/
Автор: Белоусов А.И. Рекус Г.Г.
Теги: электротехника электроэнергетика физика электроника электрооборудование задачи по электротехнике
ISBN: 5-06-003984-6
Год: 2001
Текст
Г.Г.РЕКУС А.И. БЕЛОУСОВ
СБОРНИК
задач и упражнений
по электротехнике
и основам
электроники
Издание второе, переработанное
Допущено
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по неэлектротехническим специальностям
направлений подготовки дипломированных специалистов
в области техники и технологии
Москва
«Высшая школа» 2001
УДК 621.3
ББК 31.2
Р 36
Рецензенты:
кафедра электротехники и компьютеризации
электромеханических систем Московского государ-
ственного технического университета (зав. кафед-
рой д-р техн, наук, проф. Б. И. Петленко) и кафед-
ра электротехники и электропривода Московского
государственного строительного университета (зав.
кафедрой — д-р техн, наук, проф. Г. Е. Иванченко)
Рекус Г. Г., Белоусов А. И.
Р 36 Сборник задач и упражнений по электротехнике и ос-
новам электроники: Учеб, пособие для неэлектротехн. спец,
вузов. — 2-е изд., перераб. — М.: Высш, шк., 2001. —
416 с.: ил.
ISBN 5-06-003984-6
Пособие содержит типовые задачи, подобранные по разной степени
сложности, а также примеры их решения.
Включенные в книгу приложения дают возможность решать представ-
ленные задачи без дополнительного справочного материала.
Для студентов, изучающих курс электротехники и основ электроники
на неэлектротехнических специальностях вузов.
УДК 621.3
ББК 31.2
ISBN 5-06-003984-6 © ГУП «Издательство «Высшая школа» 2001
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства
ЛВысшая школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без
согласия издательства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие состоит из 16 глав по основным вопросам
электротехники, в каждую из которых, помимо теории, включе-
ны численные решения типовых задач с основными положениями
и формулами, облегчающими понимание соответствующего ма-
териала. Такая форма изложения особенно важна для студентов,
изучающих курс электротехники и основ электроники самосто-
ятельно, а также на вечерних и заочных отделениях вузов.
В параграфах пособия для удобства пользования принята
тройная нумерация рисунков, а в задачах — двойная, которая
соответствует номерам задач. В каждой главе в контрольных
заданиях даны дополнительные вопросы, способствующие луч-
шему усвоению материала студентами.
Основные теоретические положения подготовлены Г. Г. Реку-
сом, а материалы контрольных заданий — А. И. Белоусовым.
Авторы выражают благодарность коллективам кафедры эле-
ктротехники и компьютеризации электромеханических систем
Московского государственного технического университета (зав.
кафедрой — д-р техн, наук, проф. Б. И. Петленко) и кафедры
электротехники и электропривода Московского государственно-
го строительного университета (зав. кафедрой — д-р техн, наук,
проф. Г. И. Иванченко), сделавшим при рецензировании книги
ряд ценных замечаний и рекомендаций, способствовавших ее
улучшению.
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих
курс электротехники и основ электроники на неэлектротехничес-
ких специальностях вузов. Материал пособия может быть ис-
пользован при освоении последующих прикладных дисциплин
и решении практических вопросов.
Авторы
Глава 1
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
5 1.1. ИСТОЧНИКИ И ПОТРЕБИТЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическая цепь представляет собой совокупность элек-
тротехнических устройств, создающих путь для электрического
тока, электромагнитные процессы в которых описываются урав-
нениями с учетом понятий об электродвижущей силе, электри-
ческом токе и электрическом напряжении.
Основными элементами электрической цепи (рис. 1.1.1) явля-
ются источники и потребители электрической энергии.
В качестве источников электрической энергии постоянного
тока широко распространены генераторы постоянного тока и
гальванические элементы.
Источники электрической энергии характеризуются ЭДС Е,
которую они развивают, и внутренним сопротивлением /?о-
Потребителями электрической энергии являются резисторы,
электрические двигатели, электролизные ванны, электрические
лампы и т. д. В них электрическая энергия преобразуется в меха-
ническую, тепловую, световую и др. В электрической цепи за по-
ложительное направление ЭДС Е принимается направление, сов-
падающее с силой, действующей на положительный заряд, т. е.
от «—» источника к «-(-» источника питания. За положительное
направление напряжения U принято направление, совпадающее
с направлением действия электрического поля, т. е. от «4-» к
«—» источника. За положительное направление тока 1 принято
направление, совпадающее с перемещением положительных заря-
дов, т. е. от «-(-» к «—» источника (см. рис. 1.1.1).
В электрической цепи электродвижущая сила ЭДС источника
может иметь одинаковое и противоположное направление с то-
ком. В первом случае источник ЭДС рабо-
тает в режиме генератора, т. е. является
источником электрической энергии. При
этом ЭДС Е оказывается большей напря-
жения на его зажимах (E>U). При направ-
лении ЭДС Е в цепи противоположно току
источник становится потребителем электри-
ческой энергии, т. е. он работает в режиме
потребителя и при этом ЭДС Е оказыва-
ется меньше напряжения U на зажимах
/
Рис. 1.1.1
4
источника (E<U) на величину внутреннего падения напряжения
Rol. При расчетах электрических цепей реальные источники
электрической энергии заменяются схемами замещения.
Схема замещения источника ЭДС содержит ЭДС Е и внут-
реннее сопротивление Ro источника, которое много меньше сопро-
тивления RH потребителя электроэнергии (/?„3>/?о). Часто при
расчетах приходится внутреннее сопротивление источника ЭДС
приравнивать нулю.
В идеализированном источнике ЭДС Е падение напряжения
на внутреннем сопротивлении RiJ = 0, при этом напряжение на
зажимах источника U = const не зависит от тока / и равно
ЭДС Е источника {U — Е). В этом случае источник электроэнер-
гии работает в режиме, близком к режиму холостого хода.
В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз
превосходит сопротивление потребителя электроэнергии Rn~^>Rn,
при этом в идеальном источнике тока ток является величиной
практически постоянной, не зависящей от нагрузки (/= const).
Реальный источник электрической энергии можно представить
в схемах последовательным соединением идеального источника
ЭДС и внутреннего сопротивления Ro или параллельным соедине-
нием идеального источника тока и внутренней проводимости Go=
= l/R0. При расчетах электрических цепей источник тока может
быть заменен эквивалентным источником напряжения, что в ряде
случаев упрощает расчет.
II кг 2
Рис. 1.1.2
Рис. 1.1.3
Для участка цепи, не содержащего источник энергии (напри-
мер, для схемы рис. 1.1.2), связь между током 1 и напряжением
U12 определяется законом Ома для участка цепи:
. __ <р, — ф; U12
где ф| и ф2 — потенциалы точек 1 и 2 цепи (ф|>фг); (Лг = ф1 —
— фг — напряжение (разность потенциалов) между точками / и
2 цепи; £ /? — арифметическая сумма сопротивлений на участке
цели; /?| и /?г — сопротивления участков цепи. Для участка
цепи, содержащей источник энергии (рис. 1.1.3), закон Ома запи-
сывают в виде выражения
/ = —Ё____,
2 R + /?о
5
где Е — ЭДС источника энергии; X /? = /?;-(-£2 — арифметичес-
кая сумма сопротивлений Ri и R? участков цепи; Ro — внутрен-
нее сопротивление источника энергии.
Взаимосвязь между всеми видами мощностей в электрической
цепи (баланс мощностей) определяется из уравнения: £ Pi =
= S/>2-|-S/’n, где SPi — алгебраическая сумма мощностей ис-
точников энергии (SPi = S£/); SP2— алгебраическая сумма
мощностей потребителей (полезная мощность) (Pi=UI); YPn —
суммарная мощность, обусловленная потерями в сопротивлениях
источника (5Рл = 2/2/?о).
Резисторы, а также сопротивления других электротехнических
устройств являются потребителями электрической энергии. Ба-
ланс мощностей определяется законом сохранения энергии, при
этом в любой замкнутой электрической цепи алгебраическая
сумма мощностей источников энергии равна алгебраической сум-
ме мощностей, расходуемых потребителями электрической энер-
гии.
Коэффициент полезного действия установки определяется
отношением ti = P2/Pi.
Литература: [1| §1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.11, 1.13; [2] §1.1 —1.7; [3| §1.1.
Примеры решения задач
1.1. Составить схему электрической цепи постоянного тока с
источником ЭДС Е с внутренним сопротивлением Ro при наличии
последовательно включенных потребителей электроэнергии —
фоторезистора Ф/?, резистора с сопротивлением /?, лампы нака-
ливания Л и коммутационного аппарата В.
Решение. При составлении схемы должны быть учтены
установленные ГОСТом условные графические обозначения эле-
ментов электрической цепи.
При этом каждый элемент цепи изображается условным обо-
значением, имеющим определенные размеры. Над каждым эле-
ментом указывается соответствующее буквенное обозначение, а
также знак полярности: «+»— положительная полярность,
«—» — отрицательная полярность источника питания. Условные
обозначения определяют функциональное назначение элементов
схемы. В обозначении источника питания стрелка указывает на-
правление действия ЭДС, т. е. направление возрастания потен-
циала внутри источника. При составлении электрической схемы
элементы электрической цепи изображают с интервалом друг от
друга и соединяют линиями тока (проводами). На схемах указы-
вают положительные направления тока, напряжения или падения
напряжения (£/i2)-
Электрическая схема, составленная в соответствии с задани-
ем, приведена на рис. Л.1.
6
Рис. 1.2
1.2. Определить ток в электрической цепи постоянного тока
(рис. 1.2). ЭДС источников питания: £| = 40В; £2=20В, внут-
ренние сопротивления: /?<и = 3 Ом, /?ог = 2 Ом, потенциалы точек
1 и 2 цепей: <pi = 80 В; <р2=60В, сопротивления резисторов:
Ri = 10 Ом; /?2 = 10 Ом.
Решение. Напряжение на зажимах электрической цепи в
соответствии со вторым законом Кирхгофа: (Л2 = q>i — <р2 = £2 +
4- /?оа/ 4- R2I — Ei 4* /?oi/ + /?|/.
Ток в электрической цепи
/ — gi-£i+(<Pi-<₽2) .. 40 - 20+ (80-60)^ . 6 .
Ri 4- /?2 4- Roi + /?о2 10 4- 10 ~j-3 2 ’
1.3. Определить напряжение U на зажимах аккумулятора с
ЭДС £=2В и внутренним сопротивлением /?о = О,О1 Ом, мощ-
ность, отдаваемую нагрузочному резистору RK при разрядке, и
мощность, потребляемую им при зарядке при токе /= 10 А.
Решение. Схема электрической цепи с аккумулятором при
разрядке приведена на рис. 1.3. При разрядке аккумулятор явля-
ется источником электрической энергии, при этом направление
ЭДС £ совпадает с направлением тока I (сплошная стрелка).
Напряжение на зажимах аккумулятора при разрядке опреде-
ляется из уравнения, составленного для этой цепи по второму
закону Кирхгофа: U = RJ = E — RqI= 2-0,01-10= 1,9 В. Мощ-
ность, отдаваемая аккумулятором при разрядке, PV = EI =
= 2-10 = 20 Вт.
При зарядке аккумулятор переходит в режиме потребителя
электроэнергии. При этом ток / аккумулятора направлен встреч-
но ЭДС £ (пунктирная стрелка). Напря-
жение на зажимах аккумулятора при
зарядке в соответствии с уравнением,
составленным по второму закону Кирх-
гофа: U—E + Roi = 24-0,01 -10 = 2,1 В.
Мощность, потребляемая аккумулято-
ром при его зарядке, Р3 = £/=2-10=
= 20 Вт.
1.4. Составить электрическую схему
источника ЭДС и схему эквивалентного
7
ему'источника тока, соедииеииого с нагрузочным сопротивле-
нием Определить ток / и проводимость Go источника тока.
ЭДС источника £=6 В, его внутреннее сопротивление /?о=О,1 Ом.
Решение. Электрическая схема с источником ЭДС и на-
грузочным сопротивлением приведена на рис. 1.4, а. Источник
ЭДС (ограничен пунктиром) характеризуется величиной ЭДС Е
и внутренним сопротивлением Ro. ЭДС Е источника изображены
иа схеме включенными последовательно с внутренним сопротив-
лением Ro. Схема источника тока приведена на рис. 1.4, б. Двой-
ная стрелка на схеме показывает направление тока источника и
указывает иа разрыв электрической цепи, обусловленный беско-
нечно большим внутренним сопротивлением источника тока, ко-
торый характеризуется значением тока / и внутренней прово-
димостью Go, включенными иа схеме параллельно. При замене
источника ЭДС эквивалентным источником тока мощность, по-
требляемая нагрузкой, принимается неизменной.
Рис. 1.4
Условием эквивалентности двух источников является равен-
ство напряжений в режиме холостого хода и токов в режиме ко-
роткого замыкания.
При холостом ходе источника ЭДС ток в цепи /х = / = /о = О,
при этом G = /o/Go = //Go (источник тока), а напряжение хо-
лостого хода UK = U = Е. При коротком замыкании источника
ЭДС напряжение = U = 0. При этом /к = /=£//?о, 1 — J-
Отсюда /=£//?o,(Go= 1 /Ro)', Е = J/Go-
Ток и проводимость эквивалентного источника тока: / =
= £//?о = 6/0,1 =60 A, Go= 1/Яо = 1/0,1 = 10 См.
1.5. Построить внешнюю характеристику U (/) реального ис-
точника энергии с ЭДС £ и внутренним сопротивлением Ro, а
также внешние характеристики идеальных источника ЭДС и ис-
точника тока; сопротивление потребителя электроэнергии (на-
грузки) ₽„.
Решение. Напряжение на зажимах реального источника
определяется в соответствии с уравнением, составленным по вто-
рому закону Кирхгофа: U = RJ = £— Rol- При постоянных зна-
8
S)
чениях E и Ro уравнение, связывающее напряжений U и ток /,
представляется в виде прямой линии.
Предельные значения U и / определяются из режима холосто-
го хода и режима короткого замыкания.
При холостом ходе /?„ = со, при этом ток А = I — 0, a Ux — Е
(точка 1 характеристики). При коротком замыкании /?„ = 0, ток
А = I = E/Ro, при этом UK = U — 0.
Внешняя характеристика реального источника питания
(рис. 1.5, а) представляет график изменения напряжения источ-
ника U при изменении сопротивления нагрузки /?„. Она может
быть построена по значениям напряжения и тока при холостом
ходе и коротком замыкании (А = 0, Ux — Е, точка /) и (А =
= E/Ro, UK — 0) в виде прямой линии.
Вторая точка характеристики (точка 2) обычно определяется
координатами номинального режима (Аом, £Аом), Um„ = E—
/?оАом •
Внешняя характеристика идеального источника ЭДС пред-
ставлена на рис. 1,5, б (линия /). При /?о = О напряжение U —
= U. = Е.
Внешняя характеристика источника тока представлена на
рис. 1.5, б (линия 2). При этом ток источника равен току корот-
кого замыкания: А = / = E/Ro.
Внутреннее сопротивление Ro источника тока настолько вели-
ко по сравнению с сопротивлением нагрузки (Ro^>RK), что из-
9
меНение его (соответственно изменение напряжения на зажимах
нагрузки) практически не влияет на величину тока в электричес-
кой цепи с источником тока.
1.6. Определить внутреннее сопротивление Ro и ЭДС Е источ-
ника питания (рис. 1.6), если при разомкнутых выключателях Д
и В2 ток, протекающий в цепи амперметра, / = Л = 2 А, а при
замкнутом выключателе В\ и разомкнутом выключателе В2 ток
/=/г=2,5 А. Сопротивления резисторов Ri = R2 = R3 = 3 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление ветви цепи с па-
раллельно включенными сопротивлениями R2 и R3: Рзл =
R2R3 30-30 । г
= яйТяГ =36+30- = *’5 Ом-
Ток в цепи при разомкнутых выключателях Bi и В2 определяет-
ся уравнением, составленным по закону Ома для всей цепи: /, =
_ Е '
Ro + Rt + R23
Ток в цепи при замкнутом выключателе Bi и разомкнутом
Е
выключателе В2 определяется по уравнению /2= о , р—
Д(» "Т Л21
Внутреннее сопротивление источника ЭДС определяется при
совместном решении полученных уравнений:
Ro = (R. + Rg/.-R,,/, = (3^+^..L5;2;5 = ,05 Ом
ЭДС источника питания Е = (/?о+ /?гз) /2 = (10,5+ 1,5) 2,5 =
= 30 В.
1.7. Для электрической цепи рис. 1.7, а определить ток /, на-
пряжение на зажимах потребителя U, мощность источника пита-
ния Р\, мощность Р2 внешней цепи, КПД г) установки, если ЭДС
источника питания Е= 10 В, его внутреннее сопротивление /?о =
= 1 Ом, сопротивление нагрузки /?„ = 4 Ом. Сопротивлением пи-
тающих проводов пренебречь. Построить внешнюю характеристи-
ку U (/) источника питания.
Решение. Ток в электрической цепи по закону Ома для
всей цепи:
/ = * Е = 10 = 2 А
Rn + R„ 1+4
Напряжение на зажимах источника питания: U = R„I =
= 4-2=8 В. Мощность источника питания: Р1=£7=10-2 =
= 20 Вт. Мощность внешней цепи (мощность потребителя) : Р2 =
= UI = 8-2 = 16 Вт. Потери мощности внутри источника Ро =
= I2Ro = 22 • 1 = 4 Вт, КПД равен
т, = р2/р, = Р2ДР2 + Р0) = 16/20 = 0,8, т. е. »] = 80 %.
Внешняя характеристика источника питания (/(/) при посто-
янных значениях Е и Ро- а) при холостом ходе (выключатель В
разомкнут): / = /х = 0, (/=(/, = £= 10 В; б) при коротком за-
Ю
мыкании (выключатель В замкнут) /?„ = 0: /=/к = Е//?0 =
= 10/1 = 10 A; U=R,/« = 0.
Зависимость t/(/) является линейной, поэтому данные режи-
мов холостого хода и короткого замыкания определяют внешнюю
характеристику источника питания (рис. 1.7, б). По ней и значе-
нию тока I нагрузки можно определить соответствующее напря-
жение U источника. Например, для точки 1 при / = 6 А напря-
жение U = 10 — 6 = 4 В, так как по второму закону Кирхгофа
U=E-Rol.
Уравнение баланса мощностей (мощность источника питания
равна мощности, выделяемой в виде теплоты в сопротивлениях
/?о и /?„): F/ = /2/?o + /4; Ю-2 = 22- 1 +22-4; 20 =20 Вт.
1.8. Для электрической цепи рис. 1.7, а определить, при каком
сопротивлении нагрузки R„ в условиях предыдущей задачи источ-
ник питания отдает наибольшую мощность и каков при этом
КПД т] установки? Построить график изменения полезной мощ-
ности в зависимости от сопротивления нагрузки Pi(Ru). Задачу
решить в общем виде.
Решение. Мощность, выделяемая в нагрузочном сопротив-
лении:
P2 = ^ = (^^-
Для определения наибольшей мощности, отдаваемой источни-
ком электроэнергии, берется первая производная мощности по
нагрузочному сопротивлению и приравнивается нулю:
dP; (Яо + Я„)г — 2(/?о —|— Л? н) /?„ р2 л
аян — (я»+я«)4 — ’
После преобразования получим RH = Ro, т. е. источник отдает
наибольшую мощность при равенстве сопротивлений нагрузки и
его внутреннего сопротивления. Максимальная мощность, отда-
ваемая источником электроэнергии во внешнюю цепь потребите-
лю при R„ = Ro'.
р
2 тп ~ (Ro + Rif
Е2
4Ro
Вт.
КПД источника
п = 2L — /2/?" = -- /2„Я° J_= о 5
1 Р, /2(Яо + Я„) Яо + Ян 2/J/?o 2
т. е. т) = 50 %. Можно показать, что при R„ = 0 (короткое замы-
кание) т) = 0; при R„ = Ro КПД т) = 0,5; при R„ = со КПД т) = 0.
При изменении нагрузочного сопротивления R„ полезная мощ-
ность изменяется в соответствии с уравнением
р Г а 1 = Я8 к
2 (Ro + Rif Ro L (а+1)2 J Ro Л’
где K= а/(а+1)2; а = -^-. При /?0= R», а= 1, Р2 = 0,25-|-.
лн Ко
II
Рис. 1.8
Рис. 1.9
Принимая Е и Ro постоянными, задаваясь различными значе-
ниями Ro/Rh, можно получить график, показывающий! (в относи-
Е2
тельных единицах) изменение полезной мощности Р? = -=— в
АО
функции сопротивления нагрузки R„ (рис. 1.8).
1.9. Построить зависимость изменения напряжения U на за-
жимах источника питания, мощности Pi, отдаваемой источником,
полезной мощности Рг, потерь мощности Ро, КПД q установки
от тока I в электрической цепи, т. е. Ui, Pi, Рг, Ро, т](/) при измене-
нии сопротивления нагрузки в пределах /?„ = 04-со для условий
задачи 1.7. ЭДС источника питания считать неизменным.
Решение. Порядок расчета для R„ = 4 Ом приведен в
задаче 1.7. Для других значений нагрузки результаты расчета
приведены в табл. 1.1:
Таблица 1.1
Ян. Ом 0 0,5 1 2 4 6 7 9 оо
/, А 10 6,67 5 .3,33 2 .1,43 1,25 1 0
и. В 0 3,33 5 6,56 8 8,6 8,75 9 10
Pi. Вт 100 66,7 50 33,3 20 14,3 12,5 10 0
Рг, Вт 0 22,2 25 22,2 16 . 12,3 10,9 9 0
Ро, Вт 100 44,4 25 11,1 4 2,05 1,56 1 0
Л 0 0,33 0,5 0,67 0,8 0,855 0,875 0,9 1
На рис. 1.9 приведены графики изменения соответствующих вели-
чин в функции тока нагрузки.
Задачи
1.10. Для электрической цепи постоянного тока (см. рис. 1'7, а)
определить падение напряжения внутри источника питания At/o
и напряжение U на его зажимах. ЭДС источника Е=100В, со-
12
противление Ro= 0,5 Ом, сопротивление нагрузочного резистора
/?„ = 0,5 Ом. Как изменится падение напряжения внутри источни-
ка и напряжение на его зажимах, если сопротивление резистора
увеличится В 2 раза (/?„=19Ом)? Ответ Л£Л>=5В; £7 = 95 В; .\U(,=
= 2,57 В; О'= 97,43 В.
1.11. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.11)
определить ток /. напряжения U\, U2, U3 на резисторах Rt, R2,
R3, мощность источника питания Pt, мощность потребителя элек-
троэнергии Р2, потери мощности Ро и КПД т] установки. Соста-
вить баланс мощностей, если Е = 24 В; Ro — 0,5 Ом; Rt — 0,5 Ом;
/?2=6Ом; /?з = 50Ом, определить показания вольтметра V при
замкнутом И разомкнутом выключателе В. Ответ: I = 2 А; С/| = 1 В;
и, = 12 В; U3 = 10 В; Рг = 48 Вт; Р2 = 46 Вт; Ро = 2 Вт; п = 0,96; (/„= 12 В;
U'. = 24 В.
Рис. 1.12
1.12. Определить напряжение питания U электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.12), а также сопротивление нагрузки
R„, если напряжение на зажимах нагрузки £/„=100 В, ток в
цеци /=10А, сопротивление каждого из проводов цепи /?п =
= 0,6 Ом. Ответ: и = 112 В; /?„ = 10 Ом.
1.13. По линии электропередачи длиной / = 500м, выполнен-
ной из медного провода (р = 0,0175 Ом-мм2/м) с сопротивлени-
ем Rj,, передается мощность Р = 46кВт при напряжении в конце
линии £/„ = 418 В (рис. 1.13). Определить процентное изменение
напряжения AU% при отключенной нагрузке. Номинальное на-
пряжение потребителя £/„ом=440 В. Ответ. ьи % = 8,75 %.
Рис. 1.13
13
1.14. Определить пределы регулирования напряжения Ки и
тока Ki на потребителе электроэнергии с сопротивлением R„ =
— 50 Ом с помощью реостата с сопротивлением /?р = 70 Ом
(рис. 1.14), если напряжение питающей сети U — 120 В. Ответ:
Кс=2А; К,= 2А.
Рис. 1.16
1.15. Последовательно с потребителем электроэнергии с со-
противлением /?„ = 10 Ом в цепь постоянного тока включен регу-
лировочный реостат (рис. 1.15). Определить сопротивления цепи
R, ток / в цепи и падения напряжений Л(/ на реостате при уста-
новке подвижного контакта реостата в положениях /—6 при
одинаковых сопротивлениях секций реостата Ro= 10 Ом. Напря-
жение питающей сети и = 240 В. Ответ: Результаты расчета представ-
лены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Величины Положение реостата
1 2 3 4 5 6
Общее сопротивление цепи R, Ом 10 20 30 40 50 60
Ток в цепи /, А 24 12 8 6 4,8 4
Падение напряжения на со- противлении секции At/. В — 120 160 180 192 200
Падение напряжения на по- требителе At/,,, В 240 120 80 60 48 40
1.16. Определить общий ток / и токи /ь /2, /з, Л в отдельных
ветвях электрической цепи постоянного тока (рис. 1.16), напря-
жение U и ЭДС Е источника питания. Сопротивление резисторов
/?1 = 6Ом; /?2=10Ом; Яз= ЮОм; Я4=20Ом; Я5=ЮОм;
/?6 = 5Ом; /?7=15Ом, внутреннее сопротивление источника
/?0 = 0,5Ом, показание амперметра А: /2 = 2 А. Ответ. /=ЮА;
/, = /, = /< = 2 A; /j = 4А; U = 100 В; Е ~ 100 В.
14
Контрольное задание
1.17. Для электрической цепи постоянного тока
(рис. 1.17) определить ток /, напряжение на за-
жимах потребителя U, мощность потребителя
электроэнергии Рг и источника питания Pt, КПД
t) установки, составить баланс мощностей. ЭДС ис-
точника Е, внутреннее сопротивление источника
Ra, сопротивления резисторов Rt, R3, R3, а также
положение выключателей 8, и ft для соответст-
вующих вариантов задания приведены в табл. 1.3.
Рис. 1.17
Примечание. Для расширения числа вариантов контрольного задания
в вариантах с 31-го по 60-й Rt, R3 увеличить в 2 раза, в вариантах 61—90 R?,
R3 уменьшить в 2 раза.
Продолжение табл. 1.3
Величины Варианты контрольного задания 1.17
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Е, В 12 12 12 12 12 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24
Ro, Ом 0,5 0,6 0,3 0,4 0,3 0,8 0,8 0,6 0,8 0,2 0,2 0,4 0,4 0,8 0,8
/?>, Ом 5 — 3 — 1 1 — — 2 2 — 3 1 — 1
R3, Ом — 4 — 2 .— 1 3 2 — 2 2 — 1 2 1
R3, Ом 5 6 7 8 9 8 1 2 3 4 2,2 6 6 8 8
Замкнутые выключатели В2 В, Вг В, в2 — в. В, в2 — В, в2 — В, —
$ 1.2. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем,
что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а развет-
вленная содержит одну или несколько узловых точек, при этом
на участках цепи протекают разные токи.
15
При расчетах неразветвленных и разветвленных линейных
электрических цепей постоянного тока могут быть использованы
различные методы, выбор которых зависит от вида электрической
цепи.
При расчетах сложных электрических цепей во многих случа-
ях целесообразно производить их упрощение путем свертывания,
заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллель-
ным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквива-
лентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных пре-
образований (метода трансфигураций) электрических цепей.
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2
Электрическая цепь с последовательным соединением сопротив-
лений (рис. 1.2.1) заменяется при этом цепью с одним эквива-
лентным сопротивлением R3K (рис. 1.2.2), равным сумме всех со-
противлений цепи: Як = /?i + /?2.+ /?3+ - + /?«= 2 Я, где Я,
k= ।
Я, Я..... Я — сопротивления отдельных участков цепи. При
этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое
значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током.
Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их
последовательном соединении распределяются пропорционально
сопротивлениям отдельных участков: Ui/Rt = U2/R2 = t/з/Я—
...Un/Rn- При параллельном соединении сопротивлений все сопро-
тивления находятся под одним и тем же напряжением U
(рис. 1.2.3). Электрическую ‘цепь, состоящую из параллельно
соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с
эквивалентным сопротивлением R* (см. рис. 1.2.2), которое опре-
деляется из выражения
^-=2-^-, где £ ' =G,k=2G-
«ЭК k= I «к *- I «« k = 1
сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллель-
ных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей
цепи); Я—сопротивление параллельного участка цепи; GM—
эквивалентная проводимость параллельного участка цепи, G3K =
= -!—; п — число параллельных ветвей цепи. Эквивалентное
Пэк
сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых парал-
лельно соединенных сопротивлений, ЯЖ=Я,/Л- При параллель-
ном соединении двух сопротивлений Rt и Я эквивалентное со-
16
Рис. 1.2.3
n n
противление Я, = „ в . а токи распределяются обратно про-
порционально их сопротивлениям, при этом U — Rilt = R2I2 =
— R3I3 = ... — RJn. При смешанном соедииеиии сопротивлений
(рис. 1.2.4), т. е. при наличии участков электрической цепи с
последовательным и параллельным соединением сопротивлений,
эквивалентное сопротивление (см. рис. 1.2.2) цепи определяется
в соответствии с выражением
/?«= s Я+—п—; =
*=| _ «=!
*-! R'
Во многих случаях оказывается целесообразным также преобра-
зование сопротивлений, соединенных треугольником (рис. 1.2.5),
эквивалентнбй звездой (рис. 1.2.6). При этом сопротивления лу-
чей эквивалентной звезды определяют по формулам: R\ =
__ RiiRn . п R12R23 . о R23R31 гд„ о п
RlRai 1 Rl 2+ /?2э4“Яэ1 * Л|2-|-Л2э4-Лз|
R3 — сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений;
/?12, /?гз, R31 — сопротивления сторон эквивалентного треугольни-
ка сопротивлений. При замене звезды сопротивлений эквивалрнт-
ным треугольником сопротивлений сопротивления его сторон
рассчитывают по формулам: . /?зг = Я3 + Я1+Я3Я1/Я2; /?12 =
== Ri 4~/?2"|- R\Ri/R3, R23 ~ R2 4~ R3 ~Ь /?г/?з/Л|.
Литература. [1] § 1.10.2—1.10.6: |2| $1.8—1.12.
17
Примеры решения задач
1.18. Для электрической цепи постоянного тока с параллель-
ным соединением резисторов Rt, Rs и /?з (рис. 1.18) определить
ток / в неразветвленной ее части и токи в отдельных ветвях:
/1, /?, Л. Сопротивления резисторов: /?, = 5Ом; /?2=ЮОм;
/?з = 15 Ом, напряжение питающей сети U— НО В.
Решение. Эквивалентное сопротивление RM всей электри-
ческой цепи находят исходя из формулы для ее эквивалентной про-
1 1 1 1 1 1 1 п
воднмости: - - - - + - + - - - + - + - = - или =
= 30/11 = 2,73 Ом. Ток в неразветвленной части электрической
цепи: 1— U/R3K — 110/2,73 = 40,3 А. Ток в ветви резистора Ry.
/, = U/Rt = 110/5 — 22 А. Ток в ветви резистора R2: h=U/Rt=
= 110/10= 11 А.
Ток в ветви резистора Ry /3 = -^-=-^== 7,33 А. Проверка
по первому закону Кирхгофа для узла разветвления рассматри-
ваемой цепи: /=/,+/24-/3 или 40,3 А=22+11+7,33=40,3 А.
1.19. В условиях задачи 1.18 ток в неразветвленной части
цепи /=22 А. Определить токи /,, /2, /з в ветвях резисторов /?,,
/?2, /?з- Задачу решить методом проводимостей.
Решение. Проводимости отдельных участков электриче-
ской цепи: Gi = -4-=4-==0,2 См; 62 = -^-=-^=0,1 См; G3 =
П| О Г\2 10
= 4-=-^-= 0,0667 См.
дз 1о
Эквивалентная проводимость цепи: G3K= G, + G2+ G3=0,2 +
Рис. 1.18
18
4-0,14-0,067 = 0,367 См. Напряжение между узловыми точками:
6/=-^—= 0 3^ =60 В. Токи в ветвях резисторов: h = U/R\ =
=60/5= 12 А; /2= t//R2 = 60/10=6 А; /а= C//R3 = 60/15 = 4 А.
1.20. Определить общее сопротивление Ro и распределение
токов в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.20) . Сопро-
тивления резисторов: Ri = R2 — 1 Ом; Rs = 6 Ом; Rs = Re =
= 1 Ом; R4 = R7 = 6 0m; Ra = 10 Ом; R9 = 5 Ом; Ri0=10Om.
Напряжение питающей сети U = 120 В.
Решение. Сопротивление участка цепи между узлами 1 и
4- Я" ~ = ^nTin = 6 ^м- Сопротивление участка
между узлами 1 и 3 цепи: R)3 = = 4 Ом-
Сопротивление участка между узлами 1 и 2 цепи: Ri2 =
= 1 3 См. Общее сопротивление
Я|з + Яб + Я5-|-Яз 44-14-14-6 щ н
всей электрической цепи: Ro = R\ 4-R124-R2 — 1 4-34“ * — 5 Ом.
Ток в иеразветвленной электрической части цепи: /i = L//Ro =
= 120/5 = 24 А. Напряжение между узлами 1 и 2 цепи в соответ-
ствий со вторым законом Кирхгофа: Ui2 = U — R\h — R2h —
= 120—1-24—1-24 = 72 В. Напряжение между узлами 1 и 3
цепи: 1/1з = t/i2— 1/32= Un—Io - (Rs-l~Ro) — 72— 12-(14~1)= 72 —
-24 = 48 В.
По первому закону Кирхгофа ток в ветви резистора R3: /2 =
= Un/R3 = 72/6 = 12 А.
Токи в ветвях резисторов Rs, R6: Io = /1 — /2 = 24— 12 = 12 А;
R4: /3 = -^ = ^-=8А; Rt /7 = /6-/з= 12-8 = 4 А. Напря-
жение между узлами 1 и 4 цепи: Ц4=Л8/7=10-4=40 В. Токи
LZi4 40 U14
в ветвях резисторов R,: Д=—=—=4 A; R, и R10: 15=----------=
4Л Яр+Яю
=----=2,66 А.
5 + 10
1.21. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис. 1.21,
определить общий ток / и токи /|, 1г, /з, Л в ветвях резисторов
R1 — R4. К цепи подведено напряжение U = 240 В, сопротивления
резисторов Ri = 20 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 5 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление участка
ческой цепи с резисторами Ri и R2:
1/R»k= 1/Ri 4-1/R2= I/2O4- 1/15=
= 7/60, откуда R,k=60/7 Ом. Экви-
валентное сопротивление участка
цепи с резисторами Rs и R4: 1/R"« =
= I/R34- 1/Я4 = I/Ю-!- 1/5 = 2/10,
откуда R"K= 10/3 Ом. Общее сопро-
тивление R = R'„ 4- R"» = 60/7 4-
4- 10/3= 11,9Ом. Общий ток в це-
пи: I=U/R— 240/11,9= 20,2 А. Па-
электри-
Рис. 1.21
19
Рнс. 1.22
= ^ = П,5А;
15 R3
= 13,5 А.
дения напряжении на парал-
лельных участках цепи: Ut —
= R',J = -~20,2 = 173 В; (Л> =
= Я" /=-I®..20,2 == 67,3 В.
Токи в ветвях соответствую-
щих резисторов: Л = д' =
= — = 8,7 А;
20
— = 6,7 А;
10
Л = —=
Ri
Ц = ^- = ^- =
R4 5
Проверка. По первому закону Кирхгофа для узлов разветвлений цепи: / =
-h+h или 20,2 А = 8,7+11,5 = 20,2 А. 1 = 13 + 1, или 20,2 А = 6,7 + 13,5 =
= 20,2 А.
1.22. Определить токи Л — /9 На участках электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.22). Сопротивления резисторов: R =
= 30 Ом; /?| = /?г = 2 Ом; /?3=15 Ом; /?4=ЮОм; /?5 = 4Ом;
/?б = 5 Ом. Напряжение питающей сети U = 100 В.
Решение. Эквивалентные сопротивления отдельных участ-
ков электрической цепи между соответствующими узлами: /?33 —
= #/3 = 30/3 = 10 Ом; =(/?з5 + Яб)= 10 + 5= 15 Ом; #23 =
RlRnl_______10- 15 ___ f. р. п ______ Л?з(/?5 + /?2з)
/?4 + Л,Ki — 10+15 ьи ’ Кэк2 Яз + Яз + Язз
15-14 + 6)
15 + 4 + 6
= 6 Ом.
Общее сопротивление цепи: Ro = 2Ri + #эк2 = 2-2 -4- 6= 10 Ом
Ток в резисторах и #2: 7, = /2 = U/Rq= 100/10= 10 А.
Ток в ветви резистора R3: /3 = U\4/R3 = 60/15 = 4 А. Напря-
жение между узлами 1—4 цепи: Un — R^l = 6« 10 = 60 В.
Ток в ветви резистора #5 по первому закону Кирхгофа для узла
5 цепи: /5 = / —/3 = 10—4 = 6 А. Напряжение между узлами 2
и 3 цепи: t/23 = Un — RsIa = 6O— 4-6 = 36 В. Ток в ветви рези-
стора R4: /4 = 1/23//?4 = 36/10 = 3,6А. Ток в ветви резистора R6
по первому закону Кирхгофа для узла разветвления 2: Ц = 1 —
- (/3 +/4) = 10 - (4 + 3,6) = 2,4 А.
Напряжение между узлами 3 и 5 -?Z _
цепи: t/35= t/23 —/?б/в = 36 — 5-2,4= D Г "5-p-r 1
= 24 В. Токи в цепях резисторов
Ri—Ra. /7=/8=/9= t/35/# = 24/30=
= 0,8 А.
1.23. Для электрической цепи
постоянного тока рис. 1.23 опреде-
лить эквивалентное сопротивление
/?эк и общий ток 1 в цепи, а также
падения напряжения At/ на резисто-
рах /?|, R3, R». Сопротивления ре-
зисторов: /?| = 5Ом; /?2=4Ом; /?3= Рис. 1.23
20
= 20 Ом; /?4 = ЗООм; У?5 = 50 Ом; #6= 100 Ом; Я7 = 5 0м; /?8 =
= 1,8 Ом. ЭДС источника питания £=50 В. Внутренним сопро-
тивлением источника пренебречь.
Решение. В результате преобразования треугольника со-
противлений 7?з, R4, R& в эквивалентную звезду определяем сб-
~ п R3R4 20*30 с п
противления: /?34 = = ^^-=6 Ом, /?« =
_ R,Rs _ 30*50 _icnM. р _ /?з/?5 20*50
Яз+Я, + Я5 20+30+50 1 ’ Кз5 R.+R^+R, 20+30+50
= 10 Ом.
Суммарное (эквивалентное) сопротивление последовательно
включенных резисторов Т?45 и R?: R3K} = R^s +R? = 15 + 5 =
= 20 Ом. Суммарное (эквивалентное) сопротивление последова-
тельно включенных резисторов Т?35 и Rs. R-^i = Ris + Rs = 10 +
+ 10 = 20 Ом. Эквивалентное сопротивление ветвей цепи с ре-
зистором 7?ЭК| И Т?34 И R3k2: Rsk3 = Ru + = 6 + —
KmIT Км2 204“ 20
= 16Ом. Общее сопротивление всей цепи: Ro — R\ + Rs +
+b?- -=5+1,8 +^т^- = 5 + 1,8 + 3,2 = 10 Ом. Ток в не-
A2 4“ АэкЗ
разветвленной части цепи: / = E/Ro = 50/10 = 5 А. Падение
напряжений на резисторах R\, R2 и /?8: Д/7| = 7?|/=5-5=25 В;
4(/,_W-|.8.5-9 В; i(/,_/^__S.^._5.3.2_
= 16 В. Проверка. На основании второго закона Кирхгофа имеем: Е= 1Л +
+ О2 + О8 и/1и 50 В = 25 + 9+16 = 50 В.
1.24. Для условий задачи 1.23 преобразовать соединение
звезды резисторов R3, Rs, Rs в эквивалентный треугольник и
вычислить сопротивления его сторон.
Решение. Сопротивления резисторов эквивалентного тре-
угольника:
R3i= R3 + Rs + ^^= 20 + 50 + -М-= 20 + 50+ 100= 170 Ом;
А 6 1V
R3s = R3 + Rs+-^= 20+ 10+-^-= 20+ 10 + 4 = 34 Ом;
А5
Rss = Rs + Rs + -^= 50+10+-^-= 50+ 10 + 25= 85 Ом.
АЗ
1.25. Определить ЭДС Е источника
питания электрической цепи постоян-
ного тока (рис. 1.25), если сопротив-
ления каждого из резисторов R=
= 0,3 кОм, а токй в параллельных вет-
вях /=0,3 А. Сопротивлением источни-
ка питания пренебречь.
Решение. Эквивалентное сопро-
тивление всей электрической цепи
21
Рэк = ZR++R> = 2°/otfo3> = = °’2 K°M = 200 °M’
А"эк1“г*\) **(u,i u,o
___о . _ _ 0,15.0,3 0,045 n, n Я2 _
Де R,Ki R„}-\-R 0,15 + 0,3 0,45 ~ 0,1 K°M’ ^,k2 2R
К 0,3 n . - r.
=-g-== 0,15 кОм.
Ток в цепи источника питания: /0 = 2/ = 2-0,3 = 0,6 А. ЭДС
источника питания в соответствии с законом Ома для всей цепи:
£=/?эк/0 = 200-0,6= 120 В.
Задачи
1.26. Определить эквивалентное сопротивление /?эк и ток / в
электрической цепи постоянного тока (рис. 1.26), содержащей
три параллельно соединенные одинаковые электрические лампы.
Номинальная мощность лампы Р„о„ — 100 Вт, номинальное на-
пряжение UKW = 100 В. Ответ. /?,«= 33,3 0м; / = ЗА.
1.27. Резисторы, имеющие сопротивления Ri = Р2 — Рз =
= 3 Ом, включены параллельно в питающую сеть. Определить,
какими сопротивлениями R должны обладать резисторы, чтобы
при последовательном соединении резисторов эквивалентное со-
противление их было таким же, как и при параллельном включе-
нии. Ответ. Ra* 0,33 Ом.
1.28. Определить токи Ц, I2, h в ветвях электрической цепи
постоянного тока при напряжении U — 240 В (рис. 1.28) и сопро-
тивление резистора Рь Сопротивления резисторов: R2 = 10 Ом;
/?з = 15 Ом, мощность, потребляемая цепью, измеренная ваттмет-
ром W, Pi = 7,2 кВт. Как изменится мощность Рь потребляемая
из сети, если напряжение питающей сети увеличить иа 30 % при
неизменных параметрах резисторов? Ответ. Л = 30 A; Z2 = 18 А; Z3 =
= 12 A; R, = 2 Ом; Р, = 12,2 кВт.
1.29. Для разветвленной электрической цепи постоянного
тока, представленной на рис. 1.28, определить токи Ц—/3 в вет-
вях при напряжении питающей сети U — 80 В. Сопротивления
резисторов /?| = 10 Ом; R2 = 15 Ом; Рз — 10 Ом. Ответ. Л = 5 А; Z2=
= 2 А; /3 = 3 А.
22
Рис. 1.30
Рис. 1.31
1.30. Для электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.30) опреде-
лить общий ток / и токи /| —/4 в вет-
вях резисторов при разомкнутом и
замкнутом выключателе В, а также
ток /|2 в перемычке /—2, если к за-
жимам цепи подведено напряжение
67 = 240 В, сопротивления резисто-
ров: /?|=20Ом; /?2=150О'м; /?з =
= 10 Ом; /?4 = 5 Ом. Ответ. При разомк-
нутом выключателе: / = 22,9 А; /| = /2 =
= 6,87 А; /я =/4 = 16 А.
При замкнутом выключателе: /=23,1 А;
/, = 7,7 А; /2 = 5,78 А; /3 = 15,4 А; /4=17,4А;
/12= 1,92 А.
1.31. Определить токи /, h—/4 в ветвях электрической цепи
постоянного тока, представленной на рис. 1.31. Сопротивления
резисторов: Rt = 4 Ом; /?2 = 6 Ом; R3 = 8 Ом; R< = 10 Ом; Rs —
= 14 Ом. Напряжение питающей сети 67 = 240 В. Ответ: I — 80 А;
/, = 60 А; /2 = 20 А; /з = 15 А; /4 = 5 А.
1.32. На рис. 1.32 приведена мостовая схема соединения со-
противлений /?1—Rs в цепи постоянного тока с напряжением
источника питания 67= 120 В. Определить величину и направле-
ние тока Is -в диагонали моста, если сопротивления резисторов:
Rt — 25 Ом; Ri =5 Ом; /?3=20Ом; /?4=Ю0м; /?5 = 5Ом.
Ответ. 1,26 А. Ток направлен от узла 2 к узлу 4 цепи.
Контрольные задания
1.33. Определить эквивалентное сопротивление Rt, электрической цепи по-
стоянного тока (рис. 1.33, а) и распределение Токов по ветвям. Вариант электри-
ческой цепи (включая ее участок /—2, рис. 1.33, б—з, ограниченный на схеме
рнс. 1.33, а пунктиром), положение выключателей fii и Вг в схемах, величины
сопротивлений резисторов Rt—Ru и питающего напряжения U для каждого из
вариантов задания представлены в табл. 1.4.
Примечание. Для расширения числа вариантов задания в вариантах
31—60 сопротивления резисторов: /?6 = оо, /?|2 = 0, в вариантах 61—90: /?в =
= оо, /?2 = 0.
23
Таблица 1.4
Величины Варианты контрольного задания 1.33
1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
/?i. Ом 2 2 1 1 2 1 3 3 2 1 2 2 4 2 3 2 6 2 1 2 1 3 2 3 4 4 3 1 2 2
Лг, Ом 4 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 2 2 4 6 4 6 4 2 3 2 2 3 3 4 2 2 1
Rs, Ом 6 6 8 6 3 6 2 8 2 1 4 1 2 4 5 1 4 3 1 2 1 4 5 5 4 2 2 8 1 2
Rs, Ом 6 7 7 6 3 6 4 12 3 1 4 1 1 2 6 1 2 1 2 2 2 2 3 4 2 1 5 6 6 4
Rs, Ом 1 1 3 1 2 2 4 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 4 4 2 1 2 2 3
Rs, Ом 2 2 6 1 2 2 1 1 4 2 1 1 2 2 1 3 3 6 3 3 2 2 1 2 1 2 4 2 6 4
Ry, Ом 5 3 3 6 3 3 4 2 3 4 5 4 3 3 2 4 4 6 4 3 2 2 2 4 6 1 3 4 4 2
Rs, Ом 10 5 5 10 10 10 5 15 5 5 5 5 5 10 10 10 5 10 4 2 3 1 5 10 15 5 10 5 5 5
Rs, Ом 5 15 15 5 10 5 10 10 10 10 6 8 10 8 15 5 15 10 6 8 10 10 10 5 5 5 5 15 15 15
Лю. Ом 5 10 10 10 5 10 5 20 5 10 15 20 10 5 10 5 10 5 5 10 15 5 10 10 10 10 5 10 10 10
Лц, Ом 5 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 1 5 4 2 3 4 6 7 8 8 10 6 8 10
Лю, Ом 8 8 7 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 3 5 8 10 1 2 3 4 6 6 2 4
и. В 'Положение вы- ключателей Bi 1 Юлли 22 1 2 2 6 1 2 1 НО Или 2 1 2 2 20 1 2 1 1 2 НО 2 ИЛЯ 1 22 2 1 1 1 2 2 НО 1 ИЛ1 2 22 1 ) 1 2 ПО 2 ИЛ к 1 22( 2 1
вг — 4 4 5 5 —
Схема участка, ограниченного пунктиром См. рис. 1.33,а См. рис.’ 1.33,6 См. рис. 1.33, в См. рис. 1.33, г См. рис. 1.33,6 См. рис. 1.33, е См. 1.33, ж )ИС. См. рис. 1.33,з
Рис. 1.33
1.34. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.34, а) определить
общий ток /, токи Л, Л, /з, h в ветвях резисторов и ток Лз в перемычке 2—3
цепи при разомкнутом и замкнутом выключателе В, а также напряжение Un
между узлами 2 и 3 при разомкнутом выключателе. Напряжение U, подводимое к
электрической цепи, сопротивления резисторов Ri—Ri, положение выключате-
ля В и участок электрической цепи между узлами 1 и 2 цепи, показанный иа
рис. 1.34, а пунктиром для соответствующего варианта рис. 1.34, б—е, приведены
в табл. 1.5.
В вариантах 31—60 сопротивление резистора R3 = 0, в вариантах 61—90
Rt — оо.
| 1.3. МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
В любой электрической цепи в соответствии с первым законом
Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу
п
разветвления, равна нулю: где Л— ток в Л-й ветви.
UI
25
Рис. 1.34
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая
п
сумма ЭДС 2 Ек в любом замкнутом контуре электрической це-
1
п _
пи равна алгебраической сумме напряжений £ UT и алгебраичес-
п п
кой сумме падений напряжений £ Д4 в этом контуре: £ Ех=
к-1 'к-1
п п
= S ЛЛ4-S UK, где /?к — сопротивление участка цепи рас-
»-| *=i
сматриваемого контура; /к — ток в цепи сопротивления /?к.
При расчете электрических цепей методом применения зако-
нов Кирхгофа выбирают условные положительные направления
токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают
стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и за-
даются положительным направлением обхода контуров. При этом
для удобства расчетов направление обхода для всех контуров
рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой
стрелке).
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для
электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают
замкнутые контуры без источников тока. Для получения незави-
симых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур
входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие
контуры, для которых уже записаны уравнения по второму зако-
ну Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа,
26
Таблица 1.5
Величины Варианты контрольного задания 1.34
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
и, В Яь Ом Пг, Ом Яз, Ом Я., Ом Й5, Ом Яз, Ом Яг, Ом 110 или 220
10 10 10 10 10 10 10 20 30 40 10 20 20 30 40 10 30 20 30 40 10 10 5 20 10 10 20 10 5 5 5 10 20 30 40 10 10 20 30 40 10 10 20 30 40 10 20 20 30 40 10 30 20 30 40 10 10 5 20 10 10 20 10 5 5 5 10 20 30 40 10 30 20 30 40 10 20 20 30 40 10 10 20 30 40 10 10 20 30 40 5 10 10 20 20 5 10 20 10 10 40 30 20 10 5
Схема Рис. 1.34, а Рис. 1.34,6 Рис. 1.34, в
Положение выключателя В Разомкнут Замкнут Разомкнут
- Замкнут Разомкнут Замкнут
Продолжение табл. 1.5
Величины Варианты контрольного задания L34
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и, в Я|, Ом Яа, Ом Яз, Ом Яз, Ом Я5, Ом Яз, Ом Яг, Ом НО или 220
30 10 10 40 20 30 10 10 40 20 30 10 20 40 20 30 10 30 40 20 20 10 10 10 5 5 10 20 5 10 30 5 10 40 20 10 20 20 30 40 10 10 20 30 40 10 10 10 10 10 20 20 30 30 30 10 10 10 5 20 5 10 20 10 5 10 20 30 40 5 10 10 20 30 40 10 10 20 30 40 10 20 20 30 40 10 30 20 30 40 10 20 5 20 10 10 20 10 5 5 5 10 20 40 40
Схема Рис. 1.34, г Рис. 1.34, д Рис. 1.34, е
Положение вы- ключателя В Замкнут Разомкнут Замкнут
Разомкнут Замкнут Разомкнут
необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи,
равно числу неизвестных N.
В большинстве случаев параметры источников ЭДС или на-
пряжения, источников тока, сопротивлений участков электри-
ческой цепи известны, при этом число неизвестных равно раз-
ности между числом ветвей и числом источников тока N =
= (N„ — Nr). Для упрощения расчетов сначала записывают более
простые уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа,
а недостающие — по второму закону Кирхгофа.
27
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа,
берется на единицу меньше числа узлов N, в цепи: Nt = Ny — 1.
При-этом токи, направленные к узлу, условно принимаются по-
ложительными, а направленные от узла — отрицательными.
Остальное число уравнений Nu = N — Ni составляется по вто-
рому закону Кирхгофа: Nn — NB — Ny — NT + 1.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа
ЭДС источников принимаются положительными, если направле-
ния их действия совпадают с выбранным направлением обхода
контура, независимо от направления тока в них. При несовпаде-
нии их записывают со знаком «—». Падения напряжений в вет-
вях, в которых положительное направление тока совпадает с
направлением обхода, независимо от направления ЭДС в этих
ветвях — со знаком «+>. При несовпадении с направлением об-
хода падения напряжений записываются со знаком «—».
В результате решения полученной системы из N уравнений
находят действительные направления определяемых величин с
учетом их знака. При этом величины, имеющие отрицательный
знак, в действительности имеют направление, противоположное
условно принятому. Направления величин, имеющих положитель-
ный знак, совпадают с условно принятым направлением.
Во многих случаях электрические цепи содержат только ис-
точники ЭДС и источники напряжения и не имеют источников
тока. При этом расчет электрических цепей значительно проще,
так как запись уравнений, составленных по второму закону
Кирхгофа, упрощается: £ Е«= £ (7К+ £ RJ*. Для схемы
4=1 4=1 4=1
рис. 1.3.1, содержащей два узла (Ау = 2), при числе неизвестных
N = 3, подлежащих определению, число уравнений, составленных
по первому закону Кирхгофа, Nt = Ny — 1 = 2 — 1 = 1.
Число недостающих уравнений, составленных по второму за-
кону Кирхгофа, Nit = N— Nt = 3— 1 = 2. При заданных услов-
ных положительных направлениях токов уравнение, составленное
по первому закону Кирхгофа для узла 1 электрической цепи
(рис. 1.3.1) с учетом того, что токам, направленным к узлу, при-
писывается знак «+>, а токам, направленным от узла,— знак
«—», имеет вид: Л + Л —/з = 0. В соответствии с выбранным
условным положительным направлением обхода контура, пока-
занным на рис. 1.3.1 пунктирными стрел-
ками, уравнение, составленное по второму
закону Кирхгофа для левого замкнутого
контура с учетом положительных направ-
лений токов и ЭДС, записывают в следую-
щем виде: £i —E2 = /?i/i —ЯгЛ- Аналогич-
но составляют уравнение по второму за-
кону Кирхгофа для правого замкнутого
контура схемы рис. 1.3.1: E2—Rth +
+ /?з/з+ U.
Решение полученной системы трех
2
Рис. 1.3.1
28
уравнений позволяет определить неизвестные величины. При этом
величины со знаком «+» в действительности имеют направление,
совпадающее с соответствующим первоначально заданным на схе-
ме условным направлением. Величины со знаком «—» в действи-
тельности имеют направление, противоположное первоначально
заданному условному направлению, показанному на схеме рис.
1.3.1.
Литература. [1) § 1.7, 1.14; [2] § 1.8—1.10.
Примеры решения задач
1.35. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.35)
определить токи /, —/з в ветвях. ЭДС Е\ = 1,8 В; £2 = 1,2 В; со-
противления резисторов: Ri = 0,2 Ом; /?2 = 0,ЗОм; /?з = 0,8Ом;
Roi = 0,6 Ом; Roz = 0,4 Ом.
Решение. Для узла разветвления в соответствии с приня-
тым на схеме условным положительным направлением составля-
ют уравнение для токов по первому закону Кирхгофа: /14-/2 =
= /з. Для внешнего замкнутого контура составляют уравнение по
второму закону Кирхгофа: £, — Roi/i 4-/?i/i 4- R3/3 = (Roi 4-/?i)X
Х/14-Яз/з, т. е. 1,8 = (0,64-0,2) Л 4-0,8/3; 1,8 = 0,8/14-0,8/3.
Аналогично, для нижнего замкнутого контура по второму закону
Кирхгофа: Е2= (Roz + Rz) fz+ Rsfs', 1,2 = 0,7/24-0,8/з. В резуль-
тате совместного решения полученной системы трех уравнений
определяют ток h в первой ветви: 1,8 = 0.8Л 4-0,8(Л 4-/2); 1,8 =
= 1,6/14-0,8/2; 1,2 = 0,7/24-0,8(/14-/2); 1,2=1,5/2 4-0,8/! или
, _ 1.2-1,5/2
1 0,8 ’
Ток второй ветви /2 находят по значению тока 1\ из уравнений
для ЭДС £| и Ez в соответствии с выражением: 1,8= 1,6 X
X—^’5----4-0.8/г; 1,8=2,4 — 3/2 4-0,8/2, откуда /2 = 0,6/2,2 =
= 0,272 А.
Ток в первой ветви Л определяют по значению тока /2 из
уравнения для ЭДС £1, откуда 1,8 = 1,6/1 4-0,8• 0,27 или Л =
Рис. 1:36
29
1 58
= -^—=0,99 А, а ток третьей ветви /3— из уравнения для то-
ков: /| 4-/2 = 0,994-0,27 = /3, откуда /3 = 1,26 А.
1.36. В электрической цепи постоянного тока (рис. 1.36) по-
казание амперметра А: /5 = 5 А. Определить токи Л—Л во всех
ветвях цепи, пользуясь законами Кирхгофа. Сопротивления ре-
зисторов: /?i = 1 Ом; /?2=ЮОм; /?3=Ю0м; /?4 = 4 Ом; /?5 =
= 3 Ом; /?6 = 1 Ом; /?7 = 1 Ом; /?8 = 6 Ом; Я9 = 7 Ом; ЭДС Е{ =
= 162В; £2 = 50В; £3 = ЗОВ. Внутренним сопротивлением ис-
точников питания пренебречь. Решить задачу также для случая,
когда показание амперметра неизвестно.
Решение. При заданном включении источников питания
за положительные направления токов принимаем направления,
указанные на схеме рис. 1.36. Схема содержит три узла и пять
ветвей. Следовательно, необходимо определить пять неизвестных
токов.
В соответствии с этим составляют два уравнения по первому
закону Кирхгофа и три — по второму закону Кирхгофа. Для
узлов 1 и 2 цепи составляют уравнения для токов по первому
закону Кирхгофа: /, = /24-Л; /3 = Л4-Д. а по второму закону
Кирхгофа уравнение для левого замкнутого контура с ЭДС Е\ и
£2: Е\ — £2 = (/?i 4- £б 4- /??) /14- R2I2.
Для среднего замкнутого контура с ЭДС Е2 и Е3 имеем: £2 —
— £3 = — R2h + Rsh + (R4 + R») Ц, а для правого замкнутого кон-
тура с амперметром А в ветви Ез= —(Ra + R») h + (Rs + Rg) h-
Ток в цепи резистора /?4 определяют из последнего уравнения:
30= —(44-6)Л4-(34-7)-5= —10Л4-50, откуда Л = 20/10 =
= 2 А, а ток /3 в ветви резистора /?3 — из уравнения, составлен-
ного для узла 2 цепи: /3 = Л 4-/5 = 2 4-5 = 7 А, а ток в ветви
резистора /?2 — из уравнения, записанного для среднего замкну-
того контура: £2 —£3 = —10/24-Ю-7 4-(4 4-6)-2; 50 — 30 =
= —10/24-704-20, откуда /2 = 70/10= 7 А. Токи в ветви резис-
торов: /?|, /?6. /?? находят из уравнения для токов: Л = /2-f-/3 =
= 74-7= 14 А. Ток Л можно определить из уравнения £2 — £3 =
= 162 —50 = (1 4-1 4-1)/1+ 7-10, откуда /, = (112-70)/3 =
= 42/3= 14 А. Если ток в ветви резисторов /?5 и /?9 не задан,
искомые токи и их направления в других ветвях определяют в
результате решения системы пяти составляемых по законам
Кирхгофа уравнениям.
Положительные значения токов свидетельствуют о том, что
действительные направления токов в соответствующих ветвях
совпадают с условными направлениями.
1.37. Рассчитать и построить потенциальную диаграмму для
электрической цепи постоянного тока (рис. 1.37, а), если дано:
ЭДС источников питания £|=16В; £2=14В, внутреннее со-
противление /?9| = 3 Ом; /?02=2Ом, сопротивления резисторов
/?1 = 20Ом; /?2 = 15 Ом; /?3=Ю0м. Определить положение
движка потенциометра, в котором вольтметр V покажет нуль,
составить баланс мощностей для цепи. Как повлияет на вид по-
зо
Рис. 1.37
тенциальной диаграммы выбор другой точки с нулевым потен-
циалом?
Решение. Ток в цепи определяют по уравнению, состав-
ленному по второму закону Кирхгофа, приведенному к виду: / =
= Е,+Е3_______= 16+14 = 30_ = о 6 *
+/?01 +/?2 ++/?з 20 + 3 + 15 + 2+10 50
Потенциальную диаграмму строят в прямоугольной системе
координат. При этом по оси абсцисс откладывают в соответствую-
щем масштабе сопротивления всех участков цепи, а по оси орди-
нат — потенциалы соответствующих точек. При построении по-
тенциальной диаграммы одна из точек цепи условно заземляется,
т. е. Принимается, что потенциал ее <р=0. На диаграмме эта точка
помещается в начале координат.
В соответствии с условием задачи определяют потенциалы
точек 1—5 электрической цепи, при этом принимают потенциал
<jpi точки / цепи равным нулю.
31
Потенциал ф2 точки 2 находят из выражения, записанного
по второму закону Кирхгофа для участка 1—2 цепи: (712 =
= Ф1—<рг, откуда ф2=<pi —/?|/1 = 0 —20-0,6= — 12 В. Коорди-
наты точки 2: (?=20 Ом; ф2= —12 В.
По второму закону Кирхгофа для участка цепи 1—3 справед-
ливо уравнение: E{ — (7|2+-^о/=(Фз—откУДа потен-
циал точки 3 цепи: фз = фг + £| —Koi/= —12+16 —3-0,6=
= 2,2 В; координаты точки 3 цепи: = 20 +3= 23 Ом; фз =
= 2,2 В. Аналогично определяют потенциал точки 4 цепи:
(74з = фз — ф4 = Rtl, откуда ф4 = фз — Rzl = 2,2 — 15 • 0,6 =
= —6,8 В. Координаты точки 4 цепи: /? = 23+15=38 Ом;
ф4 = —6,8 В.
Потенциал фз точки 5 цепи находят из уравнения, записан-
ного по второму закону Кирхгофа для участка 4—5 цепи:
Ei = (J54 + R02I = ф5 — ф4 + R02I, откуда ф5 = ф4 + £2 — R02I —
= —0,8+ 14 —2-0,6= 6 В.
Координаты точки 5 цепи: R = 38 + 2 = 40 Ом; фз = 6 В.
32
Потенциал <pi точки 1 цепи находят из уравнения, составлен-
ного по второму закону Кирхгофа для участка 4—5 цепи:
С751 = фб — <pi = R3I', <pi = фб — R3I = 6 — 10 - 0,6 = 0. Координаты
точки 1 цепи: R = 40 + 10 = 50 Ом; <pi == 0.
Для рассматриваемой электрической цепи по результатам
расчетов на рис. 1.37, б приведена потенциальная диаграмма.
Из этой диаграммы следует, что положение движка потен-
циометра в точке 6 цепи соответствует показанию вольтметра,
равному нулю, так как потенциалы точек 1 и 6 цепи равны.
При выборе другой точки электрической цепи с нулевым
потенциалом разности потенциалов на соответствующих участках
цепи не изменяются, так как они определяются величиной тока
и величиной сопротивления. Если принять потенциал точки 3
цепи <рз = 0, то ось абсцисс переместится в точку 3 потенциаль-
ной диаграммы (пунктирная линия), т. е. потенциалы всех точек
цепи уменьшаются на величину потенциала <р, равного отрезку
ОК = 2,3 В.
Баланс мощностей соответствует следующему уравнению:
Е\1 + Е^1 = I‘2R\ + /2/?oi + /2/?2 + /2/?о2 + /2/?3=/2(/?i + /?oi +
+/?2 +/?02 +/?з); 16-0,6+ 14-0,6= 0,62(20 + 3 + 15 + 2+ 10).
18 Вт= 18 Вт.
1.38. Составить схему электрической цепи постоянного тока
исходя из данных потенциальной диаграммы, приведенной на
рис. 1.38, а.
Решение. Построение электрической цепи целесообразно
начать с точки 1, которая совпадает с началом координат и,
следовательно, имеет потенциал <р = 0 (точка заземлена).
Так как на потенциальной диаграмме сопротивления отдель-
ных участков цепи откладываются в определенном масштабе по
оси абсцисс, а по оси ординат — потенциалы, то каждой точке
цепи соответствует точка на потенциальной диаграмме.
Из приведенной потенциальной диаграммы следует, что при
переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал линейно возрастает.
При этом тангенс угла оц наклона прямой 0—2 к оси абсцисс
пропорционален потенциалу точки 2. Следовательно, согласно
диаграмме на участке цепи 1—2 должен быть включен резистор
с сопротивлением /?| = 2 Ом.
Так как при переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал
увеличивается, то ток цепи направлен от точки 2 к точке 1 цепи:
/ — Ui0/R\ = 10/2 = 5А, где (7го = фг — фо = 10 — 0 = 10 В.
На участке 2—3 диаграммы потенциал растет скачком. Это
свидетельствует о том, что между соответствующими точками
цепи включен источник ЭДС, направление которой встречно току
(источник работает в режиме потребителя электроэнергии).
Согласно потенциальной диаграмме ЭДС, К,3=40 В.
На участке 3—4 цепи согласно диаграмме должен быть вклю-
чен резистор, имеющий сопротивление R2=1 Ом. На этом участ-
ке фз=ф2+^з = 10+40=50 В. При этом ф4=ф3+/Л2 = 50+5-2=
=60В.
На участке 4—5 цепи согласно диаграмме должен быть вклю-
2-217
33
чен источник ЭДС £45 = 75 В. Так как при переходе от точки 4 к
точке 5 цепи потенциал понижается, то ЭДС должна быть на-
правлена от точки 5 к точке 4 цепи.
На участке 5—6 цепи потенциал повышается на величину
R3I = 1 - 5 = 5 В, поэтому здесь должен быть включен резистор с
сопротивлением /?з = 1 Ом.
На участке 6—7 цепи потенциал резко возрастает. Здесь
согласно диаграмме должен быть включен источник ЭДС Евт ==
= 45 В, который работает в схеме в режиме потребителя.
При переходе от точки 7 к точке 8 цепи потенциал возрас-
тает на величину, равную произведению RJ = 3-5 = 15 В, так
как здесь должен быть включен резистор с сопротивлением
/?4 = 3 Ом.
На участке 8—9 цепи потенциал уменьшается скачком вслед-
ствие того, что источник ЭДС Ем = 55 В подключен положи-
тельным полюсом к точке 8, а отрицательным — к точке 9. В дан-
ном случае источник ЭДС Ем работает в цепи в качестве источ-
ника питания.
На участке 9—1 цепи потенциал повышается на величину,
равную произведению /?5/ = 2-5= 10 В. Поэтому здесь должен
быть включен резистор с сопротивлением /?»= 2 Ом.
Результаты определения потенциалов рассматриваемой элект-
рической цепи приведены в табл. 1.6.
Таблица 1.6
Участок электрической цепи Сопротивле- ние участка. Ом Потенциалы точек, В
— Ч>| =0
1—2 2 Ч>2 = Ч>14-₽|/ =2-5=10
2—3 0 Ч>з=Ч>2 4-£2з= 104-40=50
3—4 1 Ч>4 = Ч>з4-₽2/= 50 4- 1 - 5 = 55
4—5 0 <Р5=ф4—£45 = 55 — 75= —20
5—6 1 Фе = 4>з 4- R3I = -20-1-1 -5 = — 15
6—7 0 ф7 — фе ~Ь = — 15 4“ 45 » 30
7—8 3 фв== ф? 4- 30 4~ 3* 5 = 45
8—9 0 Ф9 = <рв — £вэ = 45 — 55= —10
9—1 2 ф| = <рв4- Rsl= —104- 2-5= 0
По результатам анализа представленной потенциальной диа-
граммы составлена схема неразветвленной электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.38, б).
Проверка. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составляем
уравнение электрического равновесия для полученной в результате
расчета электрической цепи: Ем + Е45 — Егз — Е6? = (/?i + Rz +
+ /?з + /?4 + /?5)/, откуда ток в цепи /it 7 lV-Й? °
Д| Т Т Т Т Л5
_ 55 4- 75 - 40 - 45 _ 45 _ . .
24-14-1+34-2 9 °
34
На всех участках цепи углы а одинаковы, следовательно:
tgai = tg«2= tgaa = tga< = tga6=/-£I- или /=10/2 = 5/1 =
= 5/1 = 15/3= 10/2 = 5 A.
Уравнение баланса мощностей: Eg®/ + E4g/ — Е2з/ — Eg7/ =
= /2/?, + /2/?2 + /2/?з + /2/?< + /2/?5 = 55 • 5 + 75 • 5 — 40 •5- 45 X
Х5= 52‘2 + 52-1 + 52-1 +,52.3 + 52*2; 225Вт=225Вт. Баланс
мощностей соблюдается.
Задачи
1.39. Пользуясь законами Ома и Кирхгофа, определить
внутреннее сопротивление* Ro источника питания электрической
цепи постоянного тока и напряжение Uz на резисторе Rz
(рис. 1.39), если дано: Е=70В, // = 30 В; /?| = ЮОм; Rz =
= 38 Ом; /Л = 20 В. Ответ. Яо = 2 Ом, О, = 76 В.
1.40. Ток в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.40)
/= 1А, ЭДС источника питания Е| 48 В, сопротивления резис-
торов Rt = 120 Ом, Rz = 10 Ом. Внутренние сопротивления ис-
точников одинаковы и равны /?oi = Roz = 1 Ом. Определить вели-
чину и направление ЭДС источника питания Е2. Ответ. Ег =
= —24 В. ЭДС Ег направлена от точки 4 к точке 3 цепи.
Рис. 1.39
35
1.41. Для условий задачи 1.40 определить ток / в электрической
цепи и напряжения Uy и Uz на зажимах источников питания,
если ЭДС источника Еу направлена от точки 1 к точке 2, a Ez —
ОТ точки 4 К точке 3 цепи. Ответ. / = 3 A; (Л = 45 В; (Л=21 В.
1.42. Пользуясь законами Кирхгофа, определить токи 1у —
/з в ветвях электрической цепи, представленной на рис. 1.42.
ЭДС источников питания: Е| = 100 В; Ег=110В. Сопротивле-
ния резисторов: /?| = 35 Ом; Rz = ГО Ом; R3 = 16 Ом. Внутрен-
ним сопротивлением источников пренебречь. Ответ. Л = 1,65 А;
/2 = 4,25 А; /з = 2,6 А.
1.43. Определить токи 1\ — /з в электрической цепи постоян-
ного тока (рис. 1.43) и составить баланс мощностей, если сопро-
тивления резисторов: Ry — 6 Ом; Rz= /?з = 4 Ом. ЭДС источни-
ков питания: Еу = 22 В; Ez = 2B, а внутренние сопротивления
источников: Roy = R02 = 1 Ом. Ответ. Л = 2 А; 1г = /з = 1 А.
Уравнение баланса мощностей: Eyly = Ezh + l2Ry + /2Я2 +
+/з/?з +/i(/?oi + Л02) ?= 22-2 = 2-2 + 22<6 + + 12,4-f-22 X
XI 4-2-1; 44 Вт = 44 Вт. Следовательно, баланс мощностей
соблюдается.
Контрольные задания
1.44. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.44), используя дан-
ные, приведенные для данного варианта задания в табл. 1.7, определить токи
/1 —/9 в ветвях резисторов Ry—Ra, режимы работы источников питания, составить
баланс мощностей. ЭДС и напряжения источников, сопротивления резисто-
ров и положение выключателей для соответствующих вариантов задания
приведены в табл. 1.7. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.
Примечание. Для расширения числа вариантов контрольного задания
Величины Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Еу, В Ез, В Е«, В U, в U>, В Ry, Ом Ri, Ом Ri, Ом Rs, Ом Ri, Ом Rs, Ом Rs, Ом Ri, Ом Rs, Ом Ra, Ом 90 0,2 2 2 0,2 0,8 80 0,2 2 2 0,2 0,8 80 0,2 1 3 0,4 0,4 0,2 80 0,2 3 1 0,4 0,4 0,2 0,2 2 2 0,2 0,4 0,4 220 150 1 2 2 1 110 60 50 0,2 2 1 1,8 1 40 20 0,2 2 1 1,9 1 50 0,2 4 1 0,8 1 40 40 0,4 2 0,4 1,6 1,6 40 40 0,2 2 0,5 0,8 0,5 80 0,4 4 1 0,6 1 60 50 0,2 1 1 0,4 0,4
Замкнутые вы* ключателн Вг, Bs Вг, В4 Вг, Вь Вг, ft ft, ft ft, Bi ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft ft, ft
36
2
Рнс. 1.44
Рис. 1.45
Т а б ли ц а 1.7
задания 1.44
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
10 21 110 го 20 10 40
— — — . 160 — — — 220 — — — 10 20 100 — — —
60 — — — 160 — — — 20 — — 10 — — 120 250 —
— 40 — — — 80 — — — 10 — —• 40 — 10 — 40
0,2 0,2 0,4 0.2 0,2 0,2 0,4 1 0,2 0,2 0,1 0.4 0,2 0,4 0,5 0,2 1
— — 2 2 1 3 2
— — 2 2 3 1 2
— — 0.2 — — — — 2 2 2 4 —
—. — —- 0,2 —- — — I — — — 2 1 1 —— — —
0,5 — — — 0,4 — — — 0(5 — — 0,4 — — 1 0,5 —
— 1 — — — 0,4 — — — 1 — — 0,5 — 1 — 1
1 5 — — — — 0,4 — — — 1. — — 1 — 1 2
0,2 0,4 0,8 0,8 0,4 0,2 0,8 1 1,8 1.8 0,4 1,6 0.8 0,6 0,2 0,2 0,5
0,6 0,4 — -a- 0,1 0.8 — 1 1 1 1,6 0,5 1 0,3 0,6 0,5
ft. ft, ft. ft. ft. ft ft, ft, ft. ft. ft, ft ft, ft. ft. ft, ft,
ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft
37
Величины
Варианты контрольного
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
£>, В
£«. В 90 — 80 — —
£«, В — — — 90 60
Us, В — 100 40 — 80
Us, В
Ri, Ом 1 1 2 1 1
₽4, Ом 2 — 2 — —
Rs, Ом — —- — 2 2
Rs, Ом 2 2 1 2 2
Ri, Ом 3 3 4 2 2
Rs, Ом 1 1 — 3 —
£з. Ом 4 4 — 2 —
Rs, Ом — 10 — — 1
/?т, Ом
h, А
Выключатели Bs, Bt, Bs, Bt, Bs,
разомкнуты Bs, Bs, Bs, Bs. B's,
Bs. Л, Bs, Bs, Bs,
Bs Bs Bs Bs B,
НО
220 — — 60 — — 80 —
150 50
— — 40 — — — — 60
40 40 40
2 2 1 1 2 1 2 1
1 — — 1 — — 2 —
4 2
1 2 3 1 2 1 1 2
4 3 2 4 2 4 4 3
— — — — 2 3 — —
— — — — 3 2 — —
— — 2 — — — — 5
5 5 5
10 5 5 8 — — —7
Bs, Bs, Bs, Bs, Bs, Bs, Bs, Bs,
Bs, Л, B4, Bs, Bs, Bs, Bs. Bs,
Bs, Bs, Bs, Bs. Bs, Bs, Bs. Bs,
Bs Bs Bs Bs Bs Bs Bs Bs
в вариантах 31—60 сопротивления резисторов Ri — Rs увеличить в 2 раза, в
вариантах 61—90 — уменьшить в 3 раза.
1.46.’Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.45) определить
токи /i — h в ветвях резисторов Ri — Rs, составить баланс Мощностей, а также
определить режим работы источников питания и напряжение Uts между точками
1 и 2 цепи. Сопротивления резисторов /?( — ₽т, ЭДС £i — £« и напряжении
Us и Us источников питания, ток / источника тока и положения выключателей
Вз — Bs для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 1.8. Задачу
решить методом применения уравнений, составленных По законам Кирхгофа.
$ 1.4. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Для расчета сложных электрических цепей широко использу-
ют метод контурных токов, в основу которого положены расчет-
ные (условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным
контурам разветвленных электрических цепей.
Метод контурных токов позволяет при составлении системы
уравнений для расчета электрических цепей не записывать урав-
нения по первому закону Кирхгофа н тем самым уменьшить об-
щее количество уравнений, необходимых для расчета. Истинные
значения токов в ветвях электрической цепи определяются по
значениям контурных токов.
В процессе расчета по этому методу определяют независимые
замкнутые контуры и задаются условными положительными на-
правлениями контурных токов. При этом во всех замкнутых
36
Таблица 1.8
задания 1.45
14 15 16
17
18 19 20 21
.22 23 24 25 26 27 28
29
30
220
контурах для упрощения процесса расчета целесообразно зада-
вать контурным токам одинаковые положительные направления.
Число уравнений при расчете по методу контурных токов равно
числу контурных токов.
При составлении контурных уравнений по второму закону
Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания
принимаются положительными, если их направления* совпадают
с направлениями контурных токов, при несовпадении с контур-
ным током их записывают со знаком «—». Со знаком «—»
записывают напряжения, а также падения напряжений, направ-
ленные против контурного тока, а со знаком <+»> если они
совпадают с ним.
При этом величины контурных токов
ных) ветвях оказываются равными по зна-
чению токам в ветвях, которые нанесены
на электрическую схему. Токи смежных
ветвей равны разности контурных токов
соседних контуров. При этом со знаком
<+» записывается контурный ток, совпа-
дающий с направлением тока в смежной
ветви.
Применительно к электрической цепи
(рис. 1.4.1) в соответствии с заданным
направлением ЭДС, напряжения, токов
во внешних (не смеж-
Рис. 1.4.1
39
в ветвях и контурных токов уравнения, составленные по второму
закону Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в сле-
дующем виде: Ei4-E2 = (/?oi+flo24-fli+/?2)Ai—(Яоа + ЯгИга;
—Е2 = (/?02 + Я2 4-Яз)/22 —(Яо2 4-#2)/ц В результате реше-
ния полученной системы уравнений и определяют контурные
токи /ц и /22.
При этом токи во внешних (несмежных) ветвях электриче-
ской цепи оказываются численно равными соответствующим
контурным токам: /3 = /22.
Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составлен-
ного по первому закону Кирхгофа для точки разветвления
электрической цепи: /| — /2 — /з = 0, откуда /2 = h — /3 = /11 —
— /22-
Литература. [!]§ 1.14.2; [2] § 1.14; [3] § 3.5.
Примеры решения задач
1.46. В электрической цепи постоянного тока, представленной
на рис. 1.46, определить токи Л —/3 в ветвях, напряжения
£712 и Uа между точками 1—2 и 3—4 цепи. Составить уравнение
баланса мощностей. ЭДС источника питания Е = 30 В (внутрен-
ним сопротивлением источника пренебречь), ток источника тока
J — 25 мА, сопротивления резисторов: R\ = 1 кОм; ,/?2=/?з =
= А?4 = 2 кОм; /?5 = 3 кОм.
Решение. Условные положительные направления контур-
ных токов в электрической цепи принимаем соответствующими
рис. 1.46 (показаны пунктирными стрелками).
По второму закону Кирхгофа составляют уравнение для
правого верхнего контура электрической цепи (обход контура
по ходу часовой стрелки): — Е-(R^-v R2+R5) I„+R5I22 —
— RiJ. После подстановки цифровых значении имеем:
—30=(1 +2 4-3)-103/1| 4-3-103/22— 1 -103-25-10~3; или -5 =
— 6 • 103/|1 4- 3 • 103/22. То же, для правого нижнего контура:
о = /?5/,, 4- (/?з 4- /?4 4- /?з)/22 4- /?з/; 0 = 3' 103/и 4- (2 4- 2 4- 3)Х
X Ю3/22 4- 2- 103-25-КГ3 или -50= 3-103/ц 4-7-103/22- В ре-
зультате решения уравнения получают 95= —11 • 103/22. От-
куда находят контурный ток /22 = —if/lb3 ~ ~8.636-10~3 А=
= —8,636 мА. Контурный ток /и
находят из уравнения, составлен-
ного для правого нижнего кои-
, —54-3-8,636 о .
тура: /11 = —=3,4848 мА.
Ток в общей ветви смежных кон-
туров является результатом нало-
жения токов J и /и: /| = / —/ц =
= 25-3,4848=21,5152 мА. (Ток
h совпадает с направлением
большего тока J.)
40
Ток в ветви резистора R?: /г=/ц = 3,4848 мА. Ток в ветви ре-
зистора /?3 находится в результате наложения контурных токов
J и /22: /з = /+ /22= 25+ (—8,636) = 25 — 8,636)= 16,364 мА.
Ток в ветви резистора R4: /4 =—/22 =—(—8,636) = 8,636 мА.
Знак «—» в выражении для тока /4 показывает, что в дей-
ствительности этот ток имеет направление, обратное перво-
начально заданному направлению. Ток в ветви резистора /?5,
т. е. в общей ветви смежных контуров, находится в результате
наложения контурных токов /и и /22: /5= — (/ц 4-/22) =
= —[3,4848 4-(—8,636)] = 5,1512 мА. Напряжение между уз-
лами 3 и 4 цепи находят из уравнения, составленного в
соответствии со вторым законом Кирхгофа для контура
2342: E=U3<- R2I2 - Rih, откуда U3i = 30 4- 2-103-8,636-10*4-
4-2-103-3,4848 • 103=54,24 В.
Напряжение между узлами 1 и 2 цепи: t/|2==/?5/5 =
= 3-103 5,1f = 15,45 В.
103
Упяинение баланса мощностей: — Е1 4- /Уз4/ = — Е1г 4- (Rih 4-
4- Rsh)J = I1R1 4- /2Л2 4- /з/?з 4- /4Я4 4- IlRs, откуда после подста-
новки числовых данных получим тождество: 1,25 Вт = 1,25 Вт.
1.47. Определить ток в цепи резистора /?| = 21 Ом электри-
ческой цепи постоянного тока (рис. 1.47). Питающее напряже-
ние U= 142 В, ток источника тока J = 4А, сопротивление резис-
торов 21=4 Ом, выключатель В находится в замкнутом поло-
жении.
Решение. Заменяем Источник тока эквивалентным источ-
ником ЭДС Е = RJ = 4-4 = 16 В. При этом электрическая цепь
(рис. 1.47) заменяется эквивалентной электрической цепью без
пунктирной ветви (выключатель В разомкнут). При принятом
на схеме направлении контурных токов в соответствии со вторым
законом Кирхгофа записываем уравнения электрического рав-
новесия для соответствующих замкнутых контуров: 0 = 3/?/ц —
— RI33 — RI22', Е = (2R 4- Ri)l22 — Rhi — Ril33', 0 = (2R 4- Ri)l33 —
— R1I22— Rhi+U.
Подставляя в полученные выражения соответствующие
известные значения, получаем сис^ёму уравнений: 12/ц — 4/22 —
- 4/33 = 0; —4/ц 4- 29/22 - 21/зз = 16; -4/,, — 21 /22 — 29/зз =
= —142. Решение этой системы уравнений осуществляется с
помощью определителей.
Составляем определитель А из коэффициентов в уравнениях
при неизвестных (с добавлением двух первых столбцов):
А =
12. — 4. —4
-4'29.-21 .
—4 — 21 — 29
12-4
—4 29
—4 — 21
= 12-29-(-29)4-
4- (- 4)(— 21)(—4) 4- (- 4)(—4)(—21) - (- 4)-29(- 4) -
-(- 21)(— 21) -12 - (- 29)(— 4)(—4) = - 5472.
41
Составляем определители для соответствующих контурных
токов:
12 0 —4 12 0
А22 = —4 16 -21 -4 16 = 12-16( — 29) 4-
- 4 -142 —29 —4 — 142
4-(-4)(-4)( -142)- -(—4)-16(—4) — 12-(— 142)(—21) =—43888.
12 —4 0 12 —4
А33 = —4 29 16 —4 29 = 12 - 29(—142) 4-
—4 -21 -142 -4 -2
4-(-4)-1& [-4)- (—4)(—4)(—142) — 12(- -21)-16= —42 856.
Откуда контурные токи: /22 = А22/А = — 43 888/—5472 =
= 8,02 А; /33 = Азз/А = — 42 856/—5472 = 7,83 А.
Ток в ветви резистора ./?| :/=/22 —/зз= 8,02 — 7,83 = 0,19 А.
1.48. Определить общий ток / и токи Л — Is в ветвях элек-
трической цепи постоянного тока (рис. 1.48). ЭДС источников
питания: Е| = 32В; Ег=120В; Ез= ЮВ, внутреннее сопротив-
ление источника Е|:/?о=2 Ом (внутренним сопротивлением дру-
гих источников пренебречь). Сопротивления резисторов: /?| =
= 10 Ом; /?2 = 4 Ом; R3 = 6 Ом; /?4 = 5 Ом; /?5 = 8 Ом.
Решение. Условные положительные направления токов
принимаем по схеме рис. 1.48. Она содержит шесть ветвей
(NB = 6) и четыре узла (Ny = 4). Для узлов 1, 3 и 4 цепи состав-
ляем уравнения для токов по первому закону Кирхгофа (N, =
= Ny — 1 = 4 — 1 = 3; Nf — число уравнений по первому закону
Кирхгофа): / = /| 4* /2; /2 4* Is = /<; /з 4* А = Is-
Недостающее число уравнений (N, — N, = 6 — 3 = 3) состав-
ляем по второму закону Кирхгофа.
Для замкнутых контуров:
левого 2?, =Л07+2?|71; среднего: Е3 = — R2I2 — /?4/4 4-
4- /?з/з 4- ЯзЛ; правого: Ег = Rsls + Rdt-
Рис. 1.47
42
Ток в ветви резистора R* определяем из последнего уравне*
ния с учетом уравнения, записанного для узла 3 цепи: /< =
__ Ег + Rtfa
Еъ 4" Ri
При совместном решении уравнения для тока Г и ЭДС £>
п j Е\ ~~ Rolz
определяем ток в цепи резистора кг- Ц= —.
АО ’Т’
Решение уравнений, записанных для' узлов 3 и 4, позволяет
определить ток в цепи резистора R2:1г = — /з-
Подставляя значения входящих в полученное уравнение
известных величин, получаем: —10 = 4/2 + 12^ 5 + 6/2 —
__ 32 — 2/j .л
2 4-10
откуда /2 ----= — 2А.
14,70
Токи в ветвях резисторов:
R3: /з = 2 А.
£, — Rt/г 32 —2-(—2) 36 „.
К, /| Л> + Ri 2 4-10 12
/?0: /=/,4-/2 = 3-2= 1 А.
в . / Ег + Rih 1204-8-2 1204-16
Л=Е Л + Л7 =~8 + 5.......... 13....= 10,47 А.
Rs-. h = h-h^ 10,46 + 2 = 12,46А.
1.49. В условиях задачи 1.48 рпределить общий ток / и токи
/i — /5 в ветвях электрической цепи (рис. 1.48), положив ЭДС
источника питания Е3 = 0.
Решение. В этом случае уравнение, записанное по второ-
му закону Кирхгофа для среднего замкнутого контура, примет
вид: 0 = — R2I2 — Rih + R3I3 +
Подставляя известные величины, с учетом полученных выше
выражений, имеем: 0 = —4/2 — 512?~^~4-6/34-
□ •f" о
, (32 - 2/2) 10 , 18,9 . оо а
4—-—----4—, откуда /2 ------------- — 1,28 А.
2 4- 10 J 14,75
Токи в ветвях цепи резисторов:
Яз: /з= 1,28 А.
D , £,-£0/2 32 — 2-(—1,28) 32 4-2,56 34,56 о ай .
R,: '• —/?о+*. =—то---------------—12-------’-л—2,88 А-
Яо:/ = /|+/2=2,88-1,28= 1,6А.
43
D . .Ei + lhh 120 - 8-1,28 a._.
--------8 + 5------847 A
/?5: h = Л - /2 = 8,47 4- 1,28 = 9,75 A.
1.50. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 1.50, а)
содержит источники питания: £| = 50 В; £2 = 20 В; £3 = 45 В и
резисторы с сопротивлениями: /?|=ЮОм; £2= 30 Ом; /?з=
= 50 Ом; /?< = 20Ом; /?з = 1Х)Ом; /?6 = 20Ом; /?7=ЮОм.
Напряжение, приложенное к цепи, 'U = 80 В. Внутренние сопро-
тивления источников /?о = О. Определить токи Л —/6 в вётвях
электрической цепи и напряжение С/к, действующее между точ-
ками 1 и 4 цепи. Составить уравнение баланса мощностей для
всей цепи и построить потенциальную диаграмму для внешнего
контура цепи.
44
Решение. По второму закону Кирхгофа составляем урав-
нения электрического равновесия соответственно для левого
верхнего, правого верхнего и нижнего замкнутых контуров:
(/?г + /?з + /?<)/11 — Я4/22 — /?з/зз = 0;
(/?4 + /?з + /?б)/гг — Rthi — /?в/зз = Ег + Ез;
(Л7+Л1 4-/?в4- /?3)/зз — /?з/11 — /?б/гг — U .= Е, — Ег.
Подставляя в полученные уравнения известные величины,
имеем: (30 + 50 + 20)/ц - 20/22 - 50/зз = 0; (20-f-1 4-20)/22 —
- 20/, । -20/зз = 20 4-45; (104-50 4-20 4- Ю)/зз — 50/1, -
— 20/зз — 80 = 50 — 20, откуда получаем три уравнения: 100/,, —
-20/22- 50/зз=0; —20/ц 4-41/22 -20/зз = 65; —50/,,—
— 20/гг 4- 90/зз =110.
Решая совместно первое и третье уравнения, получаем:
-60/2г4-13/зз=220, отсюда определяем значение тока: /зз =
_ 220 4-60/22 22 4- 6/22
~ 130 13
Решая совместно второе и третье уравнения, имеем:
-122,5/22 4- 140/зз = - 52,5.
Контурный ток /22 получаем, решая coBMecTHot последние два
уравнения: —122,5/2г4- 140 = — 52,5, откуда /22 =5 А.
С учетом значения тока /22 определяем контурный ток: /33 =
22 4-6-5 22 4-30 52 . .
13 13 13
Контурный ток /и определяем из первого уравнения:
100/ц — 20-5 — 50-4 = 0, откуда /,, = ЗА.
Токи в ветвях' электрической цепи определяем с учетом
первого закона Кирхгофа для соответствующих узловых точек:
/2= /,, = 3 А; /3 = /зз-/п = 4-3= 1 А; /, = /2 4- /з= 3 4- 1 =
= 4 А; /4 = /22 — /, । = 5 — 3 = 2 А; /5 = /22 = 5 А; /в = /22 — /33 =
= 5-4 = 1 А.
Напряжение между точками 1 и 4 цепи находят из соответ-
ствующего уравнения, составленного по второму закону Кирх-
гофа: Е, = Я2/2 4-Я5/5 — f/u, откуда t/и = — 50 4-30-3 4-IX
Х55 = 45В.
Уравнение баланса мощностей всей цепи записывают в соот-
ветствии с выражением ЪЕ1 + ^Ul —H2R. При этом 50-4 4-
4-20-1 4-45-5 4-80-4 = 765 Вт = 0,765 кВт; 42-10 4-32-30 4-
4-12-50-f-22-20 4-52-1 4- 12-20 4-42-10 = 765 Вт = 0,765 кВт,
т. е. соблюдается баланс мощностей: 0,765 кВт =0,765 кВт.
При построении потенциальной диаграммы (рис. 1.50, б)
условно принимаем потенциал точки / равным нулю (<р, = 0).
Потенциал точки 7 цепи при заданной полярности напряжения:
<Р7 = /?,/, — <р, = 10-4 — 0 = 40 В. Координаты точки 7 потенци-
альной диаграммы: Ry= 10 Ом; <р? = 40 В.
Потенциалы и координаты других точек находят аналогично:
45
фв=фт—6/=4O —80= —40 В; <ps.= фв + ЛтЛ = —40-f-10-4 = 0;
ф4=фз — Ез=0 — 45= —45 В; фз = ф4 4* Rsh = — 45 -f* 1 • 5 =
=—40 В; фг = фз 4- /?г/2=—40 4"30-3=,50 В.
Потенциальная диаграмма, построенная по данным расчетов,
приведена иа рис. 1.50, б.
Задачи
1.51. Для электрической цепи постоянного тока (рис. ,1.51)
определить токи в ветвях /|, /г, /з и /24, /зг, /34 и
построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи,
составить уравнение баланса мощностей. ЭДС источников
питания: £| = 120В; £2 = 60 В; £з=140В, сопротивления ре-
зисторов: /?24 = /?32 = /?34 = 3 Ом, внутренние сопротивления ис-
точников: Ёо1 = 1 Ом; /?о2 = О,5 Ом; /?оз = О,4 Ом. Ответ: Л =
= 6,8 A; h = 30,9 А; /3 = 24,1 А; /24 = 12,6 A; /22 = 5,8 А; /м = 18,3 А.
1.52. Пользуясь методом контурных токов, определить токи
/i—/з в ветвях электрической цепи рис. 1.52. ЭДС источников
питания: £| = 50 В; £2= 10 В, сопротивления резисторов:
/?, = 4 Ом; /?2=6Ом; /?з= 10 Ом; /?4=ЮОм; /?5 = 10 Ом.
Внутренними сопротивлениями источников питания пренебречь.
Ответ. /, = 2,8 А; /2 = - 0.6 A; /3 = 2,2 А.
Контрольные задания
1.53. Решить задачу 1.44* методом контурных токов.
1.54. Решить задачу 1.45 методом контурных токов.
i 1.5. МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Метод узлового напряжения целесообразно использовать для
расчета электрических цепей, содержащих несколько параллель-
ных ветвей, присоединенных к паре узлов.
Преимущество этого методА перед другими возрастает с
увеличением числа параллельных ветвей электрических цепей.
Прй этом определяется узловое напряжение, что позволяет
достаточно просто определять токи в параллельных ветвях и
46
другие величины, характеризующие подобные электрические
цепи.
Узловое напряжение между двумя точками разветвлений
(узлами) определяют в соответствии с выражением
2 EKGK+ 2 UKGK+ 2 Л
у___ ______к = I_____к =. I___к =. I______
Л
k = ।
л
где 2 — алгебраическая сумма произведений ЭДС на про-
k => I
л
водимости соответствующих ветвей; 2 GKGK — алгебраическая
к = I
сумма произведений напряжений на проводимости, соответствую-
Л
щих ветвей; 2 А — алгебраическая сумма токов источников то-
* = ।
ка в ветвях; GK =—— проводимость ft-й ветви цепи, равная
R к
П
величине, обратной ее сопротивлению; 2 GK — сумма проводи-
к = I
мостей всех ветвей.
При расчете электрических цепей по методу узлового напря-
жения задаются условным положительным направлением указан-
ного напряжения, рассчитывая его по соответствующей формуле.
При этом определяют проводимости всех ветвей, выбирая услов-
ные положительные направления токов в ветвях.
При определении токов в параллельных ветвях для соответ-
ствующих замкнутых контуров выбирают направления обхода
контура и составляют уравнения по второму закону Кирхгофа.
При этом ЭДС, напряжения и токи источников тока принимаются
положительными, если они направлены по направлению обхода
контура, и отрицательными, если они направлены против направ-
ления его обхода.
При отсутствии в электрической цепи источников тока про-
цесс расчета существенно упрощается. При этом выражение для
определения напряжения, действующего между двумя узлами,
приводится к виду
2 E.G,+ S 1/кбк
у _ к =. I____к= I____
п
2 Gt
к = I
При заданном условном положительном направлении напря-
жения Un, действующе!с м^жд" узлами I и 2 (рис. 1.5.1, а), ЭДС
47
Рис. 1.5.1
1
в замкнутом контуре, образованном из соответствующей ветвн и
замыкающего напряжения Un, прн обходе контура по заданному
положительному направлению принимается со знаком «+», если
совпадает с направлением обхода, а если не совпадает — со зна-
ком «—». Напряжения, не совпадающие при обходе соответ-
ствующего контура с направлением напряжения между узлами
Un, принимаются со знаком «+», а совпадающие — со зна-
ком «—».
Знаки в расчетной формуле не зависят от направления токов
в ветвях электрической цепи.
С учетом этого выражение для напряжений между узлами 1
и 2 цепи записываем в следующем виде:
rj __ EiGi EzG? + U3G3
Gi 4- Gt 4- 4- G<
Для расчета токов в ветвях электрической цепи составляют
замкнутый контур, состоящий из рассматриваемой ветви цепи,
замыкаемой напряжением Un между узлами, с учетом действи-
тельного его направления. Расчетная схема ветви с резистором
Ri и ЭДС £| приведена на рис. 1.5.1, б. Задавшись условным
положительным направлением обхода полученного таким образом
контура, например, по часовой стрелке (направление обхода
показано пунктирной стрелкой), записывается с учетом знаков
уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа; £| =
= /?|/| 4- Un, отсюда определяется величина тока Л в данной
ветви цепи. Аналогичным образом определяются токи в других
ветвях электрической цепи.
Литература. [1] § 1.14, [2] § 1.13.
Примеры решения задач
1.55. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.55)
определить, при какой величине ЭДС £з ток /3 ветви резистора
48
1
R3 уменьшится в 3 раза по сравнению с его первоначальным
значением? ЭДС источников питания Е\ = 100 В; £2=120В;
£з = 150 В, сопротивления резисторов: Rt — 20 Ом; R3 = 100 Ом;
Rt = 60 Ом, внутренними сопротивлениями источников питания
пренебречь.
Решение. В соответствии со вторым законом Кирхгофа
напряжение, действующее между узлами 1 и 2 электрической
цепи, 1/|2 = £2= 120 В. Ток 13 в ветви резистора R3 для перво-
начальных условий определяется из выражения, записанного для
данной ветви по второму закону Кирхгофа: Е3 = Un -f- R3I3,
откуда /3==(£3-f/i2)//?3==(150-120)/100=0,3 А
Величина ЭДС £3, при которой ток /3 в цепи резистора R3
уменьшается в 3 раза, определяется из полученного ранее преоб-
разованного выражения для ЭДС £3: Е'3 = Un -f- R3l3 =
= 120- 100/5.
В соответствии с условием Г3 = /з/З = 0,3/3 = 0,1 А, откуда
£5= 120 4-100-0,1 = 120 4-10= 130 В.
1.56. Два источника постоянного тока с ЭДС £| = £г =
= 115 В и внутренними сопротивлениями /?oi = 0,2 Ом и /?ог =
= 0,4 Ом включены параллельно на нагрузку /?„ = 5 Ом
(рис. 1.56). Определить токи /, 1\, /2 в ветвях электрической цепи
и составить баланс мощностей.
Решение. Проводимости ветвей электрической цепи:
б|= 1//?01 = 1/0,2 = 5 См; G„ =!//?„= 1/5 = 0,2 См; G2 =
= 1//?02= 1/0,4= 2,5 См.
Узловое напряжение, действующее между узлами 1 и 2 цепи:
.. EtGt + EtGi 115-5+115-2,5 .19 п
U"=G,+ Gl + (h = 0У+Т+2Л---------112 В'
Принимаем положительные направления токов в ветвях в
соответствии с рис. 1.56. По второму закону Кирхгофа для ветви
генератора с ЭДС £| можно записать следующее уравнение элек-
трического равновесия: (Лг 4-Я01А = £1, откуда Л = —
= (£1 — t/,2) Gi = (115—112)-5= 15 А.
49
Рис. 1.57
Аналогично записывают уравнение для
ветви с ЭДС Ег для определения тока: /2=
= (Ег ~ U!2)/Ro2 = (£2Ui2)G2 = (115-
- 112)2,5=7,5 А.
Ток в цепи резистора /?„ в. соответствии
с законом Ома: /3= Ui2/R«— 112/5= 22,4 А.
Сумма мощностей Pi и Р2, развиваемых
источниками питания, принята равной сум-
ме мощностей нагрузки и потерь мощно-
стей Р01 и Р02 в источниках: Poi-f-£o2-f-
+ P„=Pi + P2, т.е. + /?Яо2 + М.=
= Eih + £2/2, 152 -0,2 4- 7,52-0,4 + 22,42-5= 115-15+ 115-7,5, от-
куда 2587,5 Вт =2587,5 Вт (баланс мощностей соблюдается).
1.57. Электромашины постоянного тока (рис. 1.57), работаю-
щие в режиме генератора, включены параллельно и работают на
сеть с нагрузкой /?н = 0,1Ом. Один генератор развивает ЭДС
Ei = 20 В и имеет внутреннее сопротивление £Oi = 0,01 Ом, вто-
рой генератор — ЭДС £2 = 22 В и внутреннее сопротивление
£02 = 0,01 Ом. Определить значения и направление токов /| —
/з в ветвях, а также напряжение U на зажимах генераторов.
Решение. Напряжение на зажимах генераторов, включенг
ных параллельно:
2EG _ EiGi + Егйг
— G, + G2 + G,
£' Яо, + Ег Ног
/?01 /?02 Ни
20—!- +22-L-
0,01 ~ 0,01 _ 4200 _
1 _1___ 1 210
0,01 + 0,01 1 0,1
Определяем токи в ветвях исходя из уравнений, составленных
по второму закону Кирхгофа: £1 = U + Roth, откуда h —
-•^--^-=0; ft-U + ЛЛ. откуда 7.-А+-
22-20
0,01
200 А.
При заданном соотношении ЭДС £| и £2 вся нагрузка прихо-
дится на второй генератор, так как первый генератор при этом ра-
ботает в режиме холостого хода (/| = 0).
Исходя из уравнения, записанного по первому закону Кирх-
гофа для узла 1 цепи, находим ток в цепи нагрузки: /3 = h + /2 =
=0 +200= 200 А. Из условия обеспечения равенства ЭДС генера-
торов при одинаковой нагрузке: h — /2 = /з/2 = 200/2 = 100 А
50
находим: Ei = I/+/?oi/i = 20-f-0,01 • 100 = 21 В; Et=U +
+ Ro2h = 20 -f- 0,01 • 100= 21 В. При этом Е| = Ег = 21 В.
Следовательно, для обеспечения одинаковой нагрузки генера-
торов необходимо изменить токи их возбуждения, с тем чтобы ЭДС
первого из них повысилась, а другого — понизилась на 1 В.
1.58. Определить, при каком сопротивлении нагрузочного
резистора R„ и токе нагрузки Л аккумуляторной батареи, вклю-
ченной в электрическую цепь рис. 1.58, а, батарея начнет разря-
жаться, если ее ЭДС Е|=.8В? ЭДС источника питания Ег —
= 10 В, его внутреннее сопротивление /?о2 = О,5 Ом, сопротивле-
ние резистора R\ = 0,5 Ом.
Решение. Напряжение между узлами электрической цепи
8^ + 1ОоУ
0,5 0,5 /?,
36/?, _ 18/?,
4/?, +1 2/?, + 0,5 ‘
По закону Ома для участка цепи ток в ветви нагрузочного
резистора /?,:/ = -£= •
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа
для узла разветвления цепи, ток в ветви источника питания:
/2=/-/ь
Токи аккумуляторной батареи и источника питания с ЭДС
Рис. 1.38
S1
Ez связаны между собой уравнением, составленным по второму
закону Кирхгофа для левого замкнутого контура цепи: Ег — Е\ =
= —R\l\ +,/?ог/2-
Ток в ветви аккумуляторной батареи находят в результате
совместного решения представленных выше уравнений для то-
ков:
18 ... f । Ег — Ei + Л1/1 .
2/? .+0,5 1 ’
18 _ , । Ю — 8 4- 0,5/i . _ 9
2/?„+ 0,5 1 0,5 ’ 1 2/?„ + 0,5
По данным полученных расчетов на рис. 1.58, б построены
кривые зависимостей /, /|, /2 (/?„), из которых видно, что при
сопротивлении нагрузочного резистора /?„ < 2 Ом ток 1\ имеет
направление, совпадающее с его направлением на схеме (акку-
мулятор разряжается). При сопротивлении резистора /?н>2Ом
ток изменяет свое направление (аккумулятор заряжается). Прн
токе I > h аккумулятор разряжается.
Задачи
1.59; На рис. 1.59 приведена мостовая электрическая схема
соединения сопротивлений Rt — Rs- Определить величину и на-
правление тока is в диагонали моста с резистором /?5, если на-
пряжение источника питания t/=120 В, сопротивление резисто-
ров в плечах моста: /?| = 20 Ом; /?2 = 40 Ом; /?3=10 Ом; /?« =
= 30 Ом; /?5=50 Ом. Ответ. 0,7 А, ток направлен от узла / к узлу 2
цепи.
1.60. Определить токи I\—h в ветвях электрической цепи
рис. 1.60 методом двух узлов. ЭДС £1 = 60 В; £2 = 65 В; Е3 =
= 50 В, сопротивление резисторов: /?1 = /?2=0,5 Ом; /?3= 1 Ом.
Внутренним сопротивлением источников пренебречь. Ответ. It =
= 0;/2=ГО А; /з=-Ю А.
Рис. 1.59
S2
Контрольные задания
1.61. Решить задачу 1.44 методом узлового напряжения.
1.82. Решить задачу 1.45 методом узлового напряжения.
1.83. Определить токи в ветвях, режимы работы источников, проверить соблю-
дение баланса мощностей в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.63,а).
ЭДС источников питания Ei и Е2, их внутренние сопротивления /?oi и Roi, сопро-
тивления резисторов R\ — Ri, а также схема включения резисторов на участке
2—3 цепи (ограниченная пунктиром) (рис. 1.63, б—е) для соответствующих
вариантов задания приведены в табл. 1.9. Задачу решить методом узлового на-
пряжения. В вариантах 31—60 сопротивление резистора R6=oo, в вариантах
61—90—Re — оо.
$ 1.6. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ТОКОВ
Метод наложения токов (метод суперпозиции)' применяется
для расчета сложных электрических цепей постоянного тока с
несколькими источниками энергии. Наиболее целесообразно при-
менять его при небольшом числе источников. По сравнению с
другими методами он имеет преимущества в тех случаях, когда
не требуется полный расчет цепи, а можно ограничиться, напри-
мер, только определением токов на участках электрической
цепи с источником питания. Метод наложения заключается в
том, что воздействие нескольких источников питания (ЭДС и
напряжений) на электрическую цепь можно рассматривать как
результат воздействия на нее каждого из источников независи-
мо от воздействия других источников, имеющихся в дайной элек-
трической цепи. При этом в каждой из ветвей электрической
цепи ток определяется как алгебраическая сумма токов, вызы-
ваемых в ней действием каждого из источников. В процессе
расчета по методу наложения рассматриваемая электрическая
цель с несколькими источниками ЭДС и напряжений заменяется
расчетными электрическими цепями с одним источником, число
Рис. 1.63
53
Варианты контрольного задания 1,63
Велн-
ЧИНЫ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
Е,. В 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
Ег, В 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160
ffoi. Ом 0,1 0,1 0.1 0,1 0,1 0,1 0,1 0.1 0,1 0,1 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
Ей, Ом 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0.1 0.1 0,1 0.1 0,1
*1, Ом 4 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 2 1 1
Кг, Ом 6 2 2 4 4 3 3 3 4 2 6 5 4 2 2
Кг, Ом 3 2 2 3 3 4 3 3 3 1 6 5 3 3 2
Кг, Ом 10 12 16 20 24 2 4 5 8 10 3 6 9 15 18
Кг, Ом 10 12 16 20 24 2 4 5 8 10 2 5 5 10 10
Кг, Ом 10 12 16 20 24 1 2 2.5 4 5 1 1 2 5 8
Кг. Ом 10 12 16 2? 24 2 4 5 8 10 3 6 9 15 18
Схема См. рис. 1,63, а См. рнс. 1.63,6 См. t>MC- 1.63,8
которых равно числу источников, действующих в электрической
цепи. Другие источники питания, кроме рассматриваемого, при
этом закорачиваются, т. е. удаляются иэ цепи. В результате рас-
чета каждой из этих преобразованных цепей определяются час-
тичные токи от действия данного источника. Значение действи-
тельных токов ветвей определяется алгебраическим суммирова-
нием частичных токов в этих ветвях. Применительно к исходной
электрической цепи (рис. 1.6.1, а), на которой предварительно
Рис. 1.6.1
нанесены положительные направления токов в ветвях, на
рис. 1.6.1, б, в приведены расчетные электрические цепи для час-
тичных токов от действия ЭДС Е| и Ег. При расчете этих цепей
определяются частичные токи во всех ветвях. С учетом направле-
ния частичных токов и токов в ветвях исходной.электрической
цепи определяют действительные токи в ветвях рассматриваемой
цепи путем наложения (алгебраического суммирования) частич-
ных токов в ветвях: Л = /( —/['; /2=/2 —/г; /з=/з + /з'-
Литература: [I] § 1.14; [2] § 1.15; [з) § 3.2—3.6.
54
Таблица 1.9
Примеры, решения задач -
1.64. Определить ток / в электрической цепи постоянного то-
ка (рис. 1.64, а), а также диапазон изменения сопротивления
резистора R для зарядки аккумуляторной батареи до ЭДС Ег =
= 16 В в конце зарядки при неизменном токе нагрузки цепей.
Сопротивление резистора /? = 4 Ом, ЭДС генератора Е| = 36 В,
внутреннее сопротивление #oi = O,3 Ом, ЭДС аккумуляторной
батареи в начале зарядки Ег =12 В, внутреннее ее сопротивле-
ние #02=0,01 Ом. Задачу решить методом наложения.
Решение. Ток в цепи при ЭДС Ег=0 (рис. 1.64, б), по
закону Ома для всей цепи: Г = Ло|+^+Л; = О,3+Г+О,оТ =
-<ЗГ=М5А.
Ток в ветви резистора R при ЭДС Е| = 0 (рис. 1.64, в):
Ег____=______I?_____—12 —о по д
Л01 + R + Я02 0,3-f-4-f-0,01 4,31
Ток в электрической цепи при наличии обоих источников пи-
тания: 1=1’— /" = 8,35— 2,09=6,26 А.
55
Сопротивление электрической цепи в начале зарядки
аккумуляторной батареи при токе / = 6,26 А: /?ц= g| у — =
36-12 24 о ос
= -6^-=-^6-=3’85 Ом
Сопротивление нагрузочного резистора в начале зарядки ба-
тареи: /?' = R'-(R0l + R02) = 3,85 - (0,3 4- 0,01) = 3,85 - 0,31 =
= 3,75 Ом.
Сопротивление электрической цепи в конце зарядки аккуму-
ляторнои батареи при токе / = 6,26 А: /?ц =-j--——=
-^-3,2 Ом.
Сопротивление нагрузочного резистора в конце зарядки ак-
кумуляторной батареи при токе / = 6,26 A: R'' = R" — (Rot +
+ /?02) = 3,2-(0,3+ 0,01) = 2,89 Ом.
Диапазон изменения сопротивления нагрузочного резистора
при заданных условиях: KR = -^-= -3’--- = 1,3.
2,89
Задачи
1.65. Задачу 1.57 решить методом наложения. Ответ. /1=15 А.
/г =7,5 А; /3 = 22,4 А.
1.66. В электрической цепи, приведенной на рис. 1.58, ЭДС
аккумуляторной батареи Е| = 8 В, ЭДС источника питания Е2 =
= 10 В, его внутреннее сопротивление /?о2=О,5 Ом; сопротивле-
ние резистора /?| = 0,05 Ом, сопротивление резистора нагрузки
/?„ = 2 Ом. Определить общий ток / в цепи, токи /| и /2 в ветвях.
Задачу решить методом наложения. Ответ. /=4,15 А; /1 = 0,15 А;
/2 = 4 А.
1.67. Задачу 1.57 решить методом применения законов Кирх-
гофа. Ответ. 1\ = 15 А; 1г = 7,5 А; /3 = 22,4 А.
1.68. Задачу 1.57 решить методом контурных токов. Ответ,
h = 15 А; /, = 7,5 А; /3 = 22,4 А.
1.69. Задачу 1.66 решить методом применения законов Кирх-
гофа. Ответ. / = 4,15 А; /> = 0,15 А; /2 = 4 А.
Контрольное задание
1.70. Контрольное задание 1.63 решить методом наложення.
$ 1.7. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Метод эквивалентного генератора (метод активного двухпо-
люсника, или метод холостого хода и короткого замыкания)
применяют при определении тока, напряжения или мощности в
56
одной из ветвей сложной электрической цепи, так как он значи-
тельно сокращает вычисления, связанные с решением системы
уравнений со многими неизвестными, что характерно для некото-
рых других методов.
Сущность метода эквивалентного генератора заключается в
том, что любая электрическая цепь с одним или несколькими
источниками питания может быть представлена в виде активного
двухполюсника АД с этими источниками питания и ветви элек-
трической цепи с сопротивлением /?, подключенной к его зажи-
мам, напряжение U и ток I в которой нужно определить
(рис. 1.7.1, а).
Рис. 1.7.1
г)
Нетрудно видеть, что включение в цепь этого двухполюсника
последовательно с сопротивлением R двух одинаковых источни-
ков Е0=Е{ противоположной полярности с одинаковыми внут-
ренними сопротивлениями Ло=О (рис. 1.7.1, б) не нарушит режи-
ма работы электрической цепи (рис. 1.7.1, а), при этом ток
I в этой цепи остается равным току исходной цепи, так как в этом
случае £0 и Е'о взаимно компенсируют друг друга. Электрической
цепи (рис. 1.7.1, б) можно дать и несколько иное обоснование.
Каждая из ЭДС Ео и Eq обусловливает наличие тока /0 и Iq в ветви
с сопротивлением R. Так как Eq и Eq включены последовательно
в электрическую цепь с противоположной полярностью, обуслов-
ленные ими токи /0 и Iq направлены встречно и компенсируют
друг друга.
При этом результирующий ток в цепи R (рис. 1.7.1, 6) в со-
ответствии с принципом наложения окажется равным: 1=1+
+ Л) —/о-
В этом уравнении ток / обусловлен результирующим дей-
ствием всех источников ЭДС и напряжений, имеющихся в актив-
ном двухполюснике. Ток /0 обусловлен действием только ЭДС
£о, включенной согласно с током /, поэтому в полученном урав-
57
нении для тока он имеет знак «+», а ток — Го обусловлен
действием ЭДС Eq, включенной встречно с током I, поэтому
в уравнении для тока он имеет знак «—».
Значение тока Zo зависит от ЭДС источников E0=Eq. При
некотором значении Eq ток 1о численно равен току I. Значения
обеих ЭДС E0=Eq принимаются равными тому их значению, при
котором Iq—L
В соответствии с изложенным от результирующего воздей-
ствия всех источников, входящих в состав активного двухполюс-
ника АД, совместно с источником ЭДС Ео, включенным встречно
току /, ток в ветви сопротивления R окажется равным (J — Jo) =
= 0, так как согласно условию Iq—1.
Таким образом, все источники активного двухполюсника АД
(рис. 1.7.1, б) оказываются полностью скомпенсированными ЭДС
Ео, включенной встречно с током / в ветвь, и активный двухпо-
люсник при этом может уже рассматриваться как пассивный
двухполюсник ПД (рис. 1.7.1, в) с удаленными из активного
двухполюсника источниками, на входе которого действует только
ЭДС Ео, включенная согласно с током /. В результате эту реаль-
ную электрическую цепь (рис. L7.I, а) можно заменить эквива-
лентной ей электрической цепью (рис. 1.7.1, г). При этом ток /
в ветви с сопротивлением /?, обусловленный этой ЭДС Ео, равной
эквивалентной ЭДС Езк, определится в соответствии с законом
Ома для всей электрической цепи (рис. 1.7.1, в):
R 4“ Rsk R 4- R,& R 4“ Rsk
а напряжение U для участка этой цепи: U = IR,
где Uq=Em — напряжение холостого хода эквивалентного гене-
ратора/равное эквивалентной ЭДС Еэк, определяется из исход-
ной электрической цепи (см. рис. 1.7.1, а) в режиме холостого
хода при отключенном сопротивлении ветви R (рис. 1.7.1, г);
/?эк — эквивалентное сопротивление двухполюсника, равное вход-
ному его сопротивлению (определяется из электрической цепи
пассивного двухполюсника в режиме короткого замыкания при
закороченных источниках питания активного двухполюсника).
Для электрической цепи (рис. 1.7.2, а) напряжение Un, дей-
ствующее между узлами 1 и 2 цепи (рис. 1.7.2, б), определяют
Рнс. 1.7. Z
58
в режиме холостого хода при отключенном резисторе R как раз-
ность потенциалов соответствующих точек t/i2=q>i—ч>2. Условно
принимая потенциал точки 0 цепи <ро=О, потенциал точки 1
определится как падение напряжения <р( = /?|Л. Аналогично на-
ходят и потенциал точки 2 цепи: фг=₽г/2- Отсюда напряжение
Utz, равное эквивалентной ЭДС: U\2=R\I\ — RzIt=EM. Входя-
щие в это выражение токи определяют из равенстве /г= _ ^-Б ;
р
1г= > так как сопротивления Rt и R3, так же как и сопро-
тивления R3 и Rt, в схеме рис. 1.7.2, б включены последовательно.
Принимая внутреннее сопротивление источника ЭДС Е равным
нулю, из схемы рис. 1.7.2, в находят эквивалентное сопротивле-
ние электрической цепи относительно узлов 1 и 2 цепи. При этом
цепь состоит из двух участков, каждый из которых имеет два
параллельно включенных резистора. Поэтому /?,к = р —I-
lei “г Кз
+ • Ток в цепи резистора R определяют из уравнения,
составленного по закону Ома для всей цепи: / = E»k/Rm+R.
Литература. [1] § 1.14; [2] $ 1.17.
Примеры решения задач
1.71. Методом эквивалентного генератора определить показа-
ние вольтметра V в электрической цепи с активным двухполюсни-
ком АД (рис. 1.71, а), если переключатель П находится в положе-
нии 3. Показания приборов (вольтметра V и амперметра А) для
различных положений переключателя П приведены в табл: 1.10.
Решение. Положение 1 переключателя соответствует режи-
му холостого хода активного двухполюсника АД, который заме-
няем эквивалентной электрической цепью (рис. 1.71,' б). При этом
напряжение холостого хода равно эквивалентной ЭДС генератора:
£,„ = (/=500 В.
Положение 2 переключателя П соответствует режиму коротко-
го замыкания эквивалентного генератора (рис. 1.71, в). При
£
этом ток короткого замыкация: /к =£,«/₽«, откуда £эк=-р-=
=_§22_=2 Ом.
250
Положение 3 переключателя П соответствует режиму нагрузки
электрической цепи (рис. 1.71, г).
При этом ток в цепи: / = о £>* п , откуда R= ~ =
= 500-2J00=3Om.
59
Рис. 1.71
Таблица 1.10
Положение переключателя
П
Показания приборов
U, В I, А
1
2
3
500
0
0
250
100
Показание вольтметра в положении 3 переключателя П: U=R1=
= 3.100 = 300 В.
1.72. Определить показание вольтметра V в электрической це-
пи (рис. 1.72, а) в положении 1 переключателя П. Сопротивление
резистора /? = 36 Ом, показания амперметра А и вольтметра V
для положений 2 и 3 переключателя приведены в табл. 1.11.
Таблица 1.11
Положение переключателя П Показания приборов
и. в . /, А
1 0
2 0 18
3 162 4,5
60
f)
г)
Рис. 1.72
Решение. Положение / переключателя П соответствует ре-
жиму холостого хода эквивалентного двухполюсника АД (рис.
1.72, б). При этом напряжение холостого хода равно ЭДС эквива-
лентного генератора: £ЭК = УО. Положение 2 переключателя соот-
ветствует режиму короткого замыкания двухполюсника
(рис. 1.72, в). При этом ток короткого замыкания по закону Ома
для всей цепи:
4 = £'эк/ЛэК= 18 А, откуда #эк = £эк/18.
Положение 3 переключатся соответствует рабочему режиму
электрической цепи (рис. 1.72, г).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа: E3K = R3J+RI,
Е ____pl
R3K = —----- или с учетом выражения для тока короткого замы-
кания:
% = Е„-В4£ , откуда £эк = 3#=3-36=216 В.
io 4,5
1.73. Методом эквивалентного генератора определить ток /5
в диагонали моста рис. 1.73, а. Сопротивление резисторов: #1 =
= 20 Ом; #2=40 Ом; #з=30 Ом; #<=10 Ом; /?к=50 Ом, ЭДС
источника питания £=120 В.
Решение. Токи в плечах моста (рис. 1.73,6) при разомк-
нутой ветви 1—2 цепи по закону Ома для всей цепи:
J _ _ Е _ 120 _ 120 _ 2 д.
1 20 + 40 60
61
Рис. 1.73
Е 120 120
Яз + Я< 30+10 = 40
Напряжение холостого хода при разомкнутой ветви 1—2 цепи
(принимаем потенциал точки 3 цепи равным нулю (ф3=0):
С/,=С/12=Ф1— <р2=80—30=50 В, где ди и фг— потенциалы то-
чек 1 и 2 цепи: <р, = 7?^ =40-2=80 В; <р2=Л4/2=10 3 = 30 В.
Для определения сопротивления R3» эквивалентного генерато-
ра вводим в схему источника питания ЭДС £о, равную по величи-
не и противоположную по знаку напряжению холостого хода
U^Eo (рис. 1.73, в), и приводим ее к виду рис. 1.73, г. При этом:
/Ь ——'** -I—= Я»:!*0. + У.-22. == 13,3+7,5=20,8 Ом.
Я|+Яз т Яз+я« 20+40 т 30+10 у
Ток в диагонали моста: /6 = — — ьл — —0,71 А.
Яи+Яз . 20,8+50
Этот ток направлен от точки 1 к точке 2 цепи, так как ф|>ф2.
1.74. Методом эквивалентного генератора определить показа-
ния амперметра А в электрической цепи (рис. 1.74, а). Сопротив-
ления резисторов: #1=1 Ом; Л2=1 Ом; R3—2 Ом; /?<=3 Ом;
#6=1,25 Ом, ЭДС источника питания £=120 В, внутреннее
сопротивление источника #о=2 Ом.
42
Рис. 1.74
Решение. Напряжение между узлами 1 и 2 при разомкну-
той ветви 3—4 цепи
(рис. 1.74,6): 1/12 =
Ебо
G0+G1 + G3
“Л--------------------= _____ = __ = so В; токи в
Л0 + (Я1+Я2) + (Я3 + Л4) 2 + 2 + 5
О12 50 V.i 50
ветвях цепи: —7=25 А: А=„—= А.
1 Я1+Я2 1 + 1 2 Л3+Л4 2+3
Напряжение холостого хода при разомкнутой ветви 3 —
4 цепи: Цх=С/з4=Фз— <р4 = 25— 30= — 5 В, где <р3 и
Фа — соответственно потенциалы точек 3 и 4 цепи: <р3=
= /?2/1== 1.25=25 В; ф4=/?4/г=3.10=30 В. Вводим в схему
источник питания с ЭДС Ео, равной по величине Ux, но противо-
положной по знаку напряжению холостого хода Uo, й приводим ее
к виду (рис. 1.74, в). Сопротивление лучей эквивалентной звезды:
п RiRo ___ 1 -2 _ 2_л ц . р ____ RiRt _______
I — Л(1 + Л1 + Л2 2+1+Г-~~ U,i> UM’ Яэк2— Йо + й. + Й2
— 24-1-4-1-4 0,25 Ом: ^эк3—Яо+Я|+Яг 24-14-1 4 0,5 °“'
Эквивалентные сопротивления участков электрической цепи (рис.
1.74,г):/?б=Лэк1 + Лз=0,54-2=2,5 Ом; /?7 = Лэк2+Л5=0,25 +
+ 1,25=1,5 Ом; А8=^жз+Л4=0,5 + 3 = 3,5 Ом; IL=-^-=
йв+й8
2,5-3,5 8,75 . Л
=777ГГ~=_Г=1>46 Ом Отсюда Лл=Л7+Л9=1,5+1,46=2,96 Ом.
63
Величины
Е, В
Rt, Ом
Rt, Ом
Rs, Ом
Ri, Ом
Rs, Ом
Rs, Ом
Rt, Ом
Re. Ом
Схема узла
2—3 цепи
Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15
60 80 100 120 140 60 80 100 120 140 60 80 100 120 140
12,5 11 30 25 50 20 5 5 5 5 10 5 5 5 5
15 10 20 15 15 10 10 10 10 10 10 20 10 20 20
20 20 30 30 50 20 20 30 40 50 20 20 30 40 50
10 12 40 60 80 30 45 60 75 90 20 30 40 50 60
10 12 40 60 80 15 30 40 40 60 20 30 40 50 60
10 12 40 60 80 15 15 20 35 30 10 15 20 25 30
10 12 40 60 80 30 45 60 75 90 20 30 40 50 60
5 10 30 15 20 10 30 10 30 60 20 20 10 20 15
Рис. 1.77 Рис. 1.63,6 Рис. 1.63,8
Рис. 1.76
Ток в цепи амперметра: /5 =
5 5 =
Л7+Rg 1,5 + 1,46 2,96
= 1,69 А.
Здесь: Ео= UX=EX.
Задачи
1.75. Пользуясь методом экви-
валентного генератора, опреде-
лить ток /5 в ветви резистора Rs
рис. 177 электрической цепи постоянного
тока (рис. 1.75). ЭДС источника
питания Е=30В, сопротивления резисторов: Rt — Яз=ЮОм;
/?2 = /?4 = 20 Ом; /?5 = 1,7 Ом. Ответ. /5 = 0,66А.
1.76. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.76)
64
Таблица 1.12
задания 1.77
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
60 80 100 120 140 60 80 100 120 140 60 80 100 120 140
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 15 10 5
10 20 10 20 30 10 10 10 20 30 10 10 10 ‘’10 30
20 20 30 40 50 20 20 30 40 50 20 20 30 40 50
10 15 20 25 30 5 5 5 5 5 2,5 5 10 10 10
10 15 20 25 30 15 30 45 60 75 10 10 10 20 20
10 15 20 25 30 15 30 45 60 75 10 10 10 20 20
10 15 20 25 30 15 30 45 60 75 25 5 10 10 10
10 20 10 20 40 10 30 10 20 40 20 30 20 20 40
Рис. 1.63, г
Рис. 1.63, д
Рис. 1.63, е
методом эквивалентного генератора определить ток /в и падение
напряжения Af/g на резисторе Rs в диагонали моста. Напряжение
</=15 В, сопротивления резисторов: R\ = 30 Ом; /?2=/?< =
= 270 Ом; R3 = 40 Ом; Rs = 54 Ом. Ответ, к—4.6- Ю~3 А; Л1/5= 0,248 В.
Контрольные задания
1.77. В электрической цепи постоянного тока (рис. 1.77) методом эквивалент-
ного генератора определить ток h в диагонали моста с резистором R3. ЭДС ис-
точника питания Е, сопротивления резисторов'Ri—R» цепи для соответствующего
варианта задания приведены в табл. 1.12.
В вариантах 31—60 сопротивление резистора R5=oo, в вариантах 61—90 —
Rs—oo.
3-217
Глава 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
$ 2.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относят-
ся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления,
обладающие нелинейными вольт-амперными характеристиками /
(U), т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нели-
нейному сопротивлению напряжения.
Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы
накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды
и т. д.), которые характеризуются одной вольт-амперной харак-
теристикой, и управляемые (многоэлектродные лампы, транзис-
торы, тиристоры и др.), которые характеризуются семейством
вольт-амперных характеристик.
Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока
обычно осуществляют графоаналитическим методом. При этом
можно использовать и аналитический метод расчета, который,
однако, достаточнц сложен. Для выполнения расчета нелинейных
электрических цепей должна быть известна вольт-амперная ха-
рактеристика соответствующего нелинейного сопротивления,
представленная в виде графика или таблицы.
При расчете электрических цепей с последовательным вклю-
чением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений
Ri и R2 (рис. 2.1.1) вольт-амперные характеристики соответствую-
щих сопротивлений /1(1/) и /г((/) представляются в общей коор-
динатной системе и по ним строится общая вольт-амперная харак-
теристика I(U) всей нелинейной электрической цепи (рис. 2.1.2),
абсцисса каждой из точек которой при заданном токе I (заданной
ординате) находится как сумма соответствующих падений напря-
жения (U=Ui + U2) на этих сопротивлениях Rt и R2, поскольку
при последовательном соединении по сопротивлениям протекает,
один и тот же ток / цепи. Таким образом, по общей вольт-амперной
характеристике /((У) нелинейной цепи при заданном значении на-
пряжения U и последовательном соединении сопротивлений легко
определяют ток I в нелинейной цепи, а по заданному току
I находят напряжение U, подводимое к нелийной цепи, и нап-
ряжения U\ и U2 на каждом из последовательно соединенных
сопротивлений.
При параллельном соединении нелинейных (или линейных и
66
нелинейных) сопротивлений Л, и Л2 (рис. 2.1.3) также строят
общую вольт-амперную характеристику 1(U) нелинейной электри-
ческой цепи (рис. 2.1.4). При этом ординату каждой из точек об-
щей вольт-амперной характеристику при заданном подводимом
к цепи напряжении U (заданной абсциссе) определяют как сумму
токов в цепях соответствующих сопротивлений (/=/1+^2). так
как при параллельном соединении иа всех сопротивлениях дейст-
вует одно и то же напряжение U. Следовательно, при параллель-
ном включении сопротивлений по общей вольт-амперной характе-
ристике I(U) и заданном значении напряжения U нетрудно опре-
делить и ток I в нелинейной электрической цепи. При заданном
общем токе / также легко определить и напряжение U, подводимое
к данной нелинейной электрической цепи, и токи / и /2. протекаю-
щие в цепи каждого из параллельно соединенных сопротивлений.
Следует отметить, что изложенная методика расчета нелиней-
ных электрических цепей при последовательном и параллельном
соединении сопротивлений справедлива для любого числа сопро-
тивлений, включенных в цепь последовательно или параллельно.
При расчете нелинейных электрических цепей со смешанным
Рис. 2.1.3
3'
67
о +
(последовательно-параллельным) со-
единением нелинейных (или линей-
ных и нелинейных) сопротивлений
(рис. 2.1.5) строят вольт-амперную
характеристику I(U\) параллельного
участка цепи; при этом образуется
нелинейная электрическая цепь с
последовательным соединением со-
противлений, для которой строится
Рис- 215 общая вольт-амперная характерис-
тика I(U) с учетом того, что под-
водимое к цепи напряжение U при данном токе цепи I равно
сумме напряжений на параллельном U\ и на последовательном
Uz участках цепи (l/= Ut Uz).
Литература. [1] § 1.16; [2] § 1.20, 1.21; [3] §6.2.
Примеры решения задач
2.1. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 2.1, а) содер-
жит источник ЭДС Е=100.В, сопротивления: /?(=80 Ом; Rz=
= 160 Ом; Яз=40 Ом; Я«=80 Ом и нелинейное сопротивление
Рис. 2.1
68
Ri, вольт-амперная характеристика которого/5 (t/23) приведена на
рис. 2.1,6. Определить ток /5 в ветви нелинейного сопротивле-
ния R^
Решение. В соответствии с методом эквивалентного гене-
ратора рассматриваем данную электрическую цепь в режиме хо-
лостого хода при разомкнутой цепи нелинейного сопротивления
Ri (рис. 2.1, в).
По методу контурных токов определяем контурные токи /,, и
/22 в электрической цепи (рис. 2.1, в). При этом, задавшись услов-
ным положительным направлением контурных токов, в соответст-
вии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа
для правого замкнутого контура цепи рис. 2.1, в, имеем: (/?,+
+ R2 + Ra) /,1 — R2I22=0, ил и (80 + 160 + 80) /11 — 16O/22=0. То же
самое для левого замкнутого контура: £=(/?2+/?з)/22—R2I11, или
100=(160+40)/22-160/,,.
В результате совместного решения полученных уравнений
определяют контурные токи: /,,=5/12 А; /22=5/6 А.
ЭДС эквивалентного генератора при отключенном нелинейном
сопротивлении /?5, равную напряжению холостого хода (Езк=
= (4), находят из уравнения, составленного по второму закону
Кирхгофа для соответствующего замкнутого контура цепи
рис. 2.1, в: Ux—R3I22—/?</ц —0 или £/х=/?з/224~/?4/ц=4О^--|-
+80А-=66,7 В, т. е. Езк=<4=66,7 В.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора /?эк
относительно точек 2 и 3 цепи при отключенном нелинейном сопро-
тивлении Ri и закороченном источнике ЭДС Е (рис. 2.1, г):
D R0R1 112-80 112-80 ,К7 г, R2R3 ,
^=^+^=712+8^ —192-= 46,7 °М’ ГДе Л»=^ТК +
+ 80=112 Ом-
Записав уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа
для электрической цепи с эквивалентным генератором (рис. 2.1,6),
получим выражение, связывающее ток /5 в цепи нелинейного
сопротивления Ri с напряжением (У2з, действующим иа его зажи-
мах: £'эк=^2з+/?эк/5 или 1$ — Ежь , т. е. Ii(Uz3)-
Вместе с тем зависимость тока /5 от напряжения К2з выражает-
ся и вольт-ампериой характеристикой /5(1)23) нелинейного сопро-
тивления Ri (рис. 2.1,6).
С учетом того, что при постоянном значении эквивалентной
ЭДС Е,к и эквивалентного сопротивления /?эк, что имеет место в
данном случае, зависимость, представленная приведенным выше
уравнением для тока, является линейной, ее можно построить
по двум точкам, соответствующим режиму холостого хода и режи-
му короткого замыкания эквивалентного генератора, так как в ре-
жиме холостого хода ток /5=0 и напряжение U23^E3K (точка 2
69
на рис. 2.1, б). В режиме короткого замыкания 773,=О, а ток 15=
= ЕЭк//?эк= 66,7/46,7= 1,43 А (точка /). Построив указанную ли-
нейную зависимость /в((723) в общей координатной системе с вольт-
амперной характеристикой /5(1/23) (рис. 2.1,6), получим искомые
напряжение 1/2з и ток /5 в цепи нелинейного сопротивления /?5 как
соответствующие координаты точки пересечения указанных зави-
симостей: /5=0,27 А; 1/23=54 В.
2.2. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.2, а)
включено нелинейное сопротивление Rs. Определить ток /5 в нели-
нейном сопротивлении и напряжение Ul2, действующие между
точками / и 2 цепи. Вольт-амперная характеристика нелинейного
сопротивления Rs (кривая 3) приведена на рис. 2.2, 6. ЭДС источ-
ника питания Е=90 В, сопротивления резисторов: /?1= 15 Ом; R2=
=45 Ом; /?з=43 Ом; /?<=45 Ом.
Решение. Используя метод эквивалентного генератора,
определяем напряжение Ui2, действующее между точками 1 и 2
электрической цепи в режиме холостого хода при отключенном
нелинейном сопротивлении Rs (рис. 2.2,а).
Рис. 2.2
Ток в ветви резистора Ri при отключенном нелинейном сопро-
тивлении Rs (выключатель В выключен): /|=Е/(Л|-|-/?з)=90/
/(15+45)= 1,5 А.
Ток в ветви резистора R2 при отключенном.нелинейном сопро-
тивлении Rs’ /2=E/(/?2+/?4)=90/(45+45)=90/90=l А.
ЭДС эквивалентного генератора Еэк определяют при отключен-
ном нелинейном сопротивлении Rs. По второму закону Кирхгофа
из уравнения электрического равновесия, составленного для внеш-
него замкнутого контура электрической цепи (рис. 2.2,a): Ua —
=R2I2~Rtli—0 или Ux=45il—15-1,5=22,5 В, откуда EaK—Ux—
=22,5 В.
Внутреннее сопротивление R3K эквивалентного генератора от-
носительно точек 7 и 2 электрической цепи рис. 2.2, а, при закоро-
ченном источнике ЭДС Е: /?эк = + +
, 45-45
+ 45+45
= 33,75
Ом.
70
В соответствии со схемой замещения рассматриваемой нели-
нейной электрической цепи (рис. 2.2, в) исходя из уравнения, сос-
тавленного по второму закону Кирхгофа, имеем: U 12+^15=
=ЕЗК, отсюда Is=(E3K—Ui2)/R,K.
Полученное уравнение представляет аналитическое выражение
зависимости /5(1Л2). Поскольку ЭДС £эк=const и /?эк=const, пос-
леднее уравнение является уравнением прямой в системе коорди-
нат /5 и 1/12 (рис. 2.2, б, точка /), проходящей через точки с коор-
динатами, которые определяются в режиме холостого хода (при /5=
=0; UX=E3K=22,5 В) и в режиме короткого замыкания (1/к=0),
ток /5=£эк//?эК=22,5/33,75=0,666 А (точка 2).
Ток /5 в цепи нелинейного сопротивления R& и напряжение
U12 на его зажимах определяют графическим способом как коор-
динаты точек пересечения вольт-амперной характеристики нели-
нейного элемента /?5 (рис. 2.2,6) с полученной прямолинейной
зависимостью IffUii). При этом /5 = 0,45 A; U\2 = 6,75 В.
2.3. Нелинейные сопротивления R\ и включенные после-
довательно в электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.3,а),
имеют вольт-амперные характеристики / и //, приведенные на
рис. 2.3,6. Определить ток / в цепи и напряжения U\ и U? на
этих сопротивлениях, если приложенное к цепи напряжение
U = 60 В. В каких пределах изменится напряжение At/ цепи
при изменении тока / от /, = 25 мА до /2 — 175 мА?
Решение. Строят общую вольт-амперную характеристику
/// указанных двух последовательно соединенных нелинейных
элементов (рис. 2.3, б) исходя из условия, что подводимое к цепи
напряжение U при данном токе / нагрузки равно сумме напря-
жений на сопротивлениях Ri и R?, т. е. U = Ut + U2.
I, мА f________________
150
100
50
0 10 203010 50 6070 U.B
S)
Рис. 2.3
Ток в цепи при напряжении U = 60 В согласно зависимости
/// определяется ординатой 0—5, соответствующей /2 = 175 мА.
Напряжение на участках цепи находят из графических зави-
симостей. При токе /2= 175 мА (Л = 19 В (абсцисса 5—4), U2 =
= 41 В (абсцисса 5—3). Прн токе Л = 25 мА напряжение,
подводимое к цеци, U =22 В. Следовательно, изменение под-
водимого к цепи напряжения при изменении тока в заданных
71
пределах согласно рнс. 2.3, б составляет: At/ = 66 — 22 = 38 В.
2.4. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.3, в) при
напряжении t/=30B включены параллельно нелинейные со-
противления /?| н /?г, вольт-амперные характеристики / н И
которых представлены на рис. 2.3, б. Определить общий ток /
в цепи, токи /| и /г в ветвях.
Решение. Общая. вольт-амперная характеристика IV
(рис. 2.3,6) при параллельном соеднненнн нелинейных сопротив-
лений построена сложением токов (ординат) зависимостей / и //
при соответствующем напряжении. Ток нелинейного сопротивле-
ния /?| (рис. 2.3, а) при заданном напряжении U = 30 В равен
ординате 6—7: 1\ = 205 мА. Ток нелинейного сопротивления
/?2 при том же напряжении U = 30 В равен ординате 6—8:
/г = 100 мА. Общий ток в неразветвленной части цепи равен
ординате 6—9: / = Л + /2 = 205 +* 100 = 305 мА.
2.5. Определить токи Л — /3 и напряжения Ut и £72з на
нелинейных сопротивлениях /?(, /?2 и Из при смешанном соеди-
нении их в электрической цепи постоянного тока (рнс. 2.5,а),
если приложенное напряжение U = 40 В. Вольт-амперные
характеристики /, // и /// нелинейных сопротивлений даны на
рис. 2.5, б.
Рис. 2.5
Решение. Общая вольт-амперная характеристика IV не-
линейных параллельно включенных сопротивлений Иг — Из
(рнс. 2.5,6) строится сложением токов при одинаковых напря-
жениях. Затем строится общая вольт-амперная характеристика V
всей цепи для последовательного соединения нелинейных сопро-
тивлений по характеристикам / и IV. Ток в неразветвленной
части цепи: Ц = 165 мА при напряжении U = 40 В определяет
ордината 4—5, напряжение 11гз — 11,5В — абсцисса 6—7, а на-
пряжение U\ = 28,5 В — абцнсса 6—8.
Для определения токов в ветвях проводим через точку 7, со-
ответствующую напряжению t/гз, прямую параллельно оси ор-
динат. Пересечение этой прямой с вольт-амперными характерис-
тиками // и /// и определяет токи в соответствующих ветвях:
/2 = 65 мА; /3 — 100 мА.
72
2.6. Определить ток /а и напряжение Ua анодной цепи лампо-
вого триода в электрической цепи (рнс. 2.6, а) прн различных
значениях напряжения Uc на сетке. Семейство анодных характе-
ристик триода /JJJа) представлено на рис. 2.6,6. Сопротивление
резистора в анодной цепи /?а = 10 кОм, ЭДС источника пита-
ния £а = 300 В.
Решение. Анодная цепь триода состоит из последователь-
ного соединенного нелинейного внутреннего сопротивления /?,
и линейного анодного сопротивления /?а. Поэтому схема заме-
щения цепи рис. 2.6, а приводится к виду рнс. 2.6, в. Анодная
характеристика нелинейного сопротивления Ri лампового триода
задана. Необходимо определить зависимость анодного тока /а от
линейного Ra и нелинейного Rt сопротивлений. Пересечение этих
характеристик позволяет определить параметры анодной цепи.
Рис. 2.6
Для схемы рис. 2.6, а на основании второго закона Кирхгофа
справедливо уравнение электрического равновесия: Е, = Ua +
+ Rak = и a + и к или Ua =Еа — RJ„ откуда I, =Е‘ ~ U‘
Зависимость анодного тока /a(t7a) прн £а = const и R, = const
, Е, U.
определяют из уравнения: /а = —-------—, являющегося урав-
®а
нением прямой в системе координат /а н Ua. При /а=0: Еа—
Е
= U, = 300 В (точка 1 на рис. 2.6, б). При Ua = 0: /а =
Да
= —300— = 30 мА (точка 5).
10-103 ' '
На рнс. 2.6,6 нанесена прямолинейная зависимость 1—2, т. е.
нагрузочная характеристика /a(Ua). Ток в анодной цепи прн
напряжении Uc=— 4 В /а= 12,2 мА (ордината 2—6). Напря-
жение на нелинейном сопротивлении прн Uc= — 4 В t7a=178B
(абсцисса 0—6). Напряжение на линейном сопротивлении прн
Uc=—4 В: UR=Ea— U. = 300- 178= 122 В или UK= Rala=
— 10-103-12,2-10~3 = 122 В.
Аналогично определяют параметры прн Других значениях
напряжения Uc на сетке лампового триода.
73
2.7. Определить внутреннее сопротивление Ri, крутизну S
анодно-сеточной характеристики /a(t/c) и коэффициент усиления
ц лампового триода для точки А прямолинейного участка
анодной характеристики /а(£/а), приведенной на рис. 2.6,6.
Решение. Внутреннее сопротивление триода, соответ-
ствующее точке A: R,=------I ; Ri =—— 8Х
—Д/а I ис= const —5-10
X Ю3 Ом = 8 кОм.
Ординаты АВ и АС определяют приращение соответственно
анодного тока и анодного напряжения Д/а и Д(7а. Приращение
анодного напряжения АС= Диа= — 40 В прн напряжении на
сетке ис——2 В = const.
Это обусловливает изменение анодного тока на величину
Д/а= —5 мА.
Крутизна анодно-сеточной характеристики лампового триода
Л/а
AUc L/a= const
-|- = 2,5 мА/В.
Изменение анодного тока Д/а = 5 мА — АВ (рнс. 2.6,6) обус-
ловлено изменением напряжения на сетке AUC = — 2 — (—4) =
= 2 В при U3 = const.
Коэффициент усиления лампового триода: ц =
= — = 20.
At/с /а =, cOnSt 2
Коэффициент усиления триода можно найти также из внут-
реннего уравнения лампы? ц — SRt — 2,5-8 = 20.
Рис. 2.8
Рис. 2.9
2.8. Для точки А вольт-амперной характеристики I(U) нели-
нейного элемента (рнс. 2.8) определить статическое RCT н диф-
ференциальное /?д сопротивления.
Решение. Статическое сопротивление, соответствующее
точке А вольт-амперной характеристики: R„ = U/I = ОС/АС =
= 35/5-10~3 = 7-103 = 7 кОм. Статическое сопротивление про-
порционально тангенсу угла 0, т. е. R„ = tg0mr, где т, —
масштаб сопротивлений.
Дифференциальное сопротивление, соответствующее точке А
74
вольт-амперной характеристики: /?* = m,tga= ОС/АВ = 35/
/1,75-10-3 = 20- 1(Г Ом = 20 кОм. Дифференциальное сопротив-
ление пропорционально тангенсу угла а.
2.9. На рис. 2.9 приведена электрическая схема газового
стабилизатора напряжения с газоразрядным стабилитроном типа
СГ4С. Определить сопротивление балластного резистора /?в и
мощность Р6, выделяемую на нем, если ток на прямолинейном
участке вольт-амперной характеристики стабилитрона изменяет-
ся от минимального значения 1тт = 5 мА до максимального
Длах = 40 мА. Значение стабилизированного выходного напря-
жения =150 В, а напряжение на входе UM = 240 В,
сопротивление нагрузочного резистора R„ = 10 кОм.
Решение. Среднее значение тока стабилитрона, соответ-
ствующее рабочей точке: /ср = (/„,„ 4- /min)/2 = (40 4- 5)/2 =
= 22,5 мА.
Ток в цепи нагрузочного резистора: /н = С/вых//?„ = 150/
/10.10®= 15 мА.
Напряжение на балластном резисторе исходя из уравнения
электрического равновесия напряжений, составленного по второ-
му закону Кирхгофа: = ReI 4- Uam, откуда U6 = R6I =
= Un - илт = 240 - 150 = 90 В.
Ток на входе стабилизатора исходя из первого закона Кирх-
гофа для точки разветвления: / = /ст + /. = 22,5 4- 15 =
= 37,5 мА = 0,0375 А.
Сопротивление балластного резистора определяется по
падению напряжения на нем: Л1/б = Rel, откуда R6 =
— = 2,4 кОм. Мощность, выделяемая в балластном
резисторе: Рв = !2R6 = 0,03752.2,4-103 = 3,4 Вт.
Задачи
2.10. Определить сопротивления R' н R" нелинейного элемен-
та R, включенного в электрическую цепь постоянного тока
по его вольт-амперной характеристике I(U) прн токах Л = 60 А
н /2 = 80 А (рис. 2.10). Ответ. R' = 0,5 Ом; R" = 0,25 Ом.
75
2.11. Определить общий ток /о, токи Л и /2 в ветвях электри-
ческой цепи постоянного тока, напряжение Uo на резисторе
Ro и приложенное к цепи напряжение U при смешанном соеди-
нении сопротивлений: Ro, Ri, Rs (рнс. 2.11,а), если напряжение
на нелинейном сопротивлении R2: U\ = 30 В, а сопротивления
резисторов: Ro = 10 Ом; Ri == 2 кОм. Вольт-амперная харак-
теристика нелинейного сопротивления приведена на рис. 2.11,6.
Ответ. Jo = 325 мА; /, = 150 мА; /2 = 175 мА; Uo = 3,25 В; U ~ 33,25 В.
2.12. Определить ток стабилитрона газового стабилизатора
напряжения (см. рнс. 2.9), если напряжение на входе —
= 200 В, напряжение на выходе (7ВЫХ = 150 В, ток нагрузки
/„ = 5 мА, сопротивление балластного резистора R6 = 2,5 кОм.
Ответ. 1„= 15 мА.
2.13. Определить допустимый предел колебания напряжения
на входе газового стабилизатора напряжения А£7ВХ и коэффи-
циент стабилизации если изменение напряжения на
нагрузочном резисторе R„ = 10 кОм ограничено пределами
At/BMx=-+-5 В, сопротивление балластного резистора Rt =
= 2,4 кОм, величина стабилизированного выходного напряже-
ния = 150 В, напряжение на входе UBX = 240 В при напря-
жении t/eHX = 155 В, ток стабилитрона 1„ = 29 мА (см. рис. 2.9).
Ответ. Д(/,ых=—22 В; Аст=2,84.
Контрольное задание
2.14. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 2.1.1) с последовательно соеди-
ненными нелинейным R\ и линейным R3 сопротивлениями включена в питаю-
щую сеть с напряжением U. Используя вольт-амперные характеристики l(Ui)
нелинейного сопротивления 7?i (табл. 2.2), а также данные, приведенные
в табл. 2.1 для каждого варианта задания, определить ток / в цепи и падения
напряжений Д(Л и Д1/2 на сопротивлениях Rt и Л2.
Построить зависимость изменения тока I(U) в электрической цепи при
изменении напряжения U источника питания в пределах ±20 % U.
Таблица 2.1
Величины Варианты контрольного задания 2.14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
и3, в 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11
/, А 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1.8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
Вольт-амперная характеристика 1 линейного элемента
76
Продолжение табл. 2.1
Величины Варианты контрольного задания 2.14
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
иг, в 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
/, А 1.0 1.1 1,2 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2.4
Вольт-амперная характеристика 2 линейного элемента
Таблица 2.2
Величины Вольт-амперные характеристики нелинейного элемента
1 2
и,, в 1 2 4 8 12 16 20 2 4 6 8 10 12 14
/, А 2 3 4 4,2 4,3 4,4 2,5 0,5 1.1 2,2 3,5 4,8 6 8
Г лава 3
ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
f 3.1. СПОСОБЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ
Синусоидальные функции времени могут быть представлены
тригонометрической формой записи, линейными диаграммами
изменения синусоидальной величины во времени, вращающимися
векторами н комплексными числами.
Тригонометрическая форма записи синусоидально изменяю-
щейся во времени величины в общем виде представляется
выражением а = j4m-sin(<o/ 4- ф) = ^msina, где а — мгновенное
значение синусоидальной функции времени; А„ — амплитудное
значение синусоидальной функции времени; w — угловая или
круговая частота, характеризующая скорость изменения фазово-
го угла; t — текущее значение времени; а=(<о/-)-ф)— фаза
или фазовый угол (аргумент -синусоидальной функции во вре-
мени); ф— начальная фаза (начальный фазовый угол)
(рис. 3.1.1, а).
В соответствии с выражением для мгновенного значения
синусоидальная функция времени во многих случаях изобра-
жается в виде линейной диаграммы — графика изменения соот-
ветствующей синусоидальной функции от времени (от угла
wt) (рис. 3.1.1,б).
Период изменяющейся во времени синусоидальной величины
Т = l/f [f — частота синусоидально изменяющейся во времени
78
величины (число периодов в секунду)]. В электротехнике кроме
мгновенных и максимальных значений переменных синусоидаль-
ных величин используются действующие и средние значения.
Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС
напряжений и токов записывают соответственно в виде выраже-
ний: Е = Ет/л/2 = 0,707Em; U = Um/^2 = 0,707f7m; I = 1т/
/у/2 — 0,7071т. Соответственно, средние значения синусоидально
изменяющихся ЭДС, напряжений н токов: Еср = 2Ет/п =
= 0,637Еи; (Уср == 2Um/n = 0,63767™; /ср = 2/т/л = 0,637/т.
Синусоидальная функция времени изображается также вра-
щающимся вектором (см. рнс. 3.1.1,а). Длина вращающегося
радиуса-вектора равна амплитуде Ат синусоидальной функции
времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс
для момента времени t = 0 представляет начальную фазу ф си-
нусоидальной величины. Проекция вращающегося радиуса-век-
тора на ось ординат определяет мгновенное значение синусои-
дальной величины.
В электротехнике за положительное направление вращения
векторов принято направление против хода часовых стрелок.
Синусоидальные функции времени а = Атsin(w/ -|- ф) изоб-
ражаются также комплексными числами. Прн этом на плоскости
комплексных чисел (рис. 3.1.2) из начала координат под углом ф
к оси действительных чисел (вещественной осн) проводят вектор
Ат, концу которого соответствует определенное комплексное
число. Комплексная амплитуда синусоидальных величин опре-
деляется выражением Am=Ame'* (где е — основание натураль-
ного логарифма). Для действующих значений синусоидальных
величин это выражение преобразуется к виду: А = Ае;'1’.
С увеличением времени фаза а=(ш/-|-ф) синусоидальной
величины возрастает, при этом угол между радиусом-вектором
и осью действительных величин увеличивается, радиус-вектор
поворачивается на соответствующий угол против хода часовых
стрелок. Для момента времени t\ (см. рнс. 3.1.1,6) комплексная
амплитуда Ат=Ате(ш1'+^, а действующее значение А =
_ Др(“<,+*)
Комплексное число представляет собой сумму действительной
и мнимой частей: А_— А' 4- ]А" — ReA_+ /ImA , где А' — ве-
щественная (действительная) часть комплексного числа; ]А" —
мнимая часть комплексного числа; Re и 1m — символы, обозна-
чающие действительную и мнимую
части комплексного числа (ReA =
= А'; ImA_=A").
Комплексные числа A'-^-jA" и
AiA-jA" считаются равными, если
их действительные н мнимые части
равны (A' = Af; А" —А").
В выражении комплексного чис-
ла фигурирует также символ / =
= -\/ —1 —мнимая единима, с по-
79
Таблица 3.1
Математические выражения
Мгновенное значение синусоидальной функции времени Формы записи комплексных величии
показательная тригонометрическая алгебраическая
1. e = £msin<i>/= = 84,6 sin <at В £ = £е*= = 60е^ = 60В, здесь ф=0 . £_=£(со$ф-|- + /81пф) = = 60(cos0-|- 4-/sin0) = 60 В II ® 1 8 II Sim 1 * +«|,s *11 8 m 1 ml й Й m
2. e=£mcoswt= = £«sin (<e, + _£’)= = 84,6sin(e><+y)B <4 со •Г кЬ ф ЦД « 1 ® ml и £.= £(cos-£ + + /s»ny) = = 60(0 + /!) = = /60 В II 1 H к|еч к|еч <zi e + a 8 » ‘в 41 “ ml fl m m у
3. e = £„sin (<ef± ±-^-) = 84,6sin (i>Z± 1 IF 2 В у m S % “ 1 Н а * 1® It -Н с ' Л А1-? I IT -Jr з ml -Н Г -Н II Il ® J ® 1 £ ’8 m ’J *1® II Ju®. 8 iS *].<o ‘|8 U 8 m ml fl m й II
4. e=£„sin (<o/± ± —84,6 sin ( at ±, «и1 « Ф 41 II ® ^1 и 44 И СО +1 ICO /=* 4" a t . i £ A^l” । хтч "Н 3 :V = И •£. 8 .J. 1 J, ml +1 Й +1 II II E^E'±jE" = = (-30±/51,9)B, £' = £cos^-= = 30 B, £" = £sln^-= =51,9 В
мощью которого нз комплексного числа выделяется его мнимая
составляющая. Умножение вектора А на множитель j соответ-
ствует повороту его На угол, равный-т/2 в положительном на-
правлении (против хода часовой стрелки), а умножение на —/ —
80
поворот в отрицательном направлении (по ходу часовой стрел-
ки).
Модуль комплексного числа: А — |Л | = -^(А')2 4- (А")2, а его
Л"
аргумент ф = arctg——.
Используют три формы записи комплексных чисел. Алгеб-
раическая (координатная) форма записи комплексного числа:
А_= A’ + jA".
Сопряженное ему комплексное число имеет противоположный
знак при мнимой части: А * = А' — jA*'.
При этом произведение сопряженных комплексных чисел
А_‘А_* = А2 оказывается равным квадрату модуля комплексного
числа. При отсутствии мнимой части комплексного числа: А —
= А' + /О = А'. При отсутствии действительной части комплекс-
ного числа: Л = 0 ± jA" = ± /Л".
Следует заметить, что алгебраическая форма — более удоб-
ная форма записи комплексных чисел при нх.сложении и вычи-
тании.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел явля-
ется производной алгебраической формы с учетом того, что
соэф — А'/А, вщф = Л"/Л; Л = Л(соэф + /втф) .
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел наи-
более удобна при переходе к алгебраической форме записи от
показательной.
Покалательная форма записи комплексных чисел является
производной от тригонометрической с учетом того, что в соответ-
ствии с формулой Эйлера (созф + /зтф) = е^*, Л = Ле'* где
е7*—поворотный множитель (показывает, что вектор повернут
относительно вещественной осн в положительном направлении
на угол ф).
Поворотные множители / и е7* могут быть записаны в следую-
щем виде: / = V-1; /•/ = — 1; 1// = — = - /; 1/—/=/
. • л
При ф = ± л/2 в соответствии с формулой Эйлера е т =
= ( cos-2- ± /sin-2-) = (0 ± /1) =± /.поэтому е'т=/; е /т= —/.
Показательная форма записи комплексных чисел оказывается
более удобной формой записи при умножении, делении, извлече-
нии корней, логарифмировании комплексных чисел.
В табл. 3.1 показан переход от записи мгновенных значений
синусоидальных функций времени к показательной, тригономет-
рической и алгебраической формам записи комплексных чисел
(максимальное значение ЭДС Ет = 84,6 В, действующее ее зна-
чение Е = Em/-^2 = 84.6/V2 = 60 В).
Примечание. Содержание $3.1 ограничено изложением сведения,
необходимых для решения последующих задач.
Литература. [ 1 ] $ 2.3; [2] $ 2.7.
81
$ 3.2. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
При расчетах электрических цепей переменного тока широко
применяется метод комплексных чисел, позволяющий графиче-
ские операции над векторами заменить алгебраическими дейст-
виями над комплексными числами.
При использовании комплексных чисел методы расчета элект-
рических цепей переменного тока аналогичны методам расчета
электрических цепей постоянного тока. Записи соответствующих
уравнений, составленных по законам Ома и законам Кирхгофа,
одинаковы по форме для электрических цепей однофазного пере-
менного и постоянного токов.
При этом в уравнениях, записанных для электрических цепей
переменного тока, токи /, напряжения U, ЭДС Е, сопротивле-
ния Z, проводимости У, мощности S записывают в комплекс-
ной форме.
С учетом этого математическое выражение закона Ома в
комплексной форме приводят к виду: / = UJZ или / — У U.
Математическое выражение первого закона~Кирхгофа в ком-
плексной форме: £ _/ж=0. В соответствии с этим алгебраическая сумма
*-i
комплексных токов, сходящихся в узле разветвления электрической цепи,
равна нулю.
Математическое выражение второго закона Кирхгофа в комплексной
форме: £ _£ж=Е ^ж'ж
*-1 *-1 *-1
Согласно этому уравнению алгебраическая сумма комплексных ЭДС
в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической
сумме комплексных напряжений и алгебраической сумме падений напря-
жений в этом контуре.
При расчете электрических цепей по методу комплексных чи-
сел оперируют с этими числами. Алгебраические действия над
комплексными числами сводятся к сложению, вычитанию, умно-
жению и делению комплексных чисел:
A_i = At + /Af' = Aie'*1 и А_з = АЬ + /Аг — Аге1*2 .
Сложение комплексных чисел осуществляется / следующим
образом:
А 1 4- А 2 — (А( 4- /А") 4- (Аг 4~ /А?) — (Af 4~ А0 4* /(Af 4~ Аг).
Вычитание комплексных чисел производится аналогично:
A_t - A_2=(Af+/Af') - (АН/А?) = (A't-A'2) + /(Af—А?).
Умножение комплексных чисел производится по схеме:
А_,А_2 = (A't 4- /Af)(A5 4- /Af) = AfA5 4- /АГАг 4-
4~ jA"A'\ — A'tA'i = (А1А2 — А"А%) 4~ /(Af А$ 4~ А? А{) или
А_1А_г = А^'Аге^2 = А1А2е'(*'+ *2).
Деление комплексных чисел осуществляется следующим об-
разом:
82
±, = At 4- jAf = (Л1 4- IAt)(Aj - IA!) =
A, Ai+jAf (Ai+iAf)(Af-jA!)
_ AtAj 4- A?AZ 4- KAfAj - A? At) _
(Atf + tAtf
AtAj + A?AZ . AZAj - AgAt
(АЦг + (А!)г (Atf + lAff
Ai _ A,^' _ Ai _ t2)
Aj A#1” A,
При делении комплексных чисел для исключения в знамена-
теле мнимого числа числитель н знаменатель умножают на
сопряженное со знаменателем комплексное число.
Литература. (1] $ 2.16-2.20; (2] $ 2.10; (3| $ 2.5-2.10.
Примеры решении задач
3.1. Определить угловую частоту вращения Ц, ротора генера-
тора переменного тока при частоте питающего напряжения f =
= 50 Гц н угловую частоту <в ЭДС, если ротор вращается с час-
тотой я; = 1000 об/мин. .
Решение. Число пар полюсов генератора: р = д*- =
= -!j£gj£-=3. Угловая частота вращения ротора: Ц, =-j2-=
= 3,14^°^ = 104,5 с-1. Угловая частота переменного тока: <о =
= О₽р= 104,5-3=314 с~‘ или <о=2л/=2-3,14-50=314 с~‘.
3.2. Определить среднее значение синусоидального тока /ср
по мгновенному его значению /=31,4в1п(<в/+-£•).
Решение. Среднее значение синусоидального тока /ср =
2 t 2 о а д 2
=----/т в --31,4 = -S—
л л 3,14
3.3. Определить коэф-
фициенты амплитуды Аа
и формы Лф периодически
изменяющегося тока, фор-
ма которого приведена
на рис. 3.3.
Решение. Макси-
31,4 = 20 А.
2
О
'т
2л ut.pai
-2
Т
я
Рис. 3.3
>3
мальное значение тока в данном случае равно действующему
его значению, т. е. /Д=/=2А. Коэффициент амплитуды тока:
K,=/m/7=2/2= 1. При Этом среднее значение тока рацио дейст-
вующему его значению, т. е. /ср = /=2А. Коэффициент формы
тока: Кф=///ср=2/2= 1.
3.4. Для синусоидального напряжения и тока (рис. 3.4) запи-
сать выражения для мгновенных их значений. Определить период
Т и время /р, соответствующее начальной фазе тока ф;, а также
мгновенные значения напряжений ui и и2 для моментов времени
/i = 0,00167 с и /2 — 0,005 с, если частота тока f — 50 Гц.
Решение. Мгновенные значения напряжения и тока име-
ют вид:
и — Um sino>/ — 100sin314/ В,
t =/msin( + — 15sin( 314/ + -у-) А,
где Um, 1т амплитудные значения напряжения и тока.
Начальная фаза тока (в радианах): ф» = = -у. Пе-
риод переменного напряжения и тока:. Г— 1//.= 1/50 = 0,02 с.
Время начала отсчета, т. е. время, соответствующее начальной
фазе тока: t0 — — = 0,005 с.
* <и 2л/Г 2-2л 4
В моменты времени: /ь ai = a>/i = л/6 = 30°; ui — 100sin<o/| =
= 100 sin30° = 50 В; t2: аг — <o/2 = л/2 = 90°; u2 — 100sina>/2=
= 100sin90° — 100 B.
3.5. В условиях задачи 3.4 записать выражения для мгновен-
ных значений напряжения и, соответствующих моментам време-
ни /| и /2.
Решение. Мгновенное значение нвпряжения, соответст-
вующее моменту времени 6: и — 7/msin(a>/i 4-л/6).
Мгновенное значение напряжения, соответствующее моменту
времени 12: и — Um sin(«0/2+л/2).
3.6. В однородном магнитном поле (рис. 3.6) равномерно вра-
щается вокруг оси ООзамкнутая нако-
ротко рамка, в которой индуцируется
периодическая ЭДС с максимальным
значением Ет— 10 В. Определить ли-
нейную скорость v перемещения рамки,
частоту вращения и, частоту f ЭДС и
ее мгновенное значение е в момент вре-
мени /=0,00166 с, если размеры сторон
рамки ac—bd=0,lfi м, ab = cd—0,2 м.
Магнитная индукция поля В=1В-с/м2.
Решение. Линейная скорость пе-
Е„ 10
ремещения рамки v= „ - = 1.2-02=
84
60t> 60t> 60-25
= 25 м/с. Частота вращения рамки: n=-^-— ——3 14 0 16—
= 3000 об/мин. Частота индуцированной ЭДС f=«/60= 3000/60=
= 50 Гц. Мгновенное значение ЭДС в момент времени /=0,00166 с:
e = Emsin<o/ = 10sin2nf/ = 10sin* 100л-0,00166= 10sin-g-n=10X
X sin 30° = 5 В.
3.7. Определить максимальное Ет и действующее Е значе-
ния ЭДС, наводимой в прямоугольной катушке с числом витков
w = 200, вращающейся в однородном магнитном поле с постоян-
ной частотой вращения п=1500 об/мин. Размеры витка ка-
тушки 3X3 (площадь витка S, = 3-3 = 9 см2). Индукция маг-
нитного поля В= 0,8 Т = 8000 Гс. Построить кривые изменения
магнитного потока и ЭДС во времени е, Ф(/), а также векторную
диаграмму цепи.
Решение. Частота индуцированной в катушке ЭДС:
f — «/60 = 1500/60 = 25 Гц. Максимальное значение магнитно-
го потока: Фт = SCB = 3-3‘8000* 10-8 = 0,00072 Вб. Амплитуд-
ное значение ЭДС, наводимой в катушке, находят исходя из
<1Ф <1(Фт sin <af)
мгновенного ее значения: е = —и>--- = —w—»—77----------<- —
at at
= _Ш(оФтСО5<о/= -Ш(!)Фяз1п( 0)/ + у^ = w2nf®msin(flj/—л/2) =
= fmsin( o>i- — л/2) = 200 • 2 • 3,14 • 25 • 0,00072sin( tot — л/2) = 22,5 X
X sin(o>/—л/2), откуда Ет = 22Д В. Действующее значение ЭДС
катушки Е = Ет/^12 = 22,5/д/2 = 16 В. Изменение потока и
ЭДС во времени и векторная диаграмма приведены на t
рис. 3.7, а, б.
3.8. Представить комплексный токД_= (4+/3) А в тригоно-
метрической и показательной формах записи.
Решение. Действующее значение тока (модуль комплекс-
ного тока): / = -д/42 З2 = 5 А- Аргумент комплексного тока:
tg^ = 3/4 = 0,75, откуда ф»=36°50'. Тригонометрическая фор-
ма записи комплексного тока /=(4 + /3)=/(cosipi-F/sin^i) =
85
40 30 20 10 О 10 20
Рис. 3 12
= 5{cos36°50' /sin36°50/). Показательная форма записи комп-
лексного тока / = (4 -|-/3) = /е** = бе?®’50, А.
3.9. Записать выражение Для комплексной амплитуды тока 1т
исходя из выражения, для мгновенного его значения 1*=
= 10sin(<o/4-30°) А.
Решение. Амплитудное значение тока: 1т 10-А. Началь-
ная фаза тока: ф,- = 30°. Комплексная- амплитуда тока: 1т —
= /пе* = Юе*30" А.
3.10. Представить комплексный ток_/.= Юе/30* А в алгебраи-
ческой (координатной) форме записи.
Решение. Действительная часть комплексного тока ReM=
= 10cos30°= 10-865 = 8,65 А. Мнимая часть комплексного тока
lm/=10-sin30°=5A. Алгебраическая форма записи комп-
лексного тока /=(8,654-/5) А.
3.11. На комплексной плоскости (рис. 3.11) приведена век-
торная диаграмма токов и напряжений. Представить токи h и /2
и напряжение U в алгебраической форме записи и Найти их
аргументы.
Решение. Комплексные токи и напряжение в алгебраиче-
ской форме записи: Л = (2 4- /2) А; [г = (—2—/2) A; U =
= (3 — /3) В. Аргумент комплексного тока_/,: tgifyi = 2/2=1.
В общем случае этому условию удовлетворяют углы 45 и 225°.
Но угол 225° в данном случае не является аргументом числа
(24-/2). Правильный ответ —фп = 45°(—315°) или 405° и т. д.,
так как аргументами комплексного числа (2-|-/2) являются все
углы вида 45°zfc36O°A (где К — любое целое число). Этот ре-
зультат получится, если учесть, что действительная и мнимая
части комплексного тока Д_ положительны. Аргумент комплекс-
ного тока /| найден из выражения для соответствующего коэф-
фициента мощности: совфл = 2/-/2т4^27= 2/2-/2 = 1/-/2 =
= -/2/2, откуда аргумент комплексного тока фл = 45°, или че-
рез синус соответствующего угла: зшфл = -= -Л—; фп =
86
— 45°. Так как значения косинуса и синуса положительны, то
угол г|><| находится в первой четверти плоскости комплексных
чисел.
__9
Аргумент комплексного тока_/?: tgx|),2 =-^-= 1. Так как
абсцисса и ордината комплексного тока отрицательны, то зр,2 ==
= 225° или —135°, или 585° и т. д. Следовательно, вектор тока_/г
находится в третьей четверти плоскости комплексных чисел.
Аргумент комплексного напряжения U_2: tg фи = -у^-=1.
Здесь абсцисса положительна, а ордината отрицательна, поэтому
вектор напряжения U расположен в четвертой четверти плоско-
сти комплексных чисел фи — 315° (или —45°, или 675° и т. д.).
3.12. На плоскости комплексных чисел (рис. 3.12) заданы
комплексные напряжение U и токи /| и Л электрической цепи.
Представить их в алгебраической и показательной формах за-
писи.
Решение. Выражения для напряжения и токов в алгеб-
раической форме записи: [/ = (254-/25) В; Л = (—35-+-/35) А;
Л_= -45 А.
То же, в показательной форме записи: (У—35,25е =
= 35,25 е >45” В; Ц — 49,35 е = 49,35 е'|35’ А; /2 = 45 е '♦ =
= 45е"'|8О'А.
3.13. В условиях задачи 3.12 записать аналитические выра-
жения для мгновенных значений напряжения и и токов Л и i2,
считая, что положения векторов токов Л и /2 и напряжения U_
на плоскости комплексных чисел даны для момента времени
t = 0.
Решение. Мгновенные значения:
напряжения «=V2-35,25sin(o>f 4- л/4) В; _
токов «| — -72*49,35sin(o>/4-3n/4) A; i2 = -72-45sin(o>/+л) А.
3.14. Определить действующие значения напряжений U\, U2,
1>з и токов Л, /2, /3,' комплексные сопротивления Z\, Z2, Z3,
активные Ri, R2, R3 и реактивные сопротивления Х\, Х2, Х3,
комплексные проводимости Yi, Y2, Уз, а также комплексные мощ-
ности S2, S3, если для соответствующих электрических цепей
в различных формах записи даны комплексные напряжения и
токи: Uj = 220 В; L^2 = (60 + /80) В; U_3 = 50е'6°° В; h =
= (8,8-/6,6) А;_/2 = 10 А;_/з = Юе*15' А.
Решение. Действующие значения напряжений и токов:
В;
/1-
U2 _
U, = 220 В; U2 = т/602+802 = 100 В; U3 = 50
= V8,82 + 6,62 = 11 А; /2 = 10 А; /3 = 10 А.
' и 1 220
Комплексные сопротивления: Z\ — -=р- = 8 8~/бб
=______».8 + /8-8)_____= 220(8,8 + /6,6) Пб+/12) Ом' ’ Z2
(8,8-/6,6)(8,8 + /6,6) (8,82 + 6,62) (ЮТ/ы/им, £2
= 60 to'80.....= (6 + /8) Ом; Z3 - > = = 5е Лво°~|5°) =
87
= 5е'45° Ом. Активные и реактивные сопротивления: /?|= 16 0м;
/?2 = 6 Ом; XL\ = 12 Ом; XL2 = 8 Ом; /?з — 3,535 Ом; Х^ —
= 3,535 Ом; Z3 = 5(cos45° + /sin45°) = 5(0,707 + /0,707) =
= (3,535 + /3,535) Ом. Комплексные проводимости: У, = -у- =
~16+/12 ~ (16+7’12) (16—>12) = (°>04—7°>°3) См; Ул = =
= вТЙ = (^-(6% = (0-06 - '0’08> См’ Я = ± =
- 0,2е •/45° См ИЛИ _У3 = 0>2 (cos 45° — у sin 45°) =
= (0,1414-/0,1414) См. Комплексные, активные и реактивные
мощности: S, = jt/,/f = 220(8,8 + /6,6) = (1936 + /1452) В • А;
S, = V!936<+1452й = 2400 В-A; Pi = 1936 Вт; Qi = 1452 вар;
S2 = 1/2/? = (60 + /80) 10 = (600+/800) В-A; S2 = 1000 В-А;
Р2 = 600 Вт; Q2 = 800 вар; S3 = УЛ = бОе*60" • 10е-'15’=
= 500е«в0°- 1S’> = 500е'45° = 500(cos45° + /sin45°) = 500(0,707 +
+ /0,707) = (353,5 + /353,5) В-А; S3 = 500 В-А; Р3 = 353,5 Вт;
Q3 — 353,5 вар.
Задачи
3.15. Определить амплитудные Um и действующие U значе-
ния синусоидального напряжения, если его среднее значение
UCJ) — 198 В. Ответ. U* = 310 В; U = 220 В.
3.16. Определить амплитудное Um значение напряжения в
электрической цепи синусоидального тока, частоту /, период Т
переменного тока и начальный фазовый угол фи, если мгновенное
напряжение в сети и = 310sin^628 + -у-) В. Ответ. (/„ = 310 В;
/ = 100 Гц; Т = 0,01 с; Ч>. = 60° = л/3.
3.17. Определить коэффициенты амплитуды К. и формы
периодического напряжения «(/), линейная диаграмма изменения
мгновенного значения во времени которого приведена на
РИС. 3.17. Ответ. К,= 1,41; Кф= 1,11.
3.18. Определить углы сдвига фаз i/r, и ^2 и время t, соответ-
ствующее углу сдвига фаз ф синусоидальных ЭДС е, = А,тх
Xsin(o>/i +-J-) и е2= £2msin (о>/2 +
+ -^-J. Мгновенные значения времени
А и t2 соответствуют начальным фазам
e^ И е2. Ответ. <t>i'=re/4; <|>2 = л/12; 2|>=л/6;
/ = 0,001665 с.
3.19. Написать выражение для
мгновенного значения синусоидального
тока /, комплексная амплитуда которого
lm — 10е-/30° А. Ответ, i = 10sin( <о/ — ) А.
Рис. 3.17
88
3.20. Определить ток /, равный сумме комплексных токов
/, = (3 + /4) А и_/2 = (2 + /) А. Суммарный ток представить в
ПОКазатеЛЬНОЙ форме Записи. Ответ. / = 7,05 А; / = 7,05е'45".
3.21. Записать выражения для комплексной амплитуды токов:
ii = 15sin(<o/i + -2-) А и z2= 15sin( w/2 + -y-) А. Ответ: h„ =
— 15е 7; 1-2„ — 15 е*3.
3.22. Исходя из выражения для мгновенного значения тока
i = 14,1 sin(a>/H~n/6) А, записать выражения для действующего
значения тока / в комплексной форме записи. Ответ. /=10е<"/°А.
3.23. Определить комплексную S, активную Р и реактивную Q
мощности электрической цепи, если дано U — 220 В; / —
= (10 — /20) А. Ответ. S — (2200 + /4400) В-A; Р = 2200 Вт; Q = 4400 вар.
3.24. Определить активное R и реактивное XL сопротивления
электрической цепи синусоидального тока, если ее комплексное
сопротивление Юе'29"30'. Ответ. R = 8,704 Ом; Xj.= 4,92 Ом.
3.25. Определить комплексное сопротивление Z, полное сопро-
тивление цепи Z, ток / в электрической цепи, если комплексное
напряжение U_— 220 В, а ток _/_= (8,8—/6,6) А. Ответ. Z_ =
= (16+ /12) Ом; Z = 20 Ом; I = 11 А.
Контрольное задание
3.26. Определить величины, указанные в табл. 3.2 для последовательной
электрической цепи переменного тока, соответствующие варианту задания. За-
таны: комплексные напряжение U и ток 1 в цепи; i, и — мгновенные значения
тока и напряжения; /, U — действующие значения тока и напряжения; Um —
комплексные амплитуды тока и напряжения; Z, Z — полное и комплексное сопро-
тивления; R — активное и X —- реактивное сопротивления; комплексная и
полная S мощности; активная Р и реактивная Q составляющие комплексной
мощности; costp—коэффициент мощности; <рк—аргумент комплексного числа;
и ф„ — начальные фазы, тока и напряжения; Ад,, Ад„ — алгебраическая
(координатная), АТ|, АТи— тригонометрическая. Ап., АПц — показательная
формы записи комплексных тока и напряжения.
Дрполнительное задание. На плоскости комплексных чисел построить век-
торную диаграмму напряжения U и тока / в цепи, а также графики зависимости
индуктивного сопротивления катушки Xl и емкостного сопротивления конден-
сатора Хс от частоты / переменного тока, т. е. Xl, Xdj).
Примечание. Для расширения числа вариантов задания в вариантах
31—60 ток I увеличить в 2 раза, а в вариантах 61—90 напряжение U — в 2 раза.
$ 3.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОФАЗНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ В
В электрической цепи синусоидального тока с активным
сопротивлением R (табл. 3.3) под действием синусоидаль-
ного напряжения и — Umsinti>i возникает синусоидальной ток
/ = Im sinioZ, совпадающий по фазе с напряжением, так как на-
чальные фазы напряжения U и тока / равны нулю (ф„ = 0;
89
Величины Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7
и, в 0,75-/ 1,25 5 6 +/8 9-/12 -12+/16 15+/20
Л_А 0,25 1,5—/ 2 3 + /4 +/5 10 -10 5
Необходи- мо опреде- лять и, и_п, 1. R, Р, Q, cosrp /, Z, i, R, X, Л ni U, I, i, Z, P. Q, A ni u, U„, I, R, X, P, A ni U, I, R, X, P, cosrp U, I, R, X, sirup U, и, 1, Z.S^Q, COSrp
Величины Варианты контрольного
16 17 18 19 20 21 22
и, в 2,5 1,5—/2 3 + /4 +/50 45 100 125
Л_А 0,75-/ 2 2 6 +/8 9-/12 12 +/16 15 + /20
Необходи- мо опреде- лить U, 1,1„, X, R Ajsi, sintp U, U„, 1, Z, R, P, cosrp U, и, I, R, X, Q, <Pk U, /, /д, R, X, P, Q, A„i U, I, Z, R, P. *<, dj,,- u, L_R, A.Si.ty, U, I, i, Z, R, P, dir
= 0). При этом угол сдвига фаз между напряжением и током
<р = фи— — 0, что свидетельствует о том, что для этой цепи
зависимости изменения напряжения и тока совпадают между
собой на линейной диаграмме во времени.
Векторная диаграмма напряжения U и тока J_ на плоскости
комплексных чисел для данной электрической цепи приведена
в табл. .3.3.
На векторной диаграмме ток в цепи направлен по оси дей-
ствительных чисел, поэтому выражение для комплексного тока
записывают в следующем виде: / =/е'*‘—/е70 —Комплекс-
ное напряжение совпадает по фазе с током, поэтому U_= U^^‘ =
= = U.
Комплексное сопротивление цепи по закону Ома: Z_= U/1 =
- U/1 = R.
Комплексная проводимость цепи: У= 1/Z_= 1/₽ или б =
— 1/R, где R и G — активные сопротивление и проводимость
цепи.
В электрической цепи синусоидального тока, содержащей
активное сопротивление R и катушку с индуктивностью L, под
90
Таблица 3.2
задания 3.26
8 9 10 11 12 13 14 15
18+ /24 . я 50е'4 100е'т 21+/28 100 27 +/36 100 —/100
10 10е'« 20е'п 5 24 +/32 3 30 —/40 42-/56
U, i, 1, R, X, S, А пи U, I, R, X, S, А&, cos<p U, 1. R, X,S,Aji, sin <p U, и, I, R, Р, ♦«, COS<p U, I, R, Р, Q. Л„„ совф U, I, R, х, S, А лиг и, у_п, I, Im, R, Q, U, Urn, 1, X, Р, Q, А,„
задания 3.26
23 24 25 26 27 28 29 30
100 18+ /24 ЮОе'^ 50e'* 3-/4 5 12-/16 10 15 + /20 +/5 -18-/20 -10 21-/28 10 42-/56 -/10
U, 1, i, R.S^P, А,,, U, 1, Z, R, X, S, Аци U, Um, Z, R, Q, Ajsu, 81Пф и, R, X. Z, S, Q, U, I, R, Q, S, ^пм» coscp U, u, R, P, ♦«, Лц, 51Пф U, и, Z, <2. £ вшф U, и, Z, Р, S, Aj,.. Б1Пф
действием изменяющегося по синусоидальному закону напряже-
ния . и — t/msin(<o/+n/2) возникает синусоидальный ток i —
= /msinw/, отстающий по фазе от напряжения иа угол л/2.
При этом начальная фаза напряжения фи — л/2, а начальная
фаза тока ф, — 0. Угол сдвига фаз между напряжением и током
ф = (ф« — фг) — л/2.
Векторная диаграмма напряжения U и тока / на плоскости
комплексных чисел для данного случая приведена в табл. 3.3.
Комплексный ток и комплексное напряжение в этой цепи:
_/== /е'* — Ie'°— I; Ul— Ulc1*'— ULe'*,2 = jU, так как e'“/2==z
= cos л/2 + /sin л/2 — 0 4- /• 1 = /.
Комплексное сопротивление цепи по закону Ома: Zl —
.. UL ;v v —
= ——— —— = I——— Ial, где Xl — индуктивное сопротивле-
ние катушки индуктивности.
Модуль комплексного сопротивления катушки индуктивности:
ZL = yir= ^(Л=0).
Комплексная проводимость цепи с катушкой: У = —^—=
91
Таблица 3.3
Сопротивление, Ом Комплексное сопро- тивление, Ом Проводимость, См
ft Z=R
Xl=vL 11 * л ’е’ II Si==-T (oL
X 1 Хс а>С Zc= —jXc= . 1 „ -/1 = -i-^c-x^ Bc= (oC
Z_=R + jXL=Ze* r R = R‘ + Xl ’ В xL L~ я2+хГ r=VG2 + Bi
Z = R —jXc—Ze~lv r-_A— /?2+№c’ я Xc c~ R2 + Xl' Y = ^G2 + B^c
Z=R + f(XL-Xc) = =Ze* c R Ri + (XL-Xc)i ’ в L R2 + (Xl-Xc)2 ' R Xc °C~ R* + (Xl-Xc?
£
Элементы цепи Комплексная проводимость, См Угол сдвига фаз между напряжением и током, рад
Резистор <р*«0
Катушка индуктив- ности -iBL Ф= я/2
Конденсатор jBc Ф= —я/2
Продолжение табл. 3.3
Примечание. Угол сдвига фаз <р<.я/2 для цепи RL и С зависит от параметров и может быть положительным (при
активно-индуктивной нагрузке XL>Xc, Вс>В^ и отрицательным (при активно-емкостной нагрузке Хс>Хс, BL>Bc).
тивная реактивная проводимость; L — индуктивность катушки.
В электрической цепи синусоидального тока с конденсатором,
обладающим емкостью С (табл. 3.3), под действием напряжения
и = Umsin(co/—л/2) возникает ток i — опережающей
напряжение на конденсаторе на угол л/2.
Начальный фазовый угол тока ф, = О, а напряжения фв =
= —л/2. Угол сдвига фаз между напряжением U и током /
<р = фв — ф, = —л/2. Векторная диаграмма напряжения U и то-
ка / на плоскости комплексных чисел для этой цепи приведена
в табл. 3.3.
Комплексный ток в цепи конденсатора: !_ = /е'* — I.
Комплексное напряжение на конденсаторе: t/c = Uc^*‘ =
== Ue~>n/2 = -jUc.
Комплексное сопротивление конденсатора: Zc — Uc/
= —jUc/I — —jXc, где Xc—емкостное сопротивление кон-
денсатора. Модуль комплексного сопротивления цепи с конден-
сатором: Zc — ~^Х2 — Хс.
Комплексная электрическая проводимость конденсатора:
Yc = 1/_?с = 1/—jXc — jBc, где Be— 1/XC = шС — емкостная
проводимость конденсатора.
Электрическая цепь синусоидального тока в общем случае
содержит активное сопротивление R, индуктивность L и ем-
кость С (табл. 3.3).
В электрической цепи с последовательным соединением ак-
тивного сопротивления R и индуктивностью L ток отстает от
напряжения на угол <р>0. При этом комплексное сопротивление
цепи и его модуль: Z = R-}-jXL = Ze'’’; Z = -у/R2 + Xl t
Комплексная проводимость цепи и ее модуль: Y = у =
_ I = R-jXL R-jXi _ R-jXL R ~
R + jXL (R + iX^R- jXL) + Z2 Z2
— Y_— G — jBc Y = -^G2 + В2, где G — R/Z2 — активная
проводимость цепи; Bl = Xl/Z2 — индуктивная реактивная про-
водимость цепи; Z2—f^^-X2L.
Угол сдвига фаз между напряжением и током: <р =
= arctg-&- = arctg-^-.
Аналогично можно получить соответствующие расчетные фор-
мулы для электрических цепей синусоидального тока с различ-
ным сочетанием элементов R, L и С, которые даны в табл. 3.3.
Комплексная мощность цепи с активным, индуктивным и ем-
костным сопротивлениями (/?, L, С): S — P+jQ = P+KQl — Qc),
где Р = I2R — активная мощность, Щ = РХ, — индуктивная со-
ставляющая реактивной мощности, Qc = 12ХС — емкостная со-
ставляющая реактивной мощности.
Выражение для комплексной мощности может быть записано
%
в развернутом виде: S = — Qc) — PR+jPXl—jl2Xc =
= /’[/? + j(XL — Ac)] — /2Zj. где Z_= R + j(XL — Xc) — комплексное
сопротивление цепи.
Так как квадрат модуля тока /2 = 1*1, то S — l2Z = l*IZ —
=I*U, где I — комплексный ток; I* — сопряженный комплекс-
ный ток; I — действующее значение (модуль) тока.
В неразветвленной электрической цепи синусоидального тока
с индуктивностью L, емкостью С и активным сопротивлением R
при определенных условиях может возникнуть резонанс напря-
жений (особое состояние электрической цепи, при котором ее
реактивное индуктивное сопротивление XL оказывается равным
реактивному емкостному Хс сопротивлению цепи). Таким обра-
зом, резонанс напряжений наступает прн равенстве реактивных
сопротивлений цепи, т. е. при XL = Хс или &L — 1/соС.
Комплексное сопротивление цепи при резонансе: Z — /? +
Хс); Z. — R, т. е. полное сопротивление цепи при резо-
нансе напряжений имеет минимальное значение, равное актив-
ному сопротивлению R цепи.
Угол сдвига фаз между напряжением и током при резонансе
напряжений: <р = фв —-ф,, = arctg = 0, при этом ток / и
К
напряжение U совпадают по фазе. Коэффициент мощности цепи
имеет максимальное значение: cosq> = /?/Z=l. Комплексный
ток в цепи: _/ = -=- = — /ек*"_,,) = le1*', его модуль / —
= U/Z = U/R. При этом ток в цепи приобретает максимальное
значение.
Реактивная мощность цепи при резонансе напряжений: Q =
= Ql-Qc = I2Xl-РХс = l\XL-Хс) ~ 0.
Активная мощность цепи при резонансе приобретает наиболь-
шее значение, равное полной мощности: Р= (7/cos<p = Scos<p =
— S. На рис. 3.3.1 приведена векторная диаграмма напряжений
и тока при резонансе напряжений.
При построении векторной диаграммы для электрической
цепи с последовательным включением сопротивлений исходным
«с
Рис. 3.3.1
4-217
97
является ток /, так как в этом случае значение тока на всех
участках цепи одинаково.
Ток / откладывают в соответствующем масштабе (ш( —
= п, А/см), затем относительно тока в прйнятом масштабе
(ти =: k, В/см) откладывают напряжение U и падения напря-
жения At/ на соответствующих сопротивлениях в последователь-
ности их расположения в цепи.
При этом падение напряжения U$ на активном сопротивле-
нии R строится от начала тока /, совпадающим с ним по фазе
(по направлению). Напряжение TTL на индуктивном сопротивле-
нии пристраивается к концу Ur под углом л/2 относительно то-
ка / в направлении против движения часовой стрелки.
Напряжение Up на емкости С конденсатора пристраивается
к концу вектора uL под углом л/2 относительно тока по направ-
лению движения часовой стрелки, т. е. в противофазе с UL.
Напряжение U, приложенное к цепи (рис. 3.3.2), находят
как сумму: U = Ur+- Ul + 4/с- При этом угол сдвига фаз <р меж-
ду током / и приложенным напряжением U принимается поло-
жительным, если он направлен от тока к напряжению в направ-
лении против движения стрелок часов, в противном случае —
угол сдвига фаз <р принимается отрицательным.
Литература. fl] §2.1—2.12; [2] §2.1—2.14; [3] § 2.1—2.7.
Примеры решения задач
3.27. В сеть переменного тока при напряжении U = 120 В и
частоте f — 50 Гц включена катушка с индуктивностью L =
= 0,009 Г (/?к = 0). Определить реактивную мощность Q ка-
тушки и энергию WLm, запасаемую в магнитном поле катушки,
записать выражения для мгновенных значений напряжения и,
тока t, ЭДС самоиндукции eL, мгновенной мощности р и средней
мощности Р за период, если начальная фаза напряжения
фв = л/2. Построить векторную и временную диаграммы.
Решение. Индуктивное сопротивление катушки: XL =
= a>L — 2iifL = 2-3,14.-50-0,009 = 3 Ом. Действующее значение
тока: /= U/XL — 120/3 = 40 А. Реактивная мощность цепи:
Q = Uf = 120-40 = 4800 вар = 4,8 квар. Максимальная энер-
гия, запасаемая в магнитном поле катушки: WLm = U2 =
= 0,009-402 = 14,4 Дж. Амплитудные значения напряжения и
тока: 44 =-^24/= 1,41-120= 169,2 В; 4 = л/2/ = д/2-40 =
= 1,41-40 = 56,4 А.
Мгновенные значения:
напряжения и = uL = 4/msin(w/-f-n/2) = 169,2sin(3,14t-f-n/2) В;
тока i = 4sinwt = 56,4 sin 314 А;
ЭДС самоиндукции катушкн eL = — Ul = 169,2sin(314t —л/2) В;
мощности цепи р = ui = Um sin (cot -I- л/2) Im sin cot = Umcos cot Im x
X sincot = так как sin(wt-f-л/2) = coswt, a sin2at =
= 2 si по/ co sat.
98
Для действующих значений напряжения и тока: р— C//sin2<o/=
= l2(M0sin2-314/ = 4800sin628f В-А.
т т
Средняя мощность за период: Р = J pdt = * j W sin2coz х
X dt = 0. ° 0
Векторная диаграмма для действующих значений напряжений
и тока приведена на рис. 3.27, а (для цепи с L, 7^=0).
График изменения мгновенной мощности (рис. 3.27; б) пред-
ставляет собой синусоиду с двойной частотой и амплитудой Qt„.
При этом реактивная мощность Qi == — щ =
= 120-40 = 4800 вар.
Рис. 3.27
3.28. К сети переменного тока прн напряжении U = 220 В
и частоте f = 50 Гц подключей конденсатор с емкостью С —
= 20 мкФ. Определить его реактивное сопротивление Хс, ток /,
реактивную мощность Qc, максимальную энергию Wcn, запасае-
мую в электрическом поле конденсатора. Построить век+орную
диаграмму для данной цепи.
Решение. Реактивное сопротивление конденсатора: Хс =
= 2^ = ТзлЖоЛо^= 160Ом. Ток в цепи конден-
сатора: /= U/Xc = 220/160 = 1,37 А. Реактивная мощность
цепи: Qc = (//= 220-1,37 = 302 вар. Максимальная энергия,
запасаемая в электрическом поле конденсатора: B7Cm = Ct/2 =
= 20-Ю'Мгр2 = 968-10~3 Дж.
Векторная диаграмма тока и напряжения приведена на
РИС- 3.28.
3.29. Для электрической цепи синусоидального тока с конден-
сатором, обладающим емкостью С, построить временную диа-
99
0 I
I " t>
и
Рис. 3.29
Рис. 3.28
грамму мгновенных значений мощности p(t), если мгновенное
значение напряжения и = 310sin314/ В, емкостное сопротивле-
ние конденсатора Хс = 160 Ом.
Решение. Мгновенное значение тока в цепи: i =-г^- —
at
= ^~ = = Ct/mtusin(<o/ + n/2) = /mcos<o/.
Мгновенная мощность цепи: р = ui = t/msinco//mcosco/ =
ii i sin 2a)t и v
= Um/m—2— или для действующих значении напряжения и тока:
р = t//sin2co/ = 220-||2-sin2-314/ = 302sin628/.
График изменения мгновенной мощности во времени (рис. 3.29)
представляет собой синусоиду с двойной частотой и амплиту-
J п U„lm -^211^21
дои, равной реактивной мощности: QCm =—---------- = --у—— =
= UI= 220-1,37 = 302 вар.
3.30. В электрической цепи переменного тока напряжение V
и ток / изменяются во времени в соответствии с выражениями
« = 28,2 sin (628/ + 4л/9) В; i— 2,82 sin (628/ + 5л/18) А. Опреде-
лить активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи.
Решение. Мгновенное значение мощности цепи: р=ш^=
= 28,2 sin (628/ + 4л/9) • 2,82 sin (628/ + 5л/18) = 28,2 • 2,82 Ux
Х[cos (628/ + 4л/9 —_628/ - 5л/18) — cos (628/ + 4л/9 + 628/ +
4-5л/18)]} =79,5 Г [ со s л/6 - cos (1225/+ 13л/18)}) или для
- 28 2 • 2 82
действующих значений тока и напряжения: р————X
100
X % [cosn/6—cos(1225/-|-13n/18)]=19,8cosn/6— 19,8 cos (1225/4-
4-13л/18).
Мощности цепи:
активная Р= 19,8cosn/6 = 19,8-^-= 17,1 Вт; реактивная:
Q = 19,8sinn/6 = 19,8-^-= 9,9 вар; полная: S = UI — 19,8 В*А.
3.31. Определить показания ваттметра W в электрической
цепи переменного тока (рис. 3.31) при замкнутом и разомкнутом
выключателе В. Напряжение источника питания U — 100 В, ак-
тивное и реактивное сопротивления: R = XL = Хс=Ь Ом.
Решение. Полное сопротивление электрической цепи, при
разомкнутом выключателе В: Zp- = R2+{XL—XC)2 = R2=
= V^7— 5 Ом, так как XL = Хс, в цепи имеет место резонанс
напряжений.
Ток в цепи при разомкнутом выключателе: / = -У- = -122. =
Zp 5
= 20 А. Показания ваттметра при разомкнутом выключателе:
Р = RI2 = 5-202 = 2000 Вт = 2 кВт. Полное сопротивление цепи
при замкнутом выключателе: Z3 = -y/R2+Xl = т/52 + 5* —
= &т/2 Ом^ Ток в цепи при замкнутом выключателе: I = U/Z3 =
— 100/5V2 = 14,2 А. Показания ваттметра при замкнутом вы-
ключателе: Р = RI2 — 5-14,22 = 1000 Вт = 1 кВт.
3.32. При дугойой электросварке на переменном токе дуга
развивает мощность Рд = 600 Вт при потребляемом токе / = 20 А
(рис. 3.32, а). Напряжение источника питания U— 120 В, час-
тота тока f = 50 Гц. Для уменьшения напряжения дуги включена
катушка индуктивности, активное сопротивление которой R* =
= 1 Ом. Найти индуктивность L катушки, величину активного R
сопротивления, которое могло бы эту катушку заменить, коэф-
фициент мощности cos<p, а также КПД ц установки при наличии
активного сопротивления, заменяющего катушку. Построить век-
торную диаграмму тока и напряжений.
Решение. Сопротивление электрической дуги: R.=:P./I2 =
= 600/202=1,5 Ом.
Рис. 3.31 Рис. 3.32
101
Активная мощность электрической цепи: Р=РЛ+12РК =
= 600 + 202-1 = 1000 Вт; коэффициент мощности: cos<p=P//l/=
= 1000/(20-120)=0,417; полное сопротивление: 7. = V/l=
— 120/20 = 6 Ом; индуктивное сопротивление: Xl = Хк =
= -(/?«+/?/ = V62-(l + 1.5)2 = 5,46 Ом.
Индуктивность катушки: L»=^ = ^-= g./’iT-SO'^ Гн =
= 17,3 мГн. Напряжение дуги: 1/д = ///?д=20/1,5=30 В.
Значение эквивалентного активного сопротивления, заменяю-
„ _ U—U. 120 — 30
щего катушку: —_л.==———=4,5 Ом.
КПД установки при наличии катушки: х\ = Рл/Р= 600/1000=
= 0,6 (при cosq>= 0,417); то же, установки при наличии эквива-
лентного активного сопротивления: и =—____—_____=
_ 1000 600 ” ^д+^О^+Лц)
600+201(4,5+1)~2800~°’215 ^°РИ 008V~ D-
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки:
URk = RJ = 1 -20=20 В; на индуктивном сопротивлении катушки:
(/г, ==X«/= 5,46*20= 109,2 В; на всей катушке: L4=^/L7^+ U^=
=Л/202 +109,22= 111 В. ___ _____
Напряжение источника питания: U=Vt/2+l/2= V11 ^Н-ЗО4—
= 120 В. Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на
рис. 3.32, б.
3.33. Для неразветвленной электрической цепи переменного
тока с катушкой индуктивности L и конденсатором С определить
частоту {, ток I в цепи, напряжения на зажимах индуктивности UL
и на зажимах конденсатора Uc при резонансе напряжений. Рас-
считать эти же значения при частоте f', равной 0,8 от резонанс-
ной f, построить векторную диаграмму тока 1 и напряжений: 1/,;
UL; Uc; U при этой частоте, если индуктивность катушки L=
= 1,5 Гн,; емкость конденсатора С=42 мкФ, активное сопротивле-
ние катушки /?=50Ом, напряжение, действующее в цепи, U=
= 100 В.
Решение. Резонансная частота цепи: f —----------—=
2л^ТС
=-------. 1 у =0,1595~\П£- = 20 Гц,
2-3,14-/1,5-42-10-’ * 63
При резонансе ток в цепи: I = U/R — 100/50 = 2 А.
Напряжение иа зажимах катушки при резонансе: U» =
= Z-/ = I I Jr2+(wL)= 2 5/502+(6,28-20-1,5)2 =
= 2-y502+ 189z=2-195,3= 390 В, то же, активная составляющая
напряжения: t/a, = /?/=50-2= 100 В, реактивная составляющая
напряжения: UL = XLl=\i>Ll=6,28-20-1,5-2=378 В; напряжение
на конденсаторе: Ur = 1 ‘ = 2-----!---— 35 378 В.
к с ч>С 6,28-42-Ю"6
Согласно условию значение пониженной частоты: f' = 0,8f=
= 0,8-20= 16 Гц.
102
При пониженной частоте: реактивное сопро-
тивление катушки индуктивности: Xl = &'L —
= 2nf'L — &,28-16-1,5= 150,72 Ом; реактивное
сопротивление конденсатора: Хс=1/оЛ? =
1 Ю6' 00-7 ГЛ
6,28-16-42-10~6 — 4220 ^37 Ом, полное со-
противление катушки индуктивности: Zi =
= = (150,72/= 162 Ом; пол-
ное сопротивление цепи:
Z'=~\/ /?2+
—у = -/502 + (150,72—237/ = 100. Ом; ток
и*
в цепи: /= t//Z'= 100/100= 1 А; напряжение нис
на катушке: l/K = Zi/= 162-1 = 162 В; напряжение на конденса-
торе: UC = XJ=237 • 1 = 237 В; полная мощность цепи: S=UI=
= 100-1=100 В-А; активная мощность цепи: P = RJ2=3Q-l2 —
= 50 Вт; реактивная мощность цепи: Q = -/S2—Р2 = V1002—502 =
f=-/7500 = 87 вар; коэффициент мощности установки: cos<p=
= P/S = 50/100 = 0,5.
Векторная диаграмма для рассматриваемой неразветвленной
цепи R, L ц С при частоте f= 16 Гц приведена на рис. 3.33.
3.34. Катушка индуктивности L и конденсатор с емкостью С
включены последовательно в сеть переменного тока .с частотой
^=50Гц (рис. 3.34, а). Для определения параметров цепи нако-
Рис. 3.34
103
ротко замкнули катушку проводником и сияли показания при-
боров. Затем проводник, закорачивающий катушку, отсоеди-
нили, закоротили им конденсатор н сняли показания приборов,
далее при отсутствии закорачивающего проводника, изменяя
значение емкости конденсатора, сняли показания приборов до
и после резонанса н при резонансе напряжений (табл. 3.4).
Определить параметры катушки индуктивности и конденса-
тора, построить векторную диаграмму тока I и напряжений U
для резонанса напряжений, а также зависимости изменения тока I,
коэффициента мощности цепи cos<p и cosqv катушки, напряже-
ния на катушке UK, напряжения на конденсаторе Uc и полного
сопротивления цепи Z от емкостного сопротивления Хс конден-
сатора, т. е. /, cos<p, coscpk, UK, Uc, Z(XC).
Решение. Полное сопротивление цепи при закороченной
катушке индуктивности (1/к = 0, по данным табл. 3.4): Z=UЦ=
= 50/2=25 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Л^ = -^- = -у- =
=25 Ом; емкость конденсатора: С=—.1 „и =0,000127 Ф=
г (йлс 014*20
= 127 мкФ.
Полное сопротивление цепи при закороченном конденсаторе
(f/c = 0, по данным табл. 3.4): Z= 1///=48/0,8=60 Ом.
Сопротивления катушки индуктивности: полное ZK= UJI—
= 48/0,8=60 Ом; активное /?к = Р//2 = 8,35/0,82= 13 Ом; индук-
тивное Xk = -\/Zk —/?2= -\/б04— 134 = 59,5 Ом.
Индуктивность катушки: L=XK/<o=59,5/314 = 0,185 Гн.
Коэффициент мощности катушки: cos<pK = /?K/ZK = 13/60=
= 0,217.
Полное сопротивление цепи при наличии конденсатора с изме-
ненной емкостью С и катушкой индуктивности (см. табл. 3.4):
Z = U/I=26/0,5 = 52 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хс = UJI= 55/0,5—
104
= НООм. Емкость конденсатора: С——-—= , —29 мкФ.
<олс 314*110
Полное сопротивление катушки индуктивности: ZK — Ug/1 —
= 30/0,5 = 60 Ом.
Сопротивления катушки индуктивности: активное /?к = />//2=
= 3/0,52 = 12 Ом; индуктивное Хк = т/Z* — /?« = -/602 — 122 =
= 59 Ом.
Индуктивность катушки: LK = XK/<o = 59/314 = 0,19 Гн.
Коэффициенты мощности: катушки cos<pK= /?«/ZK= 12/60 =
= 0,2; цепи cos<p=/?«/Z= 12/52 = 0,23.
Полные сопротивления цепи при резонансе Z— (///=30/2,16=
= 13,9 Ом, катушки ZK = UJI= 130/2,16=60,2 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хг = Uc/I=
= 125/2,16 = 58 Ом. Емкость конденсатора: С=1/(<оХс) =
= 1/(314-58) = 54,7 мкФ. Активное сопротивление катушкн: RK —
= />//2 = 65/2,16 = 13,9 Ом. Индуктивное сопротивление катуш-
кн: XK = -\/Z2—/?2 = -\/б0,22 — 13,9й = 58 Ом нли XL = XC (точка
резонанса).
Индуктивность катушкн: /, = -^-=-~^-=* 0,19 Гн.
Падение напряжения на индуктивном сопротивлении: UL —
=^/=58-2,16=125 В, т. е. UL=UC-
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки
UR= RJ= 13,9 -2,16 = 30 В.
цепи cos<p=-^-=4|^5-= 1.
Z 3,9 Я, 13,9
Коэффициент мощности цепи cos ср = —=—= *
Следует заметить, что некоторый разброс полученных рас-
четных данных обусловлен погрешностью эксперимента.
Векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе пред-
ставлена на рнс. 3.34, б, а резонансные кривые на рнс. 3.34, в.
105
3.35. Вольтметр V, включенный в схему рис. 3.35, а, показы-
вает напряжение U ~ 50 В. Определить показания всех других
приборов, если сопротивления: R = 3 Ом; Хс = 4 Ом; Хс = 8 Ом.
Каковы будут показания амперметра А и вольтметров Ук н Ус,
если индуктивные сопротивления катушки конденсатора приоб-
ретут значения Х^=1004 0м н Х£=1008 0м. Построить вектор-
ную диаграмму тока I и напряжений: UR, UK и Uc.
Р е ш е н л е. Полное сопротивление катушки индуктивности:
Zk= -y/R2 + Xl= -\/32 + 42 = 5 Ом. Полное сопротивление цепи:
Z = -^R2 + (Хс - Хс)2= V32 + (4 - 8)2 = 5 Ом. Показание
амперметра А (ток в цепи): / = (7/Z = 50/5 = 10 А. По-
казания вольтметра Uc (напряжение на конденсаторе):
Uc = l>Xc= 10-8=80 В. Показание вольтметра (Л (напря-
жение на катушке индуктивности): (/K = ZK/=50-10 = 50 В. Пол-
ное сопротивление катушки сх индуктивным сопротивлением X'L =
= 1004 Ом: Z;=^/R2 + (X'l)2 = V3i+10042 = 1005 Ом.
При индуктивном X'L и емкостном Х’с сопротивлениях: полное
сопротивление Z' = д/#2 + (А/ — 3Q.)2 = л/З2 + (1004 — 1008)2 =
= 5 Ом, ток в цепи I— U/Z' — 50/5=10 А, показание вольтметра
конденсатора UC — X'CI= 1008-10= 10 080 В, показание вольтмет-
ра катушкн t/K = Z„7= 1005-10= 10050 В. Векторная диаграмма
напряжений U_, (7Л, (7Г, U, н тока / для рассматриваемой цепи
приведена на рис. 3.35, б.
Задачи
3.36. В сеть переменного тока с напряжением (/ = 220 В прн
частоте / = 50Гц включен, потребитель электроэнергии с сопро-
тивлением /?=88 0м. Определить действующее I н амплитудное
1т значения тока, а также активную мощность.Р цепи. Записать
выражения для мгновенных значений напряжения и и тока t,
если начальная фаза напряжения фи=у. Построить векторную
Н временную диаграммы. Ответ. /=2,5А; Л, = 3,52 А; Р=0,55кВт; « =
= 311 sin (ш/ + у ); 1 = 3,52 (<>'+у )•
3.37. Определить индуктивное сопротивление XL катушкн
с индуктивностью Ь = 0,4мГн, включенной в цепь переменного
TOKa С ЧаСТОТОЙ /=50 Гц. Ответ. Xt=0,1256OM.
3.38. Определить реактивное сопротивление Хс конденсатора
с емкостью С=2 мкФ, включенного в цепь переменного тока,
при частоте питающего напряжения /=25Гц. Ответ. 3200 Ом.
3.39. Построить график зависимости реактивного сопротив-
ления конденсатора Хс с емкостью С=2мкФ, включенного в
цепь переменного тока, от частоты f переменного тока в пределах
ОТ 0 ДО f= 100 Гц. Без ответа.
3.40. Для однофазной неразветвленной электрической цепи
переменного тока определить падение напряжения &U с на индук-
тивном сопротивлении Хс, напряжение U, приложенное в цепи,
106
активную Р, реактивную Q и полную S мощности и коэффи-
циент мощности cos<p цепи, если активное и реактивное сопро-
тивления R = Xl=3 Ом, а падение напряжения на активном
сопротивлении Л(Лг = 60 В. Ответ. WL=60 В; 17=84,6 В; Р=1,2 кВт;
Q— 1,2 квар; S= 1,692 кВ-A; cos<p = 0,71.
3.41. В неразветвленную электрическую цепь переменного
тока с напряжением U— НОВ при частоте / = 50Гц включена
катушка с индуктивностью L = 9 мГн и активным сопротивлением
/?=4Ом. Определить индуктивное сопротивление XL катушки,
Рис. 3.43
падение напряжения на сопротивлениях AUr и AUl, активную
h и реактивную Iv составляющие тока /, а также энергию W,
потребляемую цепью за время /=50 С. Ответ: X,—3 Ом; Л//„=88 В;
ьи 1=66 В; /а=17,6 А; /р= 13,2 А; Г=26 Вт.
3.42. Приборы, включенные в электрическую цепь перемен-
ного тока (рис. 3.42), показывают: ток 1=5 А, напряжение
(/=120 В, мощность Р=512Вт,. Определить величину сопротив-
лений /?| и Xl, найти падение напряжения AUI2 и сдвиг фаз <р
между током и напряжением на участке 1—2 цепи, если R2=
= 11 Ом. Построить векторную диаграмму напряжений. Ответ.
Ом; Xi=25 Ом; Л17|2=78 Ом; <j>i2=35°15'.
3.43. К однофазной сети переменного тока с активным и реак-
тивным сопротивлениями линии: /?, = ! Ом и Хл = 2Ом присоеди-
нен потребитель электроэнергии с номинальными значениями
мощности Р1ИОМ= 100 кВт, коэффициента мощности cosq^on = 0,8
и напряжения £71ж>м= 1000 В (рис. 3.43). Определить ток I в ли-
нии, активное R„, индуктивное XLu полное Z„ сопротивления по-
требителя, а также напряжение U в начале линии. Ответ. /=125 А;
/?„=6,4Ом; Х,.= 4,8Ом; Z„ = 0,8Om; (7= 1250 В.
3.44. В неразветвленную электрическую цепь переменного
тока включены резистор R и конденсатор С. Определить полное
сопротивление Z цепи, приложенное к ней напряжение U, а также
напряжения на резисторе UR и конденсаторе Uc, построить век-
торную диаграмму напряжений н тока и треугольник сопротив-
лений, если известно, что мгновенное значение приложенного
к цепи напряжения ui= 141 sinw/В, величины активного и
емкостного сопротивлений: /?=ЗОм; Хс = 4Ом. Ответ. /=20А;
77= 100 В; Z = 5 Ом; Ur = 60 В; Uc = 80 В.
3.45 В неразветвленную электрическую цепь переменного
107
тока с сопротивлениями /? = ЗОм и Хс = 4Ом включен ватт-
метр, показание которого Р= 1,2 кВт. Определить ток /, полное
сопротивление цепи Z, коэффициент мощности cos<p и приложен-
ное к цепи напряжение U, построить векторную диаграмму тока
н напряжения. Нарисовать схему электрической цепн. Ответ.
/=20A;Z = 5Om; cos<₽ = 0,6; (7=100 В.
3.46. Определить полное сопротивление Z, ток / и питающее
напряжение U, построить векторную диаграмму напряжений и
треугольники сопротивлений н мощности для неразветвленной
электрической цепи переменного тока с активным и реактивными
сопротивлениями /?=Ю0м; Х;=25Ом; Хс=15 0м, если мгно-
венное значение приложенного к цепи напряжения u = 310sin<o/,
В. Ответ. Z= 14,1 Ом; /=15,5 А; (7 = 220 В.
3.47. Для неразветвленной электрической цепи переменного
тока, содержащей активное и реактивное сопротивления R —
= 4 Ом; Хс=15 0м; Х£=12Ом, определить полное сопротивле-
ние цепн Z и ток /, если приложенное к цепи напряжение U=
= 110 В. Построить векторную диаграмму напряжений и тока.
Ответ. Z = 5Om; I — 22 А.
3.48. В электрическую цепь переменного тока включены по-
следовательно катушка с индуктивностью L— 158 мГн и актив-
ным сопротивлением /?| = 8Ом, конденсатор с емкостью С=
= 64,5 мкФ и резистор с сопротивлением /?2 = ЗОм. Можно ли
включить такую цепь под напряжение t/ = 66B при частоте
^=50Гц, если номинальное напряжение катушкн (/„ОМ=120В?
Построить векторную диаграмму тока и напряжений. Ответ. и,—
= 300 В. Нельзя включать, так как при этом UK>Uты.
3.49. Определить ток /, напряжение U, активную Р, реактив-
ную Q и полную S мощности неразветвленной электрической
цепн переменного тока, содержащей активное и реактивные
сопротивления: /?=4Ом; Хд=7Ом и Хс=ЮОм. Мгновенное
значение приложенного напряжения « = 310sin<o/, В. Построить
треугольник мощностей. Ответ. /=44А; (7= 220 В; />=7,75 кВт; Q =
= 5,8квар, S = 9,68 кВ-А.
3.50. В условиях задачи 3.49 определить частоту /о, при кото-
рой наступит в цепи резонанс напряжений, ток /о, а также пол-
ную МОЩНОСТЬ So цепи при резонансе. Ответ. ^о = 6ОГц; /(, = 55 А;
So = 12,1 кВ-A.
3.51. В сеть переменного тока включены последовательно ка-
тушка с активным сопротивлением
/?=10Ом н индуктивностью L =
= 133 мГн н конденсатор с емко-
стью С = 159 мФ. Определить ток /
в цепи и напряжения на катушке
UK и конденсаторе Uc прн напря-
жении питающей сети U= 120 В,
построить векторную диаграмму
тока и напряжений. Ответ. / = 5А;
(/„=215 В; (7С= 100 В.
3.52. Определить ток в нераз-
108
ветвленной электрической цепи пере-
менного тока, содержащей активное
и реактивные сопротивления: /? =
= 1 Ом; Хс = 5 Ом; Л7 = 80 Ом, а
также частоту /о, прн которой насту-
пает резонанс напряжений, ток /0,
напряжение на конденсаторе Uc и
индуктивности Ul при резонансе,
если напряжение питающей сети
U = 300 В при частоте f = 50 Гц. Ответ.
1 = 3,9 А; /0= 12,5 Гц; /» = 300 A; Uc=
= (7,=-6000 В.
3.53. В электрической цепи переменного тока, приведенной
на рис. 3.53, показание вольтметра U = 200 В, активные н реак-
тивные сопротивления цепи: R, — R2— 10 Ом; Xl = Xc = 2QOm.
Определить показания вольтметров Vi и V2, амперметра А и
ваттметра W. Ответ: U, = U,= 200 В; /=10А; Р = 2000 Вт.
Контрольное задание
3.54. В электрической цепи переменного тока имеет место резонанс напря-
жений (рис. 3.54) при частоте питающего тока f. Используя данные, приведен-
ные в табл. 3.5 для соответствующего варианта задания, определить показание
вольтметра V, на зажимах катушки индуктивности, активное /?„ и индуктивное
Хк сопротивления катушки, показание ваттметра W, реактивную мощность Q*
катушки индуктивности, емкость С конденсатора, индуктивность £к и коэффи-
циент мощности cos<₽„ катушки. Построить векторную диаграмму тока / и на-
пряжений в цепи. Показания вольтметра Vc, включенного на зажимы конден-
сатора Uc, напряжение U, приложенное к цепи, и показание амперметра А
приведены В табл. 3.5.
Таблица 3.5
Вели- чины Варианты контрольного заданна 3.54
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
и, в 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Uc, В 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88
/, А 2 4 7 8 9 10 11 12 13 14 10 8 17 9 19
Продолжение табл. 3.5
Вели- чины Варианты контрольного задания 3.54
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и, В 48 •42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
и С, в 90 92 94 96 98 100 102 .104 106 108 НО 112 114 116 118
/, А 20 7 11 23 6 10 13 27 28 29 10 31 16 11 17
109
Таблица 3.6
Варианты 1—3 4—6 7-9 10-12 13-15 16—18 19—21 22-24 25-27 28—30
Л Гц 25 50 60 75 100 125 150 175 200 250
Дополнительное задание, а. Определить емкость С конденсатора, соответ-
ствующую условиям резонанса напряжений, приняв величину реактивного индук-
тивного сопротивления Xl, определенную в условиях основного задания, неиз-
менной, если частота f питающего напряжения для соответствующего варианта
изменилась (указана в табл. 3.6).
б. По п. а определить индуктивность катушки при неизменном емкостном
сопротивлении Хс в условиях резонанса напряжений.
в. По п. а и б определить все величины, соответствующие резонансу напря-
жений в цепи.
Построить векторную диаграмму тока и напряжений при резонансе напряже-
ний, треугольники сопротивлений и проводимостей катушки индуктивности.
Примечание. В вариантах 31—60 ток / увеличить в 2 раза, в вариан-
тах 61—90 напряжение Uc на конденсаторе уменьшить в 2 раза.
| 3.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОФАЗНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ И СМЕШАННЫМ
СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ
Во многих случаях приходится встречаться с расчётом слож-
ных электрических цепей синусоидального тока, которые в общем
случае являются цепями со смешанным соединением сопротив-
лений (рис. 3.4.1). Эти электрические цепи могут быть разделены
на участки с последовательным и участки с параллельным соеди-
нением сопротивлений.
Прн параллельном соединении сопротивлений (участок 1—2,
рис. 3.4.1) параллельные ветви электрической цепи находятся
под одним и тем же напряжением U\ =U 12, поэтому для каждой
из этих ветвей определение всех расчетных величин производится
по формулам, справедливым для отдельных сопротивлений
электрических цепей с последовательным соединением сопротив-
лений. Для участка цепи с параллельным .соединением сопротив-
лений ток на разветвленном участке определяется в соответствии
Рис. 3.4.2
с первым законом Кирхгофа, записанным для узла разветвления
в векторной форме: I = I, Ь + h- Этот ток можно определить
графически с помощью векторной диаграммы как сумму состав-
ляющих векторов токов, а также с помощью комплексных чисел,
так как комплексный ток / = /1 Ч~ /2 -|- /з, т. е. равен сумме комп-
лексных составляющих токов.
Токи в отдельных ветвях электрической цепи могут быть опре-
делены через комплексные сопротивления или комплексные
проводимости соответствующих ветвей: /,.== (У,/Zi = Ui(l/Zt) =
— Ц/Уг, /2 = GI/Z2 = GI(1/Z2) = U,Y2; /3 = UI/Z3 = UIY3, где в
общем случае Z±=/?| ±/%i; Z2 = Rz± jX2', Z3 = R3± jX3.
При этом ток в неразветвленной части цепи равен произведе-
нию напряжения U\ на параллельном участке цепн на сумму
комплексных проводимостей параллельно включенных сопротив-
лений /1 = (У|( У, + Уг + Уз). Сопротивления отдельных ветвей
могут носить активно-реактивный характер при наличии индук-
тивных XL н емкостных Хс сопротивлений, поэтому в общем
случае комплексные сопротивления могут быть определены через
активные G и реактивные В проводимости: У| = Gi ±/В|; У2 —
= G2±jB2-, У3 — G3±jB3. Модули полных проводимостей ветвей:
у. = VgT+bF; Y2 = Vol+в!; = лМ+вГ
С учетом этого полная проводимость участка электрической
цепн с параллельным соединением сопротивлений: У = У, + Уг +
+ Уз = (G| -|- G2 -|- G3) dz j(Bt -|-В2 + В3) = ^GK-±j 2 Вк, где В| =
»= 1 /i=i
= (Вм—BC|); B2 — (Bl2 — Вег); B3 = (Bi3—Вс3)', S В< — f S В/.к —
к-1 '*=1
- 2 а,.).
При этом активные и реактивные проводимости: =
4,1
G2 = -g-; G3 и В, = Вг = В3 =
Прн параллельном соединении индуктивного н емкостного
сопротивлений (рис. 3.4.2) в электрической цепи возможен резо-
нанс токов (особое состояние электрической цепи, в простейшем
случае при параллельном соединении индуктивности L и емко-
сти С, прн котором реактивная индуктивная проводимость равна
реактивной емкостной проводимости, т. е. BL = Вс).
Полная проводимость электрической цепи при резонансе то-
ков У = VG2 + (Bi-Bc)2= G оказывается минимальной, равной
активной проводимости цепн.
Векторная диаграмма токов н напряжения при резонансе
токов приведена на рис. 3.4.3. Коэффициент мощности в электри-
ческой цепн cos<р = G/Y = G/G — 1 принимает максимальное
значение, а угол сдвига фаз между током н напряжением <р = О,
111
Рис. 3.4.3
поэтому при резонансе токов напряжение U и общий ток / сов-
падают по фазе (’?,=’?.).
При наличии в цепи идеальной катушки индуктивности с
активным сопротивлением RK — 0 при резонансе энергия из
питающей сети не потребляется.
Реактивная мощность цепи: Q—QL — Qc~U2BL — U2Bc —
= U\BL-BC) = O.
При смешанном соединении сопротивлений (см. рис. 3.4.1)
электрическая цепь при расчете приводится к виду рис. 3.4.4.
Полное сопротивление Z12 участка цепи 1—2 может быть опре-
делено через ее полную проводимость Z12—1/^12- При этом
расчет электрической цепи со смешанным соединением сопротив-
лений сводится к расчету простейшей электрической цепи с по-
следовательным соединением сопротивлений.
Если при последовательном соединении сопротивлений век-
торная диаграмма строится начиная с комплексного тока /,
который является общим для всех сопротивлений, то при па-
раллельном и смешанном соединении сопротивлений векторную
диаграмму строят, начиная с вектора напряжения t7„ на парал-
лельном участке электрической цепи.
Литература. [1] §2.13—2.15; [2] §2.17—2.19; [3] §2.8—2.11.
Примеры решения задач
3.55. Определить полное Z, активное R, реактивное X сопро-
тивления, коэффициент мощности cos <р, индуктивность L и пол-
ную мощность S катушки магнитного пускателя и потери мощ-
ности Ря иа перемагничивание его сердечника, если при напряже-
нии U = 220 В ток катушки / = 3 А, потребляемая катушкой
мощность Р = 36 Вт, активное сопротивление провода катушки
Ri = 3,2 Ом.
112
Решение. Полная
мощность катушки: S =
= +/ = 220-3 = 660 В-A.
Сопротивления
полное: Z = U// =
= 220/3 = 73,5 Ом; актив-
ное: R = Р/Г2 = 36/32 =
= 4 Ом; индуктивное:У£ =
= = V73,52^¥=
= ^5390 —76 = 73 Ом. Ин-
дуктивность: L=XLj2nf=
= 73/(2 • 3,14 • 50)=73/314 = 0,232 Гн. Коэффициент мощности:
cos <p=P/S = 36/660 = 0,0545.
Электрические потери мощности в проводе катушки: Р3 —
= /2Т?! = З2 • 3,2 = 9 • 3,2 = 28,8 Вт.
Потери мощности на перемагничивание сердечника (магнит-
ные потери мощности): Р„ = Р — Р, = 36 — 28,8= 7,2 Вт.
3.56. В сеть переменного тока параллельно катушке индук-
тивности включены конденсатор и резистор /?ь соединенные между
собой последовательно (рис. 3.56, а). Определить ток Г в ветви
конденсатора, ток /2 в ветви катушки и общий ток в цепи /,
построить векторную диаграмму напряжений и токов, если на-
пряжение источника питания U_= U = 200 В, а активные и реак-
тивные сопротивления: Rt = 3 Ом; /?2 = 8 Ом; У£)=4 Ом; XL2 =
= 6 Ом.
Решение. Полное сопротивление параллельных ветвей
цепи: Z^=Rt —JXLl=(3 — J 4) Ом; _Z2=A2+/T£2=(8+J6) Ом.
Проводимости параллельных ветвей: У i = ^- = -—- =
5 J**
=й=йЙ%>=<»-|2+№|6>
= ^^-=(0,08-/0,06) См, где = <71/В. и У^ = Gi+jBf,
6’] = 0,12; G2 = 0,08; Bt = 0,16; В2 = 0,06 — активные и реактив-
ные проводимости ветвей, См.
Полная проводимость цепи: У = У1 4- У2 = 0,12 + /0.16+
+ 0,08 — /0,06 = (0,2 + /0,1) См, где Y_—G + jB; G, В—активная
и реактивная проводимости цепи, См.
Комплексный ток в неразветвленной части цепи: / = UY —
= 200(0,2 + /0,1) = (40 + /20); G = 0,2 См; В =0,1 См. Ток в це-
пи: / = т/402 + 202 = 45 А.
Угол сдвига между общим током и напряжением: ,g<p =
= B/G = 0,1 /0,2 = 0,5; <р = 26°33'.
Комплексный ток в ветви конденсатора: h = UYt — 200(0,12+
+ /0,16) = (24 +/32) А. Ток ветви конденсатора h = д/242 + 322=
= 40 А. Угол сдвига между напряжением и током в ветви с кон-
денсатором: tg гр, = B\/G\ = 0,16/0,12 = 1,33; cpi = 53°5' (угол
нз
отрицательный). Комплексный ток в ветви катушки индуктив-
ности: /? = =200(0,08 — 0,06) = (16 — /12) А, где G2=
= 0,08 См — активная проводимость и В2 = 0,06 См — реактив-
ная проводимость ветви с катушкой. Ток в ветви катушки: /2 =
= л/162 + 122 = 20 А.
Угол сдвига фаз между током и напряжением в ветви катуш-
ки: tg <р2 = B2/G2 = 0,06/0,08 = 0,75; <р2 = 36°55'.
Проверка: [== h_+U-= 24 +/32+ 16-/12 = (40 +/20) А.
На рис. 3.56, б приведена векторная диаграмма напряжений
и токов для рассматриваемой цепи.
3.57. В условиях задачи 3.56 определить напряжение G34
между точками 3 и / электрической цепи рис. 3,56, а, угол между
вектором приложенного напряжения U и вектором напряжения
Цы. Построить топографическую диаграмму и определить графи-
чески напряжение ,(7з4, а также это напряжение, если вместо
индуктивного сопротивления XL2 в цепь включено емкостное со-
противление Хс.
Решение. Комплексное напряжение U34 определяют из
уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для верх-
него замкнутого контура цепи: 7?i/| — U34 — R212 — 0 или 3(24 +
+ /32) —17з4 — 8(16-/12) = 0, откуда'йм = (—56 + /192) В. На-
пряжение между точками 3 и 4 'цепи: (734 = 7562 + 1922 = 200 В.
Комплексные падения напряжения и напряжения на резисто-
рах R\ и Л*2: Ut = Rt[t_= 3(24 + /32) = (72 + /96) В, откуда U। =
= д/722 + 962 = 12Q В; U2 = R2h_= 8( 16 — /12) = (128-/96) В,
откуда U2 = -\/128 +962 = 160 В.
Комплексы напряжений на конденсаторах: JJ3 = —jX\[x =
= -14(24 +/32) = (128 -/96) В. откуда (Лз = 71282 + 962 =
= 160 В; U$=-jXL2Ir=-76 (16 —712)=(—96+/72) В, откуда
U, = 796^ + 722 = 120 В.
Уравнение комплексных напряжений, составленное по второму
Рис. 3.58
114
закону Кирхгофа: U_= Uz + U* или U = Ui U3 — [(72 +
+ /96) + (128 — /96)] В, откуда U = V200* = 200 В.
На рис. 3.57 приведена топографическая диаграмма напряже-
ний для рассматриваемой электрической цепи.
_too
Аргумент комплексного напряжения Um: tg<₽34~—— =
= —3,43, откуда угол фз4 = —73°45'.
Угол между приложенным напряжением U и напряжением U34'
поскольку вектор U направлен по вещественной оси, <р= 180’^-
-<рз4= 180° —73°45'= 106°15', так как tg(180-a)= — tga.
Из приведенной топографической диаграммы имеем: и'ы — 60 В.
3.58. В электрическую сеть переменного тока включена катуш-
ка индуктивности с активным R и индуктивным XL сопротивления-
ми, параллельно которой для повышения коэффициента мощности
cos <р включен конденсатор с емкостью С (рис. 3.58). Определить
показания вольтметра V, амперметра А и ваттметра W, включен-
ных в цепь, если до включения выключателя В коэффициент мощ-
ности установки cos ф] = 0,6, а после его включения cos фг = 0,92.
Емкость конденсатора, необходимая для улучшения коэффициента
мощности в указанных пределах, С = 200 мкФ (реактивная мощ-
ность конденсатора Qc = 3,2 квар).
Решение. Так как емкость конденсатора С = то по-
казание вольтметра, включенного в цепь: U =~\/
= у зи 260 = 22® В’ Реактивная мощность конденсатора: Qc =
= P(tg<pi — tg фг), откуда активная мощность катушки (показание
ваттметра): Р = -— 2s_—= =3200 Вт=
r tgq>i—tg фг sin <pi sin фа 0,8 0,317
cos <pi cos q>2 0,6 - 0,92
= 3,2 кВт, где sin <pi = 0,8; sin фг = 0,317. Ток в цепи до включения
выключателя: 1\=-гг^—= = 24,3 А. Ток в цепи после
l/cos <р> 220-0,6
включения выключателя: Л = Л с—= 24,3-^- = 15,8 А.
cos ч>2 0,92
Активная составляющая общего тока / остается неизменной
до и после замыкания выключателя,
= 1\ cos фг-
3.59. В электрической цепи синусои-
дального тока с напряжением питания
{/=100 В (рис. 3.59) возможны два
соединения элементов: последователь-
ное соединение резистора R с конден-
сатором С, обладающим емкостным
сопротивлением Хс (сплошные линии),
и рараллельное соединение резистора
/?' с конденсатором С', обладающим
поэтому: /, = 11 cos <pi =
/'
o
ri
Il
П*' I
Т Л'Т
4--------
Рис. 3.59
_____________I
и
о
r
115
емкостным сопротивлением 2% /пунктирная линия). Определить
токи / и Г для каждой из цепей и соотношение Ki между этими
токами, если сопротивления: /? = /?' = ЗОм; Хс — Хс=4Ом.
Решение. Полное сопротивление последовательной цепи
(сплошные линии): Z — -\/R2 + Xc = -у/З2 + 42 = 5 Ом. Ток в после-
довательной цепи: 1— U/Z = 100/5 = 20 А. Активная проводи-
мость первой ветви при параллельном соединении (пунктирные
линии): G' = 1 /R' = 1 /3 См. Реактивная проводимость второй
ветви при параллельном соединении: Вс = 1 /Х'с — 1 /4 См.
Составляющие тока первой параллельной ветви:
активная Гл=1'к— UG'= 100-1/3 = 33,3 А,
реактивная Гр=Гс= UB’C= 100 1/4=25 А.
Ток в неразветвленной части параллельной цепи: /' =
= л/(/а)2 + (^)2 = д/33,32 + 252 = V1099 + 625 = 41,5 А. Соотноше-
ние между токами при параллельном и последовательном соедине-
нии сопротивлений: А, = Г// = 41,5/20 = 2,07.
3.60. В электрическую цепь переменного тока включены два
электродвигателя Д| и Д2 (рис. 3.60, а). Определить ток / в цепи и
общий коэффициент мощности cos <р, построить векторную диа-
грамму токов /|, /г, / и напряжения U, если электродвигатели
имеют номинальные данные: Р|„ом = 7,35 кВт; Ut„0„ = t/2„0M =
= 110 В; TjiH0M — 0,8; cos <piH0M = 0,75; Р2тм = 14,6 кВт; т)2ном = 0,85;
cos фгном = 0,9.
Решение. Мощность, потребляемая электродвигателями
при номинальной нагрузке: Рд) == Р|„Ом/Ц|ном =^^-= 9200 Вт;
Рд2 = Р2«ом /П2НОМ = 14^°3 = 17 318 Вт.
Номинальные токн электродвигателей: h = »О«Х
Xcos ф| н„м) = 9200/(110-0,75)= 111,52 А; /2„ом = Рдз/(1Л>„о>, X
X совфг „ом) = 17 318/( 110 • 0,9) = 174,85 А.
Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи приведена
на рис 3.60, б.
116
Общий ток в цепи находим исходя из векторной диаграммы:
I = ^ном 4" ^2ном 2/[hom^2homCOS (ф)ном ф?ном) ~л/(111Д22) 4“
4- (174,852) — 2 • 111,52 -174,85 • cos (41 °20' — 25°50') = 285 А. По
cos ф)иом = 0,75 и cos фг„ом = 0,9 находим соответствующие углы:
Ф1ном = 41°2Г и фгяом = 25°50'.
Рд| +
Общий коэффициент мощности цепи: cos фо =—г,—— =
_ 9200+ 17 318
110-285
= 0,845, откуда ф0 = 32°20'. Аналогичный резуль-
тат получается, если cos фо определить через токи: cos фо =
71H04COS <р | ном+ 72komCOS ф2иом
7
=(111,52-0,75 4- 174,18 • 0,9): 285 = 0,845.
3.61. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.61, а)
определить показания амперметров А, А)( А2, углы сдвига фаз
Ф, ф! и фз между соответствующими токами /, Л и /2 и напря-
жением U, построить векторную диаграмму токов и напряже-
ния, если питающее напряжение U = 120 В, а активные и реак-
тивные сопротивления цепи: /?, = 2 Ом; /?2 = 1 Ом; Xt = 6 Ом;
Хс = 9,95 Ом.
Рис. 3.61
Решение. Полные сопротивления ветвей цепи: Zi =
= д/j?? 4- Xl = д/22 4- 62 = 6,23 Ом; Z2 = 4- Xl = -/!*+
4* 9,952 = 10 Ом. Углы сдвига фаз между токами и напряжениями
Л, 2
соответствующих параллельных ветвей: совф| =‘б"з2 =
= 0,316; ф| = 71°35'; cos ф2 = 0,1; ф2 = —84°15'.
Показания амперметров А, и А2 в параллельных ветвях-
Л = 7//Z, = 120/6,32 = 19 А; /2 = U/Z2 = 120/10 = 12 А.
Активные составляющие токов в параллельных ветвях:
Л1 = /|соэф| = 19-0,316 = 6,01 А, /а2 = /2созф2 = 12-0,1 = 1,2 А.
117
Реактивные составляющие токов в параллельных ветвях:
/р( = /|Sin<pi = h — 19-^=-= 18,01 А; /р2 = /2sincp2 = /2^-=
Zl D,oZ Z2
= 12(9,95/10)=! 1,93 А.
Активные и реактивные составляющие общего тока: /а =
=/а! +/а2= 6,01 + 1,2=7,21 А; /р=/р, + /Р2= 18,01-11,93=
= 6,8 А.
Общий ток в цепи: / = =*= 12 + 6,082 = 9,43 А.
Угол сдвига фаз между током / и приложенным напряжением
_[/: costp = /а // = 7,21/9,43 = 0,765? <р = 40° 10'.
Векторная диаграмма токов и напряжения для данной элек-
трической цепи дана на рис. 3.61, б.
3.62. Задачу 3.61 решить методом проводимостей.
Решение. Значения величии полных сопротивлений Z<,
Z2, токов /], /2 и коэффициентов мощности costpi, cosq>2 определя-
ются методом, изложенным выше.
Активные и реактивные проводимости параллельных ветвей:
G= G, + G2=/?i/Z? + /?2/Z<= 2/6,322+ 1/102 = 0,06 См; В=
= В, +B2=Zt/Z? — Xc/Z2 = 6/6.322 = 9,95/102 = 0,05 См.
Полная проводимость всей цепи: Y = д/G2 + В2 = д/ 0,06 2 +
+0,052 = 0,0784 См. Общий ток в цепи: /=£7У=12ОХ
X 0,0784 = 9,4 А. Угол сдвига фаз между общим током / и прило-
женным напряжением U: costp = G/Y = 0,06/0,0724 = 0,765; <р =
= 40° 10'.
3.63. Задачу 3.61 решить графическим методом.
Решение. Значения величин полных сопротивлений, токов
и коэффициентов мощности Zi, Z2. /1, /2 costpi, costp2 определяют
методом, изложенным выше.
Общий ток определяют из векторной диаграммы напряжений
и токов для данной электрической цепи (рис. 3.61) исходя из
обобщенной теоремы Пифагора: / = д//2 + /2 — 2/|/2cos(<pi — <рг) =
=д/192 + 122 - 2 • 19 • 12cos(71°35' —(—84°15')) =
=д/361 + 144 — 456cos 155°50' = 9,43 А, так как cosl55°50' =
= cos (180° - 155°50') = cos24°10'= -0,912.
,, , . „ /|COS(p| 4- /2COS(p2
Коэффициент мощности всей цепи: cosq>=-----------------=
= [9-0-316+12-0.1 =0765. Угол сдвига фаз: <р=40°10'.
9,43
3.64. Определить резонансную частоту /о, полное сопротив-
ление Z и токи /, /1, /2, построить векторную диаграмму для ре-
118
a)
зонансной частоты в электрической цепи рис. 3.64, а. Индуктив-
ность катушки L =± 0,5 Гн, активное сопротивление резистора
R = 30 Ом, емкость конденсатора С — 50 мкФ, напряжение пи-
тающей сети U — 60 В. Определить те же величины при частотах
f, равных 0,5; 0,75; 1,25; 1,5 резонансной частоты f0, построить
графики зависимости токов и проводимостей от относительной
частоты переменного тока, т. е. /, /|, idJch Вг, У, (fo/f).
. — «2
Решение. Резонансная частота: fo=------~\/--------г- =
____________ ' 2л V LC L1
=_> p^Z^S=30,4 Гц.
2-3,14 V 0,5-50 0,52
Проводимости первой параллельной ветви: активная G, =
- JL = , * , 301 , = 0,003 См, где X, = 2nf0L =
Zf (V« + Xi)1 302 + 95,22 1 '
= 2-3,14-30,4-0,5 = 95,2Ом; реактивная В,= 95’2 =
н L Zi 302 + 95,22
= 0,00952 См.
Реактивная проводимость второй параллельной ветви: Вс =
= =_L_ = _!_ = 0,00952 См, где Хг =-!— =
Zi Х2с Хс 104,5 с ,0С
-Х..1=-------------*----5- = 104,5 Ом.
2л/0С 2-3.14-30.4-50-10~6
Полная Проводимость цепи: У = -/G? + (Bt — Вс)2 =
= -д/0,0032 + (0,00952 — 0.00952)2 — 0,003 См. Полное сопротив-
ление всей цепи: Z = = 334 Ом. Общий ток в цепи:
Y 0,003
/ = UY = 60 • 0,003 = 0,18 А.
119
Токи: в первой ветви Л = UY, = U—— = 60 — 1 —
у 302 + 95.2-
= 0,6 А, во второй ветви /2=/с= £/У2=60/Л<.- = 60/104,5 =
= 0,574 А.
Составляющие тока первой ветви: активная /а| = UG\ = I —
= 60 - 0,003 = 0,18 А; реактивная: lL= UBl=60 • 0,00952 = 0,574 А.
Реактивный ток второй ветви: 1с— UBc— 60- 0,00952 =
= 0,574 А. Векторная диаграмма при резонансе токов приведена
на рис. 3.64, б.
Определение указанных величин при других частотах произ-
водится так же, как это сделано выше для частоты f—Q,5f9=
= 0,5-30,4= 15,2 Гц.
Индуктивное сопротивление катушки: XL = 2nfL = 2-3,14х
XI 5,2-0,5 =47,6 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хс = -^-^
=--------'-----г = 209 Ом.
2-3.14-15,2-10-®
Активная проводимость первой параллельной ветви: G| =
= Я =_22_ = 0,0095 См, где Z? = /?2 + Л? = ЗО2 + 47,62 =
Z? 3132 i
= 3132 Ом; реактивная проводимость первой параллельной вет-
ви: BL=-^- = . ,.47'6 =0,0166 См.
L Z-; 302 + 47,62
Реактивная проводимость второй параллельной ветви: Вс =
= 3£.=_L=_L_ = 0,00475 См, где Хс=— =---------------!—j-, =
Z2, Хс 209 с шС 2 л/50-10е
= -2б9-См'
Полная проводимость цепи: У — -\/G2 -f- (В, — Вс)2 =
= д/0,00952 + (0,0166 — 0.00475)2 = 0,0107 См.
Общий ток в цепи: / = UY — 60-0,0107 = 0,64А.
Ток в первой параллельной ветви: Л = UY\ = U -±- =
Ток во второй параллельной ветви: /2 = /с= UY2 = 60/Zc=
= 60/209 = 0,287А.
Результаты расчетов сведены в табл. 3.7, по данным которой
иа рис. 3.64, в построены графики /, /(, /с, Bl, Вс, т- е-
зависимости токов и проводимостей данной электрической цепи
от относительной частоты переменного тока.
120
.—•«Lt/
Рис. 3.65
Таблица 3.7
Величины / = O,5fo = = 15,2 Гц /=O,75fo = = 22,8 Гц f= Чо = = 30,4 Гц f=l,25fo = = 38 Гц = 45,5 Г ц
XL, Ом 47,6 71,5 95,2 119,4 142,8
Хс, Ом 209 139,4 104,5 83,5 69,7
Gi, См 0,0095 0,005 0,003 0,00197 0,0014
BL, См 0,0166 0,0119 0,00952 0,00785 0,0067
Вс, См 0,00475 0,00718 0,00952 0,012 0,01436
Y, См 0,0107 0,00685 0,003 0,0047 0,0077
/, А 0,64 0,41 0,18 0,282 0,462
/1, А 1,04 0,784 0,6 0,487 0,41
1с, А 0,287 0,43 0,574 0,72 0,86
3.65. Разветвленная электрическая цепь однофазного тока,
питающаяся напряжением U— 124 В (рис. 3.65, а), состоит из
трех ветвей, соединенных параллельно, измерительных приборов
и выключателей Bi — Вз. Для определения параметров цепи
вначале: а) включили резистор R и произвели замер тока / и
мощности Р при отключенных катушке индуктивности L и кон-
денсаторе С. Затем произвели аналогичные замеры при включе-
нии только: б) катушки; в) конденсатора; г) резистора и ка-
тушки; д) резистора и конденсатора. После этих замеров:
е) включили катушку и конденсатор и, изменяя величину емкос-
ти С конденсаторов, записали показания приборов с таким расче-
том, чтобы получить токи до и после резонанса, а также при ре-
зонансе, который определялся по наименьшему общему току /
цепи (табл. 3.8).
Определить параметры катушки индуктивности и конденсато-
ра цепи, построить векторную диаграмму токов и напряжения
и кривые изменения тока /, общего коэффициента мощности
cos«p, полного сопротивления Z цепи в зависимости от емкости
С конденсатора.
Решение. По данным п. б)табл. 3.8, полное сопротивление
цепи; Z= [7/7=124/2,25 = 55,1 Ом (полное сопротивление катуш-
ки).
Сопротивление катушки:
активное RK = -^- = =11,1 Ом;
/1 2,25
индуктивное XL =z.^Zl — Rl = -\/55,12 — 11,12 = 54 Ом.
Коэффициент мощности катушки: cos^< = R^Z* = 11,1 /55,1 =
^0,2.
По данным п. г) табл. 3.8 полное сопротивление цепи:
Z — U/l = 124/2,75= 45 Ом. Активное сопротивление первой
ветви: /?= U/1, = 1,24/1,21 = 102 Ом.
Активная проводимость:
122
Таблица 3.8
Измерения Результаты вычислений
Пункты задания /. А /,, А 6, А Л, А р. Вт Z, Ом R, Ом Z*, Ом Лк, Ом Хь Ом Хс, Ом с, мкФ cos<pK costp
а) 1,21 1,21 0 0 150 102 102 — — — — — — —
б) 2,25 0 2,25 0. 56,2 55,1 — 55,1 11,1 54 — — 0,2 —
в) 0,98 0 0 0,98 0 126,3 — — — — 126,3 25 — —
г) 2,75 1,21 2,25 0 209 45 102 55,1 11,1 54 — — 0,2 —
д) 1,61 1,21 — 1 150 77 102 — — — 124 25,6 —
е) 2,48 0 2,28 0,39 65 50 — 55 11 54 320 10 0,2 Q.212
0,68 0 2,28 1,7 65 182,3 — 55 11 54 73 43,6 0,2 0,66
0,55 0 2,28 215 65 225,5 — 55 11 54 57,7 55,3 0,2 0,946
0,52 0 2,28 2,25 65 236 — 55 11 54 55 57,8 0,2 1
2,13 0 2,28 4.12 65 58,3 — 55 11 54 3,01 106 0,2 0,247
первой ветви: G\ = = 1/102 = 0,0098 См; второй ветви:
К
G2 = Л», /Z2 = Н, 1 /55,12 г 0,0037 См.
Активная мощность:
первой ветви: Pi = U2Gt = 1242-0,0098 = 150 Вт; второй вет-
ви: Р2 = U2G2 = 1242-0,0037 = 57,5 Вт; всей цепи: Р = Р, +
+ Р2 — 150 + 57,5 = 207,5 Вт, что близко к показанию ваттмет-
ра Р=209 Вт (см. п. г) табл. 3.8 ).
По данным п. д) табл. 3.8, полное сопротивление всей цепи:
Z = U/I = 124/1,61 =77 Ом.
Емкостное сопротивление третьей ветви: Хс = и/1з— 124/1 =
= 124 Ом.
Емкость конденсатора: С =. 2nfxc = 2 • 3.14 • 50 • 124=
= 0.0000256Ф = 25,6 мкФ.
Активная мощность цепи: показание ваттметра W равно
активной мощности первой ветви Р{ =Р= 150 Вт.
По данным п. е) табл. 3.8 (последний замер):
123
Полные сопротивления:
цепи: Z = U/1 = 124/2,13 = 58,3 Ом; катушки: ZK = U/l?—
= 124/2,28 = 55 Ом.
Емкостное сопротивление третьей ветви: Хс=и/1з =
= 124/4,12 = 30,1 Ом.
Емкость конденсатора: С=—=——!—_ = 0,000106 Ф=
шХс 314-30,1
= 106 мкФ.
Коэффициент мощности всей цепи: cos<р = PjUI = 65/(124 х
X 2,13) = 0,247.
Для построения векторной диаграммы при резонансе опре-
деляют проводимости и токи катушки.
Проводимости второй ветви:
активная 62 = 0,0037 См; реактивная BL = -^- = —
= —-54; =0,0179 См.
112 + 542
Токи катушки:
активный: /ак = UG= 124 • 0,0037 = 0,46 А, что близко к зна-
чению 10— 0,525 А, так как прн резонансе / = /ак; реактивный:
11 = UBL =124 • 0,0179 = 2,22 А.
На рис. 3.65, б — г приведены векторные диаграммы токов
при резонансе и после резонанса.
Емкость конденсатора при резонансе: с=Со = —=
соЛс
= о,,1 ее = 0,0000578 Ф=57,8 мкФ.
314 • 55 ’
На рис. 3.65, д приведены кривые изменения общего тока /,
общего коэффициента мощности cos<p, полного сопротивления Z
от емкости С конденсаторов (п. е) табл. 3.8).
3.66. Определить активную Р, реактивную Q и полную S мощ-
ности электрической цепи (рис. 3.66), если токи: /1 = 5 А, /о =
= 3 А, /з = 4 А, а активные и реактивные сопротивления: Rt =
= 10 Ом, /?2 = 6 Ом, /?з = 5 Ом, Xl = 8 Ом, Хс = 5,6 Ом.
Решение. Активная мощность цепи: Р = Pi + Р2 +
+ Рз = /?/?! + HR1 + /зРз=52. 10 + 32 • 6 + 42 • 5 = 250 + 54 +
+ 80 = 384 Вт.
Мощности цепи:
реактивная: Q = QL — Qc = I?XL — IlXc = 32-8 — 42-5,6 =
= 72 — 89.6 = — 17.6 вар; полная S = -J/32 + Q2 = л/3842 4-
+ (-17,62) = 385 В • A.
3.67. Определить показания ваттметра W в электрической
цепи (рис. 3.67) при замкнутом и разомкнутом выключателе В,
если напряжение источника питания U = 100 В, активное и
реактивные сопротивления: R = Xli = Xl2 = Хс= 5 Ом.
124
Рис. 3.66
Рис. 3.67
Решение. В данном случае в электрической цепи
имеет место резонанс напряжений. Полное сопротивление цепи
при разомкнутом выключателе: Z = -\/а + ~ %сУ2 —
= V5^ + (5-5)a= 5 Ом.
Ток в цепи при разомкнутом выключателе: 1=U/Z =
= 100/5 = 20А. При этом показание ваттметра Р=₽/2 =
= 5-202 = 2000 Вт =2 кВт.
Показание ваттметра при замкнутом выключателе: Р =
— RJ2 — 5-0 = 0 Вт, так как на параллельном участке цепи
имеет место резонанс токов и ток в цепи резистора R не проте-
кает.
3.68. В электрической цепи переменного тока (рис. 3.68) най-
ти распределение токов и показание вольтметра V при замкну-
том и разомкнутом выключателе В. Сопротивления резисторов:
/?! = /?2 = /?3 = XL = 5 Ом, приложенное напряжение U —
= 100 В. Задачу решить методом комплексных чисел.
Решение. Сопротивления ветвей цепи при замкнутом
выключателе: Zi = Rt + R3 = 5 5 = 10 Ом; Z2 — Rz — 5 Ом.
Токи в ветвях: It = U/Z\ = 100/10 = 10 A; I2= U/Z2 =
= 100/5 = 20 А.
Ток на неразветвленном участке цепи в соответствии с урав-
нением, составленным по первому закону Кирхгофа для узловой
точки цепи: J_=Jj +_£>== 10 + 20 — 30 А. Показание вольт-
метра: 1/з=/?з/1=5-10=50 В.
I
Рис. 3.69
Рис. 3.68
125
Комплексные сопротивления ветвей при разомкнутом выклю-
чателе: Zi = -J- R? = 5 + 5 = 10 Ом; == R? + == (3 +
+ /5) Ом.
Токи в ветвях при разомкнутом выключателе:
/,_= £^/Zi = 100/10 = 10 A; h = UJZ^^ 100/(5 + /5) =
= 100(5 —/5) _ 100(5 ~/5)_ ,0 _ 10. д
(5 + /5X5 - /5) 52 + 52 ' 1 1 ’
откуда /2 = у/102 + 102 = 14,1 А. Ток в иеразветвлеииой части
цепи: /_ = /_1 +/_2= Ю + (10 — /10) = (20 — /ТО) А, откуда / =
= у/202+ 10s= 10у/5 А.
В соответствии с уравнением электрического равновесия, сос-
тавленным по второму закону Кирхгофа для нижнего замкну-
того контура: R3lj_ — jXJ^ + U_B= 0, отсюда U_B = —Ril^ +
+ /'Xf /г — —5-10 + /5(10 — /ТО) = /50 В, откуда (/в= 50 В.
3.69. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.69)
определить напряжение Un между ее точками / и 2, а также
режимы работы источников питания, если ЭДС £( = 50е,6° В;
£ г= 100е/3°В, активное и реактивное сопротивлений: /? = 5Ом;
Xt=5 Ом.
Решение. ЭДС, действующие в цепи, представлены в
тригонометрической форме записи: £ । = 50е/60° = 50(cos60° +
+ /sin60°) = 50(о,5 + / -^) =(25 + /25у/3) В; £_2 = 1ООе;зо° =
= 100-(cos30° + /sin30°) = 100(-^-+ /0,5) = (бОу/З + /50) В.
Комплексный ток в цепи в соответствии с уравнением элек-
трического равновесия напряжений, записанным по второму за-
кону Кирхгофа:
Е ,-Ег
E_i — E_2 — (R + откуда / = R +
(25 -ь /25д/3)-(50д/3 + /50) 5 + /5-/3 - 10/3 — /10
5 + /5 1 + /
= (_6>84 + /5,46) А.
(1 +/)(> -/)
Комплексное напряжение U_n, действующее между точками 1
и 2 цепи, находим исходя из уравнения электрического равно-
весия напряжений, составленного по второму закону Кирхгофа
для левого замкнутого контура цепи: £, = /?/ + Ё/12, откуда
U12 = £1 - RI = 25 + /251/3 - 5(—6,84 + /5,46) = (59,2 +
+/15,9) В, откуда напряжение Ut2 = д/59,22 + 15,92 “61,1 В.
Комплексные мощности источников питания цепн: Si =
=£1 Г=(25 + /25-/3) (- 6,84 - /5,46) =171- /296 — /137 + 236 =
126
= (407-/433) В-А (источник ЭДС £| работает в режиме
генератора электрической энергии, так как активная
мощность имеет положительное значение (Р>0)); - =
= — £,/* = —(5ОУЗ) Д- /50) ( — 6,84 — /5,46) = —590 — /343 —
— /47ТЧ- 273 = (—317 — /816) В • А (источник ЭДС £2 работает
в режиме потребителя электрической энергии, так как активная
мощность имеет отрицательное значение (Р<0)).
Рис. 3.70
3.70. Определить токи /, и /2 в ветвях, напряжения (7, — (Л
на резисторах /?| — /?з и на индуктивном сопротивлении Xl, а
также напряжение Ul2, действующее между точками / и 2 элек-
трической цепи рис. 3.70, а. Напряжение источника питания
£7 = 100 В, сопротивления резисторов: /?, = 3 Ом; /?г=8 Ом;
/?з=2 0м, индуктивное сопротивление Xl=6Om. Построить
векторную диаграмму напряжений.
Решение. Комплексные сопротивления параллельных вет-
вей; Z__\ = Rt Д- Rs = 3 -£ 2 = 5 Ом; Z2 — R2 Д- jXд = (8 Д- /6) Ом.
_ „ , и 100
Ток в ветви с резисторами Ri — Rs: =
— Z\ о
= 20 А, откуда / — д/202 = 20 А.
Комплексный ток в ветви резистора R2: 12
юо
8 4" /6
и
= (8 - /6) А’ °ТСЮДа /2 = л/85 + 62= 10 А.
Комплексное напряжение, действующее между точками 1 и 2
цепи, определяем из уравнения, составленного по второму закону
Кирхгофа для верхнего правого контура: U\2 — R\l 1 Д- R2I 2 =
= 0 или U 12 = 3-20 — 8(8 — /6) — (—4 Д-/48) В, отсюда 1/12 —
= л/42 Д-'485 = 48,1 В.
Напряжение на резисторах Rt, R3 и /?22 Ut = Rih = 3 • 20 =
= 60 В, откуда Ui = 60 В; (/3 = Rs!\ = 2 • 20 = В, отсюда
127
Рис. 3.71
ний для рассматриваемой щ
3.71. Определить токи /
U3 = 40 В; Ui = Rib - 8(8 —/6) =
= (64 — /48) В, откуда U2 — д/642 +
+ 4^=80 В.
Напряжение на индуктивности L:
U_4=JXL.L2=Jf>Vi -;6) = (36 +
+ /48) В, откуда (74 = д/362 + 482 —
= 60 В.
Векторная диаграмма напряже-
;пи приведена на рис. 3.70,6.
। — А в ветвях электрической цепи
переменного тока (рис. 3.71), если ЭДС источников питания
е, = 60^/2 • sinter; £^=60 В; активное и реактивные сопротив-
ления: /?з = 20Ом; Х| = Х2=30 Ом, Лз=20 Ом. Задачу ре-
шить методом контурных токов.
Решение. Амплитудное и действующее значения ЭДС
источника питания Ес. Etm = 60-\ДГВ, Et — Е\т/-\[2 = 60-\/2/д/2 =
= 60 В.
В соответствии с принятыми на схеме рис. 3.71 положитель-
ными направлениями контурных токов составляют по числу кон-
турных токов уравнения в соответствии со вторым законом Кирх-
гофа. При этом для левого замкнутого контура имеем: £ । +
+ Е_2 = /(%] - X2)Jj 1 - (—jXJhi или 60 - 60 = /(30 - 30}Zj) -
(— /30)/22, отсюда /ЗО/22 = 0.
Для правого замкнутого контура: — £2 = Яз/м — j(X2 +
+ Х3)/22 - (-/Х2)Л| или 60= 20/22-/(30 + 20)722 -(-/30)/п,
откуда /30 /,, = 60.
В результате решения полученных уравнений определяют
контурные токи: /22=0; /и = /2А, откуда /и = 2 А; /1 =
= /и = 2 А; /з_=^2 = О. Ток в общей ветви смежных конту-
ров находят в соответствии с уравнением для токов, составлен-
ным в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла раз-
ветвления цепи: Ь — /22 — /п = 0 — /2 = —/2 А, отсюда 12 = 2 А.
3.72. Для последовательно-параллельной электрической цепи
переменного тока (рис. 3.72, а) определить токи /, /|, /2 на всех
участках цепи, активную Р, реактивную Q и полную S мощности
цепи. Построить векторную диаграмму напряжений н токов.
Напряжение питания U — 127 ф, активные и реактивные сопро-
тивления цепи: /? = 2Ом; Ri — 15Ом; R2 — 10 Ом; XL— 10 Ом;
XLl =10 Ом; XL2=20Om; Хс= 2 Ом; ХС1 = 20Ом; ХС2=ЗООм.
Решение. Полные сопротивления:____________________
первой параллельной ветви: Zt. = V/?? +(XL) — XС1)2 =
= V15" + (10 — 20)2 = д/325 as 18 Ом; второй параллельной вет-
ви: Z2 = д'/?2 + (ХЛ2—А' С2)2 = д' 102 + (20 -30)* = 14,1 Ом.
Активные проводимости:
первой параллельной ветви: Gi = /?i/Z?= 15/182 = 0,046 См;
128
второй параллельной ветви: G2 — R2/Z2 = 10/14,12 — 0,05 См.
Суммарная активная проводимость параллельного участка
цепи: G12 = Gi + = 0,046 + 0,05 = 0,096 См.
Реактивные проводимости:
10-20
(/325)2
Х/^-Хп
в2~
участка це-
первой параллельной ветви: Bt =------5—
Zt
— —0,0308 См; второй параллельной ветви:
= —0,05 См.
(V200)2
Общая реактивная проводимость параллельного
пи: В12 = Bi + В2 — — 0,0308 — 0,05 = — 0,081 См.
Полная проводимость параллельного участка цепи: У12 =
= VG12 + B12 = 7(0,096/ + (—0,081/ = 0,125 См. Полное со-
противление этого участка цепи: Zi2 — l/Yt2— 1/0,125= 8 Ом.
Сопротивления параллельного участка цепи:
п ^12 0,096 с 1 Л V
активное /?12 = —— = — ,-» = 6,1 Ом; реактивное Xi2 =
У12 0,125"
= -----5.16 Ом.
<12 0,1 2d
Активное и реактивное сопротивления всей цепи: /?„=/? +
+Я12=2+6,1 = 8,1 Ом; 2'ц=2'£+(-1'12)+(-1'с)=10 -5,16 -
-2=2,84 Ом.
Полное сопротивление всей цепи:
=V8,l2+(2,84)2 = 8,5 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи:
= 15 А.
Напряжения на отдельных участках
=1у/#~+Х{ = 15 V^Tl2 = 33,7 В;
£7М=ЛГС= 15-2=30 В.
5-217
7= U/Za= 127/8,5 =
цепи: U}i=IZ}l =
С7и = ZZ12= 15 • 8 = 120 В;
129
Токи: в первой параллельной ветви: /!= [712/Z, = 120/18=
=6,66^А; во второй параллельной ветви: Z2= t/12/Z2= 120/14,1 =
Коэффициенты мощности всей цепи: cos<^=AB/Za=8,l/8,5 =
=0,96 (sin^=—= = - 0,72s)
\ 8,5 /•
Коэффициент мощности участка 3—1 цепи: созфз1 = Лз|/2з1 =
= 2А/5=О,9 ( sinq>3i = -^-= -^=0,448, откуда <ри= 26°40').
\ Z31 д/5 /
Коэффициент мощности участка /—2 цепи:
для первого параллельного участка: cos<p(2=/?i/Zi= 15/18 =
= 0,83 ( sinф{2 = ^^=12^20_= -0,54; ф'12=-33°);
для второго параллельного участка: созф"2 = /?2^2 = 10/14,1 =
= 0,7 ( sinф/2 = *“~*С2 = -0,7; фГ2 = -45°);
для всего участка 1—2 цепи: cos ф12 = Z?i2/Zi 2 = 6,1/8 = 0,76;
sin ф12 = X12/Z12 = —5,16/8 = —0,642; ф12 — —40°.
Коэффициент мощности участка 2—4 цепи: сО5ф24=/?24^24 =
= 0/Хс = 0 (зшф24= — 1).
Активная мощность отдельных участков цепи: P3)=Z{731x
хсо8ф31 = 15-33,7-0,9=505 Вт; Рп=IUncos<p12=15-120-0,76=
= 1370 Вт; Р24=Д724СО8ф24=15-30 0=0.
Суммарная активная мощность всей цепи: Р=Р3,+Р12+Л4=
= 5054-1370+0=1875 Вт.
Реактивная мощность отдельных участков цепи: Q3i =П73, *
* sin ф3, = 15 • 33,7 • 0,448 = 227 вар; 012 = /С712 sin q>\2 = 15 *
х 120 (—• 0,642) = —1150 вар; б24 = IU24 sin ф24 = 15 • 30 (— 1) =
= —450 вар.
Суммарная реактивная мощность всей цепи: Q = U^I sin <р =
= 127 15 (-0,725) = -1380 вар.
Рис. 3.73
Векторная диаграмма для электри-
ческой цепи дана на рис. 3.72, б.
3.73. Определить напряжение
l/i2, действующее между узлами
/—2 электрической цепи переменного
тока (рис. 3.73). ЭДС источников
питания: Ei = 200е В; Е2 =
= —100е/т, активные и реактивные
сопротивления: /?( = ЗОм, Xi = 4 Ом;
/?2 — 6 Ом; Х2 = 8 Ом; Rs — 5 Ом,
Хз = 3,3 Ом. Задачу решить методом
узлового напряжения.
Решение. Комплексные значе-
ния ЭДС, действующих в цепи:
130
Ei = 200e /'^= 200(cos л/2 — /'sin л/2) = 200(0 — /1) = —/200 В,
Eg = -100е-' ^= -100(cosл/2 + / sin л/2) = -100 (0 + /1) =
= -/100 В.
Комплексные сопротивления ветвей цепи: Zj = /?i4-/Xi =
= (34-/4) Ом; Zg=/?2 4-/^2 = (6 4-/8) Ом; = Яз 4~ 1%з = (5 4-
4- /3,3) Ом.
Комплексные проводимости ветвей цепи:
Уг
h
/ 1 „ 3-/4 _ 3-/4 _
3 + /4 (3 + /4)(3-/4) 3* 2 + 42
! 1 6-/8 6-/8
/г 6 +/8 (6 + /8) (6 -/8) 62 + 82
У, — . 1 1 5- /3,3
(0,12-/0,16) См;
(0,06-/0,08) См;
__________________ _ 5-/3,3
Z3 5+ /3,3 (5+ /3,3) (5-/3,3) 52 + 3,32
= (0,138 — 0,092) См.
Комплексные токи в ветвях цепи в соответствии с уравнениями
электрического равновесия, составленными по второму закону
Кирхгофа для замкнутых контуров цепи:
£, = (/?, 4-/X1)/i-//!2 = ZlA_-L(j2; Eg=(/?24-/^2)/2-^i2 =
= Lb* XL's4- 2зк= °- откуда /^^±^== У.ЕН-у, С/2==
= (0,12 —/б,16)(—/200)4-(0,12 —/0,16)(/|2=(—32 —/24)4-
4-(0,12-/0,16)(Л2;
= (0,06 - /0,08) (-/100) 4- (0,06 - /0,08) U {2=(-8 - /6) +
4-(0,06-/0,08)U,2; /з_= ^-= -Y3Ui2 = — (0,138 — /0,092)(Л2.
Комплексное напряжениеJ/j2, действующее между узлами 1 и
2 цепи, находим с помощью уравнения, составленного по первому
закону Кирхгофа для узла 1 цепи: Л 4~Лг—/з= 0, отсюда, подстав-
ляя значения комплексных токов, получим: У|Е| 4~ УгЕг4~ ^12(У|4~
4-К2 4-1з) —0, откуда U12— Подставляя числовые
-- -- *1 ~Г » 2 ~Т ^3
значения токов имеем- Ui2= 40+J30 «04-/30)(0.32+/0.33) __
значения токов, имеем. и,2 032_;-0 33 32_;0(0 32+;033>
=='Зч^’-{,4’5 + /,,4)В’ °ТКуДа ^2 = л/14,52+И42-
114,9 В.
3.74. Найти распределение токов для электрической цепи пе-
ременного тока (рис. 3.74). ЭДС источников питания Е2 = Е3 —
= 100 В, активные и реактивные сопротивления: /?i=7?^=J^=
= Х3 = Х4= 10 Ом. Внутренним сопротивлением источников пита-
ния пренебречь.
131
Рис. 3.74
Решение. Комплексные проводимости ветвей цепи: Ki =
= 1//?, = 1Т=0’1 См; Ь==1/Д2=1//Ю=/^_) =-7'0,1 См;
—=~ЧхГ=~Ч10~= -/ю/ =;/0,1 См; —= R, + jXt = ю+/ю =
(Ю-/10)
(10 + /10) (10-/10)
(0,05 -/0,05) См.
Комплексное напряжение, действующее между узлами 1 и 2
цепи:
П + 100(-/0,1)+100(/0,1)
—2— Г|+Ь + Ь + Ь ~ 0.! —/0,1 +/0,1 +0,05-/0,05
7 -/10 + /10 . 0
0,15-/0,005
Ток в ветви с сопротивлением Х2 находят из уравнения, состав-
ленного по второму закону Кирхгофа: Ег== (Л2+ /Х2/2; /г=
= _y io а или /2= 10 А.
/Хг /Ю '
Ток в ветви сопротивления Хз: £з= —/Хз7з + К12; /з =
= ——=^-= —= /10 или /3=ЮА. Ток в ветви с сопротив-
—/Хз . —/Ю
леииями /?| и Rc 1\ = 0 и Д = 0, так как U\2 = 0.
3.75. Найти распределение токов 1\, /2, /з в электрической цепи
переменного тока (рис. 3.75). ЭДС источников питания Е±=
= (60 + /80) В; £г = (—60 —/80) В, реактивные сопротивления:
Х, = %4 = 20Ом; Хг = Хз = 40Ом. Задачу решить методом контур-
ных токов.
Решение. В соответствии с уравнением электрического рав-
новесия, составленным для левого замкнутого контура цепи по
второму закону Кирхгофа с учетом принятых положительных
направлений контурных токов, имеем: E\=(iX\ — jX^l\\ —
-(—jX^ или 60 +/80 =/(20-20)/ц-(—/20)722(60 +/80) =
— /20 /22 •
То же, для правого замкнутого контура: — £г=/(—Х^ — Хз +
+ X2)i22-(—/Х^/ц или 60 + /80=/(—20 —40 + 40)722 —(—/20)722;
(60 + /80) = -/20 /22+ 20/п.
132
Из полученных уравнений определяют контурные токи: /22=
= ^±Д_= (4 - /3) А, откуда /22 = т/42 + 32 = 5 А; /н=
= = (8-/6) А, откуда /и =->/6i + 82 = 10 А.
Ток в смежной ветви: Л=/ц — /22 = (8 — /6) — (4 — /3)=
= (4 — /3)А, откуда /3 = -^/42 + 32= 5 А. Токи в ветвях источников
питания с учетом принятого направления контурных токов: Л =
=—/п = -—10 А; /г=/22=5А.
Рис. 3.76
3.76. Найти распределение токов /, Л, /2, h электрической цепи
переменного тока (рис. 3.76, а) и построить векторную диаграмму
токов и напряжений, если напряжение источника питания U=
= 220 В, а сопротивления резисторов: /?| = 5Ом; /?2=16,6Ом;
/?з = 6’Ом, емкостные сопротивления конденсаторов: Хс = 2 0м;
ХС1 = 12,5 Ом; Хсз = 8 Ом.
Решение. Активная и реактивная проводимости первой
параллельной ветви: Gi = 0, так как здесь конденсатор, который
активным сопротивлением не обладает: Bct = 1/ХС1 = 1/12,5=
= 0,08 См.
Активная и реактивная проводимости второй параллельной
ветви: Gz = 1 //?2 = 1/16,6 = 0,06 См; при этом Вг = 0, так как здесь
реактивное сопротивление отсутствует.
Активная и реактивная проводимости третьей параллельной
ветви: G3 = R3/Z23 = R3/(R23 + Х23) = 6/(62 + 82) = 6/100 = 0,06 См;
Всз = XC3/Z23 = 8/100= 0,08 См.
Полная проводимость параллельного участка 1—2 цепи:
У= V(S G)2 + (SB)2 = V(G2+G3)2+(gcl +ВСЗ)2= У(0,06 + 0,06)'г+
+ (0,08 + 0,08)2 = V0,122 + 0,162 = 0,2 См.
Эквивалентные проводимости параллельного участка 1—2
цепн:
активная ZG=(G2+G3)=(0,06+0,06)=0,12 Ом; реактивная
ХВ=(ВС] + Лст)=(0,08+0,08)=0,16 Ом.
133
Полное сопротивление параллельного участка 1—2 цепи: Zi2=
= 1/У= 1/0,2=5 Ом или Zi2= л/^?2 + ^?2= -/Зт+4т=5 Ом.
Полное сопротивление всей цепи: Z=-\/(/?i+/?i2)i+(Xc+^i2) —
= <(5 + З)5 + (2 + 4)2 = л/87+65'= 10 Ом. у
Ток в неразветвленной части цепи: /=-£-=—jQ—= 22 А.
Напряжения: на резисторе /?ь </Л=/?|/=5-22= НО В; на
конденсаторе с сопротивлением Хс: Uxc= Хс1=2-22=44 В;
на параллельном участке 1—2 цепи: t/i2=Zi2/= 5-22= 110 В.
Токи в первой параллельной ветви цепи: li=U\2/XC\ =
= 110/12,5=8,8 А; в ветви резистора /?г: /2= U\г/Рг = 110/16.6=
= 6,64 А; в ветви резистора /?3: /з= 1}\2/Z3 — 110/-\/б* + 82=
= 110/10= 11 А.
Коэффициент мощности третьей параллельной ветви: соз<рз=
=/?3/Z3=6/10=0,6, откуда угол <р3= — 53°10'.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматривае-
мой электрической цепи дана иа рис. 3.76, б.
3.77. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.77)
определить общий ток /о, показания вольтметров Vi—Уз, а так-
же активные Р, реактивные Q и полные S мощности для всех
участков цепи, если питающее напряжение 17=60 В, а активные
и реактивные сопротивления: R\ = 15 Ом; /?2 = 30 Ом; /?з= 10 Ом;
/?4=70Ом; /?7=16 0м; Х£2 = 20Ом; Х/3=5Ом; Хсз= Ю Ом;
ХС5 = 40Ом; ХС6=12 0м. Задачу решить методом проводимо-
стей.
Решение. Активные проводимости: первой параллельной
ветви участка 1—2 цепи: Gi = /?i/Z2= l//?i= 1/15=0,0667 См,
так как /?! = Zi;
второй параллельной ветви участка 1—2\ Gt = Ri/Zl=
=Ri/iRl+X2L2)=30/(302+202)=0,023 См.
Реактивные проводимости:
первой параллельной ветви участка 1—2 цепи: BLt = XLA/Z2 =
= 0//?,= 0;
второй параллельной ветви участка 1—2 цепи: BL2=XL2/Zl=
= 20/(302 + 202) = 0,0154 См.
134
Полная проводимость участка 1—2 цепи: У|> = -/(G, + Gz)2 +
+ (Sti + Bt2)- = л/(0,0667 -J- 0,023)2 + (0 + 0,0154)2 = 0,091 См.
Сопротивления участка /—2 цепи:
полное Zi2= 1/У|2= 1 /0,091 = 10,98 Ом;
активное — Z12G12 = Z22(G| + G2) = 10,982(0,0667 +
+ 0,023) = 10,83 Ом;
индуктивное Х,2 = Z?2Bi2 = ZtzBL2 = 10,982-0,0154 = 1,85 Ом.
Активная проводимость:
первой параллельной ветви участка 2—3 цепи: Gj =
7А
fG ю 10 п по
— —rz--------=—77;—77—т^-=0,08 См; второй парал-
«з + (+з-ХСз)2 102 + (5-10)2 12.э н н
лельной ветви участка 2—3 цепи: G4 = 1//?4 = 1/70=^0,0143 См.
Емкостная проводимость первой параллельной ветви участка
2-3 цепи: lo4^~,O)2 = ^=0,08 См.
Индуктивная проводимость первой параллельной ветви участ-
ка 2—3 цепи: BL3 = XL3/Z3 = 5/125 = 0,04 См.
Емкостная проводимость третьей параллельной ветви участка
2—3 цепи: В(5 = XC5/Z| = 1 /Хе5 = 1/40= 0,025 См. ____________
Полная проводимость участка 2—3 цепи: Y23 = -y/(G3-{- G4)2 +
+ [Bi3-(Всз+ BC5)]2 = V(0,08+0,0143)L’ + [0,04-(0,08 4-0,025)]- =
= 0,1145 См.
Полное сопротивление участка 2—3 цепи: Z23= 1/^23 =
= 1/0,1145 = 8,76 Ом.
Сопротивления участка 2—3 цепи:
активное /?2з= G23Z23 = (0,08 + 0,0143)8,762=7,26 Ом; индук-
тивное Х23 = {BL3 — Всз — BC5)Zl3 = (0,04 — 0,08 — 0,025) 8,762 =
= —5 Ом.
Активная проводимость второй параллельной ветви участка
3—4 цепи: G7=/?7/Z?= 1//?7= 1/16 = 0,0625 См.
Емкостная проводимость первой параллельной ветви участка
3—4 цепи: ВС6= ХС6/Х2СЬ= 1/Хс6= 1/12 = 0,083 См.
Полная проводимость участка 3—4 цепи: У34 =\/От+в£б —
= д/0,06252 + 0,0832 = 0,103 См.
Полное сопротивление участка 3—4 цепи: Z34= 1/Y34 =
= 1/0,103 = 9,73 Ом.
Активное сопротивление участка 3—4 цепи: /?3<= G7Z24 =
= 0,0625-9,732 = 5,9 Ом.
Индуктивное сопротивление участка 3—4 цепи: Хз4 =
= —BceZ234 = —0,083• 9,732= —7,8 Ом.
Полное сопротивление всей цепи: Z0 = -V(/?l2 +/?гз + /?34)2 +“
+ (Х,2 + %23 + Х34)2 = V( 10,8 + 7,26 + 5,9)2 + [ 1,85 + (-5) +
+ (—7,8)]2= 26,4 Ом.
135
Общий ток в цепи: /0= £//Zo= 60/26,4 = 2,26 А.
Показания вольтметров в цепи: (7i = Zi2/o = 10,98-2,26 =
-24,8 В; <72=Z23/o= 8,76-2,26= 19,7 В; [/, = Z34/o=9.73X
/2,26=22 В.
Активная, реактивная и полная мощности и коэффициент
мощности участка 1—2 цепи: Р\ — (7|/Ocos<jpi = 24,8-2,26Х
X 10,83/10,98=51 Вт, где сойф1 =/?12/Zi 2=10,83/10,98 = 0,99;
Qi= t/i/osin<jpi = 24,8-2,26-1,85/10,98 = 9,45 вар где sincpi =
= Xi2/Z12= 1,85/10,98 = 0,168; Si =дМ+0Т= U Jo = 24,8 X
X2.26 =56 В-A.
Активная, реактивная и полная мощности участка 2—3 цепи:
Р?= (Mocosqh =19,7-2,26-7,26/8,76= 36,8 Вт; <?2 =
= U2/Osin <ро = 19,7 • 2,26 5,0/8,76 = 25,4 вар; S-, = U2Ia =
= 19,7 • 2,26= 42,4 В - А.
Активная, реактивная и полная мощности участка 3—4 цепи:
Р3= t/3/0cos <Рз = 22 - 2,26 - -^- = 30 Вт; Q3 = £73/osin <р3= 22Х
Х2,26--^8 = —39,8 вар; S3 = f/J0= 22-2,26 = 49,7 В-A.
3.78. Задачу 3.77 решить методом применения комплексных
чисел.
Решение. Комплексные сопротивления ветвей и участка
/—2 электрической цепи: ^=/?1=15Ом; Z2=/?г+ /Хгг = (30 +
+ /20)0»; 2.,= Д- = (Ю.8 + /1.85)0»; Л„=
= 10,8 Ом; Xi2= 1,85 Ом.
Комплексные сопротивления ветвей и участка 2—3 цепи: Z3 =
= R3 + j(XL3 -%<□)= 10 +/(5- 10) = (10-/5) Ом; Z4 = /?4 =
= 70 0»; &=-/Х„_-/40О»; ----------
-(17.2-/30.15)0»;
= (7,14 —/5) Ом, откуда /?35=7,14 0м; X3S = 5 0m.
Комплексные сопротивления ветвей иа участке 3—4 цепи:
4=-/ХС6=-/12Ом; Z7=/?7=16 0m;
= (5,79 — /7,68) Ом, откуда /?67 = 5,79 Ом; Х6? =—7,68 Ом.
Общее сопротивление цепи: Zli = Z|2 + Z23+Z34= 10,8-/1,85+
+7,14-/5 + 5,79- /7,68 = (23,96 - j 10,95) Ом.
г и 60
Общин ток в цепи: /0 = -===-^——7777- =
— Zo 23,96 — /10,9о
= (23 96 6S6H23% + /10 95) = <2’08 + '°’95) А: °ТСЮДа /0 =
= V2.082 + 0,95* = 2,25 A.
Показания вольтметров в цепи: Ui = Z^lo = (10,8 + /1,85) X
X (2,08 +/0,95)=(20,74+ /14,1) В,, откуда f/1 = V20,74i+14, Р=
= 25 В; t£2 = Z23/o.= (7,14-/5)(2,O8 + /O,95)=(19,64-/3,6) В, от-
136
куда f/2=V19.642 + 3,6й = 20,35 В, jA=Z34Z<>=(5.79-/7,68) X
Х(2,08+/0,95)=( 19,3—/10,5) В, откуда U3= 719,Зй+10,52=22 В.
Векторная диаграмма напряжений для рассматриваемой
электрической цепи приведена на рис. 3.78.
3.79. Для электрической цепи переменного тока со смешанным
соединением сопротивлений (рис. 3.79) определить токи /, Л— Ц,
напряжения Ut, Щ на участках цепи, активную Р, реактивную Q
и полную S мощности, если питающее напряжения U= 300 В,
сопротивления резисторов и реактивные сопротивления конден-
саторов: /?1 = Х1 = /?2=ХС2 = ХСЗ = /?4 = ХС5 = 10 Ом. Задачу ре-
шить методом применения комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления отдельных ветвей:
ZjL=/?1+/Xi=(10 + /10)Om; Z2 = /?2-/X2 = (10-/10)Om; Za =
= — jXC3 = — /10 Ом; Z4 = /?4=10Om; Z5 = — /Xrs= —/10 Ом.
Комплексное сопротивление всей цепи: Z = —---------------Ь
Zi + £г
1 । 7 __ (Ki+/'Х|)(Яг~/Лсг) , —jXgRf __ -у __
’"Z3-1-Z4 + — + "Г Ri-jXct ' С5
= V15z+152 = V2 • 15 = 21,2 Ом.
Общий ток цепи: !====—300 = (10 + /Ю)А, отсюда / =
— Z 15 — /15 ' '
= v 102 + 10й = V2.10= 14,1 А.
Напряжение на участке 1—2 цепи: U12 = Z\il =
- <K> + /») - < 00 + /100) В. отсюда
= v 1002+ 1002= 100д/2= 141 В.
C/12 141
Токи в параллельных ветвях 1—2: Л = - z =—10+д0 —
= (7,05-/7,05) А, откуда h = V7,052 +7,05й = ^/2-7,05= 10 А; Л=
= vL="ln1'1ln- = (7’05 ~ /7>05)’ откУда = V7^* + 7’05‘ =
= 10 А.
Напряжение на участке 3—4 цепи: Um = £34/^= X
Х(Ю + /10) = (5 —/5)(10 — /10)= 100 В, откуда Um = 100 В.
Токи в параллельных ветвях на участке 3—4 цепи: /з =
->-гт?г-т7^-/>оа. «~ул- Л-io А; к-*./*!-
= 100/10= 10А, откуда /4= 10 А.
Полная, активная и реактивная мощности всей цепи: S =
= ///* = 300( 10 - /10) = (3000 — /3000) В • А, откуда Р=3000 Вт=
=3 кВт; Q = — /3000 вар = 3 квар, тогда S = -/Р2 + Q2 = -\/32+32=
=3д/2=4,23 кВ-А.
Коэффициент мощности всей цепи: cos <р= P/S = 3000/4230=
= 0,71.
137
Рис. 3.78
R, jX,
Баланс мощностей: P = /2/?i+/г/?2 + /4/?4= Ю2-10+102-10 +
+ 102 • 10=3000 Вт = 3 кВт; Q=/U, - 122ХС2 - ЦХСЗ - 12ХС5 =
= 102-10- 102-10— 102-10— 14,12-10= —3000 вар = —3 квар.
3.80. В электрическую цепь переменного тока с частотой пи-
тающего напряжения /=50Гц включена катушка индуктивно-
сти, имеющая активное сопротивление /?=4Ом и индуктивное
сопротивление Х£ = ЗОм. Определить полное сопротивление Z
катушки, ток / в цепи, а также угол сдвига фаз <р между током
и напряжением U = 1 ООе'52”. Записать комплексные сопротивле-
ния и проводимости цепи в алгебраической и показательной
формах записи.
Решение. Сопротивления катушки индуктивности:
комплексное: Z = R + jXL = (4 + /3) Ом; полное: Z = ^R2-\-X2L=
= д/42 + 35 = 5 Ом.
Угол сдвига фаз между током и напряжением: tgcp=Xr/R—
= 3/4 = 0,75, откуда <р~37°.
Комплексное сопротивление катушки в показательной форме
записи: Z = Zei<f = бе'37” Ом.
Комплексный ток в цепи в показательной форме записи:
/=t//Z_= 112^1= 22е'15” А.
Комплексный ток в цепи в алгебраической форме записи:
/= /cos 15° + //sin 15° = (22• 0,965 + /22 • 0,258) = (21,2 + /5,68) А.
Ток в цепи: /= U/Z = 110/5 = 22 А.
Проводимость цепи:
комплексная: --------------/-^-=(0,16 — /0,12) См;
полная: Y = -/(0,16)? + (0,12)2 = 0,2 См.
Комплексная проводимость цепи в показательной форме запи-
си: Y= 1 /Z = 0,2е~'37“ См.
Ток в цепи в показательной форме записи: /= UY= 1Юе'12 X
Х0,2е“'37” = 22е“'15” А.
3.81. Вычислить токи в ветвях электрической цепи перемен-
ного тока рис. 3.81. Напряжение питающей сети U—25 В, сопро-
тивления резисторов: Rt = R2=\ Ом, индуктивное и емкостное
138
4 3
Рис. 3.81
полученных уравнений
сопротивления: XL2 — XLi = Xc= 1 Ом. / /, Rt
Решить задачу методом законов Кирх-
гофа.
Решение. Составляем уравнение
по второму закону Кирхгофа для левого
замкнутого контура цепи: 0= — С/ Ц-
+ /?>/>.+ (fi2 + jXL2-jXc)hi 0=-25 +
+ 1Л.+ 0 +/1 -Л Хг.= Л.+/L-25.
Аналогично для правого замкнутого
контура: 0 = — U +R ih+ /Хгз/з; 0=
= -25 +1Л + j 1 /з_= h_+ /7з_- 25.
В результате совместного решени
с учетом уравнения для токов, составленного по первому закону
25
Кирхгофа для узла 2 цепи: Л = /г + /э. находим: /3 = t=
= (7^j^2)-=(5-/10)A или k=V52+ 10г = 11,15 А.
Ток в неразветвленной части цепи находим из уравнения, за-
писанного для правого контура цепи с учетом выражения для
комплексного тока /з: //.= /? i/j_+ 25= 1Л.+ /1 (5—/10), от-
куда Л = (15-/5) A; It =у/152+52= 15,8 А.
Ток во второй (параллельной) ветви согласно уравнению для
узла 2 цепи, составленному по первому закону Кирхгофа: Л =
= Л+Л; 15-/15=43-5-/10; /г_=(10+/5)А или /2=л/102+5г=
= 11,15А.
3.82. Задачу 3.81 решить методом контурных токов.
Решение. Составляем уравнение электрического равнове-
сия напряжений для левого замкнутого контура цели в соответ-
ствии со вторым законом Кирхгофа: 0 = —Ц-|-+/?2-b/(Xt2 —
-ад]/и-[/?2 + /(Х£2-Хс)]4 25 = [1+ !+/(!-1)]Л>-[1 +
+ /(1 — 1)]/22 ИЛИ 25 = 2/п—/22.
То же, для правого замкнутого контура цепи: 0=[/?2 +
+ /(^2 + -*с)]/и-[>?2 + j(Xl2 -Хс)]/ц; 0 = [ 1 + /(1 + 1 -
— 1)/и — [ 1 “Ь/(1 — 1)]/и или 0 = 1 —|— / /22 — /11-
В результате совместного решения полученных уравнений"
имеем: 25= 2/м +/2/22-/22, откуда /22 = -у j-"2- = (~ff/2) =
= (5-/10) А или /22 = /з = У52+Ю2= 11,15 А.
Ток в неразветвленной части цепи определяется из уравне-
ния: 25=2/н~/22, подставляя в него значение /22: 25= 2/ji —
— (5 —/10), получим Ii = /n = (l5 — /5)A, /1 = /ц = -1/152+'52 =
= 15,8 А.
Ток в первой параллельной ветви: 12 = /п — /22 = 15 —/5 —
- (5 — /10) = (10 + /5) А или /2 = д/Ю2 + 52 = 11,15 А.
139
3-83. Задачу 3.81 решить методом проводимостей.
Решение. Комплексные сопротивления участков электри-
ческой цепи: /£=/?!= 1 Ом; Z2 = R?-\-j(XL2 — Хс) = 14-/(1 —1)=
= 1 Ом; Z3 = jXL3 = /1 = / Ом.
Комплексные проводимости участков цепи: У2 = 1/^2= 1/1 =
= 1 См; Уз= 1/2з = 1/1=-j См; У23 = Уг +Ь = (1 -/) См.
Комплексное сопротивление параллельного участка цепи:
+ Ом.
Общее сопротивление цепи: Z = Z i +^гз = 1 + 0,5 +/0,5 =
= ( 1,5+/0,5) Ом. „
Ток в неразветвлениой части цепИ: _/,= -^-= 5_)_/-о5j~~
= (.,5Т^Й&Г-<|5-'5> а ' = 1М А-
Падение напряжения в неразветвлениой части цепи: Ui =
= Zih = 1(15 —/5) = (15 — /5) В или t/i = V152 + 52=15,8 В.
Падение напряжения на параллельном участке цепи в соот-
ветствии со вторым законом Кирхгофа: t/23 = U— Ui = 25— 15+
+ /5 = (10 + /5) В или 1/23 = ^/102 + 52= 11,15 В.
Ток в первой параллельной ветви: /2 = С/23У2=(10 + /5)1 =
= (10 + /5) А или /2 = V1Oz + 52= 11,15 А.
Ток во второй параллельной ветви: /3 = С/2зУз = (10 +/~5) X
Х(-/) = (5-/10) А или /3 = V52+ 102= 11,15 А.
3.84. Задачу 3.81 решить ,методом узлового напряжения.
Решение. Комплексные сопротивления участков электри-
ческой цепи: Zi = = 1 Ом; Z2 = #2 + j(XL2 —Хс)= 1 + /(1 —
— 1) = 1 Ом; Z3 = jXL3 = /1 = / Ом.
Комплексные проводимости участков цепи: У1 = 1/^‘ —
= 1//?, = 1/1 = 1 (2м; У2= 1 См; Уз = —/См.
Комплексное напряжение, действующее между узлами 2—3
II LbXl 251 25 25(2 + /) _ /1П ,
цепи. U23— у,+2^+Из 1 + 1-/ 2 — / (2-/)(2 + /) ( +
+ /5) в.
Ток в неразветвлениой части цепи определяется из уравне-
ния, составленного по второму закону Кирхгофа для левого
замкнутого контура цепи: 0= — U + /?i/i + U23', 25= 1 • /1 + 10 +
+ /5; /|_=(15 —/5) А или Ц = -\/15Z + 52 = 15,8 А.
Ток в первой параллельной ветви в соответствии со вторым
законом Кирхгофа: 0 = [/?2 + /(Xi2 — ЛсШг — 104-/5 = [ 1 +
+/(1 — 1)1/з, откуда+г = (10 +/5) А или /2 = -\/102 + 5"*= 11,5 А.
Ток во второй параллельной ветви в соответствии с уравне-
нием, составленным для узла 2 по первому закону Кирхгофа:
/1 = /2.+ Л: 15 — /5 = 10 + /5+_/3, откуда_/.3 = (5 —/10) А или /3 =
= +52+ 107= 11,5 А.
140
Задачи
3.85. Неразветвленная электрическая цепь переменного тока
находится под напряжением U = 84,6 В и содержит активное и
индуктивное сопротивления R = XL = 3 Ом. Определить полное
сопротивление Z, ток /, полную S, активную Р и реактивную QL
МОЩНОСТИ цепи. Ответ. Z = 4,23 Ом; I = 19,7 A; S = 1,68 кВ-А; Р= 1,19 кВт;
Ql = 1,19 квар.
3.86. Определить полное Z, активное R и реактивное X сопро-
тивления электрической цепи переменного тока, а также характер
нагрузки цепи, если ее комплексное сопротивление Z = 4е~'30.
Ответ. Z = 4 Ом; R = 3,46 Ом; X = 2 Ом.
3.87. В разветвленную электрическую цепь переменного тока
включены осветительная нагрузка с активным сопротивлением Ri,
катушка индуктивности с индуктивным сопротивлением XL и
активным сопротивлением Ri и конденсатор с емкостным сопро-
тивлением Хс (рис. 3.87). Определить напряжение U источника
питания и токи /2 и /з в ветвях; если общий ток в цепи /, = 5 А,
активные и реактивные сопротивления цепи: Ri = 44 Ом; /?2 =
= 7 Ом; /?3=15 Ом; Xi =24 Ом; Хс=20 Ом. Ответ, и = 220 В;
/2 = 8,8 А; /3 = 8,8 А.
3.88. Определить показания амперметра А, включенного в
электрическую цепь переменного тока рис. 3.88 при разомкнутом
(/) и замкнутом (/') выключателе В в резонансном контуре. На-
пряжение источника питания U = 100 В, активные и реактивные
сопротивления: R = XL = Хс = 5 Ом. Ответ. I = 14,2 А; /' = 0.
Рис. 3.87
Рис. 3.88
3.89. В разветвленной электрической цепи переменного тока
(рис. 3.89), находящейся под напряжением U = 100 В, включены
активные и реактивные сопротивления: Ri = 1 Ом; Rt=2 Ом;
Xi = 2 Ом; Хг = 4 Ом. Определить общий ток I и токи Д и /2 в
ветвях цепи, построить векторную диаграмму напряжения и то-
ков. Ответ. / = 67 А; /, = 44,5 А; /2 = 22,25 А.
3.90. Для условий предыдущей задачи определить полные У,
активйые G и реактивные В проводимости всей цепи и ее ветвей,
построить треугольник проводимостей. Ответ. У =0,66 См; О =
= 0.298 См; В=0,595 См; G, =0,198 См; G2 = 0,l См; В, = 0,396 См; Вг =
= 0,198 См.
3.91. В разветвленной электрической цепи переменного тока
141
Рис. 3.89 Рис. 3.91 Рис. 3.92
(рис. 3.91) имеет место резонанс токов, при этом показания
амперметров Ai и А2 соответственно равны: Л = 10 А и /2 = 4 А.
Определить емкостное сопротивление Х2 идеального конденсато-
ра (У?с=0), если индуктивное сопротивление катушки Xt =
= 10 Ом. Ответ. X? = 62.5 Ом.
3.92. Определить общий ток /, активные Р и реактивные Q
мощности отдельных ветвей и всей электрической цепи перемен-
ного тока рис. 3.92, построить векторную диаграмму напряжения
и токов, если питающее напряжение U = 110 В, активные и реак-
тивные сопротивления соответственно равны: /?| = 2 Ом; /?2 =
= V6 Ом; Xl = 4 Ом; Хс = 2 Ом. Ответ. 1 = 38 А; Л - 1,21 кВт; Р2 -
= 2,97 кВт; Q, = 2,42 квар; Q? — —2,42 квар; Р — 4,18 кВт; Q = 0.
3.93. Определить значения токов Л и /2 в ветвях, общий ток
/ и соответствующие коэффициенты мощности cos <р, построить
векторную диаграмму напряжения и токов электрической цепи
переменного тока (рис. 3.92), если напряжение питающей сети
С/= 120 В, активные и реактивные сопротивления; /?1 = 2Ом;
/?2=1Ом; Ад = 6 Ом; Хс — 9,55 Ом. Задачу решить методом
проводимостей. Ответ. /,= 19 А; /2=12 А; I = 9,4 A; cos <j>i = 0,317;
cos <j>2 = 0,1; cos <j> = 0,766.
3.94. Определить реактивную мощность Q разветвленной
электрической цепи переменного тока (рис. 3.92), если питающее
напряжение С/= 100 В, активные и реактивные сопротивления:
/?1 = 1 Ом; /?2 = 3 Ом; Xl = 2 Ом; Хс = 1 Ом. Ответ. Q — 3 квар.
3.95. Найти напряжение U источника питания, активную Р.
реактивную Q и полную S мощности электрической цепи пере-
менного тока (рис. 3.95), если ток в цепи / = 5 А, а токи в вет-
вях: /, = 4 А; /2 = 3 А, активные и реактивные сопротивления
Рис. 3.95
Рис. 3.96
142
участков цепи: /?1=6Ом; /?г=5Ом; /?з=ЮОм; Х£ = 8Ом;
Хс = 5 Ом. Ответ. U = 81 В; Р = 391 Вт; Q = 63 вар; S = 400 В-А.
3.96. Найти распределение токов электрической цепи перемен-
ного тока (рис. 3.96), если напряжение источника питания U =
= 100 В, активные и реактивные сопротивления ветвей: Ri =
= 0,68 Ом; /?з=ЮОм; /?4=ЮОм; XL = 0,32 Ом; Хс2=10Ом;
ХС4 = 10 Ом. Ответ, h = 20 А; 12 = 9,4 А; 13 = 9,4 А; I, = 6,63 А.
3.97. Найти распределение токов в электрической цепи пере-
менного тока (рис. 3.97), определить напряжения и U12 на
участках цепи, построить векторную диаграмму, если напряже-
ние источника питания U = 100 В, активные и реактивные сопро-
тивления: Ri = 2 Ом; /?2=ЗОм; /?3=8Ом; ХС\ = 2 Ом; ХС2 =
= 4 Ом; Л7з= 6 Ом. Задачу решить методом узлового напряже-
ния. Ответ, h = 13,9 A; h = 12,4 А; /3 = 6,18 A; Ui = 43,2 В; Ul2 = 62,5 В.
3.98. Определить общий ток / и токи в ветвях Л, Л, /з, актив-
ную Р, реактивную Q и полную S мощности, а также коэф-
фициент мощности cos <р электрической цепи переменного тока
(рис. 3.98), если напряжение источника питания U = 100 В, ак-
тивные и реактивные сопротивления: R = 6 Ом; R2 = 10 Ом; R3 =
= 10 Ом; Xl = 18 Ом; Хтз = 10 Ом; Ха = 10 Ом. Задачу решить
методом проводимостей. Ответ. 1 = 5 к; /, = 3,16 А; /? = 3,16 А; 13 =
= 2,24 А; Р = 300 Вт; Q = 400 вар; S = 500 В-A; cos <₽ = 0,6.
Рис. 3.97
Рис. 3.98
3.99. Задачу 3.98 решить методом применения комплексных
чисел. Построить векторную диаграмму токов и напряжений
электрической цепи. Ответ. См. задачу 3.98.
3.100. Определить токи: /, /1—/3 в электрической цепи пере-
менного тока (рис. 3.100), если напряжение источника питания
U = 100 В, активные и реактивные сопротивления: /? = 8,67 Ом;
R2 = R3= 10 Ом; Хс= 12,67 Ом; ХС| = ЮОм; Хсз=ЮОм. По-
строить векторную диаграмму токов и напряжений. Задачу ре-
шить методом применения комплексных чисел. Ответ. / = 5 A; h =
= 2,53 A; h = 2,53 А; /3 = 1,66 А.
3.101. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.101)
определить токи h—h и построить векторную диаграмму токов
и напряжений, если напряжение источника питания U = 52 В,
активные и реактивные сопротивления: Ri = R2 = R3 = Хц =
143
= XL2 = Ха = Xt-2 = ^сз = 1 Ом. Задачу решить методом приме-
нения комплексных чисел. Ответ, h — 32,9 А; 12 = 14,4 А; Л = 20,4 А.
3.102. Задачу 3.101 решить методом проводимостей. Ответ.
См. задачу 3.101.
3.103. Найтн распределение токов и напряжений на участках
электрической цепи переменного тока рис. 3.97. Построить век-
торную диаграмму напряжений и токов. Напряжение источника
питания J7 = 200 В. Сопротивления резисторов: Rt = 4 Ом; /?2 =
— 3 Ом; /?з = 8Ом, емкостные и индуктивное сопротивления:
Ха = 4 Ом; ХС2 = 4 Ом; XZ) = 6Om. Задачу решить методом
законов Кирхгофа с применением комплексных чисел. Ответ, h =
= 20 А; (13,1+/12,1) А, /2=17,83А; /j = (6,08-/6,52) А; /3 = 8,94 А;
(Л = (112-/16) В; t/,= 113,4 В; (Л2 = (88 —/16) В; (/,2 = 89,44 В.
3.104, Задачу 3.103 решить методом контурных токов.
3.105. Задачу 3.103 решить методом проводимостей.
3.106. Задачу 3.103 решить методом узловых напряжений.
Контрольное задание*1
3.107. Для электрический цепи переменного тока с частотой /=5ОГц
(рис. 3.107) определить полные сопротивления Z ветвей, токи 1 в ветвях и иапря-
Рис. 3.107
Рйс. 3.108
*)В контрольных заданиях 3.107—3.111 для реактивных сопротивлений в ва-
риантах 31—60 задания принята частота тока / = 75Гц, а в вариантах 61—90
частота /=25Гц. '
144
Таблица 3.9
Величины Варианты контрольного задания 3.107
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
El ИЛИ £|, В * 3 <Л О О X е сч С 35 104 Я coswl | О X о 04 е 35 ея 3 <л 8 О X § С «л 04 т ея СМ я 3 «л 8 8 © 04 С ‘35 [04 R
8 оч ю 3 |еч £ + 8 + 3 200е J о X IC4 I + 8 + 8 04 | 2 1 О X гДов + 8 + 8 h 04 | 9003 200е 150е' © X 3/4)8 + 8 + 8 04 | 9003
II II и ц II II II, II 1 II 0 0 II IIt II 1 II и 0 и it II 1 1 II II 1 1 • t и
51 щ| 51 е» 51 ul 51 51 51 ф 51 51 ul 51 51 С 51 51 - 3 4) • 51 51 51 51 V 51 51 «г 51
Е? или ег э с 3 э е 7Я с *
в я сч N е <Л ея К ем м ‘35 «л ч» е« ея с ‘35 <л 104 £ £ ея ея «л «л 104
7 ч> о бОе'" 104 1 3 о < о « (9001 is ю 1 X 104 I 3 3 кю-7 ’Л) о т 50е'- 60е'" О со 3 («/.- /МХИ © 7 © 7 .(90S 60е'" IC4 I 3 3 I? 7
и II II II II II lit II И 1 II 1 И । t к II II II II II II t 1 1 II 1 0 II 1 nt и
bul 51 51 51 ф X 51 51 5! 51 51 ф л 51 51 51 5! 51 51 51 51 5! 4) 51 51 *» 3 4) . 51
Ом 3 6 9 18 3 4 8 3 6 9 18 3 4 8 3 6 9 18 3 4 8 3 3 6 9 18 3 4 8 3
/?2, Ом 6 3 16 6 9 12 4 6 3 16 6 9 12 4 6 3 16 6 9 12 4 6 6 3 16 6 9 12 4 6
/?з, Ом 4 12 3 4 3 8 12 4 12 3 4 3 8 12 4 12 3 4 3 8 12 4 4 12 3 4 3 8 12 4
X,. Ом 4 8 12 24 4 3 6 4 8 12 24 4 3 6 4 8 12 24 4 3 6 4 4 8 12 24 4 3 6 4
Хг, Ом 8 4 12 8 12 16 3 8 4 12 8 12 16 3 8 4 12 8 12 16 3 8 8 4 12 8 12 16 3 8
Х3, Ом 3 16 4 3 4 6 9 3 16 4 3 4 6 9 3 16 4 3 4 6 9 3 3 16 4 3 4 6 9 3
- НеобхО- - Напрежение Un между уз- Режим работы источников Построить для пассивной ветви Напряжение l/и между точками
димо оп- лами 1 и 2 цепи питания Е\ н Е 2 цепи векторную диаграмму 2 и 3 цепи
ределнть тока и напряжений
Метод М< ;од законов Кирхгофа Метод контурных токов Метод узлового напряжения Метод наложения
решения
задачи
£ Величини
1 2 3 4 5
е\ или В 1 с <л Ю © "7> IC4 о ,с 1^ 'с х •Ez~. I*N 1 Ю 1 л э _с ’«л 1о< о (О
(»2 или £2. В с?" * _|_ ю ' О 1 с< «л * IC4 _|_ о 3 X — 1 (Л О "о X 1 •Ez~. '« ем |еч^ 'а 1 1 л 3 <л о 104 о °1
/?,. Ом Кг, Ом А /. 1, Ом XL2, Ом Х(;1, Ом X /;2, Ом 5 3 5 5 10 10 4 3 5 5
Замкнуты выклю- чатели в2 в. В2 В5 в, в. Вз в6 В, В4
Необходимо опре- делить £,. < Р, Q. S Z, 1т. ф.. р. Q £., г. i/13. Q Е,.Ег. Im. U,. S fi, г, Фп, Q
Установить режим работы истомника писания Ег £i Ег Е, Ег
Таблица 3.10
Варианты контрольного задания 3.108
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
з з э э
с G с с © с сч
1СЧ | 1сч 00 1СЧ |еч ।
о 8э © 4- © © + © "а + © О
© © © © © еч ©
3 3
<Л О 3 V) О
1^ О V2 sir + л/ /2 cos 1СЧ эд /2sin + ЛЛ ©
ао © э g1 + © + < —
с*Э эд 1 © о* -X 1
5 3 — 1 6 3 1 1 3 —
— — 5 — — — 0,5
— 4 5 — 8 — — 4 0,5 —
10 — — — 4 — — 10
в2 в2 Вл в2 Вг Bi в2 Вг В:, Вг
в, в5 в, Ви В5 В, Ви В5 В5 В<
Е>, 1, г. /, с,, г. ег. 1 Z, 1, Ег. Z. «2, Z, Ег. 2. гь Ег. Ег. Z.
1, 1/12. Q, 1. U\3, 1. и,,. Иц. 1. U„. 1т, i. UL. 1.и,г.
S S р р р Q U„. Р S_ Q Ul3. Q
Ег Е, Ег Ei Ег Е, Ег Е, Ег Ег
Величины
16 17 18 19 20
ei или £i, В 282 sin S _с ’л 8 18 + /24 ,Е 3 •» - > 1 81 24 +/32
е» или &. В — 141 sin («>/ + ”/2) л е + да 1 э. 12 +/16 «л «Ч о + 11 9 +/12
/?i, Ом 4 8 5 4 1
Ri, Ом — — 5 1
Хц, Ом — — — —
Xl2, Ом 3 — — 3 —
Хсь Ом — — — — —
АСс2> Ом — 6 — — —
Замкнуты выклю- в2 в> В2 в2 В»
чатели Bs в< В. Bs в<
Необходимо опре* 2, ll. Е,. i, ег. 2. е,. г. 1. 2.
делить Р. 4*2. Р 1, и,г. 1, и„. Ч>.2.
$_ Р S 1/.S.Q
Установить режим работы источника Е| Ег Е, Ег Ег
питания
Продолжение табл. 3.10
Варианты контрольного задания 3.108
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
э с 1еч > *-лЛ) + ю + 3 c 04 k|« <0 г 3 c in 3 c in 104 +
С*5 s oo Oi s 04 oo 04 ,s
3 м О 104 > S 7 Is 104 -|- еч т 35,25 sin at «Н О О 9l + 9 42,3 sin ш/ 80-\/2sin («>/ + "/2) 10
— 4 — — 6 5 1 7 6
— •— — — —- — 1 — — —
0,5 — — 1
— 3 0.5 — 7 5 — 6 8 1
10 — — 0.5 — — — — — —
10 — — 0,5 — — — — — —
в, в, В, Bi Bj Вз Ba B3 B2 Bl
в. в» Bs B« Bs В. Be Bs Bs Bs
е», г. £,.£,, еь г. ei. Z, Z. I, Z, Ei, Z, Ei, I, Z, /, «2, i,
<, О|э, Z, Л /, <> /, Ou, 4>„ Ot, oR, ₽, 0,3. P, 4i, Q. P. Z, 0,3,
₽ О„ S Q Q Q S S s Q
£> £» £, £j Ei Ei Ei Ei Ei Ei
Рис. 3.109
жения U на элементах электрической
цепи, составить баланс активных мощно-
стей. Комплексные Е илй мгновенные е
значения ЭДС источников питания, сопро-
тивления R резисторов и реактивные
сопротивления X элементов электриче-
ской цепи, а также предлагаемый метод
решения задачи для соответствующего
варианта задания приведены в табл. 3.9.
Дополнительное задание. Для соот-
ветствующего варианта задания опреде-
лить напряжение (713 между точками 1—3
и напряжение Un между точками 3—4
цепи, а также режим работы источников
питания. Построить для ветви 2—3 цепи в масштабе векторную диаграмму тока
и напряжений.
3.108. Для электрической цепи синусоидального тока (рис. 3.108) определить
действующие значения ЭДС и режим работы источников £, и £2, полное сопро-
тивление Z электрической цепи, ток /, его амплитудное и мгновенное 1 значе-
ния, напряжение U между заданными точками цепи, падение напряжения U R па
резисторе и на индуктивном сопротивлении U с, активную Р, реактивную Q, пол-
ную S, комплексную S мощности, цепи, начальные фазыф, тока и ЭДС. Извест-
ны мгновенные е или комплексные £ значения ЭДС источников питания, сопро-
тивления R резисторов, индуктивные XL и емкостные Хс сопротивления и поло-
жение выключателей В в цепи для заданного варианта задания, приведенные в
табл. 3.10.
3.109. Используя данные, приведенные в табл. 3.11 для электрической цепи
переменного тока (рис. 3.109) для каждого варианта задания, определить напря-
жение (7, действующее на зажимах цепи, показание ваттметра W, емкость С<
конденсатора при резонансе токов, если на участке 1—2 электрической цепи
амперметр А показывает ток / = 6 А, а частота тока питающей сети / = 50Гц.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений для всей электрической
цепи.
Дополнительное задание. Определить активное R, реактивное X и полное Z
сопротивления и соответствующие проводимости G, В и У, а также коэффициенты
мощности cos <р, полную S, активную Р и реактивную Q мощности ветвей и всей
электрической цепи переменного тока.
3.110. Электрическая цепь переменного синусоидального тока с частотой f —
= 50 Гц (рис. 3.110), находящаяся под действием напряжения U, содержит
активные Ri — Rs сопротивления, реактивные индуктивные Х/2. XLi, Хц н реактив-
ные емкостные Ась АС4, Хет сопротивления. По данным табл. 3.12 с учетом поло-
Рнс. 3.110
148
Таблица 3.11
Вари- анты Варианты контрольного задания 3.109 Вари- анты Варианты контрольного задания 3.109
Величины, Ом Величины, Ом
R, «2 xLI xL! Xci Rs хи %Д2 Xci
1 3 2 4 2 8 16 1,5 1,5 4 4 2
2 3 2 8 4 4 17 2 2 1,5 2,5 1
3 4 4 5 4 8 18 3 4 2 2 6
4 6 4 4 8 12 19 3 8 4 4 8
5 6 5 5 5 13 20 4 5 4 4 8
6 6 6 6 6 14 21 6 4 2 12 10
7 9 6 14 8 2 22 3 5 9 9 5
8 9 8 16 16 4 23 9 14 6 8 2
9 9 10 18 10 6 24 9 16 16 8 4
10 10 12 15 16 5 25 6 10 18 10 10
11 10 15 20 20 10 26 10 16 15 12 5
12 12 18 12 24 3 27 10 20 15 20 10
13 10 20 25 15 15 28 12 24 12 18 3
14 12 24 14 32 5 29 12 32 14 24 5
15 12 30 15 40 6 30 12 40 15 30 6
жеиия выключателей В>—В? определить для данного варианта задания приве-
денные в ней величины. Проверить соблюдение баланса полных S, активных, Р и
реактивных Q мощностей, построить векторную диаграмму напряжений и токов
Дополнительное задание. Определить комплексные У, активные G и реактив-
ные fl проводимости отдельных участков и всей электрической цепи.
3.11'1 . Методом коитуриых токов определить действующие 1 и мгновенные i
значения токов в ветвях электрической цепи переменного тока с частотой f=
= 50 Гц (рис. 3.111), режим работы источников ЭДС £,—£g, коэффициенты
мощности cos ср всей цепи, составить баланс активных мощностей. Комплексные
£ или мгновенные е значения ЭДС источников питания, напряжения U и полные
сопротивления Z ветвей для соответствующих вариантов задания приведены в
табл. 3.13.
Рис. 3.111
149
Таблица 3.12
Величины Варианты контрольного задания 3.110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5
и, в 100 100 100 141 200 141 100 100 100 100
1//.3, В//з, А — 32/- — — 32/- — — — — -/5 — 32/- — — 32/—
/?1, Ом 2 — 4 2 — 10 — 10 2 — 4 — 4 2
/?2, Ом — 4 — — 4 —. 2 — — 3 — 4 3
/?з, Ом — 12 8 — 12 12 10 12 — 7 — 7 24 5
/?«, Ом 6 — 3 6 — — — — 6 15 5 — 3 10 —
/?&, Ом 10 20 — 10 20 50 20 40 10 44 5 10 20 20 20
XL2. Ом — 4 — — 10 — 16 — — 4 — 4 — 4
X L3, ОМ — 16 6 — 16 16 10 16 — 24 — 24 7 — 12
X£6. Ом — 5 — — 50 100 — 50 — — — 5 30
Ясь Ом 5 — 4 5 — 10 — 10 5 — 10 — 4 5 —
Хс4, Ом 8 — 4 8 — — — — 8 20 12 — 4 24
Хсу, Ом 25 — 25 — — • 20 — 25 — 20 — — 15 —
Выключатели зам- Вь Вт. Вь Bi, Bs, Вь Bp. Вь Вз. Вз, Вь Вз, Bi, Bi, Вз.
кнуты В., Вз. Вз, Вз, Вз, Вз, B5, Вз. Вз, Вз. В,. B3, Вз. B«, Вз,
В5, Bs, Вз, Bs, Bs, Bs. Bs. B5. Bs, Вз Bs, Bs, Вз, Bs, Bs,
Вт Вз Bs Вт Bs Bs B, В, В, Bs Вт Bs Bs Вт B«
Необходимо опре- 1± 12, Zgfi. L. Z, Lb /з, lb lb и. J_t. L. d, dj- _h •
дел нт ь Is, 1з Zi, /p4, Zb lb lb lb lb L f.i, z^ Z,. lb /3,
ь lb z± lb L. lb P z. /аЗ. Lb COStpi, Za6, Рз. Pt, p.
/.4, Ua6, 1э, Pt. Lb Zl. Q. COSZ3, /рз. C0SIP4, h. Q3. Ps. Q.
COS ф! cosyh h Um lis COStpt Um Рз COStp 4 Ss Um costpj COStpi Ss sintp3
Величины
16 17 18 19
и, в 282 200 282 200
1//.3, В/б, А — — — — —
/?i, Ом 10 — 10 2 -
/?2, Ом — 2 — —
/?з. Ом 12 10 6
/?4, Ом — — — 6 1
Ri, Ом 50 20 40 10 4
Хи. Ом — 16 — —
Хи, Ом 16 10 8 — 2
X£ь, Ом 100 — 50 —
Леи Ом 10 — 10 5
^С41 Ом — — — 8 2
Хс7> Ом — 20 — 25 -
Выключатели зам* в,, Вз, Bl, В,, в
кнуты Вз, Вз, Вз, в«, в
В., Вз, Вз, Вз, в
В. Вз Вз Вт в
Необходимо опре- L L. L. L 1,
делить hi /.з. 1.3. <2з. h.
Р>, /рЗ. Pl, Рз. Рз,
s. S, Q.
COS COS Ср । ' cos ср S_
Продолжение табл. 3.12
Варианты контрольного задания 3.110
0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
- 200 200 200 282 200 282 100
/5 — 64/ — — — -/5 — — — 32/- —
- 2 — 4 2 — 10 — 10 — 4
3 — 4 — — 3 — 2 — 3
7 — 12 8 — 7 12 10 6 5 24
5 6 — 3 6 15 — — — — 3
4 10 20 20 10 22 25 20 40 10 20
4 — 4 — — 4 — 16 — 4
4 — 32 6 — 24 16 10 8 12 7
- — 5 — — — 100 — 50 30 —
- 5 — 4 5 — 10 — 10 —, 4
0 8 — 4 . 8 20 — — — — 4
- 25 — — 25 — — 20 — — —
2. Вь Вт, в,. Вз, Вз, в,. Вз, Вь Вз, Вь
3> В., Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, В3, Вз,
4. Bs, Bs, Вз. В5. Вз, В5, Bs. В5, Bs, Вз,
S Вт Bs Bs Вт Bs В. Вт В, Bs Bs
Лт L L. Z, /, /, /, h. /,
/.з, /а2> /з, Ьз Рз. 1зЗ. Z, Z, z. Уз
Рз, /р2, Sj Рг. <?3, /рЗ. 2 об. Рз. Zi. 3,,
Qi. <2. Ул». <2з. $1. з,. S1. S3. Рз. sin фз.
8 COS фз СО5фз СО5ф4 8. 81Пф| СО8фз и»6 СОБфз U.6
Величины
1 2
£i(ei), В — —
£э(ез), В —70,5 sin ш/ 100V2sin at
£4(е4), В 56,4 sin at —
£s(es). В 141 sin (©/-"/>) 100-\/2sin (<о/+л/2)
£«(ев), В 100 50
и, В — —
Zi, Ом — —
Z?, Ом — —
2з, Ом 3+/4 6+/8
Zt, Ом 6+/8 —-
Z}, Ом 3+/4 9+/12
Ze, Ом — 12+/16
Z7, Ом — —
Z», Ом 9+/12 34-/4
Z9, Ом — —
Zip, Ом — 3+/4
Выключатели замкнуты Вз, Bi, Въ, & <SdS
Режим работы источников питания Et Es
Мгновенный ток ветви замкнутого выключателя В, Bi
Таблица 3.13
Варианты контрольного задания 3.111
3 4 5 6 7
— — 200~\/2sin (of 100 —
1 (X>V2sin (of 50V2sin (<0/4"/2) 100 200-\/2sin (of 10OV2sin (of
100-\/2sin 50-\/2sin <of 200-\/2sin 50 100-\/2Яп
М4"/>) <(о!4"/г) ((of4”A)
50 25 50 200V2sin ((of4"A) 100
100 50 — — —
— — 34/4 34/4 —
— — — — 1.54/2
34/4 64/8 64/8 64/8 64/8
64-/8 34/4 94/12 64/8 34/4
94/12 124/16 — — —
12-/16 3-/4 64/8 94/12 3-/4
— — 3-/4 3-/4 —
3-/4 64/8 — — —
Вз, В5, Вз, Bs, Вь Вз, Bi, Вз, В2, Вз,
В?, Be В7, В» Bs, В» В$, В» В5, Be
£3 е5 £з £> £2
Вз Bt В| Вз в8
Величины
8 9
£i(e,), В — —
£з(ез). В 100-)/2 sin (<0< + ’/2) 100
Н,(е-«). В — —
Е>(е„). В 106 141 sin (о>Г-*Л)
£р(ев), В 1001/2ш/ —70,5sin<pi
и. В —
Zi, Ом — —
Zi, Ом 3+/4 6Ч-/8
Z3, Ом 94-/12 1,54/2
Z«, Ом — —
Zs, Ом 3+/4 3+/4
Ze, Ом — —
Zr. Ом — —
Za, Ом 3-/4 3-/4
Z9. Ом — —
Zip, Ом — —
Выключатели замкнуты ft. ft. ft. ft ft, ft* ft. ft
Режим работы источников питания • Е3 Ег
Мгновенный ток ветви замк- нутого выключателя Вг
Продолжение табл. 3.13
Варианты контрольного задания 3.111
10 11 12 13 14 15
—70,5sina>/ 56,4 sin ш/ 141 sin (<>/—*/2) 100 94-/12 34-/4 64-/8 3-/4 100-\/2sin (<|><4-"7з) 100 100V2sin<i>/ 34-/4 94-/12 64-/8 124-/16 34-/4 50-\/2sin<»/ 50-/2sin (ш/4-"/з) 25 50 3-/4 34-/4 34-/4 34-/4 64-/8 50 50->/2sin<i>/ 50-\/2sin (<|>/4-“/з) 25 64-/8 64-/8 94-/12 64-/8 34-/4 50 200-|/2sin (<|>/4-“/з) 100 200V2sin<i>/ 64-/8 34-/4 94-/12 64-/8 64-/8 100 200-7 2sin 50 200->/2sin (ш/4-"/з) 64-/8 34-/4 94-/12 64-/8 34-/4
Вз. В., Bs, В« Вз, Bs, Bs,-Вз Вз, Bs, Вз, В, В,. Bs, Вз, В, Bi, В,, В,. В, Вь Вз, Bs, В.
Bs Вз Вз В. Bi Bs
Вз В. Вз Вз В, Bl
*
Величины
16 17
ft, ei, В — 10OV2sin<i>t
£з» вз. В —70,5sin<i>/ 50
fi. et. В 141 sin(<o/— -’/z) —
е5. В 56,4 sin <о/ 100V2sin (art 4-7.)
Г<, ев, В 50 25
и, В — —
Zi, Ом — 34-/4
Zz, Ом — —
2з, Ом 64-/8 64-/8
Zz, Ом 64-/8 —
Zs, Ом 3-/4 124-/16
Zu, Ом — —
Z?, Ом — —
Ze, Ом З-Ь/4 34-/4
Zg, Ом — 6-/8
Z ю. Ом — —
Выключатели замкнуты Вз, В,, Bi, Вз,
Bs, Be Bs, Bs
Режим работы источника питания fs f,
Мгновенный ток ветви замкнутого выключателя B5 Вз
Продолжение табл. 3.13
Варианты контрольного задания 3.111
18 19 20 21 22
50i/2sin —70,5 sin ш/ 100 100->/2sin 50-\/2sin<iT/
(“<+*/») (“<—"/»)
— 56,4 sin ш/ 56,4 sin <о/ — —
50 141 sin (от/— 141 sin (от/— 50 50-\/2sin
-’/т) —’/г) (“<+"/»)
50-/2sin <ot 50 —70,5 sin ш/ 100^2 sin от/ 25
— — — — 50
— — —• — —
— — — — —
34-/4 34-/4 3-/4 9+/12 34-/4
— 64-/8 9+/12 — —
64-/4 34-/4 34-/4 34-/4 6+/8
34-/4 — — 124-/16 —
— — — — 64-/8
9+/12 3+/4 64-/8 154-/20 34-/4
— — — — —
3-/4 — — 34-/4 64-/8
Вз. Bs, Вз, В4, Вз, Bt. Вз, Bs, Вз, Bs,
Вт, В» В5, Se Bi, Bi B6, Bs Вт, Bs
Е> Bs E3 Bs B,
ВЙ Bs Bt Bs Bs
Величины
23 24
Bl, в|, В 50
£з, ₽з. В 50^/2 sin ш/ 100
Et, е«. В
Ез, вз, В 50-\/2sin <в/ 50i/2sin (<*+"/,)
£|, «в, В 50 50т/2 sin <ot
У, В 25
Zi, Ом — 6+/8
Zt, Ом — —
Z*, Ом 3-/4 1,5-/2
Zt, Ом — <—
Zs, Ом 3+/4 3+/4
Z8, Ом — —
Zi, Ом 3+/4 —
Zj, Ом 6+/8 6+/8
Zj, Ом — 3+/4
Zu>, Ом 9+/12 —
Выключатели замкнуты Вз, Вз, В,, В» Вь Вз» а», в8
Режим работы источников питания Ез Ei
Мгновенный ток ветви замк- нутого выключателя Вз Вз
Продолжение табл. 3.13
Варианты контрольного задания 3.111
25 26 27 28 29 30
75 50^/2 sin 100 50i/2sin М+’Л) 64/8 1,54/2 1,54/2 64/8 64/8 50-)/2sin<i>t 75 50i/2sin (<о/4”Л) 50 64/8 1,54/2 64/8 64/8 94/12 50т/2 sin (<|><4"/з) 25 50i/2sin<i>t 50 64-/8 34/4 6+ /8 64/8 94/12 100^/2 sin <oi 100i/2sin M4V,) 50 25 64/8 6-/8 34/4 64/8 3-/4 50 100 100i/2sin<i>l 100i/2sin (ь><4’/2) 64/8 94/12 124/16 64/8 34/4 141 sin (ш/-”/з) 100 —70,5sin<o/ 56,4 sin ш/ 64/8 3-/4 94/12 64/8
•Вь Вз, в5, Вз В>, Ез. Bs, В, Вз. Bs, Вг, Вз Вз, Bs, В7, Be Вз, Вз, Вв, Вв Вз, В,, В5, Вз
Ез Ез Ез. ' Ев Ев Ез
В, Вв Bs Вв Вз Вз
Глава 4
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
$ 4.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ
Наличие нелинейных элементов, содержащихся в источниках
питания и потребителях электрической энергии, является причи-
ной появления периодических несинусоидальных ЭДС, напряже-
ний и токов в электрических цепях. Периодические несинусои-
дальные токи способны оказывать неблагоприятное воздействие
на работу измерительной аппаратуры, создавать добавочные
потери в электрических машинах и аппаратах, вследствие чего
возникает дополнительный нагрев и соответствующее снижение
их КПД, появляется мешающее воздействие на линии связи.
Вместе с тем в системах автоматического управления, вычисли-
тельной технике, телевидении, радиотехники и т. д. широко ис-
пользуются устройства, предназначенные для получения периоди-
ческих несинусоидальных напряжений и токов. Несинусоидаль-
ные токи возникают и при выпрямлении синусоидального тока в
постоянный.
В процессе анализа электрической цепи с периодическими
несинусоидальными токами кривые несинусоидальных ЭДС, на-
пряжений и токов, удовлетворяющие условиям Дирихле, пред-
ставляется возможным разложить в гармонический ряд Фурье.
Кривая периодического несинусоидального напряжения, дей-
ствующего на зажимах электрической цепи, может быть описана
следующим тригонометрическим рядом:
u = Un 4~ 1/imSin (со/ 4" ^2mSin (2<о/ -|- i|?2u) 4"”4"^кт5!пЛ<о/-|-
-ЬЧ’к")-
Аналогичным рядом может быть описана и кривая периодической
несинусоидальной ЭДС в электрической цепи
е= fo + fimSin (со/-|-£"2mSin(2со/4-ф2₽)Н--FfxmSin +
4 Ч,ке)-
Под действием периодического несинусоидального напряже-
ния или несинусоидальной ЭДС в’ электрической цепи возникает
соответствующий периодический несинусоидальный ток:
i— /о 4- /imSin (о>/ 4* 'фи) 4- /jmsin (2w t 4" 'фгО 4" ••• 4-/xmSin (kuit 4-ip»,).
156
Постоянные, составляющие несинусоидального напряжения,
ЭДС и тока равны их средним значениям за период Т:
Т г т
Е^Е^ЦеМг, 7о = 4₽=|рт
О О о
где Ulm, Elm, IXm — амплитудные значения основной
(первой) гармоники несинусоидального напряжения, ЭДС
и тока; U2m, .... Ukm, E2m ... Ekm и I2m ... Ikm — амплитудные
значения высших гармоник периодических несинусоидальных
напряжений, ЭДС и тока; трт, тр2«, .... фки; xpiu, xp2«, ••• ф«г, фи,
фя. . .> фм — начальные фазы первой и высших гармоник напряже-
ния, ЭДС и токов.
При расчете и анализе электрических цепей периодического
несинусоидального тока используют принцип наложения, в соот-
ветствии с которым периодическое несинусоидальное напряжение
или ЭДС источника питания можно представить в виде совокуп-
ного воздействия нескольких последовательно соединенных ис-
точников. Периодический несинусоидальный ток определяется
как сумма токов, обусловленных постоянной составляющей и
гармоническими составляющими периодических несинусоидаль-
ных напряжений или ЭДС в данной электрической цепи. Причем
переменные составляющие тока, соответствующие каждой из гар-
моник, определяют по методам расчета цепей переменного тока,
а постоянную составляющую тока — по методам расчета цепей
постоянного тока.
При этом должно быть принято во внимание, что реактивное
индуктивное сопротивление электрической цепи для данной
гармоники тока с возрастанием порядка высших гармоник уве-
личивается по сравнению с его значением = соответст-
вующим первой гармонике тока, пропорционально номеру высшей
гармоники, т. е. Xl* — ktatL. В это же время реактивное емкостное
сопротивление электрической цепи Хс* для данной гармоники тока с
возрастанием порядка k высших гармоник уменьшается по сравне-
нию с его значением Xci = l/(wiC), соответствующим первой
гармонике тока, обратно пропорционально номеру высшей гармо-
ники, т. е. == С), Активное сопротивление электрической
цепи RK для данной гармоники тока вследствие относительно не-
больших частот высших гармонических составляющих тока, име-
ющих место на практике, принимается равным его значению, соот-
ветствующему основной гармонике тока, т. .е. R*==Ri.
Действующие значения периодических несинусоидальных
напряжения, ЭДС н тока приняты равными среднеквадратичным
их значениям за период Т:
U=~\J -М 1?(/И=д/ Е=~\1 -1J X
‘и Л = 0 v 7 Jo
157
Xe\t)dt=-yj i El -L\ i\t)dt =
fe=O ' 0
=V 2 &
» = 0
В результате интегрирования полученных выражений форму-
лы для определения действующих значений периодических неси-
нусоидальных напряжения, ЭДС и тока приводятся к виду
U = Vt/g +(/,’ + t/2K=V^ + ^(^+^m +
4- ...-4-t/кт); E=~yJ£o-4~E\-\-Ег4-• •• 4"E\=-yJ4-
-|—2 (1 m 4- 4- • • • 4- й«); 1 4- /? 4-/14- 4~ / к—
= \/lo + ~(Ilm + l2m 4-/*„).
Действующие значения периодических несинусоидальиых
напряжений, ЭДС и токов в электрических цепях несинусоидаль-
иого тока измеряются с помощью электрических приборов элект-
ромагнитной, электростатической и электродинамической систем.
Активная мощность электрической цепи периодического4.иесину-
соидального тока определяется как среднее значение мгновенной
мощности за период Т:
т г
Р=1 {p(t)dt = -L-\i(t)u[t)dt.
т J 'о
„ 0
С учетом приведенных выше выражении для мгновенных
значений периодических несинусоидальиых тока i и напряже-
ния и после их подстановки и интегрирования получим выраже-
ние для активной мощности цепи как сумму мощности постоян-
ной составляющей и мощностей гармонических*составляющих:
Р=£ UJkCos q>K=Uo/o4-f/i/i cos q>i4-f/2/2Cosq>2 4- -4-WkCOS <рк.
* = o
Здесь углы сдвига фаз между соответствующими гармоничес-
кими составляющими напряжений и токов:ф| = ф|« — фк; ф2 =
= ф2«— фг/5 фк=фки—фю.
При этом реактивная, мощность может быть рассчитана как
сумма реактивных мощностей гармонических составляющих:
Q= 2 UJKs'm tfK=Utlt sin ф14-^2/2 sin ф24-.„4-
* = 0
4- UA sin ф«.
Полная мощность электрической цепи периодического несииу-
соидального тока определяется как произведение действующих
I5S
значений несинусоидального тока и несинусоидального напряже-
ния:
5=л/ f U'i f 72к= Ul.
* k - а к=о
Среднюю мощность несинусоидального тока за период можно
определить по действующим значениям несинусоидальных
напряжения I/ и тока / при замене их равнозначными синусои-
дальными напряжением и током с одинаковыми действующими
значениями напряжения U и тока /, при этом Р = Ul cos <рц,
откуда можно определить условный коэффициент мощности
cos фц = P/(UI), который не является тригонометрическим косину-
сом угла сдвига фаз между действующими значениями несинусои-
дальных напряжения U и тока /, а представляет собой некоторое
условное его значение.
При анализе формы зависимостей периодических несинусои-
дальных ЭДС, напряжений и токов во времени используются
коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины и
степень их отличия от синусоидальных величин. Коэффициенты:
т
формы Кф = ///ср.мод., где /ср. м<>д=-7-$ амплитуды К а —
' о
= Л1; среднего значения Кср=-^; пульсаций гармо-
ник /С = -^-, где /г= V/J+TI—действующие значения высших
гармонических составляющих периодического несинусоидального
тока искажения К»=Ц/1.
Аналогичным образом определяют и коэффициенты, характе-
ризующие периодические несинусоидальиые ЭДС и напряжения.
Для синусоидальных величии ЭДС, напряжения и тока указан-
ные коэффициенты имеют значения: Кф=1,11; К,= 1,41; /Ср=
= 0; К„=1; /С=0.
Литература. [1) § 5.1—5.8; [2] §4.1—4.4; [3] § 7.1—7.5.
Примеры решения задач
4.1. К зажимам неразветвлениой электрической цепи перемен-
ного тока (рис. 4.1), содержащей резистор с активным сопротив-
лением R= 10 Ом, конденсатор С, имеющий емкостное сопротив-
ление Хс = 5 Ом, и индуктивности L\ &
и Lz с индуктивными сопротивления- е .
ми Хи = 10 Ом и Хг2= 10 Ом, прило- oio-r~~i ~~ { 1
жено периодическое иесинусоидаль- i г I
ное напряжение, мгновенное значе- “I
ние которого u= (20-|-20-^2sin<o(),B, *
с угловой частотой переменной со-
Рис. 4.1
159
ставляющей <о = 314 рад/с. Определить действующие значения
переменных составляющих тока / и напряжения U, выражение
для мгновенного значения тока I, а также максимальное и мини-
мальное значения несииусоидального тока в электрической
цепи.
Решение. В соответствии со структурой заданного выра-
жения для мгновенного значения напряжения последнее может
быть представлено в следующем виде:
и = (t/o -j- t/|mSin О>/) В,
где t7o=2O В — постоянная составляющая; U\m = 2(hj2 В —
амплитудное значение первой гармонической составляющей пе-
риодического несинусоидального напряжения.
Действующее значение переменной составляющей напряже-
ния: U] — Uim/-\/2 = 20^/2/^j2 — 20 В. Полное сопротивление
электрической цепи для переменной составляющей (первой
гармоники) несинусоидального тока в соответствии со структурой
цепи:
^=^+^'+^^=5+/,0+^7Йж=,0+
+ /10 —/10= 10 Ом,
откуда Zt = 10 Ом.
Значения переменной составляющей тока:
действующее Л_= UtZt = 20/10 = 2 А, откуда /| — 2 А; ампли-
тудное /im = /i-\/2==2V2~ А.
Выражение для мгновенного значения переменной составляю-
щей тока: j|=/imSin<o/=(2VTsina>0А.
Величина постоянной составляющей тока в цепи: /0 = Uo/R =
= 20/10 = 2 А.
Выражение для мгновенного значения периодического несииу-
соидального тока: «=/о+«|== (2 + 2^2 sin cot) А.
Значение мгновенного тока в цепи: максимальное: /тах=
= /о 4- /im = 2 + 2-у^=4,84 А; минимальное: /m>n=/o —/im = 2 —
—2V2= —0,82 А.
4.2. Неразветвленная электрическая цепь переменного тока
содержит катушку индуктивности с активным сопротивлением
/?=5 Ом и индуктивностью L = 31,9 мГн и конденсатор, емкость
которого С=91 мкФ. Определить действующие значения тока 1
и напряжения U, активную Р, реактивную Q и полную S мощ-
ности электрической цепи, находящейся под действием периоди-
ческого несииусоидального напряжения, мгновенное значение ко-
торого и = (100 +1005/2 sinaK + 76 sin3co?) В, а угловая частота
<0 = 314 с-'.
Решение, Структура мгиовеииого значения данного перио-
дического несииусоидального напряжения может быть представ-
160
лена в общем виде: и = 77о + tAmSin <о/-|- (AmSin Зсо/) В, из
которой следует, что Uc, — 100 В — постоянная составляющая
напряжения, U\m = ЮО-у^ГВ и Ihm = 76 В — амплитудные зна-
чения соответственно первой и третьей гармоник несинусоидаль-
ного напряжения.
Так как в электрической цепи имеется конденсатор С, сопро-
тивление которого для постоянного тока (частота / = 0) состав-
v 1 । 1 „
ляет Хс=—„ =оо, то постоянная состав-
ите 2я)С 2-3,14-0-С
ляющая периодического несинусоидального тока /о=О.
Реактивные сопротивления катушки индуктивности и конден-
сатора при частоте для основной угловой частоты ш=314-1 пере-
менной составляющей тока: ATlt = coL = 2itfL = 2 • 3,14 • 50 х
X 0,0319-!,0 Ом; X.e-i-^-^.35 Ом.
Полное сопротивление электрической цепи, соответствующее основ-
ной частоте ю=314 с-1 тока:
Zt =v/A2 + (T1L-Ar1£)2=4/52+(l,0-35)2=34,5 Ом.
Значения первой гармоники тока:
амплитудное: 7lm=77lm/Z| = 100>/2/34,5=4,l А; действующее:
7,=7, „/72=4,1/1,41=2,9 А.
Условный коэффициент мощности электрической цепи, соответст-
вующий первой гармонике тока: cos <pl = R/Zl — 5/34,5=0,145, отку-
да угол сдвига фаз <p j = 88°54' =0,488 п.
Так как для основной частоты тока в электрической цепи пре-
обладает емкостное сопротивление (Хс> Xl), т. е. нагрузка име-
ет Шктивно-емкостный характер, ток Ц опережает соответствую-
щее напряжение на угол <рь
Реактивные сопротивления катушки индуктивности и конден-
сатора для третьей гармоники тока: X3I = 3a>L = 3-2itfL = 3*
i i io6
X 2 • 3,14 • 50 • 0,0319—30 Ом, Хзс= 3(йС = 3.2л/с= 3-2-3,14-50-91 =
= 11.66 Ом.
Полное сопротивление цепи для третьей гармоники тока:
Z3 у'5-’ + (30-11.66)1'=7361,35= 19 Ом.
Коэффициент мощности электрической цепи, соответствующий
третьей гармонике тока: cos <р3=/?/Z3=5/19=0,263, откуда
угол сдвига фаз между соответствующим напряжением и током:
<p3=arccos 0,263 = 74°40' = 0,416 л.
Полное сопротивление электрической цепи для третьей гар-
моники тока носит активно-индуктивный характер, т. е. ток
третьей гармонической составляющей отстает от соответствую-
щей составляющей напряжения на угол <р3 = 74°40' = 0,416 л.
Значение третьей гармоники тока:
амплитудное: 1Ят — Uim/Zi -= 76/19 = 4 А; действующее: /3 =
= 1Лт/уГТ= = 2,836 А.
6-217 161
Действующеезначение периодического несинусоидального
тока цепи; 7= Jl2+12+ 12ъ =V0+3,922+2,8362 =4,84 А.
Выражение для мгновенного значения иесииусоидального
тока в цепи:
i=5,53 sin(o>/-|-<pi) 4-4 sin(3<o/ —<p3) = [5,53 sin(3,14/-|-
4-0,488 n)-|-4sin (942/-0,416л)].
Действующее значение напряжения источника питания:
u-д/ и+(-^-)’+(-^-)'~'У 1°0‘ +
4^ 142.44 в.
Активная составляющая мощности электрической цепи, обус-
ловленная постоянной составляющей иесииусоидального тока:
Ро = t/0/0=iooo=o.
Активная мощность, обусловленная токами первой и третьей
гармоник несииусоидальиого тока: Р\ = I2R = Utlt cos <pt =
= ЮО^А/Т-3,92-0,196 =76,83 Вт, где y,=-^-=J^l=
= 100 В; P3=llR= U3l3cos фз = 76/^2 • 2,836 • 0,263 = 40,2 Вт,
где и3= ^=-^8.
Мощности электрической цепи несинусоидального тока:
активная: P=P0-]-Pt 4-Р3 =04-76,83 4-40,2= 117,03 Вт; ре-
активная: Q= Uth sin ф| +U3/3 sin ф3=10^2?~ 3,92 • 0,98-|--^=Х
X 2,836 • 0,964 = 384-|-147,5=531,5 вар; полная: S = UI =
= 142,44-4,84 = 689,4 В-А.
Условный коэффициент мощности электрической цепи несину-
соидального тока: cos ф = Р/( Ul) = 117,03/( 142,44 • 4,84) = 0,17.
4.3. По данным задачи 4.2 определить мгновенное и и дей-
ствующее U напряжение на зажимах катушки индуктивности.
Решение. Полное сопротивление катушки индуктивности
для первой и третьей гармоник иесииусоидального тока: Zi =
= 7/?24-AL=V52 + 102= 11,18 Ом; Z3=/?2 +XlL= з/52 4-302=
= 30,41 Ом.
Коэффициенты мощности катушки индуктивности, соответ-
ствующие первой и третьей гармоникам несинусоидального тока:
cosqn = Я/Zi = 5/11,18 = 0,447; cosq>3 = R/Z3 = 5/30,41 =0,164,
откуда углы сдвига фаз ф| = 0,35л; <р3 = 0,494л.
Значения первой и третьей гармоник напряжения на катушке
индуктивности:
амплитудные: Ut„ = Zthm = 11,18-5,53 = 61,82 В; U3m =
162
= Zthm = 30,41 *4 = 121,64 В; действующие: =-777-=—=
л/2 д/2
= 43,84 В; U3 = -^- = 12164 = 86,26 В.
V2 /2
Действующее значение периодического несинусоидального
напряжения иа катушке индуктивности: U = y 'U i U 'i =
= V43,84- + 86,262 = 96,76 В.
Выражение для мгновенного периодического несинусоидаль-
ного напряжения на катушке индуктивности: и = t/imsin(co/ +
+ <pi -j- <рз) -j- Uзт sin(3co/ — ф1 + фз) = 61,82 sin(314/ -j- 0,838л) +
+ 121,64sin(942/ — 0,078л).
4.4. В электрической цепи переменного тока соединены
параллельно катушка индуктивности с активным сопротивлением
/? = 5 Ом и индуктивностью L=31,9 мГн и конденсатор с ем-
костью С = 91 мкФ. Определить составляющие тока и активные
мощности катушки индуктивности и всей цепи, находящиеся под
действием периодического несииусоидального напряжения, мгио
венное значение которого представлено выражением « = (100 +
+ 100^/2-since/ + 76sin3co/) В.
Решение. Полные сопротивления параллельных ветвей
для тока первой гармоники: Zu.= /? + /Xi/ = (5+/10) Ом, Ztc=
= —jXtc= —j35 Ом, откуда Z\t. = д/5~ + 102 = 11,2 Ом и Zic —
— 35 Ом..
Постоянная составляющая несииусоидального тока цепи ка-
тушки: laL-= /0= Uo/R= 100/5 = 20 А, так как индуктивность
катушки не влияет иа значение постоянного тока.
Действующее значение тока первой гармоники в цепи катуш-
ки индуктивности: IiL=
“ £ и
100/2 _ 100(5-/10)
/2(5 +/10) (5 + /10)(5-/10)
^500—/>000 0 _ уф д, откуда ток /ц = д/42 + 82 = 8,94 А.
5 + 10
Аргумент комплексного тока: фц. = arc.tg = arctg(—2),
откуда ф|£ = 296°30' = 1,64л.
Комплексный ток первой гармоники: /и. = /е'*|1 = 8,94е'|'64л А.
Действующее значение тока первой гармоники в цепи конден-
сатора he — U \/Z ic=—2°^ = _222. =/2,857 А, откуда ток
у2(—/35) —/35
/1С = 2,857, А.
Амплитудное значение первой гармоники тока катушки индук-
тивности hmL = l\L V2=8,94->/2= 12,61 А.
Амплитудное значение первой гармоники тока в цепи конденса-
тора: ilmC — heyfi = 2,857-^2 = 4 А.
163
Действующее значение тока первой гармоники в неразветвлен-
ной части электрической цепи в соответствии с первым законом
Кирхгофа: Л_ = ///. 4- Лс = 4-/8 4- /2,857 = (4 — /5,14) А,
откуда ток /| — д/42 4- 5,142 = 6,51 А. Аргумент комплексного то-
ка /, неразветвлениой части цепи первой гармоники: ф, =
arctg 5^'-откуда ф| = 0,288л.
Амплитудное значение первой гармоники тока в неразветвлен-
ной части электрической цепи: /,т = д/2/i = V2 • 6,51 = 9,18 А.
Полные сопротивления параллельных ветвей электрической
цепи для третьей гармоники тока Z 3t = /? 4 jX.iL = (5 4- /30) Ом;
Z_-ic — — jXic — — /11,66 Ом, откуда Z3t = 52 4- 302 = 30,41 Ом;
Z3C= 11,66 Ом.
Токи третьей гармоники в параллельных ветвях электрической
, Lb 76 _ 53,9(5 -/30) _ 269,5-/1617 _
цепи: ±3L - - ^2(5 +/30) ~ (5-f-/30)(5 - /30) 52 4- зо2
= (0,29 - /1,75) А, откуда hL = л/0,292 4 1,752 = 1,77 А; _hc =
= -=^— = = /4,74 А, откуда he = 4,74 А.
Аргумент комплексного тока _/зд третьей гармоники: ф</. =
= arctg ~'^5 откуда фи = 280° = 1,55л.
Амплитудные значения токов третьей гармоники в параллель-
ных ветвях электрической _цепи: /3тЛ =/злд/2 = 1,77д/2 =
= 2,495 А; 13тС = 1ЗС^2 = 4,74^2 = 6,68 А.
Действующее значение третьей гармоники тока в неразвет-
вленной части электрической цепи:_/з =_hi +_Ьс= 0,29 — /1,754-
4- /4,74 (0,29 4- /3) А, откуда /3 = л/0,292 4- З2 = 3,01 А.
Аргумент комплексного тока третьей гармоники 13 в нераз-
ветвленной части цепи: ф3 = arctg 7Д3-, откуда ф3 = 84°20' =
= 0,466л. 0,29
Амплитудное значение тока третьей гармоники /3 в нераз-
ветвленной части цепи: hm = b~2h = 1,41 • 3,01 = 4,25 А.
Мгновенное значение тока катушки индуктивности: it — /о4-
4-i!l4-he— h4-/imtsin(314/— ф|£.)4-7зт£ sin (3-314/ — ф;зг) =
=20 4- 12,61sin(314/- 1,64л) 4-2,494sin(942/- 1,55л).
Мгновенное значение тока конденсатора: ic = <44- he =
= /imCsin(314/ 4- л/2) 4- 7зтс81п(3<о/ 4- л/2) = [4 sin(314/ 4-
4- л/2) 4- 6,68(942/ 4- л/2)] А.
Выражение для мгновенного значения тока в неразветвлениой
части электрической цепи: i = /0 4- й + h = h 4- /imsin(314/ 4-
4- <Pi) + /smSin(3-314 4- ф3) = 20 4- 9,18sin(314/ 4- 0,228л) 4-
4- 4,25sin(942/ 4- 0,466л).
Действующее значение тока цепи катушки индуктивности:
h = + Hl = V202 4-8,942 4- 1,772 = 22,03 А.
164
Действующее значение тока цепи конденсатора: /с = +
ТЛГ= л/2,8572 + 4,742 = 5,53 А.
Действующее значение тока в неразветвленной части элек-
трической цепи: / = -\//o + /f+ /з = д/20:! + 6,512-]-3,012=21,25 А.
Активная мощность, потребляемая конденсатором, Рс = 0, так
как активное сопротивление конденсатора практически равно пулю
(Rc=0). Активная мощность, потребляемая катушкой индуктив-
ности: Pl= UoIo-{-U\1 ilcos<piz. + £/з/з/.со5фзг.= 100-20-]- *°^2 X
X 8,94 • 0,447 + 76Л/2~- L77 - 0,164 = 2415,25 Вт =2,415 кВт.
Активная мощность всей цепи: Р = PL + Рс = 2,415 + 0 =
= 2,415 кВт.
4.5. В условиях задачи 4.4 определить коэффициенты 7<и, /О,
Кп, характеризующие периодический несинусоидальный ток на
неразветвленной участке электрической цепи.
Решение. Коэффициент искажения, равный отношению
действующего значения основной гармоники тока к действующе-
му значению несинусоидального тока, К« = Л// = 6,51/21,25 =
= 0,306.
Коэффициент гармоники, равный отношению действующего
значения высшей гармоники несинусоидального тока к действую-
щему значению основной его гармоники, Кг — Р/1\ = 3,01/6,51 =
= 0,462, где Ir=-yJPi + H + ... - V7F= л/3.012 = 3,01 А (четных
гармоник кривая несинусоидального тока не содержит (/2=0).
Коэффициент пульсаций, равный отношению амплитудного
значения основной гармоники тока к постоянной составляющей
несинусоидального тока, К„ = 1Хт/10= 9,18/20 = 0,459.
Задачи
4.6. В неразветвленной электрической цепи переменного тока
протекает периодический несинусоидальный ток, выражение для
мгновенного значения которого имеет вид i = [141 sinwZ
4- 84,6sin3w( -f- 56,4sin5w/] А. Определить действующее значение
несинусоидального тока в данной электрической цепи. Ответ: I —
= 123,29 А.
4.7. Катушка индуктивности L и конденсатор С соединены
параллельно и подключены к источнику несинусоидального
напряжения, мгновенное значение которого и = 150 + 282sinw/-|-
+ 141 sin3tofB. Определить постоянную составляющую несинусо-
идального тока, если активное сопротивление катушки,индуктив-
ности /?к= 15 Ом. Ответ: /о= 10 А.
4.8. Определить коэффициент амплитуды Аа, коэффициент
формы Кф и коэффициент искажения К» зависимости /(/) периоди-
ческого несинусоидального тока, мгновенное значение которого
представлено выражением j= (lOOsinw/ -|- 30sin2w() А. Ответ:
К,= 1,58; Кф= 1,16; К„ = 0,96.
165
Таблица 4.1
Вели- чины Варианты контрольного задания 4.14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . 13 14 15
и, В u(0 — 80V2sina/ 4- 50V2sin3<u( 4- 2&V2sin5a>/
R, Ом 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7
L, мГн 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 46,8
С, мкФ 265,5 91 88,5 29,5 29,5 88,5 91 265,5 91 88,5 29,5 265,5 91 88,5 29,5
Продолжение табл. 4.1
Вели- чины Варианты контрольного'задания'4.14
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и, В л(0- 40 4- 8OV2sin<al 4- 50т/2з1пЗш<
R, Ом 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 12 12 12
L, мГн 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85 47,8 63,7 15,98 31,85
С, мкФ 265,5 91 88,5 29.5 265,5 91 88,5 29,5 265,5 -91 88,5 29,5 265,5 91 88,5
4.9. Электрическая цепь периодического несинусоидального
тока, содержащая катушку индуктивности с активным сопротив-
лением Я, = 18 Ом и индуктивностью Z.| = 60 мГн, последова-
тельно соединенную с резистором, сопротивление которого /?> =
= 30 Ом, подключена к источнику несинусоидального напряже-
ния и= [ 120 -|- 200sinw/ + 50sin(3<u/ +-?•)], В. Определить
активную Р, реактивную Q и полную S мощности элек-
трической цепи. Ответ. Р = 0,67 кВт; Q = 153,42 квар; S = 706,86 кВ А.
4.10. По условиям задачи 4.9 определить максимальные зна-
чения основной /|т и третьей /з™ гармоник периодического неси-
нусоидального тока в электрической цепи. Ответ. = 3,88 А;
= 0,674 А..
4.11. Мгновенное значение периодического несинусоидального
тока в электрической цепи соответствует выражению « = [3 4-
4-5,88sin(<oZ — 0,915л) 4-26sin(3<o/4- 0,305л)], А. Определить
действующее значение несинусоидального тока / и активную
мощность Р, потребляемую электрической цепью. Ответ. / =
= 5,45 А; Р = 0,415 кВт.
4.12. Определить постоянную составляющую тока /(1, дей-
ствующие значения гармоник составляющих тока Ц, /3, /5 и дей-
ствующее / значения периодического несинусоидальиого тока,
мгновенное значение которого представлено выражением
1= 100 4-70,5sin<oZ 4-60sin3wZ 4-50sin5wL Ответ. /0 = 100 А; I =
= 127 А; /1 = 56,7 А, /, = 42,6 А; /5 = 35,5 А.
4.13. В электрической цепи переменного тока под действием
периодического несинусоидального напряжения и = [10 4-
4- 3 яп(<о/ — 0,222л) 4- 0,9V2sin(3wZ 4- 0,695л)] В возникает пе-
риодический несинусоидальный ток« = [30 4- 25,9(<о/ —0,0665л) 4-
4- 6sin(3w/ 4- 0,695)], А. Определить действующие значения не-
синусоидальных напряжения U и тока / и активную мощность Р
электрической цепи. Ответ:- и = 10,3 В; I— 35,3 А; Р = 0,336 кВт.
Контрольное задание
4.14. К зажимам электрической цепи переменного тока параллельно под-
ключены катушка индуктивности с активным сопротивлением R и индуктив-
ностью L и конденсатор с емкостью С. К цепи подведено периодическое неси-
нусоидальное напряжение u(f). С учетом схемы включения R, L, С, а также
данных, приведенных для соответствующего варианта задания в табл. 4.1, опре-
делить амплитудные н действующие I значения несинусоидальиых токов и
напряжений Um и U, а также их гармонических составляющих, выражение для
мгновенного значения тока !(/), активную Р, реактивную Q и полную Р мощности
отдельных гармонических составляющих цепи.
Примечание. В вариантах 31—60 катушка индуктивности и конден-
сатор включены последовательно, в вариантах 61—90 сопротивление катушки
R уменьшить в 2 раза.
Глава 5
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 5.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ
В линейных электрических цепях наряду с установившимися
режимами работы имеют место переходные электромагнитные
процессы, происходящие при переходе от одного установивше-
гося режима цепи к другому.
Переходные процессы в линейных электрических цепях описы-
ваются линейными дифференциальными уравнениями. При этом
ток или- напряжение определяются общим интегралом соответ-
ствующего дифференциального уравнения со свободным членом.
Общий интеграл уравнения представляет собой сумму частного
решения этого уравнения и решения того же уравнения без сво-
бодного члена.
Переходящие, или свободные, составляющие тока гсв и на-
пряжения «св, определяемые решением дифференциального урав-
нения без свободного члена, с течением времени стремятся к нулю.
В результате частного решения дифференциального уравне-
ния можно получить установившиеся, или принужденные сос-
тавляющие тока и напряжения ty, иу, имеющие место при уста-
новившемся режиме, т. е. при законченном переходном процессе.
При этом ток и напряжение переходного процесса в электри-
ческой цепи могут быть записаны как суммы: <пеР = *У-Н’с»;
W лер =: W у 4- «св. В общий интеграл дифференциального уравнения
входят постоянные интегрирования, число которых определяется
порядком соответствующего уравнения. Переходные процессы в
неразветвленной электрической цепи с параметрами R, L и С
описываются дифференциальным уравнением для мгновенных
значений напряжений, составленным по второму закону Кирх-
гофа: u(t) = Ri + Ldi/dt +-L-\idt .
После дифференцирования имеем уравнение вида Z,-^- .+
4-/?-^—Для определения принужденной (устаио-
UI О UI
вившейся) составляющей (у тока переходного процесса, когда
воздействующая функция u(t) постоянная или является периоди-
ческой, необходимо найти его значение в установившемся ре-
жиме.
168
Переходную (свободную) составля-
ющую tcB тока находят в результате
решения дифференциального уравне-
ния без свободного члена:
При этом соответствующее харак-
теристическое уравнение приводится к
виду: Lp2+Rp+ 1/С=0. Корни этого
уравнения: ______
2П
Рис. 5.1.1
Свободная составляющая тока переходного процесса: /св(/) =
= Д1е''' + Л2'”'.
Ток переходного процесса: i пе
Аналогичным образом можно определить напряжение и дру-
гие электрические и магнитные величины на любом участке
линейной электрической цепи в переходном режиме.
При включении электрической цепи с R и L под постоянное
напряжение (рис. 5.1.1) переходный процесс описывается диф-
ференциальным уравнением, записанным по второму закону
Кирхгофа для цепи при установке переключателя П из положе-
ния 1 в положение 2: Ri -+- L-^-= u(t) = U.
Характеристическое уравнение, соответствующее полученному
дифференциальному уравнению, имеет вид: /?4- Lp—0, где р=
== —R/L — корень характеристического уравнения.
С учетом этого выражение для свободной составляющей тока
переходного процесса приводят к виду:
it0 = Aep'=Ae^/?'/\
где А — постоянная интегрирования; е — основание натураль-
ного логарифма.
Так как воздействующее на электрическую цепь напряжение
u(t) постоянно, значение принужденной составляющей тока цепи
в переходном режиме оказывается равным его установившемуся
значению: ty = U/R. Ток в цепи при переходом процессе:
iпер = iу + «с» = U/R + Ае ~L
Постоянную интегрирования А определяют из начальных
условий. Так как в цепи с индуктивностью ток не может изме-
ниться скачком, то при 1 = 0 ток в цепи равен нулю: 1(0) =
// —£С- f
= U/R -|- А = 0. Отсюда А = — U/R, тогда iCB= — -^е '• . С
169
учетом этого выражение для тока переходного процесса приоб
... и и и
ретает вид: «пер= «У + «« = —„--б-е ъ х
" " Я
где x=L/R— постоянная времени цепи, равная промежутку
времени, по истечении которого свободная составляющая тока в
цепи изменяется в е раз по сравнению со своим исходным зна-
чением.
Напряжение переходного процесса иа индуктивности L,
уравновешивающее ЭДС самоиндукции, определяют из урав-
нения
— L dt ~ я 0 е ^)]/di~ L Rt Х
Хе * = Ue * .
При коротком замыкании /?£-цепи, присоединенной к источ-
нику постоянного напряжения U, переключатель П из положения
2 устанавливается в положение 3, в цепи возникает переходный
процесс, обусловленный наличием запаса энергии в магнитном
поле катушки с индуктивностью L. Происходящий переходный
процесс характеризуется свободным током, так как «у=0; в ре-
' --
зультате tnep=ic,= Ле~₽< =Ле L'.
Постоянную интегрирования А определяют исходя из условия,
что до момента короткого замыкания ток в цепи: i(0)?=/=
— U/R = A.
С учетом этого ток переходного процесса:
*иер““Ч:в ft с ft с
Аналогично изменяется в данной цепи и напряжение:
iner
R
е-4'_
U
Рис. 5.1.2
При включении /?С-цепи (рис.
5.1.2) под постоянное напряжение
u(t)=U переключатель П устанавли-
вается в положение 2 (принято, что
170
к моменту включения (/ = 0) конденсатор С не был заряжен
(uqo)=O). В соответствии с этим, исходя из уравнения электри-
ческого равновесия для мгновенных напряжений, записанного
по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой /?С-цепи
при />0, имеем: Ri + uc=u(t).
В рассматриваемой цепи ток i=C^~. В результате диф-
ференциальное уравнение приводится к виду: RC^-A-Uc —
= u(t)=U.
Ему соответствует характеристическое уравнение: RCpA-
4-1=0, где корень характеристического уравнения р— — \/RC.
Решение дифференциального уравнения без свободного члена
относительно напряжения иа конденсаторе позволяет определить
свободную составляющую этого напряжения: ис„ = А ер' ==
t
= А е , где — постоянная интегрирования, определяемая
исходя из принятых начальных условий Ос(0) = 0.
Напряжение Осу на обкладках конденсатора в установившем-
ся режиме определяют в результате частного решения соответ-
ствующего дифференциального уравнения цепи. В установив-
шемся режиме ток в цепи i? = 0, следовательно, иСу = «(0 — U
и напряжение иа конденсаторе во время переходного процесса:
«с(0 — “су.4-“се. = I/4-Л е .
Постоянную интегрирования А находят из начальных усло-
вий. Напряжение иа конденсаторе до включения ис(0) = 0, так
как к моменту включения цепи конденсатор С ие был заряжен.
При этом ис (0) — UА- А = 0, откуда А = — U и «с„ = — Ue ™.
Временная зависимость напряжения иа обкладках конденса-
тора во время переходного процесса описывается уравнением
uc{t)= U— Ue™ = U(1 —е™) = U(i
где т = RC — постоянная времени.
Ток в цепи при переходном процессе: 4еР = iy + 4» =
__л* _____ /-> due, , п dUcct р , и
-и— С — +С— о 4- — е -
=—е =-^-е_'Л, где L — 0, 4в е ™ и
R R R
Короткое замыкание неразветвленной /?С-цепй, ранее нахо-
дившейся под постоянным напряжением U = const, осуществля-
171
ется установкой переключателя П (в момент времени t=0) из
положения 2 в положение 3 (в положении 1 схема отключена).
Электромагнитные процессы в цепи с момента ее замыкания
происходят за счет энергии, равной d-Cf/2, сосредоточенной к
этому моменту времени в электрическом поле конденсатора, кото-
рая в течение переходного процесса преобразуется в теплоту,
рассеиваемую резистором R.
Для установившихся значений тока в /?С-цепи и напря-
жения на обкладках конденсатора С при переходном процессе
имеем: Л = 0, а ис==0.
При этом свободные составляющие тока в цепи и напряжения
t t
на конденсаторе: <„= —d-e «с иСс,= Ле RC.
Ток в цепи и напряжение на обкладках конденсатора в пе-
А —вг
реходном режиме: (пер = iy +=------— е ; ис = «су + «сев =
t\
= A e~‘/RC.
Постоянную интегрирования А определяют из начальных
условий. При t = 0 напряжение на обкладках конденсатора рав-
но U, т. е. uc(0)=t/=Л. При этом для переходных значений
тока и напряжения на конденсаторе справедливы уравнения:
«= - Н- е_'/'?с = - Ie-!'RC ; ис = U
-к ’
При расчете переходных процессов в линейных разветвленных
электрических цепях для определения токов в отдельных ветвях
и напряжений на участках цепи записывают соответствующее
число уравнений, составленных по первому и второму законам
Кирхгофа. При получении характеристического уравнения необя-
зательно приводить полученную систему уравнений к одному
уравнению относительно одной неизвестной функции.
Система однородных дифференциальных уравнений, записан-
ных для свободных составляющих токов в ветвях разветвленной
цепи, записывается в виде соответствующей системы алгебраи-
ческих уравнений и в отличие от исходной системы не содержит
производных интегралов. В этой системе уравнений производные
свободной составляющей тока di^/dt заменяют символом р4в, а
интеграл от этого тока \i^dt — символом 4»/Р (где р—корень
характеристического уравнения — показатель затухания, одина-
ковый для всех свободных составляющих токов цепи). Действи-
тельно, если 4в = Л е/", то производная от свободного тока
di^/dt = d{A^>,)/dt = pAepl = рЦв, а интеграл \ic„dt = (Л ef” dt =
= A €"/p = k,/p.
Постоянная интегрирования при этом оказывается равной
нулю, так как свободные составляющие не содержат не завися-
щих от времени слагаемых. Подобный переход от системы линей-
ных дифференциальных уравнений к системе алгебраических,
172
называемый алгебраизацией системы дифферен-
циальных уравнений, для свободных токов значительно упрощает
составление характеристического уравнения. Из полученной си-
стемы алгебраических уравнений составляется затем определи-
тель А(р), который должен равняться нулю, так как данная си-
стема уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если
определитель системы равен нулю.
Выражение для А(р) = 0 и является характеристическим
уравнением, в котором единственным неизвестным является его
корень р. Составить характеристическое уравнение системы
однородных дифференциальных уравнений (уравнение без сво-
бодного члена) можно и другим путем. Для этого записывают
выражение комплексного входного сопротивления Z(/co) для со-
ответствующей цепи, в котором /<о заменяют символ р. Получен-
ное обобщенное сопротивление приравнивают к нулю. Уравнение
Z(p) = 0 и будет Характеристическим уравнением данной цепи.
Число корней характеристического уравнения. определяется
его степенью. Если это уравнение имеет п корней, общее решение
системы однородных дифференциальных уравнений имеет вид:
4в(0= S Ле'’"', где рк— корни уравнения; Ак — постоянные
k = । '
интегрирования.
Для нахождения постоянных интегрирования необходимо
решить систему уравнений для искомого свободного тока 4в(/),
соответствующих моменту времени /=0. В качестве недостаю-
щих (я — 1) уравнений используются уравнения, полученные пу-
тем (я — 1)-кратного дифференцирования уравнения для свобод-
ного тока 4в(0-
Литература. [ 1 ] § 4.1—4.10; [2] § 5.1—5.8; [3] § 5.1 —5.6.
Примеры решения задач
5.1. Катушка индуктивности с активным сопротивлением
/1=5 Ом и индуктивностью L=50 мГн=0,05 Гн включается в сеть
постоянного тока с напряжением U= НО В (рис. 5.1, а). Уста-
Unep-B <пер-А
Рис. 5.1
173
новить зависимость изменения переходных тока 4ер(0 в катушке
и напряжения на катушке при переходном процессе.
Определить энергию магнитного поля AL катушкн для момента
времени, равного постоянной времени электрической цепи (/ =
= т), после включения выключателя В.
Решение. После замыкания выключателя В происходит
нарастание тока в катушке. индуктивности, при этом создается
ЭДС самоиндукции e=L . которую преодолевает прило-
ложенное напряжение U. Постоянная времени электрической
цепи: т = L/R = 0,05/5 = 0,01 с.
Переходный ток в электрической цепи находят как сумму
установившейся г, и свободной 4. составляющих тока: i„ep = ty +
+ 4, =Л е~'/т = Л е~'/01)|, где 4 = / = U/R = 110/5 = 22А;
4, = Л е_'/т = Л е_'/|)01.
Постоянную интегрирования Л находят из начальных усло-
вий. При t == 0 ток в цепи 4о) = 0, отсюда Л = —U/R = — 110/5 =
= -22А.
Переходный ток в цепи определяют в соответствии с уравне-
нием
4ер = ^-(1 —е-'/’) = 22(1 — е-,/00|) = 22(1—е-|00,)А.
Переходное напряжение на катушке Индуктивности: «пер =
= 4/е_,/т= 11Ое~100'В. Результаты подсчета переходных тока
4«р(/) и напряжения «пер(/) на катушке во времени приведены
в табл. 5.1, а соответствующие зависимости — на рис. 5.1,6.
Таблица 5.1
t, с 0 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
е-юог 1 0,606 0,368 0,135 0,05 0,018 0,0067
1-е-100' 0 0,394 0,632 0,865 0,95 0,982 0,993
^пер» А 0 8,64 13,9 19,04 20,9 21,6 21,8
14 пер, В но 67 40,5 14,9 5,5 1,98 0,74
Энергия магнитного поля катушки индуктивности: W'£.nep=
= _^ = 0’.05^3-9)* = 4 38 дж где 4е|> — 1з>9 А при /=т=0,01 с.
5.2. Измерение напряжения на зажимах обмотки электро-
магнита, обладающей активным сопротивлением R = 2 Ом и
индуктивностью L = 1 Гн = 1000 мГн, осуществляется вольтмет-
ром V, включенным в сеть постоянного тока с напряжением
U= 110 В, в соответствии со схемой рис. 5.2. Определить ток в
174
обмотке электромагнита в момент отключения ее от питающей
сети с помощью выключателя В.
Решение. Установившееся значение тока в цепи обмотки
электромагнита; iy= U/R = / =110/2 = 55 А.
После размыкания аыключателя значение свободного тока
определится в соответствии с уравнением: ict—Ae L‘=Ae ’ =
= А е ° 5, так как постоянная времени электрической цепи
т = £//? = 1/2 = 0,5 с. Переходный ток в обмотке электромагни-
---1
та при переходном процессе, ^пер-*-- i у + /с.== 55 + А е l 55 +
4- А е °-5.
Постоянная интегрирования А определится из начальных
условий.
В момент размыкания выключателя t = 0, свободная состав-
ляющая тока: /св=Ле 0,5=Ле° = А, при этом tnep = /у + in =
t t
= 55 +Ле °-5= 55—(/пер—55)е О,5=55А, т. е. в первый мо-
мент (/ = 0) отключения выключателя в цепи вольтметра прой-
дет ток / = 55 А, вследствие чего прибор выйдет из строя. Поэ-
тому при отключении катушкн электромагнита, так же как и
других катушек электротехнических устройств, обладающих
индуктивностью, следует цепь
вольтметра сначала отключить.
5.3. Электрическая цепь по-
стоянного тока (рис. 5.3, а), со-
держащая резисторы с сопротив-
лениями /?| = /?2= Ю Ом и индук-
тивность £ = 0,15 Гн, находится
под постоянным напряжением
U —60 В. Определить ток в цепи
до замыкания и после замыкания
выключателя В, а также зависи-
мость переходного /ЛеР(/) и
175
свободного /<-в(/) токов во времени при замкнутом выключа-
теле.
Решение. В соответствии с законом Ома ток в электриче-
ской цепи в установившемся режиме при разомкнутом выключа-
теле: йу = /| = С//(/?|+/?2) = 60/(10+10) = 3 А.
Постоянная времени электрической цепи до замыкания
выключателя: Ti = L/(/?i -|-/?2) = 0,15/(10-f-10) = 0,15/20 —
= 0,0075 с. Установившийся ток в цепи после замыкания выклю-
чателя: /2у=/2 = (///?! = 60/10 = 6 А. Постоянная времени эле-
ктрической цепи при замкнутом выключателе: i2=L/R\ —
= 0,15/10 = 0,015 с.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение
электрического равновесия для электрической цепи при замкну-
том выключателе: МпеР = м/?-(-м/. = /?i/neP —е/., откуда переходный
!
ток в цепи inep= +/сп=-4- + -^-=-Б“+е ъ . где сво-
К\ К\ К\
бодная составляющая тока переходного процесса /св = £l/Ri =
Ае-,/12.
Постоянную интегрирования определяют из начальных усло-
вий. В первый момент после замыкания выключателя при t = 0
ток в цепи /пер(0) = —- -|- Ле0 = U/Ri 4- А или /,у = U/Rt 4- А =
= /2у + А, так как ток1 в цепи при этом будет таким же, как перед
замыканием выключателя, т. е. /пер(0) = /|у. Отсюда постоянная
интегрирования: А = /ц — = 3—6 = —3 А.
В электрической цепи при переходном режиме при заданных
условиях ток JneP= /2у 4~ А е Т! = 6—Зе~'Л2 = 6—Зе_'/0015 = 6 —
— Зе-66,66'. Задаваясь значениями времени переходного процесса,
определяют зависимость переходного тока /пеРЦ).
На рис. 5.3, б приведены зависимости переходного тока
/„ер и свободной /св составляющих тока во времени.
5.4. Электрическая цепь (рис. 5.4) содержит катушку, индук-
тивность которой L= 10 Гн и активное сопротивление /?= 5 Ом;
параллельно катушке подключен резистор с сопротивлением
Ri = 10 Ом. Цепь включена под постоянное напряжение U =
= 220 В с помощью переключателя П. Определить энергию маг-
пя Wl катушки индуктивности, записать выражение
для переходного тока /пе₽(/) и найти на-
_______ пряжение на резисторе R} в момент пе-
2______реключення переключателя П из поло-
1 жения 1 в положение 2.
R П/?, Решение. Ток в цепи катушки ин-
Т дуктивности в установившемся режиме
(положение 1 переключателя): 1=U/R =
L = 220/5 = 44 А. Постоянная времени
_______ электрической цепи при том же положе-
нии переключателя: Т) = L/R= 10/5 =
ИИТНОГО П1
inep П
Рис. 5.4
176
= 2 с. Энергия магнитного поля катушки индуктивности: W L =
LI2 I0-442 псоп п
= -у- = —g—= 9680 Дж.
Дифференциальное уравнение переходного режима, состав-
ленное по второму закону Кирхгофа для электрической цепи
(положение 2 переключателя): е= — L^~^~= i„ev(R + Rt) или
L ^7-1 t,.rp(/? + /?|) = 0, отсюда -^ + **== 0,
di ai
т. е. + ~~ = 0- Постоянная времени электрической цепи в
том же положении переключателя тг =£/(/? +Ri) = 10/(5 +
+ 10) = 0,67 с.
В этом случае ток переходного режима, равный свободной
составляющей, определяют в результате решения полученного
уравнения: i,iep = jCB = Ае~'/Т2.
В соответствии с первым законом коммутации ток в катушке
индуктивности в момент переключения (I = 0) переключателя
из положения 1 в положение 2 не может изменяться скачком.
Поэтому постоянная интегрирования Д = -^-=44А. При этом
получим уравнение для переходного тока <пеР= А =
Напряжение на резисторе R, в начальный момент после пере-
ключения переключателя из положения 1 в положение 2: Ur, =
= R,/ = 10-44= 440В. Из этого следует, что в процессе комму-
тации электрических цепей, содержащих индуктивности, могут
возникнуть опасные для соответствующего электрооборудования
перенапряжения.
5.5. Электрическая цепь составлена из конденсатора, емкость
которого С = 200 мкФ, соединенного последовательно с резисто-
ром R=50 Ом (рис. 5.5, а), подключается к источнику постоян-
ного напряжения f7=100 В. Установить зависимость тока
177
4q>(0 в цепи и напряжения uCmB(t) на обкладках конденсатора
в функции времени.
Решение. Постоянная времени электрической цепи: т =
= RC = 50-200-10“6 = 0,01 с.
Переходное напряжение на зажимах конденсатора при вклю-
чении электрической цепи в питающую сеть равно сумме устано-
вившейся и свободной его составляющих: «с„ер= «сУ+«се».
В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение элек-
трического равновесия для цепи, рассматриваемой в переходном
режиме: /?* пер -|- uCneP — RC du^”' -|~uCneP = U.
Установившееся напряжение иа конденсаторе определяют при
I = со. При этом «cy=47=100 В, так как при 1 = 0 ток
/пер= = 0- Решение однородного дифференциального урав-
нения RC-~“~1’ + и с СВ = 0 позволяет найти свободную состав-
ляющую переходного напряжения иссв = Ле '/т.
Отсюда переходное напряжение ucneP = ucy-f-ucce = U-j-Ae //т=
= Ю0-|-Ле-/’0|)|. Постоянная интегрирования А находится из
условия, что до включения под напряжение (/ = 0) конденсатор
не был заряжен и напряжение на нем ucneP= 100-|-Ле~'/01)| =
= 100 + А = 0, откуда А = —100 В.
В результате изменение переходного напряжения на конден-
саторе во времени будет происходить по экспоненциальному за-
кону: «спер == (7(1== 100(1—е~'/0,|)|) В. При этом зависи-
мость переходного тока в цепи во времени определяется урав-
нением: 4„ер= = CU— е~,,х = —^—е~1/х =-^-е-//01)| =
ul Т f\ Ov
= 2е-'/0'01 А.
По полученным уравнениям рассчитаны и построены на
рис. 5.5, б графики изменения тока 4ер и напряжения «спер пе-
реходного процесса во времени.
Процесс нарастания «спер до установившегося значения
U = 100 В и снижение тока до нуля теоретически длится
бесконечно долго, однако практически его можно считать закон-
ченным за время / = (4-ь5)т или в данных
‘лер п условиях за время / = 40 мс (0,04 с).
— 5.6. Электрическая цепь постоянного
] тока (рис. 5.6) содержит конденсатор с
емкостью С= 100 мкФ, включенный после-
П/? довательно с резистором, активное сопро-
U М тивление которого R = 20 Ом включается
под напряжение (7= 100 В. Определить
-:£ энергию электрического поля Wc конденса-
♦________1 тора в конце процесса зарядки и устано-
вить зависимость напряжения на обкладках
Рис. 5.6 конденсатора испер(/) и тока в цепи 7оер(/)
178
от времени в переходном режиме при зарядке конденсатора
(переключатель П — в положении /).
Решение. Энергия электрического поля заряженного кон-
т CU1 100-10~6-1002 пс п
денсатора: Wc = —5- =--------j-----= 0,5 Дж-
Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для
электрической цепи при зарядке конденсатора: -|-ucnep = U
или RC -f-Mc= U, где imp = С — переходный ток
цепи.
Переходное напряжение на конденсаторе складывается из
установившейся и свободной его составляющих: ис<кр= ucy-f-
Н-ucc». Свободную составляющую переходного напряжения "нахо-
дят в результате решения однородного дифференциального урав-
нения без свободного члена: RC -f- нес» = 0, отсюда исс» =
at
= Ле ’. Постоянная времени рассматриваемой цепи т « RC =
= 20-100-10-6 = 0,002 с.
Выражение для переходного напряжения на обкладках(кон-
денсатора приводят к виду: испер == исУ+«сс. = ису+Ле =
После окончания процесса зарядки ток в цепи 4вр — 0, по-
этому в установившемся режиме напряжение на конденсаторе
становится равным напряжению питающей сети: испер = ису = U.
Постоянную интегрирования определяют исходя из начальных
условий: при t = 0 испер = 0 и ucy == U, отсюда в соответствии
с уравнением для переходного напряжения Л = — U.
В результате при переходном режиме зарядки конденсатора
зависимость напряжения (в В) на обкладках конденсатора во
времени определяется уравнением t t
«Спер= Ucy4-Ucc.= y — Ue ’ = (/(1— е ’) =
= 100(1-е“)= 100(1—е-500')-
Переходный ток в цепи
“С<а . Л
le» = Iy"l ~~ 1У + д в ’
так как нее» = Ле т.
Постоянную интегрирования Л, входящую в полученное вы-
ражение, находят из начальных условий.
После окончания зарядки переходное напряжение на кон-
денсаторе uc„ep U, а в установившемся режиме i? = 0, поэто-
му Л= — U. При этом переходный ток зарядки конденсатора
. U -т 100 ч/
изменяется в соответствии с выражением *жр ===-дуХ
t
Хе й’002 = 5е-500'. В начальный момент при / = 0 переходный
ток = U/R = 5 А. Как следует из полученных выражений,
179
переходное напряжение при зарядке конденсатора возрастает,
а переходный ток убывает по экспоненциальному закону.
По полученным формулам можно построить зависимости пе-
реходных напряжения мспе^О и тока ^,(г) при зарядке конден-
сатора С в цепи с резистором R.
5.7. В условиях задачи 5.6 определить энергию электриче-
ского поля конденсатора Wc и установить зависимость переход-
ных напряжения на обкладках конденсатора ucm^t) и тока в его
цепи (рнс. 5.6) I’nepG) от времени прн переходном режиме раз-
рядки предварительно заряженного до напряжения U = 100 В
конденсатора с емкостью С= 100 мкФ.
Решение. При включении переключателя П в положение 2
(рис. 5,6) энергия электрического поля конденсатора С, расхо-
CU2 100*10~6*1002
дуемая на нагревание резистора: №7=—j— =------------2------ =
= 0,5 Дж. При этом переходное напряжение на конденсаторе
в переходном режиме разрядки имеет такой же вид, как и при
зарядке: «спеР = Нсу+Ле т. После окончания процесса разряд-
ки, когда конденсатор будет полностью разряжен, напряжение
на обкладках и ток в его цепи: испеР = 0 и. 0. Постоянную
интегрирования А находят нз начальных условий при t = 0 и
Ису=0. При этом «сев = Ле° = U. Переходное напряжение на
конденсаторе иСпеР = (Уе т = 1ООе“500'.
Уравнение, описывающее переходный ток при разрядке кон-
денсатора, имеет тот же вид, что и при его зарядке: =
= i,---е"‘
у R
Однако в первоначальный момент разрядки конденсатора
(при t = 0) ток разрядки iy =0. С учетом этого переходной
ток разрядки конденсатора: =----е~//т = —е~'Л =
__ 100 „-//0.002 _ _с -500/
20
Из полученных уравнений следует, что переходные напряже-
ние «спеР и ток („р убывают во времени по экспоненциальному
закону. Знак «—» в выражении для переходного тока сви-
детельствует о том, что ток разрядки конденсатора имеет на-
правление, обратное току зарядки.
По полученным формулам можно построить зависимости пе-
реходных напряжения UcmM и тока «^(z) при разрядке кон-
денсатора С в цепи с резистором /?.
Задачи
5.8. Электрическая цепь, состоящая из последовательно
включенных резистора с сопротивлением /?| = 4 Ом и ^атушки
с индуктивностью L = 8 Гн и сопротивлением /? = 1 Ом, присо-
единяется к источнику постоянного напряжения U — 12 В. Опре-
180
делить постоянную времени т переходного процесса. Построить
график изменения тока и ЭДС катушки за период времени / = 6 с
с момента подключения цепи к источнику постоянного тока.
Ответ, т = 1,6 с.
5.9. Определить графическим способом постоянную времени т
переходного процесса неразветвленной электрической цепи, со-
держащей конденсатор с емкостью С = 150 мкФ и резистор с со-
противлением R = 2 Ом при включении ее под постоянное на-
пряжение U = 100 В. Ответ, т— 0,0003 с.
5.10. Электрическая цепь, состоящая из катушки с индуктив-
ностью L = 15 Гн и резистора с сопротивлением R = 10 Ом, от-
ключается от источника постоянного напряжения U = 100 В н
замыкается на разрядный резистор R\ = 5 Ом. Построить зави-
симость изменения во времени тока in^t) и напряжения Une^O
в переходном режиме и определить постоянную времени т цепи.
Ответ. t = 1 с.
5.11. Неразветвленная электрическая цепь постоянного тока
содержит два резистора с сопротивлениями R = 200 Ом, вклю-
ченных параллельно, и конденсатор с емкостью С = 50 мкФ.
Определить постоянную времени т цепи и характер изменения
во времени напряжения на зажимах конденсатора uc^t) и тока
в цепи inep(O при включении ее под напряжение £/=110 В.
Ответ, т = 0,005 с.
Контрольное задание
5.12. Электрические цепи постоянного тока (рис. 5.12, а—в) содержат ис-
точники питания с ЭДС Е и внутренними сопротивлениями /?0, резисторы R> и R?,
катушки индуктивности с активным сопротивлением RL и индуктивностью L.
конденсатор с емкостью С. По данным, приведенным для соответствующего
варианта задания в табл. 5.2, рассчитать и построить зависимость изменения
переходного тока в цепи конденсатора 1Спер^) и напряжения uCmp(t) на его об-
кладках при зарядке и разрядке, а также переходного тока в цепи катушки индук-
тивности it„ep(C и переходного напряжения на катушке utnep(r) в функции вре-
мени при замыкании выключателя В и переключении переключателя П из одного
положения в другое в соответствии с заданием. Определить запас энергии в
электрическом поле конденсатора Wc и в магнитном поле WL катушки индук-
тивности.
Примечание. В вариантах 31—60 сопротивление резистора R\ увели-
чить в 2 раза, в вариантах 61—90 сопротивление резистора уменьшить в
2 раза.
Рис. 5.12
181
Таблица 5.2
Величины Варианты контрольного задания 5.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
£, В 110 220 110 220 НО 220 НО 220 110 220 110 220 110 220 110
Ro, Ом 800 800 600 800 600 800 500 500 400 400 — — — — —
Ri, кОм 1.5 1,2 1 1 1,1 0,8 0,8 0.6 0,6 0,5 100 но 55 100 55
Ro, кОм 0,5 0,6 0,6 0,8 0,7 0,8 0,8 0,9 0.9 1 100 но 55 100 55
Rl, Ом — 400 200 400 200 150
С, мкФ 5 5 5 10 10 10 15 15 20 20 — — — — —
L, Гн — 10 6 10 5 9
Схема электриче- 2м. рис . 5.12, 2 См. рис. 5. 12,6
ской цепи
Выключатели замкнуты В — В — В — в — В — в — В В
Положение пере- Переключатель П переводится из положения 1 в положение 2
ключателя
Величины
16 17 18 19 20
Е, В 220 ПО 220 НО 220
Ro, Ом — — — — —
Ri, кО«1 44 55 50 50 50
Ro, кОм 44 55 50 50 50
Rt, Ом 150 180 150 100 100
С, мкФ — — — — —
L, Гн 4,5 4 3 2 2
Схема электрнче- См. рнс. 5.12, 6
ской цепи • -
Выключатели — в — В —
замкнуты
Положение пере- Переключатель П переводится
ключателя' н вы- из положения 1 в положение 2
ключателя
Продолжение габл. 5.2
Варианты контрольного задания 5.12
2! 22 23 24 25 26 27 28 29 30
110 220 по 220 110 220 110 220 110 220
40 30 40 90 30 80 30 60 20 60
80 100 70 100 60 80 60 80 40 60
60 80. 60 80 50 70 50 60 40 50
0,6 1 0,8 0,8 0,6 1 0,4 0,8 0,2 0,8
См. рис. 5.12, в
Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, Вз, со со
В, В2 В, СО В| в2 в, в2 в, в2
Выключатель ВЗ размыкается
Глава 6
ПРОМЫШЛЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
$ 6.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫХ
И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ
Промышленная электроника базируется в основном на ис-
пользовании полупроводниковых приборов: диодов, транзисто-
ров, тиристоров и др. Кроме того, в специальных областях тех-
ники используются электронные лампы, выпрямительные, усили-
тельные, генераторные и др. Миниатюрные вакуумные лампы
(с холодным катодом) широко применяются в вычислительной
технике вследствие того, что скорость перемещения электронов
в лампах значительно быстрее, чем в кремнии или арсениде
галлия [6].
Электровакуумные диоды обладают односторонней проводи-
мостью, поэтому широко используются для преобразования пере-
менного тока в постоянный в установках малой мощности.
В электровакуумных триодах посредством незначительного
изменения разности потенциалов U( между управляющей сеткой
и катодом можно получить значительное изменение потока элек-
тронов между катодом и анодом (анодного тока).
Режим электровакуумного триода задается двумя не завися-
щими друг от друга напряжениями: анодным Ua и сеточным Uc.
При аналитических расчетах как статических, так и динамиче-
ских характеристик триода пользуются статическими параметра-
ми триода, которые определяются по статической аиодно-сеточ-
ной и статической анодной характеристикам (рис. 6.1.1, а, б).
Внутреннее сопротивление электронной лампы: /?, = dUа/д1а
или Ri = dUa/d/a = At/а/A/а = (t/a — t/")/A/a ПрИ Uс = COnSt.
Крутизна анодно-сеточной характеристики обуславливает
управляющие свойства лампы: S = dh/dUc при S = d/a/dtA =
= A/a/At/c =/<, — !"/U'c— Ua при Ua = const. Коэффициент
усиления, характеризующий усилительные свойства электронной
184
лампы: ц = — dUa/dlh или ц = —dt/a/d tA = —At/a/AtA =
= — U'a—U"/U'c—U'' при la = const. Параметры электронной
лампы связаны между собой внутренним уравнением: р — RtS.
При наличии линейных статических характеристик параметры
лампы Ri, S и ц остаются постоянными при изменении Ua, LK и
анодного тока /а. Так как анодный ток триода зависит от напря-
жения иа аиоде U а и напряжения иа сетке Ис, то полный диффе-
ренциал анодного тока: d/a = dUa+-^- dUc или с учетом
того, что dla = —RJa, имеем: d/a = D ‘-D SdUc. Крутизна ди-
намической анодио-сеточной характеристики триода h(Ua) при
/?а>0: 5Д — -—р = -r откуда видно, что оиа меньше кру-
тизны статической, характеристики (S>Sa). Уравнение динами-
£
ческой характеристики приводится к виду: /а = " +Saf7c.
*\1~Г “а
Статическую характеристику триода Ц(7с) при /?а=0 полу-
чают из выражения для анодного тока с учетом того,' что
Ea = Ua при С7с= const: Ia—UaIRt + SnUc- Динамическую анод-
ную характеристику триода 7а(£7а) при Ra > 0 можно получить
из уравнения Ua=Ea—RJa, записанного для цепи анодного
тока: /а= Ea/Ra—Ua/Ra, откуда видно, что оиа ие зависит от
параметров S и ц триода. Электронные полупроводниковые
приборы основаны на явлениях электропроводности, свойствен-
ных полупроводниковым материалам, которые определя'ются ва-
лентными электронами, не прочно связанными с ядрами и ие
участвующими в создании электропроводности электронами.
Электронио-дырочная проводимость, возникает в результате раз-
рыва валентных связей, являясь собственной проводимостью,
которая обычно невелика. Воздействие иа полупроводники элек-
трического поля, температуры и других внешних факторов ока-
зывает большее влияние иа их свойства, чем иа проводники и
изоляторы. Введение незначительного количества инородных при-
месей значительно увеличивает электрическую проводимость по-
лупроводника, при этом оказывается, что в зависимости от рода
примеси можно получить как полупроводник n-типа, так и полу-
проводник p-типа. При сплавлении полупроводников различных
типов создается область по обе стороны от границы раздела,
называемая электронно-дырочным или р-п -пере-
ходом. При включении р-п-перехода под прямое напряжение
полярность приложенного напряжения Um будет обратна поляр-
ности напряжения Uaan запирающего слоя. С возрастанием внеш-
него напряжения сопротивление р-п-перехода снижается, а ток
возрастает. При обратном включении р-п-перехода полярность
внешнего напряжения Um соответствует полярности напряже-
ния Uaaa запирающего слоя. Обратный ток, обусловленный не-
основными носителями заряда, оказывается во много сотеи или
тысяч раз меньше прямого тока. В полупроводниковых диодах
185
используется односторонняя проводимость электроино-дырочного
перехода, так как из вольт-амперной характеристики р-п-пере-
хода следует, что ои обладает неодинаковыми сопротивлениями
в прямом и обратном направлениях. Поэтому полупроводнико-
вые диоды используются для выпрямления переменного тока.
Транзистор (полупроводниковый триод) является электронным
прибором, основанным на свойствах двух, расположенных весьма
близко друг от друга электроиио-дырочиых р-п-переходов. На-
личие трех слоев с различной проводимостью обуславливает
на границах их раздела два р-га-перехода, характеризующихся
динамическим равновесием. Чтобы вывести р-п-переход из со-
стояния равновесия, к нему подводится внешнее напряжение Um:
При этом значение тока й в цепи закрытого коллекторного пере-
хода зависит от значения тока i, открытого эмиттериого перехо-
да. Связь между токами коллекторной и эмиттерной цепей тран-
зистора характеризуется коэффициентом передачи тока: а =
= /«/is, а — 0,92.-0,99. Число рекомбинирующих в базе основных
носителей заряда эмиттера определяет ток базы: ie = ь— й. При
рассмотрении усилительных свойств транзисторов для перемен-
ных сигналов схемы их включения рассматривают без источни-
ков питания, так как по сравнению с другими сопротивлениями
внутренние сопротивления источников питания весьма малы.
Наиболее часто используют схему транзистора с общим эмитте-
ром (ОЭ) (рис. 6.1.2), с помощью которой осуществляют усиле-
ние по току, напряжению и мощности. Для этой схемы коэффи-
циенты усиления по току, напряжению и мощности определяют
из выражений
К,
где Язв — сопротивление перехода эмиттер — база.
При этом выходное напряжение и,ы, находится в противофазе с
входным напряжением и». Для схемы транзистора с общей ба-
зой ОБ (рис. 6.1.3) коэффициенты усиления по напряжению,
току и мощности находят из выражений
'к-Чых
Рис. 6.1.2
186
А»б
Включение транзистора по схеме с
общей базой применяется обычно
иа более высоких частотах, однако
эта схема характеризуется коэффи-
циентом усиления по току меньшим
единицы К,<1. Прн этом выходное
напряжение иШ1 оказывается в фа-
зе С входным напряжением ип. Для
Рнс. 6.1.4
схемы включения транзистора с общим коллектором (ОК)
(рис. 6.L4) коэффициенты усиления по току, напряжению и. мощ-
ности определяют из выражений
Иаыж _____ itRu _________ | ,
U»Hx+B»e Яа+Яэв ’
= KiKuS±Ki= р+1 =-14т>1’
где Р = 7~а"‘
При этом выходное напряжение u.H< находится в фазе с вход-
ным напряжением и». Рассматривая основные усилительные схе-
мы включения, исходят из того, что работа транзистора происходит
иа линейных участках его характеристик, что соответствует ма-
лым входным сигналам, и при расчете коэффициентов усиления
траизисторно-резисториых усилителей схемы, учитывая условия
работы иа средних частотах, влиянием входных, Переходных и
выходных емкостей пренебрегают. Основными характеристиками
транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, являются
статическая входная характеристика le(Uб) при = const
(рис. 6.1.5) и статическая выходная характеристика IK(UX) при
/б= const (рис. 6.1.6). В схеме транзистора с ОЭ к эмиттерному
переходу транзистора приложено прямое напряжение Uпр, по-
этому при напряжении иа коллекторе UK — 0 входная характе-
187
Таблица 6.1
Параметры усилителя Схема включения транзистора
с общей базой (ОБ) с общим эмиттером (ОЭ) с общим коллек- тором (ОК)
Коэффициенты усиле- ния: по току Ki “=тпг; (10- 200) т^г₽; (10-200) 1+₽ (10-100)
по напряжению Ки /?» “₽—= Лвхв Р /?н 1+Р Квхб (1000-10 000) К „а /?вх С /?4,Р ( 1 +₽)Явх б (30- 100) 1
ПО МОЩНОСТИ Кр 2 _ /?.х« ( 1 4"Р)2Явх б (1000-10 000) а2/?, (1—а)/?,хв Р2/?, . (1+Р)/?.х6 ' (1000-20 000) =• + +Р (10-100)
Входное сопротивле- ние, R ВХ б В ы ходное соп рот и вл е- ние, /?вых 10— 100 Ом 0,1 — 1 мОм 100-1000 Ом 10 100 кОм 0,5— 1 мОм 10-100 Ом
ристика соответствует прямой ветви вольт-амперной характерис-
тики р-п-перехода.
Свойства транзисторов в рабочем (динамическом) режиме
оцениваются по их характеристическим параметрам, представ-
ляющим собой величины, которые устанавливают связ|> между
малыми изменениями токов и напряжений. Наиболее распростра-
нена система й-параметров, выражающая функциональную зави-
симость между входными напряжением и током и выходным
напряжением. Основные й-параметры транзистора для схемы
включения с общим эмиттером можно определить с помощью
Рнс. 6.1.7
188
характеристических треугольников, построенных иа семействе
входных и выходных характеристик (см. рис. 6.1.5 и 6.1.6). Па-
раметры, найденные по характеристическому треугольнику, явля-
ются малосигиальиыми, так как они справедливы только для
прямолинейных участков характеристик. Из характеристического
треугольника определяют входное сопротивление транзистора
Ли = At/e/A/ek.-const и коэффициент обратной связи /г|2 =
= А(/б/А(7к |/б-const. Из семейства статических выходных харак-
теристик определяют коэффициенты усиления по току hn =
= А/к/А/б|1'« = const и выходную проводимость транзистора Агг =
= Д/к/Л^к|/б=const. Параметры транзисторов зависят от схемы
включения (табл. 6.1). На рис. 6.J.7 представлены зависимости
коэффициентов усиления Ki, Ки, Кр от сопротивления /?н нагру-
зочного резистора. Характер изменения коэффициента усиления
по мощности Кр для различных схем включения транзистора ил-
люстрирует рис. 6.1.8. На рис. 6.1.9, а представлена зависимость
входного /?вх сопротивления от сопротивления R„, а иа рис. 6.1.9, б—
зависимость выходного сопротивления 7?Вых транзистора от внут-
реннего сопротивления /?г генератора входного сигнала при раз-
личных схемах включения транзистора. Для низких частот
((лс-улКкС^ приведена табл. 6.2, связывающая /г-параметры
схемы замещения транзистора для различных схем включения.
Приближенные формулы для пересчета /i-параметров транзис-
тора при включении его по данной схеме, если известны й-пара-
метры, соответствующие другой схеме его включения, приводятся
к следующему виду.
Схемы включения транзистора:
- 1 Ап« I ЛивЛгм
с общим эмиттером (ОЭ): Яцэ = j ; «12э ===' [ _|_д~ ~
, , /1216 , Й22в
—«126/ «21 э =--ГГТ ; «223 = . / .— ;
< -3" «216 I -Г «216
с общей базой (ОБ): йиб== , ; /1126= ---
' 1 +Й2И 1 + «21э
с общим коллектором (ОК): йпк = , ——/in3; /ii2« = 1;
1 “Г «216
Й21К =-----ГГТ-— = —(/l213 + 1); Й22к= . , 2? /122э.
* Т" «21 б * + «21 б
Транзистор при определенных допущениях можно рассмат-
ривать как линейный активный четырехполюсник, для которого
справедливы зависимости: ив = fit Но + /игПк; U = huie + haUk.
Учитывая, что безразмерный параметр /112 для транзистора,
включенного по схеме с общим эмиттером, мал, иа практике
принимают й|2 = 0. В соответствии с представленными выше
уравнениями схему замещения транзистора с ОЭ приводят к ви-
189
8
Примечание. В таблице Лв = Л6+Л8 = -г—;
1 «22
+ *21 к Лк = -г- .
«22
Таблица 6.2
Схема замещения транзистора
Hf к бц к
07 и, 1 О’ йз 3
3 о । А 3 —о К о— й, JHJ5 К —О
с общим эмиттером (ОЭ) с общим коллектором (ОК)
Я?+Я,(1 + Р) Я?+Я,(1 + р)
Я, (1+Р) 2 Як «1 Я,+ Я,(1+Р) 1
₽ 1-а -(1 + р) -р
1 + Р .. 1+Р Як+ Яб(1 +р) Як 1+Р Як
Л22+1
Ли
14-Л21
Л12 .
Л22
а= —Л21; Я» = Лц—г~(1 +
«22
Я&=2-^~
пгг
; Я8 =
ду (рис. 6.1.10, а), а /i-параметры определяют по семейству
входных и выходных характеристик. При этом коэффициенты
усиления по напряжению Ки, току Kt и мощности КР определяют
через /i-параметры транзистора и параметры элементов электри-
ческой цепи:
-Л Ивых _ ^ВЫХя вых 6cRk ______ Л21/?к
и яВх GkAbx (1 4-W?iWhi Лц(1 4" ЛагЯк) ’
ГДе /к== IbwxJ /б == Rbx == Квых= . .—т—п—> Ki= -------------==
1 4" П22Кк *вх
Схема усилительного каскада на транзисторе с общим эмитте-
ром (ОЭ) приведена на рис. 6.1.10,6. Она составлена на основе
схемы замещения транзистора с введением в нее резистивных
Ri = /?| /?(/?] -|- /?2)Яц и емкостных элементов С|, Сс, Со = (С,Ых-Ь
4-См), где СВЫх— емкость участка коллектор — эмиттер; С„ —
монтажная емкость. При этом коэффициент усиления каскада
б)
Рис. 6.1.10
191
по напряжению: Ku = Ко/л/1 + (шт„ — 1/<отн), где Ко— коэффици-
ент усиления по напряжению каскада на средних частотах /?f /г 11,
Ко= h2\R*R«/(RK + Rh+hizRuR*), где тв—постоянная времени
усилительного каскада на верхних частотах (тв = С aR С0Х
Х/?к/?в/(/?к+/?н + /122/?к/?в); т и — постоянная времени усили-
тельного каскада на нижних частотах без учета влияния емкос-
ти CiTH = CcRbhx = CcRkRk/Rk + R« + /i22/?k/?h. На практике ис-
пользуется схема с общим эмиттером, так как она позволяет
усиливать не только напряжение, но также ток и мощность.
Типовая схема усилительного каскада с общим эмиттером
показана на рис. 6.1.11. Резисторы Rt, R2, R* в схеме обеспечи-
вают необходимые значения постоянных напряжений на коллек-
торном и эмиттерных переходах прн питании всех цепей тран-
зистора от одного общего источника питания £а. Резистор R,
обеспечивает температурную стабилизацию рабочей точки, что
для транзисторных усилительных схем очень существенно. С рос-
том температуры постоянная составляющая тока эмиттера /,о
возрастает, вследствие чего увеличивается падение напряжения
RJ,o на резисторе R„ при этом потенциал эмиттера относительно
базы снижается, что уменьшает постоянную составляющую тока
базы и ограничивает степень нарастания тока покоя в цепи кол-
лектора. Для устранения этого воздействия при прохождении
по цепям транзистора переменных составляющих резистор R,
шунтируется конденсатором С,. Конденсаторы С, и Сс предназ-
начены для предотвращения попадания постоянной составляющей
тока от источника питания и сигнала на выход и вход усили-
тельного каскада. Одним из важнейших показателей, характе-
ризующих свойства усилителей, является его комплексный
коэффициент усиления, который в общем случае можно предста-
вить как отношение комплексного напряжения на выходе усили-
теля к комплексному напряжению на его входе: £ = =
= Ке',,|"“'-'Гв,) = Ке'\ где К = -77^-модуль коэф-
фициента усиления усилителя, ср — фвых — фвх—разность фазо-
вых углов сигнала. Усилители неизбежно содержат комбинации
Рис. 6.1.11
Рис. 6.1.12
192
активных и реактивных элементов, поэтому модуль коэффициен-
та усиления и разность фазовых углов на выходе и входе усили-
теля являются частотно-зависимыми. Зависимость комплексного
коэффициента усиления от частоты К (<о) является частотно-
фазовой характеристикой усилителя (рис. 6.1.12). В процессе
изучения усилителя зависимость модуля коэффициента от частоты
К(<о) амплитудно-частотной характеристики усилителя и зависи-
мость изменения фазового угла от частоты обычно рассматри-
вают отдельно. Области частот от 0 до ш, и от и, до со = сю
характеризуются значительным изменением коэффициента усиле-
ния, а область от <он до <ов (полоса пропускания) характеризует-
ся незначительным изменением коэффициента усиления от
частоты. Особенность работы усилителя в области низких, сред-
них и высоких частот частотной характеристики (рис. 6.1.12)
может быть установлена при анализе этой характеристики с ис-
пользованием схемы замещения (см. рис. 6.1.10,6) усилительно-
го каскада с общим эмиттером (см. рис. 6.1.11).
При анализе частотной характеристики усилительного каска-
да в области средних частот (<йк<со<<йв) в эквивалентной схеме
можно не учитывать внешние (Ci и Сс) и внутренние (С*) ем-
кости каскада, а рассматривать эквивалентную схему усилитель-
ного каскада как частотно-независимую. Зависимости коэффи-
циентов усиления тока и напряжения от частоты в точном анали-
тическом выражении описываются гиперболическими функциями
комплексного аргумента. Их непосредственное использование
значительно усложняет анализ работы усилителя. В малосиг-
иальных усилителях низкой частоты при известных значениях
сопротивления нагрузки R„ и генератора сигналов Rr и известных
значениях /i-параметров транзистора в избранной схеме включе-
ния в соответствующей рабочей точке основные параметры
одиночного каскада могут быть рассчитаны по следующим
формулам.
1 каска в 2 каскад
п каскад
Рис. 6.1.13
7-217
193
Коэффициенты усиления:
по току К, — -!pi-== по напряжению Ки = —
hsiR^ ,, is w
= ; по мощности Кр = KiK“-
Сопротивления:
D Лц(Й22 + !//?„) — hxih-tt
входное /?ох= ------т—г-г/Б-------; выходное /?B1J4 =
«22 т 1 / К»
__ Ai । + Rr
Лз2(Лц + Rr) — hvihii
В приведенные формулы входят значения /i-параметров, соответ-
ствующие способу включения транзистора. Полное согласование
нагрузки затруднительно, так как в усилительных каскадах при
включении транзисторов по схемам с общей базой и общим
эмиттером (где Rue — согласованная нагрузка), при этом
RH можно определить исходя из выражения RH =
У /1-22(11
~/i7T ’ тогда для Расчетов параметров усилитель-
ного каскада справедливы приближенные формулы: K, = /i2ii
,, (inRn hliR» _
Ku — ~i^~; /<₽=——; Rk— h\\. В усилительных каскадах
при включении транзистора по схеме с общим коллектором обыч-
но RuSiRw:, при этом можно пользоваться следующими прибли-
женными формулами: К,=Ь2г, Кя=1; KP=Ki\ R^= Rr/h2\.
Процесс расчета многокаскадных усилителей (рис. 6.1.13) осу-
ществляется покаскадно от последнего каскада к первому.
В связи с наличием в сопротивлениях резисторов связи потерь
мощности, передаваемой от одного транзистора к другому,
коэффициенты усиления каскадов по току и мощности оказыва-
ются меньше рассчитываемых по формулам для однокаскадного
усилителя. Коэффициенты усиления по напряжению остаются
практически неизменными при правильно выбранном сопротив-
лении R« и сопротивлении генератора сигнала Rr для каждого
каскада.
Литература. [2] § 10.1 — 10.17.
Примеры решения задач
6.1. Определить внутреннее сопротивление Ri, крутизну дина-
мической анодно-сеточной характеристики 5Д и динамический ко-
эффициент усиления Ки лампового триода типа 6Н7С, если его
статический коэффициент усиления ц — 40, крутизна статической
характеристики 5 = 2,5 мА/B = 2,5-10-3 A/В, сопротивление на-
грузочного резистора R„ — 20 кОм.
Решение. Определяют внутреннее сопротивление исходя
194
Рис. 6.2
из внутреннего уравнения триода: fl, = p/S = 40/(2,5-10 3) =
= 16 000 Ом = 16 кОМ.
Крутизна динамической аиодио сеточной характеристики:
= 5 = = 2,5 g = 1,11 мА/В.
Ка । f\i Zv-r-lo ot> ' &
Динамический коэффициент усиления: /<.,= ц——1— =
__4Q__________ 800 _ 22 2 а + •
20+16 36 ’
6.2. По анодным характеристикам, приведенным на рис. 6.2,
определить параметры лампового триода типа 6Н7С для точки А.
Решение. Крутизна статической анодно-сеточной характерис-
тики триода
S — д,‘ = d,‘ I _ А/*| _
dUс dUc 1 уа = const At/fl Va = const
3,31 . cc mA
2~ Ua = const- ,65 B‘
Внутреннее сопротивление триода
_ dU‘ dU> I _ At7‘l
dia dla Uc =» const A7a ' Uc = const
= — ~7,3а -з--| = 22 120 Ом = 22,12 кОм.
-3,3- 10-3 ’ Uc= const
Коэффициент усиления триода
_ dUd _ dUa | _ Д(/, I __
0Uc dUc I /a == const Д{7С I /а M const
= - ^Д-l = 36,5 или p. = SRi = 1,65-22,12 = 36,5 .
• /a = const
6.3. Определить действующее значение напряжения U2 на
вторичной обмотке и коэффициент трансформации п трансфор-
матора, амплитудные значения Uim напряжения и тока hm на
вторичной его обмотке, показание магнитоэлектрического милли-
амперметра А, включенного в цепь однополупериодного выпрям-
ления (рис. 6.3), собранного на кенотроне. Напряжение питаю-
195
I, A
1,5
1,0
Рис. 6.4
щей сети Ut = 220 В, вольтметр V магнитоэлектрической системы
показывает постоянную составляющую напряжения Uo = 170 В,
нагрузочное сопротивление = 10,7 кОм.
Решение. Действующее значение напряжения вторичной
обмотки трансформатора:
U2 = = t/o/O,45 = 170/0,45 = 378 В.
Амплитудное . значение вторичного напряжения 1)гт =
= -^/2{Уг — 1,41 -378 = 534 В. Коэффициент трансформации
трансформатора: п = Lh/Ui = 220/378 = 0,58. Амплитудное
значение тока в цепи вторичной обмотки трансформатора
, и2т 534-10~3 .
2т — — 10 700 — 50 мА‘
Значение выпрямленного тока (постоянной составляющей то-
ка), соответствующее показанию миллиамперметра магнитоэлект-
рической системы: /о = = 50/3,14 = 15,9 мА.
6.4. Определить средние значения выпрямленных тока /о и
напряжения t/o, а также мощность Р, выделяемую в нагрузоч-
ном резисторе RK, обусловленную этим током, для однополу-
периодного выпрямителя, собранного на полупроводниковом
диоде (рис. 6.4, а), если его сопротивление в проводящем
прямом направлении А?пр = 5 Ом, а в непроводящем (обратном)
направлении Roe? = 1000 Ом, сопротивление нагрузочного резис-
тора RH = 400 Ом, напряжение питающей сети U — 220 В. Вольт-
амперная характеристика электрической цепи приведена на
рис. 6.4,6, нелинейностью характеристики пренебречь.
196
Решение. Сопротивление электрической цепи:
в проводящий (прямой) полупериод Ri = /?пр 4- R« = 5 +
+ 400 = 405 Ом,
в непроводящий (обратный) полупериод R2 = Roe? + R« =
= 1000 + 400 = 1400 Ом.
Амплитудное значение напряжения питающей сети: Um =
= V2f/ = д/2-200 = 310,2 В.
Амплитудное значение тока цепи:
в проводящий полупериод Гт = Um/Ri = 310,2/405 = 0,766 А,
в непроводящий полупериод I'm = Um/R2 = 310,2/1400 =
= 0,222 А.
Постоянные составляющие:
прямого тока /6 =/т/л = 0,766/3,14 = 0,244 А; обратного
r/z 0,222 л л—। •
тока Го =----= а .;..= 0,071 А.
л 3,14
Средние значения:
выпрямленного тока 10= Го — Го' = 0,244 — 0,071 = 0,173 А;
выпрямленного напряжения Uo = R«lo = 400-0,173 = 69,2 В.
Мощность, выделяемая в сопротивлении резистора, обуслов-
ленная постоянной составляющей выпрямленного тока: Р =
= IlRu = (0,173)2400 = 11,972 Вт.
6.5. Определить действующее U2 и амплитудное U2n значения
напряжения на вторичной обмотке трансформатора, его коэф-
фициент трансформации п, пострянную составляющую выпрям-
ленного тока /о? выбрать полупроводниковые вентили для двух-
полупериодного выпрямителя, выполненного по мостовой схеме
рис. 6.5. Выпрямленное напряжение Vo = 350 В на нагрузочном
резисторе R„— 1400 Ом, напряжение питающей сети V\ =
= 127 В.
Решение. Действующее значение напряжения на вторич-
ной обмотке трансформатора в данной схеме выпрямления:
V2 = = t/o/0,9 = 350/0,9 = 390 В. Коэффициент транс-
ч Ч
Рис. 6.5
формации трансформатора: п = U\/U2 = 127/390= 0,333.
Амплитудное значение_ напряжения на вторичной обмотке
трансформатора: Vm2 — V2t/2 =1,41 -390 = 549,9 В.
Значение максимальйого обратного напряжения вентиля в
данной мостовой Схеме: t/O6Pmax — Vm2 — 549,9 ~ 550 В.
Постоянная составляющая выпрям-
ленного тока: /0= Vo/Rh= 350/1400 =
= 0,25 А.
По справочнику, исходя из расчет-
ного значения тока 1о и значения об-
ратного напряжения £/овртах, выбираем
вентили типа Д7Ж с номинальными
данными: током /о=О,ЗА и макси-
мальным допустимым обратным напря-
жением ВеНТИЛЯ £/обртахВ=400 В.
197
Число последовательно включенных вентилей в плече мос-
товой схемы: £Л,бр max / Uo6p max в — 550/400= 1,38. Принимаем
tf=2.
6.6. По условию задачи 6.5 определить максимальные значе-
ния 1гт выпрямленного тока, напряжения t/2m и мощность Р,
выделяемую в сопротивлении нагрузочного резистора R„.
Рис. 6.7
Решение. Значение выпрямленного тока: /о = Uo/R« =
= 350/1400 = 0,25 А.
Амплитудные значения:
, я/о 3,14-0,25 п .
выпрямленного тока hm = —---------------= 0,393 А,
,, я1/о 3,14-350 ксп о
выпрямленного напряжения и 2т = —%— =-------?----= 550 В
или U2т = RJ2m = 1400-0,393 = 550 В.
Мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузочного резис-
тора: Р = Uolo = 350 • 0,25 = 87,5 Вт или Р= Ш?„= 0,252 • 1400=
= 87,5 Вт.
6.7. Пользуясь входными и выходными характеристиками
транзистора типа П210Б — П210В (рис. 6.7,а, б), включенными
по схеме с общим эмиттером (ОЭ), определить й-параметры
для точки 1 с координатами = — 4,5 В, lei — 47 мА. Нели-
нейностью характеристик на рассматриваемом участке
бречь.
Решение. Входное сопротивление транзистора: йп =
_ UM-Uoi _ _ 0,38 - 0,36 _ 0,02 _ , с4 Пм ___
~ /«-/в, ~ Мс, ~ 60 - 47 — 13-10-3 ,54 ° ’ Д
прене-
198
в соответствии с входной характеристикой (рис. 6.7,а), для
точек 1 и 2: Ua\ = 0,36 В; 1Л2 = 0,38 В; t/Ki = — 4,5 В и (Аг =
= — 2 В; Ля = 47 мА; /б2 — 60 мА.
Коэффициент обратной связи по напряжению
ь Д4/б 1/б2 - 4/б| 0.38 - 0,36
П,2~ AUK ~ UK2-U^ ——2 —(—4,5)
= -^- = 0,008= 8-10~3,
здесь
Д(/к=(/к2_(/к|= — 2 — (—4,5)= 2,5 В; Д(/6= US2— Uti-*
= 0,38 - 0,36 = 0,02 В,
где в соответствии с входными характеристиками транзистора
(рис. 6.7, а) для точек 1 и 2 UK2 = — 2 В и UKi = — 4,5 В при
неизменном токе базы Л>2 = 60 мА. д/„ (
Коэффициент передачи тока: h2i = = Qnf.- = 20, где
Д/"= 1 А; А762 —/61 = 100— 50 = 50 мА = 0,05 А, где в соот-
ветствии с выходной характеристикой (рис. 6.7, б) транзистора
при неизменном значении напряжения коллектора (Ai = — 4,5 В:
/в2 = 100 мА, Ля = 50 мА. 04
.Выходная проводимость транзистора: h22 = =
= 0,0615-|-= 61,5 мА/B, где АД) = 0,4 А; А1Д = Ua - (Ля =
= — 4,5 — (—11) = 6,5 В; здесь в соответствии с выходной ха-
рактеристикой транзистора (рис. 6.7, б) при неизменном токе
базы 1'ь = 50 мА при (Аг = — 4,5 В и (7Ki = — 11 В.
6.8. Для схемы рис. 6.8, а полупроводникового стабилизатора
напряжения с кремниевым опорным диодом VD определить
пределы изменения напряжения = 7,85 В на нагрузочном
резисторе RK = 12,5 кОм, если напряжение источника питания
U= 12 В изменяется в пределах ±10%. Сопротивление бал-
ластного резистора R6 = 1000 Ом, вольт-амперная характеристи-
ка диода представлена на рис. 6.8, б. Нелинейностью вольт-ам-
перной характеристики на рабочем участке пренебречь.
Решение. Дифференциальное сопротивление диода на ра-
бочем участке характеристики Я,= Д(//А/ = 0,3/(3-10_ ) =
= 100 Ом. Нижний предел напряжения источника питания,
Рис. 6.8
199
соответствующий изменению напряжения (—10 %): U' — 0,9(7 =
= 0,9-12 = 10,8 В. Верхний предел напряжения источника пита-
ния, соответствующий изменению напряжения ( + 10 %): U" =
= 1,1(7 = 1,1 • 12 = 13,2 В. Изменение напряжения источника
питания: Д(7 = U" — U’ = 13,2 - 10,8 = 2,4 В.
Предел изменения напряжения на нагрузочном резисторе:
дп _ 4(7 _ 2,4 — 2-4 _
н — !+₽<,//?„+/?a/Ri ~~ 1 + 1000/12,5-ioj+1000/100 1+0,001 + 10 —
= ± 0,218 В. Процентное изменение напряжения на нагрузочном
резисторе: Д(7Н % = ±-77^-100 % = 100 % = ± 2,78 %.
6.9. В условиях задачи 6.8 определить среднее значение тока
/ср стабилитрона, соответствующее рабочей точке вольт-амперной
характеристики, ток /н в цепи нагрузочного резистора /?н, а также
ток стабилитрона /ст и напряжение Us на балластном резисторе
прн нормальном (номинальном) режиме работы стабилизатора.
Решение. Среднее значение тока стабилитрона, соответ-
ствующее рабочей точке характеристики: /ср =—=
44-15
= —= 3 мА, где /max и /min — соответственно максимальное
н минимальное значения токов стабилитрона (рис. 6.8,6). Ток
в цепи нагрузочного резистора: /„ = (7н//?н = 7,85/12,5-103 =
= 0,625 мА.
Напряжение на балластном резисторе при номинальном ре-
жиме в соответствии с уравнением электрического равновесия
напряжений, составленным по второму закону Кирхгофа для
замкнутого контура: Us = (7 — (7„ = 12 — 7,85 = 4,15 В.
Ток стабилитрона при номинальном режиме работы в соответ-
ствии с уравнением, составленным на основе законов Кирхгофа
для рассматриваемой схемы: Us = Rsl = Rs (АтНОм + откуда
_U(—RJ« _ 4,15 - 12.5-10J-0,625-10 _ п 0о д
/ст ном — — 12,5-10 -0,/УМА.
6.10. Для полупроводникового стабилизатора напряжения на
кремниевом диоде, схема которого представлена на рис. 6.8, а,
определить допустимые пределы изменения напряжения ±Д(7
на входе, а также коэффициент стабилизации /С,, если напря-
жение питающей сети (7 = 12 В, сопротивление балластного
резистора Rs = 1000 Ом, напряжение на нагрузочном резисторе
(7„ = 7,6 В, отклонение напряжения на нагрузке Д(7Н = ± 0,4 В,
а сопротивление нагрузочного резистора R> = 10 кОм.
Решение. Ток в цепи нагрузочного резистора при от-
клонении напряжения: Д(7„ = + 0,4 В: /„ = ^—' — =
= 7’.6+0,4= .-L ..=0,8 мА. Из вольт-амперной характеристики стаби-
10 103 10-ю3
литрона (рис. 6.8, б) следует, что при напряжении (7'н= (7Н+Д(/я =
7,6+ 0,4 = 8 В, /С1=4 мА. Напряжение питающей сети (входное
200
напряжение) для заданных условий в соответствии с уравнением,
составленным по второму закону Кирхгофа: U' = Rsl+ U« =
= + /„) + (У'ВЫх = 103(4 + 0,8) 1 СТ3 + 8 = 12,8 В.
Значения отклонения питающего входного напряжения: Л(7' =
= £/—£/'= 12—12,8=—0,8 В. Значение отклонения напряже-
ния на нагрузочном резисторе (выходного напряжения) \Ui =
= UH — U« — 7,6—8 = — 0,4 В. Коэффициент стабилизации ста-
MJ' ЫУп -0,8 -0,4
билизатора напряжения: = —— :—д— =—1.26.
Аналогично производится расчет при "отклонении напряжения
на нагрузке Д(7„ = —0,4 В, т. е. при U" = U« — Д/7,,= 7,6 —0,4 =
= 7,2 В.
6.11. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа
П 416, включенного по схеме с общей базой, если известны зна-
чения этих параметров при включении транзистора по схеме
с общим эмиттером: /in, = 650 Ом; hm = 32-10-3; /121» =40;
/122,= 1,5-IO'4 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при вклю-
чении его по схеме с общей базой: Лив = ———= ,65(\ —
I + h>\3 I +40
= 15,8 Ом. То же, коэффициент обратной связи транзистора:
fti26 = _ Л|2, = 650'J’5;'0"' - 32-10~3 = - 30,62- Ю-3.
14-Л21, 1+40
Коэффициент усиления по току: /i2is=----—=----------+-г =
1 + «21» 1 + 40
= —0,975 Ом.
о . *22» 1,5- 10“4
Выходная проводимость: "226 = । v ~ ~i~+40~=
= 3,67-10~6 См. 21‘
6.12. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа
П 416, включенного по схеме с общим коллектором, если известны
значения указанных параметров при включении транзистора по
схеме с общей базой: /ins = 15,8 Ом; hm = — 30,62-10~3; hw, =
= - 0,975; Й22б = 3,67-10~6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора, включенно-
го по схеме с общим коллектором: /гцк = /гпб/(1 +/1216) =? 1’5,8/(1 —
—0,975) = 632 Ом. Коэффициент обратной связи при включении
транзистора по схеме с общим коллектором: hm = 1.
То же, коэффициент усиления по току транзистора: Ы —
= 1 / (1 — Л216) = 1 / (1 — 0,975) = 40. Выходная проводимость
__ . А22б 3,67- 10~в . ,с о < л —6 Z-
транзистора: h2tK = —,—Е— = —.—Л = 146,8.10 См.
* I“rt2i6 I—-0,9/5
6.13. Рассчитать значения /г-параметров транзистора тира
П 416, включенного по схеме с общим коллектором, если известны
значения этих параметров при включении его по схеме с общим
эмиттером: /in, = 650 Ом; hm = 32-10-4; /121, = 40; /122,= 1,5Х
X Ю~4 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при вклю-
201
чении его по схеме с общим коллектором: ftnK=/iiis=650 Ом.
То же, коэффициент обратной связи транзистора: Л|2к=1.
Коэффициент усиления по току транзистора: Ал к — — (Ни, +
+ 1) = — (40+1) = — 41. Выходная проводимость транзистора:
Й22к ~ /122э = 1,5* Ю~4 См.
6.14. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа
ГТ322А, включенного по схеме с общей базой, если известны
значения этих параметров транзистора при включении его по схеме
с общим эмиттером: Ли, = 330 Ом; /г,2з = 1,6-10~4; Лгь = 56,
/122э = 62,5-10~6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при включе-
, „ , Л,1а 330
ции его по схеме с общей базой: /ins = t — ут gg =
= 5,79 Ом.
о , ^|1э/&22,
Коэффициент обратной связи транзистора: П|2в = т-г-т------------
1 «2!э
—/112з=330'|6^55610 1,6- 10-4=-0,202- 10-3. Коэффициент
усиления по току: /г21б=-----~ = —0,9825.
J J +«21, 14-56
г, ь *22, 62,5-10-6 . .
Выходная проводимость: пав = jqqj— = = 1,1 X
X Ю~6 См.
6.15. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа
ГТ322А, включенного по схеме с общим коллектором, если извест-
ны значения этих параметров транзистора при включении его по
схеме с общей базой: /ins =5,79 Ом; /112с = 0,202-10-3; /1216 =
= — 0,985; /1226 = 1,1 • 10~6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при вклю-
чении его по схеме с общим коллектором: «ик =-гтт— —
То же, коэффициент обратной связи транзистора: /пгк = 1.
Коэффициент усиления по току:/г2|к= —-г-Д—= — Г-
1 ~Т~П21С I
= - 57.
т> , Л226 U * 10 6 СП 7
Выходная проводимость: ига* = i . —л none &2,7 X
I "Г «216 I — U,Уохи
X Ю~6 См.
6.16. Рассчитать значения /i-параметров транзистора типа
ГТ322А, включенного по схеме с общим эмиттером, если известны
значения этих параметров при включении его по схеме с общей
базой: Л116=5,79 Ом; Л126 = 0,202-10~3; ^5=—0,9825; й226=
= 1,1-10-° См.
Решение. Входное сопротивление Транзистора, включенно-
202
Рис. 6.19
л t '»но
го по схеме с общим эмиттером: m— = -г—=
1 -^«2(6 1 “и,Эо2&
= 331 Ом.
То же, коэффициент обратной связи транзистора: hu, =
== У*™ “ h™ = 5'?'n’U<6 ~ °’202,10-3 = 1 ’62- IO"4 •
I “Г «216 1 -*и,УО/О
., , । . Лате —0,9825
Коэффициент усиления по току: п21э=—y-j—= 0 9825 =
= -56,1. _2“
Выходная проводимость: Аггэ =ттт" — ^м’
6.17. Рассчитать значения ft-параметров транзистора типа
ГТ322А, включенного по схеме с общей базой, если известны
значения этих параметров при включении его по схеме с общим
коллектором: Ацк = 331 Ом; Аги = — 57; Аггк — 62,7? 10-6 См.
Решение. Коэффициент усиления по току транзистора при
включении его по схеме с общей базой: А216 -------—-* =
«21к
= — - ~-4-7-- = — 0,9825.
—о/
То же, входное сопротивление транзистора: tins —
= Aiu(l + А21б) = 331(1 — 0,9825) = 5,79 Ом.
Выходная проводимость транзистора: А226 = Аг2к(1 + Аг1б) =
= 62,7-10-®(1 —0,9825)= 1,1 -10~6 См.
6.18. Рассчитать значения A-параметров транзистора типа
ГТ322А, включенного по схеме с общим эмиттером, если известны
значения этих параметров при включении его по схеме с общим
коллектором: Ацк=331 Ом; Ai2k = 1; Аги = — 57; Аг2к=1,1Х
ХЮ"6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при вклю-
чении его по схеме с общим эмиттером: Ацэ = Апк = 331 Ом.
Коэффициент усиления по току транзистора: Агь = — (1 +
-|- Аги) = — 1 -р 57 = 56.
Выходная проводимость транзистора: А22Э = Аггк — 62,7Х
ХЮ-6 См.
203
6.19. Определить коэффициент усиления Ко на средних часто-
тах двухкаскадиого усилителя на транзисторах типа р-п-р, вклю-
ченных по схеме с общим эмиттером, а также нижнюю <ов и верх-
нюю <0в граничные частоты (рис. 6.19,а). Схема замещения при-
ведена на рис. 6.19,6. Коэффициент усиления по напряжению
усилителя в режиме холостого хода Кио — 200, выходное сопро-
тивление первого каскада = 1,5 кОм, входное сопротивление
второго каскада J?BX2«500 Ом, емкость конденсатора связи
Cci = 4 мкФ, входная емкость второго каскада с учетом монтаж-
ной емкости С02 = 0,015 мкФ.
Решение. Коэффициенты усиления усилителя по напряже-
нию: на средних частотах схемы замещения усилительного каскада
.. “вых А«о/?вх2 200*400 лл
= = >.ых,+Кг --1500+500-с уметом допусти-
мых частотных искажений Кк = Кср/-/2 = 40/1,41 = 25,5.
Граничные частоты полосы пропускания частотной характерис-
тики усилителя:
1 106
нижняя: f„ = 2яСс1(/(ых1 + Лвк2) = 2’3.1+4(1500+500) = 19,9 Гц’
откуда сон = 2л/н — 2*3,14 • 19,9 = 125 с ;
верхняя: 1500-500
С°2 Л.„х, + ’ '500 +-500
=28,3 кГц, откуда <ов= 2л^„= 2-3,14-28,3-1000 = 177-10
с
6.20. Определить коэффициент усиления по току Ki и напряже-
нию Ки катодного повторителя на ламповом триоде, коэффициент
усиления которого ц= 100, а крутизна анодно-сеточной характе-
ристики S = 10 мА/B. Сопротивление резистора в цепи катода
/?к = 1,5 кОм, сопротивление резистора смещения на сетке
Rc— 1,2 мОм.
Решение. Внутреннее сопротивление триода исходя из внут-
реннего уравнения лампы: /?,= ц/5= 100/(10-10-3)=10 000 Ом=
= 10 кОм.
Коэффициенты усиления:
“вых Рк i ЛЛ '>5
по. напряжению: Ku = —= H/?,+/?^-+1)-|OO,o+i,5(id6+l) =
150 л nj iz ивых/Нк j-х Rc Л 1,2* 103 -у с К
= W=°>94; по ТОКУ; № = -Ц-7яГ=У(“^Г=0’94~г5“==755-
6.21. Определить коэффициент усиления по напряжению Ки
и току К,, а также входное /?вх и выходное /?ВЫх сопротивления кас-
када, выполненного на транзисторе типа р-п-р по схеме с общим
эмиттером. Сопротивление эмиттерного резистора R, = 1,1 кОм,
входное сопротивление транзистора Ли = 350 Ом, коэффициент
усиления по току транзистора Л21 — 50, выходная проводимость
транзистора Л22 = 60-10-6 См.
Решение. Коэффициент усиления усилительного каскада:
204
по напряжению: Ки =--р-даТр р+60. ю~< и • юТ
1+Ч (w+wl l+350LTi-W+5o)J
= 0,99; по току: Ki = Ки _б>) - 31.
Сопротивления усилительного каскада:
входное: /?вх = Лц/(1 — Ки) = 350/(,1 —0,99) = 35 кОм, выход-
ное: Каых = Ли/(1 +Л21) = 350/( 1 +50) = 6,85 Ом.
6.22. Определить коэффициенты усиления по току Ki, напря-
жению Ки и мощности Кр, а также входное /?вх сопротивление уси-
лителя, выполненного на транзисторе по схеме с общим эмиттером.
В рабочей точке транзистор имеет входное сопротивление hit =
= 1,1 кОм, коэффициент усиления по току h2i = 32, выходную
проводимость /i22 = 18,5-10-6 См, коэффициент обратной связи
по напряжению Л|2 = 2,8-10 4, нагрузочное сопротивление /?н =
= 2 кОм. Расчеты выполнить по точным и приближенным фор-
мулам, результаты сравнить.
Решение. Коэффициенты усиления усилителя по току, на-
пряжению, мощности и значения входного сопротивления усили-
. ,, h2i
теля, рассчитанные по точным формулам: К,— t /г2гЯ~~ ~
_ __________32________ _ 31 . % _ ___________h2lR,____________
_ 1 +18,5-10~6-2000 ~ “ fti I (1 + ЛгаЛн) — Л12Л21/гН
__ 32-2000 __ 57’ К ______ К'К ___
~ 1100(1 4- 18.5-10“6-2000) - 2.8-10“4-32-2000 — ’ Р— i и —
= 31-57 = 1770;
о ____ ^н(^22 + 1//?н) — htjhji
h22+l/R.
11 000(18,5- 10“6+ 1/2000)-2,8- 10-4-32
=--------------------1---------------- = 1080 Ом.
18,5-10-6 + 1/2000
Коэффициенты усиления и значения входного сопротивления
усилителя, рассчитанные по приближенным формулам: Ki = h2> —
= 32; Ки = _^L = 32:2^° =58; Кр= К,Ки = 32-58 = 1850;
Л11 I Iuv
/?вх = 1100 Ом.
Сравнение полученных результатов показывает, что по прибли-
женным формулам погрешность расчета Ki составляет +3 %,
Ки — (+2%), Кр — (+4,5%), /?вх —(+2%), .т. е. погрешность
весьма незначительна.
6.23. Определить коэффициент усиления по мощности трех-
каскадного усилителя, аналогично схеме рис. 6.1.13, выполненного
на транзисторах по схеме с общим эмиттером с параметрами:
Ли = 1 кОм; Л12 = 5-10~4; h2t = 25; h22 = 10-10~6 См. Сопротив-
ление нагрузочных резисторов в каскадах /?| = 5 кОм; /?2 =
= 20 кОм; /?3 — 2 кОм; /?н — 600 Ом. Расчет произвести по
приближенным формулам.
205
Решение. Выходное сопротивление трехкаскадного усили-
теля: /?выхз = р , „....= , 9ПП|, = 460 Ом. Коэффициент уси-
Пи ~г OOv -j- zUUU
„ Л2|/?„.ч 25-460 . . -
ления третьего каскада усиления: Киз =----------=——----------= 11,5.
/ь । 1000
Сопротивление связи второго и третьего каскадов усилителя:
/?св2 = /?,„з = 1//?i + l/R_ f 1//?i = j_ i i = 1 -33 кОм
5 + 20 + 2
Нагрузочные сопротивления первого и второго каскадов усили-
о о КмН.о 1330-1000
теля. /?„, = /?и2 = = |330 + ,ооб = 570 Ом.
Коэффициенты уснлеиня первого и второго каскадов усилите-
ля: Ки, = Ки2 = = т1п570 = 14,2.
I IUUU
Коэффициент усиления трехкаскадного усилителя: Ки —
= KuiKu2Ku3 = 14,2-14,2-11,5 = 2320.
Сопротивление связи первого каскада усилителя: /?СВ| =
_______1 __ 1 __ 4 КГ)М
— + 1/Я/ 1/5+1/20 4 R
Входное сопротивление усилителя: /?вх =—1,1
Лс»| + Л,
= 800 Ом.
Коэффициент усиления по мощности усилителя: КР =
= К2и-^- = 23202-|^- = 9,3- 10й.
4000-1000
4000+1000:
Задачи
6.24. Коэффициент усиления усилителя без обратной связи К=
= 120. Определить коэффициент усиления усилителя Кос после
введения отрицательной обратной связи с коэффициентом переда-
чи цепи обратной СВЯЗИ 0 = 0,015. Ответ: /<„, = 42,85.
6.25. Постоянная составляющая выпрямленного напряжения
при однополупериодной схеме выпрямления однофазного синусои-
дального тока с частотой f = 50 Гц составляет Uo = 2,8 В.
Напряжение на вторичной обмотке трансформатора U2 = 6,13 В.
Пренебрегая внутренним сопротивлением выпрямительного венти-
ля, определить коэффициент пульсации и записать выражение для
основной гармоники переменной составляющей выпрямленного
напряжения. Ответ: q = 1.54; и2 =—-sin314/, В.
6.26. Рассчитать по приближенным формулам значения //-па-
раметров транзистора типа П14 при включении его по схеме с об-
щим эмиттером, если известны параметры при включении по схеме
с общей базой: //цб= 31 Ом; hi26 = 3,2-IO"4; h2is= — 0,96;
h22 = 0,8- 10-6 См. Ответ: йц,= 775 Ом; hl2, — 3- IO4; Л12,= 24; й22,=
= 20-10“6 См.
6.27. Рассчитать по приближенным формулам значения /г-па-
206
раметров транзистора типа П14 при включении его по схеме
с общим коллектором, если известны параметры при включении по
схеме с общим эмиттером: Ли» = 775 Ом; Л|2э = 3-10~4; Zi2is =
= 24; h?2, = 20- 10-6 См. Ответ. Лц„ = 775 Ом; Л)2к = 1; Л2|к- = — 25; Л22|< —
= 20-10“6 См.
6.28. Рассчитать по приближенным формулам значения Л-па-
раметров транзистора типа П14 при включении его по схеме с об-
щей базой, если известны параметры при включении по схеме
с общим эмиттером: /1цэ= 775 Ом; h\?3 = 3-10~4; h.^, = 24;
/122,= 20-10-6 См. Ответ. hni=3\ Ом; Л|2б = 3.2-10“’; й2|в = — 0,96;
Л,,„= 0,8-10“6 См.
6.29. По приведенным входным характеристикам ls(Ue)
(рис. 6.29). Определить входное сопротивление R,x транзистора,
включенного ПО Схеме С ОбЩИМ ЭМИТТерОМ. Ответ. R„ = 100 Ом.
6.30. Определить крутизну статической анодно-сеточной харак-
теристики //(Л) электровакуумного триода с коэффициентом
усиления ц = 10 при 4Л = — 2 В; R,— 5 кОм; £а=100 В;
/а = 16 мА. Ответ. S = 2мА/В.
6.31. Определить анодное напряжение U, лампового триода,
если известно, что анодный ток /а = 18 мА, ЭДС источника пита-
ния £а = 120 В, сопротивление нагрузочного резистора /?а —
= 5 кОм. Ответ. Uа = 30 В.
Рис. 6.33
Рис. 6.34
207
208
Схема вклю- чения и пара- метры тран- зистора
1 2 3 4
Тип транзис- П416 П416
тора П416 П14
Схема вклю- ОБ ОК
чения ОЭ ОБ
Л>|, Ом 15,8 632
650 31
Й|2, Ом 30,62-10 3 1
32-10-3 3,2-10-’
Л2|, Ом —0,975 -40
40 -0,96
Й22, Ом 3,76-10'6 2,44-10“’
1,5-10-* 0,8-10“6
/?„, кОм 8 1,5
3,5 10
R„ кОм 10 '25
15 15
Таблица 6.3
Варианты контрольного задания 6.39
7 9 11 13
6 8 10 12 14
П14 ГТ332А ГТ332А П416 П14
П14 ГТ332А П416 П416 П14
оэ ОБ ОК ОЭ ОБ
ок ОЭ ОБ ОК ОЭ
775 5,79 331 650 31
775 330 15,8 632 775
3-10“' 0,202-10-3 1 32-10“’ 3,2-10“'
1 1,6-10-' -30,62-10-’ 1 3-10“'
24 -0,9825 -57 40 -0,96
—25 56 —0,975 -40 24
20-10“6 1,1-10"6 1,1-ю-6 1,5-10“’ 0,8-10“6
20-10“6 6,25-10"6 3,76-10~6 2,44- 10“' 20-10“6
2,5 10,5 2 5 12,5
1,25 5,5 12 2 3,5
20 10 25 7,5 5,5
30 15 5 - 35 4
Продолжение табл. 6.3
Схема вклю- чения и пара- метры тран- зистора Варианты контрольного задания 6.39
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип тран- П14 ГТ332А П416 П416 П14 ГТ322А ГТ332А П416
знстора ГТ332А ГТ332А П416 П14 П14 ГТ332А П416 П416
Схема вклю- ОК ОЭ ОБ ОК ОЭ ОБ ОК ОЭ
чення ОБ ОК ОЭ ОБ ок ОЭ ОБ ок
Ли, Ом 775 330 15,8 632 775 5,79 331 650
5,79 331 650 31 775 330 15,8 632
А|2, Ом 1 1,6-10-* -30,62-IO’3 1 3-1 о-* 0,202- IO"3 1 32-Ю-3
0,202-10“3 1 32-10“3 3,2-10-* 1 1,6-10-* 30,62- IO"3 1
Ал, Ом 25 56 -0,975 -40 24 -0,9825 -57 40
-0,9825 -57 40 -0,96 -25 56 -0,975 -40
/>22, См 20-1О-6 62,5-10-6 3,67-10-’ 2,44-10-* 20-10-’ 1,1-10-’ 1,1-10-’ 1,5-10-*
1,1-10-’ 1,1-10-’ 1,5-10-* 0,8-10-’ 20-10“’ 62,5-10-’ 3,67-10-’ 2,44-10-’
/?н. кОм 1,5 10 15 2,5 4,5 20 1,25 15
15 1 10 15 1,75 15 20 3
Rn кОм 20 9 6 20 5 7,5 20 15
§ 8 30 8 4 30 5 10 30
Рис. 6.35
6.32. Указать линию нагрузки, построенную на семействе анод-
ных характеристик Циа) (рис. 6.32) электровакуумного триода
при ЭДС анодного питания Е3 = 300 В и анодной нагрузке
/?а = 20 кОм. Ответ. Линия / на рис. 6.32.
6.33. в семействе выходных характеристик /«((А) (рис. 6.33)
определить коэффициент усиления по току К, транзистора, вклю-
ченного ПО Схеме С общим ЭМИТТером (ОЭ). Ответ. К. = 200.
6.34. По приведенным выходным характеристикам А((А)
(рис. 6.34) и линии нагрузки АВ определить коэффициент усиления
по току Ki усилительного каскада, выполненного на базе транзис-
тора, включенного ПО схеме С Общим ЭМИТТером. Ответ. Ki = 93,5.
6.35. Указать линию нагрузки, построенную на анодных ха-
рактеристиках /Х^а) (рис. 6.35) лампового триода при анодной
нагрузке Ra = 10 кОм и ЭДС источника питания £а=300 В.
Ответ. Линия II на рис. 6.35.
6.36. Определить коэффициент усиления по напряжению К„
усилительной ячейки на ламповом триоде, которая характеризует-
ся следующими параметрами: S = 5 мА/B; /?, = 2,5 кОм; /?а =
= 10 кОм; Rc — 100 кОм. Ответ. Ки= 10.
6.37. Определить коэффициент усиления р. триода, если коэф-
фициент усиления по напряжению усилительной ячейки, в которой
он использован, Ки= 100. Анодная нагрузка /?а = 10 кОм, внут-
реннее сопротивление триода /?, = 5 кОм. Ответ, р = 150.
6.38. Определить коэффициент усиления усилительной ячейки
Кос при введении положительной обратной связи, если коэффи-
циент передачи цепи обратной связи 0 = 0,008, а коэффициент
усиления усилителя без обратной связи К= 100. Ответ. к„с= 500.
Контрольное задание.
6.39. Составить схему однокаскадного низкочастотного усилителя и рассчи-
тать коэффициенты усиления по току Ki. напряжению Ки и мощности Кр, а также
входное /?„ и выходное сопротивления для заданного варианта схемы вклю-
чения транзистора по его ft-параметрам для рабочей точки. Величины сопротив-
ления Ru нагрузки и внутреннего сопротивления генератора сигналов Rr приве-
дены для соответствующего варианта контрольного задания в табл. 6.3.
Глава 7
ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
$ 7.1. ТРЕХФАЗНАЯ СИСТЕМА ПИТАНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Трехфазная система питания электрических цепей представ-
ляет собой совокупность трех синусоидальных ЭДС или на-
пряжений, одинаковых по частоте н амплитудному значению,
сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 2л/3, т. е.
на 120° (рис. 7.1.1): ел=£лт31пш/; ев= £BmSin(<of — 2/Зл);
ес = EcmSin(<of — 4/Зл).
В симметричных источниках питания максимальные значения
ЭДС равны Елт — Евт — Ест, соответственно равны и дейст-
вующие значения ЭДС Еа= Ев= Ес. Пренебрегая внутренним
сопротивлением источника, можно принять соответствующие ЭДС
источника равными напряжениям, действующим на его зажимах:
Еа = Uл', Ев — Uл Ес— Uс-
Комплексные ЭДС симметричного источника питания могут
быть представлены системой уравнений 2я
Ел = £ле* = £ле'° = £л; Ев = Еве"^~ =
= Eb(cos-^~ — /sin—) == £в(—0,5 — Ес—
г- с / 4л . . 4я \
= £се = Ес (cos—-----jsin—J =
= £с (-0,5 + /^) .
При симметричной нагрузке ЕА —
= Ев= Ес — Еф. При этом алгебраиче-
ская сумма комплексных значений ЭДС
источника: ЕА + £« + Ес— 0.
Электрическая цепь, в которой дей-
ствует трехфазная система ЭДС или
напряжений, называется т р е х ф а з-
н о й.
В качестве трехфазного источника
электрической энергии в основном ис-
пользуются трехфазные синхронные
генераторы, преобразующие механиче-
скую энергию в электрическую, каж-
211
дая из трех обмоток якоря которого является источником однофаз-
ной синусоидальной ЭДС.
К трехфазным потребителям электрической энергии относятся
трехфазные синхронные и асинхронные двигатели и трансфор-
маторы (с нагрузкой), электрические печи, приборы электриче-
ского освещения и др.
Существуют различные способы соединения фаз трехфазных
источников питания и трехфазных потребителей электроэнергии.
Наиболее распространенными являются соединения «звезда» и
«треугольник». При этом способы соединения фаз источников и
фаз потребителей в трехфазных системах могут быть различны-
ми. Фазы источника обычно соединены «звездой»,- фазы потре-
бителей соединяются либо «звездой», либо «треугольником».
Несвязанная трехфазная система питания электрических це-
пей объединяет три однофазных источника питания, к каждому
из которых может быть подключен однофазный потребитель
электроэнергии. При этом для создания электрических цепей
всех трех однофазных потребителей электроэнергии требуется
шесть питающих проводов. Прн наличии связанной трехфазной
системы питания, в зависимости от схемы соединения фаз
потребителей и источников, необходимо иметь всего четыре, а
в симметричной системе — три провода вместо шести, что обеспе-
чивает значительную экономию дефицитных цветных металлов и
соответствующее снижение потерь мощности в питающих про-
водах прн передаче электрической энергии от источников к по-
требителям электроэнергии.
$ 7.1; ТРЕХФАЗНЫЕ ТРЕХПРОВОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПРИ СОЕДИНЕНИИ ФАЗ ТРЕХФАЗНЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ «ЗВЕЗДОЙ»
При использовании связанных трехфазных систем питания
трехфазных потребителей электроэнергии соединение фаз ис-
точника и потребителя выполняется обычно по схемам «звезда»
нлн «треугольник».
Прн соединении фаз трехфазного источника питания или
потребителя электроэнергии «звездой» (рнс. 7.2.1) концы фаз
источника X, Y, Z объединены в общую нейтральную точку А,
а начала фаз А, В, С подключаются к соответствующим линей-
ным проводам Аа, ВЬ, Сс. Аналогичным образом прн соединении
трехфазных потребителей объединяются в нейтральную точку п
концы его фаз х, у, г, прн этом начала фаз а, Ь, с подключаются
к линейным проводам.
Напряжения Ua, U в, Uc, действующие между началами и
концами фаз источника питания, являются его фазными
напряжениями, а напряжения Ua, Ub, Uc, действующие между
началами и концами фаз потребителя, его фазными напряже-
ниями. Напряжения Uab, U вс, Uca, действующие между нача-
лами фаз источника и напряжения Uab, Ut>c, Uca, действующие
212
между началами фаз потребителя, являются линейными
напряжениями.
На схеме рис. 7.2.1 приведены условные положительные
направления фазных и линейных напряжений. Линейные токи
/л в питающих линиях (1а, /в, /с) при соединении трехфазного
источника питания и трехфазного потребителя электроэнергии
«звездой», условное положительное направление которых при-
ведено на схеме рис. 7.2.1, одновременно являются и фазными
токами /ф, протекающими по фазам потребителя (Ia, /в, 1с).
Поэтому в рассматриваемом случае прн наличии симметричной
трехфазной системы при соединении фаз потребителя «звездой»
линейные токи оказываются равными фазным токам (/ф=/л).
Трехфазные источники питания практически всегда выполня-
ются симметричными. В этом случае действующие значения фаз-
ных ЭДС Еа = Ев = Ес = £ф фазных напряжений Ua=Ub = Uc =
= L/ф оказываются соответственно равными н сдвинутыми относи-
. 2л п
тельно друг друга по фазе на угол—3—. При этом комплекс-
ные, активные и индуктивные сопротивления фаз Za—Zb =
= Zc = 2Ф; Ra — Rb = Re = /?Ф; Ха = Хв — Хс = А*; значения
фазных коэффициентов мощности costp = costp = cos q>c = costp,
также оказываются равными.
Рис. 7.2.2
Рис. 7.2.1
Трехфазные потребители электроэнергии могут быть симмет-
ричными и несимметричными. Для симметричных потребителей
справедливы соотношения, полученные для трехфазных симмет-
ричных источников питания. Прн этом Ua = L/ь = L/c — t/ф,
El АВ = U вс — U CA = иЛ, Za — Zb = Zc= 2ф, Ra — Rb — Re = Rp,
Xa = Хь = Xc = ХФ, cos<pa = cos<p(> = cos<pc = соэфф. Соотношение
между фазными и _линейными напряжеинями определяется
выражением 11Л — -^3Up. Для несимметричных трехфазных по-
требителей не все эти соотношения соблюдаются.
Прн анализе трехфазных электрических цепей широко нс-
213
пользуется метод комплексных чисел. С его помощью можно
осуществлять расчеты, которые невозможно выполнить другими
методами.
На рис. 7.2.2 на плоскости комплексных чисел приведена
векторная диаграмма фазных Ua, Uh, Uc и линейных напряже-
ний Uав, U_bc, Uca потребителя электроэнергии, при этом вектор
фазного напряжения Ua направлен по вещественной оси в поло-
жительном направлении. С учетом этого фазные напряжения
трехфазного симметричного потребителя могут быть представ-
лены в комплексной форме записи: Uu — Ua — U$ = Ub =
л'З
. В соответствии с принятыми условными положительными
направлениями фазных и линейных напряжений (см. рис. 7.2.1)
линейные напряжения потребителя электроэнергии определяются
по уравнениям, составленным в комплексной форме записи для
соответствующих замкнутых контуров по второму закону Кирх-
гофа: Ц_АВ= У_а—Ub, U_BC=Ub—Uc', U_CA~ У_с—Ua-
Из векторной диаграммы (рис. 7.2.2) следует, что линейные
напряжения, так же как и фазные напряжения, сдвинуты отно-
сительно друг друга по фазе на угол При этом для сим-
метричной трехфазной системы векторная сумма фазных напря-
жений Ua+ У_ь+ Uc = 0 и сумма линейных напряжений
+ Uac—0.
С учетом приведенных выше выражений линейные напряже-
ния потребителя для симметричной системы могут быть пред-
ставлены следующими соотношениями: Uab— U* + /4“)’
ивс = uCA = u( 4- i 4).
Аналогичные выражения можно записать и для симметрич-
ного трехфазного источника питания при соединении его фаз
«звездой».
Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов, соединяю-
щих трехфазный источник питания с трехфазным потребителем
электроэнергии, линейные напряжения потребителей оказывают-
ся равными соответствующим линейным напряжениям источника
питания: Uab — Uab', Ubc = Ubc', Uca = Uca.
214
При соединении фаз потребителя «звездой» и симметричной
нагрузке комплексные фазные токи определяют исходя из выра-
жений, записанных по закону Ома для участка цепи: _1_А=
= Ua/Za, i^Uh/Zb', J_C=UC/ZC.
Так как фазные напряжения и полные сопротивления всех
фаз потребителей равны, фазные и линейные токи так же будут
равны: IА — /я=/с=/ф=/.ъ
Активная Р, реактивная Q и полная 3 мощности потреби-
теля электроэнергии при симметричной нагрузке (Za — Zb — Zc —
— Z$) и соединении фаз «звездой» определяют как сумму соот-
ветствующих фазных мощностей
Р = Ра+Рь+ Рс — ЗРф = 3(7ф/фС05фф =
= 3/?ф/ф = 3/?ф/л = -73(Л/лС0з<рф;
Q = Qa Qb ~Т Qc=== Зрф = 3(7ф/ф51п<рф
— ЗХф/ф = 3/,?Хф = т/3(7л/лз{пфф; 3 За 3^ Ч~ *3с
= 33Ф = ЗТ'ф/ф == 37ф/^= 3ZV2,
где созфф=-^-; sinq^=—При этом 3 = л/Р2 + Q2 = -y/SU.Ja.
z> ф ф
В приведенных формулах перед реактивным индуктивным
сопротивлением ставится знак «+» (Н-Афг), а перед емкостным
сопротивлением знак «—» (—Хфс). В комплексной форме записи
полная мощность трехфазной электрической цепи: 3 = P±jQ.
Полную мощность каждой из фаз потребителя можно опреде-
лить по формулам:
За = Ра ± iQa = УаП I 3» = Pb ± jQb = Uhfr, Sc=Pc± jQc =
= где /5, /?, — соответственно сопряженные комплекс-
ные токи в фазах.
§ 7.3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПРИ СОЕДИНЕНИИ ФАЗ ТРЕХФАЗНЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ «ТРЕУГОЛЬНИКОМ»
В связанных трехфазных системах наряду с соединением
трехфазных потребителей «звездой» применяется соединение фаз
«треугольником». При этом не имеет значения как соединены
фазы источника — «звездой» или «треугольником».
Соединение, при котором начало одной фазы потребителя
электроэнергии (или источника питания) соединяется с концом
другой его фазы, начало которой соединено с концом третьей
фазы, а начало третьей — с концом первой фазы (при этом нача-
ла всех фаз подключаются к соответствующим линейным прово-
дам), называется треугольником.
При соединении «треугольником», как видно из схемы рис.
7.3.1, фазные напряжения оказываются равными линейным
напряжениям ((7Ф= U.,): уаь = уАв, Уьс=Увс< Уса=иСА. При
215
симметричной системе питания: иаЬ=иЬс=иСа=и ad—U п<:—
= и<:А=иФ=и.-,.
Векторная диаграмма напряжений на комплексной плоскости
при симметричном питании для активно-индуктивной нагрузки
(Ф>0) представлена на рис. 7.3.2. Здесь комплексное линейное
напряжение иаь направлено по положительной вещественной
оси комплексной плоскости. При этом комплексные линейные
напряжения записывают в следующем виде: Uab=Uab — U.,;
и„с= и„е и. (-4-
+ /4-)=М-т+нН-
i^-\uia=uea (--1-+
Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные
напряжения потребителя можно приравнять линейным напряже-
ниям источника питания: иаь—ОЛ11-, Ube=Unc- {JCa=UcA-
Аналогичные выражения могут быть записаны и для линей-
ных напряжений источника питания независимо от схемы соеди-
нения его фаз.
Соотношение между линейными и
фазными токами при соединении потре-
бителя электроэнергии «треугольни-
ком» и симметричной нагрузке опре-
деляют из уравнений, составленных
для токов в соответствии с первым
законом Кирхгофа для узлов а, Ь, с
разветвления электрической цепи (см.
рис. 7.3.1 ) : _J_A -\~_lca —'_[ab — Oi 7 Л ~|~ 7ab
—J_bc — 0; 7 с. _/< и=0.
При симметричной нагрузке ли-
нейные токи 7 л= 7 ,(= 7 ,• и фазные
/„/,= 1Ь<.= 1са. При этом угол сдвига
фаз между фазными токами и напря-
216
жениями qw = Ч’*г — q™. гак как в данном случае коэффициент
мощности cosq:u(, = cosq)(,t= cosgiu.
В соответствии с этими уравнениями на рис. 7.3.2. построена
векторная диаграмма фазных и линейных токов потребителя, из
которой следует, что прн соединении фаз симметричного трех-
фазного потребителя электроэнергии «треугольником» между
линейными и фазными токами имеет место соотношение /,=
= уЗ/ф.
При симметричной системе питания и симметричном потре-
бителе электроэнергии с соединением его фаз «треугольником»
полную S, активную Р и реактивную Q мощности отдельных
фаз потребителя определяют по формулам, полученным для
соединения его фаз «звездой».
$ 7.4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЧЕТЫРЕХПРОВОДНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Трехфазная четырехпроводная система питания потребителей
электроэнергии, широко распространенная в низковольтных се-
тях, позволяет получить для питания потребителей два напря-
жения — линейное U л и фазное (7ф.
При смешанной силовой и осветительной нагрузках силовые
низковольтные потребители электроэнергии питаются линейными
напряжениями £7= 660; 380; 220 В. Для осветительной нагрузки
используются фазные напряжения £/ф=220; 127 В.
В трехфазных четырехпроводных электрических цепях при
наличии линейных проводов, соединяющих начала фаз источника
питания и потребителя электроэнергии, имеется также нейтраль-
ный провод, соединяющий нейтральную точку N источника с
нейтральной точкой п потребителя (рис. 7.4.1), что обеспечивает
симметрию фазных напряжений источника и потребителя, так
как нейтральный провод уравнивает потенциалы нейтральных
точек Nun.
В четырехпроводных электрических цепях фазы источника
и фазы потребителя соединяются всегда «звездой».
217
При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления
фаз потребителя не одинаковы (Za=£ Zb=£ Zc), прн этом комплекс-
ное напряжение UnN, действующее между нейтральными точка-
ми N и п системы, определяют по методу двух узлов
где ЕА, Ев, Ес — комплексные ЭДС источника питания; У„=
= ~—; Уь = —^—; У<=—-=----------------комплексные проводи-
Сл ц L* Ь Lc Li у
мости фаз потребителя и нейтрального провода.
При симметричной нагрузке Za—Zb = Zc сумма комплексных
токов в точке п разветвления цепи, записанная в соответствии
с первым законом Кирхгофа: _[А +7я + L: =:1n= 0, так как ток
в нейтральном проводе 1^=0. При этом напряжение, действую-
щее между нейтральными точками: UnN=ZNLj=Q.
Пренебрегая внутренним сопротивлением симметричного ис-
точника питания и учитывая, что ЭДС £^=£8=Ег=£ф=
= Пл-\/3, комплексное напряжение, действующее между нейт-
ральными точками системы, определяют исходя из выражения
U — и’(У>+агУ>+аУс)
V3(r„+ г»+ К + Ь) ’
. 2я . 2л
где а = е 3 = (—г+/-Г-)’ fl2 = e ' ’ (“4—/-у-) ~ пово'
ротные множители (операторы).
Комплексные фазные напряжения потребителя электроэнер-
гии находят из уравнений, составленных по второму закону
Кирхгофа для соответствующих замкнутых контуров системы
(рис. 7.4.2): Ua=EA—UnK', Ut> = Ев— Unff, UC=E(:—Unv.
При этом комплексные фазные токи потребителя определяют
по закону Ома для соответствующих участков цепи: J_A= Ua/Za,
l_g=.Ub/Zb-,£c=Uc/Ze.
Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответ-
ствии с уравнением, составлен-
ным по первому закону Кирх-
гофа для нейтральной точки п
цепи: In—La~\-Lb~\~Lc-
При симметричной нагрузке
фазные напряжения: Ua= 11ь=
= Uc=U<b, при этом (7Ф=
= Пл/“\/3; I a~i1b= I с= I =
= (/ф/2ф= [7л/д/32ф. При об-
рыве нейтрального провода его
полное сопротивление ZN=<x>,
а полная проводимость У=0.
218
При несимметричной нагрузке потребителя электроэнергии
(Ze=#Z»=#Zf) на векторной диаграмме происходит смещение
нейтральной точки п потребителя относительно нейтральной
точки N источника, что приводит к перекосу фазных напряжений
потребителя. В результате на одних фазах потребителя напря-
жение будет больше, чем на других, что во многих случаях не-
допустимо, в частности при питании осветительной нагрузки,
когда одни осветительные приборы находятся под напряжением,
меньшим номинального, а другие — под напряжением, большим
номинального, что приводит к преждевременному выходу прибо-
ров из строя. Поэтому в цепи нейтрального провода недопустимо
наличие различного рода предохранителей и выключателей.
Трехфазная четырехпроводная система обеспечивает потре-
бителя электроэнергии симметричным питанием. При этом актив-
ная, реактивная и полная мощности могут быть определены по
следующим формулам с учетом знака реактивных сопротив-
лений:
Р — l\Ra “Н /IjRb -|- PcRc— I .\UaCOS <fa -|-
-|- / BUb cos грь +1CUC cos ;
Q = -|- РдКь -|- /fXf = I/ji/aSin фа -|-
+ /St7i>sin (f* + /cyesin<pf;
s=V75+Q2,
где СОЗфа = Ra/Za, COS ф(, = /?|,/Z(,; COS<f;c — Rc/Zc\ 51Пфа = Xa/Za;
sintp» = Xt/Zs; эшфс = Xc/Zc.
При симметричной нагрузке эти формулы приводятся к виду:
Р=3/ф/?ф= д/ЗУ.т/лСоэфф;
Q — 3/?|Лф= -\/3^.т/л51Пфф;
S = -Vp2 + Q2 =
где соэфф = R^/Ztf,; sirups—X(|,/Z(1>
Литература. [1] § 7.1; [2] § 7.2 -7.5; [3] § 8.1.
Примеры решения задач
7.1. Маркировка вторичной обмотки трехфазного трансфор-
матора с номинальным напряжением [7н„м= 220/380 В указана
на рис. 7.1, а. Определить показания вольтметров V, включенных
между зажимами 1—2 и 2—6 обмотки после соединения зажимов
3, 4 и 5 в общую точку N, если при правильном соединении
обмоток «звездой» фазное напряжение [7ф=220 В. Указать пра-
вильное соединение обмотки трансформатора «звездой».
Решение. Показание вольтметра, включенного между за-
жимами 1—2 обмотки трансформатора из векторной диаграммы
рис. 7.1,6: Uiz=Ei — £2== {7.1^37/ф=-^'3-220=380 В. Линейное
напряжение Un представляет собой геометрическую разность
219
Рис. 7.1
соответствующих фазных ЭДС и отличается от них в т/3 раз.
Показание вольтметра, включенного между зажимами 2—6
обмоток трансформатора (рис. 7.1, в), определяется из векторной
диаграммы рис. 7.1, г: U26—E2 + Е3 = 220 В. Вольтметр покажет
фазное напряжение [7ф=220 В.
Правильное соединение обмотки трансформатора «звездой»
соответствует включению зажимов 4, 5 и 6 в общую точку N.
7.2. Трехфазный симметричный потребитель электроэнергии
с сопротивлением фаз Za= Zt> = Zc= Z^= R= \0 Ом соединен
«звездой» и включен в трехфазиую сеть с симметричным линей-
ным напряжением [Л=220В (рис. 7.2). Определить показания
амперметра А при отключении линейного провода ЬВ (выключа-
тель В разомкнут).
Решение. Суммарное сопротивление между точками а и с
цепи при разомкнутом выключателе: Rac = Za + Zc= 10-|-10 =
= 20 Ом. Показание амперметра при отключении линейного про-
вода В: /л=/с=[Ул//?ас = 220/20= И А.
7.3. Для условий задачи 7.2 построить векторную диаграмму
напряжений и токов при симметричной нагрузке фаз и при обры-
ве линейного провода ЬВ.
Решение. Фазные напряжения при симметричной нагруз-
ке: Ua= Ub= Uc= иф— [7л/-уЗ = 22О-\/3 = 127 В. Фазные токи
при этой нагрузке: /ф=-^-=-^-= 12,7 А. Линейные токи при
симметричной нагрузке: 1А=1Г.~
= /л=/ф= 12,7 А, так как симмет-
ричный трехфазный потребитель
электроэнергии соединен «звездой».
Активная мощность трехфазного
симметричного потребителя: Р =
= ЗРФ= 3[7ф/фсо5<рф= 3-127-12,7Х
X 1 = 4850 Вт = 4,85 кВт или Р =
= т/3[7л/лсоз<рф = -\/3-220-12,7-1 =
= 4850 Вт = 4,85 кВт, где соз<рф= 1
при Z$=R$.
220
Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на
рис. 7.3, а.
Токи в линейных проводах аА и сС при обрыве линейного про-
вода ЬВ (выключатель В разомкнут) равны, так как сопротивление
фазы Zt, = оо (/в= 0), a Za— R и Zc — R включены последова-
тельно на линейное напряжение Uca= ил = 220 В: Ia — 1 с — / =
= t/cV(/? + /?) = 220/(10+Ю)= И А.
Напряжение на фазах потребителя при обрыве линейного
провода ЬВ (нейтральная точка п в этом случае соответствует
середине вектора линейного напряжения Uca)'- Ua= Uc =
= Uca/2 = 220/2 = 1 Ю В.
Напряжение между проводом фазы В и нейтральной точкой п
определяют из векторной диаграммы (рис. 7.3, 6):Uc—
= [/„cos—£-= 220-0,866= 190,5 Bi
О
Активная мощность потребителя при обрыве линейного про-
вода ЬВ: /’=/’л + Л = 2/2/?ф=2.Ц2-10=2420 Вт= 2,42 кВт.
221
7.4. Для условий задачи 7.3 определить фазные напряжения
U$ и токи /,|„ активную мощность Р, потребителя при коротком
замыкании фазы Zb, построить векторную диаграмму для этого
случая.
Решение. В данном случае 1Ь — 0 и Uь = 0, нейтральная
точка п переместится в точку В, при этом фазные напряжения
Uc=lJBC\ иа=илв, т. е. фазные напряжения равны линейным
напряжениям ([7 ф= U,). При этом фазные токи: /.i=/f =
= [/.,//?= 220/10= 22 А.
Ток 1ц при коротком замыкании в соответствии с первым
законом Кирхгофа для нейтральной точки п: _Л1+_/в-|-Л. = 0
или —_/«=_/•, +!<:
Из прямоугольного треугольника на векторной диаграмме
рис. _7.4 имеем: (—/в/2)2 -|- (/з/2)2 — Г~д, откуда 1в= =
= Л/3-22 38 А. При этом h = U.,/Za = h= U.,/Z{ = U,/R =
= 220/10=22 A.
Активная мощность цепи прн коротком замыкании: Рк =
= Ра + Рс— 2- l$R = 2-223-10 = 9680 Вт =9,68 кВт. Векторная
диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 7.4.
7.5. Для трехфазной электрической цепи рис. 7.5 определить
ток Л в нейтральном проводе при разомкнутом выключателе В.
Линейное симметричное напряжение питающей сети {/.,=
= 220 В, сопротивление резисторов = Р2 = Rs = Ю Ом.
Решение. Комплексные фазные напряжения: U а =
— Uoen = Uae'" =Ua=Ub=-^=-^-=l21 В; U в=
уз
= f/fre '^= (7»(cos-^--/sin^-) В; Uc=Uce4~^ =
= [7c(cos—-/sin——4 В.
Так как в соответствии с формулами приведения: cos -у- =
= cos ( —^-1- а) = — sina= — sin ——=—0,5; sin =
= sin ( —j-1- а) = cosa = cos ——= -у- = 0,866: cos ~ =
= cos(n -|- a) = — cosa= — cos ——= — 0,5; sin —y-=
= sin(n + a) = — sina = — sin =-----------y- = — 0,866, то пред-
ставленные выше формулы комплексных фазных напряжений при
этом приводятся к виду:
Ua = U$ = 127 В; Uh= t/ф (--0,5 -/-^-) = 127Х
X (-0,5-/-^ =(-63,5-/110) В; UC=U*X
222
х( -0.5 + = 127 (-0,5 + / -f) = (-63,5 + /110) В.
Комплексные фазные токи: 1д = ~^г~= 0. так как выключа-
тель В разомкнут;_/я=-j^-= -------—— — ( — о,35 — /1I) А,
/с- -(-6,35+ j 11) А.
—— Ц 1 и
Ток в нейтральном проводе: _/v = /а + _£в + / с = — 6,35 —
— /11 — 6,35 -|- /11 = — 12,7 А или In— 12,7 А.
7.6. В трехфазную питают* <о сеть с симметричным напряже-
нием включен симметричный потребитель электроэнергии, фазы
которого соединены «звездой» (рис. 7.6, а). Комплексные сопро-
тивления фаз Za = Zj, = Zc = 22е Ом (угол ф = -^-=30°).
Определить линейные токи /л, показание ваттметра W и по-
строить векторную диаграмму напряжений и токов при замкну-
том выключателе В, если фазное напряжение (7ф = 220 В.
Решение. Комплексные фазные напряжения потребителя
электроэнергии определяем, направляя вектор Ua по оси действи-
тельных чисел в положительном направлении: = Uae!0 = Ua =
= 220 В; (Л = (Ле 220 е” '-3” В; Uc = Uce^ =
= 220е^~ В или Uc = Uce~' ~ = 220е“''^’В.
Комплексные линейные (фазные) токи потребителя: _1л =
= = l0e~'fА: - z - А "ли
, 220е '3 . n ~i^ « , , , , ,
1_с —---л.— = 10е А; Л=/й=/с=/л=/ф.
22е'^
223
Рис. 7.7
Векторная диаграмма напряже-
ний и токов приведена на рис. 7.6, б.
Показание ваттметра: Рь=и$1$'Х.
X cos<p= иala cos-g-=220-10-0,866=
— 1905 Вт= 1,905 кВт.
Комплексная мощность фазы А
потребителя: Sa=Ua£*A= 220- 10e>s =
= 220- 10(cos-£+/sin-£-) =220Х
Х(8,66 + /5)= 1905 +j 1100.
Действительная часть комплексной мощности и является
активной, измеряемой ваттметром. Активная мощность потребите-
ля электроэнергии: Р — ЗРф = 3[/ф/фСО5ф = 3-220-10-0,866 =
= 5715 Вт = 5,715 кВт.
7.7. Трехфазный потребитель электроэнергии с активными и
реактивными сопротивлениями: Ri = 10 Ом, /?2 = /?з = 5 Ом и
Xl = Хс = 5 Ом фаз соединен «треугольником» (рис. 7.7) и
включен в трехфазиую сеть с линейным напряжением t/л = 100 В
при симметричном питании. Определить показания амперметра А
при отключении (обрыве) линейного провода с С (выключатель В
разомкнут).
Решение. Полное сопротивление параллельного участка це-
пи при обрыве линейного провода: Zt=^ (Rs+Ra'f + (Xi. — Xcf =
= д/(5 + 5/ + (5 — 5^ = VT6T= 10 Ом.
Так как реактивные сопротивления Xi. = Хс, то в цепи имеет
место резонанс напряжений, и она ведет себя как активное сопро-
тивление (Z| — Ri = 10 Ом).
Общее сопротивление цепи при обрыве линейного провода:
7 — Z'/?' _ l0-f0 _ 100 Г п
z° Z, + R, 10 +10 20 — & им’
Показание амперметра при обрыве линейного провода: 1а =
= /в = Ua/Zo - 100/5 = 20 А, так как Uab = Ubc = Uca — Un =
= 100 В.
7.8. По условию задачи 7.7 определить фазные /ф и линейные
Л токи, а также активную Р, реактивную Q и полную S мощности
каждой фазы и всей электрической цепи. Построить векторную
диаграмму токов и напряжений.
Решение. Фазные токи потребителя:
, Uab _ 100
ак za„ R, 10
= 10 А;
Uic _ Ubc _ 100 _ 100
— + Al- — v'S2 + 52 —
224
La
Uca
Zea
Ugg 100
J^rXl VF+I2
= 14,2 A.
Векторная диаграмма токов и напряжений с учетом характера
нагрузки представлена на рис. 7.8.
Составляющие фазных токов:
активные: 1аьа — IDA; Л< а — Lc cos фьс = he-j- = 14,2F-:ra^ =
Zftc J у 2
= 10А; /газ=/«С0Вфся=/„^- = 14,2 т$гтт = 14,2 д??=Г-
L. с а V К 2 "Гл I V э Т’'
= 10 А;
X 5
реактивные: //,fp = /(,csin ф/>с = = 14,2 = Ю А;
leap — /casin фса = 1са-^-= 14,2 = 10 А; /□(,₽ = 0, так как
£.са O"V *•
Zab — Rab = Rt- Линейные токи потребителя электроэнергии опре-
деляют исходя из векторной диаграммы рис. 7.8: /д = 15,9 А; /в =
= 15,9 А; /с = 27,32 А.
Мощности фаз потребителя:
активные: Раь = иаь1аьа — 100-10 = 1000 Вт = 1 кВт; Рьс —
= Ubdbca = 100-10 = 1000 Вт = 1 кВт; Рса = Uealcaa = 100-10 =
= 1000 Вт = 1 кВт.
реактивные: Qab — UablabV~ 100-0 = 0; Qbc = UbJbcV =
= 100-10 — — 1000 вар = — 1 квар; Qca = UcaIcav = 100-10 =
— 1000 вар = 1 квар (знак «—» указывает на емкостной харак-
тер мощности).
Полные мощности фаз потребителя: Sab = Pab = Uabhb .=
= 100-10=1000 В-А= 1 кВ-A; Skc = Ubchc = 100-14,2 =
= 1420 В-А= 1,42 кВ-A; Sca = UCaLo = 100-14,2= 1420 В-A =
= 1,42 кВ-A.
Мощности всей цепи:
активная: Р = Раь + Рьс + Рса = 1 4- 1 + 1 — 3 кВт; реактив-
ная: ^ = .Qaft+Qbc+Qm=O-— 1 -j- 1 =0; полная: 5 = д/=
= д/ЗМ- О5"= 3 кВ-А.
7.9. Для трехфазной электрической цепи (рис. 7.9) определить
фазные напряжения [7Ф, линейные токи /л и показание ампермет-
8-217
225
pa А при замкнутом выключателе В. Линейное симметричное на-
пряжение питающей сети Un = 380 В, сопротивления резисторов
потребителя электроэнергии: /?] = /?2 = /?3 = /? = 20 Ом.
Решение. Комплексные фазные напряжения (направляя
вектор Ua по оси действительных положительных чисел комплекс-
ной плоскости): Ua = иве* = Uae’° = Ua= -^-= 220 B;
- т/З т/З
Ub = Ube~^ = Ub (cos / sin —) = (-110 + / 190) B; t/c=
= t7ce = Uc (cos-y— / sin-y-) = (—110 + / 190)В, так как
. 2л /л . \
в соответствии с формулами приведения: cos — = cos hr + а) =
» .л /че’* 2л • (л । \ __ ____
= — sin а = — sin — 0,5; sin — = sin Hr + а) = cos а =
О о \Z /
= cos у = = 0,866; cos -у- = cos (л + а) = — cos а =
= — cos rr = — 0,5; sin — = sin (л + а) = — sin а== — sin rr =
о о о
= --у-= -0,866.
Общее сопротивление фазы А потребителя электроэнергии:
р - ™ - 20'20 _ 400 _ ю ом
Ка~ Ri+R — 20 + 20 — 40 1U UM-
Линейные токи, так как резисторы соединены «звездой»: /л =
= /ф; /л=^-=-у-=^=22 А или 1а = 22 A; ^fl = ^- =
1\а Ко *\2
= -|.!02Т(.199.. = (-5,5-/9,5) А, или /8 =-V5,52 + 9,54 = 11 А;
226
ic = ^-= ~"° + '190 = (-5,5 + / 9,5) А или /c=V5,52+9,52 =
АЗ лХ)
= 11 A.
Показание амперметра определяется по уравнению, составлен-
ному для токов в соответствии с первым законом Кирхгофа для
Нейтральной точки n:_bi =J_a +Jb +Jc = 22 + (—5,5 — j 9,5) +
+ (-5,5 + /9,5)= 11 А или In = 11 А.
7.10. По условию задачи 7.7 определить фазные /ф и линейные
Л токи с применением метода комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя
электроэнергии: Zi = Ri = 10 Ом; Z2 = — j Хс — (5 — j 5)Ом;
2з = R3 + j Xl — (5 + / 5) Ом.
Комплексные фазные (линейные) напряжения потребителей
электроэнергии, принимая, что вектор Uab направлен по оси
действительных величин (рис. 7.10): Uab — Uab — 100 В; Ubc =
= Ubc^ = Ubc( cos у— / sin -у) = 100 (-0,5 - j 0,866) =
= (-50 - j 86,6) B; Uca = UCAe~'^ = Uc^ cos-y— /sin^-) =
= 100 ( — 0,5 + j 0,866) = (—50 + j 86,6) В, так как в соответ-
, 2л / л . \
ствии с формулами приведения: cos — = cos 1 у + at —
= — sin а = sin = — 0,5; sin = sin(+ а) = cos а =
= cos — 0,866; cos 4^- = cos (л + а) = —cos а =
О Z о
= — cos — 0,5; sin 4^- = sin (л + а) = — sin а= — sin 4J- =
00 «5
= - Jy-= - 0,866.
Из рис. 7.10 видно, что вектор Ubc отстает по фазе от век-
тора Uab на угол у- и с отрицательной частью вещественной оси
образует угол у, а с осью мнимых чисел — угол у. С учетом
этого комплексное напряжение: Ubc= Ubc(— cosy — j sin у) =
= 100 (-0,5 - / 0,866) = (-50—/ 86,6) В.
При этом комплексное напряжение Uca является зеркальным
изображением комплексного напряжения Ubc иа оси веществен-
ных чисел, поэтому выражение для него записывают в виде:
Uca = (—0,5 + / 86,6) В, т. е. это напряжение является сопря-
женным по отношению к напряжению Use с противоположным
знаком перед мнимой частью.
Фазные токи потребителя: _/а/> =-у^-= уу-= 10 А; h>c =
= ф£ = ~5?~/!6,6 ==(~5”.~/г^(?±2_5) = (3,66 - / 13,66) А
227
ИЛИ lbc = л/3,662 + (13.66)2
= 14,2 A; lea = 4^
^3
—50+/86.6
5 +/5
= {~50 + / 86^)(5-/ 5) = (3>б6 + . 13 66) д или =
= 14,2 А.5 +5
Линейные токи потребителя: _/л =1аь —.La = 10 — (3,66 +
+ j 13,66) = (6,34 — /13,66) А или 1а = V6.342 + (13.66)2 =
= 15,9 A; JB = ±ьс — lab = (3,66 - /13,66) — 10 = (—6,34 —
-/13,66) А или 1В = V(6,34)2 + (13,66)-2:= 15,9 А; /с =_/„,-
- = @’66 + > 13-66)- <3,66 - / 13,66)= 27,32 А или 1с =
= V27.322 = 27,32 А.
7.11. Обмотки фаз трехфазного асинхронного электродвигате-
ля с номинальной мощностью на валу Рзнои — 4 кВт включены
в трехфазную питающую сеть с линейным напряжением U„ =
= 220 В «треугольником». Коэффициент мощности двигателя
со5фф = 0,8; (<р=37°); КПД п = 0,85. Определить линейные
А и фазные /ф токи электродвигателя и построить векторную
диаграмму напряжений и токов.
Решение. Мощность, подводимая к электродвигателю:
р = s = 4700 Вт _ 4 7 кВт
t] 0,85
Токи двигателя:
„ - Г Pl
линеиныи: /л = —=-----------
-уЗ и СОЗ <Рф
/ф = /л/73 = 15/1,73 = 9 А.
---- = 15 А; фазный:
-/3 - 220-0,8
Сопротивления фазы двигателя при заданной нагрузке на валу:
полное 7ф = = -у— = 2д°-- = 24,45 Ом; активное R$ =
— 7фСОвфф= 24,45-0,8= 19,55 Ом.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматривае-
мой цепи приведена на рис. 7.11.
7.12. Для трехфазной электрической цепи (рис. 7.12, а) опре-
делить линейные токи 1Л и активную мощность Р, потребляемую
Рис. 7.11
цепью, если линейное симмет-
ричное напряжение питающей
сети Uл— 220 В, а активные и
реактивные сопротивления: R—
= 5 Ом, Хс=5Ом, Х£=5Ом.
Построить векторную диаграм-
му напряжений н токов.
Решение. Комплексные
сопротивления фаз потребите-
ля: Zab = R=b Ом; Zbc —
= —jXc = —/5 Ом; Zca = jXc =
= /5 Ом.
Комплексные напряжения
фаз (направляем вектор комп-
228
лексного напряжения Uab по оси действительных чисел):
-/2Д_
Uab — Uab= 220 В; Ub'c— Uace —
= 220(cos-^— /sin Лр-) = 220(-0,5-/0,866) =
== (-110-/190,5) В; 1/сл= {/сле-/^ =
= 220(cos-^-- /sin^-J = 220(-0,5+ /0,866) =
= (-110+ /190,5) В.
Фазные токи потребителя электроэнергии
1аь = = 44 А или lab = 744^= 44 А;
= А или
— Zbc —/5 —15-)5 ' ’ ‘ >
he = 738,12 + 22* = 44 А; = ~110J,ч.99:.5.: ==
= (38,1 + /22) А или /и = 738,12 + 222 = 44 А.
Линейные токи потребителя:
_1_л —lab —lea — 44—(38,1 +/22) = (5,9+/22)А или 1а =
= -V5.92 + 222 = 22,4 А;_/а = /^=(38,1 -J22) -44=
= (—5,9—/22) А или 1В = V5-92 + 222 = 22-4 А‘>
l_c=ica — he = (38,1+/22) - (38,1-/22) = /44 А или
/с=л/445"= 44 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматри-
ваемой электрической цепи приведена иа рис. 7.12,6.
7.13. Для схемы рис. 7.13, а определить показание амперметра
А, а также показание вольтметра V при разомкнутом выключателе
В и обрыве линейного провода А, если линейное напряжение U„ =
= 220 В, а сопротивления резисторов R = 10 Ом.
Решение. Комплексное фазное напряжение при разомк-
229
нутом выключателе (направляем вектор Ua по оси действитель-
ных положительных чисел): Ua = Uaei,e — Uae'° = Ua = —
— V3
= 127 В.
Показание амперметра: — Ua/Za= Ua/R = —[l2~- =
= 12,7 А или /ф= /.,= 12,7 A.
При обрыве линейного провода А к двум не поврежденным
фазам подводится линейное напряжение Ubc =220 В, которое
распределится на равные части, так как сопротивления фаз
одинаковы: UJ, = U'c = Ubc/2 = 220/2 = 110 В.
Напряжение при смещении нейтральной точки п находят из
векторной диаграммы (рис. 7.13,6): = Ub/2 = 127/2 =
= 63,5 В.
Показание вольтметра при замкнутом выключателе- находят
из векторной диаграммы (рис. 7.13,6): U’a = Ua + Ujn= 127 +
+ 63,5=190,5 8. ~
7.14. Для электрической цепи рис. 7.14, а определить фазные
/ф и линейные /л токи, если при симметричном питании линейное
напряжение ил = 220 В, а комплексные сопротивления фаз:
Zab — (12+/16) Ом; Zbc = 12 Ом; = £8+/6) Ом. Построить
векторную диаграмму токов и напряжении.
Решение. Комплексные линейные напряжения (направляя
вектор линейного напряжения Uab по оси действительных чисел):
Uab = Uab = 220 В; Ubc = Usee = UbcX
x ( cos-у- - /sin-у-) = 220(—0,5 - /0,866) = (-110—/190) B,
U_ca= UcAe = t/cx^cos-y- — /sin-у-) =
= 220(—0,5 + /0,866) = (-110+/190) B.
Комплексные токи:
фазные, lab = i2 + д6 = (12 4- /16X12 - /16) ~ (6’6
230
- /8,8) A; hc = -^ = ~11Q~J190 = (—9,17 - /15,8) A; ha =
&hc I л
— JJca_— -11O + /19O_ (-110 +/190X8-/6) _ ,„fi .„. .
“ Z„ “ 8T/6--------------ё^+б5------“ <2’Ь + I21 A>
линейные: /д = _hb —lea — 6,6 — /8,8 — 2,6 — /21,8 = (4 —
- /30,6) А ИЛИ IA = + 30-62 = 30-8 Al Is = Ibc — Lab =
= -9,17-/15,8 — 6,6 + /8,8= (15,8-/7) А или /а = Л/15,82 + 72 =
= 17,3 A; Ic = Ica - lbc = 2,6 + /21,8 + 9,17 + /15,8 = (11,8 -
- /37,6) А нли Ic = V1T,82 + 37,62 = 39,4 A.
Построение векторной диаграммы напряжений и токов для рас:
сматриваемой цепи представлено на рис. 7.14,6.
7.15. Для схемы рис. 7.15 определить фазные токи hb, he, ha
н фазные напряжения Uab, Ubc, Uca потребителя электроэнергии,
соединенного «треугольником». Линейные напряжения симметрич-
ной системы питания Uав= Uвс= Uca= ил = 110 В, активные и
реактивные сопротивления фаз потребителя: /?, = 40 Ом; /?2 =
= 35 Ом; R3 = 25 Ом; Хц = 20 Ом; Xi_2= 25 Ом; Хс = 30 Ом.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя:
/«»=/?,+/%£, =(40+/20) Ом; Z6c=/?2 + /Xl2 = (35 + /25) Ом;
7.са = R3 — /Хс =(25 —/30) Ом.
Комплексные фазные (в данном случае и линейные) напряже-
ния определяют, считая, что вектор Uab направлен по оси дей-
ствительных величин, тогда:
231
Рис. 7.15
Фазные токи: Iа6= -^-=
Uab = UАв =110 В; Ubc =
= Uвсе /~т" = UBeccas—--------
-/sin^-) = 110 (-0,5-/0,866) =
~/4л
= (-55-/95) В; Uca = Ucaz т=
= t/M(cos^--/sin^-) = юох
Х(—0,54-/0,866) = (-554-/95) В.
ПО __ 110(40-/20) _ /QQ
40 +/20 — 40г + 202 ' ’
- /1,1) А или 1аЬ = л/2,224-1,1Т- 2,46 А; 1Ьс =
= -(~--й/т-)(5~/25) = (2,3-/1,05) А или 1ьс = л/2,324- 1,05® =
оо т** ZD
— 2,53 А; . Iса— у
£>са
Uca -554-/95 _ (-55+ /95) (25 +/30) _/о ,
25-/30 252 + 302 —
4- /0,475) А или 1са = V2.782-|-0,4752 = 2,82 А.
Линейные токи: J_a — 1аь —_[са — 2,2—/1,14-2,78—/0,475 =
= (4,98-/1,575) А или 1а = л/4,982-|- 1.5752 = 5,22 А;/а=Лс-
—_1аЬ = —2,3 -/1,05 — 2,2 4-/1,1 = (—4,5 — /0,05) А или ,/а =
= V4,5s4-0,052= 4,50 А; 1с=/са-/»с = -2,784-/0,4754-2,3 4-
4- /1,05 = (-0,484-/1,48) А или /с=-д/0,482-|-1,482 = 1,56 А.
7.16. Для условий задачи 7.15 определить линейные токи /л
и построить векторную диаграмму напряжений и токов при обрыве
фазы Ьс (см. рис. 7.15).
232
Решение. Комплексные на-
пряжения фаз: UAb= Uab— 110 В;
Ubc = (_55_/95) в; Uca =
= (-55+ /95) В.
Фазные токи потребителя (при
обрыве фазы Ьс схема преоб-
разуется в открытый треуголь-
ник, рис. 7.16, а): 1_аь — —
но _ 110(40-/20) _t 9 9
— 40 +/20 — 40z + 20J '
—/1,1) А; = 0; /еа =-^И =
= 5^= (~55^+73Р} == (—2.78+/0.475) А.
Линейные токи при обрыве фазы be: Ja =]аь —Jca = 2,2 —
— /1,1 + 2,78 - /0,475 = (4,98 — /1,575) А или IA = V4-982 +
+ 1,5752 = 5,2 А; /а = - /а„ = 0-Ль = -(2,2-/1,1) =
= (—2,2 + /1,1)А или 1в = -V2.22 + l,l2 = 2,45 А; 1с = /са —/>с =
= 1_са — 0 = 1са = (—2,78 + /0,475) А или /с = -yj^T2 + 0.4752 =
= 2,83 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматривае-
мой электрической цепи, построенная топографическим методом,
приведена на рис. 7.16,6.
Из диаграммы видно, что линейный ток /л протекает только
в линейном проводе А. В линейных проводах В н С: /л = /Ф. В ли-
нейном проводе В ток изменяет направление.
7.17. Найти распределение токов в электрической цепи
(рис. 7.17) при замкнутом и разомкнутом выключателе В. Линей-
ное симметричное напряжение ил = 220 В, сопротивления резис-
торов: Ri = /?2 = /?3 == 20 Ом.
Решение. При замкнутом выключателе комплексные фаз-
ные напряжения (направляем вектор Uab по оси действительных
чисел комплексной плоскости): U_ab— Uwe'* = UAbU° = Uab =
= 220 В; Ubc= UBce ' = Ucos - /sin-^-J = 220X
X (-0,5-/^^ =(-110-/190) B; U_ca = Uca* e
= t/cx( cos- /sin-^5) = 220(-0,5 +/4-3 ) =(-110 +
+/190) B.
Комплексные токи:
фазные: !<* = Uab/Ri = 220/20 = 11 А или /а* = 11 А; 1_ьс =
= = ~110~/19° =(-5.5-/95) А или /6c = V5,52+9,52 =
г\2 4\)
= И А; 1_са -110^/190 (_5 5 + /9|5) А. или 1са =
= V5,52 + 9,52 = 11 А.
233
линейные: _J_a —_[аь —_La = 11 — (—5,5 + /9,5) = (16,5 —
-/9,5) А нли I a = д/16,52 4- 9,52 = 19 A; JB=hc-lab =
= (-5,5-/9,5)- 11 = (-16,5-/9,5) А или h = V16,5z + 9,52 =
= 19 А; /с=Л0-Лс=(-5,5 + /9,5)-(-5,5-/9,5)= /19 A
нли Ic = 19 A.
При разомкнутом выключателе комплексные фазные токи:
lab = —= -sr-= 1 1 А или lab = 1 1 A; Ibc =—р— =
— А1 2U К 2
= -Z-= (-5,5 _ /9,5) А или Ibc = ^5,52 + 9,52 = 1 1 А;
Uca
ha = = 0;
линейные: h = hb ~ha = 1аь — 0= 11 А или 1а — 11 А;
_/s — Ibc-jab = (—5,5 — /9,5) — 11 =( — 16,5 — /9,5) А или 1в =
= ->/16,52+9,55 = 19 А; /с =1са-1Ьс = 0-he = -(-5,5-/9,5)=
= (5,5+ /9,5) А или h = V5,52+9,52 = 11 А.
7.18. В трехфазную трехпроводную питающую сеть с линейным
симметричным напряжением Lh = 380 В включена активная сим-
метричная нагрузка с сопротивлениями фаз Rt = 10 Ом и соеди-
нением фаз «звездой», а также трехфазный симметричный потре-
битель электроэнергии с активным и реактивным индуктивным
сопротивлением фаз: /?2 = 3 Ом и Xl = 4 Ом (рис. 7.18, а).
Пренебрегая сопротивлением питающих проводов, определить
коэффициент мощности costp й линейные токи h в электрической
цепи. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Ток в цепи активной нагрузки: h = U$/Rt =
= ^/V3-/?1 = 380/V3-10= 22 А, так как Lh = 73£/Ф.
Фазный ток трехфазного потребителя, содержащего индук-
, Уф 220
тивиое сопротивление: h = —f- = =
= 44 А.
Составляющие фазных токов потребителей:
3
активные: Ла=22А; = I2cos ф2 = hRi/X = 44--у =
= 26,4 А;
Л
п а) 6)
Рис. 7.18
234
Рис. 7.19
реактивные: /iP — 0; ЛР — /2sintp2
=/2_£l.= 44--£-=35,2 A.
Составляющие токов в линейном проводе:
активная: /. = /|. + h‘ — 22 + 26,4 — 48,4 А; реактивная;
/р = /|р + /2р = 0 + 35 = 35,2 А. ------- -----------
Линейные токи: 1а = 1в = 1с — Л = у 11 4- Н — у 48,42 +
+ 35,22= 59,5 А.
Коэффициент мощности всей цепи: costp = h/ 1Л= 48,4/59,5 =
= 0,815.
Векторная диаграмма напряжений и токов для одной фазы
потребителя приведена на рис. 7.18,6.
7.19. В четырехпроводную трехфазную электрическую цепь
(рис. 7.19, а) с линейным симметричным напряжением 1)я — 380 В
включены «звездой» три активных сопротивления, активная мощ-
ность которых Ра — 0,55 кВт; Рв — 1,1 Вт; Рс — 2,64 кВт и трех-
фазный симметричный потребитель с мощностью Р — 3630 Вт,
имеющий коэффициент мощности costp — 0,8, включенный «треу-
гольником». Пренебрегая . сопротивлением питающих проводов,
определить токи /л в линии и ток In в нейтральном проводе.
Решение. Фазные напряжения потребителя электроэнер-
гии, соединенного «звездой»: (7Ф — Ua — lh — lh = lh/^3 —
= 380/73 = 220 В.
Фазные токи потребителя, соединенного «звездой»: 1а =
= -77—----==-5^т = 2>5 А; 1в = тР--------- = = 10 А;
Ua COS фа 220-1 Ub COS фб * 220-1
/с_ рс _ 2640 _ 12 А
с UcCosifc ~ 220-1
Ток в нейтральном, проводе определяем графическим путем.
В соответствии с первым законом Кирхгофа для нейтральной
точки п имеем: h = [а+[в+[с; In = 9 А.
На рис. 7.19,6 приведена векторная диаграмма напряжений и
токов потребителя, соединенного «звездой».
Токи потребителя, соединенного «треугольником»:
фазные: 1аь — he — ha — h = з{/яС??Ч)ф ~ 3-380-0,8 = 4 A'
линейные: Ia = h = Ic = -\j3hb = ^/3hc = -\j3ha = -\/3"4 =
= 6,92 A.
235
Составляющие токов потребителя, соединенного «звездой:»:
активная: /ла = 2,5 А; /ва = 10 А; /са = 12 А; реактивная:
/лр = /вр = /ср = 0.
Составляющие токов потребителя, соединенного «треуголь-
ником:»:
активные: Iaba = Ibca = Лоа = /ai COS фр = /рсСО5фр = /саСОЗфр=
= 4-0,8 — 3,2 А; реактивные: /а»Р = hcf = Лар — 1аьsin<p$> —
= /рсвйкрф = /casing = 4-0,6 = 2,4 А.
Суммарные составляющие тока в линейных проводах:
активные: /ла = /ла + 1аьа = 2,5 + 3,2 = 5,7 А; /ва = /ва +
+ 1Ьса = Ю + 3,2 = 13,2 A; I'Ca = /са + 1СМ = 12 + 3,2 = 15,2 А;
реактивные: /лР =/лР +/а»Р = 0 + 2,4 = 2,4 А; /'вр=/вр +
“Ь /рср = 0 -|- 2,4 = 2,4 A; /fcp — /ср Ч~ leap — 0 4- 2,4 = 2,4 А.
Линейные токи: 1д — д/(/ла)-|-(7л>02 = -^5,72 + 2,42 — 6,2 А;
/в = 7(^7 += У13,22 + 2,4г = 13,4 А; 1с = V(W +
+ (/сР)2 = V15,22 + 2,42 = 15,45 А. Векторная диаграмма потре-
бителя, соединенного «звездой», приведена на рис. 7.19, б.
7.20. Три группы осветительных ламп мощностью Р = 100 Вт
каждая с номинальным напряжением Uvw = 220 В соединены
по схеме «звезда» с нейтральным проводом (рис. 7.20, а). При этом
в фазе А включено параллельно nt = 6 ламп, в фазе В — пг — 4
лампы, в фазе С — пз — 2 лампы. Линейное симметричное на-
пряжение источника питания ил = 380 В.
Определить фазные сопротивления и фазные токи /ф потре-
бителя электроэнергии. Построить векторную диаграмму токов и
напряжений, определить ток In в нейтральном проводе.
Решение.
0’5, 220*
niP ~ 6-100
U* 2202
п3Р ~ 100-2
Активные сопротивления фаз потребителя: Ra =
= 81 Ом; /?» = -4-=-^_= 120 Ом; Rc =
П2Р 100-4
242 Ом; здесь U* = -^2-= 2-20 В.
уз уз
236
. , УФ 220 , Уф 220
Фазные токи: Ц - = 2,7 А; 1в = -к— = -р^- =
Па 01 i'b l*v.
= 1,82 А; /с = -^-= -g- = 0,9 А.
Ток в нейтральном проводе определяем графическим путем.
На рис. 7.20, б приведена векторная диаграмма напряжений и
токов, из которой находим ток в нейтральном проводе 1щ = 1,57 А.
7.21. Трехфазный несимметричный потребитель электроэнер-
гии, фазы которого соединены сзвездой» с нейтральным проводом
и питаются от симметричного источника питания с фазными ЭДС:
Ел = Ев = Ес — Еф. Определить ток In в нейтральном проводе,
а также фазные токи /ф и фазные напряжения при отключении
(или обрыве) нейтрального провода, если линейные токи: 1а ==
= 2,7 А; 1в = 1,82 А; 1с = 0,9 А, фазные сопротивления: Ra =
= 81 Ом; Rt = 120 Ом; Rc — 242 Ом (рнс. 7.21, а).
Решение. Направляем вектор_1а по оси действительных
чисел (рис. 7.21,6), тогда комплексные линейные токи и ток в ней-
тральном проводе:
1а = /ле'0° = Ia ; _1в = 1ве~‘^~ = 1в (cos^y- -
4л
— jsin-^J-); ±с — Ice ‘ 3 = Ic (cos-y—/sin-у-);
La+1_в+Lc-(cos-y—/sin-y-) +
+_/c (cos ---/sin -T“) = 2’7 + b82 (“°-5 - /0,866) +
+ 0,9 (-0,5 + /0,866) = (1,34 - /0,8) A.
Из векторной диаграммы (рис. 7.21,6) следует, что комплекс-
ный ток_/в отстает по фазе от комплексного тока_/л и с отрица-
тельной частью вещественной оси образует угол я/3, а с осью
2J7
мнимых чисел — угол л/6. Отсюда выражение для комплексного
тока [в — Ib^cos-^--/sin-у-) = 1,82(—0,5 — /0,866) А.
Аналогично для комплексного тока /с = /c(cos4n/3 4-
+ /sin4n/3) = 0,9(—0,5 4- /0,866) А.
Ток в нейтральном проводе In 1,342 0,82 = 1,56 А.
Полные проводимости фаз потребителя: Ya = \/Ra =1/81 См;
Yb = \/Rb = 1/120 См; Yc = \/Rc = 1/242"См.
Комплексные фазные ЭДС источника питания: £д = Еа =
= 220 В; Ев = £fie-'^~ = Ев (cos -у /sin-у-)= 220 (-0,5-
- /0,866) = (-110- /190) В; Ес = Есе~'^~ = £с( cos-^------
- /sin-у ) = 220 (-0,5 + /0,866)= (-110 + /190) В.
Комплексное узловое напряжение с учетом того, что при обрыве
нейтрального провода между нейтральными точками источника N
и потребителя п будет действовать напряжение смещения нейт-
рали U„n, равное геометрической разности между напряжениями
генератора и потребителя:
,, E,Ya + EBYt + EcYr
U nN = ----=--------------=— =
Y„ + П + Yc
r 2 2
COS у Я — /sin у я
У. + П + Y_c
4 . . 4
COS-T-n — /sin —я
, О О
К. + n + Yc
22° — + 220 (-0,5 - /0.866)
О 1
81- 120 242
1 + 220 (-0,5 + /0,866) ±
8? + 120 + 242
(68,5 -/34,3) B.
Фазные напряжения потребителя:
Ua = Еа - UnN = 220 - (68,5 - /34,3)= (151,5 + /34,3) В или
Ua = V 151.52 + 34,32 - 154 В; IJj, = Ев - Un* = (—110 —
— /190)- (68,5 - /34,3)= (-178,5 - /155,7) В или
Ub = V 178,5 2 + 155,7 2 = 236,5 В; Uc = Ес- UnN=
= (-1104-/190) —(68,5 —/34,3) = (-178,54-/224,3) В или
Uс = -у/ 178,5 24-(224,3)2 = 286 В.
238
Фазные токи прн обрыве нейтрального провода:
tf Ucf 151,5 -f- /34,3 0*7 , ,л ллл\ л
±а = -=о-= —' я,1 .......= (1,87 + /0,424) А или
да 01
или 1'а = д/1.872 + 0,424*= 1,87 А; /й =•#’ = -178.5-/155.7 =
= (-1,49 - /1,3) А нли 1'в = -д/1-492 + 1,32 = 1,97 А;
Гс = --------~178-У—-- = (-0,74 + /0,93) А или
t\ с
I'c = V0-742 + °-932 = 1 -18 А.
7.22. Фазы трехфазного потребителя электроэнергии соедине-
ны «звездой» с нейтральным проводом (рис. 7.22,а). Активные и
реактивные сопротивления фаз соответственно равны: R =
= 25,4 Ом; Xl= Хс— 44 Ом. Фазное напряжение симметричной
системы питания £/ф = 220 В.
Определить ток In в нейтральном проводе с помощью вектор-
ной диаграммы токов и напряжений. При каком условии ток в
нейтральном проводе In = 0?
Решение. Токи по фазам: 1а = U$/R = 220/25,4 =
= 8,56 А; 1в = Щ/Хс = 220/44 = 5 А; /с = U*/XL = 220/44 =
= 5 А. Суммарный ток 1вс = ~\/ 1% +1% — 2/e/ccos^-^- -|- =
= -\/52 + 52 + 2• 5 • 5 • (—0,5) = 8,56 А. Ток в нейтральном проводе
(рис. 7.22, б): In =1вс +1а = 8,56 8,56 = 17,12 А.
Если поменять местами конденсатор и катушку, то In — 0.
7.23. Для трехфазной электрической цепи, представленной
сплошными линиями на рис. 7.23, определить показание ампермет-
ра А при замкнутом и разомкнутом положениях выключателя В.
Линейное симметричное напряжение питающей сети Ул= 380 В,
сопротивления резисторов: /?i = Ri = R3 — Ra = 38 Ом.
Решение. При замкнутом выключателе фазные сопротивле-
ния цепи (рис. 7.23), пре^н'паз-данной в «треугольник» сопротив-
239
леиий: Ri2 = /?, + R2 + = 38 + 38 + 1 14 Ом.
Так как Ri = R2 = /?3, то Ri2 = /?2з = Rn = 114 Ом.
Сопротивление параллельных ветвей, включенное между узла-
ми Ь и с: Rbc = /^4- = = 28,5 Ом.
Л 23 “Г А4 1 14 4- 0О
Комплексные фазные токи: fatf= ~^= -777- =3,3 А;
114
. Ubc 380(-0,5- /у) -190-/330
= ^7= -----------2М------ = -----283—= (—6,8—/11,5) А.
Показание амперметра: /В=_/Ьс —Jat> — (—6,8 — /11,5) —
— 3,3 = (-10,1— /11,5) А или /fi=V10,li+H,5'2= 15 А.
При разомкнутом выключателе общее сопротивление парал-
п (Кг + Лз1 )/?►<• (114 + 114)28,5 _ 76 _
лельнои ветви: Ro — Л|г + Лз1 + ₽4с — 114+114 + 28.5 3
= 25,3 Ом.
Показание амперметра: /в= U.,/Re — 380/25,3= 15 А.
Задачи
7.24. Определить активную мощность Р симметричного трех-
фазного потребителя электрической энергии, фазы которого соеди-
нены «звездой» (рис. 7.24). Линейное симметричное напряжение
питающей сети (/.,= 100 В, сопротивление резистора R—6 Ом,
емкостное сопротивление конденсаторов Х<.= 8 Ом. Ответ. Р=
= 600 Вт.
7.25. В трехпроводную трехфазную сеть с линейным напря-
жением £Л,= 220 В включен трехфазиый симметричный потреби-
тель, фазы которого соединены «звездой» (рис. 7.25). Активное
и индуктивное сопротивления фаз потребителя: /?=3 Ом и Xl—
= 4 Ом, активное и индуктивное сопротивление каждого провода
питающей линии: /?.,= 3 Ом, Х.,= 4 Ом. Определить напряжение
U на зажимах источника питания, коэффициент мощности
cos <р потребителя и активную Р, реактивную Q и полную S его
МОЩНОСТИ. Ответ. Ua = 245 В; cos<j> = 0,6;
Р = 5,82 кВт; Q = 7,75 квар; S = 9,65 кВ-А.
7.26. По данным задачи 7.25 оп-
ределить падение напряжения (АРи
потерю напряжения At/np в питаю-
щей линии, построить векторную
диаграмму напряжений и токов. От-
вет. и а, = 127 В; ДУ„р = 220 В.
7.27. К трехфазиой симметричной
системе питания подключены три ре-
вистора с сопротивлениями: R\ =
== r2 == R3 = R = Ю Ом, соединен-
ные «треугольником». Линейное иа-
240
пряжение питающей сети £/.-,= 220 В. Определить фазные /ф и
линейные /л токи в нормальном режиме работы и при обрыве
линейного провода С, ТОКИ В ЛИНИЯХ /л И 1в. Ответ: 1^=22 А; /., =
= 38 А; 1А = 1в = 33 А.
7.28. В электрической цепи трехфазного симметричного потре-
бителя электроэнергии, соединенного «треугольником», показание
амперметра, включенного в фазу А: /а — 1л = 22 А, сопротивле-
ния резисторов: Rab — Rbc = Rea — 6 Ом, конденсаторов: Хаь —
= Хьс = Хса — 8 Ом. Определить линейное напряжение U,, ак-
тивную Р, реактивную Q и полную S мощности. Построить век-
торную диаграмму. Ответ. U., = 127 В; Р = 2,9 кВт; Q = 3,88 квар; S =
= 4.85 кВ-А.
7.29. В трехфазную симметричную сеть с линейным напряже-
нием Uя— 120 В включены «треугольником» три резистора с
сопротивлениями /?—3 Ом и индуктивные сопротивления Xl—
= 4 Ом. Определить фазные /ф и линейные 1п токи, а также ак-
тивную Рф, реактивную и полную Зф мощности фаз потреби-
теля. Ответ. /ф = 24 А; /, = 41,5 А; Рф= 1,728 кВт, Q*=2,304 квар; 5Ф =
= 2,88 кВ-А.
7.30. Для трехфазного потребителя электроэнергии, соеди-
ненного «треугольником», определить фазные токи /ф, активную
Р, реактивную Q и полную S мощности потребителя. Линейное
напряжение i/.,= 220 В, активное и реактивное сопротивления
фаз потребителя: /?а» = 3 Ом; Хаь — 4 Ом; /?»с = 6 Ом; Хьс=8 Ом;
Рга = 2 Ом; Хса=3 Ом. Задачу решить с применением комплекс-
ных чисел. Ответ. lab = ii А; /*, = 22 А; /,0 = 61 А; /’=16,15 кВт; Q =
= 22,75 квар; 5 = 28 кВ • А.
7.31. Потребитель электрической энергии, соединенный «звез-
дой» с активными и реактивными (индуктивными) сопротивле-
ниями фаз: Ra— Rb— Rc— R^—80 Ом, Xa= Хь = Хс= X$=A Ом
включен в трехфазиую симметричную сеть с линейным напря-
жением Л7л=220 В. Определить фазные /ф и линейные /л токи
и активную мощность Р потребителя. Построить векторную ди-
аграмму напряжений и токов. Ответ. /ф=/л=25,4 А; Р=5,8 кВт.
241
lab
\lab
Рис. 7.33
7.32. Для условий задачи 7.31 определить фазные /ф и ли-
нейные 1л токи, а также активную мощность Р потребителя элек-
троэнергии, построить векторную диаграмму напряжений и токов,
если потребитель соединен «треугольником». Ответ. /ф = 44 А; /,=
= 76,5 А; Р= 17,4 кВт.
7.33. К трехфазному симметричному источнику питания
подключен несимметричный потребитель электроэнергии, соеди-
ненный «треугольником» (рис. 7.33). Сопротивления фаз потреби-
теля: ZO6=5 Ом; Zbc — Ю Ом; Zca = 10 Ом, активное сопротивле-
ние питающей линии R,= 0,5 Ом. Определить линейные /., токи
потребителя, если линейные напряжения на его зажимах ил=
= 380 В. Ответ. /л = /«=81,2 А; /с=44,7 А.
7.34. Активные и реактивные сопротивления фаз трехфазно-
го потребителя (рис. 7.34): Я = 44 Ом; Л7=44 Ом; Хс—44 Ом;
фазные напряжения Ua= Ub = Uc= U^= 220 В. Определить токи
/ф в фазах потребителя и ток 1 н в нейтральном проводе, построить
векторную диаграмму токов и напряжений. Ответ. /ф=5 A;
—— 3,65 А.
7.35. В условиях задачи 7.34 определить сопротивление ре-
зистора R в фазе А трехфазного потребителя, при котором ток
В нейтральном проводе 1ц=0. Ответ. /?=25,4 Ом.
7.36. Представить выражение
для комплексных линейных на-
пряжений Un симметричного трех-
фазиого потребителя электроэнер-
гии, соединенного «звездой», в
алгебраической форме записи, ес-
ли известны его комплексные
фазные напряжения в показатель-
ной форме записи: Ua= Ua —
= £/ф=127 В; Ub=U^~'^~\
Рис. 7.34
— -^я
Uc =
В; ил = д/З^ф =
= д/3 • [27 = 220 В. Ответ. UAe =
= 220(V3/2-Н1/2) В; t/ec=-/220 В;
ЦгЛ=220(-^3/2 + Ц/2)В.
242
Таблица 7.1
Величины Варианты контрольного задания 7.37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1Л, в 220 660 380 220 660 380 220
380 220 660 380 220 660 380
Z„b, Ом 5 +/12 6 +/8 12 + /Т6 18+/24 24 +/32 2 +/2 5 +/5
3 + /4 9 + /12 15 +/20 21 +/28 27 +/36 4 +/4 6 +/6
Z»c, Ом 5 + /12 6 +/8 I2 + /16 18+ /24 24 +/32 2 +/2 5 +/5
10 15 20 20 10 5 10
Zfa, Ом 5 + /12 6 +/8 I2 + /16 18 + /24 24 + /32 2 +/2 5 +/5
4 + /3 12 + /9 20 + /15 28 +/21 36+ /27 4 +/4 6 +/6
Определить Рь Рг Pi, Рг Рг, Pi Pi, Рг Pi, Рг Рг, Pi Pi, Рг
показания ватт- Рг Рг Pi Рг Рг Рг Pi
метров Wi и W:
Продолжение таблицы 7.1
Величины Варианты контрольного задания 7.37
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и„ В 660 380 220 660 380 220 660 380
220 660 380 220 660 380 220 660
Zab, Ом 7 4-/7 104-/10 4 +/4 124-/5 84-/6 164-/12 244-/18 324-/24
8 +/8 24-/2 5 +/5 44-/3 124-/9 204-/15 284-/21 364-/27
Ztc, Ом 74-/7 104-/10 6 10 10 20 30 40
10 4 10 5 15 25 35 45
Zea, Ом 74-/7 104-/10 4 +/4 54-/12 64-/8 124-/16 184-/24 24 4-/32
8 +/8 24-/2 54-/5 34-/4 9-/12 15-/20 214-/28 27+/36
Определить Р2, Pi Pi, Рг Pi. Рг Pi, Рг Рг, Pi Pi, Рг Pi, Рг Pi, Рг
показания ваттметров Wi н W2 Рг Рг Рг Рг Pi Рг Рг Pi
Контрольные задания
7.37. Потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопро-
тивления: Zab, Zbc, Z-ca и соединены в трехфазную электрическую цепь «треуголь-
ником» (рис. 7.37), питается симметричной системой линейных напряжений:
Уда= Ubc — Uc,t= U„. С учетом данных, приведенных в табл. 7.1 для каждого
варианта задания, определить фазные /ф и линейные /л токи потребителя и пока-
зания ваттметров W, и Wj. Построить векторную диаграмму токов и напря-
жений.
Дополнительное задание. Составить возможные варианты схем трехфазных
электрических цепей с трехфазиым источником питания и трехфазным потреби-
телем энергии. Указать иа схемах принятые условные положительные направ-
ления токов и напряжений.
Примечание. В дополнительных вариантах 31—60 имеет место обрыв
в линейном проводе А, в вариантах 61—90 — в линейном проводе С.
Рис. 7.38
7.38. В трехфазную сеть с симметричной системой линейных напряжений
U, включен симметричный трехфазиый потребитель электроэнергии, фазы кото-
рого имеют комплексные сопротивления: Za = = Zc (рис. 7.38) и соединены
«звездой». Принимая во внимание данные, приведенные в табл. 7.2 для каждого
варианта задания, определить линейные /л и фазные /ф токи, активную Р, реак-
тивную Q н полную S мощности потребителя, построить векторную диаграмму
токов н напряжений при замкнутом выключателе В.
Дополнительное задание. Определить показания амперметра А при разомкну-
том выключателе В. Построить векторную диаграмму токов и напряжений при
обрыве линейного провода В (выключатель В разомкнут).
245
Таблица 7.2
Величины Варианты контрольного задания 7.38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
иЛ, в 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660
IN IN о а О о 2 2 1,5+/2 1,5+/2 3+ /4 3 + /4 6 +/8 6 +/8 9 + /12 9 + /12 12 + /16 12+/16 15+/20 15 +/20 18+ /24 18 + /24 »1» «1» '<3 "з к|<в ~<3 К |г5 ~<3 сч + + 0О +
Zc, Ом 1.5 + /2 3 + /4 6 + /8 9 + /12 12 + /16 15 +/20 18 + /24 in СО о
Продолжение табл. 7.2
Величины Варианты контрольного задания 7.38
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Ул, В 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 660
Z Z Z ООО Q « С NI NI NI сч + о 12+/16 15 + /20 18+ /24 21+/28 24 +/32 27 +/36 О + + со со г|х СЧ сч -j-T сч сч 22е' ’ j, 1 “ ±,’П V
Таблица 7.3
Вари- анты Контрольное задание 7.39
Величины
U„ в Дф, Ом Фаза А Фаза В Фаза C
COS ф0 характер нагрузки COSCp* характер нагрузки СОвфс характер нагрузки
1 220 5 1 R 0,865 R, Xc 0,865 R, Xc
2 380 10 0 Хс 1 R 0 Xc
3 660 12,7 1 R 0 Xc 0 Xc
4 220 20 0 Хс I R 0 Xc
5 380 25 1 R 0 Xc 0 Xc
6 660 30 0 xL 0 Xc 1 R
7 220 35 0,5 R, XL 0,5 R. Xc 0,5 R, XL
8 380 40 0,865 R, Хс 0,865 R, Xc 1 R
9 660 44 1 R 0 Xc 0 Xc
10 220 50 1 R 0 Xc 0 XL
11 380 55 0 Xc 1 R 0 Xc
12 660 60 0,5 R, XL 1 R 1 R
13 220 80 1 R 0 Xc 0 Xc
14 380 100 0 Xc 1 R 0 Xc
15 660 127 0,705 R. xL 0,705 R, Xc 1 R
16 220 5 1 R 0 Xc 0 Xc
17 380 10 1 R 0 Xc 0 Xc
18 660 10 1 R 0,5 R, Xc 0,5 R, Xc
19 220 12,7 0 xL 1 R 1 R
20 380 12,7 0,705 R, XL 0,705 R, XL 0,705 R, XL
21 660 20 0 Xc 0 Xc 1 R
22 220 20 1 R 1 R 0,5 R, Xc
23 380 20 0,865 R, Xc 1 R 0,865 R, Xc
24 660 25 0 X 0 Xc 1 R
25 220 25 0 Xc 0 Xc I R
26 380 30 1 R 0 Xc 0 Xc
27 660 30 0,705 R, Xc 0,705 R, Xc 0,705 R, Xc
28 220 40 0 Xc I R 1 R
29 380 44 1 R 0,5 R, XL 0,5 R, Xc
30 660 44 0 Xc 0 Xc 1 R
Примечание. В вариантах 31—60 потребитель соединен «треугольни-
ком», в вариантах 61—90 сопротивления «звезды» преобразованы в эквива-
лентный «треугольник».
7.39. Три потребителя электроэнергии, имеющие одинаковые полные сопро-
тивления фаз 2ф, соединены «звездой» и включены в четырехпроводную
трехфазную сеть с системой симметричных линейных напряжений U„. Опреде-
лить токи /ф по фазам и в нейтральном проводе I н, а также мощность Р трех-
фазной цепи с учетом данных, приведенных в табл. 7.3 для каждого варианта
задаиня. Составить электрическую схему пнтаиня. Построить векторную диаг-
рамму напряжений и токов с учетом характера нагрузки.
247
Величины Варианты контрольного
1 2 3 4 5 6 7
Еф. В 220 380 660 220 380 660 220
Zg, ОМ 3 + /4 3 + /4 co 9 + /12 6 +/8 6 +/8 9 + /12
Zb, Ом 3-/4 3-/4 3-/4 9-/12 5 6-/8 9-/12
Zc, Ом 5 5 5 5 6-/8 10 10
Zn, Ом 0,5+ / CO 0,5 + / CO CO 1+/2 1+/2
Определить Uc, UN, Ua, lb. Ub, lb. Ub, Uc, Ub, Pc, Ua, Ub, Ub, In,
In, Рь, Pc, Ic, In, la, P, P, lb lb, P, Pa, P,
COS фа СОЗфд Q СО8фв In COS фа
Величины Варианты контрольного
16 17 18 19 20 21 22
E ф, В 220 380 660 220 380 660 220
Za, Ом 3 + /4 6 +/8 6 +/8 9 + /12 9 + /12 9 + /12 10
Zb, Ом 3-/4 6-/8 6-/8 9-/12 9-/12 CO 3 + /4
Zc, Ом 20 20 10 15 15 15 3-/4
Z/,. Ом СО СО CO 1+/2 CO 1+/2 I+/2
Определить Ua, In, Ub, Ic, Ub, h, Ua. Un, Uc, la. Uc. la. Ua. Ib,
Рь, Р, la, Pb, Ic, Sb, In, Pb, Pb, Sb, Ic. In, In, P,
COS фа COS фа COS фа COS фс COS фа Un S
Дополнительное задание. Пояснить, в каких случаях используются трех- и
четырехпроводные трехфазные электрические цепи?
Объяснить назначение нейтрального провода в четырехпроводных трех-
фазных электрических цепях.
Дать разъяснение, почему в нейтральные провода не устанавливают пре-
дохранители и выключатели?
Примечание. В вариантах 31—60 фазное сопротивление Лф уменьшить
в 2 раза, в вариантах 61—90 — в 3 раза.
7.40. В трехфазную четырехпроводную электрическую сеть с симметричны-
ми фазными ЭДС Еф включены три потребителя электроэнергии с сопротивле-
ниями Zo, Zb, Zc, соединенные «звездой». Составить электрическую схему пи-
тания потребителей электроэнергии с указанием токов и напряжений, действую-
щих в системе, и с учетом приведенных в табл. 7.4 для каждого Рарианта зада-
ния данных, определить фазные напряжения Ua, Uj,, Uc, напряжение смещения
ипн, падение напряжения ДС/д, на сопротивлении Zn нейтрального провода,
"фазные токи 1а, ]ь, 1С, ток ]_у в нейтральном проводе, фазные коэффициенты
мощности cos фа, со§ ф». cos фс, активные Ра, Рь, Рс, реактивные Qa , Qt, Qc и пол-
ные Sn, St, Sc мощности фаз, а также активную Р, реактивную Q и полную S
мощности трехфазного потребителя электроэнергии. Внутренними сопротивления-
ми источников ЭДС, £ф пренебречь.
248
Таблица 7.4
задания 7.40
8 9 10 11 12 13 14 15
380 660 220 380 660 220 380 660
9 + /I2 3 + /4 6 +/8 6+/8 10 34-/4 CO 10
9 —/12 3 + /4 6-/8 6-/8 64-/8 3-/4 6-/8 6 4-/8
10 34-/4 10 CO CO 10 6 4-/8 6-/8
СО СО 14-/2 0,5 4-/ 14-/2 CO 1.5 4-/2 CO
Ua, la. la, h. Ub, In, Ub, lc. С/а» Ua, lb. Ub, Pb, Ub. Ic, In,
lc, Ра, lc, Pb, Pc, Pa, lb, In, lc, Pb Pc, lb Sc, Qb,
Qb Qc COS фь, COS фг, Un COS фа
Un s«
Продолжение табл. 7.4
задания 7.40
23 24 25 26 27 28 29 30
380 660 220 380 660 220 380 660
СО 94-/12 124-/16 124-/16 64-/8 124-/16 124-/16 co
9 + /12 9-/12 12 —/16 12-/16 6-/8 12-/16 12-/16 124-/16
9-/12 10 10 10 20 20 20 20
0,5 4-/ CO 0,54-/ CO CO 14-/2 CO 14-/2
Ua, Ub, Ub, la. Ua, In Ub, lc. Ua, la. Ub, In, Ua, lb. Ua, lb,
Р, lb. lc. Pa, Pc, P, la, P, h. Pc, Pc, Pc, Pc,
In COS фа СО8фЬ Sa Qa COS фа, COS фа, COS 4>a, UN
Un Qb
Построить векторную диаграмму напряжений и токов иа плоскости ком-
плексных чисел.
Примечание. В вариантах 31—60 сопротивления 7_фаз увеличить в
2 раза, в вариантах 61—90 Z фаз уменьшить в 2 раза.
Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
$ 8.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
ПРИБОРАХ И ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИЙ
В современных условиях контроль за технологическими про-
цессами, потреблением электрической энергии, режимом работы
электрооборудования, измерением неэлектрических величин осу-
ществляется с помощью различных электроизмерительных прибо-
ров. Различают электроизмерительные приборы непосредственной
оценки и приборы сравнения. На шкалах приборов указывается
род тока, система прибора, его наименование, рабочее положение
шкалы (вертикальное, горизонтальное, наклонное, например под
углом 60°), испытательное напряжение изоляции.
По принципу действия различают магнитоэлектрические,
электромагнитные, электродинамические, а также тепловые, ин-
дукционные, электрохимические, электроино-лучевые и другие
электроизмерительные приборы.
Приборы магнитоэлектрической системы применяют для из-
мерений в электрических цепях Постоянного тока. Они имеют
равномерную шкалу, высокую точность, весьма малую чувстви-
тельность к внешним магнитным полям, характеризуются малым
собственным потреблением электрической энергии.
Приборы электромагнитной системы используют для измере-
ний в электрических цепях постоянного и переменного токов.
Имеется возможность изготовить эти приборы на большие токи,
что избавляет от необходимости применения шунтов и трансфор-
маторов. Однако они имеют неравномерную шкалу, относительно
невысокую точность, на показание приборов существенное влия-
ние оказывают внешние магнитные поля.
Приборы электродинамической системы применяются в
электрических цепях постоянного и переменного токов. Элек-
троизмерительные приборы этой системы характеризуются наи-
большей точностью и чувствительностью в сравнении с другими
приборами, применяемыми в цепях переменного тока, их изго-
товляют главным образом в виде приборов класса точности 0,2
и 0,5. Вместе с тем на показания приборов электродинамической
системы значительно влияют внешние магнитные поля, они име-
ют большой собственный расход электрической энергии. Разно-
видностью приборов электродинамической системы являются
приборы ферродинамической системы, в которых катушки снаб-
жены стальными сердечниками, что делает их показания прак-
тически независимыми от внешних магнитных полей.
250
Одной из важнейших характеристик электроизмерительных
приборов является точность. Результаты измерений электричес-
ких величин неизбежно отличаются от истинного их значения
вследствие наличия соответствующих погрешностей (случайных,
систематических, промахов).
Различают основную погрешность, обусловленную несовер-
шенством конструкции сложного прибора, и дополнительную
погрешность, вызванную влиянием внешних факторов на показа-
ния приборов.
Абсолютная погрешность измерительного прибора представ-
ляет собой расхождение (разность) между измеренным Аи и
действительным (истинным) АЛ значениями измеряемой величи-
ны ЛА —Ак—Ая. Истинное значение измеряемой величины нахо-
дят с учетом поправки. Поправка — это величина, обратная по
знаку абсолютной погрешности: ЛР = —ЛА = Ая—А,. Абсолютная
погрешность не дает представления о точности измерения,
которая оценивается по относительной погрешности измерения,
представляющей собой отношение абсолютной погрешности из-
мерения к действительному значению измеряемой величины,
выраженное в долях или процентах от ее действительного зна-
чения: уоти = ДА/АЯ — Аи—Ад/Ад100%. Абсолютная погреш-
ность электроизмерительных приборов со стрелочным показате-
лем практически неизменна в пределах всей шкалы, поэтому с
уменьшением значения измеряемой величины она возрастает.
Для повышения точности измёрения измеряемой величины на
показывающих приборах со стрелочным указателем следует
выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчитывать показа-
ния примерно в пределах 2/з всей шкалы.
Точность показывающих измерительных приборов определя-
ется относительной приведенной погрешностью, выраженной в
процентах, т. е. отношением абсолютной погрешности к номи-
нальному значению Анок измеряемой величины (наибольшей ве-
личине, которая может быть измерена прибором): /пр=-А4-Х
X 100%.
Электроизмерительные приборы подразделяются иа восемь
классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0, указывае-
мых на шкалах. Классы точности приборов определяют по при-
веденной погрешности.
Измерение тока в электрических цепях производится ампер-
метрами, измерение ЭДС и напряжений — вольтметрами. Расши-
рение пределов измерения амперметров в цепях постоянного
тока осуществляется с помощью шунтов, а в цепях переменного
тока — с помощью трансформаторов тока. Расширение пределов
измерения вольтметров в цепях постоянного тока достигается
применением добавочных сопротивлений, а в цепях переменного
тока — трансформаторов напряжения.
При измерениях достаточно больших токов, когда измери-
тельный прибор (амперметр, гальванометр) не рассчитан на
251
такие токи, параллельно цепи прибора включаются шунты,
представляющие собой сопротивление известной величины, об-
ладающее относительно малым сопротивлением /?ш, по которому
пропускается большая часть измеряемого тока. Распределение
токов между прибором и шунтом 1а и /ш обратно пропорционально
сопротивлениям соответствующих ветвей: 1а/1ш = Rm/Ra. При
этом измеряемый ток / = /а4-/ш. С учетом этого /=/0(1-|-
+ Ra/Rui) = Кт/. Шунтовой коэффициент для упрощения расче-
тов принимают равным /Сш=10; 100 или 1000.
Следует заметить, что измерительные шунты используются
только в электрических цепях постоянного тока, так как в цепях
переменного тока при измерениях вносится погрешность, обус-
ловленная наличием индуктивной составляющей сопротивления
шунта, которая увеличивается с изменением частоты тока, при
этом погрешность измерения может оказаться существенной.
При необходимости измерения весьма больших токов в электри-
ческих цепях переменного тока используются трансформаторы
тока, которые, как амперметр, включаются последовательно с
нагрузкой. В цеп^ первичной обмотки трансформатора тока с
числом витков W\ проходит подлежащий измерению первичный
ток /ь при этом во вторичную обмотку трансформатора с чис-
лом витков W2 включается амперметр, в цепи которого протекает
вторичный ток Л. Вследствие этого трансформатор тока работа-
ет в режиме короткого замыкания. При этом можно считать
магнитодвижущую силу (ампервитки) первичной обмотки равной
магнитодвижущей силе вторичной обмотки: 1\W\ = I2W2, откуда
с учетом коэффициента трансформации п, трансформатора из-
меряемый ток Л = Л = И;/2.
При измерениях достаточно больших напряжений, когда из-
мерительный прибор (вольтметр, милливольтметр) не рассчи-
тан иа такие напряжения, последовательно с прибором вклю-
чается добавочное сопротивление /?д, на котором падает большая
часть измеряемого напряжения. При включении добавочного
сопротивления последовательно с вольтметром по ним протекает
один и тот же ток, при этом- отношение подводимого к цепи
напряжения U к падению напряжения UB на вольтметре равно
отношению суммарного сопротивления цепи к сопротивлению R„
U RB -f- /?д г,
вольтметра: -77—=----б---, откуда измеряемое напряжение и =
U в
= t/B(l+/?д//?в)=/Сд(7в. Добавочный коэффициент /(я показыва-
ет, во сколько раз увеличивается предел измерения напряжения
вольтметра при использовании добавочного сопротивления /?д.
Во избежание вносимой в процессе измерения напряжения
погрешности добавочное сопротивление (по той же причине, что
и шунт) следует использовать только в электрических цепях
постоянного тока. При измерениях высоких напряжений в элект-
рических цепях переменного тока используются трансформаторы
252
напряжения, первичная обмотка которых является обмоткой
высшего напряжения, имеет большее число витков w\ и вклю-
чается под измеряемое напряжение U\. Вторичная обмотка
трансформатора с меньшим числом витков Wz включается на
зажимы вольтметра, показывающего вторичное напряжение Uz-
При этом коэффициент трансформации трансформатора напря-
жения: nv = wt/wz = U\/Uz, откуда измеряемое высокое на-
пряжение находится из выражения: U\ — nvU2.
Точность измерения измерительных трансформаторов харак-
теризуется погрешностью коэффициента трансформации, по-
казывающего, насколько действительное значение вторичной
величины отличается от значения измеряемой первичной ве-
личины, деленной на номинальный коэффициент трансформации
Китт или К/вом соответствующего измерительного трансформа-
тора. При этом погрешность напряжения: av= -2^5—Ана-
логично определяется погрешность измерения Уока: о/ =
nMni-
Схемы включения ваттметров для измерения мощности в
трехфазиых цепях зависят от схемы питания потребителя
(трехфазной трехпроводной или трехфазной четырехпроводиой
питающей сети), режима нагрузки потребителей (симметричный
или несимметричный), схемы включения трехфазиого потребителя
(«звезда» или «треугольник»). При симметричной нагрузке трех-
фазного потребителя Za ="= Zt> — Zc измерение мощности в трех-
проводиой трехфазной электрической цепи осуществляется одним
ваттметром (рис. 8.1.1), так как в этом случае мощность трех-
фазного потребителя равна утроенному значению мощности од-
ной фазы, замеренной ваттметром (/>=3/>5у=3/’ф).
При этом показания ваттметра в схеме (рис. 8.1.1): Pw=
= Ра= UJacos <р0, где cos фа — косинус угла сдвига фаз между
фазными током 1а и напряжением Ua-
Измерение мощности трехфазиого симметричного потребителя
электроэнергии, включенного «треугольником», осуществляется
по схеме (рис. 8.1.2).
При этом показания ваттметра: Pw = Раь — U Ав1аьсоз<раь-
253
Так как при включении трехфазиого симметричного потребителя
электроэнергии мощности всех трех фаз равны, то его мощность
P=3Pw.
Следует отметить, что измерение мощности трехфазиого
потребителя электроэнергии одним ваттметром возможно только
при наличии доступной нейтральной точки потребителя, соеди-
ненного «звездой», или возможности разрыва фазы потребите-
ля, соединенного «треугольником». При отсутствии этих возмож-
ностей' применяют схему включения ваттметра с искусственной
нейтральной точкой, которая создается включением в трехфаз-
иую цепь «звездой» резисторов, имеющих одинаковые сопротив-
ления. К нейтральной точке присоединяется затем конец обмотки
напряжения ваттметра. При этом ваттметр покажет мощность
одной фазы.
Для измерения мощности трехфазиых потребителей широко
распространен способ двух ваттметров, который является уни-
версальным, так как применяется для измерения мощности
трехфазных потребителей в трехфазиых трехпроводиых электри-
ческих цепях как при симметричной, так и несимметричной
нагрузках, независимо от способа соединения фаз потребителя
(«звездой» или «треугольником»).
Как следует из схемы рис. 8.1.3, обмотка напряжения ватт-
метра' Wi находится под действием линейного напряжения
Uab, при этом в цепи его токовой обмотки действует линейный
ток 1а, поэтому показание этого ваттметра определяется выра-
жением: Pv\ — ReUAeli. Обмотка напряжения ваттметра W?
включена под линейное*напряжение Ucb — — Ubc, а в цепи токо-
вой обмотки протекает линейный ток 1с, в результате ваттметр
W2 покажет мощность, определяемую выражением: Рт=
= Re(-UBc)Ic.
При этом мощность трехфазиого потребителя электроэнергии
определится как алгебраическая сумма показаний обоих ватт-
метров: />=Pwi + ^’w2.
На практике иногда вместо двух ваттметров используется
один двухэлементный ваттметр.
Следует заметить, что способ двух ваттметров не пригоден
для измерения мощности несимметричных трехфазиых потребите-
лей электроэнергии при включении их «звездой» и наличии
нейтрального провода.
Литература. [1| $ 7.1—7.5; [2| $ 12.1 —12.7; [3| $ 11.1 —11.11.
Примеры решения задач
8.1. Для измерения напря-
жения в электрической цепи
используется вольтметр класса
точности 1,0 с пределом изме-
рения Um*—300 В. Показание
вольтметра U»— 100 В. Опреде-
Рис. 8.1.3
254
лить абсолютную А (Лес и относительную уОтн погрешности изме-
рения и действительную величину измеренного напряжения.
Решение. Так как истинное (действительное) значение
измеряемой величины неизвестно, для определения абсолютной
погрешности измерения используем класс точности прибора:
А(7абс= -."Ха-ъг — — 3 В (приведенная погрешность прибо-
/Q 1UU ' • •
ра равна его классу точности, т. е. упр= 1 %).
Относительная погрешность уотн= Тар^ном_ 1,0-300_ % Сле-
довательно, измеренное значение напряжения UH — 100 В может
отличаться от его действительного значения не более чем на 3 %.
8.2. Определить абсолютную Д/абс и относительную Уотн по-
грешности измерения тока амперметром с номинальным предель-
ным значением тока /НОм= /пРед = 5 А и классом точности 0,5,
если его показание (измеренное значение) /«=2,5 А.
Решение. Абсолютная погрешность амперметра: А/абс =
— Ум'б/ — °^~ = 0,025 А, так как класс точности 0,5
ню /q 1W /о 100
прибора соответствует абсолютной приведенной погрешности
?пР=0,5%. Относительная погрешность при измерении тока
амперметром: уОТн= "°“ = °^5—= 1 %. Таким образом, изме-
ренное значение тока /и = 2,5 А может отличаться от его истин-
ного значения не более чем на ±1 %.
8.3. Предельное значение тока, измеряемого миллиампермет-
ром, / = 4-10~3 А, сопротивление которого Ra = 5 Ом. Опреде-
лить сопротивление /?ш шунта, используемого для расширения
предела измерения тока до /= 15 А.
Решение. Падение напряжения иа клеммах прибора, со-
ответствующее номинальному значению тока: &Ua = RJhoh =
= 5-4-10~3 = 0,02 В.
Ток в цепи шунта, соответствующий наибольшему значению
измеряемого тока: /ш=/ — /ном = 15 — 4-10~3 = 14,996 А.
Так как шунт подключается параллельно миллиамперметру,
то падение напряжения на клеммах прибора оказывается рав-
ным падению напряжения на шунте, т. е. А(/= А//ш= Лш/ш==
= 0,02 В, откуда Rv— AUш//ш = 0,02/14,996 = 0,00133 Ом.
8.4. Электроизмерительный комплект К-505 снабжен ваттмет-
ром, рассчитанным на пределы тока и напряжения, приведенные
в табл. 8.1, шкала ваттметра имеет А = 150 делений. Определить
цену деления ваттметра Cw для всех пределов напряжения и
тока, соответствующих его показаниям. Стрелка ваттметра при
измерении во всех случаях отклонилась на Wi = 100 делений.
Решение. Номинальная мощность ваттметра для предела
тока /но« = 1,25 А и напряжения //«>«= 30 В: Pwhom= =
= 30-1,25=37,5 Вт.
Цена деления шкалы ваттметра (постоянная ваттметра) для
255
Таблица 8.1
Параметры и постоянные прибора Значения параметров
IИОМ,А 0,5 1,0
UИОМ. В 30 75 150 300 450 600 30 75 150 300 450 600
Cv, Вт/дел 0,1 0,25 0,5 1 1,5 2 0,2 0,5 1 2 3 4
Pv, Вт 10 25 50 100 150 200 20 50 100 200 300 400
Продолжение таблицы 8.1
Параметры и постоянные прибора Значения параметров
/НОМ» А 2,5 5,0
иКОМ. В 30 75 150 300 450 600 30 75 150 300 450 600
Cv, Вт/дел 0,5 1,25 2,5 5 7,5 10 1 2,5 5 10 15 20
Pw, Вт 50 125 250 500 750 1000 100 250 500 1000 1500 2000
указанных пределов тока и напряжения: Cv = Pwhom/N =
= 37,5/150 = 0,25 Вт/дел. Мощность, показываемая ваттметром
при отклонении стрелки на заданное число делений: Pw =
= CwWi = 0,25-100 = 25 Вт.
Результаты аналогичных расчетов для других пределов тока
и напряжения сведены в табл. 8.1.
8.5. Электроизмерительный комплект К-505 снабжен вольт-
метром со шкалой, имеющей М| = 150 делений, и амперметром со
шкалой, имеющей Мг = 100 делений. Определить цену деления
шкалы приборов, показания вольтметра, стрелка которого указы-
вает N'i = 100 делений, а также показания амперметра, стрелка
которого указывает N'i = 50 делений, для пределов измерения
токов и напряжений, номинальные значения которых представ-
лены в табл. 8.2.
Решение. Цена деления шкалы вольтметра с номиналь-
ным напряжением Um„=30B: С7.'=£А«>м/Л/|=30/150=0,2 В/дел.
Показание вольтметра с номинальным напряжением U„m = 30 В:
U = CtiNi = 0,2-100 = 20 В. Цена деления шкалы амперметра
с номинальным током /но„ = 0,5 А: С/ = /ном/Nt = 0,5/100 =
= 0,005 А/дел.
Показание амперметра с номинальным током /ИВМ = 0,5 А
при отклонении его стрелки на число делений N'i: / = CiN'z =
= 0,005-50 = 0,25 А.
256
Таблица 8.2
Параметры прибора Значения параметров
Vном> В 30 75 150 300 450 600
CUt В/дел 0,2 0,5 1 2 3 4 — — — —
и, В 20 50 100 200 300 400 — — — —
НОМ» А 0,5 1 2,5 5 10 15* 50* 100* 150* 200*
С/, А /дел 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,15 0,5 1 1,5 2
/, А 0,25 0,5 1,25 2,5 5 7,5 25 50 75 100
* Измерение тока в диапазоне 15—200 А с помощью прибора К-505 осуществля-
ется трансформатором тока.
Аналогичные расчеты для других пределов измеряемых на-
пряжений и токов сведены в табл. 8.2.
8.6. Определить значение сопротивления шунта /?„„ необходи-
мого для расширения пределов измерения тока гальванометра,
имеющего сопротивление /?г= 150 Ом, от номинального его зна-
чения тока /ном— 2-10~4 А до значения / = 6-10~3 А.
Решение. Определяем, во сколько раз необходимо расши-
рить предел измерения тока: D = ///„0„ = 6-Ю—3/2-10-4 = 30.
Значение сопротивления шунта: /?ш= RT)(D — 1) = 150/(30— 1)=
= 5,17 Ом.
8.7. Определить значение добавочного сопротивления /?д,
позволяющего расширить пределы измерения гальванометром,
имеющим сопротивление /?г = 150 Ом, напряжения от его номи-
нального значения (7Ном= 2-10—3 В до значения U= 10-10-2 В.
Решение. Пределы измерения напряжения гальванометра:
п и 10-Ю-2 сп о ,
D = -j-—=———-==50. Значение добавочного сопротивления
ном 2• I V
/?д= pr(D-l)= 150(50-1) = 7350 Ом.
8.8. К питающей сети с напряжением (7= 120 В присоедине-
ны последовательно два реостата, сопротивления которых R\ =
= 13Ом, /?2 = 9 0м (рис. 8.8). Определить ток в цепи реостатов
и напряжение (7В между их движками, показываемое вольтмет-
ром V, если левый движок реостата R\ находится у правого его
конца, а правый — в середине реостата Ri.
257
Решение. Ток в цепи реоста-
тов по закону Ома: /= U/(7?i =
= 220/(13 + 9)= 10 А.
Сопротивление электрической це-
пи при заданном положении движ-
ков реостатов: /? = 0 + /?г/2 = 0 +
+ 9/2 = 4,5 Ом.
Напряжение между движками
реостатов (показание вольтметра):
и=/?/ = 4,5-10=45В.
8.9. Как изменится ток в электрической цепи (рис. 8.9) и
напряжение I), между движками реостатов, если между ними
включить резистор Яз = 1,5 0м, при этом R\ = 13 0м, Яг = 4,5,
/?4 = 4,5 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление параллельного
участка электрической цепи: R = + j = 1,13 Ом.
т - , и 220 ... .
Ток в электрической цепи: / = >|+^; = Тз+1.13+ТГ= 11-1 А-
Напряжение, показываемое вольтметром на параллельном участ-
ке электрической цепи: UB=R1= 1,13-11,1 = 12,6 В.
8.10. Для электрической цепи (рис. 8.10) определить токи в
ветвях и показание вольтметра V, обладающего внутренним
сопротивлением /?в=ЗОООм. Сопротивления резисторов: R\ =
= 50 Ом; Яг = ЮО Ом; Яз = 150 Ом; Я<=200 Ом, ЭДС источ-
ников питания: Е\ = 22 В, Ег = 22 В.
Решение. Для левого замкнутого контура электрической
цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа справедливо
уравнение: £) = (Я|+Я<)/|+Яв/з; 22= (50 + 200)/)+300/з или
250/i+300/3= 22.
Аналогично для правого замкнутого контура цепи: Ег =
= (Яз +/?г)/2 + ЯЛ = (150 + 100)/2 + 300/з = 22 или 250/2 +
+ 300/з = 22. В соответствии с первым законом Кирхгофа для
узла разветвления уравнение для токов имеет вид: /|+/г = /з.
В результате совместного решения полученных уравнений имеем:
250/1 — 250/г = 0, отсюда 1\ = /г.
Ток 7, в цепи резистора Rx находят в результате подстановки в
первое уравнение значения тока Д из третьего уравнения: 250Д =
= 2/)200 +2/1300 = 22, откуда Ц = 22/850 = 0Д26 А.
Ток в цепи резистора Яг: /2= Ц =0,026 А, ток в цепи вольт-
метра: /3= Л+/2 = 0,026+ 0,026 = 0,052 А. Показание вольт-
метра: Uв = ЯЛ = 300-0,052 = 15,6 В.
8.11. Трехфазный потребитель электроэнергии, соединенный
треугольником, подключен к трехфазной симметричной системе
питания с линейным напряжением /7л=220В (рис. 8.11, а),
сопротивления фаз потребителя электроэнергии 2=Я=10Ом.
Записать комплексные линейные напряжения и фазные токи.
Определить линейные’ токи /л при замкнутом включателе В и
показание амперметра тока 1са при разомкнутом выключателе.
258
Решение. При замкнутом выключателе комплексное на-
пряжение Uab направляем по оси действительных положитель-
ных чисел комплексной плоскости: Uab = Uabc'4 = UabU0 —
= Uab=22O В. При этом Ubc-Ubc^4 7=Ubc= (cos~ — _/smy)=
= 22o(— 0,5 — j ^j=(—110—/190) В, т. e. напряжение UBC=
= 220 B; Uca = UCAe~® = Uca (cos-y—/sin -y-) = 220 (-0,5 +
+ /-^-)= (— 110 + /190) B, t. e. напряжение Uca = 220 B.
Токи по фазам электрической цепи при замкнутом выключите-
ле: А; ~11 _
-/19) А или /><-Vll’+l9’-22 А;
К I v
= (—11+/19) А или lea = Vl 12+ 192 = 22 А. Так как в данном
случае нагрузка чисто активная и симметричная, токи по фазам
следует определять исходя из выражений: 1аь— Uab//?=220/10=
= 22 А; 1ьс= UBc/R = 220/10 = 22 А; 1са = Uca/R = 220/10 =
= 22 А.
Линейные токи в электрической цепи при симметричной на-
грузке: Iл = Iв= 1 с= 1д/З/ф = д/З• 22 = 38 А.
При замкнутом выключателе электрическая цепь преобразу-
ется к виду рис. 8.11, б.
Показание амперметра: / = 1аь = lea = = д -тд- = 11 А.
8.12. Трехфазный потребитель электроэнергии, соединенный
треугольником (рис. 8.12, а), питается от симметричной трехфаз-
ной сети с линейным напряжением (7л=380В, с частотой / =
= 50 Гц, сопротивление фаз потребителя /? = 20Ом. Определить
показания ваттметра при замкнутом и разомкнутом выключате-
ле В.
Решение. Показание ваттметра при замкнутом выклю-
чателе: Р = иф/фСО5фф=-^^=-^-1 = 7220 Вт = 7,22 кВт
259
Рис. 8.12
(угол сдвига фаз между фазным напряжением (7Ф и фазным
током /ф: <рФ=0 при cos<рф = 1).
При размыкании выключателя электрическая цепь рис. 8.12, а
преобразуется к виду рнс. 8.12, б.
Ток в цепи токовой обмотки ваттметра: I\ = Ubc/2R =
= 380/2-20 = 9,5 А. Показание ваттметра при разомкнутом вы-
ключателе: Р = l2R = 9,52 • 20 = 1800 Вт =1,8 кВт.
8.13. Трехфазный симметричный потребитель электроэнергии
(рис. 8.13) подключен к источнику питания с линейным напря-
жением ил = Uав — Uвс = Uca — 380 В. Сопротивления фаз
потребителя Zab = Zt,c = Zca = /? + /0 = 380 Ом. Определить фаз-
ные токи потребителя и показание ваттметра. Задачу решить с
использованием комплексных чисел.
Решение. Направляя Uab по оси действительных поло-
жительных чисел, определяем напряжения по фазам: Uab =
= UabU^ = Uabc'0 = Uab = 380 В; UBC = Ubc? П = Ubc (cos j -
-/sin-y-)= 380 (--i—/-^-) В или = 380 В; Uca =
,, —/A?- ri / 4л . . 4л\ r.QrJ 1 i . л/3 \
= U caz = Uca\cos-^-----/sin-g-J = 380(----1~2~)
Фазные токи потребителя электроэнергии: lab = UAs/Zab =
Рис. 8.14
Рис. 8.13
260
=(-4-/4) Аили '-=1А;
380( —у+ 4) /' 1 /з\
= - ...580 =(-4- + /4) А или ' А-
Линейный ток фазы С. _1_с — 1са—7ьс=^-^- + /у^") —
-( -4-/4) = /л/З А или /с = V3 А.
Линейные токи при симметричной нагрузке: 1д = 1в = 1с =
= д/3/ф.
Показание ваттметра находим из выражения для комплекс-
ной мощности фазы: Sw = UceH = —UbcI} = 380 (—^-/-у”) X
X (— /Л/3) = (570 4- /330)В-А или Р = 570 Вт; здесь Ucb =
==-38О(-А.-4) = 380(4+/у)в-
8.14. Трехфазный потребитель электроэнергии питается от
сети с симметричным линейным напряжением 0л= Uab — Ubc —
= Uca = 220 В, сопротивления фаз R — Хс = 220 Ом (рис. 8.14).
Определить фазные токи /ф и показание ваттметра W.
Решение. Напряжения по фазам определяем, направляя
комплексное напряжение Uab по оси действительных положи-
тельных чисел: Ц_ав= Uab^ = Uab^° = 220 В, тогда
Ubc = (/все = Ubc ( cos 4я ~ /’sin^-) ~ 220X
X ( —4— /-у-) В или Vbc = 220 В; ^сл = UcA е~= UcA х
X(cos-4-/sin 4) = 220 (“4 + -$-) в или UcA = 220 В.
Фазные токи потребителя электроэнергии: ]_аь — =
220 1 л / У™ 220(-у-7у-) . , .
= 220-= 1 А: = 220-------=(-l/2-/V3/2) А
или /»с=1 А; /са=-^ = 2^+./V3/2)=.LJ/2+/^) =
- 1 V3 _ 14-Л/з _ (i+n/3)(-/) / -/+т/з\ . ипи
~+Т2’+~2 12---1^=7) \ 2 ) А ИЛИ
lea = 1 А.
Показание ваттметра (из выражения для комплексной мощ-
ности ветви с емкостью С): 5^= (/лс/*е= (110—/190)( ~у—~) —
= —21 вар, где Uac= — Uca, так как Ц_сл = (— 110+/190) В,
то U ас = (110 — j 190) В или. U а с = 220 В; ,_[ас=—_1са =
261
= — (—;^3) тогда сопряженный комплексный
ток /?с — ( ~~2~/) А_
Следовательно, активная мощность, измеряемая ваттметром:
Р= 0.
Задачи
8.15. В электрическую цепь постоянного тока для измерения
тока включен амперметр, рассчитанный на предельный номиналь-
ный ток /Ном = 20 А. Показание амперметра 1— 10 А, действи-
тельный (истинный) ток /д = 10,2 А. Определить абсолютную
А/абс, относительную уотн и приведенную упр погрешности измере-
ния. Ответ. Ja6c = 0,2 А; уотн = 2 %; у„р = 1 %
8.16. Схема многопредельного вольтметра, снабженного доба-
вочными сопротивлениями, состоящими нз отдельных секций,
с пределами измерения напряжений 75—150—300—450—600 В
приведена на рнс. 8.16. При отклонении стрелки вольтметра V
на всю шкалу прибора 1цОМ = 3 мА. Сопротивление вольтметра
Кв = 25 кОм. Определить значения добавочных сопротивлений:
Ri, Кг, Кз, Rt, а также мощность Р, потребляемую. вольтмет-
ром V, для всех пределов измерения напряжения. Ответ. R, =
= 25 кОм; /?2 = Дз = Д, = 50 кОм; P7J=0,225 Вт; Р150 = 0,45 Вт; Рзю = 0,9 Вт;
Р35о = 1,35 Вт; Р&оо 1,8 Вт.
Л 75В 150В 3008 4508 6008
Рис. 8.16
8.17. В электрическую сеть с напряжением U — 220 В вклю-
чен вольтметр с добавочным сопротивлением Кд = 4000 Ом, со-
противление вольтметра Кв — 2000 Ом. Определить показание
вольтметра. Ответ. и,= 73,33 В.
8.18. Амперметр типа М-61 с пределом измерения /но» = 5 А
характеризуется падением напряжения на зажимах \Ua =
= 75-10~3 В = 75 мВ. Определить сопротивление Кв амперметра
и потребляемую им МОЩНОСТЬ Ра. Ответ. Да =0,015 Ом; Ра =
= 0,375 Вт.
Контрольное задание
8.19. Трехфазиый потребитель электрической энергии с активным R, индук-
тивным Xl и емкостным Хс сопротивлениями, соединенный «звездой», включен
в трехфазную питающую сеть с симметричным линейным напряжением U„
(рис. 8.19). Учитывая данные, приведенные в табл. 8.3 для соответствующих
262
Таблица 8.3
Величины Варианты контрольного задания 8.19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
и» в 220 380 660 220 380 660 220 380 660 220 380 • 660 220 380 660
r = Xl = Xc,Ом 10 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 25 30 30 30
Продолжение таблицы 8.3
вариантов задания, определить линейные токи потребителя электроэнергии и
показания ваттметров W, и Wj.
Дополнительное задание, а. Записать выражения для показаний ваттметров
и активной мощности трехфазного потребителя электроэнергии при: а) симмет-
ричной активной нагрузке; б) смешанной нагрузке при costp <0,5 (tp > л/3);
при costp > 0,5 (<р < л/3) и costp = 0,5 (<р = л/3). б. Построить векторную диа-
грамму для токов и напряжений при активио-иидуктивиой нагрузке.
Примечание. В вариантах 31—60 R = Хс — Хс уменьшить в 2 раза,
в вариантах 61—90 — увеличить в 2 раза.
Глава 9
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
§9.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАГНИТНЫХ ЦЕПЯХ
И ИХ РАСЧЕТЕ
Магнитная цепь представляет собой систему последовательно
включенных ферромагнитных и других фнзнческйх тел, по кото-
рым замыкается магнитный поток. Прн отсутствии разветвлений
магнитного потока магнитная цепь является неразветвленной
(рнс. 9.1.1), а при наличии последних—.разветвленной
(рнс. 9.1.2). Простейшая магнитная цепь с регулируемым маг-
нитным потоком (см. рнс. 9.1.1) состоит из магнитопровода с
поперечным сечением Sc, на котором равномерно размещена об-
мотка с числом витков w проводника с током /, под действием
которого создается однородное магнитное поле с напряженно-
стью (прн средней длине лннин магнитопровода /сР=/|4-/г +
+ Л +/о+ ••), равной Н = wl/kf. Соответственно магнитная ин-
дукция в сердечнике магннтопровода с относительной магнитной
проницаемостью р. составляет В = цН. Прн этом магнитный
поток в сердечнике Ф = BSc = рш///сР5с или Ф = -. у-д-. Про-
*ср/Р”^с
изведенне wl = F называется магнитодвижущей (на-
магничивающей) силой катушки, а отношение /<Р/ц5с=/?«-
магннтным сопротивлением магнитной цепн. С уче-
том этого выражение для магнитного потока приводится к виду:
Ф — F/R„. Полученное выражение определяет основной закон
магнитной цепн — закон Ома. В сложных магнитных цепях
(см. рнс. 9.1.2) магнитный поток Ф разветвляется по нескольким
направлениям. Прн этом общий магнитный поток равен алгеб-
раической сумме магнитных потоков в ветвях разветвления: Ф =
Рнс. 9.1.2
264
п
= Ф|Ч-Фг + .-.Ч-Фк нлн Ф= S Фк. Это выражение для маг-
к= 1
нитного потока характеризует первый закон Кирхгофа для маг-
нитной цепи.
На параллельных ветвях разветвленной магнитной цепи с
напряженностями магнитного поля Н\ н Нг н средними длинами
1\ и /2 участков параллельных ветвей магнитные напряжения
//i/i = H2I2. При этом магнитный поток распределяется обратно
пропорционально магнитным сопротивлениям параллельных вет-
вей: Ф1/Ф2 = R^/R^.
При наличии последовательной магнитной цепи с несколь-
кими источниками магнитодвижущих сил (с несколькими катуш-
ками с током, расположенными на магнитопроводе) в соответ-
ствии с законом Ома для магнитной цепи магнитный поток прямо
пропорционален алгебраической сумме магнитодвижущих сил,
действующих в цепи, и обратно пропорционален сумме магнит-
ных сопротивлений ее участков:
Ф = —------ ИЛИ
ф_______ч>111 4- Wjlj-j-..._
Л/biSci 4-Zj/bsScz + в/воЗо
Последнее равенство можно привести к виду: Htli +
+ H2I2 + — = и>|/|-|-Ш2Лг+ -• В соответствии с этим второй за-
кон Кирхгофа для магнитной цепи формулируется следующим
образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений в маг-
нитной цепи равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил
в этой цепи.
Полученные соотношения по заданному значению магнитного
потока Ф, или соответственно магнитной индукции В, размерам
и магнитным свойствам материала магнитопровода и соответ-
ствующим кривым намагничивания В (Н) позволяют определить
магнитодвижущую силу F = wi, необходимую для создания за-
данного магнитного потока Ф.
В процессе расчета магнитной цепи с поперечным сечением
efe Sc участков по заданному магнитному потоку Ф определяют
значения магнитных индукций В = Ф/Sc на соответствующих ее
участках. По кривой намагничивания В(Н) соответствующего
ферромагнитного материала магнитопровода и значениям маг-
нитной индукции В определяют напряженности Н магнитных
полей на участках магнитной цепи. Затем находят магнитные
напряжения HI на участках магнитной цепи и магнитодвижущую
силу: F = HqIq -j-Hih -\-H2l2-\-— При отсутствии воздушного за-
зора в магнитной цепи слагаемое Н1о = 0, при наличии воздуш-
ного зазора напряженность магнитного поля в зазоре
265
Но = Во/Цо,
где go — магнитная постоянная (абсолютная магнитная прони-
цаемость вакуума); Во = Ф/5си — магнитная индукция в воз-
душном зазоре с поперечным сечением Sco.
По расчетному значению магнитодвижущей силы F — wl,
задаваясь значением тока /, определяют число витков w катуш-
кн, необходимое для создания в магнитной цепн заданного маг-
нитного потока Ф, а задаваясь числом витков, определяют необ-
ходимое для создания его значение тока.
Одним нз основных элементов конструкции различного рода
машин и аппаратов, устройств электроавтоматики, промышлен-
ной электроники, вычислительной техники н т. д. является ка-
тушка индуктивности.
Зависимость Ф(/) при w = const катушки при отсутствии
ферромагнитного магнитопровода является линейной. Прн
наличии магннтопровода магнитный поток, создаваемый катуш-
кой индуктивности прн прочих равных условиях, значительно
возрастает, так как прн этом магнитный поток создается не
только непосредственно проводниками с током катушкн (источ-
ником внешнего магнитного поля), но н соответствующим ферро-
магнитным материалом магннтопровода (источником внутренне-
го магнитного поля).
С учетом того, что магнитная индукция В = цН, определяют
магнитный поток катушкн: Ф = BS<- = pHSc.
Отсюда следует, что магнитный поток пропорционален отно-
сительной магнитной проницаемости ц среды, которая для ферро-
магнитных материалов значительно больше магнитной прони-
цаемости других материалов и на несколько порядков выше маг-
нитной проницаемости цо воздуха (вакуума). Поэтому с целью
уменьшения магнитодвижущей силы F, а следовательно, умень-
шения тока /, необходимых для создания заданного магнитного
потока Ф, катушкн индуктивности снабжаются магннтопроводом
(сердечником) из ферромагнитного материала, чаще всего из
электротехнической стали. Так как зависимость магнитной про-
ницаемости ферромагнитных материалов ц(/7) является нели-
нейной, то зависимость Ф(/7) нли соответственно В(Н) прн
наличии магннтопровода оказывается также нелинейной.
При включении катушки индуктивности с магннтопроводом
(в общем случае с воздушным зазором 6, рис. 9.1.1) под пере-
менное синусоидальное напряжение u(t) = Umsinwt в цепн ка-
тушки появляется переменный ток i(t), под действием которого
в магнитопроводе возникает переменный магнитный поток Ф(/).
Основная часть результирующего магнитного потока ФР, созда-
ваемого катушкой индуктивности (основной магнитный по-
ток—Ф), замыкается по цепн магннтопровода, так как его маг-
нитная проводимость во много раз больше магнитной проводи-
мости воздуха, однако незначительная часть результирующего
потока (порядка 3—5%) все же рассеивается и замыкается во-
266
круг отдельных витков катушки индуктивности (поток рассея-
ния Ф„).
Результирующий магнитный поток катушки индуктивности с
магиитопроводом равен векторной сумме: Фр = Ф4-Фо, так как
основной магнитный поток Ф и поток рассеяния Фо не совпадают
во времени по фазе.
Значение магнитного потока Ф = BSC определяют по магнит-
ной цндукции магнитного поля, которая зависит от напряженно-
сти магнитного поля (В=-цД).
Зависимость В(Н) — кривая намагничивания — является од-
ной из важнейших характеристик ферромагнитных материалов.
Кривая, проходящая через начало координат, является основной
кривой намагничивания, она получается при одностороннем на-
магничивании ненамагниченного материала.
При питании катушки индуктивности переменным током фер-
ромагнитный магнитопровод вследствие наличия переменного
магнитного потока циклически, с частотой тока, перемагничи-
вается по кривой гистерезиса, обусловленной наличием остаточ-
ного магнетизма (остаточной магнитной индукции) Вг и коэрци-
тивной (задерживающей) силы Нс. В процессе циклического
перемагничивания за несколько полупериодов переменного тока
устанавливается замкнутая симметричная петля гистерезиса.
На циклическое перемагничивание магнитопровода затрачи-
вается мощность, выделяемая в нем в виде теплоты, которая
относится к потерям мощности. Потери мощности на перемагни-
чивание включают в себя потери на гистерезис Рг и потерн от
вихревых токов Рв, индуцируемых переменным магнитным пото-
ком в металле магннтопровода: Рп = Рг-|-Рв.
Потери мощности на гистерезис, выделяющиеся в единице
массы материала магнитопровода, пропорциональны площади,
ограниченной статической петлей гистерезиса, определяются по
формуле: Рг = PyrfB2mG, где Руг — удельные потери мощности
на гистерезис; f — частота питающего тока; Вт — амплитудное
значение магнитной индукции; G — масса магнитопровода.
Под действием изменяющегося во времени магнитного потока
Ф(0 в магнитопроводе наводятся вихревые токи, вызывающие
дополнительные потерн мощности и оказывающие размагничи-
вающее действие на магнитопровод. Эти потери пропорциональ-
ны площади, равной разности между площадями динамической
и статической петли гистерезиса.
Потери мощности от вихревых токов рассчитывают по фор-
муле: Рв = PynB'mpG, где Руд — удельные потери мощности от
вихревых токов.
Потери мощности на перемагничивание магнитопровода, вы-
деляясь в виде теплоты, приводят к нагреву катушки индуктивно-
сти и магнитопровода, что снижает КПД соответствующих
электротехнических устройств.
Для уменьшения потерь мощности на гистерезис в качестве
материала для магнитопровода используются ферромагнитные
267
металлы, характеризующиеся узкой петлей гистерезиса. Умень-
шение потерь мощности на вихревые токи достигается примене-
нием для магнитопровода металлов с большим удельным элек-
трическим сопротивлением за счет повышенного содержания
кремния, при этом магнитопровод выполняют из набора тонких
электрически изолированных друг от друга пластин, что способ-
ствует уменьшению индуцированных в каждой пластине вихревых
токов, а следовательно, снижению потерь мощности от них.
Синусоидальное напряжение и — L^sinw/, подводимое к ка-
тушке с ферромагнитным магннтопроводом, компенсируется его
составляющими в соответствии с уравнением, записанным по
второму закону Кирхгофа в комплексной форме: Ц = /?/.+
+y'A'z2 + £=^Z+7^z.Z+^oZ+y^oZ> где Е — ЭДС, обусловлен-
ная основным магнитным потоком; Г— ток катушки; R— активное
сопротивление проводов катушки; Xl=coL— индуктивное сопро-
тивление катушки (<d = 2л/) (где / — частота питающего напря-
жения), обусловленное потоком рассеяния; /?о = Р«'/12 — активное
сопротивление, обусловленное потерями в магнитопроводе на пе-
ремагничивание; Хо — индуктивное сопротивление, обусловлен-
ное основным магнитным потоком Ф.
Пренебрегая влиянием относительно небольших падений
напряжений на сопротивлениях R и XL катушкн и потерями на
перемагничивание, имеем U_ = Е и соответственно: U — E =
= 4,44/ауФт-
С учетом этого подводимое к катушке напряжение и = е =
= (/msin<oZ в каждое мгновение полностью компенсируется ЭДС,
обусловленной основным магнитным потоком катушки индуктив-
ности. Из полученного выражения следует, что амплитудное
значение магнитного потока катушкн определяется действующим
значением синусоидального напряжения, подводимого к катушке,
его частотой и числом витков катушки: Фт = Е//4,44/<о ь= BmSc.
Так как напряжение u(t) во времени изменяется по синусои-
дальному закону н в данном случае и = е= Umsin<i>t = Emsin<o/,
а следовательно, ЭДС и напряжение имеют одинаковую начальную
фазу, то комплексы I/ и Е на векторной диаграмме идеальной
катушки без ферромагнитного сердечника совпадают по фазе.
ЭДС е— бФ/d/ изменяется по синусоидальному закону во време-
ни, поэтому магнитный поток, который ее создает, также должен
быть синусоидальной функцией времени.
Так как зависимость В(Н) является нелинейной, нелинейна и
зависимость Ф(/) как величины, пропорциональной В и И. Это
означает, что при синусоидальном питающем напряжении «(/),
т. е. прн синусоидальной зависимости Ф(/), зависимость между
током катушкн индуктивности и магнитным потоком г(Ф) также
должна быть нелинейной. При этом магнитный поток Ф отстает
по фазе от тока / катушкн на гистерезисный угол а в результате
явления гистерезиса. Следовательно, прн питании синусоидальным
напряжением u(t) ток i(t) в катушке с ферромагнитным сердечни-
ком искажает свою форму и является несинусоидальным во вре-
268
менн. Прн наличии несннусоидальных токов для упрощения рас-
четов переходят к эквивалентному синусоидальному току /-«,
имеющему одинаковое с несинусондальным током действующее
значение прн одинаковой частоте н развивающему одинаковую
с ним активную мощность прн одинаковом значении коэффициента
I т
мощности: / =у —f—$ z2dt = Лк =/,пэк/-^2, costp = P/UI —
' о
= СОЭфэк = -уЦ-.
Полное сопротивление катушки индуктивности с магнитопро-
водом при расчетах находят по закону Ома: Z3K — U//. Эквива-
лентное активное сопротивление /?эк катушки определяют по зна-
чению активной мощности Р, потребляемой катушкой из питающей
сети, и ее току или потерям мощности на перемагничивание Ра и
активному сопротивлению R проводов катушки: R3K=P/I2 =
— Рп//2 -|- R Эквивалентное индуктивное сопротивление катушки:
x^x^z^-r^. при этом индуктивность катушки L=
= X.I(o=XJJ2irf
Принимая во внимание, что а Ф = BSC выражение
для магнитного потока катушки индуктивности в общем виде
может быть записано в виде закона Ома для магнитной цепи:
_ _ lw __ F
п I* 6 Rm
У ---б---1---с--
Xj (ЛкОск • М-О^О
k » I
где Rm — магнитное сопротивление магнитной цепи; — магнит-
ная проницаемость, соответствующая напряженности магнитного
поля Як участка магнитопровода длиной /«; So — сечение магни-
топровода в воздушном зазоре 6; 3™ — сечение магнитопровода.
Магнитная проницаемость материала магннтопровода несоиз-
меримо больше магнитной проницаемости воздушного зазора
(р.}>ро), поэтому составляющая б/poSo является наибольшей
величиной, определяющей магнитное сопротивление магнитной
цепи. Вследствие этого при появлении в магнитной цепи воздуш-
ного зазора значительно увеличивается ее магнитное сопротив-
ление, что в соответствии с приведенным ранее выражением дол-
жно привести к уменьшению магнитного потока. Однако этого не
происходит, так как при неизменном по значению питающем
напряжении U = Е = 4,44^Фт = const магнитный поток должен
оставаться неизменным, что обеспечивается возрастанием магни-
тодвижущей силы F, а следовательно, возрастанием тока / ка-
тушки индуктивности до значения, при котором сохраняется по-
стоянство отношения F/Rm в выражении для магнитного
потока Ф.
Катушки индуктивности с магнитопроводом, имеющим регу-
лируемый воздушный зазор (дроссели), используются в качестве
269
регулируемых сопротивлении в цепях переменного тока, так как с
увеличением воздушного зазора при неизменном действующем иа
зажимах катушки напряжении магнитное сопротивление магни-
топровода и ток дросселя возрастают за счет уменьшения пол-
ного сопротивления катушки вследствие уменьшения ее реактив-
ного сопротивления, обусловленного индуктивностью. При этом
путем изменения величины воздушного зазора в магнитопроводе
можно регулировать значение тока катушки индуктивности
(дросселя) при включении ее в цепь переменного тока при неиз-
менном значении подводимого напряжения.
Литература. [1] §6.1—6.16; [2] § 6.1—6.6, 7.1—7.7; [3] § 8.1—8.7,
9.1— 9.6.
Примеры решения задач
9.1. В однородном магнитном поле (рис. 9.1) с индукцией
В =10 000 Гс= 1 Тл расположен прямолинейный проводник
длиной I = 0,5 м с током / = 30 А, в одном случае под углом
а, = л/6 к направлению поля, а в другом — под углом <хг = л/2
к направлению магнитного поля. Определить силу F, действую-
щую иа проводник.
Решение. Сила, действующая иа проводник, расположен-
ный под углом а, = л/6: Ft = B//sinai = 1-30-0,5-0,5 = 7,5 Н.
Сила, действующая на проводник, расположенный перпенди-
кулярно направлению поля, <хг=л/2: F2= B//sina2= 1 -ЗО-О.бХ
X 1 = 15 Н.
9.2. В однородном магнитном поле под действием электромаг-
нитной силы F = 50 Н перемещается перпендикулярно магнитным
силовым линиям на расстояние a = 0,5 м (рис. 9.2) проводник
длиной /=0,5 м с током /=100 А. Определить совершаемую
при этом механическую работу.
Решение. Индукция магнитного поля связана с силой, дей-
ствующей иа проводник, уравнением: F = B//sina, откуда
Ф '
Рис. 9.2
270
«=-^=-100^-= 1 Тл= Ю4Гс;(1Гс = 10-4Тл).
//Silly
Площадь, охватываемая проводником при перемещении:
S = al = 0,5-0,5 = 0,25 м2. Магнитный поток, пересекаемый про-
водником: Ф = BS = 1 -0,25 = 0,25 Вб или Ф = 104-2,5-108 =
= 0,25-108 Мкс = 0,25 Вб (так как 1 Вб= 108 Мкс).
Работа, совершаемая при перемещении проводника с током:
А = Ф/ = 0,25 • 100 = 25 Дж или А = Fa = 50 • 0,5 = 25 Дж.
9.3. По проводникам двухпроводной воздушной линии, распо-
ложенным на расстоянии а = 30 см друг от друга (рис. 9.3), про-
текают равные, но противоположно направленные токи It — I2 —
= 100 А. Определить индукцию магнитного поля В, направления
действия сил Fu и F\z равных участков проводников длиной
I — 5 м.
Решение. Индукция магнитного поля, создаваемая током
первого проводника в точке, расположенной по оси второго
/ г> Иор/ 4л10 100 с СС
проводнике (а=л/2): 2я-30 ~6’66Х
X Ю~9 Вб/см2, где р.а — абсолютная магнитная проницаемость;
ро — магнитная постоянная, равная в системе единиц СИ:
ро==4л-1О~7 Гн/м = 1,256-10~6 Гн/м = 4л-10~9 Гн/см (1Гн =
= 1 Ом-с — единица индуктивности) ; р — относительная магнит-
ная проницаемость воздуха (р = 1), следовательно, ра = pop =
= ц0 = 4л-10“' Гн/м.
Сила, действующая на второй проводник с током h в результа-
те взаимодействия с полем первого проводника: Ft2=BtIil —
= 6,66 • 10~9 • 100 • 500 = 33,3 • 10~5 Дж/см = 33,3 • 10~5 • 10,2 =
= 333 • 10“5 кг.
Рис. 9.3
Рис. 9.4
271
Аналогичное значение получится и для силы F21, действующей
на первый проводник с током в поле второго проводника. Направ-
ление сил, действующих иа проводник с током, определяется по
правилу левой руки (рис. 9.3).
9.4. На кольцо из литой стали с прямоугольным сечением
(рис. 9.4) равномерно нанесена обмотка с числом витков w =
= 300. Внутренний диаметр кольца d = 20 см, наружный диа-
метр D = 24 см, толщина кольца b = 6 см, ширина кольца
а = (D — d)/2 = 2 см. Определить ток /, при котором магнитный
поток в сердечнике Ф= 1,0-10—3 Вб, для случаёв, когда кольцо
замкнуто и имеет разрез шириной 6 = 5 мм, а также ток /' ка-
тушки при наличии сердечника из немагнитного материала.
Решение. Сечение сердечника магиитопровода Sc=
= b =6 -(24^2-°-)- = 12 см2 = 12 • 10~4 м2.
Магнитная индукция в замкнутом сердечнике: ВС = Ф/5С=
= 1,0-10~3/12-10-4 — 0,835 Тл. Напряженность магнитного поля
в замкнутом сердечнике определяется кривой намагничивания
В(Н\. при Вс = 0,855 Тл, Нс = 5 А/см = 500 А/м.
Длина средней силовой линии (средняя длина магнитопро-
вода): /ср= лВср = л—= 3,14 = 3,14-22 = 69,2 см.
Магнитодвижущая сила замкнутого сердечника: Fi = Hdcp =
= 5-69,2 = 346 А.
Ток в обмотке находят из уравнения, составленного по закону
полного тока: //с/ср= wl, откуда / = HJcf/w = 346/300= 1,15 А.
Если кольцо имеет разрез, магнитную цепь можно рассматри-
вать состоящей из двух последовательно соединенных участков
(стальной магнитопровод и воздушный зазор). Пренебрегая по-
током рассеяния, можно принять, что магнитная индукция в
воздушном зазоре и стальном магнитопроводе одинакова: Во =
= Вс = 0,835 Тл.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре:
Но = Во/цо = 7-^--= ~ Ю5 = 6,68 = 105 А/м = 6680 А/см,
4л.10 4л
где магнитная постоянная р.0 = 4л- 10-7 Гн/м = 1,256-10-6 Гн/м =
= 4л-10-9 Гн/см (Гн/м = Ом-С/м = В-с/А-м = Вб/А-м).
Напряженность магнитного поля в стальном сердечнике (опре-
деляем по кривой намагничивания для литой стали): для Вс =
= 0,835 Тл, Нс = 500 А/м = 5 А/см.
Магнитодвижущая сила при наличии в сердечнике воздуш-
ного зазора:
F2 = WI2 = HcKf 4- ЬНо 500 • 0,687 +
4-0,5-10"3-6,68-105 = 677,5 А,
272
где l'Cf = /ср — 6 = 69,2 — 0,5 = 68,7 см = 0,687 м — средняя дли-
на магннтопровода без воздушного зазора.
Ток в катушке при наличии воздушного зазора: Г — Fit w =
= 667,5/300 = 2,25 А.
Изменение тока в обмотке вследствие наличия воздушного
зазора: А/ = /' — / = 2,25— 1,15 = 1,1 А.
Магнитная индукция в сердечнике из немагнитного материа-
ла: В, = Во = 0,835 Т.
Напряженность магнитного поля при наличии сердечника из
немагнитного материала: //о = Во/ро = 0,835/4л • 10"’7 = 6,68Х
ХЮ5 А/м = 6680 А/см.
Ток в катушке определяют из уравнения, составленного по
закону полного тока: HolcP=Iw, откуда
Н,1ср 6,68-Ю5-69,2.|0-2 1СОС .
Рис. 9.6
Рис. 9.5
9.5. Кольцевой сердечник из литой стали (рис. 9.5) с равно-
мерно распределенной катушкой имеет размеры: внутренний диа-
метр d=20 см, наружный диаметр 0 = 24 см и воздушный
зазор 6 = 2 мм. Определить магнитодвижущую силу F, необходи-
мую для создания в воздушном зазоре магнитной индукции
В= 1 Вб/м2.
Решение. Напряженность магнитного поля в сердечнике
магиитопровода определяется по кривой намагничивания В (//)
для литой стали. Пренебрегая потоками рассеяния, принимаем,
что магнитная индукция в воздушном зазоре и в стали одина-
кова: Bq=Bc=1 =1 Тл, чему соответствует //с=700 А/м.
Средняя длина магнитной силовой линии кольцевого магнито-
провода: /сР = яВср = — 3,14^24~^20^ = 3,14-22 = 69,2 см.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре: Но=
273
= Во/ца—Во/цо= -—^т=0,8-106 А/м (так как абсолютная
магнитная проницаемость ра=роц, а для воздуха р=1, то ра =
= ро).
Определяем магнитодвижущую силу катушки исходя из зако-
на полного тока: wI~Hd[v + //06 = 700 • 0,69 + 0,8 • 106 • 2 -10-3=
= 483 + 1600 = 2083 А, где /с'р = /ср - 6 = 69,2 - 0,2 = 68 см —
средняя длина магнитопровода без воздушного зазора.
Задачи
9.6. Проводники с токами /|=/2=100 А расположены в
воздухе параллельно друг другу на расстоянии а—5 см
(рис. 9.6) и укреплены на изоляторах, расстояние между кото-
рыми 1=2 м. Определить значение и направление сил F\ и F2
взаимодействия между проводниками и направление индукции
поля проводников при одинаковом направлении токов /, и 12 в
НИХ. Ответ. FI = F2 = F=0,08 Н.
9.7. Прямоугольная рамка перемещается со скоростью V =
= 1000 м/с в равномерном магнитном поле с индукцией В=
= 8000 Гс = 0,8 Тл перпендикулярно направлению магнитного по-
тока. Длина рамки /=900 мм, омическое сопротивление R =
= 0,2 Ом. Определить потребляемую рамкой мощность Р, при-
ложенное к рамке усилие F, а также механическую мощность
Р„ех, необходимую для перемещения рамки. Ответ. Р= 259,2 Вт.
7 = 26 Н, Рмех=260 Вт.
9.8. Определить ЭДС самоиндукции катушки индуктивности с
индуктивностью L = 0,3 Гн, активным сопротивлением R = 2 Ом,
если при включении ее в питающую сеть постоянного тока с
напряжением U = 110 В установившееся значение тока наступает
через время / = 0,1 с. Ответ. £,= 165 В.
9.9. Определить энергию W магнитного поля катушки индук-
тивности с индуктивностью Г = 20 мГн при наличии в ней по-
стоянного тока /=20 А. Ответ. 1У = 4 Дж.
Таблица 9.1
Величины Варианты контрольного задания 9.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
W, витков /, А 6, мм 800 3 2 800 2,9 2 800 2,8 2 800 2,7 2 900 2,6 2 900 2,5 2 900 2,4 2 900 2,3 2 900 2,2 2 900 2,1 2 1000 3 2,5 1000 2,8 2,5 1000 2,4 2,5 1000 2,2 2,5 1000 2 2
Магнитная цепь См. рис. 9.12, а (с одним зазором)
Марка стали Листовая электротехническая сталь 3411 (холоднокатаная)
274
Продолжение табл. 9.1
Величины Варианты контрольного задания 9.12
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
и>, витков /, А 6, мм 800 4 2 800 3,9 2 800 3,8 2 800 3,7 2 800 3,6 2 900 3,5 2 900 3,4 2 900 3,3 2 900 3,2 2 900 3,1 2 1000 4 2 1000 3,8 2 1000 3,6 2 1000 3,4 2 1000 3,2 2
Магнитная цепь См. рис. 9.12,6 (с двумя зазорами)
Марка стали Листовая электротехническая сталь (горячекатаная)
9.10. Определить индуктивность L кольцевой катушки
(тороида), размещенной иа маГнитопроводе из литой стали.
Средняя длина силовой линии /ср = 80 см, поперечное сечение
кольца S=12 см2, число витков катушки w = 200, ток катушки
/=2 А. Ответ. £ = 0,1 Ги.
9.11. Определить амплитудное значение ЭДС самоиндукции
Em катушки, индуктивность которой £ = 0,12 Гн, ток в катушке
изменяется по синусоидалвному закону z = 0,2 sin Ы с частотой
<0= 104 С. Ответ. £т = 240 В.
275
Контрольное задание
9.12. Магнитная цепь с симметричным магнитопроводом, выполненным из
электротехнической стали с размерами, приведенными на рис. 9.12, а, б, содер-
жит катушку возбуждения магнитного потока с числом витков w и током /.
Используя кривые намагничивания стали В(Н) (рис. 9.12, в)*, по данным, при-
веденным в табл. 9.1 для соответствующего варианта задания, определить
энергию магнитного поля W и магнитные потоки Ф на всех участках магнитной
цепи, индуктивность катушки возбуждения L, составить эквивалентную элек-
трическую схему рассматриваемой магнитной цепи.
* Кривые намагничивания для сталей: / — литая сталь; листовые электро-
технические стали: 2— 1512 (горячекатаная); 3 — 3411 (холоднокатаная); 4 —
1212 (горячекатаная); 5— 1410 (горячекатаная).
Глава 10
ТРАНСФОРМАТОРЫ
$ 10.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ТРАНСФОРМАТОРАХ
Трансформатор представляет собой статический электромаг-
нитный аппарат, предназначенный для преобразования перемен-
ного тока одного напряжения в переменный ток другого напря-
жения при той же частоте.
Трансформатор состоит из стальнрго сердечника, собранного
из тонких листов электротехнической стали, изолированных друг
от друга с целью снижения потерь мощности на гистерезис
Рг и вихревые токи Р„х. На сердечнике трансформатора распо-
ложены первичная и одна или несколько вторичных обмоток.
К первичной подводится питающее напряжение U\, а со вто-
ричной снимается напряжение Ui, которое подводится к потре-
бителю электрической энергии.
Переменный ток, протекая по виткам первичной обмотки
трансформатора, возбуждает в сердечнике магнитопровода
переменный магнитный поток Ф. Изменяясь во времени по сину-
соидальному закону O=Omsin <0/, этот поток пронизывает вит-
ки как первичной, так и вторичной обмоток. При этом в со-
ответствии с законом электромагнитной индукции в обмотках
наводятся ЭДС, выражения мгновенных значений которых
„ V , <1Ф
для первичной и вторичной обмоток имеют вид: ei = ten—jy—=
= Eml sin( <0/+-5-) ; = Em2Sin(<0ii + л/2), где 101
te>2 — числа витков первичной и вторичной обмоток трансформа-
тора; Emi и Ет2 — амплитудные значения ЭДС соответственно
в первичной и вторичной обмотках.
Из полученных уравнений следует, что ЭДС-Ei, так же как
и ЭДС Е2 трансформатора, опережает магнитный поток Ф на
угол л/2.
Ток первичной обмотки Ц трансформатора при отключенном
потребителе является током /о холостого хода. Пренебрегая
влиянием насыщения, Несинусоидальный намагничивающий ток
может быть заменен эквивалентным синусоидальным током:
io= lom sin (w/4-а). Входящий в уравнение угол магнитных по-
277
терь а (угол сдвига по фазе между током /0 и магнитным пото-
ком Ф трансформатора) обусловлен потерями мощности в маг-
нитопроводе трансформатора.
При синусоидальном изменении магнитного потока, при отсут-
ствии насыщения магнитной системы, действующие значения
ЭДС, индуцированные в первичной и вторичной обмотках транс-
форматора, определяют в соответствии с выражениями: Ei =
= 4,44ц^Фт; Е2 = 4,44ц^Фт, где f—частота переменного то-
ка; Фт — амплитудное значение магнитного потока трансфор-
матора.
Отношение ЭДС £i первичной обмотки трансформатора к
ЭДС £2 вторичной его обмотки, равное отношению соответ-
ствующих чисел витков обмоток, является коэффициентом транс-
формации трансформатора: Ei/E2 — w\/w2 =п. Если £i<£2,
то трансформатор—повышающий, при £1>£г — понижающий.
Коэффициент трансформации п, магнитный поток Фт, а также
потери мощности Рм в сердечнике магиитопровода трансформа-
тора прн номинальной нагрузке определяются из опыта холосто-
го хода трансформатора.
При опыте холостого хода к первичной обмотке трансфор-
матора подводится напряжение, равное его номинальному зна-
чению (7|ном. Вторичная обмотка трансформатора при этом ра-
зомкнута, так как в ее цепи отсутствует нагрузка. В результате
этого ток во вторичной обмотке оказывается равным нулю, в то
время как в цепи первичной обмотки трансформатора протекает
ток холостого хода /о, значение которого обычно невелико и
составляет 4—10 % от номинального значения тока в первичной
обмотке/1 ном.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной
и вторичной цепей трансформатора в режиме холостого хода
можно получить уравнение электрического равновесия, записан-
ное в комплексной форме: £, =-Ui —• Z1/0, £2 = Ui-
Пренебрегая падением напряжения на первичной обмотке
трансформатора JoZi, равного произведению тока холостого хода
на полное сопротивление первичной обмотки, ввиду его весьма
небольшого значения по сравнению с £1, коэффициент транс-
формации трансформатора приближенно можно определить как
отношение первичного напряжения Ui ко вторичному U2: п=
= EX/E2~lh/U2.
Полученные выражения дают возможность вычислить магнит-
ный поток Фт и магнитную индукцию Вт, если известно сечение
сердечника магнитопровода Sc, так как Вт= Фт/Sc
Активная мощность, потребляемая трансформатором в режи-
ме холостого хода Ро, затрачивается на потери мощности в маг-
нитопроводе и электрические потери мощности в первичной об-
мотке: Ро= £« + £эь
Поскольку активное сопротивление первичной обмотки Ri,
так же как и ток холостого хода /0 трансформатора, обычно
незначительно, электрические потери мощности в этой обмотке
278
оказываются весьма небольшими и ими можно пренебречь, при
ЭТОМ Ро^Рм.
При нагрузке трансформатора к его вторичной обмотке под-
ключается потребитель электрической энергии. Ток Л во вторич-
ной обмотке нагруженного трансформатора согласно закону Ома
определяется из выражения: U2=ZHl2, l2=U2/Z«, где Z„—
полное сопротивление потребителя (нагрузки).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной
и вторичной обмоток нагруженного трансформатора можно со-
ставить уравнения электрического равновесия
IJt — (/?i + jXi )_/i + Et; Ez = (7? 2 /7¥г)/2 4~ U2,
где — ток первичной обмотки нагруженного трансформатора;
Р2 и Х2 — активное сопротивление и обусловленное магнитными
потоками рассеяния индуктивное сопротивление вторичной об-
мотки трансформатора.
Так как падение напряжения на первичной обмотке ZJi =
= (7?i 4- /^1)11 в пределах до номинального тока нагрузки
/1вом обычно мало по сравнению с ЭДС Ei, им можно пренебречь
и приближенно считать, что Ui:z.Ei = 4,44а»1^Фт.
Из этого следует, что при постоянном напряжении питающей
сети (7i = const при нагрузке трансформатора можно считать
также и ЭДС Ei = const. Так как ЭДС в обмотках наводится
результирующим магнитным потоком, то этот поток должен
также оставаться практически постоянным в пределах от холос-
того хода до номинальной нагрузки трансформатора (Фт —
~ const).
Исследование работы трансформатора при нагрузке произво-
дится на основе векторных диаграмм, построенных для приведен-
ного трансформатора, у которого параметры вторичной обмотки
приведены к напряжению Ui и числу витков первичной обмот-
ки. В соответствии с этим приведенный трансформатор имеет
коэффициент трансформации л = 1. При замене реального транс-
форматора приведенным активные, реактивные и полные мощ-
ности, а также коэффициент мощности вторичной обмотки транс-
форматора принимаются неизменными.
Значения приведенных значений ЭДС Е2, вторичного напря-
жения U2, вторичного тока /£, активного R2, индуктивного Х2
и полного Z2 сопротивлений вторичной обмоткн и полного сопро-
тивления нагрузки Z'„ определяют по действующим их значе-
ниям и коэффициенту трансформации в соответствии с выраже-
ниями: Е^ = пЕ2; U{=nU2, 12— к Ri = n2R2; Х2==п2Х2;
п
Z'2=n2Z2,Z'„ = n2ZH.
При этом ЭДС Ei — Ei можно заменить суммой активного
н реактивного индуктивного комплексных падений напряжения в
соответствии с уравнением: Е\ = /?о/о 4* /А'о/ , где Хо — индук-
тивное сопротивление, обусловленное основным потоком транс-
279
форматора; /?о — активное сопротивление, обусловленное потеря-
ми мощности в магнитопроводе трансформатора, т. е. некоторое
условное активное сопротивление, в котором выделяется мощ-
ность RoIo = P«, равная потерям мощности в магнитопроводе.
С учетом выражений для и получим уравнение для
комплексных токов, составленное по первому закону Кирхгофа:
/, =/0 +/$, Принимая во внимание которое, может быть со-
ставлена полная (Т-образная) схема замещения трансформатора.
При опыте короткого замыкания трансформатора к первич-
ной его обмотке подводится такое напряжение /Лк, при котором
в обмотках возникают токи, равные соответствующим номи-
нальным их значениям ЛНом и Лном, а напряжение на вторичной
обмотке трансформатора //2=0.
При этом к первичной обмотке трансформатора подводится
напряжение U\, сниженное (в зависимости от типа и мощности
трансформатора) в 10—20 раз по сравнению с соответствующим
номинальным значением напряжения (Л ном. Так как напряже-
нке короткого замыкания, подводимое к первичной обмотке, ма-
ло и равно t/iK~EiK=4,44wifOm, то магнитный поток трансфор-
матора Фт, а следовательно, и магнитная индукция Вт трансфор-
матора при этом также малы. Вследствие этого потери в магни-
топроводе Рм, пропорциональные квадрату магнитной индукции
В2т, при опыте короткого замыкания ничтожно малы и ими можно
пренебречь (Рм = 0).
Таким образом, при опыте короткого замыкания вся мощ-
ность Рк, потребляемая трансформатором, идет на нагрев его
обмоток, т. е. равна электрическим потерям Рэ в проводах обмо-
ток, так как Рк = Р-, + Р« ~ /?ИОмР| + /гномРг = (Pi + /?2)/?HOM =
— ILohR*- При этом Р„ = 0, а мощность Рк = Рном, т. е. равна по-
терям в обмотках трансформатора при номинальной нагрузке.
При Опыте короткого замыкания (ZJ = O) определяют парамет-
ры упрощенной схемы замещения трансформатора при коротком
замыкании
Zk — UIk//|homJ Рк — Pl _|_Р2== Рк//IhomJ
Xk=Xi+X2==V2k-P^,
где Рк, Хк, ZK — активное, реактивное индуктивное и полное
сопротивления короткого замыкания трансформатора.
К нагрузочным характеристикам трансформатора относятся
зависимости его вторичного напряжения Uz, коэффициента мощ-
ности coscpi и КПД т) от тока нагрузки /2 потребителя электро-
энергии при cos ф2=const.
Зависимость UzU-i) напряжения на зажимах вторичной обмот-
ки от тока нагрузки является внешней характеристикой транс-
форматора. Уравнение внешней характеристики трансформатора
может быть записано по второму закону Кирхгофа для вторич-
ной его цепи: Uz—E_z — ZzI_z = Ez — (Rz + jXz)[z-
Из полученного выражения следует, что при изменении тока
нагрузки трансформатора изменяется и напряжение на зажимах
280
вторичной обмотки вследствие увеличения падения напряжения
на этой обмотке, т. е. из-за увеличения произведения Z2/2, а так-
же за счет уменьшения ЭДС Е?, имеющего место в реальных
условиях вследствие некоторого уменьшения магнитного пото-
ка Ф при увеличении тока нагрузки трансформатора.
Из векторной диаграммы нагруженного трансформатора мож-
но установить, что падение напряжения на вторичной обмотке
тем больше, чем больше угол сдвига по фазе ф2 между ЭДС F2
и током нагрузки /2. Таким образом, чем больше выражен индук-
тивный характер нагрузки, тем значительнее уменьшается напря-
жение U2 на вторичной обмотке трансформатора с ростом тока /2
нагрузки. Наоборот, при емкостном характере нагрузки с увели-
чением тока нагрузки напряжение на зажимах вторичной обмот-
ки трансформатора возрастает.
В режиме холостого хода трансформатора при отсутствии
нагрузки во вторичной цепи (ZK=oo) трансформатор потребляет
активную мощность, равную мощности холостого хода: Ро —
= t/i/0=cos<po. Так как мощность, ток и напряжение в режиме
холостого хода не равны нулю, то ие может быть равным нулю и
cos <ро/0 при 72=0.
С увеличением нагрузки зависимость со8ф|(/г) сначала резко
возрастает, достигает максимального значения при некотором
значении тока /2, а затем несколько уменьшается при дальней-
шем увеличении нагрузки, что можно видеть из векторной диа-
граммы нагруженного трансформатора, так как с увеличением
тока нагрузки /2 одновременно происходит увеличение .и тока
первичной обмотки трансформатора Л. Поскольку коэффициент
мощности потребителя электроэнергии cos ф2 = const, то с увели-
чением тока /| происходит его смещение в сторону напряжения
t/i. При этом угол ф| уменьшается, а совф| увеличивается до
определенного предела, равного соьфипах, так как дальнейшее
увеличение /2 (а следовательно, Рг и /|) приводит к значитель-
ному возрастанию реактивного падения напряжения на первич-
ной обмотке /Х|/|.
При дальнейшем увеличении тока нагрузки /2 коэффициент
мощности совф| уменьшается. КПД трансформатора представ-
ляет собой отношение полезной мощности Р2 к мощности Р\,
потребляемой им из сети:
__ Рг Рг_____________^2вом cos ^2_____
11 Pt + P'+P. ~fiV^I^c^ + P^ + fEP;
где РМ=РО — потери в магнитопроводе трансформатора (находят
из опыта холостого хода); Рэ — электрические потери в обмотках
трансформатора (при номинальной нагрузке определяют из опы-
та короткого замыкания); р=/г//2иом— отношение текущего
значения тока нагрузки к номинальному его значению; совф2 =
— P2/U2I2 — коэффициент мощности потребителя электроэнергии.
При отсутствии нагрузки, когда мощность не потребляется
нагрузкой (Р2=0), КПД равен нулю. При малых значениях тока
281
нагрузки электрическими потерями Р, в обмотках трансформа-
тора можно пренебречь вследствие небольшого значения тока
нагрузки. Потери мощности в магнитопроводе Рм при этом ока-
зываются соизмеримыми с полезной мощностью Pz, а значение
КПД трансформатора оказывается небольшим. С увеличением
нагрузки КПД трансформатора возрастает.
Потери Р„ в магнитопроводе трансформатора не зависят
от нагрузки, в то время как с увеличением тока /2 нагрузки
электрические потери Р, в обмотках трансформатора растут про-
порционально квадрату тока. Анализ приведенной выше форму-
лы показывает, что КПД трансформатора имеет наибольшее
значение при равенстве электрических потерь мощности в обмот-
ках и потерь мощности в магнитопроводе трансформатора, т. е.
при РМ = Р3.
При дальнейшем возрастании нагрузки трансформатора
потерями в магнитопроводе £« можно пренебречь вследствие их
относительно небольшого значения по сравнению с достаточно
большими электрическими потерями мощности в проводах об-
моток Р3.
КПД современных трансформаторов весьма высок. Причем
с увеличением номинальной мощности трансформатора КПД
растет, для мощных трансформаторов он достигает значений
порядка 98—99 %.
Литература. [1] §8.1—8.13; [2] §8.1—8.17; [3] §10.1 — 10.11.
Примеры решения задач
10.1. Определить коэффициент трансформации п трансфор-
матора, число витков да, первичной обмотки при числе витков
вторичной обмотки ws = 40, а также номинальные токи Л «ом и
/гном в обмотках однофазного трансформатора с номинальной
мощностью S1bom = 3kBA, подключенного к питающей сети с на-
пряжением U\ ном — 127 В, напряжение на зажимах вторичной
обмотки при холостом ходе Uzo = 60 В.
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора:
п= w\/wz= E\/Ez= U\/U2o= 127/60 = 2,11, так как Uzo=Ez,
при холостом ходе трансформатора падение напряжения на
первичной обмотке весьма незначительно, поэтому приближенно
Число витков первичной обмотки: h'1=hw2=2,11-40=
= 84,4.
Номинальный ток первичной обмотки (считая полные мощ-
31000
ности обмоток Si ~5г): Лном= S'1BOM/l/1BOM=-^y- = 23,6 А.
Номинальный ток вторичной обмотки трансформатора (при-
нимая /7гном=//го)./гном = S’|HOM/I72o:= 3000/60= 50 А.
10.2. Определить коэффициент трансформации и действующие
значения ЭДС Е\ и £г обмоток однофазного трансформатора
при частоте /=100 Гц, если площадь поперечного сечения маг-
нитопровода Sc = 4 см2. Амплитудное значение магнитной индук-
282
ции Вт = 1 Тл, число витков первичной и вторичной обмоток
трансформатора: ten = 25O и ш2= 1250.
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора:
л = wi/w2= Fi/F2 = 250/1250= 0,2.
Амплитудное значение магнитного потока в сердечнике транс-
форматора: Фт = BmSc = 1-4- 10~4 = 4" 10~4 Вб (Вт — 1 Тл =
= 1 Вб/м2);Вс= 4 см2= 4-10-4 м2.
Действующие значения ЭДС, наводимых в обмотках транс-
форматора: Bi = 4Кф/Ш|Фт — 4-1,11 • 100-250-4" 10~4 = 44,4 В;
£2= 4Кф)ш2Фт = 4-1,11 • 100-1250-4-10~4 = 222 В, где Кф—ко-
эффициент формы кривой напряжения (для синусоидального
напряжения Кф= 1,11).
10.3. Определить коэффициент трансформации л трехфаз-
ного трансформатора и номинальные действующие значения
первичного и вторичного фазных (ЛфНом, (/2фном и линейных (/ином,
(/глном напряжений, при соединении обмоток соответственно по
схемам «звезда—Звезда» и «звезда—треугольник»; первичная
обмотка имеет число витков на фазу W| = 2002, вторичная ш2=
= 134. Номинальное линейное напряжение первичной обмотки
Uном = 6000 в.
Решение. Коэффициент трансформации фазных напряже-
ний трансформатора л = Wi/w2 = 2002/134 = 15. Номинальное
первичное _ фазное напряжение трансформатора: (ЛфНом =
= (/ином/л/3 = 6000/1,73 = 3470 В.
Номинальные вторичные напряжения трансформатора при
соединении обмоток по схеме «звезда—звезда»:
линейное (/2.1НОм= (/,лном/Д = 6000/15 = 400 В;
фазное (/2фном= (/гфном/\3=400/1,73 = 230 В.
Коэффициенты трансформации трансформатора при соедине-
нии обмоток по схеме «звезда—звезда»:
линейных л л л = Uiлном/U2aном = 6000/400= 15;
фазных л лф= (/|фном/^2фном = 3470/230= 15.
Коэффициенты трансформации трансформатора при соеди-
нении обмоток по схеме «звезда—треугольник»:
фазных Лдф= (7|фИом/(/2фном = 3470/230= 15;
линейных Лдл = (/| л ном / £^2л ном — 6000/230 = 26, так как при
этом U2 л ном — и2ф ном*
10.4. Трехфазный трансформатор типа ТМ-50/6 имеет но-
минальную мощность 5|№М = 50 кВ -А, номинальные напряжения
(/|ном = 6000В и (/2ком = 525В, частоту питающего напряжения
^ = 50Гц. Определить КПД т] трансформатора при коэффициен-
тах загрузки 0=1; 0,75 и 0,5 от номинальной (cos<j>2= 1,0), а
также коэффициент нагрузки 0тах, при котором КПД имеет мак-
симальное значение т)тах, если потери холостого хода при номи-
нальном напряжении Ро=35ОВт, а потери короткого замыкания
Рк=1325Вт. Построить зависимость изменения КПД от полез-
ной мощности Р2.
Решение. КПД трансформатора при номинальной нагрузке:
Дж,м=1:
283
Ц,%
80
60
40
20
Рис. 10.4
0.75-50-1
Т] ^Hqmcos<P2
^IbomCOS^ + Pq + ^A
__ 1-50-1 _ 50 _____«Qfi7
1-50-1+0,35+1J-1,325 ~ 51,675 ~ ’ a
ИЛИ т)ном % = 96,7 %;
при 0 = 0,75:
°75 /WibomCOS'^+T’o+^T’i
37,5
= 0,75-50-1 + 0,35 + d:75;~325" = ИЛИ ',0-7S /0 ~ =”'' /0’
при 0 = 0,5:
_ №цюысо&4>2 0,5-50-1 _
^1BOMcoS<P2 + P0+/!JPx“ 0,5-50-1 +0,35 + 0,55-1,325
= -^§-=0,973 или T]o.5 % = 97,3 %.
Нагрузка трансформатора, соответствующая максимальному
значению КПД т)тах трансформатора (принимаем Ро = 2А):
д -х/ Р° -у/ 2,350 264 Л7ЛИ
Р-ах= V — = V -1325" = 37Т= 0’705-
Зависимость т] (PJ) приведена на рис. 10.4. Здесь Р*2 — отно-
сительная полезная мощность, равная отношению текущего зна-
чения полезной мощности к полезной номинальной: Р*2 = Р2/Р\.
Так как cos<p2=l, то активная мощность равна полной номи-
нальной мощности трансформатора; P2ltoul — SitaMcos<p2=SnoM.
10.5. Трехфазный трансформатор с номинальной мощностью
5’1яом=50 кВ-А работает в течение времени Г=800 ч/год с пол-
ной нагрузкой (0=1). Потери мощности холостого хода Ро транс-
форматора составляют 0,7 %, а потери короткого замыкания
при номинальной нагрузке А составляют 2,65 % от полной мощ-
ности S1H0M. Определить КПД т)НОм при номинальной нагрузке,
а также среднегодовой КПД йг.
Решение. Потери мощности холостого хода: Ро —
=0,7%S1BOM/100% =0,07 -50=0,35 кВт. Потери короткого замы-
кания: Рж=2,65%$1вом/100% = 0,0265-50 = 1,325 кВт.
Суммарные потери мощности при номинальной нагрузке:
2Аом = А) +А = 0,35+1,325 =1,675 кВт или 2Аом% = 3,35%
от S’|HOM=50 кВ-А.
Полезная мощность, отдаваемая трансформатором потреби-
телю электроэнергии при номинальной нагрузке (0=1): Аном =
= «S’iH0MC0s<jp2 = 50-1 =50 кВт.
Коэффициент полезного действия трансформатора при номи-
284
нальной нагрузке (0=1): т)НОм =
7dTfc=50TW=°’96 или
П О/____QR о/
Ч ном /о — /О*
Энергия, отданная трансформато-
ром за год потребителю электро-
энергии: 1Г2 = ₽2номТ = 50-800 =
= 40 000 кВт-ч.
I,
о—
и,
о—
Энергия, потребляемая трансфор- Рис 10б
матором при холостом ходе: lFo=
= P0Tt = 0,35 -365- 1 =0,35 -365=
= 126 кВт-ч, где ^ = 365-1 = 3654 — число часов работы в год
трансформатора в режиме холостого хода (1 час в день).
Энергия, теряемая в проводах обмоток трансформатора при
номинальной нагрузке: W'k = PkT= 1,325-800= 1060 кВт-ч. Энер-
гия, потребляемая трансформатором из сети в год: 1Fi = 1F2-|-
+ 1FO+ ^=40000+126+1060=41186 кВт-ч. Среднегодовой КПД
трансформатора: 100% =777^ 100% = 97%.
41100
10.6. Определить параметры упрощенной (Г-образной) схемы
замещения (рис. 10.6) трансформатора с номинальной мощно-
стью Sibom = 50 кВ • А. Обмотки трансформатора соединены по
схеме «звезда»; номинальные линейные напряжения первичной
и вторичной обмоток: f/iHOM = 6000 В, (/2ном = 525В, частота пи-
тающего напряжения Дом = 50 Гц, ток холостого хода /о=
= 7 %/|ном, мощность холостого хода Ро—0,350 кВт, напряжение
короткого замыкания t/к = 5,5 %, мощность короткого замыка-
ния Рк = 0,325 кВт.
Решение. Номинальные фазные (линейные) токи транс-
форматора (считая 51иом /1В0М =
г ^1иом 50’10’ „ .
2"°м V5p2bom = i.««J_55A‘
50-103
1,73 6000
= 4,82 А;
Номинальные фазные напряжения трансформатора: (/|фнОм =
= (ЛномЛ/3 = 6000/1,73 = 3460 В; (/2фном= (/2вом/л/3=525/1,73 =
= 303 В.
Ток холостого хода трансформатора: /о=7 %/100/|ном =
= 0,07-4,82 = 0,338 А.
Активное сопротивление намагничивающей цепи Г-образной
схемы замещения: /?о=-~^-= , ^,-^=1040 Ом.
3/о О* U,ООО
Сопротивления намагничивающей цепи:
полное Zo = (/|фном//о = 3460/0,338= 10 250 Ом; индуктивное
Хо = = A/10 2502- 1040i = 9800 Ом.
Сопротивления короткого замыкания трансформатора:
полное Zk = Uk = 0,055 = 39,6 Ом; активное /?к=
о ном DU UUU
285
= Ri + /?2 = Л.г = = 4 Ом; реактивное Хк = X, + Х2 =
= VZk2 - Ri= д/39,62-42 = 39,5 Ом.
10.7. Трехфазный понижающий трансформатор с номиналь-
ной мощностью 5|НОМ = 20 кВ-А и номинальными линейными на-
пряжениями: U\ «о» = 6000 В, {/гном = 400 В при частоте ^=50Гц
имеет потери мощности холостого хода Ро=18ОВт, потери мощ-
ности короткого замыкания Рк = 600 Вт и напряжение короткого
замыкания t/к = 5,5 %. Соединение обмоток трансформатора
выполнено по схеме «звезда». Определить коэффициент транс-
формации п трансформатора, токи Лном и /г»Ом в обмотках, фаз-
ные напряжения {Лфном и t/гфном, сопротивления короткого замы-
кания: /?к, Хк, Zk, сопротивления обмоток: Rt, R2, Xi, Хг, а также
КПД т] при cos<j>2 = 0,8 и нагрузке, равной 75 % от номинальной
0=0,75).
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора
при заданной схеме соединения обмоток п = U\Ka«/U2«m =
= 6000/400= 15.
Номинальные токи, при Sihom = S2hom = SBom:
о _ « Sihom 20-1000 . «о д
первичной обмотки: limM , 73.бооо = '93 А; вто'
« , *$ГВОМ 20- 1000 К
ричнои обмотки: 12тм = ^5^----— 1 73.400 = ™ А.
Номинальные фазные напряжения трансформатора: {Лф„оМ =
= ^г.= 6000/1,73 = 3470 В; {/2фнОм = U2„омЛ/3 = 400/1,73 =
V3
= 230 В.
Активные сопротивления
короткого замыкания: /?к = /?, + R'2 = —£— = =
«3/ 1 ном О» 1У,0‘
= 10,3 Ом;
первичной обмотки /?| = /?2 = -у-= =5,17 Ом; вторич-
ной обмоткн /?2 = /?г/и2 = 5,17/152 = 0,023 Ом.
Коэффициент полезного действия транс-
форматора при cos<j>2 =0,8 и р = 0,75;
PSlmtC0S<l>2
pSilvttcos4>2+po+Plpi
0,75-20-0,8
~ 0,75- 20 • 0,8 + 0,18 + 0,75J • 0,6 ~
Сопротивления короткого замыкания:
полное ZK =
С К % 1 ф ном
/.ном- 100%
5,5-3470
1,93-100
Ом;
286
индуктивное Хк = Xi + %2=л/ Zl — Rl=-\j 992 — 10,352 ~ 98,8 Ом.
Индуктивные сопротивления:
первичной обмотки Xi — Х2 = Хк/2 = 98,8/2 = 49,4 Ом;
вторичной обмотки Х2 — %2/л2 = 49.4/152 — 0,22 Ом.
10.8. Определить коэффициент трансформации п, амплитуд-
ные значения магнитного потока Фт и магнитной индукции Вт,
напряженность магнитного поля Нmax, ПОТерИ МОЩНОСТИ В МЗГИИ’
топроврде Рм, угол магнитных потерь б, ток холостогб хода /о,
коэффициент мощности coscpo холостого хода трансформатора.
Номинальные напряжения трансформатора: UihOK—220 В, U2hOm =
= 127 В, частота = 50 Гц, число витков первичной обмотки
Ш|= 100, длина витка провода обмотки /вит = 40 см, сечение про-
вода 5Пр = 1 мм. Магнитопровод трансформатора выполнен из
пластин электротехнической стали марки Э42, толщиной 0,35 мм2,
с удельным весом /=7,8 г/см3, сечение магнитопровода Sc =
= 100 см2, средняя длина магнитной силовой линии /ср = 100 см,
индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформатора
принять равным %, = 5/?i, значение ЭДС первичной обмотки £| =
= 0,97t/|HOM. Построить векторную диаграмму токов и напряже-
ний трансформатора при холостом ходе.
Решение. Коэффициент трансформации: и=/Лном//Аном =
= 220/127= 1,73.
Амплитудное значение магнитного потока: Фт = =
= = 9,6- 10s Мкс = 9,6-10-3 Вб.
4,44’100’50
Амплитудное значение магнитной индукции в магнитопроводе:
D Фт 9,6-10-3 п пс т п 9,6-10® пспп г~
Вт = -=—= lhh.0,96 Тл или Вт = ——= 9600 Гс.
Ос 1uv11U 1UU
Напряженность магнитного поля в сердечнике трансформа-
тора определяют по кривой намагничивания В(Н). При индукции
В = 9600 Гс = 0,96 Тл напряженность поля для заданной марки
стали //max = 1,8 А/см.
Значение амплитудной магнитодвижущей силы магнито-
провода в соответствии с законом полного тока для магнитной
цепи: Fm — l^mW, = //m/cp = 1,8-100 = 180 А. Значение намагни-
чивающего тока: /ц = Fm/W{-yj2 — 180/100-\/2 = 1,27
нитные потери мощности в магнитопроводе: Р„ = Рму
А. Маг-
X (4гГй = °-7 (-Sr)’(-&-)” ™" '’--уаеаь.
ные потери мощности в стали магнитопровода: при Вт = 0,96 Тл
и ^ = 50 Гц, РмУ = 0,7 Вт/кГ; G = Sc/cp, /= 100-100-7,8-10“3 =
= 78 кГ — масса магнитопровода.
Активная составляющая тока в первичной обмотке, обуслов-
ленная потерями в стали магнитопровода: 1\а = PM/UiUOM =
= 50,2/220 = 0,228 А. Ток холостого хода в первичной обмотке
287
трансформатора: /о = -yjlh 4-/ц = -\Д)>2282-|- 1,272 = 1,29 А. Угол
магнитных потерь (угол сдвига тока /ц относительно магнитного
потока Фт): tgo = Л а//ц= 0,228/1,27 = 0,179, откуда 6 = 0°10'.
Омическое сопротивление первичной обмотки трансформатора:
= Р /вита;' = 0,0175 0,7 Ом, где р — удельное
сопротивление проводов обмотки постоянному току (для меди
р = 0,0175 Ом-мм2/м).
Активное сопротивление проводов первичной обмотки транс-
форматора: /?! = RiKi = 0,7-1 = 0,7 Ом, где /С = 1 — коэффи-
циент, учитывающий увеличение активного сопротивления прово-
дов вследствие влияния поверхностного эффекта (в данном слу-
чае при частоте /1 — 50 Гц, К\ = 1).
Электрические потери мощности в проводах первичной обмот-
ки трансформатора: Р, \ = /о/?, = 1,292-0,7 =1,17 Вт.
Коэффициент мощности холостого хода трансформатора: cos<j>o=
Уу— =0’182’ откуда Фо = 79°30'-
(-Чном'О <Лном/о
Индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформа-
тора, обусловленное потоками рассеяния: Xi = 5/?i = 5-0,7 =
= 3,5 Ом.
Падение напряжения на активном сопротивлении первичной
обмотки трансформатора: = Z?t/o = 0,7-1,29 = 0,9 В.
Падение напряжения на реактивном индуктивном сопротив-
лении первичной обмотки трансформатора: £ЛР= Xt/o = 1.29Х
X 3,5 = 4,52 В.
Векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора
при холостом ходе приведена на рис. 10.8 (векторы токов) /|а
и 7Д угол магнитных потерь 8 показаны здесь увеличен-
ными).
10.9. По данным задачи 10.8 построить векторную диаграмму
токов и напряжений нагруженного трансформатора. Вторичный
номинальный ток /2НОм= 10 А, сопротивления вторичной обмотки
трансформатора: R? = 0,5 Ом, Х2 = 1,5 Ом, нагрузка характери-
зуется сопротивлениями: /?„=4,3 Ом и /Хи=3 Ом. Пояснить,
почему с ростом тока нагрузки /2 во вторичной цепи увеличива-
ется ток /| в первичной обмотке трансформатора.
Решение. Угол сдвига фаз между вторичным током /2
и вторичной ЭДС Ei трансформатора: фг = arctg ** + - =
1 1,5-|-3 < 4,5
= arctg оТТ4У = arctK -43-= 43 5'.
ЭДС вторичной обмотки трансформатора: Ei = ^/г + ^г/гном,
где Z2 — комплексное сопротивление вторичной обмотки транс-
форматора. Zi = (Ri 4"/Х2)/2ном = 2^2 ном -j- /X 2/2 ном.
Угол сдвига фаз между вторичным напряжением и вторичным
288
Vh з
током трансформатора: <р2= arctg-^-= arctg——= 35°. При-
К и 4,о
веденный вторичный ток трансформатора • /з ном — /2 КОМ — =
= 10,43-=5’8 А- "
Ток первичной обмотки трансформатора: Л — /о + /2.
Ток холостого хода трансформатора /о имеет сравнительно
небольшое значение и обычно не превышает (4—8) % от номи-
нального тока /ihom первичной обмотки. При этом приближенно
можно принять /| — /2. Поэтому с увеличением тока нагрузки /г,
а следовательно, тока /$ растет и ток первичной обмотки транс-
форматора.
Падение напряжения на сопротивлениях первичной обмотки
трансформатора: на активном L/ia = R\h«OM — 0,7-6,4 = 4,49 В;
на индуктивном U\ Р = Xi/i«om = 3,5-6,4 = 22,5 В.
Построение векторной диаграммы следует начать с магнитно-
го потока Фт. Этот поток наводит в обеих обмотках трансфор-
матора электродвижущие силы Et и Е2, которые в данном случае
опережают поток Фт на угол л/2. По условию Ei = 0,971/, =
= 0,97-220=213 В, отсюда Е2 = Е,/п = 213/1,73 = 123 В.
Нагрузка трансформатора носит активно-индуктивный харак-
тер (Z„ = , поэтому вторичный ток /2 отстает от ЭДС
Е2 на угол фг-
Напряжение вторичной обмотки U2 находят исходя из уравне-
ния U2 — E2 — I2ho„Z2. При этом из ЭДС Е2 вычитается гео-
метрически падение напряжения на реактивном сопротивлении
Х212ио„, которое опережает ток /гном на угол л/2, и падение на-
пряжения на активном сопротивлении R2i2 ном вторичной обмотки,
которое совпадает с направлением тока /2 ном. Ток холостого хода
/о опережает поток Фт на угол магнитных потерь 6. Первичный
ток /| находится как векторная сумма токов /о и приведенного
вторичного тока /г «ом.
Для определения Ui ном ЭДС Ei суммируют с падением напря-
жения на активном сопротивлении t/ia = R1L1 и падением напря-
жения на индуктивном сопротивлении t/iP = %i/i согласно урав-
нению Ui НОМ “ +/?i/i + jXi[i-
На рис. 10.9 приведена векторная диа-
грамма нагруженного трансформатора.
10.10. Понижающий трехфазный транс-
форматор типа ТМ-10/6 с номинальной
мощностью S’)HOM=10 кВ -А и номиналь-
ными линейными напряжениями £/|ЛНом =
= 6 кВ и L/глном = 230 В, при частоте
f = 50 Гц имеет следующие данные: мощ-
ность холостого хода Ро = 0,105 кВт,
мощность короткого замыкания Рк =
= 0,335 кВт, напряжение короткого
замыкания f/K=5,5%. Обмотки транс-
Рис. 10.9
10-217
289
форматора соединены по схеме «звезда». Определить при номи-
нальной нагрузке (Р = 1) токи /том в первичной и /гном во вто-
1 ричной обмотках, активное А/7а и индуктивное А/7Р падения на-
пряжения при коротком замыкании, вторичное Uj напряжение
при нагрузке, в 10 раз большей номинальной (0= 10), и
cos<jp2 = 0,6, КПД т)ном при номинальной нагрузке и costp2 — 0,8
при нагрузке, в 10 раз меньшей номинальной (Р = 0,1), и том же
коэффициенте мощности. Построить зависимость А(/2 % (cos<p2)
трансформатора при номинальной нагрузке (/2цОм).
Решение. Ток в первичной обмотке трансформатора в
j *^1ЯОМ _ 10 000 ___ П <17 л
номинальном режиме: /|Ном= —=--------- = , 7q= 0.97 А.
!»» I, / о * OUvU
V 3 ^Ibom
Пренебрегая потерями мощности в трансформаторе, ток во
Ц - , *^1ИОМ 10 000 пг- <1 А
вторичной обмотке: /2нОм = —-------= , 7О = 25,2 А.
/, тг 1,73-230
V з ь'гяом
Падение напряжения короткого замыкания: активное A Ua % =
__ 1 (in о/ _ 1 пл о/ _ пл о/ ______ 335-100 % _
- 1/1йо. /о - (7,ном/,„и 100 /о - А__._ ~ 10000 -
*^1ном
= 3,35 %, индуктивное АЦ, % = '1
= ^~3^=4,35%.
Процентное изменение напряжения при нагрузке, в 10 раз
большей номинальной: At/% = р (t/a costpjH- Uv sin<p2)=10 х
X(3,35-0,6 4* 4,35-0,8) ~ 55 %, где ₽ = 10 — коэффициент на-
грузки трансформатора.
Вторичное фазное падение напряжения при заданных усло-
виях: АУ2%= U^- 100 % или 55== —
12 2 ф ном
откуда ' Ui ф = 133 — 55-1,33 = 133 — 73=60 В, где
номинальное фазное напряжение вторичной обмотки
матора: (72фНом= (Ал ном/-\/3^= 220/1,73 = 133 В.
КПД трансформатора для заданных условий при
. п/ Д51яомс<»¥>2100% 1-10 000-0,8-100%
нои нагрузке: т]ном% =----------------Кя~Хш<;"'|Т
ос0/ flS11IovcoS(p2 + P0 + /P?K 1-10000-0,8+105.1.335
ul =
^М°0%,
Т/2фном
траисфор-
номиналь-
3U /о-
КПД при нагрузке, в 10 раз меньшей номинальной (0 =
, о/ _ /»i»mCOSp2100% 0,1 -10 000-0,8-100 % _
’ ‘ Т1°'1 /0 ~ ^1HOMcoS(p2 + P0+^?K_ 0,1-10000-0,8+ 105 + 0,Р-335 “
— 00,1 /О-
Вторичное линейное напряжение при заданных условиях:
У2л = ТЗУ2ф = 73-60= 104 В.
290
Таблица 10.1
Величины Нагрузка
индуктивная актив- ная емкостная
COS фг 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 —0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
sin ф2 1 0,98 0,92 0,8 0,6 0 0,6 0,8 0,92 0,98 1
Д<72 % 4,45 4,93 5,34 5,5 5,36 3,35 0 -1,5 -2,66 -3,59 4,35
Для построения зависимости ДУ2 % (cos <р2) при номиналь-
ной нагрузке 0 = 1 определяют процентное изменение напряже-
ния для различных значений cos <р2. Результаты расчета сведены
в табл. 10.1.
По результатам расчета на рис. 10.10 приведена зависимость
АУ2 % (cos <р2) при р = 1.
10.11. В условиях задачи 10.10 определить параметры схемы
замещения трехфазного трансформатора (рис. 10.11). Ток холос-
того хода /о = 0,1/| ном, ЭДС холостого хода £|0 = 0,98 СЛфном,
потери мощности в магнитопроводе Р„ составляют 98 % от по-
терь холостого хода Ро= 105 Вт.
Решение. Ток холостого хода трансформатора: /о =
= 0,1 Л „ом = 0,1-0,97 = 0,097 А.
Номинальное фазное напряжение первичной обмотки: СЛфном =
= U и ном/V3 = 60 000/д/3 = 3460 В.
Напряжение короткого замыкания: UK % = “—100 % =
= 5,5 %, откуда Ui* = 0,055 СЛфном — 0,055-3460 = 191 В.
Полное сопротивление короткого замыкания: ZK= UiK/
//i ном = 191/0,97= 197 Ом. Составляющие полного сопротивле-
291
индуктивная XK = Xi4-X^ = -\/ Z? — /?2 = -\/ 1972 — 1182 =
s* 158 Ом.
ЭДС холостого хода первичной обмотки: £ю = 0,98 СЛфном =
= 0,98-3460 = 3400 В.
Сопротивления намагничивающей цепи схемы замещения:
полное Zo = Ею/1й = 3400/0,097 = 35 000 Ом; активное /?0 =
= TF-=4^^--3571 Ом’ где Р“ = °-98 Ро = 0,98-105 =
о <о о*и,иу/
= 102 Вт; индуктивное Хо = -\/Zo — /?о = л/35 ООО4 — 35712 =
= 34 995 Ом.
Активное сопротивление первичной обмотки трансформатора:
= 3571=60 Ом-
о /о 0 • и,и«7/
Активное сопротивление вторичной обмотки трансформатора,
приведенное к виткам и напряжению первичной обмотки: R'2 =
= /?к-/?!= 118-60 = 58 Ом.
Индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформа-
тора:
~ 34 995 = 105 Ом’
где Q0=\/Sg-/’g = V10082- 1052= 1000 вар,
здесь S0 = 3 СЛфном/о =3-3460-0,097= 1008 В-А.
Индуктивное сопротивление вторичной обмотки трансформа-
тора: Х'2 = Лк — Xt = 158 — 105 = 53 Ом.
Коэффициенты мощности:
короткого замыкания cos <рк = Rk/Zk = 118/197 = 0,6,
Я1+Я0 60 + 3571
холостого хода cosq>o = —г — —.....— =—===——
у (Я| +Яо/ + (-+ + ^о/ у (60+3571 / +
..-................... = 0,106.
+ 11П5 + 34 995/ 35350
Таблица 10.2
Величины Режим работы трансформатора
Ян и 1, Рг
Ом А А Вт В
0 17,5 17,5 0 0 Опыт короткого замыкания
5 17,3 17,3 4500 150 Нагрузка
8 17,2 17,2 7080 239 >
10 16,9 16,9 8580 292 »
3442 0,97 0,97 9700 5750 Номинальная нагрузка
оо 0 0,97 0 Режим холостого хода
292
Поправочный коэффициент схемы замещения: Ci = 1 +
. Z| . , 60 + i 105 _ . . (60+ /105) (3571-/34 995)
Z_G — 1 + 3571 4- / 34 995 — 1 (3571 + j 34 995) (3571 - / 34 995) ~
1 243 600 000 -/ 20 000 . nnnico r li гхгхл2 Г
1238 300 000--= L004 - 1 °’00162’ °ТКУДЭ С^Л/ПОМЧ-
+ 0,00162* s 1.
10.12. По условиям задачи 10.10 построить внешнюю характе-
ристику Щл ji) трансформатора при работе на активную нагруз-
ку (cos <jp2 = 1) в пределах /?„ = 0 — °о и определить первичный
ток /] и активную мощность Р, отдаваемую потребителю электро-
энергии.
Решение. Полное сопротивление схемы замещения
трансформатора при коротком замыкании (/?« = 0): ZK =
= 7W + + /?")2 + (*2 + Xff = 7(60+ 58 +О)2 + (105 + 53)2 =
= 197 Ом.
При Рн. = 0 ток короткого замыкания трансформатора /1 к —
U ] ф нОМ 3460
— —у-----= — 17,5 А. Напряжение на нагрузке и2 =
= /?к/?н = 17,52-0= 0.
Полное сопротивление упрощенной схемы замещения транс-
форматора при номинальной нагрузке: /?НноМ: ZiH = ТЛфком/Лном =
= 3460/0,97 = 3560 Ом.
Из упрощенной схемы замещения с учетом данных задачи
10.10, пренебрегая током холостого хода (Jo — 0), так как Zi„ —
= 7(7?! + /?z2 + /?нном)2 + (%! +Xtf = 7(60 + 58 + /?ном)2 + (105 +
+ 53)2 = 3560, откуда сопротивление RHWM = 3442 Ом.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой при номи-
нальном режиме работы трансформатора: Раком =3/ 1 ном/? Н НОМ-
= 3 • 0,972 - 3442 = 9700 Вт, так как при этом / I ном — 72ном*
Линейное номинальное напряжение иа нагрузке: 7Д>лном =
= 7^71 ном/?нном= 1,73-3442-0,97 =5770 В, где Т/афном /?нном/i ном =
= 3442-0,97 = 3338,7 В.
о —о а
Рис. 10.13
293
Полное сопротивление схемы замещения трансформатора
при холостом ходе (/?„ = °о):' Z10 = V(^i 4-/?о)24*(Х| 4-Х0)2 =
= (-\/(604*3571)2 4- (1054*34 995)2 = 35 350 Ом. Ток холостого хо-
да трансформатора: /0 = —= 0,097 А. Вторичное
ZOO oDU
in
(Un °/ \
1 + 100 у / =
= 3442 ( 1 4- °’1оо5) ~ 3442 В. Процентное изменение на-
пряжения на вторичной обмотке трансформатора: Л(/о% =
= % cos фо 4* Up % sin фо) — 0,105/10 (3,35-0,106 4* 4.35Х
X0,995) = 0,0495 %, где р0 = Рю/P1HOV = 0,105/10 = 0,0105.
В табл. 10.2 приведены расчетные данные для различных режи-
мов нагрузки трансформатора. По данным табл. 10.2 на рис. 10.12
построена внешняя характеристика трансформатора.
10.13. Автотрансформатор (рис. 10.13) с числом витков обмот-
ки wi = 800 включен в питающую сеть с номинальным напряже-
нием (/жом = 2000 В. Определить напряжение приходящее-
ся иа одни виток обмотки, и номинальное напряжение (/гном иа
нагрузке в режиме холостого хода, а также коэффициент транс-
формации п, если число витков обмотки, подключенных к нагрузке,
ш2 = 300.
Решение. Напряжение, приходящееся на виток обмотки:
(/.нт = (/1 ном/ш। = 2000/800 = 2,5 В.
Номинальное вторичное напряжение в режиме холостого хода:
(/йном = (/.нтйУг 2,5-300 = 750 В. -
Коэффициент трансформации автотрансформатора:
_ Wi UI иом 800 2000 о R7
— "UTZ зоб 750
10.14. Автотрансформатор включен в сеть с номинальным пер-
вичным напряжением (7|НОм= 127 В при наличий активной /?н
нагрузки (cos ф2 = 1), номинальный ток /2 ном = 4 А при напряже-
нии (/2 ном = 220 В. Определить номинальный ток h ном первичной
цепи автотрансформатора и коэффициент трансформации л., если
его КПД г]ном = 0,95, а совином = 0,9.
Решение. Активная мощность, отдаваемая автотрансфор-
матором потребителю электроэнергии: Р2ном= (/2ком/2 ном COS (р2
= 220-4-1 = 880 Вт.
Активная мощность, потребляемая автотрансформатором из
сети: Pi ном = Pi ном/лном = 880/0,95 = 925 Вт.
Номинальный ток в первичной цепи автотрансформатора:
ЛРI нои 925 о 1 л
НОМ >. -- 1 л«т л л 0,1 А.
U I HOM^OSCpi ном 127*0,9
294
j Чг Пя'
О—
и,
Рис. -10.15
Коэффициент трансформации транс-
форматора: и = С/2ном/У| ном = 220/127 =
= 73= 1,73.
Ток на участке обмотки автотранс-
форматора, подключенной к нагрузке
(влиянием тока холостого хода прене-
брегаем) : /ном = /1 ном — h НОМ == /1 ном
— /2 ном = 8,1 —4 = 4,1 А.
10.15. Автотрансформатор с потре-
бителем электроэнергии (рис. 10.15)
включен в,питающую сеть с номинальным напряжением Ui„OH =
= 127 В при costpi = 1. Определить токи: Л, /2 и /р
на участках электрической цепи при вторичном напряжении
U2 = 220 В, ток в цепи нагрузочного резистора /?н составляет
/2 = 10 А, КПД автотрансформатора я = 0,95.
Решение. Активная мощность, потребляемая резисто-
ром R„: Р2 = U2I2 = 220-10 = 2200 Вт = 2,2 кВт.
Актйвная мощность, потребляемая из сети: Р\ — Р2/г\ =
= 2,2/0,95 = 2,31 кВт.
Ток, потребляемый из сети: Л = Pi/t/i ном costjpi = 2,31 /127 • 1 =
= 18,1 А.
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной
непосредственно к сети: / = Л — l2szl = /, — /2 = 18,1 —10 =
= 8,1 А. - _
Следовательно, участок обмотки автотрансформатора, под-
ключенный непосредственно к сети, по сравнению с остальной
частью обмотки можно выполнить из более тонкого провода.
10.16. Автотрансформатор с номинальным напряжением
U1 ном = 220 В подключен к активной нагрузке /?„ с током /2 =
= 1 А при напряжении U2mx = 127 В и КПД я = 0,98. Опреде-
лить сечения s, и s2 проводов обмотки автотрансформатора, если
по условиям нагрева плотность тока р = 2 А/мм2, число витков
обмотки Ш1 =,78, a cos tpi = 0,96. Как изменится расход меди
обмоток, если вместо автотрансформатора использовать обычный
однофазный трансформатор с тем же числом витков обмотки
при тех же значениях первичного Ui «ом и вторичного U2mit напря-
жений.
Решение. Активная мощность, отдаваемая потребителю
электроэнергии: Р2 = и2иоя12со&ц>2 = 127-1-1 = 127 Вт, так как
при активной нагрузке cos <р2 = 1.
Активная мощность, потребляемая из питающей сети: Pi =
= P2/ti = 127/0,98 = 129,5 Вт. р )29б
- 06^ А ПОТРебЛЯеМЫЙ И3 СеТИ: Л = ^.HCHCosy. = 220^96- =
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной
к потребителю: 1_= l_2 — ±\—1 — 1г — Р = 1—0,61 = 0,39 А.
Сечения проводов на участках обмотки автотрансформатора:
подключенном непосредственно к сети: Si = Л/р = 0,61/2 =
= 0,305 мм2,
подключенном параллельно потребителю: $г = //р = 0,39/2 =
— 0,195 мм2.
Число витков обмотки автотрансформатора, подключенной
— 1^2 „ом ”ТО 127 t г- »
параллельно потребителю: Wi — w< = 45. Масса
U I ном 22U
медн проводов обмоток автотрансформатора (в единицах //):
бав= /[si/(a»i — W2) + «г/^г] = /[0,305/(78—45) + 0,195/45)] =
= //[ 10,06 + 8,77] = 18,83/7, где / — удельный вес меди; / —
средняя длина витка обмотки.
Ток двухобмоточного трансформатора:
в первичной цепи h = -r,——-----— ооТ^тгаё- — 0,61 А;
r Vi но» cos<(i| 220-0,96
, Рз 127 1 Л
во вторичной цепи h — -у.--------- ,о, , = 1 А.
r Ui HOMcos <р2 127-1
Сечение проводов обмоток двухобмоточного трансформатора:
Si = = 0,305 мм2; s'z — /г/р = -у = 0,5 мм2.
Масса меди проводов обмоток двухобмоточного трансфор-
матора (в единицах / /) при одинаковой с автотрансформато-
ром средней длине витка: GTp =/7(s(wi+S2W2) =/7(0,305-78 +
+0,5-45) = /7(26,9 + 22,5) = 49,4/7.
Отношение масс меди проводов обмоток двухобмоточного
трансформатора и автотрансформатора: Ам = бТр/бав = 49,4/7/
18,83/7 = 2,62.
Следовательно, при одной н той же мощности масса медн в
автотрансформаторе в 2,62 раза меньше, чем в трансформаторе.
10.17. . Выбрать трансформатор тока и трансформатор напря-
жения для обеспечения контроля работы асинхронного электро-
двигателя, питающегося от сети с напряжением /Л„ом = 6000 В
и потребляющего ток Ц — 90 А.
Решение. Трансформатор тока выбираем с номинальными
значениями первичного и вторичного токов: h „<>м = 100 А н /гном =
= 5А н коэффициентом трансформации й1Т — hm/h«» — 100/
5=20, где Л „ом — номинальный ток первичной обмотки транс-
форматора тока, который выбирают ближайшим большим по
отношению к току h электродвигателя; Л„ом — стандартный но-
минальный ток вторичной обмотки трансформатора тока (/г„<>м =
= 5 А).
Трансформатор напряжения выбираем с коэффициентом
трасформации напряжения: n„=UlmJU2mM=6O0O/l00=60,
где /7|„ом — ближайшее большее или равное номинальному
напряжению электродвигателя номинальное напряжение первнч-
296
ной обмотки трансформатора напряжения; С/2 ном — стандартное
номинальное напряжение вторичной обмотки трансформатора
напряжения (С/2 ном 100 В).
Примечание. Измерительные трансформаторы тока имеют стандартные
номинальные первичные токи 7|„ом: 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 75, 100, 150, 200, 300,
400, 600, 800, 1000 А и более. Номинальный вторичный ток 72иом Для всех транс-
форматоров тока принят равным 5 А.
Используются трансформаторы тока при напряжениях:
до 500 В: а) ТКЛ-0,5 на токи от 5 до 300 А (литая изоляция из смолы);
б) ТКМ-0,5 на токи от 5 до 800 А (модернизированный);
до 10 кВ: а) ТКЛ-10 на токи от 5 до 400 А; б) ТПЛ-10 на токи от 10 до 100 А
(проходной); в) ТПФ-10 на токи от 5 до 400 А (проходной с фарфоровой
изоляцией).
Однафазные и трехфазные трансформаторы напряжения изготовляются на
стандартные номинальные первичные иапряження и1яом: 400, 500, 3000, 6000,
10 000 В и выше. Номинальное вторичное напряжение U2m„ у всех трансформа-
торов напряжения принято равным 100 В.
Используются трансформаторы напряжения:
однофазные: а) НОМ-0,5, номинальное первичное напряжение 500 В;
б) НОМ-6, номинальное первичное напряжение 3000 и 6000 В; в) НОМ-10, номи-
нальное первичное напряжение 10 000 В;
трехфазные: а) НТС-0,5, номинальное первичное напряжение 500 В;
б) НТМИ-6, НТМИ-10, номинальное первичное напряжение 6000 и 10 000 В.
Задачи
10.18. Определить мощность Ргном, отдаваемую трансформа-
тором потребителю электроэнергии, суммарные потери мощности
SPhom, электрические Рэ I ном И Рэ2 ном и магнитные Рк НОМ потери
в трансформаторе при номинальном режиме работы. Номиналь-
ное линейное напряжение его вторичной обмотки С/2 НОМ “ 400 В,
линейный ток нагрузки l2llOK = 10 А, линейный ток первичной
обмотки Л „ом = 0,2 А, коэффициент мощности cos <р2ном = 1, КПД
трансформатора Т]ком 0,95, активные сопротивления первичной
обмотки Ri — 200 Ом, вторичной /?2 — 0,1 Ом. Потоком рассея-
ния и током холостого хода пренебрегать. Ответ. Р2ио.= 4 кВт; 2Р„„„ =
= 210 Вт; Р,|„о«=8 Вт; Р,2„Ом = Ю Вт; Рмно«= 192 Вт.
10.19. Обмотки трехфазиого трансформатора типа ТМ-100/6
с номинальной мощностью 51ном = 100 кВ-А включены по схеме
«звезда». Определить коэффициент трансформации и н КПДт]„ом
трансформатора при номинальной нагрузке (cosq>2 = 0,8). Номи-
нальные линейные напряжения СЛ ном = 6 кВ, С/г ном = 0,525 кВ,
потери холостого хода прн номинальном напряжении Ро =
= 600 Вт, потери короткого замыкания при номинальном токе
Л = 2400 Вт. Ответ, п = 11,4; т|н,)м % = 96,38 %.
10.20. Определить среднегодовой КПД т), трехфазиого транс-
форматора с номинальной мощностью S'iHOM=50 кВ А,, если он
в течение времени Тi = 3000 ч в год работает при cos <р2 = 1
с полной нагрузкой (р = 1), Т2 — 1500 ч — с нагрузкой р = 0,5
и То = 1000 ч — в режиме холостого хода. Потери холостого
297
Таблица 10.3
Техниче- ские дан- ные транс- форматора Варианты контрольного задания 10.24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Тип ТМ-25/6—10 ТМ-40/6—10 ТМ-63/6—10 ТМ-100/6—10 ТМ-160/6—10 ТМ-250/6—10 ТМ-400/6— 10 ТМ-630/6—10
кВ - А 25 40 63 100 160 250 400 630
l/lno,, кВ 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10 6 10
^2иом» кВ 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40 0,23 0,40
Ро, кВт 0,13 0,175 0,24 0,33 0,51 0,74 0,93 1,31
Р«, кВт 0,60 0,88 1,28 1,97 2,65 3,70 5,50 7,60
и., % 4,5 4,5 4,5 6,5 4,5 4,5 4,5 5,5
Продолжение табл. 10.3
Техниче- ские дан- ные транс- форматора Варианты контрольного задания 10.24
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип кВ А кВ U 2 юн. КВ Ро, кВт Р„, кВт % ТМ-1000/6—10 1000 6 10 0,23 0,40 2,450 12,20 5,5 ТМ-1600/6—10 1600 6 10 0,23 0,40 3,300 18,00 5,5 ТСЗ-160/10 160 6 10 0,23 0,40 0,700 2,70 5,5 ТСЗ-250/10 250 6 10 0,23 0,40. 1,000 3,80 5,5 ТСЗ-400/10 400 6 10 0,40 1,300 5,40 5,5 TC3-630/10 630 6 10 0,40 2,000 7,30 5,5 ТСЗ-1000/10 1000 6 10 0,40 3,000 11,20 5,5 ТМ-20/6—10 20 6 10 0,40 0,18 0,22 0,6 5,5 6,5 ТМ-ЗО/6 30 6 0,40 0,25 0,85 5,5
Таблица 10.4
Величины Варианты контрольного задания 10.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
₽ 0,5 0,52 0,55 0,58 0,6 0,62 0,65 0,7 0,72 0,75 0,78 0,8 0,85 0,9 0,95
COS ф2 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0,84 0,82 0,8 0,78 0,76 0,74 0,72
Ti • 103, ч/год 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
Т2-103, ч/год 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1
То-103, ч/год 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Продолжение табл. 10.4
Величины Варианты контрольного задания 10.25
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0,5 0,52 0,55 0,58 0,6 0,62 0,65 0,7 0,72 0,75 0,78 0,8 0,85 0,9 0.95
СО5ф2 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0,84 0,82 0,8 0,78 0,76 0,74 0,72
Т|-103, ч/год 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
Т2-103, ч/год 2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1.1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6
То-103, ч/год 1,1 1,2 1,3 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 .0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7
хода прн номинальном напряжении составляют PQ = 350 Вт,
потери короткого замыкания = 1325 Вт. Ответ. щ % = 96,6 %.
10.21. Обмотка автотрансформатора с числом витков wi =
= 800 включена в питающую сеть с напряжением (7|НОМ = 2000 В,
активная нагрузка R» — 300 Ом подключена к обмотке с числом
витков w2 = 600. Определить токи: Ц, /2, / и мощности: Pi и Рз
в цепях автотрансформатора, если его КПД ц = 0,97, a cos <pi =
= 0,9. Ответ, h = 4,29 А; /2 = 5 А; I = 0,71 А; Р, = 7,73 кВт; Р2 = 7,5 кВт.
10.22. Выбрать трансформатор тока и трансформатор напря-
жения и номинальные первичный Л ном и вторичный /2нОм токи
трансформатора тока и номинальные значения напряжений пер-
вичной (/|ном и вторичной {/гном обмоток трансформатора напря-
жения, предназначенных для включения электроизмерительных
приборов в трехфазную цепь, по которой передается мощность
Р = 1850 кВт при коэффициенте мощности cos <р = 0,9 и напря-
жении С71НОМ = 6000 В. Определить их коэффициенты трансфор-
мации Лтт И Л тн. Ответ. 220 А; /2ном=5 А; 7/6000 В; 7/2вои =
= 100 В; л тт = 40; л гн = 60.
10.23. Определить ток Ц в линии, если амперметр, вклю-
ченный в цепь вторичной обмотки трансформатора тока, пока-
зывает /2 = 4 А, а номинальные первичный н вторичный токи
трансформатора тока /1Н0М == 50 А, /2ном = 5 А. Ответ, h = 40 А.
Контрольные задания
10.24. Потребители электрической энергии питаются от трехфазного двух-
обмоточного понижающего трансформатора с номинальной мощностью5|иом при
номинальных первичном Ullv„ и вторичном Т/2в„м линейных напряжениях с но-
минальной частотой f = 50 Гц.
Технические данные трансформатора; потери мощности при холостом хо-
де Ро, потери мощности при коротком замыкании Рк, напряжение короткого
замыкания Ur % при токах в обмотках /|НОМ и /2 н»«, равных номинальным. Спо-
соб соединения обмоток трансформатора «звезда».
Принимая во внимание паспортные данные трансформатора, приведенные
для соответствующего варианта задания в табл. 10.3, определить коэффициент
трансформации л, коэффициент полезного действия г]„„и при номинальной нагруз-
ке, cos <р2 = 0,8, токи в первичной /|НОМ и во вторичной /2вом обмотках, фазные
первичное 77ю и вторичное Um напряжения при холостом ходе, сопротивления
короткого замыкания Rr и Х„ активные Ri н R? и реактивные Xt и X? сопротив-
ления обмоток, активное UкЯ и индуктивное падения напряжения при корот-
ком замыкании, вторичное напряжение U2 при токе нагрузки /2 = 2/2ном и
cos q>2 = 0,7.
Дополнительное задание. Построить зависимость \U2% (cos<p2) процентного
изменения напряжения на вторичной обмотке трансформатора при номинальной
нагрузке и изменении коэффициента мощности cos <р2.
Примечание. Структура обозначения трансформаторов серии ТМ пока-
зана на примере трансформатора типа ТМ-25/6-10. Буквенное обозначение: Т —
трехфазный; М — масляный (С — сухой). Цифровое обозначение: числитель —
номинальная полная мощность 51ЛОМ = 25 кВ-А; знаменатель — высшее (первич-
ное) номинальное напряжение 77;„О„= 6...10 кВ.
10.25. По техническим данным трансформаторов, приведенным в контрольном
заданйи 10.24, и данным, приведенным для соответствующего варианта задания
300
в табл. 10.4, где Г, — время работы трансформатора с полной нагрузкой (fl = 1),
Т-j — время работы трансформатора с нагрузкой, равной 50 % от номинальной
(Р = 0,5), То — время работы трансформатора при отсутствии нагрузки (Р = 0),
определить КПД ц трансформатора при коэффициентах нагрузки р и cos <р2,
а также ток нагрузки /2, при которой КПД имеет наибольшее значение, опреде-
лить среднегодовой КПД цг трансформатора при активной нагрузке (cos <р2 = 1),
построить зависимость изменения КПД ц (Р2) от полезной мощности Р>, отда-
ваемой трансформатором при коэффициентах нагрузки р= 1; 0,75 и 0,5 н
COS — 1 .
Дополнительное задание: а. Составить упрощенную электрическую схему
замещения трансформатора и опеределить ее параметры.
б. Пользуясь указанной схемой, определить линейные и фазные /ф токи
и линейные U л и фазные Uф напряжения.
Глава 11
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
$ 11.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическая машина постоянного тока состоит из индукто-
ра, якоря н коллектора. Индуктор, предназначенный для созда-
ния магнитного поля полюсов, расположен на неподвижной ее
части — статоре. Якорем машины является ее вращающаяся часть.
В соответствии с законом электромагнитной индукции при вра-
щении якоря вследствие пересечения его проводниками обмотки
магнитного поля полюсов в ней наводится переменная ЭДС,
которая, изменяясь во времени по величине н направлению, за-
висит от положения проводников якоря в междуполюсном прост-
ранстве. Для получения на зажимах генератора постоянной во
времени ЭДС предназначен коллектор, расположенный на вра-
щающемся якоре, с системой неподвижных щеток, расположен-
ных на статоре машины. Для обеспечения возможности создания
магнитного потока необходимой величины на полюсах индуктора
имеются обмотки возбуждения с регулируемым постоянным
током.
У генераторов с независимым возбуждением обмотки возбуж-
дения питаются постоянным током, получаемым от постороннего
источника, а у генераторов с самовозбуждением — непосред-
ственно от зажимов его якоря. В зависимости от способа вклю-
чения обмоток возбуждения различают также генераторы с
параллельным, последовательным и смешанным возбуждением.
Прн вращении якоря в его обмотке возникает ЭДС Е, направ-
ление которой зависит от направления его вращения.
При работе в режиме генератора электрическая машина вы-
полняет функции источника энергии, поэтому возникающий в
цепи якоря ток /я совпадает по направлению с индуцируемой
в нем ЭДС Е. Ток якоря разветвляется по двум параллельным
ветвям. По цепи обмотки возбуждения протекает ток 1, возбуж-
дения, для возможности регулирования которого включено ре-
гулировочное сопротивление /?р. В цепи нагрузки генератора
возникает ток / нагрузки, при этом в соответствии с первым
законом Кирхгофа для точки разветвления токов: /„ = /-}- /в.
ЭДС, возникающую на зажимах якоря, определяют уравне-
нием: Е = Сеп Ф, где Се — постоянная, зависящая от конструк-
тивных данных машины; п — частота вращения якоря; Ф —
результирующий магнитный поток.
302
Магнитный поток зависит от магнитодвижущей (намагни-
чивающей) силы обмотки возбуждения, а следовательно, от тока
возбуждения /в. При разомкнутой обмотке возбуждения и вра-
щении якоря создается ЭДС ЕЖт, обусловленная остаточным
магнитным потоком ФОст. Значение этой ЭДС обычно незначи-
тельно и составляет 3—5 % от номинального значения напряже-
ния Uном на зажимах якоря. v
При подключении цепи обмотки возбуждения к зажимам яко-
ря под действием ЭДС Ео возникает относительно небольшой
ток /в возбуждения, значение которого определяется в- соот-
ветствии с законом Ома для цепи обмотки возбуждения
£о = /в (/?я + /?в + /?р) ; 1а — Др ,
где /?я — сопротивление цепи якоря; Ra — сопротивление обмотки
возбуждения.
Уравнение, описывающее внешнюю характеристику генера-
тора постоянного тока с параллельным возбуждением U (7), т. е.
зависимость напряжения на его зажимах от тока нагрузки при
постоянном сопротивлении цепи обмотки возбуждения Rv = const
и постоянной частоте вращения якоря п = пиом = const, равной
номинальной, можно получить исходя из уравнения электричес-
кого равновесия, составленного по второму закону Кирхгофа
для цепи якоря: U — Е — RJ. Пренебрегая относительно не-
большим значением тока возбуждения /в, можно считать, что
/ = /я.
Уменьшение напряжения U на зажимах генератора с парал-
лельным возбуждением с увеличением тока 1 нагрузки обуслов-
лено тем, что с увеличением его возрастает падение напряжения
Raia на обмотке якоря. При этом вследствие реакции якоря
происходит уменьшение результирующего магнитного потока Ф,
а следовательно, и ЭДС Е якоря. Указанные причины приводят
к уменьшению тока 7, возбуждения, а следовательно, к умень-
шению магнитного потока Ф, ЭДС якоря Е и соответственно
напряжения U иа зажимах генератора.
У машин постоянного тока с независимым возбуждением
обмотка возбуждения питается от постороннего (независимого)
источника, в качестве которого используется другой генератор
постоянного тока, аккумуляторная батарея и другие источники
постоянного тока.
Уравнение внешней характеристики генератора с последова-
тельным возбуждением в соответствии со вторым законом Кирх-
гофа имеет вид: U = Е — /я(/?я + /?в), где Ra — сопротивление
обмотки последовательного возбуждения.
Особенностью внешней характеристики генератора с последо-
вательным возбуждением является то, что в пределах отно-
сительно малых токов нагрузок напряжение на его зажимах воз-
растает, а при достаточно больших — резко снижается, что
обусловливает значитет-но меньшие токи короткого замыкания,
зоз
чем у генератора с параллельным и независимым возбуждением.
Генераторы постоянного тока со смешанным возбуждением отли-
чаются наличием двух обмоток возбуждения. Основной обмоткой
возбуждения является обмотка параллельного возбуждения, пос-
ледовательная обмотка возбуждения выполняет роль вспомога-
тельной. Уравнение внешней характеристики генератора со сме-
шанным возбуждением имеет такой же вид, как и уравнение для
генератора с последовательным возбуждением. Однако входящий
в выражение ЭДС якоря магнитный поток Ф представляет собой
сумму магнитного потока 'Ф(, создаваемого параллельной обмот-
кой возбуждения, и магнитного потока Фг, создаваемого после-
довательной обмоткой возбуждения: Ф = Ф1 Ф2.
Изменение направления тока в обмотке последовательного
возбуждения приводит к созданию встречного по отношению к
основному потоку Ф1 потока Ф2. При этом результирующий
магнитный поток Ф = Ф1 — Ф2.
Электродвигатели постоянного тока в конструктивном отно-
шении не отличаются от генераторов постоянного тока, так как
электрические машины постоянного тока обратимы и могут рабо-
тать как в генераторном, так и в двигательном режимах.
При подаче на зажимы электрической машины постоянного
тока постоянного напряжения U в обмотках возбуждения и об-
мотках якоря возникают токи. В результате взаимодействия тока
якоря с магнитным потоком, создаваемым обмоткой возбужде-
ния, в магнитопроводе статора возникает электромагнитный
момент М — СмФ/я, под действием которого якорь электродви-
гателя приходит во вращение.
При вращении якоря в его обмотке в результате пересечения
магнитных силовых линий индуцируется ЭДС Е=СепФ, при
работе электрической машины в режиме двигателя направленная
против тока якоря.
При пуске электродвигателей постоянного тока путем прямо-
го включения в питающую сеть возникают значительные пуско-
вые токи, которые могут привести к выходу их из строя вследст-
вие выделения значительного количества теплоты в обмотке яко-
ря и последующего нарушения ее изоляции. Поэтому пуск двига-
телей постоянного тока производится с помощью специальных
пусковых приспособлений, в частности пусковых реостатов.
Для якорной цепн электродвигателя постоянного тока с па-
раллельным возбуждением уравнение электрического равновесия,
составленное в соответствии со вторым законом Кирхгофа отно-
сительно напряжения U, подводимого от питающей сети, имеет
вид: U = E + RJ«.
С учетом выражения для ЭДС Е = СепФ, записав получен-
ное выражение относительно частоты вращения, получаем урав-
нение частотной (скоростной) характеристики п(/я) электродви-
гателя
_ U-RJ. _ U , R.
СсФ С„Ф " С,Ф '
304
При отсутствии нагрузки (при токе якоря /я = 0) частота
вращения электродвигателя п = и/СеФ = по, т. е. равна частоте
вращения по идеального холостого хода, которая зависит от под-
водимого напряжения U и магнитного потока Ф.
Для электродвигателя постоянного тока с последовательным
возбуждением уравнение электрического равновесия имеет вид:
(/=£ + /-(£- + £.)•
Так как Е = СепФ, уравнение механической характеристики
U-UR.+ RJ
этого двигателя приводится к виду: п =-------
Электродвигатель постоянного тока со смешанным возбужде-
нием кроме обмотки параллельного возбуждения, магнитный по-
ток которой Ф| = const при постоянном значении напряжения
U — const, имеет последовательную обмотку возбуждения, маг-
нитный поток Фг которой зависит от тока якоря /я, т. е. от его
нагрузки.
Уравнение электрического равновесия и уравнение частотной
характеристики электродвигателя постоянного тока со смешан-
ным возбуждением имеют такой же вид, как и соответствующее
уравнение, записанное для двигателя с последовательным воз-
буждением. Однако при этом следует учесть, что результирую-
щий магнитный поток равен сумме магнитных потоков, создавае-
мых последовательной и параллельной обмотками возбуждения:
Ф = Ф| -(-Фг-
В уравнениях частотных характеристик электромагнитный
момент двигателя можно выразить через ток якоря М = СмФ/„,
при этом уравнение механической характеристики п(М) при
U = const для двигателя с параллельным возбуждением приоб-
ретает внд
4/ ЛЛ R*
п~ С,Ф М С,С„Ф2 ’
а для двигателей с последовательным и смешанным возбужде-
нием
„ _ U »л Rt+Rt
п~ сеФ СсС.Ф2 '
Пренебрегая влиянием реакции якоря в процессе изменения
нагрузки на валу, электромагнитный момент можно считать про-
порциональным току якоря. Поэтому механические характерис-
тики электродвигателей имеют такой же вид, как и соответствую-
щие частотные характеристики.
Для электродвигателей постоянного тока важной является
моментная характеристика Л4(/я), т. е. зависимость электромаг-
нитного момента от тока якоря. Для двигателя с параллельным
возбуждением эта зависимость определяется соотношением:
М — СМФ/Я. Пренебрегая влиянием реакции якоря, для этого
двигателя можно принять Ф — const, вследствие чего зависи-
мость М(1Й) при U — const представится в виде прямой, прохо-
305
дящей через начало координат. Для двигателя с последователь-
ным возбуждением зависимость М(1Я) является более сложной,
так как входящий в выражение для момента М — СмФ/я магнит-
ный поток является функцией тока якоря. Прн некоторых допу-
щениях для этих двигателей можно принять, что М<х>1я.
Рабочие характеристики электродвигателей постоянного тока
представляют собой зависимости частоты вращения п, момен-
та М, тока якоря /я и КПД т, от полезной мощности на его
валу Р2, т. е. п(Р2), М(Р2), 1Я(Р2), ц(Р2) при неизменном значении
подводимого к двигателю напряжения U — const.
Анализ рабочих характеристик электродвигателя постоянного
тока с параллельным возбуждением показывает, что частота вра-
щения их в соответствии с увеличением нагрузки несколько
уменьшается. Зависимость полезного момента на валу двигателя
от нагрузки М(Р2) представляет собой прямую линию, так как
момент двигателя пропорционален нагрузке на валу: М —
= 9550—.
п
При увеличении мощности, развиваемой электродвигателем
на валу, ток якоря изменяется приблизительно по той же зави-
симости, что и момент, так как при условии Ф = const ток яко-
ря /я пропорционален моменту М.
КПД электродвигателя определяется отношением полезной
мощности на валу Р2 к мощности Pi, потребляемой из сети:
_£2_= ___________Рг___________
1 Pl Рг + Рэя+Рэ.+ Рм+Рм-ч + Рд ’
где Pi — UP, Р)я = /я^я — электрические потери мощности в це-
пи якоря; Рэв = Uh = /?Ра — электрические потери мощности в
цепи возбуждения; Р„, — механические потери; Рд — добавоч-
ные потери; Рм — потери мощности на гистерезис и вихревые
токи в магнитопроводе.
КПД электродвигателей с увеличением мощности на валу воз-
растает и достигает своего максимального значения, когда пере-
менные потери мощности в электродвигателе оказываются рав-
ными постоянным потерям в нем, т. е. при Рм = РэвЧ-Рэя +
-|- Рмех + Рд.
Рабочие характеристики электродвигателя постоянного тока
с последовательным возбуждением имеют несколько другой вид
по сравнению с рабочими характеристиками электродвигателя с
параллельным возбуждением, так как с изменением нагрузки
на валу изменяется магнитный поток.
Рабочие характеристики электродвигателя постоянного тока
со смешанным возбуждением представляют собой зависимости,
занимающие среднее положение между рабочими характеристи-
ками двигателя с параллельным и двигателя с последовательным
возбуждением. Анализ показывает, что частоту вращения элек-
тродвигателей постоянного тока можно регулировать включени-
ем добавочного сопротивления в цепь якоря, изменением маг-
306
нитного потока Ф н изменением напряжения U, подводимого к
двигателю.
Широко применяется, особенно в системе «генератор — дви-
гатель», способ регулирования частоты вращения путем измене-
ния напряжения на зажимах якоря.
Литература. [11 § 9.1—9.21; [2) § 13.1 —13.15; [3) § 15.1 —15.11,
Примеры решения задач
11.1. Электродвигатель постоянного тока типа П62 с парал-
лельным возбуждением имеет номинальные данные, указанные
на его щитке: полезная мощность на валу = 8 кВт, напря-
жение U„o„ = 220 В, частота вращения Пно» = 1000 об/мин, ток,
потребляемый из сети, /ном = 43 А. Определить номинальный мо-
мент на валу А4ИОм, номинальные суммарные потери мощности
SPhom и номинальный КПД т,Иом электродвигателя прн номиналь-
ном режиме работы.
Решение. Номинальный момент на валу электродвига-
теля: М„ом = 9550 — = 9550-^- = 76,5 Н-М.
^ИОМ '-'Vv
Номинальная мощность, подведенная к электродвигателю из
сети: Pihom — UHoJko« = 220-43 = 9460 Вт = 9,46 кВт.
Номинальные суммарные потери мощности в электродвига-
теле: SPhom = PiHOM —Ргном — 9,46 — 8,0 = 1,46 кВт.
Номинальный КПД электродвигателя: т,Ном = Р2ном/Р|ном —
= 8,0/9,46 = 0,85 или г)ном% — 85 %.
11.2. Определить номинальные суммарные SPэком и состав-
ляющие электрические потери мощности в электродвигателе тн-
па МП-82 постоянного тока с параллельным возбуждением,
имеющем номинальные данные: мощность на валу Ргно» —
= 130 кВт, напряжение U„OK = 220 В, частоту вращения пн<>м =
= 600 об/мин, ток, потребляемый из сети, 1И0Н = 640 А, суммар-
ное сопротивление якорной цепи, обмоток якоря н дополнитель-
ных полюсов, щеток и щеточных контактов: /К = 0,00565 Ом и
сопротивление обмотки возбуждения Ri — 34,6 Ом при темпера-
туре 15 °C.
Решение. Сопротивление цепи обмоткн якоря при темпе-
ратуре 75 °C: /?н = Ri = 0,00565 = 0,007 Ом, где
Л =15 °C— температура, соответствующая холодному состоя-
нию обмотки якоря; t2 = 75 °C — температура, соответствующая
нагретому состоянию обмотки якоря.
Сопротивление обмотки возбуждения двигателя при темпера-
туре 7S-C: /г._/К«±1н._34.6§±Й—«Ом.
Номинальный ток в обмотке возбуждения электродвигателя
прн номинальном режиме работы: /ВИОм = —б— = -^-=5,1А.
307
Рис. 11.3
Номинальный ток якоря электродви-
гателя: /я ном == /ном /ином’—— 640 — 5,1
= 634,9 А.
Электрические потери мощности элек-
тродвигателя при номинальном режиме
работы: в цепи якоря Р3ьнсм — Ря/яном =
= 0,007(634,9)2 = 2820 Вт = 2,82 кВт;
в обмотке возбуждения Двном =/Люм X
Х/.ном = 220-5,1 = 1122 Вт = 1,122 кВт.
Суммарные номинальные электриче-
^Рэном = ft ном + Рэв НОМ = 2,82 -|- 1,122 =
ские потери мощности:
= 3,942 кВт,
11.3. Электродвигатель постоянного тока с параллельным
возбуждением (рис. 1кЗ) имеет номинальные: полезную мощ-
ность на валу Рано» = 4,5 кВт, питающее напряжение =
= 220 В, частоту вращения пном = 1500 об/мин, КПД цНОм =
= 80,5 %. Сопротивление цепи якоря ft = 0,43 Ом, обмотки
возбуждения ft = 200 Ом при номинальном режиме работы.
Определить сопротивление пускового реостата ft исходя из усло-
вия, что начальный пусковой ток двигателя равен двукратному
номинальному значению тока, потребляемому из сети: 1вуы =
== 2/ноМ.
Решение. Номинальный ток двигателя, потребляемый из
, Ляом'Ю3 4,5-103 . д
сети: /ном —-------= oon~n one' — 25,4 А.
7/ „ 220-0,805
- . HOMJI ном - ..
Номинальный ток возбуждения электродвигателя: /вном =
= ССм/Р. = 220/200 = 1,1 А.
Номинальный ток якоря двигателя: /я нов = /ном — /вном =
= 25,4-1,1 = 24,3 А.
Начальный пусковой ток двигателя: /пуск = 2/НОм = 2-25,4 =
= 50,8 А.
Ток якоря при пуске двигателя: /» == /пуск — /вном = 50,8—1,1 =
= 49,7 А.
Сопротивление пускового реостата, включенного последова-
тельно в цепь якоря двигателя при пуске: Рп = R* — Ря =
= 4,43 —0,43 = 4 Ом.
Сопротивление цепи якоря двигателя при пуске исходя из
заданных условий: ft = ft-|-ft = U«a„/I„ — 22р/49,7 — 4,43 Ом.
Максимальный ток в цепи якоря электродвигателя при от-
сутствии пускового реостата : /я max — t/ном/Ря = 220/0,43 = 510 А.
Кратность пускового тока при прямом пуске (без пускового рео-
стата): К/ = /ятах//яном — 510/24,3 = 20,9.
Таким образом, начальный пусковой ток якоря электродви-
гателя без пускового реостата оказывается в 20,9 раз больше
номинального его значения, поэтому в данном случае пуск дви-
гателя без пускового реостата в цепи якоря недопустим.
308
11.4. Электродвигатель постоянного тока параллельного воз-
буждения имеет номинальные: полезную мощность на валу
Р1ВОМ = 23 кВт, питающее напряжение [Дом 220 В, частоту вра-
щения «„ом = 600 об/мин. ток, потребляемый из сети, /ном =
= 120 А, продолжительность включения ПВНОм = 25 %. Рассчи-
тать и построить естественную механическую характеристику
п(М) и зависимость тока от момента электродвигателя ЦМ)
в пределах нагрузки от М — 2Л1„ОМ до М = —Л1Ном. Определить
сопротивление пускового реостата /?Р, ограничивающего ток прн
пуске двигателя до значения / = 1,2/ном. Рассчитать добавочное
сопротивление Ra в цепи якоря, при котором двигатель в режиме
противовключения при моменте нагрузки М = 1,2Л4НОм развивает
частоту вращения пном. Для заданных условий построить искус-
ственную механическую характеристику электродвигателя, опре-
делить его частоту вращения п при номинальном токе якоря
/я ном, в цепь которого включено добавочное сопротивление
/?д = 4#я. Рассчитать н построить искусственную механическую
характеристику двигателя при ослабленном потоке возбуждения,
если прн номинальном моменте нагрузки на валу он должен раз-
вивать частоту вращения п= 1,ЗпНОм. При расчетах током воз-
буждения электродвигателя пренебречь, сопротивление цепи яко-
ря принять равным R« = 0,051/Ном//ном-Ом.
Решение. Координаты естественной механической харак-
теристики электродвигателя при номинальном режиме работы:
Л/вом = 9550Р1вом/п„ом = 95^— = 364,2Н-м; п„„м = 600 об/мин;
/ном = 120 А.
То же, в режиме идеального холостого хода электродвига-
теля:
п0 = п„оМ-------------- 600 220 .2220°0 09i5-- = 631,5 об/мин;
JJ Т П — lZv*U,Ui71O
UHOM *ЯЛЯ
Мо =0; /о = 0. (По условию Ra = 0,05 = о,05 =
= 0,0915 Ом.)
Сопротивление пускового реостата, ограничивающего пус-
ковой ток двигателя до значения /п=1,2/ном: при п — 0;
Е == 0; /я = /п = U ном/(^?я -Г* /?п), откуда /?п = £Дом/ /п Ra =
= rfcr-*’=тот-°-0915 = ‘-438 Ом
, /С.Ф\2
Машинные постоянные электродвигателя: СеСмФ2=1 — 1 =
/0,349) 2 1-- . 220-120 0,0915
=Vor) =12>2> так как с'ф=—™—=
=0,349, а отношение Се/См=0,1.
Добавочное сопротивление в цепи якоря в режиме противовключе-
п (пяом + по)СеСмФ2 п (лиом + по) СгСмФ2 „
НИЯ. Ад= - Аж= —_ R' =
(600 + 632)-12,2 ппп,г
= —— — 0,0915 = 32,3 Ом, так как для режима
309
противовключения справедливо уравнение: п' =-----------^-ф-----
M(R„+RJ= М(Д,+Яд)
- СеСмФ2 - "° с„смф2
Координаты искусственной механической характеристики
электродвигателя при работе в режиме противовключения:
л„оч = —600 об/мин; М = 1,2М<оч = 1,2-364,2 = 437 Н-м. То
же, при холостом ходе: по — 632 об/мин; Мо = 0.
Частота вращения электродвигателя при добавочном
Г, Л П . __ ^НОЧ / >11)4 (/?. + R J
сопротивлении = 4/?я: п = Дно»----п—„-----------— =
Uном • ном*'я
спп 220 —(0,09154-4-0,0915)120
= 600------220-120-0,0915----= 473 °б/МИН’
Относительное значение ослабленного магнитного потока
электродвигателя: Ф'= = t 36Qg00 Ф = 0,77Ф.
I ri ЬЗЛвом
Координаты искусственной механической характеристики при
ослабленном потоке:
при номийальном моменте: п" = 1,ЗпНом = 1,3-600 = 780 об/мин;
М = Мной =364,2 Н • м;
при холостом ходе: п'о = п0-^-= 632 = 822 об/мин.
На рис. 11.4 приведены характеристики электродвигателя
п(М) и 1(М), построенные исходя из условий задачи.
Задачи
Рис. 11.4
11.5. Электродвигатель посто-
янного тока параллельного воз-
буждения имеет номинальные
данные: питающее напряжение
UMOK = 220 В, частоту вращения
Ином = 1500 Об/МНН, КПД Т)ном % =
= 80 %, ток, потребляемый из
сети, /ном 25,4 А, противоЭДС,
наводимую в обмотке якоря при
номинальном режиме работы,
£я ном = 209,5 В, сопротивление
обмотки возбуждения /?в=200 Ом.
Определить номинальные значе-
ния: момента Мюм на валу двига-
теля, ТОКа /н ном ЯКОРЯ, ТОКа /в ном
возбуждения и сопротивления об-
мотки якоря R„. Ответ. Мт* =
= 28,7 Н-м; /, „ои = 24,3 А; /.„„«= 1,1 А;
R, = 0,43 Ом.
11.6. Электродвигатель по-
стоянного тока независимого воз-
буждения имеет номинальные
зю
Таблица 11.1
Величины Варианты контрольного задания 11.11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1/||ОИ, В но 220 220 но 220 220 НО 220 220 220 220 220 220 220 220
^*2 ном» кВт 1 2,5 2,5 3,7 4,5 5,6 5,8 9 12 16 23 33 46 75 100
п„„„, об/мин 1420 1000 1300 1000 1100 1000 800 900 685 700 600 650 580 520 475
/ А 1 ном, ** 12 14 14,2 42 • 26 30 68 48 64 34 120 168 230 374 500
Коэффициенты: а 1.1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
ь 0,9 1 1 1,2' 1,2 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,8 1,8 1,8
с 0,5 0,5 0,6 0,6 0,8 0,8 1 0,5 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,7 0,8
Продолжение табл. 11.1
Величины Варианты контрольного задания 11.11
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
В но НО НО НО ПО НО НО НО НО НО ПО ПО НО НО ПО
Р2вом> «Вт 1 2,5 2,5 3,7 4,5 5,6 5,8 9 12 16 23 33 46 75 100
п„,„, об/мин 1420 1000 1300 1000 1100 1000 800 900 685 700 600 650 580 520 475
IНОМ» А 12 14 14,2 42 26 30 68 48 64 34 120 168 230 374 500
Коэффициенты: а 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1.5 1,6 1,6 1,7
ь 0,9 0,9 1 1 1,2 1,2 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,8 1,8 1,8
с 0,5 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7 0,8 0,8 0,8 0,9 0,9
данные: мощность на валу Р2яом= 14 кВт, питающее напряжение
£7ном=== 220 В, ток якоря /я НОМ - 7,4 А, частоту вращения Ином —
= 3000 об/мин, сопротивление якоря Rn — 0,21 Ом. Определить
угловую частоту вращения Йг и частоту вращения пг электро-
двигателя при работе его в генераторном режиме с отдачей энер-
гии В сеть при номинальном токе якоря /я ном. Ответ, й, = 336 с-1;
пг = 3200 об/мин.
11.7. Электрическая машина постоянного тока.параллельного
возбуждения при работе в режиме генератора создает напряже-
ние на зажимах Ur = 230 В при токе нагрузки /, — 34,8 А и час-
тоте вращения пг = 1950 об/мин. При работе в режиме двига-
теля при напряжении U — 220 В машина потребляет ток /д =
= 34,4 А, частота вращения в режиме двигателя ид =
= 1570 об/мин. Определить сопротивление обмотки якоря R*
маШИНЫ. ТОКОМ Возбуждения /я пренебречь. Ответ. R.= 0,56 Ом.
11.8. Определить сопротивление цепи якоря R* электродви-
гателя постоянного тока параллельного возбуждения при усло-
вии, что при номинальном токе якоря /я„ом = 100 А номинальная
ЧЗСТОТЗ ВрЗЩСНИЯ Ином == 800 об/мин, а при токе якоря /Я — 50 А
электродвигатель имеет частоту вращения п — 220 об/мин. Ответ.
/?я=0,19Ом.
11.9. Построить естественную скоростную характеристику п(1)
электродвигателя постоянного тока типа П52 с независимым воз-
буждением с номинальными: мощностью на валу />2яом== 14 кВт,
питающим напряжением UMOM = 220 В, током, потребляемым из
сети, /яом = 74 А, частотой вращения Ином — 3000 об/мин, КПД
Ином % = 86 %, Сопротивлением ЯКОрЯ /?яном = 0,15 Ом. Без ответа.
11.10. По условию задачи 11.9 определить номинальный элек-
тромагнитный момент Мэном электродвигателя постоянного тока
параллельного возбуждения. Сопротивление обмотки якоря дви-
гателя /?я = 0,5(1 — Т)ном)/?ним. Ответ. Л4,яом = 48,5 Н-м.
Контрольное задание
11.11. Электродвигатель постоянного тока серии П параллельного возбужде-
ния характеризуется номинальными данными (см. табл. 11.1): напряжением пи-
тающей сети мощностью на валу -Pjhom' частотой вращения якоря п,|ОМ, током
Сопротивление цепи якоря двигателя R,= 0,05(7 „„»//»„« Ом. При расчетах
током возбуждения /„ электродвигателя пренебречь. Определить КПД двигателя
П„ом при номинальной нагрузке, сопротивление Rltym пускового реостата, ограни-
чивающего ток прн пуске электродвигателя до значения 1 = а!„„„. а также
добавочное сопротивление /?, в цепи якоря, при котором двигатель в режиме
противовключения при моменте нагрузки, равном 6Л4„„Я, развивает частоту вра-
щения сп Рассчитать и построить в единой системе координат искусственную
и естественную механические характеристики п(М) и зависимость тока от момен-
та электродвигателя /(Af) в пределах нагрузки от М = 2Л4 до М — —2Л4ЯОЯ.
Глава 12
ТРЕХФАЗНЫЕ АСИНХРОННЫЕ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ
$ 12.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕХФАЗНЫХ
АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯХ
Асинхронные электродвигатели предназначены для преобра-
зования электрической энергии переменного тока в механиче-
скую. В зависимости от системы переменного тока асинхронные
электродвигатели выполняются трехфазнымн и однофазными. Ро-
тор асинхронного электродвигателя изготовляют в двух испол-
нениях: короткозамкнутым и с контактными кольцами.
Наличие контактных колец н фазной обмотки позволяет изме-
нять активное сопротивление цепи ротора двигателя в процессе
его вращения, что необходимо для уменьшения значительного
пускового тока, возникаемого при пуске, а также для регулиро-
вания частоты вращения ротора и изменения величины его пус-
кового момента.
При подаче к трехфазной обмотке статора асинхронного двига-
теля трехфазного напряжения возникает результирующий
вращающийся магнитный поток. Этот поток вращается в про-
странстве с частотой вращения, равной синхронной, которая
находится в строгой зависимости от частоты подводимого
напряжения и числа пар полюсов р двигателя: П|=60/|/р.
Каждый асинхронный электродвигатель характеризуется сво-
ими номинальными данными, на которые он рассчитан. Основные
технические данные электродвигателя указаны в нх паспортах и
каталогах.
Конструкция обмотки статора дает возможность соединять
обмотки двигателя как «треугольником», так и «звездой». Благо-
даря этому каждый трехфазный асинхронный электродвигатель
можно использовать при двух различных (линейном и фазном)
напряжениях питающей сети.
Одной из важнейших величин, характеризующих работу
асинхронного двигателя, является скольжение ротора, под кото-
рым понимается отношение: s% — 100 %, где п2— час-
тота вращения ротора двигателя, об/мин; илн в относительных
единицах: s — (ni—n2)/nt.
Для большинства современных типов асинхронных электро-
двигателей скольжение ротора sHOM% при номинальной нагрузке
313
заключено в пределах 2—6 %, а при работе в режиме холостого
хода, когда двигатель работает без нагрузки, скольжение ротора
составляет доли процента.
От величины относительной угловой частоты вращения ю, и
магнитного потока Фт зависит величина ЭДС £2s, индуцируемой
в обмотке ротора, а следовательно, ток /2s ротора и его частота:
t PniS
----6o" ~sf'-
Вращающее магнитное поле в обмотках статора и ротора
асинхронного двигателя наводит переменные ЭДС, действующие
значения которых можно определить по формулам, аналогичным
формулам, полученным для ЭДС трансформатора: £| =
= 4,44£Jiо»|Фт; £2s = 4,44£2/2И'2Фт, где £1 — фазное значение
ЭДС, индуцируемой в обмотке статора; £2s — фазное значение
ЭДС, индуцируемой в обмотке ротора при скольжении s; и>|Ш2 —
число витков в фазе статора и ротора; Ф„ — амплитудное значение
магнитного потока; Kt, К2 — обмоточные коэффициенты обмоток
статора и ротора. При неподвижном роторе ЭДС ротора — £2.
При вращении ротора асинхронного двигателя в процессе рабо-
ты в нем будет индуцироваться переменная ЭДС E2s с частотой f2s<
значение которой можно найти, заменив в выражении для £2s
частоту fi на f2 = sfr, E2s — 4,44£2/2о)2Фт = 4,44£2fi — sE2.
При работе асинхронного электродвигателя под действием
ЭДС £2s, наводимой во вращающемся роторе, в цепи ротора воз-
никает ток, значение которого в соответствии с законом Ома опре-
, , Els El.. . .
деляется выражением: I2s = 12 = -=— = —=====, где /2 = l2s—
-y/Rl + &
фазный ток ротора при скольжении s; Z2s — полное сопротивление
фазы ротора при скольжении s; /?2 — активное сопротивление фа-
зы ротора (для двигателей нормального исполнения можно счи-
тать постоянным и не зависящим от частоты тока ротора); X2s —
индуктивное сопротивление фазы ротора при данном скольжении s
и частоте f2 тока ротора.
С учетом того, что E2s=sE2 и X2s = 2nf2L2 = 2nfiL2s = sX2,
, sEz
выражение для тока ротора приводится к виду: /2=—=====
yRi-\-X.is
= ^J(R составлении схемы замещения асинхронно--
го электродвигателя параметры ротора приводят к числу витков
и-напряжению Ui обмотки статора.
Распределение потока энергии, потребляемой асинхронным
электродвигателем из сети, соответствует энергетической диаграм-
ме, которая представляет полную структуру всех составляющих
мощностей и потерь мощности, возникающих при работе в асин-
хронном электродвигателе: Р, =-^/3L/|7| cos*/», — активная мощ-
ность, подводимая к электродвигателю из сети; P3=mi/?Pi—
электрические потери мощности в активном сопротивлении обмот-
314
ки (потери в меди) статора; mt — число фаз обмотки статора;
/i — ток статора; P„i — (Pri-f-Pei) — потери мощности в магнито-
проводе статора, равные сумме потерь на гистерезис и на вихревые
токи (потери в стали статора); Р,« = QiAf = m2£2/2cos ф2 — элек-
тромагнитная мощность, передаваемая ротору вращающимся
магнитным полем; тг — число фаз обмотки ротора; £2 — ЭДС
неподвижного ротора; /2— ток ротора; ф2 — угол между током
> r-v«~ 1 со ।
/2 и ЭДС Е2 ротора; Q । = = —------угловая частота вра-
щения поля статора; co1 = 27cjr1 — угловая частота тока ротора;
р — число пар полюсов двигателя; PM2=(Pa + P»i) — потери
мощности в магнитопроводе ротора, равные сумме потерь на
гистерезис и на вихревые токи в роторе; P32=m2I%R2 — элект-
рические потери мощности в обмотках ротора (потери в меди);
потери Р^даО; Рт — механичские потери мощности в двигателе
(потери,, возникаемые от трения в подшипниках и трения ротора
о воздух); РМ1=П2Л/ — мощность, развиваемая электродвига-
телем на валу с учетом механических потерь мощности Р—Р2=
= Мп^9,55 — полезная мощность на валу электродвигателя*;
С12=2пгй/6О—со2р — угловая частота вращения ротора двигателя;
а)2=2я/7— угловая частота тока ротора.
Электромагнитная мощность асинхронного двигателя: Рэ» =
= m2£2/2cos ф2 = 4,44Л2т2||Ш2Фт/2со5 ф2 = -у-Af, откуда элек-
тромагнитный момент, развиваемый асинхронным электродвигате-
_ _ , . „ 4,44 K,m,pftw,
лем: Af=CM®m/2cosi^2, где машинная постоянная См=
“1
Вращающий момент асинхронного двигателя можно опреде-
лить и исходя из электрических потерь мощности в обмотках фаз
ротора: Р,2 = тг/гРг = Рэм — Рмех = Af откуда М —
__pm2I2R2 pmi(Ii)2Ri
(O\S €0|'S
Скольжению ротора s = 1 соответствует выражение для пус-
кового момента асинхронного двигателя (п2 = 0) : Мпуск =
pmt(l’2)2R'2
<01
Приведенный ток ротора /2 можно выразить через параметры
схемы замещения с учетом того, что полное сопротивление намаг-
ничивающего контура намного больше полного сопротивления
* В каталогах и паспортах асинхронных электродвигателей обозначают
номинальную мощность на валу Р„„м, частоту вращения ротора потребляе-
мый ток /ном. В расчетных формулах эти величины записываются с индексами
^2ном, П2но«, ном-
315
обмотки статора двигателя, т. е. Zo = -\//?о + Xo>Zi = ->//?? +X?,
л/(Л' + "Т“)2+(Х' +Л'2)2
При этом формулу для момента асинхронного электродвига-
pmtRi Ul
теля приводят к виду: М —----------------——5-----------.
<0|S / /?2 \ т
(/?,+—) +(Х, +г2)2
Критическое скольжение sKp = Рг/(^1 + ^2) ротора соответ-
ствует максимальному моменту асинхронного электродвигателя,
Рт\
поэтому А1тах=-----------.
Выражение для момента асинхронного электродвигателя,
записанное чере,з максимальный момент и критическое скольже-
ние ротора, приводится к виду: М = —?. Зависимости
момента М, развиваемого двигателем, потребляемой мощности
Рь коэффициента мощности cos <р(, КПДт], скольжения ротора s и
тока статора h, потребляемого двигателем из сети, от полезной
мощности, т. е. мощности на валу двигателя Рг, являются рабо-
чими характеристиками асинхронного электродвигателя. При этом
Рг
зависимость М(Р?) определяется выражением: М = 975-^-, кГм,
или М = 9550-^-, Н • м.
П2
Зависимость cos q>i(P2), т. е. зависимость коэффициента мощно-
сти асинхронного двигателя от мощности на валу, находят из
выражения cos <pi = Рг/л/3^1/1-
Значение коэффициента мощности для нормальных асинхрон-
ных электродвигателей средней мощности при номинальной на-
грузке cos ф|иом=0,83 ...0,89.
Зависимость КПД асинхронного двигателя от нагрузки ^(Рг)
определяется отношением: ц — Ръ/Р\ = Р2/(Рг + Ре), где Р\ —
активная мощность, потребляемая электродвигателем из питаю-
щей сети; Ps= Рм+Рэ1 + Рэ2 + Рмех + Рд — суммарные потери
мощности в двигателе, равные сумме потерь в магнитопроводе Р»,
электрических потерь в обмотках статора и ротора РЭ=(РЭ| + Рэ2),
механических Рми и добавочных Рд потерь.
Пусковой ток асинхронных электродвигателей с коротко-
замкнутым ротором в 5—10 раз превышает номинальный ток:
/1пуск = (5... 10)/1И0М. Пусковой момент составляет 0,9—1,8 от номи-
нального значения момента: Л/пу(Я = (0,9... 1,8)3/^.
Снижение напряжения U\ на обмотках асинхронного двига-
теля при пуске, а следовательно, и пускового тока может быть
достигнуто при использовании автотрансформатора или индук-
316
ционного регулятора, переключении обмотки статора со «звезды»
на «треугольник», включении дополнительного сопротивления в
обмотку статора двигателя.
Асинхронный электродвигатель с фазным ротором пускается
в ход с помощью пускового реостата, включенного последова-
тельно с обмоткой ротора.
Возможные способы регулирования частоты вращения асин-
хронных электродвигателей следуют из выражения, записанного
60/,
относительно частоты вращения ротора двигателя: п2= —-—X
X (1 — s). Анализ этой формулы показывает, что частоту враще-
ния асинхронного двигателя можно изменить, меняя скольжение
ротора s, число пар полюсов р двигателя или частоту ft питаю-
щего напряжения.
Литература. [1] §10.110 18, [2] §14.1-14.17; [3] §13.1-13.11.
Примеры решения задач
12.1. Три неподвижные катушки Ах, By, Cz (рис. 12.1, а),
оси которых сдвинуты в пространстве на угол 2л/3, обтекаются
трехфазной системой синусоидальных токов с одинаковыми час-
тотами f и амплитудами 1т, сдвинутых во времени по фазе на
угол . Определить положения вектора результирующей
магнитной индукции Во, соответствующие временной диаграмме
токов (рис. 12.1, б) в моменты времени (угла ы/): t — 0; 1; 2; 3; 4;
5; 6 (Bi— Be на рис. 12.1, ж).
Решение. Выражения для мгновенных значений токов в
катушках имеют вид: м =/msin or; т— /msin( он---у); ic =
=/msin( ы/ —-у-). Выражения для мгновенных значений маг-
нитной индукции, создаваемых катушками с током, в момент вре-
мени / = 0 (рис. 12.1, б): Ьа = Bmsin — Bmsin ы-0 = 0; Ьв —
= Bmsin(w/-y-) =Bmsin(U)0-^-) = —be = Вт X
х sinfwr — — 1 = В„ —. Можно показать, что для моментов
у з / 2
времени t, соответствующих точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6 времен-
ной диаграммы мгновенные значения магнитной индукции также
имеют аналогичные величины. В приведенном уравнении знак
«—» перед Вт показывает, что в данном случае направление век-
тора магнитной индукции противоположно принятому за поло-
жительное направление.
317
X
Рис. 12.1
Значение результирующей магнитной индукции, создаваемой
катушками, в момент времени /=0; В0 = Ва + Вв + Вс.
Так как при t = 0: В а = 0, а векторы Вс и Вв образуют между
собой угол л/3, то: В%= В%+ВЪ— 2BbBccos -у-= Bl+Bc—
-2ВвВс ( —sin-^—) =В% + % + ВвВс=(вт &)’+(вт ^2 +
318
+(Bm-y/3/2-Bm-y/3/2) =B^4 + fl« 4 = B” 4- откуда flo =
= e«4-
Положения вектора Во результирующей магнитной индукции,
создаваемой тремя катушками в моменты времени, соответствую-
щие точкам 1—6 временной диаграммы (рис. 12.1, б), приведены
на рис. 12.1, в —ж.
12.2. Для условий задачи 12.1 определить частоту вращения
по и угловую частоту вращения Qo результирующего магнитного
поля при числе пар полюсов р= 1 и частоте переменного тока
f=50 Гц.
Решение. Частота вращения результирующего магнитного
поля в секунду: п= If = 1 -50 = 50 об/с, так как за время одного
периода Т поле совершает один оборот. Частота вращения ре-
зультирующего магнитного поля в минуту (1 мин = 60 с):п0 =
= п • 60 = 50 • 60 = 3000 об/мин.
Угловая (круговая) частота вращения магнитного поля:
лпо 3.14-3000 ,
й°=— =--------30---=314с
12.3. Определить значения ЭДС Ei и £2, индуцируемых в фа-
зах статора и ротора трехфазного асинхронного электродвигате-
ля, и частоту тока f2 в роторе при номинальной нагрузке и не-
подвижном его состоянии. Амплитудное значение магнитного
потока даигателя Фт=15- 105 Мкс, числа витков обмоток стато-
ра и ротора: а», = 200 и и»2 = 20, номинальное скольжение ротора
sHOM = 0,05, частота напряжения питающей сети fi = 50 Гц, числа
фаз обмотки статора и ротора: mi = m2=3.
Решение. ЭДС, индуцируемые в обмотках статора двига-
теля: £] = 4,44£|/ьу,Фт = 4,44 • 0,94 • 200 • 50 • 15- 105- 10“8 =
=625 В, где Ki — обмоточный коэффициент обмотки статора
(принимаем К\ = 0,94; 10-8 Мкс = 1 Вб).
ЭДС, индуцируемая в неподвижном роторе двигателя: £2 =
_ ,"2И'2^2 —625 -3-20 0,96 = 63,8 В, где К2 — обмоточный коэф-
3 -200 0,94
фициент обмотки ротора асинхронного двигателя (принимаем
А'2 = 0,96).
ЭДС, индуцируемая в обмотке ротора асинхронного двигате-
ля при номинальной нагрузке (при номинальном скольжении
ротора s„o«) :£2, = s„OM£2= 0,05 • 63,8 = 3,19 В.
Частота тока в роторе двигателя при номинальной нагрузке
(при s = s„„„):f2s = f|S„„M = 50 • 0,05=2,5 Гц;
прн неподвижном состоянии ротора (при пуске, т. е. при 5 =
= l):/\>lnlK = fiSIlvuk=50- 1=50 Гц.
12.4. Для привода насоса использован трехфазный асинхрон-
ный электродвигатель с короткозамкнутым ротором (рис. 12.4)
с числом пар полюсов р и частотой вращения ротора п2, приве-
319
Рис. 12.4
денными в табл. 12.1; двигатель питается от трехфазной сети с
частотой напряжения f । = 50 Гц. Определить частоту вращения
и, и Q] вращающегося магнитного поля, скольжение s ротора,
частоту /г пуск тока в роторе при пуске и в рабочем режиме /г.
а также частоту вращения ротора nf, частоту тока // в роторе
при возрастании нагрузки на валу двигателя, с учетом того, что
частота вращения ротора п' при этом уменьшилась на 5 % и со-
ставляет 0,95 «2-
Решение. Частота вращения магнитного поля (синхрон-
ная частота вращения) при числе пар полюсов р=1 (см. стро-
ку 1 табл. 12.1): nt = 6^' =-—|5?- = 3000 об/мин.
Угловая частота вращения магнитного поля: Qi = =
3,14-3000 „
= ———= 314 рад/с. Скольжение ротора двигателя: s =
- п2 3000 2880 120
= ----- =----------= ----- = 0,04. Частота вращения рото-
Л] зооо зооо
ра двигателя: «2 = 0,96 nt = 0,96 • 3000 = 2880 об/мин, [и2 =
= (1 -S)].
Частота тока в роторе двигателя при пуске (П2пу<-к—0; =
= 1): /2пуск = м = 50-1 =50 Гц.
Таблица 12.1
Заданные величины Рассчитанные величины
Р / .Гц п->. об/мин Л|. об/мин <->!, рад/с П2. об/мин 5 /.•. Г„ П2. об/мин 1': Гц
1 50 0,96 л । 3000 314 2880 0,04 2 2736,0 4.4
2 50 0,965 л । 1500 157 1447,5 0,035 1,75 1375,12 4,15
3 50 0,965л, 1000 105 965 0,035 1,75 916,75 4,16
4 50 0,97 л, 750 78.5 727.5 0,03 1,5 691,12 3,5
5 50 0,97 л, 600 63 582 0,03 1.5 552,9 3,9
320
Частота тока ротора при частоте вращения двигателя п272 =
= fis=50 • 0,04=2 Гц.
Частота вращения ротора при возросшей нагрузке на валу
двигателя: «2=0,95/12 = 0,95- 2880=2736 об/мин.
Скольжение ротора при возросшей нагрузке:.? —--------------=
- = °’088-
Частота тока ротора при возросшей нагрузке: f2Z=fis' =
= 50-0,088=4,4 Гц.
Результаты расчетов для других чисел пар полюсов р асин-
хронного двигателя представлены в табл. 12.1.
12.5. Определить пусковой МПуск и максимальный Мщ,1Х момен-
ты, а также пусковой ток h пуск асинхронного электродвигателя
при напряжении на его зажимах, пониженном на 20 % от номи-
нального линейного напряжения {Дном = 380 В. Номинальная
мощность двигателя Аяох^З кВт, номинальная частота враще-
ния ^2вОМ 1450 об/Мин, кратность пускового МпУск/Миом -- 1,3
н максимального Мтах/Мном = 2 моментов, кратность пускового
тока при номинальном напряжении = номинальные
значения: КПД /]„<>" = 0,885 и коэффициент мощности cos <р1ном =
= 0,88.
Решение. Номинальный момент на валу асинхронного
двигателя: МНом = 9550-—^^ = 9550 = 85,6 Н • м.
_ 1450
л2иом
Пусковой момент двигателя: Л1„Уск=1,3 МНом = 1,3 • 85,6 =
= 113,8 Н-м.
Максимальный момент двигателя: Л1тах = 2Л1нг,м = 2 • 85,6 =
= 171,2 Н-м.
Начальный пусковой момент двигателя при пониженном
напряжении (пропорционален квадрату приложенного напряже-
ния (Л,): М,(уск = ( 2М„У1К = 0,64 • 113,8 = 88,6 Н • м.
Максимальный момент асинхронного двигателя при понижен-
ном напряжении: ЛГтах =(-^^-^) Л/тах= 0,64-171,2 =
= 109,5 Н-м.
Номинальный ток двигателя:
13 103 ог л Л
------------------------ 25,4 Л.
1,73 • 380 • 0,88 • 0,885
Пусковой ток двигателя при
/1 пуск = 7/1ном = 7 • 25,4= 178 А.
. 2яом
1 1 НОМ ----------------------
ном COS C^Ihom «яом
номинальном напряжении:
П-217
321
Пусковой ток асинхронного двигателя при пониженном напря-
жении (ток пропорционален приложенному напряжению (Л):
/1 пуск/11 пуск — 0,8 U] ном/^71 ном — 0,8, откуда / 1 пуск — 0,8/1 пуск —
= 0,8 • 178 = 143 А.
12.6. В условиях задачи 12.5 определить добавочное активное
сопротивление /?ДОб, необходимое для включения в каждую фазу
обмотки статора асинхронного электродвигателя, соединенной
«звездой», для уменьшения пускового тока h пуСк = 178 А до зна-
чения /(пуск = 2/1яом=2-25,4 = 50,8 А. Активное сопротивление
фазы двигателя при коротком замыкании /?к = 0,4 Ом.,
Решение. Полное сопротивление фазы асинхронного дви-
гателя при пуске (при коротком замыкании): ZK = Ut HOIt/
V3/| пуск = 380/V3 • 178 = 1,23 Ом.
Индуктивное сопротивление фазы асинхронного двигателя
при пуске: Хк = Z'i — /?к = -\/1,232 — 0,4й =, 1,15 Ом.
Полное сопротивление фазы асинхронного двигателя при
171 ном 380
пониженном пусковом токе: Zk = —~—, • =
V Запуск ‘У’ 50.8
= 4,34 Ом.
Добавочное активное сопротивление для ограничения пуско-
воготока асинхронного двигателя в заданных пределах: /?дов =
= V(Z')2 - Xi - Rk = л/4,342 — 1,15*2 - 0,4 = 4,17 - 0,4 =
= 3,77 Ом.
12.7. Для водозаполненного трехфазного асинхронного элек-
тродвигателя АПД-136/2 с короткозамкнутым ротором, обмотки
статора которого соединены «звездой», определить в режиме
холостого хода коэффициент мощности cos фо. электрические
потери РЭ1 в обмотках статора, а также суммарные Р%, магнит-
ные Р„ и механические Рмех потери мощности в двигателе при
номинальном напряжении (Л „ом = 380 В. Ток и мощность холос-
того хода соответственно составляют /о = 8,8 А, Ро — 1072 Вт,
активное сопротивление обмотки статора Ri = 0,616 Ом.
Решение. Коэффициент мощности прн холостом ходе:
Ро 1072 _ . QC
cos Фо = —?=-------= -т=----------= 0,186.
731Л„ом/о V3 • 380 • 8,8
Электрические потерн мощности в обмотках статора при хо-
лостом ходе: Рэ, = З/oRi = 3 • 8,82 • 0,616 = 143 Вт.
Суммарные магнитные и механические потерн мощности при
холостом ходе: Ру - Рм + Ржк = Ро — РЭ1 = 1072 — 143 =
= 929 Вт.
12.8. Определить суммарные Pj, магнитные Р„ н механичес-
кие Рмех потери мощности в водозаполненном трехфазном асин-
хронном электродвигателе с короткозамкнутым ротором
АПД-136/2 с номинальным линейным напряжением =
— 380 В по данным табл. 12.2, полученным в процессе проведе-
ния опыта холостого хода при изменении напряжения при номи-
нальной частоте тока f\ ± 50 Гц питающей сети. В табл. 12.2
322
Таблица 12.2
Величины
Замеренные Рассчитанные
иа /о Ро COS<| о Рм Р,-
в А Вт в — Вт Вт
420 11,5 1550 176 400 0,185 246 1304
380 8,8 1072 144 400 0,186 143 929
360 7,75 1020 129 600 0,212 111 919
330 6,5 895 108 900 0,241 78 817
300 5,25 765 90 000 0,282 51 714
270 4,75 675 72 900 0,303 42 633
225 3,75 525 50 625 0,36 26 499
130 2,5 448 16 900 0,78 12 436
(Jo, Io, Ро, cos фо — соответственно напряжение, ток, мощность
н коэффициент мощности при холостом ходе.
Решение. Находим по приведенным в табл. 12.2 данным
суммарные магнитные потери мощности в режиме холостого
хода двигателя, вычитая из подводимой мощности Ро электри-
ческие потери мощности Р,< в обмотке статора: Ру = Р» +
“Ь Рмех “ Ро — Рз1.
Механические потери мощности определяют графическим пу-
тем, при этом в одной системе координат строят зависимости
(Рм + Рмех)({/о) И (Рм+Риех)(^).
Экстраполяция указанных зависимостей до пересечения с
осью ординат (рис. 12.8 ) позволяет определить механические
потери мощности Рмех в двигателе, так как магнитные Рм и элект-
рические P,i потери мощности при напряжении холостого хода
Uo = 0 равны нулю. Среднее значение отрезка, отсекаемого
зависимостями Py(U0) и PZ(L'„) на оси ординат, и представ-
ляет собой величину механиче-
ских потерь мощности Рме,. Из
рис. 12.8 видно, что РМСх =
= 340 Вт.
Магнитные потери мощно-
сти Рм в асинхронном двигателе
при номинальном напряжении
((/о=(Лном=380В): РМ=(РМ +
+ Рмех) - Рмех = 929 - 340 =
= 589 Вт.
12.9. При номинальном ре-
жиме работы трехфазного асин-
хронного электродвигателя
АПД-136/2 с короткозамкну-
тым ротором, обмотки которого
323
соединены «звездой», определить номинальные значения: полез-
ной мощности на валу Р2ном и КПД т)„ом, построить рабочие харак-
теристики двигателя. Подводимая к двигателю мощность Р|Н0М=
= 10,29 кВт, номинальный линейный ток Л «ом = 19,8 А, номиналь-
ное линейное напряжение {/|Ноа=380 В, частота вращения
= 298.3 с_| («2ном = 2850 об/мин), механические потери мощности
Р»сх=340 Вт, суммарные магнитные потери мощности Рм=
= 589,5 Вт, активное сопротивление фазы обмотки статора Ri =
= 0,734 Ом, частота питающего напряжения fi = 50 Гц.
Решение. Угловая частота вращения магнитного поля
_ 2л), 2 • 3,14 • 50
асинхронного двигателя: Qi = —-—= ----------1-----= 314 с
60fi 60» 50 r\f\f\r\ л /
или п! = -^=—।—=3000 об/мин, где р— число пар полю-
сов (р = 1), так как в обозначении типа этого двигателя в зна-
менателе указано число полюсов, равное 2, т. е. число пар полю-
сов р = 1.
Скольжение ротора двигателя при номинальном режиме ра-
, Q, -О2ном 314 - 298,3 15,7 . о,
боты: Shom = —!---— = ------—-----= -«7-= 0,05; s„0M% =
Л4 .314
= 0,05 • 100 = 5% или s„OM = -! = 3000 ~ 2830 = 0,05.
П| •ww
Номинальные электрические потери мощности в обмотках стато-
ра двигателя: РЭ1ном = 3/?номР1 = 3 • 19,82 • 0,734 = 865 Вт.
Номинальная электромагнитная мощность двигателя: Р3» „ом =
= Pi «ом - (Р« + Р,1»ом) = 10290 - (589,5 + 865) = 8835,5 Вт.
Номинальные электрические потери мощности в обмотке ро-
тора двигателя: Р3гтм = Рэм номХном = 8835,5 • 0,05 = 441,78 Вт.
Номинальные добавочные потери мощности в асинхронном
двигателе при токе нагрузки /iHOU рассчитывают по формуле:
0,5 / /1 ном \2 _
Рдов ном = -fQQ- Pl НОМ ) -
°-5 шопл/ >9.8 \ 2 0,5-10290 D
= -io6-,0290(w) =-----------ioo--=51 Вт-
Суммарные номинальные потери мощности в асинхронном
двигателе: SPном — Р» 1 ном “р Рэ2ном “|“ Рм -f“ Рмех “|“ Рлоб мех — 865 +
+ 441,78 + 589,5 + 340 + 51 2287 Вт (магнитными потерями
в роторе асинхронного двигателя пренебрегаем вследствие
незначительной их величины).
Номинальная полезная мощность на валу асинхронного дви-
гателя: Рг ном = Р| ном — 2Рном = 10 290 — 2287 = 8003 Вт.
Номинальный КПД асинхронного двигателя: Ином = р2"°м ==
"1 иом
324
8003
Р'2 ном
Р-2 ном + МРном 10 290
0,776 или г) % = 0,776 • 100 % =
= 77,6 %.
Номинальный коэффициент мощности асинхронного двигате-
ля: COS Ф1НОМ = , -
"V 3 ^1яом Ляом
10 290
1,73 • 380 • 19,8
0,79.
Аналогично по приведенным ранее формулам ведутся рас-
четы и для других нагрузок асинхронного двигателя, которые
сведены в табл. 12.3 его рабочих характеристик.
На рис. 12.9 приведены рабочие характеристики асинхрон-
ного двигателя АПД-136/2: Р\, Ц, М2, п2, г), cos <pi (Р2) при
номинальном питающем напряжении U\ иом = const.
12.10. По данным опытов холостого хода и короткого замы-
кания асинхронного элекродвигателя АПД-136/2 определить
приближенное значение его КПД г]ном при номинальной нагрузке.
Потери мощности холостого хода при номинальном режиме
Рв = 1072 Вт, мощность короткого замыкания при номинальном
токе Рк = 1700 Вт (принимается равной суммарным электриче-
ским потерям мощности), номинальная полезная мощность на
валу Pi ном — 8003 Вт.
Решение. КПД асинхронного двигателя при номинальной
Р2ио«100% 8003-100 _ 8003-100
нагрузке Ином = р2ном 4. ри + 8003 +1072+1700 — 10 775 ,
= 74,5%.
12.11. Трехфазный асинхронный электродвигатель с контакт-
ными кольцами с числом пар полюсов р = 4 имеет номинальные:
мощность на валу Ргном = 75 кВт, линейное напряжение
(/1Н0М = 380 В, частоту тока fi = 50 Гц, ток статора ]>нох = 148 А,
ток ротора /2ном = 220 А, частоту вращения п2иом — 720 об/мин,
325
Величины
U} ном. В А Р,. Вт Wj, об/мин S, % COSty! Р,,. Вт
380 8.8 1072 2992 0,267 0,185 143
380 10 2550 2980 0,667 0,388 220
380 11,25 4280 2690 1,33 0,58 279
380 12,8 5580 2940 2 0,663 362
380 14,5 6585 2910 3 0,69 464
380 16,7 8115 2850 4,5 0,738 615
380 19,8 10 290 2845 5,00 0,788 865
380 20,2 10 520 2806 5,17 0,79 896
380 21,6 11 550 2760 6,46 0,814 1025
380 25,1 13 650 2687 8,0 0,821 1390
380 27,3 15 105 2330 10,46 0,844 1640
380 49 25 750 2865 22,3 0,797 5300
отношение моментов Л1тах/Л!ном = 2,4- Обмотки статора и ротора
двигателя соединены «звездой», напряжение холостого хода
U20 = £20 = 213 В. Определить номинальное скольжение sHOm,
номинальный Л1Ном, максимальный Л1П18Х и пусковой Л4пуск моменты,
критическое скольжение ротора sKp и активное сопротивление R2
фазы ротора электродвигателя при выведенном реостате в цёпи
ротора.
Рассчитать значение добавочного активного сопротивления
/?аоб фазы ротора при пусковом моменте Мик = 2Л4НОм, определить
значение добавочного сопротивления при пусковом моменте
МПусК = 0,5Л4но« и частоте вращения ротора n2 = 0,5ni. Активным
сопротивлением обмотки статора R\, а также током холостого хода
/ю при расчете пренебречь.
Решение. Частота вращения магнитного поля асинхронного
60/, 60-50 -с-п ,,
двигателя: п, =-----=——= 750 об/мин.
.. „ л1-«2яом 750- 720
Номинальное скольжение ротора: sHOV=----------= —750 =
= 0,04 или зв„„ = 4 %.
Номинальный момент двигателя: Л4„ом = 9550 PjhomMzhom =
= 9550-^-= 996 Н-м. Максимальный момент двигателя: Мтах=
= 2,4 М„„„ = 2,4-996= 2390 Н-м.
Критическое скольжение ротора sKp при отсутствии добавоч-
ного активного сопротивления в цепи его обмоток может быть
найдено из упрощенной формулы Клосса. Для номинального
режима работы: М„ом = ———> откуда SkP-|-Shom =
С ном /$крт S*p/S ном
326
Таблица 12.3
Р„, Вт Рэ2, Вт /’лоб, Вт Рг, Вт Ч- % Мг, Н-м Рёжимы работы
0 0 0 Холостой
340 9,1 1,05 ход
1740,5 11,6 12,75 1376,15 54 4,51 Нагрузка
3411,5 44,4 21,4 3005,7 70 9,87 >
4628,5 32,6 27,9 4168 74,6 13,8 >
5531,5 166 32,9 4992,6 75,7 16,7 >
6710,5 302 40,6 6227,9 76,7 21,2 >
8835,5 441 51 8003,5 77,6 27,3 »
9034,5 467 52,6 8174,9 77,6 28,0 >
9935,5 643 57,6 8894,9 77 31,0 >
11670,5 934 68,3 10328,2 75,5 36,4 >
12875,5 1345 75,7 11194,8 73,6 40,3 >
19860,5 4430 128,5 . 14962 58,1 62,6 >
= 2 ^m*' SkrShom, учитывая, что sKp>sHoM, находим: sKp = ShomX
/Ином
х[ '] =0.04P,4+vW^i]-0,lS2.
Активное сопротивление фазы ротора асинхронного двигателя
г. М ном^ 1$ном
находим из формулы: Л1НОм=—---------, откуда /<2 =------5---- =
QiShom т2/2ном
_ 996- 78,5- 0,04 g Qg 16 Ом, где /Пг = 3 — число фаз обмотки
3-2202
ля, 3,14-750 _
ротора; Я| =-^- =-------------= 78,5 с Qi — угловая частота
вращающегося магнитного поля.
Критическое скольжение ротора асинхронного двигателя при пус-
ковом моментеМ пуск — 2М НОкьЗкр — SnyCK 4--у ( — •] =
= 1 [ Ь у( —1] =1,865, так как Л1тах= 2,4Мном, а
S “li
"^^Критическое скольжение ротора двигателя при отсутствии до-
бавочного , активного сопротивления в цепи ротора =
= . С* 2 то же, при наличии добавочного сопротивления при
+ ’Л.
М -ТУ С С1*2 + Алоб
Мща-^.Мт№ °Xp-^A2+(Jr + СГ )Г
327
Отношения критических скольжений ротора:
5гр_ 4-^2 +^доб/\/R*+ +(-V| + СI-Уд)2 _ -^2 + -йдоб _ -^2 + -Кдоб
Jxp CaR'2tJr\ + +(У]+С]У92 Я'г *2
откуда, принимая поправочный коэффициент С]=1, имеем:
Ядоб^гС^ч, - 1)=0,0216(1,865/0,182 - 1)=0,202 Ом.
Критическое скольжение ротора при пусковом моменте двига-
теля М„уск = 0,5М„„м и частоте п2 = 0,5«i :s"P = so,я Г -1-
L /VTпуск
+vwn = м чч+мн -
= 0,5[ 4,8 + д/4,8^ — 1] — 4,75, где s0,s = 0,5fl'- =
750-0,5-750 „ с
=------750-----= 0’5-
Добавочное активное сопротивление в цепи ротора двигателя
при Л1Пуск = 0,5Л1ном и по = 0,5п2Н1>м:
л- - ЧН - 1) = °-0216(-т1- -1) - °-54 Ом-
12.12. Для условий задачи 12.11 определить величину добавоч-
ного активного сопротивления /?ДОб, которое необходимо включить
в цепь ротора асинхронного двигателя, чтобы при неизменной час-
тоте напряжения питающей сети /1 = 50/Гц и электромагнитом
М-,„ моменте угловая частота вращения ротора Яг — 52,3 с-1 (п2 —
= 500 об/мин).
Решение. Скольжение ротора при частоте вращения ро-
тора двигателя Q2=52,3 с~':
й|-й2
й,
78,5-52,3
78,5
0,33 нли s=---------
Л|
750-500
750
0,33.
Величина добавочного активного сопротивления в цепи ротора
двигателя при й2 = 52,3 с-1: R?)/s = /?2/sH<1M, откуда /?л<«=
= /?,(_£---0 = 0,216(0,33/0,04-1) = 0,156 Ом, где s„.,M =
= 0,04 — номинальное скольжение ротора; /?2 = 0,0216 Ом —
активное сопротивление фазы ротора.
12.13. Для условий задачи 12.11 определить величину добавоч-
ного активного сопротивления /?до6, включенного в цепь ротора
асинхронного электродвигателя в режиме противовключения и
в генераторном режиме, а также ток ротора /2 в режиме противо-
включения при частоте вращения пг — 500 об/мин и моменте
торможения Мт — 0,75 Мноч. В генераторном режиме электродви-
328
гатель развивает сверхсинхронную скорость, равную пг =
= 2800 об/мин, и момент на валу Мт = l,2MHoM.
Решение: Скольжение ротора двигателя в режиме противо-
включения: sT =----------=--------—=1,67. Момент тормо-
Л] 750 г
жения на валу двигателя в режиме противовключения: Л1т =
= 0,75Л1ном = 0,75-996 = 747 Н - м.
Критическое скольжение ротора в режиме противовключения:
Г Мп1ах . I / Л1 1п.,х \ 1
= -1] =
= '4 +л/(-йЧ’-'] = 'w-2+
+ д/3,22- 1] = 1,67-6,26= 10,45.
Добавочное активное сопротивление в цепи ротора в режиме
противовключения:
/?до6 = /?2 - 1) = 0,0216 - 1) =
/ X и. 1OZ /
= 0,0216-56,5= 1,22 Ом.
Ток ротора в режиме противовключения:
j Еы___________________________________
213 213
=t^7^^9‘+o.u52 = =
= -§^=160,5 А.
Скольжение ротора в генераторном режиме: sr = —
_ 750 - 2800 _ „
------750 ~
Момент нагрузки на валу двигателя в генераторном режиме:
М,= —1,2Л4„„м= -1,2-996= -1187 Н-м.
Максимальное скольжение ротора в генераторном режиме:
[Mmax 11// Mmax \ .1 _
Т-+ V ЬйГ") -1] =
= - И +
+ л/2,012 — 1)= - 2,73(2,01 + 1,73)= — 10,2.
Добавочное сопротивление в цепи ротора в генераторном ре-
329
пг>мии,!>,с'
12.14. Рассчитать по приближенным формулам и построить
механические характеристики Af(s) и и2 = (Л/) асинхронного
электродвигателя с короткозамкнутым ротором, с номинальной
мощностью P^nM = 3.2 кВт и номинальным числом оборотов
и2ж>м= 1440 об/мин^ Кратность пускового момента Муск/Мю» =
= 1,1, число пар полюсов двигателя р = 2, частота питающего
напряжения /| = 50Гц. Механическими потерями мощности Рт
при расчете пренебречь.
Решение. Синхронная круговая частота вращения магнит-
2л/| 2-3,14-50 . с_
ного поля двигателя: Qi =------=-----—= 157 с .
Р 4
П 60f,
Синхронная частота вращения поля: И1 =—-— =
6О 5О |(.QQ об/мин.
Номинальное скольжение ротора: $НОм = -—----— =;
= .157 -1750-72 = 0,04 или 5йОМ= 1500 - 140°. = 0,04 ,
15/ Л| 1500
А ял2лом 3,14*1440 । г л 70 —I
где 122яом = -^~ =----go----= 150,72 с
Номинальный момент нагрузки на валу двигателя: МНом =
= 9550 ?2ном =9550^^=21,2 Н-м.
Плном 1440
Пусковой момент двигателя: М„>ск= 1,1М„„м= 1,1 -21,2 =
= 23,4 Н-м.
330
Критическое скольжение ротора асинхронного двигателя
может быть определено нз упрощенного уравнения механической
характеристики прн пуске
Допуск
2Л4
2Л1,,,.,
с учетом того, что момент на валу при номинальной нагрузке
М 2-^пшх
<К1яом ----, •
•*яом /гр
Ър JHOM
В результате совместного решения указанных уравнений имеем
откуда sKp =
ном
0,04(1,1 - 0.04 1 _ „ 9)
1-1,1-0.04 —
Максимальный момент, развиваемый асинхронным двигателем:
м .__1 23,4 !
m“ 2 •’ч>+,жр 2 0,21 + 0,21“58 Н М
Кратность максимального момента асинхронного двигателя по
отношению к номинальному его значению: — 58/21,2 =
= 2,72.
Координаты естественной механической характеристики асин-
хронного двигателя для различных значений скольжений ротора
рассчитывают по формулам:
2М™ 2-58 „и „ /. у
М = -;..... < = ......S 0.21 И«2=П.(1-5).
sKp + s 0,21 + s
Результаты расчетов сведены в табл. 12.4.
Величины, соответствующие работе асинхронного
электродвигателя в режимах
Таблица 12.4
двигателя и противовключения генератора Режимы работы двигателя
$ s ,0,21 0,21 + s м, Н-м й2, С-' об/мнн $ Af, Н-м Л2, об/мин
0 — 0 157 1500 0 0 1500 Идеальный холостой ход
0,21 2,00 58,86 125,6 1200 -0,21 -58,86 1800 То же
0,4 2,43 48,36 94,2 900 -0,4 -48,36 2100 Нагрузки
0,6 3,20 36,78 62,8 600 -0,6 -36,78 2400 »
0,8 4,07 28,94 31,4 300 -0,8 —28,94 2550 »
1,0 4,97 23,54 0 0 -1,0 -23,54 3000 Противовклю-
1,5 7,28 16,19 —78,5 —750 -1.5 -16,19 3750 чения
2,0 9,63 12,26 -157 — 1500 -2,0 -12,26 4500 »
331
Координаты характерных точек
механических характеристик асин-
хронного двигателя в двигательном
режиме: «но» = 0,04; М,ом = 21,2 Н-м;
5кр=== 0,21; Л4ща.х==58 Н-м; $пуек—1;
Мпуск =23,4 Н-м.
На рис. 12.14, а, 6 приведены ме-
ханические характеристики асин-
хронного двигателя s(Af) и п2(М),
рассчитанные по приближенным фор
мулам.
12.15. Для условий задачи 12.14 построить механическую
характеристику асинхронного электродвигателя в пределах ее ли-
нейной части (в интервале скольжений от s = 0 до sKp).
Решени е. Координаты режима идеального холостого хода
асинхронного двигателя: <о, =± 157 с"1; М = 0. Координаты но-
минального режима работы асинхронного двигателя:
_ 3,14 1440
30 ~ 30
150,72 с-1; Мом = 21,2 Н-м.
На рис. 12.15 приведена механическая характеристика асин-
хронного двигателя <u2 (AZ) для заданных условий.
12.16. Построить механическую характеристику асинхронного
электродвигателя с фазным ротором в двигательном и генератор-
ном режимах работы. Номинальные данные двигателя: мощ-
ность на валу — кВт, линейное напряжение U\natt —
= 380 В, частота вращения ротора «гном = 720 об/мин, ЭДС ро-
тора £20= U20 = 213 В, ток ротора /гном = 220 А, сопротивле-
ния обмоток статора и ротора: /?( = 0,04 Ом, X, = 0,2 Ом, /?г —
= 0,0216 Ом, Хг — 0,145 Ом, число пар полюсов двигателя р =
= 4, частота питающего напряжения -/, = 50 Гц.
Решение. Коэффициент трансформации асинхронного
Е, 0,9Ии,„„ 0,95-380 ._
двигателя п = -=— =------=-----=------—------- 1,7 (учитывая,
С 20 С 20 210 '
что mt = m2 и принимая обмоточные коэффициенты К\ = Кг)-
Приведенные сопротивления обмотки ротора и сопротивления
короткого замыкания асинхронного двигателя: /?г = н*/?г =
= 1,72 • 0,0216 = 0,0625 Ом; Х^ = п2Хг = 1,72 • 0,145 = 0,42 Ом;
/?, = /?, + /?£== 0,04 + 0,0625 = 0,1025 Ом; Хк = Xi + Х'2 =
= 0,2 + 0,42= 0,62 Ом.
Критическое скольжение ротора двигателя
Ri 0,0625
$кр = -4- — 1 = -4- — = -4-0. 1.
VE? + 4- Xif V0,04s 4- 0,625
332
Синхронная частота вращения ротора: rti — QOfi/p = 60 X
X 50/4 = 750 об/мии.
Синхронная угловая частота вращения магнитного поля дви-
« 2"fi 2-3,14-50 _о _ _,
гателй: й| =-----=-----------— 78,5 с 1
р 4 •
Максимальный момент асинхронного двигателя
3 (^у *(»
maX 2Q, [/?, + + (Л, + Xjf] 2 78,5[0,042 + д/0,22 + 0.422]
144 400
= = 915,895 Н • м = 0,92 кН • м.
157,66
Максимальный момент асинхронного двигателя в генератор-
ном режиме
/171 но»\2
м
2Q, [ /?j - + (*| + W
ИЛИ Afmax г — М max д
/?, +л/₽?+ (Х| +-*2?
/?| (Х> +X5f
0,92 X
w 0,04 + д/О.О42 + 0.622 п_
X----------,? . —1,05 кН • м.
0,04 - V0.042 + 0,622
Механическую характеристику асинхронного двигателя рас-
считывают по уравнениям:
в двигательном режиме
2Л4тахд (1 4“ ЯЗкр)
S/Sxp 4" $кр/$+2а$кр
2-0,92 (1+ 0,641-0,1) 1,958 „
___ 4 1 ' ____ __________- Н • Vf
~ JI+2-L + 2.0,641.0,1 S/0.1+0.1/S +0,128
0,1 s
где а = Ri/Ri = 0,04/0,0625 = 0,641;
в генераторном режиме
2Л4тахг (1 + а$кр) —2 1,05 • 0,936
Мг ~ s/SKp + s«p/s+2asKP ~ s/-0,1 + (-0.1 )/s - 0,128 —
^ ^-OJ+T-oTys -0,128 Н -М ЧаСТ0ТЫ «2 =
Z1 V г, 2л"1
= «I (1 - «); Я|= —3^ .
Результаты расчетов сведены в табл. 12.5.
333
Таблица 12.5
Рис. 12.16
Величины, соответствующие работе асинхрон-
ного двигателя в режимах
двигателя
генератора
пг,
об/мин
Мг,
кН-м
О 750
0.1 675
0.3 525
0,5 375
0,8 150
1,0 0
78,5
70,65
54,95
39,25
15,7
0
0
0,92
0,57
0,37
0,24
0,19
О
-0,1
-0,2
-0,6
-0,8
-1,0
750
825
900
1200
1350
1500
78,5
86,35
94,2
125,6
141,3
157,0.
О
-1,05
— 0,83
—0,34
0,25
0,20
На рис. 12.16 представлена механическая характеристика
асинхронного электродвигателя в двигательном и гейераториом
режимах работы.
Задачи
12.17. Определить синхронные частоту вращения И| и угло-
вую частоту вращения вращающегося магнитного поля Qi трех-
фазиого асинхронного электродвигателя при частоте переменного
тока fi = 50 Гц для числа пар полюсов р— 1. Ответ, п, =
= 3000 об/мин; Q, = .314 с_|.
12.18. Определить частоту вращения ротора пг ном четырех-
полюсного (р — 2) асинхронного электродвигателя при частоте
питающего напряжения fi = 50 Гц и номинальном скольжении
ротора Shom = 0,05. Ответ. П2ном = 1425 об/мнн.
12.1f t. По данным каталога определить номинальное сколь-
жения 5ИОМ и частоту тока ротора при номинальном ре-
жиме работы, а также пусковой ЛГ,Уск и максимальный Afmax мо-
менты трехфазного асинхронного короткозамкнутого электродви-
гателя А2-62-4 при частоте питающего напряжения fi = 50 Гц.
Номинальные значения мощности на валу, частоты вращения
ротора и момента нагрузки на валу Мной соответственно состав-
ляют: Р2яом=13 кВт, и2ном=1450 об/мин; Мном — 85,6 Н • м.
Ответ. Shom = 0,033; /2ном= 1,65 Гц; Л)„уск = 113,8 Н • м; Afmax = 171,2 Н • м.
12.20. Определить частоту вращения Пг и скольжение s рото-
ра асинхронного короткозамкнутого электродвигателя при М =
= 2 Мом. Номинальные: мощность на валу Р»ом = 7 кВт, частота
врдщения ротора и2ном = 2890 об/мин, кратность максимального
момента двигателя Л1п|ах/ЛГю« = 2,2. Ответ. л2 = 2664 об/мин; s = 0.112.
12.21. Определить суммарные номинальные 2РНом н переменные
потери мощности Р,„ом и Рэо.5 в асинхронном электродвигателе с
числом пар полюсов р = 2 при номинальной нагрузке и нагрузке
334
0,5 Р2яОм- Номинальные данные дви-
гателя: мощность на валу Р2иОм =
= 4,5 кВт, КПД т]„оч=0,86, коэффи-
циент мощности cos <р2ном = 0,86. При
нагрузке 0,5 Р2ном энергетические пока-
затели двигателя т|о.5=О,845 и cos<po.5 =
= 0,77. Ответ. -Р„„,,=0.75 кВт; £ Po 5=O,41 кВт;
Р»»ом = 0,5 кВт; Рэ05=0,1615 кВт.
Контрольные задания
12.22. Трехфазный асинхронный электро-
двигатель с короткозамкнутым ротором единой
серии 4А имеет номинальные данные, указан-
ные для каждого варианта задания в табл. 12.6.
Номинальные: линейное напряжение питающей
сети (/|„ом, частота питающего тока 6 = 50 Гц, мощность на валу Р2но«, синхронная
частота вращения магнитного поля т, скольжение ротора зиом, КПД т]ноч, коэффи-
циент мощности cos ф] ном, отношение m,Щ ном — начального пускового тока
к номинальному току биом,отношение начального пускового момента Л4„ус|1
1, AlnvcK A^min
к номинальному моменту на валу Л4НОМ: т„„к=-гг-—, отношение mmm = —г;-----------
''Whom ^*ном
минимального к номинальному моменту, отношение tnKf = ——-------- максимально-
ЛТнОЧ
го момента к номинальному моменту приведены в табл. 12.6 и на рис. 12.22. Опре-
делить номинальный Л4„ом, начальный пусковой Л4„уск и максимальный Л4та, мо-
менты, номинальный /|ИОМ и начальный пусковой /|Пуск токи, частоту тока в роторе
бном прн номинальной нагрузке н в момент пуска 6„>ск, число пар полюсов обмотки
статора р, синхронную,угловую частоту вращения магнитного поля Qi, а также
угловую частоту вращения ротора и мощность на зажимах двигателя Р|„ом
при номинальном режиме работы.
Дополнительное задание, а. Определить максимальный момент Л4тах двига-
теля при напряжении питающей сети, равном U, = 0,9ЦВОМ.
б. Построить механическую характеристику М (s) двигателя по точкам,
соответствующим скольжениям ротора: s = 0; s = Г, зНОм; sKp; з = 0,4; 0,6; 0,8
(см. рис. 12.22).
Коэффициент мощности при коротком замыкании cos <рк — 0,6. Полное
ZK, активное Рк и индуктивное Лк сопротивления двигателя при коротком замы-
кании и приведенное активное сопротивление R? обмотки ротора рассчитывают
по формулам:
Рк = (РI -f- Р$) = Zk COS <рк1 Ак — (Х| Л2) = Zk Sin фк]
л,
2
^Лиом _ Рк
zK= ;р|Э6р$ = —
W Л пуск
Механическая характеристика асинхронного двигателя М ($) рассчитывается
по формуле о,
Л2
Ори ] НОМ---
S
М =
Примечание. Стандартные обозначения трехфазных асинхронных
электродвигателей серии 4А даны на примере асинхронного двигателя 4АР
16054УЗ: 4 — номер серин; А — асинхронный (род двигателя); исполнение по сте-
335
Технические данные Варианты контрольного
электродвигателя
1 2 3 4 5 6
1 Тип электро
4АЛ56В4 4ЛЛ63Л4 4ЛЛ63В4 4А71А4 4Л71134 4Л80Л4
Uihohi ® 220 380 220 380 660 220
Ргш», кВт 0,18 0,25 0,37 0,55 0,75 1,1
ГЦ, об/мин 1500 1500 1500 1500 1500 1500
5цом» /о 8,9 8,0 9,0 7,3 7,5 5,4
Л ном 0,64 0,68 0,68 0,70 0,72 0,75
“S^lKOM 0,64 0,65 0,69 0,70 0,73 0,81
“ А пуск/Авом 3,5 4,0 4,0 4,5 5,0 5,0
M||yCK = Мцуск/Мном 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
^min^fmin/^ним 1,5 1,5 1,5 1,8 1.8 1,6
^кр = Мщах/Мном 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2
Технические данные Варианты контрольного
электродвигателя 16 17 18 19 20 21
Тип электро
4AI80S4 4А180М4 4А200М4 4A200L4 4А225М4 4A250S4
1НОМ» В 380 660 220 380 660 220
Р2но., кВт 22 30,0 37,0 45,0 55,0 75,0
П|, об/мии 1500 1500 1500 1500 1500 1500
5 ном» X) 2,0 1,9 1,7 1,6 1,4 1,2
Яном 0,90 0,90 0,91 0,93 0,92 0,93
0,90 0,90 0,90. 0,90 0,90 0,90
Апуск/Ляом 6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 7,0
^^пуск”” ЛТпуек/Мной 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,2
fllmins= Mmin//Ином 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
^1кр ^Mjnax/М ном 2,3 2,3 2,5 2,5 2,5 2,3
336
Таблица 12.6
задания 12.22
7 8 9 10 11 12 13 14 15
двигатели
4А80В4 4A90L4 4AI00S4 4A100L4 4А112М4 4A132S4 4А132М4 4A160S4 4А160М4
380 660 220 380 660 220 380 660 220
1,5 2,2 3,0 4,0 5,5 7,5 11 15,0 18,5
1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500
5.8 5,1 4,4 4,6 3,6 2,9 2,8 2,3 2,2
0,77 0,80 0,82 0,84 0,85 0,87 0,87 0,88 0,88
0,83 0,83 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,88
6,0 6,0 6,0 6,0 7,0 7,0 7,5 7,0 7,0
2,0 2,1 2,0 2,0 2,0 2,2 2,2 1,4 1,4
1,6 1,6 1,6 1.6 1,6 1,7 1,7 1,0 1,0
2,2 2,4 2,4 2,4 2,2 3,0 3,0 2,3 2,3
Продолжение табл. 12.6
задания 12.22
двигателя
4А250М4 4A280S4 4АА56Л2 4АА56В2 4АА63А2 4АА63В2 4А71А2 4А71В2 4А80А2
380 660 220 380 220 380 380 220 380
90,0 110,0 0.18 0,25 0,37 0,55 0,75 1,1 1,5
1500 1500 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000
1,3 2,3 8,0 7,5 8,3 8,5 5,9 6,3 4,2
0,93 0,92 0,66 0,68 0,7 0,73 0,77 0,77 0,81
0,91 0,90 0,76 0,77 0,86 0,86 0,87 0,87 0,85
7,0 6,0 4,0 4,0 4,5 4,5 5,5 5,5 6,5
1,2 1,2 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0' 2,0 2,1
1,0 1,0 1.5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4
2,3 2,0 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,6
337
Технические Варианты контрольного
данные
электродвигателя 1 2 3 4 о 6
Тип электро
т __
у
о
X
г» Q. IX
Т «с
Л’ИОМ, кВт у 18,5 30 37
U1 НОМ» В 380 — 380 — — —
Пг»им, об/мин 1470 ? ? 1482
п 0/ <|ном» /о 87,5 88,5 90 90
COSPlroM 0,87 — ? — — —
11 НОМ» А ? — 42,74 — — —
^1ном» кВт ? 24,44 40,66 48,9
ХР„0М, кВт — ? 3,91
Afном» Н•М 97,45 — 194,1
Afmax/ AfH0M — — — — — —
Afnyctt/ Af ном 2 2 — 2 2 2
AfnycK, H • м — 477,8
Af max, Н • М — — — — — —
Лпусх/Аном 7,5 — 7.5 — — —
Лпуск» А —- ? — — —
^ном, Л) — 1,8 1,8
П|, об/мии Определяются по числу полюсов 2р, указанному
пени защиты: Н—защищенный в соответствии со степенью защиты; 1Р23 —
защищенное исполнение (для закрытых двигателей обозначение защиты ие
приводится); вторая буква Р — с повышенным пусковым моментом; исполнение
двигателя по материалу станины и щита: А — алюминиевая станина и щиты,
X — алюминиевая станина и чугунные щиты (при отсутствии знака станина и
щиты — чугунные или стальные); две (илн три) цифры — высота оси вращения,
мм; L, М, S — условные размеры по длине корпуса, принятые по рекомендации
МЭК; 2, 4, 6, 8 — число полюсов; У.— климатическое исполнение; 3 — катего-
рия размещения (для упрощения обозначений УЗ часто ие указывается).
12.23. Асинхронный трехфазный короткозамкнутый электродвигатель единой
серии 4А с повышенным пусковым моментом работает при номинальной нагрузке.
Линейное напряжение питающей сети Щ Ном, частота питающего напряжения
/| = 50Гц, ток, потребляемый из сети, /|„„», пусковой ток Лпуск, кратность
пускового тока /| пуск/Л ном, мощность на валу Р-2 ном, мощность, потребляемая
из сети, Р| „ом, суммарные номинальные потери мощности £РИом, КПД »1ном,
коэффициент мощности cos<p1HOM> номинальный вращающий момент А4Ном, макси-
мальный момент Afmax, кратность максимального момента А4тах/Л1ном, кратность
пускового момента Л4пуск/Л4Ном, синхронная частота вращения магнитного поля
338
Таблица 12.7
задания 12.23
7 8 9 10 11 12 13 14 15
«вигателя
J СЛ s CO I/) CO S £ CO S CO CO S
еч in in CO s g g in
О. CU cu cu cu cu cu CU
c < c
55 75 90 ) ? 18,5 ? 30 37
380 380 380 380 220 — 220 — 380
1480,5 — 1461 979 ? 981 ? ? ?
92,5 ? 87,5 87 90,5 ? 90,5
0,88 0,88 0,83 0,8 0,85 — 0,84
? 141 ? ? 54,27 — ? — ?
? ? ? 12,86 17,14 ? ? •33,15 ?
5,645 6,774 1,86 ? ? — ? •
? 489,2 ? — — ? 213,5 —
2,2 2,2 2,2 — — 2,2 — 2,2 —
— — 2 — — 2 — —
— — — — ? — 580,5 — .
— — ? — 638,6 —
— 7,5 — ?. 7 — — — 7
— — ? — — — ?
— — — 1,8 — 1,6 1,3
в обозначении серии двигателя и частоте питающей сети fi — 50 Гц
двигателя Я|, частота вращения ротора И2ном> скольжение ротора sHom для Соот-
ветствующего варианта задания приведены в табл. 12.7. Определить неизвестные
величины, отмеченные знаком вопроса (?).
Дополнительное задание. Построить механическую характеристику асинхрон-
ного электродвигателя п2(АОс начальным пусковым моментом МПуск при s= I,
минимальным вращающим моментом Mmin при s = 0,7,..0,9, максимальным
вращающим моментом Afmax нри s — «кр. номинальным вращающим моментом
Aim)n
М„ом при х — Shom. Принять nimin = ---= 1.6. Критическое скольжение sKp
“ном
определить по формуле: зкр = ——у Ф , Полное ZK, активное RK =
R\ + (Ai -f- АгГ
= /?,-!- Rit индуктивное Ак = А, + Аг сопротивления короткого замыкания рас-
считываются исходя из принятого cos фк = 0,6 по формулам: 2Л= —=------------;
/?К = ZKcosq>K; Ак = ZK sin q>B; /?, & Ri = /?к/2; A, a AJ = AK/2.
339
Технические Варианты контрольного
данные
электродвигателя 16 17 18 19 20 21
Тип электро
<© (/) <0 00 (/) 00 г 00 00 £
S о ю S S S о о
сч 0. о. а а а £
* * * * *
*2ж>м><Вт 45 ? ? 11,5 18,5
U 1 НОМ, В — 380 — 220 — 380
Л2иом, Об/мИИ ? ? ? , 733,5 733,5 ?
Лном, % 91,5 91,5 86 87 86,5 88
С0»Ф1жм — 0,83 — 0,75 — 0,72
/ 1 НОМ, А — ? — ? — ?
Р|ж>„ кВт ? — ? ? ? ?
SP.OM, кВт — — ? — — ?
А^иом, Н*М ? ? ? ? 195,99 —
А^тах/ Мцом 2,2 — 2 — ? —
М пуск/ А/МОМ ? 2 — 1,8 1,8 —
А^пуск, Н*М 885,17 1080,76 — ? ? —
Afmait, Н* М 973,58 — 196,3 — 390,68 —
Авув/Аиом — 6,5 — 6 — 5,5
А — — ? — ?
Ь'ном, % ? 2,8 2,7 — ? 2,7
П), об/мин Определяется по числу полюсов 2р, указанному
340
Продолжение табл. 12.7
задания 12.23
22 23 24 25 26 27 28 29 30
двигателя
ос < 4AP250S8 4ЛР250М8 4AP160S4 1 4АР160М4 4AP180S4 4АР180М4 4АР290М4
> 5 37 45 5 18,5 22 5
— — 380 — — 220 — — 380
732 ? 738 ? э 5 1476
88,5 90 90 87,5 88,5 90 —
— 0,72 — — 0,87 — —
— •> —- — — — ?
? ? ? 49,72 э 40,66
— ? — ? . — ? 3,33 3,66
? 478,8 ? 97,45 — ? —
Э 2 2 2 2,2 — 2,2 2,2 —
1,8 — — 2 — — 2 —
516.6 — — э — — —
574 585,88 ? — 427 —
— — 5,5 — — 7,5 — — 7,5
... — — — э — — 509,7
2,2 — 2 1,8 1,8 э 1,4
в обозначении серии двигателя, и частоте питающей сети /, = 50 Гц
341
Глава 13
ТРЕХФАЗНЫЕ СИНХРОННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
$ 13.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СИНХРОННЫХ
МАШИНАХ И ОБЛАСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Электрические машины переменного тока, у которых между
числом периодов генерируемого или потребляемого тока и часто-
той вращения существует жесткая взаимосвязь, называются
синхронным и. В конструктивном отношении статор син-
хронной машины не отличается от статора асинхронной машины.
Ротор выполняют с магнитами или электромагнитами, обмотки
которых питаются постоянным током и создают необходимое для
работы машины магнитное поле. При вращении ротора возникает
вращающееся магнитное поле, силовые линии которого пересе-
кают проводники обмотки якоря (статора) и в соответствии с
законом электромагнитной индукции наводят в этой обмотке
ЭДС. В трехфазных синхронных машинах соединение обмотки
якоря может быть выполнено либо «звездой», либо «треуголь-
ником». Частота ЭДС, индуцируемой в каждой фазе обмотки
якоря, зависит от числа пар полюсов р и частоты вращения
f Рпо
По ротора: Оиа находится в зависимости от магнитного
60
потока: Е = 4,44 Хо/^Фт, где Ко — обмоточный коэффициент;
w — число витков одной фазы обмотки якоря (статора) Фт —
амплитудное значение магнитного потока одной пары полюсов
индуктора.
При подключении потребителя электрической энергии к об-
моткам якоря синхронная машина работает как источник, преоб-
разуя механическую энергию, получаемую от первичного двига-
теля, в электрическую и отдавая ее в сеть потребителю. При
рассмотрении процессов, происходящих при нагрузке, каждую
фазу синхронного генератора можно рассматривать как неко-
торый условный однофазный генёратор синусоидальной ЭДС,
к зажимам которого подключена нагрузка, имеющая в общем
случае комплексный характер.
Внешней характеристикой синхронного генератора является
его зависимость U (/j т. е. зависимость напряжения U иа зажи-
мах генератора от тока нагрузки / (тока якоря), при постоянных
значениях тока возбуждения /в = const, коэффициента мощнос-
ти cos <р = const и частоты вращения ротора «o=const. Матема-
тическое выражение для внешней характеристики синхронного
342
генератора можно получить исходя из уравнения электрического
равновесия, записанного относительно напряжения на его зажи-
мах: U — E — RI — jXI, где Е—ЭДС, индуцируемая в об-
мотке якоря; —напряжение на зажимах генератора;
R, X — соответственно активное и реактивное сопротивления
обмотки якоря. Сопротивление нагрузки Z„=/?Il+jA'H.
Вектор ЭДС опережает вектор напряжения U на угол 0. При
этом с увеличением тока нагрузки этот угол рассогласования
(нагрузки) увеличивается. При активно-индуктивном характере
нагрузки, когда потребитель обладает не только активным R*,
но и индуктивным У£н сопротивлениями, cos <р < 1 (индуктивный),
с увеличением нагрузки происходит снижение напряжения иа за-
жимах генератора за счет падения напряжения Z/на обмотке якоря
и влияния его реакции. Для компенсации реакции якоря и па-
дения напряжения в обмотках якоря генератора используют ре-
гулирование тока /8 возбуждения машины. Регулировочная ха-
рактеристика синхронного генератора представляет собой зави-
симость /.(/„) т. е. зависимость между током возбуждения /в
и током нагрузки / при постоянной частоте вращения «o=const.
и cos<p= const потребителя электроэнергии, при которой в про-
цессе работы обеспечивается постоянство напряжения U = const.
В ряде случаев возможна работа синхронного генератора при
постоянной мощности Р = const и изменении тока возбуждения
полюсов ротора при U = const и f = const. Выражение для
активной мощности синхронного генератора имеет вид: Р =
= ~~ Е sin 0, где т — число фаз; X — синхронное реактивное
сопротивление обмотки статора. Из этого выражения следует,
что при работе генератора с Р = const должно обеспечиваться
условие, при котором произведение £ sin 0 = const. Активная
мощность синхронного генератора Р = mUI cos<p, откуда сле-
дует, что при Р = const и изменении тока возбуждения /в актив-
ная составляющая тока якоря /а =/costp = const должна
оставаться постоянной. Вместе с тем изменение ЭДС не должно
нарушать условия электрического равновесия. С изменением то-
ка I якоря от /, (tZ-образиая кривая) происходит изменение и
угла <р, а следовательно, коэффициента мощности cos ф генера-
тора. В режимах перевозбуждения и иедовозбуждения происхо-
дит снижение cos ф. Свойство недовозбуждеиного синхронного
генератора отдавать в сеть опережающий (емкостной) ток поз-
воляет в ряде случаев использовать его и в качестве генератора
реактивной (емкостной) мощности для улучшения cos ф системы
электроснабжения. Синхронные машины обратимы и могут рабо-
тать в режимах генератора и двигателя. По сравнению с асин-
хронными двигателями они имеют ряд преимуществ, особенно
при незначительных частотах вращения и больших мощностях,
и изготавливаются как трехфазными, так и однофазными. Рабо-
та синхронного электродвигателя основана на взаимодействии
пбля постоянных магнитов (электромагнитов) ротора с враи^аю-
343
щимся магнитным полем, создаваемым обмотками якоря. Часто-
та вращения синхронных электродвигателей в отличие от асин-
хронных строго постоянна и зависит только от частоты f питаю-
щего напряжения и числа пар полюсов р двигателя: по=6О//р.
При включении обмотки статора синхронного двигателя в трех-
фазную сеть возникает безынерционное вращающееся магнитное
поле, которое мгновенно приобретает частоту вращения, равную
синхронной частоте вращения по = 6О//р, вращаясь с которой
относительно полюсов неподвижного ротора, создает знакопере-
менный момент. Ротор синхронного двигателя под действием
этого момента не в состоянии сдвинуться с места. Поэтому пуск
двигателя осуществляется с применением специальных устройств.
Чаще всего используется так называемый асинхронный пуск
синхронного двигателя, при котором в полюсных наконечниках
его ротора укладывается дополнительная короткозамкнутая об-
мотка, выполняющая ту же роль, что и обмотка ротора асинхрон-
ного двигателя. При подаче тока в обмотки ротора двигателя
полюса его возбуждаются и в результате взаимодействия магнит-
ных полей статора и ротора синхронный электродвигатель вхо-
дит в синхронизм. При появлении толчков, возможных при сбро-
се и нарастании нагрузки, в короткозамкнутой обмотке ротора,
выполняющей роль демпфера, возникает ток, который, взаимо-
действуя с полем статора, создает тормозной момент, препят-
ствующий изменению частоты вращения.
При изучении электромагнитных процессов, происходящих
при работе трехфазной синхронной машины в режиме электро-
двигателя, каждую его фазу можно рассматривать как некото-
рый условный однофазный двигатель, к зажимам которого под-
водится напряжение U. В соответствии с явлением самоиндук-
ции при протекании тока в обмотках статора индуцируется про-
тивоЭДС Е, которая ограничивает величину тока I статора.
Уравнение электрического равновесия синхронного электродвига-
теля в комплексной форме в соответствии со вторым законом
Кирхгофа приводится к виду: U_— Е_± RJ -j- jXL При этом
подводимое к двигателю напряжение U компенсируется проти-
воЭДС Е, индуцируемой в якоре, и падениями напряжений /?/ и
jXI_ в обмотках якоря. В соответствии с этим, исходя из пред-
положения активно-индуктивного характера нагрузки, следует,
что ток / сети отстает по фазе от напряжения U иа угол с
учетом того, что падение напряжения на активном сопротивлении
Rl_ совпадает по фазе с током /, которым оно создается, а ре-
активное падение напряжения /X/ находится в квадратуре с
этим током, опережая его на угол л/2. На рис. 13.1.1 представ-
лена упрощенная векторная диаграмма синхронного электродви-
гателя. Можно показать, что в режиме двигателя характер изме-
нения тока якоря / (/в) при U = const и Р = const также пред-
ставляет собой U-образную кривую. Однако при этом в отличие
от синхронного генератора перевозбужденный синхронный двига-
тель потребляет из сети опережающий по фазе напряжение ток,
Ш
Рис. 13.1.2
что позволяет использовать его и для улучшения cos <р установки
без применения статических конденсаторов. К рабочим характе-
ристикам синхронных электродвигателей относятся зависимости
М, Pi, т], costp(Р2), т. е. зависимости вращающего момента М,
потребляемой из сети активной мощности Pi, КПД л и коэффи-
циента мощности cos <р от полезной мощности на валу Pi двига-
теля при постоянном напряжении питающей сети U — const,
постоянной частоте y;=const, постоянном токе возбуждения
/„ = const. Электромагнитный момент, развиваемый синхронным
электродвигателем в процессе работы, находят в зависимости
« . г mpUE . г, 2ппй
от угла рассогласования 0: М = ----- sin 0, где £20 =----=
со0 поу 60
= у — угловая частота вращения ротора. Из этого уравнения
видно, что при U = const и /в = const, а следовательно, и при
Е = const момент, развиваемый синхронной машиной, является
синусоидальной функцией угла 0. Зависимость М (0) называется
угловой характеристикой (рис. 13.1.2). Полезную
мощность на валу синхронного двигателя рассчитывают по фор-
муле: ?2 = 0,105442Но. КПД электродвигателя: т] — г
где Рв — UB1B = llR„ — мощность цепи возбуждения, подведен-
ная к ротору синхронного двигателя. Синхронные электродвига-
тели сохраняют неизменной частоту вращения п0 при изменении
нагрузки на валу и позволяют улучшать cos <р потребителей
электроэнергии. Они более устойчивы к колебаниям напряжения
питающей сети, чем асинхронные, так как момент, развиваемый
этими двигателями, пропорционален питающему напряжению U
в первой степени, в то время как момент асинхронного двигателя
пропорционален квадрату напряжения U'2 питающей сети.
Литература. [1] §11.1 — 11.12; [2] §15.1 — 15.18; (3| §14.1 — 14.12.
Примеры решения задач
13.1. Для приведения в движение группы исполнительных
механизмов производственного предприятия используют асин-
хронные короткозамкнутые электродвигатели серии 4А, работаю-
345
Таблица 13.1
Электродвигатели Число элект- родви- гателей Номи- нальная мощ- ность электро- двигателя Р2ном» кВт кпд Л ном Номи- нальный коэффи- циент мощности электро- двигателя cos<p1HOM Суммар- ная под- веденная мощ- ность группы Рх, кВт tg<PHOM Суммар- ная реак- тивная мощность группы «вар
груп- па ТИП
1 4A90L6 10 1,5 0,75 0,74 20 о’э32 18,64
2 4A100L6 5 2,2 0,81 0,73- 13,75 0,901 12,37
3 4А112М6 10 3 0,81 0,76 37 0,854 31,6
4 4А112МВ6 5 4 0,82 0,81 24,35 0,727 17,7
5 4A1132S6 10 . 5,5 0,85 0,8 64,7 0,701 45,9
щие в режим! 3 ном инально* наг рузки. 3 иачения номи нальиых
величин: мощности Р2ном, КПД 1)НОм и коэффициента мощности
cos<p1HOM электродвигателей приведены в табл. 13.1. Пренебрегая
потерями мощности холостого хода Ро, определить мощность
SK = QK синхронной машины, работающей в режиме синхронного
компенсатора, необходимой для повышения коэффициента мощ-
ности установки до значения cos ф2 = 0,94.
Решение. Номинальная мощность электродвигателя пер-
вой группы: Pihom = Р2нОм/т]ном = 1,5/0,75 = 2 кВт.
Суммарная активная мощность первой группы: Рл = NP i„0M=
= 10-2= 20 кВт.
Суммарная реактивная мощность первой группы электродви-
гателей: Qzi = Pptgфном = 20-0,932 = 16,64 квар.
Аналогичным образом определяют суммарную активную и
реактивную мощности остальных групп электродвигателей. Полу-
ченные расчетные данные сведены в табл. 13.1.
Общая активная мощность всех электродвигателей установки:
2 Ps = PS1 + Pv2 + р23 + + />,5 = 20 + 13,75 + 37 +
+ 24,35 + 64,7 = 159,8 кВт. Общая реактивная мощность всех
электродвигателей установки: 2 Q- = i + + Qs3 + Qs4 +
+ Qzs= 18,64+12,37 + 31,6+17,7 + 45,9= 126,21 квар.
Среднее значение tg<pcP установки: tg <рсР = S Qs/S Ps =
= 126,21/159,8 = 0,789.
Исходя из заданного значения коэффициента мощности
cos ф2 = 0,96 установки, определяют соответствующее значение
tg <р2 = 0,284.
Реактивная мощность, подлежащая компенсации: Q* =
= SPs (tg фсР — tg <р2) = 159,8(0,789 - 0,284) = 159,8-0,505 =
= 80,7 квар.
Пренебрегая потерями мощности при отсутствии нагрузки на
валу, определяют мощность синхронной машины, необходимую
для компенсации: SK = -^P^+Qi = -/0 + 80,72 = 80,7 кВ-А, т. е.
SK = QK — 80,7 квар.
346
В соответствии с этим выбираем по каталогу синхронную ма-
шину типа СМ с номинальной мощностью 5НОм = 120 кВ-А.
13.2. Трехфазный синхронный электродвигатель серии СДН
типа СДН 14-49-6 имеет следующие номинальные данные: актив-
ную мощность на валу Р2ном = Ю00 кВт, число пар полюсов р —
= 3, отношение максимального момента к номинальному моменту
Мпах/Л4ном = 2,0, частоту вращения п11т, = 1000 об/мин, частоту
питающего напряжения /=50Гц. Определить номинальные
значения угловой частоты вращения Йиом, моменты электродвига-
теля М„ом и Л4п,ах, угол рассогласования (нагрузки) 0НОм.
Решение. Номинальная угловая частота вращения элек-
50
тродвигателя й„ом = ы/р = 2nf/p = 2-3,14-^- = 104,7 рад/с. Но-
.. 1000-Ю3
минальныи момент электродвигателя:-/И,Юм =-^—=—— =
= 9,55-103 Н-м.
Максимальный момент электродвигателя: Л4тах = 2Л4НОм =
= 2-9,55-103= 19,1 Н-м.
Угол рассогласования при номинальной нагрузке sin 0Ном =
= -^1 = 4- = 0.5, откуда Оном = 30° = л/6.
м„,„ 1
13.3. В электрическую сеть с номинальным напряжением
С7В0М = 380 В включены параллельно три синхронные трехфаз-
ные электрические машины типа СМ114-6 с номинальными зна-
чениями: полной мощности Shom = 80 кВ • А, тока якоря /но» =
= 122 А, коэффициента мощности costp НОМ — работающие в
режиме генератора. Определить суммарную активную мощность
Pshom, отдаваемую синхронными генераторами в сеть в номи-
нальном режиме работы, а также мощности Р\ и Р'г, отдаваемые
в питающую сеть генераторами в случае, если с изменением тока
возбуждения и вращающего момента первичного двигателя ток
якоря /| одного генератора возрос на 10% при cos <pi = 0,96, а
ток якоря /2 другого генератора снизился на 10% при cos<j)2 =
= 0,8.
Решение. Мощности, отдаваемые генераторами в питаю-
щую сеть в нормальном режиме работы: _
Р I ном = Р2ном = РЗном = ~\/3U ном ZHOMiC0S фном = ~\/3 • 380 • 1 22 • 0,9=
= 72,3 кВт.
Суммарная активная мощность, отдаваемая в питающую сеть
генераторами в нормальном режиме работы: Pshom = Рыом+
+ Р2ном + Рзном = 3 • 72,3 = 216,9 кВт.
Ток якоря генераторов в режимах, отличающихся от номи-.
нального:
первого /| = 1,1 /ном = 1,1-122= 134,1 А,
второго /2 = 0,9/ном =0,9-122= 109,8 А.
Активная мощность,-отдаваемая в питающую сеть перегру-
женным генератором: Р\ = y!3U„avlicos<pi = -\/3• 380• 134,1 -0,96=
= 86,8 кВт.
347
Активная мощность, отдаваемая в питающую сеть недогру-
женным генератором: Pi = -^ЗГЛом/гсоз ср? = \ 3-380-109,8X
X 0,8 = 57,8 кВт.
13.4. Группа трехфазных асинхронных электродвигателей по-,
требляет из сети суммарную активную мощность Pi ном =
= 15 000 кВт при среднем коэффициенте мощности cos<p2 =
= cos фсР = 0,65. Определить мощность синхронного компенсато-
ра, с помощью которого необходимо довести коэффициент мощ-
ности установки путем компенсации реактивной (индуктивной)
составляющей до cos <[>2 = 0,96.
Решение. На диаграмме рис. 13.4 представлена зависи-
мость cos<pi от cos ф2 и Ki = Qi/P\mx. Из точки с координатой
cos q>2 = cos фср = 0,65 иа оси абсцисс проводим вертикаль до пе-
ресечения с горизонталью, проведенной из точки, соответствую-
щей costp, = 0,96 на оси ординат. Находят кривую реактивной
мощности, проходящую через точку с координатами costp2 = 0,65
и costpi = 0,96. Путем интерполяции определяют Хс = 90 (%)
(в относительных единицах Кс=0,9).
Затем определяют мощность необходимого компенсирующего
устройства (синхронного компенсатора): QK = Pi ном Хе = 15000Х
X 0,9 = 13 500 квар.
В соответствии с полученным расчетным значением QK выби-
рают по каталогу ближайший по мощности синхронный компен-
сатор серии КС типа КС-15 000-6 с номинальной мощностью
Shom = 15 000 КВ-А.
Задачи
13.5. Установленное иа производственном предприятии элек-
трооборудование характеризуется мощностями: суммарной ак-
348
Таблица 13.2
Технические Варианты контрольного задания 13.8
электродам- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
гателя
Тип электродвигателя
О О с ф ф зо зо X 30 х> X X X X X
— X $ ф ф — со ф со
•* ю i6 со ’f ’f «о со СО со ь.
X X X X X
сдн сдн । сдн сдн сдн Ч 3 ч и =1 и и ч
НОМ> кВ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
^2иом> кВт 630 800 1000 1250 1600 800 1000 1250 1600 2000 2500 3200 4000 5000 6300
% 93.8 94,4 94,6 95,1 95,7 84.8 95,4 94,8 95,6 96,0 95,8 96,4 96,7 96,6 96,9
COS ф,,,,, 0.9 0,9 0,9 0,9 0,9 0.9 0,9 0,9 0.9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
т. 5.4 5.7 5,8 5,8 6,2 5,4 5,6 4,8 5,0 6,1 5.3 5,9 6,5 5,7 6,7
К, 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,6 0,6 0,6
^Ицуск 0.8 0,85 0,8 0,85 0,95 0,75 0,95 0,85 1.1 1,3 1.3 1,1 1,3 0,75 0,8
тк„ 2 2.1 2,1 2.1 2,1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Г. 1,2 1,2 1.2 1,2 1,2 1.2 1,4 1,4 1,4 1.4 1.4 1,4 1,5 1,5 1.5
Продолжение табл. 13.2
Технические данные электродви- гателя Варианты контрольного задания 13.8
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип электродвигатели
со со со со со со СО со со <30 <30 <30 <30 ао ас
сг> <Л сг> <о сг> 3 -О СП СО ас О ср ю Л 3 <О
1Л со ' со СО со со Tf Tf со со сО '£>
X X X X X X X X X X X X X X
Ч Ч ч ч ч ч ч ч ч ГТ" ч ч
о и и и о и и и и и О о
U ном* КВ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
^2яом> кВт 1000 1250 1600 2000 2500 3200 4000 5000 6300 800 1000 1250 1600 2000 2500
Л но., % 95,2 95,8 95,7 95,9 96,4 96,6 96,5 96,8 97,1 84,8 95,4 94,8 95,6 96,0 95,8
cos<pHOM 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
Ш, 6,4 6,3 4,8 5,5 5,8 6,1 6,0 6,8 6,9 5,4 5,6 4,8 5,0 6,1 5,3
к, 0,6 0,6 0,6 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
^пуск 0,95 1,3 0,95 1 1.1 1,1 0,9 1 0,95 0,75 0,95 0,85 1,1 1,3 1,3
'Икр 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
г. 1,5 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7
тивной Р=150 кВт и суммарной
реактивной (индуктивной) Q —
= 200 квар. Номинальное линей-
ное напряжение питающей сети
U НОМ- 380 В. Определить Q НОМ* ре-
зультирующие токи нагрузки Л
и /2 и коэффициенты мощности уста-
новки costpi и cos<f>2 до и после
подключения к сети синхронного
электродвигателя типа СМ127-6
с номинальными данными: актив-
ной мощностью Р2яом = 158 кВт,
коэффициентом мощности соз<р„Ом=
= 0,8 (емкостной), КПД т]|,о»=
=91,9 %. Ответ. Q„„M= 118,5 квар; h —
= 311 А; Л = 466 A; cos ср, = 0,6; cos <р2 ==
= 0,97.
13.6. Определить номинальные значения угловой частоты вра-
щения ротора Q1I1OM, момента на валу Л1„ом и тока /НОм, потребляе-
мого из питающей сети синхронным электродвигателем типа
СД12-24-6, имеющим следующие номинальные данные: активную
мощность на валу Р2|«.м = 250 кВт, линейное напряжение (Лом =
= 380 В, коэффициент мощности cos <рП0м — 0,9, частоту враще-
ния Пном = 1000 об/мин, КПД Т]ном = 0,92. Огвет.Й2яом= 105 рад/с;
Л4„ом= 2.38-101 Н-м; /яом = 458 А.
13.7. Синхронный электродвигатель типа СД312-46-10А имеет
следующие номинальные данные: полную мощность 5Н(.м =
= 380 кВ-A, активную мощность на валу Р2ном=320 кВт, КПД
Ином = 0,93, частоту вращения пНОм = 600 об/мин. Определить
номинальные значения мощности Pihom, потребляемой двигателем
из питающей сети, момента нагрузки на валу ЛКом и коэффици-
ента МОЩНОСТИ COS ф„ом- Ответ. Р1„„м=346 кВт; Л4ЯОМ = 5,1 • 103 Н-м;
cos <рн„ч = 0,9.
Контрольное задание
13.8. Синхронный электродвигатель типа СДН имеет следующие номиналь-
ные данные (табл. 13.2) для каждого варианта задания: линейное напряжение
питающей сети (7„ом, частоту f = 50 Гц, мощность на валу Р2япм, КПД коэф-
фициент мощности cos ф„0„, кратность пускового момента т, = /Пуск/Люм. отно-
шение пускового момента к номинальному m„,« = Л4,|у„/Л4„„„, отношение макси-
мального момента к номинальному т,„ = Л4тах/Л4ном. Определить номинальную
угловую частоту вращения О2 ротора, максимальный и пусковой момен-
ты, пусковой ток /,,уся, полную мощность Sном при номинальной нагрузке. По-,
строить угловую характеристику М (6) электродвигателя, отметив на ней точку
для номинальной нагрузки Л4Н„„. и векторную диаграмму ЭДС, напряжений и
тока. Активным сопротивлением обмотки статора пренебречь.
Дополнительное задание. С помощью U-образных характеристик, представ-
ленных на рис. 13.8 в относительных единицах, определить коэффициент мощ-
ности cos <р для заданных значений мощности на валу Р> = КрРзно» и ток воз-
буждения It = Iв/1к „ом. а также полную S и реактивную Q мощности, потреб-
ляемые электродвигателем при заданных условиях. (Число полюсов электродви-
гателя определяют по последней цифре стандартного обозначения типа электро-
двигателя.)
351
Глава 14
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПРИВОД
114.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ
И ПРИНЦИПАХ ВЫБОРА ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ
Производственные машины и механизмы, как правило, приво-
дятся в движение с помощью электрического привода, который
включает в себя электрические двигатели, систему передачи и
аппаратуру управления. Выбор рода тока и величины питающего
напряжения приводного электродвигателя зависит от ряда фак-
торов. Применение электродвигателей постоянного тока в системе
электрического привода обусловливается необходимостью регу-
лирования частоты вращения производственного механизма.
Они характеризуются сложной технологией изготовления, более
дорогие и менее надежны в эксплуатации по сравнению с элек-
тродвигателями переменного тока. Мощность электродвигателя
должна соответствовать мощности производственного механизма,
так как занижение мощности электродвигателя способствует
преждевременному выходу его из строя, а завышение приво-
дит к снижению КПД т) и коэффициента мощности cosq>, повы-
шению стоимости и массогабаритных показателей установленно-
го электрооборудования. В большинстве случаев электродвига-
тель выбирают по нагреву и проверяют по перегрузочной спо-
собности, при этом они должны иметь достаточный пусковой
момент Мпуск для обеспечения нормального пуска.
При длительном режиме работы электродвигателя и неизмен-
ной нагрузке (рис. 14.1.1, а) превышение температуры двигателя
над температурой окружающей среды определяется уравнением:
т — ту(1—где ту — установившаяся температура электро-
двигателя, °C; t — текущее время, с; Т« — постоянная времени
нагрева, с.
При длительном режиме (/=оо) значение установившейся
352
температуры электродвигателя: т = ту — Q/А, где Q — количест-
во теплоты, выделяемой электродвигателем в единицу времени,
Дж/с; А —теплоотдача электродвигателя, Дж/с-град.
Постоянная времени нагрева электродвигателя определяется
отношением: Ти — С/А, где С — его теплоемкость, т. е, количест-
во теплоты, необходимой для повышения температуры двигателя
на 1 °C.
Для производственных механизмов, предназначенных для ра-
боты в длительном неизменном режиме, мощность электродвига-
теля выбирают по каталогу исходя из значения мощности, необ-
ходимой для приведения в движение механизма при данной
частоте его вращения п«. При этом должно удовлетворяться
условие Рном^Рм, где Рио„ нА — номинальная мощность элект-
родвигателя и расчетная мощность механизма.
В данном случае нет необходимости проверки электродвига-
теля по нагреву, так как при номинальной нагрузке нагрев его
всегда находится в допустимых для данного класса используемой
изоляции пределах. При этом, поскольку режим работы длитель-
ный с неизменной нагрузкой, выбранный электродвигатель на
перегрузочную способность по максимальному моменту также не
проверяется.
При длительной переменной нагрузке выбор мощности элект-
родвигателя может быть произведен по методу эквивалентного
тока, который основан на замене действительного, изменяющего-
ся во времени по величине действующего значения тока, потреб-
ляемого электродвигателем, эквивалентным током, при котором
потери мощности прн этой нагрузке соответствуют средним поте-
рям в нем при переменном режиме работы. Исходя из этого,
эквивалентное (среднеквадратичное) значение тока, потребляе-
мого электродвигателем при переменном режиме работы, опре-
деляют по формуле:
г -./ /дчк/п'гк 4- Ai 4- /2/2 4- 4-А7
’ A'lVnvr» + G)+I + ^2 + ... + Л’г/о
где Ь и т. д. — значения токов электродвигателя в проме-
жутки времени Zi, н т. д., соответствующие участкам графика с
неизменной нагрузкой; Ц — средние значения тока эле-
ктродвигателя соответственно во время пуска и торможения;
Кх — коэффициент, учитывающий уменьшение теплоотдачи
электродвигателя при пуске н торможении (принимается равным
0,75 для двигателей постоянного тока и 0,5 — для асинхронных
двигателей); Кг— коэффициент, учитывающий уменьшение теп-
лоотдачи электродвигателя во время паузы (принимается равным
0,5 для двигателей постоянного тока и 0,25 для асинхронных
двигателей). По значению эквивалентного тока выбирают по
каталогу соответствующий электродвигатель исходя нз условия,
что где /ном — номинальный ток двигателя. Выбранный
таким образом электродвигатель удовлетворяет условиям допус-
тимого нагрева, так как двигатели для продолжительного режи-
12-217
353
ма работы имеют номинальную мощность, указываемую в ката-
логе, без ограничения времени его работы. Далее электродвига-
тель проверяют по перегрузочной способности исходя из условия:
Х>/м//„оМ, где /м — наибольший ток рабочего промежутка вре-
мени, который находят исходя из диаграммы нагрузки двигателя.
Если выбранный по условиям нагрева электродвигатель не
удовлетворяет условиям перегрузки, то следует выбирать по
каталогу двигатель большей мощности, с тем чтобы он проходил
и по перегрузочной способности.
Требуемую мощность электродвигателя (на основании нагру-
зочной диаграммы при длительной переменной нагрузке, задан-
ной в виде графика эквивалентного момента в функции времени)
определяют по формуле:
М пуск^пуск + ^6+^2+...+^,
’ (^пускЧ- /»)+ h 4- ti 4-... 4- Kztn '
где Мпуск, Мт, М\, Mi — текущие значения момента нагрузки на
валу двигателя в соответствующие промежутки времени., При
исключении учета влияния ухудшения условий охлаждения
при пуске, торможении и остановках на нагрев двигателя эквива-
лентный момент находят по упрощенной формуле, считая (/пуск +
+ tr )= 0.
Номинальная мощность электродвигателя определяется по
значению эквивалентного момента по формуле: РЦ0№ = МЭк X
X Пном/9550, где пНОм — номинальная частота вращения двига-
теля.
Проверку электродвигателя по условиям допустимой пере-
грузки производят исходя из условия: Л4тах/МюМ>Хм, где —
кратность максимального момента соответствующего электро-
двигателя по каталогу; Л4тах — максимальный момент двигателя.
Электродвигатель проверяется также по достаточности разви-
ваемого им пускового момента из условия: Мпуск/Мном^Лпуск,
где Хпуск — кратность пускового момента двигателя по каталогу;
Мпуск — пусковой момент электродвигателя. Если выбранный
электродвигатель не удовлетворяет условиям перегрузки или
пуска, необходимо выбрать другой электродвигатель — большей
мощности. В ряде случаев вместо метода эквивалентного момен-
та при определении мощности электродвигателя используется
метод эквивалентной мощности Лк, который возможен при нали-
чии соответствующей нагрузочной диаграммы механизма, в
предположении постоянства КПД т] и коэффициента мощности
cos ф двигателя.
Эквивалентная мощность электродвигателя при этом опреде-
ляется по формуле, аналогичной формуле для эквивалентного
момента Л4ЭК:
р ___-* I Рпуек^пуск 4-Р(Л4-Р^4--4-Р24,
’ Kt (^ПуСк4- Л)4- 6 4* 64- 4- Kzti
354
Без учета влияния пуска, торможения и работы без нагрузки
формула соответственно упрощается. По расчетной величине
эквивалентной мощности по каталогу выбирают электродвига-
тель исходя из условия: Рпт,^Рэк.
Электродвигатель проверяется также на перегрузочную спо-
собность и по пусковому моменту Л4Пуск в соответствии с приве-
денными выше формулами. Прн кратковременном режиме за
время работы температура электродвигателя не успевает достиг-
нуть установившегося значения, а время паузы достаточно вели-
ко, так что за это время электродвигатель успевает охладиться
до температуры окружающей среды (рнс. 14.1.1, б). Промышлен-
ность изготавливает электродвигатели для кратковременного ре-
жима работы стандартной длительности 15, 30 и 60 мин. При
кратковременном режиме работы с постоянной неизменной одно-
ступенчатой нагрузочной диаграммой выбор мощности электро-
двигателя производится по значению мощности прн кратковре-
менном режиме работы и заданном времени работы в этом режи-
ме по каталогу. Прн этом выбирают двигатель, одинаковой или
ближайший большей мощности для заданного времени работы.
При ступенчатом кратковременном графике нагрузки механизма
определяют эквивалентные мощность, ток или момент нагрузки.
Затем по соответствующему эквивалентному их значению для
заданной номинальной частоты вращения и длительности работы
электродвигателя по каталогу выбирают мощность электродви-
гателя. При этом во всех случаях должно удовлетворяться усло-
вие: Рном j /эк /ном- Повторно-кратковременный
режим характеризуется чередованием рабочего периода и перио-
дов пауз (рис. 14.1.1, в). При этом режиме работы за время /р
работы электродвигатель не успевает нагреться до установив-
шейся температуры, а за время to паузы не успевает охладиться
до температуры окружающей среды.
Повторно-кратковременный режим работы характеризуется
относительной продолжительностью включения: ПВ% = 4Е- =
‘ Ц
= у^т-100%, где 7"h= (/р-Но)—длительность цикла.
Для использования в повторно-кратковременном режиме ра-
боты промышленностью изготавливаются специальные электро-
двигатели на нормированные продолжительности включения
ПВ1юм%: 15, 25, 40, 60 и 100%. При эмом время цикла Тц в пов-
торно-кратковременном режиме работы двигателя не должно
превышать 10 мин.
Выбор мощности электродвигателя при заданной нагрузочной
диаграмме может быть произведен по методам эквивалентного
тока, момента или мощности. При этом, если фактическая про-
должительность включения ПВ % при заданном графике нагруз-
ки отличается от нормированной продолжительности включения
ПВ„,„% электродвигателя, то фактический эквивалентный ток 131
эквивалентный момент МЭ1 или эквивалентную мощность РЭ1
12*
355
пересчитывают на ближайшую большую или меньшую нормиро-
ванную продолжительность включения ПВНОМ% по соответствую-
щим формулам
Г=1
” ” V пвном%’
М^=М„
I пв%
14ВНОМ%
„ / пв%
Лх = Лх
V ПВНОМ /о
где 1'зк, МэК, Рэк — соответственно эквивалентный ток, эквива-
лентный момент, эквивалентная мощность при данном графике
нагрузки, пересчитанные на ПВНОМ%. По этим значениям
определяется, как указано выше, мощность электродвигателя
производственного механизма. При этом также должны выпол-
няться условия • IЭК 1 НОМ , ном, ном, где / ном, Мно„,
Рном — соответственно номинальный ток, номинальный момент и
номинальная мощность электродвигателя по каталогу при данной
нормированной продолжительности включения ПВНОМ%.
Литература. (1| §12.1 — 12.4; [2] §16.1-16.5; [3] §17.1-17.7.
Примеры решения задач
14.1. Определить приведенный момент инерции /пр подъемного
механизма (рис. 14.1), если известны следующие данные: частота
вращения вала электродвигателя Q = 75,36 с1, масса поступа-
тельно движущихся частей Ga = 98 000 кг, передаточное число
редуктора: первой ступени it = 8, второй ступени (2 = 8,7, диа-
метр барабана d — 0,5 м, момент инерции ротора электродвига-
теля /д = 0,668 кГ-м2, момент инерции муфты и тормозного шки-
ва Л = 0,225 кГ -м2, КПД передачи т]пер = 0,95.
Решение. Момент инерции электродвигателя и частей
механизма, находящихся в нем на одном валу: / = /д-)-/„ +
-фJрел= 0,668+0,225-|-0,2-0,668 = 1,08 кг-м2 (момент инерции
редуктора принят равным. /Ред=0,2/д).
Частота вращения вала электродвигателя: n = 30Q/jt =
= (30 • 75,36)/3,14 = 720 об/мин.
Линейная скорость поступательно движущихся частей: v =
ndn 3,14'0,5'720 . . о . п . оо , . . .
=-----= -----------= 11,3 м/мнн = 0,188 м/с, где t = i\t2 =
1 70
= 8-8,7 = 70 — передаточное число редуктора.
Приведенный к валу электродвигателя момент инерции
Рис. 14.2
356
подъемного механизма с учетом поступательно движущихся
„ , , , 9.3G„+ , по , 9,3 98000 0.1882
частей. Jпр — У “f- j — 1,08 “I- ------------ — 1,08 —0,068 —
п Чпер 7202 0,95
= 1,15 кг-м .
14.2. Определить номинальную угловую частоту вращения
йном, время пуска /пуск и торможения /т электродвигателя
(рис. 14.2). Приведенный к валу электродвигателя момент инер-
ции системы /пр = 2,59 кг-м2, момент статического сопротивле-
ния Л4ст=10Н-м, номинальная мощность трехфазного асин-
хронного короткозамкнутого электродвигателя Р2ном = 7,5 кВт,
номинальная частота вращения и2ном = 980 об/мин. '
Решение. Номинальная угловая
п Ял2яом 3,14-980
тродвигателя: “2ж,м =- = —— =
Номинальный момент нагрузки на
Мной = 9550 P^Jn^ = 9550 = 72,8
Среднее значение момента на валу электродвигателя в пер'иод
пуска: Л4ср nyc„ = аЛ4„ом = 1,5-72,8 = 109 Н • м, где а—коэффици-
ент, характеризующий изменение момента при пуске электродви-
гателя (принимается а — 1,5).
Время пуска (разгона) электродвигателя до номинальной
, Л:р^2ном 2,59-102,5 j,
частоты вращения пНом: /пуск = ----_м = 1q9_10- =2,68 с
, -Тар п2ном _ 2,59 980 __ <) Р,я
ИЛИ /пуск - - эЗГ' 109-10 - с'
Среднее значение тормозного момента: Мг = аЛ/ном = 1,5 х
Х72,8= 109 Н-м.
Время торможения электродвигателя от номинальной частоты
вращения п^ом ДО полной остановки (при отключении от питаю-
щей сети):
частота вращения элек-
102,5 с"1.
валу электродвигателя:
Н-м.
•Лф ^2ном
2,59-980
2,2 с.
9,55 (М^-М^ 9,55(109+10)
14.3. Определить расчетную мощность Pv н выбрать по ката-
логу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвига-
тель общепромышленного назначения защищенного исполнения
для привода вентилятора подачей £>—9000 м3/ч при
давлении 77=981 Па. КПД вентилятора ^„ = 0,35, частота
вращения вентилятора пв = 1450 об/мин.
Решение. Расчетная мощность приводного электродвига-
n QH ,„_3 9000/3600-981 )п_3 G о
теля вентилятора: Р„=——10 =-----------,-------10 =6,94 кВт,
ЧиЧмр 0,35- 1
где Н — давление (напор), Па (1 мм вод. ст. = 9,81 Н/м2 =
= 9,81 Па); т)пер — КПД передачи от двигателя к вентилятору
(принимаем -qnep == 1).
Исходя из расчетного значения мощности Рр = 6,94 кВт, по
каталогу выбирают ближайший больший по мощности трехфаз-
ный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель с номи-
357
нальной частотой вращения, соответствующей частоте вращения
вентилятора. В данном случае этому соответствует асинхронный
короткозамкнутый электродвигатель типа 4A132S4 с номиналь-
ными данными: Р2ном=7,5 кВт, и, = 1500 об/мин, ^=0,87,
cos ф1яом = 0,86, С/1НОМ = 380 В.
Выбранный электродвигатель проверять по нагреву и на пере-
грузочную способность не требуется, так как он рассчитан на
соответствующую номинальную мощность для продолжительного
режима работы и нагрев ег.о находится в пределах допустимого
с учетом полного использования заложенных в него активных
материалов при номинальной мощности. Нет необходимости про-
верять электродвигатель и по пусковому моменту, поскольку венти-
ляторы (так же как и центробежные насосы) характеризуются
весьма незначительным моментом трения в момент трогания.
Так как режим работы вентиляторов связан с незначительным
изменением нагрузки, то выбранный электродвигатель на пере-
грузочную способность по максимальному моменту также не
проверяется.
14.4. Определить расчетную мощность Pf и выбрать по ката-
логу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвига-
тель центробежного насоса, предназначенного для перекачки
воды с подачей (7 = 1000 м3/ч. Частота вращения при
непосредственном сочленении насоса с электродвигателем
= 1500 об/мин, КПД насоса z/HOM = 0,72, напор насоса
Н — 12 м.
Решение. Расчетная мощность электродвигателя насоса:
р_ 7®Н in-з 9810(1000/3600)12 .ос □ ________
Л> =-----10 = ,——=48,6 кВт, где у — плотность
’/ном’/пер О,/2-1
воды (у = 1000 кг/м3 = 9810 Н/м3); т]ПеР— КПД передачи от
электродвигателя к насосу (т]пер = 1).
Исходя из расчетного значения мощности Рр = 48,6 кВт, вы-
бираем по каталогу ближайший больший по мощности, соответ-
ствующий частоте вращения пНом насоса, трехфазный асинхрон-
ный электродвигатель типа 4А225М4 с номинальными данными:
358
Pjhom —55 кВт; «гном—1450 об/мин; ^Ном = 0,92; cos<p1HO4 = 0,9; (71ком =
= 380 В.
14.5. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по ката-
логу трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамк-
нутым ротором с числом пар полюсов р = 3 для привода меха-
низма, график нагрузки которого представлен на рис. 14.5. Ухуд-
шения условий охлаждения в период пауз при расчете не учи-
тывать.
Решение. Синхронная частота вращения электродвигате-
ля: m = 60//Р =-^у2-= 1000 об/мин.
Продолжительность включения электродвигателя: ПВ % —
/р100% /р100% (/, + L.)100% . . (2-t-4)100%_ л 0/
----ta--------------1. + Н-1. “ 2+44-Ю ГДе
время работы механизма (Zp = 11 + 1г\ с; — время цикла рабо-
ты механизма (/и = +/о), с; to—время паузы, с.
Эквивалентная мощность электродвигателя за время одного
— Р,-
Расчетная мощность электродвигателя при ближайшем к
расчетному каталожному значению ПВНОМ% = 40 % : Pi0 =
= Р~УПВ%/ПВНОМ% = 7,65737,4/40 = 7,4 кВт.
По данным расчетов выбираем по каталогу ближайший боль-
ший по мощности, соответствующий частоте вращения м, электро-
двигатель типа A47"KF311-6, с номинальными данными: Р2Ном =
= 11 кВт; п,иом = 910 об/мин; ПВНОЧ% = 40%; (71ном = 380 В.
14.6. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по ката-
логу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвига-
тель для привода механизма с циклическим графиком момента
нагрузки, приведенным к валу двигателя (рис. 14.6). Произвести
проверку электродвигателя на перегрузочную способность.
Частота вращения исполнительного механизма п„ = 930 об/мин.
Решение. Эквивалентный момент нагрузки на валу: Л4ЭК =
+ Л4г/г + / 152 • 15 + 452 • 15 + 35" • 6 о л о и ..
- V ----/, + /2 + 6---V 15+15 + 6 - М'М-
Продолжительность включения согласно графику (рис. 14.6) :•
ПВ % = юо % = |54?^6 100 % = Ц-100 % = 60 %.
Расчетная мощность при ПВжм% = 60%: РР = Мпм/9550 =
= (34,2 • 930 )/9550= 3,32 кВт.
По данным расчета выбираем по каталогу для нормированной
продолжительности включения ПВНОМ% = 60% краново-металлур-
гический электродвигатель типа MTKF111-6 с номинальными
данными: Ляом=3,5 кВт; «2bom = 885 об/мин; Мвиа= 106 Н м.
Номинальный момент электродвигателя: Л4Ном=9550/’ном/л2вом::=
= 9550-3,5/885= 37,77 Н-м.
Проверку выбранного электродвигателя на перегрузочную
способность производят исходя из обеспечения: МнаИб<
359
где Мнаиб—наибольший момент
нагрузки на графике (рис. 14.6)
(Л4наиб=Л12 = 45 Н-м); ^—коэф-
фициент, учитывающий возмож-
ное снижение питающего напря-
жения (принимается равным Kv=
= 0,9).
Таким образом, М наиб-- 45<
<ЛяЛ/ПШХ=0,9-106 = 95,4 Нм, т. е.
в данном случае условие по обес-
печению требуемой перегрузоч-
ной способности электродвигателя
выполняется.
14.7. Проверить пригодность
краново-металлургического асин-
хронного трехфазного электро-
двигателя типа MTF112-6 с фаз-
ным ротором, предназначенного
для привода механизма, работающего по графику рис. 14.7.
Электродвигатель имеет следующие номинальные данные: Ргпом —
= 5 кВт; г]тм = 75%; cos <р1яом = 0,7; ПВНОМ=40%; п2ят = 930 об/мин;
С/1яом = 380 В.
Решение. Эквивалентный ток за время работы одного
цикла:
/ эк
16г-2 + 6г-2 +-6" + 6'2-t.22 2 + 22-1 + 32-1
2+2+2+1+1
=л/ 635fi = 8>9 д
V о
Продолжительность включения электродвигателя с учетом
поправок на ухудшение условий охлаждения в период пуска,
торможения и паузы
ПВ 7о=—100 % = (<1+<2+<з+<4+^)100%
р ' ° К] (б + б) + б + б + б + ^б)
_ (2+2+2+1 + 1)100% _ 8-100% _
0,75(2 + 1)+ 2 + 2 + 1 + 0,5-24 19,25
где /„— время цикла (/,,= /Р-(-/о)А'1 = 0,75; К2 = 0,5.
Номинальный ток электродвигателя
^2яом Ю3 5-Ю3 , . .
1яом= -—-----------------=---------------=14,48 А.
7з Цком f/яом cos <Р1яом ч/з • 380 • 0,75 • 0,7
Z,
360
Так как 71ЯОМ>7ЭТ при ПВНОМ = 40%, то электродвигатель про-
ходит по нагреву и пригоден для привода механизма, работаю-
щего в данных условиях.
Задачи
14.8. Определить расчетную мощность Рр электродвигателя
общепромышленного применения защищенного исполнения, пред-
назначенного для привода вентилятора подачей Q —
= 9000 м3/ч при давлении 77=490 Па. КПД вентилятора
т]в = 0,3b, частота вращения Па = 980 об/мин. Ответ. Рр=3,47 кВт.
14.9. Определить расчетную мощность Pv и выбрать по ката-
логу трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвига-
тель общепромышленного применения защищенного исполнения
для насоса. Подача насоса 2 = 500 м3/ч, напор /7=8 м,
частота вращения при непосредственном сочленении с
двигателем «2яом=730 об/мин; КПД насоса т]НОм = 0,72. Ответ.
Pf = 16,2 кВт, электродвигатель типа 4А200М8;7>2яом= 18,5 кВт; п, = 750 об/мин;
С/1яом = 380 В.
14.10. Для привода центробежного насоса с номинальными
значениями подачи Qmtt и напора /7ЯОМ принят трехфаз-
ный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель с номи-
нальными мощностью P^,OM — 350 кВт и частотой вращения
^2яом~ 1450 об/мин.
Определить подачу Q и напор насоса Н, а также
расчетную мощность Рр электродвигателя при уменьше-
- „ Qhom ,, Н ном
нии частоты вращения насоса вдвое. Ответ. Q=—~—; н = —-— ;
Рр = 43,75 кВт.
14.11. Определить расчетную эквивалентную мощность Рзк и
выбрать по каталогу трехфазный асинхронный короткозамкнутый
электродвигатель, приводящий в движение рабочий механизм
через редуктор, передаточное число которого /= 10:1, КПД ре-
дуктора т]Р = 0,9%. График нагрузки на валу электродвигателя
задан (табл. 14.1), частота вращения рабочего вала механизма
пм = 100 об/мин.
Ответ. Р„ = 2,75 кВт; Рном = 4 кВт; п, = 1000 об/мин; ^1ЯОМ= 380 В- Электро-
двигатель типа 4А112МВ6.
14.12. Определить соответствие краново-металлургического
трехфазного асинхронного короткозамкнутого электродвигателя
Таблица 14.1
р>, кВт Р2, кВт Рз, кВт Л, с /2, С /з, с
2 “33“ 1,5 —Т5- 15 15
типа MTF411-6 с номинальными данными: Т’2яом = 22 кВт;
361
Таблица 14.2
Величины Варианты контрольного задания 14.13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
М1, Н-м 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 20 20 20 20
ЛЬ, Н-м 50 45 40 35 30 50 50 50 50 50 55 55 55 55 55
Мз, Н-м 30 35 40 45 50 25 20 35 35 40 40 45 40 35 40
Ь, с 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 5 5 10 10 15
Ь, с 15 15 15 15 15 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15
Ь, с 5 10 10 10 10 5 5 5 5 5 15 20 15 20 25
to, с 10 15 15 15 15 20 20 20 20 25 15 15 20 20 25
«2ном О6/МИН 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735
Ко 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0.9 0,95 0,9 0,95 0,9
Продолжение табл. 14.2
Величины Варианты контрольного задания 14.13
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Alt, Н-м 25 25 25 35 35 35 35 40 40 40 45 55 65 65 65
Mi, Н-м 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
ЛЬ, Н-м 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 5 5 10 10 15
Ь, с 10 10 10 10 10 15 20 15 20 15 20 20 20 20 20
Ь, С 5 5 5 5 5 10 15 10 15 10 5 5 5 5 5
Ь, с 15 15 15 15 15 20 15 20 15 20 25 25 25 25 25
to, с 20 15 10 20 15 15 20 15 20 15 20 25 20 25 20
п2иом Об/мин 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 935 735 975 735 935
Ки 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95
^2ном 965 об/мин; ПВНОМ = 40%; Л/тм=650 Н-м механизму, ра-
ботающему в повторно-кратковременном режиме работы по
графику нагрузки рис. 14.12. Диаграмма дана без учета махового
момента инерции / электродвигателя. Коэффициент Ки, учиты-
вающий возможное снижение напряжения, принят равным 0,9.
Ответ. М,.,„5 = 500 Н м<0,9Мта> = 0,9-650 = 585 Н• м Электродвигатель удо-
влетворяет условию нагрева и перегрузочной способности.
Контрольное задание
14.13. Краново-металлургические трехфазные асинхронные электродвигатели
типа MTKF и МТКН используются для привода механизма с циклическим графи-
ком момента нагрузки, приведенным к его валу. Используя данные, приведенные
в табл. 14.2 для соответствующего варианта задания, определить расчетную мощ-
ность и выбрать по каталогу по условиям нагрева электродвигатель и произ-
вести проверку его иа перегрузочную способность. В табл. 14.2: Mi, М2, Мз —
моменты нагрузки на валу двигателя, соответствующие участкам нагрузочного
графика: Л, /2, 13 — время работы двигателя с заданными моментами нагрузки;
In — время паузы (интервалы между циклами работы); п — частота вращения
двигателя; Ки — коэффициент, учитывающий возможное снижение напряжения
питающей сети.
Дополнительное задание. Определить энергию IF„, потребляемую двигателем
из питающей сети за время цикла работы.
Глава 15
ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЯ
$ 15.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИИ
И ОПЛАТЕ ЗА ПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИЕЙ
Электрическая энергия от электрических станций с помощью
линий электропередачи (ЛЭП) передается потребителям электро-
энергии. Синхронные генераторы на электростанциях генерируют
электроэнергию переменного тока промышленной частоты f —
= 50 Гц при генераторном напряжении {Дном = 6... 10 кВ. Для
уменьшения токов /л в ЛЭП, а следовательно, потерь мощности
в линиях электропередачи Р, = 3/л7?л, где — сопротивление
линейного провода, применяют повышенное напряжение путем
использования повышающих трансформаторов; пр и.этом электри-
ческая энергия передается при минимальных потерях мощности.
Так как КПД мощных силовых трансформаторов достаточно высок
(т]ном % = 95 — 99 %), полная мощность первичной обмотки транс-
форматора может быть принята практически равной полной
мощности вторичной его обмотки, т. е. Si = t/i/i= U2h = Si, где
U\ и U2 — напряжения и токи Л и /г соответственно первичной
и вторичной обмоток трансформатора. С помощью повышающих
трансформаторов на повысительной подстанции, расположенной
вблизи электростанции, генераторное напряжение 6... 10 кВ повы-
шают до значений НО, 220, 400, 500, 750 и 1150 кВ. При этом
токи в линии электропередачи и ее сечение резко уменьшаются.
Далее электрическая энергия при указанном высоком напряже-
нии подается на районную понизительную подстанцию (РПС),
которая обычно присоединяется к кольцевой районной сети. На
распределительных подстанциях высокое напряжение понижает-
ся до значений 35, 10 и 6 кВ, а на центральном распределитель-
ном пункте (ЦРП) производственного предприятия это напря-
жение понижается до значений 380/220 или 660 В, соответ-
ствующих номинальному напряжению потребителей электро-
энергии.
В процессе проектирования системы электроснабжения пред-
приятий приходится определять электрические нагрузки и рас-
считывать электрические сети, предназначенные для передачи и
распределения электрической энергии между ее потребителями.
При этом используется метод установленной мощности и коэф-
фициента спроса. Коэффициент спроса Кс является статистиче-
ской величиной, он определяется на основании опыта эксплуата-
ции одноименных приемников и дается в справочных источниках.
364
Этот метод является приближенным, так как значение не
постоянно и меняется, например, с изменением числа однородных
потребителей электроэнергии группы. Кроме этого метода опре-
деления электрических нагрузок имеются и другие методы, на-
пример метод упорядоченных диаграмм или показателей графи-
ков нагрузок, удельного расхода электроэнергии на единицу пло-
щади и др.
К сетям внутреннего электроснабжения относятся сети, раз-
мещенные внутри помещения или на территории объектов с
номинальным напряжением до 1000 В. При этом наиболее рас-
пространена четырехпроводная трехфазная система напряжений
380/220 и 660/380 В. Расчет электрических сетей обычно выпол-
няется по условиям допустимого нагрева проводов и кабелей и
условиям допустимой потери напряжения. Потерю напряжения в
электрических сетях постоянного тока рассчитывают по форму-
лам: % =----г— или А (У % —------тр—, где —расчетная
прU ном
мощность потребителя электроэнергии, Вт; U ном номинальное
напряжение потребителя электрической энергии, В; / — расчет-
ный ток нагрузки, А; I — длина линии, м; у — удельная прово-
димость проводов или кабелей, м/Ом-мм2; snp—сечение про-
водов или жил кабелей, мм2.
Потерю напряжения в трехфазных электрических цепях
определяют исходя из выражения
А(/% = (/?0cos<p + X0sin<p)100 %, где 6/л ном — номи-
О л ном
нальдое линейное выражение, В; /л — линейный ток, А; /?о, -Vo —
активное и индуктивное сопротивления километра провода,
Ом/км; costp—коэффициент мощности потребителя электро-
энергии и соответствующий ему sirup.
Сечения проводов, полученные в результате расчетов на
нагрев, .механическую прочность и допустимую потерю напряже-
ния в линии электропередачи сравнивают с табличными (ката-
ложными) данными и выбирают их ближайшее большее зна-
чение.
Элементы электрических сетей и потребители электроэнергии
защищаются от короткого замыкания с помощью плавких пре-
дохранителей и автоматов с максимальной защитой. Электриче-
ская энергия, отпускаемая энергоснабжающей организацией
потребителю электроэнергии, оплачивается потребителем в со-
ответствии с действующими одноставочным и двухставочным
тарифами на оплату.
Потребители электрической энергии преобразуют активную
мощность в другие виды энергии и при этом периодически обме-
ниваются с источником энергии реактивной мощностью, необ-
ходимой для нормальной работы отдельных звеньев цепи пере-
дачи электрической энергии (трансформаторов, реакторов,
365
электродвигателей и т. д.), которая затрачивается на создание
переменных электромагнитных полей. Наличие реактивных токов
потребителей электрической энергии вызывает дополнительные
электрические потери мощности в проводах питающей сети, ко-
торые растут обратно пропорционально квадрату косинуса угла
сдвига фаз (coscp):
Рэ = 3/.?/?л=—7
С/ л
S-R, P2R,
t/2cos2<p
где /л — ток нагрузки; Р, S — активная и полная мощности
потребителя; (Л, — линейное напряжение питающей сети; <р —
угол сдвига фаз между напряжением и током.
Коэффициент мощности, являясь важным экономическим по-
казателем, характеризующим качество использования электро-
энергии, показывает, какую часть потребляемой полной мощно-
сти составляет активная мощность. Контроль качества электро-
энергии, потребляемой предприятием, осуществляется энерго-
снабжающей организацией. В связи с этим значение коэффици-
ента мощности не нормируется, а нормируется количество реак-
тивной энергии, которое предприятие получает от энергосистемы.
С учетом этого энергоснабжающая организация нормирует эко-
номически обоснованную наибольшую величину реактивной мощ-
ности, которую предприятие может получить в период работы
энергосистемы в режиме наибольшей ее активной нагрузки,
определенную по техническим условиям, и наименьшую величину
реактивной мощности, которая может быть передана энерго-
снабжающей системе в период ее наименьших активных нагру-
зок. В связи с этим на производственных предприятиях осу-
ществляются мероприятия по компенсации реактивной мощно-
сти с использованием соответствующих компенсирующих ус-
тройств.
К таким мероприятиям относится применение статических
конденсаторов, синхронных компенсаторов и синхронизирован-
ных асинхронных электродвигателей. Выбор параметров и режи-
ма работы компенсирующих устройств осуществляется с учетом
обеспечения наибольшей экономичности, критерием которой яв-
ляется минимум приведенных затрат, при соблюдении всех тех-
нических ограничений.
При использовании на предприятиях для компенсации реак-
тивной мощности косинусных конденсаторов необходимую реак-
тивную мощность определяют исходя из выражения; QK =
= Q„ — Q3 = PwtgtpM — /’«tgcp, = P„(tgq>M — tg<p3), где Q„ — фак-
тическая реактивная мощность потребителя в часы максимума
активной нагрузки энергосистемы, квар; Q3 — оптимальная реак-
тивная мощность потребителя электроэнергии, заданная энерго-
снабжающей организацией, в часы максимума активной нагруз-
ки энергосистемы, квар; Рн — заявленная потребителем актив-
ная мощность в часы максимума активной нагрузки энергосис-
темы (активная мощность, зафиксированная в приложении к
366
договору на пользование электроэнергией), кВт; tg<рм, tg<рэ —
фактический и оптимальный (заданный энергосистемой) «тангенс
фи» в часы максимума нагрузки энергосистемы.
Электрическую емкость трехфазной батареи конденсаторов
при соединении конденсаторов «звездой» и «треугольником» оп-
ределяют соответственно по формулам
* _ 3.-103Q„
Ч 2nfU* И U
103QK
, мкФ,
где f = 50 Гц — частота питающей сети; U»—линейное напря-
жение, кВ; QK —реактивная мощность конденсаторов, квар.
Наиболее часто косинусные конденсаторы соединяются в ба-
тарею «треугольником», так как при этом емкость ее оказывается
в 3 раза меньшей, чем при соединении «звездой».
Различают централизованную, групповую, индивидуальную и
смешанную схемы компенсации реактивной мощности. Выбор
схемы компенсации осуществляется в результате технико-эконо-
мических сравнений схем, которые в принципе могли бы быть
приняты к использованию на данном предприятии.
Расчеты по оплате за пользованием энергией потребители
электроэнергии осуществляют по одноставочному и двухставоч-
ному тарифам. Одноставочный тариф включает в себя только
плату за 1 кВт-ч отпущенной потребителю активной электриче-
ской энергии, учтенной расчетным счетчиком. По этому тарифу
оплачивают промышленные и приравненные к ним потребители
электроэнергии с присоединенной мощностью до 750 кВ-А вклю-
чительно. При расчетах за пользование электрической энергией
применяются скидки и надбавки к тарифу на электроэнергию
по результатам компенсации реактивной мощности в электро-
установках. Скидка или надбавка к тарифу для потребителей
электроэнергии с присоединенной мощностью до 750 кВ-А
определяется по шкале (табл. 15.1) в зависимости от величины
коэффициента К = -^-100 %, где <2кф и QK3 — соответственно,
V м
фактическая мощность установленного оборудования и заданная
энергоснабжающей организацией мощность компенсирующего
Таблица 15.1
При значении коэффициента К, % Размер скидки (—) и надбавки ( + ) К\, %
130 и более +50
От НО до 130 + ю
» 90 » НО -5
> 70 > 90 0
> 50 > 70 + ю
» 30 > 50 +30
До 30 + 50
367
устройства, квар. Шкала скидок и надбавок к тарифу за откло-
нение мощности компенсирующего устройства для потребителей
с присоединенной мощностью до 750 кВ-А представлена в
табл. 15.1.
Стоимость электроэнергии при оплате по одноставочному та-
рифу включает размер основной оплаты за электроэнергию,
потребляемую предприятием: ^01 = Л>1Ига, руб., где Ь\ — пла-
та за 1 кВт ч потребляемой электроэнергии (для одноставоч-
ного тарифа определяется по прейскуранту), руб.; — актив-
ная энергия, потребляемая предприятием по счетчику, кВт-ч.
Размер скидки или надбавки к оплате за отклонение мощно-
сти компенсирующего устройства от заданной электроснаб-
жающей организацией рассчитывают по формуле: Ва=сИ\
или Вд=±-^-Во1, руб, где с=±6|-^----------размер надбавки
1 IAJ 1 ии
(+) или скидки (—) к тарифу на электрическую энергию за
1 кВт-ч, руб.
Общая стоимость оплаты за электроэнергию при работе по
одноставочному тарифу рассчитывается по формуле: Bi = Boi ±
±.Ва = Ь^х i - - ~К' b'W„ руб. По двухста-
1UU 100
По двухставочному тарифу рассчитывают промышленные и при-
равненные к ним потребители электроэнергии с присоединенной
мощностью выше 750 кВ-А. Двухставочный тариф учитывает
годовую стоимость 1 кВт-ч'заявленной (абонированной) потре-
бителем электроэнергии максимальной мощности в период мак-
симума нагрузки энергосистемы (основная или постоянная пла-
та) и плату за 1 кВт-ч отпущенной потребителю активной элек-
троэнергии (дополнительная или переменная плата).
Размер основной стоимости электроэнергии при оплате по
двухставочному тарифу рассчитывают исходя из выражения:
Во2 = d\ (S Рэаяв ) Н-——---- ] ,
L ' COS<f0T]cp J
где S — заявленная присоединенная или наибольшая получасо-
вая мощность, отпускаемая потребителям в часы суточного
максимума активной нагрузки энергосистемы, кВ-А; Рзалв — за-
явленная присоединенная активная мощность в часы «пик» на-
грузки энергосистемы, кВт; Рус, — установленная активная
мощность потребителей, кВт; d — тарифная ставка за 1 кВ-А
заявленной присоединенной мощности или за 1 кВт заявленной
присоединенной мощности в часы «пик» нагрузки энергосистемы
(плата на 1 кВт максимальной нагрузки), руб/год; cos<pcp—
средний коэффициент мощности; т|ср — средний КПД потреби-
телей.
Дополнительная плата за фактически израсходованную по
368
счетчику активную энергию рассчитывается по Формуле:
Ва2 = Ь2№\, руб., где Ь2 — плата за 1 кВт ч потребленной элект-
роэнергии, руб. (для двухставочного тарифа определяется
по прейскуранту); — годовая отпущенная потребителю по
счетчику активная электрическая энергия, кВт-ч. При оплате
по двухставочному тарифу потребитель электроэнергии заинтере-
сован более полно использовать установленную мощность тран-
сформаторов, не завышать их мощность, выравнивать потреб-
ление электроэнергии (график нагрузки). При расчете с про-
мышленными и приравненными к ним потребителями электро-
энергии для обеспечения заинтересованности предприятий в
мероприятиях по компенсации реактивной мощности предусмат-
ривается поощрение в виде шкалы скидок, а за превышение
заданной величины потребляемой реактивной мощности — над-
бавок к тарифу на электрическую энергию. Скидки и надбавки на
электрическую энергию для потребителей с присоединенной
мощностью выше 750 кВ-А включают надбавки за превышение
расхода реактивной мощности электроустановки по сравнению с
заданной энергоснабжающей организацией в часы максимальной
о 11 Фф1 О/
активной нагрузки энергосистемы: /Л = 30--------%, где
ОФ1 — фактическая реактивная мощность, расходуемая потребите-
лем электроэнергии в часы максимума активных нагрузок энерго-
системы, квар; Qsi—оптимальная реактивная мощность в часы
максимума активной нагрузки энергосистемы, заданная энерго-
снабжающей организацией потребителю, квар; РФ — фактическая
максимальная активная мощность потребителя электроэнергии за
расчетный период, кВт. В том случае, когда Оф^Ол, /71=0. Скид-
ки или надбавки (%) к тарифу на электроэнергию за несоблюдение
режима работы компенсирующего устройства, заданного энерго-
снабжающей организацией, оцениваются по отклонению факти-
чески' потребленной реактивной мощности от заданной в часы
минимума активной нагрузки энергосистемы: H2—2Q^^—QilL.,
’ф
— 2, где Сф2 — фактическая реактивная мощность, расходуемая
потребителем в часы минимума активной нагрузки энергосистемы,
квар; Q92 — заданная энергоснабжающей организацией оптималь-
ная реактивная мощность в часы минимума активной нагрузки
энергосистемы, квар (реактивные мощности 0ф2 и Q,? определя-
ются энергоснабжающей организацией на каждый квартал теку-
щего года).
Положительные значения Н2 означают надбавку, отрицатель-
ные — скидку (разность в скобках всегда принимается положи-
тельной независимо от ее знака). Суммарная величина оплаты
за пользование электроэнергией при расчете по двухставочному
тарифу: В2= N2±L(2 = (Bo2-[-B^)±H/\OO-(Bo2 + Bl2)) руб/год,
где N2 = В02 + Вл2 — величина оплаты за пользование электро-
энергией без скидок и надбавок, руб/год; Ц2 — скидка «—» или
369
«-|-» надбавка к тарифу за отклонение от установленных норм
компенсации реактивной мощности, Д2=±///100.А2=±///100Х
X (В02 + Вдг), где Н — скидка и надбавка к тарифу, %; или В2 =
_ 100 ,р । о 100±D п /
100 । ^д2 ) — IQQ I и (р “|“ г заяв ) “р г уст jCOS(pcpT]cp “р
+ b2Wa • 1 ОСИ8], руб/год.
Литература: [1] § 3.1—3.8; 12.7—12.9; [2] §3.1—37; 17.7
Примеры решения задач
15.1. Электрооборудование цеха питается от трехфазной
электрической сети с номинальным линейным напряжением
^Ллном —220 В. Суммарная номинальная расчетная мощность
потребителей электроэнергии Р]НОМ = 40 кВт при значении коэф-
фициента мощности созфном = 0,8. Определить сечение трехжиль-
ного кабеля, проложенного от цеховой подстанции до самого
удаленного от подстанции потребителя. Длина кабеля /=
= 25 м = 0,025 км.
1яом
Решение. Расчетный ток кабеля /р =
. „3 ^1лИОМСО5^1ЯОМ
__ ^u' |и ___ IV) А
73^220-0,8 1г52А-
Данному значению расчетного тока соответствует трехжиль-
ный кабель с алюминиевыми жилами, сечением 3X70 мм2, марки
ААБГ 3X70. При прокладке в закрытом помещении кабель до-
пускает длительную нагрузку по току /ДОп = 155 А.
Проверка сечения кабеля по плотности тока производится
исходя из условия: /ДОп>/Р. В данном случае это условие удо-
влетворяется, так как /доп = 155А>/Р= 132 А.
Проверка кабеля по допустимой потере напряжения осуще-
ствляется по формуле: \U%= 100/р\р0со5фном + Aosinq>HOM >=
^1лиом
л/3-Юр. 132-0,025 к л о , п ое n i ci о/ п
= —------220-------' (0,5-0,8 + 0,35-0,6)= 1,61 %, где Ro — актив-
ное сопротивление 1 км кабеля, Ом/км; Ло — индуктивное сопро-
тивление 1 км жилы кабеля, Ом/км. Для принятого сечения ка-
бельных линий напряжение до 1000 В приближенно можно при-
нять /?о=О,5; Хо = 0,350 Ом/км, потеря напряжения в кабеле
At/ % = 1,61 %<{/доп= 5 %, что допустимо.
15.2. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа А62-6
имеет номинальные данные: Р2яом=Ю кВт; С71ЛНОМ=380 В; и2ном=
= 970 об/мин; т]„Ом = 86,5 %; cos<p1HOM == 0,82; кратность пуско-
вого тока X/ = 4,5. Определить сечение snp алюминиевых проводов
370
Рис. 15.3
6/0,4к8
Рис. 15.4
марки АПР-500 при прокладке их в газовых трубах, выбрать
предохранители с соответствующими плавкими вставками.
Решение. Номинальный ток электродвигателя • 11ном —
Ргяом'Ю3 1Q-103 — 21 5 А
л л/ 3 * 380* 0.82 • 0,865
Исходя из значения тока /, «ом = 21,5 А, по соответствующей таб-
лице находят стандартное сечение алюминиевого провода snp =
— 4 мм2, которому соответствует длительно допустимый расчетный
ток /доп = 28 А.
Выбор плавких вставок предохранителей для защиты электро-
двигателей от токов короткого замыкания производят исходя из
условия: /пвст > = ~~2у- — 39,7 А. Выбираем предохрани-
тель типа ПР-2 на номинальный ток Лом = 60 А с током плавкой
вставки Ласт = 45 А. Проверку производят исходя из условия:
/пвст//доп= 45/28 = 1,6<3. Следовательно, плавкая вставка
обеспечивает защиту установки от действия токов короткого за-
мыкания.
15.3. В трехфазную трехпроводную питающую сеть с линей-
ным напряжением t/1;IHOV=660 В включен асинхронный электродви-
гатель с номинальными данными: Ргном = НО кВт; cos Фыом = 0,9;
rjHOM = 0,92. Определить коэффициент мощности cos <р установки
после подключения батареи конденсаторов с емкостью С =
= 635 мкФ в каждой фазе, соединенных треугольником (рис. 15.3),
и линейный ток /л в питающей сети.
Решение. Активная мощность, потребляемая асинхронным
электродвигателем при номинальной нагрузке: Pi ном = Рг ном/т|ном =
= 110/0,92 = 119,56 кВт.
Реактивная мощность, потребляемая при этом двигателем:
Qi «ом = Pi ном tg<p1HOM= 119,56-0,484 = 57,87' квар, где tg<piBOM =
= 0,484, соответствующий номинальному значению cos <р1ноч = 0,9;
угол <р = 25°50'.
371
Двига- тель Номи- нальная мощность ^2ном> Номи- нальный кпд Ином* % Номиналь- ный коэф- фициент мощности COS'PlTOM Крат- ность пуско- вого тока К/ Номи- нальный ток А НОМ’ А Рабочий ток /Р. А Пусковой ток 7 Д Чпусж» ™
о. 10 86,5 0,82 4,5 21,5 20,4 97
D, 28 90 0,88 5.5 54 5,13 297
D3 40 90,5 0,89 6,0 76 72,1 456
Dt 55 91 0,89 6,0 103 98 618
Реактивное сопротивление конденсаторов: Хс = 1 /о>С =
= 107(314-635) = 5 Ом.
Полная мощность, потребляемая двигателем при номинальной
нагрузке: А1НОМ = д/Р ।ном + Q2 = д/11 9,562 + 57,872 = 121 кВ-А.
Реактивная мощность конденсаторов: Qc = 3U2/Xc — 3^- =
= 261,36 квар.
Реактивная мощность, потребляемая установкой при включе-
нии конденсаторов: Q=Qc—Q\«.>«= 261,36—57,87=203,49 квар.
Полная мощность, потребляемая установкой при включении
конденсаторов: S = д/ Р? „0« 4- Q2 = д/119,562 + 203,492 = 236 кВ-А.
Линейный ток, потребляемый установкой при включении кон-
денсаторов: /л = S/д/3 ил = 236 gee = 206,7 А.
Коэффициент мощности установки с конденсаторами cos <р =
= Piном/S = 119,56/236 = 0,59 (опережающий).
15.4. Радиальная система распределения электроэнергии сило-
вой питающей сети при номинальном напряжении (71ном= 380 В
(рис. 15.4) обеспечивает питание четырех асинхронных коротко-
замкнутых электродвигателей, номинальные данные которых при-
ведены в табл. 15.2. Исходя из номинальных токов электродвига-
телей, выбрать автоматические выключатели и сечения snp
алюминиевых проводов для питания отдельных асинхронных
электродвигателей; прокладка проводов осуществляется в газо-
вых трубах в помещении нормального типа при температуре
окружающей среды t = 25 °C.
Решение. Номинальный ток электродвигателя Dt
(табл. 15.2).
г _______________________ ______10 - 103____ 9| с: д
1НОМ А,/ ~ чЗ-380-0,865-0,82 ’ ’
V 3 ^Лном^номСО® *Р1ном
Рабочий ток электродвигателя: /Р = Аз/ном = 0,95-21,5 =
= 20,4 А, где Аз — коэффициент загрузки двигателя по току
372
Таблица 15.2
Тип автома- та Тип рас- цепителя автомата Номинальный ток Кратность токов срабатывания расце- пителя Ток плавкой вставки / п вст предо- храни- теля, А Сечение провода марки АПР, мм2
автомата / ном а- А расцепи- теля / А ‘ ном р, Л
теплового электро- магнит- ного
АЗ 163 Тепловой 50 20 1 91 1 ном р 45 3X4
А3114/1 Комби- нирован- ный 100 60 1,25/ ном р 10/ном р — ЗХ 16
A3I14/1 » 100 85 1,25/ ном р 1 0/ НОМ р — 3X25
А3114/1 » 100 100 1,25/ ном р 10/ НОМ р — 3X50
(Аз = 0,95). Пусковой ток электродвигателя: Апусх = ^1Ляом =
= 4,5-21,5 = 97 А, где К/ = ЦЩС1/1}1Ю1Л= 4,5 — кратность пусково-
го тока электродвигателя.
Автоматический выключатель для электродвигателя D} вы-
бирают с тепловым расцепителем. Номинальный ток автомата Ai
выбирают из условия: Дома>7р, а номинальный ток расцепителя —
из условия: /Но«Р /Р.
Исходя из расчётных данных, выбираем автоматический вы-
ключатель типа А 3163. Номинальный ток автомата /НОма = 50 А,
номинальный ток теплового расцепителя /НОмР = 20 А. Так как
выбранный автомат типа А 3163 имеет только тепловой расцепи-
тель и не обеспечивает защиту от токов короткого замыкания,
при этом предусматривается дополнительно установка предохра-
нителей. Выбираем предохранители типа ПР-2 на ток 60 А; ток
плавкой вставки /пвСт = 45 А. Расчеты для других электродвига-
телей производятся аналогично. Типы автоматических выключате-
лей и сечения выбранных проводов для всех электродвигателей
приведены в табл. 15.2.
15.5. Привод насосов насосно-фильтровальной станции осу-
ществляется асинхронными электродвигателями с короткозамкну-
тым ротором при номинальном напряжении ^inoM = ^0 В. Опре-
делить мощность 51ном трансформатора, если электродвига-
тели насосов имеют номинальные данные, приведенные в
табл. 15.3, при этом учесть мощность осветительного оборудова-
ния. Общая площадь станции Sc=300 м2.
Решение. Установленная мощность осветительной нагруз-
ки станции определяется по методу удельной мощности: Рос =
= Руд£с = 10-300 = 3000 Вт = 3 кВт, где РУд — удельная уста-
новленная мощность, Вт/м2 (при освещении помещения лампа-
ми накаливания принимаем по справочнику Руд= 10 Вт/м2).
Суммарная активная мощность электродвигателей типа
* Электродвигатели серии А в настоящее время ие изготовляются, ио имеются
в эксплуатации.
373
Таблица 15.3
Наименование групп потребителей электро- энергии Коли- чест- во токо- при- емни- ков Л/, шт. Уста- нов- лен - ная мощ- ность А. кВт Коэф- фи- циент спро- са К. tWl»» Мощности
актив- ная & реак- тивная <2р. квар полная sP. кВ-A
Электродвигатель на- соса 12НДстипа А103-4М, Р2ном = — 200 кВт; Л2ном = = 1475 об/мин 2 400 0,8 0,91 0,445 320 142,5 352
Электродвигатель на- соса 16НДв типа А102-8М, Р2ном- = 100 кВт; «2яом = = 740 об/мин 1 100 0,6 0,86 0,59 60 35,4 69,8
Электродвигатель на- соса КВН-4 типа А02- 22—4, ^2ном 1,5 к Вт; л2яом ~ 450 об/мин 1 1,-5 0,5 0,81 0,72 0,75 0,539 0,93
Электродвигатель до- зировочного насоса ПР-5/6,Р2ном=2,8 кВт; п2но.м =2900 об/мии 2 5,6 0,8 0,85 0,62 4,48 2,78 7,23
Электродвигатель на- соса 1,5Х-6п перекачки раствора коагулянта типа А02-31-2,Р2яОм = 2,8 кВт; п2ном = 2900 об/мин 1 2,8 0,8 0,38 0,54 1,76 0,95 2
Электродвигатель на- соса 6К-12а повторного пользования воды типа А02-52-4, Р2яом= Ю кВт; л2иом = 1450 об/мин 1 10 0,4 0,88 0,54 4 2,08 4,5
Электродвигатель воз- духодувки ВВН-12 типа А02-82-6, Р2яом=25кВт; л2яом= 975 об/мин 2 50 0,8 .0,82 0,7 40 28 48,7
Электродвигатели из- вестемешалки 1 10 0,8 0,82 0,7 28 5,5 9,76
Электродвигатели вен- тиляторов !• 30 0,8 0,82 0,7 24 16,8 29,4
Нагрузки котельной 1 25 0,8 0,8 0,75 20 15 25
Прочие нагрузки Итого 2 40 0,6 0,8 0,89 0,75 0,507 24 Х'Рр 527 18 2 Ср 268 20 600
Осветительная нагруз- ка Суммарная нагрузка 1 3 0,8 cos^ 0,89 tg<Pcp 0,507 2,4 ХРр 529,4 268 2,4
А103-4М* насосов 12НДс: РЕ=РуаЛ;=400 0,8 = 320 кВт, где К —
коэффициент спроса, для насосов этого типа /^ = 0,8 (табл. 15.4).
Мощности электродвигателей А103-4М насосов типа 12НДс:
суммарная реактивная Qs = PEtg9>i„oM = 320-0,445 =
374
Таблица 15.4
Электроприемиики и обслуживающие . их механизмы Расчетные коэффициенты
Кс COS фр tg<₽P
Металлообрабатывающие станки с ин- дивидуальным приводом в цехах холод- ной обработки металлов 0,14—0,16 0,50 1,732
Краны ремонтных, механических и дру- гих подобных цехов 0,06 0,50 1,732
Механизмы непрерывного транспорта: сблокированные 0,65 0,75 0,882
несблокироваиные 0,60 0,75 0,882
Вентиляторы: производственные 0,75—0,85 0,80—0,85 0,75—0,62
сантехнические 0,65—0,70 0,80 0,75
Насосы, поршневые компрессоры и газовоздуходувки, двигатели-генераторы, дымососы и т. п. 0,75—0,85 0,80 0,75
Турбогазовоздуходувки 0,85 0,85 0,62
Дробилки, грохоты, бегуны и т. д. 0,75—0,80 0,80 0,75
Мельницы 0,80—0,85 0,80—0,85 0,75—0,62
Мешалки, центрифуги, сгустители, классификаторы и т. п. 0,75 0,75 0,882
Индукционные электропечи (без ком- пенсации коэффициента мощности): высокой частоты 0,80 0,10 10,05
низкой частоты 0,80 0,35 2,677
Печи сопротивления с нагрузкой: автоматической 0,70—0,80 0,98 0,203
неавтоматической 0,60—0,70 0,98 0,203
Трансформаторы дуговых печей 0,90 0,87 0,567
Агрегаты электрофильтров для газов 0,80 0,78 0,802
= 142,5 квар, где tg ф— величина, соответствующая заданному
COS(Pihom = 0,91; суммарная полная 52. = х/р^+О^=Л/з202+ 142,52 =
= 352’кВ-А.
Аналогичным образом производят расчеты и для других групп
потребителей электроэнергии.
Средневзвешенное значение коэффициента мощности сило-
вых потребителей электроэнергии станции без учета осветитель-
ной нагрузки определяется отношением: (см. табл. 15.3) tg ф =
= S Qp/S'^p = 268/527 = 0,507, откуда cos ф = 0,89.
Средневзвешенное значение коэффициента мощности уста-
новки с учетом осветительной нагрузки РрОс = КсРос станции
определяется из выражения: tg фср = SQp/^Pp — 268/(527 +
+ 2,4) = 0,507, откуда cos (р^ — 0,89.
Суммарная полная мощность потребителей электроэнергии
с учетом осветительной нагрузки: 25р = ~\/(S^p)2 + (SQp)2 =
= д/(529,4)2 + 2682 = 593 кВ • А.
С учетом обеспечения резерва бесперебойного электроснаб-
жения для питания насосной станции выбираем два трансформа-
375
тора типа ТМ-630/6—10 с номинальной мощностью 51ном =
= 630 кВ-А. Результаты расчетов сведены в табл. 15.3.
15.6. Для повышения коэффициента мощности и уменьше-
ния потребляемой из питающей сети реактивной мощности
предусмотрена ее компенсация с применением косинусных кон-
денсаторов. Среднее расчетное значение фактического cos фм =
= cos фсР = 0,76 установки. Средняя суммарная активная мощ-
ность потребителей электроэнергии предприятия Рср = 2 Р'~ =
= 311,14 кВт, линейное напряжение питающей сети £71л =
= 380 В. Определить емкость С и тип конденсаторов, необходи-
мых для подключения к питающей сети с целью повышения
коэффициента мощности до оптимального значения, заданного
энергосистемой: cos фэ = 0,92 (tg ф, = 0,43). Составить электри-
ческую схему включения конденсаторов С и разрядных сопро-
тивлений Рр.
Решение. Фактическая реактивная мощность потребите-
лей электроэнергии установки: = Pcptg фм = 311,14-0,842 =
= 262 квар, где tg ф« — фактический «тангенс фи», соответст-
вующий cos ф„ = 0,76 (tg ф„ = 0,845).
Оптимальная реактивная мощность потребителей электро-
энергии исходя из значения tgфs, заданного энергосистемой:
Qi= Pcptg фэ= 311,14-0,43 = 133,9 134 квар.
Реактивная мощность косинусных конденсаторов, необходи-
мая для повышения коэффициента мощности до заданных пре-
делов: QK= Q„ — Q,= 262— 134 = 128 квар.
Для компенсации реактивной мощности целесообразно уста-
навливать конденсаторы, которые в трехфазной системе соеди-
няются «треугольником», так как при этом напряжение на каждой
фазе емкости оказывается в -\/3 раза больше, чем при соединении
«звездой», а требуемая при этом емкость конденсаторов — в 3 ра-
за меньше, чем при соединении их «звездой».
Емкость батареи конденсаторов на три фазы при соединении
«треугольником»
с —_______________
10’-128
2-3,14-50-0,38*
2810 мкФ,
где f — частота (/ = 50 Гц); иХл — линейное напряжение «а кон-
денсаторе, кВ; Qk — реактивная мощность конденсаторов, квар.
По данным расчета и справочнику выбирают косинусные кон-
денсаторы типа КТМ 5/0,38 емкостью Cr= 110 мкФ (технические
данные приведены в табл. 15.5).
Таблица 15.5
Тип ко- си и ус Н Ы ) конденса- торов Мощ- ность реактив- ная QHOM> квар Номи- нальное напряже- чае Ч«ом- В Емкость Ск, мкФ Потери мощно- сти, Вт Масса кондеи- сатора, кг Размеры конденсатора, мм
высота длина ширина
КТМ 5/0,38 5 380 ПО 20 27,9 430 315 165
376
Количество конденсаторов
в батарее: /VK= С\/Ск =
= 2810/110 = 25,54 26 шт.,
где С к — емкость одного кон-
денсатора (С\= 110 мкФ).
Количество конденсаторов
в батарее (на три фазы) долж-
но быть кратно 3, поэтому фак-
тическое их количество округ-
ляется до Мф=27 шт.
Фактическая мощность ба-
тареи конденсаторов: Qk$—
= Мф(?„ом=27-5 = 135 квар, где
Qhom—номинальная реактив-
ная мощность одного конден-
сатора, квар (Q„04=5 квар)
(табл. 15.6).
Значение разрядного сопро-
тивления конденсаторов на одну
лений «звездой»
Рис. 15.6
фазу при включении сопротив-
р = = 5•1 °"J0’22-- = 17,926-102 Ом,
г /
ГДС0^22 цФазное напряжение сети, кВ (СЛФ= U^jy/3 = 0,38/1,73 —
На рис. 15.6 приведена схема включения в сеть косинусных
конденсаторов С «треугольником» при напряжении сети 0,4 кВ
и схема включения разрядных сопротивлений /?Р «звездой», пре-
дохранителей П и автоматического выключателя АВ.
Разрядное сопротивление может быть включено и «треуголь-
ником», при этом значение его, определенное по приведенной выше
формуле, оказывается в \/3 раз больше.
В процессе эксплуатации разрядное сопротивление подклю-
чается к конденсаторам после отключения их от сети.
15.7. На предприятии привод механизмов оборудован трех-
фазными асинхронными электродвигателями с короткозамкнутым
ротором общепромышленного применения с номинальным линей-
ным напряжением (71ЯОМ = 380 В при частоте /1 = 50 Гц. Суммар-
ная активная мощность электродвигателей 2 — 311,14 кВт,
оптимальное значение реактивной мощности потребителей при за-
данном энергосистемой значении «тангенса фи» Q3 = 134 квар.
Мощность осветительных приборов Рос = 86,80 кВт.
Предприятие снабжается электрической энергией от питаю-
щей сети высокого напряжения 6/|НОМ = 6 кВ. Определить рас-
четную мощность и выбрать по каталогу трансформаторы для
питания асинхронных двигателей н осветительной нагрузки,
составить схему электроснабжения потребителей электроэнергии
предприятия, которое по условиям обеспечения бесперебойного
электроснабжения относится к первой категории.
Решение. Полная мощность трансформатора, необходи-
377
мая для питания потребителей электроэнергии с учетом компенса-
ции реактивной мощности: S' = л/ £ У + Q» = л/311,142-ф1342 =
= 338,7 кВ-А.
Для обеспечения надежного резервирования электроснабже-
ния потребителей предприятия, относящегося к первой категории,
принимаем к установке два трансформатора одинаковой мощ-
ности, с тем чтобы любой из них при аварийной ситуации с учетом
допустимой его перегрузки мог бы питать всю нагрузку предприя-
тия, а в нормальном режиме — 60—70 % нагрузки предприятия.
Мощность трансформаторов с учетом допустимой перегрузки
и обеспечения бесперебойности электроснабжения: S = S'/NTKn =
=338,7/(2-0,65)=242 кВ-A, где Ап=0,6-г-0,7; Ат—число сило-
вых трансформаторов (с учетом категории потребителей электро-
энергии по бесперебойности электроснабжения, Ат = 2).
По значению расчетной мощности S = 242 кВ-А и мощности
осветительных приборов Рас = 86,8 кВт выбираем по каталогу
соответствующие трансформаторы.
Технические данные выбранных силового и осветительного
трансформаторов приведены в табл. 15.6.
Таблица 15.6
Тип трансфор- матора Коли- чество Л\, шт. Номи- наль- ная мощ- ность с °1НОМ’' кВ-А Напряжение обмоток, кВ Потери мощ- ности, кВт Ток холо- стого хода, /о, % Напря- жение корот- кого замыка- ния, Uh. %
вн ^1 ном НН ^2ном холос- того хода, Ро корот- кого замы- кания, Рк
ТМ-250/6—10 2 250 6—10 0,23 0,82 3,7 2,3 4,5
0.4 0,74 4,2 4,7
ТМ-100/6-10 1 100 6—10 0,23 0,365 1,97 2.6 . 6,5/6,8
0,4 0,33 2,27
Схема электроснабжения производственного предприятия при-
ведена на рис. 15.7. Здесь АВР — устройство автоматического
включения резерва; 1А—НА — автоматические выключатели
трансформаторов; ЗА — 15А — автоматические выключатели от-
ходящих к потребителям питающих линий; ТМ-250/6—10 —
трансформатор силовой мощностью 51НОМ = 250 кВ-А; ВМ — вы-
ключатель масляный; Р — разъединитель на 10 кВ; Ш — шины
низкого напряжения, 0,4 кВ; ТМ-100/6—10 — трансформатор для
осветительных приборов мощностью 51ном = 100 кВ-А.
Указанная схема позволяет обеспечить бесперебойное электро-
снабжение потребителей электроэнергии предприятия, при этом
в нормальном режиме оба трансформатора находятся в работе.
В аварийной ситуации при снятии напряжения с ввода /, если ие
будет восстановлено напряжение в течение 3—5 с, включается
378
устройство автоматического резерва АВР, которое обеспечивает
снабжение электрической энергией потребителей, ранее питавших-
ся от ввода /, через ввод 2 (от одного трансформатора).
При этом обесточенные электродвигатели, подключенные к
трансформатору ввода 1, с помощью релейно-контакторной аппа-
ратуры подключаются к трансформатору ввода 2, самозапус-
каются и восстанавливают частоту вращения.
Продолжительность работы электродвигателей по схеме с од-
ним трансформатором определяется временем, необходимым для
устранения причины возникновения аварийной ситуации. При
выборе типа трансформатора следует учитывать, что его вторич-
ное напряжение должно соответствовать номинальному напряже-
нию потребителей электрической энергии. Приводные двигатели
производственных механизмов предприятия, как указано выше,
рассчитаны на стандартное напряжение 220/380 В, поэтому при-
нимаем напряжение трансформатора на вторичной обмотке
0,23—0,4 кВ. Исходя из этого выбираем по каталогу трансфор-
матор типа ТМ—250/6—10 с номинальной мощностью £1НОМ =
= 250 кВ-А; номинальное напряжение обмоток: (высокого на-
пряжения) ВН — 6—10 кВ; (низкого напряжения) НН — 0,23—
0,4 кВ.
Для обеспечения питания осветительной нагрузки по суммар-
ной мощности, потребляемой осветительным оборудованием, рав-
ной Ро ном = 86,8 кВт, выбираем осветительный трансформатор.
Номинальное напряжение вторичной обмотки осветительного
трансформатора также должно соответствовать номинальному
напряжению осветительных приборов, равному 220 В. Поэтому
принимаем напряжение низковольтной обмотки трансформатора
равным 0,23—0,4 кВ. Исходя из этого, выбираем осветительный
трансформатор типа ТМ-100/6—10.
15.8. Производственное предприятие оборудовано пятью одно-
типными асинхронными электродвигателями с номинальными зна-
чениями: мощности Ргном = 110 кВт; КПД "Ином — 0,92 и коэффи-
Рис. 15.7
ВН>дЗ(б-10к9)
379
циента мощности cos<pInOM = 0,9. Электродвигатели работают с но-
минальной нагрузкой время t = 10 ч/сут в течение 40 сут. Пред-
приятие платит надбавку к тарифу на электрическую энергию
за отклонение мощности компенсирующего устройства от задан-
ной энергоснабжающей организацией (Горэнерго), определяемой
по коэффициенту К= 115% (см. табл. 15.1), равному отноше-
нию фактической мощности установленного компенсирующего
устройства С?кф к мощности компенсирующего устройства QK3,
заданной энергоснабжающей организацией. Определить размер,
оплаты за пользовани£ электроэнергией.
Решение. Присоединенная активная мощность группы
электродвигателей (N = 5): Pt = = 5' * ‘ ° = 597,8 кВт.
Лном М,У2
Полная мощность, потребляемая группой электродвигателей:
Si — Р,/cosф1Н0М = 597,8/0,9 = 664,22 кВ-А.
Время работы электродвигателей в течение 40 сут: Т — 40-10 =
= 400 ч.
Активная энергия, потребляемая электродвигателями за
40 суток Wa = Р, Т = 597,8-400 = 239 120 кВт-ч.
В соответствии со шкалой скидок и надбавок к тарифу за
компенсацию реактивной мощности для потребителей электро-
энергии с присоединенной мощностью до 750 кВ-А (см. табл. 15.1)
значению коэффициента К = 115% соответствует надбавка
К\= + 10%. Так как присоединенная мощность находится в
пределах до 750 кВ-А, расчет за пользование электрической
энергией производится по одноставочному тарифу.
Размер основной стоимости электрической энергии в систе-
ме Горэнерго, потребляемой асинхронными электродвигателями
в течение 40 суток В01 = ЬИ\=0,5 239120= 119500 руб., где b —
плата за 1 кВт ч потребленной энергии (Ь=0,5 руб./кВт-ч). Та-
рифная стоимость 1 кВт-ч потребляемой энергии приведена в
табл. 15.7.
Размер надбавки к тарифу на электрическую энергию за
1 кВт-ч: с =&-^2-= 0,5— = 0,05 руб.
100 100
Размер дополнительной оплаты (надбавки) за отклонение
мощности компенсирующего устройства от мощности, заданной
энергосистемой: Bal = cWl = 0,05 • 239 120 = 11950 руб. или 2?д1 =
= +^о ’ 119500= 11950 руб.
Суммарная стоимость оплаты за отпущенную энергосистемой
электроэнергию: В{ = В01 + ВД1 = 119500 +11950 =131,450 руб.
15.9. Производственное предприятие снабжается электриче-
ской энергией от энергосистемы Ленэнерго с оплатой за 1 кВт
максимум абонированной (заявленной) мощности Р„ = 800 кВт.
Энергосистемой задана потребителю оптимальная величина «тан-
генс фи» tg фэ = 0,20, фактическая величина «тангенса фи» по
приборам расчета составила tg <рм = 0,60, при этом показания
счетчиков потребления активной энергии за полугодие №а =
380
Таблица 15.7
Наименование энергосистемы Двухставочные тарифы Одноставочные тари- фы по группе потре- бителей, за 1 кВт • ч
промышленные и приравненные к ним по- требители с присоединенной мощностью 750 кВ 'А и выше (группа 1)
промышленные и при- равненные к ним по- грабители с присоеди- ненной мощностью до 750 кВ А (группа 2)
плата за 1 кВт ма- ксимальной нагруз- ки d, руб/год плата за 1 кВт ‘ ч по- требленной электро- энергии d,
Архэнерго Брянскэнерго Белгородэнерго Волгоградэнерго Воронежэнерго Грозэнерго Горэнерго Ивэнерго Калининэнерго Костромаэнерго Куйбышевэнерго Калининградэнерго Карелэнерго Колэнерго Комиэнерго Липецкэнерго Ленэнерго Мордовэнерго Мосэнерго Орелэнерго Пензаэнерго Рязаньэнерго Саратовэнерго Смоленскэнерго Тамбовэнерго Татэнерго Тулаэнерго Ульяновскэнерго Чувашэнерго Ярэнерго 4,5 4,2 3,9 3,6 3,6 3,6 3,6 3,9 3,9 3,6 3,6 4,2 3,9 3,9 4,5 3,6 3,6 3,9 3,6 3,9 3,9 3,9 3,6 4,2 3,9 3,6 3,9 3,9 3,9 3,9 0,70 0,70 0,60 0,45 0,45 0,45 0,50 0,60 0,55 0,50 0,45 0,70 0,45 0,45 0,70 0,50 0,50 0,60 0,50 0,60 0,60 0,60 0,45 0,70 0,60 0,45 0,55 0,60 0,60 0,60 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
* Примечание. Приведенные данные могут быть использованы только для учебного
процесса, так как являются приближенными и быстроизменяющимися в условиях рыночной
экономики.
= 750 000 кВт. Определить стоимость электрической энергии,
потребляемой производственным предприятием за полугодие по
двухставочному тарифу.
Решение. Размер основной оплаты (постоянной части
оплаты) за пользование электрической энергией за полугодие:
В02 = -yS = 4Рм= ~ 800 = 1440 РУ6 ’ где d — тарифная став-
ка оплаты за 1 кВт заявленной мощности (максимальной на-
грузки) в часы «пик» нагрузки энергосистемы за год в энерго-
системе Ленэнерго d=3,6 (табл. 15.7) ;S — заявленная (абониро-
ванная мощность), т. е. наибольшая получасовая мощность, от-
пускаемая потребителю электроэнергии в часы суточного макси-
381
Таблица 15.8
мума активной нагрузки энергосистемы. В данном случае прини-
мается полная мощность, равная активной мощности, т. е. S =
= (Рм = 800 кВт)= 800 кВ-А.
Размер дополнительной оплаты (переменной части оплаты)
за фактически израсходованную активную энергию по счетчику:
Вл = Ь и; = 0,5 • 75 000 = 37 500 руб., где Ь — оплата за
1 кВт ч потребленной электроэнергии в системе Ленэнерго (табл.
15.7, />=0,5 руб/кВт-ч); — активная энергия, потребленная
предприятием за полугодие, UZa = 75 000 кВт-ч. Скидка и над-
бавка (=F Н) к тарифу за компенсацию реактивной мощности опре-
деляется по табл. 15.8; значению tg<p3=0,20 и фактическому
значению tg <рм = 0,60 соответствует надбавка к сумме оплаты
Н = 5 % или в относительных единицах Н = + 0,05.
Суммарная стоимость электрической энергии за полугодие при
расчете по двухставочному тарифу: B2=N2+Ц2 = (В02+
Вд2) + " (В02 + Вд2) + Д2 = (1440 + 37500)+~ (1440 + 37500) +
+ 757,5 = 38940 + 0,05-38940 + 757,5=41642,5 руб., где Ц2 — раз-
мер надбавки за превышение норм расхода реактивной мощ-
ности (Ц2=757,5 руб.).
15.10. В однофазную электрическую сеть переменного тока
включена осветительная нагрузка и однофазные асинхронные
382
о
Рис. 15.10
электродвигатели D\ и £>2 (рис. 15.10, а). Определить токи в вет-
вях электрической цепи и емкость С батареи конденсаторов,
которую следует включить, чтобы довести коэффициент мощности
всей установки до cos <р2 — 0,92. Номинальная мощность одной
лампы Рл=60Вт; число ламп Ал=10; номинальные данные дви-
гателя: />2ном = 0,75 кВт; Пном = 0,75 %; cos <р1ном = 0,6; {7)ном =
= 220 В. Построить векторную диаграмму токов и напряжения
для рассматриваемой электрической цепи.
Решение. Суммарная активная мощность, потребляемая
электрической цепью: Pt — 2PimM —--------1- 10Рл = —Н ЮХ
"Ином м,/Э
Х0.06 = 2600 Вт = 2,6 кВт.
Мощность
суммарная
__7^2яом s*n 1яом
C0S <Р|Яом7„ом
цепи до включения батареи конденсаторов:
реактивная: Qt = 2Q 1ном = 2SlH0M sin ср 1ном =
2-0,75 0,8
= = 2 1,33 = 2,66 квар, где sin<р1яом = 0,8;
откуда <р1ном = 53° 10'; ____ ________________ ____________
полная: S, = + Qi = л/2,62 + 2,662 = д/13,87 =
= 3,73 кВ-A = 3730 В-А.
Коэффициент мощности установки до включения батареи кон-
денсаторов: cos <pi = Pi/St = 2,6/3,73 = 0,69; sin <pi = 0;71.
Суммарная реактивная мощность цепи после включения ба-
тареи конденсаторов: Q2 = Sisin <рг = —s—— = 2600^21= 2600Х
COS (р2
Х0.34 = 890 вар, где sin <р2 = 0,317, откуда <р2 = 18°30'.
Реактивная мощность конденсаторов: Qc = Qi — Q2 = 2660 —
— 890 =1770 вар =1,77 квар или Qc = (tg <pi — tg <рг) =
= 2600(1,03-0,34)= 1770 вар = 1,77 квар.
Требуемая для компенсации емкость батареи конденсаторов:
С= Qc/сщ t/2OM = 1770/314 2202 = 0,0001165 = 116,5 мкФ.
Ток в цепи до включения батареи конденсаторов: Л = Si/£71H0M=
= 3730/220 = 17,0 А.
Ток в цепи после включения батареи конденсаторов: /2 —
= PJ cos <p2t/1H0M = 2600/220 • 0,92= 13 А.
383
Полная мощность установки при cos tp2: S? = triH0MZ2 =
= 220-13 = 2890 В-А = 2,89 кВ-А.
Ток в цепи батареи конденсаторов: /с = Qc/U«0M = 1770/220 =
= 8,05 А.
Активная составляющая тока, потребляемого цепью: Л =
= Z2costp2= 13 • 0,92= 11,96 А. 1,92 = 7,4 А.
На рис. 15.10,6 приведена векторная диаграмма токов и на-
пряжений, а на рис. 15.10, в диаграмма мощностей для рассмат-
риваемой электрической цепи.
Задачи
15.11. Асинхронный электродвигатель типа 4А160М2 имеет
следующие номинальные данные: мощность на валу Р2ном =
= 18,5 кВт; линейное напряжение С71НОМ=380 В; синхронную
частоту вращения П\ = 3000 об/мин; КПД Т|ном — 0, 88; коэффи-
циент мощности cos <р1Н0М = 0,92. Выбрать сечение Snp питающих
ПРОВОДОВ марки ПРТО ДЛЯ прокладки ИХ В гаЗОВЫХ Трубах. Ответ.
s,lp= 6 мм2 с длительно допустимым током /доп = 37 А.
15.12. Асинхронный электродвигатель имеет следующие номи-
нальные данные: мощность на валу Л ном = 4,5 кВт; линейное
напряжение UlX0M = 380 В; КПД т]НОм = 0,83; коэффициент мощ-
ности cos <р1ном = 0,76. Определить емкость Сф одной фазы и сум-
марную емкость С конденсаторной батареи при соединении ее
«треугольником», подключенной к зажимам двигателя с целью
компенсации его коэффициента мощности до значения cos фг =
= 0,92. Ответ. Сф= 14,5 мкФ, С — 43,8 мкФ.
15.13. Объясните, почему при передаче электроэнергии от
электростанции к потребителю электрической энергии применяет-
ся многократная трансформация напряжения?
15.14. Укажите, какие преимущества перед обычными под-
станциями имеют комплектные трансформаторные подстанции
(КТП).
15.15. Охарактеризуйте категории потребителей электрической
энергии по степени бесперебойности электроснабжения.
15.16. Поясните технико-экономическое значение коэффициен-
та мощности (costp).
15.17. Перечислите организационно-технические мероприятия
по снижению реактивной энергии, потребляемой потребителями
электроэнергии из питающей сети.
15.18. Укажите причины низкого значения коэффициента
мощности (cos tp) потребителей электроэнергии.
15.19. Перечислите мероприятия по экономии электрической
энергии на предприятии.
15.20. Поясните, почему тарифы на электрическую энергию
в различных энергосистемах для одних и тех же категорий потре-
бителей различны.
15.21. Укажите, в чем различие одноставочного и двухставоч-
ного тарифов на электрическую энергию.
384
13-217
Т а б л и ц а 15.9
Технические данные и количество электро- оборудования Варианты контрольного задания 15.22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Электро- двигате- ли Тип электродвигателя
ВАО-450М-4 1 ВАО-500М-4 BAO-500L-4 ВАО-560М-4 BAO-560L-4 ВАО-630М-4 BAO-630L-4 Kiost-ova 55 ей ВАО-4501.-4 ей BAO-500L-4 BAO-500L-4 BAO-500L-4
Р2„ом, кВт Л ном Количество №л, шт. 200 0,94 0,87 4 250 0,94 0,87 3 315 400 0,94 0,94 0,87 0,88 3 2 500 630 0,945 0,945 0,90 0,90 2 2 800 1000 0,95 0,95 0,90 0,90 1 1 250 250 0,94 0,94 0,87 0,87 2 2 250 250 0,94 0,94 0,87 0,87 1 1 400 400 0,94 0,94 0,88 0,88 1 1 400 0,94 0,88 1
Т раис- форма- торы *Sjbom> А Количество Nn шт. Тип трансформатора
ТМ-25/6— 10 ТМ-40/6— 10 ТМ-63/6— 10 ТМ-100/6— 10 ТМ-160/6— 10 ТМ-250/6— 10 ТМ-400/6— 10 ТМ-630/6 10
25 25 Г 2 40 40 1 1 63 63 1 1 100 100 1 1 160 160 2 2 250 250 2 2 400 400 1 1 630 1
оо
Продолжение табл. 15.9
Г,-10s, кВт ч 34 35 40 32 41,5 50 35 45 30 25 30 31 30 32 40
tg1>M 0,75 0,65 0,65 0,65 0,60 0,65 0,60 0,60 0,85 0,80 0,75 0,75 0,60 0,65 0,7
tg<₽. 0,45 0,45 0,40 0,40 0,40 0,40 0,30 0,35 0,50 0,50 0,45 0,40 0,35 0,35 0,30
tg4>i 0,15 0,55 0,55 0,55 0,55 0,50 0,45 0,45 0,65 0,70 0,65 0,65 0,45 0,55 0,65
К, % (по табл. 15.1) — — — — — — — — — — — — — — —
Энергосистема (по табл. 15.7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Время, Г, мес 1 2 3
Продолжение табл. 15.9
Технические данные и количество электро- оборудования Варианты контрольного задания 15.22
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип электродвигателя
Электро- двига- тели Р2яом, кВт Лнои СО8<Р1ном Количество Л/д, шт. BAO-500L-4 1 — — — — ВАО-560М-4 BAO-500L-4 L BAO-450L-4 — — — 4AI60S4 4А132М4 —
400 0,94 0,88 1 — — — — 250 0,94 0,87 2 400 0,94 0,88 1 500 0,945 0,90 1 — — 15,0 0,88 0,88 2 — 11,0 0,87 0,87 3 -
Т ранс- форма- торы
ТМ-630/6—10 ТМ-1000/6—10 ТМ-1600/6—10
^Пюм. кВ А Количество Мт, шт. W\-105, кВт-ч *бЧ>м *g4>. tg<₽i 630 1 1000 1000 2 1 1600 1600 1 1
40 80 40 50 48
0,7 0,35 0,75 0,55 0,45 0,35 0,50 0,60 0,35 0,35
0,55 0,60 0,45 0,45 0,45
К, % (по табл. 15.1) Энергосистема (по табл. 15.7) 16 17 18 19 20
Время, Т, мес 4
о©
Продолжение табл. 15.9
Тип трансформатора
ТМ-250/6—10 ТМ-400/6—10 ТМ-160/6—10 ТМ-250/6—10 ТМ-400/6—10
250 250 400 400 160 160 250 250 400 400
2 2 1 2 4 3 2 2 1 1
40 35 36 30 21 16 16 15 14 14
0,50 0,35 0,80 0,50 0,50 0,35 0,50 0,35 — — — — __ —
0,40 0,75 0,40 0,40 — — — — —
— — — — но 105 100 95 95 90
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
5 6
Таблица 15.10
Величины Варианты контрольного задания 15.23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 , 12 13 14 15
£Лл.в ^2ном» кВт U1 НОМ» В Л । НОМ COS ф । ном Р2нОм, кВт U2ном« В Л2ном COS ф2ном Рл, Вт N„, шт. 220 1,1 220 0,77 0,87 7,5 220 0,87 0,86 300 9 380 1,5 380 0,81 0,85 5,5 380 0,85 0,85 150 12 220 2,2 220 0,83 0,87 5,5 220 0,85 0,85 100 15 380 3,0 380 0,85 0,88 4,0 380 0,84 0,84 300 6 220 4,0 220 0,86 0,89 3,0 220 0,82 0,83 200 9 380 5,5 380 0,87 0,91 2,2 380 0,80 0,83 200 9 220 7,5 220 0,87 0,88 1,5 220 0,77 0,83 100 15 380 3,0 380 0,81 0,76 4,0 380 0,86 0,89 200 9 220 2,2 220 0,81 0,73 5,5 220 0,87 0,91 •200 6 380 1,5 380 0,75 0,74 7,5 380 0,87 0,88 150 15 220 1,1 220 0,75 0,81 7,5 220 0,85 0,81 300 9 380 1,5 380 0,77 0,83 5,5 380 0,85 0,80 150 12 220 2,2 220 0,80 0,83 4,0 220 0,82 0,81 100 15 380 3,0 380 0,82 0,83 4,0 380 0,82 0,81 300 6 220 4,0 220 0,84 0,84 3,0 220 0,81 0,76 200 9
Величины Варианты контрольного задания 15.23
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
IC1JPB Р2„о«, кВт £7|НОМ) В Л 1 ном coscpiHOM Р2ном, кВт U2homi В Л 2ном COS ф2ном Л,, Вт N.,, шт. 380 5,5 380 0,85 0,85 2,2 380 0,81 0,73 200 9 220 7,5 220 0,87 0,86 1,5 220 0,75 0,74 100 15 380 2,2 380 0,80 0,83 5,5 380 0,87 0,91 200 9 220 1,5 220 0,77 0,83 7,5 220 0,87 0,88 200 6 380 4,0 380 0,86 0,89 3,0 380 0,81 0,76 150 15 220 0,75 220 0,69 0,74 7,5 220 0,87 0,88 300 9 380 1,1 380 0,74 0,74 7,5 380 0,87 0,88 150 12 220 1,5 220 0,75 0,74 5,5 220 0,87 0,91 100 15 380 2,2 380 0,81 0,73 4,0 380 0,86 0,89 300 6 220 3,0 220 0,81 0,76 4,0 220 0,86 0,89 200 9 380 4,0 380 0,82 0,81 3,0 380 0,85 0,88 200 9 220 5,5 220 0,85 0,80 2,2 220 0,83 0,87 100 15 380 7,5 380 0,85 0,81 1,5 380 0,81 0,85 200 9 220 1,5 220 0,77 0,83 7,5 220 0,87 0,88 200 6 380 2,2 380 0,80 0,83 5,5 380 0,87 0,91 150 15
Контрольные задания
15.22. Потребители электрической энергии производственного предприятия
(асинхронные электродвигатели и трансформаторы с подключенной иа их вто-
ричную обмотку нагрузкой) питаются от соответствующей энергосистемы. Номи-
нальные данные потребителей электроэнергии и наименование энергосистемы
для каждого из вариантов контрольного задания приведены в табл. 15.9. Ис-
пользуя эти данные, определить суммарную стоимость В оплаты за пользование
электроэнергией предприятия в течение времени Т. Предприятие платит скидку
«—» и получает надбавку «+> к тарифу на электроэнергию за компенсацию
реактивной мощности в электроустановках. Показание счетчиков активной энер-
гии, установленных иа предприятии, за полугодие составляет W„, заданное
энергоснабжающей организацией оптимальное значение тангенса угла сдвига
фаз tg <р„ фактическое максимальное значение тангенса угла сдвига фаз tg <рм.
Дополнительное задание, а. Определить месячную, двухмесячную, кварталь-
ную и полугодовую разницу в оплате стоимости электроэнергии, если за счет
организационно-технических мероприятий по снижению реактивной энергии, по-
лучаемой от энергосистемы, фактический угол сдвига фаз <р уменьшился и «тан-
генс фи» стал равным tg <р'.
б. Перечислить и охарактеризовать организационно-технические мероприя-
тия по снижению потребления реактивной энергии.
15.23. В трехфазную электрическую сеть с симметричным линейным напря-
жением [71л питающей сети включены трехфазные потребители электрической
энергии, включающие асинхронный электродвигатель номинальной мощностью
Ргнои и асинхронный электродвигатель номинальной мощностью Рг„ои, номи-
нальными линейными напряжениями и U2„a„ и соответствующими КПД
1)! ном И Т]2ном И коэффициентами МОЩНОСТИ COS ф| ном И COS q>2 нои И три группы све-
тильников с электрическими лампами накаливания, распределенными равномер-
но по фазам н соединенными в зависимости от линейного напряжения Е71л «тре-
угольником» или «звездой». Номинальная мощность одной лампы Рл, номи-
нальное напряжение [7]л=220 В„ число ламп в светильниках равно N„. Прини-
мая во внимание данные, приведенные в табл. 15.10 для каждого варианта зада-
ния, определить емкость С каждой фазы батареи косинусных конденсаторов,
необходимых для повышения коэффициента мощности установки от cos <pi =
= cos ф|„о» до значения cos <ра = 0,94. Начертить электрическую схему соединения
фаз асинхронных электродвигателей, светильников, косинусных конденсаторов и
разрядных сопротивлений при заданном номинальном напряжении питающей сети.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов для рассматриваемой
электрической цепн.
В вариантах 31^60 число ламп в каждой группе увеличить в 2 раза, в ва-
риантах 61—90 в 3 раза.
Глава 16
ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ
$ 16.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ
И ОКАЗАНИЮ ПЕРВОЙ ПОМОЩИ
Широкое применение электроэнергии увеличивает количество
людей, соприкасающихся с электроустановками, которые могут
представлять для них потенциальную опасность, так как при ава-
рийных режимах, вследствие повреждения изоляции отдельные
части электроустановки могут оказаться под напряжением, а при-
косновение к ним челрвека может привести к несчастным случаям.
При этом человек, оказавшийся под напряжением, создает до-
полнительную электрическую цепь, вследствие чего по его телу
протекает опасный для жизни электрический ток, который вызы-
вает поражение сердечно-сосудистой и нервной систем, органов
дыхания, кожного покрова и т. д. Степень поражения человека
электрическим током зависит от пути и длительности протекания
тока, величины сопротивления тела человека, условий окружаю-
щей среды и других факторов. Сопротивление тела человека изме-
няется в довольно широких пределах, оно зависит от состояния
его здоровья, кожного покрова, одежды и пр. Согласно ПУЭ
(Правила устройств электроустановок) оно принимается равным
1000 Ом.
Условия окружающей среды также влияют иа величину сопро-
тивления тела человека (при высокой температуре окружающей
среды оно может быть покрыто потом и в сыром запыленном по-
мещении будет иметь минимальное сопротивление).
ПУЭ, Правила технической эксплуатации электроустановок
потребителей электроэнергии (ПТЭ) и Правила техники безопас-
ности при эксплуатации электроустановок потребителей (ПТБ)
предусматривают ряд защитных мероприятий по снижению пора-
жений электрическим током: устройство рабочего и защитного
заземлений электроустановок, применение в процессе эксплуа-
тации электроустановок средств защиты от поражения электриче-
ским током (ограждение токоведущих частей для исключения
прикосновения к ним, применение резиновых перчаток, бот, коври-
ков, изолирующих штанг и т. д.). Согласно ПУЭ помещения по
степени опасности поражения человека электрическим током де-
лятся на три категории. К помещениям без повышенной опас-
ности относятся сухие, безпыльные отапливаемые помещения с
нормальной температурой воздуха, с влажностью не выше 60 %,
без токопроводящей пыли.
390
К помещениям повышенной опасно-
сти относятся сырые, с влажностью
свыше 75 %, жаркие с температурой
постоянной или периодической 35 °C,
пыльные с токопроводящей пылью
(угольной, металлической и др.).
К особо опасным относятся поме-
щения, в которых относительная влаж-
ность близка к 100 %, и помещения,
содержащие агрессивные пары, газы,
жидкости, неблагоприятно действую-
щие на изоляцию и токоведущие части
электрооборудования.
Электрифицированный инструмент
и переносные лампы в помещениях без
повышенной опасности должны быть рассчитаны на напряже-
ние 40 В, а в помещениях особо опасных и с повышенной опас-
ностью — на 12 В.
Условиям безопасности способствует также использование тех-
нических мероприятий, обеспечивающих безопасность ремонтных
работ с частичным или полным снятием напряжения: производ-
ство необходимых отключений и принятие мер, препятствующих
подаче напряжения к объекту работы, ограждение рабочего ме-
ста и вывешивание плакатов «Не включать — работают люди»,
«Не включать — работа на линии» и др., наложение заземлений.
Рабочее заземление (преднамеренное соединение с землей
какой-либо точки электроустановки (рис. 16.1.1) предназначено
для обеспечения работы ее в нормальном и аварийном режимах.
Оно обеспечивает соединение с землей нейтральных точек W сило-
вых трансформаторов или генераторов, т. е. при непосредственном
соединении их с заземлителем 3 или через малое активное сопро-
тивление Ro (в несколько Ом) нейтрали либо соединение нейтра-
лей через трансформатор тока. В электроустановках с рабочим
напряжением до 1000 В широко распространена трехфазная
четырехпроводная сеть с глухозаземленной нейтралью; стандарт-
ными напряжениями в этих сетях являются напряжения 220/127,
380/220 и 660/380 В.
Защитное заземление применяется для защиты обслуживаю-
щего персонала от опасного напряжения при прикосновении к
электроустановке, оно начинает действовать с момента поврежде-
ния ее изоляции.
Подобное заземление необходимо для электроустановок при
напряжениях 500 В и выше переменного и постоянного токов, при
напряжениях 36 В и выше переменного и 110 В постоянного токов
в помещениях с повышенной опасностью, особо опасных и в на-
ружных электроустановках, при всех напряжениях переменного
и постоянного токов во взрывоопасных помещениях.
Части электроустановок (корпуса электрических машин,
трансформаторов, электрических аппаратов, вторичные обмотки
391
измерительных трансформаторов и т. д.) во время аварийных ре-
жимов электроустановки могут оказаться под напряжением и в
случаях прикосновения к ним вызвать поражение электрическим
током, поэтому они подлежат заземлению. Заземление электро-
установок не требуется при номинальных напряжениях 36 В и
ниже переменного и ПО В и ниже постоянного тока во всех слу-
чаях, за исключением взрывоопасных установок.
Защитное заземление зависит от системы электроснабжающей
сети и значения питающего напряжения электроустановки. При
напряжениях до 1000 В оно выполняется как с глухозаземленной,
так и изолированной нейтралью (рис. 16.1.2 и 16.1.3).
Защитное заземление в установках с глухозаземленной нейт-
ралью (зануление) предусматривает присоединение металличе-
ских нетоковедущих частей электрооборудования, могущих ока-
заться под напряжением, к неоднократно заземленному нейтраль-
ному проводу питающей линии. При пробое на корпус происхо-
дит однофазное короткое замыкание, вызывающее срабатывание
защиты и отключение поврежденной установки от питающей сети.
Структура защитного заземления представлена на рис. 16.1.2
(Ro — сопротивление заземляющего устройства; Rn — сопротив-
ление повторного заземления нейтрального провода; /к = In +
-|- /э — ток короткого замыкания, где In — составляющая тока
короткого замыкания в цепи нейтрального провода; А — состав-
ляющая тока короткого замыкания в цепи земли).
Повторное заземление нейтрального провода в трехфазных
четырехпроводных сетях при замыкании фазы на корпус снижает
напряжение прикосновения к зануленному электрооборудованию
при исправной.схеме и в случае обрыва нейтрального провода.
Электроустановки с изолированной нейтралью применяются
при повышенных требованиях к безопасности работ. Защитное
заземление электроустановок в сетях с изолированной нейтралью
392
(рис. 16.1.3) ограничивает до безопасного значения напряжение
прикосновения на корпусе при повреждениях изоляции электро-
установки. Для электроустановок с изолированной нейтралью в
качестве защитного заземления 3 используется местное заземляю-
щее устройство с небольшим сопротивлением (рис. 16.1.3), к ко-
торому присоединяются заземляемые части электроустановки.
В электроустановках с номинальным напряжением до 1000 В
сопротивление заземляющего устройства должно быть не более
4 Ом. При номинальной мощности трансформатора или генера-
тора до 100 кВ-А это сопротивление может составлять 10 Ом.
При оказании первой помощи пострадавшему от действия
электрического тока условием успеха являются быстрота действия,
находчивость, квалифицированное оказание помощи. Промедле-
ние или неоправданная длительность подготовки помощи могут
привести к тяжелым последствиям.
Пострадавшего прежде всего необходимо отделить от токо-
ведущих частей, если нельзя быстро отключить от питающей-сети
участок электрической цепи, на котором произошел несчастный
случай. При этом необходимо пользоваться диэлектрическими
перчатками, сухой одеждой, палкой, доской или какими-либо
другими предметами, не проводящими электрический ток. При за-
труднении отделения пострадавшего от токоведущих частей сле-
дует перерубить или перерезать провода инструментом с сухой
деревянной рукояткой.
После отделения пострадавшего от токоведущих частей не-
обходимо выполнить следующие мероприятия: уложить постра-
давшего на спину на твердую поверхность; проверить наличие
у пострадавшего дыхания, которое определяется по подъему
грудной клетки, прикладыванию ко рту пострадавшего зеркала
или куска стекла; проверить наличие у пострадавшего пульса на
лучевой артерии у запястья или на сонной артерии, на передне-
боковой поверхности сердца; выяснить состояние зрачка глаза
(широкий зрачок указывает на резкое ухудшение кровоснабже-
ния мозга). Во всех случаях поражения электрическим током
вызов врача является обязательным.
Если пострадавший находится в сознательном состоянии, его
следует уложить в удобное положение и до прибытия врача
обеспечить полный покой и наблюдение за пульсом и дыханием.
Если пострадавший находится в бессознательном состоянии,
но с сохранившимся устойчивым дыханием и пульсом, его сле-
дует удобно уложить, расстегнуть одежду, создать приток свеже-
го воздуха, давать нюхать нашатырный спирт, обрызгивать его
водой и после прихода в сознание обеспечить полный покой.
При отсутствии у пострадавшего дыхания и пульса необходи-
мо оказать помощь в виде искусственного дыхания и наружного
массажа сердца. Наиболее эффективным способом искусствен-
ного дыхания является способ, называемый «рот в рот», проводи-
мый одновременно с наружным массажем сердца.
Литература. [1] § 12.10—12.11.
393
Примеры решения задач
16.1. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа
4A160S4 с короткозамкнутым ротором с номинальными данными:
мощностью Р2нОК = 15 кВт; КПД г]ВОм = 0,88, коэффициентом
мощности cos <р1иом = 0,88, значением отношения пускового тока к
номинальному Kr=Ilnyci/IimM = l включен в трехфазную четы-
рехпроводную питающую сеть с глухозаземленной нейтралью на
вторичную обмотку силового трансформатора. Номинальное ли-
нейное напряжение питающей сети £71иом = 380 В. Ответвление
к электродвигателю длиной / = 100 м выполнено в газовых тру-
бах проводом марки ПР-500. Для защиты обслуживающего пер-
сонала корпус электродвигателя имеет металлическое соединение
с нейтралью трансформатора (зануление).
Определить сечение нейтрального пророда, при котором плав-
кая вставка защитных предохранителей в случае замыкания од-
ной из фаз электродвигателя на корпус должна сработать и от-
ключить двигатель от питающей сети.
Решение. Номинальный ток электродвигателя: /1И0И =
Р-,т„ ю3 и- ю3
=------2---------== 29 3 А.
'/3^1иомсо5«>1иом'/ном ч/З -380 0,88 0,88
По справочнику находим, что указанной величине тока соот-
ветствует сечение медного провода 5 = 6 мм2. Максимально до-
пустимый длительный ток для этого сечения /доп = 37 А.
Ток плавкой вставки предохранителя для защиты от корот-
кого замыкания электродвигателя механизма с легкими усло-
виями пуска в соответствии с ПТЭ выбирают из условия:
/в> — 7~22|'3 ss82 А. Стандартная плавкая вставка пре-
дохранителя рассчитана на ток 1вти = 100 А.
Проверку плавкой вставки осуществляют исходя из условия
необходимости обеспечения соотношения: /в//доп 3.
В данном случае /в//доп = 100/37 = 2,7 < 3, следовательно,
плавкая вставка, рассчитанная иа ток /ВНом = 100 А, защищает
медные провода сечением 3X6 мм2, проложенные в газовой
трубе, от действия токов короткого замыкания.
Расчетный ток короткого замыкания определяют исходя из
номинального значения тока плавкой вставки предохранителя,
при котором при замыкании фазы электродвигателя на занулен-
ный корпус предохранитель надежно срабатывает и двигатель
отключается при обеспечении условия: /к-^Лв/ввом, где = 3 —
коэффициент кратности номинального тока плавкой вставки пре-
дохранителя: /к>3/в«ом =3-100>300 А.
. „ I 0,018-100
Активное сопротивление одного провода 7?ф=р— =----g— =
= 0,3 Ом, где р = 0,018 Ом-^---удельное сопротивление мед-
ного провода.
Активное сопротивление нейтрального провода: Rn —
394
= £ЛфИом/4~Яф=220/300-0,3 = 0,733-0,3 = 0,433 Ом, где С/1фном=
Г- 380
= С7Илом/-у/3= -_ = 220В — номинальное фазное напряжение трех-
х/з
фазной четырехпроводной сети.
- с р/ 0,018-100
Сечение нейтрального медного провода: ——r-rrj— =
f\ fj U,4oo
= 4,15 мм2. Принимаем стандартное сечение нейтрального про-
вода S« = 4 мм2, которое должно быть не меньшим 50 % сечения
фазного провода, изготовленного из одного и того же материала.
В данном случае условие Sn = 4 мм^ 0.5S = 0,5-6 = 3 мм вы-
полняется.
Рис. 16.2
16.2. Оператор, стоя на бетонном полу, коснулся линей-
ного провода А трехфазной четырехпроводной питающей сети
(рис. 16.2, а) с симметричным линейным напряжением Uab =
= ^с=^с=^ЛЯОм = 380 В с заземленной нейтралью N и со-
противлением заземления Яо=4 Ом. Сопротивление тела че-
ловека принято равным Rh = Ю3 Ом, сопротивления изоля-
ции проводов относительно земли (без учета реактивной состав-
ляющей сопротивления) R = /?1 — R2 = /?з = = 104 Ом
(рис. 16.2, а). Определить ток /*, протекающий в цепи тела
человека, и напряжение прикосновения Unp. Емкостью проводов
относительно земли пренебречь.
Решение. Электрическая схема (рис. 16.2, а) заменяется,
эквивалентной схемой (рис. 16.2,6). Определяем комплексные
фазные напряжения, направляя вектор напряжения UA по оси
395
положительных действительных чисел. При симметричном источ-
нике питания: Uk = Uks19=UAti°=UK(i>=Uk=U^JIOV‘, U,=
_; 2л *• _i . 4я
= 6Ле a2U2 = агиФ; Дс = U<e =и^жме~} > =aU3 =
= а^1фж>м> гДе а~ e~J 3 = (— 0,5 + j;-U—ч — поворотный множи-
тель, учитывающий сдвиг по фазе напряжений.
Проводимость тела человека и ветви цепи заземления нейтра-
ли:_УЛ = !//?„ = 1/103 См; У„ = !//?□= 1/4 См.
Проводимости ветвей эквивалентной схемы: Y_ = X>~Y_2 —
= _Уз =_УП = 1//? = 1/-104 См, так как сопротивления /? = /?,=
= /?2 = /?Э = Rn » Я»; Y < Го <4~)' Поэтому принимаем:
Y = X, = ^2 = X* = 2" = 0.
С учетом этого напряжение между узловыми точками /V и Л"
цепи:
~NN Y, + Y-,+ Y,+ Yl+Y„a-Y Хг+Ь+Хз + Хи+Хв+Х»
или
^1фном
=*_ = и Rh = тт =220 ___-__
В+ГА 1фяом J J 1фиом R^ + R^ 1000 +4
= 0,876 В.
Напряжение соприкосновения находят из уравнения, состав-
ленного по второму закону Кирхгофа для соответствующего за-
мкнутого контура: U„N-UA+U^=Q, откуда U^,= UK-UnN=
“7-22° - 220 -^-=211,24 В.
+ ло 1UUU 4- 4
Ток, протекающий по телу человека: Х*=^прХ* =
= 211,24 — = 211,24 мА = 0,211 А.
юоо
Так как АО«Я,, то ——*— = 1, а 1/^ = (71фвом, откуда следует,
Rh + Ro
что при соприкосновении к одной из фаз трехфазнои четырех-
проводной сети с глухозаземленной нейтралью человек оказыва-
ется практически под фазным напряжением С^фж»,-
16.3. При ревизии электрооборудования электромонтер, на-
ходясь на земле, коснулся линейного провода с линейным на-
пряжением Uab = Ubc = Uca = £ЛЛЯОм=380 В (рис. 16.3, а). Со-
противление изоляции проводов /?] = /?2 = /?з= 10 кОм. Опре-
делить ток, протекающий по телу человека, сопротивление кото-
рого Rh = 1000 Ом. Емкостью проводов относительно земли пре-
небречь ввиду их малой протяженности.
396
Рис. 16.3
Решение. Электрическая схема (рис. 16.3, а) может быть
заменена эквивалентными схемами (рис. 16.3, б, в).
ЭДС Е3 эквивалентного генератора (рис. 16.3,6): E,—UA =
= и1ф ном = С/1Л ном />/з = 380/^3=220 В.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора нахо-
дят из соотношения: 1//?5 = 1//?( -+1//?2-(- 1//?з. Так как Ri =
= R2 = R3=R, то /?э=/?/3 = 10-|-103 = 3,33- 10s Ом.
Ток, протекающий по телу человека, определяется в соот-
ветствии со схемой рис. 16.3, в: Л = , а- = „„„ ,,„7,77 =
К э “г A ft о, оо • IU 1UUU
= 0,0508 = 0,051 А^51 мА.
Для жизни человека опасен ток, превышающий 50—100 мА.
16.4. Задачу 16.3 решить методом узлового напряжения.
Решение. Проводимости ветвей для схемы (рис. 16.3,6):
У, = 1//?, = 1/(10-103)= 0,0001 См; = 1//?„ = 1/103 =
= 0,001 См; _Уа = 1//?2= 1/(10-Ю3)= 0,0001 См; Y_3 = 1//?3 =
= 1/(10-103)= 0,0001 См.
Напряжение между узлами п и N (напряжение смещения
Zl^a + ^+^ + ^ajj.
' ОД + УА) '
U.d(Yi + Yh) + UY2 + UcY3
нейтрали): U„N=r j ~ ~ ~ =
= --j80'0'001-------=169 В.
V3(3-o,oooi +о,оо1)
397
Таблица 16.1
Я-103, Ом 5 10 20 30 40 50 60 90
hi, мА 83 50,8 28,72 20 15,35 12,45 10,4 7,09
Определяем ток, протекающий по телу человека, исходя из
уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для соот-
ветствующего замкнутого контура: _/* =_Ул(С/а — С7лАГ)= 0,001 X
X (380/^3—169)=* 0,001-51 =*0,051 А =*51 мА.
В табл. 16.1 и на рис. 16.4 приведены значения токов /Л, рас-
считанные по приведенной выше формуле при различных сопро-
тивлениях изоляции проводов относительно земли при /?i = Rz —
= R3= R и принятом значении сопротивления тела человека
16.5. В условиях задачи 16.3 определить ток /*, протекающий
по телу человека в аварийном режиме в трехфазной симметрич-
ной трехпроводной электрической цепи с изолированной нейт-
ралью при замыкании фазы С на землю через небольшое актив-
ное сопротивление заземления /?зм = 100 Ом (рис. 16.5) и при-
косновении человека к исправной фазе А с фазным напряжением
ном=220 В.
Решение. При замыкании фазы С на землю проводимо-
сти двух других изолированных фаз можно принять равными
нулю, тогда ток, протекающий в аварийном режиме по телу
человека: /*= С71лном/(Ял + Яз«) = 380/(1000+ 100) = 380/1100 =
— линейное напряжение симмет-
ричной трехфазной трехпровод-
ной электрической сети с изоли-
рованной от земли нейтралью
Цл номл/5171фном= 380 В.
Напряжение прикосновения
в аварийном режиме: £7пр=
= Rhtfi= С7|Лвом п , D =
380-1000
— 1000 + 100
Прл Дм = 0 С7пр=л/3^фяяом=
= Ut„ ном=380 В.
= 0,345 А=345 мА, где 1/1ляом
Рис. 16.5
^- = 345,45 В.
398
В аварийном режиме при замыкании фазы С на землю через
малое сопротивление и касании человека к исправной фазе
трехфазной трехпроводной электрической сети с изолированной
от земли нейтралью человек окажется под напряжением, боль-
шим фазного и меньшим линейного напряжения питающей сети,
т. е. ЯОМ^ С4р<с/1я ном*
16.6. При производстве работ электромонтер повредил кабель
трехфазной электрической сети с изолированной нейтралью с
линейным напряжением Uab = Ubc = Uca = U„ = 380 В при
частоте / = 50 Гц и коснулся инструментом одной из фаз
(рис. 16.6, а). Емкость каждой фазы кабеля относительно земли
С = 0,1 мкФ. Определить ток, протекающий по телу электро-
монтера, приняв сопротивление его тела /?* — 1000 Ом.
Решение. Решаем задачу методом эквивалентного генера-
тора. Электродвижущая сила эквивалентного генератора равна
напряжению при отключении внешнего участка цепи: Е3=
= ^№«=^^/73 = 380/73=220 В.
Емкостное сопротивление жилы кабельной линии (рис. 16.6,6):
Хс = Цг = п' чп-г = 31 800 Ом.
<оС 314-0,1-10
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно
общему сопротивлению внутренней части электрической цепи
п , , ,7 —/Хс /31800
относительно точек 3 и I (рис. 16.6,6): 4> = —у— = ——— —
= —/10600 Ом.
399
Ток, протекающий по телу попавшего под напряжение элек-
£ 220
тромонтера (рис. 16.6, а): = 7^7 = _/Ю 600+1000 или^ =
2,2 2,2(104-/106) 22 + /2332 _
10-/106 — (10-/106)(10 + /106) — 11336 —
(0,0022+ /0,205) А.
Ток /л — 0,00222 + 0,2052 = 0,205 А = 205 мА оказывается опас-
ным для жизни человека. При равенстве емкостей проводов от-
носительно земли и весьма больших сопротивлениях изоляции
токоведущих частей относительно земли (при Ci — С2 = С3 = С
и /?1 = /?2 — R3 = со), что может иметь место в кабельных
электрических сетях, ток, протекающий по телу человека, попав-
шего под напряжение, определяется в соответствии с выраже-
нием
/ __ _^1фном_ _^1фяом _ 31/]ф ном
• h ”“* —-------—---------.
Rh+Z3 JXC 3Rh^jXc
* 3
16.7. Укажите назначение защитного заземления электро-
установок В сетях С глухозаземленной нейтралью. Ответ. Автомати-
ческое отключение поврежденной электроустановки от сети при замыкании на
корпус.
16.8. Укажите назначение защитного заземления электроус-
тановок В сетях С изолированной нейтралью. Ответ. Снижение на-
пряжения прикосновения до безопасной величины.
16.9. Разрешается ли питание электроинструмента и перенос-
ных светильников ОТ автотрансформаторов? Ответ. Запрещается.
16.10. Разрешается ли лицам, пользующимся электроинстру-
ментом, держаться за питающие провода и вносить электроин-
струмент внутрь барабанов, КОТЛОВ И Т. Д.? Ответ. Во всех случаях
запрещается.
16.11. Допускается ли в помещениях с повышенной опас-
ностью и в особо опасных помещениях применение ручного
электроинструмента с номинальным напряжением UHOM 220 В
при наличии устройств защитного отключения или надежно за-
земленного корпуса инструмента при обязательном использова-
нии защитных средств (диэлектрических перчаток и пр.)? Ответ.
Допускается, если невозможно обеспечить работу электроинструмента при на-
пряжении 1/ном = 36 В.
16.12. Опишите последствия остановок сердца человека, по-
павшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и
кровообращения. Ответ. В обычных условиях после остановки сердца или
дыхания клетки головного мозга человека гибнут через 5 мин. Охлаждение тела
удлиняет, а перегревание и кислородная недостаточность укорачивают период
клинической смерти и ведут к биологической смерти человека. Характер измене-
ния дыхания (/), работы сердца (2) и деятельности мозга (3) при остановке
сердца (4) характеризуют графики на рис. 16.12.
16.13. Укажите признаки остановки дыхания человека, попав-
шего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и крово-
обращения. Ответ. Отсутствие экскурсии грудной клетки / и потока воздуха
возле рта и носа 2 (рис. 16.13).
400
Рис. 16.12
16.14. Перечислите признаки остановки сердца человека, по-
павшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и
Кровообращения. Ответ. Отсутствие пульса (рис. 16.14, а) и дыхания
(рис. 16,14,6), расширенные зрачки, не реагирующие на свет (рис. 16.14, в).
16.15. Опишите действия оказывающего помощь человеку,
попавшему под напряжение, при сердечно-легочной реанимации,
если оживляет ОДИН. Ответ. Искусственное дыхание осуществляют способом
«изо рта в рот» или «изо рта в нос» через сложенную вдвое марлю (рис. 16.15).
Вначале делают четыре вдоха, затем чередуют два вдоха (/) и 15 надавливаний
на грудину (2) с частотой 60—80 раз/мин. Реанимация проводится до появления
у пострадавшего самостоятельного дыхания н пульса или до прибытия «скорой
помощи».
16.16. Опишите действия оказывающих помощь человеку,
попавшему под напряжение, при сердечно-легочной реанимации,
если ОЖИВЛЯЮТ двое. Ответ. Искусственное дыхание осуществляют способом
«изо рта в рот» или «изо рта в нос» через сложенную вдвое марлю (рис. 16.16).
Вначале делают четыре вдоха, затем чередуют один вдох (/) н пять надавлива-
ний на грудину (2) с частотой 60—80 раз/мин. Реанимация проводится до появ-
ления у пострадавшего самостоятельного дыхания н пульса или до прибытия
«скорой помощи». \
16.17. Опишите способ искусственного дыхания человека, по-
0
Рис. 16.14
401
Рис. 16.16
павшего под напряжение, методом сдавливания грудной клетки.
Ответ. Способ применяют при опасности заражения или отравления оказываю-
щего первую помощь. При этом следует надавливать на боковые стороны груд-
ной клетки пострадавшего в момент его выдоха, а на вдохе ослабить силу рук.
Искусственное дыхание пострадавшему осуществляют в соответствии с
рнс. 16.17,а или б и продолжают до прибытия врача.
16.18. Опишите способ искусственного дыхания человеку, по-
павшему под напряжение, по методу Хольгера—Нильсона. Ответ.
По этому методу искусственное дыхание производят в соответствии с рис. 16.18, а
(выдох) и б (вдох), когда пострадавший находится без сознания. Частота на-
давливания на грудину составляет 16—20 раз/мин и производится до появления
самостоятельного дыхания нли до прибытия врача.
16.19. Опишите способ искусственного дыхания человеку, попав-
шему под напряжение, по методу Сильвестра. Ответ. Этот метод,
так же как и метод Хольгера — Нильсона, применяют в том случае, когда по-
страдавший находится без сознания, в соответствии с рис. 16.19, а (выдох) и
б (вдох). Частота надавливания на грудину составляет 16—20 раз/мин и произ-
водится до появления самостоятельного дыхания или по прибытия врача.
Задачи
16.20. Укажите предельное максимальное L7max значение
напряжения потребителей электроэнергии исходя из усло-
вий электробезопасности при эксплуатации и ремонте. Ответ.
Um.,= 1000 в.
Рис. 16.17
402
Рис. 16.19
16.21. Укажите значение максимально допустимого сопротив-
ления Ro защитного заземления, принятого в электрических се-
тях С напряжением ДО 1000 В. Ответ. Ro не превышает 4 Ом.
16.22. На какие значения напряжений U распространяются
правила технической эксплуатации электроустановок (ПТЭ) и
правила техники безопасности (ПТБ) при эксплуатации электро-
установок потребителей электроэнергии независимо от их ве-
домственной принадлежности? Ответ. Напряжения U S 1000 В.
16.23. Укажите предельное максимальное значение напряже-
ния (7тах, допустимого для стационарного искусственного освеще-
ния с лампами накаливания в помещениях без повышенной
опасности. Ответ. = 220 В.
16.24. Укажите допустимые значения напряжения <7ЯОп для
переносных электрических светильников, присоединяемых к пи-
тающему трансформатору наглухо или с помощью штепсельной
вилки. Ответ. и,а„= 12 В или 36 В.
16.25. При каком предельном максимальном допустимом зна-
чении напряжения Umax в соответствии с правилами ПТБ раз-
решается производить работы с электроинструментом в помеще-
ниях без повышенной опасности? Ответ. ит,к = 220 В.
16.26. При каком предельном максимальном значении напря-
жения Umax в соответствии с ПТБ разрешается производить ра-
боты с электроинструментом в помещениях с повышенной опас-
ностью, вне помещений и й особо опасных помещениях (с обяза-
403
тельным применением индивидуальных защитных средств)? Ответ.
(7 „„, = 36 в.
16.27. Какое допустимое значение Umax напряжения соответ-
ствует переносным электрическим светильникам в помещениях с
повышенной опасностью? Ответ. (/тах<36 В.
16.28. Какое допустимое значение напряжения Um™ соответ-
ствует переносным электрическим светильникам в помещениях
ОСОбО ОПаСНЫХ И вне помещений? Ответ. итах = 12 в.
16.29. Укажите максимальное значение напряжения Um^,
в пределах которого в качестве защитных средств используются
изолирующие штанги, указатели напряжения с дополнительным
сопротивлением для фазировки, изолирующие клещи, инструмент
с изолированными рукоятками, резиновые диэлектрические пер-
чатки, боты, галоши, коврики, изолирующие подставки, пере-
носные заземления, защитные очки. Ответ. 1 кВ.
16.30. Укажите максимальное значение напряжения Umzx,
в пределах которого в качестве защитных средств используются
измерительные изолирующие штанги, изолирующие колпаки и
накладки. Ответ. (/тах =1 кВ.
16.31. Приведите выражение для расчетного значения тока
/пвст плавкой вставки предохранителей от многофазных коротких
замыканий электродвигателей с легкими условиями пуска, ис-
ходя ИЗ ИХ значений пускового тока /пуск. Ответ, /„.е, =/„уек/2,5.
16.32. Приведите выражение для расчетного значения тока
/пвст плавкой вставки предохранителей от многофазных коротких
замыканий с тяжелыми условиями пуска (например, при боль-
шой длительности разгона двигателя, с частыми пусками). Ответ.
/п ВСТ = / пуск/ (2 4- 1,6).
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПРОГРАММИРОВАННЫХ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОВ И ЭВМ
Приложение 1
Неразветвленная электрическая цепь переменного тока (рис. П.1.1) со
стандартной частотой f = 50 Гц находится под напряжением U. Падение напря-
жения на резисторе Un, на зажимах конденсатора Uc, на зажимах катушки ин-
дуктивности U,, ток в цепн /, активная мощность Р, замеряемая ваттметром W.
Используя данные, приведенные в табл. П.1.1, с помощью программированного
микрокалькулятора определить полное сопротивление цепи Z, сопротивление
резистора R, емкостное сопротивление Хс и емкость С конденсатора, а также
полное ZK, активное Як и индуктивное сопротивления катушкн, ее индуктив-
ность LK, коэффициент мощности катушки cos ч>„ и коэффициент мощности всей
цепи cos q>. Построить в масштабе соответствующие векторные диаграммы тока
и напряжения и треугольник сопротивлений для катушки индуктивности.
Рис. П.1.1
Рис. П.2.1
405
Таблица П.1.2
Но- мер шага Нажимаемые клавиши Код Пояснение Но- мер шага Нажимаемые клааиши Код Пояснение
00 00 4г ввод U 35 [ 4- ] 13
01 0/0 50 36 49
02 | П || 2| 42 ввод ик 37 0/0 50
03 |С/П| 50 38 |ИП||б] 66
04 ШН 43 ввод ис 39 000 65
05 0Z0 50 40 Ifx7] 22
06 ин 44 ВВОД Un 41 рп 13
07 |С/П| 50 42 00Ш 67
08 шн 45 ВВОД / 43 1 — 1 11
(ю 0/0 50 44 ши 41
10 пн 46 ввод Р 45 0/0 50
11 0010 6Г 46 | ИЛ ||9| 69
12 000 65 47 I FX2| 22
13 | 4-1 13 48 00Ш 61
14 шн 4- 49 [ТхТ] 22
15 [с/л] 50 50 1 — 11
16 000 62 51 00 21
17 0015] 65 52 0/П] 50
18 [ 4-1 13 53 ИН 21
19 Ш0 ' 47 54 □ 01
20 0Z0 50 55 00
21 |ИП||з| 63 56 0 00
22 000 65 57 0 12
23 | -г | 13 58 | 4-1 13
24 0/0 50 59 0/0 50
25 □ 01 60 001'1 61
26 0 00 61 000 69
27 0 00 62 1 1 13
28 S 12 63 0/0 50
29 Н0 20 64 |ИП||7| 67
30 0 12 65 000 6-
31 ЩМ 23 66 [ 4- | 13
32 [с/л] 50 67 1 СП | 50
33 000 64
34 000 65
406
Программа расчетов к Приложению 1 с использованием программированных
микрокалькуляторов МК-54, МК-56, МК-61, БЗ-34 и других дана в табл. П. 1.2.
Задание для реализации программы следующее: включить микрокалькулятор;
нажать клавиши: |В/О|]F||ПРГ| (перевод в режим программирования); ввести
текст программы, нажимая соответствующие клавиши и контролируя правиль-
ность нажатия по значению кода; нажать клавиши ГР] |АВТ | (перевод в авто-
матический режим), ввести исходные данные; например, для первой строки
табл. П.1.1. Ввести, например, Ц = 50'В, нажать IВ/ОI ГС/ПI, ввести (/#
(например, UR = 43,6 В), нажать |С/П |, далее ввести Uс, нажать fC/П j ввести
UK, нажать |С/П|, ввести /, нажать |С/П|, ввести Р, нажать |С/П|. На ин-
дикаторе данные выводятся в такой последовательности: Z, Ом — нажать клавишу
| С/П |; R, Ом — клавншу|С/П |; Хс, Ом — клавишу |С/П|; С (в фарадах) —
клавишу |С/П |; Z„ Ом — клавишу |С/П |; R„, Ом — клавишу |С/П |; Х„ Ом —
клавишу |С/П |; LK, Гн — клавишу |С/П |; cos q>«—клавишу |С/П |; cos ф —
клавишу (С/П |. Аналогичные расчеты выполняются и для других строк
табл. П. 1.1. Расчетные величины заносятся в правую часть расчетной табл. П.1.1.
Вычисления, выполненные по приведенным ниже расчетным формулам, пред-
ставлены в виде приведенной выше программы иа программированном микро-
калькуляторе 2л:
Z=U/I- R=Ur/I-, Xc = —jC ', C='/2nfXc\ Z.,= UJl- RK=P/12-R-,
Xk = ^Z^R'i’, L„ - -Д- ; cos Фк = ; cos ф = P/UI.
2л/ Z,
По результатам расчетов строятся в масштабе соответствующие векторные диа-
граммы тока и напряжений и треугольник сопротивлений для катушки индук-
тивности.
Приложение 2
Электрическая цепь переменного тока стандартной частоты /, = 50Гц
(рис. П.2.1) содержит источники ЭДС: ei = 200y/2sin (ои + л); ег = 100-^2sin (ы/ +
+ -£-) и потребители электроэнергии с активным и реактивным сопротивлениями:
Ri = 20 Ом; Rj = 30 Ом; ₽з = 40Ом; Rs = 50 Ом; Rs = 30 Ом; Хс1=ЮС)м;
ХС2=20Ом; Хгз=30Ом; Хи = 20 Ом; Хсз— 10 Ом; ХС6— ЮОм. Определить
токи в ветвях при частотах, равных 0,5; 0,75; 1,25; 1,5 стандартной частоты пере-
менного тока ft = 50 Гц, и построить графики 1(f) зависимости тока от частоты
переменного тока. Задачу решить методом контурных токов с использованием
ЦВМ.
Е
Решение. Комплексные ЭДС источников питания: Ei =—Д^-е'” —
_ 200у/2 е/я _ 200(COS лл) — _200 В; _Е2 = е'т = е* =
V2 д/2 д/2
= 100^ cos -у+/sin -у) =/100 В, где Ei„, Егт— амплитудные значения ЭДС.
Комплексные сопротивления ветвей: Zi = Ri—jXCi = (20 — /10) Ом; Z? =
= R2 — [Хс2 = (50 — j20) Ом; Z< = R3 -f- fX и ' (40 -f-/30) Ом; Zt = fXi_$ = f20 Ом;
Z5 = Rs — fXcs= (50 — /10) Ом; _Z6 = Rs —/Xc6 = (30 —/10) Ом — при частоте
переменного тока ft = 50 Гц.
В соответствии с принятым на схеме электрической цепи (рис. П.2.1) положи-
тельным направлением обхода контурных токов составляются по числу контурных
токов уравнения по второму закону Кирхгофа. Для верхнего замкнутого контура:
407
1 ЦЕЛ:Н,К,ч1.1
2 ВВОД(12)(0C);/20' ''Решение систем линейных, уравнений*; Z4,20; 'Введ
ите число уравнений = 'N
3 BEM:ZR[N,N],ZI(N,N],ER(N), E!(NJ
4 BEB: IRIN) , 1 I [NJ
3 ВВОД:(/,N(/N(' 'E)))/'Введите построчно действительные часты коэфф
моментов матрицы'; ZR
6 ВВОД:(/,N(/N(' 'Е)))/'Введите построчно мнимые части коэффициентов
матрицы; ZJ
7 ВВОД:(/'И(' 'Е))/'Введите действительные части элементов вектора';.
ER
8 ВВОД:(/,И(' ’Е))/Введите мнимые часты элементов вектора';/ЕI
9 ВЕ|:Т0,Т1,D,А,В
10 ДЛЯ Kzl, N
.НЦ
11 . TO:zZR(K,K]
12 . Tl:zZ![K,K)
13 . D:=Т0»Т0*Т1»Т1
14 .ЕСЛИ(D)1,777,1
15 1 . T0:xT0/D; T1:=-T1/D
16 .ДЛЯ ! = 1,Н
. .ИЦ
17 ..ДЛЯ J=1,N
. . .НЦ
18 ...ЕСЛИ(1-К),3
19 ...ЕСЛИ(Л-К),3
20 ... A:=ZR[1,К]»ZR[K,J]-Z1[1,К]»Z1(К,J]
2! ... В;=ZR(1,К)»Z1[К,J]*Z1[1,К}»ZR(К,J]
22 ... ZR(l, J]:s-(A»T0-8»T1)*ZR[1,J)
23 ... Z!(1,J]:г-(A»Ti*B«T0)*Z1(1,J]
24 3 ... МЕТКА
25 ... КОН J
26 ..КОН 1
27 .ДЛЯ Izl,N
. .НЦ
28 ..ЕСЛИ(1-К),4
29 .. A:=-(ZR(K,1)»T0-Z![К,1]»Т1)
30 .. Вtг-(ZR(К,])«Т1*Z![К,!]«Т0)
31 .. ZR[K,1):zA; ZI[K,I):sB
32 .. At=ZR(iiT0-Zl[I,K)»T1
33 .. 8:sZR(ixTl+ZI[1,K)»T0
34 . . ZR[I ,K] : =A; ZI [I ,K) : -B
35 4 ..МЕТКА
36 ..KOH 1
37 . ZR(K.K]:sT0
38 . ZI(K,K):=T1
39 .KOH К
40 777 МЕТКА
41 ДЛЯ Kzl.N
.НЦ
42 . 1R[K)-.s0.0; II(K]:=0.0
43 .ДЛЯ Jsl,N
. . НЦ
44 .. 1R[K]:=1R[K]♦(ZR[K,J]»ER[J]-Z1(K,J]«Е1[J])
45 .. 11[K]: = 11(KJ *(ZR[K,J]»E1[J)*ZI[K,J]wER(J])
46 ..KOH J
47 .KOH К
48 ЕЫВОД/10' "Корни уравнения'
49 ЕЫВОД(/,N(' 'Е4))/'Действительная часть'; IR
50 выводе/,N(' 'Е4))/' Мнимая часть ';!!
51 КОИ
0= (Z, + Z2 + Zt)/n — Zihi — Zthi. Для левого замкнутого контура: Е\ = (2з +
+ Z4 + Z5)/33 — Z4/11 — Z3/22.
Для правого замкнутого контура: —Ег = + Z3 + Zb)!?? — Zsh3 — Ziltl или
Ziiht +Z12/22 +Z13/33=0;; Z12/1 > +222/22+223/33= £22; Z13/11 +223/22+233/33=£33;
где Zii = Zi +Z2+Z4; Z22=Z2+Z3+Z6; Z33=Z3+Z4+Z5 — сопротивления верх-
него, правого и левого замкнутых контуров; Zi2=Z2i = — Z2; Zi3=Z3i = —Z4;
Z23=Z32= —Z3 — общие сопротивления соответственно верхнего и правого,
верхнего и левого, правого и левого замкнутых контуров; £22 = —£2; £зз = £i —
контурные ЭДС.
408
Уравнения для контурных токов могут быть представлены в матричной форме
Z11 Z12 Z । л
Z21 Z22 Zl>3
Zsi Z32 Z33
’О
Е 22
Е»
После подстановки заданных значений и преобразований получим выражения
для токов в матричной форме
50-/10
-30 +/20
— /20
-30 +/20 -/20
100 -40-/30
-40-/30 90 +/40
0
-/100
-200
Для решения полученной системы линейных уравнений используем цифровую
вычислительную машину «Электроника ДЗ-28» с программой LOOP, распечатка
которой приведена в табл. П.2.1. При этом определяются контурные токи: /и =
= (—0,9522-/1,826) А; /22 = (-1,201-/2,236) А; 133 = (-1,936-/0,745) А.
Соответственно токи в ветвях: /, = /и = (—0,9522-/1,826) А или Л =
= у0,95222+ 1.826-' = 2,059 А; /2 = /22 = (-1,201 -'/2,236) А или /2 =
=л/ 1-20Р+2.236-=2,538 А; /з=/зз= (—1,936—/0,745) А или /3=71,9362+0,7452=
= 2,074 А.
В соответствии с первым законом Кирхгофа для узловых точек цепи опреде-
ляют токи в ветвях: /4=/22—/зз= —1,201—/2,236+L936+/0,745= (0,734 —
-/1,491) А или Л = -\/0,7342"+ 1,4912 = 1,66 А; /5 = /33-/11 = -1,936-/0,745 +
+ 0,952+/1,826= ( —0.984+/1,081) А или /5 = т/°.9842+1,0812= 1,462 А; /6=/22-
—/и = -1,201 -/2,236+ 0,952+ /1,826= (-0,249-/0,41) А или /6 = V<X2492 +
+ 0,422 = 0,479 А.
Для реализации программы, представленной в табл. П.2.1, вводят в ЦВМ
«Электроника ДЗ-28» (например, с использованием дисплея алфавитно-цифрово-
го 15ИЗ-00-13) текст этой программы. Для этого нажимается клавиша дисплея
В (ввод), затем по порядку номеров программы нажимаются клавиши дисплея.
Прн появлении на экране дисплея текста монитора операционной системы (МОС)
нажимается клавиша. ГИ1 (на экране дисплея появляется «исполнитель» ТР11.
далее набирается на клавиатуре дисплея имя программы (LOOP). Затем нажи-
мается трижды клавиша «пробел». При появлении на экране текста «АМ = чис-
ло» нажимается клавиша |МРП | |ТП пуск, прн этом на экране появляется запрос
числа комплексных уравнений («введите число уравнений»). Далее вводят число
линейных комплексных уравнений, в данном случае три уравнения. Нажимается
клавиша [3] |ВКI. Машина запрашивает действительные части коэффициентов
матрицы. Вводят построчно действительные части коэффициентов матрицы. При
этом, если в комплексном числе нет действительной части, нажимают клавишу
ГЩ. После каждого коэффициента матрицы нажимается клавиша |ВКI Далее
машина запрашивает мнимые части уравнений (на экране появляется текст —
«введите построчно мнимые части коэффициентов матрицы»). Ввод мнимой части
осуществляется аналогичным образом. Затем вводятся действительная и мнимая
части комплекса ЭДС. На экране появляются значения действительной и мнимой
частей контурных токов (корни уравнения). Если после числа —9522 (в данном
случае действительная часть комплексного контурного тока /и) следует Е00, то
записывается число —0,9522. Если на экране появится в нашем случае число
—1201, а затем Е01, то число записывается следующим образом: —1,201 (дей-
ствительная часть комплексного тока /22). После выдачи корней уравнений кон-
турных токов в левом нижнем углу экрана появится знак МРП — сигнал оконча-
ния цикла по определению контурных токов (машина закончила процесс решения
задачи и снова готова к повторению аналогичных расчетов).
Для определения токов при других частотах переменного тока определяются
реактивные сопротивления отдельных ветвей при этих частотах. Емкостное сопро-
тивление при частоте /( = 0,5/|, так как Хс и /1 связаны между собой обратно
409
пропорциональной зависимостью
то реактивные сопротивления
конденсаторов при данной частоте окажутся в 2 раза большими, чем при fi =
= 50 Гц: Хс:л5 = 2ХС| = 2-10 = 20 Ом; Хсз os = 2Хс2 = 2 • 20 = 40 Ом; Xcsos =
— 2Ха = 2-10 = 20 Ом; Xcsos = 2ХС6 = 2-10=20 Ом. Индуктивное сопротивле-
ние при частоте fi = 0,5/i. Реактивные индуктивные сопротивления Xi и часто-
та fi связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью, поэтому прн
частотё fi = 0,5/, она окажется в 2 раза меньше, чем при Г| = 50Гц: Xuos =
= 0,5Xt3= 0,5-30 = 15 Ом; Xt406 = 0,5Xu = 0,5-20 = 10 Ом.
Аналогично определяются реактивные сопротивления отдельных ветвей и при
других частотах. Далее определяются токи в ветвях при других частотах пере-
менного тока по методике, изложенной выше. Результаты расчета сводятся в
табл. П.2.2.
П риложение 3
Трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором с
числом пар полюсов р питается от трехфазной сети со стандартной частотой
переменного тока fi = 50 Гц. По данным, приведенным в табл. П.3.1, с помощью
программированных микрокалькуляторов МК-61, МК-54 и других по программе,
представленной в табл. П.3.2, определить частоту вращения л, вращающегося
магнитного поля, частоту вращения ротора пг, угловую частоту вращения ротора
ш, и его скольжение s, а также скольжение ротора s' и частоту тока f'i в роторе
при возрастании нагрузки на валу двигателя с учетом того, что частота вращения
ротора при этом уменьшается на 8 %, т. е. ni = 0,98лг,приняв отношение пг/ni = X.
Таблица П.3.1
р X п2 = Xri]
1 0,95 0,95
2 0,96 0,96
3 0,965 0,965
4 0,97 0,97
5 0,975 0,975
6 0,98 0,98
Программа расчетов с использованием микрокалькулятора представлена в
табл. П.3.2, Перед набором программы включить микрокалькулятор, нажать
клавиши ГН IПРГ | микрокалькулятора. Ввести текст программы, нажимая кла-
виши микрокалькулятора в последовательности, указанной в табл. П.3.2 (конт-
роль правильности нажатия клавишей осуществляется по значению кода).
Для реализации программы нажимают клавиши [И - |АВТ|, |В/О|. Вводят
исходные данные:Гр](например, р = . 1), нажимают клавишу | С/П | (получают ль);
410
Таблица П.3.2
’Но- мер шага Нажимаемые клавиши Код Пояснение Но- мер шага Нажимаемые клавиши Код Пояснение
00 f ввод р ОЕ ввод р 20 |П->Х2| 62
01 0 03 21 |— [вычитание 11
02 0 00 2? ink'll 61
03 0 00 23 |-е-|деление 13
04 0 00 24 [с/п'| 50
05 1^] 14 25 0 05
06 [Т~| 13 26 0 00
07 |Х^П11 41 27 |х [умножение 12
08 [с/п~| 50 ВЫВОД Л| — 28 |С7гП 50
60/
р
09 0 12 ввод X
10 |Х-*-П2| 42 29 1П- X2J 62
11 [С/гГ] 50 ВЫВОД П2 = = ХП1 30 0 00
12 |П^Х1| 61 31 I 1 0.
13 00 20 32 0 09
14 в 12 33 0 05
15 0 03 34 в 12
16 0 00 35 |Х — П2 !• 62
17 |-г-1 деление 13 36 [с/п] 50
18 50 37 |бп | 51
19 |П-^Х11 61 38 □0 19
нажимают клавишу Щ (например, при р = 1, Х = 0,95), нажимают клавишу
|С/П| (получают л2), нажимают клавишу |С/П| (получают <oi). Далее нажати-
ем клавишей |С/П | получаем соответственно S, /г. ni, s', f'2. Аналогичные расчеты
повторяют для других значений числа пар полюсов р. Расчетные значения заносят
в табл. П.3.3.
Т а б л и ц а П.3.3
р П| /12 в ХП । Z $ h «2 s' fi
— об/мин об/мин рад/с — Гц об/мин — Гц
1 2 3
411
Приложение 4
Рассчитать по приближенным формулам н построить механическую характе-
ристику П2(М) трехфазиого асинхронного электродвигателя типа 4А907.4УЗ с
числом пар полюсов р = 2, с номинальной мощностью = 2,2 кВт, номиналь-
ной частотой вращения ротора л2ном = 1425 об/мин, номинальным скольжением
s»o«=5,1 %. Кратность моментов электродвигателя т, = AfmBX/AfB0« = 2,4;
m, — AfBycB/AfBPB — 2,1; mmi„ = Mmln/AfBOM = 1,6; частота питающего напряжения
/,-50Гц;171яом-380В. р
Решение. Номинальный момент: Мвов = 9,55 9,55 ’ -— =
^2ном * 14лЭ
= 14,74 Н-м. Максимальный момент: Afm„ = 2,4AfH0M = 2,4-14,74 = 35,37 Н-м.
Начальный пусковой момент: Мпусв = 2,1Л4ВО«= 2,1 • 14,74 = 29, 4 Н-м. Мини-
мальный момент: Mmin = 1.6Л4В0В = 1,6-14,74 = 23,6 Н-м. Критическое скольжение
ротора определяется из приближенного уравнения механической характеристики
2Af
асинхронного двигателя (формулы Клосса): М — —-— . . При наличии
$/ $кр I $Кр/S
известных значений AfHOM и $Ном с учетом того, что в двигательном режиме sKp>
>sBOB, имеем: s«p = sH0M ( ( 4^/- 1) = 0,051(2,4+ д/2,42- 1) -
\ Миом ’ \ Мной/ /
= 0,051-4,58 = 0,234. Частота вращения ротора, соответствующая sBp: лвр =
= л, (1—sBp)= 1500(1—0,234)= 1149 об/мин, где л, = 60/i/p =-------
= 1500 об/мин. Частота вращения ротора, соответствующая минимальному мо-
менту лjmin = л। (1 — sm,p)= 1500(1 — 0,8) = 300 об/мин (принимаем мини-
мальное скольжение smln=0,8). Координаты механической характеристики рас-
считываются по формуле Клосса. Результаты расчетов сводят в табл. П.4.1.
Таблица П.4.1
Характерные координаты точки механической ха- рактеристики асинхронного электродвигателя Рассчитывают по про- грамме табл. П. 4.2.
л2, об/мин 0 300 1149 1425 1500
S 1 0,8 0,234 0,051 0
М, Нм 29,4 26,3 35,37 14,74 0
Таблица П.4.2
Номер шага Нажимаемые клавиши Код Номер шага Нажимаемые клавиши Код
00 1П->Х||2] 62 08 [вН ОЕ
01 Ln.rХ1Ш 63 09 |F||1/X | 23
02 | —] 11 10 |+ | 10
03 |П-Х||2| 62 11 |~~2~] 02
04 ЕЕ] 13 12 |-г I 13
05 jx-*nj 4 | 44 13 |П-Х|10] 60
06 |П <-Х| 7] 61 14 L±J 13
07 Е 13 15 1EJL2E1 23
16 [с/п | 50
412
По результатам расчетов строится механическая характеристика. Механи-
ческую характеристику (см. рис. 12.22) определяют четырьмя характерными
координатами: скольжению s=l = 0) соответствует начальный пусковой
момент Af„yCK, скольжению s = 0,74-0,9—минимальный вращающийся момент
критическому скольжению sKp— критический момент AfKp. При номинальном
вращающем моменте М„ои скольжение s = sHOM, прн скольжении s = 0 <пг = л,)
вращающий момент М равен нулю. Программа расчета механической характе-
ристики асинхронного электродвигателя на программированном микрокалькулято-
ре МК-56 [5] представлена в табл. П.4.2.
Для реализации программы следует нажать клавиши | Ь/О | ГН | ПРГ | .
Ввести текст программы, нажимая соответствующие клавиши и контролируя
правильность нажатия по значению кода. После набора программы переходят в
автоматический режим, при этом нажимают клавиши ГР) |АВТ| и вводят исход-
ные данные, т. е. числа: Afmax= 35,37 Н-м; Л4тя,|ХП| ПЛ; х,р= 0,234;
s.JX -> TTl Ш д л,= 1500 об/мин; nJX -»• ПТ [3- далее вводят пг (от 0 до
1499) пг IX -»- ТГ| [31 и нажимают- клавиши | В/О | и |С/П |. Записывают с инди-
катора полученное значение лг: |СХ | лг |Х -> П| ПЛ- Вновь вводят программу
IВ/О| |С/П | и т. д.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника. — М.: Энер-
гоатомиздат, 1985. — 552 с.
2. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника. Высшая школа, 2000. —
542 с.
3. Электротехжка/Под ред. В. Г. Герасимова. — М.: Высшая школа, 1985. —
480с.
Дополнительная
1. Волынский Б. А., Зейн В. Е., Шатерников В. Г. Электротехника. — М.:
Энергоатомиздат, 1987. — 528 с.
2. Морозов А. Г. Электротехика, электроника, импульсная техника. — М.:
Высшая школа, 1987.— 448 с.
3. Основы промышленной электроники/Под ред. В. Г. Герасимова — М.:
Высшая школа, 1969.— 160 с.
4. Сборник задач по электротехнике и основам электроники/Под ред. В. Г. Ге-
расшова — М.: Высшая школа, 1987. — 288 с.
5. «Desing News» (США). 1988, № 12. Т. 44 С. 15.
6. Данилов И. А., Иванов П. М. Общая электротехника с основами электро-
ники. — М.: Высшая школа, 1998. — 752 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................
Глава I. Линейные электрические цепи постоянного тока..............
§ 1.1. Источники и потребители электрической энергии постоянного
тока .............................................................. I
§ 1.2. Метод эквивалентных преобразований.................. 15
§ 1.3. Метод применения законов Кирхгофа................... 25
§ 1.4. Метод контурных токов............................... 38
§ 1.5. Метод узлового напряжения........................... 46
§ 1.6. Метод наложения токов............................... 53
§ 1.7. Метод эквивалентного генератора............................ 56
Глава 2. Нелинейные электрические цепи постоянного тока....... 66
§ 2.1. Основные сведения о нелинейных электрических, цепях .... 66
Глава 3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока .... 78
§ 3.1. Способы изображения синусоидальных функций времени ... 7к
§ 3.2. Метод комплексных чисел................................... «2
§ 3.3. Линейные однофазные синусоидальные электрические цепи
с последовательным соединением элементов цепи...................... W
§ 3.4. Линейные однофазные синусоидальные электрические цепи с
параллельным и смешанным соединением элементов цепи ... 110
Глава 4. Электрические цепи периодического несииусоидального тока . . 156
§ 4.1. Основные сведения о периодических несннусоидальных токах 156
Глава 5. Переходные процессы в линейных электрических цепях .... 168
§ 5.1. Основные сведения о переходных процессах.................. 168
Глава 6. Промышленная электроника.................................... 184
§ 6.1. Основные сведения об электровакуумных и полупроводниковых
приборах........................................................ 184
Глава 7. Трехфазные электрические цепи............................... 211
§ 7.1. Трехфазная система питания потребителей электроэнергии . . 211
§ 7.2. Трехфазиые трехпроводные электрические цепи при соединении
фаз трехфазных потребителей электроэнергии «звездой» . . . 212
§ 7.3. Трехфазные электрические цепи при соединении фаз трехфаз-
ных потребителей электроэнергии «треугольником» ............... 215
§ 7.4. Трехфазные четырехпроводные электринеские цепи.............217
Глава 8. Электрические измерения.....................................250
§ 8.1. Основные сведения об электроизмерительных приборах и по-
грешностях измерений..............................................250
Глава 9. Магнитные цепи..............................................264
§9.1. Основные сведения о магнитных цепях и их расчете............264
Глава 10. Трансформаторы..............................................277
§• 10.1. Основные сведения о трансформаторах..................... 277
415
Глава II. Электрические машины постоянного тока . ............... 302
§ 11.1 . Основные сведения об электрических машинах постоянного
тока 302
Глава 12. Трехфазиые асинхронные электродвигатели................. 313
$ 12.1. Основные сведения о трехфазных асинхронных электродвига-
телях ........................................................ 313
Глава 13. Трехфазиые синхронные электрические машины.............. 342
$ 13.1. Основные сведения о синхронных машинах и области нх при-
менения ....................................................... 342
Глава 14. Электрический привод.................................... 352
$ 14.1. Основные сведения об электроприводе и принципах выбора
электродвигателей ............................................. 352
Глава 15. Электроснабжение производственных предприптий........... 364
$ 15.1. Основные сведения об электроснабжении и оплате за пользо-
вание электроэнергией .............................. 364
Глава 16. Электробезопасиость .......................... 390
$ 16.1. Основные сведения об электробезопасности и оказанию первой
помощи................................................... 390
Приложения. Примеры решения задач с использованием программи-
рованных микрокалькуляторов и ЭВМ....................... 405
Списоклитературы................................................. 414
Учебное издание
Рекус Григорий Гаврилович
Белоусов Анатолий Ильич
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
И ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОНИКИ
Редактор Л. В. Честная. Художник К. Э. Семенков.
Судпжестяеяяый редактор Ю. Э. Иванова. Технический редактор Н. В. Быков,
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ВТИ-93. Сдано в набор
й подл, в печать 26.11.2000. Формат 60x88*/^. Бум. газетная.
Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 25,48 усл. печ. л.
25,48 усл. кр.-отт. 26,21 уч.-изд. л. Тираж 10000 экз. Заказ №217.
ГУП «Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14.
Факс: 200-03-01, 200-06-87
E-mail: V-Shkola@g23.relcom.ru http: // www.v-shkola.ru
Набрано на персональных компьютерах издательства
Отпечатано в ОАО «Оригинал», 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.