Автор: Белоусов А.И. Рекус Г.Г.
Теги: электротехника электроэнергетика электроника сборник задач
ISBN: 5-06-003984-6
Год: 2001
Текст
Г.Г. РЕКУС А.И «ЛОУСОН
СБОРНИК залам и упражнений по элекгротехннке и основам электроники
Г.Г.РЕКУС А.И. БЕЛОУСОВ
СБОРНИК задач и упражнений по электротехнике и основам электроники
Издание второе, переработанное
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по неэлектротехническим специальностям направлений подготовки дипломированных специалистов в области техники и технологии
Москва
«Высшая школа» 2001
УДК 621.3
ББК 31.2
Р 36
Рецензенты:
кафедра электротехники и компьютеризации электромеханических систем Московского государственного технического университета (зав. кафедрой д-р техн, наук, проф. Б. И. Петленко) и кафедра электротехники и электропривода Московского государственного строительного университета (зав. кафедрой — д-р техн, наук, проф. Г. Е. Иванченко)
Рекус Г. Г., Белоусов А. И.
Р 36 Сборник задач и упражнений по электротехнике и основам электроники: Учеб, пособие для неэлектротехн. спец, вузов. — 2-е изд., перераб. — М.: Высш, шк., 2001. — 416 с.: ил.
ISBN 5-06-003984-6
Пособие содержит типовые задачи, подобранные по разной степени сложности, а также примеры их решения.
Включенные в книгу приложения дают возможность решать представленные задачи без дополнительного справочного материала.
Для студентов, изучающих курс электротехники и основ электроники на неэлектротехнических специальностях вузов.
УДК 621.3
ББК 31.2
ISBN 5-06-003984-6 © ГУП «Издательство «Высшая школа» 2001
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства ЛВысшая школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие состоит из 16 глав по основным вопросам электротехники, в каждую из которых, помимо теории, включены численные решения типовых задач с основными положениями и формулами, облегчающими понимание соответствующего материала. Такая форма изложения особенно важна для студентов, изучающих курс электротехники и основ электроники самостоятельно, а также на вечерних и заочных отделениях вузов.
В параграфах пособия для удобства пользования принята тройная нумерация рисунков, а в задачах — двойная, которая соответствует номерам задач. В каждой главе в контрольных заданиях даны дополнительные вопросы, способствующие лучшему усвоению материала студентами.
Основные теоретические положения подготовлены Г. Г. Реку-сом, а материалы контрольных заданий — А. И. Белоусовым.
Авторы выражают благодарность коллективам кафедры электротехники и компьютеризации электромеханических систем Московского государственного технического университета (зав. кафедрой — д-р техн, наук, проф. Б. И. Петленко) и кафедры электротехники и электропривода Московского государственного строительного университета (зав. кафедрой — д-р техн, наук, проф. Г. И. Иванченко), сделавшим при рецензировании книги ряд ценных замечаний и рекомендаций, способствовавших ее улучшению.
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курс электротехники и основ электроники на неэлектротехнических специальностях вузов. Материал пособия может быть использован при освоении последующих прикладных дисциплин и решении практических вопросов.
Авторы
Глава 1
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
5 1.1. ИСТОЧНИКИ И ПОТРЕБИТЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическая цепь представляет собой совокупность электротехнических устройств, создающих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых описываются уравнениями с учетом понятий об электродвижущей силе, электрическом токе и электрическом напряжении.
Основными элементами электрической цепи (рис. 1.1.1) являются источники и потребители электрической энергии.
В качестве источников электрической энергии постоянного тока широко распространены генераторы постоянного тока и гальванические элементы.
Источники электрической энергии характеризуются ЭДС Е, которую они развивают, и внутренним сопротивлением /?о-
Потребителями электрической энергии являются резисторы, электрические двигатели, электролизные ванны, электрические лампы и т. д. В них электрическая энергия преобразуется в механическую, тепловую, световую и др. В электрической цепи за положительное направление ЭДС Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т. е. от «—» источника к «-(-» источника питания. За положительное направление напряжения U принято направление, совпадающее с направлением действия электрического поля, т. е. от «4-» к «—» источника. За положительное направление тока 1 принято направление, совпадающее с перемещением положительных зарядов, т. е. от «-(-» к «—» источника (см. рис. 1.1.1).
В электрической цепи электродвижущая сила ЭДС источника может иметь одинаковое и противоположное направление с током. В первом случае источник ЭДС работает в режиме генератора, т. е. является источником электрической энергии. При этом ЭДС Е оказывается большей напряжения на его зажимах (E>U). При направлении ЭДС Е в цепи противоположно току источник становится потребителем электрической энергии, т. е. он работает в режиме потребителя и при этом ЭДС Е оказывается меньше напряжения U на зажимах
/
Рис. 1.1.1
источника (E<U) на величину внутреннего падения напряжения Rol. При расчетах электрических цепей реальные источники электрической энергии заменяются схемами замещения.
Схема замещения источника ЭДС содержит ЭДС Е и внутреннее сопротивление Ro источника, которое много меньше сопротивления RH потребителя электроэнергии (/?„3>/?о). Часто при расчетах приходится внутреннее сопротивление источника ЭДС приравнивать нулю.
В идеализированном источнике ЭДС Е падение напряжения на внутреннем сопротивлении RiJ = 0, при этом напряжение на зажимах источника U = const не зависит от тока / и равно ЭДС Е источника {U — Е). В этом случае источник электроэнергии работает в режиме, близком к режиму холостого хода.
В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз превосходит сопротивление потребителя электроэнергии Rn~^>Rn, при этом в идеальном источнике тока ток является величиной практически постоянной, не зависящей от нагрузки (/= const).
Реальный источник электрической энергии можно представить в схемах последовательным соединением идеального источника ЭДС и внутреннего сопротивления Ro или параллельным соединением идеального источника тока и внутренней проводимости Go= = l/R0. При расчетах электрических цепей источник тока может быть заменен эквивалентным источником напряжения, что в ряде случаев упрощает расчет.
II кг 2
Рис. 1.1.2
Рис. 1.1.3
Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы рис. 1.1.2), связь между током 1 и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи:
. __ <р, — ф; U12
где ф| и ф2 — потенциалы точек 1 и 2 цепи (ф|>фг); (Лг = ф1 — — фг — напряжение (разность потенциалов) между точками / и 2 цепи; £ /? — арифметическая сумма сопротивлений на участке цели; /?| и /?г — сопротивления участков цепи. Для участка цепи, содержащей источник энергии (рис. 1.1.3), закон Ома записывают в виде выражения
/ = —Ё____,
2 R + /?о
где Е — ЭДС источника энергии; X /? = /?;-(-£2 — арифметическая сумма сопротивлений Ri и R? участков цепи; Ro — внутреннее сопротивление источника энергии.
Взаимосвязь между всеми видами мощностей в электрической цепи (баланс мощностей) определяется из уравнения: £ Pi = = S/>2-|-S/’n, где SPi — алгебраическая сумма мощностей источников энергии (SPi = S£/); SP2— алгебраическая сумма мощностей потребителей (полезная мощность) (Pi=UI); YPn — суммарная мощность, обусловленная потерями в сопротивлениях источника (5Рл = 2/2/?о).
Резисторы, а также сопротивления других электротехнических устройств являются потребителями электрической энергии. Баланс мощностей определяется законом сохранения энергии, при этом в любой замкнутой электрической цепи алгебраическая сумма мощностей источников энергии равна алгебраической сумме мощностей, расходуемых потребителями электрической энергии.
Коэффициент полезного действия установки определяется отношением ti = P2/Pi.
Литература: [1| §1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.11, 1.13; [2] §1.1 —1.7; [3| §1.1.
Примеры решения задач
1.1. Составить схему электрической цепи постоянного тока с источником ЭДС Е с внутренним сопротивлением Ro при наличии последовательно включенных потребителей электроэнергии — фоторезистора Ф/?, резистора с сопротивлением /?, лампы накаливания Л и коммутационного аппарата В.
Решение. При составлении схемы должны быть учтены установленные ГОСТом условные графические обозначения элементов электрической цепи.
При этом каждый элемент цепи изображается условным обозначением, имеющим определенные размеры. Над каждым элементом указывается соответствующее буквенное обозначение, а также знак полярности: «+»— положительная полярность, «—» — отрицательная полярность источника питания. Условные обозначения определяют функциональное назначение элементов схемы. В обозначении источника питания стрелка указывает направление действия ЭДС, т. е. направление возрастания потенциала внутри источника. При составлении электрической схемы элементы электрической цепи изображают с интервалом друг от друга и соединяют линиями тока (проводами). На схемах указывают положительные направления тока, напряжения или падения напряжения (£/i2)-
Электрическая схема, составленная в соответствии с заданием, приведена на рис. Л.1.
Рис. 1.2
1.2. Определить ток в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.2). ЭДС источников питания: £| = 40В; £2=20В, внутренние сопротивления: /?<и = 3 Ом, /?ог = 2 Ом, потенциалы точек 1 и 2 цепей: <pi = 80 В; <р2=60В, сопротивления резисторов: Ri = 10 Ом; /?2 = 10 Ом.
Решение. Напряжение на зажимах электрической цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа: (Л2 = q>i — <р2 = £2 + 4- /?оа/ 4- R2I — Ei 4* /?oi/ + /?|/.
Ток в электрической цепи
/ — gi-£i+(<Pi-<₽2) .. 40 - 20+ (80-60)^ . 6 .
Ri 4- /?2 4- Roi + /?о2 10 4- 10 ~j-3 2 ’
1.3. Определить напряжение U на зажимах аккумулятора с ЭДС £=2В и внутренним сопротивлением /?о = О,О1 Ом, мощность, отдаваемую нагрузочному резистору RK при разрядке, и мощность, потребляемую им при зарядке при токе /= 10 А.
Решение. Схема электрической цепи с аккумулятором при разрядке приведена на рис. 1.3. При разрядке аккумулятор является источником электрической энергии, при этом направление ЭДС £ совпадает с направлением тока I (сплошная стрелка).
Напряжение на зажимах аккумулятора при разрядке определяется из уравнения, составленного для этой цепи по второму закону Кирхгофа: U = RJ = E — RqI= 2-0,01-10= 1,9 В. Мощность, отдаваемая аккумулятором при разрядке, PV = EI = = 2-10 = 20 Вт.
При зарядке аккумулятор переходит в режиме потребителя электроэнергии. При этом ток / аккумулятора направлен встреч-
но ЭДС £ (пунктирная стрелка). Напряжение на зажимах аккумулятора при зарядке в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа: U—E + Roi = 24-0,01 -10 = 2,1 В.
Мощность, потребляемая аккумулятором при его зарядке, Р3 = £/=2-10= = 20 Вт.
1.4. Составить электрическую схему источника ЭДС и схему эквивалентного
ему'источника тока, соедииеииого с нагрузочным сопротивлением Определить ток / и проводимость Go источника тока. ЭДС источника £=6 В, его внутреннее сопротивление /?о=О,1 Ом.
Решение. Электрическая схема с источником ЭДС и нагрузочным сопротивлением приведена на рис. 1.4, а. Источник ЭДС (ограничен пунктиром) характеризуется величиной ЭДС Е и внутренним сопротивлением Ro. ЭДС Е источника изображены иа схеме включенными последовательно с внутренним сопротивлением Ro. Схема источника тока приведена на рис. 1.4, б. Двойная стрелка на схеме показывает направление тока источника и указывает иа разрыв электрической цепи, обусловленный бесконечно большим внутренним сопротивлением источника тока, который характеризуется значением тока / и внутренней проводимостью Go, включенными иа схеме параллельно. При замене источника ЭДС эквивалентным источником тока мощность, потребляемая нагрузкой, принимается неизменной.
Рис. 1.4
Условием эквивалентности двух источников является равенство напряжений в режиме холостого хода и токов в режиме короткого замыкания.
При холостом ходе источника ЭДС ток в цепи /х = / = /о = О, при этом G = /o/Go = //Go (источник тока), а напряжение холостого хода UK = U = Е. При коротком замыкании источника ЭДС напряжение = U = 0. При этом /к = /=£//?о, 1 — J-Отсюда /=£//?o,(Go= 1 /Ro)', Е = J/Go-
Ток и проводимость эквивалентного источника тока: / = = £//?о = 6/0,1 =60 A, Go= 1/Яо = 1/0,1 = 10 См.
1.5. Построить внешнюю характеристику U (/) реального источника энергии с ЭДС £ и внутренним сопротивлением Ro, а также внешние характеристики идеальных источника ЭДС и источника тока; сопротивление потребителя электроэнергии (нагрузки) ₽„.
Решение. Напряжение на зажимах реального источника определяется в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа: U = RJ = £— Rol- При постоянных зна-8
S)
чениях E и Ro уравнение, связывающее напряжений U и ток /, представляется в виде прямой линии.
Предельные значения U и / определяются из режима холостого хода и режима короткого замыкания.
При холостом ходе /?„ = со, при этом ток А = I — 0, a Ux — Е (точка 1 характеристики). При коротком замыкании /?„ = 0, ток А = I = E/Ro, при этом UK = U — 0.
Внешняя характеристика реального источника питания (рис. 1.5, а) представляет график изменения напряжения источника U при изменении сопротивления нагрузки /?„. Она может быть построена по значениям напряжения и тока при холостом ходе и коротком замыкании (А = 0, Ux — Е, точка /) и (А = = E/Ro, UK — 0) в виде прямой линии.
Вторая точка характеристики (точка 2) обычно определяется координатами номинального режима (Аом, £Аом), Um„ = E— /?оАом •
Внешняя характеристика идеального источника ЭДС представлена на рис. 1,5, б (линия /). При /?о = О напряжение U — = U. = Е.
Внешняя характеристика источника тока представлена на рис. 1.5, б (линия 2). При этом ток источника равен току короткого замыкания: А = / = E/Ro.
Внутреннее сопротивление Ro источника тока настолько велико по сравнению с сопротивлением нагрузки (Ro^>RK), что из
меНение его (соответственно изменение напряжения на зажимах нагрузки) практически не влияет на величину тока в электрической цепи с источником тока.
1.6. Определить внутреннее сопротивление Ro и ЭДС Е источника питания (рис. 1.6), если при разомкнутых выключателях Д и В2 ток, протекающий в цепи амперметра, / = Л = 2 А, а при замкнутом выключателе В\ и разомкнутом выключателе В2 ток /=/г=2,5 А. Сопротивления резисторов Ri = R2 = R3 = 3 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление ветви цепи с параллельно включенными сопротивлениями R2 и R3: Рзл =
R2R3 30-30 । г
= яйТяГ =36+30- = *’5 Ом-
Ток в цепи при разомкнутых выключателях Bi и В2 определяется уравнением, составленным по закону Ома для всей цепи: /, = _ Е '
Ro + Rt + R23
Ток в цепи при замкнутом выключателе Bi и разомкнутом
Е выключателе В2 определяется по уравнению /2= о , р—
Д(» "Т Л21
Внутреннее сопротивление источника ЭДС определяется при совместном решении полученных уравнений:
Ro = (R. + Rg/.-R,,/, = (3^+^..L5;2;5 = ,05 Ом
ЭДС источника питания Е = (/?о+ /?гз) /2 = (10,5+ 1,5) 2,5 = = 30 В.
1.7. Для электрической цепи рис. 1.7, а определить ток /, напряжение на зажимах потребителя U, мощность источника питания Р\, мощность Р2 внешней цепи, КПД г) установки, если ЭДС источника питания Е= 10 В, его внутреннее сопротивление /?о = = 1 Ом, сопротивление нагрузки /?„ = 4 Ом. Сопротивлением питающих проводов пренебречь. Построить внешнюю характеристику U (/) источника питания.
Решение. Ток в электрической цепи по закону Ома для всей цепи:
/ = * Е = 10 = 2 А Rn + R„ 1+4
Напряжение на зажимах источника питания: U = R„I = = 4-2=8 В. Мощность источника питания: Р1=£7=10-2 = = 20 Вт. Мощность внешней цепи (мощность потребителя) : Р2 = = UI = 8-2 = 16 Вт. Потери мощности внутри источника Ро = = I2Ro = 22 • 1 = 4 Вт, КПД равен
т, = р2/р, = Р2ДР2 + Р0) = 16/20 = 0,8, т. е. »] = 80 %.
Внешняя характеристика источника питания (/(/) при постоянных значениях Е и Ро- а) при холостом ходе (выключатель В разомкнут): / = /х = 0, (/=(/, = £= 10 В; б) при коротком за-
Ю
мыкании (выключатель В замкнут) /?„ = 0: /=/к = Е//?0 = = 10/1 = 10 A; U=R,/« = 0.
Зависимость t/(/) является линейной, поэтому данные режимов холостого хода и короткого замыкания определяют внешнюю характеристику источника питания (рис. 1.7, б). По ней и значению тока I нагрузки можно определить соответствующее напряжение U источника. Например, для точки 1 при / = 6 А напряжение U = 10 — 6 = 4 В, так как по второму закону Кирхгофа U=E-Rol.
Уравнение баланса мощностей (мощность источника питания равна мощности, выделяемой в виде теплоты в сопротивлениях /?о и /?„): F/ = /2/?o + /4; Ю-2 = 22- 1 +22-4; 20 =20 Вт.
1.8. Для электрической цепи рис. 1.7, а определить, при каком сопротивлении нагрузки R„ в условиях предыдущей задачи источник питания отдает наибольшую мощность и каков при этом КПД т] установки? Построить график изменения полезной мощности в зависимости от сопротивления нагрузки Pi(Ru). Задачу решить в общем виде.
Решение. Мощность, выделяемая в нагрузочном сопротивлении:
P2 = ^ = (^^-
Для определения наибольшей мощности, отдаваемой источником электроэнергии, берется первая производная мощности по нагрузочному сопротивлению и приравнивается нулю:
dP; (Яо + Я„)г — 2(/?о —|— Л? н) /?„ р2 л
аян — (я»+я«)4 — ’
После преобразования получим RH = Ro, т. е. источник отдает наибольшую мощность при равенстве сопротивлений нагрузки и его внутреннего сопротивления. Максимальная мощность, отдаваемая источником электроэнергии во внешнюю цепь потребителю при R„ = Ro'.
р
2 тп ~ (Ro + Rif
Е2 4Ro
Вт.
КПД источника п = 2L — /2/?" = -- /2„Я° J_= о 5
1 Р, /2(Яо + Я„) Яо + Ян 2/J/?o 2
т. е. т) = 50 %. Можно показать, что при R„ = 0 (короткое замыкание) т) = 0; при R„ = Ro КПД т) = 0,5; при R„ = со КПД т) = 0. При изменении нагрузочного сопротивления R„ полезная мощность изменяется в соответствии с уравнением
р Г а 1 = Я8 к
2 (Ro + Rif Ro L (а+1)2 J Ro Л’
где K= а/(а+1)2; а = -^-. При /?0= R», а= 1, Р2 = 0,25-|-. лн Ко
Рис. 1.8
Рис. 1.9
Принимая Е и Ro постоянными, задаваясь различными значениями Ro/Rh, можно получить график, показывающий! (в относи-
Е2
тельных единицах) изменение полезной мощности Р? = -=— в
АО
функции сопротивления нагрузки R„ (рис. 1.8).
1.9. Построить зависимость изменения напряжения U на зажимах источника питания, мощности Pi, отдаваемой источником, полезной мощности Рг, потерь мощности Ро, КПД q установки от тока I в электрической цепи, т. е. Ui, Pi, Рг, Ро, т](/) при изменении сопротивления нагрузки в пределах /?„ = 04-со для условий задачи 1.7. ЭДС источника питания считать неизменным.
Решение. Порядок расчета для R„ = 4 Ом приведен в задаче 1.7. Для других значений нагрузки результаты расчета приведены в табл. 1.1:
Таблица 1.1
Ян. Ом 0 0,5 1 2 4 6 7 9 оо
/, А 10 6,67 5 .3,33 2 .1,43 1,25 1 0
и. В 0 3,33 5 6,56 8 8,6 8,75 9 10
Pi. Вт 100 66,7 50 33,3 20 14,3 12,5 10 0
Рг, Вт 0 22,2 25 22,2 16 . 12,3 10,9 9 0
Ро, Вт 100 44,4 25 11,1 4 2,05 1,56 1 0
Л 0 0,33 0,5 0,67 0,8 0,855 0,875 0,9 1
На рис. 1.9 приведены графики изменения соответствующих величин в функции тока нагрузки.
Задачи
1.10. Для электрической цепи постоянного тока (см. рис. 1'7, а) определить падение напряжения внутри источника питания At/o и напряжение U на его зажимах. ЭДС источника Е=100В, со
противление Ro= 0,5 Ом, сопротивление нагрузочного резистора /?„ = 0,5 Ом. Как изменится падение напряжения внутри источника и напряжение на его зажимах, если сопротивление резистора увеличится В 2 раза (/?„=19Ом)? Ответ Л£Л>=5В; £7 = 95 В; .\U(,= = 2,57 В; О'= 97,43 В.
1.11. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.11) определить ток /. напряжения U\, U2, U3 на резисторах Rt, R2, R3, мощность источника питания Pt, мощность потребителя электроэнергии Р2, потери мощности Ро и КПД т] установки. Составить баланс мощностей, если Е = 24 В; Ro — 0,5 Ом; Rt — 0,5 Ом; /?2=6Ом; /?з = 50Ом, определить показания вольтметра V при замкнутом И разомкнутом выключателе В. Ответ: I = 2 А; С/| = 1 В; и, = 12 В; U3 = 10 В; Рг = 48 Вт; Р2 = 46 Вт; Ро = 2 Вт; п = 0,96; (/„= 12 В; U'. = 24 В.
Рис. 1.12
1.12. Определить напряжение питания U электрической цепи постоянного тока (рис. 1.12), а также сопротивление нагрузки R„, если напряжение на зажимах нагрузки £/„=100 В, ток в цеци /=10А, сопротивление каждого из проводов цепи /?п = = 0,6 Ом. Ответ: и = 112 В; /?„ = 10 Ом.
1.13. По линии электропередачи длиной / = 500м, выполненной из медного провода (р = 0,0175 Ом-мм2/м) с сопротивлением Rj,, передается мощность Р = 46кВт при напряжении в конце линии £/„ = 418 В (рис. 1.13). Определить процентное изменение напряжения AU% при отключенной нагрузке. Номинальное напряжение потребителя £/„ом=440 В. Ответ. ьи % = 8,75 %.
1.14. Определить пределы регулирования напряжения Ки и тока Ki на потребителе электроэнергии с сопротивлением R„ = — 50 Ом с помощью реостата с сопротивлением /?р = 70 Ом (рис. 1.14), если напряжение питающей сети U — 120 В. Ответ: Кс=2А; К,= 2А.
Рис. 1.16
1.15. Последовательно с потребителем электроэнергии с сопротивлением /?„ = 10 Ом в цепь постоянного тока включен регулировочный реостат (рис. 1.15). Определить сопротивления цепи R, ток / в цепи и падения напряжений Л(/ на реостате при установке подвижного контакта реостата в положениях /—6 при одинаковых сопротивлениях секций реостата Ro= 10 Ом. Напряжение питающей сети и = 240 В. Ответ: Результаты расчета представлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Величины Положение реостата
1 2 3 4 5 6
Общее сопротивление цепи R, Ом 10 20 30 40 50 60
Ток в цепи /, А 24 12 8 6 4,8 4
Падение напряжения на сопротивлении секции At/. В — 120 160 180 192 200
Падение напряжения на потребителе At/,,, В 240 120 80 60 48 40
1.16. Определить общий ток / и токи /ь /2, /з, Л в отдельных ветвях электрической цепи постоянного тока (рис. 1.16), напряжение U и ЭДС Е источника питания. Сопротивление резисторов /?1 = 6Ом; /?2=10Ом; Яз= ЮОм; Я4=20Ом; Я5=ЮОм; /?6 = 5Ом; /?7=15Ом, внутреннее сопротивление источника /?0 = 0,5Ом, показание амперметра А: /2 = 2 А. Ответ. /=ЮА; /, = /, = /< = 2 A; /j = 4А; U = 100 В; Е ~ 100 В.
Контрольное задание
1.17. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.17) определить ток /, напряжение на зажимах потребителя U, мощность потребителя электроэнергии Рг и источника питания Pt, КПД t) установки, составить баланс мощностей. ЭДС источника Е, внутреннее сопротивление источника Ra, сопротивления резисторов Rt, R3, R3, а также положение выключателей 8, и ft для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 1.3.
Рис. 1.17
Примечание. Для расширения числа вариантов контрольного задания в вариантах с 31-го по 60-й Rt, R3 увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 R?, R3 уменьшить в 2 раза.
Продолжение табл. 1.3
Величины Варианты контрольного задания 1.17
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Е, В 12 12 12 12 12 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24
Ro, Ом 0,5 0,6 0,3 0,4 0,3 0,8 0,8 0,6 0,8 0,2 0,2 0,4 0,4 0,8 0,8
/?>, Ом 5 — 3 — 1 1 — — 2 2 — 3 1 — 1
R3, Ом — 4 — 2 .— 1 3 2 — 2 2 — 1 2 1
R3, Ом 5 6 7 8 9 8 1 2 3 4 2,2 6 6 8 8
Замкнутые выключатели В2 В, Вг В, в2 — в. В, в2 — В, в2 — В, —
$ 1.2. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.
При расчетах неразветвленных и разветвленных линейных электрических цепей постоянного тока могут быть использованы различные методы, выбор которых зависит от вида электрической цепи.
При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований (метода трансфигураций) электрических цепей.
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2
Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений (рис. 1.2.1) заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением R3K (рис. 1.2.2), равным сумме всех со-
противлений цепи: Як = /?i + /?2.+ /?3+ - + /?«= 2 Я, где Я, k= ।
Я, Я..... Я — сопротивления отдельных участков цепи. При
этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков: Ui/Rt = U2/R2 = t/з/Я— ...Un/Rn- При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U (рис. 1.2.3). Электрическую ‘цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением R* (см. рис. 1.2.2), которое определяется из выражения
^-=2-^-, где £ ' =G,k=2G-«ЭК k= I «к *- I «« k = 1
сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи); Я—сопротивление параллельного участка цепи; GM— эквивалентная проводимость параллельного участка цепи, G3K = = -!—; п — число параллельных ветвей цепи. Эквивалентное
Пэк
сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых парал-лельно соединенных сопротивлений, ЯЖ=Я,/Л- При параллельном соединении двух сопротивлений Rt и Я эквивалентное со-
Рис. 1.2.3
n n
противление Я, = „ в . а токи распределяются обратно про-порционально их сопротивлениям, при этом U — Rilt = R2I2 = — R3I3 = ... — RJn. При смешанном соедииеиии сопротивлений (рис. 1.2.4), т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление (см. рис. 1.2.2) цепи определяется в соответствии с выражением
/?«= s Я+—п—; =
*=| _ «=!
*-! R'
Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рис. 1.2.5), эквивалентнбй звездой (рис. 1.2.6). При этом сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам: R\ = __ RiiRn . п R12R23 . о R23R31 гд„ о п
RlRai 1 Rl 2+ /?2э4“Яэ1 * Л|2-|-Л2э4-Лз|
R3 — сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений; /?12, /?гз, R31 — сопротивления сторон эквивалентного треугольника сопротивлений. При замене звезды сопротивлений эквивалрнт-ным треугольником сопротивлений сопротивления его сторон рассчитывают по формулам: . /?зг = Я3 + Я1+Я3Я1/Я2; /?12 = == Ri 4~/?2"|- R\Ri/R3, R23 ~ R2 4~ R3 ~Ь /?г/?з/Л|.
Литература. [1] § 1.10.2—1.10.6: |2| $1.8—1.12.
Примеры решения задач
1.18. Для электрической цепи постоянного тока с параллельным соединением резисторов Rt, Rs и /?з (рис. 1.18) определить ток / в неразветвленной ее части и токи в отдельных ветвях: /1, /?, Л. Сопротивления резисторов: /?, = 5Ом; /?2=ЮОм; /?з = 15 Ом, напряжение питающей сети U— НО В.
Решение. Эквивалентное сопротивление RM всей электрической цепи находят исходя из формулы для ее эквивалентной про-
1 1 1 1 1 1 1 п
воднмости: - - - - + - + - - - + - + - = - или =
= 30/11 = 2,73 Ом. Ток в неразветвленной части электрической цепи: 1— U/R3K — 110/2,73 = 40,3 А. Ток в ветви резистора Ry. /, = U/Rt = 110/5 — 22 А. Ток в ветви резистора R2: h=U/Rt= = 110/10= 11 А.
Ток в ветви резистора Ry /3 = -^-=-^== 7,33 А. Проверка по первому закону Кирхгофа для узла разветвления рассматриваемой цепи: /=/,+/24-/3 или 40,3 А=22+11+7,33=40,3 А.
1.19. В условиях задачи 1.18 ток в неразветвленной части цепи /=22 А. Определить токи /,, /2, /з в ветвях резисторов /?,, /?2, /?з- Задачу решить методом проводимостей.
Решение. Проводимости отдельных участков электрической цепи: Gi = -4-=4-==0,2 См; 62 = -^-=-^=0,1 См; G3 = П| О Г\2 10
= 4-=-^-= 0,0667 См.
дз 1о
Эквивалентная проводимость цепи: G3K= G, + G2+ G3=0,2 +
Рис. 1.18
4-0,14-0,067 = 0,367 См. Напряжение между узловыми точками:
6/=-^—= 0 3^ =60 В. Токи в ветвях резисторов: h = U/R\ = =60/5= 12 А; /2= t//R2 = 60/10=6 А; /а= C//R3 = 60/15 = 4 А.
1.20. Определить общее сопротивление Ro и распределение токов в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.20) . Сопротивления резисторов: Ri = R2 — 1 Ом; Rs = 6 Ом; Rs = Re = = 1 Ом; R4 = R7 = 6 0m; Ra = 10 Ом; R9 = 5 Ом; Ri0=10Om. Напряжение питающей сети U = 120 В.
Решение. Сопротивление участка цепи между узлами 1 и
4- Я" ~ = ^nTin = 6 ^м- Сопротивление участка
между узлами 1 и 3 цепи: R)3 = = 4 Ом-
Сопротивление участка между узлами 1 и 2 цепи: Ri2 =
= 1 3 См. Общее сопротивление
Я|з + Яб + Я5-|-Яз 44-14-14-6 щ н
всей электрической цепи: Ro = R\ 4-R124-R2 — 1 4-34“ * — 5 Ом. Ток в иеразветвленной электрической части цепи: /i = L//Ro = = 120/5 = 24 А. Напряжение между узлами 1 и 2 цепи в соответствий со вторым законом Кирхгофа: Ui2 = U — R\h — R2h — = 120—1-24—1-24 = 72 В. Напряжение между узлами 1 и 3 цепи: 1/1з = t/i2— 1/32= Un—Io - (Rs-l~Ro) — 72— 12-(14~1)= 72 — -24 = 48 В.
По первому закону Кирхгофа ток в ветви резистора R3: /2 = = Un/R3 = 72/6 = 12 А.
Токи в ветвях резисторов Rs, R6: Io = /1 — /2 = 24— 12 = 12 А;
R4: /3 = -^ = ^-=8А; Rt /7 = /6-/з= 12-8 = 4 А. Напряжение между узлами 1 и 4 цепи: Ц4=Л8/7=10-4=40 В. Токи
LZi4 40 U14
в ветвях резисторов R,: Д=—=—=4 A; R, и R10: 15=----------=
4Л Яр+Яю
=----=2,66 А.
5 + 10
1.21. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис. 1.21, определить общий ток / и токи /|, 1г, /з, Л в ветвях резисторов R1 — R4. К цепи подведено напряжение U = 240 В, сопротивления резисторов Ri = 20 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 5 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление участка
ческой цепи с резисторами Ri и R2: 1/R»k= 1/Ri 4-1/R2= I/2O4- 1/15= = 7/60, откуда R,k=60/7 Ом. Эквивалентное сопротивление участка цепи с резисторами Rs и R4: 1/R"« = = I/R34- 1/Я4 = I/Ю-!- 1/5 = 2/10, откуда R"K= 10/3 Ом. Общее сопротивление R = R'„ 4- R"» = 60/7 4-4- 10/3= 11,9Ом. Общий ток в цепи: I=U/R— 240/11,9= 20,2 А. Па-
электри-
Рис. 1.21
Рнс. 1.22
= ^ = П,5А;
15 R3
= 13,5 А.
дения напряжении на параллельных участках цепи: Ut —
= R',J = -~20,2 = 173 В; (Л> =
= Я" /=-I®..20,2 == 67,3 В.
Токи в ветвях соответствующих резисторов: Л = д' =
= — = 8,7 А; 20
— = 6,7 А;
10
Л = —= Ri
Ц = ^- = ^- = R4 5
Проверка. По первому закону Кирхгофа для узлов разветвлений цепи: / = -h+h или 20,2 А = 8,7+11,5 = 20,2 А. 1 = 13 + 1, или 20,2 А = 6,7 + 13,5 = = 20,2 А.
1.22. Определить токи Л — /9 На участках электрической цепи постоянного тока (рис. 1.22). Сопротивления резисторов: R = = 30 Ом; /?| = /?г = 2 Ом; /?3=15 Ом; /?4=ЮОм; /?5 = 4Ом; /?б = 5 Ом. Напряжение питающей сети U = 100 В.
Решение. Эквивалентные сопротивления отдельных участков электрической цепи между соответствующими узлами: /?33 — = #/3 = 30/3 = 10 Ом; =(/?з5 + Яб)= 10 + 5= 15 Ом; #23 =
RlRnl_______10- 15 ___ f. р. п ______ Л?з(/?5 + /?2з)
/?4 + Л,Ki — 10+15 ьи ’ Кэк2 Яз + Яз + Язз
15-14 + 6)
15 + 4 + 6
= 6 Ом.
Общее сопротивление цепи: Ro = 2Ri + #эк2 = 2-2 -4- 6= 10 Ом Ток в резисторах и #2: 7, = /2 = U/Rq= 100/10= 10 А. Ток в ветви резистора R3: /3 = U\4/R3 = 60/15 = 4 А. Напряжение между узлами 1—4 цепи: Un — R^l = 6« 10 = 60 В. Ток в ветви резистора #5 по первому закону Кирхгофа для узла 5 цепи: /5 = / —/3 = 10—4 = 6 А. Напряжение между узлами 2 и 3 цепи: t/23 = Un — RsIa = 6O— 4-6 = 36 В. Ток в ветви резистора R4: /4 = 1/23//?4 = 36/10 = 3,6А. Ток в ветви резистора R6 по первому закону Кирхгофа для узла разветвления 2: Ц = 1 — - (/3 +/4) = 10 - (4 + 3,6) = 2,4 А.
Напряжение между узлами 3 и 5 -?Z _
цепи: t/35= t/23 —/?б/в = 36 — 5-2,4= D Г "5-p-r 1
= 24 В. Токи в цепях резисторов Ri—Ra. /7=/8=/9= t/35/# = 24/30= = 0,8 А.
1.23. Для электрической цепи постоянного тока рис. 1.23 определить эквивалентное сопротивление /?эк и общий ток 1 в цепи, а также падения напряжения At/ на резисторах /?|, R3, R». Сопротивления ре-
зисторов: /?| = 5Ом; /?2=4Ом; /?3= Рис. 1.23
= 20 Ом; /?4 = ЗООм; У?5 = 50 Ом; #6= 100 Ом; Я7 = 5 0м; /?8 = = 1,8 Ом. ЭДС источника питания £=50 В. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Решение. В результате преобразования треугольника сопротивлений 7?з, R4, R& в эквивалентную звезду определяем сб-~ п R3R4 20*30 с п
противления: /?34 = = ^^-=6 Ом, /?« =
_ R,Rs _ 30*50 _icnM. р _ /?з/?5 20*50
Яз+Я, + Я5 20+30+50 1 ’ Кз5 R.+R^+R, 20+30+50
= 10 Ом.
Суммарное (эквивалентное) сопротивление последовательно включенных резисторов Т?45 и R?: R3K} = R^s +R? = 15 + 5 = = 20 Ом. Суммарное (эквивалентное) сопротивление последовательно включенных резисторов Т?35 и Rs. R-^i = Ris + Rs = 10 + + 10 = 20 Ом. Эквивалентное сопротивление ветвей цепи с резистором 7?ЭК| И Т?34 И R3k2: Rsk3 = Ru + = 6 + —
KmIT Км2 204“ 20
= 16Ом. Общее сопротивление всей цепи: Ro — R\ + Rs + +b?- -=5+1,8 +^т^- = 5 + 1,8 + 3,2 = 10 Ом. Ток в не-A2 4“ АэкЗ
разветвленной части цепи: / = E/Ro = 50/10 = 5 А. Падение напряжений на резисторах R\, R2 и /?8: Д/7| = 7?|/=5-5=25 В; 4(/,_W-|.8.5-9 В; i(/,_/^__S.^._5.3.2_ = 16 В. Проверка. На основании второго закона Кирхгофа имеем: Е= 1Л + + О2 + О8 и/1и 50 В = 25 + 9+16 = 50 В.
1.24. Для условий задачи 1.23 преобразовать соединение звезды резисторов R3, Rs, Rs в эквивалентный треугольник и вычислить сопротивления его сторон.
Решение. Сопротивления резисторов эквивалентного треугольника:
R3i= R3 + Rs + ^^= 20 + 50 + -М-= 20 + 50+ 100= 170 Ом;
А 6 1V
R3s = R3 + Rs+-^= 20+ 10+-^-= 20+ 10 + 4 = 34 Ом;
А5
Rss = Rs + Rs + -^= 50+10+-^-= 50+ 10 + 25= 85 Ом.
АЗ
1.25. Определить ЭДС Е источника питания электрической цепи постоянного тока (рис. 1.25), если сопротивления каждого из резисторов R= = 0,3 кОм, а токй в параллельных ветвях /=0,3 А. Сопротивлением источника питания пренебречь.
Решение. Эквивалентное сопротивление всей электрической цепи
Рэк = ZR++R> = 2°/otfo3> = = °’2 K°M = 200 °M’
А"эк1“г*\) **(u,i u,o
___о . _ _ 0,15.0,3 0,045 n, n Я2 _
Де R,Ki R„}-\-R 0,15 + 0,3 0,45 ~ 0,1 K°M’ ^,k2 2R
К 0,3 n . - r.
=-g-== 0,15 кОм.
Ток в цепи источника питания: /0 = 2/ = 2-0,3 = 0,6 А. ЭДС источника питания в соответствии с законом Ома для всей цепи: £=/?эк/0 = 200-0,6= 120 В.
Задачи
1.26. Определить эквивалентное сопротивление Рэк и ток / в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.26), содержащей три параллельно соединенные одинаковые электрические лампы. Номинальная мощность лампы Р„о„ — 100 Вт, номинальное напряжение UKW = 100 В. Ответ. /?,«= 33,3 0м; / = ЗА.
1.27. Резисторы, имеющие сопротивления Ri = R2 — R3 = = 3 Ом, включены параллельно в питающую сеть. Определить, какими сопротивлениями R должны обладать резисторы, чтобы при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление их было таким же, как и при параллельном включении. Ответ. Ra* 0,33 Ом.
1.28. Определить токи Ц, I2, h в ветвях электрической цепи постоянного тока при напряжении U — 240 В (рис. 1.28) и сопротивление резистора Ri. Сопротивления резисторов: R2 = 10 Ом; R3 = 15 Ом, мощность, потребляемая цепью, измеренная ваттметром W, Pi = 7,2 кВт. Как изменится мощность Рь потребляемая из сети, если напряжение питающей сети увеличить иа 30 % при неизменных параметрах резисторов? Ответ. Л = 30 A; Z2 = 18 А; Z3 = = 12 A; R, = 2 Ом; Р, = 12,2 кВт.
1.29. Для разветвленной электрической цепи постоянного тока, представленной на рис. 1.28, определить токи Ц—/3 в ветвях при напряжении питающей сети U — 80 В. Сопротивления резисторов Ri = 10 Ом; R2 = 15 Ом; R3 — 10 Ом. Ответ. Л = 5 А; Z2= = 2 А; /3 = 3 А.
Рис. 1.30
Рис. 1.31
1.30. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.30) определить общий ток / и токи /| —/4 в ветвях резисторов при разомкнутом и замкнутом выключателе В, а также ток /|2 в перемычке /—2, если к зажимам цепи подведено напряжение 67 = 240 В, сопротивления резисторов: /?|=20Ом; /?2=150О'м; /?з = = 10 Ом; /?4 = 5 Ом. Ответ. При разомкнутом выключателе: / = 22,9 А; /| = /2 = = 6,87 А; /я =/4 = 16 А.
При замкнутом выключателе: /=23,1 А; /, = 7,7 А; /2 = 5,78 А; /3 = 15,4 А; /4=17,4А; /12= 1,92 А.
1.31. Определить токи /, h—/4 в ветвях электрической цепи постоянного тока, представленной на рис. 1.31. Сопротивления резисторов: Rt = 4 Ом; /?2 = 6 Ом; R3 = 8 Ом; R< = 10 Ом; Rs — = 14 Ом. Напряжение питающей сети 67 = 240 В. Ответ: I — 80 А; /, = 60 А; /2 = 20 А; /з = 15 А; /4 = 5 А.
1.32. На рис. 1.32 приведена мостовая схема соединения сопротивлений /?1—Rs в цепи постоянного тока с напряжением источника питания 67= 120 В. Определить величину и направление тока Is -в диагонали моста, если сопротивления резисторов: R\ — 25 Ом; R3 =5 Ом; /?3=20Ом; /?4=Ю0м; /?5 = 5Ом. Ответ. 1,26 А. Ток направлен от узла 2 к узлу 4 цепи.
Контрольные задания
1.33. Определить эквивалентное сопротивление Rt, электрической цепи постоянного тока (рис. 1.33, а) и распределение Токов по ветвям. Вариант электрической цепи (включая ее участок /—2, рис. 1.33, б—з, ограниченный на схеме рнс. 1.33, а пунктиром), положение выключателей fii и Вг в схемах, величины сопротивлений резисторов Rt—Ru и питающего напряжения U для каждого из вариантов задания представлены в табл. 1.4.
Примечание. Для расширения числа вариантов задания в вариантах 31—60 сопротивления резисторов: /?6 = оо, Rl2 = 0, в вариантах 61—90: R? = = оо, /?2 = 0.
Величины Варианты контрольного задания 1.33
1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
/?i. Ом 2 2 1 1 2 1 3 3 2 1 2 2 4 2 3 2 6 2 1 2 1 3 2 3 4 4 3 1 2 2
Лг, Ом 4 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 2 2 4 6 4 6 4 2 3 2 2 3 3 4 2 2 1
Rs, Ом 6 6 8 6 3 6 2 8 2 1 4 1 2 4 5 1 4 3 1 2 1 4 5 5 4 2 2 8 1 2
Rs, Ом 6 7 7 6 3 6 4 12 3 1 4 1 1 2 6 1 2 1 2 2 2 2 3 4 2 1 5 6 6 4
Rs, Ом 1 1 3 1 2 2 4 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 4 4 2 1 2 2 3
Rs, Ом 2 2 6 1 2 2 1 1 4 2 1 1 2 2 1 3 3 6 3 3 2 2 1 2 1 2 4 2 6 4
Ry, Ом 5 3 3 6 3 3 4 2 3 4 5 4 3 3 2 4 4 6 4 3 2 2 2 4 6 1 3 4 4 2
Rs, Ом 10 5 5 10 10 10 5 15 5 5 5 5 5 10 10 10 5 10 4 2 3 1 5 10 15 5 10 5 5 5
Rs, Ом 5 15 15 5 10 5 10 10 10 10 6 8 10 8 15 5 15 10 6 8 10 10 10 5 5 5 5 15 15 15
Лю. Ом 5 10 10 10 5 10 5 20 5 10 15 20 10 5 10 5 10 5 5 10 15 5 10 10 10 10 5 10 10 10
Лц, Ом 5 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 1 5 4 2 3 4 6 7 8 8 10 6 8 10
Лю, Ом 8 8 7 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 3 5 8 10 1 2 3 4 6 6 2 4
и. В 'Положение выключателей Bi 1 Юлли 22 1 2 2 6 1 2 1 НО Или 2 1 2 2 20 1 2 1 1 2 НО 2 ИЛЯ 1 22 2 1 1 1 2 2 НО 1 ИЛ1 2 22 1 ) 1 2 ПО 2 ИЛ к 1 22( 2 1
вг — 4 4 5 5 —
Схема участка, ограниченного пунктиром См. рис. 1.33,а См. рис.’ 1.33,6 См. рис. 1.33, в См. рис. 1.33, г См. рис. 1.33,6 См. рис. 1.33, е См. 1.33, ж )ИС. См. рис. 1.33,з
Рис. 1.33
1.34. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.34, а) определить общий ток /, токи Л, Л, /з, h в ветвях резисторов и ток Лз в перемычке 2—3 цепи при разомкнутом и замкнутом выключателе В, а также напряжение 1/г:> между узлами 2 и 3 при разомкнутом выключателе. Напряжение U, подводимое к электрической цепи, сопротивления резисторов Ri—R?. положение выключателя В и участок электрической цепи между узлами 1 и 2 цепи, показанный иа рис. 1.34, а пунктиром для соответствующего варианта рис. 1.34, б—е, приведены в табл. 1.5.
В вариантах 31—60 сопротивление резистора R3 = 0, в вариантах 61—90 Rt — оо.
| 1.3. МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу
п
разветвления, равна нулю: где Л— ток в Л-й ветви.
UI
Рис. 1.34
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая п
сумма ЭДС 2 Ек в любом замкнутом контуре электрической це-1
п _
пи равна алгебраической сумме напряжений £ UT и алгебраичес-
п п
кой сумме падений напряжений £ Д4 в этом контуре: £ Ех= к-1 'к-1
п п
= S ЛЛ4-S UK, где /?к — сопротивление участка цепи рас-»-| *=i
сматриваемого контура; /к — ток в цепи сопротивления /?к.
При расчете электрических цепей методом применения законов Кирхгофа выбирают условные положительные направления токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают замкнутые контуры без источников тока. Для получения независимых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа,
Величины Варианты контрольного задания 1.34
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
и, В Яь Ом Пг, Ом Яз, Ом Я., Ом Й5, Ом Яз, Ом Яг, Ом 110 или 220
10 10 10 10 10 10 10 20 30 40 10 20 20 30 40 10 30 20 30 40 10 10 5 20 10 10 20 10 5 5 5 10 20 30 40 10 10 20 30 40 10 10 20 30 40 10 20 20 30 40 10 30 20 30 40 10 10 5 20 10 10 20 10 5 5 5 10 20 30 40 10 30 20 30 40 10 20 20 30 40 10 10 20 30 40 10 10 20 30 40 5 10 10 20 20 5 10 20 10 10 40 30 20 10 5
Схема Рис. 1.34, а Рис. 1.34,6 Рис. 1.34, в
Положение выключателя В Разомкнут Замкнут Разомкнут
- Замкнут Разомкнут Замкнут
Продолжение табл. 1.5
Величины Варианты контрольного задания L34
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и, в Я|, Ом Яа, Ом Яз, Ом Яз, Ом Я5, Ом Яз, Ом Яг, Ом НО или 220
30 10 10 40 20 30 10 10 40 20 30 10 20 40 20 30 10 30 40 20 20 10 10 10 5 5 10 20 5 10 30 5 10 40 20 10 20 20 30 40 10 10 20 30 40 10 10 10 10 10 20 20 30 30 30 10 10 10 5 20 5 10 20 10 5 10 20 30 40 5 10 10 20 30 40 10 10 20 30 40 10 20 20 30 40 10 30 20 30 40 10 20 5 20 10 10 20 10 5 5 5 10 20 40 40
Схема Рис. 1.34, г Рис. 1.34, д Рис. 1.34, е
Положение выключателя В Замкнут Разомкнут Замкнут
Разомкнут Замкнут Разомкнут
необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу неизвестных N.
В большинстве случаев параметры источников ЭДС или напряжения, источников тока, сопротивлений участков электрической цепи известны, при этом число неизвестных равно разности между числом ветвей и числом источников тока N = = (N„ — Nr). Для упрощения расчетов сначала записывают более простые уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, а недостающие — по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, берется на единицу меньше числа узлов N, в цепи: Nt = Ny — 1. При-этом токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными, а направленные от узла — отрицательными.
Остальное число уравнений Nu = N — Ni составляется по второму закону Кирхгофа: Nn — NB — Ny — NT + 1.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа ЭДС источников принимаются положительными, если направления их действия совпадают с выбранным направлением обхода контура, независимо от направления тока в них. При несовпадении их записывают со знаком «—». Падения напряжений в ветвях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода, независимо от направления ЭДС в этих ветвях — со знаком «+>. При несовпадении с направлением обхода падения напряжений записываются со знаком «—».
В результате решения полученной системы из N уравнений находят действительные направления определяемых величин с учетом их знака. При этом величины, имеющие отрицательный знак, в действительности имеют направление, противоположное условно принятому. Направления величин, имеющих положительный знак, совпадают с условно принятым направлением.
Во многих случаях электрические цепи содержат только источники ЭДС и источники напряжения и не имеют источников тока. При этом расчет электрических цепей значительно проще, так как запись уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, упрощается: £ Е«= £ (7К+ £ RJ*. Для схемы
4=1 4=1 4=1
рис. 1.3.1, содержащей два узла (Ау = 2), при числе неизвестных N = 3, подлежащих определению, число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, Nt = Ny — 1 = 2 — 1 = 1.
Число недостающих уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, Nit = N— Nt = 3— 1 = 2. При заданных условных положительных направлениях токов уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла 1 электрической цепи (рис. 1.3.1) с учетом того, что токам, направленным к узлу, приписывается знак «+>, а токам, направленным от узла,— знак «—», имеет вид: Л + Л —/з = 0. В соответствии с выбранным условным положительным направлением обхода контура, показанным на рис. 1.3.1 пунктирными стрелками, уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для левого замкнутого контура с учетом положительных направлений токов и ЭДС, записывают в следующем виде: £i —E2 = /?i/i —ЯгЛ- Аналогично составляют уравнение по второму закону Кирхгофа для правого замкнутого контура схемы рис. 1.3.1: E2—Rth + + /?з/з+ U.
Решение полученной системы трех
2
Рис. 1.3.1
уравнений позволяет определить неизвестные величины. При этом величины со знаком «+» в действительности имеют направление, совпадающее с соответствующим первоначально заданным на схеме условным направлением. Величины со знаком «—» в действительности имеют направление, противоположное первоначально заданному условному направлению, показанному на схеме рис. 1.3.1.
Литература. [1) § 1.7, 1.14; [2] § 1.8—1.10.
Примеры решения задач
1.35. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.35) определить токи /, —/з в ветвях. ЭДС Е\ = 1,8 В; £2 = 1,2 В; сопротивления резисторов: Ri = 0,2 Ом; /?2 = 0,ЗОм; /?з = 0,8Ом; Roi = 0,6 Ом; Roz = 0,4 Ом.
Решение. Для узла разветвления в соответствии с принятым на схеме условным положительным направлением составляют уравнение для токов по первому закону Кирхгофа: /14-/2 = = /з. Для внешнего замкнутого контура составляют уравнение по второму закону Кирхгофа: £, — Roi/i 4-/?i/i 4- R3/3 = (Roi 4-/?i)X Х/14-Яз/з, т. е. 1,8 = (0,64-0,2) Л 4-0,8/3; 1,8 = 0,8/14-0,8/3. Аналогично, для нижнего замкнутого контура по второму закону Кирхгофа: Е2= (Roz + Rz) fz+ Rsfs', 1,2 = 0,7/24-0,8/з. В результате совместного решения полученной системы трех уравнений определяют ток h в первой ветви: 1,8 = 0.8Л 4-0,8(Л 4-/2); 1,8 = = 1,6/14-0,8/2; 1,2 = 0,7/24-0,8(/14-/2); 1,2=1,5/2 4-0,8/! или , _ 1.2-1,5/2
1 0,8 ’
Ток второй ветви /2 находят по значению тока 1\ из уравнений для ЭДС £| и Ez в соответствии с выражением: 1,8= 1,6 X X—^’5----4-0.8/г; 1,8=2,4 — 3/2 4-0,8/2, откуда /2 = 0,6/2,2 = = 0,272 А.
Ток в первой ветви Л определяют по значению тока /2 из уравнения для ЭДС £1, откуда 1,8 = 1,6/1 4-0,8• 0,27 или Л =
Рис. 1:36
1 58
= -^—=0,99 А, а ток третьей ветви /3— из уравнения для токов: /| 4-/2 = 0,994-0,27 = /3, откуда /3 = 1,26 А.
1.36. В электрической цепи постоянного тока (рис. 1.36) показание амперметра А: /5 = 5 А. Определить токи Л—Л во всех ветвях цепи, пользуясь законами Кирхгофа. Сопротивления резисторов: /?i = 1 Ом; /?2=ЮОм; /?3=Ю0м; /?4 = 4 Ом; /?5 = = 3 Ом; /?6 = 1 Ом; /?7 = 1 Ом; /?8 = 6 Ом; Я9 = 7 Ом; ЭДС Е{ = = 162В; £2 = 50В; £3 = ЗОВ. Внутренним сопротивлением источников питания пренебречь. Решить задачу также для случая, когда показание амперметра неизвестно.
Решение. При заданном включении источников питания за положительные направления токов принимаем направления, указанные на схеме рис. 1.36. Схема содержит три узла и пять ветвей. Следовательно, необходимо определить пять неизвестных токов.
В соответствии с этим составляют два уравнения по первому закону Кирхгофа и три — по второму закону Кирхгофа. Для узлов 1 и 2 цепи составляют уравнения для токов по первому закону Кирхгофа: /, = /24-Л; /3 = Л4-Д. а по второму закону Кирхгофа уравнение для левого замкнутого контура с ЭДС Е\ и £2: Е\ — £2 = (/?i 4- £б 4- /??) /14- R2I2.
Для среднего замкнутого контура с ЭДС Е2 и Е3 имеем: £2 — — £3 = — R2h + Rsh + (R4 + R») Ц, а для правого замкнутого контура с амперметром А в ветви Ез= —(Ra + R») h + (Ro + Rg) h-Ток в цепи резистора /?4 определяют из последнего уравнения: 30= —(44-6)Л4-(34-7)-5= —10Л4-50, откуда Л = 20/10 = = 2 А, а ток /3 в ветви резистора /?3 — из уравнения, составленного для узла 2 цепи: /3 = Л 4-/5 = 2 4-5 = 7 А, а ток в ветви резистора /?2 — из уравнения, записанного для среднего замкнутого контура: £2 —£3 = —10/24-Ю-7 4-(4 4-6)-2; 50 — 30 = = —10/24-704-20, откуда /2 = 70/10= 7 А. Токи в ветви резисторов: Rt, R6, R7 находят из уравнения для токов: Л = /2-f-/3 = = 74-7= 14 А. Ток /| можно определить из уравнения £2 — £3 = = 162 —50 = (1 4-1 4-1)/1+ 7-10, откуда /, = (112-70)/3 = = 42/3= 14 А. Если ток в ветви резисторов /?5 и /?9 не задан, искомые токи и их направления в других ветвях определяют в результате решения системы пяти составляемых по законам Кирхгофа уравнениям.
Положительные значения токов свидетельствуют о том, что действительные направления токов в соответствующих ветвях совпадают с условными направлениями.
1.37. Рассчитать и построить потенциальную диаграмму для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.37, а), если дано: ЭДС источников питания £|=16В; £2=14В, внутреннее сопротивление Rot — 3 Ом; /?02=2Ом, сопротивления резисторов /?1 = 20Ом; /?2 = 15 Ом; /?3=Ю0м. Определить положение движка потенциометра, в котором вольтметр V покажет нуль, составить баланс мощностей для цепи. Как повлияет на вид по-
Рис. 1.37
тенциальной диаграммы выбор другой точки с нулевым потенциалом?
Решение. Ток в цепи определяют по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа, приведенному к виду: / = = Е,+Е3_______= 16+14 = 30_ = о 6 *
+/?01 +/?2 ++/?з 20 + 3 + 15 + 2+10 50
Потенциальную диаграмму строят в прямоугольной системе координат. При этом по оси абсцисс откладывают в соответствующем масштабе сопротивления всех участков цепи, а по оси ординат — потенциалы соответствующих точек. При построении потенциальной диаграммы одна из точек цепи условно заземляется, т. е. Принимается, что потенциал ее <р=0. На диаграмме эта точка помещается в начале координат.
В соответствии с условием задачи определяют потенциалы точек 1—5 электрической цепи, при этом принимают потенциал <jpi точки / цепи равным нулю.
Потенциал ф2 точки 2 находят из выражения, записанного по второму закону Кирхгофа для участка 1—2 цепи: (712 = = Ф1—<рг, откуда ф2=<pi —/?|/1 = 0 —20-0,6= — 12 В. Координаты точки 2: (?=20 Ом; ф2= —12 В.
По второму закону Кирхгофа для участка цепи 1—3 справедливо уравнение: E{ — (7|2+-^о/=(Фз—откУДа потенциал точки 3 цепи: фз = фг + £| —Koi/= —12+16 —3-0,6= = 2,2 В; координаты точки 3 цепи: = 20 +3= 23 Ом; фз = = 2,2 В. Аналогично определяют потенциал точки 4 цепи: (74з = фз — ф4 = Rtl, откуда ф4 = фз — Rzl = 2,2 — 15 • 0,6 = = —6,8 В. Координаты точки 4 цепи: /? = 23+15=38 Ом; ф4 = —6,8 В.
Потенциал фз точки 5 цепи находят из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для участка 4—5 цепи: Ei = (J54 + R02I = ф5 — ф4 + R02I, откуда ф5 = ф4 + £2 — R02I — = —0,8+ 14 —2-0,6= 6 В.
Координаты точки 5 цепи: R = 38 + 2 = 40 Ом; фз = 6 В.
Потенциал <pi точки 1 цепи находят из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для участка 4—5 цепи: С751 = фб — <pi = R3I', <pi = фб — R3I = 6 — 10 - 0,6 = 0. Координаты точки 1 цепи: R = 40 + 10 = 50 Ом; <pi == 0.
Для рассматриваемой электрической цепи по результатам расчетов на рис. 1.37, б приведена потенциальная диаграмма.
Из этой диаграммы следует, что положение движка потенциометра в точке 6 цепи соответствует показанию вольтметра, равному нулю, так как потенциалы точек 1 и 6 цепи равны.
При выборе другой точки электрической цепи с нулевым потенциалом разности потенциалов на соответствующих участках цепи не изменяются, так как они определяются величиной тока и величиной сопротивления. Если принять потенциал точки 3 цепи <рз = 0, то ось абсцисс переместится в точку 3 потенциальной диаграммы (пунктирная линия), т. е. потенциалы всех точек цепи уменьшаются на величину потенциала <р, равного отрезку ОК = 2,3 В.
Баланс мощностей соответствует следующему уравнению: Е\1 + Е^1 = I‘2R\ + /2/?oi + /2/?2 + /2/?о2 + /2/?3=/2(/?i + /?oi + +/?2 +/?02 +/?з); 16-0,6+ 14-0,6= 0,62(20 + 3 + 15 + 2+ 10). 18 Вт= 18 Вт.
1.38. Составить схему электрической цепи постоянного тока исходя из данных потенциальной диаграммы, приведенной на рис. 1.38, а.
Решение. Построение электрической цепи целесообразно начать с точки 1, которая совпадает с началом координат и, следовательно, имеет потенциал <р = 0 (точка заземлена).
Так как на потенциальной диаграмме сопротивления отдельных участков цепи откладываются в определенном масштабе по оси абсцисс, а по оси ординат — потенциалы, то каждой точке цепи соответствует точка на потенциальной диаграмме.
Из приведенной потенциальной диаграммы следует, что при переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал линейно возрастает. При этом тангенс угла оц наклона прямой 0—2 к оси абсцисс пропорционален потенциалу точки 2. Следовательно, согласно диаграмме на участке цепи 1—2 должен быть включен резистор с сопротивлением /?| = 2 Ом.
Так как при переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал увеличивается, то ток цепи направлен от точки 2 к точке 1 цепи: / — Ui0/R\ = 10/2 = 5А, где (7го = фг — фо = 10 — 0 = 10 В.
На участке 2—3 диаграммы потенциал растет скачком. Это свидетельствует о том, что между соответствующими точками цепи включен источник ЭДС, направление которой встречно току (источник работает в режиме потребителя электроэнергии).
Согласно потенциальной диаграмме ЭДС, К,3=40 В.
На участке 3—4 цепи согласно диаграмме должен быть включен резистор, имеющий сопротивление R2=1 Ом. На этом участке фз=ф2+^з = 10+40=50 В. При этом ф4=ф3+/Л2 = 50+5-2= =60В.
На участке 4—5 цепи согласно диаграмме должен быть вклю
чен источник ЭДС £45 = 75 В. Так как при переходе от точки 4 к точке 5 цепи потенциал понижается, то ЭДС должна быть направлена от точки 5 к точке 4 цепи.
На участке 5—6 цепи потенциал повышается на величину R3I = 1 - 5 = 5 В, поэтому здесь должен быть включен резистор с сопротивлением /?з = 1 Ом.
На участке 6—7 цепи потенциал резко возрастает. Здесь согласно диаграмме должен быть включен источник ЭДС Евт == = 45 В, который работает в схеме в режиме потребителя.
При переходе от точки 7 к точке 8 цепи потенциал возрастает на величину, равную произведению RJ = 3-5 = 15 В, так как здесь должен быть включен резистор с сопротивлением /?4 = 3 Ом.
На участке 8—9 цепи потенциал уменьшается скачком вследствие того, что источник ЭДС Ем = 55 В подключен положительным полюсом к точке 8, а отрицательным — к точке 9. В данном случае источник ЭДС Ем работает в цепи в качестве источника питания.
На участке 9—1 цепи потенциал повышается на величину, равную произведению /?5/ = 2-5= 10 В. Поэтому здесь должен быть включен резистор с сопротивлением /?»= 2 Ом.
Результаты определения потенциалов рассматриваемой электрической цепи приведены в табл. 1.6.
Таблица 1.6
Участок электрической цепи Сопротивление участка. Ом Потенциалы точек, В
— Ч>| =0
1—2 2 Ч>2 = Ч>14-₽|/ =2-5=10
2—3 0 Ч>з=Ч>2 4-£2з= 104-40=50
3—4 1 Ч>4 = Ч>з4-₽2/= 50 4- 1 - 5 = 55
4—5 0 <Р5=ф4—£45 = 55 — 75= —20
5—6 1 Фе = 4>з 4- R3I = -20-1-1 -5 = — 15
6—7 0 ф7 — фе ~Ь = — 15 4“ 45 » 30
7—8 3 фв== ф? 4- 30 4~ 3* 5 = 45
8—9 0 Ф9 = <рв — £вэ = 45 — 55= —10
9—1 2 ф| = <рв4- Rsl= —104- 2-5= 0
По результатам анализа представленной потенциальной диаграммы составлена схема неразветвленной электрической цепи постоянного тока (рис. 1.38, б).
Проверка. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составляем уравнение электрического равновесия для полученной в результате расчета электрической цепи: Ем + Е45 — Егз — Е6? = (Ri + Я2 + + /?з + /?4 + /?5)/, откуда ток в цепи /it 7 lV-Й? °
Д| Т Т Т Т Л5 _ 55 4- 75 - 40 - 45 _ 45 _ . .
24-14-1+34-2 9 °
На всех участках цепи углы а одинаковы, следовательно: tgai = tg«2= tgaa = tga< = tga6=/-£I- или /=10/2 = 5/1 = = 5/1 = 15/3= 10/2 = 5 A.
Уравнение баланса мощностей: Eg®/ + E4g/ — Е2з/ — Eg7/ = = /2/?, + /2/?2 + /2/?з + /2/?< + /2/?5 = 55 • 5 + 75 • 5 — 40 •5- 45 X Х5= 52‘2 + 52-1 + 52-1 +,52.3 + 52*2; 225Вт=225Вт. Баланс мощностей соблюдается.
Задачи
1.39. Пользуясь законами Ома и Кирхгофа, определить внутреннее сопротивление* Ro источника питания электрической цепи постоянного тока и напряжение Uz на резисторе Rz (рис. 1.39), если дано: Е=70В, // = 30 В; /?| = ЮОм; Rz = = 38 Ом; /Л = 20 В. Ответ. Яо = 2 Ом, О, = 76 В.
1.40. Ток в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.40) /= 1А, ЭДС источника питания Е| 48 В, сопротивления резисторов Rt = 120 Ом, Rz = 10 Ом. Внутренние сопротивления источников одинаковы и равны /?oi = Roz = 1 Ом. Определить величину и направление ЭДС источника питания Е2. Ответ. Ег = = —24 В. ЭДС Ег направлена от точки 4 к точке 3 цепи.
Рис. 1.39
1.41. Для условий задачи 1.40 определить ток / в электрической цепи и напряжения Uy и Uz на зажимах источников питания, если ЭДС источника Еу направлена от точки 1 к точке 2, a Ez — ОТ точки 4 К точке 3 цепи. Ответ. / = 3 A; (Л = 45 В; (Л=21 В.
1.42. Пользуясь законами Кирхгофа, определить токи 1у — /з в ветвях электрической цепи, представленной на рис. 1.42. ЭДС источников питания: Е| = 100 В; Ег=110В. Сопротивления резисторов: /?| = 35 Ом; Rz = ГО Ом; R3 = 16 Ом. Внутренним сопротивлением источников пренебречь. Ответ. Л = 1,65 А; /2 = 4,25 А; /з = 2,6 А.
1.43. Определить токи 1\ — /з в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.43) и составить баланс мощностей, если сопротивления резисторов: Ry — 6 Ом; Rz= /?з = 4 Ом. ЭДС источников питания: Еу = 22 В; Ez = 2B, а внутренние сопротивления источников: Roy = R02 = 1 Ом. Ответ. Л = 2 А; 1г = /з = 1 А.
Уравнение баланса мощностей: Eyly = Ezh + l2Ry + /2Я2 + +/з/?з +/i(/?oi + Л02) ?= 22-2 = 2-2 + 22<6 + + 12,4-f-22 X
XI 4-2-1; 44 Вт = 44 Вт. Следовательно, баланс мощностей соблюдается.
Контрольные задания
1.44. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.44), используя данные, приведенные для данного варианта задания в табл. 1.7, определить токи /1 —/9 в ветвях резисторов Ry—Ra, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. ЭДС и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 1.7. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.
Примечание. Для расширения числа вариантов контрольного задания
Величины Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Еу, В Ез, В Е«, В U, в U>, В Ry, Ом Ri, Ом Ri, Ом Rs, Ом Ri, Ом Rs, Ом Rs, Ом Ri, Ом Rs, Ом Ra, Ом 90 0,2 2 2 0,2 0,8 80 0,2 2 2 0,2 0,8 80 0,2 1 3 0,4 0,4 0,2 80 0,2 3 1 0,4 0,4 0,2 0,2 2 2 0,2 0,4 0,4 220 150 1 2 2 1 110 60 50 0,2 2 1 1,8 1 40 20 0,2 2 1 1,9 1 50 0,2 4 1 0,8 1 40 40 0,4 2 0,4 1,6 1,6 40 40 0,2 2 0,5 0,8 0,5 80 0,4 4 1 0,6 1 60 50 0,2 1 1 0,4 0,4
Замкнутые вы* ключателн Вг, Bs Вг, В4 Вг, Вь Вг, ft ft, ft ft, Bi ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft
2
Рнс. 1.44
Рис. 1.45
Т а б ли ц а 1.7
задания 1.44
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
10 21 110 го 20 10 40
— — — . 160 — — — 220 — — — 10 20 100 — — —
60 — — — 160 — — — 20 — — 10 — — 120 250 —
— 40 — — — 80 — — — 10 — —• 40 — 10 — 40
0,2 0,2 0,4 0.2 0,2 0,2 0,4 1 0,2 0,2 0,1 0.4 0,2 0,4 0,5 0,2 1
— — 2 2 1 3 2
— — 2 2 3 1 2
— — 0.2 — — — — 2 2 2 4 —
—. — —- 0,2 —- — — I — — — 2 1 1 —— — —
0,5 — — — 0,4 — — — 0(5 — — 0,4 — — 1 0,5 —
— 1 — — — 0,4 — — — 1 — — 0,5 — 1 — 1
1 5 — — — — 0,4 — — — 1. — — 1 — 1 2
0,2 0,4 0,8 0,8 0,4 0,2 0,8 1 1,8 1.8 0,4 1,6 0.8 0,6 0,2 0,2 0,5
0,6 0,4 — -a- 0,1 0.8 — 1 1 1 1,6 0,5 1 0,3 0,6 0,5
ft. ft, ft. ft. ft. ft ft, ft, ft. ft. ft, ft ft, ft. ft. ft, ft,
ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft
Величины
Варианты контрольного
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
£>, В
£«. В 90 — 80 — —
£«, В — — — 90 60
Us, В — 100 40 — 80
Ui, В
Ri, Ом 1 1 2 1 1
₽4, Ом 2 — 2 — —
Rs, Ом — —- — 2 2
Rs, Ом 2 2 1 2 2
Ri, Ом 3 3 4 2 2
Rs, Ом 1 1 — 3 —
Rs, Ом 4 4 — 2 —
Rs, Ом — 10 — — 1
Ri, Ом
h, А
Выключатели Bs, в„ Bs, Bt, Bs,
разомкнуты Bs, Bs, Bs, Bs. B's,
Bi. Bi, Bi, Bi, Bi,
Bs Bs Bs Bs B,
НО
220 — — 60 — — 80 —
150 50
— — 40 — — — — 60
40 40 40
2 2 1 1 2 1 2 1
1 — — 1 — — 2 —
4 2
1 2 3 1 2 1 1 2
4 3 2 4 2 4 4 3
— — — — 2 3 — —
— — — — 3 2 — —
— — 2 — — — — 5
5 5 5
10 5 5 8 — — —7
Bs, Bs, Bs. Bs, Bs, Bs, Bs, Bs,
Bs, Л, B4, Bs, Bs, Bs, Bs. Bs,
Bi, Bs, Bs, Bs. Bs, Bs, Bs. Bs.
Bs Bi Bi Bi Bi Bs Bs Bs
в вариантах 31—60 сопротивления резисторов Ri — Rs увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 — уменьшить в 3 раза.
1.46.’Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.45) определить токи /i — h в ветвях резисторов Ri — 'Ri, составить баланс Мощностей, а также определить режим работы источников питания и напряжение Uu между точками 1 и 2 цепи. Сопротивления резисторов /?( — Ri, ЭДС £i — £« и напряжении Us и Ui источников питания, ток / источника тока и положения выключателей Вз — Bs для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 1.8. Задачу решить методом применения уравнений, составленных По законам Кирхгофа.
$ 1.4. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Для расчета сложных электрических цепей широко используют метод контурных токов, в основу которого положены расчетные (условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным контурам разветвленных электрических цепей.
Метод контурных токов позволяет при составлении системы уравнений для расчета электрических цепей не записывать уравнения по первому закону Кирхгофа н тем самым уменьшить общее количество уравнений, необходимых для расчета. Истинные значения токов в ветвях электрической цепи определяются по значениям контурных токов.
В процессе расчета по этому методу определяют независимые замкнутые контуры и задаются условными положительными направлениями контурных токов. При этом во всех замкнутых
задания 1.45
14 15 16
17
18 19 20 21
.22 23 24 25 26 27 28
29
30
220
контурах для упрощения процесса расчета целесообразно задавать контурным токам одинаковые положительные направления. Число уравнений при расчете по методу контурных токов равно числу контурных токов.
При составлении контурных уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания принимаются положительными, если их направления* совпадают с направлениями контурных токов, при несовпадении с контурным током их записывают со знаком «—». Со знаком «—» записывают напряжения, а также падения напряжений, направленные против контурного тока, а со знаком <+»> если они
совпадают с ним.
При этом величины контурных токов ных) ветвях оказываются равными по значению токам в ветвях, которые нанесены на электрическую схему. Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров. При этом со знаком <+» записывается контурный ток, совпадающий с направлением тока в смежной ветви.
Применительно к электрической цепи (рис. 1.4.1) в соответствии с заданным направлением ЭДС, напряжения, токов
во внешних (не смеж-
Рис. 1.4.1
в ветвях и контурных токов уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в следующем виде: Ei4-E2 = (/?oi+flo24-fli+/?2)Ai—(Яоа + ЯгИга; —Е2 = (/?02 + Я2 4-Яз)/22 —(Яо2 4-#2)/ц В результате реше-
ния полученной системы уравнений и определяют контурные токи /ц и /22.
При этом токи во внешних (несмежных) ветвях электрической цепи оказываются численно равными соответствующим контурным токам: /3 = /22.
Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для точки разветвления электрической цепи: /| — /2 — /з = 0, откуда /2 = h — /3 = /11 — — /22-
Литература. [!]§ 1.14.2; [2] § 1.14; [3] § 3.5.
Примеры решения задач
1.46. В электрической цепи постоянного тока, представленной на рис. 1.46, определить токи Л —/3 в ветвях, напряжения £712 и Uа между точками 1—2 и 3—4 цепи. Составить уравнение баланса мощностей. ЭДС источника питания Е = 30 В (внутренним сопротивлением источника пренебречь), ток источника тока J — 25 мА, сопротивления резисторов: R\ = 1 кОм; ,/?2=/?з = = А?4 = 2 кОм; /?5 = 3 кОм.
Решение. Условные положительные направления контурных токов в электрической цепи принимаем соответствующими рис. 1.46 (показаны пунктирными стрелками).
По второму закону Кирхгофа составляют уравнение для правого верхнего контура электрической цепи (обход контура по ходу часовой стрелки): — Е-(R^-v R2+R5) I„+R5I22 — — RiJ. После подстановки цифровых значении имеем: —30=(1 +2 4-3)-103/1| 4-3-103/22— 1 -103-25-10~3; или -5 = — 6 • 103/|1 4- 3 • 103/22. То же, для правого нижнего контура: о = /?5/,, 4- (/?з 4- /?4 4- /?з)/22 4- /?з/; 0 = 3' 103/и 4- (2 4- 2 4- 3)Х X Ю3/22 4- 2- 103-25-КГ3 или -50= 3-103/ц 4-7-103/22- В результате решения уравнения получают 95= —11 • 103/22. Откуда находят контурный ток /22 = —if/lb3 ~ ~8.636-10~3 А=
= —8,636 мА. Контурный ток /и находят из уравнения, составленного для правого нижнего кои-
, —54-3-8,636 о .
тура: /11 = —=3,4848 мА.
Ток в общей ветви смежных контуров является результатом наложения токов J и /и: /| = / —/ц = = 25-3,4848=21,5152 мА. (Ток h совпадает с направлением большего тока J.)
Ток в ветви резистора R?: /г=/ц = 3,4848 мА. Ток в ветви резистора /?3 находится в результате наложения контурных токов J и /22: /з = /+ /22= 25+ (—8,636) = 25 — 8,636)= 16,364 мА. Ток в ветви резистора R4: /4 =—/22 =—(—8,636) = 8,636 мА. Знак «—» в выражении для тока /4 показывает, что в действительности этот ток имеет направление, обратное первоначально заданному направлению. Ток в ветви резистора /?5, т. е. в общей ветви смежных контуров, находится в результате наложения контурных токов /и и /22: /5= — (/ц 4-/22) = = —[3,4848 4-(—8,636)] = 5,1512 мА. Напряжение между узлами 3 и 4 цепи находят из уравнения, составленного в соответствии со вторым законом Кирхгофа для контура 2342: E=U3<- R2I2 - Rih, откуда U3i = 30 4- 2-103-8,636-10*4-4-2-103-3,4848 • 103=54,24 В.
Напряжение между узлами 1 и 2 цепи: t/|2==/?5/5 = = 3-103 5,1f = 15,45 В.
103
Упяинение баланса мощностей: — Е1 4- /Уз4/ = — Е1г 4- (Rih 4-4- Rsh)J = I1R1 4- /2Л2 4- /з/?з 4- /4Я4 4- IlRs, откуда после подстановки числовых данных получим тождество: 1,25 Вт = 1,25 Вт.
1.47. Определить ток в цепи резистора /?| = 21 Ом электрической цепи постоянного тока (рис. 1.47). Питающее напряжение U= 142 В, ток источника тока J = 4А, сопротивление резисторов 21=4 Ом, выключатель В находится в замкнутом положении.
Решение. Заменяем Источник тока эквивалентным источником ЭДС Е = RJ = 4-4 = 16 В. При этом электрическая цепь (рис. 1.47) заменяется эквивалентной электрической цепью без пунктирной ветви (выключатель В разомкнут). При принятом на схеме направлении контурных токов в соответствии со вторым законом Кирхгофа записываем уравнения электрического равновесия для соответствующих замкнутых контуров: 0 = 3/?/ц — — RI33 — RI22', Е = (2R 4- Ri)l22 — Rhi — Ril33', 0 = (2R 4- Ri)l33 — — R1I22— Rhi+U.
Подставляя в полученные выражения соответствующие известные значения, получаем сис^ёму уравнений: 12/ц — 4/22 — - 4/33 = 0; —4/ц 4- 29/22 - 21/зз = 16; -4/,, — 21 /22 — 29/зз = = —142. Решение этой системы уравнений осуществляется с помощью определителей.
Составляем определитель А из коэффициентов в уравнениях при неизвестных (с добавлением двух первых столбцов):
А =
12. — 4. —4 -4'29.-21 .
—4 — 21 — 29
12-4
—4 29
—4 — 21
= 12-29-(-29)4-
4- (- 4)(— 21)(—4) 4- (- 4)(—4)(—21) - (- 4)-29(- 4) --(- 21)(— 21) -12 - (- 29)(— 4)(—4) = - 5472.
Составляем определители для соответствующих контурных токов:
12 0 —4 12 0
А22 = —4 16 -21 -4 16 = 12-16( — 29) 4-
- 4 -142 —29 —4 — 142
4-(-4)(-4)( -142)- -(—4)-16(—4) — 12-(— 142)(—21) =—43888.
12 —4 0 12 —4
А33 = —4 29 16 —4 29 = 12 - 29(—142) 4-
—4 -21 -142 -4 -2
4-(-4)-1& [-4)- (—4)(—4)(—142) — 12(- -21)-16= —42 856.
Откуда контурные токи: /22 = А22/А = — 43 888/—5472 = = 8,02 А; /33 = Азз/А = — 42 856/—5472 = 7,83 А.
Ток в ветви резистора ./?| :/=/22 —/зз= 8,02 — 7,83 = 0,19 А.
1.48. Определить общий ток / и токи Л — Is в ветвях электрической цепи постоянного тока (рис. 1.48). ЭДС источников питания: Е| = 32В; Ег=120В; Ез= ЮВ, внутреннее сопротивление источника Е|:/?о=2 Ом (внутренним сопротивлением других источников пренебречь). Сопротивления резисторов: /?| = = 10 Ом; /?2 = 4 Ом; R3 = 6 Ом; /?4 = 5 Ом; /?5 = 8 Ом.
Решение. Условные положительные направления токов принимаем по схеме рис. 1.48. Она содержит шесть ветвей (NB = 6) и четыре узла (Ny = 4). Для узлов 1, 3 и 4 цепи составляем уравнения для токов по первому закону Кирхгофа (N, = = Ny — 1 = 4 — 1 = 3; Nf — число уравнений по первому закону Кирхгофа): / = /| 4* /2; /2 4* Is = /<; /з 4* А = Is-
Недостающее число уравнений (N, — N, = 6 — 3 = 3) составляем по второму закону Кирхгофа.
Для замкнутых контуров:
левого 2?, =Л07+2?|71; среднего: Е3 = — R2I2 — /?4/4 4-4- /?з/з 4- ЯзЛ; правого: Ег = Rsls + Rdt-
Ток в ветви резистора R* определяем из последнего уравне* ния с учетом уравнения, записанного для узла 3 цепи: /< = __ Ег + Rtfa
Еъ 4" Ri
При совместном решении уравнения для тока Г и ЭДС £> п j Е\ ~~ Rolz определяем ток в цепи резистора кг- Ц= —.
АО ’Т’
Решение уравнений, записанных для' узлов 3 и 4, позволяет определить ток в цепи резистора R2:1г = — /з-
Подставляя значения входящих в полученное уравнение известных величин, получаем: —10 = 4/2 + 12^ 5 + 6/2 —
__ 32 — 2/j .л 2 4-10
откуда /2 ----= — 2А.
14,70
Токи в ветвях резисторов:
R3: /з = 2 А. £, — Rt/г 32 —2-(—2) 36 „.
К, /| Л> + Ri 2 4-10 12
/?0: /=/,4-/2 = 3-2= 1 А. в . / Ег + Rih 1204-8-2 1204-16
Л=Е Л + Л7 =~8 + 5.......... 13....= 10,47 А.
Rs-. h = h-h^ 10,46 + 2 = 12,46А.
1.49. В условиях задачи 1.48 рпределить общий ток / и токи /i — /5 в ветвях электрической цепи (рис. 1.48), положив ЭДС источника питания Е3 = 0.
Решение. В этом случае уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа для среднего замкнутого контура, примет вид: 0 = — R2I2 — Rih + R3I3 +
Подставляя известные величины, с учетом полученных выше выражений, имеем: 0 = —4/2 — 512?~^~4-6/34-□ •f" о , (32 - 2/2) 10 , 18,9 . оо а
4—-—----4—, откуда /2 ------------- — 1,28 А.
2 4- 10 J 14,75
Токи в ветвях цепи резисторов: Яз: /з= 1,28 А.
D , £,-£0/2 32 — 2-(—1,28) 32 4-2,56 34,56 о ай .
R,: '• —/?о+*. =—то---------------—12-------’-л—2,88 А-
Яо:/ = /|+/2=2,88-1,28= 1,6А.
D . .Ei + lhh 120 - 8-1,28 a._.
--------8 + 5------847 A
/?5: h = Л - /2 = 8,47 4- 1,28 = 9,75 A.
1.50. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 1.50, а) содержит источники питания: £| = 50 В; £2 = 20 В; £3 = 45 В и резисторы с сопротивлениями: /?|=ЮОм; £2= 30 Ом; /?з= = 50 Ом; /?< = 20Ом; /?з = 1Х)Ом; /?6 = 20Ом; /?7=ЮОм. Напряжение, приложенное к цепи, 'U = 80 В. Внутренние сопротивления источников /?о = О. Определить токи Л —/6 в вётвях электрической цепи и напряжение С/к, действующее между точками 1 и 4 цепи. Составить уравнение баланса мощностей для всей цепи и построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи.
Решение. По второму закону Кирхгофа составляем уравнения электрического равновесия соответственно для левого верхнего, правого верхнего и нижнего замкнутых контуров:
(/?г + /?з + /?<)/11 — Я4/22 — /?з/зз = 0;
(/?4 + /?з + /?б)/гг — Rthi — /?в/зз = Ег + Ез;
(Л7+Л1 4-/?в4- /?3)/зз — /?з/11 — /?б/гг — U .= Е, — Ег.
Подставляя в полученные уравнения известные величины, имеем: (30 + 50 + 20)/ц - 20/22 - 50/зз = 0; (20-f-1 4-20)/22 — - 20/, । -20/зз = 20 4-45; (104-50 4-20 4- Ю)/зз — 50/1, -
— 20/зз — 80 = 50 — 20, откуда получаем три уравнения: 100/,, — -20/22- 50/зз=0; —20/ц 4-41/22 -20/зз = 65; —50/,,—
— 20/гг 4- 90/зз =110.
Решая совместно первое и третье уравнения, получаем: -60/2г4-13/зз=220, отсюда определяем значение тока: /зз = _ 220 4-60/22 22 4- 6/22
~ 130 13
Решая совместно второе и третье уравнения, имеем: -122,5/22 4- 140/зз = - 52,5.
Контурный ток /22 получаем, решая coBMecTHot последние два уравнения: —122,5/2г4- 140 = — 52,5, откуда /22 =5 А.
С учетом значения тока /22 определяем контурный ток: /33 = 22 4-6-5 22 4-30 52 . .
13 13 13
Контурный ток /и определяем из первого уравнения: 100/ц — 20-5 — 50-4 = 0, откуда /,, = ЗА.
Токи в ветвях' электрической цепи определяем с учетом первого закона Кирхгофа для соответствующих узловых точек: /2= /,, = 3 А; /3 = /зз-/п = 4-3= 1 А; /, = /2 4- /з= 3 4- 1 = = 4 А; /4 = /22 — /, । = 5 — 3 = 2 А; /5 = /22 = 5 А; /в = /22 — /33 = = 5-4 = 1 А.
Напряжение между точками 1 и 4 цепи находят из соответствующего уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа: Е, = Я2/2 4-Я5/5 — f/u, откуда t/и = — 50 4-30-3 4-IX Х55 = 45В.
Уравнение баланса мощностей всей цепи записывают в соответствии с выражением ЪЕ1 + ^Ul —H2R. При этом 50-4 4-4-20-1 4-45-5 4-80-4 = 765 Вт = 0,765 кВт; 42-10 4-32-30 4-4-12-50-f-22-20 4-52-1 4- 12-20 4-42-10 = 765 Вт = 0,765 кВт, т. е. соблюдается баланс мощностей: 0,765 кВт =0,765 кВт.
При построении потенциальной диаграммы (рис. 1.50, б) условно принимаем потенциал точки / равным нулю (<р, = 0). Потенциал точки 7 цепи при заданной полярности напряжения: <Р7 = /?,/, — <р, = 10-4 — 0 = 40 В. Координаты точки 7 потенциальной диаграммы: Ry= 10 Ом; <р? = 40 В.
Потенциалы и координаты других точек находят аналогично:
фв=фт—6/=4O —80= —40 В; <ps.= фв + ЛтЛ = —40-f-10-4 = 0; ф4=фз — Ез=0 — 45= —45 В; фз = ф4 4* Rsh = — 45 -f* 1 • 5 = =—40 В; фг = фз 4- /?г/2=—40 4"30-3=,50 В.
Потенциальная диаграмма, построенная по данным расчетов, приведена иа рис. 1.50, б.
Задачи
1.51. Для электрической цепи постоянного тока (рис. ,1.51) определить токи в ветвях /|, /г, /з и /24, /зг, /34 и построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи, составить уравнение баланса мощностей. ЭДС источников питания: £| = 120В; £2 = 60 В; £з=140В, сопротивления резисторов: /?24 = /?32 = /?34 = 3 Ом, внутренние сопротивления источников: Ёо1 = 1 Ом; /?о2 = О,5 Ом; /?оз = О,4 Ом. Ответ: Л = = 6,8 A; h = 30,9 А; /3 = 24,1 А; /24 = 12,6 A; /22 = 5,8 А; /м = 18,3 А.
1.52. Пользуясь методом контурных токов, определить токи /i—/з в ветвях электрической цепи рис. 1.52. ЭДС источников питания: £| = 50 В; £2= 10 В, сопротивления резисторов: /?, = 4 Ом; /?2=6Ом; /?з= 10 Ом; /?4=ЮОм; /?5 = 10 Ом. Внутренними сопротивлениями источников питания пренебречь. Ответ. /, = 2,8 А; /2 = - 0.6 A; /3 = 2,2 А.
Контрольные задания
1.53. Решить задачу 1.44* методом контурных токов.
1.54. Решить задачу 1.45 методом контурных токов.
i 1.5. МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Метод узлового напряжения целесообразно использовать для расчета электрических цепей, содержащих несколько параллельных ветвей, присоединенных к паре узлов.
Преимущество этого методА перед другими возрастает с увеличением числа параллельных ветвей электрических цепей. Прй этом определяется узловое напряжение, что позволяет достаточно просто определять токи в параллельных ветвях и
другие величины, характеризующие подобные электрические цепи.
Узловое напряжение между двумя точками разветвлений (узлами) определяют в соответствии с выражением
2 EKGK+ 2 UKGK+ 2 Л
у___ ______к = I_____к =. I___к =. I______
Л
k = । л
где 2 — алгебраическая сумма произведений ЭДС на про-
k => I
л
водимости соответствующих ветвей; 2 GKGK — алгебраическая к = I
сумма произведений напряжений на проводимости, соответствую-
Л
щих ветвей; 2 А — алгебраическая сумма токов источников то-* = ।
ка в ветвях; GK =—— проводимость ft-й ветви цепи, равная R к
П
величине, обратной ее сопротивлению; 2 GK — сумма проводи-к = I
мостей всех ветвей.
При расчете электрических цепей по методу узлового напряжения задаются условным положительным направлением указанного напряжения, рассчитывая его по соответствующей формуле. При этом определяют проводимости всех ветвей, выбирая условные положительные направления токов в ветвях.
При определении токов в параллельных ветвях для соответствующих замкнутых контуров выбирают направления обхода контура и составляют уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом ЭДС, напряжения и токи источников тока принимаются положительными, если они направлены по направлению обхода контура, и отрицательными, если они направлены против направления его обхода.
При отсутствии в электрической цепи источников тока процесс расчета существенно упрощается. При этом выражение для определения напряжения, действующего между двумя узлами, приводится к виду
2 E.G,+ S 1/кбк у _ к =. I____к= I____
п
2 Gt
к = I
При заданном условном положительном направлении напряжения Un, действующе!с м^жд" узлами I и 2 (рис. 1.5.1, а), ЭДС
Рис. 1.5.1
1
в замкнутом контуре, образованном из соответствующей ветвн и замыкающего напряжения Un, прн обходе контура по заданному положительному направлению принимается со знаком «+», если совпадает с направлением обхода, а если не совпадает — со знаком «—». Напряжения, не совпадающие при обходе соответствующего контура с направлением напряжения между узлами Un, принимаются со знаком «+», а совпадающие — со знаком «—».
Знаки в расчетной формуле не зависят от направления токов в ветвях электрической цепи.
С учетом этого выражение для напряжений между узлами 1 и 2 цепи записываем в следующем виде:
rj __ EiGi EzG? + U3G3
Gi 4- Gt 4- 4- G<
Для расчета токов в ветвях электрической цепи составляют замкнутый контур, состоящий из рассматриваемой ветви цепи, замыкаемой напряжением Un между узлами, с учетом действительного его направления. Расчетная схема ветви с резистором Ri и ЭДС £| приведена на рис. 1.5.1, б. Задавшись условным положительным направлением обхода полученного таким образом контура, например, по часовой стрелке (направление обхода показано пунктирной стрелкой), записывается с учетом знаков уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа; £| = = /?|/| 4- Un, отсюда определяется величина тока Л в данной ветви цепи. Аналогичным образом определяются токи в других ветвях электрической цепи.
Литература. [1] § 1.14, [2] § 1.13.
Примеры решения задач
1.55. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.55) определить, при какой величине ЭДС £з ток /3 ветви резистора
1
R3 уменьшится в 3 раза по сравнению с его первоначальным значением? ЭДС источников питания Е\ = 100 В; £2=120В; £з = 150 В, сопротивления резисторов: Rt — 20 Ом; R3 = 100 Ом; Rt = 60 Ом, внутренними сопротивлениями источников питания пренебречь.
Решение. В соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение, действующее между узлами 1 и 2 электрической цепи, 1/|2 = £2= 120 В. Ток 13 в ветви резистора R3 для первоначальных условий определяется из выражения, записанного для данной ветви по второму закону Кирхгофа: Е3 = Un -f- R3I3, откуда /3==(£3-f/i2)//?3==(150-120)/100=0,3 А
Величина ЭДС £3, при которой ток /3 в цепи резистора R3 уменьшается в 3 раза, определяется из полученного ранее преобразованного выражения для ЭДС £3: Е'3 = Un -f- R3l3 = = 120- 100/5.
В соответствии с условием Г3 = /з/З = 0,3/3 = 0,1 А, откуда £5= 120 4-100-0,1 = 120 4-10= 130 В.
1.56. Два источника постоянного тока с ЭДС £| = £г = = 115 В и внутренними сопротивлениями /?oi = 0,2 Ом и /?ог = = 0,4 Ом включены параллельно на нагрузку /?„ = 5 Ом (рис. 1.56). Определить токи /, 1\, /2 в ветвях электрической цепи и составить баланс мощностей.
Решение. Проводимости ветвей электрической цепи: б|= 1//?01 = 1/0,2 = 5 См; G„ =!//?„= 1/5 = 0,2 См; G2 = = 1//?02= 1/0,4= 2,5 См.
Узловое напряжение, действующее между узлами 1 и 2 цепи:
.. EtGt + EtGi 115-5+115-2,5 .19 п
U"=G,+ Gl + (h = 0У+Т+2Л---------112 В'
Принимаем положительные направления токов в ветвях в соответствии с рис. 1.56. По второму закону Кирхгофа для ветви генератора с ЭДС £| можно записать следующее уравнение электрического равновесия: (Лг 4-Я01А = £1, откуда Л = —
= (£1 — t/,2) Gi = (115—112)-5= 15 А.
Рис. 1.57
Аналогично записывают уравнение для ветви с ЭДС Ег для определения тока: /2= = (Ег ~ U!2)/Ro2 = (£2Ui2)G2 = (115-- 112)2,5=7,5 А.
Ток в цепи резистора /?„ в. соответствии с законом Ома: /3= Ui2/R«— 112/5= 22,4 А. Сумма мощностей Pi и Р2, развиваемых источниками питания, принята равной сумме мощностей нагрузки и потерь мощностей Р01 и Р02 в источниках: Poi-f-£o2-f-+ P„=Pi + P2, т.е. + /?Яо2 + М.=
= Eih + £2/2, 152 -0,2 4- 7,52-0,4 + 22,42-5= 115-15+ 115-7,5, откуда 2587,5 Вт =2587,5 Вт (баланс мощностей соблюдается). 1.57. Электромашины постоянного тока (рис. 1.57), работающие в режиме генератора, включены параллельно и работают на сеть с нагрузкой /?н = 0,1Ом. Один генератор развивает ЭДС Ei = 20 В и имеет внутреннее сопротивление £Oi = 0,01 Ом, второй генератор — ЭДС £2 = 22 В и внутреннее сопротивление £02 = 0,01 Ом. Определить значения и направление токов /| — /з в ветвях, а также напряжение U на зажимах генераторов.
Решение. Напряжение на зажимах генераторов, включенг ных параллельно:
2EG _ EiGi + Егйг — G, + G2 + G,
£' Яо, + Ег Ног
/?01 /?02 Ни
20—!- +22-L-
0,01 ~ 0,01 _ 4200 _
1 _1___ 1 210
0,01 + 0,01 1 0,1
Определяем токи в ветвях исходя из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа: £1 = U + Roth, откуда h —
-•^--^-=0; ft-U + ЛЛ. откуда 7.-А+-
22-20 0,01
200 А.
При заданном соотношении ЭДС £| и £2 вся нагрузка приходится на второй генератор, так как первый генератор при этом работает в режиме холостого хода (/| = 0).
Исходя из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для узла 1 цепи, находим ток в цепи нагрузки: /3 = h + /2 = =0 +200= 200 А. Из условия обеспечения равенства ЭДС генераторов при одинаковой нагрузке: h — /2 = /з/2 = 200/2 = 100 А
находим: Ei = I/+/?oi/i = 20-f-0,01 • 100 = 21 В; Et=U + + Ro2h = 20 -f- 0,01 • 100= 21 В. При этом Е| = Ег = 21 В.
Следовательно, для обеспечения одинаковой нагрузки генераторов необходимо изменить токи их возбуждения, с тем чтобы ЭДС первого из них повысилась, а другого — понизилась на 1 В.
1.58. Определить, при каком сопротивлении нагрузочного резистора R„ и токе нагрузки Л аккумуляторной батареи, включенной в электрическую цепь рис. 1.58, а, батарея начнет разряжаться, если ее ЭДС Е|=.8В? ЭДС источника питания Ег — = 10 В, его внутреннее сопротивление /?о2 = О,5 Ом, сопротивление резистора R\ = 0,5 Ом.
Решение. Напряжение между узлами электрической цепи
8^ + 1ОоУ
0,5 0,5 /?,
36/?, _ 18/?,
4/?, +1 2/?, + 0,5 ‘
По закону Ома для участка цепи ток в ветви нагрузочного резистора /?,:/ = -£= •
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла разветвления цепи, ток в ветви источника питания: /2=/-/ь
Токи аккумуляторной батареи и источника питания с ЭДС
Ez связаны между собой уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа для левого замкнутого контура цепи: Ег — Е\ = = —R\l\ +,/?ог/2-
Ток в ветви аккумуляторной батареи находят в результате совместного решения представленных выше уравнений для токов:
18 ... f । Ег — Ei + Л1/1 .
2/? .+0,5 1 ’
18 _ , । Ю — 8 4- 0,5/i . _ 9
2/?„+ 0,5 1 0,5 ’ 1 2/?„ + 0,5
По данным полученных расчетов на рис. 1.58, б построены кривые зависимостей /, /|, /2 (/?„), из которых видно, что при сопротивлении нагрузочного резистора /?„ < 2 Ом ток 1\ имеет направление, совпадающее с его направлением на схеме (аккумулятор разряжается). При сопротивлении резистора /?н>2Ом ток изменяет свое направление (аккумулятор заряжается). Прн токе I > h аккумулятор разряжается.
Задачи
1.59; На рис. 1.59 приведена мостовая электрическая схема соединения сопротивлений Rt — Rs- Определить величину и направление тока is в диагонали моста с резистором /?5, если напряжение источника питания t/=120 В, сопротивление резисторов в плечах моста: /?| = 20 Ом; /?2 = 40 Ом; /?3=10 Ом; /?« = = 30 Ом; /?5=50 Ом. Ответ. 0,7 А, ток направлен от узла / к узлу 2 цепи.
1.60. Определить токи I\—h в ветвях электрической цепи рис. 1.60 методом двух узлов. ЭДС £1 = 60 В; £2 = 65 В; Е3 = = 50 В, сопротивление резисторов: /?1 = /?2=0,5 Ом; /?3= 1 Ом. Внутренним сопротивлением источников пренебречь. Ответ. It = = 0;/2=ГО А; /3=-Ю А.
Контрольные задания
1.61. Решить задачу 1.44 методом узлового напряжения.
1.82. Решить задачу 1.45 методом узлового напряжения.
1.83. Определить токи в ветвях, режимы работы источников, проверить соблюдение баланса мощностей в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.63,а). ЭДС источников питания Ei и Е2, их внутренние сопротивления /?oi и Rw, сопротивления резисторов Rt— Rt, а также схема включения резисторов на участке 2—3 цепи (ограниченная пунктиром) (рис. 1.63, б—е) для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 1.9. Задачу решить методом узлового напряжения. В вариантах 31—60 сопротивление резистора R6=oo, в вариантах 61—90—Re — оо.
$ 1.6. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ТОКОВ
Метод наложения токов (метод суперпозиции)' применяется для расчета сложных электрических цепей постоянного тока с несколькими источниками энергии. Наиболее целесообразно применять его при небольшом числе источников. По сравнению с другими методами он имеет преимущества в тех случаях, когда не требуется полный расчет цепи, а можно ограничиться, например, только определением токов на участках электрической цепи с источником питания. Метод наложения заключается в том, что воздействие нескольких источников питания (ЭДС и напряжений) на электрическую цепь можно рассматривать как результат воздействия на нее каждого из источников независимо от воздействия других источников, имеющихся в дайной электрической цепи. При этом в каждой из ветвей электрической цепи ток определяется как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней действием каждого из источников. В процессе расчета по методу наложения рассматриваемая электрическая цель с несколькими источниками ЭДС и напряжений заменяется расчетными электрическими цепями с одним источником, число
Варианты контрольного задания 1,63
Велн-
ЧИНЫ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
Е,. В 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
В 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160
ffoi. Ом 0,1 0,1 0.1 0,1 0,1 0,1 0,1 0.1 0,1 0,1 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
Ягг, Ом 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0.1 0.1 0,1 0.1 0,1
*1, Ом 4 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 2 1 1
Яг. Ом 6 2 2 4 4 3 3 3 4 2 6 5 4 2 2
Я», Ом 3 2 2 3 3 4 3 3 3 1 6 5 3 3 2
Яг, Ом 10 12 16 20 24 2 4 5 8 10 3 6 9 15 18
Яг, Ом 10 12 16 20 24 2 4 5 8 10 2 5 5 10 10
Яг, Ом 10 12 16 20 24 1 2 2.5 4 5 1 1 2 5 8
Яг. Ом 10 12 16 2? 24 2 4 5 8 10 3 6 9 15 18
Схема См. рис. 1,63, а См. рнс. 1.63,6 См. t>MC- 1.63,8
которых равно числу источников, действующих в электрической цепи. Другие источники питания, кроме рассматриваемого, при этом закорачиваются, т. е. удаляются иэ цепи. В результате расчета каждой из этих преобразованных цепей определяются частичные токи от действия данного источника. Значение действительных токов ветвей определяется алгебраическим суммированием частичных токов в этих ветвях. Применительно к исходной электрической цепи (рис. 1.6.1, а), на которой предварительно
Рис. 1.6.1
нанесены положительные направления токов в ветвях, на рис. 1.6.1, б, в приведены расчетные электрические цепи для частичных токов от действия ЭДС Е| и Ег. При расчете этих цепей определяются частичные токи во всех ветвях. С учетом направления частичных токов и токов в ветвях исходной.электрической цепи определяют действительные токи в ветвях рассматриваемой цепи путем наложения (алгебраического суммирования) частичных токов в ветвях: Л = /( —/['; /2=/2 —/г; /з=/з + /з'-
Литература: [I] § 1.14; [2] § 1.15; [з) § 3.2—3.6.
Таблица 1.9
Примеры, решения задач -
1.64. Определить ток / в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.64, а), а также диапазон изменения сопротивления резистора R для зарядки аккумуляторной батареи до ЭДС Ег = = 16 В в конце зарядки при неизменном токе нагрузки цепей. Сопротивление резистора /? = 4 Ом, ЭДС генератора Е| = 36 В, внутреннее сопротивление #oi = O,3 Ом, ЭДС аккумуляторной батареи в начале зарядки Ег =12 В, внутреннее ее сопротивление #02=0,01 Ом. Задачу решить методом наложения.
Решение. Ток в цепи при ЭДС Ег=0 (рис. 1.64, б), по закону Ома для всей цепи: Г = Ло|+^+Л; = О,3+Г+О,оТ =
-<ЗГ=М5А.
Ток в ветви резистора R при ЭДС Е| = 0 (рис. 1.64, в):
Ег____=______I?_____—12 —о по д
Л01 + R + Я02 0,3-f-4-f-0,01 4,31
Ток в электрической цепи при наличии обоих источников питания: 1=1’— /" = 8,35— 2,09=6,26 А.
Сопротивление электрической цепи в начале зарядки аккумуляторной батареи при токе / = 6,26 А: /?ц= g| у — =
36-12 24 о ос
= -6^-=-^6-=3’85 Ом
Сопротивление нагрузочного резистора в начале зарядки батареи: /?' = R'-(R0l + R02) = 3,85 - (0,3 4- 0,01) = 3,85 - 0,31 = = 3,75 Ом.
Сопротивление электрической цепи в конце зарядки аккуму-
ляторнои батареи при токе / = 6,26 А: /?ц =-j--——=
-^-3,2 Ом.
Сопротивление нагрузочного резистора в конце зарядки аккумуляторной батареи при токе / = 6,26 A: R'' = R" — (Rot + + /?02) = 3,2-(0,3+ 0,01) = 2,89 Ом.
Диапазон изменения сопротивления нагрузочного резистора
при заданных условиях: KR = -^-= -3’--- = 1,3.
2,89
Задачи
1.65. Задачу 1.57 решить методом наложения. Ответ. /1=15 А. /г =7,5 А; /3 = 22,4 А.
1.66. В электрической цепи, приведенной на рис. 1.58, ЭДС аккумуляторной батареи Е| = 8 В, ЭДС источника питания Е2 = = 10 В, его внутреннее сопротивление /?о2=О,5 Ом; сопротивление резистора /?| = 0,05 Ом, сопротивление резистора нагрузки /?„ = 2 Ом. Определить общий ток / в цепи, токи /| и /2 в ветвях. Задачу решить методом наложения. Ответ. /=4,15 А; /1 = 0,15 А; /2 = 4 А.
1.67. Задачу 1.57 решить методом применения законов Кирхгофа. Ответ. 1\ = 15 А; 1г = 7,5 А; /3 = 22,4 А.
1.68. Задачу 1.57 решить методом контурных токов. Ответ, h = 15 А; /, = 7,5 А; /3 = 22,4 А.
1.69. Задачу 1.66 решить методом применения законов Кирхгофа. Ответ. / = 4,15 А; /> = 0,15 А; /2 = 4 А.
Контрольное задание
1.70. Контрольное задание 1.63 решить методом наложення.
$ 1.7. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Метод эквивалентного генератора (метод активного двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания) применяют при определении тока, напряжения или мощности в 56
одной из ветвей сложной электрической цепи, так как он значительно сокращает вычисления, связанные с решением системы уравнений со многими неизвестными, что характерно для некоторых других методов.
Сущность метода эквивалентного генератора заключается в том, что любая электрическая цепь с одним или несколькими источниками питания может быть представлена в виде активного двухполюсника АД с этими источниками питания и ветви электрической цепи с сопротивлением /?, подключенной к его зажимам, напряжение U и ток I в которой нужно определить (рис. 1.7.1, а).
Рис. 1.7.1
г)
Нетрудно видеть, что включение в цепь этого двухполюсника последовательно с сопротивлением R двух одинаковых источников Е0=Е{ противоположной полярности с одинаковыми внутренними сопротивлениями Ло=О (рис. 1.7.1, б) не нарушит режима работы электрической цепи (рис. 1.7.1, а), при этом ток I в этой цепи остается равным току исходной цепи, так как в этом случае £0 и Е'о взаимно компенсируют друг друга. Электрической цепи (рис. 1.7.1, б) можно дать и несколько иное обоснование. Каждая из ЭДС Ео и Eq обусловливает наличие тока /0 и Iq в ветви с сопротивлением R. Так как Eq и Eq включены последовательно в электрическую цепь с противоположной полярностью, обусловленные ими токи /0 и Iq направлены встречно и компенсируют друг друга.
При этом результирующий ток в цепи R (рис. 1.7.1, 6) в соответствии с принципом наложения окажется равным: 1=1+ + Л) —/о-
В этом уравнении ток / обусловлен результирующим действием всех источников ЭДС и напряжений, имеющихся в активном двухполюснике. Ток /0 обусловлен действием только ЭДС £о, включенной согласно с током /, поэтому в полученном урав
нении для тока он имеет знак «+», а ток — Го обусловлен действием ЭДС Eq, включенной встречно с током I, поэтому в уравнении для тока он имеет знак «—».
Значение тока Zo зависит от ЭДС источников E0=Eq. При некотором значении Eq ток 1о численно равен току I. Значения обеих ЭДС E0=Eq принимаются равными тому их значению, при котором Iq—L
В соответствии с изложенным от результирующего воздействия всех источников, входящих в состав активного двухполюсника АД, совместно с источником ЭДС Ео, включенным встречно току /, ток в ветви сопротивления R окажется равным (J — Jo) = = 0, так как согласно условию Iq—1.
Таким образом, все источники активного двухполюсника АД (рис. 1.7.1, б) оказываются полностью скомпенсированными ЭДС Ео, включенной встречно с током / в ветвь, и активный двухполюсник при этом может уже рассматриваться как пассивный двухполюсник ПД (рис. 1.7.1, в) с удаленными из активного двухполюсника источниками, на входе которого действует только ЭДС Ео, включенная согласно с током /. В результате эту реальную электрическую цепь (рис. L7.I, а) можно заменить эквивалентной ей электрической цепью (рис. 1.7.1, г). При этом ток / в ветви с сопротивлением /?, обусловленный этой ЭДС Ео, равной эквивалентной ЭДС Езк, определится в соответствии с законом Ома для всей электрической цепи (рис. 1.7.1, в):
R 4“ Rsk R 4- R,& R 4“ Rsk
а напряжение U для участка этой цепи: U = IR,
где Uq=Em — напряжение холостого хода эквивалентного генератора/равное эквивалентной ЭДС Еэк, определяется из исходной электрической цепи (см. рис. 1.7.1, а) в режиме холостого хода при отключенном сопротивлении ветви R (рис. 1.7.1, г); /?эк — эквивалентное сопротивление двухполюсника, равное входному его сопротивлению (определяется из электрической цепи пассивного двухполюсника в режиме короткого замыкания при закороченных источниках питания активного двухполюсника).
Для электрической цепи (рис. 1.7.2, а) напряжение Un, действующее между узлами 1 и 2 цепи (рис. 1.7.2, б), определяют
Рнс. 1.7. Z
в режиме холостого хода при отключенном резисторе R как разность потенциалов соответствующих точек t/i2=q>i—ч>2. Условно принимая потенциал точки 0 цепи <ро=О, потенциал точки 1 определится как падение напряжения <р( = /?|Л. Аналогично находят и потенциал точки 2 цепи: фг=₽г/2- Отсюда напряжение Utz, равное эквивалентной ЭДС: U\2=R\I\ — RzIt=EM. Входящие в это выражение токи определяют из равенстве /г= _ ^-Б ;
р
1г= > так как сопротивления Rt и R3, так же как и сопро-
тивления R3 и Rt, в схеме рис. 1.7.2, б включены последовательно. Принимая внутреннее сопротивление источника ЭДС Е равным нулю, из схемы рис. 1.7.2, в находят эквивалентное сопротивление электрической цепи относительно узлов 1 и 2 цепи. При этом цепь состоит из двух участков, каждый из которых имеет два параллельно включенных резистора. Поэтому /?,к = р —I-
lei “г Кз
+ • Ток в цепи резистора R определяют из уравнения,
составленного по закону Ома для всей цепи: / = E»k/Rm+R.
Литература. [1] § 1.14; [2] $ 1.17.
Примеры решения задач
1.71. Методом эквивалентного генератора определить показание вольтметра V в электрической цепи с активным двухполюсником АД (рис. 1.71, а), если переключатель П находится в положении 3. Показания приборов (вольтметра V и амперметра А) для различных положений переключателя П приведены в табл: 1.10.
Решение. Положение 1 переключателя соответствует режиму холостого хода активного двухполюсника АД, который заменяем эквивалентной электрической цепью (рис. 1.71,' б). При этом напряжение холостого хода равно эквивалентной ЭДС генератора: £,„ = (/=500 В.
Положение 2 переключателя П соответствует режиму короткого замыкания эквивалентного генератора (рис. 1.71, в). При £ этом ток короткого замыкация: /к =£,«/₽«, откуда £эк=-р-=
=_§22_=2 Ом.
250
Положение 3 переключателя П соответствует режиму нагрузки электрической цепи (рис. 1.71, г).
При этом ток в цепи: / = о £>* п , откуда R= ~ =
= 500-2J00=3Om.
Рис. 1.71
Таблица 1.10
Положение переключателя П
Показания приборов
U, В I, А
1 2 3
500 0
0 250 100
Показание вольтметра в положении 3 переключателя П: U=R1= = 3.100 = 300 В.
1.72. Определить показание вольтметра V в электрической цепи (рис. 1.72, а) в положении 1 переключателя П. Сопротивление резистора /? = 36 Ом, показания амперметра А и вольтметра V для положений 2 и 3 переключателя приведены в табл. 1.11.
Таблица 1.11
Положение переключателя П Показания приборов
и. в . /, А
1 0
2 0 18
3 162 4,5
f)
г)
Рис. 1.72
Решение. Положение / переключателя П соответствует режиму холостого хода эквивалентного двухполюсника АД (рис. 1.72, б). При этом напряжение холостого хода равно ЭДС эквивалентного генератора: £ЭК = УО. Положение 2 переключателя соответствует режиму короткого замыкания двухполюсника (рис. 1.72, в). При этом ток короткого замыкания по закону Ома для всей цепи:
4 = £'эк/ЛэК= 18 А, откуда #эк = £эк/18.
Положение 3 переключатся соответствует рабочему режиму электрической цепи (рис. 1.72, г).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа: E3K = R3J+RI, Е ____pl
R3K = —----- или с учетом выражения для тока короткого замы-
кания:
% = Е„-В4£ , откуда £эк = 3#=3-36=216 В. io 4,5
1.73. Методом эквивалентного генератора определить ток /5 в диагонали моста рис. 1.73, а. Сопротивление резисторов: #1 = = 20 Ом; #2=40 Ом; #з=30 Ом; #<=10 Ом; /?к=50 Ом, ЭДС источника питания £=120 В.
Решение. Токи в плечах моста (рис. 1.73,6) при разомкнутой ветви 1—2 цепи по закону Ома для всей цепи:
J _ _ Е _ 120 _ 120 _ 2 д.
1 20 + 40 60
Рис. 1.73
Е 120 120
Яз + Я< 30+10 = 40
Напряжение холостого хода при разомкнутой ветви 1—2 цепи (принимаем потенциал точки 3 цепи равным нулю (ф3=0): С/,=С/12=Ф1— <р2=80—30=50 В, где ди и фг— потенциалы точек 1 и 2 цепи: <р, = 7?^ =40-2=80 В; <р2=Л4/2=10 3 = 30 В.
Для определения сопротивления R3» эквивалентного генератора вводим в схему источника питания ЭДС £о, равную по величине и противоположную по знаку напряжению холостого хода U^Eo (рис. 1.73, в), и приводим ее к виду рис. 1.73, г. При этом: /Ь ——'** -I—= Я»:!*0. + У.-22. == 13,3+7,5=20,8 Ом.
Я|+Яз т Яз+я« 20+40 т 30+10 у
Ток в диагонали моста: /6 = — — ьл — —0,71 А.
Яи+Яз . 20,8+50
Этот ток направлен от точки 1 к точке 2 цепи, так как ф|>ф2.
1.74. Методом эквивалентного генератора определить показания амперметра А в электрической цепи (рис. 1.74, а). Сопротивления резисторов: #1=1 Ом; Л2=1 Ом; R3—2 Ом; /?<=3 Ом; #6=1,25 Ом, ЭДС источника питания £=120 В, внутреннее сопротивление источника #о=2 Ом.
Рис. 1.74
Решение. Напряжение между узлами 1 и 2 при разомкну-
той ветви 3—4 цепи
(рис. 1.74,6): 1/12 =
Ебо G0+G1 + G3
“Л--------------------= _____ = __ = so В; токи в
Л0 + (Я1+Я2) + (Я3 + Л4) 2 + 2 + 5
О12 50 V.i 50
ветвях цепи: —7=25 А: А=„—= А.
1 Я1+Я2 1 + 1 2 Л3+Л4 2+3
Напряжение холостого хода при разомкнутой ветви 3 — 4 цепи: Цх=С/з4=Фз— <р4 = 25— 30= — 5 В, где <р3 и Фа — соответственно потенциалы точек 3 и 4 цепи: <р3= = /?2/1== 1.25=25 В; ф4=/?4/г=3.10=30 В. Вводим в схему источник питания с ЭДС Ео, равной по величине Ux, но противоположной по знаку напряжению холостого хода Uo, й приводим ее к виду (рис. 1.74, в). Сопротивление лучей эквивалентной звезды: п RiRo ___ 1 -2 _ 2_л ц . р ____ RiRt _______
I — Л(1 + Л1 + Л2 2+1+Г-~~ U,i> UM’ Яэк2— Йо + й. + Й2
— 24-1-4-1-4 0,25 Ом: ^эк3—Яо+Я|+Яг 24-14-1 4 0,5 °“'
Эквивалентные сопротивления участков электрической цепи (рис. 1.74,г):/?б=Лэк1 + Лз=0,54-2=2,5 Ом; /?7 = Лэк2+Л5=0,25 + + 1,25=1,5 Ом; А8=^жз+Л4=0,5 + 3 = 3,5 Ом; IL=-^-= йв+й8
2,5-3,5 8,75 . Л
=777ГГ~=_Г=1>46 Ом Отсюда Лл=Л7+Л9=1,5+1,46=2,96 Ом.
Величины
Е, В Rt, Ом Rt, Ом Rs, Ом Ri, Ом Rs, Ом Rs, Ом
Rt, Ом
Re. Ом
Схема узла 2—3 цепи
Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15
60 80 100 120 140 60 80 100 120 140 60 80 100 120 140
12,5 11 30 25 50 20 5 5 5 5 10 5 5 5 5
15 10 20 15 15 10 10 10 10 10 10 20 10 20 20
20 20 30 30 50 20 20 30 40 50 20 20 30 40 50
10 12 40 60 80 30 45 60 75 90 20 30 40 50 60
10 12 40 60 80 15 30 40 40 60 20 30 40 50 60
10 12 40 60 80 15 15 20 35 30 10 15 20 25 30
10 12 40 60 80 30 45 60 75 90 20 30 40 50 60
5 10 30 15 20 10 30 10 30 60 20 20 10 20 15
Рис. 1.77 Рис. 1.63,6 Рис. 1.63,8
Рис. 1.76
Ток в цепи амперметра: /5 = 5 5 = Л7+Rg 1,5 + 1,46 2,96
= 1,69 А.
Здесь: Ео= UX=EX.
Задачи
1.75. Пользуясь методом экви-
валентного генератора, опреде-лить ток /5 в ветви резистора Rs рис. 177 электрической цепи постоянного
тока (рис. 1.75). ЭДС источника питания Е=30В, сопротивления резисторов: Rt — Яз=ЮОм; /?2 = /?4 = 20 Ом; /?5 = 1,7 Ом. Ответ. /5 = 0,66А.
1.76. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.76)
задания 1.77
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
60 80 100 120 140 60 80 100 120 140 60 80 100 120 140
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 15 10 5
10 20 10 20 30 10 10 10 20 30 10 10 10 ‘’10 30
20 20 30 40 50 20 20 30 40 50 20 20 30 40 50
10 15 20 25 30 5 5 5 5 5 2,5 5 10 10 10
10 15 20 25 30 15 30 45 60 75 10 10 10 20 20
10 15 20 25 30 15 30 45 60 75 10 10 10 20 20
10 15 20 25 30 15 30 45 60 75 25 5 10 10 10
10 20 10 20 40 10 30 10 20 40 20 30 20 20 40
Рис. 1.63, г
Рис. 1.63, д
Рис. 1.63, е
методом эквивалентного генератора определить ток /в и падение напряжения Af/g на резисторе Rs в диагонали моста. Напряжение </=15 В, сопротивления резисторов: R\ = 30 Ом; /?2=/?< = = 270 Ом; R3 = 40 Ом; Rs = 54 Ом. Ответ, к—4.6- Ю~3 А; Л1/5= 0,248 В.
Контрольные задания
1.77. В электрической цепи постоянного тока (рис. 1.77) методом эквивалентного генератора определить ток h в диагонали моста с резистором R3. ЭДС источника питания Е, сопротивления резисторов'Ri—R» цепи для соответствующего варианта задания приведены в табл. 1.12.
В вариантах 31—60 сопротивление резистора R5=oo, в вариантах 61—90 — Rs—oo.
Глава 2 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
$ 2.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольт-амперными характеристиками / (U), т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нелинейному сопротивлению напряжения.
Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды и т. д.), которые характеризуются одной вольт-амперной характеристикой, и управляемые (многоэлектродные лампы, транзисторы, тиристоры и др.), которые характеризуются семейством вольт-амперных характеристик.
Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока обычно осуществляют графоаналитическим методом. При этом можно использовать и аналитический метод расчета, который, однако, достаточнц сложен. Для выполнения расчета нелинейных электрических цепей должна быть известна вольт-амперная характеристика соответствующего нелинейного сопротивления, представленная в виде графика или таблицы.
При расчете электрических цепей с последовательным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений Ri и R2 (рис. 2.1.1) вольт-амперные характеристики соответствующих сопротивлений /1(1/) и /г((/) представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольт-амперная характеристика I(U) всей нелинейной электрической цепи (рис. 2.1.2), абсцисса каждой из точек которой при заданном токе I (заданной ординате) находится как сумма соответствующих падений напряжения (U=Ui + U2) на этих сопротивлениях Rt и R2, поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает, один и тот же ток / цепи. Таким образом, по общей вольт-амперной характеристике /((У) нелинейной цепи при заданном значении напряжения U и последовательном соединении сопротивлений легко определяют ток I в нелинейной цепи, а по заданному току I находят напряжение U, подводимое к нелийной цепи, и напряжения U\ и U2 на каждом из последовательно соединенных сопротивлений.
При параллельном соединении нелинейных (или линейных и
нелинейных) сопротивлений Л, и Л2 (рис. 2.1.3) также строят общую вольт-амперную характеристику 1(U) нелинейной электрической цепи (рис. 2.1.4). При этом ординату каждой из точек общей вольт-амперной характеристику при заданном подводимом к цепи напряжении U (заданной абсциссе) определяют как сумму токов в цепях соответствующих сопротивлений (/=/1+^2). так как при параллельном соединении иа всех сопротивлениях действует одно и то же напряжение U. Следовательно, при параллельном включении сопротивлений по общей вольт-амперной характеристике I(U) и заданном значении напряжения U нетрудно определить и ток I в нелинейной электрической цепи. При заданном общем токе / также легко определить и напряжение U, подводимое к данной нелинейной электрической цепи, и токи / и /2. протекающие в цепи каждого из параллельно соединенных сопротивлений.
Следует отметить, что изложенная методика расчета нелинейных электрических цепей при последовательном и параллельном соединении сопротивлений справедлива для любого числа сопротивлений, включенных в цепь последовательно или параллельно.
При расчете нелинейных электрических цепей со смешанным
о +
(последовательно-параллельным) соединением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений (рис. 2.1.5) строят вольт-амперную характеристику I(U\) параллельного участка цепи; при этом образуется нелинейная электрическая цепь с последовательным соединением со-
противлений, для которой строится Рис- 215 общая вольт-амперная характерис-
тика I(U) с учетом того, что подводимое к цепи напряжение U при данном токе цепи I равно сумме напряжений на параллельном U\ и на последовательном Uz участках цепи (l/= Ut Uz).
Литература. [1] § 1.16; [2] § 1.20, 1.21; [3] §6.2.
Примеры решения задач
2.1. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 2.1, а) содержит источник ЭДС Е=100.В, сопротивления: /?(=80 Ом; Rz= = 160 Ом; Яз=40 Ом; Я«=80 Ом и нелинейное сопротивление
Рис. 2.1
Ri, вольт-амперная характеристика которого/5 (t/23) приведена на рис. 2.1,6. Определить ток /5 в ветви нелинейного сопротивления R^
Решение. В соответствии с методом эквивалентного генератора рассматриваем данную электрическую цепь в режиме холостого хода при разомкнутой цепи нелинейного сопротивления Ri (рис. 2.1, в).
По методу контурных токов определяем контурные токи /,, и /22 в электрической цепи (рис. 2.1, в). При этом, задавшись условным положительным направлением контурных токов, в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа для правого замкнутого контура цепи рис. 2.1, в, имеем: (/?,+ + R2 + Ra) /,1 — R2I22=0, ил и (80 + 160 + 80) /11 — 16O/22=0. То же самое для левого замкнутого контура: £=(/?2+/?з)/22—R2I11, или 100=(160+40)/22-160/,,.
В результате совместного решения полученных уравнений определяют контурные токи: /,,=5/12 А; /22=5/6 А.
ЭДС эквивалентного генератора при отключенном нелинейном сопротивлении /?5, равную напряжению холостого хода (Езк= = (4), находят из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для соответствующего замкнутого контура цепи рис. 2.1, в: Ux—R3I22—/?</ц —0 или £/х=/?з/224~/?4/ц=4О^--|-+80А-=66,7 В, т. е. Езк=<4=66,7 В.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора /?эк относительно точек 2 и 3 цепи при отключенном нелинейном сопротивлении Ri и закороченном источнике ЭДС Е (рис. 2.1, г): D R0R1 112-80 112-80 ,К7 г, R2R3 ,
^=^+^=712+8^ —192-= 46,7 °М’ ГДе Л»=^ТК +
+ 80=112 Ом-
Записав уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для электрической цепи с эквивалентным генератором (рис. 2.1,6), получим выражение, связывающее ток /5 в цепи нелинейного сопротивления Ri с напряжением (У2з, действующим иа его зажимах: £'эк=^2з+/?эк/5 или 1$ — Ежь , т. е. Ii(Uz3)-
Вместе с тем зависимость тока /5 от напряжения К2з выражается и вольт-ампериой характеристикой /5(1)23) нелинейного сопротивления Ri (рис. 2.1,6).
С учетом того, что при постоянном значении эквивалентной ЭДС Е,к и эквивалентного сопротивления /?эк, что имеет место в данном случае, зависимость, представленная приведенным выше уравнением для тока, является линейной, ее можно построить по двум точкам, соответствующим режиму холостого хода и режиму короткого замыкания эквивалентного генератора, так как в режиме холостого хода ток /5=0 и напряжение U23^E3K (точка 2
на рис. 2.1, б). В режиме короткого замыкания 773,=О, а ток 15= = ЕЭк//?эк= 66,7/46,7= 1,43 А (точка /). Построив указанную линейную зависимость /в((723) в общей координатной системе с вольт-амперной характеристикой /5(1/23) (рис. 2.1,6), получим искомые напряжение 1/2з и ток /5 в цепи нелинейного сопротивления /?5 как соответствующие координаты точки пересечения указанных зависимостей: /5=0,27 А; 1/23=54 В.
2.2. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.2, а) включено нелинейное сопротивление Rs. Определить ток /5 в нелинейном сопротивлении и напряжение Ul2, действующие между точками / и 2 цепи. Вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления Rs (кривая 3) приведена на рис. 2.2, 6. ЭДС источника питания Е=90 В, сопротивления резисторов: /?1= 15 Ом; R2= =45 Ом; /?з=43 Ом; /?<=45 Ом.
Решение. Используя метод эквивалентного генератора, определяем напряжение Ui2, действующее между точками 1 и 2 электрической цепи в режиме холостого хода при отключенном нелинейном сопротивлении Rs (рис. 2.2,а).
Рис. 2.2
Ток в ветви резистора Ri при отключенном нелинейном сопротивлении Rs (выключатель В выключен): /|=Е/(Л|-|-/?з)=90/ /(15+45)= 1,5 А.
Ток в ветви резистора R2 при отключенном.нелинейном сопротивлении Rs’ /2=E/(/?2+/?4)=90/(45+45)=90/90=l А.
ЭДС эквивалентного генератора Еэк определяют при отключенном нелинейном сопротивлении Rs. По второму закону Кирхгофа из уравнения электрического равновесия, составленного для внешнего замкнутого контура электрической цепи (рис. 2.2,a): Ua — =R2I2~Rtli—0 или Ux=45il—15-1,5=22,5 В, откуда EaK—Ux— =22,5 В.
Внутреннее сопротивление R3K эквивалентного генератора относительно точек 7 и 2 электрической цепи рис. 2.2, а, при закороченном источнике ЭДС Е: /?эк = + +
, 45-45
+ 45+45
= 33,75
Ом.
В соответствии со схемой замещения рассматриваемой нелинейной электрической цепи (рис. 2.2, в) исходя из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, имеем: U 12+^15= =ЕЗК, отсюда Is=(E3K—Ui2)/R,K.
Полученное уравнение представляет аналитическое выражение зависимости /5(1Л2). Поскольку ЭДС £эк=const и /?эк=const, последнее уравнение является уравнением прямой в системе координат /5 и 1/12 (рис. 2.2, б, точка /), проходящей через точки с координатами, которые определяются в режиме холостого хода (при /5= =0; UX=E3K=22,5 В) и в режиме короткого замыкания (1/к=0), ток /5=£эк//?эК=22,5/33,75=0,666 А (точка 2).
Ток /5 в цепи нелинейного сопротивления R& и напряжение U12 на его зажимах определяют графическим способом как координаты точек пересечения вольт-амперной характеристики нелинейного элемента /?5 (рис. 2.2,6) с полученной прямолинейной зависимостью IffUii). При этом /5 = 0,45 A; U\2 = 6,75 В.
2.3. Нелинейные сопротивления R\ и включенные последовательно в электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.3,а), имеют вольт-амперные характеристики / и //, приведенные на рис. 2.3,6. Определить ток / в цепи и напряжения U\ и U? на этих сопротивлениях, если приложенное к цепи напряжение U = 60 В. В каких пределах изменится напряжение At/ цепи при изменении тока / от /, = 25 мА до /2 — 175 мА?
Решение. Строят общую вольт-амперную характеристику /// указанных двух последовательно соединенных нелинейных элементов (рис. 2.3, б) исходя из условия, что подводимое к цепи напряжение U при данном токе / нагрузки равно сумме напряжений на сопротивлениях Ri и R?, т. е. U = Ut + U2.
I, мА f________________
150 100
50
0 10 203010 50 6070 U.B
S)
Рис. 2.3
Ток в цепи при напряжении U = 60 В согласно зависимости /// определяется ординатой 0—5, соответствующей /2 = 175 мА.
Напряжение на участках цепи находят из графических зависимостей. При токе /2= 175 мА (Л = 19 В (абсцисса 5—4), U2 = = 41 В (абсцисса 5—3). Прн токе Л = 25 мА напряжение, подводимое к цеци, U =22 В. Следовательно, изменение подводимого к цепи напряжения при изменении тока в заданных
пределах согласно рнс. 2.3, б составляет: At/ = 66 — 22 = 38 В.
2.4. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.3, в) при напряжении t/=30B включены параллельно нелинейные сопротивления /?| н Rt, вольт-амперные характеристики / н И которых представлены на рис. 2.3, б. Определить общий ток / в цепи, токи /| и It в ветвях.
Решение. Общая. вольт-амперная характеристика IV (рис. 2.3,6) при параллельном соеднненнн нелинейных сопротивлений построена сложением токов (ординат) зависимостей / и // при соответствующем напряжении. Ток нелинейного сопротивления /?| (рис. 2.3, а) при заданном напряжении U = 30 В равен ординате 6—7: 1\ = 205 мА. Ток нелинейного сопротивления Rt при том же напряжении U = 30 В равен ординате 6—8: It = 100 мА. Общий ток в неразветвленной части цепи равен ординате 6—9: / = Л + It = 205 +* 100 = 305 мА.
2.5. Определить токи Л — /3 и напряжения Ut и t/23 на нелинейных сопротивлениях /?(, Rt и /?з при смешанном соединении их в электрической цепи постоянного тока (рнс. 2.5,а), если приложенное напряжение U = 40 В. Вольт-амперные характеристики /, // и /// нелинейных сопротивлений даны на рис. 2.5, б.
Рис. 2.5
Решение. Общая вольт-амперная характеристика IV нелинейных параллельно включенных сопротивлений Rt — Rt (рнс. 2.5,6) строится сложением токов при одинаковых напряжениях. Затем строится общая вольт-амперная характеристика V всей цепи для последовательного соединения нелинейных сопротивлений по характеристикам / и IV. Ток в неразветвленной части цепи: Ц = 165 мА при напряжении U = 40 В определяет ордината 4—5, напряжение Utt — 11,5В — абсцисса 6—7, а напряжение U\ = 28,5 В — абцнсса 6—8.
Для определения токов в ветвях проводим через точку 7, соответствующую напряжению Utt, прямую параллельно оси ординат. Пересечение этой прямой с вольт-амперными характеристиками // и /// и определяет токи в соответствующих ветвях: /2 = 65 мА; /3 — 100 мА.
2.6. Определить ток /а и напряжение Ua анодной цепи лампо-вого триода в электрической цепи (рнс. 2.6, а) прн различных значениях напряжения Uc на сетке. Семейство анодных характеристик триода /JJJа) представлено на рис. 2.6,6. Сопротивление резистора в анодной цепи /?а = 10 кОм, ЭДС источника питания £а = 300 В.
Решение. Анодная цепь триода состоит из последовательного соединенного нелинейного внутреннего сопротивления /?, и линейного анодного сопротивления /?а. Поэтому схема замещения цепи рис. 2.6, а приводится к виду рнс. 2.6, в. Анодная характеристика нелинейного сопротивления Ri лампового триода задана. Необходимо определить зависимость анодного тока /а от линейного Ra и нелинейного Rt сопротивлений. Пересечение этих характеристик позволяет определить параметры анодной цепи.
Рис. 2.6
Для схемы рис. 2.6, а на основании второго закона Кирхгофа справедливо уравнение электрического равновесия: Е, = Ua + + Rak = и а + и к или Ua =Еа — RJ„ откуда I, =Е‘ ~ U‘
*\а
Зависимость анодного тока /a(t7a) прн £а = const и R, = const , Е, U.
определяют из уравнения: /а = —-------—, являющегося урав-
®а
нением прямой в системе координат /а н Ua. При /а=0: Еа—
Е = U, = 300 В (точка 1 на рис. 2.6, б). При Ua = 0: /а =
Да
_ —300 _ зо мд (точка 5).
10-103 ' '
На рнс. 2.6,6 нанесена прямолинейная зависимость 1—2, т. е. нагрузочная характеристика /a(Ua). Ток в анодной цепи прн напряжении Uc=— 4 В /а= 12,2 мА (ордината 2—6). Напряжение на нелинейном сопротивлении прн Uc= — 4 В t7a=178B (абсцисса 0—6). Напряжение на линейном сопротивлении прн Uc=—4 В: UR=Ea— U. = 300- 178= 122 В или UK= Rala= — 10-103-12,2-10~3 = 122 В.
Аналогично определяют параметры прн Других значениях напряжения Uc на сетке лампового триода.
2.7. Определить внутреннее сопротивление Ri, крутизну S анодно-сеточной характеристики /a(t/c) и коэффициент усиления ц лампового триода для точки А прямолинейного участка анодной характеристики /а(£/а), приведенной на рис. 2.6,6.
Решение. Внутреннее сопротивление триода, соответ-
ствующее точке A: R,=------I ; Ri =—— 8Х
—Д/а I ис= const —5-10
X Ю3 Ом = 8 кОм.
Ординаты АВ и АС определяют приращение соответственно анодного тока и анодного напряжения Д/а и Д(7а. Приращение анодного напряжения АС= Диа= — 40 В прн напряжении на сетке ис——2 В = const.
Это обусловливает изменение анодного тока на величину Д/а= —5 мА.
Крутизна анодно-сеточной характеристики лампового триода
Л/а
AUc L/a= const
-|- = 2,5 мА/В.
Изменение анодного тока Д/а = 5 мА — АВ (рнс. 2.6,6) обусловлено изменением напряжения на сетке AUC = — 2 — (—4) = = 2 В при U3 = const.
Коэффициент усиления лампового триода: ц =
= — = 20.
At/с /а =, cOnSt 2
Коэффициент усиления триода можно найти также из внутреннего уравнения лампы? ц — SRt — 2,5-8 = 20.
Рис. 2.8
Рис. 2.9
2.8. Для точки А вольт-амперной характеристики I(U) нелинейного элемента (рнс. 2.8) определить статическое RCT н дифференциальное /?д сопротивления.
Решение. Статическое сопротивление, соответствующее точке А вольт-амперной характеристики: R„ = U/I = ОС/АС = = 35/5-10~3 = 7-103 = 7 кОм. Статическое сопротивление пропорционально тангенсу угла 0, т. е. R„ = tg0mr, где т, — масштаб сопротивлений.
Дифференциальное сопротивление, соответствующее точке А
вольт-амперной характеристики: /?* = m,tga= ОС/АВ = 35/ /1,75-10-3 = 20- 1(Г Ом = 20 кОм. Дифференциальное сопротивление пропорционально тангенсу угла а.
2.9. На рис. 2.9 приведена электрическая схема газового стабилизатора напряжения с газоразрядным стабилитроном типа СГ4С. Определить сопротивление балластного резистора /?в и мощность Р6, выделяемую на нем, если ток на прямолинейном участке вольт-амперной характеристики стабилитрона изменяется от минимального значения 1тт = 5 мА до максимального Длах = 40 мА. Значение стабилизированного выходного напряжения =150 В, а напряжение на входе UM = 240 В, сопротивление нагрузочного резистора R„ = 10 кОм.
Решение. Среднее значение тока стабилитрона, соответствующее рабочей точке: /ср = (/„,„ 4- /min)/2 = (40 4- 5)/2 = = 22,5 мА.
Ток в цепи нагрузочного резистора: /н = С/вых//?„ = 150/ /10.10®= 15 мА.
Напряжение на балластном резисторе исходя из уравнения электрического равновесия напряжений, составленного по второму закону Кирхгофа: = ReI 4- Uam, откуда U6 = R6I =
= Un - илт = 240 - 150 = 90 В.
Ток на входе стабилизатора исходя из первого закона Кирхгофа для точки разветвления: / = /ст + /. = 22,5 4- 15 = = 37,5 мА = 0,0375 А.
Сопротивление Rs балластного резистора определяется по падению напряжения на нем: Л1/б = R6I, откуда R6 = — = 2,4 кОм. Мощность, выделяемая в балластном
резисторе: Рв = !2R6 = 0,03752.2,4-103 = 3,4 Вт.
Задачи
2.10. Определить сопротивления R' н R" нелинейного элемента R, включенного в электрическую цепь постоянного тока по его вольт-амперной характеристике I(U) прн токах Л = 60 А н /2 = 80 А (рис. 2.10). Ответ. R' = 0,5 Ом; R" = 0,25 Ом.
2.11. Определить общий ток /о, токи Л и /2 в ветвях электрической цепи постоянного тока, напряжение Uo на резисторе Ro и приложенное к цепи напряжение U при смешанном соединении сопротивлений: Ro, Ri, Rs (рнс. 2.11,а), если напряжение на нелинейном сопротивлении R2: U\ = 30 В, а сопротивления резисторов: Ro = 10 Ом; Ri == 2 кОм. Вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления приведена на рис. 2.11,6. Ответ. Jo = 325 мА; /, = 150 мА; /2 = 175 мА; Uo = 3,25 В; U ~ 33,25 В.
2.12. Определить ток стабилитрона газового стабилизатора напряжения (см. рнс. 2.9), если напряжение на входе — = 200 В, напряжение на выходе (7ВЫХ = 150 В, ток нагрузки /„ = 5 мА, сопротивление балластного резистора R6 = 2,5 кОм. Ответ. 1„= 15 мА.
2.13. Определить допустимый предел колебания напряжения на входе газового стабилизатора напряжения А£7ВХ и коэффициент стабилизации если изменение напряжения на нагрузочном резисторе R„ = 10 кОм ограничено пределами At/BMx=-+-5 В, сопротивление балластного резистора Rt = = 2,4 кОм, величина стабилизированного выходного напряжения = 150 В, напряжение на входе UBX = 240 В при напряжении t/eHX = 155 В, ток стабилитрона 1„ = 29 мА (см. рис. 2.9).
Ответ. Д(/,ых=—22 В; Аст=2,84.
Контрольное задание
2.14. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 2.1.1) с последовательно соединенными нелинейным R\ и линейным R3 сопротивлениями включена в питающую сеть с напряжением U. Используя вольт-амперные характеристики l(Ui) нелинейного сопротивления 7?i (табл. 2.2), а также данные, приведенные в табл. 2.1 для каждого варианта задания, определить ток / в цепи и падения напряжений Д(Л и Д1/2 на сопротивлениях Rt и Л2.
Построить зависимость изменения тока I(U) в электрической цепи при изменении напряжения U источника питания в пределах ±20 % U.
Таблица 2.1
Величины Варианты контрольного задания 2.14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
и3, в 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11
/, А 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1.8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
Вольт-амперная характеристика 1 линейного элемента
Продолжение табл. 2.1
Величины Варианты контрольного задания 2.14
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
иг, в 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
/, А 1.0 1.1 1,2 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2.4
Вольт-амперная характеристика 2 линейного элемента
Таблица 2.2
Величины Вольт-амперные характеристики нелинейного элемента
1 2
и,, в 1 2 4 8 12 16 20 2 4 6 8 10 12 14
/, А 2 3 4 4,2 4,3 4,4 2,5 0,5 1.1 2,2 3,5 4,8 6 8
Г лава 3
ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
f 3.1. СПОСОБЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ
Синусоидальные функции времени могут быть представлены тригонометрической формой записи, линейными диаграммами изменения синусоидальной величины во времени, вращающимися векторами н комплексными числами.
Тригонометрическая форма записи синусоидально изменяющейся во времени величины в общем виде представляется выражением а = j4m-sin(<o/ 4- ф) = ^msina, где а — мгновенное значение синусоидальной функции времени; А„ — амплитудное значение синусоидальной функции времени; w — угловая или круговая частота, характеризующая скорость изменения фазового угла; t — текущее значение времени; а=(<о/-)-ф)— фаза или фазовый угол (аргумент -синусоидальной функции во времени); ф— начальная фаза (начальный фазовый угол) (рис. 3.1.1, а).
В соответствии с выражением для мгновенного значения синусоидальная функция времени во многих случаях изображается в виде линейной диаграммы — графика изменения соответствующей синусоидальной функции от времени (от угла wt) (рис. 3.1.1,б).
Период изменяющейся во времени синусоидальной величины Т = l/f [f — частота синусоидально изменяющейся во времени
величины (число периодов в секунду)]. В электротехнике кроме мгновенных и максимальных значений переменных синусоидальных величин используются действующие и средние значения.
Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС напряжений и токов записывают соответственно в виде выражений: Е = Ет/л/2 = 0,707Em; U = Um/^2 = 0,707f7m; I = 1т/ /у/2 — 0,7071т. Соответственно, средние значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжений н токов: Еср = 2Ет/п = = 0,637Еи; (Уср == 2Um/n = 0,63767™; /ср = 2/т/л = 0,637/т.
Синусоидальная функция времени изображается также вращающимся вектором (см. рнс. 3.1.1,а). Длина вращающегося радиуса-вектора равна амплитуде Ат синусоидальной функции времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента времени t = 0 представляет начальную фазу ф синусоидальной величины. Проекция вращающегося радиуса-вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидальной величины.
В электротехнике за положительное направление вращения
векторов принято направление против хода часовых стрелок.
Синусоидальные функции времени а = Атsin(w/ -|- ф) изображаются также комплексными числами. Прн этом на плоскости комплексных чисел (рис. 3.1.2) из начала координат под углом ф к оси действительных чисел (вещественной осн) проводят вектор Ат, концу которого соответствует определенное комплексное число. Комплексная амплитуда синусоидальных величин определяется выражением Am=Ame'* (где е — основание натурального логарифма). Для действующих значений синусоидальных величин это выражение преобразуется к виду: А = Ае;'1’.
С увеличением времени фаза а=(ш/-|-ф) синусоидальной
величины возрастает, при этом угол между радиусом-вектором и осью действительных величин увеличивается, радиус-вектор поворачивается на соответствующий угол против хода часовых стрелок. Для момента времени t\ (см. рнс. 3.1.1,6) комплексная амплитуда Ат=Ате(ш1'+^, а действующее значение А = _ Др(“<,+*)
Комплексное число представляет собой сумму действительной и мнимой частей: А_— А' 4- ]А" — ReA_+ /ImA , где А' — вещественная (действительная) часть комплексного числа; ]А" — мнимая часть комплексного числа; Re и 1m — символы, обозна-
чающие действительную и мнимую части комплексного числа (ReA = = А'; ImA_=A").
Комплексные числа A'-^-jA" и AiA-jA" считаются равными, если их действительные н мнимые части равны (A' = Af; А" —А").
В выражении комплексного числа фигурирует также символ / = = -\/ —1 —мнимая единима, с по-
Математические выражения
Мгновенное значение синусоидальной функции времени Формы записи комплексных величии
показательная тригонометрическая алгебраическая
1. e = £msin<i>/= = 84,6 sin <at В £ = £е*= = 60е^ = 60В, здесь ф=0 . £_=£(со$ф-|-+ /81пф) = = 60(cos0-|-4-/sin0) = 60 В II ® 1 8 II Sim 1 * +«|,s *11 8 m 1 ml й Й m
2. e=£mcoswt= = £«sin (<e, + _£’)= = 84,6sin(e><+y)B <4 со •Г кЬ ф ЦД « 1 ® ml и £.= £(cos-£ + + /s»ny) = = 60(0 + /!) = = /60 В II 1 H к|еч к|еч <zi e + a 8 » ‘в 41 “ ml fl m m у
3. e = £„sin (<ef± ±-^-) = 84,6sin (i>Z± 1 IF 2 В у m S % “ 1 Н а * 1® It -Н с ' Л А1-? I IT -Jr з ml -Н Г -Н II Il ® J ® 1 £ ’8 m ’J *1® II Ju®. 8 iS *].<o ‘|8 U 8 m ml fl m й II
4. e=£„sin (<o/± ± —84,6 sin ( at ±, «и1 « Ф 41 II ® ^1 и 44 И СО +1 ICO /=* 4" a t . i £ A^l” । хтч "Н 3 :V = И •£. 8 .J. 1 J, ml +1 Й +1 II II E^E'±jE" = = (-30±/51,9)B, £' = £cos^-= = 30 B, £" = £sln^-= =51,9 В
мощью которого нз комплексного числа выделяется его мнимая составляющая. Умножение вектора А на множитель j соответствует повороту его На угол, равный-т/2 в положительном направлении (против хода часовой стрелки), а умножение на —/ —
поворот в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки).
Модуль комплексного числа: А — |Л | = -^(А')2 4- (А")2, а его
Л" аргумент ф = arctg——.
Используют три формы записи комплексных чисел. Алгебраическая (координатная) форма записи комплексного числа: А_= A’ + jA".
Сопряженное ему комплексное число имеет противоположный знак при мнимой части: А * = А' — jA*'.
При этом произведение сопряженных комплексных чисел А_‘А_* = А2 оказывается равным квадрату модуля комплексного числа. При отсутствии мнимой части комплексного числа: А — = А' + /О = А'. При отсутствии действительной части комплексного числа: Л = 0 ± jA" = ± /Л".
Следует заметить, что алгебраическая форма — более удобная форма записи комплексных чисел при нх.сложении и вычитании.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел является производной алгебраической формы с учетом того, что соэф — А'/А, вщф = Л"/Л; Л = Л(соэф + /втф) .
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел наиболее удобна при переходе к алгебраической форме записи от показательной.
Покалательная форма записи комплексных чисел является производной от тригонометрической с учетом того, что в соответствии с формулой Эйлера (созф + /зтф) = е^*, Л = Ле'* где е7*—поворотный множитель (показывает, что вектор повернут относительно вещественной осн в положительном направлении на угол ф).
Поворотные множители / и е7* могут быть записаны в следующем виде: / = V-1; /•/ = — 1; 1// = — = - /; 1/—/=/
. • л
При ф = ± л/2 в соответствии с формулой Эйлера е т = = ( cos-2- ± /sin-2-) = (0 ± /1) =± /.поэтому е'т=/; е /т= —/.
Показательная форма записи комплексных чисел оказывается более удобной формой записи при умножении, делении, извлечении корней, логарифмировании комплексных чисел.
В табл. 3.1 показан переход от записи мгновенных значений синусоидальных функций времени к показательной, тригонометрической и алгебраической формам записи комплексных чисел (максимальное значение ЭДС Ет = 84,6 В, действующее ее значение Е = Em/-^2 = 84.6/V2 = 60 В).
Примечание. Содержание $3.1 ограничено изложением сведения, необходимых для решения последующих задач.
Литература. [ 1 ] $ 2.3; [2] $ 2.7.
$ 3.2. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
При расчетах электрических цепей переменного тока широко применяется метод комплексных чисел, позволяющий графические операции над векторами заменить алгебраическими действиями над комплексными числами.
При использовании комплексных чисел методы расчета электрических цепей переменного тока аналогичны методам расчета электрических цепей постоянного тока. Записи соответствующих уравнений, составленных по законам Ома и законам Кирхгофа, одинаковы по форме для электрических цепей однофазного переменного и постоянного токов.
При этом в уравнениях, записанных для электрических цепей переменного тока, токи /, напряжения U, ЭДС Е, сопротивления Z, проводимости У, мощности S записывают в комплексной форме.
С учетом этого математическое выражение закона Ома в комплексной форме приводят к виду: / = UJZ или / — У U.
Математическое выражение первого закона~Кирхгофа в ком-
плексной форме: £ _/ж=0. В соответствии с этим алгебраическая сумма
*-i
комплексных токов, сходящихся в узле разветвления электрической цепи, равна нулю.
Математическое выражение второго закона Кирхгофа в комплексной форме: £ _£ж=Е ^ж'ж
*-1 *-1 *-1
Согласно этому уравнению алгебраическая сумма комплексных ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме комплексных напряжений и алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре.
При расчете электрических цепей по методу комплексных чисел оперируют с этими числами. Алгебраические действия над комплексными числами сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению комплексных чисел:
A_i = At + /Af' = Aie'*1 и А_з = АЬ + /Аг — Аге1*2 .
Сложение комплексных чисел осуществляется / следующим образом:
А 1 4- А 2 — (А( 4- /А") 4- (Аг 4~ /А?) — (Af 4~ А0 4* /(Af 4~ Аг).
Вычитание комплексных чисел производится аналогично:
A_t - A_2=(Af+/Af') - (АН/А?) = (A't-A'2) + /(Af—А?).
Умножение комплексных чисел производится по схеме:
А_,А_2 = (A't 4- /Af)(A5 4- /Af) = AfA5 4- /АГАг 4-
4~ jA"A'\ — A'tA'i = (А1А2 — А"А%) 4~ /(Af А$ 4~ А? А{) или А_1А_г = А^'Аге^2 = А1А2е'(*'+ *2).
Деление комплексных чисел осуществляется следующим образом:
±, = At 4- jAf = (Л1 4- IAt)(Aj - IA!) =
A, Ai+jAf (Ai+iAf)(Af-jA!)
_ AtAj 4- A?AZ 4- KAfAj - A? At) _ (Atf + tAtf
AtAj + A?AZ . AZAj - AgAt
(АЦг + (А!)г (Atf + lAff Ai _ A,^' _ Ai _ t2)
Aj A#1” A,
При делении комплексных чисел для исключения в знаменателе мнимого числа числитель н знаменатель умножают на сопряженное со знаменателем комплексное число.
Литература. (1] $ 2.16-2.20; (2] $ 2.10; (3| $ 2.5-2.10.
Примеры решении задач
3.1. Определить угловую частоту вращения Ц, ротора генератора переменного тока при частоте питающего напряжения f = = 50 Гц н угловую частоту <в ЭДС, если ротор вращается с частотой я; = 1000 об/мин. .
Решение. Число пар полюсов генератора: р = д*- =
= -!j£gj£-=3. Угловая частота вращения ротора: Ц, =-j2-= = 3,14^°^ = 104,5 с-1. Угловая частота переменного тока: <о = = О₽р= 104,5-3=314 с~‘ или <о=2л/=2-3,14-50=314 с~‘.
3.2. Определить среднее значение синусоидального тока /ср по мгновенному его значению /=31,4в1п(<в/+-£•).
Решение. Среднее значение синусоидального тока /ср = 2 t 2 о а д 2 =----/т в --31,4 = -S—
л л 3,14
3.3. Определить коэффициенты амплитуды Аа и формы Лф периодически изменяющегося тока, форма которого приведена на рис. 3.3.
Решение. Макси
31,4 = 20 А.
2
О
'т
2л ut.pai
-2
Т
я
мальное значение тока в данном случае равно действующему его значению, т. е. /Д=/=2А. Коэффициент амплитуды тока: K,=/m/7=2/2= 1. При Этом среднее значение тока рацио действующему его значению, т. е. /ср = /=2А. Коэффициент формы тока: Кф=///ср=2/2= 1.
3.4. Для синусоидального напряжения и тока (рис. 3.4) записать выражения для мгновенных их значений. Определить период Т и время /р, соответствующее начальной фазе тока ф;, а также мгновенные значения напряжений ui и и2 для моментов времени /i = 0,00167 с и /2 — 0,005 с, если частота тока f — 50 Гц.
Решение. Мгновенные значения напряжения и тока имеют вид:
и — Um sino>/ — 100sin314/ В,
t =/msin( + — 15sin( 314/ + -у-) А,
где Um, 1т амплитудные значения напряжения и тока.
Начальная фаза тока (в радианах): ф» = = -у. Пе-
риод переменного напряжения и тока:. Г— 1//.= 1/50 = 0,02 с. Время начала отсчета, т. е. время, соответствующее начальной фазе тока: t0 — — = 0,005 с.
* <и 2л/Г 2-2л 4
В моменты времени: /ь ai = a>/i = л/6 = 30°; ui — 100sin<o/| = = 100 sin30° = 50 В; t2: аг — <o/2 = л/2 = 90°; u2 — 100sina>/2= = 100sin90° — 100 B.
3.5. В условиях задачи 3.4 записать выражения для мгновенных значений напряжения и, соответствующих моментам времени /| и /2.
Решение. Мгновенное значение нвпряжения, соответствующее моменту времени 6: и — 7/msin(a>/i 4-л/6).
Мгновенное значение напряжения, соответствующее моменту времени 12: и — Um sin(«0/2+л/2).
3.6. В однородном магнитном поле (рис. 3.6) равномерно вращается вокруг оси ООзамкнутая нако-
ротко рамка, в которой индуцируется периодическая ЭДС с максимальным значением Ет— 10 В. Определить линейную скорость v перемещения рамки, частоту вращения и, частоту f ЭДС и ее мгновенное значение е в момент времени /=0,00166 с, если размеры сторон рамки ac—bd=0,lfi м, ab = cd—0,2 м. Магнитная индукция поля В=1В-с/м2.
Решение. Линейная скорость пе-
Е„ 10
ремещения рамки v= „ - = 1.2-02=
60t> 60t> 60-25
= 25 м/с. Частота вращения рамки: n=-^-— ——3 14 0 16— = 3000 об/мин. Частота индуцированной ЭДС f=«/60= 3000/60= = 50 Гц. Мгновенное значение ЭДС в момент времени /=0,00166 с: e = Emsin<o/ = 10sin2nf/ = 10sin* 100л-0,00166= 10sin-g-n=10X X sin 30° = 5 В.
3.7. Определить максимальное Ет и действующее Е значения ЭДС, наводимой в прямоугольной катушке с числом витков w = 200, вращающейся в однородном магнитном поле с постоянной частотой вращения п=1500 об/мин. Размеры витка катушки 3X3 (площадь витка S, = 3-3 = 9 см2). Индукция магнитного поля В= 0,8 Т = 8000 Гс. Построить кривые изменения магнитного потока и ЭДС во времени е, Ф(/), а также векторную диаграмму цепи.
Решение. Частота индуцированной в катушке ЭДС: f — «/60 = 1500/60 = 25 Гц. Максимальное значение магнитного потока: Фт = SCB = 3-3‘8000* 10-8 = 0,00072 Вб. Амплитудное значение ЭДС, наводимой в катушке, находят исходя из
<1Ф <1(Фт sin <af)
мгновенного ее значения: е = —и>--- = —w—»—77----------<- —
at at
= _Ш(оФтСО5<о/= -Ш(!)Фяз1п( 0)/ + у^ = w2nf®msin(flj/—л/2) = = fmsin( o>i- — л/2) = 200 • 2 • 3,14 • 25 • 0,00072sin( tot — л/2) = 22,5 X X sin(o>/—л/2), откуда Ет = 22Д В. Действующее значение ЭДС катушки Е = Ет/^12 = 22,5/д/2 = 16 В. Изменение потока и ЭДС во времени и векторная диаграмма приведены на t рис. 3.7, а, б.
3.8. Представить комплексный токД_= (4+/3) А в тригонометрической и показательной формах записи.
Решение. Действующее значение тока (модуль комплексного тока): / = -д/42 З2 = 5 А- Аргумент комплексного тока: tg^ = 3/4 = 0,75, откуда ф»=36°50'. Тригонометрическая форма записи комплексного тока /=(4 + /3)=/(cosipi-F/sin^i) =
40 30 20 10 О 10 20
Рис. 3 12
= 5{cos36°50' /sin36°50/). Показательная форма записи комплексного тока / = (4 -|-/3) = /е** = бе?®’50, А.
3.9. Записать выражение Для комплексной амплитуды тока 1т исходя из выражения, для мгновенного его значения 1*= = 10sin(<o/4-30°) А.
Решение. Амплитудное значение тока: 1т 10-А. Начальная фаза тока: ф,- = 30°. Комплексная- амплитуда тока: 1т — = /пе* = Юе*30" А.
3.10. Представить комплексный ток_/.= Юе/30* А в алгебраической (координатной) форме записи.
Решение. Действительная часть комплексного тока ReM= = 10cos30°= 10-865 = 8,65 А. Мнимая часть комплексного тока lm/=10-sin30°=5A. Алгебраическая форма записи комплексного тока /=(8,654-/5) А.
3.11. На комплексной плоскости (рис. 3.11) приведена векторная диаграмма токов и напряжений. Представить токи h и /2 и напряжение U в алгебраической форме записи и Найти их аргументы.
Решение. Комплексные токи и напряжение в алгебраической форме записи: Л = (2 4- /2) А; [г = (—2—/2) A; U = = (3 — /3) В. Аргумент комплексного тока_/,: tgifyi = 2/2=1. В общем случае этому условию удовлетворяют углы 45 и 225°. Но угол 225° в данном случае не является аргументом числа (24-/2). Правильный ответ —фп = 45°(—315°) или 405° и т. д., так как аргументами комплексного числа (2-|-/2) являются все углы вида 45°zfc36O°A (где К — любое целое число). Этот результат получится, если учесть, что действительная и мнимая части комплексного тока Д_ положительны. Аргумент комплексного тока /| найден из выражения для соответствующего коэффициента мощности: совфл = 2/-/2т4^27= 2/2-/2 = 1/-/2 = = -/2/2, откуда аргумент комплексного тока фл = 45°, или че-рез синус соответствующего угла: зшфл = -= -Л—; фп =
— 45°. Так как значения косинуса и синуса положительны, то угол г|><| находится в первой четверти плоскости комплексных чисел.
__9
Аргумент комплексного тока_/?: tgx|),2 =-^-= 1. Так как абсцисса и ордината комплексного тока отрицательны, то зр,2 == = 225° или —135°, или 585° и т. д. Следовательно, вектор тока_/г находится в третьей четверти плоскости комплексных чисел.
Аргумент комплексного напряжения U_2: tg фи = -у^-=1. Здесь абсцисса положительна, а ордината отрицательна, поэтому вектор напряжения U расположен в четвертой четверти плоскости комплексных чисел фи — 315° (или —45°, или 675° и т. д.).
3.12. На плоскости комплексных чисел (рис. 3.12) заданы комплексные напряжение U и токи /| и Л электрической цепи. Представить их в алгебраической и показательной формах записи.
Решение. Выражения для напряжения и токов в алгебраической форме записи: [/ = (254-/25) В; Л = (—35-+-/35) А; Л_= -45 А.
То же, в показательной форме записи: (У—35,25е = = 35,25 е >45” В; Ц — 49,35 е = 49,35 е'|35’ А; /2 = 45 е '♦ = = 45е"'|8О'А.
3.13. В условиях задачи 3.12 записать аналитические выражения для мгновенных значений напряжения и и токов Л и i2, считая, что положения векторов токов Л и /2 и напряжения U_ на плоскости комплексных чисел даны для момента времени t = 0.
Решение. Мгновенные значения:
напряжения «=V2-35,25sin(o>f 4- л/4) В; _
токов «| — -72*49,35sin(o>/4-3n/4) A; i2 = -72-45sin(o>/+л) А.
3.14. Определить действующие значения напряжений U\, U2, 1>з и токов Л, /2, /3,' комплексные сопротивления Z\, Z2, Z3,
активные Ri, R2, R3 и реактивные сопротивления Х\, Х2, Х3,
комплексные проводимости Yi, Y2, Уз, а также комплексные мощности S2, S3, если для соответствующих электрических цепей в различных формах записи даны комплексные напряжения и токи: Uj = 220 В; L^2 = (60 + /80) В; U_3 = 50е'6°° В; h = = (8,8-/6,6) А;_/2 = 10 А;_/з = Юе*15' А.
Решение. Действующие значения напряжений и токов:
В;
/1-
U2 _
U, = 220 В; U2 = т/602+802 = 100 В; U3 = 50 = V8,82 + 6,62 = 11 А; /2 = 10 А; /3 = 10 А.
' и 1 220
Комплексные сопротивления: Z\ — -=р- = 8 8~/бб =______».8 + /8-8)_____= 220(8,8 + /6,6) Пб+/12) Ом' ’ Z2
(8,8-/6,6)(8,8 + /6,6) (8,82 + 6,62) (ЮТ/ы/им, £2
= 60 to'80.....= (6 + /8) Ом; Z3 - > = = 5е Лво°~|5°) =
= 5е'45° Ом. Активные и реактивные сопротивления: /?|= 16 0м; /?2 = 6 Ом; XL\ = 12 Ом; XL2 = 8 Ом; /?з — 3,535 Ом; Х^ — = 3,535 Ом; Z3 = 5(cos45° + /sin45°) = 5(0,707 + /0,707) = = (3,535 + /3,535) Ом. Комплексные проводимости: У, = -у- =
~16+/12 ~ (16+7’12) (16—>12) = (°>04—7°>°3) См; Ул = =
= вТЙ = (^-(6% = (0-06 - '0’08> См’ Я = ± =
- 0,2е •/45° См ИЛИ _У3 = 0>2 (cos 45° — у sin 45°) =
= (0,1414-/0,1414) См. Комплексные, активные и реактивные мощности: S, = jt/,/f = 220(8,8 + /6,6) = (1936 + /1452) В • А; S, = V!936<+1452й = 2400 В-A; Pi = 1936 Вт; Qi = 1452 вар; S2 = 1/2/? = (60 + /80) 10 = (600+/800) В-A; S2 = 1000 В-А; Р2 = 600 Вт; Q2 = 800 вар; S3 = УЛ = бОе*60" • 10е-'15’= = 500е«в0°- 1S’> = 500е'45° = 500(cos45° + /sin45°) = 500(0,707 + + /0,707) = (353,5 + /353,5) В-А; S3 = 500 В-А; Р3 = 353,5 Вт; Q3 — 353,5 вар.
Задачи
3.15. Определить амплитудные Um и действующие U значения синусоидального напряжения, если его среднее значение UCJ) — 198 В. Ответ. U* = 310 В; U = 220 В.
3.16. Определить амплитудное Um значение напряжения в электрической цепи синусоидального тока, частоту /, период Т переменного тока и начальный фазовый угол фи, если мгновенное напряжение в сети и = 310sin^628 + -у-) В. Ответ. (/„ = 310 В; / = 100 Гц; Т = 0,01 с; Ч>. = 60° = л/3.
3.17. Определить коэффициенты амплитуды К. и формы периодического напряжения «(/), линейная диаграмма изменения мгновенного значения во времени которого приведена на РИС. 3.17. Ответ. К,= 1,41; Кф= 1,11.
3.18. Определить углы сдвига фаз i/r, и ^2 и время t, соответствующее углу сдвига фаз ф синусоидальных ЭДС е, = А,тх Xsin(o>/i +-J-) и е2= £2msin (о>/2 +
+ -^-J. Мгновенные значения времени А и t2 соответствуют начальным фазам e^ И е2. Ответ. <t>i'=re/4; <|>2 = л/12; 2|>=л/6; / = 0,001665 с.
3.19. Написать выражение для мгновенного значения синусоидального тока /, комплексная амплитуда которого lm — 10е-/30° А. Ответ, i = 10sin( <о/ — ) А.
3.20. Определить ток /, равный сумме комплексных токов /, = (3 + /4) А и_/2 = (2 + /) А. Суммарный ток представить в ПОКазатеЛЬНОЙ форме Записи. Ответ. / = 7,05 А; / = 7,05е'45".
3.21. Записать выражения для комплексной амплитуды токов: ii = 15sin(<o/i + -2-) А и z2= 15sin( w/2 + -y-) А. Ответ: h„ = — 15е 7; 1-2„ — 15 е*3.
3.22. Исходя из выражения для мгновенного значения тока i = 14,1 sin(a>/H~n/6) А, записать выражения для действующего значения тока / в комплексной форме записи. Ответ. /=10е<"/°А.
3.23. Определить комплексную S, активную Р и реактивную Q мощности электрической цепи, если дано U — 220 В; / — = (10 — /20) А. Ответ. S — (2200 + /4400) В-A; Р = 2200 Вт; Q = 4400 вар.
3.24. Определить активное R и реактивное XL сопротивления электрической цепи синусоидального тока, если ее комплексное сопротивление Юе'29"30'. Ответ. R = 8,704 Ом; Xj.= 4,92 Ом.
3.25. Определить комплексное сопротивление Z, полное сопротивление цепи Z, ток / в электрической цепи, если комплексное напряжение U_— 220 В, а ток _/_= (8,8—/6,6) А. Ответ. Z_ = = (16+ /12) Ом; Z = 20 Ом; I = 11 А.
Контрольное задание
3.26. Определить величины, указанные в табл. 3.2 для последовательной электрической цепи переменного тока, соответствующие варианту задания. За-таны: комплексные напряжение U и ток 1 в цепи; i, и — мгновенные значения тока и напряжения; /, U — действующие значения тока и напряжения; Um — комплексные амплитуды тока и напряжения; Z, Z — полное и комплексное сопротивления; R — активное и X —- реактивное сопротивления; комплексная и полная S мощности; активная Р и реактивная Q составляющие комплексной мощности; costp—коэффициент мощности; <рк—аргумент комплексного числа;
и ф„ — начальные фазы, тока и напряжения; Ад,, Ад„ — алгебраическая (координатная), АТ|, АТи— тригонометрическая. Ап., АПц — показательная формы записи комплексных тока и напряжения.
Дрполнительное задание. На плоскости комплексных чисел построить векторную диаграмму напряжения U и тока / в цепи, а также графики зависимости индуктивного сопротивления катушки Xl и емкостного сопротивления конденсатора Хс от частоты / переменного тока, т. е. Xl, Xdj).
Примечание. Для расширения числа вариантов задания в вариантах 31—60 ток I увеличить в 2 раза, а в вариантах 61—90 напряжение U — в 2 раза.
$ 3.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОФАЗНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ В
В электрической цепи синусоидального тока с активным сопротивлением R (табл. 3.3) под действием синусоидального напряжения и — Umsinti>i возникает синусоидальной ток / = Im sinioZ, совпадающий по фазе с напряжением, так как начальные фазы напряжения U и тока / равны нулю (ф„ = 0;
Величины Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7
и, в 0,75-/ 1,25 5 6 +/8 9-/12 -12+/16 15+/20
Л_А 0,25 1,5—/ 2 3 + /4 +/5 10 -10 5
Необходимо определять и, и_п, 1. R, Р, Q, cosrp /, Z, i, R, X, Л ni U, I, i, Z, P. Q, A ni u, U„, I, R, X, P, A ni U, I, R, X, P, cosrp U, I, R, X, sirup U, и, 1, Z.S^Q, COSrp
Величины Варианты контрольного
16 17 18 19 20 21 22
и, в 2,5 1,5—/2 3 + /4 +/50 45 100 125
Л_А 0,75-/ 2 2 6 +/8 9-/12 12 +/16 15 + /20
Необходимо определить U, 1,1„, X, R Ajsi, sintp U, U„, 1, Z, R, P, cosrp U, и, I, R, X, Q, <Pk U, /, /д, R, X, P, Q, A„i U, I, Z, R, P. *<, dj,,- u, L_R, A.Si.ty, U, I, i, Z, R, P, dir
= 0). При этом угол сдвига фаз между напряжением и током <р = фи— — 0, что свидетельствует о том, что для этой цепи зависимости изменения напряжения и тока совпадают между собой на линейной диаграмме во времени.
Векторная диаграмма напряжения U и тока J_ на плоскости комплексных чисел для данной электрической цепи приведена в табл. .3.3.
На векторной диаграмме ток в цепи направлен по оси действительных чисел, поэтому выражение для комплексного тока записывают в следующем виде: / =/е'*‘—/е70 —Комплексное напряжение совпадает по фазе с током, поэтому U_= U^^‘ = = = U.
Комплексное сопротивление цепи по закону Ома: Z_= U/1 = - U/1 = R.
Комплексная проводимость цепи: У= 1/Z_= 1/₽ или б = — 1/R, где R и G — активные сопротивление и проводимость цепи.
В электрической цепи синусоидального тока, содержащей активное сопротивление R и катушку с индуктивностью L, под
задания 3.26
8 9 10 11 12 13 14 15
18+ /24 . я 50е'4 100е'т 21+/28 100 27 +/36 100 —/100
10 10е'« 20е'п 5 24 +/32 3 30 —/40 42-/56
U, i, 1, R, X, S, А пи U, I, R, X, S, А&, cos<p U, 1. R, X,S,Aji, sin <p U, и, I, R, Р, ♦«, COS<p U, I, R, Р, Q. Л„„ совф U, I, R, х, S, А лиг и, у_п, I, Im, R, Q, U, Urn, 1, X, Р, Q, А,„
задания 3.26
23 24 25 26 27 28 29 30
100 18+ /24 ЮОе'^ 50e'* 3-/4 5 12-/16 10 15 + /20 +/5 -18-/20 -10 21-/28 10 42-/56 -/10
U, 1, i, R.S^P, А,,, U, 1, Z, R, X, S, Аци U, Um, Z, R, Q, Ajsu, 81Пф и, R, X. Z, S, Q, U, I, R, Q, S, ^пм» coscp U, u, R, P, ♦«, Лц, 51Пф U, и, Z, <2. £ вшф U, и, Z, Р, S, Aj,.. Б1Пф
действием изменяющегося по синусоидальному закону напряже-ния . и — t/msin(<o/+n/2) возникает синусоидальный ток i — = /msinw/, отстающий по фазе от напряжения иа угол л/2.
При этом начальная фаза напряжения фи — л/2, а начальная фаза тока ф, — 0. Угол сдвига фаз между напряжением и током ф = (ф« — фг) — л/2.
Векторная диаграмма напряжения U и тока / на плоскости комплексных чисел для данного случая приведена в табл. 3.3.
Комплексный ток и комплексное напряжение в этой цепи: _/== /е'* — Ie'°— I; Ul— Ulc1*'— ULe'*,2 = jU, так как e'“/2==z = cos л/2 + /sin л/2 — 0 4- /• 1 = /.
Комплексное сопротивление цепи по закону Ома: Zl — .. UL ;v v —
= ——— —— = I——— Ial, где Xl — индуктивное сопротивление катушки индуктивности.
Модуль комплексного сопротивления катушки индуктивности: ZL = yir= ^(Л=0).
Комплексная проводимость цепи с катушкой: У = —^—=
Сопротивление, Ом Комплексное сопротивление, Ом Проводимость, См
ft Z=R
Xl=vL 11 * л ’е’ II Si==-T (oL
X 1 Хс а>С Zc= —jXc= . 1 „ -/1 = -i-^c-x^ Bc= (oC
Z_=R + jXL=Ze* r R = R‘ + Xl ’ В xL L~ я2+хГ r=VG2 + Bi
Z = R —jXc—Ze~lv r-_A— /?2+№c’ я Xc c~ R2 + Xl' Y = ^G2 + B^c
Z=R + f(XL-Xc) = =Ze* c R Ri + (XL-Xc)i ’ в L R2 + (Xl-Xc)2 ' R Xc °C~ R* + (Xl-Xc?
£
Элементы цепи Комплексная проводимость, См Угол сдвига фаз между напряжением и током, рад
Резистор <р*«0
Катушка индуктивности -iBL Ф= я/2
Конденсатор jBc Ф= —я/2
Продолжение табл. 3.3
Примечание. Угол сдвига фаз <р<.я/2 для цепи RL и С зависит от параметров и может быть положительным (при активно-индуктивной нагрузке XL>Xc, Вс>В^ и отрицательным (при активно-емкостной нагрузке Хс>Хс, BL>Bc).
тивная реактивная проводимость; L — индуктивность катушки.
В электрической цепи синусоидального тока с конденсатором, обладающим емкостью С (табл. 3.3), под действием напряжения и = Umsin(co/—л/2) возникает ток i — опережающей
напряжение на конденсаторе на угол л/2.
Начальный фазовый угол тока ф, = О, а напряжения фв = = —л/2. Угол сдвига фаз между напряжением U и током / <р = фв — ф, = —л/2. Векторная диаграмма напряжения U и тока / на плоскости комплексных чисел для этой цепи приведена в табл. 3.3.
Комплексный ток в цепи конденсатора: !_ = /е'* — I.
Комплексное напряжение на конденсаторе: t/c = Uc^*‘ = == Ue~>n/2 = -jUc.
Комплексное сопротивление конденсатора: Zc — Uc/ = —jUc/I — —jXc, где Xc—емкостное сопротивление конденсатора. Модуль комплексного сопротивления цепи с конденсатором: Zc — ~^Х2 — Хс.
Комплексная электрическая проводимость конденсатора: Yc = 1/_?с = 1/—jXc — jBc, где Be— 1/XC = шС — емкостная проводимость конденсатора.
Электрическая цепь синусоидального тока в общем случае содержит активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С (табл. 3.3).
В электрической цепи с последовательным соединением активного сопротивления R и индуктивностью L ток отстает от напряжения на угол <р>0. При этом комплексное сопротивление цепи и его модуль: Z = R-}-jXL = Ze'’’; Z = -у/R2 + Xl t
Комплексная проводимость цепи и ее модуль: Y = у = _ I = R-jXL R-jXi _ R-jXL R ~
R + jXL (R + iX^R- jXL) + Z2 Z2
— Y_— G — jBc Y = -^G2 + В2, где G — R/Z2 — активная
проводимость цепи; Bl = Xl/Z2 — индуктивная реактивная проводимость цепи; Z2—f^^-X2L.
Угол сдвига фаз между напряжением и током: <р = = arctg-&- = arctg-^-.
Аналогично можно получить соответствующие расчетные формулы для электрических цепей синусоидального тока с различным сочетанием элементов R, L и С, которые даны в табл. 3.3.
Комплексная мощность цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями (/?, L, С): S — P+jQ = P+KQl — Qc), где Р = I2R — активная мощность, Щ = РХ, — индуктивная составляющая реактивной мощности, Qc = 12ХС — емкостная составляющая реактивной мощности.
Выражение для комплексной мощности может быть записано
в развернутом виде: S = — Qc) — PR+jPXl—jl2Xc =
= /’[/? + j(XL — Xc)] — /2Zj. где Z_= R + j(XL — Xc) — комплексное сопротивление цепи.
Так как квадрат модуля тока /2 = 1*1, то S — l2Z = l*IZ — =I*U, где I — комплексный ток; I* — сопряженный комплексный ток; I — действующее значение (модуль) тока.
В неразветвленной электрической цепи синусоидального тока с индуктивностью L, емкостью С и активным сопротивлением R при определенных условиях может возникнуть резонанс напряжений (особое состояние электрической цепи, при котором ее реактивное индуктивное сопротивление XL оказывается равным реактивному емкостному Хс сопротивлению цепи). Таким образом, резонанс напряжений наступает прн равенстве реактивных сопротивлений цепи, т. е. при XL = Хс или &L — 1/соС.
Комплексное сопротивление цепи при резонансе: Z — /? + +i(XL —Хс); Z. — R, т. е. полное сопротивление цепи при резонансе напряжений имеет минимальное значение, равное активному сопротивлению R цепи.
Угол сдвига фаз между напряжением и током при резонансе напряжений: <р = фв —-ф,, = arctg = 0, при этом ток / и
К
напряжение U совпадают по фазе. Коэффициент мощности цепи имеет максимальное значение: cosq> = /?/Z=l. Комплексный ток в цепи: _/ = -=- = ~ /ек*"_,,) = le1*', его модуль / —
= U/Z = U/R. При этом ток в цепи приобретает максимальное значение.
Реактивная мощность цепи при резонансе напряжений: Q = = Ql-Qc = I2Xl-РХс = l\XL -Хс) «= 0.
Активная мощность цепи при резонансе приобретает наибольшее значение, равное полной мощности: Р= (7/cos<p = Scos<p = — S. На рис. 3.3.1 приведена векторная диаграмма напряжений и тока при резонансе напряжений.
При построении векторной диаграммы для электрической цепи с последовательным включением сопротивлений исходным
«с
Рис. 3.3.1
является ток /, так как в этом случае значение тока на всех участках цепи одинаково.
Ток / откладывают в соответствующем масштабе (ш( — = п, А/см), затем относительно тока в прйнятом масштабе (ти =: k, В/см) откладывают напряжение U и падения напряжения At/ на соответствующих сопротивлениях в последовательности их расположения в цепи.
При этом падение напряжения U$ на активном сопротивлении R строится от начала тока /, совпадающим с ним по фазе (по направлению). Напряжение TTL на индуктивном сопротивлении пристраивается к концу Ur под углом л/2 относительно тока / в направлении против движения часовой стрелки.
Напряжение Up на емкости С конденсатора пристраивается к концу вектора uL под углом л/2 относительно тока по направлению движения часовой стрелки, т. е. в противофазе с UL.
Напряжение U, приложенное к цепи (рис. 3.3.2), находят как сумму: U = Ur+- Ul + 4/с- При этом угол сдвига фаз <р между током / и приложенным напряжением U принимается положительным, если он направлен от тока к напряжению в направлении против движения стрелок часов, в противном случае — угол сдвига фаз <р принимается отрицательным.
Литература. fl] §2.1—2.12; [2] §2.1—2.14; [3] § 2.1—2.7.
Примеры решения задач
3.27. В сеть переменного тока при напряжении U = 120 В и частоте f — 50 Гц включена катушка с индуктивностью L = = 0,009 Г (/?к = 0). Определить реактивную мощность Q катушки и энергию WLm, запасаемую в магнитном поле катушки, записать выражения для мгновенных значений напряжения и, тока t, ЭДС самоиндукции eL, мгновенной мощности р и средней мощности Р за период, если начальная фаза напряжения фв = л/2. Построить векторную и временную диаграммы.
Решение. Индуктивное сопротивление катушки: XL = = a>L — 2iifL = 2-3,14.-50-0,009 = 3 Ом. Действующее значение тока: /= U/XL — 120/3 = 40 А. Реактивная мощность цепи: Q = Uf = 120-40 = 4800 вар = 4,8 квар. Максимальная энергия, запасаемая в магнитном поле катушки: WLm = U2 = = 0,009-402 = 14,4 Дж. Амплитудные значения напряжения и тока: 44 =-^24/= 1,41-120= 169,2 В; 4 = л/2/ = д/2-40 = = 1,41-40 = 56,4 А.
Мгновенные значения:
напряжения и = uL = 4/msin(at-f-n/2) = 169,2sin(3,14t-f-n/2) В;
тока i = 4sinwt = 56,4 sin 314 А;
ЭДС самоиндукции катушкн eL = — Ul = 169,2sin(314t —л/2) В;
мощности цепи р = ui = Um sin (cot -I- л/2) Im sin cot = Umcos cot Im x X sincot = так как sin(wt-f-л/2) = coswt, a sin2at =
= 2 si по/ co sat.
Для действующих значений напряжения и тока: р— C//sin2<o/= = l2(M0sin2-314/ = 4800sin628f В-А.
т т
Средняя мощность за период: Р = J pdt = * j W sin2coz х X dt = 0. ° 0
Векторная диаграмма для действующих значений напряжений и тока приведена на рис. 3.27, а (для цепи с L, 7^=0).
График изменения мгновенной мощности (рис. 3.27; б) представляет собой синусоиду с двойной частотой и амплитудой Qt„. При этом реактивная мощность Qi == — щ =
= 120-40 = 4800 вар.
Рис. 3.27
3.28. К сети переменного тока при напряжении U = 220 В и частоте f = 50 Гц подключей конденсатор с емкостью С — = 20 мкФ. Определить его реактивное сопротивление Хс, ток /, реактивную мощность Qc, максимальную энергию Wcn, запасаемую в электрическом поле конденсатора. Построить век+орную диаграмму для данной цепи.
Решение. Реактивное сопротивление конденсатора: Хс = = 2^ = ТзлЖоЛо^= 160Ом. Ток в цепи конден-
сатора: /= U/Xc = 220/160 = 1,37 А. Реактивная мощность цепи: Qc = (//= 220-1,37 = 302 вар. Максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле конденсатора: B7Cm = Ct/2 = = 20-Ю'Мгр2 = 968-10~3 Дж.
Векторная диаграмма тока и напряжения приведена на РИС- 3.28.
3.29. Для электрической цепи синусоидального тока с конденсатором, обладающим емкостью С, построить временную диа-
0 I
I " t>
и
Рис. 3.29
Рис. 3.28
грамму мгновенных значений мощности p(t), если мгновенное значение напряжения и = 310sin314/ В, емкостное сопротивление конденсатора Хс = 160 Ом.
Решение. Мгновенное значение тока в цепи: i =-г^- — at
= ^~ = = Ct/mtusin(<o/ + n/2) = /mcos<o/.
Мгновенная мощность цепи: р = ui = t/msinco//mcosco/ =
ii i sin 2a)t и v
= Um/m—2— или для действующих значении напряжения и тока: р = t//sin2co/ = 220-||2-sin2-314/ = 302sin628/.
График изменения мгновенной мощности во времени (рис. 3.29) представляет собой синусоиду с двойной частотой и амплиту-J п U„lm -^211^21
дои, равной реактивной мощности: QCm =—---------- = --у—— =
= UI= 220-1,37 = 302 вар.
3.30. В электрической цепи переменного тока напряжение V и ток / изменяются во времени в соответствии с выражениями « = 28,2 sin (628/ + 4л/9) В; i— 2,82 sin (628/ + 5л/18) А. Определить активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи.
Решение. Мгновенное значение мощности цепи: р=ш^= = 28,2 sin (628/ + 4л/9) • 2,82 sin (628/ + 5л/18) = 28,2 • 2,82 Ux
Х[cos (628/ + 4л/9 —_628/ - 5л/18) — cos (628/ + 4л/9 + 628/ + 4-5л/18)]} =79,5 Г [ со s л/6 - cos (1225/+ 13л/18)}) или для - 28 2 • 2 82
действующих значений тока и напряжения: р————X
X % [cosn/6—cos(1225/-|-13n/18)]=19,8cosn/6— 19,8 cos (1225/4-4-13л/18).
Мощности цепи:
активная Р= 19,8cosn/6 = 19,8-^-= 17,1 Вт; реактивная: Q = 19,8sinn/6 = 19,8-^-= 9,9 вар; полная: S = UI — 19,8 В*А.
3.31. Определить показания ваттметра W в электрической цепи переменного тока (рис. 3.31) при замкнутом и разомкнутом выключателе В. Напряжение источника питания U — 100 В, активное и реактивное сопротивления: R = XL = Хс=Ь Ом.
Решение. Полное сопротивление электрической цепи, при разомкнутом выключателе В: Zp- = R2+{XL—XC)2 = R2= = V^7— 5 Ом, так как XL = Хс, в цепи имеет место резонанс напряжений.
Ток в цепи при разомкнутом выключателе: / = -У- = -122. = Zp 5
= 20 А. Показания ваттметра при разомкнутом выключателе: Р = RI2 = 5-202 = 2000 Вт = 2 кВт. Полное сопротивление цепи при замкнутом выключателе: Z3 = -y/R2+Xl = т/52 + 5* — = &т/2 Ом^ Ток в цепи при замкнутом выключателе: I = U/Z3 = — 100/5V2 = 14,2 А. Показания ваттметра при замкнутом выключателе: Р = RI2 — 5-14,22 = 1000 Вт = 1 кВт.
3.32. При дугойой электросварке на переменном токе дуга развивает мощность Рд = 600 Вт при потребляемом токе / = 20 А (рис. 3.32, а). Напряжение источника питания U— 120 В, частота тока f = 50 Гц. Для уменьшения напряжения дуги включена катушка индуктивности, активное сопротивление которой R* = = 1 Ом. Найти индуктивность L катушки, величину активного R сопротивления, которое могло бы эту катушку заменить, коэффициент мощности cos<p, а также КПД ц установки при наличии активного сопротивления, заменяющего катушку. Построить векторную диаграмму тока и напряжений.
Решение. Сопротивление электрической дуги: R.=:P./I2 = = 600/202=1,5 Ом.
Активная мощность электрической цепи: Р=РЛ+12РК = = 600 + 202-1 = 1000 Вт; коэффициент мощности: cos<p=P//l/= = 1000/(20-120)=0,417; полное сопротивление: 7. = V/l= — 120/20 = 6 Ом; индуктивное сопротивление: Xl = Хк = = -(/?«+/?/ = V62-(l + 1.5)2 = 5,46 Ом.
Индуктивность катушки: L»=^ = ^-= g./’iT-SO'^ Гн = = 17,3 мГн. Напряжение дуги: 1/д = ///?д=20/1,5=30 В.
Значение эквивалентного активного сопротивления, заменяю-
„ _ U—U. 120 — 30
щего катушку: —_л.==———=4,5 Ом.
КПД установки при наличии катушки: х\ = Рл/Р= 600/1000= = 0,6 (при cosq>= 0,417); то же, установки при наличии эквивалентного активного сопротивления: и =—____—_____=
_ 1000 600 ” ^д+^О^+Лц)
600+201(4,5+1)~2800~°’215 ^°РИ 008V~ D-
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки: URk = RJ = 1 -20=20 В; на индуктивном сопротивлении катушки: (/г, ==X«/= 5,46*20= 109,2 В; на всей катушке: L4=^/L7^+ U^= =Л/202 +109,22= 111 В. ___ _____
Напряжение источника питания: U=Vt/2+l/2= V11 ^Н-ЗО4— = 120 В. Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на рис. 3.32, б.
3.33. Для неразветвленной электрической цепи переменного тока с катушкой индуктивности L и конденсатором С определить частоту {, ток I в цепи, напряжения на зажимах индуктивности UL и на зажимах конденсатора Uc при резонансе напряжений. Рассчитать эти же значения при частоте f', равной 0,8 от резонансной f, построить векторную диаграмму тока 1 и напряжений: 1/,; UL; Uc; U при этой частоте, если индуктивность катушки L= = 1,5 Гн,; емкость конденсатора С=42 мкФ, активное сопротивление катушки /?=50Ом, напряжение, действующее в цепи, U= = 100 В.
Решение. Резонансная частота цепи: f —----------—=
2л^ТС
=-------. 1 у =0,1595~\П£- = 20 Гц,
2-3,14-/1,5-42-10-’ * 63
При резонансе ток в цепи: I = U/R — 100/50 = 2 А.
Напряжение иа зажимах катушки при резонансе: U» = = Z-/ = I I Jr2+(wL)= 2 5/502+(6,28-20-1,5)2 =
= 2-y502+ 189z=2-195,3= 390 В, то же, активная составляющая напряжения: t/a, = /?/=50-2= 100 В, реактивная составляющая напряжения: UL = XLl=\i>Ll=6,28-20-1,5-2=378 В; напряжение на конденсаторе: Ur = 1 ‘ = 2-----!---— 35 378 В.
к с ч>С 6,28-42-Ю"6
Согласно условию значение пониженной частоты: f' = 0,8f= = 0,8-20= 16 Гц.
При пониженной частоте: реактивное сопротивление катушки индуктивности: Xl = &'L — = 2nf'L — &,28-16-1,5= 150,72 Ом; реактивное сопротивление конденсатора: Хс=1/оЛ? =
1 Ю6' 00-7 ГЛ
6,28-16-42-10~6 — 4220 ^37 Ом, полное со-
противление катушки индуктивности: Zi =
= = (150,72/= 162 Ом; пол
ное сопротивление цепи:
Z'=~\/ /?2+
—у = -/502 + (150,72—237/ = 100. Ом; ток
и*
в цепи: /= t//Z'= 100/100= 1 А; напряжение нис
на катушке: l/K = Zi/= 162-1 = 162 В; напряжение на конденсаторе: UC = XJ=237 • 1 = 237 В; полная мощность цепи: S=UI= = 100-1=100 В-А; активная мощность цепи: P = RJ2=3Q-l2 — = 50 Вт; реактивная мощность цепи: Q = -/S2—Р2 = V1002—502 = f=-/7500 = 87 вар; коэффициент мощности установки: cos<p= = P/S = 50/100 = 0,5.
Векторная диаграмма для рассматриваемой неразветвленной цепи R, L ц С при частоте f= 16 Гц приведена на рис. 3.33.
3.34. Катушка индуктивности L и конденсатор с емкостью С включены последовательно в сеть переменного тока .с частотой ^=50Гц (рис. 3.34, а). Для определения параметров цепи нако
ротко замкнули катушку проводником и сияли показания приборов. Затем проводник, закорачивающий катушку, отсоединили, закоротили им конденсатор н сняли показания приборов, далее при отсутствии закорачивающего проводника, изменяя значение емкости конденсатора, сняли показания приборов до и после резонанса н при резонансе напряжений (табл. 3.4).
Определить параметры катушки индуктивности и конденсатора, построить векторную диаграмму тока I и напряжений U для резонанса напряжений, а также зависимости изменения тока I, коэффициента мощности цепи cos<p и cosqv катушки, напряжения на катушке UK, напряжения на конденсаторе Uc и полного сопротивления цепи Z от емкостного сопротивления Хс конденсатора, т. е. /, cos<p, coscpk, UK, Uc, Z(XC).
Решение. Полное сопротивление цепи при закороченной катушке индуктивности (1/к = 0, по данным табл. 3.4): Z=UЦ= = 50/2=25 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Л^ = -^- = -у- = =25 Ом; емкость конденсатора: С=—.1 „и =0,000127 Ф= г (йлс 014*20
= 127 мкФ.
Полное сопротивление цепи при закороченном конденсаторе (f/c = 0, по данным табл. 3.4): Z= 1///=48/0,8=60 Ом.
Сопротивления катушки индуктивности: полное ZK= UJI— = 48/0,8=60 Ом; активное /?к = Р//2 = 8,35/0,82= 13 Ом; индуктивное Xk = -\/Zk —/?2= -\/б04— 134 = 59,5 Ом.
Индуктивность катушки: L=XK/<o=59,5/314 = 0,185 Гн.
Коэффициент мощности катушки: cos<pK = /?K/ZK = 13/60= = 0,217.
Полное сопротивление цепи при наличии конденсатора с измененной емкостью С и катушкой индуктивности (см. табл. 3.4): Z = U/I=26/0,5 = 52 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хс = UJI= 55/0,5—
= НООм. Емкость конденсатора: С——-—= , —29 мкФ.
<олс 314*110
Полное сопротивление катушки индуктивности: ZK — Ug/1 — = 30/0,5 = 60 Ом.
Сопротивления катушки индуктивности: активное /?к = />//2= = 3/0,52 = 12 Ом; индуктивное Хк = т/Z* — /?« = -/602 — 122 = = 59 Ом.
Индуктивность катушки: LK = XK/<o = 59/314 = 0,19 Гн.
Коэффициенты мощности: катушки cos<pK= /?«/ZK= 12/60 = = 0,2; цепи cos<p=/?«/Z= 12/52 = 0,23.
Полные сопротивления цепи при резонансе Z— (///=30/2,16= = 13,9 Ом, катушки ZK = UJI= 130/2,16=60,2 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хг = Uc/I= = 125/2,16 = 58 Ом. Емкость конденсатора: С=1/(<оХс) = = 1/(314-58) = 54,7 мкФ. Активное сопротивление катушкн: RK — = />//2 = 65/2,16 = 13,9 Ом. Индуктивное сопротивление катушкн: XK = -\/Z2—/?2 = -\/б0,22 — 13,9й = 58 Ом нли XL = XC (точка резонанса).
Индуктивность катушкн: /, = -^-=-~^-=* 0,19 Гн.
Падение напряжения на индуктивном сопротивлении: UL — =^/=58-2,16=125 В, т. е. UL=UC-
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки UR= RJ= 13,9 -2,16 = 30 В.
цепи cos<p=-^-=4|^5-= 1.
Z 3,9 Я, 13,9
Коэффициент мощности цепи cos ср = —=—= *
Следует заметить, что некоторый разброс полученных расчетных данных обусловлен погрешностью эксперимента.
Векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе представлена на рнс. 3.34, б, а резонансные кривые на рнс. 3.34, в.
3.35. Вольтметр V, включенный в схему рис. 3.35, а, показывает напряжение U ~ 50 В. Определить показания всех других приборов, если сопротивления: R = 3 Ом; Хс = 4 Ом; Хс = 8 Ом. Каковы будут показания амперметра А и вольтметров Ук н Ус, если индуктивные сопротивления катушки конденсатора приобретут значения Х^=1004 0м н Х£=1008 0м. Построить векторную диаграмму тока I и напряжений: UR, UK и Uc.
Р е ш е н л е. Полное сопротивление катушки индуктивности: Zk= -y/R2 + Xl= -\/32 + 42 = 5 Ом. Полное сопротивление цепи: Z = -^R2 + (Хс - Хс)2= V32 + (4 - 8)2 = 5 Ом. Показание амперметра А (ток в цепи): / = (7/Z = 50/5 = 10 А. Показания вольтметра Uc (напряжение на конденсаторе): Uc = l>Xc= 10-8=80 В. Показание вольтметра (Л (напряжение на катушке индуктивности): (/K = ZK/=50-10 = 50 В. Полное сопротивление катушки сх индуктивным сопротивлением X'L = = 1004 Ом: Z;=^/R2 + (X'l)2 = V3i+10042 = 1005 Ом.
Прн индуктивном X'L и емкостном Х’с сопротивлениях: полное сопротивление Z' = д/#2 + (А/ — 3Q.)2 = л/З2 + (1004 — 1008)2 = = 5 Ом, ток в цепи I— U/Z' — 50/5=10 А, показание вольтметра конденсатора UC — X'CI= 1008-10= 10 080 В, показание вольтметра катушкн t/K = Z„7= 1005-10= 10050 В. Векторная диаграмма напряжений U_, (7Л, (7Г, U, н тока / для рассматриваемой цепи приведена на рис. 3.35, б.
Задачи
3.36. В сеть переменного тока с напряжением (/ = 220 В прн частоте / = 50Гц включен, потребитель электроэнергии с сопротивлением /?=88 0м. Определить действующее I н амплитудное 1т значения тока, а также активную мощность.Р цепи. Записать выражения для мгновенных значений напряжения и и тока t, если начальная фаза напряжения фи=у. Построить векторную Н временную диаграммы. Ответ. /=2,5А; Л, = 3,52 А; Р=0,55кВт; « = = 311 sin (ш/ + у ); 1 = 3,52 (<>'+у )•
3.37. Определить индуктивное сопротивление XL катушкн с индуктивностью Ь = 0,4мГн, включенной в цепь переменного TOKa С ЧаСТОТОЙ /=50 Гц. Ответ. Xt=0,1256OM.
3.38. Определить реактивное сопротивление Хс конденсатора с емкостью С=2 мкФ, включенного в цепь переменного тока, при частоте питающего напряжения /=25Гц. Ответ. 3200 Ом.
3.39. Построить график зависимости реактивного сопротивления конденсатора Хс с емкостью С=2мкФ, включенного в цепь переменного тока, от частоты f переменного тока в пределах ОТ 0 ДО f= 100 Гц. Без ответа.
3.40. Для однофазной неразветвленной электрической цепи переменного тока определить падение напряжения &U с на индуктивном сопротивлении Хс, напряжение U, приложенное в цепи,
активную Р, реактивную Q и полную S мощности и коэффициент мощности cos<p цепи, если активное и реактивное сопротивления R = Xl=3 Ом, а падение напряжения на активном сопротивлении Л(Лг = 60 В. Ответ. WL=60 В; 17=84,6 В; Р=1,2 кВт; Q— 1,2 квар; S= 1,692 кВ-A; cos<p = 0,71.
3.41. В неразветвленную электрическую цепь переменного тока с напряжением U— НОВ при частоте / = 50Гц включена катушка с индуктивностью L = 9 мГн и активным сопротивлением /?=4Ом. Определить индуктивное сопротивление XL катушки,
Рис. 3.43
падение напряжения на сопротивлениях AUr и AUl, активную h и реактивную Iv составляющие тока /, а также энергию W, потребляемую цепью за время /=50 С. Ответ: X,—3 Ом; Л//„=88 В; ьи 1=66 В; /а=17,6 А; /р= 13,2 А; Г=26 Вт.
3.42. Приборы, включенные в электрическую цепь переменного тока (рис. 3.42), показывают: ток 1=5 А, напряжение (/=120 В, мощность Р=512Вт,. Определить величину сопротивлений /?| и Xl, найти падение напряжения AUI2 и сдвиг фаз <р между током и напряжением на участке 1—2 цепи, если R2= = 11 Ом. Построить векторную диаграмму напряжений. Ответ.
Ом; Xi=25 Ом; Л17|2=78 Ом; <j>i2=35°15'.
3.43. К однофазной сети переменного тока с активным и реактивным сопротивлениями линии: /?, = ! Ом и Хл = 2Ом присоединен потребитель электроэнергии с номинальными значениями мощности Р1ИОМ= 100 кВт, коэффициента мощности cosq^on = 0,8 и напряжения £71ж>м= 1000 В (рис. 3.43). Определить ток I в линии, активное R„, индуктивное XLu полное Z„ сопротивления потребителя, а также напряжение U в начале линии. Ответ. /=125 А; /?„=6,4Ом; Х,.= 4,8Ом; Z„ = 0,8Om; (7= 1250 В.
3.44. В неразветвленную электрическую цепь переменного тока включены резистор R и конденсатор С. Определить полное сопротивление Z цепи, приложенное к ней напряжение U, а также напряжения на резисторе UR и конденсаторе Uc, построить векторную диаграмму напряжений н тока и треугольник сопротивлений, если известно, что мгновенное значение приложенного к цепи напряжения ui= 141 sinw/В, величины активного и емкостного сопротивлений: /?=ЗОм; Хс = 4Ом. Ответ. /=20А; 77= 100 В; Z = 5 Ом; Ur = 60 В; Uc = 80 В.
3.45 В неразветвленную электрическую цепь переменного
тока с сопротивлениями /? = ЗОм и Хс = 4Ом включен ваттметр, показание которого Р= 1,2 кВт. Определить ток /, полное сопротивление цепи Z, коэффициент мощности cos<p и приложенное к цепи напряжение U, построить векторную диаграмму тока н напряжения. Нарисовать схему электрической цепн. Ответ. /=20A;Z = 5Om; cos<₽ = 0,6; (7=100 В.
3.46. Определить полное сопротивление Z, ток / и питающее напряжение U, построить векторную диаграмму напряжений и треугольники сопротивлений н мощности для неразветвленной электрической цепи переменного тока с активным и реактивными сопротивлениями /?=Ю0м; Х;=25Ом; Хс=15 0м, если мгновенное значение приложенного к цепи напряжения u = 310sin<o/, В. Ответ. Z= 14,1 Ом; /=15,5 А; (7 = 220 В.
3.47. Для неразветвленной электрической цепи переменного тока, содержащей активное и реактивное сопротивления R — = 4 Ом; Хс=15 0м; Х£=12Ом, определить полное сопротивление цепн Z и ток /, если приложенное к цепи напряжение U= = 110 В. Построить векторную диаграмму напряжений и тока. Ответ. Z = 5Om; I — 22 А.
3.48. В электрическую цепь переменного тока включены последовательно катушка с индуктивностью L— 158 мГн и активным сопротивлением /?| = 8Ом, конденсатор с емкостью С= = 64,5 мкФ и резистор с сопротивлением /?2 = ЗОм. Можно ли включить такую цепь под напряжение t/ = 66B при частоте ^=50Гц, если номинальное напряжение катушкн (/„ОМ=120В? Построить векторную диаграмму тока и напряжений. Ответ. и,— = 300 В. Нельзя включать, так как при этом UK>Uты.
3.49. Определить ток /, напряжение U, активную Р, реактивную Q и полную S мощности неразветвленной электрической цепн переменного тока, содержащей активное и реактивные сопротивления: /?=4Ом; Хд=7Ом и Хс=ЮОм. Мгновенное значение приложенного напряжения « = 310sin<o/, В. Построить треугольник мощностей. Ответ. /=44А; (7= 220 В; />=7,75 кВт; Q = = 5,8квар, S = 9,68 кВ-А.
3.50. В условиях задачи 3.49 определить частоту /о, при которой наступит в цепи резонанс напряжений, ток /о, а также полную МОЩНОСТЬ So цепи при резонансе. Ответ. ^о = 6ОГц; /(, = 55 А; So = 12,1 кВ-A.
3.51. В сеть переменного тока включены последовательно ка-
тушка с активным сопротивлением /?=10Ом н индуктивностью L = = 133 мГн н конденсатор с емкостью С = 159 мФ. Определить ток / в цепи и напряжения на катушке UK и конденсаторе Uc прн напряжении питающей сети U= 120 В, построить векторную диаграмму тока и напряжений. Ответ. / = 5А; (/„=215 В; (7С= 100 В.
3.52. Определить ток в нераз-
ветвленной электрической цепи переменного тока, содержащей активное и реактивные сопротивления: /? = = 1 Ом; Хс = 5 Ом; Л7 = 80 Ом, а также частоту /о, прн которой наступает резонанс напряжений, ток /0, напряжение на конденсаторе Uc и индуктивности Ul при резонансе, если напряжение питающей сети U = 300 В при частоте f = 50 Гц. Ответ. 1 = 3,9 А; /0= 12,5 Гц; /» = 300 A; Uc= = (7,=-6000 В.
3.53. В электрической цепи переменного тока, приведенной на рис. 3.53, показание вольтметра U = 200 В, активные н реактивные сопротивления цепи: R, — R2— 10 Ом; Xl = Xc = 2QOm. Определить показания вольтметров Vi и V2, амперметра А и ваттметра W. Ответ: U, = U,= 200 В; /=10А; Р = 2000 Вт.
Контрольное задание
3.54. В электрической цепи переменного тока имеет место резонанс напряжений (рис. 3.54) при частоте питающего тока f. Используя данные, приведенные в табл. 3.5 для соответствующего варианта задания, определить показание вольтметра V, на зажимах катушки индуктивности, активное /?„ и индуктивное Хк сопротивления катушки, показание ваттметра W, реактивную мощность Q* катушки индуктивности, емкость С конденсатора, индуктивность £к и коэффициент мощности cos<₽„ катушки. Построить векторную диаграмму тока / и напряжений в цепи. Показания вольтметра Vc, включенного на зажимы конденсатора Uc, напряжение U, приложенное к цепи, и показание амперметра А приведены В табл. 3.5.
Таблица 3.5
Величины Варианты контрольного заданна 3.54
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
и, в 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Uc, В 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88
/, А 2 4 7 8 9 10 11 12 13 14 10 8 17 9 19
Продолжение табл. 3.5
Величины Варианты контрольного задания 3.54
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и, В 48 •42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
и С, в 90 92 94 96 98 100 102 .104 106 108 НО 112 114 116 118
/, А 20 7 11 23 6 10 13 27 28 29 10 31 16 11 17
Таблица 3.6
Варианты 1—3 4—6 7-9 10-12 13-15 16—18 19—21 22-24 25-27 28—30
Л Гц 25 50 60 75 100 125 150 175 200 250
Дополнительное задание, а. Определить емкость С конденсатора, соответствующую условиям резонанса напряжений, приняв величину реактивного индуктивного сопротивления Xl, определенную в условиях основного задания, неизменной, если частота f питающего напряжения для соответствующего варианта изменилась (указана в табл. 3.6).
б. По п. а определить индуктивность катушки при неизменном емкостном сопротивлении Хс в условиях резонанса напряжений.
в. По п. а и б определить все величины, соответствующие резонансу напряжений в цепи.
Построить векторную диаграмму тока и напряжений при резонансе напряжений, треугольники сопротивлений и проводимостей катушки индуктивности.
Примечание. В вариантах 31—60 ток / увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 напряжение Uc на конденсаторе уменьшить в 2 раза.
| 3.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОФАЗНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ И СМЕШАННЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ
Во многих случаях приходится встречаться с расчётом сложных электрических цепей синусоидального тока, которые в общем случае являются цепями со смешанным соединением сопротивлений (рис. 3.4.1). Эти электрические цепи могут быть разделены на участки с последовательным и участки с параллельным соединением сопротивлений.
Прн параллельном соединении сопротивлений (участок 1—2, рис. 3.4.1) параллельные ветви электрической цепи находятся под одним и тем же напряжением U\ =U 12, поэтому для каждой из этих ветвей определение всех расчетных величин производится по формулам, справедливым для отдельных сопротивлений электрических цепей с последовательным соединением сопротивлений. Для участка цепи с параллельным .соединением сопротивлений ток на разветвленном участке определяется в соответствии
с первым законом Кирхгофа, записанным для узла разветвления в векторной форме: I = I, Ь + h- Этот ток можно определить графически с помощью векторной диаграммы как сумму составляющих векторов токов, а также с помощью комплексных чисел, так как комплексный ток / = /1 Ч~ /2 -|- /з, т. е. равен сумме комплексных составляющих токов.
Токи в отдельных ветвях электрической цепи могут быть определены через комплексные сопротивления или комплексные проводимости соответствующих ветвей: /,.== (У,/Zi = Ui(l/Zt) = — Ц/Уг, /2 = GI/Z2 = GI(1/Z2) = U,Y2; /3 = UI/Z3 = UIY3, где в общем случае Z±=/?| ±/%i; Z2 = Rz± jX2', Z3 = R3± jX3.
При этом ток в неразветвленной части цепи равен произведению напряжения U\ на параллельном участке цепн на сумму комплексных проводимостей параллельно включенных сопротивлений /1 = (У|( У, + Уг + Уз). Сопротивления отдельных ветвей могут носить активно-реактивный характер при наличии индуктивных XL н емкостных Хс сопротивлений, поэтому в общем случае комплексные сопротивления могут быть определены через активные G и реактивные В проводимости: У| = Gi ±/В|; У2 — = G2±jB2-, У3 — G3±jB3. Модули полных проводимостей ветвей: у. = VgT+bF; Y2 = Vol+в!; = лМ+вГ
С учетом этого полная проводимость участка электрической цепн с параллельным соединением сопротивлений: У = У, + Уг +
+ Уз = (G| -|- G2 -|- G3) dz j(Bt -|-В2 + В3) = ^GK-±j 2 Вк, где В| = »= 1 /i=i
= (Вм—BC|); B2 — (Bl2 — Вег); B3 = (Bi3—Вс3)', S В< — f S В/.к — к-1 '*=1
- 2 а,.).
При этом активные и реактивные проводимости: =
4,1
G2 = -g-; G3 и В, = Вг = В3 =
Прн параллельном соединении индуктивного н емкостного сопротивлений (рис. 3.4.2) в электрической цепи возможен резонанс токов (особое состояние электрической цепи, в простейшем случае при параллельном соединении индуктивности L и емкости С, прн котором реактивная индуктивная проводимость равна реактивной емкостной проводимости, т. е. BL = Вс).
Полная проводимость электрической цепи при резонансе токов У = VG2 + (Bi-Bc)2= G оказывается минимальной, равной активной проводимости цепн.
Векторная диаграмма токов н напряжения при резонансе токов приведена на рис. 3.4.3. Коэффициент мощности в электрической цепн cos<р = G/Y = G/G — 1 принимает максимальное значение, а угол сдвига фаз между током н напряжением <р = О,
Рис. 3.4.3
поэтому при резонансе токов напряжение U и общий ток / совпадают по фазе (’?,=’?.).
При наличии в цепи идеальной катушки индуктивности с активным сопротивлением RK — 0 при резонансе энергия из питающей сети не потребляется.
Реактивная мощность цепи: Q—QL — Qc~U2BL — U2Bc — = U\BL-BC) = O.
При смешанном соединении сопротивлений (см. рис. 3.4.1) электрическая цепь при расчете приводится к виду рис. 3.4.4. Полное сопротивление Z12 участка цепи 1—2 может быть определено через ее полную проводимость Z12—1/^12- При этом расчет электрической цепи со смешанным соединением сопротивлений сводится к расчету простейшей электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений.
Если при последовательном соединении сопротивлений векторная диаграмма строится начиная с комплексного тока /, который является общим для всех сопротивлений, то при параллельном и смешанном соединении сопротивлений векторную диаграмму строят, начиная с вектора напряжения t7„ на параллельном участке электрической цепи.
Литература. [1] §2.13—2.15; [2] §2.17—2.19; [3] §2.8—2.11.
Примеры решения задач
3.55. Определить полное Z, активное R, реактивное X сопротивления, коэффициент мощности cos <р, индуктивность L и полную мощность S катушки магнитного пускателя и потери мощности Ря иа перемагничивание его сердечника, если при напряжении U = 220 В ток катушки / = 3 А, потребляемая катушкой мощность Р = 36 Вт, активное сопротивление провода катушки Ri = 3,2 Ом.
Решение. Полная мощность катушки: S = = +/ = 220-3 = 660 В-A.
Сопротивления полное: Z = U// =
= 220/3 = 73,5 Ом; активное: R = Р/Г2 = 36/32 = = 4 Ом; индуктивное:У£ = = = V73,52^¥=
= ^5390 —76 = 73 Ом. Индуктивность: L=XLj2nf=
= 73/(2 • 3,14 • 50)=73/314 = 0,232 Гн. Коэффициент мощности: cos <p=P/S = 36/660 = 0,0545.
Электрические потери мощности в проводе катушки: Р3 — = /2Т?! = З2 • 3,2 = 9 • 3,2 = 28,8 Вт.
Потери мощности на перемагничивание сердечника (магнитные потери мощности): Р„ = Р — Р, = 36 — 28,8= 7,2 Вт.
3.56. В сеть переменного тока параллельно катушке индуктивности включены конденсатор и резистор /?ь соединенные между собой последовательно (рис. 3.56, а). Определить ток Г в ветви конденсатора, ток /2 в ветви катушки и общий ток в цепи /, построить векторную диаграмму напряжений и токов, если напряжение источника питания U_= U = 200 В, а активные и реактивные сопротивления: Rt = 3 Ом; /?2 = 8 Ом; У£)=4 Ом; XL2 = = 6 Ом.
Решение. Полное сопротивление параллельных ветвей цепи: Z^=Rt —JXLl=(3 — J 4) Ом; _Z2=A2+/T£2=(8+J6) Ом.
Проводимости параллельных ветвей: У i = ^- = -—- =
5 J** =й=йЙ%>=<»-|2+№|6>
= ^^-=(0,08-/0,06) См, где = <71/В. и У^ = Gi+jBf, 6’] = 0,12; G2 = 0,08; Bt = 0,16; В2 = 0,06 — активные и реактивные проводимости ветвей, См.
Полная проводимость цепи: У = У1 4- У2 = 0,12 + /0.16+ + 0,08 — /0,06 = (0,2 + /0,1) См, где Y_—G + jB; G, В—активная и реактивная проводимости цепи, См.
Комплексный ток в неразветвленной части цепи: / = UY — = 200(0,2 + /0,1) = (40 + /20); G = 0,2 См; В =0,1 См. Ток в цепи: / = т/402 + 202 = 45 А.
Угол сдвига между общим током и напряжением: ,g<p = = B/G = 0,1 /0,2 = 0,5; <р = 26°33'.
Комплексный ток в ветви конденсатора: h = UYt — 200(0,12+ + /0,16) = (24 +/32) А. Ток ветви конденсатора h = д/242 + 322= = 40 А. Угол сдвига между напряжением и током в ветви с конденсатором: tg гр, = B\/G\ = 0,16/0,12 = 1,33; cpi = 53°5' (угол
отрицательный). Комплексный ток в ветви катушки индуктивности: /? = =200(0,08 — 0,06) = (16 — /12) А, где G2=
= 0,08 См — активная проводимость и В2 = 0,06 См — реактивная проводимость ветви с катушкой. Ток в ветви катушки: /2 = = л/162 + 122 = 20 А.
Угол сдвига фаз между током и напряжением в ветви катушки: tg <р2 = B2/G2 = 0,06/0,08 = 0,75; <р2 = 36°55'.
Проверка: [== h_+U-= 24 +/32+ 16-/12 = (40 +/20) А.
На рис. 3.56, б приведена векторная диаграмма напряжений и токов для рассматриваемой цепи.
3.57. В условиях задачи 3.56 определить напряжение G34 между точками 3 и / электрической цепи рис. 3,56, а, угол между вектором приложенного напряжения U и вектором напряжения Цы. Построить топографическую диаграмму и определить графически напряжение ,(7з4, а также это напряжение, если вместо индуктивного сопротивления XL2 в цепь включено емкостное сопротивление Хс.
Решение. Комплексное напряжение U34 определяют из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для верхнего замкнутого контура цепи: 7?i/| — U34 — R212 — 0 или 3(24 + + /32) —17з4 — 8(16-/12) = 0, откуда'йм = (—56 + /192) В. Напряжение между точками 3 и 4 'цепи: (734 = 7562 + 1922 = 200 В.
Комплексные падения напряжения и напряжения на резисторах R\ и Л*2: Ut = Rt[t_= 3(24 + /32) = (72 + /96) В, откуда U। = = д/722 + 962 = 12Q В; U2 = R2h_= 8( 16 — /12) = (128-/96) В, откуда U2 = -\/128 +962 = 160 В.
Комплексы напряжений на конденсаторах: JJ3 = —jX\[x = = -14(24 +/32) = (128 -/96) В. откуда (Лз = 71282 + 962 = = 160 В; U$=-jXL2Ir=-76 (16 —712)=(—96+/72) В, откуда U, = 796^ + 722 = 120 В.
Уравнение комплексных напряжений, составленное по второму
Рис. 3.58
закону Кирхгофа: U_= Uz + U* или U = Ui U3 — [(72 + + /96) + (128 — /96)] В, откуда U = V200* = 200 В.
На рис. 3.57 приведена топографическая диаграмма напряжений для рассматриваемой электрической цепи.
_too
Аргумент комплексного напряжения Um: tg<₽34~—— = = —3,43, откуда угол фз4 = —73°45'.
Угол между приложенным напряжением U и напряжением U34' поскольку вектор U направлен по вещественной оси, <р= 180’^--<рз4= 180° —73°45'= 106°15', так как tg(180-a)= — tga. Из приведенной топографической диаграммы имеем: и'ы — 60 В.
3.58. В электрическую сеть переменного тока включена катушка индуктивности с активным R и индуктивным XL сопротивлениями, параллельно которой для повышения коэффициента мощности cos <р включен конденсатор с емкостью С (рис. 3.58). Определить показания вольтметра V, амперметра А и ваттметра W, включенных в цепь, если до включения выключателя В коэффициент мощности установки cos ф] = 0,6, а после его включения cos фг = 0,92. Емкость конденсатора, необходимая для улучшения коэффициента мощности в указанных пределах, С = 200 мкФ (реактивная мощность конденсатора Qc = 3,2 квар).
Решение. Так как емкость конденсатора С = то показание вольтметра, включенного в цепь: U =~\/
= у зи 260 = 22® В’ Реактивная мощность конденсатора: Qc = = P(tg<pi — tg фг), откуда активная мощность катушки (показание ваттметра): Р = -— 2s_—= =3200 Вт=
r tgq>i—tg фг sin <pi sin фа 0,8 0,317
cos <pi cos q>2 0,6 - 0,92
= 3,2 кВт, где sin <pi = 0,8; sin фг = 0,317. Ток в цепи до включения выключателя: 1\=-гг^—= = 24,3 А. Ток в цепи после
l/cos <р> 220-0,6
включения выключателя: Л = Л с—= 24,3-^- = 15,8 А.
cos ч>2 0,92
Активная составляющая общего тока / остается неизменной до и после замыкания выключателя, = 1\ cos фг-
3.59. В электрической цепи синусоидального тока с напряжением питания {/=100 В (рис. 3.59) возможны два соединения элементов: последовательное соединение резистора R с конденсатором С, обладающим емкостным сопротивлением Хс (сплошные линии), и рараллельное соединение резистора /?' с конденсатором С', обладающим
поэтому: /, = 11 cos <pi =
/' o
ri
Il
П*' I Т Л'Т
4--------
Рис. 3.59
_____________I
и
о
r
емкостным сопротивлением 2% /пунктирная линия). Определить токи / и Г для каждой из цепей и соотношение Ki между этими токами, если сопротивления: /? = /?' = ЗОм; Хс — Хс=4Ом.
Решение. Полное сопротивление последовательной цепи (сплошные линии): Z — -\/R2 + Xc = -у/З2 + 42 = 5 Ом. Ток в последовательной цепи: 1— U/Z = 100/5 = 20 А. Активная проводимость первой ветви при параллельном соединении (пунктирные линии): G' = 1 /R' = 1 /3 См. Реактивная проводимость второй ветви при параллельном соединении: Вс = 1 /Х'с — 1 /4 См.
Составляющие тока первой параллельной ветви: активная Гл=1'к— UG'= 100-1/3 = 33,3 А, реактивная Гр=Гс= UB’C= 100 1/4=25 А.
Ток в неразветвленной части параллельной цепи: /' = = л/(/а)2 + (^)2 = д/33,32 + 252 = V1099 + 625 = 41,5 А. Соотношение между токами при параллельном и последовательном соединении сопротивлений: А, = Г// = 41,5/20 = 2,07.
3.60. В электрическую цепь переменного тока включены два электродвигателя Д| и Д2 (рис. 3.60, а). Определить ток / в цепи и общий коэффициент мощности cos <р, построить векторную диаграмму токов /|, /г, / и напряжения U, если электродвигатели имеют номинальные данные: Р|„ом = 7,35 кВт; Ut„0„ = t/2„0M = = 110 В; TjiH0M — 0,8; cos <piH0M = 0,75; Р2тм = 14,6 кВт; т)2ном = 0,85; cos фгном = 0,9.
Решение. Мощность, потребляемая электродвигателями при номинальной нагрузке: Рд) == Р|„Ом/Ц|ном =^^-= 9200 Вт; Рд2 = Р2«ом /П2НОМ = 14^°3 = 17 318 Вт.
Номинальные токн электродвигателей: h = »О«Х Xcos ф| н„м) = 9200/(110-0,75)= 111,52 А; /2„ом = Рдз/(1Л>„о>, X X совфг „ом) = 17 318/( 110 • 0,9) = 174,85 А.
Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи приведена на рис 3.60, б.
Общий ток в цепи находим исходя из векторной диаграммы: I = ^ном 4" ^2ном 2/[hom^2homCOS (ф)ном ф?ном) ~л/(111Д22) 4“ 4- (174,852) — 2 • 111,52 -174,85 • cos (41 °20' — 25°50') = 285 А. По cos ф)иом = 0,75 и cos фг„ом = 0,9 находим соответствующие углы: Ф1ном = 41°2Г и фгяом = 25°50'.
Рд| +
Общий коэффициент мощности цепи: cos фо =—г,—— =
_ 9200+ 17 318 110-285
= 0,845, откуда ф0 = 32°20'. Аналогичный резуль-
тат получается, если cos фо определить через токи: cos фо =
71H04COS <р | ном+ 72komCOS ф2иом
7
=(111,52-0,75 4- 174,18 • 0,9): 285 = 0,845.
3.61. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.61, а) определить показания амперметров А, А)( А2, углы сдвига фаз Ф, ф! и фг между соответствующими токами /, Л и /2 и напряжением U, построить векторную диаграмму токов и напряжения, если питающее напряжение U = 120 В, а активные и реактивные сопротивления цепи: /?, = 2 Ом; /?2 = 1 Ом; Xt = 6 Ом; Хс = 9,95 Ом.
Рис. 3.61
Решение. Полные сопротивления ветвей цепи: Zi = = 4- Xl = д/22 4- 62 = 6,23 Ом; Z2 = 4- Xl = -/!*+
4* 9,952 = 10 Ом. Углы сдвига фаз между токами и напряжениями
Л, 2 соответствующих параллельных ветвей: совф| =‘б"з2 =
= 0,316; ф| = 71°35'; cos ф2 = 0,1; ф2 = —84°15'.
Показания амперметров А, и А2 в параллельных ветвях-Л = 7//Z, = 120/6,32 = 19 А; /2 = U/Z2 = 120/10 = 12 А.
Активные составляющие токов в параллельных ветвях: Л1 = /|соэф| = 19-0,316 = 6,01 А, /а2 = /2созф2 = 12-0,1 = 1,2 А.
Реактивные составляющие токов в параллельных ветвях: /р( = /|Sin<pi = h — 19-^=-= 18,01 А; /р2 = /2sincp2 = /2^-= Zl D,oZ Z2
= 12(9,95/10)=! 1,93 А.
Активные и реактивные составляющие общего тока: /а = =/а! +/а2= 6,01 + 1,2=7,21 А; /р=/р, + /Р2= 18,01-11,93= = 6,8 А.
Общий ток в цепи: / = =*= 12 + 6,082 = 9,43 А.
Угол сдвига фаз между током / и приложенным напряжением _[/: costp = /а // = 7,21/9,43 = 0,765? <р = 40° 10'.
Векторная диаграмма токов и напряжения для данной электрической цепи дана на рис. 3.61, б.
3.62. Задачу 3.61 решить методом проводимостей.
Решение. Значения величии полных сопротивлений Z<, Z2, токов /], /2 и коэффициентов мощности costpi, cosq>2 определяются методом, изложенным выше.
Активные и реактивные проводимости параллельных ветвей: G= G, + G2=/?i/Z? + /?2/Z<= 2/6,322+ 1/102 = 0,06 См; В= = В, +B2=Zt/Z? — Xc/Z2 = 6/6.322 = 9,95/102 = 0,05 См.
Полная проводимость всей цепи: Y = д/G2 + В2 = д/ 0,06 2 + +0,052 = 0,0784 См. Общий ток в цепи: /=£7У=12ОХ X 0,0784 = 9,4 А. Угол сдвига фаз между общим током / и приложенным напряжением U: costp = G/Y = 0,06/0,0724 = 0,765; <р = = 40° 10'.
3.63. Задачу 3.61 решить графическим методом.
Решение. Значения величин полных сопротивлений, токов и коэффициентов мощности Zi, Z2. /1, /2 costpi, costp2 определяют методом, изложенным выше.
Общий ток определяют из векторной диаграммы напряжений и токов для данной электрической цепи (рис. 3.61) исходя из обобщенной теоремы Пифагора: / = д//2 + /2 — 2/|/2cos(<pi — <рг) = =д/192 + 122 - 2 • 19 • 12cos(71°35' —(—84°15')) =
=д/361 + 144 — 456cos 155°50' = 9,43 А, так как cosl55°50' = = cos (180° - 155°50') = cos24°10'= -0,912.
,, , . „ /|COS(p| 4- /2COS(p2
Коэффициент мощности всей цепи: cosq>=-----------------=
= [9-0-316+12-0.1 =0765. Угол сдвига фаз: <р=40°10'. 9,43
3.64. Определить резонансную частоту /о, полное сопротивление Z и токи /, /1, /2, построить векторную диаграмму для ре-118
a)
зонансной частоты в электрической цепи рис. 3.64, а. Индуктивность катушки L =± 0,5 Гн, активное сопротивление резистора R = 30 Ом, емкость конденсатора С — 50 мкФ, напряжение питающей сети U — 60 В. Определить те же величины при частотах f, равных 0,5; 0,75; 1,25; 1,5 резонансной частоты f0, построить графики зависимости токов и проводимостей от относительной частоты переменного тока, т. е. /, /|, idJch Вг, У, (fo/f).
. — «2
Решение. Резонансная частота: fo=------~\/--------г- =
____________ ' 2л V LC L1
=_> p^Z^S=30,4 Гц.
2-3,14 V 0,5-50 0,52
Проводимости первой параллельной ветви: активная G, =
- JL = , * , 301 , = 0,003 См, где X, = 2nf0L =
Zf (V« + Xi)1 302 + 95,22 1 '
= 2-3,14-30,4-0,5 = 95,2Ом; реактивная В,= 95’2 =
н L Zi 302 + 95,22
= 0,00952 См.
Реактивная проводимость второй параллельной ветви: Вс =
= =_L_ = _!_ = 0,00952 См, где Хг =-!— =
Zi Х2с Хс 104,5 с ,0С
-Х..1=-------------*----5- = 104,5 Ом.
2л/0С 2-3.14-30.4-50-10~6
Полная Проводимость цепи: У = -/G? + (Bt — Вс)2 =
= -д/0,0032 + (0,00952 — 0.00952)2 — 0,003 См. Полное сопротив-
ление всей цепи: Z = = 334 Ом. Общий ток в цепи:
Y 0,003
/ = UY = 60 • 0,003 = 0,18 А.
Токи: в первой ветви Л = UY, = U—— = 60 — 1 —
у 302 + 95.2-
= 0,6 А, во второй ветви /2=/с= £/У2=60/Л<.- = 60/104,5 = = 0,574 А.
Составляющие тока первой ветви: активная /а| = UG\ = I — = 60 - 0,003 = 0,18 А; реактивная: lL= UBl=60 • 0,00952 = 0,574 А.
Реактивный ток второй ветви: 1с— UBc— 60- 0,00952 = = 0,574 А. Векторная диаграмма при резонансе токов приведена на рис. 3.64, б.
Определение указанных величин при других частотах производится так же, как это сделано выше для частоты f—Q,5f9= = 0,5-30,4= 15,2 Гц.
Индуктивное сопротивление катушки: XL = 2nfL = 2-3,14х XI 5,2-0,5 =47,6 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хс = -^-^
=--------'-----г = 209 Ом.
2-3.14-15,2-10-®
Активная проводимость первой параллельной ветви: G| = = Я =_22_ = 0,0095 См, где Z? = /?2 + Л? = ЗО2 + 47,62 =
Z? 3132 i
= 3132 Ом; реактивная проводимость первой параллельной ветви: BL=-^- = . ,.47'6 =0,0166 См.
L Z-; 302 + 47,62
Реактивная проводимость второй параллельной ветви: Вс =
= 3£.=_L=_L_ = 0,00475 См, где Хс=— =---------------!—j-, =
Z2, Хс 209 с шС 2 л/50-10е
= -2б9-См'
Полная проводимость цепи: У — -\/G2 -f- (В, — Вс)2 =
= д/0,00952 + (0,0166 — 0.00475)2 = 0,0107 См.
Общий ток в цепи: / = UY — 60-0,0107 = 0,64А.
Ток в первой параллельной ветви: Л = UY\ = U -±- =
Ток во второй параллельной ветви: /2 = /с= UY2 = 60/Zc= = 60/209 = 0,287А.
Результаты расчетов сведены в табл. 3.7, по данным которой иа рис. 3.64, в построены графики /, /(, /с, Bl, Вс, т- е-зависимости токов и проводимостей данной электрической цепи от относительной частоты переменного тока.
.—•«Lt/
Таблица 3.7
Величины / = O,5fo = = 15,2 Гц /=O,75fo = = 22,8 Гц f= Чо = = 30,4 Гц f=l,25fo = = 38 Гц = 45,5 Г ц
XL, Ом 47,6 71,5 95,2 119,4 142,8
Хс, Ом 209 139,4 104,5 83,5 69,7
Gi, См 0,0095 0,005 0,003 0,00197 0,0014
BL, См 0,0166 0,0119 0,00952 0,00785 0,0067
Вс, См 0,00475 0,00718 0,00952 0,012 0,01436
Y, См 0,0107 0,00685 0,003 0,0047 0,0077
/, А 0,64 0,41 0,18 0,282 0,462
/1, А 1,04 0,784 0,6 0,487 0,41
1с, А 0,287 0,43 0,574 0,72 0,86
3.65. Разветвленная электрическая цепь однофазного тока, питающаяся напряжением U— 124 В (рис. 3.65, а), состоит из трех ветвей, соединенных параллельно, измерительных приборов и выключателей Bi — Вз. Для определения параметров цепи вначале: а) включили резистор R и произвели замер тока / и мощности Р при отключенных катушке индуктивности L и конденсаторе С. Затем произвели аналогичные замеры при включении только: б) катушки; в) конденсатора; г) резистора и катушки; д) резистора и конденсатора. После этих замеров: е) включили катушку и конденсатор и, изменяя величину емкости С конденсаторов, записали показания приборов с таким расчетом, чтобы получить токи до и после резонанса, а также при резонансе, который определялся по наименьшему общему току / цепи (табл. 3.8).
Определить параметры катушки индуктивности и конденсатора цепи, построить векторную диаграмму токов и напряжения и кривые изменения тока /, общего коэффициента мощности cos«p, полного сопротивления Z цепи в зависимости от емкости С конденсатора.
Решение. По данным п. б)табл. 3.8, полное сопротивление цепи; Z= [7/7=124/2,25 = 55,1 Ом (полное сопротивление катушки).
Сопротивление катушки:
активное RK = -^- = =11,1 Ом;
/1 2,25
индуктивное XL =z.^Zl — Rl = -\/55,12 — 11,12 = 54 Ом.
Коэффициент мощности катушки: cos^< = R^Z* = 11,1 /55,1 = ^0,2.
По данным п. г) табл. 3.8 полное сопротивление цепн: Z — U/l = 124/2,75= 45 Ом. Активное сопротивление первой ветви: /?= U/1, = 1,24/1,21 = 102 Ом.
Активная проводимость:
Таблица 3.8
Измерения Результаты вычислений
Пункты задания /. А /,, А 6, А Л, А р. Вт Z, Ом R, Ом Z*, Ом Лк, Ом Хь Ом Хс, Ом с, мкФ cos<pK cos<r
а) 1,21 1,21 0 0 150 102 102 — — — — — — —
б) 2,25 0 2,25 0. 56,2 55,1 — 55,1 11,1 54 — — 0,2 —
в) 0,98 0 0 0,98 0 126,3 — — — — 126,3 25 — —
г) 2,75 1,21 2,25 0 209 45 102 55,1 11,1 54 — — 0,2 —
д) 1,61 1,21 — 1 150 77 102 — — — 124 25,6 —
е) 2,48 0 2,28 0,39 65 50 — 55 11 54 320 10 0,2 Q.212
0,68 0 2,28 1,7 65 182,3 — 55 11 54 73 43,6 0,2 0,66
0,55 0 2,28 215 65 225,5 — 55 11 54 57,7 55,3 0,2 0,946
0,52 0 2,28 2,25 65 236 — 55 11 54 55 57,8 0,2 1
2,13 0 2,28 4.12 65 58,3 — 55 11 54 3,01 106 0,2 0,247
первой ветви: G\ = = 1/102 = 0,0098 См; второй ветви:
К
G2 = Л», /Z2 = Н, 1 /55,12 г 0,0037 См.
Активная мощность:
первой ветви: Pi = U2Gt = 1242-0,0098 = 150 Вт; второй ветви: Р2 = U2G2 = 1242-0,0037 = 57,5 Вт; всей цепи: Р = Р, + + Р2 — 150 + 57,5 = 207,5 Вт, что близко к показанию ваттметра Р=209 Вт (см. п. г) табл. 3.8 ).
По данным п. д) табл. 3.8, полное сопротивление всей цепи: Z = U/I = 124/1,61 =77 Ом.
Емкостное сопротивление третьей ветви: Хс = и/1з— 124/1 = = 124 Ом.
Емкость конденсатора: С =. 2nfxc = 2 • 3.14 • 50 • 124= = 0.0000256Ф = 25,6 мкФ.
Активная мощность цепи: показание ваттметра W равно активной мощности первой ветви Р{ =Р= 150 Вт.
По данным п. е) табл. 3.8 (последний замер):
Полные сопротивления:
цепи: Z = U/1 = 124/2,13 = 58,3 Ом; катушки: ZK = U/l?— = 124/2,28 = 55 Ом.
Емкостное сопротивление третьей ветви: Хс=и/1з = = 124/4,12 = 30,1 Ом.
Емкость конденсатора: С=—=——!—_ = 0,000106 Ф= шХс 314-30,1
= 106 мкФ.
Коэффициент мощности всей цепи: cos<р = PjUI = 65/(124 х X 2,13) = 0,247.
Для построения векторной диаграммы при резонансе определяют проводимости и токи катушки.
Проводимости второй ветви:
активная 62 = 0,0037 См; реактивная BL = -^- = —
= —-54; =0,0179 См.
112 + 542
Токи катушки:
активный: /ак = UG= 124 • 0,0037 = 0,46 А, что близко к значению 10— 0,525 А, так как прн резонансе / = /ак; реактивный: 11 = UBL =124 • 0,0179 = 2,22 А.
На рис. 3.65, б — г приведены векторные диаграммы токов при резонансе и после резонанса.
Емкость конденсатора при резонансе: с=Со = —=
соЛс
= о,,1 ее = 0,0000578 Ф=57,8 мкФ. 314 • 55 ’
На рис. 3.65, д приведены кривые изменения общего тока /, общего коэффициента мощности cos<p, полного сопротивления Z от емкости С конденсаторов (п. е) табл. 3.8).
3.66. Определить активную Р, реактивную Q и полную S мощности электрической цепи (рис. 3.66), если токи: /1 = 5 А, /о = = 3 А, /з = 4 А, а активные и реактивные сопротивления: Rt = = 10 Ом, /?2 = 6 Ом, /?з = 5 Ом, Xl = 8 Ом, Хс = 5,6 Ом.
Решение. Активная мощность цепи: Р = Pi + Р2 + + Рз = /?/?! + HR1 + /зРз=52. 10 + 32 • 6 + 42 • 5 = 250 + 54 + + 80 = 384 Вт.
Мощности цепи:
реактивная: Q = QL — Qc = I?XL — IlXc = 32-8 — 42-5,6 = = 72 — 89.6 = — 17.6 вар; полная S = -J/32 + Q2 = л/3842 4-+ (-17,62) = 385 В • A.
3.67. Определить показания ваттметра W в электрической цепи (рис. 3.67) при замкнутом и разомкнутом выключателе В, если напряжение источника питания U = 100 В, активное и реактивные сопротивления: R = Xli = Xl2 = Хс= 5 Ом.
Рис. 3.66
Рис. 3.67
Решение. В данном случае в электрической цепи имеет место резонанс напряжений. Полное сопротивление цепи при разомкнутом выключателе: Z = -\/а + ~ %сУ2 —
= V5^ + (5-5)a= 5 Ом.
Ток в цепи при разомкнутом выключателе: 1=U/Z = = 100/5 = 20А. При этом показание ваттметра Р=₽/2 = = 5-202 = 2000 Вт =2 кВт.
Показание ваттметра при замкнутом выключателе: Р = — RJ2 — 5-0 = 0 Вт, так как на параллельном участке цепи имеет место резонанс токов и ток в цепи резистора R не протекает.
3.68. В электрической цепи переменного тока (рис. 3.68) найти распределение токов и показание вольтметра V при замкнутом и разомкнутом выключателе В. Сопротивления резисторов: /?! = /?2 = /?3 = XL = 5 Ом, приложенное напряжение U — = 100 В. Задачу решить методом комплексных чисел.
Решение. Сопротивления ветвей цепи при замкнутом выключателе: Zi = Rt + R3 = 5 5 = 10 Ом; Z2 — Rz — 5 Ом.
Токи в ветвях: It = U/Z\ = 100/10 = 10 A; I2= U/Z2 = = 100/5 = 20 А.
Ток на неразветвленной участке цепи в соответствии с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для узловой точки цепи: J_=Jj +_Л> = 10 + 20 — 30 А. Показание вольтметра: 1/з=/?з/1=5-10=50 В.
I
Рис. 3.69
Рис. 3.68
Комплексные сопротивления ветвей при разомкнутом выключателе: Zi = -J- R? = 5 + 5 = 10 Ом; == R? + == (3 +
+ /5) Ом.
Токи в ветвях при разомкнутом выключателе:
/,_= £^/Zi = 100/10 = 10 A; h = UJZ^^ 100/(5 + /5) =
= 100(5 —/5) _ 100(5 ~/5)_ ,0 _ 10. д
(5 + /5X5 - /5) 52 + 52 ' 1 1 ’
откуда /2 = у/102 + 102 = 14,1 А. Ток в иеразветвлеииой части цепи: /_ = /_1 +/_2= Ю + (10 — /10) = (20 — /ТО) А, откуда / = = у/202+ 10s= 10у/5 А.
В соответствии с уравнением электрического равновесия, составленным по второму закону Кирхгофа для нижнего замкнутого контура: R3lj_ — jXJ^ + U_B= 0, отсюда U_B = —Ril^ + + /'Xf /г — —5-10 + /5(10 — /ТО) = /50 В, откуда (/в= 50 В.
3.69. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.69) определить напряжение Un между ее точками / и 2, а также режимы работы источников питания, если ЭДС £( = 50е,6° В; £ г= 100е/3°В, активное и реактивное сопротивлений: /? = 5Ом; Xt=5 Ом.
Решение. ЭДС, действующие в цепи, представлены в тригонометрической форме записи: £ । = 50е/60° = 50(cos60° + + /sin60°) = 50(о,5 + / -^) =(25 + /25у/3) В; £_2 = 1ООе;зо° = = 100-(cos30° + /sin30°) = 100(-^-+ /0,5) = (бОу/З + /50) В.
Комплексный ток в цепи в соответствии с уравнением электрического равновесия напряжений, записанным по второму закону Кирхгофа:
Е ,-Ег
E_i — E_2 — (R + откуда / = R + (25 -ь /25д/3)-(50д/3 + /50) 5 + /5-/3 - 10/3 — /10
5 + /5 1 + /
= (_6>84 + /5,46) А.
(1 +/)(> -/)
Комплексное напряжение U_n, действующее между точками 1 и 2 цепи, находим исходя из уравнения электрического равновесия напряжений, составленного по второму закону Кирхгофа для левого замкнутого контура цепи: £, = /?/ + Ё/12, откуда U12 = £1 - RI = 25 + /251/3 - 5(—6,84 + /5,46) = (59,2 + +/15,9) В, откуда напряжение Ut2 = д/59,22 + 15,92 “61,1 В.
Комплексные мощности источников питания цепи: Si = =£1 Г=(25 + /25-/3) (- 6,84 - /5,46) =171- /296 — /137 + 236 =
= (407-/433) В-А (источник ЭДС £| работает в режиме генератора электрической энергии, так как активная мощность имеет положительное значение (Р>0)); - =
= — £,/* = —(5ОУЗ) Д- /50) ( — 6,84 — /5,46) = —590 — /343 — — /47ТЧ- 273 = (—317 — /816) В • А (источник ЭДС £2 работает в режиме потребителя электрической энергии, так как активная мощность имеет отрицательное значение (Р<0)).
Рис. 3.70
3.70. Определить токи /, и /2 в ветвях, напряжения (7, — (Л на резисторах /?| — /?з и на индуктивном сопротивлении Xl, а также напряжение Ui2, действующее между точками / и 2 электрической цепи рис. 3.70, а. Напряжение источника питания £7 = 100 В, сопротивления резисторов: /?, = 3 Ом; /?г=8 Ом; /?з=2 0м, индуктивное сопротивление Xl=6Om. Построить векторную диаграмму напряжений.
Решение. Комплексные сопротивления параллельных ветвей; Z__\ = Rt Д- Rs = 3 -£ 2 = 5 Ом; Z2 — R2 Д- jX = (8 Д- /6) Ом.
_ „ , и 100
Ток в ветви с резисторами Ri — Rs: =
— Z\ о
= 20 А, откуда / — д/202 = 20 А.
Комплексный ток в ветви резистора R2: 12
и
юо
8 4" /6
= (8 - /6) А’ °ТСЮДа /2 = л/85 + 62= 10 А.
Комплексное напряжение, действующее между точками 1 и 2 цепи, определяем из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для верхнего правого контура: U\2 — R\l 1 Д- R2I 2 = = 0 или U 12 = 3-20 — 8(8 — /6) — (—4 Д-/48) В, отсюда Ul2 — = л/42 Д-'485 = 48,1 В.
Напряжение на резисторах Rt, R3 и /?22 Ui = Rih = 3 • 20 = = 60 В, откуда Ui = 60 В; U3 — Rsh = 2 • 20 = В, отсюда
Рис. 3.71
ний для рассматриваемой щ
3.71. Определить токи /
U3 = 40 В; Uj = Rib= 8(8 —/6) = = (64 — /48) В, откуда U2 — д/642 + + 4^=80 B.
Напряжение на индуктивности L:
~/6) = (36 +
+ /48) В, откуда (Д = -\/362 + 482 — = 60 B.
Векторная диаграмма напряже-
;пи приведена на рис. 3.70,6.
। — А в ветвях электрической цепи переменного тока (рис. 3.71), если ЭДС источников питания е, = 60^/2 • sinter; £^=60 В; активное и реактивные сопротивления: /?з = 20Ом; Х| = Х2=30 Ом, Лз=20 Ом. Задачу решить методом контурных токов.
Решение. Амплитудное и действующее значения ЭДС источника питания Ес. Etm = 60-\ДГВ, Et — Е\т/-\[2 = 60-\/2/д/2 = = 60 В.
В соответствии с принятыми на схеме рис. 3.71 положительными направлениями контурных токов составляют по числу контурных токов уравнения в соответствии со вторым законом Кирхгофа. При этом для левого замкнутого контура имеем: £ । + + Е_2 = /(Xi - X2)Jj 1 - (—jXJhi или 60 - 60 = /(30 - 30}Zj! -(— /30)/22, отсюда /ЗО/22 = 0.
Для правого замкнутого контура: — £2 = Яз/м — j(X2 + + Х3)/22 - (-/Х2)Л| или 60= 20/22-/(30 + 20)722 -(-/30)/п, откуда /30 /,, = 60.
В результате решения полученных уравнений определяют контурные токи: /22=0; /и = /2А, откуда /и = 2 А; /1 = = /и = 2 А; /з_=^2 = О. Ток в общей ветви смежных контуров находят в соответствии с уравнением для токов, составленным в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла разветвления цепи: А_= /22 — /п = 0 — /2 = —/2 А, отсюда /2 = 2 А.
3.72. Для последовательно-параллельной электрической цепи переменного тока (рнс. 3.72, а) определить токи /, /|, /2 на всех участках цепи, активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи. Построить векторную диаграмму напряжений н токов. Напряжение питания U — 127 ф, активные и реактивные сопротивления цепи: /? = 2Ом; Ri — 15Ом; /?2= 10 Ом; XL— 10 Ом; XLl =10 Ом; XL2=20Om; Хс= 2 Ом; ХС1 = 20Ом; ХС2=ЗООм.
Решение. Полные сопротивления:___________________
первой параллельной ветви: Zt. = V/?? +(XL) — XС1)2 =
= V15" + (10 — 20)2 = д/325 as 18 Ом; второй параллельной ветви: Z2 — V'/?2 + (XL2- Л' «)2 = л/1О2 + (20 -30)* = 14,1 Ом.
Активные проводимости:
первой параллельной ветви: Gt — Ri/Z? — 15/182 = 0,046 См;
второй параллельной ветви: G2 — R2/Z2 = 10/14,12 — 0,05 См.
Суммарная активная проводимость параллельного участка цепи: G12 = Gi + = 0,046 + 0,05 = 0,096 См.
Реактивные проводимости:
10-20
(/325)2
Х/^-Хп
в2~
участка це-
первой параллельной ветви: Bt =------5—
Zt
— —0,0308 См; второй параллельной ветви:
= —0,05 См.
(V200)2
Общая реактивная проводимость параллельного пи: В12 = Bi + В2 — — 0,0308 — 0,05 = — 0,081 См.
Полная проводимость параллельного участка цепи: У12 = = VG12 + B12 = 7(0,096/ + (—0,081/ = 0,125 См. Полное сопротивление этого участка цепи: Zi2 — l/Yt2— 1/0,125= 8 Ом.
Сопротивления параллельного участка цепи:
п ^12 0,096 с 1 Л V
активное /?12 = —— = — ,-» = 6,1 Ом; реактивное Xi2 = У12 0,125"
= -----5.16 Ом.
<12 0,1 2d
Активное и реактивное сопротивления всей цепи: /?„=/? + +Я12=2+6,1 = 8,1 Ом; 2'ц=2'£+(-1'12)+(-1'с)=10 -5,16 --2=2,84 Ом.
Полное сопротивление всей цепи: =V8,l2+(2,84)2 = 8,5 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи: = 15 А.
Напряжения на отдельных участках =1у/#~+Х{ = 15 V^Tl2 = 33,7 В;
£7М=ЛГС= 15-2=30 В. 5-217
7= U/Za= 127/8,5 =
цепи: U}i=IZ}l = С7и = ZZ12= 15 • 8 = 120 В;
Токи: в первой параллельной ветви: /!= [712/Z, = 120/18= =6,66^А; во второй параллельной ветви: Z2= t/12/Z2= 120/14,1 =
Коэффициенты мощности всей цепи: cos<^=AB/Za=8,l/8,5 = =0,96 (sin^=—= = - 0,72s)
\ 8,5 /•
Коэффициент мощности участка 3—1 цепи: созфз1 = Лз|/2з1 = = 2А/5=О,9 ( sinq>3i = -^-= -^=0,448, откуда <ри= 26°40').
\ Z31 д/5 /
Коэффициент мощности участка /—2 цепи:
для первого параллельного участка: cos<p(2=/?i/Zi= 15/18 = = 0,83 ( sinф{2 = ^^=12^20_= -0,54; ф'12=-33°);
для второго параллельного участка: созф"2 = /?2^2 = 10/14,1 = = 0,7 ( sinф/2 = *“~*С2 = -0,7; фГ2 = -45°);
для всего участка 1—2 цепи: cos ф12 = Z?i2/Zi 2 = 6,1/8 = 0,76; sin ф12 = X12/Z12 = —5,16/8 = —0,642; ф12 — —40°.
Коэффициент мощности участка 2—4 цепи: сО5ф24=/?24^24 = = 0/Хс = 0 (зшф24= — 1).
Активная мощность отдельных участков цепи: P3)=Z{731x хсо8ф31 = 15-33,7-0,9=505 Вт; Рп=IUncos<p12=15-120-0,76= = 1370 Вт; Р24=Д724СО8ф24=15-30 0=0.
Суммарная активная мощность всей цепи: Р=Р3,+Р12+Л4= = 5054-1370+0=1875 Вт.
Реактивная мощность отдельных участков цепи: Q3i =П73, * * sin ф3, = 15 • 33,7 • 0,448 = 227 вар; 012 = /С712 sin q>\2 = 15 * х 120 (—• 0,642) = —1150 вар; б24 = IU24 sin ф24 = 15 • 30 (— 1) = = —450 вар.
Суммарная реактивная мощность всей цепи: Q = U^I sin <р = = 127 15 (-0,725) = -1380 вар.
Рис. 3.73
Векторная диаграмма для электрической цепи дана на рис. 3.72, б.
3.73. Определить напряжение l/i2, действующее между узлами /—2 электрической цепи переменного тока (рис. 3.73). ЭДС источников
питания: Ei = 200е В; Е2 = = —100е/т, активные и реактивные сопротивления: /?( = ЗОм, Xi = 4 Ом; /?2 — 6 Ом; Х2 = 8 Ом; Rs — 5 Ом, Хз = 3,3 Ом. Задачу решить методом узлового напряжения.
Решение. Комплексные значения ЭДС, действующих в цепи:
Ei = 200e /'^= 200(cos л/2 — /'sin л/2) = 200(0 — /1) = —/200 В,
Eg = -100е-' ^= -100(cosл/2 + / sin л/2) = -100 (0 + /1) = = -/100 В.
Комплексные сопротивления ветвей цепи: Zj = /?i4-/Xi = = (34-/4) Ом; Zg=/?2 4-/^2 = (6 4-/8) Ом; = Яз 4~ 1%з = (5 4-4- /3,3) Ом.
Комплексные проводимости ветвей цепи:
Уг
h
/ 1 „ 3-/4 _ 3-/4 _
3 + /4 (3 + /4)(3-/4) 3* 2 + 42
! 1 6-/8 6-/8
/г 6 +/8 (6 + /8) (6 -/8) 62 + 82
У, — . 1 1 5- /3,3
(0,12-/0,16) См;
(0,06-/0,08) См;
__________________ _ 5-/3,3
Z3 5+ /3,3 (5+ /3,3) (5-/3,3) 52 + 3,32
= (0,138 — 0,092) См.
Комплексные токи в ветвях цепи в соответствии с уравнениями электрического равновесия, составленными по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров цепи:
£, = (/?, 4-/X1)/i-//!2 = ZlA_-L(j2; Eg=(/?24-/^2)/2-^i2 =
= Lb* XL's4- 2зк= °- откуда /^^±^== У.ЕН-у, С/2==
= (0,12 —/б,16)(—/200)4-(0,12 —/0,16)(/|2=(—32 —/24)4-
4-(0,12-/0,16)(Л2;
= (0,06 - /0,08) (-/100) 4- (0,06 - /0,08) U {2=(-8 - /6) +
4-(0,06-/0,08)U,2; /з_= ^-= -Y3Ui2 = — (0,138 — /0,092)(Л2.
Комплексное напряжениеJ/j2, действующее между узлами 1 и
2 цепи, находим с помощью уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 1 цепи: Л 4~Лг—/з= 0, отсюда, подставляя значения комплексных токов, получим: У|Е| 4~ УгЕг4~ ^12(У|4~ 4-К2 4-1з) —0, откуда U12— Подставляя числовые
-- -- *1 ~Г » 2 ~Т ^3
значения токов имеем- Ui2= 40+J30 «04-/30)(0.32+/0.33) __
значения токов, имеем. и,2 032_;-0 33 32_;0(0 32+;033>
=='Зч^’-{,4’5 + /,,4)В’ °ТКуДа ^2 = л/14,52+И42-
114,9 В.
3.74. Найти распределение токов для электрической цепи переменного тока (рис. 3.74). ЭДС источников питания Е2 = Е3 — = 100 В, активные и реактивные сопротивления: /?i=7?^=J^= = Х3 = Х4= 10 Ом. Внутренним сопротивлением источников питания пренебречь.
Рис. 3.74
Решение. Комплексные проводимости ветвей цепи: Ki = = 1//?, = 1Т=0’1 См; Ь==1/Д2=1//Ю=/^_) =-7'0,1 См; —=~ЧхГ=~Ч10~= -/ю/ =;/0,1 См; —= R, + jXt = ю+/ю =
(Ю-/10) (10 + /10) (10-/10)
(0,05 -/0,05) См.
Комплексное напряжение, действующее между узлами 1 и 2 цепи:
П + 100(-/0,1)+100(/0,1)
—2— Г|+Ь + Ь + Ь ~ 0.! —/0,1 +/0,1 +0,05-/0,05
7 -/10 + /10 . 0
0,15-/0,005
Ток в ветви с сопротивлением Х2 находят из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа: Ег== (Л2+ /Х2/2; /г= = _y io а или /2= 10 А.
/Хг /Ю '
Ток в ветви сопротивления Хз: £з= —/Хз7з + К12; /з = = ——=^-= —= /10 или /3=ЮА. Ток в ветви с сопротив-—/Хз . —/Ю
леииями /?| и Rc 1\ = 0 и Д = 0, так как U\2 = 0.
3.75. Найти распределение токов 1\, /2, /з в электрической цепи переменного тока (рис. 3.75). ЭДС источников питания Е±= = (60 + /80) В; £г = (—60 —/80) В, реактивные сопротивления: Х, = %4 = 20Ом; Хг = Хз = 40Ом. Задачу решить методом контурных токов.
Решение. В соответствии с уравнением электрического равновесия, составленным для левого замкнутого контура цепи по второму закону Кирхгофа с учетом принятых положительных направлений контурных токов, имеем: E\=(iX\ — jX^l\\ — -(—jX^ или 60 +/80 =/(20-20)/ц-(—/20)722(60 +/80) = — /20 /22 •
То же, для правого замкнутого контура: — £г=/(—Х^ — Хз + + X2)i22-(—/Х^/ц или 60 + /80=/(—20 —40 + 40)722 —(—/20)722; (60 + /80) = -/20 /22+ 20/п.
Из полученных уравнений определяют контурные токи: /22= = ^±Д_= (4 - /3) А, откуда /22 = т/42 + 32 = 5 А; /н=
= = (8-/6) А, откуда /и =->/6i + 82 = 10 А.
Ток в смежной ветви: Л=/ц — /22 = (8 — /6) — (4 — /3)= = (4 — /3)А, откуда /3 = -^/42 + 32= 5 А. Токи в ветвях источников питания с учетом принятого направления контурных токов: Л = =—/п = -—10 А; /г=/22=5А.
Рис. 3.76
3.76. Найти распределение токов /, Л, /2, h электрической цепи переменного тока (рис. 3.76, а) и построить векторную диаграмму токов и напряжений, если напряжение источника питания U= = 220 В, а сопротивления резисторов: /?| = 5Ом; /?2=16,6Ом; /?з = 6’Ом, емкостные сопротивления конденсаторов: Хс = 2 0м; ХС1 = 12,5 Ом; Хсз = 8 Ом.
Решение. Активная и реактивная проводимости первой параллельной ветви: Gi = 0, так как здесь конденсатор, который активным сопротивлением не обладает: Bct = 1/ХС1 = 1/12,5= = 0,08 См.
Активная и реактивная проводимости второй параллельной ветви: Gz = 1 //?2 = 1/16,6 = 0,06 См; при этом Вг = 0, так как здесь реактивное сопротивление отсутствует.
Активная и реактивная проводимости третьей параллельной ветви: G3 = R3/Z23 = R3/(R23 + Х23) = 6/(62 + 82) = 6/100 = 0,06 См; Всз = XC3/Z23 = 8/100= 0,08 См.
Полная проводимость параллельного участка 1—2 цепи: У= V(S G)2 + (SB)2 = V(G2+G3)2+(gcl +ВСЗ)2= У(0,06 + 0,06)'г+ + (0,08 + 0,08)2 = V0,122 + 0,162 = 0,2 См.
Эквивалентные проводимости параллельного участка 1—2 цепи:
активная ZG=(G2+G3)=(0,06+0,06)=0,12 Ом; реактивная ХВ=(ВС] + Лст)=(0,08+0,08)=0,16 Ом.
Полное сопротивление параллельного участка 1—2 цепи: Zi2= = 1/У= 1/0,2=5 Ом или Zi2= л/^?2 + ^?2= -/Зт+4т=5 Ом.
Полное сопротивление всей цепи: Z=-\/(/?i+/?i2)i+(Xc+^i2) — = <(5 + З)5 + (2 + 4)2 = л/87+65'= 10 Ом. у
Ток в неразветвленной части цепи: /=-£-=—jQ—= 22 А.
Напряжения: на резисторе /?ь </Л=/?|/=5-22= НО В; на конденсаторе с сопротивлением Хс: Uxc= Хс1=2-22=44 В; на параллельном участке 1—2 цепи: t/i2=Zi2/= 5-22= 110 В.
Токи в первой параллельной ветви цепи: li=U\2/XC\ = = 110/12,5=8,8 А; в ветви резистора /?г: /2= U\г/Рг = 110/16.6= = 6,64 А; в ветви резистора /?3: /з= 1}\2/Z3 — 110/-\/б* + 82= = 110/10= 11 А.
Коэффициент мощности третьей параллельной ветви: соз<рз= =/?3/Z3=6/10=0,6, откуда угол <р3= — 53°10'.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой электрической цепи дана иа рис. 3.76, б.
3.77. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.77) определить общий ток /о, показания вольтметров Vi—Уз, а также активные Р, реактивные Q и полные S мощности для всех участков цепи, если питающее напряжение 17=60 В, а активные и реактивные сопротивления: R\ = 15 Ом; /?2 = 30 Ом; /?з= 10 Ом; /?4=70Ом; /?7=16 0м; Х£2 = 20Ом; Х/3=5Ом; Хсз= Ю Ом; ХС5 = 40Ом; ХС6=12 0м. Задачу решить методом проводимостей.
Решение. Активные проводимости: первой параллельной ветви участка 1—2 цепи: Gi = /?i/Z2= l//?i= 1/15=0,0667 См, так как /?! = Zi;
второй параллельной ветви участка 1—2\ Gt = Ri/Zl= =Ri/iRl+X2L2)=30/(302+202)=0,023 См.
Реактивные проводимости:
первой параллельной ветви участка 1—2 цепи: BLt = XLA/Z2 = = 0//?,= 0;
второй параллельной ветви участка 1—2 цепи: BL2=XL2/Zl= = 20/(302 + 202) = 0,0154 См.
Полная проводимость участка 1—2 цепи: У|> = -/(G, + Gz)2 + + (Sti + Bt2)- = л/(0,0667 -J- 0,023)2 + (0 + 0,0154)2 = 0,091 См.
Сопротивления участка /—2 цепи:
полное Zi2= 1/У|2= 1 /0,091 = 10,98 Ом;
активное — Z12G12 = Z22(G| + G2) = 10,982(0,0667 + + 0,023) = 10,83 Ом;
индуктивное Х,2 = Z?2Bi2 = ZtzBL2 = 10,982-0,0154 = 1,85 Ом.
Активная проводимость:
первой параллельной ветви участка 2—3 цепи: Gj =
7А
fG ю 10 п по
— —rz--------=—77;—77—т^-=0,08 См; второй парал-
«з + (+з-ХСз)2 102 + (5-10)2 12.э н н
лельной ветви участка 2—3 цепи: G4 = 1//?4 = 1/70=^0,0143 См. Емкостная проводимость первой параллельной ветви участка
2-3 цепи: lo4^~,O)2 = ^=0,08 См.
Индуктивная проводимость первой параллельной ветви участ-
ка 2—3 цепи: BL3 = XL3/Z3 = 5/125 = 0,04 См.
Емкостная проводимость третьей параллельной ветви участка 2—3 цепи: В(5 = XC5/Z| = 1 /Хе5 = 1/40= 0,025 См. ____________
Полная проводимость участка 2—3 цепи: Y23 = -y/(G3-{- G4)2 + + [Bi3-(Всз+ BC5)]2 = V(0,08+0,0143)L’ + [0,04-(0,08 4-0,025)]- = = 0,1145 См.
Полное сопротивление участка 2—3 цепи: Z23= 1/^23 = = 1/0,1145 = 8,76 Ом.
Сопротивления участка 2—3 цепи:
активное /?2з= G23Z23 = (0,08 + 0,0143)8,762=7,26 Ом; индуктивное Х23 = {BL3 — Всз — BC5)Zl3 = (0,04 — 0,08 — 0,025) 8,762 = = —5 Ом.
Активная проводимость второй параллельной ветви участка 3—4 цепи: G7=/?7/Z?= 1//?7= 1/16 = 0,0625 См.
Емкостная проводимость первой параллельной ветви участка 3—4 цепи: ВС6= ХС6/Х2СЬ= 1/Хс6= 1/12 = 0,083 См.
Полная проводимость участка 3—4 цепи: У34 =\/От+в£б — = д/0,06252 + 0,0832 = 0,103 См.
Полное сопротивление участка 3—4 цепи: Z34= 1/Y34 = = 1/0,103 = 9,73 Ом.
Активное сопротивление участка 3—4 цепи: /?3<= G7Z24 = = 0,0625-9,732 = 5,9 Ом.
Индуктивное сопротивление участка 3—4 цепи: Хз4 = = —BceZ234 = —0,083• 9,732= —7,8 Ом.
Полное сопротивление всей цепи: Z0 = -V(/?l2 +/?гз + /?34)2 +“ + (Х,2 + %23 + Х34)2 = V( 10,8 + 7,26 + 5,9)2 + [ 1,85 + (-5) + + (—7,8)]2= 26,4 Ом.
Общий ток в цепи: /0= £//Zo= 60/26,4 = 2,26 А.
Показания вольтметров в цепи: (7i = Zi2/o = 10,98-2,26 = -24,8 В; <72=Z23/o= 8,76-2,26= 19,7 В; [/, = Z34/o=9.73X /2,26=22 В.
Активная, реактивная и полная мощности и коэффициент мощности участка 1—2 цепи: Р\ — (7|/Ocos<jpi = 24,8-2,26Х X 10,83/10,98=51 Вт, где сойф1 =/?12/Zi 2=10,83/10,98 = 0,99; Qi= t/i/osin<jpi = 24,8-2,26-1,85/10,98 = 9,45 вар где sincpi = = Xi2/Z12= 1,85/10,98 = 0,168; Si =дМ+0Т= U Jo = 24,8 X
X2.26 =56 В-A.
Активная, реактивная и полная мощности участка 2—3 цепи: Р?= (Mocosqh =19,7-2,26-7,26/8,76= 36,8 Вт; <?2 = = U2/Osin <ро = 19,7 • 2,26 5,0/8,76 = 25,4 вар; S-, = U2Ia =
= 19,7 • 2,26= 42,4 В - А.
Активная, реактивная и полная мощности участка 3—4 цепи: Р3= t/3/0cos <Рз = 22 - 2,26 - -^- = 30 Вт; Q3 = £73/osin <р3= 22Х Х2,26--^8 = —39,8 вар; S3 = f/J0= 22-2,26 = 49,7 В-A.
3.78. Задачу 3.77 решить методом применения комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления ветвей и участка /—2 электрической цепи: ^=/?1=15Ом; Z2=/?г+ /Хгг = (30 + + /20)0»; 2.,= Д- = (Ю.8 + /1.85)0»; Л„=
= 10,8 Ом; Xi2= 1,85 Ом.
Комплексные сопротивления ветвей и участка 2—3 цепи: Z3 = = R3 + j(XL3 -%<□)= 10 +/(5- 10) = (10-/5) Ом; Z4 = /?4 = = 70 0»; &=-/Х„_-/40О»; ----------
-(17.2-/30.15)0»;
= (7,14 —/5) Ом, откуда /?35=7,14 0м; X3S = 5 0m.
Комплексные сопротивления ветвей иа участке 3—4 цепи: 4=-/ХС6=-/12Ом; Z7=/?7=16 0m;
= (5,79 — /7,68) Ом, откуда /?67 = 5,79 Ом; Х6? =—7,68 Ом.
Общее сопротивление цепи: Zli = Z|2 + Z23+Z34= 10,8-/1,85+ +7,14-/5 + 5,79- /7,68 = (23,96 - /10,95) Ом.
г и 60
Общин ток в цепи: /0 = -===-^——7777- = — Zo 23,96 — /10,9о
= (23 96 6S6H23% + /10 95) = <2’08 + '°’95) А: °ТСЮДа /0 =
= V2.082 + 0,95* = 2,25 A.
Показания вольтметров в цепи: Ui = Z^lo = (10,8 + /1,85) X X (2,08 +/0,95)=(20,74+ /14,1) В,, откуда f/1 = V20,74i+14, Р= = 25 В; t£2 = Z23/o.= (7,14-/5)(2,O8 + /O,95)=(19,64-/3,6) В, от
куда f/2=V19.642 + 3,6й = 20,35 В, jA=Z34Z<>=(5.79-/7,68) X Х(2,08+/0,95)=( 19,3—/10,5) В, откуда U3= 719,Зй+10,52=22 В.
Векторная диаграмма напряжений для рассматриваемой электрической цепи приведена на рис. 3.78.
3.79. Для электрической цепи переменного тока со смешанным соединением сопротивлений (рис. 3.79) определить токи /, Л— Ц, напряжения U\, Щ на участках цепи, активную Р, реактивную Q и полную S мощности, если питающее напряжения U= 300 В,
сопротивления резисторов и реактивные сопротивления конденсаторов: /?1 = Х1 = /?2=ХС2 = ХСЗ = /?4 = ХС5 = 10 Ом. Задачу ре-
шить методом применения комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления отдельных ветвей: ZjL=/?1+/Xi=(10 + /10)Om; Z2 = /?2-/X2 = (10-/10)Om; Za =
= — jXC3 = — /10 Ом; Z4 = /?4=10Om; Z5 = — /Xrs= —/10 Ом.
Комплексное сопротивление всей цепи: Z = —---------------Ь
Zi + Zi
1 । 7 (Ki+/'Х|)(Яг~/Лсг) , —jXgRf -у
’"Z3-1-Z4 + — + "Г Кч-jXct ' С5
= V15z+152 = V2 • 15 = 21,2 Ом.
Общий ток цепи: !====—300 = (10 + /Ю)А, отсюда / = — Z 15 — /15 ' '
= v 102 + 10й = V2.10= 14,1 А.
Напряжение на участке 1—2 цепи: U12 = Z[2 / =
- <K> + /») - < 00 + /100) В. отсюда
= v 1002+ 1002= 100д/2= 141 В.
Un 141
Токи в параллельных ветвях 1—2: Л = - z =—10+д0 — = (7,05-/7,05) А, откуда h = V7,052 +7,05й = ^/2-7,05= 10 А; Л= = vL="ln1'1ln- = (7’05 ~ /7>05)’ откУда = V7^* + 7’05‘ = = 10 А.
Напряжение на участке 3—4 цепи: Um = £34/^= X
Х(Ю + /10) = (5 —/5)(10 — /10)= 100 В, откуда Um = 100 В.
Токи в параллельных ветвях на участке 3—4 цепи: /з = ->-гт?г-т7^-/>оа. «~ул- /.-'ОА; к-*./*!-= 100/10= 10А, откуда /4= 10 А.
Полная, активная и реактивная мощности всей цепи: S = = ///* = 300( 10 - /10) = (3000 — /3000) В • А, откуда Р=3000 Вт= =3 кВт; Q = — /3000 вар = 3 квар, тогда S = -/Р2 + Q2 = -\/32+32= =3д/2=4,23 кВ-А.
Коэффициент мощности всей цепи: cos <р= P/S = 3000/4230= = 0,71.
Рис. 3.78
R, jX,
Баланс мощностей: P = /2/?i+/г/?2 + /4/?4= Ю2-10+102-10 + + 102 • 10=3000 Вт = 3 кВт; Q=/U, - 122ХС2 - ЦХСЗ - 12ХС5 = = 102-10- 102-10— 102-10— 14,12-10= —3000 вар = —3 квар.
3.80. В электрическую цепь переменного тока с частотой питающего напряжения /=50Гц включена катушка индуктивности, имеющая активное сопротивление /?=4Ом и индуктивное сопротивление Х£ = ЗОм. Определить полное сопротивление Z катушки, ток / в цепи, а также угол сдвига фаз <р между током и напряжением U = 1 ООе'52”. Записать комплексные сопротивления и проводимости цепи в алгебраической и показательной формах записи.
Решение. Сопротивления катушки индуктивности:
комплексное: Z = R + jXL = (4 + /3) Ом; полное: Z = ^R2-\-X2L= = д/42 + 35 = 5 Ом.
Угол сдвига фаз между током и напряжением: tgcp=Xr/R— = 3/4 = 0,75, откуда <р~37°.
Комплексное сопротивление катушки в показательной форме записи: Z = Zei<f = бе'37” Ом.
Комплексный ток в цепи в показательной форме записи: /=t//Z_= 112^1= 22е'15” А.
Комплексный ток в цепи в алгебраической форме записи: /= /cos 15° + //sin 15° = (22• 0,965 + /22 • 0,258) = (21,2 + /5,68) А.
Ток в цепи: /= U/Z = 110/5 = 22 А.
Проводимость цепи:
комплексная: --------------/-^-=(0,16 — /0,12) См;
полная: Y = -/(0,16)? + (0,12)2 = 0,2 См.
Комплексная проводимость цепи в показательной форме записи: Y= 1 /Z = 0,2е~'37“ См.
Ток в цепи в показательной форме записи: /= UY= 1Юе'12 X Х0,2е“'37” = 22е“'15” А.
3.81. Вычислить токи в ветвях электрической цепи переменного тока рис. 3.81. Напряжение питающей сети U—25 В, сопротивления резисторов: Rt = R2=\ Ом, индуктивное и емкостное
4 3
Рис. 3.81
полученных уравнений
сопротивления: XL2 — XLi = Xc= 1 Ом. / /, Rt Решить задачу методом законов Кирхгофа.
Решение. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для левого замкнутого контура цепн: 0= — С/ Ц-
+ /?>/>.+ (fi2 + jXL2-jXc)hi 0=-25 +
+ 1Л.+ 0 +/1 -Л Хг.= Л.+/L-25.
Аналогично для правого замкнутого контура: 0 = — U +R ih+ /Хгз/з; 0= = -25 +1Л + j 1 /з_= h_+ /7з_- 25.
В результате совместного решени с учетом уравнения для токов, составленного по первому закону 25 Кирхгофа для узла 2 цепи: Л = /г + /э. находим: /3 = t= = (7^j^2)-=(5-/10)A или k=V52+ 10г = 11,15 А.
Ток в неразветвленной части цепн находим из уравнения, записанного для правого контура цепи с учетом выражения для комплексного тока /з: //.= /? i/j_+ 25= 1Л.+ /1 (5—/10), от-
куда Л = (15-/5) A; It =у/152+52= 15,8 А.
Ток во второй (параллельной) ветви согласно уравнению для узла 2 цепи, составленному по первому закону Кирхгофа: Л = = Л+Л; 15-/15=43-5-/10; /г_=(10+/5)А или /2=л/102+5г= = 11,15А.
3.82. Задачу 3.81 решить методом контурных токов.
Решение. Составляем уравнение электрического равновесия напряжений для левого замкнутого контура цели в соответствии со вторым законом Кирхгофа: 0 = —Ц-|-+/?2-b/(Xt2 — -ад]/и-[/?2 + /(Х£2-Хс)]4 25 = [1+ !+/(!-1)]Л>-[1 + + /(1 — 1)]/22 ИЛИ 25 = 2/п—/22.
То же, для правого замкнутого контура цепи: 0=[/?2 + + /(^2 + ^з -*с)]/и-[>?2 + j(Xl2 -Хс)]Л.; 0 = [ 1 + /(1 + 1 -— 1)/и — [ 1 “Ь/(1 — 1)]/и или 0 = 1 —|— / /22 — /11-
В результате совместного решения полученных уравнений" имеем: 25= 2/м +/2/22-/22, откуда /22 = -у j-"2- = (~ff/2) = = (5-/10) А или /22 = /з = У52+Ю2= 11,15 А.
Ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения: 25=2/н~/22, подставляя в него значение /22: 25= 2/ji — — (5 —/10), получим Ii = /n = (l5 — /5)A, /1 = /ц = -1/152+'52 = = 15,8 А.
Ток в первой параллельной ветви: 12 = /п — /22 = 15 —/5 — - (5 — /10) = (10 + /5) А или /2 = д/Ю2 + 52 = 11,15 А.
3-83. Задачу 3.81 решить методом проводимостей.
Решение. Комплексные сопротивления участков электрической цепи: /£=/?!= 1 Ом; Z2 = R?-\-j(XL2 — Хс) = 14-/(1 —1)= = 1 Ом; Z3 = jXL3 = /1 = / Ом.
Комплексные проводимости участков цепи: У2 = 1/^2= 1/1 = = 1 См; Уз= 1/2з = 1/1=-j См; У23 = Уг +Ь = (1 -/) См.
Комплексное сопротивление параллельного участка цепи:
+ Ом.
Общее сопротивление цепи: Z = Z i +^гз = 1 + 0,5 +/0,5 =
= ( 1,5+/0,5) Ом. „
Ток в неразветвлениой части цепИ: _/,= -^-= 5_)_/-о5j~~
= (.,5Т^Й&Г-<|5-'5> а ' = 1М А-
Падение напряжения в неразветвлениой части цепи: Ui = = Zih = 1(15 —/5) = (15 — /5) В или t/i = V152 + 52=15,8 В.
Падение напряжения на параллельном участке цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа: t/23 = U— Ui = 25— 15+ + /5 = (10 + /5) В или 1/23 = ^/102 + 52= 11,15 В.
Ток в первой параллельной ветви: /2 = С/23У2=(10 + /5)1 = = (10 + /5) А или /2 = V1Oz + 52= 11,15 А.
Ток во второй параллельной ветви: /3 = С/2зУз = (10 +/~5) X Х(-/) = (5-/10) А или /3 = V52+ 102= 11,15 А.
3.84. Задачу 3.81 решить ,методом узлового напряжения.
Решение. Комплексные сопротивления участков электрической цепи: Zi = = 1 Ом; Z2 = #2 + j(XL2 —Хс)= 1 + /(1 —
— 1) = 1 Ом; Z3 = jXL3 = /1 = / Ом.
Комплексные проводимости участков цепи: У1 = 1/^‘ — = 1//?, = 1/1 = 1 (2м; У2= 1 См; Уз = —/См.
Комплексное напряжение, действующее между узлами 2—3
II LbXl 251 25 25(2 + /) _ /1П ,
цепи. U23— у,+2^+Из 1 + 1-/ 2 — / (2-/)(2 + /) ( + + /5) в.
Ток в неразветвлениой части цепи определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для левого замкнутого контура цепи: 0= — U + /?i/i + U23', 25= 1 • /1 + 10 + + /5; /|_=(15 —/5) А или Ц = -\/15Z + 52 = 15,8 А.
Ток в первой параллельной ветви в соответствии со вторым законом Кирхгофа: 0 = [/?2 + /(Xi2 — ЛсШг — 104-/5 = [ 1 +
+/(1 — 1)1/з, откуда+г = (10 +/5) А или /2 = -\/102 + 5"*= 11,5 А.
Ток во второй параллельной ветви в соответствии с уравнением, составленным для узла 2 по первому закону Кирхгофа: /1 = /2.+ Л: 15 — /5 = 10 + /5+_/3, откуда_/.3 = (5 —/10) А или /3 = = +52+ 107= 11,5 А.
Задачи
3.85. Неразветвленная электрическая цепь переменного тока находится под напряжением U = 84,6 В и содержит активное и индуктивное сопротивления R = XL = 3 Ом. Определить полное сопротивление Z, ток /, полную S, активную Р и реактивную QL МОЩНОСТИ цепи. Ответ. Z = 4,23 Ом; I = 19,7 A; S = 1,68 кВ-А; Р= 1,19 кВт; Ql = 1,19 квар.
3.86. Определить полное Z, активное R и реактивное X сопротивления электрической цепи переменного тока, а также характер нагрузки цепи, если ее комплексное сопротивление Z = 4е~'30. Ответ. Z = 4 Ом; R = 3,46 Ом; X = 2 Ом.
3.87. В разветвленную электрическую цепь переменного тока включены осветительная нагрузка с активным сопротивлением Ri, катушка индуктивности с индуктивным сопротивлением XL и активным сопротивлением Rz и конденсатор с емкостным сопротивлением Хс (рис. 3.87). Определить напряжение U источника питания и токи /2 и /з в ветвях; если общий ток в цепи /, = 5 А, активные и реактивные сопротивления цепи: Rt = 44 Ом; /?2 = = 7 Ом; /?3=15 Ом; Xi =24 Ом; Хс=20 Ом. Ответ, и = 220 В; /2 = 8,8 А; /3 = 8,8 А.
3.88. Определить показания амперметра А, включенного в электрическую цепь переменного тока рис. 3.88 при разомкнутом (/) и замкнутом (/') выключателе В в резонансном контуре. Напряжение источника питания U = 100 В, активные и реактивные сопротивления: R = XL = Хс = 5 Ом. Ответ. I = 14,2 А; /' = 0.
Рис. 3.87
Рис. 3.88
3.89. В разветвленной электрической цепи переменного тока (рис. 3.89), находящейся под напряжением U = 100 В, включены активные и реактивные сопротивления: R\ = 1 Ом; Rt=2 Ом; Xi = 2 Ом; Хг = 4 Ом. Определить общий ток I и токи Д и /2 в ветвях цепи, построить векторную диаграмму напряжения и токов. Ответ. / = 67 А; /, = 44,5 А; /2 = 22,25 А.
3.90. Для условий предыдущей задачи определить полные У, активйые G и реактивные В проводимости всей цепи и ее ветвей, построить треугольник проводимостей. Ответ. У =0,66 См; О = = 0.298 См; В=0,595 См; G, =0,198 См; G2 = 0,l См; В, = 0,396 См; Вг = = 0,198 См.
3.91. В разветвленной электрической цепи переменного тока
Рис. 3.89 Рис. 3.91 Рис. 3.92
(рис. 3.91) имеет место резонанс токов, при этом показания амперметров Ai и А2 соответственно равны: Л = 10 А и /2 = 4 А. Определить емкостное сопротивление Х2 идеального конденсатора (У?с=0), если индуктивное сопротивление катушки Xt = = 10 Ом. Ответ. X? = 62.5 Ом.
3.92. Определить общий ток /, активные Р и реактивные Q мощности отдельных ветвей и всей электрической цепи переменного тока рис. 3.92, построить векторную диаграмму напряжения и токов, если питающее напряжение U = 110 В, активные и реактивные сопротивления соответственно равны: /?| = 2 Ом; /?2 = = V6 Ом; Xl = 4 Ом; Хс = 2 Ом. Ответ. 1 = 38 А; Л - 1,21 кВт; Р2 -= 2,97 кВт; Q, = 2,42 квар; Q? — —2,42 квар; Р — 4,18 кВт; Q = 0.
3.93. Определить значения токов Л и /2 в ветвях, общий ток / и соответствующие коэффициенты мощности cos <р, построить векторную диаграмму напряжения и токов электрической цепи переменного тока (рис. 3.92), если напряжение питающей сети С/= 120 В, активные и реактивные сопротивления; /?1 = 2Ом; /?2=1Ом; Ад = 6 Ом; Хс — 9,55 Ом. Задачу решить методом проводимостей. Ответ. /,= 19 А; /2=12 А; I = 9,4 A; cos <j>i = 0,317; cos <j>2 = 0,1; cos <j> = 0,766.
3.94. Определить реактивную мощность Q разветвленной электрической цепи переменного тока (рис. 3.92), если питающее напряжение С/= 100 В, активные и реактивные сопротивления: Rt = 1 Ом; /?2 = 3 Ом; Xl = 2 Ом; Хс = 1 Ом. Ответ. Q — 3 квар.
3.95. Найти напряжение U источника питания, активную Р. реактивную Q и полную S мощности электрической цепи переменного тока (рис. 3.95), если ток в цепи / = 5 А, а токи в ветвях: /, = 4 А; /2 = 3 А, активные и реактивные сопротивления
Рис. 3.95
Рис. 3.96
участков цепи: /?1=6Ом; /?г=5Ом; /?з=ЮОм; Х£ = 8Ом; Хс = 5 Ом. Ответ. U = 81 В; Р = 391 Вт; Q = 63 вар; S = 400 В-А.
3.96. Найти распределение токов электрической цепи переменного тока (рис. 3.96), если напряжение источника питания U = = 100 В, активные и реактивные сопротивления ветвей: Ri = = 0,68 Ом; /?з=ЮОм; /?4=ЮОм; XL = 0,32 Ом; Хс2=10Ом; ХС4 = 10 Ом. Ответ, h = 20 А; 12 = 9,4 А; 13 = 9,4 А; I, = 6,63 А.
3.97. Найти распределение токов в электрической цепи переменного тока (рис. 3.97), определить напряжения и U12 на участках цепи, построить векторную диаграмму, если напряжение источника питания U = 100 В, активные и реактивные сопротивления: Ri = 2 Ом; /?2=ЗОм; /?3=8Ом; ХС\ = 2 Ом; ХС2 = = 4 Ом; Л7з= 6 Ом. Задачу решить методом узлового напряжения. Ответ, h = 13,9 A; h = 12,4 А; /3 = 6,18 A; Ui = 43,2 В; Ul2 = 62,5 В.
3.98. Определить общий ток / и токи в ветвях Л, Л, /з, активную Р, реактивную Q и полную S мощности, а также коэффициент мощности cos <р электрической цепи переменного тока (рис. 3.98), если напряжение источника питания U = 100 В, активные и реактивные сопротивления: R = 6 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = = 10 Ом; Xl = 18 Ом; Хтз = 10 Ом; Ха = 10 Ом. Задачу решить методом проводимостей. Ответ. 1 = 5 к; /, = 3,16 А; /? = 3,16 А; 13 = = 2,24 А; Р = 300 Вт; Q = 400 вар; S = 500 В-A; cos <₽ = 0,6.
Рис. 3.97
Рис. 3.98
3.99. Задачу 3.98 решить методом применения комплексных чисел. Построить векторную диаграмму токов и напряжений электрической цепи. Ответ. См. задачу 3.98.
3.100. Определить токи: /, /1—/3 в электрической цепи переменного тока (рис. 3.100), если напряжение источника питания U = 100 В, активные и реактивные сопротивления: /? = 8,67 Ом; R2 = R3= 10 Ом; Хс= 12,67 Ом; ХС| = ЮОм; Хсз=ЮОм. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Задачу решить методом применения комплексных чисел. Ответ. / = 5 A; h = = 2,53 A; h = 2,53 А; /3 = 1,66 А.
3.101. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.101) определить токи h—h и построить векторную диаграмму токов и напряжений, если напряжение источника питания U = 52 В, активные и реактивные сопротивления: Rt = R2 = R3 = Хц =
= XL2 = Ха = Xt-2 = ^сз = 1 Ом. Задачу решить методом применения комплексных чисел. Ответ, h — 32,9 А; 12 = 14,4 А; Л = 20,4 А.
3.102. Задачу 3.101 решить методом проводимостей. Ответ. См. задачу 3.101.
3.103. Найтн распределение токов и напряжений на участках электрической цепи переменного тока рис. 3.97. Построить векторную диаграмму напряжений и токов. Напряжение источника питания J7 = 200 В. Сопротивления резисторов: Rt = 4 Ом; /?2 = — 3 Ом; /?з = 8Ом, емкостные и индуктивное сопротивления: Ха = 4 Ом; ХС2 = 4 Ом; XZ) = 6Om. Задачу решить методом законов Кирхгофа с применением комплексных чисел. Ответ, h = = 20 А; (13,1+/12,1) А, /2=17,83А; /j = (6,08-/6,52) А; /3 = 8,94 А; (Л = (112-/16) В; t/,= 113,4 В; (Л2 = (88 —/16) В; (/,2 = 89,44 В.
3.104, Задачу 3.103 решить методом контурных токов.
3.105. Задачу 3.103 решить методом проводимостей.
3.106. Задачу 3.103 решить методом узловых напряжений.
Контрольное задание*1
3.107. Для электрический цепи переменного тока с частотой /=5ОГц (рис. 3.107) определить полные сопротивления Z ветвей, токи 1 в ветвях и иапря-
Рис. 3.107
Рйс. 3.108
*)В контрольных заданиях 3.107—3.111 для реактивных сопротивлений в вариантах 31—60 задания принята частота тока / = 75Гц, а в вариантах 61—90 частота /=25Гц. '
Величины Варианты контрольного задания 3.107
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
El ИЛИ £|, В * 3 <Л О О X е сч С 35 104 Я coswl | О X о 04 е 35 ея 3 <л 8 О X § С «л 04 т ея СМ я 3 «л 8 8 © 04 С ‘35 [04 R
8 оч ю 3 |еч £ + 8 + 3 200е J о X IC4 I + 8 + 8 04 | 2 1 О X гДов + 8 + 8 h 04 | 9003 200е 150е' © X 3/4)8 + 8 + 8 04 | 9003
II II и ц II II II, II 1 II 0 0 II IIt II 1 II и 0 и it II 1 1 II II 1 1 • t и
51 щ| 51 е» 51 ul 51 51 51 ф 51 51 ul 51 51 С 51 51 - 3 4) • 51 51 51 51 V 51 51 «г 51
Е? или ег э с 3 э е 7Я с *
в я сч N е <Л ея К ем м ‘35 «л ч» е« ея с ‘35 <л 104 £ £ ея ея «л «л 104
7 ч> о бОе'" 104 1 3 о < о « (9001 is ю 1 X 104 I 3 3 кю-7 ’Л) о т 50е'- 60е'" О со 3 («/.- /МХИ © 7 © 7 .(90S 60е'" IC4 I 3 3 I? 7
и II II II II II lit II И 1 II 1 И । t к II II II II II II t 1 1 II 1 0 II 1 nt и
bul 51 51 51 ф X 51 51 5! 51 51 ф л 51 51 51 5! 51 51 51 51 5! 4) 51 51 *» 3 4) . 51
Ом 3 6 9 18 3 4 8 3 6 9 18 3 4 8 3 6 9 18 3 4 8 3 3 6 9 18 3 4 8 3
/?2, Ом 6 3 16 6 9 12 4 6 3 16 6 9 12 4 6 3 16 6 9 12 4 6 6 3 16 6 9 12 4 6
/?з, Ом 4 12 3 4 3 8 12 4 12 3 4 3 8 12 4 12 3 4 3 8 12 4 4 12 3 4 3 8 12 4
X,. Ом 4 8 12 24 4 3 6 4 8 12 24 4 3 6 4 8 12 24 4 3 6 4 4 8 12 24 4 3 6 4
Хг, Ом 8 4 12 8 12 16 3 8 4 12 8 12 16 3 8 4 12 8 12 16 3 8 8 4 12 8 12 16 3 8
Х3, Ом 3 16 4 3 4 6 9 3 16 4 3 4 6 9 3 16 4 3 4 6 9 3 3 16 4 3 4 6 9 3
- НеобхО- - Напрежение Un между уз- Режим работы источников Построить для пассивной ветви Напряжение l/и между точками
димо оп- лами 1 и 2 цепи питания Е\ н Е 2 цепи векторную диаграмму 2 и 3 цепи
ределнть тока и напряжений
Метод М< ;од законов Кирхгофа Метод контурных токов Метод узлового напряжения Метод наложения
решения
задачи
£ Величини
1 2 3 4 5
е\ или В 1 с <л Ю © "7> IC4 о ,с 1^ 'с х •Ez~. I*N 1 Ю 1 л э _с ’«л 1о< о (О
(»2 или £2. В с?" * _|_ ю ' О 1 с< «л * IC4 _|_ о 3 X — 1 (Л О "о X 1 •Ez~. '« ем |еч^ 'а 1 1 л 3 <л о 104 о °1
/?,. Ом R,, Ом А /. 1, Ом XL2, Ом Х(;1, Ом X /;2, Ом 5 3 5 5 10 10 4 3 5 5
Замкнуты выключатели в2 в. В2 В5 в, в. Вз в6 В, В4
Необходимо определить £,. < Р, Q. S Z, 1т. % р. Q £., г. i/13. Q Е|.Е2. Im. U,. S £|, г. *1, фег, Q
Установить режим работы истомника писания Ег £i Ег Ех Е2
Варианты контрольного задания 3.108
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
з з э э
с G с с © с сч
1СЧ | 1сч 00 1СЧ |еч ।
о 8э © 4- © © + © "а + © О
© © © © © еч ©
3 3
<Л О 3 V) О
1^ О V2 sir + л/ /2 cos 1СЧ эд /2sin + ЛЛ ©
ао © э g1 + © + < —
с*Э эд 1 © о* -X 1
5 3 — 1 6 3 1 1 3 —
— — 5 — — — 0,5
— 4 5 — 8 — — 4 0,5 —
10 — — — 4 — — 10
в2 в2 Вл в2 Вг Bi в2 в2 В:, вг
в, в5 в, Ви В5 В, Ви в5 В5 в<
Е>, 1, г. /, с,, г. ег. 1 Z, 1, Ег. Z. «2, Z, Ег. 2. гь Ег. Ег. Z.
1, 1/12. Q, 1. U\3, 1. и,,. Иц. 1. U„. 1т, i. UL. 1.и,г.
S S р р р Q U„. Р S_ Q Ul3. Q
Ег Е, Ег Ei Ег Е, Ег Е, Ег Ег
Величины
16 17 18 19 20
ei или £i, В 282 sin S _с ’л 8 18 + /24 ,Е 3 •» - > 1 81 24 +/32
е» или &. В — 141 sin («>/ + ”/2) л е + да 1 э. 12 +/16 «л »ч о + 11 9 +/12
/?i, Ом 4 8 5 4 1
Ri, Ом — — 5 1
Хц, Ом — — — —
Xl2, Ом 3 — — 3 —
Хсь Ом — — — — —
АСс2> Ом — 6 — — —
Замкнуты выклю- в2 в> В2 в2 В»
чатели Bs в< В. Bs в.
Необходимо опре* 2, ll. Е,. i, ег. 2. е,. г. 1. 2.
делить Р. 4*2. Р 1, и,г. 1, и„. Ч>.2.
$_ Р S 1/.S.Q
Установить режим работы источника Е| Ег Е, Ег Ег
питания
Варианты контрольного задания 3.108
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
э с 1еч > *-лЛ) + ю + 3 c 04 k|« <0 г 3 c in 3 c in 104 +
С*5 s oo Oi s 04 oo 04 ,s
3 м О 104 > S 7 Is 104 -|- еч т 35,25 sin at «Н О О 9l + 9 42,3 sin ш/ 80-\/2sin («>/ + "/2) 10
— 4 — — 6 5 1 7 6
— •— — — —- — 1 — — —
0,5 — — 1
— 3 0.5 — 7 5 — 6 8 1
10 — — 0.5 — — — — — —
10 — — 0,5 — — — — — —
в, в, В, Bi Bj Вз Ba B3 B2 Bl
в. в» Bs B« Bs В. Be Bs Bs Bs
е», г. £,.£,, еь г. ei. Z, Z. I, Z, Ei, Z, Ei, I, Z, /, «2, i,
<, О|э, Z, Л /, <> /, Ou, 4>„ Ot, oR, ₽, 0,3. P, 4i, Q. P. Z, 0,3,
₽ О„ S Q Q Q S S s Q
£> £» £, £j Ei Ei Ei Ei Ei Ei
Рис. 3.109
жения U на элементах электрической цепи, составить баланс активных мощностей. Комплексные Е илй мгновенные е значения ЭДС источников питания, сопротивления R резисторов и реактивные сопротивления X элементов электрической цепи, а также предлагаемый метод решения задачи для соответствующего варианта задания приведены в табл. 3.9. Дополнительное задание. Для соответствующего варианта задания определить напряжение (713 между точками 1—3 и напряжение Un между точками 3—4 цепи, а также режим работы источников
питания. Построить для ветви 2—3 цепи в масштабе векторную диаграмму тока и напряжений.
3.108. Для электрической цепи синусоидального тока (рис. 3.108) определить действующие значения ЭДС и режим работы источников £, и £2, полное сопротивление Z электрической цепи, ток /, его амплитудное и мгновенное 1 значения, напряжение U между заданными точками цепи, падение напряжения U R па резисторе и на индуктивном сопротивлении U с, активную Р, реактивную Q, полную S, комплексную S мощности, цепи, начальные фазыф, тока и ЭДС. Известны мгновенные е или комплексные £ значения ЭДС источников питания, сопротивления R резисторов, индуктивные XL и емкостные Хс сопротивления и положение выключателей В в цепи для заданного варианта задания, приведенные в табл. 3.10.
3.109. Используя данные, приведенные в табл. 3.11 для электрической цепи переменного тока (рис. 3.109) для каждого варианта задания, определить напряжение (7, действующее на зажимах цепи, показание ваттметра W, емкость С< конденсатора при резонансе токов, если на участке 1—2 электрической цепи амперметр А показывает ток / = 6 А, а частота тока питающей сети / = 50Гц. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для всей электрической цепи.
Дополнительное задание. Определить активное R, реактивное X и полное Z сопротивления и соответствующие проводимости G, В и У, а также коэффициенты мощности cos <р, полную S, активную Р и реактивную Q мощности ветвей и всей электрической цепи переменного тока.
3.110. Электрическая цепь переменного синусоидального тока с частотой f — = 50 Гц (рис. 3.110), находящаяся под действием напряжения U, содержит активные Ri — Rs сопротивления, реактивные индуктивные Х/2. XLi, Хц н реактивные емкостные Ась АС4, Хет сопротивления. По данным табл. 3.12 с учетом поло-
Варианты Варианты контрольного задания 3.109 Варианты Варианты контрольного задания 3.109
Величины, Ом Величины, Ом
R, «2 xLI xL! Xci Rs хи %Д2 Xci
1 3 2 4 2 8 16 1,5 1,5 4 4 2
2 3 2 8 4 4 17 2 2 1,5 2,5 1
3 4 4 5 4 8 18 3 4 2 2 6
4 6 4 4 8 12 19 3 8 4 4 8
5 6 5 5 5 13 20 4 5 4 4 8
6 6 6 6 6 14 21 6 4 2 12 10
7 9 6 14 8 2 22 3 5 9 9 5
8 9 8 16 16 4 23 9 14 6 8 2
9 9 10 18 10 6 24 9 16 16 8 4
10 10 12 15 16 5 25 6 10 18 10 10
11 10 15 20 20 10 26 10 16 15 12 5
12 12 18 12 24 3 27 10 20 15 20 10
13 10 20 25 15 15 28 12 24 12 18 3
14 12 24 14 32 5 29 12 32 14 24 5
15 12 30 15 40 6 30 12 40 15 30 6
жеиия выключателей В>—В? определить для данного варианта задания приведенные в ней величины. Проверить соблюдение баланса полных S, активных, Р и реактивных Q мощностей, построить векторную диаграмму напряжений и токов
Дополнительное задание. Определить комплексные У, активные G и реактивные fl проводимости отдельных участков и всей электрической цепн.
3.11'1 . Методом коитуриых токов определить действующие 1 и мгновенные i значения токов в ветвях электрической цепи переменного тока с частотой f= = 50 Гц (рис. 3.111), режим работы источников ЭДС £,—£g, коэффициенты мощности cos ср всей цепи, составить баланс активных мощностей. Комплексные £ или мгновенные е значения ЭДС источников питания, напряжения U и полные сопротивления Z ветвей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 3.13.
Величины Варианты контрольного задания 3.110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5
и, в 100 100 100 141 200 141 100 100 100 100
1//.3, В//з, А — 32/- — — 32/- — — — — -/5 — 32/- — — 32/—
/?1, Ом 2 — 4 2 — 10 — 10 2 — 4 — 4 2
/?2, Ом — 4 — — 4 —. 2 — — 3 — 4 3
/?з, Ом — 12 8 — 12 12 10 12 — 7 — 7 24 5
/?«, Ом 6 — 3 6 — — — — 6 15 5 — 3 10 —
/?&, Ом 10 20 — 10 20 50 20 40 10 44 5 10 20 20 20
XL2. Ом — 4 — — 10 — 16 — — 4 — 4 — 4
X L3, ОМ — 16 6 — 16 16 10 16 — 24 — 24 7 — 12
X£6. Ом — 5 — — 50 100 — 50 — — — 5 30
Ясь Ом 5 — 4 5 — 10 — 10 5 — 10 — 4 5 —
Хс4, Ом 8 — 4 8 — — — — 8 20 12 — 4 24
Хсу, Ом 25 — 25 — — • 20 — 25 — 20 — — 15 —
Выключатели зам- Вь Вт. Вь Bi, Bs, Вь Bp. Вь Вз. Вз, Вь Вз, B,. Вь Вз.
кнуты В., Вз. Вз, Вз, Вз, Вз, B5, Вз. Вз, Вз. В,. B3, Вз. Вз, Вз,
В5, Bs, Вз, Bs, Bs, Bs. Bs. B5. Bs, Вз Bs, Bs, Вз, Bs, Bs,
Вт Вз Bs Вт Bs Bs B, В, В, Bs Вт Bs Bs Вт B«
Необходимо опре- 1± 12, Zgfi. L. Z, Lb /з, lb lb и. J_t. L. d, dj- _h •
дел нт ь Is, 1з Zi, /p4, Zb lb lb lb lb L f.i, z^ z,, lb /3,
ь lb z± lb L. lb P z. /аЗ. Lb COStpi, Za6, Рз. Pt, p.
/.4, Ua6, 1э, Pt. Lb Zl. Q. COSZ3, /рз. C0S<P4, h. Q3. Ps. Q.
COS ф! cosyh h Um lis COStpt Um Рз costp< Ss Um cos фа COStpi Ss sintp3
Величины
16 17 18 19
и, в 282 200 282 200
1//.3, В/б, А — — — — —
/?i, Ом 10 — 10 2 -
/?2, Ом — 2 — —
/?з. Ом 12 10 6
/?4, Ом — — — 6 1
Ri, Ом 50 20 40 10 4
Хи. Ом — 16 — —
Хи, Ом 16 10 8 — 2
X£ь, Ом 100 — 50 —
Леи Ом 10 — 10 5
^С41 Ом — — — 8 2
Хс7> Ом — 20 — 25 -
Выключатели зам* в,, Вз, Bl, В,, в
кнуты Вз, Вз, Вз, в«, в
В., Вз, Вз, Вз, в
В. Вз Вз Вт в
Необходимо опре- L L. L. L 1,
делить hi /.з. 1.3. <2з. h.
Р>, /рЗ. Pl, Рз. Рз,
s. S, Q.
COS фг cos«pi ' со$ф S_
Варианты контрольного задания 3.110
0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
- 200 200 200 282 200 282 100
/5 — 64/ — — — -/5 — — — 32/- —
- 2 — 4 2 — 10 — 10 — 4
3 — 4 — — 3 — 2 — 3
7 — 12 8 — 7 12 10 6 5 24
5 6 — 3 6 15 — — — — 3
4 10 20 20 10 22 25 20 40 10 20
4 — 4 — — 4 — 16 — 4
4 — 32 6 — 24 16 10 8 12 7
- — 5 — — — 100 — 50 30 —
- 5 — 4 5 — 10 — 10 —, 4
0 8 — 4 . 8 20 — — — — 4
- 25 — — 25 — — 20 — — —
2. Вь Вт, в,. Вз, Вз, в,. Вз, Вь Вз, Вь
3> В., Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, В3, Вз,
4. Bs, Bs, Вз. В5. Вз, В5, Bs. В5, Bs, Вз,
S Вт Bs Bs Вт Bs В. Вт В, Bs Bs
Лт L L. Z, /, /, /, /2, /,
/.з, /12. /з, Ьз Рз. 1зЗ. Z, Z, z. Уз
Рз, /р2, Sj Рг. <?3, /рЗ. 2 об. Рз. Zi. 3,,
Qi. <2. Ул». <2з. $1. з,. S1. S3. Рз. sin фз,
8 COS фз СО5фз СО5ф4 8. 81Пф| СО8фз и»6 СОБфз U.6
Величины
1 2
£i(ei), В — —
£э(ез), В —70,5 sin ш/ 100V2sin at
£4(е4), В 56,4 sin at —
£s(es). В 141 sin (©/-"/>) 100-\/2sin (<о/+л/2)
£«(ев), В 100 50
и, В — —
Zi, Ом — —
Z?, Ом — —
2з, Ом 3+/4 6+/8
Zt, Ом 6+/8 —-
Z}, Ом 3+/4 9+/12
Ze, Ом — 12+/16
Z7, Ом — —
Z», Ом 9+/12 34-/4
Z9, Ом — —
Zip, Ом — 3+/4
Выключатели замкнуты Вз, Bi, Въ, & <SdS
Режим работы источников питания Et Es
Мгновенный ток ветви замкнутого выключателя В, Bi
Варианты контрольного задания 3.111
3 4 5 6 7
— — 200~\/2sin (of 100 —
1 (X>V2sin (of 50V2sin (<0/4"/2) 100 200-\/2sin (of 10OV2sin (of
100-\/2sin 50-\/2sin <of 200-\/2sin 50 100-\/2Яп
М4"/>) <(о!4"/г) ((of4”A)
50 25 50 200V2sin ((of4"A) 100
100 50 — — —
— — 34/4 34/4 —
— — — — 1.54/2
34/4 64/8 64/8 64/8 64/8
64-/8 34/4 94/12 64/8 34/4
94/12 124/16 — — —
12-/16 3-/4 64/8 94/12 3-/4
— — 3-/4 3-/4 —
3-/4 64/8 — — —
Вз, В5, Вз, Bs, Вь Вз, Bi, Вз, В2, Вз,
В?, Be В7, В» Bs, В» В$, В» В5, Be
£3 е5 £з £> £2
Вз Bt В| Вз в8
Величины
8 9
£i(ei), В — —
£з(е3), В 100-)/2 sin (<->* + ’/з) 100
Н,(е-«). В — —
В 106 141 sin (о>Г-*Л)
£з(ев), В 1001/2ш/ —70,5sin<pi
и. В —
Zi, Ом — —
Zi, Ом 3+/4 6Ч-/8
Z3, Ом 94-/12 1,54/2
Z«, Ом — —
Zs, Ом 3+/4 3+/4
Ze, Ом — —
Zr. Ом — —
Za, Ом 3-/4 3-/4
Z9. Ом — —
Zip, Ом — —
Выключатели замкнуты ft. ft. ft. ft ft, ft* ft. ft
Режим работы источников питания • Яз Ег
Мгновенный ток ветви замкнутого выключателя &
Продолжение табл. 3.13
Варианты контрольного задания 3.111
10 11 12 13 14 15
—70,5sina>/ 56,4 sin ш/ 141 sin (<>/—*/2) 100 94-/12 34-/4 64-/8 3-/4 100-\/2sin (<|><4-"7з) 100 100V2sin<i>/ 34-/4 94-/12 64-/8 124-/16 34-/4 50-\/2sin<»/ 50-/2sin (ш/4-"/з) 25 50 3-/4 34-/4 34-/4 34-/4 64-/8 50 50->/2sin<i>/ 50-\/2sin (<|>/4-“/з) 25 64-/8 64-/8 94-/12 64-/8 34-/4 50 200-|/2sin (<|>/4-“/з) 100 200V2sin<i>/ 64-/8 34-/4 94-/12 64-/8 64-/8 100 200-7 2sin 50 200->/2sin (ш/4-"/з) 64-/8 34-/4 94-/12 64-/8 34-/4
Вз. В., Bs, В« Вз, Bs, Bs,-Вз Вз, Bs, Вз, В, В,. Bs, Вз, В, Bi, В,, В,. В, Вь Вз, Bs, В.
Bs Вз Вз В. Bi Bs
Вз В. Вз Вз В, Bl
*
Величины
16 17
ft, ei, В — 10OV2sin<i>t
£з» вз. В —70,5sin<i>/ 50
fi. et. В 141 sin(<o/— -’/z) —
е5. В 56,4 sin <о/ 100V2sin (art 4-7.)
Г<, ев, В 50 25
и, В — —
Zi, Ом — 34-/4
Zz, Ом — —
2з, Ом 64-/8 64-/8
Zz, Ом 64-/8 —
Zs, Ом 3-/4 124-/16
Zu, Ом — —
Z?, Ом — —
Ze, Ом З-Ь/4 34-/4
Zg, Ом — 6-/8
Z ю. Ом — —
Выключатели замкнуты Вз, В,, Bi, Вз,
Bs, Be Bs, Bs
Режим работы источника питания fs f,
Мгновенный ток ветви замкнутого выключателя B5 Вз
Варианты контрольного задания 3.111
18 19 20 21 22
50i/2sin —70,5 sin ш/ 100 100^/2sin 50-\/2sin<o/
(“<+*/») (“<—"/»)
— 56,4 sin ш/ 56,4 sin от/ — —
50 141 sin (а>/— 141 sin (от/— 50 50-\/2sin
-’/т) —’/г) (“<+"/»)
50-/2sin <ot 50 —70,5 sin ш/ 100д/2 sin <о/ 25
— — — — 50
— — —• — —
— — — — —
34-/4 34-/4 3-/4 9+/12 34-/4
— 64-/8 9+/12 — —
64-/4 34-/4 34-/4 34-/4 6+/8
34-/4 — — 124-/16 —
— — — — 64-/8
9+/12 3+/4 64-/8 154-/20 34-/4
— — — — —
3-/4 — — 34-/4 64-/8
Вз. Bs, Вз, В4, Вз, В,. Вз, Bs, Вз, Bs,
Вт, В» В5, Se Вь, Bt В6, Bs Вт, Bs
Е> Bs Е3 Bs B,
ВЙ Bs Bt Bs Bs
Величины
23 24
Bl, в|, В 50
£з, ₽з. В 50^/2 sin ш/ 100
Et, е«. В
Ез, вз, В 50-\/2sin <в/ 50i/2sin (<*+"/,)
£|, «в, В 50 50т/2 sin <ot
У, В 25
Zi, Ом — 6+/8
Zi, Ом — —
Z,. Ом 3-/4 1,5-/2
Zt, Ом — <—
Z,, Ом 3+/4 3+/4
Z8, Ом — —
Zi, Ом 3+/4 —
Zj, Ом 6+/8 6+/8
Zj, Ом — 3+/4
Zu>, Ом 9+/12 —
Выключатели замкнуты Вз, Вз, В,, В» Вь Вз» а», в8
Режим работы источников питания Ез Ei
Мгновенный ток ветви замкнутого выключателя Вз Вз
Варианты контрольного задания 3.111
25 26 27 28 29 30
75 50^/2 sin 100 50i/2sin М+’Л) 64/8 1,54/2 1,54/2 64/8 64/8 50-)/2sin<i>t 75 50i/2sin (<о/4”Л) 50 64/8 1,54/2 64/8 64/8 94/12 50т/2 sin (<|><4"/з) 25 50i/2sin<i>t 50 64-/8 34/4 6+ /8 64/8 94/12 100^/2 sin <oi 100i/2sin M4V,) 50 25 64/8 6-/8 34/4 64/8 3-/4 50 100 100i/2sin<i>l 100i/2sin (ь><4’/2) 64/8 94/12 124/16 64/8 34/4 141 sin (ш/-”/з) 100 —70,5sin<o/ 56,4 sin ш/ 64/8 3-/4 94/12 64/8
Вь Вз, в5, Вз В>, Ез. Bs, В, Вз. Bs, Вг, Вз Вз, Bs, В7, Be Вз, Вз, Вв, Вв Вз, В,, В5, Вз
Ез Ез Ез. ' Ев Ев Ез
В, Вв Bs Вв Вз Вз
Глава 4
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
$ 4.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ
Наличие нелинейных элементов, содержащихся в источниках питания и потребителях электрической энергии, является причиной появления периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов в электрических цепях. Периодические несинусоидальные токи способны оказывать неблагоприятное воздействие на работу измерительной аппаратуры, создавать добавочные потери в электрических машинах и аппаратах, вследствие чего возникает дополнительный нагрев и соответствующее снижение их КПД, появляется мешающее воздействие на линии связи. Вместе с тем в системах автоматического управления, вычислительной технике, телевидении, радиотехники и т. д. широко используются устройства, предназначенные для получения периодических несинусоидальных напряжений и токов. Несинусоидальные токи возникают и при выпрямлении синусоидального тока в постоянный.
В процессе анализа электрической цепи с периодическими несинусоидальными токами кривые несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов, удовлетворяющие условиям Дирихле, представляется возможным разложить в гармонический ряд Фурье.
Кривая периодического несинусоидального напряжения, действующего на зажимах электрической цепи, может быть описана следующим тригонометрическим рядом:
u = Un 4~ 1/imSin (со/ 4" ^2mSin (2<о/ -|- i|?2u) 4"”4"^кт5!пЛ<о/-|-
-ЬЧ’к")-
Аналогичным рядом может быть описана и кривая периодической несинусоидальной ЭДС в электрической цепи
е= fo + fimSin (со/-|-£"2mSin(2со/4-ф2₽)Н--FfxmSin + 4 Ч,ке)-
Под действием периодического несинусоидального напряжения или несинусоидальной ЭДС в’ электрической цепи возникает соответствующий периодический несинусоидальный ток:
i— /о 4- /imSin (о>/ 4* 'фи) 4- /jmsin (2w t 4" 'фгО 4" ••• 4-/xmSin (kuit 4-ip»,).
Постоянные, составляющие несинусоидального напряжения, ЭДС и тока равны их средним значениям за период Т:
Т г т
Е^Е^ЦеМг, 7о = 4₽=|рт
О О о
где Ulm, Elm, IXm — амплитудные значения основной (первой) гармоники несинусоидального напряжения, ЭДС и тока; U2m, .... Ukm, E2m ... Ekm и I2m ... Ikm — амплитудные значения высших гармоник периодических несинусоидальных напряжений, ЭДС и тока; трт, тр2«, .... фки; xpiu, xp2«, ••• ф«г, фи, фя. . .> фм — начальные фазы первой и высших гармоник напряжения, ЭДС и токов.
При расчете и анализе электрических цепей периодического несинусоидального тока используют принцип наложения, в соответствии с которым периодическое несинусоидальное напряжение или ЭДС источника питания можно представить в виде совокупного воздействия нескольких последовательно соединенных источников. Периодический несинусоидальный ток определяется как сумма токов, обусловленных постоянной составляющей и гармоническими составляющими периодических несинусоидальных напряжений или ЭДС в данной электрической цепи. Причем переменные составляющие тока, соответствующие каждой из гармоник, определяют по методам расчета цепей переменного тока, а постоянную составляющую тока — по методам расчета цепей постоянного тока.
При этом должно быть принято во внимание, что реактивное индуктивное сопротивление электрической цепи для данной гармоники тока с возрастанием порядка высших гармоник увеличивается по сравнению с его значением = соответствующим первой гармонике тока, пропорционально номеру высшей гармоники, т. е. Xl* — ktatL. В это же время реактивное емкостное сопротивление электрической цепи Хс* для данной гармоники тока с возрастанием порядка k высших гармоник уменьшается по сравнению с его значением Xci = l/(wiC), соответствующим первой гармонике тока, обратно пропорционально номеру высшей гармоники, т. е. == С), Активное сопротивление электрической
цепи RK для данной гармоники тока вследствие относительно небольших частот высших гармонических составляющих тока, имеющих место на практике, принимается равным его значению, соответствующему основной гармонике тока, т. .е. R*==Ri.
Действующие значения периодических несинусоидальных напряжения, ЭДС н тока приняты равными среднеквадратичным их значениям за период Т:
U=~\J -М 1?(/И=д/ Е=~\1 -1J X
‘и Л = 0 v 7 Jo
Xe\t)dt=-yj i El -L\ i\t)dt =
fe=O ' 0
=V 2 &
» = 0
В результате интегрирования полученных выражений формулы для определения действующих значений периодических несинусоидальных напряжения, ЭДС и тока приводятся к виду
U = Vt/g +(/,’ + t/2K=V^ + ^(^+^m +
4- ...-4-t/кт); E=~yJ£o-4~E\-\-Ег4-• •• 4"E\=-yJ4-
-|—2 (1 m 4- 4- • • • 4- й«); 1 4- /? 4-/14- 4~ / к—
= \/lo + ~(Ilm + l2m 4-/*„).
Действующие значения периодических несинусоидальиых напряжений, ЭДС и токов в электрических цепях несинусоидаль-иого тока измеряются с помощью электрических приборов электромагнитной, электростатической и электродинамической систем. Активная мощность электрической цепи периодического4.иесину-соидального тока определяется как среднее значение мгновенной мощности за период Т:
т г
Р=1 {p(t)dt = -L-\i(t)u[t)dt. т J 'о
„ 0
С учетом приведенных выше выражении для мгновенных значений периодических несинусоидальиых тока i и напряжения и после их подстановки и интегрирования получим выражение для активной мощности цепи как сумму мощности постоянной составляющей и мощностей гармонических*составляющих:
Р=£ UJkCos q>K=Uo/o4-f/i/i cos q>i4-f/2/2Cosq>2 4- -4-WkCOS <рк.
* = o
Здесь углы сдвига фаз между соответствующими гармоническими составляющими напряжений и токов:ф| = ф|« — фк; ф2 = = ф2«— фг/5 фк=фки—фю.
При этом реактивная, мощность может быть рассчитана как сумма реактивных мощностей гармонических составляющих:
Q= 2 UJKs'm tfK=Utlt sin ф14-U/г sin ф24-.„4-
* = 0
4- UA sin ф«.
Полная мощность электрической цепи периодического несииу-соидального тока определяется как произведение действующих
I5S
значений несинусоидального тока и несинусоидального напряжения:
5=л/ f U'i f 72к= Ul.
Среднюю мощность несинусоидального тока за период можно определить по действующим значениям несинусоидальных напряжения U и тока / при замене их равнозначными синусоидальными напряжением и током с одинаковыми действующими значениями напряжения U и тока /, при этом Р = Ul cos <рц, откуда можно определить условный коэффициент мощности cos фц = P/(UI), который не является тригонометрическим косинусом угла сдвига фаз между действующими значениями несинусоидальных напряжения U и тока /, а представляет собой некоторое условное его значение.
При анализе формы зависимостей периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов во времени используются коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины и степень их отличия от синусоидальных величин. Коэффициенты:
т
формы Кф = ///ср.мод., где /ср. м<>д=-7-$ амплитуды К а —
' о
= Л1; среднего значения Кср=-^; пульсаций Кп=-^~; гармо-ник /С = -^-, где /г = -yjll + li — действующие значения высших гармонических составляющих периодического несинусоидального тока искажения К„=Ц/1.
Аналогичным образом определяют и коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальиые ЭДС и напряжения. Для синусоидальных величии ЭДС, напряжения и тока указанные коэффициенты имеют значения: Кф=1,11; К,= 1,41; /Ср= = 0; К„=1; /С=0.
Литература. [1) § 5.1—5.8; [2] §4.1—4.4; [3] § 7.1—7.5.
Примеры решения задач
4.1. К зажимам неразветвлениой электрической цепи переменного тока (рис. 4.1), содержащей резистор с активным сопротивлением R= 10 Ом, конденсатор С, имеющий емкостное сопротивление Хс = 5 Ом, и индуктивности L\ &
и Lz с индуктивными сопротивления- е .
ми Хи = 10 Ом и Хг2= 10 Ом, прило- oio-r~~i ~~ { 1
жено периодическое иесинусоидаль- i г I
ное напряжение, мгновенное значе- “I
ние которого u= (20-|-20-^2sin<o(),B, *
с угловой частотой переменной со-
Рис. 4.1
ставляющей <о = 314 рад/с. Определить действующие значения переменных составляющих тока / и напряжения U, выражение для мгновенного значения тока I, а также максимальное и минимальное значения несииусоидального тока в электрической цепи.
Решение. В соответствии со структурой заданного выражения для мгновенного значения напряжения последнее может быть представлено в следующем виде:
и = (t/o -j- t/|mSin О>/) В,
где t7o=2O В — постоянная составляющая; U\m = 2(hj2 В — амплитудное значение первой гармонической составляющей периодического несинусоидального напряжения.
Действующее значение переменной составляющей напряжения: U] — Uim/-\/2 = 20^/2/^j2 — 20 В. Полное сопротивление электрической цепи для переменной составляющей (первой гармоники) несинусоидального тока в соответствии со структурой цепи:
^=^+^'+^^=5+/,0+^7Йж=,0+
+ /10 —/10= 10 Ом,
откуда Zt = 10 Ом.
Значения переменной составляющей тока:
действующее Л_= UtZt = 20/10 = 2 А, откуда /| — 2 А; амплитудное /im = /i-\/2==2V2~ А.
Выражение для мгновенного значения переменной составляющей тока: j|=/imSin<o/=(2VTsina>0А.
Величина постоянной составляющей тока в цепи: /0 = Uo/R = = 20/10 = 2 А.
Выражение для мгновенного значения периодического несииусоидального тока: «=/о+«|== (2 + 2^2 sin cot) А.
Значение мгновенного тока в цепи: максимальное: /тах= = /о 4- /im = 2 + 2-у^=4,84 А; минимальное: /m>n=/o —/im = 2 — —2V2= —0,82 А.
4.2. Неразветвленная электрическая цепь переменного тока содержит катушку индуктивности с активным сопротивлением /?=5 Ом и индуктивностью L = 31,9 мГн и конденсатор, емкость которого С=91 мкФ. Определить действующие значения тока 1 и напряжения U, активную Р, реактивную Q и полную S мощности электрической цепи, находящейся под действием периодического несииусоидального напряжения, мгновенное значение которого и = (100 +1005/2 sinaK + 76 sin3co?) В, а угловая частота <0 = 314 с-'.
Решение, Структура мгиовеииого значения данного периодического несииусоидального напряжения может быть представ-160
лена в общем виде: и = 77о + tAmSin <о/-|- (AmSin Зсо/) В, из которой следует, что Uc, — 100 В — постоянная составляющая напряжения, U\m = ЮО-у^ГВ и L/зт = 76 В — амплитудные значения соответственно первой и третьей гармоник несинусоидального напряжения.
Так как в электрической цепи имеется конденсатор С, сопротивление которого для постоянного тока (частота / = 0) состав-
v 1 । 1 „
ляет Хс=—„ =оо, то постоянная составите 2я)С 2-3,14-0-С
ляющая периодического несинусоидального тока /о=О.
Реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора при частоте для основной угловой частоты ш=314-1 переменной составляющей тока: ATlt = coL = 2itfL = 2 • 3,14 • 50 х X 0,0319-!,0 Ом; X.e-i-^-^.35 Ом.
Полное сопротивление электрической цепи, соответствующее основной частоте ю=314 с-1 тока:
Zt =v/A2 + (T1L-Ar1£)2=4/52+(l,0-35)2=34,5 Ом.
Значения первой гармоники тока:
амплитудное: 7lm=77lm/Z| = 100>/2/34,5=4,l А; действующее:
7,=7, „/72=4,1/1,41=2,9 А.
Условный коэффициент мощности электрической цепи, соответствующий первой гармонике тока: cos <pl = R/Zl — 5/34,5=0,145, откуда угол сдвига фаз <p j = 88°54' =0,488 п.
Так как для основной частоты тока в электрической цепи преобладает емкостное сопротивление (Хс> Xl), т. е. нагрузка имеет Шктивно-емкостный характер, ток Ц опережает соответствующее напряжение на угол <рь
Реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора для третьей гармоники тока: X3I = 3a>L = 3-2itfL = 3*
i i io6
X 2 • 3,14 • 50 • 0,0319—30 Ом, Хзс= 3(йС = 3.2л/с= 3-2-3,14-50-91 =
= 11.66 Ом.
Полное сопротивление цепи для третьей гармоники тока: Z3 у'5-’ + (30-11.66)1'=7361,35= 19 Ом.
Коэффициент мощности электрической цепи, соответствующий третьей гармонике тока: cos <р3=/?/Z3=5/19=0,263, откуда угол сдвига фаз между соответствующим напряжением и током: <p3=arccos 0,263 = 74°40' = 0,416 л.
Полное сопротивление электрической цепи для третьей гармоники тока носит активно-индуктивный характер, т. е. ток третьей гармонической составляющей отстает от соответствующей составляющей напряжения на угол <р3 = 74°40' = 0,416 л.
Значение третьей гармоники тока:
амплитудное: 1Ят — Uim/Zi -= 76/19 = 4 А; действующее: /3 = = 1Лт/уГТ= = 2,836 А.
Действующеезначение периодического несинусоидального тока цепи; 7= Jl2+12+ 12ъ =V0+3,922+2,8362 =4,84 А.
Выражение для мгновенного значения иесииусоидального тока в цепи:
i=5,53 sin(o>/-|-<pi) 4-4 sin(3<o/ —<p3) = [5,53 sin(3,14/-|-
4-0,488 n)-|-4sin (942/-0,416л)].
Действующее значение напряжения источника питания:
u-д/ и+(-^-)’+(-^-)'~'У 1°0‘ +
4^ 142.44 в.
Активная составляющая мощности электрической цепи, обусловленная постоянной составляющей иесииусоидального тока: Ро = t/0/0=iooo=o.
Активная мощность, обусловленная токами первой и третьей гармоник несииусоидальиого тока: Р\ = I2R = Utlt cos <pt = = ЮО^А/Т-3,92-0,196 =76,83 Вт, где y,=-^-=J^l=
= 100 В; P3=llR= U3l3cos фз = 76/^2 • 2,836 • 0,263 = 40,2 Вт, где и3= ^=-^8.
Мощности электрической цепи несинусоидального тока:
активная: P=P0-]-Pt 4-Р3 =04-76,83 4-40,2= 117,03 Вт; реактивная: Q= Uth sin ф| +U3/3 sin ф3=10^2?~ 3,92 • 0,98-|--^=Х X 2,836 • 0,964 = 384-|-147,5=531,5 вар; полная: S = UI = = 142,44-4,84 = 689,4 В-А.
Условный коэффициент мощности электрической цепи несинусоидального тока: cos ф = Р/( Ul) = 117,03/( 142,44 • 4,84) = 0,17.
4.3. По данным задачи 4.2 определить мгновенное и и действующее U напряжение на зажимах катушки индуктивности.
Решение. Полное сопротивление катушки индуктивности для первой и третьей гармоник иесииусоидального тока: Zi = = 7/?24-AL=V52 + 102= 11,18 Ом; Z3=/?2 +XlL= з/52 4-302= = 30,41 Ом.
Коэффициенты мощности катушки индуктивности, соответствующие первой и третьей гармоникам несинусоидального тока: cosqn = Я/Zi = 5/11,18 = 0,447; cosq>3 = R/Z3 = 5/30,41 =0,164, откуда углы сдвига фаз ф| = 0,35л; <р3 = 0,494л.
Значения первой и третьей гармоник напряжения на катушке индуктивности:
амплитудные: Ut„ = Zthm = 11,18-5,53 = 61,82 В; U3m =
= Zthm = 30,41 *4 = 121,64 В; действующие: =-777-=—= л/2 д/2
= 43,84 В; U3 = -^- = 12164 = 86,26 В.
V2 /2
Действующее значение периодического несинусоидального напряжения иа катушке индуктивности: U = y 'U i U 'i = = V43,84- + 86,262 = 96,76 В.
Выражение для мгновенного периодического несинусоидального напряжения на катушке индуктивности: и = t/imsin(co/ + + <pi + <рз) + Uзт sin(3co/ — <pi + фз) = 61,82 sin(314/ +0,838л) + + 121,64sin(942/ — 0,078л).
4.4. В электрической цепи переменного тока соединены параллельно катушка индуктивности с активным сопротивлением /? = 5 Ом и индуктивностью L=31,9 мГн и конденсатор с емкостью С = 91 мкФ. Определить составляющие тока и активные мощности катушки индуктивности и всей цепи, находящиеся под действием периодического несииусоидального напряжения, мгио венное значение которого представлено выражением « = (100 + + 100^/2-since/ + 76sin3co/) В.
Решение. Полные сопротивления параллельных ветвей для тока первой гармоники: Zu.= /? + /Xi/ = (5+/10) Ом, Ztc= = —jXtc= —j35 Ом, откуда Z\t. = д/5~ + 102 = 11,2 Ом и Zic — — 35 Ом..
Постоянная составляющая несииусоидального тока цепи катушки: laL-= /0= Uo/R= 100/5 = 20 А, так как индуктивность катушки не влияет иа значение постоянного тока.
Действующее значение тока первой гармоники в цепи катуш-
ки индуктивности: IiL= “ £ и
100/2 _ 100(5-/10)
/2(5 +/10) (5 + /10)(5-/10)
^500—/>000 0 _ уф д, откуда ток /ц = д/42 + 82 = 8,94 А. 5 + 10
Аргумент комплексного тока: фц. = arc.tg = arctg(—2),
откуда ф|£ = 296°30' = 1,64л.
Комплексный ток первой гармоники: /и. = /е'*|1 = 8,94е'|'64л А.
Действующее значение тока первой гармоники в цепи конденсатора he — U \/Z ic=—2°^ = _222. =/2,857 А, откуда ток у2(—/35) —/35
/1С = 2,857, А.
Амплитудное значение первой гармоники тока катушки индуктивности hmL = l\L V2=8,94->/2= 12,61 А.
Амплитудное значение первой гармоники тока в цепи конденсатора: ilmC — heyfi = 2,857-^2 = 4 А.
Действующее значение тока первой гармоники в неразветвлен-ной части электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа: Л_ = ///. 4- Лс = 4-/8 4- /2,857 = (4 — /5,14) А, откуда ток /| — д/42 4- 5,142 = 6,51 А. Аргумент комплексного тока /, неразветвлениой части цепи первой гармоники: ф, = arctg 5^'-откуда ф| = 0,288л.
Амплитудное значение первой гармоники тока в неразветвлен-ной части электрической цепи: /,т = д/2/i = V2 • 6,51 = 9,18 А.
Полные сопротивления параллельных ветвей электрической цепи для третьей гармоники тока Z 3t = /? 4 jX.iL = (5 4- /30) Ом; Z_-ic — — jXic — — /11,66 Ом, откуда Z3t = 52 4- 302 = 30,41 Ом; Z3C= 11,66 Ом.
Токи третьей гармоники в параллельных ветвях электрической , Lb 76 _ 53,9(5 -/30) _ 269,5-/1617 _
цепи: ±3L - - ^2(5 +/30) ~ (5-f-/30)(5 - /30) 52 4- зо2
= (0,29 - /1,75) А, откуда hL = л/0,292 4 1,752 = 1,77 А; _hc =
= -=^— = = /4,74 А, откуда he = 4,74 А.
Аргумент комплексного тока _/зд третьей гармоники: ф</. = = arctg ~'^5 откуда фи = 280° = 1,55л.
Амплитудные значения токов третьей гармоники в параллельных ветвях электрической _цепи: /3тЛ =/злд/2 = 1,77д/2 = = 2,495 А; 13тС = 1ЗС^2 = 4,74^2 = 6,68 А.
Действующее значение третьей гармоники тока в неразвет-вленной части электрической цепи:_/з =_hi +_Ьс= 0,29 — /1,754-4- /4,74 (0,29 4- /3) А, откуда /3 = л/0,292 4- З2 = 3,01 А.
Аргумент комплексного тока третьей гармоники 13 в нераз-ветвленной части цепи: ф3 = arctg 7Д3-, откуда ф3 = 84°20' = = 0,466л. 0,29
Амплитудное значение тока третьей гармоники /3 в нераз-ветвленной части цепи: hm = b~2h = 1,41 • 3,01 = 4,25 А.
Мгновенное значение тока катушки индуктивности: it — /о4-4-i!l4-he— h4-/imtsin(314/— ф|£.)4-7зт£ sin (3-314/ — ф;зг) = =20 4- 12,61sin(314/- 1,64л) 4-2,494sin(942/- 1,55л).
Мгновенное значение тока конденсатора: ic = <44- he = = /imCsin(314/ 4- л/2) 4- 7зтс81п(3<о/ 4- л/2) = [4 sin(314/ 4-4- л/2) 4- 6,68(942/ 4- л/2)] А.
Выражение для мгновенного значения тока в неразветвлениой части электрической цепи: i = /0 4- й + h = h 4- /imsin(314/ 4-4- <Pi) + /smSin(3-314 4- ф3) = 20 4- 9,18sin(314/ 4- 0,228л) 4-4- 4,25sin(942/ 4- 0,466л).
Действующее значение тока цепи катушки индуктивности: h = + Hl = V202 4-8,942 4- 1,772 = 22,03 А.
Действующее значение тока цепи конденсатора: /с = +
ТЛГ= л/2,8572 + 4,742 = 5,53 А.
Действующее значение тока в неразветвленной части электрической цепи: / = -\//o + /f+ /з = д/20:! + 6,512-]-3,012=21,25 А.
Активная мощность, потребляемая конденсатором, Рс = 0, так как активное сопротивление конденсатора практически равно пулю (Rc=0). Активная мощность, потребляемая катушкой индуктивности: Pl= UoIo-{-U\1 ilcos<piz. + £/з/з/.со5фзг.= 100-20-]- *°^2 X X 8,94 • 0,447 + 76Л/2~- L77 - 0,164 = 2415,25 Вт =2,415 кВт.
Активная мощность всей цепи: Р = PL + Рс = 2,415 + 0 = = 2,415 кВт.
4.5. В условиях задачи 4.4 определить коэффициенты 7<и, /О, Кп, характеризующие периодический несинусоидальный ток на неразветвленной участке электрической цепи.
Решение. Коэффициент искажения, равный отношению действующего значения основной гармоники тока к действующему значению несинусоидального тока, К« = Л// = 6,51/21,25 = = 0,306.
Коэффициент гармоники, равный отношению действующего значения высшей гармоники несинусоидального тока к действующему значению основной его гармоники, Кг — Р/1\ = 3,01/6,51 = = 0,462, где Ir=-yJPi + H + ... - V7F= л/3.012 = 3,01 А (четных гармоник кривая несинусоидального тока не содержит (/2=0).
Коэффициент пульсаций, равный отношению амплитудного значения основной гармоники тока к постоянной составляющей несинусоидального тока, К„ = 1Хт/10= 9,18/20 = 0,459.
Задачи
4.6. В неразветвленной электрической цепи переменного тока протекает периодический несинусоидальный ток, выражение для мгновенного значения которого имеет вид i = [141 sinwZ 4- 84,6sin3w( -f- 56,4sin5w/] А. Определить действующее значение несинусоидального тока в данной электрической цепи. Ответ: I — = 123,29 А.
4.7. Катушка индуктивности L и конденсатор С соединены параллельно и подключены к источнику несинусоидального напряжения, мгновенное значение которого и = 150 + 282sinw/-|-+ 141 sin3tofB. Определить постоянную составляющую несинусоидального тока, если активное сопротивление катушки,индуктивности /?к= 15 Ом. Ответ: /о= 10 А.
4.8. Определить коэффициент амплитуды Аа, коэффициент формы Кф и коэффициент искажения К» зависимости /(/) периодического несинусоидального тока, мгновенное значение которого представлено выражением j= (lOOsinw/ -|- 30sin2w() А. Ответ: К,= 1,58; Кф= 1,16; К„ = 0,96.
Таблица 4.1
Величины Варианты контрольного задания 4.14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . 13 14 15
и, В u(0 — 80V2sina/ 4- 50V2sin3<u( 4- 2&V2sin5a>/
R, Ом 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7
L, мГн 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 46,8
С, мкФ 265,5 91 88,5 29,5 29,5 88,5 91 265,5 91 88,5 29,5 265,5 91 88,5 29,5
Продолжение табл. 4.1
Величины Варианты контрольного'задания'4.14
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и, В л(0- 40 4- 8OV2sin<al 4- 50т/2з1пЗш<
R, Ом 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 12 12 12
L, мГн 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85
С, мкФ 265,5 91 88,5 29.5 265,5 91 88,5 29,5 265,5 -91 88,5 29,5 265,5 91 88,5
4.9. Электрическая цепь периодического несинусоидального тока, содержащая катушку индуктивности с активным сопротивлением Я, = 18 Ом и индуктивностью Z.| = 60 мГн, последовательно соединенную с резистором, сопротивление которого /?> = = 30 Ом, подключена к источнику несинусоидального напряжения и= [ 120 -|- 200sinw/ + 50sin(3<u/ +-?•)], В. Определить активную Р, реактивную Q и полную S мощности электрической цепи. Ответ. Р = 0,67 кВт; Q = 153,42 квар; S = 706,86 кВ А.
4.10. По условиям задачи 4.9 определить максимальные значения основной /|т и третьей /з™ гармоник периодического несинусоидального тока в электрической цепи. Ответ. = 3,88 А;
= 0,674 А..
4.11. Мгновенное значение периодического несинусоидального тока в электрической цепи соответствует выражению « = [3 4-4-5,88sin(<oZ — 0,915л) 4-26sin(3<o/4- 0,305л)], А. Определить действующее значение несинусоидального тока / и активную мощность Р, потребляемую электрической цепью. Ответ. / = = 5,45 А; Р = 0,415 кВт.
4.12. Определить постоянную составляющую тока /(1, действующие значения гармоник составляющих тока Ц, /3, /5 и действующее / значения периодического несинусоидальиого тока, мгновенное значение которого представлено выражением 1= 100 4-70,5sin<oZ 4-60sin3wZ 4-50sin5wL Ответ. /0 = 100 А; I = = 127 А; /1 = 56,7 А, /, = 42,6 А; /5 = 35,5 А.
4.13. В электрической цепи переменного тока под действием периодического несинусоидального напряжения и = [10 4-4- 3 яп(<о/ — 0,222л) 4- 0,9V2sin(3wZ 4- 0,695л)] В возникает периодический несинусоидальный ток« = [30 4- 25,9(<о/ —0,0665л) 4-4- 6sin(3w/ 4- 0,695)], А. Определить действующие значения несинусоидальных напряжения U и тока / и активную мощность Р электрической цепи. Ответ:- и = 10,3 В; I— 35,3 А; Р = 0,336 кВт.
Контрольное задание
4.14. К зажимам электрической цепи переменного тока параллельно подключены катушка индуктивности с активным сопротивлением R и индуктивностью L и конденсатор с емкостью С. К цепи подведено периодическое несинусоидальное напряжение u(f). С учетом схемы включения R, L, С, а также данных, приведенных для соответствующего варианта задания в табл. 4.1, определить амплитудные н действующие I значения несинусоидальиых токов и напряжений Um и U, а также их гармонических составляющих, выражение для мгновенного значения тока !(/), активную Р, реактивную Q и полную Р мощности отдельных гармонических составляющих цепи.
Примечание. В вариантах 31—60 катушка индуктивности и конденсатор включены последовательно, в вариантах 61—90 сопротивление катушки R уменьшить в 2 раза.
Глава 5
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 5.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ
В линейных электрических цепях наряду с установившимися режимами работы имеют место переходные электромагнитные процессы, происходящие при переходе от одного установившегося режима цепи к другому.
Переходные процессы в линейных электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями. При этом ток или- напряжение определяются общим интегралом соответствующего дифференциального уравнения со свободным членом. Общий интеграл уравнения представляет собой сумму частного решения этого уравнения и решения того же уравнения без свободного члена.
Переходящие, или свободные, составляющие тока гсв и напряжения «св, определяемые решением дифференциального уравнения без свободного члена, с течением времени стремятся к нулю.
В результате частного решения дифференциального уравнения можно получить установившиеся, или принужденные составляющие тока и напряжения ty, иу, имеющие место при установившемся режиме, т. е. при законченном переходном процессе.
При этом ток и напряжение переходного процесса в электрической цепи могут быть записаны как суммы: <пеР = *У-Н’с»; W лер =: W у 4- «св. В общий интеграл дифференциального уравнения входят постоянные интегрирования, число которых определяется порядком соответствующего уравнения. Переходные процессы в неразветвленной электрической цепи с параметрами R, L и С описываются дифференциальным уравнением для мгновенных значений напряжений, составленным по второму закону Кирх-
гофа: u(t) = Ri + Ldi/dt +-L-\idt .
После дифференцирования имеем уравнение вида Z,-^- .+ 4-/?-^—Для определения принужденной (устаио-UI О UI
вившейся) составляющей (у тока переходного процесса, когда воздействующая функция u(t) постоянная или является периодической, необходимо найти его значение в установившемся режиме.
Переходную (свободную) составляющую tcB тока находят в результате решения дифференциального уравнения без свободного члена:
При этом соответствующее характеристическое уравнение приводится к виду: Lp2+Rp+ 1/С=0. Корни этого уравнения: ______
2П
Рис. 5.1.1
Свободная составляющая тока переходного процесса: /св(/) = = Д1е''' + Л2'”'.
Ток переходного процесса: i пе
Аналогичным образом можно определить напряжение и другие электрические и магнитные величины на любом участке линейной электрической цепи в переходном режиме.
При включении электрической цепи с R и L под постоянное напряжение (рис. 5.1.1) переходный процесс описывается дифференциальным уравнением, записанным по второму закону Кирхгофа для цепи при установке переключателя П из положения 1 в положение 2: Ri -+- L-^-= u(t) = U.
Характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному уравнению, имеет вид: /?4- Lp—0, где р= == —R/L — корень характеристического уравнения.
С учетом этого выражение для свободной составляющей тока переходного процесса приводят к виду:
it0 = Aep'=Ae^/?'/\
где А — постоянная интегрирования; е — основание натурального логарифма.
Так как воздействующее на электрическую цепь напряжение u(t) постоянно, значение принужденной составляющей тока цепи в переходном режиме оказывается равным его установившемуся значению: ty = U/R. Ток в цепи при переходом процессе:
iпер = iу + «с» = U/R + Ае ~L
Постоянную интегрирования А определяют из начальных условий. Так как в цепи с индуктивностью ток не может изме-
ниться скачком, то при 1 = 0 ток в цепи равен нулю: 1(0) =
// —£С- f
= U/R -|- А = 0. Отсюда А = — U/R, тогда iCB= — -^е '• . С
учетом этого выражение для тока переходного процесса приоб
... и и и
ретает вид: «пер= «У + «« = —„--б-е ъ х
" " Я
где x=L/R— постоянная времени цепи, равная промежутку времени, по истечении которого свободная составляющая тока в цепи изменяется в е раз по сравнению со своим исходным значением.
Напряжение переходного процесса иа индуктивности L, уравновешивающее ЭДС самоиндукции, определяют из уравнения
— L dt ~ я 0 е ^)]/di~ L Rt Х
Хе * = Ue * .
При коротком замыкании /?£-цепи, присоединенной к источнику постоянного напряжения U, переключатель П из положения 2 устанавливается в положение 3, в цепи возникает переходный процесс, обусловленный наличием запаса энергии в магнитном поле катушки с индуктивностью L. Происходящий переходный процесс характеризуется свободным током, так как «у=0; в ре-
' --зультате tnep=ic,= Ле~₽< =Ле L'.
Постоянную интегрирования А определяют исходя из условия, что до момента короткого замыкания ток в цепи: i(0)?=/= — U/R = A.
С учетом этого ток переходного процесса:
*иер““Ч:в ft с ft с
Аналогично изменяется в данной цепи и напряжение:
iner
R
е-4'_
U
Рис. 5.1.2
При включении /?С-цепи (рис. 5.1.2) под постоянное напряжение u(t)=U переключатель П устанавливается в положение 2 (принято, что
к моменту включения (/ = 0) конденсатор С не был заряжен (uqo)=O). В соответствии с этим, исходя из уравнения электрического равновесия для мгновенных напряжений, записанного по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой /?С-цепи при />0, имеем: Ri + uc=u(t).
В рассматриваемой цепи ток i=C^~. В результате дифференциальное уравнение приводится к виду: RC^f-A-Uc — = u(t)=U.
Ему соответствует характеристическое уравнение: RCpA-4-1=0, где корень характеристического уравнения р— — \/RC.
Решение дифференциального уравнения без свободного члена относительно напряжения иа конденсаторе позволяет определить
свободную составляющую этого напряжения: ис„ = А ер' == t
= А е , где — постоянная интегрирования, определяемая исходя из принятых начальных условий Ос(0) = 0.
Напряжение Осу на обкладках конденсатора в установившемся режиме определяют в результате частного решения соответствующего дифференциального уравнения цепи. В установившемся режиме ток в цепи i? = 0, следовательно, иСу = «(0 — U и напряжение иа конденсаторе во время переходного процесса:
«с(0 — “су.4-“се. = I/4-Л е .
Постоянную интегрирования А находят из начальных условий. Напряжение иа конденсаторе до включения ис(0) = 0, так как к моменту включения цепи конденсатор С ие был заряжен.
При этом ис (0) — UА- А = 0, откуда А = — U и «с„ = — Ue ™. Временная зависимость напряжения иа обкладках конденсатора во время переходного процесса описывается уравнением
uc(t)= U— Ue™ = U(1 —е™) = U(i
где т = RC — постоянная времени.
Ток в цепи при переходном процессе: 4еР = iy + 4» =
__ Л* ____ /-> due, , п dUcct р , U
-с— С — 4-е— о 4- — е -
=—е =-^-е_'Л, где L — 0, 4в е ™ и
R R R
Короткое замыкание неразветвленной /?С-цепй, ранее находившейся под постоянным напряжением U = const, осуществля-
ется установкой переключателя П (в момент времени t=0) из положения 2 в положение 3 (в положении 1 схема отключена). Электромагнитные процессы в цепи с момента ее замыкания происходят за счет энергии, равной d-Cf/2, сосредоточенной к этому моменту времени в электрическом поле конденсатора, которая в течение переходного процесса преобразуется в теплоту, рассеиваемую резистором R.
Для установившихся значений тока в /?С-цепи и напряжения на обкладках конденсатора С при переходном процессе имеем: Л = 0, а ис==0.
При этом свободные составляющие тока в цепи и напряжения t t
на конденсаторе: <„= —d-e «с иСс,= Ле RC.
Ток в цепи и напряжение на обкладках конденсатора в пе-
А —вг
реходном режиме: (пер = iy +=------— е ; ис = «су + «сев =
t\
= A e~‘/RC.
Постоянную интегрирования А определяют из начальных условий. При t = 0 напряжение на обкладках конденсатора равно U, т. е. uc(0)=t/=Л. При этом для переходных значений тока и напряжения на конденсаторе справедливы уравнения:
«= - Н- е_'/'?с = - Ie-!'RC ; ис = U
-к ’
При расчете переходных процессов в линейных разветвленных электрических цепях для определения токов в отдельных ветвях и напряжений на участках цепи записывают соответствующее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. При получении характеристического уравнения необязательно приводить полученную систему уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной функции.
Система однородных дифференциальных уравнений, записанных для свободных составляющих токов в ветвях разветвленной цепи, записывается в виде соответствующей системы алгебраических уравнений и в отличие от исходной системы не содержит производных интегралов. В этой системе уравнений производные свободной составляющей тока di^/dt заменяют символом р4в, а интеграл от этого тока \i^dt — символом 4»/Р (где р—корень характеристического уравнения — показатель затухания, одинаковый для всех свободных составляющих токов цепи). Действительно, если 4в = Л е/", то производная от свободного тока di^/dt = d{A^>,)/dt = pAepl = рЦв, а интеграл \ic„dt = (Л ef” dt = = A €"/p = k,/p.
Постоянная интегрирования при этом оказывается равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых. Подобный переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических, 172
называемый алгебраизацией системы дифференциальных уравнений, для свободных токов значительно упрощает составление характеристического уравнения. Из полученной системы алгебраических уравнений составляется затем определитель А(р), который должен равняться нулю, так как данная система уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю.
Выражение для А(р) = 0 и является характеристическим уравнением, в котором единственным неизвестным является его корень р. Составить характеристическое уравнение системы однородных дифференциальных уравнений (уравнение без свободного члена) можно и другим путем. Для этого записывают выражение комплексного входного сопротивления Z(/co) для соответствующей цепи, в котором /<о заменяют символ р. Полученное обобщенное сопротивление приравнивают к нулю. Уравнение Z(p) = 0 и будет Характеристическим уравнением данной цепи.
Число корней характеристического уравнения. определяется его степенью. Если это уравнение имеет п корней, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений имеет вид:
4в(0= S Ле'’"', где рк— корни уравнения; Ак — постоянные k = । '
интегрирования.
Для нахождения постоянных интегрирования необходимо решить систему уравнений для искомого свободного тока 4в(/), соответствующих моменту времени /=0. В качестве недостающих (я — 1) уравнений используются уравнения, полученные путем (я — 1)-кратного дифференцирования уравнения для свободного тока 4в(0-
Литература. [ 1 ] § 4.1—4.10; [2] § 5.1—5.8; [3] § 5.1 —5.6.
Примеры решения задач
5.1. Катушка индуктивности с активным сопротивлением /1=5 Ом и индуктивностью L=50 мГн=0,05 Гн включается в сеть постоянного тока с напряжением U= НО В (рис. 5.1, а). Уста-
Unep-B <пер-А
новить зависимость изменения переходных тока 4ер(0 в катушке и напряжения на катушке при переходном процессе. Определить энергию магнитного поля AL катушкн для момента времени, равного постоянной времени электрической цепи (/ = = т), после включения выключателя В.
Решение. После замыкания выключателя В происходит нарастание тока в катушке. индуктивности, при этом создается ЭДС самоиндукции e=L . которую преодолевает прило-ложенное напряжение U. Постоянная времени электрической цепи: т = L/R = 0,05/5 = 0,01 с.
Переходный ток в электрической цепи находят как сумму установившейся г, и свободной 4. составляющих тока: i„ep = ty + + 4, =Л е~'/т = Л е~'/01)|, где 4 = / = U/R = 110/5 = 22А; 4, = Л е_'/т = Л е_'/|)01.
Постоянную интегрирования Л находят из начальных условий. При t == 0 ток в цепи 4о) = 0, отсюда Л = —U/R = — 110/5 = = -22А.
Переходный ток в цепи определяют в соответствии с уравнением
4ер = ^-(1 —е-'/’) = 22(1 — е-,/00|) = 22(1—е-|00,)А.
Переходное напряжение на катушке Индуктивности: «пер = = 4/е_,/т= 11Ое~100'В. Результаты подсчета переходных тока 4«р(/) и напряжения «пер(/) на катушке во времени приведены в табл. 5.1, а соответствующие зависимости — на рис. 5.1,6.
Таблица 5.1
t, с 0 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
е-юог 1 0,606 0,368 0,135 0,05 0,018 0,0067
1-е-100' 0 0,394 0,632 0,865 0,95 0,982 0,993
^пер» А 0 8,64 13,9 19,04 20,9 21,6 21,8
14 пер, В но 67 40,5 14,9 5,5 1,98 0,74
Энергия магнитного поля катушки индуктивности: W'£.nep= = _^ = 0’.05^3-9)* = 4 38 дж где 4е|> — 1з>9 А при /=т=0,01 с.
5.2. Измерение напряжения на зажимах обмотки электромагнита, обладающей активным сопротивлением R = 2 Ом и индуктивностью L = 1 Гн = 1000 мГн, осуществляется вольтметром V, включенным в сеть постоянного тока с напряжением U= 110 В, в соответствии со схемой рис. 5.2. Определить ток в
обмотке электромагнита в момент отключения ее от питающей сети с помощью выключателя В.
Решение. Установившееся значение тока в цепи обмотки электромагнита; iy= U/R = / =110/2 = 55 А.
После размыкания аыключателя значение свободного тока
определится в соответствии с уравнением: ict—Ae L‘=Ae ’ =
= А е ° 5, так как постоянная времени электрической цепи x = L/R= 1/2 = 0,5 с. Переходный ток в обмотке электромагни-
---1
та при переходном процессе, ^пер-*-- i у + /с.== 55 + А е l 55 +
4- А е °-5.
Постоянная интегрирования А определится из начальных условий.
В момент размыкания выключателя t = 0, свободная состав-
ляющая тока: /св=Ле 0,5=Ле° = А, при этом tnep = /у + in = t t
= 55 +Ле °-5= 55—(/пер—55)е О,5=55А, т. е. в первый момент (/ = 0) отключения выключателя в цепи вольтметра пройдет ток / = 55 А, вследствие чего прибор выйдет из строя. Поэтому при отключении катушкн электромагнита, так же как и других катушек электротехнических устройств, обладающих
индуктивностью, следует цепь вольтметра сначала отключить.
5.3. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 5.3, а), содержащая резисторы с сопротивлениями /?| = /?2= Ю Ом и индуктивность £ = 0,15 Гн, находится под постоянным напряжением U — 60 В. Определить ток в цепи до замыкания и после замыкания выключателя В, а также зависимость переходного /ЛеР(/) и
свободного /<-в(/) токов во времени при замкнутом выключателе.
Решение. В соответствии с законом Ома ток в электрической цепи в установившемся режиме при разомкнутом выключателе: йу = /| = С//(/?|+/?2) = 60/(10+10) = 3 А.
Постоянная времени электрической цепи до замыкания выключателя: Ti = L/(/?i -|-/?2) = 0,15/(10-f-10) = 0,15/20 — = 0,0075 с. Установившийся ток в цепи после замыкания выключателя: /2у=/2 = (///?! = 60/10 = 6 А. Постоянная времени электрической цепи при замкнутом выключателе: i2=L/R\ — = 0,15/10 = 0,015 с.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение электрического равновесия для электрической цепи при замкнутом выключателе: МпеР = м/?-(-м/. = /?i/neP —е/., откуда переходный !
ток в цепи inep= +/сп=-4- + -^-=-Б“+е ъ . где сво-К\ К\ К\
бодная составляющая тока переходного процесса /св = £l/Ri = Ае-,/12.
Постоянную интегрирования определяют из начальных условий. В первый момент после замыкания выключателя при t = 0 ток в цепи /пер(0) = —- -|- Ле0 = U/Ri 4- А или /,у = U/Rt 4- А = = /2у + А, так как ток1 в цепи при этом будет таким же, как перед замыканием выключателя, т. е. /пер(0) = /|у. Отсюда постоянная интегрирования: А = /ц — = 3—6 = —3 А.
В электрической цепн при переходном режиме при заданных условиях ток JneP= /2у 4~ А е Т! = 6—Зе~'Л2 = 6—Зе_'/0015 = 6 — — Зе-66,66'. Задаваясь значениями времени переходного процесса, определяют зависимость переходного тока /пеРЦ).
На рис. 5.3, б приведены зависимости переходного тока /„ер и свободной /св составляющих тока во времени.
5.4. Электрическая цепь (рис. 5.4) содержит катушку, индуктивность которой L= 10 Гн и активное сопротивление /?= 5 Ом; параллельно катушке подключен резистор с сопротивлением Rt = 10 Ом. Цепь включена под постоянное напряжение U = = 220 В с помощью переключателя П. Определить энергию маг-
пя Wl катушки индуктивности, записать выражение для переходного тока /пе₽(/) и найти на-_______ пряжение на резисторе R} в момент пе-2______реключення переключателя П из поло-
1 жения 1 в положение 2.
R П/?, Решение. Ток в цепн катушки ин-Т дуктивности в установившемся режиме (положение 1 переключателя): 1=U/R =
L = 220/5 = 44 А. Постоянная времени
_______ электрической цепи при том же положении переключателя: Т) = L/R= 10/5 =
ИИТНОГО П1
inep П
Рис. 5.4
= 2 с. Энергия магнитного поля катушки индуктивности: W L =
LI2 I0-442 псоп п
= -у- = —g—= 9680 Дж.
Дифференциальное уравнение переходного режима, составленное по второму закону Кирхгофа для электрической цепи (положение 2 переключателя): е= — L^~^~= i„ev(R + Rt) или L ^7-1 t,.rp(/? + /?|) = 0, отсюда -^ + **== 0,
di ai
т. е. + ~~ = 0- Постоянная времени электрической цепи в
том же положении переключателя тг =£/(/? +Ri) = 10/(5 + + 10) = 0,67 с.
В этом случае ток переходного режима, равный свободной составляющей, определяют в результате решения полученного уравнения: i,iep = jCB = Ае~'/Т2.
В соответствии с первым законом коммутации ток в катушке индуктивности в момент переключения (I = 0) переключателя из положения 1 в положение 2 не может изменяться скачком.
Поэтому постоянная интегрирования Д = -^-=44А. При этом получим уравнение для переходного тока <пеР= А =
Напряжение на резисторе R, в начальный момент после переключения переключателя из положения 1 в положение 2: Ur, = = R,/ = 10-44= 440В. Из этого следует, что в процессе коммутации электрических цепей, содержащих индуктивности, могут возникнуть опасные для соответствующего электрооборудования перенапряжения.
5.5. Электрическая цепь составлена из конденсатора, емкость которого С = 200 мкФ, соединенного последовательно с резистором R=50 Ом (рис. 5.5, а), подключается к источнику постоянного напряжения f7=100 В. Установить зависимость тока
4q>(0 в цепи и напряжения uCmB(t) на обкладках конденсатора в функции времени.
Решение. Постоянная времени электрической цепи: т = = RC = 50-200-10“6 = 0,01 с.
Переходное напряжение на зажимах конденсатора при включении электрической цепи в питающую сеть равно сумме установившейся и свободной его составляющих: «с„ер= «сУ+«се».
В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение электрического равновесия для цепи, рассматриваемой в переходном режиме: /?* пер -|- uCneP — RC du^”' -|~uCneP = U.
Установившееся напряжение иа конденсаторе определяют при I = со. При этом «cy=47=100 В, так как при 1 = 0 ток
/пер= = 0- Решение однородного дифференциального уравнения RC-~“~1’ -j- и с СВ = 0 позволяет найти свободную составляющую переходного напряжения иссв = Ле '/т.
Отсюда переходное напряжение ucneP = ucy-f-ucce = U-j-Ae //т= = Ю0-|-Ле-/’0|)|. Постоянная интегрирования А находится из условия, что до включения под напряжение (/ = 0) конденсатор не был заряжен и напряжение на нем ucneP= 100-|-Ле~'/01)| = = 100 + А = 0, откуда А = —100 В.
В результате изменение переходного напряжения на конденсаторе во времени будет происходить по экспоненциальному закону: «спер == (7(1== 100(1—е~'/0,|)|) В. При этом зависимость переходного тока в цепи во времени определяется урав-
нением: 4„ер= = CU— е~,,х = —^—е~1/х =-^-е-//01)| =
ul Т f\ Ov
= 2е-'/0'01 А.
По полученным уравнениям рассчитаны и построены на рис. 5.5, б графики изменения тока 4ер и напряжения «спер переходного процесса во времени.
Процесс нарастания «спер до установившегося значения U = 100 В и снижение тока до нуля теоретически длится бесконечно долго, однако практически его можно считать законченным за время / = (4-ь5)т или в данных ‘лер п условиях за время / = 40 мс (0,04 с).
— 5.6. Электрическая цепь постоянного
] тока (рис. 5.6) содержит конденсатор с
емкостью С= 100 мкФ, включенный после-П/? довательно с резистором, активное сопро-U М тивление которого R = 20 Ом включается
под напряжение (7= 100 В. Определить -:£ энергию электрического поля Wc конденса-♦________1 тора в конце процесса зарядки и устано-
вить зависимость напряжения на обкладках Рис. 5.6 конденсатора испер(/) и тока в цепи 7оер(/)
от времени в переходном режиме при зарядке конденсатора (переключатель П — в положении /).
Решение. Энергия электрического поля заряженного кон-т CU1 100-10~6-1002 пс п денсатора: Wc = —5- =--------j-----= 0,5 Дж-
Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для электрической цепи при зарядке конденсатора: -|-ucnep = U
или RC -f-Mc= U, где imp = С — переходный ток цепи.
Переходное напряжение на конденсаторе складывается из установившейся и свободной его составляющих: ис<кр= ucy-f-Н-ucc». Свободную составляющую переходного напряжения "находят в результате решения однородного дифференциального уравнения без свободного члена: RC -f- нес» = 0, отсюда исс» = at
= Ле ’. Постоянная времени рассматриваемой цепи т « RC = = 20-100-10-6 = 0,002 с.
Выражение для переходного напряжения на обкладках(конденсатора приводят к виду: испер == исУ+«сс. = ису+Ле =
После окончания процесса зарядки ток в цепи 4вр — 0, поэтому в установившемся режиме напряжение на конденсаторе становится равным напряжению питающей сети: испер = ису = U. Постоянную интегрирования определяют исходя из начальных условий: при t = 0 испер = 0 и ucy == U, отсюда в соответствии с уравнением для переходного напряжения Л = — U.
В результате при переходном режиме зарядки конденсатора зависимость напряжения (в В) на обкладках конденсатора во времени определяется уравнением t t
«Спер= Ucy4-Ucc.= y — Ue ’ = (/(1— е ’) = = 100(1-е“)= 100(1—е-500')-
Переходный ток в цепи “С<а . Л le» = Iy"l ~~ 1У + д в ’
так как нее» = Ле т.
Постоянную интегрирования Л, входящую в полученное выражение, находят из начальных условий.
После окончания зарядки переходное напряжение на конденсаторе uc„ep U, а в установившемся режиме i? = 0, поэтому Л= — U. При этом переходный ток зарядки конденсатора
. U -т 100 ч/ изменяется в соответствии с выражением *жр ===-дуХ
t
Хе й’002 = 5е-500'. В начальный момент при / = 0 переходный ток = U/R = 5 А. Как следует из полученных выражений,
переходное напряжение при зарядке конденсатора возрастает, а переходный ток убывает по экспоненциальному закону.
По полученным формулам можно построить зависимости переходных напряжения мспе^О и тока ^(г) при зарядке конденсатора С в цепи с резистором R.
5.7. В условиях задачи 5.6 определить энергию электрического поля конденсатора Wc и установить зависимость переходных напряжения на обкладках конденсатора ucm^t) и тока в его цепи (рис. 5.6) I’nepG) от времени при переходном режиме разрядки предварительно заряженного до напряжения U = 100 В конденсатора с емкостью С= 100 мкФ.
Решение. При включении переключателя П в положение 2 (рис. 5,6) энергия электрического поля конденсатора С, расхо-
CU2 100*10~6*1002
дуемая на нагревание резистора: №7=—j— =------------2------ =
= 0,5 Дж. При этом переходное напряжение на конденсаторе в переходном режиме разрядки имеет такой же вид, как и при зарядке: «спеР = Нсу+Ле т. После окончания процесса разрядки, когда конденсатор будет полностью разряжен, напряжение на обкладках и ток в его цепи: испеР = 0 и. 0. Постоянную интегрирования А находят нз начальных условий при t = 0 и Ису=0. При этом «сев = Ле° = U. Переходное напряжение на
конденсаторе иСпеР = (Уе т = 1ООе“500'.
Уравнение, описывающее переходный ток при разрядке конденсатора, имеет тот же вид, что и при его зарядке: =
= i,---е"‘
у R
Однако в первоначальный момент разрядки конденсатора (при t = 0) ток разрядки iy =0. С учетом этого переходной ток разрядки конденсатора: =----е~//т = —е~'Л =
__ 100 „-//0.002 _ _с -500/
20
Из полученных уравнений следует, что переходные напряжение «спеР и ток /„р убывают во времени по экспоненциальному закону. Знак «—» в выражении для переходного тока свидетельствует о том, что ток разрядки конденсатора имеет направление, обратное току зарядки.
По полученным формулам можно построить зависимости переходных напряжения Испе^О и тока при разрядке конденсатора С в цепи с резистором /?.
Задачи
5.8. Электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных резистора с сопротивлением /?| = 4 Ом и ^атушки с индуктивностью L = 8 Гн и сопротивлением /? = 1 Ом, присоединяется к источнику постоянного напряжения U — 12 В. Опре
делить постоянную времени т переходного процесса. Построить график изменения тока и ЭДС катушки за период времени / = 6 с с момента подключения цепи к источнику постоянного тока. Ответ, т = 1,6 с.
5.9. Определить графическим способом постоянную времени т переходного процесса неразветвлениой электрической цепи, содержащей конденсатор с емкостью С = 150 мкФ и резистор с сопротивлением R = 2 Ом при включении ее под постоянное напряжение U = 100 В. Ответ, т— 0,0003 с.
5.10. Электрическая цепь, состоящая из катушки с индуктивностью L = 15 Гн и резистора с сопротивлением R = 10 Ом, отключается от источника постоянного напряжения U = 100 В н замыкается на разрядный резистор R\ = 5 Ом. Построить зависимость изменения во времени тока in^t) и напряжения Une^O в переходном режиме и определить постоянную времени т цепи. Ответ. t = 1 с.
5.11. Неразветвленная электрическая цепь постоянного тока содержит два резистора с сопротивлениями R = 200 Ом, включенных параллельно, и конденсатор с емкостью С = 50 мкФ. Определить постоянную времени т цепи и характер изменения во времени напряжения на зажимах конденсатора uc^t) и тока в цепи inep(O при включении ее под напряжение £/=110 В. Ответ, т = 0,005 с.
Контрольное задание
5.12. Электрические цепи постоянного тока (рис. 5.12, а—в) содержат источники питания с ЭДС Е и внутренними сопротивлениями /?0, резисторы R> и R?, катушки индуктивности с активным сопротивлением RL и индуктивностью L. конденсатор с емкостью С. По данным, приведенным для соответствующего варианта задания в табл. 5.2, рассчитать и построить зависимость изменения переходного тока в цепи конденсатора 1Спер^) и напряжения uCmp(t) на его обкладках при зарядке и разрядке, а также переходного тока в цепи катушки индуктивности it„ep(C и переходного напряжения на катушке utnep(r) в функции времени при замыкании выключателя В и переключении переключателя П из одного положения в другое в соответствии с заданием. Определить запас энергии в электрическом поле конденсатора Wc и в магнитном поле WL катушки индуктивности.
Примечание. В вариантах 31—60 сопротивление резистора R\ увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 сопротивление резистора уменьшить в 2 раза.
Таблица 5.2
Величины Варианты контрольного задания 5.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
£, В 110 220 110 220 НО 220 НО 220 110 220 110 220 110 220 110
Ro, Ом 800 800 600 800 600 800 500 500 400 400 — — — — —
Ri, кОм 1.5 1,2 1 1 1,1 0,8 0,8 0.6 0,6 0,5 100 но 55 100 55
Ro, кОм 0,5 0,6 0,6 0,8 0,7 0,8 0,8 0,9 0.9 1 100 но 55 100 55
Rl, Ом — 400 200 400 200 150
С, мкФ 5 5 5 10 10 10 15 15 20 20 — — — — —
L, Гн — 10 6 10 5 9
Схема электриче- 2м. рис . 5.12, 2 См. рис. 5. 12,6
ской цепи
Выключатели замкнуты В — В — В — в — В — в — В В
Положение пере- Переключатель П переводится из положения 1 в положение 2
ключателя
Величины
16 17 18 19 20
Е, В 220 ПО 220 НО 220
Ro, Ом — — — — —
Ri, kOi! 44 55 50 50 50
Ro, кОм 44 55 50 50 50
Rt, Ом 150 180 150 100 100
С, мкФ — — — — —
L, Гн 4,5 4 3 2 2
Схема электрнче- См. рнс. 5.12, 6
ской цепн • -
Выключатели — в — В —
замкнуты
Положение пере- Переключатель П переводится
ключателя' н вы- из положения 1 в положение 2
ключателя
Продолжение габл. 5.2
Варианты контрольного задания 5.12
2! 22 23 24 25 26 27 28 29 30
110 220 по 220 110 220 110 220 110 220
40 30 40 90 30 80 30 60 20 60
80 100 70 100 60 80 60 80 40 60
60 80. 60 80 50 70 50 60 40 50
0,6 1 0,8 0,8 0,6 1 0,4 0,8 0,2 0,8
См. рис. 5.12, в
Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, со со
В, В2 В, СО В| в2 в, в2 в, в2
Выключатель ВЗ размыкается
Глава 6
ПРОМЫШЛЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
$ 6.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫХ И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ
Промышленная электроника базируется в основном на использовании полупроводниковых приборов: диодов, транзисторов, тиристоров и др. Кроме того, в специальных областях техники используются электронные лампы, выпрямительные, усилительные, генераторные и др. Миниатюрные вакуумные лампы (с холодным катодом) широко применяются в вычислительной технике вследствие того, что скорость перемещения электронов в лампах значительно быстрее, чем в кремнии или арсениде галлия [6].
Электровакуумные диоды обладают односторонней проводимостью, поэтому широко используются для преобразования переменного тока в постоянный в установках малой мощности.
В электровакуумных триодах посредством незначительного изменения разности потенциалов U( между управляющей сеткой и катодом можно получить значительное изменение потока электронов между катодом и анодом (анодного тока).
Режим электровакуумного триода задается двумя не зависящими друг от друга напряжениями: анодным Ua и сеточным Uc. При аналитических расчетах как статических, так и динамических характеристик триода пользуются статическими параметрами триода, которые определяются по статической аиодно-сеточ-ной и статической анодной характеристикам (рис. 6.1.1, а, б).
Внутреннее сопротивление электронной лампы: /?, = dUа/д!а или Ri = dUa/d/a = At/а/A/а = (t/a — t/")/A/a ПрИ Uс = COnSt.
Крутизна анодно-сеточной характеристики обуславливает управляющие свойства лампы: S = dIa/dUc при S = d/a/dtA = = A/a/At/c =/<, -—/"///(— U" при Ua = const. Коэффициент усиления, характеризующий усилительные свойства электронной
лампы: ц = — dUa/dUc или ц = —dt/a/d tA = —At/a/AtA = = — U'a—U"/U'c—U'' при la = const. Параметры электронной лампы связаны между собой внутренним уравнением: р — RtS. При наличии линейных статических характеристик параметры лампы Rt, S и ц остаются постоянными при изменении Ua, Uc и анодного тока /а. Так как анодный ток триода зависит от напряжения иа аиоде Ua и напряжения иа сетке Uc, то полный дифференциал анодного тока: d/a = dUa+-^- dUc или с учетом
того, что dla = —RJa, имеем: d/a = D ‘-D SdUc. Крутизна ди-намической анодио-сеточной характеристики триода h(Ua) при /?а>0: 5Д — -—р = -r откуда видно, что оиа меньше крутизны статической, характеристики (S>Sa). Уравнение динами-£
ческой характеристики приводится к виду: /а = " +Saf7c.
*\1~Г “а
Статическую характеристику триода Цис) при /?а=0 получают из выражения для анодного тока с учетом того,' что Ea = Ua при С7с= const: Ia—UaIRt + SnUc- Динамическую анодную характеристику триода 7а(£7а) при Ra > 0 можно получить из уравнения Ua=Ea—RJa, записанного для цепи анодного тока: /а= Ea/Ra—Ua/Ra, откуда видно, что оиа ие зависит от параметров S и ц триода. Электронные полупроводниковые приборы основаны на явлениях электропроводности, свойственных полупроводниковым материалам, которые определя'ются валентными электронами, не прочно связанными с ядрами и ие участвующими в создании электропроводности электронами. Электронио-дырочная проводимость, возникает в результате разрыва валентных связей, являясь собственной проводимостью, которая обычно невелика. Воздействие иа полупроводники электрического поля, температуры и других внешних факторов оказывает большее влияние иа их свойства, чем иа проводники и изоляторы. Введение незначительного количества инородных примесей значительно увеличивает электрическую проводимость полупроводника, при этом оказывается, что в зависимости от рода примеси можно получить как полупроводник n-типа, так и полупроводник p-типа. При сплавлении полупроводников различных типов создается область по обе стороны от границы раздела, называемая электронно-дырочным или р-п -переходом. При включении р-п-перехода под прямое напряжение полярность приложенного напряжения Um будет обратна полярности напряжения Uaan запирающего слоя. С возрастанием внешнего напряжения сопротивление р-п-перехода снижается, а ток возрастает. При обратном включении р-п-перехода полярность внешнего напряжения Um соответствует полярности напряжения Uaaa запирающего слоя. Обратный ток, обусловленный неосновными носителями заряда, оказывается во много сотеи или тысяч раз меньше прямого тока. В полупроводниковых диодах
используется односторонняя проводимость электроино-дырочного перехода, так как из вольт-амперной характеристики р-п-пере-хода следует, что ои обладает неодинаковыми сопротивлениями в прямом и обратном направлениях. Поэтому полупроводниковые диоды используются для выпрямления переменного тока. Транзистор (полупроводниковый триод) является электронным прибором, основанным иа свойствах двух, расположенных весьма близко друг от друга электроиио-дырочиых р-п-переходов. Наличие трех слоев с различной проводимостью обуславливает на границах их раздела два р-га-перехода, характеризующихся динамическим равновесием. Чтобы вывести р-п-переход из состояния равновесия, к нему подводится внешнее напряжение Um: При этом значение тока й в цепи закрытого коллекторного перехода зависит от значения тока i, открытого эмиттериого перехода. Связь между токами коллекторной и эмиттерной цепей транзистора характеризуется коэффициентом передачи тока: а = = /«/is, а — 0,92.-0,99. Число рекомбинирующих в базе основных носителей заряда эмиттера определяет ток базы: ie = ь— й. При рассмотрении усилительных свойств транзисторов для переменных сигналов схемы их включения рассматривают без источников питания, так как по сравнению с другими сопротивлениями внутренние сопротивления источников питания весьма малы. Наиболее часто используют схему транзистора с общим эмиттером (ОЭ) (рис. 6.1.2), с помощью которой осуществляют усиление по току, напряжению и мощности. Для этой схемы коэффициенты усиления по току, напряжению и мощности определяют из выражений
К,
где Язв — сопротивление перехода эмиттер — база.
При этом выходное напряжение и,ы, находится в противофазе с входным напряжением и». Для схемы транзистора с общей базой ОБ (рис. 6.1.3) коэффициенты усиления по напряжению, току и мощности находят из выражений
'к-Чых
А»б
Включение транзистора по схеме с общей базой применяется обычно на более высоких частотах, однако эта схема характеризуется коэффициентом усиления по току меньшим единицы К,<1. При этом выходное напряжение иШ1 оказывается в фазе С входным напряжением ип. Для
Рнс. 6.1.4
схемы включения транзистора с общим коллектором (ОК) (рис. 6.L4) коэффициенты усиления по току, напряжению и. мощности определяют из выражений
Иаыж _____ itRu _________ | ,
U»Hx+B»e Я«+Яэв ’
= KiKuS±Ki= р+1 =-14т>1’
где Р = 7~а"‘
При этом выходное напряжение u.H< находится в фазе с входным напряжением и». Рассматривая основные усилительные схемы включения, исходят из того, что работа транзистора происходит на линейных участках его характеристик, что соответствует малым входным сигналам, и при расчете коэффициентов усиления транзисторно-резисторных усилителей схемы, учитывая условия работы иа средних частотах, влиянием входных, Переходных и выходных емкостей пренебрегают. Основными характеристиками транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, являются статическая входная характеристика le(Uб) при = const (рис. 6.1.5) и статическая выходная характеристика IK(UX) при /б= const (рис. 6.1.6). В схеме транзистора с ОЭ к эмиттерному переходу транзистора приложено прямое напряжение Uпр, поэтому при напряжении иа коллекторе UK — 0 входная характе-
Таблица 6.1
Параметры усилителя Схема включения транзистора
с общей базой (ОБ) с общим эмиттером (ОЭ) с общим коллектором (ОК)
Коэффициенты усиления: по току Ki “=тпг; (10- 200) т^г₽; (10-200) 1+₽ (10-100)
по напряжению Ки /?» “₽—= Лвхв Р /?н 1+Р Квхб (1000-10 000) К „а /?вх С /?4,Р ( 1 +₽)Явх б (30- 100) 1
ПО МОЩНОСТИ Кр 2 _ /?.х« ( 1 4"Р)2Явх б (1000-10 000) а2/?, (1—а)/?,хв Р2/?, . (1+Р)/?.х6 ' (1000-20 000) =• + +Р (10-100)
Входное сопротивление, R ВХ б В ы ходное соп рот и вл е-ние, /?вых 10— 100 Ом 0,1 — 1 мОм 100-1000 Ом 10 100 кОм 0,5— 1 мОм 10-100 Ом
ристика соответствует прямой ветви вольт-амперной характеристики р-п-перехода.
Свойства транзисторов в рабочем (динамическом) режиме оцениваются по их характеристическим параметрам, представляющим собой величины, которые устанавливают связ|> между малыми изменениями токов и напряжений. Наиболее распространена система й-параметров, выражающая функциональную зависимость между входными напряжением и током и выходным напряжением. Основные й-параметры транзистора для схемы включения с общим эмиттером можно определить с помощью
характеристических треугольников, построенных иа семействе входных и выходных характеристик (см. рис. 6.1.5 и 6.1.6). Параметры, найденные по характеристическому треугольнику, являются малосигиальиыми, так как они справедливы только для прямолинейных участков характеристик. Из характеристического треугольника определяют входное сопротивление транзистора Ли = At/e/A/ek.-const и коэффициент обратной связи /г|2 = = А(/б/А(7к |/б-const. Из семейства статических выходных характеристик определяют коэффициенты усиления по току hn = = А/к/А/б|1'« = const и выходную проводимость транзистора Агг = = Д/к/Л^к|/б=const. Параметры транзисторов зависят от схемы включения (табл. 6.1). На рис. 6.J.7 представлены зависимости коэффициентов усиления Ki, Ки, Кр от сопротивления /?н нагрузочного резистора. Характер изменения коэффициента усиления по мощности Кр для различных схем включения транзистора иллюстрирует рис. 6.1.8. На рис. 6.1.9, а представлена зависимость входного /?вх сопротивления от сопротивления R„, а иа рис. 6.1.9, б— зависимость выходного сопротивления 7?Вых транзистора от внутреннего сопротивления /?г генератора входного сигнала при различных схемах включения транзистора. Для низких частот ((лс-улКкС^ приведена табл. 6.2, связывающая /г-параметры схемы замещения транзистора для различных схем включения.
Приближенные формулы для пересчета /i-параметров транзистора при включении его по данной схеме, если известны й-пара-метры, соответствующие другой схеме его включения, приводятся к следующему виду.
Схемы включения транзистора:
- 1 Ап« I ЛивЛгм
с общим эмиттером (ОЭ): Яцэ = j ; «12э ===' [ _|_д~ ~ , , /1216 , Й22в
—«126/ «21 э =--ГГТ ; «223 = . / .— ;
< -3" «216 I -Г «216
с общей базой (ОБ): йиб== , ; /1126= ---
' 1 +Й2И 1 + «21э
с общим коллектором (ОК): йпк = , ——/in3; /ii2« = 1;
1 “Г «216
Й21К =-----ГГТ-— = —(/l213 + 1); Й22к= . , 2? /122э.
* Т" «21 б * + «21 б
Транзистор при определенных допущениях можно рассматривать как линейный активный четырехполюсник, для которого справедливы зависимости: ив = fit Но + /игПк; U = huie + haUk. Учитывая, что безразмерный параметр /112 для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, мал, иа практике принимают й|2 = 0. В соответствии с представленными выше уравнениями схему замещения транзистора с ОЭ приводят к ви-
8
Примечание. В таблице Лв = Л6+Л8 = -г—;
1 «22
+ *21 к Лк = -г- .
«22
Таблица 6.2
Схема замещения транзистора
Hf к бц к
07 и, 1 О’ Яз 3
3 о । А 3 —о К о— й, JHJ5 К —О
с общим эмиттером (ОЭ) с общим коллектором (ОК)
Я?+Я,(1 + Р) Я?+Я,(1 + р)
Я, (1+Р) 2 Як «1 Я,+ Я,(1+Р) 1
₽ 1-а -(1 + р) -р
1 + Р .. 1+Р Як+ Яб(1 +р) Як 1+Р Як
Я&=2-^~ пгг
Л22+1
; Я8 =
Ли 14-Л21
Л12 . Л22
а= —Л21; Я» = Лц—г~(1 + «22
ду (рис. 6.1.10, а), а /i-параметры определяют по семейству входных и выходных характеристик. При этом коэффициенты усиления по напряжению Ки, току Kt и мощности КР определяют через /i-параметры транзистора и параметры элементов электрической цепи:
-Л Ивых _ ^ВЫХя вых 6cRk ______ Л21/?к
и яВх GkAbx (1 4-W?iWhi Лц(1 4" ЛагЯк) ’
ГДе /к== IbwxJ /б == Rbx == Квых= . .—т—п—> Ki= -------------==
1 4" П22Кк *вх
Схема усилительного каскада на транзисторе с общим эмиттером (ОЭ) приведена на рис. 6.1.10,6. Она составлена на основе схемы замещения транзистора с введением в нее резистивных Ri = /?| /?(/?] -|- /?2)Яц и емкостных элементов С|, Сс, Со = (С,Ых-Ь 4-См), где СВЫх— емкость участка коллектор — эмиттер; С„ — монтажная емкость. При этом коэффициент усиления каскада
б)
по напряжению: Ku = Ко/л/1 + (шт„ — 1/<отн), где Ко— коэффициент усиления по напряжению каскада на средних частотах /?f /г 11, Ко= h2\R*R«/(RK + Rh+hizRuR*), где тв—постоянная времени усилительного каскада на верхних частотах (тв = С aR С0Х Х/?к/?в/(/?к+/?н + /122/?к/?в); т и — постоянная времени усилительного каскада на нижних частотах без учета влияния емкости CiTH = CcRbhx = CcRkRk/Rk + R« + /i22/?k/?h. На практике используется схема с общим эмиттером, так как она позволяет усиливать не только напряжение, но также ток и мощность.
Типовая схема усилительного каскада с общим эмиттером показана на рис. 6.1.11. Резисторы Rt, R2, R* в схеме обеспечивают необходимые значения постоянных напряжений на коллекторном и эмиттерных переходах прн питании всех цепей транзистора от одного общего источника питания £а. Резистор R, обеспечивает температурную стабилизацию рабочей точки, что для транзисторных усилительных схем очень существенно. С ростом температуры постоянная составляющая тока эмиттера /,о возрастает, вследствие чего увеличивается падение напряжения RJ,o на резисторе R„ при этом потенциал эмиттера относительно базы снижается, что уменьшает постоянную составляющую тока базы и ограничивает степень нарастания тока покоя в цепи коллектора. Для устранения этого воздействия при прохождении по цепям транзистора переменных составляющих резистор R, шунтируется конденсатором С,. Конденсаторы С, и Сс предназначены для предотвращения попадания постоянной составляющей тока от источника питания и сигнала на выход и вход усилительного каскада. Одним из важнейших показателей, характеризующих свойства усилителей, является его комплексный коэффициент усиления, который в общем случае можно представить как отношение комплексного напряжения на выходе усилителя к комплексному напряжению на его входе: £ = =
= Ке',,|"“'-'Гв,) = Ке'\ где К = -77^-модуль коэф-
фициента усиления усилителя, ср — фвых — фвх—разность фазовых углов сигнала. Усилители неизбежно содержат комбинации
активных и реактивных элементов, поэтому модуль коэффициента усиления и разность фазовых углов на выходе и входе усилителя являются частотно-зависимыми. Зависимость комплексного коэффициента усиления от частоты К (<о) является частотнофазовой характеристикой усилителя (рис. 6.1.12). В процессе изучения усилителя зависимость модуля коэффициента от частоты К(<о) амплитудно-частотной характеристики усилителя и зависимость изменения фазового угла от частоты обычно рассматривают отдельно. Области частот от 0 до ш, и от и, до со = сю характеризуются значительным изменением коэффициента усиления, а область от <он до <ов (полоса пропускания) характеризуется незначительным изменением коэффициента усиления от частоты. Особенность работы усилителя в области низких, средних и высоких частот частотной характеристики (рис. 6.1.12) может быть установлена при анализе этой характеристики с использованием схемы замещения (см. рис. 6.1.10,6) усилительного каскада с общим эмиттером (см. рис. 6.1.11).
При анализе частотной характеристики усилительного каскада в области средних частот (<йк<со<<йв) в эквивалентной схеме можно не учитывать внешние (Ci и Сс) и внутренние (С*) емкости каскада, а рассматривать эквивалентную схему усилительного каскада как частотно-независимую. Зависимости коэффициентов усиления тока и напряжения от частоты в точном аналитическом выражении описываются гиперболическими функциями комплексного аргумента. Их непосредственное использование значительно усложняет анализ работы усилителя. В малосиг-иальных усилителях низкой частоты при известных значениях сопротивления нагрузки R„ и генератора сигналов Rr и известных значениях /i-параметров транзистора в избранной схеме включения в соответствующей рабочей точке основные параметры одиночного каскада могут быть рассчитаны по следующим формулам.
1 каска в 2 каскад
п каскад
Коэффициенты усиления:
по току К, — -!pi-== по напряжению Ки = —
hsiR^ ,, is w
= ; по мощности Кр = KiK“-
Сопротивления:
D Лц(Й22 + !//?„) — hxih-tt
входное /?ох= ------т—г-г/Б-------; выходное /?B1J4 =
«22 т 1 / К»
__ Ai । + Rr
Лз2(Лц + Rr) — hvihii
В приведенные формулы входят значения /i-параметров, соответствующие способу включения транзистора. Полное согласование нагрузки затруднительно, так как в усилительных каскадах при включении транзисторов по схемам с общей базой и общим эмиттером (где Rue — согласованная нагрузка), при этом
RH можно определить исходя из выражения RH =
У /1-22(11
~/i7T ’ тогда для Расчетов параметров усилительного каскада справедливы приближенные формулы: K, = /i2ii ,, (inRn hliR» _
Ku — ~i^~; /<₽=——; Rk— h\\. В усилительных каскадах при включении транзистора по схеме с общим коллектором обычно RuSiRw:, при этом можно пользоваться следующими приближенными формулами: К,=Ь2г, Кя=1; KP=Ki\ R^= Rr/h2\. Процесс расчета многокаскадных усилителей (рис. 6.1.13) осуществляется покаскадно от последнего каскада к первому. В связи с наличием в сопротивлениях резисторов связи потерь мощности, передаваемой от одного транзистора к другому, коэффициенты усиления каскадов по току и мощности оказываются меньше рассчитываемых по формулам для однокаскадного усилителя. Коэффициенты усиления по напряжению остаются практически неизменными при правильно выбранном сопротивлении R« и сопротивлении генератора сигнала Rr для каждого каскада.
Литература. [2] § 10.1 — 10.17.
Примеры решения задач
6.1. Определить внутреннее сопротивление Ri, крутизну динамической анодно-сеточной характеристики 5Д и динамический коэффициент усиления Ки лампового триода типа 6Н7С, если его статический коэффициент усиления ц — 40, крутизна статической характеристики 5 = 2,5 мА/B = 2,5-10-3 A/В, сопротивление нагрузочного резистора R„ — 20 кОм.
Решение. Определяют внутреннее сопротивление исходя
Рис. 6.2
из внутреннего уравнения триода: fl, = p/S = 40/(2,5-10 3) = = 16 000 Ом = 16 кОМ.
Крутизна динамической аиодио сеточной характеристики:
= 5 = = 2,5 g = 1,11 мА/В.
Ка । f\i Zv-r-lo ot> ' &
Динамический коэффициент усиления: /<.,= ц——1— =
__4Q__________ 800 _ 22 2 а + •
20+16 36 ’
6.2. По анодным характеристикам, приведенным на рис. 6.2, определить параметры лампового триода типа 6Н7С для точки А. Решение. Крутизна статической анодно-сеточной характеристики триода
S — д,‘ = d,‘ I _ А/*| _
dUс dUc 1 уа = const At/fl Va = const
3,31 . cc mA
2~ Ua = const- ,65 B‘
Внутреннее сопротивление триода
_ dU‘ dU> I _ At7‘l
dia dla Uc =» const A7a ' Uc = const
= — ~7,3а -з--| = 22 120 Ом = 22,12 кОм.
-3,3- 10-3 ’ Uc= const
Коэффициент усиления триода
_ dUd _ dUa | _ Д(/, I __
0Uc dUc I /a == const Д{7С I /а M const
= - ^Д-l = 36,5 или p. = SRi = 1,65-22,12 = 36,5 .
• /a = const
6.3. Определить действующее значение напряжения Ui на вторичной обмотке и коэффициент трансформации п трансформатора, амплитудные значения Uim напряжения и тока hm на вторичной его обмотке, показание магнитоэлектрического миллиамперметра А, включенного в цепь однополупериодного выпрямления (рис. 6.3), собранного на кенотроне. Напряжение питаю-
I, A 1,5 1,0
Рис. 6.4
щей сети Ut = 220 В, вольтметр V магнитоэлектрической системы показывает постоянную составляющую напряжения Uo = 170 В, нагрузочное сопротивление = 10,7 кОм.
Решение. Действующее значение напряжения вторичной обмотки трансформатора:
U2 = = t/o/O,45 = 170/0,45 = 378 В.
Амплитудное . значение вторичного напряжения 1)гт = = -^/2{Уг — 1,41 -378 = 534 В. Коэффициент трансформации трансформатора: п = Lh/Ui = 220/378 = 0,58. Амплитудное значение тока в цепи вторичной обмотки трансформатора , и2т 534-10~3 .
2т — — 10 700 — 50 мА‘
Значение выпрямленного тока (постоянной составляющей тока), соответствующее показанию миллиамперметра магнитоэлектрической системы: /о = = 50/3,14 = 15,9 мА.
6.4. Определить средние значения выпрямленных тока /о и напряжения t/o, а также мощность Р, выделяемую в нагрузочном резисторе RK, обусловленную этим током, для однополу-периодного выпрямителя, собранного на полупроводниковом диоде (рис. 6.4, а), если его сопротивление в проводящем прямом направлении А?пр = 5 Ом, а в непроводящем (обратном) направлении Roe? = 1000 Ом, сопротивление нагрузочного резистора RH = 400 Ом, напряжение питающей сети U — 220 В. Вольт-амперная характеристика электрической цепи приведена на рис. 6.4,6, нелинейностью характеристики пренебречь.
Решение. Сопротивление электрической цепи:
в проводящий (прямой) полупериод Ri = /?пр 4- R« = 5 + + 400 = 405 Ом,
в непроводящий (обратный) полупериод R2 = Roe? + R« = = 1000 + 400 = 1400 Ом.
Амплитудное значение напряжения питающей сети: Um = = V2f/ = д/2-200 = 310,2 В.
Амплитудное значение тока цепи:
в проводящий полупериод Гт = Um/Ri = 310,2/405 = 0,766 А,
в непроводящий полупериод I'm = Um/R2 = 310,2/1400 = = 0,222 А.
Постоянные составляющие:
прямого тока /6 =/т/л = 0,766/3,14 = 0,244 А; обратного
r/z 0,222 л л—। •
тока Го =----= а .;..= 0,071 А.
л 3,14
Средние значения:
выпрямленного тока 10= Го — Го' = 0,244 — 0,071 = 0,173 А; выпрямленного напряжения Uo = R«lo = 400-0,173 = 69,2 В.
Мощность, выделяемая в сопротивлении резистора, обусловленная постоянной составляющей выпрямленного тока: Р = = IlRu = (0,173)2400 = 11,972 Вт.
6.5. Определить действующее U2 и амплитудное U2n значения напряжения на вторичной обмотке трансформатора, его коэффициент трансформации п, пострянную составляющую выпрямленного тока /о? выбрать полупроводниковые вентили для двух-полупериодного выпрямителя, выполненного по мостовой схеме рис. 6.5. Выпрямленное напряжение Vo = 350 В на нагрузочном резисторе R„— 1400 Ом, напряжение питающей сети V\ = = 127 В.
Решение. Действующее значение напряжения на вторичной обмотке трансформатора в данной схеме выпрямления: V2 = = t/o/0,9 = 350/0,9 = 390 В. Коэффициент транс
ч Ч
Рис. 6.5
формации трансформатора: п = U\/U2 = 127/390= 0,333.
Амплитудное значение_ напряжения на вторичной обмотке трансформатора: Vm2 — V2t/2 =1,41 -390 = 549,9 В.
Значение максимальйого обратного напряжения вентиля в данной мостовой Схеме: t/O6Pmax — Vm2 — 549,9 ~ 550 В.
Постоянная составляющая выпрямленного тока: /0= Vo/Rh= 350/1400 = = 0,25 А.
По справочнику, исходя из расчетного значения тока 1о и значения обратного напряжения £/овртах, выбираем вентили типа Д7Ж с номинальными данными: током /о=О,ЗА и максимальным допустимым обратным напряжением ВеНТИЛЯ £/обртахВ=400 В.
Число последовательно включенных вентилей в плече мостовой схемы: £Л,бр max / Uo6p max в — 550/400= 1,38. Принимаем
tf=2.
6.6. По условию задачи 6.5 определить максимальные значения 1гт выпрямленного тока, напряжения t/2m и мощность Р, выделяемую в сопротивлении нагрузочного резистора R„.
Рис. 6.7
Решение. Значение выпрямленного тока: /о = Uo/R« = = 350/1400 = 0,25 А.
Амплитудные значения:
, я/о 3,14-0,25 п .
выпрямленного тока hm = —---------------= 0,393 А,
,, я1/о 3,14-350 ксп о выпрямленного напряжения и 2т = —%— =-------?----= 550 В
или U2т = RJ2m = 1400-0,393 = 550 В.
Мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузочного резистора: Р = Uolo = 350 • 0,25 = 87,5 Вт или Р= Ш?„= 0,252 • 1400= = 87,5 Вт.
6.7. Пользуясь входными и выходными характеристиками транзистора типа П210Б — П210В (рис. 6.7,а, б), включенными по схеме с общим эмиттером (ОЭ), определить й-параметры для точки 1 с координатами = — 4,5 В, lei — 47 мА. Нелинейностью характеристик на рассматриваемом участке бречь.
Решение. Входное сопротивление транзистора: йп = _ UM-Uoi _ _ 0,38 - 0,36 _ 0,02 _ , с4 Пм ___
~ /«-/в, ~ Мс, ~ 60 - 47 — 13-10-3 ,54 ° ’ Д
прене-
в соответствии с входной характеристикой (рис. 6.7,а), для точек 1 и 2: Ua\ = 0,36 В; 1Л2 = 0,38 В; t/Ki = — 4,5 В и (Аг = = — 2 В; Ля = 47 мА; /б2 — 60 мА.
Коэффициент обратной связи по напряжению
ь Д4/б 1/б2 - 4/б| 0.38 - 0,36
П,2~ AUK ~ UK2-U^ ——2 —(—4,5)
= -^- = 0,008= 8-10~3,
здесь
Д(/к=(/к2_(/к|= — 2 — (—4,5)= 2,5 В; Д(/6= US2— Uti-* = 0,38 - 0,36 = 0,02 В,
где в соответствии с входными характеристиками транзистора (рис. 6.7, а) для точек 1 и 2 UK2 = — 2 В и UKi = — 4,5 В при неизменном токе базы Л>2 = 60 мА. д/„ (
Коэффициент передачи тока: h2i = = Qnf.- = 20, где
Д/"= 1 А; А762 —/61 = 100— 50 = 50 мА = 0,05 А, где в соответствии с выходной характеристикой (рис. 6.7, б) транзистора при неизменном значении напряжения коллектора (Ai = — 4,5 В: /в2 = 100 мА, Ля = 50 мА. 04
.Выходная проводимость транзистора: h22 = =
= 0,0615-|-= 61,5 мА/B, где АД) = 0,4 А; А1Д = Ua - (Ля = = — 4,5 — (—11) = 6,5 В; здесь в соответствии с выходной характеристикой транзистора (рис. 6.7, б) при неизменном токе базы 1'ь = 50 мА при (Аг = — 4,5 В и (7Ki = — 11 В.
6.8. Для схемы рис. 6.8, а полупроводникового стабилизатора напряжения с кремниевым опорным диодом VD определить пределы изменения напряжения = 7,85 В на нагрузочном резисторе RK = 12,5 кОм, если напряжение источника питания U= 12 В изменяется в пределах ±10%. Сопротивление балластного резистора R6 = 1000 Ом, вольт-амперная характеристика диода представлена на рис. 6.8, б. Нелинейностью вольт-амперной характеристики на рабочем участке пренебречь.
Решение. Дифференциальное сопротивление диода на рабочем участке характеристики Я,= Д(//А/ = 0,3/(3-10_ ) = = 100 Ом. Нижний предел напряжения источника питания,
соответствующий изменению напряжения (—10 %): U' — 0,9(7 = = 0,9-12 = 10,8 В. Верхний предел напряжения источника питания, соответствующий изменению напряжения ( + 10 %): U" = = 1,1(7 = 1,1 • 12 = 13,2 В. Изменение напряжения источника питания: Д(7 = U" — U’ = 13,2 - 10,8 = 2,4 В.
Предел изменения напряжения на нагрузочном резисторе: дп _ 4(7 _ 2,4 — 2-4 _
н — !+₽<,//?„+/?a/Ri ~~ 1 + 1000/12,5-ioj+1000/100 1+0,001 + 10 —
= ± 0,218 В. Процентное изменение напряжения на нагрузочном резисторе: Д(7Н % = ±-77^-100 % = 100 % = ± 2,78 %.
6.9. В условиях задачи 6.8 определить среднее значение тока /ср стабилитрона, соответствующее рабочей точке вольт-амперной характеристики, ток /н в цепи нагрузочного резистора /?н, а также ток стабилитрона /ст и напряжение Us на балластном резисторе прн нормальном (номинальном) режиме работы стабилизатора.
Решение. Среднее значение тока стабилитрона, соответствующее рабочей точке характеристики: /ср =—= 44-15
= —= 3 мА, где /max и /min — соответственно максимальное
н минимальное значения токов стабилитрона (рис. 6.8,6). Ток в цепи нагрузочного резистора: /„ = (7н//?н = 7,85/12,5-103 = = 0,625 мА.
Напряжение на балластном резисторе при номинальном режиме в соответствии с уравнением электрического равновесия напряжений, составленным по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: Us = (7 — (7„ = 12 — 7,85 = 4,15 В.
Ток стабилитрона при номинальном режиме работы в соответствии с уравнением, составленным на основе законов Кирхгофа для рассматриваемой схемы: Us = Rsl = Rs (АтНОм + откуда
_U(—RJ« _ 4,15 - 12.5-10J-0,625-10 _ п 0о д
/ст ном — — 12,5-10 -0,/УМА.
6.10. Для полупроводникового стабилизатора напряжения на кремниевом диоде, схема которого представлена на рис. 6.8, а, определить допустимые пределы изменения напряжения ±Д(7 на входе, а также коэффициент стабилизации /С,, если напряжение питающей сети (7 = 12 В, сопротивление балластного резистора Rs = 1000 Ом, напряжение на нагрузочном резисторе (7„ = 7,6 В, отклонение напряжения на нагрузке Д(7Н = ± 0,4 В, а сопротивление нагрузочного резистора R> = 10 кОм.
Решение. Ток в цепи нагрузочного резистора при отклонении напряжения: Д(7„ = + 0,4 В: /„ = ^—' — =
= 7’.6+0,4= .-L ..=0,8 мА. Из вольт-амперной характеристики стаби-10 103 10-ю3
литрона (рис. 6.8, б) следует, что при напряжении (7'н= (7Н+Д(/я = 7,6+ 0,4 = 8 В, /С1=4 мА. Напряжение питающей сети (входное 200
напряжение) для заданных условий в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа: U' = Rsl+ U« = = + /„) + (У'ВЫх = 103(4 + 0,8) 1 СТ3 + 8 = 12,8 В.
Значения отклонения питающего входного напряжения: Л(7' = = £/—£/'= 12—12,8=—0,8 В. Значение отклонения напряжения на нагрузочном резисторе (выходного напряжения) \Ui = = UH — U« — 7,6—8 = — 0,4 В. Коэффициент стабилизации ста-
MJ' ЫУп -0,8 -0,4
билизатора напряжения: = —— :—д— =—1.26.
Аналогично производится расчет при "отклонении напряжения на нагрузке Д(7„ = —0,4 В, т. е. при U" = U« — Д/7,,= 7,6 —0,4 = = 7,2 В.
6.11. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа П 416, включенного по схеме с общей базой, если известны значения этих параметров при включении транзистора по схеме с общим эмиттером: /in, = 650 Ом; hm = 32-10-3; /121» =40; /122,= 1,5-IO'4 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при включении его по схеме с общей базой: Лив = ———= ,65(\ — I + h>\3 I +40 = 15,8 Ом. То же, коэффициент обратной связи транзистора: fti26 = _ Л|2, = 650'J’5;'0"' - 32-10~3 = - 30,62- Ю-3.
14-Л21, 1+40
Коэффициент усиления по току: /i2is=----—=----------+-г =
1 + «21» 1 + 40
= —0,975 Ом.
о . *22» 1,5- 10“4
Выходная проводимость: "226 = । v ~ ~i~+40~=
= 3,67-10~6 См. 21‘
6.12. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа П 416, включенного по схеме с общим коллектором, если известны значения указанных параметров при включении транзистора по схеме с общей базой: /ins = 15,8 Ом; hm = — 30,62-10~3; hw, = = - 0,975; Й22б = 3,67-10~6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора, включенного по схеме с общим коллектором: /гцк = /гпб/(1 +/1216) =? 1’5,8/(1 — —0,975) = 632 Ом. Коэффициент обратной связи при включении транзистора по схеме с общим коллектором: hm = 1.
То же, коэффициент усиления по току транзистора: Ы —
= 1 / (1 — Л216) = 1 / (1 — 0,975) = 40. Выходная проводимость
__ . А22б 3,67- 10~в . ,с о < л —6 Z-
транзистора: h2tK = —,—Е— = —.—Л = 146,8.10 См.
* I“rt2i6 I—-0,9/5
6.13. Рассчитать значения /г-параметров транзистора тира П 416, включенного по схеме с общим коллектором, если известны значения этих параметров при включении его по схеме с общим эмиттером: /in, = 650 Ом; hm = 32-10-4; /121, = 40; /122,= 1,5Х X Ю~4 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при вклю
чении его по схеме с общим коллектором: ftnK=/iiis=650 Ом. То же, коэффициент обратной связи транзистора: Л|2к=1. Коэффициент усиления по току транзистора: Ал к — — (Ни, + + 1) = — (40+1) = — 41. Выходная проводимость транзистора: Й22к ~ /122э = 1,5* Ю~4 См.
6.14. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа ГТ322А, включенного по схеме с общей базой, если известны значения этих параметров транзистора при включении его по схеме с общим эмиттером: Ли, = 330 Ом; /г,2з = 1,6-10~4; Лгь = 56, /122э = 62,5-10~6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при включе-, „ , Л,1а 330
ции его по схеме с общей базой: /ins = t — ут gg = = 5,79 Ом.
о , ^|1э/&22,
Коэффициент обратной связи транзистора: П|2в = т-г-т------------
1 «2!э
—/112з=330'|6^55610 1,6- 10-4=-0,202- 10-3. Коэффициент
усиления по току: /г21б=-----~ = —0,9825.
J J +«21, 14-56
г, ь *22, 62,5-10-6 . .
Выходная проводимость: пав = jqqj— = = 1,1 X
X Ю~6 См.
6.15. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа ГТ322А, включенного по схеме с общим коллектором, если известны значения этих параметров транзистора при включении его по схеме с общей базой: /ins =5,79 Ом; /112с = 0,202-10-3; /1216 = = — 0,985; /1226 = 1,1 • 10~6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при вклю-чении его по схеме с общим коллектором: «ик =-гтт— —
То же, коэффициент обратной связи транзистора: /пгк = 1.
Коэффициент усиления по току:/г2|к= —-г-Д—= — Г-1 ~Т~П21С I
= - 57.
т> , Л226 U * 10 6 СП 7
Выходная проводимость: ига* = i . —л none &2,7 X
I "Г «216 I — U,Уохи
X Ю~6 См.
6.16. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа ГТ322А, включенного по схеме с общим эмиттером, если известны значения этих параметров при включении его по схеме с общей базой: Л116=5,79 Ом; Л126 = 0,202-10~3; ^5=—0,9825; й226= = 1,1-10-° См.
Решение. Входное сопротивление Транзистора, включенно-
Рис. 6.19
л t '»но
го по схеме с общим эмиттером: m— = -г—=
1 -^«2(6 1 “и,Эо2&
= 331 Ом.
То же, коэффициент обратной связи транзистора: hu, =
== У*™ “ h™ = 5'?'n’U<6 ~ °’202,10-3 = 1 ’62- IO"4 •
I “Г «216 1 -*и,УО/О
., , । . Лате —0,9825
Коэффициент усиления по току: п21э=—y-j—= 0 9825 =
= -56,1. _2“
Выходная проводимость: Аггэ =ттт" — ^м’
6.17. Рассчитать значения ft-параметров транзистора типа ГТ322А, включенного по схеме с общей базой, если известны значения этих параметров при включении его по схеме с общим коллектором: Ацк = 331 Ом; Аги = — 57; Аггк — 62,7? 10-6 См.
Решение. Коэффициент усиления по току транзистора при включении его по схеме с общей базой: А216 -------—-* =
«21к
= — - ~-4-7-- = — 0,9825. —о/
То же, входное сопротивление транзистора: tins —
= Aiu(l + А21б) = 331(1 — 0,9825) = 5,79 Ом.
Выходная проводимость транзистора: А226 = Аг2к(1 + Аг1б) = = 62,7-10-®(1 —0,9825)= 1,1 -10~6 См.
6.18. Рассчитать значения A-параметров транзистора типа ГТ322А, включенного по схеме с общим эмиттером, если известны значения этих параметров при включении его по схеме с общим коллектором: Ацк=331 Ом; Ai2k = 1; Аги = — 57; Аг2к=1,1Х ХЮ"6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при включении его по схеме с общим эмиттером: Ацэ = Апк = 331 Ом.
Коэффициент усиления по току транзистора: Агь = — (1 + -|- Аги) = — 1 -р 57 = 56.
Выходная проводимость транзистора: А22Э = Аггк — 62,7Х ХЮ-6 См.
6.19. Определить коэффициент усиления Ко на средних частотах двухкаскадиого усилителя на транзисторах типа р-п-р, включенных по схеме с общим эмиттером, а также нижнюю <ов и верхнюю <0в граничные частоты (рис. 6.19,а). Схема замещения приведена на рис. 6.19,6. Коэффициент усиления по напряжению усилителя в режиме холостого хода Кио — 200, выходное сопротивление первого каскада = 1,5 кОм, входное сопротивление второго каскада J?BX2«500 Ом, емкость конденсатора связи Cci = 4 мкФ, входная емкость второго каскада с учетом монтажной емкости С02 = 0,015 мкФ.
Решение. Коэффициенты усиления усилителя по напряжению: на средних частотах схемы замещения усилительного каскада
.. “вых А«о/?вх2 200*400 лл
= = >.ых,+Кг --1500+500-с уметом допусти-
мых частотных искажений Кк = Кср/-/2 = 40/1,41 = 25,5.
Граничные частоты полосы пропускания частотной характеристики усилителя:
1 106
нижняя: f„ = 2яСс1(/(ых1 + Лвк2) = 2’3.1+4(1500+500) = 19,9 Гц’ откуда сон = 2л/н — 2*3,14 • 19,9 = 125 с ;
верхняя: 1500-500
С°2 Л.„х, + ’ '500 +-500
=28,3 кГц, откуда <ов= 2л^„= 2-3,14-28,3-1000 = 177-10
с
6.20. Определить коэффициент усиления по току Ki и напряжению Ки катодного повторителя на ламповом триоде, коэффициент усиления которого ц= 100, а крутизна анодно-сеточной характеристики S = 10 мА/B. Сопротивление резистора в цепи катода /?к = 1,5 кОм, сопротивление резистора смещения на сетке Rc— 1,2 мОм.
Решение. Внутреннее сопротивление триода исходя из внутреннего уравнения лампы: /?,= ц/5= 100/(10-10-3)=10 000 Ом= = 10 кОм.
Коэффициенты усиления:
“вых Рк i ЛЛ '>5
по. напряжению: Ku = —= H/?,+/?^-+1)-|OO,o+i,5(id6+l) =
150 л nj iz ивых/Нк /х Rc Л 1,2* 103 -у с К
= W=°>94; по ТОКУ; № = -Ц-7яГ=У(“^Г=0’94~г5“==755-
6.21. Определить коэффициент усиления по напряжению Ки и току К,, а также входное /?вх и выходное /?ВЫх сопротивления каскада, выполненного на транзисторе типа р-п-р по схеме с общим эмиттером. Сопротивление эмиттерного резистора R, = 1,1 кОм, входное сопротивление транзистора Ли = 350 Ом, коэффициент усиления по току транзистора Л21 — 50, выходная проводимость транзистора Л22 = 60-10-6 См.
Решение. Коэффициент усиления усилительного каскада:
по напряжению: Ки =--р-даТр р+60. ю~< и • юТ
1+Ч (w+wl l+350LTi-W+5o)J
= 0,99; по току: Ki = Ки _б>) - 31.
Сопротивления усилительного каскада:
входное: RBX = Лц/(1 — Ки) = 350/(,1 —0,99) = 35 кОм, выходное: RBWX = Ли/(1 +Л21) = 350/( 1 +50) = 6,85 Ом.
6.22. Определить коэффициенты усиления по току Ki, напряжению Ки и мощности Кр, а также входное RBX сопротивление усилителя, выполненного на транзисторе по схеме с общим эмиттером. В рабочей точке транзистор имеет входное сопротивление hit = = 1,1 кОм, коэффициент усиления по току h2i = 32, выходную проводимость /i22 = 18,5-10-6 См, коэффициент обратной связи по напряжению Л|2 = 2,8-10 4, нагрузочное сопротивление /?н = = 2 кОм. Расчеты выполнить по точным и приближенным формулам, результаты сравнить.
Решение. Коэффициенты усиления усилителя по току, напряжению, мощности и значения входного сопротивления усили-. ,, h2i
теля, рассчитанные по точным формулам: К,— t /г2гЯ~~ ~ _ __________32________ _ 31 . % _ _____________h2lR,__________
_ 1 +18,5-10~6-2000 ~ “ fti I (1 + ЛгаЛн) — Л12Л21/гН
__ 32-2000 __ 57’ К К'К ~ 1100(1 4- 18.5-10“6-2000) - 2.8-10“4-32-2000 — ’ Р— i и —
= 31-57 = 1770;
о ____ ^н(^22 + 1//?н) — htjhji
h22+l/R.
11 000(18,5- 10“6+ 1/2000)-2,8- 10-4-32
=-------------------1---------------- = 1080 Ом.
18,5-10-6 + 1/2000
Коэффициенты усиления и значения входного сопротивления усилителя, рассчитанные по приближенным формулам: Ki = h2> — = 32; Ки = _^L = 32:2^° =58; Кр= К,Ки = 32-58 = 1850;
Л11 I Iuv
RBX = 1100 Ом.
Сравнение полученных результатов показывает, что по приближенным формулам погрешность расчета Ki составляет +3 %, Ки — (+2%), Кр — (+4,5%), /?вх —(+2%), .т. е. погрешность весьма незначительна.
6.23. Определить коэффициент усиления по мощности трехкаскадного усилителя, аналогично схеме рис. 6.1.13, выполненного на транзисторах по схеме с общим эмиттером с параметрами: Ли = 1 кОм; Л12 = 5-10~4; h2t = 25; h22 = 10-10~6 См. Сопротивление нагрузочных резисторов в каскадах Ri = 5 кОм; R2 = = 20 кОм; R3 — 2 кОм; RH — 600 Ом. Расчет произвести по приближенным формулам.
Решение. Выходное сопротивление трехкаскадного усили-теля: /?выхз = р , „....= , 9ПП|, = 460 Ом. Коэффициент уси-
Пи ~г OOv -j- zUUU
„ Л2|/?„.ч 25-460 . . -
ления третьего каскада усиления: Киз =----------=——----------= 11,5.
/ь । 1000
Сопротивление связи второго и третьего каскадов усилителя:
/?св2 = /?,„з = 1//?i + l/R_ f 1//?i = j_ i i = 1 -33 кОм
5 + 20 + 2
Нагрузочные сопротивления первого и второго каскадов усили-о о КмН.о 1330-1000
теля. /?„, = /?и2 = = |330 + ,ооб = 570 Ом.
Коэффициенты уснлеиня первого и второго каскадов усилителя: Ки, = Ки2 = = т1п570 = 14,2.
I IUUU
Коэффициент усиления трехкаскадного усилителя: Ки — = KuiKu2Ku3 = 14,2-14,2-11,5 = 2320.
Сопротивление связи первого каскада усилителя: /?СВ| =
_______1 __ 1 __ 4 КГ)М
— + 1/Я/ 1/5+1/20 4 R
Входное сопротивление усилителя: /?вх =—1,1
Лс»| + Л, = 800 Ом.
Коэффициент усиления по мощности усилителя: КР = = К2и-^- = 23202-|^- = 9,3- 10й.
4000-1000 4000+1000:
Задачи
6.24. Коэффициент усиления усилителя без обратной связи К= = 120. Определить коэффициент усиления усилителя Кос после введения отрицательной обратной связи с коэффициентом передачи цепи обратной СВЯЗИ 0 = 0,015. Ответ: /<„, = 42,85.
6.25. Постоянная составляющая выпрямленного напряжения при однополупериодной схеме выпрямления однофазного синусоидального тока с частотой f = 50 Гц составляет Uo = 2,8 В. Напряжение на вторичной обмотке трансформатора U2 = 6,13 В. Пренебрегая внутренним сопротивлением выпрямительного вентиля, определить коэффициент пульсации и записать выражение для основной гармоники переменной составляющей выпрямленного
напряжения. Ответ: q = 1.54; и2 =—-sin314/, В.
6.26. Рассчитать по приближенным формулам значения //-параметров транзистора типа П14 при включении его по схеме с общим эмиттером, если известны параметры при включении по схеме с общей базой: //цб= 31 Ом; hi26 = 3,2-IO"4; h2is= — 0,96; h22 = 0,8- 10-6 См. Ответ: йц,= 775 Ом; hl2, — 3- IO4; Л12,= 24; й22,= = 20-10“6 См.
6.27. Рассчитать по приближенным формулам значения /г-па-
раметров транзистора типа П14 при включении его по схеме с общим коллектором, если известны параметры при включении по схеме с общим эмиттером: Ли» = 775 Ом; Л|2э = 3-10~4; Zi2is = = 24; h?2, = 20- 10-6 См. Ответ. Лц„ = 775 Ом; Л)2к = 1; Л2|к- = — 25; Л22|< — = 20-10“6 См.
6.28. Рассчитать по приближенным формулам значения Л-па-раметров транзистора типа П14 при включении его по схеме с общей базой, если известны параметры при включении по схеме с общим эмиттером: /1цэ= 775 Ом; h\?3 = 3-10~4; h.^, = 24; /122,= 20-10-6 См. Ответ. hni=3\ Ом; Л|2б = 3.2-10“’; й2|в = — 0,96; Л,,„= 0,8-10“6 См.
6.29. По приведенным входным характеристикам ls(Ue) (рис. 6.29). Определить входное сопротивление R,x транзистора, включенного ПО Схеме С ОбЩИМ ЭМИТТерОМ. Ответ. R„ = 100 Ом.
6.30. Определить крутизну статической анодно-сеточной характеристики //(Л) электровакуумного триода с коэффициентом усиления ц = 10 при 4Л = — 2 В; R,— 5 кОм; £а=100 В; /а = 16 мА. Ответ. S = 2мА/В.
6.31. Определить анодное напряжение U, лампового триода, если известно, что анодный ток /а = 18 мА, ЭДС источника питания £а = 120 В, сопротивление нагрузочного резистора /?а — = 5 кОм. Ответ. Uа = 30 В.
Рис. 6.33
Рис. 6.34
208
Схема включения и пара-метры транзистора
1 2 3 4
Тип транзис- П416 П416
тора П416 П14
Схема вклю- ОБ ОК
чения ОЭ ОБ
Л>|, Ом 15,8 632
650 31
Й|2, Ом 30,62-10 3 1
32-10-3 3,2-10-’
Л2|, Ом —0,975 -40
40 -0,96
Й22, Ом 3,76-10'6 2,44-10“’
1,5-10-* 0,8-10“6
/?„, кОм 8 1,5
3,5 10
R„ кОм 10 '25
15 15
Варианты контрольного задания 6.39
7 9 11 13
6 8 10 12 14
П14 ГТ332А ГТ332А П416 П14
П14 ГТ332А П416 П416 П14
оэ ОБ ОК ОЭ ОБ
ок ОЭ ОБ ОК ОЭ
775 5,79 331 650 31
775 330 15,8 632 775
3-10“' 0,202-10-3 1 32-10“’ 3,2-10“'
1 1,6-10-' -30,62-10-’ 1 3-10“'
24 -0,9825 -57 40 -0,96
—25 56 —0,975 -40 24
20-10“6 1,1-10"6 1,1-ю-6 1,5-10“’ 0,8-10“6
20-10“6 6,25-10"6 3,76-10~6 2,44- 10“' 20-10“6
2,5 10,5 2 5 12,5
1,25 5,5 12 2 3,5
20 10 25 7,5 5,5
30 15 5 - 35 4
Продолжение табл. 6.3
Схема включения и пара-метры транзистора Варианты контрольного задания 6.39
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип тран- П14 ГТ332А П416 П416 П14 ГТ322А ГТ332А П416
знстора ГТ332А ГТ332А П416 П14 П14 ГТ332А П416 П416
Схема вклю- ОК ОЭ ОБ ОК ОЭ ОБ ОК ОЭ
чення ОБ ОК ОЭ ОБ ок ОЭ ОБ ок
Ли, Ом 775 330 15,8 632 775 5,79 331 650
5,79 331 650 31 775 330 15,8 632
А|2, Ом 1 1,6-10-* -30,62-IO’3 1 3-1 о-* 0,202- IO"3 1 32-Ю-3
0,202-10“3 1 32-10“3 3,2-10-* 1 1,6-10-* 30,62- IO"3 1
Ал, Ом 25 56 -0,975 -40 24 -0,9825 -57 40
-0,9825 -57 40 -0,96 -25 56 -0,975 -40
/>22, См 20-1О-6 62,5-10-6 3,67-10-’ 2,44-10-* 20-10-’ 1,1-10-’ 1,1-10-’ 1,5-10-*
1,1-10-’ 1,1-10-’ 1,5-10-* 0,8-10-’ 20-10“’ 62,5-10-’ 3,67-10-’ 2,44-10-’
/?н. кОм 1,5 10 15 2,5 4,5 20 1,25 15
15 1 10 15 1,75 15 20 3
Rn кОм 20 9 6 20 5 7,5 20 15
§ 8 30 8 4 30 5 10 30
Рис. 6.35
6.32. Указать линию нагрузки, построенную на семействе анодных характеристик Циа) (рис. 6.32) электровакуумного триода при ЭДС анодного питания Е3 = 300 В и анодной нагрузке /?а = 20 кОм. Ответ. Линия / на рис. 6.32.
6.33. в семействе выходных характеристик /«((А) (рис. 6.33) определить коэффициент усиления по току К, транзистора, включенного ПО Схеме С общим ЭМИТТером (ОЭ). Ответ. К. = 200.
6.34. По приведенным выходным характеристикам А((А) (рис. 6.34) и линии нагрузки АВ определить коэффициент усиления по току Ki усилительного каскада, выполненного на базе транзистора, включенного ПО схеме С Общим ЭМИТТером. Ответ. Ki = 93,5.
6.35. Указать линию нагрузки, построенную на анодных характеристиках /Х^а) (рис. 6.35) лампового триода при анодной нагрузке Ra = 10 кОм и ЭДС источника питания £а=300 В. Ответ. Линия II на рис. 6.35.
6.36. Определить коэффициент усиления по напряжению К„ усилительной ячейки на ламповом триоде, которая характеризуется следующими параметрами: S = 5 мА/B; /?, = 2,5 кОм; /?а = = 10 кОм; Rc — 100 кОм. Ответ. Ки= 10.
6.37. Определить коэффициент усиления р. триода, если коэффициент усиления по напряжению усилительной ячейки, в которой он использован, Ки= 100. Анодная нагрузка /?а = 10 кОм, внутреннее сопротивление триода /?, = 5 кОм. Ответ, р = 150.
6.38. Определить коэффициент усиления усилительной ячейки Кос при введении положительной обратной связи, если коэффициент передачи цепи обратной связи 0 = 0,008, а коэффициент усиления усилителя без обратной связи К= 100. Ответ. к„с= 500.
Контрольное задание.
6.39. Составить схему однокаскадного низкочастотного усилителя и рассчитать коэффициенты усиления по току Ki. напряжению Ки и мощности Кр, а также входное /?„ и выходное сопротивления для заданного варианта схемы включения транзистора по его ft-параметрам для рабочей точки. Величины сопротивления Ru нагрузки и внутреннего сопротивления генератора сигналов Rr приведены для соответствующего варианта контрольного задания в табл. 6.3.
Глава 7
ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
$ 7.1. ТРЕХФАЗНАЯ СИСТЕМА ПИТАНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Трехфазная система питания электрических цепей представляет собой совокупность трех синусоидальных ЭДС или напряжений, одинаковых по частоте н амплитудному значению, сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 2л/3, т. е. на 120° (рис. 7.1.1): ел=£лт31пш/; ев= £BmSin(<of — 2/Зл); ес = EcmSin(<of — 4/Зл).
В симметричных источниках питания максимальные значения ЭДС равны Елт — Евт — Ест, соответственно равны и действующие значения ЭДС Еа= Ев= Ес. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, можно принять соответствующие ЭДС источника равными напряжениям, действующим на его зажимах: Еа = Uл', Ев — Uл Ес— Uс-
Комплексные ЭДС симметричного источника питания могут быть представлены системой уравнений 2я
Ел = £ле* = £ле'° = £л; Ев = Еве"^~ =
= Eb(cos-^~ — /sin—) == £в(—0,5 — Ес—
г- с / 4л . . 4я \
= £се = Ес (cos—-----jsin—J =
= £с (-0,5 + /^) .
При симметричной нагрузке ЕА — = Ев= Ес — Еф. При этом алгебраическая сумма комплексных значений ЭДС источника: ЕА + £« + Ес— 0.
Электрическая цепь, в которой действует трехфазная система ЭДС или напряжений, называется т р е х ф а з-н о й.
В качестве трехфазного источника электрической энергии в основном используются трехфазные синхронные генераторы, преобразующие механическую энергию в электрическую, каж
дая из трех обмоток якоря которого является источником однофазной синусоидальной ЭДС.
К трехфазным потребителям электрической энергии относятся трехфазные синхронные и асинхронные двигатели и трансформаторы (с нагрузкой), электрические печи, приборы электрического освещения и др.
Существуют различные способы соединения фаз трехфазных источников питания и трехфазных потребителей электроэнергии. Наиболее распространенными являются соединения «звезда» и «треугольник». При этом способы соединения фаз источников и фаз потребителей в трехфазных системах могут быть различными. Фазы источника обычно соединены «звездой»,- фазы потребителей соединяются либо «звездой», либо «треугольником».
Несвязанная трехфазная система питания электрических цепей объединяет три однофазных источника питания, к каждому из которых может быть подключен однофазный потребитель электроэнергии. При этом для создания электрических цепей всех трех однофазных потребителей электроэнергии требуется шесть питающих проводов. Прн наличии связанной трехфазной системы питания, в зависимости от схемы соединения фаз потребителей и источников, необходимо иметь всего четыре, а в симметричной системе — три провода вместо шести, что обеспечивает значительную экономию дефицитных цветных металлов и соответствующее снижение потерь мощности в питающих проводах прн передаче электрической энергии от источников к потребителям электроэнергии.
$ 7.1; ТРЕХФАЗНЫЕ ТРЕХПРОВОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ ФАЗ ТРЕХФАЗНЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ «ЗВЕЗДОЙ»
При использовании связанных трехфазных систем питания трехфазных потребителей электроэнергии соединение фаз источника и потребителя выполняется обычно по схемам «звезда» нлн «треугольник».
Прн соединении фаз трехфазного источника питания или потребителя электроэнергии «звездой» (рнс. 7.2.1) концы фаз источника X, Y, Z объединены в общую нейтральную точку А, а начала фаз А, В, С подключаются к соответствующим линейным проводам Аа, ВЬ, Сс. Аналогичным образом прн соединении трехфазных потребителей объединяются в нейтральную точку п концы его фаз х, у, г, прн этом начала фаз а, Ь, с подключаются к линейным проводам.
Напряжения U a, Uв, Uc, действующие между началами и концами фаз источника питания, являются его фазными напряжениями, а напряжения Ua, Ut,, LC, действующие между началами и концами фаз потребителя, его фазными напряжениями. Напряжения Uab, U вс, Uca, действующие между началами фаз источника и напряжения Uab, Ut>c, Uca, действующие
между началами фаз потребителя, являются линейными напряжениями.
На схеме рис. 7.2.1 приведены условные положительные направления фазных и линейных напряжений. Линейные токи /л в питающих линиях (1а, /в, /с) при соединении трехфазного источника питания и трехфазного потребителя электроэнергии «звездой», условное положительное направление которых приведено на схеме рис. 7.2.1, одновременно являются и фазными токами /ф, протекающими по фазам потребителя (Ia, /в, 1с). Поэтому в рассматриваемом случае прн наличии симметричной трехфазной системы при соединении фаз потребителя «звездой» линейные токи оказываются равными фазным токам (/ф=/л).
Трехфазные источники питания практически всегда выполняются симметричными. В этом случае действующие значения фазных ЭДС Еа = Ев = Ес = £ф фазных напряжений Ua=Ub = Uc = = L/ф оказываются соответственно равными н сдвинутыми относи-
. 2л п
тельно друг друга по фазе на угол—3—. При этом комплекс-ные, активные и индуктивные сопротивления фаз Za—Zb = = Zc = 2Ф; Ra — Rb = Re = /?Ф; Ха = Хв — Хс = А*; значения фазных коэффициентов мощности cosqm = coscps = cos q>c = cos<pt> также оказываются равными.
Рис. 7.2.2
Рис. 7.2.1
Трехфазные потребители электроэнергии могут быть симметричными и несимметричными. Для симметричных потребителей справедливы соотношения, полученные для трехфазных симметричных источников питания. Прн этом Ua = L/ь = L/c — t/ф, El АВ = U вс — U CA = иЛ, Za — Zb = Zc= 2ф, Ra — Rb — Re = Rp, Xa = Хь = Xc = ХФ, cos<pa = cos<p(> = cos<pc = соэфф. Соотношение между фазными и _линейными напряжеинями определяется выражением 11Л — -^3Up. Для несимметричных трехфазных потребителей не все эти соотношения соблюдаются.
Прн анализе трехфазных электрических цепей широко нс-
пользуется метод комплексных чисел. С его помощью можно осуществлять расчеты, которые невозможно выполнить другими методами.
На рис. 7.2.2 на плоскости комплексных чисел приведена векторная диаграмма фазных Ua, Uh, Uc и линейных напряжений Uab, U_bc, Uca потребителя электроэнергии, при этом вектор фазного напряжения Ua направлен по вещественной оси в положительном направлении. С учетом этого фазные напряжения трехфазного симметричного потребителя могут быть представлены в комплексной форме записи: Uu — Ua — U$ = Uo =
л'З
. В соответствии с принятыми условными положительными направлениями фазных и линейных напряжений (см. рис. 7.2.1) линейные напряжения потребителя электроэнергии определяются по уравнениям, составленным в комплексной форме записи для соответствующих замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа: U_AB= Ua—Ut,', U_BC=Ub—Uc', U_CA~ У_с—Ua-
Из векторной диаграммы (рис. 7.2.2) следует, что линейные напряжения, так же как и фазные напряжения, сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол При этом для симметричной трехфазной системы векторная сумма фазных напряжений Ua+ У_ь+ Uc = 0 и сумма линейных напряжений + Uac—0.
С учетом приведенных выше выражений линейные напряжения потребителя для симметричной системы могут быть представлены следующими соотношениями: Uab— U„ + /4“)’ Uвс = -jU,; Uca= u\--^- + j^.
Аналогичные выражения можно записать и для симметричного трехфазного источника питания при соединении его фаз «звездой».
Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов, соединяющих трехфазный источник питания с трехфазным потребителем электроэнергии, линейные напряжения потребителей оказываются равными соответствующим линейным напряжениям источника питания: Uab — Uab', Ubc = Ubc', Uca = Uca.
При соединении фаз потребителя «звездой» и симметричной нагрузке комплексные фазные токи определяют исходя из выражений, записанных по закону Ома для участка цепи: _1_А= = Ua/Za, i^Uh/Zb', J_C=UC/ZC.
Так как фазные напряжения и полные сопротивления всех фаз потребителей равны, фазные и линейные токи так же будут равны: IА — /я=/с=/ф=/.ъ
Активная Р, реактивная Q и полная 3 мощности потребителя электроэнергии при симметричной нагрузке (Za — Zb — Zc — — Z$) и соединении фаз «звездой» определяют как сумму соответствующих фазных мощностей
Р = Ра+Рь+ Рс — ЗРф = 3(7ф/фС05фф =
= 3/?ф/ф = 3/?ф/л = -73(Л/лС0з<рф;
Q = Qa Qb ~Т Qc=== Зрф = 3(7ф/ф31п<рф
— ЗХф/ф = 3/,?Хф = т/3(7л/лз{пфф; 3 За 3^ Ч~ *3с
= 33Ф = ЗТ'ф/ф == 37ф/^= 3ZV2,
где созфф=-^-; sinq^=—При этом 3 = л/Р2 + Q2 = -y/SU.Ja. z> ф ф
В приведенных формулах перед реактивным индуктивным сопротивлением ставится знак «+» (Н-Афг), а перед емкостным сопротивлением знак «—» (—Хфс). В комплексной форме записи полная мощность трехфазной электрической цепи: 3 = P±jQ. Полную мощность каждой из фаз потребителя можно определить по формулам:
За = Ра ± iQa = УаП I 3» = Pb ± jQb = Uhfr, Sc=Pc± jQc = = где /5, /?, — соответственно сопряженные комплекс-
ные токи в фазах.
§ 7.3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ ФАЗ ТРЕХФАЗНЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ «ТРЕУГОЛЬНИКОМ»
В связанных трехфазных системах наряду с соединением трехфазных потребителей «звездой» применяется соединение фаз «треугольником». При этом не имеет значения как соединены фазы источника — «звездой» или «треугольником».
Соединение, при котором начало одной фазы потребителя электроэнергии (или источника питания) соединяется с концом другой его фазы, начало которой соединено с концом третьей фазы, а начало третьей — с концом первой фазы (при этом начала всех фаз подключаются к соответствующим линейным проводам), называется треугольником.
При соединении «треугольником», как видно из схемы рис. 7.3.1, фазные напряжения оказываются равными линейным напряжениям ((7Ф= U.,): уаь = уАв, Уьс=Увс< Уса=иСА. При
симметричной системе питания: иаЬ=иЬс=иСа=и ad—U п<:— = и<:А=иФ=и.-,.
Векторная диаграмма напряжений на комплексной плоскости при симметричном питании для активно-индуктивной нагрузки (Ф>0) представлена на рис. 7.3.2. Здесь комплексное линейное напряжение иаь направлено по положительной вещественной оси комплексной плоскости. При этом комплексные линейные напряжения записывают в следующем виде: Uab=Uab — U.,;
и„с= и„е и. (-4-
+ /4-)=М-т+нН-
i^-\uia=uea (--1-+
Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные напряжения потребителя можно приравнять линейным напряжениям источника питания: иаь—ОЛ11-, Ube=Unc- {JCa=UcA-
Аналогичные выражения могут быть записаны и для линейных напряжений источника питания независимо от схемы соединения его фаз.
Соотношение между линейными и фазными токами при соединении потребителя электроэнергии «треугольником» и симметричной нагрузке определяют из уравнений, составленных для токов в соответствии с первым законом Кирхгофа для узлов а, Ь, с разветвления электрической цепи (см. рис. 7.3.1 ) : _J_A -\~_lca —'_[ab — Oi 7 Л ~|~ 7ab —J_bc — 0; 7 с. _/< и=0.
При симметричной нагрузке линейные токи 7 л= 7 ,(= 7 ,• и фазные /„/,= 1Ь<.= 1са. При этом угол сдвига фаз между фазными токами и напря
жениями qw = Ч’*г — q™. гак как в данном случае коэффициент мощности cosq:u(, = cosq)(,t= cosgiu.
В соответствии с этими уравнениями на рис. 7.3.2. построена векторная диаграмма фазных и линейных токов потребителя, из которой следует, что прн соединении фаз симметричного трехфазного потребителя электроэнергии «треугольником» между линейными и фазными токами имеет место соотношение /,= = уЗ/ф.
При симметричной системе питания и симметричном потребителе электроэнергии с соединением его фаз «треугольником» полную S, активную Р и реактивную Q мощности отдельных фаз потребителя определяют по формулам, полученным для соединения его фаз «звездой».
$ 7.4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЧЕТЫРЕХПРОВОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Трехфазная четырехпроводная система питания потребителей электроэнергии, широко распространенная в низковольтных сетях, позволяет получить для питания потребителей два напряжения — линейное U л и фазное (7ф.
При смешанной силовой и осветительной нагрузках силовые низковольтные потребители электроэнергии питаются линейными напряжениями £7= 660; 380; 220 В. Для осветительной нагрузки используются фазные напряжения £/ф=220; 127 В.
В трехфазных четырехпроводных электрических цепях при наличии линейных проводов, соединяющих начала фаз источника питания и потребителя электроэнергии, имеется также нейтральный провод, соединяющий нейтральную точку N источника с нейтральной точкой п потребителя (рис. 7.4.1), что обеспечивает симметрию фазных напряжений источника и потребителя, так как нейтральный провод уравнивает потенциалы нейтральных точек Nun.
В четырехпроводных электрических цепях фазы источника и фазы потребителя соединяются всегда «звездой».
При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления фаз потребителя не одинаковы (Za=£ Zb=£ Zc), прн этом комплексное напряжение UnN, действующее между нейтральными точками N и п системы, определяют по методу двух узлов
где ЕА, Ев, Ес — комплексные ЭДС источника питания; У„=
= ~—; Уь = —^—; У<=—-=----------------комплексные проводи-
Сл ц L* Ь Lc Li у
мости фаз потребителя и нейтрального провода.
При симметричной нагрузке Za—Zb = Zc сумма комплексных токов в точке п разветвления цепи, записанная в соответствии с первым законом Кирхгофа: _[А +7я + L: =:1n= 0, так как ток в нейтральном проводе 1^=0. При этом напряжение, действующее между нейтральными точками: UnN=ZNLj=Q.
Пренебрегая внутренним сопротивлением симметричного источника питания и учитывая, что ЭДС £^=£8=Ег=£ф= = Пл-\/3, комплексное напряжение, действующее между нейтральными точками системы, определяют исходя из выражения
U — и’(У>+агУ>+аУс)
V3(r„+ г»+ К + Ь) ’
. 2я . 2л
где а = е 3 = (—г+/-Г-)’ fl2 = e ' ’ (“4—/-у-) ~ пово'
ротные множители (операторы).
Комплексные фазные напряжения потребителя электроэнергии находят из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для соответствующих замкнутых контуров системы (рис. 7.4.2): Ua=EA—UnK', Ut> = Ев— Unff, UC=E(:—Unv.
При этом комплексные фазные токи потребителя определяют по закону Ома для соответствующих участков цепи: J_A= Ua/Za, l_g=.Ub/Zb-,£c=Uc/Ze.
Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответ-
ствии с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для нейтральной точки п цепи: In—La~\-Lb~\~Lc-
При симметричной нагрузке фазные напряжения: Ua= 11ь= = Uc=U<b, при этом (7Ф= = Пл/“\/3; I a~i1b= I с= I = = (/ф/2ф= [7л/д/32ф. При обрыве нейтрального провода его полное сопротивление ZN=<x>, а полная проводимость У=0.
При несимметричной нагрузке потребителя электроэнергии (Ze=#Z»=#Zf) на векторной диаграмме происходит смещение нейтральной точки п потребителя относительно нейтральной точки N источника, что приводит к перекосу фазных напряжений потребителя. В результате на одних фазах потребителя напряжение будет больше, чем на других, что во многих случаях недопустимо, в частности при питании осветительной нагрузки, когда одни осветительные приборы находятся под напряжением, меньшим номинального, а другие — под напряжением, большим номинального, что приводит к преждевременному выходу приборов из строя. Поэтому в цепи нейтрального провода недопустимо наличие различного рода предохранителей и выключателей.
Трехфазная четырехпроводная система обеспечивает потребителя электроэнергии симметричным питанием. При этом активная, реактивная и полная мощности могут быть определены по следующим формулам с учетом знака реактивных сопротивлений:
Р — l\Ra “Н /IjRb -|- PcRc— I .\UaCOS <fa -|-
-|- / BUb cos грь +1CUC cos ;
Q = -|- РдКь -|- /fXf = I/ji/aSin фа -|-
+ /St7i>sin (f* + /cyesin<pf; s=V75+Q2,
где СОЗфа = Ra/Za, COS ф(, = /?|,/Z(,; COS<f;c — Rc/Zc\ 51Пфа = Xa/Za; sintp» = Xt/Zs; эшфс = Xc/Zc.
При симметричной нагрузке эти формулы приводятся к виду: Р=3/ф/?ф= д/ЗУ.т/лСоэфф;
Q — 3/?|Лф= -\/3^.т/л51Пфф;
S = -Vp2 + Q2 =
где соэфф = R^/Ztf,; sirups—X(|,/Z(1>
Литература. [1] § 7.1; [2] § 7.2 -7.5; [3] § 8.1.
Примеры решения задач
7.1. Маркировка вторичной обмотки трехфазного трансформатора с номинальным напряжением [7н„м= 220/380 В указана на рис. 7.1, а. Определить показания вольтметров V, включенных между зажимами 1—2 и 2—6 обмотки после соединения зажимов 3, 4 и 5 в общую точку N, если при правильном соединении обмоток «звездой» фазное напряжение [7ф=220 В. Указать правильное соединение обмотки трансформатора «звездой».
Решение. Показание вольтметра, включенного между зажимами 1—2 обмотки трансформатора из векторной диаграммы рис. 7.1,6: Uiz=Ei — £2== {7.1^37/ф=-^'3-220=380 В. Линейное напряжение Un представляет собой геометрическую разность
Рис. 7.1
соответствующих фазных ЭДС и отличается от них в т/3 раз.
Показание вольтметра, включенного между зажимами 2—6 обмоток трансформатора (рис. 7.1, в), определяется из векторной диаграммы рис. 7.1, г: U26—E2 + Е3 = 220 В. Вольтметр покажет фазное напряжение [7ф=220 В.
Правильное соединение обмотки трансформатора «звездой» соответствует включению зажимов 4, 5 и 6 в общую точку N.
7.2. Трехфазный симметричный потребитель электроэнергии с сопротивлением фаз Za= Zt> = Zc= Z^= R= \0 Ом соединен «звездой» и включен в трехфазиую сеть с симметричным линейным напряжением [Л=220В (рис. 7.2). Определить показания амперметра А при отключении линейного провода ЬВ (выключатель В разомкнут).
Решение. Суммарное сопротивление между точками а и с цепи при разомкнутом выключателе: Rac = Za + Zc= 10-|-10 = = 20 Ом. Показание амперметра при отключении линейного провода В: /л=/с=[Ул//?ас = 220/20= И А.
7.3. Для условий задачи 7.2 построить векторную диаграмму напряжений и токов при симметричной нагрузке фаз и при обрыве линейного провода ЬВ.
Решение. Фазные напряжения при симметричной нагрузке: Ua= Ub= Uc= иф— [7л/-уЗ = 22О-\/3 = 127 В. Фазные токи при этой нагрузке: /ф=-^-=-^-= 12,7 А. Линейные токи при
симметричной нагрузке: 1А=1Г.~ = /л=/ф= 12,7 А, так как симметричный трехфазный потребитель электроэнергии соединен «звездой».
Активная мощность трехфазного симметричного потребителя: Р = = ЗРФ= 3[7ф/фсо5<рф= 3-127-12,7Х X 1 = 4850 Вт = 4,85 кВт или Р = = т/3[7л/лсоз<рф = -\/3-220-12,7-1 = = 4850 Вт = 4,85 кВт, где соз<рф= 1 при Z$=R$.
Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 7.3, а.
Токи в линейных проводах аА и сС при обрыве линейного провода ЬВ (выключатель В разомкнут) равны, так как сопротивление фазы Zt, = оо (/в= 0), a Za— R и Zc — R включены последовательно на линейное напряжение Uca= ил = 220 В: Ia — 1 с — / = = t/cV(/? + /?) = 220/(10+Ю)= И А.
Напряжение на фазах потребителя при обрыве линейного провода ЬВ (нейтральная точка п в этом случае соответствует середине вектора линейного напряжения Uca)'- Ua= Uc = = Uca/2 = 220/2 = 1 Ю В.
Напряжение между проводом фазы В и нейтральной точкой п определяют из векторной диаграммы (рис. 7.3, 6):Uc—
= [/„cos—£-= 220-0,866= 190,5 Bi О
Активная мощность потребителя при обрыве линейного провода ЬВ: /’=/’л + Л = 2/2/?ф=2.Ц2-10=2420 Вт= 2,42 кВт.
7.4. Для условий задачи 7.3 определить фазные напряжения U$ и токи /,|„ активную мощность Р, потребителя при коротком замыкании фазы Zb, построить векторную диаграмму для этого случая.
Решение. В данном случае 1Ь — 0 и Uь = 0, нейтральная точка п переместится в точку В, при этом фазные напряжения Uc=lJBC\ иа=илв, т. е. фазные напряжения равны линейным напряжениям ([7 ф= U,). При этом фазные токи: /.i=/f = = [/.,//?= 220/10= 22 А.
Ток 1ц при коротком замыкании в соответствии с первым законом Кирхгофа для нейтральной точки п: _Л1+_/в-|-Л. = 0 или —_/«=_/•, +!<:
Из прямоугольного треугольника на векторной диаграмме рис. _7.4 имеем: (—/в/2)2 -|- (/з/2)2 — Г~д, откуда 1в= =
= Л/3-22 38 А. При этом h = U.,/Za = h= U.,/Z{ = U,/R = = 220/10=22 A.
Активная мощность цепи прн коротком замыкании: Рк = = Ра + Рс— 2- l$R = 2-223-10 = 9680 Вт =9,68 кВт. Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 7.4.
7.5. Для трехфазной электрической цепи рис. 7.5 определить ток Л в нейтральном проводе при разомкнутом выключателе В. Линейное симметричное напряжение питающей сети {/.,= = 220 В, сопротивление резисторов = Р2 = Rs = Ю Ом.
Решение. Комплексные фазные напряжения: U а =
— Uoen = Uae'" =Ua=Ub=-^=-^-=l21 В; U в= уз
= f/fre '^= (7»(cos-^--/sin^-) В; Uc=Uce4~^ =
= [7c(cos—-/sin——4 В.
Так как в соответствии с формулами приведения: cos -у- = = cos ( —^-1- а) = — sina= — sin ——=—0,5; sin =
= sin ( —j-1- а) = cosa = cos ——= -у- = 0,866: cos ~ =
= cos(n -|- a) = — cosa= — cos ——= — 0,5; sin —y-=
= sin(n + a) = — sina = — sin =-----------y- = — 0,866, то пред-
ставленные выше формулы комплексных фазных напряжений при этом приводятся к виду:
Ua = U$ = 127 В; Uh= t/ф (--0,5 -/-^-) = 127Х
X (-0,5-/-^ =(-63,5-/110) В; UC=U*X
х( -0.5 + = 127 (-0,5 + / -f) = (-63,5 + /110) В.
Комплексные фазные токи: 1д = ~^г~= 0. так как выключа-тель В разомкнут;_/я=-j^-= -------—— — ( — о,35 — /1I) А,
/с- -(-6,35+ j 11) А.
—— Ц 1 и
Ток в нейтральном проводе: _/v = /а + _£в + / с = — 6,35 — — /11 — 6,35 -|- /11 = — 12,7 А или In— 12,7 А.
7.6. В трехфазную питают* <о сеть с симметричным напряжением включен симметричный потребитель электроэнергии, фазы которого соединены «звездой» (рис. 7.6, а). Комплексные сопротивления фаз Za = Zj, = Zc = 22е Ом (угол ф = -^-=30°). Определить линейные токи /л, показание ваттметра W и построить векторную диаграмму напряжений и токов при замкнутом выключателе В, если фазное напряжение (7ф = 220 В.
Решение. Комплексные фазные напряжения потребителя электроэнергии определяем, направляя вектор Ua по оси действительных чисел в положительном направлении: = Uae!0 = Ua =
= 220 В; (Л = (Ле 220 е” '-3” В; Uc = Uce^ = = 220е^~ В или Uc = Uce~' ~ = 220е“''^’В.
Комплексные линейные (фазные) токи потребителя: _1л =
= = l0e~'fА: - z - А "ли
, 220е '3 . n ~i^ « , , , , ,
1_с —---л.— = 10е А; Л=/й=/с=/л=/ф.
22е'^
Рис. 7.7
Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 7.6, б. Показание ваттметра: Рь=и$1$'Х. X cos<p= иala cos-g-=220-10-0,866= — 1905 Вт= 1,905 кВт.
Комплексная мощность фазы А
потребителя: Sa=Ua£*A= 220- 10e>s = = 220- 10(cos-£+/sin-£-) =220Х
Х(8,66 + /5)= 1905 +j 1100.
Действительная часть комплексной мощности и является активной, измеряемой ваттметром. Активная мощность потребителя электроэнергии: Р — ЗРф = 3[/ф/фСО5ф = 3-220-10-0,866 = = 5715 Вт = 5,715 кВт.
7.7. Трехфазный потребитель электроэнергии с активными и реактивными сопротивлениями: Ri = 10 Ом, /?2 = /?з = 5 Ом и Xl = Хс = 5 Ом фаз соединен «треугольником» (рис. 7.7) и включен в трехфазиую сеть с линейным напряжением t/л = 100 В при симметричном питании. Определить показания амперметра А при отключении (обрыве) линейного провода с С (выключатель В разомкнут).
Решение. Полное сопротивление параллельного участка це-пи при обрыве линейного провода: Zt=^ (Rs+Ra'f + (Xi. — Xcf = = д/(5 + 5/ + (5 — 5^ = VT6T= 10 Ом.
Так как реактивные сопротивления Xi. = Хс, то в цепи имеет место резонанс напряжений, и она ведет себя как активное сопротивление (Z| — R, = 10 Ом).
Общее сопротивление цепи при обрыве линейного провода: 7 — Z'/?' _ l0-f0 _ 100 Г п z° z, + /?, 10+ю 20 — & им’
Показание амперметра при обрыве линейного провода: /л = = /в = Ua/Zo - 100/5 = 20 А, так как Uab = Ubc = Uca — Un = = 100 В.
7.8. По условию задачи 7.7 определить фазные /ф и линейные Л токи, а также активную Р, реактивную Q и полную S мощности каждой фазы и всей электрической цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение. Фазные токи потребителя:
, Uab _ 100
ак za„ R, 10
= 10 А;
Uic _ Ubc _ 100 _ 100
— ТИТЛс — v'52 + 52 — 5V2-
La
Uca
Zea
Ugg 100
J^rXl VF+I2
= 14,2 A.
Векторная диаграмма токов и напряжений с учетом характера нагрузки представлена на рис. 7.8.
Составляющие фазных токов:
активные: 1аьа — IDA; Л< а — Lc cos фьс = he-j- = 14,2F-:ra^ =
Zftc J у 2
= 10А; /газ=/«С0Вфся=/„^- = 14,2 т$гтт = 14,2 д??=Г-
L. с а V К 2 "Гл I V э Т’'
= 10 А;
X 5
реактивные: //,fp = /(,csin ф/>с = = 14,2 = Ю А;
leap — /casin фса = 1са-^-= 14,2 = 10 А; /□(,₽ = 0, так как
£.са O"V *•
Zab — Rab = Rt- Линейные токи потребителя электроэнергии определяют исходя из векторной диаграммы рис. 7.8: /д = 15,9 А; /в = = 15,9 А; /с = 27,32 А.
Мощности фаз потребителя:
активные: Раь = иаь1аьа — 100-10 = 1000 Вт = 1 кВт; Рьс — = Ubdbca = 100-10 = 1000 Вт = 1 кВт; Рса = Uealcaa = 100-10 = = 1000 Вт = 1 кВт.
реактивные: Qab — UablabV~ 100-0 = 0; Qbc = UbJbcV = = 100-10 — — 1000 вар = — 1 квар; Qca = UcaIcav = 100-10 = — 1000 вар = 1 квар (знак «—» указывает на емкостной характер мощности).
Полные мощности фаз потребителя: Sab = Pab = Uabhb .= = 100-10=1000 В-А= 1 кВ-A; Skc = Ubchc = 100-14,2 = = 1420 В-А= 1,42 кВ-A; Sca = UCaLo = 100-14,2= 1420 В-A = = 1,42 кВ-A.
Мощности всей цепи:
активная: Р = Раь + Рьс + Рса = 1 4- 1 + 1 — 3 кВт; реактивная: ^ = .Qaft+Qbc+Qm=O-— 1 -j- 1 =0; полная: 5 = д/= = д/ЗМ- О5"= 3 кВ-А.
7.9. Для трехфазной электрической цепи (рис. 7.9) определить фазные напряжения [7Ф, линейные токи /л и показание ампермет-
pa А при замкнутом выключателе В. Линейное симметричное напряжение питающей сети Un = 380 В, сопротивления резисторов потребителя электроэнергии: /?] = /?2 = /?3 = /? = 20 Ом.
Решение. Комплексные фазные напряжения (направляя вектор Ua по оси действительных положительных чисел комплексной плоскости): Ua = иве* = Uae’° = Ua= -^-= 220 B;
- т/З т/З
Ub = Ube~^ = Ub (cos - j sin —) = (-110 + / 190) B; t/c=
= Uce = Uc (cos-y— j sin -y-) = (—110 + / 190)В, так как . 2л /л . \
в соответствии с формулами приведения: cos — = cos hr + а) =
» .л /че’* 2л • (л । \ __ _
= — sin а = — sin — 0,5; sin — = sin Hr + а) = cos а = О о \Z /
= cos у = = 0,866; cos -у- = cos (л + а) = — cos а =
= — cos rr = — 0,5; sin — = sin (л + а) = — sin а== — sin rr = о о о
= --у-= -0,866.
Общее сопротивление фазы А потребителя электроэнергии:
р - ™ - 20'20 _ 400 _ ю ом
Ка~ Ri+R — 20 + 20 — 40 1U UM-
Линейные токи, так как резисторы соединены «звездой»: /л = = /ф; /л=^-=-у-=^=22 А или 1а = 22 A; ^fl = ^- = 1\а Ко *\2
= -|.!02Т(.199.. = (-5,5-/9,5) А, или /8 =-V5,52 + 9,54 = 11 А;
ic = ^-= ~"° + '190 = (-5,5 + / 9,5) А или /c=V5,52+9,52 = АЗ лХ)
= 11 A.
Показание амперметра определяется по уравнению, составленному для токов в соответствии с первым законом Кирхгофа для Нейтральной точки n:_bi =J_a +Jb +Jc = 22 + (—5,5 — j 9,5) + + (-5,5 + /9,5)= 11 А или In = 11 А.
7.10. По условию задачи 7.7 определить фазные /ф и линейные Л токи с применением метода комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя электроэнергии: Zi = Ri = 10 Ом; Z2 = — j Хс — (5 — j 5)Ом;
2з = R3 + j Xl — (5 + / 5) Ом.
Комплексные фазные (линейные) напряжения потребителей электроэнергии, принимая, что вектор Uab направлен по оси действительных величин (рис. 7.10): Uab — Uab — 100 В; Ubc = = Ubc^ = Ubc( cos у— / sin -у) = 100 (-0,5 - j 0,866) = = (-50 - j 86,6) B; Uca = UCAe~'^ = Uc^ cos-y— /sin^-) = = 100 ( — 0,5 + j 0,866) = (—50 + j 86,6) В, так как в соответ-, 2л / л . \
ствии с формулами приведения: cos — = cos 1 у + at —
= — sin а = sin = — 0,5; sin = sin(+ а) = cos а =
= cos — 0,866; cos 4^- = cos (л + а) = —cos а =
О Z о
= — cos — 0,5; sin 4^- = sin (л + а) = — sin а= — sin 4J- =
00 «5
= - Jy-= - 0,866.
Из рис. 7.10 видно, что вектор Ubc отстает по фазе от вектора Uab иа угол у- и с отрицательной частью вещественной оси образует угол у, а с осью мнимых чисел — угол у. С учетом этого комплексное напряжение: Ubc= Ubc(— cosy — j sin у) = = 100 (-0,5 - / 0,866) = (-50—/ 86,6) В.
При этом комплексное напряжение Uca является зеркальным изображением комплексного напряжения Ubc иа оси вещественных чисел, поэтому выражение для него записывают в виде: Uca = (—0,5 + / 86,6) В, т. е. это напряжение является сопряженным по отношению к напряжению Use с противоположным знаком перед мнимой частью.
Фазные токи потребителя: _/а/> =-у^-= уу-= 10 А; h>c = = ф£ = ~5?~/!6,6 ==(~5”.~/г^(?±2_5) = (3,66 - / 13,66) А
ИЛИ lbc = л/3,662 + (13.66)2
= 14,2 A; lea = 4^ ^3
—50+/86.6
5 +/5
= {~50 + / 86^)(5-/ 5) = (3>б6 + . 13 66) д или =
= 14,2 А.5 +5
Линейные токи потребителя: _/л =1аь —.La = 10 — (3,66 + + j 13,66) = (6,34 — /13,66) А или 1а = V6.342 + (13.66)2 = = 15,9 A; JB = ±ьс — lab = (3,66 - /13,66) — 10 = (—6,34 — -/13,66) А или 1В = V(6,34)2 + (13,66)-2:= 15,9 А; /с =_/„,-- = @’66 + > 13-66)- <3,66 - / 13,66)= 27,32 А или 1с =
= V27.322 = 27,32 А.
7.11. Обмотки фаз трехфазного асинхронного электродвигателя с номинальной мощностью на валу Рзнои — 4 кВт включены в трехфазную питающую сеть с линейным напряжением U„ = = 220 В «треугольником». Коэффициент мощности двигателя со5фф = 0,8; (<р=37°); КПД п = 0,85. Определить линейные А и фазные /ф токи электродвигателя и построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Мощность, подводимая к электродвигателю:
р = s = 4700 Вт _ 4 7 кВт
t] 0,85
Токи двигателя:
„ - Г Pl
линеиныи: /л = —=-----------
-уЗ и СОЗ <Рф
/ф = /л/73 = 15/1,73 = 9 А.
---- = 15 А; фазный:
-/3 - 220-0,8
Сопротивления фазы двигателя при заданной нагрузке на валу: полное 7ф = = -у— = 2д°-- = 24,45 Ом; активное R$ =
— 7фСОвфф= 24,45-0,8= 19,55 Ом.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой цепи приведена на рис. 7.11.
7.12. Для трехфазной электрической цепи (рис. 7.12, а) определить линейные токи 1Л и активную мощность Р, потребляемую
Рис. 7.11
цепью, если линейное симметричное напряжение питающей сети Uл— 220 В, а активные и реактивные сопротивления: R— = 5 Ом, Хс=5Ом, Х£=5Ом. Построить векторную диаграмму напряжений н токов.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя: Zab = R=b Ом; Zbc — = —jXc = —/5 Ом; Zca = jXc = = /5 Ом.
Комплексные напряжения фаз (направляем вектор комп-
лексного напряжения Uab по оси действительных чисел):
-/2Д_
Uab — Uab= 220 В; Ub'c— Uace —
= 220(cos-^— /sin Лр-) = 220(-0,5-/0,866) =
== (-110-/190,5) В; 1/сл= {/сле-/^ =
= 220(cos-^-- /sin^-J = 220(-0,5+ /0,866) =
= (-110+ /190,5) В.
Фазные токи потребителя электроэнергии
1аь = = 44 А или lab = 744^= 44 А;
= А или
— Zbc —/5 —15-)5 ' ’ ‘ >
he = 738,12 + 22* = 44 А; = ~110J,ч.99:.5.: ==
= (38,1 + /22) А или /и = 738,12 + 222 = 44 А.
Линейные токи потребителя:
_1_л —lab —lea — 44—(38,1 +/22) = (5,9+/22)А или 1а =
= -V5.92 + 222 = 22,4 А;_/а = /^=(38,1 -J22) -44=
= (—5,9—/22) А или 1В = V5-92 + 222 = 22-4 А‘> l_c=ica — he = (38,1+/22) - (38,1-/22) = /44 А или /с=л/445"= 44 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой электрической цепи приведена иа рис. 7.12,6.
7.13. Для схемы рис. 7.13, а определить показание амперметра А, а также показание вольтметра V при разомкнутом выключателе В и обрыве линейного провода А, если линейное напряжение U„ = = 220 В, а сопротивления резисторов R = 10 Ом.
Решение. Комплексное фазное напряжение при разомк-
нутом выключателе (направляем вектор Ua по оси действительных положительных чисел): Ua = Uaei,e — Uae'° = Ua = —
— V3
= 127 В.
Показание амперметра: — Ua/Za= Ua/R = —[l2~- =
= 12,7 А или /ф= /.,= 12,7 A.
При обрыве линейного провода А к двум не поврежденным фазам подводится линейное напряжение Ubc =220 В, которое распределится на равные части, так как сопротивления фаз одинаковы: UJ, = U'c = Ubc/2 = 220/2 = 110 В.
Напряжение при смещении нейтральной точки п находят из векторной диаграммы (рис. 7.13,6): = Ub/2 = 127/2 =
= 63,5 В.
Показание вольтметра при замкнутом выключателе- находят из векторной диаграммы (рис. 7.13,6): U’a = Ua + Ujn= 127 + + 63,5=190,5 8. ~
7.14. Для электрической цепи рис. 7.14, а определить фазные /ф и линейные /л токи, если при симметричном питании линейное напряжение ил = 220 В, а комплексные сопротивления фаз: Zab — (12+/16) Ом; Zbc = 12 Ом; = £8+/6) Ом. Построить векторную диаграмму токов и напряжении.
Решение. Комплексные линейные напряжения (направляя вектор линейного напряжения Uab по оси действительных чисел):
Uab = Uab = 220 В; Ubc = Usee = UbcX
x ( cos-у- - /sin-у-) = 220(—0,5 - /0,866) = (-110—/190) B, U_ca= UcAe = t/cx^cos-y- — /sin-у-) =
= 220(—0,5 + /0,866) = (-110+/190) B.
Комплексные токи:
фазные, lab = i2 + д6 = (12 4- /16X12 - /16) ~ (6’6
- /8,8) A; hc = -^ = ~11Q~J190 = (—9,17 - /15,8) A; ha = &hc I л
— JJca_— -11O + /19O_ (-110 +/190X8-/6) _ ,„fi .„. .
“ Z„ “ 8T/6--------------ё^+б5------“ <2’Ь + I21 A>
линейные: /д = _hb —lea — 6,6 — /8,8 — 2,6 — /21,8 = (4 —
- /30,6) А ИЛИ IA = + 30-62 = 30-8 Al Is = Ibc — Lab =
= -9,17-/15,8 — 6,6 + /8,8= (15,8-/7) А или /а = Л/15,82 + 72 = = 17,3 A; Ic = Ica - lbc = 2,6 + /21,8 + 9,17 + /15,8 = (11,8 -- /37,6) А нли Ic = V1T,82 + 37,62 = 39,4 A.
Построение векторной диаграммы напряжений и токов для рас: сматриваемой цепи представлено на рис. 7.14,6.
7.15. Для схемы рис. 7.15 определить фазные токи hb, he, ha н фазные напряжения Uab, Uвс, Uca потребителя электроэнергии, соединенного «треугольником». Линейные напряжения симметричной системы питания Uав= Uвс= Uca= ил = 110 В, активные и реактивные сопротивления фаз потребителя: /?, = 40 Ом; /?2 = = 35 Ом; R3 = 25 Ом; Хц = 20 Ом; Xi_2= 25 Ом; Хс = 30 Ом.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя: /«»=/?,+/%£, =(40+/20) Ом; Z6c=/?2 + /Xl2 = (35 + /25) Ом; 7.са = R3 — /Хс =(25 —/30) Ом.
Комплексные фазные (в данном случае и линейные) напряжения определяют, считая, что вектор Uab направлен по оси действительных величин, тогда:
Рис. 7.15
Фазные токи: Iа6= -^-=
Uab = UАв =110 В; Ubc =
= Uвсе /~т" = UBeccas—--------
-/sin^-) = 110 (-0,5-/0,866) =
~/4л
= (-55-/95) В; Uca = Ucaz т= = t/M(cos^--/sin^-) = юох
Х(—0,54-/0,866) = (-554-/95) В.
ПО __ 110(40-/20) _ /QQ
40 +/20 — 40г + 202 ' ’
- /1,1) А или 1аЬ = л/2,224-1,1Т- 2,46 А; 1Ьс =
= -(~--й/т-)(5~/25) = (2,3-/1,05) А или 1ьс = л/2,324- 1,05® = оо т** ZD
— 2,53 А; . Iса— у
£>са
Uca -554-/95 _ (-55+ /95) (25 +/30) _/о ,
25-/30 252 + 302 —
4- /0,475) А или 1са = V2.782-|-0,4752 = 2,82 А.
Линейные токи: J_a — 1аь —_[са — 2,2—/1,14-2,78—/0,475 =
= (4,98-/1,575) А или 1а = л/4,982-|- 1.5752 = 5,22 А;/а=Лс-—_1аЬ = —2,3 -/1,05 — 2,2 4-/1,1 = (—4,5 — /0,05) А или ,/а =
= V4,5s4-0,052= 4,50 А; 1с=/са-/»с = -2,784-/0,4754-2,3 4-
4- /1,05 = (-0,484-/1,48) А или /с=-д/0,482-|-1,482 = 1,56 А.
7.16. Для условий задачи 7.15 определить линейные токи /л и построить векторную диаграмму напряжений и токов при обрыве фазы Ьс (см. рис. 7.15).
Решение. Комплексные напряжения фаз: UAb= Uab— 110 В; Ubc = (_55_/95) в; Uca = = (-55+ /95) В.
Фазные токи потребителя (при обрыве фазы Ьс схема преобразуется в открытый треугольник, рис. 7.16, а): 1_аь — —
но _ 110(40-/20) _t 9 9 — 40 +/20 — 40z + 20J '
—/1,1) А; = 0; /еа =-^И =
= 5^= (~55^+73Р} == (—2.78+/0.475) А.
Линейные токи при обрыве фазы be: Ja =]аь —Jca = 2,2 — — /1,1 + 2,78 - /0,475 = (4,98 — /1,575) А или IA = V4-982 +
+ 1,5752 = 5,2 А; /а = - /а„ = 0-Ль = -(2,2-/1,1) =
= (—2,2 + /1,1)А или 1в = -V2.22 + l,l2 = 2,45 А; 1с = /са —/>с = = 1_са — 0 = 1са = (—2,78 + /0,475) А или /с = -yj^T2 + 0.4752 = = 2,83 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой электрической цепи, построенная топографическим методом, приведена на рис. 7.16,6.
Из диаграммы видно, что линейный ток /л протекает только в линейном проводе А. В линейных проводах В н С: /л = /Ф. В линейном проводе В ток изменяет направление.
7.17. Найти распределение токов в электрической цепи (рис. 7.17) при замкнутом и разомкнутом выключателе В. Линейное симметричное напряжение ил = 220 В, сопротивления резисторов: Ri = /?2 = /?3 == 20 Ом.
Решение. При замкнутом выключателе комплексные фазные напряжения (направляем вектор Uab по оси действительных чисел комплексной плоскости): U_ab— Uwe'* = UAbU° = Uab =
= 220 В; Ubc= UBce ' = Ucos - /sin-^-J = 220X X (-0,5-/^^ =(-110-/190) B; U_ca = Uca* e
= t/cx( cos- /sin-^5) = 220(-0,5 +/4-3 ) =(-110 + +/190) B.
Комплексные токи:
фазные: !<* = Uab/Ri = 220/20 = 11 А или /а* = 11 А; 1_ьс = = = ~110~/19° =(-5.5-/95) А или /6c = V5,52+9,52 =
г\2 4\)
= И А; 1_са -110^/190 (_5 5 + /9|5) А. или 1са =
= V5,52 + 9,52 = 11 А.
линейные: _J_a —J_ab —_La = 11 — (—5,5 + /9,5) = (16,5 — -/9,5) А нли I a = д/16,52 4- 9,52 = 19 A; JB = bc-la» = = (-5,5-/9,5)- 11 = (-16,5-/9,5) А или h = V16,5z + 9,52 = = 19 А; /с=Л0-Лс=(-5,5 + /9,5)-(-5,5-/9,5)= /19 A нли Ic = 19 A.
При разомкнутом выключателе комплексные фазные токи: lab = —= -sr-= 1 1 А или lab = 1 1 A; Ibc =—р— =
— А1 2U К 2
= -Z-= (-5,5 _ /9,5) А или 1Ьс = -д/5,52 + 9,52 = 1 1 А;
Uca
1_са = = 0;
линейные: Ja = 1_аь ~j_ca = 1аь — 0= 11 А или 1а — 11 А; _/s — 1ьс-~1аь = (—5,5 — /9,5) — 11 =( — 16,5 — /9,5) А или 1в = = ->/16,52+9,55 = 19 А; /с =Jca-lbc = 0-he = -(-5,5-/9,5)= = (5,5+ /9,5) А или 1с = V5,52+9,52 = 11 А.
7.18. В трехфазную трехпроводную питающую сеть с линейным симметричным напряжением Ил = 380 В включена активная симметричная нагрузка с сопротивлениями фаз Rt = 10 Ом и соединением фаз «звездой», а также трехфазный симметричный потребитель электроэнергии с активным и реактивным индуктивным сопротивлением фаз: /?2 = 3 Ом и Xl = 4 Ом (рис. 7.18, а).
Пренебрегая сопротивлением питающих проводов, определить коэффициент мощности costp й линейные токи /л в электрической цепи. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Ток в цепи активной нагрузки: h = U$/Rt = = i/./V3-/?i = 380/V3-10= 22 А, так как U» = 73£/Ф.
Фазный ток трехфазного потребителя, содержащего индук-, Уф 220
тивиое сопротивление: h = —f- = —=
= 44 А.
Составляющие фазных токов потребителей:
3
активные: Ла=22А; /2а = I2cos <рг = ItRi/X = 44--у =
= 26,4 А;
1
п а) 6)
Рис. 7.18
Рис. 7.19
реактивные: /iP — 0; ЛР — /2sin<p2
=/2_£l.= 44--£-=35,2 A.
Составляющие токов в линейном проводе:
активная: /. = /|. + h‘ — 22 + 26,4 — 48,4 А; реактивная; /р = /|р + /2р = 0 + 35 = 35,2 А. ------- -----------
Линейные токи: 1а = 1в = 1с — Л = у 11 4- Н — у 48,42 + + 35,22= 59,5 А.
Коэффициент мощности всей цепи: cos<p = h/ 1Л= 48,4/59,5 = = 0,815.
Векторная диаграмма напряжений и токов для одной фазы потребителя приведена на рис. 7.18,6.
7.19. В четырехпроводную трехфазную электрическую цепь (рис. 7.19, а) с линейным симметричным напряжением 1)я — 380 В включены «звездой» три активных сопротивления, активная мощность которых Ра — 0,55 кВт; Рв — 1,1 Вт; Рс — 2,64 кВт и трехфазный симметричный потребитель с мощностью Р — 3630 Вт, имеющий коэффициент мощности cost? — 0,8, включенный «треугольником». Пренебрегая . сопротивлением питающих проводов, определить токи /л в линии и ток In в нейтральном проводе.
Решение. Фазные напряжения потребителя электроэнергии, соединенного «звездой»: (7Ф — Ua — Чь — Uc — U*/^3 — = 380/V3 = 220 В.
Фазные токи потребителя, соединенного «звездой»: 1а = = -77-^---= = 2,5 А; 1в = ---- = -"-"°-. = 10 А;
Ua COS фа 220-1 Ub COS фб * 220-1
/с_ рс _ 2640 _ 12 А
с UcCosifc ~ 220-1
Ток в нейтральном, проводе определяем графическим путем. В соответствии с первым законом Кирхгофа для нейтральной точки п имеем: h = [а+[в+[с; In = 9 А.
На рис. 7.19,6 приведена векторная диаграмма напряжений и токов потребителя, соединенного «звездой».
Токи потребителя, соединенного «треугольником»:
фазные: 1аь — he — ha — h = з{/яС??Ч)ф ~ 3-380-0,8 = 4 A’ линейные: Ia = h = Ic = -\IShb = ^/3hc = -\jSha = -\/3"4 = = 6,92 A.
Составляющие токов потребителя, соединенного «звездой:»: активная: /ла = 2,5 А; /ва = 10 А; /са = 12 А; реактивная: /лр = /вр = /ср = 0.
Составляющие токов потребителя, соединенного «треугольником:»:
активные: Iaba = Ibca = Лоа = /ai COS фр = /рсСО5фр = /саСОЗфр= = 4-0,8 — 3,2 А; реактивные: /а»Р = hcf = Лар — 1аьsin<p$> — = /рсвйкрф = /casing = 4-0,6 = 2,4 А.
Суммарные составляющие тока в линейных проводах:
активные: /ла = /ла + 1аьа = 2,5 + 3,2 = 5,7 А; /ва = /ва + + 1Ьса = Ю + 3,2 = 13,2 A; I'Ca = /са + 1СМ = 12 + 3,2 = 15,2 А; реактивные: /лР =/лР +/а»Р = 0 + 2,4 = 2,4 А; /'вр=/вр + “Ь /рср = 0 -|- 2,4 = 2,4 A; /fcp — /ср Ч~ leap — 0 4- 2,4 = 2,4 А.
Линейные токи: 1д — д/(/ла)-|-(7л>02 = -^5,72 + 2,42 — 6,2 А; /в = 7(^7 += У13,22 + 2,4г = 13,4 А; 1с = V(W + + (/сР)2 = V15,22 + 2,42 = 15,45 А. Векторная диаграмма потребителя, соединенного «звездой», приведена на рис. 7.19, б.
7.20. Три группы осветительных ламп мощностью Р = 100 Вт каждая с номинальным напряжением Uvw = 220 В соединены по схеме «звезда» с нейтральным проводом (рис. 7.20, а). При этом в фазе А включено параллельно nt = 6 ламп, в фазе В — пг — 4 лампы, в фазе С — пз — 2 лампы. Линейное симметричное напряжение источника питания ил = 380 В.
Определить фазные сопротивления и фазные токи /ф потребителя электроэнергии. Построить векторную диаграмму токов и напряжений, определить ток In в нейтральном проводе.
Решение. 0’5, 220*
niP ~ 6-100
U* 2202
п3Р ~ 100-2
Активные сопротивления фаз потребителя: Ra = = 81 Ом; /?» = -4-=-^_= 120 Ом; Rc =
П2Р 100-4
242 Ом; здесь U* = -^2-= 2-20 В.
уз уз
. , УФ 220 , Уф 220
Фазные токи: Ц - = 2,7 А; 1в = -к— = -р^- =
Па 01 i'b l*v.
= 1,82 А; /с = -^-= -g- = 0,9 А.
Ток в нейтральном проводе определяем графическим путем. На рис. 7.20, б приведена векторная диаграмма напряжений и токов, из которой находим ток в нейтральном проводе 1щ = 1,57 А.
7.21. Трехфазный несимметричный потребитель электроэнергии, фазы которого соединены сзвездой» с нейтральным проводом и питаются от симметричного источника питания с фазными ЭДС: Ел = Ев = Ес — Еф. Определить ток In в нейтральном проводе, а также фазные токи /ф и фазные напряжения при отключении (или обрыве) нейтрального провода, если линейные токи: 1а == = 2,7 А; 1в = 1,82 А; 1с = 0,9 А, фазные сопротивления: Ra = = 81 Ом; Rt = 120 Ом; Rc — 242 Ом (рнс. 7.21, а).
Решение. Направляем вектор_1а по оси действительных чисел (рис. 7.21,6), тогда комплексные линейные токи и ток в нейтральном проводе:
1а = /ле'0° = Ia ; _1в = 1ве~‘^~ = 1в (cos^y- -
4л
— jsin-^J-); ±с — Ice ‘ 3 = Ic (cos-y—/sin-у-);
La+1_в+Lc-(cos-y—/sin-y-) +
+_/c (cos ---/sin -T“) = 2’7 + b82 (“°-5 - /0,866) +
+ 0,9 (-0,5 + /0,866) = (1,34 - /0,8) A.
Из векторной диаграммы (рис. 7.21,6) следует, что комплексный ток_/в отстает по фазе от комплексного тока_/л и с отрицательной частью вещественной оси образует угол я/3, а с осью
мнимых чисел — угол л/6. Отсюда выражение для комплексного тока [в — Ib^cos-^--/sin-у-) = 1,82(—0,5 — /0,866) А.
Аналогично для комплексного тока /с = /c(cos4n/3 4-+ /sin4n/3) = 0,9(—0,5 4- /0,866) А.
Ток в нейтральном проводе In 1,342 0,82 = 1,56 А.
Полные проводимости фаз потребителя: Ya = \/Ra =1/81 См; Yb = \/Rb = 1/120 См; Yc = \/Rc = 1/242"См.
Комплексные фазные ЭДС источника питания: £д = Еа = = 220 В; Ев = £fie-'^~ = Ев (cos -у /sin-у-)= 220 (-0,5-- /0,866) = (-110- /190) В; Ес = Есе~'^~ = £с( cos-^------
- /sin-у ) = 220 (-0,5 + /0,866)= (-110 + /190) В.
Комплексное узловое напряжение с учетом того, что при обрыве нейтрального провода между нейтральными точками источника N и потребителя п будет действовать напряжение смещения нейтрали U„n, равное геометрической разности между напряжениями генератора и потребителя:
,, E,Ya + EBYt + EcYr
U nN = ----=--------------=— =
Y„ + П + Yc r 2 2
COS у Я — /sin у я
У. + П + Y_c
4 . . 4
COS-T-n — /sin —я , О О
К. + n + Yc
22° — + 220 (-0,5 - /0.866) О 1
81- 120 242
1 + 220 (-0,5 + /0,866) ±
8? + 120 + 242
(68,5 -/34,3) B.
Фазные напряжения потребителя:
Ua = Еа - UnN = 220 - (68,5 - /34,3)= (151,5 + /34,3) В или Ua = V 151.52 + 34,32 - 154 В; IJj, = Ев - Un* = (—110 — — /190)- (68,5 - /34,3)= (-178,5 - /155,7) В или Ub = V 178,5 2 + 155,7 2 = 236,5 В; Uc = Ес- UnN=
= (-1104-/190) —(68,5 —/34,3) = (-178,54-/224,3) В или
Uс = -у/ 178,5 24-(224,3)2 = 286 В.
Фазные токи при обрыве нейтрального провода:
tf Ucf 151,5 -f- /34,3 0*7 , ,л ллл\ л
±а = -=о-= —' я,1 .......= (1,87 + /0,424) А или
да 01
или 1'а = д/1.872 + 0,424*= 1,87 А; /й =•#’ = -178.5-/155.7 =
= (-1,49 - /1,3) А или 1'в = -д/1-492 + 1,32 = 1,97 А;
Гс = --------~178-У—-- = (-0,74 + /0,93) А или
t\ с
I'c = V0-742 + °-932 = 1 -18 А.
7.22. Фазы трехфазного потребителя электроэнергии соединены «звездой» с нейтральным проводом (рис. 7.22,а). Активные и реактивные сопротивления фаз соответственно равны: R = = 25,4 Ом; Xl= Хс— 44 Ом. Фазное напряжение симметричной системы питания £/ф = 220 В.
Определить ток In в нейтральном проводе с помощью векторной диаграммы токов и напряжений. При каком условии ток в нейтральном проводе In = 0?
Решение. Токи по фазам: 1а = U$/R = 220/25,4 = = 8,56 А; 1в = Щ/Хс = 220/44 = 5 А; /с = U*/XL = 220/44 = = 5 А. Суммарный ток 1вс = ~\/ 1% +1% — 2/e/ccos^-^- -|- =
= -\/52 + 52 + 2• 5 • 5 • (—0,5) = 8,56 А. Ток в нейтральном проводе (рис. 7.22, б): In =1вс +1а = 8,56 8,56 = 17,12 А.
Если поменять местами конденсатор и катушку, то In — 0.
7.23. Для трехфазной электрической цепи, представленной сплошными линиями на рис. 7.23, определить показание амперметра А при замкнутом и разомкнутом положениях выключателя В. Линейное симметричное напряжение питающей сети Ул= 380 В, сопротивления резисторов: /?1 = /?2 = /?з = R* = 38 Ом.
Решение. При замкнутом выключателе фазные сопротивления цепи (рис. 7.23), пре^н'паз-данной в «треугольник» сопротив-
леиий: Ri2 = /?, + R2 + = 38 + 38 + 1 14 Ом.
Так как Ri = R2 = /?3, то Ri2 = /?2з = Rn = 114 Ом.
Сопротивление параллельных ветвей, включенное между узлами Ь и с: Rbc = /^4- = = 28,5 Ом.
Л 23 “Г А4 1 14 4- 0О
Комплексные фазные токи: fatf= ~^= -777- =3,3 А;
114
. Ubc 380(-0,5- /у) -190-/330
= -------2М------ = -----283—= (—6,8—/11,5) А.
Показание амперметра: /В=_/Ьс —Jat> — (—6,8 — /11,5) — — 3,3 = (-10,1— /11,5) А или /fi=V10,li+H,5'2= 15 А.
При разомкнутом выключателе общее сопротивление парал-п (Кг + Лз1 )/?►<• (114 + 114)28,5 _ 76 _
лельнои ветви: Ro — Л|г + Лз1 + ₽4с — 114+114 + 28.5 3
= 25,3 Ом.
Показание амперметра: /в= U.,/Re — 380/25,3= 15 А.
Задачи
7.24. Определить активную мощность Р симметричного трехфазного потребителя электрической энергии, фазы которого соединены «звездой» (рис. 7.24). Линейное симметричное напряжение питающей сети (/.,= 100 В, сопротивление резистора R—6 Ом, емкостное сопротивление конденсаторов Х<.= 8 Ом. Ответ. Р= = 600 Вт.
7.25. В трехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением £Л,= 220 В включен трехфазиый симметричный потребитель, фазы которого соединены «звездой» (рис. 7.25). Активное и индуктивное сопротивления фаз потребителя: /?=3 Ом и Xl— = 4 Ом, активное и индуктивное сопротивление каждого провода питающей линии: /?.,= 3 Ом, Хл—4 Ом. Определить напряжение U на зажимах источника питания, коэффициент мощности cos <р потребителя и активную Р, реактивную Q и полную S его
МОЩНОСТИ. Ответ. Ua = 245 В; cos<j> = 0,6; Р = 5,82 кВт; Q = 7,75 квар; S = 9,65 кВ-А.
7.26. По данным задачи 7.25 определить падение напряжения (АРи потерю напряжения At/np в питающей линии, построить векторную диаграмму напряжений и токов. Ответ. и а, = 127 В; ДУ„р = 220 В.
7.27. К трехфазиой симметричной системе питания подключены три ре-вистора с сопротивлениями: R\ = == r2 == R3 = R = Ю Ом, соединенные «треугольником». Линейное иа-
пряжение питающей сети £/.-,= 220 В. Определить фазные /ф и линейные /л токи в нормальном режиме работы и при обрыве линейного провода С, ТОКИ В ЛИНИЯХ /л И 1в. Ответ: 1^=22 А; /., = = 38 А; 1А = 1в = 33 А.
7.28. В электрической цепи трехфазного симметричного потребителя электроэнергии, соединенного «треугольником», показание амперметра, включенного в фазу А: /а — 1л = 22 А, сопротивления резисторов: Rab — Rbc = Rea — 6 Ом, конденсаторов: Хаь — = Хьс = Хса — 8 Ом. Определить линейное напряжение U,, активную Р, реактивную Q и полную S мощности. Построить векторную диаграмму. Ответ. U., = 127 В; Р = 2,9 кВт; Q = 3,88 квар; S = = 4.85 кВ-А.
7.29. В трехфазную симметричную сеть с линейным напряжением Uя— 120 В включены «треугольником» три резистора с сопротивлениями /?—3 Ом и индуктивные сопротивления Xl— = 4 Ом. Определить фазные /ф и линейные 1п токи, а также активную Рф, реактивную и полную Зф мощности фаз потребителя. Ответ. /ф = 24 А; /, = 41,5 А; Рф= 1,728 кВт, Q*=2,304 квар; 5Ф = = 2,88 кВ-А.
7.30. Для трехфазного потребителя электроэнергии, соединенного «треугольником», определить фазные токи /ф, активную Р, реактивную Q и полную S мощности потребителя. Линейное напряжение i/.,= 220 В, активное и реактивное сопротивления фаз потребителя: /?а» = 3 Ом; Хаь — 4 Ом; /?»с = 6 Ом; Хьс=8 Ом; Рга = 2 Ом; Хса=3 Ом. Задачу решить с применением комплексных чисел. Ответ. lab = ii А; /*, = 22 А; /,0 = 61 А; /’=16,15 кВт; Q = = 22,75 квар; 5 = 28 кВ • А.
7.31. Потребитель электрической энергии, соединенный «звездой» с активными и реактивными (индуктивными) сопротивлениями фаз: Ra— Rb— Rc— R^—80 Ом, Xa= Хь = Хс= X$=A Ом включен в трехфазиую симметричную сеть с линейным напряжением Л7л=220 В. Определить фазные /ф и линейные /л токи и активную мощность Р потребителя. Построить векторную диаграмму напряжений и токов. Ответ. /ф=/л=25,4 А; Р=5,8 кВт.
lab
\lab
Рис. 7.33
7.32. Для условий задачи 7.31 определить фазные /ф и линейные 1л токи, а также активную мощность Р потребителя электроэнергии, построить векторную диаграмму напряжений и токов, если потребитель соединен «треугольником». Ответ. /ф = 44 А; /,= = 76,5 А; Р= 17,4 кВт.
7.33. К трехфазному симметричному источнику питания подключен несимметричный потребитель электроэнергии, соединенный «треугольником» (рис. 7.33). Сопротивления фаз потребителя: ZO6=5 Ом; Zbc — Ю Ом; Zca = 10 Ом, активное сопротивление питающей линии R,= 0,5 Ом. Определить линейные /., токи потребителя, если линейные напряжения на его зажимах ил= = 380 В. Ответ. /л = /«=81,2 А; /с=44,7 А.
7.34. Активные и реактивные сопротивления фаз трехфазного потребителя (рис. 7.34): Я = 44 Ом; Л7=44 Ом; Хс—44 Ом; фазные напряжения Ua= Ub = Uc= U^= 220 В. Определить токи /ф в фазах потребителя и ток 1 н в нейтральном проводе, построить векторную диаграмму токов и напряжений. Ответ. /ф=5 A;
—— 3,65 А.
7.35. В условиях задачи 7.34 определить сопротивление резистора R в фазе А трехфазного потребителя, при котором ток В нейтральном проводе 1ц=0. Ответ. /?=25,4 Ом.
7.36. Представить выражение для комплексных линейных напряжений Un симметричного трех-фазиого потребителя электроэнергии, соединенного «звездой», в алгебраической форме записи, если известны его комплексные фазные напряжения в показательной форме записи: Ua= Ua — = £/ф=127 В; Ub=U^~'^~\
Рис. 7.34
— -^я
Uc =
В; ил = д/З^ф =
= д/3 • [27 = 220 В. Ответ. UAe = = 220(V3/2-Н1/2) В; t/ec=-/220 В; ЦгЛ=220(-^3/2 + Ц/2)В.
Величины Варианты контрольного задания 7.37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1Л, в 220 660 380 220 660 380 220
380 220 660 380 220 660 380
Z„b, Ом 5 +/12 6 +/8 12 + /Т6 18+/24 24 +/32 2 +/2 5 +/5
3 + /4 9 + /12 15 +/20 21 +/28 27 +/36 4 +/4 6 +/6
Z»c, Ом 5 + /12 6 +/8 I2 + /16 18+ /24 24 +/32 2 +/2 5 +/5
10 15 20 20 10 5 10
Zfa, Ом 5 + /12 6 +/8 I2 + /16 18 + /24 24 + /32 2 +/2 5 +/5
4 + /3 12 + /9 20 + /15 28 +/21 36+ /27 4 +/4 6 +/6
Определить Рь Рг Pi, Рг Рг, Pi Pi, Рг Pi, Рг Рг, Pi Pi, Рг
показания ватт- Рг Рг Pi Рг Рг Рг Pi
метров Wi и W:
Продолжение таблицы 7.1
Величины Варианты контрольного задания 7.37
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и„ В 660 380 220 660 380 220 660 380
220 660 380 220 660 380 220 660
Zab, Ом 7 4-/7 104-/10 4 +/4 124-/5 84-/6 164-/12 244-/18 324-/24
8 +/8 24-/2 5 +/5 44-/3 124-/9 204-/15 284-/21 364-/27
Ztc, Ом 74-/7 104-/10 6 10 10 20 30 40
10 4 10 5 15 25 35 45
Zea, Ом 74-/7 104-/10 4 +/4 54-/12 64-/8 124-/16 184-/24 24 4-/32
8 +/8 24-/2 54-/5 34-/4 9-/12 15-/20 214-/28 27+/36
Определить Р2, Pi Pi, Рг Pi. Рг Pi, Рг Рг, Pi Pi, Рг Pi, Рг Pi, Рг
показания ваттметров Wi н W2 Рг Рг Рг Рг Pi Рг Рг Pi
Контрольные задания
7.37. Потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопротивления: Zab, Zbc, Z-ca и соединены в трехфазную электрическую цепь «треугольником» (рис. 7.37), питается симметричной системой линейных напряжений: Уда= U вс — Uc,t= U„. С учетом данных, приведенных в табл. 7.1 для каждого варианта задания, определить фазные /ф и линейные /л токи потребителя и показания ваттметров W, и Wj. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Дополнительное задание. Составить возможные варианты схем трехфазных электрических цепей с трехфазиым источником питания и трехфазным потребителем энергии. Указать иа схемах принятые условные положительные направления токов и напряжений.
Примечание. В дополнительных вариантах 31—60 имеет место обрыв в линейном проводе А, в вариантах 61—90 — в линейном проводе С.
Рис. 7.38
7.38. В трехфазную сеть с симметричной системой линейных напряжений U, включен симметричный трехфазиый потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопротивления: Za = = Zc (рис. 7.38) и соединены «звездой». Принимая во внимание данные, приведенные в табл. 7.2 для каждого варианта задания, определить линейные /л и фазные /ф токи, активную Р, реактивную Q н полную S мощности потребителя, построить векторную диаграмму токов н напряжений при замкнутом выключателе В.
Дополнительное задание. Определить показания амперметра А при разомкнутом выключателе В. Построить векторную диаграмму токов и напряжений при обрыве линейного провода В (выключатель В разомкнут).
Величины Варианты контрольного задания 7.38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
иЛ, в 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660
IN IN о а О о 2 2 1,5+/2 1,5+/2 3+ /4 3 + /4 6 +/8 6 +/8 9 + /12 9 + /12 12 + /16 12+/16 15+/20 15 +/20 18+ /24 18 + /24 »1» «1» '<3 "з к|<в ~<3 К |г5 ~<3 сч + + 0О +
Zc, Ом 1.5 + /2 3 + /4 6 + /8 9 + /12 12 + /16 15 +/20 18 + /24 in СО о
Продолжение табл. 7.2
Величины Варианты контрольного задания 7.38
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Ул, В 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660
Z Z Z ООО Q « С Nl Nl NI сч + о 12+/16 15 + /20 18+ /24 21+/28 24 +/32 27 +/36 О + + со со г|х СЧ сч -j-T сч сч 22е' ’ j, 1 “ ±,’П V
Варианты Контрольное задание 7.39
Величины
U„ в Дф, Ом Фаза А Фаза В Фаза C
COS ф0 характер нагрузки COSCp* характер нагрузки СОвфс характер нагрузки
1 220 5 1 R 0,865 R, Xc 0,865 R, Xc
2 380 10 0 Хс 1 R 0 Xc
3 660 12,7 1 R 0 Xc 0 Xc
4 220 20 0 Хс I R 0 Xc
5 380 25 1 R 0 Xc 0 Xc
6 660 30 0 xL 0 Xc 1 R
7 220 35 0,5 R, XL 0,5 R. Xc 0,5 R, XL
8 380 40 0,865 R, Хс 0,865 R, Xc 1 R
9 660 44 1 R 0 Xc 0 Xc
10 220 50 1 R 0 Xc 0 XL
11 380 55 0 Хс 1 R 0 Xc
12 660 60 0,5 R, XL 1 R 1 R
13 220 80 1 R 0 Xc 0 Xc
14 380 100 0 Xc 1 R 0 Xc
15 660 127 0,705 R. xL 0,705 R, Xc 1 R
16 220 5 1 R 0 Xc 0 Xc
17 380 10 1 R 0 Xc 0 Xc
18 660 10 1 R 0,5 R, Xc 0,5 R, Xc
19 220 12,7 0 xL 1 R 1 R
20 380 12,7 0,705 R, XL 0,705 R, XL 0,705 R, XL
21 660 20 0 Xc 0 Xc 1 R
22 220 20 1 R 1 R 0,5 R, Xc
23 380 20 0,865 R, Xc 1 R 0,865 R, Xc
24 660 25 0 X 0 Xc 1 R
25 220 25 0 Xc 0 Xc I R
26 380 30 1 R 0 Xc 0 Xc
27 660 30 0,705 R, Xc 0,705 R, Xc 0,705 R, Xc
28 220 40 0 Xc I R 1 R
29 380 44 1 R 0,5 R, XL 0,5 R, Xc
30 660 44 0 Xc 0 Xc 1 R
Примечание. В вариантах 31—60 потребитель соединен «треугольником», в вариантах 61—90 сопротивления «звезды» преобразованы в эквивалентный «треугольник».
7.39. Три потребителя электроэнергии, имеющие одинаковые полные сопротивления фаз 2ф, соединены «звездой» и включены в четырехпроводную трехфазную сеть с системой симметричных линейных напряжений U„. Определить токи /ф по фазам и в нейтральном проводе I н, а также мощность Р трехфазной цепн с учетом данных, приведенных в табл. 7.3 для каждого варианта задаиня. Составить электрическую схему пнтаиня. Построить векторную диаграмму напряжений и токов с учетом характера нагрузки.
Величины Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7
Еф. В 220 380 660 220 380 660 220
Zg, Ом 3 + /4 3 + /4 co 9 + /12 6 +/8 6 +/8 9 + /12
Zb, Ом 3-/4 3-/4 3-/4 9-/12 5 6-/8 9-/12
Zc, Ом 5 5 5 5 6-/8 10 10
Zn, Ом 0,5+ / CO 0,5 + / CO CO 1+/2 1+/2
Определить Uc, UN, Ua, h. Ub, lb. Ub, Uc, Ub, Pc, Ua, Ub, Ub, In,
In, Рь, Pc, lc, In, la, P, P, lb lb, P, Pa, P,
COS фа СОЗфд Q СО8фв In COS фа
Величины Варианты контрольного
16 17 18 19 20 21 22
E ф, В 220 380 660 220 380 660 220
Za, Ом 3 + /4 6 +/8 6 +/8 9 + /12 9 + /12 9 + /12 10
Zb, Ом 3-/4 6-/8 6-/8 9-/12 9-/12 CO 3 + /4
Zc, Ом 20 20 10 15 15 15 3-/4
Z/,. Ом СО СО CO 1+/2 CO 1+/2 I+/2
Определить Ua, In, Ub, lc. Ub, h, Ua. Un, Uc, la, Uc, la. Ua. Ib,
Рь, Р, la, Pb, lc, Sb, In, Pb, Pb, Sb, lc. In, In, P,
COS фа COS фа COS фа COS фс COS фа Un S
Дополнительное задание. Пояснить, в каких случаях используются трех- и четырехпроводные трехфазные электрические цепи?
Объяснить назначение нейтрального провода в четырехпроводных трехфазных электрических цепях.
Дать разъяснение, почему в нейтральные провода не устанавливают предохранители и выключатели?
Примечание. В вариантах 31—60 фазное сопротивление Лф уменьшить в 2 раза, в вариантах 61—90 — в 3 раза.
7.40. В трехфазную четырехпроводную электрическую сеть с симметричными фазными ЭДС Еф включены три потребителя электроэнергии с сопротивлениями Z«, Zb, Zc, соединенные «звездой». Составить электрическую схему питания потребителей электроэнергии с указанием токов и напряжений, действующих в системе, и с учетом приведенных в табл. 7.4 для каждого Рарианта задания данных, определить фазные напряжения Ua, Uj,, Uc, напряжение смещения ипн, падение напряжения ДС/д, на сопротивлении Zn нейтрального провода, "фазные токи 1а, ]ь, 1С, ток ]_у в нейтральном проводе, фазные коэффициенты мощности cos фв, со§ ф». cos фс, активные Ра, Рь, Рс, реактивные Qa , Qt, Qc и полные Sn, St, Sc мощности фаз, а также активную Р, реактивную Q и полную S мощности трехфазного потребителя электроэнергии. Внутренними сопротивлениями источников ЭДС, £ф пренебречь.
задания 7.40
8 9 10 11 12 13 14 15
380 660 220 380 660 220 380 660
9 + /I2 3 + /4 6 +/8 6+/8 10 34-/4 CO 10
9 —/12 3 + /4 6-/8 6-/8 64-/8 3-/4 6-/8 6 4-/8
10 34-/4 10 CO CO 10 6 4-/8 6-/8
СО СО 14-/2 0,5 4-/ 14-/2 CO 1.5 4-/2 CO
Ua, la. la, h. Ub, In, Ub, lc. С/а» Ua, lb. Ub, Pb, Ub. Ic, In,
lc, Ра, lc, Pb, Pc, Pa, lb, In, lc, Pb Pc, lb Sc, Qb,
Qb Qc COS фь, COS фо Un COS фа
Un s«
Продолжение табл. 7.4
задания 7.40
23 24 25 26 27 28 29 30
380 660 220 380 660 220 380 660
СО 94-/12 124-/16 124-/16 64-/8 124-/16 124-/16 co
9 + /12 9-/12 12 —/16 12-/16 6-/8 12-/16 12-/16 124-/16
9-/12 10 10 10 20 20 20 20
0,5 4-/ CO 0,54-/ CO CO 14-/2 CO 14-/2
Ua, Ub, Ub, la. Ua, In Ub, lc. Ua, la. Ub, In, Ua, lb. Ua, lb,
Р, lb. lc. Pa, Pc, P, la, P, h. Pc, Pc, Pc, Pc,
In COS фа СО8фЬ Sa Qa COS фа, COS фа, COS 4>a, UN
Un Qb
Построить векторную диаграмму напряжений и токов иа плоскости комплексных чисел.
Примечание. В вариантах 31—60 сопротивления 7_фаз увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 Z фаз уменьшить в 2 раза.
Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
$ 8.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРАХ И ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИЙ
В современных условиях контроль за технологическими процессами, потреблением электрической энергии, режимом работы электрооборудования, измерением неэлектрических величин осуществляется с помощью различных электроизмерительных приборов. Различают электроизмерительные приборы непосредственной оценки и приборы сравнения. На шкалах приборов указывается род тока, система прибора, его наименование, рабочее положение шкалы (вертикальное, горизонтальное, наклонное, например под углом 60°), испытательное напряжение изоляции.
По принципу действия различают магнитоэлектрические, электромагнитные, электродинамические, а также тепловые, индукционные, электрохимические, электроино-лучевые и другие электроизмерительные приборы.
Приборы магнитоэлектрической системы применяют для измерений в электрических цепях Постоянного тока. Они имеют равномерную шкалу, высокую точность, весьма малую чувствительность к внешним магнитным полям, характеризуются малым собственным потреблением электрической энергии.
Приборы электромагнитной системы используют для измерений в электрических цепях постоянного и переменного токов. Имеется возможность изготовить эти приборы на большие токи, что избавляет от необходимости применения шунтов и трансформаторов. Однако они имеют неравномерную шкалу, относительно невысокую точность, на показание приборов существенное влияние оказывают внешние магнитные поля.
Приборы электродинамической системы применяются в электрических цепях постоянного и переменного токов. Электроизмерительные приборы этой системы характеризуются наибольшей точностью и чувствительностью в сравнении с другими приборами, применяемыми в цепях переменного тока, их изготовляют главным образом в виде приборов класса точности 0,2 и 0,5. Вместе с тем на показания приборов электродинамической системы значительно влияют внешние магнитные поля, они имеют большой собственный расход электрической энергии. Разновидностью приборов электродинамической системы являются приборы ферродинамической системы, в которых катушки снабжены стальными сердечниками, что делает их показания практически независимыми от внешних магнитных полей.
Одной из важнейших характеристик электроизмерительных приборов является точность. Результаты измерений электрических величин неизбежно отличаются от истинного их значения вследствие наличия соответствующих погрешностей (случайных, систематических, промахов).
Различают основную погрешность, обусловленную несовершенством конструкции сложного прибора, и дополнительную погрешность, вызванную влиянием внешних факторов на показания приборов.
Абсолютная погрешность измерительного прибора представляет собой расхождение (разность) между измеренным Аи и действительным (истинным) АЛ значениями измеряемой величины ЛА —Ак—Ая. Истинное значение измеряемой величины находят с учетом поправки. Поправка — это величина, обратная по знаку абсолютной погрешности: ЛР = —ЛА = Ая—А,. Абсолютная погрешность не дает представления о точности измерения, которая оценивается по относительной погрешности измерения, представляющей собой отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины, выраженное в долях или процентах от ее действительного значения: уоти = ДА/АЯ — Аи—Ад/Ад100%. Абсолютная погрешность электроизмерительных приборов со стрелочным показателем практически неизменна в пределах всей шкалы, поэтому с уменьшением значения измеряемой величины она возрастает. Для повышения точности измёрения измеряемой величины иа показывающих приборах со стрелочным указателем следует выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчитывать показания примерно в пределах 2/з всей шкалы.
Точность показывающих измерительных приборов определяется относительной приведенной погрешностью, выраженной в процентах, т. е. отношением абсолютной погрешности к номинальному значению Анок измеряемой величины (наибольшей величине, которая может быть измерена прибором): /пр=-А4-Х X 100%.
Электроизмерительные приборы подразделяются иа восемь классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0, указываемых на шкалах. Классы точности приборов определяют по приведенной погрешности.
Измерение тока в электрических цепях производится амперметрами, измерение ЭДС и напряжений — вольтметрами. Расширение пределов измерения амперметров в цепях постоянного тока осуществляется с помощью шунтов, а в цепях переменного тока — с помощью трансформаторов тока. Расширение пределов измерения вольтметров в цепях постоянного тока достигается применением добавочных сопротивлений, а в цепях переменного тока — трансформаторов напряжения.
При измерениях достаточно больших токов, когда измерительный прибор (амперметр, гальванометр) не рассчитан на
такие токи, параллельно цепи прибора включаются шунты, представляющие собой сопротивление известной величины, обладающее относительно малым сопротивлением /?ш, по которому пропускается большая часть измеряемого тока. Распределение токов между прибором и шунтом 1а и /ш обратно пропорционально сопротивлениям соответствующих ветвей: 1а/1ш = Rm/Ra. При этом измеряемый ток / = /а4-/ш. С учетом этого /=/0(1-|-+ Ra/Rui) = Кт/. Шунтовой коэффициент для упрощения расчетов принимают равным /Сш=10; 100 или 1000.
Следует заметить, что измерительные шунты используются только в электрических цепях постоянного тока, так как в цепях переменного тока при измерениях вносится погрешность, обусловленная наличием индуктивной составляющей сопротивления шунта, которая увеличивается с изменением частоты тока, при этом погрешность измерения может оказаться существенной. При необходимости измерения весьма больших токов в электрических цепях переменного тока используются трансформаторы тока, которые, как амперметр, включаются последовательно с нагрузкой. В цеп^ первичной обмотки трансформатора тока с числом витков W\ проходит подлежащий измерению первичный ток /ь при этом во вторичную обмотку трансформатора с числом витков W2 включается амперметр, в цепи которого протекает вторичный ток Л. Вследствие этого трансформатор тока работает в режиме короткого замыкания. При этом можно считать магнитодвижущую силу (ампервитки) первичной обмотки равной магнитодвижущей силе вторичной обмотки: 1\W\ = I2W2, откуда с учетом коэффициента трансформации п, трансформатора из-
меряемый ток Л = Л = И;/2.
При измерениях достаточно больших напряжений, когда измерительный прибор (вольтметр, милливольтметр) не рассчитан иа такие напряжения, последовательно с прибором включается добавочное сопротивление /?д, на котором падает большая часть измеряемого напряжения. При включении добавочного сопротивления последовательно с вольтметром по ним протекает один и тот же ток, при этом- отношение подводимого к цепи напряжения U к падению напряжения UB на вольтметре равно отношению суммарного сопротивления цепи к сопротивлению R„
U RB -f- /?д г,
вольтметра: -77—=----б---, откуда измеряемое напряжение и =
U в
= t/B(l+/?д//?в)=/Сд(7в. Добавочный коэффициент /(я показывает, во сколько раз увеличивается предел измерения напряжения вольтметра при использовании добавочного сопротивления /?д. Во избежание вносимой в процессе измерения напряжения погрешности добавочное сопротивление (по той же причине, что и шунт) следует использовать только в электрических цепях постоянного тока. При измерениях высоких напряжений в электрических цепях переменного тока используются трансформаторы
напряжения, первичная обмотка которых является обмоткой высшего напряжения, имеет большее число витков w\ и включается под измеряемое напряжение U\. Вторичная обмотка трансформатора с меньшим числом витков w2 включается на зажимы вольтметра, показывающего вторичное напряжение U2-При этом коэффициент трансформации трансформатора напряжения: nv = w\/w2 — U\/U2, откуда измеряемое высокое напряжение находится из выражения: t/i = nvU2.
Точность измерения измерительных трансформаторов характеризуется погрешностью коэффициента трансформации, показывающего, насколько действительное значение вторичной величины отличается от значения измеряемой первичной величины, деленной на номинальный коэффициент трансформации Китт или К/вом соответствующего измерительного трансформатора. При этом погрешность напряжения: av= -2^5—Аналогично определяется погрешность измерения Уока: о/ =
Схемы включения ваттметров для измерения мощности в трехфазиых цепях зависят от схемы питания потребителя (трехфазной трехпроводной или трехфазной четырехпроводиой питающей сети), режима нагрузки потребителей (симметричный или несимметричный), схемы включения трехфазиого потребителя («звезда» или «треугольник»). При симметричной нагрузке трехфазного потребителя Za ="= Zt> — Zc измерение мощности в трех-проводиой трехфазной электрической цепи осуществляется одним ваттметром (рис. 8.1.1), так как в этом случае мощность трехфазного потребителя равна утроенному значению мощности одной фазы, замеренной ваттметром (/>=3/>5у=3/’ф).
При этом показания ваттметра в схеме (рис. 8.1.1): Pw= = Ра= UJacos <р0, где cos фа — косинус угла сдвига фаз между фазными током 1а и напряжением Ua-
Измерение мощности трехфазиого симметричного потребителя электроэнергии, включенного «треугольником», осуществляется по схеме (рис. 8.1.2).
При этом показания ваттметра: Pw = Раь — Uлв1аьСО8<раь-
Так как при включении трехфазиого симметричного потребителя электроэнергии мощности всех трех фаз равны, то его мощность P=3Pw.
Следует отметить, что измерение мощности трехфазиого потребителя электроэнергии одним ваттметром возможно только при наличии доступной нейтральной точки потребителя, соединенного «звездой», или возможности разрыва фазы потребителя, соединенного «треугольником». При отсутствии этих возможностей' применяют схему включения ваттметра с искусственной нейтральной точкой, которая создается включением в трехфаз-иую цепь «звездой» резисторов, имеющих одинаковые сопротивления. К нейтральной точке присоединяется затем конец обмотки напряжения ваттметра. При этом ваттметр покажет мощность одной фазы.
Для измерения мощности трехфазиых потребителей широко распространен способ двух ваттметров, который является универсальным, так как применяется для измерения мощности трехфазных потребителей в трехфазиых трехпроводиых электрических цепях как при симметричной, так и несимметричной нагрузках, независимо от способа соединения фаз потребителя («звездой» или «треугольником»).
Как следует из схемы рис. 8.1.3, обмотка напряжения ваттметра' Wi находится под действием линейного напряжения Uab, при этом в цепи его токовой обмотки действует линейный ток 1а, поэтому показание этого ваттметра определяется выражением: Pv\ — ReUAeli. Обмотка напряжения ваттметра W? включена под линейное*напряжение Ucb— — Ubc, а в цепи токовой обмотки протекает линейный ток 1с, в результате ваттметр W2 покажет мощность, определяемую выражением: Pw2 = = Re(-UBc)Ic.
При этом мощность трехфазиого потребителя электроэнергии определится как алгебраическая сумма показаний обоих ваттметров: />=Pwi + ^’w2.
На практике иногда вместо двух ваттметров используется один двухэлементный ваттметр.
Следует заметить, что способ двух ваттметров не пригоден для измерения мощности несимметричных трехфазиых потребителей электроэнергии при включении их «звездой» и наличии нейтрального провода.
Литература. [1| $ 7.1—7.5; [2| $ 12.1 —12.7; [3| $ 11.1 —11.11.
Примеры решения задач
8.1. Для измерения напряжения в электрической цепи используется вольтметр класса точности 1,0 с пределом измерения Um*—300 В. Показание вольтметра U»— 100 В. Опреде
Рис. 8.1.3
лить абсолютную А (Лес и относительную уОтн погрешности измерения и действительную величину измеренного напряжения.
Решение. Так как истинное (действительное) значение измеряемой величины неизвестно, для определения абсолютной погрешности измерения используем класс точности прибора:
А(7абс= -."Ха-ъг — — 3 В (приведенная погрешность прибо-
/Q 1UU ' • •
ра равна его классу точности, т. е. упр= 1 %).
Относительная погрешность уотн= Тар^ном_ 1,0-300_ % Сле-довательно, измеренное значение напряжения UH — 100 В может отличаться от его действительного значения не более чем на 3 %.
8.2. Определить абсолютную Д/абс и относительную Уотн погрешности измерения тока амперметром с номинальным предель-ным значением тока /НОм= /пРед = 5 А и классом точности 0,5, если его показание (измеренное значение) /«=2,5 А.
Решение. Абсолютная погрешность амперметра: А/абс = — Ум'б/ — °^~ = 0,025 А, так как класс точности 0,5
ню /q 1W /о 100
прибора соответствует абсолютной приведенной погрешности ?пР=0,5%. Относительная погрешность при измерении тока амперметром: уОТн= "°“ = °^5—= 1 %. Таким образом, измеренное значение тока /и = 2,5 А может отличаться от его истинного значения не более чем на ±1 %.
8.3. Предельное значение тока, измеряемого миллиамперметром, / = 4-10~3 А, сопротивление которого Ra = 5 Ом. Определить сопротивление /?ш шунта, используемого для расширения предела измерения тока до /= 15 А.
Решение. Падение напряжения иа клеммах прибора, соответствующее номинальному значению тока: &Ua = RJhoh = = 5-4-10~3 = 0,02 В.
Ток в цепи шунта, соответствующий наибольшему значению измеряемого тока: /ш=/ — /ном = 15 — 4-10~3 = 14,996 А.
Так как шунт подключается параллельно миллиамперметру, то падение напряжения на клеммах прибора оказывается равным падению напряжения на шунте, т. е. А(/= А//ш= Лш/ш== = 0,02 В, откуда Rv— AUш//ш = 0,02/14,996 = 0,00133 Ом.
8.4. Электроизмерительный комплект К-505 снабжен ваттметром, рассчитанным на пределы тока и напряжения, приведенные в табл. 8.1, шкала ваттметра имеет А = 150 делений. Определить цену деления ваттметра Cw для всех пределов напряжения и тока, соответствующих его показаниям. Стрелка ваттметра при измерении во всех случаях отклонилась на Wi = 100 делений.
Решение. Номинальная мощность ваттметра для предела тока /но« = 1,25 А и напряжения //«>«= 30 В: Pwhom= =
= 30-1,25=37,5 Вт.
Цена деления шкалы ваттметра (постоянная ваттметра) для
Параметры и постоянные прибора Значения параметров
IИОМ,А 0,5 1,0
UИОМ. В 30 75 150 300 450 600 30 75 150 300 450 600
Су, Вт/дел 0,1 0,25 0,5 1 1,5 2 0,2 0,5 1 2 3 4
Ру, Вт 10 25 50 100 150 200 20 50 100 200 300 400
Продолжение таблицы 8.1
Параметры и постоянные прибора Значения параметров
/НОМ» А 2,5 5,0
иКОМ. В 30 75 150 300 450 600 30 75 150 300 450 600
Су, Вт/дел 0,5 1,25 2,5 5 7,5 10 1 2,5 5 10 15 20
Ру, Вт 50 125 250 500 750 1000 100 250 500 1000 1500 2000
указанных пределов тока и напряжения: Cw = Pwhom/N = = 37,5/150 = 0,25 Вт/дел. Мощность, показываемая ваттметром при отклонении стрелки на заданное число делений: Pw = = CwWi = 0,25-100 = 25 Вт.
Результаты аналогичных расчетов для других пределов тока и напряжения сведены в табл. 8.1.
8.5. Электроизмерительный комплект К-505 снабжен вольтметром со шкалой, имеющей М| = 150 делений, и амперметром со шкалой, имеющей Мг = 100 делений. Определить цену деления шкалы приборов, показания вольтметра, стрелка которого указывает N'i = 100 делений, а также показания амперметра, стрелка которого указывает N'i = 50 делений, для пределов измерения токов и напряжений, номинальные значения которых представлены в табл. 8.2.
Решение. Цена деления шкалы вольтметра с номинальным напряжением Um„=30B: С7.'=£А«>м/Л/|=30/150=0,2 В/дел. Показание вольтметра с номинальным напряжением U„m = 30 В: U = CtiNi = 0,2-100 = 20 В. Цена деления шкалы амперметра с номинальным током /но„ = 0,5 А: С/ = /ном/Nt = 0,5/100 = = 0,005 А/дел.
Показание амперметра с номинальным током /ИВМ = 0,5 А при отклонении его стрелки на число делений N'i: / = CiN'z = = 0,005-50 = 0,25 А.
Параметры прибора Значения параметров
Vном> В 30 75 150 300 450 600
CUt В/дел 0,2 0,5 1 2 3 4 — — — —
и, В 20 50 100 200 300 400 — — — —
НОМ» А 0,5 1 2,5 5 10 15* 50* 100* 150* 200*
С/, А /дел 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,15 0,5 1 1,5 2
/, А 0,25 0,5 1,25 2,5 5 7,5 25 50 75 100
* Измерение тока в диапазоне 15—200 А с помощью прибора К-505 осуществляется трансформатором тока.
Аналогичные расчеты для других пределов измеряемых напряжений и токов сведены в табл. 8.2.
8.6. Определить значение сопротивления шунта /?„„ необходимого для расширения пределов измерения тока гальванометра, имеющего сопротивление /?г= 150 Ом, от номинального его значения тока /ном— 2-10~4 А до значения / = 6-10~3 А.
Решение. Определяем, во сколько раз необходимо расширить предел измерения тока: D = ///„0„ = 6-Ю—3/2-10-4 = 30. Значение сопротивления шунта: /?ш= RT)(D — 1) = 150/(30— 1)= = 5,17 Ом.
8.7. Определить значение добавочного сопротивления /?д, позволяющего расширить пределы измерения гальванометром, имеющим сопротивление /?г = 150 Ом, напряжения от его номинального значения (7Ном= 2-10—3 В до значения U= 10-10-2 В.
Решение. Пределы измерения напряжения гальванометра: п и 10-Ю-2 сп о ,
D = -j-—=———-==50. Значение добавочного сопротивления ном 2• I V
/?д= pr(D-l)= 150(50-1) = 7350 Ом.
8.8. К питающей сети с напряжением (7= 120 В присоединены последовательно два реостата, сопротивления которых R\ = = 13Ом, /?2 = 9 0м (рис. 8.8). Определить ток в цепи реостатов и напряжение (7В между их движками, показываемое вольтметром V, если левый движок реостата R\ находится у правого его конца, а правый — в середине реостата Ri.
Решение. Ток в цепи реостатов по закону Ома: /= U/(7?i =
= 220/(13 + 9)= 10 А.
Сопротивление электрической цепи при заданном положении движков реостатов: /? = 0 + /?г/2 = 0 + + 9/2 = 4,5 Ом.
Напряжение между движками реостатов (показание вольтметра): и=/?/ = 4,5-10=45В.
8.9. Как изменится ток в электрической цепи (рис. 8.9) и напряжение I), между движками реостатов, если между ними включить резистор Яз = 1,5 0м, при этом R\ = 13 0м, Яг = 4,5, /?4 = 4,5 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление параллельного участка электрической цепи: R = + j = 1,13 Ом.
т - , и 220 ... .
Ток в электрической цепи: / = >|+^; = Тз+1.13+ТГ= 11-1 А-Напряжение, показываемое вольтметром на параллельном участке электрической цепи: UB=R1= 1,13-11,1 = 12,6 В.
8.10. Для электрической цепи (рис. 8.10) определить токи в ветвях и показание вольтметра V, обладающего внутренним сопротивлением /?в=ЗОООм. Сопротивления резисторов: R\ = = 50 Ом; Яг = ЮО Ом; Яз = 150 Ом; Я<=200 Ом, ЭДС источников питания: Е\ = 22 В, Ег = 22 В.
Решение. Для левого замкнутого контура электрической цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа справедливо уравнение: £) = (Я|+Я<)/|+Яв/з; 22= (50 + 200)/)+300/з или 250/i+300/3= 22.
Аналогично для правого замкнутого контура цепи: £/ = = (Яз +/?г)/2 + ЯЛ = (150 + 100)/2 + 300/з = 22 или 250/2 + + 300/з = 22. В соответствии с первым законом Кирхгофа для узла разветвления уравнение для токов имеет вид: /|+/г = /з. В результате совместного решения полученных уравнений имеем: 250/1 — 250/г = 0, отсюда 1\ = /г.
Ток 7, в цепи резистора Rx находят в результате подстановки в первое уравнение значения тока Д из третьего уравнения: 250Д = = 2/)200 +2/1300 = 22, откуда Ц = 22/850 = 0Д26 А.
Ток в цепи резистора Яг: /2= Ц =0,026 А, ток в цепи вольтметра: /3= Л+/2 = 0,026+ 0,026 = 0,052 А. Показание вольтметра: Uв = ЯЛ = 300-0,052 = 15,6 В.
8.11. Трехфазный потребитель электроэнергии, соединенный треугольником, подключен к трехфазной симметричной системе питания с линейным напряжением /7л=220В (рис. 8.11, а), сопротивления фаз потребителя электроэнергии 2=Я=10Ом.
Записать комплексные линейные напряжения и фазные токи. Определить линейные’ токи /л при замкнутом включателе В и показание амперметра тока 1са при разомкнутом выключателе. 258
Решение. При замкнутом выключателе комплексное напряжение Uab направляем по оси действительных положительных чисел комплексной плоскости: Uab = Uabc'4 = UabU0 — = Uab=22O В. При этом Ubc-Ubc^4 7=Ubc= (cos~ — _/smy)= = 22o(— 0,5 — j ^j=(—110—/190) В, т. e. напряжение UBC= = 220 B; Uca = UCAe~® = Uca (cos-y—/sin -y-) = 220 (-0,5 + + /-^-)= (— 110 + /190) B, t. e. напряжение Uca = 220 B.
Токи по фазам электрической цепи при замкнутом выключите-ле: А; ~11 _
-/19) А нли /><-Vll’+l9’-22 А;
К I v
= (—11+/19) А или lea = Vl 12+ 192 = 22 А. Так как в данном случае нагрузка чисто активная и симметричная, токи по фазам следует определять исходя из выражений: 1аь— Uab//?=220/10= = 22 А; 1ьс= UBc/R = 220/10 = 22 А; 1са = Uca/R = 220/10 = = 22 А.
Линейные токи в электрической цепи при симметричной нагрузке: Iл = Iв= 1 с= 1д/З/ф = д/З• 22 = 38 А.
При замкнутом выключателе электрическая цепь преобразуется к виду рис. 8.11, б.
Показание амперметра: / = 1аь = lea = = д -тд- = 11 А.
8.12. Трехфазный потребитель электроэнергии, соединенный треугольником (рис. 8.12, а), питается от симметричной трехфазной сети с линейным напряжением (7л=380В, с частотой / = = 50 Гц, сопротивление фаз потребителя /? = 20Ом. Определить показания ваттметра при замкнутом и разомкнутом выключателе В.
Решение. Показание ваттметра при замкнутом выключателе: Р = иф/фСО5фф=-^^=-^-1 = 7220 Вт = 7,22 кВт
Рис. 8.12
(угол сдвига фаз между фазным напряжением (7Ф и фазным током /ф: <рФ=0 при cos<рф = 1).
При размыкании выключателя электрическая цепь рис. 8.12, а преобразуется к виду рнс. 8.12, б.
Ток в цепи токовой обмотки ваттметра: I\ = Ubc/2R = = 380/2-20 = 9,5 А. Показание ваттметра при разомкнутом выключателе: Р = l2R = 9,52 • 20 = 1800 Вт =1,8 кВт.
8.13. Трехфазный симметричный потребитель электроэнергии (рис. 8.13) подключен к источнику питания с линейным напряжением ил = Uав — Uвс = Uca — 380 В. Сопротивления фаз потребителя Zab = Zt,c = Zca = /? + /0 = 380 Ом. Определить фазные токи потребителя и показание ваттметра. Задачу решить с использованием комплексных чисел.
Решение. Направляя Uab по оси действительных положительных чисел, определяем напряжения по фазам: Uab =
= UabU^ = Uabc'0 = Uab = 380 В; UBC = Ubc? П = Ubc (cos j --/sin-y-)= 380 (--i—/-^-) В или = 380 В; Uca =
,, —/A?- ri / 4л . . 4л\ r.QrJ 1 i . л/3 \
= U caz = Uca\cos-^-----/sin-g-J = 380(----1~2~)
Фазные токи потребителя электроэнергии: lab = UAs/Zab =
Рис. 8.14
Рис. 8.13
=(-4-/4) Аили '-=1А;
380( —у+ 4) /' 1 /з\
= - ...580 =(-4- + /4) А или ' А-
Линейный ток фазы С. _1_с — 1са—7ьс=^-^- + /у^") —
-( -4-/4) = /л/З А или /с = V3 А.
Линейные токи при симметричной нагрузке: 1д = 1в = 1с = = д/3/ф. Показание ваттметра находим из выражения для комплексной мощности фазы: Sw = UceH = —UbcI} = 380 (—^-/-у”) X
X (— /Л/3) = (570 4- /330)В-А или Р = 570 Вт; здесь Ucb = ==-38О(-А.-4) = 380(4+/у)в-
8.14. Трехфазный потребитель электроэнергии питается от сети с симметричным линейным напряжением 0л= Uab — Ubc — = Uca = 220 В, сопротивления фаз R — Хс = 220 Ом (рис. 8.14). Определить фазные токи /ф и показание ваттметра W.
Решение. Напряжения по фазам определяем, направляя комплексное напряжение Uab по оси действительных положительных чисел: Ц_ав= Uab^ = Uab^° = 220 В, тогда
Ubc = (/все = Ubc ( cos 4я ~ /’sin^-) ~ 220X
X ( —4— /-у-) В или Vbc = 220 В; ^сл = UcA е~= UcA х
X(cos-4-/sin 4) = 220 (“4 + -$-) в или UcA = 220 В.
Фазные токи потребителя электроэнергии: ]_аь — =
220 1 л / У™ 220(-у-7у-) . , .
= 220-= 1 А: = 220-------=(-l/2-/V3/2) А
или /»с=1 А; /са=-^ = 2^+./V3/2)=.LJ/2+/^) = - 1 V3 _ 14-Л/з _ (i+n/3)(-/) / -/+т/з\ . ипи
~+Т2’+~2 12---1^=7) \ 2 ) А ИЛИ
lea = 1 А.
Показание ваттметра (из выражения для комплексной мощности ветви с емкостью С): 5^= (/лс/*е= (110—/190)( ~у—~) — = —21 вар, где Uac= — Uca, так как Ц_сл = (— 110+/190) В, то U ас = (110 — j 190) В или. U а с = 220 В; ,_[ас=—_1са = 261
= — (—;^3) тогда сопряженный комплексный
ток /?с — ( ~~2~/) А_
Следовательно, активная мощность, измеряемая ваттметром: Р= 0.
Задачи
8.15. В электрическую цепь постоянного тока для измерения тока включен амперметр, рассчитанный на предельный номинальный ток /Ном = 20 А. Показание амперметра 1— 10 А, действительный (истинный) ток /д = 10,2 А. Определить абсолютную А/абс, относительную уотн и приведенную упр погрешности измерения. Ответ. Ja6c = 0,2 А; уотн = 2 %; у„р = 1 %
8.16. Схема многопредельного вольтметра, снабженного добавочными сопротивлениями, состоящими нз отдельных секций, с пределами измерения напряжений 75—150—300—450—600 В приведена на рнс. 8.16. При отклонении стрелки вольтметра V на всю шкалу прибора JHOM = 3 мА. Сопротивление вольтметра Кв = 25 кОм. Определить значения добавочных сопротивлений: Ri, Кг, Кз, Rt, а также мощность Р, потребляемую. вольтметром V, для всех пределов измерения напряжения. Ответ. R, = = 25 кОм; /?2 = Дз = Д, = 50 кОм; P7J=0,225 Вт; Р150 = 0,45 Вт; Рзю = 0,9 Вт; Р35о = 1,35 Вт; Р&оо 1,8 Вт.
Л 75В 150В 3008 4508 6008
Рис. 8.16
8.17. В электрическую сеть с напряжением U — 220 В включен вольтметр с добавочным сопротивлением Кд = 4000 Ом, сопротивление вольтметра Кв — 2000 Ом. Определить показание вольтметра. Ответ. и,= 73,33 В.
8.18. Амперметр типа М-61 с пределом измерения /но» = 5 А характеризуется падением напряжения на зажимах \Ua = = 75-10~3 В = 75 мВ. Определить сопротивление Кв амперметра и потребляемую им МОЩНОСТЬ Ра. Ответ. Да =0,015 Ом; Ра = = 0,375 Вт.
Контрольное задание
8.19. Трехфазиый потребитель электрической энергии с активным R, индуктивным Xl и емкостным Хс сопротивлениями, соединенный «звездой», включен в трехфазную питающую сеть с симметричным линейным напряжением U„ (рис. 8.19). Учитывая данные, приведенные в табл. 8.3 для соответствующих
Величины Варианты контрольного задания 8.19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
и» в 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 • 660 220 380 660
r = Xl = Xc,Ом 10 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 25 30 30 30
Продолжение таблицы 8.3
вариантов задания, определить линейные токи потребителя электроэнергии и показания ваттметров W, и Wj.
Дополнительное задание, а. Записать выражения для показаний ваттметров и активной мощности трехфазного потребителя электроэнергии при: а) симметричной активной нагрузке; б) смешанной нагрузке при costp <0,5 (tp > л/3); при costp > 0,5 (<р < л/3) и costp = 0,5 (<р = л/3). б. Построить векторную диаграмму для токов и напряжений при активио-иидуктивиой нагрузке.
Примечание. В вариантах 31—60 R = Хс — Хс уменьшить в 2 раза, в вариантах 61—90 — увеличить в 2 раза.
Глава 9 МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
§9.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАГНИТНЫХ ЦЕПЯХ И ИХ РАСЧЕТЕ
Магнитная цепь представляет собой систему последовательно включенных ферромагнитных и других фнзнческйх тел, по которым замыкается магнитный поток. Прн отсутствии разветвлений магнитного потока магнитная цепь является неразветвленной (рнс. 9.1.1), а при наличии последних—.разветвленной (рнс. 9.1.2). Простейшая магнитная цепь с регулируемым магнитным потоком (см. рнс. 9.1.1) состоит из магнитопровода с поперечным сечением Sc, на котором равномерно размещена обмотка с числом витков w проводника с током /, под действием которого создается однородное магнитное поле с напряженностью (прн средней длине лннин магнитопровода /сР=/|4-/г + + Л +/о+ ••), равной Н = wl/kf. Соответственно магнитная индукция в сердечнике магннтопровода с относительной магнитной проницаемостью р. составляет В = цН. Прн этом магнитный поток в сердечнике Ф = BSc = рш///сР5с или Ф = -. у-д-. Про-
*ср/Р”^с
изведенне wl = F называется магнитодвижущей (намагничивающей) силой катушки, а отношение /<Р/ц5с=/?«-магннтным сопротивлением магнитной цепн. С учетом этого выражение для магнитного потока приводится к виду: Ф — F/R„. Полученное выражение определяет основной закон магнитной цепн — закон Ома. В сложных магнитных цепях (см. рнс. 9.1.2) магнитный поток Ф разветвляется по нескольким направлениям. Прн этом общий магнитный поток равен алгебраической сумме магнитных потоков в ветвях разветвления: Ф =
Рнс. 9.1.2
п
= Ф|Ч-Фг + .-.Ч-Фк нлн Ф= S Фк. Это выражение для маг-к= 1
нитного потока характеризует первый закон Кирхгофа для магнитной цепи.
На параллельных ветвях разветвленной магнитной цепи с напряженностями магнитного поля Н\ н Нг н средними длинами 1\ и /2 участков параллельных ветвей магнитные напряжения //i/i = H2I2. Прн этом магнитный поток распределяется обратно пропорционально магнитным сопротивлениям параллельных ветвей: Ф1/Ф2 = R^/R^.
При наличии последовательной магнитной цепи с несколькими источниками магнитодвижущих сил (с несколькими катушками с током, расположенными на магнитопроводе) в соответствии с законом Ома для магнитной цепи магнитный поток прямо пропорционален алгебраической сумме магнитодвижущих сил, действующих в цепи, и обратно пропорционален сумме магнитных сопротивлений ее участков:
Ф = —------ ИЛИ
ф_______ч>111 4- Wjlj-j-..._
Л/biSci 4-Zj/bsScz + в/воЗо
Последнее равенство можно привести к виду: Htli + + H2I2 + — = и>|/|-|-Ш2Лг+ -• В соответствии с этим второй закон Кирхгофа для магнитной цепи формулируется следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений в магнитной цепи равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил в этой цепи.
Полученные соотношения по заданному значению магнитного потока Ф, или соответственно магнитной индукции В, размерам и магнитным свойствам материала магнитопровода и соответствующим кривым намагничивания В (Н) позволяют определить магнитодвижущую силу F = wi, необходимую для создания заданного магнитного потока Ф.
В процессе расчета магнитной цепи с поперечным сечением efe Sc участков по заданному магнитному потоку Ф определяют значения магнитных индукций В = Ф/Sc на соответствующих ее участках. По кривой намагничивания В(Н) соответствующего ферромагнитного материала магнитопровода и значениям магнитной индукции В определяют напряженности Н магнитных полей на участках магнитной цепи. Затем находят магнитные напряжения HI на участках магнитной цепи и магнитодвижущую силу: F = HqIq -j-Hih -\-H2l2-\-— При отсутствии воздушного зазора в магнитной цепи слагаемое Н1о = 0, при наличии воздушного зазора напряженность магнитного поля в зазоре
Но = Во/Цо, где go — магнитная постоянная (абсолютная магнитная проницаемость вакуума); Во = Ф/5си — магнитная индукция в воздушном зазоре с поперечным сечением Sco.
По расчетному значению магнитодвижущей силы F — wl, задаваясь значением тока /, определяют число витков w катушкн, необходимое для создания в магнитной цепн заданного магнитного потока Ф, а задаваясь числом витков, определяют необходимое для создания его значение тока.
Одним нз основных элементов конструкции различного рода машин и аппаратов, устройств электроавтоматики, промышленной электроники, вычислительной техники н т. д. является катушка индуктивности.
Зависимость Ф(/) при w = const катушки при отсутствии ферромагнитного магнитопровода является линейной. Прн наличии магннтопровода магнитный поток, создаваемый катушкой индуктивности прн прочих равных условиях, значительно возрастает, так как прн этом магнитный поток создается не только непосредственно проводниками с током катушкн (источником внешнего магнитного поля), но н соответствующим ферромагнитным материалом магннтопровода (источником внутреннего магнитного поля).
С учетом того, что магнитная индукция В = цН, определяют магнитный поток катушкн: Ф = BS<- = pHSc.
Отсюда следует, что магнитный поток пропорционален относительной магнитной проницаемости ц среды, которая для ферромагнитных материалов значительно больше магнитной проницаемости других материалов и на несколько порядков выше магнитной проницаемости цо воздуха (вакуума). Поэтому с целью уменьшения магнитодвижущей силы F, а следовательно, уменьшения тока /, необходимых для создания заданного магнитного потока Ф, катушкн индуктивности снабжаются магннтопроводом (сердечником) из ферромагнитного материала, чаще всего из электротехнической стали. Так как зависимость магнитной проницаемости ферромагнитных материалов ц(/7) является нелинейной, то зависимость Ф(/7) нли соответственно В(Н) прн наличии магннтопровода оказывается также нелинейной.
При включении катушки индуктивности с магннтопроводом (в общем случае с воздушным зазором 6, рис. 9.1.1) под переменное синусоидальное напряжение u(t) = Umsinwt в цепн катушки появляется переменный ток i(t), под действием которого в магнитопроводе возникает переменный магнитный поток Ф(/). Основная часть результирующего магнитного потока ФР, создаваемого катушкой индуктивности (основной магнитный поток—Ф), замыкается по цепн магннтопровода, так как его магнитная проводимость во много раз больше магнитной проводимости воздуха, однако незначительная часть результирующего потока (порядка 3—5%) все же рассеивается и замыкается во
круг отдельных витков катушки индуктивности (поток рассеяния Ф„).
Результирующий магнитный поток катушки индуктивности с магиитопроводом равен векторной сумме: Фр = Ф4-Фо, так как основной магнитный поток Ф и поток рассеяния Фо не совпадают во времени по фазе.
Значение магнитного потока Ф = BSC определяют по магнитной цндукции магнитного поля, которая зависит от напряженности магнитного поля (В=-цД).
Зависимость В(Н) — кривая намагничивания — является одной из важнейших характеристик ферромагнитных материалов. Кривая, проходящая через начало координат, является основной кривой намагничивания, она получается при одностороннем намагничивании ненамагниченного материала.
При питании катушки индуктивности переменным током ферромагнитный магнитопровод вследствие наличия переменного магнитного потока циклически, с частотой тока, перемагничивается по кривой гистерезиса, обусловленной наличием остаточного магнетизма (остаточной магнитной индукции) Вг и коэрцитивной (задерживающей) силы Нс. В процессе циклического перемагничивания за несколько полупериодов переменного тока устанавливается замкнутая симметричная петля гистерезиса.
На циклическое перемагничивание магнитопровода затрачивается мощность, выделяемая в нем в виде теплоты, которая относится к потерям мощности. Потери мощности на перемагничивание включают в себя потери иа гистерезис Рг и потерн от вихревых токов Рв, индуцируемых переменным магнитным потоком в металле магннтопровода: Рп = Рг-|-Рв.
Потери мощности на гистерезис, выделяющиеся в единице массы материала магнитопровода, пропорциональны площади, ограниченной статической петлей гистерезиса, определяются по формуле: Рг = PyrfB2mG, где Руг — удельные потери мощности на гистерезис; f — частота питающего тока; Вт — амплитудное значение магнитной индукции; G — масса магнитопровода.
Под действием изменяющегося во времени магнитного потока Ф(0 в магнитопроводе наводятся вихревые токи, вызывающие дополнительные потерн мощности и оказывающие размагничивающее действие на магнитопровод. Эти потери пропорциональны площади, равной разности между площадями динамической и статической петли гистерезиса.
Потери мощности от вихревых токов рассчитывают по формуле: Рв = PynB'mpG, где Руд — удельные потери мощности от вихревых токов.
Потери мощности на перемагничивание магнитопровода, выделяясь в виде теплоты, приводят к нагреву катушки индуктивности и магнитопровода, что снижает КПД соответствующих электротехнических устройств.
Для уменьшения потерь мощности на гистерезис в качестве материала для магнитопровода используются ферромагнитные
металлы, характеризующиеся узкой петлей гистерезиса. Уменьшение потерь мощности на вихревые токи достигается применением для магнитопровода металлов с большим удельным электрическим сопротивлением за счет повышенного содержания кремния, при этом магнитопровод выполняют из набора тонких электрически изолированных друг от друга пластин, что способствует уменьшению индуцированных в каждой пластине вихревых токов, а следовательно, снижению потерь мощности от них.
Синусоидальное напряжение и — L^sinw/, подводимое к катушке с ферромагнитным магнитопроводом, компенсируется его составляющими в соответствии с уравнением, записанным по второму закону Кирхгофа в комплексной форме: Ц = /?/.+ +y'A'z2 + £=^Z+7^z.Z+^oZ+y^oZ> где Е — ЭДС, обусловленная основным магнитным потоком; Г— ток катушки; R— активное сопротивление проводов катушки; Xl=coL— индуктивное сопротивление катушки (<d = 2л/) (где / — частота питающего напряжения), обусловленное потоком рассеяния; /?о = Р«'/12 — активное сопротивление, обусловленное потерями в магнитопроводе на перемагничивание; Хо — индуктивное сопротивление, обусловленное основным магнитным потоком Ф.
Пренебрегая влиянием относительно небольших падений напряжений на сопротивлениях R и XL катушки и потерями на перемагничивание, имеем U_ = Е и соответственно: U — E = = 4,44/ауФт-
С учетом этого подводимое к катушке напряжение и = е = = (/msin<oZ в каждое мгновение полностью компенсируется ЭДС, обусловленной основным магнитным потоком катушки индуктивности. Из полученного выражения следует, что амплитудное значение магнитного потока катушкн определяется действующим значением синусоидального напряжения, подводимого к катушке, его частотой и числом витков катушки: Фт = Е//4,44/<о ь= BmSc.
Так как напряжение u(t) во времени изменяется по синусоидальному закону н в данном случае и = е= Umsin<i>t = Emsin<o/, а следовательно, ЭДС и напряжение имеют одинаковую начальную фазу, то комплексы I/ и Е на векторной диаграмме идеальной катушки без ферромагнитного сердечника совпадают по фазе. ЭДС е— бФ/d/ изменяется по синусоидальному закону во времени, поэтому магнитный поток, который ее создает, также должен быть синусоидальной функцией времени.
Так как зависимость В(Н) является нелинейной, нелинейна и зависимость Ф(/) как величины, пропорциональной В и И. Это означает, что при синусоидальном питающем напряжении «(/), т. е. при синусоидальной зависимости Ф(/), зависимость между током катушкн индуктивности и магнитным потоком г(Ф) также должна быть нелинейной. При этом магнитный поток Ф отстает по фазе от тока / катушкн на гистерезисный угол а в результате явления гистерезиса. Следовательно, при питании синусоидальным напряжением u(t) ток i(t) в катушке с ферромагнитным сердечником искажает свою форму и является несинусоидальным во вре-
менн. Прн наличии несннусоидальных токов для упрощения расчетов переходят к эквивалентному синусоидальному току /-«, имеющему одинаковое с несинусондальным током действующее значение прн одинаковой частоте н развивающему одинаковую с ним активную мощность прн одинаковом значении коэффициента
I т
мощности: / =у —f—$ z2dt = Лк =/,пэк/-^2, costp = P/UI — ' о
= СОЭфэк = -уЦ-.
Полное сопротивление катушкн индуктивности с магнитопроводом при расчетах находят по закону Ома: Z3K — U//. Эквивалентное активное сопротивление /?эк катушки определяют по значению активной мощности Р, потребляемой катушкой из питающей сети, и ее току или потерям мощности на перемагничивание Ра и активному сопротивлению R проводов катушкн: R3K=P/I2 = — Рп//2 -|- R Эквивалентное индуктивное сопротивление катушкн: x^x^z^-r^. при этом индуктивность катушки L= = X.I(o=XJJ2irf
Принимая во внимание, что а Ф = BSC выражение
для магнитного потока катушки индуктивности в общем виде может быть записано в виде закона Ома для магнитной цепн:
_ _ lw __ F
п I* 6 Rm
У ---б---1---с--
Xj (ЛкОск • М-О^О k » I
где Rm — магнитное сопротивление магнитной цепн; — магнитная проницаемость, соответствующая напряженности магнитного поля Як участка магнитопровода длиной /«; So — сечение магнитопровода в воздушном зазоре 6; 3™ — сечение магнитопровода.
Магнитная проницаемость материала магннтопровода несоизмеримо больше магнитной проницаемости воздушного зазора (р.}>ро), поэтому составляющая б/poSo является наибольшей величиной, определяющей магнитное сопротивление магнитной цепи. Вследствие этого при появлении в магнитной цепи воздушного зазора значительно увеличивается ее магнитное сопротивление, что в соответствии с приведенным ранее выражением должно привести к уменьшению магнитного потока. Однако этого не происходит, так как при неизменном по значению питающем напряжении U = Е = 4,44^Фт = const магнитный поток должен оставаться неизменным, что обеспечивается возрастанием магнитодвижущей силы F, а следовательно, возрастанием тока / катушки индуктивности до значения, при котором сохраняется постоянство отношения F/Rm в выражении для магнитного потока Ф.
Катушки индуктивности с магнитопроводом, имеющим регулируемый воздушный зазор (дроссели), используются в качестве
регулируемых сопротивлении в цепях переменного тока, так как с увеличением воздушного зазора при неизменном действующем иа зажимах катушки напряжении магнитное сопротивление магнитопровода и ток дросселя возрастают за счет уменьшения полного сопротивления катушки вследствие уменьшения ее реактивного сопротивления, обусловленного индуктивностью. При этом путем изменения величины воздушного зазора в магнитопроводе можно регулировать значение тока катушки индуктивности (дросселя) при включении ее в цепь переменного тока при неизменном значении подводимого напряжения.
Литература. [1] §6.1—6.16; [2] § 6.1—6.6, 7.1—7.7; [3] § 8.1—8.7, 9.1— 9.6.
Примеры решения задач
9.1. В однородном магнитном поле (рнс. 9.1) с индукцией В =10 000 Гс= 1 Тл расположен прямолинейный проводник длиной I = 0,5 м с током / = 30 А, в одном случае под углом а, = л/6 к направлению поля, а в другом — под углом <хг = л/2 к направлению магнитного поля. Определить силу F, действующую иа проводник.
Решение. Сила, действующая иа проводник, расположенный под углом а, = л/6: Ft = B//sinai = 1-30-0,5-0,5 = 7,5 Н.
Сила, действующая на проводник, расположенный перпендикулярно направлению поля, <хг=л/2: F2= B//sina2= 1 -ЗО-О.бХ X 1 = 15 Н.
9.2. В однородном магнитном поле под действием электромагнитной силы F = 50 Н перемещается перпендикулярно магнитным силовым линиям на расстояние a = 0,5 м (рис. 9.2) проводник длиной /=0,5 м с током /=100 А. Определить совершаемую при этом механическую работу.
Решение. Индукция магнитного поля связана с силой, действующей иа проводник, уравнением: F = B//sina, откуда
Ф '
Рис. 9.2
«=-^=-100^-= 1 Тл= Ю4Гс;(1Гс = 10-4Тл).
//Silly
Площадь, охватываемая проводником при перемещении: S = al = 0,5-0,5 = 0,25 м2. Магнитный поток, пересекаемый проводником: Ф = BS = 1 -0,25 = 0,25 Вб или Ф = 104-2,5-108 = = 0,25-108 Мкс = 0,25 Вб (так как 1 Вб= 108 Мкс).
Работа, совершаемая при перемещении проводника с током: А = Ф/ = 0,25 • 100 = 25 Дж или А = Fa = 50 • 0,5 = 25 Дж.
9.3. По проводникам двухпроводной воздушной линии, расположенным на расстоянии а = 30 см друг от друга (рис. 9.3), протекают равные, но противоположно направленные токи It — I2 — = 100 А. Определить индукцию магнитного поля В, направления действия сил Fu и F\z равных участков проводников длиной I — 5 м.
Решение. Индукция магнитного поля, создаваемая током первого проводника в точке, расположенной по оси второго
проводнике (а=л/2): 2я-30 ~6’66Х
X Ю~9 Вб/см2, где р.а — абсолютная магнитная проницаемость; ро — магнитная постоянная, равная в системе единиц СИ: ро==4л-1О~7 Гн/м = 1,256-10~6 Гн/м = 4л-10~9 Гн/см (1Гн = = 1 Ом-с — единица индуктивности) ; р — относительная магнитная проницаемость воздуха (р = 1), следовательно, ра = pop = = ц0 = 4л-10“' Гн/м.
Сила, действующая на второй проводник с током h в результате взаимодействия с полем первого проводника: Ft2=BtIil — = 6,66 • 10~9 • 100 • 500 = 33,3 • 10~5 Дж/см = 33,3 • 10~5 • 10,2 = = 333 • 10“5 кг.
Рис. 9.3
Рис. 9.4
Аналогичное значение получится и для силы F21, действующей на первый проводник с током в поле второго проводника. Направление сил, действующих иа проводник с током, определяется по правилу левой руки (рис. 9.3).
9.4. На кольцо из литой стали с прямоугольным сечением (рис. 9.4) равномерно нанесена обмотка с числом витков w = = 300. Внутренний диаметр кольца d = 20 см, наружный диаметр D = 24 см, толщина кольца b = 6 см, ширина кольца а = (D — d)/2 = 2 см. Определить ток /, при котором магнитный поток в сердечнике Ф= 1,0-10—3 Вб, для случаёв, когда кольцо замкнуто и имеет разрез шириной 6 = 5 мм, а также ток /' катушки при наличии сердечника из немагнитного материала.
Решение. Сечение сердечника магиитопровода Sc= = b =6 -(24^2-°-)- = 12 см2 = 12 • 10~4 м2.
Магнитная индукция в замкнутом сердечнике: ВС = Ф/5С= = 1,0-10~3/12-10-4 — 0,835 Тл. Напряженность магнитного поля в замкнутом сердечнике определяется кривой намагничивания В(Н\. при Вс = 0,855 Тл, Нс = 5 А/см = 500 А/м.
Длина средней силовой линии (средняя длина магнитопро-
вода): /ср= лВср = л—= 3,14 = 3,14-22 = 69,2 см.
Магнитодвижущая сила замкнутого сердечника: Fi = Hdcp = = 5-69,2 = 346 А.
Ток в обмотке находят из уравнения, составленного по закону полного тока: //с/ср= wl, откуда / = HJcf/w = 346/300= 1,15 А.
Если кольцо имеет разрез, магнитную цепь можно рассматривать состоящей из двух последовательно соединенных участков (стальной магнитопровод и воздушный зазор). Пренебрегая потоком рассеяния, можно принять, что магнитная индукция в воздушном зазоре и стальном магнитопроводе одинакова: Во = = Вс = 0,835 Тл.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре:
Но = Во/цо = 7-^--= ~ Ю5 = 6,68 = 105 А/м = 6680 А/см, 4л.10 4л
где магнитная постоянная р.0 = 4л- 10-7 Гн/м = 1,256-10-6 Гн/м = = 4л-10-9 Гн/см (Гн/м = Ом-С/м = В-с/А-м = Вб/А-м).
Напряженность магнитного поля в стальном сердечнике (определяем по кривой намагничивания для литой стали): для Вс = = 0,835 Тл, Нс = 500 А/м = 5 А/см.
Магнитодвижущая сила при наличии в сердечнике воздушного зазора:
F2 = WI2 = HcKf 4- ЬНо 500 • 0,687 +
4-0,5-10"3-6,68-105 = 677,5 А,
где l'Cf = /ср — 6 = 69,2 — 0,5 = 68,7 см = 0,687 м — средняя длина магнитопровода без воздушного зазора.
Ток в катушке при наличии воздушного зазора: Г — Fit w = = 667,5/300 = 2,25 А.
Изменение тока в обмотке вследствие наличия воздушного зазора: А/ = /' — / = 2,25— 1,15 = 1,1 А.
Магнитная индукция в сердечнике из немагнитного материала: В, = Во = 0,835 Т.
Напряженность магнитного поля при наличии сердечника из немагнитного материала: //о = Во/ро = 0,835/4л • 10"’7 = 6,68Х ХЮ5 А/м = 6680 А/см.
Ток в катушке определяют из уравнения, составленного по закону полного тока: HolcP=Iw, откуда
Н,1ср 6,68-Ю5-69,2.|0-2 1СОС .
Рис. 9.6
Рис. 9.5
9.5. Кольцевой сердечник из литой стали (рис. 9.5) с равномерно распределенной катушкой имеет размеры: внутренний диаметр d=20 см, наружный диаметр 0 = 24 см и воздушный зазор 6 = 2 мм. Определить магнитодвижущую силу F, необходимую для создания в воздушном зазоре магнитной индукции В= 1 Вб/м2.
Решение. Напряженность магнитного поля в сердечнике магиитопровода определяется по кривой намагничивания В (//) для литой стали. Пренебрегая потоками рассеяния, принимаем, что магнитная индукция в воздушном зазоре и в стали одинакова: Bq=Bc=1 =1 Тл, чему соответствует //с=700 А/м.
Средняя длина магнитной силовой линии кольцевого магнитопровода: /сР = яВср = — 3,14^24~^20^ = 3,14-22 = 69,2 см.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре: Но=
= Во/ца—Во/цо= -—^т=0,8-106 А/м (так как абсолютная магнитная проницаемость ра=роц, а для воздуха р=1, то ра = = ро).
Определяем магнитодвижущую силу катушки исходя из закона полного тока: wI~Hd[v + //06 = 700 • 0,69 + 0,8 • 106 • 2 -10-3= = 483 + 1600 = 2083 А, где /с'р = /ср - 6 = 69,2 - 0,2 = 68 см — средняя длина магнитопровода без воздушного зазора.
Задачи
9.6. Проводники с токами /|=/2=100 А расположены в воздухе параллельно друг другу на расстоянии а—5 см (рис. 9.6) и укреплены на изоляторах, расстояние между которыми 1=2 м. Определить значение и направление сил F\ и F2 взаимодействия между проводниками и направление индукции поля проводников при одинаковом направлении токов /, и 12 в НИХ. Ответ. FI = F2 = F=0,08 Н.
9.7. Прямоугольная рамка перемещается со скоростью V = = 1000 м/с в равномерном магнитном поле с индукцией В= = 8000 Гс = 0,8 Тл перпендикулярно направлению магнитного потока. Длина рамки /=900 мм, омическое сопротивление R = = 0,2 Ом. Определить потребляемую рамкой мощность Р, приложенное к рамке усилие F, а также механическую мощность Р„ех, необходимую для перемещения рамки. Ответ. Р= 259,2 Вт. 7 = 26 Н, Рмех=260 Вт.
9.8. Определить ЭДС самоиндукции катушки индуктивности с индуктивностью L = 0,3 Гн, активным сопротивлением R = 2 Ом, если при включении ее в питающую сеть постоянного тока с напряжением U = 110 В установившееся значение тока наступает через время / = 0,1 с. Ответ. £,= 165 В.
9.9. Определить энергию W магнитного поля катушки индуктивности с индуктивностью Г = 20 мГн при наличии в ней постоянного тока /=20 А. Ответ. 1У = 4 Дж.
Таблица 9.1
Величины Варианты контрольного задания 9.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
W, витков /, А 6, мм 800 3 2 800 2,9 2 800 2,8 2 800 2,7 2 900 2,6 2 900 2,5 2 900 2,4 2 900 2,3 2 900 2,2 2 900 2,1 2 1000 3 2,5 1000 2,8 2,5 1000 2,4 2,5 1000 2,2 2,5 1000 2 2
Магнитная цепь См. рис. 9.12, а (с одним зазором)
Марка стали Листовая электротехническая сталь 3411 (холоднокатаная)
Продолжение табл. 9.1
Величины Варианты контрольного задания 9.12
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и>, витков /, А 6, мм 800 4 2 800 3,9 2 800 3,8 2 800 3,7 2 800 3,6 2 900 3,5 2 900 3,4 2 900 3,3 2 900 3,2 2 900 3,1 2 1000 4 2 1000 3,8 2 1000 3,6 2 1000 3,4 2 1000 3,2 2
Магнитная цепь См. рис. 9.12,6 (с двумя зазорами)
Марка стали Листовая электротехническая сталь (горячекатаная)
9.10. Определить индуктивность L кольцевой катушки (тороида), размещенной иа маГнитопроводе из литой стали. Средняя длина силовой линии /ср = 80 см, поперечное сечение кольца S=12 см2, число витков катушки w = 200, ток катушки /=2 А. Ответ. £ = 0,1 Ги.
9.11. Определить амплитудное значение ЭДС самоиндукции Em катушки, индуктивность которой £ = 0,12 Гн, ток в катушке изменяется по синусоидалвному закону z = 0,2 sin Ы с частотой <0= 104 С. Ответ. £т = 240 В.
Контрольное задание
9.12. Магнитная цепь с симметричным магннтопроводом, выполненным из электротехнической стали с размерами, приведенными на рис. 9.12, а, б, содержит катушку возбуждения магнитного потока с числом витков w и током /. Используя кривые намагничивания стали В(Н) (рис. 9.12, в)*, по данным, приведенным в табл. 9.1 для соответствующего варианта задания, определить энергию магнитного поля W и магнитные потоки Ф на всех участках магнитной цепи, индуктивность катушки возбуждения L, составить эквивалентную электрическую схему рассматриваемой магнитной цепи.
* Кривые намагничивания для сталей: / — литая сталь; листовые электротехнические стали: 2— 1512 (горячекатаная); 3 — 3411 (холоднокатаная); 4 — 1212 (горячекатаная); 5— 1410 (горячекатаная).
Глава 10
ТРАНСФОРМАТОРЫ
$ 10.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРАНСФОРМАТОРАХ
Трансформатор представляет собой статический электромагнитный аппарат, предназначенный для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения при той же частоте.
Трансформатор состоит из стальнрго сердечника, собранного из тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от друга с целью снижения потерь мощности на гистерезис Рг и вихревые токи Р„х. На сердечнике трансформатора расположены первичная и одна или несколько вторичных обмоток. К первичной подводится питающее напряжение U\, а со вторичной снимается напряжение Ui, которое подводится к потребителю электрической энергии.
Переменный ток, протекая по виткам первичной обмотки трансформатора, возбуждает в сердечнике магнитопровода переменный магнитный поток Ф. Изменяясь во времени по синусоидальному закону O=Omsin <0/, этот поток пронизывает витки как первичной, так и вторичной обмоток. При этом в соответствии с законом электромагнитной индукции в обмотках наводятся ЭДС, выражения мгновенных значений которых „ V , <1Ф
для первичной и вторичной обмоток имеют вид: ei = ten—jy—= = Eml sin( <0/+-5-) ; = Em2Sin(<0ii + л/2), где 101
te>2 — числа витков первичной и вторичной обмоток трансформатора; Emi и Ет2 — амплитудные значения ЭДС соответственно в первичной и вторичной обмотках.
Из полученных уравнений следует, что ЭДС-Ei, так же как и ЭДС Е2 трансформатора, опережает магнитный поток Ф на угол л/2.
Ток первичной обмотки Ц трансформатора при отключенном потребителе является током /о холостого хода. Пренебрегая влиянием насыщения, Несинусоидальный намагничивающий ток может быть заменен эквивалентным синусоидальным током: io= lom sin (w/4-а). Входящий в уравнение угол магнитных по
терь а (угол сдвига по фазе между током /0 и магнитным потоком Ф трансформатора) обусловлен потерями мощности в магнитопроводе трансформатора.
При синусоидальном изменении магнитного потока, при отсутствии насыщения магнитной системы, действующие значения ЭДС, индуцированные в первичной и вторичной обмотках трансформатора, определяют в соответствии с выражениями: Ei = = 4,44ц^Фт; Е2 = 4,44ц^Фт, где f—частота переменного тока; Фт — амплитудное значение магнитного потока трансформатора.
Отношение ЭДС £i первичной обмотки трансформатора к ЭДС £2 вторичной его обмотки, равное отношению соответствующих чисел витков обмоток, является коэффициентом трансформации трансформатора: Ei/E2 — w\/w2 =п. Если £i<£2, то трансформатор—повышающий, при £1>£г — понижающий. Коэффициент трансформации п, магнитный поток Фт, а также потери мощности Рм в сердечнике магиитопровода трансформатора прн номинальной нагрузке определяются из опыта холостого хода трансформатора.
При опыте холостого хода к первичной обмотке трансформатора подводится напряжение, равное его номинальному значению (7|ном. Вторичная обмотка трансформатора при этом разомкнута, так как в ее цепи отсутствует нагрузка. В результате этого ток во вторичной обмотке оказывается равным нулю, в то время как в цепи первичной обмотки трансформатора протекает ток холостого хода /о, значение которого обычно невелико и составляет 4—10 % от номинального значения тока в первичной обмотке/1 ном.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора в режиме холостого хода можно получить уравнение электрического равновесия, записанное в комплексной форме: £, =-Ui —• Z1/0, £2 = Ui-
Пренебрегая падением напряжения на первичной обмотке трансформатора JoZi, равного произведению тока холостого хода на полное сопротивление первичной обмотки, ввиду его весьма небольшого значения по сравнению с £1, коэффициент трансформации трансформатора приближенно можно определить как отношение первичного напряжения Ui ко вторичному U2: п= = EX/E2~lh/U2.
Полученные выражения дают возможность вычислить магнитный поток Фт и магнитную индукцию Вт, если известно сечение сердечника магнитопровода Sc, так как Вт= Фт/Sc
Активная мощность, потребляемая трансформатором в режиме холостого хода Ро, затрачивается на потери мощности в магнитопроводе и электрические потери мощности в первичной обмотке: Ро= £« + £эь
Поскольку активное сопротивление первичной обмотки Ri, так же как и ток холостого хода /0 трансформатора, обычно незначительно, электрические потери мощности в этой обмотке
оказываются весьма небольшими и ими можно пренебречь, при ЭТОМ Ро^Рм.
При нагрузке трансформатора к его вторичной обмотке подключается потребитель электрической энергии. Ток Л во вторичной обмотке нагруженного трансформатора согласно закону Ома определяется из выражения: U2=ZHl2, l2=U2/Z«, где Z„— полное сопротивление потребителя (нагрузки).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной и вторичной обмоток нагруженного трансформатора можно составить уравнения электрического равновесия
IJt — (/?i + jXi )_/i + Et; Ez = (7? 2 /7¥г)/2 4~ U2,
где — ток первичной обмотки нагруженного трансформатора; Р2 и Х2 — активное сопротивление и обусловленное магнитными потоками рассеяния индуктивное сопротивление вторичной обмотки трансформатора.
Так как падение напряжения на первичной обмотке ZJi = = (7?i 4- /^1)11 в пределах до номинального тока нагрузки /1вом обычно мало по сравнению с ЭДС Ei, им можно пренебречь и приближенно считать, что Ui:z.Ei = 4,44а»1^Фт.
Из этого следует, что при постоянном напряжении питающей сети (7i = const при нагрузке трансформатора можно считать также и ЭДС Ei = const. Так как ЭДС в обмотках наводится результирующим магнитным потоком, то этот поток должен также оставаться практически постоянным в пределах от холостого хода до номинальной нагрузки трансформатора (Фт — ~ const).
Исследование работы трансформатора при нагрузке производится на основе векторных диаграмм, построенных для приведенного трансформатора, у которого параметры вторичной обмотки приведены к напряжению Ui и числу витков первичной обмотки. В соответствии с этим приведенный трансформатор имеет коэффициент трансформации л = 1. При замене реального трансформатора приведенным активные, реактивные и полные мощности, а также коэффициент мощности вторичной обмотки трансформатора принимаются неизменными.
Значения приведенных значений ЭДС Е2, вторичного напряжения U2, вторичного тока /£, активного R2, индуктивного Х2 и полного Z2 сопротивлений вторичной обмоткн и полного сопротивления нагрузки Z'„ определяют по действующим их значениям и коэффициенту трансформации в соответствии с выраже-
ниями: Е^ = пЕ2; U{=nU2, 12— к Ri = n2R2; Х2==п2Х2;
п
Z'2=n2Z2,Z'„ = n2ZH.
При этом ЭДС Ei — Ei можно заменить суммой активного н реактивного индуктивного комплексных падений напряжения в соответствии с уравнением: Е\ = /?о/о 4* /А'о/ , где Хо — индуктивное сопротивление, обусловленное основным потоком транс
форматора; /?о — активное сопротивление, обусловленное потерями мощности в магнитопроводе трансформатора, т. е. некоторое условное активное сопротивление, в котором выделяется мощность RoIo = P«, равная потерям мощности в магнитопроводе.
С учетом выражений для и получим уравнение для комплексных токов, составленное по первому закону Кирхгофа: /, =/0 +/$, Принимая во внимание которое, может быть составлена полная (Т-образная) схема замещения трансформатора.
При опыте короткого замыкания трансформатора к первичной его обмотке подводится такое напряжение /Лк, при котором в обмотках возникают токи, равные соответствующим номинальным их значениям ЛНом и Лном, а напряжение на вторичной обмотке трансформатора //2=0.
При этом к первичной обмотке трансформатора подводится напряжение U\, сниженное (в зависимости от типа и мощности трансформатора) в 10—20 раз по сравнению с соответствующим номинальным значением напряжения (Л ном. Так как напряженке короткого замыкания, подводимое к первичной обмотке, мало и равно t/iK~EiK=4,44wifOm, то магнитный поток трансформатора Фт, а следовательно, и магнитная индукция Вт трансформатора при этом также малы. Вследствие этого потери в магнитопроводе Рм, пропорциональные квадрату магнитной индукции В2т, при опыте короткого замыкания ничтожно малы и ими можно пренебречь (Рм = 0).
Таким образом, при опыте короткого замыкания вся мощность Рк, потребляемая трансформатором, идет на нагрев его обмоток, т. е. равна электрическим потерям Рэ в проводах обмоток, так как Рк = Р-, + Р« ~ /?ИОмР| + /гномРг = (Pi + /?2)/?HOM = — ILohR*- При этом Р„ = 0, а мощность Рк = Рном, т. е. равна потерям в обмотках трансформатора при номинальной нагрузке.
При Опыте короткого замыкания (ZJ = O) определяют параметры упрощенной схемы замещения трансформатора при коротком замыкании
Zk — UIk//|homJ Рк — Pl _|_Р2== Рк//IhomJ Xk=Xi+X2==V2k-P^, где Рк, Хк, ZK — активное, реактивное индуктивное и полное сопротивления короткого замыкания трансформатора.
К нагрузочным характеристикам трансформатора относятся зависимости его вторичного напряжения Uz, коэффициента мощности coscpi и КПД т) от тока нагрузки /2 потребителя электроэнергии при cos ф2=const.
Зависимость U^lz) напряжения на зажимах вторичной обмотки от тока нагрузки является внешней характеристикой трансформатора. Уравнение внешней характеристики трансформатора может быть записано по второму закону Кирхгофа для вторичной его цепи: Ui—Ez— ZzI_z = Ez — (Rz + jXz)[z-
Из полученного выражения следует, что при изменении тока нагрузки трансформатора изменяется и напряжение на зажимах
вторичной обмотки вследствие увеличения падения напряжения на этой обмотке, т. е. из-за увеличения произведения Z2/2, а также за счет уменьшения ЭДС Е2, имеющего место в реальных условиях вследствие некоторого уменьшения магнитного потока Ф при увеличении тока нагрузки трансформатора.
Из векторной диаграммы нагруженного трансформатора можно установить, что падение напряжения на вторичной обмотке тем больше, чем больше угол сдвига по фазе ф2 между ЭДС Е2 и током нагрузки /2. Таким образом, чем больше выражен индуктивный характер нагрузки, тем значительнее уменьшается напряжение U2 на вторичной обмотке трансформатора с ростом тока /2 нагрузки. Наоборот, при емкостном характере нагрузки с увеличением тока нагрузки напряжение на зажимах вторичной обмотки трансформатора возрастает.
В режиме холостого хода трансформатора при отсутствии нагрузки во вторичной цепи (ZK=oo) трансформатор потребляет активную мощность, равную мощности холостого хода: Ро — = t/i/0=cos<po. Так как мощность, ток и напряжение в режиме холостого хода не равны нулю, то ие может быть равным нулю и cos <ро/0 при 72=0.
С увеличением нагрузки зависимость со8ф|(/г) сначала резко возрастает, достигает максимального значения при некотором значении тока /2, а затем несколько уменьшается при дальнейшем увеличении нагрузки, что можно видеть из векторной диаграммы нагруженного трансформатора, так как с увеличением тока нагрузки /2 одновременно происходит увеличение .и тока первичной обмотки трансформатора Л. Поскольку коэффициент мощности потребителя электроэнергии cos ф2 = const, то с увеличением тока /| происходит его смещение в сторону напряжения t/i. При этом угол ф| уменьшается, а совф| увеличивается до определенного предела, равного соьфипах, так как дальнейшее увеличение /2 (а следовательно, Рг и /|) приводит к значительному возрастанию реактивного падения напряжения на первичной обмотке /Х|/|.
При дальнейшем увеличении тока нагрузки /2 коэффициент мощности совф| уменьшается. КПД трансформатора представляет собой отношение полезной мощности Р2 к мощности Pit потребляемой им из сети:
__ Рг Рг_____________^2вом cos ^2_____
11 Pt + P'+P. ~fiV^I^c^ + P^ + fEP;
где РМ=РО — потери в магнитопроводе трансформатора (находят из опыта холостого хода); Рэ — электрические потери в обмотках трансформатора (при номинальной нагрузке определяют из опыта короткого замыкания); р=/г//2иом— отношение текущего значения тока нагрузки к номинальному его значению; совф2 = — Pz/lhh — коэффициент мощности потребителя электроэнергии.
При отсутствии нагрузки, когда мощность не потребляется нагрузкой (Р2=0), КПД равен нулю. При малых значениях тока
нагрузки электрическими потерями Р, в обмотках трансформатора можно пренебречь вследствие небольшого значения тока нагрузки. Потери мощности в магнитопроводе Рм при этом оказываются соизмеримыми с полезной мощностью Pz, а значение КПД трансформатора оказывается небольшим. С увеличением нагрузки КПД трансформатора возрастает.
Потери Р„ в магнитопроводе трансформатора не зависят от нагрузки, в то время как с увеличением тока /2 нагрузки электрические потери Р, в обмотках трансформатора растут пропорционально квадрату тока. Анализ приведенной выше формулы показывает, что КПД трансформатора имеет наибольшее значение при равенстве электрических потерь мощности в обмотках и потерь мощности в магнитопроводе трансформатора, т. е. при РМ = Р3.
При дальнейшем возрастании нагрузки трансформатора потерями в магнитопроводе £« можно пренебречь вследствие их относительно небольшого значения по сравнению с достаточно большими электрическими потерями мощности в проводах обмоток Р3.
КПД современных трансформаторов весьма высок. Причем с увеличением номинальной мощности трансформатора КПД растет, для мощных трансформаторов он достигает значений порядка 98—99 %.
Литература. [1] §8.1—8.13; [2] §8.1—8.17; [3] §10.1 — 10.11.
Примеры решения задач
10.1. Определить коэффициент трансформации п трансформатора, число витков да, первичной обмотки при числе витков вторичной обмотки ws = 40, а также номинальные токи Л «ом и /гном в обмотках однофазного трансформатора с номинальной мощностью S1bom = 3kBA, подключенного к питающей сети с напряжением U\ ном — 127 В, напряжение на зажимах вторичной обмотки при холостом ходе Uzo = 60 В.
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора: п= w\/wz= E\/Ez= U\/U2o= 127/60 = 2,11, так как Uzo=Ez, при холостом ходе трансформатора падение напряжения на первичной обмотке весьма незначительно, поэтому приближенно
Число витков первичной обмотки: h'1=hw2=2,11-40= = 84,4.
Номинальный ток первичной обмотки (считая полные мощ-31000
ности обмоток Si ~5г): Лном= S'1BOM/l/1BOM=-^y- = 23,6 А.
Номинальный ток вторичной обмотки трансформатора (принимая /7гном=//го)./гном = S’|HOM/I72o:= 3000/60= 50 А.
10.2. Определить коэффициент трансформации и действующие значения ЭДС Е\ и £г обмоток однофазного трансформатора при частоте /=100 Гц, если площадь поперечного сечения магнитопровода Sc = 4 см2. Амплитудное значение магнитной индук
ции Вт = 1 Тл, число витков первичной и вторичной обмоток трансформатора: ten = 25O и ш2= 1250.
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора: л = wi/w2= Fi/F2 = 250/1250= 0,2.
Амплитудное значение магнитного потока в сердечнике трансформатора: Фт = BmSc = 1-4- 10~4 = 4" 10~4 Вб (Вт — 1 Тл = = 1 Вб/м2);Вс= 4 см2= 4-10-4 м2.
Действующие значения ЭДС, наводимых в обмотках трансформатора: Bi = 4Кф/Ш|Фт — 4-1,11 • 100-250-4" 10~4 = 44,4 В; £2= 4Кф)ш2Фт = 4-1,11 • 100-1250-4-10~4 = 222 В, где Кф—коэффициент формы кривой напряжения (для синусоидального напряжения Кф= 1,11).
10.3. Определить коэффициент трансформации л трехфазного трансформатора и номинальные действующие значения первичного и вторичного фазных (ЛфНом, (/2фном и линейных (/ином, (/глном напряжений, при соединении обмоток соответственно по схемам «звезда—Звезда» и «звезда—треугольник»; первичная обмотка имеет число витков на фазу W| = 2002, вторичная ш2= = 134. Номинальное линейное напряжение первичной обмотки Uном = 6000 в.
Решение. Коэффициент трансформации фазных напряжений трансформатора л = Wi/w2 = 2002/134 = 15. Номинальное первичное _ фазное напряжение трансформатора: (ЛфНом = = (/ином/л/3 = 6000/1,73 = 3470 В.
Номинальные вторичные напряжения трансформатора при соединении обмоток по схеме «звезда—звезда»:
линейное (/2.1НОм= (/,лном/Д = 6000/15 = 400 В;
фазное (/2фном= (/гфном/\3=400/1,73 = 230 В.
Коэффициенты трансформации трансформатора при соединении обмоток по схеме «звезда—звезда»:
линейных л л л = Uiлном/U2aном = 6000/400= 15;
фазных л лф= (/|фном/^2фном = 3470/230= 15.
Коэффициенты трансформации трансформатора при соединении обмоток по схеме «звезда—треугольник»:
фазных Лдф= (7|фИом/(/2фном = 3470/230= 15;
линейных Лдл = (/| л ном / £^2л ном — 6000/230 = 26, так как при этом U2 л ном — и2ф ном*
10.4. Трехфазный трансформатор типа ТМ-50/6 имеет номинальную мощность 5|№М = 50 кВ -А, номинальные напряжения (/|ном = 6000В и (/2ком = 525В, частоту питающего напряжения ^ = 50Гц. Определить КПД т] трансформатора при коэффициентах загрузки 0=1; 0,75 и 0,5 от номинальной (cos<j>2= 1,0), а также коэффициент нагрузки 0тах, при котором КПД имеет максимальное значение т)тах, если потери холостого хода при номинальном напряжении Ро=35ОВт, а потери короткого замыкания Рк=1325Вт. Построить зависимость изменения КПД от полезной мощности Р2.
Решение. КПД трансформатора при номинальной нагрузке:
Дж,м=1:
Ц,% 80
60
40
20
Рис. 10.4
0.75-50-1
Т] ^Hqmcos<P2
^IbomCOS^ + Pq + ^A
__ 1-50-1 _ 50 _____«Qfi7 1-50-1+0,35+1J-1,325 ~ 51,675 ~ ’ a
ИЛИ т)ном % = 96,7 %;
при 0 = 0,75:
°75 /WibomCOS'^+T’o+^T’i
37,5
= 0,75-50-1 + 0,35 + d:75;~325" = ИЛИ ',0-7S /0 ~ =”'' /0’
при 0 = 0,5:
_ №цюысо&4>2 0,5-50-1 _
^1BOMcoS<P2 + P0+/!JPx“ 0,5-50-1 +0,35 + 0,55-1,325
= -^§-=0,973 или T]o.5 % = 97,3 %.
Нагрузка трансформатора, соответствующая максимальному значению КПД т)тах трансформатора (принимаем Ро = 2А):
д -х/ Р° -у/ 2,350 264 Л7ЛИ
Р-ах= V — = V -1325" = 37Т= 0’705-
Зависимость т] (PJ) приведена на рис. 10.4. Здесь Р*2 — относительная полезная мощность, равная отношению текущего значения полезной мощности к полезной номинальной: Р*2 = Р2/Р\. Так как cos<p2=l, то активная мощность равна полной номинальной мощности трансформатора; P2ltoul — SitaMcos<p2=SnoM.
10.5. Трехфазный трансформатор с номинальной мощностью 5’1яом=50 кВ-А работает в течение времени Г=800 ч/год с полной нагрузкой (0=1). Потери мощности холостого хода Ро трансформатора составляют 0,7 %, а потери короткого замыкания при номинальной нагрузке А составляют 2,65 % от полной мощности S1H0M. Определить КПД т)НОм при номинальной нагрузке, а также среднегодовой КПД йг.
Решение. Потери мощности холостого хода: Ро — =0,7%S1BOM/100% =0,07 -50=0,35 кВт. Потери короткого замыкания: Рж=2,65%$1вом/100% = 0,0265-50 = 1,325 кВт.
Суммарные потери мощности при номинальной нагрузке: 2Аом = А) +А = 0,35+1,325 =1,675 кВт или 2Аом% = 3,35% от S’|HOM=50 кВ-А.
Полезная мощность, отдаваемая трансформатором потребителю электроэнергии при номинальной нагрузке (0=1): Аном = = «S’iH0MC0s<jp2 = 50-1 =50 кВт.
Коэффициент полезного действия трансформатора при номи-
нальной нагрузке (0=1): т)НОм =
7dTfc=50TW=°’96 или
П О/____QR о/
Ч ном /о — /О*
Энергия, отданная трансформатором за год потребителю электроэнергии: 1Г2 = ₽2номТ = 50-800 =
= 40 000 кВт-ч.
I, о—
и, о—
Энергия, потребляемая трансфор- Рис 10б
матором при холостом ходе: lFo= = P0Tt = 0,35 -365- 1 =0,35 -365= = 126 кВт-ч, где ^ = 365-1 = 3654 — число часов работы в год трансформатора в режиме холостого хода (1 час в день).
Энергия, теряемая в проводах обмоток трансформатора при номинальной нагрузке: W'k = PkT= 1,325-800= 1060 кВт-ч. Энергия, потребляемая трансформатором из сети в год: 1Fi = 1F2-|-
+ 1FO+ ^=40000+126+1060=41186 кВт-ч. Среднегодовой КПД трансформатора: 100% =777^ 100% = 97%.
41100
10.6. Определить параметры упрощенной (Г-образной) схемы замещения (рис. 10.6) трансформатора с номинальной мощностью Sibom = 50 кВ • А. Обмотки трансформатора соединены по схеме «звезда»; номинальные линейные напряжения первичной и вторичной обмоток: f/iHOM = 6000 В, (/2ном = 525В, частота питающего напряжения Дом = 50 Гц, ток холостого хода /о= = 7 %/|ном, мощность холостого хода Ро—0,350 кВт, напряжение короткого замыкания t/к = 5,5 %, мощность короткого замыкания Рк = 0,325 кВт.
Решение. Номинальные фазные (линейные) токи транс-
форматора (считая 51иом /1В0М =
г ^1иом 50’10’ „ .
2"°м V5p2bom = i.««J_55A‘
50-103 1,73 6000
= 4,82 А;
Номинальные фазные напряжения трансформатора: (/|фнОм = = (ЛномЛ/3 = 6000/1,73 = 3460 В; (/2фном= (/2вом/л/3=525/1,73 = = 303 В.
Ток холостого хода трансформатора: /о=7 %/100/|ном = = 0,07-4,82 = 0,338 А.
Активное сопротивление намагничивающей цепи Г-образной схемы замещения: /?о=-~^-= , ^,-^=1040 Ом.
3/о О* U,ООО
Сопротивления намагничивающей цепи:
полное Zo = (/|фном//о = 3460/0,338= 10 250 Ом; индуктивное
Хо = = A/10 2502- 1040i = 9800 Ом.
Сопротивления короткого замыкания трансформатора:
полное Zk = Uk = 0,055 = 39,6 Ом; активное /?к=
о ном DU UUU
= Ri + /?2 = Л.г = = 4 Ом; реактивное Хк = X, + Х2 =
= VZk2 - Ri= д/39,62-42 = 39,5 Ом.
10.7. Трехфазный понижающий трансформатор с номинальной мощностью 5|НОМ = 20 кВ-А и номинальными линейными напряжениями: U\ «о» = 6000 В, {/гном = 400 В при частоте ^=50Гц имеет потери мощности холостого хода Ро=18ОВт, потери мощности короткого замыкания Рк = 600 Вт и напряжение короткого замыкания t/к = 5,5 %. Соединение обмоток трансформатора выполнено по схеме «звезда». Определить коэффициент трансформации п трансформатора, токи Лном и /г»Ом в обмотках, фазные напряжения {Лфном и t/гфном, сопротивления короткого замыкания: /?к, Хк, Zk, сопротивления обмоток: Rt, R2, Xi, Хг, а также КПД т] при cos<j>2 = 0,8 и нагрузке, равной 75 % от номинальной 0=0,75).
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора при заданной схеме соединения обмоток п = U\Ka«/U2«m = = 6000/400= 15.
Номинальные токи, при Sihom = S2hom = SBom:
о _ « Sihom 20-1000 . «о д
первичной обмотки: limM , 73.бооо = '93 А; вто'
« , *$ГВОМ 20- 1000 К
ричнои обмотки: 12тм = ^5^----— 1 73.400 = ™ А.
Номинальные фазные напряжения трансформатора: {Лф„оМ = = ^г.= 6000/1,73 = 3470 В; {/2фнОм = U2„омЛ/3 = 400/1,73 = V3
= 230 В.
Активные сопротивления
короткого замыкания: /?к = /?, + R'2 = —£— = =
«3/ 1 ном О» 1У,0‘
= 10,3 Ом;
первичной обмотки /?| = /?2 = -у-= =5,17 Ом; вторич-
ной обмоткн /?2 = /?г/и2 = 5,17/152 = 0,023 Ом.
Коэффициент полезного действия трансформатора при cos<j>2 =0,8 и р = 0,75;
PSlmtC0S<l>2 pSilvttcos4>2+po+Plpi
0,75-20-0,8
~ 0,75- 20 • 0,8 + 0,18 + 0,75J • 0,6 ~
Сопротивления короткого замыкания:
полное ZK =
С К % 1 ф ном
/.ном- 100%
5,5-3470
1,93-100
Ом;
индуктивное Хк = Xi + %2=л/ Zl — Rl=-\j 992 — 10,352 ~ 98,8 Ом.
Индуктивные сопротивления:
первичной обмотки Xi — Х2 = Хк/2 = 98,8/2 = 49,4 Ом; вторичной обмотки Х2 — %2/л2 = 49.4/152 — 0,22 Ом.
10.8. Определить коэффициент трансформации п, амплитудные значения магнитного потока Фт и магнитной индукции Вт, напряженность магнитного поля Нmax, ПОТерИ МОЩНОСТИ В МЗГИИ’ топроврде Рм, угол магнитных потерь б, ток холостогб хода /о, коэффициент мощности coscpo холостого хода трансформатора. Номинальные напряжения трансформатора: UihOK—220 В, U2hOm = = 127 В, частота = 50 Гц, число витков первичной обмотки Ш|= 100, длина витка провода обмотки /вит = 40 см, сечение провода 5Пр = 1 мм. Магнитопровод трансформатора выполнен из пластин электротехнической стали марки Э42, толщиной 0,35 мм2, с удельным весом /=7,8 г/см3, сечение магнитопровода Sc = = 100 см2, средняя длина магнитной силовой линии /ср = 100 см, индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформатора принять равным %, = 5/?i, значение ЭДС первичной обмотки £| = = 0,97t/|HOM. Построить векторную диаграмму токов и напряжений трансформатора при холостом ходе.
Решение. Коэффициент трансформации: и=/Лном//Аном = = 220/127= 1,73.
Амплитудное значение магнитного потока: Фт = =
= = 9,6- 10s Мкс = 9,6-10-3 Вб.
4,44’100’50
Амплитудное значение магнитной индукции в магнитопроводе:
D Фт 9,6-10-3 п пс т п 9,6-10® пспп г~
Вт = -=—= lhh.0,96 Тл или Вт = ——= 9600 Гс.
Ос 1uv11U 1UU
Напряженность магнитного поля в сердечнике трансформатора определяют по кривой намагничивания В(Н). При индукции В = 9600 Гс = 0,96 Тл напряженность поля для заданной марки стали //max = 1,8 А/см.
Значение амплитудной магнитодвижущей силы магнито-
провода в соответствии с законом полного тока для магнитной
цепи: Fm — l^mW, = //m/cp = 1,8-100 = 180 А. Значение намагни-
чивающего тока: /ц = Fm/W{-yj2 — 180/100-\/2 = 1,27
нитные потери мощности в магнитопроводе: Р„ = Рму
А. Маг-
X (4гГй = °-7 (-Sr)’(-&-)” ™" '’--уаеаь.
ные потери мощности в стали магнитопровода: при Вт = 0,96 Тл и ^ = 50 Гц, РмУ = 0,7 Вт/кГ; G = Sc/cp, /= 100-100-7,8-10“3 = = 78 кГ — масса магнитопровода.
Активная составляющая тока в первичной обмотке, обусловленная потерями в стали магнитопровода: 1\а = PM/UiUOM = = 50,2/220 = 0,228 А. Ток холостого хода в первичной обмотке
трансформатора: /о = -yjlh 4-/ц = -\Д)>2282-|- 1,272 = 1,29 А. Угол магнитных потерь (угол сдвига тока /ц относительно магнитного потока Фт): tgo = Л а//ц= 0,228/1,27 = 0,179, откуда 6 = 0°10'.
Омическое сопротивление первичной обмотки трансформатора:
= Р /вита;' = 0,0175 0,7 Ом, где р — удельное
сопротивление проводов обмотки постоянному току (для меди р = 0,0175 Ом-мм2/м).
Активное сопротивление проводов первичной обмотки трансформатора: /?! = RiKi = 0,7-1 = 0,7 Ом, где /С = 1 — коэффициент, учитывающий увеличение активного сопротивления проводов вследствие влияния поверхностного эффекта (в данном случае при частоте /1 — 50 Гц, К\ = 1).
Электрические потери мощности в проводах первичной обмотки трансформатора: Р, \ = /о/?, = 1,292-0,7 =1,17 Вт.
Коэффициент мощности холостого хода трансформатора: cos<j>o= Уу— =0’182’ откуда Фо = 79°30'-(-Чном'О <Лном/о
Индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформатора, обусловленное потоками рассеяния: Xi = 5/?i = 5-0,7 = = 3,5 Ом.
Падение напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки трансформатора: = Z?t/o = 0,7-1,29 = 0,9 В.
Падение напряжения на реактивном индуктивном сопротивлении первичной обмотки трансформатора: £ЛР= Xt/o = 1.29Х X 3,5 = 4,52 В.
Векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора при холостом ходе приведена на рис. 10.8 (векторы токов) /|а и 7Д угол магнитных потерь 8 показаны здесь увеличенными).
10.9. По данным задачи 10.8 построить векторную диаграмму токов и напряжений нагруженного трансформатора. Вторичный номинальный ток /2НОм= 10 А, сопротивления вторичной обмотки трансформатора: R? = 0,5 Ом, Х2 = 1,5 Ом, нагрузка характеризуется сопротивлениями: /?„=4,3 Ом и /Хи=3 Ом. Пояснить, почему с ростом тока нагрузки /2 во вторичной цепи увеличивается ток /| в первичной обмотке трансформатора.
Решение. Угол сдвига фаз между вторичным током /2 и вторичной ЭДС Ei трансформатора: ф2 = arctg ** + - =
j 1,5-|-3 < 4,5
= arctg оТТ4У = arctK -43-= 43 5'.
ЭДС вторичной обмотки трансформатора: Ei = ^г + ^г/зном, где Z2 — комплексное сопротивление вторичной обмотки трансформатора. Zi = (Ri 4"/Х2)/2ном = 2^2 ном -j- /X 2/2 ном.
Угол сдвига фаз между вторичным напряжением и вторичным
Vh з
током трансформатора: <р2= arctg-^-= arctg—— = 35°. При-К и 4,о
веденный вторичный ток трансформатора • /з ном — /2 КОМ — =
= 10,43-=5’8 А- "
Ток первичной обмотки трансформатора: Л — /о + /2.
Ток холостого хода трансформатора /о имеет сравнительно небольшое значение и обычно не превышает (4—8) % от номи-нального тока /ihom первичной обмотки. При этом приближенно можно принять /| — /2. Поэтому с увеличением тока нагрузки /г, а следовательно, тока /$ растет и ток первичной обмотки трансформатора.
Падение напряжения на сопротивлениях первичной обмотки трансформатора: на активном L/ia = R\h«OM — 0,7-6,4 = 4,49 В; на индуктивном U\ Р = Xi/i«om = 3,5-6,4 = 22,5 В.
Построение векторной диаграммы следует начать с магнитного потока Фт. Этот поток наводит в обеих обмотках трансформатора электродвижущие силы Et и Е2, которые в данном случае опережают поток Фт на угол л/2. По условию Ei = 0,971/, =
= 0,97-220=213 В, отсюда Е2 = Е,/п = 213/1,73 = 123 В.
Нагрузка трансформатора носит активно-индуктивный характер (Z„ = , поэтому вторичный ток /2 отстает от ЭДС
Е2 на угол фг-
Напряжение вторичной обмотки U2 находят исходя из уравнения U2 — E2 — I2„O„Z2. При этом из ЭДС Е2 вычитается гео-
метрически падение напряжения на реактивном сопротивлении Х212ио„, которое опережает ток /гном на угол л/2, и падение напряжения на активном сопротивлении R2i2 ном вторичной обмотки, которое совпадает с направлением тока /2 ном. Ток холостого хода /о опережает поток Фт на угол магнитных потерь 6. Первичный ток /| находится как векторная сумма токов /о и приведенного
вторичного тока /г «ом.
Для определения Ui ном ЭДС Ei суммируют с падением напряжения на активном сопротивлении t/ia = R1L1 и падением напряжения на индуктивном сопротивлении t/iP = %i/i согласно урав-
нению Ui НОМ “ +/?i/i + jXi[i-
На рис. 10.9 приведена векторная диаграмма нагруженного трансформатора.
10.10. Понижающий трехфазный трансформатор типа ТМ-10/6 с номинальной мощностью S’)HOM=10 кВ -А и номинальными линейными напряжениями £/|ЛНом = = 6 кВ и L/глном = 230 В, при частоте f = 50 Гц имеет следующие данные: мощность холостого хода Ро = 0,105 кВт, мощность короткого замыкания Рк = = 0,335 кВт, напряжение короткого замыкания f/K=5,5%. Обмотки транс
Рис. 10.9
форматора соединены по схеме «звезда». Определить при номинальной нагрузке (Р = 1) токи /том в первичной и /гном во вто-1 ричной обмотках, активное А/7а и индуктивное А/7Р падения напряжения при коротком замыкании, вторичное Uj напряжение при нагрузке, в 10 раз большей номинальной (0= 10), и cos<jp2 = 0,6, КПД т)ном при номинальной нагрузке и costp2 — 0,8 при нагрузке, в 10 раз меньшей номинальной (Р = 0,1), и том же коэффициенте мощности. Построить зависимость А(/2 % (cos<p2) трансформатора при номинальной нагрузке (/2цОм).
Решение. Ток в первичной обмотке трансформатора в j *^1ЯОМ _ 10 000 ___ П <17 л
номинальном режиме: /|Ном= —=--------- = , 7q= 0.97 А.
!»» I, / о * OUvU
V 3 ^Ibom
Пренебрегая потерями мощности в трансформаторе, ток во Ц - , *^1ИОМ 10 000 пг- <1 А
вторичной обмотке: /2нОм = —-------= , 7О = 25,2 А.
/, тг 1,73-230
V з ь'гяом
Падение напряжения короткого замыкания: активное A Ua % =
__ 1 (in о/ _ 1 пл о/ _ пл о/ ______ 335-100 % _ - 1/1йо. /о - (7,ном/,„и 100 /о - А__._ ~ 10000 -
*^1ном
= 3,35 %, индуктивное АЦ, % = '1 = ^~3^=4,35%.
Процентное изменение напряжения при нагрузке, в 10 раз большей номинальной: At/% = р (t/a costpjH- Uv sin<p2)=10 х X(3,35-0,6 4* 4,35-0,8) ~ 55 %, где ₽ = 10 — коэффициент нагрузки трансформатора.
Вторичное фазное падение напряжения при заданных усло-
виях: АУ2%= U^- 100 % или 55== —
12 2 ф ном
откуда ' Ui ф = 133 — 55-1,33 = 133 — 73=60 В, где номинальное фазное напряжение вторичной обмотки матора: (72фНом= (Ал ном/-\/3^= 220/1,73 = 133 В.
КПД трансформатора для заданных условий при
. п/ Д51яомс<»¥>2100% 1-10 000-0,8-100%
нои нагрузке: т]ном% =----------------Кя~Хш<;"'|Т
ос0/ flS11IovcoS(p2 + P0 + /P?K 1-10000-0,8+105.1.335
ul =
^М°0%,
Т/2фном траисфор-
номиналь-
3U /о-
КПД при нагрузке, в 10 раз меньшей номинальной (0 = , о/ _ /»i»mCOSp2100% 0,1 -10 000-0,8-100 % _
’ ‘ Т1°'1 /0 ~ ^1HOMcoS(p2 + P0+^?K_ 0,1-10000-0,8+ 105 + 0,Р-335 “
— 00,1 /О-
Вторичное линейное напряжение при заданных условиях: У2л = ТЗУ2ф = 73-60= 104 В.
Таблица 10.1
Величины Нагрузка
индуктивная активная емкостная
COS ф2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 —0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
sin ф2 1 0,98 0,92 0,8 0,6 0 0,6 0,8 0,92 0,98 1
Д<72 % 4,45 4,93 5,34 5,5 5,36 3,35 0 -1,5 -2,66 -3,59 4,35
Для построения зависимости ДУ2 % (cos <р2) при номинальной нагрузке 0 = 1 определяют процентное изменение напряжения для различных значений cos <р2. Результаты расчета сведены в табл. 10.1.
По результатам расчета на рис. 10.10 приведена зависимость АУ2 % (cos <р2) при р = 1.
10.11. В условиях задачи 10.10 определить параметры схемы замещения трехфазного трансформатора (рис. 10.11). Ток холостого хода /о = 0,1/| ном, ЭДС холостого хода £|0 = 0,98 СЛфном, потери мощности в магнитопроводе Р„ составляют 98 % от потерь холостого хода Ро= 105 Вт.
Решение. Ток холостого хода трансформатора: /о = = 0,1 Л „ом = 0,1-0,97 = 0,097 А.
Номинальное фазное напряжение первичной обмотки: СЛфном = = U и ном/V3 = 60 000/д/3 = 3460 В.
Напряжение короткого замыкания: UK % = “—100 % =
= 5,5 %, откуда Ui* = 0,055 СЛфном — 0,055-3460 = 191 В.
Полное сопротивление короткого замыкания: ZK= UiK/ //i ном = 191/0,97= 197 Ом. Составляющие полного сопротивле-
индуктивная XK = Xi4-X^ = -\/ Z? — /?2 = -\/ 1972 — 1182 = s* 158 Ом.
ЭДС холостого хода первичной обмотки: £ю = 0,98 СЛфном = = 0,98-3460 = 3400 В.
Сопротивления намагничивающей цепи схемы замещения: полное Zo = Ею/1й = 3400/0,097 = 35 000 Ом; активное /?0 = = TF-=4^^--3571 Ом’ где Р“ = °-98 Ро = 0,98-105 = о <о о*и,иу/
= 102 Вт; индуктивное Хо = -\/Zo — /?о = л/35 ООО4 — 35712 = = 34 995 Ом.
Активное сопротивление первичной обмотки трансформатора:
= 3571=60 Ом-о /о 0 • и,и«7/
Активное сопротивление вторичной обмотки трансформатора, приведенное к виткам и напряжению первичной обмотки: R'2 = = /?к-/?!= 118-60 = 58 Ом.
Индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформатора:
~ 34 995 = 105 Ом’
где Q0=\/Sg-/’g = V10082- 1052= 1000 вар, здесь S0 = 3 СЛфном/о =3-3460-0,097= 1008 В-А.
Индуктивное сопротивление вторичной обмотки трансформатора: Х'2 = Лк — Xt = 158 — 105 = 53 Ом.
Коэффициенты мощности:
короткого замыкания cos <рк = Rk/Zk = 118/197 = 0,6,
Я1+Я0 60 + 3571
холостого хода cosq>o = —г — —.....— =—===——
у (Я| +Яо/ + (-+ + ^о/ у (60+3571 / +
..-................... = 0,106.
+ 11П5 + 34 995/ 35350
Таблица 10.2
Величины Режим работы трансформатора
Ян и 1, Рг
Ом А А Вт В
0 17,5 17,5 0 0 Опыт короткого замыкания
5 17,3 17,3 4500 150 Нагрузка
8 17,2 17,2 7080 239 >
10 16,9 16,9 8580 292 »
3442 0,97 0,97 9700 5750 Номинальная нагрузка
оо 0 0,97 0 Режим холостого хода
Поправочный коэффициент схемы замещения: Ci = 1 + . Z| . , 60 + i 105 _ . . (60+ /105) (3571-/34 995)
Z_G — 1 + 3571 + j 34 995 — 1 (3571 + j 34 995) (3571 - / 34 995) ~
1 243 600 000 — j 20 000 . nnnico r li гхгхл2 Г
1238 300 000--= L004 - 1 °’00162’ °ТКУДЭ С^Л/ПОМЧ-
+ 0,00162* s 1.
10.12. По условиям задачи 10.10 построить внешнюю характеристику Щл ji) трансформатора при работе на активную нагрузку (cos <jp2 = 1) в пределах /?„ = 0 — °о и определить первичный ток /] и активную мощность Р, отдаваемую потребителю электроэнергии.
Решение. Полное сопротивление схемы замещения трансформатора при коротком замыкании (/?« = 0): ZK = = 7W + + /?")2 + (*2 + Xff = 7(60+ 58 +О)2 + (105 + 53)2 = = 197 Ом.
При Рн. = 0 ток короткого замыкания трансформатора /1 к —
U ] ф нОМ 3460
— —у-----= — 17,5 А. Напряжение на нагрузке и2 =
= /?к/?н = 17,52-0= 0.
Полное сопротивление упрощенной схемы замещения трансформатора при номинальной нагрузке: /?НноМ: ZiH = ТЛфком/Лном = = 3460/0,97 = 3560 Ом.
Из упрощенной схемы замещения с учетом данных задачи 10.10, пренебрегая током холостого хода (Jo — 0), так как Zi„ — = 7(7?! + /?z2 + /?нном)2 + (%! +Xtf = 7(60 + 58 + /?ном)2 + (105 + + 53)2 = 3560, откуда сопротивление RHWM = 3442 Ом.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой при номинальном режиме работы трансформатора: Раком =3/ 1 ном/? Н НОМ-
= 3 • 0,972 - 3442 = 9700 Вт, так как при этом / I ном — 72ном*
Линейное номинальное напряжение иа нагрузке: 7Д>лном = = 7^71 ном/?нном= 1,73-3442-0,97 =5770 В, где Т/афном /?нном/i ном = = 3442-0,97 = 3338,7 В.
о —о а
Рис. 10.13
Полное сопротивление схемы замещения трансформатора при холостом ходе (/?„ = °о):' Z10 = V(^i 4-/?о)24*(Х| 4-Х0)2 = = (-\/(604*3571)2 4- (1054*34 995)2 = 35 350 Ом. Ток холостого хода трансформатора: /0 = —= 0,097 А. Вторичное ZOO oDU in
(Un °/ \
1 + 100 у / = = 3442 ( 1 4- °’1оо5) ~ 3442 В. Процентное изменение напряжения на вторичной обмотке трансформатора: Л(/о% = = % cos фо 4* Up % sin фо) — 0,105/10 (3,35-0,106 4* 4.35Х
X0,995) = 0,0495 %, где р0 = Рю/P1HOV = 0,105/10 = 0,0105.
В табл. 10.2 приведены расчетные данные для различных режимов нагрузки трансформатора. По данным табл. 10.2 на рис. 10.12 построена внешняя характеристика трансформатора.
10.13. Автотрансформатор (рис. 10.13) с числом витков обмотки wi = 800 включен в питающую сеть с номинальным напряжением (/жом = 2000 В. Определить напряжение приходящееся иа одни виток обмотки, и номинальное напряжение (/гном иа нагрузке в режиме холостого хода, а также коэффициент трансформации п, если число витков обмотки, подключенных к нагрузке, ш2 = 300.
Решение. Напряжение, приходящееся на виток обмотки: (/.нт = (/1 ном/ш। = 2000/800 = 2,5 В.
Номинальное вторичное напряжение в режиме холостого хода: (/йном = (/.нтйУг 2,5-300 = 750 В. -
Коэффициент трансформации автотрансформатора:
_ Wi UI иом 800 2000 о R7
— "UTZ зоб 750
10.14. Автотрансформатор включен в сеть с номинальным первичным напряжением (7|НОм= 127 В при наличий активной /?н нагрузки (cos ф2 = 1), номинальный ток /2 ном = 4 А при напряжении (/2 ном = 220 В. Определить номинальный ток h ном первичной цепи автотрансформатора и коэффициент трансформации л., если его КПД г]ном = 0,95, а совином = 0,9.
Решение. Активная мощность, отдаваемая автотрансформатором потребителю электроэнергии: Р2ном= (/2ком/2 ном COS (р2 = 220-4-1 = 880 Вт.
Активная мощность, потребляемая автотрансформатором из сети: Pi ном = Pi ном/лном = 880/0,95 = 925 Вт.
Номинальный ток в первичной цепи автотрансформатора:
ЛРI нои 925 о 1 л
НОМ >. -- 1 л«т л л 0,1 А.
U I HOM^OSCpi ном 127*0,9
j Чг Пя'
О—
и,
Рис. -10.15
Коэффициент трансформации трансформатора: и = С/2ном/У| ном = 220/127 = = 73= 1,73.
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной к нагрузке (влиянием тока холостого хода пренебрегаем) : /ном = /1 ном — h НОМ == /1 ном — /2 ном = 8,1 —4 = 4,1 А.
10.15. Автотрансформатор с потребителем электроэнергии (рис. 10.15)
включен в,питающую сеть с номинальным напряжением Ui„OH = = 127 В при costpi = 1. Определить токи: Л, /2 и_/_=_Л —/р на участках электрической цепи при вторичном напряжении U2 = 220 В, ток в цепи нагрузочного резистора /?н составляет /2 = 10 А, КПД автотрансформатора я = 0,95.
Решение. Активная мощность, потребляемая резистором R„: Р2 = U2I2 = 220-10 = 2200 Вт = 2,2 кВт.
Актйвная мощность, потребляемая из сети: Р\ — Р2/г\ = = 2,2/0,95 = 2,31 кВт.
Ток, потребляемый из сети: Л = Р|/1ЛномСО5ф| = 2,31 /127 • 1 = = 18,1 А.
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной непосредственно к сети: / = Л — /2зг/ = Ц — /2 = 18,1 —10 = = 8,1 А. - _
Следовательно, участок обмотки автотрансформатора, подключенный непосредственно к сети, по сравнению с остальной частью обмотки можно выполнить из более тонкого провода.
10.16. Автотрансформатор с номинальным напряжением U1 ном = 220 В подключен к активной нагрузке /?„ с током /2 = = 1 А при напряжении U2mx = 127 В и КПД я = 0,98. Определить сечения s, и s2 проводов обмотки автотрансформатора, если по условиям нагрева плотность тока р = 2 А/мм2, число витков обмотки Ш1 =,78, a cos <pi = 0,96. Как изменится расход меди обмоток, если вместо автотрансформатора использовать обычный однофазный трансформатор с тем же числом витков обмотки при тех же значениях первичного Ui «ом и вторичного U2mit напряжений.
Решение. Активная мощность, отдаваемая потребителю электроэнергии: Р2 = и2иоя12со&ц>2 = 127-1-1 = 127 Вт, так как при активной нагрузке cos <р2 = 1.
Активная мощность, потребляемая из питающей сети: Pi = = P2/ti = 127/0,98 = 129,5 Вт. р )29б
- 06^ А ПОТРебЛЯеМЫЙ И3 СеТИ: Л= V...MCOS4,, = 220^96- =
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной к потребителю: 1_= l_2 — ±\—1 — 1г — Р = 1—0,61 = 0,39 А.
Сечения проводов на участках обмотки автотрансформатора: подключенном непосредственно к сети: Si = Л/р = 0,61/2 = = 0,305 мм2, подключенном параллельно потребителю: $г = //р = 0,39/2 = — 0,195 мм2.
Число витков обмотки автотрансформатора, подключенной
— 1^2 „ом ”ТО 127 t г- »
параллельно потребителю: Wi — w< = 45. Масса
U I ном 22U
медн проводов обмоток автотрансформатора (в единицах //): бав= /[si/(a»i — W2) + «г/^г] = /[0,305/(78—45) + 0,195/45)] = = //[ 10,06 + 8,77] = 18,83/7, где / — удельный вес меди; / — средняя длина витка обмотки.
Ток двухобмоточного трансформатора:
в первичной цепи h = -r,——-----— ооТ^тгаё- — 0,61 А;
r Vi но» cos<(i| 220-0,96
, Рз 127 1 Л
во вторичной цепи h — -у.--------- ,о, , = 1 А.
r Ui HOMcos <р2 127-1
Сечение проводов обмоток двухобмоточного трансформатора:
Si = = 0,305 мм2; s'z — /г/р = -у = 0,5 мм2.
Масса меди проводов обмоток двухобмоточного трансформатора (в единицах / /) при одинаковой с автотрансформатором средней длине витка: GTp =/7(s(wi+S2W2) =/7(0,305-78 + +0,5-45) = /7(26,9 + 22,5) = 49,4/7.
Отношение масс меди проводов обмоток двухобмоточного трансформатора и автотрансформатора: Ам = бТр/бав = 49,4/7/ 18,83/7 = 2,62.
Следовательно, при одной н той же мощности масса медн в автотрансформаторе в 2,62 раза меньше, чем в трансформаторе.
10.17. . Выбрать трансформатор тока и трансформатор напряжения для обеспечения контроля работы асинхронного электродвигателя, питающегося от сети с напряжением /Л„ом = 6000 В и потребляющего ток Ц — 90 А.
Решение. Трансформатор тока выбираем с номинальными значениями первичного и вторичного токов: h „<>м = 100 А н /гном = = 5А н коэффициентом трансформации й1Т — hm/h«» — 100/ 5=20, где Л „ом — номинальный ток первичной обмотки трансформатора тока, который выбирают ближайшим большим по отношению к току h электродвигателя; Л„ом — стандартный номинальный ток вторичной обмотки трансформатора тока (/г„<>м = = 5 А).
Трансформатор напряжения выбираем с коэффициентом трасформации напряжения: n„=UlmJU2mM=6O0O/l00=60, где /7|„ом — ближайшее большее или равное номинальному напряжению электродвигателя номинальное напряжение первнч-
ной обмотки трансформатора напряжения; С/2 ном — стандартное номинальное напряжение вторичной обмотки трансформатора напряжения (С/2 ном 100 В).
Примечание. Измерительные трансформаторы тока имеют стандартные номинальные первичные токи 7|„ом: 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 75, 100, 150, 200, 300, 400, 600, 800, 1000 А и более. Номинальный вторичный ток 72иом Для всех трансформаторов тока принят равным 5 А.
Используются трансформаторы тока при напряжениях:
до 500 В: а) ТКЛ-0,5 на токи от 5 до 300 А (литая изоляция из смолы); б) ТКМ-0,5 на токи от 5 до 800 А (модернизированный);
до 10 кВ: а) ТКЛ-10 на токи от 5 до 400 А; б) ТПЛ-10 на токи от 10 до 100 А (проходной); в) ТПФ-10 на токи от 5 до 400 А (проходной с фарфоровой изоляцией).
Однафазные и трехфазные трансформаторы напряжения изготовляются на стандартные номинальные первичные иапряження и1яом: 400, 500, 3000, 6000, 10 000 В и выше. Номинальное вторичное напряжение U2m„ у всех трансформаторов напряжения принято равным 100 В.
Используются трансформаторы напряжения:
однофазные: а) НОМ-0,5, номинальное первичное напряжение 500 В; б) НОМ-6, номинальное первичное напряжение 3000 и 6000 В; в) НОМ-10, номинальное первичное напряжение 10 000 В;
трехфазные: а) НТС-0,5, номинальное первичное напряжение 500 В; б) НТМИ-6, НТМИ-10, номинальное первичное напряжение 6000 и 10 000 В.
Задачи
10.18. Определить мощность Ргном, отдаваемую трансформатором потребителю электроэнергии, суммарные потери мощности SPhom, электрические Рэ I ном И Рэ2 ном и магнитные Рк НОМ потери в трансформаторе при номинальном режиме работы. Номинальное линейное напряжение его вторичной обмотки С/2 НОМ “ 400 В, линейный ток нагрузки l2llOK = 10 А, линейный ток первичной обмотки Л „ом = 0,2 А, коэффициент мощности cos <р2ном = 1, КПД трансформатора Т]ком 0,95, активные сопротивления первичной обмотки Ri — 200 Ом, вторичной /?2 — 0,1 Ом. Потоком рассеяния и током холостого хода пренебрегать. Ответ. Р2ио.= 4 кВт; 2Р„„„ = = 210 Вт; Р,|„о«=8 Вт; Р,2„Ом = Ю Вт; Рмно«= 192 Вт.
10.19. Обмотки трехфазиого трансформатора типа ТМ-100/6 с номинальной мощностью 51ном = 100 кВ-А включены по схеме «звезда». Определить коэффициент трансформации и н КПДт]„ом трансформатора при номинальной нагрузке (cosq>2 = 0,8). Номинальные линейные напряжения СЛ ном = 6 кВ, С/г ном = 0,525 кВ, потери холостого хода прн номинальном напряжении Ро = = 600 Вт, потери короткого замыкания при номинальном токе Л = 2400 Вт. Ответ, п = 11,4; т|н,)м % = 96,38 %.
10.20. Определить среднегодовой КПД т), трехфазиого трансформатора с номинальной мощностью S'iHOM=50 кВ А,, если он в течение времени Тi = 3000 ч в год работает при cos <р2 = 1 с полной нагрузкой (р = 1), Т2 — 1500 ч — с нагрузкой р = 0,5 и То = 1000 ч — в режиме холостого хода. Потери холостого
Таблица 10.3
Технические дан-ные трансформатора Варианты контрольного задания 10.24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Тип ТМ-25/6—10 ТМ-40/6—10 ТМ-63/6—10 ТМ-100/6—10 ТМ-160/6—10 ТМ-250/6—10 ТМ-400/6— 10 ТМ-630/6—10
кВ - А 25 40 63 100 160 250 400 630
l/lno,, кВ 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10
^2иом» кВ 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40
Ро, кВт 0,13 0,175 0,24 0,33 0,51 0,74 0,93 1,31
Р«, кВт 0,60 0,88 1,28 1,97 2,65 3,70 5,50 7,60
и., % 4,5 4,5 4,5 6,5 4,5 4,5 4,5 5,5
Продолжение табл. 10.3
Технические дан-ные трансформатора Варианты контрольного задания 10.24
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип кВ А кВ U 2 юн. КВ Ро, кВт Р„, кВт % ТМ-1000/6—10 1000 6 10 0,23 0,40 2,450 12,20 5,5 ТМ-1600/6—10 1600 6 10 0,23 0,40 3,300 18,00 5,5 ТСЗ-160/10 160 6 10 0,23 0,40 0,700 2,70 5,5 ТСЗ-250/10 250 6 10 0,23 0,40. 1,000 3,80 5,5 ТСЗ-400/10 400 6 10 0,40 1,300 5,40 5,5 TC3-630/10 630 6 10 0,40 2,000 7,30 5,5 ТСЗ-1000/10 1000 6 10 0,40 3,000 11,20 5,5 ТМ-20/6—10 20 6 10 0,40 0,18 0,22 0,6 5,5 6,5 ТМ-ЗО/6 30 6 0,40 0,25 0,85 5,5
Таблица 10.4
Величины Варианты контрольного задания 10.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
₽ 0,5 0,52 0,55 0,58 0,6 0,62 0,65 0,7 0,72 0,75 0,78 0,8 0,85 0,9 0,95
COS ф2 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0,84 0,82 0,8 0,78 0,76 0,74 0,72
Ti • 103, ч/год 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
Т2-103, ч/год 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1
То-103, ч/год 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Продолжение табл. 10.4
Величины Варианты контрольного задания 10.25
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0,5 0,52 0,55 0,58 0,6 0,62 0,65 0,7 0,72 0,75 0,78 0,8 0,85 0,9 0.95
СО5ф2 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0,84 0,82 0,8 0,78 0,76 0,74 0,72
Т|-103, ч/год 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
Т2-103, ч/год 2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1.1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6
То-103, ч/год 1,1 1,2 1,3 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 .0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7
хода прн номинальном напряжении составляют PQ = 350 Вт, потери короткого замыкания = 1325 Вт. Ответ. щ % = 96,6 %.
10.21. Обмотка автотрансформатора с числом витков wi = = 800 включена в питающую сеть с напряжением (7|НОМ = 2000 В, активная нагрузка R» — 300 Ом подключена к обмотке с числом витков w2 = 600. Определить токи: Ц, /2, / и мощности: Pi и Рз в цепях автотрансформатора, если его КПД ц = 0,97, a cos <pi = = 0,9. Ответ, h = 4,29 А; /2 = 5 А; I = 0,71 А; Р, = 7,73 кВт; Р2 = 7,5 кВт.
10.22. Выбрать трансформатор тока и трансформатор напряжения и номинальные первичный Л ном и вторичный /2нОм токи трансформатора тока и номинальные значения напряжений первичной (/|ном и вторичной {/гном обмоток трансформатора напряжения, предназначенных для включения электроизмерительных приборов в трехфазную цепь, по которой передается мощность Р = 1850 кВт при коэффициенте мощности cos <р = 0,9 и напряжении С71НОМ = 6000 В. Определить их коэффициенты трансформации Лтт И Л тн. Ответ. 220 А; /2ном=5 А; 7/6000 В; 7/2вои = = 100 В; л тт = 40; л гн = 60.
10.23. Определить ток Ц в линии, если амперметр, включенный в цепь вторичной обмотки трансформатора тока, показывает /2 = 4 А, а номинальные первичный н вторичный токи трансформатора тока /1Н0М == 50 А, /2ном = 5 А. Ответ, h = 40 А.
Контрольные задания
10.24. Потребители электрической энергии питаются от трехфазного двух-обмоточного понижающего трансформатора с номинальной мощностью5|иом при номинальных первичном Ullv„ и вторичном Т/2в„м линейных напряжениях с номинальной частотой f = 50 Гц.
Технические данные трансформатора; потери мощности при холостом ходе Ро, потери мощности при коротком замыкании Рк, напряжение короткого замыкания Ur % при токах в обмотках /|НОМ и /2 н»«, равных номинальным. Способ соединения обмоток трансформатора «звезда».
Принимая во внимание паспортные данные трансформатора, приведенные для соответствующего варианта задания в табл. 10.3, определить коэффициент трансформации л, коэффициент полезного действия г]„„и при номинальной нагрузке, cos «рг = 0,8, токи в первичной /|НОМ и во вторичной /2вом обмотках, фазные первичное 77ю и вторичное Um напряжения при холостом ходе, сопротивления короткого замыкания Rr и Х„ активные Ri н R? и реактивные Xt и X? сопротивления обмоток, активное UкЯ и индуктивное падения напряжения при коротком замыкании, вторичное напряжение U2 при токе нагрузки /2 = 2/2ном и cos <р2 = 0,7.
Дополнительное задание. Построить зависимость \U2% (cos<p2) процентного изменения напряжения на вторичной обмотке трансформатора при номинальной нагрузке и изменении коэффициента мощности cos <р2.
Примечание. Структура обозначения трансформаторов серии ТМ показана на примере трансформатора типа ТМ-25/6-10. Буквенное обозначение: Т — трехфазный; М — масляный (С — сухой). Цифровое обозначение: числитель — номинальная полная мощность 51ЛОМ = 25 кВ-А; знаменатель — высшее (первичное) номинальное напряжение 77;„О„= 6...10 кВ.
10.25. По техническим данным трансформаторов, приведенным в контрольном заданйи 10.24, и данным, приведенным для соответствующего варианта задания
в табл. 10.4, где Г, — время работы трансформатора с полной нагрузкой (fl = 1), Т-j — время работы трансформатора с нагрузкой, равной 50 % от номинальной (Р = 0,5), То — время работы трансформатора при отсутствии нагрузки (Р = 0), определить КПД ц трансформатора при коэффициентах нагрузки р и cos <р2, а также ток нагрузки /2, при которой КПД имеет наибольшее значение, определить среднегодовой КПД цг трансформатора при активной нагрузке (cos <р2 = 1), построить зависимость изменения КПД ц (Р2) от полезной мощности Р>, отдаваемой трансформатором при коэффициентах нагрузки р= 1; 0,75 и 0,5 н COS — 1 .
Дополнительное задание: а. Составить упрощенную электрическую схему замещения трансформатора и опеределить ее параметры.
б. Пользуясь указанной схемой, определить линейные и фазные /ф токи и линейные U л и фазные Uф напряжения.
Глава 11
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
$ 11.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическая машина постоянного тока состоит из индуктора, якоря н коллектора. Индуктор, предназначенный для создания магнитного поля полюсов, расположен на неподвижной ее части — статоре. Якорем машины является ее вращающаяся часть. В соответствии с законом электромагнитной индукции при вращении якоря вследствие пересечения его проводниками обмотки магнитного поля полюсов в ней наводится переменная ЭДС, которая, изменяясь во времени по величине н направлению, зависит от положения проводников якоря в междуполюсном пространстве. Для получения на зажимах генератора постоянной во времени ЭДС предназначен коллектор, расположенный на вращающемся якоре, с системой неподвижных щеток, расположенных на статоре машины. Для обеспечения возможности создания магнитного потока необходимой величины на полюсах индуктора имеются обмотки возбуждения с регулируемым постоянным током.
У генераторов с независимым возбуждением обмотки возбуждения питаются постоянным током, получаемым от постороннего источника, а у генераторов с самовозбуждением — непосредственно от зажимов его якоря. В зависимости от способа включения обмоток возбуждения различают также генераторы с параллельным, последовательным и смешанным возбуждением.
При вращении якоря в его обмотке возникает ЭДС Е, направление которой зависит от направления его вращения.
При работе в режиме генератора электрическая машина выполняет функции источника энергии, поэтому возникающий в цепи якоря ток /я совпадает по направлению с индуцируемой в нем ЭДС Е. Ток якоря разветвляется по двум параллельным ветвям. По цепи обмотки возбуждения протекает ток 1, возбуждения, для возможности регулирования которого включено регулировочное сопротивление /?р. В цепи нагрузки генератора возникает ток / нагрузки, при этом в соответствии с первым законом Кирхгофа для точки разветвления токов: /„ = /-}- /в.
ЭДС, возникающую на зажимах якоря, определяют уравнением: Е = Сеп Ф, где Се — постоянная, зависящая от конструктивных данных машины; п — частота вращения якоря; Ф — результирующий магнитный поток.
Магнитный поток зависит от магнитодвижущей (намагничивающей) силы обмотки возбуждения, а следовательно, от тока возбуждения /в. При разомкнутой обмотке возбуждения и вращении якоря создается ЭДС ЕЖт, обусловленная остаточным магнитным потоком ФОст. Значение этой ЭДС обычно незначительно и составляет 3—5 % от номинального значения напряжения Uном на зажимах якоря. v
При подключении цепи обмотки возбуждения к зажимам якоря под действием ЭДС Ео возникает относительно небольшой ток /в возбуждения, значение которого определяется в- соответствии с законом Ома для цепи обмотки возбуждения
£о = /в (/?я + /?в + /?р) ; 1а — Др ,
где /?я — сопротивление цепи якоря; Ra — сопротивление обмотки возбуждения.
Уравнение, описывающее внешнюю характеристику генератора постоянного тока с параллельным возбуждением U (7), т. е. зависимость напряжения на его зажимах от тока нагрузки при постоянном сопротивлении цепи обмотки возбуждения Rv = const и постоянной частоте вращения якоря п = пиом = const, равной номинальной, можно получить исходя из уравнения электрического равновесия, составленного по второму закону Кирхгофа для цепи якоря: U — Е — RJ. Пренебрегая относительно небольшим значением тока возбуждения /в, можно считать, что / = /я.
Уменьшение напряжения U на зажимах генератора с параллельным возбуждением с увеличением тока 1 нагрузки обусловлено тем, что с увеличением его возрастает падение напряжения Raia на обмотке якоря. При этом вследствие реакции якоря происходит уменьшение результирующего магнитного потока Ф, а следовательно, и ЭДС Е якоря. Указанные причины приводят к уменьшению тока 7, возбуждения, а следовательно, к уменьшению магнитного потока Ф, ЭДС якоря Е и соответственно напряжения U иа зажимах генератора.
У машин постоянного тока с независимым возбуждением обмотка возбуждения питается от постороннего (независимого) источника, в качестве которого используется другой генератор постоянного тока, аккумуляторная батарея и другие источники постоянного тока.
Уравнение внешней характеристики генератора с последовательным возбуждением в соответствии со вторым законом Кирхгофа имеет вид: U = Е — /я(/?я + Ra), где RB — сопротивление обмотки последовательного возбуждения.
Особенностью внешней характеристики генератора с последовательным возбуждением является то, что в пределах относительно малых токов нагрузок напряжение на его зажимах возрастает, а при достаточно больших — резко снижается, что обусловливает значитет-но меньшие токи короткого замыкания,
чем у генератора с параллельным и независимым возбуждением. Генераторы постоянного тока со смешанным возбуждением отличаются наличием двух обмоток возбуждения. Основной обмоткой возбуждения является обмотка параллельного возбуждения, последовательная обмотка возбуждения выполняет роль вспомогательной. Уравнение внешней характеристики генератора со смешанным возбуждением имеет такой же вид, как и уравнение для генератора с последовательным возбуждением. Однако входящий в выражение ЭДС якоря магнитный поток Ф представляет собой сумму магнитного потока Ф|, создаваемого параллельной обмоткой возбуждения, и магнитного потока Ф2, создаваемого последовательной обмоткой возбуждения: Ф = Ф1 Ф2.
Изменение направления тока в обмотке последовательного возбуждения приводит к созданию встречного по отношению к основному потоку Ф1 потока Ф2. При этом результирующий магнитный поток Ф = Ф1 — Ф2.
Электродвигатели постоянного тока в конструктивном отношении не отличаются от генераторов постоянного тока, так как электрические машины постоянного тока обратимы и могут работать как в генераторном, так и в двигательном режимах.
При подаче на зажимы электрической машины постоянного тока постоянного напряжения U в обмотках возбуждения и обмотках якоря возникают токи. В результате взаимодействия тока якоря с магнитным потоком, создаваемым обмоткой возбуждения, в магнитопроводе статора возникает электромагнитный момент М — СмФ/я, под действием которого якорь электродвигателя приходит во вращение.
При вращении якоря в его обмотке в результате пересечения магнитных силовых линий индуцируется ЭДС Е=СепФ, при работе электрической машины в режиме двигателя направленная против тока якоря.
При пуске электродвигателей постоянного тока путем прямого включения в питающую сеть возникают значительные пусковые токи, которые могут привести к выходу их из строя вследствие выделения значительного количества теплоты в обмотке якоря и последующего нарушения ее изоляции. Поэтому пуск двигателей постоянного тока производится с помощью специальных пусковых приспособлений, в частности пусковых реостатов.
Для якорной цепи электродвигателя постоянного тока с параллельным возбуждением уравнение электрического равновесия, составленное в соответствии со вторым законом Кирхгофа относительно напряжения U, подводимого от питающей сети, имеет вид: U = E + RJ«.
С учетом выражения для ЭДС Е = СепФ, записав полученное выражение относительно частоты вращения, получаем уравнение частотной (скоростной) характеристики п(/я) электродвигателя
_ U-RJ. _ U , R.
СсФ С„Ф " С,Ф '
При отсутствии нагрузки (при токе якоря /я = 0) частота вращения электродвигателя п = и/СеФ = по, т. е. равна частоте вращения по идеального холостого хода, которая зависит от подводимого напряжения U и магнитного потока Ф.
Для электродвигателя постоянного тока с последовательным возбуждением уравнение электрического равновесия имеет вид: (/=£ + /-(£- + £.)•
Так как Е = СепФ, уравнение механической характеристики
U-UR.+ RJ этого двигателя приводится к виду: п =-------
Электродвигатель постоянного тока со смешанным возбуждением кроме обмотки параллельного возбуждения, магнитный поток которой Ф| = const при постоянном значении напряжения U — const, имеет последовательную обмотку возбуждения, магнитный поток Фг которой зависит от тока якоря /я, т. е. от его нагрузки.
Уравнение электрического равновесия и уравнение частотной характеристики электродвигателя постоянного тока со смешанным возбуждением имеют такой же вид, как и соответствующее уравнение, записанное для двигателя с последовательным возбуждением. Однако при этом следует учесть, что результирующий магнитный поток равен сумме магнитных потоков, создаваемых последовательной и параллельной обмотками возбуждения: Ф = Ф| -(-Фг-
В уравнениях частотных характеристик электромагнитный момент двигателя можно выразить через ток якоря М = СмФ/„, при этом уравнение механической характеристики п(М) при U = const для двигателя с параллельным возбуждением приобретает внд
4/ ЛЛ R*
п~ С,Ф М С,С„Ф2 ’
а для двигателей с последовательным и смешанным возбуждением
„ _ U »л Rt+Rt п~ сеФ СсС.Ф2 '
Пренебрегая влиянием реакции якоря в процессе изменения нагрузки на валу, электромагнитный момент можно считать пропорциональным току якоря. Поэтому механические характеристики электродвигателей имеют такой же вид, как и соответствующие частотные характеристики.
Для электродвигателей постоянного тока важной является моментная характеристика Л4(/я), т. е. зависимость электромагнитного момента от тока якоря. Для двигателя с параллельным возбуждением эта зависимость определяется соотношением: М — СМФ/Я. Пренебрегая влиянием реакции якоря, для этого двигателя можно принять Ф — const, вследствие чего зависимость М(1Й) при U — const представится в виде прямой, прохо
дящей через начало координат. Для двигателя с последовательным возбуждением зависимость М(1Я) является более сложной, так как входящий в выражение для момента М — СмФ/я магнитный поток является функцией тока якоря. Прн некоторых допущениях для этих двигателей можно принять, что М<х>1я.
Рабочие характеристики электродвигателей постоянного тока представляют собой зависимости частоты вращения п, момента М, тока якоря /я и КПД т, от полезной мощности на его валу Р2, т. е. п(Р2), М(Р2), 1Я(Р2), ц(Р2) при неизменном значении подводимого к двигателю напряжения U — const.
Анализ рабочих характеристик электродвигателя постоянного тока с параллельным возбуждением показывает, что частота вращения их в соответствии с увеличением нагрузки несколько уменьшается. Зависимость полезного момента на валу двигателя от нагрузки М(Р2) представляет собой прямую линию, так как момент двигателя пропорционален нагрузке на валу: М — = 9550—. п
При увеличении мощности, развиваемой электродвигателем на валу, ток якоря изменяется приблизительно по той же зависимости, что и момент, так как при условии Ф = const ток якоря /я пропорционален моменту М.
КПД электродвигателя определяется отношением полезной мощности на валу Р2 к мощности Pi, потребляемой из сети:
_£2_= ___________Рг___________
1 Pl Рг + Рэя+Рэ.+ Рм+Рм-ч + Рд ’
где Pi — UP, PM = /я^я — электрические потери мощности в цепи якоря; Рэв = Uh = /?Ра — электрические потери мощности в цепи возбуждения; Р„, — механические потери; Рд — добавочные потери; Рм — потери мощности на гистерезис и вихревые токи в магнитопроводе.
КПД электродвигателей с увеличением мощности на валу возрастает и достигает своего максимального значения, когда переменные потери мощности в электродвигателе оказываются равными постоянным потерям в нем, т. е. при Рм = РэвЧ-Рэя + -|- Рмех + Рд.
Рабочие характеристики электродвигателя постоянного тока с последовательным возбуждением имеют несколько другой вид по сравнению с рабочими характеристиками электродвигателя с параллельным возбуждением, так как с изменением нагрузки на валу изменяется магнитный поток.
Рабочие характеристики электродвигателя постоянного тока со смешанным возбуждением представляют собой зависимости, занимающие среднее положение между рабочими характеристиками двигателя с параллельным и двигателя с последовательным возбуждением. Анализ показывает, что частоту вращения электродвигателей постоянного тока можно регулировать включением добавочного сопротивления в цепь якоря, изменением маг
нитного потока Ф н изменением напряжения U, подводимого к двигателю.
Широко применяется, особенно в системе «генератор — двигатель», способ регулирования частоты вращения путем изменения напряжения на зажимах якоря.
Литература. [11 § 9.1—9.21; [2) § 13.1 —13.15; [3) § 15.1 —15.11,
Примеры решения задач
11.1. Электродвигатель постоянного тока типа П62 с параллельным возбуждением имеет номинальные данные, указанные на его щитке: полезная мощность на валу = 8 кВт, напряжение U„o„ = 220 В, частота вращения Пно» = 1000 об/мин, ток, потребляемый из сети, /ном = 43 А. Определить номинальный момент на валу А4ИОм, номинальные суммарные потери мощности SPhom и номинальный КПД т,Иом электродвигателя прн номинальном режиме работы.
Решение. Номинальный момент на валу электродвигателя: М„ом = 9550 — = 9550-^- = 76,5 Н-М.
^ИОМ '-'Vv
Номинальная мощность, подведенная к электродвигателю из сети: Pihom — UHoJko« = 220-43 = 9460 Вт = 9,46 кВт.
Номинальные суммарные потери мощности в электродвигателе: SPhom = PiHOM —Ргном — 9,46 — 8,0 = 1,46 кВт.
Номинальный КПД электродвигателя: т,Ном = Р2ном/Р|ном — = 8,0/9,46 = 0,85 или г)ном% — 85 %.
11.2. Определить номинальные суммарные SPэком и составляющие электрические потери мощности в электродвигателе тн-па МП-82 постоянного тока с параллельным возбуждением, имеющем номинальные данные: мощность на валу Ргно» — = 130 кВт, напряжение U„OK = 220 В, частоту вращения пн<>м = = 600 об/мин, ток, потребляемый из сети, 1И0Н = 640 А, суммарное сопротивление якорной цепи, обмоток якоря н дополнительных полюсов, щеток и щеточных контактов: Pi = 0,00565 Ом и сопротивление обмотки возбуждения Pi = 34,6 Ом при температуре 15 °C.
Решение. Сопротивление цепи обмоткн якоря при температуре 75 °C: Рн = Pi = 0,00565 = 0,007 Ом, где
Л =15 °C— температура, соответствующая холодному состоянию обмотки якоря; t2 = 75 °C — температура, соответствующая нагретому состоянию обмотки якоря.
Сопротивление обмотки возбуждения двигателя при темпера-туре 7S-C: /г._/К«±1н._34.6§±Й—«Ом.
Номинальный ток в обмотке возбуждения электродвигателя прн номинальном режиме работы: /ВИОм = —б— = -^-=5,1А.
Рис. 11.3
Номинальный ток якоря электродвигателя: /я ном == /ном /ином’—— 640 — 5,1 = 634,9 А.
Электрические потери мощности электродвигателя при номинальном режиме работы: в цепи якоря Р3ьнсм — Ря/яном = = 0,007(634,9)2 = 2820 Вт = 2,82 кВт; в обмотке возбуждения Двном =/Люм X Х/.ном = 220-5,1 = 1122 Вт = 1,122 кВт.
Суммарные номинальные электриче-^Рэном = ft ном + Рэв НОМ = 2,82 -|- 1,122 =
ские потери мощности: = 3,942 кВт,
11.3. Электродвигатель постоянного тока с параллельным возбуждением (рис. 1кЗ) имеет номинальные: полезную мощность на валу Рано» = 4,5 кВт, питающее напряжение = = 220 В, частоту вращения пном = 1500 об/мин, КПД цНОм = = 80,5 %. Сопротивление цепи якоря ft = 0,43 Ом, обмотки возбуждения ft = 200 Ом при номинальном режиме работы. Определить сопротивление пускового реостата ft исходя из условия, что начальный пусковой ток двигателя равен двукратному номинальному значению тока, потребляемому из сети: 1вуы = == 2/ноМ.
Решение. Номинальный ток двигателя, потребляемый из , Ляом'Ю3 4,5-103 . д
сети: /ном —-------= oon~n one' — 25,4 А.
7/ „ 220-0,805
- . HOMJI ном - ..
Номинальный ток возбуждения электродвигателя: /вном = = ССм/Р. = 220/200 = 1,1 А.
Номинальный ток якоря двигателя: /я нов = /ном — /вном = = 25,4-1,1 = 24,3 А.
Начальный пусковой ток двигателя: /пуск = 2/НОм = 2-25,4 = = 50,8 А.
Ток якоря при пуске двигателя: /» == /пуск — /вном = 50,8—1,1 = = 49,7 А.
Сопротивление пускового реостата, включенного последовательно в цепь якоря двигателя при пуске: Рп = R* — Ря = = 4,43 —0,43 = 4 Ом.
Сопротивление цепи якоря двигателя при пуске исходя из заданных условий: ft = ft-|-ft = U«a„/I„ — 22р/49,7 — 4,43 Ом. Максимальный ток в цепи якоря электродвигателя при отсутствии пускового реостата : /я max — t/ном/Ря = 220/0,43 = 510 А. Кратность пускового тока при прямом пуске (без пускового реостата): К/ = /ятах//яном — 510/24,3 = 20,9.
Таким образом, начальный пусковой ток якоря электродвигателя без пускового реостата оказывается в 20,9 раз больше номинального его значения, поэтому в данном случае пуск двигателя без пускового реостата в цепи якоря недопустим.
11.4. Электродвигатель постоянного тока параллельного возбуждения имеет номинальные: полезную мощность на валу Р1ВОМ = 23 кВт, питающее напряжение [Дом 220 В, частоту вращения «„ом = 600 об/мин. ток, потребляемый из сети, /ном = = 120 А, продолжительность включения ПВНОм = 25 %. Рассчитать и построить естественную механическую характеристику п(М) и зависимость тока от момента электродвигателя ЦМ) в пределах нагрузки от М — 2Л1„ОМ до М = —Л1Ном. Определить сопротивление пускового реостата /?Р, ограничивающего ток прн пуске двигателя до значения / = 1,2/ном. Рассчитать добавочное сопротивление Ra в цепи якоря, при котором двигатель в режиме противовключения при моменте нагрузки М = 1,2Л4НОм развивает частоту вращения пном. Для заданных условий построить искусственную механическую характеристику электродвигателя, определить его частоту вращения п при номинальном токе якоря /я ном, в цепь которого включено добавочное сопротивление /?д = 4#я. Рассчитать н построить искусственную механическую характеристику двигателя при ослабленном потоке возбуждения, если прн номинальном моменте нагрузки на валу он должен развивать частоту вращения п= 1,ЗпНОм. При расчетах током возбуждения электродвигателя пренебречь, сопротивление цепи якоря принять равным R« = 0,051/Ном//ном-Ом.
Решение. Координаты естественной механической характеристики электродвигателя при номинальном режиме работы: Л/вом = 9550Р1вом/п„ом = 95^— = 364,2Н-м; п„„м = 600 об/мин; /ном = 120 А.
То же, в режиме идеального холостого хода электродвигателя:
п0 = п„оМ-------------- 600 220 .2220°0 09i5-- = 631,5 об/мин;
JJ Т П — lZv*U,Ui71O
UHOM *ЯЛЯ
Мо =0; /о = 0. (По условию Ra = 0,05 = о,05 =
= 0,0915 Ом.)
Сопротивление пускового реостата, ограничивающего пусковой ток двигателя до значения /п=1,2/ном: при п — 0; Е == 0; /я = /п = U ном/(^?я -Г* /?п), откуда /?п = £Дом/ /п Ra = = rfcr-*’=тот-°-0915 = ‘-438 Ом
, /С.Ф\2
Машинные постоянные электродвигателя: СеСмФ2=1 — 1 =
/0,349) 2 1-- . 220-120 0,0915
=Vor) =12>2> так как с'ф=—™—= =0,349, а отношение Се/См=0,1.
Добавочное сопротивление в цепи якоря в режиме противовключе-п (пяом + по)СеСмФ2 п (лиом + по) СгСмФ2 „ НИЯ. Ад= - Аж= —_ R' =
(600 + 632)-12,2 ппп,г
= —— — 0,0915 = 32,3 Ом, так как для режима
противовключения справедливо уравнение: п' =-----------^-ф-----
M(R„+RJ= М(Д,+Яд)
- СеСмФ2 - "° с„смф2
Координаты искусственной механической характеристики электродвигателя при работе в режиме противовключения: л„оч = —600 об/мин; М = 1,2М<оч = 1,2-364,2 = 437 Н-м. То же, при холостом ходе: по — 632 об/мин; Мо = 0.
Частота вращения электродвигателя при добавочном
Г, Л П . __ ^НОЧ / >11)4 (/?. + R J
сопротивлении = 4/?я: п = Дно»----п—„-----------— =
Uном • ном*'я спп 220 —(0,09154-4-0,0915)120
= 600------220-120-0,0915----= 473 °б/МИН’
Относительное значение ослабленного магнитного потока
электродвигателя: Ф'= = t 36Qg00 Ф = 0,77Ф.
I п' 13 Ином
Координаты искусственной механической характеристики при ослабленном потоке:
при номийальном моменте: п" = 1,ЗпНом = 1,3-600 = 780 об/мин; М = Мной =364,2 Н • м;
при холостом ходе: п'о = п0-^-= 632 = 822 об/мин.
На рис. 11.4 приведены характеристики электродвигателя п(М) и 1(М), построенные исходя из условий задачи.
Задачи
Рис. 11.4
11.5. Электродвигатель постоянного тока параллельного возбуждения имеет номинальные данные: питающее напряжение UMOK = 220 В, частоту вращения Ином = 1500 Об/МНН, КПД Т)ном % = = 80 %, ток, потребляемый из сети, /ном 25,4 А, противоЭДС, наводимую в обмотке якоря при номинальном режиме работы, £я ном = 209,5 В, сопротивление обмотки возбуждения /?в=200 Ом. Определить номинальные значения: момента Мюм на валу двигателя, ТОКа /я ном ЯКОРЯ, ТОКа /в ном возбуждения и сопротивления обмотки якоря /?я. Ответ. мт* = = 28,7 Н-м; /, „ои = 24,3 А; /.„„«= 1,1 А; R, = 0,43 Ом.
11.6. Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения имеет номинальные
Таблица 11.1
Величины Варианты контрольного задания 11.11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1/||ОИ, В но 220 220 но 220 220 НО 220 220 220 220 220 220 220 220
^*2 ном» кВт 1 2,5 2,5 3,7 4,5 5,6 5,8 9 12 16 23 33 46 75 100
п„„„, об/мин 1420 1000 1300 1000 1100 1000 800 900 685 700 600 650 580 520 475
/ А 1 ном, ** 12 14 14,2 42 • 26 30 68 48 64 34 120 168 230 374 500
Коэффициенты: а 1.1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
ь 0,9 1 1 1,2' 1,2 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,8 1,8 1,8
с 0,5 0,5 0,6 0,6 0,8 0,8 1 0,5 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,7 0,8
Продолжение табл. 11.1
Величины Варианты контрольного задания 11.11
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
В но НО НО НО ПО НО НО НО НО НО ПО ПО НО НО ПО
Р2вом> «Вт 1 2,5 2,5 3,7 4,5 5,6 5,8 9 12 16 23 33 46 75 100
п„,„, об/мин 1420 1000 1300 1000 1100 1000 800 900 685 700 600 650 580 520 475
IНОМ» А 12 14 14,2 42 26 30 68 48 64 34 120 168 230 374 500
Коэффициенты: а 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1.5 1,6 1,6 1,7
ь 0,9 0,9 1 1 1,2 1,2 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,8 1,8 1,8
с 0,5 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7 0,8 0,8 0,8 0,9 0,9
данные: мощность на валу Р2яом= 14 кВт, питающее напряжение £7ном=== 220 В, ток якоря /я НОМ - 7,4 А, частоту вращения Ином —
= 3000 об/мин, сопротивление якоря Rn — 0,21 Ом. Определить угловую частоту вращения Йг и частоту вращения пг электродвигателя при работе его в генераторном режиме с отдачей энергии В сеть при номинальном токе якоря /я ном. Ответ, й, = 336 с-1; пг = 3200 об/мин.
11.7. Электрическая машина постоянного тока.параллельного возбуждения при работе в режиме генератора создает напряжение на зажимах Ur = 230 В при токе нагрузки /, — 34,8 А и частоте вращения пг = 1950 об/мин. При работе в режиме двигателя при напряжении U — 220 В машина потребляет ток /д = = 34,4 А, частота вращения в режиме двигателя ид = = 1570 об/мин. Определить сопротивление обмотки якоря R* маШИНЫ. ТОКОМ Возбуждения /я пренебречь. Ответ. R.= 0,56 Ом.
11.8. Определить сопротивление цепи якоря R* электродвигателя постоянного тока параллельного возбуждения при условии, что при номинальном токе якоря /я„ом = 100 А номинальная ЧЗСТОТЗ ВрЗЩСНИЯ Ином == 800 об/мин, а при токе якоря /Я — 50 А электродвигатель имеет частоту вращения п — 220 об/мин. Ответ. /?я=0,19Ом.
11.9. Построить естественную скоростную характеристику п(1) электродвигателя постоянного тока типа П52 с независимым возбуждением с номинальными: мощностью на валу />2яом== 14 кВт, питающим напряжением UMOM = 220 В, током, потребляемым из сети, /яом = 74 А, частотой вращения Ином — 3000 об/мин, КПД Ином % = 86 %, Сопротивлением ЯКОрЯ /?яном = 0,15 Ом. Без ответа.
11.10. По условию задачи 11.9 определить номинальный электромагнитный момент Мэном электродвигателя постоянного тока параллельного возбуждения. Сопротивление обмотки якоря двигателя /?я = 0,5(1 — Т)ном)/?ним. Ответ. Л4,яом = 48,5 Н-м.
Контрольное задание
11.11. Электродвигатель постоянного тока серии П параллельного возбуждения характеризуется номинальными данными (см. табл. 11.1): напряжением питающей сети мощностью на валу -Pjhom' частотой вращения якоря п,|ОМ, током Сопротивление цепи якоря двигателя R,= 0,05(7 „„»//»„« Ом. При расчетах током возбуждения /„ электродвигателя пренебречь. Определить КПД двигателя П„ом при номинальной нагрузке, сопротивление Rltym пускового реостата, ограничивающего ток прн пуске электродвигателя до значения 1 = а!„„„. а также
добавочное сопротивление /?, в цепи якоря, при котором двигатель в режиме противовключения при моменте нагрузки, равном 6Л4„„Я, развивает частоту вращения сп Рассчитать и построить в единой системе координат искусственную и естественную механические характеристики п(М) и зависимость тока от момента электродвигателя /(Af) в пределах нагрузки от М = 2Л4 до М — —2Л4ЯОЯ.
Глава 12
ТРЕХФАЗНЫЕ АСИНХРОННЫЕ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ
$ 12.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕХФАЗНЫХ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯХ
Асинхронные электродвигатели предназначены для преобразования электрической энергии переменного тока в механическую. В зависимости от системы переменного тока асинхронные электродвигатели выполняются трехфазнымн и однофазными. Ротор асинхронного электродвигателя изготовляют в двух исполнениях: короткозамкнутым и с контактными кольцами.
Наличие контактных колец н фазной обмотки позволяет изменять активное сопротивление цепи ротора двигателя в процессе его вращения, что необходимо для уменьшения значительного пускового тока, возникаемого при пуске, а также для регулирования частоты вращения ротора и изменения величины его пускового момента.
При подаче к трехфазной обмотке статора асинхронного двигателя трехфазного напряжения возникает результирующий вращающийся магнитный поток. Этот поток вращается в пространстве с частотой вращения, равной синхронной, которая находится в строгой зависимости от частоты подводимого напряжения и числа пар полюсов р двигателя: П|=60/|/р.
Каждый асинхронный электродвигатель характеризуется своими номинальными данными, на которые он рассчитан. Основные технические данные электродвигателя указаны в нх паспортах и каталогах.
Конструкция обмотки статора дает возможность соединять обмотки двигателя как «треугольником», так и «звездой». Благодаря этому каждый трехфазный асинхронный электродвигатель можно использовать при двух различных (линейном и фазном) напряжениях питающей сети.
Одной из важнейших величин, характеризующих работу асинхронного двигателя, является скольжение ротора, под которым понимается отношение: s% — 100 %, где п2— час-
тота вращения ротора двигателя, об/мин; илн в относительных единицах: s — (ni—n2)/nt.
Для большинства современных типов асинхронных электродвигателей скольжение ротора sHOM% при номинальной нагрузке
заключено в пределах 2—6 %, а при работе в режиме холостого хода, когда двигатель работает без нагрузки, скольжение ротора составляет доли процента.
От величины относительной угловой частоты вращения ю, и магнитного потока Фт зависит величина ЭДС £2s, индуцируемой в обмотке ротора, а следовательно, ток /2s ротора и его частота:
t PniS
----6o" ~sf'-
Вращающее магнитное поле в обмотках статора и ротора асинхронного двигателя наводит переменные ЭДС, действующие значения которых можно определить по формулам, аналогичным формулам, полученным для ЭДС трансформатора: £| = = 4,44£Jiо»|Фт; £2s = 4,44£2/2И'2Фт, где £1 — фазное значение ЭДС, индуцируемой в обмотке статора; £2s — фазное значение ЭДС, индуцируемой в обмотке ротора при скольжении s; и>|Ш2 — число витков в фазе статора и ротора; Ф„ — амплитудное значение магнитного потока; Kt, К2 — обмоточные коэффициенты обмоток статора и ротора. При неподвижном роторе ЭДС ротора — £2.
При вращении ротора асинхронного двигателя в процессе работы в нем будет индуцироваться переменная ЭДС E2s с частотой f2s< значение которой можно найти, заменив в выражении для £2s частоту fi на f2 = sfr, E2s — 4,44£2/2о)2Фт = 4,44£2fi — sE2.
При работе асинхронного электродвигателя под действием ЭДС £2s, наводимой во вращающемся роторе, в цепи ротора возникает ток, значение которого в соответствии с законом Ома опре-, , Els El.. . .
деляется выражением: I2s = 12 = -=— = —=====, где /2 = l2s— -y/Rl + &
фазный ток ротора при скольжении s; Z2s — полное сопротивление фазы ротора при скольжении s; /?2 — активное сопротивление фазы ротора (для двигателей нормального исполнения можно считать постоянным и не зависящим от частоты тока ротора); X2s — индуктивное сопротивление фазы ротора при данном скольжении s и частоте f2 тока ротора.
С учетом того, что E2s=sE2 и X2s = 2nf2L2 = 2nfiL2s = sX2,
, sEz
выражение для тока ротора приводится к виду: /2=—===== yRi-\-X.is
= ^J(R составлении схемы замещения асинхронно--
го электродвигателя параметры ротора приводят к числу витков и-напряжению Ui обмотки статора.
Распределение потока энергии, потребляемой асинхронным электродвигателем из сети, соответствует энергетической диаграмме, которая представляет полную структуру всех составляющих мощностей и потерь мощности, возникающих при работе в асинхронном электродвигателе: Р, =-^/3L/|7| cos*/», — активная мощность, подводимая к электродвигателю из сети; P3=mi/?Pi— электрические потери мощности в активном сопротивлении обмот-
ки (потери в меди) статора; mt — число фаз обмотки статора; /i — ток статора; P„i — (Pri-f-Pei) — потери мощности в магнитопроводе статора, равные сумме потерь на гистерезис и на вихревые токи (потери в стали статора); Р,« = QiAf = m2£2/2cos ф2 — электромагнитная мощность, передаваемая ротору вращающимся магнитным полем; тг — число фаз обмотки ротора; £2 — ЭДС неподвижного ротора; /2— ток ротора; ф2 — угол между током > r-v«~ 1 со ।
/2 и ЭДС Е2 ротора; Q । = = —------угловая частота вра-
щения поля статора; co1 = 27cjr1 — угловая частота тока ротора; р — число пар полюсов двигателя; PM2=(Pa + P»i) — потери мощности в магнитопроводе ротора, равные сумме потерь на гистерезис и на вихревые токи в роторе; P32=m2I%R2 — электрические потери мощности в обмотках ротора (потери в меди); потери Р^даО; Рт — механичские потери мощности в двигателе (потери,, возникаемые от трения в подшипниках и трения ротора о воздух); РМ1=П2Л/ — мощность, развиваемая электродвигателем на валу с учетом механических потерь мощности Р—Р2= = Мп^9,55 — полезная мощность на валу электродвигателя*; С12=2пгй/6О—со2р — угловая частота вращения ротора двигателя; а)2=2я/7— угловая частота тока ротора.
Электромагнитная мощность асинхронного двигателя: Рэ» = = m2£2/2cos ф2 = 4,44Л2т2||Ш2Фт/2со5 ф2 = -у-Af, откуда электромагнитный момент, развиваемый асинхронным электродвигате-_ _ , . „ 4,44 K,m,pftw,
лем: Af=CM®m/2cosi^2, где машинная постоянная См=
“1
Вращающий момент асинхронного двигателя можно определить и исходя из электрических потерь мощности в обмотках фаз ротора: Р,2 = тг/гРг = Рэм — Рмех = Af откуда М —
__pm2I2R2 pmi(Ii)2Ri
(O\S €0|'S
Скольжению ротора s = 1 соответствует выражение для пускового момента асинхронного двигателя (п2 = 0) : Мпуск =
pmt(l’2)2R'2
<01
Приведенный ток ротора /2 можно выразить через параметры схемы замещения с учетом того, что полное сопротивление намагничивающего контура намного больше полного сопротивления
* В каталогах и паспортах асинхронных электродвигателей обозначают номинальную мощность на валу Р„„м, частоту вращения ротора потребляемый ток /ном. В расчетных формулах эти величины записываются с индексами ^2ном, П2но«, ном-
обмотки статора двигателя, т. е. Zo = -\//?о + Xo>Zi = ->//?? +X?,
л/(Л' + "Т“)2+(Х' +Л'2)2
При этом формулу для момента асинхронного электродвига-
pmtRi Ul
теля приводят к виду: М —----------------——5-----------.
<0|S / /?2 \ т
(/?,+—) +(Х, +г2)2
Критическое скольжение sKp = Рг/(^1 + ^2) ротора соответствует максимальному моменту асинхронного электродвигателя, Рт\ поэтому А1тах=-----------.
Выражение для момента асинхронного электродвигателя, записанное чере,з максимальный момент и критическое скольжение ротора, приводится к виду: М = —?. Зависимости момента М, развиваемого двигателем, потребляемой мощности Pi, коэффициента мощности cos <р(, КПДт], скольжения ротора s и тока статора h, потребляемого двигателем из сети, от полезной мощности, т. е. мощности на валу двигателя Р2, являются рабочими характеристиками асинхронного электродвигателя. При этом
зависимость М(Ръ) определяется выражением: М = 975-^-, кГм, или М = 9550-^-, Н • м.
П2
Зависимость cos q>i (Р?), т. е. зависимость коэффициента мощности асинхронного двигателя от мощности на валу, находят из выражения cos <pi = Рг/л/З^Л-
Значение коэффициента мощности для нормальных асинхронных электродвигателей средней мощности при номинальной нагрузке cos ф|иом=0,83 ...0,89.
Зависимость КПД асинхронного двигателя от нагрузки ^(Рг) определяется отношением: ц — Р?/Р\ = Р2/(Рз + Ръ), где Р\ — активная мощность, потребляемая электродвигателем из питающей сети; Ръ= Рм+Рэ14-Р»г+Рмех + Рд — суммарные потери мощности в двигателе, равные сумме потерь в магнитопроводе Р„, электрических потерь в обмотках статора и ротора РЭ=(РЭ| + Аз), механических Рми и добавочных Рд потерь.
Пусковой ток асинхронных электродвигателей с короткозамкнутым ротором в 5—10 раз превышает номинальный ток: /1пуск = (5... 10)/1И0М. Пусковой момент составляет 0,9—1,8 от номинального значения момента: Л/пу(Я = (0,9... 1,8)3/^.
Снижение напряжения U\ на обмотках асинхронного двигателя при пуске, а следовательно, и пускового тока может быть достигнуто при использовании автотрансформатора или индук
ционного регулятора, переключении обмотки статора со «звезды» на «треугольник», включении дополнительного сопротивления в обмотку статора двигателя.
Асинхронный электродвигатель с фазным ротором пускается в ход с помощью пускового реостата, включенного последовательно с обмоткой ротора.
Возможные способы регулирования частоты вращения асинхронных электродвигателей следуют из выражения, записанного 60/, относительно частоты вращения ротора двигателя: п2= —-—X
X (1 — s). Анализ этой формулы показывает, что частоту вращения асинхронного двигателя можно изменить, меняя скольжение ротора s, число пар полюсов р двигателя или частоту ft питающего напряжения.
Литература. [1] §10.110 18, [2] §14.1-14.17; [3] §13.1-13.11.
Примеры решения задач
12.1. Три неподвижные катушки Ах, By, Cz (рис. 12.1, а), оси которых сдвинуты в пространстве на угол 2л/3, обтекаются трехфазной системой синусоидальных токов с одинаковыми частотами f и амплитудами 1т, сдвинутых во времени по фазе на
угол . Определить положения вектора результирующей
магнитной индукции Во, соответствующие временной диаграмме токов (рис. 12.1, б) в моменты времени (угла ы/): t — 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (Bi— Be на рис. 12.1, ж).
Решение. Выражения для мгновенных значений токов в катушках имеют вид: м =/msin or; т— /msin( он---у); ic =
=/msin( ы/ —-у-). Выражения для мгновенных значений магнитной индукции, создаваемых катушками с током, в момент времени / = 0 (рис. 12.1, б): Ьа = Bmsin — Bmsin ы-0 = 0; Ьв — = Bmsin(w/-y-) =Bmsin(U)0-^-) = —be = Вт X х sinfwr — — 1 = В„ —. Можно показать, что для моментов у з / 2
времени t, соответствующих точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6 временной диаграммы мгновенные значения магнитной индукции также имеют аналогичные величины. В приведенном уравнении знак «—» перед Вт показывает, что в данном случае направление вектора магнитной индукции противоположно принятому за положительное направление.
X
Рис. 12.1
Значение результирующей магнитной индукции, создаваемой катушками, в момент времени /=0; В0 = Ва + Вв + Вс.
Так как при t = 0: В а = 0, а векторы Вс и Вв образуют между собой угол л/3, то: В%= В%+ВЪ— 2BbBccos -у-= Bl+Bc— -2ВвВс ( —sin-^—) =В% + % + ВвВс=(вт &)’+(вт ^2 +
+(Bm-y/3/2-Bm-y/3/2) =B^4 + fl« 4 = B” 4- откуда flo =
= e«4-
Положения вектора Во результирующей магнитной индукции, создаваемой тремя катушками в моменты времени, соответствующие точкам 1—6 временной диаграммы (рис. 12.1, б), приведены на рис. 12.1, в —ж.
12.2. Для условий задачи 12.1 определить частоту вращения по и угловую частоту вращения Qo результирующего магнитного поля при числе пар полюсов р= 1 и частоте переменного тока f=50 Гц.
Решение. Частота вращения результирующего магнитного поля в секунду: п= If = 1 -50 = 50 об/с, так как за время одного периода Т поле совершает один оборот. Частота вращения результирующего магнитного поля в минуту (1 мин = 60 с):п0 = = п • 60 = 50 • 60 = 3000 об/мин.
Угловая (круговая) частота вращения магнитного поля: лпо 3.14-3000 ,
й°=— =--------30---=314с
12.3. Определить значения ЭДС Ei и £2, индуцируемых в фазах статора и ротора трехфазного асинхронного электродвигателя, и частоту тока f2 в роторе при номинальной нагрузке и неподвижном его состоянии. Амплитудное значение магнитного потока даигателя Фт=15- 105 Мкс, числа витков обмоток статора и ротора: а», = 200 и и»2 = 20, номинальное скольжение ротора sHOM = 0,05, частота напряжения питающей сети fi = 50 Гц, числа фаз обмотки статора и ротора: mi = m2=3.
Решение. ЭДС, индуцируемые в обмотках статора двигателя: £] = 4,44£|/ьу,Фт = 4,44 • 0,94 • 200 • 50 • 15- 105- 10“8 = =625 В, где Ki — обмоточный коэффициент обмотки статора (принимаем К\ = 0,94; 10-8 Мкс = 1 Вб).
ЭДС, индуцируемая в неподвижном роторе двигателя: £2 = _ ,"2И'2^2 —625 -3-20 0,96 = 63,8 В, где К2 — обмоточный коэф-
3 -200 0,94
фициент обмотки ротора асинхронного двигателя (принимаем А'2 = 0,96).
ЭДС, индуцируемая в обмотке ротора асинхронного двигателя при номинальной нагрузке (при номинальном скольжении ротора s„o«) :£2, = s„OM£2= 0,05 • 63,8 = 3,19 В.
Частота тока в роторе двигателя при номинальной нагрузке (при s = s„„„):f2s = f|S„„M = 50 • 0,05=2,5 Гц;
прн неподвижном состоянии ротора (при пуске, т. е. при 5 = = l):/\>lnlK = fiSIlvuk=50- 1=50 Гц.
12.4. Для привода насоса использован трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором (рис. 12.4) с числом пар полюсов р и частотой вращения ротора п2, приве-
Рис. 12.4
денными в табл. 12.1; двигатель питается от трехфазной сети с частотой напряжения f । = 50 Гц. Определить частоту вращения и, и Q] вращающегося магнитного поля, скольжение s ротора, частоту /г пуск тока в роторе при пуске и в рабочем режиме /г. а также частоту вращения ротора nf, частоту тока // в роторе при возрастании нагрузки на валу двигателя, с учетом того, что частота вращения ротора п' при этом уменьшилась на 5 % и составляет 0,95 «2-
Решение. Частота вращения магнитного поля (синхронная частота вращения) при числе пар полюсов р=1 (см. строку 1 табл. 12.1): nt = 6^' =-—|5?- = 3000 об/мин.
Угловая частота вращения магнитного поля: Qi = =
3,14-3000 „
= ———= 314 рад/с. Скольжение ротора двигателя: s =
- п2 3000 2880 120
= ----- =----------= ----- = 0,04. Частота вращения рото-
Л] зооо зооо
ра двигателя: «2 = 0,96 nt = 0,96 • 3000 = 2880 об/мин, [и2 = = (1 -S)].
Частота тока в роторе двигателя при пуске (П2пу<-к—0; =
= 1): /2пуск = м = 50-1 =50 Гц.
Таблица 12.1
Заданные величины Рассчитанные величины
Р / .Гц п->. об/мин Л|. об/мин <->!, рад/с П2. об/мин 5 /.•. Г„ П2. об/мин 1': Гц
1 50 0,96 л । 3000 314 2880 0,04 2 2736,0 4.4
2 50 0,965 л । 1500 157 1447,5 0,035 1,75 1375,12 4,15
3 50 0,965л, 1000 105 965 0,035 1,75 916,75 4,16
4 50 0,97 л, 750 78.5 727.5 0,03 1,5 691,12 3,5
5 50 0,97 л, 600 63 582 0,03 1.5 552,9 3,9
Частота тока ротора при частоте вращения двигателя п272 = = fis=50 • 0,04=2 Гц.
Частота вращения ротора при возросшей нагрузке на валу двигателя: «2=0,95/12 = 0,95- 2880=2736 об/мин.
Скольжение ротора при возросшей нагрузке:.? —--------------=
- = °’088-
Частота тока ротора при возросшей нагрузке: f2Z=fis' = = 50-0,088=4,4 Гц.
Результаты расчетов для других чисел пар полюсов р асинхронного двигателя представлены в табл. 12.1.
12.5. Определить пусковой МПуск и максимальный Мщ,1Х моменты, а также пусковой ток h пуск асинхронного электродвигателя при напряжении на его зажимах, пониженном на 20 % от номинального линейного напряжения {Дном = 380 В. Номинальная мощность двигателя Аяох^З кВт, номинальная частота вращения ^2вОМ 1450 об/Мин, кратность пускового МпУск/Миом -- 1,3 н максимального Мтах/Мном = 2 моментов, кратность пускового тока при номинальном напряжении = номинальные
значения: КПД /]„<>" = 0,885 и коэффициент мощности cos <р1ном = = 0,88.
Решение. Номинальный момент на валу асинхронного
двигателя: МНом = 9550-—^^ = 9550 = 85,6 Н • м.
_ 1450
л2иом
Пусковой момент двигателя: Л1„Уск=1,3 МНом = 1,3 • 85,6 = = 113,8 Н-м.
Максимальный момент двигателя: Л1тах = 2Л1нг,м = 2 • 85,6 = = 171,2 Н-м.
Начальный пусковой момент двигателя при пониженном напряжении (пропорционален квадрату приложенного напряжения (Л,): М,(уск = ( 2М„У1К = 0,64 • 113,8 = 88,6 Н • м.
Максимальный момент асинхронного двигателя при пониженном напряжении: ЛГтах =(-^^-^) Л/тах= 0,64-171,2 =
= 109,5 Н-м.
Номинальный ток двигателя:
13 103 ог л Л
------------------------ 25,4 Л. 1,73 • 380 • 0,88 • 0,885 Пусковой ток двигателя при /1 пуск = 7/1ном = 7 • 25,4= 178 А.
. 2яом
1 1 НОМ ----------------------
ном COS C^Ihom «яом
номинальном напряжении:
Пусковой ток асинхронного двигателя при пониженном напряжении (ток пропорционален приложенному напряжению (Л): /1 пуск/11 пуск — 0,8 U] ном/^71 ном — 0,8, откуда / 1 пуск — 0,8/1 пуск — = 0,8 • 178 = 143 А.
12.6. В условиях задачи 12.5 определить добавочное активное сопротивление /?ДОб, необходимое для включения в каждую фазу обмотки статора асинхронного электродвигателя, соединенной «звездой», для уменьшения пускового тока h пуСк = 178 А до значения /(пуск = 2/1яом=2-25,4 = 50,8 А. Активное сопротивление фазы двигателя при коротком замыкании /?к = 0,4 Ом.,
Решение. Полное сопротивление фазы асинхронного двигателя при пуске (при коротком замыкании): ZK = Ut HOIt/ V3/| пуск = 380/V3 • 178 = 1,23 Ом.
Индуктивное сопротивление фазы асинхронного двигателя при пуске: Хк = Z'i — /?к = -\/1,232 — 0,4й =, 1,15 Ом.
Полное сопротивление фазы асинхронного двигателя при 171 ном 380
пониженном пусковом токе: Zk = —~—, • =
V Запуск ‘У’ 50.8
= 4,34 Ом.
Добавочное активное сопротивление для ограничения пусковоготока асинхронного двигателя в заданных пределах: /?дов = = V(Z')2 - Xi - Rk = л/4,342 — 1,15*2 - 0,4 = 4,17 - 0,4 = = 3,77 Ом.
12.7. Для водозаполненного трехфазного асинхронного электродвигателя АПД-136/2 с короткозамкнутым ротором, обмотки статора которого соединены «звездой», определить в режиме холостого хода коэффициент мощности cos фо. электрические потери РЭ1 в обмотках статора, а также суммарные Р%, магнитные Р„ и механические Рмех потери мощности в двигателе при номинальном напряжении (Л „ом = 380 В. Ток и мощность холостого хода соответственно составляют /о = 8,8 А, Ро — 1072 Вт, активное сопротивление обмотки статора Ri = 0,616 Ом.
Решение. Коэффициент мощности прн холостом ходе:
Ро 1072 _ . QC
cos Фо = —?=-------= -т=----------= 0,186.
731Л„ом/о V3 • 380 • 8,8
Электрические потерн мощности в обмотках статора при холостом ходе: Рэ, = З/oRi = 3 • 8,82 • 0,616 = 143 Вт.
Суммарные магнитные и механические потерн мощности при холостом ходе: Ру - Рм + Ржк = Ро — РЭ1 = 1072 — 143 = = 929 Вт.
12.8. Определить суммарные Pj, магнитные Р„ н механические Рмех потери мощности в водозаполненном трехфазном асинхронном электродвигателе с короткозамкнутым ротором АПД-136/2 с номинальным линейным напряжением = — 380 В по данным табл. 12.2, полученным в процессе проведения опыта холостого хода при изменении напряжения при номинальной частоте тока f\ ± 50 Гц питающей сети. В табл. 12.2
Величины
Замеренные Рассчитанные
иа /о Ро COS<| о Рм Р,-
в А Вт в — Вт Вт
420 11,5 1550 176 400 0,185 246 1304
380 8,8 1072 144 400 0,186 143 929
360 7,75 1020 129 600 0,212 111 919
330 6,5 895 108 900 0,241 78 817
300 5,25 765 90 000 0,282 51 714
270 4,75 675 72 900 0,303 42 633
225 3,75 525 50 625 0,36 26 499
130 2,5 448 16 900 0,78 12 436
(Jo, Io, Ро, cos фо — соответственно напряжение, ток, мощность н коэффициент мощности при холостом ходе.
Решение. Находим по приведенным в табл. 12.2 данным
суммарные магнитные потери мощности в режиме холостого хода двигателя, вычитая из подводимой мощности Ро электрические потери мощности Р,< в обмотке статора: Ру = Р» + “Ь Рмех “ Ро — Рз1.
Механические потери мощности определяют графическим путем, при этом в одной системе координат строят зависимости (Рм + Рмех)({/о) И (Рм+Риех)(^).
Экстраполяция указанных зависимостей до пересечения с осью ординат (рис. 12.8 ) позволяет определить механические потери мощности Рмех в двигателе, так как магнитные Рм и электрические P,i потери мощности при напряжении холостого хода Uo = 0 равны нулю. Среднее значение отрезка, отсекаемого зависимостями Py(U0) и PZ(L'„) на оси ординат, и представ-
ляет собой величину механических потерь мощности Рме,. Из рис. 12.8 видно, что РМСх = = 340 Вт.
Магнитные потери мощности Рм в асинхронном двигателе при номинальном напряжении ((/о=(Лном=380В): РМ=(РМ + + Рмех) - Рмех = 929 - 340 = = 589 Вт.
12.9. При номинальном режиме работы трехфазного асинхронного электродвигателя АПД-136/2 с короткозамкнутым ротором, обмотки которого
соединены «звездой», определить номинальные значения: полезной мощности на валу Р2ном и КПД т)„ом, построить рабочие характеристики двигателя. Подводимая к двигателю мощность Р|Н0М= = 10,29 кВт, номинальный линейный ток Л «ом = 19,8 А, номинальное линейное напряжение {/|Ноа=380 В, частота вращения = 298.3 с_| («2ном = 2850 об/мин), механические потери мощности Р»сх=340 Вт, суммарные магнитные потери мощности Рм= = 589,5 Вт, активное сопротивление фазы обмотки статора Ri = = 0,734 Ом, частота питающего напряжения fi = 50 Гц.
Решение. Угловая частота вращения магнитного поля
_ 2л), 2 • 3,14 • 50
асинхронного двигателя: Qi = —-—= ----------1----= 314 с
или п! = -^=—।—=3000 об/мин, где р— число пар полю-сов (р = 1), так как в обозначении типа этого двигателя в знаменателе указано число полюсов, равное 2, т. е. число пар полюсов р = 1.
Скольжение ротора двигателя при номинальном режиме ра-
, Q, -О2ном 314 - 298,3 15,7 . о,
боты: Shom = —!---— = -----—------= -«7-= 0,05; s„0M% =
Л4 .314
= 0,05 • 100 = 5% или s„OM = -! = 3000 ~ 2830 = 0,05.
П| •ww
Номинальные электрические потери мощности в обмотках статора двигателя: РЭ1ном = 3/?номР1 = 3 • 19,82 • 0,734 = 865 Вт. Номинальная электромагнитная мощность двигателя: Р3» „ом = = Pi «ом - (Р« + Р,1»ом) = 10290 - (589,5 + 865) = 8835,5 Вт.
Номинальные электрические потери мощности в обмотке ротора двигателя: Р3гтм = Рэм номХном = 8835,5 • 0,05 = 441,78 Вт.
Номинальные добавочные потери мощности в асинхронном двигателе при токе нагрузки /iHOU рассчитывают по формуле: 0,5 / /1 ном \2 _
Рдов ном = -fQQ- Pl НОМ ) -
°-5 шопл/ >9.8 \ 2 0,5-10290 D
= -io6-,0290(w) =----------ioo--=51 Вт-
Суммарные номинальные потери мощности в асинхронном двигателе: SPном — Р» 1 ном “р Рэ2ном “|“ Рм -f“ Рмех “|“ Рлоб мех — 865 + + 441,78 + 589,5 + 340 + 51 2287 Вт (магнитными потерями
в роторе асинхронного двигателя пренебрегаем вследствие незначительной их величины).
Номинальная полезная мощность на валу асинхронного двигателя: Рг ном = Р| ном — 2Рном = 10 290 — 2287 = 8003 Вт.
Номинальный КПД асинхронного двигателя: Ином = р2"°м == "1 иом
8003
Р'2 ном
Р-2 ном + МРном 10 290
0,776 или г) % = 0,776 • 100 % =
= 77,6 %.
Номинальный коэффициент мощности асинхронного двигате-
ля: COS Ф1НОМ = , -
"V 3 ^1яом Ляом
10 290
1,73 • 380 • 19,8
0,79.
Аналогично по приведенным ранее формулам ведутся расчеты и для других нагрузок асинхронного двигателя, которые сведены в табл. 12.3 его рабочих характеристик.
На рис. 12.9 приведены рабочие характеристики асинхронного двигателя АПД-136/2: Р\, Ц, М2, п2, г), cos <pi (Р2) при номинальном питающем напряжении U\ иом = const.
12.10. По данным опытов холостого хода и короткого замыкания асинхронного элекродвигателя АПД-136/2 определить приближенное значение его КПД г]ном при номинальной нагрузке. Потери мощности холостого хода при номинальном режиме Рв = 1072 Вт, мощность короткого замыкания при номинальном токе Рк = 1700 Вт (принимается равной суммарным электрическим потерям мощности), номинальная полезная мощность на валу Pi ном — 8003 Вт.
Решение. КПД асинхронного двигателя при номинальной
Р2ио«100% 8003-100 _ 8003-100
нагрузке Ином = р2ном 4. ри + 8003 +1072+1700 — 10 775 ,
= 74,5%.
12.11. Трехфазный асинхронный электродвигатель с контактными кольцами с числом пар полюсов р = 4 имеет номинальные: мощность на валу Ргном = 75 кВт, линейное напряжение (/1Н0М = 380 В, частоту тока fi = 50 Гц, ток статора ]>нох = 148 А, ток ротора /2ном = 220 А, частоту вращения п2иом — 720 об/мин,
Величины
U} ном. В А Р,. Вт Wj, об/мин S, % COStpi Р,,. Вт
380 8.8 1072 2992 0,267 0,185 143
380 10 2550 2980 0,667 0,388 220
380 11,25 4280 2690 1,33 0,58 279
380 12,8 5580 2940 2 0,663 362
380 14,5 6585 2910 3 0,69 464
380 16,7 8115 2850 4,5 0,738 615
380 19,8 10 290 2845 5,00 0,788 865
380 20,2 10 520 2806 5,17 0,79 896
380 21,6 11 550 2760 6,46 0,814 1025
380 25,1 13 650 2687 8,0 0,821 1390
380 27,3 15 105 2330 10,46 0,844 1640
380 49 25 750 2865 22,3 0,797 5300
отношение моментов Л1тах/Л!ном = 2,4- Обмотки статора и ротора двигателя соединены «звездой», напряжение холостого хода U20 = £20 = 213 В. Определить номинальное скольжение sHOm, номинальный Л1Ном, максимальный Л1П18Х и пусковой Л4пуск моменты, критическое скольжение ротора sKp и активное сопротивление R2 фазы ротора электродвигателя при выведенном реостате в цёпи ротора.
Рассчитать значение добавочного активного сопротивления /?аоб фазы ротора при пусковом моменте Мик = 2Л4НОм, определить значение добавочного сопротивления при пусковом моменте МПусК = 0,5Л4но« и частоте вращения ротора n2 = 0,5ni. Активным сопротивлением обмотки статора R\, а также током холостого хода /ю при расчете пренебречь.
Решение. Частота вращения магнитного поля асинхронного
60/, 60-50 -с-п ,,
двигателя: п, =-----=——= 750 об/мин.
.. „ л1-«2яом 750- 720
Номинальное скольжение ротора: sHOV=----------= —750 =
= 0,04 или зв„„ = 4 %.
Номинальный момент двигателя: Л4„ом = 9550 PjhomMzhom = = 9550-^-= 996 Н-м. Максимальный момент двигателя: Мтах= = 2,4 М„„„ = 2,4-996= 2390 Н-м.
Критическое скольжение ротора sKp при отсутствии добавочного активного сопротивления в цепи его обмоток может быть найдено из упрощенной формулы Клосса. Для номинального
режима работы: М„ом = ———> откуда SkP-|-Shom =
С ном /$крт S*p/S ном
Р„, Вт Рэ2, Вт /’лоб, Вт Рг, Вт Ч- % Л4г, Н-м Рёжимы работы
0 0 0 Холостой
340 9,1 1,05 ход
1740,5 11,6 12,75 1376,15 54 4,51 Нагрузка
3411,5 44,4 21,4 3005,7 70 9,87 >
4628,5 32,6 27,9 4168 74,6 13,8 >
5531,5 166 32,9 4992,6 75,7 16,7 >
6710,5 302 40,6 6227,9 76,7 21,2 >
8835,5 441 51 8003,5 77,6 27,3 »
9034,5 467 52,6 8174,9 77,6 28,0 >
9935,5 643 57,6 8894,9 77 31,0 >
11670,5 934 68,3 10328,2 75,5 36,4 >
12875,5 1345 75,7 11194,8 73,6 40,3 >
19860,5 4430 128,5 . 14962 58,1 62,6 >
= 2 ^m*' SkrShom, учитывая, что sKp>sHoM, находим: sKp = ShomX /Ином
х[ '] =0.04P,4+vW^i]-0,lS2.
Активное сопротивление фазы ротора асинхронного двигателя
г. М ном^ 1$ном
находим из формулы: Л1НОм=—---------, откуда /<2 =-----5---- =
QiShom т2/2ном
_ 996- 78,5- 0,04 g Qg 16 Ом, где /Пг = 3 — число фаз обмотки 3-2202
ля, 3,14-750 _
ротора; Я| =-^- =------------= 78,5 с Qi — угловая частота
вращающегося магнитного поля.
Критическое скольжение ротора асинхронного двигателя при пус-
ковом моментеМ пуск — 2М НОкьЗкр — SnyCK 4--у ( — •] =
= 1 [ Ь у( —1] =1,865, так как Л1тах= 2,4Мном, а
S “li
"^^Критическое скольжение ротора двигателя при отсутствии добавочного , активного сопротивления в цепи ротора = = . С* 2 то же, при наличии добавочного сопротивления при
+ ’Л.
М -ТУ С С1*2 + Алоб
Мща-^.Мт№ °Xp-^A2+(Jr + СГ )Г
Отношения критических скольжений ротора:
5гр_ 4-^2 +^доб/\/R*+ +(-V| + СI-Уд)2 _ -^2 + -йдоб _ -^2 + -Кдоб
Jxp CaR'2tJr\ + +(У]+С]У92 Я'г *2
откуда, принимая поправочный коэффициент С]=1, имеем: Ядоб^гС^ч, - 1)=0,0216(1,865/0,182 - 1)=0,202 Ом.
Критическое скольжение ротора при пусковом моменте двига-
теля М„уск = 0,5М„„м и частоте п2 = 0,5«i :s"P = so,я Г -1-
L /VTпуск
+vwn = м чч+мн -
= 0,5[ 4,8 + д/4,8^ — 1] — 4,75, где s0,s = 0,5fl'- =
750-0,5-750 „ с
=------750-----= 0’5-
Добавочное активное сопротивление в цепи ротора двигателя
при Л1Пуск = 0,5Л1ном и по = 0,5п2Н1>м:
л- - ЧН - 1) = °-0216(-т1- -1) - °-54 Ом-
12.12. Для условий задачи 12.11 определить величину добавочного активного сопротивления /?ДОб, которое необходимо включить в цепь ротора асинхронного двигателя, чтобы при неизменной частоте напряжения питающей сети /1 = 50/Гц и электромагнитом М-,„ моменте угловая частота вращения ротора Яг — 52,3 с-1 (п2 — = 500 об/мин).
Решение. Скольжение ротора при частоте вращения ротора двигателя Q2=52,3 с~':
й|-й2
й,
78,5-52,3
78,5
0,33 нли s=---------
П|
750-500
750
0,33.
Величина добавочного активного сопротивления в цепи ротора двигателя при й2 = 52,3 с-1: R?)/s = /?2/sH<1M, откуда /?л<«=
= /?,(_£---0 = 0,216(0,33/0,04-1) = 0,156 Ом, где s„.,M =
= 0,04 — номинальное скольжение ротора; /?2 = 0,0216 Ом — активное сопротивление фазы ротора.
12.13. Для условий задачи 12.11 определить величину добавочного активного сопротивления /?до6, включенного в цепь ротора асинхронного электродвигателя в режиме противовключения и в генераторном режиме, а также ток ротора /2 в режиме противовключения при частоте вращения пг — 500 об/мин и моменте торможения Мт — 0,75 Мноч. В генераторном режиме электродви
гатель развивает сверхсинхронную скорость, равную пг = = 2800 об/мин, и момент на валу Мт = l,2MHoM.
Решение: Скольжение ротора двигателя в режиме противо-
включения: sT =----------=--------—=1,67. Момент тормо-
Л] 750 г
жения на валу двигателя в режиме противовключения: Л1т = = 0,75Л1ном = 0,75-996 = 747 Н - м.
Критическое скольжение ротора в режиме противовключения:
Г Мп1ах . I / Л1 1п.,х \ 1
= -1] = = '4 +л/(-йЧ’-'] = 'w-2+
+ д/3,22- 1] = 1,67-6,26= 10,45.
Добавочное активное сопротивление в цепи ротора в режиме противовключения:
/?до6 = /?2 - 1) = 0,0216 - 1) =
/ X и. 1OZ /
= 0,0216-56,5= 1,22 Ом.
Ток ротора в режиме противовключения: j Еы___________________________________
213 213
=t^7^^9‘+o.u52 = =
= -§^=160,5 А.
Скольжение ротора в генераторном режиме: sr = —
_ 750 - 2800 _ „
------750 ~
Момент нагрузки на валу двигателя в генераторном режиме: М,= —1,2Л4„„м= -1,2-996= -1187 Н-м.
Максимальное скольжение ротора в генераторном режиме:
[Mmax 11// Mmax \ .1 _
Т-+ V ЬйГ") -1] =
= - И +
+ л/2,012 — 1)= - 2,73(2,01 + 1,73)= — 10,2.
Добавочное сопротивление в цепи ротора в генераторном ре-
пг>мии,!>,с'
12.14. Рассчитать по приближенным формулам и построить механические характеристики Af(s) и и2 = (Л/) асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором, с номинальной мощностью P^nM = 3.2 кВт и номинальным числом оборотов и2ж>м= 1440 об/мин^ Кратность пускового момента Муск/Мю» = = 1,1, число пар полюсов двигателя р = 2, частота питающего напряжения /| = 50Гц. Механическими потерями мощности Рт при расчете пренебречь.
Решение. Синхронная круговая частота вращения магнит-
2л/| 2-3,14-50 . с_
ного поля двигателя: Qi =------=-----—= 157 с .
Р 4
П 60f,
Синхронная частота вращения поля: И1 =—-— =
6О 5О |(.QQ об/мин.
Номинальное скольжение ротора: $НОм = -—----— =;
= .157 -1750-72 = 0,04 или 5йОМ= 1500 - 140°. = 0,04 ,
15/ Л| 1500
А ял2лом 3,14*1440 । г л 70 —I
где 122яом = -^~ =----go----= 150,72 с
Номинальный момент нагрузки на валу двигателя: МНом = = 9550 ?2ном =9550^^=21,2 Н-м.
Плном 1440
Пусковой момент двигателя: М„>ск= 1,1М„„м= 1,1 -21,2 = = 23,4 Н-м.
Критическое скольжение ротора асинхронного двигателя может быть определено нз упрощенного уравнения механической характеристики прн пуске
Допуск
2Л4
2Л1,,,.,
с учетом того, что момент на валу при номинальной нагрузке
М 2-^пшх
<К1яом ----, •
•*яом /гр Ър JHOM
В результате совместного решения указанных уравнений имеем
откуда sKp =
ном
0,04(1,1 - 0.04 1 _ „ 9)
1-1,1-0.04 —
Максимальный момент, развиваемый асинхронным двигателем:
м .__1 23,4 !
m“ 2 •’ч>+,жр 2 0,21 + 0,21“58 Н М
Кратность максимального момента асинхронного двигателя по отношению к номинальному его значению: — 58/21,2 =
= 2,72.
Координаты естественной механической характеристики асинхронного двигателя для различных значений скольжений ротора рассчитывают по формулам:
2М™ 2-58 „и „ /. у
М = -;..... < = ......S 0.21 И«2=П.(1-5).
sKp + s 0,21 + s
Результаты расчетов сведены в табл. 12.4.
Величины, соответствующие работе асинхронного электродвигателя в режимах
Таблица 12.4
двигателя и противовключения генератора Режимы работы двигателя
$ s ,0,21 0,21 + s м, Н-м й2, С-' об/мнн $ Af, Н-м Л2, об/мин
0 — 0 157 1500 0 0 1500 Идеальный холостой ход
0,21 2,00 58,86 125,6 1200 -0,21 -58,86 1800 То же
0,4 2,43 48,36 94,2 900 -0,4 -48,36 2100 Нагрузки
0,6 3,20 36,78 62,8 600 -0,6 -36,78 2400 »
0,8 4,07 28,94 31,4 300 -0,8 —28,94 2550 »
1,0 4,97 23,54 0 0 -1,0 -23,54 3000 Противовклю-
1,5 7,28 16,19 —78,5 —750 -1.5 -16,19 3750 чения
2,0 9,63 12,26 -157 — 1500 -2,0 -12,26 4500 »
Координаты характерных точек механических характеристик асинхронного двигателя в двигательном режиме: «но» = 0,04; М,ом = 21,2 Н-м; 5кр=== 0,21; Л4ща.х==58 Н-м; $пуек—1; Мпуск =23,4 Н-м.
На рис. 12.14, а, 6 приведены механические характеристики асинхронного двигателя s(Af) и п2(М), рассчитанные по приближенным фор мулам.
12.15. Для условий задачи 12.14 построить механическую характеристику асинхронного электродвигателя в пределах ее линейной части (в интервале скольжений от s = 0 до sKp).
Решени е. Координаты режима идеального холостого хода асинхронного двигателя: <о, =± 157 с"1; М = 0. Координаты номинального режима работы асинхронного двигателя:
_ 3,14 1440
30 ~ 30
150,72 с-1; Мом = 21,2 Н-м.
На рис. 12.15 приведена механическая характеристика асинхронного двигателя <u2 (AZ) для заданных условий.
12.16. Построить механическую характеристику асинхронного электродвигателя с фазным ротором в двигательном и генераторном режимах работы. Номинальные данные двигателя: мощность на валу — кВт, линейное напряжение U\natt — = 380 В, частота вращения ротора «гном = 720 об/мин, ЭДС ротора £20= U20 = 213 В, ток ротора /гном = 220 А, сопротивления обмоток статора и ротора: /?( = 0,04 Ом, X, = 0,2 Ом, /?г — = 0,0216 Ом, Хг — 0,145 Ом, число пар полюсов двигателя р = = 4, частота питающего напряжения -/, = 50 Гц.
Решение. Коэффициент трансформации асинхронного
Е, 0,9Ии,„„ 0,95-380 ._
двигателя п = -=— =------=-----=------—------- 1,7 (учитывая,
С 20 С 20 210 '
что mt = m2 и принимая обмоточные коэффициенты К\ = Кг)-Приведенные сопротивления обмотки ротора и сопротивления короткого замыкания асинхронного двигателя: /?г = н*/?г = = 1,72 • 0,0216 = 0,0625 Ом; Х^ = п2Хг = 1,72 • 0,145 = 0,42 Ом; /?, = /?, + /?£== 0,04 + 0,0625 = 0,1025 Ом; Хк = Xi + Х'2 = = 0,2 + 0,42= 0,62 Ом.
Критическое скольжение ротора двигателя
Ri 0,0625
$кр = -4- — 1 = -4- — = -4-0. 1.
VE? + 4- Xif V0,04s 4- 0,625
Синхронная частота вращения ротора: rti — QOfi/p = 60 X X 50/4 = 750 об/мии.
Синхронная угловая частота вращения магнитного поля дви-
« 2"fi 2-3,14-50 _о _ _, гателй: й| =-----=-----------— 78,5 с 1
р 4 •
Максимальный момент асинхронного двигателя
3 (^у *(»
maX 2Q, [/?, + + (Л, + Xjf] 2 78,5[0,042 + д/0,22 + 0.422]
144 400 = = 915,895 Н • м = 0,92 кН • м.
157,66
Максимальный момент асинхронного двигателя в генераторном режиме
/171 но»\2
м
2Q, [ /?j - + (*| + W
ИЛИ Afmax г — М max д
/?, +л/₽?+ (Х| +-*2?
/?| (Х> +X5f
0,92 X
w 0,04 + д/О.О42 + 0.622 п_
X----------,? . —1,05 кН • м.
0,04 - V0.042 + 0,622
Механическую характеристику асинхронного двигателя рассчитывают по уравнениям:
в двигательном режиме
2Л4тахд (1 4“ ЯЗкр)
S/Sxp 4" $кр/$+2а$кр
2-0,92 (1+ 0,641-0,1) 1,958 „
___ 4 1 ' ____ __________- Н • Vf
~ JI+2-L + 2.0,641.0,1 S/0.1+0.1/S +0,128
0,1 s
где а = Ri/Ri = 0,04/0,0625 = 0,641; в генераторном режиме
2Л4тахг (1 + а$кр) —2 1,05 • 0,936
Мг ~ s/SKp + s«p/s+2asKP ~ s/-0,1 + (-0.1 )/s - 0,128 —
^ ^-OJ+T-oTys -0,128 Н -М ЧаСТ0ТЫ «2 =
Z1 V г, 2л"1
= «I (1 - «); Я|= —3^ .
Результаты расчетов сведены в табл. 12.5.
Рис. 12.16
Величины, соответствующие работе асинхронного двигателя в режимах
двигателя
генератора
пг, об/мин
Мг, кН-м
О 750 0.1 675 0.3 525 0,5 375 0,8 150 1,0 0
78,5
70,65 54,95
39,25 15,7
0
0
0,92
0,57
0,37
0,24
0,19
О -0,1 -0,2 -0,6 -0,8 -1,0
750
825
900
1200
1350
1500
78,5 86,35 94,2 125,6 141,3 157,0.
О -1,05 — 0,83 —0,34 0,25 0,20
На рис. 12.16 представлена механическая характеристика асинхронного электродвигателя в двигательном и гейераториом режимах работы.
Задачи
12.17. Определить синхронные частоту вращения И| и угловую частоту вращения вращающегося магнитного поля Qi трехфазиого асинхронного электродвигателя при частоте переменного тока fi = 50 Гц для числа пар полюсов р— 1. Ответ, п, = = 3000 об/мин; Q, = .314 с_|.
12.18. Определить частоту вращения ротора пг ном четырех-полюсного (р — 2) асинхронного электродвигателя при частоте питающего напряжения fi = 50 Гц и номинальном скольжении ротора Shom = 0,05. Ответ. П2ном = 1425 об/мнн.
12.1ft. По данным каталога определить номинальное скольжения 5ИОМ и частоту тока ротора при номинальном режиме работы, а также пусковой ЛГ,Уск и максимальный Afmax моменты трехфазного асинхронного короткозамкнутого электродвигателя А2-62-4 при частоте питающего напряжения fi = 50 Гц. Номинальные значения мощности на валу, частоты вращения ротора и момента нагрузки на валу Мной соответственно составляют: Р2яом=13 кВт, и2ном=1450 об/мин; Мном — 85,6 Н • м. Ответ. Shom = 0,033; /2ном= 1,65 Гц; Л)„уск = 113,8 Н • м; Afmax = 171,2 Н • м.
12.20. Определить частоту вращения Пг и скольжение s ротора асинхронного короткозамкнутого электродвигателя при М = = 2 Мом. Номинальные: мощность на валу Р»ом = 7 кВт, частота врдщения ротора и2ном = 2890 об/мин, кратность максимального момента двигателя Л1п|ах/ЛГю« = 2,2. Ответ. л2 = 2664 об/мин; s = 0.112.
12.21. Определить суммарные номинальные 2РНом н переменные потери мощности Р,„ом и Рэо.5 в асинхронном электродвигателе с числом пар полюсов р = 2 при номинальной нагрузке и нагрузке
0,5 Р2яОм- Номинальные данные двигателя: мощность на валу Р2иОм = = 4,5 кВт, КПД т]„оч=0,86, коэффициент мощности cos <р2ном = 0,86. При нагрузке 0,5 Р2ном энергетические показатели двигателя т|о.5=О,845 и cos<po.5 = = 0,77. Ответ. -Р„„,,=0.75 кВт; £ Po 5=O,41 кВт; Р»»ом = 0,5 кВт; Рэ05=0,1615 кВт.
Контрольные задания
12.22. Трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором единой серии 4А имеет номинальные данные, указанные для каждого варианта задания в табл. 12.6. Номинальные: линейное напряжение питающей
сети (/|„ом, частота питающего тока 6 = 50 Гц, мощность на валу Р2но«, синхронная частота вращения магнитного поля т, скольжение ротора зиом, КПД т]ноч, коэффициент мощности cos ф] ном, отношение m,Щ ном — начального пускового тока
к номинальному току биом,отношение начального пускового момента Л4„ус|1
1, AlnvcK A^min
к номинальному моменту на валу Л4НОМ: т„„к=-гг-—, отношение mmm = —г;-----------
''Whom ^*ном
минимального к номинальному моменту, отношение tnKf = ——-------- максимально-
ЛТнОЧ
го момента к номинальному моменту приведены в табл. 12.6 и на рис. 12.22. Определить номинальный Л4„ом, начальный пусковой Л4„уск и максимальный Л4та, моменты, номинальный /|ИОМ и начальный пусковой /|Пуск токи, частоту тока в роторе бном прн номинальной нагрузке н в момент пуска 6„>ск, число пар полюсов обмотки статора р, синхронную,угловую частоту вращения магнитного поля Qi, а также угловую частоту вращения ротора и мощность на зажимах двигателя Р|„ом при номинальном режиме работы.
Дополнительное задание, а. Определить максимальный момент Л4тах двигателя при напряжении питающей сети, равном U, = 0,9ЦВОМ.
б. Построить механическую характеристику М (s) двигателя по точкам, соответствующим скольжениям ротора: s = 0; s = Г, зНОм; sKp; з = 0,4; 0,6; 0,8 (см. рис. 12.22).
Коэффициент мощности при коротком замыкании cos <рк — 0,6. Полное ZK, активное /?к и индуктивное Лк сопротивления двигателя при коротком замыкании и приведенное активное сопротивление Ri обмотки ротора рассчитывают по формулам:
Рк = (/?। -f- Ri) — Zk cos q>K; Ак — (Xi A$) = Zk sin tpK;
A,
2
^Лиом _ Rk
zK= ;/?, = /?; = —
W Лпуск
Механическая характеристика асинхронного двигателя М ($) рассчитывается по формуле о,
Л2 Ори ] НОМ----
S
M =
Примечание. Стандартные обозначения трехфазных асинхронных электродвигателей серии 4А даны на примере асинхронного двигателя 4АР 16054УЗ: 4 — номер серин; А — асинхронный (род двигателя); исполнение по сте-
Технические данные Варианты контрольного
электродвигателя
1 2 3 4 5 6
1 Тип электро
4АЛ56В4 4ЛЛ63Л4 4ЛЛ63В4 4А71А4 4Л71134 4Л80Л4
Uihohi ® 220 380 220 380 660 220
Ргш», кВт 0,18 0,25 0,37 0,55 0,75 1,1
ГЦ, об/мин 1500 1500 1500 1500 1500 1500
5цом» /о 8,9 8,0 9,0 7,3 7,5 5,4
Л ном 0,64 0,68 0,68 0,70 0,72 0,75
“S^lKOM 0,64 0,65 0,69 0,70 0,73 0,81
“ А пуск/Авом 3,5 4,0 4,0 4,5 5,0 5,0
M||yCK = Мцуск/Мном 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
^min^fmin/^ним 1,5 1,5 1,5 1,8 1.8 1,6
^кр = Мщах/Мном 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2
Технические данные Варианты контрольного
электродвигателя 16 17 18 19 20 21
Тип электро
4AI80S4 4А180М4 4А200М4 4A200L4 4А225М4 4A250S4
1НОМ» В 380 660 220 380 660 220
Р2но., кВт 22 30,0 37,0 45,0 55,0 75,0
П|, об/мии 1500 1500 1500 1500 1500 1500
5 ном» X) 2,0 1,9 1,7 1,6 1,4 1,2
Яном 0,90 0,90 0,91 0,93 0,92 0,93
0,90 0,90 0,90. 0,90 0,90 0,90
Апуск/Ляом 6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 7,0
^^пуск”” ЛТпуек/Мной 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,2
fllmins= Mmin//Ином 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
^1кр ^Mjnax/М ном 2,3 2,3 2,5 2,5 2,5 2,3
задания 12.22
7 8 9 10 11 12 13 14 15
двигатели
4А80В4 4A90L4 4AI00S4 4A100L4 4А112М4 4A132S4 4А132М4 4A160S4 4А160М4
380 660 220 380 660 220 380 660 220
1,5 2,2 3,0 4,0 5,5 7,5 11 15,0 18,5
1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500
5.8 5,1 4,4 4,6 3,6 2,9 2,8 2,3 2,2
0,77 0,80 0,82 0,84 0,85 0,87 0,87 0,88 0,88
0,83 0,83 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,88
6,0 6,0 6,0 6,0 7,0 7,0 7,5 7,0 7,0
2,0 2,1 2,0 2,0 2,0 2,2 2,2 1,4 1,4
1,6 1,6 1,6 1.6 1,6 1,7 1,7 1,0 1,0
2,2 2,4 2,4 2,4 2,2 3,0 3,0 2,3 2,3
Продолжение табл. 12.6
задания 12.22
двигателя
4А250М4 4A280S4 4АА56Л2 4АА56В2 4АА63А2 4АА63В2 4А71А2 4А71В2 4А80А2
380 660 220 380 220 380 380 220 380
90,0 110,0 0.18 0,25 0,37 0,55 0,75 1,1 1,5
1500 1500 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000
1,3 2,3 8,0 7,5 8,3 8,5 5,9 6,3 4,2
0,93 0,92 0,66 0,68 0,7 0,73 0,77 0,77 0,81
0,91 0,90 0,76 0,77 0,86 0,86 0,87 0,87 0,85
7,0 6,0 4,0 4,0 4,5 4,5 5,5 5,5 6,5
1,2 1,2 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0' 2,0 2,1
1,0 1,0 1.5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4
2,3 2,0 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,6
Технические Варианты контрольного
данные
электродвигателя 1 2 3 4 о 6
Тип электро
т __
у
о
X
г» Q. IX
Т «с
Л’ИОМ, кВт у 18,5 30 37
U1 НОМ» В 380 — 380 — — —
Пг»им, об/мин 1470 ? ? 1482
п 0/ <|ном» /о 87,5 88,5 90 90
COSPlroM 0,87 — ? — — —
11 НОМ» А ? — 42,74 — — —
^1ном» кВт ? 24,44 40,66 48,9
ХР„0М, кВт — ? 3,91
Afном» Н•М 97,45 — 194,1
Afrnax/ AfH0M — — — — — —
A/пуск/ Af ном 2 2 — 2 2 2
А1пуск, Н • М — 477,8
Л4п18Х* Н • м — — — — — —
Лпусх/Аном 7,5 — 7.5 — — —
Лпуск» А —- ? — — —
•$ном, Л) — 1,8 1,8
П|, об/мии Определяются по числу полюсов 2р, указанному
пени защиты: Н—защищенный в соответствии со степенью защиты; 1Р23 — защищенное исполнение (для закрытых двигателей обозначение защиты не приводится); вторая буква Р — с повышенным пусковым моментом; исполнение двигателя по материалу станины и щита: А — алюминиевая станина и щиты, X — алюминиевая станина и чугунные щиты (при отсутствии знака станина и щиты — чугунные или стальные); две (илн три) цифры — высота оси вращения, мм; L, М, S — условные размеры по длине корпуса, принятые по рекомендации МЭК; 2, 4, 6, 8 — число полюсов; У.— климатическое исполнение; 3 — категория размещения (для упрощения обозначений УЗ часто не указывается).
12.23. Асинхронный трехфазный короткозамкнутый электродвигатель единой серии 4А с повышенным пусковым моментом работает при номинальной нагрузке. Линейное напряжение питающей сети Щ Ном, частота питающего напряжения /| = 50Гц, ток, потребляемый из сети, /|„„», пусковой ток Лпуск, кратность пускового тока /| пуск/Л ном, мощность на валу Р-2 ном, мощность, потребляемая из сети, Р| „ом, суммарные номинальные потери мощности £РИом, КПД »1ном, коэффициент мощности cos<p1HOM> номинальный вращающий момент А4Ном, максимальный момент Afmax, кратность максимального момента А4тах/Л1ном, кратность пускового момента Л4пуск/МНом, синхронная частота вращения магнитного поля 338
задания 12.23
7 8 9 10 11 12 13 14 15
«вигателя
J СЛ s CO I/) CO S £ CO S CO CO S
еч in in CO s g g in
О. CU cu cu cu cu cu CU
c < c
55 75 90 ) ? 18,5 ? 30 37
380 380 380 380 220 — 220 — 380
1480,5 — 1461 979 ? 981 ? ? ?
92,5 ? 87,5 87 90,5 ? 90,5
0,88 0,88 0,83 0,8 0,85 — 0,84
? 141 ? ? 54,27 — ? — ?
? ? ? 12,86 17,14 ? ? •33,15 ?
5,645 6,774 1,86 ? ? — ? •
? 489,2 ? — — ? 213,5 —
2,2 2,2 2,2 — — 2,2 — 2,2 —
— — 2 — — 2 — —
— — — — ? — 580,5 — .
— — ? — 638,6 —
— 7,5 — ?. 7 — — — 7
— — ? — — — ?
— — — 1,8 — 1,6 1,3
в обозначении серии двигателя и частоте питающей сети fi — 50 Гц
двигателя Я|, частота вращения ротора И2ном> скольжение ротора sHom для Соответствующего варианта задания приведены в табл. 12.7. Определить неизвестные величины, отмеченные знаком вопроса (?).
Дополнительное задание. Построить механическую характеристику асинхронного электродвигателя п2(АОс начальным пусковым моментом МПуск при s= I, минимальным вращающим моментом Mmin при s = 0,7,..0,9, максимальным вращающим моментом Afmax нри s — «кр. номинальным вращающим моментом
Aim)n
М„ом при х — Shom. Принять nimin = ---= 1.6. Критическое скольжение sKp
“ном
определить по формуле: зкр = ——у Ф , Полное ZK, активное RK =
R\ + (Ai -f- АгГ
= /?,-!- Rit индуктивное Ак = А, + Аг сопротивления короткого замыкания рас-считываются исходя из принятого cos фк = 0,6 по формулам: 2Л= —=------------;
/?К = ZKcosq>K; Ак = ZK sin q>B; /?, & Ri = /?к/2; A, a AJ = AK/2.
Технические Варианты контрольного
данные
электродвигателя 16 17 18 19 20 21
Тип электро
<© (/) <0 00 (/) 00 г 00 00 £
S о ю S S S о о
сч 0. о. а а а £
* * * * *
*2ж>м><Вт 45 ? ? 11,5 18,5
U 1 НОМ, В — 380 — 220 — 380
Л2иом, Об/мИИ ? ? ? , 733,5 733,5 ?
Лном, % 91,5 91,5 86 87 86,5 88
С0»Ф1жм — 0,83 — 0,75 — 0,72
/ 1 НОМ, А — ? — ? — ?
Р|ж>„ кВт ? — ? ? ? ?
SP.OM, кВт — — ? — — ?
А^иом, Н*М ? ? ? ? 195,99 —
А^тах/ Мцом 2,2 — 2 — ? —
М пуск/ А/циМ ? 2 — 1,8 1,8 —
А^пуск, Н*М 885,17 1080,76 — ? ? —
Afmax, Н* М 973,58 — 196,3 — 390,68 —
Авув/Аиом — 6,5 — 6 — 5,5
А — — ? — ?
Ь'ном, % ? 2,8 2,7 — ? 2,7
П), об/мин Определяется по числу полюсов 2р, указанному
задания 12.23
22 23 24 25 26 27 28 29 30
двигателя
ос < 4AP250S8 4ЛР250М8 4AP160S4 1 4АР160М4 4AP180S4 4АР180М4 4АР290М4
> 5 37 45 5 18,5 22 5
— — 380 — — 220 — — 380
732 ? 738 ? э 5 1476
88,5 90 90 87,5 88,5 90 —
— 0,72 — — 0,87 — —
— •> —- — — — ?
? ? ? 49,72 э 40,66
— ? — ? . — ? 3,33 3,66
? 478,8 ? 97,45 — ? —
Э 2 2 2 2,2 — 2,2 2,2 —
1,8 — — 2 — — 2 —
516.6 — — э — — —
574 585,88 ? — 427 —
— — 5,5 — — 7,5 — — 7,5
... — — — э — — 509,7
2,2 — 2 1,8 1,8 э 1,4
в обозначении серии двигателя, и частоте питающей сети /, = 50 Гц
Глава 13 ТРЕХФАЗНЫЕ СИНХРОННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
$ 13.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СИНХРОННЫХ МАШИНАХ И ОБЛАСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Электрические машины переменного тока, у которых между числом периодов генерируемого или потребляемого тока и частотой вращения существует жесткая взаимосвязь, называются синхронным и. В конструктивном отношении статор синхронной машины не отличается от статора асинхронной машины. Ротор выполняют с магнитами или электромагнитами, обмотки которых питаются постоянным током и создают необходимое для работы машины магнитное поле. При вращении ротора возникает вращающееся магнитное поле, силовые линии которого пересекают проводники обмотки якоря (статора) и в соответствии с законом электромагнитной индукции наводят в этой обмотке ЭДС. В трехфазных синхронных машинах соединение обмотки якоря может быть выполнено либо «звездой», либо «треугольником». Частота ЭДС, индуцируемой в каждой фазе обмотки якоря, зависит от числа пар полюсов р и частоты вращения
f Рпо
По ротора: Оиа находится в зависимости от магнитного
60
потока: Е = 4,44 Хо/^Фт, где Ко — обмоточный коэффициент; w — число витков одной фазы обмотки якоря (статора) Фт — амплитудное значение магнитного потока одной пары полюсов индуктора.
При подключении потребителя электрической энергии к обмоткам якоря синхронная машина работает как источник, преобразуя механическую энергию, получаемую от первичного двигателя, в электрическую и отдавая ее в сеть потребителю. При рассмотрении процессов, происходящих при нагрузке, каждую фазу синхронного генератора можно рассматривать как некоторый условный однофазный генёратор синусоидальной ЭДС, к зажимам которого подключена нагрузка, имеющая в общем случае комплексный характер.
Внешней характеристикой синхронного генератора является его зависимость U (/j т. е. зависимость напряжения U иа зажимах генератора от тока нагрузки / (тока якоря), при постоянных значениях тока возбуждения /в = const, коэффициента мощности cos <р = const и частоты вращения ротора «o=const. Математическое выражение для внешней характеристики синхронного
генератора можно получить исходя из уравнения электрического равновесия, записанного относительно напряжения на его зажимах: U — E — RI — jXI, где Е—ЭДС, индуцируемая в обмотке якоря; —напряжение на зажимах генератора;
R, X — соответственно активное и реактивное сопротивления обмотки якоря. Сопротивление нагрузки Z„=/?Il+jA'H.
Вектор ЭДС опережает вектор напряжения U на угол 0. При этом с увеличением тока нагрузки этот угол рассогласования (нагрузки) увеличивается. При активно-индуктивном характере нагрузки, когда потребитель обладает не только активным R*, но и индуктивным У£н сопротивлениями, cos <р < 1 (индуктивный), с увеличением нагрузки происходит снижение напряжения иа зажимах генератора за счет падения напряжения Z/на обмотке якоря и влияния его реакции. Для компенсации реакции якоря и падения напряжения в обмотках якоря генератора используют регулирование тока /8 возбуждения машины. Регулировочная характеристика синхронного генератора представляет собой зависимость /.(/„) т. е. зависимость между током возбуждения /в и током нагрузки / при постоянной частоте вращения «o=const. и cos<p= const потребителя электроэнергии, при которой в процессе работы обеспечивается постоянство напряжения U = const. В ряде случаев возможна работа синхронного генератора при постоянной мощности Р = const и изменении тока возбуждения полюсов ротора при U = const и f = const. Выражение для активной мощности синхронного генератора имеет вид: Р = = ~~ Е sin 0, где т — число фаз; X — синхронное реактивное сопротивление обмотки статора. Из этого выражения следует, что при работе генератора с Р = const должно обеспечиваться условие, при котором произведение £ sin 0 = const. Активная мощность синхронного генератора Р = mUI cos<p, откуда следует, что при Р = const и изменении тока возбуждения /в активная составляющая тока якоря /а =/costp = const должна оставаться постоянной. Вместе с тем изменение ЭДС не должно нарушать условия электрического равновесия. С изменением тока I якоря от /, (tZ-образиая кривая) происходит изменение и угла <р, а следовательно, коэффициента мощности cos ф генератора. В режимах перевозбуждения и иедовозбуждения происходит снижение cos ф. Свойство недовозбуждеиного синхронного генератора отдавать в сеть опережающий (емкостной) ток позволяет в ряде случаев использовать его и в качестве генератора реактивной (емкостной) мощности для улучшения cos ф системы электроснабжения. Синхронные машины обратимы и могут работать в режимах генератора и двигателя. По сравнению с асинхронными двигателями они имеют ряд преимуществ, особенно при незначительных частотах вращения и больших мощностях, и изготавливаются как трехфазными, так и однофазными. Работа синхронного электродвигателя основана на взаимодействии пбля постоянных магнитов (электромагнитов) ротора с враи^аю-
щимся магнитным полем, создаваемым обмотками якоря. Частота вращения синхронных электродвигателей в отличие от асинхронных строго постоянна и зависит только от частоты f питающего напряжения и числа пар полюсов р двигателя: по=6О//р. При включении обмотки статора синхронного двигателя в трехфазную сеть возникает безынерционное вращающееся магнитное поле, которое мгновенно приобретает частоту вращения, равную синхронной частоте вращения по = 6О//р, вращаясь с которой относительно полюсов неподвижного ротора, создает знакопеременный момент. Ротор синхронного двигателя под действием этого момента не в состоянии сдвинуться с места. Поэтому пуск двигателя осуществляется с применением специальных устройств. Чаще всего используется так называемый асинхронный пуск синхронного двигателя, при котором в полюсных наконечниках его ротора укладывается дополнительная короткозамкнутая обмотка, выполняющая ту же роль, что и обмотка ротора асинхронного двигателя. При подаче тока в обмотки ротора двигателя полюса его возбуждаются и в результате взаимодействия магнитных полей статора и ротора синхронный электродвигатель входит в синхронизм. При появлении толчков, возможных при сбросе и нарастании нагрузки, в короткозамкнутой обмотке ротора, выполняющей роль демпфера, возникает ток, который, взаимодействуя с полем статора, создает тормозной момент, препятствующий изменению частоты вращения.
При изучении электромагнитных процессов, происходящих при работе трехфазной синхронной машины в режиме электродвигателя, каждую его фазу можно рассматривать как некоторый условный однофазный двигатель, к зажимам которого подводится напряжение U. В соответствии с явлением самоиндукции при протекании тока в обмотках статора индуцируется про-тивоЭДС Е, которая ограничивает величину тока I статора. Уравнение электрического равновесия синхронного электродвигателя в комплексной форме в соответствии со вторым законом Кирхгофа приводится к виду: U_— Е_± RJ -j- jXL При этом подводимое к двигателю напряжение U компенсируется проти-воЭДС Е, индуцируемой в якоре, и падениями напряжений /?/ и jXI_ в обмотках якоря. В соответствии с этим, исходя из предположения активно-индуктивного характера нагрузки, следует, что ток / сети отстает по фазе от напряжения U иа угол с учетом того, что падение напряжения на активном сопротивлении Rl_ совпадает по фазе с током /, которым оно создается, а реактивное падение напряжения /X/ находится в квадратуре с этим током, опережая его на угол л/2. На рис. 13.1.1 представлена упрощенная векторная диаграмма синхронного электродвигателя. Можно показать, что в режиме двигателя характер изменения тока якоря / (/в) при U = const и Р = const также представляет собой U-образную кривую. Однако при этом в отличие от синхронного генератора перевозбужденный синхронный двигатель потребляет из сети опережающий по фазе напряжение ток,
Рис. 13.1.2
что позволяет использовать его и для улучшения cos <р установки без применения статических конденсаторов. К рабочим характеристикам синхронных электродвигателей относятся зависимости М, Pi, т], costp(Р2), т. е. зависимости вращающего момента М, потребляемой из сети активной мощности Pi, КПД л и коэффициента мощности cos <р от полезной мощности на валу Pi двигателя при постоянном напряжении питающей сети U — const, постоянной частоте y;=const, постоянном токе возбуждения /„ = const. Электромагнитный момент, развиваемый синхронным электродвигателем в процессе работы, находят в зависимости
« . г mpUE . г, 2ппй
от угла рассогласования 0: М = ----- sin 0, где £20 =----=
со0 поу 60
= у — угловая частота вращения ротора. Из этого уравнения видно, что при U = const и /в = const, а следовательно, и при Е = const момент, развиваемый синхронной машиной, является синусоидальной функцией угла 0. Зависимость М (0) называется угловой характеристикой (рис. 13.1.2). Полезную мощность на валу синхронного двигателя рассчитывают по формуле: Рг = 0,10544 2 «о- КПД электродвигателя: т] — г где Рв — UB1B = llR„ — мощность цепи возбуждения, подведенная к ротору синхронного двигателя. Синхронные электродвигатели сохраняют неизменной частоту вращения п0 при изменении нагрузки на валу и позволяют улучшать cos <р потребителей электроэнергии. Они более устойчивы к колебаниям напряжения питающей сети, чем асинхронные, так как момент, развиваемый этими двигателями, пропорционален питающему напряжению U в первой степени, в то время как момент асинхронного двигателя пропорционален квадрату напряжения U'2 питающей сети.
Литература. [1] §11.1 — 11.12; [2] §15.1 — 15.18; (3| §14.1 — 14.12.
Примеры решения задач
13.1. Для приведения в движение группы исполнительных механизмов производственного предприятия используют асинхронные короткозамкнутые электродвигатели серии 4А, работаю-
Электродвигатели Число элект-родви-гателей Номинальная мощность электродвигателя Р2ном» кВт кпд Л ном Номинальный коэффициент мощности электродвигателя cos<p1HOM Суммарная подведенная мощность группы Рх, кВт tg<PHOM Суммарная реактивная мощность группы «вар
группа ТИП
1 4A90L6 10 1,5 0,75 0,74 20 о’э32 18,64
2 4A100L6 5 2,2 0,81 0,73- 13,75 0,901 12,37
3 4А112М6 10 3 0,81 0,76 37 0,854 31,6
4 4А112МВ6 5 4 0,82 0,81 24,35 0,727 17,7
5 4A1132S6 10 . 5,5 0,85 0,8 64,7 0,701 45,9
щие в режим! 3 ном инально* наг рузки. 3 иачения номи нальиых
величин: мощности Р2ном, КПД 1)НОм и коэффициента мощности cos<p1HOM электродвигателей приведены в табл. 13.1. Пренебрегая потерями мощности холостого хода Ро, определить мощность SK = QK синхронной машины, работающей в режиме синхронного компенсатора, необходимой для повышения коэффициента мощности установки до значения cos ф2 = 0,94.
Решение. Номинальная мощность электродвигателя первой группы: Pihom = Р2нОм/т]ном = 1,5/0,75 = 2 кВт.
Суммарная активная мощность первой группы: Рл = NP i„0M= = 10-2= 20 кВт.
Суммарная реактивная мощность первой группы электродвигателей: Qzi = Pptgфном = 20-0,932 = 16,64 квар.
Аналогичным образом определяют суммарную активную и реактивную мощности остальных групп электродвигателей. Полученные расчетные данные сведены в табл. 13.1.
Общая активная мощность всех электродвигателей установки: 2 Ps = PS1 + Pv2 + р23 + + />,5 = 20 + 13,75 + 37 +
+ 24,35 + 64,7 = 159,8 кВт. Общая реактивная мощность всех электродвигателей установки: 2 Q- = i + + Qs3 + Qs4 +
+ Qzs= 18,64+12,37 + 31,6+17,7 + 45,9= 126,21 квар.
Среднее значение tg<pcP установки: tg <рсР = S Qs/S Ps = = 126,21/159,8 = 0,789.
Исходя из заданного значения коэффициента мощности cos ф2 = 0,96 установки, определяют соответствующее значение tg <р2 = 0,284.
Реактивная мощность, подлежащая компенсации: Q* = = SPs (tg фсР — tg <р2) = 159,8(0,789 - 0,284) = 159,8-0,505 = = 80,7 квар.
Пренебрегая потерями мощности при отсутствии нагрузки на валу, определяют мощность синхронной машины, необходимую для компенсации: SK = -^P^+Qi = -/0 + 80,72 = 80,7 кВ-А, т. е. SK = QK — 80,7 квар.
В соответствии с этим выбираем по каталогу синхронную машину типа СМ с номинальной мощностью 5НОм = 120 кВ-А.
13.2. Трехфазный синхронный электродвигатель серии СДН типа СДН 14-49-6 имеет следующие номинальные данные: активную мощность на валу Р2ном = Ю00 кВт, число пар полюсов р — = 3, отношение максимального момента к номинальному моменту Мпах/Л4ном = 2,0, частоту вращения п11т, = 1000 об/мин, частоту питающего напряжения /=50Гц. Определить номинальные значения угловой частоты вращения Йиом, моменты электродвигателя М„ом и Л4п,ах, угол рассогласования (нагрузки) 0НОм.
Решение. Номинальная угловая частота вращения элек-
50
тродвигателя й„ом = ы/р = 2nf/p = 2-3,14-^- = 104,7 рад/с. Но-
.. 1000-Ю3
минальныи момент электродвигателя:-/И,Юм =-^—=—— = = 9,55-103 Н-м.
Максимальный момент электродвигателя: Л4тах = 2Л4НОм = = 2-9,55-103= 19,1 Н-м.
Угол рассогласования при номинальной нагрузке sin 0Ном = = -^1 = 4- = 0.5, откуда Оном = 30° = л/6.
м„,„ 1
13.3. В электрическую сеть с номинальным напряжением С7В0М = 380 В включены параллельно три синхронные трехфазные электрические машины типа СМ114-6 с номинальными значениями: полной мощности Shom = 80 кВ • А, тока якоря /но» = = 122 А, коэффициента мощности costp НОМ — работающие в
режиме генератора. Определить суммарную активную мощность Pshom, отдаваемую синхронными генераторами в сеть в номинальном режиме работы, а также мощности Р\ и Р'г, отдаваемые в питающую сеть генераторами в случае, если с изменением тока возбуждения и вращающего момента первичного двигателя ток якоря /| одного генератора возрос на 10% при cos <pi = 0,96, а ток якоря /2 другого генератора снизился на 10% при cos<j)2 = = 0,8.
Решение. Мощности, отдаваемые генераторами в питающую сеть в нормальном режиме работы: _
Р I ном = Р2ном = РЗном = ~\/3U ном ZHOMiC0S фном = ~\/3 • 380 • 1 22 • 0,9= = 72,3 кВт.
Суммарная активная мощность, отдаваемая в питающую сеть генераторами в нормальном режиме работы: Pshom = Рыом+ + Р2ном + Рзном = 3 • 72,3 = 216,9 кВт.
Ток якоря генераторов в режимах, отличающихся от номи-. нального:
первого /| = 1,1 /ном = 1,1-122= 134,1 А,
второго /2 = 0,9/ном =0,9-122= 109,8 А.
Активная мощность,-отдаваемая в питающую сеть перегруженным генератором: Р\ = y!3U„avlicos<pi = -\/3• 380• 134,1 -0,96= = 86,8 кВт.
Активная мощность, отдаваемая в питающую сеть недогруженным генератором: Pi = -^ЗГЛом/гсоз фг = \ 3-380-109,8X X 0,8 = 57,8 кВт.
13.4. Группа трехфазных асинхронных электродвигателей по-, требляет из сети суммарную активную мощность Pi ном = = 15 000 кВт при среднем коэффициенте мощности cos<p2 = = cos фсР = 0,65. Определить мощность синхронного компенсатора, с помощью которого необходимо довести коэффициент мощности установки путем компенсации реактивной (индуктивной) составляющей до cos фг = 0,96.
Решение. На диаграмме рис. 13.4 представлена зависимость cos<pi от cos ф2 и Ki = Qi/P\mx. Из точки с координатой cos q>2 = cos фср = 0,65 иа оси абсцисс проводим вертикаль до пересечения с горизонталью, проведенной из точки, соответствующей cos ф| = 0,96 на оси ординат. Находят кривую реактивной мощности, проходящую через точку с координатами cos<p2 = 0,65 и cosq>i = 0,96. Путем интерполяции определяют Хс = 90 (%) (в относительных единицах Кс=0,9).
Затем определяют мощность необходимого компенсирующего устройства (синхронного компенсатора): QK = Pi ном Хе = 15000Х X 0,9 = 13 500 квар.
В соответствии с полученным расчетным значением QK выбирают по каталогу ближайший по мощности синхронный компенсатор серии КС типа КС-15 000-6 с номинальной мощностью Shom = 15 000 КВ-А.
Задачи
13.5. Установленное иа производственном предприятии электрооборудование характеризуется мощностями: суммарной ак-
Таблица 13.2
Технические Варианты контрольного задания 13.8
электродам- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
гателя
Тип электродвигателя
О О с ф ф зо зо X 30 х> X X X X X
— X $ ф ф — со ф со
•* ю i6 со ’f ’f «о со СО со ь.
X X X X X
сдн сдн । сдн сдн сдн Ч 3 ч и =1 и и ч
НОМ> кВ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
^2иом> кВт 630 800 1000 1250 1600 800 1000 1250 1600 2000 2500 3200 4000 5000 6300
% 93.8 94,4 94,6 95,1 95,7 84.8 95,4 94,8 95,6 96,0 95,8 96,4 96,7 96,6 96,9
COS ф,,,,, 0.9 0,9 0,9 0,9 0,9 0.9 0,9 0,9 0.9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
т. 5.4 5.7 5,8 5,8 6,2 5,4 5,6 4,8 5,0 6,1 5.3 5,9 6,5 5,7 6,7
К, 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,6 0,6 0,6
^Ицуск 0.8 0,85 0,8 0,85 0,95 0,75 0,95 0,85 1.1 1,3 1.3 1,1 1,3 0,75 0,8
тк„ 2 2.1 2,1 2.1 2,1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Г. 1,2 1,2 1.2 1,2 1,2 1.2 1,4 1,4 1,4 1.4 1.4 1,4 1,5 1,5 1.5
Продолжение табл. 13.2
Технические данные электродвигателя Варианты контрольного задания 13.8
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип электродвигатели
со со со со со со СО со со <30 <30 <30 <30 ао ас
сг> <Л сг> <о сг> 3 -О СП СО ас О ср ю Л 3 <О
1Л со ' со СО со со Tf Tf со со сО '£>
X X X X X X X X X X X X X X
Ч Ч ч ч ч ч ч ч ч ГТ" ч ч
о и и и о и и и и и О о
U ном* КВ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
^2яом> кВт 1000 1250 1600 2000 2500 3200 4000 5000 6300 800 1000 1250 1600 2000 2500
Л но., % 95,2 95,8 95,7 95,9 96,4 96,6 96,5 96,8 97,1 84,8 95,4 94,8 95,6 96,0 95,8
cos<pHOM 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
Ш, 6,4 6,3 4,8 5,5 5,8 6,1 6,0 6,8 6,9 5,4 5,6 4,8 5,0 6,1 5,3
к, 0,6 0,6 0,6 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
^пуск 0,95 1,3 0,95 1 1.1 1,1 0,9 1 0,95 0,75 0,95 0,85 1,1 1,3 1,3
'Икр 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
г. 1,5 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7
тивной Р=150 кВт и суммарной реактивной (индуктивной) Q — = 200 квар. Номинальное линейное напряжение питающей сети U НОМ- 380 В. Определить Q НОМ* ре-
зультирующие токи нагрузки Л и /2 и коэффициенты мощности установки costpi и cos<f>2 до и после подключения к сети синхронного электродвигателя типа СМ127-6 с номинальными данными: активной мощностью Р2яом = 158 кВт, коэффициентом мощности соз<р„Ом= = 0,8 (емкостной), КПД т]|,о»= =91,9 %. Ответ. Q„„M= 118,5 квар; h — = 311 А; Л = 466 A; cos ср, = 0,6; cos <р2 == = 0,97.
13.6. Определить номинальные значения угловой частоты вращения ротора Q1I1OM, момента на валу Л1„ом и тока /НОм, потребляемого из питающей сети синхронным электродвигателем типа СД12-24-6, имеющим следующие номинальные данные: активную мощность на валу Р2|«.м = 250 кВт, линейное напряжение (Лом = = 380 В, коэффициент мощности cos <рНОм — 0,9, частоту вращения Пном = 1000 об/мин, КПД Т]ном = 0,92. Огвет.Й2яом= 105 рад/с; Л4„ом= 2.38-101 Н-м; /яом = 458 А.
13.7. Синхронный электродвигатель типа СД312-46-10А имеет следующие номинальные данные: полную мощность 5Н(.м =
= 380 кВ-A, активную мощность на валу Р2ном=320 кВт, КПД Ином = 0,93, частоту вращения пНОм = 600 об/мин. Определить номинальные значения мощности Pihom, потребляемой двигателем из питающей сети, момента нагрузки на валу ЛКом и коэффициента МОЩНОСТИ COS ф„ом- Ответ. Р1„„м=346 кВт; Л4ЯОМ = 5,1 • 103 Н-м; cos <рн„ч = 0,9.
Контрольное задание
13.8. Синхронный электродвигатель типа СДН имеет следующие номинальные данные (табл. 13.2) для каждого варианта задания: линейное напряжение питающей сети (7„ом, частоту f = 50 Гц, мощность на валу Р2япм, КПД коэффициент мощности cos ф„0„, кратность пускового момента т, = /Пуск/Люм. отношение пускового момента к номинальному m„,« = Л4,|у„/Л4„„„, отношение максимального момента к номинальному т,„ = Л4тах/Л4ном. Определить номинальную угловую частоту вращения О2 ротора, максимальный и пусковой моменты, пусковой ток /,,уся, полную мощность Sном при номинальной нагрузке. По-, строить угловую характеристику М (6) электродвигателя, отметив на ней точку для номинальной нагрузки Л4Н„„. и векторную диаграмму ЭДС, напряжений и тока. Активным сопротивлением обмотки статора пренебречь.
Дополнительное задание. С помощью U-образных характеристик, представленных на рис. 13.8 в относительных единицах, определить коэффициент мощности cos <р для заданных значений мощности на валу Р> = КрРзно» и ток возбуждения It = Iв/1к „ом. а также полную S и реактивную Q мощности, потребляемые электродвигателем при заданных условиях. (Число полюсов электродвигателя определяют по последней цифре стандартного обозначения типа электродвигателя.)
Глава 14
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПРИВОД
114.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ И ПРИНЦИПАХ ВЫБОРА ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ
Производственные машины и механизмы, как правило, приводятся в движение с помощью электрического привода, который включает в себя электрические двигатели, систему передачи и аппаратуру управления. Выбор рода тока и величины питающего напряжения приводного электродвигателя зависит от ряда факторов. Применение электродвигателей постоянного тока в системе электрического привода обусловливается необходимостью регулирования частоты вращения производственного механизма. Они характеризуются сложной технологией изготовления, более дорогие и менее надежны в эксплуатации по сравнению с электродвигателями переменного тока. Мощность электродвигателя должна соответствовать мощности производственного механизма, так как занижение мощности электродвигателя способствует преждевременному выходу его из строя, а завышение приводит к снижению КПД т) и коэффициента мощности cosq>, повышению стоимости и массогабаритных показателей установленного электрооборудования. В большинстве случаев электродвигатель выбирают по нагреву и проверяют по перегрузочной способности, при этом они должны иметь достаточный пусковой момент Мпуск для обеспечения нормального пуска.
При длительном режиме работы электродвигателя и неизменной нагрузке (рис. 14.1.1, а) превышение температуры двигателя над температурой окружающей среды определяется уравнением: т — ту(1—где ту — установившаяся температура электродвигателя, °C; t — текущее время, с; Т« — постоянная времени нагрева, с.
При длительном режиме (/=оо) значение установившейся
температуры электродвигателя: т = ту — Q/А, где Q — количество теплоты, выделяемой электродвигателем в единицу времени, Дж/с; А —теплоотдача электродвигателя, Дж/с-град.
Постоянная времени нагрева электродвигателя определяется отношением: Ти — С/А, где С — его теплоемкость, т. е, количество теплоты, необходимой для повышения температуры двигателя на 1 °C.
Для производственных механизмов, предназначенных для работы в длительном неизменном режиме, мощность электродвигателя выбирают по каталогу исходя из значения мощности, необходимой для приведения в движение механизма при данной частоте его вращения п«. При этом должно удовлетворяться условие Рном^Рм, где Рио„ нА — номинальная мощность электродвигателя и расчетная мощность механизма.
В данном случае нет необходимости проверки электродвигателя по нагреву, так как при номинальной нагрузке нагрев его всегда находится в допустимых для данного класса используемой изоляции пределах. При этом, поскольку режим работы длительный с неизменной нагрузкой, выбранный электродвигатель на перегрузочную способность по максимальному моменту также не проверяется.
При длительной переменной нагрузке выбор мощности электродвигателя может быть произведен по методу эквивалентного тока, который основан на замене действительного, изменяющегося во времени по величине действующего значения тока, потребляемого электродвигателем, эквивалентным током, при котором потери мощности прн этой нагрузке соответствуют средним потерям в нем при переменном режиме работы. Исходя из этого, эквивалентное (среднеквадратичное) значение тока, потребляемого электродвигателем при переменном режиме работы, определяют по формуле:
г -./ /дчк/п'гк 4- Ai 4- /2/2 4- 4-А7 ’ A'lVnvr» + G)+I + ^2 + ... + Л’г/о
где Ь и т. д. — значения токов электродвигателя в промежутки времени Zi, н т. д., соответствующие участкам графика с неизменной нагрузкой; Ц — средние значения тока электродвигателя соответственно во время пуска и торможения; Кх — коэффициент, учитывающий уменьшение теплоотдачи электродвигателя при пуске н торможении (принимается равным 0,75 для двигателей постоянного тока и 0,5 — для асинхронных двигателей); Кг— коэффициент, учитывающий уменьшение теплоотдачи электродвигателя во время паузы (принимается равным 0,5 для двигателей постоянного тока и 0,25 для асинхронных двигателей). По значению эквивалентного тока выбирают по каталогу соответствующий электродвигатель исходя нз условия, что где /ном — номинальный ток двигателя. Выбранный
таким образом электродвигатель удовлетворяет условиям допустимого нагрева, так как двигатели для продолжительного режи
ма работы имеют номинальную мощность, указываемую в каталоге, без ограничения времени его работы. Далее электродвигатель проверяют по перегрузочной способности исходя из условия: Х>/м//„оМ, где /м — наибольший ток рабочего промежутка времени, который находят исходя из диаграммы нагрузки двигателя. Если выбранный по условиям нагрева электродвигатель не удовлетворяет условиям перегрузки, то следует выбирать по каталогу двигатель большей мощности, с тем чтобы он проходил и по перегрузочной способности.
Требуемую мощность электродвигателя (на основании нагрузочной диаграммы при длительной переменной нагрузке, заданной в виде графика эквивалентного момента в функции времени) определяют по формуле:
М пуск^пуск + ^6+^2+...+^,
’ (^пускЧ- /»)+ h 4- ti 4-... 4- Kztn '
где Мпуск, Мт, М\, Mi — текущие значения момента нагрузки на валу двигателя в соответствующие промежутки времени., При исключении учета влияния ухудшения условий охлаждения при пуске, торможении и остановках на нагрев двигателя эквивалентный момент находят по упрощенной формуле, считая (/пуск + + tr )= 0.
Номинальная мощность электродвигателя определяется по значению эквивалентного момента по формуле: РЦ0№ = МЭк X X Пном/9550, где пНОм — номинальная частота вращения двигателя.
Проверку электродвигателя по условиям допустимой перегрузки производят исходя из условия: Л4тах/МюМ>Хм, где — кратность максимального момента соответствующего электродвигателя по каталогу; Л4тах — максимальный момент двигателя. Электродвигатель проверяется также по достаточности развиваемого им пускового момента из условия: Мпуск/Мном^Лпуск, где Хпуск — кратность пускового момента двигателя по каталогу; Мпуск — пусковой момент электродвигателя. Если выбранный электродвигатель не удовлетворяет условиям перегрузки или пуска, необходимо выбрать другой электродвигатель — большей мощности. В ряде случаев вместо метода эквивалентного момента при определении мощности электродвигателя используется метод эквивалентной мощности Лк, который возможен при наличии соответствующей нагрузочной диаграммы механизма, в предположении постоянства КПД т] и коэффициента мощности cos ф двигателя.
Эквивалентная мощность электродвигателя при этом определяется по формуле, аналогичной формуле для эквивалентного момента Л4ЭК:
р ___-* I Рпуек^пуск 4-Р(Л4-Р^4--4-Р24,
’ Kt (^ПуСк4- Л)4- 6 4* 64- 4- Kzti
Без учета влияния пуска, торможения и работы без нагрузки формула соответственно упрощается. По расчетной величине эквивалентной мощности по каталогу выбирают электродвигатель исходя из условия: Рпт,^Рэк.
Электродвигатель проверяется также на перегрузочную способность и по пусковому моменту Л4Пуск в соответствии с приведенными выше формулами. Прн кратковременном режиме за время работы температура электродвигателя не успевает достигнуть установившегося значения, а время паузы достаточно велико, так что за это время электродвигатель успевает охладиться до температуры окружающей среды (рнс. 14.1.1, б). Промышленность изготавливает электродвигатели для кратковременного режима работы стандартной длительности 15, 30 и 60 мин. При кратковременном режиме работы с постоянной неизменной одноступенчатой нагрузочной диаграммой выбор мощности электродвигателя производится по значению мощности прн кратковременном режиме работы и заданном времени работы в этом режиме по каталогу. Прн этом выбирают двигатель, одинаковой или ближайший большей мощности для заданного времени работы. При ступенчатом кратковременном графике нагрузки механизма определяют эквивалентные мощность, ток или момент нагрузки. Затем по соответствующему эквивалентному их значению для заданной номинальной частоты вращения и длительности работы электродвигателя по каталогу выбирают мощность электродвигателя. При этом во всех случаях должно удовлетворяться условие: Рном j /эк /ном- Повторно-кратковременный
режим характеризуется чередованием рабочего периода и периодов пауз (рис. 14.1.1, в). При этом режиме работы за время /р работы электродвигатель не успевает нагреться до установившейся температуры, а за время to паузы не успевает охладиться до температуры окружающей среды.
Повторно-кратковременный режим работы характеризуется относительной продолжительностью включения: ПВ% = 4Е- = ‘ Ц = у^т-100%, где 7"h= (/р-Но)—длительность цикла.
Для использования в повторно-кратковременном режиме работы промышленностью изготавливаются специальные электродвигатели на нормированные продолжительности включения ПВ1юм%: 15, 25, 40, 60 и 100%. При эмом время цикла Тц в повторно-кратковременном режиме работы двигателя не должно превышать 10 мин.
Выбор мощности электродвигателя при заданной нагрузочной диаграмме может быть произведен по методам эквивалентного тока, момента или мощности. При этом, если фактическая продолжительность включения ПВ % при заданном графике нагрузки отличается от нормированной продолжительности включения ПВ„,„% электродвигателя, то фактический эквивалентный ток 131 эквивалентный момент МЭ1 или эквивалентную мощность РЭ1
пересчитывают на ближайшую большую или меньшую нормированную продолжительность включения ПВНОМ% по соответствую-
щим формулам
Г=1
” ” V пвном%’
М^=М„
I пв% 14ВНОМ%
„ / пв%
Лх = Лх
V ПВНОМ /о
где 1'зк, МэК, Рэк — соответственно эквивалентный ток, эквивалентный момент, эквивалентная мощность при данном графике нагрузки, пересчитанные на ПВНОМ%. По этим значениям определяется, как указано выше, мощность электродвигателя производственного механизма. При этом также должны выполняться условия • IЭК 1 НОМ , ном, ном, где / ном, Мно„,
Рном — соответственно номинальный ток, номинальный момент и номинальная мощность электродвигателя по каталогу при данной нормированной продолжительности включения ПВНОМ%.
Литература. (1| §12.1 — 12.4; [2] §16.1-16.5; [3] §17.1-17.7.
Примеры решения задач
14.1. Определить приведенный момент инерции /пр подъемного механизма (рис. 14.1), если известны следующие данные: частота вращения вала электродвигателя Q = 75,36 с1, масса поступательно движущихся частей Ga = 98 000 кг, передаточное число редуктора: первой ступени it = 8, второй ступени (2 = 8,7, диаметр барабана d — 0,5 м, момент инерции ротора электродвигателя /д = 0,668 кГ-м2, момент инерции муфты и тормозного шкива Л = 0,225 кГ -м2, КПД передачи т]пер = 0,95.
Решение. Момент инерции электродвигателя и частей механизма, находящихся в нем на одном валу: / = /д-)-/„ + -фJрел= 0,668+0,225-|-0,2-0,668 = 1,08 кг-м2 (момент инерции редуктора принят равным. /Ред=0,2/д).
Частота вращения вала электродвигателя: n = 30Q/jt = = (30 • 75,36)/3,14 = 720 об/мин.
Линейная скорость поступательно движущихся частей: v = ndn 3,14'0,5'720 . . о . п . оо , . . .
=-----= -----------= 11,3 м/мнн = 0,188 м/с, где t = i\t2 =
1 70
= 8-8,7 = 70 — передаточное число редуктора.
Приведенный к валу электродвигателя момент инерции
Рис. 14.2
подъемного механизма с учетом поступательно движущихся „ , , , 9.3G„+ , по , 9,3 98000 0.1882
частей. Jпр — У “f- j — 1,08 “I- ------------ — 1,08 —0,068 —
п Чпер 7202 0,95
= 1,15 кг-м .
14.2. Определить номинальную угловую частоту вращения йном, время пуска /пуск и торможения /т электродвигателя (рис. 14.2). Приведенный к валу электродвигателя момент инерции системы /пр = 2,59 кг-м2, момент статического сопротивления Л4ст=10Н-м, номинальная мощность трехфазного асинхронного короткозамкнутого электродвигателя Р2ном = 7,5 кВт, номинальная частота вращения и2ном = 980 об/мин. '
Решение. Номинальная угловая п Ял2яом 3,14-980 тродвигателя: “2ж,м =- = —— =
Номинальный момент нагрузки на
Мной = 9550 P^Jn^ = 9550 = 72,8
Среднее значение момента на валу электродвигателя в пер'иод пуска: Л4ср nyc„ = аЛ4„ом = 1,5-72,8 = 109 Н • м, где а—коэффициент, характеризующий изменение момента при пуске электродвигателя (принимается а — 1,5).
Время пуска (разгона) электродвигателя до номинальной , Л:р^2ном 2,59-102,5 j,
частоты вращения пНом: /пуск = ----_м = 1q9_10- =2,68 с
, -Тар п2ном _ 2,59 980 __ <) Р,я
ИЛИ /пуск - - эЗГ' 109-10 - с'
Среднее значение тормозного момента: Мг = аЛ/ном = 1,5 х Х72,8= 109 Н-м.
Время торможения электродвигателя от номинальной частоты вращения п^ом ДО полной остановки (при отключении от питающей сети):
частота вращения элек-
102,5 с"1.
валу электродвигателя: Н-м.
•Лф ^2ном
2,59-980
2,2 с.
9,55 (М^-М^ 9,55(109+10)
14.3. Определить расчетную мощность Pv н выбрать по каталогу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель общепромышленного назначения защищенного исполнения для привода вентилятора подачей £>—9000 м3/ч при давлении 77=981 Па. КПД вентилятора ^„ = 0,35, частота вращения вентилятора пв = 1450 об/мин.
Решение. Расчетная мощность приводного электродвига-
n QH ,„_3 9000/3600-981 )п_3 G о
теля вентилятора: Р„=——10 =-----------,-------10 =6,94 кВт,
ЧиЧмр 0,35- 1
где Н — давление (напор), Па (1 мм вод. ст. = 9,81 Н/м2 = = 9,81 Па); т)пер — КПД передачи от двигателя к вентилятору (принимаем -qnep == 1).
Исходя из расчетного значения мощности Рр = 6,94 кВт, по каталогу выбирают ближайший больший по мощности трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель с номи
нальной частотой вращения, соответствующей частоте вращения вентилятора. В данном случае этому соответствует асинхронный короткозамкнутый электродвигатель типа 4A132S4 с номинальными данными: Р2ном=7,5 кВт, и, = 1500 об/мин, ^=0,87, cos ф1яом = 0,86, С/1НОМ = 380 В.
Выбранный электродвигатель проверять по нагреву и на перегрузочную способность не требуется, так как он рассчитан на соответствующую номинальную мощность для продолжительного режима работы и нагрев ег.о находится в пределах допустимого с учетом полного использования заложенных в него активных материалов при номинальной мощности. Нет необходимости проверять электродвигатель и по пусковому моменту, поскольку вентиляторы (так же как и центробежные насосы) характеризуются весьма незначительным моментом трения в момент трогания. Так как режим работы вентиляторов связан с незначительным изменением нагрузки, то выбранный электродвигатель на перегрузочную способность по максимальному моменту также не проверяется.
14.4. Определить расчетную мощность Pf и выбрать по каталогу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель центробежного насоса, предназначенного для перекачки воды с подачей (7 = 1000 м3/ч. Частота вращения при непосредственном сочленении насоса с электродвигателем = 1500 об/мин, КПД насоса z/HOM = 0,72, напор насоса Н — 12 м.
Решение. Расчетная мощность электродвигателя насоса: р_ 7®Н in-з 9810(1000/3600)12 .ос □ ________
Л> =-----10 = ,——=48,6 кВт, где у — плотность
’/ном’/пер О,/2-1
воды (у = 1000 кг/м3 = 9810 Н/м3); т]ПеР— КПД передачи от электродвигателя к насосу (т]пер = 1).
Исходя из расчетного значения мощности Рр = 48,6 кВт, выбираем по каталогу ближайший больший по мощности, соответствующий частоте вращения пНом насоса, трехфазный асинхронный электродвигатель типа 4А225М4 с номинальными данными:
Pjhom —55 кВт; «гном—1450 об/мин; ^Ном = 0,92; cos<p1HO4 = 0,9; (71ком = = 380 В.
14.5. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по каталогу трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором с числом пар полюсов р = 3 для привода механизма, график нагрузки которого представлен на рис. 14.5. Ухудшения условий охлаждения в период пауз при расчете не учитывать.
Решение. Синхронная частота вращения электродвигателя: m = 60//Р =-^у2-= 1000 об/мин.
Продолжительность включения электродвигателя: ПВ % — /р100% /р100% (/, + L.)100% . . (2-t-4)100%_ л 0/
----ta--------------1. + Н-1. “ 2+44-Ю ГДе
время работы механизма (Zp = 11 + 1г\ с; — время цикла работы механизма (/и = +/о), с; to—время паузы, с.
Эквивалентная мощность электродвигателя за время одного
— Р,-
Расчетная мощность электродвигателя при ближайшем к расчетному каталожному значению ПВНОМ% = 40 % : Pi0 = = Р~УПВ%/ПВНОМ% = 7,65737,4/40 = 7,4 кВт.
По данным расчетов выбираем по каталогу ближайший больший по мощности, соответствующий частоте вращения м, электродвигатель типа A47"KF311-6, с номинальными данными: Р2Ном = = 11 кВт; п,иом = 910 об/мин; ПВНОЧ% = 40%; (71ном = 380 В.
14.6. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по каталогу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель для привода механизма с циклическим графиком момента нагрузки, приведенным к валу двигателя (рис. 14.6). Произвести проверку электродвигателя на перегрузочную способность. Частота вращения исполнительного механизма п„ = 930 об/мин.
Решение. Эквивалентный момент нагрузки на валу: Л4ЭК =
+ Л4г/г + / 152 • 15 + 452 • 15 + 35" • 6 о л о и ..
- V ----/, + /2 + 6---V 15+15 + 6 - М'М-
Продолжительность включения согласно графику (рис. 14.6) :•
ПВ % = юо % = |54?^6 100 % = Ц-100 % = 60 %.
Расчетная мощность при ПВжм% = 60%: РР = Мпм/9550 = = (34,2 • 930 )/9550= 3,32 кВт.
По данным расчета выбираем по каталогу для нормированной продолжительности включения ПВНОМ% = 60% краново-металлургический электродвигатель типа MTKF111-6 с номинальными данными: Ляом=3,5 кВт; «2bom = 885 об/мин; Мвиа= 106 Н м.
Номинальный момент электродвигателя: Л4Ном=9550/’ном/л2вом::= = 9550-3,5/885= 37,77 Н-м.
Проверку выбранного электродвигателя на перегрузочную способность производят исходя из обеспечения: МнаИб<
где Мнаиб—наибольший момент нагрузки на графике (рис. 14.6) (Л4наиб=Л12 = 45 Н-м); ^—коэффициент, учитывающий возможное снижение питающего напряжения (принимается равным Kv= = 0,9).
Таким образом, М наиб-- 45<
<ЛяЛ/ПШХ=0,9-106 = 95,4 Нм, т. е. в данном случае условие по обеспечению требуемой перегрузочной способности электродвигателя выполняется.
14.7. Проверить пригодность краново-металлургического асинхронного трехфазного электродвигателя типа MTF112-6 с фаз-
ным ротором, предназначенного для привода механизма, работающего по графику рис. 14.7. Электродвигатель имеет следующие номинальные данные: Ргпом — = 5 кВт; г]тм = 75%; cos <р1яом = 0,7; ПВНОМ=40%; п2ят = 930 об/мин; С/1яом = 380 В.
Решение. Эквивалентный ток за время работы одного
цикла:
/ эк
16г-2 + 6г-2 +-6" + 6'2-t.22 2 + 22-1 + 32-1
2+2+2+1+1
=л/ 635fi = 8>9 д V о
Продолжительность включения электродвигателя с учетом поправок на ухудшение условий охлаждения в период пуска,
торможения и паузы
ПВ 7о=—100 % = (<1+<2+<з+<4+^)100%
р ' ° К] (б + б) + б + б + б + ^б)
_ (2+2+2+1 + 1)100% _ 8-100% _
0,75(2 + 1)+ 2 + 2 + 1 + 0,5-24 19,25
где /„— время цикла (/,,= /Р-(-/о)А'1 = 0,75; К2 = 0,5.
Номинальный ток электродвигателя
^2яом Ю3 5-Ю3 , . .
1яом= -—-----------------=---------------=14,48 А.
7з Цком f/яом cos <Р1яом ч/з • 380 • 0,75 • 0,7
Z,
Так как 71ЯОМ>7ЭТ при ПВНОМ = 40%, то электродвигатель проходит по нагреву и пригоден для привода механизма, работающего в данных условиях.
Задачи
14.8. Определить расчетную мощность Рр электродвигателя общепромышленного применения защищенного исполнения, предназначенного для привода вентилятора подачей Q — = 9000 м3/ч при давлении 77=490 Па. КПД вентилятора т]в = 0,3b, частота вращения Па = 980 об/мин. Ответ. Рр=3,47 кВт.
14.9. Определить расчетную мощность Pv и выбрать по каталогу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель общепромышленного применения защищенного исполнения для насоса. Подача насоса 2 = 500 м3/ч, напор /7=8 м, частота вращения при непосредственном сочленении с двигателем «2яом=730 об/мин; КПД насоса т]НОм = 0,72. Ответ. Pf = 16,2 кВт, электродвигатель типа 4А200М8;7>2яом= 18,5 кВт; п, = 750 об/мин; С/1яом = 380 В.
14.10. Для привода центробежного насоса с номинальными значениями подачи Qmtt и напора /7ЯОМ принят трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель с номинальными мощностью P^,OM — 350 кВт и частотой вращения ^2яом~ 1450 об/мин.
Определить подачу Q и напор насоса Н, а также расчетную мощность Рр электродвигателя при уменьше-- „ Qhom ,, Н ном
нии частоты вращения насоса вдвое. Ответ. Q=—~—; н = —-— ; Рр = 43,75 кВт.
14.11. Определить расчетную эквивалентную мощность Рзк и выбрать по каталогу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель, приводящий в движение рабочий механизм через редуктор, передаточное число которого /= 10:1, КПД редуктора т]Р = 0,9%. График нагрузки на валу электродвигателя задан (табл. 14.1), частота вращения рабочего вала механизма пм = 100 об/мин.
Ответ. Р„ = 2,75 кВт; Рном = 4 кВт; п, = 1000 об/мин; ^1ЯОМ= 380 В- Электродвигатель типа 4А112МВ6.
14.12. Определить соответствие краново-металлургического трехфазного асинхронного короткозамкнутого электродвигателя
Таблица 14.1
р>, кВт Р2, кВт р,, кВт Л, с /2, С /з, с
2 “33“ 1,5 —Т5- 15 15
типа MTF411-6 с номинальными данными: Т’2яом = 22 кВт;
Таблица 14.2
Величины Варианты контрольного задания 14.13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
М1, Н-м 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 20 20 20 20
ЛЬ, Н-м 50 45 40 35 30 50 50 50 50 50 55 55 55 55 55
Мз, Н-м 30 35 40 45 50 25 20 35 35 40 40 45 40 35 40
Ь, с 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 5 5 10 10 15
Ь, с 15 15 15 15 15 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15
Ь, с 5 10 10 10 10 5 5 5 5 5 15 20 15 20 25
to, с 10 15 15 15 15 20 20 20 20 25 15 15 20 20 25
«2ном О6/МИН 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735
Ко 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0.9 0,95 0,9 0,95 0,9
Продолжение табл. 14.2
Величины Варианты контрольного задания 14.13
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Alt, Н-м 25 25 25 35 35 35 35 40 40 40 45 55 65 65 65
Mi, Н-м 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
ЛЬ, Н-м 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 5 5 10 10 15
Ь, с 10 10 10 10 10 15 20 15 20 15 20 20 20 20 20
Ь, С 5 5 5 5 5 10 15 10 15 10 5 5 5 5 5
Ь, с 15 15 15 15 15 20 15 20 15 20 25 25 25 25 25
to, с 20 15 10 20 15 15 20 15 20 15 20 25 20 25 20
п2иом Об/мин 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 975 735 935
Ко 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95
^2ном 965 об/мин; ПВНОМ = 40%; Л/тм=650 Н-м механизму, работающему в повторно-кратковременном режиме работы по графику нагрузки рис. 14.12. Диаграмма дана без учета махового момента инерции / электродвигателя. Коэффициент Ки, учитывающий возможное снижение напряжения, принят равным 0,9.
Ответ. М,.,„5 = 500 Н м<0,9Мта> = 0,9-650 = 585 Н• м Электродвигатель удовлетворяет условию нагрева и перегрузочной способности.
Контрольное задание
14.13. Краново-металлургические трехфазные асинхронные электродвигатели типа MTKF и МТКН используются для привода механизма с циклическим графиком момента нагрузки, приведенным к его валу. Используя данные, приведенные в табл. 14.2 для соответствующего варианта задания, определить расчетную мощность и выбрать по каталогу по условиям нагрева электродвигатель и произвести проверку его иа перегрузочную способность. В табл. 14.2: Mi, М2, Мз — моменты нагрузки на валу двигателя, соответствующие участкам нагрузочного графика: Л, /2, 13 — время работы двигателя с заданными моментами нагрузки; In — время паузы (интервалы между циклами работы); п — частота вращения двигателя; Ки — коэффициент, учитывающий возможное снижение напряжения питающей сети.
Дополнительное задание. Определить энергию IF„, потребляемую двигателем из питающей сети за время цикла работы.
Глава 15
ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЯ
$ 15.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИИ И ОПЛАТЕ ЗА ПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИЕЙ
Электрическая энергия от электрических станций с помощью линий электропередачи (ЛЭП) передается потребителям электроэнергии. Синхронные генераторы на электростанциях генерируют электроэнергию переменного тока промышленной частоты f — = 50 Гц при генераторном напряжении {Дном = 6... 10 кВ. Для уменьшения токов /л в ЛЭП, а следовательно, потерь мощности в линиях электропередачи Р, = 3/л7?л, где — сопротивление линейного провода, применяют повышенное напряжение путем использования повышающих трансформаторов; пр и.этом электрическая энергия передается при минимальных потерях мощности. Так как КПД мощных силовых трансформаторов достаточно высок (т]ном % = 95 — 99 %), полная мощность первичной обмотки трансформатора может быть принята практически равной полной мощности вторичной его обмотки, т. е. Si = t/i/i= U2h = Si, где U\ и U2 — напряжения и токи Л и /г соответственно первичной и вторичной обмоток трансформатора. С помощью повышающих трансформаторов на повысительной подстанции, расположенной вблизи электростанции, генераторное напряжение 6... 10 кВ повышают до значений НО, 220, 400, 500, 750 и 1150 кВ. При этом токи в линии электропередачи и ее сечение резко уменьшаются. Далее электрическая энергия при указанном высоком напряжении подается на районную понизительную подстанцию (РПС), которая обычно присоединяется к кольцевой районной сети. На распределительных подстанциях высокое напряжение понижается до значений 35, 10 и 6 кВ, а на центральном распределительном пункте (ЦРП) производственного предприятия это напряжение понижается до значений 380/220 или 660 В, соответствующих номинальному напряжению потребителей электроэнергии.
В процессе проектирования системы электроснабжения предприятий приходится определять электрические нагрузки и рассчитывать электрические сети, предназначенные для передачи и распределения электрической энергии между ее потребителями. При этом используется метод установленной мощности и коэффициента спроса. Коэффициент спроса Кс является статистической величиной, он определяется на основании опыта эксплуатации одноименных приемников и дается в справочных источниках.
Этот метод является приближенным, так как значение не постоянно и меняется, например, с изменением числа однородных потребителей электроэнергии группы. Кроме этого метода определения электрических нагрузок имеются и другие методы, например метод упорядоченных диаграмм или показателей графиков нагрузок, удельного расхода электроэнергии на единицу площади и др.
К сетям внутреннего электроснабжения относятся сети, размещенные внутри помещения или на территории объектов с номинальным напряжением до 1000 В. При этом наиболее распространена четырехпроводная трехфазная система напряжений 380/220 и 660/380 В. Расчет электрических сетей обычно выполняется по условиям допустимого нагрева проводов и кабелей и условиям допустимой потери напряжения. Потерю напряжения в электрических сетях постоянного тока рассчитывают по форму-
лам: % =----г— или А (У % —------тр—, где —расчетная
прU ном
мощность потребителя электроэнергии, Вт; U ном номинальное напряжение потребителя электрической энергии, В; / — расчетный ток нагрузки, А; I — длина линии, м; у — удельная проводимость проводов или кабелей, м/Ом-мм2; snp—сечение проводов или жил кабелей, мм2.
Потерю напряжения в трехфазных электрических цепях определяют исходя из выражения
А(/% = (/?0cos<p + X0sin<p)100 %, где 6/л ном — номи-
О л ном
нальдое линейное выражение, В; /л — линейный ток, А; /?о, -Vo — активное и индуктивное сопротивления километра провода, Ом/км; costp—коэффициент мощности потребителя электроэнергии и соответствующий ему sirup.
Сечения проводов, полученные в результате расчетов на нагрев, .механическую прочность и допустимую потерю напряжения в линии электропередачи сравнивают с табличными (каталожными) данными и выбирают их ближайшее большее значение.
Элементы электрических сетей и потребители электроэнергии защищаются от короткого замыкания с помощью плавких предохранителей и автоматов с максимальной защитой. Электрическая энергия, отпускаемая энергоснабжающей организацией потребителю электроэнергии, оплачивается потребителем в соответствии с действующими одноставочным и двухставочным тарифами на оплату.
Потребители электрической энергии преобразуют активную мощность в другие виды энергии и при этом периодически обмениваются с источником энергии реактивной мощностью, необходимой для нормальной работы отдельных звеньев цепи передачи электрической энергии (трансформаторов, реакторов,
электродвигателей и т. д.), которая затрачивается на создание переменных электромагнитных полей. Наличие реактивных токов потребителей электрической энергии вызывает дополнительные электрические потери мощности в проводах питающей сети, которые растут обратно пропорционально квадрату косинуса угла сдвига фаз (coscp):
Рэ = 3/.?/?л=—7
С/ л
S-R, P2R, t/2cos2<p
где /л — ток нагрузки; Р, S — активная и полная мощности потребителя; (Л, — линейное напряжение питающей сети; <р — угол сдвига фаз между напряжением и током.
Коэффициент мощности, являясь важным экономическим показателем, характеризующим качество использования электроэнергии, показывает, какую часть потребляемой полной мощности составляет активная мощность. Контроль качества электроэнергии, потребляемой предприятием, осуществляется энергоснабжающей организацией. В связи с этим значение коэффициента мощности не нормируется, а нормируется количество реактивной энергии, которое предприятие получает от энергосистемы. С учетом этого энергоснабжающая организация нормирует экономически обоснованную наибольшую величину реактивной мощности, которую предприятие может получить в период работы энергосистемы в режиме наибольшей ее активной нагрузки, определенную по техническим условиям, и наименьшую величину реактивной мощности, которая может быть передана энергоснабжающей системе в период ее наименьших активных нагрузок. В связи с этим на производственных предприятиях осуществляются мероприятия по компенсации реактивной мощности с использованием соответствующих компенсирующих устройств.
К таким мероприятиям относится применение статических конденсаторов, синхронных компенсаторов и синхронизированных асинхронных электродвигателей. Выбор параметров и режима работы компенсирующих устройств осуществляется с учетом обеспечения наибольшей экономичности, критерием которой является минимум приведенных затрат, при соблюдении всех технических ограничений.
При использовании на предприятиях для компенсации реактивной мощности косинусных конденсаторов необходимую реактивную мощность определяют исходя из выражения; QK = = Q„ — Q3 = PwtgtpM — /’«tgcp, = P„(tgq>M — tg<p3), где Q„ — фактическая реактивная мощность потребителя в часы максимума активной нагрузки энергосистемы, квар; Q3 — оптимальная реактивная мощность потребителя электроэнергии, заданная энергоснабжающей организацией, в часы максимума активной нагрузки энергосистемы, квар; Рн — заявленная потребителем активная мощность в часы максимума активной нагрузки энергосистемы (активная мощность, зафиксированная в приложении к
договору на пользование электроэнергией), кВт; tg<рм, tg<рэ — фактический и оптимальный (заданный энергосистемой) «тангенс фи» в часы максимума нагрузки энергосистемы.
Электрическую емкость трехфазной батареи конденсаторов при соединении конденсаторов «звездой» и «треугольником» определяют соответственно по формулам
* _ 3.-103Q„
Ч 2nfU* И U
103QK
, мкФ,
где f = 50 Гц — частота питающей сети; U»—линейное напряжение, кВ; QK —реактивная мощность конденсаторов, квар.
Наиболее часто косинусные конденсаторы соединяются в батарею «треугольником», так как при этом емкость ее оказывается в 3 раза меньшей, чем при соединении «звездой».
Различают централизованную, групповую, индивидуальную и смешанную схемы компенсации реактивной мощности. Выбор схемы компенсации осуществляется в результате технико-экономических сравнений схем, которые в принципе могли бы быть приняты к использованию на данном предприятии.
Расчеты по оплате за пользованием энергией потребители электроэнергии осуществляют по одноставочному и двухставочному тарифам. Одноставочный тариф включает в себя только плату за 1 кВт-ч отпущенной потребителю активной электрической энергии, учтенной расчетным счетчиком. По этому тарифу оплачивают промышленные и приравненные к ним потребители электроэнергии с присоединенной мощностью до 750 кВ-А включительно. При расчетах за пользование электрической энергией применяются скидки и надбавки к тарифу на электроэнергию по результатам компенсации реактивной мощности в электроустановках. Скидка или надбавка к тарифу для потребителей электроэнергии с присоединенной мощностью до 750 кВ-А определяется по шкале (табл. 15.1) в зависимости от величины
коэффициента К = -^-100 %, где <2кф и QK3 — соответственно, V м
фактическая мощность установленного оборудования и заданная энергоснабжающей организацией мощность компенсирующего
Таблица 15.1
При значении коэффициента К, % Размер скидки (—) и надбавки ( + ) К\, %
130 и более +50
От НО до 130 + ю
» 90 » НО -5
> 70 > 90 0
> 50 > 70 + ю
» 30 > 50 +30
До 30 + 50
устройства, квар. Шкала скидок и надбавок к тарифу за отклонение мощности компенсирующего устройства для потребителей с присоединенной мощностью до 750 кВ-А представлена в табл. 15.1.
Стоимость электроэнергии при оплате по одноставочному тарифу включает размер основной оплаты за электроэнергию, потребляемую предприятием: ^01 = Л>1Ига, руб., где Ь\ — плата за 1 кВт ч потребляемой электроэнергии (для одноставочного тарифа определяется по прейскуранту), руб.; — активная энергия, потребляемая предприятием по счетчику, кВт-ч.
Размер скидки или надбавки к оплате за отклонение мощности компенсирующего устройства от заданной электроснабжающей организацией рассчитывают по формуле: Ва=сИ\
или Вд=±-^-Во1, руб, где с=±6|-^----------размер надбавки
1 IAJ 1 ии
(+) или скидки (—) к тарифу на электрическую энергию за 1 кВт-ч, руб.
Общая стоимость оплаты за электроэнергию при работе по одноставочному тарифу рассчитывается по формуле: Bi = Boi ±
±.Ва = Ь^х i - - ~К' b'W„ руб. По двухста-
1UU 100
По двухставочному тарифу рассчитывают промышленные и приравненные к ним потребители электроэнергии с присоединенной мощностью выше 750 кВ-А. Двухставочный тариф учитывает годовую стоимость 1 кВт-ч'заявленной (абонированной) потребителем электроэнергии максимальной мощности в период максимума нагрузки энергосистемы (основная или постоянная плата) и плату за 1 кВт-ч отпущенной потребителю активной электроэнергии (дополнительная или переменная плата).
Размер основной стоимости электроэнергии при оплате по двухставочному тарифу рассчитывают исходя из выражения:
Во2 = d\ (S Рэаяв ) Н-——---- ] ,
L ' COS<f0T]cp J
где S — заявленная присоединенная или наибольшая получасовая мощность, отпускаемая потребителям в часы суточного максимума активной нагрузки энергосистемы, кВ-А; Рзалв — заявленная присоединенная активная мощность в часы «пик» нагрузки энергосистемы, кВт; Рус, — установленная активная мощность потребителей, кВт; d — тарифная ставка за 1 кВ-А заявленной присоединенной мощности или за 1 кВт заявленной присоединенной мощности в часы «пик» нагрузки энергосистемы (плата на 1 кВт максимальной нагрузки), руб/год; cos<pcp— средний коэффициент мощности; т|ср — средний КПД потребителей.
Дополнительная плата за фактически израсходованную по
счетчику активную энергию рассчитывается по Формуле: Ва2 = Ь2№\, руб., где Ь2 — плата за 1 кВт ч потребленной электроэнергии, руб. (для двухставочного тарифа определяется по прейскуранту); — годовая отпущенная потребителю по счетчику активная электрическая энергия, кВт-ч. При оплате по двухставочному тарифу потребитель электроэнергии заинтересован более полно использовать установленную мощность трансформаторов, не завышать их мощность, выравнивать потребление электроэнергии (график нагрузки). При расчете с промышленными и приравненными к ним потребителями электроэнергии для обеспечения заинтересованности предприятий в мероприятиях по компенсации реактивной мощности предусматривается поощрение в виде шкалы скидок, а за превышение заданной величины потребляемой реактивной мощности — надбавок к тарифу на электрическую энергию. Скидки и надбавки на электрическую энергию для потребителей с присоединенной мощностью выше 750 кВ-А включают надбавки за превышение расхода реактивной мощности электроустановки по сравнению с заданной энергоснабжающей организацией в часы максимальной
о 11 Фф1 О/
активной нагрузки энергосистемы: /Л = 30--------%, где
ОФ1 — фактическая реактивная мощность, расходуемая потребителем электроэнергии в часы максимума активных нагрузок энергосистемы, квар; Qsi—оптимальная реактивная мощность в часы максимума активной нагрузки энергосистемы, заданная энергоснабжающей организацией потребителю, квар; РФ — фактическая максимальная активная мощность потребителя электроэнергии за расчетный период, кВт. В том случае, когда Оф^Ол, /71=0. Скидки или надбавки (%) к тарифу на электроэнергию за несоблюдение режима работы компенсирующего устройства, заданного энергоснабжающей организацией, оцениваются по отклонению фактически' потребленной реактивной мощности от заданной в часы минимума активной нагрузки энергосистемы: H2—2Q^^—QilL., ’ф
— 2, где Сф2 — фактическая реактивная мощность, расходуемая потребителем в часы минимума активной нагрузки энергосистемы, квар; Q92 — заданная энергоснабжающей организацией оптимальная реактивная мощность в часы минимума активной нагрузки энергосистемы, квар (реактивные мощности 0ф2 и Q,? определяются энергоснабжающей организацией на каждый квартал текущего года).
Положительные значения Н2 означают надбавку, отрицательные — скидку (разность в скобках всегда принимается положительной независимо от ее знака). Суммарная величина оплаты за пользование электроэнергией при расчете по двухставочному тарифу: В2= N2±L(2 = (Bo2-[-B^)±H/\OO-(Bo2 + Bl2)) руб/год, где N2 = В02 + Вл2 — величина оплаты за пользование электроэнергией без скидок и надбавок, руб/год; Ц2 — скидка «—» или
«-|-» надбавка к тарифу за отклонение от установленных норм компенсации реактивной мощности, Д2=±///100.А2=±///100Х X (В02 + Вдг), где Н — скидка и надбавка к тарифу, %; или В2 =
_ 100 ,р । о 100±D п /
100 । ^д2 ) — IQQ I и (р “|“ г заяв ) “р г уст jCOS(pcpT]cp “р
+ b2Wa • 1 ОСИ8], руб/год.
Литература: [1] § 3.1—3.8; 12.7—12.9; [2] §3.1—37; 17.7
Примеры решения задач
15.1. Электрооборудование цеха питается от трехфазной электрической сети с номинальным линейным напряжением ^Ллном —220 В. Суммарная номинальная расчетная мощность потребителей электроэнергии Р]НОМ = 40 кВт при значении коэффициента мощности созфном = 0,8. Определить сечение трехжильного кабеля, проложенного от цеховой подстанции до самого удаленного от подстанции потребителя. Длина кабеля /= = 25 м = 0,025 км.
1яом
Решение. Расчетный ток кабеля /р =
. „3 ^1лИОМСО5^1ЯОМ
__ ^u' |и ___ IV) А
73^220-0,8 1г52А-
Данному значению расчетного тока соответствует трехжильный кабель с алюминиевыми жилами, сечением 3X70 мм2, марки ААБГ 3X70. При прокладке в закрытом помещении кабель допускает длительную нагрузку по току /ДОп = 155 А.
Проверка сечения кабеля по плотности тока производится исходя из условия: /ДОп>/Р. В данном случае это условие удовлетворяется, так как /доп = 155А>/Р= 132 А.
Проверка кабеля по допустимой потере напряжения осуще-
ствляется по формуле: \U%= 100/р\р0со5фном + Aosinq>HOM >= ^1лиом
л/3-Юр. 132-0,025 к л о , п ое n i ci о/ п
= —------220-------' (0,5-0,8 + 0,35-0,6)= 1,61 %, где Ro — актив-
ное сопротивление 1 км кабеля, Ом/км; Ло — индуктивное сопротивление 1 км жилы кабеля, Ом/км. Для принятого сечения кабельных линий напряжение до 1000 В приближенно можно принять /?о=О,5; Хо = 0,350 Ом/км, потеря напряжения в кабеле At/ % = 1,61 %<{/доп= 5 %, что допустимо.
15.2. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа А62-6 имеет номинальные данные: Р2яом=Ю кВт; С71ЛНОМ=380 В; и2ном= = 970 об/мин; т]„Ом = 86,5 %; cos<p1HOM == 0,82; кратность пускового тока X/ = 4,5. Определить сечение snp алюминиевых проводов
Рис. 15.3
6/0,4к8
Рис. 15.4
марки АПР-500 при прокладке их в газовых трубах, выбрать предохранители с соответствующими плавкими вставками.
Решение. Номинальный ток электродвигателя • 11ном —
Ргяом'Ю3 1Q-103 — 21 5 А
л л/ 3 * 380* 0.82 • 0,865
Исходя из значения тока /, «ом = 21,5 А, по соответствующей таблице находят стандартное сечение алюминиевого провода snp = — 4 мм2, которому соответствует длительно допустимый расчетный ток /доп = 28 А.
Выбор плавких вставок предохранителей для защиты электродвигателей от токов короткого замыкания производят исходя из условия: /пвст > = ~~2у- — 39,7 А. Выбираем предохрани-
тель типа ПР-2 на номинальный ток Лом = 60 А с током плавкой вставки Ласт = 45 А. Проверку производят исходя из условия: /пвст//доп= 45/28 = 1,6<3. Следовательно, плавкая вставка обеспечивает защиту установки от действия токов короткого замыкания.
15.3. В трехфазную трехпроводную питающую сеть с линейным напряжением t/1;IHOV=660 В включен асинхронный электродвигатель с номинальными данными: Ргном = НО кВт; cos Фыом = 0,9; rjHOM = 0,92. Определить коэффициент мощности cos <р установки после подключения батареи конденсаторов с емкостью С = = 635 мкФ в каждой фазе, соединенных треугольником (рис. 15.3), и линейный ток /л в питающей сети.
Решение. Активная мощность, потребляемая асинхронным электродвигателем при номинальной нагрузке: Pi ном = Pi ном/т|ном = = 110/0,92 = 119,56 кВт.
Реактивная мощность, потребляемая при этом двигателем: Qi «ом = Pi ном tg<p1HOM= 119,56-0,484 = 57,87' квар, где tg <Pi„OM = = 0,484, соответствующий номинальному значению cos <р1ноч = 0,9; угол <р = 25°50'.
Двигатель Номинальная мощность ^2ном> Номинальный кпд Ином* % Номинальный коэффициент мощности COS'PlTOM Кратность пускового тока К/ Номинальный ток А НОМ’ А Рабочий ток /Р. А Пусковой ток 7 Д Чпусж» ™
о. 10 86,5 0,82 4,5 21,5 20,4 97
D, 28 90 0,88 5.5 54 5,13 297
D3 40 90,5 0,89 6,0 76 72,1 456
Dt 55 91 0,89 6,0 103 98 618
Реактивное сопротивление конденсаторов: Хс = 1 /о>С = = 107(314-635) = 5 Ом.
Полная мощность, потребляемая двигателем при номинальной
нагрузке: А1НОМ = д/Р ।ном + Q2 = д/11 9,562 + 57,872 = 121 кВ-А.
Реактивная мощность конденсаторов: Qc = 3U2/Xc — 3^- = = 261,36 квар.
Реактивная мощность, потребляемая установкой при включении конденсаторов: Q=Qc—Q\«.>«= 261,36—57,87=203,49 квар.
Полная мощность, потребляемая установкой при включении конденсаторов: S = д/ Р? „0« 4- Q2 = д/119,562 + 203,492 = 236 кВ-А.
Линейный ток, потребляемый установкой при включении конденсаторов: /л = S/д/3 ил = 236 gee = 206,7 А.
Коэффициент мощности установки с конденсаторами cos <р = = Piном/S = 119,56/236 = 0,59 (опережающий).
15.4. Радиальная система распределения электроэнергии силовой питающей сети при номинальном напряжении (71ном= 380 В (рис. 15.4) обеспечивает питание четырех асинхронных короткозамкнутых электродвигателей, номинальные данные которых приведены в табл. 15.2. Исходя из номинальных токов электродвигателей, выбрать автоматические выключатели и сечения snp алюминиевых проводов для питания отдельных асинхронных электродвигателей; прокладка проводов осуществляется в газовых трубах в помещении нормального типа при температуре окружающей среды t = 25 °C.
Решение. Номинальный ток электродвигателя Dt (табл. 15.2).
г _______________________ ______10 - 103____ 9| с: д
1НОМ А,/ ~ чЗ-380-0,865-0,82 ’ ’
V 3 ^Лном^номСО® *Р1ном
Рабочий ток электродвигателя: /Р = Аз/ном = 0,95-21,5 = = 20,4 А, где Аз — коэффициент загрузки двигателя по току
Таблица 15.2
Тип автомата Тип расцепителя автомата Номинальный ток Кратность токов срабатывания расце-пителя Ток плавкой вставки / п вст предохранителя, А Сечение провода марки АПР, мм2
автомата / ном а- А расцепи-теля / А ‘ ном р, Л
теплового электромагнитного
АЗ 163 Тепловой 50 20 1 91 1 ном р 45 3X4
А3114/1 Комбинированный 100 60 1,25/ ном р 10/ном р — ЗХ 16
A3I14/1 » 100 85 1,25/ ном р 1 0/ НОМ р — 3X25
А3114/1 » 100 100 1,25/ ном р 10/ НОМ р — 3X50
(Аз = 0,95). Пусковой ток электродвигателя: Апусх = ^1Ляом = = 4,5-21,5 = 97 А, где К/ = ЦЩС1/1}1Ю1Л= 4,5 — кратность пускового тока электродвигателя.
Автоматический выключатель для электродвигателя D} выбирают с тепловым расцепителем. Номинальный ток автомата Ai выбирают из условия: Дома>7р, а номинальный ток расцепителя — из условия: /Но«Р /Р.
Исходя из расчётных данных, выбираем автоматический выключатель типа А 3163. Номинальный ток автомата /НОма = 50 А, номинальный ток теплового расцепителя /НОмР = 20 А. Так как выбранный автомат типа А 3163 имеет только тепловой расцепитель и не обеспечивает защиту от токов короткого замыкания, при этом предусматривается дополнительно установка предохранителей. Выбираем предохранители типа ПР-2 на ток 60 А; ток плавкой вставки /пвСт = 45 А. Расчеты для других электродвигателей производятся аналогично. Типы автоматических выключателей и сечения выбранных проводов для всех электродвигателей приведены в табл. 15.2.
15.5. Привод насосов насосно-фильтровальной станции осуществляется асинхронными электродвигателями с короткозамкнутым ротором при номинальном напряжении ^inoM = ^0 В. Определить мощность 51ном трансформатора, если электродвигатели насосов имеют номинальные данные, приведенные в табл. 15.3, при этом учесть мощность осветительного оборудования. Общая площадь станции Sc=300 м2.
Решение. Установленная мощность осветительной нагрузки станции определяется по методу удельной мощности: Рос = = Руд£с = 10-300 = 3000 Вт = 3 кВт, где РУд — удельная установленная мощность, Вт/м2 (при освещении помещения лампами накаливания принимаем по справочнику Руд= 10 Вт/м2).
Суммарная активная мощность электродвигателей типа
* Электродвигатели серии А в настоящее время ие изготовляются, ио имеются в эксплуатации.
Наименование групп потребителей электроэнергии Количество токо-при-емни-ков Л/, шт. Установлен -ная мощность А. кВт Коэффициент спроса К. tWl»» Мощности
активная & реактивная <2р. квар полная sP. кВ-A
Электродвигатель насоса 12НДстипа А103-4М, Р2ном = — 200 кВт; Л2ном = = 1475 об/мин 2 400 0,8 0,91 0,445 320 142,5 352
Электродвигатель насоса 16НДв типа А102-8М, Р2ном-= 100 кВт; «2яом = = 740 об/мин 1 100 0,6 0,86 0,59 60 35,4 69,8
Электродвигатель насоса КВН-4 типа А02-22—4, ^2ном 1,5 к Вт; л2яом ~ 450 об/мин 1 1,-5 0,5 0,81 0,72 0,75 0,539 0,93
Электродвигатель дозировочного насоса ПР-5/6,Р2ном=2,8 кВт; п2но.м =2900 об/мии 2 5,6 0,8 0,85 0,62 4,48 2,78 7,23
Электродвигатель насоса 1,5Х-6п перекачки раствора коагулянта типа А02-31-2,Р2яОм = 2,8 кВт; п2ном = 2900 об/мин 1 2,8 0,8 0,38 0,54 1,76 0,95 2
Электродвигатель насоса 6К-12а повторного пользования воды типа А02-52-4, Р2яом= Ю кВт; л2иом = 1450 об/мин 1 10 0,4 0,88 0,54 4 2,08 4,5
Электродвигатель воздуходувки ВВН-12 типа А02-82-6, Р2яом=25кВт; л2яом= 975 об/мин 2 50 0,8 .0,82 0,7 40 28 48,7
Электродвигатели из-вестемешалки 1 10 0,8 0,82 0,7 28 5,5 9,76
Электродвигатели вентиляторов !• 30 0,8 0,82 0,7 24 16,8 29,4
Нагрузки котельной 1 25 0,8 0,8 0,75 20 15 25
Прочие нагрузки Итого 2 40 0,6 0,8 0,89 0,75 0,507 24 Х'Рр 527 18 2 Ср 268 20 600
Осветительная нагрузка Суммарная нагрузка 1 3 0,8 cos^ 0,89 tg<Pcp 0,507 2,4 ХРр 529,4 268 2,4
А103-4М* насосов 12НДс: РЕ=РуаЛ;=400 0,8 = 320 кВт, где К — коэффициент спроса, для насосов этого типа /^ = 0,8 (табл. 15.4).
Мощности электродвигателей А103-4М насосов типа 12НДс: суммарная реактивная Qs = PEtg9>i„oM = 320-0,445 =
Электроприемиики и обслуживающие . их механизмы Расчетные коэффициенты
Кс COS фр tg<₽P
Металлообрабатывающие станки с индивидуальным приводом в цехах холодной обработки металлов 0,14—0,16 0,50 1,732
Краны ремонтных, механических и других подобных цехов 0,06 0,50 1,732
Механизмы непрерывного транспорта: сблокированные 0,65 0,75 0,882
несблокироваиные 0,60 0,75 0,882
Вентиляторы: производственные 0,75—0,85 0,80—0,85 0,75—0,62
сантехнические 0,65—0,70 0,80 0,75
Насосы, поршневые компрессоры и газовоздуходувки, двигатели-генераторы, дымососы и т. п. 0,75—0,85 0,80 0,75
Турбогазовоздуходувки 0,85 0,85 0,62
Дробилки, грохоты, бегуны и т. д. 0,75—0,80 0,80 0,75
Мельницы 0,80—0,85 0,80—0,85 0,75—0,62
Мешалки, центрифуги, сгустители, классификаторы и т. п. 0,75 0,75 0,882
Индукционные электропечи (без компенсации коэффициента мощности): высокой частоты 0,80 0,10 10,05
низкой частоты 0,80 0,35 2,677
Печи сопротивления с нагрузкой: автоматической 0,70—0,80 0,98 0,203
неавтоматической 0,60—0,70 0,98 0,203
Трансформаторы дуговых печей 0,90 0,87 0,567
Агрегаты электрофильтров для газов 0,80 0,78 0,802
= 142,5 квар, где tg ф— величина, соответствующая заданному COS(Pihom = 0,91; суммарная полная 52. = х/р^+О^=Л/з202+ 142,52 = = 352’кВ-А.
Аналогичным образом производят расчеты и для других групп потребителей электроэнергии.
Средневзвешенное значение коэффициента мощности силовых потребителей электроэнергии станции без учета осветительной нагрузки определяется отношением: (см. табл. 15.3) tg ф = = S Qp/S'^p = 268/527 = 0,507, откуда cos ф = 0,89.
Средневзвешенное значение коэффициента мощности установки с учетом осветительной нагрузки РрОс = КсРос станции определяется из выражения: tg фср = SQp/^Pp — 268/(527 + + 2,4) = 0,507, откуда cos (р^ — 0,89.
Суммарная полная мощность потребителей электроэнергии с учетом осветительной нагрузки: 25р = ~\/(S^p)2 + (SQp)2 = = д/(529,4)2 + 2682 = 593 кВ • А.
С учетом обеспечения резерва бесперебойного электроснабжения для питания насосной станции выбираем два трансформа-
тора типа ТМ-630/6—10 с номинальной мощностью 51ном = = 630 кВ-А. Результаты расчетов сведены в табл. 15.3.
15.6. Для повышения коэффициента мощности и уменьшения потребляемой из питающей сети реактивной мощности предусмотрена ее компенсация с применением косинусных конденсаторов. Среднее расчетное значение фактического cos фм = = cos фсР = 0,76 установки. Средняя суммарная активная мощность потребителей электроэнергии предприятия Рср = 2 Р'~ = = 311,14 кВт, линейное напряжение питающей сети £71л = = 380 В. Определить емкость С и тип конденсаторов, необходимых для подключения к питающей сети с целью повышения коэффициента мощности до оптимального значения, заданного энергосистемой: cos фэ = 0,92 (tg ф, = 0,43). Составить электрическую схему включения конденсаторов С и разрядных сопротивлений Рр.
Решение. Фактическая реактивная мощность потребителей электроэнергии установки: = Pcptg фм = 311,14-0,842 =
= 262 квар, где tg ф« — фактический «тангенс фи», соответствующий cos ф„ = 0,76 (tg ф„ = 0,845).
Оптимальная реактивная мощность потребителей электроэнергии исходя из значения tgфs, заданного энергосистемой: Qi= Pcptg фэ= 311,14-0,43 = 133,9 134 квар.
Реактивная мощность косинусных конденсаторов, необходимая для повышения коэффициента мощности до заданных пределов: QK= Q„ — Q,= 262— 134 = 128 квар.
Для компенсации реактивной мощности целесообразно устанавливать конденсаторы, которые в трехфазной системе соединяются «треугольником», так как при этом напряжение на каждой фазе емкости оказывается в -\/3 раза больше, чем при соединении «звездой», а требуемая при этом емкость конденсаторов — в 3 раза меньше, чем при соединении их «звездой».
Емкость батареи конденсаторов на три фазы при соединении
«треугольником»
с —_______________
10’-128
2-3,14-50-0,38*
2810 мкФ,
где f — частота (/ = 50 Гц); иХл — линейное напряжение «а конденсаторе, кВ; Qk — реактивная мощность конденсаторов, квар.
По данным расчета и справочнику выбирают косинусные конденсаторы типа КТМ 5/0,38 емкостью Cr= 110 мкФ (технические данные приведены в табл. 15.5).
Таблица 15.5
Тип коси и ус Н Ы ) конденсаторов Мощность реактивная QHOM> квар Номинальное напряже-чае Ч«ом- В Емкость Ск, мкФ Потери мощности, Вт Масса кондеи-сатора, кг Размеры конденсатора, мм
высота длина ширина
КТМ 5/0,38 5 380 ПО 20 27,9 430 315 165
Количество конденсаторов в батарее: /VK= С\/Ск = = 2810/110 = 25,54 26 шт.,
где С к — емкость одного конденсатора (С\= 110 мкФ).
Количество конденсаторов в батарее (на три фазы) должно быть кратно 3, поэтому фактическое их количество округляется до Мф=27 шт.
Фактическая мощность батареи конденсаторов: Qk$— = Мф(?„ом=27-5 = 135 квар, где Qhom—номинальная реактивная мощность одного конденсатора, квар (Q„04=5 квар) (табл. 15.6).
Значение разрядного сопротивления конденсаторов на одну лений «звездой»
Рис. 15.6
фазу при включении сопротив-
р = = 5•1 °"J0’22-- = 17,926-102 Ом,
г /
ГДС0^22 цФазное напряжение сети, кВ (СЛФ= U^jy/3 = 0,38/1,73 —
На рис. 15.6 приведена схема включения в сеть косинусных конденсаторов С «треугольником» при напряжении сети 0,4 кВ и схема включения разрядных сопротивлений /?Р «звездой», предохранителей П и автоматического выключателя АВ.
Разрядное сопротивление может быть включено и «треугольником», при этом значение его, определенное по приведенной выше формуле, оказывается в \/3 раз больше.
В процессе эксплуатации разрядное сопротивление подклю
чается к конденсаторам после отключения их от сети.
15.7. На предприятии привод механизмов оборудован трехфазными асинхронными электродвигателями с короткозамкнутым ротором общепромышленного применения с номинальным линейным напряжением (71ЯОМ = 380 В при частоте /1 = 50 Гц. Суммарная активная мощность электродвигателей 2 — 311,14 кВт,
оптимальное значение реактивной мощности потребителей при заданном энергосистемой значении «тангенса фи» Q3 = 134 квар. Мощность осветительных приборов Рос = 86,80 кВт.
Предприятие снабжается электрической энергией от питающей сети высокого напряжения 6/|НОМ = 6 кВ. Определить расчетную мощность и выбрать по каталогу трансформаторы для питания асинхронных двигателей н осветительной нагрузки, составить схему электроснабжения потребителей электроэнергии предприятия, которое по условиям обеспечения бесперебойного электроснабжения относится к первой категории.
Решение. Полная мощность трансформатора, необходи
мая для питания потребителей электроэнергии с учетом компенса-ции реактивной мощности: S' = л/ £ У + Q» = л/311,142-ф1342 = = 338,7 кВ-А.
Для обеспечения надежного резервирования электроснабжения потребителей предприятия, относящегося к первой категории, принимаем к установке два трансформатора одинаковой мощности, с тем чтобы любой из них при аварийной ситуации с учетом допустимой его перегрузки мог бы питать всю нагрузку предприятия, а в нормальном режиме — 60—70 % нагрузки предприятия.
Мощность трансформаторов с учетом допустимой перегрузки и обеспечения бесперебойности электроснабжения: S = S'/NTKn = =338,7/(2-0,65)=242 кВ-A, где Ап=0,6-г-0,7; Ат—число силовых трансформаторов (с учетом категории потребителей электроэнергии по бесперебойности электроснабжения, Ат = 2).
По значению расчетной мощности S = 242 кВ-А и мощности осветительных приборов Рас = 86,8 кВт выбираем по каталогу соответствующие трансформаторы.
Технические данные выбранных силового и осветительного трансформаторов приведены в табл. 15.6.
Таблица 15.6
Тип трансформатора Количество Л\, шт. Номинальная мощность с °1НОМ’' кВ-А Напряжение обмоток, кВ Потери мощности, кВт Ток холостого хода, /о, % Напряжение короткого замыкания, Uh. %
вн ^1 ном НН ^2ном холостого хода, Ро короткого замы- кания, Рк
ТМ-250/6—10 2 250 6—10 0,23 0,82 3,7 2,3 4,5
0.4 0,74 4,2 4,7
ТМ-100/6-10 1 100 6—10 0,23 0,365 1,97 2.6 . 6,5/6,8
0,4 0,33 2,27
Схема электроснабжения производственного предприятия приведена на рис. 15.7. Здесь АВР — устройство автоматического включения резерва; 1А—НА — автоматические выключатели трансформаторов; ЗА — 15А — автоматические выключатели отходящих к потребителям питающих линий; ТМ-250/6—10 — трансформатор силовой мощностью 51НОМ = 250 кВ-А; ВМ — выключатель масляный; Р — разъединитель на 10 кВ; Ш — шины низкого напряжения, 0,4 кВ; ТМ-100/6—10 — трансформатор для осветительных приборов мощностью 51ном = 100 кВ-А.
Указанная схема позволяет обеспечить бесперебойное электроснабжение потребителей электроэнергии предприятия, при этом в нормальном режиме оба трансформатора находятся в работе. В аварийной ситуации при снятии напряжения с ввода /, если ие будет восстановлено напряжение в течение 3—5 с, включается
устройство автоматического резерва АВР, которое обеспечивает снабжение электрической энергией потребителей, ранее питавшихся от ввода /, через ввод 2 (от одного трансформатора).
При этом обесточенные электродвигатели, подключенные к трансформатору ввода 1, с помощью релейно-контакторной аппаратуры подключаются к трансформатору ввода 2, самозапус-каются и восстанавливают частоту вращения.
Продолжительность работы электродвигателей по схеме с одним трансформатором определяется временем, необходимым для устранения причины возникновения аварийной ситуации. При выборе типа трансформатора следует учитывать, что его вторичное напряжение должно соответствовать номинальному напряжению потребителей электрической энергии. Приводные двигатели производственных механизмов предприятия, как указано выше, рассчитаны на стандартное напряжение 220/380 В, поэтому принимаем напряжение трансформатора на вторичной обмотке 0,23—0,4 кВ. Исходя из этого выбираем по каталогу трансформатор типа ТМ—250/6—10 с номинальной мощностью £1НОМ = = 250 кВ-А; номинальное напряжение обмоток: (высокого напряжения) ВН — 6—10 кВ; (низкого напряжения) НН — 0,23— 0,4 кВ.
Для обеспечения питания осветительной нагрузки по суммарной мощности, потребляемой осветительным оборудованием, равной Ро ном = 86,8 кВт, выбираем осветительный трансформатор. Номинальное напряжение вторичной обмотки осветительного трансформатора также должно соответствовать номинальному напряжению осветительных приборов, равному 220 В. Поэтому принимаем напряжение низковольтной обмотки трансформатора равным 0,23—0,4 кВ. Исходя из этого, выбираем осветительный трансформатор типа ТМ-100/6—10.
15.8. Производственное предприятие оборудовано пятью однотипными асинхронными электродвигателями с номинальными значениями: мощности Ргном = 110 кВт; КПД "Ином — 0,92 и коэффи
Рис. 15.7
ВН>дЗ(б-10к9)
циента мощности cos<pInOM = 0,9. Электродвигатели работают с номинальной нагрузкой время t = 10 ч/сут в течение 40 сут. Предприятие платит надбавку к тарифу на электрическую энергию за отклонение мощности компенсирующего устройства от заданной энергоснабжающей организацией (Горэнерго), определяемой по коэффициенту К= 115% (см. табл. 15.1), равному отношению фактической мощности установленного компенсирующего устройства С?кф к мощности компенсирующего устройства QK3, заданной энергоснабжающей организацией. Определить размер, оплаты за пользовани£ электроэнергией.
Решение. Присоединенная активная мощность группы электродвигателей (N = 5): Pt = = 5' * ‘ ° = 597,8 кВт.
Лном М,У2
Полная мощность, потребляемая группой электродвигателей: Si — Р,/cosф1Н0М = 597,8/0,9 = 664,22 кВ-А.
Время работы электродвигателей в течение 40 сут: Т — 40-10 = = 400 ч.
Активная энергия, потребляемая электродвигателями за 40 суток Wa = Р, Т = 597,8-400 = 239 120 кВт-ч.
В соответствии со шкалой скидок и надбавок к тарифу за компенсацию реактивной мощности для потребителей электроэнергии с присоединенной мощностью до 750 кВ-А (см. табл. 15.1) значению коэффициента К = 115% соответствует надбавка К\= + 10%. Так как присоединенная мощность находится в пределах до 750 кВ-А, расчет за пользование электрической энергией производится по одноставочному тарифу.
Размер основной стоимости электрической энергии в системе Горэнерго, потребляемой асинхронными электродвигателями в течение 40 суток В01 = ЬИ\=0,5 239120= 119500 руб., где b — плата за 1 кВт ч потребленной энергии (Ь=0,5 руб./кВт-ч). Тарифная стоимость 1 кВт-ч потребляемой энергии приведена в табл. 15.7.
Размер надбавки к тарифу на электрическую энергию за 1 кВт-ч: с =&-^2-= 0,5— = 0,05 руб.
100 100
Размер дополнительной оплаты (надбавки) за отклонение мощности компенсирующего устройства от мощности, заданной энергосистемой: Bal = cWl = 0,05 • 239 120 = 11950 руб. или 2?д1 = = +^о ’ 119500= 11950 руб.
Суммарная стоимость оплаты за отпущенную энергосистемой электроэнергию: В{ = В01 + ВД1 = 119500 +11950 =131,450 руб.
15.9. Производственное предприятие снабжается электрической энергией от энергосистемы Ленэнерго с оплатой за 1 кВт максимум абонированной (заявленной) мощности Р„ = 800 кВт. Энергосистемой задана потребителю оптимальная величина «тангенс фи» tg фэ = 0,20, фактическая величина «тангенса фи» по приборам расчета составила tg <рм = 0,60, при этом показания счетчиков потребления активной энергии за полугодие №а =
Наименование энергосистемы Двухставочные тарифы Одноставочные тарифы по группе потре-бителей, за 1 кВт • ч
промышленные и приравненные к ним потребители с присоединенной мощностью 750 кВ 'А и выше (группа 1)
промышленные и приравненные к ним по-грабители с присоединенной мощностью до 750 кВ А (группа 2)
плата за 1 кВт максимальной нагрузки d, руб/год плата за 1 кВт ‘ ч потребленной электроэнергии d,
Архэнерго Брянскэнерго Белгородэнерго Волгоградэнерго Воронежэнерго Грозэнерго Горэнерго Ивэнерго Калининэнерго Костромаэнерго Куйбышевэнерго Калининградэнерго Карелэнерго Колэнерго Комиэнерго Липецкэнерго Ленэнерго Мордовэнерго Мосэнерго Орелэнерго Пензаэнерго Рязаньэнерго Саратовэнерго Смоленскэнерго Тамбовэнерго Татэнерго Тулаэнерго Ульяновскэнерго Чувашэнерго Ярэнерго 4,5 4,2 3,9 3,6 3,6 3,6 3,6 3,9 3,9 3,6 3,6 4,2 3,9 3,9 4,5 3,6 3,6 3,9 3,6 3,9 3,9 3,9 3,6 4,2 3,9 3,6 3,9 3,9 3,9 3,9 0,70 0,70 0,60 0,45 0,45 0,45 0,50 0,60 0,55 0,50 0,45 0,70 0,45 0,45 0,70 0,50 0,50 0,60 0,50 0,60 0,60 0,60 0,45 0,70 0,60 0,45 0,55 0,60 0,60 0,60 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
* Примечание. Приведенные данные могут быть использованы только для учебного процесса, так как являются приближенными и быстроизменяющимися в условиях рыночной экономики.
= 750 000 кВт. Определить стоимость электрической энергии, потребляемой производственным предприятием за полугодие по двухставочному тарифу.
Решение. Размер основной оплаты (постоянной части оплаты) за пользование электрической энергией за полугодие: В02 = -yS = 4Рм= ~ 800 = 1440 РУ6 ’ где d — тарифная ставка оплаты за 1 кВт заявленной мощности (максимальной нагрузки) в часы «пик» нагрузки энергосистемы за год в энергосистеме Ленэнерго d=3,6 (табл. 15.7) ;S — заявленная (абонированная мощность), т. е. наибольшая получасовая мощность, отпускаемая потребителю электроэнергии в часы суточного макси-
мума активной нагрузки энергосистемы. В данном случае принимается полная мощность, равная активной мощности, т. е. S = = (Рм = 800 кВт)= 800 кВ-А.
Размер дополнительной оплаты (переменной части оплаты) за фактически израсходованную активную энергию по счетчику: Вл = Ь и; = 0,5 • 75 000 = 37 500 руб., где Ь — оплата за 1 кВт ч потребленной электроэнергии в системе Ленэнерго (табл. 15.7, />=0,5 руб/кВт-ч); — активная энергия, потребленная предприятием за полугодие, UZa = 75 000 кВт-ч. Скидка и надбавка (=F Н) к тарифу за компенсацию реактивной мощности определяется по табл. 15.8; значению tg<p3=0,20 и фактическому значению tg <рм = 0,60 соответствует надбавка к сумме оплаты Н = 5 % или в относительных единицах Н = + 0,05.
Суммарная стоимость электрической энергии за полугодие при расчете по двухставочному тарифу: B2=N2+Ц2 = (В02+ Вд2) + " (В02 + Вд2) + Д2 = (1440 + 37500)+~ (1440 + 37500) + + 757,5 = 38940 + 0,05-38940 + 757,5=41642,5 руб., где Ц2 — размер надбавки за превышение норм расхода реактивной мощности (Ц2=757,5 руб.).
15.10. В однофазную электрическую сеть переменного тока включена осветительная нагрузка и однофазные асинхронные 382
о
Рис. 15.10
электродвигатели D\ и £>2 (рис. 15.10, а). Определить токи в ветвях электрической цепи и емкость С батареи конденсаторов, которую следует включить, чтобы довести коэффициент мощности всей установки до cos <р2 — 0,92. Номинальная мощность одной лампы Рл=60Вт; число ламп Ал=10; номинальные данные двигателя: />2ном = 0,75 кВт; Пном = 0,75 %; cos <р1ном = 0,6; {7)ном = = 220 В. Построить векторную диаграмму токов и напряжения для рассматриваемой электрической цепи.
Решение. Суммарная активная мощность, потребляемая
электрической цепью: Pt — 2PimM —--------1- 10Рл = —Н ЮХ
"Ином м,/Э
Х0.06 = 2600 Вт = 2,6 кВт.
Мощность суммарная __7^2яом s*n 1яом
C0S <Р|Яом7„ом
цепи до включения батареи конденсаторов: реактивная: Qt = 2Q 1ном = 2SlH0M sin ср 1ном =
2-0,75 0,8
= = 2 1,33 = 2,66 квар, где sin<р1яом = 0,8;
откуда <р1ном = 53° 10'; ____ ________________ ____________
полная: S, = + Qi = л/2,62 + 2,662 = д/13,87 =
= 3,73 кВ-A = 3730 В-А.
Коэффициент мощности установки до включения батареи конденсаторов: cos <pi = Pi/St = 2,6/3,73 = 0,69; sin <pi = 0;71.
Суммарная реактивная мощность цепи после включения батареи конденсаторов: Q2 = Sisin <рг = —s—— = 2600^21= 2600Х COS (р2
Х0.34 = 890 вар, где sin <р2 = 0,317, откуда <р2 = 18°30'.
Реактивная мощность конденсаторов: Qc = Qi — Q2 = 2660 — — 890 =1770 вар =1,77 квар или Qc = (tg <pi — tg <рг) = = 2600(1,03-0,34)= 1770 вар = 1,77 квар.
Требуемая для компенсации емкость батареи конденсаторов: С= Qc/сщ t/2OM = 1770/314 2202 = 0,0001165 = 116,5 мкФ.
Ток в цепи до включения батареи конденсаторов: Л = Si/£71H0M= = 3730/220 = 17,0 А.
Ток в цепи после включения батареи конденсаторов: /2 — = PJ cos <p2t/1H0M = 2600/220 • 0,92= 13 А.
Полная мощность установки при cos tp2: S? = triH0MZ2 = = 220-13 = 2890 В-А = 2,89 кВ-А.
Ток в цепи батареи конденсаторов: /с = Qc/U«0M = 1770/220 = = 8,05 А.
Активная составляющая тока, потребляемого цепью: Л = = Z2costp2= 13 • 0,92= 11,96 А. 1,92 = 7,4 А.
На рис. 15.10,6 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, а на рис. 15.10, в диаграмма мощностей для рассматриваемой электрической цепи.
Задачи
15.11. Асинхронный электродвигатель типа 4А160М2 имеет следующие номинальные данные: мощность на валу Р2ном = = 18,5 кВт; линейное напряжение С71НОМ=380 В; синхронную частоту вращения П\ = 3000 об/мин; КПД Т|ном — 0, 88; коэффициент мощности cos <р1Н0М = 0,92. Выбрать сечение Snp питающих ПРОВОДОВ марки ПРТО ДЛЯ прокладки ИХ В гаЗОВЫХ Трубах. Ответ. s,lp= 6 мм2 с длительно допустимым током /доп = 37 А.
15.12. Асинхронный электродвигатель имеет следующие номинальные данные: мощность на валу Л ном = 4,5 кВт; линейное напряжение UlX0M = 380 В; КПД т]НОм = 0,83; коэффициент мощности cos <р1ном = 0,76. Определить емкость Сф одной фазы и суммарную емкость С конденсаторной батареи при соединении ее «треугольником», подключенной к зажимам двигателя с целью компенсации его коэффициента мощности до значения cos фг = = 0,92. Ответ. Сф= 14,5 мкФ, С — 43,8 мкФ.
15.13. Объясните, почему при передаче электроэнергии от электростанции к потребителю электрической энергии применяется многократная трансформация напряжения?
15.14. Укажите, какие преимущества перед обычными подстанциями имеют комплектные трансформаторные подстанции (КТП).
15.15. Охарактеризуйте категории потребителей электрической энергии по степени бесперебойности электроснабжения.
15.16. Поясните технико-экономическое значение коэффициента мощности (costp).
15.17. Перечислите организационно-технические мероприятия по снижению реактивной энергии, потребляемой потребителями электроэнергии из питающей сети.
15.18. Укажите причины низкого значения коэффициента мощности (cos tp) потребителей электроэнергии.
15.19. Перечислите мероприятия по экономии электрической энергии на предприятии.
15.20. Поясните, почему тарифы на электрическую энергию в различных энергосистемах для одних и тех же категорий потребителей различны.
15.21. Укажите, в чем различие одноставочного и двухставочного тарифов на электрическую энергию.
13-217
Технические данные и количество электро-оборудования Варианты контрольного задания 15.22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Электродвигатели Тип электродвигателя
ВАО-450М-4 1 ВАО-500М-4 BAO-500L-4 ВАО-560М-4 BAO-560L-4 ВАО-630М-4 BAO-630L-4 Kiost-ova 55 ей ВАО-4501.-4 ей BAO-500L-4 BAO-500L-4 BAO-500L-4
Р2„ом, кВт Л ном Количество №л, шт. 200 0,94 0,87 4 250 0,94 0,87 3 315 400 0,94 0,94 0,87 0,88 3 2 500 630 0,945 0,945 0,90 0,90 2 2 800 1000 0,95 0,95 0,90 0,90 1 1 250 250 0,94 0,94 0,87 0,87 2 2 250 250 0,94 0,94 0,87 0,87 1 1 400 400 0,94 0,94 0,88 0,88 1 1 400 0,94 0,88 1
Т раис-форма-торы *Sjbom> А Количество Nn шт. Тип трансформатора
ТМ-25/6— 10 ТМ-40/6— 10 ТМ-63/6— 10 ТМ-100/6— 10 ТМ-160/6— 10 ТМ-250/6— 10 ТМ-400/6— 10 ТМ-630/6 10
25 25 Г 2 40 40 1 1 63 63 1 1 100 100 1 1 160 160 2 2 250 250 2 2 400 400 1 1 630 1
оо
Г,-10s, кВт ч 34 35 40 32 41,5 50 35 45 30 25 30 31 30 32 40
tg1>M 0,75 0,65 0,65 0,65 0,60 0,65 0,60 0,60 0,85 0,80 0,75 0,75 0,60 0,65 0,7
tg<₽. 0,45 0,45 0,40 0,40 0,40 0,40 0,30 0,35 0,50 0,50 0,45 0,40 0,35 0,35 0,30
tg4>i 0,15 0,55 0,55 0,55 0,55 0,50 0,45 0,45 0,65 0,70 0,65 0,65 0,45 0,55 0,65
К, % (по табл. 15.1) — — — — — — — — — — — — — — —
Энергосистема (по табл. 15.7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Время, Г, мес 1 2 3
Продолжение табл. 15.9
Технические данные и количество электро-оборудования Варианты контрольного задания 15.22
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип электродвигателя
Электродвигатели Р2яом, кВт Лнои СО8<Р1ном Количество Л/д, шт. BAO-500L-4 1 — — — — ВАО-560М-4 BAO-500L-4 L BAO-450L-4 — — — 4AI60S4 4А132М4 —
400 0,94 0,88 1 — — — — 250 0,94 0,87 2 400 0,94 0,88 1 500 0,945 0,90 1 — — 15,0 0,88 0,88 2 — 11,0 0,87 0,87 3 -
Т ранс-форма-торы
ТМ-630/6—10 ТМ-1000/6—10 ТМ-1600/6—10
^Пюм. кВ А Количество Мт, шт. W\-105, кВт-ч *бЧ>м *g4>. tg<₽i 630 1 1000 1000 2 1 1600 1600 1 1
40 80 40 50 48
0,7 0,35 0,75 0,55 0,45 0,35 0,50 0,60 0,35 0,35
0,55 0,60 0,45 0,45 0,45
К, % (по табл. 15.1) Энергосистема (по табл. 15.7) 16 17 18 19 20
Время, Т, мес 4
о©
Тип трансформатора
ТМ-250/6—10 ТМ-400/6—10 ТМ-160/6—10 ТМ-250/6—10 ТМ-400/6—10
250 250 400 400 160 160 250 250 400 400
2 2 1 2 4 3 2 2 1 1
40 35 36 30 21 16 16 15 14 14
0,50 0,35 0,80 0,50 0,50 0,35 0,50 0,35 — — — — __ —
0,40 0,75 0,40 0,40 — — — — —
— — — — но 105 100 95 95 90
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
5 6
Величины Варианты контрольного задания 15.23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 , 12 13 14 15
£Лл.в ^2ном» кВт U1 НОМ» В Л । НОМ COS ф । ном Р2нОм, кВт U2ном« В Л2ном COS ф2ном Рл, Вт N„, шт. 220 1,1 220 0,77 0,87 7,5 220 0,87 0,86 300 9 380 1,5 380 0,81 0,85 5,5 380 0,85 0,85 150 12 220 2,2 220 0,83 0,87 5,5 220 0,85 0,85 100 15 380 3,0 380 0,85 0,88 4,0 380 0,84 0,84 300 6 220 4,0 220 0,86 0,89 3,0 220 0,82 0,83 200 9 380 5,5 380 0,87 0,91 2,2 380 0,80 0,83 200 9 220 7,5 220 0,87 0,88 1,5 220 0,77 0,83 100 15 380 3,0 380 0,81 0,76 4,0 380 0,86 0,89 200 9 220 2,2 220 0,81 0,73 5,5 220 0,87 0,91 •200 6 380 1,5 380 0,75 0,74 7,5 380 0,87 0,88 150 15 220 1,1 220 0,75 0,81 7,5 220 0,85 0,81 300 9 380 1,5 380 0,77 0,83 5,5 380 0,85 0,80 150 12 220 2,2 220 0,80 0,83 4,0 220 0,82 0,81 100 15 380 3,0 380 0,82 0,83 4,0 380 0,82 0,81 300 6 220 4,0 220 0,84 0,84 3,0 220 0,81 0,76 200 9
Величины Варианты контрольного задания 15.23
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
IC1JPB Р2„о«, кВт £7|НОМ) В Л 1 ном coscpiHOM Р2ном, кВт U2homi В Л 2ном COS ф2ном Л,, Вт N.,, шт. 380 5,5 380 0,85 0,85 2,2 380 0,81 0,73 200 9 220 7,5 220 0,87 0,86 1,5 220 0,75 0,74 100 15 380 2,2 380 0,80 0,83 5,5 380 0,87 0,91 200 9 220 1,5 220 0,77 0,83 7,5 220 0,87 0,88 200 6 380 4,0 380 0,86 0,89 3,0 380 0,81 0,76 150 15 220 0,75 220 0,69 0,74 7,5 220 0,87 0,88 300 9 380 1,1 380 0,74 0,74 7,5 380 0,87 0,88 150 12 220 1,5 220 0,75 0,74 5,5 220 0,87 0,91 100 15 380 2,2 380 0,81 0,73 4,0 380 0,86 0,89 300 6 220 3,0 220 0,81 0,76 4,0 220 0,86 0,89 200 9 380 4,0 380 0,82 0,81 3,0 380 0,85 0,88 200 9 220 5,5 220 0,85 0,80 2,2 220 0,83 0,87 100 15 380 7,5 380 0,85 0,81 1,5 380 0,81 0,85 200 9 220 1,5 220 0,77 0,83 7,5 220 0,87 0,88 200 6 380 2,2 380 0,80 0,83 5,5 380 0,87 0,91 150 15
Контрольные задания
15.22. Потребители электрической энергии производственного предприятия (асинхронные электродвигатели и трансформаторы с подключенной иа их вторичную обмотку нагрузкой) питаются от соответствующей энергосистемы. Номинальные данные потребителей электроэнергии и наименование энергосистемы для каждого из вариантов контрольного задания приведены в табл. 15.9. Используя эти данные, определить суммарную стоимость В оплаты за пользование электроэнергией предприятия в течение времени Т. Предприятие платит скидку «—» и получает надбавку «+> к тарифу на электроэнергию за компенсацию реактивной мощности в электроустановках. Показание счетчиков активной энергии, установленных иа предприятии, за полугодие составляет W„, заданное энергоснабжающей организацией оптимальное значение тангенса угла сдвига фаз tg <р„ фактическое максимальное значение тангенса угла сдвига фаз tg <рм.
Дополнительное задание, а. Определить месячную, двухмесячную, квартальную и полугодовую разницу в оплате стоимости электроэнергии, если за счет организационно-технических мероприятий по снижению реактивной энергии, получаемой от энергосистемы, фактический угол сдвига фаз <р уменьшился и «тангенс фи» стал равным tg <р'.
б. Перечислить и охарактеризовать организационно-технические мероприятия по снижению потребления реактивной энергии.
15.23. В трехфазную электрическую сеть с симметричным линейным напряжением [71л питающей сети включены трехфазные потребители электрической энергии, включающие асинхронный электродвигатель номинальной мощностью Ргнои и асинхронный электродвигатель номинальной мощностью Рг„ои, номинальными линейными напряжениями и U2„a„ и соответствующими КПД 1)! ном И Т]2ном И коэффициентами МОЩНОСТИ COS ф| ном И COS q>2 нои И три группы светильников с электрическими лампами накаливания, распределенными равномерно по фазам н соединенными в зависимости от линейного напряжения Е71л «треугольником» или «звездой». Номинальная мощность одной лампы Рл, номинальное напряжение [7]л=220 В„ число ламп в светильниках равно N„. Принимая во внимание данные, приведенные в табл. 15.10 для каждого варианта задания, определить емкость С каждой фазы батареи косинусных конденсаторов, необходимых для повышения коэффициента мощности установки от cos <pi = = cos ф|„о» до значения cos <ра = 0,94. Начертить электрическую схему соединения фаз асинхронных электродвигателей, светильников, косинусных конденсаторов и разрядных сопротивлений при заданном номинальном напряжении питающей сети. Построить векторную диаграмму напряжений и токов для рассматриваемой электрической цепн.
В вариантах 31^60 число ламп в каждой группе увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 в 3 раза.
Глава 16
ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ
$ 16.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ И ОКАЗАНИЮ ПЕРВОЙ ПОМОЩИ
Широкое применение электроэнергии увеличивает количество людей, соприкасающихся с электроустановками, которые могут представлять для них потенциальную опасность, так как при аварийных режимах, вследствие повреждения изоляции отдельные части электроустановки могут оказаться под напряжением, а прикосновение к ним челрвека может привести к несчастным случаям.
При этом человек, оказавшийся под напряжением, создает дополнительную электрическую цепь, вследствие чего по его телу протекает опасный для жизни электрический ток, который вызывает поражение сердечно-сосудистой и нервной систем, органов дыхания, кожного покрова и т. д. Степень поражения человека электрическим током зависит от пути и длительности протекания тока, величины сопротивления тела человека, условий окружающей среды и других факторов. Сопротивление тела человека изменяется в довольно широких пределах, оно зависит от состояния его здоровья, кожного покрова, одежды и пр. Согласно ПУЭ (Правила устройств электроустановок) оно принимается равным 1000 Ом.
Условия окружающей среды также влияют иа величину сопротивления тела человека (при высокой температуре окружающей среды оно может быть покрыто потом и в сыром запыленном помещении будет иметь минимальное сопротивление).
ПУЭ, Правила технической эксплуатации электроустановок потребителей электроэнергии (ПТЭ) и Правила техники безопасности при эксплуатации электроустановок потребителей (ПТБ) предусматривают ряд защитных мероприятий по снижению поражений электрическим током: устройство рабочего и защитного заземлений электроустановок, применение в процессе эксплуатации электроустановок средств защиты от поражения электрическим током (ограждение токоведущих частей для исключения прикосновения к ним, применение резиновых перчаток, бот, ковриков, изолирующих штанг и т. д.). Согласно ПУЭ помещения по степени опасности поражения человека электрическим током делятся на три категории. К помещениям без повышенной опасности относятся сухие, безпыльные отапливаемые помещения с нормальной температурой воздуха, с влажностью ие выше 60 %, без токопроводящей пыли.
К помещениям повышенной опасности относятся сырые, с влажностью свыше 75 %, жаркие с температурой постоянной или периодической 35 °C, пыльные с токопроводящей пылью (угольной, металлической и др.).
К особо опасным относятся помещения, в которых относительная влажность близка к 100 %, и помещения, содержащие агрессивные пары, газы, жидкости, неблагоприятно действующие на изоляцию и токоведущие части электрооборудования.
Электрифицированный инструмент и переносные лампы в помещениях без
повышенной опасности должны быть рассчитаны на напряжение 40 В, а в помещениях особо опасных и с повышенной опас-
ностью — на 12 В.
Условиям безопасности способствует также использование технических мероприятий, обеспечивающих безопасность ремонтных работ с частичным или полным снятием напряжения: производство необходимых отключений и принятие мер, препятствующих подаче напряжения к объекту работы, ограждение рабочего места и вывешивание плакатов «Не включать — работают люди», «Не включать — работа на линии» и др., наложение заземлений.
Рабочее заземление (преднамеренное соединение с землей какой-либо точки электроустановки (рис. 16.1.1) предназначено для обеспечения работы ее в нормальном и аварийном режимах. Оно обеспечивает соединение с землей нейтральных точек W силовых трансформаторов или генераторов, т. е. при непосредственном соединении их с заземлителем 3 или через малое активное сопротивление Ro (в несколько Ом) нейтрали либо соединение нейтралей через трансформатор тока. В электроустановках с рабочим напряжением до 1000 В широко распространена трехфазная четырехпроводная сеть с глухозаземленной нейтралью; стандартными напряжениями в этих сетях являются напряжения 220/127, 380/220 и 660/380 В.
Защитное заземление применяется для защиты обслуживающего персонала от опасного напряжения при прикосновении к электроустановке, оно начинает действовать с момента повреждения ее изоляции.
Подобное заземление необходимо для электроустановок при напряжениях 500 В и выше переменного и постоянного токов, при напряжениях 36 В и выше переменного и 110 В постоянного токов в помещениях с повышенной опасностью, особо опасных и в наружных электроустановках, при всех напряжениях переменного и постоянного токов во взрывоопасных помещениях.
Части электроустановок (корпуса электрических машин, трансформаторов, электрических аппаратов, вторичные обмотки
измерительных трансформаторов и т. д.) во время аварийных режимов электроустановки могут оказаться под напряжением и в случаях прикосновения к ним вызвать поражение электрическим током, поэтому они подлежат заземлению. Заземление электроустановок не требуется при номинальных напряжениях 36 В и ниже переменного и ПО В и ниже постоянного тока во всех случаях, за исключением взрывоопасных установок.
Защитное заземление зависит от системы электроснабжающей сети и значения питающего напряжения электроустановки. При напряжениях до 1000 В оно выполняется как с глухозаземленной, так и изолированной нейтралью (рис. 16.1.2 и 16.1.3).
Защитное заземление в установках с глухозаземленной нейтралью (зануление) предусматривает присоединение металлических нетоковедущих частей электрооборудования, могущих оказаться под напряжением, к неоднократно заземленному нейтральному проводу питающей линии. При пробое на корпус происходит однофазное короткое замыкание, вызывающее срабатывание защиты и отключение поврежденной установки от питающей сети. Структура защитного заземления представлена на рис. 16.1.2 (Ro — сопротивление заземляющего устройства; Rn — сопротивление повторного заземления нейтрального провода; /к = In + -|- /э — ток короткого замыкания, где In — составляющая тока короткого замыкания в цепи нейтрального провода; А — составляющая тока короткого замыкания в цепи земли).
Повторное заземление нейтрального провода в трехфазных четырехпроводных сетях при замыкании фазы на корпус снижает напряжение прикосновения к зануленному электрооборудованию при исправной.схеме и в случае обрыва нейтрального провода.
Электроустановки с изолированной нейтралью применяются при повышенных требованиях к безопасности работ. Защитное заземление электроустановок в сетях с изолированной нейтралью
(рис. 16.1.3) ограничивает до безопасного значения напряжение прикосновения на корпусе при повреждениях изоляции электроустановки. Для электроустановок с изолированной нейтралью в качестве защитного заземления 3 используется местное заземляющее устройство с небольшим сопротивлением (рис. 16.1.3), к которому присоединяются заземляемые части электроустановки.
В электроустановках с номинальным напряжением до 1000 В сопротивление заземляющего устройства должно быть не более 4 Ом. При номинальной мощности трансформатора или генератора до 100 кВ-А это сопротивление может составлять 10 Ом.
При оказании первой помощи пострадавшему от действия электрического тока условием успеха являются быстрота действия, находчивость, квалифицированное оказание помощи. Промедление или неоправданная длительность подготовки помощи могут привести к тяжелым последствиям.
Пострадавшего прежде всего необходимо отделить от токоведущих частей, если нельзя быстро отключить от питающей-сети участок электрической цепи, на котором произошел несчастный случай. При этом необходимо пользоваться диэлектрическими перчатками, сухой одеждой, палкой, доской или какими-либо другими предметами, не проводящими электрический ток. При затруднении отделения пострадавшего от токоведущих частей следует перерубить или перерезать провода инструментом с сухой деревянной рукояткой.
После отделения пострадавшего от токоведущих частей необходимо выполнить следующие мероприятия: уложить пострадавшего на спину на твердую поверхность; проверить наличие у пострадавшего дыхания, которое определяется по подъему грудной клетки, прикладыванию ко рту пострадавшего зеркала или куска стекла; проверить наличие у пострадавшего пульса на лучевой артерии у запястья или на сонной артерии, на переднебоковой поверхности сердца; выяснить состояние зрачка глаза (широкий зрачок указывает на резкое ухудшение кровоснабжения мозга). Во всех случаях поражения электрическим током вызов врача является обязательным.
Если пострадавший находится в сознательном состоянии, его следует уложить в удобное положение и до прибытия врача обеспечить полный покой и наблюдение за пульсом и дыханием.
Если пострадавший находится в бессознательном состоянии, но с сохранившимся устойчивым дыханием и пульсом, его следует удобно уложить, расстегнуть одежду, создать приток свежего воздуха, давать нюхать нашатырный спирт, обрызгивать его водой и после прихода в сознание обеспечить полный покой.
При отсутствии у пострадавшего дыхания и пульса необходимо оказать помощь в виде искусственного дыхания и наружного массажа сердца. Наиболее эффективным способом искусственного дыхания является способ, называемый «рот в рот», проводимый одновременно с наружным массажем сердца.
Литература. [1] § 12.10—12.11.
Примеры решения задач
16.1. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа 4A160S4 с короткозамкнутым ротором с номинальными данными: мощностью Р2нОК = 15 кВт; КПД г]ВОм = 0,88, коэффициентом мощности cos <р1иом = 0,88, значением отношения пускового тока к номинальному Kr=Ilnyci/IimM = l включен в трехфазную четырехпроводную питающую сеть с глухозаземленной нейтралью на вторичную обмотку силового трансформатора. Номинальное линейное напряжение питающей сети £71иом = 380 В. Ответвление к электродвигателю длиной / = 100 м выполнено в газовых трубах проводом марки ПР-500. Для защиты обслуживающего персонала корпус электродвигателя имеет металлическое соединение с нейтралью трансформатора (зануление).
Определить сечение нейтрального пророда, при котором плавкая вставка защитных предохранителей в случае замыкания одной из фаз электродвигателя на корпус должна сработать и отключить двигатель от питающей сети.
Решение. Номинальный ток электродвигателя: /1И0И = Р-,т„ ю3 и- ю3
=------2---------== 29 3 А.
'/3^1иомсо5«>1иом'/ном ч/З -380 0,88 0,88
По справочнику находим, что указанной величине тока соответствует сечение медного провода 5 = 6 мм2. Максимально допустимый длительный ток для этого сечения /доп = 37 А.
Ток плавкой вставки предохранителя для защиты от короткого замыкания электродвигателя механизма с легкими условиями пуска в соответствии с ПТЭ выбирают из условия: /в> — 7~22|'3 ss82 А. Стандартная плавкая вставка пре-
дохранителя рассчитана на ток 1вти = 100 А.
Проверку плавкой вставки осуществляют исходя из условия необходимости обеспечения соотношения: /в//доп 3.
В данном случае /в//доп = 100/37 = 2,7 < 3, следовательно, плавкая вставка, рассчитанная иа ток /вном = 100 А, защищает медные провода сечением 3X6 мм2, проложенные в газовой трубе, от действия токов короткого замыкания.
Расчетный ток короткого замыкания определяют исходя из номинального значения тока плавкой вставки предохранителя, при котором при замыкании фазы электродвигателя на зануленный корпус предохранитель надежно срабатывает и двигатель отключается при обеспечении условия: А-^Ап/вном, где = 3 — коэффициент кратности номинального тока плавкой вставки предохранителя: /к>3/в«ом =3-100>300 А.
. „ I 0,018-100
Активное сопротивление одного провода 7?ф=р— =----g— =
= 0,3 Ом, где р = 0,018 Ом-^---удельное сопротивление мед-
ного провода.
Активное сопротивление нейтрального провода: Rn —
= £ЛфИом/4~Яф=220/300-0,3 = 0,733-0,3 = 0,433 Ом, где С/1фном= Г- 380
= С7Илом/-у/3= -_ = 220В — номинальное фазное напряжение трех-х/з
фазной четырехпроводной сети.
- с р/ 0,018-100
Сечение нейтрального медного провода: ——r-rrj— =
f\ fj U,4oo
= 4,15 мм2. Принимаем стандартное сечение нейтрального провода S« = 4 мм2, которое должно быть ие меньшим 50 % сечения фазного провода, изготовленного из одного и того же материала. В данном случае условие Sn = 4 мм^ 0.5S = 0,5-6 = 3 мм выполняется.
Рис. 16.2
16.2. Оператор, стоя на бетонном полу, коснулся линейного провода А трехфазной четырехпроводной питающей сети (рис. 16.2, а) с симметричным линейным напряжением Uab = = ^с=^с=^ЛЯОм = 380 В с заземленной нейтралью N и сопротивлением заземления Яо=4 Ом. Сопротивление тела человека принято равным Rh = Ю3 Ом, сопротивления изоляции проводов относительно земли (без учета реактивной составляющей сопротивления) R = /?1 — R2 = /?з = = 104 Ом
(рис. 16.2, а). Определить ток /*, протекающий в цепи тела человека, и напряжение прикосновения Unp. Емкостью проводов относительно земли пренебречь.
Решение. Электрическая схема (рис. 16.2, а) заменяется, эквивалентной схемой (рис. 16.2,6). Определяем комплексные фазные напряжения, направляя вектор напряжения UA по оси
положительных действительных чисел. При симметричном источнике питания: Uk = Uks19=UAti°=UK(i>=Uk=U^JIOV‘, U,=
_; 2л *• _i . 4я
= 6Ле a2U2 = агиФ; Дс = U<e =и^жме~} > =aU3 = = а^1фж>м> гДе а~ e~J 3 = (— 0,5 + j;-U—ч — поворотный множитель, учитывающий сдвиг по фазе напряжений.
Проводимость тела человека и ветви цепи заземления нейтра-ли:_УЛ = !//?„ = 1/103 См; У„ = !//?□= 1/4 См.
Проводимости ветвей эквивалентной схемы: Y_ = X>~Y_2 — = _Уз =_УП = 1//? = 1/-104 См, так как сопротивления /? = /?,= = /?2 = /?з = Rn » Я»; Y < Го <4~)' Поэтому принимаем: Y = X, = ^2 = X* = 2" = 0.
С учетом этого напряжение между узловыми точками /V и Л" цепи:
~NN Y, + Y-,+ Y,+ Yl+Y„a-Y Хг+Ь+Хз + Хи+Хв+Х»
или
^1фном
=*_ = и Rh = тт =220 ___-__
В+ГА 1фяом J J 1фиом R^ + R^ 1000 +4
= 0,876 В.
Напряжение соприкосновения находят из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для соответствующего замкнутого контура: U„N-UA+U^=Q, откуда U^,= UK-UnN=
“7-22° - 220 -^-=211,24 В. + ло 1UUU 4- 4
Ток, протекающий по телу человека: Х*=^прХ* =
= 211,24 — = 211,24 мА = 0,211 А.
юоо
Так как АО«Я,, то ——*— = 1, а 1/^ = (71фвом, откуда следует, Rh + Ro
что при соприкосновении к одной из фаз трехфазнои четырехпроводной сети с глухозаземленной нейтралью человек оказывается практически под фазным напряжением С^фж»,-
16.3. При ревизии электрооборудования электромонтер, находясь на земле, коснулся линейного провода с линейным напряжением Uab = Ubc = Uca = £ЛЛЯОм=380 В (рис. 16.3, а). Сопротивление изоляции проводов /?] = /?2 = /?з= 10 кОм. Определить ток, протекающий по телу человека, сопротивление которого Rh = 1000 Ом. Емкостью проводов относительно земли пренебречь ввиду их малой протяженности.
Рис. 16.3
Решение. Электрическая схема (рис. 16.3, а) может быть заменена эквивалентными схемами (рис. 16.3, б, в).
ЭДС Е3 эквивалентного генератора (рис. 16.3,6): E,—UA = = и1ф ном = С/1Л ном />/з = 380/^3=220 В.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора находят из соотношения: 1//?5 = 1//?( -+1//?2-(- 1//?з. Так как Ri = = R2 = R3=R, то /?э=/?/3 = 10-|-103 = 3,33- 10s Ом.
Ток, протекающий по телу человека, определяется в соот-ветствии со схемой рис. 16.3, в: Л = , а- = „„„ ,,„7,77 =
К э “г A ft о, оо • IU 1UUU
= 0,0508 = 0,051 А^51 мА.
Для жизни человека опасен ток, превышающий 50—100 мА.
16.4. Задачу 16.3 решить методом узлового напряжения.
Решение. Проводимости ветвей для схемы (рис. 16.3,6): У, = 1//?, = 1/(10-103)= 0,0001 См; = 1//?„ = 1/103 = = 0,001 См; _Уа = 1//?2= 1/(10-Ю3)= 0,0001 См; Y_3 = 1//?3 = = 1/(10-103)= 0,0001 См.
Напряжение между узлами п и N (напряжение смещения
Zl^a + ^+^ + ^ajj. ' ОД + УА) '
U.d(Yi + Yh) + UY2 + UcY3 нейтрали): U„N=r j ~ ~ ~ =
= --j80'0'001-------=169 В.
V3(3-o,oooi +о,оо1)
Таблица 16.1
Я-103, Ом 5 10 20 30 40 50 60 90
hi, мА 83 50,8 28,72 20 15,35 12,45 10,4 7,09
Определяем ток, протекающий по телу человека, исходя из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для соответствующего замкнутого контура: _/* =_Ул(С/а — С7лАГ)= 0,001 X X (380/^3—169)=* 0,001-51 =*0,051 А =*51 мА.
В табл. 16.1 и на рис. 16.4 приведены значения токов /Л, рассчитанные по приведенной выше формуле при различных сопротивлениях изоляции проводов относительно земли при /?i = Rz — = R3= R и принятом значении сопротивления тела человека
16.5. В условиях задачи 16.3 определить ток /*, протекающий по телу человека в аварийном режиме в трехфазной симметричной трехпроводной электрической цепи с изолированной нейтралью при замыкании фазы С на землю через небольшое активное сопротивление заземления /?зм = 100 Ом (рис. 16.5) и прикосновении человека к исправной фазе А с фазным напряжением ном=220 В.
Решение. При замыкании фазы С на землю проводимости двух других изолированных фаз можно принять равными нулю, тогда ток, протекающий в аварийном режиме по телу человека: /*= С71лном/(Ял + Яз«) = 380/(1000+ 100) = 380/1100 =
— линейное напряжение симметричной трехфазной трехпроводной электрической сети с изолированной от земли нейтралью Цл номл/5171фном= 380 В.
Напряжение прикосновения в аварийном режиме: £7пр=
= Rhtfi= С7|Лвом п , D =
380-1000
— 1000 + 100
Прл Дм = 0 С7пр=л/3^фяяом= = Ut„ ном=380 В.
= 0,345 А=345 мА, где 1/1ляом
Рис. 16.5
^- = 345,45 В.
В аварийном режиме при замыкании фазы С на землю через малое сопротивление и касании человека к исправной фазе трехфазной трехпроводной электрической сети с изолированной от земли нейтралью человек окажется под напряжением, большим фазного и меньшим линейного напряжения питающей сети, т. е. ЯОМ^ С4р<с/1я ном*
16.6. При производстве работ электромонтер повредил кабель трехфазной электрической сети с изолированной нейтралью с линейным напряжением Uab = U вс = Uca = U„ = 380 В при частоте / = 50 Гц и коснулся инструментом одной из фаз (рис. 16.6, а). Емкость каждой фазы кабеля относительно земли С = 0,1 мкФ. Определить ток, протекающий по телу электромонтера, приняв сопротивление его тела /?* — 1000 Ом.
Решение. Решаем задачу методом эквивалентного генератора. Электродвижущая сила эквивалентного генератора равна напряжению при отключении внешнего участка цепи: Е3= = ^№«=^^/73 = 380/73=220 В.
Емкостное сопротивление жилы кабельной линии (рис. 16.6,6): Хс = Цг = п' чп-г = 31 800 Ом.
<оС 314-0,1-10
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно общему сопротивлению внутренней части электрической цепи
п , , ,7 —/Хс /31800
относительно точек 3 и I (рис. 16.6,6): 4> = —у— = ——— —
= —/10600 Ом.
Ток, протекающий по телу попавшего под напряжение элек-£ 220
тромонтера (рис. 16.6, а): = 7^7 = _/Ю 600+1000 или^ =
2,2 2,2(104-/106) 22 + /2332 _
10-/106 — (10-/106)(10 + /106) — 11336 —
(0,0022+ /0,205) А.
Ток /л — 0,00222 + 0,2052 = 0,205 А = 205 мА оказывается опасным для жизни человека. При равенстве емкостей проводов относительно земли и весьма больших сопротивлениях изоляции токоведущих частей относительно земли (при Ci — С2 = С3 = С и /?1 = /?2 — R3 = со), что может иметь место в кабельных электрических сетях, ток, протекающий по телу человека, попав-
шего под напряжение, определяется в соответствии с выраже-
нием
/ __ _^1фном_ _^1фяом _ 31/]ф ном
• h ”“* —-------—--------.
Rh+Z3 JXC 3Rh^jXc
* 3
16.7. Укажите назначение защитного заземления электроустановок В сетях С глухозаземленной нейтралью. Ответ. Автоматическое отключение поврежденной электроустановки от сети при замыкании на корпус.
16.8. Укажите назначение защитного заземления электроустановок В сетях С изолированной нейтралью. Ответ. Снижение напряжения прикосновения до безопасной величины.
16.9. Разрешается ли питание электроинструмента и переносных светильников ОТ автотрансформаторов? Ответ. Запрещается.
16.10. Разрешается ли лицам, пользующимся электроинструментом, держаться за питающие провода и вносить электроинструмент внутрь барабанов, КОТЛОВ И Т. Д.? Ответ. Во всех случаях запрещается.
16.11. Допускается ли в помещениях с повышенной опасностью и в особо опасных помещениях применение ручного электроинструмента с номинальным напряжением UHOM 220 В при наличии устройств защитного отключения или надежно заземленного корпуса инструмента при обязательном использовании защитных средств (диэлектрических перчаток и пр.)? Ответ. Допускается, если невозможно обеспечить работу электроинструмента при напряжении 1/ном = 36 В.
16.12. Опишите последствия остановок сердца человека, попавшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и кровообращения. Ответ. В обычных условиях после остановки сердца или дыхания клетки головного мозга человека гибнут через 5 мин. Охлаждение тела удлиняет, а перегревание и кислородная недостаточность укорачивают период клинической смерти и ведут к биологической смерти человека. Характер изменения дыхания (/), работы сердца (2) и деятельности мозга (3) при остановке сердца (4) характеризуют графики на рис. 16.12.
16.13. Укажите признаки остановки дыхания человека, попавшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и кровообращения. Ответ. Отсутствие экскурсии грудной клетки / и потока воздуха возле рта и носа 2 (рис. 16.13).
Рис. 16.12
16.14. Перечислите признаки остановки сердца человека, попавшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и Кровообращения. Ответ. Отсутствие пульса (рис. 16.14, а) и дыхания (рис. 16,14,6), расширенные зрачки, не реагирующие на свет (рис. 16.14, в).
16.15. Опишите действия оказывающего помощь человеку, попавшему под напряжение, при сердечно-легочной реанимации, если оживляет ОДИН. Ответ. Искусственное дыхание осуществляют способом «изо рта в рот» или «изо рта в нос» через сложенную вдвое марлю (рис. 16.15). Вначале делают четыре вдоха, затем чередуют два вдоха (/) и 15 надавливаний на грудину (2) с частотой 60—80 раз/мин. Реанимация проводится до появления у пострадавшего самостоятельного дыхания н пульса или до прибытия «скорой помощи».
16.16. Опишите действия оказывающих помощь человеку, попавшему под напряжение, при сердечно-легочной реанимации, если ОЖИВЛЯЮТ двое. Ответ. Искусственное дыхание осуществляют способом «изо рта в рот» или «изо рта в нос» через сложенную вдвое марлю (рис. 16.16). Вначале делают четыре вдоха, затем чередуют один вдох (/) н пять надавливаний на грудину (2) с частотой 60—80 раз/мин. Реанимация проводится до появления у пострадавшего самостоятельного дыхания н пульса или до прибытия «скорой помощи». \
16.17. Опишите способ искусственного дыхания человека, по-
0
Рис. 16.14
Рис. 16.16
павшего под напряжение, методом сдавливания грудной клетки. Ответ. Способ применяют при опасности заражения или отравления оказывающего первую помощь. При этом следует надавливать на боковые стороны грудной клетки пострадавшего в момент его выдоха, а на вдохе ослабить силу рук. Искусственное дыхание пострадавшему осуществляют в соответствии с рнс. 16.17,а или б и продолжают до прибытия врача.
16.18. Опишите способ искусственного дыхания человеку, попавшему под напряжение, по методу Хольгера—Нильсона. Ответ. По этому методу искусственное дыхание производят в соответствии с рис. 16.18, а (выдох) и б (вдох), когда пострадавший находится без сознания. Частота надавливания на грудину составляет 16—20 раз/мин и производится до появления самостоятельного дыхания или до прибытия врача.
16.19. Опишите способ искусственного дыхания человеку, попавшему под напряжение, по методу Сильвестра. Ответ. Этот метод, так же как и метод Хольгера — Нильсона, применяют в том случае, когда пострадавший находится без сознания, в соответствии с рис. 16.19, а (выдох) и б (вдох). Частота надавливания на грудину составляет 16—20 раз/мин и производится до появления самостоятельного дыхания или по прибытия врача.
Задачи
16.20. Укажите предельное максимальное L7max значение напряжения потребителей электроэнергии исходя из условий электробезопасности при эксплуатации и ремонте. Ответ. Um.,= 1000 в.
Рис. 16.19
16.21. Укажите значение максимально допустимого сопротивления Ro защитного заземления, принятого в электрических сетях С напряжением ДО 1000 В. Ответ. Ro не превышает 4 Ом.
16.22. На какие значения напряжений U распространяются правила технической эксплуатации электроустановок (ПТЭ) и правила техники безопасности (ПТБ) при эксплуатации электроустановок потребителей электроэнергии независимо от их ведомственной принадлежности? Ответ. Напряжения U S 1000 В.
16.23. Укажите предельное максимальное значение напряжения (7тах, допустимого для стационарного искусственного освещения с лампами накаливания в помещениях без повышенной опасности. Ответ. = 220 В.
16.24. Укажите допустимые значения напряжения <7ЯОп для переносных электрических светильников, присоединяемых к питающему трансформатору наглухо или с помощью штепсельной вилки. Ответ. и,а„= 12 В или 36 В.
16.25. При каком предельном максимальном допустимом значении напряжения Umax в соответствии с правилами ПТБ разрешается производить работы с электроинструментом в помещениях без повышенной опасности? Ответ. ит,к = 220 В.
16.26. При каком предельном максимальном значении напряжения Umax в соответствии с ПТБ разрешается производить работы с электроинструментом в помещениях с повышенной опасностью, вне помещений и й особо опасных помещениях (с обяза
тельным применением индивидуальных защитных средств)? Ответ. (7 „„, = 36 в.
16.27. Какое допустимое значение Umax напряжения соответствует переносным электрическим светильникам в помещениях с повышенной опасностью? Ответ. (/тах<36 В.
16.28. Какое допустимое значение напряжения Um™ соответствует переносным электрическим светильникам в помещениях ОСОбО ОПаСНЫХ И вне помещений? Ответ. итах = 12 в.
16.29. Укажите максимальное значение напряжения Um^, в пределах которого в качестве защитных средств используются изолирующие штанги, указатели напряжения с дополнительным сопротивлением для фазировки, изолирующие клещи, инструмент с изолированными рукоятками, резиновые диэлектрические перчатки, боты, галоши, коврики, изолирующие подставки, переносные заземления, защитные очки. Ответ. 1 кВ.
16.30. Укажите максимальное значение напряжения Umzx, в пределах которого в качестве защитных средств используются измерительные изолирующие штанги, изолирующие колпаки и накладки. Ответ. (/тах =1 кВ.
16.31. Приведите выражение для расчетного значения тока /пвст плавкой вставки предохранителей от многофазных коротких замыканий электродвигателей с легкими условиями пуска, исходя ИЗ ИХ значений пускового тока /пуск. Ответ, /„.е, =/„уек/2,5.
16.32. Приведите выражение для расчетного значения тока /пвст плавкой вставки предохранителей от многофазных коротких замыканий с тяжелыми условиями пуска (например, при большой длительности разгона двигателя, с частыми пусками). Ответ. /п ВСТ = / пуск/ (2 4- 1,6).
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММИРОВАННЫХ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОВ И ЭВМ
Приложение 1
Неразветвленная электрическая цепь переменного тока (рис. П.1.1) со стандартной частотой f = 50 Гц находится под напряжением U. Падение напряжения на резисторе Un, на зажимах конденсатора Uc, на зажимах катушки индуктивности U,, ток в цепи /, активная мощность Р, замеряемая ваттметром W. Используя данные, приведенные в табл. П.1.1, с помощью программированного микрокалькулятора определить полное сопротивление цепи Z, сопротивление резистора R, емкостное сопротивление Хс и емкость С конденсатора, а также полное ZK, активное Як и индуктивное сопротивления катушкн, ее индуктивность LK, коэффициент мощности катушки cos ч>„ и коэффициент мощности всей цепи cos q>. Построить в масштабе соответствующие векторные диаграммы тока и напряжения и треугольник сопротивлений для катушки индуктивности.
Рис. П.1.1
Рис. П.2.1
Таблица П.1.2
Номер шага Нажимаемые клавиши Код Пояснение Номер шага Нажимаемые клааиши Код Пояснение
00 00 4г ввод U 35 [ 4- ] 13
01 0/0 50 36 49
02 | П || 2| 42 ввод ик 37 0/0 50
03 |С/П| 50 38 |ИП||б] 66
04 ШН 43 ввод ис 39 000 65
05 0Z0 50 40 Ifx7] 22
06 ин 44 ВВОД Un 41 ря 13
07 |С/П| 50 42 00Ш 67
08 шн 45 ВВОД / 43 1 — 1 11
(ю 0/0 50 44 ши 41
10 пн 46 ввод Р 45 0/0 50
11 0010 6Г 46 | ИЛ ||9| 69
12 000 65 47 I FX2| 22
13 | 4-1 13 48 00Ш 61
14 шн 4- 49 [ТхТ] 22
15 [с/л] 50 50 1 — 11
16 000 62 51 00 21
17 0015] 65 52 0/П] 50
18 [ 4-1 13 53 ИН 21
19 Ш0 ' 47 54 □ 01
20 0Z0 50 55 00
21 |ИП||з| 63 56 0 00
22 000 65 57 0 12
23 | -г | 13 58 | 4-1 13
24 0/0 50 59 0/0 50
25 □ 01 60 001'1 61
26 0 00 61 000 69
27 0 00 62 1 1 13
28 S 12 63 0/0 50
29 Н0 20 64 |ИП||7| 67
30 0 12 65 000 6-
31 ЩМ 23 66 [ 4- | 13
32 [с/л] 50 67 1 СП | 50
33 000 64
34 000 65
Программа расчетов к Приложению 1 с использованием программированных микрокалькуляторов МК-54, МК-56, МК-61, БЗ-34 и других дана в табл. П. 1.2.
Задание для реализации программы следующее: включить микрокалькулятор; нажать клавиши: |В/О|]F||ПРГ| (перевод в режим программирования); ввести текст программы, нажимая соответствующие клавиши и контролируя правильность нажатия по значению кода; нажать клавиши ГР] |АВТ | (перевод в автоматический режим), ввести исходные данные; например, для первой строки табл. П.1.1. Ввести, например, Ц = 50'В, нажать IВ/ОI ГС/ПI, ввести (/# (например, UR = 43,6 В), нажать |С/П |, далее ввести Uс, нажать fC/П j ввести UK, нажать |С/П|, ввести /, нажать |С/П|, ввести Р, нажать |С/П|. На индикаторе данные выводятся в такой последовательности: Z, Ом — нажать клавишу | С/П |; R, Ом — клавншу|С/П |; Хс, Ом — клавишу |С/П|; С (в фарадах) — клавишу |С/П |; Z„ Ом — клавишу |С/П |; R„, Ом — клавишу |С/П |; Х„ Ом — клавишу |С/П |; LK, Гн — клавишу |С/П |; cos q>«—клавишу |С/П |; cos ф — клавишу (С/П |. Аналогичные расчеты выполняются и для других строк табл. П. 1.1. Расчетные величины заносятся в правую часть расчетной табл. П.1.1. Вычисления, выполненные по приведенным ниже расчетным формулам, представлены в виде приведенной выше программы иа программированном микрокалькуляторе 2л:
Z=U/I- R=Ur/I-, Xc = —jC ', C='/2nfXc\ Z.,= UJl- RK=P/12-R-,
Xk = ^Z^R'i’, L„ - -Д- ; cos Фк = ; cos ф = P/UI.
2л/ Z,
По результатам расчетов строятся в масштабе соответствующие векторные диаграммы тока и напряжений и треугольник сопротивлений для катушкн индуктивности.
Приложение 2
Электрическая цепь переменного тока стандартной частоты /, = 50Гц (рис. П.2.1) содержит источники ЭДС: ei = 200y/2sin (ои + л); ег = 100-^2sin (ы/ + + -£-) и потребители электроэнергии с активным н реактивным сопротивлениями: Ri = 20 Ом; Ri = 30 Ом; /?з = 40Ом; Rs = 50 Ом; Re = 30 Ом; Хс1=ЮС)м; ХС2=20Ом; Хез=30Ом; Хи = 20 Ом; Хсз— 10 Ом; ХС6— ЮОм. Определить токи в ветвях при частотах, равных 0,5; 0,75; 1,25; 1,5 стандартной частоты переменного тока ft = 50 Гц, и построить графики 1(f) зависимости тока от частоты переменного тока. Задачу решить методом контурных токов с использованием ЦВМ.
Е
Решение. Комплексные ЭДС источников питания: Ei =—Д^-е'” —
_ 200у/2 е/я _ 200(COS лл) — _200 В; _Е2 = е'т = е* =
V2 д/2 д/2
= 100^ cos -у+/sin -у) =/100 В, где Ei„, Е2„— амплитудные значения ЭДС.
Комплексные сопротивления ветвей: Zi = Ri—jXCi = (20 — /10) Ом; Z? = = R2 — /Хс2= (30 — /20) Ом; Z< = Ra -f- fXeg = (40 -f-/30) Ом; Z< = fXi_$ = f20 Ом; Zs = Rs — fXcs= (50 — /10) Ом; _Z6 = Rs —/Xc6 = (30 —/10) Ом — при частоте переменного тока ft = 50 Гц.
В соответствии с принятым на схеме электрической цепи (рис. П.2.1) положительным направлением обхода контурных токов составляются по числу контурных токов уравнения по второму закону Кирхгофа. Для верхнего замкнутого контура:
1 UWl:N(K,J.l
2 ВВОД(12)(0C);/20' ''Решение систем линейных, уравнений*; Z4,20; 'Введ ите число уравнений = 'N
3 BEM:ZR[N,N],Z1(N,N],ER(N), E!(NJ
4 BEB: IRIN) , 1 I [NJ
3 ВВОД:(/,N(/N(’ 'E)))/'Введите построчно действительные часты коэфф
моментов матрицы'; ZR
6 ВВОД:(/,N(/N(' 'Е)))/'Введите построчно мнимые части коэффициентов
матрицы; ZJ
7 ВВОД:(/'И(' 'Е))/'Введите действительные части элементов вектора';.
ER
8 ВВОД:(/,И(' ’Е))/Введите мнимые часты элементов вектора';/ЕI
9 ВЕ|:Т0,Т1,D,А,В
10 ДЛЯ Kzl, N
.НЦ
11 . TO:zZR(K,K]
12 . Tl:zZ![K,K)
13 . D:=Т0»Т0*Т1»Т1
14 .ЕСЛИ(D)1,777,1
15 1 . T0:xT0/D; T1:=-T1/D
16 .ДЛЯ ! = 1,Н
. .ИЦ
17 ..ДЛЯ J=1,N
. . .НЦ
18 ...ЕСЛИ(1-К),3
19 ...ЕСЛИ(Л-К),3
20 ... A:=ZR[1,К]»ZR[K,J]-Zl[1,К]»Z1(К,J]
2! ... В;=ZR(1,К)»Z1[К,J]*Z1[1,К}»ZR(К,J]
22 ... ZR(l, J]:s-(A»T0-8»T1)*ZR[1,J)
23 ... Z!(1,J]:г-(A»Ti*B«T0)*Z1(1,J]
24 3 ... МЕТКА
25 ... КОН J
26 ..КОН 1
27 .ДЛЯ 1 = 1 ,М
. .НЦ
28 ..ЕСЛИ(1-К),4
29 .. A:=-(ZR(K,1)»T0-Z![К,1]»Т1)
30 .. Вt=-(ZR(К,1)«Т1*Z![К,1]«Т0)
31 .. ZR(K,!):=A; Z1[K,I): =В
32 .. At=ZR(iiT0-Zl[I,K)»T1
33 .. 8:sZR(ixTl+ZI[1,K)»T0
34 . . ZR[I ,K] : =A; Zl [I ,K) : = B
35 4 ..МЕТКА
36 ..KOH 1
37 . ZR(K.K]:sT0
38 . ZI(K,K):=T1
39 .KOH К
40 777 МЕТКА
41 ДЛЯ K=1,N
.НЦ
42 . 1R[K)'.=0.0; 11(K]:=0.0
43 .ДЛЯ Jsl,N
. . НЦ
44 .. 1R [K] ; = 1R [K] * (ZR [K , J] «ER [ J] -Zl (K , J] «Е1 [ J])
45 .. 11(KJ:= 11(K)*(ZR[K,J]»E![J)*ZI[K,J]wER(J))
46 ..KOH J
47 .KOH К
48 ЕЫВОД/10' "Корни уравнения'
49 ЕЫВОД(/,N(' 'Е4))/'Действительная часть'; IR
50 выводе/,N(' 'Е4))/' Мнимая часть ';!!
51 КОИ
0= (Z, + Z2 + Zt)/n — Zihi — Zthi. Для левого замкнутого контура: Е\ = (Z^ + + 2. + 23)/33 — Z4/11 — Z3/22.
Для правого замкнутого контура: —Ег = + 23 +2б)/22 — 23/33 — 22/ц или
Zn/ii+Z 12/22+21,1/33=0,' Z12/11 +/22/22+223/33= Д22; 213/11 +223/22+233/33=Е33;
где 2ii = 2i+2з+2.; 232=22+2з+2б; 233=23+2.+25 — сопротивления верхнего, правого и левого замкнутых контуров; 2i2=22i = —23; 2i3=23i = —2.; Z23= 2 32= —23 — общие сопротивления соответственно верхнего и правого, верхнего и левого, правого и левого замкнутых контуров; £22 — —Ег', £зз = £1 — контурные ЭДС.
Уравнения для контурных токов могут быть представлены в матричной форме
Z11 Z12 Z । л
Z21 Z22 Zl>3
Zsi Z32 Z33
’О
Е 22
Е»
После подстановки заданных значений и преобразований получим выражения для токов в матричной форме
50-/10
-30 +/20 — /20
-30 +/20 -/20
100 -40-/30
-40-/30 90 +/40
0
-/100
-200
Для решения полученной системы линейных уравнений используем цифровую вычислительную машину «Электроника ДЗ-28» с программой LOOP, распечатка которой приведена в табл. П.2.1. При этом определяются контурные токи: /и = = (—0,9522-/1,826) А; /22 = (-1,201-/2,236) А; 133 = (-1,936-/0,745) А. Соответственно токи в ветвях: /, = /и = (—0,9522-/1,826) А или Л = = у0,95222+ 1.826-' = 2,059 А; /2 = /22 = (-1,201 -'/2,236) А или /2 = =л/ 1-20Р+2.236-=2,538 А; /з=/зз= (—1,936—/0,745) А или /3=71,9362+0,7452= = 2,074 А.
В соответствии с первым законом Кирхгофа для узловых точек цепи определяют токи в ветвях: /4=/22—/зз= —1,201—/2,236+L936+/0,745= (0,734 — -/1,491) А или Л = -\/0,7342"+ 1,4912 = 1,66 А; /5 = /33-/11 = -1,936-/0,745 + + 0,952+/1,826= ( —0.984+/1,081) А или /5 = т/°.9842+1,0812= 1,462 А; /6=/22-—/и = -1,201 -/2,236+ 0,952+ /1,826= (-0,249-/0,41) А или /6 = V<X2492 + + 0,422 = 0,479 А.
Для реализации программы, представленной в табл. П.2.1, вводят в ЦВМ «Электроника ДЗ-28» (например, с использованием дисплея алфавитно-цифрового 15ИЗ-00-13) текст этой программы. Для этого нажимается клавиша дисплея В (ввод), затем по порядку номеров программы нажимаются клавиши дисплея. Прн появлении на экране дисплея текста монитора операционной системы (МОС) нажимается клавиша. ГИ1 (на экране дисплея появляется «исполнитель» ТР11. далее набирается на клавиатуре дисплея имя программы (LOOP). Затем нажимается трижды клавиша «пробел». При появлении на экране текста «АМ = число» нажимается клавиша |МРП | |ТП пуск, прн этом на экране появляется запрос числа комплексных уравнений («введите число уравнений»). Далее вводят число линейных комплексных уравнений, в данном случае три уравнения. Нажимается клавиша [3] |ВКI. Машина запрашивает действительные части коэффициентов матрицы. Вводят построчно действительные части коэффициентов матрицы. При этом, если в комплексном числе нет действительной части, нажимают клавишу ГЩ. После каждого коэффициента матрицы нажимается клавиша |ВКI Далее машина запрашивает мнимые части уравнений (на экране появляется текст — «введите построчно мнимые части коэффициентов матрицы»). Ввод мнимой части осуществляется аналогичным образом. Затем вводятся действительная и мнимая части комплекса ЭДС. На экране появляются значения действительной и мнимой частей контурных токов (корни уравнения). Если после числа —9522 (в данном случае действительная часть комплексного контурного тока /и) следует Е00, то записывается число —0,9522. Если на экране появится в нашем случае число —1201, а затем Е01, то число записывается следующим образом: —1,201 (действительная часть комплексного тока /22). После выдачи корней уравнений контурных токов в левом нижнем углу экрана появится знак МРП — сигнал окончания цикла по определению контурных токов (машина закончила процесс решения задачи и снова готова к повторению аналогичных расчетов).
Для определения токов при других частотах переменного тока определяются реактивные сопротивления отдельных ветвей при этих частотах. Емкостное сопротивление при частоте /( = 0,5/|, так как Хс и /1 связаны между собой обратно
пропорциональной зависимостью
то реактивные сопротивления
конденсаторов при данной частоте окажутся в 2 раза большими, чем при fi = = 50 Гц: Хс:л5 = 2ХС| = 2-10 = 20 Ом; Хсз os = 2Хс2 = 2 • 20 = 40 Ом; Xcsos = — 2Ха = 2-10 = 20 Ом; Xcsos = 2ХС6 = 2-10=20 Ом. Индуктивное сопротивление при частоте fi = 0,5/i. Реактивные индуктивные сопротивления Xi и частота fi связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью, поэтому прн частотё fi = 0,5/, она окажется в 2 раза меньше, чем при Г| = 50Гц: Xuos = = 0,5Xt3= 0,5-30 = 15 Ом; Xt406 = 0,5Xu = 0,5-20 = 10 Ом.
Аналогично определяются реактивные сопротивления отдельных ветвей и при других частотах. Далее определяются токи в ветвях при других частотах переменного тока по методике, изложенной выше. Результаты расчета сводятся в табл. П.2.2.
П риложение 3
Трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором с числом пар полюсов р питается от трехфазной сети со стандартной частотой переменного тока fi = 50 Гц. По данным, приведенным в табл. П.3.1, с помощью программированных микрокалькуляторов МК-61, МК-54 и других по программе, представленной в табл. П.3.2, определить частоту вращения л, вращающегося магнитного поля, частоту вращения ротора пг, угловую частоту вращения ротора ш, и его скольжение s, а также скольжение ротора s' и частоту тока f'i в роторе при возрастании нагрузки на валу двигателя с учетом того, что частота вращения ротора при этом уменьшается на 8 %, т. е. ni = 0,98лг,приняв отношение пг/ni = X.
Таблица П.3.1
р X п2 = Xri]
1 0,95 0,95
2 0,96 0,96
3 0,965 0,965
4 0,97 0,97
5 0,975 0,975
6 0,98 0,98
Программа расчетов с использованием микрокалькулятора представлена в табл. П.3.2, Перед набором программы включить микрокалькулятор, нажать клавиши ГН IПРГ | микрокалькулятора. Ввести текст программы, нажимая клавиши микрокалькулятора в последовательности, указанной в табл. П.3.2 (контроль правильности нажатия клавишей осуществляется по значению кода).
Для реализации программы нажимают клавиши [И - |АВТ|, |В/О|. Вводят исходные данные:Гр](например, р = . 1), нажимают клавишу | С/П | (получают ль);
Таблица П.3.2
’Номер шага Нажимаемые клавиши Код Пояснение Номер шага Нажимаемые клавиши Код Пояснение
00 f ввод р ОЕ ввод р 20 |П->Х2| 62
01 0 03 21 |— [вычитание 11
02 0 00 2? ink'll 61
03 0 00 23 |-е-|деление 13
04 0 00 24 [с/п'| 50
05 1^] 14 25 0 05
06 [Т~| 13 26 0 00
07 |Х^П11 41 27 |х [умножение 12
08 [с/п~| 50 ВЫВОД Л| — 28 |С7гП 50
60/
р
09 0 12 ввод X
10 |Х-*-П2| 42 29 1П- X2J 62
11 [С/гГ] 50 ВЫВОД П2 = = ХП1 30 0 00
12 |П^Х1| 61 31 I 1 0.
13 00 20 32 0 09
14 в 12 33 0 05
15 0 03 34 в 12
16 0 00 35 |Х — П2 !• 62
17 |-г-1 деление 13 36 [с/п] 50
18 50 37 |бп | 51
19 |П-^Х11 61 38 □0 19
нажимают клавишу Щ (например, при р = 1, Х = 0,95), нажимают клавишу |С/П| (получают л2), нажимают клавишу |С/П| (получают <oi). Далее нажатием клавишей |С/П | получаем соответственно S, /г. ni, s', f'2. Аналогичные расчеты повторяют для других значений числа пар полюсов р. Расчетные значения заносят в табл. П.3.3.
Т а б л и ц а П.3.3
р П| /12 в ХП । Z $ h «2 s' fi
— об/мин об/мин рад/с — Гц об/мин — Гц
1 2 3
Приложение 4
Рассчитать по приближенным формулам н построить механическую характеристику П2(М) трехфазиого асинхронного электродвигателя типа 4А907.4УЗ с числом пар полюсов р = 2, с номинальной мощностью = 2,2 кВт, номинальной частотой вращения ротора л2ном = 1425 об/мин, номинальным скольжением s»o«=5,1 %. Кратность моментов электродвигателя т, = AfmBX/AfB0« = 2,4; m, — AfBycB/AfBPB — 2,1; mmi„ = Mmln/AfBOM = 1,6; частота питающего напряжения /,-50Гц;171яом-380В. р
Решение. Номинальный момент: Мвов = 9,55 9,55 ’ -— =
^2ном * 14лЭ
= 14,74 Н-м. Максимальный момент: Afm„ = 2,4AfH0M = 2,4-14,74 = 35,37 Н-м. Начальный пусковой момент: Мпусв = 2,1Л4ВО«= 2,1 • 14,74 = 29, 4 Н-м. Минимальный момент: Mmin = 1.6Л4В0В = 1,6-14,74 = 23,6 Н-м. Критическое скольжение ротора определяется из приближенного уравнения механической характеристики
2Af асинхронного двигателя (формулы Клосса): М — —-— . . При наличии
$/ $кр I $Кр/S
известных значений AfHOM и $Ном с учетом того, что в двигательном режиме sKp>
>sBOB, имеем: s«p = sH0M ( ( 4^/- 1) = 0,051(2,4+ д/2,42- 1) -
\ Миом ’ \ Мной/ /
= 0,051-4,58 = 0,234. Частота вращения ротора, соответствующая sBp: лвр = = л, (1—sBp)= 1500(1—0,234)= 1149 об/мин, где л, = 60/i/p =-------
= 1500 об/мин. Частота вращения ротора, соответствующая минимальному моменту лjmin = л। (1 — sm,p)= 1500(1 — 0,8) = 300 об/мин (принимаем минимальное скольжение smln=0,8). Координаты механической характеристики рассчитываются по формуле Клосса. Результаты расчетов сводят в табл. П.4.1.
Таблица П.4.1
Характерные координаты точки механической характеристики асинхронного электродвигателя Рассчитывают по программе табл. П. 4.2.
л2, об/мин 0 300 1149 1425 1500
S 1 0,8 0,234 0,051 0
М, Нм 29,4 26,3 35,37 14,74 0
Таблица П.4.2
Номер шага Нажимаемые клавиши Код Номер шага Нажимаемые клавиши Код
00 1П->Х||2] 62 08 [вН ОЕ
01 Ln.rХ1Ш 63 09 |F||1/X | 23
02 | —] 11 10 |+ | 10
03 |П-Х||2| 62 11 |~~2~] 02
04 ЕЕ] 13 12 |-г I 13
05 jx-*nj 4 | 44 13 |П-Х|10] 60
06 |П <-Х| 7] 61 14 L±J 13
07 Е 13 15 1EJL2E1 23
16 [с/п | 50
По результатам расчетов строится механическая характеристика. Механическую характеристику (см. рис. 12.22) определяют четырьмя характерными координатами: скольжению s=l = 0) соответствует начальный пусковой момент Af„yCK, скольжению s = 0,74-0,9—минимальный вращающийся момент критическому скольжению sKp— критический момент AfKp. При номинальном вращающем моменте М„ои скольжение s = sHOM, прн скольжении s = 0 <пг = л,) вращающий момент М равен нулю. Программа расчета механической характеристики асинхронного электродвигателя на программированном микрокалькуляторе МК-56 [5] представлена в табл. П.4.2.
Для реализации программы следует нажать клавиши | Ь/О | ГН | ПРГ | . Ввести текст программы, нажимая соответствующие клавиши и контролируя правильность нажатия по значению кода. После набора программы переходят в автоматический режим, при этом нажимают клавиши ГР) |АВТ| и вводят исходные данные, т. е. числа: Afmax= 35,37 Н-м; Л4тя,|ХП| ПЛ; х,р= 0,234; s.JX -> TTl Ш д л,= 1500 об/мин; nJX -»• ПТ [3- далее вводят пг (от 0 до 1499) пг IX -»- ТГ| [31 и нажимают- клавиши | В/О | и |С/П |. Записывают с индикатора полученное значение лг: |СХ | лг |Х -> П| ПЛ- Вновь вводят программу IВ/О| |С/П | и т. д.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника. — М.: Энер-гоатомиздат, 1985. — 552 с.
2. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника. Высшая школа, 2000. — 542 с.
3. Электротехжка/Под ред. В. Г. Герасимова. — М.: Высшая школа, 1985. — 480с.
Дополнительная
1. Волынский Б. А., Зейн В. Е., Шатерников В. Г. Электротехника. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 528 с.
2. Морозов А. Г. Электротехика, электроника, импульсная техника. — М.: Высшая школа, 1987.— 448 с.
3. Основы промышленной электроники/Под ред. В. Г. Герасимова — М.: Высшая школа, 1969.— 160 с.
4. Сборник задач по электротехнике и основам электроники/Под ред. В. Г. Ге-расшова — М.: Высшая школа, 1987. — 288 с.
5. «Desing News» (США). 1988, № 12. Т. 44 С. 15.
6. Данилов И. А., Иванов П. М. Общая электротехника с основами электроники. — М.: Высшая школа, 1998. — 752 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................
Глава I. Линейные электрические цепи постоянного тока..............
§ 1.1. Источники и потребители электрической энергии постоянного тока .............................................................. I
§ 1.2. Метод эквивалентных преобразований.................. 15
§ 1.3. Метод применения законов Кирхгофа................... 25
§ 1.4. Метод контурных токов............................... 38
§ 1.5. Метод узлового напряжения........................... 46
§ 1.6. Метод наложения токов............................... 53
§ 1.7. Метод эквивалентного генератора............................ 56
Глава 2. Нелинейные электрические цепи постоянного тока....... 66
§ 2.1. Основные сведения о нелинейных электрических, цепях .... 66
Глава 3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока .... 78
§ 3.1. Способы изображения синусоидальных функций времени ... 7к
§ 3.2. Метод комплексных чисел................................... «2
§ 3.3. Линейные однофазные синусоидальные электрические цепи с последовательным соединением элементов цепи...................... W
§ 3.4. Линейные однофазные синусоидальные электрические цепи с параллельным и смешанным соединением элементов цепи ... 110
Глава 4. Электрические цепи периодического несинусоидального тока . . 156
§ 4.1. Основные сведения о периодических несинусоидальиых токах 156
Глава 5. Переходные процессы в линейных электрических цепях .... 168
§ 5.1. Основные сведения о переходных процессах.................. 168
Глава 6. Промышленная электроника.................................... 184
§ 6.1. Основные сведения об электровакуумных и полупроводниковых приборах........................................................ 184
Глава 7. Трехфазные электрические цепи............................... 211
§ 7.1. Трехфазная система питания потребителей электроэнергии . . 211
§ 7.2. Трехфазиые трехпроводные электрические цепи при соединении фаз трехфазных потребителей электроэнергии «звездой» . . . 212
§ 7.3. Трехфазные электрические цепи при соединении фаз трехфазных потребителей электроэнергии «треугольником» ............... 215
§ 7.4. Трехфазные четырехпроводные электринеские цепи.............217
Глава 8. Электрические измерения.....................................250
§ 8.1. Основные сведения об электроизмерительных приборах и погрешностях измерений..............................................250
Глава 9. Магнитные цепи..............................................264
§9.1. Основные сведения о магнитных цепях и их расчете............264
Глава 10. Трансформаторы..............................................277
§• 10.1. Основные сведения о трансформаторах..................... 277
Глава II. Электрические машины постоянного тока . ............... 302
§ 11.1 . Основные сведения об электрических машинах постоянного тока 302
Глава 12. Трехфазиые асинхронные электродвигатели................. 313
$ 12.1. Основные сведения о трехфазных асинхронных электродвигателях ........................................................ 313
Глава 13. Трехфазиые синхронные электрические машины.............. 342
$ 13.1. Основные сведения о синхронных машинах и области нх применения ....................................................... 342
Глава 14. Электрический привод.................................... 352
$ 14.1. Основные сведения об электроприводе и принципах выбора электродвигателей ............................................. 352
Глава 15. Электроснабжение производственных предприптий........... 364
$ 15.1. Основные сведения об электроснабжении и оплате за пользование электроэнергией .............................. 364
Глава 16. Электробезопасиость .......................... 390
$ 16.1. Основные сведения об электробезопасности и оказанию первой
помощи................................................... 390
Приложения. Примеры решения задач с использованием программированных микрокалькуляторов и ЭВМ....................... 405
Списоклитературы................................................. 414
Учебное издание
Рекус Григорий Гаврилович Белоусов Анатолий Ильич
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ И ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОНИКИ
Редактор Л. В. Честная. Художник К. Э. Семенков.
Судпжестяеяяый редактор Ю. Э. Иванова. Технический редактор Н. В. Быков,
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ВТИ-93. Сдано в набор
й подл, в печать 26.11.2000. Формат 60x88*/^. Бум. газетная.
Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 25,48 усл. печ. л.
25,48 усл. кр.-отт. 26,21 уч.-изд. л. Тираж 10000 экз. Заказ №217.
ГУП «Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Факс: 200-03-01, 200-06-87
E-mail: V-Shkola@g23.relcom.ru http: // www.v-shkola.ru
Набрано на персональных компьютерах издательства
Отпечатано в ОАО «Оригинал», 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.