Предисловие
Глава I. В поисках смысла
I.2. АСУ учителя
I.3. Понимаю ли я, что делаю?
Глава II. В поисках лучшего
II 2 Стереометрия на векторах
II.З. Выход в четырехмерное пространство
II.4. О роли векторов в школьной математике
II.5. Векторы и трудные вопросы школьной математики
II.6. Единая математика
II.7. О пользе теории множеств
II.8. Еще о единой математике
II.9. Тригонометрические функции через интеграл
II 10. О длине окружности и площади поверхности
II.11. Такая разная школьная геометрия
Глава III. О хорошей задаче
III.2. Давайте сделаем проверку
III.3 Разрушение «стены»
III.4. Непрерывность в геометрии
III.5. Дидактические материалы — совсем немного
III.6. «Хорошая задача делает нас умнее»
III.7. О задачах в учебнике
Глава IV. О воспитании
IV.2. Человек критический
IV.3. О понимании
IV.4. Творчество на каждом уроке
IV 5. С одной стороны, с другой стороны
IV.6. Не равна нулю
IV.7. «Времена теперешние»
IV.8 ФТШ
Заключение
ОГЛАВЛЕНИЕ
Текст
                    В.И.РЫЖИК^^^п
щ
5
О
о
о
01


В.И.РЫЖИК 25OOO УРОКОВ МАТЕМАТИКИ КНИГА для учителя МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1993
ББК 74.262 Р93 Рецензенты: доктор педагогических наук, зав. кафедрой методики преподавания математики МПГУ им. В. И. Ленина В. А. Гусев\ преподаватель математики Кунцевского радиомеханического техникума Москвы Е. А. Копытова Рыжик В. И. Р93 25 000 уроков математики: Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1993.—240 с: ил.— ISBN 5-09-003857-0. Известный петербургский учитель и один из авторов учебников по геометрии делится опытом преподавания математики в школе. В книге рассматриваются вопросы построения единого математического курса, решения «хороших» задач, формирования творческой активности школьников. Учебное издание Рыжик Валерий Идельевич 25000 УРОКОВ МАТЕМАТИКИ Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Ю. Акимова Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Н. Е. Терехина Художник Б. Л. Николаев Художественный редактор /О. В. Пахомов Технический редактор С. С. Якушкина Корректор И. Н. Панкова ИБ № 13890 Сдано в набор 29.09.92. Подписано к печати 29.03.93. Формат 60X907i6. Бум. офс. № 1. Гарнитура литературная. Печать офсет. Усл. печ. л. 15,0. Усл. кр.-отт. 15,38. Уч.-изд. л. 16,03. Тираж 33 000 экз. Заказ 506. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и информации Российской Федерации. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства печати и информации Российской Федерации. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59. ISBN 5-09-003857-0 © Рыжик В. И., 1993
ПРЕДИСЛОВИЕ В этой книге я попытался передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия. Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра, и теми, кто побеждал на международных олимпиадах, в общеобразовательной школе и в физико-математической. Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы. Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт? Я полагаю, что читатель сам разберется, что из него относится к общему математическому образованию, а что — к специальному. Книга местами похожа на «воспоминания», иногда подчеркнуто личностна. Не вижу в том греха, но более того. И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходимостью — и учитель.
Глава IB ПОИСКАХ СМЫСЛА 1.1. КАЖДЫЙ ВЕЗЕТ СВОЮ ТАЧКУ 30 с лишним лет у классной доски. Сколько лет, а вроде бы все одно и то же: квадрат суммы, теорема Пифагора... «И тебе еще не надоело?» — любопытствуют коллеги. Вопросы, ответы, задачи, работы, проверки, оценки... — Здравствуйте, дети, садитесь, пожалуйста... Уроки, уроки, уроки... Что-то около 25 000 уроков. Сколько же уроков запомнилось из этих тысяч? Урок в темноте, замена заболевшей коллеги в неизвестном мне X* классе. Два урока подряд, первый и второй по счету. За окном — январская темень. За минуту до начала урока, когда я уже открывал дверь в класс, во всей школе погас свет. Вошел — не видно ни одного лица. Что-либо писать на доске и в тетрадях невозможно. Убей Бог, сейчас я совершенно не помню, о чем я говорил. Но точно помню: это был урок математики, я что-то объяснял, задавал вопросы, ученики отвечали и даже вставали с места. И была перемена, а потом еще один час. И был звонок, прекративший этот кошмар, оборвавший меня на полуслове. Это я точно помню — не успел договорить. Но что договорить — не помню. Урок без меня. Собираюсь в школу, и вдруг из водопроводной трубы забил фонтанчик, заливая квартиру. Звоню в аварийную службу и в школу — говорю завучу, что на первый час спаренного урока, видимо, опоздаю. Приезжаю в школу ко второму часу. Спрашиваю учеников, что они тут без меня делали. — То же, что и с вами бы делали — проверяли домашнюю самостоятельную работу. — Был кто-нибудь из учителей? — Нет, мы сами управились. — Оценки поставили? — Конечно. Оценки, точнее самооценки, как всегда за домашнюю самостоятельную, выставил в журнал. Контрольная работа в VI классе. Я пошел позвонить в учительскую. Зашла завуч и спросила у меня: «А что делают без вас дети?» — Пишут контрольную. — Без вас? — А вы зайдите к ним и посмотрите. Посмотрела, вернулась. * Нумерация классов — старая, соответствующая десятилетней школе.
— А где задание для них? — Как это где? На доске, разумеется. — Но там всего один вариант... — Ничего страшного, дети уже привыкли. Три урока... А остальные? Просто работа — тут бы поставить сразу два знака: и вопросительный знак, и многоточие. Мне нравится притча о Шартрском соборе. Путник спросил трех его строителей, кативших по дороге тачки с камнями, что они делают. Один сказал: — Везу тачку, пропади она пропадом. Второй сказал: — Зарабатываю на хлеб. Семья. Третий сказал: — Я строю Шартрский собор. Что бы сказал путнику я? И первое, и второе — разумеется. Смог ли бы я сказать третье? Так зачем же я иду на урок? Ну, конечно, преподавать математику. Математика так важна, математика так полезна, математика так интересна, какие тут могут быть сомнения — с такими мыслями, взращенными в студенческие годы, я пришел в школу и довольно долго их лелеял. Теперь от них мало что осталось. Всем ли математика важна? Всем ли интересна? На геометрию в школе, с V класса, когда сообщаются первые сведения, и по XI, отводится около 400 ч. Так ли уж важны для всех с точки зрения общего образования, скажем, свойства вписанных углов, уравнение плоскости в пространстве и построения именно циркулем и линейкой? Так ли уж полезно для всех умение решать треугольники? Может быть, важнее научить всех делать искусственное дыхание? Может быть, полезнее дать детям курс практической психологии — учитесь властвовать собой! Мне не один раз довелось выслушивать от учеников этот вопрос — а зачем? И даже не надо было выслушивать — его можно было видеть в тоскливых глазах детей. Я научился отшучиваться, цитировал Маяковского: «Крошка сын к отцу пришел, и спросила кроха»: папа или мама, а как решать задачку, которую нам задали?» Но даже если дети не задают этот вопрос, а успешно решают разные примерчики, то тем более вопрошаешь сам себя: «Что же я с ними делаю, чем же таким необходимым для них я с ними занимаюсь?» Впрочем, я не оригинален в таком вопросе. Вот что написал журналист Ю. Рост: «Господи, каким только мусором не забивали нам голову учителя! Что, какая часть из того, чем мучили нас и чем мучают теперь наших детей, сгодилась нам в жизни для дела, любви, радости?» И в самом деле — 90% школьников никогда не будут использовать математику в своей деятельности. И в самом деле — мои коллеги и друзья, специалисты гуманитарных профессий, из всего школьного курса устойчиво помнят разве что теорему Пифагора. Боюсь, что не последнюю роль в этом феномене играет этакое из- 5
вестное всем нелепое двустишие: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». В 1976 году журнал «Математика в школе» опубликовал статью «О сохранности математических знаний». Ее авторы — В. Г. Панкратова и А. С. Сергеева провели в университете некое исследование среди студентов гуманитарных факультетов, причем надо заметить, большинство из них окончило школу с хорошими оценками по математике. Что же показало исследование? 1. Определения математических понятий, даже таких основных, как понятия функции, уравнения, иррационального числа, простого числа, через 2—3 года после окончания средней школы исчезают из памяти выпускников полностью. При этом забываются не только четкие формулировки соответствующих определений, но и существенные признаки понятий. В памяти остаются лишь внешние, несущественные признаки понятия, наиболее часто встречающиеся в практической деятельности в период обучения в школе. В силу этого представления о понятиях сохраняются нечеткими, часто неверными, не пригодными к использованию. 2. Неосознанные навыки быстро утрачиваются (навыки в выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений, в решении квадратных уравнений и т. п.). Лишь те навыки, которые были доведены до автоматизма или сохранили теоретическую основу, надолго остались действенными (приведение подобных членов, умножение многочлена на одночлен, умножение многочленов, алгоритмы решения уравнений). 3. Многие выпускники не обнаружили умения проводить самостоятельно простейшие математические рассуждения. Так, не вспомнив формулы площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, испытуемые не смогли сами вывести ее. 4. Отсутствует у выпускников и навык самоконтроля, критического отношения к своим действиям, высказываниям. А. С. Пушкин написал как бы между прочим, но совершенно точно: «Мы все учились понемногу Чему-нибудь и как-нибудь». «Чему-нибудь» — это программа, «как-нибудь» и «понемногу» — это, выражаясь современным языком, методика и организация обучения. Вопроса «зачем?» мы здесь не видим. Своим появлением этот вопрос обязан такой концепции общего среднего образования, при которой одинаково надо учить всему и всех, даже тех, кто не хочет, и тех, кто не может. Причем в условиях, когда репутация образования все падает и падает... Я никогда не боялся инспекторов, методистов, администрации — пусть ходят и смотрят, что я делаю Никогда не понимал так называемых «открытых уроков», из которых делают спектакли. Как вообще можно прятать от людей свою деятельность? Секретов у меня никаких нет, работа наша большая, всегда делаешь что-нибудь не так. В оценках, которые доводилось мне выслушивать, бы- 6
вало много вкусового, и, к сожалению, мне так и не довелось послушать серьезного профессионального разбора хотя бы одного из моих уроков. Но не в этом дело. Как отчитаться в своей работе перед детьми? Как вдохнуть личностный смысл в их ежедневную и практически однообразную деятельность? Как-то получается, что, оставаясь только в рамках предмета, я не мог сам себе ответить на этот вопрос. Вся моя энергия при этом, и нервная, и физическая, похоже уходила «в свисток». Немудрено, что такое толкование ситуации приводило к постоянному профессиональному дискомфорту. Появились и невеселые симптомы — однажды пришлось брать бюллетень почти на месяц. Пожалуй, только в последние годы, как говорят, «появился свет в конце туннеля». Выход вроде бы нашелся в попытках решить на уроках математики не только и даже не столько задачи обучения по предмету, сколько воспитательные. В самой общей постановке решение этих задач, как и любых общепедагогических задач, неоднозначно. Многое зависит от толкования таких понятий, как «образование», «обучение», «воспитание», «просвещение», «развитие», а эти толкования не единственны. (Для меня: образование = = просвещение (знания)-{-обучение (умения) + воспитание (ценности).) На практике воспитание может идти в разных направлениях. Говорят об интеллекте, мировоззрении, характере, нравственности... Сам перечень неполон, и приведенный порядок — условность. Традиционно на первое место в этом перечне наша педагогика ставила воспитание мировоззрения, причем научного, еще точнее — диалектико-материалистического. Привлекательна точка зрения о том, что главным должно быть нравственное воспитание. Судя по тому, что написал В. Овчинников в «Корнях дуба», в Англии, в лучших частных школах на первое место ставят воспитание характера. В нашем обществе в последнее время стали делать особый акцент на воспитание творческого начала личности, в частности на ее социальную активность. И наконец, никаких результатов в образовании не добиться, если у ученика нет необходимой мотивации. Когда начинаешь двигаться в новом направлении, открываются и новые горизонты. Сама постановка задачи — воспитание ученика в процессе преподавания конкретного предмета — вряд ли нова, хотя и начала энергично обсуждаться в нашей педагогике только в последнее время. Издавна известно ведь: «Учитель, воспитай ученика». Не «научи», что так естественно, а «воспитай»! Что же стоит за этим «воспитай»? Воспитай, как я понимаю,— передай детям частицу самого себя, своего понимания предмета, понимания смысла образования, в частности математического, передай свои приятия и неприятия, передай свое отношение к работе... И тут, совершенно ясно, никаких методичек и быть не может. Все, что я хочу передать детям, имен-
но передать, а не перепасовать — то «разумное, доброе, вечное» — существует только как часть моего «я» — и никак иначе. Я как «обучатель» — проводник, но я как «воспитатель» — генератор. А теперь вернемся к линиям в воспитании. И тут, где, казалось бы, все ясно с точки зрения теоретической педагогики, сколько монографий написано, главнейшее — личностное влияние. Мировоззрение, к примеру, не в книжках сидит, а в собственной голове. К тому же его не продиктуешь и на дом не задашь, чтоб выучили к следующему уроку. И как я могу, скажем, воспитывать научное мировоззрение, если у меня самого с диалектикой, мягко говоря, туговато? Ну не доводилось мне по ходу и жизни, и службы заниматься применением диалектики для разрешения всякого рода вопросов! То есть может быть и доводилось, но сам я этого не осознаю. Или как воспитывать у ребенка ответственность за собственную работу, если по большому счету ее нет у меня самого? Последний вопрос отнюдь не риторический. Почти все годы, что я проработал в школе, у нас была единая программа, единый учебник, единые экзамены. Теперь вот появились единый обязательный уровень образования и единые требования к оценкам. Но если все едино и обязательно, то у меня нет возможности выбора, а если нет ее, то самостоятельностью и тем более ответственностью даже не пахнет. Их нет по сути, так как нет серьезного личного решения. И в самом деле — посмотришь на публикации учителей в методических сборниках и что видишь? Из года в год обсуждение весьма частных задач преподавания. Попытки выйти за эти пределы, мягко говоря, не приветствовались. Вот живой пример — мой коллега получил выговор от администрации за преподавание в школе интегрального исчисления, которое не входило тогда в программу. Мне еще повезло — я сделал многое из того, что хотел. Но тем не менее вот два примера из моей практики. Из некоторых соображений мне было удобно в старших классах чередовать занятия алгеброй и началами анализа с занятиями геометрией: неделя алгебры, затем неделя геометрии или даже так: две недели алгебры, затем две недели геометрии. Администрация не возражала в принципе, но журнал я должен был заполнять по-старому, т. е. по стандартному регламенту занятий, когда каждую неделю есть уроки как алгебры, так и геометрии. Довольно быстро я перестал соображать, куда и что надо записывать. Еще пример. Преподавание информатики в последние годы. Дисциплина для меня по существу новая, пришлось долго вникать в дело. Когда пришла некоторая ясность, я внимательно изучил школьный учебник. (Основы информатики и вычислительной техники / Под ред. А. П. Ершова и В. М. Монахова.— М., 1988). То, что в нем написано, мало соответствовало тому, что я понял. Пришлось готовить детям совсем другой курс. Никто после моих объяснений не возражал против предлагаемой трактовки, но в журнал мне посоветовали делать записи в соответствии с разделами учебника. 8
Или возьмем мотивацию. По-моему, невозможно воздействовать на появление и развитие интереса к математике, если затух собственный интерес к ней. Невозможно передать школьнику радость от решения трудной задачи, если сам уже забыл, что это такое. При всем при том необходимо как можно чаще ощущать себя в «шкуре ученика». Делается это весьма просто — вполне достаточно, если в голове «сидит задача», к которой не знаешь как и подступиться, а на столе лежит математическая книга, в которой непонятна уже первая страница. Персонаж кинофильма «Доживем до понедельника» — пожилая учительница — жалостливо произносит что-то вроде: — Им отдаешь целиком самого себя, а они... (имея в виду учеников). — Дело не в этом,— отвечает главный герой фильма.— А есть ли у нас, что отдать? За дословность не ручаюсь, но смысл точен. 1.2. «АСУ» УЧИТЕЛЯ Осмысливая свою деятельность учителя-предметника в школе, я пришел к выделению трех ее составляющих: установки, системы и атмосферы — «АСУ», как я их называю сам для себя, составив аббревиатуру в обратном порядке. Я сразу же хочу оговорить, что эти составляющие, конечно, не абсолютны. Не исключено, что каков учитель, таковы и составляющие. Более того, наверняка есть разумная работа теоретического характера, в которой вся деятельность учителя разложена по полочкам. Даже если так, давайте предположим, что педагогическая теория ценна для нас в первую очередь тем, что мы смогли из нее присвоить и употребить в дело. В конце концов что-то из этой теории начинаешь постулировать для себя, как нечто исходное. И становится не так важно — в практическом отношении,— откуда эти постулаты появились. Главное, чтобы они работали. Теперь я постараюсь раскрыть содержание «АСУ» как я его понимаю. Установка включает в себя отношение к математике, к задачам образования и отношение к ученику. Причем это отношение должно быть очень личным, выращенным в себе. Пусть при этом оно будет односторонним, возможно, корявым — я готов принять любые упреки. Но это — мое, и с этим я иду к ученикам. Можно ли говорить о своем понимании математики? Думаю, что не только можно, но и необходимо. Оно начинается с детских лет собственного ученичества, формируется в студенческие годы, обогащается в дальнейшем чтением и встречами с профессионалами-математиками и уточняется в практике преподавания. За годы работы учитель не один раз столкнется с изменением программ, учебников. В этом нет ничего страшного, более того, такой процесс естественен: меняются времена — меняются и цели обучения, вызы- 9
вая все последующие изменения. Причины новаций могут быть и непредсказуемы. Кто, например, мог предвидеть, что преподавание школьной математики так сдвинется под влиянием Н. Бурбаки? (Н. Бурбаки — псевдоним группы французских математиков. В каком-то смысле история повторилась: «Начала» Евклида вовсе не были учебником по геометрии для детей, но еще и в прошлом веке по ним кое-где велось школьное преподавание.) В последнее время, наоборот, шарахнулись от Н. Бурбаки. Не имея собственного взгляда на предмет, легко оказаться в панике. Что же для меня математика, даже в своих элементарных основах? Прежде всего — наука, а не практическое руководство по счету и измерению, не набор сведений, которые надо вбить в голову ребенка, что при известном усилии всегда можно сделать, не набор задач и примеров, которые надо решить, чтобы набить руку для поступления в вуз. Именно потому, что большинство учеников не будет использовать математику в своей профессии, именно потому, что, быть может, от учителя они слышат последние в своей жизни математические фразы, именно потому важно, чтобы они имели представление о математике как о науке. Но дело не только в этом, даже не столько в этом. Через математику (а других средств у меня просто нет) я хочу передать детям научный стиль деятельности, прежде всего критичность, самостоятельность, добросовестность и ответственность. Я надеюсь, по всей вероятности наивно, что влияние этого стиля хоть как-то защитит их в будущем от лавины пошлости, чепухи, демагогии и попросту вранья. Такое понимание предмета накладывает обязательства, которые, увы, не всегда удается выполнить. Однажды во время небольшой дискуссии с коллегами я сказал, что мне нравится в среднем один свой урок из ста. А почему? Да потому, что я занимаюсь с детьми не наукой, а Бог знает чем. Вынужден так делать. Математика предстает передо мной разными своими сторонами. 1. Математика — дедуктивная наука, давшая миру аксиоматический метод и некие эталоны строгости рассуждений. Можно начать с небольшого числа аксиом и заниматься получением следствий из них все остальное время. 2. Математика — способ познания мира («Основа точного естествознания»,— говорил Д. Гильберт) и средство для практической деятельности в этом мире. Предсказать затмение или погоду, построить здание, найти концентрацию раствора — примеров, подобных этим, миллионы. 3. Математика — это специфическая техника, набор приемов и методов для решения разнообразнейших задач, возможность постоянно тренировать и совершенствовать эту технику. И каждая из этих сторон накладывает свой отпечаток на преподавание. ю
В силу дедуктивного характера математики я обязан доказывать все, на что я потом собираюсь ссылаться. Не вообще все, что я говорю детям, есть интересные результаты, доказательство которых дать ученикам просто невозможно, например, трансцендентность чисел л и е. Порой дать приемлемое доказательство очень непросто. К примеру, традиционно в школе нет доказательств, связанных со свойствами вещественных чисел, почему, например, (2^)^ = 4. Что делать? «Отсутствие доказательства для математика подобно зубной боли»,— сказал кто-то. Надо искать какие-то выходы, постараться найти другие варианты доказательств. При этом единство метода не так важно — важнее дать какое-то доказательство, чем не давать никакого ради сохранения единства метода. Можно обыграть то обстоятельство, что сам термин «доказательство» в рамках школьной математики не имеет четкого определения, насколько я знаю, и далеко за пределами школьной математики — тоже. Я вполне согласен с таким пониманием доказательства: «Доказать — это убедить настолько, что другой сам готов убеждать этим же способом». Отсюда сразу же следует, что доказательства могут иметь разный уровень строгости в зависимости от адресата. Одно дело — доказывать ученику, другое — учителю, третье — профессионалу-математику и уж совсем особое дело — доказывать специалисту по математической логике. И сразу надо сделать оговорку, чрезвычайно существенную для преподавания: абсолютизация этого требования «доказывать все» приводит к абсурду. Весь опыт преподавания математики говорит о том, что прежде чем начать что-то доказывать, необходимо пробудить в ученике потребность в доказательстве. Отсюда проистекает серьезная задача в обучении математике — найти тот уровень строгости, который оказался бы достаточным для обоснования всего существенного и был бы доступен для ученика. О том, что задача эта не только важна, но и трудна, говорит простое наблюдение: есть авторы школьных учебников, которые отождествляют школьный курс математики с курсом ее оснований, и есть полярная точка зрения, полностью отрицающая аксиоматический метод в преподавании и даже необходимость доказательств. Как мне кажется, оба уклона говорят об отказе авторов решать, а может быть, даже и ставить перед собой эту педагогическую задачу. Известно, что по мере взросления ребенка можно предъявлять к нему при соответствующем обучении все более высокие требования при доказательствах. Так, в начале курса геометрии вряд ли требуется доказывать, что диагонали параллелограмма пересекаются. Но в старших классах можно обсуждать, почему отрезок, соединяющий точки на разных гранях двугранного угла, пересекает любую плоскость, проходящую через его ребро. Но даже и старшеклассники вряд ли будут чувствовать потребность в доказательстве, например, того, что выпуклый многогранник является пересечением полупространств, ограниченных его опорными плоскостями. 11
Что тут поделать — такова природа процесса, она, к сожалению, противоречива (а может быть, к счастью?), и превратить живое преподавание в формализованную до конца процедуру вряд ли возможно. Попытки загнать его в некие рамки можно попытаться как-то оправдать, но всегда будет интересным только такое преподавание, которое выходит за эти рамки. Что бы мы ни исповедовали в школе, важно не перегибать палки. Надо ли определять, к примеру, что такое «геометрическое тело», «функция», «уравнение»? Есть притча о трех апельсинах. В семье заболел ребенок, родители пригласили врача. Врач обследовал мальчика и сказал: — Ребенку нужен один апельсин. — А два? — спросили родители. — Два — еще лучше,— ответил врач. — Тогда, может быть, дать три апельсина? — Нет,— ответил врач.— Три апельсина уже хуже. Совсем утрируя, я бы сказал так: «Преподавание математической теории в школе — это искусство водить ученика за нос». У меня в этом деле есть неплохие союзники: соображения наглядности и здравого смысла. Уровень строгости в доказательстве, как я уже говорил, не является абсолютом. Любопытно, однако, что иногда это можно продемонстрировать в классе, оставаясь в рамках одной и той же теоремы. Приведу такой пример — доказательство теоремы о производной сложной функции. В свободном переложении ее содержание таково: пусть функция у (х) дифференцируема и функция z(y) дифференцируема. Тогда гх = г'У'ух. Вот примерный рассказ ученикам. Пусть известна у' (х), т. е. скорость изменения величины у относительно ху и z' (у), т. е. скорость изменения величины z относительно у. Требуется найти zXy т. е. скорость изменения величины z относительно х. Возьмем простой пример: по трем дорожкам бегут три спортсмена. Медленнее всех бежит первый. Второй бежит в два раза быстрее первого. Третий бежит в три раза быстрее второго. Во сколько раз третий бежит быстрее первого? Ясно — в шесть раз. (Найдутся такие ученики, которые скажут — в пять.) Что делается с этими скоростями? Они перемножаются! Поэтому zx = Zy-yx. У меня было много учеников, которых вполне убеждало такое рассуждение. Но если возникало сомнение, то от этого рассуждения, трактующего производную как скорость, можно перейти к более формальному, например такому: возьмем достаточно малое приращение Ах. Так как у (х) имеет производную, то мы можем считать у(х) при этих Ах линейной функцией: y = k\x-\-l\. Когда Ах достаточно мало, то и Ау достаточно мало. Поэтому мы можем считать, что при этих Ау функция z (у), также имеющая производную, является линейной: z = £2y + /2. Выразим z(x): z(x) = = k2 {k\X-\-l\)-\-l2 = k,2k\X-\-k2l\ + /2. Угловой коэффициент функции z (x) оказался равным призведению угловых коэффициентов 12
k\ и &2- Но угловые коэффициенты линейных функций и есть производные. Отсюда получаем: zx = z'y-y'x. Наконец, можно перейти к совершенно формальным выкладкам. Возьмем произвольное приращение Ах. Тогда и bz = ( Здесь аир — бесконечно малые функции. Дальнейшее рассуждение хорошо известно, и я не буду его приводить. Я не уверен, что сразу же стоит давать именно третье доказательство. Во всяком случае, к такому доказательству класс надо долго готовить. (То же можно сказать о доказательстве с помощью пределов.) Сразу же выскажу сожаление, что авторы учебников «боятся» ввести в школу дифференциальную символику и не пишут ух = =-У- . Доказательство заняло бы одну строчку и было бы всего лишь формальной записью первого рассуждения. Итак, или доказательства есть — и тогда это наука, или их нет — и тогда это байки. Из этого категорического утверждения вовсе не следует, что я требую от учеников знания или даже повторения доказательств. Ни в коем случае! По-моему, от ученика вовсе не нужно требовать воспроизведения большинства доказательств теорем школьного курса — только самых основных, самых важных, я бы даже сказал «самых хороших». («Хорошее доказательство то, которое делает нас умнее»,— писал известный математик Ю. И. Манин.) Только такие доказательства и стоит воспроизводить. Вот что примерно я говорил детям: — Я понимаю, что большинству из вас сама математика не нужна, а это доказательство — тем более. Вам и так все очевидно. (Предположим, речь идет о теореме Больцано-Коши — непрерывная функция, имеющая на концах некоторого промежутка разные знаки, внутри этого промежутка обращается в нуль.) Более того, вы и так мне поверите, без всякого доказательства. («Зачем вы так долго трудитесь над доказательством,— сказал некий господин Лапласу,— слова дворянина вполне достаточно, чтобы я вам поверил».) Но я хочу другого. Я хочу, чтобы вы ясно понимали: там, где нет доказательств, там нет и самой науки. Вторая сторона математики мне особенно близка. Хочется привести тут две фразы. Одна — достаточно ироничная — принадлежит английскому писателю Л. Стерну: «...обычно слабость величайших математиков, которые так усердно трудятся над доказательством своих положений и настолько при этом истощают все свои силы, что уже не способны ни на какое практически полезное применение доказанного». Другая высказана в афористической форме польским математиком Г. Штейнгаузом: «Математик это сделает лучше!» А что такое «это» — неважно. Из истории математики известно множество примеров, подтверждающих правоту Штейнгауза. 13
Решив задачу о семи кенигсбергских мостах, Эйлер в одном из своих писем говорит так: «...Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешаются математиками, чем другими». В школьной практике много ситуаций, подтверждающих иронию Стерна, и очень мало, говорящих о правоте Штейнгауза. Традиционно прикладная сторона математики в среднем образовании была на положении Золушки. О ней, разумеется, знали и писали, были неплохие методические работы — обычно они шли под лозунгом межпредметных связей. Однако я не помню, чтобы задачи прикладного содержания предлагались ученикам на экзаменационной, контрольной или самостоятельной работе. Отсюда, в частности, и отношение к таким задачам со стороны учителей. Замечу также, что и в иных учебниках не очень-то жалуют эту сторону математики. Вот только один пример: традиционно рассказ о производной начинается с задачи о нахождении мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения; однако же авторы одного из учебников по алгебре и началам анализа предпочли другой подход, никак не связанный с проблемами, которые поставило перед математикой развитие естествознания. Но как бы передать детям убеждение, что математика не бухгалтерия, и не фокусы с закорючками, и не интеллектуальное времяпровождение? В последние годы, правда, положение стало несколько меняться. Видимо, это вызвано возросшей ролью прикладной математики в жизни современного общества (или, если угодно, усилением прикладного направления в математике). Появились серьезные методические работы, наборы прикладных математических задач. На уроке уже позволительно составить хотя бы пару дифференциальных уравнений, решить задачу линейного программирования, еще кое-что. Но этого мало, очень мало. Конечно, можно рассказать, как Кеплер искал законы движения планет, как измерили расстояние от Земли до Луны, каким путем летит самолет из Новосибирска в Санкт-Петербург... Все это хорошо, но не решает проблемы. На самом деле нужна деятельность по решению прикладных задач, и как можно более частая. Повод для такой деятельности можно найти даже в ежедневных газетах. Один только пример. Однажды в газете напечатали такое сообщение из-за рубежа: «Министр социального обеспечения Великобритании Николас Скотт сообщил депутатам парламента, что с 1984 по 1988 год число мужчин, достигших столетнего возраста, увеличилось в стране со 100 до 210. В случае сохранения этой тенденции через 66 лет на Бри- 14
танских островах почти невозможно будет встретить мужчину моложе 100 лет». Вопросы ученикам: каким образом министр получил число 66 и как вы относитесь к его выводу? После одного давнего случая я стал относиться к прикладным задачам с большим почтением. Был как-то у меня (я работал тогда в математической школе) выдающийся ученик Саша Л.— победитель всяческих олимпиад по математике и физике, включая международную. Как-то он мне сказал: «У меня сейчас такое ощущение, что я могу решить любую задачу». И это не было бахвальством. В X классе он заинтересовался некоторыми проблемами высшей алгебры. Я попросил содействия у профессора матмеха университета. Профессор пригласил Сашу на его семинар для старшекурсников и аспирантов по теории Галуа. Я предупреждаю Сашу, что семинар идет для специалистов по алгебре. «А о чем у них семинар?» — спрашивает он. Я отвечаю и даю ему книгу А. Г. Постникова, которая так и называется: «Теория Галуа». До очередного занятия семинара оставалось меньше недели. Когда Саша появился в школе на следующий день после семинара, я, естественно, поинтересовался, как прошло занятие. — Нормально. — И ты все понял? — Почти все. — А книжка помогла? — Конечно. С книжкой было проще — там я понял все. Так что прикажете делать с таким вот учеником на устном выпускном экзамене по геометрии, который проводился по общегосударственным билетам для массовой школы? На глаза мне попалась модель неправильной треугольной пирамиды. И что-то пришло в голову. — Вот тебе тетраэдр и вот тебе линейка. Чему равен объем этого тетраэдра? Проблема ясна — как вычислить высоту тетраэдра? В громадном числе задач на объем пирамиды она обычно дана или достаточно легко находится. А тут неясно даже, в какую точку основания она падает. Задачу эту Саша, конечно, решил, но, как говорится, пришлось «попотеть». В прикладной задаче, если говорить в общем, важна сама ее постановка: учет условий и формулировка вопроса. Почему выбраны именно эти условия и почему задан именно этот вопрос? В традиционной школьной математике все иначе: дано вот это, а доказать (вычислить, найти, построить) требуется вот это. «А откуда они знают, что давать?» — спросила меня как-то вконец недоумевающая ученица. Я бы добавил: «И откуда они знают, что спрашивать?» Третья сторона математики — техническая, в которой она предстает как набор методов и приемов решения разнообразнейших задач. Важность этой деятельности бесспорна, тут даже обсуждать 15
нечего. При этом она хорошо разработана в методической литературе. Беда, однако, состоит в том, что именно эта сторона математики оказалась в школе главенствующей. И вот теперь наш разговор об отношении к математике переходит в разговор о математическом образовании. Этот разговор в каком-то смысле — разговор ни о чем. В самом деле, насколько мне известно, содержание среднего математического образования не было еще задачей обстоятельного педагогического исследования. Та математика, которой учат в нашей средней школе,— это продолжение того, чему учили когда-то в России. Но ведь в иных странах тоже реализуют среднее математическое образование. И там, судя по обзорам в печати, оно понимается как-то иначе. Не может быть, однако, того, чтобы математика была интернациональной, а математическое образование — по сути своей национальным, в том числе и среднее математическое образование. Может быть, ответ на вопрос «Что такое среднее математическое образование?» должен решаться не за столом ученого той или иной страны? Я рискну даже сделать такое предложение: понимать под средним математическим образованием пересечение того, что понимают под этим в странах, которые имеют в этом деле устойчивую репутацию, скажем, в тех странах, которые регулярно посылают свои команды школьников на Международные математические олимпиады. Но пока обо всем этом договорятся (да и договорятся ли?), что-то понимать для себя необходимо. Я иногда задаю коллегам такие два вопроса: 1. Считаете ли вы, что ваш ученик знает математику (имеется в виду школьный курс), если он знает назубок содержание справочника по элементарной математике, т. е. знает все формулы, все теоремы и даже методы решения стандартных задач? 2. Считаете ли вы, что ваш ученик знает математику, если он умеет решать все задачи из какого-либо конкурсного задачника, т. е. из задачника для поступающих в вузы? Ответ на первый вопрос я слышал только отрицательный. Ответ на второй вопрос неоднозначен, есть разные точки зрения. Важно, что они есть! В той или иной степени среднее математическое образование, я убежден, должно с достаточной полнотой отражать все стороны математической науки. И отражать не только на бумаге: в программах, учебниках, но и в практической работе учителя. Но, как это не покажется парадоксальным, оно должно быть в каком-то смысле еще шире. За счет чего? Во-первых, за счет исторических сведений. Математика занимает в этом смысле в школьном курсе совершенно исключительное место. Трудно себе представить школьный курс физики без рассказа об атомной энергии, курс биологии без генетики и так далее. Самые последние крупные достижения математики, рассказываемые в школе, относятся ко времени Ньютона и Лейбница, между 16
прочим — к допетровским временам по меркам нашей истории. Но ведь все, что изучают сейчас дети, откуда-то взялось! Так откуда? Каким образом? Кто придумал? Как это было? Математика — это же не талмуд, это — живая, развертывающаяся во времени деятельность, а раз так — это драма идей и людей, их триумфы и заблуждения. Расцветить историей можно почти каждый раздел курса. Здесь я приведу только один пример. Объем шара вычисляется по формуле 1/=-^-л/?3, где R — радиус шара. Формула как о формула, ничего особенного, получается интегрированием. Но это сейчас. А как ее получали до того, как были придуманы интегралы? И кто получил первым? Пропорциональность объема куба радиусу очевидна, но как получить такой коэффициент — л? Первым эту о формулу получил Архимед — как он додумался? Архимед, говорю я детям, признанный в истории науки ученым № 1, так гордился этим результатом, что хотел запечатлеть способ его получения на своем надгробии. А история открытия иррациональных чисел, комплексных чисел, неевклидовой геометрии — какой здесь богатый материал для разговоров и бесед с учениками! А рождение, взлет и падение логарифмов? Часть этой истории — последняя — произошла уже на памяти моего поколения. Учась в школе, я старательно логарифмировал многоэтажные численные выражения, «ползал» по логарифмическим таблицам и переживал, когда в выпускной работе по геометрии получил значение объема, расходящееся с аналогичным результатом у моего сокашника на единицу третьего разряда после запятой. Потом я обучал всей этой премудрости детей — называлось это практической направленностью. Затем учил вместе с детьми устройство и правила обращения с логарифмической линейкой, учил вместе и забывал тоже вместе. А что теперь? Все это отправилось в небытие с появлением калькуляторов. Еще пример — теория множеств. «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»,— было сказано Д. Гильбертом. А что делать с ее парадоксами? И возникает вопрос: «А так ли уж эта теория необходима для обоснования геометрии, анализа?» В результате во многих странах из школьных учебников выкидывают самые безобидные вещи, где упомянуты простейшие теоретико- множественные понятия. Во-вторых, математика — мир чудес. «Клянусь Богом, это невозможно!» — воскликнул философ Томас Гоббс, когда в возрасте примерно 40 лет впервые познакомился с теоремой Пифагора. Как бы передать это ощущение чуда? Ведь мы, учителя математики, так привыкли к своему делу, что никаких чудес в математике уже и не видим. Но! Три медианы в треугольнике имеют общую точку. — Какое же это чудо? — заявили мне пятиклассники, когда увидели сей факт, аккуратно выполнив построения в тетрадке. 2 Заказ 506 17
— Но это же получилось у всех, правда? — говорю я.— А вы можете объяснить, почему это получилось у всех? Еще нет. А то, что нельзя объяснить, но происходит, и есть настоящее чудо. И я помню, как мои выпускники в математической школе оша- рашенно смотрели на формулу Эйлера: eni= — 1. В математике можно доказать бесконечность (например, бесконечность последовательности простых чисел. И как доказать! В одну строчку!). В математике доказывают невозможность (например, невозможность решения в рациональных числах уравнения л:2 = 2). В математике можно доказать вообще нечто невообразимое (например, что на открытом интервале столько же точек, что и на всей прямой. Для этого достаточно построить график тангенса на промежутке ( —£-, -£-)) • В математике сомневаются в совершенно очевидном (например, доказывают существование прямоугольника). Но есть куда более простые ситуации. Вот одна из них. «Может ли быть прямоугольник длиной 1 км, а площадью 1 мм2?» — неосторожно спросил я как-то у 10-летних карапузов в конце урока, под самый звонок. Боже, какая началась буря... Кажется, я не успел их убедить и сказал только: «Ну ладно, уже звонок, поговорите об этом дома со взрослыми». Вышло хуже, чем я полагал. На следующий день Саша Е. звонким голосом отчеканил: «Моя тетя — технолог. И она сказала, что таких прямоугольников не бывает!» Говорят, А. Я. Хинчин, доказав студентам-математикам форму- ь лу Ньютона — Лейбница \ f (x) dx = F {b) — F (а), лекцию прекра- а щал, чтобы они навсегда запечатлели в памяти ту великую минуту, когда с ней познакомились. Но все это, а также доступность всего этого для детей прекрасно известно. Однако в учебниках сведения по истории даются только для краткой справки, причем в «обесчеловеченном» виде: имена ученых есть, а что это были за люди, как они приходили к своим результатам — неизвестно. И уж если в учебнике приведен только некий триптих: год рождения — черта — год смерти, то ясно, что остается в памяти ученика. Я уже не говорю об огромном мире занимательной математики. Очень хорошо писал Д. Пойа: «Математику надо не преподавать, а продавать!» Но авторы учебников чураются ее как последней напасти. А ведь как прекрасно сказал Б. Паскаль: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным». Мне очевидна общекультурная ценность математического образования. Но здесь мое перо слабеет, и скажу только: еще древние знали, что ребенка надо учить музыке и математике. Однако в 18
последнее время, уменьшая количество часов на математику, с легкостью сводят ее изучение чуть ли не к таблице умножения. Это можно понять, но и только. Сделать дыру в общей культуре личности нетрудно, да только как ее потом латать? Глядя на наши учебники, на содержание школьных экзаменов, нельзя не прийти к выводу, что главное в деле математического среднего образования — ловкость в проведении разнообразных выкладок. Так оно сейчас понимается на практике. И вот — кульминация школьного обучения — подготовка к выпускным экзаменам. Пример, еще пример, уравнение, производная, интеграл, вариант, еще вариант... Какое там развитие личности, развитие способностей, куда-то пропало и разумное, и доброе, и вечное... А вот результат такого «образования», я приведу очень яркий пример. Однажды газета «Комсомольская правда» напечатала статью: «Квадратура круга — это просто». Через некоторое время последовало продолжение: «Кубатура шара? Еще проще!» Обе эти статьи я читал своим ученикам в VII, IX и X классах. Затем доводилось читать их студентам-математикам, будущим педагогам, а также своим коллегам. Попробую вкратце передать суть этих статей. В Ставрополе живет подполковник запаса, бывший штурман, а затем преподаватель в военном авиационном училище летчиков и штурманов В. В. Касаткин. Он создал прибор для штурманских расчетов, основанный на новом методе. Опытный образец прибора хорошо себя зарекомендовал, однако в массовое производство прибор не внедряется. Но причем тут квадратура круга и кубатура шара? А вот при чем. По словам Касаткина, его метод не только основа для конструирования навигационного прибора. Основываясь на нем, можно «вычислить квадратуру круга», «удвоить куб», «решить великую теорему Ферма». Более того, идеи Касаткина позволяют добиться прогресса «на самых наисовременнейших направлениях: в электронике, кибернетике, приборостроении, навигации, макро- и микрокосмосе», а также в решении прикладных задач физики и химии. Однако в Академии наук к его идеям отнеслись скептически. Был создан «Круглый стол», но и там Касаткин реальной поддержки не получил. В статьях приводятся многочисленные высказывания Касаткина, есть пространный комментарий самого автора статьи, приводятся отзывы разных ученых, как безымянных, так и названных пофамильно. Сам Касаткин убежден в том, что его предложения имеют мировое значение. «Хватит нам догонять... А ведь мы можем такое сделать, что и не снилось. И пусть нас догоняют». Какова же была реакция на прочитанное? Почти полное принятие содержания текста, причем даже у моих коллег. Надо сказать, что и самые острые обсуждения этих статей были с кол- 19
легами. После моих критических замечаний в адрес газеты я слышал и такое: «Вот такие, как Вы, и насмехаетесь над всем новым, что у нас рождается! Это такие, как Вы, не давали работать Федорову, Илизарову, Шаталову!» Ну и так далее... И что тут скажешь. Если держаться ближе к тому, о чем мы сейчас говорим, т. е. о математическом образовании, то оно, по- моему, включает в себя знание и некоторых запретов, невозможностей. Мы же знаем, что не может быть вечного двигателя, что нельзя двигаться со скоростью, большей скорости света (в вакууме), что невозможно самого себя вытащить за волосы, что не бывает КПД, большего 100%, что невозможно наследование приобретенных свойств... Человечество давно похоронило «философский камень», «эликсир молодости» и так далее. Точно так же надо знать о невозможности квадратуры круга, удвоения куба, правильно это понимая. Образование должно воспитывать уважение к науке — тяжелейшему труду человеческого ума. Окончив школу, человек должен понимать, что дилетанту не «решить теорему Ферма», как выражается В. В. Касаткин. Более того, «ферматисты» давно имеют печальную известность — и об этом тоже должен знать образованный человек. Вот как сказал об этом академик А. Б. Мигдал, описывая работы авторов «великих открытий». «Все эти работы имеют общие черты: 1. Перевороту подвергается не какой-либо один вопрос, а сразу все результаты современной науки. 2. Автор не имеет профессиональных знаний в данной области. 3. Никогда не цитируются современные научные работы чаще всего потому, что автор с ними незнаком. 4. Авторы таких «трудов» всегда заявляют, что их работа — плод многолетних усилий, однако видно, что время если и тратилось, то не на математические выкладки, не на эксперименты и даже не на анализ известных фактов. 5. Никаких других работ меньшего масштаба у автора не было». Подробный анализ этих статей чрезвычайно поучителен. Я сделал его в X классе. «Такое нагромождение несусветных утверждений,— сказал я в заключение,— оставим на совести газеты». Вот одно из них: корреспондент пишет о загадках египетских пирамид, хотя они вроде бы и ни при чем в разговоре об идеях Касаткина. Дальше я предоставляю слово А. М. Хазену. В своей книге «О возможном и невозможном в науке» он говорит: «Но вот перед нами, по всей видимости, достоверный факт: отношение длины основания египетских пирамид к их высоте с точностью до нескольких знаков после запятой кратно... числу л. В связи с этим появляются досужие домыслы. Известно, дескать, что в Егидте тогда числа л не знали, а раз оно участвует в описании геометрии пирамид, значит, в их строительстве участвовали какие- то инопланетяне, и они выбрали размеры пирамид именно такими, 20
чтобы сигнализировать последующим поколениям о своем посещении Земли...» Объяснить эту загадку, следуя автору, можно довольно просто с помощью устройства для измерения длин кривых линий — курвиметра. Грубо говоря, курвиметр — это колесико на палочке, которое может ехать по любой проведенной линии. Мысленно построим такой прямоугольник. Его длину зафиксируем каким-то числом оборотов колеса курвиметра, а его ширину зафиксируем тем же числом диаметров этого колеса. Тогда отношение длины построенного прямоугольника к его ширине будет равно n-d-n d-n = л. (Здесь d — диаметр колеса курвиметра, п — число сделанных им оборотов.) Таким образом, в отношение размеров этого прямоугольника будет «упрятано» число л. Остается только предположить, что египтяне в те времена умели измерять расстояния с помощью колеса или, скажем, барабана. Конечно, такое предположение не столь эффектно, как визит инопланетян. И далее автор продолжает: «В том-то и дело, что проявление свойств математических закономерностей в деятельности человека не требует, чтобы об их существовании знали. Законы математики объективны и, конечно, работают и в том случае, когда человек их не знает». Вот краткое резюме этого разговора: устойчивость к сенсациям является следствием хорошего образования. Отмечу, наконец, удивительную особенность среднего математического образования: оно порой вступает в противоречие с тенденциями в самой математической науке. Здесь можно говорить о преувеличенном внимании к частным результатам без какой-либо попытки их обобщить или связать с другими фактами — для примера можно взять подавляющее большинство сборников задач. Теоремы, имеющие второстепенное научное содержание, почему-то становятся чуть ли не основными в школьном курсе — так произошло с теоремой о трех перпендикулярах в курсе стереометрии. Много времени отнимают у учителя разнообразные трансцедент- ные уравнения и неравенства, особенно тригонометрические и логарифмические, не имеющие серьезной научной ценности. Понятия, не имеющие принципиального значения, почему-то становятся предметом специального изучения — так было с абсолютной величиной. Вдруг оказывается, что чрезвычайное значение имеет то, как записано решение и в какой форме записан ответ — как будто это более важно, чем решить задачу. Необходимость всего этого чаще всего обусловлена подготовкой учеников к вступительным экзаменам, работники высшей школы придумывают новый тип примеров, борясь с репетиторами и 21
их методами натаскивания, а школьные учителя делают из решения этих примеров некую «науку». Но иногда это вопрос моды — так было с употреблением кванторов. Об этом приходится говорить со старшеклассниками: — Дети,— говорю я,— многого из того, над чем вы сейчас мучаетесь, не бывает в приложениях. Никому не нужны эти радикалы, которые не умещаются на одной строчке, лргарифмы с неизвестным основанием, шары, вписанные в замысловатые пирамиды. И никакая это не математика, а придумки экзаменаторов. Но это есть, а потому это надо делать хорошо. Из года в год в профессиональных разговорах муссируется один и тот же вопрос. — Школа не готовит в вуз,— говорит человек из приемной комиссии технического института.— Подавляющее большинство медалистов, например, не подтверждают на экзаменах своих оценок. — А школа и не должна готовить в вуз,— отвечают учителя,— у нее другие задачи. Но эти разговоры — на поверхности. На самом деле школьный учитель оглядывается на конъюнктуру вступительных экзаменов в вузы — от этого зависит его профессиональная репутация. А вузовскому работнику на самом деле нужны не подтвержденные оценки аттестата, а достаточно развитые интеллектуальные умения вчерашнего школьника, его умение самостоятельно работать, творческое отношение к знаниям. Трудно сказать, каков выход из этих противоречий. Но одно ясно — необходимым условием для такого выхода является некий «круглый стол» преподавателей вуза и школы, какие-то неформальные попытки договориться между собой — для начала хотя бы в пределах одного региона. 1.3. ПОНИМАЮ ЛИ Я, ЧТО ДЕЛАЮ! От обучения математике естественно перейти к образованию вообще. Дело это большое и многостороннее — всех его сторон можно и не увидеть. Хочется остановиться на чем-то, что-то отобрать, принять и работать с этим дальше. Хочется иметь собственное понимание. Я понимаю образование в первую очередь как управление, еще шире — как руководство развитием. Пришел я к этой краткой формулировке лет 15 назад, и все эти годы она разве что уточнялась. Для меня в этой формулировке соединились и понятие кибернетики — управление, и понятие психологии — развитие, хотя «развитие», вообще говоря,— категория общенаучная и даже философская. Развитие я понимаю, быть может, чересчур прагматично, но и такого понимания хватает для дела. Именно, ученик развивается, если он «выдает» новую (для себя) информацию, а также устанав- 22
ливает новые (для себя) взаимосвязи между имеющейся информацией. Управление — опять же в практическом смысле — я понимал раньше несколько прямолинейно, как последовательность заданий, предлагаемых ученику. При таком понимании получалось, что обучить чему-либо, в частности математике,— это предъявить ученику такой набор задач, в процессе решения которых происходит его развитие. Вот пример урока, соответствующего этому пониманию обучения. В его начале я даю детям набор задач. В конце урока, обойдя класс, смотрю, что они сделали, и разбираю задачи на доске. Формы такого урока могут быть достаточно разнообразны. Класс можно разбить на группы, но выбор формы занятия в данном случае не является принципиальным. После моего разбора задач ученики либо сами оценивают собственную работу, либо получают такую оценку от меня. Но затем пришло понимание ограниченности такого подхода — легко сбиться на чистую технику и заняться только решением конкурсных или олимпиадных задач. Пришлось уточнять формулировку, точнее — пересматривать всю картину, до того представлявшуюся стройной и незыблемой, как Александрийский столп. Как пример — только одна из ситуаций: домашнее задание. Набор задач, который предлагается ученикам в классе и дома, лучше работает на развитие, если такие задачи взаимодополнительны. Иначе говоря, задачи домашнего задания не столько «закрепляют» сделанное в классе, сколько позволяют ученику продвинуться вперед (как при ходьбе в гору — хоть маленький шаг, но выше). Но тогда — автоматически — обязательно и обсуждение сделанного детьми дома. Очень важный момент взаимодействия учителя и ученика: я уже не ментор, а сотоварищ в деле поиска истины. Тут естественно спросить: а как насчет знаний и умений? (Здесь пропущено традиционное слово «навык». Однако понимание навыка как умения, доведенного до автоматизма, приводит к мысли о том, что навыков в математическом образовании школьника вообще нет.) При любом понимании образования роль знаний и умений вряд ли может существенно измениться — на них держится все остальное. Похоже, что сейчас происходит смена установившихся взглядов общества на образование. Индивид из объекта становится субъектом. Проще говоря, ребенок теперь не столько будущий элемент государственной системы, сколько личность со всеми ее особенностями. Но тогда все то, что проникнуто идеей профессионализации (накопление знаний и умений), не так существенно по сравнению с тем, что воздействует на его персональные свойства. И, следовательно, в образовании не столь важен упор на знания и умения сами по себе, сколь важно воздействие на развитие ребенка. (И не так важно, к примеру, знать назубок все свойства квадрата или формулы тригонометрии, как важно видеть в них источник появления новых образов и мыслей.) 23
Принятие этой новой ситуации влияет на установку и частично меняет ее, приводит на практике, как я постараюсь показать, к множеству важнейших в нашем деле следствий. Так кто же он, человек из детства? Сосуд, который надо наполнить знаниями? Факел, который надо зажечь? Сравнения, как всегда, хромают, и все куда сложнее. И есть еще одна сторона дела, о которой совсем коротко. Обучать, как я понимаю этот термин,— это обучать какому-то виду деятельности. А в школе в лучшем случае обучают учебной деятельности, как принято говорить, «учат учиться». Это само по себе неплохо, но замыкает образовательный процесс на себя. Можно попытаться сделать в школе чуть больше, хотя бы в специализированной школе. Именно — обучать основам научно-исследовательской деятельности. Вырисовывается интересная педагогическая задача, которая все больше занимает меня сейчас. В установку учителя входит и отношение к Ученику. Речь сейчас не о нормальных человеческих отношениях между взрослыми и ребенком, а о другом. Каков он, мой Ученик? Каким я его хочу видеть? И чем мой Ученик отличается от ученика моего коллеги? Ведь мы рассказываем одни и те же теоремы, задачи, формулы, да и слова говорим, вероятно, одни и те же. Но есть же какая-то разница! Мой Ученик понимает математику, как и я. Ему нравится в ней то, что нравится мне, и он не принимает того, чего не принимаю я. (Разумеется, речь идет не о буквальном копировании, а о чем-то вроде подобия.) Я легко прощаю ему незнание каких-то формул и определений, но я недоволен, когда он не может их вывести или разумно придумать, или, на худой конец, организовать, если так можно выразиться, «процесс вспоминания». Он относится к своей математической деятельности так же, как и я к своей, прежде всего — серьезно. Он самостоятелен, самостоятелен по мыслям и поступкам. В Ленинграде учился некий американский студент. У него спросили, как сообщает молодежная газета, чем отличается американский студент от нашего? «Ничем, за исключением одного только,— ответил американский юноша.— Ваши ребята ждут, когда кто-то за них все сделает». Вот стоит у доски ученик, он только что пересказал теорему из учебника. Ну и что? Когда он был малышом, сколько раз он говорил: «Я сам!» А сейчас — пересказал, как мог, чужие мысли и доволен. Почему он теперь норовит спрятаться за учебник («А здесь так написано!»), за учителя («А вы так сказали!»), за соседа по парте («Дай списать!»)? Терпеть не могу, когда мне говорят: «А в ответе не так» и гонят свою работу и свои мысли под результат, полученный кем-то. (Я вообще не советую ученикам смотреть в ответ.) Здесь в самый раз сделать «лирическое отступление». Конечно, учителя во все времена и во всем мире — «люмпен-интеллигенты», если можно так выразиться, именно они сидят в идеологических окопах. Недаром же Бисмарк сказал, что войну выигрывает 24
не прусский фельдфебель, а прусский учитель. Что может делать с ребенком школа, я прекрасно вижу и на собственной биографии. Вот несколько примеров. Я писал в невеселые шестидесятые годы сочинение по физике на тему: «Приоритет русских ученых в электротехнике», сочинение, из которого следовало, что не было Герца, Маркони, Эдисона, Белла, Тесла и многих других. Я писал это сочинение, ибо мне внушали ложную мысль о том, что наука может быть национальной: немецкая наука, русская наука и т. д. Изучая дарвинизм — был такой предмет в школе: «Основы дарвинизма»,— я рассказывал о достижениях Т. Д. Лысенко, В. Р. Вильямса, О. Б. Лепешинской и клеймил менделизм-вейсманизм-морганизм (именно так, через черточку, все это писалось и говорилось в те годы), не имея ни малейшего понятия о генетике. На вступительных экзаменах я рассказывал, согласно полученному билету, о реакционном творчестве Ахматовой, Зощенко и Хазина, ничего не прочитав из их произведений. Нет, Зощенко я читал, хохотал над рассказом о приключениях обезьяны, но мне уже внушили, что есть два мнения: одно — свое, а другое «правильное». Вот как происходило такое внушение. В X классе я писал сочинение на тему «Поэт и поэзия в творчестве Пушкина, Некрасова и Маяковского». Помню, я прочитал многое у них и решил обойтись без каких-либо критических статей, написать, что я сам думаю. Как я сейчас понимаю, написал я чушь, но все же пытался ее аргументировать. За сочинение я получил «тройку», но не в этом дело. Эта оценка была мотивирована моей учительницей, о которой, кстати, у меня только самые хорошие воспоминания, примерно так: надо излагать не свою, а общепринятую точку зрения — вряд ли она сама так думала, но ведь над ней было начальство, инспектора... И кто знает, были бы эти строки, если бы не 56-й год и не XX съезд партии и закрытое письмо съезда, которое читали всем студентам. Все это я хорошо держу в памяти. Поэтому мой Ученик спорит со мной, не согласен со мной, может быть, даже вредничает в мой адрес: «А вот вчера вы говорили такое, а сегодня совсем другое». Он оспаривает и свою оценку, выставленную мной. Я счастлив, когда он бывает прав. Однажды двое моих мальчишек к ужасу своему нашли ошибку в моем решении задачи, которое я поведал классу. Их опровержение было довольно хитрым, и я повысил им на балл итоговые отметки. Мой Ученик критически воспринимает написанное и сказанное, пропуская все через себя. Мало ли что могут написать и сказать, кого только не громили в печати и к чему только не призывали с амвона! Порой я ставлю отличную оценку всего только за один вопрос ко мне — бывают такие вопросы, на которые надо отвечать чуть не весь урок. «А с какой стати мы считаем пустое множество выпуклым? Может быть, оно как раз невыпуклое?» Я терпимо отношусь даже к духу противоречия, хотя он изрядно может насолить,- делая ученика просто неудобным. 25
Однажды я в сердцах поставил такому вот ученику сниженную оценку за поведение в четверти, так он досаждал мне на уроках, как будто у меня других забот не было, кроме как поговорить с ним об его идеях. Сейчас он — кандидат наук, математик, а я про себя думаю, что он научил меня больше, чем все книги по педагогике. Вот так: ценим детей удобных, а помним строптивых. Мой Ученик ответствен. Ког- рис 1 да он пишет «Ответ», то это означает, что он действительно отвечает за полученный результат. А раз так, то отрезано было только после того, как не раз отмерено. Очень не люблю, когда, получив Бог весть какой результат, дети бегут ко мне: «Проверьте...» Наконец, мой Ученик чуть ироничен, а еще лучше — самоиро- ничен. Математика — штука серьезная, наука — тем более, образование — еще более, но есть вещи и поважнее. Однажды два хороших ученика — он и она — получили за самостоятельную работу двойки. Он от обиды скомкал работу и бросил ее на пол. Она улыбнулась, сказав чуть слышно: «Подумаешь...» Эту улыбку я помню до сих пор, улыбку вместе с глазами и голосом, каким она это сказала, передать это невозможно. Вот такого я хочу иметь Ученика. Еще больше я хочу такого Ученика сделать. Потому тащу каждый день свою «тачку с камнями». Когда установка осознана, становится яснее ответ на главный вопрос: «Зачем я иду на урок?» Я иду на урок не только чтобы рассказать детям теорему Пифагора, но с надеждой, что после него они станут чуточку-чуточку другими. Мне должно нравиться то, что я делаю на уроке. Нравиться может только тогда, когда то, что я делаю, соответствует (явно ли неявно) собственной установке. Той же теореме Пифагора можно дать много разных доказательств. Доказательство по принципу «смотри» мне куда симпатичнее прочих. Вот его вариант (рис. 1). Здесь АС = ау BC = by AB = c. c2 = 4.±-ab+(a-b)2 = a2 + b2. Один мой коллега как-то по-особенному, не по учебнику, рассказывал в школе курс геометрии. Однажды к нему на урок пришел некий доцент. Послушал он учителя, а затем поделился со мной: «Твой коллега не всегда сам понимает, что говорит!» — Конечно, это плохо,— ответил я,— но не страшно, сильно ошибиться дети не дадут. А вот то, что у него на уроке глаза светятся от удовольствия, так этому цены нет. 26
Система работы учителя взаимосвязана с его установкой, хотя связи тут непростые. Такая связь естественна, ибо средства намечаются целями. И чтобы понять систему учителя, необходимо знать его установку. Я думаю, что система присутствует в работе любого учителя независимо от того, осознает он это или нет. Система работает лучше, если она известна ученику. Например, если ученику известно, когда его спросят, что его спросят и как будут оценивать. Система работы формируется годами и тоже порой неосознанно. Ее очень важное свойство — защитное. Урок может не получиться, но благодаря системе круги от этой неудачи не слишком большие. К сожалению, она имеет тенденцию к застою. Это опасно. Все под нее подгоняется, то, что в нее не укладывается, отметается. Тогда перестаешь серьезно размышлять, исчезают проблемы, а с ними и сама жизнь. Система становится догмой, и превращаешься в «педагогическую бестию» — мне знакомо это ощущение, его осознание мучительно. Но в общем система обучения — это некая технология. В разные годы я подолгу размышлял о некоторых ее элементах, пытаясь как можно больше ее формализовать. Как готовиться к уроку, как проводить урок, как планировать и организовывать изучение некоторого раздела курса, даже как рассказывать теорему и как ее спрашивать, даже сколько и каких тетрадей должен иметь ученик по предмету. Я просматриваю сейчас эти старые записи, многое кажется наивным, а что-то совсем уплыло из памяти, хотя и сейчас можно бы пустить в дело. Но так или иначе все это, видимо, необходимо как некий этап становления. Вот только один пример. Сейчас для меня подготовка к уроку сводится к его продумыванию. План урока — в голове, рождается от установки и автоматически вписывается в устоявшуюся систему. Когда-то я писал очень подробные планы, но все они — на свалке, не представляю себе мастерского преподавания по бумажке. А как придет мастерство, если все время работать по старым планам? Никогда не работал по чужим планам, не представляю себе смысла такой работы, но ведь до сих пор в методических пособиях печатают планы уроков! Я уже говорил, что система омертвляет. Противодействуя этому, много импровизирую, в частности позволяю себе идти на урок без четкого плана. Бывало, ученики предлагали мне решить на уроке задачу, «выкопанную» неизвестно откуда. При желании наблюдатель мог бы найти на таком уроке много огрехов, но в нем есть ясный смысл, а кроме того, атмосфера подлинного, а не сыгранного математического творчества. Вряд ли эти уроки-импровизации теперь появились бы без предыдущей многолетней работы, которая кажется мне порой едва ли не бессмысленной — боже мой, на что я тратил время! В последние годы я все больше размышляю об отметке, которую мы ставим ученику. Некоторые считают, что она должна идти по другой шкале — двенадцатибалльной и даже что она вообще не нужна. Думаю, что последнее — крайность, объяснимая господст- 27
вующим сейчас культом отметки, который весьма грубо может быть передан так: хорошие отметки — хороший ученик. Во всяком случае мне трудно представить себе безотметочное обучение в старших классах. С отметкой у нас творится что-то странное. Она выставляется не за то, что ученик сделал, а за то, что он не сделал. В самом деле, имеется некая градация ученических ошибок (грубые, мелкие и т. д.), и отметка выставляется не за качество сделанного верно, а за качество, если можно так выразиться, ошибок: чем грубее ошибка и чем их больше, тем ниже отметка. И ведь медали выдают в соответствии с этим принципом! Возьмем, однако, такой, достаточно частый случай. В работе было несколько задач разной степени сложности. Ученик хорошо справился с более сложной задачей, а в менее сложной ошибся, пусть грубо ошибся. За грубую ошибку я имею право существенно снизить отметку, иногда до «3». Ну а куда же тогда девалась работа ученика в-сложной задаче? Быть может, грубая ошибка в работе и появилась потому, что ее автор слишком много сил затратил на решение сложной задачи? Ну а не сделал бы он этой сложной задачи вообще, зато, предположим, не сделал бы и этой грубой ошибки — и тогда была бы возможна отметка «4». Конечно, это именно рассуждение носит умозрительный характер. Но ситуация, когда в работе ученика сделаны более сложные примеры, но допущены ошибки в более простых, хорошо известна каждому учителю. И еще необходимо учесть, что классная работа идет фиксированное время. Не хотим ли мы чересчур многого от детей? В деле выставления отметок можно идти по иному пути — не от анализа ошибок (как этого требовали от нас при исполнении каждой работы, спущенной «сверху»), а от анализа того, что и как учеником сделано. Если ученик делает только те задачи, для решения которых есть недлинный алгоритм или очень простой образец, разобранный к тому же в классе, то он получает не больше тройки. Например, такое задание: «Решить неравенство х-\-5>3». Если же он делает задачи, уровень сложности которых требует знания длинных алгоритмов или эвристических предписаний, или достаточно сложной комбинации алгоритмов, но образцы всего этого были даны на уроке, то ученик может получить четыре. Например, такое задание: «Решить неравенство относительно х: ах> 1». И наконец, оценку «пять» получает ученик в том случае, когда делает то, что не объяснялось и не имело аналогий на уроке. Например, в той же теме «Решение линейных неравенств» можно предложить решить такое неравенство: —> 1. При этом, разумеется, оценка напрямую зависит от того, что делалось в классе. А то, что делается в классе, определяется установкой. А установка у каждого своя. Вот и получается, что оценки, которые ставит учитель Петр, отличаются от оценок, которые ставит учитель Павел, причем за одну и ту же работу! 28
Страшно ли это? По-моему, нет, скорее — непривычно. Хотя так ли уж и непривычно? Известно ведь, как разнятся оценки в одной и той же школе у разных учителей даже по одному и тому же предмету. Но совершенно ясно, что такая позиция резко противоречит имеющейся «установочной» тенденции, идущей сверху. Такая система в выставлении отметок не бог весть какая революция, но не все тут очевидно. Как быть, например, если требуется проверить ученика сразу по нескольким разделам темы или по нескольким темам? Скажем, по тригонометрическим функциям в IX классе: здесь ведь и тождества, и уравнения, и неравенства...? Я делал так. До работы предлагаю детям определиться, т. е. понять, на какую оценку они претендуют: «3», «4» или «5». А на самой работе каждая группа учеников, согласно своему самоопределению, выполняет свое задание. Таким образом, задачи предлагаются не по вариантам, а по трем группам, по степени сложности. Конечно, пока у меня нет полной ясности в этом деле. Вот ученик претендует на пятерку, а им ничего не сделано. Что ставить? Можно, конечно, поставить двойку и прочитать нравоучение, да как-то жалко. Или другой пример: из двух заданий на четверку ученик сделал одно — тут что ставить? Эти трудности частично преодолимы в соответствии с четким принципом: «Сомнение учителя — в пользу ученика». А в целом я убежден, что выставление оценок — дело неформальное. Вот еще одно соображение по этому поводу. В последние годы я практически перестал ставить отметки «за знания и умения». Я их ставлю за работу. «Работа» ученика — понятие интегральное, сюда входят не только знания и умения, но и их уровень, а также, как бы это сказать поточнее, «количество и качество вложенного труда» что ли. Сюда входят и способ подачи работы, и ее оформление, и качество рисунков, и даже соображения по поводу работы, например появившиеся вопросы. — Как вы можете хотеть, чтобы я относился к вашей работе хорошо, если я вижу, что вы сами относитесь к ней плохо? — вопрошаю я, когда вижу работу, сделанную несерьезно, неряшливо, некрасиво. Разумеется, в классной работе, идущей на скорости, такие требования нуждаются в корректировке. Ну а как быть в этой системе с пресловутой оценкой «два»? В начале своего пути я, если можно так выразиться, шел «с программой на ребенка» и в самый первый год работы в четырех V классах оставил на повторный курс чуть ли не 10 детей. Сейчас мне неприятно это вспоминать, но что поделаешь — было. Это ведь почти аксиома — ребенок ни в чем не виноват. Он не виноват в том, что у государства мизерные расходы на образование, что в классах сидит больше 40 учеников, что его обучают нередко ненужным, да еще малоинтересным вещам, что и тому, что нужно, обучают плохо, что ему неуютно в школе... И потому я иду сейчас в обратном направлении: «от ученика к программе». Значит ли это, что 29
вообще не надо ставить двоек? Да нет, конечно. Просто я не люблю выводить в журнале эту цифру, «лебедя». Ставить можно столько двоек, сколько нужно, но при одном условии — при сопереживании этой оценки с детьми. Если такого чувства нет, то или надо прекратить ставить двойки, или вообще менять профессию. Наконец, третья составляющая деятельности учителя — атмосфера на уроке. В этой атмосфере разворачиваются отношения с детьми и детей между собой. Когда-то, в начале пути, я спросил у своего учителя, а затем коллеги: «А вы не боитесь, когда идете на урок?» «А чего мне бояться, пусть они меня боятся»,— ответил он. Идеальная атмосфера — это совместная работа в поиске истины. Когда и я участвую в таком поиске, без всякой игры, текут прекрасные и, к сожалению, редкие минуты — класс их чувствует и становится другим. Разговор об атмосфере достаточно деликатен, ибо совершенно напрямую выходит на разговор о личных качествах учителя. Оставим эту тему, но один пример хочется привести. Подсказка на уро ке — дело ученической доблести, а также педагогическая задачка. К ее решению можно прийти, идя от представления об «идеальной атмосфере». Можно сделать весьма просто. — Вы, дети, хотите помочь стоящему у доски. И я хочу ему помочь. Мы вместе хотим помочь ему выяснить, что же он знает на самом деле. Подсказка никогда не помогала тому, кто ничего не знает. Поэтому ваша лучшая подсказка заключается в том, чтобы задать ему вопросы по поводу того, что он сказал или написал. Если он ответит на ваш вопрос и тем самым дополнит свой ответ или поправит его, то отметка ему снижена не будет. И ему вы поможете, и вам самим зачтется за помощь. Итак, все, что вы хотите подсказать, не надо таить от меня, а, наоборот, надо высказать вслух, но только в виде вопроса. Наблюдать за такими организованными «подсказками», слушать их, комментировать, сравнивать — большое удовольствие. В последние годы появилась концепция «педагогики сотрудничества». Как я ее понял, это концепция в основном и относится к атмосфере в школе и классе. Смысл ее в том, что она противостоит концепции авторитарного руководства детьми. Такую точку зрения на атмосферу можно только приветствовать. Но! Положение осложняется тем, что практически приходится работать в обоих режимах: авторитарном, скажем мягче, программном и режиме сотрудничества. Подлинная проблема — это проблема выбора того или иного режима для решения поставленной педагогической задачи. Разрешая эту проблему, мы опять придем к понятию установки. А то, что программный режим необходим, прямо следует из степени ответственности участников педагогического процесса за его результат — ясно, что у детей и взрослых она разная. И еще, никакая атмосфера не решает сама по себе всех проблем образования и даже главных проблем. Конкретно: в любой атмосфере 30
ребенок с пониженной обучаемостью таковым и останется. Не исключено, по-моему, и то, что в программном режиме ему будет комфортнее. Компоненты «АСУ» учителя взаимосвязаны и существовать отдельно могут только в логическом анализе. Атмосфера и установка непосредственно «завязаны» на личность учителя. Всякие попытки популяризировать ту или иную систему работы отдельного учителя, только систему, вряд ли могут привести к широкому ее распространению. Ибо система мало того что определяется установкой, но реализуется в определенной атмосфере. Значит, хотя и опосредованно, система зависит от личности учителя. Система работы не «золотой ключик» к всевозможным проблемам образования, а всего лишь организационная форма взаимодействия ученика и учителя. И только! Более того, я, кажется, понимаю, почему так трудно переносится и заимствуется иной педагогический опыт. Иной опыт — это иное «АСУ», а за ним стоит иной человек. Разумеется, я не против пропаганды того или иного удачного учительского опыта. Только благодаря этому процессу начинаешь понимать, чего ты добился сам и чего, увы, не добился. Чем больше новаций, чем они глубже, тем больше они вносят живого духа в наше дело. Тем самым они хоть немного расшатывают изначальный консерватизм системы образования. Истинный смысл этих новаций в том, что именно они, их количество и качество определяют жизнеспособность образовательной системы в целом. Я уже не говорю о том, что воспитание в детях творческой активности плохо вписывается в систему, которая душит творческую активность учителя. На одной из лекций, которую я читал учителям, я услышал жуткую просьбу: «Вы не рассказывайте нам, как можно делать. Вы расскажите, как надо делать!» Раз мы уже заговорили о системе образования в целом, позволю себе несколько замечаний частного характера. Ясно, что она должна быть гибче и эволюционировать быстрее. Я полагаю, что механизм образовательных реформ, спущенных сверху, доказал свою несостоятельность. Тем более в этой системе не может быть революций, как бы этого ни хотели чересчур нетерпеливые. Что же нужно? Ответ, пожалуй, банален, но другого я не вижу: поднять престиж образования в целом, поднять престиж профессии учителя, вложить в образование хорошие деньги и максимально его децентрализовать. Нам необходимо разрешить явное противоречие в движении образовательной системы: являясь самой выгодной сферой вложения общественного капитала, она тем не менее является одной из беднейших социальных структур. Эти меры — необходимые. Но вряд ли достаточные. Я сомневаюсь, что общенациональный успех системы образования будет достигнут без громадного труда тысяч учителей и громадного труда учеников. Это миф, что можно легко учиться. То есть это, 31
конечно, можно для отдельного человека. Я не верю в существование какого-то способа или метода, при котором исчезает этот громадный труд человека. Можно снять лишь отдельные трудности, но при этом они непременно возникнут в другом месте — как говорится, здесь действует «закон сохранения трудностей». Один пример. Мне всегда странно слышать о каком-то убыстренном прохождении программы. Я могу за один урок научить ребенка дифференцировать многочлены. Значит ли это, что в его голове, в его абстрактном мышлении произошел тот сдвиг, который произошел в математике с открытием бесконечно малых? Такой же вопрос я могу сформулировать о геометрическом воображении, комбинаторном мышлении и т. д. Сами по себе установка, система и атмосфера не гарантируют еще качества урока. Я вообще думаю, что хорошие уроки существуют только на бумаге или в учительских головах. Проводишь очередной урок и — опять не то, что-то не сказал, что-то не сделал, на кого-то не обратил внимания, кому-то не помог. Внешне может казаться все распрекрасным, заливаешься себе соловьем, и дети вроде так хорошо слушают. А начнут говорить... Урок в некотором смысле обречен быть неудачным. Во-первых, его делают люди со всеми их нелепостями. Во-вторых, урок — это попытка совершить невозможное. Их, этих самых симпатичных рожиц, передо мной штук 40, и во все головы не влезешь. Теоретическая педагогика (для себя я называю ее «бумажной») необходима, но пока она в основном исходила из молчаливого предположения, что перед учителем от трех до семи человек, все из приличных семей и очень хотят учиться по всем предметам без исключения. Как-то не очень ясно, что делать с ребенком, который давно уже махнул рукой на школу и на себя. Как, кстати, неясно, каким образом учить будущего Лобачевского. К тому же эти двое могут сидеть за одной партой. А парт еще 20. И все заняты. И, в- третьих, на уроке всегда хочется увидеть чудо — миг понимания, момент перехода непонятного в понятное. Когда такое бывает, ходишь счастливый. Однажды попал я на один урок в незнакомый мне IV класс. Мне надо было проверить срочно пачку контрольных, и понятно, с какой охотой я вошел к детям. «Ладно,— думаю,— дам им задачку на весь урок, а сам, глядишь, и успею». И рассказываю историю с маленьким Гауссом, как ему пришлось на уроке складывать все числа от 1 до 100. Закончил я рассказик, пообещал в конце урока «нашему будущему математику» поставить пятерку не только в дневник и уселся за стол, за собственную работу. И не тут-то было. Уже через десять минут на меня обрушился шквал предложений и способов. Способ, предложенный маленьким Карлом, тоже был найден. Куда же они пропадают потом, эти маленькие гении? И каждый день — все сначала. Вот я зашел в класс и закрыл за собою дверь... 32
Глава II. В ПОИСКАХ ЛУЧШЕГО 11.1. НАЧАЛО ПУТИ — И СРАЗУ ПРОБЛЕМЫ Первые три года после окончания института я работал в V— VIII классах той школы, где учился сам и где проходил педагогическую практику. Эти годы до сих пор вспоминаю с удовольствием. В основном я входил в мир детства. Воспитательство (а один год из этих трех я был воспитателем в двух классах: V и VII, причем в VII не работал учителем и вообще мои воспитательские классы занимались в разные смены), математический кружок и его газета «Квадратура», подготовка к олимпиадам, туристские походы, слеты и соревнования — все было ново и интересно. Моих математических познаний вполне хватало для восьмилетки. Правда, я понял, что не умею решать арифметические задачи, так сказать, «арифметически», т. е. без составления уравнений. А такого типа задачи обязательно предлагались на олимпиадах в младших классах. Тогда я прорешал все задачи из книги В. Ф. Широкова «Сборник арифметических задач на соображение». С тех пор знаю по себе: лучший способ научиться решать задачи состоит в том, чтобы самому решать эти задачи. Не надо жалеть времени, сил и не стоит надеяться, что на каких-то курсах кто-то научит. Впоследствии именно так я учился решать комбинаторные задачи — по книгам Н. Я. Виленкина и векторные задачи — по работам 3. А. Скопеца, список легко продолжается... Позволю себе чуть отклониться. За годы работы мне пришлось рассказывать детям много начальных математических курсов: аналитическую геометрию на плоскости, вычислительную математику, элементы конечной математики, начала теории вероятностей, вести кружки и факультативы разнообразнейшей тематики. Я увидел, как много красивого есть в математике и как редко эта красота пробивается к школьнику, заваленная Монбланом чисто технической работы. И я понял, что отдача в нашей работе пропорциональна времени, проведенному за рабочим столом — наедине с книгами, учебниками, задачниками. Если на учителя навалено столько забот и обязанностей, что у него не остается сил для такого труда, то бессмысленно требовать от него высокого качества работы. И никакие курсы этого не восполнят. В 1962 году, с грустью распрощавшись с «малышами», я перешел на работу в математическую школу № 239. (Еще несколько раз в своей жизни я имел удовольствие учить детей математике в IV—VI классах.) 3 Заказ 506 33
В те годы очередной реформой было введено одиннадцатилетнее обучение в средней школе, и в старших, IX—XI классах наряду с общим давалось и начальное профессиональное образование. Это было весьма разумно, ибо тысячи выпускников школ, не попавших в вузы, попросту не знали, куда себя деть, так как ничего не умели делать. Как раз ко времени появилась специальность «Оператор ЭВМ», которой и обучали в математических школах. Первый выпуск математических классов был сделан в 1964 году. Сейчас уже никто не обсуждает целесообразность специализированных классов и школ — в Санкт-Петербурге их больше 100. Но за эти четверть века и 239-я школа, и ряд других таких же школ города натерпелись много. Неоднократно ставилось под сомнение даже их существование, а некоторые школы просто расформировали, несмотря на успешную деятельность. Почти сразу обозначились проблемы образования в специализированных школах. Вот некоторые из них. 1. Учебный план. Каким должно быть соотношение математических, естественнонаучных и гуманитарных предметов? Возможно ли выделение обязательных и необязательных дисциплин? 2. Содержание математического образования. Должно ли оно расширяться, или ему идти в сторону углубления? Конкретно: давать ли ученикам начала теории вероятностей или предпочесть изучение разнообразнейших применений комплексных чисел? 3. Учет специфики школы. Учить математике, к примеру, тех, кто больше ее любит,— это совсем не то, что учить математике тех, кто предпочитает физику. Возможно, эти группы надо учить разной математике. Я знаю опытного учителя, который успешно работал с «математиками» и не нашел общего языка с «физиками». 4. Учебники и учебные материалы. Или их вообще нет, или мал выбор, или они недостаточно специализированы. На практике почти все приходится делать самому. 5. Установка школы. Кого она готовит? Личность, будущего ученого? А может быть, обучение в такой школе эквивалентно хорошей подготовке в технический вуз? Боюсь, что на практике получается именно последнее, но мне эта задача — готовить детей для высшей школы — кажется легкой и неинтересной. 6. Проблема отбора. Отбирать отличников? Многие из них оказываются беспомощными в специализированном обучении. И наоборот. Примеров — предостаточно. Однажды мы приняли в IX класс мальчика, у которого в свидетельстве за восьмилетку были одни тройки и лишь по математике — четверки. У него оказались прекрасные способности к математике, особенно к аналитическим выкладкам. Грамотность, однако, была близка к нулю, у учительницы литературы волосы стояли дыбом, когда она читала его сочинения. Сейчас он профессиональный математик. Кроме того, известно, что яркие, самобытные дети имеют порой непростые характеры, и бог знает что писали им в характеристиках, когда они кончали восьмилетку — ну как такого брать? И тем не менее. 34
7. Проблема развития. В школе оказываются дети, более способные к математике. Но как эти способности развивать? В каком направлении? К чему стремиться? Кроме того, бывает, что в начале обучения школьник теряется, порой выглядит беспомощным. Одну из моих учениц мы хотели после IX класса исключить из школы за «безнадежность», но что-то нас удержало. В X классе она была уже «на уровне», а в XI получила диплом на городской олимпиаде. Сейчас она профессионал-математик, кандидат наук. История с ней научила меня на всю жизнь — торопиться в выводах не надо. 8. Методика обучения. Вопросов — уйма. Вот один из них, чуть ли не самый простой: каков должен быть характер самостоятельных и контрольных работ? В массовой школе они контролируют учебные умения, отсюда и следует их содержание. А что проверять тут? Тоже только учебные умения? Не думаю. Поэтому в черновой работе на уроке даю такие задания, которые заведомо не встретятся в предстоящих работах. Да, но что же тогда проверяется? Кроме обычных учебных умений, еще и умение соображать «на ходу». И ведь в конечном счете дети обучаются и этому — на то и способности. Но вначале — с очень большим скрипом, с противодействием: «А вы нам это не объясняли!» А со временем даже перестают замечать эту новизну. Многие из этих вопросов не решены и поныне. В первые годы существования математических школ математике учили три года, и каждый год было по 12 ч математики в неделю. Таких, можно сказать, неограниченных возможностей с точки зрения имеющегося времени у меня больше никогда не было. Изучались алгебра, тригонометрия, геометрия — как положено, а также аналитическая геометрия, математический анализ, приближенные вычисления и программирование. Если преподавание элементарных дисциплин и анализа находилось в одних руках, то довольно быстро стало ощущаться рассогласование между уровнем преподавания этих предметов. В самом деле, элементарные дисциплины преподавались по обычным школьным учебникам А. П. Киселева и Н. А. Рыбкина, а анализ — по Г. М. Фихтенгольцу, причем не по «тонкому» — учебнику для технических вузов, а по «толстому» — учебнику для университетов. Уровень строгости в этих книгах был явно несопоставим: анализ начинался с аксиоматики вещественного числа, а в курсе стереометрии Киселева логические упущения были с самых первых страниц и замечались учениками моментально. Были и другие рассогласования — например, изучение объемов и площадей поверхностей в курсе анализа через интеграл и в курсе геометрии с помощью довольно искусственных лемм. В курсе аналитической геометрии изучались векторы, о которых не было никакого упоминания в курсе элементарной геометрии и, что особенно жаль, в курсе тригонометрии. Число примеров легко увеличивается. 35
В ходе дальнейших реформ образования учить в старших классах стали меньше — два года вместо трех, и часов стали отводить на математику все меньше и меньше и дошли даже до 8 ч в^еделю, да и дети стали почему-то послабее, чем в первые годы. Снижать качество образования не хотелось никак — уже были наработаны некие образцы. Такая ситуация порождала большое число содержательных методических задач. Поскольку в дальнейшем я буду вести речь именно о методике преподавания математики, то сделаю некоторое отступление. Мне довелось слышать много скептических и даже пренебрежительных высказываний от своих коллег по поводу методики, педагогики и вообще какого-либо теоретизирования в деле преподавания. Любопытно то, что в основном эти высказывания шли от хороших профессионалов своего дела. Их основная мысль состояла в следующем: «Я знаю предмет, у меня нормальные отношения с детьми, и я прекрасно живу безо всякой там педагогической науки». Довелось слышать и другое понимание методики, я бы назвал его утилитарным. Методика, как мне говорили, состоит в том, чтобы дать образцы решения задач, записи их решения, оформления письменных работ, чтобы составить план урока и т. д. Мне не хочется здесь никого переубеждать, спорить о том, является ли методика преподавания наукой или не является. Впрочем, мне ясны две вещи: 1. Коль скоро миллионы людей занимаются обучением тысячи лет, то в этой их деятельности немало общего, и это общее может выделяться и изучаться. 2. Если такое изучение и называть наукой, то такая наука является скорее экспериментальной, нежели теоретической. Это значит, что некий прогресс в методике преподавания обеспечивается в первую очередь тем, что происходит в живом контакте с детьми, а уже потом — чистыми размышлениями о возможности кого-то чему-то как-то научить. Лично мне всегда большое удовольствие доставляло решение таких задач образования, которые не могу назвать иначе, как методические задачи. 11.2. СТЕРЕОМЕТРИЯ НА ВЕКТОРАХ Первой такой серьезной задачей, которой мне пришлось заняться, было построение курса стереометрии для математических школ, такого курса, который соответствовал бы более высокому уровню строгости в доказательствах. Мне надоело выкручиваться, объясняя ученикам, к примеру, что значит «вложить один двугранный угол в другой», почему прямая в пространстве является неопределяемым понятием и т. д. Простого выхода из положения я не видел. Преподавать геометрию в духе «Оснований геометрии» Д. Гильберта у меня не было никакого желания — это трудно, длинно и скучно. По счастью в конце 70-х годов в нашей педагогической литературе появились упоминания о том, что возможно построение 36
курса геометрии на основе системы аксиом, предложенных Г. Вей- лем. В основу такого изложения было положено понятие вектора, точнее векторного пространства. К векторам я относился хорошо, так как преподавал тригонометрию по учебнику А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника. Сейчас эта идея — пройденный этап в нашей методике, достаточно назвать учебник по геометрии, написанный В. Г. Болтянским. Но тогда в методической литературе, насколько я знал, не было ничего подобного, и пришлось залезть в математику. Точно помню, что первые более или менее развернутые сведения о таком построении геометрии я почерпнул из книги П. К. Рашев- ского: «Риманова геометрия и тензорный анализ». Разумеется, пока это было очень далеко от элементарного курса геометрии. Однако идея мне понравилась, и я решил попробовать. По сути дела мне была известна только аксиоматика возможного курса. Все остальное: последовательность изучения, доказательства теорем, набор задач надо было делать самому. Иногда я шел на урок, придумав его содержание (теоремы и их доказательства) только накануне вечером. Разумеется, через несколько лет преподавания такого курса стереометрии, причем не только в математической школе, все стало на свои места. В первый год я рассказывал таким образом только аффинную часть курса, метрическая часть оставалась традиционной, что привело к некоторому разнобою в построении курса. И тем не менее мне дорог именно первый год такого преподавания. До сих пор помню свои волнения: а поймут ли дети? Смогут ли воспроизвести? Понравится ли им? Уже в конце 1969 года я докладывал коллегам на городском семинаре итоги такого преподавания. Впоследствии я пробовал разные варианты векторного изложения стереометрии, выискивая наилучший. Я приведу здесь, очень конспективно, именно первый вариант, самый дорогой для меня. Аксиоматика Рассмотрим множество V\ элементы которого назовем векторами. На множестве U выполняются следующие аксиомы. Аксиомы сложения векторов Основная операция — сложение векторов. Для каждых двух векторов а и b существует единственный вектор, называемый их суммой. Обозначение: а + Ь. При этом: 1. a-\-b = b-\-a для любых векторов а и Ь. 2. a-\-(b-\-c) = (a-\-b)-\-c для любых векторов а, Ьу с. 3. Для любых векторов а и b существует единственный вектор х такой, что a + x = fe. Аксиомы умножения вектора на число Основная операция — умножение вектора на число. Для каждого вектора а и для каждого числа А, существует единственный век- 37
тор, называемый произведением вектора а на число X. Обозначение: Ха. При этом: 4. Х(а + Ь)=Ха + ХЬ для любых векторов а и Ь и любого числа X. 5. (Х\-\-Х2)а = 'к\а + к2а для любого вектора а и любых чисел Х\, А,2. 6. A,i (А,2а) = (Х\Х2) а для любого вектора а и любых чисел Х\,Х2. 7. 1 .а = а для любого вектора а. Аксиома размерности 8. В множестве U существуют три линейно независимых вектора, а всякие четыре вектора линейно зависимы. Аксиомы соответствия Рассмотрим множество, элементы которого назовем точками. Каждой упорядоченной паре точек (Л, В) соответствует единственный вектор а. Обозначение: а = АВ. При этом: 9. Любой точке А и любому вектору а соответствует единственная точка В такая, что АВ = а. 10. АВ + ВС = АС для любых точек Ау Ву С. Аксиомы скалярного умножения Основная операция — скалярное умножение векторов. Для каждых двух векторов а и Ь существует единственное число, называемое скалярным произведением векторов а и Ь. Обозначение: а -6. При этом: 11. a-b = b-a для любых векторов а и Ь. 12. a'(b-{-c) = a*b~\-a'C для любых векторов а, Ь, с. 13. (ka)-b = 'k(a-b) для любых векторов а, Ь и любого числа к. 14. а-а>0 для любого вектора а. а-а = О только при а = 0. Такой вариант аксиоматики более или менее стандартен для данного подхода. Замечу, что аксиомы скалярного произведения были введены американским математиком Дж. фон Нейманом. Из этой аксиоматики можно получить довольно много. Из аксиом первых двух групп можно вывести разные векторные равенства типа А,-0 = 0, Ха — ХЬ = к(а — Ь) и т. д. Тройку линейно независимых векторов назовем базисом U. Сразу можно доказать теорему: «Для любой пары линейно независимых векторов можно найти такой третий, который вместе с данными образует базис V. Любой вектор, отличный от нулевого, можно дополнить двумя векторами до базиса U». 38
Далее рассмотрим множество U, которое мы назовем векторным пространством, и два вида его подмножеств — векторные подпространства. Одномерное векторное подпространство — это множество всех векторов вида аа, где^а^=0 и а — любое число. Обозначение: Va или просто V. Вектор а назовем направляющим вектором V или базисом V. Двумерное векторное подпространство — это множество всех векторов вида аа + рб, где а и Ь — линейно независимые векторы, аир — любые числа. Обозначение: Wa,b или просто W. Векторы а и b вместе назовем направляющими векторами W или базисом W. Векторные подпространства — это множества векторов, поэтому отношение включения, равенство и пересечение подпространств трактуются как соответствующие понятия для множеств. Удобно также ввести нульмерное векторное подпространство, содержащее только 0. Основными для векторных подпространств являются такие теоремы: 1. Для того чтобы векторное подпространство принадлежало другому векторному подпространству, необходимо и достаточно, чтобы его базис принадлежал второму подпространству. 2. Для равенства подпространств одинаковой размерности необходимо и достаточно, чтобы одно из них принадлежало другому. 3. Пересечение двух различных двумерных подпространств является одномерным подпространством. Теперь все готово для изучения взаимного расположения прямых и плоскостей. Замечу при этом, что доказательства предыдущих утверждений ничего сложного не содержат, но вместе с тем никакой геометрии там нет — алгебраические выкладки и некоторые логические рассуждения. Прямая и плоскость определяются по одинаковой схеме. Возьмем точку и отложим от нее все векторы одномерного подпространства. Множество концов всех этих векторов назовем прямой. Если исходная точка названа О, а подпространство обозначено через V, то обозначение соответствующей прямой таково: O+V. (Знак + имеет чисто формальное значение.) Точно так же определяется плоскость. Возьмем точку и отложим от нее все векторы двумерного подпространства. Множество концов всех этих векторов назовем плоскостью. Если исходная точка была О, а подпространство обозначено через W, то обозначение соответствующей плоскости: 0 + W. Теперь доказывается, что прямая определяется любыми двумя своими точками, а плоскость определяется любыми тремя своими точками, не лежащими на одной прямой. Доказательства простые. Теперь пора собирать «урожай» чисто геометрических фактов. Их доказательства после всего рассмотренного становятся совершенно тривиальными, и ученики быстро их находят. Сначала определяется параллельность в пространстве. Прямая (плос- 39
кость) называется параллельной другой прямой (плоскости), если направляющее подпространство первой содержится в направляющем подпространстве второй. (Проще было бы говорить о равенстве подпространств, но тогда для параллельности прямой и плоскости пришлось бы давать специальное определение.) Для пересекающихся прямых и плоскостей определения традиционные, хотя их можно было бы дать и векторными. Почему же традиционные? Я думаю, что причина в основном психологическая, учителя все равно «тянет» на традиционный курс геометрии и хочется побыстрее перекинуть «мостик» от линейной алгебры к Евклиду. На этом пути я не сразу заметил, что отрицание параллельности означает пересечение: для двух прямых на плоскости и двух плоскостей в пространстве. Само доказательство довольно интересно. Приведу его. Пусть имеется прямая р\ с начальной точкой А и направляющим подпространством V\\ p\=A -\-V\ и пусть точка А\ лежит на прямой pi, так что АА\ — базис V\. Пусть есть еще прямая р2 с начальной точкой В и направляющим подпространством W. p2 = B-\-V2 и пусть точка В\ лежит на прямой р2, так что ВВ\ — базис W Пусть также обе прямые р\ и рг лежат в плоскости П с направляющим подпространством W. Так как р\ и р2 не являются параллельными, то 1Л Ф К2, а потому векторы АА\ и ВВ\ линейно независимы. Так как точки Л, А\у В, В\ лежат в плоскости П, то векторы АА\ и ВВ\ являются базисом W, и поэтому вектор АВ является линейной комбинацией векторов АА\ и ВВ\, т, е. (1) Для любой точки К имеем: (2) Если мы хотим, чтобы точка К была общей для прямых р\ и р2, то необходимо выполнение следующих равенств: AK = hAA\y ВК = ^2ВВ\. Подставим эти выражения векторов АК и ВК в ра- венстрр' (2) и получим: AB = KiAAx—K2BBx. (3) Сравнивая два представления (1) и (3) вектора АВ и учитывая единственность разложения вектора в данном базисе, имеем: Х\ =а, А,2= —р. Докажем теперь, что полученные равенства коэффициентов являются я достаточными для существования общей точки у 40
прямых pi и р2. Возьмем точку К такую, что AK = olAA\. Ясно, что /(бРь Рассмотрим вектор ВК. Имеем такие равенства: откуда и следует, что /(6/?2. Если бы у прямых р\ и /?2 была еще одна общая точка, то они бы совпали, что противоречит тому, что они не являются параллельными (при данных определениях совпадение прямых является частным случаем их параллельности). В дальнейшем я научился «подавать» эту теорему совсем хорошо, так что и ученикам стало интересно. Доказательства традиционных геометрических утверждений в этой технике очень просты. Вот только один пример. Известно, что прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плоскостей, параллельна прямой их пересечения. Докажем это. Пусть плоскости аир пересекаются по прямой р, прямая с параллельна как а, так и р. Требуется доказать, что с\\р. Так как с||а, то Vc el Wa (Vc — направляющее подпространство прямой с, Wa — направляющее подпространство плоскости а). Аналогично, Vc cz Wfi. Но тогда Vc принадлежит пересечению Wa и W$t которое обозначим через V. Итак, VcaVy а значит, по теореме 2 для векторных подпространств VC=V. Точно так же VP = V. Поэтому Vc=Vpy откуда следует параллельность прямых сир. Векторные методы решения традиционных задач школьного курса привлекательны, обладают достаточной степенью общности, но обучить всех векторной технике решения задач дело непростое — знаю по своему опыту. Перейдем теперь к метрической части курса стереометрии. Только из аксиом скалярного умножения вытекают его простейшие свойства, например такие: а (Ь — с) = а£— ас. Дальше вводится определение ортогональных векторов. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Вектор называют ортогональным подпространству, если он ортогонален любому вектору этого подпространства. Ясно, что для ортогональности вектора подпространству достаточно, чтобы он был ортогонален базису этого подпространства. Об ортогональных векторах и подпространствах без особого труда доказываются утверждения, которые позволят затем получить традиционные теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях: 41
1. В векторном пространстве Е (так обозначаем векторное пространство U, в котором введено скалярное умножение) существует тройка ненулевых попарно ортогональных векторов (такую тройку назовем ортогональным базисом пространства). 2. Множество всех векторов, ортогональных одномерному подпространству, является двумерным подпространством. 3. Множество всех векторов, ортогональных двумерному подпространству, является одномерным подпространством. Перейдем к определениям перпендикулярности. Две прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны. Ясно, что это определение относится и к таким прямым, которые не пересекаются. Определения прямой, перпендикулярной плоскости, и перпендикулярных плоскостей я дал традиционные, т. е. невекторные, хотя можно было пойти и векторным путем. Доказательства традиционных теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей и о связи перпендикулярности и параллельности становятся чрезвычайно простыми. С их идеологией учителя могли познакомиться, работая в старших классах по учебнику стереометрии под редакцией 3. А. Скопеца. Вот примеры некоторых доказательств, которые, замечу, получали сами ученики. Любопытно, что при доказательствах можно совершенно не использовать рисунков. 1. Докажем, что прямая, перпендикулярная плоскости, ее пересекает. Выберем ортогональный базис плоскости. Вместе с направляющим вектором данной прямой два вектора этого базиса образуют ортогональный базис пространства. Предположим теперь, что прямая не пересекает плоскость, тогда она параллельна плоскости и, по определению параллельности прямой и плоскости, ее направляющее подпространство принадлежит направляющему подпространству плоскости. Но тогда направляющий вектор прямой является линейной комбинацией векторов базиса плоскости, что противоречит их линейной независимости. 2. Докажем, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Из перпендикулярности прямой и плоскости следует, что направляющий вектор каждой из данных прямых ортогонален направляющему подпространству плоскости. Но тогда они лежат в одном одномерном векторном подпространстве. Значит, обе эти прямые имеют одно и то же направляющее подпространство, откуда следует их параллельность. В векторном стиле можно провести доказательства почти всех теорем школьной геометрии — сейчас хорошо известно, как это делается. То же можно сказать и о решении задач метрической части курса. 42
11.3. ВЫХОД В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО В общем оказалось, что на этой основе можно выстроить всю школьную стереометрию. А школьную планиметрию можно организовать так, чтобы она способствовала сознательному усвоению стереометрии, основанной на векторах. Идею в целом можно подкрепить изучением, например на факультативе, основ четырехмерной геометрии. Известно, что в четырехмерной геометрии уже невозможно опираться на наглядные представления — таковых просто нет, зато векторное построение такой геометрии отличается от трехмерной геометрии только аксиомой размерности: вместо трех линейно независимых векторов появляются четыре, да еще корректируются некоторые определения, в частности появляется трехмерная плоскость (гиперплоскость). Приведу программу этого факультатива. 1. Задачи, приводящие к понятиям я-мерной геометрии. Сюда можно отнести решение систем линейных уравнений, когда число неизвестных равно л, задачу линейного программирования в общем случае, определение числа натуральных реше- п ний неравенства Hxf <&, k£N и др. /=1 2. Четырехмерный куб. Четырехмерный куб — одна из простейших фигур четырехмерной геометрии. К этому понятию можно прийти и до введения аксиоматики четырехмерного пространства, обобщая синтетический (наглядный) или координатный подход трехмерной геометрии. Полезно осуществить каждый из этих подходов и рассмотреть простейшие свойства четырехмерного куба: количество его вершин, ребер, граней и «сверхграней». Затем попытаться сделать рисунок такого куба, имея в виду его проекцию на обычную плоскость. 3. Аксиоматика четырехмерного аффинного пространства. К аксиоматике четырехмерного векторного пространства добавлены множество точек и аксиомы соответствия. 4. Подпространства четырехмерного векторного пространства. 5. Основные объекты четырехмерной геометрии. 6. Параллельность. 7. Пересечение и скрещивание. Аксиоматика четырехмерной аффинной геометрии отличается от аксиоматики трехмерной аффинной геометрии только аксиомой размерности. Новые объекты четырехмерной геометрии: трехмерное векторное подпространство и гиперплоскость — множество точек, полученное в результате откладывания от данной точки всех векторов трехмерного векторного подпространства. Взаимное положение объектов четырехмерной геометрии включает принципиально новый — в сравнении с трехмерной геометрией — случай скрещивающихся прямой и плоскости. Все случаи расположения объектов иллюстрируются на четырехмерном кубе. 43
8. Аксиоматика евклидова четырехмерного пространства и основные метрические понятия четырехмерной геометрии. Метрика вводится списком аксиом скалярного умножения. Как обычно |a|=V<P, \AB\ = \AB\9 cosZ.5, 6=-£iL.. |a|-|5| 9. Расстояние в четырехмерной геометрии. Удобно ввести термин «линейное многообразие» (ЛМО) — общее название для прямой, плоскости и гиперплоскости. Ставится задача о нахождении расстояния от точки до ЛМО. Оказывается, что искомым расстоянием является длина перпендикуляра, опущенного из точки на данное ЛМО. Другая задача — найти расстояние между двумя ЛМО. Им является длина их общего перпендикуляра. Все выкладки имеют аналитический характер. Практически считаются расстояния в четырехмерном кубе. 10. Угол между гиперплоскостями в четырехмерной геометрии. Угол между гиперплоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих гиперплоскостей. 11. Симплекс. Четырехмерный симплекс является обобщением понятия отрезка, треугольника, тетраэдра. Он определяется следующим образом. Пусть точки Л, В, С, D не лежат в одной гиперплоскости. Множество всех точек X таких, что где а>0, Р>0, 7^0» 6>0, a + p + v + 6=l, называется четырехмерным симплексом. (Здесь использована радиус-векторная запись, в которой все векторы имеют общее начало. Причем в этой записи опущена начальная точка.) Изучается устройство симплекса, вычисляются расстояния и простейшие углы. 12. Многогранники. К определению многогранника в четырехмерной геометрии приходим таким путем: ломаная — это определенная последовательность отрезков, многоугольник — это определенная последовательность треугольников, трехмерный многогранник — определенная последовательность тетраэдров. Тогда, по аналогии, многогранник в четырехмерной геометрии — определенная последовательность симплексов. Будем называть четырехмерные многогранники «сверхмногогранниками». Сверхпризму и сверхпирамиду можно, кроме того, определить конструктивно и доказать, что они являются сверхмногогранниками. 13. Выпуклые фигуры. Дается общее определение выпуклого множества. На выпуклость исследуются сверхмногогранники. Любопытно заметить, что традиционное определение выпуклости многоугольников на 44
плоскости и многогранников в трехмерном пространстве не обобщается потому, что при этом теряется наглядность^ 14. Теорема Эйлера (для выпуклых сверхмногогранникор). Проверяется выполнение теоремы Эйлера для разных типов сверхмногогранников. 15. Линейное программирование. Рассматривается геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в четырехмерном пространстве. 16. Правильные сверхмногогранники. Доказывается, что в четырехмерной геометрии существует только шесть видов правильных сверхмногогранников. 17. Сфера. Рассматриваются различные случаи взаимного расположения четырехмерной сферы и ЛМО. 18. Преобразования плоскости. Исходя из геометрического определения преобразования, выводится аналитическая и матричная запись этих преобразований. Последняя будет особенно ценной, так как с ее помощью будут определяться геометрические преобразования в четырехмерной геометрии. Разнообразным матрицам размерности 2X2 ставятся в соответствие геометрические преобразования плоскости. Определяются действия с матрицами, выясняется геометрический смысл произведения матриц. Показывается, что модуль и знак определителя имеют геометрическое истолкование. 19. Преобразования трехмерного пространства. Дается матричная запись геометрических преобразований. 20. Преобразования четырехмерного пространства. Определения даются в матричном виде. Преобразования классифицируются. 21. Неевклидова метрика на плоскости. Если отказаться от положительной определенности скалярного произведения, то его выражение в координатной форме имеет совсем не тот вид, который изучается в привычном курсе планиметрии. Этот вид определяется таблицей умножения базисных векторов плоскости е\у е2. В зависимости от вида этой таблицы находятся и длина вектора, и угол между векторами. 22. Полуевклидова метрика на плоскости. Выводятся некоторые теоремы этой геометрии и рассматривается ее связь с принципом относительности Галилея. 23. Псевдоевклидова геометрия на плоскости. Пусть х = х\в\ +*2#2, У = У\е\ +#2*?2- Определим скалярное произведение векторов по формуле Выводятся некоторые теоремы этой геометрии. 24. Геометрия Минковского. И полуевклидова, и псевдоевклидова геометрия были геометриями двумерных пространств. Геометрия Минковского — это 45
геометрия четырехмерного пространства, в котором скалярное произведение векторов определяется по формуле Рассматриваются некоторые факты этой геометрии. 25. Теория относительности и четырехмерная геометрия. Устанавливается связь пространства событий специальной теории относительности и геометрии Минковского. Изучаются преобразования Лоренца и их следствия. 26. «Существует ли четырехмерная геометрия»? Заключительная беседа о свойствах реального пространства, затрагивающая космологические теории и философское осмысление этих теорий. А вот примерный набор задач о четырехмерном, кубе — сверхкубе. Такого же типа задачи могут решаться и для других сверхмногогранников. 1. Что представляет собой сечение сверхкуба гиперплоскостью 2. Чему равна длина диагонали сверхкуба, ребро которого равно 1? 3. Объясните, почему равенство х\=х2 = хз=х4 задает диагональ сверхкуба. Есть ли такие диагонали у сверхкуба, которые перпендикулярны данной диагонали? Сколько таких диагоналей? Выберите любые две из них и вычислите угол между ними. 4. Вычислите угол между диагональю сверхкуба и его: а) ребром; б) гранью; в) гипергранью. 5. Вычислите угол между диагональю сверхкуба и гиперплоскостью, проходящей через концы четырех его ребер, имеющих с этой диагональю одну и ту же общую вершину сверхкуба. 6. Вычислите расстояние между гранью сверхкуба с единичным ребром и его диагональю, не пересекающей эту грань. 7. Какая получится фигура, если сверхкуб пересечь гиперплоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной его диагонали? 8. Как выглядит развертка сверхкуба? Мне так и не удалось полностью провести все занятия по программе этого факультатива, только отдельные его части. Был заметен интерес учеников, сложность материала преодолима. Очень ярко можно показать те обобщения, аналогии и различия, которые возникают при переходе от трех измерений к четырем. Несомненно его влияние на развитие учеников. 46
11.4. О РОЛИ ВЕКТОРОВ В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Преподавание школьной геометрии на векторной основе — задача чисто методическая. Мне удалось проверить в реальном преподавании несколько вариантов ее решения. Побочным результатом работы над этой задачей явилось то, что я стал лучше понимать роль векторов и в геометрии, и вообще в математике. Я бы выразил эту роль так: векторы позволяют алгебраизиро- вать геометрию и геометризовать алгебру, проще говоря, с их помощью геометрию можно превратить в алгебру, а алгебру в геометрию. Кроме того, векторы позволяют «сжать» информацию, сделать ее наглядной и тем самым способствуют поиску доказательств, что очень важно для обучения решению задач. Рассмотрим примеры. 1. Докажем, что средние линии любого четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам. (Тем самым они являются диагоналями параллелограмма с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника.) Пусть ABCD — данный четырехугольник (не обязательно плоский), точки К, Ly Му N — середины сторон ЛВ, ВС, CD, DA соответственно. Задачу эту будем решать в так называемой радиус-векторной технике, когда все векторы откладываются от одной фиксированной точки, называемой полюсом. Полюс обозначим О. Так как все векторы начинаются в точке О, то для сокращения записи в обозначении вектора эту начальную точку можно опустить и записывать, скажем, вектор ОА только по конечной точке — А. Более того, опять же для сокращения записи, но помня, что речь идет о векторах, можно даже убрать и стрелку сверху — теперь вместо вектора О А запишем просто букву А. Для произвольного вектора АВ запись будет такая: Такая запись короче и приближает нас к обычным алгебраическим записям, только вместо маленьких букв — большие. Перейдем к решению задачи. Так как точка К является серединой отрезка АВ, то при любом выборе полюса О имеем: ОК=-1-(ОЛ + ОВ), или короче /С = -±- Аналогично L=±-{B + C), M=-±- {B + C), M=(C + D), N=± Пусть точка X — середина отрезка КМ. Тогда Пусть точка Y — середина отрезка LN. Тогда 47
/И Рис. 2 Видим, что точки X и Y совпадают. 2. Построим треугольник по серединам трех его сторон. Обычное решение задачи несложно. Пусть /С, L, М — середины сторон искомого треугольника ABC (рис. 2). Дальше используем свойства средней линии треугольника. Проводим отрезок KL и параллельно ему через точку М проводим прямую. Точно так же проводим отрезки КМ и LM и параллельно им через точки L и К соответственно проводим прямые, параллельные этим отрезкам. Полученные три прямые, попарно пересекаясь, дают три точки пересечения, которые и являются вершинами искомого треугольника. Если попытаться обобщить эту задачу на четыре, пять и более точек, а затем выйти из плоскости и решать пространственную задачу, то видно, что средняя линия треугольника уже ни при чем и надо искать более общий способ. Такой способ можно получить с помощью векторов. Тот факт, что точка К является серединой отрезка ЛВ, запишем в виде /( =—(Л + В). Записав аналогичные равенства для точек L и М, мы получаем систему трех линейных уравнений, но не относительно чисел, как в алгебре, а относительно точек: L=4- В этой системе известны К, L, М, а неизвестны Л, В, С. Решим эту систему. Имеем: 48
! Сложив первые два уравнения и вычтя третье, получим: В = = K + L — M. Аналогично действуя, получим: А=К+М— L, C = L + Af — К. Тем самым мы «нашли» неизвестные ранее точки. Но как их построить? Очень просто. Вспомним, что за этими точками стоят радиус-векторы, выберем полюс — где угодно! — и построим точку В исходя из равенства OB = OK-\-OL — ОМ, произведя сложение и вычитание векторов. Так же построим А и С — разумеется, не меняя уже выбранного полюса О. Возможны варианты решения. Так, полюс можно взять в одной из данных точек, например в точке У(, тогда для построения точки В имеем равенство: KB = KL — KM. Кроме того, построив точку В, мы можем далее строить точки Л и С без всяких векторов: проведем отрезок ВК и продолжим его до точки А на такую же длину и т. д. Как всегда, встает вопрос о единственности искомого треугольника — в самом деле, точку О можно выбирать произвольно, откуда же следует, что треугольник будет получаться один и тот же? Дело в том, что при любом выборе полюса радиус-вектор середины отрезка АВ есть «среднее арифметическое» радиус- векторов, идущих в его концы, а значит, все уравнения системы, которую мы решали, не зависят от выбора полюса. Но тогда от выбора точки О на плоскости не зависят и решения этой системы. Теперь можно перейти к обобщению этой задачи, причем обобщать будем не сразу на п середин сторон многоугольника из-за того, что при четных значениях п результат будет не такой, как при нечетных значениях п. Проще получить результат при нечетных значениях п. Итак, имеем задачу: построить пятиугольник, зная середины его сторон. Искомый пятиугольник обозначим Х\Х2ХзХаХь и пусть А\ — известная середина стороны Х\Х2у А2 — середина стороны Х2Х3, Л3 — середина Х3Х4, Л4 — середина Х4Х5, As — середина ХЪХ{. По аналогии с предыдущей задачей составляем такую систему: Решаем ее относительно неизвестных точек Х\, Х2, Хз, Х4, Х$. Для этого от первого уравнения можно отнять второе, затем прибавить третье, потом отнять четвертое и, наконец, прибавить пятое. После сокращения на 2 получим равенство: 4 Заказ 506 49
Выбрав полюс и произведя все указанные действия с векторами, построим точку Х\. Остальное не представляет труда. И точно так же решается задача для любого многоугольника с нечетным числом сторон. При этом многоугольник не обязан быть плоским. Безразличие к размерности — одна из особенностей векторного метода решения задач. Пусть теперь число неизвестных вершин четно. Возьмем самый простой случай, когда их всего две. Задача выглядит так: построить отрезок, зная положение его середины. Ясно, что задача имеет сколько угодно решений. Пусть теперь даны четыре точки — середины сторон некоторого четырехугольника Х1Х2Х3Х4. Причем А\— середина Х\Х2у А2 — середина Х2Х3, Л3 — середина Х3Х4, Л4 — середина Х*Х\. Действуя как раньше, приходим к такой системе: Решаем эту систему прежним способом: от первого уравнения отнимаем второе, затем прибавляем третье и отнимаем четвертое— приходим к равенству А\—Л2 + Л3— Л4 = 0, которое является необходимым условием разрешимости этой системы. Иначе говоря, если A i— A2 +Аз — Л4=й=О, то решений нет. Придадим этому условию разрешимости геометрическое истолкование. Вернемся к векторной записи равенства А\—Л2 + Лз—Л4 = 0. Получим ОА±— ОЛд+ОЛз — ОЛ4 = 0, или ОЛ, —ОЛ2 = ОЛ4 —О43, откуда Л2Л1=Л3Л4. Иначе говоря, точки А\9 Л2, Л3, А* являются вершинами параллелограмма (может быть, и вырожденного). Если это не так, то задача не имеет решения. А что будет, если это верно? Обратное утверждение хорошо известно: середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 50
Покажем в соответствии с этим, что, имея параллелограмм, мы можем получить сколько угодно четырехугольников, для которых вершины данного параллелограмма являются серединами их сторон. Итак, пусть А2А\ = ЛзЛ4. Возьмем любую точку X (рис. 3), проведем отрезок ХА\ и продолжим его на равную длину до точки Y\ проведем отрезок YA2 и продолжим его на равную длину до точки Z; проведем отрезок ZA$ и продолжим его на равную длину до точки С. Теперь докажем, что точка Л4 является серединой отрезка СХ, показав их совпадение. Из равенства А\—А2-\- А—Л4 = 0 имеем: Л4 = Л1+Л3 — А2. С другой стороны, С-\-Х = AZ) (2AY) 2A 2A(Y Z) 2A 2A-2A2, откуда -L(C + X) = Al+A3-A2. Итак, Л4=—(С-\-Х). Так как точку X мы выбирали любую, то искомых четырехугольников действительно сколько угодно. (Замечу, что к данному результату, точнее к отсутствию единственного решения в случае четырехугольника, можно прийти, подсчитывая определитель составленной алгебраической системы. Он равен нулю.) И опять следует отметить, что задача допускает и пространственное толкование, при котором исходные точки А\, А2, Лз, Л4 не обязательно лежат в одной плоскости. К аналогичному результату мы приходим при других четных значениях числа сторон многоугольника. Тут же интересно решить такую задачу: по скольким серединам своих ребер однозначно восстанавливается тетраэдр? Теперь возможны два дальнейших обобщения. Первое обобщение идет по числу данных точек и приводит к понятию центроида системы точек. Назовем центроидом системы точек АХу А2у ..., Ап такую точку 7\ для которой верно равенство Несложно доказать, что положение центроида не зависит от выбора точки О. Проведем это доказательство в упрощенном варианте — для двух данных точек, но методом, который не зависит от их числа. (Для двух точек этот результат моментально следует из свойств диагоналей параллелограмма, но такое доказательство не обобщается по числу точек.) Итак, даны две точки А и В. Пусть точка Т\ такова, что при некотором полюсе О\ О\Т\=—(О\А-\-О\В). Пусть точка Т2 такова, что при некотором полюсе О2 О2Т2=-^-(О2А + О2В). Для доказательства совпадения точек Т\ и Т2 достаточно доказать, что OlTl = OxTl. Имеем: 51
= 0,02+^(0,4-0,02 + 0,6-0,02) = =(0^4 + 0^)=207r, = 0Tr,. Другое обобщение возможно на коэффициенты при векторах ОА и ОВ при заданных точках Л и В. В самом деле, равенство = — (ОА-\-ОВ) можно записать в таком виде: ОК=-^-ОА-\- +-$7-0В. Выбрав коэффициентами при векторах ОА и ОВ произвольные числа, например 2 и 3, — 5и10, 4" и 4"» можно не- 3 5 посредственным построением убедиться, что положение соответствующей точки К меняется от выбора точки О в качестве полюса. Например, вектор ОУ( = 2ОЛ + ЗОВ будет давать разные положения точки К в зависимости от положения точки О. Но так будет не всегда. Оказывается, если в равенстве ОК = аОА-\-$ОВ положить а + р=1, то положение точки К уже не зависит от выбора точки О (такое выражение для ОК называется нормированной линейной комбинацией векторов ОА и ОВУ но можно сказать, что точка К является нормированной линейной комбинацией точек А и В — для упрощения речи и записи). Докажем это. Пусть даны точки А и В. Пусть точка X, такова, что 0\Х\ = аО,Л + pOiB, а + Р=1. Пусть точка Х2 такова, что О2Х2 = аО2А-{-$О2В> а + р=1. Мы хотим доказать совпадение точек Х2 и Х\. Для этого рассмотрим вектор 0\Х2. Имеем: Отсюда и следует совпадение точек X, и Х2. Возможно и дальнейшее обобщение. Пусть Л,, Л2, ..., Ап — данные точки, он, а2, ..., ап — некоторые (положительные) числа, сумма которых равна 1. Тогда рассмотрение нормированной линейной комбинации точек Л,, Л2, ..., Ап а,ОЛ,+а2ОЛ2 + + ... + ал0Лп приводит к понятию центра масс системы «материальных точек»: А\ с массой ai, A2 с массой а2 и т. д. Это понятие можно обобщать и дальше, но я вернусь к двум точкам. Почему именно нормированная линейная комбинация двух точек дает независимость от выбора полюса? Какой в этом геометрический смысл? Ответ прост. Оказывается, все точки /(, 52
Рис. 4 Рис. 5 и Р>0, то заданные нормированной линейной комбинацией + |ЮВ, заполняют прямую АВ. При этом если точки К заполняют отрезок АВ. Докажем это. Пусть А и В — данные точки, ОК = аОА + |ЮВ, где a + P= Тогда ? —а) ОВ = аОА +ОВ^-аОВ = Значит, ОК — ОВ = аВАу откуда следует, что ВК = аВА, где а — любое число. Но это и означает, что точки К заполняют прямую АВ. При дополнительном предположении о неотрицательности чисел аир видим, что О^а^ 1, откуда следует, что в этом случае точки К заполняют отрезок АВ. Аналогичные толкования существуют и для трех точек. Именно: нормированная линейная комбинация трех точек, не лежащих на одной прямой,— это плоскость, заданная этими точками, а при условии неотрицательности коэффициентов этой комбинации — треугольник с вершинами в данных точках. С использованием этих фактов можно получить большое число содержательных геометрических результатов, и что особенно я хочу подчеркнуть — выкладки будут чисто вычислительными. 3. Докажем, что центроид вершин треугольника лежит на каждой его медиане. Пусть дан треугольник ABC, точка Т — центроид его вершин, ^ . Докажем, что точка Т лежит, например, а так как откуда т. е. Т=-^г- о на медиане ВВ\ (рис. 4). Имеем: Г=— о точка В\ — центроид точек Л С, то В\=— 53
= 2В,. Тогда T=±-(B + 2B,)=-\-B+-%-Bi. Так как ±-+ о о о о Н—о"=1» то ^ лежит на прямой ВВ\. Более того, раз коэффициенты нормированной линейной комбинации оказались положительными, то Т лежит на самой медиане ВВ\. И наконец, сразу можно получить, что Т делит отрезок ВВ\ в отношении 2:1, считая от вершины В. Для этого достаточно выбрать полюс в точке В (его же можно брать где угодно!). Тогда Br=4-BB+-|-BBi, т. е. ВТ=-^-ВВи откуда ВТ = о о о Этим же способом решается аналогичная задача в пространстве: центроид вершин тетраэдра лежит на отрезке, соединяющем каждую из этих вершин с центроидом противоположной грани, и делит этот отрезок, в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра. Докажем это. Пусть дан тетраэдр ABCD, точка Т — центроид его вершин, т. е. Г=—(A-\-B-\-C-\-D). Докажем, что точка Т лежит на отрезке DD\y где точка D\ — центроид вершин грани ABC (рис. 5). Имеем: Г=-^-(Л+ B + C + D), а так как точка D\ — центроид точек Л, В, С, то D\ =-\-(A +B + C), откуда получаем, что А + В + о + C = 3D,. Но тогда r=-J-(D + 3D,)=^-D + -^D,. Из этого результа?а получаем, что все четыре таких отрезка из вершин тетраэдра пересекаются в одной точке. Действуя совершенно аналогично, можно получить, что в той же точке пересекаются три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра. Последний результат, впрочем, можно усмотреть из примера № 1, разобранного нами, так как рассмотренный нами четырехугольник не обязан быть плоским, в частности он может быть образован четырьмя ребрами тетраэдра. Я привел лишь незначительную часть примеров, которыми можно было бы подтвердить идею «алгебраизации» геометрии с помощью векторов, ничего не сказав хотя бы о том, что можно сделать с помощью скалярного умножения. Но и на этих примерах, мне кажется, видно, как несложная алгебра позволяет решать совсем непростые геометрические задачи, как легко эти методы выдерживают всякие обобщения, в частности обобщения по размерности. Наиболее естествен в школе переход от планиметрических задач к стереометрическим. Но можно даже в рамках урочных занятий «приоткрыть форточку» в пространства больших размерностей. Один из самых простых примеров Г)4
обобщение нормированной линейной комбинации точек с неотри цательными коэффициентами. Это отрезок, когда исходных точек две; треугольник, когда их три и они не лежат на одной прямой; тетраэдр, когда их четыре и они не лежат в одной плоскости. А что будет, если есть пять точек, которые — о ужас! — не лежат в одном трехмерном пространстве? Так может быть перекинут «мостик» между текущим учебным материалом и факультативом по четырехмерной геометрии, о котором я уже говорил. Теперь я попытаюсь описать нечто обратное тому, что было разобрано на последних страницах — как векторы позволяют «геометризовать» алгебру. Сделаю это опять же на простейших примерах. 1. Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть мы имеем систему вида c2. [ ч Для перехода к векторному истолкованию вспомним, что всякий вектор на координатной плоскости может быть записан в виде упорядоченной пары чисел и наоборот — всякую упорядоченную пару чисел можно понимать как такой вектор на плоскости, координатами которого являются эти числа. Теперь обозначим (а,, а2) = ау (ft,, Ь2) = ЬУ (си с2) = с. Используя умножение вектора на число в координатном виде, можно систему (1) переписать в таком векторном виде: xa + yb = c. (2) Вопрос о существовании и числе решений системы (1) сведется теперь к равносильному вопросу о нахождении чисел х и у, удовлетворяющих равенству (2). Ответ на последний вопрос хорошо известен. Если векторы а и b не являются коллинеарными, то всякий вектор с плоскости можно разложить по этим векторам, причем единственным образом. Тем самым числа х и у находятся однозначно. Если же векторы а и b являются коллинеарными, то ответ на вопрос зависит от вектора с. Если вектор с не коллинеа- рен векторам а и Ь, то ясно, что решения нет, ибо линейная комбинация коллинеарных векторов дает вектор, коллинеарный каждому из них. Если же вектор с коллинеарен векторам а и ft, то искомых чисел хну сколько угодно. Для того чтобы убедиться в последнем, достаточно взять, к примеру, такой случай: Ь = 2а и с = 3а. Тогда мы приходим к равенству ха + у (2а) = За, откуда х-\-2у = 3. Понятно, что такое уравнение относительно х и у имеет сколько угодно решений. Аналогично можно разобраться и в общем случае, хотя, вообще говоря, ответ ясен и из наглядных соображений.
Коллинеарность векторов (а также ее отсутствие) легко переводится на привычные алгебраические соотношения. Именно: коллинеарность векторов равносильна пропорциональности соответствующих координат этих векторов. Поэтому если Ь\\а9 то Ь\ = ка\9 Ь2 = 'ка2 или, с большей общностью, определитель системы (1) равен нулю. Если при этом вектор с коллинеарен векторам а и ft, то точно так же равны нулю и два других определителя системы: при х и при у. Таким образом, получается известное условие существования бесконечного множества решений у такой системы — равенство нулю всех определителей. Если же векторы а и Ь не являются коллинеарными, то нет и пропорциональности их соответствующих координат, а потому определитель системы отличен от нуля. Любопытно, что векторным путем можно не только провести исследование системы (1), как мы только что сделали, но и решить эту систему. Для этого понадобится и скалярное умножение. Пусть вектор а1- получен из вектора а поворотом на 90° вокруг начала координат и пусть вектор Ь1^ получен из вектора b таким же образом. Легко проверить, используя координатную запись для скалярного произведения и условие перпендикулярности векторов, что вектор а имеет координаты (— аг, а\\ а вектор Ь имеет координаты ( —&2, Ь\). Теперь обе части равенства (2) умножим на вектор а1- и получим (ха + yfe) а± = с»а±. Из свойств скалярного умножения и ортогональности векторов а и а1- приходим к равенству у (Ьа±) = С'а±. Отсюда при условии, что b -a1^ =^0, имеем: У=-р7± ' Аналогично действуя и умножив обе части равенства (2) на вектор &"1, придем (при условии, что а-^ФО) к равенству х = с\ . Чтобы перейти от этих решений в векторном виде к привычным формулам, достаточно каждый из векторов в этих равенствах записать в координатах, после чего применить формулу для скалярного произведения. Условие Ь'^ФО и аналогичное условие а-Ь±Ф0, как легко видеть, равносильно отсутствию коллинеарности векторов а и Ь. (Поясню. Если a _L fex, то вектор а перпендикулярен вектору, перпендикулярному вектору Ьу а значит, коллинеарен вектору Б.) Векторный метод применяется в системах такого типа с большим числом неизвестных. Разговор об этом с учениками опять же приводит к разговору о пространстве с числом измерений, большем трех. В деле «геометризации» большую роль играет скалярное умножение векторов и его свойства, а также выражение для модуля ,вектора, записанное в координатах. Как это происходит? 56
1. Известно, что модуль вектора а=(х, у) вычисляется по формуле \а\ =У*2 + у2. Но это равенство можно читать в обратном порядке: -yJx2-\-y2= |a|, откуда следует, что всякое выражение вида V*2 + y2 имеет ясный геометрический смысл; если говорить о векторах — это модуль некоторого вектора. Аналогичное соображение: скалярное произведение двух векторов а = (х\, у\) и & = = (*2, У2) вычисляется по формуле п'Ь=Х\Х2-\-у\У2- Прочитав это равенство справа налево, получим х\Х2-\-у\У2 = о>*Ь. Отсюда ясно, что всякое выражение вида Х\Х2-\-у\У2 можно считать скалярным произведением векторов (х\, y\) и (*2, #2). 2. Докажем неравенство Для доказательства рассмотрим векторы (а, Ь)=ху (с, d)=y. Тогда V^fF=UI, j(?+d*=\y\, J f Y Данное неравенство свелось к векторному: UI + |*/IS которое хорошо известно. Кроме того, сразу ясно, когда достигается знак равенства: при сонаправленности векторов х и у. Неравенство обобщается, причем доказательство остается тем же. 3. Найдем наибольшее значение выражения 5 sin х— 12 cos x. Пусть а = (5, —12), b = (smx, cos x). Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов а и В. Согласно известному неравенству о скалярном произведении a-b^\a\-\b\. Но |5|=V52 + (—12)2=13, \b\=-yjsm2 x + cos2 х=\. Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства: а-& = |аЫ&|, а оно имеет место в случае сонаправленности векторов а и Ьу т. е. когда имеет место пропорция HLi=.£2i£ Отсюда 5 cos x-\-12 sin x = 0o tg x= —-^- и значит, = arctg(— 7j Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения. В общем случае выражение acosx + fcsinx из таких же соображений заключается в границы \a cos x + b sin x\ В обобщенном виде мы приходим к неравенству Буняковского: (albl + ... + anbn¥<(a2l + ... + a2n)(b2i + ... + bl). Равенство достигается в случае пропорциональности: bi = Xai. 57
Вообще выражение a cos x-\-b sin х есть не что иное, как скалярное произведение векторов р = (ау Ь) и ^ = (cosa:, sin х). 4. Решим уравнение a cos x-\-b sin х = 0 (афОу ЬФО). Пусть р = (а, b\ q = (cosxy sin х). Тогда р-^ = 0, т. е. векторы р н q взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух этих векторов можно записать в виде fc,fc2= — 1, где k\ = =—, fc2 = tgx. Значит, —tgx= — 1, откуда igx=—|-. Тем самым проясняется геометрическая природа задачи: мы находим угол х, который образует с осью абсцисс вектор q единичной длины, перпендикулярный данному вектору р. Если же уравнение имеет вид a cos x-\-b sin x = cy то мы при тех же обозначениях получаем равенство p-q = cy которое можно записать так: \р\-\q\cos Z_pq = c. Но \q\ = \. Поэтому Отсюда мы находим угол между векторами р и q. Для ориентированных углов между векторами верно равенство <LO\O<i-\- /-О2О$= /-О\пъ. У нас оно выглядит так: Z.pq+ Z.qf= /Lpf, где Г—единичный вектор оси ху Z.ql и есть искомый угол ху /.pq мы нашли, а /Lpl—угол между известным вектором р и осью х. Отсюда находим неизвестный угол х. И здесь становится ясно, из каких геометрических соображений появляется это уравнение: ищется угол, который образует с осью х вектор единичной длины, образующий с данным вектором фиксированный угол. Уравнение a cos x-\-b sin л: = с обычно решают так. Выражение -yJa2-\-b2 выносят за скобки в левой части равенства, тогда имеем: -sin х) =с. После этого замечают, что \2+(-±-У=1. В такой ситуации одну из этих дробей можно считать косинусом (синусом) некоторого угла ф, а другую — синусом (косинусом) того же угла ф. Тогда мы приходим к равенству: cos ф cos х + sin ф sin x = с , (1) Уа2 -f b2 откуда cos (x — ф) = с ■ t после чего решение очевидно.
Эта идея решения, однако, с трудом (психологически) воспринимается учениками: откуда стало известно про выражение Уа2 + Ь2 и почему его надо выносить за скобки? До этого додуматься непросто. Во всяком случае мне долго не удавалось этого от ребят добиться. Помогли опять же векторы. Для решения задачи, т. е. для нахождения значения угла ху вместо вектора р=(а, Ь) возьмем для упрощения вектор /?i, сона- правленный с р, но единичной длины. При этом все углы, и данные, и неизвестные, не изменяются. Но тогда в уравнении (1) слева будет уже скалярное произведение векторов р\ и q, равное cos /~p\qy а справа — известное число. В принципе задача решена. Для ее решения только и понадобилось, что заменить вектор р на вектор рх. А как это делается? Ясно, как: для всякого вектора р вектор — -р имеет единичную длину. В нашем случае р = (а, Ь). Значит, •<"• »>-Ы При таком понимании задача легко поддается ученикам. Сначала можно предложить решить уравнение, где участвуют два VI /~~2~ — cos х + у -7- sin x = 1. А затем решать задачу и в общем виде. Замечу, что, не имея такой ясной интерпретации исходного уравнения, поневоле начинают искать обходные решения, например используя формулы двойного угла для синуса и косинуса. 5. Докажем, что а2 + &2> —, если а-\-Ь=\. И здесь можно распознать скалярное произведение. В самом деле, a+b = a-l-\-b-l. Поэтому мы можем ввести векторы х = (а Ь) и j/ = (l, 1). Далее х-у = а + Ь = \у |у[=л/2, \х\ = и по тому же неравенству a-b^\a\>\b\ имеем 1 = I, откуда a*-\-b*^ —. В период моего увлечения векторами я старался «выкопать» их где только возможно. Вот еще пример использования скалярного произведения. Ясно, выражение cos a cos p + sin a sin p является скалярным произведением векторов а = (cos a, sin а) и ft = (cos p, sin P). С другой стороны, в силу того, что п'Ь = \а\ |fe| -cos ф скалярное произведение можно понимать как «длинный косинус», т. е. косинус, только умноженный на какие-то длины. Причем если эти длины равны 1, то в таком случае это «чистый косинус». Но у нас векторы а и b как раз имеют единичную длину. Итак, выра-
Y ' Уз У2 Ут у. 0 Аз л / Х1 Х2 ; Рис. 6 Н-дх <т х3 х жение cos a cos p +sin a sin p есть косинус. Встает вопрос — косинус чего? Дальше следует доказательство известной формулы. И даже в исследовании уравнения ах + Ь = 0 «спрятано» скалярное произведение. Запишем его в виде а-х-\-Ь-\=0, после чего ясно, что нас интересует такое значение х, которое обеспечивает ортогональность векторов (а, Ь) и (х, 1). Дальнейшее очевидно. Особенно мне понравилось доказательство неравенства Коши с привлечением векторных соображений, в котором, однако, используется не скалярное произведение, а свойства центроида. Для удобства я приведу доказательство для трех различных положительных чисел — в общем случае оно совершенно аналогично. Итак, нам требуется доказать, что при условии, что *i>0, х2>0, *з>0. Для этого на графике любой логарифмической функции с основанием, большим 1, например десять, возьмем три точки: А \ (х\, у\\ А 2 (х2у у2) и А 3 (*з, Уз). Центроид Т этих трех точек имеет радиус-вектор Г=^-( + Л3, а потому хт=-^-(х1+х2 + х3)> ут=-у{у\+У2 + Уз). Логарифмическая функция с основанием, большим 1, выпукла вверх, и по свойству выпуклой вверх функции ее график лежит над любой его хордой, в частности над хордами А\А2 и Л2Л3. Центроид же Т лежит в треугольнике А\А2АзУ а потому ниже сторон А\А2 и А2Аъ (рис. 6). Но отсюда следует, что центроид Т лежит ниже, чем точка графика с той же самой, что у Г, абсциссой. И тогда получаем, что ордината центроида ут меньше, чем ордината этой точки графика, 60
т. е. мы пришли к неравенству ут<^ёхт^ т- е- ~у(У1 4 ). Дальнейшее просто. U.S. ВЕКТОРЫ И ТРУДНЫЕ ВОПРОСЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ До сих пор я приводил примеры того, как векторы помогают в решении задач или иллюстрации теории. С их помощью я понял и некоторые факты теории. Речь идет об ориентации на плоскости. Фразы типа «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» замечательны своей наглядностью. Однако им недостает формально-математического толкования. И не то, чтобы мы без этого формализма не можем обойтись, а просто надо знать, в чем он состоит в данном случае, что именно мы обходим, используя наглядность, взятую от часов. Аналогичная ситуация хорошо известна в преподавании. Когда мы не фиксируем внимание школьников на факте пересечения диагоналей параллелограмма, то знаем, что этот факт доказан — в курсе оснований геометрии. В конце концов даже равенство 2X2 = 4 взялось неизвестно откуда, но нас это не очень беспокоит, ибо мы знаем, что где-то это доказано (я видел, где — в курсе анализа Э. Ландау). На прямой вводится понятие, аналогичное понятию ориентации плоскости,— это понятие направления. На прямой можно задать два направления — одно соответствует возрастанию координаты, а другое — ее убыванию. То, которое соответствует возрастанию координаты, назовем положительным направлением, а то, которое соответствует ее убыванию,— отрицательным. В этом описании направления на прямой все сделано также на наглядном уровне. Как здесь могут помочь векторы? Можно сделать так. Выберем на прямой две любые точки Л и В и рассмотрим вектор АВ. По отношению к вектору АВ любой вектор CD, где точки С и D лежат на этой же прямой, можно записать в виде: CD = kAB. При этом Х>0 или А,<0. В первом случае (А,>0) будем говорить, что CD направлен одинаково с АВ или что у них одно направление, а во втором случае (А,<0) будем говорить, что CD направлен противоположно АВ, что у них противоположные направления. При таком понимании фраза «на прямой сущест- 61
вует два направления» означает приведенную выше расшифровку. Можно, конечно, определить и сам термин «направление на прямой» как некий класс эквивалентности, но без этого легко обойтись. Можно дать также формально-математическое толкование ориентации на плоскости. Выберем на плоскости два неколли- неарных вектора а и Ь, назовем их базисом плоскости. Возьмем теперь любую пару неколлинеарных векторов этой плоскости cud. Выразим каждый из них как линейную комбинацию векторов базиса: Ь d Рассмотрим определитель & = Х\У2 — Х2У\. Возможны всего два случая: Д>0 или Д<0. В первом случае (Д>0) будем говорить, что упорядоченная пара векторов с и d ориентирована так же, как базис. Во втором случае (Д<0) будем говорить, что упорядоченная пара векторов ориентирована противоположно базису. В первом случае можно говорить об одинаковой ориентации, во втором — о противоположной. Как мы эти ориентации назовем, обозначим — уже не важно, а часовая стрелка задает очень наглядный образ двух возможных ориентации. Можно, конечно, дать определение тому, что такое «ориентация плоскости», как классу эквивалентности, но в этом уже нет нужды. Поясним этот общий разговор на примере. Пусть а и Ь единичные векторы, отложенные от начала координат в положительные стороны осей. И пусть с = а-\-Ь и d=—a-\-b (рис. 7). Тогда Д= 1 • 1 —(— 1)-1 =2>0, т. е. согласно нашему описанию, упорядоченная пара векторов cud ориентирована одинаково с базисом — что видно с помощью «часовой стрелки». Пусть теперь мы рассматриваем те же векторы с и d, но в другом порядке, поставив d на первое место, а с на второе. Тогда Д= — 1 • 1 — — 1 • 1 = — 2 < 0, и, согласно нашему описанию, упорядоченная пара векторов d и с ориентирована противоположно базису, что опять же показывает «часовая стрелка». Разговор на эту тему чрезвычайно поучителен и для учеников, так как наглядно показывает процесс формализации очевидного, типичный для математической науки в целом. Вместе с тем от этого разговора 62 Рис. 7
остается некое чувство неудовлетворенности: вроде бы все правильно, но при чем тут определители? Откуда они появились? Объяснение таково. Если исходные векторы а и b единичные, то модуль этого определителя, как известно, равен площади параллелограмма, «натянутого» на векторы end. Тогда сам определитель А — это площадь S такого параллелограмма, взятая со знаком. С другой^стороны, та же площадь вычисляется по формуле S = c-dX Xsin cdy и знак площади находится в соответствии со знаком синуса угла между векторами с и d. А знак синуса, в силу его нечетности, соответствует знаку угла между векторами в традиционном наглядном его толковании. Поэтому и получается полное соответствие: положительный определитель — положительный угол между векторами, вращение «против часовой стрелки», отрицательный определитель — отрицательный угол между векторами, вращение «по часовой стрелке». Тут же уместно заметить, почему АфО— в противном случае площадь параллелограмма обратилась бы в нуль, т. е. исчез бы сам параллелограмм, что невозможно в силу неколлинеарности векторов end. Здесь позволю себе небольшое отступление. Известно, что понятие площади позволяет наглядно интерпретировать самые разные вопросы школьного курса математики, один из ярких примеров тому — интеграл. Также можно использовать понятие ориентированной площади, точнее, ориентированной площади прямоугольника для объяснения правила знаков при перемножении вещественных чисел. Одна из возможных интерпретаций такова. Рисунком является прямоугольник, у которого две стороны горизонтальны, а две другие вертикальны. Рисуется он так: берем некоторую точку О, проводим из нее две соседние стороны прямоугольника ОА и OS, причем ОА горизонтально, а ОВ вертикально. Другие его стороны: АС и СВ рисуются для завершения изображения фигуры. При этом ясно, что сторону ОА можно рисовать как влево от точки О, так и вправо от нее, а сторону ОВ вверх или вниз от точки О. Если в нарисованном прямоугольнике поворот от О А к ОВ идет против часовой стрелки, то в соответствии с тем, что такой поворот считается положительным, мы и площадь прямоугольника ОАСВ будем считать положительной. Если же в нарисованном прямоугольнике поворот от ОА к ОВ идет по часовой стрелке, то площадь прямоугольника ОАСВ считаем отрицательной. Перейдем теперь к числам, к выражению а-b. Каждому набору знаков этих чисел поставим в соответствие направления отрезков ОА и ОВУ причем знаку а ставится в соответствие направление отрезка ОА (при а>0 ОА направлен вправо, а при а<0 ОА направлен влево), а знаку Ь ставится в соответствие направление отрезка ОВ (при Ь>0 ОВ направлен вверх, а при Ь<0 ОВ направлен вниз). Модуль произведения a*b интерпретируется как 63
площадь нарисованного прямоугольника, а знак произведения — как знак этой площади. Например, если а= — 2, a fe = 3, то нарисованный прямоугольник «покажет» нам, что знак произведения отрицателен. На этой же модели несложно показать выполнимость коммутативности умножения и дистрибутивности умножения относительно сложения для произвольных по знаку чисел. (Аналогичная интерпретация известна для сложения чисел, когда их изображают направленными отрезками на ориентированной прямой.) Подведем краткий итог. Понятия «направление на прямой» и «ориентация на плоскости» могут быть точно описаны с помощью векторов. При этом можно обойтись без определений этих понятий, удовлетворившись приведенной выше их расшифровкой. Такой подход к математическому понятию, по-моему, вполне допустим. Кроме того, это может облегчить преподавательскую (и ученическую) жизнь. Приведу пример. Попытка дать определение тому, что такое / в записи y = f(x), т. е. дать определение понятию функции, завела школьное преподавание в этом вопросе чуть ли не в теорию бинарных отношений. Вместо всей этой премудрости вполне достаточно дать расшифровку терминологии и обозначения примерно так: если каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества, то говорят, что на первом множестве задана функция; еще практичнее сформулировать все это в терминах величин: для этого достаточно открыть учебники довоенного периода. Термин «функция» при таком подходе не определяется, а кодирует некую ситуацию, которая по необходимости может быть однозначно расшифрована. (Вспомним притчу об апельсинах: бинарные отношения для определения функции — это уже третий апельсин!) От векторов, как мы видим, много пользы. Неожиданным для меня оказалось, что куда более абстрактное понятие векторного пространства может прояснить картину в отдельных разделах математики. Определение векторного пространства уже было дано применительно к геометрии, но на самом деле это не существенно, ибо под векторами в этом определении понимаются некоторые абстрактные объекты, свойства которых и описаны аксиоматикой векторного пространства. Несложно убедиться в том, что векторами в этом смысле являются многочлены степени не выше, чем некоторое n£Ny непрерывные функции, заданные на одном и том же промежутке, комплексные числа, переносы плоскости или пространства — при введении операции сложения переносов и умножения переноса на число. Более того, аксиомам векторного пространства удовлетворяют вещественные числа и скалярные величины. Получается, что важнейшие объекты школьного курса математики являются всего лишь частными случаями одного понятия — векторного пространства. Такова сила обобще- 64
ний в математике. Уяснив себе это, я наконец-то понял одно рассуждение, которое не понимал еще со школьных лет. Речь идет о теореме Безу. Теорема Безу гласит: «Остаток от деления многочлена р (х) на двучлен (х — а) равен р(а)». Для доказательства записывается схема деления многочлена р(х) на (х — а) с остатком: р(х) = = (x — a)q(x)-\-R. В этом равенстве, далее, полагают х = а и получают, что р(а) = (а — a) q (а) + /?, откуда и следует: R = p(a). И я никак не мог понять, почему мы делим на нуль — это раз и почему из этого еще что-то получается — это два. Прозрение пришло лет через 15! На множестве многочленов деление с остатком определено, и притом единственным образом, когда делитель отличен от нуля. Но это нуль на множестве многочленов, а не на множестве чисел, нуль — многочлен, а не число нуль, нуль из другого векторного пространства — пространства многочленов, а не вещественных чисел. В моем же ученическом сознании эти два разных нуля «слиплись», отсюда и непонимание. Такое же «слипание» возможно при толковании записи /(л:) = 0. Что здесь написано, точнее, что стоит справа? Число нуль? Функция, тождественно равная нулю? Обычно все ясно из контекста, но иногда требуется повышенная точность рассуждений. Впрочем, не все так просто. Нуль на множестве комплексных чисел и вещественный нуль — это нули из разных множеств, однако есть соглашение, по которому они отождествляются. В основе такого соглашения лежит изоморфизм множеств: R и комплексных чисел с нулевой мнимой частью — и практическая необходимость. Я уже говорил о той геометризации, которую позволяют осуществить векторы. Очень ярким примером является векторное пространство непрерывных функций. Хотя этот пример далек от программного школьного курса, мне удавалось рассказать о нем в виде небольшой лекции, и я помню круглые от удивления глаза учеников при этом. Сам пример достаточно прост. Множество непрерывных функций на одном и том же замкнутом промежутке, как несложно проверить, удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Элементы векторного пространства называются векторами. Значит, каждая из таких непрерывных функций — это вектор, как бы странно это ни звучало. Но если мы имеем дело с векторами, то надо ввести модуль вектора и угол между векторами. Эти понятия вводятся с помощью скалярного умножения. Оказывается, для двух непрерывных функций, / и g, заданных на ь промежутке [a, 6], число, определяемое как \ f (x) g (x) dx, можно а назвать их скалярным произведением, ибо при таком определении выполняются все основные свойства скалярного умножения, которые входят в список аксиом евклидова пространства. Но тогда, естественно, «модуль» функции / равен у )а f2 (x) dx. 5 Заказ 506 65
После этого можно считать «расстояния между функциями» и «углы между функциями» по формулам, известным для векторов. Более того, такой разговор можно продолжить, введя понятие ортогональной системы функций на данном промежутке. Именно, система функций ф„ (х) на промежутке [а, Ь] называется ортого- ь нальной, если \ ф* (х) ф/ (х) dx = 0 при кф1. Раскладывая произ- а вольную функцию, заданную на этом промежутке, по ортогональной системе функций (как геометрический вектор в ортогональном базисе), можно выйти на разговор о ряде Фурье. Можно привести и другие интересные примеры, где используется понятие векторного пространства, причем не только в математике. Поняв все это, я стал относиться к векторам с большим почтением и начал подумывать о том, что всю математику можно рассказывать в школе как некоторую теорию векторов. Эта идея послужила начальной для решения следующей методической задачи, которую мне пришлось решать, но об этом — чуть позже. А сейчас я хочу остановиться на той ситуации, которая произошла в элементарной математике с векторами. И началась она тогда, когда в учебнике седьмого класса по геометрии, написанном в соответствии с программой, принятой в 1968 году, вектор был определен как параллельный перенос плоскости. С определением вектора всегда были какие-то сложности. Обычно вектор определялся как направленный отрезок. Но что такое направленный отрезок? Отрезок, у которого указаны начало и конец. Тут я задавал детям вопрос: «Является ли направленный отрезок отрезком?» — Да,— говорили одни,— это следует из определения. — Нет,— говорили другие,— это не отрезок, так как у отрезка два конца, а не один. Разбирая эти споры, пришлось объяснять, что верна вторая точка зрения хотя бы еще и потому, что определения равенства у отрезка и направленного отрезка различные. Что же касается первой точки зрения, которая носит явно лингвистический характер, то я говорил, что хотя прилагательное, стоящее перед существительным, обычно уточняет его, но в языке бывают исключения, и в этом случае тоже, например: морская капуста вовсе не капуста. О трудностях, которые возникают при определении вектора как направленного отрезка, прекрасно написали в своей книге «Преобразования. Векторы» В. Г. Болтянский и И. М. Яглом. В физике, где векторы всегда играли важную роль, шли обычно от понятия векторной величины как такой величины, которая характеризуется не только числом, но и направлением — при этом обычно оказывалось забь1тым правило сложения векторов, точнее, оно не включалось в определение векторной величины, что 66
необходимо. И совершенно удручающе выглядела картина, когда на уроке математики дети выслушивали одно определение вектора, а на уроке физики — другое. Что они при этом понимали? Определение вектора как параллельного переноса устранило некоторые математические несуразности, возникшие при рассмотрении вектора как направленного отрезка. Но при этом отрыв от физики только усугубился, да и в преподавании возникли некоторые трудности. Главная из них в том, что такое определение сложно использовать практически, при решении задач. В задачах школьного курса почти всегда вектор выступает в качестве направленного отрезка. Это наглядно, доступно. Чего еще можно пожелать математическому понятию? Далее, в VII классе переносы уже изучались, тогда почему их нужно переименовывать? Авторы учебника сами прекрасно знают, что переносы удовлетворяют аксиомам векторного пространства, а потому имеют право называться векторами, точнее было бы сказать, что переносы являются векторами, а не называются ими. Но этого никак не объяснить детям, и недоумение с определением вектора повисает в воздухе. Наконец, на практике встречаются решения задач, использующие поворот вектора. Если вектор — это перенос, то что такое «поворот вектора»? Поворот переноса? Такая сумятица с определением вектора привела к ситуациям анекдотическим, которым я был свидетелем. На защите диссертации по методике преподавания математики соискатель, представивший диссертацию о векторах, отказался ответить на вопрос «Что вы называете вектором?». Как преодолеть возникающие трудности — дело методистов, быть может, при начальном введении понятия и поступиться логической безупречностью, если только это не приводит к прямым ошибкам. Рассогласование теории и практики — тяжелый грех обучения. Несколько слов о «повороте вектора». Есть непростая и содержательная задача, которая очень красиво решается с помощью поворота вектора: «Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника в его вершины, равна нуль-вектору». Если число вершин четно, то задача решается моментально, ибо на каждый такой вектор есть ему противоположный. Но если число вершин нечетно, то ответ вовсе не является очевидным. Тем красивее выглядит решение, в котором нет никакой «тупой» работы. Итак, повернем вокруг центра данного многоугольника каждый из данных векторов на угол —, где п — число сторон данного многоугольника. Что при этом произойдет с суммарным вектором? Он не изменится, ибо векторы-слагаемые останутся теми же. Но в результате такого поворота не изменяется только нуль-вектор. Значит, суммарный вектор — нулевой, что и требовалось установить. Точно так же можно решить задачу о сумме векторов, идущих из центра правильного тетраэдра в его вершины, только поворот 67
будет уже в пространстве и вокруг оси, проходящей через один из данных векторов. Что такое «поворот вектора», когда вектор — направленный отрезок, понятно: надо повернуть начало и конец вектора, конкретно — был вектор АВ, точка А при повороте перешла в точку А1, точка В при том же повороте перешла в точку В\у тогда вектор АВ перешел в вектор А\В\. Ситуация существенно упрощается, если начало вектора находится в центре поворота, как и было в нашей задаче. Но как понимать «поворот вектора», когда вектор — это перенос? Первая же мысль, которая приходила в голову: перенос и поворот являются движениями плоскости (перемещениями — в принятой тогда терминологии), поэтому «поворот вектора» — это их композиция, т. е. Оф ©а, если данный вектор обозначить через а, а данный поворот вокруг центра О на угол ф через О*. Но такое «понимание» быстро опровергается. Возьмем произвольную точку X, и пусть а(Х) = Х\, О*(Х\) = Х2. В результате композиции точка X переходит в точку Х2. Так что же — вектор XX\, равный а, перешел в вектор ХХ2? Давайте возьмем другую точку Y и проделаем с ней то, что проделали с точкой X. Получим вектор УТг- Но даже на рисунке видно незавенство расстояний X2Y2 и XY, чего не может быть в результате композиции движений, которая сама является движением. Итак, мы показали, что поворот вектора, понимаемого как направленный отрезок, не является композицией переноса и поворота. Для ответа на этот вопрос надо порассуждать на простой картинке. Пусть в результате поворота вокруг центра О направленный отрезок АВ перешел в направленный отрезок А\В\ (рис. 8). От направленных отрезков нам надо уйти к движениям. Вместо направленного отрезка Рис. 8 68
АВ появится перенос, который переводит точку А в точку В. Повороты остаются теми же. Что теперь представляет собой то движение, которое точку А\ переводит в точку В\? А как можно попасть из точки А\ в точку В\? Виден такой путь: из А\ в А — это поворот вокруг О на угол ф, затем из Л в В — это перенос, который был задан, а затем из В в В\ — это поворот вокруг О на угол ф. Итак, искомое движение / можно записать в виде / = ОФ о а о О~ф. И тут встает вопрос: а каким именно движением является движение /? Ответом может быть либо поворот, в частности центральная симметрия, либо скользящая симметрия, в частности перенос или осевая симметрия. Ответ на этот вопрос необычный: движение / является переносом. Я приведу доказательство, основанное на свойствах движений на плоскости. Перенос а можно разложить на композицию двух осевых симметрии с осями 1\ и /2, которые параллельны: а = 12°1\. Поворот Оф можно разложить на композицию двух осевых симметрии с пересекающимися осями, причем одну из этих осей можно выбрать произвольно, поэтому запишем его такой композицией: Оф = /з о /ь Тогда О~ф = = Л о /3. Теперь, используя свойства осевых симметрии, проделаем такие преобразования выражения для /: / = ОФ о а о О~~ф = = (/з ° /l) о (/2 о /,) о (/, о /3) = /з о /, о /2 о /, о /, о /3 =(/3 ° l\) ° {h ° /з) = (Композиция /2 о /3 поворот Ov*9.) Сумма углов поворота равна 0. В таких случаях композиция поворотов есть перенос. При этом видно, что в общем случае полученный перенос отличен от исходного. Любопытно, что получаемый в результате перенос, т. е. вектор в этой терминологии, не зависит от выбора центра поворота (доказательство я опускаю). Когда я все это понял, то перестал заикаться, произнося в аудитории слова «повернем вектор». Более того, мне даже понравилась эта операция, с помощью поворота вектора можно решить целый ряд непростых задач. Особенно интересен поворот вектора на -£-. Мы уже видели, как он может быть использован при исследовании линейных систем с двумя переменными (см. с. 56). Но есть и другие возможности, связанные с тем, что эта операция обладает свойством линейности: /(а + 6) = /(а) + /(6), f (ka) = = kf(a). Обозначим вектор (1, 0) через /, а вектор (0, 1) как /. Вектор, полученный поворотом вектора 1 на угол а, обозначим как Га. Этот вектор можно разложить в ортонормированном базисе (Г,/): r=xl+yj. По определению можно положить, что х в этом разложении есть cos а, у — sin а. Из этих соображений можно вывести всю тригонометрию. О свойствах поворота вектора и его применениях хорошо написали П. С. Моденов в книге «Задачи по геометрии» и 3. А. Скопец во многих работах. 69
11.6. ЕДИНАЯ МАТЕМАТИКА На этом я заканчиваю разговор о векторах. Разобравшись в той роли, которую они могут играть в математике, я пришел к мысли о построении единого курса математики, без деления на алгебру, анализ и геометрию. Соответствующие тенденции в преподавании легко просматривались. Уже в послевоенное время из математического образования исчезли специальные курсы арифметики и тригонометрии. Да и в других странах эта тенденция была заметна. А тут Ж. Дьедонне объяснил, что элементарная геометрия — это та же линейная алгебра, только в другом обличье. В практическом плане задача тоже была привлекательной — казалось, что на этом пути можно было выиграть время по сравнению с традиционными вариантами построения курса математики в старших классах математической школы. Центральной идеей объединенного курса математики является возможно более полное слияние аналитических и геометрических методов. Что это значит на практике? Геометрические интерпретации аналитических выражений и аналитическое описание геометрических образов. Двусторонняя подача математических утверждений: геометрических и аналитических. Примат геометрии, геометрически наглядной первоначальной подачи теоретического материала. Подчеркивание общего в методах решения аналитических и геометрических задач. Подход к различным разделам математики с более общих позиций, с точки зрения структуры того, что изучается, в первую очередь выделения линейных структур: векторного пространства и, в частности, линейного отображения. Подход к математической теории на основе элементов теории множеств. Что удалось сделать на этом пути? Главное — удалось построить единый курс математики в старших классах математической школы: написать программу, составить различные варианты тематического планирования, написать «учебник для внутреннего употребления», соответствующий такому пониманию предмета, подобрать задачи по всему курсу, составить дидактические материалы. Кроме того, был написан проект программы такого курса для обычной школы. Частями мне удалось его реализовать, обучая детей в 6—8 классах. Для математической школы было создано несколько вариантов программы, которые уточнялись в практической работе и в ходе различных дискуссий. Приведу один из них. 1. Повторение материала девятилетней школы. Элементы логики. Простые и сложные высказывания. Равносильные высказывания. Пример переключательных схем. Основные понятия теории множеств. Свойства операций с множествами. Элементы комбинаторики (сочетания). Формула включений и исключений. Начальные задачи теории вероятностей. Бином. Высказыватель- 70
ная форма. Равносильность высказывательных форм. Следование. Необходимость и достаточность. Употребление кванторов для записи высказываний. Характеристическое свойство. Структура определения и теоремы. Виды теорем. Равносильность уравнений и неравенств. Решение и исследование линейных уравнений и неравенств с одной переменной, квадратных уравнений и неравенств, иррациональных уравнений и неравенств. Равносильность систем двух уравнений с двумя переменными. Решение нелинейных систем. Кривые второго порядка. 2. Элементы теории множеств. Прямое произведение двух множеств. Бинарное отношение. Иллюстрация бинарного отношения с помощью графов и матриц. Примеры отношений: эквивалентность, упорядоченность. Фактормножество. Элементы комбинаторики (выборки, перестановки, размещения). Отображение множества и функция. Метрическое пространство. Общие понятия о длине, площади, объеме. Алгебраические операции и геометрические отображения. Коммутативная группа. Понятие об изоморфизме. Вещественные числа. Векторное пространство. Группа преобразований плоскости. Группа симметрии фигуры на плоскости. Аксиоматический метод. 3. Векторы на плоскости. Координаты вектора. Действия с векторами. Условие принадлежности точки прямой, лучу, отрезку, полуплоскости в векторной форме. Условие параллельности прямых в векторной форме. Центроид системы точек. Элементы аналитической геометрии на плоскости (условие параллельности прямых, деление отрезка в данном отношении, уравнение прямой в разных видах). Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Преобразования плоскости в координатной форме. Геометрический смысл определителя системы. Скалярное умножение векторов плоскости. Элементы аналитической геометрии на плоскости (расстояние от точки до прямой, угол между прямыми). 4. Комплексные числа. Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел. Комплексное число в алгебраической, геометрической и тригонометрической формах. Формула Муавра. Нахождение корней. Применения комплексных чисел, включая геометрию. Понятие кватерниона. 5. Аффинная часть стереометрии. Аксиоматика стереометрии. Основные объекты в пространстве. Основные отношения на множестве прямых и плоскостей. 6. Многочлены и уравнения высших степеней. Векторное пространство многочленов. Делимость многочленов. Нули многочленов. Теорема Виета. Двучленные и трехчленные уравнения. Возвратные уравнения. Однородные многочлены. Симметрические многочлены. Решение уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств высших степеней. 71
7. Функции и последовательности. Свойства функций. График и линейное преобразование графика функции. Непрерывность и разрывы функции. Теоремы о непрерывных функциях. Приближенное решение уравнений. Предел функции в точке и на бесконечности. Асимптоты графика функции. Последовательность. Признак Вейерштрасса сходимости последовательности. Понятие о числовом ряде. Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. Применение рядов для приближенных вычислений. 8. Производная и ее приложения. Задачи, приводящие к понятию производной. Вычисление производной по определению. Теоремы о дифференцировании. Производная многочлена, дробной функции. Применение производной в приближенных вычислениях. Исследование функции на монотонность, экстремумы. Исследование функции с помощью второй производной. Выпуклость функции. Использование свойств функций для решения задач. Приближенное решение уравнений. Примеры дифференциальных уравнений. 9. Интегрирование функций. Первообразная. Определенный интеграл. Формула Ньютона- Лейбница. Приближенное вычисление интегралов. Приложения определенного интеграла к вычислению длин, площадей и объемов. 10. Трансцендентные функции. Логарифмическая функция. Производная логарифмической функции. Показательная функция. Производная показательной функции. Некоторые пределы. Примеры дифференциальных уравнений. Разложение логарифмической и показательной функции в степенной ряд. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств, систем. Тригонометрические функции числового аргумента. Производные от тригонометрических функций. Гармонические колебания. Некоторые пределы. Тригонометрические уравнения и неравенства. Теорема сложения и следствия из нее. Решение уравнений и неравенств с использованием теоремы сложения. Примеры дифференциальных уравнений. Разложение тригонометрических функций в степенной ряд. Трансцендентные функции в комплексной области. 11. Метрическая часть стереометрии. Скалярное умножение в пространстве. Перпендикулярность в пространстве. Расстояние между объектами пространства. Метод координат в пространстве. Система линейных уравнений с тремя и более переменными. Задача линейного программирования. Понятие об л-мерной геометрии и неевклидовой метрике. Углы в пространстве. 12. Преобразования пространства. Движение в пространстве (перенос, центральная симметрия, симметрия относительно прямой, плоскости, поворот, винтовое движение). Группа симметрии правильного тетраэдра и куба. 72
Гомотетия и подобие. Проектирование. Задачи на проекционном чертеже. 13. Многогранники и тела вращения. Многогранники, их частные виды. Свойства призм и пирамид. Правильные многогранники. Теорема Эйлера. Тела вращения и их свойства. Понятие о сферической геометрии. Решение задач на комбинации тел. 14. Повторение. Программа разрабатывалась из расчета, что на математику отводится 10 ч в первом полугодии X класса и по 8 ч во все остальное время — еженедельно. 11.7. О ПОЛЬЗЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Одним из основных столпов этой программы была теория множеств. Термин «теория множеств» я употребляю здесь с некоторой опаской. То, что было введено в школу: понятия множества, элемента множества, включения множеств, их равенство и простейшие операции с множествами, а также свойства этих операций — ну какая же это теория множеств, когда все это можно показать и даже доказать на простейших рисунках — кругах Эйлера? Вместе с тем все это весьма полезно в школьном курсе, так как способствует упрощению восприятия. Что же касается самого теоретико-множественного подхода, то его, как недавно показал академик А. Д. Александров, вряд ли возможно игнорировать даже в простейших ситуациях. Именно этот подход скрывается, например, в такой вполне безобидной фразе: «отрезок состоит из точек». Тут вот что любопытно. Один из первых моих выпускников в математическом классе сказал мне однажды, что не понимает как раз этой фразы, очень меня удивив. А что же тут непонятного? Как все-таки прекрасно, что есть дети, думающие не так, как мы, а глубже, интереснее. Хорошо бы нам всегда понимать таких детей. Кстати, когда мне говорят о том, что в математической школе легко работать («там же все дети способные!»), я только отшучиваюсь. Мыслить в унисон с ними, понимать их аргументацию, быстро находить рациональное зерно в их оригинальных соображениях и приводить убедительные контрпримеры, когда они говорят чепуху,— все это требует чрезвычайного напряжения. И сколько раз я «садился в лужу», особенно к концу рабочего дня, не сосчитать! Я приведу примеры того, как простейшие множественные понятия могут быть использованы в преподавании. Первый пример — объяснение необходимости и достаточности, причем в восьмилетней школе, точнее — в седьмом классе. Известно, что свободное владение этой терминологией отсутствует даже у выпускников. Напомню, в чем дело. Пусть есть утверждение вида р=> q — из р следует q. Тогда р называется достаточным условием для q, a q называется необходимым условием для р. Любой 73
десятиклассник понимает фразу: «если число делится на 10, то оно делится на 5», которую схематически можно записать так: х 110 =>- х 15. Но сформулировать эту же мысль в терминах необходимости и достаточности получится далеко не у всех. Причина, по всей вероятности, в том, что соответствующее умственное действие не является достаточно обобщенным. Для решения этой методической задачи я использовал некоторые положения теории поэтапного формирования умственных действий, развитой П. А. Гальпериным. Согласно ей, формирование умственного действия проходит в нескольких формах: материализованной, внеш- неречевой и умственной. Освоение умственного действия начинается в материализованной форме, которая характеризуется тем, что объект действия задан ученику в виде реальных предметов или моделей. Далее, в формировании умственного действия решающую роль играет ориентировочная основа действия. Из всех ее типов наиболее существенным является тот из них, в котором ориентиры деятельности представлены в обобщенном виде и в полном составе. В нашем случае материализованная форма деятельности — та форма, в которой ученики оперируют с объектами, доступными для наглядного восприятия,— появляется в результате перевода задачи на язык, использующий множества. Именно, каждая высказывательная форма имеет множество истинности. Множество истинности высказывательной формы Р (х) запишем так: Р . Тогда запись высказывания Р (х)=> Q (х) равносильна тому, что Р cz Q . Понятия множества и подмножества к этому времени ученикам были известны. Запись А а В может быть проиллюстрирована кругами Эйлера (рис. 9). Первая часть работы с учениками состоит в том, чтобы добиться понимания записи А а В. При этом каждое упражнение выполняется в материализованной форме, т. е. с кругами. Вот примеры таких упражнений. 1. А а В. Верно ли, что В а А? 2. A d В, В d С. Верно ли, что Л с С? 3. A d В, X d Л. Верно ли, что X а В? 4. A d В, В d А. Могут ли обе эти записи быть верными? 5. A d В, С d В. Верно ли, что A d С? С d Л? 6. A d В, A d С. Верно ли, что fl с С? С с В? Теперь рисунок, соответствующий записи А а В, начинает «перетолковываться». Используя обычные житейские представления, формулируются два утверждения: 1. Чтобы элемент х принадлежал множеству В, достаточно, чтобы он принадлежал множеству А. 2. Чтобы элемент х принадлежал множеству Л, необходимо, чтобы он принадлежал множеству В. 74
Рис. 9 Этот рисунок можно «подать» как задачу о «попадании в две мишени: Л и В». Ответ: чтобы попасть в мишень В, достаточно попасть в мишень Л, а чтобы попасть в мишень Л, необходимо попасть в мишень В. Дальше начинается «сворачивание фраз». В конце концов приходим к таким фразам: «Л достаточно для В» и «В необходимо для Л». Следующий этап работы с учениками заключается в том, что они переводят информацию, заданную на кругах, на язык «необходимости и достаточности». Рисуются схемы (рис. 10), и ученики к каждому из рисунков формулируют фразу с использованием терминов «необходимо» и «достаточно». На следующем этапе работы информация поступает к ученикам через речь. Они должны нарисовать схему услышанного. А диктуются такие, к примеру, фразы: 1) Л достаточно для В; Р необходимо для Q; М необходимо для N, N необходимо для Р\ А достаточно для В, В достаточно для С; X достаточно для У, Y необходимо для Z; 2) 3) 4) 5) 6) X необходимо для У, У достаточно для Z. Схему ученики могут рисовать сразу, не записывая условия. 75
И только теперь переходим к решению содержательных задач. На простейших примерах устанавливается предписание для выполнения данного умственного действия. Пусть, например, даны две высказывательные формы: х\\0 и х\Ъ. Требуется их связать терминами «необходимо» или «достаточно». Пусть А — множест во истинности первой формы, а В — множество истинности второй высказывательной формы. Нарисуем условно множество А. Берем любой элемент из Л, т. е. любое число, делящееся на 10, и спрашиваем себя: а будет ли этот элемент принадлежать множеству В, т. е. делиться на 5? Ответ — да, и в случае такого ответа сразу рисуем круг, содержащий А. А такую схему ученики уже умеют формулировать нужным образом. Дальнейшая работа с учениками состоит в том, что от материализованной формы действия мы переходим к внешнеречевой, а затем и к умственной. Процесс этот небыстрый, и торопиться не следует. Реальный успех ясен только к концу обучения. Надо прорешать много упражнений для подкрепления сделанной работы, да и затем не упускать случая поупражняться. И хотя такое решение данной методической задачи кажется громоздким, я не знаю более эффективного способа для начального усвоения этих понятий. Вот еще один пример использования понятия множества в школьном курсе — на этот раз речь пойдет о доказательствах некоторых теоретических утверждений стереометрии. Нам понадобится операция пересечения множеств и ее свойства. Доказательства этих свойств станут очевидны, как только будут сделаны соответствующие рисунки для самого общего случая, и я их приводить не буду. Итак, если даны множества Л, В, С, то 1) А (]В = В(]А9 2) А П (В П С) = (А П В) П С, 3) 0 П А = 0, 4) если A cz В, то А П В = А. Из этих свойств ясно, что когда мы имеем пересечение нескольких множеств, то его результат можно находить в любом порядке. Если в записи пересечения одно и то же множество встречается несколько раз, то его достаточно оставить даже в единственном числе. Кроме того, в записи пересечения нескольких множеств без скобок можно эти скобки расставлять как нам угодно. Теперь заметим, что параллельность двух прямых а и Ь на плоскости можно записать так: a f| fe=0, принадлежность прямой а плоскости а можно записать так: a f| а = а, параллельность прямой а и плоскости а можно записать так: a f] a=0, параллельность двух плоскостей аир можно записать так: a fl Р= 0- Перейдем к задачам. Задача 1. Пусть плоскости аир пересекаются по прямой с, плоскости р и у пересекаются по прямой а, плоскости у и а 76
пересекаются по прямой Ьу прямые а и Ь пересекаются в точке А. Доказать, что прямая с пересекает как прямую а, так и прямую Ьу причем в одной и той же точке. Решение. Любопытно, что эту задачу можно решить безо всякого рисунка. Сначала перепишем условие с помощью множеств: а П Р = с, Р П Y = a» Y П а = &, a f| b=A. Нас интересует пересечение трех прямых: a, b и с, т. е. множество с {] а {] Ь. Имеем: с [\ а (\ Ь=(а П Р) П (Р П 7) П (V П а) = (Р П у) П (Y П «) = = аП&=Л. Отсюда и получается нужный нам результат. Задача 2. Пусть три плоскости пересекаются по трем различным прямым, причем никакие две из этих прямых не пересекаются. Доказать, что каждая из данных прямых не пересекает той плоскости из данных, в которой она не лежит. Решение аналогично. Задача 3 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая а параллельна прямой ft, лежащей в плоскости а, но сама не лежит в плоскости а, то она параллельна а. Доказать. Решение. Пусть а и Ь лежат в плоскости р. Тогда: а (] а = =(аПР)Па=аП(РПа) = аП&=0, что и требовалось получить. Задача 4 (признак параллельности двух прямых). Если прямая а параллельна плоскости а, а плоскость р проходит через а и пересекает а по прямой а,\у то а\\а\. Короче это можно сказать так: «прямая, параллельная плоскости, параллельна своей проекции на эту плоскость» (имеется в виду параллельная проекция). Доказать. Решение, а П а,=а П (а П Р) = (а П а) П Р=0 П Р=0- Задача 5. Две плоскости параллельны и пересекаются третьей. Доказать, что полученные в пересечении прямые параллельны. Задача 6. Имеются две пары пересекающихся плоскостей. Плоскости этих пар соответственно параллельны. Доказать, что прямые пересечения этих плоскостей параллельны. Не следует думать, что такого рода доказательства заменяют традиционные, они только иллюстрируют возможности использования множеств и только в таком качестве сообщаются ученикам. Да и сами утверждения, доказанные с их помощью, достаточно просты. Но вот более серьезный пример. Задача 7. Два круговых сечения шара имеют единственную общую точку. Доказать, что окружности этих кругов имеют общую касательную. Традиционное решение в этой задаче достаточно сложное. Поэтому перейдем к множествам. Решение. Пусть первый круг К\ получился при пересечении шара Ш и плоскости а, а второй круг К2 получился при пересечении шара Ш и плоскости р. Так как эти круги по условию имеют общую точку, то плоскости этих кругов имеют общую прямую, которую обозначим через а: а П Р = а. Рассмотрим теперь пересечение прямой а с шаром: 77
а П Ш = (а П Р) П Ш = (а П Ш) П (Р П Ш) = К, П К2 = Л. Но тогда прямая а имеет с каждым кругом единственную общую точку, а значит, является касательной к окружности каждого круга. В этом решении весьма любопытно то, что нигде явно не использовалось определение шара, а значит, задача допускает какие-то обобщения, которые можно поискать вместе с учениками. Задача 8. К сфере проведены две касательные плоскости, которые пересекаются по некоторой прямой. Доказать, что эта прямая не имеет со сферой общих точек. Задача 9. Две сферы имеют единственную общую точку. Через эту точку проведена плоскость, касательная к одной из сфер. Доказать, что плоскость будет касаться и другой сферы. Задача 10. Доказать, что плоскость, опорная к цилиндру и проходящая через его образующую, пересекает плоскость основания цилиндра по прямой, опорной к его основанию. Напомню, что плоскость называется опорной к фигуре, если она имеет с фигурой хотя бы одну общую точку, а вся фигура лежит с одной стороны от этой плоскости. (Аналогичное определение для опорной прямой.) Задача 11. Два цилиндра имеют единственную общую образующую. Через нее проводится плоскость, опорная к одному из них. Доказать, что она будет опорной и к другому. В задачах 10 и 11 вместо цилиндров в условии можно рассматривать конусы. Я привел только два примера использования множеств в преподавании. Но есть и другие. Используя их, гораздо легче говорить о равносильности уравнений и неравенств, о нахождении фигуры по характерному свойству для ее точек и т. д. 11.8. ЕЩЕ О ЕДИНОЙ МАТЕМАТИКЕ Основная задача по созданию единого курса математики решалась, как я уже говорил, в старших классах математической школы. Но еще до этого мне довелось частями решать эту же задачу в обычной восьмилетке, причем начиная с шестого класса. Я приведу один пример, очень естественный, слияния курса алгебры и курса геометрии в этом классе. Геометрия в 6 классе в те годы основывалась на свойствах расстояния. С помощью его, к примеру, определялись отрезок и прямая. В соответствии с этой тенденцией я рассказывал детям целый раздел под названием «Расстояние на множестве». Основная его идея — использование геометрических представлений для решения уравнений и неравенств с модулями. Конкретно: 1. Свойства расстояния. 2. Расстояние между точками числовой оси. 3. Расстояние от точки до фигуры, в частности до прямой. 4. Множества, задаваемые с помощью расстояния: а) на оси; б) на плоскости. 78
В конце раздела шестиклассники без особого труда решали уравнения и неравенства типа: \х — 2| = 1, |1—х\ <.2У |х + 3|^1, 1^|л: —4|^2. И даже более сложные решали, такие, как U-7| + U-2|=5, |jc-7| + |jc-2|<5, |jc-7| + |jc-2|>5. (Замечу, что почти устно можно решать иные примеры с модулями, когда их число больше двух. Вот пример. Решить уравнение: UI + U— 1 Ц- |jc — 2|=2. Ясно, что при х^2 или х^.0 решений нет. А при 0<x<2 «видно», что |jc| + |jc — 21 =2. Поэтому \х— 11 =0, откуда х= 1.) На плоскости они рисовали фигуры, уравнения которых были такими: а также пересечения и объединения, например, таких фигур: U|>1 и | Предлагались им и такие примеры, как |у| = |*|, у>\х\. Все эти примеры решались только с использованием понятия расстояния. Чтобы дать общее представление об этом разделе, приведу задание контрольной работы по этой теме (на 45 мин). 1. Решить уравнение \х— 1|=3. 2. Нарисовать на плоскости фигуру, отвечающую условию / |х|=3, \\У\=2. 3. Нарисовать на плоскости фигуру, являющуюся множеством точек, удаленных от данной точки А (5, —2) на расстояние, не большее 1. 4. Даны две точки на плоскости Р ( — 4, 1) и Q (2, 3). Нарисуйте фигуру, являющуюся множеством точек X таких, что: a) XP = XQy б) XP>XQ, в) XP^XQ. 5. Прямоугольник ABCD имеет такие координаты своих вершин: Л(0, 0), В(0, 3), С (4, 3), D(4, 0). а) Чему равно расстояние от точки У((6, 6) до прямоугольника? б) Запишите координаты какой-либо точки, равноудаленной от прямых АВ и AD и при этом: 1) лежащей в прямоугольнике; 2) не лежащей в прямоугольнике. (Ответ на задачу 5 а) дается с помощью измерительной линейки.) Единство курса математики может подчеркиваться единообразием методических подходов к разным вопросам. Так, например, всем хорошо известна схема исследования функции и построения ее графика с помощью производной. По аналогии возможны схемы изучения геометрических тел, в первую очередь многогранников, и изучения движений, как на плоскости, так и в пространстве. 79
Займемся схемой движений. Вначале предполагается изучение общих свойств движений, включающее в себя такие вопросы: 1. Определение движения. Виды движений. 2. Образ пересечения и объединения множеств при движении. 3. Обратное движение. 4. Композиция движений. 5. Образы основных фигур при движении: отрезка, луча, прямой, полуплоскости. 6. Инварианты движений: расстояние, угол, отношение между фигурами. Вкратце раскрою содержание некоторых пунктов. В первом дается определение движения, его обозначение — /, приводятся примеры осевой симметрии, центральной симметрии, поворота и переноса. Приводятся контрпримеры — отображения плоскости на себя, не являющиеся движениями, хотя бы гомотетия. К движениям относятся и композиции движений. После этого мы получаем возможность говорить о произвольном движении, образ которого создается у детей с помощью реального движения листа кальки по основному листу. Возникает вопрос: как задать произвольное движение? Движение считается заданным, если можно найти образ произвольной точки плоскости, причем однозначно. С помощью листа кальки ученики убеждаются в том, что для однозначного задания движения двух точек на плоскости и их образов мало, необходима еще одна, причем все три не лежат на одной прямой. Во втором пункте обсуждается и доказывается, что образ пересечения множеств является пересечением образов данных множеств, и то же для объединения множеств. Это утверждение неявно используется во многих задачах на движение. (Доказательство этих утверждений длинное, и довольно много в нем чисто логического, я и не предполагал, что в классе найдутся ученики, которые смогут его воспроизвести. Однако нашлись.) В шестом пункте доказывается, что движение сохраняет отношение параллельности или пересечения двух прямых; движение сохраняет расстояние от точки до прямой. После этого приступаем к изучению конкретных движений. Схема изучения такова. 1. Определение. 2. Способы задания. 3. Построение образов фигур. 4. Неподвижные точки. 5. Обратное движение. 6. Построение прообразов фигур. 7. Композиция движений данного вида. 8. Ориентация плоскости в данном движении. 9. Запись движения в координатной форме. Содержание пунктов 8 и 9 не являлось программным. (Позволю себе заметить, что программа предопределяет содержание 80
того, что можно требовать от ученика, а не то, что мы с ним обсуждаем — обсуждать можно все, что считаешь полезным для развития.) В пункте 8 выясняется вопрос о том, что происходит с ориентацией плоскости в результате данного движения. Обсуждение ведется на наглядном уровне с использованием образов, основанных на реальном движении. Например: «Мальчик катается на карусели, другой мальчик катается на симметричной карусели. В чем разница в их движениях?» При исследовании поведения ориентации и при исследовании других движений полезен образ окружности. Использование ориентации помогает установить, каким движением будет композиция двух данных движений. Вот конкретная задача: является ли композиция двух осевых симметрии осевой симметрией? Обычное решение: брать некоторые точки плоскости, строить их образы и, наблюдая за этим процессом, дать ответ. А вот какое решение я услышал от своего ученика: каждая осевая симметрия меняет ориентацию, поэтому их композиция сохраняет первоначальную ориентацию, а значит, не может быть осевой симметрией. Не мудрено, что в дальнейшем этот ученик стал заниматься математикой профессионально. В пункте 9 дается координатный вид основных движений за исключением переноса. Рассматриваются три осевые симметрии: относительно оси ху оси у и прямой у = х\ центральная симметрия относительно начала координат; поворот на 90° вокруг начала координат по часовой стрелке и против нее. Соответствующая запись координат делалась, в частности, и в матричном виде. Например, симметрия относительно оси х записывалась и так: ОН-'.)- Матричную запись удобно использовать в дальнейшем для записи в координатной форме переноса, гомотетии, а, скажем, на занятии кружка или на факультативе можно провести классификацию движений на основе классификации матриц 2X2. С помощью координатной записи можно решать задачи совсем нетрадиционные для шестиклассников. Например, исследовать композицию осевых симметрии на коммутативность: Верно ли, что Sx oSy = Sy oSjc? Однажды в классе, используя координаты, мы доказали, что каждая из этих композиций является центральной симметрией относительно начала координат, а значит, между ними можно поставить знак равенства. И затем я спросил: «А что это все напоминает?» Ну что могут напоминать такие закорючки шестиклассникам? И вдруг одна ученица, довольно незаметная, робко тянет руку: «Мне это напоминает,— тихонько говорит она в застывшей, как студень, тишине класса,— переместительный закон умножения». Увы, она стала не математиком, а поваром. 6 Злказ 506 81
И только после такого изучения движений мы переходили к решению с помощью движений содержательных геометрических задач. А вот по какой схеме можно проводить в старших классах изучение многогранников: 1. Способ построения. 2. Выпуклость. 3. Вид какой-либо развертки. 4. Ортогональные проекции на три попарно перпендикулярные плоскости. 5. Наличие среди ребер или граней параллельных; перпендикулярных. 6. Форма некоторых сечений. 7. Существование описанной сферы. 8. Существование вписанной сферы. Далее, если указаны для этого многогранника определяющие его размеры, то можно перейти к вычислению его параметров: 1. Диаметр (т. е. наибольшее расстояние между его точками). 2. Расстояние между некоторыми ребрами. 3. Расстояние от ребер до параллельных граней. 4. Расстояния между параллельными гранями. 5. Углы между ребрами. 6. Углы между ребрами и гранями. 7. Углы между гранями. 8. Границы для площадей и периметров некоторых сечений. 9. Радиус описанной сферы. 10. Радиус вписанной сферы. 11. Площадь поверхности. 12. Объем. Разумеется, никто не обязан все это делать в одной задаче. К этой схеме можно еще что-то и добавить. Не в этом дело. Просто при изучении геометрических тел хочется иметь хоть некоторый порядок, особенно в решении задач. Реализация единого курса, как мы видим, привела к множеству частных методических задач. Как, например, рассказать о действительных числах? В едином курсе я предпочел аксиоматический подход. Между прочим доказывал детям, что 1 >0 (1 — это нейтральный элемент поля действительных чисел относительно умножения, а 0 — нейтральный элемент этого поля относительно сложения.) Ученики, по-моему, были потрясены этим событием — вплоть до следующего урока, где было доказано, что 2-2 = 4. 11.9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛ Как можно заметить из приведенной выше программы курса математики в математической школе, в ней не всегда указана привычная последовательность прохождения курса. Так, напри- 82
мер, сначала изучается логарифмическая функция, а затем показательная. Объяснение довольно простое. Я уже говорил, что надо как-то доказать равенство (аху = аху для произвольных показателей. Если это делать «в лоб», то придется разматывать довольно длинную цепочку скучных фактов из теории действительных чисел. Но можно делать иначе. Надо определить натуральный логарифм с помощью интеграла, а затем логарифм с произвольным основанием. Тогда показательная функция является обратной к логарифмической и все ее свойства можно доказать. Если можно определить через интеграл логарифмическую функцию, то почему этого же не сделать для тригонометрических функций? На этом пути нам понадобятся дополнительные сведения: о несобственных интегралах, длине дуги кривой через интеграл, замене переменной в определенном интеграле, некоторых интегральных равенствах, а также уверенное владение движениями на плоскости и их композициями. Коротко остановлюсь на этих сведениях. Сначала надо познакомить учеников с несобственным интегралом и его свойствами. Никаких принципиальных сложностей это не составляет, ибо интеграл этот является пределом функции, являющейся интегралом с переменным верхним (или нижним) пределом. Сходимость несобственного интеграла — это просто существование предела некоторой функции. Для дальнейшего изложения теории потребуется установить сходимость таких интегралов: + <» \ Ц. О) dx что делается по определению. Затем ученикам надо показать, как доказывается сходимость интеграла в тех случаях, когда этого нельзя сделать непосредственно — с помощью признаков сходимости. Нам понадобится только один признак сходимости: если под интегралом стоит положительная функция, меньшая на всем рассматриваемом промежутке другой функции, интеграл от которой на данном промежутке сходится, то первоначальный интеграл сходится. Этот признак сходимости совершенно прозрачен в наглядной интерпретации. На основании этого признака, учитывая сходимость интегралов (1) и (2), выводим сходимость двух важнейших для дальнейшей теории интегралов: Для первого интеграла доказываем совершенно неочевидное и 83
Ттт?=4| даже удивительное равенство: Ттт?=4|тт? — оо О Для этого сначала покажем, что при а>0 выполняется равенство 1 а dx Г dx ] Г *2~] 1-fjc2 ' что достигается подстановкой х=-г в интеграл левой части равенства. Затем перейдем в этом равенстве к пределу при а -> + оо. Получим: Тогда 1 Г dx dx f dx . f°° dx и в силу четности подынтегральной функции получаем равенство (3). Для доказательства сходимости второго из указанных интегра- 1 лов \ х предполагается знание формулы длины дуги окруж- п лЛ —X2 ности через интеграл, именно ь dx (а и Ь — абсциссы концов дуги, которая для удобства располагается в верхней полуплоскости и тем самым меньше полуокружности.) Полагая в этой формуле а = 0 и Ь = 1, мы получаем с одной стороны длину четверти окружности, а с другой — несобственный интеграл 1 Г dx сходимость которого уже установлена. (В этом месте возникает беседа с учениками на тему: «Зачем надо доказывать специально сходимость этого интеграла, если он представляет собой длину дуги окружности, в существовании которой никто не сомневается?») 84
Итак, мы имеем dx л f Произведем в этом равенстве замену переменной по формуле и получим dx _ л +*2~ 4 Из этого равенства, учитывая (3), выводим такое интересное соотношение + » Г dx Оно интересно тем, что число л фигурирует здесь вне всякой связи с кругом. При желании можно было бы даже определить этим равенством л. Число л здесь — это площадь (в несколько расширенном толковании этого понятия) под рациональной кривой у = -^Л-р. Теперь все готово для изложения теории тригонометрических функций с помощью интеграла. I. Функции arctg х и arcctgx. Определение 1. arctg x= + Определение 2. arcctgx= j 2. Оба определения хорошо иллюстрируются графиком (рис. 11). При х>0 имеем: Si = arctg x и S2 = arcctgx. Из этих определений и равенства \ *** 2=у получаем соотношение между функ- о ' х циями arctg л: и arcctgx: arctg x + arcctg x=-^. Отсюда ясно, что изучение arcctg x не имеет самостоятельного значения, и получение его свойств целесообразно поручить ученикам после окончания исследования arctg xy которым мы сейчас и займемся. 1. Область определения функции arctg x. Она представляет собой всю действительную ось, что следует из существования данного интеграла. 85
Рис. 11 2. Непрерывность. Это свойство не требует специального доказательства, ибо уже известна непрерывность площади криволинейной трапеции. Возможен и такой вариант: производная от данной функции существует и равна 2 , а потому непрерывность следует из диф- ференцируемости. 3. Четность или нечетность. Известно, что первообразная от четной функции нечетна, если ее график проходит через начало координат. В данном случае оба условия выполнены, поэтому арктангенс — нечетная функция. Это свойство легко увидеть и на графике подынтегральной функции. 4. Монотонность. Так как (arctg jc)/=-—j-t , то из положительности производной на R следует возрастание arctg x на R. Кроме того, это видно из рисунка при х>0, а при х<0 можно использовать нечетность. 5. Нули функции. Ясно, что при л: = 0 arctg x = 0. Других нулей у арктангенса нет в силу монотонности. 6. Знаки функции. Из предыдущих двух свойств следует: при х>0 arctg x>0, а при х<0 arctg x<0. 7. Выпуклость. 2х Так как (arctg *)"=— 22 , то при х>0 функция выпук- ла вверх, а при х<0 — выпукла вниз. 8. Поведение на бесконечности. X Из свойств интеграла \ -г-т^у следует, что lim arctg *=-£-• В силу нечетности функции lim arctg x=—|-. Теперь яс- 86 X —*■ — oo
но, что множеством значений арктангенса является промежуток (--*- -) \ 2 ' 2 / * 9. График функции. Перейдем к изучению некоторых свойств arctg x и arcctg x. Для доказательства тождеств и неравенств, связанных с этими функциями, нам понадобятся их значения в некоторых точках, именно: arctg 0 = 0, которое очевидно, arctg 1 =-т~ из свойств ин- х теграла \-rrj2» arctg (— 1)=—т~ из нечетности арктангенса. Из равенства arctg x + arcctg *=-£- получаем значения в этих же точках функции арккотангенс. Значения этих функций в других точках пока находятся методами приближенного интегрирования. Поэтому мы можем уже сейчас решить, скажем, такое уравнение: arctg 2x=~-, но не сможем решить уравнение arctg x=-^. Кроме того, пока не введены обратные к ним функции, мы не можем записать решения уравнения, например такого arctg 2jc=0,3, хотя ясно, что оно существует. Несложно доказать следующие важные соотношения: lim cTci%x =1 и larctg х| < U|. х -»-0 X Первое из них доказывается так: arctg х — arctg 0 Illll I 1111 ^^~ x-+0 X jr-0 X — 0 Отсюда следует, что в окрестности точки Охи arctg x являются эквивалентными бесконечно малыми функциями и можно записать такое приближенное равенство: arctg хжх. Для доказательства неравенства рассмотрим при х^О функцию х — arctg х. Она стандартным образом исследуется на монотонность, откуда получаем х^arctg x. При х^.0 используется нечетность этой функции. Теперь же можно показать разложение arctg x в ряд и получить числовой ряд для вычисления п. Для упражнений возможны такие типы примеров. 1. Вычисление производных. 2. Построение графиков с помощью его линейных преобразований и с использованием производной. 3. Отыскание первообразных и вычисление интегралов. 4. Доказательство тождеств и неравенств. 5. Решение уравнений и неравенств. 87
Упражнения типа 1—3 очевидны. Приведу типичные упражнения к пунктам 4 и 5. 1. Доказать, что arctg x + arctg —=-£- при х>0 (—£- при Обозначим функцию в левой части как / (х). Найдем ее производную. Оказывается, что f (х) = 0. Значит, при х>0 эта функция является постоянной. Для нахождения ее вычислим значение /(1): /(1) = 2 arctg 1=2--^-=-^-. Следовательно, при х>0 arctg x +arctg—=~у- Равенство при х<0 следует из нечетности / (х). 2. Доказать, что arctg x + arctg y = arctg ffj^-+tai, i xy где: А, = 0, если ху<\\ А,= 1, если ху>\ и х>0\ A,= —1, если xy> 1 иКО. Зафиксируем некоторое значение у. При этом значении у обозначим функцию в левой части равенства через / (*), а в правой части равенства через g (x). Взяв производные от обеих функций, увидим, что они равны, следовательно, эти функции отличаются на константу: f (x) = g (x)-\-C. Вычислим ее для первого случая, когда jq/<l. Для этого достаточно увидеть, что /(0) = g(0) = = arctg у. Значит, С = 0, а тогда для всякого значения у выполняется равенство f (x)=g (x\ что и требовалось установить. Для определения значения константы С во втором случае (когда ху > 1 и х>>0) такой подход невозможен. Почему? Пусть, к примеру, мы возьмем х=1. Тогда /(l)=-^+arctg(/, g (1)= arctg i±J . Теперь выражения в правой части каждого из полученных равенств можно рассматривать как функции от переменной у. Пусть Тем же способом можно показать, что f\ (y) = g\ (y)-\-C\. Для вычисления Ci требуется взять какое-либо значение у из рассматриваемого множества, т. е. такое, что ху> 1. Но так как мы взяли *=1, то значение у надо брать больше, чем 1. Однако нам неизвестно ни одно значение арктангенса для аргументов, больших чем 1. Поэтому придется идти другим путем. Из равенства f (x) = g (х)-\-С следует, что С= lim (/(*) — — g(x)). Вычислим пределы каждой из функций: lim f{x)= lim (arctg x + arctg y) = -+ -f oo x -»- -f oo 88
= lim arctg x +arctg */=-£-+arctg*/. X -»- -I- oo £ lim g (x)= lim arctg-^-^-= lim arctg X -*■ -\- oo x -*■ -\- oo 1 ХУ x —»■ -f- oo Т = arctg ( --i-) = - arctg -i-= arctg у —2-. Так как оба предела существуют, то С= lim f(x)- lim g (*)=-£-+arctg </-(arctg у—^) = л. Аналогично доказывается, что значение константы С в третьем случае (если ху>\ и х<0) равно — л. В силу нечетности арктангенса из формулы для суммы арктангенсов получаем такую: arctg х — arctg у = arctg -р^-^-+Ал. После доказательства этих формул сложения пропадают всякие сложности в решении таких примеров, как: «Найти значение выражений arctg —+ arctg -^-, arctg 7 — arctg 5», и т. д. Z о Упражнения на свойства выпуклости функции арктангенс можно предложить следующие: 3. а) Доказать, что -J-+ arctg 3<2 arctg 2. Доказательство непосредственно вытекает из неравенства 2 ^Ч 2 для функции, выпуклой вверх, каковой является arctg x при >0 б) Доказать, что arctg 30 — arctg 20<arctg 10. При доказательстве используется известное свойство выпуклой вверх при х^О функции: если х\, х2, *з, х* — четыре возрастающих равноотстоящих значения аргумента, то В данном случае использование этого свойства дает такое неравенство: arctg 30 — arctg 20< arctg 10 — arctg 0, что и приводит к нужному результату. 4. Доказать, что arctg x2 — arctg xl^x2 — xl при х\ >0, х2^х{. Доказательство следует из того, что производная от arctg x не превосходит 1. И теперь о решении уравнений и неравенств. Графическая иллюстрация и возрастание функции арктангенс позволяют решать уравнения типа arctg 2x = arctg x и соответствующие неравенства. 89
Но резко ограничивает наши возможности отсутствие функции tg. Например, не удастся получить результат в таком уравнении: arctg 2x = arcctgx и соответствующем неравенстве. II. Функции tg и ctg. Определение 3. Функция, обратная arctg, обозначаемая Tg, называется главной ветвью тангенса. Функция, полученная л-пе- риодическим продолжением Tg, называется тангенсом и обозначается tg. Определение 4. Функция, обратная arcctg, обозначаемая Ctg, называется главной ветвью котангенса. Функция, полученная л-пе- риодическим продолжением Ctg, назызается котангенсом и обозначается ctg. Свойства Tg и Ctg легко получаются из свойств arctg и arcctg благодаря теореме об обратной функции и тем связям, которые есть между свойствами прямой и обратной функций. А если еще нарисовать графики, то свойства Tg и Ctg видны на рисунках. Сами же доказательства могут быть довольно хлопотными. Вот, к примеру, как доказывается нечетность функции Tg. Из симметричности графика функции arctg относительно начала координат и графиков Tg и arctg относительно прямой у=х следует, что произвольная точка графика Tg в результате композиции Si о Zo о Si (где точка О — начало координат, а ось симметрии / задается уравнением у = х) переходит в точку на этом же графике. С другой стороны, такая композиция, как известно (это легко проверяется, если выписать соответствующие движения в координатном виде: является центральной симметрией относительно начала координат. Итак, в результате центральной симметрии относительно начала координат график Tg отображается на себя, а это и означает нечетность Tg. Из соображений симметрии сразу видны две вертикальные асимптоты графика Tg: х=-тг и *= —\ • Аналитическое доказательство этого факта получается из рассмотрения равенства л; = arctg (Tg х). Пусть теперь jc->-^-. Тогда arctg (Tg x) -*--£-, откуда и следует, что Tg х -> + оо. Производная функции Tg x выводится из производной функции arctg л: и оказывается равной \-\-lg2 х. Изучение Ctg представляется ученикам для самостоятельной работы. Никаких затруднений не представляет изучение свойств функции, полученной из данной ее л-периодическим продолжением. Досадным исключением является лишь доказательство нечетности для обеих функций, если мы не хотим ограничиться на- 90
глядной иллюстрацией этого факта. Для доказательства нечетности tg рассмотрим композицию а о Zo о а, где Zo — центральная симметрия относительно начала координат, а — перенос, отображающий некую ветвь tg на главную ветвь. Такая композиция является (проверяется аналитически) центральной симметрией относительно начала координат. Так как такая композиция отображает график tg на себя, то мы получаем его центральную симметричность, т. е. нечетность функции tg. Для доказательства нечетности функции ctg сначала заметим, что графики arctg и arcctg симметричны относительно прямой У=-т-- Отсюда следует симметричность графиков Tg и Ctg относительно прямой х=-т-> а кроме того, симметричность Tg и той ветви ctg, которая находится на промежутке (— я, 0), относительно прямой х= ——. Теперь рассматривается композиция а о Sl2 о Zo ° о S,, о а, где 1\ — прямая *=-j-> h — прямая х= —^-, а — перенос, отображающий некоторую ветвь ctg на его главную ветвь. В силу перечисленных симметрии графиков эта композиция отобразит график ctg на себя. Но эта композиция (проверяется аналитически) является центральной симметрией относительно начала координат, а потому ctg нечетен. В написанном виде доказательства нечетности выглядят малосимпатично, а на деле, в ходе беседы с учениками, являются просто хорошим упражнением в развитии геометрической зоркости. После введения tg и ctg увеличивается набор упражнений. Отметим, что из всех значений функций tg и ctg нам известны только нули этих функций и чему они равны в точках: ±-^-+йл, где fc£Z, а потому набор уравнений и неравенств достаточно специфичен. Что же можно предложить для решения? 1. Можно вернуться к тем примерам на arctg и arcctg, которые не решались из-за того, что школьники не были знакомы с обратными к ним функциями. 2. Заняться построением графиков, получаемых из графиков функций tg и ctg линейными преобразованиями. С некоторой осторожностью можно предлагать построение графиков функций с помощью производной, например у = arctg (tg x). Осторожность необходима из-за того, что еще не введены формулы в достаточном количестве. 3. Можно вычислять и некоторые пределы, например Нт %'х . Уже известно, что lim агс %х = 1. Простой переменой jt-*otg3jt х^о х г г обозначений получаем, что lim-р— =1. Значит, в некоторой 91
окрестности нуля х и tg х эквивалентные бесконечно малые и можно написать: tgx«x. 4. Неравенство Ul<|tgx| можно получить из соответствующего неравенства для arctg также переобозначением переменной, но можно провести самостоятельное исследование на монотонность функции igx — x на промежутке [0,-^г). 5. Можно перейти к простейшим уравнениям и неравенствам для tg и ctg. Например, решим уравнение tgx = 2. Рассмотрим промежуток ( —^-, ~yJ . На этом промежутке tg x = 2 о arctg (tg x) = arctg 2 ^x = arctg 2. Общее решение записывается на основе свойства периодичности функции tg. Решим теперь неравенство ctgx>3. Рассмотрим промежуток (0, л). На этом промежутке ctg х > 3 о arcctg (ctg x)< arcctg 3 о х< arcctg 3. Общее решение записывается на основе свойства периодичности функции ctg. Точно так же решаются уравнения и неравенства типа tgx = a, tgx>a, tgx<a, ctgx = a и т. д. Докажем теперь важную формулу tg х-ctg x= 1. Сначала проверим, что при t>0 выполняется равенство arcctg t = arctg -j-. Для этого рассмотрим разность этих функций, возьмем от нее производную — она равна нулю. Значит, эта функция является константой на взятом промежутке. Но при /=1 она равна нулю, поэтому для всякого t>0 равенство верно. Пусть теперь , ~yj . Запишем его так: x = arcctg / = arctg— . Тогда tg x- ctg x = tg (arctg -у}- ctg (arcctg 0=7--t=x- Для остальных значений х срабатывает нечетность и периодичность. И наконец, докажем такую формулу ctgx = tg(-^—х\ . Уже отмечалось, что Tg и Ctg симметричны относительно прямой *=--р Но симметрия графиков этих функций относительно прямой *=-j- как раз и означает выполнение для них требуемого 92
равенства. Для симметричности графиков функций tg и ctg относительно x=-j- потребуется использовать их периодичность. На этом можно закончить изучение tg и ctg. Но можно пойти дальше и вывести теорему сложения для тангенса. Делается это так. Запишем теорему сложения для arctg: arctg x + arctg y = arctg * y—\-Kn. Возьмем тангенсы от обеих частей этого равенства, получим: tg (arctg x + arctg y)=j±jL . Если обозначить arctg х через a, arctg у через р, то приходим к нужной формуле i_tgatgp ' Для других значений аир выполняются свойства tg. Используя нечетность функции тангенс, получаем далее формулу для тангенса разности. III. Функции arcsin и arccos. Схема изучения этих функций такая же, как arctg и arcctg, поэтому я остановлюсь в основном на отличиях. Определение 5. arcsin jk=\-—= 1 Определение 6. arccos x=\—^z Эти определения иллюстрируются графиком (рис. 12). График подынтегральной функции очевидным образом получается из графика у = -д/1 — л:2, поэтому нарисуем его вместе с полуокружностью ^/ = д/1 — х2. При х>0 имеем: Si=arcsinx, S2 = arccosjc. i Из этих определений и равенства \ * 2 =--р получаем соотношение для определяемых функций: arcsin x + arccos *=-£-> откуда ясно, что принципиально только изучение первой из этих функций. К нему мы и переходим. 1. Область определения функции. Из существования исходного интеграла следует, что областью определения функции является промежуток [—1, 1]. 2. Непрерывность. 93
Рис. 12 Непрерывность внутри области определения следует из непрерывности площади криволинейной трапеции. Непрерывность на концах промежутка следует из существования исходного интеграла. 3. Исследование на четность или нечетность. Нечетность arcsin очевидна и получается так же, как для arctg. 4. Монотонность. При 0<х< 1 arcsin x есть площадь, X которая возрастает с увеличением х. Возрастание функции при — 1<х<0 следует из нечетности. В силу непрерывности возрастание происходит на всей области определения, включая концы. Тот же результат получается из положительности производной. Остальные свойства арксинуса {нули, знаки, выпуклость) изучаются так же, как и арктангенса. Из непрерывности и возрастания функции на [—1, 1] следует, что множеством ее значений является промежуток —^-, -у . При более подробном изучении свойств arcsin и arccos отметим, что значения их нам известны только при х = 0, х=\у х= — 1. Для вычисления пределов необходимо знать, что lim arcsin* =1 (доказательство такое же, как для arctg x). Типы упражнений и методика их решений аналогичны тем, которые были указаны для arctg. Примеры, в которых участвует arccos xy не имеют самостоятельного значения, так как его можно заменить на -^—arcsin x. В работе с производными от этих функций есть некая тонкость. Поясним ее на примере. Пусть нам требуется доказать, что arccos л: = arcsin Сначала убеждаемся в том, что равны производные от этих функций. Затем из равенства дуг окружности при * = Цг следует, что равны значения этих функций в данной точке. Вроде бы доказательство можно считать оконченным, однако при л:= 1 и при л: = 0 производные от этих функций не существуют. В этих точках придется опять воспользоваться непрерывностью данных функций. IV. Изучение sin и cos. Определение 7. Главной ветвью синуса называется функция, обратная функции arcsin. Отразим теперь симметрично относи- 94
тельно прямой х=-~ главную ветвь. 2л-периодическое продолжение полученной функции на всю числовую ось называется синусом. Определение 8. Главной ветвью косинуса называется функция, обратная функции arccos. Отразим теперь симметрично относительно оси у главную ветвь. 2л-периодическое продолжение полученной функции на всю числовую ось называется косинусом. Определения эти довольно громоздкие. Поэтому можно определить синус и косинус иначе, используя формулы через тангенс половинного угла, именно: 1-tg2! sin;c= , cosx=- Свойства синуса и косинуса сразу видны из определений, а если еще нарисовать их графики, то говорить по сути не о чем — настолько все ясно. Доказательство симметричности графиков этих функций (иначе говоря, их четности или нечетности) получается из свойств композиции разных движений. Так, четность косинуса выводится из рассмотрения такого движения а о Si о а, где а — это перенос (2йл, 0), / — это ось у. Такая композиция, являясь симметрией оотносительно оси ординат, отображает график косинуса на себя. Отсюда его четность. Аналогичную работу проводят сами ученики, отыскивая композицию движений, отображающую график синуса на себя и являющуюся центральной симметрией относительно начала координат. Отсюда нечетность синуса. Производные от синуса и косинуса находятся как производные обратных функций, сначала для главных ветвей. В точках «стыковки» графиков, где происходят отражение от прямой и продолжение до периодичности проще всего использовать соображения симметрии и геометрический смысл производной. Важные соотношения lim —А—=1 и |sinjt|<|x| Х-+0 Sin X ^ получаются простым переобозначением переменных в соответствующих соотношениях для arcsin x. Равенство sin x = cos(-p—х ) получается по той же схеме, как аналогичные соотношения для tg x и ctg x. Из этого равенства, периодичности синуса и косинуса, их симметричности получаются все формулы приведения. Основное соотношение между синусом и косинусом, а именно sin2 x + cos2 *= 1, 95
Рис 13 можно получить так. Сначала проверим, что при /6(0, 1) верно равенство arccos t = arcsin -yjl —t2. (Действуем привычным методом: составляем разность этих функций, берем от нее производную и т. д.) Пусть теперь *6(0, 4М . Запишем х в таком виде: х = arccos / = arcsiii л/l —t2. Тогда sin2 x + cos2 x = sin2 (arcsin д/l — f^ + cos2 (arccos /) = Для прочих значений х используются формулы приведения и непосредственная проверка. После получения основного соотношения между синусом и косинусом в окончательном виде записываются их производные: (sin x)' = cos х, (cos x)'= — sin x. Покажем теперь, как sin x и cos x интерпретируются на единичной окружности (рис. 13). Пусть л:6(0, 1). Тогда длина дуги АВ равна arccos xy а длина дуги ВС равна arcsin x. На этот же рисунок можно посмотреть иначе. Если длину дуги АВ обозначить через а, где а6(0, я), то координаты точки В таковы: (cos а, Vl —cos2 а), т. е. (cos а, sin а). Значит, косинус и синус некоторого числа а из (0, я) есть абсцисса и ордината той точки на единичной окружности, которой соответствует дуга длиной а. Для других значений а используются формулы приведения и непосредственная проверка. Последнюю важную формулу tg л:= можно получить разными способами. Один из них, самый интересный для учеников, заключается в том, что функция COS X удовлетворяет неслож- ному дифференциальному уравнению у' = 1 + у2 с начальным усло-
вием у(0) = 0. Далее можно либо решать это уравнение, либо сказать ученикам, что и tg x удовлетворяет этому же уравнению с тем же начальным условием. Но известно (так называемая задача Коши), что решением такого уравнения с данным начальным условием может быть только одна функция. Значит, Теорему сложения для синуса можно доказать так же, как для tg. На этом заканчивается наш разговор о построении теории тригонометрических функций с помощью интеграла. Такой способ выглядит искусственно, но это с позиций традиционного школьного курса. Если же рассматривать его как некое введение в математический анализ, то можно еще подумать. Со своих чисто учительских позиций скажу, что никогда я не видел столь большой самостоятельности учеников в изучении теории тригонометрических функций, как при таком способе. Они выводили сами почти все, как только перед ними появлялись исходные определения. А теперь еще несколько слов о едином курсе. Я и мои коллеги проводили его не один раз. В целом он доступен ученикам, интересен для них. При подготовке его мне пришлось перевернуть гору книг, написать для себя всю теорию и подобрать задачи по всему курсу, сочинить дидактические материалы. Работать в этом направлении было увлекательно, я узнал много нового для себя, и мне ничуть не жаль затраченного на это времени. Сама же идея единого курса лучше воплощается в 9-м классе. Для большего единства пришлось бы пересматривать вообще всю программу по математике в старших классах. На это у меня не хватило тогда духу и возможностей. 11.10. О ДЛИНЕ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Методическое мастерство проявляется, как я полагаю, не столько в решении тех или иных задач преподавания, какими бы объемными они ни казались, сколько в том, как эти задачи были решены. Особенно его видно при решении трудных методических задач. Пример такой трудной задачи: построить курс математики, где доказано «все». При этом надо не грешить перед математикой, но вместе с тем быть психологически убедительным для ученика. Давно известно: логика изложения готового результата, готовой теории не совпадает с логикой (если так можно выразиться) его получения, создания. И похоже на то, что именно логика открытия, созидания более понятна для ученика. Почему утверждение вообще надо доказывать, когда оно и так очевидно? Почему доказательство именно такое? Почему последовательность изучения именно такая? Эти и другие похожие вопросы надо задавать себе, если хочешь быть в глазах детей 7 Заказ 506 97
не фельдфебелем от педагогики, а ментором. Я уже не говорю о том, что мне довелось и выслушивать такие вопросы от детей, особенно часто — первый из них. Нормальный вопрос для ребенка с практическим складом ума. Ну и как же его убедить? Выбрать некий уровень строгости изложения, последовательно работать на этом уровне, может быть, слегка повышая его к концу обучения, найти убедительный компромисс с соображениями наглядности — все это очень непросто. И требует, я бы даже рискнул так сказать, не только методического мастерства, но и методического искусства. Я мог бы привести массу примеров такого искусства, но также и отсутствия такового. Одна из достойных задач методики преподавания математики — изучение длины кривой и площади поверхности. Недаром же ей посвящено так много работ. Есть даже классические, например книга А. Лебега «Об измерении величин». Эта задача не дает мне покоя все годы. По-моему, я попробовал на практике все, что только описано в литературе. Но и до сих пор не могу сказать, что знаю наилучшее ее решение. Что создает трудности в ее решении? Хочется найти общий подход ко всем этим вопросам. Ведь получение общих методов в решении задач — одна из основных тенденций математической науки, а потому давать для разных поверхностей разные способы вычисления их площадей в каком-то смысле и значит грешить перед математикой. Внешне привлекательно выглядит, скажем, идея развертки при выводе формул для площади боковой поверхности цилиндра и конуса. Но, как известно, для сферы развертка невозможна (и потому все карты Земли неточны). А. П. Киселев в своем учебнике геометрии перед выведением формул для площадей поверхностей доказывал некую лемму. При решении задачи о вычислении длины окружности известен общий прием — вписывать в окружность правильные многоугольники, а затем переходить к пределу. Однако аналогичную конструкцию нельзя создать для сферы. Кроме того, постоянно возникают вопросы такого типа: «А почему число сторон правильного многоугольника непременно удваивается?», «Имеет ли значение число сторон исходного вписанного многоугольника?», «Обязательно ли вписывать именно правильные многоугольники?» (Аналогичные вопросы можно задать, если по той же идее вычислять площади боковых поверхностей цилиндра или конуса.) И наши ответы на эти вопросы скорее повествовательного характера, мы скорее просим нам поверить, чем убеждаем. Из многочисленных собственных попыток рассказать детям теорию измерения длин и площадей опишу две. Первая относится к изложению этого вопроса в математической школе, вторая — в массовой. Несколько раз я рассказывал в математической школе этот раздел на основе идеи Г. Минковского. 98
Сначала я покажу, как она осуществляется при вычислении длины кривой. Пусть Г — некоторая плоская линия. Рассмотрим множество всех точек, удаленных от точек Г не более чем на данное расстояние г>0. Получившуюся фигуру обозначим Ф и назовем ее «обволакивающей фигурой». Фигуру Ф можно рассматривать как объединение всех кругов радиуса г с центрами на данной линии. Площадь Ф обозначим S (Ф). Составим отношение 5|ф) и найдем его предел при г -*- 0. Если он существует, то линию Г будем называть спрямляемой, а длиной L (Г) назовем сам предел: 5 (ф) г™ 2г * Это определение привлекательно уже с самого начала своей наглядностью. Как оно используется в простейшем случае, можно показать на примере отрезка. Пусть нам дан отрезок АВ длиной а (рис. 14). Покажем, что по нашему определению длины линии тоже получится а. Фигура Ф состоит из прямоугольника С КЕТ и двух полукругов с центрами в точках Л и В и радиусами г. Очевидно, ?-!!?.(•+■?•') «• 2г Вычислим теперь этим же способом длину окружности. Пусть дана окружность с центром О и радиусом R. Фигура Ф является кольцом с этим же центром, больший радиус которого равен R + r, а меньший радиус R — r (рис. 15). Очевидно, S (Ф) = я ((R + г)2 - (R - г)2) = 4nRry
Таким же способом можно найти длину дуги окружности. Аналогично определяется площадь поверхности в пространстве. Только вместо кривой Г появляется поверхность Г, вместо длины кривой L (Г) появляется площадь поверхности S (Г), а вместо площади S (Ф) появляется объем V (Ф). Итак, Для начала показать, как с помощью этого определения можно найти площадь поверхности в простейших случаях, например для прямоугольника со сторонами а и Ь. Фигура Ф состоит из прямоугольного параллелепипеда с размерами a, b и 2г, двух полуцилиндров с радиусом основания г и высотой а, двух полуцилиндров с радиусом основания г и высотой Ь и четырех чет- вертьшаров радиуса г. (Представить себе фигуру Ф куда легче, чем ее нарисовать.) Тогда \ш=аЬ. г-о 2г Другой пример — вычисление площади сферы совершенно аналогично вычислению длины окружности и выполняется самими учениками. Из этих примеров ясно, что технические трудности при вычислении пределов возникают тогда, когда у поверхности есть края. Для уменьшения этих трудностей приходится искать наиболее удачные способы вычисления объема Ф в тех случаях когда сразу найти его не удается. Тогда подбираются фигуры Ф[ и Ф2 такие, что Ф^ФсгФг. Если существуют пределы: 1- У(Ф\) I- У(Фо) lim -!^-LZ и lim Jl^2Z и они равны Л, то тем самым существует и нужный нам предел lim ^ ' , который тоже равен А. Проще всего продемонстрировать этот способ для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. Пусть боковая поверхность цилиндра образована вращением отрезка АВ вокруг оси AY, параллельной этому отрезку (рис. 16). Обозначим АВ = НУ АО\ — расстояние до оси вращения R. Фигу- 100
pa Ф|, содержащаяся в Ф, представляет собой разность двух цилиндров: цилиндра с радиусом O\C\=R-\-r и высотой О\Р\ = Н и цилиндра с радиусом O\T\=R — r и той же высотой. Фигура Ф2 содержащая Ф, представляет собой разность двух цилиндров: цилиндра с радиусом O2C2 = R + r и высотой О2Р2 = Н-\-2г и цилиндра с радиусом Ог712 = /?—г и той же высотой. После вычислений получаем: V(Oi) с2 в н т2 Рис. 16 02 У Наибольшие хлопоты доставляет вычисление площади боковой поверхности конуса и усеченного конуса. При этом можно пойти двумя путями: 1. Найти площадь боковой поверхности конуса, а площадь боковой поверхности усеченного конуса вычислить, исходя из аддитивности площади поверхности. При этом аддитивность надо как-то объяснить, ибо определение по Минковскому конструктивное, а значит, никакие свойства площади поверхности заведомо не являются известными. 2. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, из которой, как предельный случай, вывести формулу для площади боковой поверхности конуса (а также и боковой поверхности цилиндра). Также можно получить формулу для вычисления площади сферического сегмента. Перейду теперь к описанию того, как можно вычислять длину кривой и площадь поверхности в массовой школе. При этом, как оказывается, можно обойтись и без производной и даже без явного использования понятия предела, используя наглядные представления. Начну с длины окружности. Как и в предыдущем изложении, считаем, что площадь круга нам известна. Для вычисления длины окружности радиуса R опишем вокруг нее произвольный /г-уголь- ник (будет несколько нагляднее, если взять правильный /г-уголь- ник, но это необязательно). Запишем для него формулу: где Sn — площадь, а Рп — периметр. Отсюда получаем, что с .р =_L/? " " 2 *' 101
С другой стороны, если бесконечно увеличивать п и брать точки касания сторон многоугольника все ближе, например вставляя новую между каждыми двумя соседними «старыми» точками, то отношение Sn'Pn сколь угодно мало отличается от величины S:Ly где S — площадь круга, a L — длина окружности. Тогда по- с п лучается, что два числа r-и-^-отличаются сколь угодно мало. Но L, 2 это может быть только в том случае, когда эти числа равны. Итак, —=-77-, откуда и получаем, что L=-^-, т. е. L = 2nR. L 2 Н. Как ясно, во фразу «сколь угодно мало отличается» умещается чуть ли не вся теория пределов, но важно, что внимание учеников в этом месте не останавливается — настолько она наглядно очевидна. Этот же феномен я наблюдал у старшеклассников при выводе формул для площадей поверхностей, причем не только в массовой школе, но и в специализированной. Покажу, как это же рассуждение используется в стереометрии. Для получения формулы площади сферы оно абсолютно такое же, надо только в соответствующих местах повысить размерности, использовать формулу Kn = — SnR для объема Vn описанно- о го около сферы радиуса R /г-гранника с площадью поверхности Sn- Близость точек на сфере, через которые проводятся касательные плоскости, можно обеспечить тем, что новые точки касания выбираются внутри каждого криволинейного треугольника на сфере. А вот как выглядит вывод формулы для боковой поверхности цилиндра. Опишем около цилиндра радиуса R и высотой Н прямую /г-угольную призму. Пусть Vn — ее объем, Sn — площадь основания, Н — высота. Тогда Vn = SnH. Так как Sn = —Р„/?, где Рп — периметр основания этой призмы, то Vn = ^rPnHR. Выражение РпН является площадью боковой поверхности призмы, которую мы обозначим S'n. Итак, Vn=-7rS'nRy откуда -^=-i-/?. 2 Sn 2 С другой стороны, описывая призму с все возрастающим /г, причем выбирая точки касания все ближе (как в соответствующем выводе формулы длины окружности), мы видим, что величина Vn V Л, * -£7 все меньше отличается от величины -=-, где V — объем цилинд- pa, a S — площадь его боковой поверхности, и разность между ними можно сделать сколь угодно малой. Но тогда два числа — и -7J- отличаются сколь угодно мало. А это может быть только о 2 1/ П в случае их равенства. Итак, — =—, откуда и следует, что о 2 S=^r, т. е. S = 2nRH. 102
Доказательства для конуса и усеченного конуса совершенно аналогичны. Эти выводы ясны ученикам и воспроизводятся ими. Конечно, к таким доказательствам можно предъявить претензии по строгости изложения, но я ведь говорю о попытках найти компромисс между требованиями науки и обучения! Если ничем не поступаться, то никакой компромисс попросту невозможен. Главный вопрос: чем поступаться? Так мы опять выходим на установку. 11.11. ТАКАЯ РАЗНАЯ ШКОЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Последние 20 лет мы являемся свидетелями кризиса в преподавании школьной геометрии. Чтобы лучше понять, в чем дело, совершим мысленную прогулку в «золотые времена» А. П. Киселева и Н. А. Рыбкина. Посмотрим на тогдашний курс стереометрии. Изучались прямые и плоскости, их взаимное расположение, многогранники, тела вращения, геометрические величины: длины, площади, объемы, углы. Аксиоматика курса была выдержана в духе Евклида — Гильберта — Шура. При доказательствах теорем широко использовалась наглядность, запросто, например, один двугранный угол вкладывали в другой. Задачи были в основном вычислительного характера, на выпускном экзамене решалась од- на-единственная задача, в которой наряду с обоснованием рассуждений требовалось произвести немалые вычисления с применением логарифмических таблиц. Кроме этого, в экзаменационной работе была часть, связанная с тригонометрией и ее приложениями. Учебник А. П. Киселева казался удачным, задачник Н. А. Рыбкина в какой-то мере ему соответствовал. Общему спокойствию очень способствовал совершенно ясный и приемлемый характер выпускного экзамена, фактически учителя готовили к нему все два года. На «отдельные недостатки» программы, учебника, задачника и курса в целом мало кто обращал внимание. Аксиоматика курса была явно неполной, доказательства некоторых утверждений «повисали в воздухе», иные рассуждения были совершенно архаичны, например вычисления объема на основании каких-то искусственных лемм вместо интегрирования, задач не хватало и приходилось залезать в задачи из П. В. Стратилатова. И вообще — все это Евклид, Евклид, Евклид... А где же современность? Где движения, векторы, координаты, интегралы? Где новые взгляды? Где теория множеств? Постепенно критика программы нарастала, она стала меняться, появились новые учебники и задачники. И в 1968 году произошла реформа преподавания математики, после которой дела школьной геометрии пошли все хуже и хуже. Все эти годы подвергалась критике новая программа. В учебники, написанные в соответствии с ней, почти ежегодно вносились исправления. Постоянно в директивном порядке изменялись требования к учителям: что юз
надо изучать, а что не надо. Один из примеров — элементы стереометрии в конце 8-го класса, которые однажды стали запретной для преподавания темой. Был отменен выпускной экзамен по геометрии. Отмена устного экзамена в X классе не такая безобидная вещь, так как в соответствии с этим на уроках стало меньше времени тратиться на постановку математической речи ученика. Дети стали меньше говорить, а потому и хуже говорить. Далее, до недавней поры геометрическая задача в том или ином виде еще включалась в экзамен по алгебре и элементарным функциям, но в последние годы и это пропало. Сократилось число проверочных работ по геометрии, тогда как по алгебре они традиционно были ежегодными. Знания учеников резко ухудшились. В начале 9-го класса многие не имели ясного представления о геометрическом доказательстве. В программе вступительных экзаменов в вузы из всего курса стереометрии осталось считанное число вопросов. Появились новые программы по геометрии, вроде бы улучшенные, а на самом деле ничуть не менее тенденциозные, нежели предыдущая. К сожалению, всему происшедшему есть объективные причины, причем разной природы. Какими я их вижу? Я бы выделил три группы. Первая из них — математическая, идущая от самой науки. Как ни странно, нет полной ясности в понимании самого предмета «Элементарная геометрия», который по всей вероятности и преподается в школе. Ответ на этот вопрос помог бы прояснить и содержание школьного курса, и методы его преподавания. Мне неясно, далее, означает ли единство математики, что геометрия должна быть растворена в общем курсе школьной математики? Наконец, насколько правомерно использование в геометрии теории множеств? Если основы школьной геометрии таковы, что они же позволят применять аксиому выбора или поставить «проблему континуума», то насколько так обоснованная геометрия может быть названа элементарной? Вторая группа причин — педагогическая. По всем важнейшим вопросам преподавания геометрии имеется много разных точек зрения, и все кажутся убедительными — так какую выбрать? Вот примерный перечень этих вопросов. 1. Для чего нужна геометрия в среднем образовании? Есть разные ответы: для развития логического мышления; для развития пространственного мышления; как элемент познания реального мира; для того, чтобы понять, как представление о реальном пространстве преобразуется в некоторую логическую структуру; чтобы иметь запас наглядных образов для работы собственной мысли. 2. Какую геометрию изучать? Традиционную, синтетическую по содержанию или аналитическую геометрию в комбинации с линейной алгеброй? Написал ведь Ж. Дьедонне книгу «Линейная алгебра и элементарная геометрия» — М.: Наука, 1972, в которой 104
нет ни одного рисунка! В каком-то смысле это уже было. Вот шутливое сочинение по этому поводу в конце XIX века: «Пространство там вовсю муштруют, в координаты все шнуруют; нужна немалая удача, чтоб с чертежом была задача, и день за днем твердят вам так: необходимо уравненье, чтобы найти то постро- енье, которое совсем пустяк. И пусть естественней в пространстве все представлять, что видим мы, как раньше лучшие умы; — с весьма унылым постоянством заставят при любой задаче вас действовать совсем иначе: вам уравнение укажут и все увидеть в нем обяжут». (Из книги В. Литцмана «Веселое и занимательное о числах и фигурах».) 3. Если остановиться на традиционном содержании, то что в нем выделить? Реально даются такие ответы: фигуры и их свойства; преобразования; структуры, в первую очередь структуру векторного пространства; внутри- и межпредметные связи. Более того, появилась мысль, что «царским путем» в геометрию является именно изучение структуры векторного пространства. 4. Какова роль дедукции в обучении? Должна ли она быть глобальной, когда доказывается буквально все, и тем самым школьный курс является некой копией курса оснований геометрии; или она должна быть локальной, когда в одном разделе доказывается абсолютно все, а в другом возможны утверждения без доказательств; или она является локальной для детей 11 —15 лет, а для старших является глобальной; или она вообще не нужна как таковая? Замечу, что учебники с невыдержанным уровнем дедукции очень тяжелы в работе. Так, одной из труднейших для меня учебных книг был учебник по геометрии, написанный для 6-го класса под редакцией А. Н. Колмогорова. В иных его местах содержательные утверждения шли подряд, и очень трудно было разобраться, какие из них можно доказать, оставаясь в рамках принятой аксиоматики, а какие — нельзя. 5. Как понимается «строгость» в курсе геометрии? Или она должна быть предельно возможной; или все должно быть доказано на некотором обусловленном уровне строгости, без доказательства самоочевидных фактов; или можно все-таки пропускать доказательства, хотя и акцентируя на этом внимание? 6. Какую выбрать аксиоматику? Гильберта, метрическую, векторную, ту, в основе которой находятся свойства движений, или вообще никакую? Вот сколько вариантов! И где ее вводить? В начале курса, в середине, в конце? Может ли она быть избыточной? 7. Как геометрию изучать? Как самостоятельную дисциплину; или как таковую только в старших классах, а до того — в едином курсе; или целиком в едином курсе? 8. Как относиться к теории множеств: полностью основываться на ней; или частично; или вообще не использовать? 9. В какой последовательности рассказывать: сначала аффинную часть, а затем метрическую или сразу же изучать метриче- 105
скую геометрию? И что делать со стереометрией? Давать систематический отдельный курс; или сообщать ее факты параллельно с курсом планиметрии; или она вообще не нужна? 10. Какие методы должны быть основными? Аппарат треугольников; или векторный; или координатный; или преобразований? Частично эти вопросы перекрываются. Но я хочу подчеркнуть, что этот список не умозрителен. В разных странах и в разное время практически под каждую точку зрения были написаны программы и учебники. И еще я хотел бы заметить, что на преподавание геометрии очень сильно влияют традиции. Один пример — сколько раз мы ругали своих учеников за то, что они не видят на рисунке угла между прямой и плоскостью! А вот во Франции, насколько я понял, школьники вообще не знакомятся с этим понятием в курсе геометрии! И третья группа причин — практическая. Из них я бы назвал здесь только две: отсутствие постоянного взаимодействия математиков, методистов и учителей и предельная централизация при решении вопросов образования. Из всего списка перечисленных здесь вопросов меня сейчас особо занимает один: совместное изучение планиметрии и стереометрии. Все учителя старших классов хорошо знают, какие трудности встают перед учениками в начале курса стереометрии — практически никто из детей «не видит в пространстве». Ничего удивительного тут нет, ибо способность к пространственному мышлению как-то развивается, если этим заниматься, а раз никто не занимается, то и результат очевиден. Есть какая-то изначальная искусственность в занятиях геометрией: ребенка со всех сторон окружают пространственные объекты, и на уроках труда, и на уроках черчения он с ними работает, а изучается нечто совсем другое — плоскость и плоские фигуры. Работая в 5-м классе, я попытался с детьми «выйти в пространство» — предлагал им задачи на проекционном чертеже. И что же? Они прекрасно с этим управились. Вот контрольная работа, в которой предлагалось нарисовать общий вид фигуры (рис. 17) и которую они сделали даже лучше, чем традиционную контрольную работу. «На сладкое» я предложил на поверхности куба нарисовать такую ломаную, которая на виде спереди, сверху и слева выглядит как 5. Такие задачи можно с успехом предлагать и второклассникам. Нельзя сказать, что попыток познакомить школьников со стереометрией в процессе изучения планиметрии не было. Но как это делалось у нас в последний раз? Чисто механически — стереометрический материал, в основном фактический, предлагался для знакомства в конце VIII класса. По-моему, это было в принципе неверным решением, ибо основная проблема обучения стереометрии состоит не в том, чтобы передать школьникам некую сумму знаний, а в том, чтобы развить у них пространственное мышление. И понятно, что это развитие не может быть локальной акцией, это 106
г в) д) О е) Рис. 17 107
медленный и последовательный процесс. Теперь можно рассказать о том, как я попытался решить эту методическую задачу. Надо было понять, что делать с теорией и какие предлагать задачи. Сначала о теории. Ход мыслей был таков. Перед началом систематического курса планиметрии в VI классе дети в IV—V классах накапливают большой фактический материал о плоских фигурах. В свое время я с такими детьми много занимался всякого рода геометрическими построениями, причем разными инструментами, а кроме того, практиковал на уроках и в домашнем задании решение задач на составление разнообразных фигур из некоторых простейших. Есть такая головоломка под названием танг- рам. Дети с удовольствием ею занимаются, а между тем развивают свои пространственные представления. И только после такой, совершенно необходимой предварительной работы, пропедевтики планиметрии, и начинается теоретический курс. Почему бы эту схему не повторить для стереометрии? Так и было сделано. Я уже говорил, что в 5-м классе мы решали весь год задачи на проекционном чертеже, работая только с кубом и его частями. В 6-м классе очень много занимались моделированием — из разверток делали многогранники. Основной материал для этой работы брался из книги М. Веннинджера «Модели многогранников» — М.: Мир, 1974. Учились рисовать разного вида многогранники, затем шар, цилиндр, конус. Никакой аксиоматики, никаких определений для выучивания и никаких теорем. Одно исключение — перпендикуляр к плоскости, ему было дано определение как кратчайшему отрезку от точки до плоскости. Исходя из этого определения доказывалось, что он перпендикулярен любой прямой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра. Разумеется, никаких доказательств существования. Мне не понадобилась и плоскость как таковая, во всей ее бесконечности. Пожалуй, именно в таком подходе к стереометрическим сведениям я вижу основную идею решения этой задачи. Мы знакомим детей с теми объектами стереометрии, в существовании которых они не сомневаются на основании своего практического опыта. Затем решаются задачи с этими объектами. Ознакомление с пространственными фигурами шло постепенно, при этом я старался поддерживать аналогии между двумерными и трехмерными фигурами. Изучаю треугольник — рассказываю о тетраэдре, изучаю равносторонний треугольник — рассказываю о правильном тетраэдре и т. д. Я покажу, как это было сделано на уроках об окружности и сфере в VII классе. После того как на доске появилось определение окружности в таком схематическом виде: окр (О, R) = {X:OX = R}y сразу же появляется аналогичное определение сферы: сф (О, /?) = = {X:OX = R}, причем дают его сами ученики. Затем определяются круг и шар. После этого переходим к изучению их свойств. Сначала обсуждаются свойства, которые одинаковы для окружности и сферы. Перечислим их. 108
1. Если диаметр проходит через середину ее хорды (не являющейся диаметром), то он перпендикулярен этой хорде. 2. Если диаметр перпендикулярен хорде (не являющейся диаметром), то он делит ее пополам. 3. Если две хорды одинаково удалены от центра, то они равны. 4. Если две хорды равны, то они одинаково удалены от центра. 5. Равные хорды одинаково видны из центра. 6. Хорды, одинаково видные из центра, равны между собой. («Одинаково видны» — это некий жаргон для сокращения фразы о равенстве соответствующих центральных углов.) Что могут в такой работе ученики делать сами? Опыт показывает, что они сами формулируют свойства сферы, повторяющие свойства окружности, и могут их доказать без помощи учителя. Следующий разговор — о касательной к окружности (сфере). Дается традиционное определение касательной к окружности, и оно в таком же виде переносится на касательную к сфере. О касательной к окружности доказываются известные теоремы, и они же могут быть доказаны о касательной к сфере. Есть одна тонкость. Пусть мы доказываем утверждение: «Если прямая касается сферы, то она перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания». Возможно такое доказательство: «Пусть точка О — центр сферы, точка А — точка касания. Предположим, что радиус ОА не перпендикулярен касательной. Проведем тогда перпендикуляр ОВ к касательной и отложим от точки В на этой касательной отрезок ВС, равный ВА (рис. 18). Получается, что ОС = ОА и отрезок ОС равен радиусу сферы, а тогда точка С — еще одна точка, общая у сферы и касательной, чего не может быть». Тонкость заключена в проведении перпендикуляра ОВ — известно, что это проведение — задача на построение в пространстве. Поэтому я (а что делать?) лукавлю и говорю другую, менее обязывающую фразу: «Пусть ОВ — перпендикуляр к касательной». Все остальное в доказательстве проходит гладко. Ученики ясно видят разницу в разговоре о касательных к окружности и к сфере: в данной точке окружности можно провести только одну касательную, а в данной точке сферы — бесконечное множество. Ученики видят также, что все такие касательные к сфере заполняют некоторую плоскость. (Можно доказать это утверждение без особых познаний в стереометрии, чуть ли не в начале курса.) Тогда можно сказать, что эта плоскость называется касательной к сфере, и представление о сфере и касательной к ней плоскости дает мяч, лежащий на полу. В
Поговорим теперь о стереометрических задачах в курсе планиметрии. Приведу примеры. Курс планиметрии только начинается, идет рассказ о геометрических фигурах. И сразу же дается такая задача: «Нарисуйте куб. Укажите пересечение: а) нижней и правой граней; б) передней и верхней граней; в) задней и левой граней; г) передней, нижней и правой граней. Назовем нижнюю грань ABCDy а верхнюю грань A\B\C\D\y причем точка А\ находится на одном ребре с точкой А, точка В\ находится на одном ребре с точкой В, точка С\ находится на одном ребре с точкой С, точка D\ находится на одном ребре с точкой D. Пересечением каких граней является: а) ребро CD; б) ребро ВВ\\ в) вершина С\? Укажите грани куба, которые не имеют общих точек». Далее идет речь о прямых и отрезках и дается такая задача: «Нарисуйте куб. Отметьте одну из его вершин. Сколько отрезков соединяют ее с другими вершинами куба? Сколько из них не являются ребрами куба? Отметьте теперь две вершины куба. Соедините их отрезком. Является ли этот отрезок ребром куба? Лежит ли он в грани куба? Сколько отрезков, соединяющих вершины куба, не лежат в его гранях?» В параграфе, посвященном треугольнику, предлагается такая задача: «Нарисуйте на картоне или на плотной бумаге остроугольный треугольник. Вырежьте его. Отметьте середины его сторон. Проведите три отрезка, соединяющие отмеченные точки. Если вы согнете эту фигуру по проведенным отрезкам и склеите между собой соседние стороны треугольников, то получите пространственную фигуру, которая называется треугольной пирамидой (тетраэдром). Треугольники на поверхности тетраэдра — это его грани. Сколько граней у тетраэдра? Стороны этих треугольников — это его ребра. Сколько ребер у тетраэдра? Вершины этих треугольников — это вершины тетраэдра. Сколько вершин у тетраэдра?» Таким же образом вводятся и другие пространственные фигуры. После того как пространственные фигуры введены, они становятся прекрасным объектом для применения теорем планиметрии. В некотором смысле они даже лучше, чем планиметрические фигуры, так как предоставляют гораздо больше возможностей. Вот пример: «В тетраэдре РАВС противоположные ребра равны, т. е. РА = ВСУ РВ=АС, РС = АВ. Укажите его равные грани». И ведь ничего в этой задаче нет, кроме равенства треугольников по трем сторонам, но увидеть, что в этом тетраэдре все грани равны,— несомненное достижение для шестиклассника. Здесь, правда, опять есть тонкое место: признаки равенства треугольников формулируются только для таких треугольников, которые лежат в одной плоскости. А грани тетраэдра таковыми не являются. Однако что же мешает считать, что эти признаки выполняются и в пространстве? Боюсь, что дело не в математике, а в нашей по
привычке. (Вот пример тому. Речь идет о начале курса стереометрии в IX классе. Ученикам предлагается доказать, что равны апофемы правильной треугольной пирамиды. Моя коллега, очень знающий преподаватель и опытнейший методист, недоумевала, как же можно решить эту задачу без теоремы о трех перпендикулярах (имеется в виду решение, в котором проводится высота пирамиды, потом апофема ее основания и т. д.). Но ведь боковые грани такой пирамиды — равные треугольники, и апофемы пирамиды — это их соответствующие высоты, вот и все доказательство.) Приведу образцы задан, предлагаемых ученикам после того, как они познакомились с равнобедренным и равносторонним треугольником, и относящихся к пространственным фигурам. 1. Если в основании пирамиды РАВС равносторонний треугольник ABC, а боковые ребра PA, PB, PC равны, то пирамида называется правильной треугольной пирамидой, а) Пусть К> L, М — середины ребер АС, АВ, ВС соответственно. Докажите, что PK = PL = PM. б) Пусть точка N — середина ребра РА. Докажите, что треугольник CNB является равнобедренным. Будет ли он равнобедренным, если N — другая точка внутри его ребра? А если N лежит на продолжении ребра? в) Пусть точка О — середина ребра РВ. Докажите, что треугольник CNO равнобедренный. 2. Пусть в треугольной пирамиде все ребра равны, а) Докажите, что она является правильной, б) Пусть точка К лежит внутри ребра АС. Докажите, что треугольник РКВ равнобедренный, в) Пусть точка N — середина ребра РА, точка М — середина ребра ВС. Нарисуйте отрезок MN. Нарисуйте два треугольника на поверхности этой пирамиды, в которых этот отрезок является высотой. 3. Нарисуйте куб ABCDA\B\C\D\. Укажите такие его вершины, которые являются вершинами равностороннего треугольника. Какие вы выберете точки К и L на ребрах DA и DC, чтобы треугольник D\KL оказался равносторонним? А на прямых DA и DC? Аналогичные задачи легко придумать, когда мы переходим к четырехугольникам и их частным видам; здесь главными объектами из мира пространственных фигур становятся четырехугольная пирамида и прямоугольный параллелепипед. Еще более богатым становится набор стереометрических задач, когда в курсе планиметрии появляются величины: площади, разнообразные соотношения между длинами сторон треугольника и решение треугольников. Перейдем опять же к примерам. 4. (Задача на площадь прямоугольника.) Прямоугольный па- лаллелепипед Т разрезали на два прямоугольных параллелепипеда Т\ и 7Y Будет ли площадь поверхности Т равняться сумме площадей поверхностей Т\ и Гг? Если нет, то она будет больше или меньше? Может быть, эту идею иллюстрировать на такой задаче? «Куб разрезали на 8 равных кубов, а) Сравните площадь поверхности ill
данного куба и площадь поверхности полученного куба, б) Сравните площадь поверхности данного куба и площадь поверхности всех восьми кубов, в) Пусть каждую сторону данного куба разделили на 10 равных частей. На сколько кубов разделится данный куб? Выполните задания а) и б) для данного случая». 5. В тетраэдре РАВС углы РСВУ РСАУ ВС А прямые. РС = ВС = = ЛС=1. Чему равна площадь поверхности этого тетраэдра? Решите также эту задачу, когда угол ВС А равен 60°, 120°. 6. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника BCD, угол В в этом треугольнике — прямой. Рассмотрим длины отрезков АВУ ВС, BDy АСУ ADy CD. а) Пусть известны длины АВУ ВСУ BD. Вычислите длины остальных отрезков. б) Пусть известны длины АВУ ВС, CD. Ответьте на тот же вопрос. в) Выберите сами любые три из данных шести длин и ответьте на тот же вопрос. (Задачи 5 и 6 предлагаются к теореме Пифагора.) 7. В тетраэдре известны длины трех ребер, выходящих из одной вершины, и углы между этими ребрами. Как найти площадь его поверхности? Задача предполагает знание синуса угла, формулы Герона или теоремы косинусов. Число примеров легко увеличивается. Практически на каждое утверждение планиметрии можно подобрать несложные стереометрические ситуации, где это утверждение может применяться. За результатами такой работы мне удалось проследить только один раз — я работал с пятиклассниками и выпустил их из школы. Что я понял из столь краткого опыта? Разумеется, такой деятельностью стоит заниматься, особенно в том случае, когда, начав курс геометрии в VI классе, рассчитываешь закончить его в X классе. Стереометрические задачи решаются детьми в VI—VIII классах так же, как и планиметрические, не хуже и не лучше, иногда даже с большим успехом. И вот почему. Основная их нагрузка связана с пространственным мышлением, а не с математическим содержанием, которое обычно не слишком велико. В то же время усложнение планиметрических задач идет как раз в их математическом содержании. Естественно, что ученик, имеющий уже некоторые трехмерные представления, легче справляется со стереометрической задачей, нежели с планиметрической чуть повышенной трудности. Вместе с тем я не заметил, что мои ученики, став старшеклассниками, стали решать более трудные задачи по стереометрии — увы. На выходе из X класса математическое содержание задач осталось таким же. Но совершенно мне очевидно, что известная проблема перехода от планиметрии к стереометрии в начале IX класса была снята. Разумеется, я не считаю, что предложенный вариант решения этой проблемы единственно возможный. Но я убежден, что ее решение в рамках нашей системы среднего математического образования нельзя откладывать до бесконечности, какие-то варианты пора уже предлагать и для широкого преподавания. 112
Я уже говорил о кризисе в преподавании школьной геометрии. Любопытно отметить, что такое состояние не является чем-то новым — достаточно почитать исторический очерк Ф. Клейна в его книге «Элементарная математика с точки зрения высшей».— М.: Наука, 1987. Особенно сильно влияет, по-моему, на глубину и продолжительность нынешнего кризиса столкновение двух взглядов на преподавание геометрии. Первая точка зрения состоит в том, что геометрия в школе должна преподаваться как интеллектуальная дисциплина. При этом главная ее задача — воздействовать на интеллект ребенка и развить его логическое мышление. Тому способствует четкая аксиоматика, законченная последовательность теорем, полноценная аргументация в изучении теории и решении задач. Интересно, знакомы ли сторонники этого взгляда с опытами психологов, проведенных уже давно? Были взяты две одинаковых группы студентов, и одна из них обучалась евклидовой геометрии, а другая — нет. В остальном условия обучения были одинаковы. По окончании обучения в обеих группах были предложены для решения одни и те же задачи, не по геометрии, но требующие некоторого рассуждения. Никакого преимущества «геометри ческая» группа не показала. Вторая точка зрения заключается в том, что геометрия в школе должна преподаваться для того, чтобы обучить ребенка понимать мир формы. Видеть этот мир, ориентироваться в нем невозможно без специального образования. Кроме того, громадную роль имеют геометрические образы в разных науках: математике, химии, биологии, технике, не говоря о практической деятельности людей. Дело не в том, какая из этих точек зрения важнее и должна победить, а в том, как можно учесть их обе. В современном преподавании геометрии это не получается так, как хотелось бы. Приведу несколько примеров. 1. Решим такую задачу. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1,2 см, 3,4 см и 6,8 см? Чего, казалось бы проще: перемножим эти измерения и получим ответ. Но! Если эту задачу решают на математике, то в ответе оставят все знаки после запятой. Если эту задачу решают на физике (при определении удельного веса вещества, из которого сделан этот параллелепипед), то после запятой оставят максимум два знака. Явный нонсенс, и точка зрения физики мне ближе — откуда же взялись эти самые сантиметры в данных? Видимо, был какой-то процесс измерения? Но тогда выполняются все правила приближенных вычислений, от которых часто в ужасе отмахивается учитель геометрии. Если же убрать из условий задач все размерные величины, то, по моему разумению, это придаст курсу школьной математики сильный схоластический оттенок. 8 Заказ 506 113
2. Всегда с большим трудом приходится доводить до сознания детей идею существования геометрической фигуры, обладающей некоторым свойством. Фразы типа: «Докажем существование середины отрезка, или биссектрисы угла, или перпендикуляра к плоскости» должны быть очень аккуратно поданы, ибо сознание ребенка не может легко смириться с необходимостью доказательства существования того, что он может увидеть собственными глазами. Причем все доказательства и существования в школьном курсе конструктивны, что иногда еще более усложняет задачу учителя. Вместе с тем конструктивные доказательства существований все равно «повисают в воздухе». Это видно хотя бы из такого вопроса: «Существует ли круг площадью 1?» С одной стороны, ясно, что существует, но, с другой стороны, его радиус равен — и не может быть построен циркулем и линейкой. — И вообще,— спрашиваю я старшеклассников,— каков смысл утверждения о том, что существует окружность? Один из хороших ответов был такой: — Все упирается в смысл таких утверждений: «существует точка» и «существует бесконечное множество точек». 3. Доказательства существования из соображений непрерывности, хорошо известные с давних времен и применяемые геометрами в своих сочинениях, отсутствуют в школьном курсе. Вот, например, как у Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена («Наглядная геометрия» — М.: Наука, 1981) доказано, что эллипсоид имеет круговое сечение (я рассказываю не дословно, а только идею). У эллипсоида три диаметра, возьмем средний из них и будем вращать сечение, проходящее через средний диаметр. Такое сечение всегда является эллипсом. Если начать вращение от того положения, когда оно проходит через наименьший диаметр, до того положения, когда оно проходит через больший диаметр, то в какой-то момент диаметры эллипса — сечения — станут равными. Но такой эллипс является окружностью. Я мог бы доказать, что это противоречие в понимании преподавания геометрии может быть снято, если понимать это преподавание как преподавание прикладной математики. Пожалуй, наиболее полно описали это толкование в своей книге «Механика и прикладная математика» (М.: Наука, 1990) И. И. Блехман, А. Д. Мышкис и Я. Г. Пановко. При этом я подчеркиваю: не геометрия является прикладной математикой, а преподавать геометрию имеет смысл как прикладную математику. В чем же этот смысл? Ну хотя бы в отношении к существованию. Кубы, тетраэдры и перпендикуляр к плоскости потому и могут изучаться в восьмилетке, что вопрос об их существовании как объектов идеальной математической теории не стоит. И даже если подождать с многогранниками до курса стереометрии, то все равно их стоит рисовать и решать про них разные задачи до того, как будет формально доказано их существование. 114
Глава 111. О ХОРОШЕЙ ЗАДАЧЕ 111.1. «ВОЙНА» С ОДЗ Когда я начинал работать в школе, то относительно решения задач мне все было ясно: что-то я умею решать, а что-то не умею. Все задачи собраны у Моденова (был тогда в ходу такой толстенный задачник П. С. Моденова «Сборник задач по специальному курсу элементарной математики» (М.: Советская наука, 1957), так мне его на всю жизнь хватит, есть на чем учиться. Мне и в голову не приходило, что в задачах школьной математики возможны какие-либо новации. Все оказалось не так. Смешно сказать, даже по записи ответа оказались возможными разные точки зрения! Учителям вскоре после реформы стали настойчиво объяснять, что запись ответа в уравнении х — 2 = 0 в таком виде х = 2 даже не то чтобы плохая, но и попросту неверная, а записывать эту несчастную «двойку» в ответе надо так: {2}. Я уклонялся от этой новации как мог, и слава богу, потому как сейчас вернулись «на круги своя». Но ведь были же вокруг такой чепухи серьезные разговоры на учительских собраниях, заседала же медальная комиссия — и кто знает, как она могла отнестись к той или иной форме записи? Но нашлись вещи и посерьезнее. Одна из них — «война» из- за так называемого ОДЗ, т. е. области допустимых значений неизвестного при решении уравнений, неравенств, систем. Я веду ее с представителями приемных комиссий вузов — на всякого рода встречах, с всевозможными учебными пособиями — заочно и с собственными учениками, которые ходят на подготовительные курсы при вузах или читают эти пособия. Веду ее уже лет 20 и, по-моему, безуспешно. В десятый и сотый раз я говорю детям что-то вроде такого: «Ну, возьмите, как говорится, голову в руки. Вот вы решаете такое, к примеру, уравнение: л[х= — 1. Находите ОДЗ: х^О. Затем возводите обе части в квадрат и получаете: х = 1. Ну и что — вы получили ответ? Теперь возьмем неравенство л/х> — 1. Опять возведем в квадрат обе части и получим: х>\. Это — ответ? Наконец, возьмем последний случай: V*< — 1 и после возведения в квадрат получим, что 0<*<1. Так ведь и это не ответ. Ну, нашли вы ОДЗ, а понимаете ли вы, зачем вы его нашли? И зачем вы его вообще искали? Может, и не надо было искать?» Проблема, чисто практическая, состоит в том, что в подавляющем числе случаев от учеников на вступительных экзаменах по математике требуют при решении такого вида примеров нахождения ОДЗ, часто категорически. Мне известны случаи, когда за 115
отсутствие этой процедуры хорошо сделанная работа была оценена на «3». Нередко такая же категоричность просматривается в пособиях для поступающих в вузы. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно — и все это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. Обстоятельство это хорошо известно из методической литературы, но «война» продолжается каждый год и похоже, что будет идти еще долго. Рассмотрим, к примеру, такое неравенство: Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при решении этого неравенства вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия 2— х^О. В самом деле, неравенство, полученное после возведения обеих частей в квадрат: 2 — х>х — 1 + 2• д/jc — 1 Ь~5"» «сильнее», чем 2 —jc^O, и в приведенном решении необходимо только неравенство х— 1>0. А вот, например, решение уравнения: Решают его, естественно, избавляясь от логарифмов, но затем найденные значения нередко проверяются на выполнение системы трех таких неравенств: ( jc + 4>0 ) 2jc + 3>0 | 1-2jc>0, что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя — достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух. Напомню, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду / (*) = 0 (/(*)> 0 или /(*)>0). ОДЗ — это просто область определения функции в левой части. То, что за этой областью, вообще говоря надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым — из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему. Я пишу на доске уравнение хх = х и задаю вопрос: «Является ли число —1 корнем этого уравнения?» С одной стороны, при подстановке — 1 в обе части мы получаем верное равенство, а значит, — 1 является корнем. Но с другой стороны, функция хх имеет областью определения множество положительных чисел (это, конечно, договоренность— рассматривать функцию f(x)g{x) при f(x)>0, но разумная), а тогда —1 не является корнем. Мб
Вот аналогичный пример-ловушка: является ли число 2 корнем уравнения (sin jc)* + (cos х)х = 1? Возможный ответ — да, ибо сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, но при х = 2 cos 2 < 0, а потому 2 — не корень. Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, мы можем прийти к неверным решениям. Вот примеры решений уравнений: 1. jc —| =—. Перенесем — из правой части в левую, приведем подобные члены уравнения и получим, что х = 0. Однако 0 не входит в ОДЗ. 2. У*2 — 1 =0. Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов, и придем к уравнению У* — 1 -У* + 1 =0. Отсюда х=\ или х= — 1. При х= — \ У* — 1 не существует. Однако ответ: х=\ неполный, а потому неверен. 3. (х+\)-у[х = 0. Возведем обе части уравнения в квадрат — в данном случае вроде бы безобидное действие, основанное на очевидном соображении: число равно нулю тогда и только тогда, когда его квадрат равен нулю. Получим (х-\- 1 )2 - л: = 0. Однако полученное уравнение имеет корень — 1, которого нет у исходного уравнения. 4. Х2-\ х—\ = 2х. Сократим дробь в левой части и получим х-\-1 = = 2х. Отсюда jc=1, что выходит из ОДЗ. И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно. 1. ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений. — х. 3) 2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни. 1) У* — 3 = УЗ — х. 2) yig2 х — yigo.5 х= 1. Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем. * — 2. 3) У*2 — 5* + 6<УЗ — jc+У В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят. 4) yi-yi-j В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1. Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анализом самого выражения. Г о ^" *, ^~ с\ Но в правой части неравенства могут быть 117
только положительные числа, поэтому оставляем х = 2. Затем в исходное неравенство подставим 2. 6) -д/а— UI +У* — а= —а. Из ОДЗ следует, что а> |jc|, откуда имеем а>0. Из рассмотрения правой части уравнения видим, что а^О. Поэтому необходимо равенство а = 0, после чего решение ясно. 3. ОДЗ используется вместе с анализом функций, входящих в пример. 1) ^j2x + 3+^j2x+^=l. Из ОДЗ имеем: 2jc+1>0. Но тогда 2jc + 3>2 и У2л: + 3 > У2. Так как д/2> 1, то решений нет. 2) л[х^Ъ-л!2х- 1 =*2 + 3. Из ОДЗ имеем: х^Ъ. Так как справа стоит положительное выражение, то л1х — Ь>^J2x — 1, а значит, х — Ъ>2х— 1. Решая последнее неравенство, получим jc< — 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет. 3) V2— х+х — 3=У*— 1. ОДЗ: 1<л:<2. Таккакл:>1,то V2 —jc + jc —3<V2—1+JC —3 = =jc — 2<0. С другой стороны, д/jc— 1^0. Равенство возможно только тогда, когда каждая часть уравнения равна 0, т. е. при jc = 1. После подстановки этого значения х убеждаемся, что решений нет. 4) *2 + * + Ух+Т=2+У2. ОДЗ: jc> —1. Рассмотрим уравнение на промежутке [—1; 0). На нем выполняются такие неравенства: jc2 + jc<0 и У*+ 1<1, У поэтому х2-\-х-\-^/х-\-1 ^ 1 и решений нет. При х^О функции х2 + х и У*+1 строго возрастающие, и потому каждое свое значение принимают только один раз. Значит, уравнение не может иметь больше одного корня. А один корень виден «невооруженным глазом» — это 1. Поэтому ответ: х=\. 5) lgjc(*3+l) = lg* + .(*2-2*). ОДЗ: х>2. При этом \gx (x3+ l)>lg* jc3 = 3, lgjc+, (x2-2x)< <'g*+i (x2 — 2x-\- l)<lgx+i (jc2 + 2jc-f 1) = 2. Значит, исходное равенство невозможно и решений нет. 6) cos х д/sec jc — 1 -f sin jc -\/cosec x — 1 = 1. Из ОДЗ следует, что sin *>0, cos jc>0. Но тогда исходное уравнение можно преобразовать, внеся множители под радикал, к такому виду Vcos jc —cos2 Jc + Vsin jc —sin2 jc= 1. Всякий квадратный трехчлен вида f (z) = z — z2 на промежутке (0; 1 ] не превышает —, т. е. z — z2^. — . Но тогда 4 4 вращаясь к уравнению, видим, что каждое слагаемое не превосхо- 118
дит —, а потому вся сумма не больше, чем 1. Равенство может быть достигнуто только при sin jc = cos jc = 0,5, а это невозможно. Значит, исходное уравнение решений не имеет. Учитывая все вышесказанное, можно понять назначение фразы «Помни ОДЗ», которую я видел однажды, написанную аршинными буквами и намертво вделанную в одну из досок прямо перед глазами учеников. Но! Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахождения ОДЗ. Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большее должно получаться отрицательное число. 2. л/хг^\+л[х^2=-\. Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной. Приведем также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно. 1 ^(41)1 2. lg 3. lg 4. Igcosxsin2*=l. 5. Ig(0,5 + cos3jc)<lg(0,5-sin4jc). И наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому. 1. —= хо х2 = 1. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения ху при которых jc2=1, мы не можем получить х = 0. 2. -^Н-3 = 2 о JC + 3 = 4. ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положительному числу. 3. lg (jc-|-3) = 2 о jc-j-3= 100. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере. 4. ^6-4х-х' = х + 4<>{6-\х-4х^х + 4) ОДЗ не нужна, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным. 5. х — л/а — х2=\ ^{^Z?>(j*"~^ °Д3 не нУжна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере. 6. Ig3(3x — 8) = 2 — хоУ — 8 = 32~\ ОДЗ не нужна, так как выражение 32~* всегда положительно. 119
7. У*3 — *+1=У1— хо\х *^]>q X Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно. 8. Ig(jc3 + jc2-4) = lg(4jc-4)^|" 4х-4>0 0ДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере. 9. lg(jc-l) + lg(jc-3) = lg(-f-Jc-3)^ х—\>0 ОДЗ не нужна, так как достаточно, х — 3>0. чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего. —„ I Г Y2 Y 1 ^> Y 1 ШХ2— Y 1 ^Л/г_ 1 <±\ 1^>Х 1 лпо НУЖНЯ так как положительность трехчлена х2 — х— 1 следует из условий системы неравенств. 11. 1ег2 (jc2 —jc- нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере. Можно добавить, что пять упражнений, приведенных на с. 119 могут быть решены без поиска ОДЗ. Стоит, однако, заметить, что при решении способом равносильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функций) . Вот несколько примеров. 1. 10 yjc=jc-j-2. ОДЗ jc^O, откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, равносильное данному, в таком виде х = (х-\-2)2. Полученный результат надо проверить по ОДЗ. 2. yig4 jc>lg2 х. ОДЗ: jc^s 1. Но тогда Ig2 jc^O, и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0. 3. ytgJc—l-lgtgx(2sin3jc+l)>0. Из ОДЗ следует, что tgjc^l, а потому случай, когда tgjc<l, исключается. В целом эффективность способа равносильных преобразований вроде бы ясна. С их помощью мы добираемся до ответа и без поисков ОДЗ. Значит ли это, что имеется некий универсальный способ и осталось только научить детей им пользоваться? Я бы так не сказал. Тому несколько причин. Теорем о равносильных преобразованиях довольно много, они непросты для запоминания, и уверенное владение ими — дело, видимо, «профессиональное», учительское. Я, к примеру, знаю больше десятка таких теорем, но не уверен, что этого достаточно для любого вида уравнения. Добавлю еще чисто педагогические сложности. Ученики, 120
когда их учишь равносильным преобразованиям, начинают ставить этот знак при любых переходах от одного уравнения к другому, как действительно равносильных, так и не являющихся таковыми. Теоремы быстро забывают, сами придумать не могут и ставят. Еще одна сложность — при записи равносильности ученики могут забыть выписать все условия, ее гарантирующие, но на ответе это может никак не отразиться. Вот два таких примера. 1. Ig(jc-fl) = lg(jc2+l)^jc+l=jc2+l^[^^ Формально все верно, и ответ поэтому верен. Однако такой переход в общем виде выглядит так: ) w>o. В данном примере выражение под знаком логарифма, стоящего сдрава, всегда положительно. Поэтому применительно к этому примеру та часть условий равносильности, которая записана в виде совокупности, ничего не добавляет. Однако неясно, насколько сознательно работал ученик, дав такое решение,— он мог просто забыть об этой совокупности. 2. (jc2 + jc+1)*<1 ^(jc2 + jc+1-1)jc<0^(jc2 + jc)jc<0^ о х2 (х+\)<0о х< — 1. И здесь формально все верно. В общем случае при решении неравенства вида f(x)g{x)<\ равносильность выглядит так: В данном примере условие f(x)>0 приводит к решению неравенства х2-\-х-\-1 >0у которое выполняется всегда. Поэтому, опустив это неравенство в своем решении, ученик ничего не нарушил. Но вопрос остается: а понимает ли он, что сделал, или просто забыл теорему равносильности? Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения: х2= — 1 ^ sin jc = 2 или д/* = I ^ lg jc = O? И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарэнтирует правильность ответа, если совершаются какие-то преобразования самого уравнения, но не используется при преобразованиях только в одной из частей. Приведение подобных, сокращение, использование различных формул не попадают под действие теорем о равносильностях. Некоторые примеры такого вида я уже приводил. Рассмотрим еще примеры. 1. lg * + lg (x-\- l)=lg (jc + 4). Естественно такое решение. В левой части по свойству логарифмической функции перейдем к вы- 121
ражению lg х (х-\- 1). В результате получим уравнение \gx(x-\- 1) = = lg(jc + 4). Оно равносильно такой системе | Х х + 4^>() Решив эту систему, мы получим результат ( — 2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число —2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при которых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма. Значит, переход от исходного уравнения к уравнению lg x (x-\- l) = lg (* + 4) должен осуществляться с такими условиями ( x>0 U 2. (Уё+У^НУё-У--*) .=2. Преобразуя левую часть, придем к уравнению —=2, а от него к равенству 2 = 2, из чего следует, что решением является любое число. Но откуда? Из области определения функции в левой части, т. е. из ОДЗ уравнения. А ОДЗ, как легко видеть, является пустым множеством. Значит, решений нет. Итак, что же получается? Вся «теория» равносильности и сложна, и недостаточна в принципе. Так, может быть, махнуть на нее рукой и работать совсем попросту — переходить только к выводным уравнениям, которые следуют из данного, ни при каких обстоятельствах не терять корней («На ноль делить нельзя!»), а затем подстановкой отделять лишние? Увы, и это не подходит. Во- первых, что делать с неравенствами? Там же бесконечное число решений и все не подставишь. Во-вторых, и в уравнениях не все гладко. Например, при решении уравнения sjx2 -\- 2х — 3 = 2х — 3 таким способом подстановке подлежат числа 7=iY13 . Кому охо- о та делать такие нудные выкладки? В то же время при равносильных преобразованиях достаточно к равенству х2 + 2х — 3 = (2х — З)2 добавить условие 2х — 3^0, и сразу видно, что этому условию отвечает только число 7~^13 , а потому именно оно является о решением уравнения. (Не упустим случая заметить, что поиск ОДЗ здесь совершенно бессмыслен.) Подводя некоторый итог всему разговору, мы видим, что универсального метода решения уравнения и неравенств в школьном курсе нет. Каждый раз ученик, который хочет понимать, что он делает, а не действовать механически, стоит перед дилеммой: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Такая ситуация выбора, в которой он оказывается,— подарок для учителя. Но дело это неформальное и требует от детей громадного опыта. В довершение к чисто техническим труд- 122
ностям и нагрузке на память добавляются сугубо логические «камни преткновения». Вот два примера. 1. Как объяснить ученикам, что пустое множество является подмножеством любого множества? (Это требуется для понимания отношения следования при решении уравнений и неравенств.) Мне нравится такая более или менее очевидная запись: В ней используется тот факт, что если некий элемент принадлежит данному множеству, то он принадлежит и объединению его с любым другим множеством. 2. Решить уравнение sln*>sl"2* =q Запишем равносильную ему систему 'sin jc = ( Lsin 2jc = ( sin 2хфО. На первый взгляд остается равенство sin jc = O, но это неверно. Вообще, согласно действиям с множествами, Поэтому приходится решать не уравнение sin x = 0, а систему I sin 2х~Ф0 К0Т0Рая решений не имеет. То обстоятельство, что эта «кухня» имеет научную ценность, близкую к нулю, позволяет сделать почти естественное предположение, что для общего образования решение уравнений (неравенств и систем) в таком объеме, как это требуется сейчас, излишне. Конечно, что-то оставить надо. Я бы оставил только такие примеры, которые имеют алгоритм решения — линейные и квадратные уравнения (неравенства), некоторые другие типы, а также такие, которые имеют ясную геометрическую иллюстрацию. Конкретно, если ученик знает график некоторой функции / (jc), то он должен в простейших случаях уметь решать уравнение типа f(x) = a9 неравенство типа f(x)>a и всякие несложные комбинации таких примеров. Идея алгебраизации геометрии и геометризации алгебры (анализа) имеет куда большее образовательное значение, чем техническая изощренность в решении интеллектуальных загадок вида «найди jc». Несколько слов о равносильности систем. Обычно о ней вообще не говорят в школьном курсе. И метод подстановки, и метод алгебраического сложения ясен как бы сам по себе. Но у меня нужной ясности долго не было. Сначала о методе подстановки как таковом. Несколько примеров на решение уравнений. 1. -фс=1. Пойдем нестандартным путем. Перенесем все налево, получим: л[х— 1=0. Возведем обе части в квадрат, тогда 123
л: — 2 V^+ 1 =0. Отсюда 2^[х = х+\. По условию -фс=\у поэтому х-\-1 = 2. Получаем, что х= 1. Так получен ответ или еще нет? 2. sin jc + cos jc = 1. Заменим 1 в правой части на sin2jc + + cos2 jc. Получим sin jc + cos jc = sin2 jc + cos2 jc. После преобразований имеем уравнение sin jc (1 —sin jc) = cos jc (cos jc— 1). Из условия следует, что 1 —sin jc = cos jc, cos jc— 1 = —sin jc. Тогда получаем уравнение sin jc cos jc = cos jc ( — sin jc), откуда sin 2* = 0, jc=-j-/z (ngZ). Можно ли принять такое решение? 3. V/ M + V& (*) = V* (*)• Обычно обе части возводят в куб и приходят к такому уравнению: Далее выражение в скобках заменяют, исходя из условия, на \jh (jc) и получают уравнение V/ (jc) g (jc) h (jc) = — (h (jc) — f(x) — g (jc)), ко- торое затем доводится до результата. Итак, в первом примере ответ получен, во втором — нет, а в третьем все зависит от конкретных функций / (jc), g (jc) и h (jc): иногда появляется постороннее решение, а иногда имеет место равносильность. 4. Известен также некий прием решения иррациональных (и не только!) уравнений, когда оно превращается в систему добавлением выводного уравнения. Пусть дано уравнение Vjc + 2 — — ^[x=\. Обозначим сопряженное выражение -Vjc + 2 + Vjc через у и получим систему: Перемножив оба уравнения, получим у = 2. Приходим к системе Сложив оба уравнения, имеем 2^jc + 2 = 3, после чего решение очевидно. (Я говорил о подстановке в уравнениях, а не в системах только для простоты. В принципе систему I а_г\ можно трактовать как уравнение /2 + g2 = 0 и наоборот, поэтому суть дела при такой замене не меняется.) Поговорим о методе алгебраического сложения. Когда я еще учился сам, мы долго занимались исследованием системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Система выглядела в общем виде так: 124
О решении системы нам рассказывали так. Умножим первое уравнение на аг, второе — на —п\ и сложим оба уравнения. Затем умножим первое уравнение на &2, второе — на —Ь\ и опять сложим. В результате получится система: — C2b\ (1) Для удобства обозначим a\b2 — a2b\ через A, C\b2 — C2b\ через А*, а\С2 — а2С\ через Ду. Соответственно эти выражения называются определителем системы, определителем для х и определителем для у. Получается система вида Ее исследование довольно просто и зависит от равенства нулю указанных определителей. Все это прекрасно, но откуда мы знаем, что система (1) и система (2) равносильны? Увы, объяснений не было, да и вопроса такого перед нами не вставало. Другое дело, когда я стал это объяснять своим ученикам. И обнаружил, что речь в общем случае идет о так называемом линейном преобразовании системы. И в общем виде оно выглядит так. Имеется система '-0 (3) {'-' и система, полученная из данной такого вида: Если aMa22 —012021 ФОУ то система (3) и система (4) равносильны. Выражение п\ 1022 — 012021 для указанного выше перехода от системы (1) к системе (2) и есть определитель системы (1). Именно поэтому при условии А Ф 0 мы и получаем, что не только система (2), но и равносильная ей система (1) имеют единственное решение. После этого мне стало ясно, почему при сложении и вычитании уравнений такой простенькой системы \ Х_^~\ мы приходим к достоверному результату. Ведь в этом случае, как легко убедиться, выражение аца22 — 012021 как раз отлично от нуля! Но если, к примеру, сложить оба уравнения этой системы, а потом, умножив оба уравнения системы на 2, их опять же сло- ( 2х = 4 жить, то получим нелепость вида | . — я f естественно» не Рав" носильную данной системе. И дело тут все в том же выражении 011022 — 012021, которое в случае такого преобразования равно 0. (Окончательно все для меня прояснилось, когда благодаря векторам ситуация стала геометрически прозрачной — я об этом уже писал выше. Определитель системы — это и есть определитель ее 125
линейного преобразования. Его равенство нулю означает, что равна нулю площадь некоторого параллелограмма, который получается из единичного квадрата в результате этого преобразования, и геометрическая картина меняется — в переводе на алгебру эта смена картины и означает потерю равносильности.) II 1.2. ДАВАЙТЕ СДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ До сих пор у меня нет полной ясности и в таком важном для методики преподавания математики вопросе, как обучение проверке в задаче. Поначалу очевидный, он становился все менее прозрачным, чем больше я над ним размышлял и чем больше я читал по этому поводу. Давайте начнем с такой задачи: «В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом баке было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем стало поровну. Сколько бензина было первоначально в первом баке?» Я много раз предлагал эту задачу учителям. Обычно ответ на вопрос задачи поступал через несколько минут, а решение выглядело примерно так. Пусть в первом баке было сначала х литров, тогда во втором баке сначала было х — 10 литров, а в третьем баке было сначала 50 — х — (х— 10) литров. После переливания из первого бака в третий 26 л в последнем стало 50 — х — (х— 10)+ 26 литров. По условию задачи этот объем равен тому, который был во втором баке. Поэтому составим уравнение: jc- 10 = 50-jc-(jc- 10)+ 26. Решением этого уравнения является jc = 32. Значит, ответ на вопрос задачи такой: в первом баке было сначала 32 л. Получив такой ответ, аудитория вопросительно смотрела на лектора: ну и что же такого особенного в этой задаче? Иногда, впрочем, раздавалась тихая реплика: «А решения нет». Вот теперь раскроем первый номер журнала «Математика в школе» за 1971 год. Редакция напечатала в нем небольшое письмо-вопрос учительницы Т. Н. Поляковой из Москвы под названием «Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений?». В те времена бытовала такая странная точка зрения. Проверка, мол, состоит в том, что нужно составить новую задачу, в которой некоторое данное исходной задачи считается неизвестным, а прежнее неизвестное считается известным, и решить эту новую задачу. Считалось при этом, что мы тем самым проверяем, правильно ли было составлено само уравнение в исходной задаче. Т. Н. Полякова и ставила вопрос о необходимости такой проверки. Ясно было, что последует продолжение. И действительно, в № 3 этого журнала за тот же год появилась статья В. Г. Болтянского «Нужна ли проверка при решении текстовых задач на ре- 126
шение уравнений?». Всегда доставляет наслаждение читать сочинения математика-профессионала о преподавании, особенно если математик имеет «педагогическую жилку». Тому много примеров, и сочинения В. Г. Болтянского (заметки, статьи и книги) относятся к таковым. На вопрос Т. Н. Поляковой его ответ был ясен: то, о чем она спрашивала, вовсе никакая не проверка, а некие придумки методистов, потерявших ясность мышления. Истинная проверка состоит в следующем. При составлении уравнения для текстовой задачи должны накладываться ограничения на физические величины, рассмотренные в процессе составления уравнения. Эти ограничения идут от смысла задачи. После получения ответа в уравнении все полученные при этом значения неизвестного необходимо проверить по сделанным ограничениям, и все, что им не удовлетворяет, должно быть отброшено. Именно этот этап решения и называется проверкой. Практически проверка выполняется так: берется найденное значение неизвестной величины и вместе с ним «проходится» все условие задачи, вычисляются все входящие физические величины и проверяется их соответствие смыслу задачи. Автор подчеркивает: «Проверка решения по смыслу задачи — необходимый элемент решения. Ее ничем нельзя заменить и тем более отменять». (Затем, правда, В. Г. Болтянский пишет удивительный для меня пассаж: «Другое дело, что учитель может иногда разрешить не делать проверку, предупредив, скажем, что «вообще-то ее необходимо делать, но сейчас мы времени тратить на нее не будем». Это — вопрос методики и педагогического такта учителя». Во-первых, при чем тут методика? Методика не может отменять математики. Во-вторых, при чем тут такт учителя? Никто не может отменять то, что действительно необходимо. Но об этом пассаже я так, к слову.) Сделаем, согласно В. Г. Болтянскому, проверку в задаче о баках с бензином — кстати, сама задача взята именно из его статьи. Мы должны, в соответствии со смыслом задачи, выписать такие ограничения на величины: 50-jc-(jc-10)>0 50-x-(jc Решая эту систему неравенств, мы приходим к неравенству 10<*<30, из чего ясно, что найденное значение — 32 — не является решением задачи. Можно было действовать чуть иначе — взять число 32 и убедиться в том, что хоть одно из неравенств системы не выполняется. Размышляя о содержании статьи В. Г. Болтянского, я придумал себе несколько вопросов: 1. В статье говорится только о физических величинах. Как быть с величинами другой природы, которые встречаются в текстовых задачах: возраст, стоимость, какая-либо дискретная величи- 127
на — например, число рядов в кинотеатре? Ограничения на них не столь очевидны. 2. Не все ясно даже с физическими величинами. Мне довелось в текстовых задачах встречать скорость автомобиля и 0,9 км/ч, и 155 км/ч, скорость теплохода — 70 км/ч, а скорость паровоза — 9 км/ч. Возможность таких значений истолковывалась авторами задач по своему усмотрению. Например, считалась возможной указанная скорость теплохода и невозможной указанная скорость паровоза. (А как быть с отношением величин?) 3. Есть ли гарантия, что выписаны все необходимые ограничения? Сам В. Г. Болтянский, указывая неотрицательность объема бензина в каждом баке, не ограничивает его сверху, хотя вроде бы и можно было бы написать, что каждый из объемов не больше, чем 50 л. Иногда эти ограничения записать не так просто. Как, например, выразить в неравенствах, что одна машина догнала другую именно на данном участке дороги? Возможны и технические трудности. Если задача имеет данными не конкретные численные значения величин, а некоторые параметры, то придется решать неравенства с параметрами, что не всегда просто. 4. Как быть, если для решения задачи требуется составить неравенство, да еще, быть может, с параметром? Решением его является, как правило, некий промежуток, и проверку, как советует В. Г. Болтянский, просто не сделать, ибо что подставлять? 5. Надо ли что-нибудь проверять, если решение получено без составления уравнений? Например, как в старые времена арифметических задач, по вопросам. Или с помощью графической иллюстрации, или «чистым рассуждением»? Задачу с баками, например, можно решить так: если мы добавим к содержимому второго бака 10 л бензина, а к содержимому третьего бака — 36 л бензина, то во всех баках станет бензина поровну. От такой мысленной добавки общий объем увеличился на 46 л и стал равен 96 л. А так как во всех баках поровну, то в первом баке 32 л. Нужна ли проверка при таком решении? Просматривая методическую литературу на эту тему, я увидел, что точка зрения В. Г. Болтянского известна и не абсолютна. В методике почти всегда так. Копаешься в каком-нибудь вопросе, а потом узнаешь, что в прошлом веке в связи с ним была бурная полемика, например в Пруссии. Но на статье В. Г. Болтянского обсуждение не закончилось. Появилось много откликов, они были систематизированы и обозре- ны в № 4 за этот же год, а в № 5 за 1974 год появилась на эту же тему статья Г. В. Дорофеева «Проверка решения текстовых задач». Точка зрения автора была, насколько я мог судить, оригинальной. Исходная установка Г. В. Дорофеева, математика-профессионала, известного своими прекрасными работами по части преподавания школьной математики, такова: вопрос о содержании проверки прежде всего логического, а не методического характера. Но 128
раз это вопрос логики, то должно существовать «совершенно четкое единое мнение». Основой для решения этого вопроса автором является то бесспорное положение, «что поскольку текстовая задача формулируется на реальном, естественном языке, то и логика ее решения должна основываться на смысле слов и предложений этого языка». Далее автор разделяет все текстовые задачи на два типа. К первому типу — он назван задачами на реализованные ситуации — относятся такие задачи, в которых описывается реально происходивший процесс. Из смысла задачи следует, что решение в такой задаче существует, причем, как правило, однозначное. Ко второму типу — он назван задачами потенциального характера — относятся задачи, в которых не гарантируется существование исходной ситуации, а значит, и существование решения. В задачах на реализованную ситуацию возможны два случая: получается один результат или получается более одного результата. И не может быть, чтобы результата не было, раз имел место сам процесс. Когда получается один результат, то никакой проверки его не требуется. Когда получается больше одного, то надо еще выяснить, какой из них подходит к условию. Но это выяснение есть не проверка, а выбор ответа, после которого только и можно считать законченным само решение. Выбор единственного ответа осуществляется «разыгрыванием» условия при найденном значении неизвестной величины или по очевидным физическим соображениям. Истинная проверка имеет место только в задачах потенциального характера. Она необходима, так как из условия в этих задачах еще не следует факт существования решения. При этом необходимость проверки связана и со способом решения задачи. В частности, составление уравнений необходимо требует проверки всех полученных значений. Осуществляется проверка лучше всего «разыгрыванием» полученного результата по условию задачи. В статье много примеров. Один из них — задача с баками. По Г. В. Дорофееву надо понимать ее так. Она сформулирована как задача на реализованную ситуацию, значит, решение ее заведомо существует. Так как мы получили всего один результат в уравнении, то его и проверять не надо. Результат — 32 л — является ответом в задаче. Более того, автор заостряет ситуацию. Он сохраняет полностью условие задачи, меняет только вопрос и спрашивает: «Сколько бензина было в третьем баке?» Полученный результат — 4 л является логически безупречным, проверке не подлежит, как во всякой задаче на реализованную ситуацию. К ученику, давшему такой ответ в задаче, претензий быть не может. Замысел автора ясен: «Не хочешь получать глупых ответов — не задавай глупых вопросов». Для получения осмысленного ответа эту же задачу надо переформулировать так, чтобы она была задачей потенциального характера. Тогда будет и проверка, после которой результат — 4 л будет отброшен. 9 Заказ 506 129
Что же приходит в голову после того, как становится ясным замысел Г. В. Дорофеева? 1. Все вопросы к В. Г. Болтянскому остались в силе в тех задачах, которые названы задачами потенциального характера. 2. В задачах потенциального характера предлагается вести проверку разыгрыванием, но если задача предложена в общем виде и результат достаточно громоздок, то разыгрывание неудобоваримо и не проще ли делать проверку по рецепту В. Г. Болтянского? 3. Не всегда ясна граница между задачами двух типов. Вот пример: «Пешеход пошел из Л в В и, пройдя половину пути, понял, что если он и дальше пойдет с той же скоростью, то опоздает в В на время t\. Поэтому он увеличил скорость на v и пришел в В на время t<i раньше намеченного. С какой скоростью он шел вначале?» Г. В. Дорофеев, правда, подчеркивает, что «при точной формулировке задачи и при точном ее понимании не представляет труда определить, к какому типу эта задача относится». Но где ьзять эти точные формулировки? Весь фонд текстовых задач создавался совсем не из этих предпосылок! Мы, похоже, привыкли к тому, что текстовая задача — некий жанр в методике обучения математике. Безоговорочно поверить в реальность условия можно далеко не всегда, даже если в тексте говорится, что все это было. Помните задачу о стае гусей, где эти самые гуси говорят человеческим голосом? Ну ладно, это — задача-шутка. Но возьмем любую задачу на движение! Откуда взялись постоянные скорости, моментальные повороты, внезапные остановки? Я уже не говорю о знаменитых бассейнах с трубами. Все это — почти сказки... В общем, после выступления Г. В. Дорофеева ясности у меня не прибавилось. Скорее, наоборот. Возникли новые вопросы... Как быть все-таки с проверкой, если задача решалась без уравнений? Ну не может же быть, чтобы ученик получил в ответе каким бы то ни было способом «2 землекопа и 2/3» и был прав! А как быть с проверкой, если задача другого вида: геометрическая, комбинаторная, логическая? А если на экстремум? Там ведь тоже есть уравнения! И вообще — как же это так получается? Один математик говорит, что 4 л — это ответ, а другой говорит, что ничего подобного... После выступления Г. В. Дорофеева все эти вопросы уже основательно засели в моем сознании. Я старался читать все по этой тематике. Кто делает проверку, кто нет, кто пишет, что она нужна, но не делает ее. А если делают, то почему-то она совсем не такая, как советовали и В. Г. Болтянский, и Г. В. Дорофеев. Картина всеобщего разброда, каждый работает как понимает. Ну а что делать мне в классе? Искать что-то свое, к чему-то прийти, не открывать Америку, но что-то надо делать с этими вопросами, которые помаленьку стали мешать, как занозы. Сначала я понял, почему не могу принять полностью точку зрения Г. В. Дорофеева. 130
Это просто — я не могу ставить отличную оценку ученику, который выдает мне — 4 л в ответе и думает, что он прав. Почему же Г. В. Дорофеев приходит к столь парадоксальному для практики выводу? Ясно, почему. Он полагает, что возможны задачи, лингвистическая конструкция которых обеспечивает существование решения, а потому необязательность проверки в случае единственного результата. При таком допущении мы можем получить ответы, противоречащие здравому смыслу. Казалось бы, отсюда следует сделать вывод о неправомерности сделанного допущения, но его почему-то не делает Г. В. Дорофеев. Почему? Может быть, я что-то не понял? Пойдем далее. Основное в позиции Г. В. Дорофеева — примат логики. Решить задачу согласно его точке зрения — это доказать импликацию А =>• В. Тогда, конечно, если условие А ложно (противоречиво), то импликация верна при любом В. И должен приниматься за ответ любой полученный результат. Тут мне не все ясно. Приведу пример из той же статьи Г. В. Дорофеева: «Турист проехал 100 км на автомобиле и 60 км на катере, причем дорога на автомобиле заняла у него на 15 мин больше времени, чем на катере. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. Найти скорость автомобиля». В результате получается два значения скорости: 100 км/ч и 80 км/ч, причем оба значения удовлетворяют условию. Соответствующая импликация имеет вид: если Л, то В или С. Здесь под А понимается условие задачи, а В и С — утверждение о скоростях, которые были найдены. (Г. В. Дорофеев пишет, правда, не «или», а «либо... либо», но за этим оттенком можно предполагать все ту же дизъюнкцию, разве что исключающую.) Дизъюнкция верна, как мы помним, если верна хоть одна ее часть. Поэтому, встав на точку зрения Г. В. Дорофеева, мы можем убедиться в справедливости только одного из двух полученных результатов, а второй результат можно даже не проверять. Мало того, формально верным будет такой ответ, в котором подходит хотя бы один результат, а вторым значением скорости будет любое число км/ч (а если захотеть, то можно приписать к верному значению еще сколько угодно любых значений искомой скорости). Но более того. Доказать импликацию А => В — это, в случае истинности Л, доказать истинность В. Но в текстовой задаче этого В еще нет. Его-то как раз и надо найти! А найти его и значит реально решить задачу. Все это мне очень напоминает круг: решение задачи (по Г. В. Дорофееву) — это доказательство импликации, но для формирования этой импликации, оказывается, надо решить задачу. Для меня это некий парадокс. В чем его причина? Во-первых, я не уверен в правомерности использования логики силлогизмов для анализа задач, ибо задача является не повествовательным утверждением, но вопросом или неким повелением. Во- вторых, дедуктивная логика, как мне кажется, не всегда достаточ- 131
на и при осмыслении решения задачи, на этапе интерпретации. В-третьих, я думаю, что предмет нашего обсуждения находится вне самой математики. Во всяком случае здесь многое, если не все, зависит от того, как мы понимаем такие слова: задача, текстовая задача, условие, данные, решение задачи, проверка решения задачи, точная формулировка задачи, точное понимание задачи, ответ задачи. О чем же мы тут говорим, если даже исходный термин «задача» не имеет однозначного толкования? А раз не ведаем этого вполне определенно, то можно ли здесь выставлять на первое место формальную логику? Такие мысли привели меня к выводу, что на первое место может быть стоит вернуть все же методический статус задачи. Реально мы имеем дело с учебной задачей. Она имеет учебные цели и тем отличается от других видов задач. Эти цели проявляются в содержании задачи, выборе данных, условия задачи, постановке вопросов или заданий. Кроме того — и я хотел бы это подчеркнуть — из текста учебной задачи должно быть ясно, когда работу над ней можно считать законченной. Последнее происходит тогда, когда ученик ответил на все поставленные вопросы, выполнил все предложенные задания. Если мы хотим, чтобы ученик делал проверку, то это наше требование должно быть ясно из контекста или из условия самой задачи. И тут мы приходим к очередному вопросу: в чем же состоит проверка? Что, собственно, должен сделать ученик, получив задание сделать проверку? Вообще говоря, проверка полученного результата считается даже частью решения любой задачи, не только математической. Обязательность проверки в задачах с самым разным содержанием лишний раз подчеркивает внутри- и межпредметные связи. При этом проверяется: 1) ход решения — нет ли в нем прямых ошибок; 2) соответствие полученного результата поставленному вопросу и всем условиям задачи; 3) условие задачи — нет ли в нем противоречия. Назовем эти проверки соответственно проверка-1, провер- ка-2, проверка-3. Проверка-1 обсуждалась много, и я поговорю о ней в дальнейшем. Предмет нашего разговора сейчас — оставшиеся два вида проверки. Если мы хотим, чтобы ученик делал проверку-2, то такое задание должно быть явно сформулировано. Если этого не было сделано, то к ученику не может быть претензий, когда он проверки-2 не выполнил. Разумным исключением из такой договоренности между учителем и учеником можно считать проверку «предответа» по здравому смыслу. Так, естественно считать, что получающиеся в задачах длины, скорости, массы и т. п. положительны. Ученик, получив для такой величины отрицательный ответ, имеет право сразу же его отбросить. К великому сожалению, все равно не удается добиться полной однозначности, ибо здравый смысл не формализуем. Понятно, 132
скажем, что скорость автомобиля в стандартной задаче на движение — величина положительная. Но может ли она быть меньше 1 км/ч? Этот вопрос не риторический. В одной из задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в МГУ, как раз такое и оказалось. Одно из значений скорости автомобиля получилось 15/17 км/ч — я об этом ответе уже упоминал. Объяснение ученика, который отверг этот результат «потому, что автомобили с такой скоростью не ездят», было посчитано приемной комиссией курьезным. (Однажды я обсуждал эту задачу в VIII классе. Большинство учеников считало, что отбрасывание результата, противоречащего здравому смыслу, не может быть ошибкой. Впрочем, они же спросили, куда поступал данный товарищ. — А какая разница? — насторожился я. — А если на мехмат, то ему нельзя ставить «5», а если на физфак, то можно. Было над чем подумать.) А кто знает, какой может быть возраст у отца в известных задачах про отца и сына, каким может быть отношение скоростей двух объектов или отношение масс двух веществ? И еще вот тип задач, когда искомый результат имеет вид л L=———, где Л, В, С—известные величины, a L — неизвест- D — С ная величина. Можем ли мы считать этот результат ответом при любом выборе конкретных значений В и С? А если нет, то каковы же для них «естественные ограничения»? В таких ситуациях приходится вдумываться в содержание задачи, соотносить его с реальностью. Об этом мы могли бы прочитать еще в прошлом столетии у известного английского ученого и педагога И. Тодгентера: «...когда при решении какой-нибудь задачи результат получается отрицательный, то учащийся должен постараться истолковать этот результат». Он советует далее не только разобраться в смысле задачи, но и составить новую задачу, в которой полученный отрицательный ответ мог бы иметь реальный смысл. Известен хороший пример такой задачи, когда спрашивается, через сколько лет отец будет в два раза старше сына, а в результате получается минус 5. Я рассказываю ученикам по случаю историю открытия позитрона. Из уравнений, полученных П. Дираком, следовало, что возможны состояния электрона, когда его энергия отрицательна. Размышляя над этим, Дирак предположил существование новой частицы, что и было подтверждено экспериментально. И добавляю, что гораздо раньше Дирак как-то решал некую арифметическую задачу про рыбаков. И на вопрос задачи: «Сколько было поймано одним из них?» — дал в качестве ответа отрицательное число. Как говорится, сказка — ложь... Конечно, оценивая «предответ» из соображений здравого смысла, мы как будто покидаем сферы математики. Но что поделаешь? 133
Известно, что он может подвести, но это не значит, что его нужно вообще запретить для употребления. Писатель и математик И. Грекова как-то сказала: «Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух альтернатив: «математика без здравого смысла» и «здравый смысл без математики» предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется, всего лучше, когда присутствует и то, и другое, когда математические расчеты все время проверяются на «здравый смысл». Но так бывает не всегда». Пример торжества математики над здравым смыслом: претензии к ученику, отбросившему скорость 15/17 км/ч как неправдоподобную, и признание безупречности ответа — 4 л. Перейдем теперь к проверке-3, т. е. к проверке условия задачи на непротиворечивость. Вернемся к той же задаче с баками с бензином. То, что условие задачи противоречиво, видно и без про- верки-2. В самом деле, в третьем баке на 26 л бензина меньше, чем во втором, и на 36 л меньше, чем в первом. Значит, во всех баках не может быть меньше, чем 62 л, а в условии дано, что всего было 50 л. В авторском решении противоречие в условии обнаружила проверка-2, когда мы получили в одном из баков 4 л. Встает вопрос: как обнаружить противоречие в условии, если задача решалась без составления уравнения? И еще один вопрос: а надо ли искать такие противоречия в условиях? Мне проще ответить на второй вопрос. Понимая задачу как учебную, я думаю, что ответ тут такой же, как и для проверки-2. Если мы хотим, чтобы проверка-3 делалась учеником, то должно быть предложено соответствующее задание. Если же такого задания не было, то, вообще говоря, к ученику не может быть претензий. Что касается ответа на первый вопрос, то он сложнее. Подавляющее большинство учебных задач содержит информацию непротиворечивую и приводящую к единственному решению. Мы сами привыкли к таким задачам и учеников приучили. Вот пример из моей работы с шестиклассниками. Решали задачу про мальчика, который покупал карандаши и тетради. Даны были цена карандаша, цена тетради и общая стоимость покупки. Спрашивалось, сколько карандашей и тетрадей купил ученик. При решении получается линейное уравнение с двумя неизвестными, которое надо решить в натуральных числах. В «предответе» несколько пар чисел. Ученик Т. с оттенком недоверия прокомментировал этот результат: «Что они, сами не знают, сколько он купил?» Так, может быть, действительно изъять из школьного курса задачи с противоречивым условием? Не будет таких задач — не будет и проблем с проверкой-3. Однако психологи и методисты постоянно отмечают, сколь полезны задачи такого типа, а также задачи с избыточным условием, с недостаточным условием, задачи, в которых противоречат между собой условие и требование, задачи, в которых «размыта» постановка вопроса: «Можно ли доказать?», «Можно ли из этих данных 134
получить то-то?» Такие задачи, в частности, обладают и тем достоинством, что перекидывают мостик от математики к реальной жизни. Сплошь и рядом они встречаются в человеческой практике, науке, технике. Типичные примеры таких задач я нашел, работая с литературой, в деятельности конструктора, юриста, военачальника, врача и даже учителя. Более того, насколько я понял, даже математика стала заниматься такими задачами. Приведу некоторые примеры. Конструкторам космической техники пришлось решать такую задачу: из чего сделать сопло двигателя, если температура истекающих газов гораздо выше, чем температура плавления любого металла? Данные разведки могут противоречить друг другу. Шахматист во время партии все время работает в условиях избыточной информации. Играя в домино, наоборот, все норовишь заглянуть в кости к соседу. Показания свидетелей обычно противоречивы, врач затрудняется в диагнозе, учитель, взяв новый класс, далеко не сразу начинает понимать, на каком языке с ним разговаривать. Можно ли отразить такого рода интеллектуальную деятельность при решении математических задач? Думаю, что не только можно, но и нужно. Причем решать такие задачи можно уже в младших классах. Вот примеры. 1. В одном из карманов 5 р. В одном из карманов 10 р. Сколько денег в одном из карманов? 2. У мальчика было 10 р. Он потратил на кино 3 р., а 75% всех денег он потратил на книгу. Сколько стоит книга? 3. Я был на 5 этаже 12-этажного дома. И решил покататься на лифте. Сначала я поднялся на 2 этажа, потом спустился на 4, а потом поднялся на 6, потом опустился на 10, потом поднялся на 3. На каком этаже я оказался? Ну и так далее. Идея ясна, а разработка ее может составить методическое исследование. Вернемся однако к проверке-3. Некоторую специфику такой проверки мне хотелось бы показать на геометрических задачах. В них проверка-3 сводится по сути дела к доказательству существования фигуры с заданными в условии свойствами, в частности с заданными значениями некоторых величин. Если задача дана в общем виде, то возникают иногда непростые ситуации исследования. Такое исследование может уводить очень далеко от исходной задачи. Вот самый простой, если так можно сказать, пример такого рода задачи: «Найти площадь поверхности тетраэдра, шесть ребер которого известны». Сложить четыре площади граней — это пустяк, а выяснить, существует ли тетраэдр с заданными ребрами,— вполне серьезное задание. Исследование условия задачи на непротиворечивость можно свести к таким случаям. 1. Противоречие обнаруживается в процессе вычисления неизвестной величины. Задача: «Диагональ прямоугольного парал- 135
лелепипеда равна 1, образует с основанием угол 60°, с боковой гранью угол 60°. Вычислить его объем». В процессе вычисления объема оказывается, что квадрат одного из ребер меньше нуля. 2. Противоречие не обнаруживается при вычислении неизвестной величины. При этом: а) знаний ученика хватает, чтобы его быстро обнаружить. Задача: «Периметр треугольника равен 6. Его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна длина его средней стороны?» Для установления противоречия достаточно вспомнить неравенство треугольника, которое здесь не выполняется; б) знаний ученика хватает, чтобы обнаружить противоречие, но требуется специальная работа. Задача: «Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1. С тремя разными его ребрами она составляет углы 30°, 45°, 60°. Вычислить его объем». Длины ребер можно найти, умножив длину диагонали на косинус соответствующего угла, после чего получаем ответ. Однако численные данные в задаче таковы, что сумма квадратов трех измерений параллелепипеда не равна квадрату его диагонали, что и показывает противоречивость условия; в) знаний ученика может быть недостаточно для обнаружения противоречия. Задача: «Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 2. Чему равна гипотенуза треугольника?» Возможен такой вариант изложения планиметрии, когда площадь прямоугольного треугольника изучается до теоремы Пифагора. Тогда гипотенуза может быть найдена как частное от деления произведения катетов на высоту к гипотенузе (лучше сказать: произведение двух высот делится на третью высоту). После знакомства учеников с теоремой Пифагора оказывается, что вычисленная таким образом гипотенуза не удовлетворяет теореме Пифагора. Я отчетливо понимал, что обсуждение этого вопроса не может завершиться мнением Г. В. Дорофеева. Так и произошло. «Математика в школе» в № 2 за 1986 год поместила две публикации: «Знакомить учащихся с условием задания геометрических фигур» — автор Г. П. Недогарок и «К решению некоторых задач нужны указания» — автор П. В. Джанджгава. Оба автора пишут о задачах с противоречивым условием — это раз, и оба перенесли свой разговор на геометрию — это два. Первый автор описывает свой опыт работы с учебниками по решению такого рода задач; второй приводит пример из учебника А. В. Погорелова и примеры из материалов самого журнала, в которых существование фигуры, заданной условием, находится под вопросом или попросту невозможно. Один из этих примеров я приведу. «Сторона правильного многоугольника а= 3 см, а радиус вписанной окружности г = 2 см. Найдите радиус R описанной окружности». Разбирая эту задачу, можно увидеть, что такого правильного многоугольника не существует. Что советует в этом случае делать П. В. Джанджгава? Предлагает провести исследование такой фигуры на существова- 136
ние и писать ответ в общем виде так: yr2+i-> если ■£- = = tg для некоторого n£Ny п ^ 3. А что советует в такой ситуа- Г. П. Недогарок? Предлагает строить данную фигуру и решать задачу только в том случае, если она может быть построена. (Эта рекомендация носит общий характер, поэтому я позволил себе использовать ее для данной задачи.) Данный многоугольник построить невозможно, а потому задача, как считает автор, решения не имеет. Мне было очень любопытно читать все это, ибо я увидел точки зрения, не совпадающие с моей. Ну а что скажет по этому вопросу Г. В. Дорофеев? И впрямь в № 5 «Математики в школе» за 1987 год появилась его статья «О существовании конфигурации в геометрических задачах». Он по- прежнему разделяет логический и методический (здесь — дидактический) аспекты в задаче. А «...логика ситуаций в текстовых и геометрических задачах совершенно идентична». Есть, правда, в геометрических задачах по сравнению с текстовыми некоторая специфика, но она не существенна. Но раз логика одна и та же, то и работать в геометрических задачах следует так же, как в текстовых. В частности, в задаче с многоугольником, коль скоро из текста условия задачи вытекает его существование, никаких дополнительных ограничений в ответе делать не надо. Так как при выбранных числовых значениях получается условие противоречивым, то это недосмотр автора задачи — в противном случае нужны необходимые комментарии. Из дальнейшего текста статьи видно, что автор скорее противник задач с ложными данными. (Г. В. Дорофеев достаточно последователен в своем желании добиться максимально возможной точности от языка задачи. Он пишет здесь, в частности, о том, что при формулировке задач следует избегать модальностей, которые обычно выражаются словами «должен», «может», «нужно» и т. п. Они допускают неоднозначные толкования, что крайне нежелательно. Автор подчеркивает трудности в осуществлении такого стремления, так как естественный язык «не всегда достаточно точен». Своеобразной иллюстрацией этому положению статьи является пример, приведенный автором: «... свободная от неясностей формулировка ... может быть следующей. Дан треугольник ABC со сторонами ЛВ = 4, ВС = 5. Найти длину стороны АС, если известно, кроме того, что угол В больше 120°». Дальше идет решение, а затем ответ: «Длина стороны АС — любое число, большее лЩ и меньше 9». Но если уж быть занудой от языка, то мы разве нашли длину А С? Мы нашли ее границы. Конечно, изъясняться стоит как можно точнее, но давайте вспомним притчу о трех апельсинах.) Многолетние размышления над этими вопросами, над предложениями Г. В. Дорофеева, помогли мне сформировать собственную точку зрения, не хочу сказать — окончательную и, разумеется, не бесспорную. Но я могу предложить ее ученикам и отстоять ее. 137
Сопоставляя журнальную полемику с собственной практикой, я пришел к мысли, что вряд ли стоит стремиться к формализации в деле обучения решению задач и тем более к канонизации какой- либо точки зрения. Я понимаю теперь термин «задача» достаточно широко: имеется некая информация, из которой предлагается получить другую информацию. При этом «все может быть» — исходная информация не обязана быть такой, которая обязательно приводит к результату, причем единственному. Более того, задача в некотором смысле даже не столько сам текст, сколько тройка (учитель, текст, ученик). Один и тот же текст может пониматься по-разному, в зависимости от того, кто находится слева и справа от него в этой тройке, что хочет учитель и что может ученик. Вот несколько примеров, подтверждающих такое понимание. Задание «решить уравнение х2 = а» приводит к разным ответам в зависимости от того, с какими числами знаком ученик. Да и запись х2=\ сама по себе еще не задача. Ее можно понимать как уравнение, которое надо решить, или как задание нарисовать множество точек на плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, или как задание назвать фигуру в пространстве, отвечающую этому условию. А может быть, мы хотим проверить как раз способность ученика увидеть разные ответы об искомой геометрической фигуре в зависимости от того, где фигура ищется: на плоскости или в пространстве. Еще пример. В задаче предлагается найти максимум функции. Ученик находит единственную получающуюся критическую точку и объявляет ее точкой максимума просто потому, что так спрашивается — кого из моих коллег такое устроит? Ясно, что нужно какое- то соглашение между учителем и учеником. Для «закрепления» решим все же такую задачку: «Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона?» Решим ее в соответствии с приведенными рекомендациями, как я их понял. 1. «Болтянский». Обозначим меньшую сторону х. Тогда получим уравнение Отсюда х=\. Согласно условию 0<jc<6 0<2jc<6 0<3jc<6 * + 2jc>3jc. Так как последнее неравенство не выполняется при найденном значении ху то ответ таков: задача не имеет решения. 2. «Дорофеев». Задача сформулирована как задача «на реализованную ситуацию». Значит, полученное значение для х проверять не надо, а потому ответ такой: средняя сторона треугольника равна 2. 138
Но еще лучше эту задачу детям не предлагать. 3. «Джанджгава». Ответ: средняя сторона треугольника равна 2, если такой треугольник существует. 4. «Недогарок». Ответ: так как такой треугольник построить нельзя, то задача не имеет решения. 5. Моя точка зрения. Все зависит от того, при каких условиях появилась эта задача. Если мы учили проверке-3 и хотим выяснить, как ее делают ученики, то ответ: задача не имеет решения. Если мы хотим специально обратить внимание на проверку-3, то задачу надо дополнить вопросом: «Будет ли при этом выполняться неравенство треугольника?» После чего ответ: задача не имеет решения. Если же мы еще не обучали проверке-3, например, в начале курса, то ответ: средняя сторона равна 2. II 1.3. РАЗРУШЕНИЕ «СТЕНЫ» Одна из проблем обучения школьной математике — внедрять в голову ребенка ее многочисленные внутренние связи. Всеми силами я стараюсь разрушить «стенку» в детском сознании между разными математическими дисциплинами, разделами, темами, методами. Вот еще один из примеров такой работы. Ученикам кажется, что доказательство неравенств и решение неравенств — разные вещи. Тем удивительнее для них, что вполне возможно иной раз заменить доказательство неравенства его решением. Этот метод я проиллюстрирую на неравенствах, которые можно привести к виду квадратных неравенств. Для овладения им достаточно знать свойства квадратного трехчлена. Начну с хорошо известного примера. 1. Доказать неравенство х2-\-ху-\-у2^0. Запишем выражение в левой части неравенства так: Тем самым мы представляем его как квадратный трехчлен по переменной jc, а у считаем параметром. Его старший коэффициент, т. е. коэффициент при jc2, равен 1, а дискриминант равен — 3(/2<0. При таких условиях трехчлен неотрицателен при любом значении переменной jc, что и требовалось доказать. Замечу, что в таких симметричных выражениях (в нашем примере — левая часть) можно в качестве переменной брать любую букву. В нашем случае можно было бы с тем же успехом провести доказательство, считая выражение в левой части квадратным трехчленом по переменной уу х — параметром. 139
Конечно, такое решение менее красиво, чем известное, когда все неравенство умножается на 2 и представляется суммой квадратов. Но последний способ слишком эффектен, чтобы превратиться в метод. Вот еще неравенство, поинтереснее. 2. Доказать, что при х>0 и у>0 Введем вспомогательную переменную t=—+—. Тогда 2 2 и данное неравенство сводится к такому [ Возвращаясь к переменным х и уу видим, что для справедливости исходного неравенства достаточно выполнения одного из двух условий: Но так как х>0 и у>0у то выполняется первое из них. Значит, верно и исходное неравенство. Для дальнейшего напомню некоторые свойства квадратного трехчлена. Пусть требуется выяснить, при каких значениях х положителен квадратный трехчлен Т (х) = Ах2-\-Вх-\-Су если Л>0. Тогда D<0 fD=O Г D>0 x£R \/\хфхх\/) \х>х2 у \-x<Xi. (здесь D — дискриминант трехчлена, х\ и x<i — его корни, Х2>х\). Еще одно утверждение о трехчлене, которое нам понадобится, таково. Пусть требуется выяснить, при каких условиях выполняется неравенство Т (х)>0 при всех значениях х> больших, чем некоторое число а. По-прежнему считаем, что А>0. Тогда, если D<0, неравенство верно при любых значениях ху в том числе и при х>а. Если D = 0, неравенство верно при всех значениях jc, кроме корня трехчлена. Если же D>0y то достаточно потребовать, чтобы больший корень трехчлена был меньше, чем а. Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы выполнялось условие U(a)>0. 140
В частности, для того чтобы выполнялось неравенство Т (*)>0 при х>0, достаточно выполнения системы (В>0.. IO0.W Разберем стандартную задачу такого типа. «Найти все значения параметра а такие, что х2-\-ах-\-1 >0 при jc>0». Имеем: Л = 1>0, D = a2 — 4. Рассмотрим все три возможных случая: 1) а*—4<0^ —2<а<2. Тогда Г(*)>0 при всех x£Ry в том числе и при х>0. 2) а2 — 4 = 0оа= — 2\/а = 2. Тогда при а = 2 Т(х) = х2 + -\-2x-\-1 =(*+ 1)2>0 для всех хф — 1, а значит, и при всех х>0. При а= —2 Т (х) = х2 — 2х+ 1 =(х— 1)2>0 для всех хФ 1 и заданное требование не выполняется. 3) а2 — 4>Оо*а>2\/я< — 2. Условие (*) выглядит в этом Г а>0 случае так: | j ГГа>2 °ГАа\ а>0 Окончательно: Т(х)>0 при jc>0, если а> — 2. Вернемся теперь к доказательству неравенств. Наиболее просто они будут получаться тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена не больше нуля. 3. Доказать, что a2-\-b2+\^ab-\-a-\-b. D=-3{b-\f. В случае п<0(Ьф1)у Т(а)>0 при всех значениях а. В случае D = 6 (b = l) исходное неравенство имеет вид а2 — 2а-\- 1^0, что верно. Напомню, что в силу симметричности выражения его можно рассматривать как квадратный трехчлен по переменной Ь. 4. Доказать, что (ab + ac-\-bcf^3abc (a-\-b-\-c). Если b2 — bc-\-c2 = 0y то b = c = Oy и исходное неравенство примет вид 0^0, что верно. Если Ь2 — Ьс-\-с2>0у то из неположительности D следует исходное неравенство. Немногим более сложны те случаи, когда дискриминант трехчлена не меньше 0. 5. Доказать, что если а>Ь>с, то a2b-\-b2c-\-c2a>a2c-\- 2b + b2a. 2 D = (b-cf>0 141
Корнями трехчлена Т (а) являются а\=с, а2 = Ь. Поэтому Т (а) > 0 ^ \а ^ Так как по условию а > Ьу то исходное йеравенство верно. Наиболее труден для решения случай знакопеременного дискриминанта. 6. Доказать, что если Ь>0у то АаЬ (3 — а) — 4а (1 2 () ( ) A=4b>0y D = \6{b-\)2{b2-4b + При b = \ D = 0 и данное неравенство верно. При Ьф\ знак дискриминанта зависит от знака трехчлена Ь2 — 46+1, который обозначим Т (Ь). Решив соответствующие неравенства, видим следующее: Если 2 — У3<6<2 + У3> то j (ft)^o, т. е. дискриминант исходного трехчлена неположителен, а тогда данное неравенство верно. Если же , ^ о ' 7q , то Г (6) > 0, т. е. дискриминант исходного \_О "С^. ^ — y^ квадратного трехчлена положителен. Учитывая условия, видим, что это возможно при Ь>2-\-л1Ъ\/(ХЬ<2 — -\/3. Чтобы исходное неравенство было верным в случае положительного дискриминанта при 6>0, достаточно выполнения системы В>0ЛС>0. Здесь имеем: С>0 по условию, л (2) Но совокупность неравенств (2) следует из совокупности неравенств (1). Окончательно: при всех Ь>0 данное неравенство верно. 7. Доказать, что cos2 a + cos2 (a + P) — 2 cos а cos p cos(a + P)>0. Т (cos a) = cos2 а — 2 cos p cos (a + p)cos a + cos2 (а + Р) > 0. Л = 1>0. D=-4 cos2(a + P)sin2p<0. Исходное неравенство становится очевидным. о 8. Доказать, что cos jc-fcos у — cos {x-\-y)^ —. Обозначим tg-£- через a, tg -^— через b и выразим все косинусы через а и Ь. Получим 142
Исходное неравенство становится очевидным. Если x = n-\-2kn или (/ = л + 2/л (fe, / — целые числа), то неравенство проверяется непосредственной подстановкой. Аналогично можно доказывать следующие неравенства. 9. ± 10. аЬ2 + (а2+\)Ь+-^^0 , если а>0. 11. a2b2 + b2c2 + c2a2^abc(a + b + c). 12. sin2 а + sin2 p^sin а sin p + sin а + sin p— 1. Есть и другая идея доказательства неравенств с помощью свойств квадратного трехчлена. Покажу ее на примере доказательства такого неравенства: а2 (1 +b*) + b2 (1 +а4)<(1 +а4) (1 + Ь4). После соответствующей перегруппировки получаем: Обозначив a2 = z, имеем квадратный трехчлен относительно г. Его первый коэффициент bA — b +\ положителен при любых значениях 6, значит, трехчлен имеет минимум. Найдем его согласно известному выражению 4 ~В . Минимум имеет такой вид: (Ь2-\)2 {(b2-\f + 2 (b*+ 1)):4 (Ь*-Ь2+ 1). Ясно, что он неотрицателен, но тогда неотрицателен и весь трехчлен, что и требовалось доказать. Еще одна возможность показать связи в математике при доказательстве неравенств состоит в использовании выпуклости функции. Я уже упоминал об этом, говоря о неравенстве Коши, теперь — чуть подробнее. Выпуклость функции устанавливается с помощью знака второй производной. Для функции / (jc), выпуклой вниз на промежутке Л, верны такие неравенства: (2) 3 / 3 Но оба очевидны из геометрических соображений. Первые примеры будут связаны с использованием выпуклости вниз функции f (х)=— при X 1. Доказать,, что при а>0 и Ь>0 выполняется неравенство —+—>2 ь о. Положим x\=-j- и х2=— (афЬ). Применим неравенство (1) 143
для этих значений х: f( *'t"*2 ) =■ *2 _a_, b_ а ЬЬ 4 + 2. Доказать, что при а>0, &>0, с>0 верно неравенство Положим х\=а-\-Ьу Х2 = Ь-\-су хз = с-\-а. Применим неравенство (2) для этих значений х: )=" о _3 <£±Ь_ 3. Доказать, что при a>0, fe>0, c>0 верно неравенство: — + 4- + —^—, l , • Равенство при а = Ь = с. a b с a + b+c v Положим JCi=a, jc2 = 6, jc3 = c. Применим неравенство (2) для этих значений х: , \ 3 / «3 --f--f- <IС^ +4+ ff <-—I—С~^ —+4-+— >—ггт— • Равенство при 3 а х b с a + b + c v —ггт- <-—I—~^ —+4-+— >—ггт— • a + 6-fc 3 а х b с a + b + c Если обобщить свойства (1) и (2) для выпуклой вниз функции в виде f(4+* + -+*.\ < fW+f&+...+Цх.) >то моментально \ Л / Л доказывается для положительных чисел неравенство (а\+а2 + + ... + ая)(— Н +-Н )^я2- Действительно, возьмем f{x)=—и Xi = a,i. Таким же образом можно использовать выпуклость известных функций. Вот только один пример. 144
4. Доказать, что при а + Ь + с = 0 За + 3* + Зс>3. Для доказательства достаточно воспользоваться выпуклостью вниз показательной функции 3* и неравенством (2). Пусть х\=ау х2 = Ьу хз = с. Тогда, с одной стороны, f(*+**+**) =f(a+b+c) = \ о / \ ) 3» = 3°= 1. С другой стороны, fM+tW+t(*») = ЗЧ-3»+Г , Понера- о о Ofl I 00 | ОС венству (2) 1 <С — , откуда и следует нужное неравенство. * = 3 при а = Ь = с = 0.) II 1.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ Еще один пример связей между разными разделами школьной математики — использование свойств функций в геометрии. Я имею в виду не решение экстремальных задач и вычисление площадей и объемов посредством интегрирования, что стало делом обычным. Я говорю об использовании в геометрии свойства непрерывности. Пример использования непрерывности для доказательства геометрических утверждений я уже приводил — это доказательство существования кругового сечения у эллипсоида. Сейчас об этом пойдет более подробный разговор. Эта идея появилась уже у древнегреческих геометров. Ван дер Варден Б. Л. в своей книге «Пробуждающаяся наука» (М.: Физ- матгиз, 1959) пишет об этом так: «Если непрерывно изменяющаяся величина будет сперва больше, а затем меньше некоторой заданной величины, то когда-нибудь она будет также и равна ей». И приводит пример использования «принципа непрерывности», как он его называет — удвоение куба Архитом Тарентским. Полное обоснование в математике этот принцип получил в одной из теорем Больцано — Коши. Согласно этой теореме, непрерывная функция / (jc), заданная на замкнутом промежутке [а, Ь] при условии / (а)<а и / (Ь)>ау где а — некоторое число, в какой-то точке этого промежутка принимает значение а. При этом надо заметить, что мы имеем дело с теоремой существования: на промежутке [а, Ь] есть такая точка с, что f(c) = ay но где она — неизвестно. В учебниках по анализу обычно приводится ряд геометрических фактов, доказанных с помощью этой теоремы, как-то: площадь любой фигуры можно разделить пополам прямым разрезом, причем направление разреза — любое; более того, двумя прямолинейными разрезами, перпендикулярными между собой, любую площадь можно разделить на 4 равные части и т. д. Г. Штейнгауз приводит любопытный вариант последней задачи. Согласно ей, можно разбить на четыре равновеликие части прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, но как найти эти разрезы — неизвестно. 10 Заказ 506 145
Для доказательства теоремы Больцано — Коши требуется теория действительного числа. Если эта теорема доказывалась ученикам, а в математической школе это реально, то можно обойтись без принципа непрерывности и ссылаться прямо на эту теорему. Если же речь идет о массовой школе или об использовании этого принципа в математической же школе, но до того, как будет доказана эта теорема, то нужно найти наглядную ясную формулировку этого принципа. Можно использовать, например, такую: «Пусть есть некоторая линия, и точка X движется по этой линии. Пусть некоторая геометрическая величина у зависит от положения точки х на этой линии. Пусть, далее, А и В — два положения точки X. Если при этом у(А)<а,ау (В)>а, то где-то на этой линии найдется такая точка С, что у (С) = а». В качестве геометрической величины может быть длина, площадь, объем, угол. При такой формулировке вся непрерывность «запрятана» в наглядно ясное понятие линии как траектории движущейся точки. Перейдем к примерам использования этого принципа в школьной геометрии. 1. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана АА\. а) Есть ли такая точка Хна АА\У из которой отрезок ВС виден под прямым углом? (Иначе говоря, /.ВХС = 90°.) б) Есть ли на АА\ такая точка У, из которой все стороны треугольника видны под равными углами? Решение, а) Будем мысленно перемещать точку X по отрезку АА\ от А к Ах. Величину угла ВХС обозначим через ф (рис. 19, а). Когда точка X находится достаточно близко от Л, тогда ф мало отличается от 60°, а потому ф<90°. Когда точка X находится достаточно близко от А\, тогда ф мало отличается от 180°, а потому Ф>90°. Значит, согласно принципу непрерывности, при каком-то положении точки X на АА\ ф = 90°. б) При любом положении точки Y на АА\ углы AYB и AYC равны (рис. 19, б). Если точка Y находится в достаточной близости от Л, то угол CYB близок к 60°, а угол A YB близок к 150°, а потому /LAYB> /.CYB. Если точка У находится достаточно близко от A i, В А) С В А} а] 6) Рис. 19 146
то угол CYB близок к 180°, а угол AYB близок к 90°, а потому /-АYB< /-CYB. Значит, при некотором положении точки Y на АА\ эти углы будут равны между собой. К этим решениям сделаем два замечания. Решение задачи б) предполагает, как мы видим, некую модификацию принципа непрерывности, которая легко сводится к исходной формулировке, стоит только рассмотреть разность углов AYB и CYB: в первом случае она больше 0°, во втором меньше 0°, значит, когда-то будет и 0°, а тогда эти углы равны. Более «тонкое» замечание состоит в следующем. Непрерывность углов здесь используется не только для применения принципа непрерывности, но и в таких фразах: «Когда точка X достаточно близка к Л, то угол ВХС близок к 60°». Идея «достаточной близости» — это и есть идея непрерывности, если все это сформулировать в точных терминах. Но я не уверен в том, что на такое использование непрерывности нужно обращать внимание школьника при обсуждении задачи, которая может предлагаться в начале курса планиметрии. 2. Доказать, что существует правильный тетраэдр. Доказательство. Возьмем правильный треугольник и через его центр проведем перпендикуляр к его плоскости. Пусть точка X движется по этому перпендикуляру в одну сторону от плоскости треугольника. Когда она находится достаточно близко от центра треугольника, расстояния от нее до вершин меньше стороны треугольника. Если же она будет достаточно далеко от центра, то расстояния от нее до вершин будут больше стороны треугольника. Значит, при некотором положении точки на перпендикуляре расстояния от нее до вершин данного треугольника будут равны его стороне. В этом положении вместе с вершинами данного треугольника мы получим вершины правильного тетраэдра. 3. Доказать, что в правильную пирамиду можно вписать сферу. Доказательство. Пусть точка X движется по высоте пирамиды от вершины к центру основания. Когда X будет достаточно близко от вершины, расстояния от нее до боковых граней будут меньше, чем расстояние от нее до основания. Когда X будет достаточно близко от центра основания, расстояния от нее до боковых граней будут больше, чем расстояние от нее до основания. Значит, при некотором положении точки X на высоте расстояния от нее до боковых граней будут равны расстоянию от нее до основания. В этом положении точка является центром вписанной сферы. 4. Пусть Л, В, С, D — точки в пространстве. ЛВ = СО = 4, ЛС = 3, BC = AD = 5. Может ли быть BD = 4? Решение. Будем мысленно вращать треугольник ACD вокруг Л С. При таком вращении изменяется только BD, а все остальные размеры не меняются. Рассмотрим два крайних положения треугольника ACD, когда его плоскость совпадает с плоскостью ABC. В одном из таких положений точка D находится с той же стороны от АС, что и точка В. В другом из них точка D находится с 147
в Рис. 20 другой стороны от Л С, нежели точка В (рис. 20). В первом положении BD = 3, во втором положении BD = ^73. Первое число меньше 4, а второе больше 4. Значит, при каком-то положении точки D BD 5. Может ли сечение правильного тетраэдра быть: а) тупоугольным треугольником; б) прямоугольным треугольником? Решение, а) Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка К — середина ребра ВС (рис. 21). Если внутри отрезка КС выбрать любую точку К\> то треугольник РК\С будет тупоугольным. Теперь возьмем точку X на ребре АС в достаточной близости от точки С. Изменение угла РК\Х будет при этом достаточно мало, а потому он не изменит своего вида, т. е. останется тупым. Такой треугольник РК\Х и будет искомым сечением. б) Выберем теперь точку К\ в достаточной близости от /(, чтобы угол РК\А достаточно мало отличался от угла РКА, который является острым (cos РКА >0). Но тогда вследствие малого изменения и угол РК\А является острым. Будем теперь двигать точку X по ребру С А от С к А. Мы уже знаем, что при этом возможен тупоугольный треугольник РК\Х с тупым углом при вершине К\. Когда точка X попадает в Л, треугольник РК\Х будет при вершине К\ иметь острый угол. Значит, «по дороге» найдется такое положение для точки Ху при котором угол РК\Х будет прямым — тогда мы и получим прямоугольный треугольник в сечении. 6. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Доказательство будет состоять из двух частей. Первая часть очевидна: если прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярна прямой, проходящей через биссектрису угла, образованного этими прямыми. Вторая часть доказательства интереснее и связана с идеей непре- 148
Рис. 22 рывности. Именно: мы хотим доказать, что данная прямая а перпендикулярна любой прямой / на этой плоскости, проходящей через точку пересечения прямой а и плоскости. К прямой / можно на плоскости с помощью биссектрис подойти сколь угодно близко. (Точный смысл этой фразы таков: деля получающиеся углы пополам, мы можем получить такую биссектрису, которая образует с прямой / сколь угодно малый угол.) Пусть теперь точка О — точка пересечения двух исходных прямых Ь и с на плоскости: точка X — любая точка на / (рис. 22). Доказать, что а_1_/ — это то же самое, что доказать неравенство РО<РХ (Р6а) для любой точки ХфО на прямой /. Раз мы можем подойти по биссектрисам сколь угодно близко к прямой /, то на такой биссектрисе найдется такая точка У, которая сколь угодно близка к точке X. Что мы из этого можем получить? PO<PYy так как РО перпендикулярна любой биссектрисе, Х¥<г> где е — любое число, большее 0, и PY<cPX-\-г из неравенства треугольника. Но тогда РО<РХ-\-е. Это неравенство возможно только в том случае, когда PO<zPX. Последнее и означает, что POA.L Вот еще пример использования принципа непрерывности в известной задаче. 7. Доказать, что в неравнобедренном треугольнике биссектриса угла лежит между медианой и высотой, проведенных из одной вершины. Решение. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC ВА = ВС. В нем высота, медиана и биссектриса, проведенные из вершины В, совпадают. Начнем теперь двигать точку А по лучу САУ сколь угодно далеко удаляя ее от С. Что при этом произойдет с точками М, L, Н — концами медианы, биссектрисы и высоты (рис. 23)? Точка М также уйдет сколь угодно далеко. Точка L будет стремиться к некоторому предельному положению L\, так как сама биссектриса BL будет стремиться к предельному положению, 149
когда / / Rr 180°-LC /LLBC-+ - . Точка Н останется на месте. Ясно, что на достаточно большом отрезке СА точка L будет лежать между точками М и Н. Теперь начнем движение точки А к точке С по лучу СА. В силу непрерывности порядок А М L Н С расположения точек Му L, Н на рис 23 луче СА не изменится. В самом деле, если бы точка М «обогнала» точку L при этом движении, то, значит, они бы где-то совпали. Иначе говоря, если сначала CM>CLy а потом CM<CLy то где-то CM = CL. Но тогда треугольник ABC становится равнобедренным, раз у него совпали медиана и биссектриса, а это противоречит условию. Из полученного противоречия вытекает, что наше предположение об «обгоне» неверно. Значит, биссектриса будет лежать между медианой и высотой. А вот пример «детского творчества» на заданную тему. В начале IX класса мы решали такую задачу: «Доказать, что в пространстве существуют такие четыре точки, что все попарные расстояния между ними различны». Маша П. дала такое решение: «Будем считать, что на плоскости это возможно. Рассмотрим такую конфигурацию на плоскости. Затем одну из точек малым шевелением выведем из этой плоскости. И получим нужную нам конфигурацию в пространстве». — А если число точек больше четырех? — не верю я своим ушам. — Точно такое же решение. — А как ты получишь такую конфигурацию на плоскости в общем случае? — Аналогично. Сначала возьмем п таких точек на прямой — это легко. А затем «малым шевелением» одну из них выведем из этой прямой. Что же мы видим из разобранных примеров? Идея непрерывности может найти применение в школьном курсе геометрии при нахождении решения задач. Она корректна в математическом отношении, геометры ее применяют,— значит, и нам можно. II 1.5. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ— СОВСЕМ НЕМНОГО При подготовке единого курса математики мне пришлось просмотреть гору разнообразных задачников. Бросается в глаза преобладающее число чисто технических задач, трудных, иногда очень трудных, но все равно — технических. Другого типа задачи, тре- 150
бующие большего размышления, большей свободы ассоциаций, находились в сборниках олимпиадных задач. Меня не устраивали ни те, ни другие. Пришлось не только, рассматривая книги, отбирать то, что меня устраивало, но и придумывать самому. В первую очередь пришлось заняться дидактическими материалами. Дидактические материалы по математике — сравнительное новшество в методике преподавания. Обычно учителя обходились задачниками. Контрольные работы составляли сами, исходя из уровня класса и своего понимания. Проводились такие работы достаточно редко. Дидактические материалы появились для более оперативного контроля за усвоением, являясь в некотором смысле отголоском идей программированного обучения. При составлении дидактических материалов приходилось учитывать разные тенденции, не только факт усвоения учеником того или иного раздела. Техническое совершенствование — да, интеллектуальное развитие — да, развитие способностей — конечно. Я был убежден, что если ученика математической школы поставить в условия, когда он обязательно должен что-то придумать, то он и начнет придумывать. Разумеется, надо учитывать разброс учеников по их математическим способностям. Я отказался от того, чтобы каким-то образом «натаскивать» учеников на те самостоятельные и контрольные работы, которые им предстоить написать. Скорее наоборот, по мере возможности, примеры, решаемые в классе, отличались от тех, которые предлагались в дидактических материалах. И наконец, несколько технических деталей. Каждое задание, кроме специально оговоренных, предлагалось на один урок. Некоторые в полном объеме являлись домашним заданием. Если задание выполнялось на уроке, то ученик мог выбрать для решения задачи, к которым он чувствовал себя более подготовленным. Оценка ставилась из неформальных соображений. Я хочу предложить здесь набор заданий, решение которых уместно в начале курса алгебры и начал анализа в IX классе математической специализации. В этих заданиях решаются примеры на разнообразные свойства функций, повторить которые желательно в начале года. Приведу по одному варианту таких заданий (всего их два). Задание 1. Функциональная символика 1. у(х)=-х2 + х-\. Найти i/(0), i/(~)' У (л/3), У (2х), у(х+\)у r t 2, если /^ 1, 2- /(0={ /+1, если /> 1. Найти /(0, 9), /(0,8"'), f(a2+\). 3. g (jc) = sin jc + cos 2x. Найти g(-^-j, jpt( —^fJ ° \ 6 / & \ 2/ «(f-x). 151
4. Верно ли, что при любом /£(— 1, 1) х ( — /) = *(/), если x(t) = 5. Пусть h (x) — линейная функция, заданная на R. Вычислить й(1), если Л (— 1) = 0, Л (0)= 1. Задание 2. Сложная функция 1. /l(f/) = _i_. Вычислить Л(0), Л(Л(О)). 2. f/j (jc) = jc2, t/2 (jc) = 3jc — 1, t/з (*) = *""!. Записать z(jc) = = (3jc— 1)~2 как сложную функцию, составленную из трех данных. 3. /i(jc) = jc2, fx(x) = ^c. а) Найти fi(f2(x))\ б) найти /2 (/2 (*)); в) решить уравнение /2 (/i (*)) = /i (/2 (*)). Г 0, если *>0, 4- / W=\l, если jc<0, <p (*)=—/(*). Построить графики: а) /(ф(х)); б) ф(ф(^с)). 5. Придумать функцию, отличную от линейной, которая при любом x£R удовлетворяет условию f {f (x)) = f (х). Задание 3. Область определения функции 1. Найти область определения функции: V5 б) g(y) = (\-y2f\ в) A(z)=VVl-22-l. 2. Написать формулу, задающую какую-либо функцию у (jc), которая определена при всех *£/?, кроме 1<jc<2. 3. Решить уравнение -у/\х\ —a^--\Ja2 — x2 = a— 1. Задание 4. Множество значений функции 1. Найти множество значений функции: a) /(jc) = 3jc2 — 5jc+1, если ^- б) g(!/)=li/-l|, если -l<i/<3; в) h(z) = 2 — sin2z. 2. В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан прямоугольник. Одна из его сторон лежит на стороне треугольника. Пусть ее длина равна х. Выразить его площадь как функцию от х и установить, в каких границах она лежит. 3. Решить уравнение х2-\—г=д/4 — jc10. Задание 5. Четность и нечетность функции 1. Исследовать на четность и нечетность функцию: a) /(jc) = jc2.|*|; б) х(0 = *4-*+1; в) y(a) = slna-cosa\ г) g(y) = 2. Функция f (х) определена на /?, четная ((х)Ф0. Будет ли четной или нечетной функция: 152
a) fi(x)=f(-x); б) h(x) = x.f(x)? Задание 6. Четность и нечетность функции 1. Исследовать на четность или нечетность функцию: a) A(z) = tgz + tg(-z); б) / (jc) = (jc-1)"2-(jc+1)"2; в) g(y)=^\+y+y2-^\-y-y2. 2. Существует ли функция / (х) такая, что для всех x£R справедливо равенство / (jc)-f / ( — jc) = jc? 3. Может ли уравнение |jc| = (jc2-f-1)5— 1 иметь 10 корней? Задание 7. Монотонность функции 1. Исследовать на монотонность функцию: а) /(jc) = jc2 + jc+1, -oo<jc<-1; б) g(y)=\y~l-U, 2<y<oo. 2. Найти промежутки монотонности функции: если jc<0. г jc10, если jc>0, в) y(x)={x_lt Задание 8. Монотонность функции 1. Функции у и z возрастают на промежутке Л. Будут ли на этом промежутке монотонными функции: a) y-z\ б) у — z? 2. Решить уравнение -yjx — 9 + -\/jc + 6 = 5. 3. Верно ли неравенство \х2— х\ < — х4 + 20, при 1<jc<2? 4. Является ли функция / (jc) возрастающей на Ry если при любом x£R f(x)>f(x—\)? Задание 9. Ограниченность функции 1. Проверить функцию на ограниченность: а) у(х)=— 3jc+10, если —2<jc<3; б) х(а) = а2 — 2а + 3, если 0<а<4; в) *(*)-*±!. 2. F — функция, ограниченная на R. Будет ли ограниченной на R функция F2? 3. Решить неравенство |2jc2—11 + |3 —jc2|< 1. Задание 10. Обратная функция 1. f(x) = ^fx, g (jc) — функция, обратная / (jc). Вычислите g (2). 2. Найти функцию, обратную функции: а) 2* —3; б) -у2 + 2уу где £/е[1. 2]; ■>£?■ 3. Есть ли обратная функция у функции /(jc)=--~-1, jc>1? Задание 11. Периодичность функции 153
(2х, 1. y = f(x) — нечетная функция, определена на R периодическая с основным периодом 6. При этом 2jc, 0<jc<2 -4jc+12, 2<jc<3. а) Нарисовать ее график на [ — 6, 6]. б) Вычислить /(1992). 2. л/2 является основным периодом функции /. Будет ли УЗ ее периодом? 3. t\ и t<i — два периода функции /. Будет ли ее периодом *1+*2? 4. f — периодическая функция. Будет ли периодической —? 5. Функция / определена на R и при этом ^ (jt-j-1)= —•—. Доказать, что число 2 является ее периодом. Задание 12. Преобразования графиков функций 1. Постройте график функции: а) у=-2 ll-jcl + l; б) у=\-х2+\х\-\\; 2. При каких значениях л а и Ь имеет решение уравнение Задание 13. Контрольное задание 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1. а) Выразить его периметр Р через площадь S. б) Построить график Р (S). 2. Решить неравенство: Эти дидактические материалы проверялись не один раз. Вместе с тем над ними еще надо работать. Составление их было для меня очень полезным — я понял, что «не боги горшки обжигают» и придумывание задач — дело не бог весть какой сложности. Речь идет, конечно, о задачах дидактического характера. II 1.6. «ХОРОШАЯ ЗАДАЧА ДЕЛАЕТ НАС УМНЕЕ» Что такое «хорошая задача»? Я много думал, спрашивал у коллег, пытался найти формальные критерии. Понятие «хорошей задачи» для меня не было одним и тем же. Так, одно время мне казалось, что в задаче обязательно должна быть красивая идея или эффектное искусственное преобразо- 154
вание. Потом меня перестали устраивать одиночные результаты, захотелось предложить ученикам некоторую последовательную деятельность. Я приведу примеры таких задач. 1. у = Зх3-2х-\. а) Найти нули функции на множестве комплексных чисел. Составляют ли они какую-либо прогрессию? б) Построить график функции. в) Найти площадь, ограниченную графиком функции и прямой, проходящей через точки пересечения графика с осями координат. г) Написать уравнение касательной к графику функции в точке (1, 0). д) Найти объем тела, полученного при вращении графика функции вокруг оси х на промежутке [—1, 1]. 2. T(x) = kx2-2kx+\. а) При каких значениях k трехчлен имеет два действительных корня? б) При каких значениях k трехчлен имеет два положительных корня? в) При каких значениях k один из корней равен 1? г) Составьте трехчлен с корнями, каждый из которых на 1 больше соответствующего корня данного квадратного трехчлена. д) При каких значениях к данный трехчлен положителен при всех действительных значениях х? е) При каких значениях k T (х) есть четная функция? ж) При каких значениях k T (х) возрастает на R? з) При каких значениях k наибольшее значение Т (х) равно нулю? и) При каких значениях k сумма кубов корней трехчлена достигает экстремальных значений? В 1977 году по окончании IX математического класса ученикам была предложена такая работа (задачи 3—8). Они могли делать задачи по выбору. 3. х2 + ху — (/+1=0. а) Построить график уравнения. б) Найти две точки графика, симметричные относительно точки (1, 0), в которых касательные к нему параллельны. 4. \у\ = -х* + 2х. а) Найти площадь фигуры, ограниченной этой линией. б) Найти три прямые, каждая из которых делит площадь этой фигуры пополам. в) Найти четыре прямые, не параллельные осям координат, каждая из которых отсекает от данной фигуры -j- ее площади. г) Существует ли 10 прямых, отсекающих от данной фигуры -j- ее площади? 5. а*2>-1- х — а 155
а) При каких значениях а решения неравенства образуют ограниченный промежуток? б) Может ли расстояние между концами этого промежутка быть больше, чем 1010? в) Может ли расстояние между концами этого промежутка быть меньше, чем 10~~10? 6. Решить систему неравенств 7. Даны две линии: {х — 2)* + (у — 2)4= 1 и х = (у + 3)2. Какая из них ближе к началу координат? 8. Функции / и g непрерывны на R. Какие высказывания истинны: 1 1 1 a) 3f3g: \f(x)dx<\g(x)dx<\f2(x)dx; 0 0 0 1 1 1 б) W3g: \f(x)dx<\g(x)dx<\f2(x)dx; в) 3fVg: \f(x)dx<\g(x)dx<\f2(x)dx? 0 0 0 В какой-то степени в этих задачах отражено мое понимание того, что такое «хорошая задача». Понимание, которое было в те годы. Но сегодня я пришел к другому. Хорошая задача — та, которая нравится. А нравиться может только такая задача, которая соответствует установке. Однако с годами установка меняется, а потому меняется и понимание «хорошей задачи». Сейчас для меня главное — организация посредством задач интеллектуальной деятельности ученика. В такой деятельности я выделяю 10 моментов. Вот они: 1. Наблюдение. 2. Прогнозирование (предвидение) результата. 3. Опровержение гипотез. 4. Планирование исполнения. 5. Исполнение. 6. Коррекция. 7. Контроль. 8. Оценка. 9. Использование, применение. 10. Развитие темы. Разумеется, этот список может быть так или иначе подправлен или дополнен (например, включением анализа) или даже отвергнут. Но меня он пока устраивает. Я постараюсь дать ему сейчас некое толкование и привести примеры. 1. Наблюдение. Когда мы даем ученику задачу на доказательство, то он уже знает, к какому результату надо прийти. 156
Важно, однако, чтобы ученик сам организовал свою работу по «добыванию результата». Классические примеры: поиск какой- либо формулы для числовой закономерности, отыскание формулы Эйлера для многогранников и т. п. Организовать такую работу для учеников можно, к примеру, почти в любой задаче на расположение геометрических объектов. Коллективная работа в классе позволяет рассмотреть много вариантов одновременно. Например, центральная симметричность произвольного цилиндра наблюдается тогда, когда является центрально-симметричным его основание. Заметив это, приступаем к доказательству. 2. Прогнозирование. При доказательстве надо четко знать, что ты хочешь доказать. Прекрасно, когда можно организовать наблюдение, а если непонятно, что и как наблюдать? К счастью, иногда помогает аналогия. Вот пример. Какой фигурой является множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла и лежащих внутри него? Гипотеза возникает по аналогии с планиметрической задачей о биссектрисе угла. Реже помогает интуиция. Что есть интуиция, когда она возникает, как ее «запустить» — об этом можно только догадываться. Рассмотрим хорошо известную задачу: «В трехгранном угле два плоских угла равны. Доказать, что общее ребро этих углов проектируется на прямую, проходящую через биссектрису третьего плоского угла». В такой формулировке задача не так интересна, ибо результат уже известен. Сформулируем ее иначе: «Лучи ОА и ОВ лежат в плоскости а. Луч ОС образует с ними равные углы. Какое положение на плоскости а занимает проекция луча ОС на эту плоскость?» Во-первых, можно организовать простейшие наблюдения, когда луч ОС лежит в плоскости а и когда он перпендикулярен ей. Во-вторых, наблюдения можно усложнить. Для этого достаточно вспомнить правильную пирамиду. Ее боковое ребро как раз отвечает условию задачи, а где лежит его проекция — понятно. И наконец, можно использовать пространственные представления. Для этого вообразим себе, что мы смотрим как бы сверху на луч ОС в направлении перпендикуляра к плоскости а. Что мы увидим? Этими наблюдениями и работой воображения результат как бы предвосхищен. Но если предложить предугадать его и до проведения такой работы, тогда мы надеемся на работу интуиции. 3. Опровержение гипотез. Мало ли что нам может померещиться! Прежде чем что-либо доказывать, надо попытаться это опровергнуть. Учить опровержениям — долгая работа, о ней я буду говорить дальше. Здесь ограничусь таким примером: «Через середину высоты усеченного конуса провели сечение, параллельное основанию. Было высказано предположение: площадь сечения равна сред- 157
нему арифметическому площадей оснований. Верно ли это предположение?» Замечу, что аналогичное утверждение на плоскости верно — это теорема о средней линии трапеции. Тем не менее в данной задаче мы имеем дело с неверным утверждением. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять предельный случай усеченного конуса, когда верхнее основание стягивается в точку. В такой ситуации получаем конус, а для него гипотеза, сформулированная в задаче, неверна. 4. Планирование исполнения. Сколько раз учитель видит одну и ту же картину: ученик хватается за перо и начинает выписывать им бог весть что. Ну и как тут не вспомнить известное сравнение плохого архитектора с хорошей пчелой! Планированию тоже надо учить, учить специально — намечать план решения задачи. Очень часто на доске я оставляю только план решения, а само решение уже доводят до конца дети, причем это задание может быть и домашним. Кроме того, этим экономится классное время. 5. Исполнение. Это наиболее ясный этап в работе. 6. Коррекция. Часто первоначально выбранный план решения заводит в тупик из-за технической сложности работы. Я уже не говорю о том, что в результате проделанной работы получается совсем не то, что хотелось. Примеров тому — множество, и я не буду их приводить. 7. Контроль. Умение контролировать свою работу чрезвычайно важно. О нем я буду говорить дальше. 8. Оценка. Когда решение задачи получено, не надо торопиться переходить к следующей. Стандартный вопрос: нравится ли тебе самому полученное решение? Нельзя ли короче? Здесь уместно сравнение своей работы с тем, что сделано одноклассниками, учителем, напечатано в книге. 9. Использование, применение. А что можно сделать с полученным результатом? Какие следствия из него можно получить? Нельзя ли его использовать для получения ранее известных результатов? Вот пример. Если есть луч О А, его проекция ОА\ на некоторую плоскость и луч ОВ в этой плоскости, то известна формула cos AOB = cos AOA\-cos Л,OB. Как только мы ее получили, опять можно вернуться к задаче о проектировании ребра трехгранного угла, которую я только что упоминал. С помощью этой формулы ее результат получается легко. Можно ставить вопрос о распространении найденного способа решения на другие задачи. Например, исходя из соображений монотонности, решено иррациональное уравнение. Можно ли таким же образом решать другие уравнения? 10. Развитие темы. Результат получен. Нельзя ли его обобщить? Верны ли обратные утверждения? Быть может, в связи с ним появились какие-то новые мысли? 158
8 Рис 24 Приведу пример хорошей, по-моему, задачи, точнее, пример того, как задача может быть превращена в «хорошую». «На данном отрезке АВ с одной стороны от него построены два перпендикуляра АА\ и ВВ\. Проведем отрезки АВ\ и ВА\. Пусть они пересекаются в точке С. Найти расстояние от точки С до прямой АВУ если АА\=а и ВВ\=Ь». Эту задачу можно решать уже в восьмилетке, но я ее люблю решать в начале IX класса, когда повторяю планиметрию. Самое интересное в ней — независимость искомого расстояния от величины АВ. И это самое интересное содержится в данной формулировке в готовом виде. Разумнее сделать иначе. Сначала организуем некое наблюдение. Предложим ученикам в тетради провести горизонтальный отрезок любой длины, естественно, длины получатся разными. Затем они выполняют построение, указанное в задаче, после чего измеряют расстояние от точки С до прямой. Результаты пока ни о чем не говорят. Теперь задаем вопрос — зависит ли это расстояние от длины АВ или нет? Ответы обычно разные. Можно рассказать для живости, что вам нужно подвесить фонарь с помощью такой конструкции. Так будет ли высота фонаря зависеть от расстояния между столбами, которые придется врыть в землю? Пусть мы считаем, что зависит. Попытаемся это опровергнуть, подчеркиваю: не доказать, а опровергнуть. Делается это не очень сложно. Если мы возьмем отрезки АА\ и ВВ\ равной длины, то из свойств прямоугольника ясно, что искомое расстояние равно половине длины перпендикуляра АА\ и никоим образом не зависит от длины АВ. К гипотезе о независимости можно прийти в результате наблюдения, если предложить на начальном этапе ученикам поработать с отрезком АВ одной и той же длины, меняя только длины перпендикуляров. План решения может быть таким (рис. 24). 159
Введем обозначения: AB = dy AD = d\y DB = d2y CD = x. Z. В\АВ = ц)\у Z. А\ВА = ц)2. Тогда x = d\-tg(p\=d\~y с одной стороны, и x=d2-tgq)2 = d2- — y с другой стороны. Кроме того, d\-\-d2 = d. В результате получается система двух линейных уравнений относительно d\ и d2. Само решение, т. е. реализация этого плана, трудностей не представляет. Ответ jc=-q-r подтверждает справедливость гипотезы о независимости. Если бы у нас была принята гипотеза о зависимости, то необходимо было бы скорректировать исходное предположение. Контроль можно провести на частном случае, взяв равными длины перпендикуляров. Вычисления по формуле дают тот же результат, который вытекает из свойств прямоугольника. О других видах контроля речь пойдет дальше. Решение задачи может быть чуть короче, если воспользоваться подобием треугольников. Сначала выразим d\ и d2 через *, a, by dy а затем сложим d\ и d2. О полученном результате есть что сказать. Средним гармо- 2 ническим чисел а и Ь называется выражение , обратное для среднего арифметического чисел 1-4-- Теперь мы видим, что полученный результат составляет половину от среднего гармонического длин перпендикуляров. Здесь уместно рассказать ученикам о происхождении термина «среднее гармоническое». Далее, с помощью рисунка сразу получаются два таких неравенства: , { , <а и ±+1 J-+.L а ^ Ь а ^ Ь И наконец, используя этот результат и несложные преобразования, можно, имея данный отрезок а и единичный отрезок, построить отрезок —. Для этого достаточно вместо Ь взять этот единичный отрезок, после чего решение просто. Завершить задачу хорошо ее различными обобщениями. Во-первых, перпендикуляры можно откладывать в разные стороны от данного отрезка, при этом открываются интересные особенности в получающейся формуле. Во-вторых, необязательно брать именно перпендикулярные отрезки, можно перейти к параллельным между собой, но образующим с исходной прямой острый угол. Для них тоже можно рассмотреть оба случая: по одну и по разные стороны от данной прямой. Наконец, «на слад- 160
кое» такая вариация на заданную тему. Пусть в исходной конфм гурации с перпендикулярами дано, что /4Bi=2, BA\=3> CD = \. Задание — вычислить АВ — приводит к уравнению, которое неясно, как решать. И начинаются новые разговоры. Задача тем лучше, чем больше из этих 10 моментов отражены в ее решении. Разумеется, решать только «хорошие задачи» не удается. Кроме того, задача становится еще лучше, если она имеет красивое решение или содержит интересную идею, или знакомит с важным результатом. Вспомним, как сказал Ю. И. Манин: «Хорошая задача делает нас умнее». II 1.7. О ЗАДАЧАХ В УЧЕБНИКЕ Более 10 последних лет мне довелось работать в содружестве с А. Д. Александровым и А. Л. Вернером над учебником по геометрии. За эти годы написаны учебники для всех классов как массовой, так и математической школы. А. Д. Александров и А. Л. Вернер — профессиональные математики, академик и доктор физико-математических наук, геометры. Мое участие в учебнике состояло в подборе задач и авторской экспериментальной проверке текста. По этим книгам я проработал во всех классах и массовой, и математической школы. Таким образом, мне довелось побывать «в двух шкурах»: автора и потребителя. Эта работа дала мне очень много. Довольно быстро я понял, что мысль о том, будто учебник для школы должен писать только учитель, неверна в принципе. Конечно, опытный педагог знает, что и как нужно рассказывать детям, какие задачи с ними надо решать. Но у него же нет такого знания предмета в целом, как у профессионального математика, и что еще важнее, у него нет такого уровня понимания предмета. Приведу по этому поводу пару примеров. Не имеющая принципиального значения теорема 0 трех перпендикулярах почиталась учителями чуть ли не как главная теорема стереометрии. Пример второй. Известно, что некоторые теоремы стереометрии легче доказываются, если предварительно изучены углы между скрещивающимися прямыми. Однако это понятие «идейно» совсем из другого места в теории, именно, где изучается угол между векторами или направлениями. Довольно быстро после начала преподавания по экспериментальному учебнику становится ясно, насколько первый его вариант далек от приемлемого. При подготовке к урокам приходилось тексты отдельных параграфов чуть ли не переделывать заново, задачи оказывались неуклюжими и плохо подходящими к теории. Сразу стала ясна причина педагогического успеха А. П. Киселева — до того, как его книга официально стала учебником, он работал над ней 45 лет. Впрочем, даже при этом система задач в его учебнике не была столь же признана, сколь теория — понадобился задачник Н. А. Рыбкина, а затем и П. В. Стратилатова. 1 1 Заказ 506 161
С другой стороны, я понял, насколько легче критиковать учебники, чем принимать участие в их создании. Возникает уйма проблем даже с задачами, и все вместе они порождают главную проблему — их отбора. Вот ведь сколько задач придумало человечество, и наивно надеяться, что можно хотя бы заметно изменить этот фонд собственным разумением. Отбор задач для учебника определяется многими соображениями, включая практические. Перечислю некоторые из них. 1. Важное назначение задач учебника — способствовать верному пониманию предмета, в частности раскрыть логику развивающегося знания. В самом деле, изложение теории требует в каком- то смысле совсем другой логики — логики разворачивания готового знания. Проще говоря, когда излагается теория, почти всегда непонятно, почему доказательства именно такие, почему последовательность изложения именно такая, почему разделы учебника идут именно в таком порядке. Однако ясно, что «добывание» фактов и изложение их далеко не одно и то же. Рассказывая детям, как решается та или иная конкретная задача, какие преодолеваются трудности, можно в какой-то степени заполнить этот традиционный пробел почти любого учебника математики. Приведу один пример подобного решения задачи в тексте учебника. Предварительно замечу, что ученикам известен 162
такой результат: в кубе ABCDA\B\C\D\ плоскость треугольника BC\D перпендикулярна диагонали А\С. Итак, задача: «Какой вид имеют сечения куба, перпендикулярные его диагонали? Какое из них имеет наибольшую площадь? Чему она равна в кубе с ребром 1?» Решение. Такие сечения мы уже знаем. Одно из них — плоскостью BDC\. Все остальные будут ему параллельны (?). (Знак вопроса, помещенный в скобках в тексте решения задачи, означает, что ученик должен сам обосновать предшествующую этому знаку мысль.) Разберемся сначала с формой этих сечений. Для удобства будем считать, что переменное сечение движется параллельно себе по направлению от вершины С к вершине А\ (рис. 25). Пусть точка К\—точка пересечения диагонали А\С с плоскостью BDC\. Пересекая отрезок К\С внутри его, переменное сечение будет треугольником (?). Сразу же заметим, что треугольник в сечении будет получаться еще на одном участке диагонали — от точки /(г — точки пересечения диагонали А\С с (B\D\A) — до А\. На участке /Ci/C2 сечение можно легко нарисовать. Легкость в силу теоремы о том, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Видно, что на этом участке сечение является шестиугольником. (Любопытный получился шестиугольник! У него все углы равны (?) и стороны, идущие через одну, равны между собой (?). Изучение свойств такого шестиугольника — прекрасное упражнение в геометрии.) Однако вернемся к нашей задаче. Следующий вопрос — о наибольшей площади такого сечения. Прежде чем написать для нее формулу и вычислять ее наибольшее значение, попытаемся предсказать результат. Представьте себе, что вы разглядываете это переменное сечение в направлении диагонали А\С от А\ к С. После того, как оно пройдет точку /(г, оно станет, как мы уже знаем, шестиугольником. Некоторое время после прохождения точки /(г его площадь, похоже, будет какое-то время увеличиваться (?). До каких же пор? Теперь представьте себе второго наблюдателя, который смотрит в направлении диагонали на переменное сечение, движущееся от С к Ль В силу симметрии ситуации он также будет видеть сечение, увеличивающееся по площади. Когда эти два расширяющихся сечения встретятся, тогда и получится сечение с наибольшей площадью. Где же произойдет эта встреча? Из соображений симметрии заключаем, что это произойдет в середине К1К2. Эти рассуждения подсказали нам ответ. Теперь перейдем к его обоснованию. Считать площадь шестиугольника произвольной формы не просто. Поэтому сделаем так. Три стороны этого сечения, лежащие в гранях ABCD, BB\C\Cy CC\D\D продолжим до пересечения с прямыми ВС, CCi, CD в точках /С, L, М соответственно. (А почему в результате получится треугольник?) Тогда S — площадь шестиугольника можно найти как разность 163
S\ — площади треугольника KLM и 3S2, где S2 — площадь каждого малого треугольника в плоскости сечения при вершинах /(, L, М. (А почему эти площади равны?) Обозначим C\L = x. Тогда S2=-f jc2 (?), S,=^(1+jc)2 (?) и S=j£(-2j + +) Из свойств полученного квадратного трехчлена, учитывая, что 0<jc< 1 (?), можно получить ответы на все вопросы к задаче. Мы знаем, что, кроме шестиугольного сечения, возможно и треугольное. 2. Управление развитием школьника во многом обеспечивается характером и последовательностью задач, которые он решает. Оно может идти в разных направлениях, и каждому направлению соответствуют специфические задачи. Развитию наглядных представлений и пространственного мышления соответствуют задачи, решение которых направляется наглядными образами. Большую ценность в этом отношении представляют задачи, в которых решение можно «увидеть». Их стоит предлагать с самого начала курса стереометрии, поступаясь даже тем, что ученики оперируют образами объектов, которые не имеют определений. Вот такая задача: «Приведите пример двух одинаковых поверхностей в пространстве, которые имеют единственную общую точку». Ученики не знают определения поверхности, ни тем более определения одинаковых поверхностей, но это ничуть не мешает им отыскивать такие поверхности. Ясно также, что искомая здесь конфигурация является контрпримером к двум плоскостям. Приведенная задача может иметь продолжение. Попросим учеников найти такие две одинаковые поверхности, которые имеют ровно 10 общих точек. Увидят ли они нечто вроде двух соприкасающихся зубцами пил? Задачи на сечения вначале обычно конструктивны по характеру. Но уже с самых первых уроков стереометрии стоит предлагать и такие: «Какую форму имеет сечение куба, проходящее через его ребро?» Для получения ответа можно мысленно поворачивать плоскость сечения вокруг этого ребра и представлять себе получающуюся фигуру. (В других задачах такого типа плоскость сечения мысленно надвигается на фигуру, оставаясь параллельной самой себе.) Кто-то видит четырехугольник, а кто-то квадрат и прямоугольник. Доказать, что это прямоугольник в начале курса невозможно, но это не страшно сейчас, куда важнее «увидеть». В начале курса хочется как можно больше развить пространственные представления. Далее, формируя их, следует помнить, что они имеют свойство «закрепощаться». Все хорошо знают, что ученики довольно лихо рисуют высоту правильного тетраэдра на основание, но уже с гораздо большим трудом высоту из вершины основания на боковую грань. А ведь это та же задача1 164
По такой причине почти в каждой задаче, где предлагается выполнить некоторое построение, тут же целесообразно предложить выполнить его в чуть изменившейся ситуации. Вот еще пример. В параллелепипеде, все грани которого равные ромбы, предлагается провести высоту на основание не только из одной вершины и даже более того — провести перпендикуляры из вершин основания на плоскости других граней. Постоянно тренируя детей в этом направлении, на каждом уроке, часто устными задачами, можно добиться заметных успехов. Полезно решать задачи безо всякого рисунка. Приведу несколько примеров. 1) В двух перпендикулярных плоскостях лежат две параллельные прямые. Расстояние от прямой пересечения до одной из них равно а, а до другой Ь. Чему равно расстояние между данными прямыми? 2) Четыре ребра тетраэдра равны 1. Чему равно наибольшее возможное значение его объема? 3) В правильной треугольной пирамиде все углы при вершине прямые. Боковые ребра равны 1. Чему равен радиус описанной около нее сферы? Дети решают такие задачи с напряжением, часто закрыв глаза, «чтобы ничего не мешало». Удовольствие от верного решения — громадное. Большую роль в формировании пространственного мышления играют образы, получающиеся при мысленном механическом движении и в результате всякого рода симметрии. Как они помогают при решении задачи, хорошо видно на примере задачи о сечении куба. А вот еще одна задача: «Из точки X на плоскость а проведены перпендикуляр ХВ и две равные наклонные ХА и ХС. Доказать, что угол АХС меньше угла ЛВС» (рис. 26, а). Обычный путь решения — использование тригонометрических Рис. 26 165
функций (по теореме косинусов или синусов). Но возможно такое доказательство. Будем вращать треугольник АХС вокруг прямой АСУ пока он не окажется в плоскости ABC, причем с той стороны от Л С, что и треугольник ABC. Тогда получим такой рисунок (рис. 26, б). Точка X будет дальше от АСУ чем точка В, так как ХА>ВА. Угол АХС при таком вращении не меняется, так как не меняются стороны треугольника АХС. Задача свелась к сравнению углов АХС и ABC на плоскости. Еще одно направление в развитии ученика идет по линии практического понимания предмета. Объекты геометрии существуют не только в математической теории, не только в головах людей, но и в реальности. Знание только выигрывает от применения, более того, подавляющее большинство считает, что оно и оправдывается только применением. Задачи этого направления дают простор для изобретательности детского ума. Математическое содержание таких задач: восстановить фигуру по ее части, сделать (построить) фигуру при ограниченном наборе возможностей, получить некоторые данные о фигуре косвенным путем и т. п. Я уже приводил задачу этого направления — требовалось вычислить объем реального тетраэдра, производя измерения только на его поверхности. Приведу еще несколько задач. 1. а) Объяснить, почему стол на трех ножках устойчивее, чем на четырех ножках, б) Как проверить, будет ли стол на четырех ножках устойчив на горизонтальном полу, ничего не измеряя? в) Как объяснить, почему столы в основном делаются на четырех ножках, хотя они менее устойчивы? 2. На горизонтальной плоскости закреплен крюк. К нему с помощью трех веревок надо подвесить кольцо так, чтобы его плоскость также была горизонтальной. Как это сделать? 3. В характеристике кристалла важную роль играют углы между его гранями. Эти углы требуется узнать, не проводя измерений на самом кристалле. Предложите для этого какой-нибудь способ, лучше всего идею измерительного прибора. 4. Обычный стол с четырьмя ножками требуется внести из коридора в комнату. Стол находится в другом месте и прежде, чем дотащить его до дверного проема, надо что-то измерить. Что именно? Мне нравится решать с детьми такие задачи. Во-первых, никогда не надо упускать возможность показать, какой может быть реальный толк от геометрии. Во-вторых, есть ученики с ярко выраженным практическим мышлением. На таких задачах они имеют шанс проявить себя в классе. Кроме того, они порой «выдают» такие решения, до которых поди додумайся. Один пример: я как-то предложил из обыкновенного листа бумаги только сгибаниями получить ромб. Известное решение — дважды сгибая, получить середины всех сторон исходного листа, а затем еще четыре сгиба дадут ромб с вершинами в этих серединах. Но почти 1бб
сразу, как я сформулировал задачу, один семиклассник, вполне обычный «троечник» по стандартным меркам, тянет руку и показывает, как это можно сделать всего тремя сгибаниями вместо тех шести: согнуть лист по диагонали, а затем загнуть «хвосты». Доказать он сам ничего не смог. Ну и что? Я поставил ему в журнал «пятерку» с чистой совестью, а потом долго думал: как же учить таких вот пацанов? И еще два слова о задачах практического содержания. Вряд ли их можно придумывать из головы, на то они и практические. К сожалению, мне довелось читать много всякой чепухи под видом таких задач. Ну, например, однажды в задаче речь шла о геологах, которые ночью подошли к горной реке и задумали переправиться через нее. И потребовалась им ширина реки. Как ее узнать? Так вот. Ширина для такой переправы абсолютно не существенна, важны глубина и скорость течения реки. Далее, у геологов всегда есть карты, где все эти данные нанесены. И наконец, по ночам в горах не ходят, опасно, и уж тем более не переправляются через реки. И вообще, как можно проводить ночью какие-либо измерения? Однако очень непросто находить достойные задачи, причем они, разумеется, должны быть достаточно ясными по смыслу. Здесь, видимо, уместно сказать несколько слов о терминологии, ибо в какой-то момент я начал путаться в «прикладных задачах», «практических задачах», «межпредметных связях» и «политехнизации». Под прикладной задачей я понимаю такую, где речь идет о процессах и объектах, не имеющих математической природы. Например: о яблоках, которые перекладывают из одной корзины в другую; о машинах, которые едут наперегонки по одной дороге; о бассейнах, которые надо заполнить, и о ямах, которые надо выкопать. Главная особенность прикладной задачи, которая делает ее содержательной, состоит в том, что в ходе ее решения есть внематематическая часть: составление математической модели и интерпретация результата, полученного в этой модели, применительно к условию. Бывает так, что и составление модели, и интерпретация результата практически незаметны, как в такой задаче: «В корзине было 30 яблок, 20 из них раздали. Сколько яблок осталось в корзине?» Такого рода задач в школьных учебниках много. Под практической задачей я понимаю такую прикладную задачу, которая (в общей постановке) взялась из реальной практики, а не из головы составителя — для прикладной задачи вообще последнее возможно. Задача с яблоками в корзине — практическая, а задача про машину, которая едет с одной и той же скоростью достаточно долго,— вряд ли. Если прикладная задача взята из какой-либо науки, то естественно говорить о межпредметных связях. Например, задача о камне, брошенном под углом к горизонту, приведенная в учеб- 167
нике математики, демонстрирует тем самым связь математики и физики. И наконец, если практическая задача порождена каким-либо техническим процессом или объектом, то можно говорить о политехническом аспекте преподавания математики. Еще одно направление развития школьника — повышение качества его математической деятельности. В частности, повышение его логической культуры. Как это может делаться — хорошо известно, и я не буду здесь об этом говорить. 3. В отборе задач естественно опираться на принципы дидактики. Проблема в том, как они фактически реализованы. Исследование этого вопроса на материале любого учебника может составить содержание объемного труда и носит чересчур уж специальный характер. Поэтому не будем углубляться в этот вопрос. 4. Чрезвычайно важна взаимосвязь системы задач в разных направлениях, как-то: «задачи — теория», «задачи — учитель», «задачи — ученик». Остановлюсь кратко на отдельных чертах такой взаимосвязи. «3 а д а ч и — т е о р и я». Разумеется, в задачах должно быть подчеркнуто именно такое понимание предмета, какое заложено в теорию. В данном случае я старался подкрепить и частично развить взгляды А. Д. Александрова, изложенные им в известной статье «О геометрии» (Математика в школе.— 1980.— № 3). С другой стороны, в задачах допустимы некоторые «вольности», т. е. такие методы решения, которые не вполне обеспечены теорией (при том обязательном условии, что эти отклонения от теоретического стиля выдержаны в общем духе). Например, в задачах чуть ли не с самого начала говорится о некоторых видах многогранников, существование которых не доказано в теории: правильном тетраэдре, кубе и т. д. В задачах можно позволить себе более свободные доказательные рассуждения, всякого рода симметрии. Например, вот как решена в учебнике для математических школ задача: «Дано п попарно скрещивающихся прямых. Докажите, что существует плоскость, которая пересекает каждую из них». Решение. Через одну из данных прямых проведем плоскость. Пусть найдутся среди оставшихся такие прямые, которые не пересекают проведенную плоскость. Тогда чуть повернем нашу плоскость вокруг прямой, через которую она проведена, так, чтобы получились нужные пересечения. Осталось добиться того, чтобы плоскость пересекала и первоначально взятую прямую. Для этого чуть «пошевелим» эту плоскость так, чтобы прямая уже не лежала в ней, а пересекала ее. Этого можно добиться также поворотом нашей плоскости, но уже вокруг другой прямой. При таком «малом шевелении» взаимное расположение плоскости и каждой из остальных прямых не изменится. Задача решена. «Задачи — учитель». Видимо, не очень трудно создать «революционный учебник». Но кто по нему будет работать? По- 168
этому при создании нового учебника математики необходимо учитывать традиции преподавания в стране. Менять направление движения можно, но очень медленно — слишком велика инерция. Реформа 1968 года не реализовалась полностью, ибо «кол- могоровский» поворот оказался слишком крутым. Поэтому среди задач обязательно должно быть достаточное число привычных учительскому глазу. Далее. Как мы понимаем, учителя разнятся по своим установкам. Необходимо учитывать и это. И, как я думаю, задач должно быть с большим избытком, чтобы не приедалось одно и то же из года в год. Наконец, система задач должна быть удобной в работе. Написать это так легко, а чтобы сделать, нужны годы и годы. Сейчас часто вспоминают о «золотых» временах в среднем математическом образовании, о конце 50-х и 60-х годах. Я и учился в эти времена, и поработал немного. Пожалуй, так и было, как об этом вспоминают. И среди ряда причин этому феномену вижу такую. Учитель точно знал, какой вид задач основной. И не только знал, как учить их решать, но и сам умел решать эти задачи. Основных видов учебных задач, я полагаю, было четыре. 1. Арифметические задачи, решаемые по вопросам. 2. Геометрические задачи на построение циркулем и линейкой, обязательно с исследованием. 3. Геометрические задачи на вычисление с применением тригонометрии. 4. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Этим видам задач учили долго, не торопясь. Такие задачи обязательно включались в ежегодные экзамены. Если вернуться к нынешним временам, то «основной учебной задачей» в геометрии могла бы стать задача на обнаружение связей между геометрическими величинами. Иначе говоря — работа с функциональными зависимостями на геометрическом материале. Здесь и работа с формулой, и вычисление неизвестных значений, и выведение зависимостей, и решение уравнений, систем и неравенств, и исследование функций, и экстремальные задачи, и вычисление интегралов. «Задачи — ученик». Тут хорошо понятные требования. Ученики разные, и в задачах надо постараться учесть их разную обучаемость, разные интересы, разные установки, даже разный тип мышления. Очень трудно было найти некий минимальный уровень трудности. В конце концов я остановился на том, что этому уровню соответствуют задачи на рисование определенных пространственных конфигураций. Мне довелось работать и с такими учениками, для которых рисование, скажем, правильной четырехугольной пирамиды, ее высоты и апофем было событием. А на другом полюсе — победители международных математических олимпиад. С ними ведь тоже проблема: задача должна быть интересна для них, но решение ее должно быть доступно для понимания остальным ученикам, а потому она не может быть экзотичной. 169
Требуется много усилий и времени, чтобы реализовать в учебнике эти тенденции. Один из путей — на материале задачи организовать некую деятельность ученика. Для этого в пределах одной задачи предлагается, образно говоря, «стрела» (последовательность) вопросов и заданий, ведущая к определенной педагогической цели. Один пример такой задачи я уже приводил — о двух перпендикулярах к отрезку. Вот еще один. «В пирамиде РАВС проекции точек Р и В на АС совпадают, а) Докажите, что проекция точки Р на плоскость основания лежит на высоте основания или на ее продолжении, б) Будут ли совпадать проекции точек Л и С на РВ? в) Пусть, кроме того, совпадают проекции точек Р и С на АВ. Какие следствия из этого вы можете получить?» Сформулируйте сами задачи, являющиеся продолжением этих. В заключение добавлю, что на подборе задач к учебнику не могут не сказаться и личные вкусы составителя. Я, к примеру, не имею симпатий к вычислительной работе на геометрии. Бывают ситуации, конечно, где ее ничем не заменишь, да и учительские пристрастия к таким задачам надо учитывать... Напомню, однако, что в русских дореволюционных задачниках по геометрии таких задач было куда меньше, чем задач на доказательство и построение. А в известной книге Ж. Адамара таковых, по-моему, вообще нет. В целом решение громадной методической задачи создания достойного учебника видится мне на путях системного подхода. Попытаюсь объяснить, в чем тут дело. Создание учебника по геометрии для школы было и до сих пор остается очень непростой задачей. В свое время, незадолго до реформы математического образования 1968 года, А. Н. Колмогоров говорил, что если бы существовал где-то написанный и подходящий учебник по геометрии, то мы бы его и перевели, не мучаясь сами. Но увы... не нашлось. Анализ учебников геометрии, в разных странах и в разные времена написанных, анализ программ обучения по этому предмету, многочисленных статей математиков, методистов и учителей выявляет, как я уже отмечал, разнообразнейшие и весьма часто полярные точки зрения на роль геометрии в образовании, на содержание курса, его структуру, его основания, роль тех или иных геометрических методов. Такая картина не случайна, она отражает, в частности, сложную и противоречивую природу самого предмета. Я приведу здесь несколько мыслей А. Д. Александрова, разъясняющих суть дела. «Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга... Живое воображение скорее ближе искусству, строгая логика — привилегия науки. Они, можно сказать, совершенные противоположности.. В курсе геометрии соединяются еще две противоположности. 170
абстрактная математическая геометрия и реальная геометрия — пространственные отношения и свойства материальных тел. ...Преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление, применение к реальным вещам. Этот треугольник составляет, можно сказать, душу преподавания геометрии...» (Математика в школе.— 1980.— № 3). Проблема создания учебника по геометрии стала особенно острой в последнюю четверть века. Это связано прежде всего с такими двумя обстоятельствами: 1) геометрия у нас в стране традиционно является элементом обязательного общего среднего образования; 2) чрезвычайно сильное воздействие на математическое образование в целом оказали известные реформистские, а затем антиреформистские тенденции. В любом школьном учебнике математики органической частью являются задачи, и при этом не имеет никакого значения, существуют они в одной книге или напечатаны порознь: Киселев и Рыбкин не воспринимаются по отдельности. Задачи как таковые исследовали специалисты разных профессий: психологи, дидакты, методисты, кибернетики, системологи, философы, инженеры и, разумеется, математики — тут я мог бы привести десятки, если не сотни фамилий. Далее, задачи для учебника имеют явную специфику по сравнению с каким-либо другим задачником по математике: конкурсным, олимпиадным, тематическим и т. д. Таким образом, приходится учитывать не только то, что наработано в разнообразных сферах познания о задачах вообще, но и специфический учебный контекст, в котором оказались задачи. В частности, задачи должны соответствовать не только общим требованиям к учебнику и к задачному материалу в нём, но и конкретному теоретическому тексту. Совокупность требований, которым должны удовлетворять задачи для учебника геометрии, оказывается столь внушительной, сколь и противоречивой. Осмыслить их, как-то упорядочить, выявить приоритеты было очень сложно. Какой-то вариант решения этой методической задачи удалось найти, используя системный подход. Его применение в делах педагогических — не слишком большая новость, он может многое прояснить не только на этапе проектирования достаточно сложного объекта, но и при анализе его функционирования. Краткая схема использования системных соображений для подбора задач к школьному учебнику по геометрии была такова. Надо было понять, что именно влияет на задачи сильнее всего, и было выделено следующее: потребности общества, цели и ценности математического образования, современные дидактические тенденции. Надо было выделить основные связи системы задач. Оказалось, что таковыми являются связи с теоретическим текстом учебника, деятельностью учителя и деятельностью ученика. Рассмотрев подробнейшим образом эти влияния и связи, надо было 171
сформулировать общие положения для подбора задач, причем учесть специфику как специализированной, так и массовой школы. Исходя из этих положений и следовало создать сначала банк задач, а уже затем распределить из него задачи для конкретных глав, параграфов и пунктов. В результате такой чисто аналитической работы удалось сформулировать понятие «система школьной геометрии», в рамках которого можно отразить значительную часть процесса среднего геометрического образования. Что дал такой подход конкретно? Удалось увидеть некоторые «дыры» в привычном наборе школьных геометрических задач. В результате появились такие задачи, которых не было или почти не было раньше, например задачи с избыточным числом данных или с недостающими данными, а иногда даже с противоречивыми данными. Еще пример: обычно в школе решались задачи на построение с помощью циркуля и линейки, очень редко — с использованием других инструментов, но я не встречал таковых, где разрешалось бы подключать еще и транспортир. И даже вполне традиционные геометрические сюжеты стали выглядеть в ином оформлении, ибо приходилось учитывать возможные различия учеников и учителей, различия в формах организации деятельности всего класса на уроке. Стало ясно, что сами задачи даже в пределах одного и того же пункта учебника должны быть как-то структурированы. Было проведено очень условное деление задач по сложности: задачи раздела А — полегче, задачи раздела Б — посложнее. Однако этого оказалось недостаточно. И в дальнейшем появилось деление уже на три раздела: А — задачи «общекультурного уровня», в которых отражены простейшие ситуации, например нарисовать ту или иную фигуру; Б — задачи «инженерного уровня», связанные в основном с расширением и применением полученных знаний; В — задачи «интеллектуального уровня», связанные с углублением полученных знаний. И стало понятно, что впереди еще очень много работы, и опять вспоминается 45 изданий учебника А. П. Киселева.
Глава IV. О ВОСПИТАНИИ IV.1. НА ОШИБКАХ УЧАТ Учить математике, как я понимаю свое дело,— это учить, в частности, характерному для нее (и для науки вообще) максимально добросовестному и ответственному отношению к полученному результату. А это означает, что надо обучать умению его проверить. Для меня размышления на эту тему все время связаны с осмыслением расхожего выражения: «На ошибках учатся». На каких ошибках? Как учатся? А почему не говорят: «На ошибках учат»? Имеет ли ученик право на ошибку? Когда? На какую? Какова профилактика ошибок? Входит ли в нее специальный показ возможных ошибок? Я полагаю, что ответы на эти вопросы куда больше нацелены на личность учителя и его установку, нежели на методику обучения. Не надо требовать от методики того, что она не может дать. (Как, например, оформление решения задачи — вопрос не методики преподавания, а вопрос системы работы учителя. По мне оформить решение задачи надо так, чтобы его было удобно проверять: легко читать, рисунки располагать рядом с текстом и т. д. Методика тут ни при чем.) Я попытаюсь частично ответить на поставленные вопросы об ошибках. Да, конечно, на ошибках учатся, на чужих и на своих. Для этого необходимо, чтобы ошибка была осмыслена, сначала опознана и так или иначе квалифицирована. Но если я хочу, чтобы ученик умел найти ошибку, а затем ее осмыслил, то тем самым выхожу на некий вид деятельности, именно на критическую деятельность ученика. Она не может возникнуть из воздуха, и выходит, что такой деятельности надо обучать. Значит, прежде чем согласиться с фразой: «На ошибках учатся», надо, видимо, сказать: «На ошибках учат». Такие довольно очевидные рассуждения приводят к соответствующей работе учителя. Как именно учить на ошибках? Думаю, что ошибки надо показывать, не дожидаясь, пока дети их сделают. Обычно при объяснении мы говорим, как надо делать тот или иной пример. А когда я проверяю выполнение этого же примера учениками, то в первую очередь смотрю на то место в решении, где вероятность ошибки наиболее велика. Так почему бы об этом месте не сказать при объяснении способа решения? Здесь напрашивается сравнение с дорогой в горах. Кто ходил, тот знает: самые ценные указания к маршруту о тех местах, где цена ошибки наиболее велика. 173
Подать ошибку можно по-разному. Я вижу три пути. Покажу их на решении неравенства —х> — \. Известно, что дети часто забывают, умножив обе части неравенства на — 1, поменять знак неравенства. Первый путь — «лобовой». Я пишу такую строчку — х> — 1 и объясняю, почему она неверна. Второй путь — «вопросительный». Я пишу ту же строчку, но задаю вопрос: а верна ли она? Третий путь — «софистический». Я записываю исходное неравенство: — х> — 1. Затем записываю неравенство, которое может быть получено из данного без смены знака неравенства: х>\. А теперь складываю оба неравенства и получаю такое: 0;>0. После этого ошибка становится очевидной. Мне лично больше нравится третий путь. Дело в том, что для лучшего запоминания ошибку надо не только осознать, но и «пережить», т. е. сопроводить эмоцией. Удивление ученика при «софистическом» способе и может быть такой эмоцией. Также эмоцией, но со знаком минус, является досада или обида, когда ученик получает сниженную оценку за допущенную им ошибку. Значит, на одну и ту же ошибку можно организовать разные эмоциональные реакции. Я предпочитаю организовывать удивление. Математические ошибки бывают разные: технические, логические, а еще — заблуждения. Что такое технические ошибки, объяснять не надо, логические ошибки касаются рассуждений, а заблуждения следует отнести к тому, что выбрана неверная гипотеза или тупиковый путь решения. Пример неверной гипотезы легко получить от учеников, если задать в классе почти любой содержательный вопрос в соответствующей форме. Например, такой: «Как вы думаете, будет ли непрерывная функция дифференцируемой?» А вот пример тупиковой идеи решения в такой задаче: «Сколько решений имеет система уравнений При попытке ответить на этот вопрос аналитически получается уравнение, которое не решить, а графически ситуация ясна. При решении задач прикладного характера возможны ошибки при переходе от условия к математической модели (простейший пример — не выписаны все ограничения на неизвестные) и ошибки в интерпретации (за ответ принят невозможный результат: «два землекопа и две трети»!). И наконец — где искать ошибку? В полученном результате, в решении, в гипотезе. В прикладной задаче — в соответствии модели условию задачи. О том, как это делать, речь пойдет чуть позже. 174
А сейчас — о самих ошибках, о том, что я видел в реальности. 1) Нарушение равносильности 1) 1. При доказательстве равенств Часто записывается равносильность такого вида Но она верна только в том случае, когда функция / строго монотонна, а числа а и Ь входят в ее область определения. Иначе можно доказать, скажем, такие равенства: а) —1 = 1 возведением в квадрат. б) л = 0, взяв синус от обеих частей равенства. Ярко видна такая ошибка при доказательстве равенства arcsin ——|- arccos —=-£- с помощью взятия синуса от обеих его частей. Сумма в левой части при таком доказательстве должна находиться на промежутке монотонности синуса, в данном случае — на промежутке 0; --М или \-у'у л • Установить это — все равно, что сделать исходный пример. Переходить к промежутку [0; л] бессмысленно, ибо на нем синус не монотонен. Поэтому лучше брать от обеих частей не синус, а косинус. 1) 2. При доказательстве неравенств Равносильность типа а>Ь о f (a)>f (b) (f {a)<f (b)) требует тех же оговорок, что и для равенства. Если их не сделать, то можно доказать, что — 2> 1 возведением в квадрат обеих частей неравенства. Возведение в квадрат можно видеть часто без должных оговорок. Так, например, ученики доказывают неравенство 1) 3. При решении уравнений, неравенств, систем Эти ошибки столь характерны, что я приведу только один пример. — 4<jc<4 I—4<jc<—3 Знак системы везде выглядит вполне естественно — с точки зрения ученика. Однако последний знак системы нужно заменить на знак совокупности. 1) 4. В рассуждениях 1) Случается, что в процессе решения некое условие заменяется на другое, не равносильное первому. Вот примеры. а) При каких значениях «а» система х2=\-у2 = у-\а\ имеет единственное решение? 175
Рассмотрим равенство 1— у2=у—\а\. Оно сводится к квадратному уравнению у2-\-у — (1 + |а|) = 0. Так как система имеет единственное решение, то это квадратное уравнение также должно иметь единственное решение, а потому его дискриминант равен нулю. Имеем Но это равенство невозможно. Поэтому ни это уравнение, ни сама система не могут иметь единственного решения. Однако из геометрической иллюстрации ясно, что при |а| = 1 система имеет как раз единственное решение. Ошибка в приведенном решении заключена во фразе: «Так как система...» На чем, собственно, она основана? Ни на чем. б) Найти наибольшее значение площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь его основания равна 1, а длина диагонали равна 2. Пусть основания параллелепипеда равны а и Ьу боковое ребро равно с. Площадь боковой поверхности имеет тогда вид . (1) Условие задачи сводится к системе [аЬ = \ (2) \а2 + Ь2 + с2 = 4. (3) Выражение (1) запишем как функцию одной переменной. Для этого можно пойти двумя путями. Первый способ состоит в том, что из уравнений системы мы получаем такие равенства: Ь=—, с=~л^4 — а2 ?. И тогда S (а) = 2(а-\ j^w4 —a2 g-. При дальнейшей работе с этим выражением мы получаем, что наибольшее значение площади поверхности достигается при а=\ и равно 4 -л/2. Второй способ состоит в том, что из (2) и (3) легко следует: а + 6 = Л/6-с2. (4) Но тогда S (с) = 2с -\/б — с2. При дальнейшей работе с этим выражением мы получаем, что наибольшее значение площади поверхности достигается при с = Уз и равно 6. Ошибка второго решения заключена в замене системы неравносильным ему уравнением (4). 2) Использование допущений, которые не оговорены условием. Весьма часто в геометрической задаче мало данных для однозначного установления взаимного расположения фигур. Вот примеры. а) Два круга радиусами R\ и R2 имеют общую хорду длиной d. Чему равно расстояние между их центрами? 176
В задаче возможны два случая расположения, а ученики работают только с одним. б) В тетраэдре основанием является равнобедренный треугольник со сторонами а, а, Ь. Грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол ф. Найти объем пирамиды. В задаче возможны три различных случая в зависимости от того, куда проектируется вершина тетраэдра, чего можно не уви деть. в) В правильной треугольной пирамиде сторона основагия равна 3, а высота равна 1. Через ребро основания проводится сечение, перпендикулярное боковому ребру. Чему равна его площадь? В предположении, что таким сечением является треугольник его площадь можно найти, скажем, так. Вычислим объем пирамиды двумя способами: по основной формуле и как сумму объемов двух пирамид, на которые данным сечением разбилась исходная пирамида, причем за основание этих двух пирамид можно принять как раз само сечение. Вычисления дадут ответ —£-, но он не- о верен. Дело в том, что сечение, перпендикулярное боковому ребру, может выходить за пределы пирамиды, и тогда сечением пирамиды будет всего лишь ребро основания, а не треугольник. При наших числовых данных как раз реализуется этот случай. Вообще, если для доказательства так или иначе используется рисунок, то необходимо выяснить его единственность относительно данных. 3) Заведомо предполагается существование того, с чем говорится. 3) 1. Тут много хорошо известных примеров, связанных с определением понятия. Мы говорим, например: а) «Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными». б) «Расстоянием от точки до фигуры называется длина кратчайшего отрезка, соединяющего данную точку с точками фигуры». в) Мы даем определение расстояния на множестве, площади фигуры, объема тела и т. д. в молчаливом предположении, что все это существует. г) Известно определение равных отрезков как таких, длины которых равны. При этом длины отрезков измеряются линейкой. Однако на линейке есть деления. Откуда они взялись? Но вот хороший контрпример — треугольный пентаэдр: пятигранник, у которого все грани треугольники. Однако таковой не существует. И еще: первое число больше второго, если их разность больше нуля. А что такое «больше нуля»? 3) 2. А вот примеры рассуждений, где возможна ошибка. а) «Доказать», что —1 = 1, используя производную. Для этого рассмотрим функцию у= \х\ и найдем ее производную с обеих 12 Заказ 506 177
сторон от нуля. При jc^O получаем, что у' = 1, а при jc^O получаем, что у'= — 1. Но производная единственна, значит, и приходим к равенству: —1 = 1. Ошибка состоит в допущении существования производной при х = 0. б) Решить уравнение Xх''' =4. «Решение». Показатель, в который мы возводим число, также есть выражение из первой части условия, а потому он равен 4. Тогда имеем уравнение л;4 = 4, решение которого дает Jt = y2. Выражение в левой части уравнения можно понимать только как некий предел, но тогда встает известный вопрос о его существовании. Иначе, взяв л: = 2, получим: 0=1. в) В тетраэдре РАВС РА = РС = АВ = ВС=\. АС = РВ. Вычислить наибольшее значение площади его поверхности. Поверхность этого тетраэдра состоит из четырех равных между собой равнобедренных треугольников. Площадь каждого из них равна 0,5 • sin ф, где ф — угол при вершине. Тогда площадь поверхности всего тетраэдра равна 2 sin ф. Наибольшее значение этой величины достигается при ф = 90° и равно 2. Этот ответ ошибочен, так как тетраэдр при таком значении угла не существует — вырождается в квадрат. Невозможность такого тетраэдра следует из того, что к двум скрещивающимся прямым РА и ВС проведены два общих перпендикуляра PC и ВА. А ошибка произошла потому, что предполагали существование тетраэдра такого вида с наибольшей площадью поверхности. г) Пусть уже известно, что если функция возрастает на открытом промежутке, то ее производная на этом промежутке неотрицательна, причем критические точки не заполняют никакого промежутка. Докажем обратное утверждение: если производная от функции на открытом промежутке положительна, то сама функция возрастает на этом промежутке. «Доказательство». Пусть данная функция не является возрастающей на данном промежутке. Тогда на каком-то промежутке внутри данного она убывает или является постоянной. Но тогда на этом же промежутке ее производная либо будет отрицательной, либо равна нулю, что противоречит условию. Здесь хотя и известная, но довольно тонкая ошибка. Существуют функции, имеющие производную, но не являющиеся монотонными на любом промежутке внутри данного. Поэтому фраза «Тогда на каком-то промежутке...» неверна. д) Величина радиуса шара, вписанного в пирамиду, ищется по известной формуле т s ' но пирамида может быть такой, в которую шар не вписывается. 178
е) Предлагается, используя теорему Виета, составить квадратное уравнение, корни которого на 1 больше, чем корни уравнения 2 Ученики благополучно составляют новое уравнение, но ведь исходное уравнение корней не имеет (если говорить о действительных корнях. Кстати, если говорить о комплексных, то новая неприятность — для них нельзя сказать, что один корень «больше» другого). ж) Требуется найти все значения параметра а, при которых уравнение х — \х\-\-а = 0 имеет единственный корень. Одно из решений. Запишем исходное уравнение в таком виде: х2-\х\ = -а. Так как слева стоит четная функция, то единственным корнем может быть только 0. Но тогда а = 0. Ответ неверен. Взяв а = 0, мы видим, что корней у уравнения больше одного. Ошибка произошла потому, что мы считали возможным случай единственности корня. Но этого на самом деле нет, в чем можно убедиться хотя бы из геометрической иллюстрации. 4) Выход за границы применимости. 4) 1. Теорема используется за границами своей применимости. Вот примеры. а) Запишем такую цепочку равенств 1 24 2Y Получилось, что х=\х\, а это возможно только при х^О. Итак, мы «доказали», что все числа неотрицательны. 2-1 1 Ошибка заключена в переходе х 2 =(jc2)2, который обоснован как раз для б) «Докажем», что —1 = 1. Запишем такую цепочку равенств: _!_ 1. -1 = - vr=vzrl =(-1)3 =(-1)6 =V(zro5=VT= i. J_ 2_ Ошибка заключена в переходе (—1)3=(—I)6 и в переходе 1 V—1=(—О3, если он обоснован только для неотрицательных чисел. в) «Можно составить квадратное уравнение с тремя разными корнями». Действовать будем так. Запишем равенство (х — i)X Х(х— 1) = 0. Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение. Так как оно имеет корнем /, то оно имеет и корень — iy а потому у него три корня. 179
Ошибка в том, что сопряженный комплексный корень существует только для уравнения с действительными коэффициентами, а наше уравнение имеет комплексные коэффициенты. 4) 2. Метод используется за границами своей применимости. а) Очень яркий и хорошо известный пример использования метода математической индукции для «доказательства» того, что все люди — блондины. Другой пример — «доказательство» того, что все люди — бедные. Оно следует из того, что имеющий всего 1 рубль — бедный, а прибавление рубля к имеющейся сумме состояние «бедности» не меняет. б) Доказательство теоремы о производной сложной функции может использовать такое равенство: \г \z Ay Ах Ау Ах Но оно годится только при условии, что ЬуфО. в) Попытаемся найти наименьшее значение выражения Т(х, у) = х2-\-ху-\-у2 при условии, что 1<jc<2, 2<#<3. Будем считать сначала, что данное выражение — трехчлен от переменной ху а у — параметр. Тогда его наименьшее значение равно ^-. Взяв теперь у = 2, мы получим наименьшее значение Т (ху у), равное 3. Но мы можем считать, что данное выражение — трехчлен от переменной у, а х — параметр. Тогда его наименьшее значение есть —. Взяв теперь х=\у мы получим наименьшее значение Т{ху у\ равное -|-. Может быть, наученные прошлым опытом, мы предположим, что минимума вообще нет? И потому мы получаем разные ответы? Очень поучительный пример для беседы с учениками. г) Известно, что прямая теорема равносильна теореме, противоположной обратной. Мне доводилось видеть доказательство этого утверждения методом «от противного». Выглядело оно примерно так. Пусть прямая теорема имеет вид А =>- В, тогда обратная имеет вид В=>А, а ей противоположная имеет вид В=>А. Предположим, что эта последняя теорема неверна. Тогда верно утверждение В=>А. Вместе с верным прямым утверждением получаем, что верно утверждение В=^В. А этого не может быть. Значит,, наше предположение неверно, и на самом деле теорема В=>А верна. Я много раз рассказывал это детям, и все было прекрасно, все всё понимали и с удовольствием записывали. Но пойдем дальше. Докажем теперь, что верна и обратная 180
теорема: В=> А. Доказывать будем точно так же. Пусть теорема В => А неверна. Тогда верно утверждение В =>- А. Вместе с верной прямой теоремой получаем, что верно утверждение А=>А. Но этого не может быть. Значит, наше предположение неверно и на самом деле теорема В =>• А верна. Дело в том, что отрицанием утверждения P=>Q не является P=>Q, что выясняется с помощью таблиц истинности. Если же так в классе не сделать, то остается иллюстрация на конкретных примерах или на диаграммах Венна. 4) 3. Определение используется за границами своей применимости. Хорошо известно «доказательство» того, что а " = 1 выписыванием таких равенств 5) Потеря смысла. (Разумеется, все названия условны.) Из того, что пишет или говорит ученик, следует, что он плохо понимает, чем он занимается. Вот примеры. а) Решается неравенство tgjc<l, а ответ такой: Но ведь такое невозможно просто в силу периодичности тангенса! б) Формула площади треугольника S——a-ha доказывается для треугольников трех видов: остроугольного, тупоугольного и прямоугольного. Казалось бы, зачем нужно разбирать все три случая? Когда треугольник тупоугольный или прямоугольный, будем проводить высоту на наибольшую сторону. Она лежит всегда внутри треугольника, и доказательство получается точно такое же, как для остроугольного треугольника. При доказательстве этой формулы надо понимать, что мы ее выводим не для какой-то стороны треугольника, а для любой его стороны. Во фразе: «Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию» опущено слово: «любого» основания. Опущено совершенно резонно, как принято опускать квантор всеобщности почти всегда, но надо понимать, почему мы его опускаем и в этой фразе. в) Ищется первообразная для функции sinjc-cosjc. Возможны такие результаты: -ysin2jt + C и —^-cos2 х + С. Но так как первообразная «одна и та же», то приходим к- равенству — sirr;t + C=——cos2 х + С. Приводя подобные, получаем, что sin2 * + cos2 x = 0. Я думаю, здесь комментарии излишни. Впрочем, возможны варианты. Если первая первообразная будет записана так: — sin2 x + Ci, а вторая так: —^-cos2 jc-f C2, то ведь никто потом не «запрещает» взять Ci=C2, а тогда приходим к той же нелепости. Запись первообразной в виде F (х) + С требует ясного понимания, 181
что это не какая-то конкретная функция. Либо это множество всех первообразных, либо произвольная функция из этого множества. 6) Неверное использование математической символики. Вот несколько примеров. a) fsin* = () Но отсюда сразу получаем х = у> что нелепо. В тригонометрических системах при записи ответов имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа, б) i=J=l9 Отсюда вроде бы следует, что /=—/, т. е. i = 0. Ошибка в неверных исходных записях. Слева стоят комплексные числа, а справа V— 1. Этот символ на множестве комплексных чисел вовсе не обозначение конкретного числа, а либо множество всех корней из —1, либо произвольное число из этого множества. Любопытно, что то же можно сказать о символе YT на множестве комплексных чисел. 7) Логические ошибки. Набор логических ошибок учеников достаточно известен. Я бы выделил здесь группу ошибок, связанных с логической структурой утверждения. 7) 1. Ошибки при работе с логическими операциями и кванторами. Здесь можно привести многочисленные примеры, связанные с формулировкой отрицания. Дети традиционно затрудняются, объясняя, что такое функция, не имеющая периода; разрывная функция; функция, не являющаяся как четной, так и нечетной. Еще сложнее для них верное построение отрицания некоторого утверждения. Много упражнений, полезных и занимательных, можно придумать на материале народных пословиц, поговорок, выражений и афоризмов. Возьмем фразу: «На всякого мудреца довольно простоты». Как это опровергнуть? Другие примеры: «Цель оправдывает средства», «В здоровом теле здоровый дух» и т. д. 7) 2. Ошибки «структурные». Сюда относятся разнообразные примеры неверно сформулированных учениками обратных и противоположных утверждений, когда они «плавают» в необходимости и достаточности. Из года в год я слышу такое: «Через прямую, перпендикулярную данной плоскости, проходит плоскость, перпендикулярная данной. Значит, если прямая не перпендикулярна данной плоскости, то через нее не проходит плоскость, перпендикулярная данной». Надо, однако, заметить, что здесь не все так просто. Обычно считается, что для теоремы вида А -> В обратной является теорема В -> А. Безоговорочно это можно принять разве что тогда, когда в условии и в заключении теоремы находится только одно высказывание. В противном случае возможны недоразумения. 182
Приведу один пример. Легко проверить, используя таблицы истинности, что высказывания (а/\Ь)-+с и а ->■ (Ь -> с) равносильны. Высказывания, обратные им, именно с -> (а/\Ь) и (Ь -> с) -*■ а, таковыми не являются, что опять же видно из таблиц истинности. Получается, что истинность обратной теоремы зависит от того, в каком виде была сформулирована прямая теорема, что как-то непривычно. Что же я делаю в этой ситуации? Детям говорится примерно следующее: там, где в теореме условие и заключение содержат только одно высказывание, в обратной теореме они просто меняются местами; там же, где конструкция теоремы другая, обратной мы будем называть теорему по нашему разумению. 7) 3. Ошибки при записи ответа. а) При записи ответа в уравнении (jc — 1) (jc — 2) = 0 часто встречается такая запись: i х=\ , , Оч \х 2^х— и х— '' б) При записи ответа в системе( х-\-у = \ 2 порой видишь нечто вроде: Г*=1 и \ U = 2 L £/ = 1 - в) Я уже не говорю о чересчур свободном употреблении кванторов. Такая свобода нередко сопровождается полной бессмыслицей. Однажды мне довелось анализировать запись ответа в уравнении в экзаменационных работах 14 медалистов. Из них только 4 были верными. 8) Ошибки в аналогиях. Аналогия — чрезвычайно сильное средство для получения новых результатов. В обучении можно найти тьму примеров этому. Я приведу только два: аналогия в свойствах круга и шара, а также аналогия в свойствах треугольников и трехгранных углов. Вместе с тем аналогией надо пользоваться очень аккуратно, ибо она может подвести. Вот некоторые примеры: а) Наименьшее значение произведения а и b можно найти, перемножив наименьшее значение а и наименьшее значение b (при условии, что оба они положительны). Но этот способ не годится, когда между величинами а и b есть некая связь, например а = ху Ь = \—х. б) Умножение действительных чисел ассоциативно, а скалярное умножение векторов таким свойством не обладает. в) С функцией хх можно работать как с показательной, но не всегда. При решении уравнений необходимо учитывать случай, когда х=1, а что касается взятия производной, то аналогия не допустима вовсе. Кстати, не допустима тут и аналогия со степенной функцией. г) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы. Ничего подобного нет для прямоугольного тетраэдра — тетраэдра, в вершине которого сходятся три прямых угла. 183
д) Если в треугольнике совпадают центры вписанной и описанной окружности, то он равносторонний. Аналогичное утверждение в пространстве для тетраэдра и сферы неверно. 9) Ошибки при обобщениях. а) Из равенства е2ш=1 «получаем» 2ш = 1п 1, откуда 2ш = 0. Но отсюда следует, что л = 0 или £ = 0 или 2 = 0. На комплексные числа механически перенесены свойства степеней, известные для действительных чисел б) Докажем, что комплексную дробь можно сокращать, т. е. z\z _ z\ t z _ z\ j _ z\ z2z z2 z z2 z2 Первый знак равенства требует обоснования, так как он «взят» из действий над действительными числами. в) «Докажем», что /<0. Пусть />0=w2>0=^— I >0, что невозможно. Пусть / = 0=^—1=0, что невозможно. Остается: На комплексные числа перенесены свойства вещественных числовых неравенств. г) «Докажем», что 00,999... = 1. Пусть 0,999... = а. Тогда 9,99... = 10а. Вычитая, получим 9а = 9, откуда а=1. А один мой знакомый рассуждал здесь так: 0,9 отличается от 1 на — 1 Vj 0,99 отличается от 1 на -—. 0,999 отличается от 1 на ] 1000 * 0,999... отличается от 1 на — , т. е. на 0. Поэтому 0,999... = 1. Этому знакомому 10 лет. С бесконечными десятичными дробями мы действуем как с конечными. д) Теорема об углах с взаимно перпендикулярными сторонами в пространстве неверна. 10. Ошибки, допущенные интуицией. Есть очень много примеров, когда результат либо идея решения интуитивно ясны. Один очень красивый пример связан с формулой для объема тора. Пусть круг радиуса а вращается вокруг прямой и центр этого круга удален от этой прямой на расстояние г- (Ь>а). Умножим площадь круга ла2 на путь, пройденный центром за один оборот 2л6. и получим объем. И что я должен был сказать, получив от ученика такое решение? Увы, не всегда интуиция работает так блестяще. В книге М. Клайна «Математика. Поиск истины».— М.: Мир, 1988, приведено много примеров, когда интуиция подводит. Я уже не говорю о хрестоматийных примерах из анализа, собранных в книге Б. Гел- баума и Дж. Олмстеда: «Контрпримеры в анализе». 184
Мне удалось заметить, что интуиция неплохо чувствует, если так можно выразиться, непрерывность и линейность. В случае нелинейных зависимостей интуиция учеников, как правило, не срабатывает. Вот пример, который я бы назвал классическим. Мне еще не довелось встретить школьника, который не был бы уверен поначалу в том, что наибольшее по площади треугольное сечение конуса (прямого, кругового) — осевое. И не только школьники, но даже и специалисты-геометры попадались на этом. На самом же деле такой результат верен не всегда, а только в том случае, когда осевым сечением конуса является остроугольный или прямоугольный треугольник. Если же оно является тупоугольным треугольником, то искомым сечением является такое, которое представляет собой прямоугольный треугольник. Верный ответ моментально следует из формулы S=— L2 sin ф, где S — площадь треугольного сечения, L — длина образующей поверхности конуса, ср — угол между двумя такими образующими. 11. Неверный выбор модели. Мне очень нравится пример о дате «конца света», и я стараюсь рассказать его ученикам при завершении обучения. Итак, «конец света» наступит 13.XI.2026 года. «Доказательство». Пусть х (t) — число людей в момент ty х\ — число мужчин, х2 — число женщин. Сделаем предположение о том, что х' (/) = х2 = kx\x2. Так как х\жх2ж^, то х' (t) = k—. Отсюда получаем -77=-гх<1 или ~r=~rdt. Проинтегрируем это равенство на промежутке [to, t\ где to — исходный момент времени. Получим dx Приравняем знаменатель полученного выражения к нулю и найдем отсюда /=— + /о. КХо А это означает, что в полученный момент / само выражение, т. е. число людей на Земле, обратится в бесконечность. Как говорится, яблоку упасть будет некуда. И наступит такой момент, как говорят, в указанный выше срок. Обычно дети полностью обескуражены и только глазами хлопают. Но потом начинают задавать вопросы и потихоньку докапываются до разумных объяснений полученному результату. Как я уже говорил, не все из этого списка стоит считать ошибками, скорее заблуждениями по причине аналогий, обобще- 185
ний, интуитивных предположений. Но для меня гораздо важнее, чтобы дети не уставали ими пользоваться и не тушевались от своих неудач в их применении. Казалось бы, какая разница: ошибки ли, заблуждения ли, все одно — неверно. Но не так все просто в практическом плане. За ошибку можно и снизить отметку, а при заблуждении вроде бы и не за что. IV.2. ЧЕЛОВЕК КРИТИЧЕСКИЙ Из опыта ясно, что критическая деятельность ученика (КД) со временем становится в каком-то смысле неотъемлемой частью его учебной деятельности. Увидев на доске неверное решение, он тянет руку, чтобы поправить запись. Заметив разницу в рассказе учителя и в тексте книги, он задает вопрос: «А почему?» Заглянув в ответ, приведенный в учебнике, и увидев у себя нечто другое, он, возможно, начинает искать у себя ошибку. Итак, как-то КД идет. Но как? Как ее поощрять? Как ее развивать? К чему здесь надо стремиться? Все это, увы, не так уж и понятно. То, что КД необычайно важна в познавательном процессе, можно прочитать в сочинениях ученых, в многочисленных работах дидактов, психологов, методистов. Вспомним знаменитое: «Подвергай все сомнению!» Отмечается благотворное влияние КД на личность: растет ответственность, изменяется самооценка. Но в теоретических рассуждениях о КД мне не все ясно. Обычно учебная деятельность ученика делится на две части: репродуктивную и продуктивную. КД в общем случае относят к продуктивной деятельности. Я не вполне с этим согласен, ибо специфика КД — «разрушение», в то время как продуктивная деятельность созидательна. Не вполне ясно очерчено и содержание КД — обычно его сводят к контролю. А сопоставление разных точек зрения, а оценка чего-либо? По-моему, они тоже входят в КД. Мне более понятно выделение КД в некую самостоятельную деятельность ученика, не сводимую к прочим видам его деятельности. Обучая школьника КД, я исхожу из следующего: 1) КД ученика имеет такое же право на внимание со стороны учителя, как другие виды его деятельности. В оценку всей деятельности школьника должна входить и оценка его КД. 2) Конечный практический результат работы учителя в этом направлении — некий уровень умения ученика критически подойти к собственной работе. 3) Первоначально КД направлена на контроль и оценку работы другого человека: ученика, учителя, автора текста. 4) Система работы учителя в этом направлении включает в себя не только естественно возникающие ситуации, но и создание специальных условий, провоцирующих ученика на КД. Я уже говорил о том, что КД в первую очередь направлена на то, чтобы избежать ошибок. Но поводом (основанием, «толчком» — не знаю, как сказать точнее) для КД может быть и многое 186
другое: неясное объяснение учителя или в учебнике, сопоставление полученного результата с исходным условием, оценка качества решения, последовательности изложения, сравнение разных точек зрения. Можно сказать, что КД необходима для более глубокого понимания, например, доказательства. Почему оно такое? (Почему, к примеру, теория площадей в планиметрии обошлась без интеграла, а теория объемов — нет?) Нельзя ли было доказать иначе — короче, красивее? Некоторые формулы непонятно откуда взялись — нельзя ли было их предугадать (ту же теорему Пифагора)? Даже глобальный вопрос типа: «А зачем нам нужен этот синус?» — может свидетельствовать о начале КД. КД можно организовать в разных учебных ситуациях. КД по отношению к работе другого ученика. Естественно, она происходит, когда только что закончен чей-то ответ у доски. Причем лучше, если это был ответ, средний по качеству. Обычно я даю отвечающему выговориться полностью, не перебивая его ни вопросом, ни подсказкой, даже если ответ путаный. Всем известна фраза, которой иногда отвечают на наши комментарии вызванные к доске: «А я так и хотел сказать, да только мне помешали!» «Ты все сказал?» — задаю я вопрос выступавшему. И только после его «да» начинаю работать с классом, спрашиваю: «Какие у вас есть вопросы к выступавшему у доски?» Обычно в ответе или в решении есть места, которые требуют некоторого разъяснения. Когда таких мест не осталось, я задаю следующий вопрос классу: «У кого есть замечания по тому, что сказано (написано)?» Здесь можно говорить об ошибках, которые удалось заметить. И последний мой вопрос: «Кто хочет высказаться по поводу ответа в целом?» Здесь уже дается некая оценка тому, что было сказано или написано, может быть оценена как идея решения, так и его качество, можно предлагать свои идеи. Возможны дискуссии и мой комментарий к ним. Обязательно надо отмечать удачные выступления учеников, даже просто толковые вопросы. На приведенной триаде моих вопросов к ученикам приходится задерживать внимание, фиксировать ее в их сознании, так как дети вначале плохо понимают, что же они хотят сказать по выслушанному ответу. Чаще всего от них слышишь: «А я не понял!» И все. Свой вопрос они не могут верно сформулировать, а отвечавший, вряд ли поняв, что его спрашивают, тут же начинает говорить неизвестно что. «Ты понял вопрос?» — спрашиваю я у него. «Нет»,— частенько слышу в ответ. «А тогда зачем отвечаешь?» Долго приходится ждать, пока школьник начинает говорить: «Я не понял вопроса». Я думаю, что ученик во время ответа имеет право на ошибку, тем более на заблуждение. Если класс своими вопросами помог ему поправить свой ответ, то я не снижаю его отметку. Возможен даже такой вариант. Я говорю детям: «Если вы зададите ему такие вопросы, ответив на которые он поправит свою работу, то отметка ему снижена не будет. А если не зададите таких вопросов, 187
то я начну их задавать, а потом могу и снизить отметку. Так помогите человеку у доски своими вопросами». И ведь помогают! Гораздо строже, чем к отвечающему, я отношусь ко всему классу. Во время ответа слушатели обязаны настроиться на КД, готовить свои вопросы, замечания, выступления. Общий итог всему сказанному в классе подводит учитель. Отметка за ответ выставляется с учетом реакции ученика на вопросы и участие в дальнейшем обсуждении. Очень важно, что все вопросы и замечания с места не приводят к снижению отметки, а скорее наоборот — дают некий дополнительный шанс выступавшему. Вместе с тем отмечается успешная КД с места. Иногда ученики делают ошибки «гениальные», я даже благодарю их. Это те ошибки, которые класс не может заметить в принципе, из-за нехватки знаний. О таких ошибках я рассказываю сам и ясно, что не снижаю за них отметки. Далее возможен и другой прием работы в том же направлении. После ответа ученика кому-либо предлагается выступить об услышанном полностью: задать вопросы, сделать замечания и оценить работу в целом. Если такое выступление было достаточно содержательным, то за него ставится отметка. Когда ученики привыкают к такого рода «оппонированию», то за него может выставляться и низкая отметка в том случае, если оппонент не смог ничего сказать толком (а сказать было что). Зная, что каждый может быть вызван на «оппонирование», ученик за партой становится куда более внимательным к ответу товарища. Бывает, что выступление оппонента само нуждается в замечании или открывает некую совсем не запланированную дискуссию. Дело учителя — привести все это к общему знаменателю. Формы «оппонирования» можно варьировать. Можно, например, предложить «оппонирование» одного ответа нескольким ученикам или «оппонирование» нескольких ответов одному ученику. Еще раз подчеркну: оценивается учителем не только сам ответ, но и его оппонирование. До сих пор я вел речь об организации КД в процессе устной работы в классе. Не менее важна организация КД в связи с письменной работой, текстом. Преследуя разнообразные учебные цели, я давно уже, этак с четверть века, предлагал учащимся так называемые «недельные» задания, т. е. задания с недельным сроком исполнения. Вначале я проверяю их сам, потом эту работу начинают выполнять ученики. Они разбиваются на фиксированные пары, и каждый ученик проверяет только работу напарника. Проверяющий должен так или иначе прокомментировать все замеченные им ошибки и выставить «оценку». Обычно в недельном задании пять задач, и эта «оценка» — просто число задач, которые засчитаны проверяющим как решенные. (Эти «оценки» фиксируются в специальной тетради и учитываются при выставлении четвертных или полугодовых отметок.) Желательно в каждом недельном задании выборочно про- 188
верить работу хотя бы одной пары, как решения, так и комментарий к ошибкам, а затем оценить работу этой пары публично. Ученик имеет право обжаловать полученную «оценку», и тогда решающее слово принадлежит учителю. Приведенные формы работы с учениками направлены в первую очередь на «борьбу» с ошибками. Поиск ошибки — отнюдь не простая работа. Надо знать, что искать, где искать и как искать. Я позволю себе повториться, но для обучения такой работе, такому виду КД необходим показ ошибок и их осмысление. И «оппонирование», и комментирование ошибок важны в КД ученика, но частенько зависят от случая. Более целенаправленно можно управлять КД ученика в процессе преподавания. Я могу в своем рассказе «допустить» именно те ошибки, на которые хочу обратить внимание детей, я могу расставить именно такие «ловушки», в которые вероятнее всего они угодят. Некоторые примеры такой работы я приводил, когда говорил об ошибках. Приведу еще. Добавлю при этом, что ученики наши бывают чересчур доверчивы к тому, что им говорят с «амвона», т. е. за учительским столом. От такой доверчивости рождается невнимательность, порой безразличие. А мы все рассказываем, все диктуем что-то. И они пишут, пишут, и подумать им совсем некогда. Кто-то однажды рассказал, как студенты, одержимые мыслью не упустить из лекции ничего, строчили в своих тетрадях под диктовку: «Электроны бывают зеленые, желтые и синие...» (Лектор ставил некий мини-эксперимент.) И сколько таких «желтых электронов» записано в детских тетрадях? Мне во время своего рассказа нужно не показное их внимание, а подлинная работа мысли. Установка на КД многому в этом способствует. Итак, что же я могу сделать? 1. «Доказать» неверное утверждение. а) Найдем интеграл на таком промежутке, где подынтегральная функция имеет разрыв: = -2. б) Плоские углы а, р, у трехгранного угла связаны между собой зависимостью cos p = cos a-cos у. Ha ребрах этого трехгранного угла отложим от вершины три единичных вектора: а, Ь, с при том, что /La, b = yy /Lb, с = а, Z_a, с = р. Запишем скалярные произведения этих векторов: afe = a«fe«cosY (1) bc = b'С«cos a (2) ac = a«c-cos p. (3) Перемножим теперь равенства (1) и (2) и получим (a-b)-(b*c) = ab2c-cos a cos у. 189
Отсюда b2• (а • с) = ab2c• cos a cos 7- И так как все векторы единичные, то cos p = cos a cos у, что и требовалось доказать. Если об отсутствии ассоциативности скалярного умножения раньше речи не было, то ученики и глазом не моргнут. А полученное равенство обведут в рамочку. После чего предлагаешь им перемножить равенства (2) и (3), а затем равенства (1) и (3). Прекрасно, они опять же записывают и обводят. Вот они, «желтые электроны». Тогда я предлагаю им перемножить все три полученных выражения для косинусов. И получается вот что: (cos a cos p cos y)2 = cos a cos p cos у. Но отсюда следует, что либо один из данных косинусов равен нулю, либо один из них равен 1. И только тут они начинают задумываться над происходящим. 2. Получить верный результат, однако с ошибкой. а) Можно «вывести» формулу объема прямого кругового цилиндра с помощью интеграла. (Но при построении теории использование интеграла для вычисления объемов основывается на формуле объема такого цилиндра.) б) При решении неравенства ответ верен, а равносильности нарушены. 3. Рассуждение может содержать некоторые пробелы, которые надо восполнить. а) Решаем неравенство с параметром ах'2 + х+ 1 >0 и упускаем случай, когда а = 0. б) Находим объем конуса, вписанного в шар, и работаем в молчаливом предположении, что центр шара лежит внутри конуса. 4. Хорошим «толчком» для развития КД является появление разных ответов: чем больше, тем интереснее, что будет дальше. Разумеется, попытки голосовать или ссылки на авторитет лучших «математиков» бессмысленны. Бывает, что ответы только внешне различны. Например, мы решаем уравнение sin а: — — cosjc = 0. Один способ — решать его как однородное, а другой — через тангенс половинного угла. Нужна некая работа, чтобы убедиться в идентичности полученных результатов. 5. Работа с определением. Иногда имеет смысл давать его не сразу же в окончательном виде. Очень полезно для КД, когда в результате беседы с учителем класс как бы «подбирается» к нужному определению, отвергая неприемлемые варианты. Такую работу можно вести, давая определения, скажем, периодической функции, касательной, многогранника, геометрического тела. Лю- 190
бопытен пример с определением прямого параллелепипеда. Стандартное определение: «Прямой параллелепипед — это такой параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию» — вроде бы не внушает опасений. Тогда я беру спичечный коробок, но без содержимого, ставлю его самой маленькой гранью на стол, затем смещаю заднюю грань относительно передней — параллелепипед из прямоугольного становится прямым. Далее я поворачиваю коробок и ставлю его на стол «рабочей» гранью. Основание находится на столе, и боковое ребро ему уже не перпендикулярно. Так какой параллелепипед перед нами? И может ли зависеть тип фигуры от того, в каком она находится положении? И нужно ли в связи с этой историей менять определение прямого параллелепипеда? (Я уже не говорю о неповторимости того, что можно услышать от детей, когда они находятся в процессе сотворчества. Вот только два примера. — Можно ли сказать, что усеченный конус — это конус? — Нет, но он был конусом. И еще: «Ломаная — это когда отрезки идут под градусом».) 6. Оценивая доказательство теоремы или решение задачи, важно приучать школьника думать о каждом ее условии, устанавливать его необходимость не только для доказательства, но и для справедливости самого утверждения. Вот примеры. а) В некоторых теоремах анализа функции дифференцируемы внутри промежутка — области определения и непрерывны на концах этого промежутка. Почему не задать сразу же дифференци- руемость на всем исходном промежутке? б) В известной теореме о сумме плоских углов при вершине многогранного угла обычно в условии говорится о его выпуклости. Зачем она понадобилась, если в доказательстве о ней не упоминается? Такая работа может проводиться достаточно последовательно, если регулярно предлагать задачи с недостающими или избыточными условиями. Например: «Числа а + Ьу а — Ь и а-b являются рациональными. Будет ли рациональным числом разность квадратов чисел а и Ь? А разность кубов?» Или еще пример: «О числе а известно следующее: 1) а2>4, 2) 2а = 6, 3) —<а. Из каких двух утверждений следует третье?» 7. Некоторую роль в формировании КД играют формулировки задач. Императивные задания типа «доказать», «вычислить», «найти» выглядят хуже, чем вопрос: «Верно ли, что?» При ответе на него предполагается некая гипотеза, которая не обязательно должна быть верной. В работе с такими заданиями требуется известная аккуратность. Что, собственно, имеется в виду, когда ученика спрашивают: «Верно ли, что а2>1?»? Во-первых, неясно, какой квантор «навешен»: всеобщности или существования. В задачах на доказательство опущенный кван- 191
тор всегда квантор всеобщности, но ведь у нас природа задачи другая. Во-вторых, какова область определения переменной в этом предикате? Я выхожу из положения так. Если нет специальных указаний, то область определения переменной максимально возможная. Затем объясняю ребятам, что и ответ интереснее всего также максимально широкий. В нашей задаче лучше всего указать, при каких значениях а неравенство верно. Если бы мы считали, что подразумевается некий квантор, то ответ был бы, возможно, и верным, но чересчур уж формальным: «Нет», если считать, что имелся в виду квантор всеобщности и «Да», если подразумевался квантор существования. Добавлю от себя, что избыточные условия в математической задаче встречаются куда чаще, чем мы думаем. Многие задачи о фигурах можно сформулировать как задачи об их частях. 8. Проверяя письменную работу ученика, я часто выставляю только пометки, указывающие, верно решен пример или нет. Если ученик может сам найти ошибки в своей работе, то одно из двух: либо можно повысить ему первоначальную отметку, либо наряду с первоначальной выставить ему отметку за хорошую работу над ошибками. 9. Возьмем часто встречающуюся на практике ситуацию. В классе решается достаточно содержательная задача. Предположим, у нескольких учеников возникли идеи ее решения. Как мне быть, если я понимаю, что некоторые из этих идей тупиковые или попросту неверные? Отвергать собственным «волевым» решением? Но тогда может нарушиться едва возникшая атмосфера поиска. Да и опровержения могут быть непростыми, а как это все объяснить детям, не расстраивая их? Я делаю вот что. Говорю, что у нас есть несколько идей, поди знай, какая из них верна. Мы попробуем их опровергнуть. Если удастся, то список идей уменьшается, а если нет — ничего не поделаешь, надо «испить» его до конца. И жаль времени, но что поделаешь. 10. Ученики работают самостоятельно. Расхаживая по классу, можно интересоваться не только тем, кто что сделал, но и тем, какие ошибки допущены детьми. Самые поучительные из них выпишем на доску — в конце урока будет о чем поговорить. Школьники должны в итоге понимать, что ошибки в работе — «дело житейское», а КД важна и серьезна. И в реализации ее не должно быть предвзятости и личных обид. Ученик, отвечавший у доски, получил сниженную оценку не потому, что кто-то заметил его ошибки, а потому, что это ошибки. В формировании такого отношения учеников очень важен личный пример. Поэтому, если кто-то заметил неточность, недоговоренность или неполноту в моем рассказе, тем более ошибку, то естественно поблагодарить, похвалить за это, а в нетривиальных случаях — выставить и отличную оценку. Я всегда акцентирую такой момент. «Дети,— говорю я им.— Обязательно запоминайте, где я ошибся и почему. Все ошибаются, и учителя тоже, но дело в том, что я понимаю, 192
где ошибка наиболее вероятна, и умею ее находить». Обязательно комментирую им свои ошибки. Две из них наиболее памятны мне. Однажды я «доказал» в классе теорему косинусов со знаком «плюс» вместо «минус» в соответствующем месте — было такое затмение. (Потом я стал это делать регулярно и предлагал классу найти ошибку.) Другой пример похитрее. Как-то не хотелось доказывать существование перпендикуляра из точки на плоскость традиционным способом. И я придумал вот что. Пусть есть точка А и плоскость а, на которую надо провести из А перпендикуляр. Проводим любую прямую а на плоскости а, затем из А проводим перпендикуляр на эту прямую. Через конец построенного перпендикуляра проведем в плоскости а к прямой а прямую Ь, ей перпендикулярную. Затем из А проводим перпендикуляр на Ь. Он- то и будет искомым перпендикуляром на плоскость а. Действительно будет, это несложно доказать, причем даже без признака перпендикулярности прямой и плоскости. Но радовался я рано. Дело в том, что перпендикуляр из А на прямую а может совпасть с перпендикуляром из А на прямую Ь. Если это учесть, то доказательство становится куда более громоздким. Но дело не в этом, а в том, что я не увидел такой возможности совпадения. Я уже не говорю о собственных импровизациях на уроке при попытке решать задачи, которые предлагают дети. Тут заносит иногда так далеко и в сторону... И они видят, что идеи, пришедшие в голову, вовсе не обязаны быть безупречными и даже верными. КД может проявлять себя и в работе с учебной книгой. Перечислю то, что в книге является основанием для КД. 1) Понятия без определения. 2) Определения, данные в контексте и не выделенные. 3) Отсутствие мотивировок в рассуждениях — почему доказательство именно такое? 4) Неясно, что доказывается и зачем. 5) Неясно, почему одно утверждение доказано, а другое — нет. 6) Неясные рассуждения. 7) Пропуски в доказательствах. 8) Неверные ссылки. 9) Ошибки. 10) Опечатки. 11) Утверждения без доказательства и без указания об этом. 12) Неточная терминология. 13) Неудачный способ изложения. 14) Чрезмерная общность в первоначальной подаче учебного материала. Наверняка этот список можно продолжить. Каждый из пунктов этого списка я мог бы сопроводить не одним примером, причем многие из них были найдены учениками. Некоторые из этих пунктов естественны и не должны вызывать резкой реакции — 13 Заказ 506 193
опечатки, например. Известно: «Британская энциклопудия». (Ищите ошибки там, где автор пишет «очевидно»,— говорю я.) В других случаях требуется осмысление. Маловероятной кажется ошибка в математическом тексте книги. Однако бывают и они — вот несколько примеров. В книге В. Ф. Шаталова «Точка опоры» (М.: Педагогика, 1987) приведена для заучивания формула arccos jc = arcsin -yjI — х. Но без условия х^О она попросту неверна. Н. Н. Васютинский в своей книге «Золотая пропорция», говоря о египетских пирамидах, пишет следующее: «Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах». Обратим внимание на то, что автор говорит именно о размерных отношениях, как то отношение апофемы к высоте и т. п. Но ведь с ранних лет ученичества известно, что отношение величин не зависит от выбора единицы измерения! А вот свежий пример. В статье «Необходимые условия и задачи с параметрами» (Квант.— 1991.—№ П.—С. 48) авторы пишут такое: «Поскольку каждое достаточное условие является необходимым, но не каждое необходимое условие является достаточным, ясно, что ...» Ну и, конечно, не счесть возможностей для проявления КД не только при обучении математике. Один из последних примеров: когда стал обсуждаться вопрос о необходимости многопартийной системы в нашей стране, некоторые, возражая, говорили, что многопартийность еще не гарантия порядка, как легко видеть на опыте других государств. Однако это утверждение не опровергает исходного. В исходном утверждении говорится о необходимости многопартийности. А в «возражении» говорится о ее недостаточности. Но ведь о достаточности и речи не было! Десятиклассники, которым я это рассказывал, легко построили правильное по форме возражение. «Подвергай все сомнению» — очень точный принцип в системе КД. Не «сомневайся во всем», а именно подвергай, и именно все. Из истории человеческой мысли мы знаем, что самые революционные достижения в науке связаны с пересмотром ее основных принципов, если угодно, аксиом. Иначе говоря, того, что казалось незыблемым. Но можно ли в школе посягнуть на аксиомы? Я пробовал. Разумеется, не для того, чтобы их опровергнуть. Цель была совсем другая — показать ученикам, что ничего особенного в такой процедуре нет. В классе обсуждались аксиомы расстояния. Напомню их в подробной редакции. 1) Для любых точек А и В \АВ\^0 (\АВ\ —это обозначение расстояния между точками Л и В). 2) Для любой точки А |ЛЛ|=0. 194
3) Если |ЛВ|=О, то точки Л и В совпадают. 4) Для любых точек Л и В \АВ\ = \ВА\. 5) Для любых точек Л, В, С \АВ\ + \ВС\ Перед учениками был поставлен вопрос: можно ли сократить список аксиом? Кое-что получилось. Например, удалось вывести аксиому 1 из аксиомы 5. Возьмем в аксиоме 5 С = А. Получим: |ЛВ| + |ВЛ|>|ЛЛ|. Но \АВ\ = \ВА\ и |ЛЛ|=0. Значит, 2|ЛВ| >0, откуда и получаем, что |ЛВ|>0. Возможно другое доказательство того же. Пусть есть такая пара точек Л и В, что |ЛВ|<0. Но тогда и |ВЛ|<0. Опять в аксиоме 5 положим С = А. Тогда слева получится сумма |ЛВ| + + |ВЛ|, которая для взятых точек меньше нуля, а справа будет стоять |ЛЛ|, равное нулю. Из получившегося противоречия выходит, что такой пары точек нет. Поток дальнейших усовершенствований списка аксиом расстояния продолжался, все выводилось чуть ли не из одной аксиомы, и класс быстро оказался перед другой проблемой: как опровергнуть усовершенствователей? Ошибки были любопытные. Вот, например, как было «доказано», что |ЛВ|^0. Возьмем точку X такую, что |ХЛ| = |ХВ|. Из аксиомы 5 запишем: Но \ХА\ = \ХВ\. Значит, \ХВ\ + \АВ\^\ХВ\, откуда и следует, что |ЛВ|>0. Или вот такое «доказательство» аксиомы 5. Пусть она верна не для всех точек, и точки Ау В> С как раз такие, что |ЛВ| + + \ВС\ < \АС\. Ну а для остальных точек неравенство треугольника верно, и, в частности, для любой другой точки X имеем |у4АГ| + \ХС\ ^\АС\. Пусть теперь точка X такова, что выполняется равенство: \АХ\ + \ХВ\ = \АВ\. Согласно аксиоме 5, можем записать такое неравенство \ХВ\ -\-\ВС\^\ХС\. Сложив его с предыдущим неравенством для точки Ху получим после упрощения такое: \АХ\ + \ХВ\ + \ВС\ ^ \АС\. Отсюда, учитывая выбор точки Ху получаем, что |ЛВ| + \ВС\ ^ \АС\. Но это неравенство противоречит выбору точек Л, В, С. Значит, наше предположение о существовании такой тройки точек неверно, и на самом деле аксиома 5 выполняется всегда. Но в общем ошибки находились, и лишний раз стало ясно, что хотя «посягать на основы» и можно, но трудно. И каковы же результаты по обучению детей КД? Трудно говорить что-либо на доказательном уровне, как почти всегда, когда делишься всего только собственным опытом. Но кое-что все же заметно. Улучшается качество вопросов со стороны учеников. Я приведу только один пример. Одна ученица как-то спросила: «Тетра- 195
эдр и треугольная пирамида — одно и то же, так? А почему же тогда правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида — не одно и то же?» Я даже опешил вначале, мне и в голову не приходило задумываться о «такой ерунде». Кстати, ответ я придумал не сразу. Потом было очень приятно увидеть обсуждение этого вопроса в книге Г. Фрейденталя «Математика как педагогическая задача» (М.: Просвещение, 1982). Дело в том, что тетраэдр и треугольная пирамида — не совсем одно и то же. В тетраэдре все вершины равноправны, а в треугольной пирамиде одна из них как бы выделена. И, оказывается, эта тонкость всегда проходила мимо моего внимания. Бывали случаи, когда только за вопрос я ставил в журнал отличную оценку. В последние годы я изредка прибегаю к групповой форме решения задач. Приходилось быть свидетелем достаточно разумных дискуссий, разворачивающихся между учениками. Но главное не это. Главное, по-моему, то, что у детей начинает с течением времени проявляться потребность в самоконтроле. «Подвергай все сомнению» означает, между прочим, что и к собственной деятельности надо подходить критически. Мало ли какие идеи приходят в голову! Их тоже надо уметь опровергать, оценивать. Очень похоже на то, что без специальной работы учителя дети так и не будут иметь понятия о том, что любая своя работа требует проверки, о том, как ее можно делать. Всем учителям математики, разумеется, известна такая картина: смышленый паренек на контрольной работе кончает трудиться минут за 10 до конца урока и хорошо, если смотрит в окошко, а не начинает крутиться. «Да ты проверь!» — говоришь ему. «А я уже проверил!» — отвечает тот. Чего он там проверял, да и как проверял — никто не знает, а в работе не обошлось без ошибок. Никуда, видимо, не денешься — надо учить проверять и собственную работу. Что же здесь можно посоветовать? Прежде всего обратить на себя все приемы КД, которые ученик наблюдает в классе. Как проверить полученный результат? 1) Проверка по частным случаям. В тождественных преобразованиях удобны подстановки 0 и 1 как значений переменных: уравнения и неравенства с параметрами проверяются так же; часто удобно брать равные между собой значения переменных (если при выводе формулы для объема усеченного конуса получилось выражение V=—H (S\ — S1S2 + S2), «j где Н — высота, Si и S2 — площади оснований, то, взяв Si=S2, видим, что объем может получаться отрицательным); построенный график функции проверяется по контрольным точкам. Но ученик обязан понимать, что для такой проверки важен только отрицательный результат, факт несовпадения. 196
2) Проверка «в обратную сторону». Разложение на множители контролируется умножением; нахождение первообразных — дифференцированием; корни квадратного уравнения — теоремой Виета; изображение фигуры по трем ее ортогональным проекциям — видами полученной фигуры на тех же трех проекциях. 3) Проверка именованного ответа по размерности. Впрочем, надо понимать, что совпадение размерности еще не гарантирует правильности. 4) Проверка по симметричности. Симметричность условия задачи должна приводить к симметричности ответа и наоборот. Стандартный пример — симметричные системы уравнений; симметричное выражение должно получаться при выводе формулы Герона, при вычислении объема усеченного конуса, в некоторых комбинаторных задачах («Сколькими способами можно составить регламент для пяти ораторов так, чтобы оратор А выступал раньше оратора В?») 5) Проверка в предельных случаях. Одну из данных величин устремить к нулю или к бесконечности, или еще куда-нибудь и посмотреть, соответствует ли полученный результат условию. Я уже рассказывал, что теорему косинусов можно «доказать» со знаком « + ». Именно, в треугольнике ABC получим: cos С. Как найти ошибку? Устремим угол С к нулю. Тогда cos С -> 1, с -> а + Ь в то время, как очевидно, что при этом стремлении угла С с^О. 6) Параллельное решение. Кроме аналитического решения, проводить и графическое. Чтобы поощрить такую деятельность, я для повышения отметки иногда считал, что сделано два примера. Причина проста —приходится преодолевать «сопротивление» учеников, полагающих, что нет лучшего способа проверки, чем спросить у соседа и тем самым сэкономить время. 7) Проверка прикидкой. Здесь в первую очередь вычисления, но не только. Всегда возможно задать себе вопрос: «А что должно получиться?» 8) Проверка по здравому смыслу. В задачах на поиски экстремума уже из условия бывает ясно, какой именно экстремум должен иметь место; если в текстовой задаче некий мотоциклист проехал без остановки 1000 км, то появляются основания для беспокойства. Как проверить ход решения? Тут надо смотреть за равносильностью переходов; откуда берутся ссылки; работает ли использованная идея в других случаях (известное «доказательство» шарообразности Земли — если пой- 197
ти в одном направлении, то придешь, откуда вышел,— годится и для «кубообразной» формы); все ли условия использованы при решении. Недовольство решением может быть вызвано и тем, что оно «не смотрится»: длинное, громоздкое. А. Пуанкаре высветил ту роль, которую играет эстетическое начало в математических исследованиях. Поселить бы это начало в головах своих учеников... Красивых решений, полученных учениками, каждый учитель может привести немало, и я выберу только один из последних примеров. Сначала мы в классе установили, что д/2 — число иррациональное. Потом дети сами это проверили для числа -у/3. И обобщили на -\[а. Затем я предложил доказать, что будет иррациональным число УЗ + V^- Стандартное решение ясно: после возведения в квадрат останется доказать, что ^6 иррационален, а это уже известно. И вдруг... предлагается такое рассуждение: рассмотрим вместе с данным числом такое: УЗ —л/2. Его сумма с данным равна 2 — ^3, а произведение 1. А это возможно только тогда, когда каждое из них иррационально. Вся атмосфера в классе может способствовать КД. Сопоставление разных точек зрения по одному и тому же вопросу, культивирование поиска разных решений одной и той же задачи, доброжелательность к ученику, сделавшему ошибку («Дети, вы только посмотрите, какая интересная ошибка у вас перед глазами! Спасибо тебе, Вася, за такую ошибку!»), возможность вступить в дискуссию с учителем по любому вопросу и даже обжаловать полученную отметку, возможность повысить полученную отметку за счет толково сделанной работы над ошибками — вот некоторые особенности такой атмосферы. Подведем итоги. 1) КД реально существует в структуре учебной деятельности школьника. 2) КД ученика может находиться в поле зрения учителя, направляться, учитываться и, возможно, оцениваться. 3) В систему работы учителя по обучению КД входят разные приемы, связанные как с содержанием обучения, так и с его формами. 4) Общая атмосфера в классе может благоприятствовать становлению, проявлению и развитию КД. 5) Важнейшая задача при формировании КД — обучение самоконтролю. Ее решение начинается с обучения контролю. Мне далеко не все ясно с КД: когда начинать, как начинать, в какой последовательности ее развертывать, как ее оценивать и многое другое. Но ценность КД для меня несомненна. Дети становятся все более защищенными от неверных результатов, поверхностных утверждений, сомнительных обосновании, рискованных предположений. От КД можно перекинуть мостик к более глубокому пониманию предмета и науки в целом. КД спо- 198
собствует формированию убежденности. Ученик убежден не потому, что ему нечто внушили или написали в книге или «так сказал учитель». Ученик убежден потому, что он сам подвергнул сомнению, понял и в конце концов пришел к выводу, который готов отстаивать в любой ситуации. А то ведь вот какая реальность: однажды я разговаривал со своей ученицей, толковой девушкой, только что сдавшей выпускной экзамен по обществоведению. И отвечала она о материи и сознании. И материя, разумеется, первична. «Ну и какие же ты привела этому доказательства?» — спрашиваю я. «В учебнике и так много написано, а если бы еще и доказательства надо было учить...» — ответила она. Обучение КД, как я думаю, не только один из путей реализации принципа научности, но и воздействия на нравственные свойства развивающейся личности. IV.3. О ПОНИМАНИИ КД, будучи направлена на «разрушение», на самом деле разрушает только тогда, когда это возможно. А если разрушать было нечего, если все было верно? Есть ли в таком случае какой- либо реальный толк от КД? Думаю, что есть. Результатом КД в любом случае является более глубокое понимание. Подвергать сомнению — не только для опровержения, но и для другого уровня понимания. Вот и пришла пора поговорить о том, что в последние годы меня интересует все больше,— о понимании. В самом деле, каким же это образом, передавая детям знания, я воздействую на их развитие? Знания одни и те же, а дети вон какие разные. Знания влияют только тогда, когда они присвоены ребенком, когда они начинают перерастать в убеждения. Установка учителя на понимание и способствует этому процессу. Понимание, конечно, не тождественно знанию. Несколько примеров должны подтвердить эту мысль. 1) Правила шахматной игры знают и любитель, и гроссмейстер. Оба они, глядя на одну и ту же позицию, понимают ее, однако совершенно по-разному. Более того, многие комментаторы матча Карпов — Каспаров признавались, что в иных партиях они не понимали замыслов соперников. 2) Знать формулу и понимать ее — далеко не одно и то же. Пример: формула второго закона Ньютона или формула Ньютона — Лейбница для школьника и для профессионала. 3) Знание текста и понимание его разделены еще больше. Проводя иногда досуг с учениками, я предлагал им растолковать смысл сказки «Курочка Ряба». Никогда не думал, что эти толкования могут быть столь различными. С тем же можно столкнуться, если предложить школьнику рассказать, как он понимает какое- либо общеизвестное выражение, например «Язык до Киева дове- 199
дет». Как-то я предложил восьмиклассникам маленький тест на понимание «Евгения Онегина». Спрашиваю: «Вы помните сцену встречи Татьяны и Онегина в Москве?» Помнят. «А помните строчку, где Татьяна смотрит на Онегина?» Помнят. «А какой знак стоит в ее конце?» Отвечают, что, конечно, точка. «А теперь посмотрите, что у Пушкина». А у Пушкина, естественно, многоточие. 4) Знать, что нужно делать, и понимать, что нужно делать,— разные вещи. Как спасали ростовщика Джафара, тонувшего в пруду, его многочисленные должники, стоявшие на берегу? Они тянули ему руку и кричали: «Давай!» Следуя своей натуре, ростовщик руки не давал. Но случайно на берегу оказался Ходжа Нас- реддин. Он тоже протянул руку, закричал: «На!» Ростовщик уцепился за нее и был вытащен на берег. Комментируя эту сцену из повести В. Соловьева «Возмутитель спокойствия», я спрашиваю: «Кто из «спасателей» лучше понимал ситуацию?» 5) Знания двух людей в одном и том же деле могут быть совершенно одинаковы, а понимание дальнейших действий — совершенно различным, как у адвоката и прокурора на судебном процессе. Можно привести много и других примеров. Но закончу таким. Клемансо, политический деятель Франции начала века, о двух своих коллегах сказал: «Один все знает, но ничего не понимает, а другой все понимает, но ничего не знает». Когда начинаешь разбираться в том, что такое «понимание», то прежде всего необходимо учесть давление житейского смысла этого понятия. В самом деле, объясняя ученикам нечто им неизвестное, мы то и дело вопрошаем: «Кто не понял?», «Что непонятно?» Для детей, что там ни говори, тот учитель лучше, который объясняет «понятнее». Есть книга Е. Богата «Понимание» (М.: Политиздат, 1986) на моральные темы и есть прекрасная мысль в фильме «Доживем до понедельника»: «Счастье — это когда тебя понимают». Правда, кажется, еще О. Уайльд иронизировал: «На самом деле есть только две трагедии в жизни. Первая, когда тебя не понимают. Вторая, когда тебя уже поняли». (Цитата несколько вольная.) О понимании написано много. Им занимаются философы, психологи, специалисты по искусственному интеллекту. О нем писали выдающиеся умы: А. Пуанкаре, Г. Вейль, В. Гейзенберг, Р. Фейн- ман, Р. Том. Для меня все размышления на эту тему и начались тогда, когда я прочитал у Пуанкаре о причинах непонимания математики — как же можно не понимать логику? Какое-то собственное разумение мне необходимо, чтобы хоть чуточку двинуться дальше. Итак, пусть имеется нечто, несущее информацию: явление, сооружение, человек, общество... Информация как-то распределена в этом «нечто», в присущих ему объектах, их связях. Существенна иерархия связей, есть более и менее важные из них, я бы говорил о «связях с весом». Далее, есть преобразование информации об этом «нечто» посредством текста, 200
образов, жестов, речи, мимики и т. д. И есть «пониматель» — человек, который воспринимает преобразованную информацию или само «нечто» и хочет восстановить исходную: объекты, их связи, систему этих связей и их «веса». Вот примерно так, видимо, узко и прагматично, я толкую для себя процесс понимания. Если держаться поближе к предмету собственной деятельности, то видишь, что в методике преподавания и даже в дидактике о понимании речи почти нет, разве что в последнее время появились некие исследования на эту тему. В программе по математике ведут речь о знаниях и умениях, просматриваются тенденции к все большей формализации: нормы, критерии, уровни, оптимизация, интенсификация... По-моему, в ней даже и слова такого нет — понимание. Но мы-то его говорим! И хотим, чтобы нас понимали! Вот я читаю книгу С. Лилли «Теория относительности для всех». Автор обучал этой премудрости всех желающих, включая домохозяек, и отразил в ней свой опыт. В тексте очень много заданий и вопросов для самоконтроля. Вот характерные: «Что вы понимаете под Словами...», «Продумайте смысл этого утверждения...», «Удостоверьтесь, что вы поняли все рассуждения...», «Убедитесь, что вы понимаете формулу...». Итак, в методике этот термин «не работает», толкование его исключительно неоднозначно, а реально без него не обойтись. Что же делать? Попробуем держаться того, что поближе к нам,— психологии. Что же я почерпнул из этой науки? 1) Понимание всегда личностно, оно существует только в головах людей. 2) Понимание невозможно, если вас не хотят понять. Фразы типа: «разговор глухих», «как об стенку горох», по-моему, как раз об этом. Значит, работая на понимание, мы выходим на мотивацию. 3) В понимании есть невербализуемая часть. (При монотонном чтении без отрыва от конспекта слушатели теряют до 30 процентов информации.) Эту систему образов иногда трудно выразить словами. Фраза «Понимаю, но сказать не могу» не так уж бессмысленна и ставит перед учителем задачу: помочь ребенку образы перевести на слова. 4) Понимание реализуется скорее в деятельности, чем в формулировках. Хорошая медсестра на операции работает без слов. Однажды я был на уроке математики в Новосибирском интернате при НГУ. Выпускники повторяли тригонометрию и лихо решали «жуткие» задачки. После урока я спросил у них: «А что такое синус?» — и не услышал четкого определения. Давно это было, и по молодости я чрезвычайно порадовался, что, как говорится, «посадил их в лужу». Только недавно стал понимать, что правы-то были они. 5) Необходимо различать понимание как процесс и понимание как результат этого процесса. Результат появляется как итог про- 201
цесса, который может быть достаточно долгим. Значит, в практической работе над пониманием надо не торопиться и по многу раз возвращаться обратно. 6) Понимание, как правило,— результат диалога. Разумеется, чтение книги можно трактовать как некий диалог. Но куда в большей степени может быть диалогом живое общение с учеником. Почему-то много внимания уделяется обучению работе школьника с учебной книгой и ггочти не говорится о том, как научить его слушать. 7) Понимание — это совпадение смыслов. Как же сделать так, чтобы передать смысл из своей головы в чужую? Словами и рисунками смысл только кодируется, как сказал поэт: «Мысль изреченная есть ложь!» И впрямь, сколько же раз мы слышим от учеников чудовищные по бессмысленности утверждения с сопроводительным текстом: «А вы сами такое говорили!» 8) Понимание связано с эмоциональным переживанием. Состояние понимания весьма комфортно, миг понимания — «момент истины» — редок и прекрасен. Архимед выскочил из ванны в ту самую секунду. И еще много всякого можно прочитать о понимании у психологов. На чем же остановиться? Как обычно, чтобы разобраться в явлении, полезно сопоставить его с собственной противоположностью. Здесь надо говорить об отсутствии понимания, о непонимании. Что же мы можем не понимать? 1) Слова. Пример — неизвестные термины. 2) Фразы, хотя каждое слово из этой фразы известно. Пример — философские сочинения. Причина ясна — нет соответствующей культуры. 3) И слова понятны, и фраза ясна, но она не укладывается в контекст, в систему предыдущих знаний и смыслов. Пример: «Сегодня можно то, что вчера было нельзя». 4) Смысл фразы. Маленький диалог в качестве примера. — Дай, пожалуйста, чашку. — На. — А где блюдце? Это неплохой перечень. А если взять поближе,— что не понимаю сам? Много чего. Например, долго не понимал ссылок на аксиому математической индукции. Собственно, а почему нельзя, сделав индуктивный переход, сказать примерно такую фразу: «При п = 1 утверждение доказано, тогда, согласно индуктивному переходу, оно верно при п = 2. Так как оно верно при я = 2, то в силу индуктивного перехода оно верно при п = 3. И так далее». И при чем тут аксиома индукции, принцип индукции? Почему нельзя просто сказать: «И так далее»? Спрашивал у разных людей, у математиков — получал разные ответы. У них было какое-то свое понимание, но меня оно не устраивает, я его не принимаю. Есть и свое объясне- 202
ние, на котором, разумеется, не настаиваю. Именно, фразы «Это свойство имеет любой объект» и «Это свойство имеют все объекты» равносильны, когда объектов, о которых идет речь, конечное число. Но если такой законченности нет, тогда как? Фраза «Утверждение верно для любого натурального числа» не требует, по- моему, аксиомы индукции, так как до любого натурального числа можно «добраться» за конечное число шагов. Напротив, фраза «Утверждение верно для всех натуральных чисел» не может обойтись без аксиомы индукции, так как предполагает бесконечность актуальную. До недавнего времени я исправно и вполне традиционно доказывал ученикам в 9-м классе, что lim-^^-=l. Доказательство х -*■ О X это, как известно, длинное и не слишком простое. Но ведь уже в восьмилетней школе детям сообщается определение длины окружности как предела периметров правильных вписанных многоугольников. Стоит только чуть изменить это определение, взяв вместо правильных многоугольников правильные вписанные ломаные, не обязательно замкнутые, как мы получаем определение длины окружности, равносильное данному предельному равенству (Г. Фройденталь, А. Д. Александров). Причем эта равносильность «видна невооруженным взглядом», ибо sin x — это половина звена нашей ломаной в единичной окружности, а х — половина длины соответствующей дуги. Мое непонимание (видимо, не только мое) и заключалось в данном случае в невидении этой равносильности. Ну а что же рассказывать ученикам, когда сам не вполне уверен в точности собственного понимания? Приходится идти в обход. Корректность метода математической индукции можно, как известно, доказать и без ссылки на аксиому индукции. При этом приходится, правда, постулировать нечто другое, именно существование наименьшего числа в бесконечной последовательности натуральных чисел. Необходимость этой аксиомы я понимаю уже лучше — Бог знает, что там есть в бесконечных множествах! Еще пример, хорошо знакомый коллегам. Не упускаю случая спросить у детей: «Какой по виду треугольник со сторонами 3, 4, 5?» — Прямоугольный. — Правильно. Почему? — По теореме Пифагора. И тут я начинал в который раз объяснять разницу между прямым утверждением и обратным, что теорема Пифагора тут вовсе ни при чем, ибо она уже подразумевает «прямоугольность», что без теоремы косинусов тут не обойтись... Но на самом деле теоремы Пифагора «почти хватает» для правильного обоснования. Дело в том, что зависимость стороны треугольника от противолежащего угла (при постоянных двух 203
других сторонах) монотонная — этот факт легко получить, используя только теорему Пифагора. Но тогда и обратная зависимость также монотонна. И если, согласно теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4 равна 5, то верно и обратное утверждение: в треугольнике со сторонами 3, 4, 5 против большей стороны лежит прямой угол. Тот же вывод может быть получен из теоремы Пифагора и признаков равенства треугольников. Так или иначе, но без теоремы косинусов можно прекрасно обойтись! Я не понимаю оптимизацию обучения по Бабанскому. Оптимизировать можно только то, что достаточно формализовано. Должен быть критерий оптимальности, причем имеющий численную характеристику. Ничего подобного в обучении пока нет. Вот ^как сам Ю. К. Бабанский определял понятие оптимизации учебно-воспитательного процесса (цитируется по книге «Оптимизация педагогического процесса» (Киев: Радяньска школа, 1984), написанной им совместно с М. М. Поташником: «Под оптимизацией учебно-воспитательного процесса в современной школе подразумевается выбор такой методики его проведения, которая позволяет получить наилучшие результаты при минимально необходимых затратах времени и усилий учителей и учащихся». Что же здесь неясно? Но ведь это определение ключевого понятия, оно должно быть совершенно недвусмысленным! 1) Оборот «минимально необходимые затраты», житейски ясный, здесь может толковаться неоднозначно. Минимальные — понятно, необходимые — понятно, а вместе для меня просто набор слов. 2) Слишком много «минимально необходимых затрат» требуется, причем одновременно. Пусть нам удастся минимизировать время учителя. Почему при этом будет минимизировано и все остальное? 3) Учебно-воспитательный процесс характеризуется многими параметрами. Что такое его «наилучшие результаты»? По какому именно параметру? Сразу по всем? 4) Даже если удастся достигнуть «наилучших результатов» по всем параметрам или хотя бы по главным, то на это требуется определенное фиксированное время. При чем тут его минимальность? То же можно сказать и про усилия. Я не понимаю, каким образом ученики В. Ф. Шаталова учатся решать трудные задачи, точнее, как он учит их это делать. В его книгах об этом нет ни слова, хотя именно это — как я думаю — наиболее сложный вид деятельности в работе учителя математики. Я не понимаю некоторых книг: по математике, философии. Как-то летом решил одолеть современный учебник биологии для старшеклассников — ничего не вышло, не осилил я этой премуд- 204
рости. Причина ясна: мало знаний, мало работал над текстом, недостаток упорства, желания. Очень полезно держать такую «трудную» книгу поблизости от руки — лучше начинаешь чувствовать ученика, перед которым не одна такая книга. С другой стороны, книги, в которых все сразу ясно, по-моему, бесполезны, а может быть, и просто вредны. «Что ведет к успеху?» — спросили одного джентльмена. «Наличие препятствий»,— ответил тот. В школьной книге таким препятствием является трудное для понимания место. Само собой, не надо перегибать палку. Помню непонимание того, как раскрывается \х\. В самом деле, мы знаем такую запись: и, если х^О Но знак 1*1 = \ —jc, если х<0. системы традиционно означает конъюнкцию предикатов (выска- зывательных форм, выражений с переменными). Эта операция определена только тогда, когда переменная задана на одном и том же множестве. А в нашей записи в первой строке х^О, а во второй строке лг<0. Как же тут можно ставить знак системы? С этим недоумением я справился только после известной заметки В. Г. Болтянского, опубликованной в «Математике в школе». Однако пора перейти к детям. Но сначала... Моя коллега, учительница в ПТУ, рассказала как-то, что был у нее ученик, который появлялся на уроке математики примерно раз в месяц. Отсидев, он произносил обычно: «Опять не понимаю» и исчезал. Итак, что может быть причиной непонимания у школьника? 1) Недостаток знаний. Поэтому в начале урока так важно задать, если можно так выразиться, его «аксиоматику» — факты, которые будут на нем использоваться. 2) Неподготовленность к языку, на котором идет объяснение. Стандартный пример: язык е —б при изучении начал анализа. Еще пример — первые уроки информатики, когда только начинаешь рассказывать запись в виде блок-схем. 3) Недостаток определенной культуры. Стереометрия в старших классах начинается с таким трудом еще и потому, что уровень логической культуры учеников к началу 9-го класса не соответствует предмету изучения. 4) «Неуложенные» знания. Типична попытка детей объяснить что-либо, исходя из сведений, добытых на последнем уроке. Если мы только что прошли синус, то все задачи будут решаться только с помощью синуса, а когда пройдем косинус, то синус «получит отставку». А однажды одна хорошая моя ученица на мой вопрос: «Почему сужается струя воды, текущая из крана?» — ответила, что это следует из теории относительности. Увидев мои квадратные глаза, она тут же добавила, что они как раз ее проходят на физике. 205
5) Нежелание вдумываться и толковать. Стандартный пример: дети посмотрели кинофильм, телепередачу. — Ну и каковы ваши впечатления? — Нормально. 6) Неподготовленность к стилю мышления. Я уже говорил о практическом мышлении. Однажды принимал экзамен на заочное отделение у школьного учителя труда, мужчины лет сорока с лишним. — Как разделить отрезок пополам? — Очень просто: измерить, длину разделить пополам и отмерить половину длины на отрезке. — А если циркулем и линейкой, причем линейка без делений? — Да где же вы видели линейку без делений? Еще пример из беседы с учеником вечерней школы, достаточно солидным по возрасту. — Сколько плоскостей, перпендикулярных данной, можно провести через перпендикуляр к данной плоскости? — Одну. Следуют долгие препирательства. Затем: — Но ведь за раз можно провести только одну плоскость! Еще пример, сам слышал по радио, как один писатель восторгался выходом космонавта А. Леонова в открытый космос: «Но самое невероятное то, что Леонов вернулся обратно». И еще пример, сам читал в книге отзывов посетителей первой очереди ленинградского метро. — Это потрясающе! Каждая следующая станция прекраснее предыдущей! Потом шла запись: — Чудак, а если бы ты ехал в обратную сторону? Школьный пример: известные трудности учеников при изучении комбинаторики. 7) Непривычность новых представлений. Классический пример — квантовая механика. В школе — комплексные числа. 8) Разнонаправленность «миров». Глобальная вещь. Традиционный пример: «Запад есть Запад, а Восток есть Восток», мир взрослого и мир ребенка. Впрочем, есть и вполне житейские примеры, если только «миры» свести к личностям и установкам. Вот маленькая история. Однажды на мой урок пришла коллега. Я начал вполне обычно, с проверки домашнего задания. Вызываю одного — не сделал, второго — тоже не сделал, третьего — опять не сделал! «Ну,— думаю,— пора кончать это позорище». И стал разбирать домашнее задание фронтально, вполне прилично получилось. После звонка думаю, что коллега скажет, хорошо бы забыла про это жуткое 206
начало урока. А сказала она так: «Это потрясающе! Вы вначале вызвали как раз тех, кто не сделал!» Все это в той или иной степени приходится учитывать, чтобы предотвратить непонимание. В «аксиоматике» урока важен не только перечень понятий, которые будут затем использованы, но обязательно в нужном для меня смысле. Если я говорю «многогранник», то что именно я имею в виду: тело или поверхность? А если сказал «угол», то обязательно выпуклый? Разные смыслы учитывать совершенно необходимо. Однажды среди коллег я произнес: «Производная» и попросил сказать, о чем они сразу же подумали. И о чем же? Кто о чем: о пределе, о скорости, об угловом коэффициенте и даже о некотором сомножителе в выражении для приращения функции Ay = kAx-\-a (х) Ах. Еще пример. Я говорю: прямая проходит через отрезок, имея в виду, что она его содержит. А кто-то рисует прямую, его пересекающую, по-своему толкуя это «через». Однажды было такое. Я уже порядком позанимался с учениками комплексными числами и собирался рассказать, что для них не существует отношение линейного порядка, иначе говоря, они не сравниваются. И начал с вопроса к ученику: «Можно ли сказать, что />0?» Ответ: «Смотря какое Ь. А вот один комичный пример, сохранившийся в моей памяти со времен начала педагогической деятельности. Итак — пятый класс. Начинаю рассказывать про обыкновенную дробь и как она устроена. «Числитель,— говорю,— стоит над дробной чертой, а знаменатель стоит под дробной чертой». На первой парте, вытянув ноги до середины прохода, сидит ученик-второгодник. — Да? — очень натурально удивляется он.— А в прошлом году было наоборот! Быть может, надо вообще действовать «от противного» — объяснять не так, чтобы тебя понимали, а так, чтобы нельзя было не понять? Как же можно работать собственно над пониманием? Попробую рассказать, как это пытаюсь делать я. Разумеется, речь идет о передаче собственного понимания, того, к которому пришел сам. Если его нет, то неясно, какого понимания добиваться от учеников. Хотя в какой-то мере верно, что свое понимание созревает и в процессе объяснения. Рассказывая новое, я стараюсь объяснить, откуда оно взялось. Какие вопросы надо было разрешить? Действительно, а зачем понадобился синус? И откуда взялась необходимость в производной? Рассказ о том и о другом я начинаю обычно с астрономии, Птоломея, Кеплера, задач, которые они пытались решить. При этом совершенно не обязательно передавать буквально историю вопроса — это немыслимо. Полезно сначала рассказать план всей темы, затем постоянно к нему возвращаться, точно указывая место, в котором мы находимся. Понимание конкретного теоретического вопроса иногда 207
возможно только в контексте. Почти всегда обязателен взгляд назад, на пройденный путь. Уроки, где излагается трудный для понимания материал, предпочитаю вести как диалог. Обязательно провоцирование вопросов. Если после объяснения я таковых не услышал, то сработал не лучшим образом. Текущее понимание можно проверить, спросив у детей: «О чем я буду говорить сейчас?» Если они не могут предвосхитить события, то плохо понимают происходящее (хотя могут при этом быть идеально внимательны). Во время объяснения важен выход на границу с непонятным. Хорошо, конечно, понимать все, но не обязательно сразу. Есть тут один спорный момент. Если я рассказываю материал так, что он не вызывает трудности у «сильного» ученика, но сложен для ученика «среднего», то в этот момент урока, по моему разумению, я работаю как раз со «средним» учеником, ибо именно его вытягиваю на более высокий уровень. То же можно сказать и о паре «средний» — «слабый». Работать с учеником —это не опускаться до него, а вытягивать. Весьма часто мое мнение тут не совпадало с мнением гостей и администрации. Но еще раз повторю: дискуссии в классе важны не только для участников, но и для тех, кто им внимает. Я уже говорил о разных типах мышления. Даже ученики в специализированных школах разнятся в этом отношении, и математику для «математиков» надо рассказывать иначе, чем математику для «физиков». Человек с практическим складом мышления не то чтобы не понимает иных доказательств. Вовсе нет! Гораздо чаще он не понимает их необходимости. Это прекрасно видно в начале систематического курса геометрии. Д. Гильберт призывал лекторов по пять раз повторять одно и то же, дабы довести до слушателей некую истину. Я не очень с ним согласен. Пусть пять раз, но не одно и то же. Неисповедим, но интересен путь в человеческую голову! Пять раз повторить одно и то же — это не объяснять, а вдалбливать. Вот это мы умеем делать. Последую примеру К. Вейерштрасса, который на полях конспектов своих лекций делал пометку: «Здесь — анекдот». Итак, анекдот. — Не понимаю, как это Ковалевский врезался в столб на своем мотоцикле. — Чего же тут непонятного? Вот ты видишь столб? — Вижу. — А Ковалевский не видел. Не так ли частенько и мы объясняем свою математику? Если есть возможность растолковать одно и то же, как говорят, «на пальцах», а потом геометрически наглядно, а потом аналитически, да еще не одним способом, то я стараюсь ее не упускать. Для улучшения понимания важно варьирование несущественного, что хорошо известно из методики, достаточно вспомнить 208
смену букв на рисунках при доказательстве геометрических утверждений, да и смену самих рисунков. Совсем новые знания иногда с трудом укладываются в голове, например отрицательные числа. В иных случаях работает старый прием — метафора. В данном случае: отрицательные числа — это расход, в то время как положительные — приход. Не всегда можно найти удачную метафору, как, например, для комплексных чисел. Важнейший момент в понимании теории — ее применение для объяснения того, что, грубо говоря, находится под носом. Почему потолок параллелен полу? Почему человек норовит сжаться, свернуться, когда ему холодно? Ну и так далее. Зачем мы в конце концов доказываем существование перпендикуляра к плоскости, когда ни у кого не возникает в этом сомнения? Хотя бы затем, говорю я детям, чтобы показать, что та геометрическая теория, которую мы изучаем, хорошая, она действительно объясняет то, что видим. Самые большие трудности при объяснении возникают тогда, когда приходится ломать устоявшуюся точку зрения или даже просто менять ее. Примеры из науки хорошо известны: аксиома параллельности, мнимые числа (здесь даже название выразительно), вероятностный подход при описании действительности. Понимание новой точки зрения порой мучительно и для профессионалов, чего уж говорить о детях! Я помнкхсвои ученические муки и при изучении комплексных чисел, и при осмысливании несчетных множеств, и при изучении основ анализа. Аналогичные процессы происходят и в голове школьника при переходе к систематическому курсу математики, да и «по мелочам». Проверить понимание школьника можно на разных элементах математической теории: определение, понятие, формула, задача, теорема, раздел курса, предмет в целом. Как проверить понимание определения? Я предлагаю такие вопросы: 1) Каков характер определения: описательное или конструктивное? 2) Что определяется: объект или свойство? 3) Для описательных определений: из какого множества выбирается определяемый объект? 4) Можешь ли ты сказать определение своими словами? Если ученик способен только на дословное повторение, то это говорит только о его хорошей памяти. Понять — это в начальной стадии именно переформулировать с сохранением смысла, быть может, опустив тонкости. Иногда приходится объяснять, почему определение именно такое, а не другое. Пример. Почему 0! = 1, а не так: 0! = 0? Дело в том, что факториал определяется равенством (м+ 1)! =м! (п-\- 1), которое перестает быть полезным, если положить 0! = 0. (Впрочем, тут возможен более глубокий разговор.) 14 Заказ 506 209
Еще пример: почему импликация p=$~q считается истинной в случае ложности высказывания р, почему множество всего из одной точки считается выпуклым? Можно, конечно, сказать детям, что это удобно, но почему удобно именно это? А иногда объясняешь, почему вообще нет определения тому, что вроде бы определить можно. Почему нет определения для выражения 0°, которое естественно считать равным 1, исходя из свойств функции Xх. Но нет — нарушаются свойства степеней, 1° / 1 ° именно, получается тогда, что l=~j)O"=(~n~ А почему нельзя определить символ — как оо, — как 0? В некоторых случаях — очень удобное соглашение. Но, увы, тогда получаем, сохраняя свойства чисел, такую цепочку равенств а = = а-1=а-(0-оо) = (а«0)«оо=0«оо = 1 для любого а, что нелепо. Еще примеры: почему б остался без направления, почему комплексный нуль не имеет аргумента, почему не выделено главное значение для корня из комплексного числа — ведь на множестве вещественных чисел все теоремы о корнях доказываются после того, как выделено единственное его значение? Добавлю, что все эти вопросы задают сами дети — при надлежащем, разумеется, преподавании. Как проверить понимание объекта (понятия)? Здесь вопросы могут быть такими: 1) Какими свойствами обладает этот объект? 2) Какими признаками обладает этот объект? 3) Какие из его свойств являются характерными? 4) Какие определения можно дать этому объекту? 5) Зачем появилось это понятие? 6) Где оно применяется? Приведу пример того, что можно делать при изучении арифметической прогрессии. После определения начинаем знакомиться с ее свойствами. Можно доказать такие: а) Формула для й-го члена: ak = a\ +d (k— 1). б) Формула, связывающая три соседних члена: ak=—(ak-\+ak+\). в) Все члены прогрессии в системе координат располагаются на одной прямой. г) Формула для суммы п членов: Sn = ttt. Затем встает вопрос: какие из этих свойств являются признаками прогрессии? Например, если в последовательности (ап) выполняется соотношение a*=-£-(a*_i -\-ak + \) для всех членов, кроме крайних, то будет ли она прогрессией? Если свойство является одновременно и признаком, то оно 210
становится характерным свойством объекта и может быть положено в основу его определения. На последних уроках темы ученики смогли мне дать штук шесть определений прогрессии. Как проверить понимание формулы? (Будет практичнее, если мы будем иметь некую формулу перед глазами, пусть формулу общего члена арифметической прогрессии: a* = ai -\-d (k— 1).) 1) Какие величины участвуют в формуле? 2) Как выразить из формулы каждую из входящих в нее величин? 3) Каков характер зависимости величин между собой? Например, зависимость а* от k — линейная. 4) Как она устроена (симметричность, размерность)? 5) Какие следствия можно получить из этой формулы? В нашей формуле можно получить такое выражение для «k»: к- d • после чего быстро решаются задачки такого типа: «В прогрессии ai=3, d = 0,02. Какой номер имеет член прогрессии, равный 5?» 6) Как можно обобщить формулу? В нашем случае можно предложить такое обобщение: где р и q — номера членов прогрессии. Из этой формулы легко выразить разность прогрессии д-р после чего быстро можно ответить на такой вопрос: «Чему равна разность прогрессии, если а3о = 2,3, аюо = 3,7?» 7) Возможны ли интерпретации формулы? Любопытно «лестничное» толкование нашей формулы. Если я стою на высоте п\ над землей, d — высота ступеньки лестницы, то a,k — высота, на которой я нахожусь, поднявшись на k— 1 ступеньку. 8) Где можно применить формулу? 9) Как доказать формулу? Разумеется, для каждой формулы задаются наиболее выигрышные вопросы из этого списка. Как проверить понимание задачи или теоремы? (Возможно, я несколько повторюсь.) 1) Откуда взялась эта задача? Почему мы решаем именно ее? 2) Какой факт утверждается? Можно ли ее переформулировать? 3) Какими условиями обеспечивается результат в задаче? Все ли условия использованы при решении? Являются ли эти условия необходимыми? 211
4) Какие факты использованы при доказательстве? 5) Ясна ли логическая схема доказательства? Держится ли она полностью в сознании? В начале курса геометрии (в 6-м и 9-м классах) я после доказательства каждой теоремы записывал на доске «скелет» теоремы в виде схемы конъюнкций, дизъюнкций и следований. Ученики запоминали эту схему и ответ начинали с ее воспроизведения на доске, а уже потом «оживляли» ее рисунком и буквами. Другой вариант, более пригодный для случая, когда проводятся дополнительные построения. Перед учениками на доске появляется не один рисунок, на который наносится все новое, а их последовательность. Каждый следующий рисунок отличается от предыдущего ровно одним элементом. Получается как бы диафильму логическая схема доказательства запоминается в виде набора картинок. 6) Какие следствия возможны из полученного результата? 7) Можно ли обобщить полученный результат? 8) Можно ли получить его как-то иначе? Этот вопрос всегда уместен. Ведь у детей все, к чему мы так привыкли,— впервые. Вот теорема, которую все учителя знают, как говорится, с «закрытыми глазами»: «В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы». И что же тут можно придумать? Пожалуйста — пример детского творчества. Внутри прямого угла построим угол 60° так, что его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а одна из сторон идет по меньшему катету. Тогда исходный треугольник разобьется на два: равносторонний и равнобедренный. Дальше — по известному принципу: «Смотри!» 9) Как его можно интерпретировать? 10) Как его можно применить? Здесь я опять хочу привести пример об арифметической прогрессии. Несложно видеть, что любая последовательность, полученная из прогрессии прибавлением постоянной ко всем ее членам и умножением их на постоянную, является также арифметической прогрессией. (Это действительно можно «видеть», если интерпретировать члены прогрессии как точки на прямой.) Известна такая задача: «Доказать, что если Ь-\-с с + а а-\-о члены арифметической прогрессии, то а2, Ь2У с2 также члены арифметической прогрессии». Требуемый результат несложно получить, если первую тройку превратить во вторую, действуя с прогрессией дозволенным образом. Для этого достаточно из каждого выражения в первой тройке вычесть —--, затем разделить на то, во что превратится второй член из этой тройки. Получим с2 —а2 такую тройку: 0, 1, 2_ 2. Далее умножим все эти выражения 212
на Ь2 — а2у а к полученной тройке прибавим по а2. В результате и оказывается, что тройка а , б2, с2 дает прогрессию. 11) Верно ли обратное утверждение? Ясно, что такие вопросы относятся в первую очередь к задачам на доказательство. Опять же задавать их не обязательно все, а только наиболее удачные. Как проверить понимание некоторой темы курса? Здесь можно предложить такие вопросы: 1) Какова структура раздела: что изучается и в какой последовательности? 2) Каковы связи между объектами, введенными в этом разделе? Какие из них наиболее существенны? Пример: изучение параллельности и перпендикулярности в стереометрии. Первоначально набор теорем кажется ученику довольно бессвязным. Но их можно структурировать, разделяя на свойства и признаки. Так, теорема: «Прямая, являющаяся пересечением двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости, сама перпендикулярна третьей плоскости» является еще одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости. В таком качестве эта теорема лучше укладывается в голове. 3) Каковы связи этого раздела с другими? Это старый вопрос методики внутрипредметных связей. Чем больше таких связей известно ученику, тем лучше он понимает изучаемый раздел. Прекрасный пример — комплексные числа в разных своих формах: алгебраической, геометрической, тригонометрической и показательной. Почему-то во всех программах, где были комплексные числа, о показательной форме не упоминалось. 4) Почему он находится именно в этом месте курса? Возможны ли его перестановки? Один из дискуссионных примеров: можно ли поменять местами производную и интеграл? Или лучше вообще их изучать совместно? И наконец, понимание всего предмета. Я говорил о нем в начале книги. Одно ясно совершенно точно — понимание предмета учеником определяется тем, как понимает его учитель. И если математика для многих наука о том, как считать, то такое понимание — наш грех, учительский. Заканчивая разговор о понимании, я должен сказать, что мне еще очень многое здесь неясно. И никаких особо законченных рекомендаций я дать не берусь. Все, что было сказано мной по этому поводу,— только попытка поделиться некоторыми соображениями, быть может, наивными. Однако работать «на понимание» интересно. Такая работа «перекрывает» традиционную деятельность учителя, направленную на знания и умения, и кажется мне более «теплой», более близкой к ребенку, раскрывает перед ним «человеческое лицо» школьной математики. «Я стала понимать, откуда что берется»,— сказала мне к концу обучения Наташа Н. А вот что я услышал от Маши С: «Вы как-то говорили, 213
что школьная математика — как палец на ноге статуи, изображающей всю математическую науку. И пусть палец на ноге. Но я поняла, что на статуе богини». IV.4. ТВОРЧЕСТВО НА КАЖДОМ УРОКЕ Говоря о критической деятельности, о понимании, я хотел показать некоторые пути воздействия на личность ребенка через его интеллект. Но пути воспитания разные. И один из них, как мы помним,— пробуждение социальной активности личности. Я понимаю его как развитие в человеке творческого начала. Еще более широко — воспитание творческой личности. Об этом написана большая педагогическая литература, и то, что я скажу, довольно фрагментарно. Творить, выдумывать и пробовать, как говорил поэт, нужно не только в науке, внушаю я детям, но и где угодно и, может быть, больше всего — в собственной жизни. Я привожу им всякие цитаты и мнения. Например, отбор космонавтов и отбор велосипедистов — гонщиков в команду необходимо включает в себя проверку на поведение в нестандартной ситуации. Призыв древних — познать самого себя — невозможно реализовать человеку в футляре. Ну и так далее. Если я хочу на своих уроках пробудить в ребенке творческое начало, а затем всячески его развивать, то такая часть моей учительской установки должна найти отражение и в системе работы, и в той атмосфере, которую я создаю на уроке. Главное здесь, конечно, не призывы и благие намерения. И не эпизодическое решение более или менее творческих задач. Я полагаю, что на каждом уроке можно организовать такую математическую деятельность учеников, в которой они вынуждены творить, быть может, не замечая этого. Обычно, говоря о воспитании творческих способностей, имеют в виду проблемное обучение, эвристические приемы в работе и даже исследовательский метод, когда ученики чуть ли не всё должны открыть самостоятельно. Это прекрасно, но, как все прекрасное, редко. Я же веду речь о том, что можно делать практически на каждом уроке. Почти в каждой работе, в домашнем задании предлагаю задачи, не имевшие аналога в классе, чтоб дети сами думали. Но говорить я буду о двух возможностях в работе учителя и условно назову первую из них — «Придумай задачу», а вторую — «Сделай выбор». Каждая из этих возможностей, как я понимаю, ставит ребенка в такое положение, когда репродуктивная деятельность ничего не дает. И придумать, и выбрать — акт творческий. Посмотрим, как реализуется первая возможность. Естественно, задачу на «ровном месте» не придумать. Иначе может получиться нечто вроде того, что сочинила одна малышка, а именно: «По одной стороне улицы бежало 10 зайцев, а по другой — все 214
остальные. Сколько зайцев бежало по улице?» А когда ее спросили, как же тут можно получить ответ, она ответила: «Но я-то знаю, сколько бежало зайцев!» Новая задача придумывается в процессе размышления над чем-то. Для ученика таким «чем-то» может быть почти любая конкретная задача. Здесь я хочу обратить внимание именно на акт придумывания, а не решения придуманной задачи, которое может быть и непростым. Речь идет, таким образом, о некотором несомненно творческом акте, пусть достаточно слабом, но существенном в первую очередь для ученика, далекого от математики. Предположим, мы доказали в классе неравенство Далее традиционен переход к решению примеров, в которых оно может быть использовано. Их можно взять и из учебника. Но можно предложить ученикам самим придумать новые задачи, исходя из этой. Каким же образом они могут это сделать? 1) Рассмотреть частные случаи. Например, взять Ь = — и получить такое неравенство а-\ ^2 (а>0). 2) Обобщить на 3, 4 ... любое число неотрицательных слагаемых. Здесь уместно сказать ученикам, что доказательство такого обобщения трудное, значит, мы придумали вполне достойную задачу. 3) Рассмотреть «крайние» случаи. Здесь появляется такая задача: «В каком случае достигается знак равенства?» 4) Найти какое-либо применение полученному результату. Задачи на нестрогие неравенства легко перевести в разряд экстремальных. Здесь естественно появляются две экстремальные задачи, которые хорошо известны. Первая: из двух положительных чисел, сумма которых постоянна, найти такие, произведение которых является наибольшим. Вторая: из двух положительных чисел, произведение которых постоянно, найти такие, сумма которых является наименьшей. 5) Дать другое истолкование задаче. Если задача аналитическая, то найти геометрическую иллюстрацию. И наоборот. В данной задаче возможна такая интерпретация: а и Ь — отрезки, на которые высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу, -yfab — длина этой высоты, iip — медиана на гипотенузу (рис. 27). Здесь АО = ОСУ АВ\ =а, СВ\ = Ь. 6) Составить обратное утверждение. 7) Найти аналогичное утверждение. Перейдем теперь к рассмотрению второй возможности — выбору. Я хочу ученикам показать разные подходы к понятию, к задаче, чтобы они выбирали. Сам выбор примеров для работы в 215
классе или дома уже в какой-то степени творческая процедура. Поэтому даже в задании «на 3» по уровню трудности можно предложить ученику примеров больше, чем нам нужно для оценки его знаний — пусть выбирает сам! Приведу примеры разных подходов к одному и тому же понятию. В основе этого приема лежат разные определения одного и того же объекта. По-разному, как известно, можно определить почти все. Вопрос в том, давать ли эти разные определения ученикам или ограничиться только одним определением и пусть выучат хотя бы его! Ну, скажем, параллелограмм — его определением может быть любое его характерное свойство, а кроме того его можно определить и конструктивно. Так вот, я считаю, что полезно привести детям несколько определений (еще лучше, если они найдут их самостоятельно) с тем, чтобы они могли выбрать для себя такое, которое им лично нравится больше. И если этого нельзя сделать на первых уроках о параллелограмме, то вполне возможно при повторении. Иногда, впрочем, несколько определений одного и того же объекта могут появиться и при начальном систематическом изучении. Например, все дети к началу 7-го класса знают квадрат. Так что такое квадрат? Появится несколько определений, все запишем на доске, и пусть каждый выбирает то, что хочет. Интересный разговор случился у меня с одним из учеников, когда я рассказал о двух вариантах возникновения натурального логарифма: традиционном и через интеграл. Как всегда, предложил им выбрать тот подход, который им понятнее. Тот самый ученик выбрал интегральный подход. «Почему?» — поинтересовался я. — Первый вариант чересчур зависит от количества пальцев на руках,— последовал совсем неожиданный для меня ответ. А вот разные подходы к решению совсем заурядных примеров. Пусть надо решить уравнение lg x (x— l) = lg x. Рассмотрим такие способы: 1) Найдем ОДЗ: х>\. Тогда Z*} 1 g JC [JC 1 ) — 1! Затем подстановка. 3) \gX(x-\) = h 216 х(х— х>0 ОХ — 1 = 1 ОХ = \
4) \gx{x-l)=\gxo\gx(x-\)-\gx=Oo ( lg*(*~1} =0 ( = 1 rjc—1 = 1 tx(x-l)>0O o\ r^\ ox = 2. ^x>0 x>\ {X^1 5) Найдем ОДЗ: х>\. Тогда ox — 1 = 1 -ф^ jt = 2. 6) lg x(x— l) = lg x \g\x\+\g\x-\\=\gxy а далее — метод интервалов. Разумеется, эти решения комментируются. Ну а что делать дальше, после того, как они все показаны? Очень просто — в домашнем задании ученика в аналогичном примере выбирают тот способ решения, который им доступнее. Еще пример на эту же тему. Уравнение sin jc + cos jc = O я решаю в классе чуть ли не десятком способов. А выбор — за детьми. Я ищу любую возможность (в пределах разумного) показать ученикам вариативность подходов к изучению математики. Прекрасно, если есть доступное для детей изложение, отличное от того, что приведено в учебнике. И вовсе не потому, что в учебнике плохо. Но именно для того, чтобы дать возможность выбора. Очевидно, что, пробуждая творческую активность школьника, мы должны быть готовы и к некоторым издержкам в работе. Хуже становится со временем — ведь все идеи и способы надо постараться выслушать и как-то оценить. Иногда рушится весь план урока и остается только импровизация, что очень интересно, но требует порой больше того, на что я в данный момент способен. Очень много приходится выслушивать предложений «в порядке бреда», и надо чрезвычайно терпимо относиться к любым ошибкам. Если дети будут бояться ошибиться, то атмосфера подлинного творчества вряд ли возможна. Нельзя не сказать, что такой атмосфере чрезвычайно способствует коллективный поиск решения. Задача в классе порой решается так же, как забивается гол в футбольные ворота — кто-то наносит решающий удар, но работала на него вся команда. В таком же коллективном духе можно строить теорию — не изучать, а именно строить. Вот пример такого коллективного творчества — изучение параллельности плоскостей в пространстве. Основной прием — аналогия. Сначала мы вместе вспоминаем все, что известно о двух параллельных прямых на плоскости: определение, свойства, признаки. Затем в той же последовательности появляются определение, свойства и признаки параллельных плоскостей. 217
Конкретно: Утверждение 1. Свойство параллельных прямых. Если две прямые параллельны и одна из них пересекает третью прямую, то и вторая пересекает ее. Утверждение Г. Свойство параллельных плоскостей. Если две плоскости параллельны и одна из них пересекает третью плоскость, то и вторая пересекает ее. Утверждение 2. Свойство параллельных прямых. Если две прямые параллельны и одна из них перпендикулярна третьей прямой, то и вторая перпендикулярна ей. Утверждение 2'. Свойство параллельных плоскостей. Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна третьей плоскости, то и вторая перпендикулярна ей. Утверждение 3. Свойство параллельных прямых. Если две прямые параллельны и одна из них пересекает третью прямую под углом ф, то и вторая пересекает ее под углом ф. Утверждение 3'. Свойство параллельных плоскостей. Если две плоскости параллельны и одна из них пересекает третью плоскость под углом ф, то и вторая пересекает ее под углом ф. При таком подходе, как видно, возможно «забегание вперед», но это не страшно, доказательства никуда не денутся, но зато появляется набор теорем, который надо доказывать. (Разумеется, аналогия здесь не совсем полна.) IV.5. С ОДНОЙ СТОРОНЫ. С ДРУГОЙ СТОРОНЫ... О воспитании в целом написано огромное число книг, о воспитании посредством обучения математике нет почти ничего. Известны отдельные выступления ученых (Н. И. Лобачевский, А. Я. Хинчин, А. Д. Александров). В последнее время появилась некая методическая литература. Читать ее надо очень придирчиво, отбирая зерна от плевел. Часто встречаются грустные стереотипы: воспитывать — это повесить в классе портрет, например, С. В. Ковалевской или решать задачи о трудовых достижениях земляков. Появились сочинения, которые вообще не выдерживают критики, такова книга И. Ф. Тесленко о воспитании мировоззрения в процессе преподавания математики. Я бы сказал даже, что такие опусы дискредитируют саму идею. Говоря о воспитании, о системе воспитания, хочется выйти за пределы эмпирики, опыта, особенно собственного опыта, значение которого так часто раздувается. Перемалывая литературу по проблемам воспитания, очень легко сбиться на эклектизм: один сказал этак, другой — так, мне нравится, что сказали они оба, давай-ка я соединю их точки зрения. Ох как аккуратно надо прикасаться к этим проблемам — дай-то Бог! В последние годы мне стали близки взгляды на воспитание известного советского ученого (не педагога!) П. В. Симонова. 218
Я, кажется, понимаю то, что он пишет, почти во всем с ним согласен, и главное — для практической работы такого понимания мне достаточно. Вместе с тем в его работах, конечно, нет ничего о воспитании посредством математики, так что за мои конкретные размышления по этому поводу П. В. Симонов не отвечает. Вроде бы проблемы нет: любая совместная деятельность взрослого и ребенка так или иначе воспитывает, так зачем, спрашивается, городить огород? Но уж подозрительно просто получается — провел урок, значит, воспитал! Увы, урок — это не совместная деятельность: учитель учит, а ученик учится. Есть еще один подозрительный стереотип в воспитательной работе — вера в то, что воспитание — это говорение, воспитательский час, например. Сколько раз я чувствовал себя в роли крыловского повара! Закончив этот небольшой пассаж о воспитании в целом, снова перейду к его возможным направлениям. О развитии интеллекта, о воздействии на творческое начало в ребенке, причем именно на математическом материале, известно довольно много. Хуже обстоят дела с прочими направлениями в воспитании, например с мировоззрением. Обычно здесь на первое место выводят физику, другие естественные науки, историю. Тому, понятно, есть причины: в этих науках имеешь дело с реалиями, в математике же только с тем, что написано на бумаге. И тем не менее. Одна из линий — развитие диалектического мышления. Отличается оно от формального и тем, что работает с противоречием, перед которым последнее останавливается как перед стенкой. В математике противоречия невозможны, часто они — конец рассуждения. Любимое наше слово — «следовательно» — и говорит о том, что противоречий не может быть. Вне математики, как известно, все иначе. Вот несколько примеров. 1) Фраза «Я лгу» содержит противоречие. 2) Как может быть такое: «Речка движется и не движется»? Так все-таки движется или не движется? 3) Г. Флобер написал: «Дурак — это всякий инакомыслящий». 4) А как понимать такое высказывание: «В каждой шутке есть доля шутки»? 5) «Это правильно, но это неверно». (А. Платонов.) Я полагаю, что именно противоречие часто является основой иронизма, анекдота и вообще — юмора. Есть и более серьезные примеры. Научные дискуссии о природе света, бесконечности Вселенной, обратимости времени, даже знаменитый спор о том, что было раньше: курица или яйцо, так или иначе приводили к осмысливанию возникающих при этом противоречий. В принципе любой спор говорит о противоречии. Методика преподавания математики как бы консервирует эту разницу между математической наукой и реальностью. В процессе обучения ею на главное место часто выдвигается развитие имен- 219
но логического мышления. С какой стати? Любая наука развивает таковое, но ведь не то в ней главное! И почему математика должна быть здесь исключением? Не очень я понимаю и сам термин «логическое мышление», мне яснее, когда говорят о логической культуре мышления. Мышление по природе своей вряд ли входит в рамки чистой логики, оно гораздо богаче. Да и поступки человека идут не от знаний формальной логики. Так ли уж много задач, имеющих жизненное значение, решается цепочкой безупречных силлогизмов? Вот что пишут В. В. Дружинин и Д. С. Конторов в книге «Идея, алгоритм, решение» (М.: Воениздат, 1972): «Если сопоставить и проанализировать поступки любого человека, то выясняется, что: 1) очень многие из них, если не большинство, не могут быть признаны наилучшими; 2) они бывают ошибочными; 3) отдельные поступки просто нелепы. Неосведомленность, недостаток времени, неумелость, порыв, упрямство толкают на решения и действия, которые невозможно не только оправдать, но и объяснить с позиций хотя бы того же здравого смысла. Вся военная история изобилует фактами такого поведения людей». Так можно ли в преподавание хоть в какой-то степени ввести освоение противоположности, даже противоречия? Полагаю, что да, хотя прекрасно понимаю условность этого заявления. О каких бы противоречиях мы ни говорили, оно не должно быть логическим противоречием. Прежде всего для этого надо отказаться по возможности от единственной точки зрения. Сюда годится многое: разные способы изложения теории, разные решения задач, разные точки зрения на одно и то же, даже на решение уравнения хх = ху на необходимость ОДЗ и т. п. Что стоит за записью jc + i/ = O? И уравнение с двумя переменными, и линия на плоскости, и плоскость в пространстве. Уравнение л]х -\-а = х можно проиллюстрировать геометрически в системе координат (х, у) и в системе координат (х, а). Детям порой хочется, чтобы учитель математики раз и навсегда рассказал, как надо делать! А я говорю: можно так, а можно этак. Выбирайте. (Без крайностей, конечно. Вообще я сформулировал для себя «аксиому 0». Вот она: «Всякое содержательное утверждение имеет естественные границы применимости». С учетом этой «аксиомы» я толкую любое категорическое высказывание.) Далее, я ищу всякие возможности для разрушения однозначности как обязательного элемента в работе. Вот примеры. 1) Что больше: х2 или х? 2) Какой прогрессией является последовательность из одних только единиц? 3) Сколько здесь написано прогрессий: 1, 2, 4, 8, 16? 220
А здесь: а2х2-\-ах-\-\ — квадратных трехчленов? 4) Функция, равная константе, является возрастающей или убывающей? Важно разрушать сложившиеся стереотипы: касательная не обязана иметь с кривой единственную общую точку, объем может равняться нулю, а площадь может быть отрицательной (в некотором расширенном понимании), объект существует, а построить его невозможно. Выигрышно здесь выглядят задачи, не имеющие решения. Я спрашиваю: «Можно ли?», а оказывается — нельзя. Я предлагаю вычислить значение некоторой величины, а условие задачи противоречиво. Я говорю: «Докажите...», а для доказательства нужны еще какие-то данные. Я предлагаю найти максимум, а на самом деле есть минимум. (Это очень любопытное зрелище. Ученики фактически находят минимум, а в ответ пишут максимум, ибо так спрашивали.) Вопрос о курице и яйце забавным образом можно перенести на урок математики. «Так все-таки,— говорю я,— где причина, а где следствие в таком вопросе? Две прямые на плоскости могут находиться в трех разных положениях: совпадать, пересекаться или быть параллельными, так как система из их уравнений может иметь бесконечное множество решений, единственное решение, ни одного решения или наоборот: различные случаи в решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными обусловлены взаимным положением двух прямых на плоскости?» Очень хороши парадоксы. Формула Симпсона дает по происхождению своему точный результат, если исходная функция — многочлен не выше второй степени. Однако если по этой формуле i сосчитать интеграл \ x3dx, то результат будет верным. Как же о так? Еще пример. Вычисляя корни кубического уравнения х3 — — 1 5л: — 4 = 0 по формуле Кардано, мы приходим к извлечению корня квадратного из отрицательного числа, что до знакомства с комплексными числами является делом невозможным. Однако простая подстановка показывает, что числа 4, — 2±УЗ являются его корнями. И я уже не говорю о логических парадоксах, приведенных в книгах Р. Смаллиана. Разговор о преодолении формального мышления на уроках математики кажется важным еще и потому, что мне довелось видеть школьников, как бы это помягче сказать, «деформированных математикой». Способные ученики переносили сугубо специальные приемы мышления, свойственные математике, на другие предметы и даже на окружающую жизнь. Порой это приводило к полному неприятию ими гуманитарных предметов, к трудностям в общении со своими сверстниками. От диалектического мышления перейдем к самой диалектике. Не числя себя знатоком по этой части, но пытаясь ответить на 221
возникающие передо мной вопросы, я опять же залез в литературу. Многое оказалось не таким уж сложным, а кое-какие сочинения философов были просто интересными. Нужное для себя в практическом отношении я нашел в книге А. П. Шептулина «Диалектический метод познания» (М.: Госполитиздат, 1983). В ней приведено 12 принципов диалектического метода познания. Примем их за данность и посмотрим, как они могут быть реализованы в преподавании. Итак, вот эти принципы: 1) Отражения. 2) Активности. 3) Всесторонности. 4) Восхождения от единичного к общему и обратно. 5) Взаимосвязи качественных и количественных характеристик. 6) Детерминизма. 7) Историзма. 8) Противоречия. 9) Диалектического отрицания. 10) Восхождения от абстрактного к конкретному. 11) Единства исторического и логического. 12) Единства анализа и синтеза. Перейдем к рассмотрению каждого из этих принципов, не вдаваясь подробно в содержание, но только постараясь, не исказив его, найти им примеры в обучении математике. 1) Принцип отражения призывает нас быть объективными и при исследовании объекта исходить не из мышления, а из самого объекта, из его свойств и его отношений. Это требование существенно, когда мы строим математические модели, в частности когда решаем прикладные задачи. Пример с «концом света», который я приводил, подходит и здесь. Человечеству в этом примере была «навязана» некая модель в виде дифференциального уравнения. Любопытно вернуться и к текстовым задачам. Если мы воспринимаем их как отражение реальности, то приходится считаться не только с математикой, но и со здравым смыслом. Со скоростью 15/17 км/ч автомобили все-таки не ездят. 2) Принцип активности требует изменения объекта (а также идеального образа изучаемого объекта) с целью выявления присущих ему свойств и связей. Примером тому, как это можно проделать в математике, является варьирование параметров в формуле, в частности рассмотрение ситуации в пределе. Пусть мы решаем квадратное уравнение Запишем формулу его корней х= ~ь±у ~4flc t Интересно посмотреть, что будет происходить при стремлении к нулю коэффи 222
циентов уравнения, особенно а. С одной стороны, уравнение б>- дет все меньше отличаться от линейного. А что будет с формулой корней? Согласно ей, один из корней уйдет в бесконечность, а для нахождения другого нам потребуется раскрыть неопределенность вида —. Мы должны в итоге получить корень линейного уравнения, к которому «стремится» квадратное. Еще пример: посмотрим, во что переходит формула для объема усеченного конуса с радиусами оснований R и г, когда г -►■ О 3) Согласно принципу всесторонности, объект изучения должен рассматриваться (по возможности) во всех его связях и отношениях. Впоследствии, однако, надо выделить какое-то одно основное свойство, а все остальные увязать с основным. Так естественно поступать, когда мы знакомим детей с новым понятием. Вот перед нами правильная пирамида. Какие ее свойства видны непосредственно? Набираются разные. Из них и выделяется то, которое принимаем за определение. Все другие замеченные свойства стараемся вывести из определения. Кстати, а «за что» пирамиду назвали правильной? И вообще, какие свойства фигуры говорят о ее «правильности»? Тут мы выходим на симметрию фигуры: чем больше элементов симметрии у фигуры, тем она «правильнее». Итак, определяя правильную пирамиду, приходится забегать очень далеко от ее определения. И вопросы к ученикам могут стать чуточку иными. Не «Что такое перпендикуляр к плоскости?», а «Какие свойства перпендикуляра к плоскости тебе известны?» И далее: «Какое из них можно принять за определение перпендикуляра?» Когда мы изучаем перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей в пространстве, упорядочивание большого списка теорем как системы связей между объектами и есть реализация принципа всесторонности. При этом одно и то же утверждение можно трактовать и как свойство, и как признак. Например, такое: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то полученные прямые пересечения параллельны между собой». Его можно подать как свойство параллельных плоскостей: «Если две плоскости параллельны, то они пересекают третью плоскость по параллельным прямым». Но можно подать и как признак параллельности двух прямых, а именно: «Две прямые параллельны, если они получены в результате пересечения плоскости с двумя параллельными плоскостями». 4) Восхождение от единичного к общему и обратный переход, иными словами, единство индукции и дедукции,— традиционные приемы методики. Не буду о них распространяться, но стоит подчеркнуть, что переход от единичного к общему часто предполагает наблюдение. Например, наблюдая различные геометрические фигуры, мы приходим к таким понятиям, как выпуклость, симметричность, правильность, геометрическое тело 223
и т. д. Помните: «От живого созерцания к абстрактному мышлению, а от него — к практике»? Только сделать бы созерцание «живым». Движение от общего к частному зависит от педагогической интуиции самого учителя. Так, мне кажется естественно определять призму как частный случай цилиндра и неким перехлестом считать, что функция — частный случай отношения. Но возможны ведь и другие взгляды на это же. 5) Взаимосвязь качественных и количественных свойств объекта я понимаю так. Есть такие свойства объекта, которые можно измерить, и такие, которые измерить нельзя. При этом измерение — это такое сравнение данного свойства, которое допускает введение численной характеристики. Например, есть свойство протяженности объекта, и его можно сравнивать, в результате чего мы приходим к понятию длины. Примеры применения этого принципа появляются всякий раз, когда мы хотим какое-либо свойство объекта выразить числом. Яркий пример: крутизна графика функции и производная. Еще ряд примеров: выпуклость функции и вторая производная, «правильность» ограниченной фигуры и число элементов в ее группе симметрии. Как-то я прочитал на банке с огурцами, что они имеют неправильную форму. Можно ли неправильную форму огурца охарактеризовать численно? Любопытен известный перегиб по этой части: средний балл аттестата. Можно ли считать, что он точно отражает какое-то свойство ученика? Какое же? Я знаю хороший пример перехода количества в качество: свойства сложения, верные для конечного числа слагаемых, перестают выполняться, когда их число становится бесконечным и мы имеем дело с расходящимся рядом. Вообще сравнение конечного и бесконечного дает много материала на эту тему, чего стоит один только рассказ об аксиоме выбора и ее использовании. К сожалению, все это далековато от школьного курса и годится только на уровне рассказов. 6) Принцип детерминизма богат содержанием. Согласно ему необходимо искать причины возникновения любого объекта изучения, его функционирования и развития. Математические понятия создаются, развиваются, уточняются как и во всякой другой науке. Я плохо представляю себе, как можно начать объяснение нового понятия непосредственно с определения. Скажем, речь должна идти о скалярном умножении двух векторов. Откуда появилась такая операция? Зачем она нужна? Почему ее определение именно такое? Или разговор о четной или нечетной функции. Зачем понадобились такие свойства? Я рассказываю следующее. Построение графика функции облегчается, если известна его симметрия — осевая или центральная. Тогда мы строим его только при х>0 (если осевая симметрия относительно оси у, а центральная относительно начала координат), а затем используем симметрию. Но 224
как ее установить, не построив самого графика? Для этого и вводятся специальные понятия четности и нечетности функции. Работая с аналитической записью согласно определениям этих свойств, мы получаем возможность говорить о симметричности графика функции до того, как он построен. После этого можно говорить о других возможных симметриях графика, в том числе о переносной симметрии, которая приводит к понятию периодичности функции. Мы начинаем решать тригонометрические уравнения. Зачем? Еще одна задача из головы? Но можно привести простые примеры, откуда они могут появиться. Скажем, надо сделать треугольник со сторонами 4, 5, 6. Так, вычислим угол между сторонами, равными 4 и 5, при котором третья сторона равна 6. Для этого можно, используя теорему косинусов, искать угол, зная его косинус. Так мы приходим к тригонометрическому уравнению. Известно, что функция может задаваться не одним аналитическим выражением, а несколькими. Как это получить? Вот пример. Перпендикулярно какой-либо диагонали квадрата проводим отрезок между его сторонами. Известна длина стороны квадрата. Требуется выразить длину проведенного отрезка, зная расстояние от него до фиксированного конца взятой диагонали. Источником многих математических понятий является практическая деятельность, понимаемая достаточно широко. Я стараюсь всячески подчеркнуть именно эту сторону их происхождения. Конкретно, к производной можно подойти по-разному: искать скорость движения или искать наилучшее приближение. Оба подхода существенны, но начинать я предпочитаю с первого. Вопрос о скорости неравномерного движения легко пояснить: что же именно показывает спидометр? Тут, можно сказать, производная находится у нас перед глазами в совершенно конкретной ситуации. Вместе с тем надо понимать, что такой ясной практической ситуации может и не быть. Теория групп и алгебра логики возникли из решения чисто теоретических проблем. Но, говоря о принципе детерминизма, не надо сводить дело только к рассмотрению причинно-следственных связей. Сюда же можно отнести взаимосвязь содержания и формы, элемента и структуры, структуры и функции, элемента и системы, части и целого. Отыскание этих взаимосвязей пронизывает весь курс математики, что может быть отражено и в преподавании. Вот несколько примеров. а) Число и его запись отражают связь содержания и формы. б) Беседа об аксиоматике геометрии предполагает обсуждение вопросов о связи элемента и структуры. Точка определяется не сама по себе, а как элемент пространства. Пространство, в свою очередь, множество точек, обладающее некоторой структурой. 15 Заказ 506 225
в) Взаимосвязь структуры и функции можно увидеть на определенных математических структурах. Иначе говоря, если мы имеем дело со структурой некоторого вида, например структурой порядка, то тем самым уже заданы и некоторые свойства элементов этой структуры. Любопытен также пример направленного отрезка, который не есть отрезок, хотя из определения самого термина вроде бы и является частным случаем отрезка. Зафиксировав порядок концов отрезка, мы получили объект с совсем другими, нежели у отрезка, свойствами. г) Взаимосвязь элемента и системы хорошо видна на примере многогранника. Мы говорим об элементах многогранника, который в данном контексте можно трактовать как целостное образование. Взаимосвязь части и целого можно иллюстрировать на том же многограннике, говоря о его плоских углах. Те же плоские углы в многоугольнике имеют иные свойства. 7) Принцип историзма ставит задачу рассмотрения объекта в его развитии, выявляя необходимые связи между последовательными его состояниями. К сожалению, в школьном преподавании математики этот принцип практически не реализуется, хотя возможностей предостаточно. История понятия числа, функции — самые яркие примеры. Мне не раз доводилось рассказывать ученикам историю о том, как пифагорейцы «не открыли» вещественные числа, а закончилась эта история только век назад в связи с пересмотром основ математического анализа. И только она закончилась, как появились совсем другие числа, приведшие к нестандартному анализу. А как мучительно создавалась теория комплексных чисел! Как непросто было разобраться с тем, что такое вообще число! Говоря о производной, как не сказать о законах Кеплера, где явно фигурировало понятие скорости неравномерного движения? И почему надо скрывать те трудности, которые возникли в математике после введения бесконечно малых? Я не могу взять в толк, почему история математики не может быть сама по себе элементом общего математического образования, почему она в таком жалком положении в учебниках. Не говорю уже о том, что объект может быть по-настоящему понят только тогда, когда известна его история. 8) Принцип противоречия предполагает раздвоение единого объекта для отыскания в нем противоречия. Обнаружение такого противоречия позволяет воспроизвести в логике понятий реальную логику самого объекта. Ясно, что противоречие должно быть не формальным, а диалектическим. Примером такого раздвоения является геометрическая фигура, которая предстает перед нами и как абстрактное понятие, и как наглядный образ. 226
С противоречием, как я уже говорил, работает диалектическое мышление. В противовес ему мышление метафизическое знать не хочет ни о каких противоречиях. Как мучительны бывают для детской головы эти вот «с одной стороны» и «с другой стороны». Я до сих пор помню, как один мой ученик в сердцах аж ручку бросил на парту, чуть не закричав: «Опять две точки зрения!» Выявление противоречия может начинаться с усмотрения противоположных тенденций в объекте. Простой пример: дробь —, в которой числитель и знаменатель положительны. Увеличение каждого из них приводит к разным следствиям, если говорить о величине дроби. 9) Диалектическое отрицание есть момент развития. Отрицая одно другим, необходимо удерживать связи между ними. В нашем деле примером такого отрицания является решение прикладной задачи. В процессе решения появляется модель, которая совершенно не напоминает об исходной задаче, но удерживает все существенное из нее для получения решения. А затем происходит возврат к исходной задаче, при котором результат, полученный в модели, отрицается, т. е. сопрягается с условиями исходной задачи. 10) Принцип восхождения от абстрактного к конкретному состоит в том, что от абстрактных и менее богатых по содержанию понятий переходят к конкретным и более богатым содержанием. Здесь хорошим примером из школьной практики является изучение множеств, отношений на множестве в самом общем виде. Много такого было введено программой 1968 года. Но как показывает опыт преподавания по этой программе, использование этого принципа должно быть очень осторожным. 11) Принцип единства исторического и логического требует соответствия логического историческому, т. е. логика изучения объекта должна соответствовать логике его становления. Ярчайший пример — преподавание геометрии в нашей школе. Дело не в том, чтобы демонстрировать детям все тупики человеческой мысли, когда она работала над созданием науки. Нет, конечно. Но этот принцип требует точной передачи общего хода развития науки. Конкретно: оправдано ли, строя курс элементарной геометрии, доказывать, например, теорему о сечении шара плоскостью аналитическими методами, во всяком случае при первом ее предъявлении? Аналитические и векторные методы возникли для совсем других целей. Но трактовка этого принципа для преподавания требует оговорок. Онтодидактические соображения состоят как раз в том, что войти в голову ребенка можно не только через историю, но и через логику математики. Особенно популярной стала эта точка зрения после работ Ж. Пиаже. И кроме того, следовать истории — это долго. Было даже заявлено, что известен «царский путь» в геометрию — через изучение векторных пространств. 227
И единый курс математики, который мне довелось реализовать, скорее стоит на отрицании этого принципа. 12) Принцип единства анализа и синтеза хорошо известен в преподавании. Классический пример — решение задач на построение. В мои ученические годы анализ в задаче на построение начинался стандартной фразой: «Предположим, что задача решена и искомый треугольник (квадрат, окружность и т. п.) построен». Анализ этот считался даже обязательной частью решения, хотя, если вдуматься, то с какой же стати? Решение задачи можно увидеть и сразу, не проводя анализа. А синтезом было само решение. Разумеется, этот принцип, хорошо соответствующий таким же мыслительным операциям, проявляет себя не только в решении задач на построение, но и вообще при решении любой содержательной задачи. Прекрасный пример — доказательство теоремы Эйлера для многогранников разрезанием их на тетраэдры. Вот и закончен разговор о принципах диалектического познания. Их реализация может идти только в рамках некоторого контекста, заложенного в установку учителя. Все преподавание математики можно вести как погружение учеников в живую, развивающуюся науку, а не в мир мертвых схем и готовых ответов. В самой науке уточняются уже сформировавшиеся понятия (прекрасный пример этому — уточнение понятия многогранника в связи с доказательством теоремы Эйлера — приведен в книге И. Лакатоса «Доказательства и опровержения».— М.: Наука, 1967); уточняется и выглядит неоднозначным само понятие доказательства; меняются критерии строгости рассуждения; меняются вообще точки зрения; нерешенные задачи — буквально рядом (они могут быть поняты даже школьниками, например комбинаторные задачи в геометрии или задачи из теории чисел); все время идут разного рода обобщения. Поучителен показ и ошибок ученых. Известная ошибка: производная суммы равна сумме производных, для разности — аналогично, значит, аналогично будет для произведения и частного. Но ведь вначале о произведении так и думал, например, Лейбниц! Практически все это можно демонстрировать и в среднем образовании. Приведу некоторые примеры. В школьной математике развивается понятие числа, функции; повышается строгость доказательства по мере взросления учеников; появляются все новые методы решения уже известных задач (экстремум квадратного трехчлена может быть найден элементарно и с помощью производной, аналитический и векторный методы в геометрии); меняются точки зрения (решение уравнений по мере знакомства с новыми числами). А о нерешённых задачах и говорить нечего. Всегда можно предложить детям задачу на месяц, четверть, год. И не беда, если не решат. Главное, чтобы была такая задача! 228
В общем, есть много возможностей. Как говорится, «не проходите мимо»! Я постарался рассказать, как я понимаю воспитание мировоззрения посредством математики. Я вполне сознаю, что рассказ этот выглядит беглым и поверхностным. Сама эта проблема столь глубока и разностороння, что ее разрешение требует многих усилий разных специалистов, в том числе, конечно, и философов, причем хорошо знакомых с математикой. Мои весьма скромные усилия в этом направлении говорят мне только об одном: в этом направлении можно работать, в математике есть достаточно много возможностей для его реализации. Причем возможностей чуть ли не на каждом уроке. В принципе ведь можно поговорить один раз за 10 лет о природе математических абстракций и считать, что «вопрос закрыт». (Кстати, и с этим куцым разговором не все благополучно. Разберем одну, хорошо если две задачи, приводящие к образованию важного понятия, например интеграла, и считаем, что материал для абстракции уже готов. Очень сомнительный подход!) Но я хочу не этого. Я хочу чуть ли не ежедневной сознательной работы в этом направлении. Быть может, в том, что написано мной о воспитании мировоззрения, есть ошибки, вульгаризаторство. Я готов заранее принять эти упреки. Но я хочу выйти на другой уровень такого разговора, а не обсуждать общие места и банальные рекомендации, которые все множатся и множатся. IV.6. НЕ РАВНА НУЛЮ Заканчивая разговор о воспитании, хочу еще сказать о воспитании характера и нравственном воспитании. Я понимаю, сколь деликатная тема оказалась предметом наших разговоров, и выскажу довольно слабые утверждения, причем числом поменее. Педагогика, как я ее понимаю,— наука экспериментальная по сути своей. Жизнеспособность педагогических теорий проверяется только тем, что сделано на их основе с детьми, пусть в эксперименте, но достаточно представительном. Непротиворечивость теоретических конструкций в педагогике еще не означает, как в математике, их существования. Нужны реальные доказательства, которые можно получить только в живом деле. Если стоять на такой позиции, то разговоры о воспитании в процессе преподавания математики (да и вообще) имеют мало отношения к педагогической теории. Во всяком случае мне неясно, что и как тут можно доказывать. Особенно — как. Никакого чистого опыта не провести в принципе, и поэтому мы переходим на почву спекулятивных рассуждений. На ней можно строить любые сооружения, насколько хватит фантазии, но сколь они прочны?.И какова их цена? Особенно я хочу это подчеркнуть именно сейчас, в завершающем разговоре о воспитании. И характер, и нравственные свой- 229
ства личности столь разнообразны и зависят от столь многих причин, что доля математического образования в их становлении и развитии близка к нулю. Но отлична от него! И вот это-то отличие и дает мне некую надежду сказать: «И моя капля меду...» Сначала о характере. Одна из существенных его черт — волевые свойства человека. По Симонову, воля — это потребность в преодолении трудностей. Воспитание, опять же по Симонову, предполагает, что воспитанника нужно вооружить знанием о способах удовлетворения своих потребностей, в частности и этой. Тут нам, учителям математики, явно повезло. Трудности в обучении математике общеизвестны, их можно расположить в некотором порядке, дидактически препарировать и преподнести детям. Я бы сказал так: трудности в математике естественны, не надо ничего придумывать, они — в природе предмета. И главная трудность — самостоятельное решение задач. Я не знаю ничего тяжелее в интеллектуальной деятельности, чем долгое самостоятельное размышление над задачей, которую обязательно надо решить, над вопросом, в котором обязательно надо разобраться для понимания сути дела. Сделать обучение легким, как призывают некоторые, можно, но как придется расплачиваться за эту легкость? Я могу отменить домашние задания, можно убрать из них трудные задачи, но к чему мы придем, удаляя на детском пути все новые и разумно поставленные препятствия? Сложные вопросы возникают о нравственном воспитании. По сути мы прикасаемся здесь к вековым проблемам человека. Я позволю себе только несколько соображений. 1) Воспитание вообще действует не столько на сознание, сколько на подсознание (по Симонову). Всякие разговоры о пользе нравственных поступков малополезны, ибо они не оказывают серьезного воздействия на потребности человека и на их иерархию. Гораздо существенней здесь та атмосфера, которая создана вокруг ребенка. Вот я и стараюсь в этом направлении. Один частный пример. Почти идеальная атмосфера создается в такой модели: «Дети, наш класс сегодня — небольшая научная лаборатория. Нам поручено решить такую задачу (набор задач). Я — руководитель лаборатории. Вы можете работать сами, можете работать в небольших группах, только тихо, можете в любой момент обратиться ко мне за консультацией. В конце урока разберемся, что у нас получилось». Разумеется, это — очень грубая схема работы класса. Есть одно «но» — лучше всего действует эта модель во время эпидемии гриппа, когда от класса остается человек 15—20. 2) Хорошо известна связь науки и нравственности. Об этом писали А. Пуанкаре, А. Д. Александров, об этой связи размышляли многие ученые. Если в установку учителя входит обучение науке, то отраженным светом эта связь проявляет себя и в преподавании. Один пример — зачем в преподавании нужно доказы- 230
вать все? И дети так хорошо относятся к утверждениям без доказательства — учить не надо. (Вспомним, как Б. Нушич и его сокашники чрезвычайно радовались фразе в учебнике о том, что история некоего древнего государства «покрыта мраком неизвестности».) Доказывать все и есть научный метод познания. В преподавании можно и опускать доказательства, и вообще обходиться без доказательств, но тогда мы преподаем не науку, а что-то другое. Но зачем нужно доказывать в жизни? По счастью, есть много сфер человеческой деятельности, где без доказательств не обойтись. Деятельность юриста в суде, врача-диагноста тому примеры. И доказательства необходимы даже в очевидных случаях. Я рассказываю детям, например, о суде над фашистскими преступниками. Но можно подойти поближе и к детской жизни. Одна из социальных потребностей человека — потребность в справедливости. А справедливость, по крайней мере в поступках воспитателя, всегда предполагает некое их обоснование, что иными словами и означает доказательство. Мне хочется верить, что дети, поняв необходимость доказательства в математике, в науке в целом легче придут к идее аргументации своих поступков. «Самое главное в доказательстве,— говорю я детям,— то, что оно есть. Какое оно — важно куда меньше». Учителю математики еще повезло в этом отношении — математические доказательства проще, чем в прочих предметах. Не позавидуешь, к примеру, учителю литературы, когда он убеждает в чем-либо своих учеников. Мало ведь сказать, что Пушкин — великий поэт, в этом же надо как-то убеждать! 3) Ответственность за сделанную работу явно имеет нравственную окраску. Стараюсь всячески подчеркнуть, что любая задача, решение которой подано учителю,— это работа. За нее, за ее качество ученик должен отвечать. Терпеть не могу корявых мыслей, небрежного оформления (не о почерке речь, конечно), бездумных результатов. Подгонкой под ответ искренне и публично возмущаюсь. Считаю, что ответы к задачам в школьных задачниках — вредная традиция. А списывание считаю делом недостойным, ученику, не проверяя, ставлю оценку, какую он хочет, можно и в четверти. К безответственности ведут поверхностные знания, которыми мы вооружаем учеников в огромном количестве. Знания неглубокие, отрывочные могут принести вред людям и потому безнравственны. Примеры нам хорошо известны, таковы трагические события, вызванные профессиональной некомпетентностью. Безнравственно быть плохим специалистом вообще. Хорошо бы нам прийти в обществе к пониманию того, что в том же смысле безнравственно быть и плохим учеником, не сводя, конечно, это понимание сугубо к отметкам. Перегрузка программ почти автоматически лишает знания учеников основательности, глубины и вредна еще и поэтому. «Лучше меньше, да лучше!» — это же аксиома. Нарушая ее, надо ли удивляться последствиям? 231
4) Есть такое понятие — моральная задача. Классический пример — «Задача Гамлета». «Быть или не быть» есть ситуация морального выбора, который повлечет за собой целую серию поступков нравственного содержания. Но вся история и литература изобилуют такими задачами. В истории: Понтий Пилат («умывать руки или нет»?), Сократ (бежать от смерти или выпить яд?), Галилей (что же сказать судьям?). В литературе вообще пропасть примеров, и приводить не буду ничего, кроме Гамлета. В жизни — на каждом шагу. Одна из частых задач: вмешиваться или нет? Помню поступок одного нейрохирурга, который ждал в аэропорту самолета для вылета на операцию. А у него на глазах — хулиганская сцена. Вмешаться? А кто будет оперировать? И решать надо быстро. Впрочем, фактор времени в таких задачах не всегда важен. Некий герой романа Дж. Хеллера «Уловка-22» так решал задачи выбора поступка. Он делил лист бумаги пополам, на одной части ставил заголовок «Пироги и пышки», а на другой половине — «Синяки и шишки». Потом он заполнял обе половины предполагаемыми последствиями намеченного поступка, после чего принимал окончательное решение. И действительно, многое в моральном выборе имеет рациональное содержание. Что конкретно можно увидеть? В ситуации выбора необходимо принимать решение «со знанием дела», а не просто по некоторому нравственному наитию. Сколько раз мы слышали в оправдание своего поступка: «Я так не хотел. Я хотел как лучше». Но почему же получилось «как хуже»? А что значат слова «со знанием дела»? Необходимы анализ ситуации, учет объективных условий, осознание проблемности ситуации (а может быть, все это уже встречалось?), рассмотрение всевозможных вариантов решения, оценка возможных следствий при учете реакций отдельных людей (а они плохо предсказуемы, появляется элемент вероятностного прогнозирования), поиски оптимального решения, доказательство своей правоты, оценка собственного поступка. Средства решения задачи надо сопоставлять с целью и упорядочивать. Как саму задачу, так и средства ее решения требуется постоянно корректировать. Такой перечень вдохновляет меня в работе. В самом деле, можно найти много общего в нем и в деятельности по решению математических задач. Не это ли имел в виду Г. Лихтенберг, когда советовал в своих «Афоризмах» житейские задачи решать как уравнения, приводя их к простейшему виду? Но кто знает, как оно на самом деле. И действительно ли ученые-математики легче других смертных справляются со своими земными проблемами. 232
IV.7. «ВРЕМЕНА ТЕПЕРЕШНИЕ» Мы дожили до «теперешних времен», как охнула одна бабуля... Времен жестких — как бы нам всем выжить, да еще чтобы уважение осталось хотя бы к себе самим. Настала пора переосмысления всего, что знал, о чем думал, к чему пришел, пришло время «вылезать из собственной шкуры». Пришло время гамбургского счета: если ты такой умный да ретивый, а тебе все только мешали — действуй! Перефразируя древних греков: «Родос — сейчас и здесь — так прыгай!» И впрямь «попрыгали»... За последние лет пять в нашем деле столько навылезало всякого... как грибов после дождя. Отделить бы теперь зерна от плевел. Считать деньги, и в образовании тоже, разумно. Но где же мера? Сейчас уже платят чуть ли не за каждый шаг: и за обучение детей в школе, и за возможность пойти к коллеге на урок. Но что же тогда будет завтра? Начнем платить пословно, как за телеграмму? Вольные педагогические мысли — прекрасно. Но ведь они бывают всякие. Субъект с горящими глазами может начать исповедовать все что угодно, и добро бы он это делал в пустом своем жилище, ну а если перед детьми и учителями? Мне уже довелось выслушивать таких. Ну, например, о том, что детей надо сортировать по общим интеллектуальным способностям лет в 10—11 и тех, кто не выдержал испытания, отворачивать от полноценного образования. Дать им элементарный минимум полезных знаний, что-то типа умения считать в пределах сотни и читать тексты на уровне правил уличного движения, да научить труду как можно быстрее — и хватит с них. «Но ведь это примерно то же, что предлагал Геббельс для славянских детей во всемирном третьем рейхе»,— не выдержал я. «А что, Геббельс был умный человек»,— услышал в ответ не только я от небезызвестного автора многих книжек о воспитании детей. И что самое жуткое — у этих «теоретиков» с горящими глазами есть учителя-единомышленники, есть школы, в которых система обучения в той или иной степени исповедует эти принципы, и они ведь еще делятся опытом в почтенных аудиториях — святая правда! Однако же все эти реформы, вольнодумства и катавасии в образовании вообще вроде бы не имеют отношения к преподаванию математики. Как-то у нас, в Питере, был небольшой семинар учителей, поднаторевших в деле. И весьма уважаемые в городе мастера безо всякого сомнения стояли на своем: школьная математи- 233
ка — вещь, так сказать, в себе и решение квадратных уравнений совершенно не зависит от того, какое сейчас «тысячелетье на дворе». Позиция четкая и даже привлекательная: в любые времена — диктатуры, или застоя, или еще какие — учитель математики спокойно жил среди иксов и игреков. Но все-таки, все-таки... Все ж таки нет былого мощного идеологического пресса, давившего в образовании новых поколений всякое инакомыслие. Сейчас я могу спокойно думать не только о методах преподавания, но о глубинном смысле собственных устремлений, о стремлении к вековым культурным ценностям. Движение к мировой культуре меняет цели и ценности образования, и при этом вовсе не обязательно отменяет все предыдущее, но по-иному ставит акцент. Разговор о культуре может быть бесконечным, но я ограничу рамки культуры только готовностью к диалогу, к пониманию мира во всех прекрасных его проявлениях — и это уже много. И вот вопрос: достаточно ли я делаю с учениками, чтобы будущие математики понимали строй гуманитарных мыслей, а все прочие — истинную суть математики, навожу мосты или расширяю пропасть между разными головами? И еще острее, чем раньше, спрашиваю себя: так кого же я хочу видеть в сидящем передо мной ребенке — инженера, физика, артиста, студента? Индивида, вооруженного знаниями, чтобы выжить в предстоящей борьбе за место под Солнцем, или еще кого-то? И так ли уж торопиться выбрасывать старое? Традиционная советская педагогика, говоря о воспитании ученика, на первое место выдвигала задачу формирования у него мировоззрения. Это казалось малоинтересным, оно ведь было у всех одинаковое, единственное и правильное. А теперь, когда прокрустово ложе классового подхода уничтожено, что оказалось? Что мировоззрения бывают очень даже разные, и даже не научные, а религиозные. И тут же хлынуло великое наступление подспудного, откуда-то пробились и астрология, и всякого рода магия, какие-то специалисты по связям с потусторонним миром и галактическим сверхсознанием. Но все это было, было... Еще Диоген Лаэртский, видя толкователей снов, прорицателей и тех, кто им верит, считал, что нет никого глупее человека. Хорошо известно даже из новейшей истории: всплеск этой галиматьи всегда сопутствует временам темным и даже трагическим для народа. И не потому ли я должен изо всех сил держаться за самую суть дела, которое делаю, за то, что прихожу в класс как человек от науки, от научного мировоззрения, а не как специалист по таблице умножения или решатель конкурсных задач? Новая педагогическая парадигма, новая система формирующихся сейчас образовательных тенденций входит в работу учителя через его установку и атмосферу. Установка отражает ту часть целей и ценностей, которая принята учителем для повседневной деятельности. В конечном счете 234
все это сказывается на тех или иных свойствах его учеников, если понимать эти свойства достаточно широко. Конкретно: знает ученик десятого класса о геометрии Лобачевского или нет, зависит не столько от программы, сколько от установки учителя, а еще глубже — от его интерпретации целей и ценностей образования. Различать цели и ценности, по-моему, необходимо. Например, можно поставить перед математическим образованием такую цель — научить школьника строить графики несложных элементарных функций. К ценностям же разумно отнести такие свойства ученика, выявление которых проблематично, а то и невозможно. Как, например, проверить наличие у выпускника научного мировоззрения? Сложнее говорить об атмосфере. Но необходимо. Я не берусь дать ее определение или хотя бы вполне ясное толкование, не довелось мне и читать о ней некое аналитическое исследование. Но ее существование — на каждом уроке — мне очевидно. В один класс идти хочется, а в другой — никакого желания; сделали дети домашнее задание — это одно, а не сделали — и все стало иначе; сидит на уроке «ваш закадычный враг» или он пошел погулять — «две большие и разные разницы»; даже если стулья в классе поставлены не так, как вчера, что-то неуловимо меняется. И наконец, с одними и теми же детьми: на уроке — одно, а в походе — другое. Атмосфера рождается от взаимоприсутствия и взаимодействия вполне конкретных людей, существует вне нас, но и в нас тоже, поскольку мы — взрослые и дети — ее и творим. Ее основа — отношения, как бы отпавшие от нас: мои отношения к детям и предмету и отношения детей ко мне и к предмету. Что ясно из этих несложных заметок? Ну, во-первых, атмосферу невозможно скопировать и ее нельзя перенять из чужого опыта. Во-вторых, она зависит от установки, и если изменилась установка, то каким-то образом меняется и атмосфера. И в-третьих, в своей работе учитель может идти разными путями: от атмосферы к ученику, то есть подстраивая работу в классе под уже имеющуюся или формирующуюся атмосферу; от ученика к атмосфере, то есть от конкретных педагогических процессов и лишь учитывая ауру вокруг них; комбинируя оба варианта в зависимости от сиюминутных задач преподавания. Все это хорошо видно, например, при вызове ученика к доске. Если ученик вызван «на отметку», то выбран второй путь; если же вокруг его ответа организовано живое обсуждение, как и было задумано учителем, то выбран первый путь. Так поменялась ли атмосфера на моем уроке в «теперешние времена»? 235
IV.8. ФТШ Последние пять лет я работаю в лицее: «Физико-техническая школа» (ФТШ) при Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе РАН (ФТИ). Очень большую поддержку оказывает школе С.-Петербургский технический университет, достаточно сказать, что школа расположилась в его помещениях. Основная часть выпускников поступает на базовые кафедры ФТИ, три из которых составляют физико-технический факультет университета. Школа, университет и ФТИ территориально образуют весьма небольшой треугольник, и в принципе все задумано так, чтобы физики провели в этом треугольнике большую часть жизни. У ФТШ есть две принципиальные особенности: она находится в составе РАН — Российской Академии наук — это раз, и наши ученики проходят практику в лабораториях ФТИ, принимая участие, разумеется, очень скромное, в реальных научных исследованиях,— это два. Ее создание и существование потребовали очень много внимания и сил прежде всего от директора ФТИ академика Ж. И. Алферова, председателя Совета школы академика В. М. Тучкевича, ученого секретаря ФТИ профессора И. А. Меркулова и научного сотрудника ФТИ М. Г. Иванова. Нетривиальные организационные и педагогические задачи пришлось решать первому директору ФТШ Я. Д. Бирману и всем учителям. В результате получилось нечто нестандартное, и ФТШ уже хорошо известна в городе. Мне работать в ФТШ не только интересно, но и приятно: среди коллег около десяти моих бывших учеников, а среди школьников всегда есть дети тех, кто у меня когда-то учился. Школа элитарная — мы уже не боимся этого термина, получившего официальный статус. В нее очень большой конкурс, ибо мест мало. О проблемах специализированной школы я уже писал, а сейчас добавлю еще одну: очень легко со временем сбиться на чистую подготовку в вуз и превратиться в этакие двухгодичные курсы, а это попросту скучно. В процессе первых лет работы ФТШ выкристаллизовалась задача гораздо более серьезная, именно: «Формирование основ научно-исследовательской деятельности». Не хочу сказать, что она уже решена (хотя и сделано многое); точнее сказать, что она стала более или менее понятной. Однако «теперешние времена» уже внесли свои коррективы. И мы хотим видеть сейчас не столько будущего специалиста, в первую очередь физика, сколько человека широкой культуры, готового к нештатным ситуациям, нестандартным решениям, говоря несколько образно — «культурного первопроходца». О своем понимании культуры я уже написал чуть выше и сейчас позволю себе лишь небольшой пассаж. Под культурой в расхожем толковании понимают почему-то только гуманитарную культуру. «Впору было подумать,— несколько желчно пишет об этом С. Моэм,— что единственное назначение культуры — это 236
научить людей болтать глупости с важным видом». Подлинная культура предполагает прежде всего широкие взгляды на свою профессию, на ее смысл и положение в обществе — если мы хотим, чтобы культура работала реально, а не сводилась к разговорам по поводу. В нашем случае (ФТШ) нужно постараться сделать максимум возможного для разрушения стены между технической и гуманитарной культурой, стены, о которой так много написал Ч. Сноу, физик и писатель. Так, поставленные перед ФТШ задачи предполагают рассмотрение всей педагогической системы, в рамках которой они решаются. В первую очередь необходимо организовать такую деятельность ученика, в которой и будут формироваться нужные его свойства. Я полагаю, что традиционно понимаемая учебная деятельность практически не в состоянии продвинуть нас в решении этой задачи. И можно сказать, что достижение новых целей и ценностей реализуется в процессе исследовательской деятельности. Ее характерные черты известны и легко трансформируются применительно к среднему образованию. В очень большом числе работ отмечается ее положительное воздействие на психику и личность ребенка. Важно заметить, что исследовательская деятельность мыслится достаточно широко и не сводится к исследованиям только в математике или в естественных науках. Принятие этой точки зрения, включение ее в установку повлияли и на систему моей работы, и на атмосферу, в которой она происходит, причем весьма и весьма существенно, вплоть до полной отмены чего-то, ранее наработанного. Формируя исследовательскую деятельность ученика, приходится гораздо больше, чем ранее, работать на понимание. Дело в том, что знания (точнее, информация, отнесенная к знаниям) очень часто находятся в учебниках и справочниках и специалист просто должен знать, куда посмотреть, чтобы их найти. Я вообще плохо понимаю, почему на экзаменах нельзя пользоваться справочниками,— умнее от этого не становятся, а память от волнения и чрезмерной мотивации может и отказать. Но если в рамках учебной деятельности я все же обязан «нажимать» на приобретение громадной массы фактических знаний, то в рамках исследовательской деятельности я могу быть куда менее «жестким». Точно такой же разговор можно провести и об умениях. Многие умения сейчас отнесены к компьютеру и даже к микрокалькулятору. И, грубо говоря, если ученик не умеет решить какого-то уравнения, не беда, ибо его моментально решит компьютер. Правда, это не беда, если мы говорим не об учебной деятельности, а об исследовательской. И опять же я не понимаю, почему на экзамене нельзя пользоваться калькулятором, просто вздор какой-то... Меняется подход не только к изучению теории, но и к задачам. В решении исследовательских задач я вижу такие фазы: постановка задачи, формулировка гипотезы, подтверждение гипотезы, опровержение гипотезы — все это в довольно сложной взаимосвя- 237
зи. В учебной задаче из всего этого можно говорить серьезно только о подтверждениях гипотез, да и то когда гипотеза уже сформулирована,— таковыми являются задачи на доказательство. Далее, меняются процессы, с помощью которых ведется преподавание, упор делается на максимально возможную самостоятельность ученика, даже при изучении теории. Оказывается, что взятому направлению больше соответствует работа не с учебником, а со справочником: в нем есть все результаты, а доказательства надо придумывать самим. Принципиальное значение я придаю использованию компьютера, но об этом чуть позже. И наконец, многое меняется и в организации образовательного процесса. Иначе проводятся самостоятельные работы, экзамены, иначе оцениваются ответы и т. д. В результате мы все более меняем атмосферу происходящего. А теперь приведу лишь несколько примеров этому. Замечу, что примеры касаются только того, что относится к учебному процессу. Но в ФТШ есть еще громадная внеклассная работа: кружки, факультативы, спецкурсы, спецсеминары, конференции, доклады... однако не о них сейчас речь. Учебные задачи отличаются от исследовательских еще и временем, отводимым на их решение. Их нужно сделать либо на этом уроке, либо к следующему, все прочее — бессмысленно. Теперь все больше даю задания надолго, иногда даже не фиксируя срока. Ученый тем и отличается, что в голове у него всегда сидит задача. (Помню, как давно еще В. Г. Болтянский, выступая перед моими учениками, удивил их высказыванием, что ученому не надо каждый день ходить на работу, ибо у него всегда есть работа, даже когда он спит.) Еще пример — предложил ученикам посмотреть годичные подшивки «Кванта» и выбрать из них те физические задачи, в решении которых — существенные геометрические соображения. Срок — свободный. В прошлом году был восстановлен в правах экзамен по геометрии, ученики могли его сдавать по собственному желанию. И я его провел как никогда раньше. Билетов в традиционном понимании не было, а было нечто другое. Каждый ученик получал персональное задание. В нем был описан некий многогранник, ну. например, многогранник, состоящий из двух правильных треугольных пирамид с общей гранью, являющейся равносторонним треугольником. Другие грани этих пирамид — прямоугольные треугольники. И в течение двух часов экзаменующиеся должны были сами провести некое исследование этого многогранника, о наиболее интересных его свойствах рассказать устно, доложить результаты. При желании экзаменаторов они должны были показать те или иные выкладки, сделанные, когда они работали на месте. Полученные результаты принимались только при наличии доказательства, но ученики могли высказывать и гипотезы. И наконец, о компьютерах. Боюсь, я слишком долго их недо- 238
оценивал, считая их разве что большим арифмометром. Все перевернулось как-то в одночасье. Однажды на моих глазах компьютер моментально, буквально в доли секунды, разложил на множители выражение я4+ 4. Во многих задачниках соответствующее утверждение названо теоремой Софи Жермен. Затем оказалось, что он может взять производную, найти первообразную... Теперь я уверен: внедрение в преподавание математики компьютера, точнее, программ, специализированных на решении математических задач, существенно меняет образовательный процесс. Надо только понять, чего он пока не может, и именно на это тратить золотое время детства. Ну, например, компьютер не умеет доказывать, не понимает, что значит «упростить», не умеет решать неравенств и еще пока многое. Ну так будем этому и учить. А зачем мучить детей построением сложных графиков, если они могут моментально увидеть их на дисплее? Основная же идея — привлечь его для формирования гипотез, возникающих из рассмотрения фигур. Всего один пример: на экране роза с уравнением в полярных координатах r = sin йф при k иррациональном закрашивает круг полностью. Так ли это на самом деле?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Размышляя о «хорошей задаче», я пришел к такой вот триаде: «увидел, понял, доказал». Что такое «доказал», я говорить не буду. Но что такое «увидел, понял»? Вернемся к задаче о нахождении радиуса шара, описанного около прямоугольного тетраэдра. «Увидел» — в своем пространственном представлении воссоздал такой тетраэдр как часть прямоугольного параллелепипеда. «Понял» — установил связь между центром шара, описанного около этого тетраэдра, и центром шара, описанного около этого прямоугольного параллелепипеда. Эти центры совпадают. Еще пример. Требуется доказать, что производная от четной функции нечетна. «Увидел» — перевел задачу на геометрический язык в виде такого рисунка (рис. 28). «Понял» — нашел переход ♦ Y Рис. 28 от равенства углов равнобедренного треугольника к равенству модулей производных, сосчитанных в точках х- и — х-тангенсов этих углов. Впрочем, все это — премудрости школьной математики и только. Гораздо позже неожиданно для себя я нашел в этих словах совсем другой смысл. В одном из высказываний А. Эйнштейна есть такое: «...радость видеть и понимать...». В этих трех словах слились воедино чувство, эмоция и разум — все то, что дает человеку возможность открывать: детям — мир и нас, а нам — их.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Глава I. В поисках смысла 4 I.1. Каждый везет свою тачку 4 I.2. АСУ учителя 9 I.3. Понимаю ли я, что делаю? 22 Глава II. В поисках лучшего 33 II.1. Начало пути — и сразу проблемы 33 II 2 Стереометрия на векторах 36 II.З. Выход в четырехмерное пространство 43 II.4. О роли векторов в школьной математике 47 II.5. Векторы и трудные вопросы школьной математики 61 II.6. Единая математика 70 II.7. О пользе теории множеств 73 II.8. Еще о единой математике 78 II.9. Тригонометрические функции через интеграл 82 II 10. О длине окружности и площади поверхности 97 II.11. Такая разная школьная геометрия 103 Глава III. О хорошей задаче 115 III.1 «Война» с ОДЗ 115 III.2. Давайте сделаем проверку 126 III.3 Разрушение «стены» 139 III.4. Непрерывность в геометрии 145 III.5. Дидактические материалы — совсем немного 150 III.6. «Хорошая задача делает нас умнее» 154 III.7. О задачах в учебнике 161 Глава IV. О воспитании 173 IV. 1. На ошибках учат 173 IV.2. Человек критический 186 IV.3. О понимании 199 IV.4. Творчество на каждом уроке 214 IV 5. С одной стороны, с другой стороны 218 IV.6. Не равна нулю 229 IV.7. «Времена теперешние» 233 IV.8 ФТШ 236 Заключение 240