Динамика ядерных реакторов - Хетрик Д.

Автор: Хетрик Д.

Теги: общее машиностроение технология машиностроения ядерная физика энергосистемы ядерная энергетика атомная энергетика ядерные реакторы

Год: 1975

Похожие

Физические основы кинетики ядерных реакторов

Ядерные реакторы

Теория ядерных реакторов. Том 1. Элементарная теория реакторов

Групповые константы для ядерных реакторов

Текст

Д.ХЕТРИН

ДИНАМИКА
ЯДЕРНЫХ
РЕАКТОРОВ

АТОМИЭДАТ
Д.ХЕТРИК

МОСКВА АТОМИЗДАТ 1975
УДК 621.039.5:621.039.514.45

ОАУЮ Ь. НЕТК1СК

ВУЫАМ1С8 ОР ЫиСЬЕАК КЕАСТОК8

ТЪе 17п1уег811у о[ СЫсадо Ргезз
СЫсадо апд Ьопдоп

Хетрик Д. Динамика ядерных реакторов. Пер.
с англ. М., Атомиздат, 1975, с. 400.

Основное внимание в книге сосредоточено на методах и
результатах решения уравнений динамики с едиными для
всего реактора осредненными параметрами (так называемая
точечная модель реактора). Однако автор знакомит читателя
и с современным уровнем развития очень важного раздела
динамики, изучающего пространственно-временные процессы.
В книгу включено описание динамики больших реакторов,
дается представление о нейтронных импульсах и нейтронных
волнах. Охватывается широкий круг проблем, в том числе
проблемы устойчивости линейных и нелинейных систем. Важ-
ная особенность книги состоит в том, что в ней обсуждаются
многие методы, которые были развиты для преобразования
дифференциальных уравнений динамики к виду, пригодному
для получения численных решений на цифровых вычислитель-
ных машинах.

Рис. — 210. Таблиц—11. Библиография — 613 названий.

30315—036

034(01)—75 36—75

язык.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель книги — дать систематизированное изложение вопросов ди-
намики ядерных реакторов с таким расчетом, чтобы она могла быть
учебным пособием по этому предмету для студентов старших курсов
и аспирантов, готовящихся к работе в области физики и техники ядер-
ных реакторов. Большая часть материала была собрана автором для
лекций аспирантам кафедры ядерной техники Аризонского университе-
та. Предполагается, что читатель знаком с основами теории ядерных
реакторов.

Основное внимание уделено уравнениям динамики реактора с со-
средоточенными параметрами (так называемая точечная модель реакто-
ра). На основе диффузионной теории и теории переноса нейтронов
дается вывод уравнений, соответствующих этой модели. Кроме того,
автор знакомит читателя с очень важным разделом динамики — про-
странственно-временными процессами. С этой целью в книге рассматри-
вается динамика больших реакторов, техника нейтронных импульсов,
дается представление о нейтронных волнах.

Одна из важных особенностей книги состоит в том, что в ней сде-
лана попытка ликвидировать разрыв между точками зрения физика-
реакторщика и инженера, являющегося специалистом в области управ-
ления и защиты реакторов. Можно надеяться, что после изучения этой
книги читатель будет в состоянии разговаривать с каждым из этих спе-
циалистов на привычном для них языке. Другая важная особенность
книги заключается в том, что в ней обсуждаются многие методы, кото-
рые были развиты для преобразования дифференциальных уравнений
динамики реакторов к виду, пригодному для решения на цифровых
вычислительных машинах. Кроме того, большое внимание уделено труд-
ной и важной проблеме расчета динамических коэффициентов реактив-
ности по основным данным реактора.

Предполагается, что читатель обладает математической подготовкой
в следующем объеме: дифференциальные уравнения, преобразование
Лапласа, элементарное знакомство с матрицами. Более сложные поня-
тия и методы вводятся по мере необходимости. Иногда (например, при
рассмотрении устойчивости нелинейных систем) математические теоре-
мы приводятся без доказательства.

Читатель, заинтересованный в углублении знаний, сможет присту-
пить к изучению имеющейся литературы; однако большинство читате-
лей, вероятно, пожелают приступить к практическому применению полу-
ченных знаний.
Книга охватывает широкий круг проблем. Одни из них используются
просто для иллюстрации излагаемого материала, другие позволяют об-
судить интересные побочные сведения, третьи включены для того, чтобы
пробудить интерес к изучению тем, не вошедших в книгу. Внимательные
читатели откроют для себя и другие проблемы, убедившись в том, что
обзор, составленный автором, неполон. Отбор тем для детального об-
суждения при ограниченном объеме книги был труден. Естественно, что
он отражает личные «вкусы» автора и его точку зрения на то, какой
материал важен, поучителен и интересен. Хочется надеяться, что в ре-
зультате получился полезный обзор динамики ядерных реакторов —
этого увлекательного предмета.

Я хочу выразить глубокую признательность многим моим коллегам.
Своим увлечением динамикой ядерных реакторов я обязан в первую
очередь ныне покойному Марку Миллсу (Магк МШз), руководившему
моими работами в этой области. Ричард Коэн (Е. КкйагЛ СоЬеп) в те-
чение многих лет вдохновлял и ободрял автора, так же как и Зия Акасу
(21уа Аксази), Рей Бриттен (Кеу Впйап), Хосе Каноза (Лозе Сапозе),
Джек Черник (Ласк Сйегшск), Алиас Гифтопулос (ЕИаз СуНорои1оз),
Аллан Генри (АПап Непгу), Роберт Кипин (С. КоЬег! Кеерт), Чарльз
Келбер (СЬаг1ез Ке1Ьег), Геральд Лелюш (СегаШ ЬеПоисЬе), Дэн Ме-
нели (Пап Мепе1еу), Морт Моор (Мог! Мооге) и Луис Шоткин (Ьошз
ЗЬоШп). Я особенно благодарен Ричарду Брему (КкЬагд ВгеЬт), Ро-
берту Силу (КоЬег! 5еа1е) и Линну Уивер (Ьупп АУеауег) за полезные
дискуссии по многим вопросам.

Мои студенты очень помогли мне. Я особенно признателен Эдварду
Фуллеру (ЕсЬуагЛ ЕиПег), Питеру Минену (Ре^ег Меепап), Теодору
Шмидту (ТЬеобоге Зскписк), Филлипу Аллену Сэккеру (РЫШр АПеп
Зескег) и Джону Желиговскому (ЛоЪп ЗгеНдотозк!). Я очень благода-
рен Рут Фармэйкс (КиН1 Рагшакез) из Американского ядерного об-
щества за разрешение воспроизвести многие иллюстрации из публика-
ций общества в журналах «Ядерная наука и техника» («Мис1еаг
Зсхепсе апЛ Еп^шеепп^») и в «Трудах Американского ядерного обще-
ства» («ТгапзасНоп оГ (Ье Ашепсап Ыис1еаг Зос1е1у»). Я также очень
благодарен Джозефу Греттону (ЛозерЬ О. (ЗгаНоп) из Комиссии по
атомной энергии США за разрешение воспроизвести многие материалы
из документов КАЭ. Некоторые из исследований автора и его студен-
тов проводились при содействии КАЭ США, Национального управления
по аэронавтике и изучению космического пространства и Станции тех-
нических экспериментов Аризонского университета.

Рукопись книги была терпеливо и умело напечатана моей женой.
Иллюстрации были подготовлены опытной рукой Леланда Харберса
(Ье1апс1 Л. НагЬегз) из Аризонского университета. Наконец, я хочу вы-
разить глубокую благодарность моей жене Маргарет и моим дочерям
Кэрол, Ненси и Эми. Их заботы и внимание постоянно вдохновляли
автора.
ГЛАВА 1

ПРОСТЕЙШИЙ ВЫВОД
УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ

§ 1.1. Введение

Ядерные реакторы на тепловых или быстрых нейтронах с топливом
из ^П, ^Рп или описываются в первом приближении одними и
теми же основными законами динамики. Существо дела, конечно, опре-
деляет вызываемое нейтронами деление этих изотопов, сопровождаю-
щееся испусканием других нейтронов (обычно двух или трех на акт
деления), благодаря чему возможна самоподдерживающаяся нейтрон-
ная цепная реакция. В этом приближении наиболее важное различие
между реакторами на быстрых и тепловых нейтронах заключается
в скорости размножения нейтронов, а главное различие между видами
топлива состоит в том, что каждому из них присуща своя доля запазды-
вающих нейтронов (не испускаемых непосредственно при делении).

§ 1.2. Основные понятия

Основные понятия в динамике ядерных реакторов, общие для всех
типов реакторов, — это реактивность, время жизни нейтронов и запаз-
дывающие нейтроны.

Реактивность есть отклонение эффективного коэффициента размно-
жения нейтронов к от единицы, отнесенное к к. Реактивность является
интегральной характеристикой всего реактора. Экспериментальные зна-
чения реактивности получают обычно из наблюдений динамического по-
ведения реактора, хотя возможны и статические измерения коэффици-
ента размножения нейтронов. Точечная модель реактора применима
только тогда, когда к очень близок к единице (когда реактор не очень
далек от критического состояния), что, к счастью, охватывает широкий
набор практически важных случаев.

Реактивность зависит от размера реактора, относительных коли-
честв и плотностей различных материалов и от нейтронных сечений рас-
сеяния, поглощения и деления. Поскольку на все это влияют изменения
температуры, давления и другие процессы, происходящие из-за деления
ядер (являющиеся главным образом следствием рассеяния кинетиче-
ской энергии осколков деления), реактивность зависит от предыстории
работы реактора. Вычисление этой «обратной связи по реактивности» —
одна из центральных проблем динамики реакторов. Уравнения динами-
ки обычно нелинейны, так как содержат произведение реактивности на
мгновенное значение мощности.

Время жизни поколения нейтронов есть среднее время, необходи-
мое для воспроизводства нейтронов в размножающей сборке. Оно мо-
жет быть очень коротким (10-8 сек) в реакторах на быстрых нейтронах,
где деление вызывают быстрые нейтроны, или более длительным
(10-3 сек) в реакторах на тепловых, где нейтроны прежде чем вызвать
деление, сильно замедляются, а затем диффундируют при тепловых
энергиях. Время жизни зависит главным образом от количества актов
рассеяния, которые претерпевает *в среднем нейтрон, прежде чем он
уйдет из реактора (утечки) или исчезнет в результате ядерной реакции
(поглощение).

Запаздывающие нейтроны, хотя и составляют менее одного про-
цента выхода нейтронов при делении, чрезвычайно важны, так как опре-
деляют в динамике реакторов характерное время переходных процес-
сов. Эти нейтроны испускаются в определенных ядерных переходах,
характерных для нескольких типов сильно возбужденных осколков деле-
ния, периоды полураспада которых порядка нескольких секунд.

Когда эффективный коэффициент размножения нейтронов доста-
точно велик для того, чтобы нейтронная цепная реакция была самопод-
держивающейся на одних только мгновенных нейтронах (нейтроны,
испускаемые непосредственно при делении), время жизни поколения
нейтронов определяет собой характерное время переходных процессов.
Когда надкритичность реактора невелика и поддержание цепной реак-
ции без запаздывающих нейтронов невозможно, определяющими ста-
новятся сравнительно большие времена запаздывания таких нейтронов,
хотя доля их мала. Если бы все нейтроны были мгновенными, было бы
чрезвычайно трудно управлять реактором с помощью обычных механи-
ческих средств, таких, как перемещение топлива, поглотителей или от-
ражателя нейтронов. Чтобы скомпенсировать короткое время жизни
нейтронов, потребовались бы высокочастотные органы воздействия.
Управлять реактором на быстрых нейтронах было бы просто невоз-
можно.

Переходные процессы, определяющие динамику реакторов, по дли-
тельности можно условно разбить на следующие группы:

1) быстрые процессы — микросекунды — секунды (ядерные взрывы,
импульсные реакторы, реакторные аварии);

2) процессы малой длительности — минуты — часы (запуск реакто-
ра, изменения реактивности при изменениях уровня мощности, колеба-
ния внешней нагрузки атомной электростанции, отравление продуктами
деления);

3) процессы большой длительности—дни — месяцы (выгорание
топлива, производство тяжелых изотопов, расширенное воспроизводство
и конверсия топлива, воздействие радиации на материалы).

В этой книге рассматриваются быстрые процессы и процессы малой
длительности.

§ 1.3. Уравнения динамики

Нестационарная диффузия нейтронов в реакторе может быть опи-
сана с пбмощью уравнения

2а^+5, (1.1)

где 1)йУ— количество нейтронов в элементе объема (1У в точке г
в момент времени ПиУЧШ— количество нейтронов, диффундирую-
щих в элемент объема <1У за единичный интервал времени в момент
времени /; %ауМ<1У— количество нейтронов, поглощаемых в элементе
объема с1У за единичный интервал времени в момент времени /;
5(г, 1)<1У— количество нейтронов, генерируемых в элементе объема с1У
за единичный интервал времени в момент времени •/. Величины Р, V
и 2а — соответственно коэффициент диффузии, скорость нейтронов и
макроскопическое сечение поглощения нейтронов (вероятность погло-
щения на единичной длине пробега), осредненные соответствующим об-
разом по спектру нейтронов.

Ограничимся здесь рассмотрением тех случаев, когда Р, V и 2а не
зависят от координат.

В диффузионной теории переноса нейтронов предполагается, что
ток нейтронов подчиняется закону Фика, т. е. ]=—

Уравнение (1.1)—простейшее приближенное уравнение, применяе-
мое для изучения динамического поведения многих типов реакторов.
Часто под понимают нейтроны только той области энергий, в которой
происходит подавляющая часть делений (например, тепловые нейтроны
в тепловом реакторе). Тогда источником 5 являются нейтроны, посту-
пающие в эту область за счет замедления из областей более высоких
энергий. Простейший подход предполагает, что все процессы происходят
при одной определенной энергии нейтронов, а .V — полная плотность
нейтронов всех энергий.

При таком подходе плотность генерации быстрых нейтронов в ста-
ционарном состоянии определяется выражением где к<х> — ко-

личество быстрых нейтронов, генерируемых в реакторе при поглощении
одного нейтрона (эту величину часто называют коэффициентом размно-
жения нейтронов в бесконечной размножающей среде). В нестационар-
ном случае мгновенные и запаздывающие нейтроны должны рассматри-
ваться отдельно. Если р— доля запаздывающих нейтронов, то вклад
мгновенных нейтронов в суммарную мощность источника 5 равен
(1-₽)*ООЗапаздывающие нейтроны возникают при радиоактив-
ном распаде определенных ядер из числа осколков деления (так назы-
ваемые ядра-предшественники запаздывающих нейтронов). Если 'кг —
постоянная распада, а Сг(г, /) —плотность ядер-предшественников /-го
сорта, то вклад запаздывающих нейтронов в суммарную мощность ис-
точника 5 равен 3

С учетом внешнего источника нейтронов 5о(г, /), не связанного
с процессом деления, находим, что

5 = (1 — р) к&Ы + 2 ЛА 4- 50. (1.2)

Уравнение нестационарной диффузии нейтронов принимает вид
дЩд1=+ (1 - р) + 2 * А + $<>• (1-3)

Пусть Рг — доля запаздывающих нейтронов, возникающих при распаде
ядер-предшественников /-сорта, так что Р =

Предполагая, что миграция осколков деления пренебрежимо мала
(в случае реактора с циркулирующим топливом такое предположение
7
неприменимо), находим, что

дС^д1 —ХгСг.

(1.4)

Уравнения (1.3) и (1.4) образуют систему приближенных уравнений
динамики. Подразумевается, что некоторые или даже все коэффициен-
ты, входящие в эти уравнения, могут зависеть от времени из-за измене-
ний, происходящих в реакторе по внешним причинам, или из-за изме-
нений мощности реактора. Ограничимся рассмотрением тех случаев,'
когда функции IV и С г допускают разделение переменных г и I. Разде-
ление переменных, как мы убедимся позднее, означает, что в разложе-
ниях М и Сг по собственным функциям можно пренебречь всеми гар-
мониками, кроме основных. Это справедливо только тогда, когда реак-
тор очень близок к критическому состоянию и при этом нет больших
локальных возмущений. Итак, предположим, что

АГ (г, /)=/(г)п(0; С, (г, (1.5)

Уравнение (1.4) принимает вид

п (0 - ЛА- (О- (1 -6)

Отметим, что отношение не зависит от времени. Далее, если мы
хотим, чтобы решение уравнения (1.6) не зависело от координат, необ-
ходимо предположить, что функции / и отличаются только постоян-
ным множителем. (Другой путь получения уравнений, не содержащих
пространственной зависимости, — интегрирование уравнений (1.3) и
(1.4) по объему реактора; обсуждение его выходит за рамки этой
главы.)

Удобно принять, что №г=1, теперь уравнение (1.6) принимает вид:

б/Сг/^=1р|Лоо2оУП—КгСг. (1.7)

Подставляя выражения (1.5) в уравнение (1.3), находим:

л (0 - 2ао/г (0 + (1 - ₽) к^п (0 + 2 * (0 4-^-. (1.8)

Здесь для устранения пространственной зависимости кроме условия
&=} необходимо, чтобы V2/// и не зависели от координат. Первое
из этих требований эквивалентно предположению, что функция /(г)
удовлетворяет уравнению Гельмгольца 172/4-В2/=0, где постоянная В2
именуется лапласианом или баклингом системы. Как будет видно в гл. 8,
требование независимости отношения $о// от координат является харак-
терной особенностью примененного способа вывода уравнений без про-
странственной зависимости. Предполагая далее, что функция 50 зави-
сит от координат таким же образом, что и функция /, примем, что

<7(О=$о(г, /)//(г).

Введем еще два символа: /<*>— среднее время жизни нейтрона до его
поглощения и Ь — длина диффузии нейтронов:

/оо=1/^5а; Л2=/)/Еа.

Величина /«> может быть также названа средним временем жизни ней-
трона в бесконечной среде, а I2 можно интерпретировать как сплощадь
8
диффузии» или «площадь миграции». Уравнение (1.8) теперь имеет вид:

_.т (1 — Р)^оо— (1 + &&)

(1-9)

Определим эффективный коэффициент размножения нейтронов к и сред-
нее время жизни нейтронов в реакторе /о следующим образом:

^=Лоо/(1+12В2); /о = /оо/(1+12В2).

(Раньше эти величины часто обозначались символами &Эф и /*, теперь
от таких несколько неудобных символов отказываются.)

Перепишем уравнения (1.9) и (1.7), используя новые обозначения:

(МО)

(1.Н)

Уравнения (1.10) и (1.11) соответствуют точечной модели реактора и
содержат в явном виде среднее время жизни нейтронов в реакторе 1о.
Обратим внимание на член —п/1о в уравнении (1.10). Это скорость спа-
да плотности нейтронов в реакторе в отсутствие источников нейтронов
всех видов: Отсюда ясно, что /о — действительно среднее время жизни
нейтронов в реакторе.

Уравнения можно записать в другой форме, используя понятие
о среднем времени генерации нейтронов в реакторе 1=1^1 к. Этот термин
обязан своим происхождением члену &п//0 в уравнении (1.10), описы-
вающему скорость генерации нейтронов. Введем понятие реактивности *
р, определив эту величину формулой

р=(6—1)/Л.

Уравнения (1.10) и (1.11) принимают вид:

(1-12)

(1-13)

сП'

— ХгСг,

(1.14)

В таком виде уравнения и используются в этой книге.

Иногда подчеркивается различие между двумя формами записи
уравнений динамики, соответствующих точечной модели реактора, на
том основании, что /о изменяется сильнее или слабее, чем /, в зависимо-
сти от того, какие физические причины вызывают изменения реактив-
ности. На самом деле в точечной модели реактора существенно зави-
сит от времени только параметр к—1 (или р). Пренебрежение зависи-
мостью от времени всех других коэффициентов, включая к в уравнении

* Символ АИзб для к—1 («к избыточное») не применяется в этой книге, так же как
и излишний термин «избыток реактивности». Не используется и символ 6к (для обо-
значения величин к—1 или р).
(1.11), едва ли может привести к большим погрешностям, чем те, ко-
торые возникают при непосредственном использовании уравнений
(1.10) и (1.11). Так, например, существенные изменения среднего вре-
мени жизни нейтронов в реакторе будут приводить к большим отклоне-
ниям реактора от критического состояния, что делает неприменимой то-
чечную модель реактора. Поэтому логика подсказывает, что в уравне-
ниях (1.10) и (1.11) нужно принять, что #=1, кроме, конечно, к в малой
разности к—1. В результате по существу приходим к уравнениям (1.13)
и (1.14). Кроме того, как будет ясно позднее, в точечной модели реак-
тора физически значимыми параметрами являются не зависящие от
времени константы 1/р, 1/Рг и 1/%г вместе с отношением р/р (реактив-
ность в долларах); это также показывает, что к не следует оставлять
независимым параметром. Более подробное обсуждение таких понятий,
как среднее время жизни нейтронов и среднее время генерации нейтро-
нов, читатель найдет в соответствующей литературе [290, 331].

Отметим, что п{1) допустимо выражать в любых единицах, если
только размерности п и с одинаковы и при условии, что функция ц
(нормированная должным образом) выражена в единицах По-
скольку предполагается, что пространственное распределение плотности
нейтронов не зависит от времени, под п может пониматься какая-либо
интегральная или осредненная по объему характеристика реактора, ко-
торая пропорциональна плотности нейтронов в любой точке реактора и
в любой момент времени (например, полное количество нейтронов
в реакторе, скорость деления ядер, полная мощность реактора или сред-
няя удельная мощность). Из вышесказанного следует, что термины
«мощность» и «плотность нейтронов» используются как взаимозаменяе-
мые. Однако, как мы увидим в гл. 8, такой сильно упрощенный подход
может вводить в заблуждение.

Детали устройства гетерогенного реактора, в котором топливо и
замедлитель полностью или частично разделены, не учитываются в рам-
ках точечной модели реактора. Конечно, такие детали влияют на расчет
параметров, используемых в модели, но эти параметры по необходимо-
сти отражают только интегральные свойства реактора в целом. Вызы-
ваемые нейтронами различной энергии эффекты, которые в ряде слу-
чаев чрезвычайно сложны, также нельзя учесть в рамках этой модели.
Возможна только некоторая коррекция параметров. Например, если М
в уравнении (1.1) рассматривается как плотность тепловых нейтронов
в тепловом реакторе, то <в каждый член уравнения (1.2) вводятся по-
правочные коэффициенты для учета утечки и поглощения нейтронов
надтепловой области энергий. Эти коэффициенты могут быть вычислены
по возрастной теории Ферми, по двухгрупповой теории переноса нейтро-
нов или по более сложным теориям [202, 312, 583]. Обычно для каж-
дого члена в уравнении (1.2) требуются разные поправочные коэффи-
циенты, так как мгновенные нейтроны, запаздывающие нейтроны и ней-
троны внешнего источника имеют разную среднюю энергию.

Поскольку запаздывающие нейтроны рождаются с энергиями, более
низкими, чем энергии мгновенных нейтронов, для них характерны в сред-
нем меньшие эпитепловые утечки и эпитепловой захват. Это учитывает-
ся введением эффективных долей запаздывающих нейтронов, для ко-
торых часто используются обозначения и причем множитель у
может достигать значения 1,3 для малых тепловых реакторов с водя-
ным замедлителем [129]. Подробное обсуждение приведено в [290] глав-
ным образом применительно к быстрым сборкам. Необычна сборка из
10
^Ри без отражателя, в которой ?<1 из-за провала в сечении деления
в области 0,5 Мэв,

При более детальном подходе необходимо учитывать, что каждый
из излучателей запаздывающих нейтронов дает свой спектр нейтронов,
что приводит к различным поправочным коэффициентам для каждой
из величин р<. В точечной модели реактора в том виде, как она здесь
используется, символ 0 применяется для обозначения эффективной доли
запаздывающих нейтронов. Каждый реактор характеризуется своим зна-
чением величины р, а каждый вид топлива — своими значениями отно-
шений Рг/р.

Энергетический спектр нейтронов в реакторе может изменяться в хо-
де нестационарного процесса, что приводит к изменению численных
значений параметров, осредняемых при их вычислении по спектру ней-
тронов. Впрочем, изменение спектра нейтронов — это только одна со-
ставляющая целого комплекса процессов, включающего процессы изме-
нения плотности, температуры и т. д. Все эти процессы чрезвычайно
важны при вычислении реактивности, но их влиянием на другие пара-
метры точечной модели реактора обычно можно пренебречь.

Наличие в реакторе смеси из нескольких видов топлива, с каждым
из которых связан свой набор характеристик запаздывающих нейтро-
нов, вызывает осложнения, которые позднее будут кратко обсуждены.
Здесь отметим только, что деление на быстрых нейтронах приводит
к появлению небольшого дополнительного количества запаздывающих
нейтронов в любом реакторе с урановым топливом. Этот эффект, зави-
сящий от спектра нейтронов и степени обогащения урана, мал и не бу-
дет в дальнейшем приниматься во внимание. Подобный эффект, который
зависит от предыстории выгорания уранового топлива в реакторе, по-
является при делении ядер 239Ри, образующихся при радиационном за-
хвате нейтронов ядрами 238П’.

Главный недостаток точечной модели реактора состоит в том, что
она непригодна для описания динамических эффектов, появляющихся
при изменениях пространственного распределения нейтронных потоков
в ходе нестационарных процессов. Проявление этих эффектов опреде-
ляется конечной скоростью распространения в пространстве локальных
возмущений нейтронного потока, и не удивительно, что они часто чрез-
вычайно важны в больших реакторах. При больших отклонениях от
критического состояния даже для малых реакторов точечная модель
реактора становится неудовлетворительной. Обсуждение этих проблем
будет продолжено в соответствующих главах.

Наконец, следует отметить, что диффузия нейтронов и деление
ядер являются дискретными процессами, требующими в предельном,
случае статистического рассмотрения. Точечная модель реактора, теория
диффузии нейтронов и теория переноса нейтронов, имеющие дело с не-
прерывными распределениями, в состоянии дать только приближенное
описание стохастических процессов, лежащих в их основе. Это было на-
глядно продемонстрировано при измерениях динамических параметров-
по собственным шумам реактора [546] и по флуктуациям времени раз-
вития нейтронных вспышек в импульсных быстрых сборках [290].

Точечная модель реактора может быть выведена из элементарного
стохастического описания процессов, происходящих в реакторе [516].
(Имеется много новых исследований теоретических основ модели, со-
ответствующая литература указана в конце гл. 6.)
§ 1.4. Упрощенный нейтронный цикл

В этом параграфе точечная модель реактора рассматривается на
основе упрощенного динамического нейтронного цикла, показанного на
рис. 1.1. Здесь используются те же обозначения, что и в предыдущем
параграфе. Часть материала повторяется, так что содержание пара-
графа можно рассматривать как независимый вывод уравнений дина-
мики, при условии, что читатель готов принять представление о среднем
времени жизни нейтронов в реакторе без вывода формулы, связываю-
щей эту величину с параметрами, определяющими диффузию, нейтронов.

Пусть — количество нейтронов в системе в момент времени /,
а /о — характеристическое время (среднее время жизни нейтронов), так
что полная скорость уменьшения количества нейтронов равна л//о. Сим-
волом к обозначим полное количество нейтронов, как мгновенных, так

Рис. 1.1. Упрощенный нейтронный цикл.

и латентных (ядра-предшественники запаздывающих нейтронов), обра-
зующихся в системе в расчете на один нейтрон, исчезнувший из системы
любым путем. Тогда полная скорость генерации нейтронов равна
кпЩ.

Мгновенные нейтроны «возвращаются в цикл» немедленно, а ла-
тентные— с различными средними временами запаздывания, равными
1Дг. Ядра-предшественники запаздывающих нейтронов /-го сорта (их
доля равна рг) генерируются со скоростью ^кпЦ^ Скорость генерации
мгновенных нейтронов равна (1—$)кп11^ где р=2/р$. Если сг- — коли-
чество ядер-предшественников /-го сорта, то скорость генерации запаз-
дывающих нейтронов равна ЕДгСг. Символом я обозначим мощность
внешних источников нейтронов. Теперь запишем выражение для ско-
рости изменения количества нейтронов в системе:

%=(1 - ₽) к + <7 - V’

которое после преобразования принимает вид

йп___ к 1 — Р&

п + -|- Я-

Это уравнение (1.10) из предыдущего параграфа.
12
Записывая выражение для скорости изменения количества ядер
/•го сорта, излучающих запаздывающие нейтроны ьго сорта, приходим
к уравнению (1.11):

п ___2 г.

Определяя среднее время генерации нейтронов как /=/о/& и реактив-
ность как р= (Л—1)/&, получаем уравнения (1.13) и (1.14):

ап р — 8 । V и ।

I “4“ 4~ <7

аг

П —

§ 1.5. Запаздывающие нейтроны

При изучении динамики реакторов обычно считают, что существует
шесть различных групп излучателей запаздывающих нейтронов. Есть
экспериментальные и теоретические основания считать, что на самом

Таблица 1.1

Характеристики запаздывающих нейтронов при делении ядер
тепловыми нейтронами

Топливо Содержа- ние основного изотопа, % Номер группы 1 Период полураспада Т1/2» сек Постоянная распада л€, сек~* Относительный выход ₽^/р Выход (количество нейтронов на акт деления)
1 55,72 0,0124 0,033 0,00052
2 22,72 0,0305 0,219 0,00346
235ТТ 00 0 3 6,22 0,111 0,196 0,00310
УУ) У 4 2,30 0,301 0,395 0,00624
5 0,610 1,14 0,115 0,00182
6 0,230 3,01 0,042 0,00066
2=1,000 2 = 0,0158
1 54,28 0,0128 0,035 0,00021
2 23,04 0,0301 0,298 0,00182
ОО й 3 5,60 0,124 0,211 0,00129
ни УУ > 0 4 2,13 0,325 0,326 0,00199
5 0,618 1,12 0,086 0,00052
6 0,257 2,69 0,044 0,00027
2 = 1,000 2= 0,0061
1 55,00 0,0126 0,086 0,00057
2 20,57 0,0337 0,299 0,00197
233Т Т 1 ПЛ 3 5,00 0,139 0,252 0,00166
Ш V V 1 1Ш 4 2,13 0,325 0,278 0,00184
5 0,615 1,13 0,051 0,00034
6 0,277 2,50 0,034 0,00022
2 = 1,000 Б =0,0066
деле их больше; однако все имеющиеся данные по спаду скорости гене-
рации запаздывающих нейтронов удовлетворительно описываются с по-
мощью шести постоянных распада [290]. Методом наименьших квадра-
тов было установлено, что для оптимального соответствия эксперимен-
тальным данным необходимо и достаточно описывать Спад скорости
генерации запаздывающих нейтронов функцией, представляющей собой
сумму шести экспонент с различными периодами [292]. Было обнару-
жено, что периоды полураспада и доли запаздывающих нейтронов, со-
ответствующие каждой из шести групп, различны у различных делящих-
ся изотопов и зависят от энергии нейтронов, вызвавших деление. По-
этому для каждого вида топлива и для каждого спектра нейтронов

Таблица 1.2

Характеристики запаздывающих нейтронов при делении ядер быстрыми
нейтронами

Топливо Содержа- ние основного [изотопа, % Номер группы 1 Период полураспада Т1/а, сек Постоянная распада X., сек"1 ъ Относительный ВЫХОД Р4/Р Выход (количество нейтронов на акт деления)
1 54,51 0,0127 0,038 0,00063
2 21,84 0,0317 0,213 0,00351
235Т I ПЛ о 3 6,00 0,115 0,188 0,00310
УУ У 4 2,23 0,311 0,407 0,00672
5 0,496 1,40 0,128 0,00211
6 0,179 3,87 0,026 0,00043
2= 1,000 2 = 0,0165
1 53,75 0,0129 0,038 0,00024
2 22,29 0,0311 0,280 0,00176
2390'1 ОО о 3 5,19 0,134 0,216 0,00136
1г и УУ у о 4 2,09 0,331 0,328 0,00207
5 0,549 1,26 0,103 0,00065
6 0,216 3,21 0,035 0,00022
2= 1,000 2 = 0,0063
1 55,11 0,0126 0,086 0,00060
2 20,74 0,0334 0,274 0,00192
233Т Т 1 АЛ 3 5,30 0,131 0,227 0,00159
4 2,29 0,302 0,317 0,00222
5 0,546 1,27 0,073 0,00051
6 0,221 3,13 0,023 0,00016
2= 1,000 2 = 0,0070

нужно пользоваться соответствующими данными по запаздывающим
нейтронам. Данные, относящиеся к делению ядер тепловыми нейтрона-
ми, сведены в табл. 1.1, а быстрыми — в табл. 1.2.

Пределы погрешностей в таблицах не указаны. Для периодов полу-
распада [290] они изменяются от 2% при более длинных периодах до
~10%—при более коротких. В отдельных случаях погрешности двух
наиболее коротких периодов полураспада достигают 20%; однако для
14
четырех других групп периоды полураспада обычно известны с погреш-
ностью в несколько процентов. При делении тепловыми нейтронами
полный выход запаздывающих нейтронов в расчете на один акт деления
равен 0,0158 ± 0,005.

Табл. 1.3 содержит данные по числу V (среднее количество нейтро-
нов, образующихся в результате одного акта деления) и данные по
долям запаздывающих нейтронов р, которые получены путем деле-
ния на V полных выходов запаздывающих нейтронов, указанных
в табл. 1.1 и 1.2. Приведенные значения у были найдены по известным
экспериментальным зависимостям у от энергии нейтрона с использова-
нием расчетных значений средних эффективных энергий нейтронов,

Таблица 1.3

Доли запаздывающих нейтронов и средневзвешенные постоянные распада

Эффективная энергия нейтронов Топливо Выход (коли- чество запаз- дывающих нейтронов на акт деления) V (количество нейтронов на акт деления) (доля запаз- дывающих нейтронов) X (₽ 1 \) ’ сек'1 V сек'1
Тепловые 235(3 0,0158 2,432 0,00650 0,0767 0,405
нейтроны 23фЦ 0,0061 2,874 0,00212 0,0648 0,356
233(3 0,0066 2,482 0,00266 0,0543 0,279
1,45 Мэв 235(3 0,0165 2,57 0,00642 0,0784 0,435
1,58 , 239рц 0,0063 3,09 0,00204 0,0683 0,389
1,45 „ 233(3 0,0070 2,62 0,00267 0,0559 0,300

для которых в Лос-Аламосе были получены данные по запаздывающим
нейтронам при делении ядер быстрыми нейтронами [290]. Отметим, что
доля запаздывающих нейтронов 0,0065, полученная для деления
тепловыми нейтронами, значительно меньше ранее принятого значения
0,00755 [253]. Новое, более низкое значение согласуется с результатами
различных измерений эффективных долей запаздывающих нейтронов
после того, как в них введены расчетные поправки, учитывающие от-
личие эффективной доли от истинной [290]. Заметим еще, что относи-
тельный выход запаздывающих нейтронов 0 не очень сильно зависит от
энергии налетающего нейтрона, так как у и абсолютный выход увеличи-
ваются с ростом энергии нейтрона примерно 'одинаково.

В табл. 1.3 включены также значения двух средневзвешенных по-
стоянных распада излучателей запаздывающих нейтронов, вычисленные
двумя различными способами.

Величина 1/А = (1/Р)2(^7М есть средневзвешенный период распа-
I

да, а Я/=(1/р) 2 — средневзвешенная постоянная распада. В гл. 2

показано, что в двух случаях, при очень медленных и очень быстрых
изменениях плотности нейтронов, запаздывающие нейтроны можно объ-
единить в одну группу с эффективными постоянными распада % и
соответственно. Отметим, что % и V не зависят от абсолютных выходов;

15
они вычисляются по постоянным распада и относительным выходам
0</0 из табл. 1.1 и 1.2.

Сами величины 0$ в таблицы не включены, так как непосредственно
не используются. Они могут быть вычислены путем умножения относи-
тельных выходов на соответствующее им значение 0. Как уже отмеча-
лось в § 1.3, важными динамическими параметрами являются //0, //0<,
и р/р. Параметры //0$, входящие в уравнение (1.14), вычисляются
по экспериментально определяемому параметру //0 и значениям отно-
шений 0$/0. Далее, как уже указывалось в § 1.3, эффективная доля за-
паздывающих нейтронов в различных реакторах, использующих оди-
наковое топливо, различна, поскольку в каждом реакторе имеет место

Рис. 1.2. Образование запаздывающих
нейтронов при распаде 87Вг [583].

Рис. 1.3. Образование запаздывающих ней-
тронов при распаде 1371 [583].

свое соотношение вероятностей эпитепловой утечки и вероятностей за-
хвата мгновенных и запаздывающих нейтронов. При этом обычно пре-
небрегают тем, что отношения эффективных и истинных долей запазды-
вающих нейтронов для каждой из групп запаздывающих нейтронов не-
сколько различаются.

Излучатели запаздывающих нейтронов—это те осколки деления,
которые находятся в сильно возбужденном состоянии из-за избытка ней-
тронов. Обычным видом распада в таких случаях является 0-распад
в виде цепи из четырех или пяти следующих друг за другом событий.
В редких случаях происходит ответвление, приводящее к образованию
необычно сильно возбужденного ядра. Немедленно вслед за этим про-
исходит испускание нейтрона с образованием стабильного ядра. Приме-
ром может служить 87Вг, имеющий, вероятно, отношение к запаздываю-
щим нейтронам первой группы (/=1). Его схема распада показана на
рис. 1.2.

Отметим, что постоянная спада скорости генерации запаздывающих
нейтронов определяется периодом 0-распада исходного ядра. Кроме
того, запаздывающие нейтроны появляются при распаде только части
ядер ^Вг, образующихся при делении. Предшественниками запаздываю-
щих нейтронов, или латентных нейтронов, как они были названы
в § 1.4, являются только те ядра 87Вг, распад которых приводит к обра-
зованию ядер 87*'Кг.
Точно так же группа запаздывающих нейтронов с /=2, вероятно,
обязана своим существованием (по крайней мере частично) распаду
таких осколков деления, как ядра 1371. Схема распада показана на
рис. 1.3. Другие группы запаздывающих нейтронов связать с распадом
определенных осколков деления не так легко, поскольку каждая из ше-
сти групп является, вероятно, результатом распада двух или большего
числа излучателей нейтронов с периодами полураспада, настолько близ-
кими друг к другу, что в экспериментах по изучению характеристик
нейтронного излучения разделить их не удается. Действительно, радио-
химически было выделено семь различных излучающих нейтроны ядер
галогенов с периодами полураспада от 1,6 до 54,5 гек, а некоторые тео-
ретические соображения допускают возможность существования более
чем пятидесяти излучателей нейтронов (290]. С другой стороны, многие
динамические процессы хорошо описываются при объединении всех за-
паздывающих нейтронов в одну эффективную группу (или самое боль-
шее в две или три). Таким образом, вопрос о точном количестве видов
ядер, излучающих нейтроны, имеет только академический интерес.

В специальных случаях требуется более детальный подход, завися-
щий от типа реактора и желаемой точности результатов. Достоприме-
чательным примером является реактор с циркулирующим топливом,
в котором значительная часть- запаздывающих нейтронов может ис-
пускаться в то время, когда топливо находится за пределами активной
зоны во внешнем контуре (157, 290, 353]. Дальнейшие усложнения по-
являются при непрерывном удалении из контура продуктов деления,
приводящем к снижению концентрации долгоживущих излучателей за-
паздывающих нейтронов. Кроме того, в ядерных ракетных двигателях
может быть заметной потеря излучателей запаздывающих нейтронов
из-за высокотемпературной диффузии. Все эти эффекты приводят
к уменьшению эффективной доли запаздывающих нейтронов, вследствие
чего к системе управления и защиты реактора приходится предъявлять
более строгие требования.

При наличии в активной зоне нескольких делящихся изотопов при-
ближенный подход состоит в том, что используются средневзвешенные
выходы запаздывающих нейтронов. Кроме того, следует иметь в виду,
что образование более тяжелых делящихся изотопов в длительно рабо-
тающих активных зонах будет немного изменять эффективные выходы
запаздывающих нейтронов. Наконец, в реакторах, содержащих берил-
лий или тяжелую воду, облучение этих материалов как мгновенными,
так и запаздывающими у-квантами приводит к образованию фотоней-
тронов вне топлива. Некоторые из этих фотонейтронов обязаны своим
возникновением у-квантам, образующимся при распаде долгоживущих
продуктов деления. В результате в таких реакторах после их выключе-
ния имеет место значительный нейтронный фон, хотя изменение
полного эффективного выхода запаздывающих нейтронов очень мало
[52, 290].

Часто бывает трудно заранее предсказать важность тех или иных
эффектов. Во многих случаях точечная модель реактора оказывается
вполне удовлетворительной, если применять надлежащим образом от-
корректированные параметры. В других случаях некоторые специаль-
ные процессы должны быть тщательно проанализированы и правильно
учтены в динамике реакторов. Во всех случаях требуется осторожный
подход, чтобы не пойти по ложному пути при неправильном применении
точечной модели реактора.
Задачи

1. Определите среднее время жизни нейтронов в бесконечном пространстве, запол-
ненном графитом, используя следующие данные: аа=5-10_3 барн, плотность графита —
1,6 г/см3, атомный вес—12, число Авогадро — 6-Ю23, скорость тепловых нейтронов —
2200 м!сек.

2. В бесконечной среде для смеси атомов 12С и 23511, в которой на один атом
235П приходится 10000 атомов 1аС, вычислите среднее время жизни нейтронов при оа =
= 650 барн (включая сечение деления).

3. Определите среднее-время жизни нейтронов с энергией 0,25 Мэв в бесконечном
пространстве, заполненном 23511, при ога = 1,6 барн и плотности, равной 19 г!см3. Ско-
рость нейтрона при энергии 0,25 Мэв вычислите, исходя из того, что при энергии, рав-
ной 0,025 эв, нейтрон име’ет скорость, равную 2200 м!сек.

4. Предположите, что решение задачи 3 соответствует нейтронам того спектра, ко-
торый имеет место в сфере из 235П критических размеров. Вычислите вероятность утеч-
ки нейтронов из этой сферы, если измеренное среднее время жизни нейтронов в ней
равно 6-Ю-9 сек.

5. Свободный нейтрон с периодом полураспада 11 мин распадается на протон и
(3-частицу. Какое это имеет значение для работы реактора? Что было бы, если бы пе-
риод полураспада был равен 0,01 сек?
ГЛАВА 2

ПОСТОЯННАЯ РЕАКТИВНОСТЬ
И СТУПЕНЧАТЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
РЕАКТИВНОСТИ

§ 2.1. Введение

В этой главе исследуются решения уравнений динамики, соответ-
ствующих точечной модели реактора, в случае постоянной реактивности.
Сюда относится поведение реактора при так называемых ступенчатых
вводах реактивности, при ступенчатых изменениях мощности источников
нейтронов и при нейтронных вспышках, описываемых с помощью им-
пульсных источников нейтронов в виде дельта-функций.

Использование ступенчатых или импульсных функций для прибли-
женного представления с их помощью действительного поведения во
времени реактивности или мощности нейтронных источников очень удоб-
но в динамике реакторов из-за наличия одной постоянной времени
(см. ниже), которая обычно много меньше всех других постоянных вре-
мени системы. Во многих задачах отклонения приближенного решения
от истинного быстро затухают во времени. Например, действительное
поведение реактора во времени при изменении положения стержня
регулирования часто может быть приближенно представлено его пове-
дением при ступенчатом изменении реактивности, происходящем в тот
момент, когда стержень регулирования закончил свое движение.

Более важной причиной, побуждающей к исследованию решений
уравнений динамики при постоянной реактивности, является их про-
стота. Они представляют собой линейные комбинации экспоненциальных
функций, свойства которых легко понять. Эти решения служат полез-
ной основой для изучения более сложных проблем. Конечно, такие
решения становятся бессмысленными, если мощность и температура
реактора настолько высоки, что появляется обратная связь по реактив-
ности (изменения реактивности, вызванные изменениями плотности ма-
териалов и изменениями спектра нейтронов). Эти вопросы разбирают-
ся в гл. 5.

§ 2.2. Равновесие и критичность

Запишем снова уравнения динамики (1.13) и (1-14), соответствую-
щие точечной модели реактора:

<2Л)

(2-2)
где, как и прежде, п — плотность нейтронов (или мощность реактора
и т. д.); Сг — плотность ядер-предшественников (плотность «скрытых
нейтронов» или «скрытая» мощность и т. д.; та же размерность, что и
у п); I — время; р = (Л—1) /к — реактивность (к — эффективный коэф-
фициент размножения нейтронов); р — полная доля запаздывающих

нейтронов

^2 &> I — время жизни нейтронов; Хг- — постоянная распада

ядер-предшественников; д— эффективная мощность источника (та же
размерность, что и у Ап/сй).

Суммирование в уравнении (2.1) проводится от до 1—т (т—
число групп запаздывающих нейтронов; индекс т будем опускать, кро-
ме случаев, где он необходим для ясности изложения). Параметры 0$,
и / предполагаются постоянными. Таким образом, точечная модель
реактора описывается системой из т+1 дифференциальных уравнений
первого порядка с заданными функциями р(/) и <?(/). В общем случае
р зависит от п, и система нелинейна (см. гл. 5); в отсутствие обратной
связи по реактивности р(/) —заранее известная функция времени, и
система линейна.

Рассмотрим сначала равновесное (стационарное) состояние оисте-
мы, когда равны нулю производные по времени от п и всех сг-. Проводя
суммирование всех уравнений, находим, что

(2.3)

Равновесное состояние имеет место, если

р = —1д!п.

(2.4)

При переменной во времени мощности источника плотность нейтронов
могла бы оставаться неизменной (п=по), если бы функции р(/) и д(1)
были строго пропорциональны друг другу. Однако для достижения ис-
тинного равновесного состояния необходимо, чтобы д и р были констан-
тами до и ро. В этом случае

Ро=—

(2.5)

и о реакторе говорят, что он находится в подкритическом равновесном
состоянии (ро<О, А<1).

Теперь определим уровень мощности остановленного реактора:

По=—1до! ро=\1до! | ро |.

(2.6)

По уравнению (2.2) находим равновесную плотность ядер-предшествен-
ников:

С$о=0гЛоА</. (2»7)

Критичность, определяемая условием к=\ (р = 0), не является, строго
говоря, равновесным состоянием. Как видно из уравнения (2.3), мощ-
ность критического реактора при наличии источника нейтронов непре-
рывно увеличивается. Нейтронный источник, вводимый перед запуском
реактора для обеспечения надежной работы приборов, контролирующих
мощность, может быть удален из активной зоны, как только достигнуто
критическое состояние. Тем не менее в качестве источников нейтронов
20
всегда присутствуют нейтроны спонтанного деления и нейтроны от кос-
мических лучей. Вследствие этого реактор, работающий на постоянной
мощности, всегда слегка подкритичен, хотя его реактивность, опреде-
ляемая уравнением (2.5), обычно пренебрежимо мала. В том случае,
когда «о// велико, а реактивность реактора, работающего на постоян-
ной мощности, во много раз меньше реактивности, введенной для его
остановки, источником нейтронов в расчетах спада, мощности можно
пренебречь.

Когда реактор сильно подкритичен и источник нейтронов играет
важную роль, применимо понятие об умножении нейтронов. Из урав-
нения (2.5) следует, что

Па11=—до1^

Поскольку ро= (^—1)/^ и /о=Л/ (см. § 1.3), это же выражение можно
записать с помощью эффективного коэффициента размножения нейтро-
нов к и времени жизни нейтронов /о:

Ио//о=7о/(1—к) =Мдо, (2.8)

где М — фактор умножения нейтронов, равный отношению скорости
исчезновения нейтронов По//о к мощности источника нейтронов. Посколь-
ку Л<1,

Л4= 1/(1-^) = 1 +^+^+ ... (2.9)

Это значит, что размножающая подкритическая система «умножает»
нейтроны источника в к раз за время, равное среднему времени жизни
нейтронов в системе.

При загрузке топлива в новый реактор приближение к критическо-
му состоянию контролируется с помощью источника нейтронов и ней-
тронных детекторов. При к-+1 величина, обратная скорости счета де-
тектора, а значит, обратно пропорциональная п0 из уравнения (2.8),
стремится к нулю. Экстраполяция к нулю кривой обратной скорости
счета (последняя строится в зависимости от числа загруженных тепло-
выделяющих элементов) позволяет приближенно предсказать количест-
во топлива, которое нужно добавить для достижения критического со-
стояния, хотя достоверность предсказания сильно зависит от простран-
ственных эффектов (относительное расположение источника, детектора
и догружаемых тепловыделяющих элементов), которые не учитываются
в точечной модели реактора.

С другой стороны, при большой мощности, когда источниками ней-
тронов можно пренебречь, поведение реактора согласно точечной моде-
ли описывается уравнениями (2.1) и (2.2) при <7=0. Как видно из урав-
нения (2.3), реактор может находиться в равновесном состоянии на
любом уровне мощности п0. При этом концентрация ядер-предшествен-
ников запаздывающих нейтронов удовлетворяет уравнению (2.7). То-
чечная модель обычно удовлетворительно описывает поведение реактора
до тех пор, пока его мощность не становится слишком малой.

При изучении устойчивости нелинейных систем эта модель дает не
имеющее физического значения равновесное состояние при мощности,
равной нулю для любой, как видно из уравнения (2.1), отрицательной
реактивности (если только уравнения с обратной связью не указывают
на наличие равновесного состояния при особом равновесном значении
реактивности). Это равновесное состояние при мощности, равной нулю,
не имеет физического значения, поскольку рано или поздно появляется
случайный нейтрон, начинающий новую цепь, которая не прерывается.
Тем не менее эта модель полезна, так как вывод об устойчивости или
неустойчивости системы обычно не зависит от того, приводит ли отри-
цательная реактивность к асимптотическому снижению мощности до
нуля или до очень малого, определяемого источником, уровня мощно-
сти остановленного реактора. Все это возможно благодаря важному
свойству модели без нейтронного источника: будучи положительными
в какой-то момент времени, функции п и Сг в соответствии с их физи-
ческим смыслом не могут в последующем изменить знак. Это свойство
легко продемонстрировать. Если в уравнении (2.1) <7 = 0, а плотность
нейтронов п очень мала, то

^гсг-

Производная положительна, если все Сг>0. Аналогично при малых
из уравнения (2.2) находим, что

йсц‘(И^1п11.

Производная Нсг/сИ положительна, если п>0. Следовательно, функции
п и Сг всегда остаются положительными. Это свойство модели без ис-
точника нейтронов потребуется при изучении устойчивости нелинейных
систем в гл. 7.

§ 2.3. Уравнение обратных часов

Решение уравнений (2.1) и (2.2) при постоянной реактивности в от-
сутствие источника является линейной комбинацией /п+1 экспоненци-
альных функций ехр со/. Константы со^ связаны с реактивностью харак-
теристическим уравнением, которое называется уравнением обратных
часов. Название возникло на заре реакторной технологии, когда один
«обратный час» применялся в качестве единицы положительной реак-
тивности. Один обратный час определялся как количество положитель-
ной реактивности, которое соответствует асимптотическому экспоненци-
альному нарастанию мощности с периодом разгона, равным одному часу
(или с обратным периодом, равным одному обратному часу).

Переходим к нахождению решения п(/) уравнений без источника
нейтронов с постоянной реактивностью р = ро при /^>0 и неопределен-
ным характером зависимости ее от времени при |/<0. Конкретный вид
функции р(/) при /<0 будет необходим для получения законченного ре-
шения. Что касается характеристического уравнения, то оно не зависит
от поведения реактивности при |/<0. Оно не зависит также и от нали-
чия источника нейтронов. Присутствие источника просто приводит к по-
явлению дополнительных членов, которые добавляются к решению од-
нородных уравнений (без источника).

Введем преобразования Лапласа:

= 7 л(0е-”Л;

ГД5)=(сД0е-‘Л.

О
Уравнения (2.1) и (2.2) преобразуем по «Лапласу:
зМ - п (0) = Ы + V ЛЛ;

5Гг-^(0)=А^ —лл.

1г

Из уравнения (2.11)

г _ (М) (0)

г ~~ 8 + А,

Из уравнения (2.10) с учетом (2.12) находим:

(2.10)

(2.И)

(2.12)

(2-13)

Аф)=

Уравнение (2.13) может быть записано как отношение двух полиномов
постепени полиномов в числителе и знаменателе соответственно т
и /и+1. «Легко показать, что знаменатель имеет т+\ различных дей-
ствительных корней, поэтому АА(<$) имеет /п+1 простых полюсов на дей-
ствительной оси 5. Обратное преобразование «Лапласа имеет вид:

т+1 ,

П (/) = 3 ’

/=1

(2.14)

где а)] — корни знаменателя в выражении (2.13) (М($)=оо при 5 = со;).
Другими словами, все со; удовлетворяют уравнению

ро = ₽ + /ш-2^. (2.15)

или, поскольку

(2.16)

Уравнения (2.15) и (2.16) представляют собой две формы записи урав-
нения обратных часов, которое является алгебраическим уравнением
т+1 степени относительно со. Можно показать, что оно имеет т отри-
цательных действительных корней и один действительный корень того
же знака, что и у ро. При увеличении / один из членов в уравнении
(2.14) будет в конце концов определяющим, т. е. и->Л4 ехр со±/, где <о± —
алгебраически наибольший из корней со;. При положительной реактив-
ности ро этот определяющий член описывает экспоненциальное нара-
стание мощности реактора с характеристическим временем Т=1/со1, ко-
торое называется периодом реактора или асимптотическим периодом
(известны также такие названия, как стабильный период или время уве-
личения мощности в е раз).
При очень больших со, как положительных, так и отрицательных,
уравнение (2.15) принимает асимптотический вид

откуда

ро=|Р+/<о,
(ро-^₽)//.

(2.17)

(2.18)

Для малых со (|о)| <СЛ/гмин) уравнение (2.16) записывается следующим
образом:

ю.

(2.19)

В уравнении (2.19) <о имеет тот же знак, что и ро. Это значит, что из
(2.19) находится корень ©1, соответствующий асимптотическому пери-
оду. Далее из уравнений (2.15) или

Рис. 2.1. Качественное представление
решения уравнения обратных часов для
шести групп запаздывающих нейтронов.

можно записать в форме ро = /'•©,

(2.16) видно, что р->±оо, когда
й)->—Это значит, что имеется гп
асимптот о=—Хи и можно пока-
зать, что т—1 ветвей решения
уравнения обратных часов ограни-
чены соответствующими асимптота -

Все сказанное отражено на
рис. 2.1, где качественно представ-
лено решение уравнения обратных
часов (<о в зависимости от ро), видны
семь ветвей решения при шести груп-
пах запаздывающих нейтронов.

Если бы не было запаздываю-
щих нейтронов, уравнение обратных
часов записывалось бы просто, как
ро=/(о, а плотность нейтронов из-
менялась бы по закону:

п=п (0) ехр [ (ро//) /].

Для малых реактивностей спра-
ведливо уравнение (2.19), которое
где

(2.20)

Тогда определяющий член решения будет приближенно равен

Л4ехр[(ро//')/].

Ясно, что запаздывающие нейтроны оказывают замедляющее воздей-
ствие на цепную реакцию, поскольку /'>/. Насколько оно велико, ста-

новится ясным из сравнения величин I и

Время жизни нейтронов / изменяется в пределах от ~10-® сек
(быстрая металлическая сборка без отражателя) до ~ 10~3 сек (боль-
24
шой тепловой реактор), в то время как все величины =

вычисленные по данным табл. 1.3 и представленные в табл. 2.1, больше
чем 0,03. Пренебрегая в (2.19) и (2.20) величиной /, получаем для ма-
лых реактивностей простейшую формулу для эффективного времени
жизни нейтронов /' и простейший вид уравнения обратных часов:

/'~2Ж-=₽М;

(2.21)

(2.22)

Таким образом, асимптотическое поведение реактора при малой
реактивности определяется запаздывающими нейтронами. Значение это-

го для устойчивости реактора обсу-
ждается в гл. 6 и 7.

Вернемся к рис. 2.1. Здесь из-за
малости I при графическом представ-
лении решения уравнения обратных
часов допущены сильные искажения.
В действительности асимптота ш =
= (ро—₽)// должна, конечно, быть
почти вертикальной. Пока ро увеличи-
вается, оставаясь очень малой, поло-
жительный корень решения увеличи-
вается медленно в соответствии с урав-
нением (2.19), но как только ро ста-
новится больше р, замедляющее дей-
ствие запаздывающих нейтронов на
цепную реакцию исчезает и положи-

Таблица 2.1

Эффективные времена жизни
нейтронов р/Х = &А1)»

вычисленные по данным табл. 1.3

Эффективная энергия нейтронов Топливо Эффективное время жизни. сек
Тепловые ней- 285Ц 0,0847
троны 23»рЦ 0,0327
233Ц 0,0490
1,45 Мэв 23»у 0,0819
1,58 , 23фц 0,0299
1,45 в 233|5 0,0477

тельная ветвь решения резко подни-
мается вверх. Равенство ро=р назы-
вается условием мгновенной критичности, так как при ро=Р цепная ре-
акция становится самоподдерживающейся на одних только мгновенных
нейтронах.

Малость I позволяет успешно пользоваться приближенным видом"
уравнения обратных часов, которое получается из уравнений (2.15) и
(2.16) при /->0:

(2.23)

Это уравнение гораздо лучше, чем уравнение (2.22), описывает боль-
шую часть области ро<*Р, хотя, конечно, оно не применимо при ро->₽.
Уравнение (2.23) представляет собой уравнение обратных часов в так
называемом приближении «мгновенного скачка», которое широко ис-
пользовано в настоящей книге. Уравнение (2.23) дает также хорошие
приближения и для всех отрицательных корней, кроме отрицательного
корня, наибольшего по абсолютному значению, который теряется при
использовании условия / = 0.
Малость I позволяет также получить простую приближенную фор-
мулу для вычисления величины со при достижении мгновенной критич-
ности. Когда | со | ^>ЛгМакс, уравнение (2.15) принимает вид

Ро ~ ₽+1<а—2 рл/®-
I

(2.24)

Отсюда при достижени мгновенной критичности (ро=Р) находим

где Л' = (1/Р)2рА (численные значения приведены в табл. 3.1). Два
I

решения уравнения (2.25) соответствуют алгебраически наибольшей и
наименьшей из величин со при мгновенной критичности. Для положи-

Рис. 2.2. Графическое представление положительной
ветви решения уравнения обратных часов (Т=1 /со).
Стрелками показано направление увеличения /.

тельного корня формула дает лучшее приближение, нежели для отри-
цательного.

Из-за широкой области изменений численных значений зависимость
положительного корня от реактивности часто представляют в дважды
логарифмической системе координат, как это показано на рис. 2.2. Пря-
мые линии с тангенсом наклона, равным единице, соответствуют при
малых со уравнению (2.19), а при больших о — предельному виду урав-
нения (2.18), когда рог-*/®. Между этими предельными зависимостями
26
находится область перехода через мгновенную критичность, где малым
изменениям реактивности соответствуют большие изменения <а. Хотя
реактивность — величина безразмерная, существуют различные способы
ее численного выражения. Обычно используются численные значения
отношения (А—1)/А. Однако практически более удобно исчислять реак-
тивность в «долларах» на основании численных значений отношения
р/р. При реактивности в 1 долл (р/р = 1) реактор критичен на мгновен-
ных нейтронах. Обычно //р известно лучше, чем I или р отдельно, и
уравнение обратных часов значительно лучше применять для вычисле-
ния по зафиксированным в опытах нестационарным процессам отноше-
ния р/р, а не р. Часто применяется исчисление реактивности в «центах»,
10 3
10г
101
10°
10'1
10~г
10~3
10'*
§10-*
'Й Ю'6

— -
Т=Ш]' -/1А/ч чч 4 ^11^1/1.111-1/1111-1/1111 1/1111 /1111 1 111

—
—
-

1 1 1 1 1 1
/777777777777777777777777777777л /7/7///////////////////////////.
— 10^ 10^ 10* 10^ Ю'8 —
3
— 3
— —
—

—
—
-Криь = ди чичь риц. '0С/П1 аж. на \йт1 зап< 1она 1зды г ( 1 |> —1_ К 1 *> чгнб ошт вен! чуно \ая - «Ж =

-10*

-10'3

-10г

-10~1

-10°

-101

-10г

-103

-1р-1,2-1,0-0,6-0,6-0р-0,2 О 0,2 Ор 0,6 0,6 1,0 1,2 1р ,
Реактивность, долл

Рис. 2.3. Установившийся и переходные периоды
реактора в зависимости от реактивности для запаз-
дывающих нейтронов 23511. Пунктирные линии,
Ть ..., т6 (1Дь ...» 1/М соответствуют средним вре-
менам жизни шести групп запаздывающих нейтро-
нов Параметр I — время генерации нейтронов;
3=0,0064.

причем 1 долл = 100 цент. «Обратный час» как единица реактивности,
которой соответствует установившийся период, равный 3600 сек, теперь
уже широко не используется. Малые реактивности иногда исчисляются
з «процентах реактивности» по выражению 100 (к—1)/Л. Используются,
кроме того, единица «ге» (реактивность) для величин (к—\){к и еди-
ницы ^тИИге» и «тлсгоге» для величин 103(&—1)/к и 106(&—1)/к.
На рис. 2.3 графически представлены в полулогарифмическом масш-
табе зависимости корней уравнения обратных часов от реактивности,
соответствующие делению 235П тепловыми нейтронами [290]. По оси
ординат отложены величины, обратные (установившийся период и
переходные периоды). Эти кривые были вычислены с использованием
времени жизни нейтронов вместо времени генерации (см. гл. 1), однако
отметить разницу в таком масштабе невозможно. Заметим, что уста-
новившийся период при достижении мгновенной критичности (реактив-
ность — 1 долл) уменьшается от значения, равного примерно одной се-
кунде в случае теплового реактора, до нескольких миллисекунд в слу-
чае быстрого реактора.

§ 2.4. Одногрупповые представления

Часто удобно, а иногда и вполне допустимо пользоваться упрощен-
ными динамическими уравнениями, которые получаются, если предпо-
ложить, что все запаздывающие нейтроны можно объединить в одну
группу с единым временем жизни. В этом параграфе мы исследуем
уравнение обратных часов при одногрупповом представлении запазды-
вающих нейтронов, обсудим пределы применимости такого представле-
ния и кратко отметим полезные особенности двух- и трехгрупповой мо-
делей.

Обычный прием, применяемый при построении модели, состоит
в том, что соотношение между асимптотическим периодом реактора и
реактивностью при малых <о сохраняется таким же, как при шести груп-
пах запаздывающих нейтронов. Для одной группы запаздывающих ней-
тронов №<—*Р] уравнение (2.19) может быть записано в виде

(2.26)

Из сравнения уравнений (2.19) и (2.26) видим, что % должно удовлет-
ворять условию:

2__ГЦ

л — р ’

(2.27)

При делении тепловыми нейтронами %=0,0767 сект1 (значения)ве-
личины % и других величин даны в табл. 1.3).

На основании уравнения (2.16) запишем уравнение обратных часов
для одной эффективной группы запаздывающих нейтронов:

Ро = /сО-|-Рй)/(й> + '%).

(2.28)

Его можно рассматривать как квадратное уравнение относительно ш:

/(о2_Ь (|$—роЧ“1%^)|Сд—Л/ро—<0.

(2.29)

Легко показать, что действительных корней у этого уравнения два —
один корень всегда отрицательный, а другой имеет тот же знак, что и
ро. Графически зависимость между © и ро представлена на рис. 2.4.

Сравнение с рис. 2.1 показывает, что кривые для одной эффективной
группы и для шести групп запаздывающих нейтронов совпадают при
28
очень малых и очень больших со. Погрешность в промежуточной области
может быть довольно большой. Прием, подобный описанному, приме-
няется для того, чтобы достигнуть совпадения этих же кривых вблизи
точки, соответствующей условию критичности реактора на одних только
мгновенных нейтронах. Из уравнения (2.24) при одной эффективной
группе запаздывающих нейтронов находим, что

РоР +!/'(0—(ЗА/1со.

(2.30)

Из сравнения этих уравнений следует, что

(2.31)

При делении 235И тепловыми нейтронами Л/ =

Количественное сравнение за-
висимостей со от ро при шестигруппо-
вом и одногрупповом представлени-
ях запаздывающих нейтронов пока-
зано на рис. 2.5, где графически
представлены результаты расчета
при р = 0,0079 и /=10~4 сек. Такие
значения величин ри/ являются но-

минальными для реактора ТРЮА
[196]. Наибольшая относительная
разница между реактивностями,
найденными по кривым, соответству-
ющим шести группам и одной груп-
пе запаздывающих нейтронов при
Х=0,077 сек-1, имеет место при
о=0,1 сект1 и составляет пример-
но 40%. В широкой области измене-
ний со ближе к кривой, соответствую-
щей шести группам запаздывающих
нейтронов, располагается кривая
для одной группы запаздывающих
нейтронов с >/=0,40 сект1. Однако
она дает всегда заниженные значе-

0,405 сек-1 (см. табл. 1.3).

Рис. 2.4. Качественное графическое
представление решения уравнения
обратных часов для одной эффективной
группы запаздывающих нейтронов.

ния реактивности, а при малых соею

просто нельзя пользоваться. При малых и промежуточных положитель-
ных значениях реактивности возникает затруднение и другого характера.
Функция п(/) в одногрупповом приближении состоит из двух слагае-
мых, одно из которых экспоненциально возрастает, а другое очень бы-
стро экспоненциально убывает. Отсутствие промежуточных ветвей ре-
шения уравнения обратных часов (слагаемые, убывающие гораздо
медленнее) означает, что одногрупповая модель занижает интервал
времени между моментом, когда произошло скачкообразное изменение
реактивности, и моментом, когда практически установился асимптоти-
ческий период разгона реактора. При малых скачках реактивности это
может привести к погрешности в измерениях реактивности по асимпто-

тическому периоду.

При больших отрицательных реактивностях обе одногрупповые мо-
дели не пригодны. В этом случае все слагаемые функции п(/) экспо-
О 0.005 Рп

Рис. 2.5. Сравнение результатов
расчета при одной эффективной
группе и шести группах запазды-
вающих нейтронов для положи-
тельных ветвей решения уравне-
ния обратных часов.

ненциально убывают и слагаемое, содер-
жащее наименьшее со;, становится в кон-
це концов определяющим. Сравнение рис.
2.1 и 2.4 показывает, что по одногруппо-
вой модели асимптотический спад мощ-
ности происходит слишком быстро. В не-
которых случаях можно достигнуть луч-
ших результатов, используя вместо X,
но тогда велики погрешности при малых
реактивностях.

Чтобы улучшить положение для от-
рицательной реактивности без значи-
тельных математических осложнений,
можно использовать такую двухгруппо-
вую модель, в которой константы одной
группы совпадают с константами первой
(самой долгоживущей) группы из шести
групп запаздывающих нейтронов, а кон-
станты другой находятся путем соответ-
ствующего усреднения свойств пяти
оставшихся групп. В этом случае урав-
нение обратных часов будет уравнением
третьей степени относительно со.

Были изучены и другие малогруппо-

вые представления [492].

Константы групп в двухгрупповой модели выбирались так, чтобы

одновременно оставались правильными (такими, как при шести груп-
пах) значения следующих четырех величин:

2 Р*» 2 2 И 2 (Р^7\)"

I I I I

Сохранение правильных значений трех первых величин гарантирует
совпадение результатов расчетов по этой модели с результатами расче-
тов по уравнению обратных часов для шести групп запаздывающих ней-
тронов как для малых со, так и в окрестности точки, соответствующей
условию критичности на мгновенных нейтронах. Четвертая величина
появляется в выражении для передаточной функции (см. гл. 3).

Сохранение правильного значения величины 2(Р*’А2) гарантирует, что

фазовый сдвиг передаточной функции и ее амплитуда при частоте, стре-
мящейся к нулю, для двухгрупповой модели будут такими же, как и
для шестигрупповой.

Четырех условий достаточно, чтобы определить для двух групп
эффективные постоянные распада и выходы. Численные значения кон-
стант для такой двухгруппоюой модели при делении 235Г1 тепловыми ней-
тронами воспроизведены в табл. 2.2.

Эта двухгрупповая модель для больших отрицательных реактивно-
стей все еще неудовлетворительна. Положение улучшается при исполь-
зовании трехгрупповой модели [492], в которой одна группа отождест-
вляется с самой долгоживущей группой из шести групп запаздывающих
30
нейтронов, а константы двух других
эффективных групп определяются
из условий сохранения правильных
значений упомянутых выше величин.
Такая модель сохраняет все особен-
ности двухгрупповой модели [492] и
в дополнение достаточно хорошо опи-
сывает асимптотическое поведение вы-
ключенного реактора. Константы этой
модели для деления тепловыми
нейтронами также приведены в табл.
2.2. В указанной работе рассмотрены
и другие модели.

Описанные двух- и трехгрупповые
модели широко использовались в
практике расчетов при ограниченной
емкости вычислительной машины или

Таблица 2.2

Малогрупповые представления
для деления 23513 тепловыми
нейтронами [492]

т 1 сек"1 г
1 1 0,0767 1,000
2 1 0,0252 0,297
2 0,566 0,703
1 0,0124 0,033
3 2 0,0369 0,346
3 0,632 0,621

недостатке времени. Они позво-

ляют получить приемлемую точность результатов расчета в широком
диапазоне изменений <о и ро-

§ 2.5. Отклик на ступенчатое изменение реактивности

Прежде чем приступить к нахождению выражения для отклика
п(0, заметим, что ступенчатое изменение реактивности означает, что
йл/сН изменяется скачком. Покажем, что это так. Пусть «(/) и с(1) —
непрерывные функции времени. Тогда, согласно уравнению (2.2) ,
— также непрерывная функция. Для тех случаев, когда и д —
непрерывная функция, из уравнения (2.3) при скачке реактивности в мо-
мент / = 0 находим, что

йп

/=+о &

=[р(+0) - р(-0)1

/=—о 1

(2.32)

Эта формула не применима в случае искусственных скачков функций
п, Сг или д, которые будут в дальнейшем использоваться в специальных
приближениях, но в этом параграфе она будет полезна.

Рассмотрим теперь частный случай, когда перед ступенчатым из-
менением реактивности в момент / = 0 реактор находится в равновесном
состоянии в отсутствие источника. Следовательно, д=0 для всех /, р = 0
для ^<0 и р = ро для Пусть п=п0 при /^0, тогда по уравнению
(2.7)

С$(0 =|₽г^о/М При /^0.

По уравнению (2.13) находим преобразование Лапласа для функций
п(0:

(5) = п„--------------------- (2.33)

+ ? Ро ₽Л/(®+М

Перепишем уравнение (2.33) в виде отношения двух полиномов:

где

(2.35)

(2.36)

а произведение Пг- содержит сомножители от /=1 до /=/п. Функция
ЛГ($) является аналитической всюду, кроме т+1 простых полюсов
5=<о7- (т+1 различных действительных корней уравнения обратных ча-
сов). При 5=—Хг- полюсов нет, так как правая часть уравнения (2.33)
стремится к конечному пределу при $-»•

Степень полинома (5) на единицу выше, чем степень Р($), по-
этому обратное преобразование есть просто сумма вычетов функции

(5) ехр ($/) в полюсах 5=|(о;. Запишем уравнение (2.36) в такой
форме:

й (5) = (5—0)1) (5—©г) . . . (5—СОпН-1) .

Все вычеты имеют вид:

я0 Нт ($ —аъ)

ехр 5/.

Таким образом, нам необходимо найти

Нт 8

Нт

1
Д'(«)

Производная й'($) может быть записана следующим образом:

Э'(8) = (5—(Ог) (5—<0з) • • • ($—(0т+1) +!

4- (5—-<Х>1) (5—(Оз) (5—®т+1) +

+ + (5—(01) (5—(Ог) (5—(От) .

Все слагаемые в выражении для О'(з) стремятся к нулю, кроме одного,
который не содержит множителя 5—<о;. Следовательно, интересующий
нас предел существует:

11т -гггч2==“г^7—;•
о

Обратное преобразование Лапласа приобретает вид:

т + 1

п (О = «о 2 еХР

/=1

Из уравнения (2.36) находим

(2.37)

Многоточие означает, что имеются и другие слагаемые, но все они рав-
ны нулю при 5=(О;, так как <0; — корни уравнения обратных часов.
32
Следовательно,

Используя уравнение (2.16) для определения Р(<о;), приходим к сле-
дующему ваду уравнения (2.37):

1 . V—11______

т+1 Ш

П (О = «О У!----Й-------------ехр НО- (2.38)

/=* ' + 2и («>^ + м2

С учетом уравнения (2.16) оно может быть записано в такой форме:

«(о=«.р.2 а,
/=1

ехр (<о^)

(2.39)

Мы пришли к удобной формуле (2.39) для отклика п(/) на ступенчатое

изменение реактивности. Отметим, что при положительных ро каждый

коэффициент А^ (см. формлу 2.14) имеет

тот же знак, что и соответствующий ему
со;, а при отрицательных ро все со7- отри-
цательны, а все А^ положительны.

Пример расчетов отклика реактора,
находящегося в равновесном состоянии,
на положительные ступенчатые измене-
ния реактивности показан на рис. 2.6.
Отметим, что единственное слагаемое в
«.(/), которое экспоненциально возраста-
ет, становится в конце концов опреде-
ляющим, и после этого в полулогариф-
мической системе координат зависимости
приобретают линейный характер. В ра-
боте [517] приведены графики, показы-
вающие зависимость коэффициентов
уравнения (2.38) от о); в предельном слу-
чае, когда /->0. Они полезны, когда ре-
активность настолько мала, что периоды
реактора не зависят от времени генера-
ции нейтронов. Другие графики более об-
щего характера приведены в [473].

Для одной группы запаздывающих
нейтронов уравнение (2.39) приобретает

Рис. 2.6. Относительная плотность
нейтронов п/п0 в зависимости от
времени для ступенчатого измене-
ния реактивности (топливо
тепловой реактор, /=10”4 сек*

0эф=О,ОО79).

вид:

« (0 = «0₽0

ехр (со^)

Г, » 1

0)1 [* + («01 4-X)2]

со2

ехр (со2/) 1

, 1 >*

+ («2 4-Х)8]

(2.40)

3—837

33
С учетом уравнения (2.28) оно может быть записано в такой форме:
п ~ еХР +

4“ ^а>1 ехр (<о20 . (2.41)

Формула (2.41) может быть также получена путем непосредственного
решения системы из двух уравнений:

с1п

~дЛ

? $ -п + Яс;

—=-5--лг — Яс
а1 I

{2А2)

(2.43)

при условии, ^то перед ступенчатым изменением реактивности при / = 0
реактор находится в равновесном состоянии (п = По при /<0).

Формула (2.41) легко интерпре-
тируется. При положительных ро
(О1>0, а со2<О, и, значит, коэффициент
перед экспонентой ехр (ан/) положите-
лен, как и ожидалось. Далее, как вид-
но из рис. 2.4, при р<0

Рис. 2.7. Изменение плотности ней-
тронов во времени при ступенчатом
изменении реактивности (одна груп-
па запаздывающих нейтронов).
Пунктирными линиями показано из-
менение во времени каждого из двух
слагаемых в формуле (2.41).

(ро—₽)//<®1<ро//,
следовательно, коэффициент перед
экспонентой с отрицательным показа-
телем отрицателен. График функции
и графики двух слагаемых этой
функции, изменяющихся экспоненци-
ально, показаны на рис. 2.7.

Быстрый начальный рост плотно-
сти нейтронов, названный «скачком
на мгновенных нейтронах», обуслов-
лен тем, что скорость генерации за-
паздывающих нейтронов в каждый
момент времени зависит от пред-

шествующего ему поведения функции п(1). В течение короткого про-

межутка времени после ступенчатого изменения реактивности скорость
генерации запаздывающих нейтронов по существу все еще определяет-
ся постоянным уровнем плотности нейтронов «о, и эта скорость вначале
достаточна для поддержания быстрого роста п(7). Из уравнения (2.32)
видно, что производная от функции п(</) при / = 0 равна ро«о//, как если
бы все нейтроны были мгновенными. Но как только плотность нейтро-
нов заметно увеличивается, скорость ее дальнейшего роста резко сни-
жается из-за того, что скорость генерации запаздывающих нейтронов
еще почти не изменилась. Происходит саморегулирование цепной реак-
ции до тех пор, пока функции п,(1) и с(1) не будут возрастать по одно-
му и тому же экспоненциальному закону. При этом скорость возраста-
ния п(/) оказывается значительно меньше (а асимптотический период
значительно больше) той скорости, которая имела бы место, если бы
все нейтроны были мгновенными.

При больших реактивностях этот эффект не столь заметен. Как вид-
но из рис. 2.4, с увеличением ро положительный корень ан быстро уве-
личивается, а | сог | уменьшается. Следовательно, чем больше ро, тем мед-
леннее спадает второе слагаемое функции п(/) и тем быстрее увеличи-
вается первое слагаемое. При этом различие между кривыми п(1) и
Д1ехр(<01/) (рис. 2.7) будет становиться все менее резко выраженным.

При ступенчатом изменении реактивности в отрицательную сторону

й)2 < ро/1 < со 1 <С 0,

и оба слагаемых в уравнении (2.41), спадающих по экспоненциальным
законам, оказываются положительными. Быстрее всегда спадает сла-
гаемое, содержащее множитель ехр (<ог0 (спад на мгновенных нейтро-
нах) .

Рассмотрим несколько предельных случаев. Для одной группы за-
паздывающих нейтронов уравнением обратных часов является уравне-
ние второй степени (2.29) относительно со. Сумма корней этого уравне-
ния есть

1С01 + 0)2 = — (Р—ро + X/) //.

При значениях ро, не слишком близких к р Х/<СР—ро, а при достаточно
малых ро <01< 10)21 и

о)2«—(р—ро)//. (2.44)

Это и есть линейная асимптотическая зависимость о)2 от ро, показанная
на рис. 2.1 и 2.4. Запишем формулу для произведения корней уравне-
ния (2.29):

ю)1 • 0)2=—Хро//,

откуда с учетом формулы (2.44) находим, что

10)1~Хро/ (Р—ро). (2.45)

Формула (2.45) может быть также получена из уравнения (2.28) при
/->0. В этом приближении

осн—о)2— (р—ро)//; ро//—0)2—р//;

о)1—ро//~—ро//,

и уравнение (2.41) принимает вид:

«(0 « ^7 [ ₽ ехр - Ро ехр ( - /) ]. (2.46)

Уравнение (2.46) является полезным приближенным уравнением, спра-
ведливым при малых ро. Оно позволяет легко установить два важных
свойства динамических процессов.

1. «Скачок на мгновенных нейтронах» отношения п/по (или «спад
на мгновенных нейтронах», если р<0) происходит от единицы до зна-
чения, примерно равного р/(р—ро).

2. Наиболее быстрые изменения п происходят за время порядка
//(р—ро) сек.

Уравнение (2.46) позволяет также установить форму отклика на
ступенчатое изменение реактивности в приближении «мгновенного скач-
ка» (/->0), упоминавшемся выше в связи с уравнением (2.23). Когда

уравнение (2.46) принимает вид:

«(0^«.?4т7ехр(^7^.

(2.47)

35
В дальнейшем будет показано, что это отклик на ступенчатое измене-
ние реактивности в приближении мгновенного скачка и одной эффек-
тивной группы запаздывающих нейтронов. Это значит, что отклик п(1)
на ступенчатое изменение реактивности может быть приближенно опи-
сан функцией, имеющей разрыв при / = 0 (рис. 2.8). Приближение
мгновенного скачка детально обсуждается в гл. 3. Повторяя вывод, по-
добный тому, с помощью которого было получено уравнение (2.46), для
ступенчатых изменений реактивности настолько больших, что он| соа| >
приходим к уравнению:

(2.48}

п (О == [Ро ехр

Рис. 2.8. Отклик на ступенчатое изме-
нение реактивности. Сравнение ре-
зультатов расчетов в приближении
мгновенного скачка [формула (2.47)]
и в приближении одной эффективной
группы запаздывающих нейтронов
[формула (2.46)] О<ро<р.

Отметим, что уравнение (2.48) есть
просто преобразованное уравнение
(2.46). Если уравнение (2.48)

принимает вид

п0

Р* — 0

[ро ехр

(2.49)

Интересно отметить, что определяемая
формулой (2.49) функция п(/) удов-
летворяет уравнению (2.42), если
вместо слагаемого Хс(/) подставить
начальное равновесное значение его,
равное ₽Мо//, что допустимо, если
/<С1Д. Это значит, что формула (2.49)
справедлива при любых по величине
ступенчатых изменениях реактивно-
сти, если только 0<?/<С1/%. Поведение
п(/) при малых реактивностях стано-
вится особенно наглядным, если фор-
мулу (2.49) записать так:

Рис. 2.9. Отклик на ступенчатое изме-
нение реактивности. Сравнение ре-
зультатов расчета в приближении
постоянного источника [формула
(2.50) ] и в приближении одной
эффективной группы запаздывающих
нейтронов [формула (2.46) ]
О<ро<Р.

П (?)

Р — Ро ехр

? —Ро
I

(2.50)

Эта формула описывает поведение
п(1) на начальном участке, соответ-
ствующем скачку на мгновенных ней-
тронах, в результате которого дости-
гается такой уровень плотности ней-
тронов, что ц/ио=₽(Р—ро) (рис. 2.9).

Поскольку этот предельный вид
отклика на ступенчатое изменение
реактивности может быть получен
в результате решения уравнения
(2.42) в предположении, что мощ-
ность источника запаздывающих ней-

Пп

0 Ро
тронов Хс(/) не зависит от времени, такой подход часто называют
«приближением постоянного источника». При ступенчатых изменениях
реактивности оно может использоваться только в области малых зна-
чений времени. В гл. 3 мы обсудим это приближение в связи с больши-
ми скоростями изменения реактивности. Его использование в таких слу-
чаях привело к появлению термина «приближение высоких скоростей»
[517].

Наконец, отметим, что можно получить выражение для функции
п(/) в условиях, когда происходит несколько следующих один за дру-
гим ступенчатых изменений реактивности. Характерная особенность та-
кого выражения состоит в том, что каждая ступень изменения реактив-
ности сопровождается ступенчатым изменением [см. уравнение
(2.32)]. В одной из задач, приведенных в конце главы, требуется найти
отклик реактора на ступенчатый ввод реактивности, за которым
следуют другие ступенчатые изменения реактивности различной
величины.

Некоторые другие задачи связаны с быстрой сборкой «дракон», ко-
торая в течение очень короткого промежутка времени делается сильно
надкритичной (р>0), и с периодически вспыхивающим быстрым реак-
тором («повторяющийся дракон») того же типа, что и реакторы, опи-
санные в работах [60, 64, 314].

§ 2.6. Источники, зависящие от времени

Прежде чем закончить обсуждение линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, следует рассмотреть не-
которые простые задачи с переменными во времени источниками ней-
тронов. Простейшей задачей является задача о нахождении импульс-
ного отклика (или функции Грина), который может быть использован
для представления отклика реактора на изменение мощности источника
нейтронов по произвольному закону. В этом параграфе в рамках точеч-
ной модели реактора мы получим выражение для отклика реактора на
изменение мощности источника нейтронов по произвольному закону и
используем его для обсуждения импульсного отклика и отклика на
ступенчатое изменение мощности источника. В следующем параграфе
мы введем представление о частотной характеристике реактора и рас-
смотрим отклик реактора, находящегося в стационарном состоянии, на
осциллирующий источник нейтронов.

Чтобы вывести выражение для отклика реактора на изменение
мощности источника нейтронов, вернемся к системе уравнений (2.1) и
(2.2), сохраняя в уравнении (2.1) член </(/). Функцию </(/), описываю-
щую изменение во времени мощности источника, преобразуем по Лап-
ласу:

<2 (5) = у д (/) ехр (—з1) (11.
о

Как и в § 2.2, примем, что р = ро, преобразуем по Лапласу уравне-
ния (2.1) и (2.2) и решим преобразованную систему уравнений отно-
сительно функции №($), представляющей собой преобразование Лапла-

37
са функции п (/). В результате находим

(2.51)

Формула (2.51) отличается от формулы (2.13) только дополнительным
слагаемым /ф(5) в числителе, что и следовало ожидать, поскольку фор-
мула (2.13) является решением однородной (без источников) системы
уравнений динамики. Мы принимаем здесь, что ро — некоторая постоян-
ная реактивность и что источник нейтронов д(1) начинает действовать
в момент / = 0. Та часть общего решения системы неоднородных урав-
нений, которая является решением этих же уравнений, но без источ-
ника нейтронов, может быть найдена при произвольных значениях п(0)
и сг(0) так же, как и в § 2.5; поэтому мы сосредоточим внимание на
получении второй части решения

где

^(5) =7 (5)^(5),

(2.52)

(2.53)

Отметим, что уравнение обратных часов может быть записано как

1/7 (^)=0. (2.54)

Обратным преобразованием Лапласа для уравнения (2.52) является
формула

т (0 = р (* — V) ё (I') б/г, (2.55)

где 1(1) —функция, получаемая при обратном преобразовании Лапласа
функции 7(5). Для интерпретации функции 1(1) рассмотрим источник

дЦ) =0об(0,

(2.56)

где 6(/) —импульсная функция (дельта-функция Дирака). Формула
(2.56) дает идеализированное представление реального процесса ввода
в реактор <2о нейтронов за очень короткий промежуток времени из им-
пульсного генератора нейтронов. Поскольку преобразование Лапласа
функции д(1) для импульсного источника нейтронов дает <2о, уравнения
(2.52) и (2.55) принимают вид:

ЛШ=*Эо7(5), (2.57)

Пг(О=’<?о/(7)- (2.58)

Таким образом, импульсный отклик 1(1) есть отклик реактора на
введение в него одного нейтрона в момент / = 0 при условии, что п(0) =
= Сг(О)=О. Уравнение (2.55) показывает, как может быть найден от-
клик реактора на изменение мощности источника нейтронов по произ-
вольному закону, если известен импульсный отклик /(/).
Для критического реактора уравнение (2.53) принимает вид

Следовательно, импульсный отклик критического реактора
/п+1 т + 1

I (0 = 2 В> ехр (<о^) = / ’ (2 60>

7=1 7=1 ' + \ +

где коэффициенты определяются по вычетам интеграла обратного
преобразования Лапласа при з — (в данном случае это корни урав-
нения обратных часов при ро=О). Из теоремы о начальном значении
функции

Нт з! (з) = Нт I (/)
$->ОО /->0

сразу видно, что 2(0) = 1. Поскольку для критического реактора (01 = 0,.
первое слагаемое в формуле (2.60) дает асимптотическое значение функ-
ции 2(2):

Нт I . (2.61)

/->°° 1 + 2

Этот результат можно подтвердить, если формулу (2.59) записать как

(2.62)

и использовать теорему о конечном значении функции

Нт з! (з) — Нт 2 (2).
5->0 /->ОО

Для одной группы запаздывающих нейтронов (О1 = 0, со2=— (Х+р//)>
и формула (2.60) принимает вид

»(0 = + ЗехР I-(* + №']}• (2'63>

Значения характеристических корней и коэффициентов В^ для
импульсного отклика реактора на тепловых нейтронах (2=1О“4 секг
рЭф=0,0079) приведены в табл. 2.3 как для одной эффективной груп-
пы, так и для шести групп запаздывающих нейтронов. Графическое
сопоставление результатов проведено на рис. 2.10 при значении посто-
янной распада для одной группы запаздывающих нейтронов %=
= 0,0767 сект*. Отметим, что функция, описывающая отклик реактора
при одной эффективной группе запаздывающих нейтронов, снижается
до асимптотического постоянного значения, равного 0,00097, значитель-
но быстрее, чем более точная функция при шести группах запаздываю-
Рис. 2.10. Типичный импульс-
ный отклик критического теп-
лового реактора (топливо “Ч!,
/=Ю~4 сек, рЭф=0,0079).

щих нейтронов. Действительно, отклик ре-
актора для шести групп запаздывающих
нейтронов равен 0,00153 при /=10 сек и
0,00099 при /=100 сек. Здесь проявляется
один из главных недостатков одногруппово-
го представления. (В предлагаемых зада-
чах обсуждается использование другой од-
ногрупповой модели с эффективной посто-
янной распада Л'=0,405 сект1.)

Отметим, что сначала из-за очень мало-
го времени генерации нейтронов функция,
описывающая отклик реактора, спадает
чрезвычайно быстро, а затем следует зна-
чительно более медленный спад («хвост за-
паздывающих нейтронов»). Этот эффект
особенно сильно проявляется в быстрых
реакторах. Поскольку спад на мгновенных
нейтронах легко отделить от последующего
спада на запаздывающих нейтронах, воз-
можность использования этого эффекта в
экспериментах очевидна. В § 2.2 было уста-
новлено, что при ро=О значение наибольше-
го по абсолютной величине отрицательного
корня со; очень близко к значению величи-
ны —р//. В экспериментах используется им-

пульсный источник, способный ввести в реактор достаточное количество
нейтронов за очень короткий по сравнению с величиной //р интервал
времени. При анализе экспоненциального спада, зафиксированного бы-
стродействующей детекторной системой, легко определяется величина

Р//. Если в формуле (2.53) ро<СО, мо-

Таблица 2.3 жет быть легко получено выражение

Значения характеристических
корней и коэффициентов для
функции, описывающей
импульсный отклик критического
реактора на тепловых нейтронах

(I = 10-4 сек, [5Эф = 0,0079)

т
1 1 0 0,000970
1 2 —79,077 0,999030
1 0 0,000970
2 —0,01433 0,000091
3 —0,0682 0,000664
4 —0,1947 0,000901
V 5 —1,023 0,001282
6 —2,896 0,001292
7 —79,4 0,9948

для импульсного отклика подкритичес-
кого реактора в форме, аналогичной
выражению (2.60). В § 2.2 было уста-
новлено, что наибольший по абсолют-
ной величине корень приближенно
оавен (ро—р)//. Из сравнения экспо-
ненциальных спадов на мгновенных
нейтронах, измеренных в критическом
и подкритическом состояниях реакто-
ра, определяют реактивность ро вы-
ключенного реактора. В этом и состо-
ит основная идея хорошо известного
метода измерения реактивности с по-
мощью нейтронных импульсов, кото-
рый обсуждается более детально
в гл. 8 [44, 194, 205, 491].

Отметим также, что возможен
надкритический импульсный реак-

тор, усиливающий за счет процесса размножения импульс от нейтрон-
ного генератора. Эта система, именуемая бустером *, является эффек-

* Вооз1ег— усилитель (аигл.).
тивным, высокопроизводительным импульсным источником нейтронов
[56, 314, 425].

Отклик реактора на внезапное включение источника постоянной
мощности легко найти на основании уравнения (2.55). Если принять,
что д=0 для /<0 и д=до для />0, то
/ *

(2.64)

Для критического реактора, используя формулу (2.60), находим, что
т + 1

Ш (0 = <7о

ехр (со3/) — 1

(2.65)

Основное слагаемое функции пД/) в этой формуле линейно зависит
от времени. Остальные слагаемые по мере увеличения / стремятся
к асимптотическим постоянным значениям, поскольку все со; в формуле
(2.65) отрицательны. Это особенно ясно видно в случае одной группы
запаздывающих нейтронов, когда формула (2.65) принимает вид:

Ъ ® = ГГй { + ГПй [ 1 - ехр - а + ₽//) Л |. (2.66)

Если до включения источника реактор находился в равновесном
состоянии при /г = По, то решением рассматриваемой задачи будет сумма
По и Пг(0 (рис. 2.11). Отметим, что ко-

нечная асимптотическая скорость увели-
чения плотности нейтронов много меньше
начальной скорости, равной до, которую
можно также получить в предположении,
что запаздывающих нейтронов нет.

Рассмотрим последний пример сту-
пенчатого изменения мощности источника
нейтронов. Пусть в подкритическом реак-
торе (р=ро<О) с помощью источника
нейтронов мощностью до плотность ней-
тронов поддерживается на постоянном
уровне (п = по). Выражение для скорости
генерации запаздывающих нейтронов
в этих условиях имеет вид

Если источник нейтронов внезапно
удаляется из реактора, то в течение ко-

Рис. 2.11. Качественный характер
зависимости плотности нейтронов
от времени при внезапном вклю-
чении источника нейтронов по-
стоянной мощности в момент
1=0.

роткого промежутка времени скорость генерации запаздывающих ней-
тронов остается практически прежней и изменение плотности нейтронов
описывается уравнением

= “7“ 11 + Т ^о- (2.67)

Здесь мы предполагаем, что поглощением нейтронов самим источ-
ником можно пренебречь, так что реактивность и после удаления источ-
41
Рис. 2.12. Качественный характер
зависимости плотности нейтронов
от времени при измерении реак-
тивности по методу «падающего
стержня».

ника равна ро- Плотность нейтронов резко снижается (спад на мгновен-
ных нейтронах) за время порядка //(0—ро) до квазистационарного
уровня пь который находится /из уравне-
ния

О =55^(2.68)
Следовательно,

Ро = - Р п°~ • (2.69)

Изменение нейтронной плотности во
времени представлено графически на рис.
2.12. После резкого спада на мгновенных
нейтронах до уровня П1 плотность ней-
тронов продолжает медленно снижаться
(«хвост» на запаздывающих нейтронах).
В этом и заключается сущность метода
быстро удаляемого источника, который
применяется для определения реактивно-
сти подкритического реактора по изме-

ряемым в опыте величинам по и т. (Те же самые уравнения могут быть
использованы и для описания экспериментов по методу «падающего
стержня», в которых критический реактор без источника внезапно де-
лается подкритическим за счет ступенчатого изменения реактивности от
р=0 до р=ро.)

§ 2.7. Отклик на осцилляцию мощности источника.
Передаточные функции

Рассмотрим подкритический реактор (р = ро), в котором поддержи-
вается постоянная плотность нейтронов «о за счет источника нейтронов
мощностью до. Согласно уравнению (2.6)

п0 = —/^о/ро. (2.70)

Если же мощность источника изменяется по синусоидальному за-
кону, так что его средняя мощность равна до, и если при этом реактив-
ность ро остается постоянной, то плотность нейтронов п(/) будет коле-
баться около своего среднего значения, равного «о. Такое поведение
л (0 при осциллирующем источнике имеет место, поскольку рассматри-
вается система линейных дифференци-
альных уравнений с постоянными ко-
эффициентами, для которой справед-

> Н(8) ^0

Рис. 2.13. Блок-схема системы с пе-
редаточной функцией Н (5).

лив принцип суперпозиции решений
(осцилляции реактивности мы рассмо-
трим в гл. 3).

Отклик реактора на осциллирую-
щий источник может быть найден

путем подстановки функции, описывающей изменение мощности источ-
ника во времени, в уравнение (2.55) и последующего интегрирования.
Мы не будем этого делать, а вместо этого отметим, что в уравнении
(2.52) преобразованные по Лапласу функция источника и функция,
являющаяся частным решением системы неоднородных уравнений, свя-
заны между собой простым соотношением. Такую связь между функ-
цией источника и функцией, описывающей отклик реактора, можно
представить в обобщенном виде, используя такие понятия, как входной
сигнал, выходной сигнал и понятие о передаточной функции как об от-
ношении этих сигналов.

На рис. 2.13 показана 'структурная схема изучаемой системы, где
функция /г (/) представляет собой входной сигнал, а функция /*(/) —
выходной сигнал (отклик). Блок с надписью Н(з) обозначает систему,
подверженную действию входного сигнала. Определим передаточную
функцию как отношение преобразованных по Лапласу функций, описы-
вающих выходной и входной сигналы системы, которая до возмущения
находилась в равновесном состоянии:

Я(5)=Го(^)/Л(5). (2.71>

Уравнение (2.71) можно рассматривать как основное свойство линейных
систем. Функция /о (0 является частным решением системы неоднород-
ных линейных уравнений, так что /о и ее производные стремятся к ну-
лю, когда /->0.

Далее мы принимаем, что для />0 имеет место синусоидальный
входной сигнал с угловой частотой

/г (0 =ЗШ (йо?,

(2.72)

и для /<0 /г (0=0. Преобразование Лапласа для входного сигнала есть

Л($) =®о/($2 + (до )•

(2.73)

Из уравнения (2.71) следует, что преобразование Лапласа для вы-
ходного сигнала есть

(2.74)

Теперь задача состоит в том’ чтобы с помощью обратного преобра-
зования Лапласа найти функцию /о(О и установить роль функции Н(з)
и роль некоторых накладываемых на нее условий, которые могут по-
требоваться для нахождения /о (0.

Формула обратного преобразования Лапласа имеет вид:

(2.75

где контур интегрирования с в плоскости комплексной переменной
располагается правее всех особенностей подынтегрального выражения.
Предположим, что особенности Н(з) находятся в левой полуплоскости,
тогда соответствующие им слагаемые функции /0(/) спадают во време-
ни. (Например, если особенностями Н (5) являются полюсы в левой по-
луплоскости, то каждое из соответствующих этим полюсам слагаемое
в А>(/) содержит в качестве сомножителя функцию ехр(—р/), где р —
величина действительная и положительная.) В функции /о(О, описы-
вающей выходной сигнал системы, все эти слагаемые, спадающие во
времени, объединим в одно и введем для него обозначение Т(1). Другим
слагаемым будет просто сумма вычетов для двух полюсов при $=±]!шо:

2 (вычетов) = Пт

(5 — /<00) (Оо

52 + <Оо2

Н (5) е®*

Н-Нш

—/<о0

Г ($ + /<Ор) сор
[ 52 + СО02

Н (5) е®*

Поскольку предполагается, что особенности функции Н(з) не на-
ходятся на мнимой оси, выражение для суммы вычетов принимает вид:

<Ор

5 + ](О0

5 — 3<Ор

Н (8)

«=—м

Я($)е®*

(Ор
— 2]<др

5=] «Ор

н (->,) .

Предположим далее, что Н (—]1ш0) является комплексно сопряженной
величиной по отношению к величине Я0<оо). Тогда два рассматривае-
мых вычета оказываются комплексно сопряженными по отношению друг
к другу, и их сумма равна удвоенной действительной части каждого
лз них*

Ке {-^(Ь)е'"»'} = Ке {-] |Н(]ш0) | е1 (“"'+в>},

где функцию Д(]оо) мы записали в полярной форме:

НОо) = | н Оо) I ехр ]0. (2.7,6)

Наконец, отметим, что

Ке{—] ехр ]' (й)0^+0)}=зт (о>о^+0).

Итак, функция, описывающая выходной сигнал, есть

/о (0 = | Н (>о) | зш (<оо/+0) + Т (I), (2.77)

где Т(\1)—сумма всех слагаемых функции /о(0, опадающих во вре-
мени.

Теперь сравним формулы (2.72) и (2.77) в условиях, соответствую-
щих сделанным предположениям:

1. Особенности И ($) находятся в левой полуплоскости.

2. Величина Н(—]’соо) является комплексно сопряженной по отно-
шению к величине Я(]’ю0).

При выполнении этих условий чистый синусоидальный входной сиг-
нал вызывает синусоидальный выходной сигнал той же частоты, при-
чем отношение амплитуд, выходного и входного сигналов равно абсо-
лютному значению комплексного числа #(](0о), а сдвиг фаз этих сигна-
лов равен фазе 0 комплексного числа Я(]Ъо), формула (2.76). На этот
выходной сигнал наложены так называемые начальные переходные
процессы, совокупность которых представлена функцией Т(/). За ко-
нечный интервал времени эти процессы затухают и их вклад в выход-
ной сигнал становится пренебрежимо малым. Следовательно, отклик
на осцилляцию мощности источника (установившиеся или неизменные
колебания) полностью характеризуется амплитудой и фазой комплекс-
ного числа Я(]*(оо), представляющего собой частный вид передаточной
функции системы Н(з). На самом деле при осциллирующем входном
сигнале термин «отклик» обычно используют для обозначения ампли-
туды и фазы комплексного числа Я(]’®о), а не самого установившегося
колебательного процесса.

Отметим, что периодический входной сигнал произвольной формы
может быть представлен рядом Фурье. Согласно принципу суперпози-
44
ции каждая гармоника ряда трансформируется независимо в соответ-
ствующую компоненту выходного сигнала, й вся совокупность откликов
позволяет найти суммарный отклик системы на периодический входной
сигнал любой формы.

Ограничения, наложенные сделанными предположениями, очень
важны. Предположение 1 соответствует требованию о том, чтобы си-
стема, обладающая передаточной функцией Н(з), была устойчивой.
Определение и обсуждение понятия устойчивости содержатся в гл. 6.
Если предположение I не выполнено, то по крайней мере часть слагае-
мых функции Т(1) представляет собой так называемый расходящий-
ся отклик, увеличивающийся во времени и становящийся в конце концов
преобладающим. Отметим, что в этом случае еще может быть найдено
выражение для отклика при условии, что предположение 2 выполнено.
По форме оно получается таким, как и выражение (2.77), однако функ-
ция Т(1) содержит одно или несколько расходящихся слагаемых.

Предположение 2 гарантирует, что функция /о(0, описывающая вы-
ходной сигнал, является действительной. Наиболее важными частными
случаями являются случаи, когда функции Н(з) могут быть представ-
лены отношением двух полиномов конечной степени.

Например, рассмотрим систему, описываемую линейным дифферен-
циальным уравнением л-го порядка с постоянными коэффициентами:

^»+...+Д^-|-ДЛ = А(0- (2.78)

Введем дифференциальный оператор

(2.79)

Тогда уравнение (2.78) может быть записано в символической форме:

(2.80)

Преобразуя уравнение (2.78) по Лапласу при нулевых начальных
условиях, находим, что

2($)ВД=Ш (2.81)

Отсюда в соответствии с уравнением (2.71) определяем, что передаточ-
ная функция системы, описываемой уравнением (2.78), есть

Я (5) = 1/7(5), (2.82)

где 7(5) —полином л-й степени относительно 5. Корни полинома
определяют положение полюсов передаточной функции. Для рассмат-
риваемого примера блок на рис. 2.13 — символический образ обращен-
ного дифференциального оператора, который преобразует сигнал
в сигнал /о- Если начальные условия не нулевые, уравнение (2.81) заме-
няется на уравнение

2(^)Го(5)=Л(5)+^(5),

где Р(з)—полином со степенью не выше (л—1). Изображение (по
Лапласу) выходного сигнала есть

Ео(5) =1^(5) +Р(5) 1/7(5). (2.83)

Если функция А(0, описывающая входной сигнал, такова, что изобра-
жение ее не расходится, когда 5->оо, изображение Го(5) будет
45
вести себя при больших 5 как отношение двух полиномов, причем сте-
пень полинома в знаменателе по крайней мере на единицу выше, чем
в числителе. Следовательно, при больших 5 Ро(з)—>О как 1/8г, где г^1.

Решением однородного уравнения 7/о=О в соответствии с уравне-
нием (2.83) является обратное преобразование Лапласа от функции:

Го(5)=Р(5)/7(5).

Оно представляет собой обычную линейную комбинацию экспонент ви-
да ехр 5/. Это объясняется тем, что функция Н(з) имеет полюсы, поло-
жение которых определяется корнями полинома 7($), так что характе-
ристическим уравнением является уравнение

7(5) =0. (2.84)

Характеристическое уравнение применимо также и для функций в вы-
ражении (2.77), описывающих переходные процессы. Поскольку исполь-
зуются те же самые функции времени, путем подходящего выбора на-
чальных условий можно найти такое частное решение уравнения с пра-
вой частью Хо/о—Д-, переходные функции которого одинаковым образом
стремятся к нулю.

Наконец, мы можем в уравнении (2.71) положить /4(5) = 1 и убе-
диться, что для импульсного отклика

7(5)= И (5). (2.85)

Следовательно, в этом случае передаточной функцией является преоб-
разование Лапласа функции, описывающей импульсный отклик. Ана-
логично единичный ступенчатый входной сигнал, для которого Рг (5) =
= 1/8, вызывает отклик, для которого преобразование Лапласа есть

С(8)=Н(з)/з. (2.86)

Мы завершим эту главу, посвященную проблемам постоянной ре-
активности, формулировкой отклика на осцилляцию источника в рам-
ках точечной модели реактора. Пусть

П = По4-бП, С1 = Сго+дСг, д = дъ+Ъд, Р = РО-

Согласно уравнениям (2.7) и (2.70) в равновесных условиях

СгО=РгПо/%г/ *И П^ =—1д^/^,

Подставляя функции п, Сг, д в уравнения (2.1) и (2.2), находим, что

8» + У (2.87)

и с /ш

— (2.88)

Эти уравнения для отклонений функций от их средних значений не от-
личаются по форме от уравнений для самих функций п, Сг и д. Поступая
так же, как в начале § 2.6, но используя теперь преобразования Лап-
ласа
00 °?

ЪЫ (5) = С Ъп (/) ехр (—з1) (11, ЗГ/ (5)= у ЬСг (/) ехр (—81) (11,
п о

(5) — С Ъд (I) ехр (—81) (11,
приходим к формуле, аналогичной (2.51):

Часть отклика, соответствующая установившимся колебаниям, опи-
сывается формулой

8ЛГ(^) =---------И<3(^, в л • (2.90)

Из сравнения с формулой (2.53) устанавливаем, что так называемая
передаточная функция источника есть

ЖГ7 = /+в 'умл-' <2-91>

т. е. она представляет собой преобразование Лапласа функции, описы-
вающей импульсный отклик. Следовательно, отклик на периодические
колебания мощности источника по закону 6^ = зта>/ определяется амп-
литудой и фазой /(/о).

Интересно отметить, что при выводе формулы (2.91) из уравнений,
соответствующих точечной модели реактора, ограничение на амплитуду
колебаний мощности источника не накладывалось. В гл. 3 мы получим,
что передаточная функция для реактивности имеет точно такой же вид,
но только при колебаниях реактивности с малой амплитудой. Происхо-
дит это потому, что при малых амплитудах колебаний слагаемое урав-
нения динамики, соответствующее осциллирующей реактивности, имеет
тот же вид, что и слагаемое, соответствующее осциллирующему источ-
нику. При значительных амплитудах колебаний проявляется физиче-
ское различие между осцилляциями реактивности и источника, заклю-
чающееся в том, что механические осцилляции реального источника
можно осуществлять таким образом, что изменение его мощности во
времени не будет зависеть от изменений во времени нейтронного пото-
ка, в то время как скорость поглощения нейтронов осциллирующим
поглотителехм пропорциональна произведению нейтронного потока на
сечение поглощения.

Задачи

2.1. Проверьте вывод формулы (2.13) для .№($).

2.2. Покажите, что две формы записи уравнения обратных часов, уравнения (2.15)
и (2.16), эквивалентны друг другу.

2.3. Покажите, что корни уравнения обратных часов с одной группой запаздываю-
щих нейтронов [уравнение (2.29)] всегда действительны и что один корень всегда
отрицателен, а знак другого корня совпадает со знаком ро.

2.4. На основании формул (2.38) или (2.39) покажите, что производная при
./=0 равна рол0//.

2.5. Выведите формулу для соответствующую формуле (2.38).
2.6. Выведите обобщенную формулу (2.38), описывающую поведение во времени
реактора, в котором имеется источник постоянной мощности до и который до изменения
реактивности при /<0 находился в равновесном подкритическом состоянии.

2.7. Покажите, что формулы (2.40) и (2.41), соответствующие одной группе за-
паздывающих нейтронов, эквивалентны.

2.8. Выведите формулу '(2.41) непосредственно из дифференциальных уравнений
для одной группы запаздывающих нейтронов.

2.9. При наличии нескольких групп запаздывающих нейтронов отклик на ступен-
чатый входной сигнал содержит несколько медленно спадающих слагаемых, описываю-
щих переходный процесс. Это приводит к тому, что интервал времени, необходимый
для установления асимптотического экспоненциального периода, оказывается больше
того, который может быть найден из формулы, соответствующей одной эффективной
группе запаздывающих нейтронов. Обсудите погрешности, которые могут возникнуть
при калибровке регулирующих стержней по измерению асимптотических периодов, если
интервалы времени до их установления оценивать по формуле для одной группы за-
паздывающих нейтронов.

2.10. Приближение «мгновенного скачка» соответствует замене наиболее быстро
спадающего слагаемого в решении, описывающего переходный процесс, скачкообразным
изменением функции п(/) при /=0. Для шести групп запаздывающих нейтронов отклик
на ступенчатый входной сигнал в этом приближении содержит шесть слагаемых, каж-
дое из которых получено в предположении, что I—>0. Выберите значение ро и под-
твердите численными расчетами, что

Я ( +0) П (—0) 10/ (|0—ро) •

2.11. Выведите формулу '(2.48), используя приближенные выражения для корней
уравнения обратных часов, справедливые для больших ступенчатых изменений реактив-
ности.

2.12. Выведите формулу (2.49) для я(/) в приближении постоянного источника
путем непосредственного решения дифференциального уравнения первого порядка.

2.13. Обсудите отклик на ступенчатый входной сигнал в приближении постоянного
источника для специального случая, когда ро=1р.

2.14. Вычислите функцию п(1) и постройте ее графики для модели с одной груп-
пой запаздывающих нейтронов (источником пренебречь) при

0,50

для / < 0,

для 0 < / < 10 сек,
для I > 10 сек

для пяти случаев: р'=0,75Р; 0,5р; 0,25|3; 0; —0,25р. Примите в качестве начального
условия равновесное состояние реактора с По=1. Пусть р//=10 сек-* и X=0,1 сек-1.

2.15. «Дракон» — подкритическая сборка, которая внезапно на короткий промежу-
ток времени может быть сделана сильно (р>Р) надкритичной (например, одна часть
топлива пролетает мимо другой под действием силы тяжести). Используйте ступенча-
тые изменения реактивности для моделирования процессов в системе. Пусть р=р< для
/<0 и />4 и р=ро для О</</о, где р1<0, а ро>р. Примите равновесное подкритиче-
ское состояние в качестве начального и используйте приближение постоянного источни-
ка. Найдите нарастающую (/</о) и спадающую (/>'/о) ветви функции п(1) и вычисли-
те энергию, выделяемую при вспышке на мгновенных нейтронах. Рассмотрите выделение
энергии как импульсное для нахождения с(1) при О/о ® модели с одной группой за-
паздывающих нейтронов; затем используйте «приближение мгновенного -скачка» для
нахождения п(1) при '(«хвост» на запаздывающих нейтронах, следующий за бы-
строй вспышкой). Покажите, что отношение энергии, выделенной в «хвосте», к энер-
гии, выделенной во вспышке, равно 0/(0—р1).

2.16. Периодически пульсирующий быстрый реактор может рассматриваться как
повторяющийся «Дракон», в котором часть топлива или материала отражателя при-
креплена к ободу вращающегося диска. Реактор становится сильно (р>'Р) надкрити-
ческим в течение очень малой части каждого цикла. Цикл достаточно короткий для
того, чтобы концентрация предшественников запаздывающих нейтронов пр этически не
изменялась во времени, и в то же время достаточно длинный для того, чтобы функция
п(1) снижалась до постоянного значения пМин после каждой вспышки. Используя бук-
венные обозначения для ступенчатого входного сигнала и, кроме того, условие, что
цикл -повторяется каждые сек, где /о<С/1<^1/Х, выведите -следующие приближенные-
48
соотношения:

п“ин = р_р1 ’

/и _ Р 1
(ро —(ОМ*-? —Р1 ~

где п, — максимальная пиковая мощность, а п — мощность, средняя во времени. Обсуди-
те оптимизацию конструкции реактора для увеличения и п уменьшения п. Типичная
система может иметь р1=—18р, ^=0,02 сек, п=340 Мет и гё=1 Мет [314].

2.17. Вычислите импульсный отклик для одной группы запаздывающих нейтронов,
используя Л'=0,405 сек-1 вместо %, постройте график, подобный тому, который изо-
бражен на рис. 2.10. Сравните с кривой для шести групп запаздывающих нейтронов.

2.18. Каким будет импульсный отклик в приближении мгновенного скачка? Най-
дите предел отношения 1(1)/I, когда I—>-0.

2.19. Выведите формулу для импульсного отклика подкритического реактора.

2.20. Бустер — реактор, который на короткое время делается надкритичным (0<
<ро<Р) и вспыхивает, получив импульс нейтронов от нейтронного генератора. Затем
система быстро делается подкритичной (реактивность р1<0). Покажите, что отношение
энергии в «хвосте» к энергии во вспышке равно Р/(Р—р1).

2.21. Повторяющийся бустер работает так, как и в задаче (2.20), но цикл его ра-
боты непрерывно повторяется. Цикл достаточно короткий для того, чтобы концентрация
ядер-предшественников запаздывающих нейтронов практически не изменялась во вре-
мени, но в то же время достаточно длинный для того, чтобы мощность подкритического
реактора снижалась до постоянного значения пМин после каждой вспышки. Покажи-
те, что

^МИН =1Рм/ ( Р-Р1) ,

где п — мощность средняя во времени.

2.22. Покажите, что формула (2.69) пригодна для обработки данных в эксперимен-
тах по методу падающего стержня, в которых реактор сначала находится в критиче-
ском состоянии без источника, а затем внезапно делается подкритическим (р=ро<0).

2.23. Покажите, как импульсный отклик может быть найден путем решения одно-
родного дифференциального уравнения с надлежащим образом выбранными начальны
ми условиями.

2.24. Найдите отклик на осцилляцию мощности источника путем подстановки пе
риодического закона ее изменения в уравнение (2.55).

2.25. Покажите, что преобразование Лапласа для действительной функции времени
/(0 удовлетворяет условию Р(з*) = Р*(з).

2.26, Полином 2(з) в уравнении (2.81) обязан своим происхождением дифферен-
циальному оператору в уравнении (2.78). Результирующая передаточная функция [урав-
нение (2.78)] имеет п полюсов, но не имеет нулей. Рассмотрите обобщение уравнения
(2.78) на случай, когда /<(/) находится под знаком дифференциального оператора.
ГЛАВА 3

РЕАКТИВНОСТЬ,
ЗАВИСЯЩАЯ
ОТ ВРЕМЕНИ

§ 3.1. Введение

В этой главе исследуются решения дифференциальных уравнений
динамики реакторов при различных заданных законах изменения реак-
тивности во времени. Отличительная особенность этих линейных в стро-
гом математическом смысле задач состоит в том, что дифференциальные
уравнения содержат коэффициенты, зависящие от времени.

Сначала рассматриваются упрощающие приближения, некоторые
из которых уже использовались в гл. 2. Они часто позволяют найти
в аналитической форме пределы, между которыми находятся точные
решения (обычно получаемые только с помощью аналоговых или циф-
ровых вычислительных машин), благодаря этому достигается такое
понимание процессов, которого трудно добиться другими способами.
Некоторые из этих приближенных решений имеют также и прямое прак-
тическое значение, поэтому мы тщательно исследуем допустимые об-
ласти их применения.

Затем рассматриваются осцилляции реактивности. Передаточная
функция для реактивности (называемая иногда передаточной функцией
реактора нулевой мощности) выводится как для критического, так и для
подкритического реактора, осцилляции реактивности сопоставляются
с осцилляциями источника. Обсуждаются приближения, применяемые
при решении уравнений динамики в различных диапазонах частот, ис-
пользуются приближенные методы для изучения эффектов при больших
осцилляциях.

Далее разбирается точное решение задачи для случая, когда реак-
тивность— линейная функция времени. Решения находятся с помощью
гипергеометрических функций и в интегральной форме. Эти решения
используются для расчетов аварий реактора и для рассмотрения про-
блем запуска реактора, проводится сопоставление точного решения
с приближенными.

В заключение рассматривается несколько дополнительных способов
получения приближенных решений дифференциальных уравнений с про-
извольной зависимостью реактивности от времени. Детальное рассмот-
рение интегральных уравнений и методов численных расчетов прово-
дится в гл. 4.

§ 3.2. Приближенные уравнения динамики

Первым приближенным методом, который рассматривается в этом
параграфе, является «приближёние мгновенного скачка» (сокращенно
МС-приближение) или, как его иногда называют, «приближение нуле-
50
вого времени жизни» (55, 105, 517]. Этот метод уже был использован
в § 2.2, где был получен предельный вид уравнения обратных часов
(2.23) при /—*4). Позднее в § 2.4 было установлено, что формула (2.47)
выражает отклик реактора в этом приближении на ступенчатое измене-
ние реактивности при одной эффективной группе запаздывающих ней-
тронов.

Другой подход следует из анализа дифференциальных уравнений,
соответствующих точечной модели реактора. Запишем уравнения (2.1)
и (2.2) в таком виде:

0п = Р (0 - р й + л ,с. + д(() (3.1 )

(к^сИ = И — ЛгСг.

(3.2)

Когда I мало и р<р, правая часть уравнения (3.1) содержит большой
отрицательный член (р—р)п//. В таких случаях производная йп/сИ
часто оказывается малой разностью двух больших величин: отрицатель-
ной (р—р)п// и положительной 2^/ + ^-

Это означает, что может быть получено полезное приближение, если
в уравнении (3.1) пренебречь производной Зп/сИ, а уравнение (3.2)
оставить неизменным.

Рассуждая далее формально, применим разложение нейтронной
плотности в ряд по степеням малого параметра /. Пусть

И = /21 + //22 Н“
и

<1п__(1пх । у б/п2 [

сП (11 ' (И

(3.3)

(3.4)

В результате подстановки в уравнение (3.1) находим:

Из уравнений (2.6) и (2.7) для равновесного состояния реактора нахо-
дим, что значения функций сг и д по отношению к значениям функции
п при изменении I изменяются как 1//. Такое же соотношение между
этими функциями будет иметь место и при медленно протекающих не-
стационарных процессах. Предполагая, что производные по времени
в уравнении (3.5) пренебрежимо малы, и сохраняя только члены по-
рядка 1//, находим, что

о = иа + д,

отсюда

^-г^г “Ь

(3.6)

51
Эта функция П1, удовлетворяющая уравнению (3.1), когда б/пД# доста-
точно мала и ею можно пренебречь, описывает нейтронную плотность
в приближении мгновенного скачка. Отметим, что П1 удовлетворяет
системе дифференциальных уравнений, порядок которых понижен на
единицу. Такая процедура разложения искомой функции по степеням
малого параметра, позволяющая найти решение в первом приближении,
которое удовлетворяет дифференциальному уравнению пониженного по-
рядка, называется методом сингулярных возмущений [155, 577, 578].

Продолжая рассмотрение, вернемся к уравнению (3.5) и прирав-
няем члены порядка (т. е. того же порядка, что и п):

С л е д ов ате л ьн о,

= (р—р)п2.

1 (Лпг

772 = -----

2 р — р сП

Используя уравнение (3.6) для нахождения производной, получаем:

Теперь уравнение (3.3) принимает вид:

V 4- 1а / V + 1а \

"=+1 +0 (/2)’

(3.9)

причем мы предполагаем, что 1сг и 1д имеют тот же порядок, что и п.
Уравнение (3.9)—по существу то самое уравнение, которое было по-
лучено Биркгоффом [59]. Это асимптотический ряд по степеням /, кото-
рый расходится, если р->-р; первый член этого ряда соответствует при-
ближению мгновенного скачка. Вывод может рассматриваться как
частный случай общего метода получения приближенных решений диф-
ференциальных уравнений, содержащих одну или несколько очень ма-
лых постоянных времени [351, 534, 559].

Поскольку функция П1, определяемая формулой (3.6), удовлетворяет
системе дифференциальных уравнений пониженного порядка, при ее
интерпретации как функции, описывающей поведение плотности нейтро-
нов приближенно и получаемой из уравнения (3.1) при под-

разумевается, что одно начальное условие оказывается потерянным.
Правильное объяснение этому состоит в том, что быстро спадающая
переходная часть решения отсутствует в приближенном выражении для
плотности нейтронов. Например, как мы убедились в § 2.5, определяе-
мая формулой (2.47) функция, приближенно описывающая отклик ре-
актора при ступенчатом входном сигнале, не является непрерывной
при / = 0. При выводе формулы (2.47) слагаемое, описывающее пере-
ходный процесс с постоянной времени //(0—ро), было заменено скачко-
образным изменением п при / = 0.

«Потерянное начальное условие» заменяется в этом приближении
требованием непрерывности произведения (0—р)п, что следует из урав-
нения (3.1), где производная йп1(И положена равной нулю, а функции
д и Сг непрерывны. Заметим, что согласно уравнению (3.2) функции Сг
52
непрерывны даже при наличии в функции п(1) разрыва конечной вели-
чины. Таким образом, для приближенной функции, описывающей из-
менение плотности нейтронов в случае ступенчатого изменения реак-
тивности, выполняется условие

«(+0) = п (-°)- (3-1 °)

Из выражения (3.6) находим, что для одной группы запаздываю-
щих нейтронов функция, приближенно описывающая изменение плот-
ности нейтронов, имеет вид

Если из формулы (3.11) найти с и подставить в уравнение

I — Мс, (3.12)

придем к следующему результату:

(3.13)

Это дифференциальное уравнение первого порядка для плотности ней-
тронов в приближении мгновенного скачка. Для заданного изменения
во времени мощности источника нейтронов путем решения уравнения
(3.13) можно найти функцию п4, а затем по формуле (3.11) —функцию

г, описывающую изменение во времени плотности предшественников
запаздывающих нейтронов. На практике сначала вычисляют 1ду а затем
это произведение считается неизменным в пределе, когда /->0. После

вычисления произведения 1с по предпола-
гаемому значению величины I находят
функцию с.

В том случае, когда в реакторе, на-
ходящемся в равновесном состоянии без
источника, происходит ступенчатое изме-
нение реактивности, решением, удовле-
творяющим условию (3.10), является
формула (2.47), полученная в § 2.4. На
рис. 3.1 показано, как первоначальное
быстрое нарастание функции п заменяет-
ся скачкообразным ее изменением при
/=0 (см. также рис. 2.8). Если кривая
п(1) на рис. 3.1 соответствует точному
решению, которое может быть найдено по
формуле (2.41), переходящей при опре-
деленных условиях в (2.46), то, конечно,
две кривые на этом рисунке в конце кон-
цов разойдутся, так как асимптотический
период у них различный.

Рис. 3.1. Отклик на ступенчатое
изменение реактивности. Решение
в приближении мгновенного скач-
ка П1(0, имеющее разрыв при
/=0, сравнивается с непрерывным
решением «(/), содержащим сла-
гаемое, описывающее первона-
чальный быстрый рост функции.

В принципе при условии, что урав-

нение (3.9) справедливо, о при-

годности приближения мгновенного скачка можно судить, сравнивая
между собой члены асимптотического степенного ряда. Количественный

критерий пригодности легко получается в случае одной группы запаз-
дывающих нейтронов. Для одной группы запаздывающих нейтронов
и в отсутствие источника уравнение (3.9) принимает вид:

п==~г\-----ГЯ^-+:Т^-4г')+0(/г)- (3-14)

р — р (р — Р) \ а/ 1 8 — р а1 ] 1 ' 7 ' г

Подставляя первый член этого ряда в уравнение для концентрации
предшественников запаздывающих нейтронов
йс р .

~сй ."- '-С,

получаем приближенное выражение для йс'сИ-.
(1с Лр
~аГ Г27?67,
'Теперь уравнение (3.14) можно записать так:

«=Г1 - -(гЬг (Лр++0 (/2)] (315>

Мы приходим к заключению, что для одной группы запаздывающих
нейтронов и в отсутствие источника приближение мгновенного скачка,
которому соответствует формула

= (3.16)

может с успехом использоваться в тех случаях, при которых формула
(3.15) справедлива и ее второе слагаемое мало по сравнению с первым.
Другими словами, приближенным условием пригодности в этом част-
ном случае приближения мгновенного скачка является условие

(3.17)

Отметим, что, если I мало, приближением можно пользоваться и при
близких к р.

Условием (3.17) нельзя пользоваться, если производная (1п[^ очень
велика, как это имеет место при быстром изменении плотности нейтро-
нов, непосредственно следующем за ступенчатым изменением реактив-
ности, или при очень быстрых осцилляциях. В таких случаях наши
основные предположения об относительной величине различных слагае-
мых в уравнении (3.5) не выполняются и полученный на основании
этих предположений асимптотический степенной ряд оказывается не-
правильным. Основным условием пригодности приближения мгновен-
ного скачка, как уже упоминалось в начале этого параграфа, является,
конечно, условие

Между прочим, условие (3.18) может быть использовано для выво-
да условия (3.17). Из уравнения (3.13) при 7 = 0 следует, что функция,
приближенно описывающая изменение плотности нейтронов, удовлетво-

ряет уравнению

(р—р)

(3.19)

На основании уравнения (3.19) и условия (3.18) приходим к условию
(3.17), которое дает ответ на вопрос: как близко к точке мгновенной
критичности можно пользоваться приближением мгновенного скачка
в случае одной группы запаздывающих нейтронов и в отсутствие источ-
ника, если условие (3.18) выполнено?

Следует заметить, что на основании условия (3.17) нельзя судить
о возможности использования приближения мгновенного скачка с од-
ной группой запаздывающих нейтронов вместо точной модели с шестью
группами. Вблизи точки мгновенной критичности нельзя ожидать хо-
рошего количественного предсказания даже в том случае, если в усло-
вии (3.17) использовать средневзвешенную постоянную распада V
(см. § 2.3). Одна эффективная группа запаздывающих нейтронов не
может заменить шесть в общем случае произвольной зависимости ре-
активности от времени. Тем не менее условие (3.17) позволяет оценить
максимальную реактивность, при которой еще допустимо использова-
ние приближения мгновенного скачка. Поскольку наибольший интерес
представляет вопрос о том, насколько близка эта максимальная реак-
тивность к точке мгновенной критичности (р = Р), условие (3.17) может
быть заменено условием

Для больших скоростей изменения реактивности

а для малых

₽ — Р> /(I Л₽).

(3.21)

(3.22)

Неравенство (3.22) приводилось Коэном [105] в качестве критерия при-
годности приближения мгновенного скачка. Им можно пользоваться
только при малых скоростях изменения реактивности.

Критерий пригодности приближения мгновенного скачка можно
представить графически, если неравенство (3.20) заменить равенством

где коэффициент перед корнем квадратным выбран произвольно, и на-
чертить линии постоянных значений рт, как это показано на рис. 3.2. На
осях координат отложены величины р// и (б/рД//)/Р; рт— максимальная
реактивность, при которой согласно выражению (3.23) еще справедливо
приближение мгновенного скачка. Другими словами, этим приближе-
нием можно пользоваться в области, расположенной справа от линии
с выбранным постоянным значением рт. Отметим, что предельные зна-
чения не зависят от скорости изменения реактивности в области малых
ее значений, как это следует из условия (3.22), в то время как при
больших скоростях изменения реактивности для того, чтобы было спра-
ведливо приближение мгновенного скачка, необходимы все меньшие и
меныпие значения времени генерации нейтронов.

Для того чтобы завершить обсуждение приближения мгновенного
скачка и получить уравнение в такой форме, которая потребуется в даль-
нейшем, рассмотрим уравнение второго порядка для функции п(г), со-
ответствующее точечной модели реактора с одной группой запаздываю-
щих нейтронов. Для одной группы запаздывающих нейтронов уравне-
ния (3.1) и (3.2) принимают вид:

= Р (о - Р п _|_ + д (3.24>

^-=4-»-^. <3-25*

Выражение для функции с(1) найдем из уравнения (3.24) и поставим
его в уравнение (3.25). В результате получим уравнение второго по-
рядка:

/ + Я/ - р) (яр + Щ +1 (3.26)

Отсюда видно, что уравнение (3.13), соответствующее приближению
мгновенного скачка, представляет собой предельный вид уравнения

Рис. 3.2. Области применимости приближения мгно-
венного скачка (линии постоянных предельных зна-
чений реактивности рт).

(3.26), когда /->0 (/<7=#0) и когда вторая производная достаточно ма-
ла, чтобы произведением I • сРп1<№ можно было пренебречь.

В частном случае очень малых реактивностей и малых скоростей
изменения реактивности приближение мгновенного скачка приводит
к важному результату. Если

I р к ₽>

уравнение (3.19) принимает вид:

6п Лр р

(3.27)

где /' — эффективное время жизни нейтронов, определяемое формулой
(2.21). Это приближенное уравнение динамики по форме такое же, как
и уравнение, соответствующее точечной модели реактора, работающего
на одних мгновенных нейтронах, только среднее время жизни нейтро-
56
нов I заменено много большим по величине эффективным временем
жизни /'. Это означает, что при малых значениях реактивности запаз-
дывающие нейтроны играют определяющую роль. Согласно уравнениям
(2.19) и (2.20) характеристическим уравнением, соответствующим урав-
нению (3.27), при р = ро является уравнение ро=ю>/'.

Это приближение полезно при изучении устойчивости реакторов,
когда качественными эффектами, связанными с запаздывающими
нейтронами, можно пренебречь (см. гл. 6). Мы будем пользоваться
названиями «модель эффективного времени» или «/'-приближение»
для этого приближенного подхода, чтобы отличать его от под-
хода, в котором предполагается, что запаздывающие нейтроны отсутст-
вуют.

Теперь сосредоточим внимание на больших значениях реактивно-
сти и быстрых нестационарных процессах. Здесь также может быть ис-
пользовано разложение функции п в ряд по степеням I (уравнение (3.3)],
но мы сделаем другие предположения об относительной величине сла-
гаемых в уравнении (3.5). Производная будет теперь порядка
1/7, а функции Сг и 7 — порядка /°.

Приравнивая в уравнении (3.5) слагаемые порядка 1//, находим,
что

т. е. приходим к модели Нордгейма — Фукса для быстрых нестационар-
ных процессов [179, 398]. Здесь и*— функция, приближенно описываю-
щая изменение нейтронной плотности; она удовлетворяет уравнению

(3.1) в условиях, когда количество нейтронов нарастает так быстро, что
источниками 2 лг Сг и 7 можно пренебречь. Приравнивая в уравнении

(3.5) слагаемые порядка /°, находим, что

Второе слагаемое уравнения (3.3) в принципе может быть найдено
по функции Ль Для этого решение уравнения (3.28) подставляется
в уравнение (3.2) для определения приближенного вида функции Сг.
Затем в результате решения уравнения (3.29) находится функция п2.
Мы можем, следовательно, получить разложение функции п методом
сингулярного возмущения, пригодное для больших реактивностей. От-
метим еще раз, что приближенная функция «1 удовлетворяет системе
дифференциальных уравнений пониженного порядка. В гл. 5 мы ис-
пользуем такого рода разложения при выводе формул для пиковой мощ-
ности и для энергии, освобождаемой в нестационарных процессах с са-
морегулированием мощности.

Приближение Нордгейма — Фукса может также рассматриваться
как частный случай приближения «постоянного источника», обсуждав-
шегося в § 2.5 и 2.6.

Полагая, что в уравнении (3.1) 2 — константа, и дифференцируя

это уравнение, получаем:

^-г-(₽-р)^—= (3-30)
Очевидно, что уравнение (3.30) является пределом, к которому стремит-
ся уравнение (3.26), когда %—>0. В § 2.5 уже было установлено, что это
приближение может быть пригодным только для короткого интервала
времени, /<С1Д, непосредственно следующего за ступенчатым измене-
нием реактивности. Сравнение уравнений (3.26) и (3.30) приводит
к альтернативным критериям пригодности приближения:

(3.31>

(3.32).

Первое из этих условий послужило основанием для того, чтобы назвать
это приближение «приближением большой скорости».

Теперь мы видим, что предельный случай очень больших реактив-
ностей, когда запаздывающие нейтроны полностью игнорируются, не-
посредственно следует из уравнения (3.28), если |р| ^>р:

(1п
сП

(3.33}

Эта модель не имеет существенного значения для теории реакторов,
следует только заметить, что по форме она идентична модели эффектив-
ного времени жизни [уравнение (3.27)], которая полезна при очень ма-
лых значениях реактивности.

Наконец, отметим, возможность использования при решении одной
и той же задачи как приближения мгновенного скачка, так и модели
постоянного источника. Например, если в уравнении (3.1) <? = 0 и %гСг =
= Хг-Сг(0) =Р1ПоЛ, то

Если, кроме того, будут выполняться условия применимости приближе-
ния мгновенного скачка, то

р-Р(7)-д°- (3-35>

Если имеется стационарный источник, мощность которого до связана
с начальной реактивностью ро остановленного реактора соотношением
(2.5), то

«(0 = «о- <3-36)

Отметим аналогию между уравнением (3.36) и уравнением (3.10),
определяющим условие непрерывности для приближения мгновенного
скачка.

Вернемся к формуле (2.50) и рис. 2.9 и вместо быстрого изменения
функции п, описываемого в приближении постоянного источника, введем
скачкообразное изменение этой функции при / = 0. Такое приближение,
имеющее очень ограниченную область применения, удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению

ф-Р)^->« = 0. (3.37)

Из сравнения с уравнением (3.13), когда д— константа и когда произ-
ведением /•—можно пренебречь, заключаем, что уравнение (3.37) —
и
это предел, к которому стремится уравнение (3.13), если /->0 и Х->0
одновременно.

Несмотря на очевидные ограничения, эта модель может быть ис-
пользована для быстрых оценок в некоторых практически интересных
случаях. Например, линейный закон изменения реактивности во вре-
мени при запуске реактора из равновесного состояния (без источника)
может быть представлен выражением

Р = /-37-^>°)- (3.38)

тт 1

Для определенности неравенство I при выполнении которого при-
менимо приближение постоянного источника, заменим неравенством
/< 1 /ЗА. Тогда для реактивностей, меньших реактивности рт, опреде-
ляемой выражением

рт = -з^> (3.39)

приближение постоянного источника не будет приводить к значитель-
ным погрешностям. Теперь мы можем установить, что на комбинацию

приближений, приведших
к выражению (3.35), нало-
жены два условия, опреде-
ляемые формулами (3.29) и
(3.23), т. е. максимальное
значение реактивности, при
котором выражение (3.35)
еще может дать полезную
оценку отклика реактора на
изменение реактивности по
линейному закону, равно
наименьшему из значений,
вычисляемых по формулам

(3.23) и (3.29).

Рис. 3.3. Области применимости формулы (3.35),
п/п0«р/(р—р), для оценки отклика на изменение
реактивности по линейному закону (линии по-
стоянных предельных значений реактивности р™).

На рис. 3.3, подобном
рис. 3.2, с учетом двух упо-
мянутых условий показаны
ограниченные линиями по-

стоянных предельных значе-

ний реактивности р™ области, в пределах которых можно пользоваться
выражением (3.35) для оценки отклика реактора на изменение реактив-
ности по линейному закону (область больших значений р/7 и промежу-
точных значений скорости изменения реактивности). В отличие от
рис. 3.2 здесь для того, чтобы выражение (3.35) имело смысл, исключе-
на область малых скоростей изменения реактивности, где справедливо
приближение мгновенного скачка, но не применимо приближение по-

стоянного источника.

В следующем параграфе мы исследуем отклик на осцилляцию ре-
активности и обсудим приближенные выражения для передаточной
функции. В § 3.4 эти выражения сравниваются с точным решением за-
дачи об отклике реактора на изменение реактивности по линейному за-

кону.
§ 3.3. Осцилляции реактивности

В этом параграфе мы опишем в рамках точечной модели реактора
малые флуктуации мощности около некоторого равновесного уровня ее
при осцилляциях реактивности с малой амплитудой и получим то же
самое выражение для отклика реактора, которое было получено в § 2.7
для осцилляций источника. Мы изучим передаточную функцию реакто-
ра более детально и обсудим ее предельные виды, соответствующие тем
приближениям, которые рассматривались в предыдущем параграфе.
Затем найдем приближенные решения для осцилляций реактивности
с большой амплитудой. Обратная связь по реактивности и передаточ-
ные функции для высоких уровней мощности реактора рассматривают-
ся в последующих главах. Динамические эффекты, связанные с изме-
нениями во времени пространственного распределения нейтронов, об-
суждаются в гл. 8.

Метод осцилляции поглотителей нейтронов в течение длительного
времени использовался при измерениях динамических параметров ре-
акторов и поперечных сечений поглощения нейтронов. Фундаменталь-
ные теоретические исследования представлены во многих ранних рабо-
тах (177, 398, 582] и в обзорах [111, 461].

Первый реакторный осциллятор, использовавшийся для измерений
нейтронных поперечных сечений, был создан Лэнгсдорфом [313]. Клас-
сические измерения передаточной функции реактора были сделаны на
реакторе СР-2 Аргоннской лаборатории [230]. Последней обзорной ра-
ботой является работа [295].

Пусть, как и в § 2.7,

П = По+^П, = + р=ро+1бр,

<7 = <7о, С1О=ргИо/ХгА #0 =-РО^о/Д

Здесь мы предположили, что средние значения величины равны равно-
весным (позднее мы увидим, что это несправедливо для осцилляций
с большой амплитудой).

Подставляя функции в уравнения (2.1) и (2.2), «находим:

^-8/г=?!!^-8/г + У’Мс1-+-т-8р+Ц-8р-8л (3.40);

8сг= Ьп — Я2-8С/. (3.41)

Эти уравнения подобны уравнениям (2.87) и (2.88); отличие состоит
в том, что место осциллирующего источника теперь занимает сумма
гг-8? Н—г 8р8/г.

Чтобы продвинуться дальше, ограничимся такими малыми осцил-
ляциями, что |6п|<^По (т. е произведение всегда пренебрежимо
мало). Тогда уравнения (2.87) и (3.40) оказываются одного вида (ли-
нейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами).
0
Используем преобразования Лапласа:

6?/ (5) = ри
О

бРг ($) = (/) е"5^/,

6/? (5) = 6р (/) е”8*б/Л
б

Преобразование Лапласа для установившейся части отклика имеет
вид

ЬЫ (8) =

(5)

/$+ 0 — р0 —

(3.42}

На основании уравнения (2.53) или уравнения (2.91) находим пере-
даточную функцию для реактивности:

<Ф) =

62У (5)

5/? (5)

п9

1з + (3 — ро

ЕЛ

$ + А*

(3.43}

Следовательно, передаточная функция для реактивности в По/1 раз отли-
чается от передаточной функции для источника (преобразование Лап-
ласа импульсного отклика) при условии, что результирующие осцил-
ляции мощности малы. Отметим, что система не может быть неустой-
чивой, поскольку ро — отрицательная реактивность остановленного ре-
актора, и поэтому у функции 6($) не может быть полюсов в правой
полуплоскости.

Установившегося единого обозначения для передаточной функции
реактора не существует. В теории динамики реакторов эта функция
широко используется; иногда для нее более удобна одна нормировка,
иногда — другая. Мы выбираем нормировку в соответствии с уравне-
нием (3.43), поскольку функция /(5) была записана ранее так, что ее
обратное преобразование по Лапласу — импульсный отклик 1(1)—об-
ладает свойством: х(0)=1. Конечно, какая бы ни была нормировка,
уравнение обратных часов [см. уравнение (2.1'5) или (2.54)], может быть
записано как

1/О(0);)=0. (3.44)

В тех случаях, когда применимы результаты, полученные в § 2.7,.
отклик на осцилляции реактивности с малой амплитудой определяется
амплитудой и фазой О (]<о). Другими словами, если

6р = 8 81П(д/, (3.45)

то

бп=е| О(]со) 181п (ш/ + (р), (3.46)

где

О (» = | О (»;| е* (3.47}
Прежде чем дать графическое представление отклика, отметим некото-
рые свойства функции О (5). Поскольку

о&=

По

(3.48)

На действительной оси при имеется т+1 полюсов, соответствую-
щих т+1 действительным корням уравнения обратных часое. Если
ро=О, имеется полюс в начале координат, соответствующий работе
реактора на произвольном постоянном уровне мощности. В противном
случае все полюсы находятся на отрицательной ветви действительной
оси. Если числитель и знаменатель умножить на ПД$ + %г), то О (5)
становится отношением двух полиномов со степенями т и т+1 соот-
ветственно; видно, что у 6(5) должно быть т нулей при 5 = —Лг-.

Для очень малых 5

1 6(5) По/ро=«о/|ро|, (3.49)

если ро=/=О; если же ро=О, то для малых 5

О (5) (3.50)

М -Ь |5
\ I /

Для очень больших 5

6($)~Ио//$. (3.51)

Поскольку I очень мало, есть промежуточная область, | $ | > ^макс» где
6(5)«по/(р-ро). (3.52)

Для одной группы запаздывающих нейтронов

<?(«)= ?-----ГХ—• <3-53)

(/+ - ₽»

Это выражение может быть переписано следующим образом:

О («) = 7-2 /й -1”^ + ---Г~ (3.54)

' 7 /52 + (р + А/ — р0) 5 — Аро 7

<3 использованием двух отрицательных корней уравнения обратных ча-
сов С01 И 0)2

О = 7 7 ---г. (3.55)

' ' I (5 — (01) ($ — (О2) ' 7

Для критического реактора

<?(*)=-7—~ (3-56)

| 1 + Д) 5 + I 5

\ I /

Для одной группы

<3-57>
Эта функция имеет полюсы при $ = си—О и при $ = <02= — (Х + 0//). По
скольку Хер//, очень хорошим приближением является выражение

п0 ($ + Л)

(3.58)

Выражения (3.48) и (3.56) и их частный вид, выражения (3.53) и (3.57),
для одной группы запаздывающих нейтронов часто называют переда-
точными функциями реактора нулевой мощности. Это связано с тем,

что равновесная мощность п0
предполагается настолько малой,
что отсутствуют сколько-нибудь
заметные эффекты обратной свя-
зи по реактивности. Использова-
ние для критического реак-
тора ;(ро=О) предполагает в то
же самое время, что мощность по
настолько велика, что источни-
ком до можно пренебречь.

Типичный отклик критическо-
го реактора, характеризующийся
амплитудой и фазовым сдвигом
передаточной функции (р/по)Х
Хб(]о)), показан на рис. 3.4, где
сравниваются модели с одной и
шестью группами запаздываю-
щих нейтронов при //р= 10_2 сек,
(используются данные по запаз-
дывающим нейтронам при деле-
нии 23511 тепловыми нейтронами).
Как видно из уравнения (3.52),
принятая нормировка передат-
чиков функции дает единичную
амплитуду для промежуточных
частот. При таком представле-
нии, именуемом графиком Боде,
амплитуда обычно выражается
в децибелах. Для детального
ознакомления рекомендуются ра-
боты [229, 290, 473, 579].

Рис. 3.4. Амплитуда и фазовый сдвиг пере-
даточной функции реактора нулевой мощ-
ности (23511, //3 = 10-2 сек) для одной и ше-
сти групп запаздывающих нейтронов.

Отметим, что по сравнению с
одногрупповой моделью шести-
групповая модель не приводит к такому резкому излому амплитудной кри-
вой вблизи со=Х. Это является следствием тесно расположенных полю-
сов и нулей, соответствующих значениям Л; и со; шестигрупповой мо-
дели.

Обе модели приводят к одинаковым результатам при очень низ-
ких и очень высоких частотах. Это следовало ожидать на основании
выражений (3.50) и (3.51), где |6(]со) | изменяется обратно пропорцио-
нально о), а фазовый сдвиг приближается к —90°

Другим представлением, которое нам в дальнейшем потребуется,
является полярный график Сг(]<х>) в комплексной плоскости, приведен-

ье
ный на рис. 3.5 для тех же исходных данных, что и на рис. 3.4 16 (]’<») | —
радиус-вектор, <р — полярный угол). Согласно принятой договоренности,
- которую мы используем в гл. 6, кривая

"О

Рис. 3-5. График передаточной
функции реактора нулевой мощ-
ности в полярных координатах (ча-
стоты указаны цифрами; исходные
данные такие, как на рис. 3.4).

строится так, что она уходит от начала
координат в бесконечность при измене-
нии <о от оо до 0. Отметим, что представ-
ление передаточной функции в полярных
координатах подчеркивает различие меж-
ду одногрупповой и шестигрупповой
моделями при низких частотах.

На основании выражения (3.51)
можно заключить, что при уменьшении I
расширяется область частот, в которой
амплитуда передаточной функции близка
к единице, а фазовый сдвиг ее близок
к нулю. Сказанное иллюстрируют приве-
денные на рис. 3.6 и 3.7 графики изме-
нения амплитуды и фазового сдвига пе-
редаточной функции для шести групп за-
паздывающих нейтронов заимство-
ванные из работы [290]. В этой работе
приведены графики передаточных функ-
ций и для других видов реакторного топ-

лива, ее автор использует также данные
по запаздывающим нейтронам, соответ-
ствующим делению ядер быстрыми ней-
тронами. (Строго говоря, кривые, соот-

ветствующие большим значениям 1ве-

Рис. 3.6. Амплитуда передаточной функции реактора нулевой
мощности для 23515 при различных значениях времени генера-
ции нейтронов (I [290].

гией нейтронов в реакторе. Если действовать последовательно, то для
каждого реактора должен применяться свой, слегка отличный от дру-
гих, набор данных по запаздывающим нейтронам.)
64
Теперь рассмотрим передаточные функции критического реактора
в каждой из приближений, обсужденных в § 3.2. Мы используем одну
группу запаздывающих нейтронов, хотя нетрудно провести исследова-
ние и с большим числом групп.

Сначала обсудим приближение мгновенного скачка. В пределе при
очень малом I выражение (3.58) принимает вид:

6(5)

По 8 +

Т’ $ *

(3.59)

Это выражение может быть также выведено из уравнения (3.19), кото-
рое для малых осцилляций можно записать следующим образом:

(3.60)

Из выражения (3.59) видно, что амплитуда передаточной функции
с увеличением частоты уменьшается и асимптотически стремится к по-
стоянному значению, равному Ио/Р (рис. 3.8). По этой причине прибли-

Рис. 3.7. Фазовый сдвиг передаточной функции реактора
нулевой мощности для 23511 пр иразличных значениях вре-
мени генерации нейтронов / [290].

жение мгновенного скачка иногда называют приближением «бесконеч-
ной по ширине полосы пропускания частот». Это приближение весьма
полезно для изучения устойчивости реакторных систем, несмотря на то,
что оно приводит к неправильному поведению передаточной функции
при высоких частотах. Объясняется это тем, что другие элементы дей-
ствительной системы (обратная связь по реактивности, регуляторы
и т. д.) определяют ее поведение, так как обладают гораздо большими
постоянными времени.

Если |$|<Х (или ),

то

С(з) ^11^1^8=^1^11'8. (3.61)

Это выражение дает асимптотическое поведение передаточной функ-
ции в низкочастотной области и соответствует передаточной функции
для /'-модели [см. уравнение (3.27) и выражение (3.50)].

Если |$|^>% (или |$| ^>%гмакс), мы можем пользоваться прибли-
жением постоянного источника. Пренебрегая в формуле (3.58) величи-
ной X, находим, что

□ (5)«П0/(/5+р). (3.62)

Это выражение может быть также выведено из уравнения (3.28) при
малых осцилляциях. В промежуточной области мы вновь находим, что
5—837 65
в то время как для предельно высоких частот
О (я) —По [18.

(3.63)

Выражение (3.63) соответствует, конечно, тому случаю, когда можно
пренебречь запаздывающими нейтронами [см. уравнение (3.33) для ма-
лых осцилляций]. Как видно из сопоставления с формулой (3.51), оно
описывает асимптотическое поведение 0(з) в области высоких частот.

Соотношения между всеми рассмотренными приближениями схема-
тично иллюстрирует рис. 3.8. Приближения для области высоких частот
при изучении устойчивости используются мало, так как они приводят
к неправильному поведению переда-
точной функции при низких часто-
тах.

Наконец, отметим, что поведе-
ние передаточной функции в про-
межуточной области, перекрывае-
мой частично как приближением
мгновенного скачка, так и прибли-
жением постоянного источника
(область примерно постоянной
амплитуды 6«По/р), описывает и
формула (3.52). Такое поведение
амплитуды соответствует также пе-
редаточной функции, получаемой
из уравнения (3.37) для малых
осцилляций; естественно, что она
также мало используется при изуче-
нии устойчивости, так как описывает
только область промежуточных ча-
стот. Отметим, что область слабой
зависимости амплитуды от частоты
существует благодаря тому, что I
очень мало. Как видно из рис. 3.6,
эта область ясно вырисовывается
даже при шести группах запазды-
вающих нейтронов для всех физи-
чески разумных значений /, кроме
самых больших.

Все передаточные функции, представленные графически на рис. 3.4-5-
-5-3.8, являются передаточными функциями критического реактора. Как
видно из формулы (3.49), в подкритической системе с источником ней-
тронов поведение передаточной функции в области низких частот со-
вершенно другое. Амплитуда передаточной функции нодкритической си-
стемы при низких частотах стремится к постоянному значению, а фа-
зовый сдвиг — к нулю. Рис. 3.9 и 3.10, заимствованные из [290], иллю-
стрируют сказанное.

Если мы попытаемся распространить такие передаточные функции
в надкритическую область, полагая, что в формуле (3.48) ро>О, реше-
ние теряет физический смысл, поскольку при положительной реактив-
ности ро требуется отрицательный источник нейтронов. Вместо этого
для надкритической системы без источника введем передаточную функ-
цию, соответствующую наложению осцилляций на экспоненциальный
рост мощности с установившимся периодом, определяемым средним зна-

Одногруппооой крити-
ческий реактор

Х+0

1Приближение
мгновенного
\ скачка

к?] | Приближение
постоянного
источника

1Д I

модель
эффективного
\ бремени
\жизни

№ а>

со»№

{Модель

та запаз-\
выдающих
нейтронов

Рис. 3.8. Амплитуда передаточной функ-
ции 1п (О(]*со)| в зависимости от 1п со
для различных нр1иближений.
чением реактивности. Пусть

п=По(1-Ье) ехр р/, с$=сго(14-8$) ехр р/,
р=ро4-6р,

где е, 8$ и 6р представляют собой малые флуктуации, ар — положитель-
ный корень уравнения обратных часов при реактивности ро. Подставляя
функции п$, Сг ирв уравнения, соответствующие точечной модели реак-
тора, и пренебрегая произведением е-6р, после преобразования Лапласа
находим:

е СО ________________________?______________

в/?(5) /(* + />)+ -Г

(3.64)

где 8 и 67?— преобразования Лапласа функций 8 и 6р. Этот результат
иллюстрируют рис. 3.11 и 3.12 {290], где функция О по сравнению с пе-

Рис. 3.9. Амплитуда передаточной функции подкритиче-
ского реактора (/=10~4 сек) при различных значениях
реактивности [290].

редаточными функциями, рассмотренными выше, содержит дополнитель-
ный множитель па, а Т — установившийся период, равный 1/р.

Рис. 3.10. Фазовый сдвиг передаточной функции подкритиче-
ского реактора (/=10~4 сек) при различных значениях реак-
тивности [290].

Такое параметрическое возбуждение во время переходного процес-
са, или влияние установившегося периода разгона системы на переда-
точную функцию, подробно рассмотрено в работе [88]. Важность этого
67
эффекта была обнаружена при испытаниях прототипов ядерных ракет
[490], в ходе которых было найдено, что системы управления реактором^
сконструированные для работы на постоянной мощности, вызывают не-
устойчивые колебания в процессе запрограммированного запуска с ко-
ротким периодом.

Закончим этот параграф кратким рассмотрением процессов при ко-
лебаниях реактивности с большой амплитудой. Самая замечательная
особенность такого рода процессов состоит в том, что установившиеся

Рис. 3.11. Амплитуда передаточной функции реактора (/=
= 10-4 сек) для различных степеней надкритичности: осцил-
ляция, наложенная на установившийся период Т [290].

колебания реактивности около нулевого ее значения приводят к нара-
станию мощности (рис. 3.13) [11].

Задачу рассмотрим в приближении мгновенного скачка с исполь-
зованием одной группы запаздывающих нейтронов, когда возможно ее
аналитическое решение. Найдем отклик реактора на осциллирующую
с большой амплитудой реактивность, среднее значение которой не рав-

Рис. 3.12. Фазовый сдвиг передаточной функции реак-
тора (/=10~4 сек) для различных степеней надкритич-
ности; осцилляция, наложенная на установившийся пе-
риод Т [290].

но нулю, а затем получим приближенное выражение для такого отри-
цательного среднего значения осциллирующей реактивности, при кото-
ром средняя мощность реактора остается постоянной [512].
Решим уравнение

(3.19)

<₽-р)^=Ф+-й>

если

р/Р=Л+В 8Ш со/,

(3.65)

а
к

и=По при /=0. В
выражению

1ПЛ_=1П_
/2о

результате обычного интегрирования приходим

г . . .... — агс!^

К(1 —Л)2 —в2 &

Ю По — Л)2 —В2]

—(1—л) 4“^

И(1—Л)2 —В2

(3.66)

ростом I функция агс1§ принимает одно и то же значение в

одной

точке каждого цикла, а величина в скобках в уравнении (3.66) увели-

Рис. 3.13. Отклик на входной сигнал измене-
ния реактивности в долларах по закону р/р =
=0,7з1п I [11].

чивается на л рад за каждый цикл. Следовательно, можно использо-
вать для формулы (3.66) более простую запись, которая справедлива
только в одной точке каждого цикла (всякий раз, когда со/ оказы-

вается кратным л), полагая выражение в скобках равным —<*>/•

п0 1—Л — В 81п <о/ * 1^1(1_Л)2_В2] * \ • /

Решение будет периодическим (мощность не будет неограниченно воз-
растать), если

(1— Л)2—В2=1. (3.68)

Когда реактор близок к критическому состоянию (|Л| <С1), полу-
чаем приближенное выражение

В2/2, (3.69)

позволяющее найти смещение реактивности в отрицательную область
(на Л Волл), необходимое для поддержания установившихся колебаний
мощности, когда реактивность колеблется с амплитудой В. Этот ре-
зультат был также получен в работе [11]. Однако в ней использовалось
другое приближение, которое мы кратко обсудим в § 3.7 (см. также
§ 7.10).
Интересно, что решение имеет альтернативную форму записи, по-
лучаемую путем преобразования интегралов и использования других
стандартных функций:

I п __« 1— А

Ло — А— ВзЩсо/

<* К[(1 —Л)2 —В2]

. В — (1 — Л) з!п

— агсзш ------Ч----ъ—.---т-

1 — Л — В 81П со/

(3.70)

Теперь величина в скобках увеличивается на 2л рад за каждый цикл.
Снова приходим к уравнению (3.67) при замене выражения в скобках
на

Рассмотренная математическая модель является слишком упро-
щенной для того, чтобы полученные результаты детально сравнивать
с экспериментальными данными. Однако она дает важное качественное
понимание эффекта запаздывающих нейтронов при осцилляциях реак-
тивности с большой амплитудой.

§ 3.4. Отклик на изменение реактивности по линейному закону.
Гипергеометрические функции

В качестве еще одного примера зависимости реактивности от вре-
мени рассмотрим случай, когда реактивность является линейной функ-
цией времени:

р(О=Ро+у/. (3.71)

Используем приближение с одной группой запаздывающих нейтронов,
приводящее к дифференциальному уравнению второго порядка, реше-
ние которого может быть получено с помощью известных функций. Об-
суждение в большой степени опирается на работы [119, 495]. Альтерна-
тивный подход, использующий интегральные представления, позволяю-
щие легко учесть нескольких групп запаздывающих нейтронов, обсуж-
дается в следующем параграфе.

Рассмотрим уравнение (3.26), когда р(/) изменяется согласно
(3.71). Постоянная — скорость изменения реактивности. Диф-

ференциальное уравнение принимает вид:

где

А = — В = с = — В = — (3.73)

Ь’ 4» V 4

Ограничимся рассмотрением только однородного уравнения (^=0).
В принципе частное решение уравнения с правой частью может быть
найдено, если известно решение однородного уравнения, однако в этой
задаче оно имеет очень сложный вид (вместо этого в следующем пара-
графе применено интегральное представление).

Таким образом, мы ищем два линейно независимых решения диф-
ференциального уравнения

^+(Д/4-В)^-+(а + О)« = 0, (3.74)

для постоянных которого справедливы выражения (3.73). Мы сохра-
70
няем начальную реактивность ро, хотя она должна стремиться к нулю
в том случае, когда источника нет, а начальное состояние является
равновесным. Применим преобразование, которое ведет к дифференци-
альному уравнению Вебера и позволяет выразить точное решение либо
через функции параболического цилиндра отрицательного порядка, либо
через гипергеометрические конфлюэнтные функции. Простейший вид
решения, выражающийся через экспоненциальные функции и функции
ошибок, получается в том случае, если %р/-у — целое число.

Пусть

(1п йу . (1Х ~г-\

« = -«/. -=х-^+у-^. (3.75)

Уравнение (3.74) принимает вид:

х 5-+ Р&+чч+х] у=°- <3-76)

если коэффициент слагаемого с йу!<11 сделать равным нулю, полагая,
что функция х является частным решением уравнения

2-^-+(Л/+В)х = °. (3.77)

Уравнению (3.77) удовлетворяет функция

х = ехр[---(Л<4лВ)2 ]• (3-78)

Используя уравнение (3.77) или (3.78), находим, что

1 (12х । А1 + в <1х । х-,, . А2 ,2 .

Т7Г-+ -^7—4- 2) =-----ГГ 4"
х------------------------------(Н2 ’-х (11 1 1-4 ‘

। /уо АВ I п А В2

‘ 2 ) 2 4 ’

так что уравнение (3.76) может быть переписано в форме

(3.79)
где

А2 е АВ п ~ В2 I Л п
е=—• /="2-------С’ ^=—+—-Д-

Теперь перейдем к новой независимой переменной, чтобы устранить
линейный член //. Положим, что

/=’аот+1₽о, (3.80)

и найдем такие значения величин ао и 0о, чтобы уравнение (3.79) транс-
формировалось в уравнение

Ср^Т2=(Т2 + Л)г/, (3.81)

где А —константа. Из сравнения уравнений (3.79) и (3.81) находим, что

ао4е=ао4Л2/4 = 1.

При положительном значении у по первой из формул (3.73) устанавли-
ваем, что А — величина отрицательная. Поэтому, чтобы коэффициент
ао был величиной действительной, из двух корней выбираем корень
ао2А/2 =—1. Таким образом,

«,=±КН7Т)=±}Ш-
Случай, когда у<0, аналогичен рассматриваемому.

Продолжая сравнение уравнений (3.79) и (3.81), находим, что

о 2С АВ I — рв . \

Ро— А2 — у

, 20 2ВС <2С2 , < । 2Хр

Н =Т Л^+ ~АГ~ 1 = 1 +-^-

Мы использовали здесь формулы (3.73), чтобы вернуться к исход-
ным физическим параметрам. Таким образом, уравнение (3.81) и выра-
жение (3.80) теперь можно записать так:

(3.82)

(3.83)

Наконец, сравнивая уравнение (3.82) с дифференциальным уравнени-
ем Вебера

(х2/4-т-72)^

которому удовлетворяют функции параболического цилиндра у = О * (х)
[589], устанавливаем, что уравнению (3.82) удовлетворяет функция па-
раболического цилиндра отрицательного порядка у =—1—%р/у. Полным
решением уравнения (3.82) является линейная комбинация двух ли-
нейно независимых функций параболического цилиндра или двух ги-
пергеометрических конфлюэнтных функций.

Рассмотрим частный случай, когда V — целое число. В этом случае
функции О* превращаются в функции Эрмита, которые для отрицатель-
ного порядка могут быть выражены через функцию Гаусса. Использу-
ем целочисленную величину р, определяемую выражением

р = %Р/у. (3.84)

Нам предстоит найти решение уравнения

с&у/ах2= (т2+2р+1)у. (3.85)

Рассмотрим функцию Гаусса У=ехрат2, которая удовлетворяет урав-
нению

(4аЧ2+2а) У

и будет поэтому удовлетворять уравнению (3.85) при р=0, если а =
= 1/2> и при р =—1, если а=—*/2. Для этих частных решений введем
следующие обозначения:

Уо=ехр(т2/2), р=0,

У_1 = ехр(—т2/2), р=<•—

Нас интересуют неотрицательные значения р. Для р=0 второе решение
У*о может быть найдено подстановкой выражения У*о=Хоехр (т2/2)
в уравнение сРу/<1х2= (т2+1)у, приводящей к следующим результатам:

4^=еХр(_^)> Х0=Гехр(-Р)Л=-^егЬ-
о
Таким образом, два линейно независимых решения уравнения (3.85)
при р, = 0 имеют вид:

Уо = ехр (т2/2), У*о = ехр (та/2) ехр (—^2) < (3.86)

Полное решение при ц = 0 может быть записано так:

У а = С0У0 + С*оУ*о = ехр (тг/2) (Со + С*. $ ехр (- Е3) , (3.87)

\ о /

где Со и С*о — константы. Для других значений ц рассмотрим функции
определяемые выражением

У = ехр (—'г/2)Уи. (3.88)

В результате подстановки выражения (3.88) в уравнение (3.85) нахо-
дим, что удовлетворяет уравнению

(IV

-2 (»» + О о. (3.89)

Дифференцируя, получаем, что

б/зу Ду

-тт- ~ ^гт—2 (р. + 2) ^=0.

йх2 * 7 ах

Сравним это уравнение с уравнением

—/+1 -2т —2 (ц + 2) V+1 = О,

представляющим собой уравнение (3.89), в котором р заменено (и+1).
Из сравнения находим, что

^уи/йт= = йу1х+1/л=уи+2.

С использованием этих соотношений уравнение (3.89) превращается в
рекуррентную формулу для функций У^:

^+2-2^+1-2(!л+1)Уи==0.

На основании выражения (3.88) устанавливаем, что функции удовлет-
воряют такой же рекуррентной формуле:

+ (3.90)

Таким образом, зная две функции из набора функций У^9 можно найти
все остальные.

При р, = — 1 из формулы (3.90) находим, что

У1 = 2тУо=2техр (т2/2).

Второе решение У*1 может быть найдено тем же способом, каким была
найдена функция У%:

У*г = ехр (—т2/2) + 2т ехр (т2/2) ехр (—В2)
о
Подобно функциям V определяются функции У*и, и можно показать, что
они удовлетворяют той же самой рекуррентной формуле.

Подведем итог. Решением уравнения (3.85)

б/2г//^2 = (т2 +2р. 4-1)1/

для целочисленных значений величины р. является выражение
где

У„ ехр (х8/2). У*, = ехр (—т2/2) + 2г ехр (гг/2) | ехр (—52) <К,

У*. = ехр (г2/2) $ ехр (-?) <К, Уи+2 = 2гУи+1 + 2 + 1) У^,

У. = 2т ехр (т72), У*и+2 = 2тУ*и+1 + 2 (ц + 1) У*и.

Поскольку

; =

Iх а#

(У*о) =

<У

решение (3.91) может быть записано в более компактной форме:

уи=ехр(-т72)^

ехр

(3.92)

Решение уравнения (3.72) для целочисленных значений ц есть п=
, где вид функции х определяется формулой (3.78). Если кон-
станты в этой формуле выразить через физические параметры, то

Пользуясь формулой (3.83), найдем, что

ехр (—т2/2) = ехр —д- ----------—у—-

Следовательно, хехр(—т2/2)=ехр (—А/), и решение для целочисленных
значений величины ц=%р/у может быть окончательно записано так:

п (0 = ехр (—Я) —

“5

(3.93)

где т определяется формулой (3.83). В частности, в особых случаях,
когда ц=0 и ц=1 при <7=0, ро=О, и при начальном равновесном со-
74
стоянии п(О)=по находим:

2?_= [1 _|_ 6 Г^-У/2 /ехр 2Д /ей —?_ег{2^ХД 1 X

л. [1 + Р(ч2Т/; (ехр 2Т/ Деп/(Зд- /(2?7ГЛА

X ехр/-^Д2-у- Л при яр/у=О

±- {ехр (-«) - ехр е - - Л ,) X

х[> + ^Г«р-Ь?х

х(ей ,1^-— ей ) 11 при Л₽/т = 1,

\ К <2т/> V (2Т/) } ] I

где

егН=—Д=- С ехр (—52) Л.

(3.94)

(3.95)

Можно убедиться, что формула (3.94) является решением уравне-
ния (3.34) при р=у/ и, следовательно, представляет собой отклик ре-
актора на изменение реактивности по линейному закону в приближении
постоянных источников (малые Л) или, с другой точки зрения, в прибли-
жении большой скорости изменения реактивности .(большие у).

Из формулы (3.83) находим, что

(3.96)

Обращаясь к формуле (3.71), видим, что т=0 при реактивности р=
= ₽—Л/, которая немного меньше реактивности, соответствующей кри-
тичности на мгновенных нейтронах. Для удобства в формуле (3.96) вы-
бираем отрицательный знак. В большой области ниже точки критично-
сти на мгновенных нейтронах т достаточно велико для того, чтобы мож-
но было воспользоваться асимптотическим представлением

ег{т= 1

___ехр (—т2)
т V п

1 I ЬЗ 1.3.5

2т2 (2т2)2 (2т2)8

Формулы (3.94) и (3.95) принимают вид:

Л _
л. ₽ — Д

при хр/у = 0, где

1-3-5
и®

(3.97)

^-=7ГехР(—•••) при А₽/Т=1, (3.98)

где у=(р—X/ —

Поскольку формула (3.94) соответствует приближению постоянного
источника и поскольку 1/и—>0, когда I—>0, можно ожидать, что первый
член формулы (3.97) соответствует тому случаю, когда приближение
постоянного источника объединяется с приближением мгновенного
скачка. В этом можно убедиться, обращаясь к формуле (3.35). По-
скольку —>0, когда I—X), мы также можем ожидать, что первый
член уравнения (3.98) соответствует отклику на изменение реактивно-
сти по линейному закону при 1 в приближении мгновенного скач-
ка. Чтобы убедиться в этом, решим уравнение (3.19)

ф-р)

йп

при р = у^ и п (0) = /г0 и найдем, что

п0

= ехр(-ЛО(Г^)

(3.99)

При подстановке в формулу (3.99) Хр/у=1 получаем тот же самый ре-
зультат, что и при переходе в формуле (3.98) к пределу при I—И). От-
метим, что уравнение (3.19) может быть разрешено относительно про-
изводной и записано в такой форме:

1 д,п 1

Л |. \_Ар +г
V Р + 41 ) ₽ —р •

Начальное значение производной со(0)=у/р показывает, что эта вели-
чина не является произвольной. Это является, конечно, следствием по-
нижения1 порядка дифференциального уравнения и «потери» одного на-
чального условия. Здесь п(1)—непрерывная функция, а производная
изменяется скачком от правильного начального значения до значе-
ния у/р.

Точное решение [формула (3.95)] и решение в приближении мгно-
венного скачка [формула (3.99)] графически представлены на рис. 3.14

п/по

105

102

Рис. 3.14. Отклик на изменение
реактивности по линейному за-
кону для одной группы запаз-
дывающих нейтронов (в исход-
ном состоянии реактор крити-
чен: у=0,1 долл] сек, р//=
= 100 сек-1 и Х=0,1 сек-1).
Точным решением является
формула (3.95), формула (3.99)
соответствует приближению
мгновенного скачка, формула
(3.94) — приближению постоян-
ного источника.

при р,=Хр/у=1. Для сравнения здесь же представлены решение в при-
ближении постоянного источника (формула (3.94)] и простейшее прибли-
женное решение [формула (3.35)]. Интересно рассмотреть данные, пред-
76
-ставленные на рис. 3.14, с точки зрения пределов применимости усло-
вий, использованных в различных приближениях: условие (3.17) в при-
ближении мгновенного скачка и условие /<С1Д в приближении посто-
янного источника.

Как и предполагалось, решение при ц = 0, соответствующее прибли-
жению постоянного источника, представляет собой нижний предел для
серии решений при р=1, 2, и т. д. На основании физических сооб-
ражений можно также ожидать, что кривые для нецелочисленных зна-
чений ц разместятся между соответствующими кривыми для цело-
численных р. Справедливость этого подтверждается интегральными
представлениями, которые будут выведены в следующем параграфе.
Таким образом, кривая, соответствующая ц=0, представляет собой
нижний предел для всех кривых с ц>0 при условии, что все другие
параметры имеют одинаковые значения.

Наконец, отметим, что решение в приближении мгновенного скачка
очень мало отличается от точного решения даже при значениях реак-
тивности, довольно близких к той, при которой достигается критичность
на мгновенных нейтронах, но далее эти решения резко расходятся. Сле-
дует, однако, помнить, что нельзя ожидать такого же хорошего согласия
результатов, найденных по простой формуле (3.99), с точным решением
для шести групп запаздывающих нейтронов, как только реактивность
достигнет существенной доли р. Численное значение %, выбран-
ное для описания медленных изменений мощности, не годится в усло-
виях, когда скорость увеличения мощности становится большой, а ре-
зультаты расчетов по формуле (3.99), к сожалению, сильно зависят от
величины X. Это затруднение можно преодолеть, если использовать при-
ближение мгновенного скачка с шестью группами запаздывающих ней-
тронов, которое, как уже обсуждалось в гл. 4, чрезвычайно полезно, так
как позволяет устранить расчетные трудности. Приближение мгновенно-
го скачка с одной группой запаздывающих нейтронов практически по-
лезно при анализе вопросов, связанных с безопасным пуском реактора
(см. § 3.5).

Описанные решения, несмотря на их недостатки, дают возможность
понять требования, предъявляемые к системам безопасности реакторов
на случай неожиданного увеличения реактивности. И, что еще более
важно, они наглядно иллюстрируют необходимость принятия практиче-
ских мер, направленных на предотвращение таких увеличений реактив-
ности.

Точные решения, выраженные через специальные функции, были
получены для двух других случаев (когда реактивность изменяется об-
ратно пропорционально времени и в случае изменения ее во времени
по экспоненциальному закону). Подробное изложение содержится
в статье [495].

§ 3-5. Отклик на линейное изменение реактивности во времени.
Интегральное представление

Другой подход к задаче с линейным изменением реактивности во
времени может быть дан с помощью интегрального представления
[572, 592, 495]. Удобным представлением является обобщенный интеграл
обратного преобразования Лапласа, потому что обычного преобразо-
вания Лапласа для решения при у>0 не существует. Решения, полу-
ченные в предыдущем параграфе, являются завышенными при больших
77
I благодаря сомножителю

ехр(у/2/2/-₽///),
который случайно оказался тем же, что и частное решение для модели
Нордгейма—Фукса [уравнение (3.28)], когда р=у/. В данном случае
изложение ведется для у>0; решение для у<0, к которому применимо
преобразование Лапласа, рассмотрено в работе [28].

Интегральные представления полезны тем, что они позволяют по-
лучить одновременно простые приближенные формулы для мощности и
периода при мгновенной критичности. Кроме того, формулы функции
ошибок в предыдущем параграфе давали недостаточную информацию
о больших скоростях изменения реактивности; |х=1 соответствует ско-
рости порядка 10 цент/сек, тогда как большие ц соответствуют меньшим
скоростям и более сложным формулам.

Найдем интегральные представления для решения уравнения (3.72)
с <7=?о

+В) (1п/сИ + (С/+Р)п=Х?о, (3.100>

где константы определяются уравнением (3.73). Запишем частное ре-
шение в такой форме:

п (0 = У Р (з) е*Ч$, (3.101>

где контур интегрирования Г в комплексной ^-плоскости пока неизве-
стен (за исключением того, что он не может быть контуром обратного
преобразования Лапласа). Предположим, что подынтегральная функ-
ция на границе не зависит от времени. Тогда

йп!(И = (* «Г ($)
г

<Рп/<и2=$8*Р («) е«М§.
г

Интегрируя по частям, находим, что

1п — Р^1

Дифференцируя по / и решая относительно I Ап/сИ; получаем
— П — У 8 (1Р 1(18^(18,
г

Подставляя эти соотношения в уравнение (3.100), находим

У ($2 + Р — Л) Ре6*с18 — У (С + Л$) с!Р I (18&*с18 = 1д0 — С Ре61

Если выбрать контур Г таким, что Лд0 = СРе81 |г, т. е. если

Т^е'* |г + 1да = 0,

(3.102>
то Р удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка:
йР№+Р(А— й—В 8—$2)/(С+Л$) =0. (3.103)

Уравнение (3.102) согласуется с предположением, что подынтегральная
функция на границе не зависит от времени /.

Уравнение (3.103) может быть записано в таком виде:
4Р/48+и(?)Р(8) =0, (3.104)

где

(7 (5) = (А— И—В8—82)/(С+Аз).

Исходя из уравнения (3.73), получаем
С/ (5) =|7$2+ (Р+Х/—ро) 5—%ро]/у(5+М-

Это выражение удобно переписать в виде

= рг + ₽-?0-(7П)]- (ЗЛ05)

Решение уравнения (3.104) может быть записано в такой форме:

Г (5)= ехр,[—у 1/(8) (18].

Используя (3.105), получаем

г (5) = (5 + а/’'1 ехр [- /$а/2у — 5(Р - р,)/т1. (3.106)

Остается только выделить подходящие контуры интегрирования
для уравнения (3.101). При <7о=О уравнение (3.100) становится одно-
родным. Уравнение (3.102) удовлетворяется, если подынтегральная
функция исчезает на обеих границах контура. Из уравнения (3.106)
следует, что Ре8* обращается в нуль при 5=—л и 5—>±оо. Следова-
тельно, для двух линейно независимых решений однородного уравне-
ния выбираем для контура интегрирования два отрезка на действи-
тельной оси: от —оо до —X и от —Л до оо. Итак, полное решение одно-
родного уравнения будет иметь вид

Полное решение уравнения (3.100) находится сложением уравнения
(3.107) с частным решением, выбранным таким образом, чтобы урав-
нение (3.102) удовлетворялось. Подходящим выбором контура интегри-
рования является действительная ось от 0 до оо. В результате полу-
чаем

ОО

^о/г У ((« + ехр
о

(3.108)

Итак, полное решение есть сумма уравнений (3.107) и (3.108).

Этот вывод легко осуществить для т групп запаздывающих ней-
тронов. Также получается уравнение первого порядка для Р, где
вместо уравнения (3.105) будет

а в уравнении (3.106)

(5 + — П (« +

Решение однородного уравнения имеет (щ-Ы) членов, полученных ин-
тегрированием на действительной оси от —оо до —от —Кт до

Атп—1 . • •» ОТ ДО ОО.

Благодаря сомножителю е*8 в подынтегральной функции основной
член представляет собой интеграл с верхним пределом интегрирования,
равным оо, поскольку / возрастает. Поэтому рассмотрим член с Сг
[уравнение (3.107)], чтобы получить информацию об откликах на ли-
нейное изменение реактивности для больших Л при этом источники от-
сутствуют. Положим, что

где

п(/)«Сг/(/),

(3.109)

(3.110)

Здесь ц=Лр/у, как и в предыдущем параграфе. Форма уравнения
(3.110) наводит на мысль о гамма-функции

Г(С) = 7/-1е-^^
о

благодаря соотношению
00 Ц.4-1

у г’1е-<>*2г/г = Г ^+±^2а 2

Рассмотрим преобразования

2=(//2у)^(5+М,

4=(2т/01/г

(3.111)

(3.112)

(3.113)

Заметим, что г=0 при 5=—Л, а х=0 при /=/*=(р—К1—р0)/у, где
/* есть очень незначительное время перед мгновенной критичностью,
когда реактивность равна р = Р—К1.

Уравнение (3.110) принимает следующую форму:

I (?) = (2у/1)(и+1)/2 ехр [Л (//2у)1/2х + Л2//2у] 1йг. (3.114)
о

Вблизи мгновенной критичности при х=0 и /=/* получим из уравнений
(3.112) и (3.114) соотношение

I ((*) = 4- (2у,7)(р'+1)/2е’а//2тГ

2 у 2 ]

(3.115)
Если п = по и х = Хо при ^ = 0, то

п[пь I (1)]1 (0) = ехр[Л(//2у)1/2 (х — х0)] Л-2*-*2 (1г I Л-23-*02^?.

о / о

Из уравнения (3.113) находим, что

х—хо= —(2у//)4'2/,
так что окончательно

и/я0 = е-х'Гг^е-2'-^^ / 7 г^'-^йг. (3.116)

о /о

Можно получить простое приближение для интеграла в знаменате-
ле. Поскольку хо= (2/у/)1/2(р—X/—ро) ~ (2/у/) 1/2(₽—ро) велико по срав-
нению с единицей, особенно при малых /, множитель е—Хо2 будет
уменьшаться гораздо быстрее, чем е~2’ Для значительной части обла-
сти интегрирования е—2’= 1, и интеграл в знаменателе уравнения (3.116)
запишется приближенно в виде

7 г’е-*’2* = Г (р. + 1)/х*+1. (3.117)

Вблизи мгновенной критичности (/=/*) можно воспользоваться урав-
нениями (3.112) и (3.117), чтобы свести уравнение (3.116) к следующе-
му выражению:

2_е-Х(Х+1г(^!-)/г(|л+1). (3.118)

Если рв = 0, то /* р/у и х9 р]/2/у/. Тогда мощность при мгновен-
ной критичности окажется равной

л(/*)/До^4-е-Ч2₽7Т/)

Р-) / Г(|х+ 1). (3.119)

При очень быстрых изменениях реактивности ц = 2ф/у—Ч) уравнение
(3.119) принимает вид

п (1*)!п0 (3.120)

Заметим, что формула функции ошибок для ц=0 [уравнение (3.94)]
дает такой же результат при / = р/у, если I мало.

Обратный период

со = 1 /п (йп/М) (3.121)

может быть также оценен при /=/* Возьмем производную по времени
в уравнении (3.110) и воспользуемся уравнениями (3.112), (3.113) и
(3.115), чтобы получить следующее соотношение:

Член —X в большинстве случаев оказывается незначительным. Для бы-
стрых изменений реактивности (ц<С1) уравнение (3.122) сводится к

<о(/*) ^]Л2у/^Г. (3.123)

6—837 81
Для медленных изменений (ц—*°°), используя асимптотическую форму
гамма-функции

Г (С _|_ 1) _> е“Чс V2^, (3.124)

получаем

ю(/*)^ У^/1. (3.125)

Уилкинс [592] рассмотрел эту задачу для т групп запаздывающих
нейтронов и вместо уравнения (3.125) нашел

ш(/*) « 2

(3.126)

Это подтверждает идею использования средней константы распада X
вместо % вблизи мгновенной критичности, когда скорость возрастания ве-

лика. На рис. 3.15 [592] показано значение У1& умноженное на обрат-

10
*

Рис. 3.15. Обратный период при мгновенной
критичности в зависимости от скорости линей-
ного изменения реактивности [592].

10 Ю 10 10

Скорость линейного изменения реактивно-
сти долл/сек

ный период при

мгновенной

критичности, в зависимости от
скорости линейного измене-
ния реактивности. Это было
вычислено с помощью обоб-
щенной формы уравнения
(3.122) для шести групп запаз-
дывающих нейтронов. (Ис-
пользовались незначительно
отличающиеся друг от друга
данные по запаздывающим

нейтронам ^И).

Аналогичные

могут быть
проверки

методы

применены для
некоторых при-

ближений, используемых при других условиях. х____г

слишком близок к мгновенной критичности (т. е. если х не слишком
мало), то мы можем разложить е~2’ в степенной ряд и произвести по-
членное интегрирование в уравнении (3.116). Получим для одного из

Если

реактор не

интегралов

ОО

у = Г (ц + 1)/х^+1— Г(ц + Зух^3 + Г (и + 5)/2хи+5 - .

и аналогичный результат для интеграла, содержащего хо. Рассматривая
I как малую величину, сохраняем только первый член в каждом ряде и
находим выражение

«/«.== е-х/ (0 - р0 — А/)/(0 — р0 — Л/ — т0'х+‘.

которое становится уравнением (3.99), если ро=О и X/ мало (приближе-
ние мгновенного скачка).

И, наконец, рассмотрим результат, когда X пренебрежимо мала
в интегральном представлении для больших /. Из уравнений (3.109) и
(3.110) при ро=О и %—Ч) получим

« = с21 ехр [— 1з2/2у — (0/у — (3.127)

о
Это известный интеграл, он равен

п ~ С2 (2лу/1) 1/2ехр ((32/2у/) ехр (у12/21— р///>. (3.128)

Сравним с уравнением (3.94), которое является предельной формой для
больших скоростей изменения реактивности (ц—И)) и при больших /
приближенно равно

п«2по₽(л/2у1)ехр (₽2/2у/) ехр (у/2/2/—р///). (3.129)

Здесь были использованы равенства

ег! = 1
и

Нт ег1^12- = — 1.

/~>оо V 2у1

Из уравнений (3.128) и (3.129) получаем оценку константы С2 для слу-
чая быстрых изменений реактивности:

С2^$п^у.

(3.130)

Как упоминалось в начале параграфа, эти асимптотические формы
являются частными решениями модели Нордгейма—Фукса [уравнение
(3.28)]. для р=у/. Для быстрых скоростей можем получить приблизи-
тельное сопоставление точного и асимптотического решений. Асимпто-
тическое решение [уравнение (3.129)] эстраполируется по направлению
к мгновенной критичности (/=•’р/у) с завышением п(/*):

п(Н «2пор]/^/2у/,

(3.131)

тогда как уравнение (3.120) или (3.94)
при /=р/у дают более точную оценку:
п (/*) « «ор У к/2у1.

Видно, что асимптотическое решение
[уравнение (3.129)] становится хоро-
шим приближением уравнения (3.94)
вскоре после того, как достигается
мгновенная критичность, и что завы-
шение происходит только в два раза
при мгновенной критичности. Все это
изображено на рис. 3.16.

В гл. 5 мы используем уравнение
(3.131), чтобы оценить «начальные
условия» для быстрых с саморегули-
рованием нестационарных процессов,
вызванных линейным изменением ре-
активности, где скоростью образова-
ния запаздывающих нейтронов можно
пренебречь. Действие отрицательной
обратной связи показано на рис. 3.16.
Надо помнить, однако, что график

//7/147^

Парабола\

Уравнение\

П*П&*)

Действие
отрицательной
обратной связи

Коэффици- р-
ент 2 1

Точное решение
при быстром
изменении ре-
активност

Рис. 3.16. Качественное сравнение
точной и асимптотической функций
отклика на линейное изменение реак-
тивности для предельного случая бы-
строго изменения реактивности
[уравнения (3.94) и (3.129)].

соответствует очень большим скоростям; значению реактивности; при
меньших скоростях эффект саморегулирования будет иметь место в об-

ласти р<р.
§ 3.6. Пуск реактора

Порядок вывода реактора из полностью заглушенного подкритиче-
ского состояния на рабочую мощность и необходимое для этого обору-
дование детально описано многими авторами (например, в работах
[223, 290, 473]), поэтому мы не будем здесь повторяться. Подчеркнем
только два важных обстоятельства:

1) мощность реактора необходимо контролировать в широком диа-
пазоне, соответствующем нередко изменению нейтронной плотности на
84-10 порядков;

2) не исключено, что авария при пуске реактора может быть более
тяжелой, чем авария при нормальной работе; такая возможность обу-
словлена тем, что при пусковой аварии в момент достижения номиналь-
ного уровня мощности скорость ее изменения может быть большой, и
остается мало времени для срабатывания аварийной защиты.

В этом параграфе мы рассмотрим идеализированную пусковую ава-
рию, когда реактивность реактора, первоначально находившегося в под-
критическом ра»вновесном состоянии, поддерживаемом источником ней-
тронов, нарастает по линейному закону, продолжая увеличиваться и
после того, как было достигнуто критическое состояние (как это может
иметь место, например, при повреждении электрической схемы, не по-
зволяюще.м остановить извлекаемый стержень регулирования).

Будут продемонстрирована целесообразность применения прибли-
жения мгновенного скачка при решении этой задачи и получены про-
стые приближенные формулы для вычисления мощности и периода
реактора в момент достижения критического состояния. В частности,
будет показано, что по мере увеличения скорости изменения реактивно-
сти, мощность реактора в момент достижения критического состояния
уменьшается, а скорость ее нарастания увеличивается (период стано-
вится короче).

Из уравнения (3.13) следует, что нейтронная плотность описывается
уравнением

(р—р) (Ип/сН— (Лр+Ар/<11) п = (3.132)

где до— постоянный источник и где начальный уровень мощности по
дается уравнением (2.6):

по = — 1до/ро = 1до/1 ро |.

Напомним, что 1до остается неизменным в предельном случае малого I,
поэтому удобно представить эффективный источник в виде

дг=К1до—-К | ро | «о. (3.133)

Положим в уравнении (3.132) р = ро+т^ тогда

(р—ро—у!) (1п1сН— (у+Хр0+Ху/) п = д' (3.134)

Используя обычные методы, можем записать полное решение в виде

п — п е-« ( . Р-Р1. у+1 __________ Г у (з !з5)

п — гсое Р —р0 —V у ТрР|_т/ к '

Интеграл выражается через простые функции только в том случае, если
84
Рис. 3.17. Отклик на линейное
изменение реактивности, скорость
10 цент!сек, начиная от состояния
равновесия при реактивности
—1 долл. Одна группа запаздываю-
щих нейтронов (Х=0,1 сек-1). Точ-
ное решение получено на ЭВМ для
//р= ю-2 сек.

Рис. 3.18. Зависимость мгновенно-
го периода от мгновенной реак-
тивности для того же примера,
что и на рис. 3.17. Верхний и ниж-
ний пределы найдены из уравне-
ний (3.139) и (3.141).

ц — целое число. Например, полное решение для |Л=1 будет иметь вид

+ <;- -Т -

- (ТЛ + ₽ - Ро) е’Ч, (3.136)

где используется уравнение (3.133), чтобы выразить через |ро| и по.
Для больших целых значений р стандартные интегральные формулы
приведения позволяют выразить полное решение через экспоненциаль-
ные функции. Характерный случай для показан на рис. 3.17. Для
простоты численные значения величин выбраны такими: %=0,1 сект1,
р — 102, у=10“3 сек-1 (0,1 долл/сек) и ро=—р. Точки на графике — это
результат расчета на ЭВМ (одна группа запаздывающих нейтронов
с //р=Г0~2 сек) [474]. Как и на рис. 3.14, согласие почти до самой мгно-
венной критичности очень хорошее, хотя в случае с шестью группами
запаздывающих нейтронов отклонение должно наблюдаться раньше.

Мгновенный обратный период в этом приближении определяется
с помощью уравнений (3.132) и (3.133)

<о (I) = 1/п (Ап, 1(11) = [Лр + б/р/^ + Л | р01 п0/п]. (3.137)

Заметим, что начальное значение со, равное

со (0) = т—!----- б/р/бй = —,

4 1 Р — Ро г/ ₽ — Ро

(3.138)
не может соответствовать состоянию равновесия в этом приближении.
Переменное по времени исходное значение со, превращающееся в нуль
за время порядка //(₽—ро), заменяется скачком от (о=О до значения,
данного уравнением (3.138).

Мгновенный период Т= 1/<х> для того же примера, что и на рис. 3.17,
показан на рис. 3.18 в виде функции от мгновенной реактивности. По-
казаны также верхний и нижний пределы мгновенного периода. Верх-
ний предел

^макс = //р—<₽ (3.139)

может быть просто получен из уравнения (3.1), тогда как нижняя гра-
ница получается из квазистатического предельного случая уравнения

п(/)«—/?/р(/). (3.140)

Доказательство того, что квазистатический период

Тмин— | Р | /у

(3.141)

является нижним предельным значением, остается в качестве упраж-
нения.

/0'21------!-------1------!-------

-0,5 0 0,5 Г,0 1,5

Реактивность, долл

Рис. 3.19. Зависимость мгновенного
периода от мгновенной реактивности;
сравнивается точное решение
с шестью группами запаздывающих
нейтронов [473], с приближением
мгновенного скачка [уравнение
(3.145)] и с оценкой по функции
ошибок [уравнение (3.147)]; у=
= 1,2-10-4 долл!сек, 0=0,0075, 1=
= 10~4 сек (из [473]).

Рис. 3.20. Мгновенная относительная
мощность и мгновенный период при
критическом состоянии в зависимо*
сти от скорости линейного изменения
реактивности [уравнения (3.148) и
(3.149)]; Х=0,0767 сек~\

Для нецелых значений р задача более сложная. К счастью, для
больших р можно получить приближение с хорошей точностью [532]
с помощью неполной у-функции:

П (а, С) = р* - *е - У(1у. (3.142)

Предоставим читателю доказать то, что для больших р (малая ско-
86
рость изменения реактивности) полное решение [уравнение
хорошо представляется уравнением

Р —Ро —V

3 < ? — ро — и )

—00

или в терминах реактивности

— х II
г(1-р/₽),1+1

(3.135)]

(3.143)

(3.144)

^+1- Г(1* + 1, И(1 - Р/Р))-

Неполная у-функция просто связана с интегралом вероятности %-квад-
ратного распределения, изучавшегося и затабулированного в работе
[1], а также в других работах.

Используя уравнение (3.137), можно записать выражение для об-
ратного периода в виде

ю_у/8 Г ‘+^ , ^+,(1-р/?)|х е~и 1. /31451

“-Г/Р I 1 —р/р +г(|х+1. (1(1-₽/₽)) ]• V3-145)

Большая полезность этой формулы иллюстрируется рис. 3.19, на ко-
тором уравнение (3.145) сравнивается с точным, с шестью группами
запаздывающих нейтронов, решением [473]. Соответствие очень хорошее
приблизительно до пятидесяти центов после достижения критичности.
Там же показаны верхний и нижний пределы [уравнения (3.139) и
(3.141)].

Дальнейшие приближения приводят к еще более простым резуль-
татам. Можно показать, что для больших ц

г(I* + 1, Р (1 - р/р)) ~ (<2И)‘'У+,е-,‘[1 + ег( (н/2)1/2Р/р].

Тогда уравнение (3.143) запишется в виде

П (,€/2,1)1/2 11 + еН (3-1 46)

Подставляя эту формулу и равенство

(1 — р/р)рер'р/^=г; 1 — р./2(р/р)2

в уравнение (3.137), находим

Ш = У/Р 1 +н>^. + (2ц/*)1'2 —1 ~|х/2 <?/$•—. (3.147)

1/Г 1_ р/р г/ / 1 4-ей (|л/2)1/2р/Р 4 7

Эта формула, область применения которой ограничивается диапазоном
около критичности, также показана на рис. 3.19. При критическом со-
стоянии погрешность составляет около 15% (ц=4,794). Положив р=0
в уравнениях (3.146) и (3.147), найдем простые формулы для мощности
и обратного периода при состоянии критичности (/=/с) [517]:

п (1С) По | р01VтеЛ/2ур, (3.148)

<о (*с) ~ Т/₽ + К2ЯТЛ?. (3.149)

Соответствующие графики показаны на рис. 3.20, где сплошные линии
находятся в диапазоне, в котором погрешность <10%. Заметим, что
при более высокой скорости изменения реактивности мощность оказы-
вается ниже, зато становится выше скорость изменения мощности при
критическом состоянии. Заметим также, что кривая для периода опре-
делена более или менее корневой зависимостью от скорости изменения
реактивности.
В литературе есть много других численных примеров и различных
применений к проектированию систем безопасности (например, [256,.
290, 354, 473, 532]).

§ 3.7. Некоторые методы, применимые для произвольных изменений
реактивности во времени

В этом параграфе мы опишем вкратце три метода получения при-
ближенных аналитических решений дифференциальных уравнений для
точечной модели реактора, когда реактивность р(^) является произволь-
но заданной функцией времени. Первый из этих методов был разрабо-
тан Гурвицем [255].

Рассмотрим уравнения (3.1) и (3.2) в случае отсутствия источни-
ков (<7=0). Асимптотическим решением при постоянной реактивности
является (см. § 2.3)

п = Сг = + Л/),

где — алгебраически наибольший корень уравнения обратных ча-
сов. Гурвиц сконструировал приближенное решение для медленно из-
меняющейся реактивности, сделав предположение об одинаковой форме

и ай, замененных на функции от времени. Характерно то, что он
заменяется на р(/>), наибольший корень уравнения обратных часов,,
зависящий от ро, замененного на р(/):

Это уравнение может быть записано в виде

(3150>

Положим, что

= ( (0 ехр р (Г) аг (3.151}

О'*
и

с< (0 = ] ехР р (3-152>

Подставляя эти выражения в уравнение для точечной модели реактора,
получаем

VI* + + + .

Используя уравнение (3.150), будем иметь

(3.153)

Из уравнения (3.152) можно получить

(Г Ы

г м

0Сг[а1 =

+р-\~а[а1

+ &г | ехр /?(/') а?'.
~0
Уравнение источников запаздывающих нейтронов преобразуется к виду
Агх/сН + (р + Кг) 8г = —(р + %г) ].

Далее предположим, что 8г изменяется медленно, так что можем запи-
сать

ч=- Ат [&4/1 (р 4- М].

Тогда уравнение (3.153) примет вид

ац<н=- у -41- Г, /11 <1.

1 К ' |Л(р + Мр

что может быть представлено в такой форме:

2 (р+м

Если ввести определение

0 = 1+2 №</1 (Р + м2.

(3.154)

то уравнение (/.154) получим в виде

у-(^/Л) = - 2^(ЙО/Л),
решение которого есть

Ща = УЩо.

Выберем /о=х и положим Ро=^ при р=0. В результате будем иметь

Тогда решением для п(/) является уравнение (3.151), где функция /
определяется уравнением (3.155), а р(0 представляет собой наиболь-
ший корень уравнения обратных часов, соответствующий реактивности
р(/). Так, на рис. 3.21 изменение реактивности задано линейной функ-
цией р = 5-10~5/ [255]. В более поздней работе Гурвица [256] есть график
функции / в зависимости от р для реактора на 235О с / = 2-10~5 сек. Эта
зависимость представлена на рис. 3.22 в виде кривой А. Там же пока-
заны две кривые (В и С), полученные из приближения постоянного ис-
точника для быстрых скоростей изменения реактивности (р=у^). Кри-
вые получаются с помощью вычисления п(/) из уравнения (3.94), а за-
тем решения уравнения (3.151) для нахождения функции /:(/). Оказы-
вается, что уравнение (3.151) завышает п(/), по крайней мере в зада-
чах с линейным изменением реактивности, однако в широком диапазоне
скоростей изменения реактивности большой ошибки не наблюдается.
Характер метода Гурвица по существу тот же, что и метода ВКБ (по
89
имени Венцеля, Крамерса и Бриллюэна) нахождения приближенных
решений уравнения Шредингера с меняющимся потенциалом [382].

Второй метод, который мы описываем, фактически ближе к орто-
доксальному ВКБ-методу; приближенное решение дифференциального
уравнения второго порядка для п(/) [уравнение (3.26)3 выражается
непосредственно в форме ВКБ-приближения квантовой механики. Как
указывалось в работе [105], впервые применил этот метод Роудбэк.

Рис. 3.21. Приближение Гурвица
[уравнение (3.151)] с коэффи-
циентом /(/) и без него (точки —
результат численного интегриро-
вания точных уравнений [255]).

Реактивность, доли

Рис. 3.22. Сравнение прибли-
жения Гурвица (кривая Д, /=
=2,5 • 10~5 сек) с эффективными
коэффициентами вычисленными
из приближения постоянных
источников запаздывающих ней-
тронов (кривые В, С) [256].

Для одной группы запаздывающих нейтронов и для ?=0 из урав-

нения (3.26) имеем

1сРп1(№+ = (3.156>

Это уравнение может быть записано в стандартной форме в виде

&п!<№+р (0 (1п1сИ+ч (/) п=0, (3.157)

где

р)//, (3.158)

?= — (Хр 4-4/р/г//) //. (3.159)

Член с первой производной в уравнении (3.157) можно исключить с по-
мощью преобразования

п=у ехр (—1/2 / рМ), (3.160)

которое при подстановке в (3.157) приводит к уравнению

Л//Л2+ (9—4 4р2)0=0. (3.161)

Это прием, использованный нами раньше при решении задачи с линей-
ным изменением реактивности во времени (§ 3.4). Теперь перепишем
уравнение (3.161) в виде

Яу/Ж—Н2у=0. (3.162)

Постулируем

у = еф. (3.163)
Подстановка в уравнение (3.162) дает нелинейное дифференциальное
уравнение первого порядка для 4/ФД/Л*

й2Ф!(И2+ (ЛФ/М)А2=0.

(3.164)

Если б/Ф/с?/ изменяется медленно, то мы можем искать итерационное
решение. Первой итерацией будет:

^ФД#~А.

Вторая итерация

(б/Ф/<&)2=А2—сРФ/сГ/2 « А2—(Нг/(11. (3.165)

Считая (Нг/гН малой величиной, находим:

б/Ф/б//«А— (Нг/(11,

Ф = у А (И--1- 1п А,

,- [НсИ

у^(1/У7Г)^

Из уравнений (3.161) и (3.162) получаем

&=—я+-^~ар1а{+4" р°>

или, используя уравнения (3.158) и (3.159),

Л2 = Лр//4- 1/21-аР/М+( Р + У~р V. (3.166)

Запишем полное приближенное решение:

где А и В — константы и где р и А определяются уравнениями (3.158)
и (3.166) соответственно. Очевидно, что это приближенное решение не
применимо, если А-Ч). Такие особые точки рассматриваются в работе
{382]. Независимое исследование ВКБ-метода в динамике реакторов
с целым рядом применений содержится в двух статьях Тана [537, 538].

Третий метод получения приближенных решений дифференциальных
уравнений разработан Акасу [11]. Постулируем

п (I) = ехр ш (^') (11'
о

(3.168)

Сг (0 = Рг (0 ехР I ш (О

(3.169)

где <о(О и рг(1) должны быть представлены разложением в степенной
ряд по малому параметру и где полное решение для п(1) должно быть
линейной комбинацией выражений, подобных уравнению (3.168). Имеем г

(1п](11 = а> (I) ехр $ <» (О (11' = «> (0 п (I),
о

(1Сг1(И = (/2/Ш 4“ (1р^(И) ехр У »(о <Н'
о

Заметим, что со должно быть мгновенным обратным периодом, если
уравнение (3.168) является полным решением. Реактивность записыва-
ется в виде

р(О=ро + ₽Ц2(/|), (3.170)

где ро — константа, а ц — малый параметр. Уравнения (3.168) и (3.169)
принимают вид

«> (0 =р0/2 + (Р//) [!12 (0 -1 ] + 2 ^Р1 (О (3.171 )

И
рг®(0 +(1рг1(Н=$г!1---------------------------^грг. (3.172)

Разложим в ряд функции со(О и р$(/):

(О (/) = СОо + ЦС01 (0 + Р-20)2 (0 +
и

Рг^) =Р0г+ИР1г(0 +Ц2Р2г(0 + . . .,

где коэффициенты, зависящие от времени, являются функциями, кото-
рые должны быть определены подстановкой этих рядов в уравнения
(3.171) и (3.172) и приравниванием коэффициентов при одинаковых
степенях р.

Как и следовало ожидать, случай постоянной реактивности сводит-
ся к рассмотрению, сделанному в гл. 2. Для линейного изменения реак-
тивности этот метод приводит к формуле, которая ограничена описанием
начальных переходных процессов в значительной степени так же, как
и должно быть ограничено решение для п(/), представленное в виде
обычных степенных рядов. Главная польза этой формулировки в том,
что с ее помощью можно проводить анализ колебаний с большой ам-
плитудой, результат которого согласуется с уравнением (3.69).

Задачи

3.1. Сравнивая рис. 2.8 и 2.9, мы видим, что уравнение (2.46) для функции отклика
на ступенчатое изменение реактивности хорошо работает для малых I при использова-
нии модели постоянного источника при больших /, когда используется приближение
мгновенного скачка. Для сопоставления получите решение методом сингулярных воз-
мущений (т. е. вычислите члены более высокого порядка в приближенных решениях и
сравните асимптотическое решение с решением для малых /). Сравните результат
с точной функцией отклика на ступенчатое изменение реактивности с учетом одной
группы запаздывающих нейтронов.

3.2. Обобщите критерий применимости приближения мгновенного скачка с одной
группой запаздывающих нейтронов {уравнение '(3.17)], включив в рассмотрение источник
нейтронов.

3.3. Выведите дифференциальное уравнение второго порядка для с (0, соответст-
вующее уравнению (3.26).

3.4. Реактор, первоначально критический, при постоянной мощности; изменение
реактивности происходит линейно, со скоростью 10 цент!сек. Положим 'Р//=100 се/с"1.
92
Используйте следующие грубые критерии для обоснования приближений: 0—р>
>ЗК /(%р + фМ/) (приближение мгновенного скачка), /<1/ЗХ (модель постоянного
источника). Найдите максимальную реактивность, при которой решение удовлетвори-
тельно представляется (а) приближением мгновенного скачка и (б) формулой:

п/ло=|₽/((р-^уО-

Повторите (а) и (6) для скорости в 1 долл!сек.

3.5. Первоначально реактор выключен, уровень нейтронного потока постоянный,
реактивность —2 долл. При /=0 реактивность начинает меняться по линейному закону
со скоростью 3 долл!сек. Оцените при критическом состоянии (а) мощность (относи-
тельно уровня выключения) и (б) обратный период. Объясните ваши приближенные
вычисления.

3.6. Выведите уравнения для действительной и мнимой частей передаточной функ-
ции реактора и исследуйте поведение каждой из них при низких и высоких частотах.

3.7. Проверьте параметры в двух- и трехгрупповой моделях, приведенные
в табл. 2.2.

3.8. Изобразите фазовые кривые, соответствующие амплитудным кривым на
рис. 3.8.

3.9. Выведите формулу для периода действия передаточной функции (уравнение
(3.64)].

3.10. Используя осциллирующую реактивность (уравнение (3.65)], получите функ-
цию отклика на колебания реактивности с большой амплитудой в модели «эффективно-
го времени жизни». Найдите условие для устойчивых колебаний и изобразите кривую
и (г) для этого случая.

3.11. Выведите оба представления для колебаний реактивности с большой ампли-
тудой в приближении мгновенного скачка ([уравнения (3.66) и (3.70)].

3.12. Рассмотрите предельный случай приближения мгновенного скачка, получае-
мый при пренебрежении величиной р в левой части уравнения ‘(3.19). Как это пренебре-
жение повлияет на передаточную функцию и на колебания реактивности с большой
амплитудой?

3.13. Получите функцию отклика на быстрые изменения реактивности [уравнение
(3.94)] в виде решения дифференциального уравнения первого порядка.

3.14. Получите точные решения для переходных процессов при линейном измене-
нии реактивности [уравнения (3.94) и (3.95)] как частные случаи уравнения (3.93).

3.15. Получите асимптотические формы [уравнения (3.97) и |(3.98)]. Объясните,
почему они не дают точных результатов при /=0.

3.16. Получите функцию отклика на линейное изменение реактивности [уравне-
ние (3.99)] в виде решения дифференциального уравнения первого порядка.

3.17. Проверьте критерий обоснованности различных приближений путем сравне-
ния кривых на рис. 3.14.

3.18. Получите обобщения уравнений (3.105) и (3.106), рассматривая решение, по-
лученное с помощью интегрального представления для нескольких групп запаздываю-
щих нейтронов.

3.19. Покажите, что уравнение (3.120) для мощности при мгновенной критичности
может быть получено из решения для переходных процессов при быстром изменении
реактивности [уравнение (3.94)], если 2у/<сР2.

3.20. Получите предельные случаи ([уравнения (3.123) и '(3.125)] для обратного
периода при мгновенной критичности.

3.21. Выведите формулу для пуска реактора с помощью медленного изменения ре-
активности во времени [уравнение (3.135)] и проинтегрируйте в частном случае, чтобы
получить уравнение (3.136).

3.22. Докажите, что квазистатический период [уравнение (3.141)] является нижним
пределом для мгновенного периода во время пуска.

3.23. Покажите, что член, содержащий По в уравнении 1(3.135), будет пренебрежи-
мо мал при очень медленном пуске.

3.24. Сравните точные решения Кипина для переходных процессов при линейном
изменении реактивности [290] с приближением мгновенного скачка для одной группы
запаздывающих нейтронов.

3.25. Примените метод интегрального представления к задаче о пуске с помощью
линейного изменения реактивности с учетом источников.

3.26. Для реактора «Дракон» (см. задачи 2.15 и 2.16) лучше всего брать реак-
тивность в виде параболической функции времени при описании соединения и раздви-
жения двух пастей системы. Получите реальную функцию реактивности, найдите мощ-
ность п(1) и вычислите ширину импульса при 1/2 максимальной мощности [298].
ГЛАВА 4

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ЧИСЛЕННЫЕ
РАСЧЕТЫ

$4.1. Введение

В предыдущих главах мы исследовали некоторые специальные во-
просы в реакторной динамике — решение дифференциальных уравнений.
В этой главе мы выведем несколько интегральных уравнений для дина-
мики точечной модели реактора. Эти уравнения затем будут использо-
ваны для обсуждения и сравнения численных методов расчетов в дина-
мике реакторов.

Мы рассмотрим также несколько расчетных методов, которые исполь-
зуются на практике в случаях, когда стандартные методы не работают.
Например, для анализа медленных переходных процессов в реакторе на
быстрых нейтронах требуется решение систем уравнений, содержащих
одну очень малую постоянную времени (порядка //Р); при этом число
временных шагов в стандартном методе может быть чрезмерно боль-
шим. Это ограничение можно обойти применением численных методов,
основанных на интегральных уравнениях, в которых величина шага по
времени ограничена только масштабом времени всего динамического
процесса, а не наименьшей индивидуальной постоянной времени в систе-
ме. Интегральные формы помогают также обобщить ранее введенные
понятия. Кроме того, мы сможем получить новое представление о раз-
личных аппроксимационных методах, использованных в гл. 3. Далее,
некоторые из выведенных здесь интегральных уравнений будут полезны
при изучении устойчивости реактора (гл. 6 и 7). Наконец, мы обсудим
некоторые методы решения обратной задачи (расчета изменения реак-
тивности по изменению мощности).

$ 4.2. Интегрирующий множитель

Начнем с рассмотрения точечной модели реактора без источника
(уравнение (3.1)] при </=0:

Лп

7л

(4.1)

Интегрирующий множитель есть е/(/), где
Формально интеграл уравнения (4.1) представляет собой выражение

Запишем уравнение (3.2) для предшественников:

(4.3)

(4.4)

«(0 = е-/(')

которое может быть проинтегрировано в виде:

Сх(0 = е

(4.5)

В принципе, может быть построена схема численного интегрирования
с продвижением шагами по времени и поочередным использованием
уравнений (4.3) и (4.5), причем начальное значение для каждого шага
есть величина, предсказанная в конце предыдущего шага. Одним из
недостатков такой схемы является то, что уравнение (4.3) содержит
двойное интегрирование. Другой недостаток состоит в том, что подын-
тегральные выражения в уравнениях (4.3) и (4.5) могут быстро менять-
ся в течение шага по времени, являющегося достаточно большим в це-
лях экономии машинного времени.

С другой точки зрения [50], уравнения (4.3) и (4.5) можно исполь-
зовать для последовательных приближений к решению в момент
времени I. В качестве первого приближения к СД/) примем

Используем его для нахождения первого приближения для п (^):

пх (/)== е /(/)

л. + 2ЛА,/е (11'

I О

Тогда для /-го приближения имеем:

(4.6)

С^(0 = е М

+ -у- / л’-« М

(4.7>

Доказательство сходимости последовательных приближений приво-
дится в работе [50]. Для каждого последовательного приближения тре-
буются численные интегрирования, и недостатки, связанные с наличием
двойного интегрирования и ограниченной величиной временного шага^
еще имеют место. Мы вернемся к этому вопросу позже и покажем, как
оба недостатка могут быть преодолены.
§ 4.3. Интегральное уравнение Килина

Интегральные представления, полученные с помощью преобразо-
вания Лапласа, использовали несколько авторов [27, 28, 290, 291, 466,
495]. Для удобства мы применяем термин «уравнение Кипина» для фор-
мы, использованной в программе НТ8, разработанной в Лос-аламосской
научной лаборатории [290, 291].

Для вывода уравнения Кипина проинтегрируем по частям урав-
нение (4.5), подставим результат в уравнение (3.1), проведем в нем
преобразования по Лапласу, разрешим его относительно преобразова-
ния по Лапласу для п(1) и запишем обратное преобразование Лапласа
как свертку. Ядро результирующего интегрального уравнения пропор-
ционально ответу на импульсное возмущение и обратному преобразо-
ванию передаточной функции реактора нулевой мощности. После про-
ведения интегрирования по частям, уравнение (4.5) примет вид:

Сг (0 = (Сг0 - е~>? + А- п (0 - С . (4.8)

к 0 -*

Подставив это выражение в уравнение (3.1), получим:

^'+ У; - М.) + 1{Р <4-9)

мая

0 I

Ядро в этом интегро-дифференциальном уравнении есть так называемая

Рис. 4.1. Функция распада запазды-
вающих нейтронов /(/) для деления
235Ц- в тепловой области.

к уравнению (4.9) и разрешить

функция распада запаздывающих ней-
тронов:

= (4.10)

Физически /(/) есть вероятность того,
что запаздывающий нейтрон еще не
будет испущен в момент /, если им-
пульс нейтронов был в момент 1=0.
График функции ((I) для деления
в тепловой области приведен на
рис. 4.1. [Свойства функции 1(1) могут
быть использованы для вывода урав-
нений динамики реактора с эффектив-
ным временем жизни нейтронов непо-
средственно из уравнения (4.9).]

В качестве следующего шага для
вывода уравнения Кипина необходимо
применить преобразование Лапласа
его затем относительно М(з), равного

. ч . Ж Л гО

1 < +

+ Ю (5)

ЛГ(5)=^

(4.П)

где, как и ранее, Ы(5) и 0(5)—преобразования Лапласа для п(1)
и </(/), а Црп) и Р (5)—соответственно преобразования Лапласа
р(/)и(/) и /(/)• Определим

^ = з[г + |!Л(5)Г

Поскольку

(4.12)

(4.13)

(4.14)

где Це) и 0(з)—соответственно передаточные функции от источника
к мощности и от реактивности к мощности для критического реактора
нулевой мощности [см. уравнения (2.62) и (3.56)]. Уравнение (4.11)
может быть записано в виде:

Лф) = ^- + К(5) ГI (р/г) + + ОД(3)1 • (4.15)

Уравнение Кипина представляет собой обратное преобразование Лап-
ласа для уравнения (4.15):

л (/) = Па + С к (I - I') [Р (Г) п. (I') + 2 (А//Сй-М.) 4- 1ч (Г)) Л'. (4.16)

О *

Ядро к(1) пропорционально реакции на скачкообразное возмущение:
^(^)=/(/)//=^(/)/По> (4.17)

где ^(/) —обратное преобразование Лапласа для О(е). Типичная функ-
ция изображена на рис. 2.10 для /=10~4 сек. Заметим, что

&(0) = 1// и что

Птй(0 =-------!-----(4.18)

где Г— эффективное время жизни нейтронов, приведенное в § 2.2. Сле-
довательно, есть функция с начальным пиком, который выше и
круче для малых значений /, приближающаяся к постоянному значению
1//' при больших /. В пределе при /->0 может быть представлена
в виде суммы дельта-функции и постоянной величины.

Согласно равенству (2.60) к(1) может быть записано в виде

т+1

/=1

(4.19)

Коэффициенты и корни со; табулированы Кипином [290] и другими
авторами. Программа КТ8 — по существу численная оценка интеграла
свертки в уравнении (4.16). Она удобна при быстрых процессах, но
непрактична для медленных переходных процессов вследствие ограни-
чения на величину шага по времени при вычислении интегралов. -

Уравнение (4.15) может быть использовано для вывода уравнения
«обратных часов» и передаточных функций. Положим р = ро и отбросим
7—837 97
члены, возникающие от источника и неравновесности начальных усло-
вий. Тогда

М($) =по/$ + роК ($)-№($).

Решив это уравнение относительно получим:

У($)=и0/$[1—роК($)]. (4.20)

Поскольку М($) имеет полюсы при 5=®;, уравнение обратных часов
может быть записано в виде:

ро=1/К(аъ). (4.21)

Этот результат не изменится, если сохранить члены, которые мы от-
бросили.

Чтобы получить передаточную функцию от источника к мощности,
положим п=по+бп, р=ро и В пренебрежении неравновес-

ностью начальных условий уравнение (4.15) примет вид:

+ (5) = + К (5) + р08ЛЛ (5) + + /80 (5) ] •

Используя уравнение (2.70) для средних величин, получаем 6У($) =
= К ($) {робТУ ($) + 1Ы} (5) ]
и

(*) _ К (8) 99.

/3(2(5)— 1—р0К(5) •

Для нахождения передаточной функции от реактивности к мощности
положим п=по+бп, р=ро+бр и <7=<7о. Пренебрегая начальными усло-
виями и аппроксимируя произведение р/г в виде

р/г= (ро+бр) (по+д/г) ^ро/го+иобр + роб/г,
находим

+ 8У (5) =^- + К (5) Гр-^ + /г.87? (5) + (з) +

С помощью уравнения (2.70) получим

б#С$) = К($)|[/1о6/?($) +робУ(5)]
и

ЗУ (5) _ К (5)
П9ЪЯ (5) 1 — РоК (5) •

Как и следовало ожидать,

(4.23)

1(з)/1=0(8)/пс.

В гл. 6 увидим, что каждая из передаточных функций подкритиче-
ского реактора, записанная в виде уравнений (4.22) и (4.23), может
быть интерпретирована как передаточная функция К(5) основного кон-
тура с постоянной обратной связью — ро. Можно показать, что другая
форма уравнения (4.16), полученная применением преобразования Лап-
ласа к уравнению предшественников и подстановкой его в преобразо-
вание Лапласа уравнения (3.1), имеет вид:

п (0 = 1п,К{1) + У К (I — *')
в

Р (П п <П + 2 Л ехр (- V') + 1д (Г)
/

М’.

(4.24)
§ 4.4. Интегро-дифференциальное уравнение

'4г=(р-?)"+

Еще одна интегральная форма, использованная многими авторами
при изучении устойчивости, получена подстановкой интеграла для Сг-(/)
непосредственно в уравнение (3.1). Интегрируя уравнение (4.4), можно
записать:

(0 = С,- ((„) е_Х‘('_'о) + -у- У «(О е-’'4**-' ’ ае. (4.25)

Подстановка этого выражения в уравнение (3.1) дает:

П (П 2 Л1' +/ у] (/.) е~Х‘<<_',)+ 1д.

(4.26)
Определим функцию

(4,27)

I
для которой

уР(Г)б/Г=1—/(/), (4.28)

где НО —функция распада запаздывающих нейтронов, определяемая
уравнением (4.10). Функция />(/) может быть интерпретирована как
плотность вероятности так, что й (1)41 представляет вероятность того, что

Рис. 4.2. Функция плотности вероят-
ности запаздывающих нейтронов
0(0 для деления 235Б в тепловой
области.

Ь^сек

предшественник, рожденный в момент 1=0, испустит запаздывающий
нейтрон в интервале времени от / до 1+41. Функция 2)(/) для деления
23517 в тепловой области изображена на рис. 4.2 [отметим, что Д)=%'=
= 0,405 селт-1].

Уравнение (4.26) примет вид

^4г = (Р -₽)« + ₽(« У') ОУ~ П 1 ^гСг (/.) + 1д.
Используя свойства ядра Р(0, это уравнение можно записать в виде:

1 4г = (’№'+(О (01

^0 I

(4.29)

Эта довольно сложная форма значительно упрощается, если мы положим
—оо. Используя физически приемлемое допущение 1пп СД/0) X
?0~>—°О

X ехр = 0, имеем

1-^-=рп + $ Г[/г(Г) — я(0]Р(^ — 1’)сИ' + 1д. (4.30)

—ОО

Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования и = 1—I', получим

= ря Р У [я (I — и) — п (^)] О (и) йи + 1д.
о

(4.31)

Эта форма неудобна для численных расчетов, но полезна при анализе
устойчивости.

§ 4.5. Численные методы

Решение дифференциальных уравнений динамики реактора стан-
дартными методами (например, методами Адамса, Милна или Рунге —
Кутта [1, 247]) представляет серьезные трудности всякий раз, когда
время генерации нейтронов весьма мало по сравнению с масштабом
времени всего динамического процесса. В таких случаях может потре-
боваться огромное число временных шагов, что приводит в результате
к чрезмерно дорогому расчету, дает много излишней информации и мо-
жет содержать большие накопленные ошибки. Подобные трудности не
возникают при описании очень быстрых переходных процессов и моде-
лировании процессов в тепловых реакторах. Для этих задач было раз-
работано много усовершенствований стандартных методов [75, 30, 564],
но эти методы требуют перехода к модели скачка на мгновенных ней-
тронах для медленных переходных процессов в быстрых реакторах.

Цель настоящего параграфа — указать источник трудности и пред-
ложить основные идеи, требуемые для ее преодоления. Начнем с за-
мечания, что точечная модель динамики реактора без внешнего источ-
ника [уравнения (3.1) и (3.2) при <7=0] может быть описана в матрич-
ной форме следующим образом:

(И

(4.32)
Рассмотрим для иллюстрации простую систему второго порядка с по-
стоянными коэффициентами:

(1x1(11=Ах+Ву, (4.33)

с1у1(Н = Сх + Эу,
которая может быть записана в виде:

~аГ\ = Л л Г (4-34)

ат I # ] 1С ьи у □ 4 7

Разностное представление для интерполирования есть
(•^п+1 хп)!Н •= Ахп Вуп
и
(//п+1 Уп)^ — Схп Оуп,
где Н есть интервал времени 1п+1 — 1п. Решение для хп+1 и уп+х имеет
вид:

хП4-1= (1 АН) хп -р Вкуп

Уп+1 — СНхп —|— (1 “4“ Вк) Ути

что может быть записано так:

’ х 1 г 1 4- АН ВН “I г х 1

-У -1п+1==1 СН 14-^лЛ^]Л

(4.35)

С другой стороны, система уравнений (4.33) может быть проинтегриро-
вана в форме

х (0 = х (/0) еЛ('_/о) + В С у (I') ёА(/~(,) аг (4.36)

У (О = У (Ы + С $ х (/') е^-^ас.
^0

Для любого малого интервала времени, в течение которого х и у не
сильно меняются (независимо от величин А и Р), можно положить
х(1')^х(10) и уЦ'^уЦ»).

Тогда интегралы могут быть оценены так:

х (0 = *(*„) еЛ(2-2’> +

Ву (/о) г л(/-/0)

у (о = у (<0) е25''-2»* + [е2’(2-2») - 1].

Теперь положим к = 1 — /0, х(1) = хп+1, х(10) = хп и т. д.:

*п+1 = еЛЛхп +4- (еЛЛ — 1) Уп>

Уп + 1 “р" (е 1 ~Ь е Уп-
В матричной форме имеем:

Г рл/г

% 1 ~

- у 14 ^он- о

еРЛ

(4.37)

Ясно, что это выражение переходит в уравнение (4.35), только если
|ЛЛ| и |РЯ| малы по сравнению с единицей. Таким образом, мы дела-
ем заключение, что наименьшая постоянная времени (наибольшее из А
и Р) определяет величину шага по времени, использованного в конечно-
разностном методе, даже в случае, когда решение весьма гладкое.
В этом простом дифференциальном методе делается попытка предста-
вить экспоненциальную зависимость линейной. Например, рассмотрим

(1x1 (11=Ах, х(1) ==х(/о)ехр[4(I—/о)].

В интервале от 1п до 1п+1 это дает

Хп+1 = хп ехр (АН).

Для разности вперед

(ХП4-1 Хп)/== Ахп,
•^п+1==’*^п(1 “Н АН).

Если А отрицательно (экспонента с отрицательным показателем), то
линейная аппроксимация ведет к изменению знака при Н =—\/А. Более
хорошее представление для экспоненты с отрицательным показателем
получается при использовании разности назад:

(хп+1 хп)//& = Ахп+х

•^п+1 АН),

Здесь нет изменения знака при увеличении |4Л| и обратно-разностный
метод остается устойчивым при увеличении интервала. Следовательно,
обратно-разностный’метод может быть предпочтителен, когда над систе-
мой доминирует большой отрицательный коэффициент, хотя основное
ограничение на величину временного шага, обусловленное ошибкой
вследствие отбрасывания членов, еще имеет место.

Для медленных переходных процессов, когда р мало, определяющая
постоянная времени равна приблизительно //р [см. уравнение (4.32)].
Она может быть порядка 10~6 сек, тогда как переходный процесс изме-
нения мощности может длиться несколько минут и более. Физически это
есть проявление переходного процесса на мгновенных нейтронах, кото-
рый заменяется скачком при использовании модели скачка на мгновен-
ных нейтронах.

Конечно, существуют численные методы, которые превосходят гру-
бый разностный метод, использованный здесь для иллюстрации; некото-
рые методы могут увеличить допустимый шаг по времени в десять и более
раз. Однако переформулировка задачи в терминах интегральных урав-
нений и использование специальных методов вычисления интегралов
делают возможным в некоторых случаях увеличить допустимый шаг по
времени на много порядков. В этих методах интегралы, такие, как
в уравнении (4.36), оцениваются аналитически с помощью известных
функциональных форм только для медленно меняющихся величин; та-
ким образом, больших ошибок в оценке интегралов не будет.
Очевидно, что типы задач, требующих специальных методов вычис-
ления интегралов, вообще говоря, суть задачи, для которых с высокой
точностью применима модель скачка на мгновенных нейтронах (малое
р и малое /). Но если р находится слишком близко к р в течение пере-
ходного процесса изменения мощности, метод расчета должен быть из-
менен. Наоборот, методы, описанные в следующих параграфах, приме-
нимы для всех динамических ситуаций. Если вводится автоматически
саморегулирующийся (переменный) шаг по времени, контролируемый
только скоростью изменения мощности реактора, счет может идти вбли-
зи оптимального состояния для аварии при пуске реактора, где период
может меняться непрерывно от многих минут до долей миллисекунды.
Другое применение — расчет циклических изменений мощности в им-
пульсном реакторе, критическом на мгновенных нейтронах в течение
малой доли каждого цикла. Счет может быть легко проведен для ран-
них стадий начала процесса, для периода резкого всплеска мощности
и последующего процесса на запаздывающих нейтронах без изменения
расчетного метода.

Отметим, что эти же случаи (малое / и малое р) вызывают не-
преодолимые масштабные трудности при расчетах на аналоговых маши-
нах. Трудности, возникающие из-за большой области динамических из-
менений величины при быстрых переходных процессах, обычно могут
быть устранены использованием 1пп(/) вместо п(/,), но переходный
процесс вблизи критичности на мгновенных нейтронах в реакторе на
быстрых нейтронах может иметь масштаб времени в несколько милли-
секунд и быть очень чувствительным ко всем собственным постоянным
времени системы, имеющим значения от микросекунд до нескольких
секунд. Техника расчетов на аналоговых машинах не рассматривается
в этой книге. Об использовании аналоговых машин для расчета реакто-
ров и реакторных систем см. [229, 473, 579].

§ 4.6. Метод Адлера и Коэна

В методе Коэна [105], являющемся основой программ АШЕК и
АШО8, разработанных в Международном атомном центре [61], перемен-
ная часть дифференциального оператора, действующего на п(/), пере-
мещается к неоднородному члену. Это приводит к квазилинейному
дифференциальному уравнению, интегрирующий множитель которого не
содержит интеграла, и, таким образом, двойное интегрирование, имею-
щееся в уравнении (4.3), исчезает. После формального интегрирования
медленно меняющийся фактор в подынтегральной функции выражается
в виде ряда по мощности и проводится почленное интегрирование. Ряд
ограничивается тремя членами и коэффициенты его определяются с по-
мощью итераций на каждом временном шаге. Первоначально идея
о таком способе приближения появилась благодаря Судеку [595].

Конкретно уравнение (3.1) может быть переписано в виде:

где а — параметр. Вместо ехр/(/), где /(/,)—интеграл, определяемый
уравнением (4.2), имеем простой интегрирующий множитель ехр
Из уравнения (4.38):

«(0 = п (/,) е “ + у [ Гр(Г) / + а? п (?) + 2 Л2Сг- (Г) +

+ (4.39'

□

При численном расчете уравнение (4.39) решается совместнс
с уравнением для предшественников, записанным в виде уравнения
(4.25), и совместно со вспомогательными стандартными вычислениями
обратной связи по реактивности.

Подлежащие оценке интегралы имеют формы

й Л

У / Л + т) и С
о о

+ а*.

где И — шаг по времени /—/о. Ограничение на величину шага по вре-
мени снимается разложением медленно меняющейся части в каждом
интеграле, например

-2

+т)=/ ^0)++л. г +....

и почленным интегрированием. Это порождает элементарные функции
1

типа у ипехис!и, которые легко оцениваются (см. задачи в конце главы),
о

В методе Коэна

г _Р-р(6>)

(4.40)

где р(/о)—реактивность в начале временного шага. Подробно оценка
коэффициентов разложения в ряд обсуждается в работе [105].

Другая процедура, по-видимому, имеющая некоторые преимущества,
предложена в работе Адлера [4]. Подставим СД/) из уравнения (4.25)
в уравнение (4.39) и освободимся от двойных интегралов путем инте-
грирования по частям. В результате получим

Адлер берет Кроме того, вместо разложения мощности в ряд он
использует средние величины р и п в интегралах; экспоненциальные
зависимости интегрирует аналитически и усредненные величины уточня-
ет на каждом шаге по времени до тех пор, пока не достигает некоторой
заранее заданной степени сходимости. Сущность обоих методов одна и
та же, но для демонстрации практической полезности и для анализа
104
параметра а мы используем уравнение (4.39). Положим Н — 1—и

<7=0 в уравнении (4.39). Пусть р, п и Сг— соответствующие средние
величины в рассматриваемом интервале. Тогда уравнение (4.39) примет
вид:

_ {г

п(() = п (/0)е-“Л + ( « + 2 ЛА) У е““сГ«. (4.42)

I О

Рассмотрим сначала случай малых значений /г (т. е. а/К1). Тогда
Л и

о
и

п (0=п (/0) (1 - ай) + (_Р-? + аг п + ) й. (4.43)

Допустим, что реактивность изменилась от 0 до р, п(/о)=Но — равновес-
ная мощность и что п и Сг мало отклонились от их равновесных зна-
чений.

Тогда а члены, содержащие а, приближенно взаимо-

уничтожаются. Уравнение (4.43) примет вид

п(0 = /го(1+ГЛ/0- (4-44)

Это выражение не зависит от а и дает приближенно ожидаемое значе-
ние мощности при шаге по реактивности через очень малое время А.
н

С другой стороны, если Н велико (аЛ> 1), е(~ай)—>0 и е(—аи}с1и-+
-►1/а, так что уравнение (4.42) принимает вид

л (/)а ( Р-? + “? „ _|_) А-. (4.45)

Рассмотрим опять шаг по реактивности от 0 до р с п и близкими
к их равновесным значениям. Уравнение (4.45) принимает вид
ч

л(О^^±^Ло. (4.46)

Отсюда можно заключить, что правильный порядок величины сохраня-
ется, если а/^>р. Очевидно, что выбранным Адлером значением а=1//
это условие удовлетворяется. Подстановка величины а, выбранной Коэ-
ном [уравнение (4.40)], в уравнение (4.46) дает:

п а\ р р (^о) и ------------------— и

Л(0— р —р(?0) р — р (/0) Ло,

(4.47)

что близко к величине скачка в модели скачка на мгновенных нейтро-
нах [уравнение (3.10)]. Другой подходящий выбор: а=р//. Итак, мы
приходим к заключению, что уравнение (4.39) или (4.41) дает числен-
ный метод, свободный от ограничения по величине шага по времени,
т. е. быстрые переходные процессы правильно описываются с помощью
очень малых шагов, а медленные переходные процессы могут быть опи-
саны с помощью относительно больших шагов при условии а^>р// (при-
меры даны в § 4.8). Уравнение (4.41) с а='Р// можно использовать для
вывода модели скачка на мгновенных нейтронах непосредственно из
интегрального уравнения, основываясь на свойствах ядра при /—>0.

§ 4.7. Метод весовых остатков

Метод весовых остатков [120] успешно применяется для рассмотрен-
ных интегральных форм и не зависит от величины а. В частном случае,
широко изученном в реакторной динамике, используются линейные,
квадратичные или экспоненциальные пробные функции с «подобластью
взвешивания» (термин Крэнделла). Простейший пример — программа
КЕ-29 и другие подобные программы, разработанные в Аргоннской на-
циональной лаборатории [72] и являющиеся первыми программами для
решения задач динамики реакторов, которые были с успехом применены
для расчета как медленных, так и быстрых переходных процессов в лю-
бой области значений величины /. Этот метод с квадратичными пробны-
ми функциями рассмотрен в работе [271] и описан в [168, 169] под на-
званием «метод коллокации». Мы не будем пользоваться этой термино-
логией, так как она была введена ранее Крэнделлом [120] для другого
типа взвешивания.

В уравнении (4.39) или (4.41) с произвольным ю, п(1') иСг(1г) выра-
жаются через пробные функции (т. е. линейные, квадратичные или экс-
поненциальные функции г), и производится аналитическое интегрирова-
ние. Затем на каждом временном шаге оцениваются неопределенные
коэффициенты, исходя из требования удовлетворения интегральным
уравнениям (с нулевой ошибкой) в определенном числе точек в каждом
интервале. Подробно процедура с квадратичными пробными функциями
для уравнения (4.39) с а = 0 изложена в [271]. В этой работе даются
формулировки в терминах времени жизни мгновенных нейтронов, но
результаты легко приспособить к формулировке в терминах времени
генерации.

Проиллюстрируем метод на примере простой интегральной формы
с помощью линейной пробной функции. Уравнение (4.41) при #=0 и
а=0 есть

п(1) = п + -г р (О« (О -

----г5 & У п 2 I1 - ] (4-48)
I *

Уравнение (4.48) по существу было использовано Бриттеном в качестве
основы программы КЕ-29. Для демонстрации силы и многосторонности
метода рассмотрим первый шаг (одна группа запаздывающих нейтро-

о о

(4.49)
Положим

п(/') =п0+Л//, р(/7) =ро + В/'.

Оценим правую часть уравнения (4.49) и приравняем результат к вели-
чине По+ЛЛ. Полагая, что начальное состояние равновесное: Со=
= ^11^1^1 и что шаг по времени К таков, что Х&С1, находим:

л__„ Ро^ + (1/2) В/г2 Ч-О (/г3) /4

Л —/Л+(1/2) (Р — р0) 4-О (Л3) ’

Для очень малых 1г уравнение (4.50) принимает вид

^вРо«о//

(что является точным значением начальной производной при скачкооб-
разном возмущении), а при ро = О и р=В/

А^ВпМ21

(что, как можно показать, соответствует точному значению производ-
ной, отвечающему скачкообразному изменению ^р/б//| от 0 до В).

С другой стороны, если шаг по времени таков, что //Р<^Л<С 1/%, то
выражение (4.50) принимает вид:

. (4.51)

который не зависит от величины I. Для малого шага по реактивности ро

« (Л) = + АП а «0 ,

что дает правильный порядок величины скачка на мгновенных нейтро-
нах. При р=|р/ равенство (4.51) принимает вид

Д-^Впо/Р,
т. е. верное значение начальной производной в модели скачка на мгно-
венных нейтронах. Мы видим, что этот метод свободен от ограничения
по временному шагу.

Заметим, что при линейном представлении пробных функций опре-
деляется единственный коэффициент Л на каждом шаге по времени
путем удовлетворения уравнения (4.49) в одной (концевой) точке каж-
дого шага. При квадратических или экспоненциальных пробных функ-
циях требуются точное совпадение в средней и концевой точках каж-
дого интервала и определение двух коэффициентов. В этом методе пред-
полагается, что р — известная функция или же получена с помощью
вспомогательных расчетов и представлена в подходящем линейном или
квадратичном виде. Успешное применение метода для медленных пере-
ходных процессов в реакторе на быстрых нейтронах иллюстрируется
в § 4.8.

§ 4.8. Метод Хансена

Другой изящный численный метод был разработан в Массачусет-
ском технологическом институте Хансеном и др. [227]. Он известен как
метод наибольшего собственного значения по Хансену, или метод Хан-
сена. Мощность реактора и концентрации предшественников в интегра-
лах предполагаются экспоненциальными функциями времени с постоян-
ными времени, полученными из наибольших собственных значений
(алгебраически наибольший корень уравнения обратных часов, соот-
ветствующего некоторому среднему значению реактивности на каждом
временном шаге). Этот метод можно рассматривать как вариацию двух
предыдущих методов, в которой медленно меняющаяся часть является
экспоненциальной и выбирается из оценки «текущего значения» наи-
большего собственного значения (ср. с методом ЧРКВ Гурвитца, опи-
санным в § 3.6).

Рассмотрим для иллюстрации простой пример. Уравнения динами-
ки при постоянной реактивности (без источника, с одной группой за-
паздывающих нейтронов) могут быть представлены в следующем виде:

п + К) = п (1а) е(г,-?,м 4- Л у С (/. + т) (4.52)

с + К) = С &) е-хл + 4 С п + т) е-Х(А-')^>
*> 1

где Н есть интервал /—/о. Предположим, что п(Л) + т) =п(/о)ехр (сот) и
С(^о+т) = С (/о) ехр (сот), где со — алгебраически наибольший корень (со1)
уравнения обратных часов.

Подстановка и интегрирование дает:

«& + Н) = п (I.) 1е"Й - е<₽-?)'’"].

С (/„ 4- Н) = С (!„) 4- — е~ХЛ1-

(4.53)

Если р = р(/), уравнение (4.53) используется с со, определенным из урав-
нения «обратных часов» для среднего значения реактивности на каждом
шаге, найденной с помощью вспомогательных уравнений. Общая форму-
лировка и доказательство устойчивости приведены в [227]. Обобщение
на т групп запаздывающих нейтронов дает:

1Р(/о+А)=6^(М,

(4.54)

где Т есть вектор-столбец с компонентами п, С2, ... и

е(Р-?)Л//

е“й-е

/ со —{—

__е(р—

Х1 «о — (р — ₽)//

е—

(4.55)

е®л__е(р-Э)Л//
1 ®-(р-Р)//

Успех этого метода легко понять из нашего простого примера, замечая,
что для малого К и равновесных начальных условий уравнение (4.53)
выражается следующим образом:

+ +рЛ/О.

(4.56)
которое соответствует ожидаемой начальной производной. Для р<Р
и относительно большого к (шЛ порядка единицы) имеем

(4.57)
что предсказывает правильный порядок величины скачка на мгновенных
нейтронах.

В § 4.10 приводятся примеры расчетов и сравнение с другими мето-
дами.

§ 4.9. Численный эксперимент

Описанные в этом параграфе численные методы были сравнены
друг с другом на примере расчетов медленных переходных процессов
на цифровой машине Аризонского университета [534]. В тестовом при-
мере в течение одного периода по синусоидальному закону вводится
реактивность (р<(Р) с амплитудой и частотой произвольно связанными
уравнением обратных часов, с целью приближенного воспроизведения
характерных черт нелинейной автономной системы с отрицательной
обратной связью (не проводя вспомогательных расчетов для определе-
ния обратной связи по реактивности): реальной области изменения мощ-
ности, пика мощности, имеющего место при реактивности, стремящейся
к нулю, и в области отрицательной реактивности (см. гл. 5). Для воз-
можности сравнения с полностью аналитическим решением по модели
скачка на мгновенных нейтронах используется одна группа запаздываю-
щих нейтронов. Время жизни поколения нейтронов при численных рас-
четах изменялось от 10-3 до 10-8 сек. О точности можно судить, сравни-
вая рассчитанное значение пика мощности со значением, полученным
для модели скачка на мгновенных нейтронах в случае малого I. Для
синусоидального изменения реактивности

р = р08ш(л//Т) (4.58)

аналитическое решение для модели скачка на мгновенных нейтронах
дается уравнением (3.66) или (3.70) при А=0, В = ро/(3 и (& = л/Т. Близ-
кое к реальному временное изменение достигается произвольным при-
равниванием четверти периода синусоидальной функции грубой оценке
ширины пика мощности, имеющего место в самоограничивающемся про-
цессе с максимальной реактивностью ро.

Модель Нордгейма — Фукса (см. гл. 5) предсказывает приближен-
ную ширину пика 4/®1 (со1 — обратный период, соответствующий мак-
симальной реактивности). Для медленных переходных процессов такое
значение является нижней оценкой, но мы получаем правильный поря-
док величины в этих простых расчетах, полагая величину четверти
периода синусоиды Т/2 равной 4/аи. Используя уравнение «обратных
часов» для медленных переходных процессов

ро = 1/ (<01+X),

находим связь амплитуды и полупериода синусоиды:

ро = 8₽/(8+ХТ). (4.59)

В табл. 4.1 приведены параметры для четырех исследованных случаев.
Типичное решение для модели скачка на мгновенных нейтронах (случай
4 в табл. 4.1) показано на рис. 4.3.
Таблица 4.1 Значения пиков мощности для

Параметры для численных

различных численных расчетов с раз-

примеров ными шагами по времени показаны на рис. 4.4—4.7. Во всех случаях ло=и(0) = 1, Х=0,077 секг^ и р= =0,0079. Широко исследованы три
Слу- чай Амплитуда реактивности р0 Пол у период ^Т,^сек
0,001808 (23 цент) 0,002319 (29 цент) 0,003233 (41 цент) метода: 1) итерационный метод Ад-
1 2 3 350 250 150 лера, использующий уравнение (4.41) с а, определяемой равенством (4.40);
4 0,005333 (68 цент) 50 2) метод (весовых остатков, исполь- зующий уравнения (4.40) и (4.41)
с квадратичной пробной функцией, и

3) метод наибольшего собственного значения Хансена, использующий
уравнение (4.53). Расчеты для двух экстремальных значений I иллю-
стрируются на каждом из рисунков 4.4—4.7. Как ожидалось, в случае
малого I при уменьшении А/ пики мощности приближаются к значению,
даваемому моделью скачка на мгновенных нейтронах. Отметим, что все

три метода, даже для примеров с реактором на быстрых нейтронах
с /—Ю-8 сек, хороши при интервалах А/, приемлемых для типичных
масштабов времени всего динамического процесса. Наоборот, по расче-
там с /=10“3 сек для получения сравнимой точности для примера на
рис. 4.4 с /=10_8 сек потребовалось бы 2Х108 временных шагов при
использовании простого метода разностей вперед и 5Х107 временных
шагов при использовании метода Рунге — Кутта четвертого порядка
[534]. Рис. 4.7 (включает несколько точек, относящихся к методу Коэна.
Они были получены с использованием уравнений (4.39) и (4.40) с плот-
ностью предшественников, определяемой уравнением (4.25). Как и в ме-
тоде Адлера, интегралы были вычислены путем введения средних вели-
чин и итераций вместо применения подлинного алгоритма Коэна [105].

Из сравнения двух формулировок и ряда тестовых расчетов следует,
что уравнение (4.41) может дать более эффективный численный метод,
чем уравнение (4.39). Рис. 4.7 включает также несколько точек, поме-
ченных как метод преобразования Лапласа. Эти точки относятся к урав-
нению (4.16)—основе программы Кипина КТ8 [290]. Применительно
к реактору на быстрых нейтронах (/=10-8 сек) непосредственное чис-
ленное интегрирование интеграла свертки в уравнении (4.16) невыпол-
нимо. Возможная модификация может быть проведена для малого I
путем аналитического интегрирования с последующим пренебрежением
быстро спадающими членами; это дает точки, полученные методом пре-
образования Лапласа на рис. 4.7. Результат сравнения с тремя основны-
ми иллюстрируемыми методами неблагоприятен. Для /=10-3 сек ис-
пользование метода свертки возможно только при А/<10-2 сек; точки,
полученные для больших А/, ложатся ниже значений по оси ординат
на рис. 4.7.

Время счета для трех основных методов оказывается сравнимым.
Метод весовых остатков с квадратическими пробными функциями тре-
бует несколько больше машинного времени при тех А/, которые приведе-
ны в примерах на рис. 4.4—4.7, но дает обычно наивысшую точность
для больших А/. На рис. 4.7 имеется несколько выборочных точек, по-
лученных с помощью линейных пробных функций. Расчеты по этому

методу дают некоторое уменьшение времени счета без значительной
потери точности при А/= 0,1 сек, тем не менее необходимо провести
сравнение для больших А/. Такие сравнения основаны на относительно

ПО
простых численных методах. Основная цель
их — показать, что возникающее при малом
//р ограничение по величине временного
шага легко преодолимо. Более сложные
численные методы могут, вероятно, дать
еще больший выигрыш в эффективности
счета по сравнению с рассмотренными,
однако подобное исследование не входит
в нашу задачу.

Другие численные методы, недавно по-
явившиеся в печати, кажутся особенно мно-
гообещающими. Поршинг [429] обобщил
метод Хансена, проведя приближенное ин-
тегрирование путем представления экспо-
ненциальных функций матриц рациональ-
ными матричными функциями. Биркхофф
[59] предложил новый метод, основанный на
представлении задачи точечной* динамики
реактора в форме дифференциальных урав-
нений с запаздыванием. Новое матричное
приближение было опубликовано Хансе-
ном, Клебаном и Чангом [226]. Метод Ад-

Рис. 4.3. Зависимости реактив-
ности и плотности нейтронов
от времени для типичного те-
стового примера (модель скач-
ка на мгновенных нейтронах):
По~1; Х=0,077 сек-1; 3=0,0079;
амплитуда ро=О,00533 (68 цент) и
полупериод Г=50 сек.

лера и Коэна был обобщен Секером

[474, 475], предложившим способ для непрерывного пересчета а
в уравнении (4.39), при котором оцененная ошибка на каждом шаге

А
п

Рис. 4.4. Зависимость максимума
плотности нейтронов от шага по вре-
мени для различных численных мето-
дов; ро=О,001808 (23 цент) и Т=
=350 сек [534]:

-------модель скачка на мгновенных
нейтронах; X — метод весовых остатков;
О — метод Хансена; △ — метод Адлера.

113 ~ 1= Ю'8еек

ЛI, сек

I =10'3сек

Рис. 4.5. Зависимость максимума
плотности нейтронов от шага по вре-
мени для различных численных мето-
дов; р0=0,002319 (29 цент) и Т=
= 250 сек [534]:

-------модель скачка на мгновенных
нейтронах; X — метод весовых остатков;
О — метод Хансена; △ — метод Адлера.
минимизируется. Этот метод «оптимального интегрирующего мно-
жителя» включает возможность использования комплексных величин
для а, которые могут быть автоматически введены в осциллирующие
решения. Разнообразие методов велико, и выбор подходящего метода
для частного класса задач во многом зависит как от личного вкуса, так
и от природы проблемы. Наконец, повторим вывод, сделанный в § 4.4,
о том, что типы задач, требующие специального подхода, — это, вообще

= 10

87 -

-8
сек

= 10 сек

I = 10'8 сек

а/

48 —
0,01

Тлё.сек

__1_ —______.__

0.1 '

Лё, сек

Рис. 4.6. Зависимость максимума
плотности нейтронов от шага по вре-
мени для различных численных мето-
дов; ро=О,003233 (41 цент) и Т=
==150 сек [534]:

— ------модель скачка на мгновенных

нейтронах; X — метод весовых остатков;

О —> метод Хансена; △ — метод Адлера.

Рис. 4.7. Зависимость максимума
плотности нейтронов от шага по вре-
мени для различных численных мето-
дов; р0=0,005333 (68 цент) и Т=
=50 сек [534]:

--------модель скачка на мгновенных
нейтронах; X — метод весовых остатков;
О — метод Хансена; △ — метод Адлера;

V — метод Коэна; □ — метод обратного
преобразования Лапласа.

говоря, задачи с малым I и малым р, для которых применима модель
скачка на мгновенных нейтронах. Так, для проверки примеров, приве-
денных на рис. 4.4—4.7, была использована программа АЫСОЫ [563]г
в которой было предусмотрено применение модели скачка на мгновен-
ных нейтронах, когда /=10~8 сек. Другие примеры использования про-
граммы АЫСОЫ1 (основанные на методе непрерывного аналитического
продолжения) описаны в [564].

Анализ возможности перехода от действительного переходного про-
цесса на мгновенных нейтронах к асимптотическому (к модели скачка
на мгновенных нейтронах) проведен в работе [351]. Новый вывод кор-
реляции первого порядка к модели скачка на мгновенных нейтронах
1 12
дан в [204]. Методы, развитые для реакторной динамики, могут быть,
конечно, применимы в других областях всякий раз, когда в динамиче-
ской системе имеется очень широкий спектр постоянных времени. При-
мерами таких областей науки и техники являются кинетика химических
реакций, системы управления ракет и некоторые задачи аэродинамики.

§ 4.10. Обратная задача

Многие авторы выводили формулы для расчета реактивности р(0
в зависимости от изменения мощности п(1). Некоторые из этих формул
и их приложений имеются в [388, 304]. Одно из применений — создание
прибора, непрерывно измеряющего реактивность, если на вход его пода-
ется непрерывный сигнал от нужным образом расположенного измери-
теля потока нейтронов. Другое — расчет мгновенной реактивности при
изменении мощности в импульсном реакторе; третье — программирова-
ние такого изменения реактивности р(0, которое будет обеспечивать
желаемый динамический процесс по мощности. В этом параграфе мы
приведем интегральные формулы для расчета р(/) по заданному изме-
нению мощности и отметим модификации для медленных переходных
процессов.

Из уравнения (3.1) имеем

с1п

(4.60)

Подставив в (4.60) уравнение (4.25) для концентраций предшественни-
ков, получим

---И"(Г) Е ) ---------------------тг • (4.61)

К *

Это выражение является уравнением (4.26), разрешенным относи-
тельно р. Интеграл может быть представлен в терминах плотности ве-
роятности /)(/) согласно уравнению (4.27) и рис. 4.2. Уравнение (4.61)
использовано для расчета реактивности в программах 8РЕКТ-1 для опи-
сания экспериментов по динамике реактора [370, 112] и КЕ\УВ (КшеНс
Ехрептеп! ДУа1ег ВоПег — кипящий реактор для исследований кине-
тики) .

Используя тождество

можно записать уравнение (4.61) в виде

р=₽+4- 4г - 4- 2- 4-12(П _ 1^Сг (г°п х

(462)

8—83 7
В отсутствие источника и равновесии при / =

Р = ₽ + 4" 4г - ₽ ^гг1 -4(1" - п О У Л'.

10 I

(4.63)

Другая форма получается при интегрировании по частям в уравнении
(4.61):

р=4- 4г +4- 2-1^с< е м /о) +

(4.64)

Интеграл в уравнении (4.64) может, конечно, быть выражен в терминах
функции распада запаздывающих нейтронов /(/), определяемой уравне-
нием (4.10) и изображенной на рис. 4.1. При /о=0 уравнение (4.64) пе-
реходит в уравнение (4.9). В отсутствие источника и равновесии при
I—/о уравнение (4.64) упрощается:

^0 *

Если в течение достаточно большого времени до реактивность была
постоянной, равной ро, то, используя асимптотическое соотношение

\ _ Рг77 (/о)

/(сох+М ’
можно найти

р=2.+ (Ро _ /а>1) V +

г п сП 1 п уг° 17 1

+ (4.66)

^0 *

Это удобная форма для анализа процессов в импульсном реакторе при
скачкообразных возмущениях, начиная с низкого уровня мощности.

При очень быстрых переходных процессах, начинающихся с низкого
уровня мощности, начальные условия не существенны. Кроме того, вре-
мя нейтронной вспышки достаточно мало и предшественники не распа-
даются заметно до тех пор, пока всплеск мощности не окончится. Урав-
нение (4.63) тогда переходит в

р=₽+4-4г-2₽л^’ <4-67)

где Е— энергия и

I I

[п (Г) — п (г0)] бй' у п (Г) М. (4.68)

Уравнение (4.67) является отличной аппроксимацией в течение быстрой
нейтронной вспышки и удобно для проверки численных расчетов. При
114
очень медленных переходных процессах особое внимание, как и в § 4.5,
следует уделить интегралам, имеющим вид

У А'^о + ^е г Л.
О

Чтобы избежать чрезмерного числа шагов по времени, когда п(1) изме-
няется медленно на интервалах, которые велики по сравнению с 1/М,
можно использовать такую же схему, как в § 4.5: разложить только
медленно меняющиеся зависимости в ряды по мощности и проинтегри-
ровать почленно для получения простых функций:

Г ипехи(1и.

Часто это соответствует использованию просто средних величин на каж-
дом временном шаге, что дает только интегралы с п = 0 (просто экспо-
ненты).

Упомянем кратко о нескольких других схемах для вычисления р(0
по и(/). Как указывалось в [72], Гринспен предложил метод, удобный,
когда п(0 может быть представлена в виде преобразованной по Лапла-
су функции. Разрешим уравнение (4.15) относительно 1,(рп):

ь (Ря) = — V • (4.69)

Мы знаем, что /С(5), определяемая уравнением (4.14), является
передаточной функцией реактора нулевой мощности и может быть вы-
ражена через отношение полиномов. Затем может быть проведено об-
ратное преобразование и результирующее равенство разрешено относи-
тельно р. Программа КТ8 [290] включает возможность проводить обрат-
ное преобразование. Уравнение (4.16) для численной оценки интеграла
свертки может быть разрешено относительно реактивности на каждом
шаге по времени.

Другой метод, основанный на уравнении (4.16), был развит Эван-
сом [163]. Привлекательной чертой обратной задачи является возмож-
ность изучения некоторых аспектов реакторной динамики, не решая
нелинейных дифференциальных уравнений.

Задачи

4.1. Проделайте промежуточные выкладки при выводе интегрального уравнения
Кипина (4.16).

4.2. Используя интегро-дифференциальное уравнение (4.9), получите модель с эф-
фективным временем жизни (пренебречь источником и членами с начальными усло-
виями). Указание: считайте производную под интегралом медленно меняющейся.

4.3. Получите модель скачка на мгновенных нейтронах из уравнения (4.16) (пре-
небречь источником и членами с начальными условиями). Указание: используйте реак-
цию на импульсное возмущение, рассмотренную в § 2.18.

4.4. Проверьте, что уравнения (4.22) и (4.23) дают передаточные функции для
подкритического реактора.

4.5. Выведите другую форму уравнения Кипина — уравнение (4.24).
4.6. Выведите матричное уравнение, соответствующее уравнению (4.35), исполь-
зуя разности назад. Сравните результат с уравнением '(4.37).

4.7. Определите функции Нп'(х) в виде

Нп (х) = у цпежМа.

Покажите, что

#о!(х) =-^-(е* — 1),

=^“[еЖ —(*)]»
«А/

ОО

= 71 т!(тЧ-п4-1) ‘

л=0

4.8. Выведите интегральное уравнение Адлера (4.41).

4.9. Получите модель скачка на мгновенных нейтронах из специального вида
уравнения (4.41). Используйте одну группу запаздывающих нейтронов, а=р// и /о=О.
Проведите предельный переход при I—>-0 и учтите то обстоятельство, что
(Р//)ехр1—'($/1)1] подобна дельта-функции 6(0 при очень малом I.

4.10. Выведите уравнение для неопределенного параметра А в линейной пробной
функции.

4.11. Выведите уравнения (4.52) и (4.53) для метода Хансена.

4.12. Вычислите изменение реактивности, -приводящее к линейному изменению
мощности с одного стационарного уровня на другой [388].
ГЛАВА 5

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ПО РЕАКТИВНОСТИ
И ИЗМЕНЕНИЯ МОЩНОСТИ
РЕАКТОРА

§5.1 . Введение

В следующих главах мы продолжим рассмотрение точечной модели
реактора с учетом влияния на реактивность энергии, освобождающейся
при делении ядер. Те изменения реактивности, которые обязаны своим
происхождением энергии, освобождающейся при делении ядер, называ-
ются обратной связью по реактивности. Мы главным образом займемся
рассмотрением внутренней обратной связи, т. е. влиянием температур-
ных и плотностных изменений в реакторе на эффективный коэффициент
размножения нейтронов /г, в которую не входят изменения реактивности,
вызываемые сигналами обратной связи в системах автоматического ре-
гулирования реактора, с

Сначала рассмотрим некоторые примеры вычисления температурно-
го коэффициента реактивности для простых моделей тепловых реакторов
и отметим различие между мгновенными и запаздывающими эффектами.
Уже указывалось, что рост температуры может сопровождаться другими
физическими и химическими эффектами, также обязанными своим про-
исхождением высвобождающейся энергии деления (например, изменение
агрегатного состояния, газовыделение), и что иногда полезно говорить
о мощностном коэффициенте реактивности. Некоторые специальные
проблемы быстрых реакторов рассматриваются в отдельном параграфе.

Затем мы обратимся к классическим расчетам изменений мощности
реактора, вызванных ступенчатыми изменениями реактивности в систе-
мах с мгновенной линейной обратной связью: модель Нордгейма — Фук-
са для быстрых изменений мощности и модель мгновенного скачка для
медленных изменений. Эти модели объединяются в единую модель, по-
зволяющую получить новые результаты для промежуточных скоростей
изменения мощности вблизи точки мгновенной критичности. Далее рас-
сматривается случай заданного извне линейного изменения реактивности
во времени (модель Фукса для линейного закона изменения реактив-
ности), и в заключительных параграфах обсуждаются переходные про-
цессы в системах, имеющих сложные механизмы обратной связи по
мощности.

§ 5.2. Гомогенные тепловые реакторы

В этом параграфе мы получим температурный коэффициент реак-
тивности для простой модели гомогенного теплового реактора. Именно
эта модель была использована Ламаршем [312]. Она имеет несколько
особенностей, не учитывавшихся в модели, которая была описана в гл. 1.
Во-первых, отметим, что для обозначения температурного коэффи-
циента реактивности обычно применяется символ а. Ламарш пользуется
символом аг, что более точно. По определению

аг=^р/^Л

(5.1)

где р — реактивность системы, а Т — температура какого-нибудь ком-
понента активной зоны. Обращаясь к формуле (1.12), которая может
быть записана как р=1—&-1, находим, что

ат ~ '~ат *

Для всех случаев, представляющих интерес, к близок к единице, и фор-
мула (5.2) может быть приближенно записана как

(5.3)

Ради удобства именно формулу (5.3) часто рассматривают как опреде-
ление температурного коэффициента реактивности.

Мы будем пользоваться таким определением аг только в первых
параграфах этой главы. Далее, при обсуждении процессов саморегули-
рования мощности более удобно пользоваться другим определением:

1 /Г Л\

а = ат = . (5.4)

Это действительно более удобно, поскольку устойчивые системы обычно
ассоциируются с отрицательной величиной аг (мощность увеличивается,
температура растет, к уменьшается). Формула для пиковых значений
мощности или температуры в системах с саморегулированием, если
пользоваться при ее записи символом аг, содержит неудобный знак
минуса. Кроме того, нам хотелось бы придерживаться договоренности
среди инженеров по управлению и защите реакторов, согласно которой
знак сигнала обратной связи изменяется на обратный перед объедине-
нием его с выходным сигналом (см. гл. 6). Таким образом, для обозна-
чения температурных коэффициентов в соответствии с формулой (5.3)
мы будем использовать символ аг, а при обсуждении изменений мощ-
ности и проблем устойчивости — символ а=—а?.

Переходим к выводу формулы для аг, справедливой в случае го-
могенного теплового реактора без отражателя. Сначала рассмотрим
однородное изменение температуры по всему реактору. Полученный для
таких условий частный вид аг назван изотермическим температурным
коэффициентом. Вместо математической модели реактора, использовав-
шейся в гл. 1, рассмотрим формулу [312]

& = &ооЛР/, (5.5)

где коэффициент размножения нейтронов в бесконечной размножающей

среде

коо = ЦЕр},

(5.6)

а Л и Р/ — вероятности избежать утечки для тепловых и быстрых ней-
тронов соответственно.

Согласно диффузионной теории

Л = 1/(1+В2!2),

(5.7)
а согласно теории возраста Ферми

Р^ехр*-^

(5.8)

В формуле (5.6) т] — среднее число нейтронов деления, возникающих
при захвате одного теплового нейтрона в топливе; 8 — отношение коли-
чества быстрых нейтронов, возникающих при делении ядер нейтронами
всех энергий, к количеству быстрых нейтронов, возникающих при де-
лении ядер только тепловыми нейтронами (коэффициент размножения
на быстрых нейтронах); р — вероятность того, что нейтрон спектра деле-
ния не поглотится в процессе замедления (вероятность избежать резо-
нансного поглощения); — отношение количества тепловых нейтронов,
поглощаемых в топливе, к количеству тепловых нейтронов, поглощаемых
в реакторе (коэффициент теплового использования). В формулах (5.7)
и (5.8) В2 — баклинг (см. гл. 1); А2— площадь диффузии для тепловых
нейтронов и т— возраст нейтронов, или эпитепловая площадь миграции.

На основании формул (5.3) и (5.5) находим, что

__ 1 ак 1 ^оо _| 1 *аР± ।_______________1 ар,

& ат ат л лт Р/ ат '
1 б/х

Используя обозначение ат (х) = — мы можем записать выражение
(5.9) так:

ат = ат(&) =ат(^оо) + ат(Р/) + аг(Р/). (5.10)

Подобным же образом на основании формул (5.6) — (5.8) находим, что
ат(^оо) =ат(т]) +аг(е) +ат(р) +аг(/), (5.11)

ат (Р.) = - , [аг (Р) + ат (В2)], (5.12)

аг (Р{) = —ВЧ [ат (т) + аг (В2) ]. (5.13)

Выражения (5.10) — (5.13) позволяют найти температурный коэффи-
циент реактора ат, если известны температурные коэффициенты для
ряда физических параметров этого реактора.

У величины т) температурный коэффициент появляется главным
образом потому, что в области тепловых нейтронов реакций сечения
деления и радиационного захвата для делящегося материала не имеют
одинаковой зависимости от скорости нейтронов. Для отдельного деля-
щегося изотопа

Т]=^О//сГа, (5.14)

где V — среднее число нейтронов, рождающихся в одном акте деления
(см. гл. 1), и где оу и оа — усредненные по спектру тепловых нейтронов
сечения реакций для процессов деления и полного поглощения соот-
ветственно. Температурные коэффициенты ат(т]) при 100°С [312], ха-
рактеризующие зависимость т) от температуры нейтронного газа [588],
таковы: —3-10“5ОС-1 для —5-10~4°С-1 для ^Ри и 4-4-10~5ОС-1 для

Для топлив, состоящих из смеси изотопов, т) вычисляется по сред-
невзвешенным макроскопическим сечениям деления. Для природного
урана при температурах ниже ~300°Сат(т]) практически равен нулю,
а при более высоких температурах он отрицателен и достигает значе-
119
ния —Ю-^С”1 [312]. В гомогенном реакторе коэффициент ат(т]) суще-
ствен только в случае ^Рп.

Проведенное рассмотрение основано на предположении, что спектр
тепловых нейтронов является спектром Максвелла и что весь реактор
нагрет до одной и той же температуры. Ограничения, налагаемые этим
предположением, обсуждаются в следующем параграфе. В гомогенном
тепловом реакторе коэффициент размножения на быстрых нейтронах г
не зависит от температуры. Гетерогенные реакторы рассматриваются
в следующем параграфе, здесь же мы принимаем, что ат(е)=0.

Вероятность избежать резонансного поглощения р зависит от тем-
пературы благодаря эффекту Доплера [312, 583]. Увеличивающееся
с ростом температуры тепловое возбуждение атомов топлива может при-
вести к увеличению поглощения в нем резонансных нейтронов. В гомо-
генном реакторе с характерной для него низкой концентрацией топлива
эффект Доплера обычно пренебрежимо мал и ат(р)~0. (Мы обсудим
эффект Доплера во всех деталях в параграфах, посвященных гетероген-
ным реакторам и быстрым реакторам.)

Коэффициент теплового использования для гомогенного реактора
определяется выражением

/ = 2ор/(2ар + 2ам), (5.15)

гдеЕар и Зам—средние макроскопические сечения поглощения тепло-
вых нейтронов для топлива и замедлителя соответственно. Дифферен-
цируя это выражение, находим, что

ат(П = (1—/) [ат(2ор)—аг(Зам)]. (5.16)

Поскольку 3=Л7о’, где — ядерная плотность, а <т—микроскопическое
сечение, для топлива и для замедлителя справедливо выражение

ат (За) = ат (ЛО +аг(о'а). (5.17)

Ядерная плотность Л/’ пропорциональна удельному весу (обратно про-
порциональна удельному объему), так что

ат(М)=-^, (5.18)

где р — объемный коэффициент теплового расширения. Среднее микро-
скопическое сечение поглощения для тепловых нейтронов может быть
записано [312] в виде

^=ёа(Т)/УТ, (5.19)

где — фактор отклонения от закона 1/у, а Т — температура нейтрон-
ного газа в °К. Если температуру нейтронного газа можно отождест-
вить с температурой реактора,

ат (во) = ат(^х)—1/2Т. (5.20)

В более общем случае должен вводиться поправочный множитель, с по-
мощью которого учитывается отличие температуры нейтронного газа
от температуры смеси замедлитель — топливо. Мы пренебрегли здесь
этим отличием. Однако ясно, что во многих случаях важно различать
эффекты, связанные с изменением температуры среды (например,
эффект изменения У), и эффекты, связанные с изменением температуры
нейтронного газа (например, эффект изменения <га).
Для (Уа замедлителя обычно выполняется закон 1/у, так что
ат (вам) =—1/2Т. Предполагая, что смесь топлива и замедлителя одно-
родна, на основании выражений (5.17) — (5.20) находим, что

<Хт(2ар) =—10 + (Хт (^Гар)—1/27

(5.21)

ат(2ам) =—0—1/2Т.

(5.22)

Теперь, используя выражение (5.16), приходим к окончательному ре-
зультату:

аг(Л = (1-/)«т(^р). (5.23)

Приведем некоторые характерные значения ат(ёаг) при 500 °С [312]:
—З^-Ю-^С-1 для 1,4«10-зоС-1 для 239Ри и ЗД-Ю-^С"1 для 23311.
Отметим, что изменяется не только абсолютное значение, но и знак
коэффициента. Разность (1—/) обычно принимает значения между 0,1 и
0,2, так что для всех видов топлива, кроме ^Ри, коэффициент ат (Г)
в гомогенном реакторе оказывается пренебрежимо малым.

Температурный коэффициент &<*> можно уточнить, если учесть эпи-
тепловые эффекты. В этом случае используется эффективное значение
произведения т)Л являющееся средневзвешенным значением в области
энергий нейтронов ниже порога реакции деления на быстрых нейтронах.
Вклад величины (т]/)эф в температурный коэффициент реактора может
быть вычислен способом, разработанным Весткоттом [23].

Перейдем к обсуждению физических параметров Л2, т и В2, вхо-
дящих в формулы (5.12) и (5.13). Как и в гл. 1,

Л2=Д/2а,
где О — коэффициент диффузии. Следовательно,
ат (Ь2) — ат (О) —ат (2а).

(5.24)

(5.25)

При изменении температуры нейтронного газа коэффициент диффузии
В изменяется пропорционально Ио(Т/То)т, где пг — константа, численное
значение которой меньше или равно ~0,1, а — коэффициент диффу-
зии для моноэнергетических нейтронов с температурой То. Поскольку
коэффициент диффузии 7>0 пропорционален транспортной длине сво-
бодного пробега, он обратно пропорционален ядерной плотности V.
Следовательно,

аг(В)=0 + т/Т, (5.26)

где, как и в формуле (5.18), 0 — объемный коэффициент теплового рас-
ширения.

В гомогенном реакторе

V ___V । у

— а — Л>аЕ~Т~ ^-аМ-

Используя формулы (5.15), (5.21) и (5.22), находим, что

(Еа) — 0 27

и в результате получаем

ат = 2р + - (ат (&аР).

(5.27)

(5.28)

(5.29)

Последнее слагаемое в формуле (5.29) обычно мало.
С увеличением температуры возраст нейтронов т изменяется по
двум причинам: во-первых, уменьшается ядерная плотность среды, во-
вторых, немного сокращается разность между средней энергией нейтро-
нов источника и средней энергией тепловых нейтронов. Плотностной
эффект является обычно преобладающим. В гомогенном реакторе т из-
меняется обратно пропорционально Л^2, так что

аг(т) = 20.

(5.30)

Баклинг В2 обратно пропорционален квадрату некоторого харак-
терного линейного размера реактора. Если размеры реактора строго
заданы и не могут изменяться, то ат (В2) =0. Если же реактор свободно
расширяется при увеличении температуры, то

ат(В2)=—20/3,

(5.31)

где 0 — снова объемный коэффициент теплового расширения. Множи-
тель— 2/3 появляется потому, что В2 изменяется обратно пропорцио-
нально квадрату линейного размера, в то время как объем реактора
изменяется прямо пропорционально кубу линейного размера. Конечно,
такое простое рассмотрение неприменимо к реактору, часть габарит-
ных размеров которого не изменяется при тепловом расширении (напри-
мер, к реактору с жидкостной активной зоной, частично заполняющей
контейнер).

На основании формул (5.12), (5.29), (5.31) и формул (5.13), (5.30),
(5.31) соответственно находим, что

ВЧ2

1 + ВЧ2

1_₽ +21+121 ],

ат (Л) =-4/зВ2тР.

лт —

Если коэффициент ат(ёаг) пренебрежимо мал и если,
В2Л2<С1, мы можем записать, что

ат (Л) + аг (Ру) - В2Г т + 1/2---1- В‘МЪ

(5.32)

(5.33)
кроме того,

(5.34)

где М2—площадь миграции, определяемая формулой

Л12=12+т. (5.35)

Далее, если все слагаемые в выражении (5.11) малы и поэтому
ат(^оо)~0, на основании равенства (5.10) мы можем записать при-
ближенную формулу для температурного коэффициента реактивности:

ат = — 52Л2 -?-±-121 - Д- В2ЛГ8. (5.36)

* 1 о

Отметим, что в случае гомогенного теплового реактора с 23513 в качестве
топлива все основные слагаемые, входящие в состав приближенного
выражения для температурного коэффициента, отрицательны. Кроме
того, присутствие множителя В2 в обоих слагаемых формулы (5.34)
означает, что при прочих равных условиях с уменьшением размеров
гомогенного реактора абсолютная величина температурного коэффици-
ента реактивности увеличивается. Заметим, наконец, что температур-
ная зависимость ат, описываемая формулой (5.36), типична для многих
реакторов, т. е. с увеличением температуры абсолютное значение ат
обычно уменьшается.
Численные значения температурного коэффициента реактивности
ат для гомогенных тепловых реакторов изменяются от —10-5ОС-1 для
больших реакторов с графитовым замедлителем до —З-Ю-4^-1 для
небольших реакторов с водяным замедлителем. Однако даже в гомоген-
ных реакторах ситуация может быть гораздо более сложной, чем рас-
смотренная здесь. Например, в водяном кипящем реакторе (соль урана
высокого обогащения, растворенная в обычной воде) высвобождение
энергии при делении ядер сопровождается образованием радиолитиче-
ского газа. При очень быстром нарастании мощности результирующее
изменение плотности замедлителя может быть более значительным, чем
при обычном тепловом расширении его [29]. В этом и в других случаях
иногда оказывается возможным пользоваться представлением о мощ-
ностном коэффициенте реактивности, с тем чтобы учесть все физические
эффекты, сопровождающие рост температуры в ходе быстрого измене-
ния мощности.

§ 5.3. Гетерогенные тепловые реакторы

Расчет изотермического коэффициента реактивности для гетероген-
ного реактора является задачей значительно более сложной в сравнении
с таким же расчетом для гомогенного реактора. Кроме того, изотерми-
ческий коэффициент может оказаться непригодным для анализа быст-
рых динамических процессов, так как в гетерогенном реакторе увеличе-
ние температуры за счет ядерного нагрева может быть далеко не одно-
родным.

Основная часть тепловой энергии образуется в реакторе из кине-
тической энергии осколков деления при их торможении. Осколки имеют
большую массу и сильно заряжены, в твердых телах и жидкостях их
пробеги малы (миллиметры и доли миллиметра). Поэтому мгновенные
источники тепла, действующие без запаздывания, имеются в основном
только в объеме сердечников стержневых или пластинчатых тепловыде-
ляющих элементов, а эффекты, сзязанные с замедлителем, теплоноси-
телем и конструкционными (материалами, оказываются запаздывающи-
ми. Законы запаздывания очень сложны, так как они определяются
динамическими процессами теплопередачи. Расчет обратной связи по ре-
активности может быть чрезвычайно сложен, поскольку реактивность
зависит от изменяющегося во времени пространственного распределе-
ния температуры. Дополнительные осложнения возникают, когда прихо-
дится рассматривать еще и такие процессы, как плавление, парообразо-
вание или выброс материала из реактора. (Отметим, кроме того, что
мгновенные источники тепла, являющиеся результатом рассеяния энер-
гии нейтронов и у-квантов, имеются и в объемах, где нет топлива, од-
нако их суммарная мощность обычно не превышает 10% мощности ис-
точников тепла в топливе.)

При приближенном анализе быстрых изменений мощности темпе-
ратурный коэффициент гетерогенного реактора удобно рассматривать
состоящим из мгновенной и запаздывающей компонент. Эффекты, кото-
рые зависят от состояния топлива в данный момент времени (например,
температурное искривление тепловыделяющих элементов, эффект Доп-
лера), могут рассматриваться как мгновенные, а эффекты, зависящие
главным образом от состояния замедлителя или теплоносителя (на-
пример, температура нейтронного газа, тепловое расширение материала
замедлителя), являются в значительной степени запаздывающими. При
рассмотрении очень быстрых изменений мощности запаздывающими
эффектами можно пренебречь, в то время как в квазистационарных про-
цессах они могут играть главную роль. Естественно, -что в каждом от-
дельном случае неоднородного изменения температуры реактора необ-
ходимо тщательно находить веса, определяющие вклады различных
эффектов в суммарное изменение реактивности.

Перейдем к обсуждению изотермического температурного коэффици-
ента для простой модели гетерогенного теплового реактора. Рассмотрим
мгновенные и запаздывающие компоненты этого коэффициента. Отме-
тим, что температурный коэффициент т] не является простой величиной.
Входящие в формулу (5.14) микроскопические сечения — это средние
эффективные сечения взаимодействия тепловых нейтронов с ядрами топ-
лива. Спектр тепловых нейтронов в топливе может быть далек от спек-
тра Максвелла и, кроме того, он может меняться от точки к точке.
Отношение микроскопических сечений в формуле для ц зависит глав-
ным образом от спектра нейтронов, который определяется, в свою оче-
редь, состоянием замедлителя. Таким образом, температурный коэффи-
циент т] входит в состав запаздывающей части температурного коэффи-
циента реактора. Как и в случае гомогенных реакторов, для всех видов
топлива, кроме ^Ри, коэффициент ат (л) обычно мал.

Коэффициент размножения быстрых нейтронов е в гетерогенном
оеакторе может изменяться с температурой по двум причинам. Во-пер-
вых, тепловое расширение тепловыделяющих элементов может изменить
вероятность вылета быстрых нейтронов из топлива; этот эффект должен
$ыть мгновенным. Во-вторых, с изменением температуры немного изме-
няется пространственное распределение потока тепловых нейтронов
в элементарной ячейке, а значит, и,пространственное распределение ис-
точников быстрых нейтронов, что снова приводит к изменению вероят-
ности вылета быстрых нейтронов из топлива. Выравнивание потока теп-
ловых нейтронов в объеме элементарной ячейки с ростом температуры
замедлителя происходит в основном в результате увеличения Л2, следо-
вательно, этот эффект изменения г можно считать запаздывающим. Оба
эффекта обычно очень малы, и здесь мы их рассматривать не будем.

В гетерогенном реакторе с топливом низкого обогащения влияние
температуры на вероятность избежать резонансного поглощения р бы-
вает очень существенным. Приведем краткое описание эффекта Доплера
и температурной зависимости вероятности избежать резонансного по-
глощения.

Поглощение нейтронов ядрами тяжелых элементов в эпитепловой
области энергий является по своей природе резонансным. Для кривой,
представляющей зависимость поперечного сечения от энергии нейтронов,
характерно наличие многих резонансных пиков. Изолированный резо-
нанс может быть описан аналитически формулой Брейта — Вигнера.
Если эту формулу применить к ансамблю атомов поглотителя, находя-
щихся в состоянии теплового возбуждения, и соответствующим обра-
зом усреднить сечение взаимодействия по всей области относительных
скоростей нейтронов и колеблющихся ядер поглотителя, то окажется,
что по мере повышения температуры топлива кривая усредненного се-
чения по сравнению с кривой Брейта — Вигнера все более расширяется
и уплощается. Поскольку площадь под резонансной кривой при этом
остается неизменной, полное число актов поглощения нейтронов также
не меняется (если, конечно, поток нейтронов не зависит от их энергии).
На самом деле поглощение нейтронов приводит к депрессии потока
124
нейтронов в окрестности резонанса. Расширение и уплощение резонанс-
ной кривой с увеличением температуры приводят к уменьшению депрес-
сии нейтронного потока. Если скорость поглощения п(Е)&2а проинтег-
рировать по энергии, то окажется, что с увеличением температуры топ-
лива резонансное поглощение нейтронов увеличивается. В тепловых
реакторах этот эффект наиболее существен в гетерогенных системах,
где топливо сконцентрировано в объеме стержневых или пластинчатых
тепловыделяющих элементов. Резкое снижение потока резонансных ней-
тронов у поверхности блока с топливом приводит к уменьшению резо-
нансного поглощения нейтронов ядрами внутри блока, и вероятность
избежать резонансного поглощения увеличивается. В этих условиях эф-
фект Доплера усиливается. Вклад эффекта Доплера в температурный
коэффициент величины р относится к категории мгновенных эффектов,
так как причина его—тепловые колебания атомов топлива.

Приближенная формула для вероятности избежать резонансного
поглощения в гетерогенном реакторе имеет вид [312]

р = ехр (- ^РУр1/^мУм), (5.37)

где — плотность ядер резонансного поглотителя в объеме топлива;
Ур и Ум — объемы топлива и замедлителя соответственно; 28м—
замедляющая способность замедлителя; / — резонансный интеграл.
[Здесь — среднее увеличение летаргии (логарифм отношения энергий
нейтрона) при одном акте рассеяния нейтрона на ядре замедлителя,
а 28м=МмО8м — макроскопическое сечение рассеяния в замедлителе.]
В формуле (5.37) мы пренебрегли рассеянием нейтронов на ядрах топ-
лива.

Известно как теоретически, так и экспериментально [312], что резо-
нансный интеграл для блоков из и 232ТЬ и для блоков из двуокиси
этих металлов можно представить так:

7 (Г) = / (Т,) [ 1 + у (/Т - УТ,)], (5.38)

где Т — температура топлива (область изменений 300—1500 °К); Го=
= 300°К; у — в первом приближении линейная функция от отношения
поверхности топлива к его массе. Типичное значение у для топлива из
двуокиси урана, равное 6-10-3°С1/2, было получено в серии опытов по
быстрому изменению мощности на 8РЕКТ-1 [519].

Получим выражение для мгновенной части температурного коэф-
фициента величины р. При очень быстрых изменениях мощности свой-
ства замедлителя не успевают измениться, а ЫрУр в формуле (5.37) —
это полное количество ядер топлива, т. е. постоянная величина. Следо-
зательно,

ат(р)=— ат(/)1п(1/р). (5.39)

Пренебрегая в выражении (5.38) зависимостью у от отношения поверх-
ности топлива к его массе, т. е. принимая, что у — константа, находим,
что

ат (7) = -4=- ; (5.40)

г 7 7 (Л 2 К?

таким образом,

(р)= — 777717^1п V ~27г 1п7(ЛГ ’ (й'41)
Поскольку р(7о) по определению меньше единицы, мгновенный тем-
пературный коэффициент р отрицателен. Этот коэффициент обратно
пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры, что
типично для тепловых реакторов на низкообогащенном топливе.

Запаздывающие слагаемые температурного коэффициента р обя-
заны изменению с температурой произведения ^8мУм в формуле (5.37).
Это произведение можно записать как Мм&змУм, где МмУм— полное
число атомов замедлителя в ячейке. Уравнение (5.39) теперь заменяет-
ся уравнением

«г (Р) = [- (/) + (’,м) + “г №)1 ОМ)- (5-42)

Поскольку сечение рассеяния очень слабо зависит от энергии нейтрона,
в уравнении (5.42) можно положить, что ат(в8м) ~0. В реакторе с твер-
дым замедлителем полное число атомов замедлителя в ячейке при из-
менении его температуры не меняется, в этом случае уравнение (5.42)
переходит в уравнение (5.39). В случае реактора с жидким замедлите-
лем, располагающегося в полностью заполненном баке заданного объ-
ема, часть замедлителя при нагреве выталкивается из реактора. Если
«т(Ум) =0, то

ат (М мУм) = ест (М м) — —рм, (5.43)

где Рм — объемный коэффициент теплового расширения замедлителя.
В этом случае

аг (р) ~ -Чат (/) + рм]1п (1/р). (5.44)

Как и следовало ожидать, выталкивание замедлителя приводит к росту
абсолютного значения отрицательного температурного коэффициента р,
так как увеличивается отношение количества ядер топлива к количеству
ядер замедлителя.

Для коэффициента теплового использования в гетерогенном реакто-
ре справедлива формула

Г^арУр/^арУр + ЪамУм • ?) , (5.45)

где Ур и Ум — объемы топлива и замедлителя, а — коэффициент про-
игрыша, определяемый выражением

С = Фм/Фр- (5.46)

В выражении (5.46) величины с чертой представляют собой средние по
объему замедлителя и топлива потоки тепловых нейтронов. Из урав-
нения (5.45) следует, что

ат(/) — (1—/)(ат (2орУр)—ат(2алгУм)—ат(^)]. (5.47)

Это выражение можно записать следующим образом:

<хт(/) = (1—/)(ат (№р Ур) + а? ('Пак) —

—ат(МмУм) —ат (вам) —вт (?)]• (5.48)

Коэффициент проигрыша с увеличением температуры уменьшается,
поскольку пространственное распределение потока нейтронов выравни-
вается (об этом уже шла речь выше в связи с обсуждением коэффи-
циента размножения на быстрых нейтронах). Это выравнивание проис-
ходит главным образом из-за увеличения Л2 при нагреве замедлителя и
126
является поэтому запаздывающим эффектом. Обратимся к уравнению
(5.48). Мы снова принимаем, что ат(МрУр) =0. В случае очень быстрых
изменений мощности все другие члены этого уравнения также прене-
брежимо малы, поскольку они определяются изменениями свойств за-
медлителя. Следовательно, в этом случае ат(/) =0.

В конце концов замедлитель нагревается, что приводит к измене-
нию /. В случае твердого замедлителя мы снова принимаем, что
ат(МмУм) =0. Учитывая, что замедлитель является поглотителем типа
1/у, на основании уравнения (5.20) получаем, что

ат (оак) —(Ут ((Уам) = ат (ёар). (5.49)

Уравнение (5.48) теперь можно записать следующим образом:

аг(П = (1-/)[ат(^ар)-ат(0]. (5.50)

Для жидкого замедлителя, когда объем Ум фиксирован, появляется до-
полнительное слагаемое; используя уравнение (5.43), находим

ат (/) = (! —/) [&т (ёар) + Рм—ат (О ]. (5.51)

В случае урана коэффициент ат(ёар), как правило, мал. Расчет числен-
ного значения коэффициента ат (О обычно очень сложен; что касается
знака этого коэффициента, то он всегда отрицателен (увеличение тем-
пературы приводит к выравниванию распределения потока нейтронов
по ячейке, и уменьшается). Таким образом, температурный коэф-
фициент /, относящийся к категории запаздывающих эффектов, являет-
ся величиной положительной. В зависимости от типа реактора этот ко-
эффициент может значительно меняться. В ряде случаев бывают суще-
ственны и те эффекты, которыми мы пренебрегали, т. е. эффекты, свя-
занные с теплоносителем и конструкционными материалами, и эффек-
ты, обусловленные пространственной зависимостью спектра тепловых
нейтронов в элементарной ячейке.

Для величины Г2 мы рассмотрим только простую приближенную
формулу

Г2=(1—/)Ь2м, (5.52)

которая справедлива, если топливо занимает малую долю объема ячей-
ки. Здесь Ь2м — квадрат длины диффузии тепловых нейтронов в мате-
риале замедлителя. Из формулы (5.52) следует, что

аг(Г) = --^аг(/) + аг(^). (5.53)

Используя выражение Ь2м=Ом!^ам и формулы (5.22) и (5.26) при
Р = ₽лг, находим, что

ат ~ ат ат Фам) = 2₽м “I т ’ (5.54)

Следовательно,

ат (Г) = 2рд, + аг (/). (5.55)

Поскольку при очень быстрых изменениях мощности ат(Л=0, мы при-
ходим к выводу, что мгновенная часть коэффициента ат (Л2) равна
нулю.
Для определения запаздывающей части в принципе можно пользо-
ваться формулой (5.55) с коэффициентом аг(/), определяемым по фор-
мулам (5.50) и (5.51). К сожалению, коэффициент аг(Л зависит от из-
менения В2, так что температурные коэффициенты I2 т I оказываются
связанными между собой сложным образом. Можно надеяться, что по
крайней мере одно из слагаемых, обусловливающих эту взаимосвязь,
может оказаться малым, и в самом деле, слагаемое с / в уравнении
(5.55) часто несущественно.

Возраст нейтронов т для гетерогенного реактора рассчитать обычно
очень трудно, и его температурная зависимость весьма сложна. Только
в редких случаях т изменяется пропорционально 1/Л^и. Для определе-
ния температурного коэффициента приходится использовать зависи-
мость т от отношения количества топлива к количеству замедлителя,
полученную в результате сложных расчетов или экспериментально, ко-
торая сопоставляется с происходящими в реакторе температурными
изменениями указанного отношения. Эффект от изменения только тем-
пературы топлива обычно мал, и мгновенной частью коэффициента
аг(т) можно пренебречь. Температурный коэффициент, обусловленный
замедлителем, обычно положителен.

Баклинг В2 зависит от габаритных размеров реактора и не входит
в мгновенную часть коэффициента реактивности для гетерогенного реак-
тора. Можно, конечно, представить себе такие особые ситуации, когда
ядерный нагрев за счет искривления тепловыделяющих элементов при-
водит к мгновенному изменению шага решетки, что вызывает изменения
всех параметров реактора. Однако обычно изменения величины В2
являются запаздывающими эффектами и сложным образом зависят от
деталей устройства реактора. В случае реактора с жидким замедлите-
лем, располагающегося в полностью заполненном сосуде, можно, веро-
ятно, пренебречь влиянием изменения баклинга на температурный коэф-
фициент.

Для вычисления коэффициента аг (В*) воспользуемся формулами
(5.12) и (5.55). При очень быстрых изменениях мощности аг(В<)=0,
поскольку величины Ь2 и В2 не успевают изменяться. Запишем формулу
для запаздывающей части этого коэффициента:

ат = - -_^2[2 [2,ем + т + аг (/)]; (5.56)

она справедлива, если коэффициент ат (В2) пренебрежимо мал. Точно
так же с помощью (5.13) находим, что мгновенная часть коэффициента
ат (В/) раина нулю, так как величины т и В2 не успевают изменяться,
а запаздывающая часть этого коэффициента имеет вид:

аг (В/) = —В^гат (т). (5.57)

Слагаемое с ат(/) положительно, но вклад его мал. Все другие запаз-
дывающие эффекты отрицательны, коэффициенты ат (В/) и ат (В/) дают
обычно большой по абсолютной величине вклад в запаздывающую
часть температурного коэффициента реактивности.

Температурный коэффициент реактивности находится по формулам
(5.Ю) и (5.11). Результаты, полученные для обычного гетерогенного
реактора с жидким замедлителем, в котором в качестве топлива ис-
пользуется уран низкого обогащения, сведены в табл. 5.1. Нули в таб-
лице означают, что вклады соответствующих эффектов пренебрежимо
малы. Из всех коэффициентов, которые не являются пренебрежимо ма-
128
’ыми, положителен только один запаздывающий коэффициент величины
*. но он обычно невелик. Если при нагреве не происходит вытеснение
части материала замедлителя из реактора, то слагаемые с рм в запаз-
дывающих коэффициентах параметров ри/ должны быть опущены.

Нельзя не подчеркнуть, что представленные здесь формулы, полу-
ченные в результате упрощенного подхода, применимы только к не-
скольким идеализированным системам. Даже в отсутствие осложняю-
щих физических явлений результаты, полученные по формулам из
табл. 5.1, могут быть в значительной степени ошибочными. Обсуждение
приближенного решения задачи позволило продемонстрировать ее осо-
бенности и подчеркнуть некоторые ее трудности. На самом деле при

Таблица 5.1

Температурные коэффициенты для обычного, загруженного ураном,
гетерогенного реактора с жидким замедлителем

Параметр

Мгновенный коэффициент

Запаздывающий коэффициент

—аг(/) 1П — “ — 1П

— [аг (/) + Рм11пЧг
г'

(1 — Г) [ат* + Рм ат (^)1

В2Ь2 Г т -|- х/2 /

1 + В2А2 I + т 1_____________I ат и)

— В2™.? (т)

анализе поведения эпитепловых или многозонных реакторов обычно
приходится выполнять серию многогрупповых расчетов, в ходе которых
эффективный коэффициент размножения нейтронов к вычисляется при
различных температурах. Дальнейшие осложнения возникают в тех слу-
чаях, когда изменения температуры носят локальный характер или рас-
пределены по объему реактора асимметрично. В таких случаях иногда
удобно пользоваться реакторной теорией возмущений [312].

Примером реакторов со сложными динамическими эффектами мо-
гут служить реакторы с водяным замедлителем и тепловыделяющими
элементами в виде стержней или пластин. При достаточно быстрых из-
менениях мощности температура топлива может значительно вырасти,
прежде чем существенная часть тепла будет передана воде. Если топ-
ливо высокообогащенное (главным образом ^Ч)), то обратная связь по
реактивности при нагревании только одного топлива будет слабой (по-
скольку резонансный захват нейтронов мал), а все другие эффекты об-
ратной связи обязаны главным образом нагреванию замедлителя. Та-
чая ситуация типична для реактора 8РЕКТ-1 [470], в котором при бы-
стрых изменениях мощности саморегулирование обеспечивается глав-
ным образом за счет образования пара, приводящего к уменьшению
плотности замедлителя, а также (при еще более быстрых процессах)
за счет выталкивания части замедлителя при быстром тепловом расши-
рении топлива.

1—129
С другой стороны, такие же реакторы с топливом низкого обога-
щения могут содержать достаточное количество для саморегули-
рования за счет только одного эффекта Доплера. В этом случае запаз-
дывающие эффекты, связанные с нагревом замедлителя, начинают ска-
зываться уже после того, как всплеск мощности погашен. Примером
может служить более поздний вариант реактора 8РЕКТ-1 [519], стерж-
невые тепловыделяющие элементы которого, имеющие наружный диа-
метр 12,7 мм, содержат йизкообогащенную двуокись урана (4%
Другим примером является пульсирующий реактор с водяным замедли-
телем РГ1Е8ТАК; тепловыделяющие элементы этого реактора представ-
ляют собой шарики из спеченной двуокиси урана с оболочками из цир-
кониевого сплава, обогащение топлива — 6% (355].

Особенно трудно анализировать поведение водяных кипящих реак-
торов, так как объемная доля пара в водяном замедлителе растет по
мере увеличения мощности. При быстром подъеме мощности изменение
объемной доли пара запаздывает по отношению к изменению мощности.
В кипящих реакторах температурный коэффициент также в сильной
степени зависит от типа топлива.

В реакторе ТКЮА [104, 528, 587] применены комбинированные теп-
ловыделяющие элементы, содержащие как топливо, так и замедлитель,
сердечники их изготовлены из однородной смеси урана с обогащением
20%' и гидрида циркония, а оболочки — из алюминия или нержавеющей
стали. Реактор расположен в бассейне с водой; тепловыделяющие эле-
менты образуют правильную решетку, объемная доля воды в активной
зоне равна примерно 1/3. Замедление нейтронов происходит главным
образом на водороде, входящем в состав гидрида циркония и воды. Ха-
рактерной особенностью реактора ТКЮА является большая по абсо-
лютному значению мгновенная отрицательная обратная связь по реак-
тивности, делающая его пригодным в качестве пульсирующего реактора.
Появление мгновенного температурного коэффициента при ядерном на-
греве гидрида циркония объясняется особенностями процесса термали-
зации нейтронов в гидриде циркония, обусловленными квантованным
обменом энергией в гидриде между нейтронами и вибрационными кван-
тами (фононами). Запаздывающие эффекты, связанные с нагревом во-
ды, здесь не участвуют в подавлении быстрых всплесков мощности.

Позднее мы увидим, что пиковая мощность и полная энергия, выде-
лившаяся цри всплеске, могут зависеть от начальной мощности, даже
если все другие параметры одинаковы. Начальная температура также
может быть существенным параметром, так как в реальных системах
коэффициенты обратной связи являются функциями температуры. На-
конец, от начального состояния реактора зависит, как скоро на процесс
изменения мощности начнут оказывать влияние запаздывающие эффек-
ты обратной связи (например, при прочих равных условиях начальный
уровень мощности определяет, будет иметь место или нет при всплеске
мощности интенсивная теплопередача в условиях кипения).

§ 5.4. Быстрые реакторы

В нейтронном цикле быстрых реакторов нельзя выделить процесс
замедления нейтронов и процесс миграции тепловых нейтронов, простые
формулы (5.5) и (5.6) в таких условиях не применимы. Кроме того,
спектр нейтронов в быстром реакторе слабо зависит от температуры.
В подавляющем большинстве случаев нейтроны поглощаются или уте-
130
кают из системы при энергиях, много больших энергии тепловых ней-
тронов, поэтому практически нет нейтронов, находящихся в тепловом
равновесии с ядрами, входящими в состав материалов, из которых сде-
лан реактор. Следовательно, на температурный коэффициент быстрого
реактора можно влиять, изменяя поглощение и утечку нейтронов высоких
энергий (0,01—1,0 Мэе). В гетерогенных системах, состоящих из стерж-
невых тепловыделяющих элементов, теплоносителя и конструкционных
материалов, мгновенные изменения реактивности могут быть вызваны
продольным расширением топлива (изменение аксиальной составляю-
щей баклинга), радиальным расширением топлива (сжатие или вытес-
нение теплоносителя), искривлением тепловыделяющих элементов при
их неравномерном тепловом расширении [140] и эффектом Доплера. За-
паздывающие эффекты изменения реактивности в такой системе могут
быть вызваны разогревом конструкций реактора, тепловьш расширени-
ем теплоносителя и вытеснением его из реактора. При предельно быст-
ром изменении мощности перечисленных выше мгновенных эффектов
будет, вероятно, недостаточно для подавления всплеска мощности и
предотвращения аварии реактора в результате парообразования.

В малом гомогенном быстром реакторе, который, подобно реактору
€гСЮ1УА [290], изготовлен из металлического высокообогащенного ура-
на, главный мгновенный эффект изменения реактивности определяется
изменением утечки при тепловом расширении урана. При обсуждении
таких быстрых импульсных реакторов в одном из последующих пара-
графов мы расскажем, как очень быстрые всплески мощности могут
быть усилены за счет механической инерции или по существу за счет
временной задержки теплового расширения, сопровождаемой большими
напряжениями, переменными во времени.

В быстрых реакторах эффект Доплера является результатом тем-
пературного расширения в области высоких энергий многих тесно рас-
положенных резонансных пиков как в сечении деления, так и в сечении
захвата нейтронов без деления. Между этими резонансами существует
сложное взаимодействие. Процесс деления конкурирует с другими про-
цессами, в результате в зависимости от условий реактивность может
как увеличиваться, так и уменьшаться.

Эффект Доплера зависит от спектра нейтронов, на который, в свою
очередь, сильно влияют многие детали конструкции гетерогенной систе-
мы. Для чистого и жесткого спектра нейтронов (маленький реак-
тор, средняя энергия нейтронов близка к 0,1 Мэв) эффект Доплера по-
ложителен и очень мал, он, вероятно, меньше чем Ю-6^-1 [399]. К ре-
акторам такого вида относятся экспериментальные реакторы-размножи-
тели ЕВК-1 и ЕВК-П.

В случае немного более мягкого спектра нейтронов (реактор «Энри-
ко Ферми») вычисленное значение коэффициента Доплера составляет—
—2,0 • 10-6°К-1 [395]. Это значение получено для модели реактора со
следующим объемным составом активной зоны: 23515—0,0612, —

0,1657, молибден — 0,0472, цирконий — 0,0382, нержавеющая сталь —
0,2591 и натрий — 0,4286.

В больших разбавленных системах с топливом из двуокиси урана
пли из карбида урана эффект Доплера по абсолютной величине значи-
тельно больше; он может быть порядка —10“5ОК-1 [399]. Такое же по
абсолютной величине значение отрицательного эффекта Доплера ха-
рактерно для больших быстрых реакторов-размножителей с 239Ри в ка-
честве топлива и с в качестве исходного материала для производ-
9* 131
ства нового топлива. Сам 239Ри дает здесь положительный эффект, од-
нако доминирует отрицательный эффект (вместе с отрицательным
эффектом ^Ри).

С увеличением температуры коэффициенты Доплера по абсолют-
ной величине уменьшаются. Ранее для теплового реактора мы отме-
чали температурную зависимость типа Т~1/2 [см. формулу (5.41)]. Такая
зависимость была подтверждена экспериментально в опытах на
8РЕКТ-1 с низкообогащенным топливом из двуокиси урана [519]. Для
быстрых реакторов характерен более быстрый спад коэффициента Доп-
лера с увеличением температуры. В больших быстрых реакторах с топ-
ливом из двуокиси металла температурная зависимость коэффициента
Доплера близка к зависимости вида Г”1, а в реакторах меньших раз-
меров с высокообогащенным топливом она приближается к зависимо-
сти вида Т~312.

Мы закончим этот параграф кратким описанием эффектов, связан-
ных с теплоносителем, в быстром реакторе с натриевым охлаждением
[349]. Эффект изменения реактивности при понижении плотности натрия
трудно предсказать, так как он определяется несколькими конкурирую-
щими процессами, причем некоторые из них чрезвычайно сложны. Во-
первых, при понижении плотности натрия или при удалении натрия уве-
личивается величина к, поскольку уменьшается вредное поглощение ней-
тронов. Этот положительный эффект невелик, особенно в реакторах
с жестким спектром нейтронов. Во-вторых, уменьшение количества нат-
рия в активной зоне увеличивает утечку нейтронов и уменьшает к.
Этот эффект отрицателен, по абсолютной величине он больше в реак-
торах с малой активной зоной. В-третьих, уменьшение содержания нат-
рия приводит к ужесточению спектра нейтронов из-за снижения скоро-
сти замедления при упругом рассеянии нейтронов. В маленьких реак-
торах с а35!! в качестве топлива спектральный эффект изменения реак-
тивности может быть отрицательным. В больших реакторах с ^Ри этот
эффект обычно положительный, поскольку в этом случае большая доля
нейтронов находится в области низких энергий, где упругое рассеяние
играет более существенную роль, и поскольку для 239Ри отношение се-
чения радиационного захвата к сечению деления быстро уменьшается
с увеличением энергии нейтронов. В больших реакторах-размножителях
на быстрых нейтронах абсолютное значение коэффициента Доплера
может быть значительно уменьшено путем понижения содержания нат-
рия в активной зоне. Этот нелинейный эффект различен в различных
точках активной зоны.

По мере увеличения размеров реактора роль отрицательного эффек-
та, связанного с утечкой нейтронов, падает, а роль положительного эф-
фекта, обусловленного спектральными изменениями, увеличивается.
Можно ожидать, что натриевый коэффициент реактивности при увеличе-
нии объема реактора будет менять знак. Это было подтверждено де-
тальными расчетами. В качестве примера приведем один из получен-
ных результатов [608]. Если из реактора, в котором в качестве топлива
используется металлический плутоний, а в качестве конструкционного
материала — нержавеющая сталь, удалить 40% натрия, то это приведет
в зависимости от объема активной зоны к следующим изменениям реак-
тивности (выраженным в относительных изменениях критической массы,
необходимых для поддержания цепной реакции): —0,004 для зоны объ-
емом 800 л, +0,004 для зоны объемом 1500 л и +0,012 для зоны объ-
емом 2500 л. Когда в качестве топлива используется карбид плутония
132
или двуокись плутония, изменение знака натриевого коэффициента ре-
активности происходит при больших значениях объема активной зоны,
но общий характер зависимости остается тем же самым.

Чтобы ослабить зависимость натриевого коэффициента реактивно-
сти от объема активной зоны, приводящую к положительным значениям
этого коэффициента в реакторах больших размеров, нужно попытаться
усилить отрицательный эффект, связанный с утечкой нейтронов. Для
этого необходимо, чтобы отношение поверхности активной зоны к ее
объему было настолько большим, насколько это возможно. Отсюда идея
плоского «блинообразного» реактора, объем которого увеличивается за
счет увеличения радиуса, а высота не меняется.

С точки зрения ядерной безопасности важно отметить, что натрие-
вый эффект имеет сильную пространственную зависимость. Выброс нат-
рия из внешней области активной зоны влияет главным образом на
утечку нейтронов, в то время как выброс из центральной области мало
сказывается на утечке, но приводит к значительному ужесточению спек-
тра нейтронов. Даже если при однородном изменении плотности натрия
реактор имеет отрицательный натриевый коэффициент, при выбросе нат-
рия из центральных областей коэффициент может быть положительным.

В табл. 5.2 представлены расчетные значения некоторых изотер-
мических коэффициентов реактивности, характерные для небольших
быстрых реакторов с в качестве топлива [349]. Эти значения соот-

Та блица 5.2

Изотермические температурные коэффициенты реактивности быстрых реакторов
с 235О в качестве топлива

Механизм 10в-аг (оС->)
Реактор ЕВР-П Реактор ,?нрико Ферми*
Активная зона Аксиальное расширение топлива Радиальное расширение топлива (выталкивание натрия) Изменение плотности теплоносителя и материалов в зоне Тепловое расширение опорных конструкций —3,9 -0,9 -9,1 —9,7 1 ! 1 1 ч о м О — О) СЛ
Зона воспроизводства Изменение плотности теплоносителя и материалов в зоне Расширение урана Тепловое расширение опорных конструкций —9,5 -1,0 —2,0 —3,3 —0,5 —0,6
Сумма —36,1 —20,6

зетствуют принятому однородному увеличению температуры во всем
реакторе. Ими удобно пользоваться при сравнении реакторов, но они
могут привести к серьезным заблуждениям, если их применять для ана-
лиза реальных статических состояний или динамических процессов, для
которых характерны значительные температурные градиенты *). Отме-

* В качестве примера сошлемся на экспериментальный реактор-размножитель
ЕЗР-1. вопросы устойчивости которого обсуждаются в гл. 6. В этом реакторе из-за не-
т-2 аномерного теплового расширения происходит искривление стержневых тепловыде-
.:=? тих элементов и изгиб защитной плиты. Этими двумя явлениями в реакторе ЕВК-1
з основном и определяется обратная связь по реактивности.
тим, однако, что среди всех эффектов преобладающими обычно явля-
ются эффекты изменения плотности (для сравнения еще раз приведем
значение коэффициента Доплера в реакторе «Энрико Ферми»:
—2,0-10-6 ОК~1].

Для детального изучения эффектов изменения реактивности в бы-
стрых реакторах читателю рекомендуются сборник статей [549], на ма-
териалы из которого делались ссылки в этом параграфе, и справочник
по физическим константам для реакторов [23]. Кроме того, особый ин-
терес представляют труды (24—26, 259].

§ 5.5. Ядро линейной обратной связи

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые простые математиче-
ские модели динамической обратной связи по реактивности в гетеро-
генном реакторе. Мы построим несколько моделей, которые будут ис-
пользоваться в иллюстративных динамических задачах при расчетах
всплесков мощности не только в этой главе, но и при изучении в гл. 6
и 7 проблемы устойчивости реакторов. Затем обсудим обобщенное ядро
линейной обратной связи отметим его значение и область приме-
нения.

Запишем реактивность как

Р = Ро—Р/, (5.58)

где ро представляет собой некоторый входной сигнал, а р/ — внутрен-
нюю обратную связь. Отметим, что среди инженеров по управлению и
защите реакторов имеется общепринятая договоренность, заключаю-
щаяся в том, что перед сложением реактивности входного сигнала с ре-
активностью обратной связи знак реактивности обратной связи меняет-
ся на обратный.

Рассмотрим простую обратную связь по температуре:

р/ = а(Т-Т0), (5.59)

где а =—ат, а ат — температурный коэффициент реактивности, опреде-
ленный формулой (5.3). В рамках точечной модели реактора Т — вы-
численная надлежащим способом средняя температура реактора. Сим-
волом То обозначено то значение средней температуры, при котором
реактивность обратной связи равна нулю. Обычно за То принимают
среднюю температуру реактора при работе его на постоянной мощности,
и в последующих параграфах для удобства мы часто будем полагать
ее равной нулю. Отметим, что выражение (5.59) может рассматривать-
ся как первый член ряда Тейлора, с помощью которого выражается
более общая нелинейная связь между реактивностью и температурой.

Поскольку температура зависит от мощности реактора и даже от
предыстории поведения мощности во времени, математическая точечная
модель реактора, представляемая уравнениями (2.1) и (2.2), обычно не-
линейна. Линеаризованные модели, пригодные для малых флуктуаций,
могут быть построены так, как это делается в гл. 6. Не учитывать эф-
фекты обратной связи можно только в том случае, если флуктуации
мощности приводят к пренебрежимо малым изменениям в системе тем-
пературы, плотности и т. д.

Чтобы продолжить наше рассмотрение, установим связь между тем-
пературой и мощностью. В случае точечной модели реактора иногда ока-
134
зывается возможным применить понятие об эффективной температуре
теплоносителя Тс и использовать закон охлаждения Ньютона:

ат№=Кп—у (т—тс). (5.60)

Если п — тепловая мощность реактора, то К — величина, обратная его
теплоемкости. Величине 1/у можно придать смысл среднего времени,
необходимого для передачи теплоносителю тепла, генерируемого в реак-
торе. В случае сложной конструкции реактора или при значительном
изменении температуры теплоносителя модель должна быть усовершен-
ствована. Мы полагаем, что для усовершенствования модели могут быть
найдены подходящие эффективные значения ее параметров.

Пусть То — равновесная температура реактора (с1Т1(Н=Ъ) при по-
стоянной мощности его, равной и0. Тогда

0=^ = 7 (То—Тс). (5.61)

На основании уравнений (5.60) и (5.61) находим, что

йТ№=К(п—по) — у(Т— То). (5.62)

Отметим, что в уравнении (5.62) температура теплоносителя в явном
виде отсутствует. Это уравнение широко используется при изучении
устойчивости линейных систем.

Теперь примем, что существует другое равновесное состояние ре-
актора, при мощности п'о и температуре Т'о. Для этого состояния, как
и для первого, справедливо равенство

0=Кп'о—у (Т'о—Тс). (5.63)

На основании равенств (5.61) и (5.63) находим, что

К(п'о—и0) =т(Т'о-То)
или
бТо/бпо=Л7т.

Далее по формуле (5.59) находим изменение реактивности обратной
связи при изменении равновесной температуры:

6р/ = абТ0.

Отношение

бр//6по = аК7у (5.64)

может быть названо мощностным коэффициентом обратной связи по
реактивности. Для перевода реактора с одной равновесной мощности на
другую нужно извне изменить реактивность на величину бро—6р/, при
этом по достижении нового уровня мощности реактивность реактора
вновь будет равна нулю. Как видно из формулы (5.58), увеличение р/
приводит к уменьшению реактивности системы. Поэтому для обеспече-
ния устойчивости реактора необходимо, чтобы коэффициент а в фор-
муле (5.64) был положительным. В противном случае увеличение
мощности будет сопровождаться увеличением реактивности, что может
привести к аварии реактора. (Напомним, что коэффициент а противопо-
ложен по знаку температурному коэффициенту реактивности аг.)

При очень медленных изменениях мощности иногда можно считать,
что формула (5.64) остается справедливой. В такой квазистатической

135
модели реактивность обратной связи пропорциональна изменению мощ-
ности, т. е.

р/=соп5( X [п (/) —по]. (5.65)

Очень быстрое изменение мощности, при котором потерями тепла
можно пренебречь, — второй предельный случай. Для такой адиабати-
ческой модели имеет место уравнение

ат№=Кп. (5.66)

Это предельный вид уравнения (5.60), когда постоянная времени 1/у,
определяющая процесс теплопередачи, много больше времени измене-
ния мощности. Если справедлива формула (5.59), то для этой модели

ф/Д// = аЛТ/М = аКп. (5.67)

Другая модель, которая обычно используется при изучении устой-
чивости реакторов, называется моделью «смещения на постоянную мощ-
ность». Ей соответствует предельный вид уравнений (5.62) при очень
больших значениях 1/у:

4Т/(И = К(п—п0). (5.68)

Отсюда при условии, что справедлива формула (5.59), находим:

с1р{1си = а(1Т1Ш = (1К(г1—По). (5.69)

Возможны и другие модели, например, такие, в которых реактивность
обратной связи или ее производная в момент времени I определяется
мощностью реактора в момент времени /—т. Эти модели могут быть ис-
пользованы для описания эффектов, определяемых процессами перено-
са массы. В нелинейных системах связанные с процессами переноса так
называемые транспортные времена запаздывания т сами могут быть
функцией состояния системы. Транспортные запаздывающие эффекты
имеют особое значение в проблеме устойчивости, которая будет обсуж-
даться позднее.

Все перечисленные и некоторые другие линейные модели могут рас-
сматриваться как частные случаи общей линейной модели, в которой
реактивность обратной связи выражается формулой

ру(/)= ^А(/— — п9]с1Г, (5.70)

—оо

где Н(1)—ядро обратной связи. Формула (5.70) показывает, как реак-
тивность в момент времени $ зависит от предыстории мощности, причем
ядро /г(/) является весовой функцией для линейной суперпозиции эф-
фектов. Реактивность определяется характером изменения мощности
реактора во времени в прошлом и не может зависеть от поведения ее
в будущем, именно поэтому верхним пределом интеграла является зна-
чение /' = /. Это равносильно утверждению, что функция Н(1) является
причинной, т. е. /г(/—I') =0 для (/—I') <0. Если в дополнение ко всему
этому /г(/) =по для всех /<0, нижний предел интеграла можно заменить
на I' = 0. В результате формула (5.70) принимает вид интегрального
преобразования Лапласа.

На основании формулы (5.53) и уравнения (5.62) легко установить,
что в случае ньютоновского закона охлаждения реактора и линейной
136
температурной обратной связи

/г(0=аКе-7'. (5.71)

В случае, когда реактивность пропорциональна мощности,

к(1) = сопз1Хб(/). (5.72)

Для модели «смещения на постоянную мощность»

Л(0 =аК. (5.73)

Адиабатическую модель можно получить, если воспользоваться форму-
лами (5.73) и (5.70) и пренебречь в последней величиной По. Наконец,
простым примером функции, описывающей транспортное запаздывание,
может служить

к (/) = сопз! X 6 (I—т). (5.74)

Важно подчеркнуть различие между ядрами к(1) линейной обрат-
ной связи, каждому из которых можно поставить в соответствие систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, и ядрами, для которых
этого сделать нельзя. К ядрам первого типа относятся ядра, представ-
ленные формулами (5.71) — (5.73); для таких ядер полное решение мо-
жет быть найдено, если известна функция п(\1) и полностью определены
начальные условия. Для систем с такими ядрами нижний предел
интеграла в формуле (5.70) может быть заменен произвольным постоян-
ным значением времени /0, выбор которого эквивалентен выбору опре-
деленных начальных условий. В случае нелинейной нейтронной динами-
ки устойчивость реактора может зависеть от начальных условий, одна-
ко при каждом определенном начальном моменте времени /о не нужно
знать функцию п(/) в предшествующие моменты времени.

С другой стороны, ядрам Л(/), в состав которых входят постоянные
времени транспортного запаздывания, обычно соответствуют системы,
дифференциальных уравнений с запаздыванием [221]. В случае нели-
нейной реакторной динамики устойчивость реактора может зависеть не
только от его состояния, но и от формы функции п(1) в предшествую-
щий период времени, т. е. приходится рассматривать не только классы
начальных условий, но и классы начальных кривых. Как будет видно
в гл. 7, это требует усовершенствования методов анализа нелинейной
устойчивости.

В случае линеаризованных реакторных моделей устойчивость не за-
висит от начальных условий. Нижний предел интеграла в формуле-
15.70) может быть положен равным нулю, после чего эта формула пре-
вращается в обычную формулу интегрального преобразования. Обозна-
чая разность п—п0 через 6п, преобразуем по Лапласу формулу (5.70)
с нижним пределом, равным нулю. В результате приходим к выраже-
нию

/?/($) = Н (5) (5.75>

где /?/($), 7/(5) и 6Д/(5) —преобразованные по Лапласу функции р7(/)„
к (7) и 6п(/). Видно, что —передаточная функция обратной связи.
Это следует также из того факта, что к(1) есть отклик на импульсное
изменение мощности или функция Грина для линейного дифференциаль-
ного оператора, представляющего обратную связь. Наконец, вычислим
отклик на изменение мощности реактора при переходе его из одного
равновесного состояния в другое, вызванное внешним изменением реак-
гивности ро. Пусть п увеличивается от начального равновесного значе-
ния «о до нового равновесного значения По-Нбио. Тогда 62У($) = бПо/$, и
уравнение (5.75) принимает вид:

$>/?/($) =ЪП()Н (5).

С помощью теоремы о конечном значении найдем, что

Нт р/ = Нт $/?/ (5) = Ъп^Н (0),
/-►ОО 5->0

если, конечно, предел существует. Таким образом, мы можем интерпре-
тировать Н (0) как статический мощностной коэффициент реактивности
обратной связи.

Например, преобразование по Лапласу ньютоновского закона ох-
лаждения (5.71) приводит к выражению

Н (*) = ТГТ- • (5.76)

Отсюда находим мощностной коэффициент реактивности //(0)=аД7у,
соответствующий выражению (5.64).

Для реактивности, изменяющейся пропорционально мощности, на
основании формулы (5.72), как и следовало ожидать, находим, что
Н (5) = соле!. Для модели «смещения на постоянную мощность» из пре-
образования по Лапласу формулы (5.73) следует, что Н(8)=аК/з.
В этом случае мощностной коэффициент Н(0) не может быть конечной
величиной, поскольку уравнение (5.68) допускает существование только
одного равновесного состояния при п — по.

Отметим, что концепция, использующая понятие ядра обратной
связи, применима не только к одним температурным эффектам. Любая
система линейных уравнений, в которых мощность и реактивность об-
ратной связи связаны между собой через температуру, давление, объ-
ем пустот и т. д., может быть заменена уравнением вида (5.70). Нели-
нейные обратные связи нельзя, конечно, записать в такой форме.

Мы вернемся к ядрам обратной связи и мощностным коэффици-
ентам в последующих главах при анализе проблем устойчивости. В не-
скольких следующих параграфах этой главы рассматриваются изме-
нения мощности без потерь тепла на основе уравнений (5.66) и (5.67),
соответствующих адиабатической модели.

§ 5.6. Модель Нордгейма—Фукса

Ограниченные эффектами обратной связи всплески мощности, про-
исходящие за очень короткие промежутки времени, могут быть описа-
ны аналитически с помощью модели Нордгейма — Фукса [179, 398].
В этой модели принимается во внимание только генерация мгновенных
нейтронов, все другие источники нейтронов в уравнении (2.1) или (3.1)
считаются пренебрежимо малыми. Таким приближением можно поль-
зоваться только при достаточно больших значениях реактивности. Как
уже упоминалось в гл. 3, это эквивалентно предположению, что мощ-
ность реактора удовлетворяет уравнению (3.28), т. е. уравнению

= <5-77)
Физически это означает, что мощность и скорость ее изменения так ве-
лики, что генерацией запаздывающих нейтронов и внешним источником
нейтронов можно полностью пренебречь.

Сначала рассмотрим отклик на большой ступенчатый входной сиг-
нал изменения реактивности [398]. Допустим, что реактор находится
в критическом или подкритическом исходном состоянии при очень ма-
лой мощности. Предположим далее, что он каким-либо способом быст-
ро переводится в состояние, в котором он надкритичен на одних мгно-
венных нейтронах (ро>’Р). Будем называть ро ступенчатым входным
сигналом изменения реактивности всякий раз, когда реактивность до-
стигает значения ро столь быстро, что остается равной ро в течение ко-
роткого промежутка времени, прежде чем начнут заметно сказываться
эффекты обратной связи. Мы увидим, что в таких условиях характе-
ристики всплеска мощности не существенно зависят от начального со-
стояния системы, которое может быть критическим, подкритическим и
даже неравновесным. Конечно, от начальной мощности зависит, как
быстро реактор достигнет некоторого заданного уровня ее, однако фор-
ма кривой изменения мощности во времени, значения пиковой мощно-
сти и выделяющейся энергии для всплесков, ограниченных эффектами
обратной связи, от начальной мощности не зависят.

^Запишем реактивность как

р=ро—аГ, (5.78)

где ро — ступенчатый входной сигнал изменения реактивности; а — от-
рицательный температурный коэффициент реактивности; Т — увеличе-
ние температуры по отношению к ее начальному значению. Учитывая,
что время всплеска очень мало, мы пренебрегаем потерями тепла и ис-
пользуем адиабатическую модель, которой соответствует уравнение
(5.66):

(1Т№ = Кп. (5.79)

Здесь, как и прежде, К—величина, обратная теплоемкости реактора,
а п — мощность реактора. На основании уравнений (5.78) и (5.79) на-
ходим, что

б/р/с?|/ = —аКп, (5.80)

где аК — мощностной коэффициент реактивности обратной связи.

Поведение реактора теперь описывается уравнениями (5.74) и
(5.80), т. е. системой из двух дифференциальных уравнений первого по-
рядка. Допустим, что переменную / можно исключить путем деления
одного уравнения на другое. Это приводит к дифференциальному урав-
нению первого порядка, связывающему пир:

сГп/б/р= —(р—р)/аК/. (5.81)

Интегрируя, получаем

п=А— (р—)р)2/2аК/. (5.82)

Этой формуле соответствует семейство параболических кривых в плос-
кости п, р (траектории в фазовой плоскости). Если при р = ро мощность,
л пренебрежима мала, формула для траекторий принимает вид:

п = «Ро - - (Р “ ?2)21- (5‘83>
Полагая в уравнении (5.77) ^п/б// = 0, находим, что максимум мощно-
сти имеет место при р = 0. Рост мощности прекращается, когда избыток
реактивности над реактивностью, обеспечивающей критичность на мгно-
венных нейтронах, компенсируется обратной связью. Полагая в выра-
жении (5.83) р = Р, приходим к формуле для пиковой мощности:

п = (Р, - ₽)’/2аК/. (5.84)

Очевидно, что формула (5.84) имеет смысл только при положитель-
ном а; при отрицательном а модель предсказывает непрерывный рост
и реактивности, и мощности. Типичная траектория для а>0 показана
на рис. 5.1; отметим ее симметрию относительно вертикальной линии
р=₽-

Вначале, когда обратная связь еще не влияет существенно на дина-
мику реактора, мощность его мала, но она увеличивается экспоненци-
ально с коротким периодом, обратная величина которого может быть
найдена по формуле (2.18), т. е. по формуле

= (ро—₽)//•

Формула (5.84) теперь принимает вид:
п — /«)2/2аК.

(5.85)

(5.86)

Этот важный результат, состоящий в том, что пиковая мощность про-
порциональна квадрату начального значения величины, обратной пе-
риоду, был подтвержден экспериментально для реакторов нескольких
типов.

После пика мощность быстро падает и, согласно формуле (5.83),
снова становится пренебрежимо малой, когда р—р = — (ро—р), т. е.
когда

р = 2р—ро. (5.87)

Иначе говоря, всплеск заканчивается, когда реактивность снижается на
величину

ро—р = 2 (ро—р). (5.88)

В действительности к этому моменту времени мощность падает до низ-
кого уровня, определяемого количеством ядер-предшественников за-
паздывающих нейтронов, образующихся при всплеске; последующий
ход событий не может быть предсказан в рамках модели Нордгейма —
Фукса. Ясно, что реактивность, найденная по формуле (5.87), не может
соответствовать конечному равновесному состоянию; эта формула дает
положительные значения реактивности для всплесков мощности с на-
чальной реактивностью ро<2р. Позднее мы увидим, что адиабатическая
модель с учетом запаздывающих нейтронов приводит к конечному зна-
чению реактивности, равному —ро.

Значение реактивности обратной связи в конце быстрого всплеска
мощности можно найти по формуле (5.88). Тогда увеличение темпера-
туры за время всплеска на основании равенства (5.87) будет опреде-
ляться формулой

Т=2(р0— р)/а, (5.89)

а выделившаяся энергия — формулой

Е = 2(р0—р)/аК, (5.90)

где — теплоемкость реактора.
Отметим, что задачу можно было сформулировать и в терминах
обратной связи по энергии, используя энергетический коэффициент
реактивности вместо аК без упоминания о лежащем в основе этого
коэффициента механизме (эффект Доплера, термическое расширение,
образование пустот и т. д.). Другими словами, для такой модели тре-

буется только, чтобы реактивность
обратной связи была пропорцио-
нальна выделившейся энергии, как
в уравнении (5.80).

На основании формул (5.84) и
(5.90) может быть сделан важный
для безопасности реакторов вывод.
При заданном входном сигнале ре-
активности ро определяемая форму-
лой (5.90) энергия всплеска не за-
висит от времени генерации нейтро-
нов. Следовательно, одинаковое
ступенчатое изменение реактивно-
сти в быстром и тепловом реакторах
приводит, при прочих равных усло-

Рис. 5.1. Типичная траектория фазовой
плоскости п, р, соответствующая вспле-
ску мощности реактора при начальном
значении реактивности 3,5 долл.

виях, к выделению одинакового ко-
личества энергии. С другой сторо-
ны, при заданнохм входном сигнале
ро пиковая мощность, как это видно

из формулы (5.84), обратно про-

порциональна времени генерации нейтронов. Таким образом, при тех

же самых значениях начальной реактивности и выделившейся энергии,
как и в тепловом реакторе, авария быстрого реактора характеризуется
несравненно более быстрым выделением энергии. Такое предельно ко-
роткое время протекания аварии в быстрых реакторах может иметь
самые серьезные последствия. Проведенное сравнение не вполне, закон-
но при очень больших значениях реактивности. В быстром реакторе
невозможно увеличить реактивность до значений много больших зна-
чения, соответствующего критичности на мгновенных нейтронах, рань-
ше, чем начинают играть существенную роль эффекты обратной связи
или эффекты разрушения реактора.

В рамках рассматриваемой математической модели продолжитель-
ность всплеска мощности можно оценить как отношение виделившейся

энергии к пиковой мощности:

Е!п = 4/о).

(5.91)

Таким образом, продолжительность всплеска примерно равна учетве-

ренному начальному периоду экспоненциального роста мощности, соот-
ветствующему начальному значению реактивности ро.

Объединяя уравнение (5.80) с формулой (5.83), находим уравне-
ние для функции р(/):

-$-=-4- к?» - ю2 - <? - ю21 <5-92)

Удобно принять, что / = 0 соответствует моменту достижения пиковой
мощности. Интегрирование уравнения (5.92) дает

Р = ₽-(Ро-₽)^4-, (5.93)

где со определяется формулой (5.85).
Уравнение (5.80) разрешим относительно п:

1 б/р
п~~ ^к~аг‘

Используя уравнение (5.93) и формулу (5.85),*'находим, что

/<О2 12 со/

п= 8сЬ — •

С учетом формулы (5.86)

п = п зсЬ2 . (5.94)

Зависимость выделившейся энергии от времени определяется фор-
мулой

Типичные зависимости реактивности, мощности и энергии от времени
для скачка реактивности, равного 3,5 долл, представлены графически
на рис. 5.2. Отметим, что к моменту достижения пиковой мощности
выделяется половина полной энергии.

В дальнейшем нам потребуется выражение для этой половинной
энергии:

Е(Я) = Е = (Ро-р)/аК. (5.96)

Значение ширины т пика мощности на половине его высоты найдем,
подставив в формулу (5.94) п=1/2п и /=1/2т:

т = (4/со) сЬ"1 уг2” = 3,524/<о. (5.97)

Его можно сравнить с грубой оценкой времени всплеска по формуле
(5.91).

Наблюдаемые в эксперименте отклонения от закона со2 для пиковой
мощности [формула (5.86)] или от закона постоянства произведения сот
[формула (5.97)] могут указывать на то, что простая математическая
модель неадекватно описывает поведение изучаемой системы. Это мо-
жет происходить из-за запаздывающих нейтронов (р0 слишком близка
к р или даже меньше, чем р), из-за нелинейных или запаздывающих
эффектов обратной связи, а также в результате совместного действия
этих факторов.

На рис. 5.3 показаны экспериментальные результаты для макси-
мальной мощности в зависимости от начального обратного периода,,
полученные в целом ряде опытов по реакторной безопасности и на им-
пульсных системах. Экспериментальные данные представлены в широ-
ком диапазоне значений времени генерации нейтронов (приблизительно
от 10-3 сек для ТКЕАТ — гомогенного теплового реактора с графитовым
замедлителем до 6 • 10“9 сек для ООЭГУА — быстрого аппарата на ме-
таллическом 235Ът).

Испытательное устройство по изучению переходных процессов
в реакторах ТКЕАТ [139] представляет собой импульсный реактор
с большим потоком нейтронов, используемый для технических опытов
на сборках твэлов. по программе безопасности быстрых реакторов
142
Рис. 5.2. Типичные кривые для скач-
ка реактивности в 3,5 долл, показы-
вающие, как изменяются во времени
реактивность, мощность и выделив-
шаяся энергия [модель Нордгейма—
Фукса].

со он уменьшается благодаря

Комиссии по атомной энергии США. Квадратическая зависимость мак-
симальной мощности для ступенчатых переходов на рис. 5.3 наблюда-
ется при достаточно больших со (наклон, равный двум, по логарифми-
ческой шкале). Отклонение от этого при меньших со (наклон меньше
чем два) вызвано запаздывающими
процессах вблизи мгновенной критич-
ности и ниже. Как мы покажем в §5.8,
формула Нордгейма — Фукса для ма-
ксимальной мощности в обозначениях
<о [уравнение (5.86)] недооценивает
максимальную мощность при наклоне,
равном двум, когда используется ис-
тинное значение со при мгновенной
критичности. Для ТКЕАТ мгновенная
критичность наступает при ш =
= 1,5 сек-1.

Импульсный реактор ЮК [309]
в Советском Союзе похож на ТКЕАТ.
Он также представляет собой гомо-
генную графитовую систему. К тому
же, при запуске каждого из этих реак-
торов последовательно реализуются
два режима: сначала мощность быст-
ро возрастает за короткий промежуток
времени, а затем поддерживается на
сравнительно высоком уровне в тече-
ние нескольких секунд благодаря за-
программированному извлечению
стержней регулирования. В Нацио-
нальном реакторном испытательном
центре создан другой тип реактора —
РВЕ [39], он также спроектирован
для такого же метода работы. Для
рассмотрения требований по управле-
нию и оборудованию для этих и дру-
гих импульсных систем отсылаем к об-
зорной статье [404].

Еще один тип импульсной систе-
мы —реактор ТКЮА [104, 528, 587],
о котором упоминалось в § 5.3. Для
больших со кривая на рис. 5.3 имеет
наклон, равный двум, а для меныпи

запаздывающим нейтронам. Мгновенная критичность находится вблизи
(о = 6 сек-1. (Более хорошее согласие между теорией и экспериментом
получается, когда модель Нордгейма — Фукса изменена так, чтобы
учесть влияние тепловой мощности [463].) Там же показана зависи-
мость вида со2 для быстрого импульсного реактора ООБ1УА [596, 597].
Экспериментальные значения слишком велики, чтобы показать откло-
нение от прямой линии при малых со (при мгновенной критичности
со— 660 сек-1). С другой стороны, кривая имеет излом, резко направ-
ляясь вверх при больших со, указывая на начинающиеся инерциальные
эффекты (запаздывание по времени расширения металла, сопровождае-
мое переходными механическими напряжениями).
В настоящее время в эксплуатации находятся такие быстрые им-
пульсные реакторы, как 8РК [101], исследовательский реактор дозимет-
рической службы НРКК [364], быстрый импульсный реактор на испы-
тательном полигоне в Белых Песках [343], импульсный реактор в Абер-
дине [366] и английский гетерогенный быстрый реактор У1РЕК [344].

Данные для двух вариантов

Начальный обратный период и).

Рис. 5.3. Зависимость максимальной
мощности от начального обратного пе-
риода в некоторых опытах по реактор-
ной безопасности и в импульсных реак-
торных системах.

реактора 8РЕНТ, упомянутого в
§ 5.3, также показаны на рис. 5.3.
Кривая,помеченная «металл», — для
активной зоны с высокообогащен-
ным 23511 в твэлах, покрытых алю-
минием [470]. Основной механизм
выключения — образование зоны ки-
пения в водяных каналах — являет-
ся запаздывающим нелинейным
процессом. Данные по максималь-
ной мощности для больших со пока-
зывают, что эмпирический наклон
на логарифмическом графике равен
1,7 в противоположность наклону,
вычисленному по Нордгейму —
Фуксу, равному двум. Кривая, поме-
ченная «двуокись», — для слаб о обо-
гащенных (4%) топливных стерж-
ней из 13О2 в воде. Здесь главным

механизмом выключения является
доплер-эффект, а его нелинейная
температурная зависимость дает на-
клон, равный 2,35 для со >160 сект*
[518] (см. подробно § 5.10).

Реактор Р11Е8ТАК [355] состо-
ит из слабообогащенной (6%) СОг

в водяном замедлителе. Его импульсный режим похож на режим дву-
окисного 8РЕКТ-1. КЕУ^В — экспериментальный водяной кипящий реак-
тор по исследованию кинетики (малый высокообогащенный гомогенный
реактор с сульфатом урана в водном растворе). Выключение произво-
дилось комбинированным действием теплового расширения и образо-
вания радиолитического газа (диссоциированная вода). Действие

пустот нелинейно и становится все более и более важным по мере уве-
личения со [152]. Для больших со наклон логарифмической кривой, изо-
бражающей данные по максимальной мощности, находится около зна-

чения полутора вместо двух.

Опыты по безопасности реактора 8НАР 10 А/2 также показаны на
рис. 5.3 [268]. Сплошная линия имеет наклон менее двух, что указывает
на то, что обратная связь по температуре в этом уран-гидрид-цирконие-
вом реакторе нелинейна. Пунктирная линия соединяет ряд нестацио-
нарных процессов с данными опыта по разрушению реактора, в кото-
ром сыграли роль распад топлива и выделение водорода [384]. Большой
разрушительный опыт на —ТМТ был проведен по программе

ядерно-ракетной безопасности [297]. Ракетный ядерный тепловой реак-
тор содержал урановое топливо в графите, причем водород являлся
рабочим веществом. Скачок мощности привел к сильному разрушению,
повлекшему за собой значительное парообразование.
Аналитические модели для быстрых нестационарных процессов
в некоторых сложных системах обсуждаются в § 5.10 и 5.11. Вернемся
ненадолго к простой модели Нордгейма — Фукса, чтобы обсудить один
из эффектов, связанный с запаздывающими нейтронами. При выводе
уравнения (5.83) мы пренебрегли рождением запаздывающих нейтро-
нов. Траектория на рис. 5.1 подходит к п — 0 при р = 20—ро, и мы объяс-
нили это как конец быстрого импульса. Действительно, мощность па-
дает до малого, но не нулевого значения, непосредственно следующего
за импульсом, и для быстрых аппаратов это значение может быть рас-
ценено как следствие рождения источников запаздывающих нейтронов
во время импульса. Они описываются уравнением (3.2):

(5.98)

Рассмотрим быстрый импульс как скачок в п(1), представляющий
собой выделение энергии, определяемое уравнением (5.90):

п (0 = 8 (')• с5-")

Подставив это выражение в (5.98) и решив, получим уравнение (5.100),
описывающее скачок в сг- от некоторого незначительного начального
значения до

с г = 2 0 г (ро— 0) /аЛ7. ( 5.100)

На этот раз с1п1с11 мало, и мы можем использовать приближение
мгновенного скачка. Из уравнения (3.6), где # = 0, имеем

« = (5.101)

Реактивность в этот момент равна 20—ро согласно уравнению
(5.87). Уравнение (5.101) дает

п = М* = » (5.102)

где — средневзвешенная константа распада из табл. 1.3. Уравнение
(5.102) означает, что мощность непосредственно после импульса не за-
висит от начальной реактивности. В быстром аппарате за пикОхМ мощ-
ности следует плато, которое описывается уравнением (5.102), и мощ-
ность остается при этом значении до тех пор, пока существен распад
источников запаздывающих нейтронов [596].

На рис. 5.4 показаны результаты, вычисленные на ЭВМ для типич-
ного быстрого аппарата с учетом запаздывающих нейтронов [534].
Переходные процессы в этих случаях едва превышают мгновенную
критичность и достаточно медленны, так что хвост запаздывающих
нейтронов претерпевает некоторый распад. Уравнение (5.102) предска-
зывает и = 0,8, в то время как три кривые на рис. 5.4 соединяются при
:~0,01 сек, когда п приблизительно равно 0,6. Экстраполяция хвостов
к /=0 дает значение 0,8. Три значения максимальной мощности на гра-
фике равны 3,05; 4,65; 6,65, в то время как модель Нордгейма — Фукса
[уравнение (5.86)] предсказывает 2,88; 4,50; 6,50. Соответствие должно
быстро улучшаться при больших значениях со.
В тепловом реакторе хвост запаздывающих нейтронов менее за-
метен, так как у источников достаточно времени, чтобы распасться за
время импульса (см. рис. 5.5) [534]. Уравнение (5.102) больше не при-
менимо. Реактивности много больше в этом случае, чем в случае быст-
рого аппарата, но и шкала времени растягивается благодаря большему
времени генерации нейтронов. Максимальные мощности (рис. 5.5) —
3,32; 5,13; 7,33. Модель Нордгейма — Фукса дает соответственно 3,20;
5,00; 7,20. Все перечисленные результаты были получены на ЭВМ
с использованием данных по запаздывающим нейтронам при делении

Рис. 5.4. Зависимость мощности от времени
для адиабатической модели с 6 группами за-
паздывающих нейтронов:

//3-10-® сек, (быстрый реактор); скачки реактивности
1,00223; 1,00286; 1,00349 долл; «Я/0-1; Ло-Ю-’.

* (л)=12оек"1

Рис. 5.5. Зависимость мощности от
времени для адиабатической модели
с 6 группами запаздывающих ней-
тронов:

//0 = 10-1 сек (тепловой реактор); скачки
реактивности 1,756; 1,964; 2.170 долл;

аК/0=1; Ло=1О—*.

на тепловых нейтронах 23511. Хотя это и не совсем строго, когда //р
изменяется скачком от 10-* сек (тепловой реактор) до 10”6 сек (быст-
рый реактор), отличия от истинных результатов все же малы. Во всяком
случае, как было замечено в § 3.3, было бы бессмысленно попытаться
описать данные по запаздывающим нейтронам, которые изменяются
непрерывно с изменением /.

§ 5.7. Нестационарные процессы при малых отклонениях реактивности

Если максимальная реактивность в скачке мощности достаточно
мала по сравнению с р, то можно считать, что переход медленный и
приближение мгновенного скачка дает полезные результаты*. Если
переход не слишком медленный, как в предыдущем параграфе, можно
использовать модель адиабатической обратной связи.

* Результаты, изложенные в этом параграфе, были получены автором в 1957 г.
Кроме того, использованы данные работ [95, 508].
Предположим, что мощность реактора удовлетворяет уравнению
(3.13), где д = 0 (одна группа запаздывающих нейтронов, без источ-
ника) :

(₽—р)б/п/^= (Лр + б/р/г//) гг. (5.103)

Как в предыдущем параграфе, запишем реактивность в виде р = ро—аГ,
где с1Т1(11 = Кп, следовательно,

г/р/с?/ =—аКп. (5.104)

Исключив переменную по времени в уравнениях (5.103) и (5.104)

~ Хр. , (5.105)

С?р а/С (? — р) х '

уравнение (5.105) можно переписать в виде

а/С(р—р)с?п+ (Хр—аКм)|б/р = 0.

Левая часть есть полный дифференциал, и интеграл может быть за-
писан как

72Хр2 + аК (р—р) п=А. (5.106)

Как в случае модели Нордгейма — Фукса, предположим, что п
очень мало при р = ро. Траекторию в плоскости и, р можно тогда запи-
сать в виде:

_ А(р2— р»)
п— 2«К(₽-р) •

(5.107)

Типичная траектория для а>0 показана на рис. 5.6. Здесь ро = р/2
(шаг реактивности равен 50 цент). Реактивность при максимальной
мощности равна 0,134р, и если Хр/аК=1, п = 0,134. Заметим, что около
максимума отсутствует симметрия и что конечная реактивность рав-
на — ро.

Из уравнения (5.103) следует, что максимальная мощность п имеет
место при */р/с?/=—Хр. Подставляя это выражение в уравнение (5.104),
мы видим, что отношение между максимальной мощностью и реактив-
ностью в момент достижения максимальной мощности равно

Я = Лр/аК. (5.108)

Уравнение (5.107) должно иметь место, если реактивность при мак-
симальной мощности удовлетворяет уравнению

? - 20 р + Р20 = 0.

(5.109)

Один корень уравнения (5.109) не годится из-за того, что наруша-
ется условие р<р. Другой корень равен

;=₽-]/р2-Р2. (5.1Ю)

»!так, максимальная мощность имеет вид

« = ₽2-Ро1- (5-Ш)
Интересно, что п сходится к по мере того, как ро—>-р, хотя

уравнение (5.103) теряет при этом смысл. Значение этого факта будет
обсуждаться ниже.

Полученные результаты мы можем выразить в терминах началь-
ного обратного периода со с помощью приближенного уравнения обрат-
ных часов. Для малых I уравнение (2.28) выглядит следующим образом:

ро== Р<о/ ((О + %).

Тогда уравнения (5.110) и (5.111) примут вид:

Р = ₽ [1 /1+2«>М],

п = -4- 11----4г V1 + 2»/г

ад I со +

(5.112)

(5.113)

(5.114)

Заметим, что п сходится к л[3/аК по мере того, как со—>оо. Этим фак-
том, который связан с неточностью приближения при р—>р, мы впо-
следствии воспользуемся.

В случае очень малых со модель адиабатической обратной связи
уже не применима. Тем не менее разложим квадратный корень в урав-
нении (5.114) по степеням со/% и отбросим степени выше второй. В ре-
зультате получим

"=+0 (“Л)- (5.115)

Это выражение должно быть полезно при очень медленных переход-
ных процессах, которые еще достаточно быстры, чтобы оправдать ис-
пользование адиабатической модели
и пренебрежение начальной мощ-
ностью.

Рис. 5.6. Типичная траектория в фа-
зовой плоскости п, р для нестацио-
нарного процесса в реакторе при из-
менении реактивности 0,5 долл (при-
ближение мгновенного скачка, одна
группа запаздывающих нейтронов,
адиабатическая модель).

Сравнение с уравнением (5.86)
для модели Нордгейма — Фукса по-
казывает, что как для очень медлен-
ных, так и для очень быстрых не-
стационарных процессов максималь-
ная мощность изменяется как со2. Это,
конечно происходит вследствие того,
что модель эффективного времени
жизни (со<<сА,) имеет такую же ма-

тематическую форму, как и модель,
описывающая динамику реакторов
без запаздывающих нейтронов [ср.
уравнение (5.86) с главной частью
уравнения (5.115), напоминающей,
что эффективное время жизни равно
РА].

Более наглядно сравнение уравнений (5.86) и (5.114). Оно показано
на рис. 5.7 вместе с результатами расчетов на ЭВМ для двух значе-
ний /, использующих одну группу запаздывающих нейтронов с Х=
= 0,0767 сек-1 и а/С/р=1 [534]. Поразительной особенностью является

перекрещивание обоих приближений почти по всей шкале со, хорошо
Рис. 5.7 Зависимость максимальной мощности от
обратного начального периода (одна группа за-
паздывающих нейтронов, линейная адиабатиче-
ская модель, начальная мощность незначительна,
аК/В=1).

представленное на обеих кривых. Перекрещивание, конечно, есть ре-
зультат использования подходящей формы уравнения обратных часов
для каждого диапазона со,
уравнения (5.85) для быст-
рых и уравнения (5.112)
для медленных переходных
процессов, а также распро-
странения полученных гра-
фиков за пределы области
законного их применения.
Это не должно означать,
что оба приближения хоро-
шо переходят одно »в другое
при мгновенной критично-
сти. Как было сказано в
§ 3.2, а обсуждаться будет
в следующем параграфе,
переход имеет свои особен-
ности. Однако рис. 5.7 пока-
зывает, что максимальная
мощность для всего диапа-
зона о может быть хорошо
предсказана, исходя из двух
простых приближений, по
крайней мере для одной
группы запаздывающих ней-
тронов. Точное решение
очень близко к приближе-
нию мгновенного скачка, по-
ка обе приближенные кри-

вые не пересекутся. В следующем параграфе показано, что максималь-
ная мощность около мгновенной критичности для одной группы запа-
здывающих нейтронов очень близка к %р/аК. Уравнение обратных ча-
сов для одной группы запаздывающих нейтронов (2.28) может быть
записано в виде:

?о = г“ + ₽-^Г’

так что при мгновенной критичности

(5.116)

где Л<^со<^р//. Подставив (5.116) в уравнение (5.86), получим

Я^Лр/2аК, (5.117)

которое показывает, что модель Нордгейма — Фукса, выраженная
в обозначениях со, дает заниженное значение максимальной мощности
из-за коэффициента 2 в том случае, когда используется реальное зна-
чение со при мгновенной критичности. Этот результат служит для опре-
деления мгновенной критичности на графике (см. рис. 5.7) и указывает,
насколько узка зона перехода между моделями мгновенного скачка и
Нордгейма — Фукса.

Дальнейшего понимания переходных процессов можно достичь,
рассматривая р (реактивность при максимальной мощности) как функ-
цию р0. На рис. 5.8 показана такая зависимость. Виден резкий переход
от модели мгновенного скачка [уравнение (3.110)] к модели Нордгей-
ма — Фукса. Это подчеркнуто изображенной на рис. 5.9 зависимостью
максимальной мощности от ро, для построения которой использовалось
уравнение (5.111) ниже мгновенной критичности и уравнение (5.84) —
выше (парабола для р0>р должна возрастать очень быстро с-ростом
реального значения/).

Теперь рассмотрим реактивность, скомпенсированную при мгновен-
ной максимальной мощности, достигнутой при (ро—р). Это показано
на рис. 5.10 в виде кривой Е(п)—энергии, выделившейся при макси-

мальнои
энергия
аК/р = 1.

мощности (мощность, проинтегрированная до максимума), где
и скомпенсированная реактивность численно равны, если
Линия, представляющая уравнение (5.110), находится ниже

Модель Нордгейма- Фу кос

Модель
мгновенного скачка

0 р Ро

Рис. 5.8. Зависимость реактивно-
сти при максимальной мощности
от начальной реактивности.

мгновенной критичности, а линия Норд-
гейма — Фукса при значении (ро—р) на-
ходится выше мгновенной критичности.
Приближения предсказывают сильный
спад к нулю при мгновенной критично-
сти. Переход хорошо согласуется с точ-
ными решениями и экспериментом, одна-
ко минимум около мгновенной критично-
сти очень резко выражен, когда I очень
мало.

Рис.

и 5.10

демонстрируют
мгновенного

полезность приближения

скачка для представления

точных решении с помощью одной группы

запаздывающих нейтронов. С несколькими группами запаздывающих

Рис. 5.10. Зависимость энергии или скомпенси-
рованной реактивности при максимальной
мощности от начальной реактивности (одна
группа запаздывающих нейтронов).

Рис. 5.9. Зависимость макси-
мальной мощности от началь-
ной реактивности.

мгновенного скачка является хорошим асимптотическим решением точ-
ных многогрупповых уравнений в большом диапазоне р<р, однако эта
150
система уравнений — высокого порядка. Одногрупповое приближение
мгновенного скачка является хорошим асимптотическим решением точ-
ных многогрупповых уравнений, но в более ограниченном диапазоне р.

К счастью, анализ результатов с одной группой запаздывающих
нейтронов допускает построение кривых, похожих на кривые на рис. 5.7.
Дело здесь в применении двух различных одногрупповых представле-
ний,— одно использует средневзвешенное время распада 1/Х, предна-
значенное для малых ш, а другое — среднюю константу распада Xх,
предназначенную для мгновенной критичности [X и X' определяются
уравнениями (2.27) и (2.31)].

На рис. 5.11 изображены две кривые для и(со) в приближении
мгновенного скачка, обе вычисленные из уравнения

помеченная Л, — та же кри-
вая, что и на рис. 5.7 (Х=
=0,0767 сект1). Кривая, по-
меченная Xх, — та же самая
кривая, только вместо X
взято Xх=0,405 сек~1. Кри-
вые Нордгейма — Фукса
идентичны кривым на рис.
5.7. Точки — машинные ре-
зультаты для двух значений
/, использующие шесть групп
запаздывающих нейтронов.
Как и раньше, аК/р=1.

Видно, что точные ре-
шения лежат около кривой
мгновенного скачка для X
при малых со. По мере того
как со увеличивается, точные
результаты начинают опу-
скаться ниже и затем устре-
мляются по направлению к
кривой мгновенного скачка
для Xх Плато около мгно-
венной критичности все еще
резко выражено для малых
/, а максимальная мощность
при мгновенной критичности
очень близка к Ххр/аК. Для
большего значения / Xх и р//

(5.114). Кривая,

5.11. Зависимость максимальной мощности

Рис.

незначительна,

от начального обратного периода (шесть групп
запаздывающих нейтронов, линейная адиабатиче-

ская модель, начальная мощность
аК/₽=1).

может быть

слишком близки, чтобы их отличить, но различие все еще
сделано. Кривые уравнения (5.114) изображены как для X, так и для Xх
наряду с прямой линией, которая соответствует уравнению (5.86). Точ-
ное решение для шести групп запаздывающих нейтронов может быть

тогда предсказано с помощью изображения плавного перехода между
тремя приближенными кривыми. Заметим, что максимальная мощность
при мгновенной критичности не превышает Ххр/а/С.

Энергия, или скомпенсированная реактивность, при максимальной
мощности показана на рис. 5.12. Кривые для различных значений //р
являются интерполяцией значений, вычисленных на ЭВМ для шести
групп запаздывающих нейтронов. Кривая приближения мгновенного
скачка с шестью группами запаздывающих нейтронов неотличима на
этой шкале от кривой для //р=10"6 сек в целом диапазоне ниже мгно-
венной критичности. Для сравнения пунктирной линией представлена
кривая мгновенного скачка для одной группы запаздывающих нейтро-
нов из рис. 5.10.

Те же самые данные, изображенные на рис. 5.13 в логарифмическом
масштабе в виде зависимости Е(п) от со, показывают, как мало может
быть выделение энергии при максимальной мощности в нестационар-
ном процессе около мгновенной критичности для малых I. Изучив

Рис. 5.12. Зависимость энергии или скомпенсированной реактив-
ности при максимальной мощности от начальной реактивности.

рис. 5.13, можно грубо предположить, что минимальное значение
Е(п) пропорционально квадратному корню из /. Теоретическое обос-
нование этого будет дано в следующем параграфе вместе со ссылками
на экспериментальные данные.

Начальный обратный период со , сек

Рис. 5.13, Зависимость энергии или скомпенсированной реактив-
ности при максимальной мощности от начального обратного пе-
риода (шесть групп запаздывающих нейтронов).

Расчеты на ЭВМ для двух медленных нестационарных процессов,
имеющих одинаковый начальный период (со = 0,1 сек—1), изображены
152
на рис. 5.14. Значения р0/р—0,4092 и 0,3992 для //р = 10~1 и 10~6 сек
соответственно. Для этих случаев По = 10~6 и, как и раньше, аЛ7р = 1.
Обе траектории были бы еще ближе друг к другу, если бы начальные
реактивности, а не начальные периоды, были одинаковы.

Завершая этот параграф, заметим, что модель одногруппового
мгновенного скачка не допускает точных решений для временных зави-
симостей р и п, которые должны быть аналогичны уравнениям (5.93)
и (5.94) для модели Нордгейма — Фукса. Вместо этого существует

Рис. 5.14. Зависимость мощности от времени и траектории «мощ-
ность от реактивности» для адиабатической модели с шестью
группами запаздывающих нейтронов, начальный обратный пе-
риод (0 = 0,1 сек~1.

неявное соотношение для реактивности (или энергии), которое получа-
ется исключением п из уравнений (5.104) и (5.107). В результате

Л(? —= р" —р </> — ^±-Р2_ 1п РаТр^\ . (5.118)

' 7 ро Ро — р(*1) Ро Ро 4- р (^1) к 7

где интегрирование по времени ведется от до I. В обеих моделях
(мгновенного скачка и Нордгейма — Фукса), в которых начальная мощ-
ность не учитывается, решения являются функциями, которые распро-
страняются обратно во времени к р—>-ро и п—>0, по мере того как
I—>—сю. Любое начальное значение, для которого р и р0 неотличимы
(и при очень малой начальной мощности), в конечном счете дает по
существу такой же скачок, хотя, конечно, фактическое время для до-
стижения максимальной мощности зависит от значения начальной
мощности. Для вычислений на ЭВМ, приведенных в этой главе, были
выбраны (для того чтобы начать вычисления) различные малые, но не
нулевые значения начальной мощности таким образом, чтобы миними-
зировать время счета, не повлияв при этом на результат для максималь-
ной мощности.

§ 5.8. Нестационарные процессы около мгновенной критичности

В этом параграфе мы изучим совместно уравнения для точечной
модели реактора с одной группой запаздывающих нейтронов и модели
адиабатической обратной связи. Такое исследование приводит к про-
стой модели для нестационарных процессов в реакторе, справедливой
для значений выше и ниже мгновенной критичности, а также содержа-
153
щей информацию о скачках мощности около мгновенной критичности.
Этот метод развил Каноза [80], который установил, что система урав-
нений с тремя переменными может быть сведена к одному дифферен-
циальному уравнению первого порядка с двумя переменными.

Одним из результатов этого исследования является получение
асимптотических разложений мощности по малому параметру, первый
член каждого разложения представляет собой модель мгновенного скач-
ка или модель Нордгейма — Фукса, зависящие от начальной реактив-
ности. Другим результатом является понимание природы сильно асим-
метричных импульсов мощности около мгновенной критичности, при
которых очень малые выходы энергии имеют место до достижения мак-
симальной мощности. Мы покажем, что минимум в кривой для ском-
пенсированной реактивности при максимальной мощности (см. рис. 5.13)
изменяется приблизительно как квадратный корень из I—времени гене-
рации нейтронов. Предположим, что реактор описывается уравнениями
(3.24) и (3.25), где <7 = 0:

+ (5.119)

4 = (5-120>

Как и в предыдущих двух параграфах, предположим, что обратная
связь представлена в виде:

р = ро—аТ,

(5.121)

аТ1сИ=Кпу

(5.122)

(5.123)

Как показано в [80], анализ можно провести с более общей обратной
связью р=Ро+/(Л вместо уравнения (5.121). Чтобы проиллюстриро-
вать метод, мы выбрали более простую модель.

Уравнения (5.119), (5.120) и (5.123) представляют собой систему
уравнений с тремя переменными п, с и р. Графики решений являются
кривыми в трехмерном пространстве. Состояние равновесия имеет
место для п = с = 0 при произвольном р. Природа состояний равновесия
становится понятной, если записать систему в форме

(5.124)

где п, с и 6р можно считать малыми отклонениями от состояния равно-
весия при п = с = 0 и произвольном р. Около точки равновесия матрич-
ный элемент, содержащий р, будет почти константой. Легко проверить,
что два собственных значения матрицы системы будут корнями урав-
нения (2.29), уравнения обратных часов, соответствующего реактив-
ности р, в то время как третье собственное значение равно нулю.

При обсуждении рис. 2.4 выяснилось, что существуют два корня
противоположного знака при р>0 и два отрицательных корня при
р<0. Как будет показано в гл. 7, это означает, что равновесие неустой-
чивое (точки седла) при р>0 и устойчивое, когда р<0. Это неустой-
чивое равновесие при нулевой мощности для произвольной положитель-
ной реактивности соответствует надкритичному реактору, «который
154
ждет, когда придет нейтрон». Присутствие нулевого собственного зна-
чения является отражением существования произвольной реактивности
при равновесном состоянии.

Следуя работе [80] (разница лишь в том, что мы используем и, с
и р вместо га, с и Г), перейдем к исключению переменной с из уравне-
ний (5.119), (5.120) и (5.123). Складывая первые два уравнения, получаем

(5.125)

Исключение переменной по времени в уравнениях (5.123) и (5.125) дает

(1 (п + с) Д/р = —р/аК1. (5.126)

Интегрируя, находим

с=А—п— (5.127)

Подстановка последнего выражения в уравнение (5.119) дает

+ • (5.128)

а1 I 1 2<хд7 7

Исключим теперь переменную по времени в уравнениях (5.123) и
(5.128), чтобы найти

Р + X/ р __ ХЛ । Хр2 19О\

4/р аК1 аКп ’ 2а2№/п ’

Итак, мы получим дифференциальное уравнение для кривых в плоско-
сти п, р, представляющих собой плоские проекции траекторий трехмер-
ного решения от /г, с, р.

Выберем совокупность из всех возможных интегральных кривых,
включая интегральную кривую через две точки п = 0, с = 0, р=±ро,
положив при этом

Л = ро2/2аК/ (5.130)

в уравнении (5.127). Точка р = р0 неустойчива, а точка р = —ро устой-
чива. Поэтому нестационарный процесс, начавшийся при реактивности
ро и очень малой мощности, в конечном счете прекратится при р = —ро.
Подставив (5.130) в (5.129), получим дифференциальное уравнение
для этих траекторий:

(1п _ 0 + X/ — р । (Р2 — Ро)

“ТГ-" *” 2а2К2/л

(5.131)

Точного решения уравнения (5.131) не найдено. Однако нетрудно
получить графически решение в плоскости п, р. Из уравнения (5.123)
видно, что п и г/рДЙ пропорциональны, следовательно, эта плоскость по
существу представляет собой общепринятую фазовую плоскость. (Поз-
же мы время от времени будем использовать термин «фазовая пло-
кость», чтобы показать двумерное пространственное состояние, даже
когда одна переменная не равна производной другой переменной по
времени.)

Построение поля направлений является простым графическим ме-
тодом. Уравнение (5.131) дает наклон траектории в каждой точке (п, р)
на интегральной кривой. В плоскости вычерчиваются короткие прямые
линии, наклон которых определяется уравнением (5.131), а направле-
ние возрастания — производной по времени. Например, уравнение
(5.123) показывает, что р всегда уменьшается для а>0 и п>0. Равно-
весные точки дают неопределенные наклоны.
Когда поле направлений построено, нетрудно вычертить приблизи-
тельные траектории среди линий, показывающих наклон. Нас особенно
интересует траектория, соединяющая точки /2 = 0, р = р0 и. /г = 0, р = —ро

Часто удобным оказывается построение изоклинов. Изоклин — это
множество всех точек в поле направлений, для которых наклон один и
тот же. В нашем частном случае мы можем многое узнать, рассмотрев
изоклин с нулевым наклоном (ИНН), который получается, если поло-
жить правую часть уравнения (5.131) равной нулю'. Очевидно, что
траектория пересекает ИНН при максимальной мощности.

Рис. 5.15. Плоскость и, р для ро=О,80, показывающая
изоклин нулевого наклона, его асимптоты и траекторию
(аК/0=1, Л=0,405 сек~1, //0 = 0,1).

Из уравнения (5.131) следует, что ИНН равен

_ Мро — р2) 1

2аК (?Ч-Х/ —р) ’ (5.132)

Уравнение (5.132) представляет собой гиперболу в плоскости п, р. Ее
асимптоты являются прямыми линиями:

р = р + Л/, (5.133)

й (Р + ₽ + (5-134)

Заметим, что асимптоты не зависят от ро.

Пример для ро = О,8 показан на рис. 5.15. Интегральная кривая
почти неотличима от ИНН (пересечение происходит при максимальной
156
мощности около р = О,40). Такое поведение не удивительно, если срав-
нить уравнения (5.107) и (5.132). Если величиной I можно пренебречь,
то ИНН становится интегральной кривой для приближения мгновен-
ного скачка.

Пример для ро=1,80 с неизменными другими параметрами показан
на рис. 5.16. Для сравнения штрих-пунктиром приведена интегральная
кривая для модели Нордгейма — Фукса, уравнение (5.84). Для малых
значений / обе кривые затухают, расположившись очень близко друг

Рис. 5.16. Плоскость п, р для р0 =1,8(0, показывающая
изоклин нулевого наклона, его асимптоты, траекторию
и приближенную траекторию Нордгейма—Фукса
(аЛ70=1, Л = 0,405 сек~\ /Л0 = О,1).

к другу. Сходство двух кривых для быстрой части импульса следует из
уравнения (5.131), которое превращается в модель Нордгейма — Фукса,
когда значением Л можно пренебречь.

После быстрого всплеска точное решение быстро приближается
сверху к ИНН. Конец траектории — это «хвост» запаздывающих ней-
тронов, для которого п—->0 и р—* ро. Начало «хвоста» может быть
оценено, если подставить «конечную» реактивность 20—ро из модели
Нордгейма — Фукса в уравнение (5.132) для ИНН. В результате полу-
чится

/г —2(Зл/а/С (5.135)

Это выражение можно сравнить с уравнением (5.102), вспомнив при
этом, что Л' должно быть использовано вместо Л непосредственно после
быстрого импульса. Для малых / эта точка становится пересечением
кривой Нордгейма — Фукса с ИНН, а ИНН по существу играет роль
приближения мгновенного скачка, как только быстрый импульс кон-
чится.
Чтобы более подробно разобраться в вопросе, рассмотрим другие
траектории в плоскости. На ИНН возьмем п = пг, где ^п/г// = 0. Уравне-
ние (5.128) приобретает вид

0= — Хп2 — -^т- (5.136)

Вычтем (5.136) из уравнения (5.128) при том же значении р и найдем
4г=- - «*) <5-137>

Это означает, что все интегральные кривые, независимо от начальных
условий, быстро сходятся к ИНН при р<р + Х/, что соответствует быстро
затухающему начальному переходу, изображенному мгновенным скач-
ком или мгновенным падением. Это объясняет, почему интегральная
кривая везде так близка к ИНН на рис. 5.15 и почему она так быстро
приближается к ИНН после быстрого импульса на рис. 5.16.

Вышеизложенное представляет собой простую модель, которая
дает информацию о медленных и быстрых нестационарных процессах,
изображенных на рис. 5.15 и 5.16. Обе фазовые плоскости очень разли-
чаются, как это видно из формы ИНН. Переход, который представляет
собой особую точку для системы дифференциальных уравнений, проис-
ходит при ро=Р + А7, где гипербола вырождается в асимптоту. Заметим,
что особая точка находится не точно при ро = ₽ (это значение можно
было получить при выводе модели мгновенного скачка и модели Норд-
гейма — Фукса).

Интегральная кривая, начинающаяся при ро = Р + М, сильно асим-
метрична, как показано на рис. 5.17 [534]. Для малых / кривая близко
приближается к треугольной форме. Предельное значение максималь-
ной мощности при малых I есть пересечение двух асимптот:

п=%(р4-%/) /с^С—>Хр/аК.

(5.138)

Уравнение (5.138) соответствует уравнению (5.111) приближения
мгновенного скачка при ро—ИЗ- Различие между начальной реактив-

Рис. 5.17. Плоскость л, р, для ро =
= Р+1/ (аК/р = 1, %=0,405 сек-1}.
Изоклины с нулевым наклоном, кото-
рые соответствуют своим асимптотам,
определяются уравнениями (5.133) и
(5.134).

Рис. 5.18. Зависимость мощности от
времени для адиабатической модели
с одной группой запаздывающих
нейтронов (ро = Р+Х/; %=0,405 сек-1;
аД70 = 1, п0=4О-в).
ностью и реактивностью при максимальной мощности становится все
меньше и меньше по мере того, как I уменьшается. Это объясняет
сильный минимум кривой энергии или скомпенсированной реактивности
при максимальной мощности, который виден на рис. 5.12 и 5.13.

Кривая п(/) также сильно асимметрична из-за малого значения
энергии при максимальной мощности. Это видно из рис. 5.18 [534].

Для случая с шестью группами запаздывающих нейтронов ход
кривой после максимальной мощности должен отличаться, но характер-
ные особенности остаются неизменными.

Теперь рассмотрим способ получения асимптотических степенных
рядов в зависимости от малого параметра с целью представления при-
ближенных траекторий в плоскости п, р. Для этого удобно опреде-
лить новые переменные

х=р,/р (5.139)

г/ = аЛЖр. (5.140)

Параметрами являются

*о=ро/₽ (5.141)

е=%//р. (5.142)

Преобразованное с помощью этих представлений, уравнение (5.131)
имеет вид

^=^+^-х)у+-^-(х1-х20 ). (5.143)

Для малых скачков реактивности можно ожидать, что основной
член в решении не будет зависеть от I или е. Следовательно, можно
положить

^=г/1+е^2+0(е2), (5.144)

как в § 3.2. Подставив это выражение в уравнение (5.143) и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем для О(е°)

у-2 _ 2

= <5-145>

которое идентично уравнению (5.107) в приближении мгновенного скач-
ка. Для □ (е1)

1)- (5146>

Подставив в (5.146) У1 из уравнения (5.145), найдем

Уг = 4- (хо - х) [Л - 1 + 4- - х)] (! - Л)-4- (5-147>

С учетом (5.144) решение уравнения (5.143) может быть
в форме

Хд — х2 * — — —

У = о /1 ч 1 Ч----------71----П------ 8 +° <8 )

2 (14-х) Ь 1 (1—х)3 1 '3

записано

(5.148)

Этот ряд отличается от полученного Канозой [80] в двух отношениях.
Каноза использовал температуру, а не реактивность в качестве незави-
симой переменной. Кроме того, основной член его ряда содержит пара-
метр В, который есть по существу х$—1—8. Мы же выбрали 8 и рас-
сматривали его как малый параметр, где бы он ни появлялся. Таким
образом, все члены порядка 8 включены во второй член разложения.
Основной член ряда, определяемого уравнением (5.148), соответствует,
следовательно, приближению мгновенного скачка. Ряд определен для
Х<1.

Чтобы найти поправку первого порядка к максимальной мощности,
вычислим х для функции уг (значение х для максимального г/1) и ис-
пользуем это в уравнении (5.148) для аппроксимации у. Легко прове-

рить, что У1 максимально при

Х= 1 — V"1 — х20 . (5.149)

Этот результат соответствует уравнению (5.110) в приближении мгно-
венного скачка. Подставив его в уравнение (5.148), найдем

(5.150)

Основной член соответствует правой части уравнения (5.111) в прибли-
жении мгновенного скачка. Заметим, что поправка первого порядка
отрицательна (хо<1) и что она расходится при Хо—>1. Подобно при-
ближению мгновенного скачка, уравнение (5.150) имеет ограниченное

применение, когда мгновенная критичность не может быть получена
при использовании больших значений 8. Расхождение при Хо—>1 есть

не что иное, как характерная черта разложения, где имеется сингуляр-
ность, а хорошего соответствия уравнений (5.148) или (5.150) с рядом,
полученным для быстрых нестационарных процессов, в большинстве

случаев не следует ожидать.

Существует способ нахождения поправки первого порядка к х,
который заключается в определении значения х, для которого сумма
первых двух членов в уравнении (5.148) максимальна. Это, оказывает-
ся, довольно трудно сделать, и возможная оценка может быть произве-
дена благодаря допущению, упоминавшемуся ранее, что точная траек- .
тория очень близка к ИНН. Для уравнения (5.143) ИНН есть

У=ггг--------(5.151)

» 2 (1 —- е — х) ' '

а его максимум будет при

Уравнение (5.152) очень близко к результату, полученному при нахо-
ждении максимума уравнения (5.148), за исключением предельного

значения при Хо—>1. Как и в случае с у, поправка первого порядка к х
отрицательна и расходится, когда х;.—

Для больших скачков, реактивности из модели Нордгейма — Фукса
[уравнение (5.83)] следует, что основной член в у(х) должен быть по-
рядка 1/е. Тогда

У = У1/е- + Уг+О(е). (5.153)
Все это напоминает вывод в § 3.2, хотя здесь главный член мы записы-
ваем с точностью до 1/е. Подставляя (5.153) в уравнение (5.143) и при-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, находим для
0(8-9:

д,у^с1х = 1 —х. (5.154)

Интегрируя (5.154) с начальным условием #1 = 0 при х=хо, имеем

= (5.155)

что эквивалентно уравнению (5.83). Для О (в0)

Уг^г + У* + + (5.156)

Используя уравнения (5.154) и (5.155), можно найти

(1у2/с1х= 1/[1—(х + х0)/2].

Интегрирование с #2=0 при х=хо дает

= <5-157)

Траектория решения может быть записана в виде

у=4- [о - *о)2 - (1 - -к)2] 4-+21п 1 _*(?+х.г/2-+0 <5-158>

И опять результат отличается от результата, полученного в [80]. В част-
ности, коэффициент при 1/8 в уравнении (5.158) не зависит от 8.

Этот ряд может быть использован в быстрой стадии нестационар-
ного процесса. После быстрого импульса траектория приближается
к ИНН [уравнение (5.151)].

Первый член уравнения (5.158) имеет максимум при х=1, как
в модели Нордгейма — Фукса. Точная траектория имеет максимум,
когда она пересекает ИНН [уравнение (5.151)]. Чтобы получить поправ-
ку первого порядка к х, положим правую часть уравнения (5.151) рав-
ной первому члену уравнения (5.158) и решим относительно х. В ре-
зультате

Х = 1 _ е 4- 0 (е2). (5.159)

Хо ’— 1

Чтобы найти поправку первого порядка к #, положим х=1 в уравне-
нии (5.158). Это дает

# = (1 — х)2/2е + 21п 2 + О (в).

(5.160)

Первый член является уравнением (5.84) приближения Нордгейма —
Фукса. Отсутствие хорошего согласия с уравнениями (5.150) и (5.152)
при х0=1 очевидно. ’

Как показано в [80], эти разложения являются асимптотическими
рядами, которые могут быть использованы для численных расчетов
в ограниченных случаях. Получение членов высокого порядка доста-
точно затруднительно, а их практическое значение мало. Лежащая
в основе идея, однако, имеет большое значение для понимания того, как
11—837 161
приближенные решения, обоснованные в различных случаях, могут
быть получены и правильно увязаны друг с другом.

Приближенные уравнения обратных часов для вывода асимпто-
тического ряда для у и х с параметром со вместо %о = ро/Р будут ис-
пользованы при рассмотрении проблемы устойчивости в конце главы.
Этот метод представляет интерес, так как начальный обратный период
более близок к эксперименту, чем начальная реактивность ро.

Закончим этот параграф приближенным выводом другого частного
случая, где ро —р + Х/ или Хо=1 + е. Для этого удобно работать с пере-
менной

ц = %о—х, (5.161)

которая пропорциональна скомпенсированной реактивности или увели-
чению температуры. Уравнение (5.143) преобразуется в

е{/-^-=(х0 — 1 — е)у4-хои — ---(5.162)

При замене переменной х0= 1 4-8 оно переходит в

ъус1у1с1и —(14-е) и—иу—и2[2.

(5.163)

Найдем траекторию через начало координат в плоскости у, и. Заметим,
что наклон в начале координат не определен в уравнении (5.163).

Рассмотрим семейство изоклинов, определяемое уравнением

ьуМ = (14-8) и—иу—и2/2.

(5.164)

ИНН (Л4 = 0) состоит из двух пересекающихся прямых линий

ц = 0

у= 1 4-8—и/2.

(5.165)

(5.166)

Началом координат будет точка седла. Чтобы найти начальный наклон,
подберем специальную траекторию, которая выходит из точки седла.
Как мы увидим в гл. 7, такая траектория должна совпадать с особым
изоклином по мере того, как он проходит через точку седла. Дифферен-
цируя уравнение (5.164), получаем

еМ = 1 4- е — и ------у — и,

йи 1 Ли & 9

где йу[с1и теперь является наклоном изоклина. В начале координат
имеем

еМ-^-=14-в. (5.167)

Для траектории, совпадающей с изоклином, М должно равняться с1у]с1и.
Поэтому начальный наклон равен

М = К(1 +«)/е== 1/ГТ.

(5.168)

Начальный наклон велик, так как 8 — малый параметр. Траектория
имеет максимум, где она пересекает ИНН, определяемый уравнением
(5.166), а это должно быть при малых и из-за начальной крутизны.

Поэтому максимум должен быть около у^1. Значение и при у может
162
быть грубо оценено из (5.168) с помощью начального наклона:
у/2 1 /и = 1 /]/7,

так что для й приближение нулевого порядка равно

и^Уё. (5.169)

Из уравнений (5.139), (5.141) и (5.161) следует, что й есть реактив-
ность в долларах, скомпенсированная в момент максимальной мощно-
сти. Поскольку е = Л,//р, уравнение (5.169) означает, что для начальной
реактивности 1+е скомпенсированная реактивность при максимуме
пропорциональна корню квадратному из I.

Более хорошее приближение можно получить, если использовать
уравнение (5.163). Предположим, что и остается достаточно малым,
таким, что и2 можно пренебречь в дифференциальном уравнении. Тогда
приближенная траектория удовлетворяет уравнению

еу-^-=(1-[-е)и—иу^и—иу. (5.170)

Приближенная интегральная кривая описывается уравнением
е 1п - еу = 4 и\ (5.171)

Уравнение (5.171) является хорошим приближением, если только
и<0()/7).

Найдем соотношения при максимуме, исследуя пересечение урав-
нения (5.171) с ИНН. Из (5.166) следует, что ИНН для малых е есть

^=4—^/2. (5.172)

Пересечение дает трансцендентное уравнение для й. Чтобы найти при-
ближенное решение, перепишем уравнение (5.171) в виде

г/=1—ехр(—и2/2&—у). (5.173)

В экспоненте можем положить у~1. Сравнение с уравнением (5.172)
показывает, что приближенное значение будет решением уравнения

ехр (—1—ц2/2е) = и/2. (5.174)

Функция Гаусса, которая стоит в левой части уравнения (5.174),
имеет полуширину и= |/2е. Решение и = и уравнения (5.174) мало, так
что приближение

иъ*У2я (5.175)

лучше, чем уравнение (5.169). Кроме того, очевиден более низкий пре-
дел для й. Выбираем уравнение (5.175) в качестве нашего первого при-
ближения.

Теперь перепишем уравнение (5.174) в виде:

« = 1^28 (1п4 - 1). (5.176)

Второе приближение, которое очень близко к точному решению урав-
нения (5.174), получается подстановкой уравнения (5.175) в правую

Л* 163
часть уравнения (5.176):

(5.177)

Точные значения решения уравнения (5.174) могут быть быстро полу-
чены итерационным методом с помощью уравнения (5.176). Следующее
приближение будет результатом использования уравнения (5.177)
в правой части уравнения (5.176).

Сравнения с экспериментом и с точными вычислениями на ЭВМ
дают хороший результат даже для систем со сложным механизмом
выключения. Скомпенсированная реактивность (в долларах) при мак-
симальной мощности для ро=р+М показана на рис. 5.19.

Рис. 5.19. Скомпенсированная реактивность при максимальной мощ-
ности в зависимости от 1/$ для скачка реактивности в 1 долл. Для
мгновенного линейного выключения ордината также представляет
собой энергию (ордината нормирована коэффициентом реактивности
в 1 долл на единицу энергии):

ф — данные расчетов на ЭВМ [534, 610]; О — полуэмпирические оценки по
реактору 8РЕРТ [175]; △ — реактивность, вычисленная по данным изменения
мощности для реактора 8РЕРТ-1 [370]; • — данные для реактора ТКЮА

[611, 612]; А—расчет для ТКЕАТ [613]; □ — результат эксперимента на КБXVВ

[243]; V — то же на 8МАРТКАМ [268].

Быстрые импульсные реакторы представлены только расчетными
точками. Крайне трудно выполнить точный эксперимент в этом классе
реакторов, так как период очень чувствителен к малым неопределен-
ностям при изменении реактивности.

Достаточно точно установлено, что скомпенсированная реактив-
ность при максимальной мощности имеет минимум около начальной
реактивности в 1 долл, что согласуется с вычислениями, представлен-
ными на рис. 5.13. Даже при наличии сложных нелинейных механизмов
выключения можно предположить, что это явление по существу есть
проявление запаздывающих нейтронов.

§ 5.9. Модель Фукса при линейном изменении реактивности во времени

В этом параграфе рассматриваются нестационарные процессы
с саморегулированием мощности, вызванные линейным изменением
реактивности (начальная реактивность увеличивается линейно со вре-
164
менем). Важный вклад в разработку этого вопроса внесли авторы ра-
бот [72, 81, 83, 179, 222, 400, 496]. Сначала мы опишем главные особен-
ности классической модели Фукса для быстрых нестационарных про-
цессов, а затем дадим вывод Канозы необходимого условия для сум-
марной реактивности, превышающей мгновенную критичность с учетом
запаздывающих нейтронов.

Как и в § 5.6, пренебрежем скоростью образования запаздываю-
щих нейтронов и источником нейтронов и используем уравнение (5.77)
для нейтронной плотности:

р — ?

(И — I '

Реактивность положим равной

р=ро+у*—аТ,

(5.178)

(5.179)

где ро — неопределенная константа; -у — скорость изменения* реактив-
ности; Т — температура. Другие обозначения имеют тот же смысл, что
и в § 5.6; значение / = 0 будет обсуждаться ниже.

Используем адиабатическую модель, уравнение (5.66) или (5.79):

(1Т](И = Кп.

(5.180)

Как отмечено Смитсом {496], форма уравнений не изменяется, если
использовать модель смещения на постоянную мощность [уравнение
(5.68)]. Мы выбираем более простой вариант для описания этого про-
цесса. Из уравнений (5.179) и (5.Г80) имеем

(5.181)

После исключения переменной по времени в уравнениях (5.178) и

(5.181) получим

с1п_______(р — Р) п

г/р I (у — а-Кп) ’

(5.182)

Уравнение (5.182) является дифференциальным уравнением для траек-
тории в плоскости п, р, и, таким образом, задача сведена к решению
независимой системы.

Удобно использовать мгновенный обратный период

1 <1п ____р — р

п ’ (11 I

Тогда уравнение (5.182) заменяется уравнением

(1п___ 1(лп

с1<х> у — а-Кп ‘

Переменные разделяются:

1п . I ,

------------ап = — шцсо.

л У у

(5.183)

(5.184)

(5.185)

Из уравнения (5.181) и (5.184) следует, что максимальная реактив-
ность рт и минимальный обратный период (ят имеют место при п = пт,
которая определяется формулой

«т='у/а7<.

(5.186)

165
Эта мощность является важным параметром системы и обычно называ-
ется мощностью при минимальном периоде. Ясно, что пт представляет
собой также мощность при минимальной реактивности (максимальном
периоде), вызывающей нейтронный импульс.

Уравнение (5.185) можно записать в виде

йп
п

д,п I

~гЦг 7

соб/ю.

(5.187)

Из уравнения (5.183) следует, что п -будет максимально (п) или мини-
мально (пМИн), когда со = 0. Интегрируя уравнение (5.187) при п = пмии
и со = 0, имеем

^МИН __ I ^2

Лмин

(5.188)

—семейство близких кривых в
собой периодические решения
ввести новые переменные

плоскости п, со, которые представляют
для мощности и реактивности. Если

х = |(//<у)1/2С0> у = п1Пгп> у0 = Пмш1/пт,

то траектории примут вид:

1п (у/уо) — (у—уо) = х2/2.

(5.189)

(5.190)

Траектории показаны на рис. 5.20. Заметим, что значение у становится
очень малым вдоль нижней части широкой траектории. Фактически
линия у=0, соответствующая п(1) =0 и (1р/с11=у, является сепаратри-
сой, которая ограничивает область замкнутых кривых.

Нетрудно заметить, что рис. 5.20 имеет прямое отношение к фазо-
вой плоскости для дифференциального уравнения второго порядка,
полученного исключением п из уравнений (5.178) и (5.181):

Из уравнений (5.181) и (5.189) следует, что (у—1) соответствует
(—Зр/сМ), а из уравнений (5.183) и (5.189) —что к соответствует (р—р).
Рис. 5.20 представляет собой фазовую плоскость б/р/б// как функцию
от (р—р) с перевернутой вертикальной осью и измененной шкалой.
Каноза [81] использовал уравнение (5.191) в качестве основы для изу-
чения сингулярности в этой задаче.

Теперь вернемся к уравнению (5.187) и проинтегрируем его при
п = пт и со = сот:

1п —----1=212-= '(«?_»„/). (5.192)

Пт пт 2у V т > 47

Если положить п = п и (о = 0 (максимальная мощность), то уравнение
(5.192) запишется следующим образом:

п 1 < п ____ I

_ 1П

(5.193)

шт2
^ТП

Отметим, что решение уравнения (5.193) относительно /, полученное из
экспериментально измеренных величин, дает косвенное значение вре-
мени генерации нейтронов. Уравнение (5.193) дает также важный тео-
166
ретический результат для больших скачков
мощности (больших п/Пщ). В пределе, при
большом п, уравнение (5.193) приближенно
будет иметь вид:

п^1пт^т21^ = 1^т21^К. (5.194)

Мы можем сравнить уравнение (5.194)
с уравнением (5.86) для сильных всплес-
ков мощности, вызванных ступенчатым
изменением реактивности, помня при этом,
что со в этом случае также соответствует
минимальному периоду (максимальной ре-
активности). Это сравнение наводит на
мысль о приблизительной равноценности
нестационарных процессов, вызванных сту-
пенчатым и линейным изменением реактив-
ности, хотя соответствие может оказаться
и не очень хорошим (даже для самых боль-
ших траекторий на рис. 5.20 погрешность
составляет около 30%). Другие примеры эк-
вивалентности ступенчатых и с линейным

Рис. 5.20. Траектории решения
для модели Фукса при линей-
ном изменении реактивности
во времени:
х-С//?)1/2©; У~п/пт-, пт — мощ-
ность при минимальном периоде;
параметр 1/«/овлт/лмин.

изменением реактивности приведены в [81].

Возвращаясь к уравнению (5.192), положим п = иМИп, <о = 0 и найдем

1п

Лмин

Имин __ * 2

пт — 2у •

(5.195)

Даже для траекторий средних размеров член ПминМт мал, и им можно
пренебречь в уравнении (5.195). Решая относительно сот, имеем

<»т =

^МИИ

(5.196)

Подстановка уравнения (5.196) в уравнение (5.197) дает

Л/(^т/^мин) 1 •

(5.197)

Как упоминалось в связи с уравнением (5.194), нельзя рассчитывать,
что это уравнение может дать хорошее приближение. После довольно
сложного анализа Фукс получил выражение

п!п
т 1п (4/^т/^мин)>

которое дает грубое представление о количественной недооценке макси-
мальной мощности в уравнениях (5.194) и (5.197).

Само уравнение (5.196) является хорошим приближением и может
быть использовано для вывода других свойств периодического решения.
Используя (5.183), находим, что крайние значения реактивности равны

р7П = р=г/2у/ [1п (лт/гамЯН) — 1]. (0.198)

Однократный импульс соответствует скачку реактивности

др = 2 у2у/[1п (ЛтМмин) - 1] (5.199)

Энергия одного импульса равна Е = &р!аК. Используя (5.186), имеем

Е = 2птУ(21/ч) [1п (пт/пыяа) - 1 ] (5.200)

167
Между импульсами потеря реактивности Ар восстанавливается со ско-
ростью -у сект*. Временной цикл или интервал между импульсами, сле-
довательно, равен Др/у или

Ы = 2 /(2//Г) [1п (пт/пмт) — 1]

(5.201)

В итоге мы можем грубо оценить продолжительность каждого импульса
как х—Е/п. Используя уравнения (5.197) и (5.200), находим

т ==« 2 V(2//у) [1п (/гт/лМин) — 11

(5.202)

Ситуация качественно показана на рис. 5.21, где точка /=0 соответ-
ствует мгновенной критичности. Фактически, разговор идет о самом

Рис. 5.21. Качественный отклик
на линейные изменения реактив-
ности во времени.

периодическом решении, поэтому ось по
времени произвольна. Поскольку п нико-
гда не равно нулю на замкнутой траек-
тории, то не существует точки начального
равновесия, для которой нет производ-
ной г/ТД/Л Этот факт, а также прибли-
женные решения в зависимости от време-
ни обсуждаются в [81].

В действительности главная труд-
ность в использовании этой модели для
практических задач заключается в выбо-
ре приближенной замкнутой траектории,
которая может быть некоторым образом
подобрана к решению задачи с линей-
ным изменением реактивности без обрат-
ной связи. Решение начинается при кри-
тичности р = 0 с некоторой начальной
мощности «о. Модель Фукса получена
в предположении, что реактор уже пре-

высил мгновенную критичность до того,
как обратная связь стала ощутимой. При медленном изменении реак-
тивности нейтронный импульс, по-видимому, может быть чрезвычайно
большим, даже если суммарная реактивность не достигнет когда-либо
мгновенной критичности.

Предельные случаи очень быстрых изменений реактивности можно
рассмотреть, используя асимптотическое решение, изложенное в § 3.5.
Предположим, что достаточно велика, так что асимптотическое реше-
ние без обратной связи [уравнение (3.129)] справедливо для интервала
после достижения мгновенной критичности, где еще нет обратной связи.
Парабола на рис. 3.16 может быть тогда отождествлена с самой ниж-
ней частью траектории модели Фукса на рис. 5.20 (напомним, что
рис. 3.16 имеет логарифмический масштаб).

Экстраполяция уравнения (3.129) к мгновенной критичности дала
уравнение (3.131):

и(**) « (5.203)

Мы можем теперь отождествить и(/*) с пМИн и тем самым выбрать
определенную замкнутую траекторию. Это позволит вычислять отдель-
ные значения максимальной мощности, максимальной реактивности,
выделения энергии и т. д., используя уравнения, полученные в этом
параграфе. Такие результаты применимы только к очень быстрым изме-
168
нениям реактивности, вводящимся при очень малой мощности, но они
бессмысленны, если суммарная реактивность фактически остается мень-
ше, чем р.

Намеченный только в общих чертах критерий применимости метода
может быть получен интуитивно: в уравнении (5.203) п(/*) изменяется
обратно пропорционально ]/' у. Если у очень мало, то и(/*) будет пре-
вышать ит, вычисленное из уравнения (5.186). Поэтому необходимым
условием для отождествления уравнения (5.203) с пМхш является

П (^*) <:С^гп

(5.204)

На самом деле, если это неравенство не удовлетворяется, то мгновенная
критичность не может быть достигнута до того, как станет заметным
появление обратной связи. Используя уравнения (5.186) и (5.203), мы

заключаем, что

/ / ,1/2 .,3/2

( — » —!_____

(5.205)

является необходимым условием для отождествления п(/*) с Имин (и
для достижения мгновенной критичности перед появлением обратной
связи). Конечно, уравнение (3.129) является асимптотической формой,
справедливую для больших у, и по ней в первую очередь нужно про-
верять, удовлетворяется ли условие у^>%0 (см. § 3.4, 3.5).

Теперь вернемся к выводу относительного критерия, полученного
Канозой [83]. Найдем, что уравнение (5.205) по существу является
частным случаем, который справедлив для достаточно малой началь-
ной мощности По. Мы также обсудим более общие результаты Канозы
для максимальной суммарной реактивности.

Предположим, что начальное состояние определяется значениями
р=0, п=Ио и что процесс достаточно быстр, так что Сг остаются при
своих равновесных значениях. Уравнения (3.1) и (3.2), в которых д =
= 0 и дают (приближение постоянного источника):

йп __р — (3

~аГ ~

(5.206)

Как было отмечено в § 3.2, это уравнение справедливо для /<;1Д. По-
скольку при скорости у мгновенная критичность должна быть достигнута
при /=р/у, мы можем заключить, что эта модель применима, если
у»%р.

Представим реактивность в виде

Р==У^~ аТ (5.207)

для />0, с р=0 для /<0 и используем модель смещения на постоян-
ную мощность [уравнение (5.68)]:

<1Т[Ы=К (п—п0). (5.208)

Исключая Г, имеем

б/рД//=у—аК (и—по). (5.209)

Избавимся от и из уравнений (5.206) и (5.209). Это даст

+ ?)-^-+(Т + а/<«о)Р — Т₽ = 0- (5.210)

Если По—И), то уравнение (5.210) сведется к уравнению (5.191), кото-
рое однородно относительно переменной р—р. Уравнение (5.210) может

169
быть приведено к однородному подстановкой

ИЛИ
где
д = аД7го/у.

Преобразованное уравнение (5.210) имеет вид
/-^+(Нп-«;^г+^(1+8)М=о.

Теперь введем безразмерное время т и параметр е:
т=у^, &=у1

и получим

е-2^+(тТа “ и) л-+{1 +8)« = °-

(5.211)

(5.212)

(5.213)

(5.214)

(5.215)

Это уравнение может быть преобразовано к двум уравнениям первого
порядка:

с1и1<1г=^ (5.216)

_^_=-к[И1,_ _Е_0_ (1 +8) (5.217)

где фазовая переменная V тождественна б/рД/т. Траектория в фазовой
плоскости описывается формулой

4^-=— [ио — +8)«]. (5.218)

аи во \ 1-роу / 4 7

ИНН в фазовой плоскости является гиперболой
ш> — +8)« = 0 (5.219)

с асимптотами
и=рд/(1+б) и п=1+д. (5.220)

Из уравнения (5.212) следует, что вертикальная асимптота соответству-
ет мгновенной критичности.

Начальному состоянию соответствуют р = 0, 4/р/г//=у. Из уравнений
(5.212), (5.214) и (5.216) следует, что начальная точка в фазовой плос-
кости определяется значениями

и=—р/(1+б), 0=1. (5.221)

Из уравнения (5.219) видно, что начальная точка лежит на ИНН
(рис. 5.22). Каждый раз, когда траектория пересекает вертикальную
асимптоту справа, суммарная реактивность превышает мгновенную кри-
тичность.

Верхний предел траектории находится следующим образом. От на-
чальной точки до оси V траектория лежит ниже линии »=1. Траекто-
170
рия пересекает ось о(«=0) с наклоном

М=—р6/е(1+б), (5.222)

полученным из уравнения (5.218). Прямая линия

^=1-Т(гЬгы (5'223)

является, следовательно, верхним пределом в первом квадранте. Пря-
мая линия пересекает ось и при

и = е(1 + б)/рб, (5.224)

как показано на рис. 5.22.

Реактивность превышает мгновенную критичность, только если тра-
ектория пересекает вертикальную асимптоту. Необходимым условием
этого пересечения является

или

е(1 + 6)/рб>рб/(1 +д)
8^(1 + д)/рб> 1.

(5.225)

Используя уравнения (5.213) и (5.214), можно выразить этот критерий
Канозы уже в обозначениях физических переменных:

(т01/2 (тг + аКп,,) 1 (5.226)

В частном случае, когда по^у/аК, он сводится к уравнению (5.205)
с точностью до коэффициента ]/

Уравнение (5.205), полученное для малых п0 из простых интуи-
тивных соображений, является до некоторой степени более ограничи-

Рис. 5.22. Качественная иллюстрация критерия Канозы
для нестационарного процесса, вызванного линейным
изменением реактивности, с учетом запаздывающих
нейтронов.

17Г
тельным, нежели уравнение (5.226) в пределе для малых из-за коэф-

фициента 2-тс.

Решение уравнения (5.224), использованного при выводе критерия
Канозы, не дает удобного верхнего предела при оценке &Макс (см. рис.
5.22). Однако заметим, что е и б являются малыми параметрами в реаль-
ной модели быстрого нестационарного процесса. Это означает, что ИНН
очень близок к своим асимптотам, образуя острый угол с осью V и,

Рис. 5.23. Приближенная траектория для быстро-
го нестационарного процесса, вызванного линей-
ным изменением реактивности, с учетом запазды-
вающих нейтронов.

следовательно, уплотняя
траекторию достаточно близ-
ко к линии по мере то*
го, как она приближается
к оси V. Траектория пересе-
кает ось V около г? = 1 с на-
клоном, определяемым урав-
нением (5.222). В быстром
нестационарном процессе
«величина этого наклона мо-
жет быть либо больше, либо
меньше единицы. Однако
вертикальная асимптота
(р = р) очень близка к оси
V (б мало); таким образом,
траектория пересекает эту
асимптоту около ц = 1.

Мы можем построить
приближенную траекторию
в трех сегментах. Пусть тра-

ектория сначала следует
вдоль ИНН, пока не появит-
ся наклон М [уравнение (5.222)]. Затем направим траекторию вдоль ли-
нии с тангенсом угла наклона 7И, пересекающей ось V и достигающей вер-
тикальной асимптоты. От этой точки идем дальше. Пренебрегаем чле-
ном гфб/(1 +б) в уравнении (5.218) и, интегрируя его, получаем урав-
нение для приближенной траектории. Тогда эта кривая пересечет ось и
около «макс. Такая приближенная траектория построена на рис. 5.23.
От начальной точки до точки 1 кривая представляет собой ИНН
[уравнение (5.219)]. Чтобы определить точку /, найдем д/о/Зи из урав-
нения (5.219), положим ее равной М из уравнения (5.222) и опре-
делим

«. = Г^а-Ге(1 + 8)

(5.227)

(5.228)

Тангенс угла наклона М в точке 1 такой же, как и в точке 2, коорди-
наты которой

Ц2=₽б/(1+б)

у2= 1 4-8 -

2{3д

Ке (1 §) *

(5.229)

(5.230)
После точки 2 используем уравнение (5.218) в приближенной форме:

^-== —[ио —(1 Ч-8)И].

д.11 еу 1 \ । / л

(5.231)

Приближенная траектория является интегральной кривой для уравне-
ния (5.231), которая проходит через точку 2:

«=-и22 = 2е ^о-о2 + (1 +8) 1п ] (5.232)

Чтобы получить &макс, положим у = 0 в уравнении (5.232). Резуль-
тат можно подставить в уравнение (5.212), чтобы получить

Рмакс = 1^+{и/ + 2в [ (1 + 8) 1п (5.233)

В пределе при уравнение (5.233) имеет вид

или в обозначениях физических переменных

Р^акс - Р+ |/ 2Т/ (1п - 1) (5.235)

Интересно сравнить этот результат с уравнением (5.198). Напом-
ним, что Птп=у/а2С Найдем, что

Лмиа«Д=П0. (5.236)

где Пмин—минимальная мощность на замкнутой траектории (мощность
при мгновенной критичности), а По — начальная мощность (мощность
при критичности с учетом запаздывающих нейтронов). Заметим, что
уравнения (5.203) и (5.236) отличаются только коэффициентом ]Ас/2,
что подтверждает обоснованность использованных приближений.

Уравнение (5.232) для приближенной траектории можно распро-
странить и на ее минимум (второе пересечение ИНН). Для малых
5 минимум оказывается около ц=0, что дает трансцендентное уравне-
ние для цМин. Возвращаясь к физическим переменным и используя
уравнение (5.203), получаем трансцендентное уравнение для макси-
мальной мощности. Для быстрых нестационарных процессов это новое
уравнение сводится к уравнению (5.193).

Закончим параграф кратким обсуждением нестационарных процес-
сов, для которых 6 не мало (например, при большом По или малом у).
Если 8 малый, ад — не малый параметры, то, как следует из уравнения
(5.222), траектория пересекает ось V на рис. 5.22 с очень блоьшим от-
рицательным наклоном. В этом случае «макс будет мало по сравнению
с рд/(1 +д). Фактически для «макс около нуля уравнение (5.212) дает

Рмакс «Р/(1+д). (5.237)

Каноза показал [83], что это выражение — отличное приближение для
очень широкого диапазона нестационарных процессов со сверхмгновен-
ной критичностью.
Приближенные решения в зависимости от времени для нестацио-
нарных процессов с медленными и быстрыми линейными изменениями
реактивности, полученные подбором разложений с сингулярностями^
описаны в статье Канозы [83].

§ 5.10. Сложный механизм выключения. Тепловые реакторы

Линейная модель мгновенной обратной связи для выключения реак-
тора, описываемая уравнениями (5.78) и (5.79), должна быть значи-
тельно изменена для определенных типов реакторов. В качестве под-
робной иллюстрации рассмотрим несколько примеров: реактор 8РЕКТ-1
либо с высокообогащенным металлическим топливом, либо с низкообо-
гащенным топливом из двуокиси урана; модификация, разработанная
для реактора ТКЮА, в которой используется температурная зависи-
мость тепловой мощности; и реактор КЕАМВ на гомогенном растворе.
Быстрые реакторы рассматриваются в параграфе, который следует
ниже.

Как было отмечено в § 5.3, главным механизмом выключения
в 8РЕРТ-1 с высокообогащенным топливом является образование пара
в водяном замедлителе. Процесс образования пара — запаздывающий^
так как тепло в результате деления должно быть передано от топлива
к замедлителю, а температура замедлителя должна быть повышена до
точки кипения. Характерные экспериментальные следы изменений
мощности совершенно асимметричны, они показывают быстрый спад
после достижения максимальной мощности [174, 220, 401, 402, 470].

Полуэмпирическая модель была создана Форбсом [174] при попыт-
ке привести в соответствие большое количество данных по быстрым
скачкам мощности. Эта модель представляет собой модификацию при-
ближения Нордгейма — Фукса, в которой обратная связь по реактив-
ности является запаздывающей и нелинейной.

Предположим, что уравнение (5.77) описывает динамику нейтронов
так же, как в § 5.6:

<*п_____р —?

(II I

В простой модели Нордгейма — Фукса (см. § 5.6) обратная связь по
реактивности пропорциональна энергии, так что уравнение (5.238) мо-
жет быть записано в виде

(5.239)

где со— начальный обратный период, соответствующий начальной реак-
тивности ро, определяемой уравнением (5.85), а Ь — энергетический
коэффициент реактивности, поделенный на время генерации нейтронов.
Если п(1) представляет собой мощность, то п—б/ЕД/Л

Изменим уравнение (5.239), чтобы описать наблюдаемую асимме-
трию в импульсах мощности; для этого введем нелинейную обратную
связь, пропорциональную Ег, где г>1:

1 (1п 1 Г~?г

-----у—=(О &ЕГ.
п а1

(5.240>

Интерпретация Ь должна быть соответственно изменена. Введем допол-
нительно время запаздывания обратной связи т, такое, что для /<т Е—
174
=0 и Е(1—т) вместо Е({) для />т, т. е.

1 с1п [ < 'с)

п * \ц> — ЬЕг(1 — т), (/>т).

(5.241)

В двух частных случаях задача может быть решена аналитически.
Рассмотрим первый, представленный уравнением (5.240), известный под
названием модели «нулевого запаздывания». Используя п=йЕ1<Иу про*
интегрируем (5.240):

п = <»Е----^-т^г+1, (5.242)

Г “Гй1

где, как и в § 5.6, пренебрегли начальной мощностью Ло. При макси-
мальной мощности (п = п) энергия Е находится при йп]с11=Ъ из урав-
нения (5.240):

Ё= (5.243)

Подстановка этого выражения в уравнение (5.242) дает

— Г(О1 + 1/Г

П =----------Г/г-•

(г + 1) Ь1/г

(5.244)

Энергия может быть получена как функция времени, если п=(1Е1с11
в уравнении (5.242). ИнтегрируехМ по времени при максимальной мощ-
ности (/=/т) с Е(1т)=Е, определяемой уравнением (5.243). В ре-
зультате получим

Е(0 = [(г+ 1)ш/6]1/г [1 + ге"г"('“<т)]~'1г (5.245)

Дифференцируя и используя уравнение (5.244), имеем

— ГСО (/—{ )

' т

(5.246)

Легко показать, что эта функция выражает желаемый тип асимметрии.
При возрастании, когда уравнение (5.246) превращается в

с возрастающим временем 1/<о. После максимума, где I > /т, имеем

с убывающим временем 1/го. Время убывания меньше, чем время воз-
растания, если г>1.

Формы импульсов, вычисленные из уравнения (5.246) при различ-
ных значениях г, сравниваются с типичными экспериментальными дан-
ными, полученными на 8РЕДТ-1, на рис. 5.24, где Ф — мощность, отне-
сенная к максимуму, а время представлено в виде о(/—/щ), т. е. отне-
сенное к максимуму, измеренное в единицах начального периода Т=
= 1/(о = 9,5 мсек. Количественное соответствие здесь не очень хорошее.
Еще одна трудность в использовании модели «нулевого запаздывания»
для этого типа реактора обнаруживается при сравнении уравнения
(5.244) с данными для п в зависимости от со. В § 5.6, в связи с рис. 5.3,
было замечено, что п изменяется как со1*7 для активной зоны этого реак-
тора; таким образом, уравнение (5.244) предсказывает г=1,4. Из
рис. 5.24 видно, что предсказанный импульс много шире.

Лучшие результаты получаются, когда время запаздывания исполь-
зуется при нелинейной обратной связи. Особо рассмотрим второй част-
ный случай, уравнение (5.241), которое может быть решено аналити-
чески. Это модель «большого запаздывания», в которой предполагается,
что время запаздывания больше, чем ширина импульса. Обратная связь

Время, период

Рис. 5.24. Формы импульсов для модели «нулевого запаздывания» и
экспериментальные данные по 8РЕКТ-1 для сильнообогащенного ме-
таллического топлива [174].

по энергии во время импульса следует тогда из экспоненциально возра-
стающей мощности.

По мере того, как мощность возрастает экспоненциально с п=но
при /=0, энергия ведет себя как

__ По /о*0* 1 \ __

со у / «

Уравнение (5.241) для />т имеет вид

Ч«о/»)гег“ ('-х) (5.247)

Оно может быть приближенно проинтегрировано

1п (я/я0) = Ы — ег" (5.248)

При максимальной мощности (/ = /т) уравнение (5.247) дает

гоо а—$ \

Ьпог/«>г+1=е >п , (5.249)

и уравнение (5.248) принимает вид

1п (Я//г0) = <0^ — (1/г) ег<°*т) (5.250)

При максимальной мощности

1п(л//г0) = ш/т — 1/г. (5.251)
Исключая /г0, мы можем записать форму импульса в виде:

1п = (I - 1т) + (1/Г) [1 (5.252)

Далее, исключая п0 из уравнений (5.249) и (5.251), получаем

/г=—п-—(5.253)

Это выражение можно сравнить с уравнением (5.244) для модели «ну-
левого запаздывания».

Время, период

Рис. 5.25. Формы импульсов для модели «большого запаз-
дывания» и экспериментальные данные по 8РЕКТ-1 для
сильнообогащенного металлического топлива [174].

Формы импульсов, вычисленные из уравнения (5.252) при различ-
ных значениях г, показаны на рис. 5.25 совместно с эксперименталь-
ными точками для импульса 9,5 мсек, изображенного на рис. 5.24. Со-
ответствие очень хорошее при г =1,5. Другой пример показан на
рис. 5.26, где данные по линейной регистрации импульса 7,4 мсек хоро-
шо соответствуют вычисленной кривой для г=2.

Исследование большого количества данных для активной зоны
8РЕКТ-1А при различных формах импульсов и кривых для скомпен-
сированной реактивности привело к выводу, что самое хорошее соот-
ветствие имеет место при г=2 [174]. Это значение можно затем исполь-
зовать в уравнении (5.253), чтобы сравнить с данными для п(о>) и
эмпирически определить т. В результате оказывается, что шт приблизи-
тельно постоянно в диапазоне периодов от 2,2 при 20 мсек до 2,6 при
5 мсек. Кривые зависимости мощности от времени действительно под-
тверждают, что эти времена достаточны для применения модели «боль-
шого запаздывания». Дополнительное подтверждение этого появляется
при рассмотрении кривых для скомпенсированной реактивности [174].

Показатель степени г и время запаздывания т, конечно, не должны
рассматриваться как основные физические параметры. Достаточно, что
они являются удобным средством для приведения в соответствие экспе-
риментальных данных и для предсказывания в ограниченных пределах.
12—837 177
Анализ, представленный здесь, — простой пример успешного «построе-
ния модели» для очень сложной системы.

Предложены другие эмпирические модели корреляции скачков мощ-
ности для этого типа реакторов [175, 195, 401]. Позднее неплохая мо-
дель была получена на основании более строгого рассмотрения, деталь-
но учитывающего процессы переноса тепла с кипением и без кипения
[556]. Более глубокий анализ выходит за пределы настоящей книги.

Поведение 8РЕКТ-1 с низкообогащенным топливом из двуокиси
урана совсем иное, так как основной механизм выключения в нем —
доплер-эффект (см. § 5.3). Данные по максимальной мощности в зави-
симости от со, представленные на рис. 5.3 в логарифмическом масшта-
бе, хорошо соответствуют наклону, равному 2,35 для со> 160 сект1 [518].

Время >мсек

Рис. 5.26. Форма импульса для модели «большого запаздыва-
ния» при г=2 и данные по 8РЕКТ-1 для сильнообогащенного
металлического топлива (174].

Позднее была разработана аналитическая модель, использующая тем-
пературную зависимость доплер-эффекта в виде квадратного корня, и
найдено хорошее согласие с экспериментом [519].

Используем уравнения (5.77) и (5.85) совместно с

Р = Ро — Р/ = Ро — [У1+АВ(() - 1], (5.254)

где Е(1) —энергия, а Ь и А даны в виде параметров резонанса [519].
Имеем

4-4г=<0+ - ГТ + Л2]. (5.255)

Используя равенства п=(1Е1(И и В — рЬ/1, получаем уравнение второго
порядка для Е:

(ЕЕ/(И* = (ш + В — В 1 + АЕ) с1Е1(И. (5.256)

Поскольку мы пренебрегаем начальной мощностью, как и в § 5.6, на-
чальными условиями будут Е=0 и йЕ/сИ—Ъ.

С учетом преобразований

у= 1+АЕ, х=(я/В (5.257)

имеем

^=[(1+х)В-ВУ7] ^-(1+Зх). (5.258)
Это уравнение может быть проинтегрировано с начальными условиями
#=1 и

ау!М =(У+х)Ву-------1- Ву312 - 4- Я (1 + Зх). (5.259)

О о

Вторичное интегрирование производится с помощью преобразования

да = 1 + 2//7 = 1 + 2!У 1 + АЕ. (5.260)

Произведя подстановку и перегруппировав члены, найдем

+ (5-261)

где

Л42=< (9 + Зх) / (1 + Зх). (5.262)

Используя простые дроби, можем переписать уравнение (5.261):

4а1 йт с1и> 14-Зх

2М (М + 3) (о> + М) 2М (3 — Л1) (да — М) (3 + М) (3—Л1) (3—да)--24~ Оа1'

(5.263)

Некоторые коэффициенты перегруппированы для удобства. Заметим, что
до убывает со значения, равного трем, а М заключено между единицей
и тремя.

Интегрируя уравнение (5.263) от (т до /, получаем

(да + М)3~м (3 - да)2м (да - =К еМ“ "~‘т\ (5.264)

где /С может быть выражено через ю(1т).

Если 1т выбрано как время при максимальной мощности, где
4/2ЕД//2=0, то из уравнения (5.258) следует, что У' #=1+х, а из урав-
нения (5.260)

до (|/т) = (3+х) / (1 + х). (5.265)

Начальное значение в уравнении (5.264) равно

Нт до = 3,
/->—оо

в то время как окончательное значение есть

Нт до = М. (5.266)

>оо

Исходное состояние должно быть возмущено, чтобы решение, соот-
ветствующее траектории, имело физический смысл. Под этим возму-
щением понимается малая положительная величина Е в уравнении
(5.260), которая соответствует значению до, немного меньшему, чем три.
Поэтому производная в уравнении (5.261) отрицательна, и до в резуль-
тате убывает.

Из уравнения (5.260) следует, что энергия в любой момент вре-
мени может быть найдена по формуле

^ = -^41)Г- 1- (5.267)

Из уравнения (5.265) получаем, что энергия в момент максимальной
мощности есть

АЕ=2х+х2, (5.268)

12* 179
в то время как из уравнения (5.266) следует, что полная энергия равна

др—

(М — 1)2

(5.269)

Чтобы определить и (/), найдем через п—ЛЕ/дЛ из уравнения
(5.260):

что совместно с уравнением (5.261) приводит к

-4-«(0 =

(1 + Зх) (3 — ну) (ш + М) — Л4)

(5.270)

3 (ш— I)3

Используя уравнения (5.262) и (5.265), мы можем в конечном счете
получить максимальную мощность:

Отметив, что х=со/Д можно предсказать, что п изменяется как со2 для
небольших быстрых скачков, постепенно переходя к кубической зависи-
мости по мере того, как со увеличивается. Это согласуется с рис. 5.3,
где наклон логарифмической кривой увеличивается с величины, равной
двум по мере возрастания со приблизительно с 50 сект1. Более поздние
данные подтверждают справедливость уравнения (5.271) вплоть до со«
«450 сект1 [519].

Еще одна удачная модификация простой модели для быстрого
нестационарного процесса была получена и применена к реактору
ТКЮА [463] *. В этой работе использованы уравнения (5.77) и (5.78)
модели Нордгейма — Фукса, а уравнение (5.79) заменено:

С-д.Т№=п,

(5.272)

где тепловая мощность С является линейной функцией температуры:

С=Со+уТ.

Первый интеграл исходной системы уравнений

п __ (ро - 0) 71 ^0 ЛП2 | Т (рО- р) 7а

" I 21 1 21 3/

(5.273)

(5.274)

сводится к результату Нордгейма — Фукса, если у—>0. Это легко про-
верить, решив уравнения (5.78)) и (5.83) при С^=\[К.

Как и раньше, мы пренебрегаем начальной мощностью. Темпера-
тура при быстром импульсе изменяется от нуля до

—(□-!)+ 4)/ <’-1)2 + 43]’ <5-275)

где ц=аСо/у(ро—Р).

Разложив корень по малому у (большому о), получим

Т = 2 (р0 - ----у (5.276)

следовательно, при у—>0 уравнение (5.276) сводится к уравнению
(5.89). Другой крайний случай (большое у, малое о):

>3(ро—Р)/2а.

См. также [289, 598].
Использование постоянной тепловой мощности совместно с простой мо-
делью Нордгейма — Фукса, таким образом, приводит к завышению ко-
нечной температуры (в крайнем случае завышение будет как отноше-
ние 4/3).

Из уравнений (5.77) и (5.78) следует, что мощность максимальна
при р=р или Т= (ро—₽)а. Уравнение (5.274) дает

(Ро~?)2Со 1+За

2а/ * За ’

[(5.278)

Для больших сг это уравнение сводится к уравнению (5.84). Для
сравнения с другим крайним случаем (малое а) мы може^м сопоставить
уравнение (5.278) с простой моделью Нордгейма — Фукса, использую-
щую среднетемпературную тепловую мощность. Начальная тепловая
мощность Со. Конечная тепловая мощность находится подстановкой
уравнения (5.89) в уравнение (5.273). Поэтому средняя тепловая мощ-
ность равна _

С — Со+у (ро—р)/а=С«(1 + 1/о).

Использование этого выражения для 1/К в уравнении (5.84) дает

(5.279)

Уравнения (5.278) и (5.279) идентичны при сг^> 1, но для другого край-
него случая (сг—>0) уравнение (5.279) завысит максимальную мощ-
ность из-за коэффициента, равного трем. Максимальная мощность по-
этому, в некоторой степени чувствительна к изменениям в тепловой
мощности.

Второй интеграл, дающий Т(/), может быть просто получен из
уравнения (5.272) через (5.274). С другой стороны, можно вычислить
Е из Е— / СйТ и использовать результат в уравнении (5.274) вместе
с п=<1Е1й1. Далее этот пример разбираться не будет.

Завершая этот параграф о нестационарных процессах в тепловых
реакторах, кратко рассмотрим реактор КЕДУВ на гомогенном растворе,
представляющем собой раствор высокообогащенной урановой соли
(в обычной воде), частично заполняющий сосуд из нержавеющей ста-
ли диаметром 304,8 мм, помещенный внутри графитового отражателя
[152, 154, 357, 358, 443, 487].

Приведение в соответствии с данными по быстрым нестационар-
ным процессам было достаточно успешным при использовании модели
мгновенного нелинейного выключения [153, 243]. Уравнение (5.77)
использовалось совместно с

р = ро—аТ—<рК,
д,Т[Ш=Кп,
(1У1<Н=чпЕ,

(5.280)

(5.281)

(5.282)

где фУ — обратная связь по реактивности за счет радиолитического
газа; ф — коэффициент пустотного объема; V — пустотный объем; V —
константа, а п = с1Е1с11. Уравнение (5.281) представляет собой мгновен-
ную обратную связь по температуре, вызванную осколками деления
в растворе. Уравнение (5.282) описывает грубую модель радиолитичес-
кого разложения воды, за которым следует образование зародышей
газовых пузырей (концентрация растворенного газа пропорциональна
энергии; скорость образования зародышей пузырей пропорциональна
мощности).

В результате интегрирования получаем

Т—КЕ и К=т^2/2.

Подстановка этих выражений в уравнение (5.280) даст формулу для
реактивности:

р=ро—аКЕ-^Е*/2. (5.283)

Используя уравнение (5.77), найдем первый интеграл:

* Г(Р,_р)Я- ' аКВг--1-<руЕ’1. (5.284)

Как и раньше, максимум мощности будет иметь место при р = р.
Находим положительный корень, решая квадратное уравнение (5.283)
относительно Е:

Е= [ - 1 + /1+2^(Ро-Й/а2№]. (5.285)

Для больших шагов реактивности

Е ~ [2 (рЛ- ₽)М1/2 = [2М?Ч'/2 , (5.286)

где со — начальный обратный период из уравнения (5.85). Максималь-
ная мощность получается подстановкой уравнений (5.283) и (5.285)
в уравнение (5.284):

Я=4-<°Я—-^-2г. (5.287)

О О/ ' '

Для больших ш уравнения (5.286) и (5.287) дают

п = (2/3) (2//<ру)1/2 ф3/2 .

(5.288)

Экспериментальные данные для этого реактора хорошо совпадают при
показателе степени 3/2 для больших со [152] (см. также рис. 5.3). Бла-
годаря использованию точных решений полных уравнений данные по
максимальной мощности были описаны с помощью простой эмпиричес-
кой константы V в диапазоне со от 100 до 500 сек-1 [243]. Детали кри-
вых зависимости мощности от времени были воспроизведены не совсем
точно.

Как и в других примерах построения моделей, параметр V в урав-
нении (5.288) не имеет никакого физического смысла. Кроме того, эта
модель неспособна предсказать значение переходных давлений. Позднее
данные по переходным давлениям были успешно приведены в соответст-
вие с данными по мощности благодаря использованию представления
о пороговой энергии [151, 154, 358]. Вместо <рУ, где V определено
уравнением (5.282), реактивность за счет образования пустот была
представлена в виде
где Ео— пороговая энергия, характеризующая появление инерциаль-
ного давления; К1 — константа; р(1)—давление, измеренное в нижней
части активной зоны. Эта модель предполагает, что ускорение в потоке
пропорционально переходному давлению и что обратная связь по реак-
тивности пропорциональна поверхностному смещению. Наблюдаемая
пороговая энергия Ео равна приблизительно 0,9 Мдж для широкого
диапазона изменений мощности. Данные по мощности реактора были
успешно воспроизведены благодаря вычислениям, в которых использо-
вались измеренные переходные давления и фиксированное значение
К1 в этой модели обратной связи для со, изменяющихся от 10 до
1000 сект1 [151].

Изменения мощности для этого типа систем должны быть еще
сильнее, если сосуд первоначально полностью заполнен раствором. Ре-
активность при выключении обычно в значительной степени уменьшает-
ся из-за того, что сосуд полон, и, понятно, предел упругости при этом
(или даже предельная прочность) может быть превышен. Нестационар-
ные процессы в сжатых растворах рассмотрены в [222]. Для более де-
тального рассмотрения вопроса, а также для анализа других типов
реакторов можно обратиться к сборнику под редакцией Томпсона и Бе-
керли [549].

§ 5.11. Сложный механизм выключения. Быстрые реакторы

Вычисление сильных изменений мощности в быстрых реакторах
усложняется возможным существованием очень высоких удельных мощ-
ностей и очень коротких характерных времен. Это видно из уравнений
(5.84) и (5.90). При прочих равных параметрах (если это возможно)
реактивность при сверхмгновенной критичности обычно приводит к не-
которому выделению энергии, независимо от времени генерации нейтро-
нов, но максимальная мощность в быстром реакторе будет по порядку
величины больше.

В действительности ситуация сложнее. Как только реактивность
в быстром реакторе превысит мгновенную критичность на очень малое
значение, характерное время становится крайне малым. Резкий всплеск
мощности, увеличиваясь, может вызвать сильный внутренний удар, что
приведет к очень большому разрушению. Кроме того, проблема услож-
няется из-за возможности образования внутренних зон быстрого плав-
ления и выпаривания металла, а поведение реакторных материалов при
таких крайних условиях очень трудно предсказать.

Одно из этих явлений прекрасно проиллюстрировано на прототипе
быстрого импульсного реактора ООЭ1УА [596, 597]. Как видно из
рис. 5.3, максимальная мощность пропорциональна со2 в широком диа-
пазоне. Около © — 5 • 104 сект* (реактивность примерно на 5 цент выше
мгновенной критичности; р//= 1,1 - 10е сек~1) наклон кривой максималь-
ной мощности начинает резко увеличиваться.

Этот реактор работает на высокообогащенном металлическом ура-
не. В механизме выключения преобладает мгновенное и почти линейное
тепловое расширение, поэтому простая модель Нордгейма — Фукса хо-
рошо описывает поведение реактора в широких пределах. Однако при
еще более быстрых импульсах появляется инерциальное время запазды-
вания между нагреванием при делении и расширением металла. Это
приводит к еще большим скачкам мощности, сопровождаемым переход-
ными инерциальными напряжениями.
Простая гидродинамическая модель показывает, что механическое
запаздывание увеличивает максимальную мощность и полную энергию
на коэффициент 1 +т2<о2, где т есть характерное время для механическо-
го колебания [597]. Для СЮО1УА I значение т^10~5 сек, было получено
из измерений скачков мощности. Сравнительно недавно было проведено
изучение запаздывающих обратных связей в быстрых реакторах [300

Наиболее сложные вычисления оказываются при использовании со-
вместных систем уравнений, описывающих нейтронные, гидродинами-
ческие и термодинамические явления [222, 320, 398]. Опубликованы
детальные исследования по тепловым ударам [31, 76, 445]. Было изуче-
но также совместное действие упругих волн и эффекта Доплера [440,
560]. Тепловые удары и возможность достижения больших импульсов
без разрушения были рассмотрены в более поздних работах. Исчерпы-
вающий обзор по быстрым импульсным реакторам содержится в трудах
под редакцией Лонга и О’Брайена [345].

Ситуация с быстрыми реакторами на мощности еще сложнее. Меха-
низм выключения при сильном изменении мощности является суммар-
ным действием многих взаимосвязанных явлений: доплер-эффекта, рас-
ширения топлива и конструкции, выпаривания теплоносителя, плавления
и выпаривания топлива и распространения механических ударных волн
[55, 259, 265, 348, 349, 396, 531]. Мы коротко рассмотрим только один
тип расчета аварийной ситуации, выбрав из вышеприведенной библио-
графии несколько особенностей анализа гипотетического случая рас-
плавления быстрого реактора.

Известно, что быстрый реактор несет особые потери в теплоносите-
ле в результате выхода из строя насосов или в результате скачка мощ-
ности. Некоторое количество топлива может быть расплавлено теплом,
выделяющимся при делении или теплом запаздывающих продуктов де-
ления. В 1955 г. без ущерба для персонала произошла авария, повлек-'
шая за собой частичное плавление активной зоны экспериментального
быстрого реактора ЕВК-1 [73, 548]. Такие аварии в существующих и
будущих системах очень маловероятны, так как конструкции, обеспечи-
вающие как внутреннюю безопасность, так и надежную работу средств
безопасности, улучшены.

Тем не менее из-за потенциальной опасности последствия малове-
роятного расплавления топлива тщательно изучаются. Известно, что по-
теря теплоносителя происходит с последующим структурным разруше-
нием топлива, при этом расплавленное топливо принимает конфигура-
цию, вызванную надкритичностью. Была оценена возможная скорость
дополнительного изменения реактивности из-за гравитационного разру-
шения плавящейся активной зоны; эта скорость равна 40—50 долл/сек
[55]. Предполагается, что эта реактивность продолжает увеличиваться
непрерывно до тех пор, пока не станет где-то выше мгновенной критич-
ности. Теплота, выделяющаяся при делении во время этого нестацио-
нарного процесса, вызовет расширение, но предполагается, что обратная
связь по реактивности не появится до тех пор, пока металл не распол-
зется, заполняя внутренние пустоты. Когда будет достигнуто пороговое
значение, произойдет внезапный скачок давления с последующим быст-
рым разрушением. Кроме того, допускается, что разрушение настолько
быстро, что суммарная реактивность только незначительно превышает
пороговое значение.

Перейдем к оценке скорости дополнительного изменения реактивно-
сти и пороговой энергии. Оценка пороговой энергии дает ~ 1 Мдж/кг
184
[55]. Реактивность при этой энергий вычисляется из уравнений для пере-
ходных процессов с линейным изменением реактивности без обратной
связи (реактивность будет считаться максимальной). Итак, избыточная
энергия выше пороговой вычисляется как энергия, которая необходима,
чтобы разрушить конструкцию. По существу, это соответствует умень-
шению реактивности от максимального (порогового) значения до
р (мгновенная критичность). Полная энергия скачка мощности равна
сумме пороговой энергии и энергии разрушения.

Для того чтобы оценить максимальную реактивность, используем
уравнение (5.77) с реактивностью, заданной в форме

р = ₽+у/, (5.289)

причем система должна быть мгновенно-критичной при 1 = 0. Уравнение
(5.77) принимает езид

4п1(И=у1п11.

Это выражение может быть проинтегрировано:

п=и(0) ехр (у/2/2/). (5.290)

Энергия равна при этом

Е = р? (х) (1ъ = п (О)уехр (ут2/2/) (5.291)

о о

Использование асимптотической формы для функции ошибок от мнимо-
го аргумента [1] позволяет нам записать уравнение (5.291) в предполо-
жении, что у/2/2/^>1, следующим образом:

Е~1п(0) ехр (у/2/2/),/у/. (5.292)

Это уравнение может быть также получено заменой переменной инте-
грирования т на г=1—т (при этом в показателе степени будет г2) и
последующим интегрированием. При значении Е=Е0 уравнение (5.292)
является трансцендентным относительно соответствующего времени /о-

Итерационное решение производится по формуле

у/о2/2/«1п(у^о/о//п(О)).

Это выражение удобно переписать в виде:

у/о2//«1п [уЕ^/1п(0) ]2 = 1 п 4-1 п у/<Ж (5.293)

где

5=у//[^о/п(О)]2. (5.294)

Положим в качестве первого приближения

/о- [(Цу) 1П У1/2, (5.295)

тогда как второе приближение может быть получено подстановкой урав-
нения (5.295) в правую часть уравнения (5.293). Использование этого
результата совместно с уравнением (5.289) дает мгновенную реактив-
ность при значении пороговой энергии Ео:

бр = Рмакс—Р = т/о«(у/(1п^ + 1п^)]1/2.

(5.296)

Это и есть та реактивность, которая должна быть скомпенсирована раз-
рушением.
Скачок мощности будет сильнее для малых значений п(0), так как
реактивность будет возрастать в течение более длительного времени,
пока не достигнет порогового значения. Для примера выберем у/р =
=50 долл/сек, //р= 10~6 сек, Е,о=1О6 дж/кг и п(0) = 1 вт/кг. Далее 1п^ =
= 45,3, /о=1 мсек, а др/₽ = 5 цент. Если бы значение п(0) было равно
10“3, то 1п^ был бы равен 59,1, что дает /о=1,13 мсек\ если бы /г(0)
было равно 103, то 1п ^ был бы 31,5, что дает /о=О,84 мсек. Из крайних
значений этого диапазона видно, что изменение в 106 раз в п(0) соот-
ветствует 35%-ному изменению в /о и др. Поскольку 1п^ является не-
чувствительным в этом диапазоне, грубые оценки могут быть использо-
ваны как для Ео, так и для п(0). В дальнейшем, как следует из урав-
нения (5.296), др может быть взято приблизительно пропорциональным
корню квадратному из у/.

Разрушение начинается в момент времени /о, когда реактивность
задана уравнением (5.296). Избыточная энергия Е—Ео вызывает обра-
зование давления, что приводит к разрушению конструкционных мате-
риалов, а это, в свою очередь, уменьшает реактивность. Следуя работе
[396], предположим, что обратная связь по реактивности задана
в виде

(5.297)

где и (г, /)—смещение элемента объема (IV, расположенного первона-
чально в точке г; № (г) — весовая функция реактивности (реактивность
уменьшается благодаря перемещению единицы объема вещества гомо-
генизированной активной зоны в точке г; интеграл берется по объему
активной зоны.

В уравнении (5.297) есть изменение реактивности, когда еди-
ница объема перемещается от точки г к точке г + и. Для сферической
симметрии (1У=4мг2(1г и

др=4л / н(бЛГ/б/г) гМг (5.298)

(интеграл берется по радиусу активной зоны).

Предположим, что для уравнения движения справедлива следую-
щая форма записи:

тРи/д^др/дт, (5.299)

где т — масса единицы объема, а р — давление. Из (5.298) следует
(Ер](Н2= — 4т.1т^др1дг (сЙГД/г) г2йг. (5.300)

Для получения вида уравнений, использованных в работе [349], поло-
жим, что ТГ— парабола:

Г(г) = 1— г2/а2. (5.301)

Подстановка этого выражения в уравнение (5.300) и интегрирование
по частям дают

сЕр1(Н2 = - С > у рг24г, (5.302)

где С1—сопзЕ

Уравнение (5.302) достаточно сложно подтверждается более общей
теорией возмущения первого порядка, где эффекты поглощения взве-
шиваются потоком во второй степени, а изменения в коэффициенте диф-
фузии взвешены градиентом потока в квадрате (см. любой учебник по
теории реакторов).
186
Некоторые авторы использовали формулу, в которой градиент пото-
ка в квадрате является весом для функции и]г в интеграле по объему
[55, 348, 349]. Однако выводы их не более убедительны, чем те, что
лты использовали, хотя получен такой же результат, что и в предполо-
жении о параболическом распределении потока.

Чтобы найти отношение между обратной связью по реактивности
и энергией, давление в уравнении (5.302) должно быть выражено через
энергию Е—Ео, произведенную после достижения порогового значения.
Запишем очень простое уравнение состояния [55, 348, 349]:

р= (у—1)т(Е—Ео), (5.103)

где -у—отношение удельных теплоемкостей, а т — плотность. Более
сложные уравнения состояния рассмотрены в работах [222, 396, 531].
Далее, предположим, что Е может быть записана в виде:

Е(г, (г) (}(!), (5.304)

где 7У(г) = 1—дт2/д2, 0<<?<1 внутри активной зоны и М=0 сна-

ружи (г><6).

Давление сначала возникает в центре при ($=Ео=С2*. При этом
р=>(у—1)т(<2—($*—($дг21Ь2) для и р=0 для Давление

появляется на поверхности г=Ъ, когда = —д).

Имеют место два случая. Для 0*<<2<Р*/(1—д) интеграл в урав-
нении (5.302) берется от 0 до где Ь±=Ьд-^2(\—Интегриро-
вание дает

а2р/ак=—с& (1 -Х2*/<Э)5/2 о* <с? «?*/(1—<г), (5.305)

где Съ—соп§1. Второй случай — когда достигнуто пороговое значение
при г=Ь. Цля. ф><2*/(1—Я) интеграл берется от 0 до Ь. Найдем

</2рД//2= —С^(1— 0,6?) <3—<Э*, ?), (5.306)

где Сз—соп81.

Если считать п пропорциональным б/фД//, то уравнения (5.305) и
(5.306) вместе с (5.77) будут описывать обратную связь по реактивно-
сти. Решение производится непосредственно численными методами.
Однако можно получить приближенные значения энергии аналитически,
предположив при этом, как и ранее, что реактивность очень незначи-
тельно превышает пороговое значение. Суммарная реактивность во
время разрушения вычисляется из уравнений (5.305) и (5.306), при этом
рост энергии предполагается экспоненциальным. Обратный период ра-
вен др// [др определяется из уравнения (5.296)]. Избыточная энергия
выше порога берется такой, чтобы уменьшить реактивность от рМакс до
р. Это завышает значение энергии во время возрастания мощности, но
ошибка более или менее компенсируется тем, что мы пренебрегаем
энергией, произведенной после достижения максимальной мощности.

Рассмотрим сначала предельный случай, в котором возрастание
мощности заканчивается перед достижением порога при г = Ь, так что
уравнение (5.305) применяется повсюду. Положим

<2 = <2* ехр (дрд///), (5.307)

где Ы — время после достижения порогового значения в центре актив-
ной зоны. Чтобы проинтегрировать уравнение (5.305), положим дрд/<^/

187
и представим экспоненту в виде степенного ряда. Пусть с1р1сИ~$ и
р=рмакс при д/ — 0, тогда

Р~ рмакс С4 (//др) Ф*) 9/2>

где С4 — сопзТ Конечную энергию можно найти, если положить р = р.
Вспомним, ЧТО рмакс—₽ = др, ПОЭТОМУ

($—<2*~С5х2/9. (5.308)

где С5 — сопз! и

х = К(др)3//2. (5.309)

В уравнении (5.309) К=соп81 и зависит от Ь, д, <2* и других физиче-
ских параметров.

Другой крайний случай — очень быстрые нестационарные процес-
сы, в которых конечная энергия велика по сравнению с (?*, а промежу-
точная стадия, описываемая уравнением (5.305), не представляет инте-
реса.

Из уравнений (5.306) и (5.307), где ф^*1*?*, имеем

Р^ Рмакс—С3(1—0,6?) (//др)2ф.

Когда р = р,

о - с, (1-0.6.)’ <5’310>

где х снова определяется уравнением (5.309).

Это означает, что диапазон изменения от малых до больших скач-
ков мощности характеризуется параметром х, возрастающим как пока-
затель степени, значение которого изменяется от 2/э до 1. Действительно,
в примере Бете и Тэйта [55] показатель степени для промежуточного^
случая был равен приблизительно 0,5. На рис. 5.27 показаны резуль-
таты численных расчетов [396] (см. также [265]). Наклон кривой равен
приблизительно 2/9 для малых х. Область изменения х слишком мала,

Рис. 5.27. Отношение избыточной энергии к пороговой
энергии в зависимости от х=/С(др)3//2, полученное по
модифицированному методу Бете—Тэйта [396].

чтобы продемонстрировать полный диапазон изменения показателя
степени (от 2/9 до 1). Верхняя кривая изображена для случая напря-
женной поверхности активной зоны.

Максимальная реактивность и полная энергия для специфической
реакторной модели показаны на рис. 5.28 (точки взяты из таблицы
Никольсона [396]). Эти результаты получены так называемым модифи-
цированным методом Бете — Тэйта, который по существу представляет
собой использование в численных расчетах уравнений (5.305) и (5.306)'
183
в качестве обратной связи по реактивности. В той же самой статье
Никольсон описывает более правильные численные расчеты, сделанные
на основе реального уравнения состояния (уравнение для насыщенного
пара под давлением). Кроме того, нет деления различных режимов по
времени; входной сигнал реактивности и обратная связь присутствуют
повсюду. Сравнение показывает, что рис. 5.28 слегка переоценивает мак-
симальную реактивность (20% при малых у и 2% при больших).
Рис. 5.28 также переоценивает выделение энергии (коэффициент, рав-
ный двум при малом у и 3% при большом у). Конечно, это сравнение
двух численных расчетов представлено для особой, идеализированной
реакторной модели. Экспериментальные результаты здесь недоступны.
Кроме того, очень трудно оценить долю общей энергии, которая появ-

Рис. 5.28. Максимальная реактивность и полная энергия в зависимости от
скорости линейного изменения реактивности для гипотетического случая
аварии быстрого реактора [396].

ляется в виде механической работы (кинетическая энергия осколков,
структурные повреждения и т. д.).

Один из выводов в результате более строгого расчета — то, что на-
чальная мощность и время генерации нейтронов являются не очень
существенными параметрами. Это можно было ожидать из уравнений
(5.296) и (5.309). Мы видели, в связи с уравнением (5.296), что бр очень
нечувствительно к п(0) и что бр приблизительно пропорционально кор-
ню квадратному из у/. Использование этого факта в уравнении (5.309)
приводит к тому, что х должно быть пропорционально у^а/-</2, а энер-
гия— хп (п меняется от 2/9 до 1). Зависимость энергии от I является
поэтому слабой, особенно для небольших изменений мощности.

Другой вывод (также ожидаемый) заключается в том, что эффек-
том запаздывающих нейтронов можно пренебречь, если максимальная
реактивность не очень близка к мгновенной критичности (или еще мень-
ше). И наконец, вычисленные кривые п(/) с отрицательным доплер-
эффектом и без него сильно асимметричны, так как большая часть энер-
гии производится перед достижением максимальной мощности.

Роль параметра х можно понять, если использовать очень простую
пространственную зависимость. Полагая, что возрастают экспо-

ненциально и что вторая производная по времени пропорциональна Ур,
запишем

^2гД#2~ехр (брб///).
Интегрируя дважды, имеем

бг~|(//бр)2ехр (дрб///) ~ (//др)2<2.

Если обратная связь по реактивности пропорциональна бр, то

<2 —'(др)3//2-

Отсюда следует, что пропорционально х, как и в уравнении (5.310).
Такая зависимость, очевидно, полезна только в предельном случае очень
быстрых нестационарных процессов.

Другой аналитический метод также может быть полезен в некото-
рых случаях. Для быстрых нестационарных процессов уравнение (5.306)
дает вторую производную реактивности, пропорциональную энергии.
В отличие от этого модель Нордгейма — Фукса предполагает, что обрат-
ная связь по реактивности и энергия пропорциональны. Можно рас-
смотреть обобщенную эмпирическую модель обратной связи, в которой
г-я производная реактивности пропорциональна энергии, возрастающей
с показателем степени 5. Для быстрых нестационарных процессов, ис-
пользуя уравнение (5.77), можно получить первый интеграл, который
дает поведение скачка мощности в плоскости и, р и отношение полной
энергии к максимальной мощности. Эти результаты для различных зна-
чений г и 5 представлены в работе [517].

Закончим эту главу несколькими замечаниями по реактивной безо-
пасности. Большинство примеров по нестационарнЫхМ процессам в ре-
акторах, которые мы обсуждали, представляют собой гипотетические
ситуации, взятые произвольно, но основанные на реальной работе ре-
акторов. В частности, использование реактивности как независимой
переменной не совсем уместно в реальной задаче по реакторной без-
опасности, так как реактивность — только одна переменная в сложной
цепи взаимодействующих величин. Далее, много (если не большинство)
возможных эксплуатационных задач в системе мощных реакторов может
совсем не зависеть от реактивности. Итак, подчеркнем, что оригиналь-
ные вычисления выделения энергии как функции скорости линейного
изменения реактивности у (ордината — «энергия» на рис. 5.28) приносят
мало пользы при оценке общей безопасности, если они сами непра-
вильны.

Главной задачей при анализе реакторной безопасности является
количественная оценка надежности всей системы, что выходит за пре-
делы этой книги. Интересующихся читателей отсылаем к литературе
[130, 166, 260, 407, 455, 549, 599]. Подробные новые, более правильные
вычисления даны в [33, 66, 385, 414, 444, 456].

Задачи

5.1. Проверьте выражения для температурных коэффициентов и Р/ [уравнения
(5.12) и (5.13)].

5.2. Проверьте выражения для температурных коэффициентов / и Ь2 [уравнения
(5.16) и (5.29)].

5.3. Проверьте выражение для коэффициента мгновенной температуры р [уравне-
ние (5.41)].

5.4. Используя данные из обычного учебника по теории реакторов (например,
[312]), оцените изотермический температурный коэффициент реактивности для гомо-
генного, без отражателя, на 235П графитового реактора (1200 атомов углерода на
один атом 23511).
5.5. Оцените изотермический температурный коэффициент реактивности для ре-
актора без отражателя, состоящего из тонких 23515—А1 топливных пластин в воде.
Отношение объемов металла к воде равно 1, а отношение числа атомов А1 к 235П равно
150 [312].

5.6. Когда жидкая гомогенная активная зона в частично заполненном сфери-
ческом сосуде нагревается, то расширение производит изменение в форме (увели-
чивается отношение поверхности к объему). Оцените, каково воздействие на темпера-
турный коэффициент реактивности при этом. 'Полагаем, что у нас 2 кг 235Ъ1 в водном
растворе сульфата урана и сфера диаметром 304,8 мм, которая критична при 80%-ном
заполнении.

5.7. Коэффициенты реактивности для водяного кипящего реактора [443] таковы:
температурный — 0,02 долл/град \ пустотного объема—0,005 долл/см3. Тепловая мощ-
ность 5 • 104 дж/град. Скорость образования газа 4 л/Мдж при обычных условиях.
Вычислите энергетический коэффициент реактивности, полагая давление атмосферным.
Каково должно быть действие возрастания давления во время переходного процесса?

5.8. Проверьте ядра обратной связи для частных случаев, определяемых уравне-
нием (5.71), с помощью уравнения (5.74).

5.9. Выведите уравнение (5.94) и (5.95) для мощности и энергии в случае бы-
строго нестационарного процесса.

5.10. Покажите, что п(1) для модели Нордгейма — Фукса является решением
уравнения

с/.2п/сН2 = (с!п1(Иу1п^Кп211.

5.11. Выведите уравнение (5.115) из уравнения '(5.114), используя разложение

в ряд по степеням ш.

5.12. Имея ряд данных по максимальной мощности для ступенчатых переходов,
определите коэффициент выключения дК/$ [в долл/(Мет-сек)] и значение //р. Исполь-
зуйте значение %=0,077 сек-1 и предположи-

те, что эффектом переноса тепла можно пре-
небречь.

5.13. Выведите неявное соотношение за-
висимости реактивности от времени для
медленных переходных процессов [уравнение
(5.118)].

5.14. Покажите, что два ненулевых соб-
ственных значения матрицы в уравнении
(5.124) являются корнями уравнения обрат-
ных часов.

5.15. Проверьте, что уравнения (5.133) и
(5.134) являются асимптотами гиперболы,
изображающей ИНН.

5.16. Путем разложения одногруппового
уравнения обратных часов по степеням

Началь- ный период, с^с Макси- мальная мощность, вт Началь- ный период, с^к Макси- мальная мощность, вт
400 100 0,5 3,2.106
250 260 0,2 7,0-106
173 520 0,08 1,8.10е
100 1600 0,031 1,1-107
40 6000 0,02 2,5-107
12 2,5-10* 0,01 1,0.108
2,2 1,0-Юб 0,005 4,0-108

е получите асимптотические ряды, соответ-

ствующие уравнениям (5.150), (5.152), <(5.159) и (5.160) с © в качестве параметра вме-
сто начальной реактивности х0.

5.17. Проверьте приближенную траекторию [уравнение (5.171)] и покажите с по-
мощью разложения в ряд, что первая производная соответствует уравнению '(5.168).

5.18. Используя одногрупповую адиабатическую модель [уравнение (5.119)], с по-
мощью (5.123) совместно с приближенным отношением

получите приближенную интегральную кривую п(р). Покажите, что реактивность при
максимальной мощности представляет собой решение кубического уравнения, чей физи-
чески имеющий смысл корень является хорошим приближением на протяжении всего
диапазона значений начальной реактивности ро (предложено Е. Дж. Бриттом, Аризон-
ский университет, 1969).

5.19. Покажите, что нижние части больших траекторий на рис. 5.20 таковы, что
1п п, приблизительно квадратичен во времени, т. е. так же зависит от времени, как и
в уравнении (3.129).
5.20. В реакторе происходит изменение реактивности со скоростью 10 долл!сек
так, что мощность при мгновенной критичности равна 1 вт. Вычислите максимальную
мощность и продолжительность импульса, если коэффициент реактивности равен
0,5 долл/(кет • сек), а //р=10~3 сек.

5.21. Проверьте выражения для максимальной реактивности (уравнения (5.223)
и (5.234)].

5.22. Выведите уравнение для максимальной мощности, применив приближенную
траекторию (уравнение (5.232)]. Покажите, что результат сводится к уравнению
(5.193).

5.23. Выведите уравнение (5.236) для мощности при мгновенной критичности,
сравнив уравнение (5.230) с точным решением для V при мгновенной критичности
(предложено Смитсом, университет в Льеже, 1969).

5.24. Проверьте уравнения для модели нелинейной обратной связи с «нулевым
запаздыванием» (уравнение (5.242)] с помощью уравнения (5.246).

5.25. Выведите уравнение для /г(0 в модели с «большим запаздыванием» (уравне-
ние (5.248)].

5.26. Выведите уравнения для теплового реактора на двуокиси урана с выключе-
нием по доплер-эффекту (уравнение (5.255)] с помощью (5.271).

5.27. Выведите асимптотическую формулу для энергии (уравнение (5.292)].

5.28. Проверьте предельные случаи (уравнения (5.308) и (5.310)] для выделения
энергии в случае аварии быстрого реактора.
ГЛАВА 6

УСТОЙЧИВОСТЬ
ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ

§6.1. Введение

Обратимся теперь к вопросу устойчивости динамических систем.
Основная проблема заключается в том, вернется ли данная система
обратно в состояние равновесия после возмущения за конечный про-
межуток времени. Наша задача — ответить на этот вопрос, не прибегая
к точному решению уравнений движения.

В этой главе рассматриваются линейные системы, представляющие
ядерные реакторы с обратной связью по реактивности. Начав с понятия
линейных систем с обратной связью, мы опишем некоторые широко
используемые методы анализа линейной устойчивости. Затем, предста-
вив уравнения реактора в удобной форме, перейдем к анализу на ли-
нейную устойчивость ряда специальных реакторных моделей. Особое
внимание будет уделено системе с двумя обратными связями по ре-
активности как из-за большого разнообразия случаев, присущих этой
простой модели, так и вследствие ее использования для иллюстрации
влияния запаздывающих нейтронов на устойчивость.

Как упоминалось выше, мы будем касаться в первую очередь внут-
ренней обратной связи (эффекты реактивности, обусловленные темпера-
турой, плотностью и т. д.). Инженер-разработчик системы управления
сможет использовать результаты такого анализа (например, описание
реакторной системы, учитывающее влияние температуры и плотности)
в качестве отправной точки при проектировании внешней системы авто-
матического управления.

Уравнения динамики реактора нелинейны, когда реактивность зави-
сит от мощности. Следовательно, линейная система является лишь пер-
вым приближением. Однако, как мы увидим в гл. 7, некоторые важные
заключения о нелинейной системе могут быть сделаны при изучении ее
связанного линейного приближения. В частности, устойчивость нели-
нейной системы при малых возмущениях часто может быть выведена из
рассмотрения устойчивости связанной линейной системы.

§ 6.2. Линейные системы с обратной связью

Задачу линейной устойчивости удобно сформулировать в терминах
передаточных функций и с помощью структурных схем. Для введения
в существо вопроса отсылаем читателя к § 2.7. Передаточная функция
характеризует неоднородную часть решения системы уравнений, т. е.
реакцию системы (выход) на управляющий сигнал (вход) в отсутствие
начальных условий. Передаточная функция определяется как отношение
13—837 193
преобразований Лапласа выходного и входного сигналов и равна пре-
образованию Лапласа импульсной характеристики. Переходная харак-
теристика линейной системы определяется полюсами передаточной функ-
ции (корни характеристического уравнения). За более подробными
сведениями читатель может обратиться к книгам по теории автоматиче-
ского регулирования [96, 165, 264, 542, 555] и по принципу реакторных
систем [229, 473, 579].

Здесь мы ограничимся рассмотрением линейных, инвариантных во
времени систем и предположим справедливость суперпозиции решений.
Наиболее общими системами этого типа являются системы, представ-
ляемые обычными линейными дифференциальными уравнениями с по-
стоянными коэффициентами. Сюда же могут быть отнесены и линейные

системы с простым транспортным

Рис. 6.1. Структурная схема линейной
системы с обратной связью.

временем запаздывания.

Структурные схемы для линей-
ной системы с обратной связью по-
казаны на рис. 6.1. Блок 6 ($) пред-
ставляет собой передаточную функ-
цию основного контура, а блок
Н (5) отображает передаточную
функцию контура обратной связи.
На рис. 6.1 г(1)—сигнал на входе
системы, г(^)—сигнал на выходе,
а е(1)—разница между входным
сигналом в систему и выходным
сигналом из элемента обратной свя-
зи. В терминологии систем управле-
ния е(/.) может рассматриваться как
сигнал ошибки, который должен
быть минимизирован надлежащим
выбором Н(5) (обычно посредством
вычитания сигнала обратной связи).

Читателю важно осознать, что

приведенная структурная схема
отображает поток информации. Если бы блок соответствовал кон-
тролирующему прибору, то данная схема означала бы улавливание сиг-
нала с(/) некоторым детектором без отвода при этом большого количе-
ства энергии. В общем случае сигнал с(7) представляет собой инфор-
мацию, которая может быть получена блоком 7/(5), а также элементами
других систем, не показанных на рисунке.

Две структурные схемы на рис. 6.1 являются двумя из множества
различных способов представления одной и той же системы. Мы будем
пользоваться второй диаграммой, в которой сигналы представлены
в виде их преобразований Лапласа и в которой условный символ вычи-
тания, используемый оператором, обозначается просто знаками 4- и —.
Кроме того, в рисунках будут часто опускаться стрелки в местах, где
это не приводит к путанице.

Применив уравнение (2.71) к структурной схеме на рис. 6.1, полу-
чим

С(5)=е(5)Г(5), (6.1)

Е(8)=К(5)— Н(з)С(8). (6.2)

Исключив Е(з), мы можем записать передаточную функцию всей си-
194
стемы (передаточную функцию замкнутого контура) как

у (Я)=. (б.з)

Произведение 6 (з) И (з) называется передаточной функцией незамкну-
того контура, оно играет главную роль в анализе устойчивости систем
с обратной связью.

Как мы видели в § 2.7, передаточная функция системы, описывае-
мой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффи-
циентами, может быть записана как отношение двух полиномов по 5.

Если

О (5) । = РО (5) /РО (5) , Н (5) = РН (5) /Он (8) ,
то

у __________РО °Н <5)_______

' ’ “ Ро (9 Рн (!) + (’) Он («) '

Заметим при этом, что нули функции У(5) совпадают с нулями функ-
ции 0(з) и полюсами функции Н(з). Переходная характеристика систе-
мы характеризуется полюсами функции У(5), которые являются корня-
ми характеристического уравнения

1 + 0(5)Я(5)=0. (6.4)

Характеристическое уравнение может быть также записано в виде:
/)(5) = Р&(з)Рн(з) 4- О а (5) О н (з) =0, (6.5)

где О(з) —характеристический полином.

Переходная характеристика представляет собой линейную комби-
нацию членов ехр (5^), где 55— корни уравнения (6.4) или (6.5). Если
один или более корней 5; имеют положительную действительную часть,
то реакция системы на возмущение неограниченно возрастает, и линей-
ная система неустойчива. Если все корни 5; имеют отрицательные дей-
ствительные части, реакция на возмущение постепенно затухает до нуля
при —>оо; система при этом возвращается произвольно близко к сво-
ему состоянию равновесия и является, как говорят, асимптотически
устойчивой. Если ни один корень не имеет положительной действитель-
ной части, но по крайней мере один корень имеет действительную часть,
равную нулю, мы имеем дело с граничным случаем, временная харак-
теристика которого содержит участки спада наряду с постоянными уча-
стками или с зонами длительных осцилляций. Такой тип системы назы-
вается «критическим».

Линейная асимптотическая устойчивость гарантирована, если все
корни 5; имеют отрицательные действительные части, т. е. если все по-
люсы функции У(5) лежат в левой половине комплексной 5-плоскости.
Для простоты в этой главе мы будем ссылаться на линейные системы
как на устойчивые (в значении асимптотической устойчивости), крити-
ческие или неустойчивые *. Критерием линейной устойчивости является,
следовательно, совокупность условий, при которых все корни характе-
ристического уравнения имеют отрицательные действительные части,
т. е. все полюсы функции У(5) лежат в левой полуплоскости.

Для линейной системы величина возмущения не оказывает влияния
на устойчивость, поскольку имеет место принцип суперпозиции. Как

* Более строгая терминология будет предложена и использована для нелинейных
систем в гл. 7. Например, критический случай может быть охарактеризован как устой-
чивый, но не асимптотически устойчивый.
только прекращается действие возмущения, все решения выражаются
как линейные комбинации тех же самых функций времени. Это обстоя-
тельство позволяет сделать вывод, что устойчивая линейная система
имеет одно и только одно состояние равновесия (равновесная точка
в главном пространстве).

Необходимо подчеркнуть, что эти положения теории устойчивости
могут быть применены непосредственно к заданной функции У(5) без
разложения системы на основной контур и контур обратной связи. Од-
нако анализ устойчивости часто значительно облегчается после приве-
дения системы к такому виду и использования представлений, перво-
начально развитых для анализа и проектирования систем регулирования
с обратной связью.

Разложение заданной функции У(5) на составляющие 6($) и Н (5)
не является единственным, если либо О (5), либо Н(з) не определены
заранее. Это очевидно, если уравнение (6.3) записано в виде:

Н (8) = У-^ (5) — 6-1 (5). (6.6)

Единственная возможность выбора заключается в подборе переменной,
которая должна быть отождествлена с обратной связью 6(з)Н(8) на
рис. 6.1.

Как правило, мы будем рассматривать только физически реализуе-
мые системы. Вследствие этого все полиномы в передаточных функциях
и характеристических уравнениях будут иметь действительные коэффи-
циенты. По этой же причине корни 83 будут действительными числами
или парами комплексно сопряженных чисел. Второе следствие из физи-
ческой реализуемости систем состоит в том, что передаточная функция
будет стремиться к нулю при 151—>оо. На эту мысль наводят интер-
претация передаточной функции как частотного отклика системы при
$=]*(0о (см. § 2.7) и тот факт, что частотный отклик реальной системы
имеет тенденцию становиться пренебрежимо малым при достаточно
больших частотах. Следовательно, передаточная функция, выраженная
в терминах полиномов, должна иметь полюсов больше, чем нулей. Од-
нако мы увидим, что критерии линейной устойчивости для систем с об-
ратной связью играют еще важную роль в приближениях, где либо
(1(5), либо Н (5) не обладает этим свойством в том случае, если произ-
ведение 6(5)Н(5) стремится к нулю при |<$|—>оо. Согласно уравнению
(6.3), это эквивалентно выполнению условия У(5)—>(?($) при боль-
ших 5.

Теперь перейдем к обсуждению критерия Рауса, критерия Найкви-
ста и метода геометрического места корней, иллюстрируя каждый ме-
тод простыми примерами. Затем проведем исследование ряда реактор-
ных систем на линейную устойчивость.

§ 6.3. Критерий Рауса

Линейная устойчивость гарантирована, если все полюсы передаточ-
ной функции системы находятся в левой полуплоскости, т. е. если все
корни характеристического уравнения отрицательны или имеют отрица-
тельные действительные части. Критерий Рауса дает необходимые и
достаточные условия того, что все комплексные корни полинома с дей-
ствительными коэффициентами будут отрицательными или будут иметь
отрицательные действительные части.

Общая задача для полинома с комплексными коэффициентами бы-
ла решена Эрмитом [239]. Простой алгоритм решения для полиномов
196
с действительными коэффициентами был выведен Раусом [452]. Более
поздние формулировки этой задачи можно найти у Гурвица [254] и
Билхарца [58]. Четыре критерия, предложенные этими четырьмя авто-
рами, эквивалентны критерию Эрмита или являются его частными слу-
чаями [324]. Алгоритм Рауса представляет собой простую практиче-
скую формулировку критерия Гурвица и обычно известен как критерий
Рауса — Гурвица или критерий Рауса.

Пусть характеристический полином имеет вид

Д($) =ап$п + ал_1$п-1+ап_25п-24- ... + Я13 + я0,

(6.7)

где «г — действительные числа. Составим матрицу Рауса:

^П-2 ^П-4 Яп_в • * *
- 1 - з -5 ...
ь, ь2 ь3 ...
С2 ... (6-8)
а, •
•

где символические обозначения в третьем и последующих рядах опре-
деляются как

Ь^~о,п—2—ап^п-зМп-1, (6.9)

&2=ап_ь—апап-ъ1ап-1, (6.10)

&з=яп-6—япап_7/Яп-1, (6.11)

С1=ап-з—ап-1Ь2/Ъ1, (6.12)

^=Ь2—Ь1С2/с±. (6.13)

Опущенные элементы в правом конце каждого ряда могут рассматри-
ваться как нули. Вычисление коэффициентов производится способом,
указанным уравнениями (6.9) — (6.13), при этом образуется п+1 рядов.
Последним элементом в правой колонке является Яо-

Необходимое и достаточное условие того, что все нули функции
Г>($) будут лежать в левой полуплоскости, заключается в том, что все
элементы в первой колонке (числа Рауса) имеют одинаковый знак. Если
функция Г>($) записана так, что яп>0 (обычно для удобства принима-
ют яп=1), критерий устойчивости заключается в том, что все числа
Рауса положительны. Если при расчете матрицы встречается нулевой
знаменатель, можно исследовать вспомогательный полином, построен-
ный путем добавления параметра системы в коэффициент матрицы.
Если последнее во второй колонке (второе — последнее) число Рауса
равно нулю, то имеется пара характеристических корней, равных по
величине и противоположных по знаку.

Чтобы проиллюстрировать применение критерия Рауса, рассмотрим
характеристический полином четвертой степени:

Р ($) = $4+3$з+2$2__2$—4. (6.14)
Матрица Рауса имеет вид

"1 2 -4 ~

3 —4 О

8/2 —О О

5/2 О

_ —4

Первая колонка состоит из четырех положительных и одного отрица-
тельного числа (числа Рауса). При этом не все корни Р($) лежат в ле-
вой полуплоскости. Умножением можно показать, что корни равны +1,
-2, -1±].

В качестве другого примера рассмотрим

2)($) = $44-2$3+2$2+2$+ 1.

Матрица Рауса имеет вид:
“12 1“
2 2 0
1 1 0
0 0

Четвертое число Рауса равно нулю, и алгоритм не работает. Существу-
ет пара корней равной величины и противоположного знака, но устой-
чивость установить нельзя.

Вместо этого рассмотрим вспомогательный полином

Р($) =$44-253+2$2+2$+1 + е.

Матрица имеет вид:

1 2 14-8

2 2 0

1 14-е 0

— 2е 0

_1 + в

(6.16)

Теперь при расчете последнего числа Рауса неопределенностей не
возникает. Вспомогательная система устойчива, если е<0. Исходная
система имеет числа Рауса 1,2, 1, 0 и 1 и является, следовательно, кри-
тической (см. § 6.2). Корни равны —1, —1 и ±]. Этот пример наводит
на мысль, что когда второе — последнее число Рауса равно нулю, его
можно просто заменить малым параметром, который, как полагают,
исчезает, когда матрица заполнена целиком. Как можно заключить из
перечисленных примеров, последним числом Рауса может еще быть и
До. Окончательный вывод сводится к простому правилу: равно ли вто-
рое— последнее число Рауса нулю или нет, следует закончить расчет и
записать До как последнее число Рауса.

Ситуация намного сложнее, если нуль встречается ранее в первой
колонке. Можно составить вспомогательный полином и исследовать
устойчивость параметрическим методом. Другой выход заключается
в построении определителей Гурвица [324]. Эти определители связаны
с числами Рауса, но в критерии Гурвица (устойчивость обеспечена, если
все определители положительны) отсутствуют бесконечность и неопре-
198
деленные формы. Мы закончим теперь об-
суждение этой темы, поскольку большая
часть наших приложений будет включать
вопросы, содержащие один или более изме-
няемых параметров. Опасность ошибочной
интерпретации отсутствует, если внима-
тельно относиться к неопределенным фор-
мам.

Напомним, между прочим, что числами
Рауса для квадратичной формы являются
именно коэффициенты 01 и ао. Исследуя
стандартную квадратичную форму, можно
быстро убедиться, что корни лежат в левой
полуплоскости в том, и только том слу-
чае, если все три коэффициента имеют оди-
наковый знак.

Теперь рассмотрим пять примеров про-
стых систем с обратной связью. Каждый

Рис. 6.2. Две возможные си-
стемы замкнутого контура, со-
ответствующие примеру 1.

пример, в свою очередь, будет изучаться другими методами в после-
дующих параграфах, при этом обозначения будут сохранены.

Пример 1:

6(8)Н(8)^= . , (6.17)

' ' ' ' 8 (5 4- а) (54-6) '

Уравнение (6.17) могло бы представлять любую из ряда систем
с обратной связью. Две возможности показаны на рис. 6.2. Как видно
из уравнения (6.3), каждая система соответствует различной переда-
точной функции У(5) замкнутого контура. Однако все они имеют оди-
наковое характеристическое уравнение, уравнение (6.4), поэтому и свой-
ства устойчивости у них одни и те же.

Характеристический полином имеет вид

= $34- (а + Ь)82+аЬз + К.

(6.18)

Матрица Рауса представлена в форме:

аЬ

Полагаем, что в данном случае а и Ь положительны. Тогда система
с замкнутым контуром устойчива, если

0<К<а&(а4-Ь). (6.19)

Этот пример мог бы представлять систему, в которой а и Ь не из-
меняются (обратные постоянные времени), а К является регулируемым
коэффициентом усиления. Как видно из уравнения (6.19), существует
область значений К, при которых обеспечивается устойчивость. Здесь
мы имеем дело с примером условной устойчивости (устойчивость услов-
на относительно значений одного или более параметров).

Исследуем с помощью характеристического уравнения конечные
точки области значений К в уравнении (6.19). Если /С=0, характери-
стическое уравнение имеет вид:

534- (а4-6)$24-а&$=0. (6.20)
Его корнями будут 0, —а и —Ь. Эта система является критической, и
К—О называется статической границей устойчивости из-за наличия ну-
левого характеристического корня. Заметим при этом, что последнее
число Рауса (постоянный член в характеристическом уравнении) равно
нулю.

Если /С=а6(а+Ь), характеристическое уравнение имеет вид

з3+ (а+Ь)е2+аЬ$ + аЬ(а+Ь) =0.' (6.21)

Оно может быть разложено на множители следующим образом:

($4-а+6) (з2+аЬ) =0.

Корни будут равны —(а+6) и ±]со, где &2=аЬ. Это другой тип крити-
ческой системы, на этот раз с двумя сопряженными мнимыми корнями,
отражающими непрерывные осцилляции (периодически затухающие по-
сле спада переходной характеристики, обусловленного отрицательным
действительным корнем). Назовем К=аЬ (а+Ь) «динамической грани-
цей устойчивости». Заметим, что это соответствует исчезновению вто-
рого— последнего числа Рауса (корни равны по величине и противо-
положны по знаку).

Обычно легче искать динамическую границу устойчивости, постули-
руя 5=]ш и подставляя его ь исходное характеристическое уравнение.
В результате находим

—]' о3— (л + Ь) со2+] аЬ со + /С == 0.

Разделив действительную и мнимую части и приняв со#=0, получим

(&2=аЪ, К=ы2(а+Ь) =аЬ (а+Ь).

Простой алгоритм решения основывается на числах в матрице Рау-
са. Второе — последнее число Рауса равно нулю, если К=аЬ(а+Ь). Из
первого и второго коэффициентов ближайшего ряда сверху образуем
уравнение

(а+&)$2+К=0.

Объединение с предыдущим условием дает $2=—аЬ или о2=аЬ. (Слу-
чай отрицательных а или Ь оставлен для упражнения.)

Пример 2:

= + (6-22)

Возможный вариант структурной схемы показан на рис. 6.3. Си-
стема с незамкнутым контуром неустойчива из-за наличия полюса при
«=1. Для системы с замкнутым контуром имеем

Я($) =52+$ + К—2. (6.23)

Числа Рауса равны 1, 1 и К—2. Система с замкнутым контуром устой-
чива для К>2 (стабилизация достаточно эффективной отрицательной
обратной связью). Точка К=2 соответствует статической границе устой-
чивости.

Пример 3:

в(з)Н(8)= 7^-ь! • <6-24)
С положительными а и Ь уравнение (6.24) представляет другую не-
устойчивую систему с незамкнутым контуром. Для системы с замкну-
тым контуром

П (5) =$2+ ^_Ъ)8^Ка. (6.25)

Числа Рауса равны 1, К—Ь и Ка. Система устойчива для К>Ъ. Точка
К==Ь соответствует динамической границе устойчивости с а)2=аЬ.

Пример 4:

К (з — а)
8 (8 4- Ь)

(6.26)

Выбрав а и Ь положительными, мы можем назвать уравнение (6.26)
критической системы с незамкнутым контуром (полюсы при 0 и —Ъ).
Для системы с замкнутым контуром

П(8)=82+(К+Ь)8—Ка.

(6.27)

Числа Рауса равны 1, К+Ь и —Ка. Область устойчивости удовлет-
воряет условию —д</С<0. Точка /С=0 соответствует статической гра-
нице устойчивости, а точка К=—Ь
соответствует динамической границе
устойчивости с (&2=аЬ. Из определе-
ния этого примера следует, что об-
ласть устойчивости системы включает
только отрицательные значения К.
Это часто встречается в системах
с нулем в правой полуплоскости (на-
зываемых иногда системами без ми-
нимума фазы, см. § 6.4). Некото-
рые авторы предпочитают записы-
вать числитель в уравнении (6.26)

как /С(а—5), изменив соответственно знак К. Мы не будем делать этого
из-за опасения ошибок, которые могут быть внесены в параметрические
исследования, когда нуль может находиться в любой части полуплоско-
сти.

Пример 5:

Рис. 6.3. Стабилизация неустойчи-
вой системы незамкнутого контура
(пример 2).

О (5) Н (5) = . •

' ' ' ' (8 — 1) (5 + 2) (5 + а)

(6.28)

Уравнение (6.28) могло бы представлять систему на рис. 6.3, но с об-
ратной связью, замененной двупараметрической системой К/(з+а). Для
системы с замкнутым контуром

И (5) =«3+ (а+1)52+ (а—2)$ + К—2а. (6.29)

Матрица Рауса имеет вид

а — 2

К —2а

О
Условия устойчивости: а>—1 и

2а</С<а2+а—2.

(6.30)

Оси есть

К устойчивости

Рис. 6.4. Границы устойчивости в пара-
метрическом пространстве (пример 5).

(6.30) совместно с требованием а>2.

Условие, выраженное уравнени-
ем (6.30), не может удовлетворяться
для произвольного а. К не существу-
ет для —1<а<2. Кроме того, по-
скольку условие а>—1 необходимо,
условие устойчивости может быть
переопределено как уравнение

Эти рассуждения могут быть сум-
мированы в терминах границ устой-
чивости в параметрическом прост-
ранстве. На рис. 6.4 показана К, а-
плоскость для этого примера. Об-
ласть устойчивости и границы устой-
чивости соответствуют указанным
на рисунке. Вдоль динамической
границы устойчивости соблюдается
условие ш2=а—2, поэтому чисто
мнимые корни возможны лишь для
а>2. Обратим внимание, что только

части каждой граничной линии в действительности ограничивают область
устойчивости. Прямая а= — 1 также не является границей области
устойчивости. Это не удивительно, поскольку эта прямая представляет
собой геометрическое место точек, для которых сумма характеристиче-
ских корней равна нулю. Например, при пересечении а=—1 и К=—2
характеристические корни равны 0 и ± р^З.

В дополнение к статической и динамической границам устойчивости
параметрическая система могла бы также демонстрировать «бесконеч-
ную границу устойчивости». Если коэффициент в характеристическом
уравнении изменяет знак при переходе через бесконечность (1/си—>0),
число Рауса также изменяет знак. Однако мы не включили в рассмот-
рение пример с границей устойчивости такого типа.

Попытаемся найти общее представление областей устойчивости
в параметрическом пространстве, очень полезное для исследования ре-
акторных систем. Вначале обсудим некоторые другие методы анализа
линейной устойчивости.

§ 6.4. Способы представления частотного отклика системы

Следующий метод анализа линейной устойчивости, который мы бу-
дем обсуждать (§ 6.5), зависит от поведения произведения О Осо) Н(] со),
т. е. передаточной функции незамкнутого контура, вычисленной при
$=]’о (мнимая ось 5-плоскости). Из обсуждения в § 2.7 следует, что эта
функция является частотным откликом системы с незамкнутым конту-
ром.

Рассмотрим комплексную функцию:

= (6.31)
где а — действительное число. Для $ = ]«

р <»= -г-4-—= (6.32)

7 ] со 4- а <о2 +'

Имеем:

Ке/Ч»= «,4^"’ (6’33>

1т Р 0 •)= - ю2 (6.34)

^(» = 1^0) I ехр 00), (6.35)

|Г(» | = (<&+&)-№ (6.36)

1^0=—<о/а. (6.37)

Для малых со

Л»—6—>0- (6.38)

Для со — а

Р (>) = 1 /(/а + а), | Р 0 <о) | = 1 /(а |/2), 6 = — 45°. (6.39)

Для больших с»
/7(]-ш)__|//ш> 0_>_9О°. (6.40)

Удобным представлением для частотного отклика служит диаграм-
ма Боде, в которой 1&|/7(}со)| изображается как функция от ш. Для
малых со уравнение (6.38) дает горизонтальную прямую. Для больших
ш уравнение (6.40) дает прямую с наклоном —1. Эти две асимптоты
пересекаются при частоте ш=а, которая называется точкой излома ча-
стотной характеристики. Действительное значение частотного отклика
в 1//2 раз отличается от значения, соответствующего горизонтальной
асимптоте. В технике связи и системах регулирования часто употреб-
ляется единица измерения децибел (дб) (десять простых логарифмов
отношения интенсивностей или двадцать простых логарифмов отношения
амплитуд). Отношение амплитуд, равное У 2, соответствует прибли-
зительно 3 дб, следовательно, величина частотного отклика при частоте
излома будет лежать на диаграмме на 3 дб ниже горизонтальной асимп-
тоты. По мере того как частота увеличивается от нуля, частотный от-
клик выходит на плато вблизи частоты излома, ослабляется в 1/К 2 раз
(3 дб) на частоте излома и убывает по закону 1/со выше этой частоты
(наклон —1 на —^-диаграмме, или ослабление в 20 дб на десять
единиц частоты). Заметим, что частота измеряется здесь в радианах
в секунду. Фаза плавно изменяется от 0 до —90° по всему диапазону
частот, принимая значение —45° на частоте излома. Этот пример пока-
зан на рис. 6.5 для уравнения (6.31) при а=1.

Полярная диаграмма Р (]со) строится с помощью действительных и
мнимых частей, уравнения (6.33) и (6.34), которые рассматриваются
как пара координат х, у. В нашем примере можно легко убедиться, что
20 3
полярная диаграмма представляет собой полукруг с радиусом 1/2а,
проходящий через начало координат (рис. 6.6). Отрицательные значе-
ния со дают верхний полукруг, обозначенный на рисунке пунктиром. Об-

Рис. 6.5. Амплитудно-частотная и фазо-
частотная характеристики для Р (5) =
= !/($+!).

ратим внимание на симметрию
относительно действительной оси:
уравнения (6.33) и (6.34) показы-
вают, что действительная часть
является четной функцией со, а
мнимая часть — нечетной функ-
цией.

Полный круг на рис. 6.6 мо-
жет рассматриваться как отобра-
жение всей мнимой оси в $-пло-
скости в комплексную плоскость
/7(]со). Направление стрелки, ука-
зывающее вращение от со=+оо
до (о=0, выбрано довольно про-
извольно, позднее при обсужде-
нии критерия Найквиста мы сде-
лаем определенный выбор на-
правления при интегрировании по
контуру, опускающемуся по мни-
мой оси в 5-плоскости. Более по-
дробное обсуждение этих вопро-
сов можно найти в § 6.5.

на —1 не влияет на величину ча-

Заметим, что умножение Р (]*<»)
стотного отклика системы. Заметим также, что фаза увеличивается (или
уменьшается) на 180° соответственно повороту полярной диаграммы на
180°.

Теперь рассмотрим более сложную функцию:

/7(5) =

8 + а

(з + Ь) (з + с) ’

имеющую два полюса и нуль. Положим Мы имеем:

Н(8)~а!Ьс, |5|<&;

Я(5) ~а/с8, Ь<^_ |5|

Я(5) ~1/с, Ж |5| <Сс;

Я(5)^1/5, |5|^>С.

(6.41)

(6.42)

Кривая частотного отклика выходит на плато при значении а/Ьс
для малых а>, затем имеет излом при ы = Ь, после чего спадает как
а/с®, снова претерпевает излом при о> = а и становится горизонтальной
(на более низком уровне 1/с), и, наконец, начиная с частоты (&=с
спадает по закону 1/со. Если бы полюсы и нули были разделены боль-
шим расстоянием, то фаза бы изменялась от нуля до —90°, затем об-
ратно до нуля и снова до —90°, проходя через —45° при каждой из
трех частот излома. Когда полюсы и нули разделены слабо, флуктуа-
ции наклона и фазы значительно сглажены. После небольшой прак-
тики можно легко научиться строить приближенные графики амплиту-
ды и фазы сложных полиномиальных функций, если известно место-
положение полюсов и нулей.
На рис. 6.7—6.14 представлены графики амплитуд, фаз и полярные
диаграммы для ряда функций (а, Ь и с — положительные действитель-
ные числа, исключая особо обозначенные случаи). Рис. 6.9 и 6.10 со-
держат случаи, в которых передаточная функция изменяется как 1/$2
или 1/$3 на ограниченных областях, при этом наклон кривых в логариф-
мических численных диаграммах равен соответственно —2 или —3.

Рис. 6.11—6.14 представ-
ляют различные модельные
случаи для функции, заданной
уравнением (6.41) и нормиро-
ванной по величине на
\Н (0)| = 1. Обратим внима-
ние, что в этих четырех приме-
рах полюсы и нули лежат до- ,
вольно близко друг к другу.
Для сравнения в численные,
диаграммы -включены прямо-
линейные асимптоты.

Функция, определяемая
уравнением (6.41), представ-
ляет интерес из-за большого Рис-
разнообразия возможных слу-
чаев. Это разнообразие про-

явится позднее при рассмотрении реакторной модели с двухканаль-
ной обратной связью. В качестве упражнения предлагаем читателю по-
казать, что действительная часть Я(]'со) может стремиться к нулю при
конечных со (как на рис. 6.11), только когда а>Ь + с, в то время как

-0,5

1,0

0,5

6.6. Полярная

диаграмма

= 1(5+1).

ДЛЯ ^(5) =

Рис. 6.7. Амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики
и полярные диаграммы для различных функций /($).

8+а

мнимая часть может стремиться к нулю при конечных со (как на
рис. 6.13), только когда а<Ьс/ (Ь + с). Обратим внимание на присутст-
вие фазового сдвига (0>О) на рис. 6.13 и 6.14.

Рис. 6Д4 иллюстрирует систему без минимума фазы. Вследствие
наличия нуля в правой полуплоскости фаза изменяется на 270° вместо
90° (как на рйс. 6.11—6.13) при изменении о) от 0 до оо. Амплитудная
кривая для этого случая та же самая, что и на рис. 6.12, поскольку
&<|а|<с на обоих рисунках и очевидно равенство |]+1| = |1—1|. Из

Рис. 6.8. Амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики
и полярные диаграммы для различных функций /($).

8+а

8(8+Ь)

Рис. 6.9. Амплитудно-частотные, фазочастотные
характеристики и полярные диаграммы для /(5) =
= ($+а)/$($ + &).

этого следует важный вывод: единственная фазовая кривая может быть
получена из амплитудной характеристики лишь в том случае, если из-
вестно, что в правой полуплоскости не имеется нулей или полюсов.
Читатель может проверить качественные характеристики кривых
на рис. 6.7—6.14, а также исследовать влияние перемещения полюса или
нуля из левой полуплоскости в правую на фазовые кривые и полярные
диаграммы на рис. 6.7—6.10.

До сих пор мы рассматривали комбинации линейных множителей,
представляющих полюсы или нули на действительной оси. Квадратич-
ный множитель с действительными коэффициентами может быть пред-

Рис. 6.10. Амплитудно-частотные, фазо-
частотные характеристики и полярные
диаграммы для 1/($+а) ($ + 6) и
1/$($+а) ($+&).

Рис. 6.11. Амплитудно-частотная, фа-
зочастотная характеристики и поляр-
ная диаграмма (два полюса и один
нуль в левой полуплоскости).

ставлен парой комплексно сопряженных полюсов или нулей. Рассмот-

рим, например,

®о2

6(5) =

52 2^(Оо5 + СО02

(6.43)

Эта функция имеет полюсы при

5 = - ш0 [С + У?=Т].

Для 0<^<1 существует пара комплексно сопряженных полюсов в ле-
вой полуплоскости. Назовем коэффициентом демпфирования, а шо —
собственной частотой (частота недемпфированных колебаний).
Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики для раз-
личных значений показаны на рис. 6.15, 6.16. Кривая для ^=1 пред-
ставляет случай двойного полюса при $=—соо. Обратим внимание на
резонанс, который становится более резко выраженным с уменьшением
С. Конечно, можно было бы получить похожие амплитудные характе-
ристики с их пиками с помощью комбинации нескольких линейных мно-
жителей с действительными полюсами и нулями, но это дало бы не-

(з+1) (з+Ю)

Рис. 6.12. Амплитудно-частотная,
фазочастотная характеристики и по-
лярная диаграмма (два полюса и
один нуль в левой полуплоскости).

Рис. 6.13. Амплитудно-частотная,
фазочастотная характеристики и по-
лярная диаграмма (два полюса и
один нуль-в левой полуплоскости).

правильное описание системы. Это еще раз доказывает, что одной
амплитудной характеристики еще недостаточно для* описания линейной
системы.

Рассмотрим теперь передаточную функцию реактора малой мощно-
сти, обсуждавшуюся в § 3.3. Входом здесь служит осцилляция реактив-
ности, а выходом — осцилляция мощности или нейтронной плотности.
Согласно уравнению (3.48), нули лежат при 5 = —а полюсы являют-
ся корнями уравнения обратных часов (см. рис. 2.1). При этом име-
ется т нулей и т-Ы полюсов, чередующихся вдоль отрицательной дей-
ствительной оси. Если ро=О (отсутствует источник), то один полюс ле-
жит в начале координат.
Для одной группы запаздывающих нейтронов передаточная функ-
ция имеет два полюса и один нуль [см. уравнение (3.55) или (3.57)].
При Х<С₽// передаточная функция критического реактора качественно
определяется рис. 6.9 для случая а<Ь. Для подкритического реактора
можно использовать кривую, подоб-
ную изображенной на рис. 6.12, хотя
в этом случае полюсы и нули будут
располагаться на более значительном
расстоянии один от другого (см.
рис. 3.9 и 3.10).

Для шести групп запаздывающих
нейтронов передаточная функция име-
ет шесть близко расположенных друг
к другу чередующихся полюсов и ну-
лей и один полюс, удаленный на боль-
шое расстояние, на отрицательной
действительной оси. Этот случай по-
казан на 'рис. 3.4 и 3.5. Время генера-
ции нейтронов оказывает влияние
только на высокочастотный полюс, как
видно из рис. 3.6 и 3.7. На рис. 3.8 по-
казана передаточная функция системы
с одной группой запаздывающих ней-
тронов в различных приближениях,
определяемых уравнениями (3.59) —
(3.63). Читателю рекомендуем срав-
нить эти примеры с соответствующи-
ми случаями, представленными на
рис. 6.7 и 6.8.

Чтобы рассмотреть влияние ли-
нейной обратной связи по реактивно-
сти, заменим бр в уравнении (3.40) на
бр—р/, где р/ — обратная связь по ре-
активности, определяемая уравнением
(5.70). Мы пренебрегаем как р/бп, так
и брбп, и применяем преобразования
Лапласа; преобразование Лапласа яд-
ра обратной связи Л(/) является пере-
даточной функцией обратной связи
Я (5) уравнения (5.75). Как и в § 3.3,

Рис. 6.14. Амплитудно-частотная,
фазочастотная характеристики и по-
лярная диаграмма (два полюса в ле-
вой полуплоскости, один нуль в пра-
вой полуплоскости).

находим преобразование Лапласа постоянной составляющей частотно-
го отклика:

п08Я ($)

(5) =----------------

18 4- р — ро

+пйН ($)

(6.44)

Это выражение можно сравнить с уравнением (3.42). Согласно уравне-
ниям (3.43) и (6.44), передаточная функция системы с замкнутым кон-
туром имеет вид:

П*) =

д# (5) С (5)

«/?($) ” 1 + 6 (5) Н (5) *

(6.45)

14—837

209
Из этого следует другая формулировка уравнения (6.3) для системы
с замкнутым контуром, представленной на структурной схеме рис. 6.1.
Обратим внимание, что функция О (5) из уравнения (3.43) пропорцио-
нальна равновесной мощности Ло,
в то время как функция Н (5)
в § 5.5 содержит только параме-
тры обратной связи. Это означа-
ет, что коэффициент усиления не-
замкнутого контура пропорцио-

Рис. 6.15. Амплитудно-частотные характе-
ристики для квадратичного множителя
с комплексными полюсами.

нален Ло-

Теперь опишем простой гра-
фический метод изображения пе-
редаточной функции замкнутого
контура, когда известны переда-
точные функции прямой 6 (в) и
обратной Н (5) связей. Если су-
ществует диапазон частот, для
которого | О (]*<о) Н 0 со) | <С 1, то,
согласно уравнению (6.45),

|У(]Ш)|~1/|Я0ш)|. (6.46)

С другой стороны, когда
|О0ш)Я0а>)|«1,

|У(йо)|^|С(»|. (6.47)

Рис. 6.16. Фазочастотные характеристики
для квадратичного множителя с комплекс-
ными полюсами.

Если построены амплитудные
кривые для 6 и 1/Я, то ампли-
тудная характеристика для У бу-
дет следовать за самой нижней
из двух кривых. Это справед-
ливо, потому что У следует за
1/Я, когда О больше Я, и У сле-
дует за С, когда 1/Н больше О.
Этот принцип не работает вблизи
пересечения О и 1/Н, так как зна-
менатель уравнения (6.45) в оп-
ределенных случаях может при-
ближаться к нулю (этот случай
будет обсуждаться позднее в свя-
зи с критерием устойчивости
Найквиста).

Проиллюстрируем сказанное простым примером, показанным на
рис. 6.17. Положим

С(5)=

5 + <2

5 (5 -|- Ь)

//($)-

где а<у<&. С возрастанием К амплитудная кривая для 1/Н понижает-
ся. Приводятся три возможные кривые для У (три различных значения
коэффициента усиления). Если имеется дополнительная информация, из
210
которой следует, что произведение 6(](д)Н(]‘о) не лежит близко к —1,
когда его численное значение близко к единице (т. е., если фаза не близ-
ка к 180°), то эти сложные кривые будут качественно правильными для
всего диапазона частот. Таким является случай простой реакторной мо-

Рис. 6.17. Построение качествен-
ных амплитудно-частотных харак-
теристик для передаточной функ-
ции замкнутого контура (двойная
логарифмическая шкала).

дели с температурной обратной связью,
которая подчиняется ньютоновскому
закону охлаждения.

Используя уравнение (3.57) для
(7(5) и уравнение (5.76) для Я (5),
где мы отождествляем а с % и у с об-
ратной постоянной времени, постро-
им с помощью рис. 6.17 амплитуд-
но-частотную характеристику для слу-
чая у Ж показанного на рис. 6.18.
Параметром служит а (отрицатель-

Рис. 6.18. Передаточная функция реактора
(качественная характеристика) для отрица-
тельного температурного коэффициента ре-
активности в случае у>%.

ный коэффициент реактивности), при этом мы не включаем в рассмот-
рение нереальный случай такого большого а, при котором исчезает
полюс при —р//. В этом частном случае может быть показано, что
У представляет собой систему с минимумом фазы и что фаза может
быть корректно выведена из величины У (/со), как это показано на
рис. 6.18.

Коэффициент усиления незамкнутого контура для этой системы
можно принять равным аКпо!1. Построив кривые (7/ио и иоЯ, можно
установить соответствие между множителем Но и обратной связью. Кри-
вые на рис. 6.18 могут, следовательно, рассматриваться как показы-
14* 211
вающие зависимость функции У/по от возрастания одного из трех пара-
метров: а, К или По.

Студентам рекомендуется построить кривые, соответствующие по-
казанным на рис. 6.18, для случая у<Х.

В заключение обратим внимание на полезность уравнения (6.6),
которое выражает передаточную функцию обратной связи в терминах
прямого и замкнутого контуров. Передаточная функция обратной связи
может быть вычислена из данных, полученных при измерении переда-
точных функций при низкой и высокой мощности и обозначенных соот-
ветственно как О и У. Это успешно доказывается во многих исследова-
ниях реакторной устойчивости [513].

§ 6.5 Критерий Найквиста

Знаменатель выражения, определяющего передаточную функцию
У (5) в уравнении (6.3), может быть записан как

/((5) = 14-6(5)Я(5). (6.48)

Нули функции /(5) являются корнями характеристического уравнения.
Метод обнаружения нулей функции /(5) в правой половине комплекс-
ной 5-плоскости был развит Найквистом [403]. Метод основывается на
теореме в теории комплексных переменных, устанавливающей связь меж-
ду определенным интегралом по замкнутому контуру и числом нулей и
полюсов внутри этого контура [550, 589, 600].

Мы перефразируем эту теорему следующим образом. Пусть /(5) —
аналитическая и отличная от нуля функция на простом замкнутом кон-
туре С и пусть /(5)—аналитическая функция внутри С, исключая ко-
нечное число полюсов. Тогда

<6-49)

где 2 и Р — соответственно число нулей и полюсов функции /(5) внутри
контура С, подсчитанное с учетом их разнообразия. Контур обходится
в направлении против часовой стрелки, и /'($) означает сЩАз.

Теперь функция /(5) может рассматриваться как некое схематиче-
ское отображение, а направление обхода контура С в 5-плоскости соот-
ветствует направлению обхода отображенного контура С' в /-плоскости.
Поскольку

у-^=у- = ^(1§ /)>

каждая окружность, проведенная против часовой стрелки вокруг начала
координат в /-плоскости, добавляет 2л] в интеграл по контуру С. Урав-
нение (6.49) принимает вид

Р=2—Р, (6.50)

где Е — число окружений против часовой стрелки начала координат
контуром С' в /-плоскости за один оборот замкнутого контура С в 5-
плоскости.

Чтобы использовать этот результат в анализе линейной устойчиво-
сти, выберем контур, который заключает в себе всю правую половину
212
5-плоскости. Примеры этого, так называемого Г-контура, показаны на
рис. 6.19. Если произведение 6 (5) Я (5) представляет физически реали-
зуемую систему, то /(5)—>1 на большом полукруге при бесконечности,
и условия теоремы не нарушаются. Однако на мнимой оси могут нахо-
диться полюсы, которые необходимо обойти с помощью маленьких полу-

кружков, как это показано на
рис. 6.19. Поскольку радиус вы-
бирается бесконечно малым, со-^
ответствующая часть отображе-
ния в /-плоскости остается очень
большой.

Применяя метод к системам
с обратной связью, заметим, что
начало координат 1в /-плоскости
является точкой —1 в 677-пло-
скости. В общем случае проще
работать с отображением 677, и
мы будем рассматривать Е как
число окружений против часовой
стрелки точки —1 в 677-плоско-
сти за один оборот контура Г
Если система с замкнутым кон-
туром устойчива, то функция /
не имеет нуля внутри контура Ей

Рис. 6.19. Контуры интегрирования (Г-кон-
туры), охватывающие правую половину
5-ПЛОСКОСТИ.

2=0. Критерий Найквиста (необходимый и достаточный) теперь может

быть сформулирован следующим образом: линейная система с обратной
связью [уравнение (6.3)] устойчива, если

(6.51)

где Е— число окружений против часовой стрелки точки —1 в бЯ'-пло-
скости для каждого витка контура Г и Р — число полюсов 677 или /
внутри Г. Суммируя вышесказанное, можно сделать вывод, что система
устойчива, если существует одно окружение по часовой стрелке (отри-
цательное) точки —1 для каждого полюса ОН* в правой полуплоскости.
Такое отображение, или геометрическое место точек в 677-плоскости,
называется диаграммой Найквиста.

Пример 1. Передаточная функция незамкнутого контура задана
уравнением (6.17)

^ + а)(, + Ь) ’ <6-52)

где а и Ь положительны. Выберем Г-контур в соответствии с рис. 6.19
с одной выемкой, огибающей полюс в начале координат. На мнимой
оси

6 (]<о) 77 (]<») = ——-г.—. (6.53)

7 и 1 ]со (]со 4- а) цсо -|- Ь) ' '

Для больших значений со

6(]со)Я(]со) о^ТС/щ3, (6.54)

в то время как для малых со
6(]*со)Я(]со) ~—)К/аЬ(в. (6.55)

213
По мере того как мы опускаемся по положительной мнимой оси в $-
плоскости, геометрическое место точек, прослеживаемое в ОЯ-плоскости,
появляется из начала координат при фазовом угле 90° и в конце концов
приближается к бесконечности при фазовом угле —90° (или 270°).

Чтобы определить поведение си-
стемы на промежуточных частотах,
выберем частоту, близкую к а или
Ьу и начертим векторную диаграмму
(диаграмму Арганда), 'изображаю-
щую множители в уравнении (6.53).

Рис. 6.20. Векторная диаграмма (диаграм-
ма Арганда) для пример 1.

Диаграмма приведена на рис. 6.20. Знаменатель уравнения (6.53) опре-
деляется сложением фаз трех векторов, а ОН представляет собой
обратную величину, фаза которой находится изменением знака фазы зна-

1т СН

Рис. 6.22. Г-контур в 5-плоскости и его отображение
(диаграмма Найквиста) в 677-плоскости для примера 1.

менателя (полагая К>0). Очевидно, что поскольку ОН имеет отрица-
тельную действительную часть, геометрическое место точек должно на-
ходиться слева от начала координат в (7Я-плоскости. Эта часть отобра-
214
жения представляет собой полярную диаграмму, построенную для этой
функции на рис. 6.10, а численный пример (К=1, а—1, 6 = 2) приво-
дится в масштабе на рис. 6.21. Это соответствует сегменту АВ и 6Н-пло-
скости на рис. 6.22.

Вблизи начала координат в 5-плоскости мы сделаем обвод малым
полукругом ВСО, как это показано на рис. 6.22. Из уравнения (6.52)

0(8)Н(з)~К1аЬ8.

Пусть 5=рехр (]*<р), где р мало. Тогда

СН~ (К/аЬр) ехр (—]’ф).

В то время как малый круг в 5-плоскости обходится по направлению
часовой стрелки от +90 до —90°, большой круг в бЯ-плоскости обхо-
дится в противоположном направлении (от —90 до +90°).

Сегмент ЕЕ строится как зеркальное отображение полярной диа-
граммы, получаемое с помощью комплексно сопряженных чисел (за-
меной ]со на —]со). Он возвращает нас к началу координат к бЯ-пло-
скости (подход осуществляется снизу). При этом Г-контур еще не за-
мкнут. Из уравнения (6.52)

6(5)Я(5)О±/С/53.

Пусть 5=7? ехр (]0), где 7? имеет большие значения. Тогда
СЯ~(К/7?3) ехр (—]30).

Большой полукруг в 5-плоскости с направлением обхода против часо-
вой стрелки преобразуется на диаграмме в один или полтора малень-
ких кружка в ОЯ-плоскости с направлением обхода по часовой стрелке.
Таким образом, Г-контур замыкается, и фаза приводится непосредст-
венно в начало координат ОЯ-плоскости.

Применим теперь критерий Найквиста. В правой полуплоскости по-
люса нет, и, согласно уравнению (6.51), система устойчива, если Е = 0
(т. е. нет окружения точки —1 в бЯ-плоскости). Умножением на поло-
жительное число К мы изменяем масштаб диаграммы Найквиста. Как
видно из рис. 6.22, окружения точки —1 не произойдет, если К мало,
однако при достаточно больших К эта точка будет окружена в направ-
лении против часовой стрелки. Таким образом, данная система устой-
чива при малых положительных К и неустойчива при больших положи-
тельных К в соответствии с критерием Рауса, рассмотренным в § 6.3.
При отрицательных значениях К диаграмма Найквиста поворачивается
на 180°, поэтому она всегда окружает точку —1, и система будет не-
устойчивой для всех К<0.

Граница неустойчивости находится при <?0’<о)Я(]©) =—1. Из урав-
нения (6.53) можно вывести

Ре [О (» Н (»] = - —+^+^+ь2} (6.5б)

1т [6 (» И (>)] = - • (6-57)

Заметим, что действительная часть является четной функцией со, а мни-
мая часть — нечетной, откуда следует симметрия диаграммы Найквиста
относительно действительной оси. Согласно уравнению (6.57), мнимая
215
часть исчезает при (&2=аЬ, при этом появляется резонансная частота,
описанная в § 6.3. Подставляя это выражение в правую часть уравнения
(6.56) и приравнивая левую часть уравнения к —1, решаем его относи-
тельно К:

К=аЬ(а+Ъ).

Полученное выражение согласуется с верхней границей области устой-
чивости, определяемой уравнением (6.19).

Пример 2. Из уравнения (6.22)

Для больших (О

и для ш = 0

о (Я н (я= (> _ * (]м + 2) .

О (]<о) Н (» — К/со2

ОН = — К/2.

(6.58)

(6.59)

Простая схема, подобная рис. 6.20, показывает, что ОН находится
в третьем квадранте при <о>»0. Масштабная диаграмма для /С=1 пока-
зана на рис. 6.23. Необходимость в по-
строении Г-контура отпадает, так как
на мнимой оси нет полюсов ОН.

(8-1) (8+2)

Рис. 6.23. Диаграмма Найквиста для
/С=1 в примере 2.

В правой полуплоскости находит-
ся полюс (Р=1). Поскольку для
устойчивости системы, согласно урав-
нению (6.51), требуется выполнение
условия Е=—1, контур должен за-
ключать в себе точку —1 (одно окру-
жение по часовой стрелке). Преде-
лом является ОН=—1, что имеет
место при (о=0 и /С=2. Для отрица-

тельных значений К существование окружений невозможно, поэтому
область устойчивости лежит при К>2.

Пример 3. Из уравнения (6.24)

е(5)//(5)=

К (х + а)

(6.60)

з (5 — Ь) *

где а и Ъ — положительны. В этом случае кривая на диаграмме Найкви-
ста выходит из начала координат при —90° и стремится к бесконечности
при +90°. При этом действительная часть остается повсюду отрица-
тельной. Поскольку в начале координат лежит полюс, большой полукруг
оборачивается против часовой стрелки. Вследствие наличия полюса
в правой полуплоскости для обеспечения устойчивости требуется одно
окружение по часовой стрелке точки —1. Как видно из рис. 6.24, это
может иметь место лишь при достаточно больших К.

Находим

Ке[Са®)Я(Я1 —

К (а + Ь)

<О2 + Й2
и

1т [(?(»//(»] =

К (аЬ — со2)
со (со2 4- 62)

1т

Пределом будет ОН=—1, что дает ы2=аЬ и
К—Ь. Область устойчивости удовлетворяет
условию что согласуется с критерием

Рауса.

Пример 4. Из уравнения (6.26)
где а и Ь — положительны. Снова кривая
Найквиста исходит из начала координат при
—90° и стремится к бесконечности при +90°. Л

Однако на этот раз действительная часть бу- 5(5 '

дет положительной, как ВИДНО из рис. 6.25. Рис. 6.24. Диаграмма Най-
ПОСКОЛЬКУ В Правой ПОЛУПЛОСКОСТИ ПОЛЮ- квиста для примера 3.
са нет, для обеспечения устойчивости необхо-
димо, чтобы отсутствовало окружение точки —1. Это может иметь ме-
сто лишь для отрицательных К довольно малой величины (поверните
диаграмму Найквиста на 180°). Полагая ОН=—1, в пределе находим:
устойчивости, следовательно, удовлетворяет
отрицательных значениях К можно пользо-
ваться диаграммой Найквиста и рассматри-
вать окружение точки 4-1. Однако мы пред-
почитаем не делать из-за риска ошибиться
при определении знака обратной связи.

Пример 5. Из уравнения (6.28)

О (5) Н (5) = -... * . , . (6.62)

4 7 4 7 (5 — 1) (« 4- 2) ($ 4- а) 4 7

Кривая Найквиста выходит из начала ко-
ординат при 4-90° и оканчивается при
—Л/2а на отрицательной действительной оси
(для положительных Киа). Для промежу-
точных значений со ситуация сложнее, чем
в предыдущих примерах.

Построив несколько векторных диа-
грамм в соответствии с рис. 6.20, можно
убедиться, что геометрическое место точек,
удовлетворяющих условию со>0, находится
целиком во втором квадранте только для
достаточно малых а. Это означает, что
диаграмма Найквиста представляет собой
обхода против часовой стрелки. Посколь-

ку в левой полуплоскости имеется полюс, для обеспечения устойчивости
необходимо окружение точки —1 по часовой стрелке, что невозможно
при любых значениях К, если а мало.

При больших а диаграмма захватывает третий квадрант, по мере
того как убывает со. На рис. 6.8 показана диаграмма Найквиста с кон-
туром, имеющим направление обхода по часовой стрелке и расположен-
ным в левой полуплоскости. При промежуточных К точка —1 может

(о2=ая, д = —Ъ. Область

Рис. 6.25. Диаграмма Найкви-
ста для примера 4.

контур с направлением
охватываться контуром с направлением обхода по часовой стрелке, что
делает систему устойчивой.

Находим

Ке [(?(»//(»] = — К

(а 4~ 1) со2 + 2а

(со2 -|“ О (^2 4" 4) (<о2 -|- а2)

1т [С (» Н 0<»)] = К

со (со2 — а 4~ 2)
(со2 -р О С002 Ч- 4) (<о2 4- а2)

Мнимая часть три раза обращается в нуль, если а>2. Примеры пока-
заны на рис. 6.26. Приняв <о2=а—2 в выражении для действительной
части и потребовав выполнения условия ОН——1, мы получим верхний
предел К=аа4-а—1. Это соответствует динамической границе устойчи-
вости, определяемой критерием Рауса. Поскольку другой предел опре-
деляется как оо = 0, /С=2а, область устойчивости удовлетворяет условию
2а</С<а24-а—1.

На рис. 6.4 показано параметрическое пространство для системы
из примера 5. Читатель может изобразить диаграмму Найквиста для

отрицательных а и исследовать неус-
тойчивость.

Заметим, что качественные осо-
бенности рис. 6.26 можно вывести из
рис. 6.23 и полярной диаграммы для
1/(54-а) на рис. 6.7. Если на обеих по-
лярных диаграммах обозначены ча-
стоты, то легко построить полярную
диаграмму произведения ОН.

На этом мы заканчиваем рассмо-
трение пяти специальных примеров.
Мы возвратимся к ним в следующем
параграфе после описания метода
геометрического места корней. За-
канчивая параграф, остановимся на
некоторых вопросах, касающихся
устойчивости и частотного отклика
систем.

Преимущество метода Найквиста

заключается в том, что он может

Рис. 6.26. Диаграмма Найквиста для быть применен к системе С транс-
примера 5. портным временем запаздывания. Сиг-

нал /(/), передаваемый с временем
запаздывания Г, может быть пред-
ставлен как /(/—Т). Если преобразование Лапласа /(/) равно Р (5) и
если для /<0, то преобразование Лапласа запаздывающего сиг-

нала равно ехр (—Тз)-Р(8). Метод Найквиста может применяться и
при наличии экспоненциального множителя (существенная особенность
такой функции в бесконечности не оказывает влияния на контур в пра-
вой полуплоскости).

Простой пример приведен на рис. 6.27. Система без времени запаз-
дывания была бы устойчивой для всех положительных К, поскольку
диаграмма Найквиста для 1/5 охватывалась бы большим полукругом
в правой части. При наличии времени запаздывания диаграмма Най-

квиста применяется в соответствии с экспоненциальным множителем,
полярная диаграмма которого также представлена на рис. 6.27. Диа-
грамма Найквиста для такой системы представляет собой спираль, по-
казанную на рис. 6.28.

Система устойчива для малых К. По мере возрастания К точка —1
окружается дважды, затем четыре раза и т. д. Первое пересечение дей-

Рис. 6.27. Пример с транспортным временем за-
паздывания.

ствительной оси происходит при соГ=л/2 и система неустойчива для
К>л12Т. Временное запаздывание обратило систему, устойчивую при
всех положительных К, в условно устойчивую систему, область устой-
чивости которой уменьшается с ростом запаздывания.

Оператор времени запаздывания
может быть аппроксимирован ра-
циональной функцией от 5 (отноше-
ние полиномов) с помощью сокра-
щенных степенных рядов. Для полу-
чения более высокой точности есте-
ственно потребуется большее число
полюсов и нулей. Теперь заметим,
что устойчивость простых систем ча-
сто может быть выведена из ампли-
тудной характеристики частотного
отклика системы с незамкнутым кон-
туром. Рассмотрим систему из при-
мера 1 (см. рис. 6.21 и 6.22). Ампли-
тудно-частотная и фазочастотная ха-
рактеристики показаны на рис. 6.10.
Граница неустойчивости находится
в месте, где диаграмма Найквиста
пересекает действительную ось в
точке —1. Это соответствует значе-
нию частотного отклика, равному 1, и фазе —180°. Если К таково, что зна-
чение частотного отклика уменьшается до единицы (0 дб) прежде, чем
фаза достигнет —180°, система устойчива. Таким образом, система
с минимумом фазы, подобная рассмотренной в этом примере, может
приближенно оцениваться, исходя лишь из амплитудной кривой частот-

ного отклика.

Степень приближения к границе неустойчивости в условно устойчи-

вых системах этого типа количественно может быть выражена предель-

ной фазой и предельным коэффициентом усиления. Они определяются,

Единичный.

1т

Рис. 6.29. Предельная фаза и пре-
дельный коэффициент усиления для
условно устойчивой системы.

как показано на рис. 6.29, где пред-
ставлена диаграмма Найквиста для
типичной устойчивой системы относи-
тельно единичного круга в (///-пло-
скости.

Другой графический метод для
определения линейной устойчивости
может быть выражен в терминах пере-
даточных функций отдельно для пря-
мой и обратной связи. Предположим,
что мы имеем передаточную функ-
цию прямой связи 0(з) и переда-
точную функцию обратной связи
КН(з). Построим полярные диаграм-
мы для 1/6(]’€о) и —КН(}(&), как по-
казано на рис. 6.30. Если эти две
диаграммы будут пересекаться при
одном и том же значении со для неко-

торого критического коэффициента
усиления Ккр, то система условно устойчива, а /СКр представляет собой
предел неустойчивости.

Описанный метод трудно применять на практике. Поэтому остано-
вимся на методе, который дает достаточное условие для линейной устой-
чивости и более прост в использовании. Рассмотрим пример на рис. 6.30.
Поскольку фазовые углы отрицательны (отставание по фазе) для всех
частот, критическое условие может быть выражено как

Построим

1/|6(»|=К|Я(»|

|0с'(» | + |0н (]<о) | =л.

(6.63)

(6.64)

(6.65)

(6.66)

как функции от 1/6(]®) и 7<|//(]’со) | соответственно. Они изображены
на рис. 6.31 в полулогарифмическом масштабе. Стрелки показывают
направление убывания частоты.

Как и на рис. 6.30, система является критической, если кривые пря-
мой и обратной связи будут пересекаться при одной и той же частоте.
Однако, в отличие от рис. 6.30, на этой диаграмме имеется область зна-
чений К, в которой отсутствуют пересечения. Заметим также, что все
220
кривые обратной связи приближаются к одному и тому же предель-
ному значению функции хн при со—>0. Если К достаточно мало и пре-
дельная точка лежит слева от геометрического места точек функции хн,
то при любой частоте пересечение невозможно, и система будет неус-
тойчивой. Это является достаточным, но не необходимым условием
для линейной устойчивости.

Определим предельное значение тл. Например, если

КЯ (5) = -7—Г-ГГ-ГМ-,
' ' (8 + а) ($ + 6)

как в настоящем примере (см. рис. 6.10), то

(а + Ь) со
со2 — аЬ

Находим

Ь ’

Если к тому же а < Ь, то

Нштя(]ш)^ 1/а.

со—>0

(6.67)

(6.68)

Следовательно, предельная точка геометрического места точек хн ха

растеризуется наибольшей по-
стоянной времени в системе
обратной связи и величиной
КЯ(0).

Воспользуемся этим при
экспериментальном исследова-
нии устойчивости. Предполо-
жим, что функция О хорошо
известна во всем диапазоне ча-
стот вместе с передаточной
функцией реактора малой
мощности. В действительности,
если передаточная функция
реактора нормализована ум-
ножением на р/по, кривая х&
является важной универсаль-
ной кривой для реакторов (за
исключением точки излома на
частоте, превышающей со =
=р//). Допустим также, что
обратная связь хорошо изве-

1т 1

стна только для низких частот, ,

Т. е. известны значения КН (0) рис 6.30. Полярные диаграммы, показываю-
и наибольшей постоянной вре- щие пересечения 1/0 и —КН.

мени. Это дает предельную

точку геометрического места точек функции тн. Если к тому же можно

предположить, что

|Н(>| < I/7(0) I

(6.69)

-Сд 0®) < 11Ш н (Н,

<о->0

(6.70)
как на рис. 6.31, то заключение об устойчивости можно сделать, исходя
из местоположения предельной точки хн без детального рассмотрения
геометрического места точек хн при более высоких частотах. Следова-
тельно, мы получили достаточное условие для линейной устойчивости,
которое требует лишь частичного знания обратной связи. Условия, вы-
раженные уравнениями (6.69) и (6.70), удовлетворяются часто, но не
всегда (например, см. рис. 6.13). Однако во многих практических слу-
чаях метод используется успешно. Этот метод был разработан и при-
менен к реакторам на быстрых ней-
тронах Стёрером [529]. Краткое изло-
жение метода дано в работе [290].

В заключение рассмотрим метод
построения амплитудных характери-
стик для функции У(5), когда извест-
ны значения 0(з) и Н (з) (см.
рис. 6.17). При пересечении кривых О
и \/Н диаграмма Найквиста для ОН
пересекает единичный круг в (///-пло-
скости. Если У (з) представляет систе-
му с минимумом фазы, то фаза может
быть найдена из амплитудной харак-
теристики этой функции.

Например, предположим, что ам-
плитудная кривая для У изменяет
свой наклон от 0 до —1 в точке пере-
сечения. Если У представляет систему
с минимумом фазы, то ее фаза изме-
няется от 0 до —90°. Если наклон
изменяется от 1 до —2 или от 0 до
—3, то полное изменение фазы соста-
вит —270°

Неустойчивость возникает, когда
комплексное число 1 + О (]’ со)

переходит через нуль. Это сопровождается внезапным изменением фазы,
которое отражается на фазе У (]!<о). Следовательно, значительное из-
менение наклона амплитудной характеристики функции У, которое име-
ет место при пересечении О и 1/Н, связано с неустойчивостью. Полез-
ное правило большого пальца для системы с минимумом фазы может
быть сформулировано следующим образом: если полное изменение на-
клона амплитудной кривой У(5) в точке пересечения (величина О рав-
на величине \/Н) равно нулю или —1, система устойчива. Если полное
изменение наклона равно —3, —4 и т. д., система неустойчива. Если
полное изменение наклона равно —2, необходимо дальнейшее иссле-
дование.

Существует много других вариантов исследования устойчивости,
основанных на представлениях частотного отклика. Читатель может
обратиться к работам, рекомендуемым в начале § 6.2.

§ 6.6. Метод геометрического места корней

В методе геометрического места корней исследуются корни харак-
теристического уравнения с целью определить, как эти корни изменяют
свое положение в 5-плоскости в зависимости от изменения параметра
222
системы (обычно коэффициента усиления К). Устойчивая линейная
система становится неустойчивой, когда корень (или пара корней) пе-
ресекает мнимую ось и входит в правую полуплоскость. Это отличает
данный метод от метода Найквиста, в котором передаточная функция
незамкнутого контура изучается как функция положения вдоль мнимой
оси в 5-ПЛОСКОСТИ.

Метод геометрического места корней для использования в анализе
устойчивости систем регулирования был разработан Эвансом [164, 165],
который также предложил механический способ графического построе-
ния диаграмм геометрического места корней. Основу метода составляет
классическое понятие равнофазных кривых в теории комплексных пере-
менных: если дана функция комплексной переменной Р(з), то в 5-плэе-
кости могут быть проведены линии, вдоль которых фаза Г(5) остается
постоянной. Метод не ограничивается использованием рациональных
функций (отношения полиномов).

Запишем уравнение (6.48), знаменатель передаточной функции
У (5), в виде:

/ (5) = 1 + О (5) Н (5) = 1 + КР (5) , (6.71)

где К — действительное число. Корни характеристического уравнения
являются корнями уравнения 77(5)=—1/К. Следовательно, геометриче-
ское место корней лежит на линии постоянной фазы Р(з)—180° для
положительных К и на нулевой линии постоянной фазы для отрица-
тельных К. Перечислим несколько правил построения диаграмм гео-
метрического места корней для функции отношения полиномов 7^(5),
таких, что Т7^)—>0 при |5|->оо (в соответствии с физически реализуе-
мой передаточной функцией незамкнутого контура).

Предположим, что передаточная функция незамкнутого контура
имеет вид

О (5) Н (5) = КГ (5) = К, (5~гп) (6.72)

где тип — положительные целые числа. Предполагается, что корни
Гг и рг действительные или составляют сопряженные пары. Заметим, что

1пп О (5) Н (5) = 0, (6.73

/с-*о

исключая случай з-^р^ Характеристическое уравнение

(?(5)Я(5)=—1 (6.74)

не может удовлетворяться при К->0, если не выполняется условие 5->рг-,
что приводит к следующему.

Правило 1. При К-Ч) геометрическое место корней совпадает с по-
люсами передаточной функции незамкнутого контура. Далее заметим,
что

Нт О (5) Н (5) = сю, (6.75)

К->оо

если не выполняются условия 5->Гг или 5->оо. Характеристическое урав-
нение не может удовлетворяться для К->±оо, если не выполняется
условие Р(5)->0, из чего следует правило 2.

Правило 2. При 7<->±оо геометрическое место корней приближает-
ся к нулям передаточной функции незамкнутого контура, включая т
нулей при бесконечности.
Рассмотрим теперь фазу (аргумент) произведения 0(8)Н(з). Из
уравнений (6.72) и (6.74)

аг^ [О («) Н («)] = аге (К) + 2 аг& <5 ~ г<) ~

4 = 1
т+п

- 3 аге (* - А) = (2к + 1) и, (6.76)

4 = 1

где к—целое число. Для К>*0 фаза равна нулю. Мы имеем
п т+п

У, аге(5 — Г{) — 2 аге(« — рг) = (2А+ 1)®. (6.77)

4 = 1 4 = 1

На действительной оси справа от всех корней и полюсов фазы всех
множителей, появляющихся из этих корней и полюсов, равны нулю.
Фазы от сопряженных пар на действительной оси всегда дополняются
до нуля. Тогда левая часть уравнения (6.77) равна нулю, и уравнение
не может удовлетворяться при любых значениях к.

На действительной оси слева от какого-либо корня или полюса
(алгебраически самого большого из г г и рг) левая часть уравнения
(6.77) принимает значения ±л, и уравнение может удовлетворяться.
Поскольку аг^(/С) =л для /<<0, эти рассуждения приводят к следую-
щему правилу.

Правило 3. Для положительного (отрицательного) К геометриче-
ское место корней включает в себя действительную ось слева (справа)
от нечетного числа точек и 8=рг.

Далее рассмотрим случай, когда |$|—>оо. Из уравнения (6.72)

6 (5) Н ($)

Для геометрического места корней —К. Пусть

5 = 151 ехр ]‘,0

и для /С>0

—К=К ехр | (2к +1) л.

Находим:

в = ^±^, К>0. (6.78)

Для К<0 положим

|К| ехр],(2&+1)л,
откуда

0==2Ьг//п, /«0. (6.79)

При Л->±оо геометрическое место корней асимптотически приближает-
ся к т прямым линиям, радиально расходящимся под углами, опреде-
ляемыми уравнениями (6.78) или (6.79).

Если система не имеет нулей, но имеет один полюс /п-порядка при
5 = В, уравнение для геометрического места корней может быть запи-
сано в виде

Это уравнение соответствует т прямым линиям, выходящим радиально
из точки 5=В. Сравнивая уравнения (6.72) и (6.80) и оставляя только
члены первого порядка, находим

р __ А ' ^Г1

(6.81)

с точностью до первого порядка. Определяя уравнение (6.80) как асимп-
тотическое геометрическое место корней, мы получаем еще одно пра-
вило.

Правило 4. Асимптотическое геометрическое место корней для боль-
ших 5 состоит из т прямых ,линий, радиально расходящихся из точки
8 — В—(^р1—^ГгУ/т на действительной оси под углами 6= (2&+1) л//п
для К>0 и 0 = 2кп/т для /С<0.

При этом обеспечивается симметрия относительно действительной
оси, поскольку замена со-э—со в $ = о+]!<о эквивалентна замене и
так как Р($*)=Р*($) для полинома с действительными коэффициен-
тами.

Следуя этим правилам, можно быстро изобразить геометрическое
место корней для многих случаев и определить устойчивость, исходя из
местоположения корней. Величина коэффициента усиления в любой точ-
ке на геометрическом месте корней может быть определена графически
из выражения

|к|=- <6-82>

|5 - Гх | |5 Л2| .. - |5 — гп\

где, например, |$—рг\ —расстояние от полюса в точке рг до рассматри-
ваемой точки.

Важное преимущество метода заключается в том, что на основа-
нии геометрического места корней можно судить о наличии или отсут-
ствии осцилляций при различных значениях К. Колебания начинаются
в точке, где геометрическое место корней отклоняется от действительной
оси (двойной корень характеристического уравнения). Чтобы продол-
жить наше исследование, положим 5 = о+}(о и запишем

(д — Г1 + » (з — г2 + ]<»>) - - •
(3 — рх + ](0) (з — + » . ..

Каждый множитель может быть представлен в виде

3 — Г г + = (5 — Г ( 1 +

Вблизи действительной оси (о<а—гг- и т. д.) мы имеем с точностью
до первого порядка в со

(6.83)

Поскольку обе части этого уравнения должны быть вещественными, по-
лучаем или <о = 0 (на действительной оси) или

—'——-*—Н---Ч—-—=—5—I——+---Ч--------!---• (6.84)

3 -Гх ' <3 -Г2 а -гп 3 —Р\ 3 -Ръ 3-рт + п

Уравнение (6.84) может быть разрешено относительно о, причем дей-
ствительные корни о а будут определять местоположение точек откло-
15—83 7 225
нения. При этом полезно знать, что геометрическое место корней всегда
отклоняется от действительной оси под прямыми углами. Это можно
доказать, сохранив члены второго порядка в уравнении (6.83), после
чего легко заметить, что производная стремится к бесконечности
из точки на действительной оси при

Если передаточная функция незамкнутого контура содержит комп-
лексные полюсы, то полезно вычислить угол, под которым кривая гео-
метрического места корней выходит из такого полюса. Это можно сде-
лать с помощью уравнения (6.76). Например,

аг§ (« — Р,) = аг§ (К) + 2 аге (« — г,) —

1 = 1

т+п

— 2 агк(« — А) — (2Л4-1)х

1=2

т + п

и Нт аге (в — р.) = аге (К) +

2 ЭГ2 (₽. — Гг) — 2 ЭГ$ (А ~ ~ (2к + й’-

1 = 1 1=2

(6.85)

Угол выхода из полюса выражается, следовательно, в терминах углов

выхода из каждого другого полюса и нуля в направлении к р\.

Иногда возникает кажущаяся неопределенность, не разрешимая

этими правилами. Мы столкнемся с ней позднее в приложениях к реак-
торным системам. Как мы увидим,

Рис. 6.32. Геометрическое место корней
для примера 1.

эти вопросы обычно решаются рас-
смотрением предельных случаев.

Пример 1. Дана передаточная
функция незамкнутого контура
[уравнение (6.17)]:

5 (5 + а) (8 + Ь)

6(5) Я (5) =

где а и Ь — действительные положи-
тельные числа (примем а<^). Гео-
метрическое место корней берет на-
чало из действительных полюсов
при 0, —а и —Ь и заканчивается
в бесконечности. Для К>0 геомет-
рическое место корней включает дей-
ствительную ось от 0 до —а и от —Ь
до —оо. Начиная с т — 3 появляют-
ся три асимптоты. Из уравнения
(6.78) 0 —л/3, л и 5л/3. Согласно
уравнению (6.81), три асимптоты
выходят из точки 8 — В=—(а + Ь)/3.

Геометрическое место корней
для а=1, Ь — 2 показано на рис.
6.32. Для К<0 асимптоты лежат
под углами 2л/3, 4л/3 и 2л: (нуль).
Стрелками условно обозначено на-
правление возрастания К.
Согласно критерию Рауса (§ 6.3), эта система становится неустой-
чивой при К = аЬ(аЬ) = 6 и критической частоте ю = у (аЬ) = У 2.
Это значение К можно легко получить из геометрического места корней
с помощью уравнения (6.82). Точка отклонения для положительного К
определяется как а^ =—0,423, К = 0,384. Это значение К может быть
также легко получено графическим путем из уравнения (6.82). Система
неустойчива для всех отрицательных /С, о чем говорит положительный
действительный корень.

Пример 2. Из уравнения (6.22)

О (5) Н («)== --К, . .

' 7 ' 7 (5 — 1) (5 + 2)

Геометрическое место корней начинается в полюсах при +'1 и —2 и за-
канчивается в бесконечности. Для положительных К геометрическое
место корней находится на действительной оси между двумя полю-

Рис. 6.34. Геометрическое место кор-
ней для примера 3.

Рис. 6.33. Геометрическое ме-
сто корней для примера 2.

сами. Из уравнения (6.78) для /п = 2, 0 = л/2 и Зл/2. Из уравнения (6.81)
В= (1—2)/2 =—1/2. Геометрическое место корней показано на рис. 6.33.
Система устойчива для К>2.

Уравнение геометрического места корней в а, со-плоскости легко вы-
водится для общего случая двух полюсов при отсутствии нулей. Геомет-
рическое место корней состоит всегда из двух перпендикулярных пря-
мых линий, а точка отклонения лежит посередине между полюсами.

Пример 3. Из уравнения (6.24)

К (5 + д)

5 (5 — Ь) 9

где а и Ь положительны. Геометрическое место корней начинается при
5 = 0 и 8 = Ь и заканчивается при 5=—а и в бесконечности. Для К>0
геометрическое место корней включает действительную ось от 0 до Ь и
15* 227
от —а до —оо. Согласно уравнению (6.78), при /п=1 0=л. Система
устойчива для К>Ь (рис. 6.34).

Как и в предыдущем примере, нетрудно вывести уравнение для
геометрического места корней в о, ©-плоскости. Когда нуль не лежит
между двумя действительными полюсами, геометрическое место корней
состоит из действительной оси и круга, центр которого находится в ме-
сте расположения нуля.

Пример 4. Из уравнения (6.26)

о (8) Н (5)=

К (5 — д)
5 (5 4- Ь)

Геометрическое место корней показано на рис. 6.35. Система устойчива
для —Ь<К<0.

Пример 5. Из уравнения (6.28)

О (5) Н (5) = . •

\ / к / (5 — 1) (5 4- 2) (5 + а)

Согласно критерию Рауса, устойчивость возможна только для а>2.
Диаграммы геометрического места корней для а = 0,5 и а = 5 при поло-

Рис. 6.35. Геометрическое место корней
для примера 4.

Рис. 6.36. Кривые геометрическо-
го места корней (К>0) для при-
мера 5.

жительных К показаны на рис. 6.36. Геометрическое место корней для
малых значений а никогда не выходит за пределы правой полуплоско-
сти. Легко показать, что при а = 2 точка отклонения лежит в начале
координат.
Пример 6. Мы закончим этот
параграф еще одним примером, ил-
люстрирующим комплексные полю-
сы. Предположим

О (8) Н(8) =

К (3 + 2)

5 (5 + 3) ($2 + 25 + 2)

Геометрическое место корней начи-
нается в полюсах (0, —3 и —1±])
и заканчивается при —2 и в беско-
нечности. Геометрическое место для
К>0 включает отрезки действитель-
ной оси от 0 до —2 и от —3 до —оо.
Начиная с т=3 появляется также
отрезок, идущий от верхнего полюса
к асимптоте при 60° (В = — 1). На-
зовем этот полюс Р1 и воспользуем-
ся уравнением (6.85). Тогда получим

Рис. 6.37 Геометрическое место корней
Для системы с комплексными полюсами

следующие значения углов (полю-
сы обозначены по направлению ча-
совой стрелки): аг^(р1—г±) =45°;
аге(Р1—Рг) = 135°; агё(Р1— Рз) =90°;
удобства — 1, находим 1пп аг^

в передаточной функции незамкнутого
контура.

агё(Р<—/М = 26,5°. Выбирая для
$—А) = — 206,5°+ 180°= — 26,5°.

Геометрическое место корней для К^>0 показано на рис. 6.37.

Читателю рекомендуем убедиться в том, что критический коэффици-
ент усиления равен 7,03 при частоте 0=1,614. Поскольку асимптота пе-
ресекает мнимую ось при 1^-160°= 1,732, кривая геометрического места
корней должна пересекать асимптоту до ее перехода в правую полуплос-
кость.

На этом мы заканчиваем введение в методы анализа линейной
устойчивости. Теперь мы, имеем возможность приступить к изучению
устойчивости большого числа моделей ядерных реакторов.

§ 6.7. Устойчивость простых реакторных систем

В этом параграфе мы применим методы анализа линейной устой-
чивости к большому числу простых реакторных моделей. Наша цель
заключается в том, чтобы изучить влияние различных приближений для
передаточной функции реактора нулевой мощности с одной обратной
связью по реактивности, следующей ньютоновскому закону охлаждения,
и с двухканальной обратной связью, когда один канал не зависит от
частоты (постоянный мощностной коэффициент реактивности).

Для первого случая используем модель эффективного времени жиз-
ни [уравнение (3.61)]:

6 (5) =Пъ11'8
с уравнением (5.76) для обратной связи:
тт/_____________________________ «Ко

(6.86)

(6.87)

где а — отрицательный температурный коэффициент реактивности;

22$
Ко — обратная теплоемкость*, а у — обратная постоянная времени для
теплопотерь. Разумеется, такая обратная связь могла бы возникнуть
и от некоторого физического явления, не связанного с температурой,
при условии, что константы интерпретируются должным образом.

Мы имеем 1 + <?(5) //(«)= 1 + (6-88)

Вспомним, что такая же форма для О (5) использовалась и для реак-
тора без запаздывающих нейтронов [ср. уравнения (3.61) и (3.63)].
В дальнейшем мы будем пользоваться эффективным временем жизни
7' = Р/А. Уравнение (6.88) принимает вид:

1 + о (5) н (5) = 1 + (6-89)

где

Характеристическое уравнение имеет вид:

0(8) = 52+у5 + К% = 0. (6.90)

Система устойчива, если у>0 и ДХ>0. Поскольку единственным физи-
ческим параметром, который мог бы иметь любой знак, является а,

Рис. 6.38. Диаграмма Найквиста и схемы геометриче-
ского места корней для модели эффективного времени
жизни с одной обратной связью по реактивности.

система устойчива, когда а>0 (отрицательный температурный коэффи-
циент). Диаграммы Найквиста и геометрического места корней изобра-

* Индекс здесь применяется для того, чтобы символ К можно было использовать
в другохм значении.
230
жены на рис. 6.38. Осцилляции имеют место при КЛ>у2/4, из чего мож-
но заключить, что слишком большая отрицательная обратная связь по
реактивности не всегда желательна.

Обратим внимание на особый случай у—>0. Здесь мы имеем модель
«отвода постоянной мощности» (см. § 5.5). Система с незамкнутым кон-

Рис. 6.39. Диаграмма Найквиста и схемы геомет-
рического места корней для модели мгновенного
скачка с одной обратной связью по реактивности
(Т<*)-

туром имеет двойной полюс в начале координат, а система с замкнутым
контуром является критической на всех уровнях мощности. Характери-
стическое уравнение имеет вид:

$2= — КХ = — а/СоИо//'

Это уравнение является источником термина «собственная частота ре-
актора», употребляемого многими авторами и определяемого формулой

я = ] (6.91)

Во втором случае, используя приближение мгновенного скачка ре-
активности, мы вводим в рассмотрение запаздывающие нейтроны. Из
уравнения (3.59)

0(8)= п»<5 + х> . (692)

ро

Совместно с уравнением (6.87) имеем

1 + О (8) Н (5) = 1 +-аК?П.° <1+?) .

1 4 х 1 1 н5 (5 4- V)

Снова используя К = а/С^/р, получаем

1+6(з)#(^1+*(5 + Х). (6.93)

* “Г I/
Характеристическое уравнение им-еет вид:

/)(5) =$2+ (#+7) $ + /<%=о. (6.94)

Система устойчива, если ^^-7>0 и /СХ>0. Опять единственным
физическим параметром, который может изменять знак, является а.
Система устойчива для а>0 (ЛХ>0), так как условие Оу>0 в этом
случае выполняется автоматически. Диаграммы Найквиста и геометри-
ческого места корней показаны на рис. 6.39 и 6.40.

Добавление запаздывающих нейтронов не изменяет области устой-
чивости, но приводит к другим важным отличиям. Например, эту систе-

Рис. 6.40. Диаграмма Найквиста и схемы геометриче-
ского места корней для модели мгновенного скачка
с одной обратной связью по реактивности (у>л).

му гораздо труднее заставить осциллировать, и, как хорошо видно из
диаграмм геометрического места корней, она не будет осциллировать
ни при каких значениях К, если

Отметим на будущее влияние запаздывающих нейтронов на харак-
теристические уравнения. Уравнение (6.94) сводится к уравнению
(6.90) в пределе /С-^0, но при ЛХ, не равном нулю, т. е. подразумевает-
ся Л—>оо. Физически это означает, что уравнение (6.90) справедливо
только для |5|<СХ, что по существу определяет область, в которой мо-
дель эффективного времени жизни и приближение мгновенного скачка
эквивалентны (см. рис. 3.8). Это находит свое отражение в том, что
передаточные функции незамкнутого контура в уравнениях (6.89) и
(6.93) являются эквивалентными для |$| «<%.

Последнее означает, что наиболее простой практический метод изу-
чения влияния запаздывающих нейтронов на устойчивость состоит
в использовании одногруппового приближения мгновенного скачка и
в сравнении его с пределом передаточной функции при В этом

случае сравниваются две системы, поведение которых на низких ча-
стотах одинаково. Сравним, например, диаграммы геометрического ме-
232
ста корней на рис. 6.38 и 6.39. Данный метод несомненно более прием-
лем, чем использование уравнения (3.57), которое содержит время
генерации нейтронов, и последующее изучение влияния р~>0 на пере-
даточную функцию; таким способом сравниваются две модели, которые
совпадают только при очень больших частотах |$|^р//, при этом оста-
ются совершенно невыясненными важные явления в низкочастотной об-
ласти.

В самом деле, можно утверждать, что уравнение (6.93) и рис. 6.39
и 6.40 представляют наиболее простую практическую модель ядерного
реактора с запаздывающими нейтронами и с обратной связью по реак-
тивности. Сказанное можно пояснить следующим примером.

Передаточная функция второго порядка реактора нулевой мощно-
сти (одна группа запаздывающих нейтронов), определяемая уравне-
нием (3.58), имеет вид

0(з) = (6.95)

Х 7 /5 (5 + р//) 4 7

Вспомним, что полюс является вещественным при 5 = — (%4-р//), но при
этом

С учетом уравнения (6.87) имеем

О (5) Н (5) = , (6.96)

' 7 47 -р у) (5 4- р/0 7

Теперь используем К' = а.Копй'1 и запишем

О(5) Н(5)=----, • (6.97)

7 7 5 (5 + т) (5 + р/0 7

Характеристическое уравнение имеет вид

П(5) =5^4- (?+₽//)5г4- (/С'4-ур//)$+Л^ = 0. (6.98)

В терминах /С=а/СоПо/Р = ЛУ//Р оно может быть записано как

П(5) = (//р)534-(1 +у//Р)$24- (К4-у)$+Та = 0. (6.99)

Связь с уравнением (6.94) в пределе при /—>0 теперь очевидна. Более
строго этот предел имеет вид |$| <Ср// и у<Ср/Л

Схема Рауса для уравнения (6.99) выглядит следующим образом;

К + Т
та

Условие Л%>0 нам хорошо знакомо, поскольку соответствует а>0
в предыдущих примерах. Второе — последнее число Рауса дает

(Т_% 4- р/0 +у(у+Р//) >0.

(6.100)

Система будет устойчивой для всех положительных К, если не выпол-
няется условие %>у4-р//, которое физически нереально. На самом деле,
если бы мы сохранили точный множитель 5 + Х+р// в 0(з), то даже эта
нереальная возможность не существовала бы. Решения не могут нахо-
диться в правой полуплоскости, поскольку нуль при —% располагается
всегда справа от полюса при —(Х + р//). Система, следовательно, обла-
дает такими же характеристика ми устойчивости, как и модель мгно-
венного скачка.

Умножая уравнение (6.100) на I и полагая /^0, получаем Л+у>0,
точно как в модели мгновенного скачка. Связь между моделью второ-
го порядка и моделью мгновенного скачка иллюстрируется диаграм-

Рис. 6.41. Сравнение диаграмм Найквиста для модели
мгновенного скачка и модели второго порядка с одной
обратной связью по реактивности.

мами Найквиста на рис. 6.41 и схемами геометрического места корней
на рис. 6.42 и 6.43. Полезно сравнить эти схемы со схемами, показан-
ными на рис. 6.39 и 6.40. Поскольку I мало, полюс при —р// оказывает

Рис. 6.42. Диаграмма геометрического
места корней для модели второго по-
рядка с одной обратной связью по ре-
активности (V <%) •

Рис. 6.43. Диаграмма геометрического
места корней для модели второго поряд-
ка с одной обратной связью по реактив-
ности (у>Л).

очень незначительное влияние на поведение системы при низких часто-
тах. Диаграммы для модели мгновенного скачка являются по существу
234
увеличенными видами той части 5-плоскости, где имеют место физиче-

ски важные явления.

Не следует забывать, что эти примеры имеют лишь одну группу
запаздывающих нейтронов. Студентам рекомендуется исследовать, хотя

бы качественно, влияние нескольких
групп (например, изобразить схему
геометрического места корней).

Вернемся теперь к модели эффек-
тивного времени жизни [уравнение
(3.61) или (3.86)], но добавим второй
параллельный контур обратной
связи:

Н(5) = *+^-, (6.101)

д I I

Рис. 6.44. Структурная схема ре-
акторной модели с одной обратной
связью и с мощностным коэффи-
циентом.

где к — постоянный мощностной ко-
эффициент реактивности, появляю-
щийся в результате точно не установ-
ленного явления. Структурная схе-

ма показана на рис. 6.44. Предполагают, что обратная связь, пред-
ставленная коэффициентом к, обусловлена некоторым процессом, ха-

рактеристическое время которого хорошо сравнимо со всеми другими
постоянными времени в системе. Будем ссылаться на эту модель как на
«одну обратную связь плюс мощностной коэффициент».

Имеем

0(5)Я(5)=-^-(а +

Используя /' = р/Л, можно записать

О(5)/7(5)=4

«Ко \

где

Определяем

Д=Ап0/₽, В = аКоПо/р.

О (я) Н («) = ЛД

(6.102)

(6.103)

5 + у + В А

5 (5 + К)

Характеристическое уравнение имеет вид

г>(5) =52+ (у + ХД)5+Х(тД+В) =0. (6.104)

Система устойчива, если
и

А >—у/к

(6.105)

(6.106)

На рис. 6.45 показано параметрическое пространство. Прямая
А=—у/к представляет собой динамическую границу устойчивости,
а прямая В = —уА—статическую. Эта последняя граница имеет важ-
ный физический смысл: статический мощностной коэффициент реактив-
ности

Я(О)=6 + аКо/у (6.107)

стремится к нулю на статической границе устойчивости. Как мы увидим,
/7(0) >0 будет необходимым условием устойчивости с любыми из раз-
личных 6 (5), отображающих реакторы. Обратим внимание на некото-

рые особенности этого параметрического пространства. Согласно опре-
делениям из уравнения (6.102) и в соответствии с принятыми нами зна-
ками, обе обратные связи отрицательны в первом квадранте. Далее,

вертикальная прямая изображает фикси-
рованное значение Л, а горизонтальная
прямая — фиксированное значение аДо
для постоянной По- Поскольку А/В не за-
висит от По, возрастание уровня мощно-
сти при фиксированных других парамет-
рах равнозначно движению наружу по
радиальной прямой. Одна такая прямая
показана на рис. 6.45, при этом обозна-
чена критическая мощность пКр. Говорят,
что часть второго квадранта, определяе-
мая Л<сО, В>—уЛ, есть область услов-
ной устойчивости, в то время как область
Л>>0, В>—уЛ называют безусловно
устойчивой.

Поскольку параметр %Л играет роль
коэффициента усиления в уравнении

Рис. 6.45. Параметрическое про-
странство для реактора с одной
обратной связью и с мощностным
коэффициентом (модель эффек-
тивного времени жизни).

(6.103), второй квадрант отображает системы с отрицательным коэф-

фициентом усиления. Передаточная функция незамкнутого контура име-
ет нуль при 5 = —у—В/А. Так как в области условной устойчивости

ней, определяющих условную устой-
чивость (одна обратная связь плюс
мощностной коэффициент; модель
эффективного времени жизни).

В)А<—у, нуль находится в правой
полуплоскости. Геометрическое место
корней для этой системы без миниму-
ма фазы и с отрицательным коэф-
фициентом усиления показано на
рис. 6.46. В дальнейшем мы уви-
дим, что многие интересные реак-
торные системы принадлежат к этому
типу.

Студентам рекомендуется по-
строить пять других диаграмм геомет-
рического места корней, соответ-

ствующих остальным возможным слу-
чаям для этого примера. Будет так-
же полезно найти границу осцилля-
ций в Л, В-плоскости (геометрическое

место точек, для которых харак-
теристическое уравнение имеет два равных действительных корня). Это

легко делается для квадратичного характеристического уравнения, та-
ким образом, чтобы все возможные случаи в Л, В-плоскости (устойчи-
вый, неустойчивый, с осцилляциями, без осцилляций) могли быть свя-

заны с соответствующими точками на схемах геометрического места
корней. Например, точка на границе осцилляций соответствует точке
отклонения на схеме геометрического места корней. Полезно также най-
ти эту точку, чтобы изобразить диаграммы Найквиста для различных

случаев.

Теперь введем в рассмотрение запаздывающие нейтроны, используя
уравнение (6.92) для О (5). Находим
О (5) Н (5) = П°(5 + М (к + -^50.

Определив А и В с помощью уравнения (6.102), имеем

О (з) Н(8)= А(3 +ДД±т+_^>-. (6.108)

Характеристическое уравнение имеет вид

Я($) = (1 +Л)$2+ (у + ХЛ+уЛ+В)5+%(уД+ В) =0. (6.109)

Система устойчива, если все коэффициенты в (6.109) положительны:

А>—1, (6.110)

В> —(Х + у)Л—у, (6.111)

В>— уА. (6.112)

Однако, согласно критерию Рауса, система, представленная урав-
нением (6.109), устойчива, если все коэффициенты имеют одинаковый
знак (положительный или отрицательный). Это предполагало бы устой-
чивость, определяемую не только выражениями (6.110) — (6.112), но
также и этими тремя неравенствами с обратным знаком. Но такое пред-
положение физически бессмысленно, главным образом потому, что ста-
тический мощностной коэффициент имел бы неправильный знак.

Показанное противоречие в приближении мгновенного скачка воз-
никает в результате того, что передаточная функция в уравнении
(6.108) не стремится к нулю при $—>оо. По крайней мере одна из двух
функций О или Н должна стремиться к нулю при больших 5. В § 6.9
мы поставим все на свои места, придав каждой из двух зон ее собст-
венную постоянную времени. В данный момент, однако, мы будем поль-
зоваться полюсом функции О (5) При —р//.

Используя модель второго порядка [уравнение (6.95)] с обратной
связью, определяемой уравнением (6.101), и сохраняя А и В определен-
ными согласно (6.102), получаем характеристическое уравнение:

О(8) = (//р)$з+ (1+л+?//р)52+ (? + хД+уЛ+В)5+%(уЛ + В)=0. (6.113)

Теперь можно использовать критерий Рауса для нахождения границ
устойчивости в Л, В-плоскости. Динамическая граница устойчивости
представляет собой гиперболу, которая вырождается в свои прямоли-
нейные асимптоты в пределе при /->0, определяя требования для устой-
чивости, которые тождественны уравнениям (6.110) — (6.112).

Напрашивается решение взять предел при /->0 от уравнения
(6.113), воспроизводя, таким образом, уравнение (6.109). Однако более
правильно будет сохранить ведущий член, если только при этом не за-
бывать, что положительные (не отрицательные) коэффициенты в урав-
нении (6.109) соответствуют устойчивой системе.

Теперь можно исследовать уравнения (6.110) — (6.112) в терминах
устойчивых зон в Л, В-плоскости. Имеются три границы устойчивости:

Л=—1,

В = — (%+у)Л— у,
В =—уЛ.

Две последние являются соответственно динамической и статической
границами устойчивости и совпадают в точке Л = —у/Х, В=у2/К. Это
также точка, где совпадают динамическая и статическая границы устой-
чивости для модели эффективного времени жизни, как показано на
рис. 6.45. И это не удивительно, так как характеристические уравнения

237
для модели эффективного времени жизни и для модели мгновенного
скачка реактивности [уравнения (6.104) и (6.109)] имеют двойные кор-
ни 5 = 0 в этой точке.

Рассмотрим сначала случай у<Х, показанный на рис. 6.47. Грани-
ца устойчивости А =— 1 лежит слева от границы А = —у/к (пунктирная
линия), которую мы установили для модели эффективного времени
жизни. Сравнивая рис. 6.45 и 6.47, мы видим, что область устойчивости
расширяется при наличии запаздывающих нейтронов. Связь между
двумя реакторными моделями становится более очевидной при сравне-
нии уравнений (6.104) и (6.109). Последнее уравнение сводится к пер-

Рис. 6.47. Параметрическое простран-
ство для реактора с одной обратной
связью и с мощностным коэффициен-
том (модель мгновенного скачка,
?<Х).

Рис. 6.48. Параметрическое
пространство для реактора
с одной обратной связью по
реактивности и с мощностным
коэффициентом (модель мгно-
венного скачка, у>%; область
аЪсй дестабилизирована за-
паздывающими нейтронами).

вому, когда А и В малы, но при условии, что произведения кА и кВ не
рассматриваются как малые.

Случай несколько отличен, как видно из рис. 6.48. Граница
А =—1 лежит справа от прямой А=—у/к. Сравнение рис. 6.45 и 6.48
показывает, что в случае с запаздывающими нейтронами область устой-
чивости меньше, чем для модели эффективного времени жизни. Область,
ограниченная буквами аЬсй на рис. 6.48, дестабилизируется при добав-
лении запаздывающих нейтронов.

Этот пример иллюстрирует чрезвычайно важное положение. Иссле-
дования устойчивости, проведенные с пренебрежением запаздывающи-
ми нейтронами, чтобы получить более простую систему для анализа,
могут часто вводить в заблуждение. Иногда бывает соблазнительно
исключить запаздывающие нейтроны из рассмотрения на том интуитив-
ном основании, что они всегда должны способствовать устойчивости, и
затем попытаться аппроксимировать действительность, используя мо-
дель эффективного времени жизни. В нашем примере такой подход
безопасен только при у<Ск
238
Мы увидим в § 6.9, что этот пример является лишь особым случаем
более общей двухзонной модели реактора, поэтому нет оснований по-
лагать, что такое поведение системы вызвано наличием постоянного
мощностного коэффициента. Оно также не обусловлено особенностью
приближения мгновенного скачка, в чем можно убедиться при сравне-

Рис. 6.49. Сравнение диаграмм
Найквиста, иллюстрирующих де-
стабилизирующий эффект запаз-
дывающих нейтронов.

дестабилизирующий эффект
на анализе геометрического
Большая петля не является

нии диаграмм Найквиста, показанных
на рис. 6.49, где устойчивая система —
модель эффективного времени жизни
уравнения (6.103) и неустойчивая систе-
ма — модель второго порядка уравнения
(6.95) с такой же обратной связью и с
у>%. Эти две кривые соответствуют оди-
наковому уровню мощности По, выбран-
ному внутри области аЬсй на рис. 6.48.
Когда у>^, нуль при 5=—X может стать
эффективным на низких частотах, что и
вызывает дестабилизирующий эффект
запаздывающих нейтронов. (Параметры
на рис. 6.49 следующие: Л = 0,08 сек~\
у=0,10 сект1 и В/А — —0,11, при этом
отношение р// достаточно большое, что-
бы можно было полностью выделить его
влияние. Коэффициент усиления уста-
навливается таким, чтобы две передаточ-
ные функции были тождественны в пре-
деле при нулевой частоте.)

Наконец, другая точка зрения на
запаздывающих нейтронов основывается
места корней, показанном на рис. 6.50.
правильной окружностью, если один из

нулей не совпадает с близле-
жащим полюсом. При /->0 полюс
отступает к —оо, и окружность
становится бесконечной. По мере
возрастания величины отрица-
тельного коэффициента усиления
геометрическое место точек ре-
шений системы приближается к
—оо и вновь появляется из 4-оо.
Переходный процесс имеет место
при критическом коэффициенте
усиления А=—1, как это видно
из уравнения (6.108) и рис. 6.48.

Тщательный анализ другого
дестабилизирующего эффекта за-

Рис. 6.50. Геометрическое место корней для
реактора с одной обратной связью и с мощ-
ностным коэффициентом.

паздывающих нейтронов (повы-
шение устойчивости при р—>0) приводится в работе [504]. В последних

работах [506, 539, 540] был сделан вывод, что запаздывающие нейтроны
не обязательно увеличивает критическую мощность и затухание собст-
венных колебаний системы, если обратная связь не является системой
е отставанием по фазе в точке нижнего перехода. Как мы увидим,
много интересных случаев среди двухзонных реакторных моделей не
имеют такого типа обратной связи.
§ 6.8. Двухканальная обратная связь.
Модель эффективного времени жизни

Большой интерес у исследователей вызывает точечная модель реак-
тора с двумя обратными связями по реактивности, где каждая обрат-
ная связь имеет свою собственную постоянную времени (рис. 6.51). Не-
линейные системы без запаздывающих нейтронов были рассмотрены
в [159, 210, 326, 480, 481]. Детальный анализ линейной системы без за-
паздывающих нейтронов проведен в [5]. Исследования линейной устой-
чивости с запаздывающими нейтронами описаны в работах [367, 473, 493,
579]. На несколько других частных примеров делаются ссылки в других
параграфах настоящей главы и в гл. 7.

На первый взгляд, система на рис. 6.41 представляет собой весьма
специфический случай в том смысле, что две обратные связи совершен-
но не зависят одна от другой. В действительности эта несвязанная си-
стема удобна для представления очень большого числа связанных
систем. Предположим, имеются две области, каждая из которых харак-
теризуется усредненной по пространству температурой. Пусть

сП\1с11 = Ь± (п—по) —Н± (Л—Т2) —И2Т 1,

= &2(ц—По) +Лз(7\—Т*2)—/г4Л,

(6.114)

где Нг — обратные величины постоянных времени для теплопередачи.
Члены ЬгП отображают распределение полной мощности п между двумя

зонами, а По есть полная мощность
при равновесии. Каждый дифферен-
циал температуры представляет собой
разницу температур между рабо-
чим и равновесным состояниями
в каждой области. Члены —Н1(1\—
—Тг) и Н3(7\—Т2) определяют ба-
ланс теплопередачи -между областя-
ми; коэффициенты при них не рав-
ны, поскольку уравнение (6.114) опи-
сывает скорости изменения темпе-

Рис. 6.51. Структурная схема реакто- ратуры, а не скорости теплового

ра с двухканальной обратной связью. потока. Члены —/12А и —Н^Тъ пред-

ставляют собой теплопотери из каж-
дой области в накопителях постоянной температуры. Студентам реко-
мендуется вывести эти уравнения, начиная со скоростей полного тепло-
выделения и фактических температур (включая накопители), вычисляя
равновесные соотношения и вводя дифференциальные переменные.

Аналогичные уравнения могли бы отображать физические явления,
отличные от теплового потока и температурной обратной связи. Поэто-
му для простоты в необходимых случаях мы будем ссылаться на эти
уравнения как на двухтемпературные. Уравнение (6.114) связано с ней-
тронной динамикой посредством соотношения

р = ро—а±Т1—С1.2Т2,

(6.115)

где щ и а2 представляют собой отрицательные температурные коэффи-
циенты реактивности и где ро = О при равновесном состоянии п = По, Т± —
= Г2 = 0.
Уравнения (6.114) и (6.115) могут быть преобразованы в несвязан-
ную или каноническую систему, для которой

йТ\1(И = К1 (п—по) — У1Т'1,
аГ2/сИ = Кг (п—по) —у2Г2,
р—ро—а\Т\—а'2Т'2.

(6.116)

(6.117)

Это наиболее легко выполнить, подобрав преобразование, которое де-
лает диагональной матрицу коэффициентов теплопередачи [159, 326].
В нашем двухзонном примере матрица коэффициентов имеет вид:

А1 ^2 —

' Л3 А3 ^4

а ее собственные значения равны у* и 72. Можно продемонстрировать,
что собственные значения положительны и действительны, если вели-
чина Нг положительна и действительна.

Удобное преобразование для матрицы следующее*:

м = —!— ГГг ~г' 1,

ч — п [—1 1 р

где

Г г = (Н1 + А2~У г) /А3, (I = 1, 2) .

Каноническими переменными являются Т\ = Т1 + ГгТ2. Из уравнений
(6.114) — (6.117) находим:

Г 2а.1 — а2

, ___Г1О.Х — а2

а 2 г ____ г

Обратные соотношения имеют вид:

Ь _ К1-К2

2 гх — г2 9

а, = а',-|-а'2,

1® 1 | 2® 2*

Теперь мы можем начать работать с несвязанной системой уравне-
ний (6.116) и (6.117). Положим ро = О и воспользуемся

Л1=аТК1, Л2=а'2К2. (6.118)

Как показано на рис. 6.51, обратная связь имеет вид:

(6-119)
д Т II д Т (2

Это может быть записано как

гу /л\_ (-41 ~Ь~ Лд) $ 4" ЛхУд 4~ Л2У1

' (5 + тО (5 + Т2)

или

(6.120)

V5 II/ V5 Г » 2/

* Мы предполагаем, что матрица коэффициентов является не единственной и что
ее собственные значения различаются.
где

Ага 4-Аь

Л1 + -4 2

(6.121)

Обратная связь имеет один нуль и два полюса. Коэффициент усиления
обратной связи может иметь любой знак и нуль может находиться
в любой полуплоскости, поскольку температурный коэффициент каждой
области может быть положительным или отрицательным. Типичная амп-
литуда, фаза и полюсные диаграммы такой обратной связи показаны
на рис. 6.11—6.14.

Используя теперь модель эффективного времени жизни уравнения
(3.61) -или (6.86),

6($) = (6.122)

имеем

0(5)Я(5)=+ г, (6.123)

' 7 7 5 (5 4- Т1) (5 + у2) ’ ' 7

где

К—(Л1+Л2) Ио/Р-

(6.124)

Характеристическое уравнение имеет вид:

П($) =^4- (у14-у2)$24- (у1у24-КХ)5 4-КЧ = 0. (6.125)

Согласно критерию Рауса, при положительных 71 и у2 система устой-
чива, если

Т1Тг + О— >0 (6.126)

II Т 12

И
/Щ>0. (6.127)

Первое из этих условий дает динамическую границу устойчивости,
а второе — статическую. Из уравнений (6.120) и (6.124) видно, что вто-
рое условие устойчивости соответствует /7(0) >0. Его можно предста-
вить как

Л172 4-Л2у1>0. (6.128)

Используя уравнения (6.121) и (6.124), мы можем записать первое
условие устойчивости в виде:

(п<А/р) (Лгу1+Л272) + 7172(71+72) >0. (6.129)

Система будет безусловно устойчивой (устойчивой при всех уровнях
мощности По), если

А171+А 2у2>0. (6.130)

Если уравнение (6.128) удовлетворяется, а уравнение (6.130)—нет, то
мы имеем условную устойчивость. Система устойчива для Ио<лКр, где

„ — Р+Ъ (Г1 + т2)
^кр ЧАъ + АъГ

Удобно ввести параметры:

х=Д1Ио/р, г/=Л2и0/р.

Динамическая граница устойчивости определяется как

(6.131)

(6.132)

У1Х + угУ ~ —7172 (71 + 72) /

(6.133)
Статическая граница устойчивости принимает вид:

Т2Х+Т1# = О. (6.134)

Геометрическое место точек, для которых К—0, есть

х+г/=О. (6.135)

Граница безусловной устойчивости выражается в виде:

У1Х+у2^=0. (6.136)

Эти границы и различные типы областей показаны на рис. 6.52 для
Т1>У2. Вспоминая нашу договоренность о знаках, мы видим, что услов-
ная устойчивость имеет место только для положительной обратной свя-

Область
безусловной
устойчивости

Динамическая
граница

Статическая
граница

х+у=0
(К=0)

Граница безусловной устойчивости

Рис. 6.52. Параметрическое пространство для
реактора с двухканальной обратной связью
(модель эффективного времени жизни, у’1>У2).

неусто

Область
условной
устойчивости

Рис. 6.53. Параметрическое простран-
ство для реактора с двухканальной
обратной связью, иллюстрирующее
два типа условной устойчивости.

вости

зи по реактивности в более быстром контуре и для отрицательной в мед-
ленном (второй квадрант). Разумеется, существует полная симметрия
при чередовании х с у и индексов 1 с 2.

Согласно уравнениям (6.121) и (6.132), имеем

Ъ* + ЪУ

х 4- у

(6.137)

Линии постоянной | представляют собой прямые, проходящие через на-
чало координат, и увеличение уровня мощности по (при неизменных
других параметрах) соответствует движению по радиусу наружу в х,
//-плоскости. Две такие прямые в условно устойчивой области пока-
заны на рис. 6.53 вместе с пределами значений для К и Заметим, что
граница безусловной устойчивости соответствует

д=Т1+Т2. (6.138)

Два типа условной устойчивости, проиллюстрированные на рис. 6.53,
показаны на рис. 6.54 как схемы геометрического места корней. Чита-
телям рекомендуется изобразить схемы геометрического места корней
16* 243
для каждого возможного случая, уделяя особое внимание значению
уравнения (6.138). Заметим на будущее, что пересечение двух границ
устойчивости на рис. 6.53 дает точку

У12Т2 ___ Г1Ъ2

МТ1 — Т2) ’ У Тг)

(6.139)

Читатель может удостовериться, что характеристическое уравнение дает

в этой точке два нулевых корня и один отри-

цательный действительный корень $ = — (У1+
+ у2). Это соответствует устремлению к нулю
двух чисто мнимых корней, по мере того как
один приближается к этой точке сверху вдоль
динамической границы устойчивости.

Напомним, что размерности и А2 пред-
ставляют собой реактивность на единицу энер-
гии. Следовательно, х, ^/-плоскость можно рас-
сматривать как параметрическое простран-
ство энергетических коэффициентов реактив-
ности (нормализованных на множитель По/р).
Напомним также, что Л1/у4 и Л2/у2 являются
статическими мощностными коэффициентами
реактивности, поэтому приведенная информа-
ция может рассматриваться как параметриче-
ское пространство мощностных коэффициен-
тов с использованием х/уц, ///у2-плоскости.
В этом пространстве изменяются только на-
клоны прямых, и статическая граница устой-
чивости будет иметь наклон —1.

Иная точка зрения основывается на дру-
гом параметрическом пространстве [480, 481],
где у1/у2 изображается как Л1/Л2=х/г/. Такой

Рис. 6.54. Схемы геометри-
ческого места корней, иллю-
стрирующие два типа
условной устойчивости.

график, показанный на

рис. 6.55, включает эффект изменения у* и у2. Однако динамическая гра-
ница устойчивости не может быть изображена в этом пространстве (ра-
диальная прямая на рис. 6.53 соответствует одной точке на рис. 6.55).

положительным, с тем чтобы исклю-

Заметим, что у принимается

Рис. 6.55. Альтернативное параметрическое
пространство для реактора с двумя кана-
лами обратной связи [481].

чить любые неустойчивые систе-
мы в первом квадранте. Чтобы
классифицировать область у1/у2<
<1, мы должны поменять места-
ми у1 и у2 на рис. 6.53, таким об-
разом, переводя область услов-
ной устойчивости в четвертый
квадрант х, ^-плоскости и выво-
дя ее за пределы рис. 6.55.

В следующем параграфе мы
добавим в эту систему запазды-
вающие нейтроны и покажем, что
область безусловной устойчиво-
сти значительно увеличивается.
В то же время некоторые услов-
но устойчивые системы без ми-
нимума фазы дестабилизируются
запаздывающими нейтронами.
§ 6.9. Двухканальная обратная связь. Запаздывающие нейтроны

Чтобы изучить влияние запаздывающих нейтронов на устойчивость,
воспользуемся*одногрупповым приближением мгновенного скачка реак-
тивности [уравнение (3.59) или (6.92)]:

• (6.140)

Двухканальная обратная связь определяется уравнением (6.120). Мы
имеем

О ($) Н (в) = К. (* + ,(* + В). , (6.141)

7 К 7 5 (5 4- Г1) (5 4- Ъ) ’ У 7

где К задается уравнением (6.124) и |— уравнением (6.121). Характе-
ристическое уравнение имеет вид:

У)(5) =534- (у14-у24-К)$24-

4- (т1у24-К%4-Л^)5 4-К^ = 0. (6.142)

Заметим, что это уравнение можно свести к уравнению (6.125) для
151 % и малого X, сохраняя при этом неизменным произведение О-

Применяя критерий Рауса, находим три условия устойчивости:

714-724- К>0, (6.143)

Т,Ь + ЛЛ + К1~ > 0, (6.144)

У 1 I I 2 “Г А

ЛХВ>0. (6.145)

Второе из этих условий определяет динамическую границу устойчивости,
в то время как третье условие, тождественное уравнению (6.127), дает
обычную статическую границу устойчивости. Уравнение (6.143) совме-
стно с уравнением (6.144) заменяют уравнение (6.126) модели эффек-
тивного времени жизни.

Если ввести параметры х и у, задаваемые уравнением (6.132), гра-
ницы устойчивости, соответствующие уравнениям (6.143) — (6.145), при-
мут вид:

х 4-#4-714- У2 = Д (6.146)

(л4-у2)х24- (2Л4“714-72)х//4- (АН-у1)#2+

4- (Ху14-27172 + т22)х4- (Х72 4-2у1у2+721) у 4-

4-7172(714-72) =0, (6.147)

72x4-71^=0. (6.148)

Динамическая граница устойчивости [уравнение (6.147)] представляет
собой гиперболу в х, //-плоскости. Имеется широкое разнообразие при-
меров систем такого типа.

Случай, показанный на рис. 6.56, представляет собой систему с 71 =
= 0,05 сек-1, 72=0,01 сек-1 и Х = 0,10 сек-1. Динамическая граница

245
устойчивости модели эффективного времени жизни [уравнение (6.133)]
включена для сравнения, как и граница безусловной устойчивости той
же модели (см. рис. 6.52). Динамические границы устойчивости двух
моделей пересекаются дважды. Одно
из этих пересечений лежит на ста-

тической границе устойчивости в
точке, определяемой уравнением
(6.139). Область устойчивости уве-
личивается запаздывающими ней-
тронами, как обозначено стрелка’
ми. В частности, область безуслов-
ной устойчивости расширяется наи-
более значительно. Система устой-
чива при всех уровнях мощности,
если допускает движение по ради-
альной прямой из начала координат
без пересечения с границей устойчи-
вости. При добавлении запаздываю-
щих нейтронов граница безусловной
устойчивости перемещается с пря-
мой, определяемой уравнением
(6.136), на прямую, идущую из на-
чала координат и касательную к ги-
перболе в точке Т.

Радиальная прямая в простран-
стве между Т и пунктирной прямой
/С=0 будет пересекать гиперболу
дважды. Это свойственно уникально-

Рис. 6.56. Параметрическое пространство
для реактора с двухканальной обратной
связью и запаздывающими нейтронами.

му типу системы, которая устойчива при малой мощности, неустойчива

при промежуточной мощности и снова устойчива при высокой мощности.

Рис. 6.57. Диаграмма Най-
квиста, иллюстрирующая
условную устойчивость.

Диаграм'ма Найквиста, иллюстрирующая этот
случай для 5 = 0,4, приведена на рис. 6.57,
а схема геометрического места корней для по-
добной системы — на рис. 6.58.

Условие, определяющее поведение систе-
мы этого типа, может быть выведено при рас-
смотрении асимптот гиперболы. Эти асимпто-
ты имеют вид:

у = —х + X—у1—у 2 (6.149)

(6.150)

Когда %>у2, уравнение (6.149) представляет
собой более крутую асимптоту. Если она про-
ходит выше начала координат (Х>у14-уа), то
касательная прямая изначала координат к точ-
ке Т возможна. В противном случае радиаль-

ная прямая изначала координат, которая лежит
выше прямой К=0, не будет встречаться с гиперболой. Суммируя, мы мо-
жем сказать, что область безусловной устойчивости простирается до каса-
тельной прямой, если Х>у1 + у2, и до прямой К—х+у = 0, если л<У1 +
+у2. Это условие может быть также выведено посредством нахожде-
ния двух пересечений действительной оси на диаграмме Найквиста, как
показано на рис. 6.57, или путем определения двух пересечений положи-
тельной мнимой оси ’ на схеме геометрического места корней, как это

показано на рис. 6.58.

Другой тип условной устойчивости, который встречается у этой
системы более часто, установлен для /С<0 и $<0. Обратная связь име-
ет свой нуль в правой части полуплоскости. Типичное геометрическое
место корней для л>у1>у2 показано на рис. 6.59.

Теперь рассмотрим поведение системы при увеличении уч. (При
изображении параметрического пространства мьл оставим для удобства
у1==5у2.) Верхняя асимптота гиперболы опускается ниже начала коор-

динат. Первый вырождаю-
щийся случай имеет место
при Х=у1 (гипербола выро-
ждается в свои асимптоты,
когда л совпадает с каким-
либо у). При Т1>Х>у2 кри-
визна гиперболы изменяется
на обратную, и мы имеем
случай, показанный на рис.
6.60 (у1 —0,15 сек-1, у2—
=0,03 сект1, Х=0,10 сект1).
Запаздывающие нейтроны
снова увеличивают область
устойчивости. Область без-
условной устойчивости про-
стирается до прямой К=0,
и все условно устойчивые
случаи представляют собой
системы без минимума фазы.

Геометрическое место
корней для системы по-
следнего типа показано на

Рис. 6.58. Геометрическое место корней, иллю-
стрирующее условную устойчивость.

рис. 6.61. Схема имеет две точки отклонения и подобна схеме, изо-
браженной на рис. 6.59. Однако существует неопределенность, не раз-
решаемая правилами § 6.5, если не проводить фактических расчетов
точек отклонения. Эта одинаковая последовательность полюсов и нулей

Рис. 6.59. Геометрическое место корней, иллюстрирующее
условную устойчивость.
может давать геометрическое
место корней с четырьмя точ-
ками отклонения, как показа-
но на рис. 6.62. Как упомина-
лось в § 6.6, неопределен-
ность разрешается путем ис-
следования предельных случа-
ев. При геометрическое

место корней представляет со-
бой окружность с радиусом,
определяемым у2 и Когда
72—радиус определяется с
помощью у1 и Для X, близ-
кого к у2, и если при этом у2
достаточно мало, могут иметь
место две петли, как это вид-
но на рис. 6.62.

При 71>у2>7 кривизна
гиперболы изменяется на про-
тивоположную. В конечном
счете мы дойдем до случая, где
пересекаются все три границы

Рис. 6.60. Параметрическое пространство для
реактора с двухканальной обратной связью и „ _

запаздывающими нейтронами. устойчивости. Этот случаи име-

ет .место, когда значения х и
у, заданные уравнением (6.139), являются также решениями (6.146),
что возможно, если

1А=1/Т1+1/у2. (6.151)

Однако прежде чем будет достигнута эта точка, имеет место гораздо
более важный особый случай.

Вспомним, что гипербола [уравнение (6.147)] пересекает динамиче-
скую границу устойчивости модели эффективного времени жизни [урав-
нение (6.133)] в двух местах. Одно из этих пересечений находится в точ-

ке, где каждая из этих линий встречается со статической границей
устойчивости; координаты этой точки определяются уравнением (6.139).
Другое пересечение лежит в неустойчивой области, показанной на
рис. 6.56 и 6.60. Его координаты следующие:

г__ Т2(Т1+Т2) У124- (У1 —^) Ь Т1 (У1 4~ Тг) Ъ2 + (Тг — X) Тг /$ 152)

Мъ -ъ) ’ + + х ’ у~~ Мь-ъ) ь + ъ + * }
При значении уг, лежащем между у2=^ и величиной, определяемой
\ равнением (6.151), это второе пересечение перемещается в область вы-
ше статической границы устойчивости. Гипербола теперь проходит че-
рез устойчивую область для модели эффективного времени жизни, и

Рис. 6.62. Геометрическое место корней, иллюстрирующее
условную устойчивость и четыре точки отклонения.

мы получаем системы, которые
дестабилизируются запазды-
вающими нейтронами. Пример
показан на рис. 6.63 [242], где
у1=1,0 сек-1, у2=0,2 сек-1 и
л=0,1 сек-1.

Чтобы найти точку пере-
сечения, составим уравнение
из параметров, для которых
уравнения (6.139) и (6.152)
дают одну и ту же точку.
В этом случае две динамиче-
ские границы устойчивости
[уравнения (6.133) и (6.147)]
касательны одна к другой. Ре-
зультирующее уравнение вы-
глядит следующим образом:

1/Х= 1/у1+ 1/у2—1/ (ух + уг) •

(6.153)

Условие для существования
систем, которые дестабилизи-
руются запаздывающими ней-
гронами, будет, следовательно,

Рис. 6.63. Параметрическое пространство для
реактора с двухканальной обратной связью и
запаздывающими нейтронами (заштрихован-
ная область дестабилизируется запаздываю-
щими нейтронами).

иметь вид:

1А > 1 /VI +1 /У2— 1 / (У1+у2). (6.154)

Чожно заметить, что уравнение (6.154) сводится к у>%, если у1—>оо
и у2 = у. Это как раз случай с одной зоной обратной связи и с мощност-
ным коэффициентом, который мы изучали в § 6.7 (см. рис. 6.48).
Диаграммы Найквиста для точки А на рис. 6.63, выбранные таким
образом, чтобы точка—1 лежала между двумя кривыми, приводятся
на рис. 6.64. Дестабилизация запаздывающими нейтронами возможна,
поскольку нуль при 5 = —л становится эффективным на низких частотах,
когда удовлетворяется уравнение (6.154). Когда включается в рассмо-
трение полюс при —р//, верхняя кривая пересекает правую полупло-
скость, прежде чем достигнет начала координат при (о—*~оо. Однако да-
же для р//= 10 эффект слишком мал, чтобы его можно было отразить

на рисунке. Кривые

1т

на

рис.

Не

Запаздываю-
щие нейтроны
учитываются
ш-0,1

(0=1

-1

Запаздывающих
нейтронов нет
(эффективное
время жизни)

Рис. 6.64. Диаграммы Найкви-
ста, показывающие дестабили-
зирующий эффект запаздываю-
щих нейтронов (точка А
с рис. 6.63).

и Л. С другой стороны,

6.64 можно сравнивать с родственными кри-
выми на рис. 6.49 для случая однозонной
обратной связи и мощностного коэффици-
ента.

Геометрическое место корней для воз-
можной системы с запаздывающими ней-
тронами "показано «а рис. 6.65. Другое гео-
метрическое место корней для такой же по-
следовательности полюсов и нулей пред-
ставлено на рис. 6.66. Последний вариант
не удовлетворяет условию (6.154) и вклю-
чен для того, чтобы проиллюстрировать
разнообразие возможных случаев.

Разнообразие очень большое. Поло-
жим параметры уь у2 и X неизменными. До-
полнительный нуль при 5 = —§ может быть
введен любым из четырех способов (слева
от всех полюсов, между парой полюсов или
в правой части полуплоскости). Это дает
восемь схем геометрического места корней,
считая четыре для каждого знака К. Кроме
того, каждая конфигурация может иметь
или две, или четыре точки отклонения.

Все это относится лишь к одной воз-
можной комбинации параметров
задавшись тремя полюсами, мы можем

добавить два нуля десятью различными способами: два неразличимых
объекта в комбинации с тремя другими различными могут составить
(5!)/(2!) (3!) = 10 конфигураций. Одна из десяти конфигураций исключа-
ется, поскольку в правой части полуплоскости (Х>0) может иметь ме-
сто самое большее один нуль. Существует, следовательно, девять кон-
фигураций, дающих восемнадцать схем геометрического места корней
(плюс дополнительное количество вариантов, зависящее от числа точек
отклонения).

Вернемся к частному случаю, показанному на рис. 6.63. Параметри-
ческое пространство полностью перекрывается восемью схемами гео-
метрического места корней (четыре для каждого знака К). При изо-
бражении этих схем и нанесении возможных точек отклонения можно
приблизительно определить место граничной прямой, которая отделяет
осциллирующую область от неосциллирующей в х, //-плоскости. Пара-
метрическое пространство, демонстрирующее границы устойчивости и
границы колебаний, содержит почти всю необходимую информацию
о линейной системе.

Исследование, предпринятое в этом параграфе, было инспирировано
работой [367], в которой установлена область безусловной устойчиво-
250
сти в параметрическом пространстве мощностных коэффициентов, и
работой [54], в которой отмечено большое удобство использования при-
ближения мгновенного скачка при изучении реакторной устойчивости.

Рис. 6.65. Геометрическое место корней, иллюстрирующее
условную устойчивость.

Авторы работы [367] включили в рассмотрение полюс при —р/Л
сделав систему несколько более сложной, при этом они не пытались

Рис. 6.66. Геометрическое место корней, иллюстрирующее
условную устойчивость и четыре точки отклонения.

найти динамические границы устойчивости. Использование приближе-
ния мгновенного скачка облегчает нахождение динамических границ
устойчивости. К сожалению, полюс при —р// имеет чрезвычайно не-
большое влияние при реальных значениях I.
Читателю рекомендуем браться за двухзонную задачу, используя
модель второго порядка и применяя критерий Рауса. Построенные в х,
//-плоскости с 0//>1О границы устойчивости будут практически неотли-
чимы от тех, которые показаны на рис. 6.56, 6.60 и 6.63.

§ 6.10. Устойчивость быстрых реакторов

Как было упомянуто в гл. 5, доплер-эффект может привести к мгно-
венно-положительной обратной связи в быстром реакторе. Другой мгно-
венно-положительный эффект может быть вызван изгибом стержневого
твэла, как это наблюдалось в ЕВК-1 {349, 513]. Качественное поведение
такой системы может быть понято с помощью модели двухканальной
обратной связи с а1<0 и а2>0.

Рассмотрим обратную связь по реактивности:

р = —«1П—а2Т2,

(6.155)

где дифференциальные температуры заданы как

йТ ±1(11=Ь (п—По) —тцГ 1,
(1Т21(И = г\2Т 1—цз'Л.

(6.156)

Эта система представляет собой особый случай связанной системы урав-
нения (6.114). Тепловые потери из зоны 1 зависят только от Т± (обрат-

Рис. 6.67. Структурная схема для простой свя-
занной системы.

ной передачей тепла из зоны 2
в зону 1 пренебрегается). Во
второй зоне тепловыделения не
происходит. Эта модель ис-
пользовалась для прототипа
быстрого реактора-размножи-
теля в работе [296}. Такая же
модель применялась при ана-
лизе устойчивости © быстром
реакторе с термоэлектронными
диодами в активной зоне [69].

Зона 1 включает в себя
топливо и любое ближайшее
окружение, температура кото-
рого изменяется вслед за тем-
пературой топлива без ощути-
мого запаздывания по време-
ни. Зона 2 представляет собой
остальную структуру. Мы рас-
сматриваем «1 и а2 как соот-
ветственно мгновенный и запа-
здывающий коэффициенты.

Структурная схема пока-
зана на рис. 6.67 Передаточ-
ная функция мгновенной об-

ратной связи имеет вид:
7/1(5) =а1^/(5 + Ц1).
Для запаздывающей обратной связи

2Л 7 (5 + 7^) (5 + 7)3)

Полная обратная связь может быть выражена следующим образом:

#($) = а,5 + ^г/». . (6.157)

4 7 (5 + ^1) (5 + 7]3) Л /

Используя приближение мгновенного скачка [уравнение (3.59) или
(6.140)], мы можем записать:

а (а) И ($)=—, (^_+ ,(5 + В), , (6.158)

где

Л^а^/го/р, ? = Лз + т]2а2/а1. (6.159)

Обращаясь к модели эффективного времени жизни, заменим $+л на Л.

Связь с канонической системой [уравнение (6.141)] будет непо-
средственная. При этом характеристические уравнения имеют тот же
вид, что и уравнение (6.125) или (6.142). Далее установим тождества:
1)1 = 71 и т)з=У2. Это также видно из сравнения уравнений (6.114) и
(6.156). Имеем 61 = 62=0, /11=0, /«2=1)1, 63 = 1)2 и 63 + 64=1)3.

Матрица коэффициентов теплопередачи (см. § 6.8) имеет вид:

Г 7,1 0 1

1—^2 'Пз 1 ’

а ее собственные значения — 1)1 и 1)з. Перейдя к каноническим координа-
там, получим:

рг ___р . рг __ р I Из р .

1 п 2 1 •* Т)2 2’

а'1 = а,------—----а2; <х'„ =---—----а2;

11 — 1з 2 “ 11 — 1»

К, = К2 = Ь.

Обратное преобразование:

Т^Т'г, Т2= (Т'2-Т\)-

41 Чз
_ ___I 1 Из _/ .

Л1 — а 3 а 2, а2 — а 2,

Характеристики устойчивости связанной системы могут изучаться
в х, «/-плоскости канонической системы, как показано в § 6.8 и 6.9. Одна-
ко более глубоко изучить связанную систему можно, работая с параме-
трическим пространством, которое ближе к исходным физическим пара-
метрам. Определим

ц = а1/то/Р, V = 1)202^^0/1)з|3. (6.160)

Из уравнения (6.159)
/<=«, ^ = Пз(1 + у/ц). (6.161)

Границами устойчивости в и, ^-плоскости будут:
& + т)14-т]з=0, (6.162)

(^+т]з) Ц2+Пз^+ ('П2з + ^'П1 + 2т)1Т]з) и+

+ т)з(П1 + г)з—^)^ + 'П111з(111 + Лз) =0 (6.163)

253
и

«+^ = 0.

(6.164)

Эти уравнения соответствуют в указанном порядке уравнениям (6.146) —
(6.148). Динамическая граница устойчивости модели эффективного вре-
мени жизни определяется уравнением:

—ФПз (ф + Пз)

(6.165)

соответствующим уравнению (6.133), а граница безусловной устойчиво-
сти для той же модели имеет вид:

Ц1Ц—т)з^=0,

(6.166)

соответствующий уравнению (6.136). Во всех случаях Л=0 соответст-
вует ц=0 (у-ось). Первый квадрант в и, ^-плоскости представляет слу-
чаи, для которых обе обратные связи отрицательны (щ и аг положитель-
ны), а второй квадрант есть область мгновенно-положительной обрат-
ной связи, представляющая особый интерес (а1<0, аг>0).

Случай для т]1 = 0,05, т)з = 0,01 и Х=0,1 показан на рис. 6.68. Этот
случай соответствует х, ^-плоскости на рис. 6.56. Связь между двумя
параметрическими пространствами имеет вид:

Ч* ^3

х = и----------VI у=----------V:

41—‘Пз у 'П1 — ^3 ’

(6.167)

Связывающий коэффициент Цг отсутствует, поскольку он сократился

при определении V. Мы сохраним

Рис. 6.68. Параметрическое простран-
ство для реактора со спаренной двух-
канальной обратной связью.

соотношение т|1 = ^'Лз в приводимых
случаях, с тем чтобы V = ^у.

Однако наиболее примечатель-
ная особенность рис. 6.68 состоит
в том, что обе динамические грани-
цы устойчивости входят в первый
квадрант. Физическая интерпрета-
ция этого явления заключается в
том, что связанная система может
быть неустойчивой, даже если обе
обратные связи отрицательны. Это
может иметь место, если величина
мгновенного коэффициента мала, а
величина коэффициента запаздыва-
ния достаточно большая. Существо-
вание такой возможности, которая
неопределенна в преобразовании к
каноническим координатам (и кото-
рая не может иметь места в физи-
чески несвязанной системе), отмеча-
лось в [326] при обсуждении связан-
ных систем высшего порядка.

В данной системе из уравнения
(6.165) видно, что модель эффектив-
ного времени жизни будет всегда проявлять этот тип неустойчивости.
Для модели мгновенного скачка мы можем рассмотреть асимптоты ги-
перболы, которые имеют вид:

—т)1—т]3;

X + 7]. X2 + ’

-----□—‘л_ и-------1_

Х3 ^3

(6.168)

Вертикальная асимптота лежит в правой части полуплоскости, позволяя
гиперболе выйти в первый квадрант, если только л>т)1 + Лз- Последнее
неравенство является, следовательно, необходимым условием для не-

Запаздыдающие

Рис. 6.69. Параметрическое простран-
ство для реактора со спаренной двух-
канальной обратной связью.

Запаздывающие
нейтроны

Уравнение (6.163Х.

Эффективное
бремя жизни

Уравнение (6.165)

и+у-0

Область
устойчивости

Рис. 6.70. Параметрическое пространство
для реактора со спаренной двухканаль-
ной обратной связью (заштрихованная
область дестабилизируется запаздываю-
щими нейтронами).

устойчивости в первом квадранте связанной двухзонной модели мгно-
венного скачка и одновременно служит необходимым условием для типа
неустойчивости, показанного на рис. 6.58. Заметим, что неустойчи-
вость имеет место для очень медленных систем (большие характеристи-
ческие времена для теплопередачи). Система на рис. 6.68 безусловно
устойчива выше прямой и + г> = 0 и справа от прямой, проходящей через
начало координат, и касательной к гиперболе, когда учитываются за-
паздывающие нейтроны.

Для Л<т]1 + т]з область безусловной устойчивости распространяется
на весь первый квадрант. Это иллюстрируется рис. 6.69 для т]1 = 0,15,
т)з = 0,03 и % = 0,1 (соответствующим рис. 6.60) и рис. 6.70 для т]1 = 1,0,
т)з = 0,2, Х=0,1 (соответствующим рис. 6.63). Обратим внимание на за-
штрихованную область, которая дестабилизируется запаздывающими
нейтронами. Диаграммы Найквиста на рис. 6.64 соответствуют точке Л,
показанной на обоих рисунках —6.63 и 6.70. Необходимое условие для
дестабилизации запаздывающими нейтронами [уравнение (6.154)] может
быть записано как

1/Х> 1/т]1+1/т]3—1/(т|14-Т]з) .

(6.169)

Теперь вернемся к практическим последствиям работы системы
с мгновенно-положительной и запаздывающей отрицательной обратны-
ми связями. Сначала рассмотрим временные характеристики системы.
Если мощность достаточно мала, все характеристические корни пред-
ставляют собой отрицательные действительные числа, и осцилляции от-

&п<г)

Рис. 6.71. Реакция системы на внезапное увеличение темпера-
туры теплоносителя (показана как флуктуация мощности око-
ло конечного равновесия).

сутствуют. Тем не менее и при работе таких систем могут возникать
некоторые проблемы. Реакция системы на внезапное возрастание темпе-
ратуры теплоносителя для двух гипотетических систем показана на
рис. 6.71. Ординаты изображают приращение мощности относительно
окончательной равновесной мощности (в произвольных единицах). Шка-
ла времени — типичная для систем, работающих в неосциллирующей
области.

В случае одной зоны с отрицательной обратной связью (см.
рис. 6.71,а) прирост температуры немедленно падает с уменьшением
мощности, и система монотонно приближается к новому состоянию рав-
новесия при более низкой мощности. Однако в системе, выбранной для
иллюстрации эффекта мгновенно-положительной обратной связи (см.
рис. 6.71,6), немедленной реакцией на возрастание температуры будет
увеличение мощности. Но скоро вступает в действие отрицательная об-
ратная связь, вызывающая некоторую компенсацию и делающая воз-
можным переход к новому состоянию равновесия при меньшей мощно-
сти. Начальное возрастание мощности может стать проблемой (а может
и не стать) в зависимости от параметров системы и количества вклю-
256
ченной в нее реактивности. В гл. 7 мы увидим, что к такой реакторной
модели может приближаться система с доминирующими нелинейными
эффектами, и, что линейно устойчивая система этого типа может быть
очень неустойчивой при больших возмущениях.

Аварийное расплавление активной зоны в ЕВК-1 Марк II показало,
к чему может привести автокаталитический эффект мгновенно-положи-
тельной обратной связи [73]. Авария случилась во время эксперимен-
тальной работы при низком уровне мощности, и небольшая реактив-
ность привела к быстрому уменьшению периода разгона. Активная зона
реактора была серьезно повреждена, прежде чем он был остановлен.

Возвращаясь к вопросу линейной устойчивости, рассмотрим эффект
увеличения равновесной мощности по. Все интересующие нас системы
лежат во втором квадранте и, ^-плоскости выше прямой и+а = 0 (см.
рис. 6.68—6.70). Возрастание «о означает движение наружу по радиаль-
ной прямой, проходящей через начало координат. Сначала все характе-
ристические корни представляют собой отрицательные действительные
числа. При более высокой мощности два корня становятся комплексны-
ми с отрицательными действительными частями. По мере дальнейшего
увеличения мощности пересекается динамическая граница устойчивости
(действительные части комплексных корней меняют отрицательный знак
на положительный). Этот процесс можно проследить на схеме геометри-
ческого места корней типа показанной на рис. 6.59. В конечном итоге
корни вернутся на действительную ось, и второе пересечение гиперболы
соответствует действительным корням равной величины и противополож-
ного знака (в глубине неустойчивой области).

Значение по при первой встрече с динамической границей устойчи-
вости может быть названо критической или резонансной мощностью.
В терминах частотного отклика системы У (]*о)) эта мощность соответ-
ствует неограниченной амплитуде при резонансной частоте. Приближе-
ние к резонансу можно также наблюдать на графике, подобном изобра-
женному на рис. 6.30, используя приближенную обратную связь, анало-
гичную показанной на рис. 6.14, но с /С<0. Измерение частотного откли-
ка в окрестности, лежащей ниже критической мощности, даст пик в ам-
плитуде, поскольку комплексное число О (]со) Н (]<х>) лежит около—1 для
частот, близких к резонансной.

Окрестность критической мощности была широко исследована по-
средством контроля колебаний на ЕВК-1 [2, 543]. Некоторые типичные
данные, полученные в 1955 г., воспроизводятся на рис. 6.72 [72]. В прин-
ципе большой ряд таких данных можно было бы экстраполировать, что-
бы предсказать критическое условие. На практике часто бывает труд-
но изменять только один параметр во времени. Существует также риск,
что небольшое изменение параметров вблизи резонанса может заставить
систему превысить некоторые рабочие пределы и приведет к повреж-
дениям.

Ранее было упомянуто, что модель уравнения (6.156) применялась
в ЕВК-1 Марк II Кинчином [296]. Согласие с данными по колебаниям,
приведенными на рис. 6.72, было качественно хорошим, но недостаточ-
ным количественно. Кинчин предложил вместо модели, содержащей
транспортное время запаздывания для прохождения теплоносителя меж-
ду активной зоной и внутренней структурой, расположенной выше ак-
тивной зоны, постулировать, что вызванные нагревом смещения в струк-
туре обусловливают запаздывающую отрицательную обратную связь
по реактивности.
Такую модель применил Бете ([54], использовав для запаздывающей
обратной связи выражение

Н (5)__ (0) ехр (—т$)

2^' С? + тъ) ($-Ь тъ)

Подбирая параметры к амплитудным данным, он нашел мгновенно-по-
ложительный мощностной коэффициент 8*10~4 мвт~1, запаздывающий
отрицательный мощностной коэффициент 3,8*10-3 мвт~1 и постоянные
времени 1/т)1=0,6 сек, 1/т)3=1,51 сек и т=10 сек. Однако эта методика
дает лишь эмпирические константы для ограниченной математической
модели и не может объяснить скрытые физические механизмы. Другое

Рис. 6.72. Амплитудно-частотные характеристики, получен-
ные при измерении колебаний в ЕВК-1 Марк II [72].

ограничение состоит в расхождении между устойчивьш состоянием мощ-
ностных коэффициентов, найденных этим способом, с теми же коэффи-
циентами, измеренными в экспериментах другого типа. В эксперименте
по исследованию колебаний могут быть пропущены низкочастотные про-
цессы, постоянные времени которых слишком велики, чтобы воздейст-
вовать на имеющиеся параметры; измеренные коэффициенты являются
по своему действию квазистатическими. Еще одна трудность заклю-
чается в сложности установления связи между транспортным временем
запаздывания т и скоростью переноса массы теплоносителя. На самом
деле эта скорость зависит сложным образом от тепловых свойств си-
стемы, и эффективное транспортное время может быть много больше
фактического времени переноса массы [529].

Вслед за исследованиями Кинчина и Бете большая программа из-
мерений передаточной функции обратной связи была предпринята на
ЕВК-1 Марк III [514]. Соответствующие данные по амплитуде и фазе
параметров использовались в уравнении (6.6) при определении обратной
связи:

где У и О представляют собой передаточную функцию по замкнутому
контуру (высокой мощности) и передаточную функцию переднего конту-
ра (нулевой мощности).
В этой работе было проведено сравнение двух типов твэлов, причем
один тип снабжен ребрами, сконструированными таким образом, чтобы
свести к минимуму изгиб стержневого твэла. Было показано, что мгно-
венно-положительный коэффициент ЕВК-1 Марк II действительно был
в значительной степени вызван изгибом стержневого твэла.

Было предложено много математических моделей для обратной свя-
зи, которые сравнивались в измерениях по обнаружению колебаний.
Одна модель для ЕВК-1 Марк II предложена Смитом и др. [514]:

_и ____________________С ехр"(—т5)

' ' 5 -М1 &+ <*) (Ж) 5 + С

Первый член отражает эффект изгиба стержня вследствие мгновенно-
положительной обратной связи. Второй член характеризует осевое удли-
нение твэла и третий член определяет «общее расширение в нижней
защитной плите». Теплоноситель, протекающий вверх через активную
зону, по-видимому, ответствен за периодическое тепловое возмущение
нижней защитной плиты (первый основной структурный член, приведен-
ный выше), вызывающее изгиб стержневых твэлов и запаздывающую
отрицательную обратную связь. Такая конструкция была исключена
в проекте высокоустойчивого реактора Марк III.

Более поздняя модель для реактора Марк II была предложена
Смитом и др. [513]:

_ц А_______& ехр (—т<?)__С ехр(—г?)
* 7 « + (« + *П1) 4- а) (з 4- (54-6) '

где все процессы обратной связи в активной зоне, включая изгиб стерж-
ней и осевое удлинение, отображаются первым членом. Второй член
представляет изгиб защитной плиты, а третий — радиальное расширение
защитной плиты Эта модель была отлажена с помощью лабо-

раторных испытаний на макете защитной плиты и сделана пригодной
для точных измерений передаточной функции ЕВК-1 Марк II. Однако
хорошие результаты были получены только благодаря допущению, что
В, С и т зависят от частоты. Между прочим, высокие резонансы, кото-
рых можно было бы ожидать от членов с транспортнььм запаздыванием
(как в случае спирали на рис. 6.28), не наблюдались. Это объясняется
значительным уменьшением В и С на высоких частотах.

Анализ неустойчивости в ЕВК-1 Марк II и последующая экспери-
ментальная программа, предпринятая на ЕВК-1 Марк III, нашли отра-
жение в ряде источников. Дополнительные сведения можно найти в ра-
ботах, на которые мы уже ссылались. Заглавие «АМЬ-6354» [513] вво-
дит в заблуждение ссылкой на «неустойчивость ЕВК-1 Марк III». На
самом деле заглавие больше соответствует ссылкам на модель Марк II.
В подтверждение цитируем: «... было окончательно продемонстриро-
вано, что ЕВК-1 Марк III характеризуется наибольшей устойчивостью
при всех рабочих режимах».

Важный вывод этих исследований заключается в том, что не было
обнаружено присущих быстрому реактору нейтронных или механических
свойств, которые бы препятствовали высокоустойчивой работе его в ши-
роком диапазоне. Наблюдавшиеся неустойчивости были вызваны меха-
ническими особенностями, которые не имели места в более поздних
проектах (см., например, исследование динамики ЕВК-П [133]).

В заключение отметим, что основное ограничение модели, опреде-
ляемой уравнением (6.158), заключается в использовании сосредоточен-
17* 259
ных параметров. Один из возможных способов обобщить модель со-
стоит в том, чтобы включить в рассмотрение транспортное время за-
паздывания. С другой стороны, модель можно обобщить с помощью
уравнений (6.114) и (6.141), а приближенные характеристики устойчи-
вости найти из канонического х, ^-пространства, показанного на рис. 6.8.
Для получения хороших количественных результатов необходимо при-
менить сложный анализ с включением более чем одной группы запазды-
вающих нейтронов, в особенности если тепловые постоянные времени
близки к временам жизни запаздывающих нейтронов. При этом часто
бывает полезным применение критерия устойчивости, предложен-
ного Стёррером и описанного ранее в связи с рис. 6.31. Наконец, заме-
тим, что как быстрые, так и тепловые реакторы, не обладающие про-
странственно-зависимыми нейтронными характеристиками, отвечают
требованиям, предъявляемым к анализу линейной устойчивости с по-
мощью точечной модели реактора в приближении мгновенного скачка
реактивности.

§ 6.11. Кипящие водяные реакторы

В этом параграфе мы наметим в общих чертах развитие одного
типа модели со смешанными параметрами для кипящего водяного реак-
тора с естественной циркуляцией. В качестве примера выбраны ЕВЧМ’К
(экспериментальный кипящий водяной реактор) и его упрощенная мо-
дель, описанная в [134], другие описания модели есть в [28, 229, 341].
Дополнительную информацию по анализу устойчивости кипящего во-
дяного реактора можно найти в работах [12, 45, 171, 197, 389, 544, 545,
547, 579].

В упрощенном представлении активная зона состоит из решетки
покрытых металлом топливных пластин, погруженных в замкнутый сосуд
с водой. При нормальной работе реактора вода течет вверх через актив-
ную зону и достигает точки кипения в верхней ее части, называемой
границей кипения. Выше этой границы лежит область двухфазового
потока, а выше уровня воды находится зона сухого пара, из' которой

Пустотная граница

Рис. 6.73. Структурная схема кипящего водяного
реактора с естественной циркуляцией [134].

пар подается во внеш-
нюю энергосистему. Вода,
выходящая из активной
зоны, рециркулирует к
нижней части сосуда,
где она соединяется с во-
дой, подводимой впускны-
ми питательными тру-
бами.

Преобладающая об-
ратная связь по реактив-
ности обусловлена отри-
цательным эффектом па-
ровых пустот в подкрити-
ческой активной зоне. На
долю, занимаемую пу-
стотами, оказывает непо-

средственное влияние

тепловой поток в воде
Рис. 6.74. Передаточная функция обратной
связи для кипящего водяного реакто-
ра [134].

эффект пустотной мощности) и давление в системе. Давление
воздействует двумя путями: посредством изменения доли пустот,
в кипящей области (эффект пульсирующих пустот) и через измене-
ние местоположения границы кипения (эффект пустотной грани-
цы). При этом давление является сложной функцией мгновенной мощ-
ности и нагрузки на внешнюю энергетическую систему. Если пренебречь
всеми температурными коэффициентами реактивности, элементарное
описание системы основывается на трех параллельных паро-пустотных
обратных связях: пустотно-мощностной, пульсирующе-пустотной и пу-
стотно-граничной.

Рассмотрим структурную схему на рис. 6,73, на которой реактор
связан с паровой турбиной. Передаточная функция реактора нулевой
мощности — Теплопередача в воду характеризуется двумя по-
стоянными времени Ли Т2, в некотором смысле аналогичными запазды-
вающей ветви обратной связи на
рис. 6.67. Здесь 67 представляет
собой тепловую мощность, пере-
даваемую воде.

Предположим, что тепловой
импульс в воде производит пар
в зоне кипения и что его действие
длится в течение некоторого сред-
него промежутка времени т (вре-
мя прохождения пара). Мощно-
стной коэффициент пустотного
объема V может быть выдажен
в м3!мвт. Контур замыкается
блоком, умножающим на ср (пу-
стотно-объемный коэффициент
реактивности).

Пусть о представляет собой
массу пара на единицу энергии.

Выходом этого блока является, следовательно, <1т1сН (скорость изменения
массы пара). Модель, используемая для преобразования этой инфор-
мации в скорость изменения давления, есть упрощенное представление
термодинамики сосуда под давлением, описанной в [134]. Паровые кон-
станты г) и у выражаются в фунт/рзь, (1 рз1~0,072 кГ/см2) и Тг — по-
стоянная времени для рециркуляции воды. В этом примере таким
образом, полюс этой термодинамической передаточной функции нахо-
дится при более высокой частоте, чем нуль. (Другим полюсом при очень
высокой частоте пренебрегаегся.)

Пульсация давления вызывает сжатие пара в зоне кипения. Пола-
гаем, что время прохождения пара т достаточно мало и мала, следова-
тельно, продолжительность этого эффекта, определяемого т. Та же пуль-
сация давления уменьшает размер зоны кипения, но ослаблению этой
пульсации дополнительно препятствует время рециркуляции Тт. Знаки
плюс и минус на рис. 6.73 используются, чтобы подчеркнуть тот факт,
что пульсация мощности стремится увеличить паровые пустоты за счет
непосредственной теплопередачи и в то же время сжать их повышен-
ным давлением. Мы имеем три составляющие передаточной функции от
Ьд к паровым пустотам:

V ___________(1 + Т^) __ <зЬ

(1 4-т$) (7)4-т7» ’ (1 + Сч + гТ» ’
(Значения коэффициентов Ь и с? обсуждаются в [134].) Передаточная
функция обратной связи от мощности к реактивности имеет вид:

— о(1 — аЬ 4- (уУ — ос1) Г г8

(1 4- 7\з) (I + Т28) (1 + «) (7] + Т7»

(6.170)

где численные значения таковы, что Я(0)>0 и нуль функции находится
в левой части полуплоскости. Рис. 6.74 показывает вычисленные зна-
чения Н(з) для следующих рабочих условий [134]: по=2О мет (300/ш);
<р=1,5 долл/фут3—52,97 долл/м2; У=2,2 фут3/мвт=0,0623 м3/мвт; сг=
= 23 фунт/ (мет • сек) =10,43 кГ/ (мет-сек)-, 4/=0,010 фут3-сек/р81=
=0,00403 (м3-сек)/ат; 6=0,57 фут3• сек!рз1 = 0,23 (м3-сек)/ат; Л=
= 0,23 сек; 72=0,14 сек; т=0,062 сек, Тг = 28 сек, т] = 9,32 фунт/рз1=
=60,22 кГ/ат; у =1,08 фунт/р81=§<№ кГ/ат. Для этих рабочих параме-
тров уравнение (6.170) может быть записано в виде:

Я(5)=

1,12 (1 4-5/0,12)

(1 4- 5/0,31) (1 4- 5/4,4) (1 4- 5/7) (1 4- 5/16) •

(6.171)

Уравнение (6.6) использовалось для вывода передаточной функции
обратной связи осциллятора, взятого без турбины. Между определенны-

со

Рис. 6.75. Схемы геометрического
места корней для реактора с одним
нулем в обратной связи, иллюстри-
рующие переход системы к неустойчи-
вости при добавлении полюсов (мо-
дель мгновенного скачка).

ми аналитически и измеренными пере-
даточными функциями было обнару-
жено удовлетворительное согласие как
по амплитуде, так и по фазе.

Обратная связь, описываемая
уравнением (6.171), имеет один нуль
на низкой частоте и четыре полюса
на более высоких частотах. Функция
незамкнутого контура ОН изобража-
ет систему с минимумом фазы и по-
ложительным коэффициентом усиле-
ния. Мы видели в § 6.9, что обратная
связь с минимумом фазы с одним ну-
лем и двумя полюсами не приво-
дит к неустойчивости, за исключени-
ем особой полюсно-нулевой конфи-
гурации типа показанной на рис. 6.58
(высокочастотный нуль и низкоча-
стотные полюсы). Для обеспечения
условной устойчивости системы с об-
ратной связью уравнения (6.171) в та-
кую обратную связь необходимо вве-
сти дополнительные полюсы.

Существование этой возможности
видно из схем геометрического ме-
ста корней на рис. 6.75, для построе-
ния которых использовалась мо-
дель мгновенного скачка реактивно-
сти в нейтронной динамике. Первая
схема изображает высокоустойчивый
пример обратной связи с одним нулем
и двумя полюсами. После добавления
одного полюса система допускает осцилляции при высоком коэффици-
енте усиления, но остается еще безусловно устойчивой. И только добав-
ление четвертого полюса в обратную связь, который дает асимптоты
корней под углом 60°, обеспечивает условную устойчивость.

В испытании на ЕВШК при мощности 20 Мет были установлены
прирост коэффициента усиления 0,8 и изменение по фазе в 50° (см.
рис. 6.29). Кривые изменения коэффициента усиления и фазы, а также
экстраполированные результаты серии испытаний при различных уров-
нях мощности, обеспечивающих устойчивость, использовались для пред-
сказания границы неустойчивости, которая была найдена при мощности
около 65 Мет [134]

Установлено, что кипящие водяные реакторы и реакторы с водой
под давлением являются высокоустойчивыми и практичными системами
для производства электроэнергии. Как и в случае быстрых реакторов,
не обнаружено присущих этим системам особенностей, которые бы пре-
пятствовали устойчивой работе реактора в широких пределах.

§ 6.12. Ядерные ракетные реакторы

Ядерные ракетные двигатели привлекают широкое внимание, по-
скольку они обещают обеспечить более высокий коэффициент полезного
действия, чем химические двигатели, и ввиду большого числа успешных
наземных испытаний. Читатель может получить общую информацию об
этом в книгах [28, 77]. Измерения некоторых динамических характери-
стик приводятся в [62, 410]. Мы представляем здесь краткий анализ
модели двухканальной обратной связи, используемой Смитом и Стеннин-
гом [513], а также в работах [510, 511, 590].

Активная зона реактора представляет собой гомогенную смесь 233И
и графита, пронизанную каналами для прохождения рабочего тела.
Рабочим телом служит водород, прокачиваемый турбиной и предвари-
тельно подогретый при использовании в качестве охладителя ракетного
сопла и отражателя реактора. Реактивность определяется температурой
активной зоны реактора и плотностью водорода, проходящего через
активную зону.

Предположим, что активная зона реактора и водород в активной
зоне характеризуются одинаковой температурой Т. Реактивность имеет
вид*:

р = ро—атТ—анР/Т, (6.172)

где Т и Р — абсолютные температура и давление, ро — константа, а аг
и ан — коэффициенты обратной связи по реактивности. Поскольку Р/Т
пропорционально плотности идеального газа, ан является по существу
коэффициентом реактивности по плотности. Повышение температуры
приводит к уменьшению реактивности (аг>0), а увеличение плотности
водорода приводит к возрастанию реактивности (ан<0).

Уравнения температуры и давления имеют вид

аТ/(И = Коп—АРТЮ (6.173)

ар/<и=врт^—срчг-у2, (6.174)

* В модели, предложенной Смитом и Стеннингом [513], используется ас К Т
вместо атТ в уравнении (6.172). Линеаризованная система и характеристики устойчи-
вости по существу такие же.
где Ко — обратная величина теплоемкости; п — полная мощность и Л,
В, С — положительные константы. Уравнение (6.174) описывает модель
работы турбонасоса, предложенную Смитом и Стеннингом. Эта модель
двухканальной нелинейной обратной связи использовалась во многих
модельных исследованиях (например, [590]).

Чтобы исследовать линейную устойчивость, мы должны свести урав-
нения (6.172) — (6.174) к ряду линейных уравнений, приведенных к пер-
вому порядку по членам, описывающим отклонения от равновесия.

Используя индекс нуль для обозначения равновесия, имеем:

ВТо = СРо. (6.175)

= АР„Т"' = (АВ/С) Г*' = А (С/В)'1'^' (6.176)

Разлагая нелинейные члены по степеням дТ=Т—70 и дР = Р—Ро
и сохраняя только линейные члены, получаем:

р = — (аг—анРо/Р0) 6 Т— (ан/Т0) ЪР, (6.177)

4-«Г = Ко (« - «о)- # УТ 8Т - В УТаЬР, (6.178)

— А УТ$Р. (6.179)

Это соответствует теперь форме линейной связанной системы, рассмо-
тренной в § 6.8. Матричные коэффициенты имеют вид:

Заметим при этом, что постоянные времени и связывающие коэффи-
циенты все пропорциональны То. Это означает, что, поскольку равно-
весная мощность входит в характеристическое уравнение в сложном
виде, простые параметрические пространства из § 6.8 и 6.9 не могут быть
использованы (за исключением, однако, малой окрестности особого слу-
чая равновесия). Эта ситуация часто встречается в линеаризованных
вариантах нелинейных систем.

Собственные значения У1 и уг являются решениями уравнения
у2—В (То)1/2(1 + А/2С) у + ЗАВ2Т0/2С = 0. (6.180)

Можно показать, что собственные значения будут комплексными, когда
0,202<Л/С< 19,8, и действительными для других положительных значе-
ний А и С. Эта возможность существования комплексных полюсов в пе-
редаточной функции обратной связи служит еще одной отправной точ-
кой от систем, рассмотренных в § 6.8 и 6.9. Параметрические простран-
ства при этом изображаются только для действительных собственных
значений.

Однако можно попытаться построить передаточную функцию не-
замкнутого контура и характеристическое уравнение, как это делалось
раньше. Для модели мгновенного скачка уравнение (6.142) по-прежнему
является характеристическим уравнением; читателю рекомендуем вы-
полнить алгебраические преобразования и установить тождество меж-
ду К и Поскольку собственные значения У1 и у$ появляются в харак-
теристическом уравнении только в виде суммы или произведения, ха-
264
рактеристическое уравнение имеет действительные коэффициенты (и
действительные числа Рауса) независимо от того, являются ли собст-
венные значения действительными или комплексными. Это означает,
что условия устойчивости, определяемые уравнениями (6.143) — (6.145),
все еще применимы.

К счастью, рабочая область для типичной ядерной ракеты такова,
что существует лишь одно важное требование для обеспечения устойчи-
вости, касающееся знака статического мощностного коэффициента. Это
требование состоит, разумеется, в том, чтобы последнее число Рауса
было положительным. Другие границы устойчивости лежат далеко от
рабочих пределов, и если р — чистая реактивность, условие устойчиво-
сти может быть выражено как

при равновесии. Остается в качестве упражнения показать, что член,
определяющий эффект давления, сокращается при использовании урав-
нения (6.177) и что условие устойчивости принимает простой вид ат>0.

Мы не будем развивать этот пример дальше, а воспользуемся им,
чтобы закончить эту главу по линейной устойчивости. В литературе
можно найти много других важных и полезных приложений анализа
линейной устойчивости к реакторным системам. Классические пробле-
мы отравления продуктами деления и проблемы реактора с циркуляцией
топлива включены в раздел задач. Другие вопросы, представляющие
интерес, это реакторы со спаренной активной зоной [32, 98, 290, 581] и
пространственно-зависимая обратная связь [160, 216, 248, 327, 459]. Чи-
тателю рекомендуем также изучить важный вопрос о реакторном шуме
[20, 106, 290, 374, 375, 415, 546, 557], так же как и близкие темы Росси-
альфа-измерений [167, 327, 409] и пуска реактора при наличии крайне
слабых источников нейтронов [223, 258, 352]. Общий анализ динамики
реактора как стохастического процесса приводится в книге [411] и
в статьях [38, 231, 391, 524].

Мы не рассматривали здесь проблему проектирования системы
регулирования; для приобретения общей квалификации в этой области
отсылаем читателя к книгам, которые были указаны в начале § 6.2,
в то время как более современные методы (включая «метод обратной
связи по главной переменной») описываются в книгах [472, 581]. По-
следние разработки проектов регулирования реактора можно найти
в [494].

Задачи

6.1. Проанализируйте устойчивость системы, используемой в примере 1 [уравнение
(6.17)], с отрицательным а и положительным Ь.

6.2. Изобразите область устойчивости в /С, а-плоскости для системы уравнения
(6.24), считая Ь фиксированным положительным числом.

В задачах 6.3—6.8 0(8)Н(з) есть передаточная функция незамкнутого контура.
Изобразите область устойчивости для системы с замкнутым контуром в плоскости
К, а.

6.3. б(,)/7(5)^7- + 2)К(5 + а).

6.4. 6 (з) Н (з) = +У^В+ а)
6.5. С(,)//(5)^(у + 2) (5-+-я)-.

• 6.6. О (5) Н (5) = (5+1)2К(5 + я) •

К + а

6.7. 6 (5) Н (5) = + 2) (5 + а).

6.8. О («) Н (5) = ц (5(-^2) + а) ‘

6.9. Дана передаточная функция незамкнутого контура:

К (5 4- X)

где X, 01 и 02 положительны. Изобразите приближенное параметрическое пространство
и обозначьте устойчивые и неустойчивые области.

6.10. Для функции Н(8), определяемой уравнением (6.41), покажите, что для
конечного со действительная часть может стремиться к нулю, только когда а>Л + с,
а мнимая часть может стремиться к нулю, лишь когда а<Ьс/(Ь + с).

6.11. Постройте графики, подобные изображенным на рис. 6.17 и 6.18, для случая
у<Х.

6.Г2. Выведите формулу для численной оценки передаточной функции, основы-
ваясь на отклике системы на ступенчатый ввод реактивности [92, 579].

6.13. Начертите диаграмму Найквиста для примера 5 [уравнение (6.28)] для
а<0.

6.14. Начертите диаграмму Найквиста для

<3(5)Я(5)=К/(52+1) и 6($)Я($)=К/$($2+1).

6.15. Начертите диаграмму Найквиста и схемы геометрического места корней для
различных случаев в задаче 6.3.

6.16. Начертите диаграмму Найквиста и схемы геометрического места корней
для различных случаев в задаче 6.6.

6.17. Начертите диаграмму Найквиста и схемы геометрического места корней
для различных случаев в задаче 6.8.

6.18. Если передаточная функция незамкнутого контура имеет два полюса на дей-
ствительной оси и не имеет нулей, покажите, что геомерическим местом корней яв-
ляются две перпендикулярные прямые линии в 5-плоскости (5=о4-]ш), как показано
на рис. 6.33. Покажите, что точка отклонения лежит посередине между полюсами.

6.19. Дана передаточная функция незамкнутого контура:

6 (5) Н (5) = 5 + й) .

найдите уравнение, определяющее геометрическое место корней в 5-плоскости (5=
= о+]со). Покажите, что часть геометрического места корней может быть окружно-
стью; определите местоположение центра и найдите радиус.

6.20. Дана передаточная функция незамкнутого контура:

К (5 4- 4)

в (*) Я(8) =

покажите, что геометрическое место корней состоит из действительной оси и окружно-
сти в 5-плоскости. Найдите радиус окружности и определите местоположение ее
центра.

6.21. Постройте схему геометрического места корней для системы, для которой
передаточная функция незамкнутого контура имеет вид:

г ,, „ . , __ к (? + 2)
С (5) Н ($) — 5 _|_ 25 4- 2)

6.22. Дана передаточная функция незамкнутого контура:

Д’

6 (5) Н (5) = (524- &2)’

изучите устойчивость системы с замкнутым контуром, используя методы Рауса, Най-
квиста и схемы геометрического места корней.
6.23. Дана передаточная функция незамкнутого контура:

X (5 4- а)
е<5>"<5) = Й^’
изобразите возможные схемы геометрического места корней, подтвердите аналитически
местонахождение точек отклонения.

6.24. Для примера 5 [уравнение (6.28)] изобразите границу на рис. 6.4, которая
разделяет осциллирующую и неосциллирующую области.

6.25. Найдите область изменения X, для которой модель мгновенного скачка
с ньютоновским охлаждением проявляет затухающие колебания.

6.26. Изобразите схемы геометрического места корней для шести случаев модели
эффективного времени жизни с одной обратной связью и с мощностным коэффициентом
[уравнение '(6.103)]. Один из случаев показан на рис. 6.46.

6.27. Вычислите и начертите границу осцилляций в параметрическом пространстве
на рис. 6.45.

6.28. Изобразите границы осцилляций в параметрических пространствах, показан-
ных на рис. 6.47 и 6.48.

6.29. Найдем границы устойчивости в А, В-плоскости для уравнения (6.113). По-
кажите, что в пределе при I—>0 оно приводит к рис. 6.47 и 6.48.

6.30. Выведите уравнение (6.114) для теплового баланса в двухзонном реакторе,,
начните с нахождения скоростей полного тепловыделения и невозрастающих темпера-
тур (включая температуры накопителя).

6.31. Покажите, что собственные значения матрицы теплопередачи
/ц “|“ /&2 1

- — ^3 А3 А4 З

будут действительны и положительны, если действительны и положительны.

6.32. Выведите линейное преобразование, связывающее уравнения (6.114) и
(6.116).

6.33. Изобразите возможные схемы геометрического места корней для модели
эффективного времени жизни с двумя обратными связями и установите связь каждого
случая с областью в параметрическом пространстве (рис. 6.52).

6.34. Удостоверьтесь в пересечении двух границ устойчивости, определяемых урав-
нением (6.139), и покажите, что характеристическое уравнение имеет два нулевых
корня и один отрицательный действительный корень в этой точке.

6.35. Подтвердите уравнение для динамической границы устойчивости, уравнение
(6.147), и покажите, что оно представляет собой гиперболу с асимптотами, определяе-
мыми уравнениями (6.149) и (6.150).

6.36. Оценивая углы в 5-плоскости, покажите, что геометрическое место корней
на рис. 6.58 не может пересекать мнимую ось, если не выполняется условие Х>у1 + у2.

6.37. Выведите условие для дестабилизации запаздывающими нейтронами (урав-
нение (6.154)].

6.38. Динамическая граница устойчивости, подобная уравнению (6.147), соответ-
ствует двум чисто мнимым корням всякий раз, когда прямая граничит с устойчивой
областью. Показать, что когда

1А>1/У1 + 1/у2,

как в случае на рис. 6.63, чисто мнимые корни появляются также в части неустойчи-
вой области.

6.39. Охарактеризуйте двухзонную модель в особом случае уг—И) (отвод по-
стоянной мощности в области 2).

6.40. Используя полюсные диаграммы типа показанной на рис. 6.30, обсудите
эффект включения коэффициента транспортного запаздывания в запаздывающую об-
ратную связь для двухзонной связанной системы [54].

6.41. Сильное поглощение нейтронов 1135Хе является важным фактором, воздей-
ствующим на реактивность в реакторе с большим потоком нейтронов. Линеаризуем
систему:

(11/(11 = —X/,

д,Х/(11 = + Ху/ — \хХ —

где / и X — концентрации ,381 и 138Хе соответственно; — нейтронный поток; 5/ — се-
чение деления. Выведите передаточную функцию 6Х($) /б(р (5), которая пропорциональ-
267
на обратной связи по ксеноновой реактивности. Покажите, что эта передаточная функ-
ция имеет нуль, который перемещается в правую полуплоскость, когда равновесный
поток превышает фо=3* 10й. При этом используйте следующие данные: у/=0,056 (доля
выхода иода); ух =0,003 (доля выхода ксенона); Л,1=2,'9 • 10-5 сёк~1 (постоянная рас-
пада иода); кх=2,1 • 10-5 сек-11 (постоянная распада ксенона); Ох =3,5• 10-18 см2
(сечение поглощения ксенона) (473, 579].

6.42. Реактор с отрицательным температурным коэффициентом (а>0) устойчив
при всех уровнях мощности, и передаточная функция замкнутого контура является
константой на очень низких частотах. Добавьте ксеноновую обратную связь и объясни-
те возможность неустойчивой работы реактора при уровнях потока выше фо=3*1О11,
когда величина температурного коэффициента недостаточно большая.

6.43. Модель с одной группой запаздывающих нейтронов для реактора с цирку-
лирующим топливом использует модифицированное предыдущее уравнение:

с(р с(< — л) хг-

Л I ~ Т\ + Тг е

где Т1—-время пребывания топлива в активной зоне и Т2— время пребывания топ-
лива во внешнем контуре. Выведите передаточную функцию от реактивности к мощ-
ности. Покажите, что для низких частот и малых значений ЛТг передаточная функция
сводится к обычной форме с 0, уменьшенным на коэффициент а=Т/(Т1 + Т2) [353].
ГЛАВА 7

УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ

§7.1 . Введение

В этой главе дается краткое введение в нелинейную механику и
рассматриваются некоторые ее приложения к ядерйым реакторным си-
стемам. Основное внимание уделяется аналитическим методам исследо-
вания устойчивости при отсутствии точных решений, тем не менее в ка-
честве примеров обсуждается несколько графических решений и числен-
ных решений на ЭВМ. Присутствие произведения р/г в уравнениях
точечного реактора означает, что система нелинейна, если имеется об-
ратная связь по реактивности. Кроме того, обратная связь сама может
быть нелинейной.

Общего метода для решения нелинейных дифференциальных урав-
нений не существует, поэтому теоретическому изучению устойчивости
посвящено немало усилий исследователей.

Понимание теории линейной устойчивости — необходимая предпо-
сылка для перехода к изучению нелинейных систем, поскольку многие
понятия, используемые в линейных исследованиях, связаны с понятия-
ми, применяемыми для линейных систем, и поскольку нелинейная устой-
чивость иногда может быть выведена из связанной линеаризованной
системы. Имеются, конечно, и существенные различия. Например, по
определению, данному в предыдущей главе, устойчивая линейная систе-
ма остается устойчивой при любом значении возмущения. Для нелиней-
ных систем это, как правило, не так; мы увидим примеры систем, кото-
рые устойчивы при малых возмущениях (линейно устойчивы), но не-
устойчивы при больших возмущениях.

Далее, гомогенная линейная система с постоянными коэффициента-
ми не может иметь решения, которое возрастает быстрее, чем экспонен-
циальная функция времени. Нелинейные модели, в том числе несколько
очень простых примеров, могут иметь решения, которые достигают
бесконечности за ограниченный отрезок времени (конечное время утеч-
ки). Изучение таких систем затрудняется из-за отсутствия преобразова-
ний Лапласа и Фурье для некоторых или для всех их решений. Другой
важной особенностью нелинейных систем является предельный цикл—
изолированное периодическое движение, не зависящее от начальных
условий.

Две основные проблемы нелинейной устойчивости — определение
областей в параметрическом пространстве, для которых система устой-
чива при любых возмущениях (устойчивость в большом), и опреде-
ление областей в главном пространстве (или фазовом пространстве),
в которых система устойчива (если она неустойчива в большом). Однако
не следует упускать из вида практических соображений; мы исследуем
устойчивость математической модели, а не устойчивость действительной
реакторной системы. Например, система, асимптотически устойчивая
в большом, достигает равновесия, когда /->оо, хотя после определен-
ных начальных возмущений один или несколько параметров могут вре-
менно превысить рабочие пределы системы. С другой стороны, систему,
неустойчивую по определению (см. § 7.5), можно удерживать или легко
регулировать таким образом, чтобы она оставалась устойчивой для всех
практических целей. Кроме того, не следует исключать модель из рас-
смотрения только потому, что она проявляет нефизическое поведение
в некоторой области; реальные установки могут не иметь на практике
конечных времен утечки, но информация, содержащаяся в математиче-
ских моделях, которые проявляют такое поведение, бывает полезна.
Конечно, способность судить, имеет ли недостатки в первую очередь
математическая модель или реактор, является важной составной частью
инженерного мастерства.

Нелинейная механика как наука родилась в работе Пуанкаре [424].
Современный подход к нелинейной устойчивости был предложен
А. М. Ляпуновым [339]. Недавно был переведен и опубликован сборник
его статей (340]. В эссе Лефшеца [323] излагаются краткая история и
современное состояние этой науки. Книги [219, 317] посвящены прямому
методу Ляпунова. Нелинейные колебания рассматривались в работе
[371], нелинейные системы регулирования — в (322] и [372]. Для более
глубокого изучения нелинейных дифференциальных уравнений можно
рекомендовать работы (90, 103, 306, 321, 356].

Нелинейная устойчивость реактора кратко изложена в работах
[95, 284, 586]. Некоторые понятия устойчивости и анализ эффектов за-
паздывающих нейтронов представлены в двух статьях Робинсона [448,
449]. В книге Сметса [500] обсуждаются основные теоремы нелинейной
устойчивости. Отдельные разработки описаны в сборниках статей [245,
580]. Краткое изложение методов нелинейных исследований дано в мо-
нографии Кипина (290]. Более поздние разработки включены в книгу
Уивера [581] и в труды конференции Брукхейвенской национальной ла-
боратории. Наиболее полное исследование проблем нелинейной устой-
чивости проведено в работе (15]. Другие источники указаны в конце
§ 1.2.

Мы начнем с изучения точек равновесия и главного пространства
(фазовой плоскости) для систем второго порядка применительно к про-
стым реакторным моделям. Затем познакомимся с прямым методом
Ляпунова и обсудим несколько приложений его к реакторам. После это-
го перейдем к теме ограниченности систем и устойчивости Лагранжа.
Закончим главу обсуждением частотных критериев устойчивости и не-
линейных осцилляций.

§ 7.2. Точки равновесия

Изучая связанные линейные уравнения, мы можем классифициро-
вать элементарные типы точек равновесия, которыми обладает нелиней-
ная система второго порядка.

Предположим, есть нелинейная система:

с!х!(И = Р(ху у),
Лу!<и=С1(х, у),

(7.1>
где Р и 0, обращаются в нуль в начале координат, так что начало коор-
динат является точкой равновесия (иногда называемой единственной
точкой или критической точкой). Если Р и О не обращаются в нуль
в начале координат, всегда можно сделать линейную замену перемен-
ных, которая «приведет точку равновесия в начало координат». Вообще
система, подобная (7.1), может иметь любое число точек равновесия,
в противоположность линейной системе, которая может иметь только
одну такую точку.

В гл. 5 мы использовали метод главного пространства для исклю-
чения переменной времени. Применив его для уравнения (7.1), получим

Ж/Д/х=(2(х, г/)/Р(х, у). (7.2)

Иногда уравнение (7.2) удается проинтегрировать и получить уравнения
для интегральных кривых или траекторий в плоскости х, у. Точки, где
правая часть уравнения (7.2) имеет неопределенность вида 0/0, явля-
ются точками равновесия.

Вернемся к уравнению (7.1) и разложим Р и ($ в степенные ряды:
ах/сИ = Ах + Ву + р (х, у), 1 (7 3

д,у1<11 = СхОу д(х, у), /

где р и д— степенные ряды, начинающиеся с показателя степени не
менее двух. Чтобы исследовать окрестность точки равновесия, обратим-
ся к связанной линейной системе:

(1x^1 = Ах + Ву, |
йу!(И = Сх-^Оу. )

(7.4)

Выражение (7.4) представляет собой систему линеаризованных урав-
нений, действительных в малой окрестности точки равновесия. Окрестно-
сти каждой точки равновесия, удовлетворяющей уравнению (7.1), со-
ответствует другая линеаризованная система с х и у в каждой окрест-
ности, отображающими малые отклонения от одной отдельной точки
равновесия.

Уравнение (7.4) можно записать как

(7.5)

Собственные значения матричных коэффициентов есть решения

уравнения

$2— +В) 5+АО—ВС=0,

(7.6)

которое представляет собой характеристическое уравнение для линейной
системы (7.4). Решениями уравнения (7.4) будут линейные комбинации
двух экспонент ехр (81). Если коэффициенты действительные, линейная
устойчивость соответствует двум отрицательным действительным корням
или паре сопряженных комплексных корней с отрицательными действи-
тельными частями. Поскольку заключения об устойчивости нелинейной
системы действительны лишь в малой окрестности точки равновесия,
введем термин устойчивость в малом.

Продолжим изучение типов линейных траекторий, которые могут
иметь место при различных возможных парах значений коэффициентов.
Для этого найдем удобное каноническое представление (канонические,
несвязанные или нормальные координаты) для обычной линейной систе-
мы второго порядка. Затем классифицируем различные типы точек
равновесия для нелинейных систем по типам траекторий в малой окрест-
ности каждой точки равновесия.

Собственный вектор, принадлежащий собственному значению 5, мо-
жет быть получен из

Компоненты собственного вектора должны удовлетворять условию
_____________________________8 —А = С

е В 8 —

____________________________________________р 1
1 И К2
ветствующих собственным значениям <91 и <92. Сумма собственных
ний, согласно уравнению (7.6), равна 5, + 52 = Л-|-Р, откуда два

. __ Г А- С-1 __ Г А_е.

соот-
значе-
собст-
. Этот

венных вектора могут быть записаны как с 1 и
способ допускает простое каноническое представление.

Применим преобразование

6 1=7’- Г * 1

'п □ 1^3

где

у» (Л — 52) Кя (Л — 51) 1

””1 КгС к2с _Г

Образуя Т"1 и выделяя =— К2= с ’ П0ЛУчаем ~1 “ [ ~ л

Каноническими переменными будут

^ = Сх+(51—А) у

г] = Са:4-(52—А) у.

(7.7)

Легко убедиться в том, что

<Д//=5^ (7.8)

Исключая переменную времени, получаем уравнение 41)/4ё=$2Т)/$& ко-
торое может быть проинтегрировано следующим образом:

(7.9)

Прежде чем продолжить изучение уравнения (7.9), заметим, что оно не
пригодно для комплексных собственных значений. Однако нам удалось
подобрать преобразование, которое хорошо подходит к этому случаю.
Положим <91 = а+}Ь, 5г= а—]&. Тогда уравнения (7.7) примут вид:

1=Сх+ (а—А+1Ъ)у,

г\ = Сх+ (а—А—\Ь)у, (7.10)

при этом заметим, что т] = В*. Преобразование действительных и мнимых
частей дает т\ = и—р.
Подставив в уравнение (7.8), имеем

ди[си=аи—
дс1(И—Ьи + аа.

(7.12)

Снова исключив переменную времени, получим
да!<1и=\(Ьи + ац) /(аи—Ьа) .

(7.12)

14, наконец, введем полярные координаты в плоскости и, V: ц = гсо8ср,
у=Г51П(р. После подстановки уравнение (7.12) сведется к агс1ц)=Ь(1г
После интегрирования получим

г=С2 ехр (аср/Ь).

(7.13)

Уравнения (7.9) и (7.13) можно теперь использовать для классифика-
ции линейных траекторий и плоскостях т] или ц, V.

Случай 1. Собственные значения действительные и положительные.

Из уравнения (7.9) имеем

“4 = ^1^,

(7.14)

где п = $2/$>0. Возможные траектории показаны на рис. 7.1. Из урав-
нения (7.8) можно заключить, что ход кривых всегда направлен от на-
чала координат. Точка равновесия называется неустойчивым узлом.

Рис. 7.1. Неустойчивый узел (соб-
ственные значения действительные и
положительные).

Рис. 7.2. Устойчивый узел (собствен-
ные значения действительные и отри-
цательные) .

Переменная времени служит параметром, который возрастает в наг рав-
лении, указанном стрелками. При выборе пары начальных значений па-
раметров (любая точка на плоскости, кроме начала координат) обра-
зуется единственно возможная траектория. Разумеется, любую точку
на траектории можно считать соответствующей / = 0. Особый случай
51 — з2 (прямолинейные траектории) иногда называют звездой. (Преоб-
разование Т — единственно возможное в этом вырождающемся случае.
Позже мы обсудйлМ случай с равными собственными значениями в пло-
скости, х, у.)

Случай 2. Собственные значения действительные и отрицательные.
Снова воспользуемся уравнением (7.14) при я>0. Из уравнения (7.8)
следует направленность траекторий к началу координат, как показано
I8 | 837 273
вующая нулевому собственному значению, зависит от времени. Это оз-
начает, что особенной точки равновесия не существует.

Рассмотрим простой пример в плоскости х, у (А=В=Ъ, С=1,
й = — 2):

(1x1(11 = О,

(1у)(И = х — 2у.

(7.20)

Собственные значения — 5 = 0 и —2. Находим х=2&1 и у = &1+
+&2ехр (—21). Траектории представляют собой прямые х=сопз1, по-
казанные на рис. 7.8. Заметим, что прямая у = х/2 есть «линия равно-

Рис. 7.7. Система с рав-
ными отрицательными
собственными значе-

ниями.

Рис. 7.8. Система с одним отри-
цательным и одним нулевым соб-
ственным значением.

весия». Устойчивость определяется знаком отличного от нуля собствен-
ного значения.

Использование этих понятий при анализе нелинейных систем может
быть проиллюстрировано примером. Рассмотрим систему [122, 123]:

(1x1= — 2х + ху,
ау/(И = — у + ху.

(7.21)

Эта линейная система имеет две точки равновесия: х=0, у=0 и х=1,
у=2. В окрестности начала координат связанная линейная система име-

ет вид:

(1x1(11 = — 2х,
(1у](И = — у.

(7.22)

Собственные значения равны —2 и —1, а начало координат является
устойчивым узлом.

Однако нет гарантии, что система устойчива за пределом этой ма-
лой окрестности (устойчива в большом). Чтобы иссследовать другую
точку равновесия, положим: х=1+х', у=2+у', где х' и у' малы. Под-
276
ставляя в уравнение (7.21) и пренебрегая нелинейными членами, на-
ходим:

б/х'Д// = у', |
с!уг!с11 = 2х’. ]

Матрица коэффициентов имеет вид

(7.23)

. Поскольку собственные зна-

чения равны ± У 2, точка х=1, у—2 является седловой точкой. Плос-
кость х, у показана на рис. 7.9. Траектории были рассчитаны численно
[123]. Обратим внимание на мета-
стабильные траектории, направ-
ленные к точке седла; взятые
вместе, эти две траектории обра-
зуют сепаратрису между устой-
чивой и неустойчивой областями
плоскости. Особая траектория,
идущая от седловой точки к на-
чалу координат, может также
рассматриваться как сепара-

триса.

В этом примере оси коорди-
нат обладают особыми свойства-
ми. Вдоль оси х (1x1 (И=—2х, в то
время как вдоль оси у (1у1(И=
=—у. Эти особые траектории
могут также рассматриваться как
сепаратрисы в том смысле, что
ни одна траектория не может пе-

Рис. 7.9. Нелинейная система с устойчивым
узлом и седловой точкой [123].

ресекать координатные оси.

В следующем параграфе обсуждаются некоторые графические ме-
тоды получения приближенных эскизов траекторий ив связи с этим вы-
вод характеристик устойчивости нелинейной системы второго порядка
без обращения к численным решениям. К сожалению, системы третьего
порядка в большинстве случаев не поддаются такому анализу, а систе-
мы порядка выше, чем третий, требуют значительно более утонченных
аналитических методов.

Система на рис. 7.9 имеет особенность, которая не наблюдается
даже в простых системах второго порядка. Мы можем переписать урав-
нение (7.21) как

2_
у

(7.24)

В четверть-плоскости х<С1, у<2 переменные и их производные по вре-
мени имеют противоположные знаки. Следовательно, все траектории
направлены к началу координат и вся четверть-плоскость устойчива.
Такое прямое определение большой области устойчивости является ха-
рактерной особенностью этой частной системы.
§ 7.3. Геометрия фазовой плоскост

Траектории, обсуждавшиеся в предыдущем параграфе, являются,
строго говоря, представлениями решений в двумерном главном прост-
ранстве (главная плоскость). Рис. 7.1—7.6 представляют собой кано-
нические главные плоскости. Однако термины «фазовое пространство»
или «фазовая плоскость» обычно вполне применимы для таких приме-
ров, хотя и остается различие между главными и фазовыми перемен-
ными.

Говорят, что система п-го порядка характеризуется временной за-
висимостью п главных переменных. Канонические переменные составля-
ют несвязанный ряд главных переменных. Напротив, ряд фазовых пе-
ременных состоит из одной функции и п—1 ее первых производных по
времени.

Чтобы проиллюстрировать использование переменных, рассмотрим
нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

+ = (7.25)

Выберем фазовые переменные х и у=(1х](11. Имеем:

(1x1(11 = у,

(1у1(Ц = — х — х\

(7.26)

Дифференциальное уравнение для траектории в фазовой плоскости име-

ет вид:

йу!(1х=— (х+х2)/у.

(7.27)

Решения (1у1с1х=$(х, у) замкнутого вида существуют только для особых
случаев; в этом примере интегральные кривые выражаются следую-
щим уравнением:

г/2+х2+ ~х3=С. (7.28)

Фазовая плоскость показана на рис. 7.10. Обратим внимание на кривую
с С=1/з, которая разделяет устойчивую и неустойчивую области. При-
мер иллюстрирует ряд особенностей фазовой плоскости. Эта плоскость
является, конечно, главным пространством, каким является плоскость,
показанная на рис. 7.9. Заметим, однако, одну особенность использо-
вания фазовых переменных: траектории всегда пересекают ось х пер-
пендикулярно к ней ((1у!(1х—>оо, когда у—>0). Точками равновесия
будут начало координат и точка (—1, 0). Первая есть «центр» с собст-
венными значениями ±/, а последняя — седло с собственными значе-
ниями ±1. Наклон производной (1у!(1х единственный в каждой точке,
не считая точки равновесия, и все траектории представляют собой плав-
ные кривые, за исключением сепаратрисы С = 4/з и зоны устойчивого
равновесия С=0.

Теперь предположим, что уравнение (7.27) невозможно проинтегри-
ровать простым способом. До сих пор мы могли делать эскизы ряда
траекторий, используя поле направлений, упомянутое ранее в § 5.8 и
показанное для этого примера на рис. 7.11. При этом вычисляется про-
изводная (1у!(1х в каждой точке из уравнения (7.27) и проводится ко-
роткая черта, имеющая определенный наклон. Направление движения
устанавливается из уравнения (7.26). Затем вычерчиваются траектории,
точность которых зависит от прилежания и терпения исполнителя.
278
Другим способом является метод изоклин, также упоминаемый
в § 5.8. Изоклина представляет собой геометрическое место точек в по-
ле направлений, имеющих постоянную производную (1у!с1х=М. Из урав-
нения (7.27) М= — (х+х2)/у, и изоклины являются параболами вида

у =—(х2+х)/М.

(7.29)

Группа таких парабол показана на рис. 7.12. Заметим, что изоклины
исходят из точек равновесия (М неопределенно). Изоклина с нулевым
наклоном представляет собой пару прямых х=0 и х= — 1. Изоклиной

Рис. 7.10. Траектории для нелинейной системы с точкой типа
«центр» и седловой точкой.

с наибольшим наклоном является ось х, так как мы используем фазо-
вые переменные.

Часто бывает полезно установить наклон сепаратрисы около узла
или седловой точки. Такая особая траектория должна подходить к точ-
ке равновесия или удаляться от нее по изоклине. Из уравнения (7.29)
производная вдоль изоклины равна

с1у14х= — (2х+\)1М. (7.30)

Полагая (1у1с1х=М у седловой точки (—1; 0) и разрешая относительно
М, находим Л4=±1. Как видно из рис. 7.10, сепаратриса приближается
к седловой точке с наклоном ±4. Этот метод использовался в § 5.8 для
определения начального наклона траектории для уравнения (5.163),
которая направлена от седловой точки к началу координат. С другой
точки зрения, это есть представление собственных векторов в плоскости
х, у. Все эти соображения касаются также фазовых плоскостей, пред-
ставленных главными переменными, которые не являются фазовыми пе-
ременными (за исключением замечания, что ось х всегда является изо-
клиной с наибольшим наклоном). Есть еще одно преимущество исполь-

Рис. 7.11. Поле направлений для системы, изображенной
на рис. 7.10.

зования фазовых переменных. Для малых приращений имеем

^—^х/б/^Дх/Дг1, Д/^Дх/у,

(7.31)

где у — среднее значение у, соответствующее приращению по траекто-
рии. Можно, следовательно, графически построить кривые функций вре-
мени, исходя из траектории фазовой переменной.

Другое преимущество фазовых переменных заключается в простом
соотношении между дифференциальным уравнением п-порядка и свя-
занной матрицей коэффициентов. Дано линейное уравнение с постоян-
ными коэффициентами:

с1пх, ।
ап~ал^'ап-' а(п-г

сП

{-аох = О
и ряд фазовых переменных: Х1=х, ит. д. Находим:

О . .

1 . .
О . .

•

о . .

Да
Дп

(7.33)

Возвращаясь теперь к главным переменным, которые не являются
фазовыми переменными, рассмотрим пример:

б/х/б// — х “I- у х , | >7 34)

(ЩсН = — 2у — 2ху. /

Система имеет три точки равновесия: устойчивый узел в начале коор-
динат (собственные значения —1, —2) и две седловые точки: (1, 0) и

Рис. 7.12. Изоклины для системы, изображенной на
рис. 7.10.

(—1, —2). Каждая седловая точка имеет собственные значения 4-1 и
—4. Траектории, показанные на рис. 7.13, были построены графически
с использованием поля направлений и подтверждены расчетами на ана-
логовой ЭВМ [360].
Заметим, что прямая г/=0 является сепаратрисой. Другие сепара-
трисы, изображенные на рис. 7.13 пунктирными линиями, были опреде-
лены графически. Сепаратрисы, которые ограничивают область устойчи-
вости фазовой плоскости, показаны штрих-пунктирными линиями.

Рис. 7.13. Нелинейная система с устойчивым узлом и
двумя седловыми точками.

Этот пример указывает, как устойчивость нелинейной системы вто-
рого порядка может быть определена простыми геометрическими мето-
дами при отсутствии точного решения. В следующем параграфе мы
применим эти геометрические представления к нескольким простым при-
мерам нелинейных реакторов.

§ 7.4. Некоторые простые реакторные системы

Понятия, рассмотренные в двух предыдущих параграфах, теперь
могут быть применены к ряду нелинейных моделей второго порядка для
ядерных реакторов. Читателю рекомендуем две классические работы:
[94, 161]. В этом параграфе мы рассмотрим модель эффективного вре-
мени жизни и приближение мгновенного скачка реактивности, исполь-
зуя в каждой модели линейную обратную связь (отвод постоянной мощ-
ности или охлаждение по закону Ньютона).

Первый пример — модель эффективного времени жизни [уравнение
(3.27)]:

<7-35)
где

р=—аГ,

(7.36)

Т— приращение температуры (7=0 при равновесии). Положим а>0.
Имеем

-^-=-=-«7. (7.37)

Для случая отвода постоянной мощности воспользуемся уравнением
(5.68):

—по),

(7.38|

где мы возвращаемся к обозначению К, которое было введено в § 6.7.
Имеется одна точка равновесия: п=Ио, 7=0.

Линеаризованная система, которая может быть получена подста-
новкой п=по+дп и пренебрежением Тбп, рассматривалась в § 6.7
(у—>0). Характеристическое уравнение имеет вид:

$2=— аКоПо/1'^й2,

и собственные значения равны ±/й [см. уравнение (6.91)]. Точка рав-
новесия типа «центр».

Для нелинейной системы мы можем исключить время из уравнений
(7.37) и (7.38), определяя

алТ/ГКо(м—по). (7.39)

После преобразования имеем:

1ЧС,,п1,——ГКоап = атат.
0 0 п 0

Максимум и минимум мощности приходятся на 7=0. Интегрируя при
п=иМин и 7=0, получаем:

Л Л — Л^ин ®

Лмин л0 2/'К»л0

(7.40)

Траектории представляют собой замкнутые кривые в плоскости и, 7, и
мы имеем незатухающий нелинейный осциллятор (нелинейный «центр»).
Воспользуемся сходством с уравнением (5.188) и обозначим:

/ а \ 1/2
\1'КоПо)

Имин
По

(7.41)

Уравнение (7.40) принимает вид:

1п^--(у - (/0) =4 X2, (7.42)

и идентично уравнению (5.190), за исключением того, что пере-
менные имеют различный физический смысл. На рис. 7.14 показана
плоскость х, у с параметром 1///о=По/пМин. В этом случае движение по
замкнутым кривым направлено по часовой стрелке, как видно из урав-
нения (7.37). Прямая //=0, соответствующая п(/)=0 и с1Т1сИ =—КоПо,
является сепаратрисой, которая ограничивает область замкнутых кри-
вых; причем система не может перейти в неустойчивую область отри-
цательных п, как уже отмечалось в § 7.2. Сходство рис. 5.20 и 7.14 на-
Рис. 7.14. Траектория для модели эффек-
тивного времени жизни и отвода по-
стоянной мощности; х= (а//'КоПо)’/2Г,
у=п/«о и 1/^о=Ло/Лмин.

водит на мысль, что проблема
ограничения подводимой мощности
и рассматриваемая задача могут
быть объединены при одном усло-
вии, что хну должным образом
определены и повсюду вместо /' ис-
пользуется I. Это обсуждалось в ра-
боте [496].

Рассматриваемую задачу мож-
но предста1вить как дифференци-
альное уравнение второго порядка:

г=0. <7-43>

Сравним его с уравнением
(5.191). Очевидно, что рис. 7.14 мо-
жет быть превращен в фазовую пло-
скость б/р/й/ как функция р (пере-
меним знаки на противоположные и
изменим шкалы, заметив, что у—1
соответствует —ар/й! и х соответст-
вует —р).

Замкнутые кривые на рис. 7.14
оказывают сильное влияние на
на уравнение (5.62) г

равновесии, то

устойчивость. Если заменить уравнение (7.38)
используя Ко вместо К и принимая 7=0 при

аТ/(И=Ко (л—л0) —уТ, (7.44)

при этом точка равновесия л=ло, Т = 0 будет либо устойчивым узлом,,
либо фокусом. Линейная система имеет вид:

а
(11

(7.45)

где 8л = п — п0. Собственные значения равны

(7-46)

и линейная система испытывает колебания, если аКоПо/Г>у2/4 (см. §6.7
и геометрическое место корней на рис. 6.38).

При использовании уравнений (7.37) и (7.44) нелинейные траекто-
рии удовлетворяют уравнению

(1п __ апТ

ОТ “ /'[Ко(и —По)—тП ’

(7.47)

Если принято а>0, уравнение (7.39) дает наклон производной ап/ЛТ по
замкнутой кривой (у=0). Сравнивая уравнения (7.39) и (7.47) для
у>0, можно установить, что траектории для у>0 должны пересекать
замкнутые кривые по направлению из наружной области во внутрен-
нюю везде в полуплоскости л>0 (рис. 7.15). Этому свойству может
быть придана форма геометрического доказательства асимптотической
устойчивости для нелинейной системы, определяемой уравнениями
284
(7.37) и (7.44), во всей полуплоскости п>0 при условии а>0 (другие
параметры физически должны быть всегда положительными). Этот тип

геометрического или топологического доказательства часто использует-
ся для установления устойчивости. В системах третьего порядка он
может применяться для нахождения замкнутых поверхностей в главном

Рис. 7.15. Эскиз л, 7-плоскости для
модели эффективного времени жиз-
ни, иллюстрирующий влияние тепло-
вых потерь на траектории.

пространстве, сквозь которые все тра-
ектории направлены внутрь (см., на-
пример, [508]).

Рассмотрим теперь уравнения
(7.37) и (7.44) и обратим внимание
на вторую точку равновесия п=0, Т—
=—КоПо/у. Это равновесие после
остановки, и, согласно уравнению
(7.36), реактивность после остановки
равна

р8=аКоПо1у. (7.48)

Заметим, что р8>>0, если равновесие
при п—по будет устойчивым (а>0).
Конечно, в действительности реактор

при остановке сохраняет небольшую
мощность я>0, обусловленную ис-
точниками нейтронов, однако, как
отмечалось в § 2.2, нефизическое

мощности бывает очень

понятие равновесия при нулевой
полезным для анализа нелинейной устойчи-

вости.

Поэтому положим п = дп и Т = —КоИо/у + 67. Подставляя в уравне-
ния (7.37) и (7.44) и пренебрегая бпбГ, получаем:

(1 г 5л 1_ ГаКоЛо/у/' 0 г5п

“57 [57 ] “ [ Ко — т ] [57

(7.49)

Поскольку собственными значениями являются 5=—у и 8 = аК^!у1', то

равновесие после остановки соответствует седловой точке для а>0.

Пример, в котором рав-
новесие п=По соответствует
устойчивому фокусу, пока-
зан на рис. 7.16. По оси ор-
динат отложено и/ио и по
оси абсцисс —аТ]1'. Здесь
у=2 и а/СоПо//'= й2=2; по-
этому точками равновесия
будут (0, 1) и (—1, 0).
Устойчивый фокус имеет
собственные значения —1±
а седловая точка при
остановке имеет собствен-
ные значения +1 и —2.
Каждая координатная ось
есть изоклина с нулевым
наклоном (ИНН). Обратим

Рис. 7.16. Траектории для модели эффективного
времени жизни при ньютоновском охлаждении
(7=2 и 02=2).

внимание на сепаратрису,
идущую от точки, соответст-
вующей остановке, к рабо-
чей точке; если воспользоваться методикой, упомянутой в § 7.3, то две
сепаратрисы у седловой точки имеют наклоны Л1=0 и М=3/2. Разуме-
ется, траектории для п<0 не имеют физического смысла.

Второй пример, в котором равновесию п=по соответствует устой-
чивый узел, показан на рис. 7.17. Здесь у=6 и Й=6. Точками равнове-
сия снова будут (0, 1) и (—1, 0). Устойчивый узел имеет собственные
значения —3± ]/*3, а собственные значения седловой точки 4-1 и —6.
Сепаратрисы у седловой точки имеют наклоны М—0 и 7И=7/6; сепара-
трисы около узла имеют наклоны 7И = О,211 и 2И = 0,789.

К сожалению, примеры на рис. 7.16 и 7.17 не имеют большого фи-
зического смысла. Сдвиг по реактивности от остановки до рабочего рав-
новесия слишком велик, чтобы его можно было охватить моделью эф-
фективного времени жизни.

Чтобы быть ближе к действительности, рассмотрим модель мгно-
венного скачка реактивности [уравнение (3.19)]:

Используя уравнения (7.36) и (7.44), имеем

б/л________[«Ко (л — л0) + (*• — х) «7]л

сП 0 4-

с!п_ [аК0(п — п.) + (X.—у) аГ]п

аТ~ 0 + «Г) [К, (п. — п.) — уТ] •

(7.50)

(7.51)

(7.52)

(7.53)

Случай отвода постоянной мощности будет пределом при у—>0.
В этом случае:

йп___ [аКо (л — Ло) 4“ Ха Г] Л

сП 04-«Г

с!п_____[«Ко (л — Ло) 4- Х«7]л

(0 4“.аО Ко (л — Ло)

(7.54)

(7.55)

(7.56)

Данная система имеет точку равновесия и = «о, 7=0. Существуют
две другие особые точки (производная йп/йТ не определена); это л = 0,
Т=—р/а и п = По+%р/а/Со, 7=—|р/а. Вертикальная прямая 7 = —р/а—
сепаратриса. В случае модели мгновенного скачка реактивности траек-
тории не могут пересекать р = р. Физически это объясняется тем, что
производная сНг/сИ имеет очень большую величину, близкую к мгновен-
но критической, и модель мгновенного скачка реактивности должна
быть заменена уравнениями динамики более высокого порядка в той
же окрестности.

На рис. 7.18 изображены траектории для случая, в котором точка
равновесия является устойчивым фокусом. Ордината —п/«о и абсцисса
—а7/р. Система устойчива в области, имеющей физический смысл, т. е.
при л>0 и 7>—р/<х; траектории, выходящие за пределы этой области,
не показаны. Читателю рекомендуется исследовать связанную линей-
ную систему и вычислить ее собственные значения. Легко показать, что
286
точками равновесия (7.54) и (7.55) являются устойчивый фокус при
О<аЛо^о/Х₽<4 и устойчивый узел при больших значениях По.

Добавим член, учитывающий теплопотерю (—у Г), и вернемся
к уравнениям (7.51) и (7.52). Эта система уравнений имеет две точки
равновесия: п = п0, Т=0 и точку, соответствующую остановке, п = 0,
Т = —КоПо/у. Две другие особые точки — это п = 0, Т=—р/а и и=п0 +
+ (%—у) р/а/Со, Т=—р/а. И

снова вертикальная прямая
Т——р/а не может быть пе-
ресечена.

Рабочая точка равнове-
сия этой системы изучалась
в § 6.7. Характеристическим
уравнением служит уравне-
ние (6.94). Если принять
а>0, эта точка равновесия
всегда будет устойчивым уз-
лом при т>Х, а при у<СХ
она может быть либо устой-
чивым узлом, либо фокусом
(см. графики геометриче-

п/п0

-1

Рис. 7.17. Траектории для модели эффективного
времени жизни при ньютоновском охлаждении
(у—6 и Й=6).

ского места корней на рис.

6.39 и 6.40). Условие для
линейных колебаний может

быть выражено в виде

где р5 — реактивность после
остановки, определяемая
уравнением (7.48).

Точка равновесия, соот-
ветствующая остановке, яв-
ляется седловой точкой с
собственными значениями:

5 = —у, 5 = Хр8/(Р—р5).
Положительное собственное
значение будет приближен-
ным корнем уравнения об-
ратных часов, соответствую-
щим реактивности после
остановки р8 [см. уравнение
(2.45)].

На рис. 7.19 показа-
ны траектории для слу-

П]П0

Рис. 7.18. Траектории для модели мгновенного
скачка реактивности с отводом постоянной мощ-
ности (аКо»оАР = 1/б)-

чая, в котором равнове-

сие при По определяется устойчивым фокусом [240]. Параметрами явля-
ются а/СоЛоА0= 1/9 и %/у=3. Реактивность после остановки р5 = р/3.
Система устойчива в области, имеющей физический смысл, т. е. при
и>0 и Т>—р/а.

Заметим, что точка, соответствующая остановке, находится в не-
физической области Т<—р/а для р8>р. Это есть еще одно следствие
того факта, что система выше мгновенно критической должна описы-
ваться уравнениями более высокого порядка. Тем не менее модель
мгновенного скачка реактивности более удобна, чем модель эффектив-
ного времени жизни. Даже для значений р8, мало сравнимых с р, кри-

Рис. 7.19. Траектории

для модели мгновенного

скачка реактивности с
ньютоновским охлаждением
(а/Со«оАР=1/9 и %/т=3)
[240].

вые, подобные изображенным на рис. 7.16 и 7.17, будут недостоверными
из-за отсутствия эффектов запаздывающих нейтронов.

Приближение мгновенного скачка реактив-
ности особенно ценно тем, что допускает ана-
лиз модели реактора, описываемой единствен-
но уравнением второго порядка, и, кроме того,
выявляет эффекты запаздывающих нейтронов
и обратной связи по реактивности. Из обсуж-
дения в гл. 3 и 5 следует, что модель мгновен-
ного скачка реактивности является действи-
тельным асимптотическим решением для
р<р. Кривые п, Т на рис. 7.18 и 7.19 — при-
ближенные проекции трехмерных простран-
ственных кривых и, с, Т.

Асимптотическое поведение кривых иллю-
стрируется решениями, полученными на ана-
логовой ЭВМ и представленными на рис. 7.20
[360]. «Точная» кривая относится к системе
третьего порядка с одной группой запаздыва-
ющих нейтронов (Р//=10) (уравнения (7.36)
и (7.38)]. «Приближенная» кривая описывает
модель мгновенного скачка реактивности, ис-
пользующую уравнения (7.54) и (7.55). При-
ближенное начальное условие для точной кри-
вой было вычислено из уравнения (3.10) при
р(—0) =0, с тем чтобы объяснить быстро спа-
дающую переходную характеристику, которая
отсутствует в асимптотическом решении и про-

Рис. 7.20. Сравнение ней-
тронной динамики системы
второго порядка (Р//=10)
с приближением мгновенно-
го скачка реактивности
(отвод постоянной мощно-
сти).

является как короткий вертикальный скачок
в начале точной кривой. Рассматриваемый случай подобен показанному
на рис. 7.18, за исключением того, что шкала Т сдвинута влево.
§ 7.5. Определения устойчивости

Чтобы продолжить наше исследование, необходимо уточнить поня-
тия устойчивости, которые были введены для линейных систем в § 6.2.
Это потребует точных определений нескольких типов устойчивости,
поскольку в нелинейных системах могут появляться особенности, кото-
рые отсутствуют в линейных системах.

Рассмотрим динамическую систему*:

^Хг/б// = Л’г(Х1, . . . , Хп, I) ,

где I— 1, .... п. Пусть начало координат будет точкой равновесия:

Х1(0____о, 0=0.

(7.58)

(7.59)

Мы ограничимся рассмотрением кратковременных возмущений, т. е.
возмущений, определяемых начальными отрезками времени 10:

Хг(1о)=ХгО, (7.60)

и исследуем поведение системы при />/о- Постоянно действующие воз-
мущения, описываемые посредством добавления силовой функции к пра-
вой части уравнения (7.58), рассматриваться не будут. Далее, в пер-
вую очередь будем касаться инвариантных во времени (автономных)
систем (функции Хг независимы от времени).

Полезно дать определение расстоянию в главном пространстве.
Рассматривая Хг как компоненты вектора, полагаем, что перемещение
от начала координат измеряется по правилам евклидовой геометрии:

х(о = {2кдог}1/2

(7.61)

Устойчивость определим следующим образом: равновесие системы,
заданной уравнением (7.58), устойчиво, если для любого положитель-
ного числа 8 можно указать положительное число 6, такое, что

означает

х (/о) <6

X (7) <8

(7.62)

(7.63)

для всех />70. В общем случае 6 является функцией 8 и /о- Если 6 не
зависит от /о, как в случае автономной системы, то говорят, что устой-
чивость постоянна. Можно перефразировать определение устойчивости,
сказав, что решение х4, называемое иногда «движением», устойчиво,
если может быть найдена такая область 7?(д), что все траектории,
берущие начало внутри 7? (6), остаются внутри особой области 7?(е)
для любого последующего промежутка времени.

Решение устойчиво, если, в то время как 6 выбрано произвольно
малым, существует по крайней мере одно решение траектории, для ко-
торого не выполняется условие, заданное уравнением (7.63).

* Мы пользуемся термином «динамическая система» довольно произвольно. Пра-
вильное определение содержит несколько ограничений, включая требование, согласно
которому все решения должны быть определены и непрерывны для —оо</<оо. Более
подробно см. [609].
19—837 289
Движение асимптотически устойчиво, если оно является устойчи-
вым и если к тому же

Ншх(0==0. (7.64)

/->оо

Движение асимптотически устойчиво в большом, если оно асимптоти-
чески устойчиво и д может быть выбрано произвольно большим. Мы
избегаем термина «глобально асимптотически устойчиво», поскольку
разные авторы используют его для различных понятий. Существуют
движения, для которых предел в уравнении (7.64) справедлив, однако
условие, определяемое уравнением (7.63), не выполняется. Такое
движение называется квазиасимптотически устойчивым. Примеры его
даны в работе [324].

Иногда говорят, что периодические движения обладают орбиталь-
ной устойчивостью — особый случай, в котором имеет место устойчи-
вость, но не асимптотическая. Примеры показаны на рис. 7.6, 7.10
и 7.14. Еще одним примером может служить планетарное движение.

Движение, которое не является асимптотически устойчивым, но для
которого все решения ограничены, называется устойчивым по Лагран-
жу. Существует много примеров в виде систем, которые неустойчивы
для малых возмущений, но тем не менее все их решения ограничены.

у Такие системы могут называться неустойчи-

выми в малом, но устойчивыми в большом
. и, следовательно, устойчивыми по Лагран-

| жу. На рис. 7.21 показан один тип устойчи-

) / вости Лагранжа: устойчивый предельный

\ ( X / * цикл, окружающий неустойчивый фокус и

I Ч___X / образующий систему, которая может быть

X_____названа орбитально асимптотически устой-

чивой. Предельные циклы, в отличие от
«центров», не зависят от начальных усло-
Рис. 7.21. Устойчивый предель- ВИИ.

ный цикл. Множество всех начальных точек

для которых последующие движения яв-
ляются устойчивыми, называется областью притяжения точки рав-
новесия. Если движение асимптотически устойчиво, но область
притяжения не включает все главное пространство, мы имеем асимпто-
тическую устойчивость в малом. Примеры этого показаны на рис. 7.9
и 7.13. Другим примером, изображенным на рис. 7.22, является неустой-
чивый предельный цикл, окружающий устойчивый фокус. На рис. 7.10
представлен пример орбитальной устойчивости в малом. Подобные
примеры часто характеризуются как «неустойчивость в линейно устой-
чивой системе».

Движение, которое асимптотически устойчиво в большом для не-
которого класса функций Хг, называется абсолютно устойчивым. Этот
термин применяется также к движениям, которые асимптотически
устойчивы в большом для всех значений одного или более параметров.
Если устойчивость ограничена конечной областью параметрического
пространства, то можно говорить о структурной устойчивости.

Если решение хг(/) может быть продолжено из начальной точки
Хго для всех значений />/о, то говорят, что решение хД/) является
определенным в будущем. Если, с другой стороны, существует время
/е>/0, такое, что х(1)—>оо при I—то говорят, что решение имеет
290
конечное время утечки. Элементарным примером этого служит частное
решение х(/)=1/(1—I) дифференциального уравнения = Такие
решения не поддаются преобразованию Лапласа. В теории устойчиво-
сти реактора важно, чтобы конечные времена утечки имели место
в системах, которые являются устойчивыми в малом [16].

В линейных системах не бывает предельных циклов и конечного

времени утечки. Автономные линейные системы второго порядка, клас-

сифицированные в § 7.2 как случаи 1—8
(см. рис. 7.1—7.8), могут быть охарактери-
зованы следующим образом: случаи 1, 3 и
4 — неустойчивые; случай 2, 5 и 7 — асим-
птотически устойчивые; случаи би 8 —
устойчивые, но не асимптотически; случай 6
является орбитально устойчивым. Разуме-
ется, устойчивость в линейной системе есть
устойчивость в большом, поскольку соблю-
дается принцип суперпозиции.

Распространение этого принципа на ли-
нейные системы более высокого порядка,
чем второй, легко проследить. Например,
линейная система третьего порядка являет-

Рис. 7.22. Неустойчивый пре-
дельный цикл.

ся асимптотически устойчивой, если ее

три собственных значения отрицательны или если одно отрицательное

действительное, а два других комплексные с отрицательными действи-
тельными частями. Одно положительное собственное значение или пара
комплексных с положительными действительными частями обеспечат

неустойчивость в системе любого порядка.

Теперь сформулируем три теоремы Ляпунова, которые устанавли-
вают связь между нелинейной и связанной линейной системами. Дана
автономная нелинейная система:

йх^ (11= 2 агохо + Р (хп
/

(7.65)

где — константы, а Рг— степенные ряды, начинающиеся с показа-
теля степени не менее двух. Связанная линейная система (называемая
иногда линеаризованной или ограниченной системой) имеет вид:

(1Х11(11=^агзХз.

(7.66)

Пусть 5; — корни характеристического уравнения линейной системы
(коэффициенты матрицы, элементами которой являются ац). Теоремы
формулируются следующим образом [371].

1. Если Ке($})<0 для всех корней 5;, точка равновесия хг=0 урав-
нения (7.65) является асимптотически устойчивой для всех функций Рг.

2. Если Ке(5;)>0 для по меньшей мере одного из корней 5;, точка
равновесия является неустойчивой для «всех Рг.

3. Если ни один корень не имеет положительной действительной
части, но по крайней мере один корень имеет действительную часть,
равную нулю (критический случай), точка равновесия может быть
либо устойчивой, либо неустойчивой в зависимости от функции Р{.

Приведенные теоремы ничего не говорят об устойчивости в боль-
шом; они касаются лишь устойчивости в некоторой окрестности точки
19* 291
равновесия (устойчивость в малом). Теоремы подтверждают методику,
которой придерживались в § 7.2 при анализе систем второго порядка.
Ссылка на «все функции Г г» правомочна, так как мы приняли, что сте-
пенные ряды начинаются с показателя степени не менее двух. Это
ограничение может быть до некоторой степени ослаблено; ряд предло-
жений по этому поводу имеется в работе [371].

Первые две теоремы легко доказываются с помощью прямого ме-
тода Ляпунова, который будет обсуждаться в следующем параграфе.
Третья теорема, охватывающая критические случаи, требует специаль-
ного рассмотрения. Доказательства теорем также приведены в работе
[371]. Мы уже видели примеры критических случаев: на рис. 7.10 пока-
зан «центр» в начале координат, который неустойчив из-за нелиней-
ности, за исключением малой области плоскости; рис. 7.14 изображает
«центр», который остается орбитально устойчивым на всей полуплоско-
сти после добавления нелинейности. Наконец, обратим внимание на то,
что система

йх1(И = у — х3,
Ну /сП = — х — у3

(7.67)

имеет «центр» в начале координат, и сравним эту систему с уравнением
(7.26) и рис. 7.10. Отметим, что все траектории уравнения (7.67) спи-
ралью входят в начало координат, в чем можно убедиться построением
нескольких изоклин. Асимптотическая устойчивость этой системы будет
доказана в следующем параграфе.

Анализ устойчивости с помощью этих трех теорем называют иногда
первым методом Ляпунова. Он является формальным подтверждением
учения о точках равновесия, изложенного в предыдущих трех пара-
графах.

§ 7.6. Прямой метод Ляпунова

Современный подход к изучению нелинейной устойчивости был
предложен А. М. Ляпуновым в 1892 г. Прямой метод, известный также
как второй метод Ляпунова, представляет собой обобщение понятия
энергии в теоретической механике. Если частица движется в силовом
поле таким образом, что ее полная энергия не увеличивается, то дви-
жение ограничено узкой областью главного пространства и является
устойчивым. Если полная энергия непрерывно уменьшается, то в конце
концов она приблизится к нулю, и движение станет асимптотически
устойчивым. Примером может служить гармонический осциллятор.
При отсутствии затухания полная энергия остается постоянной, и дви-
жение происходит по замкнутой орбите в главном пространстве. При
наличии тормозящей силы, пропорциональной скорости, изменение
энергии отрицательно и пропорционально квадрату скорости. За исклю-
чением двух моментов в каждом цикле, когда скорость равна нулю,
полная энергия убывает и должна в конечном итоге упасть до нуля.
Движение, представляющее собой затухающие колебания, асимптоти-
чески устойчиво.

Потенциальная энергия пропорциональна квадрату пройденного
пути, а кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости.
Полная энергия, являющаяся функцией координат главного простран-
ства, положительна везде, за исключением начала координат, где она
равна нулю. Такая функция называется положительно определенной
292
функцией координат. Общая тенденция использования прямого метода
заключается в том, чтобы установить некоторую положительно опре-
деленную функцию координат. Если можно показать, что ее полная
производная по времени, выраженная в терминах координат с помощью
уравнений движения, равна нулю или отрицательна (отрицательная
полуопределенная функция), положительно определенная функция
является функцией Ляпунова, и движение устойчиво. Если производная
по времени является отрицательно определенной (стремящейся к нулю,
лишь когда все ее аргументы равны нулю), движение асимптотически
устойчиво.

Прежде чем сформулировать теорему и наметить доказательство,,
дадим необходимые определения:

1. Скалярная функция V (лч, ..., хп) является положительно опре-
деленной в области Я вокруг начала координат, если У>0 в 7? при
ХгУ=0 и У (0, ..., 0)=0.

2. Производная по времени У от решения уравнения (7.58) имеет
вид:

(7.68)

Рис. 7.23. Области главного пространства^
используемые в доказательстве теоремы
Ляпунова.

где X — вектор с компонентами Хг.

3. Положительно определенная функция У в области Я является
функцией Ляпунова, если V и ее первые частные производные непре-
рывны и АУ/сНС® в области Я.

Теорема, которая дает достаточное (но не необходимое) условие
для устойчивости, может быть сформулирована следующим образом:

Если в открытой области Я,
содержащей начало координат,
существует функция Ляпунова,
то равновесие, определяемое
уравнением (7.58), является ус-
тойчивым.

Доказательство в общих чер-
тах может быть следующим: так
как функции Ляпунова являют-
ся возрастающими функциями
своих аргументов, уравнение
У(%1, .., хп) = С представляет
собой концентрическое семейство
замкнутых поверхностей, окру-
жающих начало координат. Две
такие поверхности показаны на
рис. 7.23, где 0<Е1<У2. Вслед-
ствие принятой непрерывности
У^У2 на поверхности, где х = е
(предполагается, что это условие
полностью соблюдается внутри

области Е). В части области 7?, где -г = 8, У будет меньше, чем У2. Сле-
довательно, существует б, зависящее от 8, такое, что 0<6<8 и

Е1<Е2 для всех Очевидно, что в зоне б<х<е существуют точ-
ки, где У С У1.

Рассмотрим начальную точку (/=/0) внутри области, ограниченной
х = 6. Функция Ляпунова У является невозрастающей на траектории
поэтому для времени />/о значение У меньше или равно начальному
значению V, которое, в свою очередь, меньше, чем Рг- Поскольку
при х = е, траектория не может пересекать поверхность х = &. Следова-
тельно, х(/)<8 для всех />/о, когда х(/о)<6, и движение является
устойчивым, как это определялось в § 7.5.

Как видно из рис. 7.23, траектория может временно выходить за
пределы области х <6. Однако очевидно, что она не может выйти за
пределы области У^Уь Формальное определение устойчивости при этом
выполняется, потому что У1<Уг- Конечно, рисунок служит только сим-
волическим представлением п-мерного главного пространства.

Как следствие, движение будет асимптотически устойчивым, если
Это действительно так, поскольку траектория должна не толь-
ко оставаться внутри х—е, но также характеризоваться уменьшением
У В конечном счете траектория достигает начала координат. Обрат-
ная теорема может быть сформулирована как следствие: равновесие
неустойчиво, если функция У является положительно определенной и
л У/сИ^>0 в окрестности, окружающей начало координат.

В качестве примера рассмотрим систему второго порядка:

с!х!<1у = — '2, ) (7.69)

ау!М — - - у — у\ I

Точка равновесия является устойчивым узлом, подобным началу коор-
динат на рис. 7.9. Выберем положительно определенную функцию

У(х, у)=х2+у2. (7.70)

Имеем

^=2л^ + 2^. (7.71)

Подставив уравнение (7.69), получим

4 У/(И=—4x2—2 г/2—2 г/4. (7.72)

Движение асимптотически устойчиво в большом, так как производная
д,У/(11 является отрицательно определенной во всем пространстве х, у.
Читатель может удостовериться в том, что траектории имеют вид

г/2/(1 +у2) =Сх

(7.73)

и что движение всегда направлено к началу координат.

В качестве второго примера рассмотрим систему уравнений (7.67),
которая имеет «центр» в начале координат. Если уравнения (7.70) и
(7.71) используют совместно с уравнениями движения, то

4/У/б// = —2х4—2 г/4.

(7.74)

Система асимптотически устойчива в большом.

Теперь рассмотрим примеры, касающиеся уравнения (7.21) и
рис. 7.9. Начало координат является устойчивым узлом, но седловая
точка препятствует асимптотической устойчивости в большом. Мы мо-
жем установить подобласть асимптотически устойчивой области следу-
ющим образом: снова воспользовавшись уравнениями (7.70) и (7.71),
находим [123]

йУ[сИ=—4х2+2х2у—2у2 4- 2ху2.

(7.75)
Очевидно, что производная йУ/(И не определена однозначно на всей
плоскости. Однако (1У!<И отрицательна в окрестности начала координат.
Геометрическим местом точек, для которых (1У1с1Л = §, является начало
координат вместе с кривой, имеющей три ветви:

х2(2-г/)+^(1_х)=0. (7.76)

Кривые У=С представляют собой концентрические окружности вокруг
начала координат. Область, для которой асимптотическая устойчивость
доказана, представляет собой внутреннюю часть максимально большой
окружности, которая может быть вписана в область, где (1У](11<$, т. е.
окружность касательная к кривой уравнения (7.76), как показано на

рис. 7.24. Главная ветвь геометрического места точек уравнения (7.76)
содержит седловую точку (1, 2).

Заметим, что размер и форма области, для которой устойчивость
доказана, зависят от выбора функций У Эллиптические кривые, соот-
ветствующие постоянной функции V, давали бы различные области
устойчивости для этого примера. Чтобы проиллюстрировать это, рас-
смотрим рис. 7.13 и уравнение (7.34). Мы могли бы найти круговую
область около начала координат с помощью уравнения (7.70); вместо
этого выбираем

У= (х, у) = (х + у)2+у2. (7.77)

В этом случае кривые У=С представляют собой семейство концен-
трических эллипсов. Находим

+ 2л + 2^ + 4 . (7.78)
Используя уравнения движения, получим

с! У/Ш=— 2х2—4ху—бу2+2х3—2х2у—8х2у.

(7.79)

Снова производная (1У](И отрицательна вблизи начала координат,
и геометрическим местом точек = О будет начало координат плюс
кривая, состоящая из трех ветвей:

х2+2х у + 3 у2—х3+х2 у+4х у2=0. (7.80)

Область, для которой асимптотическая устойчивость установлена,
представляет собой внутреннюю часть эллипса, касательного к ближай-

Рис. 7.25. Подобласть асимптотически устойчивой области
и геометрическое место точек /сП=& для примера, приве-
денного на рис. 7.13.

шей ветви уравнения (7.80). Через каждую из седловых точек уравне-
ния (7.34) проходит ветвь кривой, как показано на рис. 7.25.

Асимптотическая устойчивость может быть доказана для целого
ряда различных К-функций. Результаты можно сгруппировать, и об-
ласть асимптотической устойчивости будет представлять собой объеди-
нение всех областей, полученных таким образом. Однако нет гарантии,
что вся область асимптотической устойчивости обнаруживается этим
методом, поскольку теорема дает лишь достаточное условие. Примене-
ние этого метода требует интуиции и мастерства исполнения. Как мы
увидим, нет необходимости ограничивать функцию V квадратичной фор-
мой. Квадратичные формы являются достаточными для описания ха-
296
рактеристик устойчивости линейных систем (действительно, критерий
Рауса может быть выведен таким способом [417]). Много усилий было
затрачено на разработку систематических методов построения У-функ-
ций для нелинейных систем, некоторые из них обсуждаются в оставшей-
ся части этого параграфа.

Прежде всего заметим, что часто бывает полезно найти первый ин-
теграл некоторой родственной, но более простой системы. Например,
рассмотрим систему:

с1х!с11 =— <хх-\-у, а 0, 1 (7 81)

с1у1сИ =—х — х3.

Начало координат является единственной точкой равновесия («центр»
для а = 0, устойчивый фокус для 0<а<2 и устойчивый узел для а>2).
Функция У=х2+у2 не очень удобна, поскольку она дает

а У=— 2ах2—2х3у,

Вместо нее рассмотрим особый случай а = 0, для которого первый инте-
грал имеет вид:

Левая часть этого уравнения является положительно определенной функ-
цией, и уравнение (7.82) описывает концентрическое семейство замкну-
тых кривых. Пусть

У(х, у)=у*+х*+ -±- хК (7.83)

Имеем

= +2x^ + 2^^. (7.84)

Теперь применим это уравнение к первоначальной системе уравнения
(7.81). Находим

йУ/сН = —2ах2—2ах4. (7.85)

Равновесие устойчиво в большом для а=0 и асимптотически устойчива
в большом для а>0.

При изучении автоматических систем регулирования удобен метод
Айзермана [10] (см. также работы [219, 371]). Наибольшее применение
этот метод находит в системах вида:

(И = Я11Х1 + 012*2 + +/ (хк)

(1Хг/сИ = ацХ1 + а12Х2+ +агПхп, (/#=1), (7.86)

в которых нелинейность проявляется как функция одной главной пере-
менной в одном уравнении. Сущность метода заключается в том, чтобы
заменить ?(хк) линейным термином рхк таким образом, чтобы результи-
рующая линейная система стала асимптотически устойчивой в преде-
лах Р1<р<р2. Используя квадратичную форму V, которая демонстри-
рует линейную устойчивость, с помощью уравнения (7.86) строят форму
производной С1У&1 для нелинейной системы. Нелинейная система явля-
ется тогда устойчивой в соответствующей области, для которой про-
изводная д,У1с1КЪ.

Могут задать следующий вопрос: если линейная система асимпто-
тически устойчива для р1<р<р2 и если }(хк) удовлетворяет условию
Р1Хк2<хк((хк)<р2Хк2, будет ли нелинейная система асимптотически
устойчивой в большом? К сожалению, ответ утвердительный только для
п = 2 [219]. Для систем более высокого порядка требуются дополни-
тельные ограничения на форму нелинейности.

Метод Айзермана имеет ограниченное применение в динамике ре-
актора, поскольку нелинейность обычно обусловлена произведением
рбп. При наличии простой линейной обратной связи и в отсутствие за-
паздывающих нейтронов преобразование

о=1п (п/пъ)

(7.87)

устраняет нелинейность произведения рдп и вводит нелинейность
/(о) = е°—1 (7.88)

в обратную связь. Однако этот способ не имеет успеха при наличии
запаздывающих нейтронов. Кроме того, функция У вынуждена всегда
иметь квадратичную форму. По этим причинам мы не будем в дальней-
шем заниматься этим методом.

Метод Сцего [533], описанный Шульцем [471], начинается с по-
стулирования квадратичной формы, коэффициенты которой могут быть
функциями главных переменных. Формально функции вида

V = 21ац(х{, Хз)х{Х] (7.89)

подчиняются ограничениям, согласно которым ац = ац и ац не зависят
по крайней мере от одной главной переменной (скажем, хп). Производ-
ную йУ](И находят, используя уравнение (7.89) и уравнения движения,
а затем ищут соотношения для определения переменных коэффициен-
тов, находящихся в зависимости от V и (IV!(И.

В качестве примера рассмотрим систему второго порядка [уравне-
ние (7.81)]. Пусть

У = аи (х) х2+2а12 (х) ху + у2,

(7.90)

где у тождественно равен хп и где ^22= 1 без потери всеобщности. Ко-
нечно, нам известно заранее из уравнения (7.83), что альтернатива
(определение х как хп) не была бы полезной, хотя при отсутствии этой
информации пришлось бы проверять каждый возможный вариант. На-
ходим

= 2а„х^ + х2 + 2а12х^г + 2а1гу + 2ху _|_ 2у^~.
(11 11 (11 1 (1х (11 1 12 (11 1 12:7 (II 1 (1х (11 1 57 (11

(7.91)
Подстановка из уравнения (7.81) приводит к

77 = — 2апх2 — а х3 — 2а,2х2 — 2а,„х4 + (2а„х + х2 —

— 2аа12х— 2ах2— 2х— 2х3)у + ^2а,, + 2^х) у2. (7.92)

Считая уравнение (7.92) квадратичным относительно у, мы заключаем,
что геометрическое место точек (1У1<И=Ъ имеет две ветви в плоскости
х, у. Две ветви совпадают, если дискриминант стремится к нулю, и про-
стой способ обеспечить это — положить #12 = 0 и

2агхх + х2 — 2х — 2х3 = 0.
Д X
Рассматриваем уравнение (7.93) как линейное дифференциальное урав-
нение для переменного коэффициента Лц. Частное решение имеет вид:

аи = 1 +х2/2.

Уравнение (7.90) теперь сводится к требуемой форме уравнения (7.83),
а уравнение (7.92) —к уравнению (7.85).

Даже в этой простой иллюстрации метод требует интуиции и мас-
терства. В более сложном случае формы функций У и (ГУ/сИ необходи-
мо изменить, чтобы найти условия, согласующиеся с теоремой Ляпуно-
ва, поэтому дифференциальные уравнения для переменных коэффици-
ентов могут стать довольно сложными. Результаты часто бывают до-
вольно произвольными, и различные ряды коэффициентов могут приве-
сти к различным подобластям устойчивой области.

Шульцем [471] был разработан метод переменного градиента, ко-
торый является очень удобным и отчасти более систематическим. Основ-
ные идеи заключаются в том, что данная требуемая форма АУ/сИ [урав-
нение (7.68)] является частным дифференциальным уравнением для V
и что при определенных условиях функция У может быть получена как
линейный интеграл градиента УК Действительно, необходимыми и до-
статочными условиями того, чтобы скалярную функцию У можно было
единственным образом получить из векторной функции УК будут [318]:

(7.94)

Вектор VI/ описывается как

&пп

(7.95)

п__

где коэффициенты ац — неопределенные функции главных переменных.
При трех измерениях условия уравнения (7.94) гарантируют, что спи-
раль градиента будет тождественно стремиться к нулю. В общем случае
эти условия, которые требуют, чтобы функция У имела непрерывные
первые частные производные, обеспечивают связь между крайними диа-
гональными элементами матричных коэффициентов Если эти край-
ние диагональные элементы будут константами, то а^=а^ [471].

Производная АУ/сИ имеет вид:

= I I /7 ол\

сП дхг сП ’ дх2 (П ’ \

Методика заключается в том, чтобы вычислить (IV!<И в терминах пере-
менных коэффициентов, выбрать коэффициенты таким образом, чтобы
(IV/сП была отрицательно определенной или полуопределенной в неко-
торой области Я, и затем получить функцию У как линейный интеграл
в главном пространстве, при этом У=Ов начале координат. Если полу-
ченная функция У положительно определена в области 7?, то Я — об-
ласть устойчивости.
Интегрирование оправдано, если выполнены условия уравнения
(7.94). Линейный интеграл будет тогда независимым от траектории и
может быть удобно представлен в виде:

.... 0)^, +ууУ<2>(х„ ?2) .... 0)^2 + ...+
Хч 0

где индексы в скобках указывают соответствующую компоненту УК

В качестве иллюстрации рассмотрим еще раз (7.81). Пусть

^У= Г а"х +а'^У I. (7.98)

_ #21Х ~Н &22У

Имеем (1У](И = (ацх+а12У)<1х1<11+(а21х + а22.у)с1у1(И.

Подстановка из уравнения (7.81) и допущение, что «12=«21 = соп51,
приводят к

(IV !сИ=—«12(1 +х2)х2+ [«и—«22(1 +х2)\ху + а12у2—аацх2—аа^ху.

• Последние два члена стремятся к нулю, если а—>0 (нет затуха-
ния). Считая, что ответ неизвестен, исследуем вероятность того, что
ЛУ/сИ.—>0 для всех х и у, когда а—Я). Тогда возможный ряд коэффи-
циентов имеет вид:

«и=2(1 +%2); «12=0, «22 = 2.

Точно его определяет уравнение (7.85):

(IV!<11=—2ах2—2ах4.

Компонентами градиента являются 2х + 2х3 и 2у. Интегрируя, как пред-
лагалось ® уравнении (7.97), получаем уравнение (7.83):

Г=Х2 + 4-Х4+1/2.

Для системы уравнения (7.81) метод Сцего и метод переменного
градиента дают простой результат, полученный нами ранее при рас-
смотрении первого интеграла для а=0. Очевидно, что при изучении си-
стем, которые не являются столь простыми, встретится много трудно-
стей. Некоторые системы более легко обрабатываются первым методом,
другие—вторым. Однако ни один метод не гарантирует успеха во всех
случаях, и изобретательность исследователя является, вероятно, его
наиболее важной предпосылкой.

В любом методе имеют дело с функциями У и их производными
аУ/сИ, которые должны быть сделаны знакоопределенными. Для про-
стых форм функции V, подобных уравнениям (7.83) и (7.85), решение
будет очень простым. Часто встречается форма

У=ацх2+2а12ху + й22У2

или общая квадратичная форма

ЛцЯ12 • • • <21п

#12^22

__^1-п ^пп— I— Хп ________
где агз — константы. Необходимое и достаточное условие для этой квад-
ратичной формы быть положительно определенной состоит в том, чтобы
главные миноры определителя матрицы в уравнении (7.99) были поло-
жительными (теорема Сильвестра (471, 600]). Иными словами, ац>0 и

<211^12

^12^-22

^11^12^13

2^22^23

^13^23^33

и так далее до пХп определителя полной матрицы. Таким образом,
уравнение х2+ху + у2 является положительно определенным, в то время
как уравнения х2+ху+у2 и х2+3ху + у2 таковыми не являются. Обратим
внимание на то, что используется симметричная матрица. В двух изме-
рениях кривые постоянной функции V имеют эллиптический вид для
положительно определенной V. Как следствие теоремы, необходимое и
достаточное условие для квадратичной формы быть отрицательно опре-
деленной состоит в том, чтобы ац<0 и чтобы остальные главные мино-
ры, взятые в возрастающем порядке, имели чередующиеся знаки.

Другой тип функции Ляпунова был развит для нелинейных систем
регулирования [347, 330, 322]. Дана система:

с1Хг/сИ=^ацХэ — Ь/и, /=1, . . ., п,

с1и[с11 — } (о), з = ^СуХз — г и,

(7.100)

где ац — постоянные элементы пХп матрицы коэффициентов; Ъг и с<—
проекции постоянных векторов; и — скалярная функция времени (регу-
лируемая переменная) и г — параметр. Нелинейность описывается ха-
рактеристической функцией /(о), которая, как полагают, удовлетворяет
условиям о/(о) >0 для а=#0 и /(0) =0.

Используя преобразование = б/Хг/о?/, можно записать систему урав-
нений как

^1/^ = >1 (о),

(Щ(И — г/ (з).

Функция Ляпунова типа Лурье имеет вид

а
у=2

I] 0

(7.101)

(7.102)

и анализ устойчивости сводится к алгебраической задаче приведения
функции V и производной (IV/сП, в соответствие с требованиями теоремы
Ляпунова. К сожалению, как и в методе Айзермана, уравнения дина-
мики реактора нельзя представить в этой форме, если не пренебречь
запаздывающими нейтронами. Такая же по существу система изуча-
лась Поповым [427], предложившим критерий частотной устойчивости,
который мы обсудим позже.

Важный особый случай имеет место в уравнении (7.101), когда
матрица коэффициентов является диагональной (агз=уг для /=/ и
#г5 = 0 для /=/=/). Преобразование, приводящее к такому каноническому
виду, было найдено Лурье [347]. Затем бывает удобно включить в функ-
цию V особую квадратичную форму, для которой

=ё*ёз! (У*+Уз), (7.103)

где — действительные числа и уг— параметры. Квадратичная форма

принимает вид

ОО оо

2 М^еН’1+ъ' у Щ (7.104)

0 4/ 0 1

Этот тип квадратичной формы использовался в специальной функции
Ляпунова в работе [15] для анализа устойчивости при наличии запаз-
дывающих нейтронов (в их случае — переменные канонической обрат-
ной связи; уг — действительные параметры матрицы, характеризующей
теплопередачу). Заметим* что поскольку уравнение (7.104) показывает
только, что эта форма является положительно определенной, для по-
строения функции Ляпунова необходимы дополнительные условия.

Другой метод построения функций Ляпунова для систем, подобных
уравнению (7.101), был предложен в работе [450] и применен к про-
стой реакторной модели без запаздывающих нейтронов [137]. Этот метод
также требует расчета канонической формы, но у него есть преимуще-
ство по сравнению с каноническими системами Лурье в том, что с/(о)
не обязательно должно быть положительным. В следующем параграфе
приведен пример анализа реактора с использованием различных мето-
дов.

Ранее, в связи с методом переменного градиента, было предложено
рассматривать уравнение (7.68) как частное дифференциальное урав-
нение для функции V. Эта точка зрения была развита Зубовым [609],
составившим специальные примеры, для которых вся область асимпто-
тической устойчивости получается производной от такой функции Ляпу-
нова (более подробно см. [219]). К сожалению, трудности практиче-
ского использования будут, по-видимому, очень большими.

В дополнение к квадратичным формам и функциям, подобным урав-
нениям (7.83) и (7.102), могут использоваться многие другие специаль-
ные функции. Как мы увидим в следующем параграфе, форма У(х) =
=х-Лп (1+х) особенно удобна в динамике реакторов. Эта форма явля-
ется положительно определенной для х>—1 и уменьшается до
в окрестности начала координат.

Требование, чтобы производная йУ/сИ была отрицательно опреде-
ленной, часто бывает чрезмерно ограничительным. Это ограничение мо-
жет быть ослаблено следующим образом (см. любые типичные работы,
на которые ссылались ранее):

Если в открытой области Я, содержащей начало координат, суще-
ствует функция Ляпунова и если производная (IV/дЛ не равна тождест-
венно нулю для любой точки траектории, кроме начала координат (три-
виальное решение), равновесие, описываемое уравнением (7.58), будет
асимптотически устойчивым. Очевидно, что в асимптотически устойчивой
системе при I—>оо V—>0 через положительные значения. В то же вре-
мя йУ/сП— через отрицательные значения. Можно представить случай,
когда V—>14>0 при /—>оо и при этом еще йУ/сИ—->0. Линейные при-
меры являются критическими системами (устойчивыми системами с ну-
левым собственным значением или с парой чисто мнимых собственных
302
значений). Нелинейная система может, кроме того, проявлять предель-
ный цикл, при котором йУ/сИ—®. Чтобы установить асимптотическую
устойчивость, если <1У]сИ только отрицательно полуопределена, необхо-
димо удостовериться в отсутствии произвольных постоянных решений и
устойчивых периодических решений («центров» и предельных циклов).
Основные понятия могут быть сформулированы в терминах сходящихся
рядов Биркхофа [315—317], однако здесь мы не будем заниматься

этими вопросами.

Другой вариант формулировки прямого метода Ляпунова может
быть следующим: если может быть установлено, что функция У поло-
жительна в некоторой области 7?, в то время как ЛУ/сИ отрицательна
или равна нулю в той же области, и если, кроме того, имеется дополни-
тельная информация, что ни одна траектория не может выйти за пре-
делы области 7?, то все решения, берущие начало в 7?, будут устойчи-
выми. Далее, если йУ1<11=Ъ только в точке равновесия (которая может
быть на границе области 7?), все решения, берущие начало в 7?, будут
асимптотически устойчивыми. Это следует из того, что все траектории
должны пересекать кривые постоянной функции V в направлении умень-
шения У

Такие функции не будут функциями Ляпунова, поскольку они не
являются положительно определенными. Область устойчивости больше
не ограничивается замкнутой кривой постоянной V, а ограничена скорее
частью кривой постоянной У вместе с разделяющими траекториями, ко-
торые не могут пересекаться. Проиллюстрируем коротко систему урав-
нений (7.21) и рис. 7.9. Поскольку обе координатные оси представляют
собой сепаратрисы, траектория, берущая начало в первом квадранте,
должна там оставаться.

Пусть

У=х + у. (7.105)

Из уравнения (7.21) ДУ 1(11=
= —2х—у+2ху. Геометри-
ческое место точек (1У1(Н=Ъ
имеет вид:

у=2х1(2х— 1). (7.106)

Мы имеем У>0 и г/У/^/<0
в треугольной области, огра-
ниченной координатными
осями и прямой х+у=С,
где С>0 характеризует
прямую линию, касательную
к прямой, заданной уравне-
нием (7.106). Любая траек-
тория, берущая начало в
этом треугольнике, должна
стремиться к началу коорди-
нат при /—>оо.

В действительности
функция У= |*|+ |Т/1 мо’
жет использоваться после-

Рис. 7.26. Граница устойчивости для системы, по-
казанной на рис. 7.9, использующей Г=|х| + |у|.

довательно для каждого квадранта (например, У=х—у в четвер-
том квадранте), и функции У>0, для которых сГУ1<11<$, существуют во
втором, третьем и четвертом квадрантах. Поскольку сепаратриса вдоль
каждой координатной оси стремится к началу координат, область асимп-
тотической устойчивости включает в себя треугольник в правом квад-
ранте плюс остальные три квадранта, как показано на рис. 7.26. Эта
методика находит применение в динамике реактора, так как и
никогда не бывают отрицательными, как было установлено в § 2.2;
следовательно, функция V, содержащая члены вида п + ЕгСг, может ис-
пользоваться в анализе устойчивости, даже если эти члены не являют-
ся положительно определенными и отсутствуют замкнутые кривые по-
стоянной V [500, 508]. Эти функции являются главными функциями
в том же смысле, что и положительно определенные функции Ляпуно-
ва, поскольку явным образом зависят от главных переменных и не
зависят от пути к характерной точке в главном пространстве.

В заключение заметим, что это введение к прямому методу Ляпуно-
ва ограничивается автономными системами. Распространение его на
системы с коэффициентами, зависящими от времени, и постоянно дей-
ствующими возмущениями обсуждается многими авторами (например,
[219, 317, 371]).

§ 7.7. Приложение к реакторным системам

Использование положительно определенных функций при исследо-
вании устойчивости нелинейного реактора было введено Эргеном и Вейн-
бергом [161]. Пользуясь аналогиями с кинетической и потенциальной
энергиями, они рассматривали полную энергию (функцию Гамильтона)
как функцию обобщенных координат и скоростей. В работе [159] эта
функция отождествлялась с функцией Ляпунова.

Классическим примером является модель эффективного времени
жизни с одной переменной обратной связи [уравнения (7.35) и (7.36)]
с различными моделями теплопередачи, определяемыми уравнением
(7.38) или (7.44). В § 7.4 было показано, что случай отвода постоянной
мощности [уравнение (7.38)] допускает существование первого инте-
грала [уравнение (7.40)]. Заметив, что йТ1<11=0) при п=по, проинтегри-
руем уравнение (7.39) при п=По и Т=Гмакс и получим другое выраже-
ние для первого интеграла:

п ~ п° 1п 71?+ 2/'К0

Это выражение также может быть получено непосредственно из урав-
нения (7.40). Замкнутые кривые на рис. 7.14 представляют собой кривые
ПОСТОЯННОЙ Тмакс. ПОЭТОМУ ПОЛОЖИМ

V = п - п0 - п. - 1п ^-+^7^- (7.108}

/40 4 До

откуда

(IV_д,п Пос1п1 аТ д,Т «/учу

(/.ЮУ}

Уравнение (7.108) описывает положительно определенную функцию
в полупространстве п>0. Рис. 7.27 показывает поведение V как функ-
ции п при Т=0. Подстановка уравнений движения (7.37) и (7.38)
в уравнение (7.109) дает с1У1(Н=$, тогда уравнение (7.108) будет функ-
цией Ляпунова, а система устойчивой. Траектории представляют собой
замкнутые орбиты, придерживающиеся кривых постоянной У (см.
рис. 7.14). Поскольку V—>оо при п—>0 или оо и при Т—>^±оо, замкну-
тые кривые заполняют полуплоскость, и система устойчива во всей
полуплоскости.

Используя закон ньютоновского охлаждения (7.44) вместо уравне-
ния (7.38) и подставляя его в уравнение (7.109), получаем

Следовательно, модель эффективного времени жизни с ньютоновским
охлаждением является асимптотически устойчивой в полуплоскости
п>0.

Более общий результат получается при использовании уравнения
(7.37) совместно с

4Т141=Ко (п—по) —/ (Т), (7.111)

откуда

(7.112)

Система, следовательно, асимптотически устойчива для любого закона
охлаждения, при котором Г/(Т)>0 для всех 7^0.

Аналогия с механикой достигается определением координаты

х = —1п (и/по). (7.113)

Из уравнения (7.37) получаем скорость

V =4x141= (аЦ')Т. (7.114)

Уравнение (7.111) может быть записано как

/ /У71 __

По аналогии с ньютоновским законом движения ш(4у14Т) =Е имеется

сила

и масса

^=^(е--1)-/(Г)/Ко
т=1'!аКо-

Кинетическая энергия имеет вид
ту ^2 ®

/с —

Потенциальная энергия определяется как

17(х) =п0[х—ехр(—х)—1 ]п—по—и01п (и/ио),
при этом /7(0)= 0 и противодействующая сила равна —411/4х=
— По [ехр (—х) — 1]. Полная энергия /7+К представляет собой гамиль-
тониан или функцию Ляпунова [уравнение (7.108)]. Член —}(Т) играет

роль рассеивающей силы, а про-
изведение силы и скорости дает
скорость диссипации энергии, оп-
ределяемую уравнением (7.112).
Аналогия, следовательно, полная
и служит для придания некото-
рого физического содержания
идеям метода Ляпунова.

Рис. 7.27. Функция п—п0—п0 1п (п/п0) и
ее приближение первого порядка
(п—п0)2/2п0 (нормированы на п0=1).
Та же самая функция Ляпунова может быть получена другими ме-
тодами. Прежде чем проиллюстрировать это и распространить на за-
паздывающие нейтроны и более чем один канал обратной связи, заме-
тим, что функция Ляпунова может быть построена для случая одного
канала обратной связи посредством приближения мгновенного скачка
[241, 581].

Система определяется уравнениями (7.36), (7.44) и (7.50). Найдем
вспомогательную систему, которая имеет первый интеграл. Сделаем это,
положив у=0 в уравнении (7.44) и отбросив член с1р1с11 в уравнении
(7.50):

(1п _ КаТп

ОТ (п — П0) (3 + аТ) •

Это выражение может быть проинтегрировано как

у = /г_Ло_.йо1п^+2_Г-3?-1п(1 + ^т). (7.115)

Вспомогательная система имеет (IV/11 = 0.

Теперь восстановим член в уравнении (7.50), сохранив у=0.
Находим

<л/

с11

(П — /г0)2

(7.116)

Уравнение (7.115) описывает функцию Ляпунова для области п>0,
Т>—р/а (т. е. р<Р), и, согласно уравнению (7.116), устойчивость в этой

области будет асимптотической. Заметим, что траектория не существует
при п=по и произвольной Т [см. уравнение

Рис. 7.28. Траектории и кри-
вые постоянной V для прибли-
жения мгновенного скачка ре-
активности с ньютоновским
охлаждением [240].

(7.44)]. Напомним, что модель сводится
к модели эффективного времени жизни
(/'=р/Х), когда р и б/р/^4 малы, и что урав-
нение (7.109) давало IV/^=0 для той мо-
дели. Следовательно, мы показали, что мо-
дель однозонного реактора с отводом по-
стоянной мощности (у = 0) делается более
устойчивой при наличии запаздывающих
нейтронов, по крайней мере в области, где
имеет место приближение мгновенного
скачка.

При у>0, уравнение (7.115) принима-
ет вид

IV/11 =——По)2—ау (п—По) Т +

+ Хау Л//Со]/(Р + аТ). (7.117)

Получаем квадратичную форму в терминах
п—по и Т. Согласно теореме Сильвестра
(§ 7.6), сГУШ отрицательно определена и
устойчивость является асимптотической при
условии, что у<С4Л. Если это условие не вы-

полняется, то, используя функцию Ляпуно-
ва [уравнение (7.115)], невозможно сделать вывод о характере устойчи-
вости. По-видимому, какая-либо другая функция Ляпунова могла бы
использоваться для расширения области устойчивости в параметриче-
ском пространстве, но подробно этот вопрос не изучался.
Кривые постоянной функции V и некоторые траектории показаны
на рис. 7.28. Траектории взяты из рис. 7.19. Кривые постоянной V за-
даны как

1П — [у — у0) = --------1п (1 + ех), (7.118)

где х, у и уо определяются уравнением (7.41) и где параметр

8=(аКопо/₽Х)1/2
служит мерой левосторонней асимметрии [ср. с уравнением (7.42) и
рис. 7.14)].

Затем применим метод переменного градиента, используя в каче-
стве первого примера модель ньютоновского охлаждения [уравнения
(7.37) и (7.44)] [581]. Удобно работать с главными переменными Х1 =
= п—По и Х2=Т и пользоваться параметрами 5 = а//' и К=/Со- Уравне-
ния системы будут иметь вид:

йх21(И — Кхг — ух2.

Как предполагалось в уравнении (7.95), пусть

(7.119)

(7.120)

Полагаем ц21 = 012=0 как простейший способ удовлетворения обобщен-
ного условия спирали [уравнение (7.94)]. Затем, согласно уравнениям
(7.96) и (7.119),

(IV/сП=—ац^ПоХ1Х2—0и5Х12х2+022КХ1Х2—022ух22. (7.121)

Чтобы сделать эту форму отрицательно определенной, положим 022>0
и 0и = К022/5(по+Х1). Полагая а>0, примем и 0ц= 1/(/г04-Х1).

Уравнение (7.120) принимает вид

Из уравнения (7.97)

Уравнение (7.122) представляет
(7.108).

Подстановка коэффициентов
что

собой функцию Ляпунова уравнения
в уравнение (7.121) подтверждает,

^=—11 Г 2

сП К 2

в соответствии с уравнением (7.110).

Было показано, что метод Сцего дает такую же функцию Ляпуно-
ва * Метод Айзермана здесь не подходит, поскольку он использует
квадратичную форму с постоянными коэффициентами. Метод перемен-
ного градиента (описанный ниже) предназначался для изучения систем
более высокого порядка.

Рассмотрим сначала точечную модель реактора с одной группой
запаздывающих нейтронов и одним каналом обратной связи через нью-

* Неопубликованные исследования Брема, Аризонский университет, 1968.
тоновское охлаждение:

4п/41=—(аТ + р)пД+Хс,

4с141=$п/1—кс,

4Т/41=К (п—по) —уТ,

где I — действительное время испускания нейтронов. Равновесие имеет
место при п=по, с = Со=$По/к1 и Т=0. Введем главные переменные: Х1 =
— п—По, Х2=с—Со, Хз=Т и параметры со = р// и ^=а//. Уравнения си-
стемы имеют вид:

(/Х1/(// =—(0Х1 + Л.Х2—^(Цо+Х1)Хз, 1

4x2/41=0X1—Хх2, 1 (7.123)

4хз/41=Кх1—ух3. )

Воспользуемся представлением, в котором аг; = 0 для 1=^=]':

й1Л
^22^2

(7.124)

^33^3

Используя уравнения (7.96) и (7.123), находим

4У/41=цц(—(0X1 + Лхг—с, (/м4~Х1) Хз]%1-}-а22 ((0X1—%х2) Х2
+ а33(Кл:1—ух3) х3.

Члены с Х1Х3 стремятся к нулю, если мы выбираем

Пи = Кнзз/^ (по+Х1).

По аналогии с предыдущим примером удобно выбрать

(7.125)

Пц=\/(по~\-Х1), Пзз=^/К.

Уравнение (7.125) принимает вид

(7.126)

Теперь найдем функцию ^22, которая сделает производную 4У/41
отрицательно полуопределенной, положив

^22 (Х2) =Их2)/^(х2).

Мы имеем

г __х^—пох2/ —Х^

22 2

Примем числитель этого выражения равным соХ1—%х2, с тем чтобы по-
лучить точный квадрат. Так как / и § не зависят от Х1, полагаем /=
— 'к/По, Х1&—Х1Ха/=соХ1, откуда

ё = Ю + ^/«0
и

_________1________ 1

22 (соп0А) + х2 Со + х2

Уравнение (7.126) становится

—___по_____((0%! Хх2)2_____2 /7 197)

(11 Л (По + хО (Со + %2) к 3 ’
Градиент имеет вид:

П +

С0 “Н ^2

Интегрируя, получаем

По существу это функция, которая может быть записана как

У = «-«0-/г01п^ + С-с0-с01п-^-+^г7’2 (7.129)

для которой

(IV Пр [((?//) (п — и0) — X (с — Со)]2 __ ат тг

сП А пс К1 *

(7.130)

использовалась многими авторами [251, 426, 500; 501]. Приведенная вы
ше производная получена Бремом.

Теперь мы имеем положительно определенную функцию У и отри-
цательно полуопределенную производную <1У]сН при условии, что п и с
положительны и ^>0 (<х>0). Поскольку п и с не могут изменять знак,
нам необходимо лишь показать, что не существует решения (отличного
от точки равновесия), для которого производная ЗУ/сИ тождественно
равна нулю. Согласно уравнению (7.127), такая траектория должна
удовлетворять условию соХ1=%х2 и х3=0 для всех /. Из уравнения
(7.123) = при этом Х1 = Х2=0 и система асимптотически устой-

чива для га>0, с>0 и а>0. Случай у = 0 требует особого рассмотрения,
однако легко показать, что г/Г/б//=О означает, что либо х3=0, либо
/?о + Х1=О. Поскольку последнее выражение соответствует точке останов-
ки п = 0, которая, разумеется, исключается формой У, устойчивость
остается асимптотической.

Эти условия для асимптотической устойчивости были получены мно-
гими авторами. Наша цель при выводе их методом переменного гра-
диента заключается в том, чтобы предложить пути использования этого
метода для более сложных систем. Проиллюстрируем это с помощью
одной группы запаздывающих нейтронов и двухканальной обратной
связи.

Система уравнений для модели реактора имеет вид:

с!п

<х17'1 4- а272 0

(11

(^ «О? X 1^19

П + Яс,
Выберем главные переменные: Х1 = п—х2 = с—Со, х3=Ть х^Т^ Па-
раметрами будут о>=р/Л 51=а1// и ^2= аг//. Тогда:

б/Х1Дй=—соХ1 + Лх2—(51*з“Ь52*4) (#о + *1),
б/х2/<//;= <0*1----------Хх2,

4/*з/<// = Л'1*1-у 1*3, Кг*!—72*4.

(7.131)

Полное выражение для (IVвыглядит следующим образом:

(IV/сИ^^ ( ац*1 4“ #12X2 + #1з*зН- #14X4) ![—<0*1+

+ Лх2—(51*з 4-$2*4) (#о4-*1)] +

4~1 (#21*14~ #22*2 4- #23*3 4~ #24*4^) (<0X1—Лх2) +

4- (#31*14- #32X2+#зз*з4- #34X4) (Л1Х1—У1Х3) +

+ (#41X1 + #42Х2+ #43X3 + #44X4) (/С2Х1-У2Х4) . (/.132)

Как первый шаг в упрощении этого выражения, разумно исключить
тройные произведения вида Х1Х2*з. Это означает, что #12=#1з = #14=0.
Тогда простейший способ привести уравнение (7.132) в соответствие
с уравнением (7.94) —положить #21 = #31 = #41 = 0. Затем, воспользуясь
предыдущим примером, положим #и=1/(п«+Х1), #22= 1/(<?о+*2).

К этому моменту (IV/(11 еще содержит много произведений Х1Х2, х4хз
и т. д. Учитывая из предыдущего опыта, что полезно пренебречь всеми
ими, за исключением Х3Х4 (перекрестное произведение в квадратичной
функции двух температур), получаем условия:

(ЬзьКл + #42^2 = о, ( / • 1 33)

#2з<о + #зз/С1 + #4зКг—51= 0, (7.134)

#24 <0 + #34X1 + #44^2-52 — о, (7.135 )

#2зА-+ #32^1 = 0, (/.136)

#241А>+ #42^2 = 0. (/.137)

Тогда

(IV______По (<ОХ, — Лх2) 2

А (По + Х1) (Со + Х2)

#33 Гх’А'З (#3171 “Г #4зТг) *3'^4 #44^2*4 •

(7.138)

Градиент имеет вид:

"I ** 1

С о + %2

После интегрирования получим

(7.139)
Условия, выраженные уравнениями (7.133), (7.136) и (7.137), наиболее
легко удовлетворить, если выбрать #23=#32=024=#42=0.

При этом уравнения (7.134) и (7.135) принимают вид:

033^1 + #43^2—51 — 0,

(7.140)

#34-К1 + #44^2----51---0.

(7.141)

Чтобы удовлетворить этим двум условиям и последовать примеру
с одним каналом обратной связи, можно 'было бы принять а34 = #4з=0,
Лзз = 51/^С1 и #44 = 52/^2- Однако эти требования слишком ограничительны;
согласно уравнениям (7.138) и (7.139), не было бы надежды на уста-
новление устойчивости, пока не выполняются условия а<>0 и а2>0 (пер-
вый квадрант на рис. 6.52, 6.56 и т. д.). Вместо этого мы сохраним
уравнение (7.138), как оно есть, и используем уравнения (7.140) и
(7.141), чтобы выразить два из неопределенных коэффициентов в тер-
минах один через другой. С учетом уравнения (7.94), получим:

Затем применим теорему Сильвестра к квадратичным формам в уравне-
ниях (7.138) и (7.139) и, используя уравнения (7.142) и (7.143)., най-
дем, что V является положительно определенной и (ИУ/сИ отрицательно
полуопределенной при условии, что а3з>0 и что

(51^С1+ 527С2) #зз—512> 0

—’ (V1—уг) 2К12#зз2 + [2 (у12+у2з) 51/С1+4угу252/Сг] #зз—
— (У1 + уг) 2512 > 0.

(7.144)

(7.145)

Заметим, что коэффициент а33 не должен быть слишком большим, в про-
тивном случае условие, выраженное уравнением (7.145), не будет вы-
полняться.

Если мы заменим знак неравенства в уравнении (7.145) знаком
равенства, то после ряда преобразований найдем два критических зна-
чения для а3з, между которыми неравенство выполняется:

(7.146)

+ г&кг) (тлк.+тлкл1'2}-

Этот результат имеет смысл лишь в том случае, если оба корня будут
действительными и отличными один от другого. Следовательно, мы
должны иметь

(7151-^14-уг^гКг) (у2517С1 + У1§2К2) >0.

Заметим, что оба множителя обладают в уравнении (7.146) арифмети-
ческим и геометрическим смыслом и что требуется, чтобы азз>0. Каж-
дый множитель в отдельности должен быть, следовательно, положи-
тельным:

?151К1+у252К2>0, (7.147)

У251К1+Т1В2/С2 >0. (7.148)

Вспомнив определения используемых параметров, мы увидим, что урав-
нения (7.147) и (7.148) соответственно идентичны уравнениям (6.130)
и (6. 128). Эти уравнения представляют собой необходимые и доста-
точные условия того, что двухзонный реактор в отсутствие запаздываю-
щих нейтронов линейно устойчив на всех равновесных уровнях мощно-
сти По. Другими словами, мы находимся на пути доказательства того,
что нелинейная двухзонная модель с запаздывающими нейтронами
асимптотически устойчива в большом в той же области параметрическо-
го пространства, для которой линеаризованная система без запаздываю-
щих нейтронов безусловно устойчива (устойчива при всех уровнях мощ-
ности) .

Чтобы закончить настоящее доказательство, необходимо устано-
вить, что положительное число а33 может быть выбрано таким, что бу-
дут выполняться оба неравенства, выраженные уравнениями (7.144) и
(7.145). Это можно сделать, отбросив знак минус в уравнении (7.146)
и заменив множитель два на е, где 0<е<2. Полученное значение а33
удовлетворяет уравнению (7.145) и условию

п (Т1^1^1 4" “Гг^г-^г) 4" Т (Уг^!^! 4" Т1^2^г) /”7 1 ЛО\

«зз > (ъ-ъгкг • (‘ 149>

Если уравнение (7.144) удовлетворяется правой частью уравнения
(7.149), оно будет удовлетворяться любым значением а33 в определен-
ной области. Подстановка правой части уравнения (7.149) приводит
после ряда преобразований к

угу2(^1К14-<^2К2)24- (у151/С1 +72^2X2) (уа^/’^+’уг&Кг) >0,

которое становится справедливым неравенством всякий раз, когда удов-
летворяются уравнения (7.147) и (7.148). Наконец, посредством аргу-
ментов, сходных с теми, которые использовались в примере однозонного
реактора, может быть установлено, что только в точке равно-

весия. Двухзонная система с запаздывающими нейтронами является,
следовательно, асимптотически устойчивой для всех и>0 и с>0 всякий
раз, когда удовлетворяются уравнения (7.147) и (7.148).

Системы с числом зон более двух были рассмотрены также в рабо-
те [159]. Обзор многозонных задач с некоторыми приложениями пред-
ставлен авторами работы [15]. Их функция Ляпунова, обобщение урав-
нения (7.139), может быть записана как

V = Я — По — 01п-^—«30— Сй1п +

++Е А>е’”
/

где — переменные канонической обратной связи, упоминавшиеся ра-
нее в связи с уравнением (7.104). Эта функция есть функция Ляпунова
типа Лурье — Летова, модифицированная для использования в динами-
ке реактора. Критерии устойчивости выражаются через соотношения
между параметрами обратной связи и коэффициентами и Д;.

Условия устойчивости, полученные этими методами, достаточны, но
не необходимы. Как мы видели в гл. 6, двухзонная система без запаз-
дывающих нейтронов линейно устойчива в большей области параметри-
ческого пространства при условии, что равновесная мощность достаточ-
на мала (условная устойчивость). Кроме того, область безусловной ли-
нейной устойчивости расширяется запаздывающими нейтронами. Одна-
312
ко методы, которые мы обсудили, не содержат никакой информации об
этих возможностях. Эти рассмотрения естественно, приводят к предпо-
ложению, что функция Ляпунова уравнения (7.139) содержит больше
ограничений, чем это необходимо. Много ограничивающих предполо-
жений было сделано в ходе применения метода переменного градиента
к этой системе, и, возможно, что более значительные и реалистичные
области устойчивости могли быть получены при использовании других
допущений. Поэтому данный вопрос заслуживает дальнейшего изу-
чения.

Теперь вернемся к другому примеру, который интересен тем, что
иллюстрирует устойчивость в ограниченной области главного простран-
ства. Рассмотрим модель эффективного времени жизни с однозонным
температурным коэффициентом (ньютоновское охлаждение) и мощност-
ным коэффициентом. Согласно работе [137], имеем:

= рп/1, ]

р = р0 — аТ — кп, I (7.150)

Линейная устойчивость этой системы была рассмотрена в § 6.7.
Здесь мы имеем несколько другую запись: штрих у I и индекс у К опу-
щены, и температура Т обращается теперь в нуль, как при остановке
реактора. Условия работы следующие:

р=аТо + 6ло, ^о=уро/(аК + уб),

Т'о = Лро/(аК+у/г),

где ро — реактивность при нулевой мощности. Если выразить уравнения
(6.105) и (6.106) в терминах существующих физических величин, тре-
бования для линейной устойчивости будут иметь вид:

кпо>—у1, (7.151)

а/С+у&>0. (7.152)

Последнее условие выражает требование //(0)>0 [см. уравнение
(6.107)]. Первое выражает возможность условной устойчивости, когда
/?<0 (положительный мощностной коэффициент реактивности).

Попробуем найти условия нелинейной асимптотической устойчивос-
ти с &<0, полагая, что уравнения (7.151) и (7.152) выполняются. Урав-
нениями системы будут:

с1п]си= — [а (Т — То) к(п — /г0)]

сГГ'(11 = К(п — п0) —ч(Т — То).

Функция Ляпунова, постулированная в работе [137], может быть запи-
сана как

V = я - я0 - я01п (п/п,) + <Г~ ~ 'п (л/л»)’2 . (7.154)

Эта функция положительно определена в полупространстве при усло-
вии, что выполняется уравнение (7.152). Находим

---У [к (п - я0)г-|- (я - п0) 1П (я/я)]. (7.155)

Геометрическим местом точек являются начало координат

плюс прямая линия в плоскости п, Т, заданная решением трансцендент-

313

(7.153)
кого уравнения:

у/ 1п (и/по) =——по). (7.156)

Решение п>по существует, если выполняется уравнение (7.151) (асимп-
тотическая устойчивость в малом). Область нелинейной асимптотичес-
кой устойчивости определяется проведением кривой У=сопз1, которая
является одновременно касательной к прямой п=пь где /?1 — корень
уравнения (7.156).

Методика заключается в решении уравнения (7.156) для п = п1у
вычислении Л (значение Т в точке касания) из

1 П

1п----

п0

(7.157Х

Рис. 7.29. Область асимптотической устойчиво-
сти для модели эффективного времени жизни
с одним каналом обратной связи и с мощност-
ным коэффициентом [137].

и затем вычислении Умакс посредством использования значений и 7\
в уравнении (7.154). Уравнение (7.157) получаем, приняв с1У/сИ=0 при
постоянном значении и. Кривая У=УМакс вычерчивается в п, Т-плос-
кости после решения уравнения (7.154) для Т в терминах п и Умакс.

На рис. 7.29 показан пример, в котором /С=50, роД = 6, а//=1, к/1—
——1, у=10. Вычисленные параметры следующие: по= 1,5, Г0=7,5,
/21 = 32,15, Л = 38,15 и УМакс = 26,05. Область устойчивости не включает
в себя ось Т и становится бес-
конечно тонкой, когда Т при-
нимает большое и отрицатель-
ное значение. Конечно, началь-
ная точка в области Т <0
является до некоторой степени
нереальной, так как она соот-
ветствовала бы реактору, ох-
лажденному ниже температу-
ры окружающей среды.

Эта проблема рассматрива-
лась многими авторами и быст-
ро стала классическим тестом..
было показано, что класс функ-
ций, содержащих функцию
уравнения (7.154), может быть
получен методОхМ переменного

градиента и что уравнение (7.154) является особым представителем
этого класса, который позволяет получить наибольшую область устой-
чивости [68]. Другие авторы [137, 252, 273, 483], применяя иные мето-
ды, получили различные области устойчивости. Пока не найден анали-
тический метод, описывающий полную область устойчивости, которая
определяется для приведенного примера расчетом на ЭВМ с исполь-
зованием метода проб и ошибок [473].

Закончим этот параграф двумя примерами, иллюстрирующими
использование главных функций, которые не являются положительно
определенными. Рассмотрим однозонную модель с мощностным коэф-
фициентом, но с учетом запаздывающих нейтронов: в уравнении (7.150)
использовались уравнения (3.1) и (3.2) с 7 = 0 и с обратной связью.
Пусть
Находим

<1УХ_Лп ,Г\(1сх,аТ с1Т _ р0 к 2 аТ 7-2

<И сП ' 1К а1 1 1 1 1К

Поскольку п. и Сг не могут быть отрицательными, имеем 1/1>0 и д,У11с1К
<0 для ро<О, Л>0, а>0; таким образом, эта система после остановки
будет асимптотически устойчивоей в большом (п>0, Сг>0). Можно
легко удостовериться, что другое математически возможное равновесное
состояние имеет отрицательное значение по- Похожую функцию рассма-
тривал Смете [500], чтобы установить этот тип поведения системы для
более общей линейной обратной связи.

Используя эту модель реактора в качестве второго примера, поло-
жим

У2=П-\-^лСг
I

25-яТ’ — 4 /г?- (7.159)

Геометрическим местом точек = 0 являются начало координат
плюс прямая р = 0. Поскольку прямая р = 0 простирается в область п>
>0, трудно судить обо всех возможных значениях п. Однако если
ро>О, существует окрестность начала координат, для которой п>0 и
Следовательно, при положительной реактивности после вы-
ключения реактора все физически возможные траектории, рождающие-
ся вблизи начала координат, направлены от начала координат, и точка
равновесия, соответствующая остановке, становится локально неустой-
чивой.

В литературе можно найти много других реакторных приложений
прямого метода Ляпунова и его вариаций. Важное теоретическое иссле-
дование влияния запаздывающих нейтронов на устойчивость было про-
ведено Поповым [426], использовавшим функции, подобные приведен-
ным в уравнении (7.129). Пример нелинейной обратной связи есть в ра-
боте [499]. Несколько матричных методов сравниваются в [478].

Наконец, подчеркнем одно основное ограничение на использование
прямого метода Ляпунова. Уравнения системы должны соответствовать
форме уравнения (7.58), которое означает для реактора, что обратная
связь не должна содержать в себе транспортное время запаздывания.
Что касается линейных обратных связей, то обратная связь, выражен-
ная уравнением (5.70), представляет собой функцию Грина (импульс-
ная характеристика) линейного дифференциального оператора, т. е.
система линейной обратной связи должна выражаться в виде ряда
линейных дифференциальных уравнений относительно /. Теоретическая
задача, возникающая из-за наличия времени запаздывания, рассматри-
валась Красовским [306]. Обсуждение модификации метода, включаю-
щего время запаздывания [387], как и других методов исследования
нелинейных систем с временем запаздывания [263], выходит за рамки
настоящей книги.

§ 7.8. Ограниченность и устойчивость Лагранжа

Асимптотическая устойчивость гарантирует, что система будучи
возмущенной возвращается к состоянию равновесия. В некоторых слу-
чаях требование асимптотической устойчивости становится излишне
большим ограничением на проектирование и работу системы. Некоторые
315
асимптотически неустойчивые системы удовлетворительно работают дли-
тельное время, пока физические переменные остаются в пределах, опре-
деляемых вопросами безопасности, свойствами материалов или другими
критериями. На практике система может даже не быть устойчивой в ма-
лом; примером этого служит устойчивый предельный цикл, изображен-
ный на рис. 7.21. Известно, что механические часы работают также по
предельному циклу. Конечно, можно установить либо асимптотическую
устойчивость либо ограниченность как свойства математической модели
и все же не в состоянии предсказать безопасную работу соответствую^
щей физической системы. Дополнительная информация о реакции си-
стемы будет необходима, поскольку относительно малое возмущение
может привести к тому, что физическая переменная превысит некото-
рый критический предел, прежде чем вернется к допустимому зна-
чению.

Помня об этом ограничении, найдем математические условия, кото-
рые определяют граничные решения, т. е. решения, для которых член
х(/) уравнения (7.61) имеет конечный верхний предел для всех /, сле-
дующих за начальным возмущением. Когда частное решение или огра-
ниченный класс решений имеют пределы, пользуются термином
ограниченность. Когда все решения ограничены, говорят, что система
обладает устойчивостью Лагранжа.

Сначала рассмотрим общий критерий ограниченности, который был
выведен Акасу. Снова запишем систему уравнений

<1п ____р — р

П ^гС-1.

(7.160)

сП I

Определим функцию V как (V не является функцией Ляпунова)

Используя систему уравнений с ХгСго=РгПо//, получаем

(7.161)

(7.162)

В предыдущем параграфе мы видели, что функция V без интегрального
члена была положительно определенной для п>0, сг>0. При этом
должно иметь место чтобы V было постоянным или монотон-

но убывающим по каждой вычисленной траектории. Расширяя поня-
тия теоремы Ляпунова (§ 7.6), докажем, что все решения ограничены,
если ограничена функция V Поскольку V никогда не увеличивается,
критерий ограниченности может быть установлен как

[ р (Л) [п (V) - п0] (7.163)

—оо

при условии, что начальное значение V ограничено. Тогда при I—>оо
V—и (IV/сП—Ю (полагая V постоянно непрерывной).
Критерий носит весьма общий характер. Реактивность точно не
определена и обратная связь не обязательно должна быть линейной.
Начальное состояние системы до возмущения также не обязательно
должно быть равновесным состоянием. Больше того, можно считать, что
критерий содержит обратные связи с транспортным временем запазды-
вания. В этом случае можно записать уравнение (7.163) для всех физи-
чески допустимых начальных кривых (все возможные кривые мощности
для /<0) и вывести достаточные условия для ограниченности. Разумеет-
ся, если п=по для /<0, нижний предел в интеграле может быть заме-
нен нулем. Строгое рассмотрение этого вопроса проводится в работе
[15]. Ниже мы воспользуемся уравнением (7.163) при выводе частот-
ного критерия устойчивости.

Критерий ограниченности определенных решений (но не устойчиво-
сти Лагранжа) был получен в работе [16]. Взяв за исходное интегро-
дифференциальное уравнение динамики реактора [уравнение (4.31)] и
используя общую линейную обратную связь [уравнение (5.70)], т. е.

р=— у И (I—V) \п (I')—п0](М'=— ^Н(и)[п(1— и) — п0](1и, (7.164)

—оо 0

выделяют для специального рассмотрения все интегральные члены, ко-
торые содержат мощность реактора для /<0. Полагая, что п(1) имеет
экспоненциальный вид, можно решить преобразованное уравнение для
оператора Лапласа по п и исследовать его особенности в 5-плоскости.
Установлено, что преобразуемые по Лапласу решения ограничены, если
Я(5)—оператор Лапласа ядра линейной обратной связи /г(/)—не
стремится к нулю по положительной действительности оси и если
Я(0)>0. Напомним, что А>0 соответствует отрицательной реактивно-
сти, согласно нашей договеренности о знаках. Заметим, что это условие
не является достаточным для устойчивости Лагранжа, поскольку ре-
шения, которые содержат ехр(^2), и решения, которые проявляют
конечное время утечки, нельзя преобразовать по Лапласу. Критерий
был установлен как с запаздывающими нейтронами, так и без них [16].

Проиллюстрируем применение этого критерия для модели двухзон-
ного реактора, описанной в § 6.8 и 6.9. Согласно уравнению (6.119),

#00 = (7.165)

6 I 1 5 “Г 12

/г(7)=Д1ехр (—у1/)+Л2ехр (—*у20> (7.166)

причем Л(/)=0 для /<0, /11 = аг'Л’1 и Эти коэффициенты пред-

ставляют собой параметры несвязанной системы обратной связи [урав-
нения (6.116) и (6.117)]. Уравнение (7.165) может быть записано в фор-
ме уравнения (6.120) и приравнено нулю при 5 = —5. Критерий огра-
ниченности требует, чтобы выполнялись условия 5>0 и (Л1+Л2)^>0.
Исдользуя уравнение (6.121), находим, что все преобразуемые по Лап-
ласу решения этой модели ограничены, если

Л1у2+Л2-у1>0 (7.167)

Л! + Л2>0. (7.168)

С помощью уравнения (6.132) можно выделить соответствующую
область в параметрическом пространстве на рис. 6.52. Область опреде-
317
ляется неравенствами: угХ + у^Х), х + ^>0- Граница области включает
в себя границу статической устойчивости и геометрическое место точек
К—0 [см. уравнения (6.134) и (6.135)]. Искомая область содержит,
следовательно, область безусловной линейной устойчивости в отсутствие
запаздывающих нейтронов плюс ту подобласть условной устойчивости,
где К, коэффициент усиления разомкнутого контура в уравнении
(6.123), будет положительным. Это есть как раз область устойчивых
систем с минимумом фазы обратной связи и с положительным коэффи-
циентом усиления. Поскольку критерий применим и в случае учета
запаздывающих нейтронов, обратимся к рис. 6.56, 6.60 и 6.63. На
рис. 6.56 приводятся единственные случаи условной линейной устой-
чивости, удовлетворяющие новому критерию.

Ниже мы обсудим устойчивые предельные циклы, которые демон-
стрировались для линейно неустойчивых, но ограниченных систем,
показанных на рис. 6.52 и 6.56. Появление таких циклов следует ожи-
дать, хотя мы не должны исключать возможности существования неог-
раниченных решений, которые не преобразуются по Лапласу.

Мы уже рассматривали нелинейную асимптотическую устойчивость
при наличии запаздывающих нейтронов и без них для области линейной
безусловной устойчивости, приведенной на рис. 6.52, используя функцию
Ляпунова из уравнения (7.139). В указанной области обеспечивается,
следовательно, и устойчивость Лагранжа, поскольку это вытекает из
доказательства асимптотической устойчивости. Сказанное применимо
к аналогичной области на рис. 6.56, 6.60 и 6.63.

Необходимое условие для существования решений с конечным вре-
менем утечки также было выведено в работе [16]:

Н (0) = Пт зН ($) < 0 (7.169)

5—>00

при условии, что /г(0) ограничено. Этот критерий является справедли-
вым как с запаздывающими нейтронами, так и без них. Конечные вре-
мена утечки не могут существовать при наличии линейной обратной
связи, если ядро обратной связи не будет первоначально отрицательным
(эффекты положительйого скачка реактивности). Для двухзонной моде-
ли уравнения (7.166) необходимое условие имеет вид:

А+ЛгСО, (7.170)

что соответствует х + г/<0 на рис. 6.52 и на других параметрических
плоскостях. Исключая случаи, лежащие ниже границы статической
устойчивости, конечные времена утечки могут существовать в тех
условно устойчивых системах, для которых К<0. Такими системами
являются системы с обратной связью без минимума фазы и с отрица-
тельным коэффициентом усиления. Конечные времена утечки в линейно
устойчивых системах этого типа без запаздывающих нейтронов были
рассмотрены в работе [481], а при наличии запаздывающих нейтронов
в [16, 467].

Критерий гласит, что конечные времена утечки не могут существо-
вать в тех системах, преобразуемые по Лапласу решения которых огра-
ничены согласно предыдущему критерию. Последнее, однако, не исклю-
чает существования для этих систем других типов нетрансформируемых
решений, подобных ехр(/2). Следовательно, представляется возможным
существование устойчивого предельного цикла совместно с неограни-
ченным решением (например, устойчивый предельный цикл внутри
неустойчивого предельного цикла). Для двухзонной модели уравнения
318
(7.166) такое поведение установлено не было * Теперь обратимся
к нескольким критериям для ограниченности, которые не зависят от
предположения о возможности преобразования по Лапласу и которые,
следовательно, являются критериями устойчивости по Лагранжу. К со-
жалению, критерии неприменимы к системам с запаздывающими ней-
тронами.

Достаточным условием для ограниченности при наличии ядра ли-
нейной обратной связи ив отсутствие запаздывающих нейтронов
будет условие'Н(I) >0 для всех />0 [498, 500]. Для нашего двухзонного
примера при у1>у2 это условие сводится к

Л4+Л2>0, Д2>0, (7.171)

что соответствует х + г/>0, //>0 на рис. 6.52 (при ^<72 меняются индек-
сы). Эта область не включает всех случаев безусловной линейной устой-
чивости, представленных на рис. 6.52, но она устанавливает тот факт,
что не существует неограниченных непреобразуемых решений в области
условной устойчивости, где /С>0 (в отсутствие запаздывающих нейтро-
нов). Применение этого критерия к случаю двух зон с мощностным
коэффициентом можно найти в работе [501].

При учете мощностного коэффициента в Н (5) вводится постоянный
коэффициент к, а в ядро обратной связи Л(^)—соответствующий член
кЬ(1), т. е. Н(8)=кН,(8)г к(1) =к6(1) где ограничено.

В работе [16] показано, что все решения без запаздывающих нейтронов
ограничены, если: 1) ЛД/) ограничено и интегрируемо, 2) изменение
мощности для /<0 ограничено и интегрируемо в пределах от —оо до 0
и'З) & + /71($)>0 для всех 5 на действительной оси. В той же работе
показано, что случай /С=0 является ограниченным, если изменение
мощности для КО ограничено и интегрируемо и если

(11'^0 (7.172)

для всех 1^0. Последнее условие было также выведено Сметсом [503,
505] * ** Лри применении критерия (7.172) к двухзонной модели (7.166)
получают как раз условия (7.167) и (7.168). Другими словами, в отсут-
ствие запаздывающих нейтронов все решения ограничены в области
безусловной линейной устойчивости и в области условной устойчивости,
для которой /С>0. Это расширяет область, определяемую уравнением
(7.171), включая в нее линейно устойчивые системы с Д2<0. При этом
учитываются все случаи нелинейной асимптотической устойчивости для
двухзонной модели в отсутствие запаздывающих нейтронов. К сожале-
нию, неясно, как учесть запаздывающие нейтроны в этом частном кри-
терии для устойчивости Лагранжа. Пример двухзонной модели без за-
паздывающих нейтронов (т. е. модели эффективного времени жизни)
представлен на рис. 7.30. В нем использованы параметры из рис. (6.132)
и (6.118). Разумеется, ограниченные или асимптотически устойчивые
решения могут существовать и вне указанных областей, поскольку эти
области получены из условий, которые являются достаточными, ио не

После того как был написан этот параграф, критерий для ограниченности [16]
был установлен без ограничения на решения, преобразуемые по Лапласу [507]. Кроме
того, было показано, что А(0)<0 является достаточным условием для существования
решений с конечным временем утечки.

** Это ограничение было недавно снято Сметсом [507].
необходимыми. Неустойчивая область такая же, как и на рис. 6.52, т. е.
нелинейная система неустойчива при всех начальных возмущениях,
включая малые возмущения при любом уровне мощности По- Тот же ри-
сунок подходит для двухзонной системы с запаздывающими нейтрона-
ми, за исключением одного обстоятельства: область, которая ограниче-
на, но не является асимптотически устойчивой в большом, должна быть
охарактеризована как ограниченная для всех решений, которые можно
преобразовать по Лапласу *.

Напомним другой подход к устойчивости Лагранжа [317], основан-
ный на развитии прямого метода Ляпунова. Соответствующая теорема
гласит: если функция V положительно определена и должным образом
непрерывна во всем главном пространстве и если б/УД// отрицательна
всюду за пределами некоторой ограниченной области, окружающей
начало координат, то система обладает устойчивостью Лагранжа. При-
ложение этой теоремы к реакторам можно найти в работе [211], в ко-
торой показано, что двухзонный реактор без запаздывающих нейтронов
обладает устойчивостью Лагранжа, когда удовлетворяются условия
уравнений (7.167) и (7.168), как это показано на рис. 7.30.

С устойчивостью Лагранжа тесно связан вопрос об оценке разме-
ров области асимптотической устойчивости для линейно устойчивой си-
стемы, которая не является асимптотически устойчивой в большом. Мы
уже видели примеры этого на рис. 7.24, 7.25 и 7.29, использующие пря-
мой метод Ляпунова. Существуют и другие методы, классический при-
мер которых приводится в специальных заметках Акасу [13].

Наибольшего успеха в этом направлении добился Шоткин, кото-
рый развил и применил идею, выдвинутую Малкиным [356]. Сущность
предложенного метода заклю-
чается в том, что любая линей-
но устойчивая система облада-
ет доминирующей канониче-
ской координатой, связанной
с наименьшим отрицательным
собственным значением (или
комплексной парой канониче-
ских координат, связанной с

доминирующей парой комп-
лексных собственных значе-
ний) . Эти доминирующие соб-
ственные значения принадле-
жат члену или паре членов в
линеаризованном решении
(экспоненциальный спад или
затухающие колебания), кото-
рое при /—>оо должно исчез-
нуть последним. В этом смыс-
ле эти доминирующие члены
представляют собой асимптоти-
ческие решения линеаризован-
ных задач.

Сначала находят диагональ-
ное преобразование линейной

системы. Если комплексная пара собственных значений является домини-
рующей, удобно выбрать такое преобразование, чтобы связанные канони-
320

Ограниченные
решения

№+№ = 0

#1*+12У = 0

Неустойчивые
решения

Рис. 7.30. Характеристики нелинейной устойчи-
вости для реактора с двумя каналами обрат-
ной связи и без запаздывающих нейтронов
(модель эффективного времени жизни), исполь-
зующие параметрическое пространство -из
рис. 6.52 (области для ограниченных и асимп-
тотически устойчивых решений, полученных из
достаточных, но не необходимых условий).

Возможно
конечное
время утеики

Асимптотическая
устойчивость
в большом
ческие переменные были комплексно сопряженными друг с другом. За-
конченная нелинейная система выражается тогда рядом канонических
переменных. Затем ищут нелинейное преобразование, которое определяет
доминирующую переменную (или доминирующую пару) в терминах
всех оставшихся переменных, чтобы исключить все недоминирующие
координаты. Это преобразование обычно имеет вид степенных рядов,
начинающихся с членов с показателями степени по меньшей мере два
в недоминирующих координатах. Коэффициенты в рядах определяются
подстановкой рядов в нелинейные канонические уравнения и приравни-
ванием членов одного порядка. В случае доминирующего действитель-
ного собственного значения результатом будет дифференциальное урав-
нение первого порядка с доминирующей канонической координатой.
Граница устойчивости этой системы первого порядка будет тогда пока-
зателем величины возмущения, которое может быть допустимо без на-
рушения устойчивости в исходной нелинейной системе. Как обычно бы-
вает в приближениях по степенным рядам, точность и расчетный труд
увеличиваются с ростом числа членов ряда. Конечно, если система
асимптотически устойчива в большом, это не удастся определить окон-
чательно с ограниченным числом членов в нелинейном преобразова-
нии.

В качестве примера рассмотрим систему второго порядка, опреде-
ляемую уравнением (7.21) и изображенную на рис. 7.9 и 7.24. Из-за
устойчивого узла в начале координат эта система уже имеет канони-
ческий вид:

д,х1(И = — 2х ху,
с1у/(И = — у + ху.

(7.173)

Поскольку доминирующая координата — у, воспользуемся преобразо-
ванием

Х=АУ2+Ву3+ (7.174)

Взяв производную по времени по х из уравнения (7.174), подставив
уравнение (7.173) и исключив х с помощью уравнения (7.174), по-
лучим

—2 А у2+! (А—2В )у3+Ву^=—24 у2—ЗВ у3+24 V + (7.175)

Пренебрегая равновесным решением 4=В = 0, из членов, содержащих
у3 и у\ находим 4=—1/2 и В = 1/2. Тогда уравнение (7.174) примет
вид:

1 2 , 1 3 ,
х=-— у + — У +

Из уравнения (7.173) имеем

(1у;<и=—у —у3 4- Ц-</4 + —

(7.176)

(7.177)

Уравнение (7.177) представляет собой дифференциальное уравне-
ние первого порядка для доминирующей канонической переменной у.
Когда сохраняются члены по г/4 включительно, правая часть уравнения
стремится к нулю в точке равновесия и при у= 1,696 (единственное
действительное решение кубического уравнения по у). Заметим, что
<0 для —оо<г/< 1,696. Это условие является, следовательно, гра-

ницей устойчивости уравнения (7.177) в этом приближении.

21—8 37 321
Подстановка максимального значения у в уравнение (7.176) дает
х=1. Мы приходим к выводу, что точка с координатами х=1, у— 1,696
близка к пределу неустойчивости системы, что подтверждается рис. 7.9
и 7.24. На самом деле эта точка лежит даже внутри окружности на
рис. 7.24.

Подобная информация, особенно когда она сочетается со знанием
местоположений соседних неустойчивых критических точек, очень по-
лезна при анализе сложных нелинейных систем. Разумеется, эта ин-
формация не дает полного описания картины; когда доминирующее соб-
ственное значение действительное, получают лишь одну точку на аппро-
ксимированной границе устойчивости.

Если доминирующей является комплексно сопряженная пара, то
получают двумерную кривую в главном пространстве. В этом случае,
исключив недоминирующие координаты, имеем два канонических урав-

нения:

(7.178)

где %1 = х*2 и 51 = 5*2. Следуя работе [63], найдем решение в терминах
двух зависимых от времени функций А и 0 (представляющих амплиту-
ду и фазу):

х, = Ле/в+ Д3и2 (0) + А3и3 (6) + .... (7.179)

где ип — периодические функции 9. Полагая 51 = 6+)со, примем, что

ал/а*=М + В2Л2+В3А3 + ...,
аь/м=<« + й2л + й3дз +...

(7.180)

После подстановки и сравнения коэффициентов при одинаковых
степенях Л получим дифференциальное уравнение для Л, аналогичное

п г

50 -

Расчет на ЭВМ

----Расчет

X по
^О(/РЛяпунову

0(Л*)

О 20 40 60 80

Рис. 7.31. Границы устой-
чивости для модели
эффективного времени
жизни с одним каналом
обратной связи и с мощ-
ностным коэффициентом
[483].

уравнению (7.177). Максимально допустимое для
сохранения устойчивости значение Л определяет-
ся при с1А/сИ = 0.

Используя уравнение (7.179) с %2 = х*1, най-
дем уравнения для %1 и х2 в терминах параметра
0, которые дают аппроксимированную границу
устойчивости. После обратного преобразования
к исходным главным переменным эти пере-
менные становятся параметрическими уравнения-
ми для двумерной кривой в главном пространст-
ве. Применение этого метода к системам второго
порядка наиболее наглядно, поскольку кривая
максимума Л представляет собой приближение
к полной двумерной границе устойчивости.

Великолепный пример этого метода — прило-
жение его к системе второго порядка [уравнение
(7.150)], описывающей реактор с одним каналом
обратной связи и мощностным коэффициентом

[483]. Границы устойчивости для первых двух приближений показаны на
рис. 7.31. Случай, обозначенный 0 (Л2), соответствует «з(0) =0. Проведе-
но сравнение с границей устойчивости по Ляпунову, показанной на
рис. 7.29, и с границей устойчивости, вычисленной на ЭВМ (обратите
внимание на логарифмическую шкалу для п). Аналитические приближе-
ния занижены, особенно если принять во внимание, что ЭВМ показывает
322

Т
устойчивость при значениях Т много больше 1000 для п<100 [124]. Как
упоминалось в § 7.7, другие методы определения границ для этого при-
мера обсуждаются в работах [137, 252, 273].

Хотя объем вычислительной работы для систем высокого порядка
может быть весьма большим, описанный метод имеет некоторые важные
преимущества. Он применим к связанной линейной системе, может ис-
пользоваться как с линейной, так и с нелинейной обратной связью и не
вызывает каких-либо опасений по поводу возможности преобразования
по Лапласу или возможности существования конечного времени утечки.
Кроме того, нелинейное преобразование можно рассматривать как урав-
нение частного решения траектории в том смысле, что уравнение
(7.177) действительно вдоль кривой, заданной уравнением (7.176). Это
наводит на мысль о применении метода для оценки поведения системы
вблизи неустойчивой критической точки [483]. Например, с помощью это-
го метода можно выбрать разделяющую траекторию, которая выходит
из точки седла, и оценить ее поведение под влиянием нелинейных эф-
фектов.

§ 7.9. Частотный критерий устойчивости

Достаточный критерий для асимптотической устойчивости ядерного
реактора с произвольной линейной обратной связью был выведен Бел-
тоном [584, 585]. Этот параграф посвящается в первую очередь новому
выводу критерия Белтона *. Описывается также вывод критерия Бел-
тона, опубликованный Сметсом [497, 500]. Упоминаются несколько воз-
можных вариантов этого критерия и делаются попытки найти полезные
обобщения.

Рассмотрим функцию V, определенную уравнением (7.161). Ее про-
изводная по времени при использовании уравнений точечного реактора
задается уравнением (7.162). Выбрав р = —р/ в уравнении (7.163), мож-
но записать критерий для ограниченности как

1 = у р/(Г) [/г (Г) — ^0. (7.181)

—ОО

Тогда для /—*оо, как описывалось в предыдущем параграфе, V—>
—*Уо=О и (IV 1(11—>0. Мы не будем пытаться применить здесь теорему
Ляпунова, которая бы ограничила форму ядра обратной связи и была
бы сложной для использования из-за интеграла, который появляется
в уравнении (7.161). Вместо этого заметим из уравнения (7.162), что
(IV/(II—>0 предполагает

—КгСг—>0. (7.182)

Из уравнения (7.160) следует, что (1Сг1(11—>0. Итак, если п и Сг явля-
ются однородно непрерывными, уравнение (7.182) предполагает

—°- (7.183)

V и? ь и?

* Этот вывод [15] получен совершенствованием более раннего метода Акасу и
Далфеса [14].

21* 323
Поскольку йс^сИ—И), имеем б/п/б//—>0. Затем из уравнения (7.160)
получим

I <1 _ Р „

(11 ' (11 I

Производные стремятся к нулю и р/г—>0, и поскольку п—>0 не совме-
стимо с ограниченной V, получим р—>0 и п—^константа. Если эта кон-
станта является равновесным значением «о, система асимптотически
устойчива. Следовательно, можно сделать вывод, что система будет
асимптотически устойчивой в большом, если удовлетворяется уравнение
(7.81) (/^>0) и если обратная связь такова, что р = —ру—>0 предпола-

гает п—

Эта методика не подходит, если отсутствуют запаздывающие ней-
троны, так как производная с1У[сП вдоль траектории равнялась бы ну-
лю. В этом случае можно сделать заключение об ограниченности, но
не об асимптотической устойчивости. Как следствие, реактор, испыты-
вающий периодические колебания в отсутствие запаздывающих нейтро-
нов, становится асимптотически устойчивым с запаздывающими нейтро-
нами при условии, что удовлетворяется уравнение (7.181) (/>0).

Для завершения доказательства критерия Велтона используется
линейная обратная связь [уравнение (5.70) или (7.164)}:

Ру (I) = ул (I— и) \п (и) — /г0] с!и.

—оо

Из уравнения (7.181) имеем

Н (V — и) х (и) йи х (V) 41',

где х=п—по. В качестве верхнего предела внутреннего интеграла удоб-
но взять /. Это можно сделать, так как /г(/'—«)=0 для I'—м<0, как
отмечалось в § 5.5. Следовательно, внутренний интеграл не дает вклада
в / в области Тогда

Н(? — и)х (и) (1и

—ОО

х(1')(11г.

(7.184)

Кроме того, нам необходимо частотное представление для Н(1).
Преобразование Лапласа имеет вид:

Я(5)=р(0е-«‘Л.

Поскольку к (I) = 0 для / < 0, можно записать

Н(з)=

—оо

или

—оо

Обратное преобразование Фурье можно представить как

оо

А(0=гг Iя(Я

—оо

(7.185)
Это и есть требуемое представление, и уравнение (7.184) приобретает
вид:

После преобразования получаем уравнение

б/<0,

которое может быть записано как

оо
1==^- уно»)।н»12
—ОО

где } 0®) = у х ((’)

—оо

Уравнение (7.186) имеет вид:

ОО

1 = 2п~ У Iя + н (- Я11I (>) 12 а<°-

(7.186)

Как и в § 2.7, полагаем, что линейная обратная связь характеризуется
уравнением Н(—] <») = Н* (]<»), и, следовательно,

ОО

] = С н о®) | ((>)|2 а<о.
I* I

(7.187)

Согласно уравнению (7.187), /^>0 при условии, что Ке//(](о)^О
для всех ш. Из уравнения (7.181) достаточное условие для ограничен-
ности имеет вид:

Ке Я(»^0 (7.188)

для всех со.

Наконец, чтобы установить асимптотическую устойчивость, необхо-
димо показать, что п,—*По при р—*0. Другими словами, нам необхо-
димо уметь определять, что х—>0 при I—>оо всякий раз, когда

Нт Г/г(^ — и)х(и)с1и = 0. (7.189)

/->ОО V
—00

Для этого обратимся к теореме Винера в форме Питта [591]; если:
1) /г(0 абсолютно интегрируемо в пределах —оо</<оо, 2) х(1) огра-
ничено, 3) (1x1(11 больше некоторой отрицательной константы,
4) Я0(о)#=О и 5)

Кт
/->00

Н (I — и) х (и) с1и = А

©О

Н (и) с!и,

(7.190)

то

Кт х (I) А.

>оо

(7.191)

Первые три условия удовлетворяются для ограниченных, физически
реальных систем. Применим теорему, положив А=0 и Л(/)=0 для /<0,
с тем чтобы уравнение (7.190) свелось к уравнению (7.189). Тогда до-
статочное условие для асимптотической устойчивости в большом прини-
мает вид:

РеЯ(»>0 (7.192)

для всех со. Это условие известно как критерий Велтона, который вы-
вел его [584, 585], использовав механическую аналогию.

Условия, согласно которым уравнение (7.188) может также пред-
полагать асимптотическую устойчивость (т. е. критерий Велтона, вклю-
чающий знак равенства), рассмотрены в [15]. Мы не будем углубляться
здесь в этот вопрос, за исключением следующего замечания: нельзя
сделать заключение об устойчивости, если Ре//(]а>) меняет знак. Часто
бывает (и это легко продемонстрировать для двухзонной реакторной
системы), что Не 77 (] со) является четной функцией со, которая может
исчезать при со = О, и что /7(]со) является нечетной функцией, которая
исчезает при со=О. Но последнее соответствовало бы 77(0) =0, а для
этого случая не существует единственной точки равновесия и, следо-
вательно, нет асимптотической устойчивости. Поэтому мы примем урав-
нение (7.192) как достаточное условие для асимптотической устойчи-
вости (критерий Велтона без знака равенства).

Другой точки зрения придерживался Смете [497]. Рассмотрим
функцию

V, = П — Па — Яо 1П («/«<,) + 2 [Сг — Сго — Сго 1п (сг/сго)]. (7.1 93)

Из уравнения (7.160)

- «») - 2 ("Г п - (7’194)

Используя уравнение (7.164) и полагая х = п—п0, интегрируем уравне-
ние (7.194), чтобы найти

ОО ОО

К(оо)-И, (0) = -4-И (и) х(1 — и) х (/) с!исИ —

б о

(7.195)

Рассмотрим действительную часть передаточной функции:

Ре Н (]<») = Ре у Н (/) е—/г (/) соз шйЙ.
о о

Если эта часть неотрицательна для всех со, интеграл в первом члене
правой части уравнения (7.195) соответствует энергии, рассеянной пас-
сивной линией задержки (положительная или нулевая задержка). Эта
энергия — необходимо неотрицательная. Подынтегральное выражение во
втором члене положительно для п>0, Сг>’0, если не выполняется усло-
вие д,Сг1сИ={) для всех Л при котором интеграл равен нулю. Следова-
тельно, условие У1(0) ^УДоо) ^0 определяет ограниченность.

Однако интегралы в уравнении (7.195) не существуют, если не удо-
влетворяются условия х—>0, п—>п,о и Сг—Следовательно, устойчи-
вость должна быть асимптотической. Случай /7(0)= О необходимо ис-
326
ключить, поскольку не существует единственной точки равновесия. По-
этому можно сказать, что асимптотическая устойчивость обеспечивается
при условии, что система линейной обратной связи ведет себя подобно
пассивной линии задержки, для которой КеЯ(]'(д)>0 для всех (о=Н=0, и
при условии, что Я(0)>0. Для большинства случаев критерий эквива-
лентен критерию Велтона, определяемому уравнением (7.192).

Критерий Велтона содержит только параметры обратной связи и не
зависит, следовательно, от наличия или отсутствия запаздывающих ней-
тронов. В качестве простейшего примера рассмотрим модель однозон-
ного реактора с ньютоновским охлаждением. Из уравнений (7.36) и
(7.44) находим:

Я(к9)=аК0/(5+у),

Я(» = аК01=_1“ (7.196)

Поскольку а — единственный параметр, который может изменять знак,
критерий Велтона удовлетворяется, если а>0. Это то же самое условие
для асимптотической устойчивости, которое было установлено для мо-
дели эффективного времени жизни с одной группой запаздывающих
нейтронов в § 7.7.

Для модели двухзонного реактора воспользуемся уравнением
(7.165), чтобы найти

Г>„ __ ^1Т2 (-4гТг 4~ 1) “Ь V: + -^гТг) п 1

кеп (й>2 + Т12) (<02_|_ъ2) •

Согласно критерию Велтона,

А 1^2+ А^у 1"> 0,

А1У1Ч-А2У2 >0.

Первое требование, относящееся к статическому коэффициенту мощно-
сти, Я(0)>0, обсуждалось в гл. 6 [см., например, уравнение (6.128) или
(6.134)]. Последнее условие необходимо для безусловной линейной
устойчивости модели эффективного времени жизни (без запаздывающих
нейтронов) [см. уравнение (6.130) или (6.136)]. Таким образом, крите-
рий Велтона для модели двухзонного реактора с запаздывающими ней-
тронами или без них является тождественным по отношению к необ-
ходимым и достаточным условиям для линейной устойчивости при всех
равновесных уровнях мощности в отсутствие запаздывающих нейтро-
нов. Эти условия будут также условиями для асимптотической устойчи-
вости в большом при наличии одной группы запаздывающих нейтронов,
как было установлено в § 7.7 при построении функции Ляпунова с по-
мощью метода переменного градиента [см. уравнения (7.147) и (7.148)].
Область устойчивости показана на рис. 7.30. Для этой частной модели
обратной связи от применения критерия Велтона мы выиграли только
переход от одной группы запаздывающих нейтронов к нескольким груп-
пам. Отметим также, что область в параметрическом пространстве для
асимптотической устойчивости в большом не изменяется. Другие про-
стые примеры обсуждаются в задачах, прилагаемых в конце главы.

Критерий Велтона играет важную роль в понимании устойчивости
нелинейного реактора. Критерий устойчивости Попова [427] обладает
наибольшими преимуществами в нелинейной теории регулирования. По-
скольку, к сожалению, модель реактора с запаздывающими нейтронами
не может быть представлена в стандартной форме Попова, критерий
327
неприменим к системам с запаздывающими нейтронами. Этот критерий
упоминается здесь только потому, что он часто приводится в литерату-
ре, но не всегда с надлежащим указанием об ограничениях его исполь-
зования.

Система, исследуемая Поповым, имеет вид:

бЬсг7<Н = 3 аИхэ + Ы (а)>
/ (о),1

(7.198)

Как и в уравнении (7.100), /(о)—характеристическая функция, опи-
сывающая нелинейность. Уравнения (7.100) и (7.198) связаны между
собой простым линейным преобразованием [322], и любая система ото-
бражает ядерный реакГор посредством преобразования о=1п(п/по) при
условии, что пренебрегается запаздывающими нейтронами.

Критерий формулируется следующим образом: достаточное условие
для асимптотической устойчивости в большом системы, определяемой
уравнением (7.198), заключается в том, что для всех действительных
значений со существует такое число ^^0, что

Не[ (1 + ](о?) К (;<о) ] >0,

(7.199)

где —передаточная функция для линейной части (передаточная
функция по замкнутому контуру от выхода { к входу о нелинейности).
Можно показать, что для линеаризованной реакторной системы К(з)
имеет вид О (5) Н(з). Поскольку запаздывающими нейтронами прене-
брегается, мы заменим К(5) на Н(з)/8 и получим первый критерий
Попова для устойчивости реактора: реактор с линейной обратной связью
и без запаздывающих нейтронов является асимптотически устойчивым
в большом, если для всех действительных значений со существует такое
число р>0(р=1/7), что

Ке/7(](о) + (р/со) 1гп//(](о) >0.

(7.200)

В качестве упражнения легко показать, что уравнение (7.200) будет
более ограничительным для простой модели двухзонного реактора, чем
критерий Велтона. Другие приложения критерия Попова обсуждаются
в работе [328], связь с функциями Ляпунова — в [274, 322]. Авторы ра-
боты [416] построили с помощью метода Кальмана функцию Ляпунова
для двухтемпературной модели без запаздывающих нейтронов. Прямой
вывод уравнения (7.200) из интегрального уравнения динамики реакто-
ра приводится в [15]. Однако первым, кто не только вывел, но также
и утвердил в качестве критерия частотный критерий устойчивости для
ядерных реакторов, содержащих запаздывающие нейтроны, был, по-ви-
димому, В. П. Попов [428]. Мы будем называть этот критерий вторым
критерием Попова для устойчивости реактора. Весьма сложное дока-
зательство было проведено в работе [15]. Достаточный критерий для
асимптотической устойчивости имеет вид:

| 01 (» рКеЯ(» +г[Ке62(» + 1/(Л2—А±)}<0 (7.201)
для всех (о, где

~ 1+л.о («) н («)’ (7.202)

62 (5) =01 (5) Н (5) (7.203)

и где /11 <1 и Лг> 1—неотрицательные параметры, описывающие об-
ласть уровней равновесной мощности, для которых связанная линейная
система устойчива. В частности, Ао=п'оМо> где Ио — равновесная мощ-
ность и п'о — другая равновесная мощность для той же системы. Оче-
видно, что величина Аг не должна превышать где иКр — критиче-
ская мощность, при которой линейная система теряет устойчивость
(если такая существует). Заметим также, что г=0 соответствует крите-
рию Велтона.

Этот критерий представляется многообещающим ввиду возможно-
сти исследования условно устойчивых систем. Кроме того, применение
критерия позволяет оценить границы допустимых возмущений в систе-
мах, которые не являются асимптотически устойчивыми в большом.
К сожалению, критерий труден в использовании, за исключением про-
стых специальных случаев.

Когда г—*оо, А—Ч) и Аг—>оо, уравнение (7.201) принимает вид:

Ке[6(>)Я(>)]>0 (7.204)

для всех со, что соответствует достаточному критерию, выведенному ав-
торами работы [37]. Этот критерий довольно ограничительный, по край-
ней мере для простых случаев, в чем можно убедиться при исследова-
нии нескольких диаграмм Найквиста (см., например, рис. 6.38 и 6.39).

Частотный критерий устойчивости, сходный со вторым критерием
Попова [уравнение (7.201)], был предложен в работе [224]. Комментарии
к нему можно найти в [272, 142] *.

Следует сказать несколько слов предостережения относительно
частотного критерия устойчивости. Вывод такого рода критериев обычно
опирается на допущение, что все решения имеют экспоненциальный вид.
В случае критерия Велтона затруднений не возникает, поскольку га-
рантируется, что все системы, удовлетворяющие этому критерию, имеют
только ограниченные решения. Однако уравнение (7.201) должно опре-
деляться особыми случаями, которым присуще такое явление, как ко-
нечное время утечки. Это бывает неудобно, поскольку многие интерес-
ные случаи, для которых характерна условная линейная устойчивость,
одновременно удовлетворяют необходимому условию для существования
конечного времени утечки. Это условие, выведенное в работе [16] и
выраженное нашим уравнением (7.169), применимо ко всем условно
устойчивым системам без минимума фазы, которые изучались нами
в § 6.8 и 6.9. Когда в указанной модели учитываются запаздывающие
нейтроны, почти все случаи условной устойчивости будут этого типа
(см. рис. 6.56, 6.60 и 6.63). Очевидно, что дальнейший прогресс в ис-
пользовании этого критерия будет зависеть от обнаружения полезных
достаточных условий для отсутствия конечного времени утечки.

* После того как был написан этот параграф, был опубликован новый частотный
критерий устойчивости [507]. Этот новый критерий, по-видимому, устанавливает асимп-
тотическую устойчивость в большом для условно устойчивых систем с определенным
минимумом фазы при низкой равновесной мощности.
Другое ограничение заключается в том, что многие частотные кри-
терии устойчивости (за исключением критерия Велтона) выведены для
систем обычных дифференциальных уравнений по времени. Это исклю-
чает возможность определения транспортных времен запаздывания, ко-
торые не могут быть рассмотрены в таких моделях.

§ 7.10. Нелинейные колебания

Предельные циклы, которые упоминались в этой главе, являются
периодическими решениями систем уравнений, и вполне естественно по-
думать о преобразованиях Фурье. Это окажется полезным не только
при исследовании предельных циклов (автономные колебания), но так-
же и при поисках нелинейных поправок к передаточной функции (реак-
ция системы на вынужденные колебания).

Связь предельных циклов с нелинейной устойчивостью иллюстри-
руется рис. 7.21 и 7.22. Устойчивый предельный цикл может существо-
вать в системе, которая линейно неустойчива. При этом малое возму-
щение вызывает нарушение равновесия, которое возрастает до тех пор,
пока нелинейность не становится ощутимой. Все вычисляемые траекто-
рии приближаются по форме к замкнутой орбите, и поэтому можно го-
ворить об «орбитальной асимптотической устойчивости». Это явление
характерно для систем, которые линейно неустойчивы, но устойчивы по
Лагранжу (все решения ограничены).

С другой стороны, линейно устойчивая система может быть неус-
тойчивой при больших возмущениях; критическим примером такого слу-
чая является неустойчивый предельный цикл. Поэтому поощряются по-
иски аналитических критериев для существования автономных периоди-
ческих решений в нелинейной системе. Когда такой критерий найден,
предполагают возможность существования устойчивого предельного
цикла, если связанная линейная система неустойчива, или неустойчивого
предельного цикла, если линейная система устойчива. Однако это не
дает полной картины, поскольку существуют такие понятия, как кон-
центрические гнезда предельных циклов (например, устойчивый пре-
дельный цикл внутри неустойчивого предельного цикла). Может также
иметь место полуустойчивый предельный цикл (например, точка устой-
чивости, окруженная таким предельным циклом, что все решения как
внутри цикла, так и снаружи, исчезают со временем). Эти возможности
обсуждались в работе (18], однако было показано, что в реакторных си-
стемах с линейной обратной связью и бёз эффектов транспортного за-
паздывания указанные явления не наблюдаются.

Краткое представление вынужденных колебаний большой амплиту-
ды дано в конце § 3.3. С другой стороны, можно пользоваться понятием
модифицированной передаточной функции, обычно именуемой «описы-
вающей функцией», которая содержит нелинейные коррегирующие чле-
ны, зависящие от амплитуды. Мы рассматриваем здесь эту функцию,
поскольку она тесно связана с преобразованием Фурье предельного
цикла. При выводе функции используются по существу те же уравне-
ния, что и уравнения предельных циклов, описывающие особые случаи,
и единственное реальное различие — другой подход.

Одним из первых применил ряды Фурье в динамике реактора Рам-
сей [453], который получил поправку первого порядка к передаточной
функции посредством представления коэффициентов Фурье плотности
нейтронов в терминах коэффициентов периодического ввода реактивно-
330
сти. Такой же по существу подход использовал Нел кин [392]. Оба авто-
ра были согласны с тем, что необходимо воздействовать на отрицатель-
ную реактивность для поддержания постоянных колебаний, но не при-
знавали необходимости различия между уровнем равновесной мощности
и мощностью, усредненной по времени. Влияние отрицательной реак-
тивности на большие колебания было исследовано также в работе [11],
однако в ней не учитывалась обратная связь по реактивности.

Последовательный ряд уравнений для вынужденных осцилляций
с учетом изменения мощности был получен Сандмайером [460]. Обзор
более ранних работ включен в диссертацию Вассермана [576], в которой
обсуждается связь с обычно используемым методом описывающей функ-
ции. Другой подход предложен в диссертации Лаубера [319]. На раз-
личие между «прямым» и «непрямым» методом вывода описывающей
функции указано в (502, 503]. В последней работе предлагается также
применить ряды Фурье к колебаниям, но при этом рассматривались
лишь устойчивые предельные циклы.

Сравнительно недавно описывающая функция ядерного реактора
исследовалась с помощью метода ВКБ (квазиклассический метод Вен-
целя— Крамерса — Бриллюэна, см. § 3.7) в работе [538]. Было сделано
заключение, что ранние формулировки являются неполными.

Торлин [551], используя схему повторений, вывел формулу для ве-
личины первой гармоники автоколебаний реактивности, предполагая,,
что реактивность определяется одной гармоникой, а мощность — двумя.
Он признал возможность существования как устойчивых, так и неустой-
чивых циклов. К сожалению, частная модель, которую он выбрал для
иллюстрации, была проанализирована в его работе неправильно. Мето-
дика Торлина заключается в следующем: получив формулу для вели-
чины Фурье составляющей в терминах частоты <о, найти области в па-
раметрическом пространстве, которые одновременно соответствуют дей-
ствительным положительным значениям со2 и величине составляющей
Фурье.

Новый вклад в теорию описывающих функций сделали Акасу и
Шоткин [18, 19]. Они успешно доказали отсутствие неустойчивых пре-
дельных циклов для случая линейной обратной связи без запаздываю-
щих нейтронов (модель эффективного времени жизни). Краткий обзор
описывающих функций дан также в работе [561].

В настоящее время известны неустойчивые предельные циклы с ли-
нейной обратной связью и запаздывающими нейтронами. Пример таких
циклов, в которых используется приближение низкого порядка, приво-
дят Хетрик и Шмидт [244]. Приближения более высокого порядка вме-
сте с убедительным доказательством посредством численных расчетов
на ЭВМ можно найти в работах [467—469]. Аналитическое доказатель-
ство того факта, что запаздывающие нейтроны обусловливают воз-
можность существования неустойчивых предельных циклов с линейной
обратной связью, обсуждается в работах [485, 486].

Продолжим вывод выражения для описывающей функции, кото-
рая содержит в определенной последовательности две первых гармони-
ки и сдвиги по реактивности и уровням мощности. Затем, основываясь
на тех же предположениях, получим значения первых гармонических
составляющих по реактивности и мощности для автоколебаний и проил-
люстрируем, как с их помощью находят предельные циклы. Начиная
с интегро-дифференциального уравнения из § 4.4 мы можем пренебречь
схемой повторений, используемой Шмидтом и Торлином, и непосредст-
венно получить окончательный результат для случая двух гармоник по
реактивности и мощности.

Начальную точку дает уравнение (4.31) с <7=0:

ОО

-Т 5Г = -у «(0 + Г 1« «(010 (и) аи, (7.205)

где О — ядро запаздывающего нейтрона (вероятность испускания) из
уравнения (4.27) и рис. 4.2:

о (() = -у = 2 . (7.206)

ГР(«)Л4=1. (7.207)

Уравнение (7.205) можно записать как

^=-|- П. (0 - П (0 + У п(1 -и) О (и)Ли. (7.208)'
о

Положим

=26, СО8®Н- але,1ю1 (7.209)

= 1 + у] Ате1т“, (7.210)

—оо

где а_к=а*ь, А_т=А*т, включая & = 0 и /п=0. Для вынужденных ко-
лебаний и со даются как параметры, при этом

2ЬХ соз ехр (— ]'«>/) + Ь1 ехр (]»?) (6_ х = 6,),

где — действительное число. Для автоколебаний полагаем &1 = 0,

а со считаем неопределенным.

Подставляем уравнения (7.209) и (7.210) в уравнение (7.208), пом-
ня, что

У п(1 — и) О (и) с1и = пй + «о 2 ,

0 т

где 2) (5) —преобразование Лапласа от !)(/) и где мы сокращаем бес-
конечное суммирование, используя простую переменную с индексами.

Приравнивая коэффициенты членов в одинаковых гармониках и учи-
тывая, что двойная сумма 2 2 аг(г+5) дает вклад в /п-ю гармонику

Г 8

только в случае, если г + 5 = т, находим

[1—75 (]'/п<») + Ат = ат + (7.211)

когда 61 = 0. (Если 61=/=0, мы заменяем а-1 на и на 01+^1.)

Определим

7гп=2(]‘/исд) = 1—2>(]/пш) 4-]тсо//р

(7.212)
и установим передаточную функцию реактора низкой мощности из урав-
нения (3.56):

6(]тсо) = (тг0/р)2'-1(]тй)). (7.213)

Теперь мы имеем возможность использовать уравнение (7.211), от-
брасывая третью и более высокие гармоники. Для /п=0, учитывая, что
7(0) = 0, находим

Для т = 1

0 — Цо+2Кб01Д*1 + 2&1КсД1 + ооДо + 2Кс02Д*2- (7.214)

А А — <21 +/?1 + 0*1Д2+#оД 1 + 01До + #2^4*1 + (До+Дг) •

(7.215)

Для т = 2

А 2^2 = (22 + 01Д1 + Ь1Д1 + <2оД 2 + О^тА 0- ( 7.216)

Учитываются все первые и вторые гармоники. Следующий шаг заклю-
чается в том, чтобы установить вероятные порядки величин перемен-
ных членов.

Мы допускаем, что и Д1 имеют одинаковый порядок величи-
ны. Далее полагаем, что 0о, До, 02 и А2 все имеют порядок 012. Однако
дальнейшие допущения такого рода приведут, по-видимому, к противо-
речиям. Таким образом, мы имеем последовательные приближения:

0 = 0о+2 Ке Л1Д1* + 2^1 Кс Д1,

приведенное к порядку 012,

Д171 = 01 + ^ь (7.218)

приведенное к порядку 012 и

Д272==02+01Д1 + ^1Д1, (7.219)

приведенное к порядку 012. Далее воспользуемся уравнениями (7.217) —
(7.219), чтобы вывести приближенные выражения для членов более
высокого порядка в основной формуле уравнения (7.215).

Первый важный результат получается после подстановки уравне-
ний (7.218) и (7.219) в уравнение (7.217):

а0=—2|Д1|2Ке2ъ (7.220)

приведенное к порядку а±2. Однако передаточная функция реактора ма-
лой мощности имеет действительную часть только в том случае, если
учитываются запаздывающие нейтроны. Следовательно, если запазды-
вающие нейтроны не рассматриваются, то сдвиг отрицательной реактив-
ности отсутствует.

Далее заметим, что члены высшего порядка в уравнении (7.215)
могут быть аппроксимированы таким образом, что аа, Д< и А2 не будут
содержаться в правой части уравнения. Аппроксимирующие соотноше-
ния имеют вид:

а„ = - 2 [| а. |а + 6, (6,4-21?е а.)] ₽е 7Г1,

= (а. 4" ,

Аа=[а1 + (а1 + Ь,У^1]2-1

(7.221)

(7.222)

(7.223)
Уравнение (7.215) может быть записано как

Л,7, = (а, + 6,) {1 + Ло — [2 | а, |2 + 26, (6, + 2 ₽е а,)] X

X 2~х Ре 2~х } + (а,* + 6,) [(а, + б,)2^1 2~х + а2 (2^ + 2~х )]. (7.224)

Это законченное уравнение со всеми первыми и вторыми гармониками,
включенными должным образом.

Наша цель заключается в том, чтобы выразить правую часть урав-
нения (7.224) в терминах и передаточных функций. Для этого необ-
ходимо исключить из нее аь аг и Ло. Обратная связь выражается по-
средством

О-т—• -^СтпЛтпл (7.225)

где Кт=К(] пин) = (по/$)Н(] т(д). Нам необходимы три соотношения:

#о=—/СоЛо, а±=—/С1Ль аг——К2Л2,

(7.226)

где Ко— (по/₽)^(О). По-видимому, будет проще вернуться к уравнению
(7.215) и с помощью уравнений (7.217) — (7.219) для аппроксимации
членов высшего порядка представить обратную связь в данной точке.
Некоторые промежуточные выкладки дают:

Л„ = 21 А |2К7' ₽е 2„ (7.227)

А' = г, + к7' (7-228)

Аг = л„ (7.229)

^2 I" А2

причем все эти соотношения используются только при аппроксимирова-
нии членов высшего порядка. Обратим внимание на то, что сдвиг
в усредненной по времени мощности исчезает при отсутствии запазды-
вающих нейтронов, согласно уравнению (7.227). Заметим также, что
уравнение (7.228) представляет собой линейное приближение (переда-
точная функция по замкнутому контуру) , так как

Уравнение (7.215) дает

Л121=(^1—4Л)|б, (7.231)

где

Это уравнение выражает описывающую функцию реактора *.

Согласно уравнению (7.228), линейное приближение имеет вид:

Л171=^1—Л1КЪ (7.233)

который соответствует описывающей функции для малого Ь1. Поскольку
из уравнения (7.231)

л, _

1 + /г'сж, ’

(7.234)

* Возможный источник недоразумений состоит в том, что в традиционном анализе
описывающей функции предполагают, что вторая гармоника будет пренебрежимо малой
после возвращения из контура обратной связи. Это допущение, по-видимому, не отве-
чает требованиям реакторных систем.
описывающую функцию первого порядка можно представить в виде
структурной схемы, приведенной на рис. 7.32.

Комбинация уравнений (7.220) и (7.228) приводит к выражению
до = - 12.*+/,> (7.235)

представляющему собой, как установлено, отрицательную компоненту
установившейся реактивности, которая должна получаться на выходе
системы. Для модели эффективного времени жизни эта компонента
равна нулю. В отсутствие обратной связи уравнение /(7.235) становится
а0 = — 26? Яе 2?112. (7.236)

В приближении мгновенного скачка реактивности это уравнение при-
нимает вид:

а0 = —26?, (7.237)

что соответствует уравнению (3.69) с А — ао и В = 2Ь1. Используя урав-
нение (7.236) с запаздывающими нейтронами и /=#0, можно легко по-
казать, что уравнение (7.237) остается
действительным для

Эта описывающая функция, оче-
видно, ограничена малыми амплиту-
дами и двумя гармониками. Третья
гармоника не делает вклада порядка
-а?, поэтому амплитудное ограничение
является доминирующим.

Описывающая функция применя-
ется для вывода нелинейных попра-
вок к линейной устойчивости при
использовании диаграммы Найквиста.

Интерпретируя уравнение (7.234) как модифицированную передаточную
функцию по замкнутому контуру, мы видим, что предел неустойчивости
соответствует

с0$ со I

Рис. 7.32. Структурная схема для
представления описывающей функ-
ции (линейной системе соответствует

Поэтому точку (—1) заменяют геометрическим местом точек —1/Ф
(различным для каждой амплитуды Ь±) и делают заключение об устой-
чивости из его местоположения относительно геометрического места
точек ОН.

Чтобы исследовать автоколебания, полагают 61 = 0 в уравнении
(7.224):

(7.239)

Далее приравнивают 61 = 0 в уравнении (7.221) и, используя уравнение
(7.226), получают:

Л = 21 а, I2 Л71 Ее 7Г1 (7.240)

И, наконец, положив 6г=0 в уравнении (7.223), с помощью уравнения
{7.226), получают:

а, = - Д.Д-Г Д.2- (7.241)

^2 “г ^2
Уравнение (7.226) используется для исключения Ль Из уравнения
(7.239) вытекает уравнение, которое может быть решено для |П1|2:

(7.242)

Аналогичная операция для | |2 приводит к

|А|2 =

1-Ь27~1К1
[_2(Х7-‘+№) Ее г.+К-^1 (1+К2}Х2) (1+^‘К,)-]'

(7.243)

Заметим, что эти амплитуды стремятся к нулю, когда 71~1А1 =— 1, что
соответствует ОН=—1 (резонанс или критическая мощность). Следо-

Рис. 7.33. Параметрическое пространство со спа-
ренной двухканальной обратной связью, демон-
стрирующее случаи для нелинейных исследований
(т]1=0,5; •г]2=0,25; т]3=0,2 сек~х; %=0,1 сек-'; (3 =
=0,01; Ь =100°С/(Мет• сек); а1=3,33-10~7 1/°С и
о>2=5,33 • 10~7 1 /°С — мгновенно-положительная и
отрицательная по запаздывающим нейтронам
обратная связь).

вательно, можно ожидать,
что эти уравнения будут по-
лезны вблизи критичности,
где амплитуды, если они су-
ществуют, малы.

Затем потребуем, чтобы
правые части уравнений
(7.242) и (7.243) были дей-
ствительными и положитель-
ными.

Д л я этого не обход и м о
наличие действительных чи-
сел, что приведет к исчезно-
вению некоторых многочле-
нов в со2. Тогда отбрасывают
все корни со2, которые не яв-
ляются действительными и
положительными. Остаю-
щиеся корни проверяются
затем в соответствующем
выражении для амплитуды
[уравнение (7.242) или
(7.243)], и те из них, кото-
рые дают положительные
числа для обоих квадратов
величин, признаются соот-
ветствующими предельным

циклам.

Описанная методика
приводит обычно к много-
членам высокой степени в
со2, которые должны решать-
ся численно для каждого ря-
да параметров [467]. Про-
стой пример, модель двух-
зонного реактора с эффек-

тивным временем жизни, дает квадратичную форму многочлена в со2,
если членами, входящими в Аг, пренебрегают в уравнениях (7.242) и
(7.243). Этот пример, который приводится в указанной работе, пред-
сказывает наличие устойчивых предельных циклов. Однако предсказан-
ная область чрезмерно велика, а модель слишком проста, чтобы быть
убедительной. Мы включили этот расчет в раздел упражнений, посколь-
ку он очень показателен.

Другой простой пример, модель двухзонного реактора с одной груп-
пой запаздывающих нейтронов в приближении мгновенного скачка, мож-
но найти в работе [244]. Этот пример неполон и неубедителен, посколь-
ку используется только уравнение (7.242) и пренебрегается членами,
входящими в Л2 * В данном случае находится кубическое уравнение
в со2, коэффициенты которого могут быть исследованы аналитически при
изменениях знака в действительных корнях. Это уравнение — одно из
первых опытных предсказаний существования неустойчивых предельных
циклов в системах с запаздывающими нейтронами. Оба эти примера
приводятся также в обзорной работе [245].

Мы выбрали несколько примеров, которые используют уравнения
(7.242) и (7.243) со всеми их членами, из работы [467]. На рис. 7.33
показано параметрическое пространство для двухзонной связанной си-
стемы, определяемой
уравнением (6.156) и
отличной от системы
на рис. 6.70. Согласно
уравнению (6.159), эта
система без минимума
фазы и с отрицатель-
ным коэффициентом
усиления, при этом

—0,2. Увеличение
равновесной мощности
По соответствует движе-
нию наружу вдоль ра-
диальной прямой по-
стоянной

Рассмотрим снача-
ла модель эффективно-
го времени жизни. Ам-
плитуды реактивности и

(7.243), показаны на рис. 7.34 как функции равновесной мощности по-
Обе амплитуды, которые стремятся к нулю при критической мощности,
положительны при значениях мощности выше критической и отрица-
тельны при меньших значениях, что предполагает существование устой-
чивого предельного цикла в линейно неустойчивой области. Это под-
тверждается расчетами на ЭВМ, представленными на рис. 7.35 и 7.36
(обозначенные соответственно как случаи 1 и 2 в параметрическом про-
странстве, показанном на рис. 7.33). Траектории представляют собой
проекции на плоскость и, 7\ (мощность при соответствующей темпера-
туре быстрой области). Рис. 7.35 демонстрирует линейно устойчивую
систему. Обратим внимание на сепаратрису, идущую от точки останов-
ки (седловая точка) к рабочей точке (устойчивый фокус). На рис. 7.36
изображена линейно неустойчивая система, и сепаратриса, выходящая
из точки остановки, обвивает устойчивый предельный цикл. Оба рисунка

Рис. 7.34.
новесной

Амплитуды колебаний, соответствующие рав-
мощности для модели эффективного времени
жизни.

вычисленные из

* Это следует из уравнения (7.17) работы [551].
22—837
показывают возможность существования неустойчивых решений при
больших возмущениях.

Амплитуды реактивности и мощности для одногруппового приближе-
ния мгновенного скачка приведены на рис. 7.37. Обе амплитуды поло-
жительны ниже критической мощности, указывающей на неустойчивый
предельный цикл. Траектории для случая 3 на рис. 7.33 изображены на
рис. 7.38. Можно предположить существование сепаратрисы между

Температурах 10'^

Рис. 7.35. Траектории в плоскости п, 7\
для случая 1 (линейно устойчивая мо-
дель эффективного времени жизни, По=
= 180 Мет). Крайние температуры не-
реальны, поскольку были приняты ма-
лые коэффициенты реактивности.

-Ю8 О 108

ТемпературахЮ'^ °С

Рис. 7.36. Траектории в плоскости п, Т\
для случая 2, изображающие устойчи-
вый предельный цикл (линейно неустой-
чивая модель эффективного времени
жизни, По=27О Мет).

устойчивой и неустойчивой областями, но она, по-видимому, не будет
замкнутой кривой.

Отметим также траекторию, выходящую из точки остановки; она,
очевидно, неустойчива (ср. с рис. 7.35 и 7.36).

Неустойчивый предельный цикл проявляется как цикл, приближаю-
щийся к критической мощности снизу. Это видно на рис. 7.39 (случай 4
из рис. 7.33). Между устойчивой и неустойчивой областями подразуме-
вают существование такой сепаратрисы, что неустойчивая траектория
может обвиваться вокруг замкнутой кривой произвольное число раз,
прежде чем уйдет в бесконечность.

Первый пример реактора с таким поведением был обнаружен
в работе [16] и описан как пример существования конечного времени
утечки в линейно устойчивой системе. До последнего времени этот при-
мер полностью не признавали в качестве устойчивого предельного
цикла.

По мере того как увеличивается уровень мощности, неустойчивый
предельный цикл становится меньше. Он исчезает при критической мощ-
338
ности в соответствии с рис. 7.37, и выше критической мощности в этой
частной системе предельных циклов не существует. В действительности,
когда используется двухканальная линейная обратная связь, единствен-

ные предельные циклы,
наблюдаемые с запазды-
вающими нейтронами,
имеют место в случаях,
показанных на рис. 6.56 и
6.68, где существуют два
критических уровня мощ-
ности, соответствующих
неустойчивой области <в
параметрическом прост-
ранстве. Наличие этой об-
ласти предсказывается

Рис. 7.37. Амплитуды колебаний, соответствующие
равновесной мощности для приближения мгновенно-
го скачка реактивности.

амплитудными уравне-
ниями [467].

Поиски предельных
циклов быстро становят-

ся утомительными. Ана-

лиз большого числа случаев привел к выводу, что уравнения (7.242) и

(7.243) достоверны вблизи критической мощности, но что в других слу-

чаях они имеют тенденцию предсказывать предельные циклы в слишком

Рис. 7.38. Траектории в л, 71-пло-
скости для случая 3 (линейно устой-
чивая система в приближении мгно-
венного скачка реактивности, «о=
= 150 Мет).

Рис. 7.39. Траектории в п, 71-плоско-
сти для случая 4, демонстрирующие
неустойчивый предельный цикл (ли-
нейно устойчивая система в прибли-
жении мгновенного скачка реактив-
ности, «0=1,83 Мет).

широких пределах. На рис. 7.38 показан пример, в котором неустойчи-
вый предельный цикл явно раскрывается в бесконечность при уменьше-
нии равновесной мощности. Более того, существуют случаи, где ампли-
тудные уравнения предсказывают неустойчивые предельные циклы, но
22* 339
где область их существования (сразу под критической мощностью) бу-
дет, по-видимому, чрезвычайно малой. Это, однако, не исключает не-
устойчивости в линейно устойчивых системах такого типа. Поведение
системы, показанное на рис. 7.38, является, по-видимому, совершенно
обычным для систем без минимума фазы.

Интересно отметить, что уравнения (7.242) и (7.243) предсказывают
существование подгармонических колебаний, которые, однако, не наблю-
дались. Это связано с тем, что обе амплитуды стремятся к нулю, когда
^2-1Л2= — 1. По-видимому, это является нефизическим проявлением
приближенного аналитического рассмотрения.

В заключение напомним, что приближение мгновенного скачка ре-
активности служит полезным представлением для систем с запаздываю-
щими нейтронами. При этом следует использовать соответствующие на-
чальные условия, чтобы объяснить быстро спадающую переходную ха-
рактеристику, которой здесь пренебрегают [см. уравнение (3.10)]. Воз-
можное приближение к мгновенной критичности могло бы вызывать
сильное беспокойство, но для систем на рис. 7.38 и 7.39 это исключает-
ся благодаря контролю реактивности. Однако при использовании этого
приближения, необходимо проявлять осторожность, делая заключение
о наличии конечного времени утечки, быстро возрастающее решение
может указывать лишь на приближение к мгновенной критичности, и
для изучения элементарного поведения системы будет необходима бо-
лее совершенная модель.

На этом мы закончим рассмотрение устойчивости реактора и об-
ратимся к пространственно-зависимой динамике реактора. Некоторые
ссылки на пространственно-зависимые эффекты по устойчивости приво-
дятся в следующей главе, однако изучение этих эффектов выходит за
рамки этой книги.

Задачи

7.1. Найдите собственные значения и собственные векторы для матрицы

и покажите, что

(является диагональным преобразованием.

7.2. Найдите собственные значения и собственные векторы для матрицы

разованием.

и покажите, что

является диагональным преоб-

7.3. Выведите уравнение для интегральных кривых из уравнения (7.21) и рис. 7.9.

7.4. Найдите собственные значения и собственные векторы для матрицы коэф-
фициентов, полученной линеаризацией уравнения (7.26). Покажите, что

является диагональным преобразованием.

7.5. Покажите, что интегральные кривые для уравнения (7.26) задаются урав-
нением (7.28).

7.6. Исследуйте систему

(1x1(11=—х+ху,

йу1(И=—у+ху

в плоскости х, у. Получите выражение для сепаратрисы между устойчивой и неустой-
чивой областями.

7.7.. Вычислите углы, под которыми интегральные кривые приближаются или^поки-
дают точки равновесия уравнения (7.34).
7,8. Исследуйте систему

(1х](11 — —ху,

д,у!(11=х—ху

в плоскости х, у.

7.9. Исследуйте систему

(1x1(11=—ху,

(1у!<и=х—2у,

•изобразив траектории в плоскости х, у (точка равновесия — полуузел, полуседло).

7.10. Исследуйте систему

(1х!(11=у—х,

(1у!(11= (а—х)у, а^О

в плоскости х, у. Обратите внимание на связь с рис. 7.16 и 7.17, когда а=Л0. Нарисуй-
те траектории для критического случая а=0 и установите физический смысл этого слу-
чая. (Строгое рассмотрение устойчивости критической системы этого типа можно найти
у Ди Пасквантонио [141].)

7.11. Покажите, что модель эффективного «времени жизни с ньютоновским охлаж-
дением и а<0 имеет седловую точку при п=п^ и узел устойчивости при п=0.

7.12. Дана модель реактора:

(1п!(11 = п,

р=—аТ+еТ2,

(1Т1'(И=К(п—по)—уТ.

Найдите и классифицируйте точки равновесия и сделайте заключение об устойчивости.

7.13. Исследуйте модифицированную систему, соответствующую уравнению (7.51),
когда значением р в левой части уравнения (7.50) пренебрегается.

7.14. Найдите параметры для линеаризованной системы, соответствующей урав-
нениям (7.54) и '(7.55), и выведите условие для существования затухающих колеба-
ний.

7.15. Проверьте условие для существования колебаний, заданное уравнением
(7.57).

7.16. Начертите несколько спиральных траекторий для уравнения ’(7.'67).

7.17. Покажите, что интегральные кривые для уравнения (7.69) определяются
уравненияем (7.73). Нарисуйте несколько траекторий в плоскости х, у.

7.18. Найдите эллиптическую область асимптотической устойчивости для уравне-
ния (7.21), используя У-функцию уравнения (7.77).

7.19. Исследуйте систему уравнения ‘(7.81) <в плоскости х, у для двух случаев:
<х= 1 и а = 4.

7.20. Исследуйте систему

(1х{(11 = —х+2х2у,

(1у!(11=—у

в плоскости х, у. Покажите, что функция Зубова

Г у2 х2 1

17 = 1 — ехР | 2 2 (\—ху} ] *

Дайте точную границу устойчивости ху=\ [219].

7.21. Сделайте подробные выкладки относительно применения метода переменного
градиента к двухтемпературной модели с одной группой запаздывающих нейтронов
[уравнения (7.131) — (7.149)].

7.22. Рассмотрите систему уравнений (7.153), которая имеет однотемпературную
область и мощностной коэффициент. Покажите, что существует траектория, которая
приближается к п=А+ВТ для больших п и Т. Нарисуйте несколько изоклин для слу-
чая, приведенного на рис. 7.29, и покажите, что п=А+ВТ приближается к сепаратрисе
между устойчивой и неустойчивой областями. Установите полубесконечную устойчивую
область.
7.23. Проверьте уравнение '(7.162) для

7.24. Примените критерий ограниченности уравнения (7.172) к двухтемпературной
модели и установить связь результата с параметрическим пространством, изображен-
ным на рис. 7.30.

7.25. Используя двухтемпературную модель, выразите каждое из следующих усло-
вий в виде границ в параметрическом пространстве, показанном на рис. 7.30:

оо

сП' = 0;

Н (0) = 0;

(1Н
Ил

/=0

7.26. Примените метод доминирующих канонических координат к системе, опре-
деляемой уравнением (7.34).

7.27. Примените метод доминирующих канонических координат к системе

Лх/(И——2х+2у,
йу{(Н=—х—ху.

7.28. Проверьте уравнение (7.197) и рассмотрите применение критерия Велтона
к двухзонной модели.

7.29. Примените критерий Велтона к модели с одной зоной и мощностным коэф-
фициентом.

7.30. Примените первый критерий Попова (уравнение (7.200)} к двухзонной моде-
ли. Покажите, что критерий Велтона будет менее ограничительным в этом случае.

7.31. Проверьте амплитудные уравнения предельного цикла (уравнения (7.242) и
(7.243)].

7.32. Примените уравнения (7.242) и (7.243), пренебрегая членами с /Сг, к двух-
зонной модели реактора с эффективным временем жизни.
ГЛАВА 8

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ
НЕЙТРОННАЯ
ДИНАМИКА

§8.1 . Введение

В этой последней главе рассматриваются в основном три вопроса:
вывод точечной модели реактора из теории переноса нейтронов, опи-
сание некоторых методов, используемых в пространственной динамике
реакторов, и краткое введение в теорию нейтронных импульсов и волн.
Каждый из этих вопросов заслуживает гораздо более тщательного рас-
смотрения; в частности, важная и трудная область пространственной
динамики реакторов развивается в последние годы очень быстро. Однако
наша цель — дать несколько основных положений и стимулировать ин-
терес к дальнейшему изучению.

/Многие важные темы только бегло упоминаются. Более того, при-
шлось отказаться от попытки составить исчерпывающую библиографию
в связи с трудностью задачи. Особое внимание обращено на некоторые
обзорные статьи, содержащие большую библиографию, и можно на-
деяться, что это послужит частичной компенсацией за недостатки и
упущения.

§ 8.2. Уравнение переноса

Транспортное уравнение Больцмана применительно к реактору мо-
жет быть записано следующим образом:

-^-Ф(г, у,04-У-\7Ф(г, V, I) = — (г, о,/) Ф (г, У,0 +

4- у2.(г, V' —V, /)Ф(г, V', +^х(»)(1 — ?) ^2/ (г, V', О Ф (г, V', 0 Лг'+

+ (г> Ь’ + 5 <г> у>

(8.1)

где Ф — зависящая от направления плотность потока нейтронов, такая,
что Ф(г, V, 1)с1г1(1ч — увеличенное в V раз число нейтронов в 6-мерном
элементе объема фазового пространства г/п/у в точке г со скоростью V
в момент времени 5/, и 2/— соответственно макроскопические
сечения по всем столкновениям, рассеяния, изменяющего скорость ней-
трона от у' до V, и деления; %(а) и %г(у)—соответственно функции
распределения по энергии для мгновенных и запаздывающих нейтронов;
среднее число мгновенных нейтронов на деление равно (1—0)у; X* и
Сг — соответственно постоянная распада и плотность предшественников
запаздывающих нейтронов 1-й группы; 5 — внешний источник нейтро-
нов.
Интегралы в уравнении (8.1) являются тройными интегралами по все-
му пространству скоростей нейтронов. Явная зависимость сечений от
времени указана для возможности учета внешних возмущений или об-
ратных связей. Полное сечение имеет размерность обратной длины,
а другие записанные здесь сечения — размерность обратной длины на
единицу объема в пространстве скоростей. Член с градиентом может
быть перемещен в правую часть. Тогда член с частной производной бу-
дет представлять собой скорость изменения плотности нейтронов в фа-
зовом пространстве, состоящую из шести членов: потерь нейтронов
вследствие утечки и столкновений, притока нейтронов за счет рассея-
ния при других скоростях, притока мгновенных и запаздывающих ней-
тронов и вклада от внешнего источника.

Предполагая, что предшественники запаздывающих нейтронов не-
подвижны, мы можем записать

р/гЕ/ (г, V', I) Ф (г, V', 0 ау'—^С; (г, 0. (8.2}

Уравнения (8.1) и (8.2) легко распространяются на системы с более
чем одним изотопом топлива: надо добавить член в %(1—р)т2; и систе-
му для запаздывающих нейтронов, соответствующую каждому изотопу.
Следуя Генри [232] и Кипину [290], постулируем существование фи-
ктивного состояния равновесия при 5 = 0 и Ф = ф8(г, V). Чтобы получить
равновесное состояние с теми же параметрами, что и в уравнении (8.1)
в любой заданный момент, необходимо ввести фиктивный коэффициент
размножения к8. Запишем:

к, [(*/») • △?, (г, V) + (г, V)— (г, V' — V) <р8 (г, V') =

= Я< 1 - ₽) X (?) + Йй (Я)] (г, V’) (Г, V') ау', (8.3)

где в левой части сгруппированы все члены, не связанные непосредст-
венно с делением и для оценки С; использовано уравнение (8.2)
с дСг1д^=0.

Уравнение (8.3) может быть символически представлено в виде:

О [?8] = 68?8,

(8.4)

где О представляет собой сложный интегро-дифференциальный опе-
ратор, а к8— собственное значение, соответствующее собственной функ-
ции ф8 (если оно существует). Действительно, это есть символический
способ представления «собственных функций реактивности» или «лямб-
да-мод» [105, 280]. Спектр собственных значений может быть дискрет-
ным или непрерывным, или и тем и другим. Будем считать, что сущест-
вует «основная мода» — собственная функция фо, соответствующая наи-
большему собственному значению к. Последнее эквивалентно допуще-
нию, что решение уравнений (8.1) и (8.2) может быть записано в виде:

ф(г, V, 0 = 3/5(0 <Мг, V)

(8.5)

и что член с фо представляет собой полезное приближенное решение
при малых отклонениях от равновесного состояния. Заметим, что
/о(0*Фо(г, у) может быть полным решением лишь в случае, если пере-
менные разделяются по пространству и времени (так же, как и по
344
скорости и времени). Определение ср0 как «основной моды» аналогично
процедуре, использованной для диффузионного уравнения в § 1.2, где
предполагалось существование решения с разделяющимися переменны-
ми .V(г, I) =р(г) п(1) и { определялась как основная мода — собственная
функция уравнения Гельмгольца. Использование модальных расшире-
ний, подобных уравнению (8.5), для решения задач с неразделяющимися
переменными является основой большинства методов в пространствен-
ной динамике реакторов. Как мы увидим, может быть использовано
много разных типов собственных функций. Конечно, оснований считать,
что произвольно построенная система собственных функций является
полной илил ортогональной, нет, как и гарантии того, что временные
коэффициенты могут быть найдены. Обычный способ состоит в допуще-
нии биортогональности и введении сопряженных функций <р8+. Согласно
Морсу и Фешбаху [382], введем уравнение, сопряженное уравнению
(8.3), путем изменения знаков первых производных и перестановки V
и V' в ядрах интегральных операторов. Уравнением для основной мо-
ды — сопряженной функции ср0+ — является

к{— (г- у) + Е/?п+ (г, V)—V —у')?и‘7г, у')</у'] =';

-= ][(!-₽) X (И + Ж// (О')] 'г, V) (г, у') ау’ (8.6)

Положим, что к и поперечные сечения в уравнении (8.6) зависят от
времени, причем сечения те же, что и в уравнении (8.1). Умножим урав-
нение (8.1) на фо+(г, V) и проинтегрируем повеем г и V; умножим урав-
нение (8.6) на Ф(г, V, /) и проинтегрируем по всем г и V; возьмем раз-
ность полученных уравнений. Интеграл по г берется по некоторому
фиксированному объему, содержащему систему. Поскольку граничное
условие для сопряженной функции произвольно [382], выберем:

У У(у/р) • «V ф + ф\7 ?о+) = °>

где знак двойного интеграла означает интегрирование по шестимерному
фазовому пространству.

Интегрирование и вычитание облегчаются тем, что в некоторых
интегралах переставлены местами V и V'. После некоторых преобразо-
ваний окончательно получим:

4^ = ^г, V, к, _ в х +

+ <»')] ^Е/Фо'пЛ^у' — уур>0+ (г, V') (°')1 уЕ/ФЛ^уйу'-|-

?о С17л (») лгау + уу?0+ загау, (8.7)

где без аргумента записаны функции от г и V (но не V') и где зависи-
мость 2/ от времени все еще есть, но не указана.

Прежде чем продолжить, отметим, что последнее преобразование
является методом теории, возмущения, в котором уравнение (8.1) —воз-
мущенная в некоторый момент система и уравнение (8.6) — невозму-
щенная система, такая, что <ро+ мало меняется пр малых изменениях к
и поперечных сечений. Таким образом, можно надеяться, что во всех

+ Ж уу
этих преобразованиях имеется физический смысл. С этой точки зрения
чисто формально введем:

Ф(г, V, 0=«(0ч>(г, V, /). (8.8)

Очевидно, что уравнение (8.8) не содержит новых допущений. Обычно
п(/) называют амплитудной функцией. Она отражает наиболее сильные
изменения во времени и может быть идентифицирована с п(/), введен-
ной в предыдущих главах, если другие величины интерпретируются со-
ответствующим образом. Функция ср (г, V, /) называется функцией фор-
мы; общий случай, когда ср содержит время, называется случаем с не-
разделяющимися переменными. Таким образом, имеем:

(8-9)

Из уравнений (8.7) — (8.9) находим:

Л У ’Ро' <г> у') К1—?) X (0')+2&Х* (»'>]

(1п _ к — 1 I

сП к П

УУУ <г’у') (2^

] У(То+?/0

У У То" -ЗскАч

У У То*6*1X1 (у) ^у
^(?оУ0 ^йГу

У](?о'?/0 ^у

— п 1о$ [ ((?0+ <ф) сГп/у.

(8.10}

Уравнение (8.10) очень похоже на обычное уравнение точечной модели
динамики реактора. Идентифицируем коэффициенты при п как р// и
Рэф/6 Третий и четвертый члены — 2^*^ и д. Остается член с частной

производной. Обычно, чтобы получить форму точечной модели динами-
ки реактора, на функцию формы ср накладывают такие условия, что
член с частной производной становится равным нулю. Таким образом,
имеем:

У У У 'Ро' О*’ V') К1—?) X (»')+2^Х< (Н№?^Г6/усГу

УУво’Т/о) ^у

У У У У* (г, V') 12^X1 (Н1 у2/У^усГу

Рэф________________I_______________

1 ]У<Уо’ТМ^У

УУ ^о"*^ (Г’ У’ ЛтЛу
УУ(?о’?/0 бй’б/у
Как было отмечено Генри [232], разделение уравнения (8.11) на
отдельные величины ри/ произвольно. Можно идентифицировать р как
(к—1)/&, где к определяется уравнением (8.6), но это не является не-
обходимым. Как указывалось в гл. 2, параметры р// и рЭфЛ следует счи-
тать более фундаментальными, чем р, рЭф и I. Однако обычно вычисля-
ют (к—1)/к, используя уравнение (8.6) в методе теории возмущений,
а результат обозначают через р. Тогда уравнение (8.11) дает вполне
определенную формулу для I. Затем, как упоминалось в гл. 2, часто
пренебрегают зависимостью от времени величин I и рЭф//, хотя в этом
нет необходимости.

Ведущая к уравнению (8.10) процедура — математическая формаль-
ность, если не дается способ вычисления параметров по формулам
(8.11) — (8.14). Основной задачей является вычисление функции формы
<р(г, V, /) в уравнении (8.8). Пример такого расчета дан ниже при рас-
смотрении нестационарной диффузионной теории.

Чтобы получить формулу для реактивности, умножим уравнение
(8.6) на ср (г, V, /) и проинтегрируем результат по всем г и V. Рассмот-
рим эталонную критическую систему, которую.получим, положив в урав-
нении (8.6) А?=1, 2/ = 2<о и т. д. Проделаем с ней аналогичные преоб-
разования: умножим на ср (г, V, /) и проинтегрируем по всем г и V.
Используя обычное допущение теории возмущений первого порядка
о неизменности <р0+ и ср, вычтем одно выражение из другого. Полагая
65/ = 5/—2/о и т. д., находим:

к — 1 УУ

УУ ?(Г (г. V') 1(1—₽) X (И+З^Ь (»'И у2/?й/г^ус/у'

где

82 = 82/ —825 -[(1 - ₽) X (V) + (а)] у32л (8.16)

а черточки над членами в правой части выражения (8.16)
Г X (V') (г, V') ё/у'

означают:

Эта формула для реактивности, как и другие приближенные зависимо-
сти, необходимые для расчетной практики, полезна. Но она является
результатом теории возмущений первого порядка и менее фундамен-
тальна, чем формула для р//, определяемая уравнением (8.11). Отме-
тим, что реактивность, как и другие параметры в точечной модели дина-
мики реактора, является интегральным свойством системы.

Чтобы закончить вывод, умножим уравнение (8.2) на <ро+(г, V) X
ХхДц) и проинтегрируем по всем г и V. Используя затем уравнения
(8.8) и (8.13) вместе с выражением

У У У <?0+ (г> V') (Н *2/?<*гс/у^у'

(8.17)

] У(?о'?/у) ^У

получаем результат, по форме совпадающий с точечными уравнениями
для предшественников.

Отметим далее, что сопряженной функции <ро+ может быть дана фи-
зическая интерпретация. Рассмотрим импульс

5(г, V, /)=6(г—го)д(у—уо)6(О, ‘ (8.18>

представляющий точечный источник нейтронов в точке г0 со скоростью
у0 при / = 0.

Используя уравнение (8.14), получаем:

?? (го> уо)

<р V) с1г(1ч

о (0.

(8.19>

Следовательно, сопряженная функция является весовой функцией ис-
точника.

В § 2.5 мы показали, что реакция на импульсное возмущение в то-
чечной модели динамики реактора асимптотически стремится к постоян-
ному значению. Для источника фо6(/) асимптотическое число нейтронов
равно Ро — числу нейтронов, введенных при |/ = 0. Уравнение (8.19) по-
казывает, как каждый введенный нейтрон взвешивается в соответствии
с его положением и скоростью при / = 0. Следовательно, сопряженная
функция является мерой конечного числа вторичных нейтронов, появив-
шихся на каждый введенный нейтрон источника. Она называется «функ-
цией ценности нейтрона».

Интересно сравнить этот результат с эффектом поглощениия ней-
тронов. Используем уравнения (8.15) и (8.16), в которых = Вид-
но, что эффект реактивности от точечного поглотителя в г0 с у0 взвеши-
вается не с сро+, а с фо+ф, часто называемой «статистическим весом». Это
означает, что интегральный параметр р является средней с весом фо+ф
величиной по пространственному распределению и зависимости от ско-
рости поглотителя. Точка зрения о том, что можно использовать любые
весовые функции вместо ф0+ до некоторой степени произвольна. Она
приводит к новым определениям реактивности и других параметров.
Этот вопрос рассматривается многими авторами [131„ 206, 209, 212, 213,
334]. Подробно о зависящей от времени ценности нейтронов см. [42, 332].
Однако обычно используют ф0+ и определяют уравнение (8.10) как урав-
нение динамики точечной модели реактора, если для функции формы ф

используется установившееся значение потока.

В заключение укажем один метод вывода уравнений динамики то-
чечной модели реактора и формул для интегральных параметров из
теории переноса нейтронов. Чтобы сохранить форму точечной модели,
когда функция формы ф зависит от времени, положим:

(8.20}

Тогда удобно ввести следующую нормировку:

И (фо+ф/о) ЙГЙУ=1.

Это эквивалентно определению

п(/) =УУ (фо+Ф/^)б/гб/у.

Заметим, что эта п(1) может быть интерпретирована как средняя плот-
ность нейтронов. Однако средняя мощность деления должна быть про-
порциональна выражению П 2/Фбйч/у и удовлетворять дифференци-
альному уравнению динамики. Это рассмотрено в некоторых численных
примерах Ясинским и Генри [605].

Для дальнейшего изучения читатель отсылается к работам {105„
207, 215, 232, 290, 337, 558, 583].
§ 8.3. Уравнения динамики в модах

Точные решения транспортного уравнения Больцмана имеются
только для некоторых специальных случаев, большинство из которых не
зависят от времени. К счастью, перенос нейтронов может быть описан
многогрупповыми диффузионными уравнениями, в которых изменение
энергии дискретно, а процесс замедления определяется сечениями меж-
группового перехода [312]. Но решения их все еще трудно получить.
Непосредственное численное решение даже одномерной (по простран-
ству), зависящей от времени диффузионной задачи может быть слож-
ным и требующим большого времени счета. Одним из пригодных на
практике методов решения является метод собственных функций, или
модальный метод [280, 520].

Существование собственных функций было постулировано в § 8.1.
Из самой теории переноса нейтронов это не следует, но имеются физиче-
ские основания для подобной концепции [583]. Показано, что такой под-
ход полезен во многих практических случаях, особенно в диффузионной
теории. Были сконструированы различные типы «мод» и изучены их
свойства. Много полезных приближенных методов рассматривается в спе-
циальных случаях [180]. Перейдем к общей формулировке много.группо-
зой диффузионной динамики в терминах метода весовых остатков.
Запишем многогрупповые диффузионные уравнения в компактной фор-
ме [280]:

I,’1 IV V - л + (1 - Р) /Х1 ф + (8.21)

— иСг. (8.22)

С/ I,

Здесь топливо предполагается стационарным (один изотоп) и прене-
брегается внешними источниками. Поток Т есть вектор-столбец, каж-
дая компонента которого представляет скалярный поток в энергетиче-
ской группе; Сг— скаляр (плотность предшественников г-й группы за-
паздывающих нейтронов). Скорости нейтронов представлены диагональ-
ной матрицей:

имеющей по одному элементу из каждой группы. Аналогично диффузи-
онные константы появляются в диагональной матрице:

“I

Поглощение и рассеяние представлены матрицей
где первая матрица (поглощение) —диагональная, а вторая (рассея-
ние) — полная. Сечения деления являются элементами вектора-столбца:

~ у 2/! _

>2/2

а — транспонированная матрица Е. Распределения по энергиям
мгновенных и запаздывающих нейтронов — также векторы-столбцы:

Общая форма приближенного решения:

у, г, |/) =2>Ых, у, г,
/

(8.23)

где ф7— пробные функции (система функций, выбранных заранее, либо
модальные функции формы, определяемые из вспомогательных расче-
тов). Неопределенные функции пД/)—амплитудные функции. Преоб-
разуем уравнения (8.21) и (8.22) в систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений для п^. Можно записать:

у, г, (/) у, г,

(8.24)

где ф — прямоугольная матрица с элементами ф^7- (&-я энергетическая
группа, /-я «мода»); п — вектор-столбец с элементами щ.

Подставляя выражение (8.24) в уравнение (8.21), получаем

0 = И-1 (^4т+-?Г - Iх7-0 V—Л+О - Р) 7.РТ} «•« -2^-хА- (8.25)

Уравнение (8.25) имеет место, если фп — точное решение. Для прибли-
женного решения вместо (8.25) можно записать:

К = V-1 (+4^- я) - [V О V - >1 + (1 - ?) 7.Р(8.26)

где 7?— ошибка или остаток (вектор-столбец с одним элементом для
каждой энергетической группы). Сущность метода весовых остатков за-
ключается в том, что интеграл от 7? (с весом) по некоторой области
должен быть равен нулю. Это дает возможность распределить ошибку
по области и определить неизвестные параметры или функции в при-
ближенном решении.

Введем прямоугольную матрицу весовых функций:

ггп г12

Г21 г22

(8.27)

где функция (к-я энергетическая группа, /-я «мода») являются пока
еще неопределенными. Умножим все члены уравнения (8.26) слева на
350
1ГГ (транспонированную матрицу №) и проинтегрируем по простран-
ству.

Положим:

СИ7г/Ш=0, (8.28)

где символ интеграла означает объемный интеграл

Предположим далее, что

= (8.29)

Аналогично тому, как было показано в § 8.1, это может выполняться
при

и(0 = у^гУ-*ч,йх. (8.30)

Однако удобнее допустить, что равенство (8.29) имеет место независи-
мо от выражения (8.30). Уравнение (8.26) примет вид:

Уравнение (8.22) может быть записано в виде:

дСг1$1= --ХгСг,

(8.32)

и остатки могут быть определены. Другой способ — проинтегрировать
уравнение (8.22) по времени и подставить результат в уравнение (8.21).
Используя метод весовых остатков, находим:

(8.33)

Если функции и весовые функции не зависят от времени, то ле-
вую часть уравнения (8.33) можно записать как

Обозначим:

= С УР^С^Х (8.34)

^эф = у «7т (8.35)

Тогда уравнение (8.33) примет вид:

—Рг эф^^г^г, (8.36)

где 5г— вектор, аналогичный скаляру 1Сг в точечной модели динамики
реактора.

Вернемся теперь к уравнению (8.31). Добавляя и вычитая рЭф
в правой части уравнения, где

(8.37)

I
получаем
1(1п1(И— (р—Рэф) Л + 2г’Лг’5^, (8.38)

351
где

1= (8.39)

Р = [V О V - А + (1 - ₽)/Ет + Ш (8.40)

Иг и рЭф определяются соответственно уравнениями (8.34) и (8.37)].
Уравнения (8.36) и (8.38) являются векторно-матричными уравнения-
ми, известными под названием уравнений динамики в модах. Векторы-
столбцы содержат по одному элементу для каждой моды (каждой проб-
ной функции ф). Параметры /, р и рЭф — квадратные матрицы. При
практических приближенных вычислениях число пробных функций огра-
ничено и уравнения мод представляют конечную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений по времени.

Остаток 7?, определяемый уравнением (8.26), тождественнно равен
нулю только для точного решения. Уравнения в модах удовлетворяются
приближенным решением при условии, что интеграл от 7? с весом, зави-
сящим от V?(х, у, г), равен нулю для всех I. Задача о выборе пробных
и весовых функций для расчета параметров и интегрирований по вре-
мени была рассмотрена многими авторами [180, 187, 278, 280, 333, 516].

В принципе, выбор пробных функций произволен (за исключением
того, что функции должны быть линейно независимы). Обычно при-
ближенное решение выбирается так, чтобы удовлетворялись начальные
и граничные условия; в противном случае может быть сделано простое
обобщение, включающее начальные и граничные остатки. Весовые
функции также (в принципе) произвольны, хотя матрица весовых функ-
ций должна быть того же порядка, что и матрица пробных функций;
кроме того, никакие два столбца из весовых функций не могут быть
пропорциональными. Если весовыми функциями являются сопряженные
функции для равновесного состояния, то система похожа на таковую
в транспортной теории, рассмотренной в § 8.1.

В одном измерении метод весовых остатков переходит в «метод не-
определенных параметров». Он был использован для интегрирования
уравнений точечной модели динамики реактора в § 4.6 и был распро-
странен Фуллером на интегрирование по времени уравнений мод [180—
182]. Некоторыми из обычных весовых методов являются [120]:

1. Метод коллокации (взвешивание с дельта-функциями; 7? исчеза-
ет в отдельных точках).

2. Метод подобластей (взвешивание с помощью ступенчатых функ-
ций; интеграл от 7? исчезает в каждой подобласти).

3. Метод наименьших квадратов (минимизируется интеграл от 7?2
с неопределенными коэффициентами).

4. Метод моментов (взвешивание с полиномами; приравниваются
нулю моменты от 7?).

5. Метод Галеркина (весовыми функциями являются сами пробные
функции).

6. Метод сопряженных весовых функций (близок к вариационному
методу; весовые функции сопряжены системе пробных функций).

В описанном в § 4.6 методе (и в расширении его Фуллером на урав-
нения в модах) используется подобласть взвешивания с кусочно-поли-
номиальными пробными функциями.

Вариационный метод, который можно рассматривать как специаль-
ный случай метода весовых остатков, обычно выводится на основе дру-
352
гой точки зрения. Критерий

У ф+7?б/х=0

также является условием того, что некий функционал будет экстремаль-
ным. Это позволяет вывести систему дифференциальных уравнений
(уравнения Эйлера). Иногда выгодно сконструировать вариационный
функционал и получить дополнительные сведения о поведении системы.
Однако эта процедура может оказаться чрезвычайно сложной. В каче-
стве обзорных работ можно рекомендовать (40, 279, 335, 336, 338, 476,
477, 521, 523]. Другие ссылки даются в следующем параграфе в связп
с синтетическим методом. Отметим, что вариационный метод эквива-
лентен методу Галеркина для самосопряженной системы.

Как указывалось ранее, большинство приближенных методов в про-
странственной динамике реактора можно рассматривать как специаль-
ные случаи метода весовых остатков. Например, уравнения точечной
модели реактора с одной энергетической группой получим, выбирая
только одну, не зависящую от времени моду в уравнении (8.23):

ЧЧ*, у, г, у, г) п(1). (8.41)

Функции в уравнении (8.41) являются скалярами. В качестве единст-
венной моды фо часто берется начальное стационарное распределение
потока, а весовой функцией обычно является стационарная сопряжен-
ная функция. Из выражений (8.34), (8.37), (8.39) и (8.40) видно, что
Сг и параметры являются скалярами, величины которых зависят от вы-
бора весовой функции и моды (пробной функции); это подчеркивает
произвольность концепции реактивности даже для простейшей формы
реакторной динамики.

Первым важным обобщением этой идеи является квазистатический
метод. Опять, используя тольку одну моду, запишем:

ЧГ(х, У, 2, /)=фо(х, у, г, /1)/1(/). (8.42)

В адиабатическом методе [124, 235] в качестве фо в любой момент вре-
мени используется фиктивная статическая мода («лямбда-мода», см.
ниже), соответствующая состоянию и конфигурации реактора в рассмат-
риваемый момент. Функция формы для различных моментов времени
определяется из последовательности пространственных расчетов. При
таком подходе подразумевается, что форма потока мгновенно следует
за изменением свойств реактора; конечно, это плохое допущение в слу-
чае неоднородных изменений в большом реакторе [281]. В более слож-
ных квазистатических методах равенство (8.42) используется с различ-
ными, более отвечающими реальности вычислениями функции формы.

Модальные расширения, в которых ф;, определяемые соотношени-
ем (8.23), не зависят от времени, применялись многими авторами. Об-
зор дан в работе [280]. Уже упоминалось о «лямбда-модах», являющих-
ся собственными функциями задачи:

(- + А) 4- [(1 - Р)/Ет ф. (8.43)

Это уравнение получено из уравнений (8.21) и (8.22) для стационарного
состояния. Здесь X играет роль величины к8, фигурирующей в уравнении
(8.3). Существенно, что уравнение (8.43)—статическое; оно решено
с помощью ряда расчетных программ для многогруппового диффузион-
ного приближения. «Лямбда-моды» использовались в работе [573] при
23-837 353
выводе методики измерения реактивности подкритического реактора-
Второй набор мод может быть получен следующим образом: пре-
небрежем источником запаздывающих нейтронов и используем ап8а1х:

Чг=*ф(х, у, г) ехр(ор/). (8.44)

Тогда из уравнения (8.21) получим следующую статическую задачу на
собственные значения:

[ VI) V—Л +|( 1—р) = (дрУ-Цр. (8.45)

Собственные функции этой задачи известны под названием «омега-р мо-
ды». Третий набор — «омега-б/ моды» или «моды уравнения обратных
часов», получим, если в уравнениях (8.21) и (8.22) записать:

Чг=ф(х, у, г) ехр (со^) (8.46)

Сг=Сг(х, у, г) ехр ((О<10- (8.47}

Тогда приходим к следующей задаче на собственные значения:

А + (1—Р)х/?т]ф + 2%а^г = со^-Цр; (8.48}

I яц

ргГгф—(8.49)

Два последних набора мод были названы «естественными модами»
[275]. «Омега-б/ моды» были подробно изучены Генри [233], который на-
шел, что эти моды объединены в группы по семь. Собственные значения
в каждой группе определяются общим уравнением «обратных часов»,
а пространственные распределения внутри каждой группы подобны-
Полагая, что пространственные формы одинаковы, можно вывести усло-
вия ортогональности. Тогда возможны различные приложения для прак-
тики (особенно для анализа некоторых экспериментов в больших под-
критических реакторах). Соотношение между «лямбда» и «омега-б/»
модами было исследовано Генри и Капланом [237].

Другой важный метод следует из теории ортогональных функций
и рядов Фурье. Естественно взять в качестве пробных функций полнуку
ортогональную систему, порождаемую уравнением Гельмгольца (см.
§ 8.1). Та же самая система используется в качестве весовых функций
(«взвешивание» по Галеркину). Сходимость доказывается теоретически
только для линейных систем с постоянными коэффициентами. Этот ме-
тод применялся в работах [172, 188]. К сожалению, для многих пред-
ставляющих практический интерес задач сходимость очень медленная.

Этот метод был использован другими авторами [189, 464] для реше-
ния нелинейной задачи разгона реактора с мгновенной (по энергии)
обратной связью по реактивности (пространственно-зависимая модель
Нордгейма — Фукса). Сравнительно недавние исследования проведены
Канозой [84] и Шоткином [484]. В последней статье приводится сравне-
ние техники «модальных расширений» с итерационным процессом реше-
ния нелинейной задачи. Изучались также другие аспекты пространст-
венно-зависимой модели Нордгейма — Фукса [82, 158, 198]. В работе
[82] было получено асимптотическое энергетическое распределение в пе-
реходном процессе; в [198] проведено сравнение динамических формул
для интегральных параметров с определениями, полученными из ста-
тической теории возмущений. Другие нелинейные задачи были рассмот-
рены в работе [85].
«Модальные расширения», использующие собственные функции,
применялись для изучения пространственных эффектов в эксперимен-
тах с осциллятором [176, 311, 342, 458].

Приближенное решение может быть составлено из функций фДх,
у, г), не являющихся собственными функциями. Например, использова-
лись системы мод из функций Грина [149]. Эти моды получатся из реше-
ния ряда стационарных диффузионных задач с источниками нейтронов
в различных подобластях. Затем с помощью полупрямого вариационно-
го метода определяется зависимость от времени амплитудных функций.

Действительно, для решения задачи функции фДх, у, г) могут быть
выбраны совершенно произвольно. Это идея метода Рэлея — Ритца или
синтетического метода, являющегося по своей сути методом весовых
остатков с произвольными пробными функциями. Этот метод рассматри-
вается в следующем параграфе при обзоре различных вычислительных
методов.

§ 8.4. Вычислительные методы

В этом параграфе мы попытаемся дать обзор различных вычисли-
тельных методов в пространственной динамике реакторов. Начнем с ме-
тодов, основанных на существенно дискретных (определенно-разност
ных) представлениях для пространственных и временных производны:
совместно с полудискретным методом Хансена и его коллег. Затем по
следует беглый обзор синтетических и нескольких квазистатических ме
тодов, в основном в рамках метода весовых остатков. Узловые метод!
рассматриваются в связи как с дискретными, так и с синтетическими
методами. В заключение будет упомянуто о нескольких дополнительны?
методах, а также о ксеноновой проблеме и пространственной устойчи-
вости. Более детальное рассмотрение можно найти в цитированных вы
ше обзорных статьях и итоговых обзорах Керлина [294] и Генри [234*.

Конечно-разностные методы широко применялись при решении мне
гих типов диффузионных задач (например, [121, 446]. Обсуждение мно
гих разновидностей и утонченных методов выходит за рамки настояще
го обзора. Мы укажем только на некоторые наиболее известные в про-
странственной динамике реакторов методы; другие ссылки имеются
в [169, 280].

Изучение поведения подкритического реактора с использованием
конечно-разностной аппроксимации для зависящего от времени диффу-
зионно-возрастного уравнения было проведено Агрестой и Борстом [6].
Была разработана высокоэффективная одномерная двухгрупповая про-
грамма \УЮЬЕ [78]. Другие приложения конечно-разностного метода
рассмотрены в работах [390, 70, 422]. Был разработан улучшенный вари-
ант АУЮЬЕ [238]. Имеются также другие программы: 8ТКЕАК
[509], КАИМ7Е1Т [3] и ТУУЮЬ [607]; последняя программа является дву-
мерной версией программы ХУЮЬЕ. В работе [218] проведено сравнение
неявного разностного (по времени) метода, использованного в ШПСтЬ,
с неявным методом чередующихся направлений (АИ1). Обобщенный
конечно-разностный метод рассматривается в работе [21]. Эти числен-
ные методы ценны в специальных условиях, как, например, при анали'
зе простой реакторной системы с высокой степенью симметрии или при
тестовой проверке приближенных методов, таких, как синтетический или
квазистатический. При известных обстоятельствах можно рассчитать
любой пространственно-зависимый переходный процесс прямым конеч-
23* 355
но-разностным методом или методом Монте-Карло. Однако ограничения
по скорости счета и памяти способствовали развитию приближенных
методов, описываемых ниже. Метод Хансена (см. § 4.7) был успешно
обобщен на случай пространственной динамики [22]. Это основа про-
граммы САКШ [225]. Этот метод может быть назван полудискретным:
в нем используются конечные разности для пространственной перемен-
ной, в то время как изменение во времени определяется фактором
ехр В пространственно-зависимом случае о может быть матрицей
свободных параметров, определяемых с помощью быстро сходящейся
итерационной схемы. Расширение на двумерную по пространству задачу
получено Мак-Кормиком и Хансеном [350] и Ридом и Хансеном [441].
Хансеном также проведено сравнение различных двумерных методов
[224] (см. также работу Рида и Хансена [442]).

Много специальных методов было разработано для оценки влияния
отражателя на динамику реактора [107, 186, 454]. Двухточечный (двух-
узловой) метод Кона близок к теории связанных зон и многообластных
реакторов [32, 98, 190, 302, 423]. Другие примеры двухузлового анализа
приводятся в [35, 257, 266].

Узловые методы могут рассматриваться как расширение конечно-
разностного метода; в них используется очень грубая пространственная
сетка и требуются специальные условия связи между узловыми точками.
Коэффициенты связи, обычно получаемые из вспомогательных расчетов
по диффузионной или транспортной теории, трудно вывести и прове-
рить. Ясинским [602] был рассмотрен синтетический метод, в котором
использовалась одна пробная функция для каждой подобласти; пре-
рывность по пространству обрабатывалась по методу «весовых остат-
ков», что дало систематический метод для расчета коэффициентов связи
[180].

Вернемся теперь к синтетическому методу [278, 523, 567]. Этот метод
впервые был применен в реакторной физике для вычисления стационар-
ного трехмерного потока; обзор ранних работ проведен Мейером [363].
Для иллюстрации рассмотрим двузонный реактор (рис. 8.1), в одной из
зон которого находятся частично введенные регулирующие стержни.
В силу симметрии предполагается разделение переменных в каждой
зоне:

= (8.50)

[}й(х, у)-2(2), а<2<Ь.

Пробные функции и /2 находятся из двумерных расчетов типовых ре-
акторов с регулирующими стержнями и без них. Выражение (8.50) под-
ставляется в трехмерные дифференциальные уравнения, которые затем
интегрируются по х и у. В результате получается одномерное диффузи-
онное уравнение, которое может быть решено относительно 2. Тогда
форма трехмерного потока определяется равенством (8.50).

Этот метод широко используется в теории реакторов. Основным не-
достатком его является существенный разрыв при г=а. Были предло-
жены улучшенные модели [569]. Реактор можно разбить на вертикаль’
ные каналы, как это показано на рис. 8.2, и применить равенство (8.50)
с различными функциями 2 для каждого канала. Интегрирование
в каждом канале дает дифференциальное уравнение для функции 2
в каждом канале. Такой многоканальный синтетический метод умень-
шает влияние прерывности в направлении г за счет введения разрывных
356
пробных функций; при этом появляется необходимость в вычислении
связи между каналами.

Если вместо равенства (8.50) записать

<р(х, у, г)^(х, у)71(г)+{2(х, у)72(г), (8.51)

то форма потока не будет иметь разрыва при г — а\ в этом случае имеет
место плавное изменение смеси двух форм и /2. Расширение на боль-
шое число вертикальных зон и пробных функций может быть выражено
в виде:

<₽(*, У, 2) =ЗЛ(х, у)2}(х). (8.52)

Аналогия с уравнением (8.23) очевидна. Наиболее гибким путем полу-
чения уравнений для 2^ является применение метода «весовых остат-
ков». При разумном выборе пробных и весовых функций получаются
прекрасные практические результаты. Было доказано, что с успехом

Рис. 8.1. Модель двухзонного ре-
актора для иллюстрации непре-
рывно-синтетического метода.

Рис. 8.2. Модель двухзонного
реактора для иллюстрации много-
канального синтетического ме-
тода.

может быть применено «взвешивание» по Галеркину и «взвешивание»
с сопряженными функциями {278]. Первый метод часто более экономи-
чен, так как не требует отдельных вычислений для весовых функций;
последний может успешно применяться совместно с вариационным
принципом *.

Капланом [276] была использована вариационная процедура для
вывода уравнений для 2;, фигурирующих в выражении (8.52). Вариа-
ционный метод был распространен Селенгутом [568] на разрывные
пробные функции и применен [566] для формирования синтетического
многоканального потока. Поскольку условия на поверхности раздела
могут быть также выведены в рамках метода «весовых остатков», не
обязательно снова использовать вариационный подход. Другое прило-
жение разрывных пробных функций дано у Ясинского и Каплана [606].
В синтетическом методе для зависящей от времени задачи использует-
ся, например, такая структура [277]:

Т(х, У, 0 =’Ф1(^, У)П1 (/) +ф2(х, у)п2(1) + (8.53)

* Вариационный метод может превратиться в вариационную мистику, когда взве-
шивание с сопряженными функциями считается наилучшим благодаря существованию
вариационного принципа. Казалось бы, что нет очевидного преимущества такой точки
зрения.
Для трехмерной, зависящей от времени задачи синтетический метод
может исходить из вида:

4е(X, У, О =Ф1(*, у, г)П1(/) +ф2(х, у, г) п2(0 + (8.54)

или из вида

Т(х, у, г, /) =Д(х, у)71 (г, /) +/2(х, #)72(г, /)+..< (8.55)

Первая формула дает уравнения динамики «многих вод» (см.
§ 8.2), вторая — уравнения в частных производных ноги/. Синтети-
ческий метод для нестационарной задачи рассматривается в работе
[282]. У Ясинского [603] приводятся примеры пространственно-временно-
го синтетического метода в форме, подобной формуле (8.55); для вы-
вода уравнений для 7;(г, /) используется метод Галеркина. Получен-
ные уравнения решаются затем с использованием одномерной про-
граммы. Как и функции 7 в выражении (8.52) для одного или многих
каналов, функции и>(|/) в зависящем от времени синтетическом методе
обычно являются непрерывными. Разрывные по времени функции были
введены Ясинским [601].

Впоследствии был введен [521] и применен в многоканальном про-
странственно-временном синтетическом методе [522] вариационный
функционал, допускающий как пространственные, так и временные раз-
рывы.

В работе Фуллера [180] рассматриваются разрывы по пространству
и по времени в рамках метода «весовых остатков» (включая возмож-
ность разрывных по времени функций формы). Эта возможность, отме-
ченная также Беккером [43] для вариационного метода, позволяет
охарактеризовать квазистатический метод как специальный случай ме-
тода «весовых остатков» в реакторной динамике «многих мод». Фуллер
[180] также отметил, что непротиворечивый «узловой» метод может
быть выведен как специальный случай многоканального синтетического
метода (в рамках метода «весовых остатков»), использующий одну
пробную функцию в каждой подобласти.

Высокоразвитая техника синтетического метода находит широкое
применение. Во многих расчетах переходных процессов в качестве проб-
ных функций могут быть формы статического потока «до и после»;
таким образом, изменение формы берется в «вилку». При выборе проб-
ных функций могут быть полезны условия симметрии. Однако наилуч-
шим способом выбрать пробные функции помогают изобретательность
и опыт исследователя.

Другой важный класс методов известен собирательно как квази-
статический метод. Адиабатический метод [124, 235] обсуждался в § 8.2;
он исходит из допущения, что изменения формы следуют за измене-
ниями параметров без запаздывания во времени.

Пусть имеется одна мода, как в уравнении (8.42), и неопределен-
ная функция п(/) является решением скалярной точечной модели реак-
тора. Плотности предшественников и параметры определяются соотно-
шениями (8.34), (8.37), (8.39) и (8.40). Обычно (но не обязательно)
весомыми функциями являются стационарные сопряженные функции.
Точечная модель реактора используется до тех пор, пока не станет не-
обходимо провести перерасчет функции формы. Функция формы явля-
ется решением ф уравнения (8.25), записанного в форме:

Ф + (8.56)
«ри принудительном условии

^рГг<|»ЛМх = О. (8.57)

В обычной адиабатической модели уравнение (8.56) заменяется стати-
ческим. В квазистатическом приближении [180, 412, 413] в уравнении
(8.56) членом д^/сЦ либо полностью пренебрегают, либо используют
аппроксимацию с помощью разности назад:

дф Ф (х, 1п) — Ф (х, ^Л 1)

^п—1

(8.58)

Здесь временной интервал много больше, чем использованный при
интегрировании связанных уравнений точечной модели реактора. Для
расчета по первой версии была разработана программа <ЭХ-1 [362]. Был
также разработан двумерный вариант. Описаны другие квазистатиче-
ские методы [185, 526].

Возможны и другие приближения. Был создан метод для расчета
на аналоговой машине [293], предложен пространственно-временной ите-
рационный метод [180], применено преобразование Лапласа к завися-
щей от времени диффузионно-возрастной задаче [135], получена более
общая формулировка с использованием преобразования Лапласа по
времени и преобразования Фурье по пространству [530]. Подход с точки
зрения реакции на импульсное возмущение был разработан авторами
работы [250], сформулировавшими многогрупповую диффузионную за-
дачу в терминах пространственно-зависимых передаточных функций.
О пространственных эффектах при вынужденных колебаниях упомина-
ется ниже, во введении к нейтронным волнам. Читатель может позна-
комиться с обширной литературой по ксенонным колебаниям и ста-
бильности [217, 236, 249, 280, 283, 325, 438, 439, 465, 479, 482, 525]. Общая
проблема нелинейной устойчивости в пространственно зависимой реак-
торной динамике была изучена недавно [251, 285, 286, 288]. Некоторые
из математических методов, использованных при изучении стабильно-
сти, могут дать новые технические приемы для практики расчета про-
странственно-зависимых переходных процессов в реакторе.

§ 8.5. Некоторые результаты численных расчетов

В этом параграфе приводятся некоторые результаты численных
расчетов, опубликованных в 1965—1969 гг. Дается иллюстрация не-
которых важных эффектов, возникающих в динамических процессах,
сильно зависящих от пространственных переменных, и отмечается цен-
ность некоторых приближенных методов.

Классический численный эксперимент был проведен Ясинским и
Генри [605]. Две одномерные без отражателя зоны приводились в над-
критическое как на запаздывающих, так и на одних мгновенных ней-
тронах, состояние, причем так, чтобы акцентировать пространственные
эффекты. Каждая зона, одна толщиной 240 см, другая — 60 см, состояла
из трех областей (одинаковых, за исключением различных поперечных
баклингов в каждой области). Были использованы две энергетические
группы (быстрая и тепловая).

Каждая зона была приведена в надкритическое состояние за счет
скачкообразного увеличения сечения деления только в нижней четверти
359
(О—60 или 0—15 см) с последующим уменьшением этого сечения по
линейному закону в течение 10 мсек, так что к первоначальной конфи-
гурации зона приходила к 5 мсек. Сечения были выбраны так, что

Рис. 8.3. Распределения потока груп-
пы быстрых нейтронов для быстрого
переходного процесса в зоне толщи-
ной 240 см [605].

Рис. 8.4. Распределения потока груп-
пы быстрых нейтронов для быстрого
переходного процесса в зоне толщи-
ной 60 см [605].

найденная по теории возмущений (точечная модель) реактивность из-
менялась в пределах ±2%. Наличие запаздывающих нейтронов не учи-

Рис. 8.5. Зависимости реактивности от
времени для быстрого переходного про-
цесса в зоне толщиной 240 см [605]:
— — точное решение: —------— адиабати-

ческий метод; — • — • — — точечная модель.

Рис. 8.6. Зависимости реактивности от
времени для быстрого переходного про-
цесса в зоне толщиной 60 см [605]:

—'Точное решение;---адиабатиче-
ский метод; — ----------точечная модель.

тывалось. Распределение плотности потока быстрой группы, вычис-
ленное с помощью программы ^ЮЬЕ [78], показано на рис. 8.3 и 8.4.
Отметим, что форма потока меняется больше в большей зоне.
Зависимости реактивности от времени показаны на рис. 8.5 и 8.6.
Реактивность, вычисленная по точечной модели кинетики, монотонно
уменьшается во времени, так как при расчете ее была использована
фиксированная пространственная форма потока. Действительное изме-
нение реактивности сильно отличается от вычисленного по точечной
модели вследствие изменения формы потока. Реактивность в действи-
тельности увеличивается в течение короткого времени (даже когда
сечения деления уменьшаются) вследствие зависимости от времени
функции формы в определенном интеграле для реактивности. Адиаба-
тическая модель [235] дает завышенное значение в связи с допущением,
что изменения формы потока без запаздывания во времени следуют за
материальными изменениями.

Амплитудная функция л(/) показана на рис. 8.7 и 8.8. Весьма ин-
тересно, что на рис. 8.7 пик амплитуды, вычисленный по точечной моде-
ли реактора, более чем в 104 меньше истинного. Даже для меньшей

Рис. 8.7. Зависимости амплитудной
функции от времени для быстрого
переходного процесса в зоне толщи-
ной 240 см [605]:

-------точное решение;---------адиаба-
тический метод;------- —г- точечная мо-

дель.

Время 1 мсек

Рис. 8.8. Зависимости амплитудной
функции от времени для быстрого
переходного процесса в зоне толщи-
ной 60 см [605]:

-------точное решение;----—- — адиаба-
тический метод; — • — • — — точечная мо-
дель.

зоны (см. рис. 8.8) величина ошибки порядка четырех. Сравнение при
10 мсек также представляет интерес (завышенное значение по адиаба-
тической модели связано с завышенным значением реактивности).

Из того факта, что расчеты по точной и точечной модели для 240 см
зоны сильно различаются, не следует, что точечная модель динамики
реактора непригодна. Приведенный пример был специально рассчитан
на иллюстрацию случая с максимальными отличиями. Это подтверждает
сделанные ранее замечания (см. гл. 1) об опасности неразумного при-
зе 1
менения точечной модели, в частности при сильно асимметричных пере-
ходных процессах в больших реакторах.

Распределение потока тепловой группы показано на рис. 8.9 и 8.10.
; Для сравнения включены расчеты по непрерывно-синтетическому ме-
тоду с использованием трех пробных функций в большей зоне и двух
в меньшей. Были также рассмотрены два узловых метода, но результа-
ты сюда не включены (более детально см. [605]).

Рис. 8.9. Распределение плотности по-
тока тепловых нейтронов для быстро-
го переходного процесса в зоне тол-
щиной 240 см (605]:

-------точное решение;----адиаба-
тический метод; — • —-----синтетический

метод;-------точечная модель.

Рис. 8.10. Распределения плотности
потока тепловых нейтронов для бы-
строго переходного процесса в зоне
толщиной 60 см (605]:

-------точное решение;---адиаба-
тический метод; — • — ---синтетический

метод;......точечная модель.

Критические на запаздывающих нейтронах численные эксперимен-
ты были проведены на тех же двух зонах с помощью линейного увели-
чения сечений деления из критического состояния. В моменты времени
0,8 сек для большей зоны и 1,0 сек для меньшей зоны рост сечений был
прекращен, и они в дальнейшем (до /=100 сек) поддерживались по-
стоянными. Реактивности все время оставались ниже уровня критич-
ности только на мгновенных нейтронах, хотя может иметь место случай
(который будет показан позже), когда точечная модель дает значение
реактивности ниже критичности на мгновенных нейтронах, в то время
как действительное ее значение превышает мгновенную критичность
вследствие перекоса потока.

В этих примерах использовалась одна группа запаздывающих ней-
тронов. На рис. 8.11 и 8.12 показаны распределения потока тепловой
группы в момент времени, когда был прекращен рост сечений деления.
Меньшая зона очень хорошо описывается точечной моделью. Однако
для большей зоны значение пика распределения плотность потока мо-
жет быть занижено в 3 раза.
Эти примеры убедительно показывают, что пространственные
эффекты бывают весьма важны. Даже для меньшей зоны точечная
модель реактора, к сожалению, дает плохой результат при быстрых про-
цессах, несмотря на отсутствие большого перекоса плотности потока
(см. рис. 8.4 и 8.8).

Из рисунков, на которых показано распределение потока тепловой
группы, видно, что в этих примерах успешно используется непрерывно-
синтетическое приближение. Был также проанализирован быстрый
переходный процесс в зоне толщиной 240 см [601] с помощью разрыв-

Рис. 8.11. Распределения плотности по-
тока тепловых нейтронов для медленного
переходного процесса в зоне толщиной
240 см [605]:

-------точное решение;---адиабати-
ческий метод; — • — -----точечная модель;

----- — синтетический метод.

Рис. 8.12. Распределения плотности по-
тока тепловых нейтронов для медленно-
го переходного процесса в зоне толщи-
ной 60 см (605]:

-------точное решение и синтетический ме-
тод; -----------адиабатический метод;

— • — ----точечная модель.

ного по времени синтетического метода. Кроме того, были проведены
численные эксперименты с использованием многоканального простран-
ственно-временного синтетического метода [522]. Один из примеров
(асимметричное введение регулирующего стержня) воспроизводится на
рис. 8.13 и 8.14. Результаты расчета по синтетическому методу с одним
и многими каналами сравниваются с точным решением, найденным
с помощью программы КА1}МХЕ1Т [3]. Отметим, что наличие большого
перекоса потока могло бы привести к большой погрешности в оценке
введенной реактивности и асимптотической мощности при использова-
нии точечной модели.

Примеры расчета по квазистатическому методу взяты из статьи
[413]. На рис. 8.15 показано изменение реактивности во времени. Резуль-
таты расчета по точечной модели сравниваются с точным расчетом и
расчетом с помощью программы (}Х-1, реализующей квазистатический
метод [362]. Этот пример для быстрого линейного роста у в одной чет-
верти зоны толщиной 240 см использовали Ясинский и Генри [605].
Учитывалась одна группа запаздывающих нейтронов. Видно, что пере-

кос потока оказывает значительное влияние на конечное значение реак-

Рис. 8.13. Зависимость мощности от време-
ни после введения асимметрично располо-
женного регулирующего стержня [522]:
/ — программа КАПМ2Е1Т; 2— 4 канала; 3—
1 канал.

тив'ности. Более медленный про-
цесс показан на рис. 8.16. По
окончании линейного роста реак-
тивность, подсчитанная по точеч-
ной модели, остается постоянной,
в то время как точное значение
реактивности равно 1 долл и уве-
личивается. Как отмечалось ра-
нее, расчет по адиабатическому
методу дает завышенное значе-
ние реактивности в переходном
процессе.

На рис. 8.17 видна разница
между асимптотической формой
потока и формой его в момент
прекращения линейного роста V.
Распределение плотности пред-
шественников в момент, когда
рост V прекращен, почти такое
же, как и начальная форма по-
тока, и наибольшие его измене-
ния имеют место по окончании
линейного роста у.

Численное сравнение несколь-

ких методов «многих мод» прове-
дено в работе [180]. Водномерный реактор с активной зоной толщиной
240 см было внесено возмущение в центральной ((симметричной относи-
тельно центра реактора) области толщиной 30 см путем линейного увели-
чения сечения деления в течение 0,1 сек. Затем до /=1 сек сечение поддер-
живалось постоянным. В этот момент времени было проведено сравне-
ние амплитудных функций, обратных периодов и функций формы.
В приводимом здесь примере реактор критичен на одних мгновенных
нейтронах. Для получения точного решения использована программа
ДУКЭЬЕ. Начальная и конечная формы потока (для одной половины
реактора) показаны на рис. 8.18. Результаты расчетов сведены в итого-
вую табл. 8.1. Как следует из сравнения с результатами, полученными
по точечной модели реактора, небольшое изменение формы потока
(рис. 8.18) оказало глубокое влияние на конечный результат.

В непрерывно синтетическом методе были использованы две проб-
ные функции (начальная и конечная формы потока, приведенные на
рис. 8.18) и «взвешивание» по Галеркину. Расчеты с другими пробными

и весовыми функциями показали, что конечная функция формы очень
мало меняется, а амплитудные функции изменяются в пределах от
2,45 • 1012 до 5,24 • 1012 (обратные периоды изменялись в пределах от
28,99 до 29,82). Как и ожидалось, было замечено, что при плохом вы-
боре пробных функций необходимо более строго подходить к выбору
весовых функций.
Был рассмотрен «узловой» метод с начальной формой потока в ка-
честве пробной и весовой функций в каждой области («взвешивание»
по Галеркину). Это пример многоканального синтетического метода
с одной модой в каждом канале. Условия на поверхность раздела были

Рис. 8.14. Распределения плотности потока через 0,5 сек после
введения асимметрично расположенного регулирующего стержня
(522]:

—программа КАОМ2Е1Т;-----------1 канал: — —•—•—-3 канала;

....—4 канала.

выведены с помощью диффузионной теории. Десять «узлов» дают от-
личное описание конечной функции формы; однако для получения пра-

Рис. 8.15. Зависимости реактивности от вре-
мени при быстром линейном росте V [413]:
1 — программа ОХ-1; 2 —программа ХУЮЬЕ;

3 — точечная модель.

Рис. 8.16. Зависимости реактивности от
времени при ограниченной скорости уве-
личения V [413]:

— адиабатический метод; 2— программа
ОХ-1; 3 — программа Х^ТОЬЕ; 4 — точечная
модель.
Таблица 8.1

Результаты для пространственно-зависимого переходного процесса при
/ = 1 сек с использованием различных аппроксимаций [180]

Аппроксимация Обратный период, сек’1 Амплитудная функция
Точное решение (программа ХУЮЬЕ) 29,51 3,94-1012
Точечная модель реактора 8,84 4,87-10*
Непрерывно-синтетический метод (хорошие пробные функции) 29,51 3,93-1012
Два «узла* (начальная форма потока в качестве пробной 12,99 1,71-10®
функции) Ня’.ь «узлов* (начальная форма потока в качестве пробной 17,87 1,23-10®
функции) Восемь «узлов* (начальная форма потока в качестве пробной функции) Десять «узлов* (начальная форма потока в качестве пробной 21,55 3,19-10®
26,70 3,17-10”
функции) Один канал (плохие пробные функции) 9,92 1,24-105
Два канала (плохие пробные функции) 20,51 1,26-10®
Три канала (плохие пробные функции) 24,56 4,64-1О10
Четыре канала (плохие пробные функции) 24,58 4,72-Ю1»
Два канала (хорошие пробные функции) 29,57 4,15-Ю12

вильного значения амплитудной функции необходимо большее число
«узлов» (см. табл. 8.1).

В работе [180] представлены также результаты расчета с помощью
многоканального (с двумя «модами») синтетического метода с «взве-
шиванием» по Галеркину. При этом в качестве одной пробной функции

Рис. 8.17. Функции формы и распределение
предшественников для ограниченного роста V
[413]:

/ — функция формы (асимптотика); 2 — функция фор-
мы (конец линейного изменения); 3 — плотность пред-
шественниковХ 100 (конец линейного изменения).

бралась начальная форма по-
тока, а вторая пробная функ-
ция была выбрана специально
плохой (с максимумами меж-
ду 15 и 30 см с каждой сторо-
ны от центра). Амплитудные
функции для этих четырех слу-
чаев в табл. 8.1 не хороши,
хотя только три канала уже
дают отличное приближение
к конечной форме потока. На-
конец, для сравнения включе-
ны результаты, полученные
для случая двух каналов с хо-
рошими пробными функция-
ми *.

Другие численные резуль-
таты с использованием синте-
тического метода приводятся
в работах (282, 457, 603]; чис-

ленные результаты с использованием полудискретного метода даются
в [22]; с помощью пространственно-временных конечно-разностных вы-

* Фуллер Е. Л. Аргоннская национальная лаборатория, частное сообщение (1970 г.).
числений получены результаты [604] переходных процессов при извле

чении регулирующего стержня, которые
расчетами по точечной модели реакто-
ра. Намного больше работы требует-
ся, в частности, при сравнении различ-
ных методов при одном и том же на-
боре тестовых задач. Чтобы принять
разумное решение о выборе метода
решения практических задач, необхо-
димо провести сравнение не только
точности, но и необходимого машинно-
го времени.

Конечно, многие практические
задачи, с которыми сталкивается
инженер, могут иметь свои сложности.
Очень трудно точно предсказать всю
совокупность пространственных и спек-
тральных эффектов. Расчеты по оцен-
ке безопасности больших реакторов
еще более усложняются, если имеют-

сравниваются с аналогичными

Расстояние от центра реакторами

Рис. 8.18. Начальная (/) и конеч-
ная (2) формы потока для процесса,
когда реактор переходит в критиче-
ское на одних мгновенных нейтронах
состояние [180].

ся неоднородно распределенные пустоты в теплоносителе, движение
топлива или другие физические и химические эффекты. Но задача, по-
ставленная в этом параграфе, была весьма скромной, и мы не пыта-
лись исследовать эти более сложные явления.

§ 8.6. Импульсные источники

После введения в сборку (неразмножающую или подкритическую)
интенсивного импульса нейтронов малой длительности спад распреде-
ления нейтронов может быть замерен малоинерционными детекторами.
Эти результаты могут быть использованы для изучения многих свойств
сборки. Были замерены параметры диффузии в тепловой области [46,
127, 346], измерены спектры нейтронов и изучен процесс замедления
[57, 93, 430], проведены измерения в области больших энергий нейтронов
в незамедляющих сборках [48], изучены гетерогенные эффекты в решет-
ках [132] и выполнены исследования в области защиты от нейтро-
нов [91].

Полезны для ознакомления монография Бекурца и Виртца [47],
материалы симпозиума в Карлсруэ [261] и всесторонний обзор [109],
в котором дается исчерпывающая библиография. В работах [386, 527]
отмечается, что нейтронным источником может служить мишень на пу-
ти пучка заряженных частиц в ускорителе или импульсный реактор.

Теория может быть весьма сложной *. Здесь будет дано лишь не-
сколько элементарных идей, чтобы ввести в курс дела. В рамках одно-
скоростной диффузионной теории [уравнение (1.1)] можно записать:

2-^=Ох72?-2о?+5„, (8.59)

где ф — плотность потока нейтронов М?. Пусть 5о представляет собой

* Особенно важны теоретические работы [100, 102, 118, 125, 126, 136, 156,
191, 192, 269, 393, 431, 562]. Другие ссылки даются ниже в связи с задачей измерений
реактивности в подкритических сборках и вопросом о континууме собственных зна-
чений.
в неразмножающей сборке импульс во времени с произвольным про-
странственным распределением. Как и для нейтронного импульса, мы
имеем 5о=О и ищем решение в форме

Ф=Л соз Вх ехр (—М) или А ехр (] Вх—А/) (8.60)

(для простоты рассматривается одномерный случай). Это еще один
пример разделения пространственной и временной переменных, с про-
странственной частью удовлетворяющей, как и в гл. 1, уравнению
Гельмгольца. По существу имеется разделение переменных для каждой
моды, и полное решение является линейной суперпозицией, отвечаю-
щей распределению нейтронов источника.

Подстановка этого выражения в (8.59) (с 5о=О) дает зависимость:

А=2ЪВ2+а2а, (8.61)

связывающую постоянную спада к с баклингом В2. При К и В можно
было бы использовать индексы, чтобы указать, что уравнение (8.61)
имеет место отдельно для каждой пространственной моды. Поскольку
величина В2 наименьшая для основной моды, то % для этой моды тоже
наименьшая, т. е. асимптотический спад определяется основной модой.
В дальнейшем будем понимать под величиной % постоянную спада для
основной моды или собственное значение. Уравнение (8.61) часто назы-
вают «законом дисперсии» (причина этого будет выяснена в разделе
о нейтронных волнах).

Согласно § 1.2, уравнение (8.61) можно записать в виде:

л = (1 + Ь2В2) = 1 + =-Т-. (8.62)

4ОО

как и можно было предвидеть из определения времени жизни. Такая

точка зрения позволит яснее понять смысл частного времени жизни,
связанного с каждой модой в нейтронном распределении.

Рис. 8.19. Зависимость кон-
станты спада от баклинга
в эксперименте с пульси-
рующим источником в гра-
фите [46].

Возвращаясь к уравнению (8.62), видим,
как может быть проведен эксперимент. Взяв
только асимптотическую часть в показаниях
детекторов, определим постоянную спада для
основной моды % каждой из ряда сборок раз-
личного размера. Баклинг В2 затем определя-
ется расчетным путем или с помощью вспомо-
гательных измерений с разумно расположен-
ным постоянным источником. Тогда график А
от В2 должен быть прямой линией с танген-
сом угла наклона, равным Оъ, и отрезками,
отсекаемыми на оси ординат и оси абсцисс,
равными соответственно (обратная вели-
чина относительно /оо) и —1/Ь2 (рис. 8.19).

Точками на рис. 8.19 отмечены экспери-
ментальные данные для графита [46]. Отклоне-
ние от прямой линии для больших В2 (мень-

ших систем) типично и указывает на недостаточность простой теории.
Такие данные часто представляются формулой

А=Л о Ч-Л 1В2-|-• • .,

(8.63)

где А1 есть а Л2 называется коэффициентом диффузионного охла-
ждения [312]. Для размножающей сборки можно использовать уравне-
368
ние (1.2). Пренебрегая генерацией запаздывающих нейтронов, можно

записать:

— (1—Р)^оо2а'ф+|5о.

(8.64)

Будем считать, что импульс спадает согласно уравнению (8.60). Исполь-
зуя в уравнении (8.59) 5а—(1—₽)&»2а вместо 5а, находим:

%=<2)уВ2+(1— (1— р)&оо]о5а. (8.65)

Согласно § 1.2, уравнение (8.65) можно записать в виде:

Х=[1—(1—р)6]//о (8.66)

или
%=(₽—р)//, (8.67)

где I — время генерации нейтронов. Конечно, выражение (8.67) можно
было ожидать получить из результатов точечной модели реактора.
(Выбор символа X для константы спада*
возможно, неудачен, но он является общим.
Для этой константы используется также
символ а, но мы его сохраним для обозна-
чения фактора ослабления нейтронной
волны.) |

Мы видим, что спад основной моды § §
в подкритической сборке определяется наи-
большим отрицательным корнем в уравне-
нии «обратных часов», по крайней мере до §
тех пор, пока не появятся запаздывающие |
нейтроны. За этим спадом на мгновенных
нейтронах следует опад с учетом запазды- аз
вающих нейтронов, подобно тому как это
было при импульсном возмущении, изобра-
женном на рис. 2.10. Типичный ход экспе-

риментальной кривой [359] показан на рис 32О. Спад нейтронного
рис. 8.20. Возможность измерения реактив- импульса в подкритической си-
ности видна из уравнения (8.67) *. стеме [359].

При экстраполяции фона запаздываю-

щих нейтронов назад к нулевому моменту времени на рис. 8.20 предпо-
лагается, что фон может быть отделен от общего распределения путем
разделения всех нейтронов на две части. Используем точечную модель
реактора в форме:

41 I

(8.68)

(8.69)

(8.70)

где п = пр + па — сумма от вклада мгновенных и запаздывающих нейтро-
нов. Представим д в виде импульса дод(1) и проинтегрируем от /=0

* Измерения реактивности проведены с помощью импульсного источника нейтронов
[194, 205, 301, 365, 451, 462, 488, 489, 491, 570, 571], проведены измерения на критиче-
ских сборках [51]. Теория импульсных размножающих сборок дана в работах [44, 183,
201, 267, 270, 307].

24—837 369
до оо. Предполагая, что как начальные, так и конечные отклонения
нулевые, находим:

О=^г1лр + <7о, (8.71 >

+ (8.72)

О = А. (Ар + Аа) — (8.73)

где

ОО ОО ОО

Ар —§прсИ, Аа=^па(И, А^ = ^С/сИ.

ООО

Определим Аа как площадь под распределением запаздывающих ней-
тронов, экстраполированным обратно до нулевой отметки времени.
Тогда Ар будет площадью, остающейся под кривой всплеска на мгно-
венных нейтронах.

Используя уравнение (8.73) для определения Аг, находим оконча-
тельно:

р/р=— Ар/А<1. (8.74)

Эта формула является основной в методе отношения площадей при из-
мерениях реактивности с помощью импульсного источника нейтронов
[491].

Для учета эффектов, связанных с наличием более высоких про-
странственных мод, был предложен метод экстраполированной площади
[205]. Уравнение (8.74) заменяется следующим:

(8.75)

где 1го — ожидаемое время, достаточное для достижения асимптотики
спада на мгновенных нейтронах. Затем кривая асимптотического спада
на мгновенных нейтронах экстраполируется назад к нулю времени, так
что более высокие моды отсекаются.

Другой метод основан на уравнении (8.67), записанном в форме:

р/р=1—М/р.

(8.762

Если //р известно, то реактивность может быть вычислена по измерен-
ной постоянной спада %. Измерение //р производится отдельно также
с помощью импульсной техники.

Предположим, что в систему каждые Т сек подается импульс,
такой, что Т велико по сравнению с временем спада на мгновенных
нейтронах, но мало по сравнению с наименьшим временем распада
предшественников. Тогда фон запаздывающих нейтронов будет, очевид-
но, квазиравновесным. Из уравнений (8.69) и (8.70) имеем

йа =----^-Пр, (8.77)
где черта сверху означает усреднение во времени. Чтобы найти пР,
можно провести усреднение по одному циклу. Из уравнения (8.68),
в котором ^ = ^од(О, находим

лР = <7оехр(—V), 0</<Т. (8.78)

Поскольку Т^> 1/%, среднее значение есть
Т со

пр = пр(И п,р(И = -$<-, (8.79)

о о

где второй интеграл относится к единичному импульсу. Таким образом,
имеем

й(1=—Рдо/ркТ. (8.80)

Используя уравнения (8.78) и (8.80), можно проверить тождест-
венность выражения
т т _

— $пр(Н=паТ. (8.81)

о о

Параметр р// выбирается так, чтобы уравнение (8.81) удовлетворялось
численными данными. Тогда уравнение (8.76) дает реактивность. Зна-
чение этого метода больше, чем это могло показаться при выводе его
из точечной модели реактора. В работе (194] была предложена и про-
верена техника измерений, основанная на полученном ее авторами урав-
нении (8.81) с использованием разложения по модам. Метод известен
как &р//-метод. [В уравнении (8.81) была бы величина &р//, если бы
^величина I вместо времени генерации была бы временем жизни.]

Используя диффузионную теорию, можно показать, что —% явля-
ется наибольшим (алгебраически) членом системы дискретных собст-
венных значений. Однако вблизи источников и границ становятся суще-
ственными нейтронные транспортные поправки, и строго диффузионная
теория непригодна для малых систем. Полное решение задачи переноса
нейтронов состоит из суммы по собственным функциям, каждая из ко-
торых соответствует дискретному собственному значению, и интеграла
от континуума сингулярных собственных функций, соответствующих
континууму собственных значений [89]. Дискретные функции близки
к таковым в диффузионной теории, особенно когда поглощение невели-
ко. Континуум, отсутствующий в диффузионной теории, становится весь-
ма важным вблизи источников и границ, особенно когда поглощение
велико.

В малых системах имеется вероятность того, что собственное зна-
чение, соответствующее наинизшей дискретной моде, находится близко
к границе континуума или даже внутри области, занимаемой им. Тогда
асимптотический спад не чисто экспоненциальный и экспериментальную
кривую спада трудно интерпретировать.

Рассмотрим для иллюстрации простой пример из односкоростной
транспортной теории. Запишем уравнение:

-^+^”+^ = 4^ (8.82)

—1

где ф(х, ц, 1)с1ц— число нейтронов в единице объема, имеющих векто-
ры скорости с направляющими косинусами между р, и ц + б/ц. Уравнение
24* 371
(8.82)—одномерный, односкоростной частный случай уравнения (8.1)
для изотропного рассеяния.

Полагая, что

ф (х, ц, /) = А (ц) ехр (]’ Вх—М), (8.83)

находим

(— Л + ] ф =(8.84)

—1

Дискретные собственные функции, получаемые из уравнения (8.84),
подобны таковым из диффузионной теории. Однако сингулярные собст-
венные функции появляются всякий раз, когда

—% + Вц^ = 0, (8.85)

а правая часть уравнения (8.84) остается конечной. Уравнение (8.85)
дает границу континуума. Для построения полного решения необходимо
рассматривать и комплексные значения К. Структура комплексной
%-плоскости для более детальных моделей в транспортной теории может
быть очень сложной *.

В зависимости от используемого представления могут быть созда-
ны модели, в -которых дискретные моды погружены в континуум или
же (для малых систем) вообще не существуют. Эта последняя возмож-
ность была сформулирована в работе [113] в виде теоремы, в которой
утверждается, что если имеется зависимость от скорости, то существует
максимальное В2, при превышении которого дискретные собственные
значения не существуют. Однако появились эксперименты, дающие
дискретные значения для X за пределами этого ограничения. Одно из
возможных объяснений такого несоответствия — распределение конти-
нуума собственных функций имеет узкий максимум, вследствие чего
трудно отличить его от единственной дискретной моды. С другой сто-
роны, иногда можно снова получить дискретное собственное значение
с помощью аналитического продолжения в Х-плоскости [ПО]. Итак этот
теоретический вопрос нельзя считать полностью решенным. Кратко
континуум будет еще раз рассматриваться при изучении нейтронных
волн.

§ 8.7. Нейтронные волны

Распространение волн в нейтронсодержащей диффузионной среде
было изучено теоретически [79, 582]. Экспериментально [434] была изме-
рена «комплексная длина диффузии» с помощью техники измерений,
аналогичной циклическому методу Ангстрема для измерения коэффи-
циента теплопроводности [87]. Наличие первой производной по времени
в диффузионном уравнении всегда обеспечивает ослабление волн (за
исключением нулевой частоты). Иными словами, волновые решения
здесь такие же, как и для других типов дифференциальных уравнений
в частных производных.

Передаточная функция, которая была выведена из точечной модели
реактора, является адиабатической в том смысле, что форма потока
в реакторе предполагается неизменной, с амплитудой, синхронно изме-

♦ См. (7, НО, 113, 117, 119, 143—145, 303, 310, 329, 373, 394, 447, 554, 593].
няющейся с осциллирующим источником или поглотителем. Эта кар-
тина нарушается при высоких частотах и больших расстояниях от источ-
ника. Локальные флуктуации распространяются как ослабленные волны.
Это может быть интерпретировано в терминах пространственно-зависи-
мых передаточных функций (71, 108, 228, 311, 342, 458]. Другая точка
зрения состоит в том, что передаточная функция отражает интеграль-
ные свойства, определенные с помощью средневзвешенных величин;
тогда пространственные динамические эффекты проявляются через ве-
совые функции. Этот подход имеет некоторые теоретические достоинст-
ва, но не дает ясности в вопросе о распространении волн.

Во Флоридском университете начало экспериментальной исследо-
вательской программе по нейтронным волнам было положено в 1962 г.
Были использованы модулированный пучок заряженных частиц, ми-
шень— источник нейтронов и замедлитель [65, 405, 418, 419, 420, 421].
Успехи в этой области и смежных областях отражены в работе [557].
Был также исследован теоретически закон дисперсии для нейтронного
поля [376, 377, 380]; /^-приближение было использовано в [383. 432].

Транспортная теория была применена к изучению нейтронных волн
в работах [67, 378, 552, 553, 574]. Отражение и преломление были изу-
чены в [34, 299]. Зависящая от скорости транспортная теория была при-
менена к изучению распространения волн в кристаллических замедли-
телях авторами работ [8, 9, 36, 150, 308, 397, 541, 575].

Распространение нейтронных импульсов описано с помощью сину-
соидальных волн [65, 97, 147, 148, 203, 368, 369, 379, 381, 406, 536], ис-
пользование распространения импульса для определения подкритич-
ности рассмотрено в [436, 437].

Спад импульса, распространение волн и распространение импуль-
са — очень близкие понятия, как это описывается, например, в обзоре
[380]. В этой же статье обсуждается вопрос о внешнем и внутреннем
источниках. Некоторые экспериментальные успехи достигнуты с по-
мощью новой техники, использующей внутренние модулированные
источники (распределенные источники замедляющихся нейтронов, по-
лученных от введенных в среду пучков быстрых нейтронов или от ми-
шеней ускорителя, помещенных в среде). Например, непосредственно
измерены постоянные спада для высших мод.

Рассмотрим для иллюстрации односкоростную диффузионную мо-
дель для неразмножающей среды. Пусть источник имеет вид:

5 (х, /) =5о (х) -1-5 (х) ехр (] са1), (8.86)

где 5о(х)—постоянный источник, которому соответствует постоянный
поток фо(х). Общий поток есть ф0 + ф, где флуктуирующая составляю-
щая ф удовлетворяет (вдали от источника) уравнению

4—^=Р\72?-2а?. (8.87)

Представим флуктуирующую часть потока в виде:

Ф=А ехр] (кх4-со/)- (8.88)

Подстановка его в уравнение (8.87) дает

—(8.89)

что идентично закону дисперсии, связывающему частоту со и комплекс-
ную константу к. Сравним это выражение с уравнением (8.61) для по-

373
стоянкой спада нейтронного импульса:

Это тот же закон дисперсии, где со заменена ] % и & заменена В. Можно,
следовательно, говорить о «комплексных постояйных спада» и о «ком-
плексных баклингах». Заметим, что уравнение (8.89) может быть за-
писано в виде:

/>^2+у5ас = 0,

где 5ас — «комплексное сечение поглощения», определяемое как
2ас=2а+]й)/у. (8.90)

Это выражение может также быть интерпретировано в терминах ком-
плексной длины диффузии [435].

Ослабленная плоская волна, движущаяся в положительном направ-
лении х, может быть представлена в виде

<р=4 ехр[—ах+] (Ы—гё-х)], (8.91)

где а и —постоянные ослабления и сдвига фаз соответственно (а —
обратная длина затухания для огибающей формы волны; равно 2л,
деленным на длину волны). Сравнивая уравнения (8.88) и (8.91),
имеем

(8.92)

Подставим выражение (8.92) в уравнение (8.89) и приравняем отдель-
но действительные и мнимые части. В результате получим:

а2^2 = За/Р= 1/Ь2, (8.93)

с^ = со/2Да. (8.94)

Отсюда следует, что Ь2 и Вс могут быть определены экспериментально
через величины а, | и со.

Были проведены измерения для тепловых нейтронов в графите
[418]. Наблюдалась линейная зависимость от со. Величина а2—Ъ2 не
была константой, а скорее линейной функцией от со2, что указывало на
отклонение от простой теории и давало возможность измерить коэффи-
циент диффузионного охлаждения.

Решая совместно уравнения (8.93) и (8.94), получаем:

Как и ожидалось, при со—>0 а—>4/А и —>0. Для малых со величина 15
равна приблизительно 1ла12Ос. Для больших со а и приближаются
к общему значению (<о/22)ц) 4/2. Фазовая скорость определяется вели-
чиной соД- и равна при со—>0 и (20^'со)1/2 для больших со. На

рис. 8.21 и 8.22 приведены результаты простых расчетов для плоских
волн тепловых нейтронов в бесконечной среде (для графита) (Ь = 50 см,
Ру = 2*105 сект1)-, на рис. 8.23 представлена а, ^-плоскость с со в каче-
стве параметра (обычный способ представления закона дисперсии).
Распространяющийся импульс нейтронов может быть представлен
как суперпозиция:

/ (х, I) == у Р (х, <о) ехр ] ш/ б/со. (8.97)

—ОО

Единичный эксперимент с
распространением импульса
нейтронов содержит инфор-
мацию о всех частотах. Эта
информация в принципе рас-
шифровывается с помощью
фурье-анализа численных
данных.

Закон дисперсии может
быть обобщен так, чтобы
включить и более высокие
пространственные моды.
Однако, как и в случае спа-
да нейтронного импульса,

Рис. 8.21. Постоянные ослабления и сдвига фаз
для волн тепловых нейтронов в графите.

полное решение в транс-
портной теории содержит
не только дискретные моды, которые похожи на таковые в диффузион-
ной теории, но и интеграл от континуума сингулярных собственных
функций. Важность этого факта для анализа нейтронных волн обсужда-
лась многими авторами [67, 146, 150, 378, 552, 575, 594].

Рис. 8.22. Скорость, длина волны и
длина затухания для волн тепловых
нейтронов в графите.

Рис. 8.23. Параметрический вид закона дис-
персии для волн тепловых нейтронов в гра-
фите.

Рассмотрим для иллюстрации односкоростную модель в транспорт-
ной теории [уравнение (8.82)]. Пусть

ф(х, ц, /) =Л(ц)ехр](&%+со/). (8.98)

Континуум соответствует исчезновению оператора в левой части урав-
нения (8.82). Континуум для распространения волны, следовательно,

375
есть

]’<й = =0. (8.99)

Используя равенство (8.92) и отделяя действительную и мнимую
части, находим:

а=4-Х4 (8.100)

Г*

5=<в/цр. (8.101)

Из выражения (8.100) видно, что континуум соответствует нейтронному
пучку с направляющими косинусами, равными ц, и ослаблением, опре-
деляемым полным сечением увода. Скорость волны

= (8.102)

представляет х-компоненту скорости нейтронов. Уравнения (8.100)
и (8.101) описывают поведение континуумного распределения, которое
всегда имеется в той или иной степени. В обычной терминологии эти
уравнения называются континуумными условиями и рассматриваются
отдельно от закона дисперсии. Таким образом, скорость континуумной
волны является не зависящей от частоты и характеризует недисперсион
ность среды. Однако можно считать континуумные условия частью ди-
сперсионного закона в том смысле, что континуумные собственные
значения принадлежат комплексному спектру собственных значений
оператора переноса.

Поскольку 1|л меняется от —1 до 1, то часто говорят, что уравне-
ния (8.100) и (8.101), в которых |ц| = 1, представляют собой границу
континуума. Это верно только в том смысле, что можно указать область
а>2« на графике, аналогичном рис. 8.23, как континуумную область.
Это не означает, что наблюдаемая волна, имеющая а<2<, является
чисто дискретной модой, а волна, имеющая а>2/, находится целиком
в континууме. Резкого перехода нет, хотя в волновом эксперименте при
достаточно больших со можно приблизиться к границе континуума в а,
^-плоскости (вклад континуумного распределения становится все более
важным при увеличении со). Можно показать, что континуум становится
доминирующим, когда возбуждаемая частота приближается к частоте
столкновений уЕ/, даже если детектор находится далеко от источника
и границ. Это аналогично ситуации со спадом нейтронного импульса
в малых системах, и некоторые математические модели предсказывают
отсутствие дискретных мод. Физически более правильно, по-видимому,
предполагать, что имеется плавный переход от асимптотического (ди-
скретного) в основном поведения к преимущественно континуумному
типу поведения при увеличении частоты и уменьшении размеров.

Много интересных явлений остается еще исследовать. По-видимому,
нейтронно-волновая техника станет весьма важной как в основных, так
и прикладных задачах по изучению реакторов. Последние достижения
в этой и других областях нейтронной динамики описаны в статьях,
представленных на симпозиум Аризонского университета в 1970 г.

Задачи

8.1. Выведите уравнение (8.7) из уравнений (8.1) и (8.6).

8.2. Выведите уравнение (8.15)—формулу теории возмущений для реактивности.

8.3. Покажите, что время генерации нейтронов численно равно изменению реак-
тивности, вызванному однородным изменением сечения поглощения на величину
62о=_1/Уф

8.4. Выведите формулу теории возмущений для реактивности в методе «многих
мод».
8.5. Объясните качественно, как может быть вызвана ксенонная неустойчивость
при выдвижении регулирующих стержней в одной области реактора и одновременном
введении регулирующих стержней в другой области без изменения общей мощности.

8.6. Выведите основную формулу метода «отношения площадей» [уравнение
(874)].

8.7. Выведите формулу Гарелиса — Рашелла [уравнение (8.81)].

8.8. Получите постоянные ослабления и сдвига по фазе для нейтронной волны
[уравнения (8.95) и (8.96)].

8.9. Используя определение групповой скорости в рассеивающей среде у8 = д(&1д^
выведите формулу диффузионной теории для групповой скорости волны для тепловых
нейтронов. Сравните результат с фазовой скоростью, полученной как

8.10. Проанализируйте распространение волн тепловых нейтронов в размножаю-
щей среде, используя диффузионную теорию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. АЬгатомгИх М., $1е&ип I. А. НапЛюок о Г та'ЬЬетаНоа! ГипсГюпз. ХМазкшдЪоп,
В. С., МаИопа! Вигеаи о Г ^ГапЛагс!®, 1964.

2. Аскгоус! К. Т., е. а. 8ГаЬШ1у сопзМепаГюпз т Ике дезг^п оГ Га®! геасГогз.— 1п:
«Ргос. Степема СопГ.», 1958, V. 12, р. 230.

3. Адатз С. Н., 81асеу XV. М., Лг. КАиМ2Е1Т, а рго^гат 1о ®о1уе соир1е<1 Нте-
берепбеп! дхЙозюп едиаГюпз 1т опе ®расе Штепзюп. КАР И-М-6728, 1967.

4. АШег Г. Т. КеасГог ктеНсз: 1п1е^га1 ециаНоп Гогти1аГюп.— «Л. Ыис1. Епег^у»,
1961, V. 15;, р. 81.

5. А^гезГа Л. бФаЫШу эГиШез оп Га®1 геасйог® угИк деЬауед геасНуИу соеГГ1с1еп1з.
МВА 214'7-7, 1961.

6. А^гезГа Л., ВогзГ И. В. 8расе-(1ереп(1еп1 рготр! ктеНсз о! а зиЬсгШса! геасГюг.—
«Мис1. 8с1. Еп&.», 1960, V. 7, р. '64.

7. Актед Г., ОкаГак А. К. Оп Гке зрасе-епег^у еерагаЫШу оГ 1ке (ипАатепЫ токе
оГ 1ке пеиГгоп ГгапзрогГ юрегаГог \уШ1 ГзоГгорГп^ ®аа111епп§.— «Мис1. 8ск Еп^.»,
1968» V. 38, р. 106.

8. Актей Р., Огоуег Р. 8., Ко1каг1 Ь. 8. МеиГгоп-угауе ргор>а<д>а11юп> Гкгои^к а сгузГа!-
Ипе тобегайог. Р1. 1, Вегу Шит.— «Мис1. 8с1. Еп§.», 19618|, V. 31,, р. 484.

9. Актед Р., Огоуег Р. 8., Ко1каг! Ь. 8. МеиГгоп-у^ауе р-пора^аИоп Шгои^к а сгуз1Га1-
1те тодегаЛог. Р1. 2, ОгаркПе.— <Мис1. 8с1. Еп^.», 1968, V. 34, р. 38.

10. Акегтап М. А. ЬесЛиг-ез т 1ке Гкеогу оГ аиЪотаНс соп1го1. (;1п Киззхап). Мозсоуг.
Еп&Изк 1гапз1а1?11оп, Ткеогу оГ аийотаИс соп1по1. Кеа4т<, Мазз.в А4Шэоп-^ез1еу,
1963. (См. Айзерман М. А. Лекции по теории автоматического регулирования. М.,
Физматгиз, 1958.)

Ш. Аксази А. 2. Оепега! зоГиНоп о! 1ке геасГог ктеНс едиаНоп® угИкои! Геебкаск.—
«Ыис1. 8с1. Еп&.», 195$, V. 3, р. 456.

12. Аксази А. 2. ТкеогеНса1 Геебкаск апа1уз1з т ЬоШпд угаГег геасГогз. АЫЬ-6221, 1960.

13. Аксази А. 2. Ьоса! э1аЫИ1у т геасЬогз хуГШ а Ипеаг Геейкаск.— «МисЕ 8с1. Еп^.»,
1966, у. 24, р. 88.

14. Аксази А. 2., ВаИез А. А зГибу оГ пюпИпеаг геасЛог дупатюз.— «Мис1. 8с1. Еп^.»,
19’60, V. 8, р. 89.

15. Аксази А. 2., ЬеПоиске О. 8., 8ко1к1п Ь. М. М)а4кета1Нса1 теГкодз 1п геасГог
дупапысз. Ы. V., Асабетгс Ргезз, Гогйксотт^.

16. Аксази А. 2., 1ЧоЫе Ь. В. А попПпеаг зГиЗу оГ геаоГогз хуЙЪ а Ипеаг ГееЛкаск.—
«Мио1. 8с1. Еп§.», 1966,, V. 25, р,. 47.

17. Аксази А. 2., ЫоЫе Ь. В. Ьа^гап^е з1аЫШу т геас!огз луИк а Ипеаг ГеедЬаск.—
«Мис1. 8с1. Еп^-», 1966, у. 25, р. 427.

18. Аксази А. 2., 8ко1кт Е. М. Ро^уег озсЙШаопз ап4 1ке безспЫп^ ГипсИоп ха
геас1огз \УЙк Ипеаг ТееЛэаск.— «Мис1. 8с1. Еп§.», 1967,, V. 28,, р. 72.

19. Аксази А. 2., 8ко1кт И. М. Арртох1та1е хегочроууег безспЬт^ 1ипс1юп уаИ(1 а!
а!1 Ггециепс1ез.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1968, у. 32|, р. 271.

20. А1Ьгеск1 К. XV. Тке теазигетеп! о! дупапис писГеаг геас!ог рагате1егз изт^ 1ке
уапапсе оГ 1ке питЬег о Г пеиЬопз (1е1ес1ес1.— «Мис1. 8с1. Епд.», 1962, V. 14„ р. 153.

21. А1соиЙе К. Е., А1Ьгеск1 К. XV. А депегаНхаИоп о! 1ке Нш1е ШИегепсе арргохь
таНоп те!код \У11к ап аррИсаНоп 1о зрасе-Нте пис1еаг геас!ог ктеНсз.— «Мис1.
8с1. Еп&.», 1970, у. 39, р. 1.

22. Апдгелуз Л. В. II, Напзеп К. Р. Митепса! зо1иНоп о! 1ке Нте-дерепкеп! тиШ-
дгоир (ИИизюп едиаНопз.— «Мию1. 8сИ Еп^.», 1968, у. 31., р. 304.

23. Аг^оппе МаНопа! ЬаЬога1огу. Кеас1ог ркузтсз сопз1ап1з. АМЬ-5800, 1963.

24. Аг§'оппе МаНопа! ЬаЬога1огу. Ргосеедт^з о! 1ке сопГегепсе оп ЬгеесИп^, есопопйсз,
ап<1 за!е1у т 1аг§е (аз! рошег геасХопз. АМЬ-6792, 1963.

25. Аг^оппе ЫаНопа! ЬаЬога(огу. РгосееШп^з о! 1ке сопГегепсе оп заГеГу, Гие1з апб
соге безг^п т 1аг^е рочуег геасФогз. АМЕ-7120, 1965.

26. Аг^оппе МаНопа! ЬаЬогаГогу. РгосеесИп^з о! 1ке 1п1егпаНопа1 сопГегепсе оп ГазГ
спШса! ехрептеПГз апс! ШеГг апа1уз1з. АМЬ-7320, 1966.

27. Азй М. 8о1и11опз оГ Ше теасГог Шпейсз едиаНопз Гог Рте уагу1п< геасИуШез.—
«Л. Арр1. Ркуз.», 1956, у. 27, р. 1030.

28. Азк М. Мис1еаг КеасГог КтеНсз. Ы. V.,, МсОгаху-НШ, 1965.

29. АГотГсз 1п1егпаНота1. Аппиа1 1есктса1 рго^гезз герог^ АЕС ипсГаззШес! рго&гатз,
Ггзса! уеаг 1959. МАА-81К-8'850, 1959.
30. АиегЬаск Т., Мепшд 1., 8аг1оз О. Тке аррИсаЕоп о! Ые зепез к> Нте <1ереп4еп1
геасйог Шеюгу.— 1п: «РгосеесИп&в о! Ше Вгооккауеп сопГегепсе оп хпЛиз^гха! пеесГз
апд асайетгс гезеагск т геасйог ктеНсз». ВЫЬ 501117 (Т-497), 1968.

31. АизНп А. Ь. ТкегтаПу тсГисеб У1ЬгаНопз оГ сопсепГпс Гкт зркепса! зкеПз.— «Ыис1.
8ю1. Еп§.», 1964, V. 20, р. 45.

32. Ауегу К. Ткеогу оГ соир1ед геасГогз.— 1п: «Ргос. Сепеуа СопГ.», 1958, V. 12, р. 182.

33. Аггот Р. е. а. А сопФгхкиНоп 1о 1ке 1'кеогу оГ ипсопйгоНеб рготр! сгШоа!
ехсигзюпз т Идшс! те1а1 соо1ей Газ! геасйогз.— «1. Ыис1. Епег^у», 1969, V. 23.,
р. 315.

34. ВаШопайо О. С., Егйтапп К. С. Митепса! гезиМа о! 1п4ег*Е.ас1а1 еГГесГз оп пеийгоп
угауез.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1969, V. 37, р. 59.

3'5 . ВаШ\У1п 6. С. КтеНсз оГ а геасГог оотрозеб оГ Гхуо 1оозе1у соирТеб оогез.—
«Мис1. 8с1. Еп§.», 1959, у. 6, р. 320.

36. Вапза! И. К., Ока!ак А. К., Актей Р. Неийгоп хуауе ргора^а1Ноп Гкгоидк &гар-
кИе.— «1. 14ис1. Епег^у», 1969, у. 23, р. 439.

37. Вагап XV., Меуег К. Екес! оГ 4е1ауед пеиГгопз оп 1ке зйаЫШу оГ а пис1еаг рюхуег
геасГог.— «Мис1. 8о1. Еп&.», .1966, V. 24, р. 356.

38. ВаггеИ Р. К., Ткотрзоп Л. Л. 8|1оска®Пс пюдеГз о! рюхуег геасШг ЛупатГсз.—
«Л. Мис1. Епег^у», 1969, у. 23;, р. 147.

39. ВагГоп О. К., ВеппеЙ 6. Ь., Сагреп!ег XV. К. Рохуег ЬигзГ ГасШГу ргеПттагу
заГеГу апа1уз18 геропк ЮО-17060, 1965.

40. Вескег М. Тке ргтсхрЬез апд аррИсаЕопз оГ уапаИопа! теГкойз. СатЬгМде, Мазз.,
М. I. Т. Ргезз, 1964.

41. Вескег М. Оп 1ке токгзхоп оГ Ьоипдагу Гегтз т Нте-4ереп(1еп! зупгЬкезГз !еск-
тциез.— «Мис1. 8ск Еп&.», 1965, у. 22, р. 384.

42. Вескег М. А ^епегаИгеб Гюгти1а!юп оГ рот! пис1еаг геасйог ктеНоз едиаЕопз.—
«Ыис1. 8с1. Еп&.», 1968, у. 31„ р. 458.

43. Вескег М. АзуттеГпс (НзсопНтгШез т зупШезГз Гесктдиез Гог 1пШа1-уа1ие
ргоЫетз.— «14ис1. 8ю1. Еп§.», 1968,, у. 34, р. 343.

44. Вескег М., (йшзепкеггу К. 8. 8рай1а1 дерепёепсе оГ риЛэеЛ пеиГгюп геаоПуНу теази-
гетепЕ—1п: «Меийгоп Лупатюз апб сопГго!», есЬ, Э. Ь. Нейггск, Ь. Е. ХУеауег.
Оак Тепп., 1Л8АЕС Эхухзюп оГ Тесктса1 1пГогтаНоп Ех!епз1оп, 1966.

45. Вескргс! Е. 8. Эупапмс апа1уз1з оГ паГига! с1гси1аНоп ЬоШп§ хуаГег рохуег геасГогз.
АМЬ-5799, 1958.

46. ВескигГз К. Н. МеазигетепГз хуйк а ри1зе<1 пеийгоп зоигсе.— «Мис1. 8с1. Еп^.»,
1957, у. 2, р. 516.

47. ВескигГз К. Н., ХУ1г!г К. ЫеиГгоп ркузгсз. Сегтап ейШоц, 1958,, ВегИп, Зргт&ег-
Уег1а&, 1964, (См. Бекурц К. Г., Виртц К. Нейтронная физика. Пер. с англ. Под
ред. Л. А. Микаэляна и В. И. Лебедева. М., Атомиздат, 1968.)

48. ВедЫап Ь. Е. е. а. Тке шуезН&аНоп оГ пеиГгоп кшеНсз апд сгозз зесНопз ш Таз!
поп-гподегаНп^ аззешЬИез Ьу 1ке папозесотд ри!зед пеЫкгоп эопгсе 1ескп1дие.—
«Мис1. 8с1. Еп^.», 1963, у. 15, р. 375.

49. Ве11 6. I., 61азз!опе 8. Ыикйеаг геас!ог Шеюгу. Ап адуапсед соигзе. Ы. Т., Уап
Ыоз1гапс1 Кетко1с1, 1970. (См. Белл. Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов.
Пер. с англ. Под ред. В. Н. Артамкина. М., Атомиздат, 1974.)

50. Ве11еп1-Могап1е А. ЗоИийоп о! 1ке пис1еаг геао!ог кхпеНсз едиаНопз Ьу а шейкой
о! зиосез'зхуе арргоххтаИопз.— «Л. Мис1. Епег^у», 1063, у. 17, р. 439.

51. ВепсИ Р. Л., Кагг Н. Л., 8соЙ Е. К. Ргоптрй пеийгоп репойз о! а сгШса! а81зет'Ыу
теазигеб хуЦк а ри1зе<1 зоигсе.— «Г4ис1. 8с1. Еп&.», 1958, у. 4, р. 703.

52. Вегпз^ет 8. е. а. ХЧеИ о! ркоШпеийгопз !гот 2351Л Пзэюп ргосШсйз т ЬегуПгит апй
Леийегшт.— «Л. Арр1. Ркуз.», 1956, у. 27, р. 18.

53. ВегпзШхп 8. е. а. У1еМ о! ркоШпеийгопз кот 2351Л Пзз1оп ргодисйз т кеауу
хуа!ег.— «Ркуз. Кеу.», 1'947„ у. 71, р. 573.

54. ВеШе Н. А. Кеас1ог за!е!у апб озсШаШг 1ез1з. АРЭА-117, 1956.

55. Ве1ке Н. А., Так Л. Н. Ап езШпаФе о! Ше огйег о! тадпайийе о! Ше ехр1озюп
угкеп Ше соге о! а Газ! геас!ог соПарзез. (1Л. 8. — 1Л. К. Кеас!ог кагагб тееНп^)
11т!ес1 Кдп^Лот АГогтс Епег^у АийкогИу герог! КНМ (56)/ЫЗ, 1956.

56. ВеузГег Л. К., КиззеП Л. Ь. Кере!Шуе1у ри1зе(1*ассе1ега(1ог ЪоозШгз. ОА-61168,, 1965.

57. Веуз!ег Л. К. е. а. Меазигетеп!з о! пеи1гоп эрес!га т \уа!ег, рЫуейкукпе; апд
21гсоп1ит кудпйе.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1961, у. 9, р. 168.

58. ВПкагг Н. Ветегкип^ хи етет 8а1х уоп НипуМг.— «2. Ап^еху. МаШ. Меск.>,.
1944, ВЛ. 24, 8. 77.

59. ВкккоИ О. Митепса! зо1иНоп о! Ше геасГог ктеНсз ециаИопз.— 1п: «Мшпепса!
зо1и!1опз оГ попКпеаг (ННегепНа! е4иа.Нопз», ед. П. Сгеепзрап. Ы. У., ХУЙеу, 1966.

60. В1аеззег О., Ьагптоге Л. А. Вхэогейе ктеНсз Гог репоШсаИу рЫзед Газ! геасйогз.—
«Мис1. 8с1. Еп^.», 1969, у. 37, р. 186.
61. В1аше К. А., ВеНапд К. Г. А геасГог зуз^ет дупатГсз соде, А1ЯО8.— 1п: «Ргосее-
дт§ оГ 1ке сопГегепсе оп Ше аррНсаНоп о! сотриНп^ теФкодз 1о геаЫог ргоЬ-
1етз», ед. М. ВиНег. А14Е-7О5О,, 1965.

62. ВодепзскаГг С. А. е. а. МЯХ/Е8Т геасГог ГгапзГег ГипсНопз. РЕ 1. Ротуег 1о 1ет-
регаГиге ЬгапэГег ГипсНопз.— «Тгапз. Атег. 14ис1. Зое.», 1966, V. 9, р. 327.

63. Во&о1шЬоу 14. 14., МИгоро1зку V. А. АзутрФо-Ис теГкодз т Ше {Неогу о! попНпеаг
озсШаиопз. Л. У., Согдоп апд Вгеаск, 1961. (См. Боголюбов Н. Н., Митрополь-
ский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Гостех-
теориздат, 1955, 1958.)

64. Вопдагепко I. I., $1аУ1зкп Уи. Уа. РиГзед орегаНо п оГ а Газ! геасГог. Еп^Нзк 1гап-
з1аВоп.— «Л. Мис1. Епег^у», 1961, V. 14, р. 55. (См. Бондаренко И. И., Ста-
висский Ю. Я. Импульсный режим работы быстрого реактора. — «Атомная энер-
гия», 1959, т. 7„ с. 4117.)

65. Воо!к К. 8., НагНеу К. Н., Регег Я. В. Оп Ше ехрегмпегйа! аррПоа'Ыоп о! !ке
пеи1гоп-\уауе Гесктдие Го ГкегтаЬпеи'Ггоп зузГегпз.— «14ис1. 8с1. Еп^.», 1967, у. 28»
р. 404.

66. Вгаезз В., КйзГегз Н., Ткигпау К. 1тргюуетепГ 1п зесопд ехсигзюп оакиГаФюпз____

1п: «Ргосеедт^з оГ 41те ГпГегпа'Гюпа! сопГегепсе оп Ше заГеГу оГ ГаЗГ геасГогз»
(А1х-еп-Ргоуепсе, 19—22 ЗерГетЬег 1967), ед. С. Ееше1ои. Рапз. ВоситепГаПоп
РгапсаГзе, 1967.

67. Вгект К. Ь. Апа1узГз оГ пеи4гоп-^ауе Гуре ехрептепГз.— 1п: «НеиГгоп МоГзе \Уа-
уез апд Ри1зе Ргора&аНоп», ед. 1Л1п§. К. Е. Оак ЯГд^е, Тепп., И8АЕС В1У151оп
оГ ТескпЬса! 1пГогтаГюп ЕхГепэтоц, 1967.

68. Вгект К. Ь. АррИсаФюп оГ Ше уагГаЫе дгаШепГ теШод о! депелаПп^ Ыарипоу
ГипсГГопз Го ргоЫетз т геасГог зГаЬШ'Гу.— «Тгапз. Атег. 14ис1. 8ос.», 1969, у. 12,
р. 737.

69. Вгект К. Ь., НеГгГск В. Ь., Зскпид! Т. К. ЗГаЬШГу зГидхез оГ т-соге Шегтютс
геасГог сопсерГз.— «Ыис1. Арр!. Теск.», 1969, у. 7, р. Ы7.

70. ВпскзГоск А., Вау1ез А. К., 8ткк I. 8. А Пте-дерепдепГ тиШ^гоир дПГизюп
соде лу!Ш аиГота<Нс зеИ-зЫеШт^ оГ сгозз зесЫопз.— 1п: «Ргосеедт^з оГ Ше соп-
Гегепсе оп Гке аррНоаМоп оГ оотроН-пд те4кодз Го геасГог ргоЫетз», ед. М. ВиПег.
АМЕ-7050, 1965.

71. Впд^ез В. 14. е. а. А теГкод Гог са1си1аГт^ зрасе-дерепдепГ геасГог зоигсе ГгапзГег
ГипсГГопз луЦк ГеедЬаск.— «14ис1. 8с1. Еп^.», 1969, у. 36, р. 122.

72. ВпГГап Я. О. 8оте ргоЫетз 1п Гке заГеГу оГ Газ! геасГогз. АМЬ-5577, 1956.

73. ВгГГГап К. О. Апа1уз1з оГ Гке ЕВК-1 соге те1Гдо\уп.— 1п: «Ргос. Сепеуа СопГ.»,
1958, у. 12, р. 267.

74. Вгооккауеп МаГюпа! ЬаЬогаГогу. Ргосеедт^з о Г Гке Вгооккауеп сопГегепсе оп
ГпдизГг1.а1 пеедз апд асадетГс гезеагск 1п геасГог ктеНсз. В14Ъ 5ОГ17 (Т-497), 1968.

75. Вгоугп Н. В. А ^епега! ГгеаГтепГ оГ Пих ГгапэГепГз.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1957, V. 2,
р. 687.

76. Виг^гееп В. Ткегтое1аэГГс дупатГсз оГ а ри1зе геасГог.— «14ис1. 8сГ. Еп^.», 1967,
у. 30, р. 317.

77. Виззагд К. М<., Ве Ьаиег К. В. Мис1еаг госкеЛ ргориГзюп. И. У., МсСгагсг-НШ, 1958.

78. СадугеП XV. К., Непгу А. Г., У1^ПоШ А. Л. ХУ.ЮЬЕ,, а рго^гат Гог 1ке зоГиНоп
оГ 1ке Ьуо-дгоир зрасе41те дГГГизюп едиаНотз 1п з1аЬ деотеку. ХУАРВ-ТМ-416,
1964.

79. Сакп А., Дг., Мопк А. Т., \УешЬег§ А. М. Ткеогу оГ озсШаНпд акзогкег 1п а скат
•геасНп& рПе. СР-2907,, 1945.

80. Сапоза Л. Вупагтсз оГ ап адхакаНс рот! геасГог.— «Мис1. 8сь Епд.», 1964, V. 19,
р. 392.

81. Сапоза Л. А печу теНтод Гог попНпеаг геасФог дупатюз ргоЫетз.— «Мик1еоп1к»,
1967, Вд. 9, 8. 289.

82. Сапоза Л. ЗраНа! д1зГпЬи1лоп оГ 1ке епег^у ге1еазед т а роууег ехсигзюп.—
«Тгапз. Атег. 14ис1. 8ос.», 1967, у. 10, р. 247.

83. Сапоза Л. Тке еГГес! оГ де1ауед пеийгопз оп геас!ог ехсигзюпз чукк г.атр геасНуПу
твегНоп.— «Мик1еотк», 1968, Вд. 11,, 8. 131.

84. Сапоза Л. СоттепГз оп 1\уо рарегз оп !ке попНпеаг дгГГизюп едиаНоп.— <Ыис1.
8с1. Еп&.», 1968, у. 32), р. 156.

85. Сапоза Л. ВИГизкт т попНпеаг тиШрИсаНуе тедГа.— «Л. Ма!к. Ркуз.», 1969,
у. 10, р. 1862.

86. Сапоза Л., Вгоокз Н. Хепоп-тдисед озсПШюпв.— <Ыис1. 8сЕ Еп&.», 1966, у. 26,
р. 237.

87. Сагз1омг Н. 8., Лае^ег Л. С. СопдисНоп оГ кеа! т зоКдз. 2-пд ед. ОхГогд, С1агепдоп
Ргезз, 1959. (См. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Пер.
с англ. Мч, «Наука», 1964.)
,88.' СагГег Л. С., 8рагкз В. XV., Тезз1ег Л. Н. Регюд эйеоГ ш геасГог бупатгоз.— 1п:
«КеасГог кгпеНсз апд сопко!», ед. Ь. Е. "Шеауег. Оак Нк!^, Тейп., 118АЕС ВМ-
эюп оГ Тесктса! 1пГогтакоп ЕхГепзюп, 1(964.

89. Сазе К. М., 2мгейе1 Р. Р. Ьтеаг ГгапэрогГ Гкеогу. Кеадтд, Мае®.,, Адд1зоп-ХХГез1еу,
1967. (См. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1972.)

90. Сезап Ь. АзутрГокс Ьекауюг апд зГакЫНу ргоЫетз т огдтагу дШегепНа! ециа-
копз. ВегИп, 8ргт^ег-Уег1а§, 1959. (См. Чезари Ламберто. Асимптотическое пове-
дение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер.
с англ. М., «Мир», 1964.)

91. Скаппоп Р. К., 8еа1е К. Ь. Тке зГшду о! Гкегта! пеикопз 1п зкГеТдз сотЬаШхп^
дис1з Ъу эоигсе-зерагаПоп Ггэскшдиез.— «Ыис1. 8С1. Еп^.», 1967, у. 30, р. 242.

92. Скарт В. М. Оп Гке зГер-гезропзе теШод оТ деГегтттд Ше хего-роугег геасГог
капЫег ГипсПоп.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1969, V. 36, р. 1'13.

93. Скеп 8., ЫдоТзку Ь. Л. Зр*а<Иа1 дерепдепсе оГ э1оуип§ доугп Птез Гог 14, 1 Меу
пеикопз т улаГег.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1967, V. 29, р. 193.

94. Скегтск Л. Тке дерепдепсе о! геасГог ктеНсз оп ГетрегаГиге. БМЬ 173 (Т-ЗО),
1951.

95. Скегтск Л. А геу1еду оГ попНпеаг геасГог дупаппсз ргоЫетз. ВЫЬ 774 (Т-291),
1962.

96. СкезГпиГ Н., Мауег К. XV. Зегуотескапгзтз апд ге§и1аНп(* зузГет дезх^п. И. У.,
ХУПеу, 1951. (См. Честнат Г., Майер Р. В. Проектирование и расчет следящих
систем и систем регулирования. Пер. с англ. М.— Л.„ Госэнертоиздат, 1959.)

97. Скеип^ К. V., МПеу 6. Н. Оп Шепта1-пеиФгоп риГзе ргорадаНоп.— «Мис1. 8с1.
Еп^.», 1'966, у. 24, р. 216.

98. Скехет С. О., КбЫег XV. Н., едз. СотрГед геасГог кШейсз. СоИе^е Зйайоп, Тех.,
Тех аз А. & М. Ргеэз, 1967.

99. С1агк М., Лг., Напзеп К. Р. Ыитегка! теГкодз о! геасГог апа1у®13. Ы. У., Асадеппс
Ргезз, 1964.

100. С1епдетп XV. XV. Тетрега-Гиге дерепдепсе оГ пеикоп-риЖзе рагатеГегз 1п НгО.—
<Мис1. 8с1. Еп&.», 1964, V. 1(8, р. 351.

1011. СоаГз К. Ь., О’Впеп Р. В. Рике скагасГегЫкз о! Запдга риЬед геасГог II.—
«Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», Г968, у. 1|1, р. 219.

102. СоскгеП К. О., Регех К. В., ВаИоп 6. К. Опе-зреед ГгапзрогГ зГиду о Г Газ! пеиГ-
гоп риГвез т поп-тодегакп^ тедга.— .«№1с1. 8с1. Еп^.», 1964, V. 19, р. 423.

103. Соддт&Гоп Е. А., Ьеутзоп М. Ткеогу оГ огдтагу дгГГегепНа! еяиакопз. Ы. У.,
МсОга\у-НН1, 1955. (См. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1958.)

104. Сойег С. В. е. а. СкагасГеггзксз оГ 1аг^е геасНуЙу тзеШопз ш а Ы^к-регГог-
тапсе ТЭДЮА игапшт — гксютит кудггде соге.— 1п: «Иеикоп дупапмоз апд
сопГго1», ед. В. Ь. НеГпкк, Ь. Е. ХМэауег. Оак К1дде, Тепп., О8АЕС В1у1вкп о!
Тескпка! ЬпТогта^оп ЕхГепзюц, 1966.

105. Сокеп Е. К. 8оте Горкз т геасГог ктексз.— 1п: «Ргос. Сепеуа СопЕ», 1958,
у. 11, р. 302.

106. Соки С. Е. А з1трШ1ед Гкеогу оГ рНе по!зе.— «Мис1. 8са. Еп^.», 1960, V. 7, р. 472.

107. Соки С. Е. К еПесГед-геасГог ктексз.— «Мшс1. 8с1. Епд.», 1962, у. 13, р. 12.

108. Сокп С. Е., Локпзоп К. Л., Масдопа1д К. М. Са1си1аНп^ зрасе-дерепдеп! геасГог
ФгапзГег ГипсИопз и13>1п& 51аНсз Гесктциез.— «Мис1. 8с1. Епд.», 1966, V. 26, р. 198.

109. Соктоз В. Тке ркузхз о! риГзед пеиФгопз.— 1п: «Адуапсез т пис1еаг зс1епсе апд

ГескпоШ^у», у. 3, ед. Р. ОгееЫгзг, Е. Л. Неп1еу. И. У., Аоадеттс Ргезз, 1966.
(См. Импульсный метод в нейтронной физике. Сб. статей. Под ред. П. Гриблера,
Э. Хенли. Пер. с англ. М,, Атомиздат, 1969.)

НО. Сопп К., Согп&о1д 14. А Гкеогу оГ риГзед пешкой ехрепгпепк ш ро1уогуз4а111пе
гпед1а.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1969, у. 37, р. 85.

Апа1у&1з оГ ри1зед пеикоп ехрегппепФз ш ро1усгуз1а1Нпе гпедга изш^ а тоде1
кегпе1.— «Нис1. 8с1. Еп&.», 1969, у. 37, р. 94.

14 .1. СогЬеп Н. С. Апа1уэ1з оГ Гке гего ромгег геасГог ГгапзГег ГипсНоп.— «№ис1. 8с1.
Еп^.», 1959, у. 6, р. 461.

112. СогЬеп Н. С. Тке сотри1акоп о! ехсезз геасГгуЙу Ггот роугег Ггасез.— «Иис1. 8сь
Еп^.», 1959, V. 5, р. 127.

113. Согп^о1д Ы. 8оте Ггапз1епГ ркепотепа 1п ГкегтаПгаГюп РГ. 1. Ткеогу.— «Иис1.
8с1. Еп^.», 1964, у. 19, р. 80.

114. Согп§о1д № Весау сопзГапГ о! а пешГгоп риТзе.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1965, у. 23,
р. 403.

115. Согп&о1д № Оп Гке таххтит аЬзогркоп Гкеогет.— «Ыис1. 8ск Еп^.», 1966, у. 24,
р. 410.
1116. Согп§о1к Ы., Виг§ип К. АпаЛуэхе оГ ри!зек пеиФгоп ехрептепФз гп гпокегаГогз уха
а запкрТе токе1.— «Мис1. 8ск Еп§.», 1967, V. 29, р. 354.

117. Согп§о1к М., М1сНае1 Р. 8оте ГгапзГепГ ркепотепа т ГкегтаИгакоп. РГ. 2Г
1тр1гсаФ1опз Гог ехрептеп!.— «№1с1. Зек Еп§.», 1964, V. 19, р. 91.

1И8. Согп^оЙ Й., Мхскае! Р., АУоПтап XV. Тке Г1те кесау соп&капФз т пеиФгоп Гкегта-
И21аФ1оп.— «№ю1. 8с1. Еп^.», 1963, V. 15, р. 1(3.

119. Соуеуои К. К., МиШкеп Т. XV. 8о11ИГ1оп оГ Гке ециаНоп Й+(а+ЬГ^+|(с+'к!Г)М==О.
АЕСВ-2407, 1948.

120. СгапкаП 8. Н. Еп^теепп^ апа1ув1б. Г4. V., МсСга\у-Н111, 1956.

121. Сгапк 1. Тке таГкетаНсз о! кГГГтэюп. ОхГогк, С1агепкоп Ргезз, 1956.

102. Сиптп§кат XV. Л. ГпФгокисГюп Го попПпеаг апаГузГз. М. V., МсОтауг-НШ, 1958.
(См. Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Пер. с англ. М.—Л.,
Госэне|р1гоиадат„ 1962.)

103. Сиптп^кат XV. Л. Тке сопсер! оГ эГаЫПГу.— «Атег. 8т.», 1963, V. 51, р. 405.

124. Сиг1ее Ы. Л. МопзерагаЫе эрасе41те ГгапзаепФз гезиШп^ кот скап^ез 1п 1П11е±
соо1апГ ГетрегаГиге.— «Ыис1. 8ск Еп§р», 1959, V. 6, р. 1.

125. ВаНск Р. В., ЕЬео§1и В. В. АзутрГоПс ап! ГгапзхепФ апаГу®!® оГ ри1зек токега-
Гогз.— «Мис1. 8т. Еп^.», 1963, V. 17, р. 212.

106. ВахГск Р. В., Ьее К. К., НоЬзоп Н. Ь. Апа1у81& о! ри!&ек пепГгоп ехрегГтепГз 1п
токегаПп^ аззетЬИез.— 1п: «МеиГгоп купагтсз апк сопГго1», ек. Э. Ь. НеГгхск,
Ь. Е. ХУеауег. Оак К14@е, Тепл., П8АЕС В1уй®1оп о! Тесктса! 1пГогта|Гюп ЕхГеп-
зюп, 1966.

127. Вау18 8. К., Эе Лигеп Л. А., Кехег М. РиГзек-кесау апк ехГгароГаЕоп-Ьэп^тГк теази-
гетепФз т §гаркйе.— «Мио1. 8т. Еп§р», 1965,, V. 23, р. 74.

128. Ваухзоп В. НеиФгоп ГгапзропГ Гкеогу. ОхГогк, С1агепкоп Ргезз, 1957.
(См. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Пер. с англ. Под ред. Г И. Марчука.
М., Атомиздат, 1960.)

129. Ве НоНтап Г. СгЖсаНАу о! Гке туаГег ЬоНег апк ейеоЫ^е питЬег о-Г кеЬауек
пеиГгопз. АЕСО-30511, 1944.

130. Ветекш О., ек. Ргосеект^з о! Гке тпГегпаГГопа! сопГегепое оп Гке эаГеГу оГ ГазГ
•геасГоге (АГх-еп^Ргоуепсе, 19—22 ЗерГетЬег 1967). Рапа, ПоситепГаГюп Ргап^аГзе,
1967.

1311. Ветх V. 8Фику о! Гке ктеНсз о Г ГкегтаИх-ек пеиФгоп рори1аФюп т тиЮр1у1п^ ог
поптиГГгрГут^ кеГего^епеоиз текш.— «Мне!. 8с1. Еп§.», 1967, у. 28, р. 397.

132. Ветг V., Ье Но Л. 6., 8а§оГ М. 84ику оГ ТаШсез оГ ^гарЫФе упГк етрГу скаппеГз
Ъу теапз оГ Гке риГзек зоигсе Гесктдие.— «№1с1. 8т. Еп§р», 1968, у. 32, р. 201.

133. Ве8коп§ Л. А., Лг. Путание апа1узгз оГ 11дшк-теГа1-соо1ек Газ! роугег геасГогв.
АМЬ-7529, 1969.

134. Ве8коп(* Л. А., Ыртзк! XV. С. АпаГуэГз о! ехрептепГа! роууег-геаоПуНу Геек-
Ьаск Ггап&Гег Гипскопз Гог а паШга1 сГгсиГакоп ЬоШп^ хуаГег геасГюг. А1ЧЕ-5850,
1958.

135. ВеуегаП Ь. I. 8о1и1Ыоп оГ Гке Птпе-керепкегиГ 1кегта1 пеиГгоп кГИтэхоп ргоЫет.—
«Мис1. 8с1. Еп§р», 1958, V. 4, р. 495.

136. Веуоо§к! Л., Мазк§ее!з С. А пе\у зупЫгеэхз теГкок Гог риГзек-пеикоп ехр'эп-
теп/Ьз.— «Мио!. 8с1. Еп&.», 1968, у. 32, р. 82.

137. Веуоо§кГ Л., 8те!з Н. В. Вейегпипакоп оГ зГаЫШу котатз 1п рот! геаоГог купа-
ПЙ1С8.— «№1с1. 8т. Еп§р», 1967, у. 28, р. 206.

138. В1скегтап С. Е. КтеМсз оГ Гке Гтапз1епГ геаоГог ГезГ ГасП-йу (ТКЕАТ).— 1п:
«КеасГог кшексз ашк сопГго!, ек. Ь. Е. XVеаVег. Оак Кгк&е, Тепп., П8АЕС Вм-
8юп оГ Тесктса! 1пГогтаГ1оп ЕхГепзкт, 1964.

139. Вккегтап С. Е., Локпзоп К. Е., Оаз1к!о Л. КтеПсз оГ ТРЕАТ изек аз а ГезГ:
геасГог. АЫЕ-6458, 1962.

140. ВхеГпск Л. К. Тке геасГог сопз.— 1п: «Тке Гескпо1о§у о! пис1еаг геасГог заГеГу»,
у. 1, ек. Т. Л. Ткотрзоп, Л. О. Вескег1еу. СатЬпк^е, Мазз., М. I. Т. Ргезз, 1964.

141. В1 РазциапГото Е. 8(ГаЫ1йу т Гке 1аз1Г арргсштаНоп апк а спГ1са1 сазе ге1а!т§г
Го писГеаг геасФог ктеНсз еяиаПюпз.— «МикТеотк», 1968, Вк. 11, 8. 276.

142. В1 РазциапГошо Р., Карре! Р. СоттепГз оп ГкеогеПса! апк ехрегатегиГа! спГена
Гог геасГог эГаЫИГу.— «Мис1. 8т. Епдр», 1970, у. 39, р. 133.

143. Вогтп§ Л. Ткегта1-пеиГгоп кесау гп &та11 зу&Гетз.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1968, V. 33,
р. 65. Т1те-керепкеп|! пеикоп ГкегтаИаакоп т ГтГГе И^кГ угаГег зузГетз.— «Мис1.
8сГ. Еп^.», 1968, у. 33, р. 81.

144. Вогп1п$ Л., Ы1со1аепко 1к, ТГшгЬег Л. К. Тке Гкеогу оГ ри1зе кесау т зиЬсгШса!
Газ! зузФетз \У1Гк ^епегаГ сгобз эесПопз.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 1969, у. 12,
р. 656.

145. Вогпш^ Л., Ткигкег Л. К. Ап ехр1апаПоп оГ Гке аррагепГ уюГаГГоп о! Гке тахГтшп-
аЬзогрГюп Гкеогет.— «Тгапз. Атег. 1Чис1. 8ос.», 1968, V. 11. р. 579.
146. Вогшп& Л., ТЬигЬег Л. К. Риге1у дхесгвТе пеиТгоп угауе ркепотепа 1п ТЬе сопТтиит
ге^юп.— «Тгаоз. Атег. Ь1ис1. 8ос.», 1968|, у. .111» р. 580.

147. ВозЫ Р. К.» МПеу О. Н. КеасТог пеиТгоп рт1®е ргора§аТюп т тиШр1у1Ш2 тедха,—
«Тгапз. Атег. Мис!. Зое.», 1968, V. Н, р. 191.

148. ВозЫ Р. К., МПеу С. Н. ЫетТгоп ри!зе ргора^агНоп т а тиШрЯут^ тед!ит.—
«1Чис1. 8с1. Ещг », 1970, у. 39, р. 1812.

149. ВоидИегТу В. Е., 8Ьеп С. Ы. Тке арасе-Ите пеиТгоп ктеТю едиаТюпз оЬТатед Ьу
Тке зетЬдтесТ уапаТюпа! теТкод.— «Мис1. 8с!. Еп^.», 1962, у. 13, р. 141.

150. ВидегзТадТ Л. Л. А ТгапзропТ Т'Ьеогу о Г пеиТгоп угауе рпора&аФТоп т рЫусгузйаПте
тесИа.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1968, V. 38, р. 149.

151. ВипепТе1д М. 8. Апа1узез оТ Тке дупапнез о! Тке кшеТгс ехрептепТ угаТег ЬоПег
геасТог.— «Тгапз. Атег. Нис!. 8ос.», 1961, V. 4, р. 70.

11512. ВипепТе!д М. 8., ед. КтеТас ехрептепТз оп угаТег ЬоПегз, «А» соге герогТ. РТ. 2.
Апа1узгз о! гезиИз. МАА-8К-04116, 1’962.

158. ВипепТе1д М. 8., ОатЫе В. Р. Апа1уНс зоТи'Ыопз То КЕХ№В ктеТгсз едиаИопз Тог
зкогТ репос! ТгапзТепИз.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 1959, у. 2(2), р. 62.

154. ВипепТе1д М. 8., 8Ш< К. К. 8иттагу геу^елу о! Тке ктеНсз ехрептепТз оп угаТег
ЬоПегз. ЫАА-81Н-7087,, 1968.

155. Егдё1у! А. Зт&иЬаг регТигЬаТхопз о! Ьоипдагу уа!ие ргоЫетз туоЬгт^ огдТпагу
сНИегепНа! едиаНопз.— «Л. 8ос. 1пд. Арр1. МаТк.», 1963, V. 11, р. 105.

156. Егдтапп К. С., Ьипе Н. А Тую-ге^юп ргоИет ш Нте-дерепдепН топоепег^еТТс
пеиТгоп ТгапэрогТ Ткеогу.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1967, у. 28, р. 190.

157. Ег&еп XV. К. КтеТкз оТ Тке схгсЫаТт^ Тие1 геасТог.— «Л. Арр1. РЬуз.», 1954, V. 25,
р. 702.

158. Егдеп XV. К. ЗеИ-ИтШт^ роугег ехсигзюпз т 1аг§е геасТогз.— «Тгапз. Атег. Ыис1.
8ос.», 1965, у. 8, р. 221.

159. Ег^еп XV. К-, Ь!ркт Н. Л., МоЬе! Л. А. АррЬсаТТопз оТ Ыарипоу’з зесопд теТкод т
геасТог дупапнез.— «Л. МаТк. апд РЬуз.», 1957, у. 36, р. 36.

160. Егдеп XV. К., Моке! Л. А. 8НаЫЖу оТ а сопТТтоиз-тедшт геасТог.— «Л. Ыис1.
Епег^у», РН. А, 1959, V. 10, р. 14.

161. Ег^еп XV. К., XVе^пЬе^§ А. М. 8оте азресТз оТ поп-Нпеаг геасТог дупапнез.—
«Ркузгса», 1954, у. 20, р. 413.

162. ЕТкепп^Топ Н., ед. МисТеаг еп§1теегт& ЬапдЬюок. Ы. У., МсОгауг-НШ, 1958.

168-. Еуапз Л. XV. А ГогтиДаТюп Тог питепса! зокяЫоп оТ Тке Тпуегзе ргоЫет оТ Тке
^епегаИгед геасТог кшеТюз едиаНТотз.— ЬА-3045, 1964.

164. Еуапз XV. К. СопТго! зузгТегп зупТкезгз Ьу гооТ-1осиз теТкод.— «Тгапз. АНЕЕ», 1950,
у. 69, р. 66.

165. Еуапз XV. К. СопТго! 8узТет Вупатхсз. Ы. У., МсОгауг-НТЦ, 1954.

166. Рагтег Р. Й. 8оте Ьазхс заТеТу сопзхдегаТхопз т ТЬе деуе1оршепТ оТ рохуег-рго-
дис!п& геасТогз.— «Ыис!. 8а!еТу», 1968, у. 5, р. 1.

167. Реушпапп К. Р., де НоТТтап Р., ЗегЬег К. Вхврегэхоп оТ ТЬе пеиТгоп етхззТоп ш
2351Л Пэзхоп.— «Л. Ыис!. Епегду», РТ. Д, 1956, у. 3,, р. 64.

168. Р1аТТ Н. Р. ТЬе питепса! зокхТюп оТ ТЬе геасТог кшеТхсз едиаТюпз Ьу ТЬе теТкод
о! соПосаТхоп. Мис1. СошриТш^ Тескп. ВиП. Мо. 5. Ьоз Ап§е1ез, 1ВМ ЭаНа Рго-
сеззт^ Шу., 1962.

169. Р1аТТ Н. Р. НеасТог кшеНсз са1си!аТ!опз.— 1п: «СошриТш^ теТЬодз ш геасТог
рЬузхсз», ед. Н. Сггеепзрап, С. М. Ке1Ьег, В. ОкгепТ. Ь1. У., Оогдоп апд ВгеасЬ,
1968. (См. Вычислительные методы в физике реакторов. Сб. статей под ред.
X. Гринспена и др. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1972.)

170. Р1еск Л. А., Лг. ТЬе Тетрега|Тиге-дерепдепТ кхпеПсз оТ агсиТаТше^Гие!1 геасТог®.
ВМЬ-357 (Т-65), 1955.

171. Р1еск Л. А., Лг. ТЬе тПиепсе оТ ргеззиге оп ЬоШп^ угаТег геасТог дупаппс ЬеЬауюиг
а! аТтозрЬепс ргеззиге.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 19*611» V. 9Л р. 2711.

172. Родегаго А., 6агаЬед!ап Н. Ь. Туго-^тоир геасТог кшеНсз.— «Ыис1. 8сЬ Епе.»,
1962, у. 14, р. 22.

178. Року Л. Е., 8еа1е К. Ь. МеазигетепТ оТ ТкеппаГпеиТюп десау сопзТапТз изт§
а зхпизохда! пеиТгоп зоигсе.— «Тгапз. Атег. Ыис!. 8ос.», 1969, у. 12, р. 680.

174. РогЬез 8. О. 8!тр1е тоде1 Тог геасТог зЬиТдоу/п.— 1п: «РиагТег1у рго^тезз герогТ,
Ла пи агу, РеЬгиагу, МагсЬ 1958, геасТог ргоТесТз ЬгапсЬ», ед. С. О. Вп^Ы.
100-16452, 1958.

175. РогЬез 8. О. Верепдепсе оТ ТЬе ^с(^т)уза ТипсНоп оп геасТог рагатэТегз.— 1п:
«(^иагГег1у рго^гезз герогТ, Лапиагу, РеЬгиагу, МагсЬ 1959, геасТог рго]'ес1з
ЬгапсЬ», ед. Л. А. ЫогЬег^. ТВО-дОбвО, 1909.

176. Рои1ке Ь. Н., СуТТороикз Е. Р. АррИсаИоп оТ ТЬе паТига! тоде арргохппаНоп То
зрасе-Ите геасТог ргоЫетз.— «Мис!. 8си Еп^.», 1967, у. 30, р. 419.

177. Ргапг Л. Р. РПе ТгапзТег ТипсТюпз. АЕСВ-3260, 1949.
1718. Ггеипд О. А., ккепдепап Н. Р., ОкгепГ В. ТОЕАТ, а риГзед ^гарЫГе-тодегаГед
геасГог Грг ктеНсз ехрептепГз.— 1п : «Ргос. бепеуа СопГ.», 1958, V. 10, р. 461.

179. Риске К. ЕШоепсу Гог уегу з1о\у аззетЫ у. ЕА-596, 1946.

180. РиПег Е. Ь. ^ех^Мед-гезМиа! теШодв т зрасе-дерепдейГ геасГог дупапнсз. Рк. В.
даззетФаПоп, Птуегзйу о! Апхопа. РиЬИзкед аз АМЬ-7565, 1969.

181. РиПег Е. Е., Мепе1еу В. А., НеГпск В. Е. ТпФе^гаГюп о! Ше тиШтоде ктеНсз
едиаГюпз ку Ше теШос! о! ипдеГегттед рагатеГегз.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.»,
1969, V. 12, р. 7110.

182. РиПег Е. Ь., Мепе1еу В. А., НеГпск В. Е. Х^еГдЬГед гезтдиа! теГкодз Ш з<расе-
дерепдепГ геасГог дупаппсз.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1970, V. 40, р. 206.

183. РиИг 8. С. Тке Нте-дерепдепГ Шегта! пеиГгоп Них Ггот а ри!зед зикстаНса!
аззетЫу.— «№ис1. 8с1. Еп^.», 1969., V. 6, р. 313.

184. ба1атп А. В. Ткегта! геасГог Гкеогу. Ы. V., Рег^атоп Ргезз, 1960.
(См. Галанин А. Д. Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах. М..„ Атом-
издат, 1959.)

185. ба1аН А. Тке теГавШис теГкод т писГеаг геасГог соге кйдеЫсз са1си1а11опз.—
«Ыис1. 8с1. Еп§.», 1969, V. 37, р. 30.

186. батЫе В. Р. Тке еИесГ о>1 геПесГог-тодегаГед пеиГгопз оп Гке кшэНсз о! Ше
КтеПс ЕхрептепГ ХМаГег ВоНег.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 1960, V. 3(11), р. 122.

187. багаЬеШап Н. Е. Соге ктеГааз.— 1п: «Мис1еаг КеасГог Ткеогу», ед. Сх. ВггккоИ,
Е. Р. ХУ1дпег. Ргоухдепсе, К. I., Атепсап МаШетаПса! 8ос1еГу, 1961.
(См. Теория ядерных реакторов. Сб. статей. Под ред. Г. Биркгофа и Э. Вигнера.
Пер. с англ. М,, Госатомиадат, 1968.)

188. багаЬед!ап Н. Е., ЕеПегГ С. В. А Ыте-дерепдепГ апа1уз1в о! ЗраНа! Пих дхв^пЬи-
Попа.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1959, V. 6, р. 26.

189. багаЬед!ап Н. Е., Еупск К. Е. МопИпеаг геасГог ктеНсз апа1уз1з.— «ЫисЕ 8са.
Еп&.», 1965, V. 21., р. 550.

190. СагаЬед1ап Н. Е., уоп Неггтапп Р. КеасГог кИпеНсз Гог тиШ-гедаоп тиЖ-Ше!
геасГогз.— «Л. Мис1. Епег^у», 1959, у. 10, р. 36.

1911. багеПз Е. Тате-дерепдепГ пеиГгоп ШегтаПгаНоп Гог а Ьаге тиШрЛуШд тедшт.—
«Мис1. 8с1. Еп^.», 1963, у. 15, р. 296.

192. багеПз Е. Ткеогу о! ри1зт§ Гескшдиез.— «Ыис1. 8с1. Еп§.», 1964, V. 18, р. 242.

193. багеПз Е. Оп Ше (Лр/7) ри!з1п§ Шеогу.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1964, у. 19, р. 13Г.

194. ОагеПз Е., КиззеП Л. Е., Л г. Ткеогу о! ри1зед пеиГгоп зоигсе теазигетепГз.— «Ыис1.
8о1. Ет^.», 1963,, у. 16, р. 263.

195. Оагпег К. XV. Кеу1е\у о! зеуега1 тоде1з Гог ро\уег Ьекауюг апд геаоПуЙу ГеедЬаск
Н1 геасГог ехситоп зГидаез. 1ВО-116686, .1962.

196. бепега! АГопнс (СиИ Оепега! АГогтс) Тесктса! РоипдаГюпз о! ТК1СА. СА-471,
1958.

197. беог^е К. Е., Зезопзке А. 81тр1Шед з1ти1аГюп о! а ЬоПт& угаГег геасГог рохуег
р1апГ.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1959, у. 6, р. 409.

198. бкаГак А. К. 8расе апд епег^у дерепдеп! сопзтдегаНопз о Г Гке Еискз тоде!.—
«Л. Ыис1. Епег^у», 1968, у. 22, р. 699.

199. бкаГак А. К., Нопеск Н. С. Оп Гке Геаз1ЬШГу о! теазигт^ Ш&кег Нте десау соп-
зГапГз.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1965,, V. 21, р. 227.

200. ОкаГак А. К., КоШап Е. 8. ТгапваепГ ркепотепоп т дШизюп Гкеогу.— «Мис1. 8сЕ
Еп^.», 1966, V. 26, р. 277.

201. ОкаГак А. К., РеаНзГет 8. Арргоаск Го ецшПкпит о! а пеиГгоп ри!зе т а тиШ-
р1ут& зуз1Гет.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1965, у. 22, р. 182.

202. О1аззГопе 8., Ед1ипд М. С. Тке е!етепГз о! пис1еаг геаСГог Шеогу. Ы. У^, В. Уап
МозГгапд, 1952. (См. Глесстон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов.
Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1954.)

203. Оо1ау М. XV., Саду К. В. ТгапзГогт дотат апа1уз1з о! пеиГгоп ри1зе ргора^аНоп
ехрентепГз.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 1969, у. 12, р. 678.

204. Оо1дзГе1п К., 8коГкт Е. М. Пзе о! Гке рготрГ-]итр арргохттаГюп т Газ!-геасГог
ктеНсз.— «Ыис1. 8ск Еп&.», 1969, у. Зв, р. 94.

2С5. богат Т. А тодШед ргоседиге Гог Гке еуаШаНоп о! ри1зед зоигсе ехрептепГз т
зиксгШса! геасГогз.— «Мик1еотк», 1962, Вд 4, 8. 348.

206. богат Т. Тке сопсерГ оГ геасПуНу апд 14з ашНсаПоп Го кШеНс теазигетепГз.—
«МиИеотк», 1963, Вд. 5, 8. 55.

207. бгасе Л. Ы., ед. КвасГог ктеНсз.— 1п: «Мауа! геасГогз ркузГсз капдЬоок», у. 1, ед.
А. Кадкоуузку, У^азкт&Гоп, В. С., 1)пЙед 8ГаГез АГопнс Епег^у Сотппззюп, 1964.

208. бгеепзрап Н., КеШег С. М., ОкгепГ В., едз. СотриПп^ теГкодз т геасГог ркузюз.
М. У.,, богдоп апд Вгеаск, 1968. (Ом. Вычислительные методы в физике реакторов.
Сб. статей. Под ред. X. Гринспена и др. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1972.)
209. Ого 8 8 Е. Е., МагаЫе Л. Н. 8<ГаГ1с апд дупапнс тиШрПсаПюп ГасГогз апд Гкек
ге1аГюп Го ГЬе тЬоиг ециаГаоп.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1960, V. 7, р. 2811.

210. Оуйорои1о8 Е. Р. АррНсаПопз о! ^еотеГпс (Неогу (о попПпеаг геасГог дупаппсз.—
«№ю1. 8с1. Еп&.», 1961, V. 10, р. 254.

21'1. 6уНорои1о8 Е. Р. Ьа&гап&е з^аЫШу Ьу Ыарипоу’з дкесГ теГЬод.— 1п: «КеасГог
ктеНсз апд сопГго1», ед. Ь. Е. АУеауег. Оак К1д^е, Тепп., 118АЕС ОМзюп о!
ТесЬтса! ГпГогта-Поп ЕхГепзюп, 1964.

212. ОуНорои1оз Е. Р. Сепега1 геасГог дупаппсз.— 1п: «Тке ГесЬпо1о^у о! пис1еаг геасГог
заГеГу», у. 1, ед. Т. Л. ТЬотрзюп, Л. О. ВескегЬэу. ОашЬпдде, Мазз. М. I. Т. Ргезз,
1964.

213. ОуТ(орои1о8 Е. Р. Рот! геасГог ктеЫсз апд 51ГаЬ'ШГу спГепа— 1п‘ «Ргос. Сепеуа
СопГ.», 1964, V. 4, р. 3. (См. Гифтопулос Э. П. Кинетика точечного реактора и
критерий устойчивости. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1967.)

214. 6уНорои1о8 Е. Р. ТЬеогеНса! апд ехрептепГа! спГепа Гог попПпеат геасГог з4а-
ЬШГу.— «№1с1. 8с1. Еп&.», 1966, V. 26, р. 26.

215. ОуГГорои1оз Е. Р., Веуоо&М Л. Оп ГЬе гапде о! уаИдгГу о! попПпеаг геасГог дупа-
тЬ.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1’961, у. 10, р. 372.

216. 6уНорои1оз Е. Р., 8теГз Н. В. ТгапзГег (ипсГюпз оГ дгзГпЬиГед рагате1Гег пис1еаг
геасГог зузГетз.— «Кис1. 8с1. Еп&.», 1959, V. 5, р. 405.

217. Суогеу 6. Ь. ТЬе еГГесГ о! то да! тГегасНоп т ГЬе хепоп 1пзГ'аЫН|Гу ргоЫет.—
«Йис1. 8с1. Еп^.», 1962, у. 13, р. 338.

218. Налетал Ь. А., Уазтзку Л. В. Сотрапзоп о! аНегпаГт^-диесГюп Нте-дИГегепст^
теГЬодз ху1ГЬ оГЬег 1трИс1Г теГЬодз Гог ГЬе зо1иГ1оп оГ ГЬе пепГгоп ^гоир-дШизюп
едиаГюпз.— «Ыис!. 8с1. Еп§.», 1969, у. 38, р. 8.

219. НаЬп АУ. ТЬеогу апд аррПсаНоп оГ Ыарипоу’з диесГ теГЬод. Еп^1е\уоод СПГГз,
М. Л., РгепПсе-НаИ, 1963.

220. Наке Л. С., Лг. А зиттагу дезспрПоп оГ ГЬе 8РЕКТ ехрептегдаГргортат.— «Мис1.
8аГеГу», 1961, у. 2(3) , р. 15.

221. На!е Л. К., Ьа 8а11е Л. Р., еда. ПШегепГьа! едиаГюпз апд дупапнса] зузГетз. М.
Аса дегте Ргезз, 1967.

222. Напзеп О.Е. ВигзГ скагасГепз/Нсз аззюааГед уиГЬ ГЬе з1о\у аэзетЫу о4 ПззюпаЫе
таГепа1з. ЬА-11441, 1952.

223. Напзеп О. Е. АззетЫу оГ НззюпаЫе таГепа! т ГЬе ргезепсе о! а угеак пепГгоп
зюитсе.— «Ыис1. 8сн Еп^.», 1960, у. 8, р. 709.

224. Напзеп К. Г. А сотрагаПуе геу1е5У оГ Г\уо-д1тепз1опа1 ктеНсз теШодз. СА-8169,
1967.

225. Напзеп К. Г., ЛоЬпзоп 8. К. САК1М, а рго^гат Гог ГЬе зо1иГюп оГ ГЬе опе-д!теп-
31опа1, тиШ^гоир, зрасе-Нте дерепдепГ дИГизюп едиаПопз. СА-7543, 1967.

226. Напзеп К. Г., К1еЬап Е. К., Скап& I. А пеху теШод о! тГе§гаГш& ГЬе ро!п|Г кте-
11 сз едиаГгопз.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 1969, у. 12, р. 617.

227. Напзеп К. Г., Коеп В. V., ЫГГ1е АУ. АУ., Лг. 8’ГаЫе питепса! зо1и>Нопз оГ ГЬе
геасГог ктеНсз ечиа'Ыопз.— «Мис1. 8с1. 1965, у. 22, р. 51.

228. Напззоп Р. Т., Рои1ке Ь. Я. Гпуез’НдаНопз т зрайа! геасГог ктеНсз.— «Ыис1. 8сЕ
Еп&.», 1963, у. 17, р. 528.

229. Наггег Л. М. ЫисГеаг геасГог сопГго! еп^пеегап^. 1Я. У., В. Уап МозГгапд, 1963.
(См. Харрер Дж. М. Техника регулирования ядерных реакторов. Пер. с англ. Под
ред. И. Я. Емельянова. М., Атомиздат, 1967.)

230. Наггег Л. М., Воуаг К. Е., КгисоН Ь. ТгапзГег ГипсНоп оГ Агдоппе СР-2 геасГог.—
«№1с1еопсз», 1952, у. 10(8)„ р. 32 (зее а1бо АМЬ-4373, 19’52).

231. Нагпз В. К., Ргезсор V. 8(аЬШГу апд эГайопагНу оГ а геасГог аз а зГосЬаз'Ис
ргосеэз ауйЬ ГеедЬаск.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1969, у. 37, р. 1711.

232. Непгу А. Г. ТЬе аррПсаГюп о! геасГог клпейсе Го ГЬе апаГузгз о! ехрегГтепГз.—
«Мис1. 8с1. Еп^.», 1958, у. 3, р. 52. (См. Генри А. Ф. Использование динамических
характеристик реактора для анализа эксперимента. Пер. с англ. М^, Гос. Всесоюз-
ный центр, науч.-исслед. ин-т комплексной автоматизации. Техн. пер. № 177,
1959.)

233. Непгу А. Г. ТЬе аррИсаПоп о! шЬоиг гподез Го ГЬе дезспрНоп о! попзерагаЫе
геасГог ГгапзаепГз.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1964, у. 20, р. 338.

234. Непгу А. Р. Кеухеуг оГ сотриГа!юпа1 теГЬодз Гог эрасе-Гппе ктеПсз.— 1п: «ТЬе
еНесНуе изе о! сотриГегз т ГЬе пис1еаг тдиз1Ггу», ед. В. МазкеунГх. Оак Шд{*е,
Тепп., П8АЕС П1У131оп о! ТесЬтса1 1пГогта|Г1оп ЕхГепзюп, 1969.

235. Непгу А. Р., Сиг1ее М. Л. УепПсаГюп оГ а теГЬод оГ ГгеаГ1п& пеиГгоп зрасе-Пте
ргоЫетз.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1958, у. 4, р. 727.

236. Непгу А. Р., Сегтапп Л. В. ОясШаГюпз т ГЬе рохуег дШНЫнЫоп уиГЫп а геас-
Гог.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1957, у. 2, р. 469.

237. Непгу А. Р., Кар1ап 8. 8оте аррНсаПопз оГ а тиШтоде ^епегаПтаГюп о! ГЬе
25—387 385
Тпкоит ГогтиТа.— «Мис1. 801. Еп§.», 1965, V. 20,, р. 479.

238. Непгу А. Р., УоТа А. V. ХУ.ЮЬ 2, а ргоегат Гог Тке зокиТюп о Г Тке опе-дипеп-
зюпа!, Тхуо-^гоир, зрасе-Нте дИТизюп едиаПопз ассоипТт^ Гог ТетрегаТиге, хепоп
апд сопТго! ТеедЬаск. ХУАРВ-ТМ.-532, 1'965.

239. НегтНе С. Зиг 1е потЬге дез гастез (Типе едиаНоп а1^ёЬпдие сотрпзез епТге
дез МтИез доппёз.— «Л. Кете Ап^еху. МаТк.», 1850,, V. 52, р. 39.

240. НеТпск В. Ь. АррИсаТюп оГ Тке рго1пр4-}игпр арргэхгтаПоп Го ргоЫетз 1п геасТог
эТаЫШу.— «Тгапз. Атег. Мис1. 81ос.», 19615, V. 8, р. 236.

24'1. НеТпск В. Ь. А Ыаритоу ГипсТюп Гог Тке рготрТ-]’итр арргохТтаПоп т геасТог
дупатюз.— «Тгапз. Атег. №с1. 8ос.», 1965, V. 8„ р. 477.

242. НеТпск В. Ь. Ап ШизТгаИоп оГ Тке дезГаЫ'НхаП'д еПесТ оГ де1ауед пеиТгопз т Тке
Ипеаг Тхус-ТетрепаТипе геасТог тоде1.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 1967, V. 10, р. 248.

243. НеТг1ск В. Ь., батЫе В. Р. Тгапз1епТ геасТтТу дипп§ рохуег ехсигзюпз 1п а хуа-
Тег ЬоПег геасГог.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 1958, V. 1(2), р. 48.

244. НеТпск В. Ь., ЗскппдГ Т. К. ЗТакШТу о4 а Газ! геасТог хуЬТк Гп-сс ге Ткегпйотс
д/юдез.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 1'968, V. 1'1, р. 221.

245. НеТпск В. Ь., ХУеауег Ь. Е., едз. МеиТгоп дупапнез апд сопГго1. Оак К1д^е, Тепп.,
ШАЕС ОМзИоп о! Тесктса! ЬнГогтаИоп ЕхФепзюп, 1966.

246. НеТпск В. Ь., ХУеауег Ь. Е. 8оте гесеп! адуапсез ш геасТог дупаштез апд
сопТго!.— ,1п: «Ргосеедт^з о! Тке Вгооккауеп сопГегепсе оп шдизФна! пеедз апд
асадепмс гезеагск ш геасТог кшеТюз». ВМЬ-50П1|7 (Т-497)„ 1968.

247. НПдекгапд Р. В. ГпИгодисПоп То питепса! апаТузгз. Ы. У., МсОга^г-НШ, 1956.

248. НИсксоск А. ЫисТеаг геасТог зТаЫПТу. Ьопдоп, Тетр1е Ргезз, 1960.

(См. Хитчкок А. Устойчивость ядерных реакторов. Пер. с англ. М., Госатомиз-
дат„ 1963.)

249. Ноорег К. Л., Куд1п К. А., 81асеу XV. М., Лг. УегШсаТюп о( а хепоп зраИа! зГаЫ-
1Йу сгПегйоп.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1968, у. 34, р. 344.

250. НозЫпо Т., ХУакаЬауазЫ Л., НауазЫ 8. к!еху арргохгтаТе зоШТюп оГ зрасе- апд
епег^у-дерепдепТ геасТог кшеНез.— «Мис1. 8с!. Еп&.», 1965, у. 23, р. 170.

251. Нзи С. СопТго! апд зТаЬППу апа1уз1з о! зраНаПу дерепдепТ пис1еаг геасГог
зузТетз. АЫЬ-7322, 1967.

252. Нзи С., 8ка XV. Т. ВеТегттаТюп оГ зТаЬШТу дотат оГ попНпеаг геасТог дупа-
•тясз.— «Тгапз. Атег. Ыис!. 8ос.», 1969, у. 12, р. 295.

253. Нидкез В. Л. е. а. Ве1<ауэд пеиТгопз Ггот Нзэюп о! 235Ы.—«Ркуз. Кеу.», 1948,
V. 73, р. 111'1.

254. НигупТг А. ОЬег дге Ведт§ип§еп ипТег хуе1скеп ете СЫскип^ пиг ХМигге1п тг1
пе^аТТуеп гееТеп ТкеПеп ЬезИгТ.— «МаТк. Апп.», 1895:, у. 46;, р. 273.

255. НигхуНх Н., Лг. ВепуаТюп апд тТе^гаНоп о! Тке рПе-ктеНс едиаНопз.— «Ыис1е-
отез», 1949, у. 5(11),, р. 61.

256. НигхуКх Н., Лг. АрргоххтаТе апа1уз!з о! геасТог зТагТ-ир шс1депТз.— «Ыис1. 8с1.
Еп&.», 1959, у. 6, р. 11.

257 НипуКх Н. Лг. А 81гпр1Шед пепНпеаг шоде1 Тог диаШаНуе зТиду о! геасТог рохуег-
д1зТпЬи1Т'Юп ТгапзйепФз.— «Мис1. 8 с!. Бп^.», 1965, V. 23, р. Ц83.

258. НпгхуИх Н. е. а. КтеНсз оТ 1оху зоигсе геасТог зТагТирз. РТ. 1.— «Мис1. 8сн Еп^.»,
1963, у. 16, рЛ66. РТ. 2.— «Мис1. 8сн Еп&.», 1963, V. 15, р. 187.

259. 1АЕА. Ркуз1сз оТ Газ! апд 1пТегтедга(Те геасТогз.— 1п: «8еттаг ргосеедт^з. Х^еп-
па».У1еппа, 1пТегпаТюпа1 АТапмс Епег^у Агенсу, 1961.

260. 1АЕА. КеасТог заГеТу апд кагагд еуа1иаНоп Тес1^п^^иез.— 1п: «8утрозшт ргосее-
дт-^з, Угеппа». У1еппа, 1пТегпа1юпа1 АТопис Епег§у А^епсу, 1962.

2П. 1АЕА. Ри1зед пеиТгоп гезеагск.— 1п: «8утрозшт ргосеедт&з, КаНзгике». У1еппа,
1пТегпаТ1опа1 АТэтю Епег^у Агенсу, 1965.

262. 1зЫп Н. 8. ТпзТгодисТоту писТеаг геасТог Ткеогу. V., КегпкЫд, 1963.

263. ЛасоЬхлпТг Н. Л., Аксази А. 2., 8коТк1п Ь. М. 81аЫ1Н:у сопз1дегаТюпз хмйк соп-
уесТ1Уе Типе деТауз.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 1966, у. 9, р. 272.

264. Латез Н. М., М!ско1з М. В., РкППрз К. 8., едз. Ткеогу о! зегуотескапТзт'З. Ы. V.,
МсСгаху-НИ1!., 1947.

265. Лапкиз V. 2. А ТкеогеНса! зТиду о! дезТгисНуе пис1еаг Ьипзйз 1п Газ! рохуег
геасТогз. АМЬ-6512, 1962.

266. ЛеНегз В. Е., На11 К. Е1их ТПТгп^ ш а Тхуо-хопе геасТог.— «Мис1. 8сп Еш^.э,
1968, V. ЗП'„ р. 358.

267. Лепкшз Л. Г., ВаНск Р. В. Апа1у&1з о! ри!зед 1азТ-пеи1Тгоп зресТга 1п ти11Т11р|1у1п^
аззетЬИез.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1968, V. 31„ р. 222.

268. Локпзоп К. Р. 8МАРТКАМ 10А/2 ктеНсз ТезИп^ апд дезТгисТ геасТог ехрептепТз.
МАА-8К-11906, 1966.

269. Лид&е Р. В., ВаНск Р. В. Тгте-дерепдепТ Пих т зтаН аззеткНез.— «Ыис1. 8ск
Ещг», 1964, у. 20, р. 428.
270. Лидде Р. В., ВаНсН Р. В. Тгте-дерепдеп! пеиГгоп Пих т ри1зед ти!Нр1уГп§
аззетЬИез.— «Нис1. Зек Еп^.», 1966, V. 26, р. 472.

27)1. Ка^апоуе Л. Л. Митепса! ЗоТиНоп о Г Ше опе-§тоир зрасе-тдерепдепГ геасГюг
кгпеГГсз ериаНопз Гют пеиГгоп депзИу §руеп !Ье ехсезз пэасНШу. АНЕ-6132, 1960.

272. КаПпо\узк1 Л. Е. Соттеп|Гз оп Е. Р. СуГГорюЫоз. ТкеогеНса! апд ехрептепГа'1
снГепа Тот пюпИпеаг геасГог зГаЫИГу.— «Ыиск 8с1. Еп&.», 1968., у, 34, р. 200.

273. КаПпохузк! Л. Т., ВаПеу К. Е. А §епега! теШод Тог сопзсгисНп^ Ыарипоу
ГипсГюпз етрГюут^ Ггедиепсу-дотат сопсерГз.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8юс.», 1968,
V. 111, р. 573.

274. Ка1тап И. Е. Ыарипоу ГипсНопз Гог Ше ргоЫет оГ Ьиг’е т аиГотаНс сопГгок—
«Ргос. ЫаГ. Асад. Зек 11. 8. А.», 1963., V. 49, р. 201.

275. Кар1ап 8. ТЬе ргорегГу оГ ПпаШу апд Ше апа1уз1з оГ ргоЫетз 1п геасГог зрасе-
Пте ктеНсз Ьу уапоиз тода! ехрапзюпз.— «Миск 8с1. Еп§.», 1961, V. 9, р. 35-7.

276. Кар1ап 8. 8оте пеуг теШодз оГ Пих зупШез1з.— «Ыис1. Зек Еп^.», 1962, V. 13,
р. 22.

277. Кар1ап 8. Зрасе апд Нте зупШезаз Ьу Ше уагЫюпа! теШод.— «Тгапз. Атег.
Ыис1. 8ос.», 1962, у. 5, р. 412.

278. Кар1ап 8. ЗупГЬезгз теШодз ш геасГог апа1уз1з.— 1п: «Адуапсез т пис1еаг зстепсе
апд ГесЬпо1о^у», у. 3, ед. Р. СгееЫег, Е. Л. Неп1еу. Ы. V., Асадегтс Ргезз, 1966.
(См. Импульсный метод в нейтронной физике. Сб. статей. Под ред. П. Гриблера,
Э. Хенли. Пер. с англ. М,, Атомизщат, 1969.)

279. Кар1ап 8. УапаНопа1! теШодз т пис1еаг еп&теегёпд.—1п: «Адуапсез ш пис1еаг
зсгепсе апд ГесЬпоШ^у», у. 5, ед. Е. Л. НепНеу, Л. Ьеугтз. Ы. У., Аоадетю Ргезз,
,1969.

280. Кар1ап Е. е. а. 81расе-ГЛте геасГог дупатюз.—1п: «Ргос. Оепеуа Сопк», 1964,, у. 4,
р. 411. (см. Каплан С. и др. Динамика реактора в пространстве и времени. Пер.
с англ. М., Атом изд ат, 1967.)

281. Кар1ап 8., МагдоНз 8. О. Бе1ауед пеиГгоп еПесГз дипщг Пих ШГ ГгапзГепГз.—
«Ыис1. 8с1. Еп§.», 1960, у. 7, р. 276.

282. Кар1ап 8., Маг1омге О. Л., Вемдск Л. АррИсаНоп оГ зупШезГз ГесЬтдиез Го ргоЬ-
1етз ШуоГуш^ Нте дерепдепсе.— «Мис1. 801. Еп^.», 1964, у. 18, р. 163.

283. Кар1ап 8., Уазтзку Л. В. ЫаГига! тодез оп Ше хепоп ргоЫет \у!ГЬ Нюху ГеедЬаск.
Ап ехатрГе.— «Мид1. 8с1. Еп&.», 1966, V. 25, р. 430.

284. КазГеп Р. К. Ыис1еаг геасГог эГаЫИГу Шеогу.— «Ыис1. ЗаГеГу», 1962, у. 3(3), р. 18.

285. КазГепЬег^ XV. Е. А зГаЫПГу сгПепоп Гог зрасе-дерепдеп! пис1еаг-геас!ог зузГетз
жШ уапаЫе ГетрегаГиге ГеедЬаск.— <Ыис1. Зак Еп^.», 1969;, V. 37, р. 19.

286. КазГепЬег|г XV. Е. ЗГаЬШГу апа1уз1з оГ попНпеаг зрасе дерепдепГ геасГог ктеНсз.—
1п: «Адуапсез т пис1еаг зстепсе апд ГесИпоГо^у», у. 5, ед. Е. Л. Неп1еу, Л. Ьеуипз.
М. У., Асадегтс Ргезз, 1969.

287. КазГепЬег^ XV. Е., СЬатЬгё Р. Ь. Оп Ше зГаЫПГу оГ попНпеаг эрасе-дорепдепГ
геасГог ктеНсз.— «Мис1. Зек Еп^.», 1968, V. 31, р. 67.

288. КазГепЬег^ XV. Е., Сгамдогд К. М. ВеГегттаНоп о! эГаЫНГу дотатз 1п зрасе
дерепдепГ геасГог дупаписз.— «Мис1. 801. Еп§.», 1969, у. 37, р. 3111.

289. Каг> А. Н., ТотопГо Л. К., СЬеггу В. Н. ОиапНГаНуе еуа1иаНоп оГ Ше ЫогдЬе1т-
ГисЬз геасгог ехсигзюп тоде! уНШ попНпеаг геасНу-Пу ГеедЬаск.— «Ыис1. Зсх.
Еп&.», 1966, у. 26, р. 131.

290. Кеерт О. И. РЬузюз оГ пис1еаг ктеНсз. Кеадтд, Мазз., Адд180пАУез1еу, 1965.
(См. Кнпин Дж. Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов. Пер. с англ.
М., Атоми.здат, 1967.)

291. Кеерт 6. К., Сох С. XV. Сепега! зо1иНоп оГ Ше геасГог ктеНсз едиаНопз.— «Ыиск
8о1. Еп^.», 1960, у. 8, р. 670.

292. Кеерт О. К., ХУ1теН Т. Р., 2е1&1ег К. К. Вё1ауед пеиГгопз Ггот ПззюпаЫе 1зоГорез
о! игатит, рЫотит апд Шопит.— «РЬуз. Кеу.», 1957, у. 107, р. 1044.

293. Ке!Ьег С. М. е. а. ТЬе зоГиНоп оГ тапу ге&юп геасГог ктеНсз ргоЫетз оп ап
апа1о^ оотриГег.— «№ис1. 8с1. Еп^.», 1961, V. М, р. 285.

294. КегНп Т. XV. 8ГаШз оГ зрасе-Нте апа1у818.— «Ыис1. ЗаГеГу»,, 1965, у. 6, р. 395.

295. КегНп Т. XV. Егедиепсу-гезропзе ГезНп^.— «Ыис1. ЗаГеГу», 1967, V. 8, р. 339.

296. КтсЫп С. Н. ТЬе зГаЫШу оГ Газ! геасГогз. ПтГед Кт^дот АГогтс Епег^у
АиШогИу герог! АЕРЕ-РР/М-83, 1956.

297. Кт& Ь. Р. В. ВезспрНоп оГ Ше К1Х\П-ТЫТ ехсигзюп. — «Тгапз. Атег. Ыис1.
Зое.», 1965, у. 8, р. 126.

298. К1зГпег О. Ыо!е оп Ше ЬаИ-уНдШ оГ Ше пеиГгоп ри1зе оГ а ри1зед геасГог.— «Мис1.
8с1. Еп§.», 1967, у. 28, р. 461.

299. К1адшк К. КеПесНоп апд геГгасНоп о! пеиГгоп дИГизюп угауез.— «Мис1. Зек Еп&.»,
1968, у. 32, р. 370.
300. КбЫег XV. Н. КеасНуГГу ГеедЬаск уНГЬ зЬогГ де1ау Нтез.— «.I. Ыис1. Епег^у», 1969,
V. 23, р. 569.

ЗОй. Ко1аг О. С., К1оуегзГгот Р. А. Ри1зед пепГгоп теазигетепГ о! соп'Гго! год
ауотИ1'5.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1'9611, V. 40, р. 45.

302. КотаГа М. Оп ГЬе депуаНоп о! Ауегу'з соир1ед геасГог ктеНсз едиаНопз.—
«Ыис1. 8сЬ Еп^.», 1969, у. 38, р. 1193.

303. КоГЬап Ь. 8. Весау сопзГапГ о( а пеиГгюп ри1ве таИе а Ппйе зоНд тодега|Гог
аззетЫу.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 4965„ V. 23, р. 402.

304. Коуатс Р. А поГе оп ГЬе туегзе ктеНсз апа1уз1з.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1965, у. 22,
р. 1)18.

305. Крамеров А. Я., Шевелев Я. В. Инженерные расчеты ядерных реакторов. М.„
Атомиздат, 1964.

ЗС6. Кгазоузкп Ы. 8ГаЬШГу о! тоНоп: 8Гап1огд, СаШ., 8ГапГогд ИпхуегзтГу Ргезз,
1963. (См. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.
М., Физматгиз, 1959.)

307. Кпе^ег Т. I., ХмгеИе! Р. Г. ТЬеогу оГ ри1зед пеиГтоп ехрептепГз т тп1Нр1у1п2
тесНа.— «Мио1. 8с1. Еп^.», ,1959, у. 5, р. 21.

308. Китаг А., АЬтед Р., КоГЬаг! Ь. 8. НеиГгоп-угауе ргора^аНоп т сгузйаШпе тоде-
гаГогз. Р1. 4. А Нуо-§гои|р зГиду.— «Г4ис1. 8с1. Еп^.», 1969, у. 37, р. 358.

309. Курчатов И. В. м др. Импульсный графитовый реактор ИГР.— В об.: «Третья
Международная конференция ООН по использованию атомной энергии в мирных
целях», 4964, т. 7, с. 461.

310. Кизсег I. Сотр;1ех ЬискПп^ апд сотрЬех ге1ахаНэп .Навез т ГЬе десау о! пеиГгоп
риГзез.— «Мис1. 8сЬ Еп§.», 1969, у. 38, р. 1175.

3111. КуЫга С. П., 1Л1п§ К. Е. 8раНа11у дерепдепГ 4гапз1ег йтсНоп Кот пис1еаг
«узГетз.— «14ис1. Зсь Еп^.», 4<965, V. 22, р. 191.

312. ЬатагзЬ Л. (К. 1пГгодисНоп Го пио1еаг геаоГог Н1еогу. Яеадт^, Маззч, АддГзюп-
АУез1еу, 1966.

313. Ьап&здог! А. 8., Лг. ТЬе ГЬегта! пеиГгоп геасГог аз ап тзГгитепГ Гог теазигт^
пеиГгоп сгозз зесНопз. АМЬ-4342, 1949.

314. Ьагптоге Л. А. РЬушоз оГ реподюаПу ри1зед геасГогз апд ЬоозГегз. 81еаду-®Га'Ге
сопдШопз, ро\сег рийзе сЬагас1ег1зНс8, апд ктеНсз.— «?Фис1. 8сь Ег§.», 1967, V. 29,
р. 87.

ЗГ5. Ьа 8а11е Л. Р. ТЬе ех)ГепГ о! азутрГоНс з4аЬШ1у.— «Ргос. МаГ. Асад. 8с1. И.8.А.»,
1960, V. 46, р. 3'63.

316. Ьа 8а11е Л. Р. 51аЫШу ФЬеогу Гог огсНпагу дШегепНа-1 едиаНопз.— «Л. О1И. Ецз.»,
1968, V. 4, р. 57.

317. Ьа 8аПе Л., ЬеТзсЬеГг 8. 8ГаЬШГу Ьу Ыарипоу’з д1гесГ теГЬод. М. У., Асадепис
Ргезз, 1961. (См. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым
методом Ляпунова. Пер. <с англ. М„ «Мир», 1964.)

318. Ьазз Н. УесГюг апд Гепзог апа1уз18. И. У., МсСга1\у-НШ, 11950.

319. ЬаиЬег Я. ГИе ЗГаЫИГаГзип'ГегзисЬип^ уоп ЯеасГог-Ке^еШгегзеп ипГег Вегйск-
81сЬНдипд дег ЬИсЫтеапГаГеп. О. 8с. ТЬез1з, ТесЬтса! ЫтуегзИу, 8ГиГГ^агГ, 1962.

320. Ьазагиз К. В., ЗГгаНоп XV. Я., Ни^Ьез Т. Н. Соир1ед пеиГготс-дупаппс ргоЫетз.—
!п: «СотриНп^ теГЬодз т геасГог рЬу&юз», ед. Н. Сгеепзрап, С. М. Кс1Ьег,
О. ОкгепГ. И. У., Согдоп апд ВгеасЬ, 1968. (См. Вычислительные методы в физике
реакторов. Сб. статей. Под ред. X. Гринспена и др. Пер. с англ. М., Аггомиэдат,
1972.)

321. ЬеГзсЬеГг 8. ОШегепНа1 едиаНопз: СгеотеГпс ТЬеогу. 24. ед. Ы. У., АУПеу, 1963.
(См. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. Пер.
с англ. М.„ Изд-во иностр, лит., 11961.)

322. ЬеЬсЬеГг 8. ЗГаЫШу о! попПпеаг сопГгю! зузГетв. Ы. У., Асадепис Ргезз, 4965.
(См. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления.
Пер. с англ. М., «Мир»,, .4967.)

323. ЬеТзсЬеГг 8. СеотеГпс дШегепНа! едиаНопз: ЯесепГ разГ апд ргохгтаГе ЫГиге.—
1п: «ЭШегепНа! ециаНонз апд дупаппсз! зузГетз», ед. Л. К. На1е, Л. Р. 5аПе.
И. У., Асадепис Ргезз, 1967.

324. ЬеИт&к 8. Н. 8ГаЬШГу ГЬеогетз Гог Ипеаг тоНопз ауИЬ ап тГгодисНоп Го
Ыарипоу’з дпесГ теГЬод. Еп§г1е5Уоод СНЙ8, М. Л., РгепНсе-На11, 1966.

325. ЬеПоисЬе 6. 8. 8расе дерепдепГ хепоп озсШаНопз.— «Ыис1. 8с1. Епд.», 1962, у. 12,
р. 482.

326. ЬеПоисЬе О. 8. КеасГог ктеНсз зГаЬИИу сгИепа.— «Ыис1. 8сЬ Еп§.», 1966, у. 24,
р. 72.

327. ЬеПоисЬе 6. 8. ЕНесГ оГ зраНа1 зкаре он зГаЬПгГу.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 5ос.»,
1967, у. 10, р. 204.
328. ЕеПоисЬе 6. 18. Ап «аррИсаНоп о! Ророу’з азутрГоЕс зГаЫИГу сгИепоп.— «3. МаГЬ.
;ап<1 РЬуз.», >1967, V. 46, р. 225.

329. Ьеопагд А. Оп ГтапзГепГ рЬепотепа Гп ГЬегтоИгаГюп.— «?Фис1. 5с!. Еп^.», 1955,
V. 22, р. 489.

330. ЬеГоу А. М. ЗГаЫИГу ш попИпеаг оопГго! зузГетз. (1п Кизз!ап). Мозсоуг.
ЕпяИзЬ «капзШюп. РтшсеГоп, 14. Л., РгГпсеГоп ИтуегзИу Ргезз,

1961. (См. Летов А. М. Устойчивость (нелинейных регулируемых систем. М.,, Гос-
техиздат, 1955.)

331. Ьоушз Л. ТЬе изе оГ ГЬе ^епегаИоп Гйпе ш геасГог кшеГьсз.—-«14ис1. 8с1. Еп§.»,
1'960, V. 7, р. >122.

302. ЬехуГпз Л. ТЬе Пте-дерепдепГ гтрюгГапсе оГ пеиГгопз апд ргесигзогз.— «Г4ис1. 5с1.
Еп^.», 1960, V. 7, р. 268.

333. Ьемппз Л. ТЬе арргох!таГе зерагаПоп оГ ктеПсз ргоЫетз !пГо Ите апд зрасе
ГипоГюпз Ьу а уапаНопа! рппсГрГе.— «Л. 14ис1. >Епегду», 1960, V. 112» р. 108.

334. Ьеидпз Л. ГЬе гедисНоп оГ ГЬе Пте-дерепдепГ едиаГюпз Гог пис1еаг геасГог Го
а зеГ о! огдтагу 4ШегепШ1 едиаГюпз.— «Г4ис1. 8с1. Еп§.», >19611, V. 9, р. 399.

335. Ьелутз Л. А уапаГюпа! ргтс!р1е Гог попИпеаг зузГетз.— «14ис1. 8с1. Еп^.», 1962,
V. 12, р. 10.

336. Ьемппз Л. ТГте-дерепдепГ уапаНопа! ргтсгрйез Гог попсопзегуаНуе зузГетз.—
«Мис1. 8с1. Еп^.», 1964, V. 20, р. 5/17.

337. Ьеиппз Л. ТтрогГапсе: ТЬе афот-Г ГипсНоп. ОхГогд, Регдатоп Ргезз, 1965.
(См. Льюине Дж. Ценность. Сопряженная функция. Пер. с англ. М., Атомиздат,
1972.)

388. Ье^ушз Л. Типе-дерепдепГ уапаГюпа! ГЬеогу.— «14ис1. 8с1. Еп§.», 1968, V. 31, р. 160.
339. Ыарипоу А. М. Сепега1 ртоЫет оГ зГаЫИГу оГ тоНоп (1п КиззГап.)—«Сотт.

8ос. МаГЬ. КЬагкоу», 1892. РгоЫёте &ёпёга1 де 1а зГаЫИГё ди тоиуетепГ.—
«Апп. Рас. 8с1. Тои1оизе», 1907, V. 9, р. 203. ВерппГед аз «Апп. о! МаГЬ. 8Гид!ез»,
Но. 17. РгтсеГоп, 14. Л., РгтсеГоп ПтуегзПу Ргезз, 1949. (См. Ляпунов А. М.
Общая задача об устойчивости движения. Рассуждение А. Ляпунова. Харьков,
Харьковское матем. общ-во, 1892.)

340. Ыарипоу А. М. З'ГаЫИГу оГ тоГюп. 14. У., Асадетю Ргезз, 1966.

341. Ыртзк! Ж С. ЕВШК зГаЫИГу апа1узез.— 1п: «Ргосеедт^з о! ГЬе сопГегепсе оп
ГгапаГег ГипсНоп теазигетеп! апд геасГог эГаЫИ'Гу апа1уз!з», ед. Л. А. 1>35Ьопд,
Лг. АМЕ-6205, 1960.

342. Ьоетуе XV. Е. Зрасе-дереп/депГ еГГесГз т ГЬе гезропзе оГ а писДеаг геасГог Го Гоге ед
озсШаГюпз.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1965, V. /21, р. 536.

343. Еопд К. Ь. ОрегаНп^ сЬагасГепзНсз о! ГЬе ДМЗМК ГазГ ЬигзГ геасГог.— 1п: «МеиГгоп
дупапнез апд сопГго!», ед. О. Е. НеГпск, Ь. Е. ХУеауег. Оак К1<дде, Тепп., ОЗАЕС
ЭМзгоп о! ТесЬтса1 ЛпГогтаНоп «ЕхГепзюц, 1966.

344. Ьоп^ К. Ы, МсТаддагГ М. Н., ХУеа1е Л. Ж УЬРЕК, а уегзаШе риГэед геасГог
изтд Ворр1ег апд ехрапзюп зЬиГдолуп.— «Тгапз. Атег. Г4ис1. Зое.», 1967, V. 10,
р. 608.

345. Ьопд К. Ы, О’ВНеп Р. В., едз. ЕазГ ЬигзГ геасГогз. Оак К1дде, Тепп, 118АЕС О1-
У181оп оГ ТесЬтса! ЛпГогтаПоп ЕхГепзюп, 1969.

346. Еорег Ж М., ВеузГег Л. К. МеазигетепГ оГ пеиГгоп дЬПизюп рагатеГегз т 5Уа-
Гег Ьу ГЬе ри!зед пеиГгоп теНюд.— «Ыис1. Зек Еп^.», >1962, у« 12, р. 190.

347. Ьиг’е А. I. Зоте попИпеаг ргоЫетз т ГЬе ГЬеогу о! аиГотаНс ге^и-
1аГ1оп. (1п КиззГап.) Мозсоуу. Сегтап /ГганзГаНоп. ВегНп, Акадепде Уег1а§, 1957.
(См. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регули-
рования. М.— Л.„ Гостехтеориздат, 1961.)

348. МсСагГЬу XV. Л. е. а. ЗГисНез оГ пис1еаг ассГдепГз ш ГазГ рочуег геасГогз.— 1п:
«Ргос. Сепеуа СопГ.», 1958, V. 12, р. 207. (См. Мак-Карти У. Дж. и др. Изучение
аварий энергетических реакторов на быстрых нейтронах. Пер. с англ. М.,
ВИНИТИ. Пер. № 9522/8 — Р/Ш65, 1958.)

349. МсСагГЬу XV. Л., Лг., ОкгепГ В. Раз! геасГог кшеГГсз.— 1п: «ТЬе ГесЬпо1о^у о-Г
пис!еаг геасГог заГеГу», у. 1, ед. Т. Л. ТЬотрзоп, Л. С. Вескег1еу. СатЬпд&е, Мазз.,
М. I. Т. Ргезз, 1964.

350. МсСогпмск Ж Т., Лг., Напзеп К. Р. Ыитепса! зоЫИоп о! ГЬе Ъуо-дГтепзГопа!
Пте-дерепдепГ тиШ^гоир ециаГюпз.— 1п: «ТЬе еГГесНуе изе оГ сотриГегз т ГЬе
пис1еаг тдизГгу», ед. В. МазкеуйГх. Оак КГд^е, Тепп., ОЗАЕС В1У131оп оГ ТесЬт-
са! 1пГогтаГ’оп ЕхГепзюп, 1969.

351. МасМШап В. В. АзутрГоНс Гогти1аз Гог тШа1-уа1ие ргоЫетз оГ попИпеаг ЫГ-
ГегепНа! едиаПопз уИГЬ а зта11 рагатеГег тиШр1ут& ГЬе депуаНуе. КАРЕ-3359,
1967.

352. МасМШап В. В., ЗГогт М. Ь. КтеНсз оГ 1оуг зоигсе геасГог зГагГирз. РГ. 3.—
«Ыис1. 8с!. Еп^.», 1963, у. 16, р. 369.
353. МасРЬее Л. ТЬе ктеНсз о! сггси<1аНп§ Гие1 геасГогз.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1958,
V. 4, р. 588.

354. МасРЬее Л. Арргох1таТе зоГиНопз оГ ТЬе геасТог ктеНс едиаНопз Тог гатр триГз.—
«Мис1. 8с1. Еп&.», 1960, V. 7, р. 33.

35'5. МасРЬее Л., ЬитЬ К. Р. ТЬе Ггапз1епГ сЬагасГепзНсз оГ а пеиг ри1зе гезеагсЬ геас-
Гог.— «1п: Ри1зес1 пеиГгоп гезеагсЬ». 8утрозшт ргосеедт^з, КаНзгиЬе. УГеппа,
1пТегпаНопа1 АГогтс Епег^у Агенсу, 11965.

356. Ма1кт I. О. ТЬеогу оГ зТаЫИГу оГ тоНоп. (1п Кизз1ап). Мозсоуг. Сегтап Ггап-
э1аНоп, МитсЬ, ОМепЬоиг^., 1959. Еп^ИзЬ Тгапз1аНоп, АЕС-;Тг-3352, в. д. (ТЫз
Еп^НзЬ >Тгапэ1аНоп 15 по! гесюттепдед.) (См. Малкин И. Г. Теория устойчивости
движения. М.— Л., Гостехтеориздат, 1952.)

357. МагаЫе Л. Н. Кеу1е\у о! КЕАУВ ехрептепГа! ргодгат.— «141101. ЗаГеГу», 1961,
V. 3(4), р. 28.

358. МагаЫе Л. Н. Ке^неху оГ КЕАМВ рго§гат.— «Мис1. 8аГеГу», 1963, V. 5, р. 42.

359. МазГегз В. Г., Саду К. В. А ргоседиге Гог еуа1иаНп^ тодППед риЧзед-пеиТгоп-
зоигсе ехреггтепТз т зиЬсгШса! пис1еаг геасГогз.— «Мис1. 8с1. Епрр», 1'967, у. 29,
р. 272.

360. Меепап Р., НеГпск В. 8ГаЬШГу оГ ТЬе Нуо-ГетрегаГиге геасТог тос1е1 уНГЬ де1ауед
пеиГгопз.— «Тгапз. Атег. 14ис1. 8ос.», 1966, V. 9., р. 458.

361. Ме^ЬгеЬНап К. V., Но1тез И. К. КеасТог АпаГузЬз. Г4. У., МсОгауг-НШ, ,1960.
(См. Мегреблиан Р. В., Холмс Д. К. Теория реакторов. Пер. с англ. М., Госатом-
издат, 4962.)

362. Мепе1еу О. А., »ОЙ К., ХУГепег Е. 8. 8расе-Нте ктеНсз, ТЬе рХ-4 соде. АМЬ-7340,
1967.

363. Меуег Л. Е. ЗупТЬезгз оГ ТЬгее-сНтепзюпа! рочмег зЬарез.— 1п: «Ргос. Сепеуа СопГ.»,
1958, у. И, р. 519. (См. Мейер Дж. Э. Синтез пространственных распределений энер-
говыделения в реакторе. Пер. с англ. М., ВИНИТИ. Пер. № 9522/8—Р/636, 1959.)

364. М1Ьа1с2о Л. Т. ЗирегрготрТ-сгШса! ЬеЬауюг оГ ап иптодегаГед, ипгеПеоТед ига-
пшш-шо1уЬ4епит аПоу геасТог.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1963, V. 16, р. 291.

365. МШакго Л. Т. РготрТ пеиФтоП десау апд геасТМТу шеазигетепЧз т зиЬсгйНса!
игапГит теТа1 суИпдегз.— «14ис1. 8с1. Еп&.», 1968, V. 32, р. <292.

366. М1Ьа1с2о Л. Т., Ьупп Л. Л., ХУаТзоп Л. Е. |8ирепртотрТ спНса! ЬеЬауюг о! а ига-
п1и1Ш-то1уЬдепи1Ш аззепнЫу.— «Тгапз. Атег. Ыис1. 8юс.», 1967, V. 10, р. 610.

367. МПда Л., 8ида Н. Сгепега! зГаЫПГу сгйепа Гог пиоГеат геасТог уНТЬ Тхуо ГеедЬаск
раТЬз о Г зш^1е Нте сопзТапТ.— «14ис1. 8с1. Еп&.», 1961, у. 111, р. 55.

368. МНеу С. Н. КеасТог пеиГгоп-риГзе ргора^аНоп.— «Мис1. 8с1. Епд.», 1965, у. 21,
р. 357.

369. МПеу 6. Н., Т8ои1Тап1д1з М., ОозЫ Р. К. Ри1зе-ргора^аНоп ехрептепТз уНТЬ
а геасТог зоигсе.— 1п: «НеиТгоп по1зе, \уауез апд ри1зе ргора^аНоп», ед.
К. Е. ИЬп^. Оак К1дде, Тепп., П8АЕС бтзюп оГ ТесЬшса! 1пГогтаНоп ЕхТеп-
зюп, 1967.

370. МШег К. XV. Са1си1аНопз оГ геасНуИу ЬеЬауюг дипп^ 8РЕКТ-1 Тгапз1еп1з.
ИЮ-46017, 1957.

371. Мтогзку Ы. ЫопПпеаг озсШаНопз. РппсеГоп, Ы. Л., И. Уап ЫозГгапд, 1962.

372. Мтогзку М. ТЬеогу о! попНпеаг сопТго! зузТетз. И. У., МсСга\у-НН1, 1969.

373. Моске! А. Оп ТЬе дтзарреагапсе о! дгзсгеТе десау сопзТапТз 1п з1аЬз.— «Мис1. 8сЬ
Еп^.», 4966, у. 26, р. 279.

374. Мооге М. М. ТЬе деТегштаНоп о! геасТог ТгапзТег ГипсНопз Ггот
теазигэтепТз аТ зТеаду орегаНоп.— «Ыис1. 8с1. Еп^.», 1958, V. 3, р. 387.
(См. Мур М. Определение передаточных функций реактора по данным измерений
установившейся работы. Пер. с англ. М., Центр, науч.-исслед. институт компл.
автоматизации. Пер. № П-607-1131, 4958.)

375. Мооге М. № ТЬе ротуег поГзе ТгапаГег ГипсНоп оГ а геасТог.— «Нис1. 8с1. Еп&.»,
1959, V. 6, р. 448.

376. Мооге М. 14. ТЬе го!е оГ ТЬе дГзрегзЮп 1ачу 1п зрасе-дерепдепТ ктеНсз.— 1п: «Ке-
асТог ктеНсз апд сопТго!», ед. Ь. |Е. ХУеауег. Оак Шд^е, Тепп., 148АЕС П1У18юп
оГ ТесЬшса! 1пГогтаНоп ЕхТепзюп, 1964.

377. Мооге М. Ы. ТЬе деТегттаНоп оГ геасТог дюрегзюп 1а\уз Ггот тоди1аТед-пеиТгоп
ехрептепТз.— «Нис1. 8с1. Еп^.», 1965, у. 21, р. 565.

378. Мооге М. 14. ТЬе дГэрегзюп 1ату оГ а тодегаТог.— «ИисЧ. 8се Еп&.», 1966, у. 26,
р. 354.

379. Мооге М. Ы. ТЬе дтзрегзюп оГ ТЬегтаЬпеиТгоп ри1эез т пеиТготс з1зТетз.— «Мис1.
8с1. Еп^.», 1966, у. 25, р. 422.

380. Мооге М. Ы. ТЬе ^епега1 ТЬеогу оГ ехсНаНоп ехрептепТз т зрасе-<дерепдепТ кте-
Нсз.— 1п: «ЙеиТгоп по1зе, угауез, апд ри!зе ргора^аНоп», ед. К. Е. ПЬп^. Оак
Р1д^е, Тепп., П8АЕС Игурзюп оГ ТесЬшса! ГпГогшаНоп ЕхТепзюп, 4'967.
381. Мооге М. И. АзутйГоНс пеиГгоп рике уексГГу апд Гке зузГет дкрегзкп 1аху.—
«Ыис1. 8с1. Еп§.», 1^7, V. 28, р. Г52.

382. Могзе Р. М., РезкЬаск Н. МеГкодз о! ГкеогеНса! ркузкз. М. У,, МсСгаху-НШ, 1953.
(См. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Пер. с англ. М.,
Изд-во иностр, лит.,, 11958, 4960.)

383. МогГепзеп 6. А., 8тИк Н. Р., Лг. ПеиГгоп-хуауе ргора^аНоп изт& Гке Р4-арргох1-
таНюп.— «Пис>1. 8с1. Еп^.», 1965, V. 012, р. 3211.

384. Мозз Ь. I., ВиГГгеу К Е. Апа<1у»Иса1 дезспрНоп оГ 8'ирег|р1ГотрГ спНса! ГгапзгепГз
т игатит-гисотит ЬудгМе Гие1ед геасГогз.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 11964,
V. 7, р. 384.

385. Мозз Ь. •!., Ккоадез XV. А. А теГкод Гог Гке зГиду оГ аиГосаГа!1узк апд/ог ргеэзиге
ЫзГопез т ГазГ Ьгеедег геасГогз.— 1п: «Ргосеедт^з ю>Г Гке Вгооккауеп сопГегепсе
оп тдизГпа! пеедз ап<1 асадепис гезеагск т геасГог ктеНсз». ВЫЕ50117 (Т-497),
1968.

38'6. МоГх Н. Т., ‘Кеерт 6. К., еск. ТпГепзе пеиГгоп эоигсез. Оак Кгд^е, Тепп., 1Л8АЕС
О1У181оп оГ Тескпка! ТпГогтаНоп ЕхГепзюп, 1966.

337. Миггау Н. 8., ЗскиПг В. О. 8ГаЫНГу оГ попПпеаг соир1ес!-соге геасГогз.— 1п:
«ПеиГгоп дупаппсз апд сопГго!», ед. Э. Ь. НеГпск, Ь. Е. ХУеауег. Оак Шд^е, Тепп.,
П8АЕС Эхукюп оГ Тескпка! ГпГогтаНоп ЕхГепзюп, 1966.

388. Миггау К. Ь., Вт&кат С. И., МагНп С. Г. КеасГог ктеНсз апа1уз!з Ьу ап туегзе
теГкод.— «Нис!. 8с1. Еп§.», 1964, у. 18, р. 481.

3189. Иакауапд! А. П., уоп НоПеп И. Р. А зрасе-дерепдепГ дупатк апа1узк оГ ЬоШп§
хуаГег геасГог зузГетз.— «Нио1. 8 с!. Еп^.», 4964, у. 20, р. 392.

390. Иакауапд! А. М., уоп НоПеп К. Е. А д!^1Га! сотриГег зо1иНоп Гог зрасе-дерепдепГ
пеиГгоп ктеНсз ечиаНопз.— «Нис1. 8сп Еп^.», 1964, у. 18, р. 335.

391. ПаГекоп М., ОзЬогп И. К., 8киге Р. 8(расе апд епегду еГГесГз 1п геасГог ПисГиа-
Ноп теазигетепГз.— «Л. Нис1. Епег^у», 1966, у. 20, р. 557.

392. Пе1к1п М. АррепШх Го «Тке еГГесГ оГ ГетрегаГиге со-зШсГеиГз оп геасГог зГаЫНГу
апд геасГог ГгапзГег ГипсНоп», Ьу К. Бк&е!, Н. НипуРГз, Лг. КАРЬ-11138, 1955.

393. Пе1кт М. Тке десау оГ а ГкегтаНгед пеиГгоп рике.— «НисЯ. 8о1. Еп^.», 1960,
у. 7, р. 2110.

394. Пдиуеп В. Н. ОГ Гке иррег Ьоипд оГ Гке ротГ зресГгит Гог рикед Гкегта!
зузГетз.— «Тгапз. Атег. Нис1. Бос.», 1969, у. 12, р. 662.

395. Иккокоп К. В. Тке Вюрр!ег еГГесГ т ГазГ пеиГгоп геасГогз. АРОА-439, Г960.

396. Пккокоп К. В. МеГкодз Гог деГегттт& Гке епег^у ге1еазе т курсГкеНса! ГазГ-
геасГог те1Гдохуп ассгдепГз.— «Мис1. 8с1. Еп§.», 1964, у. 18, |р. 207.

397. ИкЫпа К., Аксази А. 2. ПеиГгоп хуауе апа1уз1з т ПпЬГе тед!а.— «НиС1. 8сп
Еп&.», 1970, у. 39, р. 170.

398. Могдке1'т Ь. XV. РПе ктеНсз. МООС-35, 1946.

399. Могдке1т Ь. XV. Тке Ворркг оэеГПс1епГ.—1п: «Тке Гескпок^у оГ пис1еаг геасГог
заГеГу», у. 1, ед. Т. Л. Ткотрэоп, Л. О. ВескеНеу. Саткпд'^е, Мазз., М. I. Т.
Ргезз, 1964.

400. Пуег XV. Е. Ратр-тдисед ЬигзГз.— 1п: «РиагГег1у рго^гезз герогГ, Лапиагу, РеЬ-
гиагу, Магск, 1958, геасГог рго]есГз Ьгапск», ед. О. О. Вп^кГ, ЮО —116452, 1958.

401. Пуег XV. Е. МаГкетаНса! то дек оГ ГазГ Ггапз5епГз.— 1п: «Тке ГескпоГо^у о!
пис1еаг геасГог заГеГу», у. 1, ед. Т. Л. Ткотрзоп, Л. О. ВескегГеу. СатЬгГд^е, Мазз.,
М. I. Т. Ргезз, 1964.

402. Пуег XV. Е., РогЬез 8. 6. 8РЕРТ-1 геаоГог заГеГу ®Гид!ез.— 1п: «Ргос. Оепеуа СопГ.»,
1958, у. 11, р. 470. (См. Найер У. Э., Форбс С. Г. Изучение безопасности работы
реактора 8РЕРТ-1. Пер. с англ. М., ВИНИТИ. Пер. № 9522/8—Р/2428, 1958.)

403. НудикГ Н. Тке ге^епегаНоп Гкеогу.— к<Ве11. 8узГ. Теск. Л.», 1932, у. 11, р. 126.

(См. Никвист X. Теория регенерации. Пер. с анл. М., ГПНТБ. Пер. № 461, Б. г.)

404. Оакез Ь. С. Тке сопГго! апд заГеГу оГ рике геасГогз.— «Пис1. ЗаГеГу», 1968, V. 9,
р. 363.

405. Окатап М. Л., ВооГН К. Регех К. В. Е1^епГипсНоп апа1узк оГ пеиГгоп-хуауе
ргора^аНоп т тодегаНпд тед!а.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1967, у. 30, р. 95.

406. Окатап М. Л., В1ах М. Л. Тке ^зрегзГоп 1аху оГ а 1аг^э с1озе-Го-спНса1 НгО — ПОг
аззетЫу.— «Тгапз. Атег. Мис1. Бос.», 1969, у. 12, р. 257.

407. ОкгепГ В. А кок аГ ГазГ геаоГог заГеГу.— «Ыис1. ЗаГеГу», 1965,, у. 6, р. 317.

408. ОкгепГ В. е. а. АХ-1, а сотриНп^ рго^гат Гог соир1ед пеиГготс-кудгодупапнсз.,
сакикНопз. АПЬ-5977, 1959.

409. ОгпдоН Л. В. РготрГ пеиГгоп реподз оГ теГа! спНса1 аззетЬИез.— «Пис1. 8ск
Еп^.», 1957, у. 2, р. 450.

410. ОгГепкег^ Ь. I. А сотрапзоп оГ са1си11аГед геасНугГу ГеедЬаск хуГГк гесепГ теази-
гетепГ т ИЕКУА геасГогз.— «Тгапз. Атег. Пис1. 8ос.», 1967, у. 10, р. 414.
411. ОзЬогп К. К., У1р 8. ТЬе ГоипдаГюпз оГ пеиГгоп ГгапзрогГ ГЬеогу. И. У., богдоп
апд ВгеасЬ, 1967.

412. Ой К., Маде11 1. Т. ОиазГзГайс ГгеаГтепГ о! зрайа! рЬепотепа т геасГог дупа-
гтсз.— «Мис1. 8с!. Еп^.», 1'966, V. 26, р. 566.

413. ОЙ К., Мепе1еу О. А. Ассигасу оГ ГЬе циазгзГайс ГгеаГтепГ оГ зраГ1а1 геасГог кгпе-
Г!сз.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1969, V. 36, р. 402.

414. Оуата А., Ап 8., Копдо 8. Апа1уз18 оГ Газ! геасГог сюге теИдолуп ассГдепГз.— 1п:
«Ргосеед!п^з оГ ГЬе 1пГегпаГ!опа1 сопГегепсе оп ГЬе заГеГу оГ ГазГ геасГогз»
(А!х-еп-Ргоуепсе, 19—22 8ерГетЬег 1967), ед. О. ПетеЬи. Рапз, ПоситепГаПоп
Ёгап<;а18е.

41’5. РасШо Ы. КеасГог-по1зе апа1уз1з т ГЬе Нте дотат. ЛЕС СгШса! Кеу1е\у 8епез,
по. 7. ТЮ-24512, 1969.

416. Ра! М. А., 8азГгу V. К., МоЬап М. А. СопзГгисГюп о! Ыарипоу ГипоПопз Гог
попИпеаг пис1еаг геасГог зГаЫИГу зГидхез.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1970, у. 39, р. 105.

417. Рагкз Р. С. А пеху ргооГ оГ ГЬе КоиГЬ— ШпуЙг зГаЫИГу сгЙегюп изт^ ГЬе зесопд
теГЬод оГ Ыарипоу.— «Ргос. СатЬ. РЫ1. 8ос.», 1962, у. 58, р. 694.

418. Регег К. В., ВооГЬ Я. 8., НагЙеу К. Н. ЕхрептепГаНоп мнГЬ ГЬегтаРпеиГгоп хуауе-
ргора^айоп.— «Тгапз. Атег. 14ис1. 8ос.», 1963, у. 6, р. 287.

419. Регег И. В., 1Л1Г1& Я. Е. Ргюра^аГюп оГ ГЬегтаГ-пеиГгоп угауез т тодегайп^ те-
дга.— «Тгапз. Атег. Г4ис1. 8ос.», 1962, у. 5, р. 348.

420. Регег К. В., 11Ьп^ Я Е. Ргора^аГюп о! пеиГгоп хуауез 1п тодегайп^ тедга.—
«Мис1. 8с1. Еп&.», 1963, V. 17, р. 90.

4Й1: . Регег Я. В., НЬп& Я. Е. Эеуе1ортепГ оГ ГесЬтдшзз о Г пеиГгоп-хуауе апд пеиГгоп-
рЫзе рго|ра^аГ1оп.— 1п: «МеиГгоп по1зе, хуауез апд ри1зе ргора^аПоп», ед.
К. Е. Шт1§. Сак КЬд&е, Тепп., 118АЕС ВМз10П о.Г ТесЬтса! ТпГоптаГгоп ЕхГеп-
зюп, 1967.

422. Регкз М. А. РЯЕАК, а Газ! геасГог тиШ&гоир ктейсз рго^гат.— 1п: «Ргосеедш§з
оГ ГЬе сопГегепсе оп ГЬе аррИсаЙоп оГ сотрийп^ теГЬодз Го геасГог ргоЫетз»,
ед. М. ВиПег. АМЫ7050, 1965.

423. Р1ага И., КбЫег XV. Н. Соир1ед-геасГог ктейсз ециайопэ.—«Ыис1. 8с1. Еп&.», 1966,
у. 26, р. 419.

424. Ротсагё Т. Ьез тёГЬодез поиуеПез де И тесатяие сё1езГе. Рапз, баиГЫег-УШагз,
4892 (См. Пуанкаре Анри. Избранные труды. Т. 1. Новые методы небесной меха-
ники. Пер. с франц. М.„ «Наука», 19711.)

425. Роо1е М. Л., ХУШНп Е. К. ТЬе дез^п о! а Ы^Ь-тГепзИу риГзед зоигсе изт^
а пеиГгоп ЬоозГег Гаг^еГ.— 1п: «Ргос. бепеуа СопГ.», 1958, V. 14, р. 266.

(См. Пул М. Дж., Уиблин Э. Р. Проект пульсирующего нейтронного источника
высокой интенсивности с усиливающей мишенью. Пер. с англ. М., ВИНИТИ. Пер.
№ 95122/8 — Р/59, 1959.)

426. Ророу V. М. ЫоГез оп ГЬе шЬегепГ зГаЫИГу о! пис1еаг геасГогз.— 1п: «Ргос. бепеуа
СопГ.», 1958, у. И, р. 245.

427. Ророу V. М. АЬзоТиГе зГаЫИГу оГ попИпеаг зузГетз оГ аиГотайс сопкой. (Еп^ПэЬ
Ггапз1а1гопз.)—«АиГотайоп апд КетоГе СопГгоЬ, 1'961', V. 22, р. 857.

(См. Попов В. П. Гмперустойчивость автоматических систем. Пер. с румынского.
М.„ «Наука», 1970.)

428. Ророу V. М. А пеху спГепоп Гог ГЬе зГаЫИГу о! зузГетз сопГатп1п< <пис1еаг
геасГогз.— «Кеу. ЕГесГпоГесЬп. Епегрр», 1963, у. А8, р. 113.

429. РогзсЫп^у Т. А. Мишепса! зэ1иГюп оГ ГЬе геасГог кшейсз едиаГюпз Ьу арргохйпаГе
ехропепГ1а1з.— «Мис1. 8сь Еп&.»„ 1966, V. 25, р. 1183.

430. РгоНо А. Е., Ескагд Л. В. дпуезй&аНопз о! пеиГгоп тодегаГюп упГЬ а ри!зед
зоигсе.— «14и<з1. 8с1. Еп^.», >1964, V. '19, р. 321.

4Э11. РигоЫГ 8. Н. МеиГгоп ГЬегтаНгаЙоп апд «ИГГизюп т ри1зед тед!а.— «Г4ис1. 8сь
Еп§.», '1961, у. 9, р. 457.

432. Оиддиз М. А., СосЬгап К. О., Етоп Й. Е. Ах1а1 ргора^аГЬэп оГ пеиГгоп угауез 1п
ЬеГего&епеоиз тед!а.— «Мис1. 8с1. Еп^.»,, 1969, V. 35, р. 342.

433. Яадкохузку А., ед. Мауа! геасГогз рЬузюз ЬапдЬоок, у. 1. ХМазЬт^Гсп, П. С. О8АЕС,
1964.

434. Кааеузк! V., НогомпГЬз Л. Мезиге ди ПЬге рагсоигз тоуеп де ГгапзрогГ дез пеиГгопз
ГЬегппциез дапз Геаи 1оигде аи тоуеп д’ипе зоигсе тоди1ёе.— «СотрГ. Кепд.»,
1954, у. 238, р. 1993.

435. Ка1еузк1 V., НогомпГг Л. ПеГегттаНоп оГ ГЬе теап ГгапзГег Ггее раГЬ о! ГЬегта!
пеиГгопз Ьу теазигетепГ о! ГЬе сотрГех дШизюп 1еп&ГЬ.— 1п: «Ргос. бепеуа
СопГ.», 1955, у. 5, р. 42.
466. Каш К. 8. А пе\у арргоасЬ Гог деГегт1п1п§ Ше теасНуйу оГ а зиЬспНса! зузгет.—
«Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 1968, V. 4*, р. 491.

437. Кат К. 8., 1ЛЬп§ К. Е. ВеГегттаНоп оГ геасНуНу о! а зиЬсгШса! зузГет.— «Мис1.
8с1. Еп^.», 1969, V. 37, р. 299.

438. КапдаП В., 81. ЛоИп В. 8. Хепоп з|раНа(1 озсШаНопз.— «МисГеотсз», 11*9*58, V. (16(3),
р. 82.

439. КапдаП В., 81. ЛоЬп В. 8. Хепоп 5|раНа1 озсгПаНо-пз.— «Ыис1. 6с1. Еп^.», 496*2, V. >14,
р. 204.

440. Капд!ез Л. РеедЬаск 4ие Го еГазНс хуауез апд Ворр1ег соеГГкЯепГ дипп^ Ше ехсиг-
310П8 оГ а риГзед ГазГ геасТог.— «Л. Мис1. Епеп^у», 11966, у. 20, р. 11.

441. Кеед Н., Напзеп К. Р. РГпгГе йШегепоэ ГесЬтдиез Гог Ше зо1иНоп оГ Ше геасТог
ктеНсз едиаНопз. МПЫЕ-ДОО, >1969.

442. Кеед XV. Н., Напзеп К. Г. АМегпаНп^ дГгесНоп теШодз Гог Ше геасТог ктеНсз
едиаНопз.— «Ыис1. 8ск Еп^.», '1970, V. 41, р. 431.

443. Кет1еу М. Е. е. а. ЕхрептепШ! зГид1ез оп Ше к!пеНс ЬеЬауюг оГ хуаГег ЬоПег Гуре
геасГогз.— 1п: «Ргос. Сепеуа СопГ.», 496*8-, у. 1*1, р. >447.

444. Кепагд А., 8НёуепагТ М. Еуа1иаНоп о! Ше епег^у рэ1еазе т сазе оТ а зеуеге асс!-
депГ Гог а Газ! геасТог упШ ГтрогГапГ ’ГеедЬаскз.— 1п: «Ргосеедт&з оГ Ше тГета-
Нопа! сопГегепсе оГ Ше заГеГу оТ Газ! геасГогз» (А1х-еп-Ргоуепсе, !19—22 ЗерГетЬег
1967), ед. О. Ветекш. Рапз, ВоситепТаНоп Ргап^аТзе.

445. КеизсЬег Л. А. Вупапмс тесЬаЫса! сЬагасГепзНсз оГ Ше Запдга ри1зед геасТог Ш.—
«Тгапз. Атег. Мио!. 8ос.», 1968, у. 11, р. 220.

446. КюМтуег К. В. ВШегепсе теШодз Гог 1тНа1-уа1ие ргоЫетз. Ы. V., ДМПеу, 1958.
(См. Рихтмайер Р. Д. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ.
М.„ Ивд-во иностр. лит., 11960.)

447. КПсЫе А. I. М., КатЬоиг М. Т. 8оте теазпгешепГз оГ десау сопзГапГз с1озе Го
(у51пе0тгп 1п рЫзед ВеО аззетЬПез.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 11967, у. 28, р. 306.

448. ЯоЫпзоп Ё. В. СюпсерГ оГ зГаЫИГу Гог пис1еаг геасГогз.— «Л. Арр1. РЬуз.», >1*954,
у. 25, р. 516.

449. КоЫпзоп Ь. В. ЕГГесГ оГ деГауед Нззюп пеиГгопз оп геасГог ктеНсз.— «Л. Арр1.
РЬуз.», 1955, у. 26, р. 52.

450. Козеп Л. В. ЗГаЫПГу апд Ьоипдз Гог поп-Нпеаг зузГетз оГ дгГГегепсе апд дгГГе-
гепНа! едиаНопз.— «Л. МаШ. Арр!.», 196*1, у. 2, р. 370.

451. КоНег ГпГегргеГаНоп оГ ри!зед зоигсе теазигетепГз Ьу ГЬе тотепГз теШодз.—
«Л. Мис1. Епег^у», 4969, у. 23, р. 289.

452. КоиТЬ Е. Л. А ГгеаНзе оп ГЬе зГаЫИГу оГ а ^руеп зГаГе оГ тоНоп. Ьондоп, МастП-
1ап Со., 1877.

453. Китзеу V. Н. ТЬе Нте уанаНоп оГ рПе ро\уег дие Го реподю тоди1аНоп оГ ГЬе
еГГесНуе.тиТНрНсаГюп сопзГапГ. СКР-333, РИ-217, *1947.

454. Китзеу V. Н. КтеНсз оГ рПез удШ геПесГотз.— «Л. Арр1. РЬуз.», 1954, у. 25,
р. 1395.

455. КиззеП С. К. КеасГог заГе^иагдз. Ы. V., МаспиПяп Со., 1962.

456. Киззе!! Ь. М., Могпз Е. А сотриГег са!си1аНоп оГ ГЬе епег^у у!е1д ргодисед Ьу
а ЬуроШеНса! ГазГ геасГог асс!депГ.— 1п: «Ргосеедт^з оГ Ше сопГегепсе оп ГЬе
аррИсаНоп оГ сотриГт^ теШодз Го геасГог ргоЫетз», ед. М. Ви-Пег. АМЬ-7050,
1965.

457. Куд1п К. А. Т1те зупГЬезтз: А зГиду оГ зупШез^з тодез апд \уе!§ЬНпд ГипсНопз.—
«Тгапз. Атег. Ыис1. 8ос.», 196'8, у. 10, р. 569.

458. 8ар 6. ЕхсИаНоп оГ Ы^Ьег зрасе тодез т геасТог ГгапзГег ГипсНоп теазигетепГ.—
«Ыис1. 8с1. Еп§г.», 4968, V. 32, р. 93.

459. 8апаШапап С. К. е. а. ТЬе аррИсаНоп оГ а Ьудггд сотриГег Го ТЬе апаГузгз оГ
Ггапз1епГ рЬепотепа т а ГазГ геасТог соге.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1*967, V. .28, р. 82.

460. 8апдте1ег Н. ЫопПпеаг ГгеаГтепГ оГ 1аг^е регШгЬаНоп т ро\уег геасТог зГаЫПГу.—
«ХТис1. 8с1. Еп^.», 4959, у. 6, р. 85.

461. 8азТге С. КеасГог ГгапзГег ГипсНопз.— 1п: «Адуапсез т писГеаг зс1епсе апд ГесЬпо-
1о§^у», у. 2, ед. Е. Л. Неп1еу, Н. КоиГз. Ы. V., АсадетГс Ргезз, 1964.

462. 8азТге С., А^етзГоск Е. V. А поГе оп де1ауед-пеиГгоп еГГесГз т риГзед-пеиГгоп
теазигетепГз оп ти1Нр1ут& аззетЬИез.— «Мис1. 8с1. Еп^.», 1964, у. 20, р. 359.

463. 8са1еПаг К. ТЬе ГисЬз-МогдЬейп тоде! уНШ уапаЫе ЬеаГ сарасЬГу.— «Ыис1. Зек
Еп§.», 1963, у. 16, р. 4'59.

464. 8са1еТТаг К. Зрасе- апд епег^у-дерепдепГ соггесНопз То ГЬе ЕисЬз-МогдЬенп
тоЬе!.— 1п: «ЁеасГог ктеНсз апд сопТго!», ед. Ь. Е. АМеауег. Оак К1д^е, Тепп.,
1Л8АЕС В1У1зюп оГ ТесЬтса! ЛпГогтаНоп ЕхТепзюп, (1964.

4С5. 8са!еТТаг К. Ад1аЬаНс ГгеаГтепГ оГ Ше хепоп ргоЫет.— 1п: «КеиГгоп дупагтсз апд
сопТго!», ед. В. Ь. НеГпск, Ь. Е. У^еауег. Оак К1д^е, Тепп., Н8АЕС В1у!зюп о!
466. 8скппд Р. ОепуаНоп о! а Ьазю тГе§га1 едиаНоп о! геасГог ктеНсз.— 1п: «Ргос.
СЛепеуа СопН», 1958, V. 11, р. 277. (См. Шмид П. Вывод интегрального уравнения
как 'иной основы кинетики реакторов. Пер. с англ. Мм ВИНИТИ
Пер. № 9522/8—Р/282, 1959.)

467. 8сНппдГ Т. И. ГЧопИпеаг озсШаНопз апд зГаЫИГу о! а пис1еаг геасГог \у1ГИ Глуо
геасНуИу ГеедЬаскз. РИ. 1Э. дтззегГаНоп, Пшуегзйу о! Апгопа, 19169.

468. 8скппдГ Т. К., НеГпск В. Ь. АиГопотоиз попПпеаг озсШаНопз т ппс1еаг
геасГогз.— «Тгапз. Атег. Иис!. Фос.», 1969, V. 12, р. 73(5.

469. ЗскпмдГ Т. К., НеГпск В. Ь. МопНпеаг озсШаНопз апд зГаЫИГу оГ а пис!еаг
геасГог уНГк :Нуо геасНуНу ГеедЬаскз.— «Мио!. 8с1. Еп^.», 11'9170, V. 42, р. (1.

470. 8скгоедег Р. е. а. ЕхрептепГа1 зГиду оГ ГгапзтепГ Ьекауюг т а зиЬсоо1ед, ^уаГег-
тодегаГед геасГог.— «Ыис!. $с1. Еп&.», 1957, у. 2„ р. 96.

4*71 . 8ски1Гг В. О. Тке ^епегаНоп о! Ыарипоу ИтсГюпз.— 1п: «Адуапсез т сопГго!
зузГетз», у. 2, ед. С. Т. Ьеопдез. <Ы. У., Асадепис Ргезз, 11965.

472. ЗскиИг В. О., Мека 1. Ь. 8ГаГе ГипсНопз апд Ипеаг сопГго1 зузГетз. И. У.,
МсОгауг-НШ, 11967.

473. 8ски!Гх М. А. СопГго! о! пис1еаг геасГогз апд роугег рТапГз. 2д. ед. 'М. У.,, МсСгзау-
НШ, 1961. (С»м. Шульц М. А. Регулирование энергетических ядерных реакторов.
Пер. о англ. М.„ Иэд-вю иностр, лит.,, 1957.)

474. 8ескег Р. А., Лг. Митепса! 1п!е^гаНоп о! дупатк пио1еаг зузГетз едиаНопз Ьу
орГГтит тГе^гаНп^ ГасГогз. РЬ. В. дГззегГаНоп, ШтУегзГГу оГ Апгопа. РиЬИзкед
аз ИА-4252, 1969.

475. Зескег Р. А., Лг. 8о1иНоп о! Гке геасГог ктеНсз едиаНопз Ьу орНтит 1пГедгаНп^
ГасГогз.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 1969, у. 12, р. 618.

476. 8е!еп^иГ В. 8. УапаНопа! апа1уз18 о! тиЖ-дкпепзюпа! зузГетз.— 1п: «Мис1еаг
ркузюз гезеагск», диагГег1у герогГ, ОсГоЬег, НоуетЬег, ЭесетЬег 1958. НАУ-59126, 1959.

477. 8е!еп^иГ В. 8. Оп Гке депуаНоп о! а уапаНопа! ргтс1р1е Гог Ипеаг зузГетз.— «МисИ
8с1. Еп§.», (1963, V. 17, р. 3)10.

478. ЗЬа XV. Т., Нзи С. АзутрГоНс зГаЬПИу лУ1Гк розШуе тодегаГог геасНухГу соеШ-
С11еп1з.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», (1968, у. 14, р. 573.

479. ЗЫпода АУ., МНаке 8. А |Гкгеэ-д1п1епз1опа1 апа1уз1з о4 хепоп-тди1сед озсШаИопа
т ЬогИп^ чуаГег соо1ед геасГогз.— «Ыис1. 8ск Еп^.», 4969, V. 66, р. 372.

480. ЗкоГкт Ь. М. НопИпеаг ктеНсз о! а Глуо-ГетрегаГиге геасГог. ВМЬ 815(Т-315),
11963.

481. ЗкоГкт Ь. М. А попПпеаг апа1уз1з о Г а геасГог 5У1Гк Глуо ГетрегаГпге соеШ-
сгепГз.— «Ыис1. 8ск Еп^.», 1964, у. 18, р. 271.

482. ЗкоГкт Ь. М. КеасГог зГаЬШГу а&атэГ хепоп озсШаНопз.— |1п: «КеасГог ктеНсз
апд соиТго!», ед. Ь. Е. ДУауег. Оак Кгд^е„ Тепп., 1Л8АЕС Втзюп о! Тесктса!
кИогтаНоп ЕхГепзюп, 11964.

483. ЗкоГкт Ь. М. ГпзГаЫИГу Ьоипдз т ИпеаНу зГаЫе зузГетз.— «Мис1. 8с1. Епд.»,
1969, у. 35, р. 2111.

484. ЗкоГкт Ь. М. Сотрапзоп о! тода! апд ИегаНуе арргоаскез Го зрасе апд зрасе-
Нте попПпеаг ргоЫетз.— «ГФис1. 8ск Еп^.», 1969, V. <36, р. 97.

485. 181юГкт Е. М., НеГпск В. Е., 8скпмдГ Т. (К. Тке еИесГ о! 6е1ауед пепГгопз оп
аиГопотоиз озсШаНопз т попПпеаг геасГог зузГетз.— «Тгапз. Атег. Мис!. 8ос.»,
(1969, у. 112, р. 294.

486. ЗкоГкт Е. М., НеГпск В. Ь., ЗскпНдГ Т. К. ЕНесГ о! Гке де!ауед пепГгопз оп аиГопо-
тоиз попПпеаг ро\уег озсШаНопз.— «Нис1. (8с1. Еп^.», Т970, V. 42, р. 10.

487. 8ПЬегЬег$ М. Тке КЕАУВ рго^гат.— «Мис1. 8а!еГу», 1965, V. 6, р. 386.

488. |81ттопз В. Е. Тке дунатю геасНуИу тГегргеГаГюп о! ри!зед пеиГгоп теазиге-
тепГз.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1959, V. 5, р. 254.

489. 81ттопз В. Е., Кт^ Л. 8. А риГзед пеиГгоп Гесктдие Гог геасНуИу деГегтта-
Ноп.— «Ыис'1. 8с1. Еп&.», 1958, V. 3, р. 595.

490. 8т^ег 8. Тке реп од ециШЬпит еЙесГ т геасГог дупаппсз. ПА-2654, 1962.

491. 8]*озГгапд № О. МеазигетепГз оп а зи1ЬспНса11 геасГог иэт^ а ри1зед пеиГгоп
зоигсе.— «Агкгу Рузгк», (1956, у. 11, р. 233.

492. 8ктпег К. Е., Сокеп Е. К. 'Кедисед де1ауед пеиГгоп ^гоир гергезепГаНопз.—
«Мис1. 8с1. Еп^.», 1959, V. 5, р. 291.

493. 8ктпег И. Е., НеГпск В. Ь. Тке ГгапзГег ГипсНоп оГ а угаГег ЬоИег геасГог.—
«Мис1. 8с1. Еп&.», 1958, V. 3, р. 573.

494. 8Ну1пзку С. К., АУеауег Ь. Е. КеасГог сопГго1 изт& а печу тиШуапаЫе дез1^п
Гесктдие.— «Мис1. 8с1. Еп§.», 1969, у. 37, р. 163.

495. 8теГз Н. В. НеасГог дупаппсз аГ 1оду ротуег.— 1п: «Ргос. Оепеуа СопГ.», 1958,
у. 11., р. 237.

496. 8теГз К. В. Тке гезропзе о! а пис!еаг ро\уег геасГог Го а Ипеаг геасНуИу уап-
аНоп.— «МисГеотк», '1959, у. 1, р. 351.
497. ЗтеТз «Н. В. Оп АУеИоп’з зТаЬШГу сгйегюп Тог пиокаг геасТогз.— «5. Арр!. РЬуз.»,
1959, V. 30, р. 16213.

4918. ЗтеТз Н. В. А §епега1 ргорегГу оТ Ьоипдедпезз Тог ТЬе рохуег оГ зоте зТаЫе апд
ипзГаЫе пис1еаг геасТогз.— «Ыискотк», 1960, V. 2, р. 44.

499. 8те!з Н. В. Оп ТЬе зТаЬШТу оГ Ьото^епеоиз пис1еаг геасТог уШЬ поп-Нпеаг геас-
ПугГу дерепдепсе оп ТетрегаТиге.— «Мис1. 8с1. Епд.», 19611, V. 11, р. 428.

500. 8теТз Н. В. РгоЫетз т пискаг ромгог геасТог зТаЬШТу. ВгиззеТз, Ргеззез Ытуег-
з-Иаиез де ВгихеПез А. 8. В. Ь., 11962.

501. ЗтеТз Н. В. ЗТаЬШТу т ТЬе 1агде апд Ьоипдедпезз о! зоте геасТог тоде1з.—
«Л. Нио1. Епег^у», 1963, V. 117, р. 329.

502. 8теТз Н. В. Рюугег озсШаНопз 1п пискаг геасТогз.— 1п: «Реуие А, ВеГ^рап 8ос1еТу
Гог АиГотаПс СопТго!», 1964, V. 6, р. 137.

508. 8теТз Н. В. ОеггуаТюп оГ ТЬе |дезсп<Ып& ТипсТюп Гог а геасТог аТ роугег 1еуе1.—
«Ыискотк»., 1965, у. 7, р. 399.

504. ЗтеТз Н. В. Оп ТЬе еГГес! оГ дЫауед пеиТгопз !п геасГог дупапнез.— «Мис1. 8с1.
Еп^.», 1966, V. 26, р. 286.

505. 8теТз Н. В. РгорпёГёз дкЬакз дез Тгапз1Го1гез поп Ппёаиез дез геасГеигз
пис1ёа!гез.— 1п: 1«1депТШсаНоп, орНтпаНзаГюп еГ зГаЬШГё дез зузГётез аиГотаН-
диез» (АсГез ди Соп^гёз д’АиТотаЬцие ТЬёопцие, Рапз, 11965). Рапз, Оипод, 1967.

506. 8теГз Н. В. Кер!у Го 8. Тап. Оп ТЬе зГаЫПгт^ еРГесГз о>Г деГауед пеиТгопз.—
«ЫисЬ 8с1. Еп^.», 1969, у. 37, р. 326.

507. ЗтеТз Н. В. Воипдедпезз апд зГаЫИГу оГ зоте тоде1з оГ пис1еаг геасГогз.—
«Ыис!. 8с1. Еп§.», 1970, V. 39, р. 269.

508. 8теГз Н. В., буНороикз Е. :Р. ТЬе аррПсаГюп оГ ГороГо^рса! теГЬодз То ГЬе кте-
Г1С8 оГ Ьото^епеоиз геасГогз.— »«Мис1. 8с1. Еп§.», 1959, у. 6, р. 341.

509. 8тНеу Л. АУ. 8ТРЕАК, а питепса! зоШПоп Тог зрасе-Тгте пеиГгоп ШТГизюп
едиаГюпз. Еп&теепп^ КезеагсЬ ВиПеГт В-95. ЫтуегзИу Рагк, Репп., РеппзуГуапга
8ТаГе ЫтуегзИу, 1966.

510. 8тИЬ ;Н. Р., Лг. С1огед 1оор дупапнез о Г пискаг госкеГ еп^Гпез у/гГЬ Ыеед ГигЫпе
дп-уе.— «Ыис1. 8ск Еп^.», 1962, у. 14, р. 371.

511. 8тПЬ Н. Р., Лг. С1озед 1оор дупапнез о! пис1еаг госкеГ еп^тез унГЬ Горрт^
ГигЫпе дпуе.— «М<ис1. 8с1. Еп§.», 1964, V. 118, р. '5018.

512. ЗтИЬ Н. Р., Лг. ОТуег^епсе оГ ГЬе теап ромгег 1еуеП «диппд ап озеШаНоп ехреп-
тепТ.— «Мис1. 8с1. Ещ*.»„ 1Г965, у. 212, р. 253.

513. ЗтИЬ Н. Р., Лг., Зкптп^ А. Н. Ореп кор зТаЬШГу апд гезропзе оГ пис1еаг госкеГ
еп^тез.— «!Чис1. Зс1. Еп^.», 1961, V. 11, р. 76.

514. ЗтИЬ К. Ц. е. а. ТпзТаЫИТу зГиШез хугГЬ ЕВК-1, Магк III. АНЬ-6266, 1960.

515. 8тИЬ К. К. е. а. А тесЬатзт ехр1агпт& ГЬе ГпзТаЬШГу о Г ЕВР-1, Магк III.
АНЬ-6354, 1961.

516. Зоодак Н. РгоЫетз оГ геасГог ктеНсз.— 1п: «Ыис1еаг геасГог ГЬеогу», ед. О. Вик-
ЬоГГ, Е. Р. АУГ^пег. Ргоугдепсе, К. Ь, Атенса п МаТЬетаНса! ЗосГеГу, 1961.
(См. Теория ядерных реакторов. Сб. статей. Под ред. Г. Биркгофа и Э. Вигнера.
Пер. с англ. М., Госатомиздат, 1963.)

517. 8оодак Н., ед. РеасГог ЬапдЬоок 2д ед. у. 3, РТ. А. Л. V., АУПеу, 1962 (1п ТЬе
едИюп сИед, ГЬе ПзГ о! геГегепсез Гог сЬар. 5, КеасГог Пупаппсз, 18 тсоггесГ).

518. 8рапо А. Н. ЗеИ-НтИт^ рочуег ехсигз1оп ГезГз оГ а АУаГег-тодегаГед 1о5У-еппсЬтепГ
соге.— «Ыис1. 8с1. Еп§.», 1'963, у. 15, р. 37.

519. 8рапо А. Н. Апа1уз1з о! Оорр^ег-ИтИед рохуег ехсигзюпз т а луаГег-тодегаГед
' о.\1де соге.— «Ыис1. Зек Еп&.», 1964, у. 19, р. 172.

520. 8Тасеу АУ. М., Лг. Мода! арргохгтаГюпз: ТЬеогу апд ап аррПсаНоп Го геасГог
рЬуз’сз. СатЪггд^е, Мазз., М. I. Т. Ргезз, 1967.

521. 8Тасеу АУ. М., Лг. УапаГюпа1 ГипсНопа1з Гог зрасе-Нте пеиГготсз.— «Ыис1. 8с1.
Еп^.». 1967, у. 30, |р. 448.

522. 8Гасеу АУ. М., Лг. А уапаГюпа! тиШсЬаппе! зрасе-Пте зупГЬезхз теГЬод Гог поп-
зерагаЫе геасГог Ггапз1епГз.— «Иис1. 8с1. Еп^.», 1968, V. 34, р. 45.

523. 8!асеу АУ. М., Лг. Зрасе-Нте писка г геасГог ктеГюз. Ы. V., Асадетгс Ргезз, 1969.

524. 8Гасеу АУ. М., Лг. ЗГосЬазНс ктеНс ГЬеогу Гог а зрасе- апд епег^у-дерепдепГ гего
роу-ег пис1еаг геасГог тодек— «Нис1. 8сЬ Еп§.», 1969, у. 36, р. 389.

525. ЗТасеу АУ. М., Лг. А попИпеаг хепоп зТаЫИГу спГепоп Гог а зраНаПу дерепдепГ
геасГог тоде1.— «Ыис1. 8с1. Еп^.»> 1969, у. 35, р. 395.

526. ЗТасеу АУ. М., Лг., Адатз С. Н. ТЬе Пте-тГе^гаГед теГЬод: А диазтзГаПс пеиГгоп
зрасе-Пте арргох1та!юп.— «Тгапз. Атег. Ь!ис1. Зое.», 1'967, у. 10, р. 251.

527. 8ТаЫ К. Н., КиззеИ Л. Ь. Лг., Норктз О. К. Ри1зед пеиГгоп зоигсез.— 1п: «Адуап-
сез т пис1еаг зсгепсе апд ГесЬпо1о^у», V. 3, ед. Р. СгееЫег, Е. Л. Непку.
Ы. У.., Асадетгс Ргезз, 1966. (См. Импульсный метоз -в нейтронной физике. Сб.
статей. Под ред. П. Гриб лер а., Э. Хенли. Пер. с англ. М., Атомиздат, >1969.)
528. 8Гопе К. 8. е. а. ТгапзхепГ ЬеЬауюг оГ ТК1СА, а гИсопшт-Ьудпде, угаТег-тоде-
гаГед геасТог.— «Мис1. 8ск Еп&.», 1959, V. 6, р. 255.

529. 8Тбггег Р. Апа1у818 о! ролуег ГеедЬаск ге1аНопз т Газ! геасгог.— 1п: «Ргосее-
дт^з оГ ГЬе сопГегепсе оп ГгапзГег ГипсНоп теазигетепГ -апд гзасГог зГаЫПГу
апа1уз18», ед. Л. А. ОеЗЬоп^, Лг. АМ1Ь-'612О15, '1960.

530. 8Тбггег Р. е. а. А теГЬод Гог са1си1аНп# ГЬе Пих еуо!иНоп т а ГазГ-пеиГгоп ти1-
Нр1ут& тедшт аз а ГипсНоп оГ Нте, зрасе, апд епег^у.— «Мис1. 8с1. Еп^.»,
1966, V. 24. р. 344.

531. 8ГгаНоп XV. Я., Со1у!п Т. Н., Ьазагиз К. В. Апа1уз1з оГ рготрГ ехсигзюпз 1п з1тр1е
зузТетз апд ГдеаПгед ГазГ геасГогз.— 1п: «Ргос. Сепеуа СопГ.», 1'958, V. 12, р. 196.

532. 8угеН Л. Л. ТЬе уапаНоп оГ ро^уег т а ГазГ геасГог Гог а Нпеаг тсгеазе оГ геас-
Ну1Гу. ИтГед Кт&дот АГотгс Епег^у АиГЬопГу ге|рогГ. АЕКЕ-РР/М-47, 1954.

563. 8ге^о 6. Р. А сопГпЪиНоп Го Ыариоу’з зеоопд теГЬод: МопИпеаг аиГопотоиа
зузТетз.—1п: «МопИпеаг дЬГГегепНа! едиаНопз апд попНпеаг тесЬатсз», ед.
Л. Ьа 8а11е, 18. ЬеГзсЬеГх. И. У., Асадегтс Ргезз, 1963.

534. 82еН§о\узк1 Л., НеГпск В. Ь. А сотоапзоп оГ зоте питепса! теГЬодз Гог зо1ут^
ГЬе едиаНопз оГ геасТог дупатГсз.— 1п: «Ргосеедт^з оГ ГЬе тГегпаНопа! сопГегепсе'
оп ГЬе иНПхаНоп оГ гезеагсЬ геасТог апд геасТог таГЬетаНсз апд сэтриГаНоп».
Мехюо, О. Г.,, Сотп181бп •Ыасюпа<1 де Епег&ш МисТеаг, 19617.

565. ТаИ Л. >Н. МеиТгоп ГгапэрогГ ТЬеогу. Ъопдоп, Ьоп^тапз, Сгееп, 1964.

536. ТакаЬазЫ А., 8ипиГа К. Ри1зе ргора^аНоп ехрептепТз о! ГЬегта11 пеиГгопз 1т
^гарЫТе.— «Л. Мис1. 8с1. ТесЬпо!.», 11968, у. 5(>1'), р. 7.

567. Тап 8. 8о1иНоп оГ геасТог ктеНсз ечиаНопз Ьу В. XV. К арргохнпаНоп.— «Мик-
1еотк», '1966, у. 8, <р. 4180.

538. Тап 8/ .Зтизогда! апа1уз1з оГ а клу-ролуег пис1еаг геасТог Ьу ТЬе ХХГепГзе!— Кга-
тегз — ВгШоит арргоасЬ.— <«Мис1. 8с1. Еп^.», 1967, у. 30, р. 436.

569. Тап 8. Оп ГЬе зГаЬПшп^ еГГесГ оГ де!ауед пеиГгопз.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1969,
у. 317, р. 803.

540. Тап 8. ЗГаЫПГу апд ГЬе де^гее оГ зГаЫПГу ипдег ГЬе еГГесГз оГ деТауед пеиГгопз.—
«Мис1. 8с1. 1Еп&.», 11969, у. 38, р. 167.

54'1. ТечуаН 8. Р., КоТЬап Ь. 8. МеиГгоп-луауе ргора^аНоп ГЬгои^Ь а сгузТаПте тоде-
гаГог. РТ. 3, Лее.— «Мис1. 8с1. Еп&.», 1969, у. 35, р. <152.

542. ТЬа1ег 6. Л. Е1етепГз оГ зегуотесЬатзт ТЬеогу. М. У., МсСга\у-НП1, 1955.

543. ТЬа1^оТГ Р. XV. е. а. ЗГаЫПГу зГид1ез оп ЕВК-1.— Тп: «Ргос. (Зепеуа СопГ.», 1958,
у. 12, р. 242.

544. ТЫе Л. А. ТЬеогеНса! геасТог зГаНсз апд ктеНсз оГ ЬоШп§ геасГогз.— 1п: «Ргос..
Оепеуа СопГ.», 1958, у. 11, р. 440. (См. Тай Дж. А. Теория статических и кинети-
ческих кипящих реакторов. Пер. с англ. М.„ ВИНИТИ. Пер. № 9502/8—Р/688;
1958.)

545. ТЫе Л. А. Оупаппс ЬеЬауюг оГ ЬоШп^ геасГогз. АМЬ-5849, 1959.

546. ТЫе Л. А. КеасГог по!зе. М. У., Ролутап апд 'ЫГНеНеМ, 1963.

547. ТЫе Л. А. ХХ^аТег геасТог ктеНсз.— 1п: «ТЬе ГесЬпок>§у оГ пис1еаг геасТог заГеГу»,.
у. 1. ед. Т. Л. ТЬотрзоп, Л. С. Вескеп1еу. СатЬггд^е, Мазз., М. I. Т. Ргезз, <1964.

548. ТЬотрзоп Т. Л. АсЫдепГз апд дезГгисНуе Ге&Гз.— Лп: «ТЬе ГесЬпо1о^у оГ пис1еаг
геасТог заГеГу», у. 1, ед. Т. Л. ТЬотрзоп, Л. О. ВескзгГеу. СатЬпдде, Мазз.,
М. I. Т. Ргезз, 11964.

549. ТЬотрзоп Т. Л., ВескеНеу Л. О., едз. ТЬе ГесЬпо1о^у оГ пис1еаг геасТог заГеТу..
у 1. СатЬпд^е, Мазз., М. I. Т. Ргезз, 1'964.

550. ТИсЬтагзЬ Е. С. ТЬеогу оГ ГипсНопз. М. У., ОхГогд ГЛтуегзПу Ргезз, 1939.
(См. Титчмарш Е. Теория функций. Пер. с англ. М.— Л., ’Гостехиздат, 1951.)

551. ТогНп В. 7. Са1си1аНоп оГ угеак эеИ-озсШаНоп ге^Ттез т пис1еаг геасТог.—
Л. Мис1. Епег^у», 1966, у. 20, р. 485. Тгапз1аНоп Ггот «АГотпауа Епег^уа»,
1965, у. 18, р. 463. (См. Торлин Б. 3. Расчет слабых автоколебательных режиме®
ядерных реакторов.—«Атомная энергия», 1965, т. 18, с. 466.)

552. ТгауеШ А. ТЬе сотр1ех геТахаНоп Теп^ТЬ оГ пеиГгоп хуауез 1п тиЖ^гоир ГгапзрогГ
ТЬеогу.— 1п: «МеиТгоп потзе, угауез, апд ри1зе ргора^аНоп», ед. К. Е. 1ЛЬп^. Оак
К1д^е, Тепп., П8АЕС Э1У18ЮП оГ ТесЬтса! ГпГогтаНоп ЕхТепзюп, 1967.

553. ТгауеШ А. ТЬе епег^у зресГга апд д1зрег51оп 1очу оГ пеиГгоп чуауез т Газ! ти!Н-
р1у1п^ тедга.— «Тгапз. Атег. Мис1. 8ос.», 1968, V. 111„ р. 189.

554. ТгауеШ А., Са1ате О. Р. ТЬегтаПпеиГгоп зрасе-Нте <1есау сопзТапГз т уап’оиэ
огдег Р^ арргохгтаНопз.— «Мис1. 8с1. Еп§.», 1964, V. 20, р. 414.

555. Тгиха! Л. 6. АиГотаНс ГеедЬаск сопТго! зузГет зупГЬез1з. Ы. У., МсСгаду-НШ, 1955.
(См. Траксел Дж. Синтез систем автоматического регулирования. Пер. с англ.
М.„ Машгиз, 1959.)

556. Тигпег XV. Л. Са1си1аНоп оГ 8РЕРТ ГгапзГепТз.— «Л. МисП Епег^у», 1968, у. 22,
р. 397.
557. НИН# К.Е., ей. ИеиГгоп шизе, тсауез, апд ри1зе ргора^аГюп. Оак Кхд&е, Тепп.,
П8АЕС Этзюп о Г ТесЬтса1 ТпГогтаНоп ЕхГепзтоп, 1967.

558. ИззасЬоТТ Ь. Ь1. ЕдиаНоп Гог ГЬе 1трогГапсе оГ пеиГгопз, геасГог ктеНсз апд ГЬе
ГЬеогу о! регГигЬаНопз.— 1п: «Ргос. Оепеуа СопН», 1*965, V. 5, р. 503.
(Ом. Усачев Л. Н. Уравнение для ценности нейтронов, кинетики реактора и тео-
рия возмущений. — В сб.: «Реакторостроение и теория реакторов». М., Изд-во
АН СССР, 1956.)

559. УазНеуа Ь. V. Оп дгИегепНа! едиаНопз сопГаттд зша11 рагатеГегз (1п Киз-
з1ап).— «МаГ. 8Ьогп!к», 1952, у. 3(73), р. 587. (См. Васильева А. Б. О дифферен-
циальных уравнениях, содержащих малые параметры. — «Математический сбор-
ник», 1952, т. 31, вып. 3, с. 587.)

560. Уаи^Ьап К. А. ЗГаЬШГу оГ а ГазГ ри1зед геасГог.— «3. Ыис1. Епегду», 1969, у. 23,
р. 299.

561. Уаипо Л. К., Ри1кк18 6. Оп ГЬе уаПдНу о! эоше гего-ротуег дезсг!Ып§ ГипсНопз.—
«Мис1. 8с1. Ещу», 1970, у. 39, р. 283.

562. УёгГез Р. 8оше ргоЫетз сопсегпт^ ГЬе ГЬеогу оГ ри!зед пеиГгоп ехрептепГз.—
ксМис!. 8с1. Еп&.», >19'63, у. 16, р. 363.

563. У1§Н Л. С. 8о1иНоп о! ГЬе попПпеаг геасГог ктеНсз едиаНоп Ьу сопГтиоиз апа!у-
Г1с сопНпиаНоп. РЬ. О. сНззегГаНоп, ЫтуегзИу о! Ые^у Мех1со, 1966. РиЬИзЬед аз
ПА-3518, 1966.

564. У1$П Л. С. 8о1иНоп о! ГЬе геасГог ктеНсз едиаНопз Ьу апа1уНс сопНпиаНоп.—
«Ыис1. |8’с1. Еп§.», 11967, у. 29, р. 392.

565. ХУасЬзргезз Е. Ь. ЛГегаНуе зо1иНоп о! еШрНс зузГетз. ЕпдГелуоод С1Жз, М. 1.,
РгепНсе-НаИ, 1966.

566. ХУасЬзргезз Е. Ь. Митепса! зГидГез о! ши1НсЬаппе1 уапаНопа! зупГЬезгз.—«Ыис!.
8с1. Еп^.», 1966, у. 26, р. 376.

567. ХУасЬзргезз Е. Ь. УапаНопа! теГЬодз апд пеиГгоп Них зупГЬез!з.— 1п: «ТЬе еПес-
Нуе изе оГ сотриГегз т ГЬе пис1еаг тдизГгу», ед. В. Мазке5У1Гг. Оак ЛЭДд^е, Тепп.,
Ы8АЕС Э1У1810П о! ТесЬтса! 1пГогтаНоп ЕхГепзюп, 1969.

568. ХУасЬзргезз Е. Ь., Вескег М. УапаНопа! зупГЬеэгз ауНЬ дтзсопНпиоиз Гпа1 Гип-
сНопз.— |1п: «Ргосеедт^ о! ГЬе сопГегепсе оп ГЬе аррПсаНоп о! сотриНп^ теГЬодз
Го геасГог ргоЫетз», ед. М. ВиНег. АМ'Ь-7050 (зее а1зо КАРЬ-3095),, >1966.

569. ХУасЬзргезз Е. Ь., Виг&езз К. Ь., Вагоп 8. МиГНсЬаппе! Пих зуп|ГЬез!8.— «Мис1.
8с1. Еп^.», 1962, у. 12, р. 381.

570. ХУаПасе 8. К. А поГе оп ГЬе апаГузгз о! риГяед пеиГгоп зЬиГдочуп теазигетепГз.—
«Мис1. 8с!. Еп&.», 1965, у. 21, р. Мб.

571. ХУаПасе 8. К., Теаге К. Я., Огееп Л. В. МеГЬодз Гог ГЬе сотрапзоп о! ри1зед-
пеиГгоп зЬи1до!ут теазигетепГз унГЬ ГЬеогу.— «Ы.ис1. *8с1. Епд.», 1966., у. 25, р. 407.

5712. ХУаПасЬ >8. 8о1иНопз оГ ГЬе рПе ктеНс едиаНопз дуЬеп ГЬе •геасНуЙу т а Ипеаг
ГипсНоп о Г ГЬе Нте. АУАР1Э-13, 1950.

573. ХУаНег Л. К, Непгу А. Г. ТЬе азуттеГпс зоигсе теГЬод о! теазигт^ геасГог зЬиГ-
до\уп.— «Ыис1. 8с1. Еп&.», 1968, V. 32, р. 332.

574. ХУагпег Л. Н., Лг., Егдтапп К. С. АррНсаНоп оГ Ьа&иегге ро1упот!а1з т ГЬе апа-
1уз!з о! а пеиГгоп-чуауе ргора^аНоп.— «Мис1. 6с1. Еп&.», 1969, у. 35, р. 332.

575. ХУагпег Л. Н., Лг., Егдтапп К. С. 1пНп!Ге тедшт пеиГгоп-хуауе ргора^аНоп. РГ. 1,
ТЬеогу. РГ. 2. Митепса! гезиИз Гог хуаГег апд ©гарЫГе.— «Л. Ыис1. Епег^у», 1969,
у. 23, р. Ф17.

576. ХУаззегтап А. А. СоГпЬиНопз Го Гауо ргоЫетз т эрасе-тдерепдепГ пис1еаг геасГог
дупаппсз. ТЮ-4500, 1962.

577. ХУазоту ХУ. Оп ГЬе азутрГоНс зокгНоп оГ Ьоипдагу уа1ие ргоЫетз <Гог опдтагу
д1ГГегепНа1 едиаНопз сопГатт^ а рагатеГег.— «Л. МаГЬ. апд РЬуз.», 1944, у. 23,
р. -173.

578. ХУазомг ХУ. бт^иГаг регГигЬаНоп ргоЫетз оГ зузГетз оГ Гауо огдтагу а па! у Нс
дШегепНа! едиаНопз.— «АгсЬ. КаНопа1 МесЬ. Апа1.», 1963, V. 14, р. 61.

579. ХУеауег Ь. Е. 8узГет апа1уз!з оГ пис1еаг геасГог дупаппсз. И. X7., Ко^тап апд
ЫШеНЫд, 1963.

580. ХУеауег Ь. Е., ед. КеасГог ктеНсз апд сопГго!. Оак Шд&е, Тепп., П81А1ЕС ОхУ&юп
оГ ТесЬтса] ГпГогтаНоп ЕхГепзюп, 1964.

581. ХУеауег Ь. Е. КеасГог дупаппсз апд сопГго!: 8ГаГе зрасе ГесЬтдиез. Ы. V., Атен-
сап Е1зеу1ег, 1968.

582. ХУетЬегд А. М., 8сЬмгет1ег Н. С. ТЬеогу оГ озсШаЫп^ аЬзогЬег т а сЬат геас-
Гог.— «РЬуз. Яеу.», 1948., V. 74, р. 854.

583. ХУетЬег^ А. М., ХУ1&пег Е. Р. ТЬе рЬуз!са1 ГЬеогу о! пеиГгоп сЬагп геасГогз,
СЫса^о, ИтуегзИу оГ СЫса&о Ргезз, 1958. (См. Вейнберг А., Вигнер Е. Физиче-
ская теория ядерных реакторов. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1961.)
584. ХУеПоп Т. А. А зГаЫИГу спГепоп Гог геасГог зузГетз. ОКМЬ-1894, 1955.

585. ХУеПоп Т. А. КтеНсз о! зГаПопагу геасГог зузГетз.— 1п: «Ргос. бепеуа СопГ.»,
1955, V. 5, р. 3177.

586. ХУеИоп Т. А. КеасГог зГаЬШГу ГЬеогу.— «Миск ЗаГеГу», 4961, V. 3(4), р. 23.

587 ХУезГ 6. В. е. а. КтеНс ЬеЬаухог о Г ТК1СА геасГогз. СА-7882, 1967.

588. ХУезГсоГГ С. Н. ЕйесПуе сгозз зесГюп уаГиез Гог угеП-тодегаГед ГЬ'Згта! геасГог
зресГга. АЕСЬ-111101, 4962.

589'. ХУЫПакег Е. Т., ХУаГзоп 6. Ы. А соигзе т тодегп апа1у818. 4ГЬ ед. М. У„ Сат-
Ьпд&е ЫтуегзПу Ргезз, 1952 (См. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс совре-
менного анализа (в 2-х частях). Пер. с англ. (М., Физматгиз,, 1962, 4968.)

590. ХУШегд В. М., ХУоузк! 1. 8. ЗГаЬШГу о Г пис1еаг госкеГ еп&ше дупаппсз.— «Миск
Аррк», 1968, V. 5, р. 35.

591. ХУ1ддег В. V. ТЬе ЬарГасе ГгапэГогт. РгтсеГоп, М. 4., РгтсеГоп ЫтуегзНу Ргезз,
1946.

592. ХУПктз Л. Е., Лг. ТЬе ЬеЬауюг оГ а геасГог аГ рготрГ сгШса! чмЬеп ГЬе геасГМГу
18 а Нпеаг ктсНоп о! Нте.— «Миск Зек Еп&.», 1959, у. 5, р. 207.

593. ХУПНатз М. М. К. Тте апд 8расе е1^епуа1иез о! ГЬе ВоИхтапп едпаГюп упГЬ
а зупГЬеНс ГЬегтаИхаПоп кегпек— «Миск Зек Еп^.», 1966, у. 26, р. 262.

594. ХУПНатз ,М. М. К. ТЬе дГзрегзюп 1алу о! а пеиГгоп угауе т а ПтГе зузГет.—
«Л. Миск «Епег^у», 1968, V. 22, р. 4'58.

595. ХУП1з Ь. е. а. А д1^1Га1 сотриГег соде Гог зоГуш^ ГЬе пеиГгоп ду пакте едиаГюпз
уШЬ ГетрегаГиге ГеедЬаск. Рарег геад аГ Атепсап Мис1еаг ЗосхеГу тееГт^,
28 ОсГоЬег 4957, М. V., 1957.

596. ХУхтеГГ Т. Р. Тхапе ЬеЬауюг о! СгООТУА ГЬтои^Ь рготрГ сгШсак ЬА-2029, 1956.

597. ХУхтеГГ Т. Р. е. а. 4ЭОМУА III, Ап иптодегаГед ри1зе-1ггад1аТюп геасГог.—
«Ыис1. 8с1. Еп^.», 1960, у. 8, р. 691. (См. Уиметт Т. Ф. и др. СОВ1УА-П. Импульс-
ный реактор без замедлителя. Пер. с анл. Б. м., ФЭИ. Пер. № 360, 1964.)

598. ХУоИе В. ТЬе МогдЬеГт — ЕисЬз ехсигзюп тоде! уШЬ поп-Ипеаг геасПуИу Геед-
Ьаск.— «Миск Зек Еп^.», 1964, у. 20, р. 238.

599. ХУоПе В. Раз! геасГог заГеГу.— «Миск ЗаГеГу», 1969,, V. ДО, р. 119.

600. ХУуНе С. К., Лг. Адуапсед еп&теегт^ таГЬетаНсз. 2д ед. №. V., МоСгауг-НШ,
1960.

601. Уазтзку Л. В. ТЬе зо1иГюп о! ГЬе эрасе-Гйпе пеиГгоп &гоир дШизюп едиаНопз Ьу
а Бте-дхзсэпГтиоиз зупГЬез1з теГЬод,— «Миск Зек Еп&.», 4967, у. 29, р. 381.

602. Уазтзку Л. .‘В. Оп ГЬе аррИсаНоп о! Нте-зупГЬезхз ГесЬтчиез Го соирГед соге
геасГогз.— «Миск Зек Еп&.», 1968, у. 32, р. 425.

603. Уазтзку Л. В. Митепса! зГидхез о! сотЫпед зрасе-Нте зуп1Ье81з.— «Миск Зек
Еп§;.», 1968, у. 34, р. 158.

604. Уазтзку Л. В. Оп ГЬе изе о? ротГ ктеНсз Гог ГЬе апа1уз18 о! годе]есГ1оп асс1-
депГз.— «Миск Зек Еп&.», 1970, V. 39|, р. 12411.

605. Уазтзку Л. В., Непгу А. Р. Зоте питепса! ехрегхтепГз сопсегптд зрасе-Пте
геасГог кгпеНсз ЬеЬауюг.— «Миск Зек Еп^.», 4'965, у. 22, р. 171.

606. Уазтзку Л. В., Кар1ап 8. ЗупГЬезхз о! ГЬгее-дйпепзГопа! Пих зЬарез изт& дхзеоп-
Гтиоиз зеГз о! Гпа1 ГипсПопз.— «Миск »3си Еп^.», 1967, V. 28„ р. 426.

607. Уазтзку Л. В., МаГе!зоп М., Налетал Ь. А. Т\МЮЬ,, а ргодгат Го зо1уе ГЬе
Гую-Ытепзюпа!, Гхуо-^гоир, зрасе-Нте пеиГгоп дИГизюп едиаНопз упГЬ ГетрегаГиге
ГеедЬаск. ХМА1РО-ТМ-743, 1968.

608. УПГаЬ 8., ОкгепГ В. Зоте рЬузГсз са1си1аГ1опз оп ГЬе регГогтапсе о! 1аг^е ГазГ
Ьгеедег роугег геасГогз. АМЬ-6212, 1960.

609. 2иЬоу V. I. ТЬе теГЬодз о! Ыарипоу апд ГЬе1г аррИсаНопз. (1п НиззГап). Ьетп-
дгад. Еп^ПзЬ ГгапзГаПоп, (Зготп^еп, Р. Моогд-ЬоИ, 1964. (См.. Зубов В. И.
Методы А. М. Ляпунова и их применение. Л., Изд-во Ленинградского универси-
тета, 1957.)

610. У1&П Л. С. РпуаГе соттишсаПопз. Ьоз А1атоз ЗсхепГШс ЬаЬогаГогу, 1967.

611. КигзГедГ Н. А. РпуаГе соттитсаПоп. ОЫо ЗГаГе ПтуегзПу, 1967.

612. Ьеопагд В. Е. РггуаГе соттитсаНоп. ВеГепсе АГопнс ЗиррогГ Агенсу, 1967.

613. Вхскегтап С. Е. РпуаГе соттитсаГюп. Аг^оппе МаНопа! ЬаЬогаГогу, 1967.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие....................................................6

Глава 1. Простейший вывод уравнений динамики...................5

§ 1.1. Введение..................................... • $

§ 1.2. Основные понятия.....................................$

§ 1.3. Уравнения динамики...................................6

§ 1.4. Упрощенный нейтронный цикл..........................12

§ 1.5. Запаздывающие нейтроны..............................13

Задачи................................................... 18

Глава 2. Постоянная реактивность и ступенчатые изменения реактив-
ности ........................................................19

§ 2.1. Введение..............................................19

§ 2.2. Равновесие и критичность..............................19

§ 2.3. Уравнение обратных часов..............................22

§ 2.4. Одногрупповые представления...........................28

§ 2.5. Отклик на ступенчатое изменение реактивности . . . .31

§ 2.6. Источники, зависящие от времени.......................37

§ 2.7. Отклик на осцилляцию мощности источника. Передаточные
функции.......................................................42

Задачи 47

Глава 3. Реактивность, зависящая от времени....................50

§ 3.1. Введение..............................................50

§ 3.2. Приближенные уравнения динамики.......................50

§ 3.3. Осцилляции реактивности...............................60

§ 3.4. Отклик на изменение реактивности по линейному закону.
Гипергеометрические функции...................................70

§ 3.5. Отклик на линейное изменение реактивности во времени.
Интегральное представление .................................. 77

§ 3.6. Пуск реактора.........................................84

§ 3.7. Некоторые методы, применимые для произвольных изменений
реактивности во времени............................. . . .88

Задачи 92

Глава 4. Интегральные уравнения и численные расчеты .... 94

§ 4.1. Введение 94

§ 4.2. Интегрирующий множитель 94

§ 4.3. Интегральное уравнение Кипина 96

§ 4.4. Интегро-дифференциальное уравнение 99

§ 4.5. Численные методы .100

§ 4.6. Методы Адлера и Коэна ЮЗ

§ 4.7. Метод весовых остатков 106

§ 4.8. Метод Хансена 107

§ 4.9. Численный эксперимент . . .109

§ 4.10. Обратная задача ИЗ

Задачи......................................................115

Глава 5. Обратная связь по реактивности и изменения мощности ре-

актора ......................................................117

§ 5.1. Введение 117

§ 5.2. Гомогенные тепловые реакторы 117

§ 5.3. Гетерогенные тепловые реакторы 123

§ 5.4. Быстрые реакторы . . 130

§ 5.5. Ядро линейной обратной связи 134

§ 5.6.............................Модель Нордгейма — Фукса......................... . .138

§ 5.7. Нестационарные процессы при малых отклонениях реактив-
ности 146

§ 5.8. Нестационарные процессы около мгновенной критичности .153

§ 5.9. Модель Фукса при линейном изменении реактивности во
времени 164

§ 5.10. Сложный механизм выключения. Тепловые реакторы . .174

§ 5.11. Сложный механизм выключения. Быстрые реакторы . .183

Задачи.......................................................190
Глава 6. Устойчивость линейных систем .193
§ 6.1. Введение 193 § 6.2. Линейные системы с обратной связью 193 § 6.3. Критерий Рауса 196 § 6.4. Способы представления частотного отклика системы . .202 § 6.5. Критерий Найквиста 212 § 6.6. Метод геометрического места корней 222 § 6.7. Устойчивость простых реакторных систем .... 229 § 6.8. Двухканальная обратная связь. Модель эффективного вре- мени жизни 240 § 6.9. Двухканальная обратная связь. Запаздывающие нейтроны245 § 6.10. Устойчивость быстрых реакторов 252 § 6.11. Кипящие водяные реакторы 260 § 6.12. Ядерные ракетные реакторы 263 Задачи 265
Глава 7. Устойчивость нелинейных систем • .269
§ 7.1. Введение § 7.2. Токи равновесия § 7.3. Геометрия фазовой плоскости § 7.4. Некоторые простые реакторные системы § 7.5. Определения устойчивости .... § 7.6. Прямой метод Ляпунова § 7.7. Приложение к реакторным системам . § 7.8. Ограниченность и устойчивость Лагранжа § 7.9. Частотный критерий устойчивости § 7.10. Нелинейные колебания Задачи • • • • • • • • • • • .269 .270 .278 .282 .289 .292 .304 .315 .323 330 340
Глава 8. Пространственная нейтронная динамика § 8.1. Введение § 8.2. Уравнение переноса § 8.3. Уравнения динамики в модах .... § 8.4. Вычислительные методы § 8.5. Некоторые результаты численных расчетов § 8.6. Импульсные источники § 8.7. Нейтронные волны Задачи • • • • • • • • • • • • • .343 .343 .343 .349 355 359 367 372 376
Список литературы • • • .378

Дэвид Хетрик

ДИНАМИКА ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Перевод с английского Ю. Г. Николаева, Ю. В. Вязникова, В. С. Одинцова, В. А. Кузьмичевой

Редактор Г. П. Паршина

Переплет художника А. Т. Кирьянова
Технический редактор Н. А. Власова Корректор А. Д. Халанская

Сдано в набор 3. VI. 1974 г. Подписано к печати 13. II. 1975 г.

Бумага типографская № 2 Усл. печ. л. 32,5 Уч.-изд. л. 30,49.

Зак. изд. 71308. Зак. тип. 837

Атомиздат, 103031 Москва К-31, ул. Жданова, 5.

Формат 70х100*/1в

Тираж 1750. экз.

Цена 3 р. 38 к.

Московская типография № 10 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.