М. Б. ВОЛОВИЧ
МАТЕМАТИКА БЕЗ ПЕРЕГРУЗОК

ББК 74. 262
В 68
#
Волович М. Б. Математика без перегрузок. — М.:
В 68 Педагогика, 1991. — 144 с. —(Б-ка учителя и
воспитателя).
ISBN 5-7155-0355-8
Автор в популярной форме объясняет, каким образом можно
хорошо учить математике всех учащихся. Предлагаемая в книге
педагогическая технология обучения математике обеспечивает
успешное и прочное усвоение школьниками определений,
формулировок и доказательств теорем. При этом реализуется принцип
индивидуализации обучения, вводятся элементы взаимного
обучения, а творчески работающие учителя освобождаются от ряда
рутинных процессов при подготовке к учебным занятиям и их
проведении.
Для учителей.
4306000000—069
В- 57—91 ББК 74.262
005(01)—91
ISBN 5-7155-0355-8 © Волович М. Б., 1991

Глава 1
МОЖНО ЛИ ХОРОШО УЧИТЬ ВСЕХ?
О трудностях и недостатках в работе школы в последнее время
говорят очень и очень много. К сожалению, реформа
общеобразовательной и профессиональной школы, а также планы ее
радикального обновления, призванные устранить имеющиеся
недостатки в сфере просвещения, не привели к положительным
результатам. Например, в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров
СССР «О дальнейшем совершенствовании общего среднего
образования молодежи и улучшении условий работы
общеобразовательной школы» подчеркивалось, что «необходимо искоренять
любые проявления формализма в содержании и методах
учебно-воспитательной работы и жизни школы, в оценке знаний учащихся,
преодолевать так называемую процентоманию» [1, с. 40].
Многие ли учителя могут через 5 лет после принятия
постановления, когда пишутся эти строки, сказать, что отмеченные
недостатки преодолены? Судя по тому, что мне приходится видеть
и слышать, думаю, что очень немногие. Поясним этот вывод.
Задумайтесь, уважаемый читатель, часто ли ученик идет в
школу, понимая, что домашнее задание не выполнено или выполнено
плохо? Если он учится в VII или более старшем классе, это
случается довольно часто. И не может не случаться. Потому что объем
подлежащей переработке информации стремительно растет от
класса к классу. И ученик просто нев состоянии сделать все, что
требуют учителя. Ведь в соответствии с данными Министерства
просвещения РСФСР восьмиклассник должен усвоить в день
содержание 28 страниц, в том числе 13 страниц учебников, а
девятиклассник— соответственно 65 и 17 страниц [2, с. 38]. Поэтому
если у ученика по математике, скажем, три отметки, а у его соседа
по парте только одна, то этот ученик резонно считает, что скорее
всего спросят соседа, а не его. Следовательно, можно
расслабиться, не учить.
В этой обыденности, «естественности» недобросовестного
отношения к заданиям, в формальном подходе к учению кроется
нечто гораздо большее, чем недостаточно прочные знания по
предмету. Убеждением становится установка на то, что трудиться с
полной отдачей нужно не всегда, а лишь в тех случаях, когда
это заметят и оценят. Тем самым интенсивно осуществляется
«воспитательный процесс». Но воспитывается нечто противоположное
тому, на что нацеливают проекты радикального обновления
школы.
Еще пример. Учитель вызывает к доске ученика, плохо
знающего материал. Формально все правильно: под руководством учителя
ребенок учится излагать свои мысли. А по существу? Сколько
напрасно потерянных человеко-минут! Да и самому отвечающему
3

такой «ответ», кроме унижающего человеческое достоинство
сознания, что он плохой ученик, вряд ли что-нибудь даст.
Ну а если ученик у доски отвечает хорошо? Полезен ли тогда
его ответ остальным ученикам в классе? Известный советский
ученый академик АН УССР Б. В. Гнеденко провел анкетирование:
«Я предложил после опроса одного из учащихся раздать
остальным чистые листочки бумаги и попросил их ответить только на
один вопрос: «О чем ты думал во время опроса твоего товарища?»
Само собой разумеется, учащиеся были заранее предупреждены,
что на листочке не нужно писать ни имени, ни фамилии.
Результат меня поразил: из 38 учащихся, возвративших
листочки, только двое ответили, что они размышляли над тем, что они
станут делать, если вызовут их. Остальные же думали о чем угодно,
но только не об ответе товарища» [3, с. 14].
Но может быть, академику Гнеденко не повезло и учителю на
том уроке, на котором он побывал, просто не удалось правильно
организовать опрос? Может быть, столь низкий КПД опроса не
правило, а исключение? К сожалению, нет. Опыт многих учителей,
с которыми мне приходилось беседовать, позволяет утверждать,
что Б. В. Гнеденко подмечена закономерность: опрос, который
оказался столь неэффективным,— обычное явление. Подтверждение
тому, в частности, опубликованные в книге Л. М."
Фридмана [4, с. 112] результаты многолетних исследований учителя
Б. И. Дягтерева. Изучая, на что учащиеся старших классов
используют время при традицЦюнном устном опросе их товарищей у
доски или с места, Б. И. Дягтерев установил, что лишь 14,8 %
учащихся (а наблюдения велись более чем за 500 учениками!) следили
за ответом товарищей; 19,4 % думали о том, что станут отвечать,
если учитель спросит их; 9,3 % — о предмете; 53,8 % думали о
разном, но не о предмете; 2,7 % занимались посторонними делами.
И еще одно отражающее суть проблемы мнение хочу привести.
Оно было высказано в ходе дискуссии «Нужен ли опрос учащихся
у доски?». «Я считаю, что традиционный опрос не имеет права на
существование,— заявил вчерашний школьник. — Во-первых,
слушать ответы, особенно слабые, бывает так утомительно, что
хочется заняться чем-нибудь своим. Но заниматься своим трудно: ответ
мешает. Во-вторых, когда ты готов и хотел бы, чтобы тебя вызвали,
преподаватель вызывает кого-то другого. Зато если ты не готов —
сразу же слышишь свое имя. Или ожидаешь, что вот-вот
услышишь. В результате, даже если все заканчивается благополучно,
устаешь, как от тяжелой работы».
Интересно, что похожие мысли красной нитью пронизывают и
упомянутую выше работу Б. В. Гнеденко [3].
«Не следует ли нам задуматься,— спрашивает Б. В.
Гнеденко,— над тем, что утомляться можно не только от перегрузки
работой, но и от безделия, от работы в неполную силу, от работы без
увлечения? Не ограничивается ли участие некоторых учеников в
-\

учебном процессе в течение значительной части года лишь
присутствием в классе? Не случается ли так, что они слушают, не
слыша, и смотрят, не видя?» [3, с. 14—15J.
Задуматься-то, конечно, стоит. И не только над тем, что знания
у многих в результате «быстро забываются и, что самое главное, не
становятся орудием познания» [3, с. 15]. но и над воспитательной
стороной дела: трудовое воспитание осуществляется отнюдь не
только на уроках труда или на субботниках. У ученика, который
привык бездельничать на уроках, списывать и ловчить, который
чрезвычайно боится перетрудиться, занимаясь учебным трудом,
формируется соответствующее отношение к любому труду.
Ну хорошо, все понимают, что такое положение недопустимо.
А существуют ли пути преодоления указанных недостатков?
Учитель в классе один, а учеников вон сколько! Как заставить
каждого не тратить времени даром?
Стоп! Мы произнесли на первый взгляд единственно возможное
в этой ситуации и тем не менее очень вредное слово: заставить
ученика, т. е. принудить его к вниманию, прилежанию, выполнению
заданий вопреки собственному желанию, подчиняясь воле учителя.
Вот что пишет об этом Л. М. Фридман: «Некоторые могут сказать:
ведь учитель может заставить ученика выполнять свои задания,
для этого имеется много разных сдюсобов и средств (воздействие
родителей и общественности, отметки и др.). Конечно, можно, хотя
и с большим трудом, заставить ученика выполнять задания. А к
чему это приводит? Во многих случаях к тому, что ученик
заучивает уроки, списывает решения задач. А такое выполнение заданий
не только не полезно, но просто вредно» [4, с. 60]. Расшифровывая,
в чем именно вред «обучения из-под палки», Л. М. Фридман
ссылается на исследование видного советского философа Э. В.
Ильенкова: «Искалечить орган мышления гораздо легче, чем любой другой
орган человеческого тела, а излечить его очень трудно. А позже —
и совсем невозможно. И один из самых «верных» способов
уродования мозга — формальное заучивание знаний... Зубрежка,
подкрепляемая бесконечным повторением (которое следовало бы
назвать не матерью, а мачехой учения), калечит мозг и интеллект тем
вернее, чем — своеобразный парадокс — справедливее и «умнее»
сами по себе усваиваемые истины» [5, с. 158—159].
Хотелось бы подчеркнуть, что затронутые проблемы
специфичны не только для советской школы, они волнуют педагогов всего
мира. Вот как характеризует положение дел в народном
образовании tUJA — самой богатой и технически оснащенной страны
капиталистического мира — выдающийся американский психолог
Б. Скиннер: «Едва ли в какой-либо сфере человеческой
деятельности проявляется большая инертность в отношении к научному
мышлению и техническим усовершенствованиям, чем в педагогике.
'Наши жилища, учреждения, промышленные предприятия и
средства транспорта совершенно изменились в течение жизни одного
5

поколения, а типичное классное помещение и метолы обучения
едва ли претерпели изменения за целое столетие. Разумеется, розги
отошли в прошлое, парты уже не привинчиваются больше к полу,
классные доски вместо черного окрашиваются в зеленый цвет, а
учебники выпускаются с многокрасочными иллюстрациями.
Зачастую в классе можно увидеть телевизор, кинопроектор и
магнитофон. Однако методы, которыми учитель передает знания
заполняющим класс ученикам, едва ли существенно изменились. Строгие
критики даже уверяют, что за последние 30—40 лет произошло
постепенное снижение эффективности обучения. Действительно,
слишком большое число молодых людей, пройдя через нашу
школьную систему, не достигают удовлетворительного уровня в
чтении, правописании, арифметике и владении родной речью (если
перечислять лишь основные предметы!)» [6, с. 277].
Актуальность поисков путей повышения эффективности
обучения возрастает с каждым днем: хотя боязнь наказания отнюдь
не лучший стимул успешного обучения, действовал этот стимул до
некоторого времени безотказно. Попробовал бы ученик пренебречь
наказанием за бездействие в дореволюционной гимназии! Не мог,
не имел возможности: практическщ^сех, кто по какой-нибудь
причине не хотел или не мог учиться, исключали. Потому что общество
не было заинтересовано в массовом обучении. Обществу было
достаточно того, что хорошо обучали незначительную его часть.
Научно-техническая революция потребовала огромное
количество образованных людей. И дело здесь не только и не столько
в том, что для выполнения некоторой работы человек должен
обладать большей суммой знаний, чем раньше. Оказывается, даже
сравнительно простую деятельность люди, обладающие более
высокой общей культурой, как правило, выполняют лучше. Не
случайно во многих фирмах Японии кандидатам на сугубо
«рабочие» места устраивают экзамен, проверяющий именно уровень
общего развития. Особое место при этом уделяется математическому
развитию. Почему? Думается, ответ помогает понять известный
среди математиков шуточный закон, краткая форма которого
звучит так: «Математик это сделает лучше!». Более развернутая
форма «закона» утверждает: «Если одно и то же дело поручено
двум одинаково некомпетентным в нем людям и один из них
математик, то математик его сделает лучше». Это, конечно, шутка. Но к
ней, на наш взгляд, полностью относится знаменитое: «Сказка —
ложь, да в ней намек...»
Так вот, поскольку социальным заказом сегодня является
обучение всех, бессмысленно «выбраковывать» и «отбраковывать», в
частности оставлять на второй год: все равно надо учить.
Действительно, по мере того как потребность в образованных людях росла
и вводилось обязательное начальное, затем — семилетнее,
потом — восьмилетнее и наконец — всеобщее среднее образование,
количество оставленных на второй год становилось все меньше.

Злые языки утверждали, что недалек тот день, когда успеваемость
в нашей школе станет больше 100 %. Одновременно обострялась
проблема стимула в обучении. Старый стимул — наказание —
переставал срабатывать. Тогда появлялись второгодники. Но это до
поры до времени особой тревоги не вызывало. Положение
изменилось после того, как было декларировано всеобщее обязательное
среднее образование и одновременно катастрофически снизилась
престижность образования. Ну скажите, зачем ребенку стараться
учиться сегодня? Чтобы поступить в институт? Но каждому
известно, что выпускники институтов получают мизерную
зарплату! А традиционное «подстегивание» желания учиться двойкой не
срабатывает. Ведь в условиях объявленного всеобуча такие
непедагогические меры воздействия, как оставление на второй год,
стали совершенно неоправданными. Дети быстро это поняли. И пошла
гулять по страницам сатирических журналов и педагогических
изданий юмореска, точно отражающая современную «расстановку
сил» в школе: «Ученик подходит к учителю и утешает его:
«Вас завуч сильно будет ругать за мою двойку? Вы ей скажите, что
я исправлю».
В этих условиях стало бессмысленно пытаться компенсировать
недоработки процесса обучения большими домашними заданиями:
ведь у учителя фактически нет способов борьбы с нерадивостью
учеников. Поставить двойки? Но эти двойки надо будет потом
каким-то образом «исправлять»! И вообще, как подчеркивается в
уже упомянутом исследовании Л. М. Фридмана, в настоящее
время «учителя потеряли право на отбор и отсев учащихся. И хотя
они еще до сих пор пытаются использовать остаточные
организационные формы, связанные с этим правом (система балльных
отметок, переводные и выпускные экзамены и т. д.), но эти формы
уже потеряли свою эффективность в побуждении учащихся к
активной учебной деятельности» [4, с. 60].
Итак, трудности обучения, которые все более проявляются по
мере того, как оно становится все более массовым, обусловлены
прежде всего тем, что «движущей силой» обучения все еще
остаются негативные побудительные причины — боязнь наказания за
несделанное. Иными словами, ребенок занимается, чтобы
избежать последствий бездеятельности: если он не сделает чего-то, его
накажут. Однако психологи всего мира единодушны в том, что
неизмеримо более мощный стимул учения — положительное
подкрепление, поощрение правильных действий ученика. Вопрос
только в том, что же считать оптимальным подкреплением.
Первая по времени попытка наладить обучение в массовой
школе, основанная на использовании положительных подкреплений,
связана с именем Б. Скиннера. Он предложил для организации
обучения в массовой школе модификацию отработанной в опытах
jc животными методики. В основе этой методики лежит создание
■стимула к достижению некоторой цели и подкрепление реакций,
7

ведущих к ее осуществлению.
Представьте себе следующий, чрезвычайно типичный для
рассматриваемого направления демонстрационный опыт, описанный
Б. Скиннером. Перед вами голодный голубь, помещенный в ящик
с прозрачными стенками. Оператор имеет возможность нажатием
кнопки сделать пищу доступной голубю.
Цель обучения — научить голубя перемещаться по заранее
указанной линии. Например, надо научить его плавно и быстро
делать полный оборот по окружности в указанном направлении.
Экспериментатор, приступая к обучению, внимательно следит за
голубем. Вот голубь сделал элемент нужного поворота, скажем
повернул голову в нужном направлении или сделал «правильный»
шаг лапкой. Сейчас же открывается заслонка и голубь получает
зерно.
Опытному оператору нужно всего 2—3 мин, чтобы обучить
голубя перемещаться заданным образом. «Эффективность
описанной методики поразительна; надо увидеть это своими глазами,
чтобы поверить в это!» — восклицает Б. Скиннер. И люди поверили.
Началось триумфальное шествие американского варианта
программированного обучения. Однако достаточно скоро стало ясно:
чуда не произошло. И прежде всего по причине крушения надежд
Скиннера и его последователей на то, что можно руководить,
управлять усвоением, не задумываясь над тем, какая мыслительная
деятельность осуществляется в сознании учащихся.
Расчет-то, как известно, был на то, что искусные педагоги, если
не жалеть денег на оплату их труда, смогут создать воистину
творящие чудеса обучающие программы. Не получилось. И не могло
получиться! Потому что порочен был научный фундамент — та
психологическая концепция, которая была положена в основу всей
работы. Попытки изменить частности (например, существенно
укрупнить порции изучаемого материала, предпринятые другим
выдающимся американским исследователем Н. Краудером) лишь
ускорили понимание того, что причина неудач — в психологической
теории, на основе которой строилось программированное
обучение.
Итак, поток исследований, статей, разработок американского
варианта программированного обучения иссяк. И сегодня лишь
немногие энтузиасты пытаются идти путем, намеченным
американскими психологами. Но и они ищут принципиально новые
формы и способы организации обучения, не сводящиеся к простой
схеме «стимул—реакция», реализованной в работах Б. Скиннера и
Н. Краудера.
Однако замечательная идея сделать основной движущей силой
обучения не боязнь наказания, а желание учиться живет и
развивается. Отдельные педагоги даже довели ее до воплощения в
практику работы школы. С опытом этих педагогов самую широкую
общественность знакомят средства массовой информации. И, побы-
8

вав на встрече с талантливым педагогом, прослушав
радиорепортаж или прочитав статью, каждый вольно или невольно сравнивает
то, что он рассказывает и показывает многомиллионной аудитории,
с тем, что можно наблюдать в школе, где учится сын, внучка,
племянник. Сравнение, увы, чаще всего не в пользу родной школы. И
накатывается на педагогическую общественность лавина
высказанных и невысказанных упреков: если они могут, если все, что
делают они, описано, опубликовано, распропагандировано, то
почему не можете вы? Упреки будоражат школу, заставляют
искать, не позволяют работать по-старому. И эта растревоженность
школы безусловно благодатна: действительно, пора бы осознать,
что необходимо пересмотреть приемы и методы, сложившиеся в то
время, когда «ученик, не желавший учиться или не способный
учиться, оставался на второй или даже на третий год, выбывал из
школы». Так поставлен вопрос в «Отчете» о встрече
учителей-новаторов, опубликованном «Учительской газетой» 18 октября 1986 г.
Сегодня учить, делая ставку на наказание, малоэффективно.
Это — реальность. И у нас просто не остается иного выхода, как
работать в условиях этой реальности. Опыт многих
преподавателей, в том числе составивших «Отчет» учителей-новаторов,
неопровержимо доказывает принципиальную возможность такого
обучения, которое позволяет не на словах, а на деле успешно
обучать каждого ученика, обеспечивая при этом интерес к учению,
сводя к минимуму наказание двойкой.
Семеро известных всей стране учителей в упомянутом «Отчете»
Наметили общее направление поиска, стратегию организации
обучения в современных условиях: «То, что веками повторяли
выдающиеся педагоги-гуманисты, что прежде было мечтой, то для нас
стало простой житейской необходимостью: мы должны дать нашим
детям новые стимулы учения — те стимулы, которые лежат в
самом учении. Если внешних побуждений к учению почти нет, если
способов к принуждению совсем нет, если нельзя рассчитывать на
всеобщий интерес к предмету — и если мы реалисты, не хотим
прятаться от действительности,— то перед нами лишь один путь: мы
должны вовлекать детей в общий труд учения, вызывая у них
радостное чувство успеха, движения вперед, развития».
Педагогикой сотрудничества назвали учителя-новаторы то
общее и существенное, что есть в работе каждого из них. У нас
нет ни малейшего желания анализировать достоинства и
недостатки этого направления педагогики. Потому что нам, с одной
стороны, нечего возразить исследователям, считающим педагогику
сотрудничества не более чем набором лозунгов (см., например,
статью В. Меньшинова «Один существенный довод против.
Размышления о педагогике классической и новаторской»,
опубликованную в журнале «Народное образование», 1988, № 10). Но с
другой стороны, этот «набор лозунгов» нам представляется настолько
важным, актуальным, всколыхнувшим сильно подзаросший тиной
9

пруд «классической педагогики», что хочется в пояс поклониться
тем, кто совершил этот подвиг.
Главным здесь безусловно является идея сотрудничества
учителей и учащихся. «Идея сотрудничества,— говорит один из
педагогов-новаторов — Шалва Александрович Амонашвили (в
статье «Педагогика сотрудничества — момент истины»,
опубликованной журналом «Семья и школа», 1988, № 9),— стара как мир.
Но мне она представляется чем-то вроде жар-птицы. С давних пор
ее искали и старались поймать всех, кто стремился приобщить
ребенка к своим намерениям, кто добивался того, чтобы
воспитываемый помогал воспитателю в его стремлении проявить в своем
ученике лучшие качества и черты».
Традиционная педагогика, при которой мотивом учения, как мы
уже говорили, является боязнь наказания за несделанное, в
принципе не приемлет идеи сотрудничества. О каком сотрудничестве
может идти речь, если учитель то и дело подстегивает ученика
«кнутом» наказания! Заслуга учителей-новаторов в том, что они
громко, на весь Союз заявили о необходимости отменить этот
казавшийся незыблемым «двигатель» обучения. Прислушайтесь, с
какой душевной болью говорит о «кнуте» классической
педагогики Ш. А. Амонашвили в упомянутой уже статье «Педагогика
сотрудничества — момент истины»: «И получается: учитель искренне
убежден, что ученики сами никогда не захотят учиться и
воспитываться, потому и начинает прикладывать силы, чтобы сделать их
хорошими, мудрыми, добрыми людьми. Но, видя сопротивление,
неподчинение и непослушание детей, он понимает, что не сможет
исполнить свой долг, и потому прибегает к силе, заставляет
учеников, как говорится, исполнять свои распоряжения из-под палки».
Педагоги-новаторы своим трудом доказали, что если учить
хорошо, если не перекладывать на плечи детей и родителей свои
учительские недоработки, то палка окажется не нужна. Потому что
если учение для детей посильно на верхней грани посильности, то
оно, как мы уже говорили, становится для них интересным.
Прислушайтесь к мнению одного из педагогов-новаторов — Софьи
Николаевны Лысенковой в статье «Воспитание успехом»
(опубликованной журналом «Русский язык в молдавской школе», 1989,
№ 3): «Говорят: что ж, учение — это труд и для педагога, и для
учащегося. Знания сами в рот не упадут. Надо сидеть, стараться.
Без труда не выловишь рыбку из пруда... Применительно к учебе
это чушь! Надо перевернуть унылую «теорию терпения» умной
методикой! Мои оппоненты давно надоели всем своей демагогией:
«Зачем легко учиться? Надо уметь преодолевать трудности...» Мой
девиз: «Легко учить — легко учиться!» Учить доступно, иначе
детям неинтересно и непосильно. Учить на уроке — он для того и
существует. Глупо винить родителей: они не виноваты, они не
умеют учить. Они стараются восполнить наш непрофессионализм.
Учить должны мы».
10

И вот учителя, интуитивно чувствующие, что необходимо не
«подновлять» существующую педагогику, а коренным образом
менять ее, с огромным энтузиазмом восприняли идеи педагогики
сотрудничества. И сразу же стали задавать естественный вопрос ее
творцам: «Что делать нам? Как научиться работать, как вы?» И к
великому сожалению, не получили ответа. Если, конечно, не
считать ответом призыв: «Делай с нами. Делай, как мы. Делай
лучше нас». Книги, статьи, посещения уроков, радио-и
телевизионные передачи могли породить (и породили!) лишь лавину
копирования «внешней канвы». А это неминуемо приводило (и довольно
скоро!) к разочарованию.
Недостаточность «работы по образцу» для внедрения
педагогики сотрудничества хорошо понимают и сами ее творцы.
«Первый вопрос, который задает любой учитель: где та
методика, которая помогает реализовать на практике идею
сотрудничества, учитывая определенные жизненные условия и обстоятельства?
Но конкретного ответа нет»,— вынужден признать Ш. А.
Амонашвили в уже упоминавшейся статье «Педагогика
сотрудничества — момент истины».
Вы ошибаетесь, глубокоуважаемый Шалва Александрович,
есть конкретный ответ. Когда Вы в своей доброй, умной,
увлекательной, поучительной книге «Здравствуйте, дети!», выпущенной
издательством «Просвещение» еще в 1983 г., рассказываете о
чуде обучения чтению и показываете, что в основе этого чуда лежит
реализация идей «добрых ученых» Д. Б. Эльконина и П. Я.
Гальперина, разве не даете Вы конкретный, точный и недвусмысленный
ответ? Во всяком случае, имеющий слух, да услышит: необходимо,
но отнюдь не достаточно любить детей, заботиться о развитии того,
что в каждого из них вложила природа. Все наши самые
добрые намерения — ничто, если они не реализуются на прочном
фундаменте науки.
Вероятно, все дело здесь в том, что Вы понимаете: чтобы
идеи «добрых ученых» реализовать в практике преподавания,
требуется Ваше высочайшее и уже потому непередаваемое
искусство. И конечно же, Вы правы: научить каждого преподавателя
работать, как Вы, дорогой Шалва Александрович, заведомо
невозможно. Так же как, слава Богу, невозможно запланировать
воспитание Пушкиных или Лобачевских. Но выделить, вычленить и
помочь учителю освоить то, что нашли и готовы дать детям
умные и добрые ученые — психологи, педагоги, методисты,—
можно и должно. К мнению, к предложениям выдающихся педагогов
необходимо прислушиваться. Но необходимо также пропустить
накопленный ими практический опыт через призму теории. Ибо, как
утверждал великий Эйнштейн, «только теория решает, что мы
ухитряемся наблюдать».
В чем основной, определяющий все остальное порок
современного обучения? На наш взгляд, в недостаточной эффективности

организации учебного процесса, в пассивности детей на уроке, в
том, что большую часть урока ученики остаются в роли пассивных
слушателей.
Учителя-новаторы пытаются сделать учащихся активными
участниками педагогического процесса. Например, В. Ф. Шаталов
стимулирует вовлечение учащихся в учебный процесс
использованием магнитофона и удлиненных досок, разработанными им
способами опроса, организацией взаимной проверки и т. п. Но
главное, формируется всеобщая заинтересованность учащихся.
Достигается она тем, что у всех «начинает получаться», а потому
приходит «ощущение собственной силы». Кроме того, практически
каждый ученик оказывается защищенным от угрозы попасть в
неприятную ситуацию невыученного задания, задевающую самолюбие.
Это, так сказать, одна сторона медали. А оборотная ее сторона
в том, что остается открытым вопрос: каким образом всего этого
можно добиться? Воспользоваться рекомендациями, которые
предлагают В. Ф. Шаталов и другие педагоги-новаторы, удается
далеко не всегда. Причину этого мы попытались вскрыть в статье,
которая была опубликована журналом «Советская педагогика» (1988,
№ 4). Остановимся только на одной из затронутых там проблем.
Так ли уж оптимально вначале излагать теорию, добиваться ее
усвоения и воспроизведения и только после этого переходить к
решению задач?
Задумывались ли вы, уважаемый читатель, как правильнее
организовать обучение: надо ли тем или иным способом добиться,
чтобы каждый ученик в ы у ч и-л новый материал, а потом уже
выполнял задания; или надо таким образом организовать
выполнение заданий, чтобы в ходе этой работы учащиеся новый материал
усвоили? Например, обязательно ли вначале добиваться, чтобы
ученики выучили правило перемножения десятичных дробей, и
только после этого организовывать перемножение дробей; или
можно (и нужно!) таким образом организовать перемножение
десятичных дробей, чтобы в ходе этого перемножения ученик
выучил правило?
Этот вопрос задавался десятки раз учителям в разных концах
нашей страны. Практически все считали очевидным, что
единственно возможным является первый путь: разве можно выполнять
задания, если теория не усвоена? Такая точка зрения естественна:
весь опыт собственной учебы и обучения других вроде бы
неопровержимо свидетельствует, что иначе и быть не может. Однако
такая очевидность обманчива. Она сродни очевидности движения
Солнца вокруг неподвижной Земли: уж куда как оче-видно,
очами — глазами — видно, а неправильно.
Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что можно
организовать выполнение заданий еще до того, как усвоен соответствующий
теоретический материал. Но поскольку мы договорились, что
рассматривается случай, когда учащиеся приступают к решению,
12

.ничего предварительно не выучивая, в их распоряжение должен
быть предоставлен подлежащий усвоению материал,
определенным образом подготовленный. Ведь если предоставить в
распоряжение ученика, скажем, текст учебника (во всяком случае в том
виде, в каком мы привыкли его видеть сегодня), то этот текст
вряд ли поможет немедленно приступить к решению задач:
потребуется достаточно долгое изучение этого текста, вычленение
главного, существенного, отделение «руководства к действию» от
обычных для учебника рассуждений, подготавливающих введение
материала; исторических экскурсов и т. п.
Иное дело, если дать ученику подлежащий усвоению материал
в подготовленном для использования при выполнении заданий
виде: схематически записанные правила, «препарированные» так,
что, глядя на них, можно сразу же приступать к работе;
определения и формулировки теорем, в которых выявлены все
составляющие их компоненты; доказательства, в которых вычленены все
выводы в нужной последовательности, все обоснования. Это
позволяет приступить к выполнению заданий без всякого
предварительного заучивания, причем к выполнению определенным образом
организованному, при котором обеспечивается возможность
проконтролировать правильность каждого «шага» при выполнении
первых заданий. Но об этом — в следующей главе.
Советские психологи неопровержимо доказали, что если
предоставить в распоряжение ученика такие опоры, если организовать
выполнение заданий таким образом, чтобы каждый шаг
контролировался, а затем постепенно перейти от пошагового контроля к
самоконтролю, то можно гарантировать усвоение
теоретического материала каждым учеником в ходе выполнения заданий.
Более того, доказано, что обучение, основанное на
предварительном выучивании материала, чрезвычайно малоэффективно.
Например, всем известно, что многие дети и в старших классах плохо
знают таблицу умножения. Почему? Психологи приводят
неопровержимые доказательства: важнейшая причина плохих знаний —
стремление, согласно существующей методике, обеспечить
выучивание таблицы умножения до решения соответствующих задач,
путем многократных повторений. Доказано также, что если
предоставить в распоряжение ученика необходимые опоры (ориентиры)
и организовать выполнение каждым учеником таких заданий,
которые стимулируют самостоятельное «конструирование» таблицы
умножения, то она не только запоминается без всяких видимых
усилий, но и весьма надолго остается в памяти.
Но ведь у В. Ф. Шаталова и других педагогов-новаторов
ничего подобного мы не наблюдаем. За счет чего же в таком
случае обеспечивается успешность усвоения? Чтобы понять это,
напомним вошедший во многие учебники психологии опыт.
Профессор во время обхода больных говорит, что сегодня будет
использован новый способ лечения. К руке больного на несколько минут
13

прибинтуют нагретый предмет. Будет горячо. Но надо потерпеть.
После этого прибинтовывалась монета, имеющая комнатную
температуру. И тем не менее больной ощущал жжение. Более того,
когда повязку снимали, обнаруживался ожог, повторяющий
форму монеты.
Вывод ясен: если учитель верит в эффективность своей
методики и увлекает этой верой учеников — приходит успех. В таких
случаях главное — не мешать. Потому что в конечном счете та самая
собственная деятельность ученика, которая, в соответствии с
теорией, и определяет успешность (или неуспешность) обучения,
окажется организованной в ходе самостоятельной
работы учеников, верящих своему учителю и беспрекословно
выполняющих все его задания. К тому же талантливый учитель, как
правило, интуитивно осознает, по какому пути следует направить
собственные усилия ученика (хотя, за редчайшим исключением, не
только не умеет сформулировать интуитивно понятое, но и не
придает этой стороне своего опыта никакого значения). И если бы
можно было научить каждого учителя верить в эффективность
используемых им приемов так, как верят лучшие наши учителя,
если бы можно было отстранить от преподавания всех не
творческих, не талантливых учителей, может быть, ничего другого и не
потребовалось бы. Но это — утопия. Еще А. С. Макаренко
высмеивал упования на то, что советскую школу удастся укомплектовать
лишь талантливыми педагогами. (А с тех пор число учителей во
много раз возросло!)
Выход видится в том, чтобы помочь каждому учителю, если он
еще не опытен, не нашел своей методы, в эффективности которой
он уверен, перенять то, что открыто другими. И с этой точки
зрения пропаганда опыта подлинных мастеров — замечательное
начинание. Но к сожалению, опыт работы лучших учителей,
пропагандируемый средствами массовой информации, не пропущен
предварительно через призму теоретического осмысления тех
механизмов усвоения, которые сознательно или интуитивно
нащупали эти учителя. Поэтому зритель, читатель, слушатель вынужден
ориентироваться на внешнюю сторону того опыта, с которым его
знакомят, т. е. копировать все как можно более точно.
Стоит ли удивляться, что такое копирование весьма неэффективно.
Нам представляется оптимальным иной путь. Во-первых,
необходимо познакомить учителя с теми положениями теории, знать
которые особенно важно для правильной организации обучения.
Во-вторых, надо сообщить учителю те приемы и методы, которые
удалось «подсмотреть» у лучших учителей. Об этом и пойдет речь
в следующих главах.

Глава 2
НЕТ НИЧЕГО БОЛЕЕ ПРАКТИЧНОГО,
ЧЕМ ХОРОШАЯ ТЕОРИЯ
Давайте проделаем мысленный эксперимент. Представьте, что все
учителя математики приглашены на лекцию и каждому перед
началом лекции надо ответить, что именно хотелось бы услышать:
конкретные рекомендации, которые пригодятся на ближайших
уроках, или общие соображения, позволяющие понять, как
правильнее, лучше, эффективнее строить обучение. Мои наблюдения, а
лекций мне приходится читать много, убеждают, что не менее чем
80 % опрошенных выскажутся за конкретные рекомендации.
Причина понятна: учителю очень трудно работать в условиях, когда
школьные учебники меняются так быстро, что к ним не
успеваешь приспособиться; когда дубинку наказания у учителя
фактически отобрали и при этом не научили, как же надо работать без
нее; когда общие пожелания и рекомендации зачастую сводятся
к лозунгам, призывам, тривиальностям.
В этой и следующих главах будет показано, как важно и
полезно учителю понимать общие закономерности усвоения,
насколько понимание их делает проще, логичнее весь процесс обучения
математике. Ведь общие и вместе с тем четкие и конкретные
рекомендации полезнее рецептов типа: «Делай так». А затем, в гл. 5,
мы покажем приемы, методы, средства обучения, позволяющие
реализовать эти рекомендации.
Мы против того, чтобы конкретным рекомендациям
посвящались циклы из многих лекций и объемистые книги: уж слишком
часто это приводит к печально знаменитым «поурочным
разработкам», широко издаваемым в те далекие времена, когда я начинал
свою педагогическую деятельность в сельской школе на Украине,
и осевшим мертвым грузом на книжных полках преподавателей.
Ведь профессии преподавателя противопоказаны шаблон и
буквальное копирование. И потому заведомо обречена на провал
попытка приготовить единый для всех подробный сценарий урока
в наивном стремлении расписать тем самым каждый шаг
гипотетического «среднего преподавателя».
Вместе с тем невозможно не учитывать тот факт, что
приблизительно в одно и то же время сотни тысяч преподавателей одной
параллели организуют одну и ту же работу: объясняют,
закрепляют, отрабатывают один и тот же материал.'-И при этом решают
одни и те же методические, дидактические, педагогические
проблемы.
Мы попытались помочь учителю справиться с общими для
всех проблемами обучения, выделить из накопленного советской
педагогикой опыта лучших учителей то, что вытекает из специфики
изучаемого материала и психолого-педагогических особенностей
усвоения этого материала; отделить этот опыт от рекомендаций,
15

порожденных индивидуальными особенностями конкретных
учителей, а также специфики восприятия материала теми учащимися,
которым посчастливилось учиться у лучших учителей. Надеемся,
это в какой-то мере избавит учителя от необходимости
самостоятельно открывать давным-давно открытое, предоставит ему
возможность сконцентрировать усилия на проблемах, идущих от
личности педагога и особенностей класса. Такая помощь отнюдь не
утопия. Подходы к ее оказанию освещены в последней главе
этой книги. Основаны эти подходы на открытых психологами
закономерностях усвоения, к рассмотрению которых мы переходим. Но
вначале прислушайтесь к своим ощущениям: не вызывает ли у вас
протеста сама мысль, что существуют рекомендации, пригодные
для всех? Ведь каждый ученик — личность. И в каждом классе
обнаруживаются такие личности, которые схватывают все на лету,
и такие, которым все надо подробнейшим образом несколько раз
пояснять; увлеченные математикой и не любящие ее; готовые много
заниматься математикой дома и не притрагивающиеся дома к
учебнику.
И тем не менее — несмотря на все индивидуальные отличия
обучаемых — существует нечто в организации учебного процесса,
определяющее успешность или неуспешность усвоения
материала,— объективные закономерности усвоения. Ясно, что понимание
этих закономерностей и следование им в реальном педагогическом
процессе — важнейший резерв повышения эффективности
обучения.
Понимание общих закономерностей позволяет не «открывать»
каждый раз, что именно нужно делать, чтобы учащиеся лучше
усвоили изучаемое правило, определение или теорему, а
целенаправленно искать оптимальные подходы к организации собственной
работы учащихся.
Когда-то, много лет назад, Нина Федоровна Талызина, к
работам которой мы еще не раз будем возвращаться, поясняя эту
мысль, использовала аналогию, которая, мне кажется,
действительно помогает лучше понять, о чем идет речь.
Представьте, что в Москву приехал человек, никогда прежде
не видевший метрополитена. Требуется научить его правильно
определять, откуда (справа или слева) появится поезд, когда он
ожидает его, стоя на платформе лицом к рельсам.
Можно спуститься с'ним в метро и показать:' на этой станции
поезд прибудет с этей. стороныл Потом переехать на следующую
станцию и снова показать, откуда следует ожидать прибытия
поезда. И так переезжать до тех. пор,' пока он не «уловит»
закономерность и начнет сам, может быть не отдавая в этом отчета,
безошибочно, ожидать-поезда с нужной стороны.
Можно поступить иначе: -не вЫходя из дому объяснить, что
на всех станциях, за исключением-тех, которые выписаны на
переданной ему бумажке, поезд, если стоять на платформе лицом к пу-
16

тям, появляется справа. Значит, попав на любую станцию, надо
проверить, нет ли ее в списке исключений. Если есть — сделать
вывод, что поезд придет слева, если нет — справа.
Не правда ли, второй путь не только требует меньше времени,
но и существенно надежнее?
Честь открытия многих из известных сегодня общих
закономерностей усвоения принадлежит советским психологам. Назовем
несколько имен.
Лев Семенович Выготский (1896—1934). Нет, пожалуй, ни
одного советского ученого, работающего в области педагогической
психологии, который не причислял бы себя к научной школе,
которую создал этот замечательный человек. В этой книге нет ни
малейшей возможности рассказать о том вкладе, который он внес
в науку. Остановимся лишь на одном выводе, имеющем
непосредственное отношение к решению проблемы посильности при
обучении математике: знания усваиваются только в ходе собственной
работы обучаемого с этими знаниями.
На первый взгляд, этот вывод противоречит практике, которая,
как известно, является критерием истины: люди читают книгу или
слушают лекцию, вроде бы ничего не делают, и тем не менее многое
усваивают.
В действительности все обстоит не совсем так. Если вы
вспомните лекцию, содержание которой вами усвоено, и проанализируете
свое состояние в ходе слушания, то окажется, что вы постоянно
интенсивно «работали» с содержанием материала лекции:
сопоставляли с чем-то ранее известным; прикидывали, как бы вы
поступили в описываемой ситуации; устанавливали, удовлетворяют ли
введенному определению изображенные на доске объекты;
припоминали, что означает произнесенное лектором слово, и т. п. Но
даже если вы уверены, что не делали ничего подобного,— вы
ошибаетесь: работа велась, и весьма интенсивная. Только протекала
она в вашем сознании как бы автоматически и очень быстро.
Поэтому-то вы и не осознали, что она велась.
Кстати, хороший лектор отличается прежде всего тем, что он
ставит перед слушателями проблемы, стимулирующие активную
работу с основным содержанием подлежащего усвоению
материала, и предоставляет в их распоряжение объекты, с которыми
удобно организовать нужное оперирование непосредственно в ходе
лекции.
Уже из сформулированного выше чрезвычайно важного
теоретического положения можно (и необходимо!) сделать практические
выводы: главная задача преподавателя на уроке - организовать
собственную самостоятельную работу каждого ученика с
подлежащим усвоению материалом. "Если учитель это понимает, он
сведет свои пояснения и разъяснения к минимуму, посвятив все
остальное время урока управлению той работой, которую Bbi пол -
няет в ходе урока с изучаемым^ мд!е^и_алом каждыю.из ичеников.
17

Чем меньше учитель говорит сам, чем больше он направляет и
контролирует рабору каждого из учеников в классе, тем
эффективнее обучение.
Алексей Николаевич Леонтьев (1903—1979). После того как
туберкулез оборвал жизнь Л. С. Выготского, на протяжении
многих десятилетий Алексей Николаевич возглавлял советскую школу
психологов. Его труды отмечены Ленинской премией.
А. Н. Леонтьев уточнил сформулированное выше
фундаментальное положение Л. С. Выготского: для того чтобы
гарантировать усвоение каждым из обучаемых нового для него материала,
важна не любая работа ученика с этим материалом, а лишь
строго определенная, соответствующая изучаемому материалу,
адекватная ему.
О том, какая именно собственная работа адекватна
подлежащим усвоению математическим знаниям, мы будем рассказывать и
в этой и в следующих двух главах. А пока лишь
подчеркнем, что А. Н. Леонтьевым указано общее направление поиска:
соответствующей, адекватной материалу является та работа,
которую выполняет человек, усвоивший материал.
Это, конечно, не определение, а не совсем строгое, немного
расплывчатое описание. Однако в нем достаточно точно
фиксировано, к чему следует стремиться. Пользуясь этим описанием, мы
выявим, какую работу ученика следует считать адекватной в ходе
организации усвоения наиболее часто встречающихся в школьном
курсе математических предложений — алгоритмов, определений,
теорем.
Петр Яковлевич Гальперин (1902—1988). Прежде чем
рассказать о том вкладе в интересующую нас проблему, который внес
профессор МГУ им. М. В. Ломоносова Петр Яковлевич Гальперин,
остановимся на исследовании, выполнением которого он руководил
в годы Великой Отечественной войны. Тогда П. Я. Гальперин к
педагогике никакого отношения не имел, был кандидатом
медицинских наук и возглавлял госпиталь, где на излечении после
тяжелых контузий находились бойцы и командиры Советской
Армии. Их надо было заново учить ходить, пользоваться
простейшими инструментами и т. п. Сотрудниками этого госпиталя стали
такие талантливые психологи школы Л. С. Выготского, как
А. Н. Леонтьев, Д. Б. Эльконин (1904—1984), А. Р. Лурия
(1902—1977) и многие другие. Общими усилиями была
разработана методика обучения утраченным" в результате контузии
двигательным и иным умениям. Попробуем дать представление об этой
методике. Это тем более важно, что те же принципы были
положены впоследствии в основу предложенной П. Я. Гальпериным
организации усвоения.
Представьте, что человек в результате контузии разучился
писать. В частности, надо научить его правильно держать в руке'
18

ручку и нажимать с определенной силой пальцами на эту
ручку.
Работавшие в госпитале ученые блестяще решили труднейшую
проблему: научились быстро и эффективно объяснять пациенту,
какие именно усилия надо делать каждым из пальцев. Для этого к
пальцам больного подключался датчик, передающий мышечные
усилия на стрелки приборов. После этого достаточно было
объяснить: ручка взята верно, если эта стрелка находится вот здесь, а
эта — вот здесь.
Одна-две тренировки и приборы становятся не нужны:
пальцы, которые почувствовали и запомнили, что от них требуется,
безошибочно нажимают на ручку с нужной силой.
Закончилась война. Необходимость в госпитале для
контуженных отпала. И тогда, как вспоминал сам Петр Яковлевич, ему в
голову пришла мысль, а нельзя ли применить найденную в
госпитале методику к школьному обучению, т. е. нельзя ли таким
образом организовать обучение, чтобы вначале ученик понял,
какой материал подлежит усвоению и каким образом с ним следует
работать, затем организовать собственную работу ученика с
подлежащим усвоению материалом таким образом, чтобы каждый его
шаг оказался для учителя подконтрольным; затем постепенно
перейти от пошагового контроля к самоконтролю?
Потекли годы, до предела заполненные раздумьями,
проверками и перепроверками теоретических выводов. Результатом этих
усилий и явилась теория, которую во всем мире сегодня называют
теорией поэтапного формирования умственных действий и
связывают с именем П. Я. Гальперина.
Честь создания этой теории по праву разделяет Нина
Федоровна Талызина, ныне возглавляющая кафедру педагогики МГУ. Она
очень много сделала как для уточнения отдельных положений этой
теории, так и для ее популяризации. Ведь в 50-е гг., когда теория
была только сформулирована, психологи ее просто как бы не
заметили. Потом, когда появилось множество публикаций,
доказывающих действенность теории поэтапного формирования,
психологическая литература запестрела нападками, ставящими под
сомнение все, от исходных теоретических положений до публикуемых
результатов. И если сегодня представители других
психологических направлений все чаще заявляют о том, что они даже не
понимают, в чем различие между их выводами и выводами П. Я.
Гальперина, к которым они всегда относились с вниманием и симпатией;
если число сторонников этой теории во всем мире стремительно
растет, то это происходит во многом благодаря работам и
выступлениям Н. Ф. Талызиной.
Теория поэтапного формирования умственных действий
направляла в нужное русло усилия обучающего в тех случаях, когда
точно известно, какие сведения или умения подлежат усвоению
и какая собственная работа ученика адекватна подлежащему
усвоению материалу.

Практически любая порция материала, подлежащая усвоению
на уроках математики,— это либо алгоритм (правило
оперирования), либо определение, либо теорема.
Удалось разобраться, какая именно собственная деятельность
учащихся (психологи называют ее адекватным оперированием)
необходима для успешного усвоения алгоритмов, определений,
формулировок теорем, доказательств теорем. Это единственный
школьный предмет, «устроенный» так просто. К примеру, в
школьном курсе литературы, как правило, вообще невозможно четко
сформулировать, что же именно подлежит усвоению в данный
момент педагогического процесса. (Вот учитель все сформулировал
четко и точно. И сейчас же всем, в том числе учителю, становится
понятным, что вместо произведения искусства, с которым
учащиеся должны познакомиться, появилась мертвая схема.) И тем более
практически невозможно, опираясь на достижения науки,
«вычислить», какую именно работу, одинаковую для всех учеников,
изучающих некоторое художественное произведение, следует
организовывать. Поэтому при изучении других школьных предметов,
и особенно предметов эстетического цикла, невозможны столь
общие и вместе с тем столь четкие рекомендации, как при обучении
математике. Только на уроках математики можно столь
единообразно организовать такую работу каждого ученика, которая
гарантирует усвоение изучаемого материала.
Итак, вопреки сложившимся представлениям математика
может стать самым легким для обучения школьным предметом
потому, что удалось в достаточной мере разобраться в особенностях
той работы, которую следует организовать, обеспечивая усвоение
практически всего учебного материала, с которым сталкиваются
учащиеся, изучающие математику. Для этого в соответствии с
выводами, идущими от Л. С. Выготского и А. Н. Леонтьева,
необходимо направить усилия преподавателя на организацию адекватного
оперирования учащихся с этим материалом. Но как это сделать,
если материал еще не усвоен?
Вроде бы замкнутый круг. С одной стороны, усвоение
невозможно, если не организована соответствующая работа; с другой
стороны, как организовать нужную работу, пока не усвоен
материал? Напрашивается вывод: надо добиться, чтобы ученики
предварительно, до начала самостоятельного оперирования с новыми
знаниями, все выучили. Но этот лежащий на поверхности и
освященный вековой традицией вывод, как подчеркивалось в гл. 1,
приводит к весьма малоэффективному обучению.
Теория поэтапного формирования умственных действий
предлагает принципиально иное решение проблемы. В соответствии
с ее выводами от преподавателя требуется не только такое
объяснение нового материала, которое обеспечивает понимание каждым
учеником того, что же именно подлежит усвоению и как следует
работать с подлежащим усвоению материалом (при традиционном
20

преподавании это тоже требуется, может быть только не в столь
явной форме). Теория, кроме того, требует такого
фиксирования основного содержания подлежащего усвоению материала и
способа работы с этим материалом, которое позволяет приступить
к адекватной работе без всякого предварительного заучивания.
Этот этап работы получил название «этап ориентировки в
новом материале и способах работы с этим материалом» или, кратко,
«ориентировка».
Итак, в распоряжении ученика имеется краткая запись того
содержания, которое он должен усвоить; ему понятен как смысл
этих записей, так и способы работы с ними. Это означает, что он
может приступить к самостоятельной работе, опираясь в ней на
предоставленные записи, без предварительного заучивания.
Самостоятельная работа облегчается тем, что ученик слушал
объяснение учителя и наверняка что-то запомнил.
Стоп! Здесь «тонкое» место. Важно понять, чем отличается то,
что предлагает теория поэтапного формирования, от того, что
происходит при обычном обучении.
Обычно преподаватель, завершив объяснение и показав на од-
ном-двух примерах, каким образом «срабатывает» теория,
предлагает приступить к самостоятельной работе. При этом он не в
состоянии проследить, чем именно пользуются учащиеся, выполняя
его задания. На первый взгляд, впрочем, и так все ясно:
чем еще, кроме сообщенных в ходе объяснения сведений, может
пользоваться ученик? В действительности же все неизмеримо
сложнее: ученик, например, может безошибочно работать
самостоятельно, пользуясь лишь предоставленным в его распоряжение
образцом и совершенно не соотнося свои действия с изложенным
теоретическим материалом. В результате, несмотря на верный
ответ, ценность его работы ничтожно мала: не произошло
собственной работы с подлежащим усвоению материалом, а значит, и его
усвоения.
Выход — в такой организации первых после объяснения
заданий, которая гарантировала бы обращение к теории.
Объясняя материал и записывая его кратко на этапе
ориентировки, учитель расчленил его на отдельные порции. Оперирование
с каждой порцией — самостоятельный шаг в работе ученика,
отдельная операция. Теория поэтапного формирования умственных
действий предлагает организовать работу учащихся таким
образом, чтобы учитель имел возможность проконтролировать ход
выполнения каждой операции и результаты ее выполнения. Поэтому
нельзя допустить, чтобы на этом этапе работа велась в уме:
необходимо, чтобы она оставляла материальные следы. Сказанное делает
понятным, почему рассматриваемый этап усвоения называют
«подконтрольное оперирование» или «материализованное
оперирование».
2 J

В ходе выполнения одного-двух заданий в подконтрольной
форме ученик в основном запоминает все то, на что ему необходимо
опираться, работая с изучаемым материалом. Он может работать,
не заглядывая в фиксированное на этапе ориентировки основное
содержание. Значит, от «легальной шпаргалки», которой он мог
пользоваться на этапе материализованного оперирования, можно
(и необходимо!) отказаться. Но сделать это надо постепенно.
Поэтому последний этап усвоения получил название постепенное
снятие контроля. А поскольку контроль со стороны учителя на
этом этапе заменяется самоконтролем, его иногда называют
переходом к самоконтролю.
Итак, схема организации усвоения, в соответствии с теорией
поэтапного формирования умственных действий, имеет вид:
1. Фиксирование основного содержания подлежащего усвоению
материала и способов работы с ним в краткой схематической
форме, удобной для использования при решении задач
(ориентировка).
2. Организация самостоятельной работы, позволяющая
проконтролировать ход работы и ее результаты (подконтрольная
работа или материализованное оперирование).
3. Постепенный переход от пошагового контроля к
самоконтролю.
Поясним сказанное на примере организации усвоения правила
умножения десятичных дробей.
Выбор в качестве примера вычислительного правила
(алгоритма) не случаен. Мы ведь пока знакомы лишь с указанным
А. Н. Леонтьевым общим направлением поисков адекватных
подлежащему усвоению материалу способов оперирования. А при
организации усвоения алгоритмов не представляет труда решение
вопроса о том, какую работу ученика следует организовывать,
обеспечивая усвоение рассматриваемое вычислительного
правила. Ведь адекватное оперирование — это работа, которую
выполняет человек, усвоивший соответствующее правило. И потому не
вызывает сомнения, что адекватной деятельностью в
рассматриваемом случае следует считать соответствующие вычисления:
ученики должны перемножать десятичные дроби, если изучается
правило перемножения десятичных дробей; складывать
отрицательные числа, если изучается соответствующее правило, и т. п.
Обеспечивая ориентировку в правиле перемножения
десятичных дробей, необходимо добиться понимания каждым учеником
того, что именно следует делать, перемножая десятичные
дроби, и в какой последовательности; разобраться, каким образом
так фиксировать последовательность шагов, чтобы ученики могли,
ничего предварительно не заучивая, перейти к практически
безошибочному перемножению десятичных дробей.
Какие же шаги (психологи называют их операциями)
выполняет человек, умеющий перемножать десятичные дроби? Выполне-,
22

нию каких операций надо научить каждого ученика?
В учебниках они, как правило, не выделены. Но почти все
учителя, которых я просил перечислить, что же приходится делать,
перемножая десятичные дроби, называли три операции:
1) перемножение натуральных чисел, которые получаются, если
зачеркнуть запятую в десятичной дроби каждого из множителей и
переписать получившееся при этом число без нулей слева (если
они были);
2) подсчет числа десятичных знаков в каждом из множителей;
нахождение числа десятичных знаков в обоих множителях вместе;
3) отделение в получившемся после перемножения
натуральном числе, справа налево, такого числа цифр, сколько их в обоих
множителях вместе.
Иногда, правда, приходилось слышать мнение, что следует
рассматривать гораздо более мелкие операции: замену первого
множителя натуральным числом; замену второго множителя
натуральным числом; перемножение получившихся натуральных чисел;
подсчет числа десятичных знаков в первом множителе; подсчет
числа десятичных знаков во втором множителе; нахождение числа
десятичных знаков в обоих множителях вместе; отсчет нужного
числа десятичных знаков в полученном ранее произведении
натуральных чисел; запись ответа.
Думается, подробность расчленения полностью зависит от
подготовленности учащихся. Если, например, замена десятичной
дроби натуральным числом вызывает затруднение у учащихся вашего
класса, то, конечно же, нужно считать, что такая замена —
отдельная операция: это позволит сосредоточить усилия на контроле за
правильностью ее выполнения. Более того, может оказаться, что в
вашем классе целесообразно организовать до начала знакомства
с правилом перемножения десятичных дробей отработку правила
замены десятичной дроби натуральным числом путем
зачеркивания запятой: обеспечить ориентировку; материализованное
оперирование; постепенный переход к самоконтролю.
Вообще, если какая-либо из операций, которые следует
организовывать в ходе адекватного оперирования с подлежащим
усвоению материалом, не усвоена учащимися, вызывает у них
затруднения, целесообразно отработать ее отдельно, обеспечив
адекватное оперирование с этой отдельно взятой операцией.
Но если адекватную подлежащему усвоению материалу
деятельность удается расчленить на более крупные операции,
выполнение каждой из которых не вызывает затруднений у
обучаемых, то такое расчленение, конечно же, предпочтительнее.
Но возвратимся к перемножению десятичных дробей. Задача
учителя на этапе ориентировки — сделать так, чтобы каждый
ученик понял, какие именно операции и каким образом следует
выполнять, перемножая десятичные дроби. Как добиться этого,
что именно для этого должен делать учитель — теория поэтапного
23

формирования умственных действий не говорит. (Учительской
индивидуальности предоставлена полная свобода!) Но теория
требует, чтобы результаты объяснения нового материала, т. е. его
краткое содержание, конспект того, что должен делать ученик,
перемножая десятичные дроби, были даны обязательно. Кроме того,
обязательно должен быть дан образец перемножения десятичных
дробей в соответствии с рассмотренным выше правилом
умножения. Вот, например, какой вид может иметь образец оперирования
на рассматриваемом этапе усвоения:
0,3 X 1,08
1) 3X108 = 324;
2) ОД l,Qg;
1 знак 2 знака
3) 324 — 0,324.
(1+2) знака
Ответ: 0,3X1,08 = 0,324.
Не правда ли, это выглядит как странная, никогда
неупотребляемая запись решения конкретного примера. Но хотя,
действительно, так никто и никогда умножение десятичных дробей не
оформляет, не спешите с осуждением такой записи. Ее назначение
такое же, как у замедленной киносъемки: рассмотреть и осмыслить
эпизод, который в действительности промелькнул мгновенно.
Посмотрите, как хорошо видно здесь, что именно и как именно ученик
должен научиться делать, перемножая десятичные дроби.
После того как ориентировка завершена, ученик может
приступить к адекватному оперированию с новым материалом, которое
и ведет, в соответствии со сказанным выше, к усвоению материала.
При этом чрезвычайно важно не только чтобы предложенные
ученику задания выполнялись правильно, но и чтобы они выполнялись
с опорой на подлежащее усвоению правило (иначе его без
вызубривания не усвоить!). Значит, важно контролировать не только
конечный результат (ответ), но и весь ход решения.
Помните упомянутую выше методику обучения, разработанную
в госпитале для контуженных? Смысл присоединения датчиков к
пальцам при обучении правильному удерживанию ручки или
карандаша при письме как раз в том, чтобы сделать усилия
обучаемых подконтрольными. Нечто подобное необходимо организовать
и в школе: расчленить всю работу, которая необходима для того,
чтобы обеспечить усвоение материала, на отдельные «шаги»,
обеспечить подконтрольное выполнение каждой операции, т. е.
работу ученика в такой форме, которая позволяет контролировать
не только результат выполнения каждой операции, но и то, что
она выполняется с опорой на теорию. Иными словами, необходимо
переходить к подконтрольному (материализованному)
оперированию с подлежащим усвоению материалом.
24

Подконтрольная работа учащихся при организации усвоения
рассматриваемого алгоритма заключается в выполнении
перемножения указанных учителем десятичных дробей таким образом,
чтобы можно было проверить правильность выполнения каждой
операции.
Пусть, например, учитель предложил перемножить числа
2.301 и 12,0204, делая подробные записи, как в конспекте.
Ясно, что каждый из учеников должен записать натуральные
числа 2301 и 120 204, а затем найти их произведение 276 589 404.
При этом записи учеников по форме должны несколько отличаться
от записей конспекта: числа большие, и их приходится
перемножать в столбик. Такого типа отступления полезны: они помогают
фиксировать сознание учащихся не на копировании формы записи
конспекта, а на содержании включенного в него материала.
Проверка на этом этапе, как подчеркивалось выше, должна
вестись по каждой операции в отдельности. В данном случае
проверке подлежит получение натуральных множителей, результат
перемножения, а также умение сформулировать сущность
операции. Затем выполняется вторая операция и проверяется
правильность ее выполнения, потом — третья.
Следует обратить внимание на то, что если операция для
учащихся проста (например, подсчет числа десятичных знаков в
дроби), то проверка может сводиться к обнародованию тем или
иным способом результата. Если же операция трудна для
учащихся, т. е. при ее выполнении часты ошибки, то важно организовать
воспроизведение учащимися всего хода выполнения операции.
Например, учащиеся нередко делают ошибки, отсчитывая нужное
число десятичных знаков в произведении натуральных чисел.
Поэтому не только при первоначальном знакомстве с этой операцией на
этапе ориентировки, но и при проверке правильности ее
выполнения на этапе материализованного оперирования желательно
показывать, каким образом она выполняется. Желательно,
чтобы каждый ученик хотя бы один раз отсчитал нужное число
десятичных знаков в ходе выполнения последней операции.
Впрочем, многие преподаватели, особенно преподаватели
младших классов, испокон веков учили именно так, правда, находясь
в положении известного героя Мольера, не подозревавшего, что
он всю жизнь говорил прозой. Достаточно вспомнить обучение
счету с помощью счетных палочек. «Прибавляем два»,— говорит
преподаватель, а ученики перекладывают на новое место две
палочки, делая тем самым подконтрольной свою работу.
Из сказанного, однако, вовсе не следует, что созданная
П. Я. Гальпериным и его сотрудниками теория только констатирует
то, что практика давно использовала. Нет, теория помогает
вскрыть и использовать резервы повышения эффективности
обучения даже там, где практика вплотную подошла к тем способам
организации обучения, которые рекомендует эта теория. Но, самое

главное, она помогает найти принципиально новые пути
совершенствования учебного процесса там, где практика еще далека от
способов организации обучения, вытекающих из этой теории.
Пример со счетными палочками мы привели еще и для того,
чтобы обратить ваше внимание, уважаемый читатель, на то, что
чрезвычайно опасно «передержать» ученика на этапе
подконтрольного оперирования с подлежащим усвоению материалом: стоит
чуть дольше разрешить ученику считать с помощью счетных
палочек, и переход к счету в уме резко затормозится. Видели вы детей,
которые не только в начальной школе, но и в более старших
классах считают с помощью пальцев? (Им надо хотя бы шевелить
пальцами при счете.) Это дети, у которых вовремя не забрали
счетные палочки, не запретили ими пользоваться при счете.
Впрочем, дело здесь не только и не столько в запрете пользоваться теми
материальными объектами или их изображениями, схемами и т. п.,
с помощью которых обеспечивается подконтрольность каждой
операции, сколько в обеспечении постепенности перехода от
систематического пооперационного контроля к самоконтролю — третьему
этапу обучения, предусмотренному теорией поэтапного
формирования умственных действий.
Покажем для примера, каким образом осуществляется
постепенный переход к самоконтролю при организации усвоения
правила перемножения десятичных дробей. Самоконтроль начинается
после того, как осуществлены подробнейшие записи и пошаговый
контроль при выполнении одного-двух первых заданий на
перемножение. Это позволяет надеяться, что способ оперирования всеми
учащимися осознан, а большинство даже запомнили и
составляющие алгоритм операции, и последовательность их выполнения.
Прежде всего, необходимо как можно скорее отказаться от
неупотребляемого на практике расчленения на отдельные
операции. Теория не дает никаких рекомендаций на этот счет. Это
вполне естественно: педагогика — сплав науки и искусства.
Вот как мы предлагаем организовать работу.
Давая классу очередное задание на перемножение
десятичных дробей, преподаватель записывает множители в столбик и
просит учеников сделать такую же запись:
2,703
X
0,24
Учащимся предлагается вспомнить (сформулировать), что первая
операция при перемножении десятичных дробей — перемножить
натуральные числа, известным способом полученные, а затем надо
приступить к выполнению этой операции, не выписывая отдельно
получившиеся после мысленного зачеркивания запятой
натуральные числа.
26

Как видите, после одного-двух заданий на перемножение,
выполненных в искусственной (максимально расчлененной на
отдельные операции) форме, ученики начинают работать уже
почти так, как будут это делать, когда обучение завершится.
Результат выполнения второй операции — подсчет числа
десятичных знаков в множителях — тоже не выписывается теперь
отдельно: учащимся предлагается отметить число десятичных
знаков прямо здесь же, рядом с записанными множителями.
И результат выполнения третьей операции — отсчет нужного
числа десятичных знаков в получившемся произведении —
отдельно не выписывается: прямо в получившемся после умножения
натуральном числе часть цифр отделяется запятой.
Записи имеют вид:
После I операции
2,703
X
0,24
I 10812
' 5406
64872
После II операции
X
0,242^2
1 10812
~ 5406
64872
После III операции
2,703^^2.
X
0,24^£2
-к
10812
5406
0.64872
(3 + 2) знака
Таким образом, еще сохраняется пооперационный контроль, но
форма записи уже существенно ближе к той, которая должна быть
«на выходе», после завершения обучения.
Дальнейшее снятие пооперационного контроля связано с
отказом от надписей, которые не выполняют люди, усвоившие
алгоритм: отказом от фиксирования числа десятичных знаков в
каждом множителе; стрелки, показывающей направление отсчета
десятичных знаков в получившемся произведении натуральных
чисел; указания на число десятичных знаков, отсчитываемых в
произведении. При этом желательно некоторое время (в одном-
двух заданиях) сохранить и пересчет десятичных знаков, и отсчет
их в произведении. Теория советует отыскивать способы
выполнения операции, при которых сознание обучаемого направлено на
выполнение операции, но следов, позволяющих проконтролировать
работу, при этом не остается. Например, можно предложить
пересчитать десятичные знаки в каждом из множителей,
дотрагиваясь до них непишущей стороной ручки; отсчитать нужное
число десятичных знаков в произведении, также лишь дотрагиваясь
непишущей стороной ручки до промежутков между цифрами и
шепотом осуществляя отсчет.
После того как подконтрольная, но уже не оставляющая
следов работа завершена, можно переходить к заданиям, с
которых учитель сегодня начинает закрепление правила перемножения
27

десятичных дробей: ученики молча, не делая «лишних» записей,
перемножают дроби; преподаватель контролирует правильность
конечного результата. Но если ученик затрудняется или
ошибается, его возвращают на предыдущие этапы работы.
Рассмотренный пример показывает, что организовать успешное
усвоение алгоритмов можно лишь в том случае, когда проделана
большая предварительная работа.
На этапе ориентировки необходимо фиксировать каждую
операцию подлежащего усвоению алгоритма. Но расчленение
алгоритма на отдельные операции и отыскивание удобного способа
фиксирования каждой операции нередко трудная творческая
задача.
Далее, надо организовать подконтрольное оперирование
учащихся с подлежащим усвоению материалом. Если ориентировка
осуществлена, то способ организации работы на этом этапе чаще
всего понятен: надо обеспечить выполнение соответствующих
вычислений по сообщенному на предыдущем этапе образцу. Впрочем,
и здесь, как вы увидите, не все обстоит так гладко.
Постепенное снятие контроля, как уже подчеркивалось, требует
в каждом конкретном случае своего решения.
Учитывая сказанное, мы посчитали необходимым поделиться с
вами тем, что удалось придумать. Разумеется, все приведенные
далее конкретные предложения следует рассматривать как
педагогическую «печку», от которой мы рекомендуем начинать
«танцевать». Очень возможно, что вам, читатель, удастся найти
иное решение педагогической задачи, более соответствующее
вашей личности и особенностям вашего класса. Будем рады, если вы
поделитесь с нами своими находками.
Рассмотрим алгоритмы, характерные для курса математики
IV—V классов (V—VI классов одиннадцатилетней школы).
Поскольку в настоящее время в школу вводится курс математики,
написанный Э. Р. Нурком и А. Э. Тельгмаа [9], будем
заимствовать формулировки правил в основном из этого учебника.
Для того чтобы меньше повторяться при рассмотрении каждого
алгоритма, договоримся, что в той части текста, который
обозначен полужирным знаком I, рассказывается о вычленении
составляющих алгоритм операций; знаком 2 обозначается фрагмент, в
котором рассказывается о краткой схематической записи
алгоритма на этапе ориентировки; знаком 3 обозначены наши
рекомендации по организации материализованных (подконтрольных)
вычленений учащихся, а знаком 4 -— рекомендации по организации
постепенного перехода от пооперационного контроля к самоконтролю.

Округление натуральных чисел
1 В учебнике дано следующее правило: «При округлении
чисел до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом
цифры заменяют нулями. Если первая следующая за этим
разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9. то последнюю оставшуюся цифру
увеличивают на 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1,
2, 3 или 4, то последнюю цифру не изменяют».
Вроде бы, если следовать этому правилу, первой операцией
при округлении должна быть замена нулями цифр, которые
следуют за разрядом, до которого идет округление. Но если эта
операция выполнена — пропадает (заменяется нулями) та самая цифра,
которая влияет на то, увеличивается ли «последняя оставшаяся
цифра». Словом, такая последовательность операций не
способствует безошибочному пользованию правилом округления.
Анализ действий человека, умеющего округлять натуральные
числа, и необходимость в ходе обучения фиксировать все шаги
ученика, осуществляющего округление, привели нас к расчленению
процесса округления на следующие операции:
1. Отделяются цифры, стоящие за разрядом, до которого идет
округление.
2. Устанавливается, находится первая отделенная цифра среди
цифр 0, 1, 2, 3, 4 или среди цифр 5, 6, 7, 8, 9.
3. Если это одна из цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то данное число
заменяется таким числом, у которого неотделенные цифры
сохраняются, а все отделенные цифры заменяются нулями.
Если же это одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра, стоящая в
разряде, до которого ведется округление, увеличивается на 1, а все
отделенные цифры заменяются нулями.
2 В краткой схематической форме перечисленные выше
операции могут быть даны на этапе ориентировки, например, в
следующем виде.
Округление чисел 37 624 и 5791 до сотен.
1. Отделяются цифры, стоящие после разряда сотен:
376)24 57191.
2. Подчеркивается первая отделенная цифра:
376124 57191.
3. Если подчеркнутая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то отделенные
цифры заменяются нулями:
376124 « 371600.
Если подчеркнутая цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде
сотен увеличивается на 1, а отделенные цифры заменяются нулями:
57|91 « 5800.
+ 1 ~
3 На этапе материализованного оперирования необходимо
организовать округление натуральных чисел таким образом, чтобы
29

учащиеся выполнили первую операцию с опорой на приведенную
выше схему и результаты выполнения оказались проверенными.
Затем организуется выполнение второй операции и проверяется
правильность ее выполнения; потом — третьей операции.
Приведем в качестве примера записи учащихся на этом этапе
при решении задач: «Округлите число 12 835 а) до сотен; б) до
тысяч».
Решение:
а) 1. 128135.
2. 128135.
3. Подчеркнута одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Значит,
128135» 12 800.
б) 1. 12(835.
2. 121835.
3. Подчеркнута одна из цифр 5, 6, 7, 8, 9. Значит,
121835 «13 ООО.
+ 1 "
4 Начало снятия контроля может быть связано с тем, что
выполняются еще все операции, но они уже не выписываются
отдельно. Например, запись решений задач, решение которых
показано на этапе материализованного оперирования, может
выглядеть следующим образом:
а) 128135» 12 800 (так как 3—среди 0, 1, 2, 3, 4).
б) 121835» 13 000 (так как 8—среди 5, 6, 7, 8, 9).
. + 1 "
При этом важно, чтобы преподаватель управлял
округлением. Например, можно предложить всем записать указанное
учителем число и выполнить, не переписывая это число, первую
операцию; предложить соседям по парте проверить друг у друга
правильность выполнения этой операции. То же самое повторяется со
второй и третьей операциями. После этого учитель или кто-либо из
учеников обнародует результат округления и все учащиеся
исправляют ошибки, если они допущены. Если же краткая запись
привела к сколько-нибудь массовым затруднениям или ошибкам,
учитель организует подробные записи.
Еще по одной-две задачи на каждый из двух случаев
желательно оформить подробно (отделяя цифры и подчеркивая нужную
цифру), но уже не записывая в скобках указание на то, к какой из
двух рассматриваемых групп цифр принадлежит подчеркнутая.
Записи решений тех же задач приобретают следующий вид:
а) 128|35ж 12 800.
б) 121835» 13 000.
+ 1 "
Дальнейшее снятие контроля связано с отказом от каких бы то
ни было вспомогательных выделений (отделений цифр и
подчеркиваний). Однако при выполнении нескольких заданий желательно
30

организовать работу таким образом, чтобы отделение цифр и
подчеркивание цифры осуществлялись непишущей стороной ручки
(не остается никаких следов!). Правильность работы
контролируется по конечному результату.
Измерение углов транспортиром.
1 Мы считаем необходимым выделить следующие операции,
подлежащие контролю на этапе материализованного
оперирования, при организации измерения углов транспортиром.
1. Транспортир накладывается на угол так, что:
а) вершина угла совпадает с центром транспортира;
б) начало отсчета на шкале транспортира располагается на
одной стороне угла;
в) вторая сторона угла пересекает шкалу транспортира.
2. По шкале транспортира подсчитывается, сколько углов в 1°
помещается между сторонами угла, считая от отметки 0°.
2 На этапе ориентировки желательно воспользоваться
изображением транспортира, наложенного на угол. Краткие
схематические записи, отражающие основное содержание
перечисленных выше операций, могут иметь вид:
1. Накладываем транспортир на угол:
а) К совпадает с центром транспортира;
б) 0° на KN;
в) КМ пересекает шкалу транспортира.
2. Подсчитываем число градусов (от 0°).
3 Сделанные выше записи могут рассматриваться как образцы
оформления решений на этапе материализованного оперирования.
При этом существенно, чтобы учащиеся (например, соседи по
парте) действительно контролировали друг у друга правильность
наложения транспортира на угол; правильность подсчета числа
градусов. Учитель должен организовывать контроль, требуя, чтобы
учащиеся, опираясь на основное содержание, формулировали
суть соответствующего шага, выполняли его и проверяли друг у
друга правильность выполнения.
4 Снятие контроля — в словесном (устном) фиксировании
хода измерения, а затем — в самостоятельных измерениях и в
контроле их правильности лишь по конечному результату.
Сравнение, сложение, вычитание обыкновенных дробей с
одинаковыми знаменателями.
1 Поскольку все указанные действия рассматриваются лишь
для случая, когда знаменатели дробей одинаковы, первой
операцией должно стать фиксирование сознания на равенстве
знаменателей у дробей, оперирование с которыми предстоит.
Вторая операция — выполнение сравнения дробей, сложения
или вычитания.
2 Конспект основного содержания операций при сравнении
дробей с одинаковыми знаменателями может иметь такой вид:
, 1. Знаменатели одинаковые.
31

2. Если а> b, то —> __
с ^ с "
Если a<Cb, то — <г —
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми
знаменателями при записи второй операции могут быть использованы
соответствующие формулы:
а . b _a-\-b. а, b_ a — b
с ~с с ' с с с
3 Если на этапе ориентировки способ работы учащихся
задается с помощью формулы, то собственное оперирование учащихся
заключается в подстановке в формулу вместо букв
соответствующих числовых значений. Поэтому материализованное
оперирование должно сделать подконтрольной именно эту подстановку.
Вот как, например, может выглядеть решение задачи: «Сравни-
13 15
те уу и уу» — на этом этапе.
1. Знаменатели одинаковые: £=17.
2. Здесь а=13, 6=15.
13<15, и потому |у<-|^.
Аналогичные записи делаются при сложении и вычитании. На-
5 Я
пример, задача: «Выполните действие _ МОжет быть на
рассматриваемом этапе решена следующим образом.
1. Знаменатели одинаковые: с = 7.
2. Здесь а = 5; Ь = 3.
5,3 5-Н3 8
7^7 7 7'
Желательно, чтобы ученикам были даны образцы оформления и
для случаев, когда операцию нельзя выполнить по
рассматриваемому правилу. На этапе подконтрольного оперирования должны
быть решены соответствующие задачи. Например, решение задачи:
5 5
«Выполните действие -j — _» _ может быть оформлено
следующим образом:
1. Знаменатели не одинаковые: 7 и 17.
2. Нельзя воспользоваться правилом вычитания дробей с
одинаковыми знаменателями.
4 Снятие контроля в рассматриваемом случае — в устном
фиксировании того, что знаменатели одинаковые; в формулировании
правила, в соответствии с которым выполняется соответствующее
32

действие; в контроле за правильностью конечного результата. При
этом подробные записи заменяются краткими. Например, можно
предложить учащимся подчеркнуть одинаковым числом черточек
равные знаменатели, разным числом черточек — разные, а затем
выполнить соответствующее действие. Записи при решении
рассмотренных выше задач могут иметь следующий вид:
13 15
jy<yy, так как 13<С15.
А,! 5 + 3 8
5 5
■у—ту- Нельзя воспользоваться правилом вычитания дробей с
одинаковыми знаменателями.
Выделение целой части неправильной дроби.
1 Операции, выполнение которых следует организовывать и
контролировать:
1. Деление с остатком числителя на знаменатель.
2. Запись числа, равного данной неправильной дроби. Целой
частью этого числа служит неполное частное, числителем
дробной части — остаток от деления, знаменателем — делитель.
2 На этапе ориентировки конспект может выглядеть,
например, так:
123
Выделение целой части неправильной дроби —у—:
1. Выполняется деление: 123 [ 7
7 17
53
49
2. Целая часть: неполное частное 17. Дробная часть:
числитель — остаток 4; знаменатель — делитель 7, т. е.
7 - 11 Т •
3 Аналогичными могут быть записи и на этапе
материализованного оперирования.
Приведем в качестве примера запись решения задачи:
«Выделе 181
лите целую часть дроби ».
1. 1811 36
180 5
1
2. Целая часть: неполное частное 5. Дробная часть:
числитель — остаток 1; знаменатель — делитель 36.
2 Зак. 762 33

4 На этапе снятия контроля подробные записи заменяются
краткими. Запись решения рассмотренной выше задачи может
иметь следующий вид:
1811 36
180 5
1
Ш 1
36 36-
Сравнение десятичных дробей.
1 Мы выделили следующие операции, которые должен
выполнять ученик, сравнивая две десятичные дроби.
1. Устанавливается, одинаковы ли целые части дроби.
Если не одинаковы, то больше та десятичная дробь, у
которой целая часть больше.
Если одинаковы, то сравнение продолжается.
2. Рассматривается число единиц в высшем разряде дробной
части (разряде десятых) каждой из десятичных дробей.
Если число единиц не одинаково, то больше та десятичная
дробь, у которой оно больше.
Если число единиц одинаково, то сравнение продолжается.
3. Рассматривается число единиц в разряде на одну ступень
ниже (в разряде сотых) и т. д.
Таким образом выделенные операции позволяют подчеркнуть,
что сравнение десятичных дробей осуществляется по тому же
принципу, что и сравнение натуральных чисел. Сопоставить эти
два правила чрезвычайно полезно: это облегчает усвоение нового
материала.
2 Схематическую запись алгоритма сравнения десятичных
дробей можно представить следующим образом.
Сравните числа:
а) 27,546 и 17,9849; б) 3,0781986 и 3,07891.
Решение:
а) Целые части: 27 и 17. 27> 17. Значит, 27,546> 17,9849.
б) Целые части: 3 и 3.
Десятые: 0 и 0.
Сотые: 7 и 7.
Тысячные: 8 и 8.
Десятитысячные: 1 и 9. 1<9. Значит, 3,0781986<3,07891.
3 Записи учащихся на этапе подконтрольного оперирования
могут быть точно такими, как в рассмотренном в пункте 2 примере.
4 На этапе снятия контроля можно посоветовать подчеркивать
целые части (если они не равны) или те разряды в десятичной
34

части, которые позволяют сделать вывод о неравенстве чисел и,
кроме того, организовывать проговаривание алгоритма сравнения.
Например, решение рассмотренной выше задачи на этом этапе
может выглядеть так:
а) 27,546 > Г7.9849.
б) 3,07891860,07891 .
Округление десятичных дробей.
1 Мы выделили следующие операции, выполнение которых
следует контролировать в ходе выполнения округления на этапе
материализованного оперирования:
1. Округление десятичных дробей осуществляется по тому же
правилу, что и округление натуральных чисел.
2. Если округление ведется до какого-либо дробного разряда,
то все цифры после этого разряда отбрасываются. Сохраняются
все цифры, включая нули, в оставшихся разрядах: это показывает,
до какого разряда велось округление.
2 Краткая схематическая запись правила на этапе
ориентировки может быть дана в виде записи частных примеров.
Существенно, чтобы эти записи напоминали, каким образом
следует выполнять первую операцию (правило округления натуральных
чисел). Вот пример такой записи.
Округлить до сотых 78,5973845.
1) Округляем, как натуральные числа:
78,59173845 « 78,60100000.
+ 1
2) Нули после разряда сотых отбрасываются; все остальные
цифры сохраняются:
78,60100000 = 78,60.
Ответ: 78,5973845 ж 78,60.
3 Подконтрольная работа осуществляется по рассмотренным
в пункте 2 образцам. Например, решение задачи: «Выполните
округление числа 0,39751294 а) до целых; б) до сотых; в) до
тысячных» — может быть оформлено следующим образом.
а) 1.0,|39751294«0,100000000.
2. 0,10000000 = 0.
Ответ: 0,39751294 «0.
б) 1.0,39
2. 0,40
751294 « 0,401000000.
000000 =0,40.
Ответ: 0.39751294«0,40.
в) 1.0,397 51294 «0,398100000.
2.0,398 00000=0,398.
Ответ: 0,39751294 «0,398.
4 На этапе постепенного перехода к самоконтролю при
выполнении задания: «Округлите число 78,5973845 до сотых» —
возможны такие записи:
78,59173845 » 78,60100000 = 78,60.
2* 35

Сложение и вычитание десятичных дробей.
1 Указанные действия выполняются с десятичными дробями по
тому же правилу, что сложение и вычитание натуральных чисел,—
по разрядам.
2 Краткая схематическая запись правил сложения и
вычитания должна содержать указание на способ осуществления
действий и образцы записей. Она может иметь следующий вид.
Сложение и вычитание десятичных дробей осуществляется по
разрядам:
5
4.
8
1
2
9
5
4.
8
1
2
9
+
—
3,
2
6
4
3,
2
6
4
5
8,
0
7
6
9
5
1.
5
4
8
9
3 Подконтрольная работа заключается в помещении каждой
цифры в «свой» разряд: цифру, показывающую, сколько в числе
сотен,— в разряд сотен; цифру, показывающую, сколько в числе
тысячных,— в разряд тысячных. Места, куда должны
записываться единицы каждого из разрядов, могут быть выделены
вертикальными чертами. При этом постановка запятой однозначно
фиксирует место для записывания каждого из разрядов (рис. 1).
+
76
4
56;
53
2
,56
Рис. 1
Рис. 2
Ясно, что второе слагаемое или вычитаемое следует записывать
так, чтобы разряд десятых оказался под разрядом десятых
первого слагаемого (уменьшаемого), а для этого запятая должна
оказаться под запятой (рис. 2). При этом необходимо учитывать,
что отсутствие в столбце цифр равноценно записи в этом столбце
цифры 0. На этапе материализованного оперирования эти нули
могут записываться (если учащиеся затрудняются иначе
выполнить действие).
4 Снятие контроля заключается в отказе от нулей в конце
дробной части десятичной дроби и от прочерчивания вертикальных
линий, выделяющих место для записывания единиц
соответствующего разряда. На этом этапе может осуществляться записывание
соответствующих разрядных единиц в клетки обычной тетради.
При этом устно желательно подчеркивать, что сложение
(вычитание) осуществляется по разрядам.
36

Деление десятичной дроби на натуральное число.
1 Расчленить"процесс деления на отдельные операции не
удается. Мы считаем, что целесообразно говорить о том, что деление
десятичной дроби на натуральное число осуществляется так же,
как деление натуральных чисел, но после того, как заканчивается
деление целой части, ставится запятая.
2 Очень трудно оказалось отыскать такую краткую запись
правила деления, которая использовалась бы в качестве опоры на
этапе ориентировки.
Записать утверждение: «Кончилась целая часть — ставь
запятую». Но что означают слова: «Кончилась целая часть»?
Выполняет, например, ученик деление десятичной дроби 131,28 на
натуральное число 3:
_ 131,28| 3
12 4
11
Снес он по ходу деления единицу. Уже кончилась целая часть
или еще не кончилась? Надо ставить запятую или еще рано? И
главное, каким образом, пользуясь приведенным правилом,
осуществить впоследствии подконтрольную самостоятельную работу
на следующем этапе?
Помог передовой педагогический опыт: учитель из г. Олайне
Латвийской ССР Дринова предложила оформлять образец
деления на рассматриваемом этапе следующим образом. Цифра,
снесение которой является «сигналом» того, что деление целой части
завершено и в частном следует ставить запятую, каким-либо
образом выделяется (например, записывается другим цветом или
обводится карандашом). Таким же образом выделяется эта цифра
после того, как она снесена и запятая поставлена в частном.
Учитывая сказанное, роль краткой схематической записи в
данном случае может выполнять запись примера на деление с
указанными выше выделениями:
_131!2]4|___3__
12 43,738
_ 11
_9
_ 22
21
9
_24
37
24
О

3 Подконтрольная работа, очевидно, осуществляется по
рассмотренному выше образцу: учащиеся в своих тетрадях
выделяют указанным учителем способом цифру, стоящую в разряде
десятых; сносят эту цифру, используя тот же способ выделения;
ставят в частном запятую.
4 Снятие контроля, очевидно, связано с тем, что цифра десятых
перестает выделяться. Но в начале этого этапа целесообразно
показывать (обводить) непишущей стороной ручки ту цифру
(цифру десятых), снесение которой является сигналом: деление целой
части закончилось и потому надо ставить в частном запятую.
Деление на десятичную дробь.
1 Можно выделить следующие операции:
1. Перенос запятой в делителе таким образом, чтобы
получилось натуральное число; подсчет, во сколько раз при этом
увеличился делитель.
2. Увеличение делимого во столько же раз.
3. Выполнение деления числа, которое получено после
увеличения делимого, на число, полученное после увеличения делителя.
2 Краткая схематическая запись правила на этапе
ориентировки и образец оперирования, удобный для организации
пооперационного контроля, может иметь следующий вид:
131,214 : 0,03.
1) 0,Q^ >-3 (увеличили в; 100 раз).
2 знака
2) 131,214 И3121.4 (увеличили в 100 раз).
2 знака
3) 131,214 : 0,03= 13121,4 : 3 = 4373,8.
3 Подконтрольная работа осуществляется по указанному в
пункте 2 образцу.
Снятие контроля может сводиться к устному или письменному
фиксированию, во сколько раз следует увеличивать делитель и
делимое, а затем — к выполнению сразу третьей операции.
Наибольший общий делитель натуральных чисел (НОД).
Отыскивая НОД (а; Ь), выполняют следующие операции:
1. Разложение чисел а и Ъ на простые множители.
2. Отыскание общих простых множителей.
3. Вычисление произведения общих простых множителей.
Первая из этих операций должна специально отрабатываться
при изучении предыдущего пункта учебника. А вот с
отысканием общих простых множителей учащиеся столкнулись впервые.
Поэтому вторая операция требует особого внимания, должна стать
объектом целенаправленной отработки. Можно даже говорить об
алгоритме отыскания общих простых множителей, в котором
можно выделить следующие операции:
Если Oi, 02, аз..- — простые множители числа а, то
38

1) проверяем, есть ли среди множителей числа Ь число а\\ если
такой множитель имеется, то подчеркиваем одинаково этот
множитель А| в разложении на простые множители числа а и числа Ь;
2) такую же проверку осуществляем для множителя а2; для
множителя а3, т. е. для каждого простого множителя числа а.
Краткая схематическая запись правила отыскивания НОД
(а; Ь) может быть дана с помощью частного примера, который
одновременно служит в качестве образца оформления записей на
этапе подконтрольного оперирования. Например, записи могут
иметь следующий вид:
[) 630
315
105
35
7
1
252
126
63
21
7
1
НОД (630; 252) = 1
НОД (630; 252)
2) Общие множители
252
126
63
21
7
1
"фР (
3) Произведение
общих множителей:
2-3-3-7=126.
3 Подконтрольная работа ЛЧИГгствляется по указанному
образцу.
4 Снятие контроля в рассматриваемом случае заключается
вначале в отказе от расчлиювния на отдельные операции, а затем в
выписывании НОД (а$Щ в виде произведения множителей сразу
же после разложения чисел а и Ъ на простые множители.
Записи учащихся при решении рассмотренной выше задачи на
этом этапе вначале мог\#'йметь вид:
630
315
105
35
7
I
2
4
X
5
7
«я
252
126
63
21
7
1
2_
2
3^
3
7
НОД (630; 252) =2-3-3-7= 126.
Впоследствии можно отказаться и от подчеркиваний, выполняя
отбор общих множителей в уме.
Наименьшее общее кратное натуральных чисел (НОК).
I Операции, которые приходится выполнять, отыскивая НОК
(а; Ь):
1. Разложение чисел о и Ь на простые множители.
2. Отыскание простых множителей числа Ь, которых нет среди
простых множителей числа а.
39

3. Вычисление произведения, составленного из всех простых
множителей числа а и тех простых множителей числа Ь, которых
нет в числе а.
Со второй из перечисленных выше операций учащиеся прежде
не встречались. Поэтому необходимо ее специально отработать:
обеспечить понимание того, каким образом она выполняется; дать
образец оперирования, позволяющий организовать
самостоятельное оперирование; организовать оперирование в подконтрольной
форме и постепенное снятие контроля.
Для того чтобы облегчить эту работу, ее целесообразно свести
к выделению общих множителей чисел а и т. е. к выполнению
операции, которая должна быть усвоена в ходе обучения
отысканию НОД (а; Ь): неподчеркнутые множители одного из чисел и
есть те интересующие нас простые множители, которых нет в
разложении на простые множители второго числа.
Таким образом, алгоритм отыскания простых множителей
числа Ь, которых нет среди простых множителей числа а, включает
следующие операции:
1) отыскание общих простых мгЯИтелей чисел а и Ь\
2) отыскание тех простых множителетгчисла Ь, которые не
являются общими простыми множителями Чисел а и Ь\
3) вычисление произведен^ЙЬсоставлярюго из числа а (из
всех простых множителей чис^ИЛи тех простых множителей
числа Ь, которых нет в числе а.^рР
2 Краткой схематической записью рассматриваемого
алгоритма, включающей новую для учащихся операцию отыскания тех
простых множителей одного из чисел, вВРРь[х нет среди общих
множителей этих чисел, может служить следующая запись:
1) 36
2
42
2
18
2
21
3"
9
3
7
7
3
3
1
1
НОК (36; Щ
Общие множители: 2; 3.
2) Множители числа 42, которые не являются общими для
чисел 36 и 42: 7.
3) НОК (36: 42) =,2X2X3X3X7 = 252.
\ . -V*————
36
3 Подконтрольная работа может вестись по рассмотренному
в пункте 2 образцу.
4 На этапе постепенного перехода к самоконтролю следует
отказаться от расчленения на отдельные операции. Вместо
выписывания тех множителей одного из чисел, которые не являются
общими множителями этих чисел, удобно непосредственно в разложении
40

чисел на простые множители каким-нибудь способом выделять эти
множители (например, обвести их кружком). Записи учащихся
могут иметь вид:
36 2 42 2 НОК (36; 42) = 2Х2Х ЗХЗХ7 = 252.
18
9
3
1
2 21
3 7
3 1
3
©
36
Впоследствии можно предложить называть множители одного
из чисел, которых нет во втором (обеспечивая тем самым контроль
за правильностью выполнения этой новой для учеников операции),
а затем — наименьшее общее кратное рассматриваемых чисел.
Приведение дробей к общему знаменателю.
1 В учебнике выделены следующие операции приведения
* ° а с
дрооеи -у и —г к общему знаменателю:
1. Нахождение НОК (b; d) — общего знаменателя.
2. Нахождение для каждой дроби дополнительного множителя;
для этого НОК (b; d) делится на Ь; НОК (b; d) делится на d.
3. Умножение числителя и знаменателя каждой дроби на ее
дополнительный множитель.
2 Конспект основного содержания и образец, которым будут
пользоваться учащиеся на этапе подконтрольного оперирования,
могут иметь следующий вид:
5 13
Привести к общему знаменателю дроби yg и ^
1.НОК (18; 24) = 18X2X2 = 72.
2. Дополнительные множители: 72:18 = 4; 72:24 = 3.
3 JT-5'4 _20 13^ _13ХЗ _39
18 18-4 72' 24 — 24X3 ~~72 '
3 Подконтрольная работа осуществляется по рассмотренному
в пункте 2 образцу.
4 На этапе постепенного перехода к самоконтролю учащиеся
вначале перестают отдельно фиксировать вторую из
перечисленных выше операций, а затем можно переходить и к записям вида
5А 20 132- _ 39
18 72' 24 - 72-
Сравнение, сложение, вычитание дробей.
1 Здесь четко прослеживается необходимость выполнять две
операции:
1. Приведение дробей к общему знаменателю.
2. Выполнение соответствующего действия с дробями,
имеющими одинаковые знаменатели.
- 41

2 Конспект основного содержания и образец оперирования в
подконтрольной форме могут иметь следующий вид:
г 5 13
Сравнить — и ^ .
1. Приводим дроби к общему знаменателю: ^ = — -
г 18 72'
|3^_ 39
24 72 •
2. Выполняем сравнение: Щ < Щ. Значит, А
Аналогичные записи даются при сложении и вычитании дробей.
3 Подконтрольная работа осуществляется по рассмотренным
выше образцам.
4 Снятие контроля заключается в том, что рассматриваемые
дроби сразу заменяются дробями, имеющими одинаковые
знаменатели, а затем выполняется указанное действие:
5f ■ _13^_ 20 39 59
18^24 ~72 + 72 = 72'
Десятичные приближения обыкновенной дроби.
Могут быть выделены следующие операции:
1. Числитель дроби делится на ее знаменатель до тех пор, пока
не получается разряд, следующий за тем разрядом, до которого
следует округлить получающуюся при делении десятичную дробь.
2. Выполняется округление.
Конспект на этапе ориентировки и образец оперирования на
следующем этапе может иметь, например, такой вид:
3
Найти десятичное приближение числа -у с точностью до сотых.
1. Выполняем деление 3 на 7 до получения тысячных:
31 7
0 0.428.
30
28
20
14
60
56
2. Округляем до сотых: 0,428: «0,43.
3 Подконтрольная работа осуществляется по рассмотренному
выше образцу.
4 Снятие контроля сводится в данном случае к отказу от
42

разбиения на отдельные операции. Записи учащихся на этом этапе
могут иметь вид:
-у = 0,428... «0,43.
Сложение положительных и отрицательных чисел.
1 В школьном учебнике [9] отдельно рассматривается
алгоритм сложения двух отрицательных чисел и алгоритм сложения
двух чисел с разными знаками. Однако после того, как знакомство
с этими алгоритмами завершено, возникает необходимость
рассмотреть единый алгоритм сложения положительных и
отрицательных чисел: умение пользоваться именно этим алгоритмом
определяет успешность соответствующих вычислений.
На что же реально должен опираться ученик, выполняя
сложение, и какова тем самым должна быть совокупность
операций, составляющих этот алгоритм?
При отыскании модуля суммы существенно лишь то, одинаковы
или противоположны знаки слагаемых. Поэтому первая операция
при организации сложения — решение вопроса о том, одинаков ли
знак у обоих слагаемых, или они разного знака.
Выделять отдельно случай, когда оба слагаемых
положительны, нецелесообразно: оперирование осуществляется по тому же
правилу, что и в случае, когда оба слагаемых отрицательны
(модули складываются; знак такой же, как у каждого из
слагаемых).
Результатом выполнения первой операции должно стать
разделение дальнейшей работы на два «русла»: отыскание знака и
модуля суммы в случае, когда знаки слагаемых одинаковы, и в
случае, когда знаки слагаемых различны. Если знаки различны,
важно рассмотреть два случая: модули слагаемых не равны, и
модули слагаемых одинаковы.
Итак, чтобы сложить два числа, надо:
1) установить, одинаковы ли знаки слагаемых;
2) если знаки слагаемых одинаковы, то результат записать в
виде числа, знаком которого является знак каждого из слагаемых,
а модуль которого равен сумме модулей слагаемых;
3) если знаки слагаемых разные и они не являются
противоположными числами, то результат записать в виде числа, знаком
которого является знак числа с большим модулем, а модуль
равен разности модулей большего и меньшего слагаемых;
4) если знаки слагаемых разные и они являются
противоположными числами, то результатом является число нуль.
2 Конспект основного содержания на этапе ориентировки
может быть дан в виде следующей таблицы (см. с. 44).
3 На этапе материализованного оперирования работа ученика
может заключаться в фиксировании нужной строчки таблицы и
определении с опорой на таблицу знака и модуля суммы.
Например, решение задания: «Выполни действия: 1) —5-J- ( — 7);
43

Нахождение суммы чисел а и b (афО, ЬфЩ
Знаки чисел а и Ь
Знак числа а + Ь
Модуль числа а + Ь
Одинаковы
Такой же. как у а и b
Противо- \а\> \Ь\
Такой же, как у а
\a\~\b\
положи ы ■
lfll<lftl
Такой же, как у b
Iftl-lal
lfll = lfrl
a+b = 0
2) —9-}-11» — учащиеся на этом этапе могут оформить так:
1) Знаки чисел —5 и —7 одинаковы. Знак числа — 5-f-( —7)
такой же, как у —5 и у — 7, т. е. минус; |—5+ ( — 7)|=|— 5|+|— 7|=
= 5 + 7=12.
-5-Н-7) = -12.
2) Знаки чисел —9 и 11 противоположны; | — 91 < 1111. Знак у
— 9+11 такой же, как у 11, т. е. плюс; |—9+11|=|11|—|— 9|=
= 11-9 = 2.
-9+11=2.
4 Снятие контроля заключается, очевидно, в сокращении
подробности записей. В начале рассматриваемого этапа желательно
называть (устно или письменно) ту сторону таблицы, которой
следует пользоваться, выполняя сложение. Например, решение
рассмотренной выше задачи может быть оформлено так:
1) Знаки одинаковы: Знак « —»: |—5+ ( — 7)|=|—5|+|—7|= 12.
-5+(-7) = -12.
2) Знаки противоположны: |— а|<;|+&|. Знак « + »: |—9+11|=
=|11|-|-91=2.
-9+11=2.

Глава 3
КАК ОБЕСПЕЧИТЬ УСВОЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ?
В этой главе, естественно, речь пойдет о том, каким образом
приложить теорию поэтапного формирования умственных действий
к организации усвоения определений.
Прежде всего, давайте разберемся, какая работа адекватна
определениям. (Потому что, как вы помните, организовывать
усвоение в соответствии с теорией поэтапного формирования
умственных действий можно лишь в том случае, когда понятно, какую
работу необходимо организовать.) Для этого давайте
проделаем следующий мысленный эксперимент. Представьте, что вы
попали на урок к молодому, только что окончившему институт
учителю. Вам нужно помочь этому учителю разобраться, что именно
у него получилось хорошо, а в чем надо разобраться, что надо
учесть в будущем.
Попытаемся представить ход урока.
Вначале было осуществлено знакомство учащихся с
определением понятия «параллелограмм». Делалось это так. Было показано
учащимся несколько фигур, среди которых были параллелограммы
и не параллелограммы. Учитель объяснил, какими свойствами
не обладают те фигуры, которые не параллелограммы.
Предложил ученикам подумать, какие же фигуры следует называть
параллелограммами. С помощью учеников сформулировал
определение параллелограмма. После этого был показан плакате
изображенными на нем фигурами, параллелограммами и не
параллелограммами. Преподаватель обратил внимание на одну из фигур и
предложил учащимся разобраться, параллелограмм ли это. То же
было проделано с остальными фигурами. Учащиеся очень активно
поднимали руки и верно отвечали. Время от времени учитель
предлагал обосновать выводы, требуя при этом, чтобы учащиеся в
подтверждение своих слов ссылались на определение.
Затем учитель предложил всем ученикам начертить у себя
параллелограмм и перешел к рассмотрению его свойств.
Дальнейшие действия гипотетического учителя нас пока не
интересуют. Попробуем разобраться в описанной части урока.
Есть ли у вас, читатель, какие-либо замечания, пожелания,
предложения?
Этот вопрос я задавал десятки раз в самых разных учительских
аудиториях. И никогда не слышал сколько-нибудь серьезных
возражений. А жаль. Мне бы хотелось, чтобы моих слушателей
описанный урок не устраивал. Почему? Давайте разберемся.
Организуя собственную работу учеников с подлежащим
усвоению определением, наш гипотетический преподаватель требовал
установить, является ли параллелограммом показанная ученикам
фигура. В этом трудно усмотреть что-нибудь неправильное. Но
что при этом делали ученики? Пользовались определением? Вот
45

этого ни я, ни вы, ни наш гипотетический преподаватель не знаем.
Чтобы понять, что это действительно так, придется
обнародовать результаты еще одного, на этот раз не гипотетического, а
вполне реального эксперимента, который, хотя и проводился давно,
не утратил своего значения и сегодня.
«Назовите, пожалуйста, несколько лучших преподавателей
математики»,— обратились мы в несколько роно Москвы. «Если
можно, разрешите задать несколько вопросов тем вашим ученикам,
которые успевают на «4» и «5» по математике,— обратились мы к
тем учителям, которых нам назвали в роно. — Но вначале сами
ознакомьтесь с теми вопросами, которые мы подготовили».
Учителя знакомились и искренне удивлялись: вопросы были
смехотворно просты. Первое задание заключалось в том, что ученик
должен был записать, какие углы называются смежными; какие
углы называются вертикальными; что называется биссектрисой
угла; какие прямые называются перпендикулярными. С этим
заданием справились практически все участвовавшие в эксперименте
ученики, а их было около 400.
Далее, каждому ученику давался набор чертежей, и
требовалось установить, имеются ли на указанных чертежах смежные
углы; вертикальные углы; является ли указанный луч
биссектрисой указанного угла; имеются ли на чертеже перпендикулярные
прямые. Смежные и вертикальные углы безошибочно находили на
чертежах практически все ученики. Ошибки в установлении того,
является ли луч биссектрисой указанного угла, допустили около
40 % опрошенных. Не увидели всех перпендикулярных прямых на
предложенных им рисунках около 60 % опрошенных.
В третьем задании предлагалось обосновать свои выводы.
Например, указывалась пара углов на одном из тех рисунков,
который рассматривался во втором задании; предлагалось письменно
обосновать сделанный в задании 2 вывод, т. е. объяснить, почему
ученик считает эти углы смежными или почему он их считает не
смежными. Точно так же ученик должен был обосновать свой
вывод о том, являются или не являются указанные учителем углы
вертикальными; является ли указанный луч биссектрисой
указанного угла; перпендикулярны или не перпендикулярны указанные
пары прямых.
Как, по-вашему, успешно ли учащиеся выполнили последнее
задание? И какие наиболее характерные обоснования своих
выводов употребляли учащиеся?
Думаю, ваши прогнозы ошибочны. Во всяком случае, ошиблись
почти все учителя, в классах которых проводился описанный
эксперимент: они были уверены, что дети еще раз сформулируют уже
сформулированное в первом задании определение либо напишут
что-нибудь похожее на «по определению», «в соответствии с
определением» и т. п. Точнее, ошиблись учителя в половине случаев:
обоснования, относящиеся к биссектрисам угла и перпендику-
46

лярным прямым, ученики давали именно такие. А вот в связи с
распознаванием смежных углов и вертикальных углов ответы были
самые, самые разные. Но среди них практически не было ссылок
на определение. Наиболее часто можно было увидеть такое
«обоснование»: «Углы смежные, потому что их сумма равна 180°», «Углы
вертикальные, потому что они равны».
Что же произошло? Почему ученики безошибочно отыскивали
смежные и вертикальные углы, но ошибались, обосновывая
свои выводы? Почему они верно ссылались на определение
биссектрисы угла и перпендикулярных прямых, но ошибались,
отыскивая соответствующие объекты?
Оказывается, все дело в том, что учащиеся при распознавании
того, являются углы смежными или вертикальными, является ли
луч биссектрисой, а прямые перпендикулярными, определениями
вовсе и не пользовались: в их сознании сложился некоторый
образ, эталон, с которым и сравнивались представленные объекты.
Поскольку в эксперименте участвовали лучшие ученики лучших
столичных преподавателей, эталоны у них в сознании сложились
достаточно полные и обобщенные. Смежные и вертикальные углы
сравнивать с такими эталонами оказалось нетрудно. Поэтому и
ошибок при выполнении второго задания практически не было.
При распознавании биссектрис углов и перпендикулярных
прямых сравнение с эталоном подвело учащихся потому, что мы
сознательно подобрали рисунки так, чтобы зрительное восприятие
оказалось искаженным. На рис. 3, а показан один из вариантов
работ на распознавание биссектрисы угла. Оптический обман
приводит к тому, что углы АОС и ВОС кажутся неравными.
Поскольку ученики отчетливо «видели», что углы не равны, им и в
голову не пришла мысль воспользоваться измерительными
инструментами.
А В
Рис. 3
Получив рис. 3, б, учащиеся должны были найти
перпендикулярные прямые. И опять оптический обман нарушил правильность
зрительной оценки перпендикулярности: угол ЛВС, хотя его
стороны мы специально расположили горизонтально и вертикально,
не воспринимается как прямой. Поэтому все учащиеся увидели
перпендикулярность прямых Л С и BD и лишь немногие — АВ и ВС.
47

Что касается формулировок, которые использовались
учениками при обосновании, здесь все ясно. В сознании учеников
установились тесные ассоциативные связи «углы — смежные» — «сумма
углов равна 180°». «углы — вертикальные» — «углы равны»,
«прямые перпендикулярны» — «образуются прямые углы»,
«биссектриса угла» — «равные утлы». То есть ошибки в обосновании —
подтверждение того, что в ходе распознавания объектов
соответствующие определения не играют существенной роли. Вместе с тем и
устойчивые ассоциации не играют существенной роли при
распознавании: ученики в действительности опираются не на них, а на
зрительные образы, которые формируются в ходе оперирования с
объектами.
Итак, е одной стороны, ни у кого не вызывает сомнений,
что наш гипотетический учитель, урок которого анализируется,
не сделал ошибки, организуя работу по распознаванию объектов,
удовлетворяющих изучаемому определению. С другой стороны,
рассмотренный эксперимент со смежными углами, вертикальными
углами и т. д. доказывает, что определением-то при
распознавании ученик может и не пользоваться, даже если правильно
воспроизводит его.
Выход в том, чтобы обеспечить распознавание с помощью
определения. В рассматриваемом случае надо организовать работу
так, чтобы, устанавливая, является ли параллелограммом
предъявленный объект, ученик проверял, является ли
рассматриваемый объект четырехугольником; имеется ли у этого
четырехугольника одна пара параллельных сторон; имеется ли у него
вторая пара параллельных сторон.
Но наши претензии к рассмотренному выше гипотетическому
уроку не ограничиваются тем, что на нем было плохо организовано
распознавание параллелограммов.
Чтобы лучше понять, о чем идет речь, представьте, что
необходимо решить задачу, в условии которой сказано: «На
противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD
отложены отрезки AM и CN». Мы специально оборвали задачу, не
сказали, что же требуется в ней установить. Потому что хотели
обратить ваше внимание только на слово «параллелограмм» в
условии. Если к тому времени, как была предложена эта задача,
учащиеся познакомились только с определением параллелограмма
( не доказано ни одной теоремы), то тем самым в условии сказано,
что речь идет о четырехугольнике, две сторо-ны которого
параллельны и две другие тоже параллельны.
Ну а если бы в условии говорилось о фигуре, которая не
является параллелограммом? Тогда о ней было бы наверняка известно
лишь то, что она не обладает всем набором следующих свойств:
1) четырехугольник; 2) параллельна одна пара сторон; 3)
параллельна вторая пара сторон. Иными словами, это либо не
четырехугольник, либо не параллельна хотя бы одна пара сторон.
48

Выведение следствий из того факта, что рассматриваемый
объект является параллелограммом или что рассматриваемый
объект не является параллелограммом,— второе направление
адекватной работы с рассматриваемым определением. Об
организации такой работы в описании гипотетического урока вообще
ничего не говорилось.
Мы разобрались <не понятно, правда, до конца ли
разобрались) в том, какая собственная работа учащихся адекватна
определению понятия «параллелограмм». И что, вот так же надо
разбираться со всеми определениями школьного курса?
К счастью, не надо.
Давайте еще раз возвратимся к распознаванию того, может
ли предъявленный объект быть назван параллелограммом.
Прежде всего, нам необходимо было проверить, является ли
рассматриваемый объект четырехугольником. Если является —
проверка продолжалась. В противном случае мы сразу делали
вывод, что это не параллелограмм.
Что же такое для рассматриваемого определения понятие
четырехугольника? Это — родовое понятие, т. е. та совокупность,
то множество объектов, из которых мы с помощью определения
имеем возможность «извлекать» параллелограммы. Это означает,
что если нам предложили рассмотреть объект, который не является
четырехугольником, то мы должны, даже не поинтересовавшись
свойствами, которыми он обладает, изъять его из рассмотрения.
Если же объект — четырехугольник, надо начинать проверку,
обладает ли он теми свойствами, которые включены в определение.
Свойства, с помощью которых осуществляется отделение
четырехугольников-параллелограммов от четырехугольников — не
параллелограммов, как хорошо известно, называются видовыми
отличиями.
Для каждого понятия, определение которого подлежит
усвоению в школьном курсе, можно указать и родовое понятие, и
видовые отличия. Например, в определении: «Число а называется
кратным числу Ь, если а делится на Ь» — родовым понятием является
«пара чисел а и Ь», видовым отличием — «а делится на Ь». Кроме
того, всякое определение вводит слово или словосочетание, смысл
которого становится понятным благодаря этому определению.
Так вот, оказывается, что. несмотря на все многообразие
определений, способ работы с ними, адекватная им деятельность
всегда одни и те же:
1. Осуществляется распознавание того, могут ли быть
указанные объекты обозначены данным термином; при этом существенно,
что распознавание осуществляется путем проверки, принадлежит
ли рассматриваемый объект к родовому понятию; обладает ли он
включенными в определение видовыми отличиями.
2. Организуется выведение следствий из того факта, что
рассматриваемый объект можно (или нельзя) обозначить введен-
4!)

ным определением термином; при этом существенно, что
следствиями являются выводы о принадлежности к объему родового
понятия и о наличии видовых отличий.
Нам удалось доказать, но здесь мы на этом останавливаться
не будем, что никакой другой работы, адекватной любому
определению, в принципе не существует.
Теперь, разобравшись в том, какую работу необходимо
организовать, можно приступить к ее организации. Для этого, в
соответствии со сказанным в предыдущей главе, надо прежде всего
обеспечить ориентировку учащихся в подлежащем усвоению
определении и способах работы с ним. Для этого определение
достаточно представить в схематической форме, удобной для того,
чтобы, ничего не заучивая, приступить к распознаванию того,
можно ли указанный объект обозначить данным термином, а также
к выведению следствий, если известно, можно или нельзя данный
объект обозначить данным термином.
Учитывая сказанное, можно сформулировать требования к
схематической записи (конспекту) любого определения.
Во-первых, поскольку этот конспект должен служить опорой
для работы ученика на этапе материализованного оперирования,
он должен включать в себя то слово или словосочетание, которое
вводится определением (т. е. термин); указание на то, из какой
группы объектов выделена группа объектов, обозначенная
введенным определением термином (т. е. родовое понятие);
свойства, наличие которых выделяет объекты рассматриваемой
подгруппы из всех других объектов, составляющих объем родового
понятия (т. е. видовые отличия).
Во-вторых, конспект определения должен напоминать ученику,
какую работу с помощью этого определения можно выполнить:
1) установить, может ли указанный объект быть обозначен
введенным определением термином; 2) сделать вывод о наличии у
объекта, обозначенного данным термином, некоторой совокупности
свойств (или, наоборот, если объект не может быть обозначен
данным термином, об отсутствии у него некоторой совокупности
свойств).
Если конспект будет удовлетворять указанным требованиям, то
тем самым ученик будет избавлен от необходимости что-либо
предварительно заучивать: все компоненты определения окажутся
фиксированными; способ оперирования указан. И потому такая
запись может рассматриваться как опора, как набор ориентиров
при самостоятельном выполнении первых заданий.
Наиболее полно перечисленным требованиям удовлетворяет
запись определений в виде:
(термин)-Ф^(род и видовые отличия).
Например,
{F—параллелограмм)о(/г — четырехугольник ABCD И
АВ\\CD и ВС\ IAD).
50

Действительно, такая запись фиксирует все те компоненты
определения, с которыми ученику необходимо работать и которые
он в результате обучения должен усвоить. Часть двойной стрелки,
направленная вправо, может рассматриваться как напоминание:
если рассматриваемый объект — параллелограмм, то это —
четырехугольник и у этого четырехугольника имеется одна пара
параллельных сторон и вторая пара параллельных сторон; если — не
параллелограмм, то он не может обладать всеми свойствами,
которые фиксированы в правой части записи. Иными словами,
направленная вправо стрелка напоминает о необходимости организации
выведения следствий из факта принадлежности (не
принадлежности) рассматриваемого объекта к тем, которые обозначены
данным термином.
Часть двойной стрелки, направленная влево, подсказывает:
если надо установить, является ли объект параллелограммом, то
надо проверить наличие у него всех фиксированных справа
свойств.
Разумеется, чтобы двойная стрелка в записи определения
действительно подсказывала, что можно и нужно делать с
определением, необходимо организовать специальную работу,
направленную на то, чтобы учащиеся осознали ее смысл и назначение.
Например, если знакомство с такой записью определения ведется в
младших классах, может быть рассказана сказка о волшебном
городе, обнесенном неприступными стенами (рис. 4, о). В город
могут попасть, скажем, только смежные утлы. Попадают они в
город через ворота, которые проделаны в каждой из стен. Стража
внешних ворот бдительно следит, чтобы сквозь них могли
проникнуть только объекты, относящиеся к родовому понятию (в
рассматриваемом примере — пары углов). Отдельные углы или тройки
углов стража не пропустит. А вот для любой пары углов, независимо
от того, каким образом они расположены один относительно друто-
51

Рис. 4
го, путь открыт. Так что в пространстве между внешней и
следующей стенами могут оказаться только пары углов.
Стража второй стены интересуется лишь тем, есть ли у
рассматриваемой пары углов общая сторона. Стража третьей стены
пропускает лишь пары углов с общей стороной, у которых две
другие стороны составляют прямую. И потому если взять любого
из жителей города, то у него обязательно имеется весь набор из
трех свойств, которые фиксированы в правой части определения.
Иными словами, если известно, что рассматриваемый объект —
житель волшебного города «Смежные углы», то он обладает
каждым из перечисленных выше свойств. Если же известно, что
рассматриваемый объект не является жителем города, то тем
самым известно, что он не обладает хотя бы одним из этих трех
свойств.
Разумеется, такая структура окружающих город стен имеется
лишь в том случае, когда свойства, фиксированные в правой части
определения, соединены логическим союзом «и» (т. е. в случае
конъюнктивной связи между отдельными видовыми отличиями). В
тех случаях, когда видовые отличия соединены логическим союзом
«или» (т. е. в случае дизъюнктивной связи между отдельными
видовыми отличиями), стены волшебного города и ворота в них
располагаются иначе.
Вот как, например, выглядит изображение волшебного города,
в котором проживают пары чисел, удовлетворяющих условию
а^-b (рис. 4, б). В стене не один проход, а два. Через первый
пропускают неравенства вида a<Lb. через вторые — равенства
вида а = 6.
Посмотрим, например, является ли жителем этого города
1) 3<5; 2) 3 = 3; 3) 5> 3.
Ясно, что неравенство 3<5 обязана пропустить стража
ворот, обозначенных на рис. 4, б цифрой 1, и потому 3=С 5.
Равенство 3=3 пропустит стража ворот, обозначенных на рис. 4, б цифрой
2, и потому 3^3. Неравенство 5> 3 не пропустит ни стража
вторых, ни стража первых ворот. И потому 5> 3 нельзя записать в
виде 5^3.
Вместо сказочного города можно использовать для знакомства
с особенностями распознавания и выведения следствий при работе
с определениями такой зрительный образ, как река, перегорожен-

ная шлюзами. Например, при знакомстве с определением смежных
углов может быть использован рис. 4, в, при знакомстве с
определением нестрогого неравенства — рис. 4, г.
Итак, в отличие от правил (алгоритмов), при организации
усвоения определений конспект основного содержания, удобный для
того, чтобы перейти к собственному адекватному оперированию
учащихся с этим определением без какого бы то ни было
предварительного заучивания, можно давать в одной и той же
рассмотренной выше форме, использующей двойную стрелку. Зрительный
образ (окруженный стенами волшебный город; перегороженная
шлюзами река и т. п.) следует использовать лишь при разъяснении
способов адекватного оперирования в ходе организации усвоения
учащимися первых двух-трех определений рассматриваемой
структуры.
Следует подчеркнуть, что двойная стрелка, используемая при
записи конспекта определения, может на первых порах, особенно
в младших классах, выступать не как математический символ,
не как знак эквиваленции, а как условное обозначение,
напоминающее о необходимости выполнять распознавание и выведение
следствий. В этом случае образ окруженного стенами волшебного
города или перегороженной шлюзами реки должен помочь
обеспечить предварительное знакомство с понятием эквиваленции,
которая, как известно, характеризуется следующей таблицей
истинности: из истинности утверждения, стоящего либо слева, либо
справа от двойной стрелки, следует вывод об истинности второго
утверждения; из ложности одного — ложность другого. Иными
словами, учащиеся должны понять, что утверждения слева и
справа от двойной стрелки либо одновременно оба истинные, либо
одновременно оба ложные.
Впрочем, вместо знакомства со зрительными образами или
наряду с таким знакомством может быть организована и
специальная работа, знакомящая учащихся с сущностью эквиваленции и,
в частности, с тем, что каждое утверждение, записанное с помощью
двойной стрелки, означает, что справедливы четыре утверждения
об истинности (ложности) одного в зависимости от истинности
(ложности) другого утверждения. В качестве примера такого
разъяснения приведем фрагмент написанного автором этой книги
учебника геометрии, в котором осуществляется знакомство с
определением равных фигур и на этом материале знакомство с
конспектом любого определения. В учебнике это третий пункт. В
предыдущих двух пунктах учащиеся познакомились со смежными
и вертикальными углами, но конспекты этих определений не
давались.
3. Равные фигуры. Запись утверждений с помощью знаков
Определение 3. I. Фигуры F и Fi называются равными, если фигуру F можно
наложить на фигуру Fi таким образом, чтобы эти фигуры совпали.
53

Задание I. Укажите равные фигуры на рис. 5.
Обратите внимание! Одну геометрическую фигуру можно наложить на другую
геометрическую фигуру лишь мысленно. Иное дело, когда геометрические знания
используются в практической жизни. Например, если портному нужны куски
материи одинаковой формы и размеров, он сначала делает выкройку, а затем
накладывает выкройку на материал, получает сколько угодно равных фигур.
Чтобы лучше понять, каким образом осуществляется мысленное накладывание
геометрических фигур, равенство которых устанавливается, представьте себе
плоскость, покрытую нерастяжимой и несжимаемой пленкой, на которой отпечатано
все, что изображено на плоскости. Эту пленку можно сместить, перенеся все
изображенное на ней в любое место плоскости; ее можно как угодно поворачивать, а если
надо, и переворачивать.
п
гттт
Рис. 5
Установим, например, равны или не равны углы А и А\ на рис 6. Для этого
мысленно покрывающую плоскость пленку с изображением угла В\А\С\ переместим
таким образом, чтобы сторона АС совпала со стороной >4iCi (рис. 7). Расположим
при этом углы ВАС и В\А\С\ таким образом, чтобы точка В\ оказалась в одной
полуплоскости относительно прямой АС с точкой В (если при этом углы
расположены так, как показано на рис. 7, пленку с изображением угла В\А\С\ придется
перевернуть). В результате угол В\А\С\ окажется наложенным на угол ВАС. Если
при этом совместятся и вторые стороны углов — лучи А\В\ и АВ (рис. 8), то можно
сделать вывод: /.А = Z>4|.
Задание 2. Докажите, что любые два луча — равные фигуры.
Cj С Рис. 8
54

Задание 3. С помощью какого-нибудь прозрачного материала установите,
равны ли углы В и В| (рис. 9).
Предположим теперь, что в условии задачи сообщается: «Углы Л и А\ равны».
Тем самым нам сообщено, что существует возможность таким образом переместить
плоскость с изображением одного из углов, что совместятся обе стороны и
внутренние части углов.
А если бы в условии задачи было сказано: «Угол К не равен углу Ясно,
что в этом случае надо сделать вывод, что, как бы часть плоскости с изображением
одного из углов ни накладывалась на другой угол, невозможно добиться, чтобы они
совпали.
Выводы о равенстве углов или об их неравенстве, о невозможности совместить
данные углы наложением или невозможности такого совмещения делались на
основании определения равных фигур.
Для того чтобы облегчить пользование определениями, их можно записывать
с помощью двойной стрелки -о-. Определение равных фигур можно записать,
например, так:
(F = F\)o(F и Ft можно наложить так, что они совместятся).
Обратите внимание! Слева от двойной стрелки при записи определения
ставится то слово или словосочетание, которое определением вводится. Например,
«смежные углы», «вертикальные углы». Справа записываются те свойства, которые
позволяют выделить вводимые определением объекты из всех остальных. Вот как,
например, могут быть записаны определения смежных и вертикальных углов:
(Z.I и Z.2 — смежные)-^(одна сторона у углов 1 и 2 общая; две другие
стороны составляют прямую);
(Z 1 и Z.2 — вертикальные)-о-(одна пара сторон углов I и 2 составляет
прямую; вторая пара сторон углов 1 и 2 составляет прямую).
Задание 4. Запишите с помощью двойной стрелки определение развернутого
угла ABC.
Знак о, как бы указывающий в обе стороны, означает, что утверждения
«фигуры F и F\ — равные» и «фигуры F и F\ можно наложить так. что они
совместятся» означают одно и то же: если справедливо одно из этих утверждений,
то справедливо и другое.
Вывод о том, что если выполняется одно, то выполняется и другое или если не
выполняется одно, то не выполняется и другое, принято записывать с помощью
стрелки =*-, направленной в одну сторону, и читать с использованием слов
«если..., то...».
Запишем с помощью знака =*- четыре вывода, которые можно сделать на
основании определения равных фигур:
1) (F = F\)=^(F и F\ можно наложить так, что они совместятся);
2) (F ф Ft)=>(F и Ft нельзя наложить так, чтобы они совместились);
3) {F и Fi можно наложить так, что они совместятся)^^ = F\);
4) (F и fi нельзя наложить так, чтобы они совместились)=*-(F Ф Fi).
Первый из этих выводов можно прочитать словами, например, так: «Если
фигуры равны, то их можно наложить так, что они совместятся». Аналогично могут быть
прочитаны остальные выводы.
Задание 5. Прочитайте остальные выводы из определения равных фигур.
В качестве еще одного примера приведем выводы из определения смежных
углов:
1) (Z 1 и Z2 — смежные)^-(одна сторона у углов I и 2 — общая; две другие
стороны составляют прямую);
в
Рис. 9
55

2) (Z I и Z.2 — не см жные)=>- (либо у углов I н 2 нет общей стороны, либо две
другие стороны не составляют прямую);
3) ^идпа сторона у углов 1 и 2 общая; две другие составляют прямую) =*-
(Z 1 и Z2 —смежные);
4) (либо у углов 1 и 2 нет общей стороны, либо две другие стороны не
составляют npRMyio)=^(Z 1 и Z2 — не смежные).
Задание 6. Запишите четыре вывода из определения развернутого угла и
прочитайте их.
Задание 7. Установите, является ли >гол ABC (рис. 10) развернутым, и
запишите с помощью стрелки тот вывод из определения, который вы при этом использовали.
С помощью знака =*■ может быть записано любое утверждение, в котором гово-
Рис. 10
рится о том, что если какое-то условие выполняется, то выполняется и другое
условие. Например, известное вам утверждение: «Если один из углов,
образовавшихся при пересечении прямых, равен 90°, то прямые перпендикулярны»
(рис. 11, о) — может быть записано так:
( /-АОВ = 90)=>{АО±ВО).
Задание 8. Установите с помощью чертежного треугольника, перпендикулярны
ли прямые АС и MB на рисунке 1 1, б, и запишите вывод о перпендикулярности
прямых с помощью стрелки.
Рис. 11
Разумеется, из того факта, что любое определение можно
записать схематически, используя двойную стрелку, вовсе не следует,
что любое определение легко записывать в такой форме и что
любое определение следует записывать в такой форме.
Как, например, записать в схематической форме определение:
«Равнобедренным называется треугольник, две стороны которого
имеют одинаковую длину»?
Запись
(Треугольник — равнобедренный)о(Две стороны треугольника
имеют одинаковую длину)
56

неудобна в работе. И дело здесь в том, что эта запись не отражает
тот факт, что в равнобедренном треугольнике имеются боковые
стороны и основание. Между тем именно равенство боковых сторон
чаще всего приходится использовать при решении задач. Учитывая
сказанное, мы предлагаем следующую запись:
( АЛВС — равнобедренный с основанием АС)<=ЫАВ = ВС).
Нередко при записи определения нецелесообразно указывать
родовое понятие: и без того предельно ясно, из какого множества
отбираются с помощью определения соответствующие объекты.
Например, определение числа, кратного другому числу, может
быть записано так:
(а кратно Ь)<^{а делится на Ь).
Если не подразумевать, что а и Ь — числа, запись просто не
имеет смысла.
Даже определение биссектрисы угла, вроде бы такое простое,
совсем не легко записать с помощью двойной стрелки.
Попробуйте, и вы убедитесь, что это совсем не просто.
А теперь давайте разберемся, каким образом записать это
определение.
Биссектрисой угла называется луч, начало которого совпадает
с вершиной угла и который делит угол пополам.
Для того чтобы записать это определение с помощью двойной
стрелки, нужно разобраться, где здесь термин, где род, где
видовые отличия.
Каков здесь термин — понятно: «биссектриса угла».
С выделением родового понятия сложнее. Вроде бы, выделяем
биссектрисы из всех возможных лучей. Но нет. В определении
говорится не о луче, а о взаимном расположении луча и угла.
Значит, мы выбираем нужное расположение луча относительно угла из
всех возможных расположений. Это и есть родовое понятие.
Теперь надо разобраться, каким образом включить родовое
понятие в схематическую запись определения биссектрисы угла.
Сделать это естественным образом, как при определении
параллелограмма, не получается. Да это в данном случае и не нужно.
Проверять наличие угла и луча при распознавании того,
предъявлена биссектриса или не биссектриса, бессмысленно:
угол — тот объект, с которым мы работаем; распознавать,
является или не является объект лучом, мы не умеем. Выход в том, чтобы
непосредственно в термин включить указание на то, какие именно
объекты рассматриваются. Например, не говорить «биссектриса»,
не говорить даже «биссектриса угла», а употреблять выражение
«луч — биссектриса угла».
Видовых отличий три: 1) началом луча служит вершина угла;
2) луч делит угол на два угла; 3) равны углы, на которые
луч разделил данный угол.
57

Если в схематической записи фиксировать все словами, вряд
ли такая запись станет рабочим инструментом при решении задач.
Чтобы сделать запись определения более обозримой, можно,
например, внести в нее обозначение луча и угла. Это позволит,
во-первых, не говорить отдельно о наличии первого видового
отличия: начало луча и вершина угла такой записью фиксируются.
Во-вторых, это позволяет компактно записать второе видовое
отличие: если, например, рассматривается луч ОС и угол АОВ, то
достаточно указать, что C^/LAOB.
В-третьих, компактно записывается третье видовое отличие:
£АОС=АВОС.
Определение приобретает вид:
(Луч ОС — биссектриса угла АОВ)о(СеЕААОВ и ААОС =
Z.BOC).
Пример определения, которое нецелесообразно представлять
в схематической форме, использующей двойную стрелку,—
определение нулевой степени. Впрочем, это относится только к
предъявлению его учащимся. Для учителя такое представление
весьма полезно. Действительно, если учитель понимает, что для
любого аФ0 определение может быть представлено в виде
(а° = х)о(х=\),
то ему понятны и основные направления оперирования с этим
определением:
1) если встретилось выражение а° (афО), то его можно
заменить числом 1;
2) если встретилось число 1, то его можно заменить
выражением вида аО, где а — любое не равное нулю число.
Кстати, решать задачи второго типа учителя нередко забывают.
А потом удивляются, если у учащихся вызывает затруднение
решение уравнения вида 7Х=1.
Будем считать, что подлежащее усвоению определение
представлено в краткой схематической форме. Теперь можно и нужно
переходить к организации следующего этапа усвоения —
подконтрольному оперированию.
Особенностью организации работы на этапе подконтрольного
материализованного оперирования с подлежащим усвоению
материалом, как отмечалось в предыдущей главе, является
возможность проконтролировать результаты выполнения каждой
операции.
При распознавании того, может ли объект быть обозначен
данным термином, контролю подлежит наличие у объекта свойств,
записанных в конспекте определения правее двойной стрелки.
Фиксироваться должны результаты этой проверки и
окончательный вывод. Например, если преподаватель сразу же после
знакомства с определением параллелограмма и предъявления конспекта
определения потребует установить, являются ли
параллелограммами фигуры на рис. 12, записи учащихся могут иметь вид:
58

1) EFGH— четырехугольник +
2) EF\\GH +
3) FGJhEH -
EFGH — не параллелограмм —
1) XYRSTU — не четырехугольник —
2)
3)
XYRSTU — не параллелограмм —
1) MNPQ— четырехугольник +
2) MN\\PQ +
3) NP\\MQ +
MNPQ — параллелограмм -f-
E
-
x
/
\
1
H
'A
/
V
i
/
>
Y
/
\
\
V
*
X
f
N
\P
M
Рис. 12
Дано: ABCD — параллелограмм,
AN = CM.
Доказать: NBMD — параллелограмм.
Разумеется, при выполнении первого из этих трех заданий
учащиеся могут сразу заметить, что FQM'EH, и сделать вывод,
что это не параллелограмм. Обсуждение подобных разночтений
ри проверке правильности выполнения каждой операции чрезвы-
айно полезно.
Не случаен подбор фигур, которые используются для
организации распознавания при первоначальном знакомстве с
определением параллелограмма, и на остальных двух рисунках.
Рассматривая шестиугольник, удобно обратить внимание учащихся на то, что
если объект не является четырехугольником, то распознавание
Того, является ли он параллелограммом, следует прекратить.
Наконец, рассмотрение прямоугольника MNPQ важно потому,
что наиболее трудно, как известно, рассмотрение частных случаев.
Тем более что дети еще с дошкольного возраста знают, что
рассматриваемая фигура никакой не параллелограмм, а прямо-
59

угольник. Следовательно, чтобы дать верный ответ ученику,
действительно необходимо опираться на конспект определения.
К тому же такие задания подготавливают учащихся к
знакомству с частными случаями параллелограммов, что само по себе
чрезвычайно полезно.
Обратили ли вы внимание на то, что один и тот же вывод в
рассмотренных выше образцах записи при распознавании того,
является ли рассматриваемая фигура параллелограммом,
фиксируется дважды: 1) в виде развернутого указания на то, что именно
проверялось и каковы результаты проверки (четырехугольник; не
четырехугольник; указанные стороны параллельны; фигура — не
параллелограмм и т. п.), 2) с помощью знаков « + », « —»,
фиксирующих конечный результат выполнения каждой операции. Такое
дублирование оправдано тем, что облегчает переход к снятию
контроля: после выполнения нескольких заданий с подробным
фиксированием результатов выполнения каждой операции учащихся
предлагается выполнить несколько заданий, ограничившись
фиксированием с помощью знаков « —», «-|-» результатов выполнения
каждого шага.
Важно подчеркнуть, что наряду со знаками « —» и « + » для
фиксирования результатов выполнения каждой операции может
использоваться знак «?». Например, решение задачи «Стороны MN
и PQ четырехугольника MNPQ параллельны. Является ли этот
четырехугольник параллелограммом?» может иметь на этапе
материализованного оперирования следующий вид:
MNPQ — четырехугольник -f
MN\\PQ +
неизвестно, параллельны ли ?
NP и MQ
неизвестно, является ли MNPQ ?
параллелограммом
Подконтрольное выполнение выведения следствий может быть
сведено к письменному фиксированию всех тех выводов, которь^!
следуют из того, что объект обозначен данным термином или еги
нельзя обозначить данным термином. Как правило, такое фиксиро^
вание целесообразно осуществлять не как отдельное,
самостоятельное задание, а в ходе решения задач: это приучает к столь
необходимому в ходе решения «разворачиванию» условия и делает
выведение следствий более естественным.
Постепенное снятие контроля при организации выведения
следствий, как правило, не осуществляется. Разве только письменное
фиксирование следствий заменяется проговариванием их.
Столь подробная фиксация всей работы при распознавании и
выведении следствий может показаться еще более странной и из-
60

лишней, чем расписывание каждого шага в ходе усвоение
алгоритмов. Нередко приходится слышать недоуменные, а иногда и
возмущенные реплики: «Так возиться со столь простым определением?
Да мои дети и без этих хитростей все замечательно усваивают!»
Действительно, если заботиться лишь об усвоении учащимися
данного конкретного определения, описанная работа, может быть,
и не обязательна. Но она необходима, если мы хотим научить
учащихся гораздо большему, чем изучаемое в данный момент
определение. Чтобы сделать эту мысль понятнее, расскажу об одной очень
характерной жалобе.
«Странный у меня VI «Б»,— жаловался мне умный и опытный
учитель.— Думающих людей в нем практически нет.
Представляете, рассматриваем в классе задачу: «Точки А, В и С лежат на
окружности. Чему равен угол ABC, если хорда АС равна радиусу
окружности?» Уже одна ученица догадалась, что надо провести
радиусы OA и ОС, и сказала, что при этом получится
равносторонний треугольник. И вдруг мальчик, очень неглупый мальчик,
спрашивает: почему треугольник равносторонний? Прошу класс
помочь. И с ужасом обнаруживаю, что они этого не понимают!»
А мне кажется, что ничего неожиданного в описанной ситуации
нет. Дело не в отсутствии «думающих людей», а в том, что учеников
не научили работе с определениями. Если организовать работу так,
как показано выше, то в сознании учащихся автоматически, без
специальных усилий возникает цепочка рассуждений: «Надо
установить, что треугольник равносторонний? Для этого надо
установить, что все его стороны равны. Здесь две стороны — радиусы. И
третья сторона равна радиусу. Значит, треугольник —
равносторонний».
Описанный выше способ работы с определениями, когда на
первоначальных стадиях закрепления идет пооперационный
контроль за правильностью соотнесения каждого выполненного
учеником шага с текстом определения (с составляющими определение
компонентами), делает невозможным бездумное цитирование
определения, превращает определение в действенное средство
решения задач. Вместе с тем это не препятствует формированию
обобщенных зрительных образов, которые безусловно важны и
полезны. Но эти зрительные образы не могут и не должны стать
основным способом, основной опорой при выполнении задач на
распознавание принадлежности к изучаемым понятиям.
Итак, организуя усвоение конкретных определений,
отрабатывая умение пользоваться четырьмя утверждениями,
справедливость которых следует из данного определения, мы тем самым учим
общему приему работы с любым определением. И потому,
встретившись с незнакомым определением, ученик переносит общий
способ работы и на него. Это позволяет постепенно отказываться от
столь подробной и скрупулезной отработки. Например, если к
моменту знакомства с определением понятия «параллелограмм» об-
61

щий способ работы с определениями уже усвоен, нет
необходимости организовывать поэтапное формирование в полном объеме.
Безусловно необходимо обеспечить ориентировку: без понимания
того, каким образом «устроено» новое определение, каковы
способы работы с ним, обеспечить его усвоение нельзя. А вот после того,
как ориентировка осуществлена, достаточно организовать
собственную работу учащихся в какой-нибудь одной форме. Например,
подконтрольную работу, чтобы, руководя ею, быстрее и
эффективнее обеспечить запоминание учащимся нового определения. Это
позволит перейти сразу же к решению задач, стимулирующих
оперирование с данным определением в умственном плане.
Более того, если общий способ работы с определениями усвоен,
можно сразу организовывать собственную работу учащихся с
новым определением в умственном плане. Разумеется, оставляя за
учителем право в случае ошибок или затруднений требовать от
учащихся обоснования выводов «по шагам».
Усвоение общих способов работы приводит к тому, что темпы
работы постепенно могут увеличиваться. И то дополнительное
время, которое тратится на организацию поэтапной отработки, с
лихвой окупается.
До сих пор мы говорили о том, каким образом использовать в
реальном педагогическом процессе закономерности усвоения,
открытые психологами школы Л. С. Выготского — А. Н. Леонтьева—
П. Я. Гальперина — Н. Ф. Талызиной. Но те, кто хоть немного
знаком с литературой по педагогической психологии, знают, что
отнюдь не все советские психологи — сторонники этой школы.
Остановимся, например, на рекомендациях некоторое время
назад весьма и весьма популярного в педагогической психологии
направления, в основе которого лежало требование варьирования
в ходе обучения несущественных свойств вводимых понятий. Если,
скажем, методист попадал на урок, на котором осуществлялось
знакомство с перпендикулярными прямыми, и преподаватель не
предъявлял прямые в самых разных положениях, то урок
наверняка признавался неудовлетворительным. Казалось бы, все
основания для столь категоричных выводов были. Ведь психологи не
ограничились теоретическими рассуждениями, а провели чрезвычайно
широкий экперимент, убедительнейшим образом доказавший: если
не осуществлять варьирования, если ограничиться при знакомстве
с новыми объектами лишь стандартными ситуациями, то ошибки
неизбежны. Например, мы упомянули о необходимости
варьировать при знакомстве с перпендикулярными прямыми положение
прямых относительно краев листа или классной доски. Этот пример
заимствован из книги В. И. Зыковой [10]. Это исследование
выполнено на таком большом материале, приведенные в нем выводы
настолько аргументированны, что, казалось бы, не остается места для
сомнений.
И тем не менее нашлись люди, которые усомнились. Нет, нет.
62

не в добросовестности психологов, доказывавших необходимость
варьирования несущественных признаков, и не в описанных
в исследовании В. И. Зыковой наблюдениях. Усомнились в
правильности выводов, которые были сделаны на основании этих
наблюдений.
Результатом этих сомнений стал эксперимент, проведенный
вскоре после выхода книги В. И. Зыковой под руководством
Н. Ф. Талызиной. Суть эксперимента заключалась в следующем.
Усвоение понятия перпендикулярных прямых организовывалось
таким образом, что, в соответствии с результатами исследования
В. И. Зыковой, хорошо усвоить его учащиеся не могли:
рассматривались исключительно только горизонтальные и вертикальные
прямые. Но работа организовывалась в строгом соответствии с
теорией поэтапного формирования умственных действий:'была
обеспечена ориентировка в определении понятия перпендикулярных
прямых и способах работы с ним; в распоряжение учащихся был
предоставлен конспект определения; организовано
материализованное оперирование с пошаговым контролем за правильностью
выполнения его обучаемыми; обеспечен постепенный переход к
самоконтролю.
После того как обучение было завершено, провели контрольную
работу, на которой учащимся были даны именно те задания,
которые были приведены в книге В. И. Зыковой. Так что, если бы
выводы о необходимости варьирования были верны, плохие результаты
были бы получены обязательно.
Результат проведенного под руководством Н. Ф. Талызиной
эксперимента опроверг все, даже самые смелые прогнозы: никто
из испытуемых не допустил тех ошибок, о которых говорилось в
исследовании В. И. Зыковой.
Вывод, мне кажется, ясен: если учить плохо, если в результате
обучения определение не станет руководством к действию, если,
выполняя распознавание, ученик руководствуется сложившимся в
сознании эталоном, и только им, если его не научили опираться в
ходе распознавания на определение, то варьирование
несущественных признаков — единственное, что может помочь сформировать
обобщенный, освобожденный от случайных, несущественных
свойств зрительный образ. А если такой образ не сформирован —
неоткуда взяться правильному решению. Но если учить хорошо,
если обеспечить подлинное усвоение определения — значение
варьирования оказывается неизмеримо более скромным.
Остановимся еще на одном направлении рекомендаций
психологов, до сих пор весьма и весьма широко используемых в
школьной практике. (При этом учителя чаще всего даже не подозревают,
что реализуют в практике преподавания вызывающую бурные
дискуссии психологическую концепцию.)
В основе этой педагогической концепции, о которой сейчас
пойдет речь, лежит совершенно бесспорный факт: если человек
63

многократно сталкивается с какой-то цепочкой событий,
последовательностью фраз и т. п., то в его сознании возникает некоторая
цепь ассоциаций. Например, для многих из нас с детства знакомы
и любимы пушкинские строки: «Мороз и солнце; день чудесный!»
И сколько раз, щурясь от яркого зимнего солнца, я ловил себя на
том, что цитирую эти стихи. Более того, мне много раз приходилось
слышать, как их цитировали в сходных обстоятельствах
совершенно не схожие между собой люди.
Из того, что ассоциации возникают, из того, что среди
возникающих ассоциаций появляются и весьма устойчивые, т. е.
безотказно «срабатывающие» в некоторых ситуациях, психологами-ас-
социанистами сделан вывод: обучение должно быть направлено
прежде всего на то, чтобы в сознании учащихся формировались
устойчивые ассоциации. Как этого добиться? Более или менее
понятно: надо организовать собственную работу ученика так, чтобы
он многократно проделывал с подлежащим усвоению материалом
одну и ту же или близкую работу. Тогда цепочка последовательно
выполняемых операций станет привычной, приведет к
формированию ассоциаций.
О целесообразности такой работы вроде бы говорит весь
многовековой опыт обучения, который кристаллизовался в таких
афоризмах, как «Повторение — мать учения».
Большинство учителей, мнением которых мы интересовались,
не имели и тени сомнения в том, что выполнение учащимися
большого числа однотипных упражнений («набитие руки») —
совершенно необходимое условие успешного усвоения. Это убеждение
они последовательно реализовали в практике преподавания.
Делать это было нетрудно, поскольку многие из существующих
школьных учебников переполнены обоймами однотипных заданий.
Специальные исследования (см., например, работы К. С. Мурави-
на [11), Я. И. Груденова [12; 13]) подтверждают это интуитивно
понятное каждому учителю положение: приобретение прочных
навыков невозможно без решения учащимися большого числа
однотипных задач. Правда, исследуя проблему использования в
практике преподавания однотипных задач, Я. И. Груденов вынужден
был констатировать, что однотипные задачи сильным ученикам
скучны и неинтересны. В его исследовании [12] описан интересный
эксперимент, показывающий отношение учащихся различной
успеваемости к однотипным задачам. Различно успевающим
учащимся были предложены как однотипные задачи, так и задачи
разных типов. Хорошо успевающие учащиеся работали с интересом
с задачами разных типов, но их интерес быстро ослабевал при
работе с однотипными задачами. Слабоуспевающие, наоборот, с
задачами разных типов работали вяло, неохотно, беспрестанно
отвлекаясь. Если же им предлагался набор однотипных посильных
задач, активность их все время возрастала.
И все же, уважаемый читатель, несмотря на всю освященную
м

временем очевидность важности «набития руки», повторение в
смысле тренажа, выполнения большого числа однотипных
упражнений вовсе не «мать учения», а злая его мачеха. Научное
обоснование этого, как это ни парадоксально, находим в упомянутых
выше исследованиях Я. И. Груденова, задуманных как апология
«процарапыванию» в сознании ученика устойчивых ассоциаций. С
добросовестностью подлинного исследователя здесь показана
призрачность, «видимость» успеха, достигнутого в ходе решения
однотипных задач. «Давно известно,— подчеркивается, например, в
работе [13, с. 42],— что однотипность упражнений при обучении
математике приводит к механическому, бездумному решению
учащимися задач и примеров. Сплошь и рядом бывают случаи, когда
учащиеся как будто и неплохо решают однотипные примеры и задачи
по только что изученной теме, а спустя некоторое время не могут
решить такие же задачи и примеры. Следовательно, однотипные
упражнения, необходимые для образования у учащихся прочных
навыков, создают в большинстве случаев лишь видимость
успеха». И еще один вывод из той же работы Я. И. Груденова:
«Решение первого примера на то или иное правило у всех учащихся
сопровождается обычно воспоминанием правила. При решении
второго аналогичного примера многие ученики не вспоминают правил.
При решении следующих однотипных примеров никто из них
правил обычно не вспоминает» [там же].
Проделанный экскурс, как нам кажется, позволяет
почувствовать, что при обучении математике просто не удается
воспользоваться результатами, «наработанными» психологами других
направлений, что на сегодняшний день только теория поэтапного
формирования умственных действий позволяет сформулировать
такие рекомендации, которые приводят к подлинному повышению
эффективности преподавания.
В заключение хотелось бы подчеркнуть, что нежелательность
повторения, о котором говорилось выше, не имеет ничего общего
с систематическим возвращением учащихся к ранее изученному
материалу: такое возвращение также называют повторением. На
этом важном аспекте организации усвоения мы остановимся в
следующей главе.
3 Лак. 762

Глава 4
КАК ОБЕСПЕЧИТЬ УСВОЕНИЕ ТЕОРЕМ?
Общее направление поисков ответа на поставленный в заголовке
вопрос, надеюсь, понятно: надо организовать адекватную
рассматриваемой теореме деятельность учащихся. В общих чертах понятно
и то, на что должна быть направлена эта деятельность:
на осознание формулировки теоремы, т. е. того, что «дано» и что
«требуется доказать»;
на организацию доказательства теоремы, в ходе которого
собственная работа учащихся должна быть направлена на поиск
доказательства, а после завершения доказательства на его
воспроизведение;
на использование формулировки рассматриваемой теоремы при
изучении следующих тем.
Руководить работой учащихся в ходе осознания ими
формулировки теоремы означает стимулировать выделение ими из
словесной формулировки условия теоремы и ее заключения. Ясно, что
результатом этой деятельности должна стать краткая
схематическая запись формулировки, удобная для последующего
оперирования с рассматриваемой теоремой. Такой краткой формой может
стать традиционная запись вида: «Дано:», «Требуется доказать:».
Как мы покажем ниже, такая форма записи формулировок
действительно удобна для организации деятельности, адекватной
поиску доказательств. Однако впоследствии, когда теорема доказана
и ею надо пользоваться при доказательстве других теорем и
решении задач, такая краткая запись оказывается неудобной.
Чтобы понять, какая же краткая запись удобна для
оперирования с формулировкой теоремы, вспомним, что существуют теоремы,
которые вводят в курс математики новые свойства ранее введенных
понятий. Например, теорема «Противоположные стороны
параллелограмма попарно равны» вводит новое свойство
параллелограммов, теорема «Диагонали ромба перпендикулярны» — новое
свойство ромбов.
Существуют также теоремы, которые называют признаками
понятий. Они вводят в курс математики такие совокупности свойств,
наличие которых у объектов позволяет сделать вывод о
возможности обозначить рассматриваемый объект ранее введенным
термином. Например, теорема «Четырехугольник, противоположные
стороны которого попарно равны, есть параллелограмм» позволяет
организовать распознавание параллелограмма не только с
помощью установления параллельности противоположных сторон
четырехугольника (определение), но и путем проверки равенства
этих сторон.
А теперь представьте, что вы решаете задачу, в условии которой
сказано, что рассматриваемый четырехугольник ABCD —
параллелограмм. Помните, какие выводы следовало делать на основании
66

этой информации, пока учащиеся были знакомы лишь с7!!Гределе-
нием? Эти выводы фиксировались с помощью стрелки.
(ABCD — параллелограмм)=ИЛЯЦCD и BC\\AD).
Выводы, которые позволяет сделать теорема о равенстве
противоположных сторон параллелограмма, по существу дополняют
те выводы, которые были сделаны на основании определения.
Поэтому их естественно фиксировать в той же форме, что и выводы на
основании определения,— с помощью стрелки:
{ABCD — параллелограмм)=Ч>4В = CD и ВС = AD).
То же самое можно сказать о признаках понятий. Например,
рассмотренный выше признак параллелограмма (если заранее
оговорено, что рассматривается четырехугольник ABCD) удобно
фиксировать следующим образом:
{AB = CD и BC—AD)=*-(ABCD — параллелограмм).
С учетом сказанного конспективная запись формулировок
теорем должна включать краткую схематическую запись условия
теоремы и ее заключения, соединенных стрелкой, символизирующей
вывод: «Если выполняется условие, то выполняется и заключение».
Таким образом, конспективная запись формулировки любой
теоремы может иметь вид:
(Условие теоремы)=^ (Заключение теоремы).
Например, формулировка теоремы Пифагора может быть записана
так:
(В треугольнике ABC /-С = 90°)=>{АВ2 = АС2 + ВС2).
Впрочем, иногда приходится прибегать к более сложной форме
краткой схематической записи. Но прежде чем приступить к
знакомству с этой более сложной формой, попробуйте выполнить
следующее задание: строго по тем правилам, которым вы учите детей,
т. е. меняя местами условие и заключение, постройте теорему,
обратную теореме «Диагонали ромба перпендикулярны».
Ясно, что вначале надо разобраться, какое утверждение в
данном случае является условием, какое — заключением теоремы.
Вроде бы не видно противопоказаний, чтобы запись имела вид:
(F— ромб) =>- (Диагонали F перпендикулярны).
Но в таком случае обратной должна быть теорема:
(Диагонали F перпендикулярны)^^ — ромб).
Странная получилась теорема, не правда ли? Если
рассматривать какую угодно фигуру F, теорема вообще смысла не имеет.
(Ведь фигура F может вообще не иметь диагоналей.)
Значит, мы неправильно выделили и фиксировали условие и
заключение. Но в таком случае, как это сделать правильно?
Попробуйте, читатель, может быть, у вас получится правильная
запись теоремы о перпендикулярности диагоналей ромба и вы
сумеете получить по всем правилам обратную ей теорему, которая, это
известно, для рассматриваемой теоремы верна.
Попробовали? Не получилось? И не могло получиться! Все дело
в том, что получение обратной теоремы из рассматриваемой нельзя
3*
67

свести ЧГ тому, что условие и заключение меняются местами
(см., например, статью В. Г. Болтянского [14]).
Мы говорим: «F — ромб», а представляем себе
четырехугольник, который является ромбом. Но если F — произвольный
четырехугольник, обратная теорема не верна. Например, у
четырехугольника EFGH на рис. 12 (см. с. 59) диагонали
перпендикулярны, но это не ромб.
Иное дело, если подразумевать, что F— произвольный
параллелограмм. Тогда сформулированная выше обратная теорема
безусловно верна: установив, что диагонали параллелограмма F
перпендикулярны, мы действительно тем самым докажем, что это —
ромб.
Ну а почему собственно надо подразумевать, какие
именно объекты (.треугольники, параллелограммы, числа и т. п.)
рассматриваются в теореме? Не проще ли указать, о каких
именно объектах идет речь? Такое указание получило название
«Разъяснительная часть теоремы».
В тех случаях, когда требуется строить теорему, обратную
рассматриваемой, ее удобно формулировать и записывать, выделяя
разъяснительную часть, условие и заключение. Для построения
обратной теоремы разъяснительную часть оставляют без изменения,
а условие и заключение теоремы меняют местами.
1 Разъяснительную часть теоремы принято формулировать,
начиная словом «пусть»; переход к условию теоремы отмечается
словом «тогда». Например, теорема Пифагора может быть
сформулирована так: «Пусть ABC — произвольный треугольник. Тогда
если /-С = 90°, то АВ2 = АС* + ВС2».
Теорема, обратная теореме Пифагора, может быть
сформулирована так: «Пусть ABC — произвольный треугольник. Тогда если
АВ2 = АС2 + ВС2, то г.С = 90°».
В краткой схематической записи разъяснительную часть
удобно фиксировать отдельной строкой, записывая под ней условие и
заключение теоремы, соединенные стрелкой. Например, теорему о
перпендикулярности диагоналей ромба можно записать так:
Пусть ABCD — параллелограмм.
{ABCD — ромб)=> [AC ±BD).
Краткая запись обратной ей теоремы может иметь следующий вид:
Пусть ABCD — параллелограмм.
(AC±BD)=>(ABCD — ромб).
Выделяя разъяснительную часть, условие и заключение, можно
сделать краткую схематическую запись любой формулировки
теоремы. Впрочем, мы вовсе не утверждаем, что любую теорему
школьного курса целесообразно записывать в таком виде.
Например, теорему «Сумма углов треугольника равна 180°» вряд ли
следует записывать с выделенной разъяснительной частью, условием
и заключением. Но сделать это можно:
68

Пусть F — многоугольник.
(F — треугольник) =>► (Сумма углов F равна 180°).
Кстати, если вдруг возникнет вопрос, верна ли теорема,
обратная теореме о сумме углов треугольника, то приведенная запись
позволит ответить на этот вопрос утвердительно: теорема
«Пусть F — многоугольник. (Сумма углов F равна 180°)=>(F —
треугольник)» верна.
Перейдем к рассмотрению вопроса о том, какую работу следует
организовать, чтобы обеспечить усвоение доказательств теорем.
Отыскивая деятельность, адекватную доказательствам, мы
исходили из того, что учащиеся должны не только учиться
воспроизводить доказательства изучаемых теорем, но и усвоить,
рассматривая конкретные доказательства, общие приемы умения
доказывать. Вместе с тем цель «научить общим приемам умения
доказывать» нуждается в уточнении.
Прежде всего, давайте осознаем, что не существует людей,
владеющих этими самыми «общими подходами», т. е. приемами
организации доказательств, пригодными для любой теоремы. (Если
вам показалось, что вы знаете такого человека, попросите его
применить свои знания, скажем, для доказательства «Великой
теоремы Ферма», которую, как известно, никто до сих пор не смог ни
доказать, ни опровергнуть.) Более того, мы уверены, что приемов,
пригодных для отыскания доказательства любой теоремы, вообще
не существует. Потому что не существует границ для развития
творчества, а отыскание доказательств — творческий процесс.
Вместе с тем не вызывает ни малейшего сомнения, что
отыскание доказательства требует не только творчества, но и овладения
ремесленными приемами, т. е. приемами, которым можно и
необходимо учить всех, даже очень творческих людей. Чтобы пояснить
эту мысль, позволю себе напомнить известный эпизод из
биографии замечательного поэта Б. Л. Пастернака. В юности он, как
известно, пробовал свои силы как композитор. И настолько успешно,
что сам Скрябин прочил ему великое будущее. Помешало ему стать
композитором в большой мере то, что его творческое развитие
далеко обогнало владение ремеслом: он недостаточно хорошо
овладел нотной грамотой.
Вот и давайте попытаемся понять, что же такое нотная грамота
для умения доказывать теорему и какую работу надо организовать,
чтобы, обучив ремеслу, сохранить силы ученика для решения
подлинно творческих проблем.
Не вызывает сомнений, что умение самостоятельно решать
задачи и доказывать теоремы школьного курса существенно зависит
от того, хорошо ли усвоены определения, теоремы, аксиомы этого
курса. Если, например, в условии задачи говорится о прямой
призме, а ученик не знает, что это такое, о каком решении может идти
речь?
Ясно также, что умение доказывать связано с умением вычле-
69

нять в Т%реме условие и заключение: неЪсознав четко, чем можно
пользоваться при доказательстве (что «дано»), что нужно
установить в результате доказательства (что «требуется доказать»),
невозможно даже приступить к доказательству.
Таким образом, описанная выше работа должна
рассматриваться и как пропедевтическая по отношению к работе,
направленной на «открытие» доказательства теоремы: она начинается уже
тогда, когда учащиеся знакомятся с понятиями, входящими в
формулировку теоремы, усваивая следствия принадлежности к этим
понятиям и достаточные по отношению к ним совокупности
свойств. «Ошибочно было бы думать,— подчеркивается, например,
в исследовании А. Д. Семушина,— что изучение понятий и
обучение умозаключениям можно проводить обособленно, отдельно друг
от друга. Эти два процесса находятся во взаимосвязи, идут
параллельно, дополняют друг друга. Поэтому умозаключениям с
участием новых понятий должно предшествовать настолько глубокое
ознакомление с этими понятиями, чтобы такие умозаключения
стали в сознании каждого учащегося вполне осмысленными»
[15, с. 103].
Но мы отвлеклись от выявления той собственной работы
учащихся, которую приходится выполнять при отыскании
доказательств любых (или хотя бы многих) теорем и которой можно и
нужно целенаправленно учить.
Заглянем в методическую литературу. Об облегчении
учащимся процесса отыскания доказательств написаны сотни книг и
статей, выполнены десятки исследований.
Пожалуй, наиболее часто в литературе ставится вопрос о
необходимости подготовки учащихся к восприятию сложных для
них доказательств. Для этого доказательства предлагается
разбивать на отдельные «шаги». Все или некоторые «шаги»
предлагается формулировать в виде задач. И до того, как изучается теорема,
решать эти задачи. Это, по мнению многих, тот самый
разыскиваемый нами общий прием, с помощью которого может быть достигнут
существенный прогресс в умении учащихся самостоятельно
отыскивать доказательства. «Цель преобразования основной задачи во
вспомогательные заключается в том, что задачу, решение которой
неизвестно, постепенно сводят к более простым задачам, пока не
достигают такой или таких задач, решение которых известно» —
вот характернейший вывод, сформулированный В. В. Репьевым
[16, с. 132].
В рассмотренном общем приеме следует различать два аспекта:
1) решение подобранных учителем задач, которые подготавливают
учащихся к восприятию трудного доказательства; 2)
самостоятельное расчленение теоремы (задачи) на более простые задачи.
Если первый аспект действительно чрезвычайно важно
реализовать (каким образом это наиболее эффективно сделать, мы
поговорим в конце главы), то второй — не более чем благое пожелание:
70

совершенно не ясно, кЯ№м образом можно научить учащихся
самостоятельному вычленению более простых задач. Самая яркая
попытка указать пути обучения этому общему приему сделана в
блестящих по форме книгах Д. Пойя. Изучая его книги, я
вспоминал рассказанную Л. Н. Толстым сказку о Кошке и Лисе, которые
делились способами, как от Собак спастись. Помните, у Лисы было
33 уловки и 24 увертки. А у Кошки только одна — на дерево влезть.
Но когда Собаки набежали, Кошка на дереве спаслась, а Лиса
запуталась в своих уловках и увертках.
Обилие педагогических уловок и уверток в таких книгах, как
книги Д. Пойя, несмотря на интерес читателей, весьма затрудняет
реализацию изложенных в них рекомендаций в практике обучения.
Действительно, приемы и методы, к которым приходится прибегать
в ходе доказательства теорем и решения задач, чрезвычайно
разнообразны. Чтобы их каким-то образом учесть, авторам
«предписаний» приходится увеличивать число указаний и рекомендаций. В
результате становится практически невозможно в случае
затруднения отыскать именно то место в перечне указаний, которое
относится к возникшей трудности. Другими словами, аппарат
предписаний, предназначенный для управления учебной деятельностью
ученика в случае затруднений, сам неизбежно становится
необозримым, а значит, не пригодным для управления. Так что надежда
только на то, что удастся найти путь, подсказанный Л. Н. Толстым:
составление небольшого числа ясных и точных рекомендаций,
существенно облегчающих поиск доказательств многих теорем.
Попробуем воспользоваться испытанным приемом: разберемся,
какую мыслительную работу выполняем в ходе отыскания
доказательств мы, умеющие доказывать теоремы школьного курса и
решать задачи на доказательство.
Вот мы уже вычленили из формулировки теоремы ее условие и
заключение, т. е. то, что «дано», чем разрешено пользоваться при
доказательстве, и что «требуется доказать». Например, выполнили
краткую запись задачи так, как показано на рис. 13.
Работа, которую мы будем после этого выполнять, существенно
зависит от того, какая тактика отыскания доказательства нами
избрана: мы попытаемся пройти весь путь доказательства от
условия до заключения (синтетическое доказательство), от заключения
до условия (аналитическое доказательство) или же предпочитаем
не связывать себя заранее обязательствами придерживаться жест-
Рис. 13
71

ких рамок какой-нибудь из этих двух тЩ1ик. Учитывая важность
рассматриваемой проблемы, остановимся на ней чуть подробнее.
Синтетический метод, как известно, заключается в том, что,
используя условие теоремы, делают первый шаг в логической цепи
рассуждении и приходят к некоторому промежуточному выводу.
Используя этот промежуточный вывод, делают второй шаг,
получая новый, не известный прежде результат, который с этого
момента считается известным. После некоторого ряда шагов получают в
качестве вывода положение, которое требовалось доказать.
В методической литературе неоднократно подчеркивалось, что
синтетический метод имеет ряд существенных недостатков, в
частности он не соответствует творческому ходу мыслей учащихся.
Действительно, при использовании синтетического метода у
учащихся нередко возникает вопрос: каким образом можно
догадаться именно о таком способе рассуждений? А поскольку ответить на
этот вопрос невозможно, учащиеся вынуждены ограничиться
запоминанием синтетически излагаемого доказательства.
Приговор многих методических исследований категоричен:
синтетический метод не учит самостоятельно находить
доказательство новых теорем, а значит, бесполезен. Приведем в качестве
примера один из таких выводов: «Ученики формально усваивают
материал обычно у тех учителей, которые излагают теоремы
догматически. Учитель сообщает формулировку теоремы; сам, может быть
очень четко, проводит ее доказательство, которое затем
повторяется несколькими учениками с помощью учителя. Если в процессе
доказательства педагог и задает детям вопросы, то большей
частью эти вопросы касаются формулировок ранее пройденных
теорем и определений, но не вскрывают пути к отысканию
доказательства... В лучшем случае внимание учеников направлено на
запоминание хода доказательства; но нет активной работы мысли, а
при пассивном восприятии их внимание быстро ослабевает и нить
логического рассуждения теряется. Дома учащимся остается
«учить» теорему по книге» [4, с. 517].
Это высказывание интересно для нас тем, что в нем вскрыт
главный недостаток традиционно применяемого синтетического
доказательства: отсутствие в ходе доказательства собственной
учебной деятельности учащихся. Но может быть, дело не в том, что
доказательство синтетическое, а в неумении учителя организовать в
ходе такой работы нужную деятельность?
Рассмотрим теперь аналитический метод доказательства. Он
характеризуется тем, что делается попытка непосредственно
(одним логическим шагом) доказать то, что требуется. Если это не
удается, то устанавливают, какого положения не хватает для
доказательства данной теоремы, и пытаются доказать это положение.
Если его не удается доказать, то опять устанавливают, чего не
хватает для доказательства, и т. д.
Некоторые исследователи считают аналитический метод пост-
72

роения доказательств важнейшим инструментом преодоления
формализма в знаниях и других недостатков усвоения доказательств.
С этим вряд ли можно согласиться. Нам представляется гораздо
более верной точка зрения, согласно которой само по себе
применение аналитического метода, в том случае если ученики не знают,
что это такое — доказать, не понимают, для чего нужно
доказательство, ничего изменить не может: учащиеся в ходе такого
доказательства будут столь же пассивны, как и при плохо
организованном синтетическом доказательстве.
В методической литературе подчеркивается, что в практике
обучения аналитический и синтетический методы, как правило,
переплетаются. В процессе искания доказательства — построение
цепи новых промежуточных фактов — мысль может исходить из
фактов заключения, а может исходить из фактов условия. Однако
чаще всего мысль развивается не в одном направлении, а
перебрасывается от условия к заключению, или наоборот. Если исходить из
условия и делать последовательные выводы, не обращаясь к
заключению, то такая работа не будет целеустремленной и может
привести к ложному, бесплодному пути. В такой работе надо
настойчиво приучать учащихся иметь в виду заключение. Оно
должно стать маяком, целью работы и направлять ее по
соответствующему пути. Если же в ходе отыскания доказательства исходить из
заключения, то следует все время иметь в виду условие. «Путь
мышления в поисках доказательства как мышления,
направленного на познание истины, неизбежно аналитико-синтетический.
Начиная, как правило, с заключения теоремы, редко выдерживают
до конца форму регрессивных (аналитических) рассуждений. Но и
здесь приходится постоянно помнить об условии, о данных
теоремы, сравнивая с ними (хотя бы и мысленно) достигнутое анализом.
В большинстве же случаев мы окатываемся вынужденными
остановиться на каком-то этапе наших регрессивных рассуждений и
начать движение с другого конца, т. е. от данных, от условия
теоремы» [18. с. 83—84].
Известный педагог-математик Д. Д. Мордухай-Болтовский
сравнивал споры сторонников аналитического и синтетического
способов доказательства с распрей свифтовских остроконечников и
тупоконечников. При отыскании доказательства, подчеркивалось в
его работах, из известного положения, представляющегося нам
подходящим, мы выводим следствия, обещающие привести нас к
цели; неизвестное или недосказанное приводим к другим, тоже
недоказанным положениям; и так продолжаем, пока оба наши
движения не столкнутся на одном общем положении и не обратятся в
«непрерывное течение».
Думаю, что сказанное достаточно убедительно свидетельствует
о необходимости организовывать именно аналитико-синтетическое
доказательство, постоянно учитывающее и то. о чем говорится в
условии теоремы, и то, что в этой теореме требуется установить.
73

Возвратимся теперь к задаче, краткая запись которой дана на
рис. 13. Попробуем вначале построить доказательство
синтетически, т. е. сделать нужные для решения задачи выводы из условия.
В условии сказано, что четырехугольник ABCD —
параллелограмм и что равны отрезки, отложенные на его противоположных
сторонах от противоположных вершин. Какие на основании этого
могут быть сделаны выводы? Вообще говоря, их не мало. Раз
ABCD — параллелограмм, то по определению АВ\\CD и BC\\AD.
Далее, можно воспользоваться всеми изложенными в школьном
курсе к этому времени теоремами: сделать вывод о равенстве его
противоположных сторон; противоположных углов; вывод о том,
что диагонали, пересекаясь, делятся пополам... Но какое именно
или какие именно свойства надо использовать, чтобы осуществить
доказательство, совершенно не ясно. Поэтому давайте сделаем
так: зафиксируем (в сознании или на бумаге) ту цепочку выводов,
которую можно сделать на основании того, что ABCD —
параллелограмм, и попытаем счастья в аналитическом построении.
Установить, что четырехугольник NBMD — параллелограмм,
можно, воспользовавшись определением или одним из признаков
параллелограмма, которые известны учащимся к моменту решения
этой задачи. Для простоты рассмотрим два таких утверждения:
I. [BM\\ND; BN\\MD)^{NBMD — параллелограмм).
II. (Диагонали NM и BD, пересекаясь, делятся пополам)=>*
=>{NBMD — параллелограмм).
Если сопоставить левые части этих двух утверждений и цепочку
следствий, которая ранее зафиксирована, то можно заметить, что
в первом из них уже известно о параллельности прямых ВМ и ND
(это те же прямые, что ВС и AD, которые, как мы установили, па -
раллельны). Это довод в пользу того, чтобы попытаться
воспользоваться именно первым из рассмотренных утверждений
(определением). В этом случае нам придется еще доказать, опираясь на
условие и полученные выводы, что BN\\MD. Если же это не удастся,
тогда сделаем попытку воспользоваться признаком
параллелограмма.
Как же можно доказать параллельность прямых BN и MD?
Очевидно, с помощью определения или какого-нибудь признака
параллельности прямых, известного учащимся.
Определение параллельных прямых вряд ли стоит
рассматривать: весь наш предыдущий опыт показывает, что оно не
«рабочее»: при решении задач оно практически не используется.
Если бы удалось обнаружить такую прямую а, что BNJlcl и
MD_i_a, то тем самым мы доказали бы, что BN\\MD. Но, увы, о
такой прямой в условии задачи ничего не говорится.
Точно так же бессмысленно искать такую прямую Ь, которой
параллельны и прямая BN, и прямая MD.
Остается еще один признак параллельности прямых, связанный
74

с равенством накрест лежащих углов, образованных этими
прямыми и пересекающей их третьей прямой. Попробуем им
воспользоваться. Но прежде необходимо дополнить чертеж, проведя какую-
нибудь секущую. Естественно, чтобы в качестве такой секущей
выступила диагональ четырехугольника NBMD (рис. 14). Если
В м С
AN V рис. 14
удастся доказать, пользуясь условием и следствиями из него, что
Z. 1 = /L2, задача решена. Это равенство, как мы знаем, скорее
всего можно будет доказать, установив равенство треугольников
NBD и MDB. У этих треугольников сторона BD — общая. Легко
установить равенство сторон ВМ и ND (вывод о равенстве
отрезков ВС и AD мы уже сделали; МС = AN по условию). Значит,
остается, чтобы воспользоваться одним из признаков равенства
треугольников, доказать либо равенство третьих сторон, либо
равенство углов между равными сторонами. Но последнее равенство
следует из теоремы о равенстве накрест лежащих углов,
образованных при пересечении параллельных ВС и AD секущей BD.
Доказательство завершилось.
Ну вот, с собственными рассуждениями при отыскании решения
этой достаточно простой задачи мы ра .обрались. Попробуем
теперь извлечь из этих конкретных рассуждений то общее и
существенное, что характеризует поиск решения любой задачи на
доказательство.
Какая бы задача (теорема) ни рассматривалась, поиск
решения всегда связан с тем, что делается попытка развернуть ее
условие: на основании ранее изученных определений и теорем
осуществить выведение следствий. В результате перечисляются (и тем или
иным способом фиксируются) новые свойства, которыми можно
пользоваться в ходе решения. Этот (расширенный) список свойств
сравнивается с тем, что требуется установить. Делается попытка
отобрать те свойства, о которых говорилось в условии, и те
полученные выводы, которые могут быть «пущены в дело».
Аналогичная работа выполняется с заключением теоремы:
отыскивается совокупность свойств, наличие которых позволяет
утверждать, что у рассмотренных объектов имеются свойства, о
которых говорится в заключении или какой-нибудь его части;
выбирается та (или те) из них, которые нужны для успешного решения.
Обратите внимание! Мы не случайно говорим о необходимости
сделать попытку развернуть условие (заключение). Может
75

случиться, что при решении задачи совершенно не ясно, каким
образом следует осуществлять это «разворачивание». Более того,
иногда приходится начинать доказательство совсем с другого,
например с принятия дополнительных построений.
И еще на одно обстоятельство обратите внимание: замыкание
цепочек выводов, идущих от условия к заключению, означает, что
появилась возможность заменить эти две цепочки одной,
тянущейся от условия до заключения, т. е. воспроизвести доказательство
теоремы (решение задачи) естественным образом, от условия до
заключения.
Само по себе замыкание цепочек выводов есть не что иное, как
акцентирование сознания учащихся на том, то доказательство
завершено. Однако подлинным завершением можно считать лишь
воспроизведение всего доказательства от условия до заключения.
Из сказанного следует, что можно говорить о следующей
совокупности операций, которые приходится выполнять, отыскивая
доказательство теорем (решение задач на доказательство).
1. Рассмотрение следствий из условия. Выполнение этой
операции должно быть полностью подготовлено в ходе организации
усвоения изученных ранее определений и формулировок теорем,
т. е., встретившись в условии теоремы или задачи с введенным
ранее термином, ученик должен, прежде всего, осознать, что тем
самым объект обладает всей совокупностью свойств, о которых
говорилось в определении соответствующего понятия. Например, если в
определении говорится о некотором числе а, которое кратно числу
Ь, то в сознании учащихся должен «сработать» вывод о том, что в
соответствии с определением число а делится на число Ь. Если
сказано, что рассматривается параллелограмм, то это должно стать
указанием на то, что тем самым говорится о четырехугольнике,
противоположные стороны которого попарно параллельны, и т. д.
Предположим, в школьном курсе изучались теоремы, которые
вводили новые свойства соответствующего понятия, о
принадлежности к объему которого говорится в условии подлежащей
доказательству теоремы или рассматриваемой задачи. В этом случае
разворачивание условия должно быть продолжено. Например, узнав
из условия, что дан параллелограмм, ученик должен включить в
цепочку следствий из условия вывод о равенстве противоположных
сторон; равенстве противоположных углов и т. д. (Напоминаем,
что пока речь идет лишь о совокупности умений ученика,
самостоятельно отыскивающего решение. Вопрос о том, каким образом
научить его разворачиванию условия, нам еще предстоит
рассмотреть.)
2. Отбор тех выводов из условия, которые нужны для
осуществления доказательства. Это творческая (эвристическая) операция.
И потому следует говорить не об обучении ей, а лишь о показе, если
это возможно, образцов рассуждений. Например, учитель может
каждый раз. когда предоставляется возможность, объяснять, чем
76

он руководствовался, отбирая те или иные следствия из условия.
3. Рассмотрение совокупности свойств, достаточных по
отношению к заключению теоремы или какому-либо фрагменту
заключения. Как и выведение следствий из условия, выполнение этой
операции должно быть полностью подготовлено в ходе организации
усвоения изученных ранее определений и формулировок теорем.
Например, если требуется доказать, что фигура, обладающая
указанными в условии задачи или теоремы свойствами,—
параллелограмм, то обучение необходимо организовать таким образом,
чтобы ученик осознал: для этого можно либо воспользоваться
определением и установить, что речь идет о,четырехугольнике с попарно
параллельными сторонами; либо воспользоваться одним из
изученных признаков параллелограмма и установить равенство
противоположных сторон четырехугольника; равенство отрезков, на
которые делятся, пересекаясь, диагонали четырехугольника, и т. д.
Ниже мы покажем, каким образом организовать работу,
обеспечивающую такое разворачивание заключения теоремы.
4. Отбор нужной для осуществления доказательства
достаточной совокупности (определения или признака понятия). Это
эвристическая операция. К ней относится все, что было сказано выше об
обучении выявлению и отбору нужных для доказательства выводов
из условий.
5. Выведение следствий из ранее найденных следствий, а также
отыскивание совокупностей свойств, достаточных по отношению к
какому-либо из ранее найденных свойств, входящих в цепочку
выводов, ведущих к заключению теоремы. Эта работа может
включать как эвристические операции (например, иногда необходимо
догадаться, что некоторые выводы следует сделать на основании
совокупности данных в условии и полученных в ходе
доказательства выводов), так и обычное выведение следствий и фиксирование
достаточных совокупностей.
6. Замыкание цепочки выводов, идущей от условия, и цепочки
выводов, ведущих к заключению, т. е. акцентирование сознания
учащихся на том, что доказательство завершено.
7. Прослеживание всего доказательства от условия до
заключения.
Возникает естественный вопрос: целесообразно ли так много
внимания уделять поиску доказательств, если заранее известно,
что наличие эвристических операций не позволяет даже ставить
вопрос об организации обучения умению доказывать? На наш
взгляд, весьма целесообразно. К чему обычно призывает учитель
ученика, который не знает, каким образом приступить к решению
задачи? К тому, чтобы ученик думал. Но ведь думать вообще
невозможно. Думать можно над чем-то. И сказанное выше
показывает, над чем надо научить думать ученика: над разворачиванием
условия и заключения, одрором следствий из условия и т. п. И потому
не только можно,лр и необходимо целенаправленно учить детей,
77

отыскивающих доказательство, разворачивать условие и
заключение; повторять этот процесс, постоянно соотнося новые выводы из
условия с выводами цепочки, ведущей к заключению. Материалом,
на котором может осуществляться такое обучение, должен стать
процесс знакомства с новыми доказательствами.
Покажем один из вариантов организации такой работы.
Прежде всего, необходимо сделать предметом сознания
ученика мысль о том, что начинать поиск доказательства, как правило,
следует с разворачивания условия и заключения. При этом работа
может быть начата как с условия, так и с заключения. И в ходе этой
работы может наращиваться или цепочка, идущая от условия,
или цепочка, идущая к заключению, или поочередно обе эти
цепочки.
Чтобы сделать более эффективной ориентировку учащихся в
совокупности операций, которые приходится выполнять, отыскивая
доказательство, в их распоряжение может быть предоставлено
следующее предписание, фиксирующее не алгоритм поиска
доказательства, а лишь общую направленность поиска.
Приступая к доказательству теорем и решению задач:
вычлените в формулировке, что дано, что требуется доказать;
попытайтесь сделать все известные вам выводы из условия;
попытайтесь вспомнить все известные вам совокупности
свойств, позволяющие сделать вывод об истинности заключения
или какой-нибудь его части;
повторяйте выведение всех новых следствий и наращивание
цепочки выводов, ведущих к заключению, до тех пор, пока эти две
цепочки выводов не замкнутся;
повторите все решение (доказательство) от условия до
заключения.
Чтобы учащиеся действительно ориентировались на это
предписание, приступая к поиску решения, учитель должен не только
систематически показывать образцы поиска с опорой на приведенную
схему, но и требовать следования схеме в ходе самостоятельного
решения задачи учащимися.
Попробуем показать, каким образом можно достигнуть
сказанного, отыскивая решение задачи, краткая запись которой дана на
рис. 13.
Что0ы создать зрительный образ двух цепочек выводов,
идущих навстречу друг другу, удобно записать традиционные
«Дано:», «Доказать:» соответственно в верхней и нижней частях
классной доски (рис. 15а). Тогда между ними можно будет строить
цепочку выводов из условия, идущего вниз, и цепочку совокупностей
выводов, идущую к ней навстречу.
Каждый шаг доказательства означает наращивание одной из
цепочек на одно-два звена. При этом на доске могут фиксироваться
не все выводы, а лишь те, которые нужны фця принятого учителем
способа доказательства (рис. 15 б, в, г}
78 '>У

Рис. 15
Дано: ABCD — параллелограмм, AN = СМ.
Доказать: NBMD — параллелограмм.
ы С
А /V
Дано: ABCD — параллелограмм, AN = СМ.
ВС || AD, ВС = AD.
ВМ || ND, BN || MD.
Доказать: NBMD — параллелограмм.
м С
А N
Дано: ABCD — параллелограмм, AN — СМ.
ВС || AD, ВС = AD.
A3 = /L4,
А\ = Z.2.
ВМ || ND, BN || MD.
Доказать: NBMD — параллелограмм.
В
N С
/
/
L
/
А N
D
г)
Дано: ABCD — параллелограмм, AN = CM-
ВС || AD, ВС = AD.
= Z.4.
Д/VBD = AMDB.
Z.l = A2,
BM || JVD, || MD.
Доказать: NBMD — параллелограмм.
Представление о работе, которую выполняет при этом учитель,
могут дать приведенные выше развернутые рассуждения при
решении этой задачи. Вместе с тем работа учителя у доски коренным
образом отличается от рассмотренных выше развернутых
рассуждений. Основное отличие в том, что целью работы учителя становится
руководство работой учащихся по поиску доказательства. Поэтому
совсем недостаточно поделиться с классом одним из возможных
вариантов рассуждений при поиске доказательства, если учащиеся
79

при этом остаются пассивными слушателями монолога учителя.
В чем именно должна заключаться работа учащихся —
понятно. Они должны, по возможности самостоятельно, следовать тай
схеме поиска доказательства, которая приведена выше: выполнять
те операции, которые не являются эвристическими; участвовать
(на уровне предположений) в выполнении эвристических
операций; предлагать свои варианты замыкания цепочек выводов,
идущих от условия к заключению; участвовать в фиксировании всего
доказательства от условий до заключения. Например, в ходе
отыскивания решения рассматриваемой задачи (рис. 13) учащиеся
должны тем или иным способом фиксировать выводы из того
факта, что ABCD — параллелограмм; фиксировать известные им
совокупности свойств, позволяющие сделать вывод: NBMD —
параллелограмм; участвовать в фиксировании совокупностей свойств,
позволяющих сделать вывод: BN\\MD\ участвовать в
доказательстве равенства треугольников; самостоятельно (с опорой на
имеющиеся на доске записи) прослеживать весь ход доказательства.
Искусство учителя при этом должно состоять в том, чтобы
направить усилия учеников, сделать их работу посильной, облегчить
осознание общего подхода к отысканию доказательств теорем.
Например, выяснив, что поиски доказательства следует начать с
выведения следствий из того факта, что ABCD — параллелограмм,
учитель может предложить записать лишь те свойства, которые
относятся к сторонам параллелограмма; получив запись, показанную
на .рис. 15, г, может потребовать объяснений, почему
доказательство тем самым завершено, и т. п.
Мы уделили много времени и места описанию работы,
направленной на то, чтобы у учащихся формировалось умение
доказывать теоремы самостоятельно. Эта работа направлена и на то,
чтобы каждый ученик стал соучастником «открытия» доказательства,
чтобы доказательства стали понятнее, перестали быть наборами
слов, которые надлежит воспроизводить по требованию учителя.
Описанная работа не отменяет необходимости воспроизводить,
повторять, пересказывать доказательства: школьная программа
требует умения выполнять эту отнюдь не творческую, но тем не
менее очень важную и нужную работу. И этому также надо
целенаправленно учить.
Деятельность по воспроизведению объясненных учителем
доказательств заключается в том, что тем или иным способом
фиксируется первый вывод из условия, который используется в принятом
способе доказательства, и обоснование правомочности этого
вывода; второй вывод и обоснование его правомочности — и так до тех
пор, пока не будет сделан вывод, что рассматриваемые в условии
задачи объекты действительно обладают свойствами, о которых
говорится в заключении теоремы.
Устное воспроизведение всего доказательства в ходе первона-
КО

чального знакомства с ним — естественное завершение работы по
его отысканию. И потому всю описанную работу по отысканию
доказательства можно считать по отношению к деятельности по
воспроизведению доказательства этапом ориентировки. Записи,
аналогичные тем, которые даны на рис. 15 г, можно считать краткой
схематической записью доказательства, достаточной, чтобы,
ничего не заучивая, приступить к его воспроизведению. (Иными
словами, это схема ориентировочной основы деятельности по
воспроизведению доказательства.)
Материализованное оперирование связано, очевидно, с
фиксированием самими учащимися хода доказательства и ссылок на
соответствующие определения и теоремы. Вот как, к примеру, могут
выглядеть краткие схематические записи, фиксирующие ход
решения рассмотренной выше задачи, на этапе материализованного
оперирования.
1. {ABCD — параллелограмм)=*-(БС||ЛО по определению;
ВС = AD по теореме о равенстве противоположных сторон).
2. Проводим BD. Z.3 = Z.4 по теореме о накрест лежащих
углах при пересечении ВС и AD секущей BD.
3. ANBD = AMD В; BD — общая сторона; Z-Ъ = Z4;
ВМ = DN, так как ВМ = ВС—CM; DN = AD — AN.
4. Z. 1 = /-2 — накрест лежащие при пересечении BN и DN
секущей BD. {/L\ = Z.2)=^(BN\\DN).
5. (BN\\DM; BM\\DN)=>(NBMD — параллелограмм).
Снятие контроля связано с переходом к воспроизведению
доказательства без опоры на те записи, которые были сделаны в ходе
изложения нового материала, т. е., попросту говоря, в переходе к
воспроизведению доказательства без каких бы то ни было
шпаргалок.
Итак, успех или неуспех при решении задач и отыскании
доказательств теорем зависит, с одной стороны, от умения выполнять
эвристические операции, т. е. от того, чему необходимо учить, но
нельзя научить, а с другой стороны, от умения разворачивать
условие и заключение, а также промежуточные выводы, т. е. от того,
чему необходимо научить до того, как ученик приступил к отысканию
доказательства. А «творческие приемы», используемые при
решении задач школьного курса, как правило, столь шаблонны и
прозрачны, что успех или неуспех решения практически целиком
зависит от того, хорошо ли усвоен ранее изученный материал, умеет ли
ученик оперировать с ним.
И здесь мы сталкиваемся с тем, что приходится пользоваться
выводами, с которыми учащиеся, случается, знакомились
достаточно давно. И естественно, могли забыть. Значит, нужно
организовывать повторение? Задавать ученикам накануне повторять
соответствующие пункты учебника? И считать, что ученик, у
которого спросили нечто, изученное два месяца назад, имеет полное мо-
81

ральное право встать и сказать: «А вы нам этого не задавали
повторить»?
В методической, педагогической, психологической литературе
вопросу организации повторения уделяется большое внимание.
Наиболее часто проблема повторения решается с помощью
включенных во многие курсы «повторительных разделов»: параллельно
с изучением нового материала учащиеся должны систематически
возвращаться к ранее пройденному, выполняя совершенно не
связанные с новым материалом задания. Выдвинуто даже требование
непрерывного повторения. Автор этого требования Я. И. Груденов,
об исследованиях которого мы рассказывали в предыдущей главе,
сопоставил два совершенно бесспорных, как он считал,
утверждения:
1) чтобы материал не был забыт, к нему необходимо достаточно
часто возвращаться;
2) без выполнения большого числа однотипных упражнений
(«набития руки») формирование прочных навыков в принципе
невозможно.
Однако, как мы рассказывали в предыдущей главе, второе из
этих положений справедливо лишь в том случае, когда учителю не
удается учить хорошо. Более того, реализация этого положения
мешает хорошему обучению.
Как попытка устранить или хотя бы уменьшить нежелательные
последствия решения большого числа однотипных задач (как было
показано выше, в этом случае решение осуществляется без опоры
на изучаемую теорию, т. е. по аналогии с тем, «как только что
делали») возник принцип «непрерывного повторения». Его сущность
в том, что система однотипных упражнений по новой теме
дополняется задачами из предшествующих разделов, причем
дополнительные задачи ставятся между однотипными. Основная цель их
включения — нарушить однотипность, заставить учащихся задуматься
над сущностью задачи. Чужеродные, не связанные с изучаемым
материалом задачи, обеспечивающие, по мысли Я. И. Груденова,
«непрерывное повторение ранее изученного материала»,
предлагается ставить после двух-трех, иногда четырех задач одного типа.
При этом подчеркивается, что только учитель при подготовке к
уроку может учитывать уровень развития учащихся своего класса, их
знания и навыки, по ходу урока уменьшая или увеличивая число
задач одного типа, следующих непосредственно друг за
другом (19].
На наш взгляд, ошибочна исходная концепция «принципа
непрерывного повторения»: тренаж в ходе решения однотипных
задач вовсе не является непременным условием усвоения изучаемого
материала даже слабыми учащимися. Только в условиях, когда
недостаточно внимания уделяется организации собственных
действий учащихся и адекватности этих действий подлежащему
усвоению материалу, проблема формирования навыков путем «набития
82

руки» в ходе решения однотипных задач альтернативна
традиционному преподаванию. Огромный опыт, накопленный в рамках
теории поэтапного формирования умственных действий,
свидетельствует, что для достижения усвоения, в том числе прочных навыков,
«тренажа» в ходе решения однотипных задач не требуется. Этот
опыт подтверждает теоретические выводы А. Н. Леонтьева,
который, исследовав пути интенсификации усвоения и, в частности,
запоминания, показал, что определяющим фактором успешности
достижения запланированных показателей является не тренаж в
оперировании, а отношение учащихся к той деятельности, которую
они выполняют, оперируя с подлежащим усвоению материалом:
материал, составляющий содержание цели действия,
запоминается более продуктивно, чем материал, связанный с условием
действия, способом его выполнения, фоном, на котором выполняется
оперирование (см., например, [20]).
Ошибочно, несмотря на всю очевидность, и утверждение о
непосредственной зависимости отсутствия забывания учебного
материала от того, на сколько часто этот материал повторяется.
В основу большинства известных нам рекомендаций, так же
как и в основу «принципа непрерывного повторения», кладут
точку зрения на повторение как на способ закрепления и
упрочения в мозгу обучаемых «следов воздействия» ранее сообщенной
информации. Однако в настоящее время установлено (см.,
например, обзор литературы в исследовании В. Я- Ляудис [21]), что это
ошибочная точка зрения. Разумеется, при этом не ставится
под сомнение тот факт, что знания, к которым человек длительное
время не обращается, забываются. Ошибочно традиционное
понимание природы забывания и путей преодоления забывания.
Явление забывания изучалось многими психологами. Еще в
1885 г. на основании многочисленных опытов была вычерчена
«кривая забывания» (исследование Эббингауза). Полученные
данные убедительно свидетельствовали о том, что объем усвоенной
информации, если не организовать повторения, чрезвычайно
быстро уменьшается. Так, в первые 10 ч после сообщения информации
забывается не менее 65 % сообщенного. На основании этого и была
выдвинута методическая идея как можно чаще, особенно после
организации усвоения важного и трудного материала,
возвращаться к нему, включая стимулирующие повторение задачи в
состав системы учебных задач.
Исследования школы Л. С. Выготского — А. Н. Леонтьева
доказали, что открытая Эббингаузом закономерность забывания
имеет место лишь в том случае, когда подлежащая усвоению
информация представляет для обучаемого «бессмысленный набор
слов». Скажем, если ученик выучивает текст формулировки
теоремы, не понимая ее смысла, забывание осуществляется в
соответствии с «кривой забывания». Чтобы сохранить такие
«знания» в памяти, действительно необходимо достаточно скоро
83

прибегнуть к воспроизведению изученного материала.
Если же усвоение обеспечивается организацией адекватного
оперирования с изучаемым материалом, интенсивность забывания
и его характер определяются прежде всего тем, насколько
информация актуальна для обучаемого, насколько она осознается
как все еще ему необходимая. Следовательно, основным
назначением повторения должно стать обеспечение осознания того,
что ранее изученный материал остается необходимым для
обучаемого. И потому, как показало исследование профессора МГУ им.
М. В. Ломоносова В. Я. Ляудис [21], повторение
оказывается наиболее эффективным в том случае, когда оно включается
в постановку новых мыслительных задач, для решения которых
учащиеся должны использовать сведения, полученные ими раньше.
Повторение в этом случае выступает как необходимое звено, как
основа решения новой задачи, как средство ее решения. При этом
условии повторение приобретает новый и интересный смысл для
учащихся: осознается как фундамент для выполнения новых задач.
Так что, требуя разворачивать условие и заключение в ходе
решения задач и доказательства теорем, мы учим не только
общему подходу к поиску доказательств, обеспечиваем не только
лучшее понимание конкретных доказательств, но и осознание
ранее изученного материала как все еще важного и нужного,
а потому не подлежащего забыванию.
Несколько слов хотелось бы сказать о пропедевтической
работе, помогающей подготовить учащихся к организации
усвоения доказательств теорем.
Так же как и повторение, пропедевтическая работа
наиболее эффективна в тех случаях, когда она органично связана с
изучаемым материалом.
Поясним сказанное на примере теоремы Пифагора.
Идея доказательства этой теоремы в существующем в
настоящее время курсе геометрии [22] заключается в следующем. Из
вершины прямого угла В проводится перпендикуляр BD к
гипотенузе АС (рис. 16). Рассматриваются два прямоугольных
треугольника ABD и ABC. В каждом из этих треугольников
находится косинус угла А. Затем, поскольку величина косинуса
зависит лишь от угла, получившиеся отношения приравниваются.
Так же поступают с косинусом угла С, рассматривая
треугольники BDC и ABC.
В
А
Рис. 16
84

Предположим, учитель решил заранее подготовить учащихся к
встретившемуся в этом доказательстве приему: приравниванию
двух отношений, каждое из которых — косинус одного и того же
угла. Для этого можно непосредственно перед знакомством с
теоремой Пифагора предложить учащимся выразить косинус
указанного угла в каждом из указанных треугольников, а затем
сравнить полученные отношения. Этот прием, который широко
пропагандируется в методической литературе, не только требует
дополнительных затрат времени (о чем много писали), но и
обесценивает поиск доказательства, являясь прямой подсказкой.
А теперь представьте, что учитель поставил перед собой цель
найти такое место в курсе, чтобы сформулированная. выше
задача, подготавливающая к трудному месту в доказательстве
теоремы, выступила как инструмент при организации усвоения
ранее изученного материала. Найти такое место нетрудно:
вспомогательная задача опирается на теорему о том, что величина
косинуса зависит лишь от величины угла. Значит, продумывая
систему упражнений при организации усвоения этой теоремы,
можно предусмотреть и такую задачу. Разумеется,
сформулировать ее' придется соответствующим образом. Например:
«Найдите косинус угла Л, рассматривая 1) А ABC; 2) Л ABD, и
сравните получившиеся числа».
В завершение разговора об организации усвоения
доказательства рассмотрим вопрос о формировании потребности в нем.
Во многих исследованиях отмечается, что трудности
доказательства конкретной теоремы нередко связаны с тем, что
формулировка теоремы воспринимается учащимися как очевидный факт,
который и доказывать нечего. В этих случаях рекомендуется
сначала посеять в учениках сомнение в том, справедлива ли
данная теорема, а потом уже это сомнение разрешить. Однако,
как справедливо показано в интересном исследовании Ф. Ф. При-
туло [18], целесообразно исходить не из стремления посеять
сомнения любой ценой и при любых обстоятельствах, а из
особенностей каждой теоремы, из учета конкретных условий,
позволяющих обосновать сомнения, сделать их законными в глазах
учащихся и только в таких случаях ставить необходимость
доказательства в зависимость от наличия сомнений.
Действительно, сомнений может и не быть, но это не избавляет от
необходимости доказывать: важно дать объяснение факту, о котором
говорится в формулировке теоремы, установить его
закономерность, выяснить, чем он вызван. При этом необходимо
организовать работу так, чтобы дети предпочитали логическое
доказательство опытной проверке, а объективность и точность
рассуждений — как принципиальную черту любого доказательства,
как отличительную черту математической науки. Все это
получится как «побочный продукт», если организовать работу по
усвоению доказательств описанным выше образом.
85

Итак, учащиеся, работа которых организована по описанной
выше методике, приняли активное участие в отыскании
доказательства некоторой теоремы, научились воспроизводить это
доказательство от условия теоремы до ее заключения. Можно ли
считать, что работа, обеспечивающая усвоение теоремы
учащимися, завершена? Оказывается, нет. Чтобы пояснить эту мысль,
расскажу эпизод, который произошел в ходе обсуждения
открытого урока, на котором учащиеся знакомились с теоремой
Пифагора.
Обсуждение было отнюдь не парадным. Это очень
существенно, потому что все замеченные неточности заинтересованно
и доброжелательно обсуждались. И если бы кто-нибудь из двух
десятков присутствовавших на уроке учителей заметил ошибку,
это безусловно прозвучало бы в ходе обсуждения.
Между тем ошибка была, и весьма грубая. Задавая домашнее
задание, преподаватель предложил, используя теорему Пифагора,
решить следующую практическую задачу: построить на местности
прямой угол, имея лишь очень длинную веревку.
Ясно, что эта задача моментально решается, если известна
теорема «Пусть ABC — произвольный треугольник. (АВ2=АС2-\-
-\-ВС2)^>{/-С = 90 °)», обратная теореме Пифагора. Но о ней на
уроке речи не было.
Когда обсуждение урока закончилось и стало ясно, что никто
из присутствующих на домашнюю задачу внимания не обратил, я
попросил учителя рассказать, какое решение ученика, по ее
мнению, следует считать оптимальным. Вопрос учителя удивил:
задача так проста, что не понятен смысл вопроса. Но тем не менее
она терпеливо объяснила: на равных расстояниях, которые
отмеряются перегибанием веревки, можно завязать 12 узелков;
найти узелки, «отмеряющие» 3 единицы, 4 единицы, 5 единиц;
натянуть веревку так, чтобы образовался треугольник. Поскольку
квадрат одной стороны этого треугольника равен сумме
квадратов двух других его сторон, по теореме Пифагора, один из
углов треугольника прямой.
Показательно, что даже после этого «объяснения» никто из
обсуждавших урок учителей не увидел ошибки. Да, каждый из
присутствующих на том обсуждении.мог сформулировать теорему
Пифагора, мог указать ее условие и заключение. Но этого
оказалось недостаточно, чтобы осознать: для решения заданной на
дом задачи необходимо применить теорему, обратную теореме
Пифагора. Подвел подбор задач школьного учебника: дети
тщательно оберегаются от необходимости задумываться, можно или
нельзя использовать изучаемую теорему. А задумываться
совершенно необходимо. В противном случае при использовании
теоремы в сколько-нибудь нестандартных ситуациях неизбежно
возникают трудности, появляются ошибки. Призывами быть
внимательным и наказаниями за допущенные учащимися ошибки
86

здесь не поможешь. Нужно, как и всегда, когда речь идет об
организации усвоения, обеспечить выполнение учащимися
соответствующей собственной работы.
Какую же работу необходимо организовывать, чтобы
обеспечить умение применять рассматриваемую теорему при
изучении последующих разделов курса?
Попытаемся, например, пристально вглядеться в то, как
используется при решении задач формулировка теоремы Пифагора.
Прежде всего следует обратить внимание на то, что эту и любую
другую теорему можно применять лишь к конкретным объектам.
При этом все возможные объекты можно мысленно разбить на
две группы. К первой группе отнесем объекты,
удовлетворяющие условию теоремы. В рассматриваемом примере это
прямоугольные треугольники. Ко второй группе отнесем не
удовлетворяющие условию теоремы объекты. Относительно последних сразу
можно сделать вывод: к ним рассматриваемую теорему
применить нельзя. Если же объект удовлетворяет условию, т. е.
является прямоугольным треугольником, теорема позволяет
сделать вывод о наличии у него всех свойств, составляющих
заключение теоремы: квадрат длины гипотенузы такого
треугольника равен сумме квадратов длин катетов.
Обратите внимание! Ученики, которые, работая с
определениями, хорошо усвоили, что если объект не обладает указанными в
определении свойствами, то он не может быть назван данным
термином, переносят свои знания и на теоремы. Характерной
ошибкой, если не принять соответствующих мер, может быть
следующая. Установив, что объект не удовлетворяет условию
теоремы, учащиеся по аналогии с определениями делают вывод,
что этот объект не обладает свойствами, о которых говорится
в заключении теоремы. Учитывая это, необходимо каждый
раз, когда осуществляется знакомство с теоремой, для которой
обратная теорема не верна, противопоставлять выводы при
работе с определениями и теоремами, обращая внимание
учащихся на объекты, которые не удовлетворяют условию, но
удовлетворяют заключению. Например, знакомя учащихся с
теоремой о сумме смежных углов, желательно обратить внимание
на углы, которые смежными не являются (не удовлетворяют
условию теоремы), но сумма их равна 180° (удовлетворяют
заключению теоремы).
Рассмотренный пример позволяет достаточно ясно увидеть, в
чем должна заключаться собственная деятельность учащихся в
ходе усвоения формулировок теорем.
Работа, которую следует организовывать в ходе усвоения
любой формулировки теоремы, включает следующие операции:
1) распознавание, обладает ли рассматриваемый объект всей
совокупностью свойств, включенных в условие теоремы;
2) если объект удовлетворяет условию теоремы, то делается
87

вывод о наличии у рассматриваемого объекта всей
совокупности свойств, о которых говорится в заключении теоремы; если же
объект не удовлетворяет условию теоремы, то делается вывод, что
к рассматриваемому об:екту данную теорему применить нельзя.
Материализованное оперирование с формулировками теорем в
соответствии со сказанным выше должно включать: 1)
подконтрольное распознавание объектов, удовлетворяющих условию
теоремы; 2) фиксирование выводов, которые делаются после
завершения распознавания: вывода, что теорему в рассматриваемом
случае применять нельзя, если указанный объект не
удовлетворяет условию теоремы; вывода о наличии у рассматриваемого
объекта всей совокупности свойств, о которых говорится в
заключении теоремы, если этот объект удовлетворяет условию.
Поясним сказанное на примере теоремы, формулирующей
признак параллельности прямой и плоскости:
(Ь лежит в а; а не лежит в а; а\\Ь)=>(а\\а) (рис. 17).
Пусть на этапе материализованного оперирования учитель
поставил задачу установить, параллельно ли ребро АВ
прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ (рис. 18) боковой
грани DD\C\C этого параллелепипеда.
Рис. 18
A D
В соответствии со сказанным обеспечение подконтрольного
использования рассматриваемой теоремы означает прежде всего
фиксирование наличия тех трех свойств, о которых говорится
в условии теоремы. Если мы убедимся в отсутствии хотя бы
одного свойства — придется сделать вывод, что теорему применить
нельзя. Если же хотя бы для одного свойства не удастся
установить ни наличие, ни отсутствие, то надо будет сделать вывод,
что неизвестно, можно ли применить теорему.
В данном примере объекты обладают всеми тремя
свойствами. Записать это можно так же, как при работе с
определениями:
DC лежит в плоскости DCC\ -\-
АВ не лежит В плоскости DCC[ -j-
AB\\DC +
Остается фиксировать, что объекты обладают теми свойствами,
о которых говорится в заключении теоремы:
AB\\DCCX.
Ясно, что постепенное снятие контроля может быть
организовано так же, как при работе с определениями: с помощью
88

знаков « + », «—», «?». Не расшифровывая, что именно
проверяется, можно фиксировать результаты проверки того, обладают
ли рассматриваемые объекты свойствами, составляющими
условие теоремы, а также вывод о наличии у них свойств,
составляющих заключение теоремы. Затем можно ограничиться
лишь фиксированием того, можно или нельзя в данном случае
применить теорему и, если можно, какими свойствами обладают
рассматриваемые объекты.
Мы показали, каким образом, организуя усвоение
формулировок теорем, можно обеспечить материализованное оперирование
и постепенное снятие контроля. Но далеко не всегда такую работу
организовывать нужно. Дело в том, что теория поэтапного
формирования умственных действий оказывается особенно
эффективной имеьжо потому, что способы оперирования для
большинства определений, большинства теорем оказываются
удивительно похожими: проверь наличие первого свойства, второго
свойства и т. д., сделай соответствующие выводы...
Так вот, установлено, что, как только способ оперирования
усвоен, качество усвоения перестает зависеть от того, проведен
ли ученик через все этапы усвоения. Пусть, например, ученик
твердо усвоил, что в случае конъюнктивной связи между
свойствами необходимо последовательно проверять наличие каждого из
свойств и делать соответствующие выводы. Этому ученику тем или
иным способом сообщили конспект определения или теоремы
(например, он составил его самостоятельно, пользуясь учебником;
или, наоборот, получил конспект в готовом виде). Теперь в
соответствии с теорией надо переходить к оперированию с этим
определением и теоремой. Это оперирование организуется.
Но при этом пропускается этап материализованного
оперирования, не организуется постепенное снятие контроля, а сразу
предлагается выполнить работу в уме при опоре на конспект.
Если человек научен работать, если он выполняет работу в уме,
действительно опираясь на подлежащие усвоению знания, то эти
знания окажутся усвоенными.
Итак, в тех случаях, когда способ оперирования с
подлежащими усвоению формулировками теорем учащимися не усвоен,
необходимо организовывать не только ориентировку, но и
материализованное оперирование, и постепенное снятие контроля. Если же
способ оперирования усвоен, достаточно, обеспечив тем или иным
способом ориентировку, организовать адекватное оперирование в
какой-нибудь одной форме.
Прежде чем перейти к рассмотрению следующей группы
проблем, подумайте вот над чем.
Предположим, правильно организовав ту работу, о которой
только что рассказывалось, мы добились, что все формулировки
курса учащимися усвоены. Как, по-вашему, можно ли надеяться,
что в этом случае учащиеся будут практически без ошибок
89

пользоваться этими формулировками в ходе решения задач
и доказательства теорем?
На первый взгляд вопрос странен: сказано, что учащиеся
усвоили формулировки теорем, так какие могут быть разговоры о
надежде на безошибочное их использование? Не правда ли,
напрашивается вывод: если уж усвоили, то будут правильно
применять? В действительности же все обстоит куда сложнее.
Представьте, что вы, читатель, решаете задачу, в условии
которой сказано, что рассматривается параллелограмм. Чем вы
воспользуетесь, получив эту информацию? Определением
параллелограмма? Или одной из известных вам теорем? А может быть,
надо будет воспользоваться не одним из известных вам
утверждений, а несколькими? Все зависит от конкретной задачи. К тому
же нередко задачу можно решить разными способами, используя
различные утверждения.
А теперь давайте вспомним, чему мы учили ребенка,
увидевшего в условии задачи слово «параллелограмм», если
он усвоил все предусмотренные программой определения и
теоремы. Учили применять определение параллелограмма; учили
применять каждую из теорем, в которой говорилось: «Если
четырехугольник — параллелограмм, то...». А в рассмотренной ситуации
требуется вспомнить и применить все, что ребенку известно
к данному моменту педагогического процесса о
параллелограмме. Требуется вспомнить, что слово «параллелограмм»
введено определением и те следствия из определения, которые
можно сделать, если объект — параллелограмм. Далее, надо
вспомнить, что изучена теорема, в которой говорится: «Если
четырехугольник — параллелограмм, то он обладает такими-то и
такими-то свойствами». И еще одна теорема, в которой
утверждается о наличии у параллелограмма таких-то свойств, и т. д.
Мы сейчас сказали: «Должны вспомнить». Но ведь в
действительности если не научить этому ученика, то все «должен»
останутся красивыми лозунгами.
Поскольку умение делать все известные к данному моменту
выводы, как мы уже знаем, связано с организацией собственной
работы ученика, давайте разберемся, какую именно работу
следует организовывать и каким образом.
Некоторые из изучаемых в школьном курсе теорем знакомят с
новыми свойствами ранее введенных в этом курсе понятий. Это
означает, что если до знакомства с теоремой набор следствий
того, что объект может быть обозначен данным термином,
ограничивался родовым понятием и видовыми отличиями
определения, то теперь цепочка выводов как бы продолжилась.
Ясно, что работа человека, усвоившего рассмотренный способ
оперирования, т. е. адекватная деятельность, должна заключаться
в фиксировании всей цепочки выводов. Например, если после
определения параллелограмма учащиеся познакомились с теоре-
90

мой о равенстве противоположных сторон параллелограмма,
новая цепочка выводов может иметь вид:
(F — параллелограмм)=Ц1)/Г — четырехугольник ABCD и
2) АВ\\CD и 3) BC\\AD и 4) AB = CD и 5) BC=AD).
Поскольку контролировать надо умение строить эту
«удлинившуюся» цепочку выводов, выполнение приведенных выше
записей может рассматриваться как материализованное оперирование.
Постепенное снятие контроля заключается в отказе от
письменного фиксирования всей цепочки выводов, в переходе к
речевому фиксированию (перечислению всей совокупности выводов),
а затем в мысленном их переборе.
Понятно, что после того, как доказана еще одна теорема,
вводящая новую группу свойств изученного ранее понятия, вся
работа по фиксированию цепочки выводов повторяется.
Аналогично организуется работа в том случае, когда
теорема представляет собой признак понятия, или, что то же самое,
достаточную по отношению к ранее введенному понятию
совокупность свойств. Например, после определения
параллелограмма ученики познакомились с теоремой о том, что
четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны,—
параллелограмм. Теперь, если в условии задачи требуется
установить, является ли рассматриваемый четырехугольник
параллелограммом, ученики имеют возможность, 1)
воспользовавшись определением, установить попарную параллельность
сторон; 2) воспользовавшись теоремой, установить попарное
равенство сторон.
Ясно, что адекватное оперирование в рассматриваемом
случае должно заключаться в фиксировании всего «набора»
достаточных по отношению к рассматриваемому понятию
совокупностей свойств, а также в последовательном распознавании
возможности обозначить рассматриваемый объект данным
термином путем использования первой из известных учащимся
совокупностей свойств; второй из известных им совокупностей и т. д.
Чтобы установить, является ли четырехугольник ABCD
параллелограммом, можно воспользоваться утверждениями:
1) AB\\CD и BC\\AD\
2) AB=CD и BC=AD;
3) АС и BD, пересекаясь, делятся пополам;
4) ABCD имеет центр симметрии.
Разумеется, вся работа, обеспечивающая умение использовать
рассматриваемую теорему при изучении следующих за ней
разделов курса математики, осуществляется в ходе решения задач и
доказательства теорем. Встретилось, например, в условии задачи
или в условии доказываемой теоремы указание на то, что
рассматривается параллелограмм,— организуется фиксирование
известных учащимся к данному моменту свойств
параллелограмма или тех групп свойств, которые указаны учителем.
91

Например, учитель предлагает записать, используя обозначения
чертежа, все то, что известно о сторонах данного
параллелограмма. Но об этом мы уже говорили, рассматривая
организацию поиска доказательств.
Итак, мы показали, каким образом следует организовывать
обучение, чтобы обеспечить усвоение учащимися алгоритмов,
определений, теорем. Ответили мы тем самым на вопрос: как
сделать посильным обучение школьной математике, снять
перегрузки? Нет, пока еще не ответили. Сказанное в предыдущих
главах делает понятным, каким образом следует
организовывать обучение математике в условиях, когда учитель имеет
возможность руководить работой каждого ученика. Если бы учитель
работал с двумя-тремя учениками, ничего другого ему не
понадобилось бы. К сожалению, в условиях работы с классом учитель
физически лишен возможности держать в поле своего внимания
каждого ученика: не в состоянии убедиться, что ученику понятен
подлежащий усвоению материал и способы работы с ним,
проконтролировать ход выполнения каждой операции и т. д. Чтобы
учитель имел возможность руководить учебной деятельностью
каждого ученика, пришлось по-иному организовать учебный
процесс. Описанию такой организации учебного процесса
посвящена следующая глава, в которой рассказывается о методической
системе, разработанной сотрудниками лаборатории математики
НИИ школьного оборудования и технических средств обучения
АПН СССР Г. Г. Левитасом, Е. Б. Арутюнян, Ю. А. Глазко-
вым и автором этой книги. В ее разработке принимали участие
многие сотрудники и аспиранты лаборатории. Особенно весом
вклад В. Г. Болтянского. Э. Ю. Красса, Л. И. Апанасенко, К. Л.
Зеленохат.
Разработанная нами методическая система никогда бы ни была
доведена до сегодняшнего уровня, представление о котором
мы постараемся дать в следующей главе, если бы не
самоотверженный труд сотен учителей-экспериментаторов, опыт которых
нами изучался и обобщался в течение более чем 20 лет. Не имея
возможности сказать обо всех, назову только имя учителя школы
№ 204 Москвы Э. Е. Медновой, сделавшей особенно много для
совершенствования и пропаганды нашего детища.

Глава 5
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ
И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
Сегодня во многих работах встречается неприемлемое еще
совсем недавно словосочетание «педагогическая технология».
Употребляется оно в совсем разных, нередко исключающих друг друга
смыслах. Поэтому необходимо пояснить, почему мы решили
употребить этот термин и в каком смысле мы его употребляем.
Слово «технология» включает греческие слова «техне»—
искусство, мастерство, умение и «логос»— слово, понятие,
учение. Словом «технология», как сказано в Большой советской
энциклопедии, принято называть как совокупность приемов и
способов получения, обработки и переработки материалов,
полуфабрикатов или изделий, так и описание производственных
процессов, инструкций по их выполнению и т. п.
В Словаре русского языка, составленном С. И. Ожеговым,
технология определена как «совокупность производственных
процессов в определенной отрасли производства, а также научное
описание способов производства».
На педагогический процесс можно смотреть как на процесс
производственный: во всех школах страны учителя,
работающие в одной параллели, «производят» приблизительно в одно
время одну и ту же номенклатуру знаний учащихся. И
чрезвычайно нуждаются в «научном описании способов производства»,
т. е. в педагогической технологии.
Что касается педагогической техники, то этим термином мы
будем обозначать все те материальные средства, которые
используются или должны использоваться, чтобы нужные знания
учащихся, и при этом достаточно высокого качества, оказались
действительно «произведенными».
В конце 50-х гг., когда я пришел работать в школу, от
учителя еще требовалось строить уроки по единому, освященному
временем образцу: оргмомент; проверка домашнего задания;
объяснение нового материала и т. д. И уже громко и отчетливо
звучали голоса протеста, требовавшие освободить учителя от
излишней регламентации.
Здесь, на страницах этой книги, вы увидите призыв
возвратиться к идее единообразия в построении уроков математики:
начинать с того-то, потом делать то-то. Вместе с тем изложенные
здесь рекомендации не имеют ничего общего с жесткой
структурой урока в 50-е гг. Во-первых, это не директивные указания,
а советы, некоторая педагогическая «печка», от которой учителю
удобно танцевать. Во-вторых, речь идет не о соблюдении
догматических требований к организации учебного процесса, не понятно
откуда взявшихся, а о наиболее эффективной реализации
разработанных психологами рекомендаций. В соответствии с этими ре-
93

комендациями, как вы уже знаете, требуется организовать
ориентировку в новом материале; подконтрольное оперирование с ним;
постепенный переход к самоконтролю. Осуществить все это в
рамках одного урока трудно, практически невозможно. Поэтому
речь идет об упорядочении структуры не отдельного урока,
а совокупности уроков, отведенных на то, чтобы обеспечить
усвоение некоторой порции материала, о проведении циклов
уроков.
Идеи расчленения всего материала школьного курса
математики на отдельные фрагменты, выделения на изучение каждого
фрагмента некоторого числа уроков, составляющих учебный
цикл, единообразия в построении каждого цикла (первый урок
цикла начинается с того-то; далее делается то-то; заканчивается
первый урок тем-то; второй урок начинается с того-то и т. д.)
принадлежат Г. Г. Левитасу (см., например, [23]).
Прежде чем перейти к описанию циклов, сформулируем
несколько исходных положений нашей педагогической
технологии, которые лежат в основе описываемых далее
рекомендаций.
1. В результате обучения учащиеся должны не только усвоить
школьную программу, но и научиться учиться, т. е. самостоятельно
читать и конспектировать школьные учебники, а затем решать
задачи.
2. В условиях классно-урочной формы обучения на вопрос,
заданный классу, должны ответить (или, по крайней мере,
попытаться ответить) все учащиеся в классе; каждый ответ должен
быть оценен, т. е. каждый ученик должен узнать, верно или
неверно он ответил.
3. Каждый ученик должен отчитаться по каждой порции
изученного материала; каждый такой отчет должен быть оценен.
Реализация первого из перечисленных исходных положений
означает, что удельный вес самостоятельности учащихся в
процессе приобретения знаний от класса к классу должен
увеличиваться. Поэтому изложение мы будем строить следующим
образом. Рассмотрим организацию обучения в IV (V) классе,
а затем покажем, каким образом видоизменяется организация
обучения в каждом из следующих классов.
Для преподавания в IV (V) классе наиболее характерен
трехурочный цикл.
Охарактеризуем вначале весь трехурочный цикл, а затем
остановимся на организации работы учащихся.
~ Первый урок, который мы условно называем «Урок
объяснений», начинается с проверки подготовленности учащихся к
восприятию нового материала.
Математика, как известно, замечательна тем, что новый
материал чаще всего требует актуализации ранее изученных
знаний. Поэтому проверка подготовленности к изучению нового озна-
94

чает, как правило, проверку того, усвоен ли в достаточной мере
ранее изученный материал. Впрочем, часто бывает необходимо
опереться на материал, который изучался не непосредственно
перед данной темой, а значительно раньше, подбирать
специальные задачи, подготавливающие восприятие новых знаний, и т. п.
Далее, на первом уроке цикла осуществляется ориентировка
в подлежащем усвоению материале и способах работы с ним, а
затем организуется подконтрольная работа учащихся. Если время
позволяет, на этом же уроке начинает осуществляться
постепенный переход от пошагового контроля к самоконтролю.
Второй урок трехурочного цикла — урок решения задач. Его
цель — организовать (или продолжить) постепенный переход от
пошагового контроля к самоконтролю.
Завершается трехурочный цикл уроком, который получил
название «самостоятельная работа». Этот урок начинается с проверки
усвоенности учащимися наиболее важных теоретических сведений,
изученных на предыдущих уроках. Затем осуществляется
подготовка к самостоятельной работе и пишется самостоятельная
работа.
Как видно из этого краткого описания, отчет учащихся по
каждой порции изученного материала осуществляется на каждом
уроке цикла. Ниже мы покажем, каким образом при этом
осуществляется оценка каждого такого отчета.
Перейдем к рассмотрению вопроса о том, каким образом
следует организовывать работу учащихся на каждом из уроков
цикла.
Первый урок трехурочного цикла. Обычно подготовленность
учащихся к восприятию нового материала осуществляется путем
опроса у доски. Однако в гл. 1, ссылаясь на авторитетное
мнение Б. В. Гнеденко, Л. М. Фридмана, Б. И. Дегтярева, мы
показали, что такой опрос малоэффективен. Не могла нас
удовлетворить и такая, также достаточно распространенная форма
подготовленности учащихся к восприятию нового материала, как
беглый опрос. Эта форма проверки характеризуется тем, что учитель
задает вопрос не какому-то заранее вызванному ученику, а классу.
Учащиеся, которые готовы ответить на этот вопрос, поднимают
руки. Учитель, спросив одного или нескольких учеников, задает
следующий вопрос. И т. д.
Организуемый указанным образом беглый опрос не
удовлетворяет второму из сформулированных выше исходных положений.
Действительно, участвуют в работе (поднимают руки) далеко не
все учащиеся. Да и из тех, кто поднял руку, далеко не все обдумали
поставленный учителем вопрос и готовы ответить на него:
поднятая рука (особенно в IV классе) свидетельствует прежде всего о
том, что ребенок пока еще хочет общаться с учителем. Мы
проделали такой опыт. Попросили учителя задать классу вопрос,
на который учащиеся заведомо не могли ответить. Взметнулся
лес рук... 95

Разумеется, у вас, читатель, может возникнуть естественное,
основанное на всем опыте вашего преподавания недоумение:
разве можно организовывать работу так, чтобы на предложенный
классу вопрос пытались ответить все учащиеся и чтобы все ответы
оценивались? Сформулированные выше исходные положения
хороши, кто спорит, но ведь так не бывает! Нет сил и времени у
учителя, чтобы выслушать ответы не только всех, но даже многих
учеников. Однажды, когда я сформулировал последнее утверждение
учителям, мне даже напомнили известную басню Л. Н. Толстого о
мышах, которых Кот заел. Они собрались, долго судили и рядили,
как от напасти избавиться. И тогда кто-то предложил надеть Коту
колокольчик на шею, чтобы тот не мог незаметно
подкрадываться. «Ты хорошо придумал,— ответили умнику.— Но кто же
будет колокольчик вешать?»
А теперь самое время перейти к обсуждению вопроса о том,
что выступает в рассматриваемой педагогической ситуации —
проверке подготовленности учащихся к восприятию нового
материала — педагогическим колокольчиком, и к обсуждению
способов его подвески.
Решение проблемы проверки подготовленности учащихся к
восприятию нового материала подсказал нам передовой
педагогический опыт: проведение математических диктантов.
Что такое математический диктант? Набор вопросов, которые,
с одной стороны, проверяют усвоенность обязательного минимума
полученных ранее знаний, а с другой стороны, требуют очень
краткого ответа. Эти вопросы могут быть составлены таким
образом, чтобы ответы на них свидетельствовали о том, что
учащиеся готовы к восприятию нового. Существенно, что в работе
принимают участие все учащиеся. А проверка, как мы покажем
ниже, может быть осуществлена таким образом, что работа
каждого ученика оценивается сразу же после завершения
математического диктанта.
Математические диктанты, предназначенные для проверки
готовности учащихся к восприятию нового материала, необходимо
проводить не от случая к случаю, не для того, чтобы
разнообразить формы и методы, а систематически, в начале каждого
очередного цикла. Составить удовлетворяющие этим требованиям
диктанты очень непросто. Поэтому большой популярностью
пользуются сборники с текстами таких диктантов. Имея текст, учителю
нетрудно провести диктант. Но это требует от учителя весьма
большого напряжения: надо читать в оптимальном темпе тексты
заданий, следить за классом, реагировать на практически
неизбежные сбои («повторите, я не успел», «а у меня ручка не
пишет» и т. п.).
А собственно, зачем учителю читать тексты вопросов диктанта,
если это гораздо эффективнее можно сделать, записав тексты
диктанта на магнитную ленту или снабдив учителя грампластин-
96

ками с текстами диктантов к каждому учебному циклу?
Техника учителю привычная, простая в обращении, имеющаяся
практически в каждой школе. А выигрыш дает колоссальный!
Во-первых, у учителя оказывается 3—5 свободных минут
(столько длится диктант), которые он может использовать,
например, для заполнения журнала (при традиционном обучении
оргмомент просто укорачивает урок).
Во-вторых, учитель имеет возможность включить технику на
первых секундах урока. И это поразительно дисциплинирует класс:
исчезают опоздания, дети тщательно готовят все необходимое для
проведения диктанта (бездушную машину не попросишь
минуточку подождать); практически исчезают затруднения, связанные с
тем, что ребенок что-то не услышал, чего-то не понял, что-то не
успел.
В-третьих, учитель, заполнив журнал и отметив
отсутствующих, имеет возможность пройтись по классу и посмотреть, как
дети справляются с заданиями. Таким образом, к концу диктанта у
него уже может быть составлено впечатление о том, какие
задания вызвали трудности и какой материал нуждается в повторении,
разъяснении, уточнении.
Но вот диктант окончен. Что теперь требуется от учителя?
Конечно же, собрать ответы учеников. Чтобы потом, как это
делается обычно, на следующем уроке, объявить полученные отметки?
Нас это не устраивало. Дело в том, что ребенок жаждет узнать
результаты своей работы непосредственно после ее завершения.
А на следующий день они его уже интересуют неизмеримо
меньше. И всякие попытки разобрать и исправить ошибки окажутся
заведомо малоэффективными. Эксплуатируя эту особенность
детского восприятия, мы посоветовали учителям, чтобы дети писали
диктанты под копирку. Подлинник сдается учителю сразу же
после слов «диктант окончен», а копия остается у ученика. И
используется для проверки правильности выполнения работы:
учитель сообщает правильные ответы, которые ученики сверяют со
своими.
Внимание! Если не научить детей правильно проверять свои
диктанты, они очень, очень долго не будут замечать допущенных
ими ошибок. Обучение проверке, как и всякой новой для ученика
работе, связано с обеспечением ориентировки, организацией
подконтрольного оперирования, постепенным переходом к
самоконтролю.
Ориентировка в данном случае заключается в том, что учитель
разъясняет, как надлежит действовать ученику в ходе проверки:
сверить свой ответ с тем, который выписан учителем; если ответ
такой же — поставить рядом знак « + », если ошибка — знак « — »;
если не понятно, можно или нельзя было так ответить,— поставить
знак «?», а затем обязательно поднять руку и спросить, можно ли
считать не совпавший с учительским ответ правильным.
4 Зак. 762 97

Подконтрольная работа заключается в проверке, правильно ли
отмечены знаками «-f-», «—», «?» ответы учащихся. Например,
учитель может предложить учащимся поменяться работами и
проверить, правильно ли отметил результаты проверки своего
диктанта товарищ.
Постепенное снятие контроля заключается в том, что
учитель переходит к контролю по конечному результату: ученик
заметил только одну ошибку, а в действительности сделал их три.
Учитель обращает на это внимание ученика, просит быть
повнимательнее.
Может показаться странным то, что проверка усвоенности
материала предыдущего цикла осуществляется не в конце этого
цикла, а в начале следующего. Дело не только в том, что, как
отмечалось выше, практически устраняется непроизводительное
расходование времени на оргмомент, но и в особенностях
человеческой памяти.
Вы знаете, конечно, что существует память кратковременная
и долговременная. Передача информации и в кратковременную и
в долговременную память осуществляется автоматически и
регулируется лишь внутренней установкой на запоминание длительное
или сиюминутное. Например, встретили вы приятеля, он сообщил
вам телефон, по которому надо позвонить вечером, и для вас этот
звонок очень важен. Просто невероятно, чтобы в такой ситуации
номер забылся! Но вот вы уже позвонили и в обозримом будущем
звонить по этому телефону не собираетесь. Скорее всего, номер
очень быстро «выветривается» из вашего сознания. Если же вы
знаете, что по этому номеру вам необходимо будет позвонить
еще и через месяц, он почти наверняка останется в вашей
памяти.
Тот факт, что ученик заранее знает о необходимости
отчитываться по изучаемому материалу не сразу, а через некоторое
время после его изучения, способствует приведению в действие
механизмов долговременной памяти.
Разумеется, математический диктант не заменяет и не может
заменить традиционный углубленный опрос. Но по материалу
диктанта ученику придется отчитываться несколько раз (ниже мы
подробно расскажем об организации опроса на других уроках
цикла). Так что в результате оценка его знаний окажется
неизмеримо более объективной, чем при традиционной системе
проверки.
Важно, чтобы ученики не только сверяли полученные в ходе
диктанта ответы с правильными, но и сами оценивали
результаты своей работы, ставили себе отметку по указанным учителем
нормам. Умение оценивать себя полезно само по себе. К тому же
тщательность самопроверки, если она не завершается
выставлением отметки, неизбежно уменьшается. И еще одно соображение
в пользу выставления учениками оценок за диктант. Многие учи-
98

теля, убедившись, что дети научились проверять свои диктанты
и не пропускают допущенных ошибок, ставят прямо в журнал
поставленные ими отметки, лишь изредка перепроверяя их (ведь
подлинники диктантов у учителя!).
Некоторые учителя организуют в классе проверку таким
образом, чтобы вообще не тратить свое время дома. Учащимся
предлагается первый экземпляр написанного под копирку
диктанта передать товарищу, который писал тот же вариант;
одновременно ученик получает для проверки диктант товарища.
В этом случае знаками « + », « —», «?» отмечаются ответы сразу
в двух работах: на своем втором экземпляре и на первом
экземпляре товарища. Затем учитель предлагает называть поставленные
отметки. И если, например, ученик Иванов поставил себе «4» и
ученик Петров, у которого был диктант Иванова, тоже поставил
ему «4», учитель сразу ставит эту отметку в журнал. Если же
появилось расхождение — работа сдается для дополнительной
проверки учителю.
Существенно, что при любом из описанных вариантов
проверки математических диктантов может быть организовано
обсуждение всех тех вопросов, которые вызвали затруднения или
особенно важны для понимания материала нового цикла: детей,
которые только что написали диктант, интересует не только
отметка, но и тонкости решения. В ходе обсуждения может быть
использован еще один прием, важный для повышения активности
учащихся в учебном процессе.
Предположим, в ходе проверки диктанта учитель обратил
внимание учащихся на типичную ошибку, допущенную при
выполнении некоторого задания, дал необходимые пояснения, попросил
выполнить аналогичный пример.
Иными словами, учитель задал вопрос классу. В соответствии
со сформулированными выше исходными положениями надо
организовать работу таким образом, чтобы ответить на поставленный
вопрос попытались все учащиеся и чтобы каждый ответ был
оценен. Чтобы реализовать это, работа может быть организована
следующим образом.
После того как задание, предложенное всему классу,
выполнено большей частью учеников, учитель просит кого-нибудь
сообщить свой ответ, а у остальных спрашивает, согласны ли они с
полученным ответом. О согласии или несогласии ученик
сигнализирует, например, с помощью карточек разных цветов: согласен —
поднимает зеленую карточку, не согласен — красную. Таким
образом, учитель видит одновременно ответы всех учащихся и может
сказать каждому, верен ли его ответ.
Чувствуете разницу между традиционным поднятием руки и
описанным голосованием? Там отвечает лишь вызванный, здесь —
все.
Такие приспособления, как цветные карточки, надо где-то хра-
4* 99

нить, ученики их иногда забывают, они нередко теряются.
Поэтому многие учителя предпочитают использовать в качестве
сигнализирующих устройств... руки учащихся.
Представьте, что в верхней части классной доски, слева и
справа, написаны слова «да» и «нет», подсказывающие, что
поднятие, например, левой руки означает согласие с ответом ученика,
поднятие правой — несогласие с ним.
При такой сигнализации ученик высказывает свое мнение
непосредственно учителю. И немедленно узнает, правильно или
неправильно он выполнил работу. Как поступать с полученной
информацией — дело учителя. Например, он может сказать: «Такой-
то ответ правильный. У кого иначе — исправьте». Или устроить
обсуждение, выслушав доводы сторонников одного и другого
ответа.
Разумеется, и приспособление, позволяющее одновременно
сигнализировать и тем, кто согласен с некоторым утверждением,
и тем, кто не согласен с ним, можно механизировать.
Например, наша промышленность освоила выпуск контролирующих
устройств АМК-5. Но установка таких устройств связана с
прокладкой проводов и прочими техническими трудностями,
преодолевать которые решаются лишь энтузиасты
автоматизированного контроля.
Сразу же после завершения проверки математического
диктанта учителю рекомендуется переходить к изложению нового
материала.
;- Прежде всего, желательно настроить учащихся на восприятие
нового — обеспечить правильную мотивацию. Мотивация в
соответствии с Логическим словарем-справочником Н. И. Кондакова
[24, с. 365] — это «система побудительных причин человеческого
поведения, теоретической и практической деятельности». Такими
побудителями могут стать чувства, переживания, идеи, в которых
отобразились интересы ребенка, его потребности. К сожалению,
каких-либо пригодных для большинства учителей рекомендаций,
облегчающих и направляющих эту работу, дать не удается-
Чтобы пояснить это, расскажу об одном случае блистательно
проведенной мотивации, свидетелем которой мне довелось быть.
Как раз в то время разразился конфликт между
Великобританией и Аргентиной из-за Мальвинских (Фолклендских)
островов. И учитель, прежде чем приступить к изложению темы
«Масштаб», показал на географической карте, которая была
специально принесена, Лондон, Буэнос-Айрес и Мальвинские острова.
После очень краткого рассказа о конфликте учитель обратил
внимание учащихся на то, что Лондон находится гораздо дальше от
этих островов, чем Буэнос-Айрес, и спросил, не знает ли кто-либо,
каким образом можно по карте вычислить расстояние от Лондона
и от Буэнос-Айреса до какой-нибудь одной точки Мальвинских
островов. После этого началось знакомство с понятием «масштаб».
100

Не имея возможности вмешаться в организацию мотивации,
будем считать, что она тем или иным способом осуществлена, и
учитель приступил к организации усвоения, т. е. к ориентировке
в новом материале и способах работы с ним.
Если учитель оснащен техникой таким образом, что
аббревиатуру ТСО следует расшифровать: «тряпка сырая обыкновенная»,
все записи, естественно, ведутся на классной доске. В этом случае
чрезвычайно важно, чтобы записи второстепенные,
подготавливающие к знакомству с основным содержанием, велись в одной части
доски, а записи, на которые ученик должен реально
ориентироваться, приступая к выполнению первых заданий,
осуществлялись всегда в одном и том же месте доски, скажем, в правом
верхнем углу.
Поясним сказанное на примере знакомства с рассмотренным в
гл. 2 алгоритмом умножения десятичных дробей.
Планируя подготовку учащихся к восприятию правила,
преподаватель может включить в математический диктант,
например, задачу на вычисление площади прямоугольника, длины
сторон которого — натуральные числа. Решение этой задачи,
проверенной и разобранной в ходе проверки математического
диктанта, естественно сохранить на классной доске. Это облегчит
формирование мотивации при знакомстве с рассматриваемым
правилом.
Вот как, например, может быть организована работа на
рассматриваемом этапе.
Преподаватель «подводит» класс к правилу перемножения
десятичных дробей. Скажем, рассматривая прямоугольник со
сторонами 0,03 и 1,08 дм и предлагая найти его площадь
(длины сторон выражаются в миллиметрах; отыскивается
площадь; результат выражается в квадратных дециметрах),
внимание учащихся обращается на то, что первым шагом была
замена десятичных дробей 0,03 и 1,08 натуральными числами
3 и 108, которые получаются, если в данных числах отбросить
запятую и не писать нули, стоящие слева от цифры 3. Затем
получившиеся натуральные числа перемножаются. Далее надо
подсчитать число десятичных знаков в каждом множителе. И
наконец отделить в получившемся произведении натуральных
чисел, ведя отсчет справа налево, столько же цифр, сколько
десятичных знаков в обоих множителях вместе.
Если в распоряжении учителя имеется графопроектор, то после
завершения рассмотренного выше рассказа учащимся может быть
предъявлено его краткое изложение, заранее подготовленное
учителем:
«Чтобы найти произведение десятичных дробей 0,03-1,08,
1) перемножаем натуральные числа, полученные, если
мысленно отбросить в множителях запятые:
3-108 = 324;
101

2) подсчитываем число десятичных знаков:
0,Q2 1 ,Q8;
2 знака 2 знака
3) отделяем справа столько знаков, сколько их в обоих множи-
Тед д у"
324 0000324 0,0324.
(2 + 2) знака (2 + 2) знака
Ответ: 0,03-1,08 = 0,0324».
Разумеется, в слабом классе учитель предварительно
покажет, каким образом получаются натуральные множители:
зачеркнет запятую; зачеркнет нули, стоящие левее правой из записанных
цифр.
И конечно же, необходимо не только рассказать о том, как
выполняется операция отделения нужного числа десятичных
знаков, но и показать, каким образом осуществляется отделение.
Например, вырезать из бумаги запятую и продемонстрировать ее
перемещение влево, сопровождаемое отсчетом цифр; обратить
внимание учащихся на то, что в натуральном числе можно
приписать слева сколько угодно нулей (сделанная на доске запись
одновременно дополняется тремя-четырьмя нулями); отделить
нужное число цифр; обратить внимание на то, что в записи
десятичной дроби слева от запятой может быть лишь один нуль.
Если графопроектора нет, надписи могут делаться на классной
доске. В этом случае текст обязательно проговаривается, а на
доске фиксируется лишь образец выполнения каждой операции
(см. образец оформления записей, рассмотренный в гл. 2).
Но при этом необходимо, чтобы записи операций с
конкретными числами сопровождались комментариями, фиксирующими
сущность каждой операции. В рассматриваемом примере
комментарии к расчлененной на отдельные операции записи алгоритма
перемножения десятичных дробей могут иметь такой вид:
1) перемножаем натуральные числа, которые получатся, если
в каждом из множителей отбросить запятую;
2) подсчитываем, сколько десятичных знаков в каждом из
множителей;
3) отделяем справа в произведении натуральных чисел столько
десятичных знаков, сколько их в обоих множителях вместе.
Как отмечалось в предыдущих главах, в тех случаях, когда
в ходе самостоятельного оперирования с материалом у учащихся
происходит сбой, их надо возвращать на предыдущие этапы
оперирования, вплоть до максимально подробного выполнения
заданий с непосредственной опорой на схематически записанное
основное содержание. Поэтому желательно, чтобы краткие
схематические записи алгоритмов появились не только на доске или экране
графопроектора, но и в предназначенных для таких записей
102

тетрадях учащихся, в которые они могут в случае необходимости
заглядывать на протяжении длительного времени. Однако
выполнение таких записей в тетрадях связано с расходованием
драгоценных минут урока.
Выход мы видим в том, чтобы каждый ученик получил так
называемую тетрадь с печатной основой (ТПО)—брошюру
одноразового использования, в которой часть текста,
предназначенного для переноса в ученическую тетрадь, напечатана, а на месте
пропущенных слов, символов, выражений оставлены места,
предназначенные для самостоятельного заполнения учащимися. При
этом пропущены основные, наиболее важные, «ключевые» слова
(о ТПО см., например, [25; 26]). Если материал учеником понят,
заполнить пропуски совсем легко и требуется для этого небольшое
время. Но главное, вписывание наиболее важного и
существенного заставляет ученика концентрировать свое сознание именно
на этом наиболее важном. Это способствует лучшему осознанию
и запоминанию материала, на который ученик должен будет
впоследствии ориентироваться, решая задачи.
Вот как, например, может выглядеть фрагмент ТПО,
предназначенный для фиксирования сложения дробей с различными
знаменателями (алгоритм рассмотрен в гл. 2).
и , 8 14
Чтобы сложить дроби — и — с знаменателями, надо
9 15 ^
1) привести дроби к знаменателю: —= ;
К =
15~ :
40
2) полученные дроби: — =
82
3) если можно, получившуюся дробь: —
45
дробь;
(сократимая; несократимая)
4) если можно, исключить в получившейся дроби
82_
45 - •
Смысл первого пропуска — обратить внимание учащихся на то,
что рассматривается правило сложения дробей, у которых
знаменатели различны. Далее сознание учащихся направляется
на то, что дроби должны быть приведены к о б щ е м у
знаменателю, что дроби надо попытаться сократить и
исключить целую часть. Здесь же даны образцы записей.
Заполнение пропусков в них стимулирует переход к
самостоятельному подконтрольному выполнению сложения.
Обратите внимание; если заполнение пропуска может вызвать
затруднение (неясно, какие из возможных слов сюда следует впи-
103

сать), ниже печатается подсказка: указываются
альтернативные варианты записей. В рассматриваемом примере учащиеся
должны записать, что полученная дробь несократимая.
К сожалению, в настоящее время ТПО издаются лишь для
экспериментальных целей. Пока их выпуск не налажен, можем
лишь предложить вам, товарищи учителя, писать на прозрачном
материале и проецировать с помощью графопроектора основное
содержание изучаемого материала с пропущенными ключевыми
словами. Пользуясь такими текстами с пропусками, учащиеся
должны сделать соответствующие записи (разумеется, уже без
пропусков!) в своих тетрадях. Такая работа, заставляющая
ребенка на ходу переписывания думать над наиболее важным в
записях, конечно же, неизмеримо более эффективна, чем
бездумное копирование готовых текстов.
Первый урок цикла мы рекомендуем завершить организацией
подконтрольного оперирования учащихся с подлежащими
усвоению знаниями. Здесь же начинается переход к самоконтролю.
«Вручную», без средств обучения организовать нужную работу
весьма нелегко. Существующее положение может коренным
образом изменить издание ТПО. Можно надеяться, что выпуск таких
ТПО будет в ближайшее время налажен. Поэтому мы начнем
описание того, каким образом может быть организована работа на
этом этапе, с рассмотрения соответствующих заданий ТПО.
В гл. 2 мы рассмотрели алгоритм перемножения десятичных
дробей. На анализируемом этапе необходимо организовать
подконтрольное выполнение каждой операции. Приведем задание
ТПО, с помощью которого удобно организовать такую работу.
Найдите произведение чисел 0,03081 и 5,02.
Решение. Чтобы перемножить десятичные дроби 0,03081 и 5,02, надо:
1) перемножить числа
.,3081
х 502
2
0
5
-К
2) подсчитать число десятичных знаков в множителях и :
0.03081, 5.Q2,
знаков знака
3) отделить в полученном нужное число знаков:
1546662 1546662
( -)- ) знаков
Ответ: 0,03081-5.02= .
104

Ясно, что в случае отсутствия ТПО словесные разъяснения
следует организовывать устно. В тетрадях учащихся фиксируется
лишь ход и результаты выполнения каждой операции.
Приведем еще один фрагмент ТПО, предназначенный для
организации усвоения того же алгоритма.
Заполните пропуски.
Чтобы перемножить десятичные дроби 2,0073 и 0,541, надо:
1) перемножить числа и
(т. е. выполнить умножение, не обращая внимания на ); 2) подсчитать
число знаков в каждом из множителей; 3) отделить
в получившемся после перемножения натуральном
(слева, справа)
числе столько десятичных знаков, сколько их в множителях и
вместе (направление отсчета десятичных знаков указывается с
помощью ).
v 2.0073^
х 0.541
( + ) знаков
1) •
2) 2,0073, 0,541,
знака знака
3) 93
( + ) знака
Такие задания переходные к полностью самостоятельному
оперированию. В них рассказ о ходе оперирования уже оторван
от самого оперирования и служит как бы напоминанием правила,
в соответствии с которым осуществляются вычисления. Такой
отрыв бчень важен. Ведь человек, умеющий вычислять, не
проговаривает в ходе вычисления содержание каждой операции.
Далее, в рассмотренном задании каждая операция
выполняется как бы дважды. Первый раз — слева, когда учащиеся под
руководством учителя выполняют перемножение натуральных
чисел, не переписывая эти натуральные числа, и сразу же фиксируют
ход и результаты этой операции, заполняя пропуски справа;
подсчитывают число десятичных знаков в каждом множителе (напри-
105

мер, прикасаясь непишущей частью ручки к каждому десятичному
знаку в множителе), а затем дублируют этот подсчет справа,
отсчитывают нужное число десятичных знаков слева и дублируют
этот же отсчет справа.
В случае отсутствия ТПО важно повторить правила
вычислений, а затем организовать вычисления таким образом, чтобы
каждая операция выполнялась еще отдельно, но уже отдельно не
фиксировалась. Например, записи учащихся, перемножающих
десятичные дроби, должны быть такими, как слева в приведенном выше
задании ТПО (после заполнения). При этом работа учащихся
может быть организована следующим образом.
Учитель, добившись, чтобы учащиеся сформулировали, что
следует делать в соответствии с первым шагом правила,
предлагает выполнить этот шаг, не выписывая соответствующие
натуральные числа, а прямо здесь же, не обращая внимания на
запятую. Затем напоминается содержание второго шага, он
выполняется, а его результаты учитель предлагает записать сбоку, отмечая
место записи такими дужками, как в рассмотренном выше задании
ТПО. Наконец, напоминается содержание третьего шага, и он
выполняется.
Еще одно-два задания важно выполнить по той же схеме, но
при этом содержание каждой из операций вспоминается лишь в
тех случаях, когда учащиеся ошибаются или затрудняются.
После этого можно предложить не записывать число
десятичных знаков в каждом из множителей и в произведении, а сразу
осуществлять отсчет. Записи учеников становятся такими, какими
они должны стать в результате обучения рассматриваемому
правилу.
Второй урок трехурочного цикла. Как уже отмечалось,
назначение этого урока — продолжить постепенный переход от
пооперационного контроля к самоконтролю.
Если внимательно прислушаться к тому, что говорят об
особенностях этого этапа усвоения психологи, то можно услышать
следующие рекомендации:
1. Чрезвычайно важно, чтобы ролевое участие ребенка в ходе
обучения менялось: он должен выступать в роли не только
обучаемого, но и обучающего.
2. Переход от подконтрольной работы к полностью
самостоятельному оперированию с подлежащими усвоению знаниями
осуществляется успешнее, если ребенок при выполнении одного-двух
заданий вслух обоснует каждый шаг своей работы, ссылаясь на
теорию.
Реализовать эти пожелания психологов в IV (V) классе нам
удается далеко не всегда и далеко не полностью. Но кое-что (и
совсем не мало!) сделать удалось. Проблема организации прогова-
ривания сильно облегчается, если в распоряжении учителя
имеются тетради с печатной основой: заполняя пропуски, ученик вынуж-
106

ден прочитывать текст и проговаривать его, хотя и негромко, про
себя. И это не только помогает перейти к самоконтролю, но и дает
образцы грамотной математической речи, образцы обоснований.
Но даже если ТПО нет, сделать можно многое. Но для этого надо
совсем «не по правилам» организовать урок решения задач.
Как сегодня обычно строится такой урок? Учитель говорит:
«Решайте самостоятельно задачу», называет номер задачи и...
сразу же вызывает ученика к доске. При этом многие ученики,
прекрасно понимая, что призыв к самостоятельному решению отнюдь
не серьезен, терпеливо ожидают, пока вызванный ученик не только
справится с задачей, но и получит одобрение учителя. (Иначе, чего
доброго, спишешь с доски, а там — ошибки.)
Иногда учитель пытается бороться с такой тактикой учащихся.
Например, вызывает ученика к откидной доске или переносной
доске и организует его работу так, чтобы класс до поры до времени
не видел, что написано на доске. В этих случаях все внимание
учителя обычно бывает направлено на то, чтобы ученик выполнял
задание действительно самостоятельно. Всякая попытка получить
консультацию у соседа пресекается.
Ни описанные выше модели организации урока решения задач,
ни иные модели, о которых приходилось читать или слышать, не
способствуют тому, чтобы почувствовать себя в роли обучающего.
Между тем народная мудрость гласит, что, обучая другого, сам
лучше усваиваешь. Давно подмечена и важность речи для лучшего
усвоения. Многие дети интуитивно чувствуют это и, стремясь
лучше запомнить материал, проговаривают его. Но и обучение других,
и проговаривание материала если и осуществляется, то вне
учебного процесса. А мы поставили перед собой задачу обеспечить
усвоение непосредственно на уроке. И потому попытались
разобраться, нельзя ли обеспечить обучение других и собственное
проговаривание материала непосредственно в ходе урока решения задач?
Оказалось — можно. Хотя получается не всегда. И
осуществляется это с большими трудностями. Для этого нужно
организовать работу на рассматриваемом уроке следующим образом.
Начинается урок решения задач (второй урок цикла) с того, )
что дети рассаживаются таким образом, чтобы соседями по парте |
оказались ученики, приблизительно одинаково успевающие. Но ее- '
ли в классе имеется ученик, который заведомо нуждается в очень
серьезной помощи, заведомо не умеющий решать предложенные
задачи, его усаживают не с таким же, а со среднеуспевающим.
отзывчивым, готовым прийти на помощь учеником. У многих
учителей, с которыми мы работали, дети сами рассаживались вполне
оптимальным образом, учитывая при этом не только успеваемость,
но и личные симпатии и антипатии. Лишь в редких случаях их
приходилось пересаживать.
Итак, дети рассажены указанным образом. На доске появилось
несколько номеров задач, одинаковых для всех учеников в классе,
107

которые надлежит решить в течение урока. Вернее, в течение
отведенного на уроке времени. Потому что учитель до того, как
учащиеся приступили к решению, может потратить несколько минут на то,
чтобы разобрать задачу, которая подготовит учащихся к
самостоятельному решению, позволит обратить внимание на место в
условии, которое зачастую неправильно понимается, может
организовать повторение необходимой для решения формулы и т. п. И
заканчивается самостоятельное решение не по звонку, а за 10—15
мин до звонка. И здесь же, на уроке, проверяется.
На первых таких уроках, прежде чем приступить к решению,
учащиеся получают инструкцию о порядке работы:
1. Задачу надо стараться решить самостоятельно. Но если не
получается — необходимо обратиться за помощью к соседу.
2. Если товарищ обратился за помощью, надо попытаться
помочь ему найти то место в краткой схематической записи
основного содержания, опираясь на которое можно решить задачу.
Если это не помогает - надо объяснить решение с опорой на
соответствующее место в краткой схематической записи.
3. Если задача не выходит у обоих, надо попытаться вместе
найти нужное место в кратких записях основного содержания
и вспомнить соответствующее правило. В случае неудачи
обратиться к учителю или начать решать следующую задачу.
4. Ученик, справившийся с задачей, должен проверить, верно
ли ее решил сосед.
5. Если задачи решены правильно, надо по очереди рассказать
друг другу те правила, которые оказались нужны при решении
каждой из задач.
Чтобы ученик был «материально заинтересован» в успешном
решении задачи товарищем, в выполнении всех пунктов этой
инструкции, за решение соседям по парте ставится одинаковая отметка.
При этом, если один заслуживает, скажем, «4», а другой — «3», то
обоим поставят «3».
Исключение составляет хороший ученик, помогающий
товарищу: в случае удовлетворительного ответа «подшефного» хороший
ученик получает ту отметку, которую заслужил;— пятерку или
четверку.
Каким же образом выставляются отметки за урок решения
задач?
За 10—15 мин до конца урока учитель приступает к проверке
правильности решения задач и ставит отметки тем ученикам,
которые к этому времени справились с работой. Впрочем, некоторые
учителя опрашивают в первую очередь тех учеников, которые были
заранее предупреждены. Обычно учитель спрашивает таким
образом 4—5 пар, которые в случае получения положительных отметок
назначаются консультантами и приступают к проверке
правильности решения у остальных учащихся. К концу урока работы
практически всех учащихся оказываются оцененными.
108

Третий урок трехурочного цикла. Последний урок трехурочного
цикла в IV (V) классе — самостоятельная работа.
Начинается этот урок с воспроизведения основного содержания
изучаемого пункта. Работа может быть организована по тому же
принципу, что и начало первого урока цикла: учитель называет
изученный в этом пункте теоретический вопрос, а учащиеся
записывают на листочках его краткое содержание в той форме, которая
давалась в ходе объяснения нового материала. При этом
преподаватель может указать частные примеры, пользуясь которыми
следует записать вычислительное правило, или буквы, с помощью
которых оно может быть записано. Например, преподаватель
предлагает записать правило умножения десятичных дробей, используя
числа 3,08 и 0,012. Или предлагает записать сочетательный закон
сложения с помощью букв х, у, z.
Некоторые из реализующих описываемую методическую
систему учителей предпочитают организовывать рассматриваемую
часть цикла так, как это рекомендует В. Ф. Шаталов: учащиеся
без всяких дополнительных указаний со стороны учителя
воспроизводят то схематически записанное содержание, которое
сообщалось в ходе изложения. Поскольку в IV (V) классе объем
излагаемого материала, как правило, невелик, такая организация
работы возможна. Но предпочтительнее, мне кажется, описанная
выше форма воспроизведения.
В то время как все учащиеся воспроизводят основное
содержание материала, один или два ученика делают это на откидной
или переносной доске, на прозрачном материале и т. п., словом,
так, чтобы в ходе выполнения их работа не была видна классу, а
после того, как контрольные учащимися будут сделаны, могла быть
показана и обсуждена. При этом ученик не ограничивается
демонстрацией схематической записи, а рассказывает материал
учебника, постоянно ссылаясь на сделанные им записи, которые
выступают в качестве конспекта содержания пункта. Эти ответы не имеют
ничего общего с традиционными ответами у доски, о малой
эффективности которых говорилось выше. Дело в том, что ученикам,
только что отчитавшимся (сдавшим работы), еще интересно
узнать, хорошо ли они справились с работой. Кроме того, мы
рекомендуем заранее назначать или выбирать ученика, который будет
отвечать у доски.
Чтобы понять смысл последней рекомендации, представьте, что
вас пригласили в институт усовершенствования и совершенно
неожиданно для вас потребовали, чтобы вы вышли к доске и
рассказали всем, как доказывать теорему из школьного учебника.
Вероятнее всего, вы посчитаете такое требование возмутительным. И
будете правы: вам надо дать время подумать, подготовиться. Если
речь идет о нас, взрослых, мы все такие тонкости прекрасно
понимаем: мы личности, с нами надо вести себя вежливо. И забываем,
что ученик — тоже личность. И с ним тоже надо обходиться веж-
109

ливо и уважительно. Он, как и мы, должен знать, что его ожидает,
к чему следует готовиться. К тому же заранее подготовленный
ответ для класса, который расположен его слушать, безусловно
интереснее.
Могут сказать, что тем самым мы даем остальным ученикам
право не готовиться к ответу у доски, не читать учебник. Это не
так. Ответ у доски обсуждается: учащиеся отмечают ошибки,
неточности, дополняют рассказ ученика и т. д. Каждый ученик в
классе может и должен стать участником обсуждения. И наблюдения
показывают, что для ученика IV (V) класса это достаточный
стимул, чтобы читать учебник, готовиться к обсуждению.
Воспроизведение основного содержания всеми учениками и
ответ у доски занимают обычно 10—15 мин. После этого начинается
подготовка к самостоятельной работе. Она заключается в том, что
учитель организует фронтальную работу, направленную на
решение учащимися 3—4 задач, аналогичных тем, которые будут в
конце урока даны для самостоятельной работы. При проверке решений
задач, особенно если они вызвали затруднения, необходимо
обращаться непосредственно к тому кратко записанному содержанию,
опираясь на которое задача может быть решена.
Последние 15—20 мин урока учащиеся пишут самостоятельную
работу. Мы рекомендуем для проведения ее снабдить учащихся
брошюрами, в которые собраны все задачи каждого из четырех
вариантов самостоятельной работы. Брошюры могут быть
изготовлены из выпускаемых в настоящее время дидактических
материалов. Некоторые из них напечатаны так, что их легко разделить на
четыре брошюры. Но, честно говоря, нам бы хотелось, чтобы
учителю не надо было уничтожать труд людей, сшивших дидактические
материалы. Да и содержание задач, включенных в дидактические
материалы, нас не всегда устраивает. В частности, мы считаем
крайне важным, чтобы в каждой самостоятельной работе были не
"только обязательные задачи, правильность решения которых
свидетельствует о том, что основное содержание изученного
материала учащимися усвоено, но и дополнительная задача повышенной
трудности. Если ученик ее не решил, оценка не снижается. Но если
решил — ставится пятерка за решение этой задачи. Дело в том, что
среди тех, кто сегодня плохо знает материал и потому получает
неважные отметки, немало весьма способных, но по разным
причинам «запущенных» детей. Представляете, как ученик начинает
себя уважать, если ему удалось решить задачу со звездочкой! К тому
же тем, которые не сумели решить задачу в классе, мы предлагаем
подумать над ней дома. И если через некоторое время ученик
подходит и говорит, что он знает, как решать такую-то задачу, мы
рекомендуем не интересоваться, сам он додумался, с помощью папы
или товарища, а ставить против его фамилии в специальной
ведомости решения задач повышенной сложности красную точку. Для
младшего школьника это замечательный стимул. А для нас — спо-
110

соб стимулировать решение нестандартных задач, возможность не
на словах, а на деле заботиться о тех, кто потенциально может
заинтересоваться нашим предметом.
Единой для всех рекомендации, каким образом следует
организовывать проверку самостоятельных работ, у нас нет. Работающим
с нами учителям мы рассказываем о различных вариантах
организации проверки.
Наиболее эффективен (но не часто используется из-за того, что
требует сокращения времени урока на 5—7 мин) следующий
вариант. Самостоятельная работа пишется под копирку (как
математический диктант). Подлинник за 5 мин до конца урока сдается
учителю. После этого с помощью графопроектора или
каким-нибудь иным способом сообщается верный ответ. (Например,
хорошие ученики, в ответах которых учитель уверен, решают задачи
своего варианта на переносной доске или прозрачном материале.)
Но в этом случае приходится ограничиваться двумя вариантами:
иначе трудно организовать проверку.
Некоторые учителя предпочитают вывесить листочки с
решениями на доске. Ученик, сдав самостоятельную работу, подходит
с оставшейся у него копией к доске, сверяет свое решение с
решением учителя, отмечает верно и неверно решенные задачи,
оценивает свою работу сам. Иногда учителя даже выписывают на доске
домашнее задание в зависимости от того, какие ошибки в
самостоятельной работе допущены. Например, на доске заранее
записывается: со стр. 112 (т. е. ученику, который сделал ошибку
при решении задачи 1 самостоятельной работы, надо дома сделать
задачу 235а и т. д.).
Для V (VI) класса наиболее подходящим остается трехурочный
цикл. Но 11 —15 наиболее важных в теоретическом плане тем мы
рекомендуем выделить отдельно, организуя при обучении этим
темам кроме описанных выше трехурочных циклов еще так
называемый урок общения.
Идея уроков общения принадлежит Г. Г. Левитасу. Они
организуются следующим образом. На уроке, следующем после
объяснения нового материала, учащиеся рассаживаются парами. Принцип
разбиения на пары описан выше, там, где рассказывалось об
организации урока решения задач. Цель урока общения — обеспечить
пересказ каждым учеником всего теоретического материала
изучаемого пункта. Чтобы облегчить пересказ, учащимся заранее
сообщаются вопросы, на которые они должны уметь отвечать. Таким
образом, ученик имеет возможность подготовиться к уроку обще-
I вариант II вариант
1) 24—235а;
2) 0—247а
1) 32—235а
2) 21—247а
III

ния дома. Но такая подготовка не является обязанностью: ученик
может подготовиться к ответу непосредственно в ходе урока
общения.
Итак, урок общения начался. Соседи по парте готовятся
ответить на вопросы, помогая друг другу и проверяя один другого, т. е.
сменяя роль обучаемого на роль обучающего. Как только первая
пара подготовилась, она отвечает учителю. И в случае успешного
ответа эти учащиеся объявляются консультантами. Каждый из них
начинает проверять следующую пару, еще одну пару опрашивает
учитель. В результате к концу урока все учащиеся в классе
опрошены. При этом мы рекомендуем, чтобы ни учитель, ни учащиеся не
опрашивали больше чем две пары.
Как и при работе парами на уроке решения задач,
поставленные учащимися отметки без последующей перепроверки
фиксируются учителем. Лишь в случае конфликтных ситуаций, если,
например, отвечающие не считают отметку, поставленную
консультантом, справедливой, учитель может сам опросить учеников.
Однако многолетняя практика проведения таких уроков
свидетельствует о том, что конфликтные ситуации возникают крайне редко.
При этом дети опрашивают даже более строго, чем учитель. А
стремление стать консультантом — важный стимул быстрой и
хорошей подготовки к ответу.
Любопытно, что уроки общения очень быстро становятся
самыми любимыми уроками учащихся.
В тех случаях, когда проводится урок общения,
воспроизведение основного содержания материала и последующий ответ у доски
не проводятся. Зачем? Ведь каждый ученик уже отчитался по
основному содержанию изученного материала.
Урок общения проводится обычно после уроков решения задач,
до урока самостоятельной работы. С точки зрения организации
деятельности учащихся такая последовательность уроков
оптимальна. Действительно, в ходе урока объяснения нового материала
обеспечивается ориентировка в новом материале, организуется
подконтрольная работа, начинается постепенный переход к
самоконтролю. Урок решения задач позволяет в основном завершить
процесс перехода к самоконтролю. При этом, поскольку учащиеся
вынуждены в явной форме обращаться к изучаемой теории,
обосновывая ссылками на нее, решение задач теоретический материал
запоминается без специального заучивания. Это позволяет в ходе
урока общения осуществить контроль за качеством запоминания.
При этом учащиеся имеют возможность в ходе подготовки к ответу
на самом уроке общения ликвидировать возможные пробелы в
знаниях. Наконец, в ходе последнего урока цикла (на уроке
самостоятельной работы) осуществляется «доводка» подлежащего
усвоению материала (свернутое, контролируемое лишь самим учеником
оперирование с ним), а также контроль за тем, усвоен ли материал
изучаемого пункта учебника.
112

Наряду с введением в V (VI) классе урока общения несколько
увеличивается в сравнении с IV (V) классом самостоятельность
учащихся. Уже на первом уроке цикла в ходе ориентировки многие
учителя организуют самостоятельное знакомство учащихся с
новым материалом. Например, учащимся предлагается прочитать
пункт учебника или какую-либо его часть, сделать конспект
прочитанного и выполнить указанные задания. Такая работа особенно
эффективна, если имеется ТПО: заполнение пропусков направляет
и облегчает работу учащихся.
На этапе подконтрольной работы также важно постепенно
увеличивать удельный вес полностью самостоятельной работы
учащихся. Это означает, что вместо пошагового контроля на этапе
подконтрольной работы можно в ряде случаев предлагать
учащимся самостоятельно выполнять все операции, опираясь на
ориентиры и образцы работы. (Для сравнения напомним, что в IV (V)
классе характерна была следующая организация работы:
преподаватель с помощью учащихся выяснил, какую операцию надо
выполнить, приступая к подконтрольной работе; учащиеся
выполняли операцию; результаты выполнения первой операции
контролировались; выяснялось, какую операцию следует выполнять второй,
и т. д.)
В VI (VII) классе практически все циклы четырехурочные
(все циклы включают урок общения). При этом, в сравнении с
обучением в V (VI) классе, происходят не только количественные
изменения (больше уроков общения), но и коренные качественные:
на первое по важности место выходят теоретические знания. Если в
V (VI) классе основное внимание учителя было направлено на
организацию усвоения вычислительных правил (алгоритмов), то
теперь наиболее важным становится усвоение определений и
теорем.
В гл. 3 мы показали, что при первоначальном знакомстве с
определениями, как правило, должны предъявляться схематические
записи определений, фиксирующие с помощью двойной стрелки
вводимый термин, род и видовые отличия. Естественно, эти
краткие записи должны фиксироваться в тетрадях учащихся и
использоваться всякий раз, когда возникают ошибки или затруднения.
Чтобы переписывание не превратилось в бездумное копирование,
желательно предъявлять схематические записи на классной доске
или на экране графопроектора с пропущенными ключевыми
словами, как в ТПО. Например, определение прямой
пропорциональности (п. 15 учебника [27]) может быть записано следующим
образом:
(Функция — прямая
жет быть задана формулой
5 Зак. 762
) о (функция МО-
, где ).
113

Если способ работы с определениями уже усвоен, такой записи
(после заполнения пропусков) вполне достаточно, чтобы, ничего не
заучивая, приступить к распознаванию и выведению следствий.
Если- же способ работы не усвоен, должны целенаправленно
отрабатываться те четыре вывода, которые могут быть сделаны с
помощью определения. При этом, если в распоряжении учителя
имеется графопроектор, желательно фиксировать эти выводы,
пропуская ключевые слова, и предложить учащимся записать
пропущенные слова «по строчкам», а после этого прочитать и обсудить
предъявленный текст.
Приведем в качестве примера фрагмент спроецированного на
экран текста (впрочем, эту запись можно рассматривать и как
фрагмент ТПО, предназначенный для того, чтобы связать в
сознании учащихся схематическую запись формулировки определения
и четыре вывода, которые могут быть сделаны с опорой на эту
формулировку).
Определение прямой пропорциональности позволяет сделать следующие
выводы:
(сколько)
1) (Функция — прямая )=Ф-(функция
может быть задана формулой , где кФ );
2) (Функция не является прямой пропорциональностью)^ (функция
быть задана формулой ^ , где
);
3) (Функция может быть задана формулой , где
k Ф 0)=>- (Функция — );
4) (Функция быть задана формулой
, где )=>(Функция
прямой пропорциональностью).
Построчные записи на черновике, назначение которых —
организовать вдумчивое прочтение текста каждым учеником, могут
иметь вид:
четыре
пропорциональность
y = kx
О
не может
у = кх кфО
y = kx
прямая пропорциональность
не может
y = kx; кфО
не является
Впрочем, если учащиеся пишут достаточно быстро, можно
предложить переписать текст без пропусков в тетради.
N4

Какой должна быть подконтрольная работа, обеспечивающая
усвоение определений, достаточно хорошо видно из примеров,
рассмотренных в гл. 3. Но развернутое фиксирование каждой
операции при решении вопроса, могут или не могут указанные объекты
быть обозначены данным термином, а также дублирование
результатов распознавания с помощью знаков « + », « — », «?» и
фиксирование затем результатов выполнения каждой операции с помощью
этих знаков — лишь общее направление поисков. При организации
усвоения конкретных определений воспользоваться этими
указаниями в качестве шаблона при составлении учебных задач удается
далеко не всегда. Например, следующее задание и его решение,
которые могут быть предъявлены с помощью графопроектора или1 в
ТПО, хотя и реализуют указанные рекомендации, имеют свою
четко выраженную специфику, идущую от особенностей материала,
вкусов и мастерства составителей.
Какая из функций является прямой пропорциональностью: а) у = 2х — х;
б) у = Зх х 2х; в) У = ^р
Решение. Функция — прямая пропорциональность, если выполняется
следующее условие: функцию можно задать формулой вида ,
где
а) у= k=
< + : -; ?)
б) у = х; k = _
( + ; -; ?)
в) у = -х\ к=
( + ; -; ?)
Ответ. Прямой пропорциональностью является функция в случае
(а. б. в)
В случае отсутствия графопроектора и ТПО аналогичные
записи должны по указанным учителем образцам оформления
выполняться каждым учеником в классе и немедленно проверяться
(например, с помощью описанной выше методики «голосования»,
когда у одного ученика учитель спрашивает, что он написал, а
остальные сообщают свое согласие с этим ответом).
Как мы показали выше, выведение следствий из факта
принадлежности (не принадлежности) к объему понятия
осуществляется либо в форме письменного фиксирования следствий, либо в
форме устного проговаривания, либо в том, что учащиеся
вспоминают соответствующие выводы. При этом совсем не обязательно,
чтобы в самом задании требовалось сделать следующие из
определения выводы принадлежности или непринадлежности к объему
рассматриваемого понятия. Примером может служить такая зада-
5*
115

ча на выведение следствий принадлежности к объему понятия
«прямая пропорциональность», решение которой может быть
предъявлено с помощью графопроектора или ТПО:
Функция — прямая пропорциональность. Точка М (2; —6) принадлежит
графику этой функции. Задайте эту функцию формулой.
Решение. (Функция — прямая пропорциональность) => (Функция может
быть задана у= , где ).
Точка М ( ; ) принадлежит графику, и потому — кХ
Отсюда k = .
Ответ. у= .
В случае отсутствия графопроектора и ТПО дефицит времени
вряд ли позволит тратить время урока на решение чисто учебных
задач, в которых прямо требуется фиксировать все выводы,
которые могут быть сделаны на основании того, что объект
принадлежит (не принадлежит) к объему рассматриваемого понятия.
Вместо этого необходимо в ходе решения текущих задач время от
времени просить учащихся разворачивать условие.
Все сказанное о предварительном знакомстве с определениями
в полной мере относится и к формулировкам теорем.
«Заготовки» на экране графопроектора, на доске или в ТПО,
которые после заполнения пропусков должны стать краткой
схематической записью формулировок теорем, должны помочь
учащимся осознать как условие, так и заключение теорем. Приведем
в качестве примера такой фрагмент с формулировкой
первого'признака равенства треугольников (рис. 19).
(У треугольников ABC и А\В\С\ В_
В соответствии со сказанным в гл. 4 подконтрольное
оперирование с формулировками теорем заключается в фиксировании
последовательности операций при распознавании объектов,
удовлетворяющих условию теоремы, и в фиксировании у тех из них,
которые удовлетворяют условию, всей совокупности свойств, о которых
говорится в заключении теоремы. Если же объект не
удовлетворяет условию, то должен быть фиксирован вывод: «Теорему
применить нельзя».
Учитывая сказанное, целесообразно таким образом
организовать работу с формулировками теорем, чтобы свойства, о которых
116

говорится в условии теоремы, а также заключение теоремы
фиксировались. Например, решение задачи: «Найдите на рисунке...
равные треугольники и докажите равенство» — может быть
оформлено следующим образом.
Вначале высказывается гипотеза о равенстве треугольников и
выписываются их обозначения:
ААВС, AACD.
Затем выписываются свойства, составляющие условие теоремы, с
помощью которой может быть установлено равенство этих
треугольников:
AB = CD (по условию),
АС — общая сторона,
/LBAC= /-ACD (по условию).
Только после этого ставится знак равенства: ААВС= aACD.
Рядом, в скобках, отмечается номер признака, позволяющего
сделать соответствующий вывод, или его «расшифровка»:
«равенство углов ВАС и ACD между равными сторонами АВ и CD, АС и
АС*.
Снятие контроля в соответствии со сказанным в гл. 3 может
осуществляться с помощью знаков «-)-», «—», «?». Например,
рассмотренное выше доказательство равенства треугольников на
этом этапе может быть в тетрадях учащихся оформлено так.
Высказывается гипотеза о равенстве треугольников, и
выписываются их обозначения.
■ Высказывается гипотеза, что для доказательства равенства
можно воспользоваться первым признаком равенства
треугольников. Результаты проверки фиксируются:
1) +
2) +
3) +
После этого ставится знак равенства и указывается номер
признака. Разумеется, в ходе проверки краткие записи желательно уст-
,но расшифровать.
К перечислению следствий принадлежности к объему понятия
(с учетом рассматриваемой теоремы), а также к фиксированию
хода распознавания принадлежности к объему понятия полезно
возвращаться систематически в ходе решения задач. Ведь, как
было показано в предыдущей главе, необходимо стимулировать не
только организацию усвоения отдельных теорем, но и
формирование в сознании учащихся цепочек следствий принадлежности
к ранее введенному понятию (если теорема знакомит
учащихся с каким-либо новым его свойством) или возможность
обеспечить распознавание принадлежности к объему ранее
введенного понятия (если теорема вводит новую, достаточную
по отношению к этому понятию совокупность свойств).
117

В ходе доказательства, как было показано в гл. 4, на доске или
экране графопроектора должен фиксироваться ход отыскания
доказательства, а в результате этого процесса — основные шаги
доказательства от условия до заключения, причем правомочность
каждого шага должна быть понята учащимися в ходе
доказательства. Затем учащиеся должны фиксировать весь ход
доказательства от условия до заключения. Без ТПО такая работа
оказывается слишком трудоемкой, и потому учителя предпочитают
ограничиться проговариванием хода доказательства или привлекают к
такому проговариванию учащихся. Наличие ТПО облегчает
самостоятельное фиксирование всего хода доказательства учащимися,
включая и необходимые ссылки на ранее изученные определения и
теоремы.
Рассмотрим фрагмент ТПО, помогающий учащимся
фиксировать доказательство первого признака равенства треугольников в
том случае, когда доказательство велось по учебнику [28]. Но
вначале приведем текст доказательства.
Теорема 8. 1. (Первый признак равенства треугольников.)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равны.
У треугольников ABC и Л|В,С, 1) АВ = АуВ\, 2) BC = BlCl. 3) /LB= /LBX =>-
=>{&ABC= Ai4,fl,C,) (см. рис. 20).
Доказательство. У треугольников ABC и А\В\С\ равны стороны АВ и
А\В\. Поэтому мы можем мысленно переместить часть плоскости с изображенным на
ней треугольником А\В\С\ таким образом, чтобы совместились отрезки АВ и А]В| и
при этом вершина угла В| совпала с вершиной равного ему угла В.
Прямая АВ разделила плоскость на две полуплоскости, в одной из которых
располагается треугольник ABC. Треугольник А\В\С\ после совмещения cropotiW
А[В\ со стороной АВ может оказаться либо в одной полуплоскости с треугольником
ABC относительно прямой АВ, либо в разных полуплоскостях (рис. 21). Если
треугольники окажутся в разных полуплоскостях, повернем часть плоскости с
изображенным на ней треугольником А\В\С\ вокруг прямой АВ так, чтобы
треугольники оказались в одной полуплоскости.
Поскольку углы В и В\ равны, при таком наложении они совместятся.
Следовательно, совместятся лучи ВС и В\С\. А поскольку отрезки ВС и Bid равны, точка
С совпадает с точкой С\.
Мы доказали, что можно наложить треугольники ABC и AiBtCt таким образом,
что совместятся все их вершины. Следовательно, эти треугольники равны. Теорема
доказана.
С
Рис. 20
Рис. 21
118

Поняв суть доказательства и имея перед глазами выполненные
в процессе доказательства схематические записи, учащиеся
приступают к заполнению пропусков в приведенном ниже
фрагменте ТПО, который дан непосредственно после краткой
схематической записи формулировки теоремы.
Доказательство. (АВ — ) =>- (Можно совместить отрезки и
). При этом ААВС и &А\В\С\ расположим так, чтобы вершина угла
совместилась с вершиной ему угла , а вершина С оказалась в одной
полуплоскости относительно прямой с вершиной .
Поскольку луч В А совместился при этом с лучом и = Z ,
совместится с . Поскольку ВС = , вершина совместится с
вершиной .
Значит, треугольники ABC и А\В\С\ можно наложить так, что совместятся
вершины и , и , и . Следовательно, эти треугольники
. Теорема .
Рассмотренная краткая запись доказательства теоремы,
обеспечивая завершение ориентировки в ходе доказательства,
является вместе с тем не чем иным, как подконтрольным
воспроизведением доказательства от условия до заключения.
Чтобы понять, какую еще работу следует организовать с
доказательствами, вспомним, что один из характернейших недостатков
в усвоении школьного курса математики — привязанность к
конкретному чертежу. Еще известный литературный критик,
революционный демократ Д. И. Писарев, критикуя догматическое
преподавание математики в гимназии, иронизировал над тем, как часто
ученик теряется, если ему предлагается повторить доказательство
с помощью чертежа, который смотрит «не в стену, а в потолок или
в пол». Учитывая важность этих наблюдений, позволим привести
их полностью.
«Доказывая геометрическую теорему, гимназист только
притворяется, будто он выводит доказательства одно из другого; он
просто отвечает выученный урок; вся работа лежит на памяти, и там,
где изменяет память, там оказывается бессильной математическая
способность, которую вы, благодушный педагог, уже готовы были
предположить в вашем речистом ученике. Конечно, если вы
перемените буквы чертежа, если вместо треугольника ABC дадите
треугольник МОР, то ученик докажет и по этому треугольнику,— но вы
этим не обольщайтесь; это покажет вам только, что отрок заучил
не буквы, а фигуру чертежа, потому что буквы заучивают только
нищие духом, которые учат слово в слово историю, географию и
другие литературные предметы. Такие личности уже переводятся
в гимназиях. А вы попробуйте изменить фигуру; предложите,
например, вместо остроугольника тупоугольник или устройте так,
чтобы заинтересованный в доказательстве угол глядел не в стену, как
ему велено глядеть по учебнику геометрии, а хотя бы в пол или в
потолок. Сделайте так, и я вам ручаюсь, что из десяти бойких
геометров пятого класса девять погрузятся в бесплодную и мрачную
задумчивость...» [29, с. 59].
1)9

Мы решили проверить, коренным ли образом изменилось
положение сегодня. С этой целью десяти ученикам VI—VII классов
московских школ № 45, 46, 103 и 170, имеющим по геометрии
хорошие и отличные оценки и изучающим ее по учебному пособию
А. В. Погорелова [22], было предложено вначале воспроизвести
доказательство первого и третьего признаков равенства
треугольников и решение рассмотренной в тексте этого учебника задачи:
«У треугольников ABC и А\ВХС\\ АВ = АХВХ, AC=AtCu ZC =
= /^С\—90°. Докажите, что ААВС= AA\B\Ci». Испытуемым
разрешалось заглядывать в учебник.
После того как испытуемый успешно справлялся с этим
заданием, ему предлагалось повторить то же доказательство, но
используя другие чертежи. Первый признак надо было доказать по
чертежу, на котором данный угол «глядел не в стену, а в пол»;
третий признак—рассматривая «треугольники», а не
«остроугольники»; в задаче вместо «горизонтальных» катетов АС и А\С\
было предложено рассматривать «вертикальные» катеты ВС и
В\С\.
Оказалось, что положение по сравнению с XIX в. если и
изменилось, то не коренным образом: все десять испытуемых
«погрузились в мрачную задумчивость». (И это несмотря на разрешение
в случае затруднений заглядывать в учебник.)
Учитывая сказанное, мы считаем необходимым включение
в ТПО задач, стимулирующих воспроизведение основных «шагов»
доказательства на существенно ином -чертеже.
Приведем в качестве примера задание ТПО, стимулирующее
воспроизведение основных вех доказательства рассмотренного
выше первого признака равенства треугольников на измененном
чертеже.
Запишите кратко формулировку и ход доказательства первого признака
равенства треугольников, используя обозначения рис. 22.
Рис. 22
Формулировка: (АС = ; = ; /LACB = )
=> ( _)■
Ход доказательства. Равные стороны и можно
так, чтобы совместились вершины и N углов.
Расположим при этом треугольники так, чтобы вершины и
оказались в полуплоскости относительно ( ).
На основании того, что /L = /L _, делаем вывод, что
совместился с .
Поскольку [ ] = , делаем вывод, что совместятся и третьи
вершины и . Это и означает, что А ABC .
120

В случае отсутствия ТПО воспроизведение основных вех
доказательства на измененном чертеже следует организовать
устно (на письменное фиксирование просто не останется
времени) или с помощью выполненных на прозрачном материале
и предъявляемых с помощью графопроектора заданий,
аналогичных только что рассмотренному.
Возникает вопрос: откуда взять время на описанную
организацию работы? Ведь учителя постоянно жалуются на острую
нехватку времени. А программа предусматривает, как правило,
на изучение пункта учебника не 4 ч, а существенно меньше.
Выход — в укрупнении порций материала, изучаемых
единовременно. Но это не должно быть механическим
объединением нескольких идущих одна за другой тем. Нам,
например, кажется совершенно недопустимым рекомендуемое В. Ф.
Шаталовым «прохождение» в течение одного урока большого
числа разнородных «кусков» материала.
В основе того «укрупнения», которое рекомендуем мы, все
тот же компонент, определяющий успешность или
неуспешность усвоения,— организация адекватной деятельности
учащихся с подлежащим усвоению материалом.
Пусть, например, необходимо организовать усвоение темы
«Степень с натуральным показателем». Это пункты 19—21
учебника [27]. На ее изучение положено потратить 5 ч.
Усвоению подлежит определение степени с натуральным
показателем и теоремы, которые знакомят со свойствами степени.
Замечательны эти теоремы тем, что их доказательства
опираются непосредственно на определение степени. Это
означает, что вместо изучения большого числа «отдельностей»
можно организовать усвоение одного только определения.
Но те задачи, с помощью которых обеспечивается усвоение
определения, необходимо подобрать так, чтобы учащиеся встретились
и с перемножением степеней с одинаковыми основаниями, и
с возведением степени в степень. Словом, со всеми фактами,
о которых говорится в теоремах, фиксирующих свойства степени.
Надо ли, например, ученику, которого познакомили с
определением степени с натуральным показателем, знать какую-
нибудь теорему, чтобы вычислить (25)3? Совсем1 ни к чему! Ведь
по определению степени надо рассмотреть произведение трех
множителей (25). И согласно тому же определению — каждый
из таких множителей представляет собой произведение пяти
множителей 2. Следовательно, всего имеем 3X5 множителей
2, т. е. (25)3= 25хз = 215.
Лишь после того, как учащиеся научатся с помощью
определения пользоваться теми свойствами, о которых говорят
соответствующие теоремы, эти теоремы следует сформулировать,
подчеркивая при этом, что они лишь фиксируют известные учащимся факты.
Укрупнение материала путем рассмотрения большого числа
121

вопросов в качестве частных случаев одного понятия, одного
подхода и т. п. может быть, вообще говоря, начато довольно рано.
Это обеспечивает выигрыш во времени и помогает избавиться
oj зубрежки. Ребенок должен понимать, что знаменатель дроби
показывает, на сколько равных частей делится целое;
о
числитель — сколько таких частей следует взять. Отработку этого
фундаментального понятия можно организовать так, чтобы
все задачи на дроби (очень трудные для учащихся)
выступали в качестве материала, к которому прилагаются полученные
знания.
3
Надо найти -у от 21? Нет ничего проще. Ведь известно, на
сколько равных частей следует разделить 21 (на 7) и сколько таких
частей взять (3 части). Получаем: (21:7) Х3 = 9.
3
Надо найти число, -у- которого составляют 21? Тоже не сложно.
Какое-то неизвестное нам число разделили на 7 равных частей,
таких частей взяли 3, и эти три части по условию равны 21. Значит,
1
можно найти, сколько составляет часть неизвестного числа
(21:3) и все число (21:3) Х7.
Наконец, если надо установить, какую часть составляют 3 км
пути от всего пути в 7 км, то можно рассуждать следующим
образом, сводя свои рассуждения к понятию дроби. Представим весь
путь расчлененным на километры. Ясно, что 1 км — это ^-пути, а
3
3 км — у- пути.
И отбор материала, подлежащего «укрупненному» изложению,
и организация усвоения большой порции материала — процесс
трудоемкий, посильный далеко не каждому учителю. И потому мы
считаем необходимым дать в распоряжение учителя некоторый
готовый вариант, от которого он, конечно же, может отходить.
Естественным носителем таких предложений является ТПО.
Приведем пример заданий ТПО, предназначенных для
организации усвоение понятия степени с натуральным
показателем.
Определение степени с натуральным показателем. Умножение и деление
степеней. Возведение в степень произведения н степени (п. 19—21).
А. а" — степень, п — степени, а — степени.
Определение 1. Если п — натуральное число и п> 1, то
ап — а-а-... -а
множителей
Определение 2. Если п=1, то а"= .
122

Б. 1) ат-ап = ,
так как
а 'О. =а-а-
множителей
множителей
m. л
множителей
2) Если а¥=, ; т п, то ат:ап=й
так как а
а = а—+—=<Г
3) (аЬ)" = а & , так как (abf = {ab)-{ab)-...-{ab) = (a-a-...-а)
'v(ft-fc»...-b\=a 6
-множителей
множителей — множителей
.слагаемых
Qm + m + ... + m д-
4) (am)n = o . так как (ат)" = ат-ат-...-а*
—множителей
А|. Запишите степень с основанием 2 и показателем 5.
Решение. Степень — это выражение вида а , где а —
пени, п — степени.
В данном случае а = ; п= .
Ответ.
Аг
сте-
а).
Наименование выражения
Запись выражения
Основание
Показатель
б)
пятая степень ^числа 3
в)
куб числа
г)
Д)
Аз. Вычислите: а) (—З)3; б) 121; в) (—I)6.
Решение, а) (—3) —степень с натуральным показателем п 1. Сле-
.(-3)3 = ( )-•( )•
довательно, надо воспользоваться определением
•(_) = -
(ТГ2)
б) 121 — степень с натуральным показателем л 1. Следовательно, надо
воспользоваться определением 12'=
(1; 2)
в) (—I)6 — с натуральным показателем и 1. Следовательно,
надо воспользоваться определением :(
(1; 2)
.)•( )•-■( ) =
множителей
11 С9
А*. Запишите в виде степени произведение 5-5
Решение. 5"-59=( • • ... -5) -(5-
* ' ч-
у
множителей
■ ... ■ ) = 5*5- • ._=
= 5
множителей
1\Ь
множителей
As. Запишите в виде степени, без скобок (3?)
Решение. (37)5 = 37-37- -З7 = (3-3- ... -3) • ГЗ-З- ... -3) -
' у I ' " - 'у / * у /
множителей
множителей
множителей
123

* У 1 ' ' V '
множителей множителей
Аб. Запишите в виде произведения степеней (17-29)8.
Решение. (17-29)8 = ( • ) •( ■ )•...•( • ) =
х у *
множителей
= (17 • 17 ■ ... • 17Ы29.29-....29)=17 .
множителей множителей
А7. Запишите в виде степени частное 4,9:44.
множителей
4*4* »4
Решение. 4 .4 = —;———- = 4■ 4 ■... ■ 4 = 4—.
4*4» ... • 4 *у *
, множителей
множителей
Б|. Упростите, если это можно, выражение, пользуясь формулами 1—4:
а) 5":59; б) (-9) ls:(-8)8; в) (-7)13-(-7)5; г) 43-253; д) (З7)5; е) 07:06.
Решение, а) Здесь можно воспользоваться формулой ат:ап= , так как
5^ и 11 . 5":59= .
б) Здесь воспользоваться формулой 2, так как основание сте-
(можно; нельзя)
пени у делимого , а у делителя .
в) Можно воспользоваться формулой ат. . (—7),3-(—7)6=
_ (1; 2; 3; 4)
= <_J =(-7)~
г) Воспользуемся формулой ■Аху)"= • • В данном
(1. 2. 3. 4)
произведении х= , у= , k = .43-253=( • ) =
Д) воспользоваться формулой (х*)р =
(можно; нельзя) (]; 2; 3; 4)
Здесь х= , Л = , р= .(37)5= = .
е) воспользоваться формулой хт:хп— ___ , так как ее
(можно; нельзя)
можно применять лишь в том случае, когда Ф • .
Бг- Упростите выражения, указывая, какой из формул I—4 вы
пользуетесь:
а) о,5-о|2= ;
(1)
б) (-0,7)Ч-0,7)52= ;
в) (~)"Ч-0.25)3 = ( )'о.( ;
г) (4,7)8:4.73 = ;
124

(-2)100
e) (0,8)l5:(-i)"= : =
3) (Xi5)<= ;
И) {(~\$)5)3 = ;
К) Х17У7= ;
Л) 56-5'°^~ ;
м) (3,1)7"^1= . =
В ходе объяснения нового материала учитель останавливается
лишь на определении степени с натуральным
показателем. Учащиеся заполняют пропуски в пункте А и выполняют
задания Ар—А7. Но прежде чем учащиеся приступят к
самостоятельной работе в ТПО, важно подчеркнуть, что на уроке общения
им предстоит самостоятельно познакомиться с теоремами 1—4,
заполнить пропуски в пункте Бив заданиях Бг — Бг. Если в ходе
урока ясно, что одного урока общения недостаточно, работа
может быть продолжена и завершена на следующем уроке.
Для VI (VII) класса это не характерно, но в старших классах
становится нормой.
В следующем классе преподавание организуется почти так же,
как в VI (VII). Но материал еще более укрупняется. И изложение
материала некоторых пунктов приобретает новую форму, которая
характеризуется тем, что учитель подробно знакомит учащихся
лишь с частью материала и организует самостоятельное изучение
всего остального материала. Впрочем, и в том случае, когда
осуществляется подробное знакомство с материалом, изложение
имеет свою специфику. Преподаватель тем или иным способом
(например, используя графопроектор) сообщает первую порцию
информации, давая при этом краткие пояснения. Учащимся предлагается
сразу же после завершения изложения составить краткую
схематическую запись этой порции информации (например, заполнив
пропуски в Соответствующем месте ТПО). Тем или иным способом
правильность заполнения проверяется (например, с помощью
графопроектора проецируется верная запись). Затем учащимся
предлагается выполнить одно-два задания, помогающих организовать
оперирование с рассматриваемой порцией информации. Наиболее
важные и трудные задания также проверяются. При этом важно
организовать работу так, чтобы, во-первых, фиксировался вывод и
учитель имел возможность спросить не «Что ты думаешь?», а «Что
125

у тебя написано?». Во-вторых, важно организовать устный
комментарий, представляющий собой явные ссылки на теорию,
для организации усвоения которой давались задания.
Такая организация усвоения нового материала становится
возможной после того, как учащиеся усвоили, какой должна быть
краткая схематическая запись определений и теорем, научились
оперировать с определениями и теоремами (выполнять
распознавание и выведение следствий, разворачивать условия и заключения
теорем, записывать ход доказательства теорем от условия до
заключения, делая необходимые ссылки). Потому что, как
установили психологи, если способ работы с изучаемым материалом уже
усвоен, достаточно обеспечить ориентировку в новом материале и
организовать оперирование с ним в какой-нибудь одной форме, т. е.
отпадает необходимость организовывать и подконтрольное
оперирование, когда и каждый шаг, и каждый вывод ученика
фиксируется; не надо обеспечивать постепенный переход к
самоконтролю. Важно лишь, чтобы ученик понял, что именно подлежит
усвоению и каким образом с этим материалом нужно работать; имел
перед глазами материал (иначе придется потребовать его
предварительного «выучивания»); хоть каким-нибудь одним способом,
скажем в уме, поработал с этим материалом.
В следующем классе описанная форма организации изучения
нового материала должна стать ведущей. При этом может
появиться необходимость в проведении внутри цикла не одного урока
решения задач или урока общения, а нескольких. В этом случае
учитель, изложив на первом уроке цикла весь материал, указывает,
что следующее занятие (урок решения задач или урок общения)
будет вестись не по всему изученному материалу, а только по
такой-то его части.
В тех случаях, когда некоторая порция знаний изложена в
учебнике таким образом, что для ваших учеников самостоятельное ее
изучение вполне доступно, можно вообще не излагать
соответствующий материал. Дети получают задание самостоятельно, без
помощи учителя, прочитать и законспектировать материал
(сделать краткие схематические записи), выполнить соответствующие
задания.
В следующем, IX (X) классе самостоятельная проработка
материала должна стать основной формой его изучения.
Циклы у Э. Е. Медновой, Ф. Д. Черток и других учителей,
прошедших со своими учениками от IV до X класса, строятся
следующим образом. В начале первого урока цикла около 15 мин идет
обзорная лекция по большой теме. Например, преподаватель
рассказывает о параллельности в пространстве: характеризует все
возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей;
обращает внимание на наиболее трудные доказательства. Сразу
после завершения обзорной лекции учащиеся приступают к само-
126

стоятельному изучению темы. Если ученик может самостоятельно
справиться с записью краткого схематического содержания той
части темы, которая указана учителем, он выполняет эту работу.
Если затрудняется — в его распоряжение желательно
предоставить ТПО.
Приведем в качестве примера фрагмент ТПО к пункту 15
учебника [22].
Параллельные прямые в пространстве.
{а\\Ь}о{а и Ь лежат в одной
(а н Ь скрещивающиеся)(а и ft не лежат
)•
Теорема J5.1.
Дано: А вне а (рис. 23).
Доказать:-1) Через А можно провести прямую Ь так, что ;
2) ft — единственная.
Доказательство. 1. (А вне а)=>-(Через Л и а можно провести
а) (Теорема 14. ).
2. В плоскости а через А проведем
Существование доказано.
3. Допустим, что существует прямая Ь\, которая тоже проходит через
и Ь\ а.
4. (Ь\\\а)=>- (существует плоскость В, в которой лежат и by, и
(определение прямых).
5. В проходит через А и и потому совпадает с . (Теорема
)•
6. ft и Ь\ совпадают (аксиома ).
прямой b также доказана.
Если ТПО в распоряжении учащихся нет, аналогичные записи
(с пропусками) можно рекомендовать прикрепить к доске. Если
ученик не может справиться с краткой схематической записью, он
имеет возможность подойти к доске, посмотреть образец записи,
а потом, разобравшись в трудном для него месте, выполнить
соответствующие записи самостоятельно.
За 10—15 мин до конца урока учитель проверяет правильность
записей у первых одной-двух пар, которые проверяют то же самое
у следующих пар, так что к концу урока все записи проверены.
Затем организуется несколько уроков общения, в ходе которых
конспектирование основного содержания продолжается и
завершается; несколько уроков решения задач. В конце изучения цикла
127

или после нескольких циклов организуется зачет. Назначение
зачета — привести в единую систему знания учащихся. Иначе
реальна угроза того, что за отдельными деревьями они не увидят леса.
Организация зачетов, которые могут проводиться эпизодически
и в среднем звене, но в старших классах должны стать нормой,
достаточно подробно описана в литературе (см., например, статью
Т. А. Берсеневой [13]). Мне лично представляется весьма
эффективной следующая процедура организации зачета, предложенная
преподавателем школы № 204 Москвы Т. Ф. Галайко.
Класс разбивается на 5—6 бригад. В каждой бригаде
избирается бригадир. На зачет отводится два урока. На первом из них
бригадиры излагают весь вынесенный на зачет материал, отвечают на
вопросы, показывают, как приложить теоретический материал к
решению задач, и т. п. Тем самым и учитель, и учащиеся имеют
возможность убедиться в их праве опрашивать других.
Одновременно учащиеся получают образцы правильного, грамотного
изложения материала, обеспечивается его повторение и закрепление.
На втором из отведенных на зачет уроков бригадиры
опрашивают своих подопечных, оценивают их знания. В конце этого урока
бригадиры характеризуют знания учеников своей бригады.
Описанные в этой главе подходы к повышению эффективности
педагогической технологии позволяют наметить пути
совершенствования всего методического обеспечения обучения математике.
Необходимо самое широкое внедрение в практику работы школы
таких средств обучения, как тетради с печатной основой,
звукозаписи математических диктантов, брошюры с индивидуальными
заданиями по вариантам для проведения самостоятельных работ
(вместо выпускаемых ныне дидактических материалов, которые
надо готовить к использованию, разрывая на части и комплектуя те
же брошюры), настенные таблицы, диафильмы, диапозитивы
и т. п. К сожалению, в настоящее время учителей нельзя обеспечить
многими пособиями, которые выпускает промышленность. Так,
диафильмы выпускаются смехотворно маленькими тиражами:
30 тыс. копий выпускаются... в течение 5 лет. Поэтому, не имея
возможности опираться в своих рекомендациях, скажем, на
использование диафильмов, мы вместе с тем считаем своим долгом
обратить ваше внимание, уважаемые читатели, на то, что
диафильмы, если они у вас имеются, очень полезно использовать при
объяснении нового материала. Ведь они и предназначаются для
того, чтобы облегчить вашу работу на рассматриваемом этапе (см.,
например, [25]). Чтобы убедиться в этом, посмотрите на
изображенные на рис. 24, а — г кадры диафильма «Параллельные
прямые и плоскости», изданного в 1985 г. студией «Диафильм». Они
не случайно сгруппированы парами: на первом из этих кадров дан
текст формулировки теоремы или условие задачи; чертеж,
позволяющий пояснить, как эту формулировку следует использовать;
128

Рис. 24
Дано: а \\ b\ т пересекает а и b
Докажите: т лежит в одной плоскости а с а и b
Дано: а \\ b; т пересекает а и b
а и b лежат в а
/I е га и 4 е а,
В е m и В е /).
А е а и В е а
Докажите: m лежит в одной плоскости с а и Ъ
Теорема 15.1
Через точку вне данной прямой можно провести
прямую, параллельную этой прямой, и притом только
одну.
Дано: А вне а
J
Докажите: 1) через А можно провести прямую Ь,
параллельную а;
2) прямая b — единственная.
Доказательство теоремы 15.1
Дано: А вне а
через А и а можно провести плоскость а
В а через А проводим Ь || а.
Предположим, через А проходит b\ \\ а
Проведем через а и bt плоскость
Докажите: I) через А можно провести прямую Ь,
параллельную а;
2) прямая b — единственная
краткая запись вида «Дано. — Доказать», стимулирующая начало
поиска доказательства. На следующем кадре дано доказательство.
Но не полное: для того чтобы замкнуть цепочку выводов, ведущую
от условия до заключения, необходимо сделать еще один шаг.
Не правда ли, с помощью таких кадров существенно проще
организовать поиск доказательств теорем и решение задач, чем с
помощью одной только классной доски?
Здесь не время и не место рассматривать выпускаемые в
настоящее время средства обучения, предназначенные для повышения
эффективности учительского труда, рассказывать о том, как их
следует использовать и хранить. Всех, кого этот вопрос интересует,
отсылаю к нашей книге [25]. Хотелось бы кратко остановиться
лишь на двух необходимых для успешного протекания учебного
процесса пособиях, о которых ничего не говорится в книге [25].
129

В настоящее время выпускается достаточно много
методических рекомендаций к обучению отдельным школьным предметам.
Тем не менее сегодня, к сожалению, учитель вынужден
придумывать сам, в какой форме целесообразно фиксировать основное
содержание излагаемого материала; каким образом организовывать
подконтрольную работу учащихся; как обеспечить постепенный
переход к самоконтролю. Это мы считаем ненормальным.
Схематически записанное содержание, которое должно стать
для ученика схемой ориентировочной основы деятельности, может
быть помещено в методических руководствах к обучению в каждом
из классов. Кстати, в тех же методических руководствах мы
считаем необходимым поместить тексты математических диктантов.
Даже если диктанты записаны на грампластинки или магнитную
ленту, иметь тексты при подготовке к уроку чрезвычайно удобно.
Примеры кратких записей при первоначальном знакомстве с
определениями, алгоритмами, теоремами рассмотрены в
предыдущих главах. Поэтому на примере задачи, условие которой было
дано на рис. 13, покажем лишь, какой вид может иметь в
методических указаниях запись хода отыскания решения задачи.
Последовательность появления записей на доске показана на
рис. 15, а — г. Цель итоговой записи, которая дана на рис. 25,
подсказать учителю, какой ход доказательства в классе мы считаем
оптимальным. Обратите внимание на то, что на рис. 25
фиксированы не только сами выводы, но и их последовательность.
«Расшифровываются» цифры, которые стоят слева в записи хода
доказательства, следующим образом.
Вначале на доске имеются лишь записи того, что дано по
условию и что требуется доказать, фиксированные таким образом,
чтобы между ними поместилось все доказательство, от условия до
заключения. Это относится к любому доказательству, и потому
номером строки «дано» и «доказать» не обозначены.
Следующий шаг — выводы, сделанные на основании
определения параллелограмма и теоремы о равенстве его
противоположных сторон,— в записи доказательства помечен цифрой 1.
Следующий шаг — совокупность свойств, наличие которых позволяет
сделать вывод, что интересующий нас четырехугольник является
параллелограммом,— помечен цифрой 2. И т. д.
Рис. 25
Дано: ABCD — параллелограмм; AN = СМ.
(1) ВС || AD, ВС = AD;
(4) ^3 = ^4;
(5) ANBD = AMDB;
(3) = ^2;
(2) ВМ || ND, BN || MD.
Доказать: NBMD— параллелограмм.
130

Кстати, указанную форму записи удобно использовать при
подготовке к уроку, когда вы продумываете последовательность своей
работы при первоначальном знакомстве учащихся с
доказательством теоремы. Если в вашем распоряжении имеется графопроектор,
то схематические записи основного содержания удобно заранее
подготовить на прозрачном материале.
Важный резерв на пути снятия перегрузок, обеспечения посиль-
ности усвоения школьного курса математики практически всеми
учащимися — совершенствование учебников.
С учебником ученик остается один на один в самых трудных
для него ситуациях: если проболел, если не понял объяснения
и т. п. Поэтому учебник должен направлять и организовывать
собственную деятельность учащихся. В соответствии со сказанным
в предыдущих главах это означает, что излагаемый в нем
материал должен быть представлен в таком виде, чтобы чтение текстов
и выполнение заданий стимулировали адекватное оперирование с
этим материалом. Это означает, что самое существенное должно
быть не только выделено, но и соответствующим образом схема-,
тизировано; непосредственно в текст должны быть включены
задания, стимулирующие подконтрольную работу учащихся;
наконец, должен стимулироваться постепенный переход к самоконтролю.
На первый взгляд эти требования нереальны хотя бы потому,
что подконтрольная работа подразумевает взгляд со стороны,
контроль кем-либо. А мы рассматриваем ситуацию, когда ученик
находится наедине с учебником. Однако если поместить здесь же в
учебнике решения тех задач, которые предназначены для
организации подконтрольной работы, а ученику предложить сверять
полученное им решение с тем, которое дано в учебнике, контроль
обеспечить можно. Переход к самоконтролю означает, что работа
выполняется уже самостоятельно, но постоянно сверяется с
ориентирами (теорией). В наших учебниках это стимулируется
задачами, помещенными в раздел «Реши, заглядывая в учебник».
Ученик должен иметь возможность убедиться, усвоен ли
теоретический материал, научился ли он решать задачи. Поэтому мы
посчитали необходимым включить в учебник разделы «Проверь
себя» и «Реши, не заглядывая в учебник».
Естественно, устроенным указанным образом учебником весьма
легко пользоваться, организуя описанное выше адекватное
оперирование учащихся с подлежащим усвоению материалом в
условиях классно-урочной формы обучения: тексты учебника и
помещенные непосредственно в тексты задания, стимулирующие
подконтрольную работу, естественно использовались на уроке объяснения;
из раздела «Реши, заглядывая в учебник» черпаются задачи на
уроке решения задач; раздел «Проверь себя» помогает
организовать работу на уроке общения; в разделе «Реши, не заглядывая в
учебник» помещены задачи, помогающие организовать подготовку
к самостоятельной работе.

Глава 6
УДАЕТСЯ ЛИ СНЯТЬ ПЕРЕГРУЗКИ?
Итак, мы познакомились с педагогической технологией,
основанной на использовании в учебном процессе достижений советской
психологической науки, и педагогической техникой, позволяющей
учителю организовать адекватную подлежащему усвоению
материалу учебную деятельность учащихся непосредственно в ходе
урока. Достаточно ли этого, чтобы обеспечить посильность обучения
школьному курсу математики, снять перегрузки?
Более чем 20 лет мы занимались описанными в предыдущих
главах проблемами и все это время пытались ответить себе и
другим на вопрос о перегрузках. За эти годы, особенно в условиях
массового эксперимента, который проводился с 1981/82 по 1988/89
учебный год в Латвии, Армении и Москве, накоплен огромный
материал. И не так легко понять, что же из имеющихся в нашем
распоряжении данных выделить и обнародовать, чтобы убедить
вас, уважаемый читатель: посильность достигается — перегрузки
практически ликвидируются.
Вроде бы естественно сравнить результаты обучения в
экспериментальных и контрольных классах. Но беседы с учителями и
методистами показывают, что эти цифры в принципе никого
убедить не могут: успеваемость повсеместно, как утверждают злые
языки, готова перевалить за 100 %.
И все же есть один показатель успеваемости, который нам
представляется убедительным. Это — доверие учителя к поставленным
им отметкам. Действительно, анкеты, предложенные учителям в
обычных классах, свидетельствуют: лишь сравнительно немногие
учителя считают, что каждая поставленная ученику тройка
означает «знания удовлетворительные». Для большинства печально
знаменитое «три пишем — два в уме» все еще грустная реальность. А
учителя, которые реализуют разработанную нами методическую
систему, практически все уверены в достоверности поставленных
ими отметок. Эта уверенность подкреплена как тем, что каждый
ученик не менее 4 раз отчитывается по каждому из изучаемых
пунктов учебника, так и субъективным ощущением: действительно
удается «добраться» до каждого, научить каждого.
Важнейшим показателем того, что обучение в
экспериментальных классах действительно посильно учащимся, осуществляется
без перегрузок, являются медицинские показатели: если
учащиеся усваивают материал замечательно, но при этом подрывают свое
здоровье, экспериментальная методика не имеет права на
существование.
Сами мы решить вопрос о том, посильно ли обучение в
указанном смысле, естественно, не смогли. Более того, у нас и у тех, кто
пристально следил за нашей работой, появились серьезные опасе-
132

ния. Они были вызваны тем, что внедряемая технология приводит
к резкой интенсификации ученического труда в ходе урока.
Необходимо было проверить: не приводит ли это к нежелательным
последствиям для здоровья детей, не дезорганизует ли работу на
следующих уроках? (Может быть, ученики так устают на уроке
математики, что на следующих уроках им приходится расслабляться,
отключаться?) Чтобы ответить на эти и многие другие вопросы,
связанные с влиянием нашей методической системы на здоровье
детей, мы обратились к специалистам Института гигиены детей и
подростков Минздрава СССР. Они с пониманием отнеслись к
нашим проблемам. На протяжении 1977—1979 гг. А. М. Еремеевым
под руководством Е. К. Глушковой было выполнено исследование,
позволившее сравнить медицинские показатели в
экспериментальных и в контрольных классах. Результаты этих исследований
опубликованы в журнале «Гигиена и санитария» (1980, № 11 и 1981,
№ 11). Ввиду уникальности этого эксперимента расскажем о нем
более подробно.
И экспериментальные и контрольные классы были взяты в
одной школе (№ 858 Москвы). Экспериментальными были шесть
четвертых классов (216 учащихся), контрольными — оставшиеся два
четвертых класса (79 учащихся).
Прежде всего, изучалась динамика утомляемости учащихся, о
которой судили по изменению работоспособности и сдвигам
некоторых функций центральной нервной и вегетативной систем. Для
этого использовались такие объективные методы, как метод
корректурных проб, хорошо зарекомендовавший себя в подобных
исследованиях. Проанализировав результаты выполнения более чем
22000 корректурных проб, исследователи вычертили и
проанализировали 5/7 «кривых работоспособности», характеризующих
динамику работоспособности каждого ученика и коллектива в целом
в течение учебного дня, недели и каждой учебной четверти.
Данные, полученные с помощью одной методики, уточнялись и
перепроверялись с помощью других методик. Например,
хронометрировалась учебная активность школьников, характер изменения
их учебной деятельности и двигательное беспокойство (проведено
более 13 000 хронометражных отметок на 266 уроках).
Часть учащихся в ходе уроков подвергались более детальному
обследованию: обвешивались датчиками, позволявшими
фиксировать величины латентных периодов условной зрительно-моторной
(ЗМР) и слухо-моторной реакции (СМР). Было проделано более
5000 таких обследований.
В отчете, опубликованном в упомянутых выше статьях в
журнале «Гигиена и санитария», рассказывается об определениях
критической частоты слияния световых мельканий (КЧСМ) и изучении
на базе этого функционального состояния зрительного
анализатора под воздействием учебной нагрузки; о новых методических
приемах оценки функционального состояния организма учащихся на
133

основе характеристики регулирования физиологических функций
(частоты сердечных сокращений и частоты дыхания)
непосредственно в процессе учебной деятельности на уроке (147 записей
электрокардиографа) и о многом-многом другом. Думается,
приведенных данных достаточно, чтобы сложилось впечатление о
тщательности исследования и достоверности выводов. Тем более что
именно такое мнение было у специалистов самого высокого ранга,
познакомившихся с этим исследованием (в частности, у проф.
М. В. Антроповой).
Какие же результаты получены медиками?
Сравнительный анализ исходных показателей, полученных в
I учебной четверти, когда на функциональном состоянии
центральной нервной системы учащихся еще не могла сказаться разница
в методике обучения, показал, что между экспериментальными и
контрольными классами не было существенных различий по
основным показателям работоспособности. Примерно одинаково
распределялись учащиеся и по группам работоспособности (1 -я группа —
наиболее высокий уровень работоспособности, 2-я группа —
средний, 3-я — низкий). Однако начиная уже со II учебной четверти
уровень показателей работоспособности при экспериментальном
обучении становится выше, а динамика — благоприятнее, чем при
традиционном. Но особенно существенными эти различия
оказались в IV четверти. Есть у физиологов такой комплексный
показатель работоспособности, который выражается числом. Если это
число большее чем 1— работоспособность нормальная, меньшее
чем I— человек утомился слишком сильно. Так вот, в
экспериментальных классах этот показатель в течение всего учебного
дня был устойчив (1,56— на первых уроках, 1,34— на последнем).
В контрольных классах он к последнему уроку снижался до 0,53,
свидетельствуя о большой утомительности традиционных уроков
для учащихся.
Аналогичные результаты дает сравнение работоспособности
учащихся в течение учебной недели. При экспериментальном
обучении только к субботе отмечается снижение комплексного
показателя работоспособности (до 1,41), в то время как при
традиционном обучении во все дни недели он меньше чем 1, что
свидетельствует о значительном напряжении функций организма,
обеспечивающих учебную деятельность, указывает на утомление учащихся.
Но самый большой сюрприз преподнесла годовая динамика
показателей работоспособности. Всегда, и контрольные классы это
подтвердили, к концу года работоспособность снижается почти
вдвое. А в экспериментальных классах этот показатель повысился
с 1,44 в начале года до 1,66 в конце! Да и все остальные показатели
позволили физиологам утверждать, что экспериментальное
обучение оказывает на учащихся более благоприятное и более
выраженное развивающее влияние, чем традиционное.
Еще об одном, последнем, результате, обнаруженном физиоло-
134

га ми, не могу не упомянуть — о переходе учащихся из одной
группы работоспособности в другую. Собственно переход из группы в
группу происходит всегда: те, кто в начале года находился в
первой группе работоспособности, постепенно утомляются,
комплексный показатель работоспособности снижается (с 2,5 до 1,5 в
контрольных группах), работоспособность оказывается уже не
высокой, а средней. Аналогично у многих учащихся, которые начинают
учебный год со средней работоспособностью, она постепенно
падает (с 1,5 до 0,49 в контрольной группе) и становится низкой.
Иной была картина в экспериментальных классах. У учащихся
с высоким уровнем работоспособности в этих классах к концу
учебного года наблюдалось повышение скорости и точности
корректурных заданий, а остальные показатели оставались
неизменными, т. е. ухудшения работоспособности не наступало.
У учащихся со средним уровнем работоспособности в
экспериментальной группе от начала к концу года наблюдалось
повышение скорости и точности выполнения корректурных заданий, а
комплексный показатель работоспособности несколько снижался
(с 1,37 до 1,05), но зато показатели функционального состояния
организма даже несколько улучшились.
Изменения работоспособности и функционального состояния
организма учащихся с низким исходным уровнем
работоспособности как при экспериментальном, так и при традиционном
обучении указывают на наступление утомления к концу учебного года.
Однако степень утомления неодинакова. При традиционном
обучении ухудшение выявляется по большему числу показателей и это
ухудшение более отчетливо выражено. Следовательно, несмотря на
большую интенсификацию умственной деятельности учащихся при
экспериментальном обучении (по сравнению с традиционным),
ее утомляющее влияние на организм учащихся с низким исходным
уровнем работоспособности менее выражено.
В результате, если в контрольной группе к началу учебного
года было 25,7 % учащихся с высокой работоспособностью,
53,8 % — со средней, 20,5 % — с низкой, то к концу учебного года
учащиеся первой группы составили лишь 15,4 %, за счет этого
возросло число учащихся второй группы, а третья группа не
изменилась.
В экспериментальных классах к началу учебного года было
30,8 % учащихся с высокой работоспособностью, а к концу года
эта группа увеличилась до 43,6 %! Зато группа учащихся с низкой
работоспособностью уменьшилась с 21,8 до 14,1 %!
Вы понимаете, что обнаружили медики? Дети работают гораздо
более интенсивно, чем в обычных классах, а утомляются меньше!
Почему? Потому, пояснили медики, что от занятости делом,
особенно если дело это человеку интересно, он устает гораздо меньше,
чем от безделья.
В пояснении медиков содержалось указание на чрезвычайно
135

J
важный «побочный продукт» обучения по экспериментальной
методике: детям стало интереснее учиться. Этот факт мы проверяли и
перепроверяли с помощью анкет, об этом нам говорили все наши
учителя-экспериментаторы. Так что тот факт, что в
экспериментальных классах существенно больше, чем в обычных, детей,
интересующихся математикой, любящих ее,— объективная
характеристика нашей методической системы. И это также косвенное
свидетельство посильности обучения в классах, работающих по
нашей методике: если учеба посильна, но на верхней грани
интеллектуальных возможностей ребенка, она становится для него
интересной.
Важным источником улучшения медицинских показателей в
экспериментальных классах медики считают сведение времени
выполнения домашних заданий к 20—25 мин — времени,
предусмотренному известным приказом министра просвещения СССР.
Нередко учащиеся вообще не получают никаких домашних
заданий: работа в классе ведется столь интенсивно, что нет
нужды перекладывать существенную часть работы на плечи
учащихся, заставляя их много работать дома. Тем более что всем
известно, и это подтверждают специальные исследования, например,
выполненные в свое время под руководством Ю. К- Бабанского, что
домашние задания выполняют главным образом те, кому делать их
совсем не обязательно. А учащиеся, не успевающие усвоить
материал в классе, переписывают задание у товарища или не
выполняют его совсем. (Риск невелик: в четверти и тем более в году двойку
учитель все равно не поставит, а статус троечника представляется
естественным, единственно возможным.) Таким образом, давая
большие домашние задания, учитель понимает, что стоит
«ослабить вожжи» и будет воспитываться недобросовестность,
формироваться убежденность будущего гражданина, что можно жить, не
слишком сильно утруждая себя, прячась за спины других.
Отсюда — стремление если не устранить, то уменьшить возможность
списывания. Иными словами, наблюдается состояние «войны»
между учителем и учащимися. Победителей в этой войне нет.
Сумел ли учитель уличить списавшего или тому на этот раз удалось
провести учителя — проиграли обе стороны: в условиях «войны» не
может быть и речи о сотрудничестве, без которого нельзя
осуществить подлинное воспитание. И даже если учителю удалось
заставить ученика выполнять задания, не ясно, чего больше при этом —
вреда или пользы. Об этом мы говорили в гл. 1.
Нет необходимости доказывать, что снятие перегрузок в учении
не может осуществляться за счет «усреднения» учителей и
учащихся, нивелирования их творческих индивидуальностей. Ведь стране
нужны творческие, инициативные люди. Между тем описанная в
предыдущей главе педагогическая технология дает повод для
такого беспокойства. Ведь всем учителям, независимо от стажа,
мастерства и т. д., всем ученикам, независимо от успеваемости,
136

интереса к предмету и т. д., предписывается выполнять одно и то
же: организация обучения циклами диктует учителю
последовательность и содержание работы (начинай с проведения
математического диктанта, потом приступай к объяснению и заполнению
ТПО и т. п.). При этом вроде бы никак не учитываются
индивидуальные особенности детей. Именно такие опасения были
высказаны нам, например, в 1986 г. в ходе обсуждения нашей
методической системы на заседании лаборатории оптимизации, которой
руководил Ю. К. Бабанский.
В действительности никакого «усреднения» не происходит.
Единообразие циклов не имеет ничего общего с однообразием,
шаблоном, рутиной. Единообразие, с одной стороны, удобно учителю
и ученику, так как позволяет четче спланировать свой труд;
начинается новый цикл — надо приготовить все для написания
математического диктанта, начался урок общения — надо с первых
секунд урока приступить к повторению материала и т. п. С другой
стороны, выполнение каждого предусмотренного методической
системой шага — творческий процесс, эффективность которого
зависит от того, хорошо ли «сработал» учитель, проявил ли все свои
потенциальные возможности ученик. Например, проверка
диктанта может осуществиться формально (учитель показал верные
ответы— ученики поставили рядом со своими ответами знаки « + »>
« — », «?»), а может быть организовано обсуждение, действительно
подготавливающее ученика к восприятию нового. Изложение
нового материала никак не регламентируется: учителю оставлена
полная свобода проявления творческой индивидуальности.
Ну а как сам учитель, реализующий нашу методическую
систему, ощущает свое «творческое состояние»? Представьте
себе — как раскрепощение своей творческой индивидуальности.
Это подтверждают результаты опроса, которые мы регулярно
проводили все эти 20 лет. Отвечая на соответствующие вопросы
анкет, практически все учителя отвергали мысль о том, что наша
методическая система сковывает их творческую индивидуальность.
А в развернутых отзывах, которых у нас за эти годы скопилось
предостаточно, мы находим такие, например, признания: «Работаю
почти 20 лет, но только сейчас поняла, что можно не только учить,
но и научить всех», «Никогда не любила преподавать в IV—V
классах. Теперь понимаю: потому что не ощущала, что удается учить
их математике. Ваша система позволила ощутить себя личностью,
творящей личности учеников и в этих классах».
Что касается учащихся, то и здесь мы имеем нечто
принципиально противоположное нивелированию индивидуальностей. Да.
все дети пишут один и тот же диктант, заполняют одни и те же
пропуски в ТПО и т. д. Но эту работу они выполняют лишь
небольшую часть времени, отведенного на изучение материала. И
такая работа для лучшего ученика класса так же важна, как для
последнего «троечника»: постигается, или приводится в систему,
137

или закрепляется то, что должны усвоить все. Но при этом уже в
ходе запоминания ТПО ученик работает в своем темпе. И если
заполнение оказалось для него, скажем, очень простым и он
справился с заданием быстро, можно заняться чем-нибудь для
него интересным. Например, подумать над задачей повышенной
трудности. Да и дома, поскольку домашнего задания практически
нет, можно заниматься любимым делом. Тем самым появляется
реальная возможность не на словах, а на деле больше внимания
уделять учащимся, интересующимся математикой. Ведь обычно у
учителя уходят все силы и энергия, чтобы со своими «слабыми»
справиться. А наши учителя имеют реальную возможность вместо
обязательных домашних заданий давать необязательные,
учитывающие вкусы и интересы ученика. Стихийно возникло и нами
сейчас пропагандируется специальное «приспособление»,
стимулирующее выполнение учащимися необязательных заданий. Оно
представляет собой начерченную на большом листе таблицу, в
строках которой — фамилии учеников класса, а в столбцах —
номера задач повышенной трудности, предложенных учащимся для
необязательных домашних размышлений. Справился с заданием
ученик, показал учителю решение, ответил на поставленные
вопросы, если они возникли,— против его имени в соответствующей
графе появилась точка или плюс. Всем видно, кто часто
справляется с дополнительными задачами. Для учащихся, особенно
IV—VI классов, это мощный стимул.
Впрочем, и в ходе уроков интересы «сильных» учащихся мы
никоим образом не забываем. На каждом уроке самостоятельной
работы им предлагается задача повышенной трудности
(невыполнение этого задания никак не карается, а выполнение поощряется
пятеркой); опрашивая их в ходе урока общения, учитель имеет
возможность поговорить о тонкостях, которые с другими учениками
обсуждать ни к чему, и т. п.
Словом, не случайно, подводя итоги дискуссии на упомянутом
выше заседании лаборатории оптимизации, Ю. К. Бабанский
сказал: «Все сидящие здесь понимают, как важно
индивидуализировать работу учителя, предоставить возможности для проявления
его творчества. Но не менее важно предоставить в распоряжение
учителя «педагогическую печку», от которой ему удобно танцевать,
реализуя свои творческие способности. Разработанная
лабораторией математики методическая система является именно такой
«печкой».
Еще об одном аспекте повышения эффективности обучения,
который важен для устранения перегрузок, хотелось бы упомянуть.
Это — внедрение в практику преподавания коллективных методов.
Правда, в разработанной нами методической системе действуют
микроколлективы — совокупности пар учащихся. Но они
отчитываются перед консультантами и сами выступают в роли
консультантов, в ходе зачета объединяются в группы и т. д. А поскольку
138

передопрашивающими на всех этапах (и при работе парами в ходе
обучения, и при опросе) ставится задача не только
констатировать, какие именно пробелы есть в знаниях, но и помочь устранить
эти пробелы, в классе создается особая атмосфера
доброжелательности, когда ученик не только заботится о себе и своих
отметках, но и «болеет» за товарища. В результате обучение становится
тем общим делом, которое позволяет превратить весь класс в
коллектив.
О некоторых «побочных эффектах» мы узнаем случайно.
Например, учителя-экспериментаторы в ходе конференции стали
вдруг рассказывать, что уроки общения, парная работа готовят
детей к профессии педагога. Выяснилось также, что происходит
перенос изученного на уроках математики на другие предметы.
Приведем только один пример, подтверждающий это. В нашем
экспериментальном классе заболел учитель физики. Директор
школы зашел в класс и объявил об этом детям. Был указан
параграф учебника, который детям надлежало проработать. По
собственному утверждению директора, задание было вполне
формальным: надеяться, что дети выполнят его, было смешно. Ибо дети
остались одни в классе.
В конце урока директор вспомнил, что VII «Б» без
преподавателя и направился туда. Еще в коридоре внимание привлекло
отсутствие привычного в таких ситуациях шума в классе.
Объяснилось все чрезвычайно просто. Получив задание, дети разбились,
как на уроке общения, на пары и приступили к работе. Когда
директор вошел, они заканчивали опрашивать друг друга.
В некоторых случаях, чтобы подтвердить или опровергнуть
возникшие у нас гипотезы, приходилось делать специальные
замеры. Например, в 1977/78 учебном году было проведено
исследование с целью подтверждения гипотезы о влиянии систематической
работы в тетрадях с печатной основой на скорость чтения и
понимания текста учащимися четвертых классов. Выяснилось, что если
в начале учебного года техника чтения в экспериментальном
классе была существенно ниже, чем в контрольном, то к концу года
наши дети не только догнали и в скорости чтения, и в понимании
прочитанного контрольный класс, но и несколько перегнали его.
Но пожалуй, самым важным «побочным эффектом» является
то, что на уроках в экспериментальных классах царит та самая
атмосфера сотрудничества учащихся и учителя, к созданию
которой призывают педагоги-новаторы. Это достигается,
во-первых, тем, что у учителя нет необходимости заставлять учиться,
прибегая к непедагогическим методам. Во-вторых, учащиеся
заняты все 45 мин урока и потому у них просто не остается
времени на конфликты с преподавателем. В-третьих, следование
методике практически исключает ситуации, когда ученику
приходится обманывать, выкручиваться.
139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вы закончили чтение книги. И наверняка не нашли в ней ответов
на многие волнующие вас вопросы. Потому что, как говаривал
незабвенный Козьма Прутков, «никто не обнимет необъятного».
Сомневаетесь ли вы, что первостепенную роль в том, станет или
не станет математика для ученика посильным предметом, играют
школьные учебники? Я — не сомневаюсь. И по мере своих сил
пытаюсь решить проблему создания хорошего учебника:
принимаю участие в написании новых учебников (фрагмент одного из
них дан в гл. 2); участвую в их экспериментальной проверке, а
также в осмыслении трудностей, идущих непосредственно от
плохого изложения материала в учебнике. Например, давно известно,
что неразвитость пространственных представлений у детей,
приступивших к изучению стереометрии, в большой мере связана с тем,
что за годы изучения планиметрии пространственное видение
атрофируется. Давно известно и лекарство от этой болезни:
построить курс планиметрии так, чтобы ученик постоянно
сталкивался с пространственными образами. В науке такой подход
получил даже специальное название: фузионизм. Остановка за малым:
не написано пригодных для обучения учебников, реализующих
эту идею.
В предыдущей главе мы говорили о том, что совсем не такой,
как в настоящее время, должна быть структура учебника.
Конечно, если бы та деятельность учащихся, об организации
которой говорится в этой книге, направлялась учебником, и
учителю и детям было бы легче. Но таких учебников в настоящее время
у нас еще нет. И неизвестно, когда они будут изданы. А учить детей
надо сегодня, по тем учебникам, которые имеются. При этом, каким
бы ни был действующий учебник, делать это можно хорошо. (Об
этом свидетельствует почти четвертьвековой опыт организации
обучения учащихся на основе внедрения в практику работы школы
достижений советской психологической науки.)
Словом, все, о чем говорится в этой книге, можно «пустить в
дело», какой бы учебник ни придумали.
«Так что, найдена панацея от всех школьных бед на уроках
математики?» — спросит недоверчивый читатель. К сожалению
(а может быть, и к счастью!), не найдена. Трудностей у наших
учителей больше чем достаточно. Например, при традиционном
обучении задал учитель вопрос классу, увидел лес рук, спросил
одного-двух, услышал верные ответы — и счастлив: материал
усвоен. А наш учитель, опросив всех, зафиксировал, что трое не
усвоили. С ними что-то надо делать. А когда? И как?
Мы пытаемся ответить на эти вопросы с помощью самой
современной техники — ЭВМ. Надеемся, что в ближайшее время
реальностью станет получение учеником, в знаниях которого
обнаружен пробел, направления в вычислительный центр школы или
140

района. Здесь ученика усадят за пульт ЭВМ и включат
соответствующую программу. Машина выдаст ему контрольные задания.
Если эти задания выполнены верно, то пробела уже нет и работа
закончена. Если же допущены ошибки, то ему будет предъявлена
схематическая запись подлежащего усвоению материала и
образцы работы (обеспечена ориентировка); предъявлено задание,
которое ученик должен выполнить, опираясь на ориентиры (а
машина проконтролирует правильность выполнения каждого шага),
и т. д.
Разработанная сотрудниками НИИ ШОТСО методическая
система обучения математике меньше всего напоминает философский
камень, позволяющий любому учителю в каждом классе
превращать учебные усилия учащихся в золото знаний. Превращение
совершается лишь в том случае, если учитель реализует себя, свои
знания, свой опыт, свое педагогическое мастерство. Эту
методическую систему можно сравнить с механизмами, позволяющими
выполнить работу, которая без них посильна лишь единицам.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА'
1. О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сб.
документов и материалов. М., 1984.
2. Мясников В. А., Хроменков Н. А. От съезда к съезду: Народное образование:
итоги и перспективы. М., 1981.
3. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения
математике. М., 1982.
4. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в
школе. М., 1983.
5. Ильенков Э. В. Об идолах и идеалах. М., 1968.
6. Скиннер Б. Обучающие машины // Столаров Л. М. Обучение с помощью
машин. М., 1965.
7. Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных
действий // Психологическая наука в СССР. Т. I. М., 1959.
8. Розин В. М. На что могла бы быть направлена реформа образования //
Вестник высшей школы. 1988. № 2.
9. Нурк 3. Р., Тельгмаа А. Э. Математика: Учебник для IV класса //
Математика в школе. 1988. № 1.
10. Зыкова В. И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических
знаний. М., 1955.
11. Муравин К- С. Принцип внутрипредметной связи как средство построения
системы упражнений по алгебре в восьмилетней школе: Канд. дис. ... пед. наук. М.,
1967.
12. Груденов Я. И. О психологических основах построения системы упражнений
по математике и методике преподавания геометрии в VI—VII классах: Канд. дис.
Калинин, 1963.
13. Груденов Я. И. О принципах построения системы упражнений // Народное
образование. 1963. № 11.
14. Болтянский В. Г. Как устроена теорема? // Математика в школе. 1973. № 1.
15. Семушин А. Д. Формирование геометрических понятий и развитие
логического мышления учащихся // Вопросы повышения качества знаний по математике.
М., 1955.
16. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. М., 1958.
17. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под общ. ред.
С. Е. Ляпина. М., 1955.
18. Притуло Ф. Ф. Методика изучения геометрических доказательств. М., 1958.
19. Груденов Я. И. О развитии памяти школьника // Народное образование.
1978. № 1.
20. Леонтьев А. И. Развитие памяти. М.; Л., 1931.
21. Ляудис В. Я- Память в процессе развития. М., 1976.
22. Погорелое А. В. Геометрия: Учебное пособие для 6—10 классов средней
школы М„ 1982.
23. Левитас Г. Г., Апанасенко Л. И. Форма организации учебной деятельности
с помощью средств обучения на уроках математики // Вопросы создания и
использования учебного оборудования: Сб. науч. трудов НИИ ШОТСО АПН СССР. М.,
1979.
24. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М., 1975.
25. Болтянский В. Г., Волович М. В., Красе Э. Ю., Левитас Г. Г. Оборудование
кабинета математики: Пособие для учителей. М., 1981.
1 Литературные источники располагаются в порядке цитирования их в тексте.
142

26. Воловин М. Б., Левитас Г. Г. Тетрадь с печатной основой // Математика в
школе. 1970. № 1.
27. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. Алгебра: Учебник для
6 класса средней школы. М., 1977.
28. Волович М. Б. Геометрия: 6 класс: Пособие для учащихся. М.: НИИ
ШОТСО АПН СССР. 1988.
29. Писарев Д. И. Наша университетская наука // Писарев Д. И. Избранные
педагогические сочинения. М., 1984.
30. Берсенева Т. А. Зачетная форма организации контроля знаний
старшеклассников // Математика в школе. 1988. № 6.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Можно ли хорошо учить всех? 3
Глава 2. Нет ничего более практичного, чем хорошая теория 15
Глава 3. Как обеспечить усвоение определений? 45
Глава 4. Как обеспечить усвоение теорем? 66
Глава 5. Педагогическая технология и педагогическая техника 93
Глава 6. Удается ли снять перегрузки? 132
Заключение 140
Цитированная литература 142
Научно-популярное издание
Волович Марк Бенцианович
Математика без перегрузок
Зав. редакцией
И. Н. Баженова
Редактор
B. Г. Иоффе
Художественный редактор
Н. Д. Горбунова
Технические редакторы
C. Н. Жданова, Т. Е. Морозова
Корректор
В. Н. Рейбекель
ИБ № 1611
Слано в набор 05.01.91. Подписано в печать 20.05.91
Формат 60X88'/16- Бумага тип. 2. Печать офсет.
Гарнитура литературная. Усл. печ. л. 8,82. Уч.-изд. л. 9.52.
Уел кр.-отт. 9.2. Тираж 50 000 экз. Зак. № 762.
Цена 1 р. 40 к.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических
наук СССР и Государственного комитета СССР по печати
119034. Москва, Смоленский б-р. 4
Московская типография № 4 Госкомпечати
129041. Москва. Б. Переяславская. 46.
СССР