжение 77=100 В, сопротивление 7?О = 5 Ом, а сопротив-
ление Хс изменяется от О до оо. По круговой диаграмме построить
зависимости Р(Хс)и(2(Хс).
Ответ: круговая диаграмма и графики мощностей представлены
на рис. 2.56, б, в.
2.57. Построить годограф вектора тока 7 для цепи рис. 2.57, а,
если напряжение 77=100 В, сопротивления 7?О = 8 Ом, Х0 = 6 Ом,
а сопротивление XL изменяется от 0 до оо.
Ответ: круговая диаграмма тока приведена на рис. 2.57, б.
Рабочей частью окружности является дуга KNO. Диаметр окруж-
ности определяется резонансным током /рез = {///?0 = 100/8= 12,5 А.
Рис. 2.57
2.58. На рис. 2.58, а приведена схема простейшего фазовращателя
напряжения. Построить годограф вектора выходного напряжения
Йвых и определить диапазон регулирования его фазы. Параметры
цепи XL = 2XC- R изменяется от 0 до оо.
Решение. Строим годограф вектора тока I (рис. 2.58, б), при-
чем 1 =__________= — ЕХ .. = --в*.
чем /к /(Х/_Хс) jXl/2 jXc
Для построения годографа вектора выходного напряжения Йвых
воспользуемся методом построения окружности по трем точкам. Для
этого рассмотрим три режима це-
пи и определим с помощью по-
строения топографических ди-
аграмм напряжения положения
вектора Йвых и, следовательно,
точки С для этих режимов. Для
удобства построения диаграммы
на векторе входного напряже-
ния £/вх как на диаметре целе-
сообразно построить окруж-
ность.
Режимы:
1) короткого замыкания, R =
= 0, Йвых.к —^Ск= !ХС1* =
=— t/EX, точка Ск (рис. 2.58, б);
2) холостого хода, R = оо,
Рис. 2.58
7 = 0, точка Сх совпадает сточкой А (рис. 2.58, б), ЙЕЫХ. х =77вх;
3) промежуточный, R = XC, /пр==/пре-(4В°. Напряжение на кон
ДеНСаТОре Йспр = Йр.пр= 17а-пр, ^вых.пР = ^Спр + ^Дпр = £4хе-/я/2>
точка Спр (рис. 2.58, б).
По точкам Ск, Сх и Спр строим годограф вектора /7ВЫХ.
При изменении сопротивления 7? от 0 до оо выходное напряже-
ние не изменяется по модулю (Пвых = (7ВХ), но изменяется по фазе
в диапазоне от —п до 0.
2.59. Построить годограф вектора общего тока I для цепи
рис. 2.59, а, если t/ = 220 В, R.2 =
Хг = 10 Ом.
Ответ: векторная диаг-
рамма приведена на рис.
2.59, б. Годографом вектора
общего тока I и тока яв-
? ляется прямая ОО±.
2.60. Построить круговую
Рис. 2.59
диаграмму тока I для цепи
рис. 2.60, а, если напряжение
U = 180 В, сопротивления
Хс — 60 Ом, Хг -- 90 Ом, соп-
ротивление R изменяется от 0
до оо. Определить значение
сопротивления X'L, при котором в цепи может наступить резонанс
токов.
Решение. Для построения круговой диаграммы, общего тока/
достаточно построить круговую диаграмму тока /2 и учесть постоян-
ное значение тока /р в конденсаторе.
Рис. 2.60
Для построения круговой диаграммы тока 72 на рис. 2.60, б от
точки Of вправо откладываем отрезок О±А = Xjm^ и проводим пря-
мую АВ, являющуюся линией сопротивления R. Инверсный ток
/ИВЕ = /2К= 180/90 = 2 А определяет диаметр окружности О£. Для
любого сопротивления R = АА±-тк ток /2 определяется в масштабе
тока mj отрезком O±N.
Так как ток 7 = 71 + 72, то для получения его круговой диа-
граммы достаточно перенести начало координат в точку О, сдвину-
тую относительно точки вектором тока
А = #/(- /*с) = 180/(— /60) = /3 А.
Этот вектор должен быть отложен на диаграмме в том же мас-
штабе т1У в каком построена круговая диаграмма тока /2.
Геометрическим местом концов вектора тока I будет та же окруж-
ность. При увеличении сопротивления R точка N скользит по окруж-
ности влево (R = 0) в направлении от точки С к точке (R = оо).
Вектор напряжения (/ совпадает с вещественной осью +1, поэтому
при /х = /2К угол сдвига фаз <р < 0 и в цепи не может наступить
резонанс токов. Такой резонанс может наступить только при 4 < Z2K
или при XL < Хс, т. е. при X'L < 60 Ом. Предположим, что X'L =
=±=40 Ом. Тогда /2К= 180/40 = 4,5 А и круговая диаграмма будет
иметь вид, как на рис. 2.60, в.
При R = 0 точка N совпадает с точкой К и ток I определяется
отрезком ОК. С увеличением сопротивления R точка N скользит
по окружности влево, приближаясь к точке N', а при J? = oo —
к точке Ох. Из диаграммы видно, что общий ток такой цепи при
резонансе токов не будет минимальным.
При построении круговых диаграмм были выбраны масштабы
сопротивлений mR = 6 Ом/мм и токов тг — 0,067 А/мм.
Резонанс токов наступает при R = 28 Ом, при этом /х = 3 А,
/2 = 3,66 А и / = 2,12 А.
2.61. Построить годографы векторов токов /2 и I для цепи
рис. 2.61, а, если напряжение U = 100 В, сопротивления Хс = 50 Ом,
R = 20 Ом, а сопро-
тивление XL изменя-
ется от 0 до оо. Оп-
ределить значения тог
КОВ /рез И Арез» При
которых в цепи мо-
жет наступить резо-
нанс токов.
Ответ: круговая
диаграмма приведена
на рис. 2.61, б. Рабо-
чая точка конца век-
тора I скользит от
точки К (при Х£ = 0)
вправо. При положении
i
о---
К
Ък
jXfvar
*/ О{ It
•рез
О
4?
й
н
т"
1рез
й
R
О
°)
Рис. 2.61
/V и /V' в цепи имеются два резонанса токов. При
Х£=10 Ом общий ток цепи определяется отрезком ON (72рез = 4,5 А
и /рез = 4 А), при большем значении А4 = 40 Ом общий ток опре-
деляется отрезком ON' (4Рез = 2,2 А и /рез=1 А).
2.62. Построить годограф вектора общего тока / для цепи
рис. 2.62, а, если напряжение С/= 120 В, сопротивления/4=12 Ом,
/4 = 20 Ом, Х£ = 20 Ом, а сопротивление Хс изменяется от 0 до оо.
Определить значение 'суммарного
тока при резонансе токов.
Ответ: 72 = 4,23 A, 7iK=10A.
Круговая диаграмма приведена на
рис. 2.62,6.
2.63. Определить пределы изме-
нения фазы напряжения фазовра-
щающей цепи (рис. 2.63, а) по от-
ношению к фазе напряжения источ-
ника питания 1/оЬ=100 В, если
сопротивления цепи /?1 = ₽1'=л2=
= 10 Ом, а сопротивление Т?2 из-
меняется от 0 до оо.
Решение. Если принять нап-
ряжение Uab = 100 В, то ток /2 при
переменном сопротивлении R$ будет изменяться по окружности
рис. 2.63,6, диаметр которой равен 72к=10 А и расположен по оси
мнимых величин. Заданному сопротивлению Т?2 = m^km и току Ц со-
ответствует вектор падения напряжения Т?2/2, определяемый отрез-
ком bd окружности и построенный на векторе напряжения 0аЬ как
а
о
о-
b
Рис. 2.63
Рис. 2.64
на диаметре. Точка d второй ветви при изменении сопротивления Т?2
скользит по полуокружности напряжений в направлении от точки b
к точке а. Точка с лежит на середине вектора Uab, поэтому вектор
напряжения Udc является
радиусом полуокружности
напряжений и его фаза из-
меняется от —180° при
Т?2=0 ДО 0° при Т?2 = оо.
2.64. Определить пре-
делы изменения фазы тока
фазовращающей цепи (рис.
2.64, а) по отношению к
фазе напряжения источни-
ка питания 17= 10 В, если
сопротивления цепи Хс = 50 Ом, Х£=100 Ом, а сопротивление 7?
изменяется от 0 до оо.
Ответ-. 71 = 0,1 А, 72к = 0,2 А. Фаза вектора тока 7 в нераз-
ветвленной части цепи изменяется от +90 до —90°. Значение неиз-
менно и равно 0,1 А. Круговая диаграмма приведена на рис. 2.64,6.
МАГНИТНО-СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ.
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
2.65. На рис. 2.65, а приведена схема замещения двух катушек
с магнитной связью, а на рис. 2.65, б, в—графики изменения во
времени тока в первой катушке и напряжения и2 между разомк-
нутыми выводами второй катушки. Определить взаимную индук-
тивность катушек, если Im-2 A, U2m = 20 В, т = 0,003 с.
Решение. По определению, напряжение на зажимах второй
катушки
При линейном изменении тока в течение времени —
взаимная индуктивность
^=W03 = I5 мГн>
2/те z*z
2.66. Катушки с магнитной связью задачи 2.65 имеют следую-
щие параметры: L1 = 0,04 Гн, 7^ = 30 Ом, L2 = 0,9 Гн, Т?2 = 60Ом.
По какому закону изменяется напряжение между разомкнутыми
выводами второй катушки, если первая катушка включена в сеть
с синусоидальным напряжением гц = 100 sin 1000Z? Построить век-
торную диаграмму.
Указание и ответ', комплексная амплитуда напряжения между
выводами второй катушки
Л. = /*»/,.С,„
= 30 sin (л/2—arctg 4/3 + 1000/).
Векторная диаграмма построена на рис. 2.66.
Рис. 2.67
2.67. Для определения взаимной индуктивности двух катушек
собрана цепь по схеме рис. 2.67. В первичную ветвь этой цепи для
измерения тока ^включен амперметр. К зажимам второй катушки
подключен вольтметр, измеряющий напряжение холостого хода вто-
ричной цепи U^. Найти величину М, если ток Ц = 0,15 А, напря-
жение t/2x = l В, а частота источника питания /=100 Гц.
Ответ-. Л1=10,6 мГн.
2.68. Для определения взаимной индуктивности М катушек были
проведены два опыта по схемам рис. 2.68, а, б. С помощью прибо-
ров измерены следующие величины: 147,5 В, Д = 1 А, Рг =
= 70 Вт (в цепи рис. 2.68, а) и 1/2= 141,6 В, /2 = 2 А, Р2=280 Вт
(в цепи рис. 2.68, б). Чему равна взаимная индуктивность катушек,
если частота источника питания / = 500 Гц?.
Указание и ответ. Уравнения по второму закону Кирхгофа
записываются в виде:
для цепи рис. 2.68,а (согласное включение)
— Ц (Rt + Т?2 + + /2*м) = Л (R + ]ХЭК),
для цепи рис. 2.68,6 (встречное включение)
U2 = f2(Ri + R2 + jXi+ iX2-j2XM)^i2(R + jX^).
Переходя к модулям, рассчитывают эквивалентные индуктивности
цепи: при согласном включении £gK = 41,3 мГн, при встречном
включении £'эК = 3,18 мГн.
Взаимная индуктивность
M = (L'3K—££к)/4 = 9,53 мГн.
2.69. Для цепей задачи 2.68 построить векторные диаграммы,
если £i=14,95 мГн, £2 = 7,32 мГн и ^ = 47 Ом, /?2 = 23 Ом.
а
Рис. 2.69
Ответа на рис. 2.69, а приведена векторная диаграмма для со-
гласного включения, а на рис. 2.69,6—для встречного включения.
2.70. На рис. 2.70, а показаны две индуктивно связанные парал-
лельные ветви, причем в одну из них включен конденсатор, сопро-
тивление которого при заданной частоте равно ^т = <о£1 = 100 Ом.
Сопротивление другой катушки /?2 = Х2 = 8 Ом, а сопротивление
Рис. 2.70
взаимной индуктивности coM = 8 Ом. Напряжение сети U— 120 В.
Определить токи в ветвях. Построить полную векторную диаграмму.
Составить баланс активных мощностей для этой цепи и определить
активную мощность, передаваемую из одной ветви в другую.
Решение. Для определения токов в ветвях составляем урав-
нения
U = Z^ + /ыМ/2, U = Zj, + jaMl'i,
из решения которых имеем
/_// £2—/<оЛ1 .
Направляем вектор входного напряжения U по оси веществен-
ных величин, т. е. принимаем U — 120 В. После подстановки число-
вых значений сопротивлений и напряжения U в выражения для
токов получаем Д=15 А, 12 = -—/15 А.
На рис. 2.70, б приведена векторная диаграмма, из которой
видно, что вектор тока l\ совпадает по фазе с вектором напряже-
ния U, а вектор тока 12 отстает по фазе от вектора этого напря-
жения на 90°. Вектор общего тока I определен суммированием
токов ветвей: / = /1 + /2 = (15—/15) А= 15 }/2 е-'45” А.
Активные мощности:
цепи
Р = Re(L//*) = Re [120-(15 +/15)] = 1800 Вт,
первой и второй ветвей
P1=Re(t/Zy = Re(120-15)=1800 Вт, Pg=Re((/Z*) = Re(120-/T5) = 0.
Следовательно, электрическая энергия потребляется из сети
лишь первой ветвью; вместе с тем тепловые потери имеются только
во второй ветви.
Мощности поступления энергии из сети в первую ветвь и полной
передачи из нее во вторую ветвь равны между собой:
Р = Re [Е2яД] = Re [(—/815) /15] =1800 = Р2Р2 = 225 • 8 = 1800 Вт.
2.71. На рис. 2.71 приведена Т-образная схема замещения обра-
тимого четырехполюсника
Рис. 2.71
при синусоидальных напряжениях и то-
ках. Составить уравнения, выражаю-
щие линейную зависимость и р
входной ветви от напряжения U2 и тока
12 выходной ветви при указанных на
схеме положительных направлениях то-
ков и напряжений. Комплексные сопро-
тивления "элементов схемы Z1=Z2=
=(0,6 +/0,8) Ом и Z0 = (120 + /T60)"Om.
Решение. Требуемую зависимость выражают уравнения
U^AU^BI» f^-CU. + Df,.
Комплексные коэффициенты А, В, С и D могут быть определены
на основе анализа состояния заданной схемы при разомкнутых и
замкнутых накоротко выходных полюсах и соответствующих этим
состояниям уравнений четырехполюсника.
При /2 = 0 (выходные полюсы схемы замещения разомкнуты)
Й(/Й2 = (Zo + ZJ/Zo = (120 ф /160 + 0,6 +/0,8)/(120+/160)= 1,005,
С = Д/С/2 = 1 ,/Z0 = 1/(120 + /160) = (0,003—/0,004) См.
При й2 — 0 (выходные полюсы схемы замкнуты накоротко)
ZjZ2
£о '
Z2
(1,203 +/Т,604) Ом,
B = -y- = Z14
*2
1 ^0 “Ь ^2 - %2 - 0,6-|-/0э8
4 Zo “ + 12О+/16О = 1’005'
Подставляя комплексные коэффициенты А, В, С и D в уравне-
ния четырехполюсника, получаем
С71=1,005Й2 +(1,203+ /1,604) 4,
Д = (0,003-/0,004) U2 + 1,005/2.
2.72. Ко вторичным зажимам Т-образного четырехполюсника
задачи 2.71 подключен приемник, мощность которого Р2=1 кВт,
напряжение (/2= 100 В, cos<p = 1.
Найти напряжение Ui и ток Ц
четырехполюсника.
Указание и ответ', комплекс-
ные напряжения t/2=100B и ток
нагрузки /210 А;
йг = 112,5 + /16,04 = 114/8=в' В,
Д== 10,35—/0,4= 10,35е-'2013' А.
2.73. Для четырехполюсника,
эквивалентная схема которого
приведена на рис. 2.73, а, соста-
вить уравнения, выражающие зави-
симость комплексных напряжения
Ut входной ветви и тока 72 вы-
ходной ветви от комплексных то-
ка входной ветви 1г и напряже-
ния Uz выходной ветви. Изобразить эквивалентную схему с зави-
симыми источниками тока и напряжения, если Z1 = (4 + /3) Ом,
Zo=12 Ом, Z2 = 6 Ом. .
4)
Рис. 2.73
Решение. Искомую зависимость выражают уравнения четырех-
полюсника Н-типа:
^1 =2У11Л +^12^2> 2 = #21Л +_^22^2-
Коэффициенты Нц, Hi2, Hsi и Я22 можно определить на основе
рассмотрения исходной схемы сначала при разомкнутых первичных
полюсах, а затем при короткозамкнутых вторичных полюсах с одно-
временным анализом уравнений Н-типа, соответствующих этим со-
стояниям.
При = О
#12 = ?o/(Zo + Z2) = 2/3,
#22 = W = 1/ (4 + Z2) = 1/18 Ом.
При #2 = 0
#и = = Zi+iZ^KZ. + z2) = (8 -ь /3) Ом,
#2i = /'2/Л = Z2/(Z0 + Z2) = -2/3.
Учитывая найденные коэффициенты, систему уравнений Н-типа
можно записать в виде
#1=(8+/3)л+-|{/2, 4=-|Л+^#2.
Первое уравнение дает основание рассматривать напряжение
между входными полюсами как сумму двух частичных напряжений:
падения напряжения, созданного заданным током /f в пассивном
элементе с сопротивлением #ц = (8 + /3) Ом, и напряжения между
полюсами идеального источника э.д.с., числовое значение которой
2 •
пропорционально заданному выходному напряжению = у 1/2.
В соответствии со вторым уравнением ток во вторичной цепи можно
считать суммой двух частичных токов: тока, созданного заданным
вторичным напряжением V2 в пассивном элементе с проводимостью
Н22 = 1/18 См, и тока идеального источника тока с числовым зна-
~~ 2 •
чением /2=—у пропорциональным заданному току первичной цепи.
Указанным трактовкам уравнений четырехполюсника Н-типа
соответствуют две эквивалентные схемы с активными элементами,
изображенными на рис. 2.73,6.
ГЛАВА 3
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
СПОСОБЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ВЫХОДНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ ТРЕХФАЗНОГО ГЕНЕРАТОРА
3.1. Записать выражения для мгновенных линейных напряжений
трехфазного генератора, осциллограммы которых приведены
на рис. 3.1.
Ответ-. иАВ = 311 sin (со/ + л/6), ивс = 311 sin (at—л/2), иСА =
= 311 sin (at ф- 5л/6).
3.2. Для трехфазного генератора задачи 3.1 построить топогра-
фическую диаграмму фазных и линейных напряжений, записать их
комплексные значения^
Ответ-. U* = Un/V 3 = 220//3 = 127 В.
Топографическая диаграмма напряжений дана на рис. 3.2.
Комплексные напряжения:
фазные
UA= 127 В, С/в=127е-й20° = 63,5—/ПО В,
Uс = 127е/12О° = 63,5 + /110 В;
линейные
UAB = 220е;30° = 190 + /110 В, UBC = 220е-/90° =
= — /220 В, ДСу, = 220е'150° = —190 ф/110 В.
3.3. При разметке зажимов вторичной обмотки трехфазного
трансформатора зажимы одной из ее фаз произвольно обозначены
анх. Один из зажимов второй фазы соединен с зажимом х, к сво-
бодным зажимам подключен вольтметр. Начертить схемы условных
обозначений и схемы замещения этих соединений. Определить пока-
зание вольтметра, если фазное напряжение трансформатора 100 В.
Решение. Возможны два случая: 1) объединены одноименные
зажимы фаз. На рис. 3.3, а, б представлены электрическая схема
Рис. 3.3
соединения и его схема замещения; напряжение йаЬ определяется
в соответствии с уравнениями
ua-ub-uaf=o, йаь=йа-иь
или по топографической диаграмме напряжений (рис. 3.3, в); пока-
зание вольтметра равно линейному напряжению: 17F=t7ab=t7JI==173B;
2) объединены разноименные зажимы фаз (рис. 3.3, а, д); при этом
напряжение между свободными зажимами определяется уравнениями
^+^-^=0, йаи=йа+иь,
а также векторной (рис. 3.3, е) или топографической (рис. 3.3, ж)
диаграммами напряжений.
Вольтметр показывает фазное напряжение: Uv=Ua.,=U^= 100 В.
3.4. При соединении вторичных обмоток трехфазного трансфор-
матора звездой одна из его фаз соединена неправильно (рис. 3.4, а).
Определить линейные напряжения трансформатора, если его фаз-
ные напряжения [7ф = 127 В.
Решение. Линейные напряжения Uay, Uyc и Uca определя-
ются из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа
для схемы (рис. 3.4,6) замещения соединения вторичных обмоток
Рис. 3.4
трансформатора или по топографической диаграмме напряжений
(рис. 3.4, в):
йау = иа+йь, иа=щ = \27 В, иис=-йь-йс,
иус = иф=127 В, йсв = йс-иа, иса = ил = 220 В.
3.5. Изобразить схему замещения трехфазной цепи, в которую
включены три разных группы электрических ламп, асинхронный
двигатель с обмотками, соединенными звездой, и трехфазная бата-
рея конденсаторов, соединенная треугольником.
Ответ-, в качестве ответа приведена схема замещения' рис. 3.5.
СИММЕТРИЧНЫЕ РЕЖИМЫ
3.6. Трехфазный асинхронный двигатель мощностью 7 кВт, на-
пряжением 127/220 В работает с коэффициентом мощности cos<p=0,87.
Найти ток в линейных проводах, с помощью которых двигатель
присоединен к сети, если его к.п.д. равен 87%. Определить сопро-
тивления фаз обмотки двигателя. Построить векторную диаграмму.
Указание и ответ-, при-напряжении сети 127 В фазы обмотки
двигателя соединены треугольником, при напряжении 220 В—зве-
здой. При соединении звездой / = 24,3 А, при соединении треуголь-
ником 7 = 42 A, R = 4,55 Ом, х = 2,57 Ом.
3.7. К трехпроводной трехфазной сети подключен приемник,
соединенный звездой, активная мощность которого Р = 2900 Вт,
напряжение U„ = 220 В и cos<p2 = 0,6. Каждый провод линии, сое-
диняющий генератор и при-
емник, имеет активное соп-
ротивление /?л = 0,6 Ом и
индуктивное сопротивление
Хл = 1 Ом. Найти напряже-
ние на зажимах генератора,
а также его активную и реак-
тивную мощности. Определить
падение и потерю напряже-
ния в линии. Построить век-
торную топографическую ди-
аграмму.
Решение. Предполо-
жим, что обмотки генерато-
ра соединены звездой (рис.
3.7, а). Поскольку приемник
симметричный, напряжение
между нейтралями генерато-
ра и приемника равно нулю,
поэтому каждую фазу цепи
можно рассматривать незави-
симо от других фаз и расчет
проводить только для одной
фазы, например А.
йному току:
t____________________ ^0° =12 7 А.
У 3 U-n cos <р2 3-220-0,6
Фазное напряжение приемника
и* = ил/У 3 = 220/К 3 =127 В.
Сопротивления фаз приемника
4 = £4//= 127/12,7= 10 Ом, P = Zncos<p2 =
= 10-0,6=6 Ом, XL = Zn sin q>2 = 10-0,8 = 8 Ом.
Сопротивления фазы (с учетом сопротивления линии)
z = лЛ^ + ^)2 + (Хя + Хьу = v(0,6 + 6)? + (1 +8)2 = 11,15 Ом.
Фазное и линейное напряжения генератора
С/д = 2/= 11,15-12,7= 141,5 В, /7 =/3£7Д = 245 В.
Падение напряжения в проводах линии
t/Ep = = /^ + ^/=/(0,6^4-Р-12,7 = 14,8 В,
т. е. оно составляет (14,8/141,5)-100= 10,5% от фазного напряже-
ния генератора.
Потеря напряжения в линии равна арифметической разности
линейных напряжений в начале и конце линии:
ДПЛ = (141,5—127) КЗ= 14,5 К3 = 25,1 В,
т. е. она составляет (25,1/245)-100= 10,25 % от линейного напря-
жения генератора.
Сравнительно высокие потери напряжения обусловлены предна-
меренно завышенными значениями и Хл, взятыми для удобства
построения векторной диаграммы напряжений.
Векторную топографическую диаграмму строим для одной фазы.
Вектор фазного напряжения приемника йа (рис. 3.7, б) и вектор
фазного тока 1А сдвинуты относительно друг друга на угол <р2=53°.
Прибавляя к вектору Ua вектор падения напряжения в актив-
ном сопротивлении провода линии и вектор индуктивного падения
напряжения, модули которых соответственно равны Дл/л=0,6-12,7=
= 7,62 В, Хл/Л = 1 • 12,7= 12,7 В, получаем вектор фазного напря-
жения генератора UA.
Вектор Ол, равный сумме векторов RjA и /Хл1а, изображает
вектор падения напряжения в проводе линии (рис. 3.7, в). Анало-
гично строят векторы напряжений двух других фаз.
Коэффициент мощности генератора
cos = (7?л + R)/Z = (0,6 + 6)/11,15 = 0,592.
Активная мощность генератора
Р = / 3 UI cos = 3 (7?л + R) Р=3,17 кВт.
Полная мощность генератора
5 = /зП/ = КЗ-245-12,7 = 5390 В-А = 5,39 кВ-А.
Реактивная мощность генератора
Q = \RS2—P2 = /(5,39)2—(3,17)2 = 4,34 квар.
3.8. На рис. 3.8 изображена однолинейная схема трехфазной
цепи, состоящей из станции, подстанции и соединяющей их линии.
Каждая фаза линии имеет актив-
ное сопротивление 0,8 Ом/км и ин-
дуктивное сопротивление 0,6 Ом/км.
Определить ток /, падение Пл и поте-
рю АН напряжения в линии. На
схеме указаны значения линейного
напряжения, мощности и cos ср при-
емника.
Ответ: 7 = 64 А, Пл = 640 В,
АП = 1100 В.
3.9. Два симметричных трехфазных
торых соединен звездой, подключены к трехпроводной линии (рис. 3.9).
Сопротивление фаз первого приемника Хх = 5 Ом, второго прием-
10км
ЮкВ
1МВт
' cos с/>=0,9
Рис. 3.8
приемника, каждый из ко-
ника Р2 = 5 Ом. Линейное напряжение источника питания 220 В.
Определить фазные и линейные токи.
Ответ-. /ф = 25,4 А, / = 36 А.
3.10. Найти общий ток, мощность и коэффициент мощности уста-
новки из двух двигателей (рис. 3.10), у которых Рх = 4,5 кВт, Uf —
—220 В, costp1=0,84, т]1=82%, Р2=10 кВт, t/2=220 В, cos<p2=0,88,
jj2 == 85 %.
Решение. Находим активную мощность:
/’1П = Л/П1 = 5,5 кВт, Р2П = P2/-q2 = 11,75 кВт,
Р = Р1П + Р2П= 17,25 кВт.
Углы сдвига фаз
<р1 = 33о, <р2 = 28с20'.
Реактивные мощности
С^ЛгДёФх^З^ квар, Q2 = P2ntgtp2 = 6,31 квар,
Q = Qi4-Q2 —9,88 квар.
Полная мощность, общий ток и коэффициент мощности установки
S = j/p-2 + Q2== 19,85 кВ-А, / = Sl(V3U) = 54 A, cos<p = P/S =
= 17,25/19,85^0,87.
3.11. К зажимам генератора (рис. 3.11, а} с фазным напряжением
127 В подключен приемник, соединенный треугольником, каждая
Рис. 3.11
фаза которого имеет активное сопротивление R = 8 Ом и индуктив-
ное сопротивление X = 6 Ом. Определить ток каждой фазы генера-
тора и отдаваемую им мощность. Построить векторную диаграмму.
Решение. Приемник симметричный, поэтому расчет можно
проводить для одной фазы.
Фазные токи приемника
Ф /ф К 8аН-6а
Векторы фазных токов отстают по фазе от соответствующих век-
торов линейных напряжений на угол <р:
cos <р = — = г 8 — = 0,8, <р = 37°.
Z у/ 82-|-62
Токи в фазах генератора равны линейным токам в проводах:
7 = /3/ф = КЗ-22 = 38 А.
Для определения сдвига фаз между векторами линейных токов
и фазных напряжений генератора обратимся к векторной диаграмме
рис. 3.11, б. Здесь векторы йл, Ов и Ос изображают звезду фаз-
ных напряжений генератора, а векторы Uab, Ubc и Оса являются
фазными напряжениями приемника или линейными напряжениями
генератора.
Векторы фазных токов приемника образуют звезду векторов,
сдвинутых по фазе на угол 120°, причем звезда векторов фазных
токов приемника отстает по фазе от звезды векторов фазных напря-
жений генератора на угол 7Э. Звезда векторов линейных токов
генератора отстает по фазе от звезды векторов фазных токов прием-
ника на угол 30°, поэтому линейные токи и фазные напряжения
генератора сдвинуты по фазе на угол 37°.
Мощность генератора Р=]/ 3t//cos<p=J^ 3-220-38-0,8= 11,6 кВт.
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕЖИМЫ.
НАЗНАЧЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ПРОВОДА
3.12. Для определения последовательности фаз симметричной
трехфазной системы с напряжением 220 В использован фазоуказатель
(рис. 3.12, а), состоящий из двух одинаковых ламп и конденсатора.
Сопротивления ламп и кон-
денсатора подобраны равны-
ми. Определить напряжение
на зажимах ламп. Построить
топографическую диаграмму.
Решение. Фазоуказа-
тель представляет собой не-
симметричный трехфазный
приемник, соединенный звез-
дой. Смещение нейтрали фа-
зоуказателя определяют по
Рис. 3.12
формуле
rj A~\~XbUв+^el^С
П Уд~1~¥ъ
Примем 77л = 77л= 127 В.
Тогда напряжения других фаз генератора будут равны
UB = а*0А = Ue~il20° = U(— 0,5-/0,865),
Uc = ай А = Се'1200 = U (— 0,5 + /0,865).
Комплексные проводимости фаз
Ya=l/(-jXc), Yb = Yc=l/R.
В этом случае
Un = U -j=l = U (— 0,2 + /0,6) = 0,632[/е->108°25'.
На рис. 3.12, б построена топографическая диаграмма фазоуказа-
теля, согласно которой фазные напряжения приемника равны
йа=йА— {7п = (1,2—/0,6) 77= 1,3457/е-/28030',
Ub==UB—ип = (— 0,3—/1,465) и= 1,49517е_/’1О1°зв',
Uc = йс—Un = (— 0,3 + /0,265) U = О,417е'138С30'.
Напряжения на зажимах ламп
77ь= 1,49577 да 1,577= 1,5-127= 190 В, Т7с = 0,477 = 0,4-127 да 51 В.
Следовательно, лампа фазы b будет гореть ярче лампы фазы с,
на чем и основано использование фазоуказателя.
3.13. На рис. 3.13, а изображена схема четырехпроводной осве-
тительной сети жилого дома. В фазы А и В включены по 25 ламп,
а в фазу С—15 ламп. Номинальная мощность каждой лампы
Рном = 60Вт, номинальное напряжение 77НОМ=127В. Определить
токи в линейных и нейтральном проводах. Построить векторную
диаграмму.
Рис. 3.13
Решение Мощность каждой из фаз
Рл = Рв = 60-25 = 1500 Вт, Рс = 60-15 = Э00 Вт.
Линейные токи
/л = /^Рл/1/ф=П,8А, 7С = РС//Ф = 7,1 А.
Если принять направление комплексной оси -|-1 совпадающим
с направлением векторов фазного напряжения U А (рис. 3.13, б), то
комплексы линейных токов будут следующие: /л = 11,8, 1В =
11,8е-/120°, /с = 7,1е/120°.
Ток в нейтральном проводе
/№=/л+/в + /с = 4,7е-/бОв.
3.14. Как изменятся токи «здоровых» фаз и ток нейтрального
провода, если в фазе А перегорит предохранитель (см. задачу 3.13
и рис. 3.13, а)?
Ответ: токи в фазах В и С не изменятся, ток в нейтральном про-
воде IN = 10,Зе_;15б°40'.
3.15. К зажимам четырехпроводной сети с фазным напряжением
127 В подключен несимметричный приемник (рис. 3.15, й); сопротив-
ления фаз приемника Ra = Хь = Хс = 25,4 Ом. Определить фазные
токи приемника и ток в нейтральном проводе. Построить векторную
диаграмму.
Ответ: /^ = 3,65 А, /ф = 5 А. Векторная диаграмма приведена
на рис. 3.15, б.
3.16. Как изменятся ток в нейтральном проводе и векторная
диаграмма, если в схеме предыдущей задачи поменять местами Хь
и Хс?
Указание и ответ: рекомендуется построить векторную диаграмму
и по ней определить значение и направление тока IN\ ток в нейт-
ральном проводе возрастет до 13,65 А и изменит фазу на 180°.
3.17. Несимметричный трехфазный приемник включен в четырех-
проводную цепь с фазным напряжением генератора 127 В (рис. 3.15, а).
При номинальном режиме фазные токи приемника соответственно
-Рном =10 кВт, вСЛИ
равны 1а — 1Ь = 1с — 5 А. Определить фазные
напряжения и токи приемника при обрыве
нейтрального провода. Построить векторную
диаграмму.
Указание и ответ: при обрыве нейтраль-
ного провода смещение нейтрали приемника
будет равно Un = — 93 В (рис. 3.17); фазные
. напряжения приемника Йд = 220 В, Ц,=
= Uc= П4 В; фазные токи приемника 1а =
= 8,65 А, /Ь = 7С=4,49 А.
3.18. Определить ток в проводах линии,
к которой подключен трехфазный двигатель
(рис. 3.18, а) с номинальной мощностью
коэффициент мощности cos <р = 0,87, к. п. д.
ц = 82°/0, а линейное напряжение сети U = 220 В. Определить сопро-
тивление фаз обмотки статора двигателя. На какое напряжениеможно
включить двигатель при соединении фаз обмотки статора треуголь-
ником и неизменной мощности двигателя? Построить векторную
диаграмму.
Решение. Потребляемая двигателем мощность
Р = Phom/tj = 10/0,82 » 12,2 кВт.
Ток в подводящих проводах
г Р _ 12200 _ .
K3t/cos<p 1,73-220.0,87
Мощность одной фазы
Рф = Р/3 = 4,07 кВт.
Сопротивления фаз обмотки статора двигателя
Р = Рф//2 = 4070/37° »3 Ом,
/=Пф//= 127/37 = 3,43 Ом, X = Zsinq>= 1,69 Ом.
При соединении фаз обмотки статора треугольником двигатель
может быть включен в сеть с напряжением 127 В, так как при этом
его фазное напряжение будет таким же, как и при включении звез-
дой с линейным напряжением 220 В. Векторная диаграмма приве-
дена на рис. 3.18, б.
3.19. Трехфазный приемник, соединенный звездой, подключен
к сети с линейным напряжением U = 220 В (рис. 3.19, а). Сопротив-
ления фаз обмотки приемника R — 3 Ом и ЛА = 4 Ом. Пользуясь
Рис. 3.19
векторными диаграммами, определить фазные напряжения и токи
приемника при обрыве и коротком замыкании фазы а.
Ответ: при обрыве фазы а
Ub = Uc = Ul‘2, UAn = ^3U/2, Ia = 0, 1Ь = 1С = 22 А,
при коротком замыкании фазы а
Ub^Uc = U = 22Q В, Дй = 0,' /ь = /й = 44 А, /Й«76А.
Векторные диаграммы представлены па рис. 3.19, б, в.
ПОВЫШЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА МОЩНОСТИ.
ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ .
3.20. Для повышения коэффициента мощности трехфазной уста-
новки (см. задачу 3.10.) до cos ср = 0,95 потребовалось подключение
трехфазной батареи конденсаторов
ную мощность батареи конденса-
торов.
Решение. Коэффициент мощ-
ности трехфазной установки при
включении батареи конденсаторов
определяется по формуле
Р Р
COS ср = -= = 7 7........— ,
3 У F2 + (Qi_Qc)2
где Р—общая активная мощность;
Qt, — реактивная (индуктивная)
мощность потребителей; Qc—реак-
тивная мощность компенсирующе-
(рис. 3.20). Определить реактив-
Рис. 3.20
го устройства.
Подставляя в формулу известные значения величин, определим
реактивную мощность компенсирующего устройства Qc:
17,25
0,95= л___________________
V (17,25)* +(9,88-Qc)=?
Qc —15,6 квар,
, Qc —19,8QC + 65,5 = 0,
Qg = 4,2 квар.
3.21. Для повышения cos<p двигателя (в задаче 3.10) до
cos <р' —0,9 включена батарея конденсаторов. Определить емкость
одной фазы батареи конденсаторов.
Ответ: С = 30,2 мкФ.
А
Рис. 3.22
3.22. На рис. 3.22 изображе-
на схема замещения трехфазной
трехпроводной сети с изолиро-
ванной нейтралью, к одной из
фаз которой (например, С) при-
коснулся человек. Напряжение
сети Дф=220 В. Определить зна-
чение тока, проходящего через
тело человека.
Решение. Как известно,
каждая сеть характеризуется оп-
ределенной проводимостью изоляции, а также емкостью проводов отно-
сительно земли. Если пренебречь емкостной проводимостью, сопротив-
ление изоляции каждого из проводов обозначить 7?из, а сопротивление
тела человека через R4, то ток 1Ч через тело человека можно будет
---К—g . Это выражение можно полу-
определить по формуле /ч = -
чить, воспользовавшись методом эквивалентного генератора, при раз-
мыкании ветви с /?ч Дх = Дф, a ZBX = 7?H3/3. Если в соответствии
с ГОСТом сопротивление тела человека принять равным 1 кОм, а
ЯИЗ=Ю кОм, ТО /ч = (1. ю)з_|_ (10/3). io3 = 0,05 А’
Такое значение тока опасно для жизни человека.
3.23. Определить ток, проходящий через тело человека, если он
прикоснется к одной из исправных фаз (рис. 3.22) при коротком
замыкании одной из фаз на землю.
Ответ. 7Ч = /ЗПф/7?ф = /3.220/(1-103) = 0,38 А.
3.24. Типовой расчет. Трехфазные цепи.
Цель работы
Расчет зависимости режима трехфазного симмет-
ричного приемника от емкости компенсирующего
конденсатора
Исходные данные
Схема замещения исследуемой трехфазной цепи приведена на
рис. 3.24, а. Сопротивления линии электропередачи Zt = (1 + j) Ом,
^сл= 000 Ом. Переменные параметры схемы замещения, зависящие
от номера учебной группы К и номера студента в группе J, при-
ведены в табл. 3.24, а также выражаются формулой
Z=(l + J) + /(2< + 2J) Ом.
Таблица 3.24
Рис. 3.24
К (номер группы) ЕФ- в Включен приемник, номер Вид аварийного режима
1 127 1 Обрыв линии А
2 127 1 Короткое замыкание фазы А и обрыв нейт-
рального провода
3 220 1 Обрыв линии В
4 220 1 Короткое замыкание фазы В и обрыв нейт-
рального провода
5 127 2 Обрыв линии С
6 127 2 Обрыв линии В и нейтрального провода
7 220 2 Обрыв фазы АВ
8 220 2 Обрыв фазы СА и нейтрального провода
В нормальном режиме приемник симметричный. Частота сети
/ = 50 Гц.
Содержание работы
1. Полагая Zt = 0, Сл = 0 и Ск = 0, найти токи в нормальном и
аварийном режимах. Построить векторную диаграмму токов (ВДТ)
и топографическую диаграмму напряжений (ТДН).
2. Для нормального режима найти параметры схемы замещения
одной фазы цепи (рис. 3.24, б).
3.. Рассчитать емкость компенсирующего конденсатора Ск0, при
которой коэффициент мощности фазного приемника, выделенного
пунктиром на рис. 3.24,6, Х=1,0.
4. Рассчитать и построить зависимости фазных напряжении при-
емника, токов источника и приемника, коэффициента мощности от
емкости Скф в интервале (0—2)Ск0. Построить ВДТ и ТДН для
схемы рис. 3.24, б в режиме Z = 1,0.
Методические указания
1. Схему замещения одной фазы составляют путем эквивалентного
Преобразования всех приемников, соединенных треугольником, к
схеме «звезда» (рис. 3.24, б).
2. Емкость Ск0 рассчитывают по формуле, выражающей условие
резонанса токов на участке с параллельным соединением и
--/'^кФ-
S. Расчет зависимости фазного напряжения приемника t/e,(CKlb)
производят на ЭВМ с использованием готовой программы*. Исход-
ные данные для расчета готовят по приводимому образцу:
Т5-82 Иванов И. И.
К = 5 J = 13
Вычислить значения:
j—г-220
= ~т г~т i зйс;;
1+/ . /1000 + 7-Е/15 /
Ск = (0—350)-10-6 с шагом 35-Ю"6.
Образец распечатки результатов расчета на ЭВМ приведен в сле-
дующей таблице:
К=5 Т=13
Ск Re U Im U и
0,100£—17 0,118£ -|—03 —0,365£-|—01 0,118£ +03
0,366£—0,3 0,131£ + 03 0,110£-|—02 0,131£ +03
В этой распечатке приведены действительная Ret/ и мнимая
Im U части, а также модуль U фазного напряжения приемника.
4. Фазный ток источника рассчитывают по полной мощности
приемника с компенсирующим конденсатором:
l = S/U, где S = УР2 + Q2,
е=ад-^7*кф.
5. Коэффициент мощности приемника с компенсирующим конден-
сатором равен K=P/S.
6. Топографические диаграммы строят при допущении ЁА = 0
(комплексный потенциал точки.N равен нулю).
Ра спечатка программы вычислений приведена в Приложении 3.1.
По формуле междуузлового напряжения."
Приложение 3J
Программа вычислений к задаче 3.24
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ЧАСТЬ 2 - ТРРХФАЗПЫЕ ЦЕПИ
REAL IE, MU, IP, IU,KMW, М(3), R(3), Х(3)
LOGICAL*! Р(84)
DATA R/l., 0 ., 0 ., / ,Х/1., 1000., 0 ./,Р/84 * /
ТУРЕ 10
FORMAT (' НОМЕР ПЕРВОЙ ГРУППЫ?' >
ACCEPT 1,KN
FORMAT (16)
ТУРЕ 20
FORMAT ('НОМЕР ПОСЛЕДНЕЙ ГРУППЫ?')
ACCEPT 1,КК
ТУРЕ 30
FORMAT ('НОМЕР ПЕРВОГО СТУДЕНТА? ')
ACCEPT 1, JN
TYPE 40
FORMAT ('НОМЕР ПОСЛЕДНЕГО СТУДЕНТА?')
ACCEPT 1, JK
DO K-KN,KK
IF' ( К. EQ. 1. OR. К. EQ.2 .OR .К. EQ . 5. OR. К. EQ. 6) E=127.
IF (K.EQ. 3. OR.K.EQ.4.OR.K. EQ. 7. OR .K. EQ. 11) E-220.
DO J-=JN,JK
•WRITE (1,51) K,K
FORMAT (' K= ',12,36X, ZK=',I2)
"WRITE (1,52) J, J
FORMAT (' J=',12,36X,’J“’,I2)
WRITE (1,53) P,P
FORMAT (X.84A1,/,* N', 8X,'IE',9X,'IP',9X, 'KMW ’, 8X, 'CK'.
* 9X, 'RU',9X,'1U',9X/MU',/,X,84A1)
IF(K.LE.4) GO TO 60
R(3 ) = (1 + J)/3 .
X(3) = (K+2iJ)/3
GO TO "61
R(3) = J+1.
X(3)=K+2.*I
M(3)-=R(3)**2+X(3)**2
CK-X(3)/M(3) I 314.
CM=2.*CK
Al-0.
B1 = 0.
DO 170 1=1,3
(M(I)-R(I) **2+X(I)**2
A1,=A1+(R(1)*R(I)+X(1)*X(I))/M(I)
B1-B1+ ((R(I) *X(1)-R(1) *X(I)) /M(I))
CONTINUE
DO 180 N=0,10
IF (N. EQ . 0)C=. IE—17
IF(N.NE . 0 )С=СМ*Щ10.
X4 = l./(314.*C)
A-Al-X(l)/X4
B-B1+R(1)/X4
AB—A**2+B**2
RU—EAA/AB
1U=-E*B/AB I
J4U-SQRT (RU** 2+IU**2)
FORMAT(X, 13,’7 (E11.3) , I , MAI)
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
CALL CLOSE (1)
STOP
END
ГЛАВА 4
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.
ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
4.1. Записать систему уравнений по законам Кирхгофа для
цепи рис. 4.1 в переходном режиме после замыкания выключателя.
Ответ:
I — if i2,
E = uRt + uc,
E + eL^=URt‘,
Z — z\ -j- Z2»
£ = £ai24-iji2 dt,
Рис. 4.1
Рис. 4.3
4.2. Определить начальные значения токов i, i± и i2, а также
э. д. с. самоиндукции ег после замыкания выключателя в цепи
рис. 4.1, если £ = 100 В, £1 = £а=10 Ом, напряжение на конден-
саторе до замыкания ключа было равно нулю.
Решение. Первый закон коммутации гласит о том, что ток в
ветви с индуктивной катушкой не может изменяться скачком. В пер-
вый момент переходной ток сохраняет значение, которое он имел
в момент, предшествующий коммутации, отсюда if(0+) = 0. По вто-
рому закону коммутации, напряжение на конденсаторе не может
измениться скачком. Значение этого напряжения в момент после
коммутации пс(0+) = 0. Тогда i(0+) = i2(0+) = £/£2= 10 А, е£(0+) =
= £=100 В.
4.3. На каких элементах цепи рис. 4.3 напряжения в первый
момент после замыкания выключателя отличны от нуля?
Ответ: в первый момент после коммутации напряжения отличны
от нуля на индуктивном элементе Ь2, а также на резисторах и £3.
4.4* . Определить начальные и установившиеся значения токов I,
и г2, а также э. д. с. самоиндукции eL после замыкания выключа-
теля в цепях рис. 4.4, а—в, если U = 100 В, R = 10 Ом, L= 1О.мГн,
С = 2 мкФ.
Рис. 4.4
Ответы даны в табл. 4.4.
Т аблица 4.4
Начальные значения Установившиеся значения
Электрическая величина Схема
а б в а б в
1, А 10 20 5 20 10 5
1^, А 0 0 0 10 10 5
А 10 20 5 10 0 0
е£, В 100 100 50 0 0 0
ЗАРЯДКА И РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА,
ПОДКЛЮЧЕННОГО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО С РЕЗИСТОРОМ
К ИСТОЧНИКУ ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ
4.5. Найти зависимость тока i и напряжения ис от времени в
схеме рис. 4.5, а после замыкания выключателя, если f7^220 В,
С = 100 мкФ, /? = 100 Ом.
Рис. 4.5
Решение. Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение
электрического состояния цепи в переходном режиме имеет вид
Wnep4-Wcnep = ^. ИЛИ RC + «сг.еР = Е.
Переходное напряжение на конденсаторе нСпе₽ = ысу + ыссв-
Установившееся напряжение пс находим при t —>- оо (duc/dt = 0):.
иСу = Е = 220 В.
Свободное напряжение 1/Ссв определяется из решения однород-
ного дифференциального уравнения:
^СТ + ЫСсв = 0,
ИЛИ
^Ссн 1 1 ., __ А
dt ф Р.С Ссв
Решение этого уравнения имеет вид
^ссв — ,
где р — —1/(RC)—корень характеристического уравнения р-р
+ 1/(7?С) = 0.
Переходное напряжение на конденсаторе
«спер = «Су + «сев = Е ч- Ае^ = Е + Де-б\ (1)
Постоянная времени т = 7?С = 0,01 с. Постоянную интегрирова-
ния А определяем из начальных условий с помощью второго закона
коммутации. До коммутации конденсатор не был заряжен и напря-
жение на нем было равно нулю. Следовательно, в первый момент
после замыкания выключателя напряжение wCnep(0+) также будет
равно нулю. Подставив это начальное условие в уравнение (1), най-
дем, что Е-|-Д = 0, т. е. Д = — Е. Окончательно имеем иСпер=:
= Е—Ее-^ = £(1—е-^) = 220(1—е-^°’°1) В.
Переходный ток в цепи
«пеР = = СЕ 1 е-^ = е-'/’=2,2e-Vo.oi А.
V 1\
Временные зависимости переходного тока и напряжения на кон-
денсаторе при его зарядке показаны на рис. 4.5, б.
4.6. Определить длительность переходного процесса при замы-
кании выключателя в цепи рис. 4.5, а, если считать, что он практи-
чески завершается через время / = 3т. Параметры цепи: R = 6 кОм,
С = 6мкФ.
Ответ’. t = 0,108 с.
4.7. Значения параметров цепи рис. 4.7, а равны Я, = 20 Ом,
/?2 = ЗООм, С3=100мкФ. Найти начальные и установившиеся зна-
чения токов г\, г2, i3, напряжений ис, uRi, а также привести при-
мерный вид зависимостей (/), i2(/), wc(/), если цепь
Включается на постоянное напряжение U = 220 В.
Ответ: г1(0+) = г3(0+) = Д/£1= И A, i2(0+) = 0, wc(0+) = 0,
Рис. 4.7
н (0+) = 0, и» (0+) = 220 В, fiy = г9у = (7/(/?х + Да) = 4,4 А» Ьу = О»
Мсу=132В, «Д*1У=88В.
Примерный вид зависимостей приведен на рис. 4.7, б, в.
4.8. До какого напряжения надо предварительно зарядить кон-
денсатор (см. задачу 4.7), чтобы в цепи сразу после замыкания вы-
ключателя наступил установившийся режим?
Ответ-, до напряжения £/с= 132 В.
4.9. Конденсатор емкостью С = 1500 мкФ, заряженный до напря-
жения (7 — 100 В, разряжается на резистор сопротивлением R = 20 Ом
(рис. 4'9, а}. Определить время разрядки конденсатора до напряже-
ния, равного 5 В.
°} 6)
Рис. 4.9
Решение. Уравнение электрического состояния цепи рис. 4.9, а
имеет вид иСпеР—ЖпеР = 0- Ток при разрядке конденсатора не со-
впадает по направлению с напряжением ис, поэтому
• &ис пер
1пеР = —С .
Тогда, уравнение для переходного напряжения примет вид
+„с пер = С.
Решение этого уравнения
==У4е-;''<дс>
иСпер —
Поскольку ис(0+)=100 В, постоянная интегрирования Л = (7 =
5= 100 В и переходное напряжение на конденсаторе при его разряд-
ке uCnep = t/e-M«c)=100e-^>°® В.
Согласно экспоненциальной кривой на рис. 4.9, б, напряжение
на конденсаторе достигнет 5 В, т. е. 5 % от своего первоначального
значения за время t = Зт = 3 0,03 — 0,09 с.
4.10. Построить зависимость переходного напряжения на конден-
саторе от времени в цепи рис. 4.10, а при поочередном переключении
выключателя в положения / и II. Напряжение (7ВХ = 5 В, /?1 = 75 Ом,
7?2 = 25 0м, С=1мкФ. Коммутация начинается с установки выклю-
чателя в положение I, время зарядки и разрядки конденсатора
t = 4т.
Решение. При установке переключателя в положение I в цепи
возникает ток и конденсатор заряжается в течение времени /зар =
= 4тх = 4/?хС = 300 мкс.
Переходное напряжение на конденсаторе увеличивается по экс-
поненциальному закону пСпер = £/(1—e-z/ti) и через 300 мкС, т. е.
к моменту переключения выключателя в положение II, ис пер =
= 5(1—е~4) = 4,92В. После установки переключателя в положение
II начинается разрядка конденсатора от значения ис — 4,92 В, ко-
торая будет продолжаться в течение времени /раз = 4т2 = 47? 2С —
= 100 мкс. При этом напряжение на конденсаторе будет изменяться
в соответствии с экспоненциальной зависимостью nCnep = 4,92e~^T*.
Через 100 мкс оно снизится до 0,088 В. Кривая изменения напря-
жения на конденсаторе показана на рис. 4.10,6. Она построена
по данным табл. 4.10.
Таблица 4.10
t 0 0,5т т 2т Зг 4т
Зарядка конденсатора Разрядка конденсатора е е 9 п со со 0 4,92 1,97 2,98 3,18 1,8 4,35 0,665 4,75 0,246 4,92 0,088
Рассмотренная схема является моделью простейшего генератора
пилообразного напряжения. Параметры элементов цепи подобраны
таким образом, что напряжение на конденсаторе является периоди-
ческой функцией времени, при этом постоянное напряжение, пода-
ваемое на вход цепи, преобразуется в несинусоидальное напряже-
ние пилообразной формы.
ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ,
СОДЕРЖАЩЕЙ ИНДУКТИВНУЮ КАТУШКУ
И РЕЗИСТОР, ПОДКЛЮЧЕННЫЕ К ИСТОЧНИКАМ
ПОСТОЯННОГО И СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЙ
4.11. Катушка с активным сопротивлением 7? = 10 Ом и индук-
тивностью L= 100 мГн подключается к источнику постоянной э. д. с.
£=110 В (рис. 4.11, а). Построить зависимость тока в катушке от
Рис. 4.11
времени и определить энергию магнитного поля для момента
времени t = 0,01 с после замыкания выключателя и в установившемся
режиме.
Решение. Уравнение электрического состояния цепи после
замыкания выключателя имеет вид
£Т + ^е₽=£-
Для свободного тока справедливо уравнение
с решением zCB = Де~(Д/£>f = Де~^т, где r = L/R== 0,01с—постоян
ная времени.
Переходный ток в цепи определяется суммой установившегося
и свободного токов: i’nep = »y-|-z'cn = E/P + Де~#А. Для определения
постоянной интегрирования воспользуемся первым законом комму-
тации. До замыкания выключателя ток в индуктивной катушке был
равен нулю; следовательно, в первый момент после замыкания вы-
ключателя ток будет также равен нулю, т. е. i (0+) = E/R + А = 0.
Отсюда А ——E/R, a inep = £’//?(l—e“f/x) = ll(l—е_//°,01)А. Ток в
цепи нарастает до установившегося значения в соответствии с экс-
поненциальной зависимостью (рис. 4.11, б). При / = 0,01 с мгновен-
ное значение тока / = 6,95 А, а энергия магнитного поля катушки
= £Г/2 = 0,1 • 6,952/2 = 2,42 Дж. В установившемся режиме 1FM =
= 0,1 • 112/2 = 6 Дж.
4.12. Как изменяется установившийся ток, энергия, запасенная
в магнитном поле катушки, и длительность переходного процесса
в условиях задачи 4.11, если индуктивность катушки возрастет в
два раза?
Ответ-, установившийся ток iy — Е/R не зависит от индуктив-
ности катушки. Энергия магнитного поля и длительность переход-
ного процесса возрастут в два раза.
4.13. Катушка, активное сопротивление которой R = 2,75 Ом
и индуктивность £ = 0,55 Гн, подключается к источнику постоянной
э. д. с. £=110 В. Записать выражение для переходного тока в
цепи. Через какое время ток в катушке достигнет 50% от своего
установившегося значения?
Ответ-. гпер = 40 (1 —е"^0’2) A, t = 32,2 мс.
4.14. Катушка, активное сопротивление которой £ = 4 Ом, вклю-
чается в сеть постоянного тока напряжением £ = 24 В. Найти за-
висимость тока в катушке от времени при переходном процессе.
Чему равна индуктивность катушки, если ток в ней через 0,25 с
после включения равен 95% от своего установившегося Значения?
Ответ-. i = 6(l—е“//т)А, £ = 0,33 Гн.
4.15. Начертить примерный вид графиков i2(t) и is(t) для
цепи рис. 4.15, а в переходном режиме, вызванном замыканием вы-
ключателя.
Ответ-, графики изменений во времени переходных токов при-
ведены на рис. 4.15, б.
Рис. 4.15
~ 4.16. Катушка, активное сопротивление которой £к = 4Ом и
индуктивность £к = 5 Гн, отключается от источника постоянного
напряжения £ = 110 В и замыкается на разрядный резистор сопро-
тивлением £1 = 6 Ом (рис. 4.16). Найти значение тока для'момента
времени t = 1 с после отключения катушки. Определить напряжение
на резисторе £х в начальный момент после коммутации. Подсчитать
тепловую энергию, выделенную в разрядном резисторе £х в течение
первой секунды.
Решение. Когда переключатель II находился в положении I,
ток в цепи
7 = £/£к= 110/4 = 27,5 А.
После коммутации, т. е. перевода переключателя в положение
II, электрическое состояние цепи описывается уравнением
LK-^- + (Z?K + Z?1)I-nep = O,
или
41пер ! (Як + Я1) . А
~dt~ • L ~ 'пеР= U’
Решением этого уравнения является выражение
у —— / /1 f/т
‘пер ‘св 7»
где т = £к/(^1-|-/?к) = 0,5 с.
Найдем постоянную интегрирования А. Так как, согласно пер-
вому закону коммутации, ток в катушке не может изменяться скач-
ком, то в момент переключения, т. е. при 7 = 0, i (0+) = i (0_) = А =
= 27,5 А. Следовательно, выражение для переходного тока имеет
вид «пер = 27,5е-2<А. При t=l с ток i— 27,5-0,135 = 3,71 А.
Энергия, выделенная в виде теплоты в резисторе в течение
первой секунды,
<=1 i=i
F= J адеР^ = 6-27,52 J е-4'Л = 6-27,52-^^- = 1110 Дж.
/=о t=0
Напряжение на резисторе 7?! в начальный момент после комму-
тации ПД1(0+) = 7?1»(0+) = 6-27,5 = 165 В, т. е. оно оказалось выше
напряжения источника питания, так как 7?! > RK. Указанное обстоя-
тельство следует иметь в виду при коммутации цепей, содержащих
индуктивные элементы, так как возникающие при этом перенапря-
жения могут вывести из строя аппаратуру.
4.17. Определить зависимость э. д. с. самоиндукции катушки от
времени при переходном процессе, вызванном отключением катушки
от источника постоянной э. д. с. и подключением ее к разрядному
резистору (рис. 4.16).
Решение. Переходный ток в цепи »пер = ^—е_</т, где
Э. д. с. индуктивной катушки
„ _ г *йпер____ R« + R1 IJp-t/т:
eLnep dt Rk
При разрыве рассматриваемой цепи и отсутствии разрядного ре-
зистора э. д. с. самоиндукции стремится к бесконечности, что при-
водит к возникновению дуги между контактами, разрывающими
цепь.
4.18. Для определения активного сопротивления R индуктивной
катушки собрана цепь постоянного тока, схема которой приведена
на рис. 4.18. Вольтметр имеет внутреннее сопротивление Rv= 10 кОм.
При подключении цепи к источнику постоянного напряжения при-
боры показали: амперметр — 1 А, вольтметр—100 В. Определить
напряжение на зажимах вольтметра в момент отключения цепи от
источника.
Решение. Сопротивление катушки RK = Uv/IА = 100 Ом. Пере-
ходный ток в цепи »пер = e“f/T, где T = L/(/?K + 7?y). В начальный
момент после размыкания выключите-
ля i (0_) = i (0+) = U/RK = 1 А, тогда на-
пряжение на зажимах вольтметра
Uv(0+) = Rvi (0+)= 10 кВ.
Большое напряжение, возникающее
на зажимах вольтметра, может вызвать
пробой изоляции, поэтому перед отклю-
чением катушки следует разомкнуть
цепь вольтметра и предусмотреть в це-
пи разрядный резистор.
4.19. Определить наибольшее мгновенное значение тока в ка-
тушке, сопротивление которой R = 1 Ом и индуктивность L = 31,4 мГн,
при включении ее в сеть синусоидального напряжения U = 127 В
(рис. 4.19, а). Включение происходит в момент, когда мгновенное
значение напряжения равно половине его положительного ампли-
тудного значения. Частота сети / = 50Гц.
Рис. 4.19
4/
Решение. Определяем начальную фазу синусоидального напря-
жения: u = sin (со/ + ф„). При / = 0
и (0) = Um sin 81пф„ = и(0)/Пю = 0,5, ф = 30°.
Для определения тока в катушке в установившемся режиме на-
ходим
XL = Leo = 31,4- IO"3• 314 = 9,9 Ом, Z = R + ]XL = 1 + /9,9=10e'’34°Ом.
Тогда ток в катушке в установившемся режиме
/у = | = 12,7е-^°А, Zy = 18 sin (со/—0,94) А.
Свободная составляющая тока катушки /С1! = Ае~//т, где t = L/R =
= 0,0314 с.
Переходный ток гпер = + ZCB = 18 sin (со/—0,94)4-Ае */”. При
/ = 0 /(0+) = 0, —18sin(—0,94) = А, откуда А =14,6 А.
Окончательное уравнение для тока имеет вид
znep = 18 sin (со/—0,94) + 14,6е-*/°’0314.
По этому уравнению построены кривые зависимости токов спер,
fy и zCD от времени (рис. 4.19, б). Из графика видно, что наиболь-
шее мгновенное значение тока цепи равно 26 А.
ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ РАЗРЯДКЕ
КОНДЕНСАТОРА НА ЦЕПЬ С РЕЗИСТОРОМ
И ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКОЙ
4.20. Конденсатор емкостью С= 100 мкФ, заряженный до напря-
жения U = 100 В, разряжается на индуктивную катушку с индук-
тивностью LK= 100 мГн и
сопротивлением /?к=20 Ом
(рис. 4.20, а). Найти зави-
симость переходного на-
пряжения от времени и по-
строить в общем виде гра-
фик пспер(/).
Решение. Для рас-
сматриваемой цепи уста-
новившееся напряжение
пСу = 0 и напряжение на
конденсаторе при переход-
ном процессе определяется свободной составляющей, т. е. цСпер = иСсв.
Электрическое состояние цепи описывается уравнением
LK 4- RJnep + У гпер dt = 0,
С due пер
или при подстановке/пер = —-----
d2uc лер RK duc neP 1 __
dt "Г LK dt *" LBC иСпер—и.
Решение этого уравнения имеет вид
uc = AtePd + A2e^f, (2)
где At и А2—постоянные интегрирования;/^ и р2—корни характе-
ристического уравнения р2- + р + = 0.
Постоянные интегрирования А^ и А2 определяем из начальных
условий. На основании второго закона коммутации
цс(0+) = П = Д1 + А2=100В. (3)
На основании первого закона коммутации
/с(0+) = С(М1 + М2)==0. (4)
Рис. 4.20
Решая совместно уравнения (3) и (4), находим постоянные инте-
грирования:
Р1 — Рг 2 Р1—Р2-
Корни характеристического уравнения имеют следующие зна-
чения:
A =—& + /(4У~Тс
И
— R i/' ( R Y2 r
p2~ 2L V \2L ) LC '
Так как Z?/(2L) =100 < 1/|/LC 320, то корни характеристиче-
ского уравнения являются сопряженно-комплексными: pi,2 = —а ± /Р»
где
a = /?/(2L)= 100 с и ₽ = К 1/(LC)—а2 = 300 с.
Подставляя в (2) значения рг, р2 и производя преобразования,
связанные с заменой полусумм и полуразностей экспонент от мни-
мого аргумента /Р через тригонометрические функции,' получаем
«Спер= ^ру=;СО5(Р/ —Т)е"и/,
где y = arctga/p,
или
ис пер ж 10~3 cos (300/—18,43) e-100f В.
Это выражение описывает затухающие колебания с угловой ча-
стотой (3 и коэффициентом затухания а. График изменения напря-
жения uc(t) изображен на рис. 4.20, б.
4.21. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе (см.
задачу 4.20), если последовательно с катушкой включить резистор
сопротивления R = 43,3 Ом.
Решение. В этом случае R/(2L)=l]/rLC и корни характери-
стического уравнения одинаковы й вещественны:
Р 63,3 Q 1 г? Е — 1
= 2L 200-10-3 " 6’ С ’
Выражение для напряжения на конденсаторе имеет вид
uc = U (1 + at) e~at, где а = 316,5 с-1.
Это соответствует предельному случаю апериодического переход-
ного процесса в рассматриваемой электрической цепи. Если раз-
рядка конденсатора на индуктивную катушку имеет колебательный
характер (рис. 4.20,6), то, включив последовательно с ней перемен-
ный резистор, можно изменением сопротивления резистора добиться
апериодического (экспоненциального) изменения напряжения на
конденсаторе при его разрядке.
ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ И ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЦЕПИ
ОТ
для цепи
времени
. Тогда пвых » Ri = RC ~~ и цепь ©сущест-
4.22. Изобразить график мгновенных напряжений пвых
рис. 4.22, а, если зависимость входного напряжения пвх
имеет вид, показанный на
рис. 4.22, б. Параметры
элементов цепи R и С и пе-
риод Т изменения входного
напряжения подобраны та-
ким образом, что uc^>uR.
Решение. Напряже-
ние на выходе цепи пропор-
ционально току. иъъа1 — Ri.
Поскольку tic'^>tiR, можно
принять цсл^цвх; следова-
тельно,
at at
вляет операцию дифференцирования входного напряжения по времени.
График зависимости выходного напряжения от времени приведен
на рис. 4.22, в.
4.23. Решить задачу 4.22 при условии, что зависимость входно-
го напряжения от времени имеет вид, приведенный на рис. 4.23, а.
Ответ: график зависимости выходного на-
пряжения от времени приведен на рис. 4.23, б-
4.24. Определить зависимость от времени
напряжения на выходе четырехполюсника рис.
4.24, а, если входное напряжение изменяется
Рис. 4.23
во времени так, как показано на рис. 4.24, б. При решении задачи
принято, что начальное значение напряжения на емкостном элементе
равно нулю. Значения параметров цепи R и С подобраны таким
образом, что на частоте основной гармоники входного сигнала обес-
печивается неравенство uc<^,uR.
Решение. При заданных условиях можно считать, что uBX » uR
и, следовательно,
Рассматриваемый четырехполюсник является интегрирующим.
График зависимости выходного напряжения от времени представлен
на рис. 4.24, в.
4.25. Проанализируйте, как значение емкости конденсатора в диф-
ференцирующей цепи рис. 4.22, а влияет на погрешность дифферен-
цирования.
Указание и ответ. С увеличением емкости конденсатора на нем
уменьшается падение напряжения, при этом условие ис^>иR выпол-
няется менее строго и погрешность дифференцирования возрастает.
4.26. Влияет ли период входного напряжения в схеме цепи
рис. 4.22, а на погрешность дифференцирования?
Указание и ответ. При увеличении периода входного напряже-
ния уменьшается частота основной гармоники и, следовательно, не-
равенство uc^>uR становится более строгим, а операция дифферен-
цирования выполняется с меньшей погрешностью.
4.27. Проанализируйте, как период входного напряжения в за-
даче 4.24 влияет на работу интегрирующего четырехполюсника.
Указание и ответ. При увеличении периода входного напряже-
ния уменьшается частота основной гармоники интегрируемого сиг-
нала и, следовательно, становится менее строгим неравенство ис
т. е. погрешность интегрирования возрастает.
ГЛАВА 5
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
С ПОЛУПРОВОДНИКОВЫМИ ПРИБОРАМИ.
СТАТИЧЕСКОЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
5.1. На рис. 5.1, а приведен рабочий участок вольт-амперной
характеристики (в. а. х.) полупроводникового кремниевого стабили-
трона—прибора, применяемого для стабилизации напряжения. Опре-
делить статическое и дифференциальное сопротивления стабилитрона.
Решение. Статическое сопротивление 7?ст для любой точки ха-
рактеристики определяется как отношение напряжения к току:
7?ст = ЦСТ/7СТ. С ростом тока статическое сопротивление уменьшается,
при этом напряжение на стабилитроне остается практически по-
стоянным. Зависимость RCT(1) показана на рис. 5.1,6, сопротивле-
ние /?ст стабилитрона на рабочем участке в. а. х. изменяется от 27
до 4,56 кОм.
Для определения дифференциального сопротивления найдем по
кривой 7СТ (Цст) приращения напряжения АД и тока А7 на рабочем
участке:
ДЦЛ = —Цв= 162—145= 17 В,
Д7 = 7Л—7в = 40—5 = 35 мА.
Дифференциальное сопротивление стабилитрона
7?яиф = АЦ/А7 = 17/(35-10-3) « 0,49 кОм.
5.2. На рис. 5.2 представлена вольт-амперная характеристика
нелинейного элемента. Определить сопротивления 7?С1 и 7?ДИф для
точки а характеристики.
Ответ-. Rct = U/I = 20/(1,5 IO-3) « 13 кОм, /?пиф = 6,6 кОм.
5.3. Линейный элемент с сопротивлением /? = 200Ом и нелиней-
ный элемент (н. э.), вольт-амперная характеристика которого задана
данными табл. 5.3, соединены по-
следовательно и подключены к ис-
точнику питания с э. д. с. Б = 200 В
(рис. 5.3, а). Определить ток в це-
пи и напряжение на нелинейном эле-
менте.
Рис. 5.3
Решение. Воспользуемся методом пересечения характеристик —
графическим решением системы двух уравнений, выражающих связь
между напряжением и током н. э.
Таблица 5.3
U, в 0 20 40 60 80 100 120 160 200 240
1, А 0 0,22 0,36 0,45 0,53 0,60 0,65 0,76 0,80 0,86
Зависимость [7S (7) = UAB(I) выражается, с одной стороны, вольт-
амперной характеристикой нелинейного элемента, заданной табл 5.3
(рис. 5.3, б), а с другой-—уравнением V2(I) — Е—RI, составлен-
ным по второму закону Кирхгофа. Последнее уравнение является
уравнением внешней характеристики активного двухполюсника,
к которому подключен нелинейный элемент. Эта прямая может быть
построена по двум точкам с координатами (7к = 0, 7К—Е//? = 1А
и/х = 0, 77х = Е = 200В (рис. 5.3, б). Точка с пересечения характе-
ристик определяет корни этой системы уравнений: 7=0,55 А и U=85В.
Прямую ab называют опрокинутой характеристикой линейного эле-
мента, так как ее можно построить по-другому: провести прямую
из точки а под углом а к вертикали:
tg а = Rmi/mu = 200 • 0,02/4 = 1; а = 45°.
Масштабы тока и напряжения соответственно равны
т{ = 0,02 А/мм, ти = 4 В /мм.
Т а б л и ц а 5.4
U Ct’ ® 0 15 27,5 30 31,25 32,5 35
/сг, мА 0 5 10 " 20 70 120 140
Рис. 5.4
5.4. На рис. 5.4 представлена схема стабилизатора напряжения.
Определить напряжение на выходе стабилизатора £/вых ном, если
£/вх.нои = 50 В, сопротивление балласт- R
кого резистора Р6 — 0,25 кОм. Данные °
для вольт-амперной характеристики ста-
билитрона приведены в табл. 5.4. .. ,,
Ответ: ДВИХ.НОМ = 32 В.
5.5. В условиях предыдущей зада-
чи определить значение коэффициента
стабилизатора напряжения Ксг, если рнс 5 4
Vm = £/вх.ном ± АПех = (50 ± Ю) В.
Указание и ответ. На рис. 5.5 методом пересечения характери-
стик (три параллельные прямые) найдено напряжение на выходе
стабилизатора в номинальном режиме (точка Л), а также прираще-
ния выходного напряжения (точки В и С) UВЬ1Х = £7ВЫХ.ВОМ ± ЛПВЫХ=
= (32 ± 0,7) В, Дст=g Ц = 9,14. Коэффициент
с/вх.ном/ ^вых.ном
стабилизации Лст = 9,14 при ус-
ловии работы стабилитрона на
рабочем линейном участке
В.а.Х. При Лтшш<4г</сттах-
1^Т,МА
250
Рис. 5.6
5.6. Для стабилизации напряжения на нагрузке (рис. 5.6) па-
раллельно ей подключен стабилитрон, вольт-амперная характери-
стика которого приведена на рис. 5.1, а. Напряжение источника пи-
тания £/ = 180 В. Определить мощность, выделяемую в балластном
резисторе, если R6 = 4 кОм.
Ответ: Р6 = » 1.3 Вт.
5.7. На рис. 5.7, а изображена нелинейная характеристика гене-
ратора постоянного тока независимого возбуждения, к которому
подключена нагрузка с сопротивлением Дн = 0,25Ом. Определить
ток в цепи.
а)
Рис. 5.7
Решение. Г енератор представляет
собой активный двухполюсник с нели-
нейной внешней характеристикой, к ко-
торому подключен. линейный элемент
(рис. 5.7, б). Решение проводим графи-
ческим методом пересечения характерис-
тик (нелинейной U(7) и линейной U =
= RJ)-
R^U/I^t^,
tg а = Rvm[im,u = 0,25 = 1,
т; = 20А/мм, /Пи = 5В/мм, а = 45°.
<7
Проводя прямую под углом a = 45Q
до пересечения с кривой, получаем зна-
чение тока J = 770 А (рис. 5.7, а).
5.8. Внешняя характеристика генера-
тора постоянного тока задана на рис. 5.8.
Определить ток в цепи, если к зажимам
генератора подключена нагрузка с сопро-
тивлением 7?„=150м.
Ответ,-. 7 = 5,5 А.
5.9. Характеристика холостого хода генератора параллельного
Возбуждения E(R) приведена на рис. 5.9. Определить сопротивление
обмотки возбуждения /?Е, если номинальный ток возбуждения гене-
ратора 7вноМ = 4,8А. Сопротивлением обмотки якоря пренебрегаем.
1 Z 3 4 5 I, А
Рис. 5.8
Указание и ответ-, в установившемся режиме уравнение электри-
ческого состояния цепи имеет вид £(7В) = 7?В7В; применяя метод
пересечения характеристик, проводим из начала координат через
точку 7ВНОМ = 4,8А на характеристике £(7В) прямую U = RJ; на-
клон прямой к оси абсцисс определяется сопротивлением обмотки
возбуждения RB — tga = • 1 =50 Ом, т£7=5В/мм, /7?z=0,1 А/мм.
5.10. В условиях предыдущей задачи определить напряжение на
зажимах генератора, если сопротивление цепи обмотки возбуждения
возрастает за счет включения добавочного резистора до 80 Ом.
Ответ'. U «15 В.
5.11. На рис. 5.11, а представлена схема коллекторной цепи
транзисторного усилителя, содержащая источник коллекторного
питания £к = 15 В, резистор коллекторной цепи 7?к= 2кОм и биполяр-
ный транзистор—управляемый нелинейный элемент. Семейство в. а. х.
управляемого нелинейного элемента /K(^Ks)/6=COnst приведено на
рис. 5.11, б. В каких пределах в схеме рис. 5.11, а будет изменяться
ток коллекторной цепи/к, если пределы изменения тока базы
5gC800 мкА?
Решение. Схема рис. 5.11, а может быть представлена в виде
схемы рис; 5.11, в; нелинейный элемент в схеме рис. 5.11, в—управ-
ляемый нелинейный элемент, семейство в.а.х. которого приведено
на рис. 5.11, б.
Применяем для схемы рис. 5.11, в метод пересечения характе-
ристик (см. линию нагрузки, построенную по двум точкам: Пкэ х = Ек,
/к.х = 0 и Пкэк = 0, IK.K = EK/RK) и определяем диапазон изменения
тока /к, соответствующий заданному диапазону изменения тока
базы 16: при = 0/к«1мЛ (точка N на рис. 5.11, б), при 16 =
= 800 мкА, /к = 6 мА (точка 7И на рис. 5.11, б). Следовательно,
при 0 Ц 800 мкА для тока коллектора справедливо, неравенство
1 мА gC /к 6 мА.
5.12. На рис. 5.12, а представлена схема стоковой цепи тран-
зисторного усилителя на полевом транзисторе. Семейство в.а.х.
транзистора /с (^cH)n3H=const приведено на рис. 5.12, б. Определить
пределы изменения тока стоковой цепи /с, если напряжение на
затворе изменяется в диапазоне — 2В Пзн 0, Яе = 1 кОм,
£С=15В.
Отлет: 4 мА si' /с si 11 мА;
5.13. На рис. 5.13, а изображены в.а.х. нелинейного элемента и
две пунктирные прямые, линеаризующие заданную нелинейную ха-
рактеристику. Составить эквивалентные линейные схемы замещения
нелинейного элемента.
Решение. На первом линейном участке при I < 1,5 мА лине-
аризованная в.а.х. нелинейного элемента определяется выражением
U — RCJ. Значение 7?ст может быть определено для любой точки
в. а. х. при I < 1,5 мА. Например, при I = 1 мА U = ЗВ; следовательно,
7?3K = 7?CT = f//1=3/10—3 = ЗкОм. Нетрудно видеть, что на рассмат-
риваемом участке в.а.х. нелинейного элемента совпадает с в.а.х.
линейного резистивного элемента (рис. 5.13, б), сопротивление ко-
торого должно быть равным 3 кОм. Итак, линейной схемой замеще-
ния нелинейного элемента при I < 1,5 мА является линейная схема
рис. 5.13, б. На втором линейном участке при I > 1,5 мА для в.а.х.
нелинейного элемента справедливо выражение U = Uo -|- R№i,l, где
UB—значение напряжения, определяемое точкой пересечения пунк-
тирной прямой с осью ординат, а 7?диф—дифференциальное сопро-
тивление нелинейного элемента на втором участке линеаризации.
По графику рис. 5.13, а получаем (70 = 3,8В, 7?яиф= 130Ом; следо-
вательно, при I >1,5 мА в.а.х. нелинейного элемента описывается
уравнением V = (3,8 -ф-130) I. На рис. 5.13, в изображена линейная
схема, уравнение электрического состояния которой определяется
выражением U = E3K-{-RlKI. Нетрудно видеть, что в.а.х. линейной
схемы рис. 5.13, в будет совпадать с в.а.х. нелинейного элемента
на втором линейном участке, если Е8К = t/0 = 3,8 В и /?эк==^дИф =
= 130 Ом. При этом схема рис. 5.13, в является эквивалентной
линейной схемой замещения нелинейного элемента в режиме I > 1,5 мА.
5.14. На рис. 5.14, а изображена вольт-амперная характеристика
транзистора. Составить эквивалентную линейную схему замещения
транзистора в режиме 1/кз>2В.
Ответ'. /эк = 3,8 мА, RbK = 9 кОм, эквивалентная схема представ-
лена на рис. 5.14, б.
Рис. 5.15
5.15. Методом линеаризации найти в аналитической форме зави-
симость отношения А17ВХ/А(7ВЫХ от параметров балластного резис-
тора R6 и стабилитрона Д в схеме стабилизации напряжения
рис. 5.15, а.
Решение. В режиме стабилизации напряжения стабилитрон
работает на линейном участке его в.а.х.: /ст min < /ст < Лтшах
(рис. 5,15 6), при этом схема рис. 5.15, а может быть заменена
эквивалентной линеаризованной схемой рис. 5.15, в (параметры £эк
11 ^эк = ^днф схемы определяются графически для линейного участка
в.а.х. стабилитрона). Для схемы рис. 5.15, в справедливо уравнение
Квых +/?6Д так как 7 = (t/BHX—£эк)/^эк, можно записать Пвх=
= ^’бых + (^б/^эк) (^иых — Езк). Продифференцировав полученное вы-
ражение для Um по выходному напряжению, находим дПвх/дПвых=
— 1 4-Д6/7?гк = 1 ф-Дб/7?диф. Так как в схеме стабилизации напряже-
ния выполняется неравенство R^^R,,^, окончательно имеем
А1/„Х/ДП
вых dUBK/dUBM = R6!RaHi,.
Коэффициент стабилизации напряжения в схеме рис. 5.15, а
возрастает с увеличением сопротивления балластного резистора и
уменьшением дифференциального сопротивления стабилитрона.
5.16. Для измерения температуры в одно из плеч моста (рис. 5.16, с)
включен полупроводниковый резистор, представляющий собой нели-
нейный элемент с вольт-амперной характеристикой, заданной табл. 5.16.
Напряжение источника питания О = 12 В, сопротивления плеч
Таблица 5.16
Ut, в 2 8 12 14 16
li, мА 0,25 2 4,2 5,7 10,5
R2 = ^4 = 1 кОм, R3 = 4 кОм, а сопротивление /\5 = 2 кОм. Определить
ток It в нелинейном элементе.
Решение. Для определения тока 1± воспользуемся методом
эквивалентного генератора. Размыкаем ветвь ас и определяем напря-
Рис. 5.16
жение Uacll (рис. 5.16, б). Предварительно находим токи 7Sx и 76Х
в резистивных элементах /?3 и /?5:
, | (^5~Ь^2)
3 -Rs+ ^2+^4
12
(л । (2+D-1X
\ "Г'гд-14-1J
— = 2,53 мА,
ю?
°2'53-10-’ • <н4н>=-°’635мА’
^асх = 7?37зх-|-/?575х = 11,4 В.
Определяем ДЕХйС схемы рис. 5.16, в:
I \
^4~Ь^З /
^вх ас
^?2 |~ Д5
= 0,74 кОм.
P4I-P3
Эквивалентная схема (рис. 5.16, г) представляет собой последо-
вательное соединение источника э.д.с. EgK=Uam с сопротивлением
Дэк = RBxac и нелинейного элемента
Для определения тока /s этой схемы воспользуемся методом
пересечения характеристик (рис. 5.16, б): 7^ 2,7 мА.
5.17. Определить ток 7Т термисторов (рис. 5.17), данные для вольт-
амперных характеристик которых заданы табл. 5.17. Значения э.д.с. на рисунке указаны в вольтах, сопротивления резисторов—в омах. Таблица 5.17
Схема а
/, А 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
и, В 0 1 2,5 4 5,5 6
Схема б
I, А 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
и, В 0 4 8 10 - 12 14
Схема в
I, А 0 0,1 0.2 0,3 0.4 0,5
(/, В 0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
I, А и, В Схема г
0 0 0,2 5 0,4 12 0,6 25 0,8 45 1,0 55
Ответ', а) /т = 0,1А, б) 7т = 0,05А; в) /т = 0,35А; г) /Т = О,ЗА.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО НАПРЯЖЕНИЙ
5.18. Найти закон изменения тока в схеме однополупериодного
выпрямителя (рис. 5.18, а), если /?н=1к0м, wBX = 20sin®/В.
Решение. Сопротивление диода в проводящем направлении
пренебрежимо мало, поэтому при ивк > 0 можно пренебречь паде-
нием напряжения на диоде ид~0и записать ин « wBX; следовательно,
£ » ивх//?п = 20 sin cat мА.
При ивх < 0 диод включен в непроводящем направлении, поэтому
его сопротивление велико, а ток в цепи пренебрежимо мал (/ « 0).
Графики мгновенных значений напря-
жения и тока показаны на рис. 5.18, б.
5.19. В условиях задачи 5.18 найти
максимальное значение напряжения на
диоде uJirax.
и, в
Рис. 5.20
Указание и ответ: в схеме однополупериодного выпрямителя
(рис. 5.18, а) при пвх < 0 /«0, ия т 0, поэтому мд = цвх; следова-
тельно, «дтах ж = 20 В.
5.20. Определить среднее значение тока /н в схеме двухполупе-
риодного выпрямителя (рис. 5.20, а), если иях — 50 sin со/ В, /?н — 2 кОм.
Указание и ответ: кривая мгновенного тока показана на
рис. 5.20, б; пренебрегая сопротивлениями диодов в проводящем
направлении, можно записать 7Н тах Пв,.и//?н = 25 мА, тогда /„ ср —
Т/2
1 г 21
—'т72 1 !nax s*n<ог" ~ 1^1ах = 16мА (Т—период напряжения источ-
о
ника питания).
5.21. На рис. 5.21, а приведена вебер-амперная характеристика
индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником Ч*к(/к). Опре-
делить максимальное значение тока катушки при ее подключении
к источнику синусоидального напряжения u = 220sin (^со/4--^ В.
Нагревом катушки пренебречь, со-= 314 рад/с.
Решение. Вначале определяем закон изменения потокосцепле-
ния катушки:
ек =------ , и ж—ек; следовательно, rirK = \^udt =
=j 220 sin (314/ + л/2) dt = sin 314/, ¥к (/) = 0,7 sin 314/ Вб.
На рис. 5.21, б изображена функция VK(/). Графическое опре-
деление тока катушки показано на рис. 5.21, в. Катушка с ферро-
магнитным сердечником является нелинейным элементом, поэтому
ток в катушке, подключенной к источнику синусоидального напря-
жения, отличается по форме от синусоиды. Максимальное значение
тока катушки /Krnax«30A.
• 5.22. На рис. 5.21, а приведена вебер-амперная характеристика
индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником 4fK(iK). Катушка
подключается к источнику гармонически изменяющегося напряжения
и — Um sin a>t. Определить пределы допустимых значений амплитуды
напряжения на катушке, в которых ток катушки будет определяться
гармонической функцией времени. Составить для этого случая схему
замещения катушки. Угловая частота напряжения источника
(0—-314 рад/с, нагревом катушки пренебречь.
Решение. При гармоническом законе изменения напряжения
на катушке и.. = Vт sin <at потокосцепление катушки Тк также изме-
няется по гармоническому закону: = §uKdt = ^sin или
^ = ^Kmsinp-f), VKm = ^.
Закон изменения тока во времени будет совпадать по форме
с функцией Чгк(/) до тех пор, пока зависимость Чгк (iK) будет линей-
ной. Линейный участок характеристики можно определить
графически по рис. 5.21, a; VK=Z.KiK, если | Чгк| <10,3 Вб. Индуктивность
катушки LK определяется наклоном линейного участка вебер-амперной
характеристики: LK = — tg а (рис. 5.21, а), где и т,—соответ-
ственно масштабы потокосцепления и тока. В рассматриваемом
случае LK « 0,1 Гн. Линейная схема замещения индуктивной катушки
с ферромагнитным сердечником представлена на рис. 5.22. В ней
гармоническому закону изменения напряжения будет соответство-
вать гармонический закон изменения тока, так как wK = LK^. Ли-
нейная схема замещения (рис. 5.22) спра-
° ~~—₽> I ведлива при условии < 0,3 Вб,
/д- I Ткт — Umt®, амплитудное значение на-
U пряжения на катушке Um не должно
3 ' превышать f/ra = to4fKm = 314-0,3 = 94 В.
Y Г 5.23. Индуктивная катушка с фер-
I ромагнитным сердечником, вебер-ампер-
° ная характеристика которой представ-
Рис. 5.22 лена на рИс. 5.21, а, подключена к ис-
точнику синусоидального напряжения
с частотой f= 100 Гц. Составить линейную схему замещения катуш-
ки и определить предельное значение амплитуды приложенного на-
пряжения U т, до которого линейная схема замещения остается спра-
ведливой. Нагревом катушки пренебречь.
Ответ', линейная схема замещения представлена на рис. 5.22;
схема рис. 5.22 справедлива при условии f/m^188B.
5.24. На рис. 5.24, а изображена эквивалентная схема входной
цепи транзисторного усилителя. Вольт-амперная, характеристика
нелинейного элемента i(пёэ) (входная характеристика биполярного
транзистора) приведена на рис. 5.24, б. Определить ток в цепи,
если £о = 0,2В, wex = 0,15sin(o/B.
Рис. 5.24
Решение. В цепи рис. 0.24, а действуют источник постоянной
э-Д.с. Ед и источник синусоидального напряжения uBK(t). По вто-
рому закону Кирхгофа, пбэ = £'0-|-цЕХ(/) (рис. 5.24, в). Ток в схеме
может быть определен графически (рис. 5.24, г). Сопоставление гра-
фиков «бэ (0 и i (t) показывает, что на нелинейном элементе кривая
тока (рис. 5.24, г) отличается по форме от кривой напряжения
(рис. 5.24, в).
5.25. В условиях предыдущей задачи определить ток в цепи
рис. 5.24, а, если входное напряжение пЕХ = 20 sin о/ мВ.
Решение. При заданном малом входном сигнале напряжение
на нелинейном элементе изменяется в пределах линейного участка
его в.а.х. (рис.5.24, б) вблизи точки П
с координатами и=Ёо = 0,2В, i=Ig— ° |
=200 мкА (точку П называют точкой по- !|
коя, так как она определяет режим
цепи рис. 5:24, а в отсутствие пере-
менного входного сигнала, пвх = 0). Пе- ’' j
ременную составляющую тока т~ мо- _________________I
жно определить по линеаризованной рис g 25
схеме замещения нелинейного элемента
(рис. 5.25). Сопротивление резистивного
элемента в схеме рис. 5.25 равно дифференциальному сопротивле-
нию нелинейного элемента вблизи точки покоя: /?диф=А17/Д7=:
= 8-10~2/200-10~6 = 4000м, тогда 1~ = ывх/Ддиф= 50 sin оз/мкА.
Для линеаризованной схемы справедлив принцип суперпозиции,
тогда i = /0 -|-i~ = (200 + 50 sin оз/) мкА.
5.26. Определить ток в схеме рис. 5.24, а при условии, что
£о = ЗООмВ, пвх = 30 sin оз/ мВ.
Ответ', i = (440 Ц- 75 sin at) мкА. ,
ГЛАВА 6
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ
ТОКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
6.1. На рис. 6.1 жирной линией представлено несннусоидальное
периодическое напряжение на выходе однополупериодного выпрями-
теля. Разложение в ряд Фурье для заданной кривой имеет вид
г г Г 1 . 1 , 2 / cos 2си/ . cos 4о>£ . cos Gat . \ 1
« = C/n,ax|- + TSin(0Z--^-TT- + -3^- + -^+. ..JJ,
Построить зависимость этого напряжения от времени, ограни-
чившись четырьмя первыми членами разложения. Максимальное
значение напряжения на выходе выпрямителя С7геах=120В.
Решение. При заданных условиях напряжение на выходе вы-
прямителя определяется выражением
и = (38 + 60 sin at—25 cos 2at—5 cos 4<oZ) В.
На рис. 6.1 каждая из четырех составляющих ряда Фурье изо-
бражена тонкой линией, пунктирной линией показана результирую-
щая кривая, полученная путем графического суммирования четырех
составляющих ряда. Как видно из рисунка, ограничение четырьмя
членами разложения в ряд Фурье позволяет получить кривую за-
висимости напряжения от времени, практически совпадающую с задан-
ной несинусоидальной кривой. Это объясняется резким уменьшением
амплитудных значений последующих чле-
нов разложения и свидетельствует о до-
пустимости представления несинусоидаль-
ных периодических величин ограниченным
числом первых членов разложения.
6.2. Определить действующую пери-
одическую э.д.с., зависимость от времени
которой приведена на рис. 6.2. Сравнить
ее с действующей э.д.с., определенной по
трем первым членам разложения в ряд
Фурье. Максимальное значение э.д.с. £'тах=10В.
Решение. Уравнение э.д.с. за промежуток времени <^Д/4
можно получить из соотношения '7 = ;у^> откуда e=-^-Etnaxt.
Действующая э. д. с.
Д=]Л4 J e2d/=Bmax//3 = 5,78B.
о о
Ряд Фурье для кривой треугольной симметричной формы запи-
сывается в виде
е _ 8£max f sjn(0/— 1 sin 3at + sin 5(й/-—isin7G>Z + •••').
Л“ \ O'" tr i . J
При Emax=10B
e = (8,l sin— 0,9sin3co/ + 0,32sin5w/—. . -)B.
Действующая э.д.с., определенная по трем первым членам разло-
жения в ряд, __________
Е=т,+£;»+£?„= / (утг)э(^у+(г1)!=6’77В-
Действующая э.д.с., определенная по трем первым членам раз-
ложения в ряд Фурье, с точностью до долей процента совпала
с истинным значением, найденным аналитическим путем, что сви-
детельствует о допустимости представления несинусоидальных пе-
риодических величин ограниченным числом первых членов разложе-
ния в ряд Фурье.
6.3. Три вольтметра различных систем подключены к источнику
несинусоидального периодического напряжения. Вольтметр электро-
магнитной системы показал 4,2 В, выпрямительный вольтметр—4,0 В,
а электронный вольтметр максимальных значений—6,1В. Опреде-
лить коэффициенты амплитуды и формы несинусоидального на-
пряжения.
Решение. Показание вольтметров электромагнитной системы
независимо от формы кривой равно действующему измеряемому
напряжению U- следовательно, 17 = 4,2 В. Отклонение подвижной
части выпрямительного прибора пропорционально среднему по мо-
дулю значению измеряемого напряжения Ucp мод. Градуировка шкалы
выпрямительного прибора производится, для действующего синусо-
идального напряжения. Поэтому для определения среднего по модулю
значения измеряемого напряжения необходимо разделить показание
выпрямительного прибора на коэффициент формы синусоиды /гф =
= 17/£/ср мод, равный 1,11. Следовательно, для измеряемого напря-
жения £/ср мод = 4,0/1,1 =3,64 В. Показания электронного прибора
с амплитудным детектором пропорциональны максимальным значе-
ниям измеряемого напряжения. Градуировка шкалы прибора произ-
водится для действующего синусоидального напряжения. Поэтому
для определения амплитудного значения измеряемого напряжения
показание электронного прибора необходимо умножить на коэффи-
циент амплитуды синусоиды Ка = UmzyjU, равный J/2. Следовательно,
для измеряемого напряжения Htnax = J/r2-6,l = 8,5 В. Коэффициент
формы для исследуемого несинусоидально-
го напряжения источника питания Кф =
= U/UCV' мод = 1,15, а коэффициент ампли-
туды Ка = = 2,02.
6.4. Определить действующее перио-
дическое напряжение и его среднее по мо-
дулю значение, если зависимость этого на-
Р|4С: 6.4 пряжения от времени приведена на рис.
6.4. Каким числом членов ряда Фурье
можно ограничиться, чтобы действующее напряжение, определенное
по разложению в ряд Фурье, отличалось от истинного не более чем
на 5%? Разложение в ряд Фурье для рассматриваемого случая
имеет вид
ЛР f 1 1 \
е = —щах I s jn(0£ _|_ sjn 3^ _|_ s|n . X
Л \ о О J
где со = 2л/Т1.
Ответ: Е — Еср Мод = £тах. В разложении достаточно ограничиться
двумя первыми членами ряда.
6.5. На рис. 6.5, а, б приведены схема и временная диаграмма
напряжения ин на нагрузочном резисторе Rn однополупериодногб
выпрямителя. Выпрямленное напряжение разложено в ряд Фурье
^тах
где (0 = 2л/Т.
, 2
sin со/-----
я
cos 2cof cos 4<of
ПГЗ *" 3-5
Определить среднее значение напряжения на нагрузочном рези-
сторе с/ср, коэффициент пульсаций р, а также показание вольтметра
магнитоэлектрической системы, если i/max—10 В.
Рис. 6.5
Решение. Коэффициент пульсаций определяется отношением
амплитуды первой гармоники к постоянной составляющей:
„ __ 6^(1) т __ 0,5 t/щах п 1 к у
1 ит - 17юах/Я ~ 2 ~
Вольтметр магнитоэлектрической системы показывает среднее
значение измеряемого напряжения £/ср, которое равно постоянной
составляющей;
г/ср = цо) = юо/л=31,8 в.
. 6.6. Определить среднее значение напряжения ин на нагрузочном
резисторе /?н и коэффициент пульсаций р для двухполупериодного
выпрямителя (рис. 6.6, а). График мгновенных значений напряжения
приведен на рис. 6.6,6, Г7гпах = 100 В.
Рис. 6.6
Ряд Фурье такой кривой имеет вид
и = (1 —| cosco/— cos2®/— ...)
Ответ: Оср = = 2От/п = 63,6 В, р — Uw — 2/3.
При одинаковых максимальных значениях выпрямленного напря-
жения 17гаах в одно- и двухполупериодном выпрямителях постоянная
составляющая в двухполупериодном выпрямителе будет в два раза
больше.
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
6.7. Катушка с активным сопротивлением £=10 Ом и индуктив-
ностью L — 33 мГн подключена к источнику питания, э. д. с. кото-
рого изменяется по несинусоидальному закону в = (10+ 20 sin ю/+
+ 12 sin Зю/) В. Записать выражение для мгновенного тока и соста-
вить баланс активной мощности пепи, если частота основной гармоники
f = 50 Гц.
Решение. На рис. 6.7,о изображена схема замещения рассмат-
риваемой цепи, в которой осуществлена эквивалентная замена источ-
ника несинусоидальной э. д. с. тремя источниками э. д. с., соединен-
ными последовательно. Расчет схемы 6.7, с по принципу суперпозиции
сводится к определению токов и мощностей трех частичных схем,
представленных на рис. 6.7,6—г. В частичной схеме рис. 6.7,6,
являющейся схемой замещения по постоянной составляющей (ю = 0),
сопротивление определяется только резистивным элементом R, сопро-
тивление индуктивного элемента £ю равно нулю. Комплексные
сопротивления частичных схем
Z(l) = R + /£ю = 10 + j 33- 10-3-3I4 = 10 + / 10,3= 14,35е' «Ом,
Z(1) = 14,35 Ом, <р(1) = 45,8°;
Z(3) = R + / 3£ю= 10 + / 30,9 = 32,48е'72’10 Ом,
Z(S) = 32,48 Ом, <р<3) = 72,1°.
Постоянная составляющая и амплитудные значения гармоник
тока в частичных схемах
Im = Em/R = 10/10= 1,0 А,
Лк « = 41> Дц = 20/(14,35е' = 1,39е-/ «,в<> А,
Лз> т = 4з> и/4з> = 12/(32,42е/ 72-i°) = 0,37е~/ 72-i° А.
Действующие значения гармонических составляющих э. д. с. и тока
E(1) = 2O/J/2=14,14B, £(3) = 12/К2 = 8,5В,
/(1) = 1.39/J/2 = 0,98 А, /<3) = 0.37/J/2 = 0,26 А.
Активная мощность источника питания
= «о + ^(i)Ai)cos ЧРс!) + ^(з)-/(з) cos 9Р(в) —
= 10-1,0 + 14,14 -0,98 0,7 + 8,5 0,26• 0,31 = 20,4 Вт.
Активная мощность приемника электроэнергии
Рп = Rl'i» + РЦи + RI™ = 10 (1,02 + 0,982 + 0,262) = 20,3 Вт.
Баланс мощностей:
Р„ = Рп-, 20,4 Вт «20,3 Вт.
6.8. Напряжение на входе схемы, содержащей последовательно
включенные резистивный и емкостный элементы, задано уравнением
« = [218+141 sin(co/—0,75) + 31 sin (Зю/+ 0,21)] В.
Записать уравнение для мгновенного тока. Определить действующие
напряжение и ток, а также активную мощность цепи, если сопро-
тивление резистивного элемента R =10 Ом, емкость С = 96,5 мкФ,
.а частота напряжения / = 50 Гц.
Указание. При расчете частичной схемы замещения цепи по по-
стоянной составляющей необходимо учесть, что сопротивление емкост-
ного элемента при ю = 0 равно бесконечности и поэтому в токе
отсутствует постоянная составляющая.
Ответ: i = [4,08 sin (ю/ + 0,52)+ 2,08 sin (Зю/+ 1,04)] A, U «
«261,5 В, / = 3,25 А, Р « 106 Вт.
6.9. Напряжение на входе схемы рис. 6.9 задано рядом Фурье
tz = (105sinco/—4,2 sin Зю/+2,14 sin 7ю/) В. Определить процентное
содержание высших гармоник относительно основной для напряжения
и токов ветвей, если R = 8 Ом, £ = 25,5 мГн, С = 398 мкФ, ю =
= 314 1/с.
Ответ: результаты расчета приведены в табл. 6.9.
Т а б л и ц а 6.9
Электрическая величина Абсолютные значения величин Процентное содержание гармоник относительно основной
1-я гармо- ника 3-я гармо- ника 7-я гармо- ника 3-я гармо- ника 7-я гармо- ника
В 105 4,2 2,14 4 2,04
ХцЬ), Ом 8 24 56 — —
Хс <s)> Ом 8 2,66 1,14 — —
А 13,12 0,525 0,267 4 2,04
IL (k) т* А 13,12 0,175 0,038 1,34 ’ 0,29
1с пат, А 13,12 1,58 1,88 12,04 14,33
Процентное содержание высших гармоник относительно основной
в кривых тока iR и напряжения и одинаково, следовательно, кривая
тока в резистивном элементе совпадает по форме с кривой
напряжения. Процентное содержание высших гармоник тока индук-
тивного элемента ниже, чем напряжения,следовательно,кривая
тока «сглажена» по сравнению с кривой напряжения. Кривая тока
R
L
Рис. 6.10
в емкостном элементе более «искажена», чем кривая прило-
женного напряжения, так как в ней процентное содержание высших
гармоник выше, чем в кривой напряжения.
6.10. Определить процентное содержание 4-й гармоники относи-
тельно основной для тока и напряжений на элементах цепи рис. 6.10,
если R =10 Ом, L = 9,5 мГн, С— 132,8 мкФ, а ток источника тока
задан уравнением I — (80 sin at 40 sin 4co/) мА. Частота основной
гармоники / = 50 Гц.
Ответ: процентное содержание 4-й гармоники относительно основ-
ной для тока и напряжения на резистивном элементе составляет 50%,
для напряжения на индуктивном элементе—200%, для напряжения
на емкостном элементе—12,5%.
6.11. Перечислите номера гармоник, которые будет содержать
ряд Фурье, записанный: а) для тока б) для тока i2; в) для на-
Рис. 6.11
3L2Gj=f/(JC2w)
s)
пряжения иАВ, если напряжение на входе цепей рис. 6.11, а—в
задано уравнением и = Uw т sin at + t/(2) т sin2co/ +1/<3) m sin Зю/.
Ответы даны в табл. 6.11.
Таблица 6.11
Наименование несинусоидальной величины Номера гармоник, содержащихся в ряде Фурье
схема а схема б схема в
Ток if Ток i2 Напряжение иАВ Со>-* ~ Со ND Со со со СО (NGN 2 1, 2, 3 2, 3
6.12* . Определить показания приборов: а) магнитоэлектрической
системы; б) электромагнитной системы в схемах рис. 6.12, если
Рис. 6.12
R = 3 Ом, XLt (J) = 2 Ом, XLi (i) = 5 Ом, XCj (i) = 9 Ом, ХСг (I) = 45 Ом,
а напряжение источника питания ы = (9 +12sin3®/) В.
Ответы даны в табл. 6.12.
Таблица 6.12
Наименование прибора Схема
а б в г
Магнитоэлектрический амперметр ’ 0 3 А 3 А 1,5 А
Магнитоэлектрический вольтметр 9 В 9 В 0 0
Электромагнитный амперметр 0,4 А - 3,3 А 4,12 А 1,5 А
Электромагнитный вольтметр 10,8 В 9 В 60/V2 В 12/К 2 В
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
6.13. Напряжение на входе цепи рис. 6.13 задано уравнением
п = (100 Ц-50 sin 314/) В. Записать уравнение для напряжения на
CJS конденсаторе и резисторе 7?и, если ем-
"Нг °-1 кость С = 2,5 мкФ, а сопротивление 7?н=
I =100 кОм.
С и П R Решение. Сопротивление емкостного
и лг Ц'я элемента при постоянном напряжении (<э=
j =0) равно бесконечности, поэтому посто-
янная составляющая тока в цепи /(0) = 0,
о—---------о—J напряжение на нагрузочном резисторе
Рис. 6.13 Цно) = О, а напряжение на конденсаторе
Ucm = 100 В.
Комплексное сопротивление цепи при и = 314 рад/с
106
Z(1) = 100-103—/~у^ = (100-103—/ 1274)Ом,
Z(1) ж 100 • 103 Ом, <Pi = — 0,73°.
Комплексные ток и напряжения' на элементах цепи
/(и т та------т— = 0,5е' °-73° мА,
*’ ” 100-103 е-J °’73
0с а>т& — т = 1274е~'»»° • 0,5 • 10-3е> «• 73° = 0,637е“'ез'27'
Ц. (1) rn = V(1> т « 100.103-0,5- 10-W °’73° = 50е'-.°’73° В.
В
Мгновенные напряжения на конденсаторе и нагрузочном рези-
сторе
ис = [100 + 0,637 sin (at— 1,56)] В,
иа = 50 sin (at 0,013) В.
Параметры элементов в рассматриваемой цепи подобраны таким
образом (RH5*> Хс (1)), что происходит «разделение» постоянной и пере-
менной составляющих напряжений. С большой степенью точности
можно считать, что на зажимах конденсатора выделяется постоян-
ная составляющая, а на нагрузочном резисторе—переменная состав-
ляющая приложенного напряжения. В таких цепях конденсатор
называют разделительным.
6.14. Изобразить примерный вид амплитудно-частотной характе-
ристики цепи, изображенной на рис. 6.13.
Решение. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) опре-
деляет зависимость коэффициента передачи напряжения
от частоты. Выходное напряжение
U — U — R J — Р т
17 вых — ин - <А) т — 7<н 2(й)
т
Коэффициент передачи напряжения
V Рвык
— — —
и вх
__ Рв
V Яи+ &С2оЯ
Коэффициент передачи постоянного напряжения (ю = 0) 7^ = 0,
с увеличением частоты коэффициент передачи возрастает, стремясь
к единице. Если емкость конденсатора
взять такой, что на частоте / = 50Гц
ХС(1) « 7?н/10, то уже на этой частоте
Ку = 0,998. Амплитудно-частотная ха-
рактеристика цепи приведена на рис.
6.14.
6.15. К зажимам транзисторного уси-
лителя (рис. 6.15) подключены два ис-
точника: аккумуляторная батарея с
э. д. с. и источник усиливаемого сиг-
нала с синусоидальной э.д.с. <?ЕХ. Какие из токов, указанных в схе-
ме, будут иметь постоянные составляющие?
Ответ: наличие разделительных конденсаторов обеспечивает от-
сутствие постоянных составляющих тока на входе и выходе усили-
Рис. 6.15
Рис. 6.16
теля. Поэтому /ЕХ (0) = О, 7ВЫХ (0) = 0. Постоянные составляющие будут
присутствовать в токе базы i6, токе коллектора iK и токе эмиттера ia.
6.16. Определить постоянные составляющие тока коллектора 7К(О)
и напряжения между базой и эмиттером Ибз(0)-в транзисторном
усилителе рис. 6.15, если постоянная составляющая тока
= 100 мкА, а постоянная составляющая напряжения между коллек-
тором и эмиттером UK3 (0) = 8 В. Параметры элементов: Яб = 148 кОм,
RK= 1 кОм, Ек=15 В.
Решение. Рассмотрим частичную схему замещения усилителя
по постоянной составляющей, представленную на рис. 6.16. При
составлении этой схемы учитывалось, что сопротивление разделитель-
ных конденсаторов при постоянном напряжении (<в = 0) равно бес-
схеме отсутствуют входная и вы-
ходная цепи. По второму закону
Кирхгофа для цепи рис. 6.16 мож-
но записать
RJК (0) “1“ ^кэ (6) = ^к.
^бД (0) Ч” ^бэ (0) =
откуда 4 (0) = 7 мА, 1/бэ«я = 0,28 В.
6.17. Для уменьшения пуль-
саций напряжения на приемнике,
подключенном к однополупериод-
ному выпрямителю, применен Г-об-
разный PC-фильтр, схема которого изображена на рис. 6.17. Опре-
делить коэффициенты пульсаций (отношение амплитуды основной
гармоники напряжения к постоянной составляющей р = 1/(1) т/1/(0))
для напряжения на входе и выходе фильтра, если параметры фильтра
Яф = 1 кОм, Сф = 10мкФ, а сопротивление приемника Яп=10кОм.
Напряжение на входе фильтра задано уравнением ыЕХ = (70 +
+ 60sin314/) В.
Решение. Коэффициент пульсаций для напряжения на входе
фильтра рЕХ = 1/вх (1) ,Л/С/ВХ (0) — 60/70 = 0,875. Для определения коэф-
фициента пульсаций на выходе фильтра проводим расчет схемы от
постоянной составляющей и основной гармоники напряжения.
Напряжение на выходе фильтра от постоянной составляющей
приложенного напряжения
конечности, поэтому в частичной
Фильтр
Рис. 6.17
[1 ___ ^вх (о) п 70-10 000 со с п
ивых (0) — яф_|_ Ап !! 000 О'5,0 °-
Напряжение на выходе фильтра от основной гармоники прило-
женного напряжения
Т’Т _ б^вх (I) т 7
v вых (X) т £ _р (Й>
где Z(1)—комплексное входное сопротивление цепи по первой гар-
монике, a Zp(1)—комплексное сопротивление разветвленного участка
по первой гармонике:
7 10 000-(—/318) , _ ;oiqxO„
£р <о =-------77— = -10000-/318- (10>1 —/ 318) Ом’
Рп~,с^>
Zw = Яф +zp (1) = (1010,1 -j 318) Ом.
Тогда
(, _ 60.(10,1-/318) _ 60-318е~;'88,2° 70j7»
вых(1)Я! 1010,1-/318 1060е'> 17>5°
Коэффициент пульсаций для напряжения на выходе фильтра
Рвых — ^вых (1) яг/^вых (0) = 18/63,6 = 0,283.
Применение /?С’-фильтра позволило в три раза уменьшить коэф-
фициент пульсаций, т. е. обеспечить «сглаживание» формы выпрям-
ленного напряжения, поэтому рассмотренный фильтр называют сгла-
живающим.
6.18. Как зависят сглаживающие свойства /?С-фильтра (см.
задачу 6.17) от значения емкости С4, конденсатора?
Ответ: значение емкости не влияет на режим цепи по постоян-
ной составляющей («= 0, Хс = оо при любом значении емкости);
с ростом емкости уменьшается сопротивление конденсатора и, сле-
довательно, сопротивление разветвленного участка цепи от основной
гармоники Zp(n. При этом уменьшается напряжение на выходе
фильтра от основной гармоники
ЙВЫХ(1), т е. «сглаживающие» свой-
ства фильтра улучшаются.
6.19. Для уменьшения пульса-
ций напряжения на нагрузочном ре-
зисторе подключенном к двух-
полупериодному выпрямителю, при-
менен индуктивный сглаживающий
фильтр (рис. 6.19). Записать урав-
нение для мгновенного напряжения
на резисторе ин. Определить коэффициенты пульсаций для напряже-
ний на входе фильтра (р) и на нагрузочном резисторе (рн), если £ф—
— 0,4 Гн, Д„=ЮООм. Напряжение на входе фильтра задано урав-
нением и = (70 + 32 cos 628/) В.
Ответ: uH = [70+11,8 cos (628/—1,18) В, р = 32/70 = 0,457, рк
= 11,8/70 = 0,168.
6.20. Изобразить примерный вид амплитудно-частотной характе-
ристики ДС-фильтра, изображенного на рис. 6.20, а, и определить
его назначение.
Решение. Выходное напряжение фильтра
Uвых (/<> т
(ft) т 1
,, 1 kCa
klM—
kCa
Коэффициент передачи по напряжению
1
г Uвых (А'> т kC(.O____________1___
и~ UBX(k)m - kLa>______L
kCto
При <в = 0 Ки=1- следовательно, постоянная составляющая на-
пряжения на выходе фильтра равна постоянной составляющей напря-
Рис. 6.20
жения на его входе. С увеличением частоты коэффициент передачи
фильтра уменьшается (рис. 6.20, б), поэтому амплитуда любой гар-
монической составляющей напряжения на выходе фильтра меньше
амплитуды этой состав-
ляющей на его входе. Сле-
довательно, фильтр рис.
6.20 является сглаживаю-
щим.
6.21. Изобразить при-
мерный вид амплитудно-
частотной характеристики
резонансного фильтра (рис.
6.21, а) и определить ем-
Рис. 6.21
кость С конденсатора, обеспечивающую максимальный коэффициент
передачи фильтра на частоте 20 кГц, если L = 63,4 мГн.
Решение. Напряжение на выходе фильтра
Коэффициент передачи фильтра
1Z __ Спых
— ~П
и БХ
Значения
частоты:
коэффициента
передачи
фильтра при трех значениях
<в = 0
о —-> оо
(B = ft)p
Хс = оо Xv — 0,
XL —+ оо 1\с 0,
XL = XC /(„=!.
В диапазоне 0 < ю < юр коэффициент Дv монотонно возрастает,
а при со > юр монотонно убывает. Максимальное значение Д^, рав-
ное единице, соответствует резонансной частоте. Если fv — 2Q кГц,
то Юр = 125,6-103 рад/с.
Из условия резонанса Дюр = 1 /(Сюр) следует, что
С = Д- = 7=, ,г,-310,е77е 1ле « 0,001 МКФ.
Го)р 63,4-10 3-15 775-10е ’
АЧХ фильтра представлена на рис. 6.21,6.
Рассмотренный фильтр называют «полосовым», так как со входа
фильтра на его выход передаются только те гармонические состав-
ляющие напряжения, частоты которых расположены в некоторой
полосе частот, прилегающих к резонансной.
6.22. Для выделения на нагрузочном резисторе Дн второй гар-
моники напряжения применен фильтр, собранный по схеме рис. 6.21, а.
Определить отношение действующего напряжения второй гармоники
к действующему напряжению для источника и нагрузочного резис-
тора, если Ld, = 63,4 мГн, Сф = 0,001 мкФ, Дн = 500 Ом, /=10 кГц,
а приложенное напряжение задано уравнением
и = (10,5 sin ю/ + 4,7 sin 2ю/ + 1,1 sin 3to£) В.
Решение. Действующее напряжение источника
= р 17| 17(2) +17(3, = 8,2 В.
Искомое отношение напряжений источника
Ц2)/Д = 4,7/(У2-8,2) -0,407.
Первая гармоника напряжения на нагрузочном резисторе
(1) =
где Z(I) = K^ + P+(1)-X~^.
В свою очередь,
XL (1) .= 2л/Дф = 3980 Ом, Хс (1) = = 15 920 Ом.
Окончательно имеем Z(1) = 11,94 кОм, Un ;1) = 0,318 В.
Вторая гармоника напряжения на нагрузочном резисторе
(2) = ^Н^<2)/^(2)’
XL (2) = 2Xl (1) = 7960 Ом, Хс (2) = ХС(1)/2 = 7960 Ом.
В схеме рис. 6.21, а на частоте 20 кГц наступает резонанс на-
пряжений: _
z,„= 4.7/Н2 -3,33 В.
Третья гармоника напряжения на нагрузочном резисторе
(?) = ^н^(3)/Аз)>
(s) = 3Xl(d = 11940 Ом, Хс = А'с <i)/3 = 5307 Ом,
Z(S) = Г(Хщ8)-Хс"(8))ф?п = 6650Ом, 17H(S) = 0,0587 В.
Действующее напряжение на нагрузочном резисторе
<4 = <!) + Щ <2, + <3) = 3,34 В..
Искомое отношение напряжений на резисторе
UH (2)/^н = 3,33/3,34 = 0,997.
Следовательно, рассматриваемый фильтр имеет избирательные
свойства: на нагрузочном резисторе практически выделилась только
вторая гармоника прило-
женного напряжения.
6.23. Изобразить при-
мерный вид амплитудно-
частотной характеристики
резонансного фильтра, схе-
ма которого представлена
на рис. 6.23, а. Определить
частоту, для которой коэф-
фициент передачи фильтра
имеет 'минимальное значе-
ние, если £ф=100мГн, а Сф = 0,097 мкФ.
Ответ', примерный вид АЧХ фильтра приведен на рис. 6.23,6;
резонансная частота, соответствующая К и = 9, определяется по фор-
муле
1
/р =---Д-—г = 6 кГц.
2лКГфСф
Рассмотренный фильтр называют заградительным, так как со
входа фильтра на его выход не передаются сигналы, частота кото-
рых соответствует резонансной частоте фильтра.
6.24. Напряжение на входе цепи рис. 6.23, а содержит основную
и третью гармонические составляющие и = (14,1 sin at + 6 sin Зю/) В.
Для устранения высшей (третьей) гармоники использован загради-
тельный фильтр. Определить коэффициенты искажения Ки для на-
пряжения питания и напряжения на нагрузочном резисторе, если
Гф=191мГн, Сф = 9,997 мкФ, / = 2999 Гц, 7?н = 29кОм.
Ответ', коэффициент искажения определяется выражением у =
(1)m. Для напряжения питания 7(и = 9,42,
для напряжения на нагрузочном резисторе /(„ = 9. Применение ре-
зонансного фильтра обеспечило синусоидальный закон изменения
напряжения на нагрузочном резисторе при несинусоидальном на-
пряжении источника питания.
6.25. Разложение в ряд Фурье напряжения источника в схеме
рис. 6.25, а имеет вид u = (f/(0) + f/(i)msinro/4-C/(S) газшЗю/)В. На-
чертить эквивалентную схему 'замещения электрического фильтра,
обеспечивающего присутствие в токе нагрузочного резистора iH только
одной гармонической составляющей частотой Зю. > -•• • •
Решение. Условию задачи отвечает, например, схема рис.
6.25, б. Действительно, наличие емкостного элемента С гарантирует
отсутствие постоянной составляющей тока в резисторе Дн. Кроме
того, если параметры последовательного контура RCj подобраны
таким образом, что он настроен на режим резонанса напряжений
по основной гармонике [Ью = 1/(Ссо)] и имеет высокую добротность
Рис. 6.25
(Rt « 0), то сопротивление разветвленного участка на основной гар-
монике, а следовательно, напряжение wH(1) и ток iH(i) будут прак-
тически равны нулю. Для третьей гармоники сопротивление после-
довательного контура, а значит, напряжение ин (3) и ток iHi3) будут
отличными от нуля.
6.26. Построить амплитудно-частотную характеристику /СЛ7(о>)
фильтра (рис. 6.26, а), если-Д1 = Д2 = ЮкОм, С1 = С2 = 0,001 мкФ*.
Решение. Коэффициент передачи
^BWl=^Zab, Ru=Zab/Z_m=l/{3-j[RC(i>-l/(RC<a)]}.
^вх — --
Тогда модуль коэффициента передачи
К--------— 1 ------ -
' и /9+[ КСы—1 / (R Сео)2]
* Фильтр рис. 6.26, а называют мостом Вина..
Т а б л и ц а 6.26
со, рад/с 20-103 50-Ю3 100-Ю3 150-103 200-1О3 300-103
Ки 0,176 0,298 0,333 0,32 0,298 0,25 -
.В табл. 6.26 приведены значения Ки для ряда частот, найден-
ных с помощью программир<оБанного микрокалькулятора [по програм-
ме, приведенной в Прилож<ен11и 6-1 к настоящей главе. На рис.
6.26,6 построена АЧХ фил!ьтРа>
Приложение 6.1
Программа расчета амплитудно-частотной характеристики моста Вина
на микрокалькуляторе МК-56
Nj шага Нажимаемые клавиши Код операции Комментарии
00 I11--*] □ 60 Вы Job из памяти числа С
01 I в* | ОЕ
02 1г|-Я □ 61 Вызов из памяти числа Л
03 |~х~| 12 RC
04 |п-х! □ 62 Вызов ИЗ памяти числа со
05 , и 12 с
06 Гй~| ОЕ КС<О
07 □ 23 V(RC<o)
08 [+] 10 RC(O+lf(RCa>)
09 □ 0 22 [RC<o+V(RCm)]2
10 9 09
и [~+] 10 9+[RC<o+V(RCo>')]2
12 □ в 21 -/9+[RC<0 +ll(RCtn)]2
13 Р~| [ 1/Х | 23 kv-
14 | C/п | 50 Останов н индикация
Для реализации программы;
1. Включите калькулятор.
2. Нажмите клавиши
3. Введите программу, нажимая соответствующие клавиши и контролируя:
Правильность нажатия по значению кода.
4. Нажмите клавиши
5. Введите исходные данные, нажимая клавиши
где Л =10000; С= 1-10
ш =10000.
6. Нажмите клавиши | В/О [ | С/П | >прочтите результат— (10000).
7. Введите новое значение €«=20000, нажмите клавиши
Вновь прочти ге результат — (20000) и ъд.
ГЛАВА 7
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОТОКА
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ПОЛНОГО ТОКА
ДЛЯ АНАЛИЗА МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ.
ВЛИЯНИЕ ФЕРРОМАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рис. 7.1
7.1. На кольцевой замкнутый сердечник (рис. 7.1) равномерно
нанесена обмотка с числом витков w = 200. Поперечное сечение коль-
ца прямоугольное. Наружный диаметр кольца £>=16см, внутрен-
ний диаметр с! = 10 см, толщина Ь = 4см.
Определить ток в обмотке катушки, при
котором магнитный поток в сердечнике
Ф=12 10~4Вб, если материал сердечни-
ка: а) дерево; б) литая сталь; в) листо-
вая электротехническая сталь 1512.
Решение. Магнитная индукция в
сердечнике из дерева и литой стали
о Ф Ф 12. Ю-4 . т
16-10.4.10_4 -1 1Л-
Магнитная индукция в сердечнике из
листовой электротехнической стали 1512
(с учетом коэффициента заполнения стали
й3.с=0,9)
В’ = 1,11Тл.
^3.
а) Напряженность магнитного поля в сердечнике из дерева
Яо = -
Ро
1 Тл
4л- 10-7Гн/м
= 8-105А/м.
Ток в обмотке находим из уравнения H = wl!lcvi
_ /ср//0 __ 40,8-10-2-8.105
1 ~ w ~~ 200
1632 А,
где
Zcp = лЛср = л = 40,8 см.
Обычно для катушек кольцевых сердечников плотность тока в
обмотке с лакостойкой или хлопчатобумажной изоляцией допускается
не выше J = 3A/mm2, поэтому для данного тока потребовался бы
провод с лакостойкой изоляцией сечением Q = I/J = 1632/3 —544 мм2.
В этом случае площадь окна намотки S„ при а> = 200 должна
быть равна (без учета коэффициента заполнения меди k3 ia)
SK = 544-10"? • 200 = 1088 см2.
Для данного размера сердечника площадь окна намотки (без
учета &з. м) составляет
о тР 3,14-102
SM = -^ = — = 78,5 см2.
Следовательно, в этом сердечнике заданный поток получить не-
возможно.
б) Напряженность магнитного поля в сердечнике из литой стали
определяется по кривой намагничивания (см. Приложение 7.1 в
конце главы): при В — 1 Тл, Яс = 750А/м и ток в обмотке I=1,53 А.
в) Аналогично, для сердечника из стали 1512 при В=1,11Тл,
7/с = 570 А/м и ток в обмотке 1= 1,16 А.
Сопоставляя полученные результаты, видим, что один и тот же
магнитный поток Ф можно получить при меньших магнитодвижущих
силах, если материал сердечника легче намагничивается.
7.2. Определить относительные магнитные проницаемости и маг-
нитные сопротивления ферромагнитных сердечников задачи 7.1 и
индуктивности их катушек.
Указание и ответ. Значения заданных величин можно подсчи-
тать, пользуясь следующими соотношениями:
для относительной магнитной проницаемости
В (Тл)
Ь- ~ (Гн/м) Н (А/м) ’
для магнитного сопротивления магнитопровода
r> wl (А)_________I (м) 1 .
/'м Ф (Вб) р0 (Гн/м) prS (м2) ’ Ом-с’
для индуктивности катушки
L = ц)Ф// = p0pru>2S// = w2fRK, Гн.
Результаты вычислений приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Материал сердеч- ника Ток /, А Индуктивность L, мГн Относительна я магнитная прони- цаемость Магнитное сопро- тивление 1/(Ом-с)
Литая сталь Сталь 1512 1,53 1,16 157 207 1065 1560 2,55-105 1,93-105
7.3. Как изменится индуктивность катушки в задаче 7.1, у ко-
торой материал сердечника выполнен из стали 1512, если ток в об-
мотке (/=1,16А) увеличить в два раза?
Ответ: индуктивность катушки уменьшится и будет равной L=
= 129 мГн, так как материал сердечника при заданном увеличении
тока находится в состоянии насыщения, а относительная магнитная
проницаемость уменьшается (см. задачу 7.2).
Вопрос. Как изменится магнитный поток катушки, если при той
же магнитодвижущей силе (м.д.с.) удалить сердечник?
Ответ: уменьшится.
Вопрос. Как изменится в этом случае индуктивность катушки?
Ответ: уменьшится.
7.4. Кольцевой сердечник с числом витков w= 128 можно вы-
полнить из стали 3411 или пермаллоя 79НМ (см. Приложение 7.1).
Длина средней линии сердечника /Ср=12,8см, сечение стали (с уче-
том k3 с) Sc = l,37 см2. В каком из сердечников можно получить
больший магнитный поток при двух значениях тока в обмотках:
0,01 и 0,4А ? Чему равны эти потоки?
Ответ: в первом случае (при токе I — 0,01 А) напряженность
магнитного поля в обоих сердечниках Н ==0,1 А/см, а потоки Фх =
— 27,4-10-6Вб (в стали) и Ф2 = 76,3-10-6 Вб (в пермаллое.) Во вто-
ром случае // = 4 А/см, Фх= 198-10-6 Вб и Ф2= 117,8-10-вВб. Пер-
маллой предпочтительнее применять при малых напряженностях
магнитниго поля (Н < 1 А/см).
7.5. Определить магнитный поток в сердечнике и индуктивность
катушки с числом витков и>=100. Кольцевой сердечник катушки
выполнен из электротехнической стали 1512 (см. Приложение 7.1)
с внешним диаметром £> = 28 мм, внутренним диаметром d= 20 мм
и толщиной й==5мм. Ток в обмотке / = 0,09А (при /г3.С«И).
. Ответ: Ф= 9,8-10“6 Вб; £= 1,09-10~2 Гн.
7.6. Индуктивность катушки со стальным сердечником можно
регулировать, изменяя значение тока в обмотке. Определить индук-
тивности катушки в задаче 7.5, если ток в обмотке увеличить: а) в
два раза: б), в пять раз.
Ответ: a) L = 0,845-10-2Гн; б) L = 0,49-10“?Гн. Из-за нелиней-
ности кривой намагничивания стали отсутствует пропорциональность
между изменениями тока и индуктивности катушки.
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ С ЗАЗОРОМ В МАГНИТОПРОВОДЕ.
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ.
АНАЛОГИЯ МЕТОДОВ АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ
7.7. В сердечнике из литой стали (рис. 7.7) необходимо создать
магнитную индукцию В=1Тл. Число витков равномерно намотан-,
ной на сердечник обмотки ш = 200, длина средней линии сердечника
/Ср = 69см, сечение S = 6cm2. Как изменятся ток и магнитное со-
противление магнитопровода, если в сердечнике сделать воздушный
зазор б =0,5 мм? Магнитный поток сердечника должен остаться без
изменения. При расчете рассеянием пренебречь и считать поле в
воздушном зазоре однородным.
Решение. Пренебрегая потоком рассеяния, считаем, что маг-
нитная индукция в воздушном зазоре и в стали одинакова: ВО=ВС=1 Тл.
Напряженность магнитного поля в
воздушном зазоре
Но = В0/р0 = 81О5Во = 1СР
= 8-10s-l,0 = 800-103 А/м. Лу Ah'0!
Напряженность поля в сердечнике 444) i j i 1
для В = 1 Тл по кривой намагничива- VJL JJ7
ния литой стали (см. Приложение 7.1) \д\.
равна Ис = 750 А/м.
Магнитодвижущая сила обмотки: х. $
при отсутствии в сердечнике воз- Лнк
душного зазора хХ
w/1 = Zcp7/c = 0,69-750 = 517,5 А; Рис. 7.7
при наличии в сердечнике воздушного зазора
wl2 = lcvHc + fitf0 = 517,5 + 0,5 -10~3 - 800 - 10s = 917,5 А.
Токи в обмотке
/ __wli_ 517,5 — 2 код / __wfz 917,5 4 ко д
/l~ w 200 ‘ъ— w — "200^ —А-
Ток нужно увеличить на А/= 4,58—2,58 = 2 А, т. е. почти в
два раза.
Магнитное сопротивление магнитопровода
8,65- io5Z-;
•с p.oiv$ BS ’ Ом-с’
магнитное сопротивление воздушного зазора
D 6 0,5.10-3 ms 1 -
~ p0S ~ 4л-10-6-10-4 6,63‘10 Ом-с ’
магнитное сопротивление магнитопровода с воздушным зазором
Ям = Ям. с + Я6 = (8,85 + 6,63) • 10s = 15,3• 105 1 /(Ом • с).
Этот же результат можно получить из соотношения
RM = wl2/Ф = wI2/(BS) = 917,5/(1 -6-10"4) = 15,3 - 10s- 1/(Ом - с).
7.8. В воздушном зазоре магнитопровода катушки (рис. 7.8),
набранного из пластин стали 1212, требуется получить индукцию
Во= 1 Тл. Определить ток в катушке с числом витков и> = 500, если
воздушный зазор равен: а) 6 = 0,55 мм; б) 6 = 2 мм. Как изменится
индуктивность катушки с увеличением воздушного зазора, если
магнитная индукция в зазоре должна оставаться при этом иеиз-
менной? При расчете потоком рассеяния пренебречь. Коэффициент
заполнения стали k3 с = 0,95. Размеры даны в миллиметрах.
Ответ-, а) 7= 1,78 A; L = 0,067 Гн; б) I = 4,10 A; L = 0,029 Гн-
Индуктивность катушки с увеличением воздушного зазора умень-
шается.
Вопрос. Как изменится мощность катушки в рассмотренных слу-
чаях?
Ответ: с увеличением зазора мощность катушки возрастает.
Рис. 7.8 Рис. 7.9
7.9* . Определить ток в обмотке катушки с незамкнутым магни-
топроводом (рис. 7.9, а, б), если заданы средняя длина /ср и попе-
речное сечение сердечника S, длина воздушного зазора б, число
витков обмотки w и магнитный поток в зазоре Фо (табл. 7.9 а).
При расчете полем рассеяния пренебречь, магнитное поле в зазоре
считать равномерным. Сечение магнитопровода задано в см2; сред-
няя длина магнитопровода и длина воздушного зазора—в см, по-
ток—в Вб.
Таблица 7.9а
Ва- ри- ант Zcp S 6 W Материал Рис. 7.9
1 100 4 0,02 500 4 Листовая зл.техн. горячекатаная сталь 1512 а
2 70 4 0,05 500 4 То же 1212 а
3 86 25 0,1 400 30 » 1411 б
4 86 25 0,1 400 30 Никелевый пермаллой 50 НП б
Магнитные характеристики материалов заданы табл. 7.9 б.
Т а бл иц а 7.96
В, Тл 0 0,2 0,4 0.6 0,8 1.0 1.2 Матерна п
0 40 95 160 270 435 *850 1512
0 55 135 220 335 500 875 1212
П , А/М 0 20 65 120 185 300 550 1410
0 12 18 27 40 60 130 50 НП
Ответ-. 1,19А; 1,5А; 3,60А; 2.68А.
7.10. Катушка с кольцевым сердечником, содержащим перемен-
ный воздушный зазор, подключена к сети постоянного тока напря-
жением U = 12 В. Обмотка катушки имеет сопротивление R = 120м
и число витков w = 1000. .Сердечник выполнен из стали 1512 и
имеет внешний диаметр £> = 22 см, внутренний—диаметр d=18cM,
толщину пакета 6= 1см, коэффициент заполнения стали ka ,с~1.
Определить магнитный поток и индуктивность катушки, если воз-
душный зазор сердечника — 0,01 см, и начертить схему замещения
магнитной цепи.
Решение. Магнитодвижущая сила для заданного сердечника
определяется уравнением wl = 1СНС -)- 6/7в, которое можно решить
графическими методами: 1) построением суммарной вебер-амперной
характеристики; 2) пересечением вебер-амперных характеристик
(аналогично методам решения уравнений нелинейных электрических
цепей постоянного тока). Рассмотрим оба метода решения.
1) Задаваясь произвольно несколькими значениями потока Ф в
сердечнике и зная поперечное сечение сердечника S = ^-у- Ь=2см2,
вычисляем индукцию В для каждого из принятых потоков. Затем
по кривой намагничивания (см. приложение 7.1) находим соответ-
ствующие значения Нс и вычисляем /СЯС, где длина магнитной ли-
D-\-d
нии по стали /с = л = 62,8 см.
Полученные результаты расчетов сведены в табл. 7.10.
Таблица 7.10
Ф-10-4, Вб 0,84 1,0 1,5 2 2,2 2,4 2,48 2,68
В, Тл 0,42 0,5 0,75 1 1,1 1,2 1,24 1,34
//с, А/м 100 125 240 440 575 850 1000 1650
/сА'с. А 62,8 78,4 151 276 361 534 628 1035
На основании данных таблицы и схемы замещения рис. 7.10, а
строим вебер-амперную характеристику Ф(/СЯС) (рис. 7.10,6). Да-
лее по одной точке строим на рис. 7.10,6 вебер-амперную харак-
теристику воздушного зазора Ф(6ЯБ): например, для В = 0,5Тл и
Рис. 7.10
6i = 0,01 см находим Фх == BS = 1 • 10~4 Вб, /7в(А/м) = 8-10? В(Тл) =
= 8 • 106- • 0,5 = 4 • 106 А/м и Нв8 ~ 40 А. Откладываем на графике точку
а с координатами Ф1 = 1-10“4Вб и 1Н = 40 А. Проводим через на-
чало координат и точку а искомую прямую Ф(6/7В). Затем в соот-
ветствии со схемой замещения рис. 7.10, а производим сложение
абсцисс кривых Ф(1СНС), Ф(67/В) и получаем суммарную кривую
Ф(Г), где F = IH—м.д.с.
Заданная м.д.с. F = wl == w~ = 1000-^f 1000А, откладываем это зна-
чение F на оси абсцисс, восставляем перпендикуляр до пересечения в
кривой Ф(Г) в точке с. От этой точки проводим горизонтальную
линию до пересечения с осью ординат. Получаем искомое значение
магнитного потока Фх = 2,62- 10~4Вб.
2) В соответствии со вторым методом на графике с построенной
вебер-амперной характеристикой Ф(1СНС) по двум точкам строим
прямую Ф(ги1—соответствующую заданному воздушному за-
зору 6Х (рис. 7.10, в). Для этого нужно предварительно определить
напряженность поля Нв для одного из значений индукции (или
магнитного потока). Определим, например, Нв для индукции 5=0,5 Тл
(что соответствует магнитному потоку Ф=1-104Вб): Н„(А/м) =
= 8-105-В(Тл) = 4-105А/м.
Тогда
65B=40A, wl—6хЯв = 960А.
Находим на графикерис. 7.10, в точку ах с ординатой Ф=1 -10~4Вб,
абсциссой /7/= 960 А и проводим через нее и точку F прямую.
Точка сх пересечения кривой Ф(1СНС) и прямой Ф(ш7—6Х77В) опре-
деляет искомое значение потока Фх = 2,62-10~4Вб.
Индуктивность катушки
L = цФх/7 = 262 мГн.
7.11. Как изменятся магнитный поток и индуктивность катуш-
ки в задаче 7.10, если воздушный зазор в сердечнике увеличить до
62 = 0,05 см и 63 = 0,1 см?
Ответ: потоки и индуктивности соответственно уменьшатся и
будут равны Ф2=2,40-10~4Вб (точка с2 на
рис. 7.10, в); Ф3=1,88-10~4 Вб (точка с3
на рис. 7.10, в), £2 = 240мГн и £3 = 188 мГн.
7.12. Незамкнутый магнитопровод ка-
тушки состоит из двух различных по се-
чению участков 1 и 2 (рис. 7.12). Опре-
делить ток в обмотке катушки, если маг-
нитная индукция в зазоре Во=1 Тл, дли-
на участка с сечением Sx = 1 см2 1Х = 4 см,
длина участка с сечением S2 = 0,5cm2 /г=
=7 см, воздушный зазор 6 = 0,01 мм.
Число витков обмотки w= 100. Материал магнитопровода—сталь
1512. При расчете рассеянием пренебречь и магнитное поле в зазо-
ре считать равномерным.
Ответ: 7 = 1,15 А.
Вопрос. Как изменится ток в обмотке катушки, если при неиз-
менном значении магнитной индукции в зазоре Во = 1 Тл сечение
первого участка Sx изменить и сделать равным S2?
Ответ', ток увеличится, /=1,27 А.
7.13. Ш-образный магнитопровод выполнен из пластин стали 1212.
На рис. 7.13 указаны размеры: а — 16 мм, Ь = 20мм, с~ 16 мм, й=40мм,
6 = 0,5 мм. Определить магнитодвижущую
силу катушки, если индукция в воздуш-
ном зазоре Во~ 1,25 Тл. При расчете по-
током рассеяния пренебречь. Коэффициент
заполнения стали принять равным k3 с =
= 0,9.
Ответ: a>/ = F= 1128 А.
Ввиду полной симметрии разветвлен-
ной магнитной цепи относительно верти-
кальной оси А А, проходящей через сере-
дину магнитопровода, магнитный поток,
создаваемый катушкой, разветвляется на
два равных потока. Следовательно, рас-
чет этой цепи можно вести по одной ее
половине.
7.14. Магнитопровод, показанный на рис. 7.14, а, выполнен из
стали 1212. Какой ток нужно установить в намагничивающих ка-
тушках с числом витков 260 у каждой, чтобы создать в.воздушном
Рис. 7.14
зазоре магнитный поток Ф= 32,4-10“4 Вб? При расчете потоками
рассеяния пренебречь. Размеры сердечника (в сантиметрах) и на-
правления токов в обмотках указаны на рисунке, коэффициент за-
полнения стали £зс = 0,9. Какой ток нужно иметь в катушке для
сохранения того же потока в воздушном зазоре, если из двух ка-
тушек оставить одну и поместить ее на среднем стержне? Составить
схемы замещения магнитной цепи для обоих случаев.
Ответ: в обоих случаях размещения катушек 7 = 3,94 А. Ана-
логовые схемы показаны на рис. 7.14, б.
Рис. 7.15
7.15*. Определить маг-
нитный поток в воздушном
зазоре катушки с незамкну-
тым магнитопроводом (рис.
7.15), если заданы средняя
длина /ср и сечение S магни-
топровода, длина воздушного
зазора б, ток в обмотке /,
число витков w и материал
сердечника (см. табл. 7.15).
Полем рассеяния пренебречь, поле воздушного зазора считать рав-
номерным. Размеры заданы в сантиметрах, ток—в амперах. Зада-
чу решить графически. Магнитные характеристики заданы табл. 7.9
(ем. задачу 7.9).
Т абл ица 7.15
Вариант zcp S б W / Материал ’ Рис. 7.15
1 100 5 0,1875 500 3 1512 а
2 50 4 0,15 500 2 1212 а
3 20 1 0,0125 54 0,28 50НП б
4 100 5 0,15 500 2 1411 б
Ответ: 4,15-10“4 Вб;
2,95 Ю-4 Вб; 0,26-10-4Вб;
3,5-10-4 Вб.
7.16. На рис. 7.16, а при-
веден упрощенный эскиз маг-
нитной цепи двухполюсной
машины постоянного тока.
Построить график зависимос-
ти магнитного потока Фо в
зазоре б под полюсом маши-
ны от тока возбуждения /Е
в обмотках полюсов: ФО(7В).
Индукция в зазоре Во = О,2ч-
4-0,8 Тл, остаточный поток
ФОст = 2-10-4 Вб. Число вит-
ков обеих обмоток w— 1900.
Статор 1 выполнен из элек-
тротехнической стали 1512,
поперечное сечение SCT =
= 20 см2, длина магнитной
линии по статору ZCT = 22 см.
Якорь 2 и полюсы 3 выпол-
нены из той же стали и име-
Рис. 7.16
ют соответственно размеры S„ = 50 см2, /я = 5 см, Sn = 40 см2, /п =
= 2 см.
Ответ: на рис. 7.16, б представлена схема замещения магнит-
ной цепи машины, а на рис. 7.16, в—график Ф0(/в).
ПОНЯТИЕ О МАГНИТНЫХ ЦЕПЯХ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
7.17. Определить вращающий момент, действующий на рамку
магнитоэлектрического миллиамперметра (рис. 7.17, а), если ток в
рамке 7 = 7,5 мА, число витков рамки w — 48, длина ее (по оси)
7 = 35 мм, ширина 6=18,8 мм. Индукция в плоскости нейтрали ab
постоянного магнита В = 0,5 Тл, площадь поперечного сечения маг-
нита SM=3,5 см2. Коэффициент рассеяния магнитного потока 0=1,65,
угол а = 60°, длина воздушного зазора 6 = 0,12 см, диаметр сред-
него сердечника 13= 1,76 см (рис. 7.17, б).
Решение. Рабочий магнитный поток прибора с учетом рассея-
ния
Gp = BSM/<r=0,5-3,5-10-4/l,65= 1,06-10~4 Вб.
Магнитная индукция в воздушном зазоре
Во = Фр/5Н =1,06-10 V(7,33 IO"4) = 0,144 Тл,
где Вн = (/3-]-2б)л//3 = 7,33-10-4 м2—поверхность полюсных нако-
нечников, через которую проходит рабочий магнитный поток Фр.
При этом длина дуги полюсного наконечника 1тт' — (73-р26)/3.
Вращающий момент рамки прибора M3V—BolIbw=Q, 144-35- 10~3х
х7,5-10~3-18,8-10~3-48=3,41 • 10"5 Н-м=3,41 • 10"5 Дж=348 мГ-см.
7.18. Определить индукцию в воздушном зазоре магнитоэлектри-
ческого прибора (см. рис. 7.17), характеристика постоянного магнита
которого, выполненного из литого сплава марки ЮН14ДК24, при-
ведена на рис. 7.18. Сопротивлениями стыков между накладками,
магнитом и полюсными наконечниками пренебречь. Размеры магни-
топровода: /м = 30 мм, I = 35 мм, йм=10 мм, 6=1,2 мм, Z3-J-26 =
= 20 мм, а=17 мм.
Указание и решение. Для заданной магнитной цепи, согласно
закону полного тока, можно написать
/мдм+УК+/А+/3я3 + /0н0=о. (1)
Здесь Нм—напряженность поля в самом магните на участке ZM;
—напряженность.поля в воздушных зазорах, общая длина которых
Тл
1,0
0,0
0,6
0,4
0,2
41, А/см 400 300 200 100 0
Рис. 7.18
Zo; Н17 Н2, Н3—напряженности по-
ля в магнитных накладках, полюс-
ных наконечниках и цилиндре со-
ответственно на участках Zx, Z2, 13,
выполненных из магнитомягкого ма-
териала.
Магнитные напряжения участков
Zx, Z2, 13 малы по сравнению с 1„НК
и 13Н3, ими можно пренебречь. По-
этому уравнение (1) упрощается:
/Лм+4^0 = 0. (2)
Магнитный поток в среднем сечении SM постоянного магнита
фн=ен5м.
Рабочий магнитный
циента рассеяния о
поток воздушного зазора с учетом коэффи-
Фр = Фи/° = = ^0SH = R<ASh-
Подставляя в это уравнение вместо напряженности Но ее значе-
ние из выражения (2), находим
р ту _____ EJ
<? / С
(3)
Уравнение (3) выражает прямую, тангенс угла наклона которой
к оси абсцисс ах зависит от свойств материала, а также от соотно-
шения геометрических размеров магнита и воздушного зазора, харак-
теризуемых коэффициентом ст. Так как зависимость В (И) определя-
ется также кривой размагничивания, то точка пересечения кривой
В (Н) и луча, выходящего из начала координат под углом ах к оси
абсцисс, определяет рабочий режим магнита (рис. 7.18).
Магнитная индукция в воздушном зазоре прибора определяется
точкой пересечения b характеристики В (И) с прямой ON'. Тангенс
угла наклона прямой к оси абсцисс
_SHZM_7,33.10-*.30.10-3
lg“i — 2&SH~ 2-1,2-3-3,5-Ю-4 ~ ’ ’
где SH—поверхность полюсных наконечников; SM—площадь попереч-
ного сечения магнита; /м—длина магнита; 6—длина одного воздуш-
ного зазора.
Для построения прямой ON' на графике В(Н) проводим следую-
щие рассуждения.
Из выражения (3) имеем
Вм Я|105н/м ,
откуда
- #т?й-=1.65-4-л.10-^.26,2 = 540.Ю-^М.,
л „(А/м) ’ м2 ’
Вю (Тл) = 540-10-7 Ны (А/м)=0,54 • 10~4 #м (А/м) = 0,54 • 10~2 Нм (А/см).
Задаваясь произвольно значением #=200 А/см, получаем В =
=0,54-10-2-200=1,08 Тл.
Через точку с этими координатами и начало координат прово-
дим прямую ON'.
Точка b определяет индукцию Вв, равную в этом случае 1,08 Тл.
7.19. Определить магнитную индукцию в воздушном зазоре маг-
нитной системы гальванометра (рис. 7.19). Характеристика магнита
из литого сплава марки ЮН14ДК24 приведена на рис. 7.18. Разме-
ры магнитной системы указаны в миллиметрах. Коэффициент рассея-
ния магнитного потока о =1,65.
Ответ-. Дв = 0,64Тл.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
7.20. Магнитопровод 1 и ярмо 2 электромагнита (рис. 7.20) выпол-
нены из стали одинакового сечения Sc=2,5 см2 и имеют суммарную
длину /с = 0,3 м. Определить силу F, с которой ярмо притягивается
к магнитопроводу, если ток в обмотке / = 1,8А, число витков об-
мотки w= ПО, длина воздушного зазора 6 = 0,025 мм. Магнитная
характеристика стали задана табл. 7.20.
Примечание. По мере притяжения ярма зазор 6 уменьшается
и сила F возрастает, расчет ведется для заданного максимального
зазора.
Т а б л и ц а 7.20
В, Тл 0 0,4 0,67 0,87 1,0 1,1 1,2 1,3
Н, А/м 0 100 200 300 400 500 600 700
Решение. При изменении расстояния между магнитопроводом
и ярмом происходит изменение энергии магнитного поля
dWaM=d(^} = -^dL,
которое должно быть равно работе сил, вызывающих перемещение
Fd8, т. е. dWgu=Fd&, откуда
г, /2 dL
F = ~2~d8’
Ввиду малости воздушного зазора можно принять ~^ = • С по-
мощью преобразований находим
L = Vo/Z = Ф^/1 = BoSow/I,
или
£/? = BoSowI = B0S0H08 = BgS06/p0,
откуда
F = BiS0/(2p0).
Выражая силу F в ньютонах (Н), магнитную индукцию Во—в
тесла (Тл), сечение So—в см2 и подставляя значение магнитной
постоянной цо = 4л-1О-7 Гн/м, получаем расчетную формулу F(H)=
=4ОВо (Тл) So (см2). Подставляя числовые значения заданных величин,
вычисляем магнитодвижущую силу wl = 1980 А, строим вебер-ам-
перную характеристику Фст (wl) по заданной кривой намагничивания
Вст(^ст) и Далее опрокинутую характеристику воздушного зазора
I, Ф(ж/—Но8). Из пересечения харак-
Д Д теристик находим, что индукция в
Рис. 7.21
воздушном зазоре В0=1,12Тл. Тог-
да искомая сила притяжения 77 =
= 40-1,122-5 = 251 Н.
7.21. Рассчитать тяговую харак-
теристику подъемного электромагни-
та F(8) для значений воздушного
зазора 6=1, 2, 3, 4 мм. При рас-
чете потоком рассеяния и магнитным
сопротивлением стали пренебречь,
магнитодвижущая сила катушки
электромагнита wl= 2500 А. Размеры электромагнита на рис. 7.21
указаны в миллиметрах. .
Решение. Магнитодвижущая сила катушки электромагнита
расходуется на прохождение магнитного потока через воздушные
зазоры, тело электромагнита и поднимаемую деталь: wl = 26//0 4-
+(L + 4) + 4. вили в случае пренебрежения магнитными со-
противлениями участков в теле электромагнита и сопротивлением
участка поднимаемой детали
— ^1^01 + ^2^02 — ~ (^м01 ~Ь ^МОз) Ф» (4)
где ^„01 = 61/^0^1 и Т?м02 = 62/(p0S2)—магнитные сопротивления воз-
душных зазоров средней (S2) и внешней (S.) частей электромагнита.
Сила тяги электромагнита состоит из двух различных сил:
где
В1 =
^1 (Т?мо14“
D Ф Wl
/)2 —
•^2 (^м01+^мог) ^2
F __ В* S nF — S
В' 2fi0 51 Л*~2род*-
^Магнитные индукции воздушных зазоров
Ф wl wl
6i . 62 \
Po^j Ро^г /
wf
' 61 . ^2
< И o^i Ро^г
Подставляя соотношения (6) в (5), получаем
(5)
(6)
•S2
5,=^-=^ л = 0,0867 м2, S„ =л = 0,081 м2,
1 4 4
получаем табл. 7.21.
Таблица 7.21
6, мм 1 2 3 4
Fi-104, Н 8 1,97 0,892 0,50
F2-104 н 8,54 2,055 0,960 0,535
F-104, Н 16,54 4,025 1,852 1,035
7.22. Для охлаждения теплоносителя атомного реактора приме-
няется жидкий металл. На рис. 7.22 схематически показано устрой-
ство соответствующего жидкостного насоса. К зазору между полю-
сами электромагнита N—S подводятся медные шины А и Б, концы
Рис. 7.22
делить силу, действующую на
ная длина струи /=10см и
Ответ: F=1000H.
которых подключены к источнику
напряжения. В направлении, пер-
пендикулярном направлениям маг-
нитного поля электромагнита и ши-
ны, пропускается струя жидкого ме-
талла. В результате взаимодействия
магнитного поля с током (который
сначала проходит по шине, затем по-
падает в струю жидкого металла и
отводится снова по шине) создается
усилие, под влиянием которого дви-
жется струя жидкого металла. Опре-
струю, если ток / = 10000 А, актив-
магнитная индукция В = 1 Тл.
7.23*. Определить силу F, с которой ярмо 2 притягивается к
электромагниту / (см. рис. 7.20), если заданы их размеры, суммар-
ный воздушный зазор ZB и магнитодвижущая сила wl (табл. 7.23).
Магнитная характеристика материала ярма и электромагнита зада-
на табл. 7.20 (см. задачу 7.20).
Т а б л и ц а 7.23
Вариант /1» см S,, см2 /2, см S2, см2 /Е. ММ а»/, А
1 12 2 8 2 0,05 120
2 18 2 2 2 0,133 100
3 15 2 5 2 0,325 128
Ответ: 160 Н; 57,5 Н; 25,64 Н.
Приложение 7.1
1. Литая сталь
2. ЛистоВая электротехническая сталь 1512 (горячекатаная)
S. ЛистоВая электротехническая сталь 3411 (холоднокатаная)
4. ЛистоВая электротехническая сталь 1212 (горячекатаная)
5. ЛистоВаярлектротехническая сталь 1410 (горячекатаная)
।----1 I • I I г- J : n I Г I
О 10000 20000 30000 40000 50000 ВОООО 10000 80000 90000 Л, А/М (В)
1. Литая сталь
2.ЛистоВаяэлектротехническая сталь'1512 (горячекатаная)
3. ЛистоВая электротехническая сталь 3411 (холоднокатаная)
Приложение 7.1
2. Молибденовый пермаллой 79НМ
И.Нерменйкр
ГЛАВА 8
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА ПЕРЕМЕННОГО
МАГНИТНОГО ПОТОКА. ТРАНСФОРМАТОРЫ
МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ
8.1. При различной частоте перемагничивания кольцевого сердеч-
ника были сняты три динамические петли ферромагнитного мате-
риала (рис. 8.1). Во всех трех случаях для частот /=400, 50 Гц
и при очень медленном перемагничива-
нии (/ —► 0) амплитуда магнитной индук-
ции оставалась неизменной и соответство-
вала началу насыщения сердечника. Сер-
дечник выполнен из пермаллоя 80НХС
с толщиной ленты Ь = 0,05 мм и имеет
следующие геометрические размеры: сред-
нюю длину магнитной линии /ср = 30 см,
площадь поперечного сечения sc = 2 см2
(без учета изоляционных прослоек меж-
ду листами). При В = 0,65 Тл площади
динамических петель s1 = 14,8 см2, s2 =
= 34 см2, s8 = 64,6cm2. Определить с по-
мощью петель мощность потерь в сердеч-
нике при заданных частотах и оценить ее
составляющие, связанные с гистерезисом и
Решение. Потери энергии за один
сердечника можно найти по формуле
вихревыми токами.
цикл перемагничивания
A = VC HcdB = VcmntnBs,
где Vc—объем сердечника, м3; s—площадь петли, см2; тн =
= 4(А/м)/см и тв = 0,067 Тл/см—масштабы по осям координат, в
которых построены петли (рис. 8.1).
Потери энергии от гистерезиса за один цикл определяют
по площади петли перемагничивания, снятой при очень низкой
частоте (f —> 0).
Мощность потерь от гистерезиса при заданной частоте равна
потерям энергии за один цикл при f —> 0, умноженным на число
циклов в секунду, т. е. на величину f: Pr = fAf_*B.
Мощность полных потерь от гистерезиса и вихревых токов опре-
деляют непосредственно по динамической петле перемагничивания,
снятой при заданной частоте: P=fA. Мощность потерь от вихре-
вых токов РВ = Р—Рг-
Результаты расчета приведены в табл. 8.1.^
Таблица 8.1
f. Гц А, мДж Р, мВт Рг, мВт Ръ, мВт
/ — 0 0,236
50 0,6б 28,0 11,8 15,4
400 1,03 410 95 315
Анализируя результаты расчета, можно сделать следующие выво-
ды.
1. Вихревые токи заметно расширяют петлю и увеличивают поте-
ри в сердечнике, несмотря на то что толщина ленты, из которой
выполнен сердечник, равна 50 мкм; уже при частоте 400 Гц площадь
петли оказывается в четыре раза больше площади петли при f —> 0.
2. Так как мощность потерь Р зависит не только от частоты
перемагничивания, но и от площади петли, зависимость Р (/) отли-
чается от прямолинейной; изменение частоты, например, в восемь раз
к росту мощности в 15 раз.
3. С ростом частоты соотношение
между потерями от гистерезиса и вих-
ревых токов изменяется: если при
по-
об-
Рис. 8.2
низких частотах РГ^РЕ, то при
вышенных частотах наблюдается
ратное соотношение.
8.2. Определить с помощью
тель перемагничивания (рис. 8.2)
тер и мощности от гистерезиса и мощ-
ность суммарных потерь в сердечни-
ке из холоднокатаной стали 3413
с теми же размерами, что и в задаче
8.1. Амплитуда магнитной индукции
в сердечнике при всех частотах оста-
ется неизменной и равной Вт=1,5.Тл.
, = 83,6 см2, s3=104cm2. Масштабы
пе-
но-
Площадь петель Sj = 68 см2, &
рис. 8.2 те же, что и в задаче 8.1.
Ответ', результаты расчета приведены в табл. 8.2.
Т а б л и ц.а 8.2
f. Гц А, мДж Р, мВт РТ. мВт Рв, мВт
0 10,9
50 13,3 668 545 123
400 16,6 6640 4360 2280
Сравнение данных табл. 8.1 и 8. показывает, что потери от
гистерезиса в стали значительно больше, чем у пермаллоя, вслед-
ствие чего относительная доля потерь от вихревых токов в стали
меньше: даже при / = 400 Гц Рв < Рг.
8.3. Определить полные Рс и удельные Рун потери в стали маг-
нитопровода по динамическому циклу перемагничивания, получен-
ному на частоте / = 50Гц. Объем стали магнитопровода V =10® см®,
площадь цикла перемагничивания 8цикла = 15 см2, масштабы по осям
координат соответственно равны тн = 80 (А/м)/см и тв = 0,1 Тл/см.
Решение. Потери энергии в магнитопроводе при перемагничи-
вании за один цикл
Л =/ = Гтнтв8,1ИКЛа.
Мощность потерь в стали при перемагничивании с частотой /
Рс = Af = VmHmBsUBKJia f = 103 10~6 • 80 0,1 • 15• 50 = 6 Вт
(объем V подставлен в м®).
Удельные потери в стали
~~G 103.7,8-10-5 = ®т^кг’
где -у—плотность стали.
ГРАФИК МГНОВЕННЫХ МАГНИТНОГО ПОТОКА
И ТОКА ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ НАПРЯЖЕНИИ.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК
8.4. Для катушки с магнитопроводом из листовой электротехни-
ческой стали 1512 при трех значениях синусоидального напряже-
ния (/ = 50 Гц) были получены с помощью осциллографа три дина-
мические петли перемагничивания изображенные на рис.
8.4, а. Амплитудные значения магнитной индукции этих петель
Bm = 0,6; 1; 1,6 Тл. Магнитопровод имеет площадь поперечного се-
чения sc = 10cm2, средняя длина магнитной линии /ср = 30см, число
витков катушки w =150. Потокосцеплением рассеяния и активным
сопротивлением обмотки пренебречь. Определить действующие на-
пряжения, соответствующие заданным значениям Вт, и построить
кривые мгновенного тока в катушке i(t).
Решение. При отсутствии активного сопротивления и поля
рассеяния обмотки напряжение U на ней уравновешивается только
э.д.с. Е, созданной потоком в магнитопроводе: U — Е — 4,44 fwx
.xscBm.
Заданным значениям Вт соответствуют следующие значения на-
пряжений:
при 5ст = 0,6 Тл
при Вт = 1 Тл
при Вт = 1,6 Тл
[/ = 4,44-50-150-10-10-4-0,6 = 20 В,
[/ = 33 В,
(/ = 53 В.
Индукция в сердечнике достигает амплитуды Вт при максималь-
ных значениях напряженности магнитного поля, которые легко опре-
делить, опустив перпендикуляры из вершин динамических петель
на рис. 8.4, а на ось абсцисс:
при Вт = 0,6 Тл
при Вт = 1 Тл
при Вт = 1,6 Тл
/У17г = 450 А/м,
/4 = 1300 А/м,
//и = 5000 А/м
Рис. 8.4
Рассмотрим в качестве примера
построение кривой i (со/) для Вт —
= 1 Тл. Для этого на рис. 8.4, б
взята петля 2 рис. 8.4, а, масштаб ко-
торой по оси абсцисс пересчитан на
масштаб тока по формуле i = HtlcP/w,
слева от петли построена синусоида
магнитной индукции Bt(at). Зада-
ваясь значениями магнитной индук-
ции на петле (точки 1, 2, 3, 4) на-
ходим соответствующие им точки 1,
2, 3 и 4 на синусоиде ВДсо/). За-
тем по кривой индукции Bt находим
моменты времени, а по петле—значе-
ния токов для выбранных значений
магнитной индукции и определяем
точки Г, 2', 3' и 4' кривой i(co/). На том же рис. 8.4, б построе-
на кривая напряжения питания при V— 33 В.
Аналогично построены кривые i (со/) на рис. 8.4, в для двух дру-
гих случаев, когда максимальная индукция Вт = 0,6 и 1,6 Тл соот-
ветствует напряжениям 20 и 53 В.
8.5. Определить число витков и действующий эквивалентный ток
в обмотке катушки рис. 8.5, включенной в сеть с напряжением
£/ = 220 В, частотой / = 50 Гц. Магнитная индукция в магнитопро-
воде из стали 3412 (fe3C = 0,9) Вт=1, 4 Тл, плотность материала
магнитопровода у = 7,8 г/см3. Активным сопротивлением и потоко-
сцеплением рассеяния обмотки пренебречь. Размеры магнитопровода
указаны в миллиметрах.
Решение. Сечение стали магнитопровода sc =.2-3-0,9 = 5,4 х
X Ю-4 м2.
Число витков
п — и — ' 220 — 1ЗОП
W~ 4,44fscBm ~ 4,44-50-5,4-10~4-1,4 —
Действующий эквивалентный ток (идеализированная катушка)
j__ «с
и
220
U
где
Qc=QoG = ОУт; = poG = ЛУт-
Из кривых (см. Приложение 8.1) для В,л=1,4 Тл и стали 3412
определяем удельные мощности Q0=13 вар/кг иР0=1 Вт/кг.
Тогда Qc= 13-216-7,8-10~8 = 21,84 вар и Рс = 1 -21,6-7,8-10-3=
= 1,68 Вт, где объем магнитопровода V = «с/ср = 5,4 • 40 см3 = 216 см3.
Ток в обмотке
К21,842+1,682
220 ~ А.
Рис. 8.7
8.6. Для определения амплитуды индукции Вт на магнитопровод
была намотана измерительная обмотка с числом витков о/= 60.
Площадь сечения сердечника sc = 4 см2. Нап-
ряжение на измерительной обмотке равно ;
7,5 В при частоте / = 50 Гц. Найти значение
Вт-
Ответ: Вга = 1,41 Тл.
8.7. Определить ток в обмотке идеализи-
рованной катушки с магнитопроводом (рис.
8.7), подключенной к источнику напряже-
нием U = 127 В, частотой / = 50Гц. Число
витков обмотки w = 114, сечение магнитопро-
вода. sc = 40cm2, средняя длина магнитной линии по стали /ср. с =
= 100 см, удельные мощности материала магнитопровода Ро =
= 2,13 Вт/кг, Qo = 12,8 вар/кг. Плотность материала магнитопрово-
да у = 7,8 г/см8. Длина воздушного зазора 6г = 0, 62 = 0,01 см.
Ответ: алгоритм решения представим диаграммой
U
Ро
Ре
2£
%)
-с
<о
Qb
I,
f
S
где
соВ2
QB = UI(, = 2^m- Vo — 785 вар; V6 = sc6—объем воздушного зазора.
При 61 = 0°/ = 3,18 А, при б2 = 0,01 см 7 = 9,3 А.
ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА И СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ
КАТУШКИ С МАГНИТОПРОВОДОМ
8.8. Определить сопротивления 7?0 и Хо схемы замещения ка-
тушки с ферромагнитным сердечником (рис. 8.8) по следующим дан-
ным: действующее значение напряжения
на катушке 120 В; действующее значение
тока 0,5 А; потери мощности в катушке,
измеренные ваттметром, 2 Вт; сопротивле-
’’о ние обмотки, измеренное мостом постоян-
ного тока, 4 Ом. Полем рассеяния пре-
небречь.
]Х0 Решение. Мощность потерь в ка-
тушке Р, измеренная ваттметром, скла-
дывается из мощностей потерь в меди об-
мотки Ры и в магнитопроводе Рс. Следо-
вательно, Рс = 2—0,52-4 = 1 Вт.
Сопротивление Ro в схеме замещения катушки определяется мощ-
ностью потерь в магнитопроводе:
Т?0 = 7’с/72= 1/0.52 = 4 Ом.
Полное сопротивление катушки
Z= 77/7 =120/0,5 = 240 Ом,
а ее индуктивное сопротивление
Хо -- /Z2—(7?+7?0)2 = J/2402—(4 + 4)2 х 240 Ом.
8.9. Определить сопротивления R, Ro и Хо последовательной
схемы замещения катушки с числом витков оу = 200 по следующим
опытным данным:
1) при включении катушки в цепь постоянного тока вольтметр
показал 3,5 В, а амперметр—2 А;
2) при включении катушки в цепь переменного тока частотой
Гц вольтметр показал 120В, амперметр—2 А, а ваттметр —
Ответ: R =1,75 Ом; 7?0 = 15,8Ом; Х0 = 58,0Ом.
8.10. Определить параметры параллельной схемы Замещения
(рис. 8.10) катушки задачи 8.9 и найти токи в ветвях цепи.
Ответ: G0 = 4,65mCm; 7а = 0,55А; В0 = 15,6мСм; 7Ю—1,94 А;
7 = 2А. . Р
8.11*. Построить в масштабе векторную диаграмму катушки с
ферромагнитным сердечником, к зажимам которой подведено сину-
соидальное напряжение 77 = 220 В. При токе 7 = 0,25 А мощность
катушки равна 25 Вт. Число витков катушки &у = 500, а активное
сопротивление ее обмотки, измеренное мостом постоянного тока,
равно 240 Ом. Потокосцеплением рассеяния катушки пренебречь.
Решение. Мощность потерь в обмотке Рм = /?7? = 240-0,252 =
= 15 Вт.
4
Рис. 8.10 Рис. 8.11
Мощность потерь в магнитопроводе Рс = Р—Р,. = 25—15 = 10 Вт.
Угол сдвига фаз <р между вектором напряжения катушки и век-
тором эквивалентного тока определяется по формуле
р 25
cos^ = 7T7 = 220A25 =0-454; Ч) = 63°-
Откладываем в некотором масштабе вектор напряжения О и под
углом 63° к нему вектор тока 7ЭК, модуль которого равен I (рис. 8.11).
Вычитая из вектора О вектор активного падения напряжения 777эк,
находим вектор О', равный по значению и противоположный по на-
правлению вектору э. д. с. Ё (О' = 208 В).
Вектор потока Фга отстает по фазе от вектора О' на угол 90°, а
его значение определяется по формуле
/тл Е _______ U _____ 208 _. „„ мИб
т ~4,44/ш “4,44/да "4,44-50-500 ~ ’ОО
Угол потерь 6, т. е. угол сдвига фаз между вектором 7ЭК и век-
тором Фга, определяется из соотношения
sin6 = 7777 = 208-0,25 = 0’192’ 6=11 *
Варианты задачи 8.11:
а) (/ = 127 В; 7 = 0,05 А; Р = 1,5Вт, со = 200, R = 300 Ом;
б) U = 36 В, 7 = 0,2 А; 7’ = 3,5 Вт; щ=120; /? = 25Ом.
8.12. Определить параметры последовательной и параллельной
схем замещения катушки с магнитопроводом, если она включена
в сеть напряжением U = 220 В, частотой / = 50 Гц. Ток в обмотке
катушки 7 = 10 А, число витков обмотки w — 700, сопротивление про-
вода обмотки R = 4 Ом, мощность, потребляемая катушкой из сети,
Р = 600 Вт. Амплитуда магнитного потока Фт = 1,2 мВб.
Ответ: последовательная схема замещения: R = 4 Ом, Арас =
= 2,7 Ом, 7?О = 2 Ом, Х0=18,5Ом; параллельная схема замещения:
7< = 4 Ом, Храс = 2,7 Ом, Go = 5,75 мСм, Во = 53 мСм.
8.13. Определить параметры последовательной и параллельной
схем замещения и построить векторные
диаграммы для. катушки,
включенной в сеть напря-
жением U =120 В, часто-
той / = 50Гц. При отсут-
ствии сердечника приборы
в схеме рис. 8.13, а по-
казали: U = 120 В, I —
= 14 А, Р = 100 Вт; при
наличии сердечника в той
же катушке (рис. 8.13, б)
приборы показали: U =
= 120 В, 1 = 8 А, Р =
= 120 Вт (принять Храс =
= 0).
Решение. Схема рис.
8.13, а. Полное сопротив-
ление катушки ZK = U/I=
= 8,55 Ом, активное соп-
ротивление катушки 7?к=
= Р/Р = 0,51 Ом, индук-
тивное сопротивление ка-
тушки Хк = J/Zk—=
= 8,5 Ом.
На рис. 8.13, в пред-
ставлены последователь-
ная схема замещения ка-
тушки и соответствующая
ей векторная диаграмма.
Параметры параллель-
ной схемы замещения: G =
= R/Z&.— 0,0694 См —ак-
тивная проводимость; В =
= XL/Z* = 0,1157 См —
реактивная проводимость;
Y = 1/ZK = 0,116 См—пол-
ная проводимость.
На рис. 8.13, г представлены параллельная схема замещения
и соответствующая ей векторная диаграмма.
Схема рис. 8.13,6. Полное сопротивление катушки Z3K — U/I =
= 15 Ом, активное сопротивление 7? = 0,51 Ом, индуктивное сопро-
тивление Хо = j/z^K—(/? + /?0)2; при этом 7? + 7?0 = P/I2 — 1 >87 Ом,
7?0 = 1,87—0,51 = 1,36 Ом. Тогда Х0=14,9Ом. Полное сопротивле-
ние Zo = //?§-+- Х§ = 14,92 Ом. Составляющая напряжения U, урав-
новешивающая действие э. д. с. Ег, равна f/'= Z07= 119 В. Тангенс
угла потерь в стали tga = Pc/Qc = 7?o/Xo = 0,091; а = 5°12'. Угол
сдвига фаз напряжения U на катушке и тока / равен <j> =
==arc cos-"~^° = 83°.
^эк
На рис. 8.13, д представлены последовательная схема замещения
и векторная диаграмма для катушки с магнитопроводом.
Параметры параллельной схемы замещения катушки с магнито-
проводом Go = 7?o/Zo = 0,0061 См, Во — Xo/Z% — 0,0666 См, Уо = 1 /20=
= 0,0736 См.
На рис. 8.13, е представленьГпараллельная схема замещения ка-
тушки с магнитопроводом и соответствующая ей векторная диаг-
рамма. Токи в ветвях схемы замещения равны 7a = t/'G0 = 0,725 А;
/р = t/'B0 = 7,85 А.
ИЗМЕНЕНИЕ ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
КАТУШКИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ВОЗДУШНОГО
ЗАЗОРА МАГНИТОПРОВОДА
8.14. Определить эквивалентную индуктивность катушки с маг-
нитопроводами из стали 1512, имеющими переменный воздушный
зазор длиной 6 = 0; 0,5; 1 мм (рис. 8.14, а—в). К катушке с числом
витков w = 200, надетой на средний стержень, подведено синусои-
дальное напряжение 0 — 50 В; частота f — 50 Гц. Потерями энергии
в сердечнике и катушке пренебречь; индуктивное сопротивление
рассеяния катушки принять равным нулю.
Решение. Для варианта рис. 8.14, а при указанных допуще-
ниях напряжение U на катушке уравновешивается только э. д. с. Е
от потока в сердечнике. Поэтому при неизменном напряжении V = Е
поток в сердечнике должен оставаться постоянным и его амплитуда
ф =_"_=________50
т 4,44/w 4,44.50-200
11,3-10-4 Вб.
Следовательно, индукция в среднем стержне, на который надета
катушка, не зависит от длины воздушного зазора в сердечнике.
Ток в катушке определяется по закону полного тока:
141 ’
где — напряженность поля в сердечнике, определяемая по кри-
вым намагничивания при переменном токе (см. Приложение 8.1 в);
/7Е= 73т/(]/2р0)—напряженность поля в зазоре.
При 6=1 мм 7 = 4,4 А; при 6 = 0,5 мм 7 = 2,42 А; при 6 = 0
7 = 0,44 А.
Значения эквивалентной индуктивности катушки 7,эк=7//(ю7)
приведены в табл. 8.14.
Как показывают данные таблицы, появление небольшого воздуш-
ного зазора (6 = 0,5 мм) в магнитопроводе вызывает резкое увели-
чение тока в катушке (в шесть раз) и соответствующее уменьшение
Таблица 8.14
д, мм 0 0,5 1
1, А 0,44 2,42 4,4
^эк, Гн 0,362 0,0657 0,0362
эквивалентной индуктивности. Дальнейшее увеличение зазора сопро-
вождается почти пропорциональным изменением тока и индуктивно-
сти катушки.
РЕЖИМЫ РАБОТЫ ТРАНСФОРМАТОРОВ
8.15
аУ
Рис.
8.15. Сопоставить токи холостого хода двух однофазных транс-
форматоров номинальной мощностью 10 кВ-А, выполненных на раз-
личных магнитопроводах, если номинальное первичное напряжение
U = 220 В и частота / = 50 Гц.
Полем рассеяния и активными
сопротивлениями обмоток пре-
небречь.
Эскизы магнитопроводов
трансформаторов изображены на
рис. 8.15. Магнитопровод рис.
8.15, а выполнен из С-образных
лент холоднокатаной стали 3412
толщиной 0,35 мм, а магнито-
провод рис. 8.15, б — шихтован-
ным из пластин горячекатаной
стали 1511 толщиной 0,35 мм.
Размеры магнитопровода: а = 70 мм, b = 50 мм, h = 200 мм и с= 110 мм.
Эквивалентный воздушный зазор каждого из четырех стыков
шихтованного магнитопровода равен 0,05 мм, в ленточном магнито-
проводе имеется два зазора по 0,02 мм каждый. Коэффициент запол-
нения магнитопровода, определяемый лаковой изоляцией между пла-
стинами, Аэ.с = 0,92. Число витков первичной обмотки пу1 = 129. При
расчете воспользоваться кривыми намагничивания при переменном
токе, приведенными в Приложении 8.1 в.
Решение. Сечение стали магнитопровода (рис. 8.15, а)
Sc = bcka. с = 5 • 11 • 0,92 = 50,5 см2.
Магнитная индукция в магнитопроводе
п ___________ U 220 , Р
т~ 4,44/ш^с ~4,44-50- 129-50,5-10~4— 1,02 1Л’
По кривой намагничивания стали 3412 при переменном токе (см.
Приложение 8.1 в) находим действующее Значение напряженности
магнитного поля в стали: Но.с = 5 А/см.
Действующее значение напряженности магнитного поля в воздуш-
ном зазоре магнитопровода
Д^в = —^Я=- = 8-10б-^Д = 8,6-105 А/м = 8,6 кА/см.
|1 J 2 У 2
Магнитодвижущую силу в режиме холостого хода трансформа-
тора находим по закону полного тока (для действующего тока):
«V1X 4“ ^с-евАз'
Длина средней магнитной линии в магнитопроводе
/ср = 21г 4- 2а + nb = 69,7 см,
а длина по двум воздушным зазорам
/Е = 26 = 2 0,002 = 0,004 см.
Тогда
щ171х = 5 69,7 + 8600 • 0,004 = 383 А
и ток холостого хода
71х = = 383/129 = 2,97 А.
Проводя аналогичный расчет для трансформатора рис. 8.15, б,
получаем: Н^с = 14,6 А/см, Zcp = 74 см, 1Б = 0,02 см, wj 1Х = 1152 А,
11х = 8 А.
Значение тока холостого хода влияет на к. п. д. трансформатора
и определяет его экономичность [1, § 10.6]. Как показали расчеты,
при равной номинальной мощности трансформатор, выполненный на
ленточном магнитопроводе, имеет меньший ток холостого хода, т. е.
более экономичен*.
8.16. Для сравнения начальных фаз токов и углов потерь в стали
найти составляющие токов холостого хода 71х. а и /1Х. р, коэффи-
* Это объясняется тем, что ленточный магнитопровод имеет меньший суммар-
ный воздушный зазор и выполнен из холоднокатаной стали, обладающей лучшими
магнитными характеристиками (более высокой индукцией насыщения и большей
проницаемостью) по сравнению с горячекатаной сталью.
Циент мощности cos q>0 и углы сдвига фаз а между потоком и током
холостого хода трансформаторов, данные которых были указаны
в задаче 8.15. При расчете активной и реактивной составляющих
тока использовать таблицы удельных потерь и кривые зависимости
их от максимальной индукции (см. Приложение 8.1 а, б).
Решение. Активная составляющая тока определяется мощностью
потерь в сердечнике трансформатора PC = POGC.
Для сердечника на рис. 8.15, а масса сердечника Gc = ycZcsc = 7,8x
X 69,7-50,5 = 27 400 г = 27,4 кг.
Для индукции Вт — 1,52 Тл находим удельные потери в стали
сердечника: Р0=1,4 Вт/кг. Тогда Рс = 1,4-27,4 = 38,5 Вт.
Активная составляющая тока холостого хода трансформатора
71х. а = PJU = 38,5/220 = 0,175 А.
Реактивная (намагничивающая) мощность сердечника Qc = QoGc=
= 20,5-27,4 = 562 вар.
Реактивная мощность, затрачиваемая на создание поля в воздуш-
ных зазорах сердечника,
. Qb = Qob^b»
где Q0b — wHbBb/2--=wBI/(2\l0) — удельная реактивная мощность; VB—
объем воздушных зазоров.
Значения этих величин:
Л 314-1,522 о ОП 1 ПК , о
^№ = 4.ч.10:^ = 2’89'10 ВаР/м ’
Ув = scZB = 50,5-0,004 = 0,202 см? = 0,2-10-® м3.
Следовательно,
QB = 2,86-108-0,2-10“8 = 57,2 вар.
Реактивная составляющая тока холостого хода трансформатора
Лх. р = (Qc + QB)/U = (562 + 57,2)/220 = 2,82 А.
Ток холостого хода
/1Х = V/lx.a + /Lp = Ко.1752 + 2,822 = 2,86 А.
Коэффициент мощности
cos ф0 = /1х.а//1х = 0,175/2,86 = 0,061.
Тангенс угла потерь
tg а = /1Х. а//1х. р = 0,175/2,82 = 0,062; а = 3°33'.
Проводя аналогичный расчет для трансформатора рис. 8.15, б,
находим: /1Х = 8А, cos<р0 = 0,046, а = 2°40'.
Таким образом, коэффициент мощности в режиме холостого хода
у второго трансформатора значительно ниже, чем у первого, за счет
большего значения реактивной составляющей тока.
8.17. Сравнить значения токов и мощностей потерь холостого
хода (потерь в магнитопроводе) трансформатора (рис. 8.15) при исполь-
зовании его в качестве повышающего или понижающего трансфор-
матора, т. е. при питании со сторон обмоток высшего и низшего
напряжения. Коэффициент трансформации п = а?г/са2 = 5. В обоих
случаях к обмоткам подаются номинальные напряжения.
Ответ: потери в стали одинаковы, так как при номинальных
напряжениях обмоток в магнитопроводе создается один и тот же
магнитной поток
Ф _ ^1ном _ £/gH0M
т 4,44fwi 4,44fw2
Соотношение токов определяется равенством магнитодвижущих
сил обмоток в режиме холостого хода: = w2I2X, т. е. /2Х =
= Ах^ = 571х. Таким образом, при работе данного трансформатора
в качестве понижающего ток холостого хода в пять раз больше,
чем при его работе в режиме повышающего трансформатора, на ко-
торый он рассчитан.
8.18. Определить ток и потери холостого хода однофазного транс-
' с Ш-образным штампованным магни-
форматора мощностью 250 Вт
топроводом из стали 1511 и
О-образным ленточным маг-
нитопроводом из стали 3412
(рис. 8.18). Толщина плас-
тин 0,35 мм.
При шихтовке листов в
Ш-образном магнитопроводе
создаются четыре стыка, имею-
щие эквивалентные воздуш-
ные зазоры по 0,025 мм каждый. Амплитуда магнитной индукции в
нем равна 1,4 Тл.
Ленточный магнитопровод выполнен с двумя разрезами по
0,015 мм каждый. Амплитуда магнитной индукции в нем равна 1,6 Тл.
Основные размеры магнитопроводов: О-образного—а = 28 мм;
& = 44 мм; с = 35 мм, h = 68 мм; Ш-образного—а = 32 мм, ft = 32 мм,
Рис. 8.18
с = 50 мм, ft = 80 мм.
Номинальные напряжения первичных обмоток трансформаторов
Д1ном = 380В, частота / = 50 Гц. Потокосцеплениями рассеяния и
активными сопротивлениями обмоток пренебречь. Коэффициент запол-
нения магнитопровода сталью принять равным 0,9.
Ответ: для трансформатора с Ш-образным магнитопроводом из
стали 1511 ток 71х = 0,38А, мощность Рх = 9Вт. Для трансформа-
тора с О-образным магнитопроводом из стали 3412 ток /1Х = 0,125 А,
мощность Рх = 5,2 Вт.
8.19. Найти токи аварийного короткого замыкания /1К, /2К одно-
фазного трансформатора с воздушным охлаждением типа ОВ-25, но-
минальная мощность которого SHOM = 25 кВА и номинальные напря-
жения f/iHOM = 380, 172НОМ=127 В при питании с первичной и вто-
ричной сторон. Относительное напряжение короткого замыкания
нк = 4%. Сравнить значения найденных токов с соответствующими
номинальными токами.
Решение. Ток короткого замыкания связан с номинальным
током /1]0М и относительным напряжением короткого замыкания ик
соотношением
J ЦНОМ ^НОМ 1црм ^ном
/к ZK Л1ом
Для заданного трансформатора /1НОМ = 66А, /2НО„=197А; сле-
довательно, 71К=165ОА и Лк = 4940 А. Кратность токов /iK//1Ii0M=
ЛкЯ2 НОМ 25.
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРА
8.20. Определить параметры Г-образной схемы замещения
(рис. 8.20) однофазного трансформатора номинальной мощностью
2 SH0M = 8,8 кВ • А, номинальным напряжением
.—f/j ном = 220 В по данным опытов холостого хода
'-----------' ° и короткого замыкания: Ру = 50 Вт, 1Х = 2 А,
^к.«ом = 800 Вт, 1/к = 32 В. t
Р е ш е н и е. Номинальный первичный ток
К ном = Shom/U, нои = 8800/220 = 40 А.
__________о Из опыта холостого хода находим:
Рис. 8.20 Ро = Рх/Гх = 50/4 = 12,5 Ом, Zo = Ui НОМ/7Х =
'=220/2 = 110 Ом, Хо = j/Zo—-Яо = 109 Ом.
Из опыта короткого замыкания определяем:
Як = Як. нпм//?ном = 800/1600 = 0,5 Ом, ZK = Ujli ном =
= 32/40 = 0,8 Ом, XK = /Zf—Я£=0,625Ом.
8.21. Определить параметры Г-образной схемы замещения
(рис. 8.20) однофазного трансформатора номинальной мощности
8НОм = 2,5 кВА по данным опытов холостого хода и короткого за-
мыкания:
f/1HOM = 220B, t/2H0M= 127 В, /Х=1,4А, Рх = 39Вт, t/K = 8,8B
ПрИ /1к Яном» Як ном= 80 Вт.
Ответ-. Я0=15,ЗОм; Х0=157Ом; Хк = 0,374 Ом; Як = 0,68Ом;
ZK = 0,78 Ом.
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ. ПАСПОРТНЫЕ ДАННЫЕ ТРАНСФОРМАТОРОВ
8.22. Найти номинальные токи 71ноМ, Дном, токи холостого хода
/х и сопротивления Zo, ZK Г-образной схемы замещения трехфазных
трансформаторов, технические данные которых приведены в табл.
8.22. Параметры Zo и ZK влияют на напряжение вторичной обмотки
трансформатора, поэтому их значения нужны при анализе работы
трансформатора в различных режимах нагрузки.
Т а б л и ц а 8.22
Тип трансфор- матора С НОМ1 кВА иом» кВ ^2 НОМ» В 1х, % “к, % РХ} Вт р к. ном Вт Способ соедине- ния об- моток
тем 60/35 60 35 400 11,1 4,55 502 1200 Y/A
ТСМ 560/6 560 6 400 4,58 4,27 1970 7000 Y/Y
Решение. В паспорте трехфазных трансформаторов даются
номинальная мощность и мощность потерь всех трех фаз: под но-
минальными напряжениями понимаются линейные напряжения на
зажимах трансформатора в режиме холостого хода, а под номи-
нальными токами—линейные токи независимо от схемы соединения
обмоток.
Номинальные токи трансформатора ТСМ 60/35
Лном~/з-с/1ном O-35.i0a^u,JyA,72HnM Г3 1/2НОИ“
60-103 __ с я
Ток холостого хода (первичной обмотки)
/х = iv/j ном = 0,11 • 0,99 = 0,1 А.
Схема замещения трехфазных трансформаторов составляется
только для одной фазы, поэтому для расчета ее сопротивлений
нужно использовать фазные напряжения, токи и мощности. .
У трансформатора ТМС 60/35 первичная обмотка соединена звез-
дой, а вторичная—треугольником, поэтому:
фазные напряжения
ном. Ф = Н0М/КЗ = 3,5/Гз = 20,2 кВ, U, ном. ф = U2 ном = 400 В,
фазные токи
11 ном. ф = 11 ном = 0,99 А, 12 ноМ ф — 12 НОм/Кз'= 50,5 А.
Активные сопротивления Г-образной схемы замещения трансфор-
матора
р Рк. ном 1208 —и]о Ом
^=АЬ = -зЭТГ = 16800 0м-
5'Х ’ ’
Полное сопротивление ZK находим с помощью формулы напря-
жения короткого замыкания:
__ZKIj ном, ф _ 2кЛ~ ном, ф ЗС1НОМ, ф _ ASiot ,
к U1 ном. ф 3l/fH0M. ф Ci НОМ. ф
7 ном- ф 0,0455 (35-103)2_ _ Qgg
к“ к Shom 60-ю?
Реактивное сопротивление
Хк = Kz*—7?3 = 831 Ом.
Полное сопротивление ветви холостого хода
Zo = U1 ном. ф//х = 20,2-103/0, 1 = 202 -103 Ом.
Реактивное сопротивление
Хо = KZ?—= К(2022 —16,82)-10« ~ 201 • 103 Ом.
Для трансформатора ТОМ 560/6 имеем: ном = 54 А, 12 ноМ =
= 808 A, 7Х = 2,48А, /?к = 0,8Ом, /?0=Ю6Ом, Хк = 2,63Ом,
Х0=1400Ом. .
8.23. Для трансформатора ТОМ 60/35, данные которого были
приведены в табл. 8.22, определить при половинной нагрузке
(cosq>n = 0,9) напряжение на вторичной обмотке, к. п.д. ток исо5фх
первичной обмотки.
Решение. Для рассматриваемого трансформатора в задаче 8.26
(см. ниже) получена формула для расчета Лп2 при cos(pn = 0,9;
Дп2 = 0,03580.
При 0 = 0,5 напряжение на вторичной обмотке
U2 = (1 — 0,5Аы2) U2 ном = (1 —0,5 • 0,0358) • 400 = 393 В.
К. п.д. (при 0 = 0,5)
„ __ 1________Р2Рк. ном4~Рх____
₽SH0M cos <рп + В2РК.
НОм4~РX
0.52-1200 4-502 — 0 07
~ 1 0,5-60-103-0,9 | 0,52-12004-502 ^’”* ‘
Активная мощность первичной обмотки
р _ Pg __ Р*$ном cos <Рп __9,5-60- 103-0,9 _ 27 g, ।оз gm
f т] т] ~ 0,97 ’
Ток первичной обмотки
j __ Shom ________ Р? 4-Q1
*' Кз- и± ном К 3UT ном
Если реактивные мощности, ~ обусловленные полями рассеяния
обмоток трансформатора, не учитывать, то реактивная мощность
первичной обмотки Qt будет равна сумме реактивных мощностей
нагрузки Q2 и намагничивания сердечника трансформатора Qo =
= КЗ Р^номЛ. р (реактивная составляющая тока холостого хода
практически равна полному току I*):
Qi = 0«ноЫ sin 4- Уз Ui ном /х = 0,5 • 60 • 103 • 0,438 +
4-У 3-35-103-0,1 = 19,2-103 вар.
Следовательно,
, Г<Я.8Л0у + (1Э.2.11>У =0Бз5д. .
Кз-35-103
коэффициент мощности нагруженного трансформатора
СОЗФ1 = ^------------- 2W03_____________
^3Ui Н0МЛ Кз -35-103.0,535
8.24. С целью установления зависимости к. п. д. трехфазного
трансформатора от нагрузки построить график т] (0) при cos q>n = 1
по следующим данным: номинальная
мощность SHoM = 100 кВ.А, номинальные
напряжения ном = 6 кВ, t/2H0M =
= 0,4 кВ, относительное напряжение
короткого замыкания wK = 4,4%. Отно-
шение активного сопротивления корот-
кого замыкания к индуктивному сопро-
тивлению RjXK — 0,5. Мощность потерь
холостого хода Рх = 541 Вт.
Ответ дан в табл. 8.24 и на рис. 8.24,
из которого видно, что оптимальной на-
грузкой для силовых трансформаторов является Р = 0,6 + 0,7
[1, § Ю.6].
Таблиц а 8.24
р 0,1 0,25 0,525 1,0
4 0,935 0,975 0,981 0,975
8.25. Для трехфазного трансформатора ТОМ 320/35 найти коэф-
фициент нагрузки р, соответствующий максимальному к. п.д., и
максимальный к. п.д. при cos«pn = 0,7. Технические данные транс-
форматора: SH0M = 320 кВ • А, и± ном = 35 кВ, Us ноМ = 6,3 кВ, Рх =
= 1750 Вт, РК.НОМ = 4793 Вт, ик = 4,8%.
Решение. К. п. д.
____________________________PShom cos Фп____
Р^ном COS фп + Р2Рк. ном + Рх
достигает максимального значения при
Ртах = /Рх/Рв.ноМ = /1750/4793= 0,605.
Тогда
_____________0,605-320-103-0,7_______ 0 97g
“Птах — 0,605-320.10?.0,7 + 0,6052-4793 +1750_’
ВНЕШНЯЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТРАНСФОРМАТОРА
8.26. Для трехфазных трансформаторов ТСМ бО/Зо и ТСМ 560/6,
данные которых приведены в задаче 8.22, определить зависимости
относительного изменения вторичного напряжения Лыа от коэффи-
циента нагрузки Р = /2//2 ном при коэффициенте мощности приемника
cos фп = 0,9.
Решение. Для расчета относительного изменения напряжения
предварительно необходимо найти
cos <р = — = — = —_Рк = - _ Рк. .
к 2К SK 3 /ном UK У 3 Д ном «к UKOK Shom «к
Для трансформатора ТСМ 60/35
c°s^E-gl<1^8M55--0,442; фк —64°.
Относительное изменение напряжения определяется формулой
Д«2Р (uK а cos фп + uK р sin фп) = 0нк (cos фк cos фп + sin фк sin фп) =
= Р«к соэ(фп—фк).
При созфп = 0,9 угол фп = 26°. Поэтому Дн„ = 0,0455р cos (26° —
— 64°) = 0,0358р.
Аналогичный расчет для трансформатора ТСМ 560/6 дает Дн =
= 0,0291р.
Удельная реактивная
/намагничивающая)
мощность Оля электро-
Приложение ВЛ
Кривые намагничивания
Мощность удельных потерь в электротехнических сталей
электротехнической стили при переменном токе
0 02040/>0,81,01,21,41/6Вт,Тл 0 0,5 1,0 1,5 6т,Тл 0- 200^0600800100012001400
. ' а) 6) в) Н„,А/М
ГЛАВА 9
основы электроники
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ И ВЫПРЯМИТЕЛИ
9.1. По вольт-амперной характеристике I (U) полупроводнико-
вого диода (рис. .9.1) определить статические сопротивления RCT
при включении диода в прямом и обратном направлениях, если к
диоду приложены соответственно прямое и обратное напряжения:
Ппр = 0,6В и Побр=100В.
Ответ: /?пр = 0,1 кОм, 7?обр = 1,5 МОм.
9.2. Определить динамическое сопротивление /?дин полупровод-
никового диода по вольт-амперной характеристике f(U) (рис. 9.2)
для значений прямого напряжения =
= 0,4 В и t7''p=l,0B.
Ответ: R'KW = 0,25 кОм; /?дин =
= 0,125 кОм.
9.3. По вольт-амперной характерис-
тике I (U) полупроводникового стаби-
литрона (рис. 9.3) определить динами-
ческое сопротивление R№„, напряжение
стабилизации t/CT и минимальный ток
стабилизации /ст min.
Ответ: R№U = 25 Ом;
ci min = мА.
9.4. Какое напряжение нужно при-
ложить к варикапу, характеристика
управления С (U) которого приведена
на рис. 9.4, чтобы общая емкость варикапа
6/„ = 8,5 В;
на рис. 9.4, чтобы общая емкость варикапа и параллельно подклю-
ченного к нему конденсатора емкостью 100 пФ составила 150 пФ?
Ответ: 1/ = 23В.
9.5. Определить среднее и максимальное значения прямого тока
/п.р. ср- ^пр max- а также максимальное обратное напряжение £7обр етак
полупроводникового диода в однополупериодном выпрямителе
Рис. 9.5
(рис. 9.5) и коэффициент трансформации трансформатора п, если
на нагрузочном резисторе сопротивлением £?н = 3 кОм среднее зна-
чение выпрямленного напряжения £7н=180В. Напряжение сети
£71 = 220 В. Сопротивление диода в прямом направлении и обрат-
ный ток считать равными нулю.
Решение и ответ: /пр. ср = 7Н = = 60 мА;
^пр max = ^7пр. ср = £88 мА, U = л£7н = 565 В,
£72 = £7обртах//2 = 400В; п = £71/£7г = 0,55.
9.6. Определить амплитуду тока в нагрузочном резисторе соп-
ротивлением RH = 2,5 кОм однополупериодного выпрямителя (рис. 9.5),
если напряжение на первичной обмотке трансформатора £/! = 20В,
------------------—коэффициент трансформации п =
= 0,4. Считать, что прямое сопро-
\ тивление диода £?пр = 0.
’С i—i—Ответ: /т = 28,3 мА.
9.7. Определить необходимые
___________________________ параметры полупроводниковых ди-
рис. 9 7___________________- одов для мостового выпрямителя
(рис. 9.7) и выбрать с помощью
табл. 9.7 [4] соответствующий тип диода, если известно, что в на-
грузочном резисторе сопротивлением 7?н = 600 Ом выпрямленный
ток /„ = 200 мА. Найти значение коэффициента трансформации транс-
форматора, подключенного к сети напряжением £7х = 220 В.
Таблица 9.7
Параметры диода Тип диода
Д7А Д202 Д207 Д217 Д226В Д242Б Д302 КД102А КД 202Г
^пр. ср тах> мА 300 400 100 100 300 5000 1000 100 1000
Uобр max» В 50 100 200 800 300 100 200 250 100
Ответ-. Znp. ср = 100 мА; Побр тах = 188 В; п = 1,66. Полученным
значениям тока и напряжения удовлетворяет диод Д207.
9.8. Чему равен ток /н нагрузочного резистора сопротивлением
7?н=120Ом мостового выпрямителя (рис. 9.7), если напряжение на
входе трансформатора Ulm = 100 В; коэффициент трансформации п =
— 0,5, а сопротивление каждого полупроводникового диода Rnv =
10 Ом?
Ответ-. /н = 0,91 А.
9.9. Для выпрямления синусоидального напряжения L\ = 500B
используется однополупериодный выпрямитель^ с последовательным
соединением нескольких полупроводниковых диодов Д226Б, зашун-
тированных резисторами (рис. 9.9). Определить необходимое коли-
чество т диодов и резисторов, их сопротивления Дш, а также вы-
прямленное напряжение Оп и обратные напряжения Побр на диодах,
если параметры диодов Д226Б имеют следующие значения: По6рп1ах =
— 300 В, /обрп1ах = 300 мкА, а Дн = 5кОм (во много раз больше пря-
мого сопротивления диода).
Примечание. Следует выбрать значения аз 0,3/?обг, диода.
Ответ-. т = 3; /?ш = ЗООкОм; t/H = 225 B; 6/обр = 236В.
9.10. Определить сопротивление ограничительного резистора
7?огр стабилизатора напряжения на кремниевом стабилитроне Д813
(рис. 9.10), если Дн = 3,7 кОм, параметры стабилитронов Пст= 13 В,
/стт)п= 1 мА, Лт шах = 20 мА, а напряжение источника изменяется
от (/л=17В до (4^=23 в.
Решение. Для определения Рогр необходимо найти среднее
значение напряжения источника Пср и тока стабилитрона /ср. ст:
^ср = Д 5 (^rnin-ф^тах) = 20 В, /ср ст = 0,5 (/CTmin +/ст тах)= 10,5 мА,
/н = Дст/^н = 3,5 мА, Догр = (Пср- £7ст)/(/ср. „ + /н) = 500 Ом.
9.11. В двухполупериодном ре-
гулируемом выпрямителе на тири-
сторах КУ101Е (рис. 9.11) необхо-
димо получить выпрямленное напря-
жение Uср = 71,5 В. Определить угол
сдвига фаз а между выпрямляемым
и управляющим напряжениями, а
также коэффициент трансформации
трансформатора п, если известно,
Рис. 9.11
что Uх —127 В, а допустимое обратное
КУЮ1Е t/ogpmax= 150 В.
Ответ: а = 60°; п = 0,6.
напряжение тиристора
БИПОЛЯРНЫЕ И ПОЛЕВЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ
9.12. Найти /i-параметры транзистора ГТ322А по его характе-
ристикам (рис. 9.12, а, б), соответствующим схеме с общим эмитте-
Д ЛД Л1к
6J г)
Рис. 9.12
Решение. По входной характеристике для UK = 5 В (рис. 9.12, а)
находим
, At/g (360 — 320)-IO"3 о „ , ДСб 80-Ю-3 10_3
= (200—80).Ю—= 330 Ом' Л»=Д177 = —5-------------16 10 •
По выходным характеристикам определяем
= 56 h (7-6,5)-Ю-з = 6Cmj
AZg 50-Ю-6 ’ 22 Д1/к 10—2
Схема замещения транзистора приведена на рис. 9.12, г при ус-
ловии, что й12«0.
9.13. По входной (рис. 9.13, а) и выходным (рис. 9.13,6) харак-
теристикам транзистора П416, включенного по схеме с общим эмит-
тером, определить /i-параметры для (7К = 5В и 7б = 200мкА.
Ответ: /1ы = 650Ом; /г12 = 32-1Q-3; /г21 == 40; h22— 1,5- 10-4См.
Ig,MKA
О 160 320 480 Off,нВ 0 5 10 15 UK,B
а) И)
Рис. 9.13
9.14. В биполярном транзисторе, включенном по схеме с общим
эмиттером, ток базы /й = 20 мкА, ток коллектора /к = 1 мА. Опре-
делить коэффициенты передачи тока аир, если током /к0 можно
пренебречь.
Ответ-, а = 0,98; р = 50.
9.15. Биполярный транзистор, имеющий коэффициент передачи
тока базы р=100, включен по схеме с общим эмиттером. Опреде-
лить ток базы Zg, ток эмиттера /э, коэффициент передачи тока эмит-
тера а, если ток коллектора /к=1мА, а током /к0 можно пре-
небречь.
Ответ'. 7б=10мкА; /э = 1,01 мА; а = 0,99.
9.16. Определить коэффициент передачи тока биполярного тран-
зистора, включенного по схеме с общим эмиттером, если при изме-
нении тока базы ток коллектора изменился на 5 мА, а ток эмиттера—
на 5,2 мА.
Ответ-. /i21 = p = 25.
9.17. Определить коэффициент передачи тока биполярного тран-
зистора, включенного по схеме с общим эмиттером, если коэффи-
циент передачи тока в схеме
с общей базой а = 0,96.
Ответ'. |3 = а/(1 —а) » 25.
9.18.Определить крутизну
Sd 1г
П°'
левого транзистора КП103Л
по его выходным характерис-
тикам (рис. 9.18) при Um =
= 10В, f73=l,5B.
Ответ: S = 1,5 мА/В.
9.19. Напряжение между
затвором и истоком полевого
транзистора с управляемым р-п-переходом изменилось на 0,5 В. При
этом для обеспечения постоянства тока стока потребовалось изменить
напряжение между стоком и истоком на 20 В. Определить крутизну
характеристики, если динамическое сопротивление стока Rc = =
=0,1 МОм.
Ответ-. 5 = 0,4 мА/В.
УСИЛИТЕЛЬНЫЕ КАСКАДЫ
9.20. На рис. 9.20, а приведена схема усилительного каскада
с общим эмиттером на транзисторе ГТ322А. Рассчитать сопротивле-
ние резистора Rg, при котором рабочая точка в режиме покоя уси-
лителя будет находиться на середине линейных участков входной
и переходной характеристик, если Ек=10В и Rk=1kOm. Опреде-
лить коэффициенты усиления по напряжению по току /Q, по
мощности Кр, а также входное REX и выходное REbIX сопротивления
усилительного каскада. Значение hllt h21, h?2, входные и выходные
характеристики транзистора ГТ322А взять из задачи 9.12, а значе-
ние h12 принять равным нулю.
Решение. На семействе выходных характеристик /к(^к) тран-
зистора ГТ322А (см. рис. 9.12,6) проводим линию нагрузки, соот-
ветствующую RK = 1 кОм, с помощью которой строим переходную
характеристику. Линейный участок этой характеристики соответст-
вует диапазону 0=</6 200мкА. Входные характеристики (см.
рис. 9.12, а) линейны при /б^80мкА. Таким образом, обе харак-
теристики линейны при 80 <2<1200 мкА. Поэтому рабочую точку
выбираем примерно в середине линейного участка при /й=150мкА,
что соответствует 17к0 = 3,5В и Мйо = 350мВ.
Для выбранного тока 1^ = 150 мкА сопротивление
р _______________Е* Обо _ Ю 0,35_____сдз кОм
?бо " 150-Ю-6 “Ь4,3 °
При hi2 = 0 используем упрощенную схему замещения усилитель-
ного каскада (рис. 9.20, б), по которой можно легко рассчитать
значения сопротивлений и коэффициентов усиления [3]:
Я^-тй^ЗЗОСм,
Кб -К «и
г> ___ ^к/^гг Rk 1 „ГК,
/<ВЫх- рк+1//122 - 1 +Дк/г2а ~ 1 K<Jm’
IS ^F,t!X ^21^б^ВЫХ _<1RК_____1
U~ и В* “ Мб “/111(1+^22) ’
is — ^ЕЬ1Х UвьукКбкц/Нк______<1^6________кок
/вх 6БХ (Rg-j-/in) (Rg+^n)(1 -Т^к^гг) ’ ’
/С, = АгЛ, = 8650.
Рис. 9.23
9.21. В усилительном каскаде с общим эмиттером на транзисторе
П416 коллекторный резистор имеет сопротивление /?к = 0,5кОм, а
э. д. с. £К=15В (рис. 9.20). Определить сопротивление резистора/?б
для обеспечения режима А работы усилительного каскада. Найти
KUt Кг, КР, Двх, /?ЕЫХ, воспользовавшись значениями /i-параметроз
транзистора П416, найденными в задаче 9.13, и выходными харак-
теристиками, приведенными на рис. 9.13, б, построив по ним пере-
ходную характеристику.
Ответ: 1?б = 37,5 кОм; ^=29; £,=37; £Р=1070; £вх = 650Ом;
7?вы.; = 465Ом.
9.22. Определить коэффициент усиления усилителя по напряже-
нию, если ток через нагрузочный резистор сопротивлением /?н=250Ом
равен 20 мА, а входное напряже-
ние £вх = 0,1 В.
Ответ:
9.23. Определить доступные
коэффициенты усиления по напря-
жению Аг7дост = ^вых/£Вх И ПО МОЩ-
НОСТИ Кр даст = К и усили-
тельного каскада на транзисто-
ре типа п-р-п с общим эмиттером
(рис. 9.23), если £вн=1 кОм,
Ra = 5 кОм, Як = 3 кОм, hlt =
= 1 кОм, /г21 = 20, /122 = 50-10-6См и /г12 = 0.
Решение. Доступные коэффициенты усиления, учитывающие
влияние внутреннего сопротивления RBH источника сигнала, опреде-
ляются по формулам [3]
Kv вост = Кц = 46 ‘1835 = 21 ’
КР „ост = KU№^ = 2L 12,8 = 270.
9.24. Определить э.д.с. источника входного сигнала, если вход-
ной ток и входное сопротивление усилителя соответственно равны
1 мА и 400 Ом. Внутреннее сопротивление источника составляет
100 Ом.
Ответ: £вх = 0,5В.
9.25. Определить входное сопротивление усилителя, если на
входе действует э. д. с Ерх = 0,1В, ток входной цепи /вх = 1мА и
внутреннее сопротивление источника э. д. с. Т?ЕН = 20 Ом.
Ответ: 7?вх = 80Ом.
9.26. В усилительном каскаде с общим эмиттером (рис. 9.23)
используется биполярный транзистор, имеющий следующие значения
параметров: Z?tl = 900 Ом, h2i = 50, й22= 16-10~?См. Определить вы-
ходное напряжение и выходное сопротивление этого каскада, если
э. д. с. источника входного сигнала £вх = 8мВ, его внутреннее со-
противление £вн = ЗОООм, сопротивление £к = ЗкОм, a
Решение. Входное напряжение
(J E^hn 8-900
вх 1200
Выходное сопротивление [3]
* rj Рк/^22
КЫХ - як + 1//г22 - 1 + RKh^ -
Выходное напряжение [3]
fl v fl ^21^К^ВХ
/J11(1 + jRk/J22)
Q. IГ)3
1+3-10»-16-10-ь = 2 кОм’
50-3-10»-6.10-» „„rR
900-Г,48 =°>675В-
9.27. Определить емкость конденсатора Сэ усилительного каскада
с температурной стабилизацией (рис. 9.27), если известно, что
Рис. 9.27
вора (7ЗИ=1,5 В, /„ = 50
7?э = ЗкОм, а самая низкая частота
усиливаемого напряжения /н=50Гц.
Ответ-. Сэ = 10 мкФ.
9.28. Определить параметры эле-
ментов звена автоматического сме-
щения усилительного каскада (рис.
9.28) на полевом транзисторе КП1ОЗЛ,
выходные характеристики /с (^си)
которого приведены на рис. 9.18,
если известно, что 7?с = 2 кОм, Ес =
= 10 В, а напряжение смещения зат-
Ответ'. 7?„ = 940Ом; Си = 34мкФ.
9.29. Рассчитать коэффициент усиления усилительного каскада
(рис. 9.28) на полевом транзисторе КП103М при 7?с = 4кОм, если
крутизна характеристики S—-~- — 2,5мА/В.
UC7 з
Ответ-. К^—10.
Рис. 9.28
Рис. 9.31
9.30. Полевой транзистор с управляющим р-п-переходом, имеющим
крутизну 5 = 2 мА/B, включен в усилительный каскад с общим исто-
ком. Определить коэффициент усиления каскада, если сопротив-
ление резистора в цепи стока /?с=10кОм.
Ответ-. Ки^=20.
9.31. Определить коэффициенты усиления по напряжению и
по току /С7, входное Т?ЕХ и выходное 7?Вых сопротивления усилитель-
ного каскада с общим коллектором (рис. 9.31) на транзисторе ГТ322А,
у которого й11 = ЗЗООм, /г21 = 56, /i22 = 62,5-10~6Cm, если сопротив-
ление резистора 7?э = 1 кОм.
Решение. Используя формулы для коэффициентов усиления по
напряжению и по току, входного и выходного сопротивлений уси-
лительного каскада с общим коллектором [3], получим:
« °.994,
1+7111 О+/ы)
h11-----53, RBX= ~ 53,4 кОм,
вх 1—/Q;
*** 5,6Ом.
1 +h21
R3(\-Ku)
^вых
9.32. Найти значения и 7?вых эмиттерного повтори-
теля на транзисторе П416, у которого /1И = б50Ом, /i2± = 40, й22 =
—1,5-10-4См, если сопротивление резистора 7?э = 2кОм.
Ответ: К,, = 0,99', Л/ = 32; 7?вх = 65кОм; 7?вых = 16Ом.
МНОГОКАСКАДНЫЕ УСИЛИТЕЛИ НАПРЯЖЕНИЯ
9.33. На рис. 9.33, а приведена схема двухкаскадного усилителя на
биполярных транзисторах. С помощью схемы замещения (рис. 9.33, б)
первого усилительного каскада определить коэффициенты усиления
Рис. 9.33
Ко этого каскада на средних частотах, верхнюю и нижнюю гранич-
ные частоты, на которых коэффициент усиления равен /Со/1^2, если
известно, что /С0х=175, Т?ЕЫХ1 = 1кОм, емкость конденсатора связи
Сс1 = 2мкФ, емкость СО2 = 0,01мкФ, входное сопротивление второго
каскада 7?вх 2 == 320 Ом.
Решение. Используя формулы для коэффициента усиления на
средних частотах, верхней и нижней граничной частот [3], получим:
ы- _________t/вых_____t/вых Х^вкг________K0xt/BX/?EX2
° ~ t/вх “ ВЫХ 1 + t?BX 2) t/вх (Явых 1 + ^вхг) ^ВХ
/в=------
2лС02
1________
^ВЫХ1Rвх 2
Явых1~Ь^вх2
Кох^?вх 2 42 5'
ЯВЫХ1 + ЯВХ2
= 65,6 кГц; f„ = 2лСС1(ЯВЬ1Х1+Явха) = 60 Гц-
9.34. Как изменятся верхняя и нижняя граничные частоты пер-
вого усилительного каскада усилителя, рассмотренного в задаче 9.33,
если емкость Сс1 уменьшить в, четыре раза, а емкость С02 увеличить
во столько же раз?
Ответ: fn = 16,4 кГц; fB = 240 Гц.
9.35. Определить коэффициент частотных искажений Л!н, если
на нижней граничной частоте коэффициент усиления составляет 25,
а на средней частоте—30.
Ответ: 7ИН=1,2.
9.36. Определить коэффициент усиления усилителя Кв на сред-
них частотах, если на высшей частоте полосы пропускания коэф-
фициент усиления Кв = 40, а коэффициент частотных искажений
Л4В=1,1.
Ответ: К0 = 44.
9.37. Определить частоту, на которой коэффициент усиления
будет иметь максимальное значение, если известно, что постоянная
времени в области верхних частот тв = 0,Змкс, а в области нижних
частот тн = 6мс.
Решение. Значение средней частоты, на которой коэффициент
усиления максимален, определяем по формуле
f0 = —=------------г 1 ------1 3,75 кГц.
2яК твтн 6,28 КО,3-10-6.6-Ю-s 6,28-10-*К0,18
УСИЛИТЕЛИ МОЩНОСТИ
9.38. Однотактный усилитель мощности на транзисторе П606
работает в режиме класса А на нагрузочный резистор сопротивле-
нием 7?н = 20Ом (рис. 9.38, с). Пользуясь семейством выходных ха-
рактеристик /B(f7K) транзистора П606 (рис. 9.38,6), на которых
Рис. 9.38
изображена также кривая допустимой мощности, определить выход-
ную мощность Р„ и коэффициент трансформации п выходного транс-
форматора, обеспечивающий коэффициент усиления по мощности,
близкий к максимальному при минимальных нелинейных искаже-
ниях, если £'К=12,5В и Гвхв = 2В.
Решение. На семействе выходных характеристик при 17к=12,5 В
выбираем рабочую точку О на кривой, соответствующей /б = 3,5мА.
Через эту точку проводим линию. нагрузки таким образом, чтобы
точка а, расположенная на кривой /б = 5,5мА, и точка Ь, располо-
женная на кривой /б=1,5мА, находились на одинаковом расстоя-
нии от точки О. С помощью линии нагрузки определяем [3]:
сопротивление
р'______(21 5).В_____-о Q
Кн~ (370 —70)-IO"3 А — О-ЭММ,
выходную мощность
Р„ = = = 0,6 Вт;
коэффициент трансформации
п = w1/wz=fr R'K/RK = 1,63.
9.39. Как изменится выходная мощность Рк усилителя мощности
Задачи 9.38, если коэффициент трансформации уменьшить до 1,25?
Ответ'. Р„ = 0,375 Вт.
9.40. Определить коэффициент трансформации п выходного транс-
форматора однотактного усилителя мощности, если известно, что
сопротивление нагрузочного резистора составляет 25 Ом, а приве-
денное сопротивление /?„ = 625Ом.
Ответ-. п = 5.
9.41. Определить мощность источника питания двухтактного
транзисторного усилителя мощности, работающего в режиме класса В,
если Ек = 20В. Амплитуда коллекторного тока транзистора 1кт=
=31,4 мА.
Ответ'. Ро = О,4Вт.
ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ В УСИЛИТЕЛЯХ
9.42. Усилитель с коэффициентом усиления К =100 охвачен
отрицательной обратной связью. Определить коэффициент усиления
усилителя с обратной связью Кос, если коэффициент передачи цепи
обратной связи 0 = 0,01.
Ответ: Кос = 50.
9.43. Какое напряжение необходимо подать на вход усилителя,
охваченного отрицательной обратной связью с 0 = 0,02, для того
чтобы на выходе усилителя получить (7вых = 2В, если К = 25?
Ответ: 1/вх = 0,12В.
9.44. Изменение коэффициента усиления усилителя, с К = 1000
составляет +10%. Определить коэффициент передачи 0 цепи обрат-
ной связи, которую необходимо подключить, чтобы изменение коэф-
фициента усиления не превышало +2%, а также значение Кос после
подключения цепи отрицательной обратной связи.
Ответ: 0 = 0,004; Кос = 200.
9.45. Усилитель с коэффициентом усиления К. = 150 охвачен от-
рицательной обратной связью. Определить коэффициент передачи
цепи обратной связи 0, при котором стабильность коэффициента
усиления увеличится в 10 раз по сравнению со стабильностью при
отсутствии обратной связи. Определить коэффициент усиления уси-
лителя с обратной связью /Сос.
Ответ'. 0 = 0,06; /Сос= 15.
9.46. Усилитель, содержащий три каскада с коэффициентами
усиления /<1 = 40, К2=15 и К3=10, охвачен отрицательной обрат-
ной связью с коэффициентом 0 = 0,01. Чему-равен коэффициент уси-
ления такого усилителя?
Ответ'. Кос «100.
УСИЛИТЕЛИ ПОСТОЯННОГО ТОКА (УПТ)
9.47. Изобразить примерный вид передаточных характеристик
£/вых (^вх) усилителей постоянного тока, схемы которых приведены
на рис. 9.47, о, б.
Ответ: кривые показаны на рис. 9.47, в, г.
В) г)
Рис. 9.48
9.48. Построить амплитудную характеристику t/EbIX т (UEX ст), оп-
ределить динамический диапазон, коэффициент усиления и напря-
жение смещения по входу УПТ для режима А по передаточной ха-
рактеристике, приведенной на рис. 9.48, а.
Решение. В режиме А рабочую точку покоя выбираем в сере-
дине линейного участка АБ передаточной характеристики t/BbIX(t/BX)
на рис. 9.48, а—точка В с координатами £7вх = 1мВ, t/BbK = 5,0B.
Поэтому напряжение смещения UEX 0 — 1 мВ. Из-за симметрии пере-
даточной характеристики относительно точки В амплитудная харак-
теристика подобна ее верхней ветви ВБГ (рис. 9.48, б). Динамический
диапазон амплитудной характеристики ограничивается ее линейным
участком t/Bx т = 2 мВ, на этом участке коэффициент усиления Кп~
=4/(2-10-3) = 2-103.
9.49. Передаточная характеристика УПТ t/BbIX(t/BX) представлена
на рис. 9.48,62, входное сопротивление УПТ /?вх=10кОм. Построить
передаточную характеристику t/BbIX (£г), если сопротивление источ-
ника сигнала /?г = 5кОм, а напряжение холостого хода по входу
7/вхо=1мВ.
Решение. По схеме замещения входной цепи УПТ с источни-
ком сигнала, приведенной на рис. 9.49,с, получаем
р 1 , F 1
-—-^ = 0,67£г + 3,3.10-^ В.
1/Кг 1 1 /Квх
Для построения искомой характеристики на рис. 9.49, б удобно
записать явное выражение
l,5t/BX—0,5.10-3 В
и найти координаты точек, соответствующие точкам А и Б на
рис. 9.48, а. Для точки A t/B)M =—1 мВ, //ВЬ[хЛ = 1 В,..
=—2,0 мВ, для точки Б UBX Б = 2,8 мВ, t/BbIX Б — 9 В и Кб'~ 3,7 мВ.
9.50. Построить передаточную характеристику УПТ t/BBlx (ывх)
при сопротивлении нагрузки 7?н = 10кОм, если в режиме холостого
хода по выходу она имеет вид зависимости, как на рис. 9.48, а.
Выходное сопротивление УПТ /?вых равно 5 кОм.
Решение. По схеме замещения выходной
цепи УПТ с нагрузкой (рис. 9.50) получаем
^вых о - ~ °-67£ВЫх (^вх)-
'ХВЫХ Т 141
Здесь Евых (ПЕХ)—передаточная характерис-
тика вида, как на рис. 9.48, а.
9.51. Сопоставить влияние нестабильности
напряжения источника питания на дрейф выход-
ного напряжения УПТ, схема которого пред-
ставлена на рис. 9.47, а, и параллельно-балансного УПТ на той же
основе в режиме холостого хода по выходу.
Решение. Для первого УПТ из схемы рис. 9.47, а следуют
уравнения
^вых = Ес— Ес/с(^еых, ^з),
Va = Er-RaIc{U^, U3),
так как ПЕЫХ да Uc. Здесь /С(ЕПЫХ, Д3)—семейство выходных характе-
ристик полевого транзистора.
При изменении Ес скорости изменения токов и напряжений свя-
заны (Ег = const) дифференциальными соотношениями
^вых ___dEc д!с dtiEbTX dlc du3
dt ~ dt с <Э£7ВЫХ dt с dU3 dt ’
du3__ ju д!с dwBbrx ju du3
~dt~ ^KdUEb[K dt ~~^KdU3dt’
из которых следует
^ВЧХ [ 1 I ЕС Eq EE3 \ dEr
' dt \ Ej Ej l^SEjJ ~ dt •
Здесь S и Е;—соответственно крутизна и внутреннее сопротивление
полевого транзистора.
Отсюда при SRK 1 имеем
ДЕВЫХ да АЕС.
Для параллельно-балансного УПТ
ЛПВЫХ = Д7/вых1 —А^рыха ~ °.
т. е. нестабильность напряжения источника питания при S7?„^>1
почти не вызывает дрейфа выходного напряжения, если плечи УПТ
симметричные.
9.52. Определить верхнюю граничную частоту УПТ без нагрузки
и с нагрузочным резистором
7?н=10 кОм, соединенным с
УПТ экранированным кабелем.
Емкость кабеля Ск=1 нФ. В
схеме замещения УПТ (рис, 9.52)
R1 = 1 кОм, Т?2 = 100 кОм,
С =160 пФ. Рис. 9.52
Решение. Верхняя граничная частота ©в УПТ без кабеля
и нагрузки по уровню 0,707 Ктах
®В = 1/^В»
где тЕ= С ~ CRi-
Вычисления дают
тЕ= 160-Ю"1?-10® = 0,16 мкс, ®ь = 6,ЗЫС6с-1,/в ^1 МГц.
При подключении нагрузки с кабелем
т;»(С-ьск)/?;=(160-ю-^э-ь io-»)-»1,16 мкс,
где 7?; = 1/(1/^+ 1/Т?2 + 1/^н) ^Rt-
Отсюда ©Е » 0,96-106 с \ /Е« 0,15 МГц.
Примечание. Выражение для ©в может быть получено для
схемы рис. 9.52 следующим образом:
Г^вых = ^вых^вкЛ^! + ^Э1!),
где Z3K = — R2jXc/(R2—jXc).
Отсюда
JJ ___ _______£вых________
ВЫХ~ V (1 Ч-1?1//?2)? + (/?1/Ус)5 '
На частоте ©.= 0 иъых = Евых/(1 + RJR2), т. е. наибольшее; на
частоте ©в (7ВЫХ = 0,707 тах7/вых.
Поэтому
0,707ЕЪЫх_ _______-^вьтх______
1+R1/R2~ K(l+«l/^2)? + (^l/ZC)2. ’
гда х=сЗГ-
Отсюда
RJX^I+RJR,, X^RJU+RM
и ^B = (l+R1/R2)/(CR1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
9.53. Определить изменения выходных напряжений дифферен-
подаче на его входы напря-
циального усилителя (рис. 9.53) при
жений 6/вх1 =1 мВ и t/Bx2 —
=—2 мВ, если коэффициенты уси-
ления — Ки2 = 20 и режим ли-
нейный. Найти дифференциальный
коэффициент усиления.
Решение. Изменения напря-
жений на отдельных выходах
усилителя равны, по определе-
^Sxz
о—
Дифферен-
циальный
усилитель
t ивых(
-----------------О
Рис,. 9.53
Д^вых 1 = Кщ(U™ 1 - t/BX 2) = 20 (1 ч 2)• IO-3 = 60 мВ,
Д^ВЫХ2 = ^U2 (^вх!-^вха) — ' 60 мВ.
При симметричном включении нагрузки
^вых — Д^ВЫХ1 Л^выхв = 120 мВ.
По определению, дифференциальный коэффициент усиления
%и~ ^ВЫХ/(£7ВХ1—Пвх2) = К[/1 + Л(72 40.
9.54. Изобразить передаточные характеристики Ц,Ых1(Цзх) и
^вых(^вх) дифференциального усилителя, схема которого приведена
на рис. 9.54, а, если Пвх = £7вх1—t/BX2.
Рис. 9.54
Ответ: характеристики приведены на рис. 9.54, б, в.
9.55. Определить абсолютную погрешность измерения разности
потенциалов с помощью дифференциального усилителя, если его
коэффициент ослабления синфазного сигнала составляет 60 дБ, на-
пряжение синфазного сигнала 1 В, дифференциальный коэффициент
усиления Kv= 100.
Решение. По определению, коэффициент ослабления синфаз-
ного сигнала
Кос. сф (ДБ) = 20 1g (Ку/Ксф)-
Отсюда
Ксф = Ку/Ю® = ^вых. сф/^вх. сф*
Поэтому С/вых.сф = 0.1 Пвх сф = 0,1 В, что и составляет абсолютную по-
грешность измерения.
9.56. Найти зависимость КЕЫХ(/°С) выходного напряжения диф-
ференциального усилителя электрического мостового термометра
в диапазоне температур 0—500 °C, схема которого изображена на
рис. 9.56, а, если 7?T = (100 + 0,3Z°C) Ом (платиновый терморезис-
тор), /?!= 100 Ом, /?2 = /?з = 500 Ом, /Q, = 5, £вх = 6 кОм, £ = 6В.
В каком диапазоне температур сохраняется линейность передаточной
характеристики усилителя, если £вых = 6 В?
Рис. 9.56
Решение. Входное сопротивление усилителя значительно пре-
вышает выходное сопротивление мостовой цепи:
£вх > RM + Ят) + £2^з/(^2 + Яз) = 300 Ом.
Здесь принято, что сопротивление источника питания равно нулю.
Поэтому можно удовлетвориться определением напряжения на выходе
мостовой цепи в режиме холостого хода [1]:
гу __. RtRs — R1R2 р
ВХ~(Ят + Я1)(Я2+Яз) •
Напряжение на выходе усилителя (при Пвх < L/'x)
Ti w jj £г^з — £1^2 РК 7,2/°C
17вых — А^вх — + — 200 + 0,3/°C’
Эта зависимость может быть рассчитана на микрокалькуляторе
МК-54 или МК-56 по программе
Х->П1 7,2хП—»Х1 0,3x200+:С/П.
Значение температуры вводят в регистр X.
Результаты вычислений приведены в табл. 9.56 и на рис. 9.56, б.
Т а б л и ц а 9.56
/, °C 50 100 150 200 250 300
бВЫХ> В 1,67 3,1 .4,4 5,5 6,0 6,0
Напряжение ПВЬ1Х^ ПВЬ1Х, поэтому при /°^>220°С Пвых = 6,0В.
При 2^ 220 °C усилитель переходит в нелинейный режим.
ОПЕРАЦИОННЫЕ УСИЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
9.57. На рис. 9.57 изображена типовая схема включения опера-
ционного усилителя в масштабном преобразователе. Определить сопро-
Ku — R^Ri- Поэтому /?2= 100-2• 103
тивления резисторов /?2 и
R3, еслиКи= 100 и /?„ = 10 кОм,
/?вх = 50 кОм, /?ЕЫХ = 1 кОм,
Яг = ЮО Ом.
Решение. Для получения
высокой стабильности коэффи-
циента усиления сопротивления
выбирают из условия /?г<<|
<^Ri<^.RBX, поэтому 7?! = 2 кОм.
При 7?2|>/?1!ЫХ из-за большого
Ли (около 1000) для операцион-
ного усилителя без отрицатель-
ной обратной связи (ООС)
= 200 кОм. Эквивалентное соп-
ротивление нагрузки усилителя Я' ж RnR^R^ + R^ должно быть
больше RBblx (или равно значению, рекомендованному в паспорте ОУ).
В нашем случае /?ц = 9,5 кОм|>Л?Еых. Для симметричного ОУ необ-
ходимо, чтобы
। ___(7?i ~г 7?г) /?2
•s 7?2
9.58. Для масштабного преобразователя,- параметры которого
приведены в задаче 9.57 (см. рис. 9.57), найти наибольшее напря-
жение и.'ъх в линейном режиме, если U„.п = 7 В.
Ответ: = 70 мВ.
9.59. На рис. 9.59 приведена схема дифференцирующего каскада
с ОУ (R = 50 кОм). Определить емкость конденсатора С, необходи-
мую для того, чтобы выходное нап- р
ряжение ивых было пропорциональ- j----;—1-----
но скорости изменения входного нап-
ряжения du^Jdt при t' 1 с. Най-
ти наибольшее |цвых( t)|, если
шах | duEXJdt | = 1 В/с.
Решение. Для уменьшения
погрешности дифференцирования не-
обходимо, чтобы x = CR<-^t'. Поэто-
му С = /'/(100/?) = 0,2 мкФ. При выб-
Рис. 9.59
ранных параметрах элементов ыЕЫХ = т duKyJdt и шах|иЕЫХ|=
= ттах|^1 = 0,2-10-6-50.10з=10мВ.
I at j
9.60. На вход интегрирующего каскада, схема которого при-
ведена на рис. 9.60, а, подается напряжение ивх(7) (кривая 1 на
рис. 9.60,6) от источника с внутренним сопротивлением Rr = 1 кОм.
Рассчитать сопротивления резисторов Rr и R2, емкость конденса-
тора С. Найти зависимость пБЫХ(0- Входное сопротивление усили-
теля. RBK — 50 кОм.
Решение. Для того чтобы постоянная времени интегрирую-
щего каскада мало зависела от сопротивления /?г источника сигнала
«вх(0> необходимо выполнение условия т. е. /^S^IkOm.
Рис. 9.60
Работа усилителя будет устойчивой, если т- е- /?2<^50 кОм,
но для баланса каскадов усилителя по постоянному току требуется,
чтобы /?1 = Т?2. Поэтому выбираем 7?i = /?2 = 20 кОм. Период цвх(/)
составляет 0,01 с. Для уменьшения погрешности интегрирования
нужйо, чтобы т^>Т. Выбираем т= 1,0 с. Тогда 0=1;//?!= 10/(20-10-э)=
= 50,0 мкФ. Зависимость «вых (0 = у У uw.dt при ивх(0) = 0 изо-
бражена на рис. 9.60, б (кривая 2). Наибольшее напряжение ивых (7/2)=
= 7Пвхт/(2т) = 50 мВ.
9.61. Найти зависимость выходного напряжения сумматора на ОУ,
схема которого приведена на рис. 9.61, от входных напряжений.
Ответ. (^Вх1 И- 2ОВХ2 -j- 0,5С/вхд).
Рис. 9.61 Рис. 9.63
9.62. ОУ, схема включения которого приведена на рис. 9.59,
при достаточно высокой частоте переменного сигнала может быть
использован как масштабный преобразователь. Определить нижнюю
граничную частоту полосы пропускания /н и наибольший коэффи-
циент усиления Ки при С = 0,2 мкФ, /?1=1 кОм, /?г = 50кОм.
Ответ'. /„ = 800 Гц; Ку«50.
9.63. В сумматоре по схеме рис. 9.61 выходное напряжение ОУ
противофазно входным. Как следует изменить схему включения ОУ,
чтобы пвх (/) и пвых (0 оказались синфазными?
Решение. В схеме рис. 9.61 противофазность выходного и вход-
ных напряжений вызвана тем, что входные сигналы поданы на инвер-
тирующий вход ОУ. Для синфазности напряжений необходимо при-
менить схему рис. 9.63. Параметры элементов схемы должны удо-
влетворять двум условиям. Первое условие-—сохранение прежних
(см. задачу 9.61) масштабных коэффициентов по входам:
L'BX1~R +UBM Q 5R +1/вх3 2/? „
Д,____1,1,1 вх1
R I" 0,5/? ”* 27? ‘ /?3
-р 2t/BX2 0,5t/BXg.
Это следует из уравнения для междуузлового напряжения и дает
(при 7? = 7?s) R2/R1 = 4,5. Второе условие—баланс ОУ по входам
в состоянии покоя:
_L+_JL_ + J_+_L=_L+_L
7? 0,5/? 27? т /?8 7?! /?2’
что дает 4,5/7? = 1/7?! + 1//?2
Из этих двух условий получаем = 0,277? и /?г = 1,227?.
9.64. Определить сопротивления
резисторов в схеме вычитающего уст-
ройства, приведенной на рис. 9.64.
Выходное сопротивление ОУ 7?вых =
= 1 кОм, напряжение на выходе
^ВЫХ = 3 (^ВХ2 ^ВХ1)"
Реш е н и е. Выбираем сопротив-
ление /?2 = 60 кОм^>7?вых. Так как
коэффициент усиления Ки — 3, то
7?1 = 7?2/7<[7 = 2О кОм. Для баланса
сигналов
7?3 = 7?17?г/(7?1 + 7?2)= 15 кОм.
9.65. На рис. 9.65, о, б изображены схема включения ОУ в ком-
параторе и зависимость ивх (7). Построить зависимость иБЫХ (7), если
Ц,.п = 5 В.
Рис. 9.65 Рис. 9.66
Решение. Выходное напряжение ОУ без ООС достигает уровня
насыщения (77вых = ± UK п) даже при небольшой разности (Пвх—L/o).
Так, если 103, то ОУ насыщается уже при |77вх—Ц)|^^и.п/^и=
= 5 мВ. Если 77вх > Uo, то 77вых ж U*. п = 5 В. Этот уровень можно
принять за логическую «1»; при 1/вх < Со <7ВЫХ& —UK.n = — 5 В
(логический «О»).
Замечание. Существуют специальные интегральные микросхемы—
компараторы, обладающие высоким быстродействием и фиксирован-
ными значениями -напряжений логических «1» и «О».
9.66. Изобразить передаточную характеристику Пвых (рВУ.) ОУ
с диодом в цепи ООС (рис. 9.66). Свойства диода принять идеаль-
ными.
Решение. Выходное напряжение ОУ ПВЬ1Х = (77О-—Если
Z7BX > Uo > 0, то ивык < 0 и напряжение на диоде обратное. Диод
закрыт, его сопротивление /?д бесконечно, ООС отсутствует и ОУ
насыщен. Поэтому ^вых = ^и. п- Если Uo > UBX > 0, то £7ВЫХ > 0 и
напряжение на диоде прямое. Так как KU = R„JR и 7?д—>0, то
—* 0 и ивых —> 0. Если UBX < 0, то, как и в предыдущем случае,
^ых-0.
ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
9.67. Найти выражение для относительной амплитудно-частотной
характеристики избирательного усилителя Ки(у), рассчитать наиболь-
ший коэффициент усиления, соответствующую частоту и полосу
пропускания. Схема усилителя приведена на рис. 9.67, а и имеет
Рис. 9.67
следующие параметры элементов: 7?! = 200 Ом, 7?2 = 20 кОм, выход-
ное сопротивление ОУ Т?ЕЫХ=1 кОм, индуктивность А = 0,1 мГн,
С = 6,32 нФ.
Решение;. Амплитудно-частотную характеристику усилителя
можно получить из схемы замещения рис. 9.67, б. Активный двух-
полюсник Еэк и 7?эк отображает ОУ с цепью ООС со стороны вы-
ходных полюсов. Поэтому
р =(Р1 + /?2)РВых ~о,95 кОм.
эк -Кх-гРг + ^вых
При гармоническом входном сигнале комплексное выходное на-
пряжение равно
77вых = ЁэкХк/(7?эк + 7к).
Здесь ZK —комплексное сопротивление параллельного колебатель-
ного контура:
Для упрощения записи введем характеристическое сопротивле-
ние р = £(орез, где <орез = = 1,26- 10е рад/с—резонансная ча-
стота контура, и относительную частоту v = (o/(opea. Тогда р= 126 Ом
и ZK = —
Комплексный коэффициент усиления
__ ^ВЫХ _ $2 _ $2
-и~ йв* ~ ^(Яэк/Zk+d - уЛ1+/_дэк(у*-1) | - ‘
L pv J V
Зависимость относительного коэффициента усиления от частоты
имеет вид
Наибольший коэффициент усиления достигается при v=l (со =
= <ореэ) и равен 100. Граница полосы пропускания по уровню =
ss 0,707 maxKv= 70,7 определяется из уравнения
У 1 + 57,5(2^1 у
Отсюда следует уравнение v2±0,132v—1 = 0, которое позволяет
рассчитать относительные граничные частоты:
,„„<Ц£+ /5^77=0.94.
Рис. 9.68
Полоса пропускания в относи-
тельных единицах Дт = тЕ—v„ =»
= 1,07—0,94 = 0,13, при этом Дсо=;
= Д морез = 0,166-10^ рад/с и Д/ =э
= Дсо/(2л) = 26,4 кГц.
9.68. Определить наибольший ко-
эффициент усиления, резонансную
частоту и полосу пропускания изби-
рательного усилителя, схема которо-
го изображена на рис. 9.68, если
7?, = 200 Ом, /?ЕЫХ — 1 кОм, L= 10 мГн,
Ск = 632 пФ, /?к = 100 Ом.
Решение. Комплексное сопротивление колебательного контура
, . «V-/
- Pv+/№-i)Q '
Здесь т = ю/ырез, ®рез « l/j/LC =0,4-10® рад/с, р = 1юрез = 4,0 кОм,
Q = p//?K = 40 (Q—добротность контура).
Наибольшее значение ZK достигается на частоте v = 1
ZK = PK1 +Q2 »pQ=158-10s Ом
и значительно превышает Р,!ых, Поэтому
шах Ки = =158-103/200 = 790.
Полосу пропускания усилителя можно определить по доброт-
ности контура:
Дю = юрез/<@ = 0,4 • 106/40 = 104 рад/с и Д/= Дю/(2л) « 1,6 кГц.
ГЛАВА 10
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ПРИБОРЫ
ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ ШКАЛЫ ПРИБОРА.
ПОГРЕШНОСТИ И КЛАССЫ ТОЧНОСТИ ПРИБОРОВ
10.1. Определить цену деления Сг многопредельного электромаг-
нитного прибора Э377 при включении его на пределы измерения
300; 750; 1500 мА. Полное число делений шкалы атах = 75.
Решение. Ценой деления шкалы прибора называют отношение
предела измерения прибора (нормирующее значение шкалы) AN к пол-
ному числу делений шкалы атах.
В данном случае цена деления шкалы миллиамперметра на каж-
дом из его трех пределов измерения равна:
Q(3oo> = 300/75 = 4 мА/дел, Сл,50) = 10 мА/дел, С/(1В()()) = 20 мА/дел.
10.2. Электродинамический ваттметр Д5016/2 имеет два предела
измерения по току: /л, = 2,5; 5 А—и шесть—по напряжению: 1/л- = 3;
75; 150; 300; 450; 600 В. Шкала ваттметра односторонняя с числом
делений атах=150. Определить цену деления ваттметра Cw для
всех возможных вариантов включения прибора.
Ответ дан в табл. 10.2.
Таблица 10.2
= U уу/ Д^^гпах /дг, А 2,5 5
UN, В 30 75 150 300 450 600 30 75 150 300 450 600
Cw, Вт/дел 0,5 1,25 2,5 5 7,5 10 1,0 2,5 5 10 15 20
10.3. Для измерения напряжения 17 = 3300 В вольтметр Д5015/2
с нормирующими значениями шкалы 1/л, = 75; 150; 300; 600 В вклю-
чен через измерительный трансформатор напряжения И510. Шкала
вольтметра имеет 150 делений. Определить цену деления вольтметра Сv
на всех пределах измерения, если коэффициент трансформации
п = 6000/100.
Ответ дан в табл. 10.3.
Таблица 10.3
— tlU 7v/C4max vN, в 75 150 300 600
Cv, В/дел 30 60 120 240
10.4. Амперметр Д5014/2 с пределами измерений 2,5; 5 А и одно-
сторонней шкалой на 100 делений включен во вторичную обмотку
трансформатора тока И515 М. Определить цену деления ампер-
метра СА, если коэффициент трансформации п = 50/5.
Ответ дан в табл. 10.4.
Таблица 10.4
С А — К Nieman In, А 2,5 5
СА, А/дел 0,25 0,5
10.5. При поверке амперметра переменного тока методом сличе-
ния (рис. 10.5) поверяемый прибор А показал 7 = 5,00 А, а образ-
цовый Ао—70 = 5,12 А. Нормирующее зна-
чение шкалы поверяемого прибора 7Л,=
= 10 А. Считая показание образцового
прибора (70) соответствующим действитель-
ному значению измеряемого тока, найти
абсолютную и приведенную погрешности
поверяемого прибора. Присвоить поверяе-
мому прибору класс точности, считая, что ,
найденная погрешность наибольшая.
Решение. Абсолютная погрешность
прибора представляет собой разность меж-
ду показанием прибора и действительным
значением измеряемой величины (показанием образцового прибора):
Д7 = 7—7О = 5,00—5,12 = —0,12 А.
Приведенная погрешность прибора определяется отношением мо-
дуля абсолютной погрешности к нормирующему значению шкалы
прибора [1]:
у = | А/1/7^ = 0,12/10 = 0,012= 1,2 %.
Класс точности прибора характеризует его свойство в отношении
точности и определяется пределами допускаемой приведенной по-
грешности прибора. Согласно ГОСТ 8711—78 («Амперметры и вольт-
метры») в СССР приняты
Рис. 10.6
следующие классы точности для указанных
приборов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5;
4,0 и 5,0.
Таким образом, обращаясь к принято-
му ряду классов точности, выбираем бли-
жайшее большее к у число, т. е. при у =
= 1,2% класс точности прибора К =1,5.
10.6. В результате поверки вольтметра
методом сличения (рис. 10.6) получена
табл. 10.6.
Т а б л и ц а 10.6
170, В 0 30 50 75 100 150
и, В 0 28,5 49,2 78 102 149
Определить класс точности поверяемого вольтметра V, если его
предел измерения UN = 150 В, а показания образцового вольтметра Vo
приняты за истинные значения измеряемой величины.
Примечание. При поверке прибора записывают его показа-
ния при восходящем и нисходящем изменениях напряжения. Из каж-
дой пары этих показаний в таблицу внесены те, которые наиболее
отличаются от показаний образцового прибора.
Ответ: К = 2,5.
10.7. После ремонта щитового вольтметра Э377 (класс точности
К v = 1,5, предел измерения UN = 150 В) произвели поверку основ-
ной погрешности прибора. Наибольшая погрешность Л(7„,ах = 2,1 В
была на отметке шкалы U = 120 В. Сохранил ли вольтметр после
ремонта свой класс точности?
Ответ: да.
ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
10.8. Амперметр класса точности К = 1,5 с нормирующим зна-
чением шкалы 7Л, = 5 А показал при измерении тока 1 = ЗА. Опре-
делить погрешность измерения.
Решение. Погрешность измерения прибором характеризуют
относительной погрешностью, которая отличается в общем случае
от погрешности прибора (приведенной). Под относительной погреш-
ностью понимают отношение абсолютной погрешности прибора А
к истинному значению измеряемой величины- Ао. Так как это зна-
чение неизвестно, его заменяют близким показанием прибора А.
Таким- образом, относительная погрешность измерения в процен-
тах [1, 2]
6 = юо.
/1
Пользуясь данными прибора, указанными на его шкале, относи-
тельную погрешность можно вычислить из выражения
6=KAN/A.
Примечание. При этом принято, что приведенная погреш-
„ и ДА-100 0/
ность у — К = —— %, откуда
N bA = KAN№.
В данном случае относительная погрешность измерения тока
67= А7// = К/Л//= 1,5-5/3 = 2,5%.
10.9. В цепь включены последовательно два амперметра: ампер-
метр 1 имеет класс точности Ki = 0,5, нормирующее значение шкалы
7^ = 30 А; амперметр 2 имеет соответственно К2 = 1,5 и /№ = 5 А.
Приборы показали 4 А. Каким прибором измерение выполнено бо-
лее точно?
Рис. 10.10
Ответ: 6j = 3,75%; 62= 1,875%; измерение вторым амперметром
выполнено точнее, относительная погрешность 62 < 6V
Замечание. Хотя класс точности
второго амперметра ниже, чем пер-
вого, однако измеряемая величина
(4 А) ближе к пределу измерения вто-
рого амперметра (5 А), чем и объ-
ясняется полученный результат.
10.10. Универсальный, комбини-
рованный и многопредельный прибор
Ц4312 используется для измерений
на постоянном и переменном токе.
Им можно измерять ток, напряжение
и сопротивление. Этот прибор назы-
вают авометром (ампервольтметром)
или тестером. На рис. 10.10 показа-
но положение стрелки прибора, вклю-
ченного в цепь для измерения пос-
тоянного тока (К = 1,0). Определить
значение измеренного тока /изм при
указанных на рисунке положениях
стрелки и переключателя предела
измерения и относительную погреш-
ность измерения тока 67. Записать
результат измерения неизвестного то-
ка 1Х с учетом относительной пог-
решности измерения.
Решение. Цена деления шкалы
СА =1 = 0,6/30 = 0,02 А/дел.
Измеренное значение тока
/изм = аСА = 25 • 0,02 = 0,5 А (а—число делений, на которое от-
клонилась стрелка).
Относительная погрешность измерения
67 = К/л,//изм = 1 • 0,6/0,5 = 1,2 %.
Результат измерений [2]
/А. = /изм(1 ±6/100) = 0,5 (Г± 1,2/100) = (0,500 ±0,006) А.
10.11* . Определить значение измеренной величины (тока или
напряжения), относительную погрешность измерения и привести
запись результата измерений прибором Ц4313 для следующих ва-
риантов измерений:
Таблица 10.11 а
Номер варианта Род тока Нормирующее значение измеряемой величины Класс точности прибора Число делений отклонения стрелки Полное число делений шкалы
1 Постоянный ’ 7/7=0,15 А 1.0 20 30
о » UN= 150 В 1.0 15 30
3 » 7/7= 60 мА 1.5 10 30
4 » (7//— 150 В 1.5 15 30
Ответ-, см, таб. 10.11 б.
Таблица 10.11 б
Номер варианта Цена деления Относительная погрешность, % Значение величины
1 0,005 А/дел 1,5 (0,1000 ± 0,015) А
2 5 В/де л 2,0 (75,0 ±1,5) В
3 2 мА/дел 4,5 (20,0 ± 0,9) А
4 5 В/дел з.о (75,00 ± 2,25) В
10.12. Измеряют напряжение двумя параллельно включенными
вольтметрами: Vj—типа В-140 класса точности Kyi = 2,5 с преде-
лом измерения t/.vl = 30B и V2—типа М366 класса точности
Ку3=1,5 с пределом измерения £//<,= 150 В. Показания какого
вольтметра точнее, если первый показал 071 = 29,2В, а второй —
П2 = 30,0 В?
Ответ: в данных условиях относительная погрешность измерения
вольтметром класса точности 2,5 примерно вдвое меньше, чем при
измерении вольтметром класса точности 1,5, поэтому показание
первого вольтметра точнее, чем второго.
10.13. С какой точностью следует интерполировать показания
магнитоэлектрического амперметра, имеющего шкалу из 100 деле-
ний и класс точности 2,5?
Решение. Погрешность интерполяции положения стрелки по
шкале пренебрежимо мала, если она меньше 0,1Дтах, где Дтах—наи-
большая абсолютная погрешность измерения (в делениях шкалы).
Для заданных условий Дтах^(0,025-100) —2,5. Поэтому интерпо-
ляция точнее 0,25 деления бессмысленна.
ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ТОКА
И НАПРЯЖЕНИЯ АМПЕРМЕТРОМ И ВОЛЬТМЕТРОМ
10.14. Для измерения тока в схеме цепи рис. 10.14 включен
микроамперметр М906 класса точности Кл = 1,0 с пределом измере-
ния /д, = 50мкА и внутренним сопротивлением /?л = 2500 0м. Опре-
делить погрешность метода измерения тока, если £ = 22 мВ, RE —
= 100 Ом и R =1000 Ом.
Решение. Ток в цепи равен:
до включения микроамперметра
I
Е 22-Ю-з
Re+R 100+1000
2-10-3 А = 20 мкА;
после включения микроамперметра
Е 22-Ю-3
Ia = Re+R+Ra = 100 + 1000 + 2500 = 6,55 МК^
Погрешность метода измерения тока, обусловленная внутренним
сопротивлением микроамперметра,
с 1а — I Ы R л ____ 1 _ 1
1 I *вх А + Ra I+Rvxa/Ra 1 + 1100/2500х
х 100% = —69,5%,
где /?вх л = /?иЬ =/?£+/?—входное сопротивление цепи со стороны
измерителя тока.
Примечание. При непосредственном измерении тока следует
избегать включения приборов, внутренним сопротивлением которых
нельзя пренебречь по сравнению с входным сопротивлением цепи.
В. противном случае необходимо учесть погрешность метода изме-
рения тока.
10.15. Для измерения напряжения на резисторе R в схеме цепи
рис. 10.15 использован милливольтметр М4212 класса точности
Ку = 4,0 с пределом измерения UN = 500 мВ и относительным внутрен-
ним сопротивлением RVo — Rv/^n == 700 Ом/В. Определить погреш-
ность метода измерения, если £ = 0,55 В, ££=50Ом и £ = 500 Ом.
Решение. Напряжение холостого хода на зажимах а и b
U — е R_______=
оЬх RP.+R
Входное сопротивление цепи
торым подключается прибор,
р . RF-R
*'вх —
°>55-5oSo6 = °-5B-
относительно зажимов а и’ Ь, к ко-
50-500 , л
Re+R = 50 + 500 ~ 45,4 °М’
Внутреннее сопротивление милливольтметра
RV = R V0UN = 700 - 0,5 = 350 Ом.
По методу эквивалентного генератора напряжение, показываемое
милливольтметром, определяем из соотношения
Uv = ^ab.-R^- = 0,5- *5° =0,442 В.
Погрешность метода измерения напряжения, обусловленная внут-
ненним сопротивлением прибора,
Я ___Uy U аЪ х__ ( U ab *Ry j j \ I ] т _ Ry | __
uw иаъ* \R^+Ry abK)l abx~RBX+Rv
= -|J-P ip — IX д = -°,116 - -11,6% .
»т*\р^вх 1-j-оо0/4о,4
10.16. Подсчитать относительную погрешность измерения, обус-
ловленную классом точности и пределом измерения 8Un милливольт-
метра в задаче 10.15. Сопоставить ее с погрешностью метода б[/м.
Определить максимальное значение абсолютной погрешности изме-
рения.
Решение. Относительная погрешность измерения
я _ Кг Cjy 4,0 0,5 и о П45 =-+-4 5%
Offt ±юо Uv = 100 0,442 ±U>U4° ±4,о/о.
Погрешность метода |6£/м| = 11,6% в 2,5 раза больше погреш-
ности измерения 16^1 = 4,5%. Максимальное значение абсолютной
погрешности измерения (без учета знака погрешностей) AJ7 =;
= + п) = 0,442(11,6 + 4,5)-0,01 =0,081 В.
Результат измерений:
U = 0,442 + 0,116- 0,442 ± 0,442 - 0,045 = 0,442 + 0,051 ± 0,01889 =
= (0,4930 + 0,0199) В, или U = (0,513 + 0,473) В.
10.17. В схеме цепи рис. 10.14 расчетный ток / = 1 А, входное
сопротивление по отношению к зажимам микроамперметра /?вх=ЮОм.
Для измерения тока в цепи можно использовать два амперметра:
типа Ml 51 класса точности 1,5 с внутренним сопротивлением
7?л = 0,025 Ом и пределом измерения /W = 5A и типа Д5014/2 класса
точности 0,2 с двумя пределами измерения: a) INi = 2,5 А и RAi =
= 0,2 Ом; б) /Л,2 = 5А и Ra.2 — 0,075 Ом. Какой из амперметров
позволяет произвести измерение тока без учета погрешности метода?
Указание и ответ: амперметр М151: 6Zn = 7,5% и 6/м =—0,25%.
Погрешность метода 16, м | можно не учитывать, когда она по мень-
шей мере в пять раз меньше погрешности измерения |6|.
10.18. В схеме цепи рис. 10.15 расчетное напряжение научасткеоА
составляет 75 В, входное сопротивление относительно этих же за-
жимов 7?Вх=ЮООм. Для измерения. напряжения на участке ab
можно • использовать два вольтметра: типа М367 класса точности 1,5
с внутренним сопротивлением 7?^= 100 кОм и пределом измерения
6^ = 300 В и типа Д5015 класса точности 0,2 с внутренним сопро-
тивлением Rv = 8,84 кОм и пределом измерения UN = 75 В Какой
из вольтметров позволяет произвести измерение напряжения без
учета погрешности метода?
Ответ-, вольтметр М367: б£/п = 6% и б£/м = 0,1%.
РАСЧЕТ ШУНТОВ И ДОБАВОЧНЫХ РЕЗИСТОРОВ
10.19. Рассчитать многопредельный шунт (рис. 10.19) к измери-
тельному механизму М342 на пределы измерения токов 5; 20; 30 А.
Сопротивление цепи измерителя А?и = 2,5Ом. При включении любого
предела измерения наибольшее падение на-
пряжения на шунте должно быть равно
75 мВ.
Решение. Сопротивление шунта [ 1 ]
Яш = Яи/(п—1),
где п — 1/1п—коэффициент шунтирования;
7—измеряемый ток; 7И—ток в измери-
теле.
Ток в ветви измерителя
IK = Um/R„ = 0,075/2,5 = 0,03 А.
Коэффициенты шунтирования и сопрот!
ных пределов измерения равны:
при токе 5 А
п = 5/0,03 =167, 7?ш = Ri + R2 + R3 = 2,5/( 167 — 1) = 0,015060 Ом;
при токе 20 А
п = 20/0,03 = 667, Rm~R3 = Ri + R, = (2,5 + R3)/(667 — 1) =
= (0,015060—R3) Ом,
;ления шунта для задан-
откуда определяется R3.
Таким образом, сопротивления шунта равны Rx = 0,02516 Ом;
Я2 = 0,001255 Ом; R3 = 0,011293 Ом.
10.20. Определить сопротивление шунта /?ш и ток шунта /ш
к миллиамперметру, ток полного отклонения которого 7и = 50мА
15 В 75В и внутреннее сопротивление RK = 1,5 Ом.
£ Q 9 9 Требуется использовать прибор для из-
мерения тока до 7=10 А.
Ответ-. Rni = 0,00753 Ом; 7Ш = 9,95 А.
10.21. Вольтметр постоянного напря-
жения с пределом измерения Uv = 3 В
имеет внутреннее сопротивление Rv =
= /?,,+ /?д= 400 Ом. Определить сопро-
Рис. 10.21 тивления добавочных резисторов, кото-
рые нужно подключить к вольтметру,
чтобы расширить пределы измерения до 15 и 75 В (рис.10.21). Найти
полного отклонения указателя.
Решение. Сопротивление добавочного резистора [ 1 ]
RB=Ry(m—1),
где m = U/Uу—коэффициент, определяемый отношением напряжений.
Ток в вольтметре при полном отклонении стрелки .
/y=C/y/Ry = 3/400 = 7,5-10-3 А.
Сопротивления добавочных резисторов
R^ = 400(у—1 ) = 1600 Ом, R д1 + Яя2 = 400 (75/3— 1) = 9600 Ом,
/?д2 = 8000 0м.
10.22. Определить сопротивление добавочного резистора /?к3 для
вольтметра задачи 10.21, если нужно измерить напряжение 150 В.
Подсчитать мощность, потребляемую прибором на всех пределах
измерения (Pv = Ulv).
Ответ: 7?д3 = 10кОм; Ру = 22,5мВт; PYi = 0,11 Вт; РУ2 = 0,56Вт:
PV3 = 1,12 Вт.
КОСВЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ПАССИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
10.23. Для определения сопротивления резистора R в цепь посто-
янного тока включены амперметр и вольтметр Ц4312 (рис. 10.23)
классов точности Kz=Ky=l,0. Вольтметр, включенный на предел
измерения 6^=150 В, показал U = 75 В; амперметр, включенный
на предел измерения IN = 1,5 А, показал 7=1,0 А. Определить
измеренное сопротивление с учетом погрешности косвенного измере-
ния, без учета методических погрешностей измерения тока и напря-
жения.
Решение. Относительная погрешность измерения сопротивле-
ний методом амперметра—вольтметра равна сумме относительных
погрешностей измерения напряжения 6У и тока 6Z:
6у=Ку-^ = 2%, 6Z = KZ^=1,5%, 6/г = 6у + 6/=3,5%.
Измеренное сопротивление
R = UII ± AR = ([///) (1 ± 6д/100) = (75,0 ± 2,6) Ом.
10.24. Для определения параметров индуктивной катушки исполь-
зован метод амперметра—вольтметра — ваттметра (рис. 10.24). При-
боры показали: амперметр (Э3665/3, КЛ = 1,5, /ЛЛ = 5А)—/ = 5А,
вольтметр (Д128/1, Kv=l,5, (/^ = 75 В)—{/ = 60 В, ваттметр
(Д5004/1, Л^ = 0,5, INW-- $ A, {/^=150 В)—Р = 75 Вт. Найти
погрешности определения активного сопротивления и коэффициента
мощности cos <р катушки без учета влияния сопротивления приборов.
Решение. Расчетное значение активного сопротивления ка-
тушки /?' = Р/{2 = 75/25 = 3 Ом.
Погрешность косвенного измерения сопротивления *
X____________________ Kuz UnwInw I 9 V^A^NA_п по__O0Z
R' р ! — юо р +2 I —0,08 — 8/0.
Действительное значение активного сопротивления
R = R' ±617 = 3(1 ± 0,08) Ом,
или
2,76 Ом R 3,24 Ом.
Расчетное значение коэффициента мощности
cos ф' = P/(UI) = 75/(60 • 5) = 0,25 (ф' = 75° 31').
Погрешность косвенного измерения коэффициента мощности *
Л I KflZ UnwInw Ку Unv i Кд ^NA
L'ccsq)' p "Г и ± i — hj0 p ± юо (J ЮО I ~
0,5 150-5 . 1,5 75 . 1,5 5 n . . . . 0/
= T60-75-+i60 6o + ± 5=°’14=14%-
'Действительное значение коэффициента мощности
со5ф = созф'(1 ±6COS(p) = 0,25(1 ±0,14),
или
0,218 cos ф 0,282.
10.25. В схеме цепи рис. 10.24 приборы показали: вольтметр —
{/ = 40 В; амперметр—/ = 4 А; ваттметр—Р = 96 Вт. Определить
параметры R и L катушки. Найти погрешности определения этих
параметров.
Указание и ответ-, так как полное сопротивление катушки
Z — U/I, активное сопротивление R — P/I2 и реактивное сопротивле-
ние Xf = ]^Z2—R'2, то относительные погрешности измерения пара-
метров равны: 6z = 6v±6i, 617 = 67,1261, 6Х = (26z ± 26д) =
бу ± 6/, ± 2б7.
Используя эти формулы и условие задачи, получим значения
относительных погрешностей (в скобках указаны их округленные
значения): 6Z = 4,7% (5%), 6Д = 6,65 (7%), 6Х = 9,47% (10%),
61 = 9,47% (10%).
* См.: Лабораторные работы по электротехнике /Под ред. В. С. Пантю-
шина.—М.: Высшая школа, 1976.
Тогда значения искомых величин будут равны: Z — (10,0±0,5)Ом,
/? = (6,00 ±0,42) Ом, Х£ = (8,0± 0,8) Ом, L = (25,50 ± 2,55) мГн.
10.26. В схеме цепи рис. 10.26 установлен режим резонанса.
Вольтметр на входе цепи (t/7V= 15 В, Kv=l,5) показал U = 6 В,
вольтметр Vc (17д,= 150В, Kv=l,0) показал J7c = 80 В и амперметр
=.•; 0,6 А, К£= 1,5) показал I = 0,4 А. Определить параметры R и L
катушки с оценкой погрешностей. Частота сети f — 50 Гц.
Рис. 10.26 Рис. 10.27
Решение. При резонансе XL = Хс и Z = R% + (XL—XC)2 = R,
поэтому активное сопротивление катушки
R-=U/I = 6/0,4 =15 Ом, 6й = 6У + 6£= 1,5-15/6+1,5-0,6/0,4 = 6%,
R = 15(1 ± 6/100) = (15,0 ± 0,9) Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора и равное ему индуктив-
ное сопротивление катушки составляют:
XL = Хс = Uc/I = 80/0,4 = 200 Ом, 6Х = 6Г<, + 6, =
= 1,0-150/80 -4-1,5- 0,6/0,4 = 4,125 %,
Х,= 200(1 ±4,125/100) = (200,00 ±8,25) Ом.
Индуктивность катушки
L = X£/co = 200/314 = 0,637 Гн, 6£ = 6Х±6Й =
= 4,125+1,0 = 5,125 %, L = 0,637(1 ±5,125/100) =
= (0,637 ± 0,030) Гн.
10.27. В схеме цепи рис. 10.27 включены приборы, указанные
в задаче 10.23. Определить параметры R и С цепи, если приборы
показали Г = 50 В, 1 = 2 А, Р = 80 Вт. Определить погрешности
измерения R и С.
Ответ-. R = (20,00 ± 1,69) Ом; Хс = (15,00 ± 2,18) Ом или С =
= 185 ± 248 мкФ.
ИЗМЕРЕНИЕ ЭНЕРГИИ
10.28. Определить, среднюю мощность приемника по показаниям
однофазного счетчика активной энергии СО-5У (рис. 10.28). Пас-
портные данные счетчика: t/HOM=127 В, /нои=10 А, 1 кВт-ч =
= 1200 оборотов диска, Ксч = 2,5. Диск счет-
чика совершил за 10 мин Л/= (200± роб.
Решение. Активная энергия, измерен-
ная счетчиком,
Гсч = СН0МЛ/ = 3000-200 = 600 кВт-с.
Здесь
Сном = 3600-1000/1200 = 3000 Вт • с/об.
Активная мощность приемника P=WC4lt —
= 600/(10-60)= 1 кВт.
10.29. Определить энергию 1ГПОТ1), израсходованную потребите*
лем за месяц (30 дней), если счетчик в начале месяца показал
27-400 кВт-ч, а в конце месяца—31-600 кВт-ч. Номинальная пос-
тоянная счетчика СВОМ = 2500 Вт-с/об, класс точности 2,5. Опреде-
лить действительную постоянную счетчика Сд и его относительную
погрешность усч, если за указанное время диск счетчика сделал
/У = 5950 об.
Ответ-. И7потр = 4200 кВт-ч; Сд = WnOTV/N = 2500 Вт-с/об; усч =
= [(Сд—Сном)/Сй]-100 =—1,57% (т. е. не выходит за пределы
класса точности).
10.30. В цепь приемника включены однофазный счетчик актив-
ной энергии СО-5У (см. задачу 10.28), образцовый ваттметр Д5016/2
(Нл-^=150 В, INW= 10 А, Кр7 = 0,2) и секундомер СМ-60 с ценой
деления шкалы 0,2 с. В условиях задачи 10.27 ваттметр показал
1016 Вт. Определить действительную постоянную счетчика Сд и
погрешность ее измерения.
Ответ-. Сд = 3048 Вт-с/об: 6Сд = 1,125 %, где бСд = 6/, + 6/ + 6у =
= KWUNWINW/P + Ы/t + А7У/А = 0,2 • 150 • 10/1016 + 0,2- 100/60 +
+ 1-100/200=1,125%.
Тогда действительная постоянная счетчика
Сд= 3048(1 ± 1,125/100) = (3048 + 34) Вт-с/об
ИЗМЕРЕНИЕ МОЩНОСТИ
10.31. Определить активную мощность приемника, если в схеме
цепи рис. 10.31 указатель ваттметра Д439 отклонился на 80 деле-
ний при установленных пределах измерения
t/д,—150 В, IN=l А. Полное число делений
шкалы amax = 150.
Решение. Измеренная ваттметром актив-
ная мощность
Рис. 10.31
7+ —
где Cw—постоянная ваттметра; а—отклонение
указателя.
Постоянная ваттметра при указанных пределах измерения
Cw = 150-1/150 = 1 Вт/дел.
. Тогда измеренная прибором активная мощность Pw — 80 Вт.
10.32. Определить активную мощность приемника, если в схеме
цепи рис. 10.31 при Пу = 30 В, IN = 0,5 А (установленные пределы
измерения ваттметра) указатель ваттметра отклонился на 100 де-
лений.
Ответ-. Pw=\Qi Вт.
10.33. В схеме цепи рис. 10.33, а при симметричном приемнике
(электрический двигатель) приборы показали: 7 = 4,4 А, V = 380 В,
Рл = 707 Вт, Рс= 1665 Вт. Определить активную мощность прием-
ника, измеренную ваттметрами. Определить параметры схемы заме-
щения фазы приемника. Построить векторную диаграмму и пока-
зать на ней углы между векторами напряжений и токов в ваттметрах
Рис. 10.33
(а й р). Подсчитать активную мощность приемника по формуле
Рпр = 3/?Г..
Решение. Активная мощность приемника, измеренная ватт-
метрами, равна сумме их показаний:
Pw — PA-{-Pc —2372 Вт.
Определение параметров проводим следующим образом.
Коэффициент мощности приемника cos <р = ^ДУ^=0,82
Полное сопротивление Z = ~ = Л80— = 50 Ом.
/ Кз -4.4
Активное сопротивление R—Zcos<р = 41 Ом.
(ф = 35°).
Реактивное сопротивление Xt=Z sin ф = 28,7 Ом.
Таким образом, комплексное сопротивление фазы .приемника
Z=R + jXL = 41 + /28,7 = 50е'38° Ом.
На рис. 10,33, б построена векторная диаграмма цепи. Угол
между векторами UАВ и 1А а = 30° + ф = 65°, угол между вектора-
ми Йсв и/с 0=—30° + <р = 5°.
Активная мощность приемника Рпр = 3-41-4,42 = 2381 Вт. Сле-
довательно, погрешность расчета параметров менее 0,4 %.
10.34. В схеме цепи рис< 10.34, а включен треугольником сим-
метричный приемник с фазным <, сопротивлением 7ф = (8 + /6) Ом.
Напряжение сети 220 В. Определить показания ваттметров, пост-
роить векторную диаграмму и показать на ней углы между векто-
рами напряжений и токов в ваттметрах (а и (3). Подсчитать актив-
ную мощность приемника (Рпр = 3/?ф/|) и сравнить ее с показаниями
ваттметров.
Решение. Фазные комплексные токи приемника
• й л п 220 220
/-“!51=8-пв=1гй7=22^,’"=(,7-6-'|3'2>А’
h. - ТГ = “ 22e-'i”-=( -20,25- /8,59) А,
£Ф 10е'
= ^ = = 22е/83° = (2-68 + 721 >83)А-
Линейные комплексные токи в линиях А а В
1'а = = 14,92-/35 = 38е-/"в“' А,
4 = I'be-1'аь = -37,35 + /4,5 = З8е/”3’ А.
Показания ваттметров:
РА = (0АСГА)вещ = (220е_;е0° • 38е/вв°54')вещ = 220 38 cos 6°54' = 8,3 кВт,
Р в = (^вс^)вещ = (220е-/^«° 38е-/1= •
= 220 • 38 - cos 66°54' = 3,26 кВт.
Сумма показаний ваттметров
РаА~Рв— П>56 кВт.
Активная мощность трехфазного приемника
Рпр=зед=3-8-223=11’6 кВт-
На рис. 10.34, б приведена векторная диаграмма цепи. Искомые
углы равны а = <р°—30° «7°, 0 = <р° 4- 30° « 67°.
10.35. Определить показания ваттметров в схеме цепи рис. 10.35,
а, если 2Ф = (6—/8)Ом, 17 = 380 В. Сравнить с активной мощ-
ностью приемника. Построить векторную диаграмму и показать на
ней углы между векторами напряжений и токов в ваттметрах (а и 0).
Рис. 10.35
Ответ-. Рл = 23,07 кВт:, Рс = 3,01 кВт;Pw = PA-]-Pc = 26,08 кВт;
•РПр = 26 кВт; а = 23°; 0 = 83°. Векторная диаграмма приведена на
рис. 10.35, б.
МОСТОВОЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ. ИЗМЕРЕНИЕ НЕ-
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
10.36. Одинарный мост постоянного тока (рис. 10.36, а) приве-
ден в состояние равновесия (ток в ветви нуль-индикатора НИ ра-
вен нулю: /ни = 0). При этом сопротивления резисторов в трех
Рис. 10.36
плечах моста составили: 7?2 = 20 Ом, 7?3 = 75 Ом, 100 Ом.
Определить: а) значение измеряемого сопротивления (7?/, б) ток в
плече объекта измерения Rx, если £ = 7 В; в) внутреннее сопро-
тивление НИ, при котором он будет работать в согласованном ре-
жиме, если при неуравновешенном режиме моста 7?' = 11,13 Ом;
г) значение и направление тока в НИ в этом режиме.
Решение, а) Из условия равновесия моста RxRt = Р2Т?3 на-
ходим
Rx — ₽2£’3/£4 = 15 Ом.
б) При 7ни = 0 резисторы с сопротивлениями Rx и R2 оказыва-
ются включенными последовательно между узлами а и Ь, поэтому
fac = E/(Rx + R2) = 0,2 А.
в) С целью нахождения условий согласованного режима для НИ
заменяем мост активным двухполюсником (рис. 10.36, б) и опреде-
ляем его внутреннее сопротивление (рис. 10.36, в), т. е. входное
сопротивление моста относительно точек с и d:
£BXcd=-^.+-^ = 42,85,+ 7,15 = 50 Ом.
Следовательно, для обеспечения согласованного, режима внут-
реннее сопротивление нуль-индикатора 7?ни = 50 Ом.
г) Для нахождения тока /ни в неуравновешенном режиме моста
находим напряжение холостого хода активного двухполюсника (рис.
10.36, г):
Uca* = —EJ^+RJ^, где 74Х = Е/(/?з +₽4) = 0,04 А;
/2х = £/(/?х+/?,) = 0,225 Л.
Тогда
Ucdx=- ЮО-0,04 + 20-0,225 = 0,5 В.
Искомый ток
^ни=р-^ъ—= 0,005 А,
Яни+Квх cd
он направлен от узла с к узлу d.
10.37. Для измерения температуры используется одинарный
неуравновешенный мост (рис. 10.37, а) с измерительным преобразо-
вателем ₽т (термометром
сопротивления МПТШ-48)
в плече. В качестве вы-
ходного прибора включен
милливольтметр mV с внут-
ренним сопротивлением
RmV= 1000м. Источник пи-
тания вырабатывает э. д. с.
Е = 6 В, сопротивления ре-
зисторов в двух плечах
моста равны Rs= 10 Ом,
Т?4 = 100 Ом. На рис.
10.37, б приведены харак-
теристики термометров сопротивления
с чувствительными элемен-
тами (терморезисторами) из различных металлов. Они выражают за-
висимость относительного изменения сопротивления элемента от
температуры: /?Т/РТ (0) (0). В заданном случае используется плати-
новый элемент, у которого при 0 = 0°С сопротивление Рт (0) = 100 Ом.
Изменением сопротивления резистора R2 мост уравновешивается
(/mIZ = 0) при температуре 0 = О°С. При изменении температуры
мост выходит из равновесия и милливольтметр дает соответствую-
щие показания напряжения небаланса моста UmV. Определить зна-
чение сопротивления R2, при котором обеспечивается равновесие
моста, а также ток /т в терморезисторе для этого режима. Найти
показания милливольтметра при температурах -—100; + 100;
+ 400°С.
Решение. На основании условия равновесия моста R^^R^ —
= R2RS находим
Р.2 = Рт(0)Р4/Рз= 100-10= 103 Ом.
Для определения показаний милливольтметра при разных зна-
чениях температуры воспользуемся методом эквивалентного гене-
ратора (см. рис. 10.36, б—г), заменив /?А."на Рт:
а) при 0 = 0° Рт(0) = ЮО Ом, Я4= 100 Ом, Р3 = 10 Ом,
/?2= 1000 Ом, /т = £/(Рт(0, + Р2) = 6/(100+ 1000) = 0,00545 А,
I mV — Рт/^т (0) — 1
б) при ©=—100° RT = 0,7 <0) = 70 Ом, /2Х = E/(Rr + R2) =
= 6/(70+ 1000) = 0,0056 А, 74х = £/(Р3 + /?4) = 6/110 = 0,0545 А,
t^x=-0,15 В, PBXcd = 64,49 Ом,
/ик=^йх/(Рвх^ + ^у)= -0,000912 A, UmV^RmVImV= -=91,2мВ.
Аналогично рассчитываются и другие показания прибора. Ре-
зультаты расчетов сведены в табл. 10.37.
Т а б л и ц а 10.37
е, °с 0 — 100 + 100 + 400
jRt, Ом 100 70 140 250
U cd х > В 0 —0,15 0,19 0,65
*вх cd> 0м — 64,5 131,9 209,1
мА 0 —0,912 0,819 2,1
RmV’ мВ 0 — 91,2 81,9 210
10.38. В схеме рис. 10.37 включен термометр сопротивления
типа ТСМ с медным чувствительным элементом. Построить шкалу
выходного .прибора (милливольтметра mV), если температура изме-
ряемой среды изменяется от—50 до+200°С, а 7?т{0) — 50 Ом. Па-
раметры плеч моста: /?2 = 500 Ом, R3 = 10 Ом, ’^4=100 Ом.
Э. R. с. источника питания £ = 5 В, T?mF=100 Ом, O/VmV = 3QQ мВ.
Ответ', шкалу прибора можно построить на основании табл.
10.38.
Т аб л и ц а 10.38
0, °C 0 —50 + 50 + 100 + 150 + 200
мВ 0 —77,5 22,5 82,1 158 180
10.39. Для измерения параметров конденсатора была собрана
схема рис. 10.39. После уравновешивания моста было записано-:
С0=Ю мкФ, 7?О = 9,8 Ом, 7?2 = 1014 Ом, 7?4 = 981О Ом. Определить
параметры последовательной схемы замещения конденсатора.
Решение. Выводим
равновесии моста ZxRi = Z0R.
формулу
2»
для
откуда
определения Rx и Сх. При
1 А р
/соСо/
Разбивая это комплексное равенство на два алгебраических,
получаем
После
RxRt = R0R2, или =
или Сх = Сп^.
1<лСх ](£>С0 х R2
подстановки числовых значений имеем
°М’ ^ = ^ = 96’8 МкФ-
10.40. Для измерения уровня жидкости в сосуде -применены
мост переменного тока и емкостный измерительный преобразователь
С.. Определить параметры параллельной схемы замещения емкост-
ного преобразователя Rx и Сх, если в цепи рис. 10.40 установлены
следующие значения параметров уравновешенного моста: R2 =>
= 1000 Ом, Р4 = 200 Ом, 7?0= 100 Ом, Со = 2О мкФ.
Ответ: 7?^=500 Ом; Сх=100 мкФ.
Указание. Сопротивления ветвей с параллельным соединением
элементов вычисляют
Рис. 10.41
через проводимость, например для плеча с
образцовыми мерами Со и Re. Аналогично
записывается выражение для плеча АС.
10.41. Определить индуктивность катуш-
ки, включенной в мост, схема которого при-
ведена на рис. 10.41, если после уравновеши-
вания моста были записаны следующие зна-
чения образцовых сопротивлений и емкости:
Р2=ЮОООм, Р3=Ю0Ом, Rb = 31 890 Ом,
Со = 0,2597 мкФ.
Решение. Выводим формулу для оп-
ределения индуктивности Lx. При равнове-
сии моста
ZzZ0 = Z2Z3, Zx/Ye = R2R3, ZJ(R2Rz) = YOf
или
(Pjc + — VP0 + /®С0.
Разбивая это комплексное выражение на равенства действитель-
ных и мнимых членов, получаем
Rx = R2R3/R0 и = С0/?2Т?3.
После подстановки числовых значений имеем
Lx = 0,2597• 10"6• 1000 • 100 = 25,97 мГн.
10.42. Определить индуктивность и добротность катушки, вклю-
ченной в мост, схема которого приведена на рис. 10.42, если в
режиме равновесия моста получены следующие значения сопротивле-
ний резисторов и индуктивности: 7?0 = 80 Ом, 7?3 = А?4 = 100 Ом,
Lo=130 мГн. Частота источника питания моста / = 400 Гц.
Ответ: Lx=130 мГн; Qx = XlIRx — 326,5/80 = 4,08.
10.43 . На рис. 10.43 представлена упрощенная схема цепи диф-
ференциального мостового измерителя ’перемещений.' В верхние два
плеча включены близко расположенные одинаковые индуктивные
катушки с общим плунжером (якорем). При равновесии моста он
занимает симметричное положение по отношению к среднему сечению
катушек. Тогда их полные сопротивления составляют Z=J/r/?2++£=
== 200 Ом. При перемещении плунжера вправо на некоторую вели-
чину 6 (рис. 10.43) сопротивления катушек изменились на ± AZ =
= 5 Ом. Активные сопротивления во всех плечах моста одинаковы,
т. е. R1—R2=R3=Ri=20 Ом. Напряжение питания моста Пвх=10 В.
Определить значение напряжения на выходе моста ПВЬ1Х (б):
Решение. Перемещение плунжера вызывает изменения индук-
тивных сопротивлений катушек.
Для катушки в плече АС комплексное сопротивление
Z1 = Z1(0)-—AZ = R + /<вТ1 (о—A/Xz = 20+ /193,97 Ом.
Для катушки в плече СВ комплексное сопротивление
g = g <о) + А2== R + /®^2 (о) + Д— 20 + /204 Ом.
Указание. Эти результаты получены на основании построения
треугольников сопротивлений. Для первой катушки Z2 = (200—5)2=
= 202 + X2i, для второй катушки Z| = (200 + 5)2 = 202 + Xf2.
Комплексное выходное напряжение (в режиме холостого хода)
^вых = йCD=zj2 R.j3.
При этом токи в плечах равны
Ag - = 40+Ж97 - (°-0025 ~ /°>002^) А,
^T^V^0’25 А-
Тогда
ДБКХ = (20 +/204) (0,0025-/0,00248)—20-0,25 = (— 4,445 + /5,05) В
и модуль выходного напряжения равен £/вых = 6,73 В.
ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫМИ ПРИБОРАМИ
В ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ
10.44 . На экране осциллографа при синхронизации «от сети»
получена осциллограмма, показанная на рис. 10.44 *. Масштабы
тг/ = 2 В/см итл.=5 мс/см. Приведенные относительные погрешности
осциллографа при измерении напряжения уи и временных интерва-
лов yt составляют 5°/0. Рабочая часть экрана max^xmaxx = 6,0 х
X 8,0 см. Записать выражение для мгновенного напряжения, опре-
делить относительные погрешности измерения амплитуды, частоты
и начальной фазы.
* На реальной маске осциллографа нанесены деления с интервалом 1 мм.
Решение. 1. Амплитуда нап-
ряжения
1/в=т^в = 2.2,5=5В.
Х,СН 2. Относительная погрешность из-
мерения амплитуды напряжения
= у v max ylym =
= 0,05-6,0/2,5=0,12=12%.
Рис. 10.44 3. Период напряжения
Т^т^Хт = 5-10~*-4 — 20 мс.
Частота
/ = 1/7 = (1/20)-10-3 = 50 Гц, <о = 2л/ = 314 рад/с.
4. Относительная погрешность измерения периода
бу = уг max (х/хг) = 0,05-8,0/4,0 = 0,1 = Ю°/о,
относительная погрешность измерения частоты
|бш| = 6у=10»/о.
5. Начальная фаза напряжения
, '2л , 6,28 . с о ос
фа=у-^ = — ТД -1,5 = — 2,36 рад.
6. Относительная погрешность начальной фазы
Ч = 0,П + (5^^у«0,28 = 28‘’7„
7. Мгновенное напряжение
u = 5sin(314/—2,36) В.
10.45. Ручки управления генератора сигналов ГЗ-36А находятся
в положении] «Частота»—«ХЮ», «Hz»—«150». Сигнал снимается с
гнезд «Выходное напряжение»—«Х0,1» и «_]_». Индикатор V пока-
зывает 3 В. Определить амплитуду и частоту сигнала и их относи
тельные погрешности. Предельное значение напряжения индикатора
5 В, приведенная относительная погрешность генератора по на пр я
жению: установки уровня уу — ± 6%, аттенюатора уа — ± 20°/0. Абсо-
лютная погрешность установки частоты равна (0,03/+ 2) Гц.
Решение. 1. Действующее напряжение сигнала
U = Uv-0,1 = 0,3 В,
амплитуда сигнала
Uи = )/'2Д = 0,424 В.
2. Относительная погрешность измерения напряжения
' X _ Ту Ч-Тактах V0,0№+ 0,2^-5,0
-----------й-------------^0--------30 '°-
3. Частота сигнала
/=10-150=1,5 кГц.
4. Абсолютная погрешность измерения частоты
А/ = ±(0,03-1,5-103+2) = ±47 Гц,
относительная погрешность измерения частоты
= АД/ = ± 47/(1,5 • 103) = ± 3,1%.
10.46. Найти приближенные значения постоянной составляющей
и амплитуды первой гармоники напряжения на выходе вторичного
источника питания с помощью двух
осциллограмм: сплошные линии на
рис. 10.46, а (при открытом входе,
ту = 2 В/см) и на рис. 10.46,6 (при
закрытом входе, mF = 0,l В/см).
Решение. 1. Из осциллограм-
мы рис. 10.46, а находим постоянную
составляющую напряжения:
Д0 = туу0 = 2-2,8 = 5,6 В.
2. Из осциллограммы рис. 10.46, б
находим приближенно амплитуду
первой гармоники напряжения:
(I) тгУт — 2• 0,1 = 0,2 В.
10.47. Определить коэффициент
пульсации напряжения, осциллограммы которого заданы в задаче
10.46.
Решение. 1. Находим, как показано в решении задачи 10.46,
^0 11 т (О-
2. Коэффициент пульсации
p = {/,„m/t/0 = 0,2/5,6 «0,04.
10.48. Для определения полосы пропускания усилителя напряже-
ния используют установку, схема которой приведена на рис. 10.48.
Какие операции и в какой последовательности необходимо произ-
вести?
Решение. 1. Включить, прогреть и настроить все измеритель-
ные приборы и исследуемый усилитель.
Рис. 10.48
2. Установить на выходе генератора сигналов синусоидальной
формы напряжение, меньшее допустимого напряжения на входе уси-
лителя.
3. Получить на экране осциллографа кривую зависимости пвых(0-
4. Изменяя частоту сигнала генератора при постоянной его ампли-
туде, получить наибольшую амплитуду напряжения на входе уси-
лителя.
,5. Изменяя амплитуду входного напряжения и контролируя форму
выходного напряжения усилителя, получить режим, при котором
становятся заметными нелинейные искажения.
6. Уменьшить амплитуду сигнала на входе усилителя в 10 раз и
измерить выходное „напряжение.
7. Уменьшить (или увеличить) частоту сигнала, пока выходное
напряжение усилителя не уменьшится в 2 раз. Получаемые зна-
чения частот являются нижней (или верхней) границей полосы
пропускания.
10 .49. Оценить относительную погрешность метода измерения
постоянного напряжения между коллектором и эмиттером тран-
зистора вольтамперметром Ц4312, включенным по схеме рис. 10.49, а.
В типовом режиме транзистора й22 = 5-10-в См, RK = 5 кОм. Сопро-
тивление прибора составляет 20 кОм/B, предел измерения—6 В.
Рис. 10.49
Решение. 1. При отсутствии прибора рабочая точка А тран-
зистора на рис. 10.49, б определяется пересечением прямой UK =
= Ек—RK1K и выходной характеристики транзистора /к(£/к).
2. На схеме замещения 10.49, в транзистор отображаем источни-
ком тока J и резистивным элементом с проводимостью Л22. Измери-
тельному прибору соответствует элемент Rv, включенный между
точками К (коллектор) и Э (эмиттер).
3. При отсутствии прибора согласно формуле междуузлового
напряжения напряжение между коллектором и эмиттером тран-
зистора
и ek/Rk-J
К-1/ЯК+/*22*
4. Напряжение на вольтмере
TJ ___ ЕК//?К J
V 1/М< + ^22 + 1/Rv
5. Относительная погрешность метода измерения
g __ Uk Uy __ J _______1/7?к +^22 __________1__________.
i/к R v ( 1/Rk 4~ ^22) 4- 1
= 20-103.6[1/(5-10~3)+5-10-6] + 1 ~ 0,04 = 4%-
10.50. Как с помощью осциллографа можно измерить постоянную
составляющую пульсирующего напряжения?
Решение. Первый способ рассмотрен в решении задачи 10.44.
Второй способ состоит в следующем.
. 1. В режиме «открытого» входа получают осциллограмму на
экране.
2. Переходят к режиму «закрытого» входа, когда исследуемый
сигнал поступает на усилитель канала вертикального отклонения
луча через конденсатор.
3. Измеряют смещение осциллограммы у0 и рассчитывают постоян-
ное напряжение:
10.51. Действующее выходное напряжение усилителя, измеренное
электронным вольтметром (RV1 = 15 МОм), равно 50 В. Выходное
сопротивление усилителя составляет 10 кОм.. Определить показание
электромагнитного вольтметра Э377, имеющего сопротивление 5 кОм,
и относительную погрешность метода измерения- этим вольтметром
Решение. 1. Напряжение холостого
хода усилителя можно принять равным
50 В, так как RV1^>ДЕЫХ-
2. Напряжение на электромагнитном
вольтметре
U
П _____ U х D ______________ ^0- 103- 10 _ оо о г>
V2~ ЯВых+*va~ ь-
3. Методическая относительная погреш-
ность измерения
с Uyi—Uу2 50—33,3 QQo / ।
, = =33/«!
Вывод: электромагнитный вольтметр не-
пригоден для таких измерений.
10.52. Напряжение на выходных по-
люсах выпрямителя с фильтром содержит
постоянную и переменную составляющие,
которые зависят от сопротивления нагрузки. Как по Двум осцил-
лограммам нВых(0> изображенным на рис. 10.52, а линиями 1 и 2, для
сопротивлений нагрузки /?1 = 700 Ом и /?2=100 Ом построить
внешнюю характеристику выпрямителя, если ту = Ъ В/см.
Решение. 1. По осциллограммам находим постоянные состав-
ляющие напряжений (см. задачу 10.46):
Ue(R1) = 5-3,3 = 16,5 В, f/0(/?2) = 5-2,3= 11,5 В.
2. Постоянные составляющие токов нагрузки равны
Рис. 10.53
/0 (/?г) = 16,5/700 = 23,5 мА, 70 (Т?2) = 11,5/100 =115 мА.
3. Искомая внешняя характеристика приведена на рис. 10.52, б.
10 .53. На рис. 10.53 изображены осциллограммы 1 и 2 выходного
напряжения усилителя (ту=10 В/см) соответственно при сопротив-
лениях нагрузки 20 и 10 кОм. Определить выходное сопротивление
усилительного каскада и ампли-
туду выходного напряжения при
сопротивлении нагрузки 5 кОм.
Реп/ение. 1. По осциллог-
раммам определяем амплитуды вы-
ходного напряжения (соответствен-
но сопротивлениям), которые рав-
ны 20 и 15 В.
2. Амплитуды тока нагрузки
11т = 20/(20-103) = 1 мА,
/2ет = 15/104 = 1,5 мА.
3. Из системы уравнений, соответствующих, двум состояниям,
следует, что /?вых (Цт—Ilm) = ^2m- Поэтому выходное сопро-
тивление
р Uim U2т 20—15 __. „ q
^ВЫХ hm-llm “(1,5-1)-10-3 - 10 КОМ.
4. Амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода
равна
^вых. X т = (Явых + я,н) Ли = (Ю4 + 2 -104) - 10-3 = 30 В.
5. Амплитуда тока нагрузки при сопротивлении 5 кОм
Цт = ^вых. х и/(^зн + ЯВЫх) = 30/(10 -103 + 5 -103) = 2 мА.
6. Амплитуда выходного напряжения при этой нагрузке
= = 5-103-2-10_? = 10 В.
10.54 . Как можно определить входное сопротивление усилителя
с помощью установки, схема которой представлена на рис. 10.54?
Решение. 1. При R = 0 на выходе генератора устанавливаем
сигнал заданной частоты с амплитудой, при которой усилитель
работает в линейном режиме. Контроль линейности ведем по отсут-
ствию искажения сигнала на экране осциллографа. Вольтметром
измеряем амплитуду выходного напряжения усилителя UBB№m- В этом
случае
fl W11 W ^-г^вх
вых im u вх 1т Z?I!X ’
где ЕТ и /?г—соответственно э. д. с. и внутреннее сопротивление
генератора.
Рис. 10.54
2. Увеличиваем сопротивление резистора R, пока напряжение
ЦЕЫХ,Л не уменьшится в два раза. При этом
и =ки —К_____________I JJ
вых 2m —ЯГ_|_Д_|_ДВХ— 2 ВЫХ 1m-
Поэтому
^r + ^ + «Ex = 2(Pr+.PEX) и Р = Рг + Рвх.
3. Вычисляем входное сопротивление усилителя:
РВХ = Р----------------------Рг-
10.55 . Цифровой вольтметр В7-27А имеет пределы допускаемой
основной погрешности (в процентах) измерения напряжений и сопро-
тивлений, приведенные в табл. 10.55. Определить наибольшие погреш-
ности измерения постоянного напряжения 115 В, переменного дейст-
вующего напряжен^ 25 В и сопротивления 25 кОм.
Таблица 10.55
Пределы 100 мВ И 10; 100; 1000 В
17 _ ±[0,35+0,15 (t/K/17 — 1)] ± [0,25 + 0,15 ((7K/t/-l)J
Пределы 1 мВ 10 мВ 100 мВ; 1; 10; 100; 1000 В
U сс ± [2+1 ((7K/t/~ 1)} ±[l,5+0,5(t/K/t/-l)] ±[1,0 + 0,5 (%/!/-!)]
Пределы 1; 10 Ом; 10 МОм 100 Ом; 1; 10; 1000 кОм; 1 МОм
R ±[0,5 +0,2 (/?«//?-!)] ± [0,4 + 0,2 (RK/R- 1)]
Примечание. Индексом «к» отмечено номинальное значение пределов.
Решение. 1. При измерении постоянного напряжения 115 В
предел £7^= 1000 В. Относительная погрешность измерения
?£/== ± [0,25 + 0,15 (1000/115— 1)] = ± 1,4%.
. 2. При'измерении переменного напряжения 25 В предел UK — 100 В.
Относительная погрешность измерения
у и = ± [1,0 + 0,5 (100/25— 1)] = ± 2,5%.
3. При измерении сопротивления 25 кОм предел 7?к=Ю0кОм и
Тд = ± [0,4 + 0,2(100/25—1)] = ± 1,0%.
10.56 . Выбрать схемы измерения тока и напряжения на рис. 10.56,
которые обеспечивают получение наиболее точной вольт-амперной
характеристики диода в прямом и обратном направлениях. Дать
обоснование выбору.
Ц S) 6) г)
Рис. 10.56
Решение. 1. В схемах рис. 10.56, с, б относительная погреш-
ность метода измерения напряжения — 0, так как UVD = UV.
Относительная погрешность метода измерения тока
6,=А///га= — Rvd/Rv.
2. В схемах рис. 10.56, в, г 6/ = 0 и
= \U/U VD = U A/U VD = Ra/Rvd.
3. При включении диода в прямом направлении (схемы рис. 10.56,а,в)
Rvd^Ra и Rvd<^.Rv. В схеме а 6r=0, 6,<g 1, а в схеме вб, = О,
бу« 1, поэтому такие измерения в цепи должны соответствовать
схеме рис. 10.56, а.
4. При включении диода в обратном направлении (схемы
рис. 10.56, б, г) Rvd^>Ra и Rvd^Rv. В схеме б бу = 0, 6,» 1,
а в схеме г 6, = 0, 6у<|1, поэтому снятие вольт-амперной характе-
ристики диода в обратном направлении следует проводить по схеме
рис. 10.56, г.
ГЛАВА 11
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
11.1. Генератор независимого возбуждения (рис. 11.1) имеет
следующие номинальные данные: номинальную мощность Ркок —
= 200 кВт, номинальное напряжение f/HOM = 230B, номинальную
частоту вращения пном = 2850 об/мин. Сопротивление обмотки
в нагретом состоянии /?я = 0,02Ом,
сопротивление обмотки возбужде-
ния /?в=180Ом. Определить мо-
мент, который развивает привод-
ной двигатель для обеспечения
номинальной работы генератора,
и к.п.Д. генератора (потерями в
щеточном контакте, механически-
ми и магнитными потерями пре-
небречь).
Решение. Записывая уравне-
ние электрического состояния для
якорной цепи U = ER—RBIB и умг
на значение тока 1В, получаем ур
его правую и левую части
:е энергетического баланса
цепи якоря генератора:
UIB = EBIB—RBI*
или
р —Р ____лр
ЭЛ — ЭМ МГЭ.Р
где Рэл—выходная мощность генератора, которая для номинальной
нагрузки указывается в паспортных (номинальных) данных машины
в виде Рном; Рак—электромагнитная мощность, которая, если пре-
небречь механическими потерями, равна механической мощности
Рмех приводного двигателя Д и определяется моментом М на валу
двигателя и частотой вращения п вала, соединяющего двигатель и
генератор; АРЭЛ = RBI„—электрические потери в якоре генератора
(потерями в контактах коллектора и щеток пренебрегаем).
Таким образом, для определения момента 7ИноМ = 9,55^- необ-
ходимо найти мощность РаК = ЕЯ1В. ном, т. е. номинальный ток об-
мотки якоря
/я. ном = Рном/^ном = 200 000/230 = 870 А
и э.д.с.
Es = Екок + /?я/я.ном + = 230 + 0,02 • 870 = 247,4 В
Тогда
Мном= 9,55;^ = 9,55^^ = 721 Н-м.
^НОМ
По. определению, к.п.д.
.71=Р2/Р1 = Рном/Рэм = 200/(215, 24) = 0,93.
11.2. Генератор параллельного возбуждения (рис. 11.'2) имеет
следующие номинальные данные: номинальную мощность Рном =
= 6,6 кВт, номинальное напряжение £1ГОМ = 230В, сопротивление
обмотки якоря £я = 0,7Ом, сопротивление обмотки возбуждения
/?в = 212Ом, номинальную частоту вращения пном = 2850 об/мин.
Рис. 11.2
Кривая намагничивания магнитной цепи генератора в относительных
единицах задана в табл. 11.2. Построить внешнюю характеристику
генератора, определить Р3„ и к.п.д. при номинальной нагрузке.
Таблица 11.2
вМв’НОМ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Фв/Фв.НОМ 0,11 0,49 0,73 0,89 0,95 1,0 1,02
Решение. 1. Определяем значения токов и э.д.с. в схеме цепи
рис. 11.2, а для указанных номинальных данных при неизменной
частоте вращения вала, соедийяющего приводной двигатель Д и
якорь генератора.
Э.д.с.
£я==с£иФв = ^Фв,
или
£я/£Я. ном = Фв/ФВ. ном-
Ток
^НОМ — ^ном/^ном = 28,7 А, Iв-ном = Uном^в = 1А
(номинальный ток в обмотке возбуждения устанавливаем при 7?в = 0).
По первому закону Кирхгофа, ток
Аг .ном ^ном Т“-7В <нок 29,7 А.
Подсчитаем значение э.д.с.:
Ея.ипм = <7НОМ 4- £я./я.ном = 230 + 0,7-29,7 = 250,7В.
2. Строим внешнюю характеристику. По данным табл. 11.2 для
кривой намагничивания строим характеристику холостого хода
генератора Е (7В/7В.НОМ), изображенную на рис. 11.2, б.
При номинальном токе возбуждения ЛДв.иом—! напряжение
U = (/ном=230В (точка а). Если из начала координат провести
прямую через эту точку, то ординаты прямой определят значения
напряжения на зажимах генератора при любых нагрузках, так как
= (Рв + R'B) R и U/UHOK/В/7В.НОМ.
Точка N пересечения прямой Оа с характеристикой холостого
хода соответствует холостому ходу генератора, т. е. i/e = £0 = 255B.
Опустив перпендикуляр из этой точки на ось абсцисс, найдем, что
при холостом ходе 7В/7В.НОМ = t/0/t/HOM = 1,1.
Следовательно, относительное изменение напряжения
АС/. = «о-Уном . i00 = g5-230 . 100=1 j %.
ь'ном zoU
Для построения внешней характеристики—зависимости напря-
жения U на зажимах генератора от тока нагрузки /н—за-
даемся рядом значений /в//в.ном и по ним определяем U = ЕНОМ1В/1В^ОК.
По характеристике холостого хода определяем соответствующие
значения э.д.с. Е и по формуле 1„ = (Е—рассчитываем значе-
ния токов нагрузки (при этом пренебрегаем значением /„ и считаем
ток нагрузки /н равным току якоря /я). Характеристику U (/„)
строим на графике рис. 11.2, б слева от характеристики холостого
хода. Ток во внешней цепи генератора параллельного возбуждения,
работающего при п — const и /?в 4-/?в = const, имеет максимальное
(критическое) значение /кр. Чтобы найти это значение, нужно про-
вести касательную к характеристике холостого хода, параллельную
линии OaN. Точка М касания этих линий определяет С7кр, EKV и
позволяет подсчитать /кр.
В данных условиях критические значения равны 7В/7В ном = 0,42,
С/кр = 95В, £кр=193В, 7кр=140А.
При коротком замыкании щеток генератора (при U = 0) ток в его
обмотке возбуждения будет отсутствовать, при этом ток 7К цепи
якоря будет определяться только значением остаточной э.д.с., т. е.
7К — Еост/7?я = 28/0,7 = 40,0 А [см. зависимость Е(1В)].
Имея все точки внешней характеристики генератора, находим
Рэм-иом = £я.но Л.ном = 250,7.29,7 = 7,44 кВт
и, следовательно,
Чном = Л/Л = Лои'Лм.ном = 6,6/7,44 = 0,89.
11.3. Известны номинальные данные генератора независимого
возбуждения (см. рис. 11.1): РноМ= 178 кВт, С/ном = 230 В., 7Я-НОМ =
= 775А, 7?Я = О,О181 Ом. Характеристика холостого хода этого ге-
нератора приведена на рис. 11.3. Номинальное напряжение на за-
жимах обмотки возбуждения U вном = 100 н. Определить сопротивле-
ние обмотки возбуждения RB, а также сопротивление регулировоч-
ного реостата R2, включаемого в цепь обмотки возбуждения для
того, чтобы при неизменном сопротив-
лении нагрузки R = 0,297 Ом напряже-
ние на ее зажимах было равно 0,5t/HOM.
Решение. Э.д.с. якоря в номи-
нальном режиме
Р _________________________________ Il ! О J
^НОм — НОМ "Г я.ном
= 230 + 0,0181 • 775 = 244В.
Согласно кривой рис. 11.3, этой э.д.с.
соответствует (точка N) номинальный
ток возбуждения 7ВНОМ = 4,55А. По-
скольку этот режим обеспечивается при
RB — 0, сопротивление обмотки возбуж-
дения
RB = ^в.ном//в.ном = 100/4,55 = 22 Ом.
При снижении напряжения до t/ = 0,517HOM=0,5-230= 115 В ток
в цепи нагрузки и якоря
I = U/R = 115/0,297 = 387,2 А.
При этом э.д.с. обмотки якоря
Е = U + RBI = 115 + 0,0181 • 387,2 = 122 В.
Э.д.с. £= 122 В соответствует (точка М на кривой рис. 11.3) ток
возбуждения /В=1,55А. При этом сопротивление цепи возбуждения,
включая регулировочный реостат,
Кв 4- Rb = ^в.ном//в = Ю0/1,55 = 64,5 Ом.
Отсюда сопротивление регулировочного реостата £' = 64,5—22=
= 42,50м.
11.4. Как изменится положение рабочей точки на семействе
внешних характеристик генератора постоянного тока—возбудителя
синхронной машины (рис. 11.4, а), если увеличить R' при неизмен-
ных сопротивлении внешней цепи и частоте вращения якоря?
Решение. Внешняя характеристика генератора параллельного
возбуждения определяется магнитной характеристикой машины (или
характеристикой ЕЯ(1В) при п = пНС1М) и значением сопротивления
в цепи возбуждения (кривая 1 на рис. 11.4, б). Если изменить зна-
чение RB, то изменится наклон прямой U — R'BIB на графике справа-
от оси ординат на рис. 11.4, б (прямые RB1 aRB2). Таким образом,
при Rb2 > RB1 получаем внешнюю характеристику 2 на рис. 11.4, б
слева от оси ординат. Если провести вольт-амперную характе-
ристику нагрузки R якорной цепи генератора, то пересечение внешней
характеристики генератора и вольт-амперрой характеристики На-
грузки укажет рабочую точку машины. Таким образом, можно Ви-
деть,, как изменится положение рабочей точки при увеличении R’B,
т. е. как изменится ток внешней цепи генератора постоянного тока, яв-
ляющийся в данном случае током возбуждения синхронной машины.
Рис. 11.4
11.5. Электрическая машина постоянного тока (МПТ) (рис. 11.5, а)
используется в режиме генератора, включенного в сеть с неизмен-
ным напряжением (t7 = const). Как изменятся ток якоря и проти-
водействующий момент на приводной двигатель (Д), если увеличить
сопротивление в цепи возбуждения машины (и = яном = const)?
Решение. При U — const МПТ можно рассматривать как гене-
ратор независимого возбуждения и представить ее внешнюю харак-
теристику в виде прямой U = ES—РЯ1Я (рис. 11.5, б). При измене-
нии тока /в внешняя характеристика будет изменяться (прямые 1 и 2
на рис. 11.5, б). Рассматривая генератор и сеть с неизменным
напряжением как два активных двухполюсника (рис. 11.5, в), можно
изобразить их электрическое состояние в виде точки пересечения
вольт-амперных характеристик (рис. 11.5,г):
Е = ЕЯ—РЯ1Я и U — const.
При увеличении сопротивления /?', в цепи возбуждения генера-
тора ток возбуждения уменьшится и внешняя характеристика ге-
нератора изменится (рис. 11.5, б).
Следовательно, из рис. 11.5, г можно видеть, как изменятся
положение рабочей точки и значение тока 1Я. Если пренебречь ма-
гнитными и механическими потерями, то из энергетической диаграммы
генератора будем иметь РЭК1 = РКСЯ или Ея1я = 0.М. Таким образом,
зная изменения тока 1Я и э.д.с. Ея (при п = const), можно найти
7И = 9,55^2.
п
Заметим, что при значительном снижении тока возбуждения
электрическая машина переходит в режим двигателя, при обрыве
цепи возбуждения (Ея —» 0)
ток якоря МПТ резко увели-
чивается и режим электричес-
кой машины становится ава-
рийным. Поэтому все генера-
торы снабжают системой за-
щиты как от снижения тока
возбуждения ниже определе-
нного уровня, так и от чрез-
мерно больших значений тока
якоря.
11.6. Двигатель постоян-
ного тока независимого воз-
буждения (рис. 11.6) имеет
следующие номинальные дан-
ные: Риом = 1,5 кВт, -г) =
0,77, (7НОМ=110 В, лном =
Ом. Определить: 1) противо-
э.д.с., ток якоря и вращающий момент в номинальном режиме;
2) сопротивление и мощность резистора который нужно вклю-
чить в цепь якоря, чтобы снизить частоту вращения двигателя до
500 об/мин при том же номинальном моменте. "
Указания и ответ. На рис. 11.6 обозначены: Рп—пусковой рео-
стат; /?'—регулировочный реостат в цепи возбуждения; РМ—рабо-
чий механизм, приводимый в рабочее состояние с помощью двига-
теля; 7Ивр—вращающий момент, развиваемый двигателем; 7Ипр—мо-
мент сопротивления (противодействующий момент) рабочей машины.
Для определения тока якоря необходимо найти мощность, кото-
рую двигатель потребляет из сети, т. е. Рыом, а в номинальных
данных указывается выходная мощность двигателя, т. е. Р2 — Рмек-
Поэтому, зная к.п.д. ,г\ = Р2/Р1, находим
Лном = ЛшомЛ1 = 1500/0,77 = 1948 Вт.
Тогда
/я = ЛноЖоН = 17,7А, £„ = 95,84В, Л4Н0М = 14,3 Н-м.
После введения £я в цепь якоря (рис. 11.6) при неизменном
моменте на валу ток якоря остается неизменным, но изменяется
электромагнитная мощность Рэм = £„/„, так как часть мощности Р^,
потребляемой из сети, расходуется на нагрев регулировочного рео-
стата: Pt=P3M—RJI
Учитывая выражения РэМ.Ном = 1/9,55 (Л4номчном) и Рэм =
= 1/9,55 (Л4номп'), где п' = пном/2, получаем
Р1 = Т’эМ.НОМ + (1)
Р^РэмЧ-^я + Рд)^. (2)
Вычитая (2) из (1), находим
R РЭМ.НОМ ^ЭМ 1/9,55 (.*2hOM Пном/Я> Мном 2 39 Ом
Л 1я
11.7. Для двигателя постоянного тока параллельного возбужде-
ния (рис. 11.7) известны следующие номинальные величины: Рном =
= 130 кВт, £ном = 220 В, пном = 600 об/мин, /ном = 640 А. Сопротивле-
ние обмотки якоря в нагретом состоя-
нии £„ = 0,00725 Ом, а сопротивление
обмотки возбуждения £в = 43,2 Ом.
Определить вращающий момент дви-
гателя в номинальном режиме, а так-
же частоту вращения якоря двигате-
ля в режиме идеального холостого
хода.
Решение. Ток в обмотке яко-
ря в номинальном режиме (£п=0,
Рд = 0, р; = 0)
Я.НОМ 7НОМ 7в#нпм 7НОМ ^ном/РВ
= 640—220/43,2 = 634,9 А.
Противо-э.д.с., индуцируемая в
обмотке якоря при номинальной ча-
стоте его вращения,
— РяР.НОМ = 220
—0,00725-634,9 = 215,3 В.
Номинальная электромагнитная мощность
Р = £ Г „ = 215,3-634,9 =136 700 Вт.
*ЭМ.Н0М ном'я.ном
Номинальный вращающий электромагнитный момент
Мной = 9,55 = 9,55 - 2^5 = 2,18 • 10*"Н• м.
“ном WJU
Частота вращения якоря в режиме идеального холостого хода
при UB0M=E0
по — ^ном/(с£Ф). (3)
Частота вращения якоря в режиме номинальной нагрузки
Ином = Еком/(с^Ф). (4)
Взяв отношение (3) к (4), получаем
пй — «ном = 600 • -2^- = 615 об/мин.
“НОМ .410,0
11.8. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
(рис. 11.7) имеет следующие номинальные данные: Р|10м= 12 кВт,
f/ном = 220 В, ином = 685 об/мин, /НОм = 64 А, /в. ном = 1,75 А. Сопро-
тивление обмотки якоря в нагретом состоянии Ёя = 0,281 Ом. Опре-
делить частоту вращения якоря
двигателя при холостом ходе и
тормозном моменте на валу, рав-
ном 0,6Л4НОМ (размагничивающим
действием реакции якоря пренеб-
речь). Построить естественную. ме-
ханическую характеристику.
Указание. Частоту вращения
якоря при Mi = 0,67ИНОМ опреде-
лим по формуле
__ и кем О,6РЯ/Я. ном „
“1 ' J] D 7 '*Н0М*
“ном — “я2 я. ном
Ответ-. п„ = 744 об/мин; п.г =
= 708,6 об/мин.
0 20 40 60 80100120140160160200МгН-М
Рис. 11.8
Естественная механическая характеристика двигателя построена
на рис. 11.8 (сплошная линия).
11.9. Какое сопротивление должен иметь регулировочный
реостат в цепи якоря двигателя в задаче 11.8, чтобы при том же
тормозном моменте на валу частота вращения якоря снизилась до
п' = 630 об/мин? Определить мощность потребления энергии в регу-
лировочном реостате и построить искусственную механическую
характеристику двигателя (реакцией якоря пренебречь).
Указание. Для расчета сопротивления /?д регулировочного рео-
стата при 7ИХ = 0,6714НОМ следует воспользоваться уравнением
' иЯ0М 0>6(1?я_1 ^д) Л,. НОМ
'*1 — р ftH0M‘
“ном
Мощность потребления энергии в реостате при токе /яХ = 0,6/я. ном
рЛ=о,збад.нои,
Ответ: Ra= 0,604 Ом; Р^ = 842 Вт.
Искусственная механическая характеристика двигателя построе-
на на рис. 11.8 (пунктирная линия).
11.10, Двигатель параллельного возбуждения имеет следующие
номинальные данные: РнОМ=10кВт, t/HOM = 220B, 7НОМ = 52Г2А.
Сопротивление обмотки якоря в ненагретом состоянии Дя(15°) =
==0,182 Ом. Определить сопротивление R„ пускового реостата, вводи-
мого в цепь якоря двигателя
тока до /П = 27Я.НОМ.
. Указание. Сопротивление
'’’формуле
для ограничения значения пускового
пускового реостата рассчитывают по
U ном
^я(15°)+Яп
Ответ: Rn = 1,927 Ом.
11.11. Двигатель последовательного возбуждения (рис. 11.11, а)
имеет следующие номинальные величины: Рном = 45 кВт, С7ИОм — 220 В,
«ном = 880 об/мин, Т| = 0,73. Построить кривую зависимости тока
якоря от вращающего момента, развиваемого двигателем.
U=const
я=-5?
Рис. 11.11
Решение. Ток
валу:
якоря
двигателя определяется моментом на
I =
я смФ
(5)
В номинальном режиме
/я‘ Н0М = СмФцрм *
Взяв отношение (5) к (6), получаем
/ я _ У Фирм
Д. НОМ Уном Ф
^ном
(6)
или
/я Ф _ м
Я.НОМ Фном Уном
В двигателе последовательного возбуждения ток якоря является
током возбуждения. Зависимость между током якоря 1Я и потоком
полюса Ф нелинейная. Эта зависимость показана на рис. 11.11,6.
Задаваясь отношением 7Я//Я. ном, по кривой рис. 11.11,6 находим
отношение Ф/Фном и рассчитываем произведение этих отношений
(1Я/1Я. ном) (Ф/Фном), равное отношению моментов Л4/Л4НОМ.
Например, 7Я/7Я. ном = 0,2, Ф/ФНОМ = 0,37, Л4/Мном = 0,074.
По результатам расчета на рис. 11.11, в построена кривая зави-
симости отношения 7я/7я.нбм от отношения 7И/Л4ноМ. '
Для рассматриваемого двигателя номинальный момент
Мной = 9,55 = 9,55 • = 488 Н м.
“НОМ OOV
В номинальном режиме ток якоря
г Рном 45.000 Ойо д
"“бном^ном- 220-0,73 -'4OUrt-
Значения токов в цепи якоря при моментах на валу, отличных
о' номинального, определяют с помощью кривой рис. 11.11, в.
11.12. Рассчитать и построить естественную механическую харак-
теристику двигателя последовательного возбуждения (рис. 11.11, а),
для которого РНОМ=12,5 кВт, 7/ном = 220 В, пном = 630 об/мин,
/я.ИОм = 72 А, /?я = 0,4 Ом. Принять, что вращающий момент двига-
теля изменяется в пределах от Mmin = 0,25 Л4НОМ до Л4тах = 1,5Л4НОМ.
Решение. Частота вращения якоря двигателя при номинальной
нагруз ке
„ . бном Рд7Я. ном
Частота вращения якоря двигателя при нагрузке, отличной от
номинальной,
W__ном ^Уя _______ ^ном ^я (^я/^я. ном) 4. ном _
(Ф/Фном) с£Фном
_ ^ном — Мя4. ном v и
-- k р
Ф ^ном
откуда
п
Лион
б^нОМ ^/1^в7я. ном
Лф^НОМ
Здесь
гателя с
= Ф/Фном
kt = 7Я//Я. ном—отношение тока якоря /я при работе дви-
моментом сопротивления Л4пр к номинальному току; k® =
— отношение потока полюса двигателя, возбужденного то-
ком якоря- /я, к номинальному потоку.
В рассматриваемом двигателе 7/НОм = 220 В, Яя1я ном = 0,4-72 =
= 28,8 В, £НОМ = {7?ОМ—7?Я/ЯНОМ = 220—28,8= 191,2 В. Поэтому
отношение
п _ 220 —fe/28,8
^ном &ф191,2
Задаваясь отношением 7И/7ИНОм, по кривой рис. 11.11, в опреде-
ляем ^1 = /я.//я.ном и по известному значению Ia/Is ном = 7В//В. ном
находим по кривой рис. 11.11, б &ф = Ф/Фн0М. Далее рассчитываем
отношение по приведенной вы-
ше формуле. Например,
7И/7ИНОМ = 0,25, 7/7НОм = 0,4,
. Ф/Фном = 0;65, и/Нном = 1,67.
По результатам расчета на рис.
11.12 построена естественная меха-
ническая характеристика двигателя
(сплошная кривая) в относительных
единицах.
11.13. В цепь якоря двигателя,
рассмотренного в задаче 11.12, вве-
ден регулировочный реостат, обеспе-
чивающий снижение частоты враще-
ния якоря при номинальном моменте
до п = 0,5пном. Определить сопротивление реостата и построить ис-
кусственную механическую характеристику двигателя.
Указание. Искусственную механическую характеристику рассчи-
тывают по формуле
п __ Сном k[ (/?„ ! 7? д) 7Я, ном
яном ТСф£Н0И
где коэффициенты &ф и kT определяются по кривым рис. 11.11,6, в.
Сопротивление реостата находят из соотношения
0 5— б^ном (^я + ^д) 7Я НОМ
бцом
откуда
Кд 6,57?НОМ/7Я. ном>
так как при номинальном моменте ток в цепи вращающегося якоря
и, следовательно, поток полюса независимо от значения сопротив-
ления регулировочного реостата будут номинальными, а по усло-
вию, отношение п/пном = 0,5.
Ответ: 7?я=1,ЗЗОм.
Искусственная механическая характеристика показана пунктир-
ной линией на рис. 11.12.
ГЛАВА 12
ТРЕХФАЗНЫЕ АСИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
12.1. Ротор трехфазного асинхронного двигателя (рис. 12.1) при
номинальной нагрузке имеет частоту вращения пном = 720 об/мин.
Определить число пар
Рис. 12.1
полюсов р двигателя, номинальное скольже-
ние SHoM, частоту токов Д и э. д. с. в ко-
роткозамкнутой обмотке ротора, если часто-
та fi напряжения питания (сети) равна 50 Гц.
Решение. Скорость вращения магнит-
ного поля (синхронная скорость) Qo = ®/р =
= 2nfjp, а частота вращения магнитного
поля машины п^бОД/р. При /у = 50 Гц зна-
чения И (рад/с) и п0 (об/мин) в зависимости
от числа пар полюсов р вращающегося маг-
нитного поля обмотки статора указаны в
табл. 12.1.
Зная, что ротор трехфазного асинхрон-
ного двигателя (ТАД) при номинальной на-
грузке вращается с частотой пНОм, которая
на 3—5% ниже частоты п0, находим в ря-
ду синхронных частот вращения п0(р) бли-
жайшее большее значение к заданному значению пном. В нашем
примере па = 750 об/мин, т. е. р = 4 (восьмиполюсная машина),
®ном = («о—Пном)/По = (750—720)/750 = 0,04 = 4 %,
Аном = AsH0M = 50 • 0,04 = 2 Гц.
Таблица 12.1
р 1 2 3 4 5
По, об/мин 3000 1500 1000 750 600
й, рад/с 314 157 105 78,5 63
12.2. Четырехполюсный трехфазный асинхронный двигатель (ТАД)
включен в трехфазную сеть частотой 60 Гц. Измеритель частоты
вращения вала машины показал пном= 1746 об/мин. Каково сколь-
жение ротора в этом режиме?
Ответ: sH0M = 3%.
12.3. В каталожных данных для ТАД серии 4А указываются
следующие величины: Рвом (кВт)—номинальная мощность на валу дви-
гателя (Рном = QhomMhom [Вт, рад/с, н • м]); rtH0M = 60Оном/(2л) (об/мин) —
номинальная частота вращения ротора; t]H0M( %) = Р2/РХ—к. и. д. дви-
гателя в номинальном режиме; cos<p1H0M—номинальный коэффициент
мощности фазы обмотки статора; Afmax/AfH0„—кратность максималь-
ного момента; Л4пуск/Мном—кратность пускового момента; 7Пуск/7Ном—
кратность пускового линейного тока обмотки статора.
Двигатели, которые предназначены для включения в трехфазную
сеть напряжением 220/380 В, имеют обмотки статора, каждая фаза
которых рассчитана на 220 В, т. е. Йф. НОМ = 220 В. Для двигателя
4АА56А243 известно Рном = 0,9 кВт, г]ноМ= . ___________________
= 60%, cos<pHOM = 0,7, nH0M = 2900 об/мин,
•Л4тах/7ИНОМ = 2,2, А^пуск/^ном = 2,0, g-- с--------—-----—
/пуск/Лом = 5,0. Найти номинальный вра-
щающий момент на валу Л4НОМ, номиналы- С---------------------—
ное скольжение sH0M, мощность Рг, пот- I f
ребляемую двигателем из сети, номиналы /J v J I
ные (линейные и фазные) токи обмотки и I F г г
статора, если двигатель включается в сеть \ с F г
напряжением 380 В (механическими поте- 1
рями пренебречь). -----“i~—
Решение. Решение задачи начина-
ем с изображения схемы включения трех-
фазного асинхронного двигателя с указан- Рис- 12’3
ными данными в сеть напряжением 380 В.
Так как к фазе обмотки статора допустимо подвести напряжение,
равное лишь 220 В, а линейное напряжение сети составляет 380 В,
то статорную обмотку следует включить по схеме «звезда» (рис. 12.3),
тогда Дф = UJV3 = 220 В.
Для симметричной трехфазной цепи включения обмотки статора
активная мощность
Р1 = ЗДф7фС03фф, или P1 = V 3 ДЛ7Л cos <рф.
Тогда выражение для линейного тока (в данной схеме /л = /ф) можно
записать в виде
Л = Л/(КЗ Длсозфф), где Рх = Р2/ц.
Подставляя данные из каталога, находим
Л = = Ломком = 0,9/0,6 = 1,5 кВт
и при 7/л = 380 В, cos <р1ном = 0,7 вычисляем номинальное значение
линейного тока обмотки статора: /я ноЯ = 1 500/([/3• 380• 0,7) = 3,25 А.
Отметим, что, зная /ном, можно оценить пусковой ток, так как
^пуск//НОм = 5,0, т. е. /пуск = 57ном= 16,25 А! •
Вращающий момент (механическими потерями пренебрегаем) оп-
ределяем из соотношения >
М м = ^ = -^^ = 9,55-^==- 9,55 J^ = 2,964 H-m.
ном Рном 2ллном пном 2900
Зная ином и ближайшее большее значение п0, из табл. 12.1 на-
ходим
sH0M = (n0—пИом)/Яо = (3000—2900)/3000 = 0,033, или sHOM = 3,3%.
12,4. Построить механическую характеристику трехфазного асин-
хронного двигателя (ТАД), данные которого указаны в условии
предыдущей задачи.
Решение. В процессе решения задачи 12.3 было найдено зна-
чение Л4НОМ = 2,964 Н-м. Поскольку в каталоге указаны отношения
МтахМ4ном = 2,2 и Л4 //Ином = 2,0, находим Мтах = 2,96-2,2 =
= 6,51 Н-м, 7Ипуск = 2,96-2,0 = 5,920 Н-м.
Рис. 12.4
Из теории работы ТАД известно, что механическая характери-
стика имеет вид, представленный на рис. 12.4, а, где частоте враще-
ния пном = 2900 об/мин соответствует номинальный момент /ИноМ =
= 2,964 Н-м, частоте вращения п0 = 3000 об/мин—момент, равный
нулю (холостой ход). Максимальный момент Мтвх наблюдается при
n = nKpi а начальный момент Л4П определяет пусковые свойства
ТАД при п = 0.
Для расчета критической частоты вращения ротора ТАД восполь-
зуемся формулой Клосса:
Д j - 27Итах
S/SKp+ SKp/s ’
т. е.
Для известных значений Л4НОМ = 2,964 Н-м, sH0M = 0,033 и Мтах =
= 6,51 Н-м определяем sKP, как корень квадратного уравнения
с2 4. с2 — О Мтах
°кр Т "ном " ькрьном >
*нном
S =s ( Мтах -/" / Mmax у . \
°Кр 1,2 йном I -п- ~г~ I/ —ГТ---- 1 1 .
\ Мной ' \ Мной ) )
Поскольку sKP всегда больше sH0M, следует найти только одно
значение sKO:
___________________________________________
s = Я ( t ( Л1тах\2 _
SKp «ном^-У У ) -1J-
. =0,033(2,2 + К(2,2)2—1) = 0,137.
При этом nKp — n0(l—sKp) = 3000(1—0,137) = 2589 об/мин. Зада-
ваясь значениями п от нуля до 3000 об/мин, находим ряд значений
7И по формуле Клосса и строим механическую характеристику ТАД.
Расчет проводим с помощью программируемого микрокалькулятора
МК-56 по следующей программе.
Включаем микрокалькулятор МК-56, нажимаем последовательно
клавиши [ в.'о ]
Е ЕЕ
. Вводим программу (нажимая клавиши
и проверяя код операций). Код операций служит формой контроля
правильности ввода:
Нажимаем клавший | F J | А ВT | и вводим исходные данные, т.е. числа Мрнх, Ар и по-
I Mma> | |х—11| [~0~| | | |х—-Г1| |Т] и 0 Е1!| ГЛ. Здесь Мтм-6.62,
«кр-0,137. ло“?р00.
ч. Теперь вводиу число | " [ |х—н[ | 3 [ >Где /i-число от Одо 2999, и нажимаем клавиши
. Прочитываем на индикаторе число М. Вводим новое число и. | СХ |
~3~[ t вновь пускаем программу | |
Результаты расчета сводим в табл. 12.4 и изображаем на гра-
фике рис. 12.4, б.
Т аблица 12.4
п 0 1000 2000 2200 2400 2600 2800 2900
S 1 0,667 0,334 0,267 0,2 0,133 0,067 0,033
м 1,75 2,57 4,58 5,3 6,07 6,51 5,13 2,97
Отметим, что расчет по формуле Клосса дает хорошее прибли-
жение только в рабочей части механической характеристики, т. е.
для п от пв до nKV. Пусковая часть характеристики описывается
этой формулой с большой 1
погрешностью. Истинная механическая
характеристика ТАД в момент пуска
должна проходить через точку Л4пуск =
=5,92 Н-м (см. пунктирную кривую на
рис. 12.4, б).
12.5. На паспортном щитке трехфаз-
ного асинхронного двигателя имеются
следующие данные: Рном = 75 кВт, =
=50 Гц, cos <р = 0,85, иноМ = 735 об/мин,
обмотка статора предназначена для вклю-
чения в трехфазную сеть напряжением
220/380 В соответственно по схеме «тре-
угольник» и «звезда», к.п.д. равен 0,92.
Определить линейный ток в обмотке
статора, активную и реактивную мощ-
Рис. 12.5
Л
В
пости, мощность потерь в роторе при номинальной нагрузке при
включении ТАД в сеть напряжением 220 В.
Решение. Для включения ТАД в сеть 220 В его обмотку
статору следует соединить по схеме «треугольник» (рис. 12.5). При
ЭТОМ /ф. ком Дч.ном/Р^3, а
^*ном
Ди.ном ,,
Чном V З ил совфф
75000
0,92-V 3-220-0,85
= 251,69 А.
Потребляемая из сети активная мощность при номинальной
нагрузке
Р1НО„ = Рном/11 = 75000/0,92 = 81 522 Вт.
При этом полная мощность S1H0M = p<3 Дл/л = 3-220-251,69 =
= 95908 В-А, реактивная мощность Q1HoM = SiHoMSin <рноМ=50522,6вар.
Номинальный момент, развиваемый двигателем, вычисляем, пре-
небрегая механическими потерями, по формуле
или
1, ОЗПном “ " КГ ’М’
Л4110М = 9,55 ^ = 974,5 Н-м.
'^НОМ
v Определив электромагнитную мощность ТАД РэМ = Й0/И, нахо-
дим мощность потерь в роторе при номинальной нагрузке:
р2э. НОМ Я,. НОМ^НОМ ^qA1homShom
974,5 • =. 1,5 кВт.
60 п0
12 .6. Для трехфазного асинхронного двигателя с короткозамкну-
тым ротором из каталога известно:
Дном =40 кВт, пном = 970 об/мин, 41HOM = 0,91,
cos ®ном = 0,89, 7пусн/7ном = 7,0, А1пуск/Л4Н0М= 1,3,
Л4тах/Л4ном=1,8, ,НОМ = 220 В.
Найти коэффициент мощности ТАД при M' = MH0W/k, если ТАД
включен в сеть напряжением 220 В по схеме «треугольник».
Решение. 1. Находим sH0M = (1000—970)/1000 = 0,03.
2. Определяем Л4НОМ=9,55 (РНОм/«ном)=9,55 (40000/970) ==393,8 Н м.
При заданном k = 3 M' = MBOH/k = 131,27 Н-м.
3. Определяем значение линейного тока ТАД при номинальной
нагрузке:
р
гном
Л. НОМ— i/Tr,
‘Чном Г 3 U & СО5 фном
4QQQQ
0,91 -К 3-220-0,89
= 129,6 А.
4. Находим значения активной Рном и реактивной QII0M мощно-
стей, потребляемых ТАД из сети при номинальной нагрузке-
Лном = К3 ПЛ7Л cos <рн_оМ = РИ0МЛ]и0м = 40000/0,91 = 43,95 кВт,
Qihom = /3 ПЛ7Лsin<рном = 22,517 квар.
Будем считать, что при изменении нагрузки от нуля до Л4НОМ
значение реактивной мощности Qi остается неизменным и равным
Q1HOM- v
5. Используя формулу Клосса и найденные значения ^ном> ^ном»
определяем
С - с ( мтах
кр~Ьй0М\Л1Н0М
- т/1VO,O3(1,8 + K(1,8)?-1) =
г \ Л1НОМ / /
= 0,0989.
6. Используя еще раз формулу Клосса, можно найти s' для
любого значения М' по формуле s' = s,,„ } __•
K₽(Afmax/Af'+r(Mmax//W')2-l)
Подставляя Л4' = 131,27 Н-м и Л4гаах.= 1,8 Мном = 1,8-393,8 =
= 708,8 Н-м, находим s' = 0,00923 и, следовательно, п' = пох
Х(1 — s) = 990,8 об/мин.
7. Теперь подсчитываем мощность на валу в этом режиме-
P'2 = -L-M'n= 13618,6 Вт.
У, оо
Считая в первом приближении, что к.п.д. ТАД возрастает ли-
нейно с увеличением момента на валу вплоть до М' = Л4ноМ/4, а
затем остается постоянным и равным т]иом, находим, что для дан-
ного значения М — М' т/ = п1Н0М . В нашем случае /г = 3; следова-
тельно, т]' = 0,91.
При этом потребляемая ТАД из сети активная мощность
р; = р;/-г]' = 13618,6/0,91 = 14965 кВт.
8. Определяя значение полной мощности при нагрузке- /И', на-
ходим значение тока в обмотке статора:
5' = Гзад = К(^)2 + (СномР
или
=70,95 А.
Г зс/л
9. Используя формулу реактивной мощности, получаем
или
Qihom = Qi = / 36/ЛД sin <р',
sin <р' = —£ном , = 22517-----= 0,832.
V ЗС/Л/Л V 2-220-70,95
Отсюда
cos <р' = 0,554.
Вычисляя значения costp' для различных /И', можно построить
зависимость cos<p'(A4'). Эти трудоемкие вычисления в соответствии
с изложенным алгоритмом можно выполнить с помощью програм-
мируемого микрокалькулятора (МК-56, МК-54 и др.):
Нажимаем клавиши
и заносим следующую программу:
56 И 13
57 и и 23
58 ЕЕВ © 6С
59 0 12
60 [х-—п| [с~| 4С
61 [ ЕП | 51
62 □ в 67
63 [м] в 6С
64 |п—Х| в 62
65 □ 13
66 |х—111 |~с~] 4С
67 в 0 22
68 I в| | ОЕ
69 |п—х| □ 61
70 0 в 22
71 в 10
72 В 0 21
73 !п-х| В 65
74 в 33
75 в 03
76 в 0 21
77 в 13
78 |х—п| [~9~| 49
79 [м] □ 65
. 80 в 12
81 в 03
82 В 0 21
83 в 12
84 в и 23
85 1П-Х1 □ 61
86 В 12
87 В 1 sin~‘ 1 19
88 |~f| j cos | 1Г
89 | с/п] 50
Hq—1000, /л.иом^12936.
k
м
cos <p
и строим зависимость cos<p(A4) (для самоконтроля см. кривую 1
на рис. 12.6).
12.7. Найти зависимость cos<p(Af) в условиях предыдущей за-
дачи, если трехфазный асинхронный двигатель (ТАД) включить
в сеть напряжением 220 В по схеме «звезда».
Указание. При такой схеме включения каждая фаза обмотки
статора оказывается включенной на напряжение 127 В, т. е. в J/3 раз
меньшее номинального. Электромагнитные моменты ТАД пропор-
циональны квадрату напряжения на фазе двигателя; следовательно,
в данном случае номинальным для двигателя будет момент втрое
меньший, чем в условиях предыдущей задачи, т. е.
МномА = ЛД0Мд/3 = 393,8/3= 131,27 Н-м.
Для построения зависимости cos<p(A4) следует воспользоваться
программой к задаче 12.6.
Ответ.-, зависимость cos <р (Л4) при Дф= 127 В построена на рис. 12.6
(пунктирная линия).
12.8. Для асинхронного двигателя с контактными кольцами типа
АОК2-61-6 (рис. 12.8) по данным каталога определить значение
сопротивления и мощность трехфазного регулировочного реостата,
обеспечивающего при включении в цепь ротора снижение частоты
Т а блица 12.8
Тип двигателя р НОМ, кВт Лном, об/мин ^НОМ, % cos <₽нок М wax ЛшОМ> А ^Х, В Сопротивления фаз при 20°С, Ом
/Whom R2
АК2-81-4 40 1440 9,0 0,84 2,0 225 по 0,0725 0,00865
АК2-82-4 55 1440 90,5 0,84 2,0 200 160 0,0390 0,00895
АК2-91-4 75 1450 90,5 0,85 2,0 260 185 0,0326 0,01150
АК2-92-4 100 1450 90,5 0,85 2,0 275 235 0,0210 0,01240
АК2-81-6 30 960 89,0 0,84 1,8 150 125 0,0920 0,0110
АК2-82-6 40 960 0.85 1,8 155 155 165 0,0605 0,0125
АК2-91-6 55 960 89,0 1,8 1,8 240 150 0,0590 0,0119
АК2-92-6 75 960 90,5 0,86 1,8 220 215 0,0350 0,0135
АК2-81-8 22 720 87,5 0,79 1,7 150 95 0,1570 0,0109
АК2-82-8 30 720 87,5 0,79 1,7 150 130 0,0935 0,0126
АК2-91-8 40 720 87,5 0,81 1,7 225 120 0,0860 0,0113
АК2-92-8 55 720 90,0 0,81 1,7 200 160 0,0150 0,0136
АОК2-61-4 10 1420 85,0 0,82 1,0 40 160 0,270 0,078
АОК2-61-6 7,5 960 84 0,82 1,8 35 140 0,495 0,076
АОК2-62-6 10 960 85 0,83 1,8 36 100 0,340 0,085
АОК2-61-8 5,5 710 82 0,72 1,7 32 115 0,645 0,071
.вращения вала двигателя до 700 об/мин при неизменном моменте,
равном номинальному. Механическими потерями пренебречь.
Технические данные трехфазных двигателей с контактными коль-
цами серии АК2 (защищенные) и серии АОК.2 (закрытые, обдувае-
мые) приведены в табл. 12.8.
Решение. При номинальной нагрузке двигателя обмотка его
ротора нагревается до 75°С.
Для того чтобы найти активное сопротивление фазы нагретой
обмотки, следует известное значение’ этого сопротивления R^c —
= 0,076 Ом увеличить в отношении (234,50+75о)/(234,5°ф-20°)= 1,24.
Следовательно, Rs = R7s°c = 1,24 • 0,076 = 0,094 Ом.
Для определения сопротивления регулировочного реостата
воспользуемся равенством
(Да 4” R-pj'/S = Ps/«hom,
где sHCM—Номинальное скольжение ротора:
«ном = («0—«ном)/«0 = (1000—960)/1000 = 0,04.
Скольжение ротора при п = 700 об/мин
s = (п0—п)/п0 = (1000—700)/1000 = 0,3.
Сопротивление регулировочного реостата
Rv = Rz (s/sH0M— 1) = 0,094 • (0,3/0,04— 1) = 0,611 Ом,
Мощность реостата
Рр = 3/?p/|HOM = 3-0,611 -352 = 2240 Вт.
12.9. Для асинхронного двигателя АК.2-81-8 (см. табл. 12.8)
определить номинальный момент, потребляемую мощность, мощность
потерь в обмотке ротора и сопротивление /?пуск фазы пускового
реостата, обеспечивающего при включении в цепь ротора пуск дви-
гателя с максимально возможным моментом, если двигатель включен
по схеме «треугольник» в сеть напряжением 220 В.
Решение. Номинальный момент находим из известного ра-
венства
Мном= 9,55^= 9,55-^ = 291,8 Н-м.
ИНОМ
По данным каталога определяем
Pt = Рном/Пиом = 22000/0,875 = 25143 Вт.
Пренебрегая механическими потерями, записываем выражение
для вычисления мощности электрических потерь в обмотке ротора.
При номинальной нагрузке
Р2Э~ РЭМИНОМ = AfH0MQ(|SH0M — А1ном gQ «ном 916 Вт,
где
sHOM = (750-720)/750 = 0,04.
Пуск двигателя с максимальным моментом, т. е. при s = sKP,
обеспечивается введением в каждую фазу обмотки ротора резистора
с сопротивлением 7?пусй, ПРИ этом
(-^2 "Ь ^пуск)/$кр = ^2^Н0М> ИЛИ ^?пуск ~
= ^2 (shP/Shom— 1) = 0,0109 (0,123/0,04— 1) = 0,0226 Ом,
где Rz — 0,0109 Ом—сопротивление обмотки ротора в холодном
состоянии (при 20°С); sHP—критическое скольжение ротора;
5кр = SH0M (Л4тах/Л4„ом + V(Л4тах/Л4ном)3-1)
= 0,04(1,7+/(1,7)?—1) = 0,123.
ГЛАВА 13
ТРЕХФАЗНЫЕ СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
ТРЕХФАЗНЫЕ СИНХРОННЫЕ ДВИГАТЕЛИ
13.1. Определить номинальный момент /ИноМ, линейный ток I
статора, номинальный к.п.д. т)ном, активную Р и реактивную Q
мощности, потребляемые из сети шестиполюсным синхронным дви-
гателем (рис. 13.1, а). Номинальные данные двигателя: номинальная
мощность /ЭНОМ = 990 кВт, номинальное напряжение £7НОМ = 6 кВ,
cos<p = 0,8 (опереж.), отношение Mmax/AfH0M = 2,2, синхронное сопро-
тивление Х=42 Ом, номинальная частота вращения ппом= 1000 об/мин.
Построить угловую характеристику двигателя и векторную диа-
грамму состояния фазы обмотки статора двигателя для номинальной
нагрузки.
Решение. Номинальная угловая скорость ротора трехфазного
синхронного двигателя (ТСД)
QIIOM = 2jtnHC1M/60 = «//? = 314/3= 105 рад/с.
Номинальный момент *
А1НОМ = РНОМ/£2НОМ = (990 • 10«)/105 = 9,43 Юз Н • м.
Номинальный линейный ток статора, обмотка которого обычно
включается по схеме «звезда».
7 = Рном 990-103 ,
Чном V з ^ном COS<pHoM Дном" 3’6-103-0,8
где t/H0M—номинальное линейное напряжение, подаваемое на об-
мотку статора.
* Во всех задачах этой главы не учитывается насыщение магнитной цепи
машины; предполагается, что машина подключена к сети большой мощности
(f=const, V — const).
Отсюда для определения т]ном необходимо найти ток 7.
Как известно, уравнение угловой характеристики имеет вид
М = 3U^HO E0 s.n 0 = sin е<
I
Находим Л4гпах = 2,2Л1н0М = 2,2-9,43- 10s = 20,75- 10s Н-ми строим
Л4 = /Игаах sin 0 (рис. 13.1,6).
При номинальной нагрузке sin 6Н0М = Л4н0М/Л4П1ах = 0,45, 0НОМ=27°.
Для построения векторной диаграммы изображаем упрощенную
схему замещения фазы обмотки статора (рис. 13.1, в) и, записывая
выражение Оф_ ноМ—jXI = Ео, находим
__ -^тах^ном-У _20,75-103-105-42_g g кВ х
36/Ф.НОМ ~ 3-6-103/1Аз ~ ’
Строим векторную диаграмму (рис. 13.1, а) и определяем
До sin 0 = 8,8-0,45 = 4 кВ, До cos 0 = 7,83 кВ,
E0cosO—Пф ном = 7,83—3,46 = 4,38 кВ,
XI = К (До sin 0)2+ (£0 cos 0—7/ф. ноМ)2 = 5,94 кВ.
Зная значение А = 42 Ом, получаем
7 = 5940/42=141,4 А.
Определяем
т]ном = ==------------= "°'103-----= 0,842.
К 3 6Н0М/cos <рНОм К 3-6-10s-141,4-0,8
Вычисляем
7’ = 7>ном/'Лном= И76 кВт, Q = Р tg <рпом = 882 квар.
13.2. Трехфазный синхронный двигатель нагружен постоянным
моментом, равным номинальному. В первоначальном режиме ток
возбуждения машины был равен 1,4 7В0, затем его увеличили и коэф-
фициент мощности стал равным 0,9 при опережающем токе статора.
Номинальные данные двигателя:- номинальная мощность Рнок =
= 4000 кВт, номинальное напряжение 7/ноМ = 6 кВ, номинальный
ток 7НОИ = 443 А, число полюсов 2р = 2, синхронное сопротивление
Х = 9,75 0м, отношение Л4тах/Л4ном = 2,2 (при токе • возбуждения
7В = 7ВО э. д. с. фазы обмотки статора £0= Дф нсм). Построить угло-
вые характеристики и векторные диаграммы для двух режимов воз-
буждения. Отметить на характеристиках рабочие точки.
Решение. Электромагнитный момент двигателя при номиналь-
ной нагрузке
^ = -^ = ^- = 2^1) =12’7'103 Н-
Угол рассогласования определяем из уравнения угловой харак-
теристики:
„• П _ 44НОМ _ Миоидном X
Л4тах - 36ф.нОМ£0-
£> случае линейности характеристики намагничивания машины
э. д. с. Ео пропорциональна току возбуждения; при /в = 1,4/Е0
э. д. с. Д, = 1,4Пф ноМ= 1,4-3,46 = 4,85 кВ. Следовательно, в первом
режиме возбуждения
,, 3£0<7фном 3-4,85-103-3,46-103 „
^inaxi— — 314-9,75 — 16,5-103 Н-м,
sinOj = Мном/Л4тахх = 12,7-103/(16,5-103) = 0,77, 0х = 50°.
Угловая характеристика для этого режима построена на рис. 13.2, а
(кривая 7); на ней отмечена рабочая точка, соответствующая задан-
ному моменту нагрузки на валу.
Векторную диаграмму
проводим векторы С/ф ном
строим в следующем порядке. Сначала
и Ёо, для которых известны модули и угол
сдвига фаз (рис. 13 2,6). Затем определяем положение векторов
падения jXl и тока 7. Графический расчет дает значение тока 1г =
— 366 А, а коэффициент мощности cos <рх « 1.
Во втором режиме возбуждения cos<p2 = 0,9 (емк.). При неизмен-
ном моменте сопротивления активная мощность, потребляемая дви-
гателем из сети, также постоянна: Р = Рко„ = 4000 кВт. Поэтому
сохраняется неизменной активная составляющая тока статора:
/х cos фх = /2 cos <p2 = Рнси/(/3 Пном).
Следовательно, ток
Р
J __ ____* ном
*2 л/"о г 7
j000-- = 426 А.
У 3t/HOMcosq>2 V 3-6-0,У
Построение векторной диаграммы для второго режима начинаем
с векторов £/ф „сМ и /2. Затем проводим вектор /А72 перпендикулярно
вектору тока 72 и графически определяем значение э. д. с. Его =
= 6,33 кВ. Угол 02 можно найти по векторной диаграмме из усло-
вия Е1в sin 0Х = Е20 sin02 или аналитически, используя угловую харак-
теристику двигателя; 02 = 36°. Угловая характеристика для второго
режима, т. е. при большем значении тока возбуждения, изображена
на рис. 13.2, а (кривая 2).
13.3. В цехе завода установлены асинхронные двигатели, средняя
мощность и cos <р которых указаны в табл. 13.3а.
Т а б л и ц а 13.3а
№ п/п Число двигателей Средняя потребляемая мощность одного дви- гателя, кВт COS ф
1 20 0,95 0,76
2 24 0,82 0,45
3 32 0,45 0,48
4 8 4,0 0,75
5 20 0,6 0,68
6 12 0,59 0,58
7 7 4,85 0,77
Проектируется установка еще одного электрического привода,
для которого предполагается использовать синхронный двигатель
со следующими номинальными данными: номинальная мощность
Рном=160кВт, номинальное напряжение t/H0M = 380 В, номинальная
частота вращения ротора пном=1000 об/мин, номинальный коэффи-
циент мощности cos<pHOM = 0,8 (емк.). Определить коэффициент мощ-
ности и ток, потребляемый цехом до и после установки синхронного
двигателя (двигатель будет нагружен в соответствии с номинальными
данными).
Решение. Определяем активные и реактивные мощности асин-
хронных двигателей (табл. 13.36).
Таблица 13.36
№ п/п I 2 3 4 5 6 7 Суммарная мощность
Р, кВт 19 19,7 14,4 32 12 7,1 19,4 Рг — 124 кВт
<2, квар 16,2 38,8 26,0 28,4 13 10 16,1 Qi = 149 квар
Мощности синхронного двигателя равны: Рном =160 кВт,
Сном = Рном tg <р = 160 • 0,75 = 120 квар.
Суммарная мощность всей нагрузки после установки синхронного
двигателя Р2= 124-ф 160 = 284 кВт, Q.2=149—-120 = 29 квар.
Коэффициент мощности нагрузки:
до установки синхронного двигателя
I24 л сс
cos (Г, = -- = 0,66,
К1242ф1492
после установки синхронного двигателя
284 Л ппк
cos = • r - — = 0,995.
2 /2842 4-294
Ток нагрузки:
до установки синхронного двигателя
1491-294 А,
V 3 t/H0M V 3-380
после установки синхронного двигателя
К2М.+ 29.'
V 3-380
А.
Таким образом, при увеличении активной мощности нагрузки
в 284/124 = 2,3 раза ток нагрузки увеличился лишь в 1,47 раза.
13.4. Для трехфазного синхронного двигателя построить семейство
угловых характеристик, соответствующих трем значениям тока воз-
буждения: /в = /в0, /в=1,3/в0 и /в = 1,6/в 0. Отметить на них рабо-
чие точки Л4 = 7ЙНОМ, затем по этим точкам провести U-образную
характеристику двигателя и указать на ней точку предела стати-
ческой устойчивости (0 = 90 ). Расчет выполнить графически путем
построения векторных диаграмм. Номинальные данные двигателя:
номинальная мощность РНОМ = 2 500 кВт, номинальное напряжение
^ном = 6 кВ, номинальный коэффициент мощности cos <рном = 0,9,
номинальная частота вращения ротора /гном = 3000 об/мин, синхрон-
ное сопротивление Х = 9,5 Ом.
Решение. Максимальный момент
3E0Uф. ном
М =-------------
1 max QX
Угловая скорость остается неизменной:
П = 2лп/60 = 2л-3000/60 = 314 рад/с.
При условии линейности характеристики намагничивания машины
э.д.с. Еа пропорциональна току возбуждения: при /в = /в0 э.д.с.
Ед = ном = 3,46 кВ, при /в = 1,3 /в „ э. д. с. Ео = 1,3 нсм = 4,5 кВ,
при /в= 1,6/в0 э.д.с. Ед= 1,6 НОМ = 5,54 кВ.
По найденным Й и £0 подсчитываем соответствующие значения
момента: /Итах= 12-10s; 15,5-10s; 19,2-103 Н-м.
Угловые характеристики с этими значениями Мтах построены
на рис. 13.4, а. Номинальный момент двигателя определяем по номи-
калькой мощности:
Мном = Рном/Н = 2500 • 103/314 = 8 • 103 Н • м.
При заданных режимах возбуждения ему соответствуют углы
рассогласования 9 = 41,5; 31; 25, рассчитанные по формуле sin 9 =
Для построения U-образной характеристики /(/В//ЕО) по найден-
ным значениям Ео и 0 определяем ток статора, пользуясь векторными
диаграммами рис. 13.4,6.
Результаты графического расчета сведены в табл. 13.4, по кото-
рой указаны точки 1, 2 и 3 на рис. 13.4, в.
Таблица 13.4
^в/^Б 6 1 1,3 1,6
1, А 258 248 316
Предел статической устойчивости соответствует углу 9 = 99°, когда
АГном — АГтах ~ 3Uф. ном^о/(^-^)‘
Отсюда
р А1НОИЙХ 3- Ю3.314-9,5 q о . z>3 г>
°- 31/ф.ном ““3.3,46.10? D-
Этой э. д. с. соответствует ток возбуждения
/в /в ° и^. ном “/в0 3,46 — 0,665 /в0.
По векторной диаграмме нахо-
дим ток / = 439 А и отмечаем точ-
ку 4 U-образной характеристики.
13.5. На рис. 13.5 изображены
U-образные характеристики синхрон-
ного двигателя, построенные в отно-
сительных единицах: = 7/7Н0М и
/м = /в//в0. С помощью этих харак-
теристик определить коэффициент
мощности двигателя при М = б,6А4Н0М
и М = Мном; когда ток возбуждения
I = 2
Решение. Коэффициент мощ-
ности равен отношению активной со-
ставляющей тока к полному току
статора: cos<p = /a// = /a*//3;. Точка
минимума U-образной характеристики определяет активную состав-
ляющую тока, так как в этом режиме cosq>=l и /» = /а*.
При неизменной нагрузке на валу Р = J/ 3 UH0M/a = const и /а* =
== const для любого режима возбуждения.
При Р = Рно„ = A4,IC1MQ (точка Л) ток 4* = 0,91, Д = 0,95, следо-
вательно, cos q>=0,91/0,95=0,96. При Р=0,6 Рком=0,6 7ИН0МП(точка Б)
ток 7as = 0,58, /* = 0,8, cos <р = 0,725.
13.6. Как изменится режим работы (угол 0, частота вращения,
ток статора) шестиполюсного синхронного двигателя мощностью
2700 кВт, если напряжение питающей сети снизится на 25% по
отношению к номинальному напряжению ^7ноМ = 6 кВ? Двигатель
при номинальном возбуждении нагружен номинальным моментом
сопротивления. Синхронное сопротивление двигателя Х=16 Ом.
Номинальный коэффициент мощности cos <рном = 0,8, номинальный
к. п. д. т]ноМ = 0,96.
Решение. 1. При номинальном напряжении UK0M = 6 кВ:
мощность энергии, потребляемой из сети,
Р = РномА]НоМ = 2700/0,96 = 2812 кВт,
ток двигателя
= —=-------------= -?j812 =338 А.
з Сном cos фном V 3-6-0,8
Угол рассогласования 01т найденный с помощью векторной диа-
граммы рис. 13.6,6, равен 32,8°, э.д.с. £„ = 7,979 кВ.
XI со sip
Для определения 0 и Ео выполняем следующие вычисления.
Зная /, находим:
/а = /! cos <р = 270,4 А,
/р = /1 sin <р = 202,8 А,
Х/а = 4326,4 В,
А7р = 3244,8 В,
£„ sin 0 = А7а = 4326,4 В,
Ее cos 0 = + t/ф. вом = 6704,8 В,
Ее = К(Ео sin 0)3 + (£„ cos 0)3 = 7979 В,
sin0 = X/a/Po = 0,542, 01 = 32,8а.
Оформляем эту последовательность вычислений в виде программы
на программируемом микрокалькуляторе:
[прг]
Нажимаем клавиши | В/0
и вводим программу.
№ шага Нажимаемые клавиши Код операций Комментарии
00 |П~Е [2] 62 Вызов из памяти cos <р
01 | В| | СЕ
02 1ПЕ Е 60 Вызов из памяти 1
03 В 12 Умножение Zcos*/?
'04 ЕЕ L2J 63 Вызов из памяти А’
05 Е 12 XI cos «/>
Хранение в памяти
06 |х^п| j 4 | 44 X/a"X/cos^>
07 1ПЕ.. □ 62 Вызов издамяти cos<p
08 В ЕЕ I arccos *р = ip
09- | F | [ sin | 11 sin^p
10 |п-~х| |~0~j 60 Вызов из памяти /
11 в 12 7sin<p
12 ЕЕ Е 63 Вызов из памяти X
13 ’В j 12 Ar/sin\P = /pA’
14 |х-^п| | 5 | 45 Хранение в памяти Х1р
15 ЕЕ Ш 61 Вызов из памяти 17ф.нсм
10 р~[ 10 Af/p + Z/ф.ном ~ -C’pCoS’p
17 Е 1 х21 22 (Ео cos V')2
18 ЕЕ В 46 Хранение в памяти (^ocosip)2
19 |п—х| | 4 | 64 Вызов из памяти Х7а
20 |~F~| | X2 | 22 PfZaJ2
21 |п-^х| |~FJ 66 Вызов из памяти (£0cos.p)2
22 0 10 f60cos4>/+ (Л'/а)2
23 Е ГЕ 21
24 I с/п [ 50 Останов. Индикация Ео
25 ЕЕ ы 64 Вызов из памя ш .17а
26 В Е0/Х7а
1
27 И [ 1/Х | 23 XVfo-sin0
28 И | sin"1 | 19 arcsin 0=0
29 Гс/п 1 50 Останов. Инл икания 0.
С помощью этой программы рассчитываем и Включаем микрокалькулятор.
В данном случае /,=338 А, <7ф. ном =3460 В, cos<р11СМ=0,8, Х="16 0м.
Первое число на индикаторе покажет
Нажимаем клавиши
значение £0-7979 В.
Нажимаем клавишу
C/111. Второе число па индикаторе покажет значение 0,=32,8“.
2. При напряжении U — 4,5 кВ или £7$ = 2,6 кВ частота враще-
ния п = 1 000 об/мин не изменится. Сохранится прежней и э.д.с.
Ев, так как она определяется только током возбуждения, который
не изменился.
Смотрим, как изменяется угол 0, ток / и угол <р при неизменной
мощности нагрузки Р = 2812 кВт.
Выполняем следующие вычисления (рис. 13.6, а, б):
• о рх
д • рх
= arcs Ш 7777—= = . . .,
2 ЗбфЕ0
т-> . xz г т о sin 6о
Ев sin 02 = XIZ, т. е. 1л = -±-^—= ...,
pall Yl I pDCOS 62~ Сф, ном
cos 02 ^ф. ном т. е. /р - х • • - >
<p2 = arctg (/р/7а) = •••>
/2=/a/cos<p2= ....
Оформляем эту последовательность вычислений в виде программы
на программируемом микрокалькуляторе:
ТГажимаем клавиши | в/0 | | F | | прг и вводим программу.
№ шага Нажимаемые клавиши Код операций Комментарии
00 L 1^~х| □ 60 Вызов из памяти Р
01 1 Ej | ОЕ
02 L Е 63 Вызов из памяти А’
03 0 12 . РХ
04 [Т] 03
05 Н 13 PXI3
06 [ п-^х| [~1~ 61 Вызов из памяти 17ф
07 Е 13 РХ/ЗЩ
08 L п—х| □ 67 Вызов из памяти Ее
05 в 13 TT-^sinfl? 3(7фЕ0 2
10 х-^п[ |~8~ 48 sin 02 в память | 8 |
11 J] 1 sin”1 19 02
12 I СП | 50 Останов. Индикация О,
13 1 Х-~п| □ 49 в память | 9 [
м В I cos 1г cos 02
15 1 х-~-п| 1 а 4— cos 02 в память | а |
36 L п—х| р~ 67 Вызов из памяти 7?0
17 0 12 jEqCos 02
18 1 п—х| [Т - 61 Вызов из памяти
19 Б И Eq COS
20 1 п-^х| 0 63 Вызов из памяти X
21 Е 13 h
22 1 х-^п| [~9~ 49 Запись /р в память | 9 |
23 п—х| ГТ 67 Вызов из памяти Eq
24 | В| | ОЕ
25 L п-*х| |Т 68 Вызов из памяти sin 62
26 □ 12 Eosin 0j
27 |!«~Х| [Т] 63 Вызов из памяти X
28 Е 13 li
29 [п~х] Е 69 Вызов из памяти 1е
30 в 13 - IJIf
31 В [ УХ | 23 уъ
32 В [ lg~‘ 1 V
33 - | с/п 50 Останов. Индикация 9>
34 [f~| £ sin 11 Sin «р
35 ЕВ -В 69 /р
36 и 13 sin -PZZp
37 [Г] £ Тх~] 23 , I
38 I СД1 50 Останов. Индикация /
Нажимаем клавиши | F | | АВТ| и вводим исходные данные:
Е ЕЕЗ Е. И |х—п| |~Т~] 0 |х——-п| |~3~| [йо] |х-—Г|| |~7~|
В данном случае Р—2812000 Вт, £о*=7980 В. £/$“2600 В, Ом.
Нажимаем клавиши j В/О [ [ С/П [ . Первое число на индикаторе показывает1
Значение угла 62.
Нажимаем клавишу | c/n j и прочитываем значение угла «Р2> вновь нажимаем
клавишу [ С/П | и получаем значение тока Z2 •
Вы должны получить значения О2 = 46°, <р2 = 26,8°, /2 = 404 А.
Итак, при снижении напряжения угол 0 и ток статора возра-
стают (рис. 13.6,6).
ТРЕХФАЗНЫЕ СИНХРОННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
13.7. Найти ток, коэффициент мощности, активную и реактив-
ную мощности турбогенератора при токе возбуждения /в = 500 А,
когда момент на валу Л4 = 150000 Н-м. При расчете использовать
векторную диаграмму. Паспортные данные генератора: Pw,„ =
= 100000 кВт, Пном= 15,75 кВ, Х = 3,1 Ом, cos<рном = 0,9;. в ре-
жиме холостого хода при Д0 = ЙфноМ ток возбуждения/в 0 = 294 А,
пнон = 3 000 об/мин.
Решение. Фазную э. д. с. Ео в заданном режиме определяем
из -условия пропорциональной зависимости ее от тока возбуждения.
ном 7в/Л< о>
£ _ ^ном 7в — 15-75 500 = 15 46 КВ.
° У 3 /в0 У 3 294
откуда
Угол рассогласования 6 определяем из уравнения угловой харак-
теристики:
sin.0
MQX _ 150-103.314-3,1
3£7Ф. ном£о ~ 3- 9,1 • 10а-15,46- 1(Я
0,347, 0 = 20,3°.
Зная значения Ео, . ноМ и 0, можно построить в масштабе
векторную диаграмму генератора (рис. 13.7) и определить по ней
падение напряжения XI — 7,5 кВ и ток статора
/ = Х//Х = 7,5/3,1 =2,42 кА.
По мощности находим активную составляю-
щую тока и коэффициент мощности:
Р = = 314• 150-Ю3 = 47,2 мВт,
Р 47,2-lOs , д
Л = ЗСФ.НОИ 3-9,1-Юз КА’
cos <р = IJ1 = 1,73 • 103/(2,42 • 103) = 0,715.
Реактивная мощность
Q = Зиф но„/ sin <р = 3 • 9,1 • 2,42 • 0,7 = 46.,2 М вар.
13.8. Найти максимальную активную мощ-
ность трехфазного турбогенератора, соответ-
статической устойчивости.- Номинальное напря-
ствующую пределу
жение генератора 400 В, номинальная мощность 500 кВт; ток воз-
буждения генератора установлен таким, что э.д.с. £0 = 1,2й/ф. ном.
Синхронное сопротивление машины X = 0,38 Ом, синхронная скорость
3000об/мин. Может ли машина при таком возбуждении отдавать в
сеть номинальную активную мощность?
Ответ1, предел статической устойчивости Рм = 505,3 кВт. При
заданном возбуждении машину нельзя нагружать до номинальной
мощности Рном = 500 кВт, так как угол
рассогласования 0 будет равен 90° и
устойчивая параллельная работа гене-
ратора с сетью окажется невозможной.
13.9. Как нужно изменять вращаю-
щий момент и ток возбуждения синхрон-
ного генератора, чтобы при увеличении
активной мощности генератора его ко-
эффициент мощности был неизменным?
Построить годографы векторов э.д.с. Ей
и тока / при cos<p = 0,8.
Ответ', на рис. 13.9 построены век-
торные диаграммы генератора для нес-
кольких режимов и показаны годогра-
фы векторов Ее и I. Увеличение вра-
Рис. 13.9
щающего момента турбины сопровож-
дается ростом угла рассогласования 0. Для сохранения неизменным
коэффициента мощности (cosq>) синхронного генератора необходимо
одновременно увеличивать э.д.с. Ео, т. е. ток возбуждения ротора.
13.10. Как изменится режим работы гидрогенератора, если упа-
дет давление в напорном трубопроводе, вследствие чего уменьшится
вращающий момент этого генератора. Изменение режима указать на
U-образных и угловой характеристиках. Построить соответствующие
векторные диаграммы.
Ответ: при уменьшении момента первичного двигателя от 7ИЛ-
до Л12 ротор генератора начнет тормозиться, так как противодей-
ствующий электромагнитный момент станет больше вращающего.
Угол рассогласования 6 станет уменьшаться: 02 < 0Х. Соответствен-
ном
но начнет уменьшаться электромагнитный момент М = —-------sin 6,
так как ток возбуждения /в и э.д.с. £0 остаются неизменными.
Рис. 13.10
Переход из первого режима (точка 1) во второй (точка 2) на U-
образных и угловой характеристиках (рис. 13.10, а,б) показан стрел-
кой, а на векторной диаграмме рис. 13.10, в—поворотом вектора Ёо
на угол 0j—02. Из диаграммы видно, что А72 < XI следователь-
но, /2 < /х. Одновременно уменьшаются активная составляющая тока
статора (<р2 > <Рц /2а < Ла, cos <р2 < cos <pj) и активная мощность
генератора.
13.11. Что произойдет с нагруженным генератором при внезап-
ном отключении его от электроэнергетической системы?
Ответ: при отключении генератора от системы исчезнет магнит-
ное поле статорной обмотки и вместе с ним противодействующий
электромагнитный момент. Под действием момента турбины ротор
начнет ускоряться. Когда скорость ротора достигнет значения,
определяемого уставкой регулятора турбины, исполнительный орган
регулирующей системы прекратит доступ пара или воды к турби-
не. Вращающий момент турбины станет равен нулю, и скорость
ротора будет постепенно снижаться.
13.12. Трехфазный генератор, развивающий активную мощность
Р = 35-103 кВт, подключен к шинам станции с напряжением 1/пои=
= 10,5 кВ. Синхронное сопротивление машины X = 3,2 Ом, синхрон-
ная частота вращения ротора 3000 об/мин. Изменением тока воз-
буждения коэффициент мощности установлен сначала равным еди-
нице, а затем 0,7 при индуктивном'характере тока статора. Постро-
ить угловые характеристики и отметить на них точки, соответст-
вующие заданным режимам. Построить векторные диаграммы гене-
ратора. Определить реактивную мощность, отдаваемую машиной в
сеть.
Решение. Первый режим. Присоз<р=1 векторы Ефном и jXI
будут взаимно перпендикулярными, поэтому
j = _ р___________ _35 = 1 92 кА
V 3{7homCos<p 3.10,5-1 ' ’
Ео = K^.hom+(W = Кб,062 + (3,2-1,92)® = 8,63 кВ,
sin 0 = XI/Ео = 3,2-1,92/8,63 = 0,711, 0 = 45°.
Векторная диаграмма построена на рис. 13.12, а.
Максимальный электромагнитный момент
ЗЕ0С/Ф.НОМ 3-8,63-10®-6,06-10® ткйшзи
. = “Ж-------=--------ЗЛ314-----= 156-10® Н-М.
По известной амплитуде строим угловую характеристику М (0)=
=-Mm.,* sin 0 (кривая 1 на рис. 13.12,6) и отмечаем точку А для
которой 0 = 45°.
Реактивная мощность при заданном cos<p=l равна (Q = 0).
Второй режим. При cos ср = 0,7 (инд.) угол ср = 45° и ток
I = . 35----= 2,74 кА.
К 3-10,5-0,7
Построение векторной диаграммы рис. 13.12, а начинаем с век-
торов напряжения Ёф ном и тока /. Затем к вектору Ёф.ном при-
страиваем вектор падения напряжения jXI и находим значение э.д.с.
Ео=13,8 кВ.
Угловую характеристику 2 для второго режима (рис. 13.12,6)
строим по максимальному значению момента:
ЗЕ07/Ф.НОМ 3-13,8-10®-6,06-10® 1n, „
~ =-------3^314-----= 250 • 10® Н - М.
Для определения рабочей точки (точка В) и угла 0 воспользу-
емся соотношением
. д М Р 35-Ю6 Л . .с о Со
sin0— .. —_ , 3 — 0,445, 0—-26,5 .
сИтпах “сИтпах 314-250-10®
Реактивная мощность
Q = зиъ. ном 1 Sin ф = 3 • 6,06 • 2,74 • 0,71 = 35,6 Мвар.
ГЛАВА 14
ПРИНЦИПЫ ВЫБОРА ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕ^
АППАРАТУРА УПРАВЛЕНИЯ И ЗАЩИТЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
14.1. Для привода вентилятора, работающего в продолжитель-
ном режиме с постоянной нагрузкой, установлен асинхронный
электродвигатель основного исполнения
следующие номинальные данные: Риоы~
= 1,50 кВ.т, пном= 1415 об/мин. Механи-
ческая характеристика двигателя и кри-
вая зависимости момента на валу вен-
тилятора от частоты вращения показа-
ны на рис. 14.1. Определить частоту
вращения и мощность двигателя.
Решение. Частоту вращения рото-
ра электродвигателя определяем графи-
чески путем нахождения точки пересе-
чения механических характеристик дви-
гателя и вентилятора (точка а на рис.
14.1). По координатам точки нахо-
дим, что частота вращения ротора п2=
= 1440 об/мин, а вращающий момент двигателя М = 9,4 Н-м. При
этом двигатель развивает на валу мощность Р2 = 0,1057Ип2 = 0,105х
X9,4-1440-10~3 = 1,42 кВт. Эта мощность несколько меньше номи-
нальной, однако ближайший по мощности двигатель имеет номи-
нальную мощность Рном = 1,Ю кВт (см.: электротехнический спра-
вочник, т. 2.—М.: Энергоиздат, 1986).
14.2. В решении задачи 14.1 найдена частота вращения, с кото-
рой электродвигатель вращает вентилятор в установившемся ре-
жиме. Определить время, необходимое для разгона электропривода,
если известно, что момент инерции ротора «/р = 0,0105 кг-м2, а мо-
мент инерции вентилятора JB = 0,7Jp.
Решение. С помощью механических характеристик электро-
двигателя п2 (/Идв) и вентилятора п2(/Ис), приведенных на рис. 14.1.,
можно найти значение динамического момента Л4кин = /Ид„—/14с, за
счет которого происходит разгон электропривода от частоты враще-
ния пнач = 0 до пуст = 1440 об/мин. Среднее значение Мдин равно
17 Н • м. Для определения времени разгона воспользуемся решением
уравнения движения электропривода:
J rtycT-"^нач
9J55 Мдв—Мс ’
где ?р—время разгона; / = 7Р + 7В—суммарный момент инерции
двигателя и вентилятора; п2, пнач—установившаяся и начальная
частоты вращения электропривода; М№, Мс—момент, развиваемый
/у Н-м двигателем, и момент статической на-
грузки.
В данном случае
, 0,0105 + 0,0105.0,7 1440 —0 Л1СО
*₽=-------------------17-=0,158 с.
9,55
помещении с запыленностью не более 2 мг/м®.
14.3. Определить мощность, необхо-
димую для привода механизма, выбрать
электродвигатель по каталогу и произ-
вести его проверку на перегрузочную
способность.
Нагрузочная диаграмма механизма,
момент которого приведен к валу дви-
гателя, изображена на рис. 14.3. Час-
тота вращения вала п2 = 2860 об/мин.
Двигатель должен быть установлен в
Решение. При определении мощности электродвигателя для
длительной работы с переменной нагрузкой можно воспользоваться
методом эквивалентного момента
м Mfa + M?t2 + Mlt3 + Mlh + Mlt5
где Mlt M2, Ms, M5—моменты нагрузки двигателя соответст-
вующих участков нагрузочной диаграммы: tlr t2, ts, Ц, t5 — время
работы с заданными моментами; ta = ^t—время цикла.
Значения Л4Х, /И2, /И3, /И4, М5 и tu t2, t3, t5 определены из
рис. 14.3. В данном случае
.. , /“ 802-10 + 502-10 + 302-10+ 1002-3 + 602-8 nrj
----- Ю+Ю+ю+з+8 ---= 61,9Н.м.
г> п Л1экя2 61,9-286-10“3 10С7
Расчетная мощность двигателя Р = ----тгтт---------= 1 о,57 кВт.
У,оэ У,оЬ
Выбираем электродвигатель защищенного исполнения типа 4A180S2Y3
с техническими данными Рном = 22,0 кВт, пноМ = 2940 об/мин. Отно-
шение максимального момента к номинальному /14тах/Л1Н0М = 2,5.
Номинальный момент двигателя, предназначаемого для установки
в качестве приводного,
д, 9,55РНО,., 9,55-22-10® 7п д и ..
7ИноМ = = ~294б : = 70’4 Н •М-
Максимальный момент
Afmax = 2,5 /14нои = 2,5- 70,4 = 176 Н • м.
При проверке по перегрузочной способности должно удовлетво-
ряться условие
ЛГнаиб < kMшах»
где 2Инаиб—наибольший момент на одном из участков графика из-
менения момента; k = 0,85—коэффициент, учитывающий возможное
снижение напряжения; Л4тах—максимальный момент двигателя.
Согласно рис. 14.3, /Инаиб = Mt = 100 Н-м,а 0,857Итах = 149,6Н-м,
т. е. заданные условия выполняются.
14.4. Электропривод с асинхронным двигателем типа 4A180S2Y3
пускается с моментом нагрузки Л4С, равным 0,4Л4НОМ. При этом он
разгоняется до частоты вращения п2 = 2940 об/мин. Определить время
разгона, если дополнительно к данным задачи 14.3 пусковой момент
электродвигателя 7ИП = 1,4 7ИНОМ, а суммарный момент инерции элект-
ропривода, приведенный к валу двигателя, 7 = 0,125 кг-м2.
Решение. С известными допущениями можно принять, что в
режиме пуска среднее значение динамического момента асинхрон-
ного электродвигателя
Л4ср = (Л4„1ах + Л1п)/2,
где Л1п;ах—максимальный момент.
В данном случае
176,0+1,4-70,4 ш-тоы
7Иср = —-—-------— = 1^7,2 Н • м.
Тогда время разгона
J п2 _ 0,125 2940
9,55 Мер—0,4Л1НОМ — 9,55 137,2—0,4-70,4 ~
14.5. Выбрать трехфазный асинхронный двигатель с коротко-
замкнутым ротором основного исполнения для привода станка, ра-
ботающего в режиме, заданном на-
грузочной диаграммой рис. 14.5. Час-
тота вращения вала двигателя долж-
на быть близкой к и2 = 1000 об/мин,
напряжение сети t/HOM = 220 В при
частоте f = 50 Гц.
Указание. Среднеквадратичное
значение мощности электродвигателя
определяется по формуле
п -I Bi/f -|- Ра/2 4~ Р^з
|/ А + А + ^з + ^0
Ответ: Рн = 7 кВт; электродви-
гатель типа 4А132М6УЗ (Рном = 7,50 кВт, п2 = 970 об/мин)
14.6. Определить мощность и выбрать по каталогу трехфазныи
асинхронный электродвигатель для привода механизма с цикловым
графиком нагрузки, приведенным на рис. 14.6. Частота вращения
Здесь Л4Х, Л42, 7И3, tlt
/иэк
ротора электродвигателя п2 = 940 об/мин,
а ее изменения, связанные с колебаниями
момента нагрузки, считать незначитель-
ными.
Решение. Как видно из графика йа-
грузки, двигатель работает в повторно-
кратковременном режиме с
ПВ = -^- = ^
Для определения' мощности электро-
двигателя воспользуемся методом эквива-
лентного момента
/1 + /2 + ^з + а^о
/2, t3—моменты и время соответствующего
участка графика нагрузки; /„—время паузы между рабочими перио-
дами: а = 0,5—коэффициент, учитывающий ухудшение теплоотдачи
двигателя во время паузы.
Для рассматриваемого случая
ПВ=—40+1104-50— = 229 = о 44 ПВ%=40%
40+110 + 50 + 250 450 ' ' 1 /0 и/0’
М 1/55М0 + 38М10+302-50 Q. к „
40+110 + 50 + 0,5-250 = 31’6Н'М'
Эквивалентная мощность
Рэк = М • 10~3 = 3,0 кВт.
а 9,55
По каталогу для нормированной продолжительности включения.
ПВ = 40% выбираем двигатель типа МТКН111-6, предназначенный
для повторно-кратковременного режима со следующими техничес-
кими данными: Рном = 3,0кВт, пном = 910 об/мин.
14.7. Крановый асинхронный электродвигатель типа MTKF411-8
работает по графику с эквивалентной мощностью Рак = 14,5 кВт при
повторно-кратковременном режиме с нормированной продолжитель-
ностью ПВн = 40%. Можно ли использовать электродвигатель для
работы по другим графикам нагрузки с той же эквивалентной
мощностью, но с ПВ = 60 и 35%?
Решение. Пересчет мощности двигателя можно произвести'на
основании равенства
КРн0МПВн = ГРэ2кПВзад или Рном = Рэк У ,
где Рном—-номинальная мощность двигателя при нормированной
продолжительности включения ПВН; Рэк—эквивалентная мощность
двигателя, определяемая графиком нагрузки при заданной продол-
жительности включения ПВ,ап.
зад
По данным каталога для электродвигателя типа MTKF411-8 но-
минальная мощность РноМ=15кВт при ПВн = 40%. Следовательно,
рассматриваемый двигатель может работать с той же эквивалентной
мощностью и ПВ1 = 35%.
При ПВ2 = 60% Р = РэкКб0/40= 14,5/ТД = 17,7 кВт.
В этом случае Р > Рпом, т. е. двигатель не может работать не
перегреваясь.
14.8. Для асинхронного электродвигателя задачи 14.7 определить
эквивалентную мощность Рэк, при которой он может работать не
перегреваясь с ПВ = 60%.
Ответ'. Рак = 11,23 кВт.
/14.9. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа
4АЙ160М4УЗ (Рноы = 22,0 кВт, иноя= 1470 об/мин, Л4тах/Л4ном = 2,1,
постоянная времени нагрева Тп — 50 мин), предназначенный для
продолжительного режима работы, предполагается использовать для
кратковременных режимов работы. Какое время сможет работать
двигатель не перегреваясь, при максимально допустимой перегрузке
его по моменту? При расчетах потерями пренебречь.
Решение. Коэффициент механической перегрузки рк = 7ИК/Мном,
где1 Мк—допустимый по условиям нагрева момент при кратковре-
менной нагрузке; Л1НОМ—номинальный момент. Максимальная допу-
стимая перегрузка, асинхронного двигателя по моменту составляет
0,85Afraax. Тогда коэффициент механической перегрузки
р„ = 0,85 2,1 • Мвом/М ном =1,78.
Для того чтобы найти время /н работы под нагрузкой, которое
сможет проработать двигатель, не перегреваясь выше допустимого
значения, необходимо определить коэффициент термической пере-
грузки рг.
Исходя из того что за время tH превышение температуры дви-
гателя туст не должно превышать температуру туст в продолжитель-
ном режиме работы с номинальным моментом, коэффициент терми-
ческой перегрузки можно определить по формуле
Туст 1
А = =----=777-’
Туст j._е н/'н
а время
/н = Тн1п-^.
« н рт —1
Коэффициенты термической и механической перегрузок связаны
соотношением рм = Крт или Рт= Рм- В данном случае рт= 1,782 —
= 3,16. Тогда время
tн = т„ In = 50 In 5-^-i = 17,5 с.
" рт— 1 3,16—1
14.10. За какое время температура электродвигателя типа
4АН160М4УЗ достигнет допустимого установившегося значения, если
момент при кратковременной нагрузке составит /Ик = 1,2 7ИиОМ?
Ответ: / = 69,2 мин.
14.11. Электродвигатель постоянного тока параллельного возбуж-
дения типа 2ПБ200Е имеет следующие номинальные данные: (7НОМ =
= 200 В, Рно„ = 15 кВт, 1Я ном= 15-103/220 = 68,2 А. Сопротивление
обмОТОК ЯКОрЯ И ДОбаВОЧНЫХ ПОЛЮСОВ В ХОЛОДНОМ СОСТОЯНИИ Т?я(15°) =
= 0,147 Ом. Определить сопротивление Rn пускового реостата, вво-
димого в цепь якоря двигателя для ограничения пускового Тока до
7П = 27Я. ном. Выбрать пусковой реостат, удовлетворяющий условиям
ручного пуска.
Решение. Из выражения для пускового тока
In = (15») + Rn) = 21 я. ном = 2 - 68,2 = 136,4 А
определяем сопротивление пускового реостата:
Rn = = 220-0.= 1,46 Ом.
lob,4
Из Приложения 14.1 выбираем реостат РЗП-4, удовлетворяющий
поставленным условиям.
14.12. Для автоматического пуска электродвигателя постоянного
тока параллельного возбуждения определить графически число сту-
пеней реостата и значения сопротивлений его отдельных секций, если
требуется, чтобы в процессе пуска вращающий момент изменялся
в пределах от Мтах = 27ИНОМ до 7Ит1п = (14-1,2)7ИН0М. Номинальные
данные электродвигателя: РН0М=14кВт, 17НОМ = 220 В, пноМ =
= 750 об/мин, R„ (15°)с = 0,23 Ом, 7Я Н0М= 14-103/220 = 63,8 А.
Решение. Вначале строим естественную механическую харак-
теристику. Для этого по паспортным данным определяем номиналь-
9 55
ный момент: Мном = Рном —’— в 178 Н-м.
/7ном
Частота вращения якоря двигателя при идеальном холостом ходе
Пх О„ом—«я’/я. ном Пном 220-0,23-63,8 * 750 ~ 1050 °б/МИН‘
Естественная механическая характеристика будет представлять
собой прямую, проведенную через две точки (рис; 14.12): точку
(пх = 810 об/мин, 714 = 0) и точ-
ку R («ном = 750 об/мин, 7ИН0М =
= 178 Н-м). Затем строим искус-
ственные (пусковые) характеристи-
ки, для которых точка Olt соответ-
ствующая идеальному холостому
ходу, является общей.
Первую пусковую характерис-
тику, соответствующую полному
пусковому сопротивлению RH + Rn
в главной цепи, строим по точкам
Oj и а(ц = 0, М = Л4тах = 356 Н-м). Задаемся нижним пределом
пускового момента 714га-1п= 1,055 7ИН0М= 188 Н-м в расчёте, что при
выбранном значении Мтах разгон двигателя по мере отключения
секций реостата будет происходить с одинаковыми колебаниями пу-
скового момента.
- Проводим через точки а и Ь, определяющие принятые границы
пускового момента, прямые ас и М, параллельные оси ординат, до
пересечения с горизонтальной прямой Оге.
Вторую и последующие пусковые характеристики строим на основе
следующих соображений. После включения двигателя в сеть увели-
чение частоты вращения его якоря, в цепь которого введены все
секции пускового реостата, и изменение вращающего момента про-
исходят по закону, характеризуемому прямой Ога. Когда вращаю-
щий пусковой момент уменьшится до величины 7l4min, а частота
вращения якоря достигнет значения пА, характеризуемого ординатой
точки пересечения прямых 0,а и bd (точка Д), первая секция пуско-
вого реостата должна быть выключена. Ее выключение приведет
к повторному возрастанию тока в якоре, а вместе с ним и вращающего
момента. Оставшиеся секции пускового реостата должны ограничи-
вать ток до значения, определяемого вращающим моментом Л4тах
при частоте вращения пА.
Дальнейшее увеличение частоты вращения якоря и уменьшение
вращающего момента происходит по закону, характеризуемому вто-
рой пусковой характеристикой, которую следует провести через точки
Oi и k. Когда частота вращения якоря и развиваемый им вращаю-
щий момент достигнут значений, характеризуемых ординатой точки
пересечения прямой O^k с прямой bd (точка К), должна быть выклю-
чена вторая секция реостата и т. д.
После выключения последней секции реостата работа двигателя
будет определяться его естественной механической характеристикой
(прямая OJ).
Если при построении семейства пусковых характеристик окажется,
что горизонтальная прямая, проведенная из точки М, и естествен-
ная механическая характеристика не пересекутся на прямой ас
(точка /), то необходимо задаться другим значением 7l4min и все
построения повторить сначала, пока не получится так, как показано
на рис. 14.12. В рассматриваемой задаче это соответствует Mmin —
= 1,055 Л4НОМ. Число ступеней реостата—три.
По построенным пусковым характеристикам определяем сопротив-
ления ступеней реостата из следующих соображений.
Зависимость между частотой вращения якоря и сопротивлением
якорной цепи можно выразить, пользуясь уравнением механической
характеристики двигателя:
п = пх
М (#я + 7?п)
С£СМ
пх—Ап.
В момент пуска п — 0, а Ап = пх—М > или An — nx — kx
X (Дя + jRn). Отсюда следует, что перепад частоты вращения Дп
(при М = const) пропорционален полному сопротивлению цепи .якоря,
состоящему из сопротивления якоря в холодном состоянии 7?я и
сопротивления Rn всех секций пускового реостата, т. е. R„ + R„,
которое в некотором масштабе определяется отрезком ас. При задан-
ных значениях Л4тах = 2Л4НОМ и Яя
Тогда масштаб сопротивлений
/^ = 2?5^' = 2^5к5 = 0’188 Оы/сы-
Отрезки ak, km, mf определяют сопротивления трех секций пу-
скового реостата, числовые значения этих сопротивлений равны:
Rr = ak mR = 3,8 • 0,188 = 0,715 Ом; R.2 = km mR = 2,05 0,188 =
= 0,387 Ом, R2 = mf-tnR— 1,05-0,188 = 0,193 Ом.
Отрезок fc в том же масштабе определяет значение сопротивле-
ния обмотки якоря и добавочных полюсов /?я = 0,23 Ом.
14.13. В условиях задачи 14.12 определить время разгона на
каждой ступени двигателя без нагрузки, а также полное время пуска.
Момент холостого хода двигателя принять равным 0,4Л4НОМ, а. мо-
мент инерции якоря 7Я=1 кг-м2.
Указание. Для определения времени разгона двигателя от пнач
Д° пкон удобно воспользоваться формулой
7 Ат (пкон /гнач)
- Мср-Л1х • • '
Ответ: tnl = 0,2 с; = 0,105 с; tnS = 0,055 с; = 0,05 с; /п2 =
= 0,41 с.
1’4.14. Пуск трехфазного асинхронного электродвигателя' типа
MTF211-6 с номинальными данными Рном = 7,5 кВт, £2НОМ = 227 В,
COS <Рном 0,1, /р.ном 21,6 А, Ином
= 990 об/мин, 7Wmax/AfHOM = 2,8 необ-
ходимо осуществить так, чтобы мо-
мент при пуске не превышал 0,85/14гаах,
а минимальный момент был не ниже
/14т-1п = 1,15МНОм. Определить графи-
чески число ступеней пускового ре-
остата и значения сопротивлений его
отдельных секций, приняв рабочие
участки характеристик прямолиней-
ными .
Указание и ответ: порядок по-
строения пусковой диаграммы не
отличается от . описанного . в • зада-
че 14.12,. если учесть, что внутрен-
нее сопротивление фазы ротора определяется из соотношения RB.=
^2H0-MSH0M
3/НОМ
В качестве.ответа на рис. 14.14 построена пусковая диаграмма.
Сопротивления секций пускового реостата равны Ri = 1,14Om,
R2 = 0,62 Ом; Rs = 0,286 Ом.
14.15. Трехфазный асинхронный электродвигатель используется
для привода насоса, работающего с производительностью Q = 0,1 м®/с
при напоре Н = 12 м и с частотой вращения п = 1450 об/мин. К. п. д.
насоса т]н = 0,7, удельный вес перекачиваемой жидкости у = 9806 Н/м®.
Определить расчетные мощности и выбрать электродвигатели основ-
ного исполнения для работы: а) при температуре окружающей среды,
установленной ГОСТом, ©среДы = 40° С; б) при температуре окружаю-
щей Среды ©среды = 50° С.
Решение, а) Расчетная мощность, необходимая для привода
насоса при ©среды = 40° С,
n k3QHy. 10~® , _ Х-,
Л>асч = —-------= к3•16,8 кВт.
Чн
Принимая коэффициент запаса к3 = 1,2, находим Драсч= 1,2 -16,8=
= 20,2 кВт.
Выбираем трехфазный асинхронный
4А18054УЗ с номинальными данными
= 1470 об/мин.
б) Среднее значение мощности потерь ДРср электродвигателя,
работающего при температуре окружающей среды 50° С, будет больше
среднего значения мощности потерь ДРН0М того же двигателя, рабо-
тающего при температуре 40° С. Двигатель не будет перегреваться
при соблюдении условия
Л Р _ Л Р лоп Череды
М^ср —^ном вдОП — 40° С ’
где ©доп—предельно допустимая температура двигателя, соответ-
ствующая данному классу изоляции.
Принимая отношение постоянных потерь к переменным (коэффи
циент потерь)
электродвигатель типа
Дном = 22 кВт, лном =
а = ^ост = 0,4,
получаем
ЛДиоИ = ЛРпер + 0,4ДРпер = 1,4 ДРпер.
С учетом коэффициента потерь и при ©ДОП = 105°С (изоляция
класса А) расчетная мощность двигателя при заданном условии
(©среды-50° С)
Р
л расч
Ррасч — = 22,8 кВт.
бдоп —бсреды 0
0доп-4О°С
Таким образом, для этого случая надо выбрать следующий боль-
ший по мощности трехфазный асинхронный электродвигатель типа
4А180М4УЗ (Рном = 30 кВт, пном=1470 об/мин).
14.16. Определить расчетную мощность двигателя и выбрать дви-
гатель по каталогу для привода насоса в условии задачи 14.15,
если он будет работать при температуре окружающей среды ©сревы3=3
— 15° с.
Ответ: Ррасч=16,3 кВт; />ноМ=17 кВт; тип 4А160М4УЗ.
14.17. На рис. 14.17 изображена принципиальная схема управ-
ления пуском электродвигателя постоянного тока параллельного
возбуждения в функции времени. Обозначения на схеме: Л—на-
магничивающая катушка, главные и блокировочные контакты ли-
нейного контактора; 1КУ, 2КУ, ЗКУ—намагничивающие катушки,
главные и блокировочные контакты контакторов ускорения; 1РВ,
2РВ, ЗРВ—намагничивающие катушки и замыкающие контакты
реле времени. Рассмотреть процесс пуска двигателя и определить
уставки реле времени 1РВ, 2РВ и ЗРВ, если известно, что с момента
нажатия кнопки «Пуск» до шунтирования контактами ЗКУ сопро-
тивления Pg проходит время /п=1,5с. Собственное время включе-
ния контакторов /Р11Л = 0,1 с.
Указание и ответ', ориентировочно можно считать, что на пер-
вой ступени двигатель разгоняется в течение времени = 0,5 3 с
(нижний предел соответствует двигателям меньшей мощности, верх-
ний—двигателям большей мощности), на второй ступени на его
разгон времени требуется в два раза меньше и на третьей ступени —
в четыре раза меньше: /устг = 0,7с; /уст2 = 0,2с; ^уст3 = 0,1 с.
Рис. 14.17
Рис. 14.18
14.18. На рис. 14.18 изображена принципиальная схема управ-
ления пуском асинхронного электродвигателя с фазным ротором.
Обозначения на схеме: Л—намагничивающая катушка, главные и
блокировочные контакты трехполюсного линейного контактора, с по-
мощью которого обмотка статора двигателя подключается к сети;
1PM, 2РМ — намагничивающие катушки (намагничивающая сила
пропорциональна току статора) и блокировочные контакты, разры-
вающие цепь катушки контактора Л в том случае, если ток хотя
бы одной из фаз обмотки статора превысит допустимое значение;
/?2, R3—ступени пускового реостата; 1РУ, 2РУ, ЗРУ—намаг-
ничивающие катушки и блокировочные контакты реле ускорения;
РБ—намагничивающая катушка и блокировочный контакт реле
блокировки, обеспечивающего некоторую выдержку времени для того,
чтобы ток в цепи ротора достиг значения, при котором реле уско-
рения 1РУ, 2РУ, ЗРУ открыли бы свои размыкающие контакты:
1У, 2У, ЗУ—намагничивающие катушки, главные й блокировочные
контакты контакторов ускорения, главные контакты которых шун-
тируют ступени пускового реостата. Проследить работу схемы после
нажатия кнопки «Пуск». Построить семейство пусковых характери-
стик.
Последовательность срабатывания (отключение) контактов 1РУ,
2РУ, ЗРУ достигается настройкой, которая выполняется в соответ-
ствии с неравенством Лру >/гру >/зру.
При значениях токов в цепи ротора, близких к токам уставок
реле ускорения, возможны вибрации подвижных частей магнитопро-
водов, а вместе с ними и контактов контакторов 1РУ, 2РУ, ЗРУ,
что не способствует нормальному включению контакторов 1У, 2У
и ЗУ. Во избежание этого блок-контакты
контакторов 1РУ, 22У и ЗРУ шунтируют
соответственно блок-контактами контакто-
ров 1У, 2У и ЗУ.
14.19. Осветительная нагрузка (лампы
накаливания) мощностью Р = 800 Вт и на-
пряжением (7НОМ=127 В присоединяется
двухпроводным ответвителем длиной / =
=25 м к трехфазной сети (рис. 14.19). Оп-
ределить потерю напряжения АП в ответ-
вителе, выполненном изолированным мед-
ным проводом сечением s = 1,5 мм2. Как
изменится потеря напряжения, если пита-
ние нагрузки перевести на напряжение ПНОМ = 220 В?
Решение. Определяем ток нагрузки: /р = Р/ПноМ = 800/127 =:
= 6,3 А.
Потеря напряжения в однофазном ответвителе при заданном се-
чении провода определяется по формуле
АП = — / =^^.-6,3 = 3,9 В,
ys р 54-1,5
где I—длина провода, м; у—удельная проводимость материала про-
вода (для меди у = 54 См^
Относительная потеря напряжения в проводах
АП, = ^. 100=^-- 100 = 3,06%.
^127 В
1------------1
\80QBT
Рис. 14.19
При напряжении 220 В ток нагрузки /р ~PB/U воа —800/220 —
= 3,65А.
Относительная потеря напряжения в проводах
At/S = -^- • 100% • 100% =fc2fg25 = 1,02%.
14.20. Прожекторная установка, состоящая из трех прожекторов
типа ПЗО-45, служащая для освещения строительной площадки, пи-
тается от фазы трехфазной сети напряжением [/ном = 220/380 В через
двухжильный медный кабель длиной /==85 м. Определить сечение
жилы кабеля и выбрать плавкую вставку предохранителя, если
каждый из прожекторов потребляет мощность Р = 1 кВт при напря-
жении t/HOM = 220B. Относительная допустимая потеря напряжения
Д1/. = 2,5%.
Решение. Расчет проводим по потере напряжения и нагреву
проводов. Из двух сечений выбираем большее.
Для расчета по допустимой потере напряжения в проводах опре-
деляем значение этой потери At/:
AJJ 2,5-220 _е гп
= —100-= 100 - 0,0 ‘
Определяем сечение жилы двухжильного кабеля по заданному
значению потери напряжения:
3P2Z 3-1000-2-85 п о ,
S — л'г г it-- — си к е оол — 1,0 ММ2.
Л U U ном 54-5,5*220
Для расчета проводов по нагреву находим ток установки:
/p=3/’/t/H = 3-1000/220 = 13,6А.
По Приложению 14.2 выбираем кабель, жилы которого имеют
сечение 1,5 мм2 и допустимый ток 19 А.
Из двух сечений выбираем большее (S = 7,8mm2), которому соот-
ветствует нормированное сечение жил 10 мм? с допустимым током
/доп = 70А (см. Приложение 14.2)*.
Выбор плавкой вставки предохранителя производится из усло-
вия, что номинальный ток плавкой вставки /ЕСТ должен быть больше
или равен току нагрузки: /ВСТ^/Р- В данном случае /ВСТ^13,6А.
По Приложению 14.4 для защиты установки можно выбрать
предохранитель ПР-2 с плавкой вставкой на номинальный ток
/ВСТ=15А. После выбора сечения провода и плавкой вставки необ-
ходимо проверить соответствие номинального тока плавкой вставки
/вст и допустимого тока /доп для выбранного сечения. Необходимо,
чтобы /доп к0/ЕСТ, где к0—коэффициент соответствия защиты.
Для предохранителей, защищающих промышленные установки
от перегрузки, к0 = 1,25 (см. Приложение 14.5). Следовательно,
к0/ЕСТ=1,25-15=18,7А</доп,
т. е. условие' соответствия защиты выполняется.
Выбранное сечение необходимо проверить на механическую проч-
ность. Для переносных электроустановок (см. Приложение 14.6) по
механической прочности сечение должно быть не менее 2,5 мм2.
* Приложения 14.2—14.7 взяты из Правил устройства электроустановок (ПУЭ).
14.21. Определить сечение жилы кабеля и выбрать плавкую
вставку предохранителя, если прожекторная установка в задаче
14.20 находится на расстоянии 1 = 25 м от питающего пункта.
Решение. В соответствии с заданным значением потери напря-
жения сечение жилы кабеля
_ 3P2Z 3-1000.2-25 „о
S VAt/t/H0M ~ 54-5,5-220 — 2’бММ'
Сечение жилы кабеля по допустимому нагреву для тока /р= 13,6 А
(см. Приложение 14.2) выбираем равным 1,5 мм'2, для этого сечения
/доп =19 А.
Из условия механической прочности наименьшее сечение жилы
кабеля составляет « = 2,5мм2 (см. Приложение 14.6). Из трех по-
лученных сечений выбираем большее (х = 2,5мм2) с допустимым то-
ком /ЦОП = 21А.
Из условия /вст^/р по Приложению 14.4 выбираем предохра-
нитель, номинальный ток плавкой вставки которого /ВСГ = 15А. По
условию соответствия защиты, /цоп > к0/вст, где к0 = 1,25, Iдоп =
= 1,25-15= 18,75 А, что меньше /гоп=
= 21. Следовательно, условия соответ-
ствия защиты удовлетворяются.
14.22. Как изменятся сечение жилы
кабеля и ток плавкой вставки предохра-
нителя, если питание прожекторной
установки в задаче 14.20 будет осу-
85м
ГкВт г
, 1кВг г ————
ществлено от трехфазной линии трех- Рис. 14.22
жильным медным кабелем (рис. 14.22)?
Ответ-. s = 4mm2; 7вст=10А.
14.23. Четырехпроводную линию трехфазной осветительной сети
цеха с напряжением Пном= 220/380 В предполагается выполнить про-
водами марки АПВ (алюминиевый в полихлорвиниловой изоляции),
проложенными в одной трубе. Расчетная электрическая мощность
потребителя Р = 18кВт при cos<p=l. Длина линии от трансфор-
маторной подстанции до распределительного щитка I = 50 м. Опре-
делить сечение провода и выбрать плавкие вставки предохранителей
для двух значений температуры окружающей среды: нормальной
©j- = 25° С и повышенной 02 = 40° С,— если относительная допустимая
потеря напряжения АД* = 2,5%.
Решение. Для расчета проводов по допустимой потере напря-
жения определяем значение этой потери:
\и =
&-U:!.Uф.ном 2,5-380 5 5В
1бо — 100-К"3 — ’
Определяем сечение фазного провода по заданному значению по-
тери напряжения:
_________Р1_____
S~~ ЗуДРРф ном cos ф
18-103-50
3-32-5,5-220-1
= 7,7 мм2..
Для того чтобы провести расчет проводов по нагреву, необхо-
димо определить рабочий ток фазы:
/р = г- Р--------= = 27,2 А.
р F3t/HOMcos<p ^3-380-1
Пользуясь Приложением 14.2, выбираем провод сечением з = 6мма
с допустимым током /доп = 30 А.
Из двух полученных сечений выбираем большее (s = 7,7mm2),
которому соответствует нормированное сечение провода з=10мма
с допустимым током /ДОП = 39А (см. Приложение 14.2).
Выбор плавкой вставки предохранителя производится из усло-
вия /вст^/р. В данном случае /р = 27,2 А. По Приложению 14.4
выбираем предохранитель ПР-2 с плавкой вставкой на номинальный
ток /ВСТ = 35А. Проверяем соответствие номинального тока плавкой
вставки /вст и допустимого тока /доп для выбранного сечения про-
вода. Необходимо, чтобы 7Д0П к</вст- Для предохранителей, защи-
щающих промышленные установки от перегрузки, значение к0 вы-
бираем равным 1,25 (см. Приложение 14.5). Следовательно, к0/вст =
= 1,25-35 = 43,75 А, а /ДОП = 39А, т. е. условие соответствия защиты
не выполняется.
Выбираем ближайшее большее из стандартных сечений провода
s=16mm2, для которого /ДОП = 55А. В этом случае условие соответ-
ствия защиты выполняется. Сечение нейтрального провода прини-
маем равным не менее половины сечения фазного провода: 8= 10 мм2.
При эксплуатации проводов с обычной резиновой или полихлор-
виниловой изоляцией в условиях повышенной температуры (0 = 40° С)
сечение выбирают с учетом температурного коэффициента к© = 0,71
(см.: Электротехнический справочник. Т.1.—М.: Энергоиздат, 1985).
По Приложению 14.2 вы-
бираем сечение 16 мм2. Оно
удовлетворяет условиям до-
пустимой потери напряже-
ния.
14.24. Четырехжильный
кабель с алюминиевыми жи-
лами, проложенный, в земле,
питает группу строений из
с. 14.24. Энергонагрузка каж-
дого дома Р = 12 кВт при cos<p = 0,9. Номинальное напряжение ли-
нии £7НОМ = 380В. Определить сечение кабеля магистральных участ-
ков и номинальные токи плавких вставок предохранителей П1 и
П2, если линия выполнена кабелем переменного сечения, расчетная
температура окружающей среды первого участка ©i = 35° С, а вто-
рого участка 02=15°С.
Решение. Ток магистрального участка 1—2
трех жилых домов, как указано на
Р
Api — .. — 2
I 3t/HOMcos<jp
12-IO?
К’3-380.0,9
= 40,4 А.
По Приложению 14.3 выбираем четырехжильный кабель с сече-
нием жил s = 6 мм2 и допустимым током 7ДОП = 46 А.
Для защиты магистрального участка 1—2 выбираем предохра-
нитель типа ПР-2 или КП с плавкой вставкой на номинальный ток
Ди:т = 45А. Согласно Приложению 14.5, коэффициент соответствия
защиты от перегрузки кабелей с бумажной изоляцией к0 = 1. Произ-
ведение для участка 1—2 к07вст = 45 А, а допустимая нагрузка
Люп = 46А, поэтому условие соответствия защиты 7ДОП^7ВСТ выпол-
няется.
Ток магистрального участка 0 — 1
^2 = 4/pi = 4-40,4 = 60,6A.
На температуру земли 0 = 35° С поправочный коэффициент
ко = 0,83 (см.: Электротехнический справочник, т. 1).
Номинальный ток плавкой вставки предохранителя 772 должен
удовлетворять условиям 7ВСТ^7Р2, 7цоп^кс7вст и обеспечивать се-
лективность (избирательность) защиты. Согласно первым двум усло-
виям, номинальный ток плавкой вставки предохранителя П2 по
Приложению 14.4 выбираем равным 7вст = 60А.
Для обеспечения селективного действия защиты двух последова-
тельно стоящих предохранителей номинальные токи их плавких
вставок должны отличаться на две ступени шкалы. Следовательно,
номинальный ток плавкой вставки предохранителя П2 по Приложе-
нию 14.4 выбираем равным 7вст = 80А (для предохранителей типа
ПР-2-100 или КП-100). Выбранное сечение кабеля магистрального
участка 0—1 проверяем по условиям 7BCTZ>/p и 1№П к07вст. При
Ко=1, 7р2 = 60,6А и7вст = 80А выбранное сечение жилы 16мм2 и до-
пустимый ток 90 А удовлетворяют этим условиям.
14.25. Для сушки обмоток электродвигателей применяется на-
гревательная установка общей мощностью Р= 10 кВт. Установка
получает питание по трехжильному кабелю длиной / = 75м. До-
пустимая относительная потеря напряжения АН* = 5%. Номиналь-
ное напряжение в начале линии (7НОМ = 220В. Определить сечение
трехжильного кабеля с бумажной изоляцией, проложенного внутри
помещения по стене, и выбрать плавкие вставки предохранителей.
Ответ: а) кабель с медными жилами: s = 6 мм2; 7ВСТ = 35 А;
б) кабель с алюминиевыми жилами: s=10mm2; 7вст = 35А.
14.26. Для привода вентилятора производственного помещения,
расположенного на расстоянии I = 50 м от распределительного щита,
установлен трехфазный асинхронный электродвигатель 4А18082УЗ
со следующими паспортными данными: РноМ = 22кВт; t/HOM = 220 В,
cos <рном = 0,91, Г)Н0м = 0,885, кратность пускового тока к/=7п/7Н0М =
= 7,5. Рассчитать сечение трехжильного алюминиевого кабеля
с резиновой изоляцией, проложенного в служебном помещении, и
выбрать плавкую вставку предохранителя. Определить мощность
Р и cos (р в начале линии, питающей двигатель. Коэффициент за-
грузки двигателя к3 = 1. Реактивным сопротивлением кабеля пре-
небречь.
Решение. Ток двигателя
j __________Р_________ 22-10s
р~ K3t/HOMcos фномт)ном = V 3-220-0,91 -0,885 = 71’5 ’
Допустимый ток кабеля /доп должен быть больше рабочего тока
двигателя /р, поэтому по Приложению 14.2 выбираем сечение
« = 25мм2, для которого /ЦОП = 75А.
Для выбора плавкой вставки определяем максимальный ток
в жиле кабеля в момент пуска:
/тах = Vp = 7,5.71,5 = 500 А.
Для того чтобы плавкая вставка не расплавилась за время пуска
двигателя, необходимо выполнить условие /ЕСТ > /юах/2,5.
В данном случае
/п.ах/2.5 = 500/2,5 = 200 А.
По Приложению 14.4 выбираем плавкую вставку с номинальным
током /ЕСТ = 200 А. Проверяем условия соответствия защиты, для
чего по Приложению 14.5 выбираем коэффициент соответствия для
защиты от коротких замыканий ко = О,33. Тогда к0/ЕСТ = 0,33.200 =
= 66 А. Следовательно, /иоп>к</вст и условие соответствия защиты
выполняется.
Проверяем сечение кабеля по потере напряжения. Сопротивле-
ние одной жилы
^=ТГ=ЗЙ5=0-062!50М-
Потеря напряжения на фазу
Д^ф = /?л/р cos фном = 0,0625-71,5-0,91 = 4,04 В.
Потеря линейного напряжения
А^ = КЗАПф = 7 В, At/# = -^-.100 = ^-100 = 3,17%.
(У ном
Мощность потерь в кабеле
АРЛ = 7?л 10~3 - З/2 = 0,0625-10~3 3 - 71,52 = 0,975 кВт.
Мощность в начале линии
Рс = /’нои-Чом + АР = 22/0,885 + 0,975 = 25,775 В.
Напряжение в начале линии
и С = ^ном + = 220 + 7 = 227 В.
Коэффициент мощности в начале линии
Р, 25,775-10»
COS (р = —--------------------------
V 3UCIP V 3-227-71,5
0,87.
14.27. В двухмашинном агрегате (двигатель асинхронныйгене-
ратор постоянного тока) установлен трехфазный асинхронный электро-
двигатель типа 4А16052УЗ со следующими номинальными данными:
Л1ОМ=150кВт, t/HOM = 380B, cos <рном = 0,91, т]ном = 0,88,
кратность пускового тока двигателя к,=7,0. Ответвление от рас-
пределительного щитка к двигателю выполнено трехжильным кабе-
лем с алюминиевыми жилами марки АСБГ, проложенным в канале
пола. Определить номинальный ток плавких вставок предохраните-
лей /вст и подобрать сечение кабеля.
Ответ: з = 4мм2; /вст = 60А.
14.28. Для привода цехового портального крана металлурги-
ческого завода установлен электродвигатель постоянного тока по-
следовательного возбуждения типа Д-812 с паспортными данными
Дном = 66 кВт, 1/ном = 220 В, лном = 565 об/мин. Электродвигатель ра-
ботает в повторно-кратковременном режиме. Продолжительность ра-
бочего периода 2,4 мин, продолжительность цикла 6 мин. Определить
сечение питающего кабеля с полихлорвиниловой изоляцией. Выбрать
автоматический воздушный выключатель и ток установки расцепи-
теля.
Решение. При повторно-кратковременном режиме работы
электроустановок с общей продолжительностью tK= 10 мин и про-
должительностью рабочего периода не более tp = 4 мин в качестве
расчетной токовой нагрузки для выбора сечения жил кабеля по
нагреву следует принимать расчетный ток нагрузки Гр, приведенный
к продолжительному режиму.
Для медных проводов сечением более s=10mm2 и для алюми-
ниевых проводов сечением более з=16мм? длительные токовые на-
грузки Гр определяют по формуле
г , Кпв'
Р ₽ 0,875 ’
где /р—ток нагрузки в продолжительном режиме; ПВ—выражен-
ная в относительных единицах продолжительность рабочего периода
(продолжительность включения).
Определяем продолжительность включения:
ПВ = /р/^ = 4/10 = 0,4.
Находим ток нагрузки жилы кабеля, приведенный к длительному
режиму, принимая /р = /ном = Рнок/О„оЫ = 66-103/220 = 300 А:
/' — / ^пв' 300 ^°’4—217 А
р р"0^75'“ 0,875
Сечение жилье кабеля по Приложению 14.2 выбираем из усло-
вия /доп > Гр равным s = 95 мм? с /доп = 220 А.
Автоматический выключатель и ток установки расцепителя на-
ходим по Приложению 14.8. При /р = 300А выбираем выключатель
типа А = 3140 и ток /уст = 350А.
Проверяем условие соответствия защиты. По Приложению 14.5
для защиты силовых сетей от коротких замыканий выбираем к0 = 0,33.
Тогда KB/ytr = 0,33 - 350 = 112 А.
Следовательно, /доп > к0/уст и условие соответствия выполняется.
14.29; Для привода лебедки установлен трехфазный асинхронный
электродвигатель с фазным ротором типа MTF112-6, имеющий сле-
дующие номинальные данные: Рпок = 5,0 кВт, ДноН = 380В, cosipHOM=
= 0,70, т]ном = 0,75, кратность пускового тока ^=1,5. Определить
сечение жил кабеля s, выбрать автоматический воздушный выклю-
чатель и ток установки расцепителя.
Ответ-. s=1,5mm2; А ==3160, трехполюсный, /уст=15А.
14.30. В мастерской на расстоянии 10 м от распределительного
щитка установлен сварочный трансформатор мощностью РноМ = 20 кВт,
cos <рно„ = 0,53. Номинальное напряжение сети ДНОМ = 380В. Опре-
делить сечение жил алюминиевого кабеля и номинальный ток плав-
ких вставок предохранителей. От-
носительная допустимая потеря
напряжения АД* = 5%.
Ответ-. s = 25mm2; /ест=100А.
14.31. Магистральная линия
силовой сети напряжением Дном =
= 380 В питает пять короткозам-
кнутых трехфазцых асинхронных
электродвигателей, установленных в сборочном цехе. Линия выпол-
нена трехжильным кабелем с алюминиевыми жилами и резиновой
изоляцией, проложена открыто (рис. 14.31). Определить сечение жил
кабеля s и номинальный ток /вст плавких вставок предохранителей
/73, /72. При расчете принять коэффициент загрузки электродвига-
телей к3 = 0,8, коэффициент одновременности работы электродвига-
телей код = 0,9.
Паспортные данные электродвигателей даны в табл. 14.31.
Рис. 14.31
Таблица 14.31
Электр ©двигатели Рном- кВт Дом’ К1
Д1 1,7 4,3 6
д2 7 15,5 4,5
Дз 10 19,5 5
Д* 7 13,8 6
Дз 4,5 9,4 6
Решение. Определяем пусковые токи двигателей:- /1пуск =
= 6-4,3 = 25,8 А; /2пуск = 4,5-15,5 = 69,8 А; /Зпуск = 97,5 А; /4пуск^
-83 А; /5пуск = 56,4 А.
Рабочий ток /р£ линии L—2 определяется по формуле
hi = крд2 (к3/ном) = 0,9 (0,8 9,4 + 0,8-13,8 + 0,8 • 19,5) = 30,8 А.
Максимальный ток 7max линии 7—2 возникает при пуске третьего
двигателя:
п-1
/щах = код s к3/Н0М + 73 пуск = 0,9 (0,8 • 9,4 + 0,8 • 13,8) + 97,5 = 114,2 А.
Номинальный ток 7ВСТ плавкой вставки предохранителя 77- вы-
бираем из условий
/вст /р!» /вст ^тах/2,5,
Лет >30,8 А, /ВСТ>45,6А.
По Приложению 14.4 выбираем предохранитель типа ПР-2-60 с
номинальным током плавкой вставки 7ВСТ = 60 А.
Сечение жил кабеля 1—2 определяем из условий
/доп /р1/ /доп К07вст,
/доп >30,8 А, к07вст = 0,33 • 60 = 20 А,
где ко = О,33 (см. Приложение 14.5).
По Приложению 14.2 выбираем кабель с сечением жил sf= 10 мм?
и допустимым током 7ДОП = 42А.
Рабочий ток 7Р2 линии 0—1
/Р2 = 41 + код (Ми! + к3/Н2) = 30,8 + 0,9 (0,8 • 4,3 + 0,8 • 15,5) = 44,8 А.
Максимальный ток 7тах линии О—1
/щах КОДК3 (/н, 4~ /н2 -|- /Н4 -р /н5) 4“ /3 пуск ~
= 0,9 • 0,8 (4,3 + 15,5 + 13,8 + 9,4) + 97,5 = 128,2 А.
Номинальный ток плавкой вставки предохранителя 77, выбираем
из условий
I "> I I J /9 Ц
^вст^^рг» 1 вст ‘ тах/^»^»
/Бст > 44,8 А, 7ВСТ > 51,1 А.
Выбираем предохранитель типа ПР-2-100 с номинальным током
плавкой вставки 7вст=100А (см. Приложение 14.4), так как для
обеспечения селективности токи 7ВСТ двух последовательно стоящих
предохранителей должны отличаться на две ступени шкалы.
Сечение жил кабеля s2 линии 0—1 выбираем из условий
/ ДОП :> /Г2» /доп >44,8 А, /доп К07вст,
где ко = 0,33 (см. Приложение 14.6). Подставляя значение Ко = 0,33,
получаем
ко/вст = О,33-1ОО = ЗЗА, 7ДОП>ЗЗА.
Выбираем кабель с сечением жилы х2 = 16мм? и допустимым то-
ком 7ДОП = 60А (см. Приложение 14.2).
14.32. В проектируемом механическом цехе должны быть уста-
новлены 10 трехфазных асинхронных электродвигателей с коротко-
замкнутым ротором: шесть двигателей типа 4A100L4Y3 (Рном = 4,0 кВт,
ПНОМ = 220В, пНом = 0,84, cos <рном = 0,84, к, = 6) и четыре двигателя
типа 4A90L4Y3 (РНОМ = 2,2 кВт, ДНОМ=220В, т)ном=0,8, cos <рном = 0,83,
к7 = 6). Определить сечение жил трехжильного кабеля с бумажной
изоляцией, проложенного от главного распределительного щитка до
силовой сборки, от которой питаются двигатели. Коэффициент за-
грузки двигателей к3 = 0,9, коэффициент одновременно код = 0,85.
Подобрать плавкие вставки предохранителей.
Ответ-. s = 25mm2; /вст=100А.
14.33. Силовая магистраль напряжением С7НОМ = 380В от транс-
форматора до распределительного щитка имеет осветительную и дви-
гательную нагрузки. Мощность осветительной нагрузки Росв = 30 кВт,
суммарная мощность электродвигателей Рдв = 58кВт, средний коэф-
фициент мощности нагрузки двигателей cos ср = 0,7, к. п. д. т;ном =
== 0,8. Наибольший ток нагрузки линии получается при запуске
электродвигателя мощностью /’=10 кВт, у которого /ноМ=19,5А,
Ку = 6,5. Определить сечение s медных жил четырехжильного кабеля,
проложенного по стенам открыто. Рассчитать плавкие вставки пре-
дохранителей.
Ответ-. s = 70mm2; /вст = 200А.
14.34. Два цеха машиностроительного завода, которые отнесены
к электроприемникам первой категории, получают питание от двух
подстанций. Нагрузка цехов
и расстояние цехов от под-
станций даны на схеме сети
(рис. 14.34). Номинальное
напряжение электронриемни-
ков- ИHoil = 380 В. Определить
сечение алюминиевых жил
трехжильного кабеля, если
относительная допустимая по-
теря напряжения А1Д = 5%, а в аварийном режиме Al/S = 10%. Ли-
ния выполнена кабелем одинакового сечения жил.
Решение. Определяем суммарную нагрузку потребителей:
Р = Р£ + РЙ = 23 кВт.
Мощность источника А
D 8-250+15.200’ „
РА = ^Т~ =--------§00----кВт.
Мощность источника Б
РБ = Р—РА = 23—10=13 кВт.
Раздел активных мощностей будет в точке 2.
Определяем сечение проводов линии А—1—2:
^(Р1} (10-250 + 2.50). 103 о ,
Si уД(/(/110М~ 32-19-380 — 11>3мм,
л
250м 1 50м \j2 200м
10 кВт
2 кВт
13 кВт
Б
В кВт 15кВт.
Рис. 14.34
где
По Приложению 14.3 выбираем кабель с сечением жил si = Гб ммI 2
и допустимым током /дОп = 90А.
Определяем сечение проводов линии 2—Б:
уД^ном
13-200-103
32-19-380
11,3 ММ2.
Р Б^
Выбираем кабель с жилами того же сечения, что и для линии
А— 1—2. Проверяем кабель на нагрев. Наибольший ток будет в
Р& 13*103
линии 2—Б-. /тах = _/- — = ===——=19,7 А; его значение меньше
г 3 0/ном V 3 -380
/ДОп- Значение тока в аварийном режиме, когда один из пунктов
питания отключен,
, Р
аБаР~ГЗ-1/Ном
23-Ю3
КЗ-380
= 35 А.
Потеря напряжения в аварийном режиме
(23-250 +15-50)-103 ™ Q
yst/ном 32-16-380 —
или
100 = ^-100 = 8,76%.
С/ ном оси
14.35. Предприятие получает питание от районной подстанции
через понизительный трансформатор ТМ-4000/10 но трехфазной ли-
нии электропередачи напряжением рп
Ю кВ и протяженностью 1= jKM
= 4 км (рис. 14.35). Линия выпол- |—
йена проводом марки АС-70. Расчет-
ная мощность нагрузки Рк = 2400 кВт ’’'
при cos фх = 0,75. На сколько увели- PH-,cos(p
чится пропускная способность ли- Рис 14 35
нии передачи, если коэффициент
мощности повысить до cos ф2 = 0,92?
Решение. Номинальный ток трансформатора, при Рвоы =
= 4000 кВт
j = Риом = 4О2°- = 231 А.
нои ГзРном Гз-Ю
Рабочий ток нагрузки
I = р«-----------------------= 185 А.
₽ Гз иком cos <Р1 /3-10-0,75
При увеличении коэффициента мощности до cos <р2 — 0,92 ток на-
грузки на вторичной стороне трансформатора
I _ рн = _240£__= 151 А.
₽ Г3^номсоз<р2 V 3.10-0,92
Трансформатор можно догрузить по току на А/= 185—151 =
= 34 А, а по активной мощности на
АР = К31/НА/ cos <р2 = /3 • 10 • 34 • 0,92 = 540 кВт.
Тогда активная нагрузка трансформатора составит
Р’я = = 2400 + 540 = 2940 кВт.
Ток на стороне низшего напряжения
г, р'„ 2940
z н - -==----------==--------= 184 А.
И ЗРном cos <р2 у 3.10-0,92
14.36. На сколько возрастет пропускная способность линии
электропередачи при переходе с напряжения Пном1 = 6кВ на напря-
жение UноМ 2 = 10 кВ?
Сечение проводов линии остается неизменным. Относительная
допустимая потеря напряжения Д<7„ и cosq> в обоих случаях оди-
наковы.
Решение. Относительная потеря напряжения
лг; 2PZ Р
&.U* ----=— cos <р = к ——.
Т5Рном Сном
Так как относительная допустимая потеря напряжения не изме-
няется, то
РМом1=Р2/и*ом„
т. е.
D __ Г> Рноча D Ю0 О О D
^2 — ^1772 — ‘i Qfi -=,огр
Chomi
Пропускная способность линии увеличится в 2,8 раза.
Приложение 14.1
Технические данные пусковых реостатов РП и РЗП
Габарит реостата Тип реостата Предельный ток, А Число ступеней Число элементов реостата Масса, кг
I РП-2511 30 4 2 5,5
11 РЗП-2 40 7 6 12
II РЗП-2А 40 7 12 14
III РЗП-З 120 8 8 21
III РЗП-ЗА 120 8 16 27
IV РЗП-4 200 12 6 52
IV РЗП-4А 200 12 10 55
IV РЗП-4Б 200 12 14 60
IV РЗП-4В 200 12 18 65
Приложение 14.2
Допустимые длительные токовые нагрузки в амперах на изолированные провода
и силовые кабели с медиыми или алюминиевыми (в знаменателе) жилами
при прокладке сети внутри помещений (при температуре земли 15° С,
воздуха 25° С)
Сечение жилы, мм2 Провода (ТПРФ) и кабели с резиновой или полихлорвини- ловой изоляцией (СРГ, АСРГ, АНРГ, ВРГ, АВРГ, АВРБГ и др.)» проложенные открыто Провода с резиновой или полихлорвинил левой изоляцией (ПР, АПР, ПРТО, ПВ н др.), проло- женные в одной трубе Кабели с бумажной изоляцией (СБГ, АСБГ, ААБТ н др.), проложенные открыто (в канале, по стенам и т. д.)
двух- жильные трех- жнльные трех- жильные четырех- жнльные двух- жильные трех- жильные четырех- жнльные
1,5 19/- 19/- 17/- 16— — — —
2,5 27/21 25/19 25/19 25/19 30/23 28/22 —
4 38/29 35/27 35/28 30/23 40/31 37/29 35/27
6 50/38 42/32 42/32 40/30 55/42 45/35 45/35
10 70/55 55/42 60/47 50/39 75/55 60/46 60/45
16 90/70 75/60 80/60 75/55 95/75 80/60 80/60
25 115/90 95/75 100/80 90/70 130/100 105/80 100/75
35 140/105 120/90 125/95 115/85 150/115 125/95 120/95
50 175/135 145/110 170/130 150/120 185/140 155/120 145/110
70 215/165 180/140 210/165 185/140 225/175 200/155 185/140
95 260/200 220/170 255/200 225/175 275/210 245/190 215/165
Приложение 14.3
Допустимые длительные токовые нагрузки в амперах на кабели с медными или
алюминиевыми (в знаменателе) жилами при прокладке сети вне помещений
(при температуре земли 15° С, воздуха 25° С)
Сечение жилы, мм2 Кабели с бумажной изоляцией в свинцовой нли алюминиевой оболочке (СБ, СП, СБ В, АСБ, ААБ н др.), проложенные в земле Сечение жилы, мм2 Кабели с бумажной изоляцией в свинцовой или алюминиевой оболочке (СБ, СП, СБ В, АСБ, ААБ и др.), проложенные в земле
трехжильные четырехжильные трех жильные четырех- жильные
2,5 40/31 10 95/75 85/65
4 55/42 50/38 16 120/90 115/90
6 70/55 60/46 25 160/125 150/115
Приложение 14.4
Предохранители переменного и постоянного токов
Тип предохра- нителя Номи- нальный ток патро- на, А Номинальный ток плавкой вставки, А Тип предохра- нителя Номи- нальный ток пат- рона, А Номинальный ток плавкой вставки,- А
ПР-2 15 60 100 200 6, 10, 15 15, 20, 25, 35, 45, 60 60, 80, 100 100, 125, 160, 200 ПНБ-2 КП 100 150 200 25 60 100 200 350 60, 80, 100 100, 125, 150 150, 200 6, 10, 15, 20, 25 15, 20, 25, 35, 45, 60 30, 40, 50, 60, 80, 100 80, 100, 120, 150, 200 200, 250, 300, 350
Примечание. ПР-2—предохранитель без наполнителя с разборным пат-
роном; ПНБ-2, КП—предохранители с наполнителем.
; Приложение 14.5
Наименьшие значения коэффициента соответствия защиты к0 при защите
сетей автоматами и предохранителями
Автомат имеет максимальный- расцепитель #
Характеристика сети только мгновенного действия (отсечки) /а = /уст с нерегулируемой обратнозависимой от тока характеристи- кой / =/* а расц с регулируемой' об- ратнозависимой от тока характеристи- кой /_=?/** - а сраб для предохрани- телей
1-я ки) группа сетей (защита от перегруз-
Продолжение прилож. 14.5
- Автома т имеет максимальный расцепитель =« ф
Характеристика сети только мгновенного действия (отсечки) с нерегулируемой обратиозависнмой от тока характери- стикой / =7 а расц с регулируемой об- ратнозависимой от тока характеристи- кой . а Сраб для предохраните^
1. Проводники с резиновой или аналогичной по тепловым характеристикам изоляцией (АПР, АРД, АПРТО, АПВ, АСРБГ, АНРБГ, ПРП, АППВ, АПН и др.) в жи- лых и общественных зданиях, служебно- бытовых помещениях промышленных предприятий и др. 2. Кабели с бумажной изоляцией (АСБГ, ААБГ, СБГ, АБГ и др.) в любых поме- щениях 2-я группа сетей (защита от коротких замыканий) 1,25 1 0,22 1 (для про- водов всех ма- рок) 1 1 0,8 0,67 1,25 1 . 0,33
* Независимо от наличия или отсутствия отсечки.
* При наличии на автомате отсечки ее кратность тока-срабатывания не ограничивается.
Приложение 14.6
Минимальные сечения токопроводящих жил кабелей и проводов
Наименование проводников Минимальное сеченне жил, мм2
медных алюминиевых
Изолированные провода внутри и снаружи осветитель- ных арматур общего освещения: внутри помещений вне помещений Кабели шланговые для передвижных электроприем- никон Незащищенные изолированные провода в наружных электропроводках: по стенам, конструкциям или опорам на изоляторах под навесами на роликах Кабели и защищенные изолированные провода для стационарной прокладки Голые провода в наружных проводках во всех случаях Голые провода для воздушных линий 0,5 1,0 2,5 2,5 1,5 1,0 4,0 6,0 4,0 2,5 2,5 10 16
Пр иложение 14.7
Характеристика голых алюминиевых проводов
Марка провода Токовая нагрузка, А Активное сопротивле- ние при 20 °C, О м/км
вне помещений внутри помещений
А-16 105 75 1,96
А-25 135 105 1,27
А-35 170 130 0,91
А-50 215 165 0,63
А-70 265 210 0,45
Приложение 14.8
Автоматические воздушные выключатели серии А3000
Тип Номинальный ток, А Напряжение, В Ток установки расцепителя, А Число полюсов
А-3160 50 110—220 15—50 1; 2; 3
А-ЗП0 100 220 15—100 2; 3
А-3120 200 220 15—100 2; 3
А-3130 200 220 100—200 2; 3
А-3140 600 220 250—600 2; 3
РАСЧЕТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ
НА ПРОГРАММИРУЕМЫХ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРАХ
Расчеты токов и напряжений в электрических цепях, особенно
в цепях переменного тока, сопряжены с громоздкими вычислениями.
Большую помощь в таких вычислениях могут оказать программи-
руемые микрокалькуляторы (ПМК). В данном сборнике задач при-
водятся различные программы для вычислений в ряде конкретных
случаев.
Для цепей синусоидального тока удобно использовать программу,
позволяющую проводить простейшие действия с комплексными
числами. Такая программа в определенной мере является универ-
сальной, так как пригодна для анализа любой электрической цепи
с синусоидальными токами.
Ниже описывается программа КОМПЛЕКС, которую можно
использовать для ПМК типов БЗ-34, МК-54 и МК-56. Лучше при-
менять ПМК типа МК-52, который содержит перепрограммируемое
постоянное запоминающее устройство, способное сохранять несколько
программ при отключении источника питания. '
При вычислениях с помощью ПМК нужно придерживаться сле-
дующего порядка.
1. Подготовка ПМК к вычислениям по программе КОМПЛЕКС.
1.1. Включить питание ПМК.
1.2. Перевести ПМК в режим программирования
нажатием клавиш <F> и <ПРГ>.
1.3. Набрать программу КОМПЛЕКС, приведен-
ную в табл. 1, которая реализует алгоритм, описанный в конце
этого раздела.
Набор программы должен обязательно контролироваться по ин-
дикатору, где высвечиваются номер следующего шага (именно этот
номер записан в табл. 1) и код набранной команды.
В случае ошибочного ввода необходимо вернуться на один шаг
назад (если сбой произошел при вводе адреса условного перехода, то
на два шага) и повторить набор.
1.4. Перейти в режим автоматических вычислений
нажатием клавиш <F> и <АВТ>.
1.5. Проверить работу программы с помощью
тестов.
Для этого нужно произвести вычисления с числами А =? 3 -р /4
и Д = 5—/6. При сложении, умножении и делении действительные
и мнимые части чисел А и В вводятся в регистры памяти ПМК
— — — — — — — ------------------------ —
Таблица I
Программа КОМПЛЕКС
Номер шага Клавиши Код Номер шага Клавиши Код Номер шага Клавиши Код
01 X —П 2 42 34 F X2 22 67 3 03
02 <—> 14 35 П—Х 4 64 68 — 11
03 X —>П 1 41 36 F X2 22 69 F Х=0 5Е
04 с/п 50 37 + 10 70 7 8 78
05 X —П 4 44 38 ~ТГ 13 71 П—Х 2 62
06 <—> 14 39 X —П 0 40 72 П — Х 4 64
07 X—П 3 43 40 П — Х 5 65 73 + 10
08 3 03 41 F Вх 0 74 X —П 0 40
09 Bf 0Е 42 13 75 П — Х 1 61
10 с/п 50 43 с/п 50 76 П — Х 3 63
11 F Х = 0 5Е 44 2 02 77 + 10
12 2 2 22 45 — 11 78 с/п 50
13 П — Х 2 62 46 F Х = 0 5Е 79 ПП 53
14 F SIN 1С 47 6 6 66 80 8 1 81
15 П — Х 1 61 48 П — Х 2 62 81 с/п 50
16 X 12 49 П — Х 1 61 82 П — Х 1 61
17 X—П 0 40 50 -Т- 13 83 П — Х 4 64
18 П — Х 2 62 51 F tg-1 1L 84 X 12
19 F COS 1Г 52 X —П 0 40 85 П — Х 2 62
20 П — Х 1 61 53 П — Х 1 61 86 П — Х 3 63
21 х 12 54 F X < 0 5С 87 X 12
22 с/п 50 55 6 1 61 88 + 10
23 1 01 56 П — Х 0 60 89 X —П 0 40
24 /-/ 11 57 1 01 90 П — Х 1 61
25 F Х = 0 5Е 58 8 08 91 П — Х 3 63
26 4 3 43 59 0 00 92 X 12
27 П — Х 4 64 60 + 10 93 П—Х 2 62
28 — 0L 61 X—П 0 40 94 П — Х 4 64
29 X—>п 4 44 62 П — Х 2 62 95 X 12
30 ПП 53 63 П — Х 0 60 96 — И
31 8 1 81 64 F SIN 1С 97 X —П 5 45
32. П — Х 0 60 65 -Т- 13 98 В/О 52
33 П — Х 3 63 66 с/п 50
следующим образом:
<В/0> <3> <Bf> <4> <с/п> <5> <Bf> <6> </—/> <с/п>. (1)
Во время набора строки (1) на индикаторе ПМК последовательно
возникают числа 3., 4., 3., 5., 6., —6., 3. Темп набора надо сообразо-
вать с работой ПМК—следующую клавишу нажимать только после
установления числа на индикаторе.
1.5.1. Проверить подпрограмму сложения (А + В = С).
Ввести числа А и В, как указано в строке (1).
Нажать клавишу < + >, после этого на индикаторе должно по-
явиться число 6.. Это код операции сложения, принятый в программе
КОМПЛЕКС.
Нажать клавишу <с/п>. Через 6—7 с на индикаторе высветится
действительная часть числа С~8. Мнимая часть числа С =—2.
находится в регистре памяти РГО Для вызова его на индикатор
нужно нажать клавиши <П—>Х> и <0>.
1.5.2. Проверить подпрограмму умножения
(А-В^С).
Ввести числа А и В согласно строке (1).
Нажать клавишу <х>. На индикаторе должно появиться число
9.— код операции умножения в программе.
Нажать клавишу <с/п>. После 10 —12 с работы ПМК на инди-
каторе появится действительная часть числа С = 39 Мнимая часть
С = 2 выводится на индикатор нажатием клавиш <П—»-Ху и <0>.
Г.5.3. Проверить подпрограмму деления (А/В = С).
Ввести числа А и В согласно строке (1).
Нажать клавишу <4->. После этого на индикаторе должно
появиться число 1.— код операции деления в программе.
Нажать клавишу <с/п>. Через 12—14 с на индикаторе высве-
тится действительная часть числа С = —0,14754098. Мнимая часть
числа С = 0,62295081 вызывается из регистра РГО клавишами
<П—>Х> и <0>.
1.5.4. Проверить подпрограмму перевода комп-
лексного числа из алгебраической формы в пока-
зательную.
Переключатель углов установить в положение «градус». В ре-
гистры памяти ввести комплексное число А
<В/0> <3> <В|> <4> <с/п> <с/п> (2)
и нажать клавишу <В|>. На индикаторе появится число 3., которое
является кодом тестируемой операции.
Нажать клавишу <с/п>. Через 6—7 с высветится модуль числа
С = 4,999999. Аргумент числа А = 53,1301° извлекается из регистра
РГО: <П—>Х><0>.
1.5.5. Проверить подпрограмму перевода комп-
лексного числа из показательной формы в алгеб-
раическую.
Переключатель углов должен находиться в положении «градус».
Ввести комплексное число Д = 5е/®8’1301' в регистры памяти ПМК:
<В/0> <5> <В f > <5> <3> <•> <1> <3> <0> <1> <с/п> <с/п> (3)
Нажать клавишу <Сх>. На индикаторе установится число 0.—•
код тестируемой операции в программе.
Нажать клавишу <с/п>. Через 7—8 с на индикаторе появится
действительная часть числа А = 3,0000001. Мнимая часть числа
А = 4.0000001 извлекается из регистра 0:
2. Составление алгоритма вычислений.
На этом этапе формулы для расчета искомых параметров (сопро-
тивлений, токов, напряжений, мощностей) представляются таким
образом, чтобы они содержали однократные операции, на вычисление
которых рассчитана программа КОМПЛЕКС.
Рассмотрим этот этап на примере анализа цепи со смешанным
соединением трех элементов, имеющих комплексные сопротивления
Zt, Z2 и Z3 и подвключенных к источнику с напряжением Й. Запи-
шем в виде последовательности простых действий алгоритм вычис-
лений.
Выражения для расчета эквивалентного сопротивления участка
с параллельным соединением элементов удобно представить в форме
Z2s= Z2Z3,
Z2s = Z2 + Z3,
Z23 = Z23/Z23.
Эквивалентное сопротивление цепи
ZgK = Zj -j- Zg3.
Токи в цепи удобно вычислить таким образом:
/>й/гэк.
и —7 i
23 —_f;232U
/2=.n23/Z2S
/3 = H2S/Z3.
Комплексная мощность источника
Активная и реактивная мощности всех пассивных элементов цепи
соответственно равны:
з з
<2пРм==£ВД-
k=i k=t
Правильность вычислений проверяется по выполнению уравнения
баланса мощности
^ИСТ ^ПрМ ."Р jQnpM"
3. Вычисления с помощью программы КОМПЛЕКС.
Последовательности манипуляций, необходимых для вычислений
Вычисления с помощью программы КОМПЛЕКС
Т аблиц а 2
Действие Операции Чтение результата
Д+В = С <В/0> (.. .ВВОД Re Д,. .> <В |> (. . .ВВОД Im А.. ,>(с/п> <9 . .ВВОД ReB.. .> <В f> (.. .ВВОД ImB.. .> (с/п> <+> <с/п> ReC = prx (индикатор)’ Im С=РГО «П—>Х>(0»
А-В = С <В/0> (... ВВОД Re А.. .> <В f> (., .ВВОД Im А. . .> (с/п> <. S.ВВОД Re Д. ..></— /><В]> <.. .ВВОД 1т В.. .> (/—/> <с/п> <+> (с/п» То же
А-В=С <В/0> (... ВВОД Re А. > <В f > (...ВВОД 1т Д.. <с/п> (.. .ВВОД ReB.. .> (В |> <.. .ВВОД 1т В.. .> <с/п> <Х> (с/п> »—»:
А/В=С <В/0> (...ВВОД Re А.. .> <В f> (.. .ВВОД 1т Д.. .> (с/п> (...ВВОД Re В. ,.><В f> (.. .ВВОД 1т В'.. .> <с/п> (с/п> »—»
Re А+j Im А =£> =>А^ ГРАДУС (В/0> (.. .ВВОД Re А.. .> (В f> ВВОД 1т А.> <с/п> <с/п> (В |> (с/п> Д = РГХ (индикатор) чр=РГ 0 ((П—>Х><0»
А^=$ => Re А -|- / Im Д* ГРАДУС (В/0>(...ВВОДД,..>(В1> (... ВВОД ip.. .> <с/п> (с/п> (Сх> (с/п> ReA = PrX (индикатор) 1тД = РГ0 ((П—s-X>(0>)
разных выражений, подробно описаны в разделе 1.5. Для удобства
использования они сведены в табл. 2.
В программе КОМПЛЕКС заняты операционные регистры памяти
(РГО—РГ5). Остальные восемь регистров памяти (РГ6—РГ9, РГа,
РГЬ. РГс и РГф свободные. Это дает возможность провести вычис-
ления без записи на бумаге промежуточных значений. Однако
практически такой способ требует составления громоздкой таблицы
движения информации между регистрами памяти после каждой опе-
рации, многих дополнительных манипуляций с клавиатурой, что
повышает риск ошибки.
С другой стороны, требуемая погрешность электротехнических
расчетов обычно намного превышает погрешность вычислений на ПМК.
Поэтому при вводе чисел достаточно набрать три-четыре значащих
цифры.
По этим причинам проще записывать результаты вычислений
только на бумаге.
Рассмотрим пример вычислений для цепи, описанной в разделе 2
при исходных данных Zx=(3-|- /4)Ом, Z2=(5—/6)Ом, Z3=(7 + j’8) Ом,
U = 20e/8®°B.
1. Представим комплексное напряжение U в алгебраической форме:
<В/0> <2> <0> <В|> <3> <6> <с/п> <с/п> <Сх> <с/п>.
Получим на индикаторе 16,180341. Запишем Re U—16,18 В.
Переведем Im U из регистра РГО в регистрах РГХ (индикатор):
<П—>Х><0>. Получим на индикаторе 11,755706. Запишем
1ш£/=11,76В. Таким образом, U = (16,18 4-/11,76) В.
2. Вычислим Z2S!
<В/0> <5> <В f> <6> </—/> <с/п> <7> <В ]> <8> <с/п> < X > <с/п>.
Получим на индикаторе - ReZ23 = 83 Ом2. Вызовем ImZ^:
<П—>Х><0>. Получим ImZ2s =—2 Ом2.
3. Вычислим Z,'3:
<В/0> <5> <В f> <6> </—/> <с/п> <7> <В |> <8> <с/п> <+> <с/п>.
Получим на индикаторе ReZ23=12 Ом. Вызовем ImZ233
<П—>Х><0>. Получим ImZ23 = 2OM.
Замечание-, иногда проще сложить два комплексных числа, не
прибегая к программе.
4. Вычислим эквивалентное сопротивление Z23:
<В/0> <8> <3> <В |> <2> </—/> <с/п> <1> <2> <В |> <2> <с/п> <ч-> <с/п>.
Получим на индикаторе 6,7027027. Запишем Re Z23= 6,703 Ом.
Вызовем ImZ23: <П—>Х><0>. Получим на индикаторе —1,2837837.
Запишем ImZ2S = —1,284 Ом.
5. Вычислим эквивалентное сопротивление Z3K:
<В/0> <3> <В f> <4> <с/п> <6> <•> <7> <0> <3> <В |> <1> <•> <2>
<8> <4> </—/> <с/п> <+> <с/п>
Округляя полученные числовые значения, получаем
Z3K = (9,703 + 2,716) Ом.
6. Вычислим ток /х:
<В/0> <1> <6> <•><!> <8> <В f> <1> <1> <•> <7> <6> <с/п>
<9> < • > <7> <В f> <2> < • > <7> <2> <с/п> <+> <с/п>.
В итоге получим
Re/X« 1,861 А, Im/х«0,6911 А.
7. Преобразуем комплексный ток /х в показательную форму:
<В/0> <1 > < - > <8> <6> <1> <В f> <0> <-><6> <9> <1> <1>
<с/п> <с/п> <В |> <с/п>.
Получим
/х « 1,985 А, ф/х « 20,37°.
8. Вычислим напряжение Й23:
<В/0> <6> < • > <7> <0> <3> <В |> <1 > < • > <2> <8> <4> </—/> <с/п>
<!>.<•> <8> <6> <Bf> <0> <•> <6> <9> <с/п>
<х><с/п>.
Получим Re UiS лг 13,3 и Im I/g3 « 2,2 В.
9. Вычислим ток /2:
<В/0> <1> <3> <•> <3> <В f> <2> <-> <2> <с/п>
<5> <В f> <6> </—/> <с/п> <4-> <с/п>.
Получим Re 7g ~ 0,874 A, Im /2 « 1,49 А.
10. Преобразуем комплексный ток /2 в показательную форму:
<В/0> <0> <> <8> <7> <4> <В f> <1> <•> <4> <9> <с/п> <с/п>,
<В f> <с/п>
Получим /2« 1,727 А, ф/2 = 59,61°.
11. Вычислим ток /3:
<В/0> <1> <3> <•> <3> <В f> <2><- > <2> <с/п>
<7> <В |> <8> <с/п> <-+> <с/п>.
Получим Re /3 0,980 A, Im 73 ~ —0,805 А.
12. Преобразуем ток /3 в показательную форму:
<В/0> <0> < • > <9> <8> <В +> <0> < • > <8> <0> <5> </—/> <с/п>
<с/п> <В f> <с/п>.
Получим /3 » 1,268 А, ф,-3 = —39,40°.
13. Вычислим комплексную мощность источника!
<В/0> <1> <6> <> <1> <8> <В f> <1> <1> <•> <7> <6> <с/п>
<1> <•> <8> <6><1> <В |> <0> <•> <6> <9> <1> <1> </—/>
<с/п> < х > <с/п>.
Получим Рист » 38,24 Вт, QHCT ж 10,70 вар.
14. Вычислим активную мощность приемников! -
<3> <В f> <1> <•> <9> <8> <5> <Х2> < х >
<5> <В f> < 1> < • > <7> <2> <7> <F> <Х2> <*><+>
<7> <В f> <1> <•> <2> <6> <8> <F> <Х2> < х > <+>
Получим РпрМ « 37,99 Вт.
15. Вычислим реактивную мощность приемников:
<4> <В f > < 1 > < • > <9> <8> <5> <F> <Х2> < х >
<6> </—/> <В f> < 1 > <-> <7> <2> <7> <Е><Х2> <х><+>
<8> <В |> <1> <•> <2> <6> <8> <Е> <Х2> < х > <+>
Получим QnpM « 10,73 вар.
Баланс мощностей выполняется с погрешностью не более 1 %.
В программе КОМПЛЕКС вычисления производятся по следую-
щему алгоритму.
1. Запись значений операндов в регистры памяти РГ1—РГ4
(шаги 01—07).
2. Формирование числового кода операций К с помощью действий
над числом 3. (шаги 08—10):
«сложение» (К = 3 + 3 = 6),
«умножение» (К = 3 х 3 =. 9) t
«деление» (К 3/3 =1),
«перевод в показательную форму» (/< = 3),
«перевод в алгебраическую форму» (К = 0).
3. Если код /< = 0 (шаги 11—12), то выполняется операция по
подпрограмме перевода комплексного числа в алгебраическую форму
(шаги 13—22). Вычисления производятся по формулам
Re Л = .<4 sin ф, 1тА=Асозф.
4. Если код К=1 (шаги 23—26), то выполняется операция деле-
ния (шаги 27—43), в которой используется подпрограмма умножения
(шаги 82—98). Вычисления производятся по формулам
А[В = А • В/В2 = А B/[(Re А)2 + (Im А)2].
*
Произведение А-В вычисляется в подпрограмме умножения.
5. Если код К = 3 (шаги 44—47), то выполняется операция пре-
образования комплексного числа из алгебраической формы в пока-
зательную (шаги 48—66).
Аргумент комплексного числа
ф = arctg (Im A/Re А),
если Re А > 0, и
ф == arctg (Im Л/Re Л) + 180°,
если Re А < 0.
Модуль
А = Im Л/sin ч|).
6. Если код операции К = 6 (шаги 67—70), то выполняется опе-
рация сложения (шаги 71—78):
X + B = (ReX+Re5) + /(ImX + ImB) = C. -
7. Если код операции К = 9, то выполняется операция умноже-
ния (шаги 82—98):
4-B = (ReHReB—Im A Im В)+/(ЕеЛ ImB-Ь Im A Re Л) ==C.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Электротехника. /Под ред. В. Г. Герасимова. 3-е. (Изд.— М.: Высшая
школа, 1985.
2. Электротехника: Программированное учебное пособие /Под ред. В. Г. Ге-
расимов а.— М.: Высшая школа, 1983.
3. Основы промышленной электроники /Под ред. В. Г. Г е р а с им о в а. 3-е
изд.—М.: Высшая школа, 1986.
4. Электротехнический справочник. Т. 1,2.7-е изд.—М.: Энергоиздат, 1985,
1986.