Теория ядерных реакторов. Том 1. Элементарная теория реакторов - Фейнберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б.

Автор: Фейнберг С.М. Шихов С.Б. Троянский В.Б.
Теги: общее машиностроение технология машиностроения ядерная физика ядерная энергетика атомная энергетика учебник для вузов ядерные реакторы
Год: 1978
Похожие
Ядерная физика и ядерные реакторы
Ядерные энергетические установки. Учебник для вузов
Реакторы на Быстрых Нейтронах
Занимательная ядерная физика
Текст
                    
Уважаемый посетитель
электронной библиотеки по атомной энергетике
WWER.ru!
Книга предназначена для частного некоммерческого использования.
Эти страницы добавлены для того, чтобы привести в соответствие
реальные номера страниц книги с теми, которые отображаются в
строке меню плагина DjVu.
Для начала чтения книги перейдите к стр. 8.
Уважаемый посетитель
электронной библиотеки по атомной энергетике
WWER.ru!
Книга предназначена для частного некоммерческого использования.
Эти страницы добавлены для того, чтобы привести в соответствие
реальные номера страниц книги с теми, которые отображаются в
строке меню плагина DjVu.
Для начала чтения книги перейдите к стр. 8.
Уважаемый посетитель
электронной библиотеки по атомной энергетике
WWER.ru!
Книга предназначена для частного некоммерческого использования.
Эти страницы добавлены для того, чтобы привести в соответствие
реальные номера страниц книги с теми, которые отображаются в
строке меню плагина DjVu.
Для начала чтения книги перейдите к стр. 8.
Уважаемый посетитель
электронной библиотеки по атомной энергетике
WWER.ru!
Книга предназначена для частного некоммерческого использования.
Эти страницы добавлены для того, чтобы привести в соответствие
реальные номера страниц книги с теми, которые отображаются в
строке меню плагина DjVu.
Для начала чтения книги перейдите к стр. 8.
Уважаемый посетитель
электронной библиотеки по атомной энергетике
WWER.ru!
Книга предназначена для частного некоммерческого использования.
Эти страницы добавлены для того, чтобы привести в соответствие
реальные номера страниц книги с теми, которые отображаются в
строке меню плагина DjVu.
Для начала чтения книги перейдите к стр. 8.
Уважаемый посетитель
электронной библиотеки по атомной энергетике
WWER.ru!
Книга предназначена для частного некоммерческого использования.
Эти страницы добавлены для того, чтобы привести в соответствие
реальные номера страниц книги с теми, которые отображаются в
строке меню плагина DjVu.
Для начала чтения книги перейдите к стр. 8.
УДК 621.039.5(075.8)
Фейнберг С. М., Ш и х о в С. Б., Т р о я н с к и й В. Б.
Теория ядерных реакторов. Т. 1. Элементарная теория реак-
торов: Учебник для вузов. — М,: Атомиздат, 1978, 400 с.
Это первый учебник но теории ядерных реакторов.
Он написан в соответствии с программой курса, читаемого
в Московском инженерно-физическом институте с 1952 г.
В данный том включены вопросы критического состояния
реактора (в одногрупповом, возрастном и миогогрупповом
приближениях), изменения изотопного состава, воспроиз-
водства нового горючего, зашлаковывания, а также расчет
поглощающих стержней. Большое внимание уделено теории
гетерогенного реактора (в частности, теории резонансного
захвата). Том 2 .посвящен газокинетической теории реак-
торов, кинетике на запаздывающих нейтронах и теории
возмущений (Атомиздат, 1980).
Учебник рассчитан на студентов и аспирантов, специа-
лизирующихся в области ядерной энергетики.
Рис. 60. Табл. 6. Список литературы 41 наименование.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
1. Доктор физ.-мат. наук, проф. А. Д. ГАЛАНИН
2. Кафедра МВТУ им. Н. Э. Баумана
30315—021
Ф ----------- 21—78
034(01)—78
© Атомиздат, 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник «Теория ядерных реакторов» создан на основе курса
леккнй профессора Савелия Моисеевича Фейнберга, который в те-
чение 30 лет читал его в Московском инженерно-физическом ин-
ституте, Этот курс вводит читателя в общую теорию реакторов и лишь
в малой степени касается сопутствующих проблем: методов расчета
реакторов, точности вычислений, ядерных констант и т. п. Все эти
вопросы разбираются в специальных курсах, для которых общая
теория реакторов является теоретической базой. Естественно, что
проф. С. М. Фейнберг в процессе многолетнего чтения курса вносил
в него дополнения и изменения в соответствии с развитием общей
теории реакторов.
Учебник написан в той форме, в которой теория реакторов чи-
тается в МИФИ в настоящее время. Мы старались сохранить мане-
ру изложения и существенные черты первоначальной рукописи Са-
велия Моисеевича и надеемся, что учебник в какой-то степени вос-
полнит пробел, вызванный смертью его создателя, о котором с теп-
лым чувством вспоминают огромное количество бывших студентов
МИФИ, слушавших его лекции, и преподаватели, учившиеся на
этих лекциях.
Нам хочется выразить особую признательность проф. А. Д. Га-
ланину, который тщательно прорецензировал рукопись учебника
и сделал много полезных замечаний. Авторы благодарны проф.
Л. В. Константинову за просмотр рукописи, а также проф.
В. В. Орлову, с которым были обсуждены гл. 3 и частично гл. 7.
С. Б. ШИХОВ, В. Б. ТРОЯНСКИЙ
ГЛАВА 1
ОСНОВЫ ЦЕПНОГО ПРОЦЕССА
§ 1.1. ЯДЕРНОЕ ДЕЛЕНИЕ. ЦЕПНОЙ ПРОЦЕСС
Основой работы ядерного реактора является само поддержи Баю-
щаяся цепная реакция деления ядер урана, плутония и других
трансурановых элементов. Деление урана вызывается присоеди-
нением к ядру урана с массовым числом А нейтрона п и образова-
Рис. 1.1. Схема деления ядра
нием составного ядра (рис. 1.1). Для иллюстрации можно привести
дзе из многих возможных схем реакции деления:
^7ЬаЧ-з5ВгЧ-2£/г
Ъ°Ва + ^Кг + 3^
Спектр осколков деления (рис. 1.2) имеет два максимума: в об-
ласти атомных масс 90 и 140. Некоторые из осколков, например
У5Хе и 629Sm, обладают большим сечением захвата нейтронов и
поэтому вредны, другие же, например ssBr, оказывают благотвор-
ное влияние на ход цепной реакции деления, являясь источниками
дополнительных, так называемых запаздывающих, вторичных,
нейтронов.
Составное ядро делится, освобождая вторичные нейтроны, сред-
нее число которых vf равно 2—3 на акт деления, однако в отдель-
ных схемах реакции деления число вторичных нейтронов может до-
стигать десяти.
Так как кроме деления возможны другие процессы, связанные
с поглощением нейтронов, один первичный нейтрон приводит к ге-
нерации v<pvy вторичных нейтронов. В свою очередь, эти v вто-
ричных нейтронов приводят к делению нескольких ядер урана
10
й появлению v2 новых нейтронов. Число нейтронов растет лавино-
образно. Этот процесс называется цепным процессом деления.
Образовавшееся возбужденное составное ядро делящегося
изотопа может переходить в стабильное состояние в результате:
1) деления; 2) излучения у-квантов (радиационный захват); 3) ис-
пускания двух и более нейтронов, реакции (/г, 2/г), (щ Зп) и т. д.
(при достаточно больших энергиях); 4) испускания нейтрона и
у-кванта (неупругое рассеяние);
5) других, менее вероятных
реакций: (/г, а,), (/г, р) и т. д.
Составное ядро не образуется
в случае упругого рассеяния
нейтронов на потенциальной
яме ядра.
Вероятность того или иного
ядерного процесса в реакторе
характеризуется микроскопиче-
ским сечением реакции. Обозна-
чим в; —сечение деления; ос —
сечение радиационного захвата;
— сечение неупругого рас-
сеяния; — сечение упруго-
го рассеяния; сгП12п — сечение
процесса (пу 2п) и т. д.
Изотоп, к которому относит
ся данное микроскопическое
сечение, будем обозначать циф-
рой вверху, например
гуО) ^(0} j-r ( 1} т* гр -рг ТТ/"">
t	и Т- д., по-
казывающей, что микроскопиче-
ские сечения радиационного
захвата относятся к 238U, 236U,
ответственно.
Рис. 1.2. Изотопный состав осколков
деления 335U
239Рп, 340Ри, 241Ри И т. д. СО-
Полное сечение о есть сумма сечений всех процессов. Сечение
захвата с делением и сечение радиационного захвата в сумме обра-
зуют полное сечение поглощения ст *
Va = Of + ffc-
Нал ич и е процессов, конкурирующих с делением, приводит к не-
обходимости введения коэффициента размножения
который определяется как среднее число вторичных нейтронов де-
яния, приходящихся на один захваченный в размножающей среде
первичный нейтрон. Средняя энергия нейтронов деления близка
2 Мэв. Однако среди нейтронов деления встречаются нейтроны
с энергией до 15—17 Мэв.
И
Экспериментально установлено, что: 1) спектры нейтронов де-
ления (т. е. распределения нейтронов деления по энергии) различ-
ны для разных делящихся веществ. Средняя энергия нейтронов де-
ления (под которой обычно понимается «медианная» энергия, т. е.
такая энергия Ео, ниже которой рождается столько же нейтронов
деления, сколько и выше нее) для 235U равна 2 Мэе-, 2) спектр ней-
тронов деления зависит от энергии первичного нейтрона, но зависи-
мость эта слабая и становится заметной лишь при больших энергиях
нейтрона.
В качестве делящихся изотопов в реакторах используют 235U,
233U, 239Ри, 240Рп, 241Pu, 232Th. Нечетные изотопы способны к бес-
Рис. 1.3. Зависимость сп от энергии
в случае бесаорогового (а) и порого-
вого (б) делении
потому что без них невозможна
пороговому делению, т. е. они
делятся нейтронами любых энер-
гий. _ Четные изотопы делятся
только нейтронами с энергией
больше некоторого определен-
ного значения — энергии поро-
га, которая несколько ниже
средней энергии нейтронов де-
ления Ео; так, эффективная по-
роговая энергия 2S8U состав-
ляет 1,4 Мэе.
Изотопы, способные к бес-
пороговому делению, могут
быть названы ядерным горючим,
самоподдерживающаяся цепная
реакция деления, т. е. невозможно создать реактор.
График	(Е) ' для порогового и беспорогового деления имеет
вид, изображенный на рис. 1.3.
Развитие во времени цепной реакции деления в принципе можно
описать, если предположить, что все нейтроны, включая нейтроны
деления, имеют одинаковую энергию. Такую упрощенную модель
реактора назовем моноэнергетической.
По определению нейтронного сечения, произведение потока ней-
тронов* Ф=пп (п — плотность нейтронов, v — их скорость) на
макроскопическое сечение S = рп (где р — ядерная плотность
изотопа, имеющего сечение а для некоторой ядерной реакции)
дает скорость таких реакций в I см3 среды, если соответствую-
щие размерности равны: [р] = ядер/см3-, [о] см2/ядро-,
[ф] = нейтрон/(см2• секу Для макроскопических сечений исполь-
зуем обозначения: Sy^pcfy, Sa = pc>a и т. д. Тогда разность
—SaO = (v—1)2аФ дает скорость генерации нейтронов де-
ления за вычетом скорости захватов в 1 см3. В бесконечной
* Согласно ГОСТ 19849 — 71 эта величина называется плотностью по-
тока нейтронов. Однако в этой книге употребляется термин «поток нейтро-
нов», поскольку именно он принят в литературе по физике реакторов и ядер-
ной энергетике.
12
однородной среде, где зависимость от координат отсутствует,
это выражение дает скорость изменения плотности нейтронов:
= _L_^£ =(V_ 1)2 ф.
dt v di
решая последнее уравнение, получаем
Ф(0 = Ф (0) exp [(V— 1) t/T&],	(1.1.1)
где 7\ = 1/о2а — среднее время захвата нейтрона. Соответствен-
но скорость делений изменяется по экспоненциальному закону:
(0 = 2уФ (0 = Nf (0) exp [(v — 1) t/T&V (1.1.2)
При v > 1 цепная реакция развивается экспоненциально, при
v < 1 затухает, при v = 1 устанавливается стационарный про-
цесс.
Такая же картина наблюдается в полиэнергетическом случае
(непрерывная зависимость сечений и плотности нейтронов от энер-
гии) в неоднородных ограниченных средах при других, конечно,
определениях v и Та.
§ 1.2. СХЕМА РЕАКТОРА.
КЛАССИФИКАЦИЯ РЕАКТОРОВ
Рассмотрим схематически конструкцию ядерного реактора, в со-
став которого входят следующие элементы (рис. 1.4): 1 — активная
зона, где происходит процесс деления, содержащая я дерное горю-
чее, замедлитель (отсутствует в реакторах на быстрых нейтронах)
и конструкционные материалы. Совокупность материалов, запол-
няющих активную зону реактора, назовем мультиплицирующей
(т. е. размножающей) средой; 2 — отражатель нейтронов; 3 — си-
стема управления цепным процессом и защиты от аварий; 4 —
система отвода тепла, выделяющегося при делении ядерного горю-
чего (система теплоносителя); 5 — биологическая защита от из-
лучения нейтронов и у-квантов.
Если предположить, что активная зона очень велика, то утеч-
кой нейтронов можно пренебречь и считать, что каждый вновь ро-
дившийся нейтрон захватывается ядром какого-либо элемента
активной зоны. Число вторичных нейтронов, возникающих при
захвате одного первичного нейтрона в такой мультиплицирующей
среде, называют коэффициентом размножения и обозначают
Индекс оа указывает на то, что определяется для неограниченно
протяженной размножающей среды. (В общем полиэнергетическом
случае kx заменяет введенное выше число v.)
Если < 1, то самоподдерживающаяся цепная реакция не-
возможна. При > 1 в неограниченно протяженной среде про-
исходит лавинообразное экспоненциальное нарастание потока ней-
тронов. Когда /г^ = 1, в среде поддерживается стационарное сос-
т°яние. Для того чтобы в ядерном реакторе конечных размеров
Рис. 1.4. Конструкция ядерного реак-
тора (схема):
1 — активная зона; 2 — отражатель; 3 —
подвижный поглотитель; 4 — система теп-
лоносителя; 5 — биологическая защита
была возможна самоподдерживающаяся цепная ^реакция, /?<*> дол-
жен быть больше 1, так как часть вторичных нейтронов уходит из-
объема реактора в результате утечки через поверхность.
Утечка нейтронов является поверхностным эффектом, и если
представить себе, что некоторый объем мультиплицирующей среды
подобным образом увеличивает свои размеры пропорционально не-
которому коэффициенту а, то утенка нейтронов растет как а2.
Генерация нейтронов является
объемным эффектом и растет
как а3. Поэтому при > i
должно быть такое значение а,
когда расходуется столько нейт-
ронов, сколько появляется
вновь, т. е. возникает стацио-
нарная самоподдерживающаяся
цепная реакция и устанавли-
вается стационарный баланс
нейтронов. Соответствующий
характерный размер реактора
называется критическим, а ко-
личество ядерного горючего в
таком реакторе — критической
массой. В этом случае говорят,
что реактор находится в кри-
тическом состоянии или являет-
ся критическим. Возрастание
размера или массы ядерного го-
рючего делает реактор над-
критическим и приводит к
экспоненциальному росту плотности нейтронного газа и скорости
делений. Уменьшение размера или массы ядерного горючего дела-
ет реактор подкритическим и ведет к экспоненциальному спаду
плотности нейтронов и скорости делений.
Ядерное горючее в активной зоне реактора может быть твердым,
жидким и газообразным.Например, в двигателях космических ко-
раблей активная зона реактора может быть образована раскаленной
плазмой, содержащей делящееся вещество. В этом случае вследст-
вие сравнительно малой плотности плазмы активная зона почти
пуста. Нейтроны легко вылетают из нее и попадают в отражатель,
возвращающий заметную долю нейтронов в активную зону, так
что цепная реакция может поддерживаться на стационарном уров-
не. Такие реакторы принято называть полостными.
Ядерное топливо может быть сконцентрировано в отдельных
блоках (твэлах) или равномерно распределено в толще замедлите-
ля или теплоносителя. В последнем случае имеем реактор с цир-
кулирующим жидким или газообразным ядерным топливом.
Для уменьшения утечки нейтронов активная зона реактора ок-
ружается отражателем, который уменьшает критический размер
14
пеактора. Идеальным отражателем могло бы быть нейтронное зер-
кало, возвращающее все нейтроны в активную зону. Однако сде-
лать’нейтронное зеркало практически невозможно, так как длина
ролны нейтрона меньше, чем расстояние между атомами в кристал-
лической решетке отражателя. Нейтронное зеркало возможно было
бы осуществить, если бы реактор работал при температурах, близ-
ких к абсолютному нулю.
Если вследствие какого-либо внешнего воздействия реактор
перешел в надкритическое состояние, то, предоставленный самому
себе, он окажется в состоянии разгона. Скорость делений в над-
критическом реакторе растет по экспоненциальному закону типа
(1.1.2). В одном акте деления высвобождается энергия — 200 Мэв,
чему соответствует эквивалент 3,1 • 10гз делений/сгк на 1 кет
энергии, выделяющейся в конечном счете в виде тепла. Это озна-
чает, что ядерное горючее имеет огромную теплотворную спо-
собность (количество тепла, выделяемого при сжигании 1 г ядер-
ного горючего эквивалентно — 1 Мет • сутки работы), поэтому
скоростью разгона нужно управлять.
Для количественных оценок полезно ввести подходящую меру
степени некритичности реактора, которую можно определить как
разность k№ —	, где — значение при котором реактор
становится критическим. Определим как
kS = kjk,^	(i.i.3)
где — эффективный коэффициент размножения, равный числу,
на которое надо поделить чтобы некритический реактор сделать
критическим. Оказывается, самый общий закон изменения асимпто-
тической мощности W (t) некритического реактора (без управления)
можно представить формулой
W(t) = Г (0)ехр (р^Тэф),	(1.1.4)
где — некоторое эффективное время жизни нейтрона в реак-
торе; р= (1 — 1/^ф) — так называемая реактивность*. По оп-
ределению, при р>0 (&Эф > 1;	> fe^p) реактор надкритичен;
при р < 0 (йэф < 1; <z fe») реактор подкритичен; при р = 0
= 1;	= k^) реактор находится в критическом состоянии.
Формула (1.1.4) обобщает формулу (1.1.2) на случай полиэнергети-
ческого неоднородного, ограниченного по размерам реактора.
Деление кроме вылета мгновенных нейтронов сопровождается
слабым последующим излучением нейтронов. Каждый осколок
Деления претерпевает примерно шесть последовательных (и, р)-пре-
вращений с испусканием 0-частиц, но иногда осколки могут ис-
пускать нейтроны. Это и есть запаздывающие нейтроны. В 235U
* Общее определение реактивности для смеси различных делящихся
зотопов с разными концентрациями в разных зонах дано в § 4.1.
15
число запаздывающих нейтронов р составляет примерно 0,0075
числа вторичных нейтронов. Тем не менее их роль в кинетике ре-
актора весьма значительна. Впервые на это важное обстоятельство-
было указано в работе [9].
Основной закон изменения асимптотической мощности реак-
тора (1.1.4) запаздывающие нейтроны не нарушают. Однако при
небольших скачках реактивности (р < р) время ТЭф, несмотря на
малую долю запаздывающих нейтронов в общем числе нейтронов
деления, резко возрастает при их наличии, что и делает техниче-
ски возможным управление реактором (как на тепловых, так и на
быстрых нейтронах).
Пуск и остановка реактора, изменение его общей мощности или
изменение распределения мощности по объему активной зоны, за-
щита реактора от скачков реактивности при различного рода ава-
рийных режимах осуществляются системой управления и защиты
(СУЗ). СУЗ представляет собой автоматическую систему, которая
состоит из: 1) детекторов нейтронного поля, порожденного цепным
процессом деления в реакторе; 2) приводов, перемещающих си-
стему регуляторов, изменяющих* реактивность реактора, и 3) уп-
равляющей электронной системы, которая сравнивает данные об
интенсивности цепного процесса, получаемые от детекторов ней-
тронов, с заданными допустимыми пределами и выдает соответст-
вующие импульсы управления на перемещение системы регулято-
ров реактивности. СУЗ работает по системе обратной связи, т. е.
увеличивает реактивность при падении интенсивности цепного
процесса и наоборот.
Изменение реактивности реактора обычно осуществляется пере-
движением стержней (поглощающих нейтроны), которые располо-
жены в активной зоне или отражателе, Применяется также пере-
движение частей активной зоны или отражателя. Другой способ
изменения реактивности — введение (или выведение) поглотителя
нейтронов в теплоноситель (из теплоносителя). Можно использо-
вать газообразные поглотители нейтронов, вводя их с большой ско-
ростью (пневматически), а также поглотители нейтронов, поглощаю-
щая способность которых зависит от изменения собственной темпе-
ратуры, и т. п.
Цепной процесс деления, как было указано, сопровождается
интенсивным выделением тепла. В энергетических реакторах вы-
деляется значительное количество тепловой энергии. Отвод ее из
активной зоны представляет собой важную и часто сложно реали-
зуемую техническую задачу, которая в основном определяет кон-
струкцию активной зоны и физические показатели реактора.
Один акт деления сопровождается выделением энергии следую-
щих видов (общая энергия -— 204 Мэе)'.
Кинетическая энергия осколков........................... 165	Мзе
Кинетическая энергия вторичных быстрых нейтронов
деления ..........................................  5	Мэв
Энергия «мгновенных» у-квантов.................... 7,8	Мэв
Излучение осколков (у, р, ч)...................... 26,2	Мэе
16
Эта энергия (за исключением энергии нейтрино — 10 Мэв, ко-
торая здесь не указана) выделяется в основном в форме тепла, от-
водимого с помощью теплоносителя.
Теплоносители могут быть жидкие, паро-жидкие, газообраз-
ные, твердые и плазменные. В качестве жидких или двухфазных
(кипящих) теплоносителей применяют тяжелую и легкую воду,
смеси углеводов, расплавы солей, жидкие металлы (калий, натрий,
литий, свинец, висмут, ртуть и т. п.). Газообразные теплоносите-
ли также многообразны: это воздух, гелий, углекислый газ, так на-
зываемые диссоциирующиеся газы, например И2О4, т. е. такие газы,
которые при рабочей температуре реактора испытывают значитель-
ную диссоциацию, что улучшает их теплофизические параметры.
В самое последнее время ведутся интенсивные работы по при-
менению теплоносителя в форме плазмы. В реакторах, в отличие от
термоядерных установок, применяется плотная низкотемператур-
ная плазма (температура ~ 104 °К). Плазменная форма теплоноси-
теля несомненно найдет широкое применение в ядерных двигателях
ближайшего будущего, например в двигателях космических ко-
раблей. Другая область применения плазменных теплоносителей —
соединение реактора с магнитогидродинамическим преобразовате-
лем тепловой энергии в электрическую.
Возможно также использование твердого теплоносителя в виде
передвижных стержней или дисков, которые нагреваются в ак-
тивной зоне, а потом перемещаются в холодильник, где отдают ак-
кумулированное тепло.
В большинстве реакторов теплоноситель циркулирует через
активную зону, где размещено ядерное топливо. Однако в неко-
торых конструктивных решениях ядерное топливо подмешано
к жидкому, газообразному или плазменному теплоносителю и
вместе с ним циркулирует через активную зону реактора.
Реактор, как правило, окружают биологической защитой, на-
значение которой — защита людей от проникающего излучения.
Реакторы можно классифицировать по различным признакам —
физическим, схемно-конструкционным, по видам замедлителя и теп-
лоносителя и по назначению.
Очень важна классификация по физическим признакам, особен-
но по формирующемуся в активной зоне спектру первичных нейтро-
нов, вызывающих деление. Нейтроны деления распределены по
энергиям спектра деления. Последний незначительно зависит от
энергии первичного нейтрона, вызывающего деление ядер топли-
ва. Реактор на быстрых нейтронах с жестким спектром деления
в пределе представляет собой кусок чистого ядерного топлива.
к таком реакторе нейтрон или сразу поглощается при столкнове-
нии с ядром, или испытывает одно-два соударения до поглощения.
Поэтому замедление нейтрона до поглощения сравнительно не-
велико и спектр первичных нейтронов, вызывающих деление, не
очень сильно отличается в сторону замедления от спектра деления,
как показано на рис. 1.5.
17
Активная зона большинства энергетических реакторов на бы-
стрых нейтронах, в которых необходимо отводить большое количе-
ство тепловой энергии, состоит из ядерного топлива с разбавителя-
ми, теплоносителя, конструкционных материалов и, наконец, до-
бавок ядерного сырья — 23SU, -32Th ит. д., т. е. иорогово-делящихся
изотопов, служащих материнским изотопом для воспроизвод-
ства нового ядерного горючего. Поэтому в таких реакторах со смяг-
ченным спектром значительно возрастает вероятность столкнове-
ния нейтрона, сопровождающегося замедлением нейтрона до его
Рис. 1.5. Типичные спектры деления в ядерных реакторах:
/ ~ вторичных нейтронов деления; 2а, 2б — нейтронов, вызывающих деление в ре-
уктире па быстрых нейтронах соответственно с жестким и мягким спектрами;
3 — в реакторе на промежуточных нейтронах; 4— в реакторе на тепловых ней-
тронах
поглощения в ядерном горючем. Соответственно спектр первичных
нейтронов, вызывающих деление, заметно сдвигается в сторону за-
медления (см. рис. 1.5). Средняя энергия нейтронов деления
составляет около 2 Л1 эв. В реакторе на быстрых нейтронах с жест-
ким спектром средняя энергия первичных нейтронов, вызывающих
деление, — 1 Мэв, а со смягченным спектром эта средняя энергия
меньше 100 кэв и довольно велик «хвост» спектра с энергиями менее
10 кзв.
Если теперь увеличить количество разбавителей в активной
зоне, особенно если добавить замедлитель, т, е. изотоп или смесь
изотопов с малым атомным номером, которые сильно упруго за-
медляют нейтроны, но при этом слабо их поглощают в процессе
замедления, то спектр первичных нейтронов, вызывающих деле-
ние, может быть очень сильно сдвинут в сторону низких энергий,
так что средняя энергия этого спектра окажется внутри широкой
области, простирающейся от 1 зв до 10 кэв. Такие реакторы назы-
ваются реакторами на промежуточных нейтронах.
Если продолжать увеличивать добавку замедлителя в активной
зоне, то спектр нейтронов, вызывающих деление, будет все больше
сдвигаться в сторону нуля. Однако существует предел этого
сдвига: температура нейтронного газа, находящегося в термоди-
18
})амическом равновесии со средой. Термин «термодинамическое рав-
но вес не» в данном случае не совсем точен, так как нейтроны, в от-
гщчие от молекул, могут захватываться. Однако этот захват про-
исходит в мягкой области спектра, где зависимость сечений захва-
та от энергии подчиняется закону вида 1/с\ и компенсируется пото-
ком замедляющихся в замедлителе нейтронов — потоком замед-
ления. В результате взаимодействия с ядрами среды, имеющими
тепловые энергии, формируется «квазимаксвелловское» распре-
деление нейтронов (происходит так называемая термализация
нейтронов) с температурой, ненамного превышающей температуру
среды. Поэтому средняя энергия нейтронов, вызывающих деление,
имеет порядок kT и определяет тот предел, ниже которого средняя
энергия нейтронов не может смещаться с увеличением разбавления
ядерного горючего замедлителем.
Реакторы, в которых средняя энергия первичных нейтронов,
вызывающих деление, порядка kT, называются реакторами на
тепловых нейтронах.
Таким образом, по физическим признака м раз-
личают реакторы: 1) на быстрых нейтронах со средней энергией
Е 100 кэв; 2) на промежуточных нейтронах (1 эв Е 10 кэв)
н 3) на тепловых нейтронах (£ — kT). Соответственно нейтроны
с разбросами энергий в пределах указанных интервалов называют
быстрыми, промежуточными, тепловыми.
По назначению различают реакторы: 1) для исследо-
вательских целей, служащие мощными генераторами нейтронно-
го и у-нзлучепия; 2) для производства искусственных изотопов,
особенно плутония, трансурановых элементов, меченых атомов
и т. д.; 3) для производства тепловой и электрической энергии на
АЭС и для атомных котельных (теплофикация, опреснение мор-
ской воды и т. п.); 4) для транспортных двигателей — кораблей,
самолетов, космических аппаратов; 5) для медицинских целей, на-
пример для облучения биологических объектов, лекарств, хирур-
гических инструментов и т. п.; 6) для химической технологии, где
излучение реактора, особенно у-излучение, используется для воз-
действия на кинетику химического превращения веществ, напри-
мер полимеризации углеводородов и т. д.
Далее, реакторы часто классифицируют но роду замедлителя,
например водяные, графитовые, тяжеловодные, бериллиевые, или
по роду теплоносителя — кипящие, газовые, натриевые п т. д.
. Наконец, существует классификация по ко н с т р у к ц и-
0 н п о - сх емн ым приз н а к а м, например корпусные, ка-
нальные, полостные (плазменные), с циркулирующим ядерным го-
рючим, гомогенной или гетерогенной активной зоной и т. д.
Таким образом, число возможных типов ядерных реакторов
°иень велико. Конечно, практическое значение приобрела только
Неоолыиая часть всех возможных комбинаций, но и она представ-
лена довольно разнообразными типами реакторов.
ГЛАВА 2
КРИТИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ РЕАКТОРА
В ОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
§ 2.1. ФОРМУЛА ЧЕТЫРЕХ СОМНОЖИТЕЛЕЙ
Процесс размножения нейтронов в бесконечной мультиплици-
рующей среде можно оценить количественно, если проследить за
судьбой вторичных нейтронов, рождающихся при распаде ядер
делящегося вещества. Мультиплицирующая среда состоит из за-
медлителя, поглотителя и делящегося вещества, причем делящим-
ся веществом может быть смесь
порогового и беспорогового изо-
топов, например 235U и 338U.
Судьбу нейтронов одного по-
коления иллюстрир ует круговая
диаграмма, изображенная на
рис. 2.1.
В процессе деления рожда-
ются нейтроны, энергия которых
может быть больше и меньше
порога деления 238 U. Нейтроны
с энергией Е, большей порога де-
ления 238U, вызывают деление ядер
последнего. Таким образом, чис-
„ п, т , л .	„ ло нейтронов с энергией ниже по-
Рис. 2.1. Иллюстрация к формуле	г	?
четырех сомножителей рога деления будет больше числа
первоначально родившихся ней-
тронов за счет деления ядер 238U нейтронами с энергией Е > Епор &
~ 1 Мэе, Это увеличение числа замедлившихся нейтронов в ре-
зультате размножения на быстрых нейтронах характеризуется ко-
эффициентом [л, равным числу быстрых нейтронов, которые за-
медлились до энергии ниже порога деления 258U, отнесенному
к одному быстрому нейтрону, появившемуся при делении 235 U
тепловыми нейтронами. Если предположить, что в мультиплицирую-
щей среде число нейтронов от деления 235U есть /, то за счет деле-
ния 23SU быстрыми нейтронами / возрастает до значения р/. Эти
и/ нейтронов, сталкиваясь с ядрами среды, замедляются до энер-
гий ниже порога деления. В процессе замедления часть нейтронов
претерпевает радиационный захват ядрами 33SU, не достигнув
тепловой энергии. Радиационный захват нейтронов характеризует-
ся коэффициентом ср — вероятностью того, что быстрый нейтрон
в процессе замедления избежит радиационного захвата.
Захват надтепловых нейтронов при замедлении носит специфи-
ческий характер. В этой области энергий сечение захвата ядер со
20
средними и большими массовыми числами имеет ярко выраженную
резонансную структуру (см. гл. 3). Поэтому коэффициент ф еще
называют вероятностью избежать резонансного захвата. Захват
на легких ядрах замедлителя в этой области энергии ничтожно
мал, и в формировании <р не играет никакой роли.
Таким образом, до тепловой энергии замедляется цф/ нейтро-
нов. Но даже тогда, когда нейтроны стали тепловыми, не все они
поглотятся в уране. Часть их будет захвачена ядрами замедли-
теля, и только рфО/ нейтронов будет захвачено ядрами делящего-
ся вещества. Коэффициент 0 есть вероятность захвата теплового
нейтрона делящимся веществом; его называют коэффициентом ис-
пользования тепловых нейтронов. На каждый нейтрон (из числа
р(р0/}, поглощенный в уране, родится v нейтронов, причем v учиты-
вает тот факт, что не каждый нейтрон, поглощенный делящимся
веществом, приведет к делению: возможен радиационный захват
нейтрона.
Если пренебречь делением 235U на замедляющихся нейтронах,
то во втором поколении число нейтронов возрастет до значения
трф9/. Отношение числа нейтронов второго поколения к числу
нейтронов первого поколения называют коэффициентом размноже-
ния в неограниченно протяженной однородной мультиплицирую-
щей среде и обозначают
=s Vg<p0/7/ = vp(p0.	(2.1.1)
Это выражение называется формулой четырех сомножителей для
k^. Формула четырех сомножителей описывает размножение ней-
тронов в сильно замедляющей среде, когда основная доля делений
приходится на тепловые нейтроны. Следовательно, она служит
для описания размножения нейтронов в реакторе на тепловых ней-
тронах.
Для реакторов на быстрых или промежуточных нейтронах па-
раметры ф, 0 теряют свой исходный смысл. Поэтому при рассмо-
трении таких реакторов применяют другие выражения для k^.
Во всяком реальном реакторе существует сложный спектр
нейтронов, энергия которых простирается от 15 Мэв до сотых до-
лей электронвольта и ниже. Однако рассмотрению цепных процес-
сов размножения нейтронов в реальном полиэнергетическом реак-
торе удобно предпослать анализ процесса размножения в идеали-
зированном моноэнергетическом реакторе, так как в этом случае
получится простая картина, основные качественные черты которой
сохраняются и для более сложных процессов размножения.
Для моноэнерготического реактора формула (2.1.1) вырожда-
ется в формулу двух сомножителей:
k„ = у0.	(2.1.2)
Однако легко представить себе ситуацию, когда формула
U-1.2) пригодна и для полиэнерготического реактора.
21
Для примера вычислим размножающей однородной среды»
которая представляет собой смесь D2O и S35U. Чтобы пользовать-
ся формулой четырех сомножителей, нужно быть уверенным, что
в размножающей среде формируется характерный спектр реактора
на тепловых нейтронах, основная доля делений в котором проис-
ходит на тепловых нейтронах. Это обеспечивается высокой степенью
разбавления 335U замедлителем (примерно 104 ядер замедлителя
на одно ядро 235U). При отсутствии 23SU р = 1, <р —— 1. Тогда
получается формула (2.1.2)
/2^ =	гдет(5) =vj5> ——; сс(5)=—-—. (2.1.2а)
а(5)
Здесь учтены данные только для тепловых нейтронов, посколь-
ку размножением на замедляющихся нейтронах в этом случае
можно пренебречь. Подставляя в (2.1.2а) v)6’ = 2,47; о[5> = 584 барн,
Оа5’ = 692 барн, получаем
v<6’ « 2,08.	(2.1.26),
По определению, 6 равно отношению скорости захвата в U к пол-
ной скорости захватов в размножающей среде с потоком тепловых
нейтронов Ф:
0 = 2?ф/(2ои + 2Г) Ф= 1/(1 + ?); q = 2Г/2? = Ca’a*W,
(2.1.2в)
где С = рзам/ри (индекс «зам» относится к замедлителю). В на-
шем случае q ~	
Сечение захвата в тяжелой воде весьма мало (оа 1	1,1 X
X 10-3 барн). Поэтому даже при С ж 30 000 получаем
q & 0,04; 6 лз 0,96; L«2	(2.1.2г)
(0 близко к единице). Самоподдерживающаяся цепная реакция
может реализоваться лишь при условии > 1, так как только
в этом случае нейтронов второго поколения будет больше, чем
нейтронов первого, что и выполняется в нашем случае.
Понятие моноэнергетического реактора позволяет установить
некоторые основные закономерности, связанные со спецификой
реакторов на быстрых и тепловых нейтронах. На спектре нейтронов
деления (медианная энергия равна — 2 Маа), усредненные над
порогом деления 238 U сечения и числа Vf, имеют следующие пример-
ные значения:
v)55 & 2,7; ар1 ж 1,3 барн; 1,34 барн;
vf8) & 2,8; <т)8) л? 0,4 барн; & 0,55 барн, (2.1.2д)
В смеси изотопов 235U и S38U число v определяется формулой
q<5) p<5}_pVcS^ p^S)	(jt5) p£5}_|_^(8)
СГ<5) С<5)_1_ОС8) с( 8)
22
где = р(5)/(р^>	р<8>); ц(8> = pts>/(p<s> d- p<S)). В природном
уране с(5) = 0,0072, t?(S) = 0,9928. Пусть надо проверить, возможна
dn само поддерживающаяся цепная реакция под действием
нейтронов деления в природном уране. Для этого достаточно
вычислить число v [см. (1.1)]. Поскольку в этом случае 1, то
V да v[9’ crJ8)/<j<8) = 2,8 . 0,4/0,55 = 2,04.
Казалось бы, отсюда вытекает возможность получения самопод-
держивающейся цепной реакции в чистом 238 U. Однако это не так,
потому что не учтен сильный эффект неупругого замедления в 23sU,
при котором нейтрон деления замедляется главным образом ниже
порога деления 23SU, где деление уже невозможно. Учесть этот эф-
фект можно грубо, принимая, что каждый неупруго рассеянный
нейтрон выходит из рассмотрения, т. е. сечение неупругого рас-
сеяния рассматривать как сечение захвата. Тогда, учитывая,
что оУ’ да 2,1 барн, получаем
т да п/8)/(о?’ J- (7^) = 2,8 . 0,4/(0,55	2,1) = 0,42,
откуда немедленно следует отрицательный ответ: цепная реакция
на быстрых нейтронах в естественном уране невозможна. Точный
расчет подтверждает этот результат.
235П является беспороговым по отношению к делению, и для
него У5) да 2. Следовательно, в чистом 235U или в уране, сильно
обогащенном этим изотопом (рб^ 0,25), самолоддерживающая-
ся цепная реакция возможна и может быть реализована или в ура-
новой бомбе, или в реакторе на быстрых нейтронах.
Другая ситуация возникает, если рассчитать м для тепловых
нейтронов и природного урана. В этом случае 23SU не делится и
V = £рб) У5)/({Д5) -г СГд8) У8)).
Для тепловых нейтронов*
о/,3’ да 2,7 барн.	(2.1.2е)
Сечения 235U здесь на два порядка больше сечения 238 U, Отсюда
следует:
v = 2,5 • 584 • 0,0072/(692 • 0,0072 4- 2,7 - 0,993) = 1,34.
Это означает, что при определенных условиях само поддерживаю-
щаяся цепная реакция в естественном уране может быть реализо-
вана в реакторе, работающем на тепловых нейтронах. Отсюда и
возникает идея нейтронного цикла, представленного на рис. 2.1.
Чтобы реактор на тепловых нейтронах работал на природном ура-
не, необходимо его сконструировать так, чтобы для природного
Урана выполнялось условие Р> 1.
Если активная зона гомогенная (например, раствор урана
н замедлителе), то цепная реакция возможна лишь в том случае,
Заметим, что сечения захвата для тепловых нейтронов на порядки
превосходят сечения захвата для быстрых нейтронов.
23
когда замедлителем является D2O. В гетерогенной активной зоне,
где уран сосредоточен в блоках, периодически расположенных
в замедлителе, применяется более широкий круг замедлителей,
в сочетании с которыми можно использовать природный уран
(D2O, графит). Если замедлитель — легкая вода, то уран может
быть только^ обогащен ним до 1,5—5%.
§ 2.2.	КРИТИЧЕСКИЙ РАЗМЕР РЕАКТОРА
Определим размеры (при заданной форме) размножающей сре-
ды, в которой возникает цепная реакция.
Если длина пробега замедляющегося нейтрона и сечения ядер-
ных реакций не зависят от энергии, то стационарные задачи мож-
но рассматривать как для моноэнерготического случая, который
будем называть одногрупповым приближением*. В действитель-
ности не существует реактора с потоком моноэнергетических ней-
тронов. К. моноэнергетическому случаю близок реактор на тепло-
вых нейтронах, в котором процесс замедления нейтронов опреде-
ляется малой длиной миграции нейтрона, а процесс диффузии теп-
ловых нейтронов наоборот, имеет большую длину миграции, как,
например, в тяжеловодном реакторе при малой концентрации ядер-
ного топлива, Кроме того, как показано в §2.7, физически большой
реактор, в котором длина миграции много меньше размеров ак-
тивной зоны, также можно приближенно трактовать в одногруппо-
вом приближении; все это значительно расширяет область приме-
нения одногруппового приближения.
Рассмотрим некоторую среду, размножающую нейтроны. Пред-
положим, что она однородна, отражатель отсутствует и > 1.
Составим уравнение баланса нейтронов в элементе объема такой
среды. Процесс диффузии считаем стационарным. Тогда
—	div i — 2аФ + j = 0,	(2.2.1)
где j — скорость генерации нейтронов в единичном объеме; i —
ток нейтронов; div i — скорость утечки нейтронов из единичного
объема; 2аФ— скорость поглощения в нем нейтронов.
В размножающей среде / обусловлена процессом деления, а по-
этому
j =	(г).	(2.2.2)
Следовательно,
—	div i -ф — 1) 2аФ = 0.
Для установления связи между током i и потоком нейтронов Ф
приближенно, но с хорошей точностью можно принять соотноше-
ние элементарной теории диффузии: I = — D\ Ф (см. приложе-
* Одногрупповое приближение является частным случаем метода мно-
гих групп, который изложен в приложении П5.1.
24
ние П2.1; D — коэффициент диффузии). Тогда приходим к урав-
нению
£>ДФ + (йм — 1) 2аФ = 0.	(2.2.3)
Введя обозначение
(2.2.4)
где L2 = Z7/Sa — квадрат длины диффузии, получим уравнение
ДФ + ФФ = 0.	(2.2.5)
Величину х называют материальным параметром размножающей
среды, поскольку она определяется не размерами и геометриче-
ской формой тела, а только способностью материальной среды рас-
сеивать и размножать нейтроны. Величина %2 для мультиплицирую-
щей среды отличается от х3, известного из теории диффузии: из-
меняются его значение и знак. В размножающей среде х2 > 0,
в неразмножающей или слабо размножающей среде х2 = — 1/L2 <
<0.
Краевые условия остаются те же, что и для чисто диффузион-
ных задач: поток нейтронов должен быть непрерывной функцией
координат и должен обращаться в нуль на экстраполированной
границе S* * * § объема V, в котором происходят диффузия и размно-
жение нейтронов, т. е.
O(R)|Res = 0,	(2.2.6)
где R = Ro + 0,71Х(гп; Ro — точка на истинной поверхности раз-
множающей среды; и = n (Ro) — внешняя нормаль в этой точке.
Кроме того, поток нейтронов всюду в У не отрицателен.
В теории реакторов используют уравнение Гельмгольца [11,
121
Дф + а2ф = 0,
(2.2.7)
которое иногда называют волновым [5], а а — волновым числом.
При краевом условии (2.2.6) волновое уравнение имеет счетное
(бесконечное) множество линейно независимых решений — собст-
венных функций
Фо> Ф1 > Фз* •••» Фп»	(2.2.8)
Каждому решению фп (г) или каждой собственной функции** (п-й
* Экстраполированной границей здесь и далее мы будем называть эк-
видистантную относительно истинной границы поверхность, удаленную от
нее на расстояние 0,71 где = 1/2^= 3D (см. приложение П2.2).
По определению, нейтронный поток обращается в нуль на экстраполирован-
ной границе. Обобщенное понятие экстраполированной границы дано в
§ 4.3. Сама поверхность S предполагается кусочно-гладкой.
** Собственные функции фп (г) часто называют гармониками.
25
гармонике) соответствует собственное значение — оператора
Лапласа (Дфта = — «Ж), причем
< «о <с ttj 'Л Й2 С'Л .	ОСгг —> ОО .
(2.2.9)
/2->со
Число «о меньше всех а2 (« = 1, 2, ...) и обязательно простое,
т. е. ему принадлежит только одна (с точностью до постоянного
множителя) собственная функция ф(} (г). В любой одномерной
геометрии все собственные значения оператора Лапласа обяза-
тельно простые и
О <б <хо < а! <б ... < ап — п2.	(2.2.9а)
В общем случае каждому собственному значению принадлежит
конечное число линейно независимых собственных функций ф„. (г)
(см. §2.6, упражнение 1), и поэтому в ряду (2.2.9) могут быть по-
вторяющиеся числа. Только одна из функций ф„ (г), а именно ну-
левая гармоника ф0 (г), принадлежащая наименьшему (по аб-
солютному значению) собственному значению оператора Лапла-
са, не имеет узловых точек (в общем случае узловых поверхно-
стей — геометрических мест точек г V, где фп (г) = 0], т. е. не
меняет знака внутри V и положительна. Все остальные функции
фп. при и > 0 знаке переменны.
Задача на критическое состояние моноэнергетического реак-
тора определяется уравнением (2.2.5) с краевым условием (2.2.6).
Ее решение обязано удовлетворять очевидному дополнительному
физическому условию — неотрицательности функции распреде-
ления потока нейтронов. Отсюда следует, что поставленная
стационарная задача имеет решение только в том случае, если
а0 = к;	(2.2.10)
тогда в силу линейности уравнения
Ф (г) = Сф0 (г),	(2.2.11)
где С — произвольное положительное число. Наименьшее по аб-
солютной величине собственное значение «о называют геометриче-
ским параметром. В отличиедэт материального параметра геоме-
трический параметр зависит от формы и размера активной зоны, но
не зависит от свойств мультиплицирующей среды.
Равенство а0 = % означает, что существуют определенные
формы и размеры, при которых в ограниченной мультиплици-
рующей среде возможно стационарное состояние поля нейтронов.
Соответствующий характерный размер называют критическим.
Объем, в котором размножающая среда может находиться в ста-
ционарном состоянии, называют критическим объемом. Масса де-
лящегося вещества в этом объеме называется критической.
Найдем критические размеры размножающей среды для раз-
ных геометрических форм однородной активной зоны, граничащей
с вакуумом [1].
26
1. Активная зона реактора в форме шара. В волновом уравне-
нии для такой системы лапласиан запишется в сферических ко-
ординатах и мы получим
J_	+ а2ф = 0.	(2.2.12)
г3 dr dr 4
Преобразуем уравнение (2.2.12) с помощью подстановки ф = fir.
(2.2.13)
dr
1 d	d/}\	d~f
так как - -г r-r - = -Hr* Уравнение (2.2.13) имеет два линей-
/'2 dr dr\r }	rdr*	1
но независимых решения: f = sin аг и f = cos ar. Поэтому
. z v sin ar . cos ar	,o o
Ф(г) = С!--------ьс2------- .	(2.2.14)
r	r
Суперпозицию решений sin ar и cos ar можно записать также
в форме
ф (г) = С sina(Q~r} ,	(2.2.15)
Г
где амплитуда С и фаза Q суть постоянные интегрирования.
Сформулируем краевые условия, а именно:
1) Ф (R) = 0;
2) ф (0) < оо — условие непрерывности решения при г = 0.
Из второго краевого условие следует, что С2 = 0, а из первого
C1-sin.aJ? =0, или sinaJ? = 0; а£? = л(ц4-1),
откуда
an =	(п.-\- 1); п = 0, 1, 2,..., оо.
При п = 0 а0 = л/7? и
(,-) = С1.
Г
(2.2.16)
Из условия критичности а о = х видно, что реактор может
находиться в стационарном состоянии при определенном значе-
нии 7?, а именно когда
7? = л/х	(2.2.17)
или
7? = nL/VkZ— 1 •	(2.2.18)
Этот радиус 7? и является критическим, радиусом реактора.
Рассмотрим ход потока нейтронов внутри активной зоны
(рис. 2.2). Поток нейтронов положителен, так как sin (nr/R)/r нигде
в нуль внутри сферы не обращается. Если п 1, то поток при
r <Z R обязательно принимал бы нулевые, а следовательно, и от-
27
рицательные значения. Поэтому все решения с п 1 отбрасывают-
ся. В решение сомножителем входит произвольная константа С1(
которая характеризует мощность реактора. Произвольность
говорит о том, что реактор может иметь различную мощность, но
все же оставаться в стационарном состоянии.
Оценим величину R для тяжеловодного реактора на тепловых
нейтронах в примере из § 2.1. Критический радиус реактора прямо
пропорционален длине диффузии L и обратно пропорционален
— 1. Тогда, если принять L = 32 см*, = 2,0, то
R = 32лЛ/2 — 1	100 см = 1 м.
Рис. 2.2. Распределение потока ней-
тронов в сферической активной зоне
Рис. 2.3. Реактор в форме пла-
стины
2.	Реактор в форме неограниченно протяженной пластины тол»
щиной Н (рис. 2.3). Волновое уравнение для ф в этом случае за,
пишется так:
-К а3 ф = 0.
(2.2.19)
Краевые условия
ф (± Я/2) = 0
являются одновременно условиями симметрии. Решение имеет вид
ф (х) = Сг cos ах + Сsin ах.	(2.2.20)
Константа С2 — 0 согласно условию симметрии. Тогда
cos (аН/2) = 0; ап = л (п + 1)/Jf; а0 = л/Н. Из а0 = % следует
И = л/х.	(2.2.21)
* По формуле (7.9.3) квадрат длины диффузии замедлителя L®aM и квадрат
длины диффузии L3 активной зоны связаны соотношением L2 =	(1—0).
Полагая для D3O £зам = 260 см, при 0 = 0,96 получаем L = 32 см.
28
Таким образом, критический радиус шара равен критической
толщине плиты, если в обоих случаях используется один и тот же
материальный параметр. (Однако критический объем и критиче-
ская масса в первом случае конечны, во втором — бесконечны),
3.	Реактор в форме неограниченно протяженного цилиндра.
В одномерной цилиндрической активной зоне волновое уравнение
-—г	= о или	=	(2.2.22}
г dr dr	г
является уравнением Бесселя и имеет общее решение
ф = GA (аг) + СчЛГо (аг).
Здесь <70 (аг) и No (аг) — соответст-
венно функции Бесселя и Неймана
нулевого порядка. Решение уравне-
ния (2.2.22) должно удовлетворять
краевому условию
ф (R) = 0	(2.2.22а)
и обладать свойством непрерывности
при г б Ю, R1- Однако функция
Неймана (%) при х = 0 имеет
логарифмическую особенность. Сле-
довательно, С2 = 0. Тогда ф (г) =
(аг), Из условия (2.2.22а) имеем
(2.2.23)
где ёп — корни уравнения Jo (|) = Рис’ 2А-	реактор
= 0;	= £ = 2,405. Окончательно
имеем
R = 2,405/%.	(2.2,24)
Критический радиус бесконечного цилиндра меньше критиче-
ского радиуса шара, но больше критической полутолщины пла-
стины.
4.	Реактор в форме сферы с центральной полостью (рис. 2.4).
Запишем краевые условия поставленной задачи. На внутренней по-
верхности реактора
Г = 1+	(2.2.25)
где и /+ — соответственно левый и правый односторонние токи
нейтронов, ибо сколько нейтронов вылетит в полость, столько же
их и возвратится в активную зону (см. приложение П 2.2). Поэтому
в качестве краевого условия на внутренней поверхности реактора
принимается £ (а) = 0, откуда
7ф|г=й -0.	(2.2.26)
На внешней поверхности, как обычно,
Ф (R) = 0.
2g’
Решение волнового уравнения для сферической геометрии запи-
шем в виде (2.2.15)
sin а (£2 — г)
г
Тогда из условия на внешней поверхности
tin ft SO._______________________
Рис. 2,5. Определение собственных чисел для сфери
ческого слоя
Вычислим теперь уф’(я) и приравняем его нулю:
г
Уф (а) = [йа cos ос (R— a)4-sin a (R~d)] = О,
а’2
откуда получим уравнение критического реактора
tg ос (/? — а) = — да,	(2.2.27)
которое определяет связь параметров й, и а при критических
размерах системы. Преобразуем уравнение (2.2.27) к виду
tg (1 - Р) х = - |3х,	(2.2.28)
где х = aR\ р = a/R. Решение последнего уравнения можно най-
ти. графически (рис. 2.5). Из графика ясно, что ocn_i = xn/R.
При д->0, [3->0 получаем правильный предельный переход
к случаю сферы без полости: ху а0 = я/R.
Если в реакторе полость заполнить «черным» телом, то краевое
условие уф (й) = 0 необходимо заменить условием ф (а) = 0, где
й — экстраполированная граница полости. Тогда упростится вид
уравнения критического реактора:
sin a (R~a)
а
30
откуда
г к~а
Рас. 2.6. Распределение потока нейтро-
нов в реакторе с полостью, внутри ко-
торой вакуум (7) или черное тело (2)
sin a (R — а) = 0; ап = л (п — 1)/<Л — п).
При п- = 0
а0 = л/(7? — а).	(2.2.29)
Следовательно, решение для шарового слоя с «черной» полостью
равно
ф = — sin 	(2.2.30)
Сравним ход потока нейт-
ронов для двух рассмотрен-
ных случаев (рис. 2.6): 1)
внутри полости реактора ва-
куум; 2) полость заполнена
черным «телом». Заметим, что
а и R — «экстраполирован-
ные» размеры реактора.
Рассмотрим отношение
утечек через внутреннюю и
внешнюю поверхности шаро-
вого слоя с черной полостью
в центре. Утечка через вну-
треннюю поверхность
J (а) = 4лй2г (а) = — 4ла2£>уф (й) ~ — л2РСд/(7? — я);
через внешнюю поверхность
J (R) = 4xR2i (Р) = — 4л7?2РУф (R) = — n2DCR/(R — а),
а их отношение равно
I J (a)/J (Р)1 = a/R.	(2.2.31)
Выше мы рассмотрели реакторы без отражателя и настолько
симметричные, что поле нейтронов в них одномерно, т. е. зависит
только от одной координаты. Теперь остановимся на простейших
двумерных и трехмерных задачах критического размера однород-
ной активной зоны, граничащей с вакуумом (точнее, когда грани-
ца экстраполирована).
5.	Реактор в форме цилиндра конечной высоты. Волновое урав-
нение в двумерной цилиндрической геометрии имеет вид
_1_	4- -ф = о	(2.2.32)
г dr dr dz2
При краевых условиях
Ф (R, 2) = ф (г, ± Я/2) = 0; vr ф (0, г) = Тгф (г, 0) = 0.
ЗЕ
Его решение можно найти методом разделения переменных, пред
положив ф (г, 2) = G (г) F (2). После подстановки предполагав
мого решения в исходное уравнение получим
1 d rdG 1 d? F
Gr dr dr ‘ F dz2
Представив a2 = a; -j- aj, можно записать систему двух уран
нений с соответствующими краевыми условиями:
- —г— 4-a*G = 0, G(/?)=0; G (0) < ос;
г dr dr
-\-alF =0-, F(±HI2)-0.
(2.2.38
Очевидно, что решение первого уравнения совпадает с решений
для бесконечного ' цилиндра, решение второго — с решением
пластины:
= Jо (аг г) С2 ^0 (<*г ’ 1	(2 2 34
F — С3 cos az z Ci sin tz2 2. j
Ввиду идентичности и краевых условий
ф (г, z) — CJQ (атг) cos a~z; аг = 2,405//?; az = я/Н. (2.2:31
"Тогда критическое условие принимает вид
у? = (2,405/7?)3 4- (тг/JY)3-
(2.2.36
6.	Реактор в форме параллелепипеда. Для трехмерной прямо
угольной геометрии волновое уравнение
-р 2121 + 0^ = 0	(2.2.37
дх2 ду2 dz2 т	k
с краевыми условиями
ф (± й/2, у, z) — ф (х, ± 5/2, 2) = ф (х, у, ± с/2) = 0 (2.2.37а
методом разделения переменных преобразуется в
уравнений (при ф = XYZ и а2 ~ а2 + сс£ -г «1):
— Х = 0, Х(±а/2) = 0;
dx2
= У(±5/2)-0;
dy2
4г-+«’2 = 0, Z(±c/2) = 0,
az-
систему
(2.2Д
решение каждого из которых аналогично решению для одномерно!,
пластины. С учетом краевых условий общее решение для паралл^
лепипеда запишем в виде
ф (х, у, г) — С cos ах х cos ссуу cos a2z, (2.2.3Ш
где ссх — л/а; = .п/b;	— л/в.
32
Критическое условие принимает вид
х2 = гг2/а3 Д л3/53 -К л3/Я.	(2.2.40)
Сравнение критических условий для реакторов конечных раз-
меров показывает, что при заданном материальном параметре сре-
ды х можно однозначно определить критический радиус шара
j? = л/к и соответствующий ему критический объем:
= R^R3 = 130/х3.	(2.2.41)
Для конечного цилиндра п прямоугольного параллелепипеда
критическое условие х = а0 может выполняться при различных
соотношениях между радиусом и высотой цилиндра или сторона-
ми параллелепипеда, а следовательно, при разных объемах.
Попытаемся отыскать оптимальное соотношение между высотой
и радиусом цилиндра, исходя из условия минимальности критиче-
ского объема. Для решения задачи воспользуемся методом неопре-
деленных множителей Лагранжа. Чтобы найти условный экстре-
мум функции VLI = aR'2H при связке между аргументами х3 —
= tRR'2 л2/Я2, составим вспомогательную функцию Д =
= xR2H + Ъ CRiR2 + лЧН2 — х2), где X — неопределенный мно-
житель, и приравняем нулю ее производные по Я и /И
X—^лЯ2 ———-0; ~	—
дН	Из	dR	R3
Выразив X из первого уравнения и подставив его во второе,
после простых преобразований получим
HW = 2n2/t2; H/R = лУ2/| = 1,85.	(2.2.42)
При этом соотношении между высотой и радиусом минимальный
критический объем цилиндра равен
умни = Mg/%3_	(2.2.43)
Аналогичным образом можно показать, что для прямоугольно-
го параллелепипеда оптимально соотношение между сторонами
а = Ь = с,	(2.2.44)
т- е. минимальный критический объем имеет куб, для которого
В к (лКз/х)3 161/хъ
(2.2.45)
Итак, можно записать отношение минимальных объемов шара,
цилиндра и куба при заданном материальном параметре:
: V : Г:: - I : 1,14 : 1,24.
(2.2.46)
33
~ Зак. 35
§ 2.3. ВЛИЯНИЕ ПЛОТНОСТИ ВЕЩЕСТВА
НА КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
Критический объем сферического реактора равен
= %я7?3,	(2.3.1)
где критический радиус 7? — ziLrVk^ — 1.
Критическая масса равна
G = VVI!P,	(2.3.2)
где у — масса топлива в единице объема активной зоны.
Пусть плотность топлива уменьшилась. Посмотрим, как изме-
няется при этом 7^, К3(р и G. С изменением плотности топлива
останется тем же самым, но зато изменится длина диффузии £:
L = 1/Ц5ДЗ = 1/1/Зра,,рав = р-1 Т1/Зс,Л.
т. е.
L -- р-1.	(2.3.3)
Следовательно, 7? — р~С	j
При увеличении плотности, например, в 10 раз критический j
размер уменьшается во столько же раз. Тогда
Уир - 1/р3; G = TVKp - р/р3 = 1/р3. '	(2.3.4) '
Критическая масса изменяется обратно пропорционально квад- i
рату плотности топлива. Эти соотношения справедливы и в об* 1
щих случаях.	>
§ 2.4. КРИТИЧЕСКИЙ РАЗМЕР РЕАКТОРА
С ОТРАЖАТЕЛЕМ	
Отражатель, расположенный вокруг активной зоны, уменьшает 1
утечку нейтронов из активной зоны, ее критический размер и массу.
Посмотрим, как изменяются критические размеры при наличии J
отражателя. Пусть сферический реактор окружен отражателем
толщиной d (рис. 2.7).
Введем понятие коэффициента отражения р, или альбедо^ j
который, по определению, есть отношение односторонних токов, j
пересекающих границу раздела*:
fl - щ/Н< 1.	(2.4.1) _
Подставив в (2.4.1) выражение для i~ и Н в диффузионном одногруп- !
повом приближении (см. приложение П2.2), получим
1-|-±РУФ/Ф.	(2.4.2) i
I—2Р7Ф/Ф	J
Применяя понятие альбедо, краевое условие можно записать
в виде
D —	= — — -bzL	(2.4.3) 1
Ф г = 7?	2 1 р	1
* В одномерном случае i = i+ — i~.	1
34
где Р взят на сФеРическои поверхности:
р" 2 р k	я
(%' R ctli х' d-\-1)
 -1
(2.4.4)
Величины, относящиеся к отражателю, будем отмечать штрихом.
Таким’образом, действие отражателя целиком сведено к аль-
бедо. Перепишем краевое условие;
УФ
(2.4.5)
Рис. 2.7. Сферический реак-
тор с отражателем
Подставив вместо р его выражение для сферической границы, полу-
чим
f =	(х' R cthx' cl+ i).	(2.4.6)
Функцию f' называют фактором отражения. Запишем фактор
отражения через отношение градиента потока нейтронов к потоку
нейтронов в активной зоне реактора.
В сферическом реакторе Ф = Сг (г R). Тогда
V®	D 1 ъ т
Д~фЧ=Я=й’(2.4.7)
После несложного преобразования это выражение можно свести
к следующему:
1 — xR/ tg xR = /,	(2.4.8)
где
f=-^-(x'Rcthx' d4-l).	(2.4.9)
Обозначим xR = x, f (x) =	(1 4- x — cth x'd) и перепишем
(2.4.8) в виде
1 — x/tg х = f (x).	(2.4.10)
Из этого уравнения можно найти критический радиус /Л если из-
вестен материал активной зоны, либо при заданном /? определить х.
Решить уравнение (2,4,10) можно графически (рис. 2.8) или мето-
дом итераций (см, упражнение 2).
Рассмотрим некоторые предельные случаи отражения.
1. О 'г р а ж а т е л ь представляет собой чер-
ное тело, т. е. L' = 0, Тогда
/W =-Т-(1+ТгСИ>-Т') оо; z/? = n. (2.4.11)
Следовательно, черный отражатель эквивалентен вакууму.
Рис, 2.8. Графическое решение уравнения (2.4.10)
2. Отражатель абсолютно не поглощает
нейтронов, т. е. I/ -> оо. В этом случае
a f = (D'/D) (I -р R/d) — конечная величина, т. е, х =	< л.
Пусть d > jR, тогда f ~ D'/D = Ktr!ktT. При Х'(г & htr f ж 1 и
х & л/2. Следовательно,
Я = л/2х,	(2.4.12)
т. е. имеем восьмикратное уменьшение критической массы. Даль-
нейшее уменьшение критического размера возможно лишь в слу-
чае, когда /’< 1, т. е. л/г < Х;г.
Упражнение 1. Расстояние между экстраполированной гра-
ницей активной зоны «голого» реактора и границей активной зоны, «одетой
отражателем», называется экономией отражателя (или эффективной добав-
кой активной зоны реактора с отражателем) 6. В одномерном случае 6 яв-
ляется функцией 6 = 6 (с?) толщины отражателя d. Назовем реактор большим
36
jW отношению к отражателю, если хб с I*. Найти в атом предположений
ЯБное выражение для б(то) при D' D.
Решение, По формуле (2,4.8) имеем
При D’ ~ D и d -> то имеем
tg X# _	1
х/?	х' R
(2.4.13)
(2.4.13а)
Так как 7?0 = л/х — радиус «голого» реактора и, по определению, 6 —
 Ro — 7?, то х/? = л — хб, tg xR = — tgx6 =s — хб и
6 (то) ]/х' = L'.	(2,4.14)
Если мы хотим учесть эффект замедления [см. формулу (2.7.10)], то нужно
заменить L’ на М’ —~]/т'	(L')3, где т' — возраст нейтронов в отражателе
(§ 4.4.). Тогда
6 (то) ~Ут' +(Л')2-	(2.4.14а)
Заме ч а н и е. Так как ctlix то 1 при х > 2, то при d > 2/у/ отражатель
можно считать бесконечным.
Конечно, одногрупповой расчет может оказаться слишком грубым, и
более надежные оценки экономии отражателя следует производить с помощью
многогрупловых расчетов.
Упражнение 2, Для примера в § 2.2 (х —3,3 • 10-3 слщ1) вы-
числить б°г° (то),	(50), 6е (то), 6е (50), 6Нг° (то), 6иг° (8) для отражателей
из тяжелой воды, графита и легкой воды с учетом поправки на замедление
нейтронов ( толщина отражателя d цана. в сантиметрах). Можно принять
= 160 см; Lc = 58 см; - 2,7 см; td*° - 120 см1; тс =
— 364 см1; тНг° = 27 елг; = 2,9 см; aJ). — 2,7 см; = 0,45 см.
Решение. Удобно воспользоваться формулой (2.4.10), приведя ее
к виду (2.4.13):
~^~^F(x); F(x)~	.	(2.4.15)
—
Тогда, используя таблицы функции tgx/x можно применить следующий ите-
рационный алгоритм:
(2.4.16)
Этот процесс быстро сходится, так что в качестве х0 — и/? можно принять
л («голый» реактор). Например, для отражателя из легкой воды х' =
-- 1/-|/2,72 + 27 - 1/5,9; х7х = 1/5,9 . 3 • IO"2; llr!Ktr - 0,155 (мож-
но принимать в активной зоне ~ вследствие малой концентра-
ции ядер урана в тяжелой воде), и тогда при d — то
1 1
1—0,155(1 4-5,7х)	0,845—0,885х ’ k ‘ }
F (л) ~ — 0,55; tg дулу — — 0,552;	— 2,25;
F (2,25) - — 0,945; tgx2/x, = — 0,946; х2 = 2,05;
* Если /^0=л/х — радиус реактора без отражателя, то условие хб <ц 1
эквивалентно условию <5 ш
37
г (2,05) - - 1,13; tg х3/х3 = - 1,13; х3 = 1,99;
F (1,99) - — 1,19; tg	= — 1,19; х4 = 1,973.
Видно, что уже на третьем шаге итерационный процесс почти сошелся
и устойчивость счета хорошая. Таким образом, хКТ) = 1,973; /?Кр =
= 1,973/3-10-2 = 65,7 см;
6ы‘°(оо) = 104,7—65,7 = 39 см.
В то же время по формуле (2.4.14) было бы 6Нг°(?с) = 5,9 см. Такое
различие возникло за счет малого значения 7^7° По сравнению с (см. за-
мечание в конце § 2.4; малое означает сильную отражающую способность).
В результате получаем: 6Ыг° (:<) = 39 см; 6Da° (оо) = 46 см; 6е (>о) =
= 40 см; 5Hs° (8) = 36 см; 6D*° (50)	35 см; 6с(50) = 32 см.
Замечай» е. Видно, что реактор нс является большим по отношению
к перечисленным отражателям. Наилучший отражатель — тяжелая вода.
Экономия отражателя уменьшается с уменьшением его толщины. Для срав-
нения ниже (см. § 5.8, упражнение 1) приводится тот же расчет в двухгруппо-
вом приближении.
Упражнение 3. Найти сферически-симметричное, исчеза-
ющее на бесконечности решение уравнения элементарной диффузии нейт-
ронов
ДФ — Ф/L2 = 0,	(2.4.18)
если точечный источник единичной мощности находится в начале координат.
Решение. Так как решение должно быть сферически-симметрич-
ным, то
г- * УЛг —t	XX	11	•
г2 dr dr	\ г J г
Полагая Ф = //г, получаем
f _ ;/£2 = 0; / - Сг ехр (—r/Д) -I- С2 ехр (r/L).
Из условия Ф (со) = 0 следует:
„	„ ехр(—r/L) . ,	„ „	/	г V 1 , 1 \
С3=0; Ф(г)= Сг	f (г) = (\ D ехр	— Д — -’г — j ,
а поток J (г) нейтронов, протекающих через поверхность сферы радиусом г
(с центром в начале координат), равен 4лг2/ (г), поэтому
J (г) =4яСд D ехр (~rJL) (1-J-— \ .
Поскольку мощность источника равна единице, то
lim J (г) = 1,
откуда получаем 4лСгО = 1 и
ф(г) = _]_ .
k ’ 4nD г
(2.4.19)
При источнике единичной мощности скорость захватов во всем простран-
стве должна быть равна единице, т. е.
СО	СО	СО
1= Г dr 4лг2 2а Ф (г) = 1 dr 4лг®	= — Г dr гехр (—r/L),
J	J 4яО г	L3 J
0	0	о
(2.4.20)
что подтверждается прямым расчетом.
38
Упражнение 4. По распределению нейтронов (2.4.19) найти
второй пространственный момент [ принять во внимание (2.4.20)1.
решение. Второй пространственный момент находим по формуле
оо	оо
f dr 4 л г4 Ф (г)	р
<fS> l =	\ dn* exp I---— j = 6L®.
°°	Д2 I	\ L /
[с!г4лг2Ф(г)	J
0	0
Замечание. Сумма
А12-т-|-2Д^ ~ (<r2>T-r<r3>i.)	(2.4.21)
называется квадратом длины миграции нейтрона или площадью миграции
нейтрона (см. § 2.7, 4.4 и 5.3).
Упражнение 5. Используя принцип суперпозиции источников
и результат решения задачи упражнения 3, решить неоднородное уравнение
диффузии в бесконечной среде
РАФ — 2„Ф ф S (г) = 0,	(2.4.22)
где S (г) — функция распределения нейтронов внешнего источника.
Решение. Мощность элемента объема dr0, рассматриваемого в силу
его малости как точечный источник нейтронов, равна S (г0) drBi а ннтенсив-
,Q ,	S (г0) drv /	|г— г0Й
ность поля. им порождаемого, в силу (2.4.19) равна------ехр( —------- }.
4лЕЦг—г0|	\ L /
Используя принцип суперпозиции источника, мы должны произвести интег-
рирование по всему пространству. Тогда функция
ф (г) = Г*0 — ^Го)-------- ехр (---1Г~-М )	(2.4.23)
J 4nD I г — Го |	\ L J
со
дает решение уравнения (2.4.22),
3 а м е ч а н и е. Функцию
G(r, г0)=ехр(----) I 4лР|г— г0(	(2,4.24)
иногда называют диффузионной функцией влияния или функцией Грина урав-
нения (2.4.22). Она описывает поток диффундирующих моноэнергетических
нейтронов в точке г от единичного точечного источника нейтронов, распо-
ложенного в точке г0 бесконечной однородной среды.
§ 2.5. МНОГОЗОННЫЙ ОДНОМЕРНЫЙ РЕАКТОР
(МЕТОД МАТРИЧНОЙ СВЕРТКИ ЗОН]
Рассмотрим теперь многослойный реактор, т. е. реактор, свой-
ства размножающей среды которого кусочно-постоянны. Предпо-
лагается, что задача одномерная и одногрупповая. В многозонной
системе, обладающей симметрией, выделим какой-либо /г-й слой
(рис. 2.9). Координату левой границы обозначим правой
Уравнение для поля нейтронов в /г-м слое запишем в виде
ДФ + х|Ф - 0,
где — материальный параметр.
39
Введем понятие векторной функции потока, представляющей
собой столбец с двумя компонентами:
ф =
Компоненты выразим через решение волнового уравнения:
Ф = АХ (г) + BY (г); i = — D [AX' (г) + BY' (г)],	(2.5.1а)
где X (г) и Y (г) — две линейно независимые волновые функции
Рис. 2.9. Мпогозоипый одномерный реактор
в соответствующей геометрии. Введем также вектор-фуакцию по*
стоянных коэффициентов
A=Q.	(2.5.2)
Тогда для рассматриваемой зоны векторную функцию потока можно
записать в матричной форме:
Ф = С(г) А.
Здесь С (г) — матрица зоны вида
(2.5.3)
(2.5.4)
4
Действительно, по правилам матричной алгебры
/ X
^~~DX'
Ф = СД =
/ AXA BY \
DAX'-DBY'j ‘
(2.5.5)
Краевые значения векторной функции <р в /г-м слое равны
чАА-А = С (0,-х) А; ф(/-/;) = С (г,А А.
(2.5.5а)
40
Выразим А из краевого значения при г = rh~r:
А = С-i (^.Д ф^-Д.	(2.5.6)
Здесь С-1 — обратная матрица, удовлетворяющая условию С~г С =
— д (Ё— единичная диагональная матрица). Подставив А по
(2.5.6) в (2.5,5а), получим связь между ф и ф(гй) в форме
Ф(/-,) - С (г,) С-1 (гЛ_,) ф (/,_,)  М (rk^ <р (/у-0.	(2.5.7)
Здесь Л1 (rk-i’ rh) = С (г/?) С-1 (гл-i) представляет собой закон,
по которому значения векторной функции ф на границе rk вычисля-
ются через ее значения на границе
Для упрощения записи матрицы Л1 (гЛ_15 rh) в развернутом
виде введем обозначения:
X (а-Ё - X(J; X Ы - X,; Ло = - D [Х0У6 - У0Хб].
Здесь А о — определитель матрицы С Тогда
В рассматриваемом m-слойном реакторе (см. рис. 2.9) пронуме-
руем краевые значения векторной функции потока следующим об-
разом: ф (0) = ф0 — в центре симметрии; ф (гт) = фт — на гра-
нице с пустотой; ф;, = ф (г,.), если номер краевого значения сов-
падает с номером координаты соответствующей границы раздела.
Тогда, например, ф2 можно представить в виде
<р± = 7Й, <р0; М1 = Д (г,) Сг1 (0)
С помощью рекуррентного соотношения
найдем
где
г 21 . /мп М12\
Т1 = П ДД =
W21 AfJ
ф71 = Mk4>k-i
(2.5.9)
(2.5.10)
произведение всех матриц зон.
41
Краевое условие па левой границе системы (в центре симме-
трии) запишем в форме
<Po=PL	(2.5,11)
\ и /
нормируя поток в центре на единицу [Ф (0) можно положить про-
извольной постоянной вследствие линейности рассматриваемой
критической задачи]. На правой границе системы (на экстраполи-
рованной границе)
(2,5.12)
Тогда из (2,5.9) получим критическое условие реактора
откуда
Л4н = 0.	(2.5.14)
Распределение потока нейтронов в зонах можно определить из
соотношений вида
= Ck 1 (гЛ-1) фй-j.	(2.5.15)
Например,
А, — СГ1 (0) <р„ =--СТ1 (0) И Н
а2 - сг1 (/,) <Р1 - сг1 (Г1) М, <р „=сг1 (г,) я/! V
Am = C„1(r„_1) П М,, <[),..
k= I
Конкретный вид функций распределения потока и тока нейтронов
в каждой зоне находим по формуле (2.5.1а).
С помощью произведения матриц Mh можно произвести «сверт-
ку зон» и привести многозониую критическую задачу к однозонной
с некоторыми эквивалентными краевыми условиями, что, конеч-
но, сильно упрощает расчет критического размера. Если, напри-
мер, активная зона окружена многослойным отражателем, то мож-
но найти альбедо р такого отражателя, после чего остается вос-
пользоваться простой формулой (2.4.7) или (2.4.8). Соответствую-
щие примеры даны в упражнениях*.
* Изложенный здесь .метод свертки зон не единственный. Можно дей-
ствовать иначе, исключая из системы уравнений переменную тока нейтронов.
Подробнее см. в [13].
42
Упражнение 1. Пусть первая зона (интервал 10, /у]) является
активной зоной, а отражатель состоит из т — 1 слоя. Указать способ вычис-
ления альбедо ₽ такого отражателя.
Решение. По определению [см. (2.4.2)!
р 1 — 2Z (rj/ф (г2)
1+ г^г^./Ф^)
По формуле (2.5.9)
ф7П = ^т (rm, rm-i) -Mm-1 (Пп-i, rz?l_2) ... M2 (r3, H) cp!= M' (rm, ... ,Н)ф1.
Пусть матрица M' (rm, .., rx) вычислена. Принимая краевое условие (2.5.12),
получаем
(°)=М' (Ф(гф.
Мт /	\ ‘ (Ч) /
Находим обратную матрицу
\гя21 т22/
Тогда
ф (ri)\	/^н ^1з\ / 0 \ ф (r1)=mi2 im;
1 (^1) /	^2 2/ \ Gil/ t (^1) ~^22 hn't
г(Г1) = Щ» O (ri).	=
m12	 Ф (гг) /тг12
1 — 2/n.3S/ni12
I —	tn-12
(2.5.16)
(2.5.16a)
Если расчет был верен, то |3 < 1 (зоны отражателя не являются размножаю-
щей средой).
Упражнение 2. Написать уравнение критического размера ак-
тивной зоны предыдущего упражнения для случая сферы.
Решение. Используя формулы (2.5.16), (2.4.8), получаем
ХГ1	Гг Щд2
-•	(2.5.17)
tg x/'i	D m12
Здесь т32//n12 — функция rx и толщины зон отражателя; ту следует искать
как корень уравнения (2.5.17) (графически или численно).
§ 2.6. УРАВНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА
Оставаясь в рамках моноэнерготического (одно скорости о го)
диффузионного приближения и ограничиваясь случаем однородной
активной зоны без отражателя, рассмотрим нестационарный про-
цесс в реакторе. Выведем уравнение нестационарного баланса ней-
тронов. Если процесс нестационарен, то Ф есть функция координат
и времени: Ф = Ф (г, t); тогда справедливо следующее уравнение:
рДф-2аФ+^20Ф = -1-Д^.	(2.6.1)
и di
Т,ЧЛ 1
1Де - — — скорость изменения плотности нейтронов в единичном
объеме около точки г. Эта величина состоит из следующих слагав-
43
мых: £>ЛФ = — div i — скорость диффузии нейтронов в единич-
ный объем около точки г; 5ПФ— скорость поглощения нейтронов;
к.хЛпФ — скорость генерации нейтронов деления в этом объеме.
Запишем краевые и начальные условия. Краевые условия на-
шей задачи не претерпели изменения, поэтому, как и выше, полага-
ем, что поле нейтронов исчезает на экстраполированной границе
реактора (см. приложение П2.2), которую обозначим S, а огра-
ниченный ею объем V. Таким образом, краевое условие имеет вид
Ф (г, 0!э = 0.	(2.6.2)
Новая особенность нестационарной задачи по сравнению с рас-
смотренной выше стационарной — необходимость введения на-
чальных условий для однозначной определенности решения, в
качестве которых задается распределение нейтронов в начальный
момент времени t = О*:
Ф (г, 0) - f (г).	(2.6.3)
Как и раньше, введем материальный параметр
х3 = (^ - Ж2-
Тогда уравнение (2.6.1) перепишется в виде
Дфу.х2ф = А.-^	(2.6.4)
Du dt
и имеет единственное решение Ф = Ф (г, t), являющееся при лю-
бом t > 0 функцией, непрерывной по времени и по координатам
(вместе со своими частными производными любого порядка) и
удовлетворяющей условиям (2.6.2) даже в том случае, когда f (г)
всеми этими свойствами не обладает (например, является кусочно-
непрерывной на V, не удовлетворяет краевому условию). Вообще
достаточно, чтобы f (г) была суммируема на V с квадратом, т. е.
чтобы выполнялось неравенство
Ur|/(r)l2 < оо.	(2.6.5)
й
Класс таких функций всюду в тексте обозначаем как гильбертово
пространство Ну со скалярным произведением
(f,g) = Ьн(г)5(г); к g е Яг; |(А^)1<°°	(2.6.5а)
V
(черта обозначает комплексное сопряжение), и тогда число
llfll = ТО	(2.6.56)
* Задача (2.6.1) — (2.6.3) относится к типу так иазывае.мой задачи Коши
[Н. 121.
44
имеет смысл нормы функции*. Какова бы ни была функция
Яув начальном условии (2.6.3), обязательно выполняется усло-
вие
II Ф (г, /) — f (г) || -> О при t -> -|- 0.
Эго так называемая сходимость Ф (г, Z) —> f (г) по норме
t —> э о
в гильбертовом пространстве Ну. Если же функция f (г) непре-
рывна на V со своими первыми и вторыми частными производными
и удовлетворяет краевому условию (2.6.2), то Ф (г, Z) —> f (г)
i -> +о
в обычном смысле абсолютной и равномерной (относительно
г 6 V) сходимости.
Решение уравнения (2.6.4) удобно получить, используя свойст-
во полноты ряда (2.2.8) собственных функций оператора Лапласа.
Считаем, что в ряду (2.2.8) перечислены все линейно независимые
собственные функции (некоторые из них могут принадлежать одно-
му и тому же собственному значению, которое, как известно из
§2.2, может иметь конечную кратность). Такой ряд всегда можно
выбрать ортонормированным в том смысле, что

(2.6.5в)
Последовательность (2.2.8) полна в Ну. Это означает, что любую
функцию f (г), суммируемую с квадратом, можно представить
обобщенным рядом Фурье:
со
ИО = V (А 4») О').	(2.6.6)
который сходится по норме**, т. е.
il S; —Sm Ц0; ||3,-(2.6.6а)
? —> 0Q	[ ОС
Щ —>ОО
I
где (г) = У ([, ф„)	(г) — частичная сумма ряда (2.6.6).
/2=0
Свойство полноты выражается в том, что
||f ||2 = У | (Д ф„) |2 для любой функции f из Ну. (2.6.66)
п — О
Это как бы обобщенная теорема Пифагора, если считать (Д
проекцией вектора f на направление фл, а ||/|| длиной вектора f.
* Напоминаем свойства нормы: jl/j > 0, причем равенство имеет место
тогда и только тогда, когда / (г) — 0 почти всюду на V; если а — любое ком-
плексное число, то	I И/1'; если /lt — любые функции из Hv, то
г а - /и < им-!- «/а-
Если / (г) непрерывна со своими первыми и вторыми частными произ-
водными и удовлетворяет условию (2.6.2), то ряд (2.6.6) обладает свойством
обычной (абсолютной и равномерной по г 6 й) сходимости.
45
Поэтому можно искать решение уравнения (2.6.4) в виде ряда
(2.6.6):
оо
Ф(г,()= V C„(OT|>„(r).	(2.6.6b)
n —О
Подставляя ряд (2.6.6в) в (2.6.4) и используя свойство Дфп ~
= — получаем
ОО	ОО	
V Сп (0 (х2 —ос2)	(г) = 2 — сп (0 фп (**)•
л=0	я —О
Это равенство справедливо лишь в том случае, если коэффициенты
перед каждой из линейно независимых собственных функций пра-
вой и левой частей равны, откуда следует
с„ (/) (•/.=- «э = ш с;г (/);	(2.6.7)
Dv
сп (0 = Сп (0) exp [Dv (х2 — а„) /].
Подставляя в (2.6.6в) последнее выражение, получаем
Ф (г, t) = У, Сп (0) ехр [Оо (х2 — а2)	(г);	(2.6.8)
п=0
СО
Ф(г,0)= 2 СД0)ФДг).	(2.6.9)
п=0
Учитывая начальное условие (2.6.3) и формулу (2.6.6), из фор-
мулы (2.6.9) получаем
Сп (0) = (f, %);	(2.6.9а)
Ф (г, £) = J tf ,ф„) i}>„ (г) exp [Da (-ха—ей) /].	(2.6.10)
п=0
Таким образом, начальное условие (2.6.3) удовлетворено, а по-
скольку каждая из функций фп (г) удовлетворяет и краевому ус-
ловию, то Ф (г, t) при каждом t > 0 удовлетворяет краевому
условию, что и требовалось.
Ряд (2.6.10) при каждом if > 0 сходится в Ну и по норме, и
в смысле обычной равномерной сходимости при любом начальном
значении Ф (г, 0) = f (г) £ Ну.
Решение уравнения (2.6.1) [или (2.6.4)] обладает особым свой-
ством: если f (г)	0, то
Ф (г, /) >0 при г £ V (Ф (г, t)\s = 0),	(2.6.10а)
т. е. решение положительно, что и требуется по физическому смыс-
лу задачи.
Сумма (2.6.10) является суперпозицией частных решений вида
(г) ехр 1£>а (х2 — a2) 1\. Выделим из ряда (2.6.10) первое сла-
гаемое
Софо (г) ехр [Dw (х2 — сс'о) ф Со = (f, ф0)
46
и запишем (2.6.10) в виде
Ф (г, /) - Со 4'» (г) eD“ ‘ = V (Д фге)	(Г) е°» (**~“«)1
п — 1
ИЛИ
е“°°	' Ф (г, 0-С04о(г)= V (Д	(2.6.106)
п -^1
Используя формулу (2,6-6 б), получаем
||e-to(»•-«?)«ф(г>	J |(/, 4„)|ae2Ds
П=1
(2.6.10b)
В силу неравенств (2.2.9)	— оД «о — а! < О, и равенство
(2.6.10в) можно заменить неравенством
|| e-D„ (« = -«=) t Ф (г_	_ Со (г) |Р е2О„ Р2 -»=) t х
X 2 । (/• ’Ь) I2 < е2°° Р5-“?))' f Ш, 4,,)|2 = е2'°°р!"_“1)'17||2,
п—I	л=0
откуда следует
t
Это означает существование предельного перехода
e-D« (x'-oj) t ф (Г) z) _Со	Q	(2.6.12)
t-i-VQ
по норме (2.6.56), что записывается условно в виде
е“^ (хЕ“а§)t ф (г, f)—Со лр (г) = О (к?-ао)	(2,6.12а)
или
ф(г, о =eDp(zS"a§)t [Со4>0 (r) + O	*)]. (2.6.126)
Можно говорить, что Ф (г, 0 имеет асимптотическое представление
(по времени):
Ф (г, 0 л; С01р0 (г) exp [Dv (х3 — gcq) /].	(2.6,13)
Величина
(О0 =Ри(%2 —а§)	(2.6.13а)
имеет смысл постоянной времени разгона или затухания цепной
реакции, а сам процесс
Ф (г, t) л; СЖ (г) ехр («о^),	(2.6.136)
47
как и в бесконечной однородной среде, имеет экспоненциальный
характер. Величину
(2,6.14)
принято называть периодом реактора. — время, в течение кото-
рого плотность нейтронов в установившемся режиме [т. е. когда
второе слагаемое в квадратных скобках формулы (2.6.126) стано-
вится по норме исчезающе малым по сравнению с первым] меняет-
ся в «е» раз или, что то же самое, когда мощность реактора меняется
в «е» раз (см. ниже).
Выражение
Те=-------!-----= —!— ; ш1 = Ои(1'-2 — а.-,)	(2.6.15)
Л(а!-а§) и0-М1’
имеет размерность времени и но смыслу выражения (2.6.126) яв-
ляется временем релаксации переходного режима.
Заметим, что числа
ып — Dv (к2 — а«)	(2.6.16)
— собственные значения оператора
Л - Dv (А + х3),	(2.6.17)
так как
Мп A'l'nl « = 0, 1, 2, ...	(2.6.18)
Таким образом, собственные функции оператора Лапласа являются
одновременно собственными функциями оператора Л, относительно которого
уравнение (2.6.4) имеет простой вид «эволюционного уравнения»:
— =ЛФ; Ф k=o =Z (г) С Яи-	(2.6.19)
di
Из (2.6.15) следует, что постоянная времени переходного процесса 11Те
равна разности двух первых собственных значении оператора Л:
ИТе — ш0 — йц	(2.6.20)-
и определяет скорость затухания переходного процесса. Величина Те чрез-
вычайно мала по сравнению с характерным временем протекания процессов
управляемой цепной реакции (> 1 тек) (что продемонстрировано в упраж-
нении 6), поэтому асимптотическое представление (2.6.136) устанавливается
весьма быстро.
Отметим еще своеобразную нваптовомеханичсскую трактовку решения
(2.6.10), в котором можно зависимость от времени перенести па оператор
(гейзенберговское представление). Формулу (2.6.10) можно рассматривать
как линейное (зависящее от времени) отображение
t (0 : f -> Ф (г, 0-	(2.6.21)
Оно линейно, поскольку (« — любое комплексное или действительное
число) отображается на аФ (г, f). Очевидно, можно записать
Ф (г, 0 = f (0 f~ У, (/, фп) фгг (г) ехр (оМ),	(2.6.21а)
п = 0
48
где гл.,, определено н (2.6.16). Используя свойство ортопормированности
Дб.бв).. получаем
ехр (<вге0 фп - t (0 'фп,	(2.6.22)
т. с. собственная функцияфп оператора Л (2.6.17) является собственной функ-
цией оператора Т (/), принадлежащей его собственному значению ехр (мД).
Таким образом, собственные значения опергтгоров А и Т (/) связаны соот-
ношением
Г.щ - охр Д1Д).	(2.6.22а)
/кт к о убедиться в том, что оператор Т (/) ограничен, т. с. имеет ограниченную
норму*. Действительно, из ряда (2.2.9) вытекает
СОо > ®1 Т . . . > «я -г —ОС.	(2.6.23)
/г-»-оо
Применяя формулу (2.6.66) к равенству (2.6.21а), получаем
|Д‘(0Ы2- У 1(/, %)!2 ехр (2ю,Д).
В силу неравенств (2.G.23) отсюда следует
II Т f li3 < ехр (2<оо t) V | (f, %) (2 == ехр (2соо t) Ц f \\ а;
гг= О
ПшЬехр (сМШ'М >0,
и ио определению нормы оператора
Il Т (Г) I < ехр (ЙО /).	(2.6.23а)
Здесь ехр (го0/) — собственное значение оператора Т (I). В то же время из
теории линейных операторов хорошо известно, что норма оператора не может
быть меньше модуля его собственного значения. Поэтому знак < в (2.6.23а)
должен быть заменен знаком =, и мы имеем
|| Т (t) || - ехр (и0 0 .	(2.6.24)
Теперь более четкий смысл приобретает понятие времени релаксации пере-
ходного процесса.
В ы дел я я из правой части (2.6.21а) ела г аем о е
Л> (0 7	(/, to) to (r) Схр (tooO	(2.6.25)
и вводя оператор
= 2 Ct Ы 'Фп (г) ехр СМЬ	(2.6.2G)
а-= 1
записываем (2.6.21а) в виде
?(/)/=П (ОЫ-Л Ю7>
* Нормой оператора А называется нижняя граница всевозможных чи-
сел /VI в неравенстве ]| .4/[| < Л11] /]|, когда f пробегает все функциональное
пространство Ну, и обозначается |[ А ]]. Если |[А [] < ос, то оператор на-
зывается ограниченным. В противном случае он неограничен.
49
что справедливо для любой функции /, суммируемой с квадратом. Иначе
это можно представить в виде операторного равенства
Т(Г)=^о(0 + Л(0-	(2.6.27)
Совершенно так же, как и выше, можно записать формулы
II Л (?) || —ехр (и0 I)- ||Л (?) |i = exp (coj).	(2.6.28)
Оператор £/ - (/, ф0)ф0 (г) по смыслу есть оператор проектирования любой
функции / £ Hv па поправление орта ф0. Кроме тоги, он является частным
случаем оператора То (0 при со0 = 0. Поэтому из формул (2.G.27), (2.6.28)
вытекает
!|£[| — 1; ехр (— соо0 [Г(£)~Та WJ=exp (—®о 0 —
= ехр ( — w0 /) 7\ (0>
откуда следует точное равенство
IIехр ( — 0 7'—£|| = схр ( — ю„ /) ]7\ (/) ||^ exp [ — (w0-оь) П -\Л
(2.6.29)
Этот предельный переход рассматривается как определение операторной асим-
птотики
Т (/) exp (<ooZ) Е,	(2.6.30)
которая является операторной формой записи асимптотического представ-
ления (2.6.136).
Из (2.6.29) видно, что время релаксации Те = («0 — aj -1 — время,
в течение которого норма оператора ехр (—ю0 I) Т\ (Z), описывающего пере-
ходной процесс, уменьшается точно в «е» раз.
Из асимптотического представления (2.6.136) [или (2.6.30)] следует, что
критическое состояние реактора возможно лишь в случае cof) = 0, при этом
сд < 0 и
Ф(г,О=Софо(г) 4-Л (i)h Со=(ИФо);	(2.6.31)
где
Л (О f = У (Л фи) фп (г) ехр (соп/)=^ (г, 0-	(2.6.31а)
н— 1
Условие й)0 = 0, согласно (2.6.13а), означает равенство гео-
метрического и материального параметров: х3 = а§, т. е. другим
путем получено условие (2.2.10), которое можно назвать условием
критического состояния реактора, или просто критическим усло-
вием. Из условия ортогональности функций фп по отношению
к функции ф0 [см. (2.6.5в)] следует
(Фо- Фп.) = б07г = 0 при п > 1.
Поэтому, полагая в (2.6.31), (2.6.31а) f — аф0, a Z> 0, находим
Ф (г, f) --= аф0 (г).	(2,6.316).
Из последнего равенства очевидно, что в критическом реакторе,
во-первых, возможно (но не обязательно) существование стационар-
ного поля нейтронов, распределенного по объему реактора пропор-
50
цпопально нулевой гармонике, и, в о-вторых, возможна также и не-
стационарная составляющая поля нейтронов £(r, Z), которая по
норме оценивается выражением [см, (2.6.12а)]
= О [ехр (- 67\)]; Л- - 1/сщ (2.6.3Jв)
и исчезающе мала при t > 7\. Можно говорить, что нестационарное
состояние критического реактора асимптотически (по времени)
стремится к стационарному. Если реактор некритический (соо 0),
то стационарное (не зависящее от времени) нейтронное поле в нем
I! е у стан авл ивается.
Таким образом, возможны три случая:
1)	со0 > 0 — в реакторе со временем экспоненциально растет
интенсивность цепного процесса деления, и реактор надкритичен;
2)	со0 = 0 — реактор критичен, т. е. в нем возможно стацио-
нарное состояние процесса, и со временем, превышающим время
релаксации, это стационарное состояние практически реализуется;
3)	со0 < 0 — реактор подкритичен, т. е. в нем со временем
экспоненциально затухает цепной процесс — поле нейтронов ис-
чезает.
Во всех приближенных математических моделях, описывающих
нестационарное состояние реактора линейными уравнениями в ча-
стных производных [системой много групповых уравнений (см. при-
ложение П5.1) или газокинетической, наиболее строгой системой
(см. §4.1)], эти результаты сохраняются.
Отметим особое свойство критического реактора как источни-
ка энергии. Пусть число
N.} (t) = f dr Ф (г, /)	(2.6.32)
v
— скорость делений во всем объеме реактора в момент t. Известно,
что мощности в 1 кет соответствует —3,1 • 1013 делений'сек.
Тогда мощность реактора
IP (/) - е, f rfr Г, <1> (г, /), где х, - —1— -2±£2- . (2.6.33)
J ‘	’3,1*1 и1-’» деление
v
В случае разгона или затухания на нулевой гармонике из (2.6.136)
полччаем
W (t) = W (0) ехр (сМ,	(2.6.33а)
т. е. разгон или уменьшение мощности реактора происходит по
экспоненте. В критическом реакторе решение имеет вид (2.6.316),
где а —произвольная постоянная. Это означает, что мощность
критического реактора может быть выбрана произвольной вне
зависимости от его объема V, и этим реактор отличается от других
Щ'точников энергии. Фактически мощность реактора определяется
яишь техническими возможностями отвода от него тепла, выраба-
тываемого в процессе цепной реакции.
51
Собственное число соэ можно рассматривать как некоторую
меру некритичности реактора. Однако в теории и расчетах реакто-
ров удобнее ввести другую меру некритичности с помощью поня-
тия условно критической задачи.
Как в гл. I, назовем эффективным коэффициентом размножения
&Эф такое число, при делении на которое (или vy) реактор ста-
новится критическим. Поэтому при замене на число
в уравнении (2.6.18) (при я. = 0) равно нулю (смысл этого определе-
ния сохраняется при самых различных уточнениях оператора Л).
При такой замене уравнение (2.6.18) принимает вид (п = 0)
ОЛф0 +	- 1) 3уф() = 0.	(2.6.34)
А
Введенное таким образом понятие эффективного коэффициента
размножения имеет смысл лишь на нулевой гармонике, которая
описывает поток нейтронов в условно критическом реакторе (ис- -
тинный реактор может быть некритическим).
Вычислим число нейтронов, проходящих в единицу времени
через поверхность реактора S. Очевидно, должен быть вычислен
интеграл
J = (f dSn»(R)i(R), RedS.
О
о
*
Применяя теорему О стр о гр адского—Гаусса и диффузионное при-
ближение i = — ЬуФ (где нужно положить Ф = ф0), находим
J=f£frdivi= — D Гб/гДф0=-^- fdrS„фо = Ь2Л^„, (2.6.35)
J	J	-‘-а
V	V	V
так как Лф0 = -— «офо,	= £2. Здесь ЛГа = JdrS аф0 —
v
скорость захватов во всем объеме реактора (на нулевой гармони-
ке). Интегрируя теперь уравнение (2.6.34) по объему, находим
- J + k^NJk^ - Na = 0.
Здесь = N.f — полная скорость генерации нейтронов де-
ления во всем объеме реактора. Таким образом,
/?эф = Nf/(N<L -Г J)	(2.6.36)
является отношением скорости генерации нейтронов деления
к суммарной скорости захватов (во всем объеме реактора на нуле-
вой гармонике) и утечки нейтронов. Если записывать как
. f2'6'37)
то Pi имеет смысл вероятности нейтрону быть захваченным в
объеме V. Используя формулу (2.6.35), находим
1 .
1 +	’	аф I Z.2 ‘
(2.6.38)
52
Балансное соотношение (2.6.36) позволяет определить критиче-
ский реактор как такой, у которого k3$ точно равен единице,
чТо означает равенство скорости генерации нейтронов суммарной
скорости захватов и утечки; при этом из формулы (2.6.13а) и
равенств
А’эф = ^/(1 +	= 1; «б - х2 = (fcw — 1)/Р (2.6.39)
вытекает
(о(, == Dv (х2 — сс§) = 0,	(2.6.40)
как и должно быть.
В общем случае из (2.6.34) и формулы (2.6.13а) следует
— <7.^ =0.	(2.6.40а)
\ /
Вычитая из (2.6.13а) (2.6.40а), получаем
«.„=^^(1—Ш-)=4Д,	(2.6.41)
где Та =	— время жизни нейтрона;
Р = 1 - - 1/Апф = (Aw - 1)/йэф.	(2.6.42)
Сравнивая (2.6.42) с (2.6.13а), убеждаемся, что
х3 _ а2 = k^p/L2.	(2.6.43)
Величина реактивности р была введена в гл. 1 и, как и k3$,
является мерой некритичности реактора. В данном случае реак-
тивность по формуле (2.6.41) точно связана с периодом реактора
Т(, = 1/соо. Очевидно, определенные на с. 51 три возможных со-
стояния реактора можно дополнить следующим образом:
соо > 0,	р >	0,	А’эф > 1 — реактор надкритический;]
“о = 0,	р =	0,	/?иф = 1 — реактор критический; (2.6.44)
соо < 0,	р <	0,	&эф < 1 — реактор подкритический.)
Балансная	формула (2.6.36) и понятие реактивности	очень
удобны для качественной оценки влияния различных эффектов на
развитие цепной реакции деления. Можно высказать, например,
такое утверждение: если к выпуклому неоднородному размножаю-
щему телу добавить не абсолютно черный для нейтронов элемент,
то реактивность возрастет. Действительно, какой бы элемент (не
вполне черный для нейтронов) мы ни поместили вблизи реактора,
альбедо от него не равно нулю. Следовательно, в реактор возвра-
тится некоторая доля излучаемых с его поверхности нейтронов.
"Тогда утечка J в формуле (2.6.36) уменьшится, и реактивность воз-
растет.
Требование выпуклости реактора здесь осуществлено. Пусть, на-
пример, на периферии реактора имеется почти открытая полость,
т. е. отделенная от границы только тонкой перегородкой. Если
53
в этой полости поместить произвольный элемент, например тело,
сильно поглощающее нейтроны, то реактивность уменьшится. То
же самое будет в предельном случае сколь угодно тонкой перего-
родки, т. е. для вогнутой поверхности.
Из высказанного выше утверждения следует, что для реактора
произвольной формы, выпуклого и неоднородного, можно по-
строить вписанный и описанный реакторы, и первый из них будет
иметь меньшую реактивность, а второй большую, чем данный. На-
пример, реактор в форме трехосного эллипсоида можно заключить
в описанный параллелепипед и вписать в него шар. Тогда £эф
Рис. 2.10. Поглощающие стержни в Рис. 2.11. Зависимость мощности ро
реакторе	акторя от времени
эллипсоидального реактора будет лежать между значениями /гзф
для параллелепипеда и шара: Л“ф < Л*ф < /Гф.
Процесс управления цепной реакцией можно рассматривать
как воздействие на его собственное число coG или на реактивность
(согласно вышеизложенному, это одно и то же). В гл. 1 было ука-
зано, как это делается разными способами. Для наглядной демон-
страции простейших эффектов поведения нестационарного реактора
в процессе управления приведем пример управления с помощью
стержней регулирования. (Подробнее эффект действия поглощаю-
щего стержня рассмотрен ниже на весьма простом примере в уп-
ражнениях 4 и 6.)
Влияние стержня (его компенсирующая способность) оцени-
вается обычно по реактивности, которую он вносит в систему. Пред-
положим, что стационарному состоянию реактора па мощности
соответствует положение стержня 1 (рис. 2.10, 2.11). Нужно
увеличить мощность до значения	Для этого достаточно
переместить стержень в такое положение, чтобы реактивность стала
положительной, т. е. £эф Z> 1. Согласно формуле (2.6.36), для это-
го необходимо уменьшить скорость захвата нейтронов, т. е. пере-
местить стержень в положение 2, в котором поток нейтронов мень-
ше. Через короткий промежуток времени ~ Те (см. упражнение
7), когда переходные процессы затухнут, мощность возрастет по
экспоненциальному закону, и как только опа достигнет значения
54
поглощающий стержень следует возвратить в положение /.
реактор будет работать стационарно на новом уровне мощности
(см. рис. 2.11).
Если требуется заглушить цепную реакцию, то стержень нужно
пеоевести в положение 3 ниже исходного положения 1. Период
у11 == 1/| соо | экспоненциального разгона или затухания цепной
реакции зависит от положения стержня.
Кривая на рис. 2.11 носит идеализированный характер, так
как не учитывает запаздывающих нейтронов.
В заключение дадим понятие фундаментального решения уравнения типа
(2.6.19), которое неоднократно встречается в этой книге. По определению,
фундаментальным решением уравнения (2.6.19) с краевыми условия.ми (2.6.2)
называется решение G (г, г0; I) уравнения
— AG	= 6 (г — г0) 6 (/),	(2.6.45)
где 6 (г — ги) 6 (/) — 6 (г — г0, /) — обобщенная 6-функция Дирака е чсты-
рехмсрном пространстве переменных (г, t) (см. [1, 21). Принимаем, что
О (г, г0; 0 = 0 при t < 0,	(2.6.45а)
а при t > 0 удовлетворяет всем свойствам решения уравнения (2.6.19) с кра-
евыми условиями (2.6.2). По своему смыслу функция G (г, г0; t) описывает
нестационарное нейтронное поле в объеме V от импульсного точечного источ-
ника нейтронов, сосредоточенного в точке rfl у V, если нейтронная вспышка
произошла в момент t — 0.
Пользуясь уже известным решением (2.6.10) уравнений (2.6.1) — (2.6.3),
можно построить фундаментальное решение G. Для этого уравнение (2.6.45)
е
перепишем в другом виде, взяв от его левой и правой частей интеграл [ di
—Б
и устремив затем s к пулю. Тогда с учетом (2.6.45а) и других указанных выше
свойств функции G получим
в
— J dtAG + G (г, г0; з) = 6 (г — г0),
— е
и в пределе при 8 -> 0 (в топологии обобщенных функций)
б (Г, г0; 0) =6 (г—г0).	(2.6.46)
Уравнение (2.6.45) теперь записывается в виде
= AG; G |гГ<<? = 0 при £ > 0	(2.6,47)
di	1 L
и (2.6.46) рассматривается как его начальное условие.
Решение уравнения (2.6.47) находим по формуле (2.6.10), в которой нуж-
но положить / — 6 (г — г0). В результате получим
СпМЛ 'Фп) — Г (г) 5 (г—Го) = 1рп (г0)*;	(2.6*48)
V
со
О(г,г0;0= S ехр [fh(X2 — сс*) Zi ipn (г0)	(г).	(2.6.49)
* Свойство 6-функции в этом случае записывается так: f drf (г) 5 (г—г0) =
V
= / (г0), если / (г) непрерывна при r = г06 V.
55
Последний ряд сходится в обычном смысле равномерной сходимости при
любом фиксированном / > 0 за счет того, что ехр (—£Дсс« Z) быстро стремится
к нулю. При t = О
6(г,го;О)= V ярп (r0)	(г).	(2.6.49а)
лг= О
Этот ряд в классе непрерывных функций смысла не имеет (отсутствует
свойство равномерной сходимости). Однако после умножения па непрерыв-
ную функцию / (г(|) и интегрирования по Лги, он, согласно формуле (2.6.6),
будет равен f (г), т. е.
t G(r, го;0)/'(го)^ = /(г).
V
Таким же свойством обладает обобщенная 6-функция Дирака. Поэтому
можно написать
G(r, г0; 0) = 6 (г —r(J),	(2.6.50)
т. о. ряд (2.6.49а) сходится к 6 (г — гп) в топологии обобщенных функций.
Здесь фп (г0) имеет смысл коэффициента Сп (г0) — фп (г0) в представлении
2 Сп (го) Фл (г)= (г — г0) [см. (2.6.48)] в классе обобщенных функций [2].
п — О
Функцию G (г, г0; /) называют еще функцией Грина оператора Л или его
функцией влияния. Когда оператор самосопряженный, то его функция Грина
не меняется при перестановке символов г и г0, т. е.
G (г, г0; /) = G (г0, г; г).	(2.6.51)
Согласно формуле (2.6.10) решение уравнений (2.6.1) — (2.6.3) представ-
ляется в виде
Ф (гЛ)= [б (г, г0; /) /(го)^г0,	(2.6.52)
V
что и оправдывает наименование функции Грина функцией влияния. Формула
(2.6.52) демонстрирует, как влияет начальное распределение потока нейтронов
Дг) в момент i ~ 0 на его распределение Ф (г, /) в любой момент t )> 0. Пра-
вая часть формулы (2.6.52) является интегральным оператором, действующим
на функцию / (г), при этом I )> 0 рассматривается как параметр.
Таким образом, оператор Г (/), определенный в (2.6.21а), выражается
через фундаментальное решение по формуле
Т (/) f = f G(r? r0; t} / (r0) dvGj t>0	(2.6.53)
V
и является интегральным оператором с ядром G (г, г0; /). Фундаментальное
решение, рассматриваемое как функция влияния, позволяет решить неодно-
родное уравнение
=ЛФ + Р (г, 0; Ф (г, 0!s = 0, / > 0.	(2.6.54)
01
Здесь Ф (г, 0) — заданная функция.
Пусть за начало отсчета времени взято такое значение t, что Р (г, t) = 0
при t < 0. Если в качестве источника нейтронов взять Р (г, f0) dtQ, то нейтрон-
ное поле в точке г в момент t > /0, порожденное таким источником, будет равно
<^о [ G (г, г0; t —/0) Р (г0, /0) <ir0,
V
56
Используя принцип суперпозиции источников, мы должны проинтегрировать
эТо выражение по /0:
t
I dt0 ( G (г, г0; t— /0) Р (r0, t0)dr0.
'о V
К атому следует добавить влияние начального распределения Ф (г, /) |;_0 =
=- Ф (г, 0), и в результате решение уравнения (2.6.54) представится в виде
t
ф (rf /) = f G(r, г0; /) Ф (r0J 0) tfr0+ \ dtQ [G (г. r0; t—/0) Р (г0, /0) dr0, (2.6.55)
V	0 V
или в операторной форме
I
ф (/) = т (0 ф (0) 4 f т {t-Q р (4)
о
(2.6.55а)
где сокращенно обозначено
Ф (/) = Ф (г, 0;	P(t)^P(r, /).
Читателю предлагается проверить подстановкой в исходное уравнение,
что (2.6.55) действительно является решением уравнения (2.6.54).
Упражнение 1. Дать полный набор собственных функций оператора
Лапласа [уравнение (2.2.37)] с краевыми условиями (2.2.37а). Показать,
что размеры а, Ь, с всегда можно подобрать так, что по крайней мере два соб-
ственных значения совпадут.
Решение. Собственные функции имеют вид
I1,, (-V, У, z)=Ckim cos
(2*4 О
так что при k, I, m 0 индекс п зависит от k, I, m: п — п (4 I, ni)- Соответ
ствсяно для собственных значений имеем
д2	Л2	Л2
Ч =(2/г 4]4~4(2/41)3-Г’!-	
С1~	о	ь
Потребуем, чтобы о-2 (k0, 10, /л0) = а2 (4,	>4)-
Условие для определения размеров а, Ь, с примет вид
[(2^41)2-(24 + l)3j -~4[(2/04-I)3-(2/141)а] -г +
G	v
2
4Ч(2и04Ч3~(2^41)2] ^-=0.	(2.6.56)
с
kt» /л. н’о 4=	/i> fnt У~- 0 наборы этих индексов всегда можно выбрать
такими, что это уравнение по отношению к переменным х = лй/«2 > 0; у —
л2//?2 ]> 0; z — zPic2 > 0 будет описывать плоскость, проходящую через
начало координат и расположенную в положительном квадранте/Поэтому
При должном наборе индексов п (7г0, /0, mn), п (kr, llt mJ уравнение (2.6.56)
всегда имеет положительные решения л2/п3, я2(42, л2/с2.
Упражнение 2. Убедиться на примере упражнения I, что размеры
«, Ь, с всегда можно выбрать таким образом, что
~	=	; «о = 14)> /о. ^ol; ~ [4, /lt 777J; п, = [А3, /2, т2].
Решение. Можно получить два уравнения плоскости, указанной
я Упражнении 1, Индексы при па, пг, =4 0 всегда можно подобрать так, что
411 плоскости пересекутся по прямей'! со значениями л2/а2 ~> 0; -б2	>• 0;
ДЧ4 >0.
57
У пр ажнение 3. Из формулы (2.6.21а), используя закон ортонорми
рованности (2.6.5в), получить
т (4~Ш Г (4) f (4) f = T (4) Т (4) Z	(2. 6. 57)
при любом f у Ну.
Замечание. Говорят, что набор операторов Т (t) (t > 0—любое)
образует полугруппу операторов, если имеет место свойство (2.6.57).
Упражнение 4. Пусть в центр критического сферического реактора
введен «черный» шар радиусом а (пример 4 из § 2.2.). Найти изменение
реактивности.
Реше н и е. Для шара ад — л3/7^2. Используя формулы (2.2.29),
(2.6.40) в применении к критической сфере и формулу (2.6.41) для рассмат-
риваемого случая, находим
р/7? - х2- [я/(/? - о)]2; х2 = а* = (п/Д)3;
L2 ' л л2 ' п2 L2 (a2 — e2aR)
Р~ [r2 (R — а)\ —	(Н—а)2 Д2 ~~
п.3 Z.3 a	a k<x> 1
л2 Л2 [(о/Д)2 — 2а,/Д]
/гто(1-а/Д)3Д2
при a/R 1.	(2.6.58)
Упражнение 5. Пусть изменилось альбедо |3 отражателя критическо-
го сферического реактора радиусом R и новое альбедо равно (У = [3 Н~ 6{3
(например, можно предположить, что изменился состав или толщина
отражателя). Найти: а) соответствующее изменение реактивности; б) изме-
нение критического размера 6R = R' — R.
Решение, а. По формуле (2.4.8) имеем
хД __ Д 1 1—j3 . л	~1
tg хД^~ D 2 1 Д р ’ Х L
При возмущении альбедо должны выполняться равенства
tg я' R D 2 1 + Р'	L У *,ф
Вычитая одно уравнение из другого, получаем
R __ хД _ Д 1 / 1-fr	1—Р' \
tg ху Д tgyj?“ D 2 \ 14-ft	1-1-р' Г
Решая это уравнение относительно х' при заданной правой части, находим /гЭф-
f X \'
Полагая -----)	= — С (С > 0), находим при (ф Д [Д
6р
X = x
-СД (x'-x)
P^co
L
00
CO
2L У'^оо ~1 6ft
CD	(1Д р)“
(2.6.59)
58
л Для б /?	/?' - А’ (А'пф ~ D имеем соответственно
—»₽_.
CxD (1+р)=
(2.6.GO)
Знак изменений правильный: поскольку 6£ 2> 0 означает рост отражаю-
щей способности отражателя, то р > 0, 67? <Ч), как и должно быть.
Для расчета можно пользоваться формулой
(2.6.G1)
Упражнение 6. Найти нестационарное решение для задачи уп-
ражнения 4.
р о ш е и и с.
sin а71 (г — й)	л(/г-М)
^71 0) Сп	, ctn—
г	R—а
л = 0,1Д...
А
Из условия ] dr 4лг- (г)	(г)-=8Г1т находим
и
ф Д, /)=яофо (г) ехр
С71=1/-|/2л (7?-а)1
А р \	°°
“Д— Ч Т V ап Фп W exp [Do (х3—аг) /].
i а 
Здесь Та = (OjSfj)^1 — среднее время жизни нейтрона в случае погло-
щения; если Ф (г, 0) = / (г), то
ап = | dr 4лг2 f (г) фп (г),	0, 1,2, ...
о
Упражнение 7. Найти время релаксации Те переходного процесса
критического сферического реактора и рассчитать его для реакторов на бы-
стрых нейтронах (?„	10 см; v ~ 109 см!сек; — I I) и для реакторов
на тепловых нейтронах [л ш 750 см (графитовый реактор); и = 2,2Х
X Ю5 см/сек; — 1 = 0,1].
Р е ш е ц и е. По формуле (2.6.31в) имеем
Те = 1/ — И1 = 1/[— Dv (х2 — 4л2//?2)].
Здесь х2 — л2/У?2 = (k^ — 1)/L3, поэтому
е~~ Da.3(^-1)
hg/U
3(^-1)
(2.6.62)
Для реакторов на быстрых нейтронах Те 10/3  10” я? 0,3  10-s сек;
на тепловых—Те = 750/3 - 0,1 • 2,2 . 10’’^ I0-2 сек. Время релаксации реак-
торов на быстрых нейтронах за счет высокой скорости нейтронов на шесть
порядков меньше, чем на тепловых.
Упражнение 8. Найти функцию Грина (фундаментальное решение)
нестационарного моноэнергетического уравнения диффузии в бесконечной
однородной среде.
Решение. По определению (2.6.47), в котором оператор А, согласно
^2.6.17), равен Д = uD(A — 1/А3), требуется решить уравнение
G 1 dG
\G-~~-------
L2	Dv dt
t >0
(2.6,63)
59
С Начальный УслФзйёй
ОД = о = 6 |г —r0).	(2.6.64)
Краевое условие диктуется физически очевидным требованием: решение
G (г, г0; I) должно стремиться к пулю на бесконечности, т. е.
G (г> Д; --------> 0 для любого i > 0.
|г — г0|->ж
(2.6.65)
Предположим, что мы нашли решение Оц (г, г0; 0 уравнения
с начальным условием
l'
Go (г, г0; 0)^6(г —г0).
Тогда решение уравнения (2.6.63) можно записать как
G (г, г0; 0 = <р (0 Go (г, г0; !),
Действительно, подстановка (2.6.68) в (2.6.63) дает
(2.6.66)
(2.6.67)
(2.6.68)
откуда, используя условие (2.6.56), получаем
Go 1	Du
—Ф (0 -7Г =•— Ф' (0 Go; ф' (0 = —— Ф (0=—oSa ср (/).
L“ Dv	Is
Выбирая решение этого уравнения в виде ср (7) = ехр (—t’So0, убеждаемся,
что решение уравнения (2.6,63) с начальным условием (2.6.64) имеет вид
G (г, г0; 0 —ехр ( — rSa/) G., (г, г^; 0.	(2.6.69)
Таким образом, дело сводится к решению задачи (2.6.66), (2.6.67). По
смыслу это задача на вычисление сферически-симметричного нестационарного
температурного поля в бесконечной однородной среде от импульсного источ-
ника тепла, сосредоточенного в точке г = г0 (теплопроводность равна едини-
це, теплоемкость 1/ц£>). Ее решение хорошо известно:
Go(r,ro;0 = „ехр f r°—'L	(2.6.70)
ok ° '	(2ф/лоР03 ? 4vDt )	V '
Тогда в силу (2.6.69) можно записать
1
G (г. г„; 0 = —; — о ехр
° '	(2VnaD<)3 J
Упражнение 9. Найти решение нестационарного неоднородного
уравнения диффузии в неограниченной однородной среде
1 0Ф
------ =	(г, 0, I > 0	(2.6.72)
V иг
с начальным условием
Ф (г, 0) = / (г).
(2 6.72<1)
60
Решение. Используем формулу (2,0.55) и полупим.
Ф(Г’/)=]"Г0/(Го)^у^7у.^
4ЩД
1 Г— Го ф
4шП (/-/„)
(2.6.73)
U ос
§ 2.7. ВЫВОД ЭФФЕКТИВНОГО ОДНОГРУППОВОГО
УРАВНЕНИЯ
Как уже упоминалось, одпогруп повое уравнение реактора имеет
гораздо более широкую область применения, чем только гипоте-
тический случай, когда нейтроны деления рождаются сразу теп-
ловыми, или случай реактора на быстрых нейтронах.
Одногрупповые уравнения получаются также и для физически
большого реактора, когда основная доля делений приходится на
тепловые нейтроны, а временем замедления нейтронов от энергии
нейтронов деления до энергии тепловых нейтронов можно пренеб-
речь. В этом последнем случае уравнение баланса тепловых ней-
тронов можно представить в виде
£>о	(* G О’, п (*Л 0	= ~~ .	(2.7.1)
dt
Здесь п (г', /) — плотность нейтронного газа в точке г' в момент
времени G (г, г') — вероятность того, что быстрый нейтрон,
рожденный в точке г', замедлится до тепловой энергии в точке г;
— vD, где v — средняя скорость теплового нейтрона (~ 2,2 X
X 105 см/сек); D = 1/ЗЕ6. — коэффициент диффузии.
Заметим, что функция влияния G при замедлении (см. гл. 4)
в приближенной теории замедления — теории возраста — имеет
следующий вид для неограниченной однородной замедляющей
среды [11:
G (г, г')	-- ^г, ехр
(2 р лт)
(2.7.2)
где т — так называемый возраст тепловых нейтронов, имеющий
смысл величины, пропорциональной </'2)г — среднему значению
квадрата перемещения нейтрона в процессе замедления от точки
рождения быстрого нейтрона до точки рождения теплового.
Если размеры реактора много больше |' т, то функция п (г')
изменяется, гораздо медленнее функции G (г, г'): п (г') сущест-
венно изменяется на расстоянии, сравнимом с размерами реакто-
ра, a G (г, г') — па расстоянии порядка Jzt. Поэтому под зпа-
61
ком интеграла можно разложить п (г') в ряд но степеням 'г — г'|:
(2.7.3)
X п
дх{ dxj
где x-L — прямоугольные координаты при i — 1, 2, 3 соответствен-
но. Подставляя разложение (2.7.3) в интеграл, замечаем, что все
нечетные степени (х/ — лу) после интегрирования по объему дадут
нуль в силу симметрии, а четные степени — величины вида
j G (г, г') (х/  -xf)~ dr' = <х?)>	(2.7-4)
где <х(?> — средний квадрат перемещения нейтрона вдоль оси
при замедлении. В силу симметрии
<х2> = <г/2> = <Н> = <г2)/3.	(2.7.5)
Коэффициент пропорциональности между <г2> и т равен 6, т. е.
</2> = 6т (см. §4.6).
Теперь, отбрасывая в разложении' и (г') члены со степеня-
ми xL больше второй, получаем
Dq Дп — nvSa + nvla	vSa. тДи = —— ,
{У L
или, учитывая, что 1/L2 = Sa/D,
D0['l +-^Uz-HA.»-l)Sa'W=-V •	(2.7.6)
После деления на коэффициент при Ап это уравнение примет
вид
Д fl Ч-  ----/2 —  -------•	(Z, / • /}
di
Сравнивая (2.7.7) с одно групповым уравнением, полученным ранее,
например с (2.6.4), можно заключить, что целесообразно назвать
величину
£>эф = Ро (1 + /ггот/Г) D. (1 + т/£2)	(2.7.8)
эффективным коэффициентом диффузии, а
х2 = (*„ - Гр(7Г + ^г) « (4„ -	+ г) (2.7.9)
— материальным параметром размножающей среды; при этом вели-
чину
М2 = А2 + т	(2.7.10)
можно назвать квадратом длины миграции от точки рождения бы-
строго нейтрона до точки поглощения теплового нейтрона,
(Заметим, что /г^ принят равным примерно 1, так как для рассма-
триваемого физически большого реактора — 1 д ],)
62
Наконец, следует сказать, что (см. гл. 4) полиэиергетический
реактор со сложным спектром нейтронов для случая однородного
реактора или реактора, состоящего из достаточно протяженных
однородных зон, в самом общем случае можно описать волновыми
уравнениями, т. е. привести формально к одно труп новому рассмо-
трению. Конечно, в этом случае эффективные значения матери-
альных параметров, таких, какРЭф, х2 и др., приобретают совсем
другой смысл, с чем питатель подробно познакомится в гл. 4 и 5.
§ 2.3.	РЕАКТОР С ИСТОЧНИКОМ
До сих пор рассматривался реактор, в котором нет «внешних»
источников нейтронов, т. е. источников, не зависящих от дейст-
впощего в реакторе нейтронного поля. Однако в некоторых слу-
чаях наличие таких источников приобретает существенное
значение, например при пуске реактора «с нуля»; для систем, ра-
ботающих в режиме усилителя потока нейтронов, учет внешних
источников помогает лучше понять физику реактора. Пусть ста-
ционарное уравнение реактора с внешним источником записано
в форме
АФ Д- х3Ф ф q (r)/D = 0; Ф (R) = 0.	(2.8.1)
Для простоты рассмотрим однородную, размножающую нейтроны
среду с заданным значением материального параметра х3 и стацио-
нарным распределенным источником нейтронов интенсивностью
q (г) > 0 в точке г. Разложим q (г) в ряд Фурье по собственным
функциям оператора Лапласа:
Афп сф|у = 0;	(R) = 0.	(2.8.2)
Пусть амплитуды этого разложения будут Дп, т. е.
00
<7(Г)= 2 АЛЛГ);	(2.8.3)
п= о
Разложим Ф (г) в ряд:
оо
Ф (г) = V С„ (г); С„ =. (ф, о|>„).	(2.8.4)
п= О
Подставим Ф и q в уравнение реактора:
гг=О
Приравнивая нулю коэффициенты перед линейно независимыми
гармониками 'фп (г), получаем уравнения для амплитуд
DCn (х3 - - а2) 4- Ап = О,
(2.8.5)
63
откуда найдем Сп = AJD (а2— и2). Следовательно,
(2.8.6)
Из анализа последнего выражения можно сделать важные за-
ключения:
1.	Реактор с источником может быть стационарным только
в том случае, если он подкритичен; в самом деле, если реактор при-
ближается к критическому состоянию, то — к2 —>0, и так как
До — (q, ф0) У> 0, то поток нейтронов неограниченно возрастает,
что физически невозможно.
2.	Подкритический реактор работает как усилитель источника
нейтронов q. Это видно хотя бы из того, что если амплитуда Ло
источника равна	Д> С), то амплитуда при нулевой
гармонике Са = (q, фоУ(ао - х2) возрастает при х2
3.	Высшие гармоники в потоке, нейтронов ф7, имеют убываю-
щие с ростом номера п амплитуды С7, по сравнению с амплитудами
Ап в источнике q.
Естественно назвать коэффициентом умножения отношение сум-
марной скорости генерации нейтронов в реакторе к мощности «вне-
шнего» источника. Если «внешний» источник q (г) распределен по
нулевой гармонике, т. е. Ло > 0 и Лп> i = 0, то коэффициент
умножения равен
^’оо	бу <тро>
<q>	Л0Сф0>	к2)	Г2(«2—хД)
(2.8.7)
где угловые скобки означают интегрирование по У. Напомним, что
материальный параметр и эффективный коэффициент умножения
реактора равны соответственно
= (^-	= МЛ -! «U2).	(2.8.8)
Тогда для коэффициента умножения* подкрптического реактора
получим выражение
k = fe„/L2 - z2) = fes(t/(l - /Щ (2.8.9)
Как и должно быть, по мере приближения к единице коэффи-
циент умножения неограниченно возрастает.
Если реактор точно критический, то стационарное состояние
в нем при наличии источника невозможно. В этом случае правая
часть уравнения (2.8.1) должна оыть записана как —------— :
(2.8.10)
* Техника экспериментального определения коэффициента умножения
(2.8.9) в подкритичсскон сборке с внеш ним источником обычно называется
«экспоненциальным экспериментом».
64
Предположим, что источник был «включен» в момент времени
t = 0 (7 — 0 при t <С 0) и до момента t = 0 реактор работал до-
статочно долго, так что можно принять Ф (г, 0) = С0фо(г).
Предположим еще, что источник распределен по нулевой гармо-
нике: q (г) = Л (/фо (г). Тогда можно построить решение по фор-
муле (2.6.55) [или (2.6.55а)]:
t
Ф(г,/)-=С0ф0(г)ф^Н/0М0ф„(г) = (Со 4- ФЛ0)ф0(г). (2.8.11)
о
В общем случае, когда q (г) и Ф (г, 0) — f (г) определяются ря-
дами (2.8.3), (2.8.4), получаем
оо (	t
Ф (г, Z) = У (f, фл. ехр (g)„ Z) -- | dtQ v (q, ф) ехр [<о„. (Z —/0)] ;
/г — 0 I	0	J
(2К12)
или
оо
ехр (ип /) — 1
ф <г’ о=2 ехр + v
Фл (О
»=0
(2.8.13)
Если реактор критический (w0 = 0), то из (2.8.12), (2.8.13)
следует
ф (П 0 = Kf, Фо) + (7, ф0)] ф0 (г) ф V	-фп (Г) ...у
n=l
с©
'2
п= 1
а (д, Фп)
ехр ((ofl Z) фп (г) ж [(/, ф0) ф и/ (?, ф0)] ф0 (г) ф
(2.8.14)
откуда как частный случай вытекает (2.8.11). Таким образом, в кри-
тическом реакторе со стационарным внешним источником ампли-
туда нулевой гармоники линейно зависит от времени.
В подкритическом случае, согласно (2.8.13),
оо
Ф (г, f)	1|)„ (г) + V °(1?| 'Ф’О'МО =ф(Г|ОО); (2.8.15)
так что распределение нейтронов с течением времени стремится
к постоянному распределению, определяемому формулой
« = о
Ф Фл (г)
ф-х3
(2.8.16)
3
Зак. 85
65
Следовательно, (2.8.6) является асимптотическим (по времени)
представлением решения (2.8.13) нестационарного уравнения под-
критического реактора.
У п р ажнение Г Показать что распределение (2.8Л6) можно полу-
чить как предельный результат следующего итерационного процесса:
(ДФз.—Фх/Лг)-)-д=0;
£>АФЙ—2а Ф2-|- 91 = 0;	Sa Ф^
(2.8.17)
£)ЛФП-*-So Фп-[~7п-1 — Oj ?n-i — &оо	®n-n
Каждое уравнение решается при краевом условии Фя|5 = 0. Таким образом,
в каждой итерации нейтронное поле Фя(г) находится в среде без размножения,
с внешним источником, определенным как скорость генерации нейтронов,
порожденная полем Фп_1 (г) предыдущей итерации. Показать, что
СО
ф (г, оо)= 2 фп (Г)-
п=0
(2.8.18)
В каком смысле этот ряд сходится?
Решение. Ответ мо?кет быть получен из решения уравнения (2.8.1):
Ф (г> °°) — —(А-^^2)-1 q/d.
Оператор Лапласа А, а также оператор Л — 1/L2 обратимы и имеют ограни-
ченные обратные. В этом можно убедиться, представив решение уравнения
^~f/IF = F, f(r)is = O	(2.8.19)
рядом Фурье: /(г)= 2 (f > Фп) Фгг (г) 
п = 0
Если F £ Ну, то
К(г)= 2 Фп) фи (г) -
п — 0
Подставляя последнее выражение в (2,8.19) и приравнивая коэффициенты
перед фЛ (г) в правой и левой частях этого уравнения, найдем (используя
свойство Афп = — а’фя)
р
ОС
(Л фп) = ——; Нг)=(Д—1/i2)-1^— У	,
а3 + 1/Д2	а^+1/L2
Учитывая свойство полноты (2.6.66), получаем
n f 112 = V	V1 1 (F, фп) |3 =	|| F IIs
я"0	о + VI3)3	(^+W)2
или
Ц(Д— 1M3)-1F|| <||F|]/(^4- 1/Z3).
По определению нормы оператора (см. примечание на с. 49) отсюда следует
HA-l/PJ-^K V(^ + VF2).
66
[,]з свойства Д'фо — — аоФо вытекает, что
(Д-1/£3)^0 = -(а5 + 1/Д3)фо; (A-W)~4o=-W(aHW).
Но норма ограниченного оператора не может быть меньше абсолютного зна
чения своих собственных значений, поэтому
Тогда / 1 \ —1 Х2)-1= [ Д —	Н — ' 1 '	1	L2 L2 1 \ / ( X Д-- \ т 1/	1 V1 *оо 1 = 1	~ L2) L2	L2 (а2 +	-С	- Г	II Г"*	।  । -V'. + J Я 8	ь- “	1 II X	8 -	^7
Известно, что (1 4- Л)-1 = 2 (—\)kAk при [] £=0 по норме операторов. Поэтому (Л+и»)-1= У (_U|4	'Г' А л=о	L * Следовательно, ф(г, ~) = - У (-1)4(д-А-Г1 Al ft=o	LV	L 1	L  - (л 1 V1 <7 ’ /Л 1 V1 L2 J	D [	L2 J	L2 н ряд сходится по норме в Ну. Положим. /	1 V1 <? ф>-Чд-д4 1 ф2=_(д__!-'Г1 k L* ) L2 _	/	1 \	1 k(X> Фп=— Д —	 	 ф г- j Г“ Тогда Ф(г, оо)= У фп(г) п^=0	А [| <1 И этот ряд СХОДИТСЯ п/г /	1 \ __ 1 - д— ’• \	L2 J '7д_ЛД-'ш = к L2 ] D L2 ) D (2.8.20) Фь 1	(2.8.21) * « • 71-1* а
з*
Й из редукционных формул (2.8.21) следует
Фц -1 — 0;
...............................) '
Сравнивая эту систему с (2.8.17), убеждаемся, что получен требуемый
результат, а ряд (2.8.18) должен сходиться по норме в при любом q f-Hv,
q 0.
Замечал и е. Процесс умножения нейтронов свелся к их размно-
жению в ряду последовательных поколений нейтронов и к сложению резуль-
татов. Если q (г) > 0, (а (г)	0), то получится Фп (г) > 0 при г £ И, Фл(г) js ~
= 0. Формула (2.8.18) является разложением нейтронного поля в ряд по
последовательным поколениям нейтронов.
ПРИЛОЖЕНИЕ П2.1
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ДИФФУЗИИ
Нестационарное интегро-дифференциальное уравнение баланса нейтро-
нов выведено в § 4.1. Здесь рассмотрим моноэнергетичсский реактор (все
нейтроны имеют одну и ту же энергию). В этом случае функция распределения
нейтронов в пространстве и по угловым направлениям в момент времени i
имеет вид N (г, й, /) нейтрон!(Ъи3  рад). Здесь Й = v/v — орт, определяю-
щий направление, по которому перемещается нейтрон со скоростью v см/сек.
Из курса квантовой механики хорошо известен ортонормированный набор
шаровых функций Уjm (Й) (т = j, / — 1, ..., —рЙУ,т(Й) Y in (Й) =
— §mn)i обладающий тем свойством, что произвольная, суммируемая
с квадратом функция / (й) может быть представлена в виде разложения по ша-
ровым функциям:
СО	/
/(Й)=У V Cjm Yjm (Й), Cjm —* 0.	(П2.1.1)
^°°
Здесь Уоо (Й) = 1/4л — постоянная. Индексу / — 1 соответствуют три ли-
нейно независимые компоненты /11 (Й), У10 (й), /^(й), из которых можно
составить линейные комбинации, равные проекциям орта й па три координат-
ные оси. Тогда первые два слагаемых ряда (П2ЛЛ) С/=0и/- 1 можно
представить в виде
/(й)= ь -f- (0^) + ...,	(П2.1.2)
4л 4л
где 1/4л и 3/4л — нормировочные множители, выбранные так, что
C0=^dQf(Q); С! = рЙЙ/(й).	(П2.1.3)
Таким образом, Со — нулевой угловой момент функции f (й); Сх—
первый угловой момент. Включая другие члены разложения (П2.1.1), можно
построить высшие угловые моменты.
68
Если функция / (ft) слабо зависит ат вектора Я, то должно выполняться
неравенство
з I сх 1/1 Со |)с 1,	(П2.1.4)
и можно пользоваться приближенным представлением
Со	3
/ДЙ)« -^4-— Сгй.	(П2.1.5)
4л	4п
Применительно к функции распределения нейтронов ср = vN следует
писать [29]
Ф (г, Z)	3
Ф (г, Q, 0 « - „	— i(r, О Я.	(П2.1.6)
4л	4л
где Ф (г, t) и i (г, Z) играют роль соответственно коэффициентов Со и Сх в пред-
ставлении (П2.1.2). Тогда, согласно (П2.1.3),
Ф(г, Z) = j dQ<₽ (г, ft, Z); i (г, Z) — J dftftcp (г, Я, Z),	(П2.1.7)
откуда видно, что функция Ф (г, Z) по физическому смыслу является полным
или «глобальным» потоком нейтронов (мы ее называем просто потоком нейт-
ронов), a i (г, Z) — вектором тока нейтронного газа (мы его называем током
нейтронов). Условие (П2.1.4) записывается в виде
31 i (r,Z) ]/Ф (г, Z) < 1.	(П2.1.8)
Пусть теперь в среде, где происходит перенос нейтронов, имеется внеш-
ний источник с функцией распределения q (г, Я, Z). Тогда нестационарный
баланс нейтронов записывается в форме (4.1.2):
—Й7ф —2ф 4- UQ' ф(г, ft', Z)SsR7(ft' Й)4-<7(г, Я, Z). (П2.1.9)
о di	J
Здесь
Г (ft' ft) = F (ft' ft)^ W (Ио),	(П2.1.10)
где рй ~ ft'ft — косинус угла рассеяния. Такое представление индикатрисы
всегда имеет место при рассеянии в однородной среде. Тогда в силу нормиров-
ки индикатрисы на единицу должно выполняться условие
2я я	4-1
| W (ft' ft) dQ = [ t/<₽ I d6 sin6tt7 (cos 0) — 2л ( dp0 W (p0) = 1.
bo	—1
(П2.1,10a)
Кроме того,
J Г (ft' ft) ft dft = f W (ft' ft) ft± dft 4- f W (ft' ft) ft' (ft' Q)dQ. (П2.1.106)
Здесь ft ।—проекция орта ft на плоскость, перпендикулярную орту ft'.
  I
Если принять за ср угол между вектором ft ( и какой-нибудь координатной осью
на этой плоскости, то ft ( (ср) — — ft^(л 4~ ф) и при интегрировании по tp
первое слагаемое в (П2.1.106) исчезает. Тогда, учитывая (П2.1.10), получаем
2л 1	_
J ^(ft'ft) ftdft=ft'jlF (ft' ft) (ft' ft)dft - ft' f dtp f dp0 pt0 R7 Ы - ft' Йо,
0	— 1
(П2.1.11)
где ц0 = j dftp0IT' (po)—средний косинус угла между ортами ft' и ft. Про-
интегрируем уравнение (П2.1.9) по dft. Так как ftV ф — div Я ср, то
69
ft силу (П2.1.7)
f fiViftZQ=div [ 42ф</42 = div i.	(172.1.12)
Принимая во внимание (П2.1.10a), можем записать
1 дФ	Г*
--------= —div i—2фн-25ф-г Q; Q = i (П2.1.13)
0 dt----J
По смыслу полного сечения S имеет место соотношение
X -S,s- Sa.	(П2.1.14)
Подставив (П2.1.14) в (П2.1.13), получим балансное соотношение:
— — = -div i —	(П2.1.15)
v dl
Левая часть этого уравнения является скоростью изменения плотности нейт- .
ронов в единичном объеме около точки г; div i — скорость выбывания из этого
объема в момент I нейтронного газа вследствие его диффузии через вещество;
2аФ — So(r) Ф (г, I) — скорость поглощения; Q (г, Z) — скорость рождения
нейтронов в единичном объеме около точки г в момент t.
Умножим теперь уравнение (П2.1.9) на орт 42 и затем проинтегрируем па
dQ. Учитывая (П2.1.7) и (П2.1.11), получаем
1 di г	р
-------= — dQQ (£2Уф) —Si -ф dQ' ср (г, ST, 2) Ss 42' ji0 + Qi (г, t) J
v dt J	J
Qi (П	(г, й, /);
—	(42Уф) -(S-^0Ss)i+ QHr, f) .	(П2.1.16)
v dt J
Чтобы система уравнений (П2.1.15), (П2.1.16) была замкнутой, нужно
первое слагаемое правой части (П2.1.16) выразить через функции i и Ф, для
чего существует только одна возможность: нужно приближенно представить <р :
в виде двух членов разложения в ряд по шаровым функциям (П2.1.6):	1
Тогда
1	3
42 (42Уф) =---- 2 (42УФ) + ------42 (42ViQ) -
4я	4л
Здесь второе слагаемое — нечетная векторная функция по отношению к 42,
т. е. меняет знак при замене 42 на —£2. Поэтому при интегрировании по d£2
она исчезает и
dQQ (42 Уф) --
dQQ (42 УФ) .
Обозначим а =	орт, направленный по вектору V Ф. Тогда
1 Г	1 УФ I Г
---- dQ42 (42, УФ) =---------- dQQ (42а) =
4зт 7	1л 7
1	2Л
1 УФ 1 С 1 УФ I г	г
rf£242u = ——— \ djip, 1 dф42 .
о
4л J
— 1
4 л
70
•1
Здесь Я = Я^ -J- а р,, где |1 = (Яа) — проекция орта Я на орт а; Я± =
= Яд_(ф) — проекция орта Я на плоскость, перпендикулярную а; ф> — угол
между вектором Я± и каким-либо направлением на этой плоскости.
2л
рак как Я . (ф) = — Я . (ф + я), то I сГфЯ , (ф) = 0 и
-L	_	о
2л
| г/фЯ == ац2л..
о
Поэтому
1
1 Г	IVO |а с	I
---- I dQft(QV(D) =	 1 diui2nii =— VCD,
4л J	4л----J	3
— 1
и (П2.1.16) принимает вид
1	di	1
------— — — УФ —1ф- Qi,
v dt	3	iT 1 1
где
— S — ро Ss.
Если источник нейтронов изотропный, то
q (г, t)	q (г, I)
q (г, Я, 0= -----------1 Q (г, 0 = q (г, f)\ Qj (г, г) =—---------
4л	*	4я
и уравнение (П2.1.17) можно переписать в виде
I с>1	I
	+ i -- —	 УФ.
oSir dt----------------ЗЕгг
(П2.1.17)
(П2.1.17а)
с/ЯЯ - 0 ,
(П2.1.18)

Здесь l/vSfr — Tir имеет размерность времени. Величина 1/Sfr = %fr —
транспортная длина пробега нейтрона. Соответственно Sir называют
транспортным макроскопическим сечением, a air (otr р = 2^г) — транс-
портным микроскопическим сечением. Например, для графита %tr теплового
нейтрона равна 2,7 см, v — средняя скорость теплового нейтрона — равна
2200 м!сек ~ 2,2 . 105 см!сек и Tir — 1,23 • 10-а сек. Столь малое значение
TiT дает основание пренебречь первым слагаемым в (П2.1.18). Условием
применимости такого приближения будет соотношение
Ttr
Si
~dt
(П2.1.19)

т. с. изменение тока нейтронов за время TiT должно быть мало по сравнению
с самим током нейтронов, что хорошо выполняется в случае управляемого
Цепного процесса, где характерное время (~1 сек') значительно превосходит
?lr- Тогда (П2.1.18) можно записать в виде
i = —РУФ; D — l/32tr.
(П2.1.20)
Это выражение* назовем представлением тока нейтронов в диффузионном при-
ближении или в приближении элементарной диффузии. Условие (П2.1.8)
теперь принимает вид
Xi-r 1 УФ 1/Ф С 1.
(П2.1.21)
Формула (П.2.1.20) отображает так называемый закон Фика.
Поскольку УФ — ЗФ/<?г по смыслу является изменением потока нейтро-
нов, приходящимся на единицу длины, то К^г V .Ф — изменение потока ней-
тронов на расстоянии 7^,.. Таким образом, условие (П2.1.21) означает, что
максимальное изменение потока нейтронов на расстоянии Xfr должно быть
мало по сравнению с Ф. Вблизи точечного источника это условие нарушается,
и поэтому диффузионное приближение справедливо лишь на расстоянии от
источника большем 2^г.
Таким образом, приходим к следующим критериям применимости диффу-
зионного приближения. Необходимо, чтобы:
а)	источник нейтронов был изотропен;
б)	Ttr было много меньше характерного времени процесса;
в)	распределение нейтронов по угловым направлениям было слабо ани-
зотропно, что влечет за собой необходимость выполнения условия (П2.1.21).
Критерий а) выполняется, когда источником нейтронов являются нейт-
роны деления (которые распределены почти изотропно); критерий б) — в за-
дачах динамики реакторов. Критерий в) означает, что в некоторых зонах,
где градиент потока, вычисленный в диффузионном приближении, велик,
требуется расчет в более высоком приближении или введение «поправок на
иедиффузионность». Если источник в такой зоне отсутствует, то поток нейт-
ронов удовлетворяет уравнению РАФ — ХаФ = 0 с решением вида
ехр (±x/L), где L — Д/о/2а
дает
— длина диффузии. Тогда условие (П2.1.8)
3D
~Ф
дФ
3D
или в силу (П2.1.20), (П2.1,17а)
3D	__
— =3VDSa
3Sa

К S— u0
Это условие достаточно хорошо выполняется при
X.,- Ss(l -И„).	(П2.1.22)
Последнее неравенство иногда принимается за условие применимости диффу-
зионного приближения и справедливо для хороших замедлителей. Нужно,
однако, учитывать, что при наличии источника нейтронов условие (П2.1.22)
может оказаться слишком сильным (действие сечения захвата может компен-
сироваться источником). Надежнее производить проверку после выполнения
расчетов в диффузионном приближении по критерию (П2.1.8).
Величине
Xfr=I/Sh.^l/(S-^ Ss)	(Г72.К23>
можно приписать определенный физический смысл. Как известно, вели-
чины X — 1/S; Ла — 1/Sa и ks — 1/Ss имеют смысл средней длины про-
бега нейтрона соответственно до первого акта соударения, первого акта за-
хвата, первого акта рассеяния.
Представим себе, что нужно вычислить среднюю длину пробега нейтрона
Л в направлении первого удара (ft0 — 1). Первый удар происходит в среднем
на расстоянии Х^ 1/S. Вероятность отклонения на угол 0= агссоз
после удара есть вероятность упругого соударения Р — Ss/S, а средний
косинус угла рассеяния равен (10. Поэтому к величине X нужно прибавить
ХРро, а после второго удара проекция длины пробега X на первоначальное
направление увеличится на величину XP2ug и т. д. Так как « и-, то по
определению 7, получим

X К -J- ХРр.0~

V»
Z J
72
j
откуда следует, что лщ имеет смысл средней длины пробега нейтрона в на-
правлении движения до первого соударения.
ПРИЛОЖЕНИЕ П2.2
ЭКСТРАПОЛИРОВАННАЯ ГРАНИЦА
Представим ток нейтронов [см. (П2.1.7)] в виде
i (г, t) — j* * (г, О + i" (г, t); i±(r,/) — dQ£2<p (г, £1, f),
t,-
s±
причем S+ + S- = 3Сф — поверхность единичной сферы угловых направ-
лений (ортов £2) с центром в точке г. Если представить себе плоскость, перпен-
дикулярную вектору i, проходящую через центр сферы 5сф, то она поделит
ее ’Гадве полусферы: 5Н-, пересекающую луч, направленный вдоль i, и £- —
дополнение к S+. В приближении (П2.1.6) получаем
7“ф(г- z)+v“ (г’
4л	4л
где i = [1'1; И — косинус угла между £2 и i. Пусть ф— угол между проекцией
орта £2 на плоскость, перпендикулярную i, и произвольным направлением
на ней. Тогда
Здесь £2 — £2д_~г— проекция орта £2 на плоскость, перпендикуляр-
ную i. При интегрировании поф вектор £2, аннулируется. Тогда
, Ф(г, /) i 1
Щг,/)=----------------+ - i (г, О-	(П2.2.1)
Аналогично для i_ (г, t) имеем
Ф (г, t) i	1
i- (г, /)=------1(Г)0.	(П2.2.2)
4	L	2
В одномерном случае вектор тока направлен по координатной оси, и
поэтому
Ф(г,/) I
i‘ (М) =------+ У Z<r’	(П2.2.3)
,	Ф (г, t) I
i~(r, 0=---------- + — г(г,О-	(П2.2.4)
л
Принимая для i формулу (П2.1.20), получаем отсюда выражение для альбедо
(2.4.2).
Если Z? — точка, лежащая на границе с вакуумом, откуда нейтроны
внутрь нашего объема не летят, то г_(^, /) = 0. Тогда из (П2.2.4) следует
2»
«ли, полагая i (R, t)
, получаем
3
—— — const.
(П2.2.5)
%ir _ дФ
3 ~д7
дФ
дг r=R
Это так называемое краевое условие Маршака в диффузионном приближении*
1 ^метрический смысл этого условия состоит в следующем. Если к графику
1—- -
* Частный случай его краевых условий в /^-приближении метода сфе-
рических гармоник [18].
73
фуикции^Ф (г, /) > О провести касательную в точке г = 7?, то расстояние $
от точки ее пересечения с осью абсцисс (расположенной справа от 7?) до точ-
ки 7? равно
6=4 Hr	(П2.2.6)
в любой момент времени t. При больших размерах системы (7? » 6) это дает
основание приближенно заменять краевое условие (П2.2.5) более простым:
Ф(/?+4	0 = 0,	(П2.2.7)
о
2
а значение 7? J- nj. Hr называть экстраполированной (т. е. вынесенной) гра-
ницей рассматриваемого объема. В произвольной геометрии экстраполирован-
ной границей объема V называют поверхность 5, эквидистантно удаленную от
его истинной поверхности So на расстояние б. Иначе говоря, если R £	—
точка на поверхности So, а п° (R)— единичный вектор внешней нормали в точ-
ке R, то
R3 = R + 4^no(R); R3 £ S.	(П2.2.8)
О
Тогда краевое условие (П2.2.7) можно записать в виде
Ф (Ra, t) = 0.	(П2.2.9)
Известно точное решение стационарной односкоростной газокинетиче-
ской задачи в полубесконечной среде (см., например, [18]), которое для ве-
личины 6 дает выражение
6 — 0,71 Hr,	(П2.2.10)
2
которым часто заменяют выражения Hj- в формулах (П2.2.7), (П2.2.8),
т. е. пишут
Ф (R-]-0,71 Hr п° (R), /) = 0.	(П2.2.11)
Отметим, что по физическому смыслу понятия экстраполированной
границы ограниченный ею объем V должен приниматься невогнутым (в про-
тивном случае нельзя было бы утверждать, что через вогнутую часть поверх-
ности S отсутствует поток нейтронов из вакуума. Они могут излучаться дру-
гими частями поверхности).
ГЛАВА 3
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЗАМЕДЛЕНИЯ
§ 3.1. ЗАКОНЫ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ
Важным звеном в нейтронном цикле реакторов на тепловых ней-
тронах является упругое рассеяние нейтронов. По определению,
упругим рассеянием нейтронов на ядрах называется такой акт
взаимодействия, когда в системе нейтрон—ядро сохраняются пол-
ный импульс и кинетическая энергия системы*. Из этого опреде-
ления вытекает ряд важных соотношений.
Систему отсчета, в которой центр инерции нейтрона и ядра по-
коится, в дальнейшем будем называть С-системой, а лабораторную
систему отсчета -— A-системой. Штрихами отмечаем скорости ней-
трона и ядра до соударения, их значения после соударения обозна-
чаем без штрихов. Тогда, исходя из закона сохранения импульса,
для двух соударяющихся частиц а и b в С-системе (а — нейтрон,
b — ядро) получим
= 4vb = 0; 1
<= — .4vC va = — Avb; -	(3.1.1)
Va = Av'b; va = Avb.
Здесь масса нейтрона принята равной единице, масса ядра рав-
ной A, a v = | v |.
Согласно закону сохранения кинетической энергии в С-системе
Ы2/2 + A = о2/2 + Л^/2.
Тогда из соотношений (3.1.1) следует
(1 + 1/Л) = и* (1 + IM); v’a = va; v'b = vb. (3.1.2)
Таким образом, в С-системе нейтрон и ядро движутся по прямой,
соединяющей их центры (навстречу друг другу—до удара, в про-
тивоположные стороны — после удара), и при этом испытывают от-
клонение на угол 0 с сохранением абсолютных значений своих
скоростей (рис. 3.1).
В С-системе закон сохранения импульса дает
(А + 1) vc = v' + Av' = v 4- А гя, (3.1.3)
В основу рассмотрения кладется классическая (нерелятивистская
еория соударений, поскольку в спектре нейтронов деления релятивистских
Нитронов нет.
75
где vc — скорость центра инерции нейтрона и ядра в A-системе; v ц-
уя — скорости нейтрона и ядра соответственно. Тогда, по опреде-
лению,
v' = vc Н- v«; v = vc + va,	(3-1.4)
и если ядро до удара покоилось в Т-системе, то
¥я = 0;	--= vc -г v&.	(3.1.5)
Из (3.1.3) и (3.1.5) вытекает
vc = v'/(A -F 1);	= v' /(А + 1),	(3.1.6)
Рис. 3.1. Упругое рассеяние в	Рис. 3.2. Упругое рассеяние в L-си-
С-снстеме	стеме
а из (3.1.2) и (3.1.4) следует
v' = v' — vc = v' А/(А + 1); va = v'a = v'A/(A + 1). (3.1.6a).,
Если угол рассеяния нейтрона в £-системе обозначитьф (рис. 3.2),.
а в С-системе 0, то, проектируя левую и правую части равенства;
(3.1,4) на направление скоростиус, получим, принимая во внимание:
(3.1.6) и (3.1.6а):
v cos ф = ш-cl’ cos 9 =-----------]--------cos 0;
с а А-;-1 ян-1
v ,	1 Л- A cos 0
— cos ф - —!---------------.
и'	А4 1
(3.1.7);
Соотношение (3.1.7) дает связь между изменением кинетичес-
кой энергии нейтрона при соударении и углом рассеяния в L-
системе, если учесть, что из рис. 3.2 и формул (3.1.6) и (3.1.6а) вы-
cos 9;
текает
2	2 1’10	Л (И*	। V А*
V“ = Vc - - Va + 2ve V,. COS 0 = —--
c a (A+D2	И4-1)3
5	/ v V 1 ш 2A cos 0 + A2 1 ri - i /i	r ni-
/ 1 ~ГУ  =—[1--ал+(1—tz^cose],
(Л q- 1	2
ал=[(Л-1)/(ДЧ-1)Г,
v
76
где £' и £ — кинетические энергии нейтрона в L-системе до и после
соударения. Подставляя сюда cos 0, определенный с помощью фор-
мулы (3.1.7) через созф, легко выводим требуемую связь:
4+1 v Д—1 у' Д-М ,/ Е Д—1 В'
е<М = —------------— ——----------------------у— .
(3.1.9)
Так как —1	cos 0^ I, то, согласно (3.1.8), энергия нейтрона
при упругом соударении изменяется в следующих границах:
«л<£7£' < 1; «л £' < Е < £',
что следует только из законов сохранения. Величину
Д£ - (1 — ал)£',	(3.1.10)
Рис. 3.3. Квазикласспческое приближе-
ние при рассмотрении акта рассеяния
которая определяет максималь
ную потерю энергии при Гео-
ударении, называют ступенькой
замедления. Так какссл = 1 = 0,
то в этом случае Д£ = £'. Это
означает, что нейтрон при од-
ном соударении с ядром водо-
рода может потерять всю свою
кинетическую энергию. Как
видно из формулы (3.1.9), при
максимальной потере энергии
(т. е. при £= ад£') cos ф =—1,
т. е. направление движения ней-	____
трона изменяется на 180°. Если А = 1, то cos ф=]/£/£', и при £ =
= 0 созф = 0. Иначе говоря, при соударении с ядром водорода
направление движения нейтрона может измениться не более чем
на 90°.
Важной задачей теории соударений является вывод закона ве-
роятности распределения по энергии упруго рассеянных нейтронов
в L-системе. Из квантовомеханической теории соударений известно,
что если дебройлевская длина волны намного превосходит размеры
ядра, то рассеяние нейтрона на потенциальной яме ядра должно быть
сферически-симметрично (т. е. изотропно) в С-системе. Это озна-
чает, что нейтрон должен быть достаточно медленным, чтобы выпол-
нялся закон изотропного рассеяния. Из закона изотропного рассея-
ния можно сразу вывести функцию вероятности распределения по
энергии упруго рассеянных нейтронов, однако полезно получить
некоторую, хотя бы приближенную, оценку границы энергии £п,
выше которой рассеяние не будет сферически-симметричным. Это
можно сделать с помощью квазиклассического приближения при
квантовомеханическом рассмотрении рассеяния нейтрона на по-
тенциальной яме ядра. Пусть £ — эффективный радиус ядра; р —
прицельное расстояние налетающего нейтрона (рис. 3.3). Так как
77
вазиклассическом представлении орбитальный момент нейтрона
= 11г (I = 0, 1, 2, ...), то рассеяние должно происходить при уС-
ШИ
Rv М ри - = 11г.
и I = 0 рассеяние сферически-симметрично и лишь при I 1
изотропно. Поэтому для анизотропного рассеяния должно вы-
:няться условие
Rv > Й, v > MR.	(3.1.11)
Полагая, что нуклоны в ядре распределены равномерно, находим
!)	= const A; R = г0Д 1/3, где г0 = 1,2 - 10“13 см. Так как
72 = Е, то из (3.1.11) следует, что пороговая энергия
Р С _ й2 1
Л2'3 “ 2тг* А2/3 ‘
зстанта С здесь равна —10 Мэв, так что
£п> 10 Мэв!А2 А.	(3,1.11а)
я водорода почти вся область спектра нейтронов деления (0 —
Мэв) представляет собой область сферически-симметричного
-системе рассеяния. Для углерода (Д=12) такой условной гра-
ней является — 2 Мэв. Поскольку средняя энергия нейтронов
ения составляет как раз — 2 Мэв, то это дает основание считать,
при замедлении нейтронов на легких ядрах замедлителя дей-
ует закон сферически-симметричного рассеяния в С-системе.
Тогда из закона равной вероятности рассеяния нейтрона в любой
есный угол dQ. — 2nsin0d0 в С-системе для соответствующей
жции распределения W (0) получим выражение
— = -2jt sin 9d9 = —sin0d0= tf/(9) dO
4л 4л 2
л	л
эрмировкой функции распределения (0)^0 = j* sin 9d9 = 1.
Значения E и 0 связаны функционально формулой (3.1.8),
тому вероятность попадания нейтрона в интервал dQ после рас-
г1ия равна вероятности его попадания в соответствующий интер-
dE:
W (Е) dE^W (0) d0;
IF(£) = 0 при Е>Е' и при Е<аАЕ'.
(3.1.12)
Гаким образом, закон изотропного рассеяния в С-системе вле-
за собой закон равной вероятности попадания нейтрона после
упругого рассеяния в интервал ступеньки замедления Д£ = £'(1 —
— аА) на энергетической оси (в L-системе).
В теории замедления удобно пользоваться логарифмической
шкалой отсчета энергии, для чего вводится новая переменная
и = In (Бо/Е),	(3.1.13)
которую принято называть летаргия.. За начало отсчета принимают
обычно значение £0 = 2 Мэв медианной энергии нейтронов деления
(и, = 0). Тогда, используя для функционально зависимых величин
правило W (и) du = W (£) dE, W (и) = W (£) \dE/du\, получаем
из (3.1.12), (3.1.13):
\у/ (и) = WA (и', и) = ехр [ — (и—н')]/(!—»я) при и—
qA = In (1/ссл);	(«', п) = 0 при и' > и или и1 < и — qA,	J
(3.1.14)
+
J WA (и', u)du= J WA (и’, и) du = 1.	(3.1.15)
и'
Величина qA измеряет ступеньку замедления в шкале летаргии.
WA (а', и) из (3.1.14) есть функция распределения по летаргии и
упруго рассеянных нейтронов. Зная функцию распределения,
можно получать различные средние величины, представляющие ин-
терес с точки зрения физики процесса. Обозначая приращение ле-
таргии нейтрона при одном упругом соударении V = и — и':
W («', и) = WA (С/)=е-^/(1 -ал),	(3.1.14а)
можно определить среднее приращение летаргии за один
среднелогарифмическую потерю энергии) по формуле
<и> = 1л= Г У5-----du.
J 1~аА
о
удар (или
(3.1.16)
Легко подсчитать, что
- 1 — aAqA/ (1 — а4).
Известно разложение функции 1/^л в ряд Лорана по степеням А:
1	।	1	,	1	f j	,	16	8	।	\
Ia	2 1	3	'	18A	\	15Л	d 454s	‘	“J"
Пренебрегая здесь членами порядка 1/Л и выше, находим
1а ъ 2/{А -ф 2/3).	(3.1.17)
Эта формула достаточно точна уже при А > 2. Из нее следует, что
0 при А -> оо, т. е. чем тяжелее ядро, тем менее интенсивно
замедление, как и должно быть.
79
Если в формуле (3.1.9) перейти от шкалы энергии к шкале летар-
гии, то получим
С05ф = ^±1 e-u/2_ dzd =	(U),	(3.1.18)
а среднее от этой функции
V	е“и	2
(созф> = рл-- рйфм (U)	~ ,	(З.Е19)
J	1~ал	ЗА
о
т. е. чем тяжелее ядро, тем меньше средний косинус угла рассея-
ния. В частности, для водорода
Рн = Нл=1 = 2/3.	(3.1.19а)
§ 3.2. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ УПРУГОГО
ЗАМЕДЛЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ
ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Пусть Q (и) — функция распределения нейтронов внешнего
источника, равномерно распределенного в бесконечной однородной
упруго замедляющей среде, состоящей из ядер с массовым числом А.
Опуская в дальнейшем индекс А, обозначаем q = In (1/сс) (где се =
[А— 1 \2\
=	) ступеньку замедления нейтронов на ядрах с массовым
числом А [формула (3.1.14) в шкале летаргии (3.1.13)]. Такой источ-
ник порождает в однородной бесконечной среде не зависящее от
координат поле замедляющихся нейтронов, которое описывается
с помощью функции плотности потока нейтронов nv =- Ф(«) ней-
трон/(см2  сек), отнесенной к единице летаргии. Тогда, если
S (и) ~ (и) ф 2а (и) — полное макроскопическое сечение, то
2 (и) Ф (и) du — скорость полного числа соударений нейтронов
с ядрами в 1 сл? среды в интервале летаргии йщэта скорость равна
скорости выведения нейтронов в результате захвата (So) и упругого
и
замедления (Ss) из интервала du; J did® (iz')Ss (id, и) du — ско-
и—q
рость упругого замедления нейтронов в интервал du в 1 ел? среды,
где (id, и) — макроскопическое дифференциальное сечение уп-
ругого рассеяния; Q (и) du — скорость возникновения нейтронов
в интервале du в 1 см3 среды за счет внешнего источника нейтронов.
Составляя из этих слагаемых баланс нейтронов в 1 ел? среды,
получаем интегральное уравнение замедления в виде
— 5(ц)Ф(и)4- [ ^'®(u')Ss(zz',u) + Q(zz)=O. (3.2.1)
и — q
Если источник испускает моноэнергетические нейтроны с энер-
гией, соответствующей летаргии w0, и имеет единичную интенсив-
80
ность (1 нейтрон!сек}, то распределение нейтронов источника опи-
сывается 6-функцией Дирака: Q (н) = 6 (и — ц0). Решение урав-
нения (3.2.1) имеет в этом случае смысл функции Грина G (и, и0).
Так как уравнение (3.2.1) линейно, то его решение при произволь-
ной функции Q (и) представляется суперпозицией (т. е. интегралом)
полей G (и, н0) по различным значениям и0 с весом Q (и0):
ф (и) = J G (и, w0) Q («0) duOt	(3.2.2)
где G (и, «0) удовлетворяет уравнению
— 2'(и) G (и, м0) -г	J	du' G (и', «0) 2S (и', u)G~ 6 (« — «0) ~ О*
max — qtu0}
(3.2.3)
Использование такой записи нижнего предела интеграла озна-
чает, что нейтронов с летаргией меньше нонет, поскольку при замед-
лении нейтрона летаргия может только возрасти (и н0). Так как
и' +q
2s(u') = j 2S (и’, и) du,	(3.2.4)
и'
то при 2 (ц) > 2S (и) уравнения (3.2.1) и (3.2.3) описывают замед-
ление нейтронов в среде с захватом.
Таким образом, для того чтобы решить уравнение (3.2.1) с внеш-
ним источником Q(h), достаточно найти его решение при Q (и) =
= 6 (а — п0), а так как начало отсчета и0 в шкале летаргии берется
произвольно, то достаточно положить Q («) = 6 (и) и решать
уравнение
— 2 (н) Ф (u) + j du' Ф (и') 2s(u', и) 4*6 (и) = 0, (3.2.5)
max — qtQ}
при этом возникает одна из важных задач теории реакторов о вы-
числении вероятности cp(w) нейтрону избежать поглощения при
замедлении до уровня летаргии и, для чего удобно ввести понятие
плотность потока замедления.
Мы назовем плотностью потока замедления ](и) (или просто
потоком замедления) число нейтронов в 1 ел?, которые за 1 сек
переходят из области летаргии и' < и в область летаргии и" д> и.
Такому определению соответствует формула
/ (w) = f du' Ф (и') 2S (и', и") du", (3.2.6)
max {u—0,0}	u
где в качестве Ф (и) должно быть взято решение уравнения (3.2.5).
Соответствие этой формулы данному выше определению станет яс-
u'+q
ным, если учесть, что интеграл j 2S (и', и") du" является мак-
81
роскопическим сечением замедления нейтрона после упругого со-
ударения при летаргии и' и за уровень летаргии и. Тогда
dt/Ф (и') | Ss (и', и") du” определяет число нейтронов в 1 см3,
и
которые испытывают упругие соударения в интервале du’ (0, и —
— q и' и) с последующим пересечением уровня летаргии и.
Теперь, чтобы получить (3.2.6), остается проинтегрировать по и' от
ил— Я (если и — q > 0) или от нуля (если и — q <Z 0) до и.
Из формулы (3.2.6) с учетом уравнения (3.2.5) можно получить
удобное выражение потока замедления j (и) через Ф («.), если про-
дифференцировать (3.2.6) по и; при этом в правой части возникает
и
три слагаемых: первое — от дифференцирования интеграла J
и~q
по верхнему пределу; второе — от дифференцирования этого же ин-
теграла по нижнему пределу; третье — от дифференцирования ин-
теграла J по нижнему пределу. Нетрудно убедиться в том, что
и
второе слагаемое обращается тождественно в нуль. В результате,
используя правило дифференцирования интегралов по пределам
интегрирования, получаем
= J 2s(u,u")du" —	j cz’tf Ф(ц')25«н).
и	max {и — #,0}
(3.2.7)
Принимая во внимание (3.2.4), находим следующее выражение
для интеграла соударений, которое понадобится в дальнейшем:
и
J.(u) = f du'Ф («') s, («',«) = S. («) ф («)-.
J	du
max {u—<7,0}
(3.2.8)
Кроме того, из (3.2.5) следует Js (w.) = 2 (w) Ф (и) — 6 (w).
Подставляя это выражение в (3.2.8), находим
ИШГ = _2(1(и)ф(и)4б(«),	(3.2.9)
du
где Sa(u) = S (и) — 5s(u). Проинтегрируем (3.2.9) по и в пре-
делах от —е до и (в Д> 0, и > 0), учитывая, что при и = ~ е < 0
и
нейтронов нет и /(—е) =0. Поскольку j 6 (id) du' = 1, то,
—8
устремляя s к нулю, получаем
и
}(и) = — ^du! 2а(и') Ф(и')-г 1, w>0;
о
у(«) = 0, и<0.
(3.2.10)
82
Заметим, что в непоглощающей среде (2а ~ 0) сразу имеем
/ (п) - 1, и > 0; j (0) - 1.	(3.2.10а)
Это означает, что сколько нейтронов входит в процесс замедления
[1 нейтрон/ (см3 - сек)], столько же их и пересекает уровень ле-
таргии и. Очевидно, так и должно быть, поскольку нейтроны при
отсутствии поглощений не могут исчезнуть и их число при замед-
лении сохраняется.
При наличии захвата из (3.2.10) следует j (и) < 1. Тогда в со-
ответствии с определением плотности потока замедления для ве-
роятности ср (и) избежать захвата на интервале замедления [0, и]
получаем*
Ф (и) = / (и) // (0).	(3.2.11)
Таким образом, расчет сводится сначала к решению уравнения
(3.2.5), затем к вычислению / (и) по формуле (3.2.10) и, наконец,
к определению ф (и) по формуле (3.2.11).
§ 3.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ
S БЕСКОНЕЧНОЙ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ
НЕПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
В случае бесконечной однокомпонентной непоглощающей среды
принимается
(и) = 0; 2 («) - 2S (н),	(3.3.1)
что допустимо, если 2а <£ 2S. Такому условию удовлетворяют все
основные замедлители (Н2О, D2O, С, Be, ВеО), сечение поглощения
которых подчиняется закону 1/о. В области энергии тепловых ней-
тронов оно мало, а в надтепловой области практически равно нулю.
Уравнение (3.2.5) в этих условиях принимает вид**
— 2S (п) Ф(и)-}- J du' Ф (и') 2S (и1, и) + 6 (и) = 0.	(3.3.2)
Задача несколько упрощается, если принять, что в области за-
медления нейтронов упругое рассеяние в системе отсчета, где центр
инерции системы нейтрон—ядро покоится, сферически-симметрич-
ное, что справедливо практически для всех замедлителей
[см. (3.1.11а)]. В этом случае дифференциальное сечение упругого
рассеяния равно [см. (3.1.14)]
2s « it) = 2S (и') IF3 (и', и),	(3.3.2а)
* Заметим, что из формулы (3.2.10) не вытекает /’ (0) = I, так как инте-
грал в (3.2.10) вообще не равен нулю при и = 0, если За(и) =£ 0. Как по-
казано ниже, это происходит из-за того, что в решении Ф (и) уравнения (3,2.5)
имеется 6-образная особенность, возникающая из-за наличия источника моно-
энергетических нейтронов Q (и) = 6 (и). Если же (0) = 0, то / (0) — 1.
** В § 4,6 показано, что поток Ф (ц) задачи (3.3.2) является нулевым про-
странственным и угловым моментом общей стационарной задачи для одно-
родной неограниченно протяженной среды с монохроматическими, ограничен-
ными по интенсивности источниками нейтронов, сосредоточенными в конеч-
ном объеме.
83
где
IFS (и', u) = Wa (и — и') = ехр [—(и — w')l/(l — а) ]
при и — и' £ [0, q];
IFS (и — и') = О
при и — и' [О, q], а — [ (А — 1)/ (А + I)]2;
q = 1п (1/а).
(3.3.4)
Подставляя (3.3.3) в (3.3.2) и обозначая
Fs (и) = 2S (и) Ф (и),
где F$ (и) — скорость упругих соударений в 1 см? среды, получаем
и
—Fs(u) + f du‘ Fs(u')	^-l6(u) = 0. (3.3.5)
J	1 — a
max{u— ^,0}
Рассмотрим простейший случай, когда замедлителем является
чистый водород (А = 1). Тогда a = 0, q = со и уравнение (3.3.5)
принимает вид
и
~Fa(u) -[-^du' Fs (и') ехр [ — («—«')] +6 (u) = 0. (3.3.6)
о
Следуя обычной процедуре решения таких уравнений, выделим
сингулярную часть решения, используя подстановку
Fa (и) = 6 («) ф F (и),	(3.3.7)
где F (и) — регулярная часть решения. После подстановки (3.3.7)
и
в (3.3.6) возникает интеграл J 6 (и') ехр [—(и — и')] du', который
О
и
надо рассматривать как предел lim j du'b (и*) ехр [—(и, — «')] = е^й
(е > 0). В результате уравнение (3.3.6) приводится к виду
— F(u)-\-^du' F (и') ехр [—(и — п')] + е~и=0.	(3.3.8)
о
Функция е-и в этом уравнении является, очевидно, распределением
нейтронов источника, испытавших только одно соударение с ядром
водорода при летаргии и' = 0, а F (и) — скорость соударений с яд-
рами водорода (в 1 см3) в нейтронном поле, порожденном источником
Q (и) - е-ь! при и 0, Q (и) = 0 при и <1 0.
Полагая теперь в уравнении (3.3.8) F (и) ~ у (и) е-и, приходим
к простому уравнению
—у (rz) Ч- $ du' у (и') -1- 1 = 0,	(3.3.9)
о
84
откуда вытекает, что
1/(0) = 1.	(3.3.10)
Дифференцируя уравнение (3.3.9), находим dyldu = у. Это урав-
нение при начальном условии (3.3.10) имеет решение
У (и) = еи,
откуда F (и) еее 1, и решение уравнения (3.3.6) получаем в виде
Fs (и) = 6 (и} + 1 при и ^0;
Fs (и) = 0 при и <Z 0.
Здесь сингулярная часть решения 6 (и) имеет физический смысл
функции распределения тех нейтронов моноэнергетического источ-
ника, которые не претерпели ни одного соударения. При
Fs (и) = 1 из (3.3.4) получаем
Ф (и) = 1/5 s (и), и > 0.	(3.3.11)
Эта задача впервые была поставлена и решена Э. Ферми в 1935 г.
Выражение (3.3.11) называют спектром замедления Ферми на водо-
роде.
Переходя от логарифмической шкалы отсчета к энергетической
с помощью формул
Ф (Е) dE = Ф (и) du; Ф (Е) = Ф (u)\du/dE\; и = In {Ей1Е),
для потока нейтронов Ф (Е) ~ v (Е) п (Е), отнесенного к единице
энергии, находим (если 5S не является функцией энергии)
Ф (Е) = l/SsE — 1/Е,	(3.3.12)
а для плотности нейтронов п (Е) (также отнесенной к единице энер-
гии) получаем
п (Е) = l/5sEi> ~ 1/Е 3/2.	(3.3.13)
Выражения (3.3.11) — (3.3.13) являются различными представ-
лениями спектра замедления Ферми на водороде.
При А > 1 надлежит решать уравнение замедления (3.3.5).
При 0 <1 и q оно, очевидно, принимает форму
и
— Fs (н) + С du' Es (и')	§ (U) = 0.
J	1 —а
б
Используя подстановку (3.3.7), приводим это уравнение к виду
и
— F (и) 4- Г du' F (и’)	(3.3.14)
J	1— а	1—а
о
Здесь последнее слагаемое описывает распределение нейтронов
источника, испытавших только одно соударение при летаргии и=0.
85
Подставив в (3.3.14) F (и) ~ у (и) е~", получим
Следовательно,
Л(+0).
Таким образом, функция F(u) в пределах первой ступеньки за-
медления (и £ [0, q]) возрастает от значения F (4- 0) = 1/(1 — а)
до значения F (q —0) = ехр [ctg/(l — а)]/ (1 — а) > 1/(1 — а).
Если взять u>q, то нетрудно убедиться, что подстановка (3.3.7)
в (3.3.5) приводит к уравнению
и
— F(u)+ f ' da' /Ди')ехр-Мц-И]=д u>q, (3.3.16)
J	1 —«
u~q
которое отличается от (3.3.14) отсутствием третьего слагаемого.
Это объясняется тем, что нейтроны источника, испытавшие только
один удар при летаргии и = 0, не могут выйти за пределы первой
ступеньки замедления [0, д].
Дифференцируя (3.3.16) и учитывая, что производная от инте-
грала дает три слагаемых (производные по верхнему и нижнему
пределам и производная от экспоненты по и под знаком интеграла),
сначала найдем
dF (и) д F (и) F (u—q) е q
du 1—а	1 — а
и
— С du'F(a') ехР[~(/г"“')].=о.
J	1 —а
u — q
и
Согласно (3.3.16), j в этом выражении равен F(ti). Учитывая это
u—q
и вспоминая, что q = — Ince, легко получаем
dF iii}   а
du	1— а
[F (u)^F (u — q)], u>q.
(3.3.17)
86
Решение такого функционального ^уравнения нельзя предста-
вить в общем виде элементарными функциями. Однако его можно
получить шаг за шагом, переходя последовательно от одной ступень-
ки замедления к другой.
Так, если взять интервал q < и < 2q, то 0 < и — q < q, и значение
функции F (и —q} определяется формулой (3.3.15). Тогда уравнение (3.3.17)
принимает вид
(3.3.18)
Начальное
(3.3.16):
а значение
условие для этого уравнения (при и~q 0) следует получить из

ехр [—(7 —а')]
о
F (uf) под знаком интеграла из (3.3.15). Тогда получим
а
(3.3.19)
/(? + 0) = ---- ехр
1—а L
Решение уравнения (3-3.18) с начальным условием (3.3.19) имеет вид
Г а («—<?) L, г rn а v
F(q-\-Q) — —------------------— ехр
' а (и—?) ‘
F (и) = ехр
1—а
1 — ос
После несложных преобразований его можно представить в форме
1	/ аа
F (и) = ----- ехр ------
1 —tx	\ 1 — а
/ q
------- ехр — —----------
I — а	V 1 — а
Действуя аналогично, мы можем последовательно продолжить значения
F (и) в интервалы летаргии [2q, 3q], [3q, 4q] и т. д. Однако сложность получае-
мых при этом выражений будет все время возрастать.
Функция F [и) при Л > 1 была впервые исследована Плачеком
в 1946 г. [14]. Ее обычно обозначают Fp (и) и называют функцией
Плачека. Таким образом, решение уравнения (3.3.5) представляет-
ся в виде
Fs (и), = 6 (и) + Fp (//).	(3.3.21)
Поведение функции Плачека FP (и) в зависимости от и в пределах
двух ступенек замедления теперь определено. При и = q она тер-
пит разрыв, определяемый формулами (3.3.15) и (3.3.19):
Ер(7—0)==—expfy^—); FP (7 + 0) = Гехр 'j — 1 .
Этот разрыв определяется разностью
FP (7 — 0) — FP(q 4- 0) = а/(1 — а) > 0.
Таким образом, функция Fp («) равна 0 при и <Z 0, равна
^р(+ 0) = 1/(1 — а) при и = -)-0, возрастает от этого значения
87
a
q \
до значения F? (7 — 0) =	exp J	I при a = q — 0 и тер-
пит разрыв при этом значении и. становясь равной
ЗД+0) —
/ <7
ехр[ - -
Д1 — а
-I <FP(q-0) =
О'	/ о \
------ехр —.
1 — а	\ 1 — и /
Смысл этого разрыва становится понятен, если принять во внимание,
что источником нейтронов для функции Fp (и) являются те нейтро-
Рис. 3.4. Функция Платекй
ны источника Q (и) = 5 (w), которые, испытав только один удар,
оказываются в пределах первой ступеньки замедления и £ [0, у]
и отсутствуют при и Z> q.
Плачек, а затем Вейнберг и Вигнер получили в явном виде функ-
цию FP (и) для различных значений массовых чисел замедлителя
А = 2, 3, ... Соответствующие графики зависимости FP (и) от летар-
гии и 0 представлены схематически на рис. 3.4. На графике видна
точка разрыва при и — q = 2 In [(4 + 1) /(4 — 1)]. Если функция
FP (и) терпит разрыв при и = q, то в дальнейшем (с ростом и Д> q)
она уже непрерывна. В то же время производная Fp(u) терпит разрыв
при и = q и и = 2 q и непрерывна при и Д> 2 q. Вообще л-я произ-
водная F{p} (и) испытывает разрывы при и = q, и = (п -ф 1) q
и в дальнейшем непрерывна.
Наконец, важно отметить, что
lim Fp(ti} = const = Fap .
88
Таким образом, существует асимптотическое значение решения
уравнения (3.3.5), равное постоянной*. Что касается постоянной
fpS, то ее сразу же можно найти из формул (3.2.6) и (3.2.10). Для
этого подставим в (3.2.6) значение Xs («,', и") из (3.3.2а) и, используя
затем подстановку (3.3.4), где. нужно положить Fs (и') = Fp,
получим
/(«) = J dii' Fs (и') du"
u—q	и
ехр [ — (и" — и')]
1 — а
и	и’+д
= F? Г du' f du" ехр[-(Ц-—HL.
J J	1—а
u—q и
После двойного интегрирования найдем
j (и) =	£ - 1 — а?/(1 — а),	(3.3.22)
где В — среднее значение летаргии, приобретаемой за одно соуда-
рение [см. (3.1.16)]. Используя теперь равенство /(w) = 1 из
(3.2.10а), справедливое в отсутствие захвата при замедлении, полу-
чаем Fps = 1/Е (см. рис. 3.4). Таким образом,
Fp^- 1/t	(3.3.23)
Так как функция Плачека имеет смысл скорости соударений
[Др (и) = Fs («) = 25Ф («)], то на асимптотике
Fp (и) = 1/Н.; Ф (н) к 1/^5; Ф (£)	l/^s£; 1
п (Е) ъ l/^sEv — UESF.	{ (   J
Все эти выражения описывают спектр Ферми в однокомпонентном
тяжелом замедлителе**. В отличие от случая замедления на водо-
роде спектр Ферми устанавливается не сразу, а асимптотически.
Однако эта асимптотика достигается весьма быстро (см. рис. 3.4).
Осцилляции функции Плачека практически затухают уже при и
3 qt и можно принять
FP (и) л; 1/£ при и > 3 q.	(3.3.25)
Заметим, что, согласно (3.3.23), асимптотическое значение плот-
ности соударений, равное постоянной, достигается только в шкале
* В работе Феллера (Feller W. On the integral equation of
renewal theory. — «Ann. math, statist.», 1941, v. 12, p. 243 — 266)
t
исследовалось уравнение и (f) = [ ti (x) f (t — x) dx + g (/), возникающее в
о*
некоторых статистических задачах. Из этой работы следует, что решение
Уравнения (3.3.5) имеет асимптотическое представление в виде постоянной.
Формулы (3.3.24) переходят в формулы (3.3.10) — (3.3.13), если в
(3.3.24) положить А — 1, так как £ , . — 1.
39
летаргии, в чем состоит некоторое преимущество логарифмической
шкалы отсчета (по сравнению с обычной энергетической) для тео-
рии замедления.
Начало отсчета летаргии в уравнении (3.3.5) может быть произ-
вольным. Поэтому решением уравнения
-ЛИЧ- f du’ Л (?/)-ехР[-(“-ц')1 4-6(« —«0) = о (3.3.26)
J	1 — а
является функция
G (и, и0) = 6(и — п0) + Fp (и — uQ). (3.3.27)
Таким образом, G (и, п0) есть функция Грина уравнения (3.3.26),
и решение уравнения
Л (Л— f du' F3 («') _exp[-(u-^)]	(3.3.28)
J	1 — a
u—q
можно записать в виде
Fs(u) -= f du0 Q (uQ) G («, u0) =Q («)л- (' du0 Q (u0) FP(u~uG). (3.3.29)
§ 3.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ
В БЕСКОНЕЧНОЙ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЕ
С ЗАХВАТОМ. ВЕРОЯТНОСТЬ ИЗБЕЖАТЬ ЗАХВАТА
Рассмотрим решение уравнения (3.2.5), которое после подста-
новки
F(u) = S (и) Ф (и)	(3.4.1)
(полное число всех видов соударений в 1 см3 в 1 сек) приводится
к виду
и
did F («')	(и1)
-хр [	+6 (и) = 0,
1 — а
max {u—qt 0}
(3.4.2)
где
фДп) - 2,(zz)/S(«) < 1.	(3.4.2а)
Обозначим Фа(м) = 20(zz)/S(w) >> 0, так что
'!’.(«) + 1|>0(и) = 1.
(3.4.3)
Как и в § 3.3, предположим рассеяние в системе отсчета, где
центр инерции нейтрона и ядра покоится, изотропным, так что диф-
90
ференцйальное сечение упругого рассеяния	представляет-
ся в виде (3.3.2а). Используя (3.4.3), перепишем (3.4.2) как
и
F (и) qs(u)-[du'F(и')	(«') .гаМ--(“-я'..))
J	1— а
о
=6 («)—фа (и) F (ц).
(3.4.4)
Такая форма записи дает возможность разрешить уравнение (3.3.4)
относительно произведения Г (и) фе(п) по формуле (3.3.29). В ре-
зультате получим
F («) Ф5 (и) = 5 [6 (w0)“ Фа ы F (u0)] G (и, «J duQ. (3.4.5)
О
Отсюда вытекает
Г(ц)ф3(и) = С(0, и) — фа («0) 5 (w0) G (и> Uo)duo .	(3.4.6)
о
Функция фа/7 = 2а(у)Ф(^) (скорость захватов) под знаком
интеграла в правой части (3.4.5) является для его левой части
(^фз = 2Ди)Ф(н) — скорости только упругих соударений) источ-
ником отрицательной мощности. Отсюда следует, в частности,
что при наличии узкого резонансного пика при п.о = «6, когда
график функции фа(п0) подобен графику 6-функции, в решении
должны возникнуть осцилляции Плачека, напоминающие перевер-
нутый график рис. 3.4 в направлении возрастания и (и > llq) по
оси летаргии.
Используя теперь явный вид (3.3.27) функции G (и, п0) и ин-
тегрируя содержащуюся в ней 6-функцию, приведем уравнение
(3.4.6) к форме
ф3 (и) F (н) = б (и) 4- FP (и) —фа («) F (ц)—$ Fp (w—w0) фа (w0) F (и0) du^
О
или с учетом (3.4.3)
F (u)=b(ii)-\~Fp{u) — ^F ? (u —u0) фо (u0) F (u^) du0. (3.4.7)
b
К функции Плачека под знаком интеграла прибавим и отнимем
от нее число 1/£. В результате получим
и
F (и) = 6 (и) 4- Fp (w)— у J duQ фс (н0) F (w0) 4-
О
~ Fp(u—и0)1.	(3.4.8)
о
4 j du0 ф„ Ы F (м0)
91
Это уравнение точно соответствует уравнению (3.4.2), но оно бо-
лее предпочтительно, поскольку такая форма записи позволяет
легко найти различные приближенные представления решения,
отличающиеся степенью точности представления.
Прежде всего возьмем случай, когда и > 3q. Тогда функцию
Fp(ii) можно заменить ее асимптотическим представлением (3.3.23),
В результате имеем
и
F (и)	—	ф,7. (н0) F Ы Н-
и
О
Уравнение (3.4.9) было получено в 1955 г. Вейнбергом и Вигнером
[5j, Корнгольдом [16] и независимо от них и в то же время В. В. Ор-
ловым. Если в квадратных скобках под знаком последнего интеграла
принять для функции FP (и — ио) ее асимптотическое значение 1/|,
т. е. пренебречь осцилляциями Плачека, то интеграл становится
равным нулю и
и
=	W •	(3.4.10)
Это уравнение называется уравнением замедления в
Вигнера. Из него вытекает:
f(0)=J_;	----qa(u) F (иу,
& dll	s
приближении
(3.4.11)
Найдем вероятность нейтрону избежать поглощения ср(п). Под-
ставив в (3.2.10) выражение 2а(и)Ф(п) = фа(м)Г(п), представ-
ленное с помощью формулы (3.4.11), получим
/ О) = 1 —
%(п')ехр
и'
— I du^ (w0)
е J
о
Интеграл по du! легко вычисляется, так как
-и'
----Г f (Но)
£	и
L о	J
du0 Ф„ (п0) ,
92
^следствие чего
(3.4.12)
Заметим, что формула (3.4.11) теперь может быть записана в виде
F(u) = Ф(Ы) /f	(3.4.13)
В случае слабого поглощения нейтронов, т. е. при <р(п) яе 1,
F (и) ъ 1/g; Ф (и) « 1/УЗД.	(3.4.14)
Таким образом, получено представление потока нейтронов от моно-
хроматического источника единичной мощности в приближении Виг-
нера (т. е. в пренебрежении осцилляциями Плачека) и при условии
слабого поглощения:
ср (и)	1.	(3.4.15)
Отсюда легко уяснить физический смысл формулы (3.4.12). Если ус-
ловие (3.4.15) справедливо, то из (3.4.12) имеем
1 г
g (и) = ~ % (и') du' 1;	(3.4.16)
о
Ср (и) = ехр [—g (u)] « 1 — g (и).	(3.4.17)
Следовательно, если поглощение слабое, то g (и) есть вероятность
нейтрону быть захваченным при замедлении до летаргии и. Такой
смысл функции g (и) станет особенно наглядным, если в формулу
(3.4.16) подставить представление потока нейтронов (3.4.14) в при-
ближении Вигнера. Тогда
и	и
«(«) = 4	(3.4.18)
S	J	2 (“ )	J
о	о
является скоростью захватов в интервале летаргии [0, и]. Разделив
это выражение на полную скорость излучения нейтронов источ-
ником, т. е. на его интенсивность, получим вероятность захвата
в интервале летаргии [0, и]. Но поток нейтронов (3.4.14) образован
источником единичной мощности. Значит, формула (3.4.18) дейст-
вительно определяет вероятность слабого захвата. В случае, когда
93
захват нельзя считать слабым ig (w) II, в приближении Вигнера
его вероятность следует определять по формуле
1 — ср (и) = 1 — ехр [—g (и)]-
Интересно выяснить, к каким поправкам приводит хотя бы приближенный
учет осцилляций Плачека. Заметим б связи с этим, что последний интеграл
в уравнении (3.4.9) зависит в основном только от тех значений «0, которые
лежат в интервале и — 3q < г/0 < и, так как при и0 < и — 3q выражение
в квадратных скобках под знаком интеграла становится пренебрежимо малым.
Поэтому если предположить, что в интервале - - 3 q, ц] функция фа («0)Л (z/u)
меняется слабо, то
и
J" duQ фа (w0) P (w0)
b
LL

1 du<>
Jis	J
0
Так как подынтегральное выражение в правой части при п0 < и — 3q,
и0 -> —те быстро стремится к нулю, то с достаточной степенью точности
можно заменить нижний предел 0 на — ос, так что
а	и
— — Рр	— «о)
</Ц() —
L ё
О
’—-GO
<Х>
1
dU
-Fp(C7) .
(3.4.19)
s
о
Известно (см* упражнение 4), что
со
лэ
dU — — Fp(U) -1
о
(3-4.20)

где величина у вычисляется по формуле
у=1 — од3/ [2(1 — сс) Е].
(3*4.21)
Подставляя теперь (3.4.20)^ (3.4.19) в (3,4.9), приходим к уравнению
W
Ф Г du0 фа (ц0) F (и0) -Г (1 — дМ («) F (и) >
о
откуда
F (*) [£—(£“?) Фа («)1 = 1 — I Фа Ы о)
0
Используя (3.4.3), последовательно получаем:
[£ф« (и) -|-уфа (и)] F (и) = 1 — [ dlls фа (м0) F (и0);
о
F (0) = [^s (0)	(0)] -1;	(3.4.22)
d ,	.
— {[^8 («)-ГЖ («)] F (м)} = —фа (и) F (и);
аи
94
d {[^s+'ppg] F (ц)} =_ Фа (») dll .
[ёФ5+?Фа] F (“)	H>s (“)+?Фа (“)
d 1п{[£фз + уфо] F (u)}=—
"фа (u) dll
^Фв+^Фа
Проинтегрируем последнее уравнение, после чего, учитывая начальное
условие (3.4.22), найдем
и
Z(u)
£Ss (u) -|-ySa (и)
(3.4.23)
т. e. получено решение уравнения замедления (3.4.2) в приближении Грю-
и ига—Гер цел я, в котором осцилляции Плачена учтены приближенно (в сред-
нем) по формуле (3.4,19). Чтобы найти вероятность ф (и), вычислим интеграл
в формуле (3.2.10):
и	и
du' 2а (и’) ф (/?) = У du' фа (и') F (и') =
а	о
1 — ехр
фа (ц') du'
£ф® («') + ?Фа («')
так что
j (и) = ехр
ф0 (и') du'
ьфз («') + Уфа («')
;/(Н-0) = 1.
Отсюда
( и
, ,	7(«)	Г 2а(**'Н«'
Ф (и) ~ —---— = ехр < — | ---------:-----------
7(+0)	J (и') + ?2а («')
I о
(3.4.24)
В заключение заметим, что основное предположение о слабой зависимости
Функции фо (и0) F (ц0) от и0 в интервале и — 3q < ив < и может плохо
выполняться, если как раз па этот интервал летаргии приходится зона силь-
ного (резонансного) поглощения Ди. Если область Au отстоит от значения
летаргии и достаточно далеко, то расчет по формуле (3.4.24) должен дать луч-
ший результат, чем формула Вигнера (3.4.12).
Упражнение 1. Решить уравнение замедления в предположении,
что замедлителем является водород, а поглотителем—тяжелое ядро, замед-
лением на котором пренебрегаем; уравнение замедления при этом имеет вид
и
~F (u)+J du' F (и') ф8 (и') ехр [- {и—и')] + 6 (и) = 0.	(3.4.25)
95
Требуется найти вероятность для нейтрона избежать поглощения ср (ц)
адача Бете, 1937 г.).
Решение.
F (п) = 6 RO + ФНО) ехр
фа (и) = 2Л (u)/S (и);
ф (и) =ехр
и
— [ фа (u')dtl'
О
(3.4.26)
Упражнение 2. Получить результат упражнения 1, решая
равнение (3.4.7).
Упражнение 3. Используя представление (3.4.11) функции F (и)
приближении Вигнера, получаем
и	\	f
1 г
— F (0) exps — —' фа(«')й?«' 'или F (и) ~-=F (гг0) ехр —
= •>
I о	I
лкуда
F (и0) = F (и) ехр
фд (и') du'
(3.4.27)
1одставляя F (zz0) в последнее слагаемое правой части уравнения (3.4.9),
)азрешить его относительно F (и) и найти вероятность избежать захвата ср (и)
s приближении (3.4.27).
Решение.
ехр!— j 'dll' фа (u')/[fe —Idu')]
( о
(3.4.28)
а
dua
Г 1
"Г — Fp (и—w0)
. 5
фа («о) ехр
(и
— f du' фа («')/[£ — gi (и')]
о
(3.4.29)
Замечание. Формулы (3.4.28), (3.4.29) называют приближением
Вейнберга — Вигнера. Они дают более точный результат, чем приближение
Вигнера и Грюлиига — Гер цел я.
Упражнение 4. Вычислить интеграл (3.4.20)
aq2
2(1^«У1
о
Решение. Достаточно вычислить интеграл
J (X) =f dU [I£ — Fр (О)] ехр ( — MJ), Re
о
(3.4.30)
и тогда искомое выражение получится как limJ(X) при ?„ -> -J- 0.
96
Функция Плачека Fp (w) удовлетворяет уравнению
и
— Fр (и) + f da' Fp(u')W («—«')-{-Г (и) О,
о
(3.4.31)
где
е “
W (u) = 1 — а
« С [0, ?];
О,
« е io, 91-
Интеграл Лапласа от W (u):
CO	Q
_	ft	tQ
IF (Л)— \du exp (—Xu) IF (u) = I du exp( — Xu) IF (u) =
b	о
с7шествует и ограничен во всей плоскости комплексного переменного* Его
можно представить абсолютно сходящимся степенным рядом:
^(А)=^(0)+-~W' (0)4--|у П?"(0)4-...,	(3.4.32)
* * *
I— ехр [— (К+1)<71
где
__	__ Q
Г(0)=1; W' (0)= — J’dwwW7 (u) =
о
_ я
<U> = — £
О
Образуя интеграл Лапласа от (3.4.31) и используя теорему об интеграле ’
Лапласа от свертки функций, находим:
—Fp &)+Fp (X) U? (Х) + 1Г (X)=0;
oo
J dti e~Ku F
0
W (X)
з (3.4.30) вытекает, что
Лл) = FpCM
IV7 (X)
1— Г (X)— &W (X)
ч
Подставляя сюда разложение (3.4.32), получаем
__^2	_ __________
------[F" (0) —2F' (О)2] — ...
_ _	2
-но
—	(О)
X2
_ Ц7' (0) — — W" (0)— ,.
2
2 [1^40)1-
откуда имеем
4 ' е ' 1	... ' '
ъ
так что у в (3.4.20) выражается через отношение второго момента по летар*
гни к первому* Вычисление второго момента дает формулу (3.4.21).
Зак. 85
97
§ 3.5. РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
В МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЕ
В § 3.2 — 3.4 рассматривалась пространственно однородная
однокомпонентная среда, и вероятность ср (и) избежать поглощения
в ней была вычислена в трех различных приближениях (Вигнера,.
Грюлинга — Герцеля, Вейнберга— Вигнера) без конкретизации се-
чения <за (и} в зависимости от летаргии или энергии.
Проанализируем более общий (и более важный практически)
случай многокомпонентной замедляющей однородной среды с рас-
пределенным в ней резонансным поглотителем ядерной плотностью
р, резонансные уровни которого описываются формулой Брейта —
Вигнера и считаются хорошо разрешенными, так что интерференция
между ними исключена предположением, что расстояние D между
соседними уровнями сильно превосходит зону резонансного погло-
щения ДЕэф:
Интервал АЕэф определяют как интервал энергетической оси,
в пределах которого взаимодействие нейтрона с ядром поглотителя
в основном резонансное. Величину АЕэф определим ниже. Во всяком:
случае, она должна быть такова, что когда значение кинетической
энергии Е нейтрона лежит вне АЕэф, то
"	V-/
где зависимостью сечения потенциального рассеяния многокомпо-
нентной среды от энергии, как обычно, пренебрегают, поскольку
в резонансной области она несущественна. Если пренебречь интер-
ференцией между потенциальным и резонансным рассеянием, то
полное макроскопическое сечение в интервале АЕэф можно выра-
зить в наших предположениях формулой
2 (Е) =	(Е).	(3.5.1)
2r (Е) описывается одноуровневой формулой Брейта — Виг-
которая в окрестности резонансного
Здесь
вера,
вид
уровня Ео Г имеет
ра0
рсг0
е-е°
А -- 
Г/2
+ Г? — ширина уров-'
Г складывается из пар-
(3.5.2*
где сг0 — высота резонансного пика; Г = Гп
ня [график функции (3.5.2) дан на рис. 3.5].
циальных ширин: Г\ — нейтронная ширина, Г7 — радиационная
ширина, а отношения Гп/Г и Гт/Г — вероятности упругого рассея-
ния с образованием составного ядра и радиационного захвата
ветственно. Тогда выражения
20 (£)-S,(E) А ~ А.; Ssr {Е) = S, (Е) ЗХ
соот- 
I в
г
(3.5.2а).
определяют сечения радиационного захвата и упругого резонанс-
ного рассеяния с образованием составного ядра. Таким образом,
V == — а " sr •
В § 3.4 показано, какое значение имеет функция Плачека, опи-
сывающая ход плотности соударений в зависимости от энергии в не-
поглошающей среде с моноэнергетическим источником, для вычис-
ления вероятности избежать захвата ср (и). В нашем случае для не-
поглощающей среды (w) = 0, S(u) = Ssp, и уравнение баланса
нейтронов с источником моноэнергетических нейтронов имеет вид
и
_®(u)Ssp + y С du' Ф (u»J	ехр 1р(“—)] + 6 («)=0;
—	.)	1—а/
1 max {Оги —	}
—1)/(Лг4-1)р; ^=1п(1/аг),
(3.5.3)
где — макроскопическое сечение потенциального рассеяния
для /-й компоненты смеси изотопов.
Введем для удобства характеристическую функцию
[ 1 при О С и < qi,
и (0 при и < 0, и Д> qi>
Тогда после подстановки в (3.5.3)
Fs (и) = Ф (и) Ssp = 6 (и) + Ер (и)
уравнение для вычисления функции Плачека Гр («) многокомпо-
нентной среды получим в виде
и
—Fp («) 4- У d“' fp Ю У i & ~ «') "ХР	+Q («) = О,
i J	1—а/
о
(3.5.4)
где Cl = Sspl/Ssp;y Сг = 1; Q (н) = УСгуДн) -----------•
I	I
Третье слагаемое в (3.5.4) является суммой распределений одно-
кратно рассеянных нейтронов моноэнергетического источника в
пределах каждой ступеньки замедления qL на Z-м рассеивающем изо-
топе и имеет столько разрывов, сколько различных изотопов содер-
жится в смеси. Соответственно и функция Fp (и) при и = qi имеет
такое же число разрывов, каждый из которых имеет характер рис. 3.4.
Согласно общей теории при и > max gp = q функция FP(ti) не-
прерывна и справедливо соотношение
Fp№^ const = F™,	(3.5.5)
пРичем этот предел достигается быстро при и > 3 q (так же, как и в
^покомпонентной среде, см. § 3.3). Вычислить асимптотическое
4^
99
ачение функции Плачека можно теми же способами, как и в
J.2.
Функция потока замедления / (и) теперь имеет вид обобщенной
i случай многокомпонентной среды функции (3.2.6)
и
/И = 2 j cfw'Ф («') 2spi
max {0, и—}	и
(3.5.6)
„ ехр [—(и"—и
1 —а;
Рис. 3.5. Резонансный максимум в ходе попереч-
ного сечения поглощения нейтронов [формула
(3.5.2)]
Дифференцируя (3.5.6), находим
^4^
= У Ф М S f du" eIip И	_
du	' tpI J	1-щ
*	и
и
-У [ du' Ф(Ц-)^„,ехр|7(ц~“'^ =ф(Ы)х№-
~ J	1—KZ
* шах {0, и— qfl
и
-2 J “и' Ф («') Ssp,= 6 (и).
i max ^0,
(десь учтено, что функция Ф (и) удовлетворяет уравнению (3.5.3).
Следовательно, как и в § 3.2 [см. (3.2.10а)],
j («)
( 1 при и О 0;
[ 0 при и < О,
(3.5.7)
что соответствует закону сохранения
среде. Подставляя в (3.5.6) / (и) = 1
плотности соударения Fp, находим
нейтронов в непоглощающей
и асимптотическое значение
Так как
ехр [ — (и"—ц')] du"
1— «I
ехр [(ц.-ы-)] du, =
I —0-1
(3.5.7а)
то
Величина
(3.5.8)
имеет смысл среднего приращения летаргии на одно соударение
в смеси изотопов. Тогда
FP (и) -> FaPs = 1/g,	(3.5.9)
и в результате приходим к спектру Ферми в многокомпонентной
среде при постоянных сечениях [или в приближении (3.5.10)*].
Приближение Вигнера для вычисления ср (и) в многокомпонент-
ной среде имеет вид (см. приложение П3.1)
ф(и) = е~Л; R =
c/uoa(u)/S(u).
(3.5.11)
Это выражение удобно записать с помощью эффективного резонанс
ного интеграла 7Эф, определяемого формулой
Тогда
Лф = J duaa («)	(и).
(3.5.12)
Я = рАф/ISsp-
(3.5.13)
* Заметим, что совершенно тот же результат получается, если вместо
2sp взять сечение Ss (и) [Ss(u) =	(u)J, но зависимость всех пар-
I
Циальных сечений от и принять одной и той же, так что
Cl =	(«)/2з (“) = const; 2 ci =* 1	(3,5.10)
Тогда снова Fp (w) -> FpS — 1/^ Представление (3.5.10) называют прибла-
экением постоянных сечений.
101
Так как £ имеет смысл скорости захватов в нейтронном поле
жоэнергетического источника единичной мощности, а величина
Ф<°> = 1/125Р
(3.5.14)
иеет смысл спектра Ферми в непоглощающей среде, то из (3.5.13)
тедует, что Jg$ представляет собой такое проинтегрированное по
ггаргии эффективное микроскопическое сечение, которое дает
давильное значение скорости поглощений на спектре Ферми Ф<°>.
оэтому /Эф принято определять в барнах.
Вычислим /Эф на одном изолированном уровне с помощью фор-
ул (3.5.1), (3.5.2). Пусть Д£Эф < £0. Тогда 1/£ » 1/£0 при Е,
о С Д£эф и
Л Ф = f Л,.юа (и)	= С ао (Е)	« Д- С (Е)	.
J	2 (a) J h	ъ (Е) to J	£ (с)
£__£
Перейдем от переменной Е к переменной х = —-Считывая,
то в интервале —D/2	Е — Ео D/2 сечение радиационного
ахвата представляется формулой (3.5.2а)
Оо(Е)=_Н2------1,
7	14-х2 г ’
случаем
D/Г
j — g° ГУ/Г	г	С	dx__________£sP
Эф- Ео	2	J	14-х'2	Ssp+P^o/(1+*2)	‘
—о/г
)тсюда следует
по0 Г? 1 р dx р _ pgp __________ а0
эф~ 2£0 я J i + x24-fi’ 2sp
— D/Г	Р
(3.5.15)
(3.5.15а)
'ДО osp = 2sp/p — сечение потенциального рассеяния смеси изо-
?опов, приходящееся на одно ядро резонансного поглотителя.
Эбозначим
J# = лсг0Г?/2 Ео.
Тегко видеть, что выражение

Щх. f ЛЕ 1  = — г?-
£0Г J H-xs 2F.„
(3.5.16),
если£> Г, имеет смысл резонансного интеграла. Подставляя (3.5.16) 1
в (3.5.15а) и переходя к новой переменной £/ = x/Vl-rP, получаем 1
Эф
div 1 i+₽
-D/г УТ+Р
(3.5.17)
102
Здесь главный вклад в интеграл дают значения ]r/| < 1, т. е. зна-
чения энергии порядка — £0| < Г V1 Именно в этом ин-
тервале энергии взаимодействие нейтрона с ядром в основном ре-
зонансное. Поэтому целесообразно принять
Д£,Ф = Г
резонанс считаем изолированным, когда выполняется условие
2?/А£зф = Р/Г УТЛ7! > 1-
Рис. 3.6. Поток нейтронов в области резонанса
Тогда интегрирование в (3.5.17) с достаточной степенью точности
можно провести в интервале от — оо до + оо и получить
= л/тт+д;	(3.5.18)
т- е' Лф < Л?. В этом проявляется эффект самоэкранировки ядер
резонансного поглотителя (или гомогенный блок-эффект). Остано-
вимся на этом подробнее. В выражении (3.5.12) величина («) =
= Ф (и) описывает в вигнеровском приближении поток нейтронов
в окрестности резонанса. На рис. 3.6 она изображена сплошной
линией, а пунктиром нанесена естественная брейт-вигнеровская
линия сечения резонансного захвата Максимальное значение
сечения захвата приходится на область, где поток нейтронов испы-
тывает максимальную депрессию (блок-эффект), поэтому истинное
поглощение нейтронов в условиях самоэкранировки меньше и 7Эф<С
Но если р ->0 и резонансный поглотитель постепенно разбав-
лять не поглощающими нейтроны ядрами, так что р ->0, то
Это объясняется уменьшением депрессии потока Ф (и)
с ростом разбавления.
При наличии различных хорошо разрешенных резонансов в
соответствии с формулой (3.5.12) надо просуммировать (3.5.18) по
Юз
этим уровням:
(3.5.19)
Интеграл /эф (3.5.19) сложно зависит от концентрации поглоти-
теля р. Однако можно описать эту зависимость в более явном виде.
Для этого разгьем условно все резонансы поглотителя на два типа:
1) сильные резон; нсы, для которых = ро?/2йр 1, и 2) слабые,
для которых ₽г- = po;/2sp < 1, Тогда можно записать:
/эф ~ Jr для I ;
(3.5.19а)
или
/эф = У + V2sp/p 6,	(3.5.20)
где первое слагаемое дает неблокированную часть резонансного
поглощения, второе—блокированную*. Тогда
<р = е-«; R= Щ—(7р 4-Кр/2^6).	(3.5.21)
На самом деле строго разделить резонансы на сильные и слабые
невозможно, поскольку всегда имеются промежуточные резонансы.
Поэтому формулы (3.5.20) и (3.5.21) следует рассматривать как ин-
терполяционные, для которых коэффициенты у и б целесообразно
брать из прямого эксперимента по измерению /эф.
Применяются и другие эмпирические или полуэмпирические
формулы. Например, когда поглотителем является 23SU, то при
2sp/p 1000 барн иногда используют формулу
/эф = 3,9 (Ssp/P)0’415,
предложенную Митчелом и др. в 1944 г.
* Отношение 2sp.'p = crsp имеет смысл сечения потенциального рас-
сеяния смеси, приходящегося на одно ядро резонансного поглотителя, и оп-
ределяет степень его разбавления замедлителем. Например, для урана (без
замедлителя)	=& 10 барн.. Разбавление замедлителем обычно харак-
теризуется значениями osP порядка тысяч барн на одно ядро.
104
§ 3.6. ПРИБЛИЖЕНИЯ УЗКОГО И ШИРОКОГО
РЕЗОНАНСОВ
В § 3.5 рассмотрена вероятность для нейтрона избежать резо-
нансного поглощения в приближении Вигнера. Это означает, что
при вычислении плотности соударений пренебрегается осцилляция-
ми Плачена, а также осцилляциями функции влияния резонансного
рассеяния в многокомпонентной среде (см. приложение П3.1).
Подойдем к этому вопросу с несколько иных позиций.
Пусть р — ядерная плотность резонансного поглотителя с мас-
совым числом А, резонанс которого с параметрами Ео, о0, Г =
= Г„ -г- Г? можно считать изолированным. Тогда прочие ядра
смеси изотопов по отношению к нему являются замедлителем,
причем
2зам	v*	___
5	1 sp	'
Здесь SjaM = S где суммирование ведется по всем V изотопам
г
смеси, кроме резонансного поглотителя.
Если справедливо неравенство
(1 - аг) » ДЕэф = Г У - Г VI 4- pF0/2sp,
то резонанс Ео называется узким по отношению к замедлителю (его
эффективная ширина много меньше ступеньки замедления каждой
компоненты замедлителя). Пусть это требование выполняется.
Уравнение замедления для полной плотности соударений
г (и) = 2 (и) Ф (и) в окрестности резонанса (если она далека по
оси летаргии от летаргии единичного моноэнергетического источ-
ника) имеет вид
р=1п(1/й); qi' == In (1/аг).
1ак как по условию q ж ЕЕ&^/Е0 < qr (1 — ощ), то из об-
щего числа нейтронов, испытавших соударения с ядрами замедли-
теля, в интервал du' £ ДЕэ$/^о попадают главным образом те,
летаргия которых далека от области EE^/EQ, где, следовательно,
имеет место спектр Ферми для смеси изотопов
105
и S (u) ж 2sp. Теже нейтроны, которые испытывают соударения
с ядрами замедлителя при летаргии и &E^/EQ, имеют ничтожно
малую вероятность остаться внутри интервала ЛЕэф/Е0, так как
ступенька замедления на ядрах замедлителя велика по сравнению
с этим интервалом. Поэтому можно записать
I(u')	'
Тогда при узком по отношению к
нение замедления имеет вид
замедлителю резонансе урав-
И
F (и) = du' р
и— q
g(И + Osp р (и'\ ехр г~
S(u') V	1—а
£ зам
1Хр
(3.6.2)
Это уравнение можно решить различными приближенными спосо-
бами. Однако есть два практически важных случая, когда его при-
ближенное решение особенно очевидно.
Назовем резонанс узким, если он узок не только по сравнению
со ступеньками замедления компонент, входящих в состав замедли-
теля, но и по сравнению со своей ступенькой замедления. Наоборот,
резонанс назовем широким, если он широк по сравнению со своей
ступенькой замедления, но по-прежнему узок по отношению к замед-
лителю. Когда резонанс узок, то интеграл соударений в (3.6.2)
преобразуется так же, как интегралы соударений на ядрах замед-
лителя в (3.6.1), т. е. учитывается, что основной вклад в него дают
нейтроны, находящиеся вне интервала du’ б AE^/Eq, где
Р (CTsr (»') + CTsp) /Г М' \ — рg	Ф(0)	PffaP
s («')	sp
Тогда
did
Р [ст.$у ) ~j"CTsp] р (и') eXP I (^	^ )]
S(«')	1 }	1—а

(3,6.2а)
1
S^sP
106
Учитывая (3,6.1а), правую часть (3.6.2) можем записать в виде
формулы, отражающей общее свойство приближения узкого резо-
нанса:
и
* и —
= ^рф(0).	(3.6,26)
Таким образом, интеграл соударений или скорость замедления
е зону узкого резонанса равна 25у)Ф0. Отсюда сразу следует
F (и) = S (и) Ф (и) к	= 35;Жр = VI (3.6.3)
и
Ф (и) = 1/ёЕ (и),
т. е. в случае узкого резонанса для описания поведения потока в
многокомпонентной среде справедливо вигнеровское приближение
(3.6,3), так что формулы типа (3,5,20), (3.5.21), полученные в этом
же приближении, соответствуют идеологии узкого резонанса*.
Соответственно формулу (3.5.12) можно рассматривать как зна-
чение <7Эф в приближении узкого резонанса; тогда
(3,6.3а)
В случае широкого резонанса ступенька замедления мала,
т, е. функция ехр I—(и — и’)]!{ 1 — а) отлична от нуля лишь внут-
ри малого интервала 0 и — ur q, но интеграл от нее равен
единице. Таким же свойством обладает прямоугольник, прибли-
женно аппроксимирующий 6-функцию. Поэтому можно говорить,
что справедлив предельный переход
ехр [— (и — и')1/(1 — а) ->6 (и — п')**.	(3.6.4)
Подставляя в (3.6,2) ехр I—(и —	— а) яз 6 (и — и'\
получаем
F ~ . Р for («) + М F Щ	2 зам	= (и) +	V33M. г
2(ц)		2 (Li)	
(3,6,5)
где Ss (u) = p[oSr (и) Н- Ogp] — макроскопическое сечение упру-
гого рассеяния резонансного поглотителя. Формула (3.6,5) ста-
Говорят, что в этом случае используется Л^/?-приближение (приближение
узкого резонанса).
Такой предельный переход можно строго обосновать лишь в рамках тео-
рии обобщенных функций.
107
новится точной при q ->0 или А -> оо. Поэтому приближение широ-
кого резонанса еще называют приближением бесконечной массы*.
Учитывая, что 2 («) = 2S (и) + 2O («) + 2®ам, из
находим
S(w)—Ss(«)	2аам
F (u) ---12---112------= _Л_ , или F (и)
S (и)	i '	7
4 7	ъ Asp
Тогда скорость захватов выразится как
R - | duF (и) -^а	= —2— {duoa (и
J 2(“) J
(3.6.5)
1 2зам 2 (u)
Sa(u)-|-Ss33M
узам
----------. (3.6.6)
и) + 2зам
По определению эффективного резонансного интеграла в при-
ближении бесконечной массы резонансного поглотителя, или в WR-
приближении, получаем
£зам
J^f = duca (и)-------.
J 2а(«)4-2Гм
(3.6.7)
Это выражение отличается от (3.5.12), что объясняется другим ха-
рактером приближения. Произведя вычисления, аналогичные тем,
которые были использованы при выводе формулы (3.5.18) для одно-
го уровня, найдем
= Jr I ]/1 + р(тЖам ; D » Г ]/ 1ураЖам; = а0 Г7/Г.
(3.6.8)
Величина Д£^ = Г 1 + рОд/Е^ является эффективной ши-
риной широкого резонанса. Соответственно эффективная ширина
узкого резонанса описывается известным выражением =
=ГУ1 — poro/2sp. Очевидно, широкие резонансы легко уклады-
ваются в схему интерполяционных формул (3.5.20), (3.5.21). Если
к сильным резонансам прибавить широкие резонансы, для которых
рст0А / sr»l,	(3.6.9)
а к слабым — широкие резонансы, для которых
ро0 А I 2Г«1,	(3.6.10)
и /
то приближение бесконечной массы дает возможность учесть в фор-
муле (3.5.19) кроме узких и широкие резонансы.
* Приближение широкого резонанса называют ^^-приближением.
108
Однако не все резонансы можно считать широкими или узкими. Поэтому
з теории рассчитываются резонансы, которые по существу являются проме*
ху точными*. Интересный результат был получен Спи инеем в 1956 г. [16],
когда он решил уравнение (3.6.2) при выполнении соотношения
posP/2,P = Г„/Г.	(3.6.11)
Поскольку
poS7> (u) —3sr (if) — 2Г (и)
(«)Н 2s («)]
Г| ’
отсюда и из (3.6.11) следует, что
Р
vi/r -r 2Йр Гц/Г
2 (и)	Г
Подстановка (3.6.11) в (3.6.2) дает возможность найти стационарное решение
последнего уравнения:
const =—-г
const => const
и
J da’ const
W— q
2 зам
1 n , s
ехр[—(и —и')]
2 зам
const = F О)
^зам
РО,;Р
2sP
v3aM
const —--------
£ 2sP
№sp V1
2sP /
(3,6.12)
1 —а

Используя метод первого приближения теории возмущений, можно найти
поправку к приближению узкого резонанса для случая, когда резонанс
нельзя считать узким.
Действительно, множитель под интегралом соударений в (3.6.2) можно
представить в виде
p(7Sr (и) + pOsP	/	PCTsP \ 2 (и) 2sp ( P^sp /д g jg\
S (u)	“ l Г “ SsP )	2 (u) "Г 2SP ’ 1 ‘	7
что легко проверяется, если учесть, что, по определению,
2 (м)=ра5 («)+р<Уа(«)“г28р=раг(и) + 2зР; рог (и) —^~ = рав (и).
ехр [ — (tz — а')].
I —<х
Таким образом, в дробь [род (и) + posP]/S («) входит разность левой
и правой частей соотношения (3.6.11). Видно, что (3.6.11а) вытекает из
(3.6.13) при выполнении (3.6.11). Подставляя (3.6.13) в (3.6.2), получаем
РСТДР С	ехр[ —(и—«')].
F (и = —----- du F (и ) ---------------------+ ------- 4-
SsP J	5 2sP
iz—(7
, / Гп Р0$р С
1 I Г “ 2sP J J
u-q
2 («')~2sP ехр [ —(« — и')]
--------------------------	(3.6.14)
1 —а
«//^-приближение», приближение промежуточного резонанса.
109
При выполнении условия (3.6.11) стационарным решением этого урав-
нения является (3.6.12). Поэтому, подставляя (3.6.12) в правую часть (3,6.14),
мы используем второй шаг некоторого итерационного процесса, приводящего
к решению уравнения (3.6.2). Таким образом находим уточненное значение ре-
шения уравнения (3.6.2) в виде
Решение (3.6.12) является стационарным решением уравнения (3.6.2)
в непоглощающей среде при выполнении условия (3.6.11). Пользуясь общей
теорией Феллера, можно установить, что оно асимптотическое при и.  _-о.
Следовательно, формула (3.6.12) — аналог спектра Ферми уравнения замедле-
ния в приближении (3.6.2). Поэтому, определяя 7Эф, мы должны писать
Ф10’р4ф =
СО
Sq (U?)
S(«)
(и'),
где Ф(о) — поток нейтронов
вательно, S (п) — Zsp):
a,,o. = ZW
до зоны резонансного поглощения (где, следо-
узам
s /	pCsP V1 1
§	\	SsP /	SsP
Из двух последних соотношений вытекает:
Если сравнить это выражение с формулой для узкого резонанса (3.5.12),
то видно, что второе слагаемое является искомой поправкой к ней. Второй
интеграл во втором слагаемом берется в приближении узкого резонанса. Это
означает, что можно положить
ехр [— (и.' — u")] « 1 при и' — q < и" < и'
и, кроме того,
(ц'9 Ssp s?. i'u")
S(«")	=	«Л"?*
110
uf	£Г
Тогда интеграл j du" (...) можно заменить j du" (...), полагая экс попе н
и '—q	О
TV под знаком интеграла равной единице. Учитывая, что
Sr (»") = Г	S№ (ц^)_______Г рста (»")
2 (и") Г\	£ (u'j	rv v
находим
00
/,* = С Ли» (а)	- -^1 - г „ ГР ' v
-® J ° Х(и) тп V / г (1-«)2,р
О
оо	и'
С	S С	S-
X I du'oa(u') ——— I du" аа (и")  ——.
J S(«') J } 2(0
о	о
Обозначим, как и выше,
со
о
Тогда, учитывая очевидную формулу
можем записать
Л/'Я _ Fft _ pff.sp Г?Лф
Mr Xsp ) 2rv(l-a)Ssp
(3.6.15)
Второе слагаемое в этом выражении является поправкой к формулам для
/эф, вычисленного в приближении узкого резонанса, учитывающей его про-
межуточность; при этом, так как
эф Д/i 4-pao/Ssp 2Е0 У1 4- ра0/25р
ТО
ГГ>7эф?______Л	Г ~|/рсг0/2;р	_ л	ДЕзф
2Ssp Г? (I - а) “	4	£0(1-а)	" 4	Д5	*
где Д£3ф = ГД/рао/^ sp — эффективная ширина сильного резонанса
О po0/Ssn); ДЕ = Ео (1 — а) — ступенька замедления резонансного по-
глотителя. В результате для сильного резонанса формула (3.6.15) дает

п Р°зр Л П Д^эф
" “ 2SJJ 4 ДЕ .
(3.6.16)
Когда резонанс узкий, т. е. ДЕдф^ДЕ < I, то из (3.6.16) следует
•^эф ~= P^o/Ssp,
как и должно быть. Если неравенство ЛЕ9ф/ДЕ < I не выполняется, то для
сильного резонанса выражение (3.6.16) принимает вид
7	__ J#_________	। / Гп	Pgsj> я	Г“|/ри0/£зр
'ЗФ“	Vpg0/2SP	[ ' I Г	Ssp	/ 4 ДЕ	J’ ’ ’ }
Для слабого уровня (po0/S < 1) соответственно получим
Pgsp \ гс	rpa0//SSp
^sp / 4 ДЕ
(3.6.18)
Обе формулы дают более сложную зависимость от р, чем та, которая
зредписывается интерполяционной формулой (3.5.20).
На практике низколежащие уровни резонансного поглотителя
1асто бывают широкими [ДЕ = (1 — а) Ео < АЕЭф]. В этих слу-
1аях достаточно иметь приближение широкого резонанса, для ко-
торого можно получить аналогичную поправку [176]. При высоких
энергиях резонансы обычно узкие, так как АЕйф с увеличением энер-
'ии меняется слабо*, а АЕ = (1 — а) Ео растет.
Чисто промежуточные уровни следует рассматривать индиви-
дуально, хотя часто погрешности к формулам узкого или широкого
резонанса при переходе от одного резонанса к другому взаимна
югашаются и интерполяционные формулы (3.5.20), (3.5.21) ока-
зываются удовлетворительными.
§ 3.7. РЕЗОНАНСНЫЙ ДОПЛЕР-ЭФФЕКТ
До сих пор, рассматривая резонансный захват, мы считали ядра
резонансного поглотителя покоящимися в лабораторной системе от-
счета. На самом деле они участвуют в тепловом движении ядер сре-
да, которое приводит к уменьшению вероятности избежать резонанс-
юго захвата. Этот эффект можно объяснить следующим образом.
Пусть ядра среды находятся в состоянии статистического равно-
эесия, отвечающего, например, максвелловскому распределению
жоростей при заданной температуре. Тогда для каждого направ-
юния движения нейтрона в статистическом ансамбле ядер погло-
штеля найдутся такие, которые движутся навстречу нейтрону или
j противоположную сторону. Поскольку в формулу Брента—
Зигнера входит кинетическая энергия движения нейтрона относи-
'ельно ядра, то резонанс в указанных двух случаях оказывается
вмещенным в ту или иную сторону на энергетической оси, но сохра-
1яет свою естественную форму, причем равные смещения происходят
 равной вероятностью. Суммарный эффект проявляется как уши-
эение резонанса с сохранением площади под ним при учете всевоз-
южных разбросов относительных скоростей движения ядер и ней-
•ронов.Такое уширение резонанса вызвано эффектом Доплера и за-
шсит от температуры. Однако резонансный интеграл, связанный с
шощадью под резонансной кривой, инвариантен относительно тем-
* Например, для урана (без замедлителя) ДЕэф^ 1 эв в широких пре-
делах изменения энергии (до 1000 эв).
пературы. Отсюда следует, что слагаемое у в формуле (3.5.20) не
зависит от температуры. Тем не менее во втором слагаемом эта за-
висимость обнаруживается весьма заметно, что обусловлено зави-
симостью /эф от температуры на сильных резонансных уровнях.
Так как в этом случае [см. (3.5.19а)]	1/Усу0, а инвариант-
ность резонансного интеграла по отношению к температуре означает,,
что о0Г = const, то
/эф ~ 1 /	= УТ//Г^ - ]/Г/const,
откуда видно, что эффективный резонансный интеграл растет при
доплеровском уширении уровня.
Этот эффект можно рассчитать с достаточной точностью. По
формуле Брейта — Вигнера имеем
/[1 4- (-ЁфгкП; Е' = yMv-VP,
где v и V — соответственно скорости нейтрона и ядра поглотителя
з лабораторной системе отсчета; р = тМКт т М) — приведенная
масса нейтрона (с массой tri) и ядра (с массой Л1). Полагая М!т=
= Л (Л — массовое число поглотителя), получаем
р = mA! (Л ф- 1).
Отношение V/v (и = |v[; V = |V[) в резонансной области энергий
весьма мало. Например, для первого резонанса 23SU (£0 = 6,7 эв)
при среднем значении скорости V, отвечающем температуре 300° К
в максвелловском распределении, это отношение равно — 0,004.
Поэтому при разложении Е’ в ряд по степеням Й7о можно ограни-
читься двумя членами разложения:
Е' ж — ро2 — р (vV) = E—p (vV),
где Е = рг.4/2 отличается от кинетической энергии нейтрона лишь
множителем Л /(Л + 1). Если за ось Z выбрать направление ско-
пости v, то
Е' = Е — риК.	(3.7.1)
Максвелловское распределение скоростей имеет вид
117 (Ж, V,,, Л = ['фф)3/2ехр	, (3.7.1а)
\ 2пГ /	2Т	)
где Т — абсолютная температура в единицах энергии.
Усредненное по распределению скоростей ядер поглотителя ре-
зонансное сечение захвата имеет вид*
* Строго говоря, усреднять следует не сечение, а скорость соударений
'-с>а. Но поскольку интервал резонансного поглощения мал по сравнению с Ей
и соответственно малы разбросы скоростей около с’й —	то в формуле
? иа= тиа можно приближенно принимать и = с0 = v, откуда и следует
(3.7.2).
113:
оо
—ОС
г
/ [1 + (! W(V„Vy,Vt)dVxdVudV2.
! L \ * /	/ J J
(3.7.2)
Здесь Е', согласно (3.7.1), не зависит от Ух и Vy, и, следовательно,
в формуле (3.7.2) по этим переменным можно интегрировать:
ос
Л = j к	Д1 + (-^^Г^]} WJdIC,
— 06
(3.7.3)
где
О0
И7 (72) = Д W (Vx, V„, VJ dVxdV„ = (-^ф1/2 ехр f-
—оо	'
Подставляя последнее выражение в (3.7.3) и записывая
через Е' по формуле (3.7.1), получим
В окрестности резонанса ,iw ж ,iw0 = У2ц Ео. Проведем обыч-
Е' — Еп	Е—Eq
ную замену переменных и = —р-д, , х = —=-	Обозначив
1 / Z-	1 /
А = У4 рЕ077Л1; 0 - Г/А,
(3.7-4)
представим усредненное сечение в следующем виде:
ай(Е)= Т (0, х),
(3.7.5)
где функция ¥ (9, х), равная
описывает деформацию естественной брейт-вигнеровской линии
вследствие доплер-эффекта.
Интересно отметить своеобразный физический смысл функции
Т (0, х). Уравнение
з-тр (т, х) = дтр(т, X)	(3.7 6)
дх~	дх
114
с краевым условием
ф(т,х), ТГ-оо0	(3.7.6а)
пс начальным условием
ф (0, х) = 6 (х)	(3.7.66)
имеет смысл нестационарного (по времени т) уравнения теплопро-
водности в плоской геометрии для однородной бесконечной среды с
плоским импульсным источником тепла при условии, что функция
ip (т, х) описывает распределение температуры вдоль оси х в момент т.
Оно встречается в нашей книге как уравнение замедления нейтро-
нов (т — возраст нейтрона) в возрастном приближении (см. § 4.4).
Решение (3.7.6) при условиях (3.7.6а), (3.7.66) хорошо известно
(см., например, § 4.5) и имеет вид гауссова распределения
1	/ га \
(т'х) = ИЛП ехр “ТГ 	(3-7-7)
Если плоский источник расположить в точке х = и, то функция ф
описывается зависимостью
—7= ехр
2~[/ пт
(х—и)‘~
4т
Функция G имеет смысл функции влияния (функции Грина) для
уравнения (3.7.6). Тогда, если в качестве начального условия
(3.7.66) принять ф (0, х) = f (х), где / (х) — произвольная функция,
абсолютно интегрируемая по всей оси х, то решение (3.7.6) запишется
в виде
оо
(3.7.7а)
оо
ехр
— оо
— со
Подставляя в это выражение
/(л)= —К-
1 + х2
и сравнивая его с (3.7. 5а), получаем
со
ЗД/лт J
— оо
аи------ехр —-------- = Т -
1-|-и3	’ [ 4т ]	\
I
1 ™ du _ уТт .
2лтЦ, 1 -'ги2 2/т ’
0= -(=; r = 4-t-£077P.
Т/т	М
4т
(3.7.8)"
(3.7.86)
Тогда из (3.7.8) следует
как и должно быть при нулевой температуре (9 = оо, Т = 0). От-
сюда видно, что функция гр (т, х) = W (9, х) «размыта» вследствие
115-
усреднения по функции Грина (3.7.7а) естественной резонансной
линии Брейта — Вигнера 1/(1 -г я3), и это размывание тем меньше,
чем ниже температура Т. Заметим, что ф (т, х) = ф (т, — х); это
легко получить из (3.7.8а).
Поскольку функция Грина (3.7.7а) соответствует источнику
единичной мощности, то справедлива нормировка
00
Тогда, интегрируя функцию (3.7,8а) сначала по затем по по*
лучаем
со	со	со
J ф (т, x)dx = j ¥ (0, x)dx = J — гс. (3.7.10)
--СО	*—ОО	— * 00
Отсюда для изолированного уровня находим
_	00	—
f dxY(0,x)=^ = Zs, (3.7.11)
Cg 1	2 J	2t,Q
— co
откуда и вытекает высказанное выше утверждение о независимости
резонансного интеграла от температуры.
Высота резонансного пика при наличии доплеровского уширения
определяется формулой
¥ (0, 0) =
— СО
Вычисления дают
erfcz ~ f dte-^ - -1 —erf г; erfc 0 ~ I.
Vnz
При 0 < 1 приближенно получим
Ч'(9, 0) л; 9;
<(£„) = с0 A. S' (9.0) « а0 КД ,
X	iX Л
(3.7.12)
(3.7.12а)
116
что дает основание рассматривать величину 2Д/У л = ГДоп как
доплеровскую ширину уровня при достаточно большой темпера-
туре.
Хотя Jr, как было установлено, от температуры не зависит,
/3Ф = /Эф (Л является функцией температуры, которую легко
построить с помощью формулы (3.7.5), заменяя в выражении вида
(3,5.15) функцию 1/(1 + Л'2) функцией (0, х) [или ф (т, х)]:
= Р) = ^(т,р),	(3.7.13)
где
Г/Д ЙХ _	1	С (0> х) _______ 1	р Ф (т, х) dx___р , р, .
,Р	л	J	1-ьрФ(9,х)	я	J 1-у|Зф(т,х)
— 00	— оо
(3.7.13а)
т = 1/02 = 4р£077Л1Г2; р = pcr0/Ssp.
Найдем производную по т от F (т, р):
dF
dx
1
л
00
dx (Д*
дх
[1 +рф (т,х)] —фр
1^1 [1 Н-р'Ф (Т х)]-2 =
5т J
— 00
оо
Д С dx-________________!_2$_.
л J (I -J-рф)2 дх
— со
Используя (3.7.6)
получаем
и интегрируя последнее равенство по частям,
dF _ 2р
dx л
0.
1
(1фРф)з
О при т
(3.7.14)
Таким образом, функция F (т, р), а следовательно, и /Эф (Т) ра-
стут с повышением Т.
Из неравенства (3.7.8а) следует, что ф (т, х) -> 0 равномерно
Т->со
относительно х, но так, что интеграл (3.7.10) остается постоян-
ным. Это означает, что
F (т, а) 1; Уэф (Г) JR.
117
При предельном переходе Т учитывая (3,7,9), получаем
J	00	г
, / ч	1	Р dx
4'(т,х) —►	3 ;	2 „ ~ i/ttcr ’
т->0 1-j-л	Л J i-j-л — р J/i-(-p
— оо
откуда следует, что
—^=- = Лф (0) < Л,„ (Т) < J,,!, (оо) = JK,	(3.7.15)
Vi+p
причем /эф (Т) с повышением температуры, согласно неравенству
(3.7.14), возрастает монотонно.
Функция f (0, р) = F (т, р) протабулирована различными авто-
рами, так что численные значения этих функций для различных
температур уже известны [15, 17].
Для сильных уровней ([3	1), как видно из (3.7.15), 7Эф (Т)
колеблется в относительно широких пределах. Наоборот, для сла-
бых уровней (р < 1) эти колебания незначительны.
§ 3.8. УЧЕТ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ МЕЖДУ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ И РЕЗОНАНСНЫМ РАССЕЯНИЕМ
В БЕСКОНЕЧНОЙ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
В общем случае полное микроскопическое сечение резонансного
поглотителя имеет вид
о (£) = щ (£) + орг (£) + crsp,	(3.8.1)
где
= ^Mwr.-Д х =
1	-р X	I j Л	1 I ~
Здесь арг (Е) является чисто квантовомеханическим слагаемым.
Рис. 3,7. Сечение интерференции между потен-
циальным и резонансным рассеянием
учитывающим интерференцию между потенциальным и резонансным
рассеянием (рис. 3.7). Как функция х сечение <ург (£) является
нечетным и, очевидно,
оо
^dEopr{E)^~ I dx'(o1)uspv0)V2_^_ = o, (3.8,1а)
J	J	14-ха
118
г
где v0 = gj -у — квантовомеханический параметр [g7 = (2J +
J- 1) (21 + 1); J — спин составного ядра, Z — спин ядра-ми-
шени], характеризующий интенсивность интерференционного эф-
фекта. Его наличие приводит к появлению на графике полного
сечения а (Е) слева от резонанса более или менее глубокой ямы
(рис. 3.8), вследствие чего резонансный пик смещается несколько
правее значения энергии Ео. Такие провалы слева от резонансного
пика отчетливо видны на графиках полного сечения, например,
238U или 233U.
Рис. 3.8. Влияние эффекта интерференции на пол-
ное сечение
Следовательно, полное сечение смеси различных разбавителей
и резонансного поглотителя имеет вид
2	<£) =Р Флг + (°о VO)1 /2 ДЩ ч- 2sp.
Поэтому для 7эф изолированного уровня получаем
(3.8.2)
— со
+ (₽Й!/2-Г^У- + 1Г1=— f--------£--------, (3-8-3)
1'rX‘ J	Ь+ю 1Л2х+1+^
где 7^ = - Y ; р = =^; g = v0 • Интеграл (3.8.3) легко вы-
числяется:
Лф = Jr/Vi + (1 -g) ₽.
119
Интерференционный эффект учитывается здесь множителем
(1—g) перед и проявляется, когда pcrsp ~ Ssp. В этом случае
он уменьшает эффект сильного уровня (р 1) и, например, при
замедлении в чистом 23sU может дать поправку до 10% по сравнению
с расчетным 7эф без учета интерференции. При бесконечном раз-
бавлении (р 0) /зф J#.
Множитель (1 — g) р ведет к некоторому разблокированию ре-
зонанса, поскольку J^/]/ 1 -г (1 — g) |3 7>	1 -г ₽. Таким
образом, вообще /эф с учетом интерференции больше Js$ без ее
учета. Происходит это из-за смещения резонансного уровня
(см. график полного сечения на рис. 3.8), поскольку максимальный
захват нейтронов в резонансном сечении ст (Е) приходится теперь
уже не на точку максимальной депрессии потока Ф (и) л? Ssp/S (и)
(в приближении Вигнера, см. рис. 3.9).
Однако наиболее интересный эффект возникает при учете тем-
пературной зависимости._
Расчет усредненного по максвелловскому спектру полного се-
чения из выражения (3.8.2) с учетом формулы (3.7.3) приводит к
следующему результату:
ОО
S (В) = f 2 (£') w (Vz) dVz
•—00
где	0 = Г/Л; гР(0, х) = ф (т, %); т = 1/02; 0 = 1/У т.
Функция ¥ (0, х) определяется формулой (3.7.5а), а функция
2(0, х) равна
ОО
Г 2udu
ехр
е2
4
= 7
— оо
2~|/л т
ОС
Р 2udu
(х—и)2
4т
—оо
Функцию х (т, х) можно рассматривать как решение
дх3 дт
с начальными и краевыми условиями
7(0,*) = ГГТ’
10-Х2	Ш-оо
с помощью функции Грина уравнения (3.7.6). Тогда, как и выше,
получим
120
Таким образом, график функции % (т, %) имеет тот же характер,
что и график на рис. 3.7, но несколько размытый вследствие усред-
нения по функции влияния (3.7.7а). В результате имеем
со
Лф СП = JKf (0, ₽, g); f (0, |3. g) = — f-----v	,
11A +	z(0.x)+i
Рис. 3.9. Поток нейтронов в области резонанса
с учетом интерференции между потенциальным и
резонансным рассеянием
или
Лф СП = JrF (Г, ₽, g),
где
= - f ----------Х) Д----------
71 Аоо Жь*) + М1/2Х(Т, х)4-1
(функция F (т, р, g) протабулирована в работе [17]).	_______
По-прежнему легко убедиться в том, что /эф(0)=Jд/К 1+(1—g)&>
7эф (оо) = JR. Однако теперь нельзя утверждать, что 7эф (Г) мо-
нотонно растет с повышением температуры.
Рассмотрим результаты расчета [17а]	(Т) для изолирован-
ного резонансного уровня неразбавленного 238U с параметрами
£0 = 663 as; Г„. = 0,125 эв; Г7 = 0,025 эв; о0 = 3250 барн; osp =
= 10,7 барн,', расчет проведен с учетом и без учета интерференции
между потенциальным и резонансным рассеянием:
121
T, °K		0	300	900
/эф, барн	Без учета интерференции С учетом интерференции	0,01! 0,027	0,012 0,024	0,014 0,021
Во первых, видно, что интерференция действительно приводит
к разблокированию уровня [7эф (Т) при учете интерференции боль-
ше, чем без ее учета]; во-вторых, (Т) без учета интерференции
монотонно растет (как и должно быть), а с учетом ее — падает
из-за разной скорости захвата на флангах резонанса в условиях ин-
терференции (рис. 3.9). На правом фланге при расширении уровня
резонанс попадает в область малого потока, и захват здесь умень-
шается. Однако захват на левом фланге вследствие интерференцион-
ного эффекта может расти быстрее из-за сильного всплеска потока
Ф (Е). С ростом разбавления эффект интерференции падает, (Г)
начинает монотонно расти с увеличением температуры, и в расчете
можно пренебречь интерференцией. Наоборот, для концентрирован-
ных сред (малое разбавление, posp ж 2sp) расчет (Т) необходимо
производить с учетом интерференции.
ПРИЛОЖЕНИЕ П3.1
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ
В МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЕ С ЗАХВАТОМ
Уравнение замедления в многокомпонентной среде с захватом имеет вид
и
V С л , г	ехр[ —(и - «')]
7,	du F (и') (и )
i max («—0)
1—
(ПЗ.1.1)
где
(и)
фз; («) =	; 7 (и) = S («) Ф (и); 2 = 2Г (и) qi =
= 2 in
Aj-l ’
A j — массовое число l-то изотопа; остальные обозначения см. на с. 98. Ис-
пользуя обозначения (3.5.1), можем записать
1=~+— —.................................
I	, I
H v Cl> v
> (ПЗ.1.2)
у

122
Полагая теперь
f s («) = ф (и) Zsp = F (и)	= F (u) (I - фг («)), (ПЗ. 1.3)
Zi
перепишем уравнение (ПЗ.1.1) с учетом (ПЗ.1.2) и (П3.1.3):
Xi С	ехр I — (w —«')]
-fs(«) + yCl	du1 Fs(u') -Pl ---------UO = o,
J	1	(X;
* max (« — ?;, 0)
(П3.1.4)
где
P	exp [ — (w—u')]
P1(U)=6(W) + V	du1 F(u')^srl(uf) ,-----------~-F(u) фг(«).
J	1 —KJ
1 max	0)
(ПЗЛ.4а)
В §3.5 было разъяснено, что решение G (и) = 6 (и) + Fр(и) уравнения
+	f du' F(u')	~	4- б (ц) — О (ПЗ.1.46)
I	max (и — q,, 0)	а’
определяет функцию Плачека Fp (ц) многокомпонентной среды, причем
Fр [и) является решением уравнения (3.5.4), а функция Gp (и — н0) может
быть использована как функция Грина для решения уравнения (ПЗ.1.4).
Отсюда следует, что
и	и
Fs (u)=\'duQ pr (uQ) G (a —uQ) =pt (u) + J duQ pL (uQ) Fp	(ПЗ. 1.4в)
о	о
Здесь Fp (н) — функция Плачека многокомпонентной среды (конечно, без
захвата, в соответствии с общим определением функции Плачека) — должна
удовлетворять уравнению
„ , , .	„ С , , „ , , ехр [ — (и— и')] (
—Fp (ц) + > Ci I du Fp (ц )---------------+
J	1 —аг
t max (и— q^, 0J
2е~и
i =0,	(ПЗ» 1,4г)
t	1—аг
в котором
Г1, 0 < и < qii
т‘(“)=(о,И>«,И<о.
Подставляя (ПЗ.Е4а) в (П3.1.4в)т получаем
и
(ц) = б («)— F (и) фг («)-г2	J du'F (и1)-------------——	+
1 max («***<7р 0)
-Г С^«оР1 («о) Fp (и — по) •	(ПЗ.1.5)
б
123
Преобразуем последнее выражение. Для этого перенесем второе слагаемое
правой части в левую [что дает слева F (и)] и проинтегрируем 6-функцию, вхо-
дящую в выражение для (и) в последнем слагаемом правой части. Кроме
того, запишем функцию фг из (ПЗ. 1.2) в виде
где
i|?a (u) —So (u)/S (u).
'Фзг —
I
Эти несложные преобразования позволяют привести уравнение
к виду
(П3.1.6)
(П3.1.5)
Здесь
или
где
и
 j duQ (u0) F Ш Fp (u—Ufl) — ¥ (u).
о
и
(u)= f du0^gr (u0) F	Fp (u—u0) —
b
iz
У J du' F (и') ^ri Ю ’	_------~
I max (« —0)
и
о) У, j du'F(u') фагг(и')х
; max (w0 — qp 0)
ехр [ — (ua — Uf)]
1 — at
(ПЗ. 1 .7)
(ПЗЛ.8)
Qi («)=M")-e-w
Тг (ц)
1 —а/
г
max (« —0}
о
и
i b
, и > 0.
(ПЗ. 1.9)
Отнимая и прибавляя к Fp (и— ие) под знаком интеграла в (ПЗ.1.7)
ее асимптотическое значение 1/g [см. (3.5.9)], приведем уравнение (ПЗ.1.7)
к виду
Lt
U
0
0
о
и
—	^0	(«о) F (uo) Qt (и—Но).
о
(П3.1Л0)
124
Уравнение (ПЗ.1.10), полученное Г. И. Марчуком и Ф. Ф. Михайлусом?
п 1965 г., является точным уравнением замедления в многокомпонентной
среде с захватом, поскольку оно выведено из (ПЗ.1.1) и полностью ему эк-
вивалентно. Функцию Qi (а) из (ПЗ. 1.9) авторы назвали функцией влияния
резонансного рассеяния. С возрастанием аргумента от и = 0 функция Qj (и)
осциллирует около нуля. Существенно, однако, что
Qj (ц)	0 при и — ло.	(ПЗ .1.11)
В этом легко убедиться, если учесть, что 1см. (3.5.9)]
Fp (w) -> const = 1/с.
U -J-OO
(ПЗ. 1.12)
Действительно, подставляя Fp (и) ~ 1/£ при и 3q в (ПЗ. 1.9), легко полу-
чаем (ПЗ.1.11). Следовательно, осцилляции функций Qi (и) и Fp (ц) практи-
чески затухают одновременно, т. е. при и > 3 q, так что
Qi (и) т 0; FP (и)	1/^ при и > 3q,	(ПЗ. 1.13)
Эти замечания позволяют рассмотреть для многокомпонентной среды
все три приближения: Вигнера, Грюлинга—Герцеля и Вейнберга — Вигнера
совершенно так же, как это было сделано в § 3.4 и в упражнении 3 для одно-
компонентной среды.
Полагая в уравнении (ПЗ.1.10) и > 3 q и заменяя при этом функции
Fp (и) и Qi (и) их асимптотическими представлениями (П3.1.13), получаем
уравнение

и
\ duQ фа (ы0) F (и0),
(П3.1.14)
совершенно аналогичное уравнению (3.4.10). Из (ПЗ.1.14) вытекают основные
соотношения приближения Вигнера (3.4.12) — (3.4.14):
F (и) =<р («)/|;
(ПЗ. 1.15)
(П3.1.16)
F («) « 1/$, Ф (u)	1/£S (и) при ф (и) ~ 1.	(ПЗ. 1.17)
В этом приближении пренебрегается осцилляциями функции Плачека и
функции влияния резонансного рассеяния.
Приближение Грюлинга—Герцеля получаем так же, как и в § 3.4. По-
лагая в (ПЗ.1.10) и > 3 q, приходим к уравнению
и	и
F (и) =— — — due фа (ц0) F (и0) -ф \ du0 F (u0) фа (м0) X
t t J	d
и
J duo 'Фагг (u0) F («о) Ql («—(пз*1«18)
о
аналогичному уравнению (3.4.9). Новым здесь является лишь последнее сла-
гаемое. Если и отстоит от зоны резонансного взаимодействия на три (или более)
максимальные ступеньки замедления, то можно считать, что функции
Фа («о) ? («о) и («о) ? («о) меняются слабо в интервале и — 3q < м0< и, и,
125
следовательно, их можно вынести за знак двух последних интегралов при
значении летаргии и0 = и. Тогда
и
и
В последних двух интегралах подынтегральные выражения при отрицатель-
ных значениях и$ практически равны нулю, и поэтому нижний предел в них
можно заменить на — оо. Переходя к переменной U — и — uQ1 приводим урав-
нение (ПЗ, 1,19) к виду
И	оо
F (и) = — — -у- f du0 ip (и0) F («оНгра (и) F (и) Г dU ~—Fp(U) —
о	о '
-F («) 2	(“) f Ql W) dU‘	(ПЗ Л .20)
i о
Интегралы в третьем и четвертом слагаемых вычислены в приложении
П3.2 и равны
ccj qi
Ci-----------
'2 (I-с/д)
(ПЗ. 1.21)
J
f W) = -(l-»	(ПЗЛ.21а)
0
Тогда уравнение (ПЗ.1.20) перепишется как
& (и) = 1 — J Лиц фа (u0) F (и0) -г"фа («) F («) (|—+ («) 2 ^sr/(«)(|— Ы •
о	L i
(ПЗ.1.22)
Группируя в левой части уравнения (ПЗ.1.22) все слагаемые, включающие
в себя функцию F (и), получаем
-J- ySa («) 4- t,i "£$т1 (н)
I
F (и) =
Zl
= I — f dttQ (u0) F (u0) .
b
Учитывая, что £2sn = 2	приводим это уравнение к виду
z
-	_	и
г j ,л S (^) (w) yStj (w)	С	/ПЧ 1 ЭЯ1!
г 00 --------------------------= 1 — 1 dug (и0) F (п0), (ПЗ. 1.23)
(«)	J
о
J26
где
Ш = 2 h Ssi («) / («);	(«) = s [-r Ssrz («)] •	(ПЗ. 1.24)
I	I
Решая уравнение (П3.1.23) так же, как уравнение (3.4.22), находим
, ,	[ С	(u )	1	m । г>-у
ср {и) — ехр — I —-----------------------;	(113.1,2а)
I J |(/z')Zs(«,)-?2a(«) J
F (u)==2 (и) ф («)/1В (и)	(«)]	(ПЗ.1.26)
Формулы (ПЗ.1.25), (ПЗ.1.26) являются формулами Грюлинга—Герце-
ля (3.4.24), (3.4.23), обобщенными на случай многокомпонентного замедли-
теля. Отличие состоит лишь в том, что величины g и у в (3.4.24) и (3.4.23)
заменены соответственно средневзвешенными g {и) из (ПЗ. 1.24) и у из (ПЗ. 1.21).
Зависимость £ от и исчезает, если все сечения рассеяния Ss; (и) зависят от
летаргии одинаковым образом.
Чтобы получить приближение Вейнберга—Вигнера, следует представить
F (и) через F (ц0) («0 < и) в приближении Вигнера (ПЗ.1.16):
и
F (и) = F (uQ) ехр
wQ
откуда
и
F (uq) = F (и) ехр
*0
Подставим это выражение и
и, полагая
третье и четвертое слагаемые
из
(ПЗЛ.18)

J ^0 ж (ы0)
о 1
t.L
— (WO) Qi (и — w0) J ехр
i	J
получим уравнение
_ u
IF (u) = 1 — ( dtiQ (u0) F (Uq) 4- £i (W) F (u) ,
b
(ПЗЛ.27)
(П3.1.28)
полностью соответствующее выражению (3.4.28) для однокомпонентной среды.
Отсюда, по аналогии с (3.4.29), находим
, .	( Г 'Фа («') ^и'
<р (и) = ехр —	2 _ ----
I g fe—и(цЭ
F W = — Ф.(Ц)
^ — 51 (ц)
(П
Uq
(ПЗ. 1.29)
127
ПРИЛОЖЕНИЕ П3.2
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим интегралы (ПЗ. 1.21), (ПЗ.1.21а):

dUQi (U).
Здесь Fp (U) — функция Плачека многокомпонентной среды без захвата
(с постоянными сечениями), которая удовлетворяет уравнению (П3.1.4г),
а функция Qi (U) дана в формуле (ПЗ.1.9).
Действуя так же, как и при решении упражнения 4 в § 3.4, запишем урав-
нение (ПЗ.Г.4г) в виде
—Гр(ц)-Нрц' Fp(u') Г (W—ц')+Г («) = 0,	(ПЗ.2.1)
О
где
Уе и
---------Ci в(«) -	= 2d c^z (“); wi (“)_(“) ii
I_______________________1-I	1
причем интеграл Лапласа от W (и) так же, как и в упражнении 4f получается
в виде
и
W (М= (Д схр(-М W («) = У —пХДГ,(?+1)Л‘’ С‘-
J	(Х+1) (I—аг)
о	1
Функция W (и) имеет смысл функции распределения в смеси изотоповt
оо
так как J W (u) du — 1 в силу S Q Отсюда
о	J I
l^(0) = l; F' (0) = -раиГ(«) = -2<«>А=-2^Сг=-|;
О	Z	I
W” (0) = (’ duu2 W (и) = <и2>.
о
Кроме того, если взять интеграл Лапласа от уравнения (ПЗ.2,1) и ис-
пользовать формулу для лапласовского образа свертки функций, то найдем
~Fp^)^Fp(F)W (X)	(X) =0; Fp (k) = W (Х)/[1 — Г (X)]. (ПЗ.2.2)
Видно, что техника вычислений задачи для смеси изотопов такая же, как для
однокомпонентной смеси, и нет смысла повторять выкладки полностью. За-
пишем окончательный результат :
2=1-4; f=l-r2c< ai1 «*Ъ=2Ь- (П3.2.3)
|	5 I	2(1—а,)
Для вычисления интеграла J[, используя определение F (и) = 6 (и) ~Ь
Fp (и) (см. § 3.4), перепишем формулу (ПЗ.1.9) в виде
Qt («) = F (и) -6 (и) - f du' [ -6 (и')	(и1)] (и -и') ~^WL (и) =
о
128
~F (u)—6 («) — [ da’ F (u') Wi (a~uJ) t
b
или
Ql (tt) = [ du' F (uf) [6 (a—id) — Wi (a —u')] — 6 (w).
b
Взяв от обеих частей равенства интеграл Лапласа и снова применив теорему
свертки» получим
оо
Ql (Z) = f due-*'11 Q; (и) =F(k) [I-Wt (X)]-l,
0
(П3.2Л)
где
WL (Z)=[ du ъ~Ум
b
1Уг (u) = (1 —аг e ^)/(i — «z) (/ + M;
! - 1У; (Z) =
Z______Гj _a
(1-кг)(1+Х) L a‘ Z
(П3.2.5)
Кроме того, поскольку F (Z) = 1 Fp (Z), то из (ПЗ.2.2) следует
F W = 1
Zj Cjl -	(Z)]-
i
(П3.2.6)
После подстановки (ПЗ.2.5) и (ПЗ.2.6) в формулу (ПЗ.2.4) можем исполь-
зовать предельный переход
Ji = Iim Qz (Z).
%—> -j- о
Учитывая, что
Iim [1— exp ( — ^ql)] = ql-t = (1 — аг — <хг qi)/(\ — a2),
X -J- 0 Jv
находим
что и требовалось доказать.
J 3d]{. 85
ГЛАВА 4
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
§ 4.1. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
БАЛАНСА НЕЙТРОНОВ
Решение задачи о критическом размере реактора конечных
размеров или с гетерогенной структурой размножающей среды обя-
зательно требует учета пространственной, энергетической и угловой
неравномерностей, возникающих вследствие утечки нейтронов
через внешнюю границу и дискретного расположения источников
и поглотителей нейтронов. Кроме того, в общем случае следует
принимать во внимание процесс замедления нейтронов и анизотро-
пию рассеяния на различных ядрах.
Введем в рассмотрение дифференциальную плотность нейтронов
N (г, Е, Й, /), т. е. число нейтронов в момент времени t с кинетиче-
ской энергией £, перемещающихся со скоростью v в направлении
орта Й = v/u, отнесенное к единице телесного угла, единице энер-
гии и к единичному объему около точки с координатой г. Тогда
функция <р (г, Е, Й, f) = v N (г, Е, Й, f), называемая дифференциаль-
ным. потоком нейтронов, будет иметь смысл числа нейтронов с энер-
гией Е, пересекающих за 1 сек площадку в 1 см2, расположенную
перпендикулярно орту й. Функция <р также отнесена к единице
энергии и к единице телесного угла.
Рассмотрим баланс нейтронов в семимерном фазовом объеме
dw = drdEdQdt. Изменение числа нейтронов за время dt в элементе
фазового объема drd-EdQ равно разности между прибылью нейтронов
в этот фазовый объем и убылью из него в результате всевозможных
процессов взаимодействия нейтронов с веществом. Поэтому ско-
рость изменения числа нейтронов в элементе фазового объема dw-
равна
dldrdEdQ =--($—Р) dtdrdEdQ.	(4.1.1)
Запишем в явном виде выражения для скорости изменения диф-
ференциальной плотности нейтронов — полной производной dNldt,
прибыли Q и убыли Р нейтронов. Функция распределения
N (г, Е, й, Z) описывает перенос нейтронов из точки г вдоль направ-
ления орта Й со скоростью v (£) ^~V2E/m. Зафиксируем на луче,
проходящем через точку г вдоль орта Й, произвольную точку от-
счета г0, удаленную от г на расстояние s, так что г = г0 ф s й.
Тогда N (г, £, Й, i) = N (г0 + 5Й, £, й, /) и
dN   dN (г0 + sQ, Е, 2, Z) , dN (r0-]-sQ, Е, £1, t) ds __ dN dN
dt	dt	1	ds	dl dt 1 ds
m
так как dsidt = v — скорость перемещения нейтрона вдоль орта й.
Производная по направлению, dNids, определяется выражениями
dN dN dx , dN dy dN dz dN . dN n , dN n
---- —--------1	;---------------- — --- -j	4----atC.
ds dx ds dy ds dz ds dx	dy ' dz
где Qy, Й~ — направляющие косинусы орта £2. Поэтому можно
записать
dN/ds = ЙУУ,	(4.1.1а)
и поскольку й v = v — вектор скорости нейтрона, то
~ = Д Т WA- = —4г Т flv4’ С’Е’й>
di di	v di
Прибыль нейтронов расчленим на скорость прихода нейтронов
в элемент фазового объема dEdQ в точке г вследствие рассеяния из
других элементов фазового объемаdE'dQ' в той же точке и скорость
генерации нейтронов от внешних источников s(r, Е, й, Z) в элементе
drdEdQ плюс скорость генерации нейтронов деления (если среда
размножающая) в том же элементе фазового объема. Для неразмно-
жающей среды имеем
00
Q (г, Е. Q,t)--=^dE' J dQ' <f (г,	Я', *) Г. (г, £') X
О
х W; Д, й' -> д й) д s (г, д й, t).
Здесь W (г; Е', Й' -> Д Й) — плотность вероятности для упруго и
неупруго рассеянных нейтронов совершить переход из состояния
движения £', й' (т. е. с энергией Е' и направлением движения Й')
в состояние Д Й. Для смеси различных изотопов W может зависеть
от положения точки г. Эту функцию часто называют индика-
трисой рассеяния. По определению, индикатриса нормирована на
единицу, т. е.
f W (г; £', й' Д Й) dE dQ = 1;	(4.1.2)
и = 2S + 2irt = 2Д (г, £) — макроскопическое сечение
упругого и неупругого рассеяния нейтрона с энергией Е в точке г.
Убыль нейтронов Р (г, Е, й, Z) равна скорости вывода нейтронов
из элементарного фазового объема dr dEdQ в результате любого вза-
имодействия нейтрона со средой, т. е,
Р (г, £, Й, Z) - 2 (г, £) ср (г, £, Й, Z),
где 2 (г, £) — полное макроскопическое сечение.
Подставив полученные для Q и Р выражения в уравнение (4.1.1)
и сократив в левой и правой частях произведение дифференциалов
drdEdQdt, получим интегро-дифференциальное уравнение, описы-
5*
131
вающее нестационарный баланс нейтронов:
оо
±j2.+eV(p=-S<p+ fd£' (,dfi'lj>(r,£',a'(if)S,J(r,£')X
V di	J J
о
X W (r; E't ft' -> £, Й) Ч-S (r, E, ft, t).	(4.1.3)
Уравнение такого типа было впервые получено Больцманом
при описании поведения молекул газа, и поэтому его часто называют
газокинетическим (или кинетическим) уравнением Больцмана для
нейтронов (нейтронного газа). При записи этого уравнения пред-
полагалось, что плотность нейтронов п = JtZftjV много меньше ядер-
ной плотности среды, и, следовательно, можно считать, что нейт-
роны взаимодействуют только с ядрами среды и не взаимодейст-
вуют друг с другом. Не учитывались также квантовомеханические
эффекты, например поляризация нейтронов при спин-орбитальном
взаимодействии с ядрами среды.
Ядра среды, в которой осуществляется перенос нейтронов, при выводе
уравнения (4.1.2) предполагались неподвижными. Однако можно считать, что
они имеют тепловое движение и находятся в состоянии локального термо-
динамического равновесия с заданным распределением температур. В таком
случае принимается, что эффект теплового движения ядер учтен в зависимости
нейтронных сечений (и индикатрис) от энергии подобно тому, как это сделано
в § 3.7, 3.8. Существо этого эффекта можно пояснить на следующих примерах.
В гл. 3 принято, что сечение Ssp = 2зр(£2_пРи неподвижных ядрах
среды несущественно зависит от энергии. Пусть Ssj) (Е, Т) — сечение, учи-
тывающее тепловое движение ядер с заданным (в соответствии с абсолютной
температурой?) распределением скоростей, так что F(E)=nv (Е) 2sp(E,T)—
скорость соударений нейтронов с энергией Е с ядрами среды. Се-
чение S$p (Е, Т) удобно рассматривать как «наблюдаемое» в экспериментах
по пропусканию нейтронов с энергией Е через слои вещества с температурой Т.
Пусть п нормировано на 1 нейтрон в 1 см3. Как бы мала ни была энергия нейт-
рона Е, F (Е) не может быть сколь угодно мала, так как, участвуя в тепловом
движении, ядра среды могут соударяться с нейтронами, и поэтому
naSsp (Е, Т) -> const; (Е, Г) — 1 /V.
Е->0
Таким образом, в «наблюдаемом» сечении возникает зависимость вида 1/v
при малой энергии нейтрона, в то время как при неподвижных ядрах (Т = 0)
зависимости от энергии не было. Точный расчет усреднения скорости соуда-
рений по непрерывному распределению скоростей ядер среды подтверждает
этот эффект даже для случая пороговых реакций. Подробнее об этом см. в
работе 120].
В случае, когда ядра среды неподвижны, нейтроны могут только замед-
ляться при соударениях с ними, и поэтому нужно принимать
№ (г; Е', Q' -> Е, Й) = 0 при Е' < Е.
Поэтому интеграл соударений [второе слагаемое в правой части (4.1.2)]
ОО
следовало бы писать в виде J dE’ f dQ' (...). При соударениях с ядрами,
К
имеющими тепловое движение, нейтроны могут не только замедляться, но
и ускоряться, так что
W (г; Е'} £}' -> Е, Й) >0 при любых Е', Е > 0.
132
Вид индикатрисы рассеяния при низких энергиях принципиально ме-
няется, если мы хотим учитывать тепловое движение ядер. Точный расчет
индикатрисы и сечений тепловых нейтронов в этом случае—весьма сложная
задача проблемы «термализации нейтронов^, которая в общих чертах рассмот-
рена в т. 2 учебника. Однако, соблюдая общность, запишем для интеграла
соударений в (4.1.3) не
f dE' (...), a j' dE' $dQ' (...).
Примем, что перенос нейтронов происходит в невогнутом объ-
еме У, поверхность которого S (У) граничит с вакуумом. Объем У
сплошь заполнен веществом, ядерные плотности которого или не-
прерывны, или их функции кусочно-непрерывны на У. В этом
последнем случае предполагаем, что объем У распадается на ко-
нечное число объемов Уг (i = 1,2, ..., Л4), внутри которых ядерные
плотности непрерывны, а на поверхностях объемов У; могут испы-
тывать конечные разрывы непрерывности.
Если рассеивающие свойства среды изотропны, то в уравнении
(4,1.3) следует учесть то обстоятельство, что индикатриса
W (г, Е!, Й' -> £, Й) зависит не от ортов Й' и й по отдельности,
а от их скалярного произведения Й'Й = cos 0, где 0 — угол между
Й' и Й. Для уравнения (4.1,3) сформулируем краевое условие на
границе S среды с вакуумом:
ср (R, £, Й, /) = О при (Йп° (R)) < О, R 6 5,	(4.1.4)
которое означает, что на невогнутой поверхности раздела среда —
вакуум отсутствуют нейтроны, летящие по направлениям внутрь
реактора. Здесь п° (R) — внешняя нормаль в точке R невогнутой
поверхности S объема У.
Чтобы в этих условиях задача (4.1.3) имела единственное ре-
шение, требуется еще задать начальное условие
ср (г, £, Й, tf)|t=0 = f (г, £, Й).
(4.1.4а)
Мы предполагаем, что функция f (г, £, й) также удовлетворяет
краевому условию (4.1.4).
Если среда размножающая, a s (г, £, Й, t) — функция распре-
деления нейтронов внешних источников (интенсивность которых не
зависит от порождаемого ими нейтронного поля), то к s должна быть
добавлена скорость генерации нейтронов деления Ар в элементе
фазового объема drdEdQ. Гер называют интегралом деления и в пред-
положении изотропного распределения нейтронов деления записы-
вают его в виде
?<f = } p£'v(r,E',£)2/(r,£') fdO' ф(г, £', Q’.t). (4.1.5)
Здесь v (г, £', £) dE' — число нейтронов деления, возникающих
в интервале dE при одном акте деления для смеси различных рас
133
щепляющихся изотопов в точке г. Множитель 1/4л возник вслед-
ствие принятого предположения об изотропном распределении ней-
тронов деления, поскольку в этом случае индикатриса деления не
зависит от Й и заменяется множителем 1/4 л.
Если аналогично обозначить интеграл упругих и неупругих
соударений
со
.S <р = J dE' j dQ' ф (г, Е’, О', О S,,- (г, £') W (г, £', О' — £, О),
о
(4.1.6)
то уравнение (4.1.3) можно записать в операторной форме:
-L J1L . о\ ч _ . . vi; д_ § ф • Йф	(4 . 1 .7)
v Ot
Это уравнение следует решать при краевом условии (4.1.4) и на-
чальном условии (4.1.4а). Решение ср всегда неотрицательно, если
функция f в (4.1.4а) неотрицательна и s 0.
Б уравнении (4.1.7) предполагается, что все нейтроны деления
испускаются в момент акта деления, иначе говоря, не принимаются
во внимание запаздывающие нейтроны.
Здесь не рассматриваются сложные проблемы существования
и временного поведения решения уравнения (4.1.7). Все эти вопросы
в общей математической постановке с запаздывающими нейтронами
и без них проанализированы в [20]. (Роль запаздывающих нейтро-
нов рассмотрена в т. 2.) Отметим здесь только один результат общей
теории. Подобно формуле (2.6.136) элементарной одногрупповой
диффузионной задачи для решения уравнения (4.1.6) (при s = 0)
имеем
ф (г, £, Й, /) ж Со ехр (сооО ф0 (г, Е, Й), Со > 0 при />0, (4.1.7а)
где
j- C1){j фо -= _йуф0—Зфо + £ф0; ф0 > 0, (4.1.76)
и
т. е. ф0 является положительной собственной функцией, принадле-
жащей собственному значению ы0 оператора А:
А = v (— QV — S 5 /' Е}.
Это собственное значение оказывается простым, и ему принадлежит
единственная положительная собственная функция ф0 (г, Е, £2),
удовлетворяющая краевому условию (4.1.4). Как и в § 2.6, убеждаем-
ся, что стационарность, разгон или затухание цепной реакции оп-
ределяются равенством постоянной времени соо нулю или ее знаком.
Обратная величина 1/соо То называется периодом реактора,
если Д> 0.
Отметим еще, что построение решения задачи (4.1.7), (4.1.4),
(4.1.4а) (при s — 0) в виде (2.6.6в) или (2.6.10) теперь невозможно.
134
У ьгас нет теоремы о полноте набора собственных функций опера-
тора Л, принадлежащих его собственным значениям wn (в работе [20]
имеются соответствующие примеры). Оператор Л несамосопряжен-
цый, его собственные значения <л>0 могут быть недействитель-
ными. Но какова бы ни была спектральная точка со„ (к О 1), всегда
выполняется условие
<j)0 Д> Re(on,	(4.1.7в)
т. е. точка <оо расположена на плоскости комплексного переменного
правее всех остальных спектральных точек оператора Л.
Дадим здесь постановку условно-критической задачи. В гл. 1
и § 2.6 мы определили эффективный коэффициент размножения
как число, на которое нужно поделить чтобы реактор был кри-
тическим. Обобщая это понятие, будем говорить, что 7еОф '— это
число, на которое нужно поделить число нейтронов деления у(£', Я),
чтобы реактор был критическим.
Критическое состояние реактора с математической точки зре-
ния следует определить как такое состояние размножающей среды
(ее композиции, формы, распределения делящегося вещества), для
которого уравнение (4.1.6) имеет стационарное решение dcp/dt — 0
в отсутствие внешних источников (s = 0) и это решение положитель-
но. Таким образом, для критического реактора выполняются усло-
вия
0 = — ftVcp — 2<р ~~ Sep — £<р;	(4.1.8)
Ф (г, £, ft) д> О при г 6 V; (p(R, £, ft) = 0 при ftnft (R) < 0, R £ S.
(4.1.8a)
Тогда уравнение условно-критического состояния, по опреде-
лению, имеет вид
0 ——ftvcp — £(| Д(.	((, >о (4.1.9)
Уы)
при дополнительных условиях (4.1.8а). Уравнение (4.1.9) подробно
проанализировано в [20]. Известно, что его положительному ре-
шению отвечает только одно значение £J(jl > 0. При непрерывном
или кусочно-непрерывном распределении вещества внутри объема V
функция ф (г, Е, ft) непрерывна по всем своим фазовым переменным
X -= (г, £, ft).
Разрыв непрерывности может происходить на плоских участках поверх-
ности 5. В таких случаях функция ср (R, Е, й) (когда точка R лежит на пло-
скости) в силу краевого условия (4.1,8а) скачком меняется от пуля до конеч-
ного значения, когда орт Q пересекает плоскость. Кроме того, на образующих
внутренних поверхностей раздела .S; (если таковые существуют) наблюдается
и е о и р ед е л е f I н ост ь з 11 а ч с н и и (г, Е, 11), к о г да орт Q накрав л е м в до л ь о б р а з у ю -
щей.
135
Для числа ^Эф можно получить выражение, аналогичное (2.6.36).
Чтобы убедиться в этом, запишем первое слагаемое в (4.1.9) в виде
Й V 9 = div й ср. Интегрирование по dQ дает
J dQ div (Йср) = div I йййср = div i (г, E).	(4.1.10)
Интеграл
i (r, E) = рЙЙф (г, E, Й),	(4.1.10a)
как известно [см. (112.1.7)1, имеет смысл тока нейтронов при энер-
гии Е.
Из непрерывности функции ср следует непрерывность векторной
функции i (г, Е). Лишь в диффузионном приближении для гетеро-
генного реактора функция 1 (г, Ё) кусочно-непрерывна с разрывами
только на поверхностях S; (при этом, однако, сохраняет непрерыв-
ность нормальная компонента тока нейтронов). Если теперь пред-
положить полную изотропность среды в каждом из включений Иг
объема V, то, как было указано выше, индикатриса W7 имеет вид
Ж (г; £', Й' Е, Й) = W (г, Е', Е, Й'Й),
откуда следует, что
U70(r, Е', Е) = J W (г, Е\ Е, Й'Й) dQ. (4.1.106)
Тогда
j cfflSqi = jdE' J dfi' ср (r, E', Я')Ssi (r, E') 1F0 (r, £', £) =
6
dE' Ф (r, £') Ssi (r, E') W, (r, E', E),
b
где Ф (г, E) = ,f dflrp (г, E, Й) — полный или глобальный поток ней-
тронов, Ф = W1 = v f dQN(r, Е, Й). Будем, как и в гл. 2, называть Ф
потоком нейтронов. Таким образом, формула
рЙ5ф = §0Ф=р£'Ф(г,Е')2,г(г,Е')»'<|(г.£'.£) (4.1.11) 
6
определяет действие оператора So на функцию потока нейтронов Ф
и так же, как S ср, Е0Ф называется интегралом упругих и неупру- ;
гих соударений.
Аналогично интеграл делений (4.1.5) представляется в виде
Ap = _L Дф =-L С<г£Ч(г,£'.Е)Д(г.Е')Ф(г,£').	(4.1.12)
4л	4л J
о
Тогда после интегрирования по dSl уравнение (4.1.9) принимает
вид
О = — div 1—S (г, £) Ф + Дф + — Дф. (4.1.13)
136
Отметим для дальнейшего, что такая же операция, произведенная
над нестационарным уравнением (4.1.7), привела бы к уравнению
—47 = — div i—2 (Е) Ф + ДФ 4- А© 4- S (г, Е, t), (4.1.1 За)
V 01
где S (г, Е, t) = fdQ з (г, Е, Й, t).
Проинтегрируем уравнение (4.1.13) по объему V и затем по энер-
гии Е. В силу нормировки (4.1.2), для индикатрисы (4.1.106) имеем
f Wz0 (г, £', £) dE - 1.	(4.1.14)
Отсюда вытекает, что
f d£S0® = f г/£'Ф (г, £') S8I- (г, £').	(4.1.15)
Если учесть общее соотношение
S (£) - X. (£) + 2^ (£),	(4Л.16)
то второе и третье слагаемые в (4.1.13) дают
— р£[2Ф —£0Ф] = —^£5а(г,£)Ф(г, £).	(4.1.17)
Заметим еще, что интеграл
f v (г, £', £) dE = vy (г, £')	(4.1.17а)
по смыслу является числом нейтронов деления, отнесенным к одно-
му акту деления, порожденному захватом нейтронов с энергией £',
и поэтому интеграл
Q(r) = рВД'Ф - j <f£'v/(r, £') Ф (г, £') 2, (г, £')	(4.1.18)
дает скорость генерации нейтронов деления в единице объема в точ-
ке г.
Интегрирование по объему V первого слагаемого в уравнении
4.1.13) позволяет использовать теорему Гаусса — Остроградского
prdivi(r,£)= f dS n° (R) i (R, £) = J (£),	(4.1.19)
v	s
где n° (R) — единичный вектор внешней нормали к поверхности S
в точке R £ 3. В этом случае J (£) — скорость излучения нейтро-
нов с поверхности S в вакуум, отнесенная к единице энергии. Тогда
J = p(£)d£	(4.1.20)
является утечкой нейтронов из реактора, т. е. числом нейтронов,
покидающих поверхность реактора в единицу времени. Обозначая
Nf = f drQ (г) = [ dr f dE' v, (г, £') 2, (г, £') Ф (г, £')
V	V
полную скорость генерации нейтронов деления во всем объеме ре-
актора;
Na = J dr J d£2„ (г, £) Ф (г, £)
V
137
полную скорость захватов нейтронов во всем объеме реактора, по-
лучаем после интегрирования уравнения (4.1.13) по drdE
О = — J -	-'г
или
J).	(4.1.21)
Таким образом, в согласии с элементарным рассмотрением в
§ 2.6 [см. (2.6.36)1 определенный выше Ауф представляет собой также
отношение скорости генерации нейтронов деления во всем объеме
реактора к сумме скорости захватов нейтронов в реакторе и утечки.
Вследствие этого /?;(ф приобретает смысл эффективного коэффициен-
та размножения нейтронов в среде конечных размеров. Надо лишь
иметь в виду, что числа Лф, Лф, J должны рассчитываться с по-
мощью функции (г, £, й) из (4.1.9). При этом утечка У, определен-
ная в (4.1.20), а также функция Ф (г,/?) обязательно положительны.
Можно установить связь между числом о>0 из (4.1.7а), (4.1.76)
и реактивностью 1см. (1.1.4), (2.6.42)1:
р - (J4i - 11 А-	(4.1.22)
в виде
0>0 - / (Р)/Пф,	(4.1.23)
где Т:3ф - некоторое характерное время, имеющее смысл эффектив-
ного времени жизни нейтрона в реакторе, поддающееся вычисле-
нию, a f (р) — аналитическая (в окрестности нуля) функция р, име-
ющая вид
/ (р) = Р ш ФР’2 -г п2р3 -г ....	(4.1.23а)
так что f (р) =•• р -- О (р2), и можно приближенно записать
«о ж р/Т:;,ф.	(4.1.236)
Таким образом устанавливается связь между/у, ф и постоянной
времени со0 разгона или затухания цепной реакции. Частный слу-
чай простейшего вида связи между соо и р мы имели в формуле (2.6.41),
в которой /(р) = р; T.^,-=Tjk^. Формулы (4.1.23) — (4.1.236)
порождают такие же следствия, как и (2.6.44):
/гэф > 1, р д> 0, «о > 0 — реактор надкритический;
/?Эф -= 1, р = 0, ой, = 0 — реактор критический;
/?эф < 1, р < 0, си() < 0 — реактор подкритический.
Отметим, что строгое равенство функций ф и ф0 как решений
уравнений (4.1.76) и (4.1.9) наблюдается, конечно, только при «0 =
= кзф = 1- Это означает, что разгон или затухание цепной реак-
ции некритического реактора приводит на асимптотике к функции
ф0 (г, Е, Й), отличной от решения условно-критической задачи
<р(г, £, й).
138
При больших значениях постоянной времени со0 различие функ-
ций ср и может быть весьма ощутимым, что следует иметь в виду
при решении прикладных задач, связанных с нейтронными вспыш-
ками и т. п.
§ 4.2. МАТЕРИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
РАЗМНОЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Кинетическое уравнение реактора в стационарном случае имеет
вид (4.1.8). Запишем его для случая однородной размножающей
среды в виде
/Иср = Ар; УЙср - й V Т A Sep — Sep (4.2.1)
или
(—А 4- £) ф = 0,	(4.2.1а)
Sep = ^dE'\ dQ'(p(r, Е', Й') S,,(£') \V(E’, Й' -> Е, Й) (4.2.2)
—источники нейтронов, возникающих вследствие упругого и неуп-
ругого замедления;
Ар - Г- f dE' v (£',£) 2, (£') Ф (г, £') — -L Д®
4л J	'	4а
— источники нейтронов, возникающих в результате делений.
Упростим задачу, полагая
v (Е\ £) = % (£) v; (£').	(4.2.2а)
Здесь % (£) — функция распределения по энергии нейтронов де-
ления:
А/ (£) dE - 1.	(4.2.26)
Представлением (Е', Е) в виде (4.2.2а) означает, что распределение
нейтронов деления принимается не зависящим от энергии нейтрона,
вызвавшего деление. Тогда можно записать
F ср = X (£)/4я Е. Ф,	(4.2.3)
где
АФ =	(£') Sy (£') Ф (£ £')	(4.2.3а)
Пока к уравнению (4.2.1) не добавлены краевые условия, оно имеет
континуум всевозможных решений. В частности, можно искать
не зависящее от Й и г решение в виде
Ф (г, Е, Й) = Ф (£)/4л.	(4.2.36)
Поскольку среда, по предположению, однородна и изотропна, - то
W (£', Й' -> £, й) = W (Е', Е, <>' Й).	(4.2.4)
Тогда [см. (4.1.106)]
j dQ‘ IF (£', Й' -> А О) = J IF (£', £. й' Й) dQ = IF0 (£', £);
S'? - -A®. .. 2. C dE' Ф (£') 28i (£') IFO (£', £), (4.2.4a)
*rTC *»<t (J
вследствие чего уравнение (4.2.1) принимает вид
2ф - 50Ф = % (Е) Е0Ф.	(4.2.5)
Так как решение однородного линейного уравнения определяет-
ся с точностью до постоянного множителя, то функцию Ф (Е) можно
нормировать так, чтобы выполнялось условие
Е0Ф = 1,	(4.2.6)
в результате чего приходим к уравнению
2-Ф	50Ф = х (Е).	(4.2.7)
Это неоднородное уравнение упругого и неупругого замедления.
Частный случай уравнения только упругого замедления на не-
подвижных ядрах среды рассмотрен в гл. 3.
Теперь можно ввести общее определение /гто в бесконечно протя-
женной однородной размножающей среде как'отношение скорости
генерации нейтронов деления к скорости захватов на том спектре
нейтронов Ф(Е), который формируется при упругом и неупругом
замедлении от одного нейтрона деления с распределением по энер-
гии х (Е) и находится как решение уравнения (4.2.7):
Е0Ф/<2аФ> = Nf/Nc =	<2аФ> = f dE® (Е)	(Е). (4.2.8)
В отличие от k.^, определенного формулой (4.1.21), в формуле
(4.2.8) имеет смысл коэффициента размножения в бесконечной среде
(где утечка нейтронов J, естественно, отсутствует). Определение
(2.1.2) в моноэнергетической модели реактора является частным
случаем этого общего определения.
Напомним, что
2 (Е) =	(Е) ф Ssi- (Е).	(4.2.9)
Кроме того, в силу (4.1.14)
f W0(E',E)dE = 1;	"	(4.2.10)
<3„ Ф> = f dE f dE'<D (E‘) Ss! (£')	(£', E) - <Ss! Ф>.
Поэтому после интегрирования уравнения (4.2.7) по Е [с учетом
(4.2.26)] сразу получим балансное соотношение
<ЕЯФ> = 1,		(4.2.10а)
и, в силу (4.2.6), по определению (4.2.8) найдем = 1. Это озна-
чает, что уравнение (4.2.5) в размножающей среде имеет решение
тогда и только тогда, когда kx = 1.
Из определения (4.2.8) вытекает общий метод вычисления
размножающей среды. Сначала решается уравнение замедления
(4.2.7) с источником нейтронов деления единичной интенсивности
без учета размножения в процессе замедления. На полученном поле
140
Ф (£) замедляющихся нейтронов строится скорость генерации нейт-
ронов деления Г0Ф. Тогда k^ = Fo Ф, так как в силу (4.2.10а)
<Sa Ф> = 1.
Можно рассуждать и так: пусть дана скорость генерации нейт-
ронов деления QL и решается уравнение замедления
2Ф — 50Ф = % (Е) &.	(4.2.106)
В силу баланса нейтронов, как и выше, имеем
<2ОФ> = Qb
где Qi можно считать скоростью генерации нейтронов первого по-
коления. Тогда Ф = Q2 — скорость генерации нейтронов вто-
рого поколения, и из формулы (4.2.8) следует
= QM,	(4.2.10b)
т. е. равен отношению скорости генерации нейтронов второго
поколения к скорости генерации нейтронов первого поколения
в бесконечно протяженной однородной размножающей среде.
Подставляя в (4.2.106) значение	получаем уравнение
-2ФТ50Ф+-^-)ТоФ = О,	(4.2.10г)
которому должны удовлетворять и соответствующая функция Ф (В) нейт-
ронного поля. Так как уравнение (4.2.106) однозначно разрешимо относитель-
но Ф, то можно записать (/ — единичный оператор)
Ф=	2/+ So)"1 /(£) До Ф
ИЛИ
£«Ф = ДФ; ^ = (-S/+S0)-Jx(^)^-	(4.2.1 Од)
Видно, что является собственным значением построенного таким спо-
собом оператора А, а Ф (Е) — принадлежащая собственная функция.
Из примеров гл. 2 известно, что критическое состояние реактора
конечных размеров возможно лишь при > I, так как кроме за-
хватов нужно еще скомпенсировать утечку нейтронов из реактора.
Поэтому важно уметь ответить на такой вопрос: какие решения урав-
нения (4.2.1) возможны в бесконечно протяженной однородной раз-
множающей среде при > 1?
Наиболее просто искать решение в виде плоской волны, распро-
страняющейся вдоль произвольно направленного орта и:
ср (г, Е, Й) = ехр [ifc (гл)] / (Е, пй).	(4.2.11)
Поскольку
Vexp Ii/г (гл)] = i&n ехр Пй (гл)],
(4.2.11а)
14!
то, подставляя (4.2.11) в (4.2.1) и сокращая экспоненту, находим
ПШп 4- 2) f — S/ = % (Е) Fotn^
f (Е, и, й) - 15/ + z(E) Eomo]/12 (Е) + ik (йп)], (4.2.12)
где
md(£) - t dQf(E, пй).
“сП J
Если предположение о возможности искать решение в виде
(4.2.11) не вызывает противоречий, можно чрезвычайно расширить
класс решений уравнения (4.2.1), используя любую суперпозицию
плоских волн в виде
ср (г, Е, Й) j dn С (п) ехр [i/г (гп)] f (Е, пЙ). (4.2.13)
Заметим, что Еогпо — число, и в силу линейности исходного
уравнения можно требовать, чтобы выполнялось равенство
Готй = 1.	(4.2.14)
Тогда (4.2.12) записывается в виде
/ (Е, и Й) = [5/ -I- х (Е)]/[2(Е) ik (Йп)1.	(4.2.14а)
Индикатрису (4.2.4) с любой точностью можно представить, ко-
нечным числом членов разложения по полиномам Лежандра:
Й/(Е\Е,Й'Й)- V W^E'^P^Q' й). (4.2.15)
zfo 4л
В силу ортогональности полиномов Лежандра
+ 1 9
f d[iPn (р) Рт (р) = г — бПпг.	(4.2.15а) т
— 1
Отсюда получаем
(Е!, Е) = J dW (Г, Е, й'й) PL (й'й),	(4.2.156)
причем
Р„ (Ц.) = 1; Р1(И) = |Х.	(4.2.15b)
Введем
m,(£) = 3-	(4.2.16)
4л J
и рассмотрим функцию S/ в представлении индикатрисы (4.2.15).
Известна следующая теорема сложения 1216]:
Л (Й'Й)-Л(Й'гО/^Йп)-!-
_у2	Р<т> (Й' п) ?<"!>(Йп) cosm (<р'~-ср), (4.2.17)
142
где (гр' — ср) — угол между проекциями ортов О' и О на плоскость,
перпендикулярную орту п. Тогда в формуле
j dE' j'dQ7(£',nQ')Ssi(£') W'i(£',£)P,(Q'0) =
-С d£'f d<f' риЦ (£',>') (E'lWtlE'.EIPtiWQ)
b Д-i
после подстановки в нее (4.2.17) и интегрирования по ср' аннули-
руются слагаемые с cos т (ср' — ср). Учитывая обозначения (4.2.16),
получаем
V (27-Ы)Л(пЙ)5г/пг,	(4.2.18)
; = о
где
S;mz = p£'mz (£') 2S, (£')	(Е', £);
f(E. nft) =
v (2/+1)Л(пЙ)5Л
1=0
rX(£) /[S(£)4-i^(Qn)].
(4.2.18a)
Умножим это уравнение на £г (пй) и проинтегрируем по dQ,
в результате получим
'М£) = 2 (2М-1) aln(E)Snmn + а1о(Е)% (£), Z = 0,1,...,
ri= О
(4.2.19)
где
1 Г	Pl (Sn) Рп (fin) _ I V d^Pj ф) Pn (,u)
4л J	2 (£)-]-!/? (fin) ’ 2 Jj S(E)4-i£p
(4.2.19a)
Выпишем главные значения aln (£) с номерами
(£) = -±_ In 2 (£) +ik = а (£);
00 k 7 2j/e 2(Е)-1Л k Л
n0i(£) = nI0 (£)-— if5 (£);.
Р(£) = ф[1-2 (£)а(£)]=-ГГШ('Лу^Ш|'Лу + . 1 .
К-	k 3 \ *—1 у o\ijy
Яп (Е) = -	[1 -2 (О “ (О1 =	₽ (£).
^1/v J	rv
(4.2.20)
143
Перепишем уравнения (4.2.19) для случая N = 1, т. е. в пред-
ставлении анизотропии рассеяния только двумя членами разло-
жения индикатрисы (4.2.15). С учетом обозначений (4.2.20) получим
для I = 0, 1:	>
т0(Е) = а(Е) [§ото+ %(£)] — Зф (Е) Sx тх,
гЛ	1	32 Л (4.2.21)
m1(£) = -i₽(£)[SomoH-X(£)] -|- р (£) 3, <nv
Л	J
Система (4.2.19) замечательна тем, что первые ее N + 1 уравнений
при I — 0,1,2, N образуют замкнутую систему неоднородных
интегральных уравнений, которая однозначно определяет функции
т0 (£), тх (£), ..., тн (£). Функции mi (Е) с более высокими но-
мерами 11/72дг_1_] (Е),Шм+2 (£), находятся через т0(£), ...,	(£).
Каждая функция mi (£) определяется формулой (4.2.16) как Z-й
угловой момент плоской волны (4.2.11). Так как полиномы /\(Qn)
образуют полный набор в множестве функций f (On) = f (р), сум-
мируемых с квадратом на интервале —1 р. 1, то функция f
из (4.2.11) восстанавливается с помощью угловых моментов тг (£)
по формуле
оо
/(£,пО)^	(2/ф1)^(£)Л(Оп).
z=o
(4.2.22)
Функции mQ (Е) и тх (£) имеют особый смысл. При интегриро-
вании по dO все полиномы Рг в силу свойства (4.2.15а) аннулируют-
ся, кроме Ро (On) = 1 [см. (4.2.15в)], и
j dQf (Е, On) = 4nm0 (£).
Тогда решение (4.2.11) уравнения (4.2.1) дает
Ф (г, £) = J dO<p (г, £, О) = 4ят0 (£) ехр [i/e (rn)]. (4.2.23)
Здесь т0 (£) имеет смысл распределения по энергии плотности
потока нейтронов, порожденного плоской волной (4.2.11). Кроме
того, из (4.2.22) следует
^О/(£, On) Л (On) = f cZO/ (£, On) (nO) = 4nm! (£).
Это же выражение можно записать так:
4ятх (£) = n J dOO / (£, On)
или
4лтх (£) ехр li/e (rn)] = n J cZQOtp (г, Е, О).
Интеграл
J <ZOO<p (г, £, О) = i (г, £)	(4.2.24)
имеет смысл'тока нейтронов, построенного на решении (4.2.11)
уравнения (4.2.1) в виде плоской волны. Так как ср (г, £, О) =
= <р (г, £, пО), то
i (г, £) = п 4 лтх (£) ехр [i£ (rn)].	(4.2.25)
144
3 то же время из формулы (4.2.23) следует
(г, Е) — nLfe 4лт0 (£) ехр [i& (rn)].	(4.2»26)
Сравнивая (4.2.26) с (4.2.25), убеждаемся в том, что
I (г, Е) = - D (£) V ® (г, £),	(4.2.27)
где
£•(£) = — тг (E)/iktn0 (£).	(4.2.27а)
Это закон элементарной теории диффузии. Если бы соотношение
(4.2.27) годилось только для одной плоской волны, то оно имело
бы слишком ограниченное применение. Важно, что (4.2.27) пригодно
для любой суперпозиции плоских волн вида (4.2.13). Какие из этого
получаются следствия, показано в § 4.3. Здесь лишь проверяется
справедливость этой формулы для случая, когда решение уравне-
ния (4.2.1) берется в виде (4.2.13). Тогда
Ф (г, Е) = Г = J dnC (n) ехр [i/г (гп)] J d&f (Е, On) =
= 4nm0 (£) JdnC (n) exp li£ (rn)];
V Ф (r, E) = 4nm0 (£) ik j* dnC (n)nexp [i£ (rn)]. (4.2.28)
Для векторной функции тока нейтронов используем формулу
(4.2.24). Тогда
i (г, £) = \dn С (и) ехр [i£ (rn)] j dQQf (Е, On).
По аналогии с выражением (4.2.24) получаем
+1
f dQQf(E, On) = 2лп J djigf(£, p.) = n J dQf(E, On)^ (On) =
— i
= 4nm1(£) n;
i (г, £) ~ 4nmt (£) f rfnC (n) n exp [i£ (rn)].	(4.2.29)
Из (4.2.28) и (4.2.29) снова получаем формулы (4.2.27) и (4.2.27а).
Поэтому можно утверждать, что они пригодны для весьма широкого
множества суперпозиций плоских волн, каждая из которых должна
подчиняться лишь одному требованию: коэффициент С (п) должен
быть таким, чтобы формулы (4.2.28), (4.2.29) имели смысл.
Формулу (4.2.27а) можно рассматривать как общее определение
коэффициента диффузии в размножающей среде заданного состава,
при этом коэффициент диффузии зависит от k как параметра.
Оказывается, решение уравнения (4.2.1) в виде (4.2.11) или супер-
позиции плоских волн (4.2.13) требует совершенно определенного
значения параметра k. В этом легко убедиться, если учесть, что ин-
тегралы (4.2.19а) можно представить в явном виде как специальные
функции параметра k (см. [19]), подобно функциям (4.2.20). Таким
образом, ain (£) = а[п (k, Е) и соответственно тг (£) = тг (k, £).
145
Тогда условие (4.2.14), рассматриваемое как уравнение для опре-
деления параметра k,
FofUfj (k, Е) = 1,	(4.2.30)
является трансцендентным уравнением, которое при известном
определяет единственное значение k =х — волновое число в (4.2.11),
(4.2.14). Убедимся в этом на простейших примерах.
Пусть N ~ 0, т. е. рассеяние изотропно (£; — 0, I Д> 0). Со-
гласно (4.2.20) имеем
т0 (А, £) - а (/< £) lSomo (k, Е) + у (£)].	(4.2.31)
Это уравнение при достаточно малом /Е всегда имеет решение. В опе-
раторной форме оно записывается в виде
(k, £) -= [a-1 (k, Е) — SJ-1 % (£).	(4.2.31а)
Из (4.2.14) следует
1	= £0 (a-1 (JE E)-Sj~i% (£).	(4.2.32)
Число k = х должно быть определено как корень этого урав-
нения. Особенно просто оно записывается в моноэнергетическом
случае, когда операторы £0 и £0 являются операциями умножения ~
на числа:
Sq/7T0 ~ 2sj/7J0; — .м ~ От0 ~
Функция % (Д) в моноэнергетическом случае равна единице.
Согласно (4.2.31) и (4.2.31а),
ш0 (/г) ~ [а-1 (Е) — 2J-1 • 1-	(4.2.32а)
Из условия (4.2.30) следует, что
F0m0 (/г) = 1 = k^a [а~ЧЕ) — 2J-1,	(4.2.33)
и уравнение (4.2.32) получается в явном виде. Его можно переписать
с помощью обозначений
аХс = 1; с= (k^a + 2s)/2;	(4.2.34)
где 2 = 2а + 2S; 2а = 2С -р 2/. Для дальнейшего применения
удобно представить (4.2.34) в виде
(с — 1)/с = 1 — «2.	(4.2.34а)
Отсюда вытекает хорошо известная в односкоростной теории перено-
са (см. [19]) форма записи (4.2.33) при изотропном рассеянии:
—-1п^±Э=1; = Л .	(4.2.35)
2	V—I	ife
В комплексной плоскости (с разрезом от —1 до -pl) это урав-
нение имеет только два корня: = v0, v2 = —v0. Само число v0
146
определяется величиной с. При с Д> 1 v0 чисто мнимое, при с< 1 v0
действительное, при с = 1 v0 оо. Так как, по определению
(4.2.34), kx > 1 при с > 1,	< 1 при с < 1 и = 1 при с = 1,
то из (4.2.35) следует, что
/г№ > 1, х = ± S/iv0 — действительное; '
^<1, х ----- + S/iv0 — чисто мнимое;	(4.2.36)
k.x - 1, х = 0.
Значит, случай х3 > 0 возникает при /?ж > 1 и соответствует двум
противоположно направленным плоским волнам: ехр [+ix (rn)].
Число х мы определяем как материальный параметр размно-
жающей среды. Привычная для нас формула одно скоростной тео-
рии (2.2.4)
х3 = (k^. - 1)/L3 = (^ - 1) 2JD (4.2.37)
появляется следующим образом. Из формул (4.2.20) при изотроп-
ном рассеянии (5/ = 0, если I у> 0) для односкоростного случая
получаем
m(i = а (х) (Ssm0 + 1); тл = — ф (х) (2sma + 1). (4.2.38)
Отсюда, в соответствии с общей формулой (4.2.26), находим
D =	(4.2.39)
X « (х)
Если
х3 313 < 1,	(4.2.40)
то из разложений (4.2.20) следует сс(х) яз 1/2, [3 (х)/х лз 1/323 и
D « 1/3 2,	(4.2.41)
что совпадает с формулой коэффициента диффузии при изотропном
рассеянии (р — 0). Далее из (4.2.33) получаем
a-1 (x) = ^2a-F2s.
Если в представлении а (х) ограничиться двумя членами разло-
жения, полагая
1 /	1 л \
(4.2.42)
то из последнего равенства вытекает
х3/323 -	- 1) 2ft/S.	(4.2.42а)
Чтобы выполнялось условие (4.2.40), достаточно принять
- И <Е 1-	(4.2.43)
Тогда справедлива формула (4.2.41) для коэффициента диффузии,
)! из (4.2.42а) сразу получаем формулу (4.2.37), которая справедлива
лишь при малых отклонениях от единицы.
147
Из уравнений (4.2.21) при Si = О I > О видно, что в общем
полиэнергетическом случае формула (4.2.39) сохраняется:
D (Е) = ±	, 5i=S2 = ... = 0.	(4.2.44)
и а (х, Е)
Если потребовать, чтобы условие (4.2.40)
х2/322(Е) < 1	(4.2.45)
выполнялось равномерно относительно Е, то снова получим формулу
(4.2.41):
D (Е) « 1/3 S (Е).	(4.2.45а)
Функцию /720 (Е) в силу (4.2.21) при изотропном рассеянии сле-
дует рассматривать как решение уравнения
m0 (Е) = a (z, Е) [Somo (Е) -f- у (Е)],	(4.2.46)
а параметр и2 определяется из условия
Fomo = Foa (х, Е) (Somo + %) = 1.	(4.2.47)
Отсюда нельзя получить в явном виде уравнение типа (4.2.35).
Укажем, однако, на прием, позволяющий с более общих позиций
подойти к точному определению и2.
Рассмотрим уравнение замедления от точечного источника еди-
ничной интенсивности, излучающего в точке начала отсчета г = О
нейтроны деления:
— fiVcpo —S (Е)ср0 4- 5ф0 +-L % (Е) б (г) = 0.
4тс
Такое уравнение имеет сферически-симметричное, исчезающее на
бесконечности решение вида
<Ро = То (Л rfi/r), 0 при г-+ оо.
Мы не останавливаемся здесь на технике отыскания этого решения,
но коль скоро оно найдено, то функция
G (г) = Е0Ф0, где Фо = f аДф0,
даст скорость генерации нейтронов деления на расстоянии г от
единичного источника нейтронов деления, причем
G (г) > 0, G (г) -> 0 при г -+ оо.
Пусть теперь имеется некоторая функция распределения q (г)
нейтронов деления в бесконечно протяженной однородной среде.
Тогда мы должны искать решение уравнения
— >- (Е) ср + Sep +	q (г) = 0,	(4.2.48)
4л	х
148
которое запишется в виде
Ф (г, Е, Q) J dr0 7 (г0) ф0 ({г—г{) [, Е, (г— г0) Й/| г—г0 ().
00
Интегрируя последнее равенство по 2, получаем
Ф (г, £)	[ dr0 q (г0) Фо ([ г — г0 J, £), Фо (г, Е) = f % (г, Е, Йг/r) dQt
30
откуда следует, что
К® = <? (г) = J *„ q (г») G (I Г—r0|), G (г) = Л Фо (г, Е),	(4.2.49)
СО
где Q (г) — плотность генерации нейтронов деления в точке г,
порожденной полем замедляющихся нейтронов от источника нейт-
ронов деления q (г0).
Обратимся к уравнению (4.2.1):
—Й?т — £ (£) ф +	+ Жрдф = о. (4.2.50)
Для него следует написать q (r„) = F0 Ф (г0, £) = Q(r0), и тогда
в силу (4.2.49) уравнение (4.2.50) эквивалентно интегральному урав-
нению
Q(r) = jdr0Q (г0) G(J_r—г01).	(4.2.51)
со
Применим к (4.2.51) преобразование Фурье:
?(к) = -рЛг f ^(г)ехр(—ikr); (4.2.52)
Q (г) = J dk ехр (г fcr) Q (к),	(4.2.53)
в результате чего оно приводится к виду (см. [21])
Q (к) = f dk' Q (к') G (к' ->к).	(4.2.54)
Здесь
G (к' к) = С Г drdrf) —?— ехр (ik' r0) G (f г—г01) ехр (—ikr) =
J J (2л)з
= f dtQ	гр1 1 dr ехр [ — ik (г—r0)] G ([г—г01) =
J	(2П)3 J
= f dr в	exp[i (к' — к) r0] dn dr' (г')2 ехр (—iknr') G (г'),
где г’ = [г — Го(; п = (г — r0)/[r — г0|; dr = dndr' (r')a,
Ц9
т. е. элементарный объем dr записан в сферической системе коорди-
нат с началом отсчета в точке г(). Тогда
Г dn ехр [ — i (kn) г'J = 2 л ( сф. ехр (—\kr' р) — 4л sin ;
J	J	kr
— 1
СО
б(к'->к) = pr0-xp-^(k'"k)FnI- Г^Мл(г')2С(г')5-^. (4.2.55)
DO	О
Здесь интеграл по rf можно представить в виде
об	со	оо
Г dr’ 4л (г')2 G (г') s-^2 = С dr’ 4л (г')3 G (г') V J-1)" (/?/-')2П _
J	йгу J	1)1
о	о	— о
ос	оо
= )*' 4л(г')*О(г') У <-Ъ^'Л„ == f(П (4.2.56)
о	м==0	1
где
Т21! = J бНлг3 G (г) г2'1 / dr4nr2 G (г)	(4.2.57)
о	/о
имеет смысл четного пространственного момента для распределения
G (г). Интеграл, являющийся множителем перед суммой в (4.2.56),
имеет смысл k^. Действительно, пусть нейтроны деления первого
поколения распределены в пространстве с постоянной плотностью
По смыслу функции G (г) интеграл
Qi j сМлг2 G (г) Q2
о
дает постоянное распределение нейтронов деления с плотностью Q2.
Тогда, согласно (4.2.10в), получаем
оо
= С dr4nr- О (г) = /г„.
Qi J
о
а формула (4.2.56) принимает вид
ею
(4.2.58)
Интеграл по dr0 в (4.2.55), как известно, представляет собой обоб-
щенную функцию Дирака 6 (к' — к) в пространстве векторов к,
поэтому G (к' -> к) = F (А2)6 (к' — к). Тогда уравнение (4.2,54)
принимает вид
Q (к) = F (k2) Q (к)
ИЛЛ
Il — F (О Q (к) - 0.	(4.2.58а)
Пусть х2 — корень уравнения
1 = F (/?),	(4.2.59)
имеющий смысл материального параметра. Тогда из (4.2.58а) сле-
дует
Q (к) = 0 при k х,
т. е. Q (к) — сингулярная обобщенная функция, сосредоточен-
ная на поверхности шара: |к| = х. По формуле (4.2.53) получаем,
что
Q (г) = J rfnQi (п) ехр 1 ix (rn)], где (n) = Q (к) = Q (хп)
(4.2.60)
является суперпозицией плоских волн. В этом случае и решение
уравнения (4.2.53) следует искать в виде суперпозиции плоских
волн
ср (г, £, 12) = j dn С (n) ехр [ix (rn)] f (Е, On).
Подставляя это выражение в (4.2.50) и приравнивая коэффи-
циенты перед ехр [ix (г п)], получаем
С (п) { —[ix (On) + 2 (£)] /4- S/} -4 Qi (и) = 0.	(4.2.60а)
4л
Так как
Q (г) = Fo Ф = Fo d£l dn С (n) ехр [ix (rn)] f (E, On) =
dnC (n) exp [ix (rn)] Fo 4nm0 (£),	(4.2.61)
гдет0(£) = ^| dO/ (£, On), то, сравнивая (4.2.60) и (4.2.61),
убеждаемся в том, что
Qi (п) = С (п) £0 [4 лт0 (£)].
После подстановки этого выражения в (4.2.60а) С (п) сокращается,
так что
- lix(On) 4- 2 (£)]/ + Sf + % (£) FGm0 = 0.
В результате приходим к уравнению (4.2.14а)
f (£, On) = [S/ 4- % (£)]/12 (£) 4- ix (On)]
при дополнительном условии £omo (£, х) — 1.
Это означает, что волновое число k плоской волны (4.2.11)
Равно х, где х — действительный наименьший корень урав-
нения (4.2.59), коэффициенты которого являются четными прост-
ранственными моментами функции G (г) — скорости генерации
151
нейтронов деления, построенной па распределении замедляющихся
нейтронов от единичного точечного источника нейтронов деления
в бесконечной среде.
Отметим особенность уравнения (4.2.59): при его построении
были искусственно разорваны процесс замедления и процесс раз-
множения в размножающей среде. Интегральное уравнение (4.2.51)
означает, что Q (г0) является распределением нейтронов деления
первого поколения, которые порождают распределение замедляю-
щихся нейтронов без размножения. На этом распределении строится
распределение Q (г) нейтронов деления второго поколения по фор-
муле (4.2.49). Если требуется, чтобы х2 удовлетворяло уравнению
(4.2.59), то выбирают х2 так, чтобы Q (г) = Q (г0). Таким образом,
условие | k 12 = х2 означает, что х2 должно быть таким, чтобы рас-
пределение нейтронов деления второго поколения точно воспроиз-
водило распределение нейтронов деления первого поколения.
Перепишем уравнение (4.2.59) в виде
- 1 = F, •	(4.2.62)
где
ОО
F\ (и2) = х2 kn 2
(2п р 1)1
При — 1 < 1 х2 приближенно определяется через второй про-
странственный момент*:
х2^- ~k 1;	=	(4.2.63)
6	7' /6 A3	V
Последние формулы являются обобщением односкоростных формул
(2.2.4), (4.2.37).
Следовательно, материальный параметр в общем случае так же,
как и в односкоростном приближении, в основном определяется
величиной и вторым пространственным моментом (А2 равно
одной шестой второго пространственного момента, как в диффу-
зионном приближении, см. упражнения 3 и 4 в § 2.4). Пространст-
венные моменты можно найти экспериментально, и для определения
второго момента существует соответствующая экспериментальная
техника.
Отметим, что полученные нами в одногрупповом рассмотрении
свойства (4.2.36) теперь полностью повторяются, что прямо следует
из уравнения (4.2.63):
> 1, х2 > 0;	)
<Z 1, х2< 0 или х — чисто мнимое;
= 1, х3 = 0.
(4.2.64)
При выводе уравнения (4.2.62) не делалось никаких специальных
предположений об индикатрисе упругого и неупругого замедления.
* Уравнение (4.2.62), будучи трансцендентным, возможно, имеет счет-
ный набор корней; к2 — наименьший из них по модулю.
152
Однако выражение для коэффициента диффузии несколько разли-
чается в зависимости от того, сколько членов разложения индикат-
рисы упругого и неупругого замедления используется для прибли-
женного описания оператора S. При N = 0 коэффициент диффузии
представляется формулой (4.2.44), которая, при условии (4.2.45),
переходит в формулу (4.2.45а).
Если принять N = 1, то из уравнений (4.2.21), подставляя вы-
ражение
зр (Е) §! Ш! =	[ И1 -н МО (So + %)]
из нижнего уравнения в верхнее и учитывая (4.2.20), получаем
т,(£) = -Л^-($><,+%)-	(4-2.65)
m, (Е) — р (£)	1П1 = — ip (£) (£„ т„ + %).	(4.2.66)
X
Введем обозначение
Ро (Е) = S^/'Zst (Е) т1 (Е),
где, согласно формулам (4.2.156) п (4.2.18),
= f dE,mi (Е') 2si (Е') ^\(Е', Е) =
= j dE' 1щ (Er) Esi (Е') j' W (Е', Е, й'й) (Й'Й) ЙЙ.
Так как, в силу (4.2.29), т1 (Е) ~ i (г, Е), то можно говорить, что
р0 (Е) — средний косинус угла рассеяния при энергии Е, усред-
ненный с весом скорости упругих и неупругих соударений на токе
нейтронов. Тогда из (4.2.66) получим
(Е) .- — ip (Е) (Ео т0
X) / [ 1 -	₽ (Е) 2Sj (О Но (£)
I	X
и соответственно
иЗ
ад
1-— pssi Ро
(50^о+х)-
Оба эти выражения имеют смысл уравнения замедления. Исключая
из них функцию Somo -г %, получаем
77Z! (Е) =
— i pS т0 (Е)
1—3 SPp.o (Е)2з£ (Е)/х —
(4.2.67)
Это выражение зависит от х, и при выполнении условия (4.2.40)
6 (Е) ж x/3S2 (Е); поэтому (4.2.67) можно переписать в виде
т, (Е) - - ix/n0 (Е)/3 [2(E) - ре (Е) 2s; (Е)].	(4.2.68)
153
Выражение, стоящее в знаменателе, при отсутствии неупругого
рассеяния имело бы смысл 2fr. Поэтому можно записать
= 2- (£) - |10 (Е)	(Е),	(4.2.69)
рассматривая это выражение как обобщение транспортного сечения
с учетом неупругого рассеяния. Тогда по общей формуле (4.2.27а)
получаем то, что требуется:
D (Е) =---------при ----------------— «1.	(4.2.59а)
v 1 32tr (£)	3	3	(Е)	7
Представление уравнения (4.2.59) через четные пространственные
моменты дано для реакторов на тепловых нейтронах в работах [1,5],
а общий случай рассмотрен В. В. Орловым [21].
Упражнение 1. Дать разложение индикатрисы Й7 (Е', Й' ->
Е, Q) в ряд по полиномам Лежандра в случае упругого рассеяния на не-
подвижных ядрах среды, состоящей из одного рассеивающего изотопа, и най-
ти соответствующее представление интеграла соударений (4.2.18) в явном
виде.
Решение. Обозначим в представлении индикатрисы (4.2.4) р0 =
= (Й'Й) и, используя формулу (3.1.9), запишем р0 как
W (Е', Е, р) — 0 при р. =/= р0.
Отсюда получаем что
Таким образом, W (Er, Е, р) — сингулярная обобщенная функция, и можно
записать
W (Е' , Е, р.)=Г (Д', Е)
р —Ро —
\ Е
(4.2.70)
Из условия нормировки (4.1.2) следует, что
1	Е/гл
(\/Е'2л f Лрй7 (£', Е, р.)= f с/Е' U7 (Е', Е) = J; W (Е’ , Е)=-0
— 1	Е
при Е' ф [Е. Е/сс],
(4.2.71)
где а определяется согласно формуле. (3.1.8).
Формально разложим 6-функцию в (4.2.70) в ряд по полиномам Лежандра:
откуда, с учетом (4.2.15а), вытекает
154
E)~W (E', E)P(
E'
E
WI(E'
(±.2.72)
т. e. получено представление (4,2.15) при -V = ос, Ряд этот представляет
обобщенную функцию и в обычном смысле не сходится. Однако он дает сходя-
щийся результат после интегрирования с весом произвольной непрерывной
функции, что позволяет представить в явном виде действие оператора S на
произвольную непрерывную функцию вида
/ (Е, Й) / (£, Йп),
которая представляется рядом, абсолютно сходящимся в обычном смысле:
f (E,n) = У ~— hi (£) Pk (м); н=(йп);
4л
й = 0
^(£)-^рЙ((Е, Qn)Ph(Qn),
равномерно относительно Е и р. Тогда
£/ = ГdE' [dQ' f (£”', Й') Ss (£') W (Е’, E, Й'Й) =
j	2L 9l 1 j	9/ i j
.dE' Ы,(Е') У^~-	У^^^г(Е\£^(й'й).
1 J	4 л	-"Л 4 л
J	£ = 0	7=0
(4.2.73)
По теореме сложения (4.2.17) имеем
2л
f dQ' Ph (Й’ п) Р; (Й’ Й)=у dip'
о
+_ 1
j Pfr Pz (p-o) =
— i
2л л- 1
dqf f
I	H- 1
0
В результате получаем
co
- 2k -J-1	C
Si- У	dE'fk(E')^s(E')Wh(E', E) =
Z 2^1 Ph W S?c fe— У (2feH-l) Pk (Йп) Sh mfe;	; (4.2.74)
4л	4л
£ = 0	z?=o
E/a	£/(x
Skfh= f dE'fk(E')^s(E!)Wh{E' ,£)= f dE' fh(E')Ss(E')X
"e	e
(4.2.74a)
что и требовалось [см. фор мул у (4.2.18)].
155
НК'
J
§ 4.3. МАТЕРИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим суперпозицию плоских волн (4.2.13):
ср (г, Е, Q) = J dnC (n) ехр Liz (rn)] f (Е, Йп). (4.3.1)
Известно, что это одно из возможных решений уравнения (4.2.1),
обладающее «диффузионными» свойствами в том смысле, что
Дер 4 х3ср = о.	'	(4.3.2)
Проинтегрировав это уравнение по dQ, получим
АФ (г, Е) + х2Ф (г, Е) = 0;	(4.3.3)
Ф (г, Е) = j dftep = 4лт0 (Е) ф (г);	(4.3.4)
ф (г) ~ J (п) ехр	(гл)].	(4.3.5)
Таким образом, решение (4.3.1) обладает тем свойством, что у
построенной с его помощью функции потока нейтронов простран-
ственные и энергетические переменные полностью разделяются.
Это очень удобно для изучения спектра нейтронов в гомогенном
(однородном) критическом реакторе. Поэтому возникает естествен-
ный вопрос: какой физический смысл имеет решение (4.3.1)?
Рассмотрим функцию (4.3.5). Очевидно, она также удовлетво-
ряет волновому уравнению
Аф %3ф = 0.	(4.3.6)
Запишем еще задачу на определение геометрического параметра
(см. § 2.6):
Аф + а3ф = 0; а2 > 0; ф[$ = 0.	(4.3.7)
Здесь ос2 — наименьшее по абсолютному значению [наибольшее
алгебраически, см. ряд (2.2.9)] собственное значение оператора
Лапласа, которое называется геометрическим параметром. Будем
говорить, что значение к2 «согласовано» с поверхностью S, если
х2 = а2,	(4.3.8)
при этом функция ф (г) всюду внутри объема V, ограниченного по-
верхностью 5, положительна, и с точностью до постоянного множи-
теля ф (г) является единственным решением задачи (4.3.7).
Здесь не оговаривается, для какого класса поверхностей при-
годно представление (4.3.5) решения задачи (4.3.6) — (4.3.8). По-
видимому, точного ответа на этот вопрос в настоящее время полу-
чить нельзя. Однако в упражнениях указаны практически важные
случаи (плоская геометрия, сфера, прямой параллелепипед, кру-
говой цилиндр конечной высоты), когда положительное решение
волнового уравнения представляется или в виде (4.3.5), или в более
частной форме:
м
Ф(г, Е, Я)^ V ехр [ix (гщ)] / (Е, Йпг); | пг | 1, при k^=i
(4.3.8а)
156
как суперпозиция конечного числа плоских воли, распространя-
ющихся в различных направлениях. Соответственно для решения
задачи (4,3.6) — (4.3.8) получится следующий результат:
м
(г) = 2 Ci ехр [ix (гп^)]	(4.3.86)
;= 1
(см. ниже, упражнение 4).
Представим себе теперь, что число х2 согласовано с поверх-
ностью S. Тогда для решений (4.3.1), (4.3.4) газокинетического
уравнения (4.2.1) имеем
ср (г, £, Й) > 0; Ф (г, £) > 0 при г С 7, Ф (г, £) | s = 0- (4.3.9)
Таким образом, найдено положительное решение газокинети-
ческого уравнения (4.2.1) с краевыми условиями (4.3.9), причем пе-
ременные в функции Ф (г, £) полностью разделяются во всем объе-
ме V. Ясно, однако, что такое решение не описывает состояния кри-
тического реактора, поскольку не удовлетворено газокинетическое
краевое условие (4.1.8а).
Проведем теперь внутри S эквидистантно удаленную от S на рас-
стоянии б поверхность So, поставим на 30 «правильное» краевое ус-
ловие (4.1.8а) и сформулируем на объеме Уо, ограниченном поверх-
ностью So, условно-критическую задачу в соответствии с определе-
нием § 4.1. Тогда можно говорить, что &Эф — непрерывная функция
6 и должно существовать б0 Д> 0 такое, что
&аф (6о) - 1.	(4.3.10)
Решение <30 этого уравнения можно назвать эффективной добав-
кой для поверхности So данной размножающей среды, а поверхность
S — ее экстраполированной границей.
Это определение не содержит количественных оценок величины
б0, и она может быть рассчитана только численно. Для практичес-
ких целей достаточно принять грубую оценку б0 = 0,71Zfr (£),
где черта обозначает некоторое усреднение по £, а коэффициент
0,71 обоснован ранее [см. (П2.2.10)]. Неточности здесь мало сущест-
венны, поскольку размеры реактора обычно сильно превышают 60.
Однако ясно, что по мере удаления от границы So внутрь объема
при должной нормировке точное решение все меньше отличается от
решений (4:3.1), (4.3.4), поскольку с удалением от границы влияние
краевых условий на решение уменьшается. Можно говорить, что на
расстоянии некоторой длины релаксации (наибольшей длины
пробега нейтрона) отличие точного решения от (4.3,4) будет несу-
щественным. Поэтому в дальнейшем решения (4.3.1), (4.3.4) будем
называть асимптотическими и соответственно спектры нейтронов
(£) и тг (£) — асимптотическими спектрами.
Если размеры^реактора сравнимы с величиной б0, то понятие
асимптотического решения теряет смысл. Обозначим d (и) верхнюю
157
границу длин всевозможных хорд объема lz(), имеющих направление
п. Если
dQ = inf d (n),
n
то для того, чтобы понятие асимптотического решения имело смысл,
необходимо выполнение условия
(4.3.11)
В § 4.2 показано, что поток нейтронов (4.3.4), построенный с по-
мощью суперпозиции плоских волн (4.3.1), удовлетворяет уравне-
нию элементарной диффузии. Из определения тока нейтронов
i = J'dQQcp (г, Е, Й)	(4.3.12)
была получена формула (4.2.29):
i (г, Е) j dnnC (n)exp [ix (гп)14л/П| (E),	(4.3.13)
а для векторной функции \7Ф было установлено выражение (4.2.28):
\7Ф (г, Е) = ix4nm0 (Е) ) dnnC(n) ехр [iz (гп)].	(4.3.14)
На основе (4.3.13) и (4.3.14) связь между векторами i и \7Ф полу-
чается в виде закона диффузии
i (г, Е) = —D (Е) уФ(г, Е); D (Е) = -m, (E)/izm0 (Е). (4.3.15)
Таким образом, можно говорить, что асимптотическое решение
Ф критической задачи
— ЙУф0—2 (Е) ф0 + Еф(( - х (Е) Еф0 - 0;
Фо (R, Е, Й) = 0 при п° (R) Й < 0; R 6 Sg; /гэф = 1,
которое, по определению, удовлетворяет уравнению
-QVT - 2 (Е)ф + Еф + х (ф) = 0
с краевым условием (4.3.9)
Ф (R, Е) = О, R £ S,
где S — экстраполированная граница по отношению к Ео,
следующими важными свойствами.
1.	При достаточном удалении от границы Ео асимптотическое
распределение потока нейтронов Ф (г, Е) оказывается близким к точ-
ному значению Ф(| (г, Е) = Jййф0 (г, Е, Й), а ф (г, Е, й) —- близким
к точному решению ф0 (г, Е, й) задачи (4.3.16). Следовательно, при
удалении от гранцы Ёо внутрь ограниченного ею объема перемен- -
ные у точного решения Фо (г, £) начинают разделяться по закону
(4.3.4). Это означает, что характерный спектр нейтронов и закон их
распределения в пространстве можно изучать по асимптотическому
решению Ф (г, Е). В то же время энергетические и угловые перемен-
ные у функции ф (г, Е, й) не разделяются, что видно из примеров в
упражнениях этого параграфа.
158
(4.3.16)
(4.3.17)
(4.3.17а)
обладает
2.	Прямым путем найти решение ср0 уравнения (4.3.16), которому
соответствует поток Фо (г, Е), нельзя; его можно получить лишь
после численного решения задачи (4.3.16). Однако поток нейтронов
Ф (г, Е), построенный на асимптотическом решении (4.3.1), подчи-
няется закону диффузии (4.3.15). Используя формулу (4.1.13а),
получаем для него уравнение
—div i — 2С,Ф ф 50Ф ф у (Е)Е0Ф = 0; i = —Е> (Е) V Ф
с краевым условием
Ф(г, Е) Is = 0,	(4.3.18)
где S — экстраполированная по отношению к So граница объема
Уо. Следовательно, ограничившись лишь изучением свойств асимп-
тотического решения, можно сильно упростить задачу, сведя ее к
интегро-дифференциальному уравнению:
VE (E)V® ~ 2 (Е)Ф ф Е0Ф ф у (E)F0 Ф = 0; Ф (г, Е) |s = 0,
(4.3.19)
решение которого можно представить в форме с разделяющимися
переменными (4,3.4). Учитывая, что Лф = —х2ф, и сокращая в
(4.3.19) функцию ф, получаем для определения т0 (Е) уравнение*
-D (Е)^т0 (Е)	(Е)т0 (Е) + S>0 ф % (Е)Е>0 = 0 (4.3.20)
НЛП
-[2 (Е) ф х2Е> (Е)]/п0 (Е) ф S.m0 ф у (E)Fomo = 0.	(4.3.21)
Таким образом, произведение v?D (Е) играет роль дополнитель-
ного сечения захвата. В то же время из формулы (2.6.35) мы знаем,
что х2Е> пропорционально утечке нейтронов. В результате мы по-
дошли к третьему свойству асимптотического решения.
3.	Поток нейтронов Ф (г, Е) асимптотического решения удовлет-
воряет уравнению (4.3.19) с краевым условием (4.3.18) на экстрапо-
лированной границе S объема ф,. Решение задачи (4.3.18), (4.3.19)
записывается в виде
Ф (г, Е) = т0 (Е)ф (г),
где ф (г) — решение задачи (4.3.6) •— (4.3.8), a m0 (Е) — решение
уравнения (4.3.21), если D (Е) дано приближенной формулой
(4.2.69а). В общем случае mtt (Е) и D (Е) находятся с помощью
уравнений (4.2.21), если индикатриса представлена двумя членами
ряда (4.2.15) (У = 1).
* Уравнение (4.3.20) не противоречит системе (4.2.21). Действительно,
исключая из (4.2.21) функцию S1m1, имеем
/т?о = —	Ф Ф ф	0) (So т0 у),
X „	1
где, в силу (4.2.20), а ф — р = -у. Подставляя сюда	из
(.4.3.15), получаем уравнение (4.3.20) при FQtn.a — 1.
159
На практике трудная газокинетическая задача (4.3.16) решает-
ся в исключительных случаях по специально разработанным про-
граммам на ЭВМ. Но когда эффективная добавка мала по сравне-
нию с размерами реактора (это наблюдается в подавляющем боль-
шинстве практически интересных случаев), вполне достаточно огра-
ничиться нахождением асимптотического решения, т. е. решения
задачи (4.3.18), (4.3.19), которая, в свою очередь, сводится к реше-
нию двух задач: (4.3.6) — (4.3.8) и к чисто энергетической задаче
(4.3.21) с коэффициентом диффузии D (Е) = 1/32^ (Е).
Сформулируем еще условно-критическую задачу для уравнения
(4.3.19) с краевым условием (4.3.18). До сих пор все рассуждения
строились в предположении, что выполняется равенство (4.3.8),
т. е. размер реактора критический (%2 = Лэф = 1). Однако
такая постановка неудобна для реализации численных методов
расчета, и лучше заранее предполагать х2 «о-
Определяем (см. §2.6, 4.1) как число, на которое нужно по-
делить V/, чтобы реактор с заданной экстраполированной границей
S был критическим. Тогда вместо (4.3.19) имеем
D (Е)ДФ-2 (Е) Ф ф ЕОФ-’Г ^^-Е0Ф = 0; Ф(И,Е) = 0, R£S, (4.3.22)
А’эф
решение которого ищем в виде Ф (г, Е) = т0 (Е)ф (г), гдеф (г) удов-
летворяет уравнению
Аф + а§ф = 0; ф (R) = 0; R б S
с геометрическим параметром «о (Аф = — «оф, ф (г) > 0 при
гб I7). В случае простых геометрий ф и gcq известны из аналитичес-
ких выражений (см. §2.2), а для более сложных они находятся по
специальным методикам и программам. Тогда йэф и m0 (Е) опреде-
ляются из уравнения
-IS (Е) -! a? D (Е)] т„ (Е) -I- Д т„ Ео /и„ = 0. (4.3.23)
Здесь снова alD (Е) характеризует утечку нейтронов из реактора
в форме некоторого дополнительного сечения захвата.
Предполагая нормировку
= 1,	(4.3.24)
сначала находим решение уравнения
-[2 (Е) + aW (Е)]т0 + SQmG + % (Е) = 0,
имеющего вид уравнения замедления с полным сечением 2 4- a^D.
После этого из (4.3.24) определяем £эф (а§) = Fotno. Тогда х2 = ссо
находится как корень уравнения
£эф (и3) = 1.	’	(4.3.25)
Эго уравнение весьма точно решается с помощью теории возмуще-
ний по предварительно оцененному значению х2. Такая процедура
160
несравненно проще, чем решение точного уравнения (4.3.16), и дает
результат, вполне пригодный для практических целей,так как при-
водит к определению = и2 для критического реактора. По полу-
ченному результату определяется характерный критический размер
экстраполированной границы. Когда реактор большой по сравне-
нию с эффективной добавкой, то знание критического размера экст-
раполированной границы вполне достаточно для практических це-
лей.
Достаточно точно в общем виде решается уравнение замедления
с потоком нейтронов, равным нулю на экстраполированной грани-
це, если источник нейтронов изотропно излучает нейтроны с про-
извольным распределением по энергии и в пространстве. В этом
случае возникает следующая задача:
РАФ (г, Б) — 2 (Б)Ф -Н Б0Ф + q (г, Е) = 0; Ф (R) = 0.	(4.3.26)
Сначала находим разложение
9 (г, Е) - V С„ (Е)	(г)	(4.3.26а)
п = О
по полной ортонормированной системе собственных функций ф/г
оператора Лапласа:
Лфп = — «Ж ЧА (R) = 0; (К фт) = 8пт (4.3.27)
(см. § 2,2). Решение ищем в виде
оо
Ф(г, Е) = 2 Ф„ (£)(г).	(4.3.28)
п=0
После подстановки (4.3.28) в (4.3.26) и приравнивания нулю алгеб-
раической суммы коэффициентов перед функциями получаем
-[2 (Б) ф aELD (Б)] Фп (Б) ф 3ОФЛ ф Сп (Б) = 0.	(4.3.29)
Это снова уравнение замедления, с той лишь разницей, что функ-
ция Сп при н ф; 1 теперь знакопеременна. Решение Ф (г, Б) вос-
станавливается по формуле (4.3.28).
Таким образом, понятие экстраполированной границы позво-
ляет относительно просто решать и задачу замедления нейтронов
в ограниченных телах.
Упражнение 1. Решить задачу (4.3.17), (4.3.17а) на определение
асимптотического распределения в плоской геометрии.
Решение. В плоской геометрии формула (4.3.1) записывается в виде
суперпозиции только двух плоских волн (4.3.8а), распространяющихся
в прямом и обратном направлениях вдоль оси х, совпадающей с направле-
нием орта п.
Функция ф (х, Е, Й) должна обладать аксиальной симметрией, т. е.
Ф (х, Е, £2) = ф (х, Е, у), ц = (пй), и симметрией относительно плоскости,
проходящей перпендикулярно оси абсцисс через начало координат:
ср (х, Е, ц)= [е1их / (£, (I) фе“1КХ / (Е, —pi)] = ф(— х, Е, —ц).
(4.3.30)
6 Зак. 85
161
Тогда
„	5ф
5ср	^7 (Е) л
-ц-^-Scp + Scp-i- Л^ГоФ = 0;
ojc	4я
+1
Ф(л,Е) = 2л С dptp (х} Е, ц);
— 1
д m	-	1
-Р -7^-2(E) Ф + Зф+—Х(Е)ЕоФ-О,	(4.3.31)
y*J *_*	* J	*
Из формулы (4.2.18а) следует, что

’ N
2 (2/-1-1) Рг(р)^тг-Н%(£)
/ = 0
/[2(£)-Нхр].
(4.3.32)
Материальный параметр х размножающей среды здесь принимается из-
вестным и вычисленным из соотношения £отй — 1. Тогда из (4.3.21) имеем
S0ffl.0 + х (£) - [S {£) + v^D (£)] т0.	(4.3.33)
Ограничимся случаем N — 1. Тогда
f (Е, и) = [(Somo 4- %) + 3	(£) + izp.].
Исключим из этого выражения функции и 5$т0 х (Е) с помощью
4.2.21) и получим
_ -	а
33т mi= ixm04-x — пи-
Далее воспользуемся формулой (4.3.15), чтобы исключить отсюда полагая
ZHj = — ix£>m0. Тогда имеем:
So m04-x (£) =[S (£)4-хг О (£)] т0; 3SX m^ixmo
сх \
— kD ;
[(Е, p)=-m0(£) js (£) 4-х2 D (£) ~ ixp 1 —
а (£)
Р(£)
[S (£)4-iz[i]>
(4.3.34)
и задача в приближении N = 1 решена.
В представлении (4.2.68) имеем
1 х
/(£, ц)= 2(£Кх2П(£)-Ц-
2/г (£)
где / (£, р) явно выражена через сечения.
При N = О
и0(£) 2S? (£)	[2(£)-Н1хр],
>= ^v/—; ?ЛЕ, [л)-щ0(£)[2(£)4-и2Р(£)]/[2(£)4Ихр]. (4.3.35)
32 (£)
В случае N = 1 из (4.3.30) после некоторых преобразований последует
(Г/	а	\	х2 (£) D (£)
ф (х, £, p)=m0(£)	1---- Dx 4- „74^ а а
И\	р	/	Р (22-Нх2 и/) J
cos xx 4-
хг D (£) р. sin хх
₽(£)” 2а (£) И"
(4.3.36)
162
Отсюда вытекают треоуемые условия симметрии;
Ф (х, Е, р) = Ф <—х, Е, — ,4).
При интегрировании по р. ( [—I, 1] второе слагаемое исчезает, а из опре-
деления а в (4.2.20) получаем
+ 1
Г du 2а (Е)	, Л
-------=------=----— при I х|<S (Е),	(4.3.37)
J 2а(Е)+игр® Х(Е) ? 1 k	v }
— 1
после чего находим
+J
Ф (х, Е) — 2п. | du<p (х, Е, р) =^4л/??о (Е) cos хх,
— 1
как и должно быть. Следовательно, размер плоского реактора до его экстра-
полированной границы И (х С- [~Й/2, Е//2]) равен
Я = л/х,	(4.3.38)
т. е. такой же, как и в односкоростном случае (2.2.21).
Проверить, что тот же результат будет при N — 0.
Упражнение 2. Получить асимптотическое решение всферически-
симметричном случае.
Решение. Сферически-симметричное относительно начала отсчета
решение записывается в виде
Ф (г, Е, й) = ф (г, Е, р,); г — | г | ; u = Йг/г = cos 0.
В этом случае V ср имеет две компоненты: одна направлена по орту г/г, другая —
пефпендикулярно к нему. Изменение дгвектора г в перпендикулярном на-
правлении равно г50, проекция орта Й на перпендикулярное направление
равна sin 0, поэтому
д	sin 0	д
Н-----------Г7
дг г	об
д 1 — ц2 б
0г г ди *
и уравнение (4.2.1) принимает вид
д<р
~дг
1—-I12 5ф
-----------2(Е)ф + 5ф+%(Е)/фФ = 0.
г др
(4.3.39)
(4.3.40)
Если искать асимптотическое решение в виде суперпозиции плоских
волн (4.3.1), то
Ф (г, Е, Й) = ф (г, Е, 1Й), где 1 = г/] г ], (1Й)=Ц.
Тогда
ф (г, Е, р) = Сdnexp [ixr (In)] £ (Е, йп) С (и),	(4.3.40а)
а
£1Уф = У dnflV {ехр [ixr (In)]} )j(E, tin) С (п).	(4.3.41)
Учитывая теорему сложения (4.2.17) при [ 1 [ = 1, можем записать
(In) = (1Й) (Йп)-)-~|/1 — (1Й)3'ф/1 ~(Йп)2 cos (ф— ф').	(4.3.42)
Рассмотрим выражение под интегралом (4.3.41):
(lVeizr (In) _ д eixr (In) _l J-------------------------eixr (In)
dr	'rd (1Й)
6 *
163
Найдем частные производные в последнем равенстве:
(Ifi) Цуг tln) = iz (Qi) (In) eixr tln);
-------- eiMr(ln)_- fHln) ixr(ln)-
d(Ifi)--* d(Ifi)
г‘Д)2 <T(^eiXr(,n)^iX l(«n) — (QI) (In)] eixr (,n).
В итоге получим
QVeixr (In) _ iz (Qn) eizr (Ini	(4.3.43)
Тогда действие оператора (4,3.39) на функцию (4.3,40а) представляется фор-
мулой
•/
ц	-I--——	= ( dn С (n) ix (fin) elz< f (Е, fin).
dr r дц J
Соответственно и уравнение (4.3.40) можно записать в виде
f dn С (п)	|[-iZiu-v (£)]/(£, p)+SZ-j-xf0mo}=O.
При любом С (и) оно может быть удовлетворено таким выбором функции /,
чтобы выполнялись (4,2.14), (4,2,14а):
?ото = 1; ЦЕ, и) =	+ x (Е)]/[2(£)-Н'<и']-
Таким образом, сферически-снмметричная задача свелась к плоской,
решение которой известно из упражнения 1.
Для сферичсски-симметричной задачи коэффициент С (п) находится очень
просто. Поскольку решепиеф (г) волнового уравнения
Дф + х2ф 0; ф (Д) = 0,
где 7? — радиус сферической экстраполированной границы, выражается как
[см. (2.2.16)]
-М
ф (г) — —5^П-ХГ  —— I dpeizrfx = —\ dnerx (гп),	(4.3.44)
иг 2 J	4л J
— 1
то
С (п) -- 1/4л.
Т огд а, со гл ас н о фор м ул е (4.3.4 0а), и м еем
ср (г, Е , Ifi) — ( е1ИГ (ln) / {Е , fin).
J 4^
Принимая в (4.3.42) обозначения
(Ifi) fl; (fin) - 14,
получасм
2л
1 С
ф (г, Е, и) = — dtp
4л J
о
<1
ц	______ _________
diA.Y ехр {ixr [ppi —У1—р.2 Ц1 — р2 cos cp]}/(E, Hi)»
— i
(4.3.45)
164
где / (Ё, и.) определена соотношением (4.3.34) при N -= 1 и (4.3.35) при Л' ~ 0.
Так как (см. [216] с. 239)
л	2л
— Г ei2C0S 0d9- — I e!zcos0 dQ=J0(z),	(4.3.45a)
л J	2л J
0	0
т. e* представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка, то
I
ф (г, Ё, 1.1.)	- ( фиг erzrf411 Jo (xr 1/1 — р-2Д/1 — Hi ) [,{Ё, рг). (4.3.46)
" •/
— 1
Упражнение 3. Найти коэффициенты С (и) представления асим-
птотического решения (4.3.1) для кругового цилиндра конечной высоты.
Решение. Решение задачи (4.3.6) — (4.3.8), согласно (2.2.35), (2.2.36),
имеет вид
ф (г, z) — JQ ((ф/Е) cos (nzlH).	(4.3.47)
Используя формулу (4.3.45а), получаем
я
. ,	,	1 Г ,Q ia rcosG 1 ( tex z -ia z \	-
ф(г, z) =— ) dOe T — (e z ~e 2 J, (4.3.4/a)
л J	2
о
где ar — £//?; ccz — n!H\ оф 4- оф — cxg — и2.
Радиус-вектор p в цилиндрических'координатах запишем в виде
р - 1г ф- nxz; (1п^) = 0.
Здесь орт гц направлен по оси z, орт 1—по проекции вектора р на перпендику-
лярную плоскость, причем длина этой проекции равна г. Примем, что
орт и расположен в той же плоскости (перпендикулярной nj) и 0 — угол
между 1 и п. Тогда
(пр) ~ (п1) г ~ г cos 6; Hjp — z.
Г1	ccr ctz	ar az
Вводя орты гц- = ----п -)--nj; п_ - - п ---- п:,
X	X	XX
получаем
л	л
'IXpWC. г) = ф ( Д)е‘’<(Рп+) + 2. ЬеШрп-).
2л J	2л J
0	0
(4.3.48)
В итоге асимптотическое решение (4.3Л) принимает вид
л:	л
ср(г,г; 5,9)-- С d0e1X(Pn+^ (Е, йп+) + 2- рбе^11^ (Е, Йп^),
J	/Я, J
о	о
(4.3.49)
где / (Е, р.) определяется формулами (4.3.34) при /V = 1 или (4.3.35) при N —
— 0. Для потока нейтронов, как обычно, имеем
Ф(г, z.E) = 4я т0 (Е)ф (г, z).	(4.3.50)
Здесь тй (Е) — решение уравнения (4.3.23).
165
Упражнение 4. Найти коэффициенты С\ асимптотического ре-
шения (4.3.1) вида (4.3.8а), (4.3.86) дл я сл у чая п р я мого и а р ал л ел еп и пед а со.
сторонами длиной а, Ь, с.
Решение. Согласно формулам (2.2.39), (2.2.40),
ф (г) = cos (ах х) cos (ау у) cos(a- z) =
1 j	f ia у . —la y\ ( ia„ г , ~вд.г\
= фф (e -ye A Jle iJ —e ) 1 e - -’-e	~ I, (4.3.ol)
о
где
r = {x, у, г}; Кд. — л/а; a;j-_=n!b; az-^/c; ос3-у а2 = x3.
Перемножив в (4.3.51) выражения в скобках, получим сумму восьми
слагаемых вида ехр П(±ахх Щ а^у ± azz)l. Слагаемое, где взят знак
«-запишем как
X	X
rxz
(nx)z^-----; 1 пх | = 1.
X
Следовательно, суперпозиция плоских воли должна иметь вид (4.3.86)
где векторы щ получаются из вектора nT с помощью последовательных опе-
раций инверсии относительно начала координат или зеркальных отражений
относительно координатных плоскостей.
В результате асимптотическое решение (4.3.8а) примет вид
8
<Р (г, Е, 2) =-L У e1Z^rb)(£, 2щ).	(4.3.53)
8
i=l
Как и в предыдущей задаче, f (Е, и.) здесь определяется формулами (4.3.34)
при N = 1 или (4.3.35) при N ~ 0. Для потока нейтронов переменные раз-
деляются и
Ф(г, E) = ~m0(£')V ФМ'"; ’Л	(4.3.54)
где (Е) — решение уравнения (4.3.23).
§ 4.4. ВОЗРАСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАЧИ
ЗАМЕДЛЕНИЯ
Интегро-дифференциальное уравнение (4.2.1) можно приближен-
но заменить эквивалентным ему дифференциальным уравнением,
так называемым уравнением возраста, введенным в физику нейтро-
нов Ферми. Это приближенное уравнение широко применяется для
исследования поля нейтронов в реакторе, главным образом в двух
направлениях. Во-первых, с помощью введенного в §4.3 обобщен-
ного понятия экстраполированной границы удается развить анали-
тическую теорию гомогенного критического реактора, основываясь
на асимптотическом решении газокииетического уравнения. Во-вто-
166
рых,понятие экстраполированной границы дает возможность строить
аналитические решения уравнения замедления (4.3.26) в ограничен-
ных телах.
Введем переменную летаргии, которая была использована в гл.З:
и = 1п (Et)/E).
(4.4.1)
Она представляет собой безразмерную функцию энергии, и если
энергия меняется в пределах спектра замедления в миллионы раз,
то летаргия соответственно меняется всего лишь в десятки раз.
Для вывода уравнения возраста за основу возьмем уравнение
эффективной диффузии (4.3.22).Для задачи замедления без размно-
жения нейтронов (6'0Ф = 0) уравнение эффективной диффузии при-
мет вид (4.3.26)
— div i — 2Ф -г 3\Ф -Н q = 0,	(4.4.2)
где i = —D\7&\ D = ~rnJix,mQ.
Воспользуемся приближенной формулой (4.2.68) и, приняв, что
неупругое рассеяние отсутствует, для = 0 и слабого поглощения
«. 2Д) получим
D - Л/г/3; л„. « Л,/(1 - фД -з ]/2s (1 - f70).	(4.4.3)
Следовательно, (4.4.2) можно переписать в виде
РАФ _ £ф у- 50Ф -|- q = 0.	(4.4.4)
С помощью летаргии и выпишем выражение для 3'0Ф из (4.2.4а):
50 ф = dur |S.s (у/) Ф (г, и')] Wn (и — и).	(4.4.5)
о
Здесь принято, что в области замедления нейтронов упругое рас-
сеяние в системе отсчета, где центр инерции системы нейтрон — ядро
покоится (С-систем а), является сферически-симметричным. Тогда,
как известно 1см. (3.1.14)1, индикатриса зависит только от раз-
ности и — и'\ это и учтено в формуле (4.4.5).
В квадратных скобках выражения (4.4.5) заключено произведе-
ние ф')Ф (г, и'), имеющее смысл скорости упругих соударений
в единице объема. Если источники q распределены равномерно в
однородной, неограниченно протяженной среде, то i = 0, и полу-
чаем задачу замедления без утечки, которая подробно изучалась
в гл. 3. В асимптотической области в случае замедления без погло-
щения получается спектр Ферми
23Ф (и) = const.	(4.4.5а)
Вблизи значения летаргии и =0 плотность соударений меняется
весьма заметно. Однако имеется такая интегральная функция пото-
ка нейтронов, изменение которой на всем интервале летаргии при
слабом поглощении вообще не очень значительно. Это поток замед-
167
J
ления / (и). На основании выражений (3.2,6), (3.5.6) его можно пред-
ставить формулой
/(г, и) = ри'ф(г, u')2s(u') f W0(u" — u')du".	(4.4,6)
О	и
Дифференцируя по ц, получаем
^~=--Ф(г, u)Ss(u)J Wo (и" —и) du"du’Ф (г, m')Ss («') х
it	о
XW'0(u—и') = Ф2,—§0Ф;
§о Ф = Ф (г, и) 2, (и) - д'(г- ц) .	(4.4.7)
сщ
Таким образом, интеграл соударений 5((Ф весьма просто пред-
ставляется через функцию / (г, и). В асимптотической области летар-
гии, где плотность упругих соударений 25Ф меняется слабо, можно
приближенно записать
/ (г, н) -= j du' Ф (г, и") Ss (ur) (н"— id) du" ж Ф (г, и) Ss (и)
U—q	и
(4.4.8)
где, согласно формулам (3.3.22), (3.5,7а), (3.5.8),
f= j’ did Г0(и" —и') du"	(4.4.9)
it—q и
и является средним приращением летаргии за одно соударение в
смеси замедляющих ядер.
Распространяя приближенное выражение (4.4.8) на всю область
замедления, получаем характерное для возрастного приближения
соотношение
/ (г, и) = (и)Ф (г, и),	(4.4.10)
связывающее поток нейтронов Ф с потоком замедления /.
Из (4.4.8) видно, что (4.4.10) строго выполняется лишь в случае,
когда плотность упругих соударений (и)Ф (г, и) мало меняется
на длине максимальной ступеньки замедления q, т. е. при условии
q ф[2,(и)ф(г, u)J < S, (и) Ф (г, и).	(4.4.10а)
ди.
Тогда формула (4.4,7) заменяется приближенным выражением
S,Ф«Ф(г, u)S,(«) -1(4.4.11)
OIL
Подставляя последнее в (4.4.4), получаем
£>(н)ДФ — 5фФ(г, ф-^Ф7(г, лг) = 0.	(4.4.12)
г) U
168
В случае нестационарной задачи следует Писать
dJ~~4(r, и, /), (4.4.12а)
v (и) dt	ди
где v (и) — скорость нейтрона с летаргией и.
Чтобы понять физический смысл третьего слагаемого в правой
части (4.4.12а), достаточно принять модель «ступенчатого замедле-
ния» Ферми, согласно которой за одно соударение нейтроны пере-
мещаются по оси летаргии ровно на одну ступеньку замедления
Ан Тогда за счет соударений в интервал £ прибывает
/ (г, и — ё) нейтрон!(см3-сек), а выбывает / (г, а) нейтрон/(см9-сек).
Скорость изменения числа нейтронов в интервале g равна
/(г, и— Ё) — / (г, и) &= — д-ё?8ф .	(4.4.126)
ди	ди
Отсюда сразу же следует (4.4.12а) для единичного интервала летар-
гии.
Уравнения (4.4.12), (4.4.12а) можно назвать уравнениями замед-
ления в возрастном приближении. С помощью формул (4.4.6), (4.4.10)
мы перешли от интегро-дифференциального уравнения замедления
в форме (4.4.4) к уравнению в частных производных (4.4.12). Это
уравнение иногда записывают для переменной /. Используя (4.4.10),
получаем
Д д •  ^а J______^j
f^S	ди
q (г, ц) = 0
или, разделив на D /£Ss,
А/(г, и)~
dj >	I X
— У а (г, и} = 0,
ди D !
(4.4.13)
где L2 (и) = D (и)/Ъа (и) — квадрат длины диффузии надтепловых
(замедляющихся) нейтронов.
Введем теперь новую переменную в энергетической шкале т (и),
называемую возрастом нейтронов по Ферми (хотя т измеряется в
квадратных сантиметрах). Ферми воспользовался тем обстоятель-
ством, что функционально летаргия замедляющихся нейтронов (или
их энергия) связана с возрастом, т. е. со временем, прошедшим с мо-
ментом испускания быстрого нейтрона до момента его детектирова-
ния (см. ниже, §4.6). Положим
= du.	(4.4.14)
(и)	k 7
После интегрирования имеем
и	и
H«) =	,	(4.4Д5)
J	) J	Og
о	О
169
Или в обычной шкале энергий
е*
т (Е) = Г — фщДДДДт,	(4.4.15а)
J Е' 3>
Е	ъ
Тогда уравнение (4.4.13) для потока замедления преобразуется
к виду
А/-----------q — -0.	(4.4.16)
7	/?(т) Зт 1 dr
Обозначим
Q = 4^~,	(4-4.17)
йт
тогда
Q (г, т)йт = q (г, u)du,	(4.4.17а)
Это означает, что функция Q (г, т) описывает распределение нейт-
ронов источника в шкале т. Таким образом, стационарное уравнение
Д/(г, г)-—L—!p4-Q(r, т)-о	(4.4.18)
L- (т) От
является другой формой записи уравнения замедления (4.4.12).
Для нестационарной задачи в соответствии с (4.4.12а) имеем
1
У (т) D (т)
-rQ(r, т),
(4.4.18а)
где v (?) •— скорость нейтрона с возрастом т; D (т) = %tr (т)/3.
Положим, что L (т) = оо, т. е. при замедлении нет поглощения
нейтронов. Тогда
Д/----^=0.
дт,
(4.4.19)
Пусть источник нейтронов монохроматический [Q (г, т) = 0 при
т Д> 0], поглощения нейтронов при замедлении нет [Z (?) = оо],
а среда бесконечна и однородна. Тогда уравнение типа (4.4.19) по
смыслу является частным случаем нестационарного уравнения тепло-
проводности в бесконечной однородной среде (температуропровод-
ность равна единице, стоки тепла отсутствуют). Известно фунда-
ментальное решение (функция Грина) этого уравнения:
Г°’ (2уДЕ)зехр
(4.4.20)
[ср. с формулой (2.6.70)], которое в данном случае описывает поток
замедления в точке г от точечного источника монохроматических
нейтронов [с летаргией (или возрастом), равной нулю], расположен-
1 7Л
ноговточке г0, Тогда по формуле (2.6.52) решение уравнения (4.4.19)
может быть представлено интегралом
/ (г, т) = С Ег0 G (г, г0, т) / (г0, 0) = I dr0 ехР [" (г~Го)“ .
J	J (2 у пт) L 4т J
(4.4.21)
Уравнения (4.4.18), (4.4.19) относятся к классу уравнений (2.6.19),
(2.6.54), рассмотренных в §2.6, если объем V заменить евклидовым
пространством. Поэтому можно воспользоваться рядом заключений,
сделанных в конце § 2.6.
По определению [см. (2.6.45)], функция Грина для уравнения
4.4.19) удовлетворяет уравнению
AG ——	6 (г—rtl) 6 (т) = 0	(4.4.22)
Рт	'
с краевым условием, которым является требование исчезновения
нейтронного поля на бесконечности. Если умножить это уравнение
на некоторую непрерывную заданную функцию f (г0) и потребовать
выполнения начального условия
/ (г. 0) f (г),	(4.4.23)
то, принимая во внимание формулу (4.4.21) и свойство 6-функции
J dtj (r„)6 (г - r0) = f (г),
убеждаемся, что уравнение (4.4.22) приводится к уравнению (4.4.18),
где Q (г, т) = f (г)в (т):
А/---ф(4.4.24)
(У Е*
Таким образом, (4.4.24) является уравнением замедления в воз-
растном приближении с монохроматическим источником нейтронов,
которое имеет единственное решение (4.4.21) с начальным условием
(4.4.23). Уравнение (4.4.24) эквивалентно уравнению (4.4.19) с на-
чальным условием (4.4.23).
Поле замедляющихся нейтронов, описываемое формулой (4.4.21),
исчезает на бесконечности, если источник монохроматических нейт-
ронов сосредоточен в ограниченном объеме V (т. е. f (г) = 0 при
г У). Для неоднородного уравнения
А/------ -г Q (г, т) = 0, т>0, Q (г, т)= 0 при т < 0,	(4.4.25)
ОТ
где Q (г, т) при т 0 — непрерывная функция аргументов, в со-
гласии с формулой (2.6.55) получим
/ (г, t) = [ rfr0 G (г, г0, т) / (г0, 0) j‘ dx J rfr0 G (г, r0, т — V) Q (г0, t'),
b
(4.4.26)
171
Рис. 4.Р Гауссов колокол
В этой формуле отражен прин-
цип суперпозиции источников.
Малый элемент объема dr0 рас-
сматривается как точечный
источник мощностью / (г0, О)^го
нейтронов с возрастом т = 0 и
мощностью Q (г0, т') dr^dx' ней-
тронов с возрастом т'. Сумми-
рование по распределению та-
ких источников дает поток за-
медления (4.4.26).
Таким образом, простыми
квадратурами можно найти по-
ле замедления от источников
нейтронов, распределенных произвольным образом по координа-
там и по энергии.
Остановимся еще на некоторых известных свойствах функции
Грина (4.4.20). Ее график при г0 = 0, т > 0 имеет вид «гауссова
колокола» (рис. 4.1). Поскольку функция G как функция влияния
порождается точечным источником монохроматических нейтронов
единичной мощности, то интеграл от нее по всему пространству
должен быть равен единице:
оо
( drG (г, 0, т) = ( (Илг!7—ехр [ —— = 1, (4.4.27)
J	J	(2 Улт)3 г 4т J
ОО	О
что легко проверяется. С ростом т гауссовы колокола уменьшаются
по высоте и становятся шире, как это показано на рис. 4.1. Однако
интеграл (4.4.27) (т. е. площадь под кривой) при этом сохраняется.
Особый интерес представляет второй пространственный момент,
построенный с помощью функции Грина G, рассматриваемой как
функция распределения замедляющихся до возраста т нейтронов.
По определению,
00
откуда после вычислений получаем
<г2>т = 6т.
(4.4.28)
Второй пространственный момент <г2>х является средним квад-
ратом длины замедления нейтрона (в процессе его миграции в замед-
лителе) до возраста т и может быть измерен экспериментально (на-
пример, до возраста, отвечающего энергии индиевого резонанса).
Поэтому формула (4.4.28) лежит в основе экспериментального из-
мерения возраста нейтронов.
172
§ 4.5. ЗАМЕДЛЕНИЕ С ПОГЛОЩЕНИЕМ.
СУПЕРПОЗИЦИЯ ИСТОЧНИКОВ
В случае поглощения нейтронов при замедлении в среде, т. е.
при L2 (т) < со, если поглощение слабое, следует воспользоваться
уравнением для потока замедления (4.4.18). Предполагая источни-
ки монохроматическими, запишем
А/— —--------— =0.	(4.5.1)
дт L2 (т)
Потребуем, чтобы выполнялось начальное условие (4.4,23):
/ (г, 0) = f (г).
Уравнение (4.5.1) можно привести к виду
А/о-4к=О; Ыг-°) = Пг)-
от
(4.5.2)
(4.5.3)
Его решение уже известно [см. формулу (4.4.21)]. В самом деле,
представим / (г, т) как
/ (г> *0 = /о (В Т)(Р ft)-
Подставим это выражение в уравнение (4.5.1):
-грдл_ ср-ЛЫ^--Ы!Е- = О,
от	ат L2 (т)
(4.5.4)
ИЛИ
Сумма первых двух членов, по предположению, равна 0 и, следова-
тельно,
d In <р___ I
dr	(т)
что возможно, если
Ф (т) = ехр
(V)
(4.5.5)
Начальное условие (4.5.2) удовлетворено [поскольку ср (0) = 1,
/ (г, 0) = /0 (г, 0)], так что (4.5.4) — действительно решение урав-
нения (4.5.1) с начальным условием (4.5.2). Следовательно, если
в бесконечной среде находится моиоэнергетический точечный ис-
точник единичной мощности, расположенный в начале координат,
то с учетом поглощения в процессе замедления
/(r'T) = (TTWexp
Р /7т
(4-5'6)
о
173
Функцию g (т) можно назвать интегралом поглощения, так как
т	и	Ео
g (т) = f = Г Ъ (") du’ = Г ЦЦЦТ (4.5.5а)
й'	J	i2(T')	J	£S.(«')	J	?2,(E') E‘
0	0	£
Здесь l/gSs (E')Ef описывает поток нейтронов в асимптотической
области от единичного источника в неограниченной непоглощающей
среде, т. е. спектр Ферми. Таким образом, g (т) — интеграл погло-
щения на спектре Ферми.
Выражение / (г, т) из (4.5.6) можно представить также в виде
'(г’т)7нШгхр (~£)’	(4Л-7)
где ср (т) = ехр [—g (т)1.
Выясним физический смысл ср (т). Для этого вычислим поток за-
медления в бесконечной среде по всему пространству с учетом погло-
щения от распределенного источника монохроматических нейтро-
нов:
\drj(r, т) = ср(т) рг/0(г, т).
00	со
Так как /0 (г, т) является решением задачи (4.5.3), то по формуле
(4.4.21) имеем
/о (Г т) =. j‘ dr0 f (г0) G (г, г0, т).
оо
Отсюда, учитывая (4.4.27), находим
f /о (г> т) dT = j’ / (го> °)	= J7 (г) dr < ОО,
со	со	со
если f (г) — суммируема.
Таким образом,
j dr / (г, т) == ср (т) j f (г) dr.	(4,5.7а)
ОО	ос
Поток замедления во всем пространстве убывает так же, как вели-
чина ср (т), т. е. ф (т) есть вероятность нейтрону избежать поглоще-
ния в процессе замедления до возраста т.
С помощью метода суперпозиции можно простыми квадратурами
найти поле замедления от различных систем источников в неогра-
ниченно протяженном однородном замедлителе [см. (4.4.26)]. Рас-
смотрим некоторые часто встречающиеся задачи.
1. Поле замедления в непоглощающей
среде от плоского монохроматического
источника интенсивностью 1 нейтрон/(см2-сек)
(рис. 4.2). Пользуясь фундаментальным решением (4.4.20), в точке
х поле замедления можно найти (если воспользоваться методом су-
174
перпозиции источников) как интеграл, распространенный по пло-
скости источника:
ос
4т
ос
4лт
(2 V^t)3
о
2. Поле замедления от нитевидного источ-
ника линейной мощностью 1 нейтрон! (см-сек)
(рис, 4.3) определяется как
•=<х
оо
О
(4.5.9)
3. Поле замедления в решетке из плоских
источников. Будем считать, что решетка набрана из беско-
нечных пластин, каждая из которых есть плоский источник моно-
хроматических нейтронов (рис.4.4) мощностью 1 нейтрон/(см2 3-сек).
Расстояние между пластинами равно а см.
175
В силу плоской симметрии /0 зависит только от х и т. С помощью
метода суперпозиции и формулы (4.5.8) поток замедления можно
представить в виде суммы
'« т)=ехр (—£)nhех₽ [-“]+• - =
2 еЧ-(2пЯ’--	<4-5-10)
ns= —ОО
которая представляет собою сходящийся ряд, так как при п -> оо
х мало по сравнению с па и, следовательно, члены этого ряда будут
экспонентами с отрицательными, растущими по абсолютному зна-
чению показателями. /0 (х, т) — периодическая относительно х
функция с периодом а: jQ (х + а, т) = /0 (х, т). Действительно,
/о 4~ т) —
1
2 У лт
(х-\-а— па}2
4т
= /о(А5 т).
Зафиксируем определенное т = (рис. 4.5). Посмотрим, как
меняется /0 (X т) Для т< ит>т1. Возьмем т < ту: гауссовы ко-
локола становятся уже и выше. Перекрывающиеся участки дают
небольшой вклад в /0 (х,т), и поле замедления очень неравномерное.
Когда т > тъ гауссовы колокола расширяются. Перекрываю-
щиеся участки дают существенный вклад в сумму, и поле замедле-
ния выравнивается. Условие выравнивания поля замедляющихся
нейтронов записывается как
т 5? а2/4л.
(4.5.11)
176
Эту оценку можно строго обосновать, если учесть, что формула
(4.5.8) представляется с помощью известной табулированной 0'3-
функции в виде (см. упражнение 1)
/о (*. 4 = — #з (— ,	1-	(4.5.12)
а \ а а3 /
Действительно, плоские источники расположены симметрично относи-
тельно точек х = 0, х —
Поэтому
dj0
дх
= 0, и можно говорить,
х = 0,±а	г
что /о является симметричным решением задачи
д2 jo	djn . д In j№
дх2	дх ’ дх
-0; j0(x, 0) = б (х)	(4.5.12а)
а-= ±а/2
Рис. 4.5. Поток замедления в плоской решетке
па интервале х £ [—а/2, а/2], причем это решение должно быть единственным.
Подстановкой v — xla, ц — 4лт/а2 задача (4.5.12а) приводится к задаче
(4.5.18) — (4.5.20) упражнения 1, если принять f (и, u) — f (х/а, 4 лт'а2) —
= /о (я, т). Отсюда следует
/о (х, 0)^5 (х) = 6 (ао) = —
С1
6(у) = /(н> 0).
Задача (4.5.18) —(4.5.20) при условии
Ф (о) = — 6 (у) имеет решение
1	/ X
£ (у, «) =------&з —
а	\ а
4лт
а2
Принимая во внимание оценку (4.5.28) упражнения 2, убеждаемся в справед-
ливости оценки (4.5.11).
Когда шаг решетки а велик по сравнению с Ущ [тг всюду ниже
обозначает возраст тепловых нейтронов т (Вт),см.ПриложениеП5.2},
поле замедляющихся нейтронов при т л; тт не может быть однород-
ным. Для воды, например, Утт 5,2 см.
177
Пусть а — 25 см, значит, а Z> 2 Узгтт. При таком таге решетки
в воде поле замедления неравномерно для всех энергий. Если же
ограничиться решетками, встречающимися на практике, то начиная
с £< 100кэвполе замедления практически выравнивается*. Нерав-
номерность поля замедления не превышает 1 %.
4. П о л е замедления в решетке из нитевид-
ных б л о к о в (рис. 4.6). Этот случай является приближенной
моделью встречающихся на практике решеток с цилиндрическими
блоками.
Рис. 4.6. Решетка из нитевидны^
блоков
Каждой нити по направлению оси X присвоим номер п, а по на“
правлению оси У — номер т. Тогда, используя принцип суперпо-
зиции источников, получим
ехр!--J- [(м ——(4.5.13)
4т	I
Здесь каждое слагаемое имеет вид (4.5.9), если принять
р- = (х — /ш)2 + {у — mb)2.
где па, mb — координаты (п, /п)-й нити**. Нетрудно видеть, что
/о <х, У, т) можно представить как произведение сумм экспонент ви-
да (4.5.10), т. е.
(4.5.13а)
* Например, обычный шаг решетки с графитовым замедлителем равен
а 20 см. При этом критерий (4.5.11) выполняется при Е 100 кэв.
** На рис. 4.6 дано расстояние р1Х от точки (х, у) до точки (о, b) (т — 1, п =
= I — координаты нити 11).
178
Согласно (4.5.10), (4.5.12) отсюда следует
/о (*, т) = — t)3 -
ab \ а
По формуле (4.5.23) имеем
4,пт \ [ у	4лт
------ , -------------------
Ъ	53
(4.5.14)
2

оо
1
ос
4 Д о х
------п2) cos 2л/г —
<7
й3
т— 1
4 л?2 т
Ь*
У
~ь
(4.5.15)
Таким образом, /0 (х, у, т) — двояко периодическая функция
с периодами а в направлении оси X и b — в направлении оси Y,
причем
П (И У, т) ~1 tab	(4.5.16)
равномерно относительно х, у. В силу оценки (4.5,11) этот предел
достигается практически при
т шах (а2/4лт й2/4л).	(4.5.17)
Согласно (4.5.16), в пределе поток замедления равен мощности
источника, приходящейся на единицу объема замедлителя. Это и по-
пятно, поскольку в незахватывающей среде должен обязательно вы-
полняться закон сохранения полного числа нейтронов.
Выравнивание потока замедления для расстояний между нитевид-
ными источниками, удовлетворяющих соотношениям (4.5.17), оз-
начает, что в таких решетках устанавливается спектр Ферми. Это
важное обстоятельство будет использовано в § 7.5.
Упражнение I. Построить фундаментальное решение задачи
д8Ж u)	df
------	
ди*----ди
_д in f
ди
v=il/2
Рассмотреть случаи
/ (а, 0) = ф (и); v б 1 — 1/2, 1/2].
(4.5.18)
(4.5.19)
(4.5.20)
Решение. По формуле (2.6.49) фундаментальное решение имеет
ГИД
СО
G ф, и', и)== У
.ЛОМ
г; = 0
4л
и

где
(4.5.21)
± ф . d In фп (и)
du

t) = ± 112
ф; (±1/2)
-----------= 0.
фп (±1/2)
179
Отсюда следует, что фп (v) является функцией косинуса cos 7-п и, где X2 =
— (2л/г)3. Если мы хотим, чтобы ф71 (у) образовывали ортонормированнуад
последовательность
1/2
(Фп j Фт) = ^У Фа (°) Фпг (у) — ^пт >
— 1/2
то нужно положить
Фа (у) — У* cos 2лпу, п = 1,2, ...; ф0 (и) = I,
Тогда
аа
G (и, и' , и) •— I -[-2 У, ехр (— ил2 и) cos 2л nv cos 2л, пи' ~
п— 1
ОО
= 1+2 еХР ( —	1TW) [cos 2 ЛП (у -L v’ ) -j- COS 2лп. (у— у')] =
п— 1
ехр (— п? пи) cos 2пп (у -фу')
ОО
1-J-2 ехр (~п2 пи) cos 2пп (у—у')
п= 1
Это выражение удобно представить в виде
G (у, У, и) = V2 [Оз (у' "Г у,	(у' — у, «)!•	(4,5.22)
Здесь
ОО
(у, w)== 1-ф2 V, ехр (— /г2 nu)cos 2лпи.
п= 1
(4.5.23)
Получено выражение для так называемой Фз-функции в виде классиче-
ского ряда косинусов Фурье, При любом и > 0 43 (у, и) — четная периоди-
ческая функция с периодом, равным единице. Решение задачи (4.5.18) —
(4.5,20) с помощью фундаментального решения (4.5.22) представляется в виде
1 1/2
Ну, и)^~
-1/2
Так как, согласно (4.5.22),
du' Ф(о')+3(о' +у, и)-рз (и1 —и, и)]. (4.5.24)
ОО
G(y, Q, и)={)3 (v, и)= V ехр f — X2 ~
4я
rz = O х
Фп (у),
а в силу свойств фундаментального решения
— lnG(y,0,u) —0; G(v,v',0)= У
dv	v = ±I/2
п = Q
Фп (у) фп (у') = 6 (У— у')
см. (2.6.50)], то из (4.5.24) следует, что (у, и) является решением задачи
4.5,18), (4.5.20) при ф (у) = 6 (у).
180
Распространяя значения 1% (о, и) из интервала [—1/2, 1/2] на всю дей-
ствительную ось, с помощью ряда Фурье (4.5.23) убеждаемся в том, что
О’З (v> °) =	+ Л, 0) = <5 (с' |- n), п == 0, ±1, ^2, ...;
(4.5.25)
так как т33 — функция периодическая с периодом 1. То же самое можно
записать в виде
СО
ЫМИ У| 6(ц-[-п).
п = — 00
(4.5.26)
Упражнение 2. Согласно (4.5.23),
13'з (f, и) 1 при и — оо.	(4.5.27)
Показать, что этот предел достигается равномерно относительно v при и » I,
так что
-Ад (п, и) 1 при u 1.	(4.5.28)
Решение.
Vi “Ч2 яи
I йу (о, и) —1 [ < 2 У е
н — j
Отсюда следует (4.5.28).
Упражнение 3. Пусть из бесконечной решетки с нитевидными
блоками, поле в которой дается формулами (4.5.13), (4.5.14), изъята одна нить
с координатами (/п0о,л0й). Найти формулу для потока замедления.
Решение.
1	(т0 а—х)2Ч-(/г0 Ь —у)2
	ехр —	
4 пт-----------------4т
(4.5.29)
Упражнение 4. Пусть в решетке с нитевидными блоками [поток
замедления в которой описывается формулой (4.5.14) для случая монохрома-
тического излучения] излучаемые каждой нитью нейтроны распределены по
возрасту в соответствии с некоторой функцией распределения Q (т) [Q (т) =
= 0 при т < 0]. Найти поток замедления / (х, у, т).
181
Решение.
В соответствии с принципом суперпозиции источников
имеем
г
1 С	( х
j (х, у, т) = йт0 Q (То) &3 —
ab J	V а
о
4л (т—т0)\	(у	4л(т—т0)'
-----------*13 ----- , -----------
a2 J \ b IE
(4.5.30)
Упражнение 5. Пусть с поверхности плоских блоков., решетки’
расположенных в бесконечном замедлителе с шагом а, изотропно излучаются
монохроматические нейтроны, имеющие длину пробега в замедлителе
А (£0)-
Составить функцию распределения по решетке потока нейтронов источ-
ника, не испытавших соударения в замедлителе, принимая, что плоскость
источника прозрачна для нейтронов.
Решение. Как показано в приложении П7.2, нейтроны источника
единичной мощности, расположенного в начале отсчета, которые без соуда-
рений достигают точки, удаленной от источника на расстояние г, распределены
1 ( г \
по закону д—л ехр — —
Пусть дана расположенная в бесконечной среде плоскость, каждый
1 елг которой изотропно излучает 1 нейтрон! (см1 • сек). Используя рис. 4.2,
определим поток не испытавших соударений нейтронов, которые облучают
точку, удаленную от плоскости на расстояние х, по формуле
оо
Полагая р/х — tg0, г -- х /cos 0, получаем
л/2	1
„ ч 1 (’ ,, п [ Sx \	1 Г {	2;
~ d0tg0ехр —------------ ------------ ехр ——
2 J	\ cos 0 /	2 J у \ и.
О	О
S = — , j.i = cos0.
Лг
Введя подстановку у = Sx/|i, можем записать
1 Г' е	1
^(Sx).
J У
хх
(4.5.31)
7
Здесь Ег (г) = ) ---dt — известная табулированная функция*. Тогда рас-
z t
пределение потока не испытавших соударений нейтронов по решетке равно
ОО
Ф (х, £0) = Gl)(x)+ [Go(na + A')H-Go<™-A')l.	(4.5.32)
п= 1
Этот ряд сходится, что сразу следует из опенки Ег (г) < е—г/г.
Видно, что Ф (х-4- па' £0) Ф (х, £0), п = 0, ± I, ± 2, ... Следова-
тельно, Ф (х, Ео) — периодическая функция с периодом л, а так как Ga (х) — по
В справочнике (21а] она дана как функция — Ei (—х), 0 < х < оо.
182
физическому смыслу четная функция, то Ф (х, £0) —также четная. Функция
(z) при z — 0 имеет логарифмическую особенность. Следовательно, функция
Ф (х, £0) тоже имеет логарифмическую особенность в точках х — па {я —-
= 0, ± 1, ±2, ...) и суммируема по своему периоду с любой степенью.
Упражнение 6. Решение (4.5.12) задачи (4.5.12а) обладает тем
свойством, что поле нейтронов при т=^0 (£ = £0) равно нулю в сколь угодно
малой близости к поверхности блоков. В то же время на основании упраж-
нения 5 можно сделать заключение, что нейтроны с энергией Ей на самом деле
существуют всюду между блоками. Отсюда видно, что возрастное приближение
при малых т (4лт й2) плохо описывает нейтронное поле вблизи источника
(х ф/4ят). Исправить этот недостаток можно, рассматривая скорость со-
ударений 2Ф (х, £0) как источник монохроматических нейтронов с энергией
£'о {т = 0), порождающих поток замедления j (х, т)в решетке, и принимая
/ (х, 0) = 2Ф (х, £0),	(4.5.33)
при этом нарушается требование изотропности источника замедляющихся
нейтронов. Пренебрегая возникающей отсюда погрешностью, решить задачу
(4.5.12а) с начальным условием (4.5.33).
Решение. Из формулы (4.5.22) следует, что фундаментальным ре-
шением задачи (4.5.12а) является функция
1 Г., / х + хо	4лт \	/	х —х0	4лт АЗ	,,
G(x, х0; т)= —- &3 ------- ,—— Н-М-------------- ,—— . (4.5.34)
2<2 L \ CI	/	\ й	Й“ /_
Отсюда получаем
(4.5.35)
Замечание. При 4 лт > й2 в силу оценки (4.5.28) й3-фулкции близ-
ки к единице, и мы имеем спектр Ферми
а/2
1	С	Q	z____
)(х,т)^— \ dx0 2Ф (x,Eq) = — , л < ф/ 4п т ,	(4.5.36)
a	J	а
~а/2
где Ql'a — интенсивность источника, приходящаяся на единицу объема замед-
лителя.
Предлагается проверить равенство
а/2	оо
Q = J dx0 2Ф (х0, Eq) j dx0 SG0 (х0) = 1,
—a/2	— co
которое должно выполняться, поскольку с I см2 площади блока излучается
1 нейтрон!cext а число рассеянных нейтронов в единицу времени должно
совпадать с интенсивностью их источника (в основу кладется формула
СО
со
Г di
00
f V-
со
оо
о
Упражнение
нов {см. упражнение 6)
7- Пусть поток не
распределен по т:
Т | dxQ Se - ’
о о
испытавших соударение иейтро-
—
е
2*0
Ф= Ф (х, т) —
О при х <0;
> 0 при т >
0.
183
1
4'огд<ч а качестве начального условия для уравнения замедления следует
принять / (х, 0) = 0. Построить решение уравнения замедления.
Решение. Учитывая, что фундаментальное решение данной задачи
на интервале х £ [—я/2, а/2] дано формулой (4.5.34), получаем	=
(4.5.37)
где S (т0) — сечение рассеяния нейтронов с возрастом тй.
Если функция Ф (х0, т0) равна нулю вне интервала т £ [0, Til, то снова
имеем спектр Ферми:
T)«Q/a,	(4.5.37а)
Tt	а/2
где Q = rfT0 jj (т0) Ф (л'о, т0); a < V4л (т—тх).
0	—й/2
Если принять, что в интервале т £ [0, тх] с 1 сх? поверхности блока из
лучается 1 нейтрон!сек, то с учетом формулы (4.5.36) снова получим Q = 1
§ 4.6. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
ВОЗРАСТА НЕЙТРОНОВ
Уточним физический смысл возраста нейтронов и сделаем не-
сколько замечаний о его вычислении. Рассмотрим неограниченно про- -
тяженную однородную замедляющую среду, в которой нет поглоще- -
иия, а в начале координат имеется точечный источник монохромати-
ческих нейтронов энергией £0, дающий однократную вспышку в мо-
мент времени t — 0. Такой источник можно описать с помощью
б-функцви:
Q (г, т, Z) = Q6 (т)6 (r)5 (Z),	(4.6.1)
если считать, что т по формуле (4.4.15а) отсчитывается от энер-
гии £0.
Для такой замедляющей среды, согласно (4.4.18а), справедливо
однородное возрастное уравнение
А/—	А }	(4.6.2)
7 5т Д (т) dt
где
£0 (т) = D (т) v (т) =	(т) v (т) ;	(4.6.2а)
Ъ1т (т) и о (т) — транспортная длина и скорость нейтрона, отвечаю-
щие его возрасту т. Уравнение (4.6.2) должно решаться при началь-
ном условии
/ (г, т, 0) = f (г, т).
Однако, по условию нашей задачи, в момент вспышки нейтроны с
возрастом т>0 должны отсутствовать, и в согласии с (4.6.1) мы
184
должны иметь *
-L-/(r,T,0) = (?6(r)6(T).	(4.6.3)
(т)
Проинтегрируем уравнение (4.6.2) по всему бесконечному про-
странству:
Сд/dr — Г-^dr- f——^dr.	(4.6.3а)
J J дх J Do (т) dt
CO	co	co
Так как источник сосредоточен в точке, то поле нейтронов достаточ-
но быстро спадает при удалении от источника и первый интеграл
в левой части этого уравнения равен нулю**.
Обозначим интегральный поток замедления как
1 /(г, т, t) dr =	(4.6.4)
Я./
оо
Тогда (4.6.3а) приведется к виду
dJ ,	1	dJ _Q
дх ' Do (т) di
Введем новую переменную Т\
т
dT^~^—] Т(х)=-
£>о(т) ’
о
Так как
dx _ D (u) du 1	_ du у
^о(т) УТ (и) Р(и)о(«)	£
(4.6.4а)
(здесь Ts (u) = 1/v (u)Ss (u) —среднее время между двумя упругими
соударениями нейтронов, a du/t, — среднее число соударений на ин-
тервале замедления du), то интеграл
и
О
(4.6.5)
* В общем случае следовало бы писать
п * . у? =А/— ~Г -г<2 (г> О: /(С т, /) - 0 при t < 0.
Do (т) dt	dx
Решение ищется в классе непрерывно дифференцируемых (при I, т > 0)
функций, и поэтому
1
——! (г, г, 0) = lim Q (г, т, i)dL
Do (т)	£—>“|-0 *
—s
Если Q — обобщенная функция из (4.6.1), то отсюда вытекает (4.6.3).
** По теореме Остроградского—Гаусса интеграл по конечному объему V
равен ( Д/dr = \ dS (n° (R) V / (R)), где п° (R) — внешняя нормаль в точ-
v s
ке R поверхности S, ограничивающей объем К Так как поле нейтронов исче-
зает на бесконечности, то ( Д/dr — 0,
w
185
имеет смысл времени замедления нейтрона до возраста т.
С помощью новой переменной уравнение (4.6.4а) перепишется
так:
дТ ' dt
Решением этого уравнения будет любая дифференцируемая функ-
ция f:
J = f (Т — f),	(4.6.6)
так как df/dT = f = —df/dt.
За начальное условие для функции J в силу (4.6.3), (4.6.4) не-
обходимо взять
J (т, 0)/Рй (т) = Q6 (т) = Q6 (7yDQ (т)*.
Тогда функция f определяется однозначно, и из (4.6.6) следует
J (т, /) = Q6 (Т (т) - I).	(4.6.7)
Это означает, что возраст замедляющихся нейтронов связан с вре-
менем замедления соотношением
Т (т) = t или rfr == (x)dt = D (т)ц (т)с//,	(4.6.8)
т. e. время замедления t однозначно определяет возраст нейтронов
в процессе замедления. Это свойство т объясняет происхождение
названия «возрастная теория замедления».
Таким образом, в возрастном приближении энергия замедляю-
щихся нейтронов нестационарной задачи замедления и время од-
значно связаны между собой. Заметим, однако, что подчинение воз-
раста закону (4.6.8) является следствием возрастного приближения,
т. е. приближенного характера формул (4.4.8), (4.4.10), с помощью
которых осуществляется представление интеграла соударений(4.4.7).
Чтобы понять более четко отличие возрастного приближения
от «точного» решения кинетической задачи, запишем газокинети-
ческое уравнение (4.1.7) в виде
—	- QV<p— Sep-Ь С dE’ С dQ' ср (г, Е!, Й', /)Ss(E')x
У dt	,) J
X W (Er, Я’ ->Е, П)Ч-р(г, Е, Q, 0	(4.6.9)
для случая однородной неограниченной неразмножающей среды.
Пусть внешний источник нейтронов дает однократную вспышку
монохроматических нейтронов в момент t =-- 0. Тогда
q (г, Е, &,t)=q (г, Й)6 (Е - Ео)6 (/).
Проинтегрируем уравнение (4.6.9) по всему пространству, пред-
положив, что источники ограничены по интенсивности и сосредото-
* Здесь использовано общее свойство 6-фуикций, вытекающее из
условия б (т)4т — б (7’J dT, откуда 6 (т) — 6 (Т) dT/dx - б (Т)/£)о (т).
186
чеиы в конечной части пространства, т. е. q (ft) == ) q (г, ft)dr<oo.
В этом случае нейтронное поле исчезает на бесконечности. Посколь-
ку ftVcp = div ср ft, то нетрудно убедиться, что
У drftVcp ~ dr div ftcp = 0.
со	оо
Обозначив
Ф (£, ft, /) = | drcp (г, Е, ft, I),
4 .
(4.6.10)
приведем уравнение (4.6.9) к виду
1 дф
v dt
(£',£!', /)>\ (£') х
X W (£', ft' -> £, ft) + 7(ft) d(£-E6) 6 (t).
После интегрирования no dft с учетом обозначений (4.2.4), (4.2.4а)
имеем
У W (Е', ft' -+Е, Q)dQ = Го (£', £).	(4.6.11)
Полагая
f dft? (£, ft, /) = Ф (£, t)- $dQq (ft) - Q, (4.6.12)
получим нестационарное уравнение в виде
_L33.= _Еф + СdE' Ф (£', /) 2S(£')	(£', £) + Q6 (£-£„)6(/).
& £/« с.'
В шкале летаргии (3.1.13) это уравнение принимает знакомую
нам форму (3.3.2) или (ПЗ.1.1):
— 45- = -2 («) ф («, 0 + У Ф + QS (и), t >0,
о СИ
(4.6.13)
где
£0Ф = J' с1и'Ф (и', /)2, (£)№0 (Е, и),
с той разницей, что (4.6.13) записано для нестационарной формы
этих уравнений. Отличие уравнения (4.6.13) от его представления
в возрастном приближении состоит лишь в том, что приближенное
выражение (4.4.7), (4.4.8) интеграла соударений заменено теперь
точной его записью.
Отметим, что, по определению, поток ср из (4.6.10) является ну-
левым пространственным моментом потока ср, а поток Ф из (4.6.12)—
нулевым угловым моментом потока ср. Таким образом, Ф (£, £) яв-
ляется нулевым пространственным и угловым моментом потока
ср (г, £, ft, f). Следовательно, все результаты стационарной теории
замедления, рассмотренные в гл. 3, полностью переносятся на нуле-
187
вой угловой и пространственный момент газокинетической стацио-
парной задачи в бесконечно протяженной однородной среде.
Задача (4.6.13) известна [21а]. Жесткой связи энергии замед-
ляющихся нейтронов с временем замедления, которая предписы-
вается формулой (4.6.8), теперь нет и распределение нейтронов имеет
характер гауссова распределения с дисперсией, отличной от нуля.
Образуется как бы «волновой» пакет, перемещающийся вдоль энер-
гетической оси (сверху вниз в обычной шкале энергии), и лишь с
неограниченным увеличением массового числа ядер замедлителя
Рис. 4.7. Зависимость ощ от энергии
для ядер с Л> 1
Рис. 4.8. Зависимость &tA,s от ле-
таргии
дисперсия стремится к нулю. Таким образом, решение (4.6.7) в ука-
занном смысле — предельное решение нестационарного газокине-
тического уравнения замедления.
Выведем в заключение некоторые соотношения для вычисления
возраста и времени замедления в простейших случаях.
1. ZfrZs = const. Зависимость возраста от энергии в этом случае
логарифмическая:
^tr Д
т(£)-
3|
Для ядер с А > 1 характерна зависимость atr от энергии, представ-
ленная на рис. 4.7. Поэтому если рассматривать источники нейтро-
нов с £0 не выше 100 кэв, то для т можно пользоваться приведенной
формулой. В общем случае можно поступать следующим образом.
Интеграл в т (£) разобьем на два интеграла: один охватывает
область, где сечения мало меняются, а другой — область сильного
изменения сечений:
т/£) = С d£' 1 Г Ъ d£/ __ ДщДД 1п ।
1 J 3? Е' 1 J 3s Е' " 3Z Ег
Е
, (^tr 1 п
— 111 в
3| Е
188
Здесь <^Л> " среднее значение произведения в интервале энер-
гии (£х, £0);	— постоянное значение произведения klrhs в
интервале энергии (£, £J.
Построим график в зависимости от летаргии и (рис. 4.8) и
1 «
выразим возраст нейтронов как т =	Zs(и')du'. Кривую
о
ktr (м)Л, (и) можно аппроксимировать какой-либо простой функцией.
Тогда т находится вычислением интеграла. В общем случае инте-
грал определяется численно.
2. ла = const. Этот случай относится к области энергий Е <
< 100 кэв. Тогда
Для малых энергий, т. е. £ -< £0,
Т (£)	2Л50/^ (£)•
В табл. 4.1 приведены возраст нейтронов от источника со спект-
ром деления до энергии резонанса индия £]п = 1,44 эв, а также
время замедления Т и среднее время для захвата тепловых нейтро-
нов (£T)/vT = 1/2 с (£т)от.
Таблица 4.1
Параметры, характеризующие свойства замедлителя, и время жизни
теплового нейтрона
Замедлитель	т, см2	Ут , см	М;0, СМ	7\ 10 - а сек	10 — * сек
Н.,0	26,44-0,3	5,15	1,1	I	20
d2o	112Д2	10,6	2,6	5	15 000
Be	80,2±2	9,0	1,6	7	400
С	308 ±2	17,5	2,6	15	I 200
Из таблицы видно, что в воде нейтрон замедляется до энергии
1,44 эв быстрее, чем в любом другом замедлителе. Видно, что время
замедления заметно меньше среднего времени захвата тепловых
нейтронов.
189
§ 4.7. ЗАМЕДЛЕНИЕ В ТЕЛАХ КОНЕЧНЫХ
РАЗМЕРОВ
Решение уравнения возраста (4.4.19) для произвольной системы
источников, расположенных в бесконечно протяженном однород-
ном замедлителе без поглощения, как мы убедились, можно полу-
чить с помощью фундаментального решения
Рис. 4.9. Поле замедления от точечного источника
в виде
в полупространстве
для системы точечных источников, или
ж T)=Jrfr0(y^exp
ОО
(4.7.2)
(4.7.2а)
для системы распределенных источников.
Однако на практике всегда имеют дело с ограниченным замедли-
телем. Уравнение замедления (4.4.19) в этом случае остается без
изменений, но добавляются краевые условия па экстраполирован-
ной границе. Начальные условия задачи также не меняют своей
формы:
j (г, 0) = / (г).
(4.7.3)
Для фундаментального решения, соответствующего точечному
источнику, расположенному в начале координат, [ (г) = 6 (г), а
краевые условия имеют вид
/ (R, т) - 0, R £ S,	(4.7.4)
где R — радиус-вектор точки па экстраполированной поверх-
ности S замедлителя, обобщенное определение которой дано в § 4.3.
Рассмотрим замедлитель, заполняющий левое полупространст-
490
во. Найдем поле замедления в таком замедлителе от точечного ис-
точника мощностью;? = 1 нейтрон!сек, расположенного на расстоя-
нии а от экстраполированной поверхности замедлителя (рис. 4.9),
которая в данном случае будет плоскостью, проходящей через точку
г = 0. Будем считать, что ось X проходит перпендикулярно этой
плоскости через точку, где расположен точечный источник.
Начальное условие (4.7.3) принимает теперь вид
/ (г, 0) = 6 (г -Б а),	(4.7.5)
где а — радиус-вектор точки, в которой расположен источник:
f а | = а.
Краевое условие можно записать с помощью уравнения плоскос-
ти, проходящей через начало координат: (аг) = 0. Тогда должно вы-
полняться условие
/ (г, т) — 0, если (аг) — 0.	(4.7.5а)
Для решения задачи воспользуемся методом ложного источника.
Мысленно продолжим замедляющую среду в правое полупространст-
во. Предположим что помимо истинного источника в правом полу-
пространстве на расстоянии а от экстраполированной поверхности
замедлителя помещен ложный (отраженный) источник отрицатель-
ной мощностью q —1 нейтрон! сек.
В бесконечно протяженном замедляющем пространстве решение
уравнения (4.4.19) только для одного истинного источника пред-
ставляется формулой (4.4.20) при г0  ~ - а, а для одного ложного —
отрицательного — источника решение (4.4.19) имеет вид
1 Г i г~а Г2
Составим алгебраическую сумму полей от истинного и ложного
источников. Мы утверждаем, что
1 Г /	|г---а|2\	! [г — a j3 Д
(4.7.6)
является решением уравнения (4.4.19) для точек левого полупрост-
ранства, которое удовлетворяет начальному условию (4.7.5) и крае-
вому условию (4.7.5а). Действительно, в силу (4.4.20) / (г, т) удовлет-
воряет начальному условию
/ (г, 0) б (г Д а) — б (г — а).
Следовательно, для точек левого полупространства / (г, 0) ~
= д (г Д а). Кроме того, мы видим, что / Д = 0 на экстраполи-
рованной границе замедлителя, так как из уравнения (аг) = 0 вы-
текает равенство [ г Д а| — | г — а [. Значит, (4.7.6) и есть то ре-
шение, которое мы искали. Оно имеет физический смысл лишь для
левого полупространства, где .г < 0, поскольку при .у > 0 / (г, т)
принимает отрицательное значение.
191
Рассмотрим некоторые характерные особенности полученного
решения (4.7.6). При а^>Ут влияние ложного источника очень мало
вдали от границы (рис. 4.10), и наоборот, на границе только вклад
от ложного источника приводит к обращению потока замедления /
в нуль. Однако при этом в окрестности границы / меньше, чем в
окрестности источника. Из сказанного можно сделать следующий вы-
вод: если размеры тела во много раз превосходят 2|/т и источники
расположены на расстояниях а >]/ т от границы, то различие поля
замедления в замедлителе, заполняющем объем тела, и поля в
’ бесконечном замедлителе невелико.
Отметим поучительный парадокс. По формуле (4.7.6) имеем
i (г. ^„0; j (г, т) |а=0 = 0,	(4.7.7)
причем при каждом т > 0 этот предел достигается равномерно от-
носительно точек г из левого полупространства. Б то же время яс-
но, что наличие источника нейтронов на поверхности замедлителя
(а = 0) обязательно порождает во всем левом полупространстве
поле, всюду отличное от нуля.
Парадокс легко разрешается, если учесть, что нейтронное поле
в замедлителе от источника, расположенного на его поверхности,
возникает вследствие проникновения быстрых нейтронов, для кото-
рых т — 0 и которые, не испытывая соударений, пронизывают толщу
замедлителя по закону, указанному в упражнении 5 §4.5. Таким
образом, на самом деле нейтроны с возрастом т = 0 присутствуют
всюду в замедлителе,в то время как в возрастном приближении, в си-
лу формулы (4.4.20), они не учитываются. Следовательно, предель-
ный переход (4.7.7), где / (г, т) вычислено в возрастном приближе-
нии, неправомерен и при а <$( 2 Ут дает неверный результат. По-
этому наиболее эффективный способ внесения поправок на «невоз-
растность» состоит в правильном учете распределения нейтронов
при т = 0, как это сделано, например, в упражнениях 5, 6 § 4.5.
Замедление в прямом параллелепипеде. Рассмотрим параллеле-
пипед со сторонами а, 5, с и центром симметрии в начале координат.
Источник нейтронов единичной мощности расположен в точке с
192
координатами г0 = (х0, у0, и0) внутри параллелепипеда (рис. 4.11).
Требуется решить уравнение (4.4.19) с краевым условием
/ (+а/2, у, z, т) = j (х, ±Ь/2, г, т) = j (х, у, ±с/2, т) = 0 (4.7.8)
и с начальным условием
/ (г, т) = 6 (г — г0).	(4.7.9)
Решение ищем методом разделения переменных:
1 (г, т) = fx (*> т)/у (у, т)|г (г, т).	(4.7.10)
Подставляя (4.7.10) в (4.4Л9), получаем
I 3й fx $fx \ f f ] I fli___ \ff ] I	\ f f ._П
\ дх* dx J \ ду^	dz1 dx /
a
Рис. 4.11. Источник в прямом параллелепипеде
Это уравнение удовлетворяется, если /LV является решением задачи
fJ-ь-S Д = 0; м*. 0) = 6(х—Л'о), (4.7.11)
ох- от	\	3	]
a fy и Л удовлетворяют двум аналогичным уравнениям, получаю-
щимся из (4.7.11) заменой х, х0 на у, уГ) и z, г() (соответственно а на b
и с).
Пусть дг0 — 0. В этом случае, как и раньше, можно применить
метод ложных источников, однако использовать только один ложный
источник в данном случае не удается. Рассмотрим существо дела.
Обозначим
1	/	V2 \
G т) 9 1/- ехр “ 77 )•
2	р .ттт	\	4т /
Это функция Грина для плоского источника единичной мощности
в начале координат [см.(4.5.8)]. Если мы хотим удовлетворить нуле-
вому краевому условию в точке л- = а/2, то отрицательный единич-
ный источник нужно поместить в точку л: = а. Тогда поток замедле-
ния будет представлен формулами
А (ад т) = G (х, т) — G (а — х, т);	(а/2, т) = 0.
7 Зак, 85
193
Начальное условие (4.7.9) для х £ [—а/2, о/2] при этом удовлетво-
рено. Но краевое условие на левой границе удовлетворено не будет,
так как
Наоборот, если хотим удовлетворить краевому условию в точ-
ке х = —а/2, то единичный отрицательный ложный источник сле-
дует поместить в точку х —а. Тогда
f2 (х, т) = G (х, т) — G (х + а, т); /2 (—а/2, т) = G (—а/2, т) —
- G (а/2, т) = О,
Рис, 4,12. Схема расположения действительных и
ложных источников
и начальное условие при х £ I—а/2, а/2\ удовлетворяется. Но на
правой границе
f2 (а/2, т) = G (а/2, т) — G (За/2, т) > 0.
Поэтому следует брать счетное множество знакопеременных ложных
источников (рис. 4.12), из них положительные (мощностью-Т 1 ней-
трон/сек) должны быть расположены в точках х — 2па, п = 0, +1,
+2, а отрицательные (мощностью — 1 нейтрон/сек)—-в точ-
ках х = (2/г + 1)а, п — 0, ±1, ±2, ... Тогда от границы х = а/2
отрицательные источники располагаются на расстоянии
] (2п + 1)а — а/2 | = | 2/г + 1/2 (я, п = 0, ±1, +2, ...,
а положительные — на расстоянии
| 2па — а/2 \ = \ 2п — 1/2 | а, п = 0, +1, ±2, ...
Каждому отрицательному источнику, удаленному справа от
границы х = а/2 на расстояние (2/г + 1/2)а, отвечает такой же по-
ложительный источник, расположенный слева от нее на таком же
расстоянии [—2/г — 1/2 | а = (2/г -- 1/2)а. То же самое имеем и на
левой границе: х .= —а/2. Поэтому действия положительных и от-
19-1
рицательных источников на границах х — ±д взаимно компенси-
руются и функция / (х, т), представляемая рядом
обладает следующими свойствами:
д2[/дх~ — df/От - 0;
/(+«/2, т) = 0;
/ (х, 0) = 6 (х) при х Q [—й/2, а/2|.
В силу теоремы о единственности решения
(4.7.12г)
(4.7.12)
(4.7.12а)
(4.7.126)
(4.7.12в)
Это выражение представляется табулированной О2-функцией. По
формулам (4.7.35), (4.7.36) найдем (см. упражнение 2)
fx(x, т) = -L (—, 42) при л'р = 0.	(4.7.13)
а \ a a* j
Если, кроме того, и = z0 = 0, то полное решение задачи (4.4.19),
(4.7.8) записывается в виде
4лт\ а / г 4ят\ (л -
77 Рг — — , (4-7.
Ь* /	\ с с2 /
где б’г-функции определяются или рядом (4.7.35), или рядом Фурье
(4.7.33).
В общем случае, когда х0, у0, г()	0, мы не можем обойтись та-
ким простым набором ложных источников, как тот, который показан
на рис. 4.12. Гораздо проще воспользоваться фундаментальным ре-
шением, составленным из б^-функций (см. упражнение 1).
Укажем некоторые свойства Фа-функции. Как и все прочие ф-функции*,
Оь-функция удовлетворяет уравнению
д2 Й2 (о, и)
dv2
,	5^2 (У, /2)
=4л---------- , и > 0
ди
(4.7.15)
и представляет собой четную периодическую функцию с периодом 2 по пере-
менной v при каждом и > 0 и с конечной амплитудой колебания бм (0, и).
Ес нули расположены в точках v J/2-j- /г, /г = 0, "± 1, ±2, .., т. е.
02 (1/2 + п, ц) - 0, н - 0, ±1 , ± 2, ..,
и -&2 ф, и) == -&2 (—о, «) 7 0, если г.’ =/= 1/2 + п.
(4.7.16)
* Принято различать четыре вида O’-функций [216]: функции О’, Од, Од,
&	Э01
v3. Все они удовлетворяют уравнению-^ =	и различаются только рас-
положением особенностей при и = 0 и нулей по переменной v. Между собой
они связаны простыми соотношениями [например, (4.7.49)].
195
Положительные полуволны 1%-функции приходятся на интервалы
[ — 1/2, 1/2], [—1/2 Д- 2 л, 1/2-[-27!.]. Если начало отсчета сместить на величину
о/2, то мы получим функцию
йу (у, и) — — йу (и -г 1/2, и),	(4.7.16а)
нечетную относительно с. Отсюда следует
02 (1/2 + v, а) = - Йу (1/2 — г, и).	(4.7.17)
Особенности (^-функции возникают при и = 0, когда она равна
оо
П= — оз
(4.7.18)
Фундаментальное решение уравнения
д2 f (v, u)
ди2
4 л “	~
ди
(4.7.19)
на интервале v ф I—1/2, 1/2] при краевом условии
/ (±1/2, /г) — О'	(4.7.20)
и начальном
f (г- 0) = Ф (о)	(4.7.21
выражается формулой
G (о, v', р2 (у-]-у' , и) Н-Ф> (у—а' » w)] > V, v‘ 4 [ — 1/2, 1/2] (4.7.22)
см. упражнение 1).
Согласно определению фундаментального решения,
’/з
f (и, и) -= f du' ф (v') G (и, v1, u) -=
-*l/2
’С2
I dv' ф (о7) [Од (t’+ o', -г тЗ'г(p—v , w)]- (4.7.22a)
-'i/2
После подстановки v = л7«, v’ =x'la, и ~ teixlc? приведем задачу
(4.7.19)—(4.7.21) к виду
’ йт
(4.7.23)
t (±«, т > 0) - 0; f (х, 0) - ф (x/fl) =- Ф (х);	(4.7.24)
196
Сравнивая задачи (4.7.23), (4.7.24) и (4.7.11), видим, что должно
выполняться равенство fx (х, т) = / (х/а, 4лт/а2), из которого при
условии ср (х) = б (х — х0) следует
Проверим краевые условия
(4.7.26)
(4.7.27)
В силу (4.7.17) fx (п/2, т) = fx (—а/2, т) = 0. Таким образом, (4.7.27)
я в л яется и скомым решен нем задачи (4.7.11). 3 н ач ей и я фу н к ци й
f;/ и fs получаются заменой в формуле (4.7.26) величин х, х0 на у,
и на z, г0 и соответственно а на b и а на с.
Измерение т в призме. Представим себе бесконечно протяжен-
ную вдоль оси X призму прямоугольного сечения с размерами Ъ и с
и х0, у0, я0 = 0. Решение (4.7.10) уравнения (4.4.19) сохранит свою
форму, но функция /Д (х, т), представляемая как (4.7.12), при а оо
примет вид
Тогда
/ (/, у, z, т) 
если источник
(4.7.28)
нейтронов точечный и расположен в начале коорди-
нат. Всякая другая форма начальных условий на асимптотике (по
х) приведет к тому же результату. Если измерять активность А
каких-либо резонансных индикаторов в двух точках хх и х2 на оси
симметрии призмы, то
А (хх)/Д (х2) = ехр [—(Xi — л'2)/4т].
Отсюда можно найти
т =______х*__________	(4 7 29)
4 In [Л (хт)/Л (х2)1 *	'
Если брать разные источники и различные резонансные индика-
торы нейтронов, то можно найти зависимость т для данного замедли-
теля от энергии источника и энергии индикатора.
Упражнение 1. Построить фундаментальное решение задачи:
о3 f (й , и) dF (и, и)
dv*	ди	}
0:12. и) - 0;	(4.7.31)
/ (о, 0) - <[, (ф; г- < [—1/2, 1/2].	(4.7.32)
197
Р е ш е н и е. Так же, как в упражнении 1 § 4.5, записываем фупда-
нтальное решение в виде
G (у, □ ',«) =
Фа (и) Фп (^')>
Фа (у) = V2 cos л (2^ + 0	~ П (2/2 ф- 1), п -= 0, 1,2, ..;
1/2
(Фп > фтп) = I Фп (у) Фт Ф’) = &пт-
-4/2
or да
G (у, и
ОО
(2п -j- I)2 п cos л (2п ф  1) и cos л (2/г —1) v
ОО
= 2ехр
п= О
Введем фг-функцию, определенную следующим быстросходящимся рядом
1>урье:
(4.7.33)
Тогда G (о, v', it) представляется в виде
G (у, v1, ф) = ~ 1% Оф-^', и) -НФ (t1—t-' , «)].
(4.7.34)
Упражнение 2. Рассмотрим функцию
со .	..
ехр
и
(4.7.35)
k = —оо
Показать, что
Решение.
/ (о, и) к виду
Подстановкой v — х/а, и = 4лт/а2 приведем
(4.7.36)
функцию
«?
4лт \	(— 1)й
— I - а У -----— «Р
2Упт
(х—ka)2
а-
(4.7.37)
а
Сравнивая (4.7.37) с функцией (4.7.12), убеждаемся, что она является реше-
нием задачи (4.7.12а) — (4.7.12в), в которой условие (4.7.12в) заменено на
f (х/а, 0) = ад (х).
Возвращаясь к переменным и, и, убеждаемся, что функция (4.7.35) есть
решение задачи
д2 f	df	{	1	\	Г11’
—— =4л — ; f ± — , и -0; / (v, 0) = 5 (и); v С — —	,
dt'2	ди	\	2	J	L 2	1 J
198
так как аб (ди) — 6 (ц) (в соотношениях такого рода всюду используется
формула примечания на с. 186). Видно, что эта задача совпадает с задачей
(4.7.30) — (4.7,32), если принять ф (v) = 6 (у). Тогда, по определению фун-
даментального решения, / (и, и) — G (v, 0, и).
Чтобы получить требуемое, осталось применить формулу (4.7.34).
Упражнение 3, Пусть в замедлителе, имеющем форму прямого
параллелепипеда с размерами экстраполированной границы а, Ь, с, имеется
распределенный источник монохроматических нейтронов с функцией распре-
деления Q (х, у, г). Найти функцию распределения потока замедления.
Решение. Решение задачи (4.4.19), (4.7.8), (4.7.9) определяет фун-
даментальное решение в форме (4.7.10). Поэтому решение с распределенным
источником дается в виде
й/2	Ь/2	с/2
•/ s С С С dx^dy^dz^	Г /х+*0
/(x,y,z,T =	---—-------Q х0,«/0, г0) М-----
J J J Sabc	L \ а
~а/2 — Ь/2 — с{2
' \ с
4лт \ ]	/ г—го 4лт
с2 / ' 2 \ с ’ с2
Рассмотрим два частных случая.
1 • Q ~ Q (.Уа-,	6 (х0), г. е. источник является плоскостью, проходящей
через начало координат перпендикулярно оси X. Тогда
Ь/2	с/2
I , / х	4 пт \ Г Г dyo dzQ „ ,
Н-г,у,г,т) =—, ——	——- Q (Уа, ?о) X
а \ а а2 / J J 4ос
— Ь/2 — с/2
2. Плоская задача: Q = Q (х0), которая определяется следующим образом:
д/
дх2 дх
Ее решение имеет вид
й/2
а \
— =°;
(4.7.40)
2а J
—<;/2
4,пт \	/ х—Xq
~7- +
а2
4лт V
а2
а
а
(4.7.41)
Упражнение 4*. Пусть на плоскую однородную стенку тол-
щиной И падает слева в положительном направлении оси X поток монохро-
матических и мононаправленных нейтронов плотностью q нейтрон/(см2-сек).
Предполагая, что длина пробега таких нейтронов равна Z, а сечение рассея-
ния Ss, и принимая, что функция скорости их соударений образует начальное
значение потока замедления (принимается, что рассеянные нейтроны распре-
делены изотропно), построить поле замедляющихся нейтронов и найти спектр
Задача решена Л. П. Абагян п С. Б. Шиховым в 1957 г.
199
их излучения через правую границу стенки, которая рассматривается как
экстраполированная. На левой границе поставить условие идеального «ней-
тронного зеркала».
Решение. В такой постановке решение симметрично относительно
точки х = 0 в интервале |—Я, Я] длиной 2Я и может быть записано с помо-
щью формулы (4.7.41), где нужно положить а/2 —- Я и
Q (х) = t/S., ехр
; Q (—х) = Q (х); х^ [—Я, Я]. (4.7.42)
Тогда / (х, т) — / (—х, т) и
/7
7 С
— dxq ехр
'о
X Я х0 лт
~2Я
X —х(>
2 Я
ят
’ "я2
’ Я2
(4.7.43)
Ток нейтронов равен
I (х, а) = —D (а) УФ (х, а) =
Я(ц)
du
Величина i (х, т) i (х, и) :----
к единице т. Поэтому
<Я' (х, т)
дх
дх du дх
(4.7.43а)
есть ток нейтронов, отнесенный
Q
2Я
dxti
о
/ Х-|-Х()  Л.Т
2Я ’ Я3

и
Sa ехр
Отсюда, в силу соотношений (4.7.16а), (4.7.17), следует
И
<?SS С ,	(	\ Я / х-!-х(, Л.г \	/ X—Хп	Я.Т у
2Нк	урЦ 2Я ’ Я2 Г М 277	’ Я2 /
о
При х — 0 ^(0, и) = — -0'2 (1/2, ц) ~0 и выражение в квадратных скобках
равно нулю. В результате мы получаем условие «нейтронного зеркала»:
200
Поток нейтронов, излучаемых с правой стороны стенки, находим по фор-
муле
W
и
о
/ '^'(1	5"i Т
11, 2Й~ ’ ~Н*
(4.7.44)
Для вычисления тЭд-функции можно воспользоваться' соотношением
(Д (о, и) — (о — 1/2, и) и рядом (4.7.35). Тогда
-и ехр
2
При v > 0 и 0 < и « 1 из этого ряда следует оставить только два первых
члена. Тогда
(у , и)
1
1/7
или, возвращаясь к исходным переменным
ят
ехр
>
(Х0-Я)2
4т
1 —ехр
(4.7.45)
М 2Н ’
т
при
лт/1Г- Д 1,
приближение (4.7.45),
> пт.	(4.7.46)
интеграл (4.7.44) можно вычислить
Используя
с помощью формулы интеграла вероятности ошибок
9
dte~i2
' О
В приближении (4.7.45) получим
г	я
л-п
— Г!/К
е
?2S	-Я/А. . t?Ss t/V
-^=. е +----------е
1 dx.Q е
м
о
— Н!К
4Т
X,, Н
т
erf
. [ Гт
— erf
н/К
—е
erf
i (Н, т)^^
1 —е
^е
X 2ф/т )_
Z 2V?/Jj
Функция erf (х) имеет асимптотическое представление
erf (х) = 1 —
у2
е—х
1	3	3-5
2х3 + (2х3)2~ (2ха)з+ *' ‘
201
Если принять 2 л2	1, то
erf (х)	1—с”Л'2/"1/лх.
Тогда при выполнении условия
2 (Ут/Х -И Я/2Ут)3 L 1
(4.7.47)
можно приближенно записать
(4.7.48)
Так как
то при условии (4.7.46) неравенство (4.7.47) всегда имеет место.
Замечали е. Условие Н~ лт характерно для достаточно тол-
стых слоев вещества, которые используются, например, в случае биологиче-
ской защиты.
Упражнение 5. Доказать тождество
(h (с, и) = б.-} (о/2, ii/4) — Д3 (г, и).	(4.7.49)
Реше и и е . Формулы (4.0.23) и (4.7. 33) перепишем в виде
0Q
О’, (у, и) = ехр
п = — оо
U
-n{2«+I)=-
exp [in (2/? + 1) ь’];
OQ
Д3(щи) = У ехр (— лн2 и) ехр (1л 2ль').
rz= — г»
Из последнего равенства получаем
со
п / и \ XI / п и \
-&3 — , -г- )= 2^ ехр —лл-— ехр (|л;го).
Просуммировав и fh3, получим
ОС
2{	U \	I V
ехр — лп3 — ) ехр (шла) =th3 —
\ \ “
п — — оо
4
что и требовалось доказать.
ГЛАВА 5
КРИТИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ РЕАКТОРА
В ВОЗРАСТНОМ И МНОГОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ
§ 5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Все встречающиеся на практике реакторы имеют сложный спектр
нейтронов. Расчет таких реакторов можно произвести лишь с точ-
ностью до того приближения, в котором представлено газокинети-
ческое уравнение. В этом смысле возрастное приближение, опираю-
щееся на теорию «возраста» Ферми, представляет особый интерес,
так как в ряде случаев дает возможность получить аналитическое
представление решений критической и нестационарной задач для
реакторов на тепловых и промежуточных нейтронах.
Рассмотрим гомогенный реактор без отражателя. Активная зона
реактора -— некоторое выпуклое тело, заполненное мультиплици-
рующей средой. Под границей тела понимаем экстраполированную
границу, согласно общему определению § 4.3.
Дадим математическую формулировку процесса цепной ядерной
реакции, исходя из представлений возрастной теории. Поток за-
медления / есть функция г, £, t\ если размер реактора равен крити-
ческому, то он может находиться в стационарном состоянии, т. е.
j — / (г, т), где т однозначная функция энергии:
т(Д0, £) ^ (^Zs (—	,	(5.1.1)
или в шкале летаргии
и	и
т(«) = г в(ид»-'.^ WW. (5.1.1а)
J	£25(и')	J	k
о	о
Таким образом, поток замедления / характеризует спектр нейт-
ронов, т. е. распределение нейтронов по энергиям в реакторе.
Кроме замедляющихся в реакторе имеются тепловые нейтроны.
Поток тепловых нейтронов Ф есть функция только координаты точ-
ки: Ф = Ф (г).
Для т > 0 поток замедления удовлетворяет уравнению замедле-
ния с учетом поглощения (последнее предполагается «слабым»):
у
дх L- (х)
(5.1.2)
203
Рис. 5.1. Поток замедления
Поток тепловых нейтронов удовлетворяет уравнению диффузии
с источниками:
РАФ - 2„ТФ 4- / (г, тт) = 0,	(5.1.3)
где тт = т (£0, £т)- Здесь £т —условная граница, отделяющая
спектр тепловых нейтронов от спектра замедляющихся нейтронов.
Приближенный способ вычисления £т дан в приложении П.5.2.
Сформулируем уравнение для т = 0, которое будет начальным
условием задачи. При составлении баланса замедляющихся нейт-
ронов мы предполагали, что источники
быстрых нейтронов моноэнергетические,
т. е. все рождающиеся быстрые нейт-
роны имеют одну и ту же энергию, на-
пример среднюю энергию спектра деле-
ния. Для вновь родившихся нейтронов
т - 0. При т — 0 число начинающих
замедляться быстрых нейтронов в 1 см3
в 1 сек есть / (г, 0), т. е. поток замедле-
ния / (г, 0) равен скорости генерации
быстрых нейтронов в 1 с.и3.
Разобьем весь диапазон энергии на
две области: тепловую (£ < £т) и над-
тепловую (£ > £т).
Пусть /гт, по определению, есть чис-
ло нейтронов деления с энергией £ =
— £0, приходящихся на один акт захвата теплового нейтро-
на, т. е. = vp.0. Тогда /гт2((ТФ (г) — скорость генерации нейтро-
нов деления в 1 сл? , порожденная захватами тепловых нейтронов.
Согласно возрастной теории (см. § 4.4), скорость захвата замед-
ляющихся нейтронов в интервале ch равна / (г, т)Лт/£2 (т). Каждый
поглощенный надтепловой нейтрон приведет к возникновению kx
новых быстрых нейтронов, причем kx — функция энергии. Таким об-
разом, kXt по определению, есть число нейтронов деления, приходя-
щихся на один акт захвата замедляющегося нейтрона с возрастом
т, и зависит от т.
Всего при делении на замедляющихся нейтронах в интервале
dx появится kxj (г, x)dx/L~ (т) вторичных быстрых нейтронов деле-
ния в 1 см* за 1 сек. Так как захватываются замедляющиеся нейтро-
ны всех энергий, это выражение нужно проинтегрировать от 0
ДО Тт<
Тогда окончательно имеем
/ (г, 0) - SCT Ф (г) +
/ (Г, T)
dx
(5.1.4)
204
Получено начальное условие задачи, которое пригодно лишь
в случае слабого поглощения. Однако в реакторе есть зоны с силь-
ным резонансным поглощением, для которых полученное условие
неприменимо. При расчете реактора такие зоны выделяют и рас-
сматривают отдельно.
Пусть в i-й энергетической полосе происходит сильное резонанс-
ное поглощение. Полосе г соответствует резонансный £ уровень с
энергией E-t и возрастом т,..Тогда / (г, т, — в) есть поток замедления
выше данной энергетической полосы, а / (г,	~|- е) — поток замед-
ления ниже ее (рис. 5.1). Ширину области сильного поглощения ха-
рактеризует величина 2е, измеренная в единицах т. Если 2s Д
то пространственной диффузией нейтронов в полосе сильного погло-
щения можно пренебречь. Тогда можно считать, что на резонансном
уровне происходит изменение (скачок) потока замедления в срг раз,
причем epi < 1 — вероятность избежать поглощения на интервале
[Т; — 8,	+ 8] И
/ (Г, Г; -Ь 8) =	(Г, Т; — 8).	(5.1.5)
Кроме начальных условий необходимо определить краевые ус-
ловия задачи:
j (R, т) = Ф (R) -0:R и;тП0. тт],	(5.1.6)
где R — точка на экстраполированной границе S активной зоны.
Таким образом, мы получили математическую формулировку зада-
чи в возрастном приближении.
§ 5.2. МАТЕРИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР В ПРИБЛИЖЕНИИ
ТЕОРИИ ВОЗРАСТА. КРИТИЧЕСКИЙ РАЗМЕР
ОДНОРОДНОГО РЕАКТОРА
Найдем уравнение для материального параметра и в приближе-
нии теории возраста. Для этого представим решение в форме плос-
кой волны:
j (х, т) = ехр (ixx)m (т); Ф (х) ехр (ixx)m0.
Подставив (5.2.1) в уравнения (5.1.2), (5.1.3), получим
г /у dm tn n
— х2 т (т) —------------------------------— 0;
Лт г2 (т)
— x2Dm0 —	+ т. (тт) = 0.
Интегриров ание первого уравнениядает
т (т) = т (О)ехр [—х2т — g (т)],
(5.2.1)
(5.2.1а)
(5.2.16)
(5.2.2)
где g (т) — уже встречающаяся ранее величина, называемая инте-
гралом поглощения [см. (4.5.5а)]:
т	Еп
, X С dx' — Г V /гл dE'
0	E
(5.2.3)
205
Второе уравнение содержит только постоянные величины и позво-
ляет найти связь между т0 и т (тт):
Теперь воспользуемся выражением для распределения скорости
генерации быстрых нейтронов (5.1.4). Подставляя в него (5.2.1),
с учетом вида т (т) и = const получаем после сокращения на
ехр (ixx)
m (0) = /г.„ S„T m0-Cm (0) (*	ехр [ — х2 т—g (т)] dg (т) (5.2.4а)
о
или после деления на пг (0):
тт
,	. т (тт) 1	, Г > г >	/ , -1 j ' \
1	—Уг Г~  + kz ехр [ ““ х“т “ "	•
т (0) 1 -]- х- С- J
0
Подставляя сюда т (т) из (5.2.2), окончательно запишем уравнение
для материального параметра х в следующем виде:
j = ;iTexp[-^ -й(ь)1 . к мр (т_# (т)] dg (55)
1 -1- X* L	J
0
До сих пор узкие энергетические интервалы сильного поглоще-
ния, т. е. резонансное поглощение, не учитывались. Для того чтобы
его учесть, поступим следующим образом. Решение т (т) из (5,2.2)
справедливо до первого сильного резонансного уровня. При пере-
ходе через него т (т) уменьшается в фу раз; аналогично при перехо-
де через второй сильный резонансный уровень величина рр^т (т)
испытывает скачок, уменьшаясь в ср, раз, и т. д, Это следует из (5.1.5):
если взять предел при е 0, то / (г, тг- 0) ~ qg (г, ту — 0).
Для Т;+1 > т > ту вместо (5.2.2) получим выражение
т (х) = т (0)ехр[ — и2т — g (т)] П фЛ, (5.2.5а)
k = 1
i
где П (^ — произведение срЛ для всех резонансных уровней с k I.
й=1
Обозначим
i
Ф(0 = Q (р,;.	(5.2.6)
k— 1
Очевидно, что ср(1') есть вероятность избежать сильного резонансного
поглощения при прохождении через i верхних резонансных уров-
ней. При этом выражение для т (т) примет вид
т (т) - т (0) ф<;’ ехр [- х2т — g (т)], т;. < т < тн.ъ (5.2.7)
206
где тг- и т;.Ь1 — возраст, соответствующий положению Л го и
(i -г 1)-го сильных резонансов.
Определим кусочно-постоянную функцию пропускания через
сильные резонансные уровни (вероятность избежать резонансного
захвата до возраста т):
Ф 00 = Ф(,) при Тг < < ^i+l-	(5.2.8)
Обозначим
Ф — ф(-л) ~ ф (т т) при тЛ1 < т < тт,	(5.2.8а)
где т — номер последнего (самого нижнего) резонансного уровня.
Функцию (5.2.5а) теперь можно записать в виде
т (т) = т (О)ехр 1^х2т — g (т) Н- 1пср (т)],
причем вместо (5.2.1а) она удовлетворяет уравнению
— х3 т —	—--------фЬфШ = о. (5.2.86)
7 ат I, L* (т) dx J
Здесь — d In ф (т)/г/т — обобщенная сингулярная функция, со-
средоточенная в точках ту U ==1,2, ..., т), действие которой опи-
сывается формулами:
d In ф (т) ___
di
1
S-
T(Tf— 0)
ты-1-£
" — Н;
-0;
Г dT аж.ф.ы
dx
ехр [In <р (t)] = — ехр [in ф (тг- -L е)] +
фехр [In ф (Tj — s)]	— ф (тг -5 е) ж ф	— е) = ф(‘-1> (1 — фг).
Если f (т) — произвольная непрерывная функция, то
ту г
_	(	^lncp(T) ехр[]Пф(т)|	(5.2.10)
dx
Теперь запишем формулу (5.2.5) в более общем виде. Обозначим
go (т) = g (г) — In Ф (т) и продифференцируем это выражение по т:
dgo (т) = dg (х) d !пф (т)
dx	dx	dx
207
Так как, согласно (5.2.86), учет резонансов сводится к замене

1 d In ф (.т;)
£.2 (т) ch
то вместо (5.2.5), мы имеем
l = <Ve*P[ r^T\f3g{l(rT)1 -г i /?техр[—х3 т—g0 (т)]^0(т). (5,2.11)
l-rXLI?	J
0
Очевидно,
exp [ — go (rT)]= t (vT) exp [ — g (r,r)J;
T(T	^-1 тЯ-1”£
J ^Texp[ —x3t—g0(T)]^go(T)= v j ATexp[ — x2 t—
0	1 = 1 т-4- e
c О
--g(T) In Ф (t)] dg (r) -1- f /гтехр[ —x2T —g(T)]dg(r)-b
o"'
-г У j th exp [ — x2 т — g (t) -1- In <p (t)1 dgti (t) 4-
i “ 1	. _g
TT
-Г f th exp [ — x2 t— g (t) + In q: (t)] dg (t).
V8
Теперь перейдем к пределу при еО, принимая во внимание
определения (5.2.8), (5.2.8а) и формулы (5.2.9), (5.2.10). Предпола-
гая 1/L2 (т), /гт непрерывными функциями и учитывая, что
lim
г->0
У dgQ (т) /гг е хр [ — х2 т —
Йо (т)] =
Тг- -]- е
= — lim f ch tHnT(T) /егехр[ —х2т—gD(r)] =
e^o <	a i
Ti“e
= th. (T0'-1’ — (|-(г))ехр 1 — x2 T; — g (тД
получаем
S	m
C £Texp [— X2 T— go (t)1 dgo (t) = 2 T(/)
0	* = 0
ATexp[ — x2t—
—g (t)] dg (т) + V (fXi-D k (1 — Ф,-) exp [ — X2 zf - g (тг-)]>
I
208
где (р<0) = <f0 = 1; та = 0; тт+1=тт. В результате формула (5.2.11)
принимает вид
—£(т)Ш(т) +	— Ti)exp[—улТ;— g’(^)]. (5.2.12)
z= г
Здесь q\- — вероятность избежать захвата в узкой полосе 2е С т;-
сильного резонансного поглощения, которое мы описываем, как
обычно, формулой
_о.	т
= с г; <i <| (т,.)- n<ff-	(5.2.13)
*= i
Переход от формулы (5.2.12) к формуле (5.2.5) получается, если при-
нять (fij — 1, i = 1, 2, ..., т.
Формулам (5.2.5), (5.2.12) для вычисления материального пара-
метра х2 можно придать вид уравнения (4.2.58), разложив их пра-
вые части в ряды по степеням х2.
Заметим сначала, что поскольку имеется в виду размножение не
только на тепловых, но и на замедляющихся нейтронах, то нуж-
но считать по общей формуле (4.2.8), полагая х2 -= 0. Тогда по фор-
муле (5.2.4а) с учетом поглощения на сильных резонансах получаем
И
/fTSaT /??о + т (0) | k ехр ^о(т)] dga (т)
С	*
v,fT т() -|- т (0) I* ехр [ — £о (г) ] dgG (т)
О
Это выражение есть отношение скорости генерации нейтронов де-
ления к скорости захватов в бесконечно протяженной мультипли-
цирующей среде и является представлением формулы (4.2.8) в воз-
раст но м п р и б л и же и и и.
Подставляя (5.2.2), (5.2.4) в знаменатель последнего выражения
(при х = 0 и с заменой g (т) на g,} (т)), получаем
SaTт (0) f dgQ ехр [—g(, (t)J = т	(0) {1 —ехр [—g0 (тт)]} =
о
=m (0) {ехр [—g0 (тт)] 1 — ехр [ — g0 (тт)]}=т (0).
Тогда
k.r 2фт —ехр [— g0 (т)] dgQ (т),
о
2G9
где
"Д __	1	!!< Сч)	! — хм И -г.) 1 _ ф ехр I — g (т,) I
т (0) SaT ;п (0)	Ьат	SaT
ИЛИ
тт
/гт if ехр [ — g (тт)] 4- [ кг ехр [ —g() (т)] dga (т), (5.2.14)
и
что совпадает с правой частью (5,2.11) при z = 0, как и следовало
ожидать. Таким образом, найден первый член ряда (4.2.58).
В представлении (5.2.12) имеем
T;’+i
= £ т T exp [ — g (tT) ]	V ф (' > f kx ex p [ — z2 т—g (т) ] dg (t) +
(=o r;
/7i
“'r 2	(1 — <p2)exp[ — Z2^ — £(T;)j.	(5.2.14a)
t= i
Дифференцируя правую часть (5.2.11) по х2 и полагая затем х2 —
= 0, получаем второе слагаемое ряда (4.2.58), деленное на х2:
It
------- Т2 = — (Тт -н L2) /г,. ср ехр [ — g (тг)] —
ь
откуда следует, что второй пространственный момент
т
т
Т 2 = -^~ (тт 4- U) /гт ср ехр [ — g (тт)] Д ( /гт т ехр[ — g. (t)]dgo(T)
/:00	J
°	J
(5.2.15)
Разложение правой части (5.2.11) в ряд по степеням х2 достаточ-
но точно представляется двумя первыми членами, если выполняет-
ся условие
х2тт С 1, х2А2 Д 1,
т. е. если материальный параметр достаточно мал. В
имеем
(5.2.16)
этом случае
(5.2.16а)
где Т2 нужно считать по формуле (5.2.15).
210
Степень малости материального параметра можно характеризо-
вать более общим неравенством:
хФффб С 1.	(5.2.17)
Тогда \k^ — lj < I, /?Л. ль 1, и (5.2.16а) можно записать в виде
простого соотношения:
(5.2.18)
Г2/6
справедливого для больших реакторов.
Напомним теперь основной вывод теории плоских волн (см. §4.3).
При достаточно больших размерах однородной, размножающей нейт-
роны среды для нее справедливо асимптотическое решение, про-
странственное распределение которого определяется решением вол-
нового уравнения
Лф Ф х2ф (г) = 0; ф (г) > 0, г б V. ф (R) = 0, R £ 3 = ТЧ V*. (5.2.19)
Отсюда следует, что асимптотическое решение для однородной
среды в возрастном приближении может быть представлено в фор-
ме
/ (г, т) ф (г)т (т);	(5.2.20)
Ф (г) = ф (г)т0,	(5.2.21)
где т (т) и /н0 определяются выражениями (5.2.7), (5.2.4), а ф (г) —
волновая функция, соответствующая волновому числу %2 — мате-
риальному параметру, который в возрастном приближении находит-
ся из уравнения (5.2.5) пли (5.2.12) либо приближенно из уравнения
(5.2.16а). Заметим, что токи замедляющихся и тепловых нейтронов
будут определяться соответственно выражениями
i (г, т) = — \7Ф (г>-	— V/(r, т);	(5.2.22)
iT (г) = —D У7Ф (г)т0 = —D V Ф (г).	(5.2.23)
Выражение (5.2.22) является следствием общей формулы
i (г, /г) - — D (и) V Ф (г, к),
справедливой в асимптотической области. Из основного соотношения воз-
растного приближения (4.4.8) вытекает, что
D (и)
i (Г , II) = — —-- V/ (Г , W-) ,
£ 2s (»)
причем, согласно определению возраста (4.4.14), (4.4.15),
D (ц) dx
(«) ~ da
* Такая форма записи означает, что У — «открытое» множество внут-
ренних точек, входящих в замкнутый объем V. ограниченный поверхностью S.
211
При переходе от переменной и к переменном т следует учитывать новую
размерность:
till
i (г, u) du = 1 (г, т) dx- i (г, т) = i (г, у) — ; j (г, u) = i (г, т).
ЙТ
(5.2.23а)
Тогда получаем
1(г> т) = — Vj (г, т) = — Уф (г) т (т).	(5.2.22а)
Обратимся теперь к решению задачи о критическом размере од-
нородной размножающей среды, заполняющей объем, ограничен-
ный выпуклой экстраполированной поверхностью S. Из выражений
(5.2.20), (5.2.21) для потока замедления / и потока тепловых нейтро-
нов Ф видно, что на поверхности S они обращаются в нуль при лю-
бых т:
j (R, т) ip (R)/n (т) = 0; Ф (R) = ф (R)m0 = 0 при R £ S.
По определению, данному в § 4.3, S — экстраполированная гра-
ница для мультиплицирующей среды с материальным параметром
х2, который находится как наименьший по модулю корень уравне-
ния (5.2.12) (если другие корни существуют). Таким образом, мы
возвращаемся к ситуации, уже описанной в § 4.3 при рассмотрении
решения газокинетического уравнения в асимптотической области.
Критическое условие для реактора записывается как равенство
геометрического параметра а20 и материального параметра х2:
а2 = х2,	(5.2.24)
где х2 определяется уравнением (5.2.9), а се2 — наименьшее по аб-
солютной величине собственное значение оператора Лапласа:
Дфо -г = °; То (К) = о, R £ S, То (г) > °> г С К
так чтоф (г) = ф0 (г), т. е. функция ф (г) равна нулевой гармонике—
собственной функции, соответствующей геометрическому параметру
а2.
§ 5.3.	КРИТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕАКТОРА
СО СЛОЖНЫМ СПЕКТРОМ НЕЙТРОНОВ
Уравнение (5.2.12) называют критическим, так как оно опреде-
ляет критический размер реактора. Поскольку а2 = х2, то, заме-
нив в (5.2.12) материальный параметр х2 геометрическим а2, полу-
чим уравнение для определения критического размера:
/гт (рехр [ —тт— g (тт)]
1+«5
т
1 = 0
—g 0)] dg (т) Ч- ф(/_ 1 > (1 — Ф(0) ехр [ — g (п)—«о П].. (5.3.1)
&	I
212
Рассмотрим некоторые предельные случаи критического уравнения
1-	g* Сч) = gT << 1, Ат = 0.	(5.3.2)
Это условие описывает реактор на тепловых нейтронах, так как
размножение на надтепловых нейтронах в этом случае отсутствует.
Для Ато и второго пространственного момента по формуле (5.2.15)
в приближении (5.3.2) находим
Ам-Атср; Т2 = 6(тт + L2).	(5.3.3)
Величина (тт + А3) носит название квадрата длины миграции
или площади миграции и обозначается Мл [см. (2.4.21), (4.4.28)]:
М2 = тг -Д L2.	(5.3.4)
По смыслу формулы (5.3.3) квадрат длины миграции можно оп-
ределить как 1/6 среднего квадрата расстояния от точки рождения
нейтрона деления в бесконечной среде до точки, где этот нейтрон
поглощается, имея тепловую энергию. Из формул (5.2.18) и (5.3.3)
следует, что при — 1	1
Ато = 1 J- а2 = (k„ - 1)/Ж	(5.3.5)
Здесь ос2 — геометрический параметр, который определяется кри-
тическим размером, причем а0 обратно пропорционален размеру.
Поэтому можно говорить, что условия (5.2.16) при х2 = «о, т. е.
сс2тт 1;	(5.3.6)
< 1,	(5.3.7)
являются условиями, определяющими критический размер большо-
го реактора. Будем говорить, что реактор «большой» или «физически
большой», если выполняются или неравенства (5.3.6), (5.3.7), или
Аот — 1 < 1. В физически большом реакторе (/?0/Л1)2> 1*. Если
а3Л42 ~ 1, то реактор будем называть «физически малым». Тогда
должно выполняться
Ате « (1 + а®/,2) ехР (аотт)-	(5.3.7а)
Для реактора с водяным замедлителем обычно тт L2, и даже
если а®тт ~ 1, то все-таки имеет место a2L2 < 1. Тогда прибли-
женно 1 4* л; ехр (a®L2), и равенство (5.3.5) можно пере-
писать в виде
Аю^ ехр [а® (тт 4- L2)] - ехр (а2М2),	(5.3.8)
откуда
а; = In AJ/Ж
(5.3.9)
Эта формула пригодна для физически малого реактора, в котором
а2Л42 не мало по сравнению с единицей, ио выполняется (5.3.7).
2.	Рассмотрим реактор на тепловых и эпитепловых нейтронах.
Эпитепловыми принято называть надтепловые нейтроны, имею-
щие энергию ниже энергии первого резонанса 23SU, т. е. нейтроны
* /?0 — характерный размер критического реактора.
213
с энергией выше тепловой, но ниже 6 эв. Для нейтронов с более вы-
сокой энергией L (т) предполагается очень большой, и, следователь-
но,
где тг — возраст до первого резонанса 23sU.
Называя реактор эпитепловым, мы должны считать, что генера-
ция нейтронов деления происходит в результате захвата не только
тепловых нейтронов, но также и эпитепловых, в то время как в ре-
зонансной области (и вообще на замедляющихся нейтронах с воз-
растом т<тг) размножения нейтронов нет. Тогда критическое
уравнение имеет вид
/<тср ехр [ —	г-,— g (тт)]
Д \ /етехр[ —a&T—£(T)]dg(T).
(5.3.10)
Индекс г указывает на то, что данная физическая величина соответ-
ствует энергии резонанса Ег = 6 эв. Упростим уравнение (5.3.10).
В интервале энергий 0,1—5 эд ехр (—а*т) и kx слабо зависят от
т, поэтому среднее значение их произведения можно вынести из-под
знака интеграла. Тогда
X [ехр [ — g (тг) J — ехр [g (TJJ],
где
ехр [— сф—£(т)] kTdg (т)
</егехр (—а§т))=
L -р,
| е*Р[— ДЙЖЙ
г..
величина ехр (—аут) усреднена указанным способом по интер-
валу [тг, тт], а
f ехр [—g (т)] dg (т) = схр [- g (тг)|— охр [« (11 - ехр [-g (т.г)J
тг
— вероятность захвата в эпитепловой области. Величина g (тт) в
таком реакторе порядка 1.
3.	Рассмотрим реактор только на промежуточных нейтронах.
В этом случае g(tT) > 1, т. е. захват в промежуточной области
энергий так велик, что нейтроны почти не достигают тепловой об-
ласти. Тогда слагаемые в критическом уравнении (5.3.1), связанные
с генерацией нейтронов деления на тепловых и эпитепловых нейтро-
нах, малы, и критическое уравнение принимает внд
гп — 1
1~ v (р(0//гтехр(—с/Д т)>г [ехр (—gf)-exp(—gi+1)] +
i ~ 1
m
У У £т,ехр(—абт,) (ф°’-1) — T(i)), ^ = £(м)]>
где
Vrl
/гт ехр[—ag т— g (т)] dg (т)
</етехр (— схб т)Д =	-----------------------.
* ? 1 1
j ехр [— £(т)] dg(i)
Величина [ехр (—g’j) — ехр (—^+1)1 — вероятность поглоще-
ния нейтронов в полосе <б т < т/ + 1; фй'-ь (1 — ф.) =
= ф(/— 1) — <рй)> как и всюду выше} — вероятность поглощения
нейтрона при его замедлении через i-ю полосу сильного резонанса.
Таким образом, классификация реакторов по спектру нейтронов
связана с относительной скоростью делений. Если основная масса
делений сосредоточена в области тепловых нейтронов, то мы имеем
дело с реактором на тепловых нейтронах. Если наблюдается замет-
ное смещение скорости делений в эпитепловую область, реактор ра-
ботает на эпитепловых нейтронах. Когда основная скорость деле-
ний сосредоточена в промежуточной области энергий, реактор рабо-
тает на промежуточных нейтронах.
§ 5.4.	СПЕКТР НЕЙТРОНОВ В РЕАКТОРЕ
Разберем вопрос о спектре замедляющихся нейтронов в реакто-
ре. Пусть поглощение надтепловых нейтронов характеризуется
функцией g (т). Тогда поток замедления равен j (г, т)
= ф (г)ехр [—— g (т)]. .Множитель ф (г) характеризует лишь
интенсивность потока, а не его спектр, который определяется мно-
жителем ехр [—а*т —g (т)]. Так как поток нейтронов Ф (г, Е) из
спектра замедления для какой-либо энергии Е связан с потоком за-
медления / соотношением (4.4.10), то и из формулы (5.2.20) следует
Ф (г, Е) =	Е} - = (г) Л"(£) .
^,(Е}Е	" sS5(i')£
Для каких-либо двух уровней энергии Ег и Е2
(5.4.1)
Ф(г,^) =	(£г) Е, т .	,5 4
Ф(г,£а)	(£1) £1 т (£г) '
Таким образом, зная зависимость потока замедления от энергии,
мы имеем также информацию о спектре замедляющихся нейтронов.
215
Как известно [см. (3.2.10а)), для спектра замедления Ферми, когда
поглощение нейтронов отсутствует, лоток замедления не зависит от
энергии (или т). В этом случае, т. е. для спектра Ферми, с точностью
до произвольной постоянной можно положить для всякого т т = 1.
Если т = 1 при начальной энергии быстрого нейтрона Е — Ео,
то при других, меньших энергиях т при наличии поглощения ста-
новится меньше 1 и спектр замедления отличен от спектра Ферми.
За количественную меру отклонения от спектра Ферми удобно при-
мять отклонение т от 1, т. е. отклонение от единицы функции
ехр [—сх~т — д' (т)|.
Рис. 3.2. Поток замедления в реакторе:
/ — на надтепловых нейтронах (£т§>1); 2 — маленькой
на тепловых нейтронах 1; х:т^]); .7 — оолыилм нп
гепленшх нейтронах <>. I: х?г < 1); 4 — спектр Ферми

Рассмотрим большой ядериый реактор, в котором поглощение в
надтепловой области слабое. В таком реакторе g (т) Д 1, сс^т < 1,
т. е. аД g (т) С 1. Тогда зависимость потока замедления от т
становится очень слабой, а именно: / т [ 1 — аД — g (т)]ф (г).
Следовательно, в большом реакторе на тепловых нейтронах спектр
близок к спектру Ферми.
Если аД ~ 1 или велико поглощение надтепловых нейтронов
(й‘(тт) = СП, то в таком реакторе наблюдается сильное откло-
нение от спектра Ферми.
Если поглощение надтепловых нейтронов в реакторе очень мало
и размеры реактора -незначительны (в критическом реакторе не
может быть Д тт > 1), то, как мы увидим, отклонение от спектра
Ферми не может быть больше 2.
Действительно, в малом реакторе на тепловых нейтронах для
достижения критичности должно выполняться уравнение (5.3.7а)
Ко = (1 + Кд L3)ехр (аДт)
или
ехр (аДт) = kj(\ + a=L2) < k„.
216
Следовательно, величина ехр (—а-т) удовлетворяет неравенству
ехр (—аат) > ехр (—с^тт) > 1/^.
(5,4.3)
Так как ни в одном известном случае в реакторе на тепловых ней-
тронах не превышает 2, то отклонение от спектра Ферми, характе-
ризуемое величиной ехр (—аат), не может изменяться более чем
в два раза.
Если поглощение в процессе замедления сильное, то отличие
спектра в реакторе от спектра Ферми может быть больше двукрат-
ного, так как из выражения
g(^ = (
ГУ
&(£') £'
(5.4.4)
видно, что (т) может стать >1 вследствие сильного поглощения
надтепловых нейтронов.
Таким образом, мы убедились (рис. 5.2), что:
1)	в большом реакторе на тепловых нейтронах спектр нейтро-
нов мало отличается от спектра замедления Ферми;
2)	в маленьком реакторе на тепловых нейтронах отклонение от
спектра Ферми не превышает двукратного;
3)	в реакторе на надтепловых нейтронах отклонение от спектра
Ферми может быть сколь угодно велико.
§ 5.5.	УСЛОВНО-КРИТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
В ВОЗРАСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Все сказанное выше относилось к критическому состоянию реак-
тора. Если реактор некритический, то, как указано в §4.1, можно
ввести понятие эффективного коэффициента размножения /г,эф, при
делении на который чисел щ всех входящих в активную зону рас-
щепляющихся изотопов реактор становится критическим. Уравне-
ния (5.1.2), (5.1.3) при этом сохраняют свой вид, но уравнение
(5.1.4) теперь записывается как
Иг,0) = -ф-ЩФ(г> + (
(5.5.1)


Уравнения (5.1.2), (5.1.3), (5.5.1) называют уравнениями услов-
но-критической задачи в возрастном приб.ижении. В уравнении
(5.2.5) также следует заменить kT на и kT. на kgk,^. Однако
поскольку при /г3ф I реактор не критический, то от условия
(5.2.24) теперь следует отказаться. Поэтому вместо материального
параметра ха в формулах (5/2.4), (5.2.5) надо использовать геометри-
217
ческий параметр ajp Тогда формула (5.2.5) пли (5.2.12) дает воз-
можность определить /еуф в виде
гт
~------~ -Г	ехр [ —ССО т—g (тД dg (т),
J 4- а§ L-	,1
о
(5.5.2)
ИЛИ
- £'(T)W(T) + У А’т. (т(,:~ ° — ф(Л) охр [ — agT; — g (т;-)], (5.5.2а)
£= 1
если выделяется захват на узких и сильных резонансах. Эта форму-
ла дает явную зависимость от геометрического параметра сс§
(т. е. от размеров реактора): /<эф = f (а§).
Решая уравнение
[ Н) 1	(5.5.26)
графически или численно, убеждаемся, что его решение аоЕ.р точно
равно материальному параметру х- как корню уравнения (5.2.5)
или (5.2.12). Таким образом, формулы (5.5.2), (5.5.2а) являются
удобным инструментом для определения критического размера.
Подсчитаем теперь утечку нейтронов с поверхности реактора,
т. е. полное число нейтронов J, излучаемых с его поверхности S в
пустоту. По определению, утечка нейтронов с возрастом т
J (т) = dS п" (R) i (R, т),
»•
S
(5.о.3)
где п° (R) — вектор внешней нормали в точке R £ 5; i (R, т) —
соответствующий ток нейтронов. Преобразуя этот интеграл по фор-
муле Гаусса—Остроградского, получаем
J (т) = dr div i (г, т),	(5.5.4)
к
причем, согласно формуле (о.2.22),
i (г, т)-----\7ф(г)/?/ (т).
(5.5.4а)
Поэтому (5.5.4) можно записать как
./ (т) - — 1 dr \ ip, (г) т (г)= с<5 т (т| \ dr ф(1 (г),
г	г
218
Используя формулу (5.2,2) (при замене х'2 на а’о), для полной
утечки надтепловых нейтронов получаем
S	Тт
J = drj (г) — а‘б йт ехр [—»о т—£’(т)]т(0) Jdr i|’0(r).
о	o'	v
(5.5.5)
Скорость генерации нейтронов деления определяется интегра-
лом
i dr / (г, 0) - | dr ф0 (г) т (0).	(5.5.6)
V	V
Возможны только два события: нейтрон деления или излучается
с поверхности, или остается в объеме V, поэтому отношение инте-
гралов (5.5.5) л (5.5.6) дает вероятность излучения нейтрона, а раз-
ность между единицей и этим отношением
определяет вероятность того, что нейтрон деления в процессе замед-
ления достигает возраста тт, т. е. не покидает реактора и остается
незахваченным. Заметим, что резонансные нейтроны (с возрастом
тц) не дают вклада в этот интеграл, так как в нашем приближении
они сосредоточены в малом интервале [тг — е, т; -ф е], и слабо диф-
фундируют.
Рассмотрим случай реактора на тепловых нейтронах, пренебре-
гая захватом надтепловых нейтронов. Тогда в формуле (5.5.7) сле-
дует принять g (т) = 0:
Г
о
1 - «б
ехр (—<xq т)= ехр (—т.г).
(5.5.8)
Из фор му л ы (5.3.7а), заменяя на kjk^ ф и полагая k т = 0, по-
лучаем
/?5ф = ехР (—аоТт)/(1 Н- аоЬ2).	(5.5.9)
Одногрупповая формула (2.6.37) обобщается теперь следующим
обр азом:
=	Pl - 1/(1 -Н схЦф,	(5.5.10)
где PT)ii — вероятность нейтрону деления достигнуть возраста тт;
Pl — вероятность захвата теплового нейтрона. Для больших реак-
торов на тепловых нейтронах, удовлетворяющих условиям (5.3.6),
(5.3.7), соответственно имеем:
1/(1 + афч);
(5.5.11)
219
д	ос?	ОО
y'jJ ~ (!-.• «5 т-г)й“ Дг) ~ 1 + а* /И3
(5.5.12)
Формула (5.5.8) позволяет найти спектр нейтронов, покидающих
поверхность реактора, который отличается от спектра нейтронов
внутри реактора. Определяя утечку нейтронов при их замедлении
до возраста т по формуле (5.5.5), получаем
Л= — dr.' ехр [ —	т' — g (т')] т (0) Г (г),
о	V
откуда следует
т	I т,г
Л/V | dr'exp[ —аат' — £(т')] / t/т ехр [ — а§т—g (т)],
о	/ о
(5.5.13)
а при g (т) = 0
Д/V = 11 — ехр (—ссдт)1/[1 — ехр (—а$тт)].	(5.5.13а)
Для большого реактора на тепловых нейтронах «отт < 1, по-
этому можно записать
J-JJ ж т/тт.	(5.5.136)
Сравним еще скорость излучения J т тепловых нейтронов со всей
поверхности реактора и J (тД — скорость излучения замедляю-
щихся до возраста тт нейтронов. Поток тепловых нейтронов у нас
обозначен Ф (г) = тофо (г). По формуле (2.6.35) получаем
</T=ag A2 I drmv ф() (г) 2ат.
V
Тогда в силу (5.5*5) находим
т
J	т (0) сел	Г д г 2	/ \т
г— Г -Дтг Лехр[-а$г-г1т)1.
0
Из (5.2.4) следует
т	= (1 + o^L2)/exp	— g (тт)].
Если g (тТ) яе 0, Gqtt <5 1, то
т (0)/що2ат яе (1 + ос^Е2)/(1 — а§тт) де 1
и
JIJТ ~ 11 — ехр (—а|тт)]/сгоА2
(5.5.14)
(5.5.14а)
(5.5.146)
(5.5.15)
Например, в реакторе на тепловых нейтронах с графитовым за-
медлителем тт яе L2, и количество излучаемых наружу тепловых
нейтронов равно примерно утечке надтепловых. В реакторе с лег-
220
ководным за медли тел ехг тт	Л2 и из реактора вылетают в основном
надтепловые нейтроны (их в ~10 раз больше, чем тепловых).
Все полученные формулы справедливы в возрастном приближе-
нии для реактора без отражателя; если же активная зона окружена
отражателем, то они дают только грубую качественную картину по-
ведения потоков нейтронов, покидающих активную зону.
§ 5.6. УРАВНЕНИЯ МНОГОГРУППОВОГО МЕТОДА
В многослойных реакторах спектр нейтронов зависит от коорди-
наты точки, в которой он определяется. В этом случае переменные
энергии и координаты не разделяются, как в однородном реакторе.
Для решения таких задач удобно пользоваться так называемым
многогрупповым методом.
Рассмотрим уравнение замедления в приближении теории воз-
раста (5.1.2)*, которое, как известно, можно привести к виду (4.5.3):
Л/о—^-=0;	(5.6.1)
ди
/о (В т) = exp[g СО] j (г, т).
Проинтегрируем почленно уравнение (5.6.1) в интервале
тк < т< Тд^:
ТЬ;|-1
А 1‘ /0 (г, т) ch — /0 (г, т/г+1) -I-- /0 (г, тД = 0.	(5.6.2)
4
Воспользовавшись теоремой о среднем, (5.6.2) можем записать как
6тЛ+1 А </0>й^. — /о (г, xZi+1) Д /о (г, tJ - 0,	(5.6.3)
1
где	б^+1 = тЛ+1 — т/{,	f Д(г,т)^т.
Ч
Если неограниченно уменьшать подынтервалы 6rft, или, как их
называют, интервалы разбиений, то последнее уравнение (в преде-
ле) перейдет в исходное дифференциальное уравнение в частных
производных. Однако наша цель как раз заключается в преобразова-
нии уравнений в частных производных по координатам и по т в си-
стему дифференциальных уравнений только по координатам.
При достаточном числе разбиений всего интервала тт на подын-
тервалы 6т,. можно считать, что /0 сравнительно слабо меняется в
пределах одного подынтервала 6т,{. Поэтому среднее значение
</o>fc+i не будет сильно отличаться от среднего арифметического
* На этом простейшем примере здесь дается идея многогруппового ме
тода (см. заключение в конце данного параграфа).
221
или даже от значений /0 на концах интервала, т. е.
<jo>k+i ~ t/о (г, т/;+1)-|-/0 (г, т/г)]	/0 (г, т/{+1) ж /0 (г, тй). (5.6.4)
При одном из этих допущений сразу же получаем систему урав-
нений, дифференциальных только по координатам:
6тй+1 АД + 1 (0— Л-н. (г) Ф/7. (г)--0; /е = 0, 1,2,	т — 2, (5.6.5)
где	/о (г, тА.) = Д (г).
В последнем уравнении использован только один из самых прос-
тых и распространенных из перечисленных выше вариантов при-
ближенного представления среднего значения (/о>л+1 = /о (г> т/:+1).
Однако можно пользоваться и другими, например полусуммой
значений /0 на концах интервала разбиения, или же воспользовать-
ся более сложными приемами приближенного представления /0 (т)
с помощью интерполяций по Лагранжу по нескольким значениям
k. Для примера приведем вариант такого представления /0:
тл < г < тА+1: /0 (г, т) « /о (г, Т/J -Н [/0 (г, т/{+1) —
— /о (С — Д)/'(Л+1 ~ тй)-	(5.6.6)
Система уравнений (5.6.5) описывает баланс нейтронов в про-
цессе замедления в каждом интервале разбиения 6ть. Первый член
уравнения равен скорости перетечки нейтронов в процессе диффузии,
второй — скорости выхода нейтронов из данного интервала разбие-
ний вследствие замедления, а третий — скорости появления нейтро-
нов вследствие замедления их из интервала разбиений, лежащего
выше по оси энергии (ниже по Оси летаргии или возраста).
Систему уравнений замедления (5.6.5) следует дополнить урав-
нением, описывающим диффузию тепловых нейтронов, т. е. уравне-
нием диффузии с источниками, которыми является уравнение для
потока замедления из нижней по энергии группы замедляющихся
нейтронов / m-и т. е.
Т2АФ - Ф ф / т_1 ехр (-£T)/SOT = 0,	(5.6.7)
и уравнением для потока замедления быстрых нейтронов (5.1.4)
тт
/о (г, 0) = £т SaT Ф ф f /0 (г, т) ехр[—g(x)] dg(r).
(J
о
Последнее уравнение также надо преобразовать, заменив интеграл
суммой, а /0 (г, 0) = /0 (г). Например, так:
I
/0(г)=/гт 2ar Ф + v kTn КП (г) ехр [ —g (Tn)]/L (т„). (5.6.8)
п = 1
Таким образом, от системы уравнений в частных производных
по координатам и возрасту мы перешли к системе уравнений, со-
держащих производные только по координатам; для случая задач
с одномерной симметрией уравнения в частных производных заме-
222
няются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В
этом заключается смысл приближения многогруппового метода.
Точность этого метода повышается при увеличении числа разбие-
ний, т. е. числа групп. Однако при этом возрастает и громоздкость
расчета. При большом числе групп приходится использовать ЭВМ.
Практическая ценность приведенной нами схемы многогруппового
метода заключается в возможности при небольшом числе групп (две
или четыре) получить практически приемлемую точность для рас-
чета реакторов на тепловых нейтронах.
Для случая большого числа разбиений т Э 1 в основном исполь-
зуются численные методы последовательных приближений — ите-
рация источника (см. § 5.10). При малом числе групп успешно при-
меняются аналитические методы решения задачи.
Для однозначной определенности задачи необходимо ввести крае-
вые условия на внешней поверхности реактора и условия сшива-
ния на поверхностях стыка зон, отличающихся своими свойствами.
Пусть 3 — поверхность раздела двух смежных зон; S_ — ее
внутренний берег; 3+ — внешний берег. Тогда должны выполнять-
ся следующие условия сшивания:
S	S ;бМпоу/Д =6т/г(п^Д)5 ; (5.6.9)
Ф|а_=Ф|а+; D(nfl УФ)ф_=Д (п'-'УФ)ф+.	(5.6.10)
Здесь п° (R)— единичный вектор нормали к поверхности 5 в точке
R £ S. В силу основного соотношения возрастного приближения
ф (т)=/ (t)/?2s первое условие (5.6.9) означает сшивание потоков за-
медляющихся нейтронов на поверхности 3. Второе условие (5.6.9)
вытекает из (5.2.22) и означает сшивание нормальных компонент
токов замедляющихся нейтронов на поверхности 3 в подынтервале
6тй. Обычно считается, что интервалы летаргии одинаковы во
всех зонах. Следовательно, отвечающие им подынтервалы 6тй в
разных зонах вообще различны (так же, как и величины SSsft) и на
разных берегах не совпадают. Условие (5.6.10) означает сшивание
потоков и нормальных компонент токов тепловых нейтронов. Смысл
условий сшивания состоит в том, что плотность нейтронного газа
и нормальная компонента его тока на берегах 3_ и 3+ должны сов-
падать, т. е. должно сохраняться полное число нейтронов, пересе-
кающих границу 3.
Внешняя поверхность реактора обычно рассматривается как
экстраполированная, на которой потоки тепловых нейтронов и всех
надтепловых групп равны нулю, что является краевым условием
задачи. Система уравнений (5.6.5), (5.6.7), (5.6.8) с краевыми усло-
виями и условиями сшивания имеет единственное положительное
во всех группах решение в том случае, если реактор критический.
Многогрупповое возрастное приближение, рассмотренное здесь,
не учитывает неупругого замедления и спектра нейтронов деления,
т. е. является грубой моделью реактора, но тем не менее удовлетво-
223
рительно обосновывает метод двух групп для расчета реакторов на
тепловых нейтронах. Общая система многогрупповых уравнений,
применяемая для расчета реакторов с произвольным сложным
спектром, дана в приложении П5.1 и в § 5.10.
§ 5.7. ДВУХГРУППОВОЙ МЕТОД
Простейший случай применения многогруппового метода —
задача о критическом размере реактора на тепловых нейтронах в
двухгрупповом приближении (одномерная задача), когда все нейт-
роны в реакторе разбиваются только на две группы — замедляющие-
ся и тепловые. Тогда уравнения (5.6.5), (5.6.7) и (5.6.8) принимают
вид:
/ (г) Н-/о (г) = 0;
L2 ДФ—Ф 4-	(т'г) 1  j 0;
—ат
А (г) = SeT Ф ф kx ехр [ — g (тт)] /;
Последнее уравнение учитывает, что в реакторах с преимущест-
венным делением в тепловой области размножение нейтронов в об-
ласти за.медления происходит, как правило, в энергетическом ин-
тервале порядка нескольких электронвольт, лежащем непосредст-
венно над тепловой областью энергии — соответствующий интервал
возраста очень мал по сравнению с тт.
Если размножение в тепловой области мало, то это будет реактор
с промежуточным спектром нейтронов, и в этом случае необходимо
применить другое разбиение интервала замедления. Надо также от-
метить, что величина /гт должна быть получена усреднением по ин-
тервалу энергии, лежащему над тепловой областью.
Исключим из уравнений (5.7.1) величину /0 (г) и получим два
дифференциальных уравнения с двумя неизвестными / и Ф:
ттД/—j {1 — kx g (тт) ехр [—g (т,±.)]} ф k.r 20Т Ф = 0; '
£2 Дф_,ф__ ехрГ~Й'(тт)] 	0
-^ат
(5.7.2)
Заметим, что для реактора на тепловых нейтронах kz можно пре-
небречь, а величина ехр [—g‘(rT)] = ср — вероятности избежать по-
глощения при замедлении.
На границе стыка двух зон с различными физическими парамет-
рами условия сшивания имеют вид (5.6.9), (5.6.10). В одномер-
ном случае имеем
St.
’ ErV7 I/? __ о Тт V7 I/?о ’
Ф)я+о; U-o = 21у;Ф1д-1-о,
224
где 7? — граница стыка каких-либо двух зон. Если 7?0 — экстрапо-
лированная граница с вакуумом, то
ф Ш = 0; / (Яо) = 0.	(5.7.4)
Написанные выше уравнения двух групп — тепловых и замед-
ляющихся нейтронов — удобно несколько преобразовать и пред-
ставить в канонической форме. Для этого разделим первое уравне-
ние (5.7.2) на {1 — kx g(rT) ехр [—g (тт)]} и введем обозначения
т*=тД{1— kx g (тт) ехр [—£(тт)]}; А£ = £т/{1—kx g (тт) ехр [—g (тт)]}.
(5.7.5)
Теперь можно переписать (5.7.2) в более симметричном — канони-
ческом — виде
т* А/—/ + ^ЗатФ = 0;	1
L2 АФ—Ф —= 0; (р = ехр [—g (тт)]. ’	(5-7-6)
Здт
Исключая из последних уравнений ] (или Ф), получаем также би-
гармоническое уравнение
т*Т2А2Ф — (т* + Т2)ДФ < (/& — 1) Ф = 0;
kb = А? ехр [—g (тт)] = kxy.	(5.7.7)
Исследуем свойства решений канонической системы уравнений
(5.7.6). Представим поток замедления нейтронов / в виде / =
= АХ 4- BY, поток тепловых нейтронов — в виде Ф = АуаХ 4-
~г By$Y, где X и Y — линейно независимые функции, удовлетво-
ряющие волновым уравнениям:
ДХ + а2Х = 0;
ДУ +	= о,
а постоянные интегрирования А, В, уа и находятся ниже.
Докажем, что / и Ф можно представить как суперпозиции X и Y,
Подставим эти выражения в уравнения (5.7.6). Так как выражения
для / и Ф линейны относительно X и Y, то они удовлетворяют ли-
нейной системе (5.7.6) отдельно по X и отдельно по Y. Например,
X должно удовлетворять уравнениям
АХ	^ат
ДАХ—— =----------Ауа X;
Т*	фТ*
Г Z?	D
Из волнового уравнения (5.7.7а) следует, что АХ = —а2Х.
Заменим в системе (5.7.8) ДХ на —а2Х и разделим оба уравнения на
(5.7.7а)
(5.7.8)
S Зак. 85
225
ЛХ =7^= 0. В результате получим*
сс2 -I-1 /т =	2 от "М<рт; 1	7 9,..
^2Та-г?а/Ь2 = Ф/О. /	;
Эта система двух уравнений содержит только постоянные величины.
Из (5.7.9) найдем а и уа:
та2 -k 1 = — 2ат 7а;	(а2 Z,2 4- 1) = Л2 <р.
Ф
Т ЮД" Та = (1 "И	= LW (1 + а2!2),	(5.7.10).
но так как LXD = 1/2ат, то (1 + сс2т)(1 -В co2L2) =	или
(а2 + 1/т)(а2 4- 1/В2) = VtL2.	(5.7Л1)
Из этого биквадратного уравнения можно найти а2. Аналогично
получим уравнение для и р2:
Уз = (1 + р2т)ф/^2ат = L^/D (1 +[Р2Т2);
(р2 4- 1/т)(Р2 4- 1/А3) - kJxL\
Найдем а2 из уравнения (5.7Л1)
а4 -4 «2 (1/т + 1/L2) — (/гда — 1)Ы? = 0.
(5.7.12)
(5.7.13)
Его корни равны
(5.7.13а)
и того же
Из (5.7.11), (5.7.13) следует, что а2 и р2 — корни одного
квадратного уравнения. Следовательно, можно обозначить а2 = а2.
а2 = р2.
При > 1 корень в (5.7.13a) больше первого члена. Тогда
(5.7.14)
0. (5.7.15)
Следовательно, при выборе а и Р по (5.7.14), (5.7.15) постоянные
рп и в линейных суперпозициях
j = АХ 4- ВУ;Ф = уаАХ 4~ у&ВУ (5.7.15а)
определяются формулами (5.7.10), (5.7.12). При этом безразлично,
каким из равенств (5.7.10) или (5.7.12) пользоваться: если уравне-
й Здесь и ниже для сокращения обозначений будем писать вместо А*
и т вместо т*в
226
ние (5.7.11) решено правильно, любое из них дает верный резуль-
тат.
Для случая — 1 С 1 приближенные значения а2 и (З2 можно
найти по следующим формулам:
а2 яз (^ — 1)/(т + А2); Р2 ж — (1/т + 1/Л2).	(5.7.16)
Отсюда видно, что | р21 7> о.2 при — 1 <§; 1, а а2 имеет смысл ма-
териального параметра двухгруппового метода для той зоны реак-
тора, в которой даны kw т, ZA
В случае чистого замедлителя = 0 и
а2 = — 1/т; рз = —1/ZA	(5.7.17)
Итак, при ^>-1: ct2 > 0, р2 < 0, в плоской геометрии X
есть тригонометрическая функция,' а У — гиперболическая.
При /?«><; 1: сс2</0, р2 <0, поэтому X и У в плоской геометрии —
гиперболические функции, как и в случае чистого замедлителя.
(5.8.2)
§ 5.8. ДВУХГРУППОВОЙ МЕТОД В ПРИМЕНЕНИИ
К АКТИВНОЙ ЗОНЕ С ОТРАЖАТЕЛЕМ
Рассмотрим две граничащие среды. В одной 7> 1, а в другой
Д» = 0, т. е., иначе говоря, активная зона окружена отражателем
(рис. 5.3). [В дальнейшем, как и в § 5.7, мы будем писать k^, т, под-
разумевая под ними обозначения (5.7.5), (5.7.7).]
Для активной зоны с > 1 справедлива система уравнений
А/ jl^= Sor Ф/Ф^> 1	(5 8 1)
ДФ—Ф/А2=—/ср/£>	/
1см. (5,7.2)].
Для отражателя, где = 0, справедлива система уравнений
Д// _ /'Д' = 0;
Дф< — Ф7(Г)2 = — jr/D'.
Штрихом обозначены величины, относящиеся к отражателю.
Сформулируем краевые условия на границе отражателя и ва-
куума:
f = 0, Ф' = 0	(5.8.2а)
и условия сшивания на границе активной зоны и отражателя:
tv/ = t'V/'; j7|3s = ОУФ = PW; Ф = Ф'. (5.8.26)
Запишем решения для активной зоны и отражателя:
j = АХ + ВУ\ Ф = АуаХ 4-
1	/5 8 41
/' = А'Х'; Ф' = А'у^Х' + В'У'. J	'
Чтобы найти ход потока быстрых и тепловых нейтронов в реак-
торе, необходимо определить / и Ф, а следовательно, и а2, р2, уя,
Ур, а также постоянные интегрирования А, В, А', В'. Параметры
Та? Yp, ct2, р2 находим из выведенных выше соотношений (5.7.10),
3*
227
(5.7.12), (5.7.14), (5.7.15); постоянные А, А', В, В' — из условия
сшивания (5.8.26). Однако кроме этих констант волновые функ-
ции X, У, X', У', являющиеся решениями дифференциальных
уравнений второго порядка, содержат еще четыре произвольные
постоянные. Их определяем из краевых условий (5.8.2а).
Распишем краевые условия и условия сшивания, подставив в
них Ф и Ф' из (5.8.3). В результате получим однородную ли-
нейную систему уравнений относительно постоянных А, В, Д',
В'. Система таких уравнений имеет нетривиальные решения, если
ее детерминант равен нулю. Этот детерминант и определяет критичес-
Отражатель Активная Отражатель
зона
Рис. 5.3. Активная зона с отражателем
кое условие для реактора. Из него находят критический размер,
после чего постоянные А, В, А', В* определяются с точностью до
постоянного множителя.
Значит, и распределения двухгрупповых потоков нейтронов на-
ходятся с точностью до постоянного множителя. Физический смысл
этого (как мы знаем) состоит в том, что уровень мощности реактора,
находящегося в стационарном (критическом) состоянии, может
быть произвольным.
Для примера рассмотрим плоский реактор толщиной 2/ц окру-
женный отражателем толщиной t/, для которого
X = cosax -г sin ax; У = ch | р |х Д- С2 sh |Р )х,	(5.8.4)
а за начало отсчета принята точка х = 0. К двум константам А и В
из решений для / и Ф прибавились еще две константы и С2 из
решений для X и У. Однако из условий симметрии X (х) = X (—х);
У (х) = У (—х) немедленно следует Сх = Сг = 0. Аналогично для
отражателя получим
X' = sh (|а']х + о); У' = sh (|Р'j х + ©').
Здесь, согласно (5,7.17), имеем a'= i/]/r'; p' = i/Z/.
228
Значения а> и о/ находим из краевых условий
f (h + d) - 0; Ф' (h + d) = 0.
Отсюда
о = — |а'| (h + d)\	= — \$f\(h± d).
Тогда
X' = sh |a'| (x — h — d)-t Yl = sh 10'] (x — h — d).
Осталось записать условие сшивания для определения 4, В,
А', В':
для быстрых нейтронов
(Л cos ah + В ch [ р | А) =	(—A' sh | а' | d);
т (—аА sin ah + | Р | В sh ] р ] h) = т'Л' | а' | ch ]ct' | d\
для тепловых нейтронов
Луа cos ah + Ву$ ch | р | h = —Л| а' [ d — В' sK | р' j d\
D (—аАуа sin ah + ] p | By$ sh | p ] h) =
= Df (A' ] a’ | yi ch | a’ \d + В’ | P' ] ch | P' ] d).
Итак, получена система из четырех однородных линейных
уравнений. Выпишем определитель этой системы, равный нулю для
критического реактора:
cos ah
&8
--та sin ah
Ya cos ah
—sin ah
ch | fl [ h
т I p ! sh 1 ₽ | h
ch IP [ h
D shl P |ft
sh la';0
(g2s)'
— г 'I a' I ch j a'] d	0
ta sh j rt' |d	sh | ₽' 1 d
—D'| a' | ya ch | a' 1 d —D' [ P' ] ch | ₽' | d
(5.8.5)
Раскрыв этот определитель, запишем уравнение, которое связы- 
вает материальные параметры. реактора а, р, а', р',	(g£s)',
D, Dr, т, т' и его геометрические размеры h и d. Из этого уравнения
можно определить критический размер, если известна толщина от-
ражателя, или найти толщину отражателя, при которой данный
реактор станет критическим.
Для определения распределения потоков быстрых и тепловых
нейтронов в реакторе надо знать коэффициенты А, В, Л', В'. Для
этого, положив Л = 1, найдем В, Л', В', например, из первых трех
уравнений системы.
Так как в большинстве случаев |р| а, то определитель (или
критическое уравнение) значительно упрощается. Поделив первый
столбец на sin ah, второй на sh |0J h, третий на sh jet'll, а четвертый
на sh|p'| d и приняв во внимание, что при | р|й > 1 cth]p|ft 1, мы
можем записать критическое уравнение в виде etg ah = F (т, т\£),
D'), из которого сразу находим h.
229
Поставленную задачу можно решить и методом эффективной
добавки бэф. Так же, как и в § 2.4 (упражнения 1 и 2), эффективной
добавкой бЭф> или экономией отражателя, мы называем уменьшение
размера активной зоны за счет отражателя. По определению вели-
чины бэф основная гармоника потока должна обращаться в нуль
в точке h Ч- <5эф, т. е. cos a (h + 5эф) = 0. Тогда а (й + 69ф) = л/2,
и критическое уравнение преобразуется следующим образом:
ctg [a (h + 6эф) — абэф] = ctg (л/2 — абэф) = tg абэф;
tg абэф - F (т, < D, D'),
Рис. 5.4. Потоки быстрых и тепловых нейтронов
в реакторе
откуда сразу можно найти б9ф, вычислить h = л/2а — 6Эф и, как
было объяснено выше, определить двухгрупповые потоки нейтро-
нов.
Посмотрим, каково распределение потока тепловых нейтронов
в реакторе с отражателем. Вблизи границы активной зоны и отра-
жателя наблюдается всплеск потока нейтронов в отражателе
(рис. 5.4), который частично захватывает и активную зону (так назы-
ваемый краевой эффект). Этот всплеск возникает вследствие того,
что скорость генерации тепловых нейтронов в отражателе, образую-
щихся при замедлении излученных в него из активной зоны над-
тепловых нейтронов, оказывается интенсивнее скорости поглоще-
ния тепловых нейтронов в слабо захватывающем замедлителе, за-
полняющем отражатель. В то же время надтепловые нейтроны ин-
тенсивно замедляются, и для них всплеск отсутствует.
Для одномерного цилиндра и сферы системы функций X и Y
в активной зоне и отражателе с учетом краевых условий имеют вид,
приведенный в табл. 5.1. Критический определитель (5.8.5) для этих
геометрий наиболее просто выглядит для физически бесконечного
отражателя и 7? > 1. В этом случае (5.8.5) можно привести к
230
Таблица 5.1
Аналитические функции X и У
Геометрия система	Активная зона		Отражатель	
				У.
Пластина,	COS XZ	ch vz	sh До—x)	sh До— у)
r=z				
Сфера	sin xr	sh vr	sh Др — x)	sh (t/o —t/)
	г	r	r	r
Цилиндр	Jo {xr)	Io (vr)	T t \ 10 До) „ . . /0(Х)-К.(х») KoW	Io (») - ° ^о). Ko to) AO (j/o)
Примечание. Здесь 7?0 = /?-}-d; х = г/ТЛт2: х0 = Яо//т2; у=г/Ь^ ул = Ио/Е^
трансцендентному уравнению относительно 7? (радиуса цилиндра
или сферы):
ДДТ?)	1 &л	„	о
————=------------— для одномерного цилиндра; (о.8.6)
Jo (ей?) .	a щ
1 сс/? Ьл	Ц- Д R -j-	.	/г- о mV
1-------=—-------——для сферы.	(5.8.7)
tgaT? cx7?+^
Здесь постоянные коэффициенты в правой части bi и Ci задаются сле-
дующей системой формул:
Ь =	as IР1	Дх 1РI .
2 L' 1/7	1/7 L'
&i = ?l±S3£d^-|₽[(Oi + a2);
L Ут'
= G1 + «аЙ3;	(5.8.8)
ci=	й4 J Р ? Ч-щг -г —у- ;
Ут' .
Cq у у й6,
где
Й1 = t£SsD (уа — ур); о2 = Z/r|2syp — D (т|2в)Лу«; '
й3 = D' <TgSe)'(Ya — 7а); «4 = (Та “ Ya)i
й5 = Tt2sD' v& — D (т£2з)'Та;	= т^2Д)' (у« — у&). ,
(5.8.9)
Для вычисления R по формуле (5.8.7) можно использовать ал-
горитм (2.4.16), полагая х ~ aR, f (£)J= (b2R2 + bT^ +	+
T co).
Критическое условие в двухгрупповом приближении (5.8.5)
позволяет не только найти критические размеры при заданном
231
составе активной зоны и отражателя, но и решить обратную задачу.
Предположим, что форма и размеры зон реактора заданы и известен
состав неделящихся компонент активной зоны. Задача заключает-
ся в определении критической концентрации горючего, и ее можно
решать двумя способами.
Первый способ — перебор вариантов «в лоб». Задавая
определенную последовательность концентраций, вычисляют все
нейтронно-физические параметры и значения критического опреде-
лителя. При равенстве определителя нулю заданное значение кон-
центрации горючего есть искомая величина, которая может быть
найдена интерполяцией между двумя ближайшими к нулю значе-
ниями определителя.
Второй способ — поиск на уровне k^. Подставим в
(5.7.14), (5.7.15) вместо величину
k^ = kjk	(5.8.10)
и, отыскав значение = k^, обращающее определитель (5.8.5)
в нуль, легко определим соответствующую концентрацию горючего,
так как при небольших обогащениях от изменения обогащения за-
метно меняется только v—число вторичных нейтронов на один
акт захвата. Если же считать концентрацию горючего заданной,
то отсюда можно найти величину k как такое число, на которое
нужно поделить k^, чтобы реактор был критическим. По определе-
нию условно-критической задачи § 5.5, такое число имеет смысл ^эф.
Таким образом, уравнение (5.8.5) при заданных размерах и кон-
центрации горючего определяет значение /гЭф.
Формулу (5.8.10) можно использовать также для определения
размера активной зоны, соответствующего заданному запасу реак-
тивности в начале кампании, необходимому для компенсации выго-
рания, отравления и т. п.
Упражнение. Решить двухгрупповым методом задачу упражне-
ния 2 § 2.4 для бесконечных отражателей из D3O, С и Н2О.
Решение.
0 = 48, 6 сд; 6С = 37, 4 см; 6Н;;О = 15,0 см.
§ 5.9. МАТРИЧНАЯ СВЕРТКА ДЛЯ МНОГОЗОННОГО
РЕАКТОРА
'-При рассмотрении систем с числом зон более двух прямой ана-
литический метод определения критического радиуса, описанный
в § 5.8, становится очень громоздким. Например, для двухгрупповой
трех зон ной задачи необходимо решить определитель восьмого по-
рядка, для четырехзонной — двенадцатого порядка и т. д. В общем
случае порядок определителя равен 2т, (п—1), где т— число
групп; п — число зон. Даже с учетом нулей, возникающих в опре-
делителе из-за отсутствия ядерного горючего в слоях отражателя,
вычисление определителя, например, восьмого порядка эквивалент-
232
но вычислению 96 определителей четвертого порядка. Поэтому сле-
дует искать пути упрощения алгоритма задачи; один из возможных
путей — метод матричной свертки зон, уже описанный в одногруп-
повой форме в § 2.5. В принципе метод допускает обобщение на про-
извольное число групп, но для простоты мы рассмотрим его на при-
мере двухгруппового расчета.
Запишем решение двухгрупповых уравнений в виде четырехком-
понентной векторной функции (одномерный случай):
ф I ’	С5-9-1)
z J
где
Фб = //&Ss; i6 = —D6 УФб; i = —Z)VO.	(5.9.1a)
Здесь Фб(г) — по смыслу возрастного приближения (4.4.8), (4.4.10) —
поток быстрых нейтронов (надтепловая группа); i6 (г) — ток быст-
рых нейтронов. Из краевых условий (5.7.3) следует, что коэффи-
циент диффузии надтепловых нейтронов £)б надо писать в виде
Р6 = <38.	(5.9.16)
Тогда, согласно условиям сшивания (5.7.3), векторная функция
(5.9.1) непрерывна во всем интервале изменения координаты
г € СО» ''nJ (как и в § 2.5, гт— координата экстраполированной гра-
ницы, точка г — 0 — центр симметрии), в том числе и на грани-
цах раздела зон. Уравнение (5.7.7) после подстановки в него
(5.9.1а) не меняется и числа а и р из (5.7.7а) по-прежнему опреде-
ляются уравнениями (5.7-11), (5.7.13) и являются числами, харак-
теризующими материальные свойства каждой зоны. Поэтому реше-
ния двухгрупповых уравнений в каждой зоне должны иметь вид
(5.8.3), (5.8.4). В центральной зоне вследствие симметрии коэффи-
циенты С?! и С2 равны нулю. В других зонах они отличны от нуля, и
решение (5.8.3) записывается в виде
Фб (г) = А1Х1 (г) 4- А2Х2 (г) 4- B.Y. (г) 4- BZY2 (г),
где Хь Х2 — линейно независимые решения уравнения
ДХ 4- а2Х = 0;	(5.9.2)
Ух, У2 — линейно независимые решения уравнения
ДУ 4- Р2У = °-	(5.9.2а
Соответственно
i5 (г) = -ГМЛ.Х1 (;) + А2Х2 (г) + B.Yi (г) ф- B2Y'2 (г)];
Ф (г) = ^А^ (г) 4- Л2Х2 (г)1 -4	(г) 4- В2У2 (г)1;
i (г) = -£{?аИЛ' {г} + А2Х2 (г)] 4- ув Е^У; (г) 4- B2Y2 (г)]}.
233
Здесь Ya и уи определяются равенствами (5.7.10), (5.7.12), кото-
рые после подстановки / = принимают следующие значе-
ния в каждой зоне:
(14- а3 т) фЕ ___ <p^Ss да
SaT ~ P(l + a2L2) :
= cpg~2s L3
йтсЕат D(1-H2L2)
(5.9.3)
Решение (5.9.1) в каждой зоне теперь можно записать в форме
где
Ф (г) = С (г)А,
У^)
-D6X((r)
Ya -^1 (0
V—Ya^Xi (г)
-D6X^(r)
Ya Х2 (б
-Та1Ж(г)
—D&Y{(r)
Yfj У1 (О
-?^И(г)
(5.9.4)
-D6Yl(r)
YP У2 (г)
-урТО)
Далее схема рассуждений строится совершенно так же, как
в § 2.5. На концах интервала	имеем
Ф (rk) = С (гй)А; ф (o^j) = С Оа-М, (5.9.5)
откуда следует
, А =	(г*-1);	(5.9.6)
Ч> ('*) = С (Гй)С-1 (fs-Jcp (/-ft-1) = М (r„-i, rk) <р (rs_!).
(5.9.7)
В результате после свертки т зон получаем
ф (/*т) = Мф (0);	(5.9.8)
М=^М (г0, /у,..,, гт)= [] М(гк_г, rk), го = 0.	(5.9.9)
В центре симметрии и на внешней границе имеем
(5.9.10)
234
Пусть
= Mik (r0, rlf .... rm)	(5.9.11)
— компоненты матрицы M. Тогда (5.9.8) с учетом (5.9.10) является
системой четырех линейных однородных уравнений с четырьмя не-
известными Фб (0), Ф (0), гб (rm), i (rm). Определитель этой систе-
мы Д (r0, Гт) должен быть равен нулю. В результате крити-
ческое условие принимает вид
А (г0, Н. ...» М = 0.	(5.9.12)
Если интервал [0, гг] равен полутолщине активной зоны, то урав-
нение (5.9.12) является уравнением критического размера который
находится численно. Активная зона может состоять из зон разного
обогащения. Тогда уравнение (5.9.12) дает связь между размерами
и расположением таких зон в критическом реакторе.
Если требуется решить у словно-критическую задачу, то, поделив
каждой зоны на й9ф, мы убеждаемся, что Д зависит и от &эф, так
что нужно решать уравнение
А (&эф) Г Of Гц •••» ^т) = 0.	(5.9.13)
Оно может быть решено графически, если построить кривую зави-
симости определителя Д от йэф или размера i\ и т. п. Численное оп-
ределение такого значения гг, при котором &9ф = 1, опять дает нам
критический размер. В простейшей двухзонной задаче все это мож-
но проделать с помощью формул типа (5.8.6), (5.8.7) (зависимость
от Аэф входит в числа а и Р). В общем случае схему расчета прихо-
дится программировать на ЭВМ.
Когда уравнение (5.9.12) или (5.9.13) решено, то это означает,
что с точностью до общего постоянного множителя найдены числа
Фб (0)» Ф (0). *б и i (rm), определяющие векторы (5.9.10). Тог-
да с точностью до такого же множителя определены все векторы
Ф (rft) по редукционной формуле (5.9.7), а формула (5.9.4) позво-
ляет по точкам восстановить распределение групповых потоков
нейтронов в каждой зоне, что и завершает решение двухгрупповой
задачи.
Заметим, что многогрупповой метод полностью укладывается
в изложенную выше схему, которую можно считать общей теорией
многогруппового аналитического метода расчета. Однако с ростом
числа групп техника аналитического метода становится слишком
громоздкой, и он проигрывает по сравнению с итерационной числен-
ной методикой, широко применяемой в реакторных расчетах, идео-
логию которой мы дадим в § 5.10. Здесь укажем лишь типичный для
метода свертки зон метод приведения многозонной краевой задачи
к однозонной с эквивалентными краевыми условиями.
Свернем многозонную задачу в однозонную на интервале [0, rj.
Из редукционной формулы (5.9.7) получаем
Ф (гто) = М (r^, rm)M rm_!)...M (гт, Г2)ф (гх)=
= М' ф (п).	(5.9.14)
235
Матрица М'- обратима, и можно записать
Ф (гх) = (ЛГ)-Ч К).	(5.9.14а)
Пусть (ЛГ)-1 имеет компоненты mik. Тогда, учитывая краевые ус-
ловия (5.9.10), получаем
Фб (rx) = mlziQ(rm) Н- mui (гт);
Ф (rj = ms2iQ (rm) + m34 i (rm);
, , ,	 / ч ,	\	(5.9.15)
(/y) = m22i6 (rm) + m24i (rm);
i (^ 1) = ^42^6 Hl) “T ^44 I O'm)-	J
Из первых двух уравнений находим
io (rm) ----------------Фб (г,) +------=^i-------Ф (г,);
'^12 ^34— т32 ^14	^12 ^84—^52 ^14
) =	~тз-2 Фб (Г1)	। ^ia Ф (rL)
^12 ^34—^14	^12 ^34~^32 ^14
Подставляя эти выражения в два нижних уравнения, исключаем
из системы (5.9.15) неизвестные нам постоянные i6 (гт) и i (гт) и
находим связь между токами и потоками нейтронов на границе /у
в виде
*б (Н) = Тифб (Н) + Y12® (Н); i (Н) = ?21фб (Н) + ?22ф (н),
(5.9.16)
где
Ти =
?21 =
т22 ^34 “^24 /И32 . «	—^22 ^14 Н“ ^24 ^12 .
? г12	»
^12 ^34 — ^32 ^14	^12 ^34	^32 ^14
т42 ^34 — ^44 ^Зй	_ “^"^42 ^14 “F ^44 ^12
-----; г 22 —	’
^12 ^34	*^32 ^14	^12 ^34	^32 ^14
(5.9.17)
формулы (5.9.16) являются обобщением одногруппового краево-
го условия (2.5.16). Вводя векторные функции тока и потока нейт-
ронов
записываем (5.9.16) в компактной форме
J (гх) = ТФ (г,),	(5.9.18)
где у = (yi}i) — матрица с компонентами (5.9.17), или
0 7®^) = -^^,); О = (°“ °)	(5.9.19)
\ U D /
Назовем зоны, лежащие вне интервала [0, гх], многозонным от-
ражателем (они могут быть неразмножающими или размножающи-
236
ми). Мы видим, что действие многозонного отражателя описывается
краевым условием (5.9.18) или (5.9.19) где матрица у не зависит от
свойств активной зоны и определяется только размерами и располо-
жением зон многозонного отражателя: у — у (Г1,г2, а также
их материальными параметрами.
Из условия (5.9.19) легко получить уравнение критического раз-
мера (см. упражнение 1), которое проще критического условия
(5.8.5), так как здесь матрица у не четвертого, а второго порядка*.
Упражнение 1. С помощью краевого условия (5.9.19) записать
з явном виде критическое условие для определения гх.
Решение. Условие симметрии в активной зоне позволяет однознач-
но (с точностью до множителя) определить решение уравнений (5.9.2), (5.9,2а)
(несимметричное решение отбрасывается). Считаем, что X (г), Y (г) — искомые
симметричные решения этих уравнении. Тогда (5.8,3) записывается в виде
Фб (г) - АХ (г) + BY (г)-, Ф (г) = уаАХ (г) + Y (г),
где уа, ур определены в (5.9.3). Из (5.9.19) получаем
-D6[AX' (Г1) + BY' (г,)] = уп [АХ (/у) -J- BY (г,)] +
+ Уха 2С(Г1) +
-D [уаАХ' (rj + Yp BY' (гх)] = у21 [АХ (rJ+BF (rj] +
+ ?22 1таАХ (гх) + урВУ М.
Определитель этой системы по отношению к неизвестным А, В равен
Dq X' (гх) 4- (уп + уа yi2) X (Г1)	Рб Y' (Г1) + (уп 4- ур у12) Y (гх)
7« &Х’ (ri) + (Y21 + y« Yaa) X (гх) ^Yp У ’ (гх) + (Ysi + Yp Ун) У (гх)
BqY1 (Г1)4~ (Tii + Yp 7хз) (гх)
Х Dya Dyp Yf (ri)4-(Y2i + 7p722) У Pi)
7x1 +7д 712 ^б Y’ (ri) -Ь (7xi + 7р Yia) У (ri)
4 Х 72i + YaY-22 ЯуцУ' От) + (Yei+Yp Y22) У (гх)
Из равенства А = О получим критическое условие в виде
X' (И)/Х (Г1) = Fr (rt)/F2 (rj,	(5.9.20)
где
^i(ri) = —(Yu+YaYis) ^Yp
+ (Y21+YKY22) Dft +7h + Yb712 •
L r И1)
~~+Ysi+YpY2a —
f2Pi) = D6 Оур
^Tj+Yn + YpTuj.
Замечание. В случае плоской геометрии величины из (5.9,17)
зависят только от толщины внешних зон и не зависят от/у. В цилиндрической
* Изложенная трактовка метода свертки зон не единственная. Можно из
условий сшивания на смежных границах зон сразу же исключить токи нейт-
ронов из системы многозонных уравнений (подробнее см. [13]).
237
и сферической геометриях обнаруживается несильная зависимость от
которая с ростом ту постепенно исчезает.
Упражнение 2. В простейшем случае однозонного неразмножа-
ющего отражателя найти числа ущ (5.9.17).
Решение. В этом случае т = 2, гт — г2. Решение в зоне отражателя,
согласно (5.8.3), имеет вид
Фб (г) = АХ (г); Ф (г) = уа АХ (г) + BY (г).	(5.9.21)
Здесь [см- (5.9.3)]
(5.9.22)
где все величины берутся для отражателя (<р = 1, /?оо = 0). Кроме того, по
условию на внешней границе
X (г2) = 0; У (г2) = 0.	(5.9.23).
Тогда из (5.9.21) следует
ig (г2)= —ЛОб X' (r2); i(rs) = -ADyaX' (r^-BDY1 (r2);
д________(Г2) . в = 'Уй 16	1 (г»)
D6X'(r,)'	~D6Y' (r2)	DY'(r,)'
Подставляя полученные выражения в (5.9.21), находим
Фб (ri) = —
^б (га)>
*11
У (Г1)
г б (^1) =
d5 ‘“L Х'Ы ‘У'(Г;
Сравнивая эту систему с (5.9.15), определяем
/П12= —
т14 = 0; т22 =
^24
^32 = Уа
ПГ1)
m3i= —
^42 = — ——
X' (гх)
У (ri)
ти =
Зная находим у^. Задача решена.
§ 5.10.	МНОГОГРУППОВОЙ РАСЧЕТ РЕАКТОРА
ПРОИЗВОЛЬНОГО СПЕКТРА. МЕТОД ИТЕРАЦИИ
ИСТОЧНИКА
Когда реактор не является малым, его можно рассчитывать в
многогрупповом возрастном приближении. Однако для расчета
реакторов со сложным спектром следует построить систему много-
групповых констант, учитывающую эффекты, которые не очень
238
существенны для реакторов на тепловых нейтронах, но становятся
основными для реакторов с жестким спектром в активной зоне: для
реакторов на быстрых нейтронах, на быстрых и промежуточных или
на быстрых и тепловых (с замедляющим отражателем). Если для
реакторов на тепловых нейтронах можно рассматривать нейтроны
деления как монохроматические, то теперь следует учитывать их
распределение по энергии.
Выше 50 кэв начинается область, где на средних и тяжелых ядрах
становится существенным неупругое замедление, играющее решаю-
щую роль в формировании спектра нейтронов в реакторе на быст-
рых нейтронах. Это также должно быть теперь учтено. Поэтому в
общем случае интеграл соударений представляют в виде двух сла-
гаемых: одно связано с упругими соударениями, другое — с не-
упругими, как это сделано в приложении П5.1 [см. формулы (П5.1.2),
(П5.1.3)]. Интеграл (П5.1.4) описывает произвольный закон распре-
деления нейтронов деления по энергии. Интеграл упругих соударе-
ний представляется в возрастном приближении (4.4.11), интеграл
неупругих соударений и интеграл делений — конечными суммами.
В результате получается матрица групповых констант (для много-
группового расчета с полным числом групп /и), которая включает
следующие элементы:
1)	— макроскопическое сечение неупругого и упругого за-
медления из группы / (j k — 1) в группу k, причем = 0 при
/ k. Таким образом, являются компонентами треугольной
.матрицы, главная диагональ которой заполнена нулями. Обозначаем
ik =
2)	— макроскопическое сечение захвата в группе k обра-
зует диагональную матрицу
2Д,	т. е. 2а = diag [Scj, ..., 2ста],
3)	— макроскопическое сечение вывода нейтронов из груп-
пы k вследствие упругого и неупругого замедления, равное
т
= 2
Z = fe+ 1
образует диагональную матрицу
е. 2^ diag [S^,,.., ^^т].
Индекс tn всюду относится к группе тепловых нейтронов, но по-
скольку в ней замедление отсутствует, то = 0.
Будем в дальнейшем обозначать
Поток нейтронов в группе k
фк (г) = J йиФ (г, и)
можно рассматривать как А-ю компоненту щ-мерной векторной функ-
ции Ф (г) многогруппового потока. Тогда интеграл упругих и не-
упругих соударений (По.1.2), (П5.1.3) можно представить в виде
конечной суммы:
/Ф1 (г) \
k— 1	/ HY fr'i I
2;8Ф= 2 (ф)ь = фНг); Ф= -	-
\Фтп(г)/
Интеграл делений представляется конечной суммой по всем рас-
щепляющимся изотопам и по группам нейтронов (П5.1.10):
(?ф)6=2х‘2	= 2х/ЧS„ <
I /=1	I
Таким образом, F — квадратная матрица порядка (mXm); yj —
вероятность нейтрону, образующемуся при захвате с делением в 1-м
изотопе, оказаться в группе A; * — соответствующее макро-
скопическое сечение деления в i-й группе; vfj — число нейтронов
деления на один акт деления в i-й группе на l-м изотопе.
Коэффициент диффузии в /г-й группеDh выражается через транс-
портное сечение h по обычной формуле: Dh ~ l/3Sir k и обра-
зует диагональную матрицу*
D = diag [Di, ..., Dn].
В результате получаем систему уравнений (П5.1.21), которая в слу-
чае критического реактора имеет вид
/=1	i /=1
(5.10.1)
k = 1,2,..., т.
Последнее уравнение представляет собой баланс нейтронов. Дей-
ствительно, первое слагаемое описывает прибыль нейтронов груп-
пы k в единичный объем вследствие диффузии; второй — скорость
выбывания из него нейтронов в результате захвата и замедления;
третий — скорость замедления нейтронов в группу k в единичном
объеме, а четвертый — скорость рождения в нем нейтронов деления
с энергией группы k. В критическом реакторе алгебраическая сумма
этих слагаемых должна быть равна нулю.
В векторно-матричной форме система (5.10.1) записывается в
виде
Д>Ф — 2оФ + 2Ф + ДФ = 0.	(5.10.2)
* Если в системе присутствует водород, то матрица Ь треугольная.
240
Здесь Ф = col [Фх (г), Фт (г)] — векторная функция с т ком-
понентами; Ха — диагональный оператор:
Ха = diag [2Ъ 12, ..., LJ,	(5.10.3а)
причем Lh = divDfeV, k = 1, 2, ..., т.
Решение ищется при краевом условии
Ф[5 = 0,	(5.10.3)
где S — экстраполированная, достаточно гладкая граница ограни-
ченного выпуклого объема V. За условия сшивания следует при-
нять те, которые вытекают из условия непрерывности функции рас-
пределения нейтронного газа в объеме V и из условия сохранения
полного числа нейтронов, пересекающих границы раздела отдельных
зон (5.6.9), (5.6.10), которые предполагаются достаточно гладкими
(например, кусочно-гладкими). Тогда можно сформулировать об-
щие требования, которым должно удовлетворять решение уравнения
(5.10.2).
Будем говорить, что векторная функция ф(г) кусочно-непрерыв-
на на V, если она непрерывна всюду внутри V и на границе S, за
исключением границ Sn, где она может иметь конечные разрывы.
В соответствии с этим определением считаем^’все много групповые
макроскопические сечения или кусочно-постоянными функциями на
V, или кусочно-непрерывными. На коэффициент диффузии обычно
накладывают более сильные ограничения. Требуется, чтобыDk (г) >
35s а > 0 (г О7) и все компоненты вектора \7Dk (г) были «не хуже»,
чем кусочно-непрерывные на V, а внутри V отсутствовали бы зоны,
свободные от вещества, т. е. (г) > С > 0 (г £ V).
Решение (5.10.2) должно относиться к классу функций Ф (г) со
следующими свойствами.
1.	Векторная'функция Ф (г) непрерывна всюду на V, включая
внешнюю границу S, где выполняется краевое условие (5.10.3), что
записывается в виде
Ф (г) С Су.	(5.10.4)
Здесь Су — множество непрерывных на V векторных функций, об-
ращающихся в нуль на границе S.
2.	Функция Ха Ф «не хуже», чем кусочно-непрерывная на V.
Математически это выражается как
3%Ф 6	(5.10.5)
где Су — класс кусочно-непрерывных на V функций (не требуется,
чтобы эти функции обращались в нуль на S).
3.	Функция тока нейтронов
/’1(г) \
i(r) = -DVO= I; i7i(r) = -DftVOft(r) (5.10.6)
\М0 /
241
«не хуже», чем кусочно-непрерывная на V (т. е. проекции тока нейт-
ронов на оси координат принадлежат Су). Это свойство также запи-
шем в виде
i (г) £ Cfr.	(5*10.7)
4.	Векторные функции Ф (г) и i (г) удовлетворяют условиям сши-
вания. Это означает, что все компоненты Ф (г) и все нормальные
компоненты вектора тока (г) (5.10.6) непрерывны при пересече-
нии границ раздела зон внутри V.
Назовем совокупность векторных функций, удовлетворяющих
требованиям 1—4, классом D (<S%) (область определения оператора
J?o)- Тогда все сказанное формулируется в краткой форме:
Ф (г) Е D (£0).	(5.10.8)
Векторная функция, являющаяся решением (5.10.2), должна
удовлетворять еще одному физически очевидному требованию, а
-именно:
Ф (г)	0 при г £ V и лишь на границе Ф|$ = 0.	(5.10.9)
Это означает, что
Ф^(г)>0; г е V; Фд (г) |s = 0.	(5.10.10)
Последнее условие естественно вытекает из требования положитель-
ности многогрупповой функции распределения потока нейтронов.
Одногрупповые (см. § 2.2—2.4) и двухгрупповые задачи (см.
§5.8, 5.9) являются частным случаем общей задачи (5.10.2).
Если реактор некритический, то задача (5.10.2) формулируется
как условно-критическая:
Д>Ф—2ОФ4-2ФЧ-—ЕФ = 0.	(5.10.11)
«эф
Число ^Эф, в соответствии с общим смыслом условно-критической за-
дачи, определяется как такое, при делении на которое всех чисел
V)/ (одновременно) реактор становится критическим. Положитель-
ное решение ищется в классе функций из D (5%) (т. е. со свойствами
1 —4).
Теория такой системы уравнений в настоящее время хорошо
известна. Положительному решению Ф (г) отвечает только одно (и
обязательно положительное) значение числа £зф > 0, которое имеет
смысл собственного значения условно-критической задачи (см. ни-
же, упражнение 1) и является простым. Это означает, что других
собственных функций, кроме Ф (г), 6зф не имеет*.
* Проблема существования и единственности положительного решения
условно-критической задачи—это не простой вопрос прикладной математи-
ки. С точки зрения физических представлений он совершенно ясен: мы не мо-
жем себе представить, чтобы спектр нейтронов в критическом реакторе фор-
мировался иначе, чем единственным образом.
242
Для одномерного случая процедура построения решения урав-
нения (5.10.2) аналогична рассмотренной в § 5.9. Однако возможен
и другой подход. Для этого сформулируем вспомогательную зада-
чу
Й0Ф — £аФН-2Ф-Н = 0.	(5.10.12)
Здесь f = col Д1? f2, fm] — заданная векторная функция. Возь-
мем ее из класса кусочно-непрерывных функций f £ Су, а решение
уравнения (5.10.12) будем искать в классе функций D (<2?0). Если f
0 (f (г) ф 0), то имеем многогрупповую формулировку простран-
ственной задачи замедления нейтронов от источника с кусочно-не-
прерывной векторной функцией распределения. Функция Ф С
t D (5%) описывает поле замедляющихся и тепловых нейтронов.
Численные методы решения такой задачи для одномерных и не-
одномерных случаев разработаны достаточно полно в [23, 26], и
поэтому можно считать, что по каждой функции f мы умеем одно-
значно определять решение уравнения (5.10.12). Математически это
записывается так. Введем оператор
= —^0ДЕа — S.	(5.10.13)
Тогда уравнение (5.10.12) запишется в виде
МФ = 1; Фе£(Й0); f € СЬ	(5.10.14)
а однозначность решения означает су шествование обратного опера-
тора Л'М1, такого, что
Ф = М-Ч.	(5.10.13а)
Таким образом, обратный оператор Л1"1 удовлетворяет тождест-
ву
= f для любой f б Су;
М~гМФ --- Ф для любого Ф £ D (^0).
Можно говорить, что область определения D (М) оператора Л4
совпадает с областью определения D (jg0) оператора Ю (44) =
- D (О.
Метод итерации источника, позволяющий с по-
мощью вспомогательной задачи (5.10.14) решить задачу на опре-
деление положительного решения условно-критической задачи
(5.10.11), представляет собой следующую процедуру.
Берем произвольную кусочно-непрерывную векторную функцию
Q° С Су, Q0 > 0 (Q0 (г) = 0). [Можно взять даже Q0 (г) = 1, т. е.
Qfe (г) == 1, k = 1, 2, ..., mJ Находим решение уравнения замедле-
ния
„Мф(0> = Q(0); ф(0)£ Р(£о),
(5.10.14а)
243
где Qf0) рассматриваем как функцию распределения некоторого ис-
точника нейтронов. По найденной Ф° составляем функцию распреде-
ления
Q(D = Fф<о> > 0 (Qd) (г) ф 0).
Очевидно, Q(1) € Cv. Снова решаем уравнение замедления
= Qfi)
и по нему находим
= Q<3) о (Q<2) (г) вЕ 0)
и т. д.
Общую схему итерационного процесса можно записать так:
ЖШ = Q(0; Q(H-i> = FO(0 г = 0, 1, ...	(5.10.15)
Если теперь обозначим
|j Q<*> ||v = sup I (r) | = max {sup j QV* (r) |}
г G V	£= 1tn г 6 И
(число ||... || v имеет смысл нормы на множестве кусочно-непрерыв-
ных на V функций), то получим следующий важный результат:
/yO^PQH+DH'/UQU)^	(5.10.16)
i ->-со
Это выражение (и аналогичные ему) лежит в основе метода итерации
источника. Видно, что из итераций (5.10.15) численными методами
можно найти значение k3^, причем предельный переход к значению
можно осуществить различными эквивалентными способами.
Рассмотрим один из наиболее очевидных.
Выберем любой внутренний элемент AV cz V, содержащий про-
извольное множество внутренних точек объема V. Тогда имеет место
предельный переход
ф?+1’ (г)/<Ц" (г)->-	(5.10.17)
для любой группы k (k = 1, 2, ..., т), причем этот предел дости-
гается равномерно относительно множества точек г G А V. Это дает
возможность вычислить решение Ф (г) уравнения (5.10.11). Если
йэф найдено, то в результате предельного перехода получаемФ(г):
Ф^>(г)/(^)^-> Ф(г).	(5,10.18)
Этот предел достигается равномерно относительно точек г С У*-
* Нетрудно сообразить, что выражение «равномерно относительно г б
6 V» означает предельный переход по норме || ... || v, вследствие чего [)... Ijv
иногда называют равномерной нормой.
244
Предельный переход типа (5.10.17), (5.10.18) можно заменить
другими — интегрального типа. Обозначим
2Z?
{А Я}= S (h,gk)>
Й = 1
(fk, gk)= [ drfk(f)gh (г).
V
(5.10.19)
Таким образом, число {...} имеет смысл скалярного произведения
в множестве m-компонентных векторных функций. Тогда можно за-
писать выражения вида
{фи+n £}/{ф(О а}^£эф,	(5.10.19а)
i ->оо
где g — любая неотрицательная векторная функция из класса С^,
или
{ф«+1), ф(9}/(фф> ф(«}->^ф.	(5.10.196)
Выражение
{/./}= Illflli2	(5.10.20)
имеет смысл квадрата нормы в гильбертовом пространстве г/г?у векторных
функций, суммируемых на V с квадратом. Пространство	представляется
как прямое произведение гильбертовых пространств Hv числовых функций,
суммируемых на V с квадратом:
= #уХ б'у X ... X /Уу ,	(о. 10.21)
т раз
причем норма в Ну дается формулой (2.6*56), Тогда (5.10.20) можно перепи-
сать в виде
™=УШР + Ш1а+...+11Ш<	(5.10.22)
Предельный переход (5.10.196) можно видоизменить так:
||]Ф(/+1)Ш/ШФ(°|]|	(5.10.23)
при этом предельный переход (5,10.18) представляется как условие сходимости
по норме |[|... HI и имеет смысл сходимости ив среднем», в отличие от указанной
выше сходимости по равномерной норме ||... || у
Доказательство этих важных утверждений не входит в рамки
данной книги*.
Упражнение 1. Указать оператор, собственным значением ко-
торого является число &Эф, а решение Ф уравнения (5,10.11) — его собствен-
ной функцией.
Решение.
Аэфф = М-*?ф,	(5.10.24)
где 7;эф — собственное значение оператора М^1?.
* Полезная иллюстрация принципа сходимости метода итераций источ-
ника дана в (26а], строгое доказательство в газокинетическом рассмотрении
представлено в [20].
245
ПРИЛОЖЕНИЕ П5Л
ВЫВОД ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ МНОГОГРУППОВЫХ
УРАВНЕНИЙ В ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
При выводе системы многогрупповых уравнений в диффузионном при-
ближении будем исходить из уравнений (4.4.2) или (4.4.4), которые следует
записать так, чтобы учесть неупругое рассеяние нейтронов и интеграл деле-
ний ?Ф вида (4.2.1). Тогда для условно-критической задачи имеем
divDVO — 2Ф + 50Ф + Sin Ф + ~—— ?Ф = 0*.
^эф
(П5.1.1)
Используя логарифмическую шкалу энергии для интегралов упругих
соударений 30Ф, неупругих соударений S/n Ф и для интеграла’делений ГФ,
получаем следующие выражения, учитывающие смесь различных изотопов
в размножающей среде:
30 Ф=У j du' Ф (г, и')	(г, и')	(и—и');
I u—qt
и
5глФ = 2 J Ф (г, Ц')	(г, u')	(w', и);
I г—ТО
ОО
ГФ = 2ХН^) J du' Ф(г,и')^ («')IS/Z (г,«'),
I	— со
(По. 1.2)
(П5.1.3)
(П5.1.4)
В (П5.1.4) интегрирование ведется от — оо до -фоо, поскольку мы здесь
предполагаем, что спектр нейтронов деления простирается до сколь угодно
высоких энергий. Суммирование производится по изотопам, входящим в
состав среды и обозначенных индексами I. Индикатриса упругого рассеяния
(« — и') соответствует тому случаю, когда^рассеяние в системе отсчета,
где центр инерции нейтрона и ядра покоятся, сферически-симметричное
(см. гл. 3). Индексом in обозначены величины, связанные с неупругим рассея-
нием (inelastic); (и) — спектр нейтронов деления /-го делящегося изотопа,
ОО
нормированный на единицу: J du7i(u) = \\ Vfi(u)—число нейтронов деле-
— ТО
ния 2-го изотопа, образовавшихся после деления его ядра, вызванного захва-
том нейтрона с летаргией и.
Интегралы в (По. 1.2) представимте возрастном приближении как (4.4.11);
д
So Ф~25(г, «)Ф(г, «)— — [ф (Г, u)l(r, u)S5(r; «)). (П5.1.5)
Ои
Здесь £ (г, и) — среднее приращение летаргии на один акт рассеяния в смеси
изотопов,^вычисляемое по формуле
S (Г ^) =
(г,ц)
2______________
(г, и)
(П5.1.6)
* Сразу же оговоримся, что здесь не учтена специфика водорода как за-
медлителя. Вопросы переноса нейтронов в водородсодержащих средах рас-
смотрены в т. 2.
246
Подставляя это выражение в (П5.1.1) и учитывая, что 2 = ^а"г2г-п -р
-j- Ss, находим
divDVO^(So+Sm) Ф- 4-(^зФ)-!-5иФ+-Г— £® = 0. (П5.1.7)
ди	лЭф
Построение многогрупповых уравнений основано на методе, изложенном
в § 5.6. Разобьем всю бесконечную ось летаргии на конечное число интервалов:
Дпд = (нд-i, Uh), k = 1,2, m; Д«х = (— oo, Uj); &um = (um~1f co).
Интервалы Ди& можно назвать групповыми интервалами (группами), на ко-
торые разбивается весь энергетический спектр нейтронов. Их выбор диктует-
ся разными соображениями [24], но в основном их стараются выбирать при-
мерно одинаковыми.
Интеграл Sjn Ф всегда можно представить в виде конечной суммы
5^Ф = 2 5 Г dli' ф<г’ «,)Sjn.z(rt^')^£n;(u'n) +
i i=l ut_t
и
4-2 i du' Ф (г, «') J (rp u') Win I <u’, и); Uft-i < и < uh. (П5.1.8)
г uk~i
Аналогично представляется интеграл ГФ:
т	ui
ГФ = 22£М«) J Ф (r, u') (u') 2/г (r> “')• (П5.1.9)
J i = l	ufe_1
Теперь проинтегрируем уравнение (По. 1.7) по интервалу Дп^ — и& —
Тогда для интеграла ДФ получим
uk	>п
У	S	(П5.1.10)
«7г-!	I z=l
где
X?= У ^«Xz(«)	(П5.1.11)
д«й
— доля нейтронов деления f-го изотопа в А-й группе;
vk}[= J dur Ф(г, u')vfl(u') 2/г(г(«') / | du' 2/г(г, и') Ф(г,и’); (П5.1.12)
2jik = J du' Ф (г, и') 2/г (г, и') [ j" du' Ф (г, и');	(П5.1.13)
д«д	/ д«д
Фд = j" ^и! Ф(г,и')—групповой поток нейтронов. (П5.1.14)
Рассмотрим теперь второе слагаемое в (П5.1.8):
f du J du' Ф(г,и')2£пг(г>«')^71г(и',а)= У du' Ф(г,и')Х
ДЧ «й-i	д«й
Х2г-„{(г,«') J duWinl(u' ,и)= С du' Ф (г, и') 2in i (г, и') X
и’	&uh
247
ос	оо
X j du' W$(ur, u) — p dur Ф (r, wr) S/ni (rt и ) J i du,
U'	^Uk	Wfc
Здесь f Wini OA w) du = 1
и'
единицу. Представляя далее
в силу нормировки индикатрисы рассеяния на
оо	т
j в виде У У > приходим к выражению
«к	а=k v-n
f du J du' Ф (г, и’) 2ini (г, и') Wini (и', и) = | du' Ф (г, и') 2;пг (г, и')—
Аыд uk-i	^llh.
— Фд У Sjtj ц йп,	(П5.1-15)
л = А-|- I
где
I г
fin = J du' Ф (г> in I (г> и') J duWin i (и , и) I у du Ф (г , и ).
A«fe	«71-1	/ Л“Ь
(П5.1.16)
По смыслу это сечение неупругого замедления из группы k в группу п.
Третье слагаемое в (П5.1.7) после интегрирования по Дгг& дает
Г du ~ (£25Ф)= У, £г Ss. (г, uk) Ф (г,	—У 5issZ (r> uk-i) Ф (r> ufe-i)-
J 6u	i	i
^uk
Полагая
7Ь = Ф (г, uft)/®k (г),	(П5.1.17)
— 1 M>fe
где Фй (г) =---- du® (г, и)—среднее значение Ф в Л-й группе, получаем
uk~i
Г dgSs® vr^2sz(«k)	&2s(«fe-i)	, 1Я,
d« -------= У —I--------УкФ&—-------7-----П-1Ф&-1 • (П5.1.18)
лик	1
Первое слагаемое в (П5.1.7) можно обработать следующим образом. В случае
достаточно малых интервалов в пределах не очень широких областей
внутри V можно считать, что переменные у функции Ф (г, и) разделяются,
т. е.
Ф (г, «) ф0 (г) Фо (и).
(П5.1.19)
Если предположить, что зоны реактора, где сечения постоянны, доста-
точно велики, то можно считать, что в них устанавливается асимптотический
спектр (см, § 4.3), и, как известно, в этом случае энергетические и простран-
ственные переменные действительно разделяются. Тогда
J divD (г, и) УФ (г, и) du div f du D (г, «) <p0 (u) Vip0 (r) =
Д«й	Auk
= div Г J duD (г, «) ф0 (u) / J du^o (u)l div У ф0 (г) q?0 (u),
U«A	/ A«k J A«fe
248
и в приближении (П5.1.19) имеем
f dudivDV® div РьуФ&;	(П5.1.19а)
д“к
Dk= J duD (г, и) Ф (г, и)'/ j* du® (г, и) = 1/32^д.	(П5.1.20)
&uk	I
Слагаемое — 1 г/«2г-пФ в(П5.1.7) [после интегрирования (П5.1.7) по AujJ
д“к
и первое слагаемое в (П5.1.15) после суммирования по I взаимно уничтожа-
ются, поэтому в результате с учетом (115.1.10), (115.1.15), (П5.1.18), (П5.1.19а)
получим
1	т
div D&	Ф} = 0 -
j=l	“Эф I
(П5.1.21)
Здесь	S — полное макроскопическое сечение замедления из
группы / в группу k (/ < k — 1), при этом
SinU’k при j < k —I;
v,	, ёг 2$; (^k-i)
^inl, k-ifk-r *	Vfc—i-
_ i
Таким образом, сечение Sjk является сечением замедления из группы /
в группу k и учитывает упругое и неупругое замедление на всех изотопах
смеси; сечение есть сумма
2a.dk = Sok 4~Sdk'
Сечение 2ak получается, как и (П5.1.13), в виде
2ад = [ duZa(? и)Ф(г, и) I J da® (г, и) (П5.1.22)
д“к	/ ДиД
э Sdfc> согласно проделанным выше выкладкам, равно
т
^dk —
2k
тг
(П5.1.23)
и является сечением выведения нейтронов из группы k вследствие упругого
и неупругого замедления (d — от слова down — вниз по энергетической оси).
Многогрупповое представление (П5.1.21), если не говорить о приближе-
нии (П5.1.19),—это точное представление исходного уравнения (П5.1.7).
Однако для вычисления входящих в (По.1.21) сечений требуется знать спектр
Ф (г, и), т. е. решение задачи (П5.1.7). Даже если бы спектр был известен, то,
поскольку в общем случае переменные у функции Ф (г, и) не разделяются,
мы получили бы многогрупповые микроскопические сечения од» зависящие
и от координат, и от интервалов разбиения.
Отсюда видно, что универсальных многогрупповых констант нет. На-
пример, константы Ук в (П5.1.17) явно зависят от классификации реакторов
по спектру. У реакторов на быстрых, промежуточных и тепловых нейтронах
они вообще разные. Однако эти различия постепенно стираются с ростом числа
групп. В отечественной системе констант БНАБ-26 принято 26 групп. Для
усреднения берется вигнеровское приближение Ф ~ 1/2 (и), что дает воз-
можность учесть в многогрупповых сечениях резонансные, температурные
эффекты и эффект разбавления резонансного поглотителя (см. гл. 3). (Под-
робнее об этом см. в [24].)
249
Усреднение в группах, расположенных над порогом деления 2;JSU, про-
изводится обычно по спектру нейтронов деления, если первая группа распо-
ложена над порогом деления. Действительно, энергетический спектр нейтро-
нов в реакторе близок к спектру нейтронов деления в надпороговой области,
что оправдывается тем, что каждый неупруго рассеянный нейтрон с большой
степенью вероятности замедляется под порог, т. е. до энергии ниже пороговой,
а упруго рассеянные нейтроны остаются в основном в группе.
Если в системе есть водород, то он тоже замедляет нейтроны под порог.
Поэтому баланс нейтронов в первой группе описывается (если пренебречь
диффузией нейтронов) приближенным уравнением
-2Ф («) 4- X (ц) Q = О,
где х (^) — распределение нейтронов деления; Q—скорость генерации нейт-
ронов деления. Отсюда
Ф (w) = х («) Q/S ~ X (w).
Это и дает основание в качестве действующего в реакторе спектра для расчета
групповых сечений в надпороговых группах принимать спектр нейтронов
деления. Усреднение в нижней, т-й, группе производится по спектру тепло-
вых нейтронов. Граница иТп-1 для реакторов на тепловых нейтронах рас-
сматривается как граница между замедляющимися и тепловыми нейтрона-
ми (см. приложение П5.2).
Гетерогенные резонансные эффекты, связанные со структурой решетки
реактора на тепловых нейтронах, в работе [24] предлагается учитывать по
теореме эквивалентности (см. §7.8). Можно это делать и с помощью эффектив-
ных резонансных интегралов в пределах группы [25], вычисляя гомогенизи-
рованные сечения (см. § 7.10),
ПРИЛОЖЕНИЕ П5.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ
СПЕКТРАМИ ЗАМЕДЛЯЮЩИХСЯ И ТЕПЛОВЫХ
НЕЙТРОНОВ
Если бы нейтронный газ можно было рассматривать как статистический
ансамбль нейтральных частиц, то в совокупности с ядрами среды, имеющими
тепловое движение, он мог бы находиться в состоянии статистического равно-
весия, соответствующем некоторой температуре, или в состоянии локального
термодинамического равновесия. При этом все частицы имели бы максвел-
ловское распределение по скоростям, На самом деле все нейтроны в реакторе
на тепловых нейтронах возникают как нейтроны деления: в процессе замед-
ления они распределяются по спектру Ферми, и лишь в области тепловых энер-
гий устанавливается распределение, близкое к максвелловскому, но с тем-
пературой нейтронного газа более высокой, чем температура среды, вследствие
того, что более холодные нейтроны интенсивнее захватываются ядрами, се-
чения которых следуют закону l/v, а в более жесткой части спектра происхо-
дит пополнение числа нейтронов за счет подпитки замедляющимися нейтро-
нами. Четкой границы между кв аз и максвелловским распределением тепловых
нейтронов и спектром Ферми не существует. Однако целесообразно ввести
условную граничную энергию Ет, которая определяется точкой пересечения
графиков максвелловского распределения и спектра Ферми.
Максвелловское распределение описывается формулой
М (Е) dE = Мт —Е~3/2 УЁ z~EfEv dE,	(П5.2.1)
|/ тс
где Мт — число тепловых нейтронов; Еа = kTa — температура нейтронного
газа в энергетической шкале.
250
Принимая, что спектр замедляющихся нейтронов мало отличается от
спектра Ферми, получаем при £ Ен
dE
f (£) dE = ут kr SCT---------------,
' V ' T T T CT v (£) £Ss (5) ’
где oTSaT — l/'To! T’o — время жизни теплового нейтрона;Пгт — число ней-
тронов деления на один акт захвата теплового нейтрона. Примем приближен-
но kT ~ 1. Тогда условную границу £т найдем из уравнения
f (£т) = Л1 (£т),	(П5.2.2)
которое приводится к виду
*}/гт у 2ат £т
Для решения этого уравнения удобно воспользоваться зависимостью х от у,
заимствованной из [4]:
V	0,33	0,19	0,10	0,051	0,024	0,011	0,005
X	4	5	6	7	8	9	10
Если реактор надтепловой, число делений на тепловых нейтронах мало,
а спектр Ферми сильно искажен, то формула (П5.2.2) может утратить свой
смысл. Тогда тепловым нейтронам можно условно приписать среднюю энер-
гию нейтронного газа при комнатной температуре (0,025 эв).
ГЛАВА 6
УПРАВЛЕНИЕ И РЕГУЛИРОВАНИЕ РЕАКТОРА
§ 6.1. ЗАДАЧИ И СРЕДСТВА СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ
Во время работы (кампании) ядерного реактора возникают много-
численные эффекты, приводящие к изменению его реактивности.
Кроме того, сама задача управления реактором, т. е. его пуск и ос-
тановка, изменение мощности, перераспределение потока нейтронов
в объеме реактора, требует целенаправленного изменения его реак-
тивности.
Таким образом, необходимым элементом ядерного реактора яв-
ляется система регулирования его реактивности, позволяющая уве-
личивать и уменьшать реактивность в определенных пределах, обес-
печивающих нормальную эксплуатацию реактора, т. е. управление
им во всех ситуациях, которые могут возникнуть или планируются,
в том числе и в аварийных.
Прежде чем перейти к описанию системы целенаправленного
изменения реактивности реактора, перечислим некоторые часто
встречающиеся причины изменения реактивности реактора при его
эксплуатации. К ним относятся изменение изотопного состава реак-
тора в результате выгорания ядерного горючего, перегрузки ядер-
ного горючего, которые также приводят к непрерывному (при не-
прерывной перегрузке) или скачкообразному (при периодической
перегрузке) изменению реактивности реактора.
Очень важной причиной изменения реактивности является срав-
нительно быстро протекающий процесс отравления 135Хе и U9Sm,
возникающими из-за изменений изотопного состава в реакторе: ог-
ромные сечения поглощения нейтронов этими изотопами и сравни-
тельно короткие времена распада в их радиоактивных цепочках ве-
дут к относительно быстрому изменению реактивности реактора
при изменениях стационарного состояния — пуске, остановке, из-
менении мощности, перегрузке и, наконец, при изменениях распре-
деления поля нейтронов в объеме реактора.
Наконец, еще одна причина изменения реактивности — темпера-
турные и мощностные эффекты, т. е. изменения реактивности при из-
менении температуры отдельных компонентов активной зоны и от-
ражателя и при изменении мощности цепного процесса деления.
Обычно изменение мощности реактора тесно связано с изменением
температуры его компонентов.
Работа реактора сопровождается выделением энергии и, следо-
вательно, изменением температуры компонентов активной зоны и
отражателя: как правило, при повышении мощности реактора тем-
252
пература в его компонентах возрастает. При этом возникают слож-
ные и разнообразные эффекты, вызывающие изменение реактив-
ности: обычно растет средняя энергия тепловых нейтронов, что
приводит к увеличению длины диффузии и уменьшению средних
эффективных сечений поглощения нейтронов в тепловой области;
возрастают длины рассеяния тепловых нейтронов в водных пленках,
и последние становятся более проницаемыми для нейтронов; при
нагревании урановых или ториевых блоков вследствие эффекта Доп-
лера уширяются резонансные уровни и растет поглощение нейтронов
в процессе замедления; в ядерном горючем повышение средней энер-
гии тепловых нейтронов ведет обычно к росту отношения сечения ра-
диационного захвата к сечению деления, т. е. к снижению уэф —
этот эффект особенно сильно проявляется для sSSPu и сравнительно'
слабо для 233U, Повышение температуры вызывает изменение удель-
ных объемов твердых и жидких компонентов активной зоны, что-
также приводит к весьма заметным изменениям реактивности: при
нагревании плотность воды уменьшается на 20—30% и более; осо-
бенно сильные изменения плотности возникают при переходе жид-
кости в двухфазное состояние пароводяной смеси.
В двухфазной смеси плотность может значительно изменяться без
изменения температуры, при постоянном давлении, при этом может
сильно меняться реактивность. Часто она возрастает при снижении
плотности теплоносителя, т. е. при вытеснении воды паром. Именно
последнее происходит при повышении мощности в «кипящих» реак-
торах. В этом случае реактивность реактора в большей мере зависит
от мощности, чем от температуры. Полные изменения реактивности
реактора при изменении его мощности и температуры могут дости-
гать значений порядка р ~ 0,1. Еще большие изменения реактив-
ности наблюдаются вследствие выгорания топлива, накопления ос-
колков деления и отравления Хе и Sm. Таким образом, при проекти-
ровании реакторов приходится учитывать диапазон возможных
изменений реактивности в процессе эксплуатации реактора порядка
р ~ 0,3.
Конечно, проектировщик реактора должен предусмотреть все
возможные меры для снижения диапазона изменения реактивности,
например, с помощью: внедрения непрерывной или квазинепрерыв-
ной перегрузки топлива; использования выгорающих и «обгораю-
щих» поглотителей нейтронов; применения поглощающих (напри-
мер, бора) добавок к теплоносителю; подбора параметров решетки
активной зоны, реактивность которой менее чувствительна к изме-
нению температуры и мощности, и т. д. Основные из перечисленных
эффектов подробно рассмотрены ниже. Однако сложность задачи и
необходимость компромиссного выбора с учетом обеспечения тре-
бований эксплуатации'и экономического оптимума далеко не всегда
позволяют достигнуть значительного уменьшения диапазона изме-
нения реактивности реактора.
Кроме рассмотренных причин изменения реактивности, вызван-
ных условиями «нормальной» эксплуатации реактора, необходимо
25S
предусмотреть возможные выбеги реактивности при аварийных си-
туациях. В частности, из-за нарушения плотности первого контура
циркуляции теплоноситель может с большой скоростью уйти из ак-
тивной зоны, особенно при высоких давлениях. При этом часто воз-
никают большие скачки реактивности.
Другая опасность — смещение частей активной зоны, например
ее сжатие, ведущее к скачку реактивности. В некоторых случаях
возможен саморазгон реактора, если повышение температуры и мощ-
ности ведет к росту реактивности. Большей частью происходит об-
ратный процесс, но могут быть довольно широкие зоны, где тем-
пературный и мощностной (или паровой) коэффициенты реактивности
положительны. Правда, проскочив эту зону, реактор всегда попада-
ет в зону отрицательных температурных и мощностных коэффициен-
тов, однако при этом «проскоке» его мощность может возрасти на-
столько, что неминуемо значительное разрушение активной зоны и
.даже авария реактора с очень тяжелыми последствиями.
Основное требование к системе управления (которая в данном
случае называется аварийной защитой) — обеспечение надежного
и быстрого ввода в реактор достаточной отрицательной реактивнос-
ти, чтобы в зародыше предупредить возникновение опасного пере-
грева компонентов реактора.
К изложенному надо добавить, что локальное введение поглоти-
теля позволяет активно влиять на форму пространственного распре-
деления потока нейтронов и, следовательно, энергораспределения
в реакторе, что также является очень важной функцией системы
управления. Например, этим способом можно предупредить опас-
ный местный перегрев ядерного горючего.
Теперь перейдем к описанию некоторых средств управления реак-
тивностью реактора, которые обычно используют в практике реак-
торостроения. Можно указать на.следующие основные способы уп-
равления реактивностью:
Г) введение (и выведение) подвижных, поглощающих нейтроны
твердых стержней различной формы в локальные зоны внутри ак-
тивной зоны и отражателя;
2)	то же, но при введении жидких и газообразных поглотителей
нейтронов в специально отведенные каналы;
3)	введение (и выведение) поглотителей нейтронов в поток цир-
кулирующего жидкого или газообразного теплоносителя, например
подмешивание борной кислоты к воде;
4)	изменение утечки нейтронов из реактора путем перемещения
частей отражателя или введения сильно рассеивающих нейтроны
стержней (последнее для реакторов на быстрых нейтронах);
5)	перемещение частей активной зоны, содержащей ядер ное горю-
чее, например введение кассет с ядерным топливом; в реакторах с
циркулирующим ядерным топливом — изменение концентрации
последнего;
6)	изменение уровня поверхности замедлителя и особенно его
замедляющей способности путем изменения плотности жидкого за-
254
медлителя (воды) или его состава (смеси обычной и тяжелой воды).
Наиболее распространен первый способ изменения реактив-
ности.
§ 6.2. РЕАКТИВНОСТЬ, ВНОСИМАЯ
ПОГЛОЩАЮЩИМИ СТЕРЖНЯМИ
Пусть реактор не имеет отражателя и работает на тепловых нейт-
ронах. Интенсивность действия регулирующей системы характери-
зуется реактивностью р:
р = Лфг± = 1--------L_ = 1 —ехр (<4 тт), (6.2.1)
так как Дф = ехр (—а2тт)/(1 ~ ct2L2).
Оценим приращение реактивности Ар за счет введения в актив-
ную зону реактора поглощающего стержня. Считаем, что действие
такого стержня не меняет материального параметра системы, а из-
меняет только геометрический параметр. Тогда приращение реак-
тивности Ар находим, дифференцируя (6.2.1) по а2:
Ар
ехр (сс§ тт)
(6.2.2)
Основным сомножителем в Др является АРАоф Выражение в
фигурных скобках близко к единице. Действительно, для стацио-
нарного реактора = 1, т. е.
1 = kj(l + a2L2)exp (а2тт).
В случае большого реактора
а2 А2 « 1 и а2А2тт/А12 < 1,
поэтому можно считать, что
Ар ж —АГ2 Да2 = —2ЛДа0Аа0.	(6.2.3)
Для небольших реакторов вводится поправочный коэффициент и
Др /И2Ла§ 11	I О+аоЛ- (6.2.4)
Вычислим Ар для ряда конкретных случаев.
§ 6.3.	РАСЧЕТ РЕГУЛИРУЮЩЕГО СТЕРЖНЯ
В ОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Расчет регулирующего стержня проиллюстрируем простейшим
примером, когда регулирующий (поглощающий) цилиндрический
стержень радиусом а помещен по оси цилиндрической активной зо-
ны бесконечной высоты. Считаем, что в отсутствие стержня реактор
находится в критическом состоянии (р = 0). Тогда^регулирующий
255
стержень будет вносить отрицательную реактивность. Чтобы оце-
нить ее значение, необходимо вычислить геометрический параметр
а0. Для решения задачи воспользуемся одногрупповым методом.
Геометрический параметр при выведенном стержне, согласно
формуле (2.2.23), равен а0 = где | = 2,405 — первый корень
функции Бесселя первого рода нулевого порядка; R — экстраполи-
рованная граница цилиндрического реактора. Если стержень —
в реакторе, то кроме краевого условия на внешней границе необхо-
димо еще ввести краевое условие при г = аэф (а^ф — эффективный
радиус регулирующего стержня). Примем, что для нейтронов стер-
жень черный. Тогда
Ф (аэф) = 0.	(6.3.1)
Следует заметить, что истинный радиус стержня а больше, чем а^ф.
При а htr эта разница составляет ~0,71Zir.
Для стержней с малым радиусом (а ~ ktr) эффективный радиус
может быть найден с помощью графика, полученного из решения
газокинетической задачи (рис. 6.1).
Для потока нейтронов в реакторе со стержнем можно пользо-
ваться выражением (см. § 2.2)
Ф (г) = Jo (аг) + Д7У0 (аг),	(6.3.2)
где А — константа, определяемая из условия на внешней границе,
а именно:
/о (а/?) 4- ЯЛ70 (а#) = 0; А = — Jo (а/?)/ЛГ0 (а/?).
Тогда
Ф(г) = Л(аг)-А^ЛГ0(аг).	(6.3.3)
Чтобы получить уравнение для определения а, необходимо ис-
пользовать второе краевое условие (6.3.1) с подстановкой в (6.3.3)
г = аэф:
4 (“«Эф)	(a<w=°’	<6-3'4*
Уо (а7?)	*
откуда и определяется а.
Приращение реактивности вследствие введения регулирующего
стержня определяется разностью а — а0 = Да.
Уравнение (6.3.4) — трансцендентное; для упрощения его реше-
ния можно воспользоваться условием аЭф<х < 1, которое вытекает
из соотношения а ~ а0 = 2,4/Л?. Тогда ааэф « 2,4аэф//?, а так как
аУф С R, то азфа < 1. Следовательно, 70 (ааэф) и Af0 (айзф) можно
разложить в ряд в области малого значения аргумента. 70 (айэф)
~ 1, когда айэф мало, а Уо (апэф) ведет себя как In ааэф, точнее,
No (адЭф) ~---- In —— , где С = 1,12.
я алЭф
256
Итак, примем
70(аазф)^1;
£йэф
(6.3.5)
>
где In С = 0,116. Упростим также выражения JQ (aR) и 7V0 (а7?).
Запишем Jo (aR) как
Л (аЯ) = Jo («у?	7?Да) = 70 (с 4- 7?Да).
Рис. 6.1. График для определения
эффективного радиуса регулятора
Рис. 6.2. Поле нейтронов в ре-
акторе со стержнем (/) и без
него (2)
Величина RAa мала, и поэтому J0 (£ -г 7?Ла) можно разложить в
ряд:
Jo (I 4- 7?Ла) = J. (^) + £?ДаТ' (£) -h
но поскольку Jq (£) = 0, то
Л (а7?) RAaJ'o (t) = — RAaJ1 (£) = —0,527?Да,	(6.3.6)
так как 7' (я) = —J1 (х'),	(£) л? 0,52. Аналогично
N0 (а7?) = Л4 (£ п- RAa) ъ 7V0 (В) -J- RAaN' (£).	(6.3.7)
Однако в этом случае Ао (5) =4 0. Приближенно No (aR) ж 7V0 (£) =
= 0,51, а остальными членами разложения пренебрежем. Подста-
вим полученные разложения в уравнение (6.3.4):
I ___(t;) 2 J
Лго (е) тг CR
Так как J'Q (Wo (Ю = ~Л (Wo (I)	-1, то
Ла = л./27?1л (CR/ta^).
Зная Да, можно найти Др согласно (6.2.3):
М2
Др = — 2M4n./2RR In (C7?/W) = — Л55^
(6.3.8)
.(6.3.9)
9 Зак. 85
257
В выражении для Др 'вместо а подставлен а2, так как а мало отли- 
чается от а0. Множитель 7,55 — это константа, равная
Из уравнения (6.3.9) следует, что зависимость изменения реак- j
тивности от азф логарифмическая, т. е. слабая. Это означает, что
увеличение радиуса поглощающего стержня не будет заметно повы-
шать эффективность действия стержня. Поэтому более целесообраз-
но увеличивать число поглощающих стержней, а не их радиус.
Таким образом оценено изменение реактивности при введении ]
одного центрально расположенного стержня в одногрупповом ]
приближении. Однако одногрупповая теория не дает истинной ’
картины поглощения нейтронов стержнями, так как она исходит
из предположения об одинаковой поглощающей способности стерж-
ня, для нейтронов всех энергий. Это завышает значение Др. Поэтому
для более точного расчета регулирующего стержня необходимо поль-
зоваться хотя бы двухгрупповой методикой. Например, если стер-
жень изготовлен из кадмия, можно считать его «черным» для нейт-
ронов тепловых энергий и прозрачным для нейтронов спектра замед-
ления. Вычисления по двухгрупповой схеме, аналогичные приведен-
ным выше, даны в § 6.5. Введение поглощающего стержня в реактор
не только увеличивает поглощение нейтронов, но и меняет поле
нейтронов внутри реактора (рис. 6.2). Причем в присутствии стерж-
ня поле нейтронов перераспределяется таким образом, что возрастает
градиент потока на границе; стержень как бы «выталкивает» нейт-
ронное поле. Это увеличивает утечку нейтронов с поверхности реак-
тора.
§ 6.4.	РЕШЕТКА СТЕРЖНЕЙ ПРИ ОДНОГРУППОВОМ
РАССМОТРЕНИИ
Как было указано выше, в активную зону практически прихо-
дится вводить не один, а несколько стержней для компенсации до-
статочного запаса реактивности. Поэтому встает задача о расчете
системы произвольно расположенных стержней, при этом оказы-
вается, что действие системы стержней не аддитивно, т. е. реактив-
ность системы стержней может быть либо больше, либо меньше
суммы реактивностей отдельных стержней.
Практическое значение имеет случай, когда поглощающих стерж-
ней в реакторе так много, что они образуют самостоятельную ре-
шетку. Предположим, что такая решетка расположена в централь-
ной части цилиндрического реактора радиусом а его экстрапо-
лированная граница или внешний радиус реактора с учетом эко-
номии отражателя (см. §2.4, упражнение 1) равны ^oy>Ki, так
что
Ф (₽о) = о	(6.4.1)
(рис. 6.3).
Проведем гомогенный расчет, используя гомогенизированные
сечения (см. §^7.10), по которым рассчитывается материальный
258
параметр. Пусть без стержней материальный параметр х2 активной
зоны реактора был равен
(л///)2 +	= xs > а2о = (я/Н)2 + (ОТ0)3,	(6.4.2)
т. е. реактор надкритический* [см. (2.6.44)]. После введения по-
глощающих стержней в зону радиусом реактор становится кри-
тическим. Пусть материальный параметр в этой зоне равен
х2 — (л/Н)2 + к*
(6.4.3)
Рис. 6.3. Решетка поглотителей
в центральной части реактора,
компенсирующая избыточную
реактивность и выравнивающая
поле нейтронов
и соответствует некоторому количеству поглотителя
П =
(6.4.4)
Здесь ра — концентрация поглотителя в гомогенном расчете. 
Считаем, что разбавление поглотителя не влияет на коэффициент
диффузии решетки (например, решетка широкая, см. § 7.9). Воз-
никает двухзонная стационарная задача:
ЛФ-фх2Ф = 0; ДФ0 + %1)Ф0 = 0;
Ф (л, ± Я/2) - 0; Фо (£0, а) = 0; Фо (г, ± /7/2) = 0;
1 зф _ 1
Ф дг г=ц± Фо
ЗФо
дг
r=Ri
(6.4.5)
Здесь определяется формулой (6.4.2) и относится к внешней
(по отношению к цилиндру радиусом 7^) зоне реактора.
Решение задачи (6.4.5) имеет вид
ф (г, Z) = Jo (w) cos ;
Фо (r> z) = C[J0 (xr0 r) — AN0 (xr0 r)l cos ~ ,
л
где Л — Jq (xro/?o)//Vо (xro/?o).
* Можно считать, что R6 = 7?a>3 -j- %, Я = Яа,3 + 2бт, где 6g и 6Т —
эффективные добавки бокового и торцевого отражателей.
9*
259
Из условий сшивания получаем критическое условие;
£ (*„ RJ = - Хг/‘ Ц (хг„ RJ - Ж (%г0 -О +
Л} (Хг Ri)
“г хго V1 (хго ^i)	ANj (xry jRJ] = 0.
(6.4.6)
Чтобы не ухудшались такие важные характеристики реактора,
как коэффициент воспроизводства, желательно скомпенсировать
нужную избыточную реактивность наименьшим количеством погло-
тителя. Отсюда возникает задача на минимум поглотителя.
Очевидно, х3 — Хо = х? — х;0 = f (Рп)- Обращая это выраже-
ние, находим
Рп ’ ф (хг хго)*
Требуется определить такие значения и хг, при которых
количество поглотителя П = П (Z?x, хг), необходимое для кри-
тичности реактора, было бы минимальным. Это задача на относи-
тельный экстремум, так как минимум поглотителя должен дости-
гаться при дополнительном условии (6.4.6), связывающем (неявно)
переменные 7?i и хг.
Используя метод неопределенных коэффициентов Лагран-
жа, составляем вспомогательную функцию ф (хг, /?х) = П -г
4- (хг, RJ. Условие минимума этой функции относительно пере-
менных хг и R± означает равенство нулю ее частных производных
dRi дКг 1	’ Рхг дхг 1 дхг
Эти два уравнения совместны, если их определитель
А =
дП/dRi dt/dR1
дП/дх,. д'С,/диг
= 0.
(6.4.7)
Здесь
= Я2хгф';
О Ир
— ' U0 (Хг0 ^1) AN 0 tyrv ^1)]
Хр 1 (^г ^1)
70 (%r Z?i) .
Функция хг7т (xrRi)/J0 (xrRi) является аналитической относи-
тельно хг (в окрестности нуля), и ее разложение в ряд по степеням
хг начинается со второй степени. Поэтому
д
дхг

-0.
Кроме того,
РП
Рхг
Хг=0 д'Кг
= 0
= 0.
260
Отсюда следует, что экстремальное условие (6.4.7) при дополни-
тельном условии критичности (6.4.6) достигается при хг = 0:!:.
Такому значению кг отвечает значение Rlt определяемое формулой
Z (0, 7?J = %г0 [Л (-х^) - AN± (х7.оО = О
или
А	~ A (УгО^У-А. (ИгоАУ (6.4.8)
Таким образом, минимальное количество поглотителя соот-
ветствует идеальному выравниванию одногруппового потока ней-
тронов в радиальном направлении при условии, что значение ра-
диуса 7?! зоны расположения регуляторов удовлетворяет условию
(6.4.8).
Реактивность, которая при этом компенсируется, можно найти
с помощью формулы (5.3.5); когда х2 = (k^ — 1)/7142, то по формуле
(2.6.43), в которой нужно заменить 7? на 7И2, получим
ЛЕ , ,	2. М2 / л	V \	/е л m
р = (хз — а20) - —— х;0-------j— ,	(6.4.9)
где значения и 7И2 берутся при отсутствии поглотителя. Если
р и £?0 заданы, то отсюда находим число хг0:
"4о = рМЛ42 + ^/7?2,
которое фигурирует в (6.4.8). После этого определяем Rlt решая
уравнение (6.4.8). Наоборот, если заданы 7?! и 7?0, то, решая урав-
нение (6.4.8) относительно хг0, находим по формуле (6.4.9) реак-
тивность, которая компенсируется поглотителем.
Заметим, что уравнение (6.4.8) можно решить с помощью гра-
фиков функций и 70/ЛА имеющихся в справочниках.
Если теперь представить себе, что радиус эквивалентной ячей-
ки решетки регуляторов равен 7? (л ТС2 = Ь2, см. рис. 6.3), то число
/V таких ячеек определяется соотношением
# = л7?2/л7?2 = (7?У7?)2.
В то же время условие хг = 0 влечет за собой условие
Ф (r,z) = Ф (а); дФ/дг = О,
что по смыслу означает отсутствие перетечек нейтронов между со-
седними ячейками. Тогда уравнение стационарного баланса нейтро-
нов внутри ячейки
АФ + х2Ф = О
* Мы не останавливаемся на доказательстве того, что при этом имеет
место относительный минимум. Физически это очевидно.
261
нужно решать при краевом условии
™	=0
dr r = R
на границе ячейки и при условии Ф (йэф, г) = 0, где — эф-
фективный радиус поглощающего стержня; у% — значение мате-
риального параметра активной зоны реактора, когда поглощающих
стержней в ней нет. В результате получим
Ф С [Jq (у.rtf) + СгЫ0 (хгОг)] cos (лг/#).
Из краевых условий следует, что
h (^го^эф) “И (кг0сОф) = 0; J\ (yr0R) 4~	(кг0/^) = 0,
причем определитель этой системы должен быть равен нулю:
JО (^т-О^эф)	Nq (кго£эф) _
/1 -“°’
откуда найдем формулу для определения а3ф или R в зависимости
от того, что задано:
Jq (>W4Wo (*ro<M) = Ji	(хг0£).	(6.4.10)
Это уравнение такого же типа, как и (6.4.8), и его можно решить
с помощью указанных выше таблиц. Так как хг0 аЭф < 1, то фор-
мулу можно упростить:
| Кгр ^эф   N1 (Хгр R)
л' с r 1(7°rL'	<6-4-и)
аэф = HL ехр А
Уго L2 Л (Иго /?)]
Следует помнить, что во всех расчетах аэф — эффективный ра-
диус стержня. Если фактический радиус а~ fir, то для его вычис-
ления можно пользоваться рис. 6.1.
§ 6.5.	ЦЕНТРАЛЬНЫЙ стержень с учетом
ЕГО ПРОЗРАЧНОСТИ для нейтронов
1.	«Серый» стержень в одногрупповом рассмотрении. Рассмот-
рим подробнее некоторые важные задачи определения реактивности
поглощающих стержней. Решение, полученное в § 6.3 для «черного»
стержня, можно легко обобщить на случай регулятора с произволь-
ным сечением поглощения. Для этого краевое условие при г = а
запишем в виде
7Ф/Ф|г«а=1/?,	(6.5.1)
где параметр у учитывает поглощающие свойства материала ре-
гулятора. При у-> 0 получаем условие на поверхности «черно-
го» регулятора: Ф (а) = 0; при у -> со имеем случай пустой по-
262
лости: VO \а = 0. Уравнение критичности (6.4.8) при этом преоб-
разуется к виду
J0 (aR)/AT0 (aR) = [Jo (aa) Ч- ау7г (ап)]/[У0 (aa) -т ауУг (aa)l.
(6.5.2)
Соотношение (6.5.2) применяют для определения геометрического
параметра реактора в виде кольца с произвольным законом отраже-
ния на внутренней поверхности. Если воспользоваться приближен-
ным представлением функций Бесселя, описанным выше, и, кроме
того, положить (аа) & — 2/trcaa при ап <4 1, то можно получить
следующее соотношение для изменения геометрического параметра:
Аа —
2R
/Го, 116 + 111ЛГ 4-л
2R2 \ [	la а
(6.5.3)
Тогда с учетом (6.2.3) имеем
/ Гол 1бч- in — -г—
/	а
(6.5.4)
В случае «черного» регулятора у->0 и
Др — л|М2 / R3 0,116-г 1п
— У
что совпадает с (6.3.9). При оо имеем
Др -> — (л£3/2) (AIWR4).
(6.5.5)
2.	Центральный стержень в двухгрупповом приближении. Рас-
смотрим стержень, «черный» для тепловых нейтронов и прозрачный
для замедляющихся. Воспользуемся системой решений для быстрой
и тепловой групп (см. § 5.8):
Здесь
¥ = АХ (ar) Ч- BY (|3r);	1
Ф = уаАХ (ar) 4~ y$BY (pr). J
(6.5.6)
X (ar) = Jo (ar) - 444 No («г); У (₽r) = /„(!₽ | r) -
Л'о (cw)
Wlfl
A(j (I Ji (7?)
MM-
Постоянные А и В определяются из краевых условий на поверхно-
сти стержня (с7аф — его экстраполированный радиус):
W (о) = 0; Ф (оэф) - 0-	(6.5-7)
После подстановки решений (6.5.6) в краевые условия (6.5.7) по-
лучим критическое условие, которое разрешим относительно
J0(aR)/R0(aR) = G (aR).
Используя формулы для производных
7; (*) = - Л 40; N'() (х) = - N, (х); I' (х) = Л (х); К'о (х) =
- - К, (х),
263
получим
«Тр
Л)(ааэф) + —-----(оса) %
G (aR) ==----------------------------(6.5.8)
аур
Мо (аа3ф) + ——-----(аа) %
I Р । ?а
где
7 Н Й I \	6} (I [3 I
Л) (НИ «эф)— ,,	^оОР1«эф)
______________Ар (1 Р । 'V_________ .
Л(Н?1°) +	К1(1Р1°)
Ло (I Р I #)
При | х | <<; 1
/0(%)^1; /2 (%) ^ х/2; Ко (*)	0,116 + 1п (1/х);
Кх (х) л? 1/jc*.	(6.5.8a)
По порядку величины [(3 R ж 1. При условии д, аэф R долж-
но выполняться | j3 | аВф, [3(а < 1, и в силу соотношений (6.5.8a)
отсюда следует, что в числителе и знаменателе формулы для
X можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым.
Тогда
G (aR)
Jq (®«эф)
кТр
1₽1Та
Л (««)
Ro (I Р I «эф)
7С1(|₽|«)
Лр(а«эф) —
. Ro О РI «эф)
I Р I Та Х аа (I Р I «эф)
(6.5.9)
В § 6.3 показано [см. (6.3.6), (6.3.7)], что
G(aR) = Jo (сс/?)/УУ0 (aR) — RAa.	(6.5.9a)
Отсюда и из формулы (6.5.9) можно получить в явном виде
выражение для реактивности стержня, если воспользоваться при-
близительными соотношениями при аа, сспОф, -ф] 1; | р |д, | (3 )аэф 1;
a-L?, сс2т 1, применяя формулы (5.7.16), (5.7.10), (5.7.12). Тогда
70 (адэф) 1; Л (ad) 0; (адэф) = — — М, 116 -{- In	;
л <	ь«аф /
* Для удобства читателя дадим связь использованных здесь обозначений
с обозначениями в справочнике [216]:
/0 (х) = ./0 (ix); /х (х)	— i./T (ix); Ко W	6х); Rt. W =
л
= -	(ix).
264
a N-i (aa)
2
л.
Ко (|₽ 1^)^0,1164’In
----------О,116 Jr In —----
' Р I й3ф-Л'^эф
Рис. 6.4. Распределение потока Оыстрых Чг и тепловых
Ф нейтронов в сплошном черно-прозрачном стержне
(сплошные кривые) п ловушке нейтронов (пунктир)
Подставляя эти приближенные выражения в (6.5.9) и приравнивая
(6.5.9) и (6.5.9а), находим
——- 0,11б(1-«- — Win—-—Н--	.
2 [ к Д2 / ^эф L2 Ma
С помощью общей формулы (6.2.3): Др = — 2/И2аДа =* — (2Л12//?) х
X 1Да получаем
Др=_лй!!. [0,116(1 4-— )т1п——+ — in^T-LT1. (6.5.10)
R1 [	\ L> I ё"%ф Ь2 Ma V '
Поскольку стержень предполагается «черным» для тепловых ней-
тронов, поглощать нейтроны будет только поверхностный слой тол-
щиной порядка = 1/SO. В силу этого эффективность полого ре-
гулятора, например трубки из кадмия, будет равна эффективности
сплошного регулятора из того же поглотителя.
3.	Регулятор «ловушка нейтронов». Если полную кадмиевую
трубку заполнить хорошим замедлителем, например водой, эффек-
тивность регулятора можно значительно увеличить, поскольку зна-
чительная часть быстрых нейтронов, попадая в заполненную водой
полость регулятора, замедляется до тепловых энергий и затем за-
26
Хватывается кадмиевой стенкой. В результате этого эффекта «ло-
вушки» изменяется распределение потоков быстрых и тепловых ней-
тронов (рис. 6.4).
Критическое условие, полученное па основе решения двухгруп-
повой системы уравнений с учетом а R, в этом случае имеет вид
Q(an\	(«а)—I ft I Ki (I ft I) %(ааЭф) +я (т') [Jo (aa)—FQ ([ ft i) % («ДЭф)1
~аК1(аа) —| ft | Fx (( ft I) No (аа!Эф)+# (V) [Уо (ай)— Fo (| ftp No (ааЭф)] ’
(6.5.11)
Рис. 6.5. Эффективность сплошного стержня (/)
и стержня-ловушки (5) нейтронов
где
р, /Я\ — Кг (I ft 1 °) . уу	Т')
Ур Ко 0 ft I «эф)	Dq"\/%'
Z = 0,l .
(6.5.12)
Здесь £>б и т' — коэффициент диффузии и возраст нейтронов для
материала—заполнителя ловушки. Как показывают расчеты, стер-
жень-ловушка имеет эффективность в среднем на 75% выше, чем
сплошной, «черный» для тепловых нейтронов (рис. 6.5).
§ 6.6. ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ
1. «Черный» стержень в одногрупповом приближении. Рассмо-
трим цилиндрический реактор с регулирующим стержнем, располо-
женным на расстоянии b от оси реактора (рис. 6.6). Решение вол-
нового уравнения для активной зоны представим в виде [6]
, Ф —1 Фо ~Н Ф1,
(6.6.1)
266
где Фо — регулярная часть решения для зоны без регулятора, но
с угловой зависимостью, т. е.
сс
Фо(Лф)= 3 -4 4 (xr) ехр (imp),	(6.6.2)
фх — сингулярная часть решения, учитывающая влияние поглоща-
ющего стержня на поле нейтронов в активной зоне:
Фг = AZ0 (хр).
Строго говоря, Фг тоже должна
зависеть от азимутального угла,
т. е. нужно было бы взять беско-
нечный ряд сингулярных решений;
однако если стержень достаточно
тонкий (й Л), азимутальной
асимметрией можно пренебречь.
На границе реактора с пусто-
той г ~ R должно выполняться
условие Ф (7?, ф) = 0. Для его ре-
ализации воспользуемся теоремой
сложения функций Бесселя:
4>(ХР) = 34 И)х
— Оо
X Nn (иг) ехр (i/мр), г Д> Ь. (6.6.4)
Подставим сингулярную часть решения в виде (6.6.4) в краевое
условие при г = R > Ь:
3 14 4 (М + 4 W Л7Л(х2?>] ехр (imp) = 0.	(6.6.5)
™00
Соотношение (6.6.5) должно выполняться при любом угле ф, поэто-
му выражение в квадратных скобках равно нулю; значит, можно
определить Ап:
4 = - 4 (y.b)Nn (nR)/Jn &R).	(6.6.6)
Условие критического состояния реактора с эксцентрическим
стержнем получим из условия на поверхности регулятора. В пред-
положении а b на поверхности регулятора можно положить
г ж Ь. Тогда
ф»(ft) =	+ 2 Л„ 4 (хй)ехр (i/ир).	(6.6.7)
Л) (Х^) „То
Если параметр %Ь достаточно мал, суммой членов при п Ф 0 можно
пренебречь, поскольку Jzn (х) < J2 (х) при х < 1. Следовательно,
в (6.6.7) можно оставить только нулевой член суммы. Тогда краевое
267
условие Ф | р = а = 0 запишется в виде [напомним, что G (и#) =
= Jo (х2?Ж (XT?)]
-Jz0 (%b)/G (zT?) 4- Nq (хаэф) = 0.	(6.6.8) ,
Отсюда получим критическое условие реактора с. «черным» экс-
центрическим стержнем:
G (х7?) = J* (x&)/W0 (хОэф).	(6.6.9)
Используя приближенное представление функций Бесселя, со-
гласно схеме § 6.3, найдем реактивность стержня как функцию Ъ'.
Др(&)=- 7>55^2
А Л Я )
= Др (0) Jo
4-In ------
J
(6.6.10)
Из формулы (6.6.10) следует, что эффективность эксцентрического
стержня уменьшается с увеличением Ъ как J® (|6//?).
2. «Черно-прозрачный» стержень в двухгрупповом приближе-
нии. В этом случае решения для потоков быстрых и тепловых ней-
тронов можно записать в виде
(г, ср) = TV0 (ар) 4- СК0 (| р | р) 4-	’
4- 5J [Ап Jn (аг) 4- Вп (| (31 г)] ехр (i/гф);
ф	ф) = Тсс TV0 (ар) 4- ур СК0 (! [31 р) 4-	{	(6.6.11)
+ v [?а Ап Jn(ar) + ур BnIn (1 р | г)] ехр (шф).
Краевые условия на поверхности реактора
V(T?, (р) = Ф (/?, <р) = 0	(6.6.12)
позволяют определить константы Ап и Вп с учетом теоремы сложе-
ния для функций Бесселя:
Л'о (аР) = 2 Jn И) И) ехр (ш.ф);
п
к
Ко (! ₽ I р) = 2 /„ (| ₽ I fe) К„ (I ₽ ! /) ехр
(6.6.13)
Подставляя (6.6.11) совместно с (6.6.13) в (6.6.12), получаем
Л = - Л И) Af„ (^);	1
Вп = - С/„ (||3|fe) Кп (|₽|R)//n (l₽|R). J (	’
При записи условий на поверхности стержня
= Ф[р =0
(6.6.15)
268
пренебрежем производной от регулярной части Ч’’, а регулярную
. часть Ф возьмем при г = Ь, ср = 0, так как обе функции слабо зави-
сят от координат вблизи стержня. Тогда имеем:
— aN1(aa) — CfiKi (| Р | а) = 0; С=—aNr (апДрЛЧ ([ р | я); 
7V0 (аяэф) Ч- % СК0 (Рядф) +
оо
 (6,6.16)
— оо
Поскольку константы Лп, Вп и С определены, то, подставив во
второе равенство (6.6.16) их значения, получим условие критично-
сти:

а Л\ (аа)
Та
ОО
у Nn (аЯ)	----Гр
а
— оо
Л\ (ал)
— оо

Последней суммой в правой части (6.6.17) можно пренебречь, по-
скольку
(1₽|Я)/Д (1Ж)
л ехр (— 21 р | Я) < 1 при
' > 1.	(6.6.18)
По соображениям, приведенным в п. 1 этого параграфа, в первой
сумме можно пренебречь всеми членами, кроме п = 0. Тогда кри-
тическое условие можно переписать, разрешив его относительно
G (ссЯ):
G (aR) = Jo (ab) Яо (ааэф) —
7(5 а
Л\ (сса)
"1 — 1
Для достаточно тонких стержней это
с учетом
Hm =
а->о аЛ\ (аа)
я
Тогда
G (aR) = J20 (ab) (сшэф) Ч
я Та
(6.6.19)
выражение можно упростить
. (6.6.20)
Как видно из соотношений (6.6.19), (6.6.20), закономерность
снижения эффективности регулятора с ростом b пропорционально
J2 (а&) сохраняется и в двухгрупповом приближении.
269
§ 6.7. СИСТЕМЫ СТЕРЖНЕЙ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
РЕГУЛЯТОРОВ
1. Два эксцентрических стержня в одногрупповом приближе-
нии. Пусть два одинаковых «черных» стержня радиусом а распо-
ложены симметрично относительно центра реактора с расстоянием
от центра стержня до центра реактора Ь. Тогда одногрупповое pet
шение можно записать в виде	i
©О
ф(г, ф) = N0 (аР1) н-дго (ctp2)+ V А п Jn (ctr) ехр (imp). (6.7.1)
— О©
Коэффициенты Ап определяются из краевого условия на поверх-
ности реактора, причем
= — 2Jn (ab) Nn (aR)/Jn (aR); j
Лл==2?:+1 = 0 из симметрии задачи. J	'
При записи потока на поверхности одного стержня необходимо
учесть дополнительный член Л'0 (2ab), отражающий влияние вто-
Рис. 6.7. Интерференция регуляторов
рого стержня. Опуская промежуточные выкладки, запишем выра-
жение для реактивности системы двух стержней в виде
Л	7,55ЛР	Ял 11Й Мп # л Л7 /
Др2(&)=------— 2Л 10.1164-1П—------------------Л» -Г-	
(6.7.3)
По сравнению с формулой (6.6.10) для одного эксцентрического
стержня здесь числитель стал вдвое больше, а в знаменателе появил-
ся поправочный член переменного знака. Очевидно, что при
ДГ0 (2£b/R) = 0 эффективность двух стержней вдвое больше эффек-
тивности одного. Однако для меньших и больших b этот простой
закон трансформируется, поскольку появляется эффект интерферен-
ции стержней.
Проанализируем эту формулу графически (рис. 6.7), построив
зависимости ДР1 (Ь) для одного стержня и х/2Дрг (Ь) для двух.
270
jV0 (2^Z?/7?) == 0 при = 0,9; следовательно, в точке, где
интерференция отсутствует, b/R = 0,185. При b/R <0,185
PVO (2£Ь/Я) < 0, и эффективность каждого из двух стержней мень-
ше эффективности одиночного стержня с тем же эксцентриситетом,
'г. е. имеем область отрицательной интерференции. При b/R >
> 0,185 Уо > 0 — попадаем в область положительной интерферен-
ции.
। Два стержня «затеняют» друг друга на близком расстоянии и,
наоборот, усиливают друг друга при увеличении расстояния меж-
ду ними. Вблизи границы активной зоны с пустотой {b/R < 1)
взаимное влияние практически исчезает — стержни перестают «чув-
ствовать» друг друга.
2. Кольцо регуляторов в двухгрупповом приближении. Рас-
смотрим кольцо из М одинаковых «черно-прозрачных» стержней,
расположенных по окружности радиусом b на одинаковом расстоя-
нии друг от друга (рис. 6.8).
В соответствии со схемой п. 2 § 6.6 решения для потоков бы-
стрых и тепловых нейтронов можно записать как
м
’F (г. ф) = У [Л?„ (ар„) + СК0 (1 ₽ | р J] +
т — 1
оо
+ 2 (4 /„ (аг) + В„ 4 (I ₽ I г)] е«;
— СО
М
Ф 4 ф) = 2	+ Те CjfM М Рт)1 +
т — 1
(6.7.4)
ОО
+ 2	4 (аг) у3 Вп /п (] ₽ | г)] <<
— оо
По теореме сложения функций Бесселя
оо
(арт) = 2	еХР 1 s
S — =^00
где 0т = Ф — q>m = Ф — (2л/2И) (т— I). Учитывая эти соотноше-
ния, сумму по т представим в виде
М	оо
2 ^о(аРт)= 2 4H)^s(ar)exp(iscp)x
rn == 1	S = — 00
X 2 ехР —2niH —1)~
(6.7.5)
Здесь сумму по т можно легко вычислить:
—2л1 {т—1)
$ л _ (М при s/M = k, где k—целое число;
A1J [0 при s/M==v, где v-нецелое число.
(6.7.6)
271
Учитывая это, (6.7.5) перепишем в виде
Л!	оо
У У0(арт) = Л1 2 ЛшДа£) (аг) ехр (Ш£ф).	(6.7.7)
т — 1	/г — — оо
Аналогичным образом получим и
М	оо
2 Ка (| ₽| pm) = М V /,ш(|₽|/>)(|p|<jexp (Mlfep). (6.7.8
«7 — 1	ft? = — ОС
Рис. 6.8. Кольцо регуляторов
Следовательно, решения
(6.7.7) можно записать как
00
Т = М V [JMk (ab) N^k (ar) +
— 00
+ CIMk (f P I b) Kwt (1 p | /')] exP (iAi/гф) -I- To;
Ф = Al У [ya /.ma (ab) Nuk (ar) ф-
— OO
(6.7.9)
-г Yp ClMk (fib) Кш (I Р | /)] ехр (iAf/гср) Фо.
Для удовлетворения краевого условия на внешней поверхно-
сти реактора (г = 7?) приравняем нулю коэффициенты при одинако-
вых ехр (1Пф), т. е. при п = М/г. Тогда получим
Ала =-М JM (а₽)	; В.-.« = -MCIM!t (I ₽ | b)	.
(aR)	!Mk (l и Я)
(6.7.10)
272
Все остальные Л„. и Вп (при п =А МВ) равны нулю. Поскольку си-
стема регуляторов симметрична, достаточно удовлетворить крае-
вым условиям на поверхности первого стержня. Запишем решения
(6.7,4) в окрестности первого стержня в виде
= JVO (аР1) + СК» (| Р 1Р1) + V (г, Ф); 1
Ф =	<«Рх) + ?3СК0 (| р | pi) + U (Л Ф), J ( J
где V и U — функции влияния регулярной части и других стерж-
ней— слабо зависят от координат.
При записи условия VP14rP1 = a = 0 пренебрежем членом VPlK
Тогда
— ссЛ,1 (сха) — С | р f (| р ] а) = 0; С = — у 	  (6-7.12)
При записи условия ФР1 = £1эф — 0 значение U (г, ф) возьмем
в точке г = Ь, ф = 0:
м
Усс Л^О («%>) -ь v₽ ско ([ ₽ [ аэф) 4- 2 (Та М, (adlm) +
т — 2
-Г Тз СК0 (I Р | dlm)] ш 2 [уа Ап Jn (ab) + у₽ Bn In (| р [ Z?)] = 0. (6.7.13)
— 00
Здесь dlm — расстояние между центрами первого и тп-го стержней
(см. рис. 6.8): dlm = 2b sin (т — 1).
Критическое условие, используя принятые упрощения, можно
записать в виде
G (аВ) =
_М/% (aS)
^(айзф) "I" 2d ^o(a^i™) Го л: ГТ Г Ко(|Р1йЭф)'!- 2} Ko([P]^im)
т = 2	Р I Al (I Р I Л) L	/д = 2
(6.7.14)
Формула (6.7.14) как частный случай дает критическое условие
для двух стержней (Л4 = 2):
G (ссТ?) ---------------------------2/2°(а6)---------------------,
М) (^Эф)-!-Л'о ^Ь}——	-^77^-[Ко(^эф)+Ко(21Р^)1
Т» I Р I Ki (I РI а)
(6.7.15)
что совпадает качественно с одногрупповой формулой, но уточня-
ет ее количественно.
ГЛАВА 7
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
§ 7.1. ПОНЯТИЕ БЛОК-ЭФФЕКТА
В большинстве действующих ядерных реакторов на тепловых
нейтронах структура активной зоны представляет собой совокуп-
ность . периодически повторяющихся элементов — так называемую
решетку. При переходе от гомогенной к такой гетерогенной струк-
туре, при которой ядерное топливо в виде отдельных блоков погру-
Рис. 7.1. Распределение потока тепловых, резонансных и бы-
стрых нейтронов в решетке
жено в среду замедлителя, возникает пространственная неравно-
мерность поля нейтронов по решетке. Эта неравномерность различ-
на для нейтронов разных энергий.
Коэффициент размножения определяется для гетерогенного
реактора на тепловых нейтронах так же, как для гомогенного, т. е.
формулой четырех сомножителей:
= W0.
Однако значение отдельных коэффициентов изменяется, в резуль-
тате чего в целом может увеличиться. Изменение k.M за счет ге-
терогенной структуры активной зоны называется блок-эффектом,
или блокировкой.
Использование блок-эффекта имеет решающее значение для до-
стижения критичности при применении слабообогащенного и осо-
274
бенно природного урана. При
применении слабообогащенного
ур ана или тор ия блок-эффект
позволяет снизить обогащение
топлива, необходимое для до-
стижения критичности.
Изменение отдельных сом-
ножителей в формуле для
можно рассмотреть чисто каче-
ственно, опираясь на примерное
распределение потоков тепло-
вых, резонансных и быстрых
нейтронов (рис. 7.1) Так как
коэффициент v меняется незна-
Рис. 7.2. Блочная (гетерогенная)
структура активной зоны
чительно, результирующее уве-
личение определяется в ос-
новном ростом р. и (р.
Коэффициент р, увеличивается, так как поток быстрых нейтро-
нов, вызывающих деление 23£U, в блоке выше, чем средний поток,
соответствующий гомогенному случаю. Коэффициент ср растет
вследствие резкого снижения потока резонансных нейтронов в блоке
(эффект экранировки) и замедления их между блоками. Противо-
действующей тенденцией является уменьшение коэффициента 9,
связанное с увеличением отношения средних потоков тепловых ней-
тронов в замедлителе и блоке (так называемого коэффициента про-
игрыша) Фвам/Фбл‘
^зам фзам V3aM
2дЛ ®бл Кэл
(7.1.1)
Итак, при переходе к блочной структуре активной зоны
V	Л? * U	1J ’СО	СО • fi <7^ fi *	****>
Если предположить, что решетка неограниченно протяженная,
то в ней всегда можно указать поверхности симметрии, разбиваю-
щие ее на периодически повторяющиеся элементы ячейки решетки
(рис. 7.2). На поверхностях симметрии, ограничивающих ячейку,
токи нейтронов обращаются в нуль, что означает отсутствие на-
правленной перетечки нейтронов между ячейками. Таким образом,
можно рассмотреть задачу о поле нейтронов в отдельно взятой ячей-
ке и определить в ней вероятности процессов поглощения тепловых
и резонансных нейтронов.
Когда шаг решетки (расстояние между поверхностями симме-
трии, ограничивающими ячейку) мал по сравнению с размерами
реактора в целом, можно попытаться описать поведение реактора,
мысленно заменяя гетерогенную структуру решетки гомогенной
и приписывая последней средние нейтронные параметры ячейки.
Этот прием, называемый методом эффективной гомогенизации,
275
находит широкое применение в теории реакторов. Преимущество
метода гомогенизации заключается в его простоте и возможности
с его помощью во многих практически важных случаях получить до-
статочно точные результаты, хотя, конечно, существуют ситуации,
требующие более точного рассмотрения.
§ 7.2. КОЭФФИЦИЕНТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Спектр тепловых нейтронов близок к максвелловскому. Пусть
соответствующее распределение потока нейтронов представляется
функцией Ф (Е). Вероятность поглощения тепловых нейтронов в
топливе гомогенной активной зоны равна отношению скорости по-
глощения в ядерном горючем к скорости поглощения нейтронов во
всех компонентах активной зоны:
СО
1 Рг (Е) Ф (Е) dE
СО	со
f рг ога <Е) Ф (Е) dE -[-V j р. а(О(Е) Ф (E)dE
О	i О
(7.2.1)
где рг и — ядерные концентрации изотопов горючего и других
элементов в компонентах смеси; (Г и — микроскопиче-
ские сечения поглощения изотопов, зависящие от энергии.
Нетрудно видеть, что написанную формулу для 0 в гомогенной
смеси можно записать в виде
0 =
vU । у зам ]
— 1
(7.2.2)
где , 2аам и — макроскопические эффективные сечения со-
ставляющих активной зоны (урана, замедлителя, конструкционных
материалов), т. е. макроскопические сечения, усредненные по энер-
гетическому спектру потока тепловых нейтронов. В гомогенном
реакторе, конечно, плотность нейтронов одинакова во всех ча-
стях смеси, и поэтому скорость соударений на данном компоненте
активной зоны определяется формулой
v S = р [ ст (Е) Ф (Е) dE = pot? = Sa	(7.2.3)
b
Отсюда определим эффективное микроскопическое сечение
о —
J ст (Е) Ф (Е) dE,
Q
(7-2.4)
J 00	_ оо
где Ф = п (£) v (£) и — Ф (£) dE = 1; v = [ Ф (£) dE, При этих
v Ь	о
оо
обозначениях v = f v (Е) п (Е) dE имеет смысл средней скорости
276
нейтрона, если п (Е) — функция распределения нейтронной плот-
со	_
ности ( f п (Е) dE = 1). Тогда 3 = ро.
‘ о
Поскольку эффективные сечения зависят от распределения по-
тока нейтронов Ф (Е), величину 0 в общем случае нельзя опреде-
лить без вычисления функции Ф (Е). Однако если значения се-
чений всех составных частей смеси различны, но одинаково изме-
няются с энергией, величина 9 может быть определена без зна-
ния Ф (Е).
Заметим, что для многогрупповых расчетов, где выделяется
ОФ
группа тепловых нейтронов, интеграл f dE следует заменить
б
Е
т
на f dE (...), где Ет рассчитывается по формулам, приведенным
6
в приложении П5.2, как условная граница, отделяющая спектр
тепловых нейтронов от спектра замедления [4]. Тогда формулу
(7.2.4) следует заменить на
вт	_
У I о (Е) ф (Е) dE, где v = f
a J	J
о	о
(7.2.4а)
Для максвелловского распределения нейтронного газа с темпе-
ратурой Ед по скоростям v вычисляется с помощью формулы
КТ=УЙ ]/£i[l-(l+x)e-4[erf	VTe-4~l,
|/л	р л
(7.2.46)
где
X
х = -^; erf(x)=-^Ce-^E ЕН=/?ТП,
Ей	V я J
о
причем для случая х > 5 с хорошей точностью выполняется
V Е & (2/J/ л )фЛЕн
(7.2.4в)
(погрешность меньше 2%).
В частном, но имеющем большое практическое значение случае
в тепловой области сечение составных частей смеси следует извест-
ному закону \!v. Тогда можно принять (Е) = оа0 (Ео) ]/*Е0/Е и
£т /---------
= Г 1 / Ф (£) dE,
v J V Е
о
(7.2.5)
277
где Ео — произвольно выбранная энергия, которой соответствует
сечение оа0.В этом случае независимо от вида спектра нейтронов
Ф (£) величина 0 по формуле (7.2.2) равна
0=2аиоРоио4-21о“ + 2?о]"1-	(7-2.6)
Здесь SР^аО1
Если хотя бы у одной компоненты активной зоны сечение по-
глощения не подчиняется закону 1/и, то пользоваться формулой
(7.2.6) нельзя. В этом случае необходимо знать спектр нейтронов
в реакторе.
Задача определения спектра тепловых нейтронов (термализация)
должна быть решена с учетом химических и кристаллических свя-
зей между атомами рассеивателя-замедлителя. Ниже мы восполь-
зуемся простейшими следствиями теории термализации, согласно
которым для случая слабого поглощения нейтронов в рассеивающей
среде устанавливается квазимаксвелловское распределение нейтро-
нов по энергии.
Если бы нейтроны не поглощались средой и утечка из этой сре-
ды отсутствовала бы так же, как и генерация новых тепловых ней-
тронов, то, согласно общим законам термодинамики, должно было
бы установиться тепловое равновесие между нейтронным газом и рас-
сеивающей средой. При слабом поглощении и генерации тепловых
нейтронов такое равновесие возникает только приближенно (квази-
равновесие), и для реакторов на тепловых нейтронах спектр ней-
тронов в тепловой группе можно аппроксимировать максвеллов-
ским:
п (В) dE = М (Е, kT,,) dE = 2 1/ JL ехр Л-Д-)
(7.2.7)
при
" M(E,kTJ dE=l,
о
(7.2.7а)
где Тп — эффективная температура нейтронного газа. В приложе-
нии П5.2 отмечено, что 7НУ> Т^. Чем выше поглощение в среде,
тем больше эта разница. Именно вследствие поглощения (и замедле-
ния) спектр нейтронов в замедлителе не будет точно максвеллов-
ским. В современных реакторах (7Н— ТСр)/ТСр = 0,1 н- 0,3.
Теория и эксперимент приводят к такой приближенной формуле
для определения эффективной температуры нейтронного газа:
Л = Лам (1 + Л2ог/|38),	(7.2.8)
где А — постоянная порядка 1, слабо зависящая от рода замедли-
теля, a	— отношение макроскопического сечения захвата
к эамедляющей^способносгпи среды £2S.
278
Таким образом, при слабом поглощении в гомогенном реакторе
при вычислении G усреднять сечения следует по максвелловскому
спектру с эффективной температурой нейтронного газа Ти.
Вернемся к формуле (7.2.5). Подставляя в нее Ф(£) =
- v (Е)п(Е), v (E)7v - VE/VE и принимая £0 = kTнаходим,
используя (7.2.7):
Ет /------ /---------------
о
_	°а0	~1 / У рГ । /	&
V Лт J Ул |/ /?7Д
о
Обычно EjkTu > 5. Тогда из последнего
(7.2.4в), (7.2.7а), получим
— E/kT^ dE
е ь ——.
kTn
выражения, согласно
оа ж (у я/2) оа0У Т0/'Г1Г
(7.2.9)
Из этих выкладок видно, что зависимость эффективного сечения тепловых
нейтронов от температуры среды в случае закона 'Jv определяется прежде
всего зависимостью от температуры среды средней скорости нейтронов
v ~ У5 [см. (7.2.4в)]. Отклонения от закона l!v удобно учитывать с по-
мощью поправочного множителя /:
где
О
(7.2.9а)
(Е) VE n(E) dE
Табличные данные для / приведены, в [4]. При использовании закона 1/о
коэффициент f точно равен 1. Для 235U f всего на несколько сотых отличается
от 1. Гораздо более заметное отклонение наблюдается для -39Ри, у которого
вблизи тепловой энергии имеется сильный резонансный максимум (—0,3 эе).
В формулах (7.2.9), (7.2.9а) обычно принято выбирать £() со-
ответствующей скорости нейтрона 2200 м/сек, или 7$ = 293° К
(Ео = 0,0253 эв).
Обобщим формулу (7.2.1) на случай гетерогенного реактора,
принимая в качестве верхней границы группы тепловых нейтронов
значение £'т. В гетерогенном реакторе поток нейтронов зависит не
только от энергии, но и от положения точки в пространстве, т. е.
Ф = Ф (Е, г) = v (Е) п (Е, г), так же, как и ядерные концентра-
ции рг (г). Поэтому формула для 0 гетерогенной решетки примет
вид
279
Таким образом, при слабом поглощении в гомогенном реакторе
при вычислении G усреднять сечения следует по максвелловскому
спектру с эффективной температурой нейтронного газа Ти.
Вернемся к формуле (7.2.5). Подставляя в нее Ф(£) =
- v (Е)п(Е), v (E)7v - VE/VE и принимая £0 = kTнаходим,
используя (7.2.7):
Ет /------ /---------------
о
_	°а0	~1 / У рГ । /	&
V Лт J Ул |/ /?7Д
о
Обычно EjkTu > 5. Тогда из последнего
(7.2.4в), (7.2.7а), получим
— E/kT^ dE
е ь ——.
kTn
выражения, согласно
оа ж (у я/2) оа0У Т0/'Г1Г
(7.2.9)
Из этих выкладок видно, что зависимость эффективного сечения тепловых
нейтронов от температуры среды в случае закона 'Jv определяется прежде
всего зависимостью от температуры среды средней скорости нейтронов
v ~ У5 [см. (7.2.4в)]. Отклонения от закона l!v удобно учитывать с по-
мощью поправочного множителя /:
где
О
(7.2.9а)
(Е) VE n(E) dE
Табличные данные для / приведены, в [4]. При использовании закона 1/о
коэффициент f точно равен 1. Для 235U f всего на несколько сотых отличается
от 1. Гораздо более заметное отклонение наблюдается для -39Ри, у которого
вблизи тепловой энергии имеется сильный резонансный максимум (—0,3 эе).
В формулах (7.2.9), (7.2.9а) обычно принято выбирать £() со-
ответствующей скорости нейтрона 2200 м/сек, или 7$ = 293° К
(Ео = 0,0253 эв).
Обобщим формулу (7.2.1) на случай гетерогенного реактора,
принимая в качестве верхней границы группы тепловых нейтронов
значение £'т. В гетерогенном реакторе поток нейтронов зависит не
только от энергии, но и от положения точки в пространстве, т. е.
Ф = Ф (Е, г) = v (Е) п (Е, г), так же, как и ядерные концентра-
ции рг (г). Поэтому формула для 0 гетерогенной решетки примет
вид
279
I" (jT (E) v (£) S (E)dE
2 a = 0 r Oa J	i
[ v (E) S (E)dE
о
- 1 r
Фг = — dr® (г); Ф (r) = n (r) v C S (E) dE;
V	J
Г	0
M	I
v=~ j* v (E) S (£) dE S (E) dE ,
0	' 0
где Fr — объем блока ядерного горючего; Ф (г) — поток тепло-
вых нейтронов в точке г решетки; Фг — средний по объему блока
ядерного горючего поток нейтронов; = рсг^ — макроскопиче-
ское сечение поглощения нейтронов ядерным горючим в блоке.
Так же вычисляется сечение поглощения Sft и для других ком-
понентов активной зоны. Следует напомнить, что мы учли здесь
отдельно пространственную и энергетическую зависимости, тогда
как, вообще говоря, их необходимо учитывать вместе. При приня-
том допущении аналогом выражения (7.2.2) является формула
О =--------=-------Уи ----------------—.	(7.2.10)
2? Уи ФО “Г 2ГМ Нам Фзам + S* Н фк
В расчетах удобно пользоваться величиной относительного погло-
щения
q = (I — 0)/О = I/O — I.
Если 0 — вероятность поглощения в уране, то (I — 0) — вероят-
ность поглощения в замедлителе, теплоносителе и других компонен-
тах. Для активной зоны, состоящей из горючего и замедлителя,
(7.2.11)
Например, если решетка активной зоны содержит кроме замедли-
теля и теплоноситель (отметим его индексом «т»), то
^зам узам фзам-[- £ ру ф.р
7 =---------Л---=---------
ти V Ф
В общем случае, когда решетка активной зоны состоит из п
различных составных частей,
е=1/(Ц-7); <7= 2-	КVu®u. (7.2.12)
г = 1
Введем понятие коэффициента экранировки Q. Рассмотрим ак-
тивную зону, в которой блоки урана размещены в замедлителе
(см. рис. 7.2). Максимальный поток нейтронов в блоке ФблКС равен
281
потоку нейтронов на поверхности блока и, следовательно, в замед
лителе. По определению, коэффициент экранировки
(? = Ф^КС/Фал!	(7.2.13)
где Фбл — средний поток нейтронов в блоке.
Точное вычисление коэффициента экранировки — задача слож-
ная, треоующая применения газокинетической теории. Однако при
определенных условиях можно пользоваться и диффузионной тео-
рией. Найдем коэффициент экранировки для плоского блока тол-
щиной 2а, предполагая, что тепловые нейтроны в блоке не генери-
руются. Из уравнения дифсрузии с поглощением, но^без источника
D АФ — 2 а гф = о,	(7.2.1 За)
где согласно (7.2.4а) в приближении (7.2.96) следует писать
С D (£) у (£) S (Е)АЕ
J_____________________
1 У (/:) 3 (Е) dE
б
Тогда
АФ — Ф/7? - о, /? V.-. D/v
(7.2.136)
(7.2.13b)
и из условия симметричности решения имеем Ф (х) = A ch (x/L).
Тогда средний поток нейтронов в блоке записывается в виде
Максимальный поток нейтронов в блоке равен его значению на
поверхности блока, т. е.
Ф£Г = A ch (ц/£).
В результате коэффициент экранировки Q плоского блока получим
как отношение
cth = ! _L Д Mr ,	_a_ . .
{ALjci} sh (aiL) L E ' 3 './J '	’ A ’
(7.2.14)
пли
Q ~ 1 -Ь V3 при {a/Ly < 1.
Аналогично можно вычислить Q для блоков различных форм:
сферический блок радиусом а:
Q=3as[ Г ctb ~ — ] Yl-1 = 1 _l_ V _i (7.2.15)
\ й А !]	15 L ) К 1
28Й
или
цилиндрический блок радиусом а:
...» (7.2,16)
или
1-[-~ (a/L)'2 при (а/£)4С1;
О
трубчатый блок без поглощения внутри трубки (а — внутренний
радиус блока, б — его толщина):
где ?! = (а + б)/Д; а2 = a!L.
На основании формул (7.2.14)—(7,2,17) для коэффициента эк-
ранировки Q можно сделать следующие выводы:
1)	всегда Q > 1;
2)	характерным параметром является отношение a!L\
3)	Q раскладывается в ряд по четным степеням a/L.
Теперь перейдем к вычислению по диффузионной теории относи-
тельного поглощения q для решетки из плоскопараллельных блоков
толщиной 2а, расположенных с шагом 2Ь. Будем считать, что блок
состоит из достаточно тяжелых ядер, так что генерацией нейтронов
в нем за счет замедления на ядрах блока можно пренебречь.Запишем
уравнения для потоков тепловых нейтронов в блоке и замедлителе.
ДФбл-Фбл/^л = 0; ДФ8ам-Фзам^^амЩ/7^ам = 0-	(7-2.18)
Если Ъ < 2 Ут^л, то, как известно из теории замедления в решетке»
/ (г) = const [см. (4.5.11)].
На границе блока и замедлителя справедливы следующие ус-
ловия сшивания:
фил (а) = Фзам (а), гбл (а) = *зам (а).	(7.2.19)
Кроме того, в соответствии с краевыми условиями на поверхно-
стях симметрии
при х = 0	/бл (0) = 0;	]	2
при х = Ъ	i3aM (б) = 0.	J
283
Очевидно, решением первого уравнения системы (7.2.18) будет
выражение
®ол = С ch (л7£бл), 0 <7 х а,	(7.2.21)
а решением второго
Фзам = A ch[(x —&)/L3aM] + /72язам, а < Ь, (7.2.22)
Из (7.2.21) и (7.2.22) и определения i как —РУФ получим
<ил (*) = — -°Сл sh—; z3ElM (х) = —Рзам sh ;
^6,71 -t-бл	чзаМ ^зам
Од::т<дл.	(7.2.23)
Число q = (1 — 9) /9 — 1/9 — 1 определялось как отношение
скорости поглощения нейтронов во всем объеме замедлителя к ско-
рости их поглощения во всем объеме блока. Последняя равна току
нейтронов, проходящих через поверхность блока, т. е. величине
| гбл (й) ]. В стационарном случае скорость генерации нейтронов
в ячейке / (Ь — а) должна быть равна скорости их поглощения в
ней. Поэтому скорость поглощения нейтронов в замедлителе оп-
ределяется разностью / (Ь — а) —| /бл (a) J, откуда следует
7 -	1 = (Ь _ а) _/---j ф (7.2.24)
I гбл I	I I
Из условия Фбл (а) = Фзам (а) и из выражения (7,2.22) найдем
а
т Q	Я L* t
C ch-------A ch-------
^бл	^заэд
Пользуясь равенством (а) = /\ам (я), получаем, что
4
 — 2зам
I ('бл 1	( ‘
fl   £зам £
^бл	^зам
cth
Подставим (7.2.25) в (7.2.24):
а
Рэл ^зам
(Ь — а) 2Лам£зам a_h
--------------------------------—--------cth-^— ----1. (7.2.26)
^зам
(7,2.25)
зам
Узам
а
^•cth
зам
(Ь-а)^™а а
'---—-----cth —
7бл
а2бл
зам
^бл
4?-cth
а—b
Вспомнив, что Q=(a/L6;i) cth (а/Ь&л) [см. (7.2.14)], преобразуем
(7.2.26) к виду
Ь—а
^зам
(7.2.27)
Обозначим
(Ь - a) sr <2'а26,л = 7»;
д— а ,, b — а <
-----------Cth-----------1 = 7Х.
^зам ^зам
(7.2.28)
(7.2.29)
284
Тогда q можно представить как q =	+ 7г Так как (/? — а) =
~ ^2^заМ’	2 Ибл, ТО
2зам т/
л к ЧЯ 1\Т
Я----Ч;-----Q + Я^Я^Яг	(7.2.30)
Смысл разделения q на два слагаемых q$ и qY заключается в том,
что для определения члена q$ достаточно знать только свойства
блока, т. е. Q, а для определения qL достаточно знать только свойства
замедлителя, его размеры и форму.
Формулу (7.2.30) можно обобщить для решеток с любой фор-
мой блоков, введя понятие эквивалентной одномерной ячейки,
объем которой совпадает с объемом истинной ячейки.
Действительно, из условия стационарности задачи вытекает
выражение для q:
q=—- =Д/за>1-5ы‘5л1 = у	[-----}	(7.2.31)
0	SI щл i 3351 SI /бл!	}
где Узам — объем замедлителя; S — поверхность раздела замед-
литель — блок. Из уравнения диффузии нейтронов в замедлителе
АФ — Ф/£*ам + j!D = 0; / = const	(7.2.31а)
найдем решение одномерной задачи в виде
Ф = Ах( —Н — 	(7.2.32)
Х^зам/	\^зам/
С*
Здесь X и Y — линейно независимые функции, удовлетворяющие
уравнениям
ДХ — X/LU = 0; ДУ — У/LU = 0.	(7.2.32а)
Из условия обращения тока нейтронов i (г) в нуль на внеш-
ней границе ячейки г = b найдем
Q__,__Д X* (Ь/Вжм)
У' (Ь/£зам)
Таким образом,
(D^Azf—V'-— ,	(7.2.33)
L**
где Z обозначена линейная комбинация X и У:
Z=X— Х‘ у.	(7.2.33а)
Y' (b/Ls3M)
Следовательно, на поверхности г = а блока
Фбл (й) = AZ (a/L^ ф /72Г.	(7.2.34)
Отсюда найдем, что
J 2зам Фбл(д)(а/Лзам)
S Йбл	а S I (дл (a) I S 1 1дл (ч) | _
285
Кроме того, из определения коэффициента экранировки блока сле-
дует, что
Фел («) = Q Фбл-	(7-2.35)
Теперь заметим, что в силу стационарности задачи
s I »<>л (я) I = У6л Фбл 2? = Убл фбл(а) 2?/Q, (7.2.35а)
а из условия непрерывности тока на поверхности раздела замедли-
тель — блок имеем
«бл W = <,ам (Я)-----s	2'
^-зам
Теперь можно написать искомое выражение для q в виде
: зам д q_____ ^зам (&/^зам)
Убл	^L3aM Z' (а/£зам)
Lv
Таким образом, как и для плоской симметрии,
7о = Q Киш 2Г“/У5Л2?,
a q± определяется из выражения
—г
„ __	~ ^зам Z(a/ ^зам)
4 Азам Z’ (а/А3ам)
___ &3—аз /
З/т/ 2
'"“'зам к
— 1. (7.2.39)
где ^зам = 4Узам/5 —средняя хорда в замедлителе [см. (7.5.31а)].
Выпишем для разных форм блока и ячейки решетки.
1. Сферическая ячейка радиусом b со сферическим блоком
радиусом о:
1	&	b—а \ /. Ьа Ь—а	b— а\~г	,
1-------Cth------- 1 — р- - -  -----С th---	— 1.
Азам Азам / \ *-зам Азам Азам/
(7.2.38)
2. Цилиндрическая ячейка радиусом b с цилиндрическим бло-
ком радиусом а:
q	g2 А) (Д/Азам) Ki (^/Азам) 4~^~0 (а/Азам) Л (6/Азам)
2йАзам Л. (^/Азам) (С/Азам) (^/Азам) (а/Азам)
Использование последней формулы часто затруднительно,
так как в знаменателе стоит малая разность двух больших вели-
чин.
Если площадь блока ла2 много меньше площади эквивалентной
ячейки w = л£?3, то для справедливо приближенное выражение
___________________ w Г1п(со/ла2) 3 j лда
71 — 4лАаам[	Т 1 “2ZT
(см. ниже упражнение 2).
. Цилиндрические и сферические ячейки в гетерогенной решетке
можно рассматривать как некоторое приближение к ячейкам в
(7.2.40)
286
виде бесконечно протяженных многогранников и параллелепипедов;
например, для цилиндрических блоков решетки поперечные разре-
зы соответствующих им ячеек показаны на рис. 7.3.
Точные расчеты, например по так называемому гетерогенному
методу, показывают, что с хорошей точностью (~0,1 %) для расчета 9
истинная форма ячейки может быть заменена эквивалентной
(см. заштрихованную область на рис. 7.3), если площадь эквивалент-
ной ячейки равна площади истинной ячейки. Этот факт оправдывает
применение приведенных формул для сферических и цилиндриче-
ских ячеек.
Рис. 7.3. Эквивалентная цилиндри-
ческая ячейка
Рис. 7.4. Зависимость Фт от г, когда
водяная пленка расположена вокруг
блока
Урановые блоки в действующих реакторах охлаждаются с по-
мощью воды, воздуха или какого-либо другого теплоносителя.
Причем, например, водяная пленка повышает плотность тепловых
нейтронов в замедлителе и, следовательно, изменяет распределение
потока тепловых нейтронов в решетке.
Пусть урановый блок омывается тонким слоем простой воды
толщиной 6 (рис. 7.4). Так как обычно б « Дню, то влиянием по-
глощения и генерацией тепловых нейтронов в водяном слое на рас-
пределение потока нейтронов можно пренебречь. В этом случае
уравнение для потока нейтронов в воде запишется так: ДФ = О,
или в цилиндрической геометрии
А г±ф.^о.
dr dr
Решение этого уравнения Ф = Д + В1пг означает, что поток
тепловых нейтронов в слое 5 возрастает с увеличением г. Это объяс-
няется большим диффузионным сопротивлением водяного слоя из-за
малой транспортной длины воды. Для воды %tr ж 4 мм, тогда
как для графита яе 25 мм. Скачок потока тепловых нейтронов
в слое воды повышает среднюю плотность тепловых нейтронов в
замедлителе и, следовательно, увеличивает в нем вредное погло-
287
щение нейтронов. Поэтому в формулу для относительного погло-
щения в замедлителе нужно ввести поправочный коэффициент (3;
<7о =	УСл>	(7.2.41)
где
R = ф (а + б)	Л + 1п (йЧ-6) _ Ф (а)—В In а-}-В In (д-Н) _
Ф (а)	А В In а	Ф (о)
11	5 in Л 1 *5 \ _ 1 , В 6	(5	.«
= 1 4-----in 1 4---«14------------ при — <cj.
Ф (а)	\ a J Ф (а) а а
С одной стороны, диффузионный поток через цилиндрическую
поверхность блока
2лд ] i («)] = 2 staD V Ф (а) = 2 naDBla ~ *2nDB.
С другой стороны, этот поток равен скорости поглощения нейт-
ронов в блоке 2®лФбл7бл. Воспользовавшись (7.2.35а), напишем
2?Ф«лГсл = S®"E03®(a)/Q.
Приравнивая диффузионный поток к скорости поглощения
нейтронов в блоке, найдем, что
В/Ф (а) = VGjiS?/2jiDQ.
Подставляя это выражение в формулу для |3, напишем
₽=1н.2^1пр +Д>1+^=1+^.
'	2jrDQ ( а J	2.-DQa	2DQ
При вычислении поглощения тепловых нейтронов в тонком слое
воды считаем, что поток нейтронов изменяется в этом слое линейно.
Тогда
Ущо QP72?	(7.2.42)
где Р' = (1 + |3)/2.
Водяной теплоноситель изолируется от горючего и замедлителя
металлическими, например алюминиевыми, трубками. Поглощение
в трубках оценивается по следующей формуле:
?А1 = 2"Ка1<23"/2?1/6л.	(7-2.43)
где р" = (Hi + /цр)/7д1. Индекс I обозначает первую трубку,
а индекс II — вторую.
Зазор (пустота) между блоком н замедлителем также влияет
на изменение распределения потока тепловых нейтронов в решетке.
Для зазора толщиной 6
<7о =	(7.2.44)
где для цилиндрического блока
а
а 4- б
П -Г , а^аЛ 1	2	.а 2 а л /".
/^14--—- 1-------arcsin——--------1/ 1 —
Q	тс а+ о п а 4- и I
288
a qx вычисляется по формуле (7.2.39) при значении радиуса блока,
увеличенном на толщину воздушного зазора б.
В случае воздушного зазора поток нейтронов в замедлителе вы-
равнивается, и поэтому 0 возрастает.
Упражнение 1. Вывести формулу (7.2.39).
Решение. Линейно независимые решения уравнений (7.2.32а) в
цилиндрических координатах- равны
ТС = /0 (г/Дзам); ¥ = Ко (/"/^зам)-
Тогда по формулам (7.2.33а), (7,2.36) имеем
% (	г	А___j /	г	А	। Л (<^7 7-зам) д. / г	А.
\ ^зам /	\ ^зам	^зам /
7г [	г	А	г (	r	А А (^/7эам) „ ( г А
Zz 1	| — / j I — I “	' Д j	[ т
\ ^зам /	\ ^зам / Ki(b/L3aM) \
^зам /
Рзам ^(й/£эам) t
q1 == —	"	— 1 =
SL3aM Z'(a/L3a^
Узам /й (fl/Ддам) Xi {bjLзам)+К0 (Й/£ЗЗМ) л (&/
^зам) j (7 2 45)
SLaaM (b/Дзам) Ki (й/Аам) Ki (&/Т3ам) А (а/£-зам)
где KgaM/S = л: (£>2 — а2}12па — (Ь2 — а2)/2с, что и требовалось получить.
Коэффициент экранировки должен быть взят по формуле (7.2.16), так что
V УЗЭМ V ТЗЗМ	Г / IT \
1зам2‘й	^зам2,а	« А (а/7бп)	„ ,йч
(7'2Л6)
Упражнение 2. Если	< 1, то /а (r/Лдам) 1 +
4“	(^^зам)2> Ко (^/^зам)~Со 1п (г/Дзам) 4~ Сх -j- С2 (г/Езам)^, Пока-
зать» что в этом приближении уравнение (7<2.31а) можно заменить уравне-
нием
ЛФаам+7Г- = 0 или —	+_Л_ = о, (7.2.47)
Ызам	г аг ат ь*зам
иначе говоря, можно пренебречь захватом нейтронов в замедлителе для вы-
числения функции Ф3ам (г). Найти в этом приближении формулу для вычис-
ления qi и убедиться, что она совпадает с (7.2.40).
Решение. Линейно независимыми решениями однородного урав-
нения ДФзам = 0 будут функции X (г) = I и У (г) — In г. Частное решение
неоднородного уравнения можно взять в виде/(г) = Сг2. Тогда С =
Видно, что из функций In г, 1, г2 можно составить решение уравнения (7.2.31а)
лишь с точностью до (Ь/7ЗЯМ)3, если отбросить члены высшего порядка ма-
лости, начиная с (т/Тэам)4 < (&/£зам)4. Таким образом, уравнение (7.2.47)
пригодно лишь при выполнении условия
X 1.	(7.2.48)
Решения уравнений (7.2.47) и (7.2.31а) будут различаться на величину
порядка малости (blL^-^. А так как при вычислении 6 нам нужен интеграл
ь
J </ггФзам (г), то разница в величине 0 будет еще меньше.
а
Интегрируя (7.2.47), получаем

гФзам (г)— йФзам (#) == — 'ТГ (f3 — й2)*
^зам
10 Зак, S5
289
a qx вычисляется по формуле (7.2.39) при значении радиуса блока,
увеличенном на толщину воздушного зазора б.
В случае воздушного зазора поток нейтронов в замедлителе вы-
равнивается, и поэтому 0 возрастает.
Упражнение 1. Вывести формулу (7.2.39).
Решение. Линейно независимые решения уравнений (7.2.32а) в
цилиндрических координатах- равны
ТС = /0 (г/Дзам); ¥ = Ко (/"/^зам)-
Тогда по формулам (7.2.33а), (7,2.36) имеем
% (	г	А___j /	г	А	। Л (<^7 7-зам) д. / г	А.
\ ^зам /	\ ^зам	^зам /
7г [	г	А	г (	r	А А (^/7эам) „ ( г А
Zz 1	| — / j I — I “	' Д j	[ т
\ ^зам /	\ ^зам / Ki(b/L3aM) \
^зам /
Рзам ^(й/£эам) t
q1 == —	"	— 1 =
SL3aM Z'(a/L3a^
Узам /й (fl/Ддам) Xi {bjLзам)+К0 (Й/£ЗЗМ) л (&/
^зам) j (7 2 45)
SLaaM (b/Дзам) Ki (й/Аам) Ki (&/Т3ам) А (а/£-зам)
где KgaM/S = л: (£>2 — а2}12па — (Ь2 — а2)/2с, что и требовалось получить.
Коэффициент экранировки должен быть взят по формуле (7.2.16), так что
V УЗЭМ V ТЗЗМ	Г / IT \
1зам2‘й	^зам2,а	« А (а/7бп)	„ ,йч
(7'2Л6)
Упражнение 2. Если	< 1, то /а (r/Лдам) 1 +
4“	(^^зам)2> Ко (^/^зам)~Со 1п (г/Дзам) 4~ Сх -j- С2 (г/Езам)^, Пока-
зать» что в этом приближении уравнение (7<2.31а) можно заменить уравне-
нием
ЛФаам+7Г- = 0 или —	+_Л_ = о, (7.2.47)
Ызам	г аг ат ь*зам
иначе говоря, можно пренебречь захватом нейтронов в замедлителе для вы-
числения функции Ф3ам (г). Найти в этом приближении формулу для вычис-
ления qi и убедиться, что она совпадает с (7.2.40).
Решение. Линейно независимыми решениями однородного урав-
нения ДФзам = 0 будут функции X (г) = I и У (г) — In г. Частное решение
неоднородного уравнения можно взять в виде/(г) = Сг2. Тогда С =
Видно, что из функций In г, 1, г2 можно составить решение уравнения (7.2.31а)
лишь с точностью до (Ь/7ЗЯМ)3, если отбросить члены высшего порядка ма-
лости, начиная с (т/Тэам)4 < (&/£зам)4. Таким образом, уравнение (7.2.47)
пригодно лишь при выполнении условия
X 1.	(7.2.48)
Решения уравнений (7.2.47) и (7.2.31а) будут различаться на величину
порядка малости (blL^-^. А так как при вычислении 6 нам нужен интеграл
ь
J </ггФзам (г), то разница в величине 0 будет еще меньше.
а
Интегрируя (7.2.47), получаем

гФзам (г)— йФзам (#) == — 'ТГ (f3 — й2)*
^зам
10 Зак, S5
289
является поправкой к Ц1 ~O)-01roM/ Отсюда впдио, чго t] > c/roiVlf и соответ-
ственно f) < 0ГОМ вследствие экранировки нейтронов в блоке [величина
v зам т/
~>а узам	1м
__-------- (Q — 1)J и депрессии потока нейтронов в окрестности олока
2 VGJI
(величина (ц).
§ 7.3. ГАЗОКИНЕТИЧЕСКИЕ ПОПРАВКИ К 0
Все полученные выше результаты были следствием применения
диффузионной теории, которая приложима к описанию диффузии
тепловых нейтронов в объеме замедлителя, где сга < сц, но неприло-
жима к описанию поля нейтронов внутри блока ядерного горючего,
где оа > crs. Однако если считать, что размеры уранового блока
меньше или порядка длины диффузии, то поправками, возникаю-
щими вследствие неточности диффузионной теории, можно в пер-
вом приближении пренебречь. Как показывает сравнение результа-
тов расчета по газокинетическому уравнению с результатами расче-
та по диффузионной теории, расхождения между ними невелики,
особенно если в выражении для диффузионной длины блока L
и = ЦЦ/З; Х(г = ЩИ1;	(7.3.1)
транспортное сечение учитывает сечение захвата, т. е. [см. (П2.1.17а)]
= Sa + (1 - р) 23.	(7.3.2)
Более корректный учет г азо кинетических поправок делается
множеством различных методов. Один из наиболее простых способов
введения газокинетической поправки—метод, предполагающий, что
угловое распределение падающих на блок нейтронов изотропно.
Опуская все выкладки, приведем здесь лишь конечные результаты.
Коэффициент экранировки блока Q можно определить из выражения
Здесь и длины поглощения и рассеяния в блоке; Z =	—
средняя хорда блока (V — объем блока; S — площадь его поверх-
ности); Р — вероятность испытать любое столкновение в блоке ней-
трону, родившемуся там от равномерно распределенного источ-
ника. (Величина Р табулирована в табл. 7.3 и определена в прило-
жении П7.3.) Этот коэффициент экранировки блока должен заменить
«диффузионный» коэффициент Q из формул (7.2.14) — (7.2.17).
Однако, кроме того, необходимо внести поправку в величину
для замедлителя. Для цилиндрических блоков ядерного горючего
в скобках выражения (7.2.40) необходимо добавить член
6о=2ЩшЩ	2 )	(7.3.4)
а \	3 /
* Смысл этого выражения разъяснен ниже [см. (7.5.31)].
10
291
где у = у'ф; ^Ф — логарифмическая производная на гра-
нице черного поглощающего цилиндра, вычисленная в газокине-
тическом приближении (см. § 6.3).
Выше была рассмотрена задача определения 0 в случае,
когда тепловые нейтроны генерируются только в объеме замедли-
теля. Однако в современных реакторах часто используют сложные
блоки, содержащие и ядерное горючее, и замедлитель. Например,
в технологические каналы, расположенные в графитовом или тяже-
ловодном замедлителе, помещают пучки твэлов, содержащих ядер-
ное горючее. Между этими твэлами протекает водяной теплоноси-
тель, являющийся одновременно и очень сильным замедлителем.
Некоторое количество замедлителя содержится в составе компо-
зиции самих твэлов, например кислород или графит. В этих случаях
пренебречь эффектами замедления в блоках ядерного горючего уже
нельзя и приходится рассматривать последние как смеси ядерного
горючего и замедлителя.
В первом приближении плотности генерации тепловых нейтро-
нов в собственно замедлителе и .в блоках ядерного горючего, со-
держащих также замедлитель, пропорциональны замедляющей
способности Е25 в объеме замедлителя и блоков горючего соответ-
ственно, т. е.
Лам =	/бя =	(^)6л.	(7.3.5)
Теперь перейдем к решению задачи о 0 в ячейке решетки, в ко-
торой нельзя пренебречь величиной /бл. В этом случае можно было
бы составить уравнения диффузии тепловых нейтронов в блоке и в
замедлителе:
ДФсл—^- + -^-=0; ДФЮ„—^+-^-=0, (7.3.6)
отличающиеся от (7.2.18) только наличием члена генерации тепло-
вых нейтронов в уравнении для блока, и решить эти уравнения,
полагая, что Фбл и Фзам удовлетворяют условиям сшивания и гра-
ничным условиям на поверхностях симметрии (7.2.20). Однако
более поучительно воспользоваться теоремой взаимности, кото-
рая позволяет определить искомую величину 6 через выражение
для 0, уже записанное нами для случая /бл = 0.
Согласно теореме взаимности (см. приложение П7.1), для диф-
фузии моноэнер гетических нейтронов в неоднородных рассеивателях
функция Грина—функция влияния изотропного источника — сим-
метрична, т. е.
G(r, С) - G (г', г).	(7.3.7)
Физический смысл этой теоремы заключается в том, что перестанов-
ка источника и детектора не меняет показаний последнего.
Теперь рассмотрим две вспомогательные задачи.
292
Задача 1: /бл — 0, /зам — 1, т. е. это уже рассмотренный
ранее случай, для которого можно считать известным.
Задача 2: /бл = 1, /згш = 0; это новая задача, для которой
обозначим величину 0 как ()2.
Согласно определению величины 0, напишем
0х - ГРлФ^21л/У38М ‘ 1.	(7-3.8)
Здесь Фбл’ — средний поток нейтронов в блоке для задачи 1;
знаменатель — скорость захватов в ячейке решетки — определяется
из условия стационарности задачи, а единица — это плотность ге-
нерации тепловых нейтронов, т. е. /зам = 1. Аналогично
I/-	I/f- 1 V	узам	v	узам
g ___^бл фбл	1 — ^ам ^зам _ j____________изам ^зам __
!	^'бл'1
у б)<2) 5бл Уза?гГ v
__ 2 __ зам 47зам а а  зам	/у д\
^зам	2^л	1^6 л
С*’
Преобразование числителя вытекает из условия стационарности
задачи, а второе преобразование заключается в простом домно-
жении числителя и знаменателя на 2цЛ17зам.
Теперь воспользуемся теоремой взаимности. С помощью функции
Грина поток нейтронов в точке г можно связать с распределением
источников j (гг) в некоторой точке г' из области V:
Ф(г)= f G(r,r')/(r')dr',	(7.3.10)
V'
и, следовательно, суммарный поток нейтронов в области г £ V,
порождаемый источниками / (г') в объеме К, равен
[ф(г);/г= УФу= f dr j G (г, г')/(г') dr'. (7.3.11)
V	V V'
Итак, согласно теореме взаимности, можно провести следую-
щее преобразование:
Иблф^]1)= f dr j G (г, r')-l -dr’= | dr' j G (r, r')  1-dr —
v	vv vi
ил зам	зам бл
= f dr' f G(r',r).l-dr=73M®<22,	(7.3.12)
V	7-
зам ол
которое заключается в перемене порядка интегрирования и исполь-
зовании симметрии функции Грина. В результате получаем связь
между полем нейтронов в блоке для задачи 1 с полем нейтронов
в замедлителе для задачи 2.
293
Теперь сразу искомую величину 02 можно выразить через уже
известную Ор
1/- Н)( 1 j V^'1	1/	i/
0.,- 1 — . >JJ1	а := 1—0, 1«----------.	(7.3 13)
Та;ш	1/бл	V6j.
Кроме того, в силу принципа суперпозиции, если /Сл 0 и од-
новременно /зам 0, для стационарной задачи можно написать,
что
О-
i V- сК 1 > MCjl -I ь- V- т^л
/зам 1 ил ибл ±а Д-/ол V ил ^?бл
Дам Кщ.м Ж /ил Т(;л
/зам I' зам ^.1 ~г /бл ^'г>л. К
/зам Клзм  I' /Тл Кж
(7.3.14)
где /зам и связаны соотношением (7.3.5).
Так как величина 02 уже выражена через 0{, то и задача оп-
ределения 6 сведена к ранее решенной задаче определения 0т.
§ 7.4. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА О
В работающем реакторе все компоненты активной зоны имеют
повышенную температуру. Температура нейтронного газа также
растет, что сказывается на распределении потока тепловых нейтро-
нов по ячейке. В гомогенном реакторе 0 не зависит от температуры,
если сечение поглощения всех элементов активной зоны следует
закону 1/ц. В гетерогенном реакторе даже при выполнении послед-
него условия 9 есть функция температуры.
Чтобы попять существо дела, запишем закон усреднения се-
чения (7.2.3) в виде
=	(7.4.1)
Соответственно, закон усреднения коэффициента диффузии имеет
вид	__________
D = vDiv.	(7А.2)
Тогда длина диффузии определяется формулой
Z.a^£>/Se = vD/vS„, £=/D/Z„.
Если, например, принять, что Д не зависит от энергии, так что
D = A(r/3 = D = const, а {£) = 2a0u0/v [2а (£0) - 2а0], т. е.
подчиняется закону 1/ц, то по формуле (7.2.9) имеем
2а = F ^/Ти 2 .J/Чт./2,
где kT0 = £0, 7’0 — температура нейтронного газа, соответствую-
щая энергии £0. Отсюда
P =	Ц = (£/2^(2/]^);	(7.4.3)
(7.4.3а)
294
В общем случае следует писать
L* =	= Ц VTJT, F (Жф (7.4.36)
В случае максвелловского распределения
СО
F (кТ„)~ F (£„) = Е;‘ f И1ДЦГ Е ехр I-----JIT dEt Е,.>5Е„.
J №}	\ £ц /
О
Функция F для тяжелой воды и графита дана в [4] и характеризует
отклонение Xh. (Е) от постоянной.
Рис. 7.D. Температурный эффект в ячейке для
потока тепловых неtiтронов Фт
Таким образом, если даже пренебречь изменением плотности
компонент среды, длина диффузии обнаруживает зависимость от
температуры. Если принять закон (7.4.3), то длина диффузии с ро-
стом Тп растет, что влечет за собой выравнивание потока нейтронов
по ячейке, как это показано па рис. 7.5, и его распределение при-
ближается к гомогенному. Коэффициент проигрыша Фзам/ФСп при
этом уменьшается (стремится к единице), а О соответственно возра-
стает.
Полезно отметить неоднозначность определения усредненных
сечений. Де ист в и тел ь н о, если п (г) — р а с п р еде лен не плотно ст и
тепловых нейтронов по ячейке, то стационарный баланс тепловых
нейтронов должен иметь влд
VDAlt --- v£all ф- / — 0.
Выбрав значение отвечающее, например, энергии тепловых ней-
тронов £0 = 0,025 эв (и0 = 2200 м/сек, = 293° К), получим
— Д<1> — ф / = 0; Ф = o0iV.
Vy	1	°
295
Тогда в качестве усредненных величин можно брать
D = ~D/v0-~Sa = о^Ло-
В частности, при D = l/3Xfr = const, So (£) = 2а0п0/и имеем
D ~ Dt'/Of), Sn = So0.
При таком определении значение А2 как функции температуры со-
храняется, при выполнении закона 1/п не зависит от темпера-
туры, а зависимость от Тп переносится на коэффициент диффу-
зии
D = vD/v0 = ~ VTjTo D.
|/Л
При отклонении от закона 1/и сечение 2а[см. (7.2.9а)] приобретает
множитель /:
3a = SaJ(BH),	(7.4.4)
который для максвелловского распределения равен
f Sa(£)£exp(- E/En)dE
f (£и) ------------------------------ 
SaoV^ f W exp ( - Е/ £„) dE
При подчинении сечения Sa (E) закону 1/u	1. Отклонения f
от единицы характеризует отклонение 2а(Е) от закона I/и. Такая
ситуация наблюдается для 235U и в большей степени для 239Ри.
Отклонение от закона 1/о для этих изотопов связано с наличием
резонанса вблизи тепловых энергий. Значения f (kTH) для них даны
в [4]. Степень отклонения D (£) от постоянной по-прежнему харак-
теризуется множителем F:
5 = _Ыд/Ь- D (£„) F (kTн).	(7.4.4а)
У Я I 1 Q
Таким образом, имеются две возможности: или писать Sa и D по
формулам (7.4.4), (7.4.4а) или по формулам
О = D (Б„) F (kTJ, \ Sao ]/ Е f (7.4.5)
С точки зрения критического расчета обе записи эквивалентны.
Если блок омывается теплоносителем, например водой, то с
ростом температуры сопротивление диффузии слоя воды резко па-
дает из-за сильного увеличения "Etr воды с ростом энергии нейтрона
в тепловой области, поток тепловых нейтронов в замедлителе сни-
жается и, следовательно, 0 возрастает еще больше.
При расчетах нагретого реактора физические константы тепловых
нейтронов следует пересчитать на температуру нейтронного газа,
295
соответствующую рабочей температуре реактора. В первом прибли*
женим температуру нейтронного газа в ячейке можно определить
по формуле (7.2.8), полагая в ней 2ат =	= (2-ааы)Эф> причем
эффективное сечение поглощения нейтронов в замедлителе опре-
деляется равенством*
Тогда
(Saa% = 2Г/(1 - О)-
£ctT/p?s = ЗГ/ZSs (I - 0).
(7.4.6)
(7-4.7)
§ 7.5. РЕЗОНАНСНЫЙ ЗАХВАТ В НЕЗАМЕДЛЯЮЩИХ
БЛОКАХ РЕШЕТКИ
Б § 3.5 было введено понятие эффективного резонансного ин*
теграла (для однородной бесконечной замедляющей среды с резо-
нансным захватом) как такого эффективного микроскопического
сечения поглощения, которое дает правильную скорость захватов
на спектре Ферми Ф(о> единичного источника моноэнергетических
нейтронов. Для вероятности избежать резонансного поглощения
было получено выражение
ф = е-д; £ = Р7эфф«о; ф(0) = i/^sp	(7,5.1)
[см. (3.5.11), (3.5.13)]. Здесь все отклонения истинного спектра
нейтронов от спектра Ферми (так называемая нефермиевость) уч-
тены в формуле для 7Эф (подробнее см. § 3.5). Посмотрим, каким
образом формула (7.5.1) может быть обобщена на случай резонанс-
ного захвата в решетке.
Прежде всего, видимо, нужно ввести понятие спектра Ферми
для решеток. В случае идеализированных нитевидных блоков это
делается довольно просто. По формуле ( 4.5.14) имеем
! <х,У Л) = ф , Д4М4 ’ДМ' <7-5'2)
ab \ а а2 /	\ Ь Ь2 )
Согласно (4.5.27), ij3 (у, ы), помимо периодичности по v обладает
еще свойством Оз (о, ц) -> 1. Критерием близости к единице яв-
&-*-со
ляется требование, чтобы соседние гауссовы колокола в представ-
лении (4.5.13) перекрывались. В силу (4.5.17) для этого достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
4лт Д a\b2 или 2]/тл > а, Ь.	(7.5.3)
Тогда
/ (г, т) = / (х, у, т) » \!ab = 1/V,	(7.5.4)
где V—объем элементарной ячейки (т. е. замедлителя) с единичной
высотой и площадью ab (приходящийся на единицу длины нити).
* См. ниже, формула (7.10.3а).
297
Единица в формуле (7.5.4) означает один нейтрон па единицу длины
инти, т. е. на объем IA
Вспоминая формулу теории возраста
убеждаемся, что
у зам
за_м^ s
v зам
за s
(7.5.5)
(7.5.5а)
является спектром Ферми в решетке с нитевидными (незахватываю-
щими) блоками, который устанавливается в области энергий, где
выполняются неравенства (7.5.3)*.
Эти рассуждения непосредственно обобщаются на случай одно-
родного блока конечных размеров. Так как понятие спектра Ферми
относится к среде без захвата, то нужно принять, что блок не за-
хватывает нейтроны, но рассеивает их. Тогда в области энергии, где
устанавливается спектр Ферми, нейтронный газ находится как бы
в состоянии равновесия, т. е. во всех зонах решетки его плотность
одинакова. Значение Ф<°> мы должны писать в такой же форме, как
и для однородной смеси изотопов (см. § 3.5), считая ядра блока и
замедлителя равномерно размешанными по элементарной ячейке.
Для потока замедления в ячейке в соответствии с (3.5.14) полу-
чим
Ф(0Шза>Лам2Г“ + Ф(»>ЦЛРД - Ф«УР5, = 1.	(7.5.6)
где единица обозначает одни нейтрон па объем ячейки в 1 сек.
Индексом «зам» мы, как обычно, отмечаем значение величины,
относящееся к замедлителю вне блока; УОл — объем блока; V —
полный объем элементарной ячейки решетки. Сечения без знаков
относятся к блоку. Таким образом, — сечение рассеяния ней-
тронов па потенциальной яме ядра для элементов внутри блока
(см. гл. 3).
Следует напомнить, почему в выражении (7.5.6), определяющем
спектр Ферми, нужно использовать только сечение потенциального
рассеяния. По определению, спектр Ферми в резонансной области
должен строиться по формулам для однородной незахватывающей
среды, т.е. по значениям сечений в межрезонансной области энергий,
где существует только потенциальное рассеяние. Поэтому в формуле
(7.5.6) Ss заменяется на 2SJJ. Для замедлителя это само собой разу-
меется, так как сечение рассеяния замедлителя является одновре-
менно сечением потенциального рассеяния.
Таким образом, имеем
ф(0> = -Дг-; 52. -U,	фа-. (7.5.7)
* Практически для используемых решеток условие (7.5.3) в резонансной
области энергий удовлетворяется достаточно хорошо.
298
Тогда, по определению эффективного резонансного интеграла в
решетке, для полной скорости захвата в резонансном поглотителе
блока с плотностью р следует писать
Я = РК5,;ЛфФ(0).	(7.5.8)
Следовательно, Тэф в решетке является таким микроскопическим
сечением захвата, которое дает «правильную» скорость захватов
в блоке на спектре Ферми в решетке. При использовании формулы
(7.5.1) имеем ср = е_К
Подставляя в (7.5.8) значение Ф(°\ получаем
Я =	(7.5.9)
Этим выражением следует заменить выражение в формуле (3.5.11)
для ср в однородной среде, так что
<[—ехр( —-Ш-рШЫ.	(7.5.10)
Всякое отклонение от спектра Ферми, т. е. неравномерность
нейтрон и ого поля, фактически наблюдаемая в элементарной ячейке
решетки (ио координатам или по осн летаргии), должно быть учте-
но в формуле для и от того, насколько хорошо оно учтено, за-
висит точность вычисления ср.
В этом параграфе мы принимаем, что материал блока не замед-
ляет и в резонансной области нейтроны могут появиться только из
замедлителя решетки. Это означает, что в данном приближении за-
медляющая способность блока равна пулю, т. е.
=-= 0;	= 0.	(7.5.11)
Тогда формулы (7.5.7) и (7.5.10) принимают вид
Ф(о> (^aMSrV3aM)-’;	(7.5.12)
ср - ехр (—Уб:1р/:,ф/У,алЛзам-1ам)-	(7.5.13)
Далее, предположим, что резонансы ядер блока узки по срав-
нению со ступенькой замедления в замедлителе. Это означает, что
для изолированного резонанса
Т До (1	’ ^зам)>
где
_ . / -'Кам — 1 V . j  	4-Дам	~ 4
1	1 1	’	3i111 “ i J I 1 \2 j ’
\'Ъамть	(Изам i 1 /	-^зам
так что
Д. 4	(7.5.14)
Кроме того, считаем, что решетка широкая, т. е.
Мам= 1/2Г < Щ	(7.5.15)
где а— шаг решетки*.
* В дальнейшем чтот критерий будет о с.ч и би ей [см. (7.5.33а)].
299
Из условия стационарности на спектре Ферми по отношению к
переменной и
Ф<о)2Гм= Г rfz/Ф<°)ехр
I	ь	1	’
еУ	1 кзам
и~ ^зам
с одной стороны, следует/ что скорость соударений в замедлителе
есть скорость замедления в единичный интервал летаргии около
ее значения и. Вследствие предположения об узости резонанса
(см. § 3.6) это соотношение не нарушается и в области резонансного
захвата Д£эф. С другой стороны, каждый нейтрон, родившийся
вследствие замедления в энергетическом интервале Д£Эф в элемен-
те объема йгзам около точки гзам С может достигнуть блока,
оставаясь в этом интервале, только не испытав соударений, что
также является следствием узости резонанса по отношению к сту-
пеньке замедления в замедлителе.
Обозначая Ф (гг г2, и) поток несоударившихся нейтронов в
точке г2 от изотропного источника моноэнергетических источников
в точке г2 с летаргией w g Л£5ф/£/:, мы убеждаемся, что полную
скорость N ф.) соударений таких нейтронов в блоке, приходящую-
ся на единицу летаргии, следует писать в виде
j dr^Ku) j ^гзамФ(0)^а'чФ(гзам^гбли/),
бл	Фа.м.
так как замедлившиеся в единичный интервал летаргии около ее
значения и нейтроны рассеиваются в элементе <2гзам на спектре
Ферми изотропно, образуя источник интенсивностью ^гзамФ<°)2аам.
Таким образом,
А’Ы-Ф':°’2|£ f б/гСл ( б/гзам£;амФ(гзам^гОл, и)-—
vr v'
бл зам
= Ф<°)Зф) J(u).	(7.5.16)
Но функция Ф (гзам -> гбл, и) подчиняется теореме взаим-
ности [см. приложение П7.2, формула (П7.2.11)], поэтому
и
Ф(Гзам	Гбл, «) = Ф (Гбл -> Гзам, II)
J(u)^ j dr6ji j ^Гзам2ГМФ(гзам->Гбл,«)-
^бл	^зам
= j I Ф	и) ^гза?гр
У\г	V
бл зам
* Д£дф/Eq ~ Д иЭф — интервал летаргии, соответствующий интервалу
энергии ДВЭф С Е$.
ЗОЭ
Последнее выражение представляет собой полное число со-
ударений в замедлителе от единичного и изотропного, равномерно
распределенного по блоку источника нейтронов летаргии «, не ис-
пытавших соударений при перемещении от гбл к гзам. Поскольку
в широкой решетке такие нейтроны не могут попасть в другой блок,
то J (и) есть полная утечка из блока несоударившихся нейтронов,
порожденных этим источником. По определению вероятности Р (и)
(см. приложение П7.3), должно быть J (u) = V6n U — Р (и)],
так что
2V (и) = И — Р («)] Ф(0)2 (и).	(7.5.17)
Для вычисления скорости захватов в блоке мы должны умно-
жить N («) на вероятность захвата при одном ударе Sa («)/2 (u)
и проинтегрировать по летаргии. Тогда
R = ( duN (и)	= р f duN (и) («) -Ы =
J	2 («) J	2 (и)
= Ф(°)р7бл f du иа (и) [1 - Р «	(7.5.18)
Сравнивая (7.5.18) с (7.5.8), находим
Лф = j duua (ц) [1 — Р («)].	(7.5.19)
Согласно (П7.3.5), 1 — Р (и) = <1 — ехр [ — L2 («)]>/<£> 2 (н).
Поэтому
7эф = Сduva (и) <1~exPl~L2 (»)1>	(7 5 j9а)
эф J 7	а>2(»)	7
Вычисления показали [32], что с точностью до процентов в вы-
ражении (7.5.19а) знак усреднения < > в числителе подынтеграль-
ного выражения можно перенести в показатель экспоненты, т. е.
писать
<1 — ехр [—LS («)]> « 1 — ехр [— <L> 2 («)],
вследствие чего (7.5.19а) принимает вид
I —ехр [—<Ly 2
или в энергетической шкале
г с dE
''эф  ] л- ^(7. (Р)
1—ехр [ —<Г> S (£)]
Ш 2 (Е)
Принимая во внимание (7.5.11), имеем
у (f) = Sr (£) =	; х = E~E°
(7.5.196)
(7.5.19в)
(7.5.19г)
[см. (3.5.1), (3.5.2)]. Тогда, применяя изложенную в § 3.5 методику
рассуждений, для изолированного уровня > Д£эф получаем
=тЫтг {1 -ехр Sr *
301
СС	„
г 1 р , <*о Г /Г
------------ dx------------—
2F0 <L> J 1-щ3
— оо
— ехр (
<7> РЛ) |
1 + X2 ।
I-I-X3
(7.5.20)
ИЛИ
Аф ж Л4 (а),
где а — (Л>ро0; JR ~ ло'0Г,,/2£() — резонансный интеграл, а
оо
(7. о. 20а)
Ф (а) = —
агг
Последний интеграл известен и определяется формулой
гр (й) = е-^2[/0 (й/2) + /х (й/2)],	(7.5.206)
где /0, 7г — бесселевы функции мнимого аргумента.
Заметим, что выражение 1 — ехр [ — - а/(\ +№)] = ! —
—ехр[—<Л> S.r (£)] в (7.5.20) описывает эффект экранирования внеш-
ними слоями блока внутренних слоев от нейтронов, падающих
на блок из замедлителя. Подставляя (7.5.20) в (7.5.8), получаем
= УблР^д’ФН Ф(0)- Отсюда видно, что ф (а) Ф<°>=Фбл имеет смысл
среднего потока нейтронов в блоке. В то же время, поскольку
OQ
— СО
Следовательно, Фбл <7 Ф<°>, и функция ф (й) < 1 описывает
депрессию потока Ф'0) в блоке, вызванную экранированием внеш-
ними слоями. Этот эффект называется эффектом блокировки (или
экранирования),
302
Блокированным резонансным поглощением, или блокированным,
резонансным уровнем, называется случай, когда а >> 1. Тогда для
оценки ф (а) можно пренебрегать единицей по сравнению с х'~ в эк-
споненте формулы (7,5.20а). Действительно, в области, где х2 >> 1,
это законно, В области, где х < 1, функции 1 — ехр (—а/х2) и
1 — ехр [—а /(1 Д х2)1 различаются пренебрежимо мало, так как
а > I (рис. 7.6). Поэтому
Интеграл здесь легко вычисляется и равен
Таким образом,
= /д ф (Д	Д -п/~Д— ; а - <L) роа > 1.
1	|/ ла у л <Д> рс>0
(7,5.21)
Неб локированным резонансным поглощением, или неблокирован-
ным резонансным уровнем, называется случай, когда а < 1. По-
скольку при этом 1 — ехр [—й/(1 Д х2)1 яэ а /(1 + х2), то из (7,5.21)
имеем
ОО
'ЧФ)« —	Дт-1; фб;1«ф(«>,
Я J 1 -д- х*
— оо
т\ е. депрессии среднего потока в блоке не происходит, так как эк-
ранирование нейтронов, падающих на блок, слабое и
Лф ~ а = <ь>	« 1.	(7,5.22)
Для системы резонансных уровней мы должны использовать
общую формулу (7.5.19в). Когда уровни хорошо разрешены, т. е.
расстояние между уровнями	— эффективной ширины
i-ro уровня, интегрирование по летаргии в (7.0.19в) сводится к сум-
мированию:
Кф = 2 Щ	(7.5.23)
В нашем приближении
=	где 7д = лГ7ао/2£б Д- = <А>рД) •
303
Коэффициенты из формулы (7.5,2d)
Т а’б лица 7*1
Материал	а	б	Область применимости
Металлический vpau ио.	2,95 4,15	9 о 24,4	0,85	ЩчЗ,2 см 0,54	d 4,75 см
В (7.5.23) условно разделим резонансные уровни на блокированные
(аг 1) и неблокированные (а, < 1), используя формулы (7.5.21),
(7.5.22):
(7.5.24)
перепишем
(7.5.251
Здесь суммы являются некоторыми константами, и мы
формулу (7.5.24) в виде
« + 5 (л <L) Р • 10^/2.
Конечно, существует система уровней, которые нельзя отнести
ни к классу блокированных, ни к классу неблокированных. Поэтому
формулу (7.5.25) следует рассматривать как интерполяционную.
Она аналогична формуле (3.5.20) и полностью соответствует формуле
Гуревича—Пом ер анчука 12]. Эффективный резонансный интеграл
решетки Дф определяется экспериментально, а зная его, можно
найти коэффициенты а и б._Хеллстранд с сотр. в работе [30] подтвер-
дили, что формула (7.5.25) применима в широкой области изме-
нения диаметра блока. Приведем их данные для цилиндрических
блоков (при температуре 293° К), когда (Д> = 4У/S = d
(табл. 7.1) — диаметр блока, измеренный в сантиметрах.
Однако на значении 7эф заметно сказывается температура блока.
Мы знаем (см. § 3.7), что с ростом температуры происходит допле-
ровское уширение уровней с соответствующим уменьшением их
высоты, таким, что резонансный интеграл сохраняется. Следова-
тельно, коэффициент а в (7.5.25) не зависит от температуры. За-
висимость от температуры проявляется в блокированной части ре-
зонансного поглощения, т. е. в коэффициенте 6, который, по данным
Хелл стр ан да, пропорционален некоторому множителю ц (Т), так
что*
Лф - а 4- 5ц (Т) (Лбф - 10-2S)-V2.	(7.5.26)
* В литературе формула (7.5.25) записывается обычно в виде 7эф =
= А -р В у S/М, где S — поверхность блока, см\ М — его масса, а. Соот-
ветственно для формулы (7.5.26) имеем фэф (Т) = 7эф (Го) [ I -^р(у<У—
Данные для табл. 7.1 и формулы (7.5.26) были пересчитаны с помощью чи-
сел Д, В, р, взятых из работы [30].
304
Здесь
т](Т) = 1 У Р(| 'Т | М),
где То — 293е К; Т измеряется в градусах Кельвина;
(0,51 -|- О,5Х/Л1)• 10-2 в интервале 20 — 620°С
р j	для металлического урана;
(0,03 з- 0f4S7A'J)- 10-s в интервале 20— 1000°С для UO2;
S •— поверхность блока, стг; /VI — его масса, г.
Согласно (7.5.13),
<р — ехр {—рУбдЛэф/^aM^s ^8ам}>
а его логарифм
-1шр=-рМлЛф/ё3аМ2Гм
зам'
Подставляя сюда Убл = nd2/4 (для случая цилиндрического блока)
и формулу (7.5.25), получаем явную зависимость ф от d в виде
—1п<р = (Ad2 + 5^2)/(й2 — nd2/4),	(7.5.27)
где первое слагаемое числителя соответствует неблокированному
поглощению, второе — блокированному; а — шаг квадратной ре-
шетки.
М. Б. Егиазаров [3] нашел коэффициенты А и В для уран-гра-
фитовой решетки (металлический уран) и для этого случая дал фор-
мулу (7.5.27) с учетом температурной зависимости в виде
— 1п ф — Rc =
3,02 d24-5,87-0,775 (1 + 17,5-10-3 V^)^3/2
ел2 — л+/4
3
(7.5.28)
где первое слагаемое числителя описывает неблокированное по-
глощение, второе—блокированное. Переход от графита к другому
замедлителю осуществляется по формуле
R = Яс&2?/=зам2Г".	(7.5.29)
Заметим, что последующие эксперименты Хеллстранда не внесли
существенных изменений в формулу Егиазарова.
Теперь кратко рассмотрим случай, когда решетку нельзя счи-
тать широкой. Критерий (7.5.15) в общем случае может быть ослаб-
лен. Вспомним формулу приложения П7.3:
<Т> == 4Ебл/3.	(7.5.30)
Эта формула была использована ранее в (7.2.37) и (7.3.3) и может
быть получена из следующих наглядных соображений. Поскольку
(7.5.30) имеет чисто геометрический смысл, то следует принять, что
блок не поглощает нейтронов и поле внутри блока такое же, как и
на его поверхности. Тогда поток нейтронов, падающий на блок, ра-
305
вен nvS/4*, а число нейтронов в блоке равно nV$sl. Так как <£•> =
= / — некоторый средний путь нейтрона в блоке при сформули-
рованных выше условиях, то соответствующее среднее время ?киз-
ни нейтрона в блоке равно
t = l/v.
Теперь из условия стационарности следует, что скорость попа-
дания нейтронов на блок равна скорости их выхода из блока, т. е.
пи _ пУдл _ пУс>и
4	7 ~ljv ’
откуда и вытекает (7.5.30):
1 - 4Уб;1/£.	(7.5.31)
Поскольку точно такие же рассуждения можно использовать
по отношению к объему замедлителя У3,.м в элементарной ячейке,
то мы обобщим формулу (7.5.31), положив
U, = 41WS.	(7.5.31а)
Тогда среднее число столкновений пзам нейтрона в замедлителе
между двумя последовательными попаданиями его на блок равно
«зам = 4ЛГ-	(7.5.32)
Поэтому признак широкой решетки (7.5.15) можно заменить более
общим:
«зам » 1,	(7.5.33)
или
АГ с Еам.	(7.5.33а)
Например, в уран-графитовой решетке обычно шаг а ж 20 см,
d яз 3 см, ж 3 см, откуда Z3£lM 160 см, пзам ж 60. Такая ре-
шетка, естественно, является широкой. В широкой решетке взаимо-
действие между блоками для резонансного поглощения практичес-
ки отсутствует, так как нейтрон, вышедший из блока, с большой ве-
роятностью замедляется и имеет ничтожную вероятность попасть
в область АЕЭф другого блока.
Однако для уран-водных решеток ситуация может оказаться сов-
сем иной. Уран-водные решетки формируются из блоков малого диа-
метра (d яз 1 см) с отношением объема замедлителя, т. е. воды, к
объему, занятому блоками урана, обычно порядка единицы. Поэто-
му «зам 1- Следовательно, вероятность того, что покинувший
* Чтобы понять это выражение, достаточно обратиться к формул6
(П2.2.1), где, согласно (П2.1.8), мы должны пренебречь вторым слагаемым
по сравнению с первым. Тогда односторонний ток нейтронов равен 1+ —
— Ф/4	пи/4, а полный поток нейтронов, пересекающих поверхность S
внутрь ограниченного ею объема, равен ~ nvS/4.
306
данный блок нейтрон может быть резонансно поглощен в соседнем
блоке, большая, и пренебрегать интерференцией резонансного по-
глощения между блоками такой решетки уже нельзя.
Соответствующая поправка для случая, рассмотренного в дан-
ном параграфе, сводится к умножению в формуле (7.5.25) на не-
который множитель /?(<?), где q = 1/(1 + пзам):
ОС	__ ,	_. .
7?(^) = (1 — </») У ?»-4zn = l--(2-У2)<7 + ... (7.5.34)
п— 1
Для широкой уран-графитовой решетки, рассмотренной выше,
величина 1 — R(q) составляет порядка процента. В случае силь-
ной интерференции, т. е. в тесной у ран-водной решетке, учет эф-
фекта приобретает существенное значение.
Упражнение 1. Какую поправку нужно плести в формулу Егиа-
зарова (7.5.29) при изменении плотности урана, обусловленном незамедляю-
щим (тяжелым) разбавителем или пористостью?
Решение. Достаточно обратиться к формулам (7.5.13), (7.5.25).
Тогда если в -— объемная доля урана и блоке, то

у	351М
£зам is
к-3,02<Д у_у .с. 5,87-0,775J.31 ~
а2 —лсР/4
§ 7.6.	РЕЗОНАНСНЫЙ ЗАХВАТ В ШИРОКОЙ
РЕШЕТКЕ С УЧЕТОМ ЗАМЕДЛЕНИЯ В БЛОКАХ
В §7.5 был определен эффективный резонансный интеграл ре-
шетки [см. (7.5.8), (7.5.18)]:
R = рГсл Ф(” = Л du.v („)	,	(7.6.1)
который имеет смысл и когда блок замедляет нейтроны, и когда
он их не замедляет. Однако скорость соударений в блоке /V(w) долж-
на теперь учитывать соударения не только тех нейтронов, которые
появляются в блоке из замедлителя, но и нейтронов, замедляющих-
ся на материале блока. Такое обобщение проще всего выполняется
в приближении узкого резонанса.
Мы называем резонанс поглотителя нейтронов в блоке узким,
когда для него выполняются следующие три условия:
а)	Д^эф = Г ] 1 Д ро'о/У^р мало по сравнению со ступенькой
замедления замедлителя вне блока;
б)	ДЕаф мало по сравнению со ступенькой замедления материа-
лов, входящих в композицию блока;
в)	резонанс можно считать изолированным, т. е. расстояние D
между соседними резонансами удовлетворяет условию D &Е.3§,
причем, когда pcr0/Ssp 1, можно писать
Д£Эф Г I' рщ/S^ = Г У о0,/ой?,	(7.6.2)
307
где = S5J,/p — сечение потенциального рассеяния, приходя-
щееся на одно ядро резонансного поглотителя.
По определению, вне интервалов ДЕЭф в решетке устанавлива-
ется пространственно и энергетически однородный спектр Ферми,
описываемый формулой (7.5.7):
= weps = ?Sv,Jy!- + ?saM2’“-!4M!_, (7.6.3)
к £,2/g	V	у
при этом, согласно (3.6.2а), (3.6.26), скорость замедления в 1 слр
блока в условиях узкого резонанса равна	а в 1 см? замед-
лителя 2|амф(°). Поэтому при вычислении скорости соударений
Л'ф) в блоке следует прибавить к правой части (7.5.17) еще ско-
рость соударений Убл^5рФ(0) на единицу летаргии в блоке, равную
скорости замедления в нем, умноженную еще на вероятность соуда-
рения Р(и), так что
А(н) =	[1 -	Ф(0Щ«) + УблУ,рФ<°)Р(п). (7.6.4)
Отсюда вытекает
+ Ублф(о)^ (ф - 2SP] [1 - Р(п)]. (7.6.5)
Подставляя это выражение в (7.6.1), получаем
J3lb = f dm, (и)	-j- Г dm, («)	[1 -Р (й)]. (7.6.6)
Учитывая выражение для Р(и) в П7.3 и приближение (7.5.196), пере-
писываем эту формулу в виде
а (р)
х{1 — ехр [ — </,)	(ц)]}.
(7.6.7)
Эти формулы были получены В. В. Орловым [31], А. П. Рудиком
[35] и другими авторами [16].
Первое слагаемое в (7.6.7) имеет такой же вид, что и эффектив-
ный резонансный интеграл в бесконечной однородной среде [см.
(3.5.12)], и вычисляется так, как будто нейтронное поле однород-
но по объему блока. Поэтому его называют объемной частью эффек-
тивного резонансного интеграла и обозначают
Уэф = ( Лшй(ц)2йР/Х(н).	(7.6.8)
Второе слагаемое в (7.6.7) отражает неоднородность нейтронно-
го поля по блоку, связанную с поверхностным эффектом экраниро-
вания внутренних слоев в блоке внешними. Поэтому его называю!’
поверхностной частью эффективного резонансного интеграла
и обозначают
(«))} (7.6.9)
Смысл выражений, стоящих под интегралом в этих формулах,
можно пояснить следующим образом.
303
Пусть Ф(г, «) — истинный поток нейтронов в решетке с блоком
резонансного поглотителя. Тогда полная скорость захватов в бло-
ке выразится точной формулой
Na f <^бл f («) Ф (Г, «) - Пбл р f dUGa (и) Ф («),
к"
бл
где Ф(и) = ——J ^гблФ(г, и) — средний по блоку поток нейтронов,
^'бл
Поскольку должно быть Na = jR, то, используя определение
(7.5.8) и формулу (7.6.7), можем записать
Ф(н) = Фиорм (п) + Фдоп (и).
(7.6.9а)
Здесь
Фнорм Ф(0) — ; Фдоп («) - Ф<(”	.
порм '	S ф) до х ’	2 («)	<L> 3 (и)
Следуя монографии [5], мы обозначили Ф1[орм («) «нормальную
часть» среднего по блоку потока нейтронов, которая обусловлива-
ется замедлением нейтронов в блоке при отсутствии утечки из не-
го (т. е. при достаточно больших размерах блока); Фдоп (м) описы-
вает дополнительный вклад в поток нейтронов за счет облучения
блока нейтронами, рассеивающимися в замедлителе и в блоке с уче-
том вероятности нейтронам покинуть блок.
Вычисление в условиях пп. б) и в) данного выше определе-
ния было уже выполнено и дало результат
j°4 = ллЛ + ₽,
(7.6.10)
где |3 = p(70/Ssp; JR =	— резонансный интеграл.
Аналогичным способом находим J™3- Пренебрегая интерфе-
ренцией между потенциальным и резонансным рассеянием, имеем
у у у ______________________ Р^о . v__Е Eq
sp	1+х*	Г/2
ИЛИ
2 = S,p Ч- 2,. = 2sp [I 4- р/ (1 -г .Vs)].
Так как на изолированном резонансе
= I (H--V3),
то
309
Обозначим z=	и перепишем «/Эф в виде
(7.6.11)
Здесь удобно применить подстановку л' = J 1 + рЛ/, что дает
пов _ [_ Р Л (г, [?)
Зф ~ * 25 (] _!... (3)3/2 Yz
(7.6.12)
еде
оо
(7.6.13)
Функция F(z, |3) протабулирована в работе 131]; там же указано,
что существуют два предельных случая, когда эта функция вычис-
ляется в явном виде.
Как и в § 3.5, назовем сильными резонансами такие, для кото-
рых Р > 1. Значения у2 > 1 дают слабый вклад в интеграл (7.6.13),
и поэтому можно принять
ехр[—г (1 ->у2)].
Тогда
F(z, ₽) « F (г) = Д- j (1dK'2)a {1—ехр [—г(1 1/3)]}; (7.6.13а)
и
/ST Л? 57?	, Р » 1.	(7.6.14)
К |j 2/z
Интеграл ^(г) известен и равен
F (г) [erf Д/г] (1 Д-2г)-!-2 Д/г/л е~г	2
—— =-----------------------------------1; eri х ~ —-
2г	2г	Д/
(7.6.15)
при этом 4фб) =//?/(/₽, [3 э 1- Поэтому
Лф = Л1ь + ./"1°”-=У/(г),	1,	(7.6.16)
VP
Л
— i J/e-i\
л J
310
I erf У? 1 (1 -1-2?) -p 2 У^/л e Z
2z
(7.6.16a)
Существенное удобство выражения для /(z) состоит в том, что оно
не зависит от параметров резонанса.
Слабым резонансом мы пазывае*м такой, для которого р < 1.
Тогда интеграл (7.6.13) принимает вид
тп)~(1-с-г)-( 7гт4-7-
о
Здесь интеграл легко вычисляется:
4 Г йууъ = j
J (1-Н'2)3
о
поэтому
F(z, р) « 1-е-, р « 1.
В результате из формулы (7.6.12) получаем
гпов	7 р 1—е 2	/<' /„ Р» /Z 1
Лф	---2^ 2 <Ы р 1-
В то же время 7дф ж р « 1, поэтому
J ____ 70S тПОВ______, j
** Эф эф i «'эф ™ R-
Суммируя по всем уровням, условно разбив их на две группы
сильных и слабых резонансов, получаем следующее обобщение фор-
мулы (7.5.24):
(7.6.17)
Учитывая, что Р; = p<y‘/Ssp, находим

(7.6.18)
Эту формулу называют формулой Орлова. Устремляя здесь 2sp к ну-
лю, мы должны получить формулу (7.5.25). Действительно, из вы-
ражения (7.6.16а) легко найти
lim Vz f (z)
откуда
lim pz\ /«L>S ) =
2
Ул <Л>
311
VIt	l	Чр-*° Ул<пр
Поэтому, переходя в формуле (7.6.18) к пределу при Ssp 0, по-
лучаем формулу (7.5.24) и, следовательно, (7.5.25). Отсюда вытека-
ет, что коэффициенты а и 6 в формуле (7.6.18) должны быть такими
же, как и в формуле (7.5.25) (см., например, табл. 7.1). Однако верх-
ний предел, ограничивающий диаметр блока d, теперь следует снять.
Действительно, формулы (7.6.13а) и (7.6.13) допускают предельный
переход
f (2)гД£ 1 или
и для блоков столь больших размеров, что <£> > 1/Ssp (г > 1),
получаем
тПОБ т 1 I _______ т __1_____I .
эф — R ур	Ду^- 2<L)2sp*
лФ= 2 а+ 2	о-5-19)
**	к
Лф = а + Ж A) Kp2sp.
Эту формулу называют формулой Вигнера, и, как видно из вы-
вода, ее можно рассматривать как частный случай формулы Орло-
ва для больших блоков.
Температурная зависимость в формуле Орлова учитывается так
же, как и в формуле Гуревича—Померанчука (7.5.26), а именно:
Лф = а + 61)(П|/ -^/(42,р).	(7.6.20)
Здесь уместно сделать следующее замечание: п. б) условия
узости резонанса может плохо выполняться для низких уровней
238U. Действительно, в широкой области энергии (до ~ 1000 зв)
А^ф для металлического урана, вычисленное по формуле (7.6.2),
равно А£эф & 1 эв. При небольшом разбавлении урана это значе-
ние А£эф существенно не изменяется, и по формуле (7.5.14) мы имеем
1 эв ж А£эф < 4£0/Д.
Например, в случае кислорода (UO2) при Ео ~ 10 эв это уело- 
вие уже плохо выполняется. В. В. Орлов нашел, что с учетом этой
стороны дела («промежуточности» уровня) следует 2sp в (7.6.20) за- |
менять SsP, вычисляемым по формуле
2S*P = Л(Л)2ер
значения k(A), полученные из грубых оценок, дают* k(A) =
__________
* Более подробно об уточнении этих расчетов см. «Труды Физико-энер-
гетического института». Под ред. В. А. Кузнецова. М., Атомиздат, 1974,
с. 157 — 164.
312
= (1 + Л/30)"1] и писать
^ = «+6n(T)	(7.6.21)
V Р'10”22
Укажем еще теоретическое выражение для функции 'q(T'). Если
вспомнить рассуждения в § 3.7, которые привели к формуле (3.7.13),
то из них следует, что в выражении для /°ф и в случае изо-
лированного резонанса нужно 1/(1 -J- х2) заменить на
¥(9, х) = ф(т, х) (т = 1/е2 = 4рЕ0Т/Л4Г2).
Тогда, принимая во внимание формулы (3.7.13) и (7.6.11), получа-
ем
lr=o Til (т, |3) H- J"* lr=o Th (T, ₽, г),	(7.6.22)
где
00
iu(b Р)=УТ+₽- Г /рДД;	(7-6-22а)
гг J I 4-ртр (т, х)
— СО
„ /т й А - 2г <‘ + Р)2/3 1 Г °М>Л (Т, X)
’Р’ f(z, ₽) л Д U+Жь х)? Х
X [1 — ехр {—г (1 Д-рФ (т, ^)))]-	(7.6.226)
Суммирование по всем уровням дает окончательный результат.
Функция протабулирована в работе [15], а т|2 — в [31] (см. также
[17]).
Что касается интерференции между блоками с учетом замедле-
ния в них, то следует заметить, что этот эффект несуществен по от-
ношению к объемной части эффективного резонансного интеграла
/°ф, который определяется как эффективный резонансный интег-
рал в бесконечной среде с составом блока.
Поправки к поверхностному члену /"£“ называют поправками
Данкова—Гинзбурга (они введены еще в 1944 г., подробно об этом
см: [16, 32] ). Дело обычно сводится к уменьшению поверхности S
в формулах (7.5.30), (7.5.31) до некоторого значения
5Эф = 5/(1 -НС), С>0.	(7.6.23)
Подробнее относительно вычисления величины С можно узнать
в монографии [32]. Из (7.6.23), во всяком случае, видно, что учет
интерференции блоков приводит к уменьшению S до 5эф < S и со-
ответственно к росту <£>, а это, в свою очередь, увеличивает /эф и
соответственно уменьшает вероятность избежать резонансного за-
хвата ср.
313
§ 7.7. ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ГЕТЕРОГЕННОЙ
И ГОМОГЕННОЙ СРЕД ПО ОТНОШЕНИЮ
К РЕЗОНАНСНОМУ ЗАХВАТУ
При некоторых упрощающих предположениях объемную и по-
верхностную части эффективного резонансного интеграла можно
объединить и привести к виду эффективного резонансного интегра-
ла в гомогенной среде. Действительно, пренебрегая интерференцией
между потенциальным и резонансным рассеянием (S — Ss?J = Sr),
перепишем формулу (7.6.6) с учетом (7.6.7) в виде
Формулу вероятности избежать соударения в блоке
1— Р(и)^
1—ехр [ — </.) 2 (и)]
<L> 2 (п)
можно заменить приближенной:
I —ехр [ —<L> 2] _ ехр [<Д> 2] — 1	__<L> 2
<L> 2	”” <L> 2 ехр [<Д> 2] ~ <Ц>2(1Щ<Д)2)
Тогда
1 - Р(«)	[1 -L <Д>Х(й)]-1.	(7.7.2)
Это так называемое рациональное приближение Вигнера для функ-
ции 1 — Р(и), основанное на представлении экспоненты двумя чле-
нами разложения в ряд. Формула (7.7.2) достаточно точна при боль-
ших и малых значениях <А>2, что и дает основание использовать
ее при вычислении интеграла (7.7.1).
В таком случае выражение в фигурных скобках под интегралом
(7.7.1) можно преобразовать следующим образом:
. TLsp [	1 ехр [	<L> 2 j	[______2г________
2	' 2	<L> 2	~ 2	' 2 (1 -[ Ш 2)
2Я?, (1-Р<2> 2)Д2Г	2,р2 _ _	1^<Д> 2,р
2(1-(-<7>2)	'	2 (1-|-<£> 2) ” l+2sp<L;.-H2r<Z->
2gp+ 1/<Ь
-НТ '
Тогда
(' И х. , Д v, .	(7.7.3)
J	W 'Г
где
=	(7.7.3а)
Мы видим, что формула (3.5.12) для в гомогенной среде
314
совпадает с формулой (7.7.3) в широкой решетке, если S.sj> заменить
-ь	Это п составляет содержание теоремы об
эквивалентности гетерогенной и гомогенной сред. Точность форму-
лы (7.7.3), основанной на рациональном вигнеровском приближе-
нии, проверялась различными авторами [32]. Погрешность в вы-
числении 7Эф по этой формуле может достигать 10—15%.
Поправка Данкова—Гинзбурга в формуле (7.7.3а) в рассматри-
ваемом случае имеет вид [32]
+ !/<£> (1 4- С).	(7.7.4)
Для примера приведем приближенную формулу (4.9.3) из моно-
графии [32]:
Съ2Ег (2Sr=y3a>I/S),
(7.7.4а)
где £3(л:) = dua~3Q-xu.
1
Это выражение пригодно и для использования в формуле (7.6.23).
§ 7.8. РАЗМНОЖЕНИЕ НА БЫСТРЫХ НЕЙТРОНАХ
При делении ядер 235U рождаются быстрые нейтроны с энергия-
ми, распределенными по спектру деления. Спектр нейтронов деле-
ния S(E) удобно нормировать так, чтобы
S (£) dE = у?,
о
(7.8.1)
где v.j. — среднее число нейтронов деления. Эксперимент показыва-
ет, что с удовлетворительной точностью S(E) можно выразить фор-
мулой
ы1
S(E) = а У £ ехр (—Е!Т),
(7.8.2)
где а ~ 2х-рТУ' л Г; Т = 2/3£; £ — среднее значение энергии ней-
трона деления, т. е.
Е J’ ES (Е) dE И' S (£) dE.
о	I о
(7.8.3)
Параметры спектра деления vf и £ (или а и Т) зависят как от де-
лящегося изотопа, так и от энергии нейтрона, вызывающего деле-
ние. Зависимость Е от энергии нейтрона Е, падающего на мишень,
можно выразить формулой
Е к 0,78 -I- 0,62]/"vy(£) + 1,
(7.8.4)
315
если известна зависимость тр от энергии Е. Последняя может быть
изображена линейной зависимостью
тД£) Vf, т -]- {dv!dE)E,	(7.8.5)
где Vft т — значение когда нейтрон, вызвавший деление, был
тепловой (табл. 7.2).
Таблиц а 7.2
Наиболее вероятные значения параметров в формулах (7.8.4) и (7.8.5)
Делящийся изотоп	1	Vf /а	Е/Т	dv$
зззд	2,50±0,02 1,89	1,96 1,30	0,115
азьи	2,43^0,02 1,87	1,94 1,29	0,135
2У0Рп	2,89^0,03 2,12	2,00 1,33	0,111
Если энергия вновь родившегося быстрого нейтрона выше по-
рога деления 23SU (около 1,1 ЛЬб), то такой нейтрон способен вы-
звать деление 238U. Доля нейтронов деления 235U, рождающихся
с энергией выше порога деления 238U, составляет —0,56. Для этих
нейтронов среднее сечение деления “3SU
J ^{E}S^(E)dE / j’ 5(5’(£)£/£ = 0,53 барн.
1,1ЛЪ0	I 1.ДМЭВ
Отсюда следует, что среднее сечение деления 23£U на всем спект-
ре нейтронов деления 235U составит
со
~	)’	(Е)	(Е) dE
J о/83 (£) SC5> (£) dE =	------------------
о	(Sc&)(£)dE
о
со
|	S<s)(£)d£
1.1"ЛЫ
со
[' s'55 (Е) dE
о
j' а/8’ (£) SC5) (Е) dE
--------------------= 0,56-0,53^0,30 барн.
J (E)dE
1,ГМзе
Пусть скорость генерации быстрых нейтронов, возникающих
при делении 2S5U, есть q. Тогда вследствие надпорогового деле-
ния ядер 238U возникают новые быстрые нейтроны, что увеличи-
316
вает в р, раз общую скорость генерации быстрых нейтронов в ре-
шетке.
Дадим точное определение: р есть отношение потока замедления
нейтронов при энергии, лежащей ниже энергии порога деления
338U, к скорости генерации быстрых нейтронов q за счет деления
ядер 235 U.
Если Езам — объем замедлителя, приходящийся на один блок,
aS — поверхность блока, то получаем средний путь пробега ней-
трона в замедлителе, согласно (7.5.31 а):
= 4Узам/3.	(7.8.6)
Пусть А®ам — средний пробег быстрого нейтрона между двумя
последовательными соударениями в замедлителе. Тогда, как и в
§ 7.5, будем различать два предельных случая:
£3aiAsaM 1 — широкая решетка;
/зам/Дзам < 1 — тесная решетка.
В широкой решетке быстрый нейтрон с энергией выше порога
деления 238U, покинувший блок и попавший в замедлитель, в
среднем испытает	> 1 столкновений, прежде чем опять
попадет в тот блок урана, из которого вылетел, или в соседний. Но
при большом числе соударений с замедлителем нейтрон с высокой
степенью вероятности замедлится ниже порога деления 238U. По-
этому в широкой решетке вероятность для надпорогового быстрого
нейтрона вызвать деление 238U, после того как он один раз выле-
тел из блока, очень мала, и ей можно пренебречь. Это позволяет рас-
сматривать процесс размножения на быстрых нейтронах в широкой
решетке для отдельного изолированного блока.
Для тесных, например уран-водных, решеток, где блоки урана
настолько сближены между собой, что средний путь пробега меж-
ду ними меньше или порядка пробега быстрого нейтрона, иногда
имеет место значительное возрастание коэффициента размноже-
ния на быстрых нейтронах р за счет деления 23SU быстрыми ней-
тронами из соседних блоков. Это объясняется' тем, что быстрый ней-
трон, достигший соседнего блока, может не успеть замедлиться до
подпороговой энергии.
Рассмотрим сначала размножение па быстрых нейтронах в ши-
роких решетках. Как мы видели, для этого достаточно рассмотреть
размножение на быстрых нейтронах в отдельном (изолированном)
блоке решетки. Пусть в какой-либо точке внутри блока раздели-
лось ядро 23 5U и вылетело несколько быстрых нейтронов. Просле-
дим судьбу одного из них. Пересекая блок, быстрый нейтрон имеет
определенную нами в § 7.5 вероятность 1 — Р вылететь из блока,
ни разу не столкнувшись. Заметим, что упругие столкновения на
тяжелых ядрах блока почти не меняют ни числа, ни энергии быст-
рых нейтронов и могут рассматриваться как размножение с v = 1.
317
Вероятность однократного столкновения в блоке
Геометрия блока	а ~							
	0.1	' 0,2	0,3	0.4	0 , □	0,6	0,7	0,8
Плоский	0,260	0,39	0,49	0,555	0,61	0,65	0,69	0,72
Цилиндрический	0,115	0,21	0.28	0,350	0,40	0,45	0,49	0,53
Сферический	0,071	0,135	0.19	0,250	0.29	0,36	0,37	0,41
П р и м с ч а л л е. одесь • ж?..1! утолщи на пластины или радиус цилиндра
В первом приближении все надпороговые нейтроны можно объе-
динить в одну группу и считать распределение по блоку плотно-
сти генерации нейтронов деления -35U постоянным, т. е. прене-
бречь «завалом» плотности тепловых нейтронов в блоке. Значения
Р, полученные в результате расчетов, даны в табл. 7.3.
Каждый столкнувшийся в блоке нейтрон с вероятностью
вызывает деление ядра 23SU. Если v)8) — число нейтронов деления
для 23SU, т. е.
v)a5 = f vjs)(E) 3^\Е) dE I \ с^(Е) У'”(Я) dE, (7.8.7)
о	/о
то каждый акт столкновения внутри блока приведет к образованию
vfs)S)S)/2 новых быстрых нейтронов. Таким образом, возникает ла-
винообразный процесс размножения, дающий в сумме р Д> 1 быст-
рых нейтронов, вылетающих из блока. Величину р найдем, составив
следующее балансное уравнение:
Ц-1-Р J--------------tJ-s. [-Р~-	(7.8.8)
Здесь 1 — Р — доля скорости генерации нейтронов деления 335U
в блоке, которые, не испытав соударений, излучаются в замедли-
тель решетки. Поскольку решетка широкая, все они должны замед-
литься под порог деления 238U и дать вклад в величину ц.
Другая часть скорости генерации нейтронов деления 33 5U даст
долю PE^-JE их неупругих соударений с ядрами 238U и другими
тяжелыми ядрами, входящими в композицию блока. Под будем
понимать макроскопическое сечение неупругого замедления под
порог 23SU на ядрах блока. Тогда PE^-JEi дает вклад за счет
иеупругого замедления. Кроме того, на каждое соударение
первоначальных нейтронов деления 235U в блоке образуется
Р (ур’2£8) + SJ/X надпороговых быстрых нейтронов. Здесь
2S — макроскопическое сечение упругого* замедления на тяжелых
* Лучше сказать «главным образом упругого замедления», потому что
некоторую роль играют и неупруго рассеянные нейтроны, остающиеся после
с о уд а ре I j ия надпоротов ы м й.
318
нейтрона от однородного источника Р (и I)
Таблица 7.3
0.9	1 ,0	I .5	2,0	2,5	3 >0	4.0	5,0
0,74	0,76	0,84	0,88	0,90	0,92	0,94	0,95
0,56	0,59	0,70	0,76	0,81	0,84	0,88	0,90
0,44	0,47	0,59	0,67	0,72	0,76	0,82	0.85
или сферы.
ядрах блока, при котором нейтроны после соударения остаются в
надпороговой группе. Умножая па р число JP(Vf8’S)S) 4- S/) /S, по-
лучаем вклад в величину р за счет размножения нейтронов на
23sIj (при малом обогащении дополнительное размножение за счет
делений 235U надпороговыми нейтронами мало и не учитывается).
Разрешая уравнение (7.8.8) относительно р, находим
Здесь S' = S — S)s) — Ss — Sm. Очевидно, в случае чистого ме-
таллического урана 24 = 243), и тогда
При вычислении р по одной группе надпороговых нейтронов мож-
но пользоваться значениями средних ядерных констант (табл. 7.4).
Таблица 7.4
Средние ядерные константы для вадпороговых нейтронов
Константа		232'р|1	и	D	О	А1	Z1-
V/	2,9	2,4	—	—	-	, г		1	
	2,0	2,0	1,7	2,7	2,0	1,5	3,0
	2,10	2,6		—	—		0,3	0,8
	0,3	0,08	—	—	—-					—
(Ус	0,05	0,06	—	*—--	•—'	—	—
Такие легкие ядра, как Н и D, при упругом соударении сильно
сбрасывают энергию надпорогового нейтрона, и поэтому их сечение
целесообразно приплюсовывать к т. е. к S' формулы (7.8.9),
и исключать из сечения S\ знаменателя этой формулы.
319
Для блоков из металлического урана, пользуясь этими данны-
ми, найдем
1/Р—0,625 ‘
Если средняя длина пробега нейтрона деления в блоке велика
по сравнению с размерами последнего, то величина Р мала и
и.— 1
(7.8.11)
В этом случае для вычисления Р можно пользоваться формулой
(П7.3.11). Тогда Р ~ <£>, и формула (7.8.11) принимает вид
р~ 1 ^aQ(L\	(7.8.12)
— l)Sp> — S' fvp’ — n Si3’ — S'
где a0 = --------—L------- b - TJ-------£_2---------.
Л	2j
Например, расчет для цилиндрического блока «£> = d) из ме-
таллического урана дает а0 да 0,02, если (£> измерено в сантимет-
рах, а формулой (7.8.12) можно пользоваться при <£) < 1 см.
Отметим, что предположенное ранее равномерное распределе-
ние нейтронов деления 235U по объему блока на самом деле не вы-
полняется вследствие экранировки тепловых нейтронов. Однако
поправка за счет этого эффекта невелика и составляет не более 6%
величины — 1.
В гомогенной смеси р может быть получена по формуле (7.8.8а),
если положить в ней Р = 1. Тогда
(7.8.13)
Для металлического урана по данным табл. 7.4 получим р да 1,3.
§ 7.9. ДЛИНА МИГРАЦИИ НЕЙТРОНОВ В РЕШЕТКЕ
Реактивность реактора зависит от коэффициента размножения
и геометрических размеров реактора. Для реакторов на тепловых
или промежуточных нейтронах определяющими факторами явля-
ются также длина диффузии теплового нейтрона и возраст т(£п, £)
от начальной энергии £0 до данной £. Например, для реактора на
тепловых нейтронах £ = £т (см. приложение П5.2).
Для нахождения длины диффузии в гомогенной смеси справед-
лива простая формула:
Д2и = лХ/3.	(7.9.1)
Предположив, что относительная ядерная концентрация урана
мала, как это обычно бывает, можно пренебречь рассеянием на яд-
рах урана (но, конечно, не поглощением в последнем) и считать
а см _____________________________ а зам
/***>/
320
Далее, можно	записать равенства
—=	^зам узам	усм	yU	/	yU \ зам	л зам / t	«1 —	I <1	1 v см	у СМ	1	у см I / = ^ам(1—9).	(7.9.2)
Тогда выражение (7.9.1) перепишется в следующем виде:
^зам
Нм = ,г „ ° (1-0) = «,„(1-9).	(7.9.3)
3
Эту формулу для гомогенной смеси можно применить к гетероген-
ной решетке, если она широка в указанном ранее смысле и, кроме
того, если шаг ее велик по сравнению с размерами блока.
В самом деле, в рассматриваемом случае нейтрон, прежде чем
попасть в урановый блок, испытывает значительное число соуда-
рений (7зам/?4ам > 1) с ядрами замедлителя. Наоборот, оказавшись
в блоке, он испытывает небольшое число соударений /бл/^я 1
(для блоков обычных размеров). После первого попадания в блок
нейтрон проходит через него и опять испытывает 73aM/^faM > 1
соударений, пока снова не попадает в блок. Следовательно, отно-
шение числа актов рассеяния нейтрона в замедлителе к числу актов
рассеяния в урановых блоках для широких решеток есть величина
порядка
1	А (5 Л у А ЗИМ 1 4S. i
i^S *бл //
Отсюда можно заключить, что в первом приближении следует
пренебречь вкладом рассеяния нейтрона в блоке в длину миграции
теплового нейтрона в решетке. При этом, конечно, нельзя пренебре-
гать вероятностью поглощения нейтрона при попадании в урано-
вые блоки. Эти рассуждения приводят нас к заключению о возмож-
ности распространить формулу (7.9.3) на случай широких решеток,
т. е.
~ Ыы (1 - 0),	(7.9.4)
где 0 определяется с учетом неравномерности распределения пото-
ка тепловых нейтронов в ячейке решетки.
Для тесных водяных решеток формула (7.9.4) может приводить
к значительным ошибкам, поскольку доля объема, занятого блока-
ми, значительна и уже нельзя пренебрегать вкладом в длину мигра-
ции от рассеяния нейтронов в блоке. В этом случае можно рекомен-
довать простую поправку к формуле (7.9.4):
= LI™ (1 - 9) + Аёл 9-	(7.9.5)
В широких решетках второй член обычно много меньше первого.
Сделаем теперь несколько замечаний об определении возраста
нейтронов т в решетках. Для широких решеток по тем же причинам,
какие указывались выше для диффузии теплового нейтрона, мож-
П Зак. 85
321
но пренебрегать упругим рассеянием нейтронов в блоке. Однако не
следует пренебрегать эффектом неупругого замедления быстрых
нейтронов в самом блоке. Это связано со значительным уменьше-
нием т для нейтрона, испытавшего хотя бы одно неупругое соуда-
рение. Так, для графитового замедлителя с плотностью 1,6 г!смА
величина
kT) = 365 см2
от энергии нейтронов деления до тепловой области энергии, а для
однократно неупруго соударявшихся в уране нейтронов т1=230 см1.
Для тяжелой воды соответственно т0 = 120 см2, ту = 97 см2.
Учет неупругих соударений быстрых нейтронов в блоках при-
водит к следующей формуле для т широких решеток:
Дэсш Т0 (1	^*171) “Г in,	(7.9.6)
где Pin = РЕ !п/У — вероятность для быстрого нейтрона испытать
в блоке неупругое соударение.
Для тесных решеток можно пользоваться удобными выражения- .
ми для возраста смеси различных элементов тси, предложенными
А. Д. Галаниным:
тСм = 10*/Х2 AijCiCj,	(7.9.7)
I
rr&Ci ~ P(iVp^ —относительная концентрация i-ro вещества; Ац —
коэффициенты взаимного влияния [4].
§ 7.10. «ГОМОГЕНИЗИРОВАННЫЙ» РАСЧЕТ
ГЕТЕРОГЕННЫХ РЕАКТОРОВ
Идея «гомогенизированного» расчета основана на усреднении
по элементарной ячейке сечения.
В § 7.9 показано, что для решетки гетерогенного реактора мож-
но ввести возраст треш и длину диффузии Lpeni [см. (7.9.4), (7.9.6)].
Если эти выражения использовать в формулах типа (5.5.9) и под-
ставить в них k^, в, рассчитанные для решетки гетерогенного ре-
актора, то таким способом по формулам для гомогенного случая при-
ближенно можно рассчитать гетерогенный реактор. Такую методи-
ку называют гомогенизированным расчетом гетерогенных реакто-
ров.
В общем многогрупповом расчете нейтронные сечения надлежит
усреднять не только по энергетическим интервалам групп (см. при-
ложение П5.1), но и по объему V элементарной ячейки; например,
среднее
2а,. - С drE ak (г) ФА (г) / С ЛгФ/{ (г)	(7.10.1)
V	I V
можно назвать гомогенизированным сечением захват а в группе. Ес-
ли усредненные таким образом нейтронные сечения использовать в
многогрупповой условно-критической задаче (5.10.11), (П5.1.21), то
мы опять получим гомогенизированный расчет гетерогенного реак-
322
тора. В формуле (7.10.1) имеется в виду нейтронный поток в гетеро-
генном реакторе со специфической структурой: «завал» или депрес-
сия потока нейтронов в области сильного захвата нейтронов в ок-
рестности блока, снижение плотности нейтронов на зазорах, запол-
ненных водой, и т. п. Эта детальная структура как бы накладыва-
ется на гладкий график изменения нейтронного потока по всему
объему реактора, что можно представить формулой
Ф.(г) = Ф.(г)ФГ(г),	(7.10.1а)
где Ф/Дг) — гладкая функция, которая в случае большого реактора
слабо меняется в пределах элементарной ячейки и вычисляется с
помощью гомогенизированных сечений; функция Ok,n(r) описыва-
ет поток нейтронов с учетом его колебаний в пределах элементар-
ной ячейки. Тогда в формуле (7.10.1) множитель Ф/:(г) можно вы-
нести за знак интеграла, и она принимает вид
рг2аЛ(г)ФГ (г) / ргФГ (г).	(7.10.16)
V	/ v
Таким образом, для вычисления гомогенизированных сечений
должен быть рассчитан спектр нейтронов в элементарной ячейке
решетки реактора.
Рассмотрим для примера случай широкой решетки реактора на
тепловых нейтронах. Рассеивающие свойства уранового блока при
этом слабо влияют на рассеивающие свойства элементарной ячей-
ки в целом (см. §7.9) и определяются прежде всего замедлителем.
Поэтому для тепловых нейтронов можно положить
(7.10.2)
Для сечения захвата тепловых нейтронов по формуле (7.10.16)
получаем
J' г/г2я(г)Ф<°)(г)- _[* dr%a (г) ФР) (г)
Убл	Узам
f г/гфР) (г) -}•- f dr®P)(r)
Vбя	V зам
или, используя обозначения формулы (7.2.12),
^7	-р 2-3ам Фзам ^зам 1 "Г" ^бл	зам
— rf.=	" _Z	=	; П“	“	*
^бл Фбл зам Фцам ;	1 “Г Iх б л ®бл/ ^зам^зам
а для коэффициента использования тепловых нейтронов в блоке
имеем
I/	“I-1
п 1 ь зам LJJ зам
О М----------------------
^ил J
IP	323
Отсюда следует, что
л
зам
ф
а зам
ил
ил
(7.10.3)
1 - 6
О
Для замедлителей, используемых в широких решетках, не толь-
ко 2ГМ С 2?; НО и 2Г1 С 2? (1 — 0)- Поэтому (7.10.3) мож-
но переписать в виде
2а 2аам/(1 — 0).	(7.10.3а)
Учитывая (7.10.2), получим отсюда формулу (7.9.4):
= D/£a L Дм (1 -0).	(7.10.4)
В резонансных группах можно использовать эффективный ре-
зонансный интеграл, рассчитанный на спектре Ферми (см. §7.5,
7.6). Предположим, что в группе /г (ширина которой в единицах
летаргии равна ДцА) имеется только один резонанс, которому соот-
ветствует эффективный резонансный интеграл По определению,
имеем (см. §7.5)
j dr j duna (г, и) Ф(0) (г, и) = Кбл Лф} Ф(0),
убл Д'ИЬ
где Ф<*0 — спектр Ферми в решетке; оа (г, и) — сечение резонанс-
ного захвата в блоке. Кроме того,
] dr j du&W(r,tt)tt j du [Ф(О) КзамЛ" Ф (и) Кбл
v kuh	duk
Убл
Здесь
Ф (и)	[ Ф-Ф(0) (г, п)
ПЗл J
^бл
— средний поток нейтронов в блоке при летаргии и. Таким обра-
зом,
Д?) у
4 dr \durja (г, и) Ф<0) (г, и) -------
J J	AiOi У
аак = t,	(7.10.5)
( dr [	(г, и)	1
v
324
где величина
ОЛ I
|/ ]
д«к
Ф (и) 
ф(°) .
1
учитывает депрессию потока нейтронов в блоке.
Точность вычисления сечения вак зависит от точности вычисле-
ния и функции fk, которые могут быть найдены с помощью тео-
ремы эквивалентности (см. § 7.7) или более точно по формулам Гу-
ревича—Помер анчука и Орлова (см. §7.5, 7.6). Так как fk
т0 в широких решетках (Убл У) можно считать fh = 0.
Если в группе k имеется несколько хорошо разрешенных резо-
нансов с номерами i = 1, 2, ..., ih, то каждому из них можно при-
б:
писать интервал Дн<£\ такой, чтобы 2Д«/ = Днй,. Тогда в случае
!=1
ч. УблрД*
слабого захвата (т. е. когда = 2 ------------“	1) сечения од
г=1	/=1 V|S5P
можно усреднять с весом Д^/Ди?1, т. е. писать
(7.10.6)
Более подробно эти вопросы рассмотрены в работе [17].
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.1
ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
По физическому смыслу функция Грина G (х, х0) описывает некоторое
поле (нейтронов, частиц) в точке х фазового пространства D, причем считается,
что это поле порождено сосредоточенным (точечным) источником, располо-
женным в точке х0 б D. Если Lx — действительный линейный оператор,
определяющий поле нейтронов (индекс х обозначает, что оператор Lx действует
на координату х), то функция Грина является решением уравнения
— LXG (х, х0) + 6 (х — х0) = 0,	(П7.1.1)
где 6 (х — х0) — обобщенная функция Дирака*. Тогда решение неоднород-
ного уравнения
Lxf W б- р (х) = О	(П7.1.1а)
запишется в виде
/(х)= [ 6 (х, хо)р (х0) dxQ,	(П7.1.16)
Ь
что иллюстрирует принцип суперпозиции источников.
* Функция G (х, х0) вообще также должна рассматриваться как обоб-
щенная. Подробности и различные примеры можно найти в [11].
325
Аналогично определяется функция Грина сопряженного оператора Lx :
Lx G+ (х, Xq)~6 (х—Xq) =0.	(П7.1.2)
Тогда решением уравнения
££я(*)-И(х) = 0	(П7.1.2а)
будет
g (х) = J G + (х, х^) q (х(() dx'f.	(П7. 1.26)
D
(На деталях математических определений здесь не останавливаемся.) Пусть
(/ (х), q (х)) = i dx' f (х') g (х') —скалярное произведение. Умножим скаляр-
D
ио (П7.1.1) на G+(x, х^), а (П/.1.2) па G (х, х$). Тогда, используя свойства
6-фупкции | dx' ф (х') 6 (х' — х0) — ф (х'о). получаем
Ь
(Lx G (х, х0), G + (х, Xo))-i-G+ (ХО, *о) = 0;
(G (х, х0), Lx G+ (х, Xq))-[-G (Xq, хо) = О.
Так как для любых двух функций / (х) и g (х) из областей определения
операторов Lx и Lx соответственно по определению имеет место равенство
(Lxf (А')> S W) ~ (f (х), Lxg (х)), то скалярные произведения в этих равенствах
совпадают. Отсюда следует, что
G+ (х0 , х0) — G (xq , Xq).	(П7.1.3)
Это и является содержанием теоремы взаимности [27], которую можно сфор-
мулировать так:
Поле, создаваемое в точке фазового пространства х = х$ единичным то-
чечным источником, расположенным в точке х = х0, равно сопряженному
полю в точке х — х0, создаваемому единичным источником, расположенным
в точке х = хф
Ясно, что если оператор самосопряженный, т. е. Lx — Lx , то уравнения
(П7.1.1), (П7.1.2) совпадают и
6" (х0, хф)=Е (хо, x0) = G (х0, х0'),
(П7.1.4)
т. е. в этом случае G (х,х') не изменяется при перестановке аргументов.
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.2
ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕЙТРОНОВ, не испытавших СОУДАРЕНИИ
Если интерес представляет стационарное распределение нейтронов, не
испытавших соударений в среде с внешним источником нейтронов Q (г, Е, Q),
то в правой части уравнения (4.1.3) нужно исключить интеграл соударений,
и мы получим
QVtp(r, Е, Q) + Scf)^Q(r, Е, 2).	(П7.2.1)
При выводе уравнения (4.1.3) не обязательно было предполагать, что
среда однородна, поэтому в (П7.2.1) можно писать S — Е (г, Е) и считать
функцию S (г, Е) кусочно-непрерывной по координатам при каждом значе-
нии Е с конечными разрывами на границах зон, входящих в состав некоторой
гетерогенной среды.
326
Выберем в рассматриваемой среде некоторую точку г0 и орт Й (рис. 7.7).
Пусть луч Й проходит через точку г = г0 -ф sfi. Так как fij = dx-Jds (про-
екция орта Й на i-ю координатную ось), то
з
/=1
dxt
ds
д	d
dxi	ds
(П7.2.2)
и уравнение (П7.2.1) принимает вид
dq>(r^sQtE, Й)	, Е} ф (ro + sQ> Е, Й) = (2(го + 5Й, £, Й).
as
(П7.2.3)
Здесь Йу == d/ds имеет смысл производной по направлению Й.
Рис. 7.7. Перемещение нейтрона вдоль направления Й внутри объема V
Перепишем сокращенно уравнение (П7.2.3) в виде
dtp (s)
-5^+S (s) <p (s) = Q (s),
где S (s)—кусочно-непрерывная функция s. Это неоднородное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, и его решение легко можно записать в квад-
ратурах. Представим его левую часть в виде
<р (s) ехр
Отсюда следует
327
Интегрирование последнего уравнения дает
(р (s) ехр
ds' 2 (s')
s
—ф (sj = | ds' Q (s') exp
Si
или
ЧР <S) = ф (SX) exp
ds' Q (s') exp
s
— J ds" 2 (s")
s'
(П7.2.4)
Последнее выражение имеет четкий физический смысл. Мы видим, что
нерассеянные нейтроны распространяются только по оптическим лучам и
вклад в поток нейтронов, распространяющихся вдоль направления Я, дают
лишь те нейтроны источника Q, которые излучаются в этом же направлении.
Экспонента
(П7.2.5)
имеет смысл коэффициента ослабления пучка несоударившихся нейтронов
при их перемещении вдоль отрезка [s', s] от точки г' = г0 -|- $'£) к точке
г = г0 + зЯ -(см. рис. 7.7).
Рис. 7.8. Путь нейтрона в эле-
ментарном телесном угле
Представим себе теперь, что^ перенос нейтронов происходит в выпуклом
неоднородном объеме V (см. рис. 7.7), который не облучается снаружи нейтро-
нами. Тогда если положить sx = — s0 (г, Я), то в (П7.2.4) следует принять
Ф (si) = Ф (—so) ~ 0- Перенесем далее начало отсчета из точки г0 в точку г.
Тогда формула (П/.2.4) примет вид
о
Ф(г, Е, Я) = J ds' Q(r', Е, Я)р(г' ->г, Е), г'=г-Н' Я.
“S0 (г, Я)
Запишем выражение для глобального потока нейтронов:
Тогда
Ф — f dQtp.
4Я
О
O(r,E)=fdQ J ds' Q(rf, Е, Я)р(г' ->r, Е), (П7.2.6)
4 л	—s0 (г, Я)
где нужно учитывать, что Я =~ (г — г')/|г — г'[. При этом элемент объема
dr' г"> включающий точку г' в системе отсчета с началом в точке г, пред-
ставится в виде dQs'-ds' (рис, 7.8).
328
Поэтому формулу (П7.2.6) можно переписать в виде
р (г' -^r, Е)
1 г'—г Р
(П7.2.7)
где
г—г'	г—г'
ft =---------=---------.
1 г— г' |	1 s' [
Если источник нейтронов изотропный, единичной
= 1/4 л, то (П7.2.7) принимает вид
мощности, т. е. Q =
Р р (г' -> г, Е)
ф(г’Е)=р' 4^г--ге •	(П7-2’8)
Отсюда следует, что функция
р (г' —> г, £)
Ф Г' V ° 4л ! г- Е Р	(ПЛ2-9)
имеет смысл потока нерассеянных нейтронов в точке г от единичного изотроп-
ного источника моноэнергетических нейтронов с энергией Е, расположенного
в точке г'. Заметим теперь, что функция Ф (г' -> г, Е) не меняется при пере-
становке аргументов г' и г, т. е. симметрична, что ясно видно из формулы
(П7.2.5).
Р (,' г, Е) = р (г -> г', Е);	(П7.2.10)
Ф (г' -> г, Е) = Ф (г -> г', Е).	(П7.2.11)
Последнее тождество и составляет содержание теоремы взаимности для
нейтронов, не испытавших соударений в произвольной гетерогенной среде:
поток нейтронов в точке г от единичного изотропного источника в точке г'
равен потоку нейтронов в точке г' от единичного изотропного источника в
точке г. Ограниченность или неограниченность объема V при выводе (П7.2.11)
не играет никакой роли, так как в интеграле (П7.2.8) можно принять V = оо.
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.3
ВЕРОЯТНОСТЬ НЕЙТРОНУ ИСПЫТАТЬ
СОУДАРЕНИЕ В БЛОКЕ
Пусть в некотором невогнутом однородном объеме V блока имеется изо-
тропный источник моноэнергетических нейтронов с энергией Е, равномерно
распределенных по координатам интенсивностью 1 нейтрон! (см3 • сек).
Обозначим Р (Е) среднюю по объему V вероятность нейтрону испытать соуда-
рения в блоке. Тогда 1 — Р (Е) есть средняя вероятность нейтрону не испы-
тать ни одного соударения в блоке, т. е. вероятность покинуть его. Так как
при принятой нормировке V ~ полная интенсивность источника в блоке, то
V [1 — Р (Е)] является соответственно полной утечкой нес ©ударившихся
нейтронов с поверхности блока 5, поэтому, используя обозначения прило-
жения П7.2 (рис. 7.9), получаем
V[l-P(E)J=^dRj-^- Р*Гг',Тк|.£) (Qn<0,(R)). (П7.3.1)
S
где R г S, dR 5 R — элемент поверхности S, включающей в себя точку R
из S; (R) — внешняя нормаль в точке R к поверхности S. Выражение
329
dR (Qnf(n (R))/|r' — R|2 = dQ представляет собой, очевидно, телесный
угол, под которым элемент dR виден из точки г'. После этого замечания смысл
выражения (П7.3.1) становится ясным.
Если принята г — R, то в обозначениях рис. 7.9 получаем р (г' -s- R, Е) —
— ехр [—s'S (£)], |г' — Rl = s', где s' меняется от 0 до величины 50 (R, Й),
которую мы обозначим L (R, Q). Согласно рис. 7.9, L (R, й)—длина хорды объ-
ема У, проходящей через точку R вдоль направления—Q. Учитывая обозначе-
ния рис. 7.8, получаем dr' — s'2ds'dQ. Тогда выражение (П7.3.1) принимает вид
Е(И,Й)
С С dQ С	. ехр [ — s' 2 (£)]
V [! — £(£)] -®dR ------- \ ds' s'’---------(fint0)(R))--
J	J 4л J	s'
S	0
l-exp[-L(R, Q)2(E)]
2(E)
. (П7.3.2)
s
dQ
—	(R))
J b. t
Введем следующий закон усреднения:
С Г dQ
q)dR \ — (fin<0’ (R)) f(R, Й)
dQ
— (Йп<п’(Ю)
4 л
(П7.3.3)
s
Заметим, что интеграл, стоящий в знаменателе, известен и
Д р dQ ч S
(Ы — (йп<» w=--
равен 15]
(П7.3.4)
Подставляя формулу (П7.3.4) в (П7.3.2), получаем
„ /I?„ _ <1 —ехр [ — L S (Е)]> S
4
2(E)
s
330
и ли
1—р (£)=
4V
<1 —ехр [-L 2 (£)]>
2(£)
(П7.3.5)
Эта формула была получена Вигнером 15, 16]. Выражение 4V7S имеет сле-
дующий геометрический смысл. Согласно (П7.3.3),
С Г dQ
dR —	(R)) L (R, ft)
J J 4л
s
(ftn<°> (R))
Выражение dR (ftn(0’ (R)) L (R, ft) = dR cos9L(R, ft), где 0 — угол
между направлением внешней нормали n(0) (R) и ортом ft, дает объем элемен-
тарной призмы высотой L (R, ft) и площадью df = dR cos 0 (см. рис. 7.9).
Если обозначить S+ часть поверхности S, освещенную плоскопараллельным
пучком света, падающим на тело V в направлении ft (см. рис. 7.9), а зате-
ненную часть 5_, так что 5 = *$+ + S_, то легко видеть, что
dR (Йп<°> (R)) L (R, ft)-]- ф dR(ftn^4R))b(R, ft) =
S _
dR (ftn^>(R)) L (R, ft) - 2 J df L (R, ft) = 27,
S	F
где F — проекция объема V на плоскость, перпендикулярную направлению ft.
(* dft
Интеграл ] в формуле для (L) берется по полусфере множества ортов
—ft, направленной внутрь объема V. Поэтому jdQ/4n = у, и
4^1
1 2V _ JV
2 S/4 " S
(П7.3.6)
Например:
для плоского случая, когда объем V имеет толщину a.... 4V/S = 2 а- '
для цилиндра диаметром d .....................
4R/S - d;
4V/S = ~d.
О
(П7.3.7)
для шара диаметром d.........................
С учетом (П7.3.6) формула (П7.3.5) перепишется в виде
1-Р(Е)-
<1-ехр Д S (£)]>
(Е> 2 (Е)
(П7.3.8)
Представив экспоненту в виде ряда, перепишем (П7.3.8) как
2 (?) <F>	, [Е(Е)Щр <ЛЪ
2!	<L>2	3! <Е>з
(П7.3.9)
(П7.3.10)
331
Последний множитель здесь зависит только от формы объема V. Так,
для цилиндра <T2)/(L)2 = 4/3* Поэтому с точностью до величины
[S (Б) <L)]2 <L«>
3!	имеем
Р(Б) = а2(Б)<Б>, гдеа = ™-^.	(П7.3Д1)
Тогда а — 2/3 в случае цилиндра.
Для иллюстрации зависимости (L^y/^Ly2 от геометрии тела приведем
данные из работы [4]:
<ТЪ/<Д>2
Сфера ............................................9/8—	1,125
Бесконечный цилиндр кругового сечения............4/3=1,333
Бесконечная призма квадратного сечения	....... .1,487
То же с сечением в виде равностороннего треугольника 1,648
Замечание. Отметим, что величина Р (Б) относится к нейтронам
с энергией источника Е, т. е. к нейтронам, не испытавшим соударений. Сле-
довательно, Р (Б) определяет вероятность только однократного соударения.
Применение формулы (П7.3.8) в условиях § 7.6 закономерно, поскольку в
случае узкого резонанса мы рассматриваем не более одного удара, так как
уже при одном упругом соударении с ядрами блока нейтрон выходит из зоны
резонансного поглощения. В общем случае такого рассмотрения недостаточно.
ГЛАВА 8
ИЗМЕНЕНИЕ ИЗОТОПНОГО СОСТАВА ТОПЛИВА,
ВЫГОРАНИЕ
§ 8.1. УРАВНЕНИЯ ВЫГОРАНИЯ
До сих пор предполагалось, что компоненты ядерного реактора,
образующие активную зону, неизменны во времени. Однако при
длительном облучении процессы, происходящие в реакторе, приво-
дят к значительному изменению изотопного состава топлива реак-
тора.
Рассмотрим реактор на тепловых нейтронах с однородной актив-
ной зоной. Обозначим рФ концентрацию z-ro изотопа, т. е. число
атомов изотопа в 1 сж3. Важнейшими изотопами ядерного горючего
в реакторе следует считать 23sU, 235U, 236U, 23sPu, 240Pu, 241Pu; соот-
ветственно концентрацию ядер этих изотопов обозначим рФ, р<5\
р(6\ р<э), р<°), рб). Концентрацию ядер конструкционных материа-
лов обозначим рк, а продуктов деления — р/.
Пусть в начальный момент времени (£ = 0) имеется некоторая
начальная концентрация изотопов: рф, рф и т. д. Зададимся вопро-
сом: как изменится начальная концентрация’^ течением времени.
Чтобы ответить на него, запишем уравнения выгорания. Скорость
изменения ядерной концентрации z-ro изотопа складывается из чле-
на, учитывающего убыль ядер в результате захвата нейтронов, и
члена, учитывающего прибыль ядер Кго изотопа вследствие радиа-
ционного захвата нейтронов ядрами (z — 1)-го изотопа, т. е.
= -р(Па(Оф > nG-DoU-DQ,	(8.1.1)
di r а	с	7
где индексом с отмечен радиационный захват. Преобразуем урав-
нение (8.1.1). Обозначим F интегральный поток нейтронов (инте-
грал облучения)*; тогда
dF = ®dt.
Если Ф — 1013 нейтрон/(см2-сек), a t ~ 107 сек, то F ~ 1020 ней-
трон/см2. После подстановки F в уравнение (8.1.1) оно примет вид
Фа)	(8.1.2)
dF г а	с	k
Для примера запишем систему уравнений выгорания плутония
или «плутониевый ряд» для выгорания изотопов плутония и его ма-
теринского изотопа (ограничиваясь в качестве высшего изотопа
* Интеграл облучения в последнее время стали называть флюенс нейтро-
нов.
333
dF
241 Pu):
лп(8)
_2P— = _p(8) a(8); Л!— = __O(9M9)_OW tf8’;
dF	a (IF '	«	' * c
ф(0)	j (I)	(8.1.3)
-- = —p(0) cr(O) J_p(9) Q(9) ; £P_	_p(I) a(l) Xp(O) cr(O)
(IF	a	c clF	u	c '
Аналогично можно написать уравнение для двух членов «ура-
нового ряда»:
——— p(5)G(5); ДЕ— = __р(6)а(б) Л_р(0)о(5).	/8.1.4)
dF	а dF	а ' к с v '
Кроме перечисленных изотопов во время работы реактора воз-
никает много других, но они существенного влияния на его работу
обычно не оказывают. В первом приближении мы также пренебрег-
ли такими более слабыми эффектами, как ядерные реакции типа
(п, 2п) и деление 23sU выше порога для быстрых нейтронов.
Чтобы все сказанное выше применить к реакторам конечных раз-
меров, необходимо проследить, как зависят от изменения изотоп-
ного состава основные параметры реактора: т, L, k^. Очевидно,
что зависимость реактора на тепловых нейтронах от изотопного
состава проявится через коэффициенты р, v, ср и 0.
Коэффициенты ц и ср почти не изменяются во времени в реакто-
ре на тепловых нейтронах, так как мало меняется количество 238U
в процессе его выгорания.
Коэффициенты v и 6 и их изменение удобно рассматривать не
в отдельности, а в виде произведения
тО = У,	= У. .об') cFJ) / У p(z) (j( О	(8,1.5)
7	/	—J * i t “ k	’	v 7
t '	t	’/i
где — вероятность деления t-го изотопа; crO и гф0 — сечения
деления и поглощения. Тогда
k<x> = pvcpO = рхр У, Чб erf 0 р(б /У об)	(8.1.6)
I ' j L
Возраст нейтронов т,, при выгорании практически остается по-
стоянным, зато длина диффузии L меняется заметно. Действительно,
для гомогенного реактора L2 = ХьЛа/3. Длина свободного пробе-
га рассеяния Х/г почти не меняется при выгорании горючего, в то
время как Ло, наоборот, сильно зависит от выгорания. Окончатель-
но
Р-1/32/;.Ур<бо(р.
I
(8-1.7)
Следует отметить, что написанная выше система уравнений вы-
горания еще несовместна с требованием стационарности реактора.
334
В самом деле, для того чтобы реактор мог работать, необходимо
удовлетворить требованию стационарности цепного процесса, т. е.
у feroexp(-a* тт) = j	(8.1.8)
Jlp 1-htxg Z?
[для больших реакторов = kj(1 сфМ2), cm. (5.5.12)].
В момент времени t - б начальная ядерная концентрация z-ro
изотопа равна р<^, и й9ф точно равен единице. Через некоторое вре-
мя изотопный состав топлива изменяется, и тогда, согласно урав-
нению (8.1.8), у?ке не равен единице. Реактор становится некри-
тическим. Для поддержания критичности реактора в активную зону
вводят поглотители нейтронов, которые играют роль регуляторов.
Пусть концентрация ядер поглотителя равна рп. Предполагая, что
функцию рп (F) можно брать произвольно, будем в каждый момент
времени выбирать ее так, чтобы = 1, и тем самым осуществлять
такое управление реактором, при котором он все время находится
в критическом состоянии.
Для оценки изменения изотопного состава горючего во времени
надо решить полную систему уравнений выгорания.
Все приведенные выше соотношения справедливы для гомоген-
ного реактора. Для гетерогенного реактора на тепловых нейтронах
необходимо все р(/) относить к единице объема топливного элемента,
поток нейтронов Ф можно считать пропорциональным среднему по-
току нейтронов по блоку ФСл, а коэффициент вычислять с уче-
том неравномерности поля нейтронов в ячейке решетки.
Другая возможность связана с использованием гомогенизиро-
ванных сечений (§7.10), и тогда Ф — поток нейтронов, полученный
в результате гомогенизированного расчета, что и будет предпола-
гаться в дальнейшем.
Чтобы учесть захват надтепловых нейтронов (который в случае
реактора на тепловых нейтронах следует считать слабым), в (8.1.1)
следует добавить со знаком минус скорость захватов на них ядер
z-ro изотопа и соответствующее слагаемое ввести в скорость захва-
та (/ •— 1)-го изотопа. В возрастном приближении поток замедляю-
щихся нейтронов описывается спектром Ферми / (г, 0)/t2sp, где
/ (г, 0) = £Т2ЙТФ, а скорость захватов на замедляющихся нейтро-
нах выражается как произведение этой величины на р<() 7эф, если
захват слабый [см. (3.5.13)].
В этом случае, т. е. при (рФДф/В^р < 1, скорость захватов
замедляющихся нейтронов в силу сказанного равна
2gT Ф р(б j(О
Из §3.5, 7.5, 7.6 известно, что при малой ядерной концентрации
резонансного поглотителя Д* можно заменить резонансным инте-
гралом J$. Поэтому для цепочки реакций (8.1.1) при малой кон-
335
центрации вновь образующихся изотопов можно записать
2ат Ф (/) z(j)
—------Р •
S^sp
Тогда полная скорость поглощения ядер /-го изотопа равна
(8-1 -9)

аг
Это дает основание записывать о? в (8.1.1) в виде
G(i) = 0(^h^ jU> = au> + aj(O. (8.1.10)
Из формулы (7.9.2) следует SOT = 2^“ /(1 — 0). Кроме того,
для больших реакторов 1. Поэтому
2 зам
а ~ Ат_ = =—™-------------
&sp £SSJ) (1 —0)
(8.1.11)
В многогрупповых расчетах скорости захватов рассчитываются
по многогрупповым формулам.
В случае сильного резонансного поглощения необходимо в
(8.1.9) учитывать блок-эффект, т. е. уменьшение эффективного се-
чения захвата против истинного, связанное с экранированием резо-
нансных уровней. Например, в реакторе на тепловых нейтронах
эффективное сечение 238U можно следующим образом связать с коэф-
фициентом <р — вероятностью избежать резонансного поглощения:
^8) =	+ « (1 - <p)^sp/pW. (8.1.12)
Значения Jr приведены в справочниках.
Рассмотрим несколько частных случаев решения системы урав-
нений выгорания.
1. Малое выгорание (линейный случай). Считаем, что кампа-
ния* реактора мала. Сформулируем начальные условия. В момент
времени t = 0 концентрации горючего и конструкционных материа-
лов равны рф, рф, рк. Ядра остальных изотопов пока отсутствуют.
Тогда для 23sU справедливо соотношение dp&> = —p<s) G^dF. При-
нимаем в первом приближении
р(8) „ р(8) = ApW « —рфофК; р(8) = рф(1 — аф/ф
Обычно G&F < 1, и поэтому p<s) Ж рф.
Для ^35U, рассуждая подобным образом, находим
р^ « рф (1 — офГ).	(8.1.13)
ДЭта формула справедлива при условии оф/7^!, которое определяет
критерий случая малого выгорания.
* Под кампанией реактора понимается время (или среднее время) пре-
бывания ядерного горючего в активной зоне, которое мы определим ниже.
336
Рассмотрим^плутониевый ряд. Для 239Ри справедливо
л? р<о)сг<с и pw ~ F\	(8.1.14)
для -40Ри
= о<» о<»> р<8> f или р<о> = р<!> <,<»> <,<•>р/2; (8.1.15)
dF
для Wu
р(1) = р(§)а(с°)а<9)ст(«)Я/3.	(8.1.16)
Следовательно, при малом выгорании накопление изотопов плуто-
ниевого ряда со временем пропорционально первой, второй и т. д.
степеням интегрального потока F.
2. Глубокое выгорание. Сечение сг(/> в этом случае становится,
вообще говоря, зависящим от концентрации р(|), т. е. ог^>=а^>(р(1’>).
Система уравнений выгорания нелинейна, и решение ее значитель-
но усложняется. Однако если предположить, что (р(*)) = const,
то система упрощается. Тогда
При F = 0 и t = 0 р<5> -- - рф, т. е.
р(5) = р(5) еХр (—(Д9)р).
Следовательно, относительная глубина выгорания определяется
выражением
^^- = [1 — ехр(—о£5)/Д.	(8.1.17)
Р[>5)
Концентрация продуктов деления будет изменяться согласно
уравнению*
.^/=р<5М5\	(8.1.18)
dF
Так как накопление продуктов деления идет за счет выгорания
235U, то
сб5>
Р/ = ^ДГРо5)И— ехРН	(8.1.19)
Найдем /гэф, потребовав, чтобы [см. (8.1.6) — (8.1.8)]
pt5) vp1 q|5) ехр (—а.дТт)
°*_[P<S’oiS, + pKaS+Pfaf + S”(F)l/ll+a?/3Slr(^p(i)O® + 2S)l
(8.1.20)
* Захват нейтронов осколками не принимается во внимание, так как при
захвате они не исчезают, а переходят друг в друга. Сечение на два осколка
равно ~ 50 барн, и в процессе их облучения меняется слабо (уменьшается на
~ 5 барн), чем мы в дальнейшем пренебрегаем.
337
где
Еп (F) = рн (F)o".
(8.1.20а)
Подставим в (8,1,20) вместо р^5 и р7- их значения в зависимости от
ааУ Pq5) е С<3
—
_ (5)f -агт.
v<5> a<5J р^> e a e ° T
) J71	/	— ( О ) th \
-l-p’4“ + ₽o (l-e “ )°Г'
/тГ	2
а ' Уп (Р\ | а0
_(□)	1	' оу
° а
s) e	(1— Др(5)/р(5))
Др<5) /	Щ0'
a(5)_—L-----
п ( 5) I	(т
Г0 \	«
' ,-к
°а
P’<	п Рп GO"
------I - (Jn -------
О (5 )	О 0< 5 )
po po J
о
«о
° (8.1.21)
Если бы реактор не управлялся с помощью поглотителя, то йэф
убывал бы (рис. 8.1). Очевидно, для того чтобы левая часть равенст-
ва всегда оставалась равной единице, необходимо в каждый момент
времени придавать (F) [т. е. величине рп (F)] значение, опреде-
ляемое из (8.1.21).
Поставим вопрос: как велика возможная длительность кампании
в реакторе?
Нетрудно видеть, что левая часть последнего уравнения дости-
гает максимума, когда 2° = рп сщ = 0, т. е. когда все поглотите-
ли, регулирующие реактивность, выведены из реактора. В этом слу-
чае относительная глубина выгорания максимально возможная.
Чтобы определить ее, нужно в уравнении (8.1.21) положить 2^ (F) =
= 0 и найти из него отношение Др<5>/рсоЧ В результате получим
/Лр<» \	= Ур1 ор’ е-°Гт-а‘51-аХ/Ро5,-^/зМ5’ (g ! 22)
Ui=’ Даке vp’ap’	-Щ61 а'/а? 1
Значение F, отвечающее значению ЛрФ из (8.1.22), по формуле
(8.1.17) определяет интервал времени, в течение которого дости-
гается глубина выгорания (Ар<5>/р<обмане- Этот интервал называется
длительностью кампании реактора.
На первый взгляд кажется, что рассуждения, которые привели
к формуле (8.1.22), имеют ограниченное применение, поскольку пе-
ременная F, а следовательно, и поток нейтронов Ф считались не за-
висящими от координат, в то время как на самом деле Ф является
функцией координат и времени: Ф = Ф (г, t). Однако достаточно
сделать некоторые дополнительные оговорки и убедиться, что фор-
мула (8.1.22) имеет более общий характер.
Действительно, использование формулы (8.1.8) с самого начала
предполагает, что нейтронный поток распределен по нулевой гар-
монике условно-критической задачи. Влияние отражателя можно
338
учесть эффективными добавками (экономия отражателя). Например,
в случае цилиндра
/ 2,405 V . / л V
ОС л = | ------ ] “У ( --------- I ,
X Яо ~ $бок /	X Но~г 2бтс,р /
где /?0, HQ — радиус и высота активной зоны; бСок, 6тор — эффек-
тивные добавки бокового и торцевого отражателей. Тогда
. , , т { 2,405г \
Фо = Л L , s cos
х ~г °6oi{ •'
В частности, специальным распределением поглотителя по ак-
тивной зоне (см. § 8.4 и упражнения к нему) можно добиться, чтобы
Рис. 8.1. Изменение эффективного ко-
эффициента размножения в зависи-
мости от интегрального потока ней-
тронов
в пределах объема Уа_3 активной зоны выполнялось требование вы-
равнивания нейтронного потока
ф0 (г) — const, г £ 1/а,3.
Однако по мере выгорания 235U произойдет «р азвыравнивание»,
и условие фо (г) = const нарушится. Эффект развыравнивания мож-
но в идеале ликвидировать, если в каждый момент времени требо-
вать такого распределения поглотителя, чтобы нулевая гармоника
ф0 (г), отвечающая геометрическому параметру а'о, сохраняла свое
первоначальное распределение в течение кампании, поддерживая
в то же время критическое состояние и мощность реактора на за-
данном уровне. Однако интегральный поток при этом не обязан
быть числом, и мы имеем
i
F = F (г, /)’ = j di' ф0 (г) ж /ф0 (г).	(8.1.22а)
о
Следовательно, 2^ (F) = рпо^ = 2^ [А (г, /)] надлежит рас-
сматривать и вычислять как функцию г и Z. Условие критичности
(8.1.21) при этом выполняется, но глубина выгорания
Apt5)/p<§) = 1 — ехр [—otyF (г, /)]
зависит от г и t, и к концу кампании (/ = Т) она равна
=l-exp[-^F(r, 7)], гСУа.3,
i^T
339
т. е. имеет разброс относительно своего среднего (по активной зоне)
значения.
Так как концентрация поглотителя не может быть отрицатель-
ной величиной, то длительность кампании должна определяться
условием
inf Sn [F (г, Т)] = О,
reva.3
причем при t < Т inf Se [F (г, /)] > 0. Можно говорить, что
в этой постановке вопроса Т есть верхняя граница всевозможных
значений t, для которых infS" [F (г, ?)]>0. Таким образом, для
всех значений t^T уравнение (8.1.21) имеет смысл не только
при F = const, но и в более общем случае (8.1.22а). Однако при
этом поглотитель к концу кампании не будет полностью извлечен
из активной зоны.
Глубина выгорания выгружаемого из реактора топлива — важ-
ная экономическая характеристика АЭС. Топливо используется
наилучшим образом, если глубина выгорания максимальна (с той,
конечно, оговоркой, что увеличение глубины выгорания не связано
с заметным ухудшениехм других экономических характеристик реак-
тора).
Обозначим
maxF(r, T) = Fq.
г^а.з
Тогда максимальная глубина выгорания равна
max —7“	= 1—ехр(—^5)F0).
*-еиал pkS) t=T
Если в каждой точке г £ Va,g каким-нибудь способом доводить
интегральный поток F (г, Т) до его максимального значения Fo,
то в процессе такого предельного перехода количество поглотителя,
не извлеченного из активной зоны к концу кампании, уменьшается,
стремясь в пределе к нулю, разброс глубины выгорания также стре-
мится к нулю, а средняя глубина выгорания — к своему максимуму
Др'5’
Р^5
= 1—ехр(—o<5,F0)>
т
который в силу условия критичности должен определяться формулой
(8.1.22).
Таким образом, убеждаемся, что глубина выгорания (8.1.22)
является максимально возможной и достигается в условиях кри-
тичности при не зависящем от координат интеграле облучения, если
в процессе облучения нейтронный поток распределен по основной
(нулевой) гармонике с помощью специального распределения погло-
тителя. При этом F.(r, Т) = Fo =
Др'5’\
PoS) /макс
* -1
. Этого
340
можно достигнуть не только в условиях (8.1.22а), но принимая так-
же г = г (/), т. е.
т
F„=^di' ifc>[r(Ol-	(8.1.226)
О
Это означает, что облучаемое ядерное топливо должно переме-
щаться в активной зоне по закону г (/), т. е. координата облучаемо-
го элемента топлива должна зависеть от времени. Например, в од-
номерном случае % = ф0 (г), г = г (£). Обращая выражение г =
= г (i): t = ф (г), dt = ф' (f)dr, получаем, что скорость перемещаю-
dr 1	1m
щегося элемента равна—т— = , , . =	.... . Тогда
F dt <₽' (г)	<p'[r(f)]
J dr%(r)cp'(r).
г (0)
Если принять г (0) = 0, г (Т) = /?а<3, где Л?а>3 — размер ак-
тивной зоны, и положить скорость перемещения равной
dt а	(г)
ТО
Fo = Ra.3a = COHst,
что и требовалось получить. При этом скорость перемещения облу-
чаемого топлива меньше там, где поток нейтронов мал, и больше там,
где он велик. Для сохранения плотности вещества в единице объема
можно требовать, чтобы каждому элементу ядерного топлива, пере-
мещающегося в одном направлении, отвечал бы такой же элемент,
перемещающийся по тому же закону в обратном направлении.
Формула (8.1.226) соответствует случаю «идеального перемеши-
вания» топлива, когда каждый его облучаемый элемент дольше за-
держивается там, где поток нейтронов мал, и меньше задерживается
там, где он велик, воспринимая за кампанию лишь средний поток
нейтронов Ф в активной зоне. Это легко себе представить для слу-
чая активной зоны в виде расплава, раствора или суспензии ядер-
ного топлива (уран-водные растворы или суспензии урана, распла-
вы солей и т. д.).
Для активной зоны, образованной твердыми элементами, напри-
мер в виде блоков графита с равномерно распределенным ядерным
топливом в форме карбида урана, необходимо организовать пере-
мещение этих блоков по определенной программе, согласно которой
данный блок из замедлителя и ядерного горючего последовательно
облучается в двух положениях: в первом поток нейтронов Фх <
< Ф и во втором Ф2 > Ф, причем ФД2 Ф2/2 = Ф (4 -j- /2);
^.Ч-Д< Д что является простейшим примером такой программы.
341
Возникает естественный критерий, по которому можно сравни-
вать различные программы перемещения ядерного топлива по ак-
тивной зоне реактора: та программа лучше, которая при прочих рав-
ных условиях обеспечивает наибольшую среднюю глубину выгора-
ния и наименьший разброс глубины выгорания выгружаемого топ-
лива около этого среднего. «Идеальное перемешивание» с этой точ-
ки зрения является наилучшим: при фиксированном начальном
обогащении глубина выгорания максимальна, разброс около нее
отсутствует.
Роль поглотителя, компенсирующего выгорание ядерного го-
рючего, обычно играют поглощающие стержни, поэтому проблема
регулирования реактора неотрывна от проблемы выгорания. Для
длительных кампаний необходим как можно больший запас реак-
тивности системы компенсаторов. Однако при больших запасах
реактивности решение задачи регулирования усложняется. Один
из эффективных путей решения такой задачи — применение выго-
рающей добавки. Начальный запас реактивности подавляется вне-
сением в реактор выгорающего поглотителя. Очевидно, что в конце
кампании выгорающего поглотителя должно быть по возможности
немного — в этом случае кампания будет более продолжительной.
Следовательно, сечение выгорающего поглотителя должно удовлет-
ворять условию
(8.1.23
т. е. поглотитель должен выгорать быстрее, чем 235U. Выгорающая
добавка убывает, освобождая дополнительную реактивность. По-
этому за счет ее выгорания /гэф изменяется, но слабее (см. рис. 8.1),
чем в случае отсутствия выгорающей добавки (предполагается, что
других поглотителей нет). Это позволяет «облегчить»систему регу-
лирования, т. е. вводить меньшее количество поглотителя в процес-
се работы реактора. «Облегчение» системы регулирования обычно
желательно по двум причинам.
1. «Тяжелая» система регулирования значительно усложняет
конструкцию реактора (наличие многих регуляторов большого раз-
мер а).
2. В тяжелых системах наблюдаются сильные «перекосы» нейт-
ронного поля в процессе работы, т. е. значительно перераспределяет-
ся тепловая нагрузка твэлов.
Пусть изменение концентрации выгорающего поглотителя описы-
вается законом
рв = р* ехр (—ОдТ).	(8.1.24)
Тогда (8.1.20а) нужно заменить на
(г) = Ро Па ехр (—(Уаг) т Р оа.
Потребуем, чтобы в течение кампании выполнялось условие /гэф =
342
или
р(5) a(J>) +рк aK + pBQB + onGn + a2/32/r
Выгорающий поглотитель вытесняет часть поглотителя, являюще-
гося регулятором, и тем самым облегчает систему регуляторов. Если
при этом не вводить регуляторов, т. е. положить рп = 0, то необ-
ходимое условие работы реактора будет состоять в том, чтобы
МИ к=о>!-
(8.1.26)
Тогда вводя (или извлекая) соответствующее число регуляторов,
можно поддерживать реактор в стационарном состоянии.
Условие максимального облегчения системы регулирования со-
стоит в том, чтобы внести такое количество выгорающей добавки
ра и выбрать ее с таким сечением чтобы величина
k^c (рп = 0)
(8.1.27)
была минимальна в пределах одной кампании (см. рис. 8.1).
Часто в активную зону вводят несколько выгорающих погло-
тителей, подбирая их так, чтобы достигнуть дальнейшего уменьше-
ния изменения £эф в течение кампании реактора. В этом случае
в реакторе имеется несколько групп pQE> выгорающих добавок, каж-
дая из которых удовлетворяет закону
р,<;) = р“<£> ехр (-f),	(8.1.28)
= 1. (8.1.29)
а &Эф — уравнению
vp’op’p45’ ехр( — «5 тт)
-—	*____*. —----------------—----------
5 ) р(5)	рк + 2 рв cjE (i’> + а* Р/Н- РП<7^Н- а20/32/г
i
Это приводит к дальнейшему упрощению системы регулирования,
устраняет перекосы нейтронного поля и т. п.
Интересный пример применения выгорающих поглотителей для
регулирования реактивности реактора — использование так назы-
ваемых обгорающих поглотителей. Если в реактор помещен выго-
рающий поглотитель в форме стержня, то при большом сечении по-
глощения, таком, что Ад < d, т. е. при длине поглощения теплового
нейтрона в блоке поглотителя много меньшей диаметра этого блока,
возникает эффект обгорания блока поглотителя. В этом случае с те-
чением времени внешние концентрические слои поглощающего бло-
ка выгорают, одновременно экранируя его внутренние слои от по-
тока тепловых нейтронов. Так как эффективность поглощающего
стержня логарифмически слабо меняется с изменением его диаметра
(см. гл. 6), то вносимая им реактивность может оставаться почти
постоянной в течение кампании реактора. Вместе с тем, подбирая
должным образом диаметр блока поглотителя или распределение
плотности выгорающего поглотителя по объему этого блока, можно
343
достигнуть того, что реактивность блока обгорающего поглотителя
будет изменяться как заданная функция интеграла облучения реак-
тора р = f (F). Функцию f (F) можно подобрать оптимальной для
регулирования реактивности реактора в течение кампании облуче-
ния, т. е. такой, чтобы облегчить систему подвижных регуляторов
и уменьшить перекосы поля нейтронов в течение кампании.
§ 8.2. ГЛУБОКОЕ ВЫГОРАНИЕ ЯДЕРНОГО ТОПЛИВА
Рассмотрим более общий случай глубокого выгорания в активной
зоне для уран-плутониевого ряда, т. е. для системы уравнений
=	р<” (0) = pi>s>;
dF
= _р(9) о.<»> + р(8) 0«). р(9) (0) = р;
dF
^7Г-=-Р(5^5’; p(5)(0) = pSs’;
dF
= -р(0) a‘J» + р(9) а<">; р(0> (0) = рЬ“>;
L rf* ,
= — р(в> + р<• ><,<•’; р(б) (0) =р6<>;
dF
г*Д_=_р(1)о<,1> + р(0) <,<">; pO)(0) = p;,i>.
dF
(8.2.1)
Как уже сказано выше, при глубоком выгорании ядерные се-
чения = сЛб (р(б) изменяются с изменением изотопного соста-
ва. Поэтому система уравнений выгорания нелинейна. Однако из-
менение эффективных сечений в определенных случаях, особенно
при мягком спектре нейтронов, невеликой решения при = const
можно рассматривать как первое приближение. Как и выше, выго-
ранием S38U можно пренебречь, т. е. полагать р<8) (F) const =
= Ро8>-
Таким образом, в первом приближении можно принять систему
уравнений выгорания за систему обыкновенных линейных уравне-
ний с постоянными коэффициентами, найти решение которой, конеч-
но, не составляет труда. Прежде всего напомним, что все уравнения
выгорания имеют следующую структуру:
= —рЮ -у р(*’-D а<'-1); р(О (0) = р</>.	(8.2.2)
dF
Следовательно, их можно записать в форме
ехр(-<4!) f) -У	pW(0) = p<o.
dr
344
Интегрируя последнее уравнение, получаем
р(О (^) = ехр( — с4п F)
$ ехр И'1 X) aV“11 р “ -1 > (X) dX + р(/>
Lo
= р^ ехр ( —о£’ F) + п ехр (—Од£) F) J* ехр(а« }Х)р(/_ l)(X)dX.
о
(8.2.3)
Таким образом, решение сводится к последовательным квадра-
турам и дает в результате
Р(8) & рЬй);
р(5) =p(S) ехр ( —Oa5i F);
р(б) = р..> ехр (_а<6> F} + а-> рЬ=-	F)
5)
-fC 9 ) р
е “	+Р‘о8)
p<“> = pi,”’e~a“°>
— (1
°а
а(э)
V-

4-р&й) а£0)о£8)
-]_р(9)—-----(е-<7«0>
1 Г° П<9)_ П(ОЛ
va иа
F
е а
_О(Э> р
—е с
-о(9)
е а
Р
Ga} Ga> '
_0(1> р -с/0) Г\ .
°а г___£ г 1
4р8э,^п^3)
Р“) = РГ’е-’« ' + ?&’>
41 V£Z
-o^J F
е
-°a9,F
U	1	с
-а(1) F
е я

_ „<о>
е °а
-°а0)	(-^Ч-<^9))
е
pft8> о?’	о£8\
(8.2.4)
345
Из написанной системы решений нетрудно усмотреть, что кон-
центрация 235U с течением времени монотонно убывает, в то время
как концентрация 239Ри сначала линейно возрастает (при o^9)F С 1),
а потом (при с»а9) F > 1) стремится к насыщению:
(8.2.5)
Также стремятся к насыщению концентрации 240Ри и 341Рн:
Р^^Р^
о-p)
(j( я >
п?>
W*
о<Р>
а(8)	ст(9)	ст10)
(j	L-	С
а(0>	а?)
(8.2.6)
Значения этих «равновесных» концентраций получаются из (8.2.2)
при dp^/dF =-- 0 и р(ч) const.
К уравнениям выгорания (8.2.1) необходимо добавить также
уравнения накопления продуктов деления, поскольку последние
влияют на реактивность реактора:
- р(5М5’ + р<9) G(9) _l p(i)	(0) = 0	(8 2.7)
Для упрощения здесь пренебрегаем делением 238 U, которое в реак-
торах на тепловых нейтронах обычно незначительно.
Так как концентрации р<5),	р^1) уже известны, то ру полу-
чается простой квадратурой:
F
Ру = [ (р(5) о(5)-|-р(9) о)8’+ Р(1) °/п)
б
(8.2.8)
Выше уже было сказано, что решение при o<z) = const является
только приближением и в некоторых случаях, когда сКО (а) как функ-
ция коэффициента жесткости спектра а [см. (8.1.10)] изменяется
заметно, нуждается в уточнении. Наиболее простой способ учета
изменения эффективных сечений при выгорании реактора заклю-
чается в следующем. Поскольку изменение сечений при выгорании
вследствие изменения жесткости спектра невелико, то можно вос-
пользоваться методом последовательного приближения, приняв за
нулевое приближение решения, полученные при ой') = const.
Запишем формулу (8.1.1G) для с»^ и в виде
— ~}а (а) — <Лгт ;	1	,g % g .
ДО, (О I
(Jc —- Gc (CZj — Ост “Г	J
Начальное значение коэффициента жесткости спектра а обозначим
а0, и соответственно
ai0(ao) = Oao; Ос°(с10) = аЙ.	(8.2.86)
Искомые p(l) представим как
рЩ = р(0 рщ,	(8.2.9)
346
где р{/> — нулевое приближение, которое, по определению, удовлет-
воряет системе невозмущенных (линейных) уравнений:
ФР  .	--б1') । ТУг"—	1) • /Лб /п\ /ц о
--— — — Ро аа0 ~Г Ро Ос0 , Ро (w — Ро • (О.Д.УЭ)
dr
Тогда	(F) у= 0 при F > 0 и
Р<0 (0) - 0.
(8.2.10)
Решение системы уравнений (8.2.9а) нам известно из формул
(8.2.4).
Мы предполагаем, что отклонения pli> от 0 невелики по срав-
нению с р^ в силу упомянутой сравнительно малой чувствитель-
ности эффективных сечений к изменению жесткости спектра а. По-
этому можно искать Р(/) в виде степенного ряда:
p(O(F)-F
dF
F'1
(8.2.11)
Теперь вычислим первые коэффициенты ряда (8.2.11). Для этого'
подставим в уравнение (8.2.2) р<б 4- |3<£) вместо р(°.
Тогда
d(p{.‘W>) = _(рЮ +pxn)о'/’ i l(T'оЦ~ °.
dF
(8.2.12)
Отсюда, используя (8.2.8а), (8.2.9а), найдем выражение для dp^/dF:
'  RU‘) zx-Ф ! P.( i —11	P r\ (О (,_(9 „(0] s
--— — —P'-'OTi -ppv ’ Ge “Ро Фа —ОД.0 I ~T
dF
+ рГ "	>) = -₽«> Ф+₽‘'-' > Д “1 ’ -i-
+ lp(‘“n C&-”-Po(i) о	(8.2.13)
Положим F = 0 и, заметив, что при этом pf£) = 0, а ~ а0, получим
= 0.	(8.2.14)
л = о
dF
Таким образом, в разложении [3 (F) выпадает линейный член и
сохраняется только член, квадратичный по F. Коэффициент при
последнем находим, дифференцируя (8.2.13) по F и полагая^ = 0:
d2
dF2
= (рЕ/“*Мд Н — Р^сгй)
da
dF
(8.2.15)
F= 0
производную от а определяем, дифференцируя его выражение из
(8.1.11) и учитывая уравнения (8.2.2):
da _ d
dF ^~dF
2C«(PU~1J $el 1} —P(M‘S).
(8.2.16)
При F = О
_ — 2	— Р0° + ^0 ° Рог“°]
Г=0 £Ssp
—	1	n(;l (	г/*л '	г/o’ rr(Z+	/О 9 1 у\
— ~~	Р о I — Фгт	Ф:0 ।	®с0 &ат	) •	(о.Д. 1 I)
?А<р £
Следовательно,
J2 P(t)	1	fn (i) . I{ n (i—1)
"77	“Р^а/гтР?-11^ _ x
гЛ’ШпФ n(&+1)''
OtfO Ф t*cO Уат j
(8.2.18)
Таким образом, отклонения величин р<{’> от нулевого при-
ближения если ограничиться членами разложения по F до F2
включительно, записываются в виде
£(‘) (F) =
F2
2 dF2
(8.2.19)
где коэффициенты при Л2/2 даются выражением (8.2.18).
Формула (8.2.19) дает разложение (8.2.11) с точностью до трех
членов, т. е. пригодна и для достаточно больших интегралов облу-
чения (для достаточно глубоких выгораний ядерного горючего),
с учетом, конечно, тех ограничений, которые связаны с использо-
ванием одногрупповых эффективных нейтронных сечений. Мы ви-
дим, что сами эти сечения в представлении (8.2.8а) зависят от F,
поскольку коэффициент жесткости а зависит от F. С точностью до
двух членов разложения по степеням F имеем
а & а0 4- F
к=о
а0 = <х|р=о
(8.2.20)
и соответственно
aU) (a) = (j(V(a0)-FF	од,
aF f = q
(8.2.21)
л л	da
где коэффициент
следует брать по формуле (8.2.17).
Таким образом, задача изменения изотопного состава в нашем
приближении решается довольно просто для каждой данной точки
реактора г, а решения выражаются как функции F (г) — интеграла
облучения в точке г. Однако, как уже отмечалось, сама величина
F (г) как функция г неизвестна, так как распределение интеграла
облучения по объему реактора в данный момент времени t зависит от
выгорания изотопов ядерного горючего. В частном случае запрог-
раммированной циркуляции ядерного топлива по объему активной
зоны можно исключить обсуждаемые эффекты.
348
В общем случае , если нужно определить выгорание изотопов в
точке г как функцию времени I, а не интеграла облучения F или же
найти изменение реактивности р (t) или распределение потока нейт-
ронов в реакторе Ф (г, Z), приходится решать задачу выгорания изо-
топов в данной точке г совместно с задачей об изменении распреде-
ления поля нейтронов в объеме реактора со временем. Иными сло-
вами, к уравнениям выгорания добавляют уравнение для поля нейт-
ронов в объеме реактора и полагают
t
dF (у, t) di или F^ j* Ф (г, t'jdt', (8.2.22)
6
где Ф (г, Z) удовлетворяет уравнению критичности, которое для од-
ногруппового приближения с эффективным коэффициентом диффу-
зии (см. § 2.7) имеет следующий вид (если в квазистационар ном слу-
чае принять —	= 0):
Озф АФ +	= 0; АФ + х2Ф =0; z2 = (k„ -
- l)/(i2 + k^.	(8.2.23)
Здесь
Оэф = D (1 +^оо т/L2); 2а = 2 Р(0 ват Ф Рп Фт,
i
где рп<Уа т — макроскопическое сечение регулирующего поглотите-
ля, вводимого в реактор для поддержания его в стационарном со-
стоянии. Нетрудно заметить, что £>Эф» и Sa для задачи выгорания
оказываются функциями координат и времени*:
Р5ф (г,/) = Р[1 + /г« (г,	(г, Z)];
(Г, 0 = S Р<0(Г, /) Одт’-гР11 (П 0 Пат;
Л2 (г, /) = l/32irSa(r, Z).
(8.2,24)
Ограничимся постановкой задачи выгорания изотопов с учетом
только пространственного изменения поля нейтронов во времени.
Обычно эта задача решается приближенно, либо с разбивкой време-
ни на сравнительно короткие интервалы, внутри которых распреде-
ления р(£'), Ф и т. д. можно считать функциями только г, и последова-
тельным переходом от одного интервала времени к последующему,
либо можно искать решение в форме ряда Тейлора (т. е. степенного
ряда по t), пользуясь тем соображением, что пространственное рас-
пределение поля нейтронов Ф (г, t) как функция t изменяется срав-
* Строго говоря, в (8.2.23) с учетом зависимости от координат коэффи-
циента £Эф нужно было бы писать diVjD3$ уФ. Но эта зависимость в усло-
виях выгорания слабая, и мы ей пренебрегаем.
349
нительно плавно и не очень сильно; иными словами, решение можно
представить в виде
Ф(Г, О=--Ф(г, 0)-|Д—
di
j- Л
t = Q '	2
(8.2,25)
i = О
Чтобы конкретизировать задачу, рассмотрим пример §8.1, п.2
(см. с. 337), не предполагая перемешивания активной зоны. Тогда
уравнения выгорания реактора можно записать так:
р<5> = рои ехр 5).	[1 — ехр (—сг^6)) F] о'-5,/сг«5}; 1
ДФ-]-х2Ф = 0; Ф(Я, 0 = 0; х2 - (k^ — 1)/(L2 ф т).	J
(8.2.26)
Дифференцируя критическое уравнение по tt находим уравнения
для последовательного определения
и с>у2
1 = 0 1 д!
дф
"df
и т.д.:
t=o
О2 Ф
[Д4->?(0Л
dl-
дф
dt
/=о
ОФ
l'= о 0Р
di
= °;
t = о
t=o’ дР
t = o
32Ф
1 = о’ dt’2
Искомые —
dt
по гармоникам уравнения
(8.2.27)
_ можно представить в форме рядов
i  О
причем собственные функции г|?71 (г) будем считать ортонормирован-
ными: (% , ф„г) = 6пт.
При такой постановке задачи х2|/ = 0 — const, т. е. не зависит
от координат, в то время как при I > 0 х2 = х2 (г, Z) и эта функция
определяется формулами (8.2.26) как функция F (г, Z), что дает воз-
можность определить
дур I ду? дР \
dt i = o I др dt }t = o
в виде
/ = о
др л = о
Из условия критичности (8.2.23) имеем
х2|/=0 = Ко; Ф (г, 0) = Дфо (г).
Значение А определяется начальным значением мощности из соот-
ношения const = ]’ (УгФ (г, 0)р<5> (0)о^’>
Из первого уравнения (8.2.27) имеем
350
Умножим это уравнение на проинтегрируем по объему и, учи-
тывая, что
найдем
ЭФ
di
СФ
Коэффициент «о нужно находить из других соображений, на-
пример из предположения, что мощность реактора в течение кам-
пании сохраняется. При наших упрощениях это дает:
const = J dr Ф (г, I) р<5> (К) c&V;
— Cdr®(r,Op<s>(f)ag’
di J
Ч-Ф(г, 0)
Г ЭФ 1
dt t=o
Р(5’ (0)4
рС5) (0)—Ф2 (г, 0) р<5> (0) og’ =
о©
^-ф (Г, 0) -г У ап фи (г) —Ф2 (г, 0)	р(5) (0)
/3=1
Отсюда находим д0 и получаем два первых члена разложения (8.2.25).
Аналогично может быть найден третий член и т. д.
§ 8.3. СИСТЕМА ПЕРЕГРУЗКИ РЕАКТОРА
В примере об изменении реактивности реактора рассмотрена про-
стейшая система перегрузки реактора: реактор загружается порцией
ядерного топлива и создается начальный запас реактивности. По
мере выгорания изотопов этот запас постепенно расходуется, и на-
ступает момент времени (окончание кампании выгорания), когда он
падает до нуля. Выгоревшая порция ядерного топлива выгружает-
ся и заменяется порцией свежего. При такой простейшей схеме пе-
регрузки ядерного топлива достигается определенная глубина вы-
горания к], измеряемая отношением т] = Др^фф5’, т. е. отношением
количества выгоревшего ядерного топлива к начальному его коли-
честву.
В большинстве энергетических ядерных реакторов для увеличе-
ния глубины выгорания топлива, что имеет важное экономическое
0 =
351
значение, применяются более сложные системы перегрузки, при-
водящие к возрастанию глубины выгорания т].
Предположим, что ядерное топливо равномерно распределено
в жидкой активной зоне, которая непрерывно перемешивается. Тог-
да для запуска реактора потребуется некоторая начальная концент-
рация ядерного топлива р8Бмин для достижения критичности, т. е.
~ 1. Так как в начальный момент продуктов деления в реакто-
ре еще нет, то при выведенных поглотителях-регуляторах начальная
концентрация 335U определяется уравнением
, рК5’ vS6’pi61 ехр тт)
/г„4 =	°“',Я 1 1------—= 1;	(8.3.1)
p8siBK^0>+pK^+“?/33(r
Омин (v|5)а)в)/<т”’>)ехр( —а§ rT) —1
После запуска реактора ядерное топливо выгорает и накапли-
ваются продукты деления. Реактивность начинает падать. Для под-
держания ^Эф = 1 будем непрерывно добавлять свежее ядерное топ-
ливо, т. е. 23 4J, таким темпом, чтобы &Эф = 1.
Далее, в некоторый момент времени начнем отбирать раствор
активной зоны с определенной концентрацией продуктов деления
и 235U и одновременно с определенной скоростью подавать в ак-
тивную зону свежие порции 235U. Таким образом, мы достигнем ста-
ционарного состояния реактора, в котором будут поддерживаться
заданные средние концентрации р<5> и ру при &эф = 1. Связь между
р<5> и р/ определяется уравнением критичности реактора
v^)p(5) g|5) ехр(~аатт)
р(5) о(5) р К ок + а/ + a2/3Sfr
Мысленно проследим за историей небольшой (р<5> ж р(ой)) пор-
ции 236U, введенной в реактор в какой-либо момент времени t и вы-
веденной из него в момент времени t + Т. За время кампании Т эта
порция M8U воспримет интеграл облучения F = ФТ, а глубина вы-
горания в ней составит, согласно (8.1.17),
П = Ар(5>/р‘Б> = 1 - - ехр (—o£'F).	(8.3.4)
При этом количество накопившихся в рассматриваемой порции топ-
лива продуктов деления равно
Pi5) [1 — ехр( — а^’?)1 = -1—	(8.3.5)
_ Теперь найдем связь между ц и средними концентрациями р(5),
р/ ядерного горючего и продуктов деления в стационарном реакторе.
352
Для этого достаточно усреднить по времени t или по F = Ф£ =
= constd выражения для p^(F) и p/(F):
Подставив р(5) и р/ в уравнение критичности стационарного реак-
тора, найдем связь между глубиной выгорания т] и начальной кон-
центрацией р{06) в стационарном режиме работы реактора:
аа СГР)
— In (1 —Т])
ар>е“и’тт—<55’
(jt5)
а
= pfe о/ +
32fr
J___, f
о <6) СГд
(8.3.8)
Для сравнения последнего уравнения с (8.1.22) его можно запи-
сать в более удобной форме:
П	/ Pfe	ГТ2 сЦ&) Л
_____И_____а к ।____________________ЕД__________________. г . ог
- 1п(1— ц) ^о) а____________________а‘5> а/
/	а!6 * ( \ “ 1
х Vp> Op’ —+ -Д—	.	(8.3.9)
Численное сравнение последнего выражения с (8.1.22) показы-
вает, что при одинаковых начальных концентрациях р<3’ глубина
выгорания по формуле (8.3.9) значительно больше. Например, при
/т( 5)
vl6’ —-— е-“о Ч. 1 = 0,8;
=0,05;
р(6) Ст(5)
РК°аК 1_ «о = о 5
р^>^’ г 32/гРГ^Б)
из (8.1.22) для реактора, регулируемого поглотителями, получаем
Я 0,35, в то время как для системы с непрерывной перегрузкой
ядерного топлива без поглотителей нейтронов т| л? 0,75.
12 Зак. 85	353
В реакторах с твердой активной зоной организация циркуляции
горючего по объему активной зоны встречает различные трудности
н связана с появлением дополнительных эффектов, осложняющих
ситуацию. Не останавливаясь здесь на деталях расчета, вкратце
разберем только некоторые системы перегрузок и качественно об-
судим возникающие проблемы.
Начнем с систем непрерывной перегрузки. В реакторах, в кото-
рых топливо может загружаться и разгружаться на рабочем ходу,,
можно организовать действительно непрерывные или квазинепрерыв-
ные системы перегрузки ядерного горючего. Под квазинепрерывны-
° ! а1 °2 °3 °4
°\°5 °6 °7 °В
° ! °д °п Ы °i.г
0 э®
Выгоревшие
соорки
Сбежие
сборки.
О О О о
Ячейка по/шрешетки, N=1S
Рис. 8.2. Схемы перегрузок топлива в реакторе
ми понимаются такие системы перегрузки, когда регулярно с пе-
риодом, много меныпим характерного времени выгорания, т. е. вре-
мени кампании реактора, производится перегрузка топлива пор-
циями, много меньшими, чем полная загрузка реактора. При этом
возможны различные схемы движения топлива в объеме активной
зоны от момента загрузки данной порции топлива до момента ее
выгрузки. Приведем несколько таких схем (рис. 8.2):
а — в канальном реакторе топливные блочки движутся от одного
торца реактора к другому навстречу друг другу в соседних топлив-
ных каналах;
б — свежее топливо загружается в периферийные каналы реак-
тора и по мере набирания интеграла облучения периодически пе-
ремещается к центру реактора; выгоревшее топливо разгружается
из центра реактора;
354
в — свежее топливо загружается в центральную зону реакто-
ра и постепенно перемещается к периферии, откуда выгоревшее
топливо разгружается;
г — перегрузка по ячейкам полирешетки — все топливные ка-
налы реактора разбиваются на большое число идентичных групп
каналов, каждая из которых содержит N ~ 5 4- 25 соседних топ-
ливных каналов. Пусть время кампании топлива в любом из этих
каналов равно Т. Тогда в каждой ячейке реактора каналы перегру-
жаются со сдвигом во времени ТШ, т. е. если канал 1 перегружен
в момент времени t = 0, то канал 2 перегружается в момент време-
ни t = T/Ny канал 3 — при t = 2T/5V и т. д. Таким образом, в пре-
делах ячейки полирешетки поддерживается квазистационарное со-
стояние топлива, т. е. в произвольно выбранный момент времени
в данной ячейке содержится топливо, воспринявшее все возможные
степени облучения от нуля до максимума облучения в выгружаемом
топливе; при этом реактивность реактора всегда мало отличается
от нуля без использования поглощающих нейтроны стержней;
точнее говоря, последние приходится использовать только для
выравнивания общего распределения поля нейтронов по реак-
тору;
д — перемешивание топлива по высоте топливных каналов. Так
как распределение поля нейтронов в реакторе обычно неравномер-
но по длине топливного канала, то для перечисленных выше схем,
кроме схемы а, топливо в центре канала облучается сильнее, чем
на краях. Поэтому если в течение кампании выгорания перемещать
топливо из центра канала на его периферию и наоборот, то дости-
гается большая равномерность облучения топлива. Этого можно до-
стигнуть, например, так: сделать загрузку топливного канала из
двух половинок по высоте и последовательно переставлять поло-
винки, как показано на рис. 8.2.
Разумеется, можно реализовать и другие схемы перегрузки. Каж-
дый режим перегрузки определяет достижимую для данного топли-
ва глубину выгорания. Например, нетрудно заметить, что для ре-
жима перегрузки в, т. е. для движения свежего топлива от центра
к периферии, глубина выгорания больше, чем для режима б, так как
свежее топливо вносит значительно большую реактивность, будучи
помещено в центр реактора, где ценность нейтрона выше.
Однако для эффективной работы реактора недостаточно только
увеличить глубину выгорания, если это увеличение происходит за
счет понижения средней энергонапряженности топлива в реакторе.
Сравнивая опять режимы перегрузки в и б, нетрудно заметить, что
для режима в глубина выгорания больше, чем для режима б, но и
неравномерность поля тепловыделения и поля нейтронов также
больше, потому что свежее топливо с высоким находится в цент-
ре реактора, а выгоревшее с малым — на периферии. Таким об-
разом, надо искать оптимальный компромисс между увеличением
глубины выгорания и понижением коэффициента неравномерности
тепловыделения.
12*	355
§ 8.4. ВЫРАВНИВАНИЕ ПОЛЯ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ
Как было показано, выравнивание в пределах активной зоны
потока нейтронов (или связанного с ним поля тепловыделения) по-
зволяет увеличить глубину выгорания ядерного топлива, а это при-
водит к возрастанию удельной тепловой нагрузки, т. е. тепловой
мощности активной зоны, приходящейся на единицу объема ядер-
ного топлива. Рост этой величины способствует более эффективно-
му использованию ядерного топлива. Если не принимать мер по вы-
равниванию плотности тепловыделения, топливные элементы в цент-
ральной части активной зоны будут испытывать наибольшую тепло-
вую нагрузку, на периферии — наименьшую. Вследствие этого при
наличии температурных ограничений на компоненты твэла (обо-
лочка, сердечник) периферийные твэлы будут недогружены. В ре-
зультате средняя удельная тепловая нагрузка без выравнивания
будет меньше, чем при выравнивании.
Степень выравнивания обычно характеризуется коэффициентом
неравномерности тепловыделения
ky 7макс^7 0")»
где 7MaKC, q (г) — соответственно максимальное и среднее значения
плотности тепловыделения q (г), т. е. тепловыделения, приходяще-
гося на единицу объема. (Иногда в качестве коэффициента неравно-
мерности используют обратную величину 1//гу.) При идеальном
выравнивании kv = 1 (см. ниже, упражнения 1—4).
Обычно выравнивание осуществляется выделением в активной
зоне отдельных «подзон» с разным обогащением (двухзонное, трех-
зонное выравнивание). Но можно использовать и выравнивание за-
медлителем, вводя подзоны с разным разбавлением ядерного топли-
ва замедлителем, например используя в разных зонах разное отно-
шение объема блока к объему элементарной ячейки V&JV.
Рассмотрим проблему выравнивания, применяя «гомогенизиро-
ванную» систему многогрупповых констант (см. §7.10); в многогруп-
повом диффузионном приближении запишем уравнение условно-
критической задачи [см. (5.10.2)] в виде
div РуФ—£аф-у£ф_.—— 7'Ф-^О.	(8.4.1)
В принципе можно ставить задачу о таком непрерывном распре-
делении 235U (либо его разбавителя или поглотителя), чтобы полу-
чился заданный закон распределения тепловыделения q (г). Примем
для определенности, что управляющим параметром является кон-
центрация р(5> (г) 233U. При этом нужно учесть, что изменение р(3> (г)
233U влечет за собой изменение концентрации его разбавителя. Пусть
распределение концентрации урана ри = const задано и разбави-
телем является 238U. Тогда возникает дополнительное условие —
закон замещения:
р(5)(г) + p(s)(r) = ри.	(8.4.2)
356
Соответственно любое макроскопическое сечение 2 распадется
на компоненты:
2 = 2и + 2' = р<5М5) + pW8> + 2' = р<б)(а<5) — qW) +
Ч- puo<s> + 2' = р<5> ((К5) — о<8>) 4- 2"; 2" = pW + 2'. (8.4.2а)
Отсюда для многогрупповых сечений в (8.4.1) следует:
3[p‘s>№>-a$) + 4nd
S»« = Р(5) (айб-аИУ + %«;
SJt = P<5) (aM’-ajD-i-Sfc
(v, 2;)„ = р<5) (vjj’ajr—<jfs,) + PUvjr °W’.
(8.4.3)
Соответственно все матрицы в (8.4.1) представляются как функ-
ции р(Б):
Ь = (SS^)-1 = 1 з	(р<5));'
2а = Р^ао4-Й = 2а(Р<5>);	(8Л4)
2 = р(Ь)о + 2" = 2(р<5));
MW".
Будем считать, что размеры всех зон реактора заданы, и требо-
вать такого распределения 236U, при котором реактор становится
критическим (k3$ = 1), а тепловыделение распределено по зако-
ну
q = я (г)-	(8.4.5)
Тогда система уравнений (8.4.1) принимает вид
divD (р<5>) VO—2а (р(5>) Ф4-2 (р<5>) Ф-|-
4-^(р(5))ф==о? Ф(И) = О, R6S	(8.4.6)
при дополнительном условии (8.4.5), которое можно записать так
q (г) = S; (pW) Ф (г) = 2 [р(5) (г) W - °»’) + Ри <4"1 Ф; (г) =
/=1
= Р(5) (г) аф(г) + &ф(г), rcVa.3,	(8.4.6а)
где
Лф(г)= s (а(7’-<ОФЯг);	<8-4-66)
/=1
Ьф (г) = 2 Ри °!?’ ®1 (0-	(8.4.6b)
/=1
357
Система уравнений (8.4.6), (8.4.6а) нелинейна относительно пе-
ременных р(5> и Ф. Для ее решения предлагается следующий итера-
ционный процесс [34].
Выберем некоторое начальное распределение p^J, при котором
реактор оказывается критическим. Можно, например, взять р<о) =
~ const и подобрать эту постоянную так, чтобы для условно-кри-
тической задачи (8.4.1) /гэф = 1. Это можно сделать или аналитичес-
ки (методом свертки зон и т. п.), или численно методом итерации
источников с выводом на единицу (с использованием соответ-
ствующих вычислительных алгоритмов, учитывающих условия
сшивания и краевые условия). Одновременно вычисляется поток
нейтронов который удовлетворяет уравнению
divn (р[*>) ?ф(0)	(р<*)) ф(0) + 2 (р(5)) Ф(°> + F (р<* J) Ф<°) = 0.
(8.4.7)
Используем теперь условие (8.4.6а), переписав его в виде
<7(г)= Р(5)(г) аф(о) (г) -Нф(о) (г), геУа,3.
Его решение
р(5)(г)
4(г)— бф(0) (г)
%(0) (г)
(8.4.8)
= Pji5Hr)
будем рассматривать как первое приближение для концентрации
Р(Ь) (г). Обозначим (г) = F (р{^)Ф(0) (г). Тогда решение Ф(1)
уравнения
divD(paDV®<3)-2a(P^) Ф^ 4-2 (РЩ)Ф(1)Н-Qi = 0
является первым приближением для решения Ф уравнения (8.4.6).
В общей форме итерационный процесс записывается в виде
divD (p^V) V®(0_(pff/) Ф(‘) 4- 2 (Р(7)’)	4- = 0,
где
, , .	, .	(8.4.9)
4 г —(г
<2,- = F (?<=>	„ =------^4-------, I = =.1,2,...
яф(<) (И
Л
В конечном счете должно получиться
Р(О (г)Рс5) (г); Ф(0(г)-> Ф(г),	(8.4.10)
при этом имеется в виду равномерная сходимость по г £ V.
В частности, q (г) при г б Иа.3 может быть задана постоянной (иде-
альное выравнивание: kv = 1).'
Итерационный процесс (8.4.9) привлекателен тем, что на каж-
дом его этапе решается не условно-критическая задача, а задача на
определение нейтронного поля Ф<б в неразмножающей среде по
358
заданному распределению внешних источников Qi} для решения ко-
торой не требуется метод итераций источников.
Вычислительная техника для решения таких краевых задач хо-
рошо разработана. Вычисление /г3ф вообще исключено, поскольку
о самого начала принято АЭф = 1 и сразу вычисляется распределе-
ние критической концентрации.
Следует отметить, что, в силу меньшего вклада в реактивность
235U на периферии активной зоны по сравнению с центром симмет-
рии, выравнивание обогащением приводит к росту обогащения на
краю активной зоны. Непрерывный график р;б) (г) можно заменить
ступенчатым, и тогда приходим к позонному выравниванию. Но
уменьшение коэффициента неравномерности тепловыделения, как
правило, «покупается» ростом критической массы. Примеры реше-
ния задачи в разных геометриях для одногруппового диффузион-
ного приближения даны в упражнении 5.
Значения pj’j и Ф(0) для итерационного процесса (8.4.9) не обя-
зательно выбирать, решая уравнение (8.4.7). В принципе Ф<0) мож-
но взять произвольно (наугад), но значение функции р(ц следует
обязательно вычислять по формуле (8.4.8). Однако при «слишком
произвольном» выборе функции Ф(о> (г) может сказаться нелиней-
ный эффект, состоящий в том, что процесс (8.4.9) расходится или
даже с самого начала дает нелепый результат [например, функция
(8.4.8) оказывается знакопеременной]. Это означает, что функция
ФСо) (г) выбрана очень неудачно и слишком отличается от решения
Ф (г) уравнений (8.4.6), (8.4.6а). Однако можно указать область до-
пустимых значений функций Ф(0> (г) и р{о> (г), таких, что процесс
(8.4.9) будет сходиться. С помощью специальных программ, реали-
зующих алгоритм (8.4.9), эта область всегда может быть обнаруже-
на. В частности, значения = const и (г), являющиеся ре-
шениями (8.4.7), обычно порождают сходящийся алгоритм (8.4.9),
(8.4.10).
Конечно, не обязательно разбавителем брать 23SU. Можно вы-
брать уран с фиксированным обогащением, а за управляющий па-
раметр принять концентрацию какого-либо разбавителя урана.
В реакторе на тепловых нейтронах таким разбавителем является за-
медлитель, а в гетерогенном реакторе управляющий параметр —
отношение Кбл/У = 1 — Кзам/К. При этом полностью проходит
итерационный процесс вида (8.4.9) и наблюдается характерное раз-
личие между выравниванием обогащением и выравниванием замед-
лителем.
Представим себе, что достигнуто полное выравнивание потока
нейтронов обогащением для начала кампании. Тогда более обога-
щенный уран в выравненном потоке дает большую скорость деле-
ний, чем менее обогащенный, что приводит к развыравниванию
в процессе кампании, так как нарушается правильное распределение
управляющего параметра.
Если выравнивание осуществляется замедлителем при фиксиро-
ванном обогащении, то скорость делений всюду одинакова, а распре-
359
деление управляющего параметра в течение кампании не меняется-
В силу этого выравнивание замедлителем обнаруживает большую
устойчивость по отношению к развыравниванию, чем выравнива-
ние обогащением.
Задача об «идеальном» выравнивании — частный случай общей
проблемы оптимального расположения ядерного топлива в реакто-
ре. Ряд задач такого типа решается методами неклассического ва-
риационного исчисления (см. [35]). Рассмотренная здесь схема да-
на в [34].
Упражнение 1. Решить аналитически уравнение (8.4.6) для одной
группы (т = 1) в случае плоского реактора на быстрых нейтронах с активной
зоной и зоной воспроизводства из природного урана. В активной зоне ис-
пользуется обогащенный уран с законом замещения (8.4.2) и принимается, что
а^)=сг)8>, q (г) = const	(8.4.11)
(разница одногрупповых транспортных сечений 235 U и 233U несущественна).
Решение. Если выполняется (8.4.11), то коэффициент диффузии
D не зависит от обогащения урана и может быть вынесен из-под знака дивер-
генции. Тогда уравнение в активной зоне имеет вид (2.2.5):
АФ+у2Ф=0; х8 = (^»>2^’-!-^8»2С8> — So)/D>0. (8.4.12)
Зона воспроизводства является подкритической системой, и для нее
Дф'_х'2ф'=0; x'2=S^ —v<-5>'	>0.	(8.4.12а)
(Штрихами отмечены величины, относящиеся к зоне воспроизводства.)
Уравнения (8.4.12), (8.4.12а) решаются при следующих краевых усло-
виях и условиях сшивания:
= Г'УФ' =Ь— L	(8.4.126)
. Для случая плоской геометрии решение (8.4.12а) имеет вид
Ф'(х) = Coshz' (х — ZZ/2 — d), откуда следует
—у = £'УФ'/ф' = — D' x'cth x'd.	(8.4.12в)
Уравнение (8.4.12) в силу (8.4.126), (8.4.12в) должно решаться при крае-
вом условии
УФ (#/2) jy__ D'
Ф(Н/2) D =~ D
х' cth х'd .
(8.4.13)
Условие постоянства тепловыделения в активной зоне записываем как
q = (Sf5)-J- S)8>) Ф или, в силу (8.4.2),
— с)8)) Р(&) (х) Ф (*) 4“Ри ff/85 Ф (х) >
откуда получаем
РС5) (х) Ф (х) = -O(5)L а(8) [<7-pU cfjs) Ф (x\
Тогда x2 в (8.4.12) принимает вид
(8.4.14)
х2
ад8))1 P(S)-|"PU (^]8) Ф8’ —
^8I)“2aJ>
360
где определено в (8.4.2а). Используя (8.4.14), приводим уравнение (8.4J2>
к виду
ДФ — Ф/Д2 + qC/D = 0; — Н/2 < х < Я/2.	(8.4.15^
Здесь
уг = Т [р^Ч8’ С+<|;	<8-4‘ 15а>
2i=si+₽u(oJ,s>—v|«>ais>); C=[vj»ajs>—vj’-aj81—
-(ai‘,-o4,,)l/(a{»-a)”)-
Уравнение (8.4,15) решается при краевом условии (8.4.13), и его частное
решение
ф (х) = qCLl/D = const.	(8.4.16)
Общее решение однородного уравнения с учетом условий симметрии
(8.4.126) для плоской геометрии имеет видф (х) = A ch (х/£0). Таким образом..
х	gCLn	А	х
Ф(х)=ЛсЬ —4-7Ф(х) = —sh —
Lo Li	Lq	jLq
Подставляя эти выражения в (8.4.13), находим
А
отсюда следует, что
yqCLl [ 1	И	у , н V1
Л= —•*»	“ I *' sh " 4- — СП	•
/СА \ Lq	2Lq	D 2Lq /
Тогда
Из (8.4.14) имеем
9
ри а£8)
(8.4,17)
р<Б>(х) =•
(8.4.18)
или, подставляя сюда (8.4.17) и (8.4.15а), в более явном виде получаем
(8.4. 18а)
Упражнение 2. Для упражнения .1 сравнить критическую мас-
су с выравниванием тепловыделения по формуле (8.4.18а) с критической мас-
сой при р(Б>(х) = const = pt&>.
Решение. Без выравнивания материальный параметр определяется
формулой
, _	{5) s; + pu	a}8’)	=
D	P	D
361
(6) (^5’-°Пс s;
(8.4.19)
Из краевого условия (8.4*13) получаем формулу
/•
xtg (хЯ/2) = у/О.
Определяя отсюда х, находим критическую
•единицу площади плоского реактора):
/	X
(8.4.20)
массу (приходящуюся на
Л|(5) =р(Б> ц =
DH
Отношение критической массы при идеальном выравнивании к критиче-
ской массе без выравнивания равно
/7/2
~~Н12
р(51 ’
(8.4.21)
Упражнение 3. Задачи упражнений 1 и 2 решить в цилиндри-
ческой геометрии.
X 1 X
Решение. В этом случае функции	sh j- нужно всюду заме-
А	i	Г ( Г \ ^	[ Г \ I
«ить бесселевыми функциями мнимого аргумента: /0 — , — /0 — ~—х
.	.	х^о / \То/
I г \
X /1 I ~ I . Тогда получим
\ь0/
где £ — радиус активной зоны, а у вычисляется по формуле
(8.4.22)
z	/Jx' (P + d)l
^“^[x'^-d)]'^
(8.4.23)
Уравнение (8.4.20) заменяется уравнением
хД(х/?)//0 (х/?) = — y/D. |
(8.4.20')
Для отношения критических масс^ имеем
а =
р(5)
Я
о
(8.4.21')
Здесь рС5) по-прежнему вычисляется по формуле (8.4.19), а ха находится из
(8.4.20').
362
Упражнение 4, Задачи упражнений 1 и 2 решить в сферической
геометрии.
Решение.
pis)
(8.4.22') -
где 7? — радиус активной зоны,
y = D’
а у вычисляется по формуле
' I	\
—+ х' cth х'd. j.
< a	J
(8.4.23')
Материальный параметр х находится из уравнения
tg хД_________________________	1
хД — 1—Ry/D'
или
tgx/?	thx'd
kR ~	n'd ’
где аргумент тангенса х7? ищется во второй четверти.
Для отношения критических масс имеем
р<”	1 г
к	о
где р(5> по-прежнему вычисляется по формуле (8.4.19).
(8.4.24)
(8.4.25)
ГЛАВА 9
ВОСПРОИЗВОДСТВО ЯДЕРНОГО ГОРЮЧЕГО
(
§ 9.1. КОЭФФИЦИЕНТ ВОСПРОИЗВОДСТВА
Под коэффициентом воспроизводства КВ понимают отношение
\ скорости рождения нового горючего g^ к скорости выгорания ста-
рого горючего gHCS, т. е.*
КВ =
^исх
dt
(9.1-1)
Очевидно, основная задача воспроизводства горючего заклю-
чается в том, чтобы получить КВ > 1. Если КВ 1, то, не умень-
шая количества ядерного горючего, можно производить энергию.
При этом под ядерным горючим подразумевают 233U, 235U, 239Pu,
241Pu. Ввиду того, что запасы 232Th и 238U в природе значительны
и эти изотопы существенно уступают перечисленным выше по сво-
им ядерным показателям, необходимости в их воспроизводстве
нет.
Разберем вопрос, от чего зависит КВ. Очевидно, что КВ опреде-
ляется соотношением различных изотопов, образующих активную
зону реактора. Все входящие в активную зону материалы удобно
разделить на три группы: первая — это активное горючее; вторая—
это сырьевой изотоп, служащий материнским для нового горюче-
го; и наконец, третья группа объединяет все остальные компоненты
активной зоны — поглотители нейтронов: замедлитель, конструк-
ционные материалы, продукты деления (условное обозначение «п»).
Запишем два основных цикла для воспроизводства ядерного
горючего:
урановый	238U -> 239,24ipu.	(9.1.2)
ториевый	232Th	U233.	(9.1.3)
Предположим, что один нейтрон поглощается в ядерном горючем,
при этом возникает v вторичных нейтронов:
v = SW/S2<‘’,	(9.1.4)
' \ I ‘
где сумма берется по изотопам, относящимся к активному ядерному
горючему. Каждый вторичный быстрый нейтрон имеет вероятность
вызвать деление и дать прирост вторичных нейтронов до числа pv.
* Когда «старое» горючее — 235U, а новое 239Ри, то КВ иногда называют
коэффициентом конверсии или плутониевым коэффициентом.
364
Если активная зона бесконечно протяженная, то все вторичные
быстрые нейтроны расходуются внутри активной зоны. А именно:
один нейтрон идет на поддержание цепного процесса; часть нейтро-
нов <7П поглощается в поглотителе, причем qn = (1 — 9)/9 =
=	Остальные нейтроны поглощаются материнскими изо-
топами и дают новое горючее с коэффициентом воспроизводства КВ,
равным количеству атомов вновь образовавшегося горючего на один
атом сгоревшего исходного ядерного горючего. Окончательно имеем
pv = 1 + < ф- КВ, или КВ — pv — < — 1.
(9.1.5)
Следовательно, чтобы сделать КВ как можно больше, нужно стре-
миться увеличить pv и уменьшить qn.
Коэффициент р сильно меняется в зависимости от состава ак-
тивной зоны. Для уранового и ториевого циклов р лежит в преде-
лах
1, 35, если сырьевой материал — уран;
1,1, если сырьевой материал — торий.
Максимальное значение р достигается в реакторах на быстрых ней-
тронах.
Коэффициент v и особенно отношение сечений деления и погло-
щения зависят от спектра нейтронов в реакторе (рис. 9.1). Для плу-
тония эта зависимость выражена более ярко по сравнению с изото-
пами урана.
Максимального значения v достигает в реакторах на быстрых
нейтронах. Следовательно, выбирая реактор определенного вида,
можно сделать произведение pv максимальным. Коэффициент qu
будет минимальным, если из реактора непрерывно удалять продук-
ты деления с наибольшим сечением захвата и свести к минимуму
количество конструкционных материалов, замедлителя и теплоно-
сителя. Тогда наибольшим КВ будет обладать большой реактор на
быстрых нейтронах с газовым охлаждением и непрерывным удале-
нием продуктов деления.
Оценим значение КВ для разных циклов воспроизводства и для
различного спектра нейтронов.
В урановом цикле на быстрых нейтронах р 1,35; v)V а; 2,9;
v)V 3,0; v ж 2,7. Пусть qVi = 0. Тогда КВ < 2,6 — это предель-
но возможный наивысший коэффициент воспроизводства.
В ториевом цикле на быстрых нейтронах р 1,1, v = 2,3 4- 2,4.
Если q'1 & 0, то КВ <1,6.
Сравнив сделанную предельную оценку со значением КВ, полу-
ченным в реальных реакторах, можно сказать, что приведенные дан-
ные сильно завышены. В реакторе на быстрых нейтронах КВ мож-
но, однако, поднять до значений 1,5—2,0.
Проведем теперь сравнительную оценку КВ для реактора на
тепловых нейтронах.
365
Для уранового цикла р. 1,15, qn = 0,15, v ж 2,05, тогда
КВ ъ 1,15.
Для ториевого цикла р л; 1,05, v = 2,28, (?п = 0,15 и КВ я»
яв 1,25.
Однако в этих предельных оценках не учтено накопление про-
дуктов деления, а также 2‘30Ри или 234U, которые являются вредными
поглотителями нейтронов. Все это снизило бы КВ до значения 0,8.
Практически трудно построить реактор на тепловых нейтронах
с КВ > 0,7 ч- 0,8 для уранового цикла. Следует подчеркнуть, что
Рис. 9.1. Заэисимость числа вторичных нейтронов
от энергии
на тепловых нейтронах ториевый топливный цикл существенно пре-
восходит урановый и позволяет достигнуть КВ ж 1 и даже несколь-
ко больше 1.
Тем не менее, реакторов на тепловых нейтронах строят больше,
чем на быстрых, хотя КВ последних несравнимо выше, чем у пер-
вых. Главная причина этого состоит в том, что реакторы на быстрых
нейтронах требуют относительно больших начальных вложений цен-
ного ядерного горючего — обогащенного урана или плутония. Кро-
ме того, вследствие меньшей технической разработанности они до-
роже реакторов на тепловых нейтронах в строительстве, сложнее
в эксплуатации. Однако предполагается, что потенциальные пре-
имущества реакторов на быстрых нейтронах открывают перед ними
широкие перспективы развития.
Из приведенной оценки можно сделать вывод, что для воспро-
изводства наиболее выгодны урановый цикл на быстрых нейтронах
и ториевый цикл на тепловых нейтронах.
366
§ 9.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ КРИТИЧНОСТЬЮ
И КОЭФФИЦИЕНТОМ ВОСПРОИЗВОДСТВА
Для воспроизводства ядерного горючего необходимо выполнение
условия > 1. Покажем, как это условие влияет на коэффициент
воспроизводства. Рассмотрим реактор на тепловых нейтронах. Для
такого реактора с урановым циклом справедливы следующие урав-
нения выгорания:
ф— - - <Д9’ pt9,-boA8,pt8); pt9,(0) = 0;
аг
— — щД р(5); р(5) (0) = ро3),
аг
(9.2.В
Тогда, например, для начального момента времени
Uptsil
|ф<5)|
,	о(5)сД5’
/=о	иа Но
Y(S)
^~а
(9.2.2)
Казалось бы, что выбор отношения p(S>/po5) произволен. Однако
условие I ограничивает возможность уменьшения 2S5U в ре-
акторе. Действительно,
= му(5)£(5)/т5)_у 2(8) Ш =	(9.2.3)
дО ! \ я.0 J а *	Я;1 оо	v 7
Разделив числитель и знаменатель на и использовав обычные-
обозначения, получим
pv^/(l +КВ0+^) =
Отсюда
КВ0 = S<8)/2^) = pv<5 7^- 1 -7К	(9.2.4)
т. е. получена уже знакомая формула (9.1.5), в которой 7г^р = 1.
Для реактора на тепловых нейтронах, пользуясь обычным выра-
жением для ~ ртсрб, из (9.2.4) можно получить другое, эквива-
лентное выражение коэффициента воспроизводства, которым часто
пользуются.
Преобразуем формулу четырех сомножителей реактора иа теп-
ловых нейтронах следующим образом:
St3)
^ = {КруД’
£(5)_Ь£(Й)_Ц2п
ат 1 йт > GT
p(pv<Б >
у П
^'зт
v(5)
2j£7T
Отсюда найдем
?? =	- 2 Л/2 Л -- 1.	(9-2.5)
36?'
В схеме реактора на тепловых нейтронах предполагается, что все
поглощения, кроме резонансного поглощения в 238U, происходят
в тепловой области. Поэтому если применить формулу (9.2.4) к та-
кому реактору, то надо положить дп=<$. Тогда, подставив в (9.2.4)
.вместо qn величину д? из (9.2.5), получим
КВ0 = pv<6’(l - <?)/№ +	(9.2.6)
Напомним, что в (9.2.4) входят эффективные сечения, усредненные
по спектру нейтронов реактора, а в (9.2.6) — тепловые сечения.
§ 9.3. ВОСПРОИЗВОДСТВО ЯДЕРНОГО ГОРЮЧЕГО
В ТОРИЕВОМ ТОПЛИВНОМ ЦИКЛЕ
Рассмотрим для примера цикл воспроизводства с торием. Просле-
дим за ядерными процессами, в результате которых изменяется
изотопный состав. Образующиеся в результате реакции (233Th +
+ и) ядра mU захватывают нейтроны, делятся, испускают нейт-
роны, которые, в свою очередь, захватываются торием. Запишем
схему перехода 232Th в 2S3U:
S32Th п _^233 Th	233 ра	233 (J
23,5 мин 27,4 суток
mu
Второй p-переход от 233Pa к 233U происходит примерно за 27 суток.
В урановом цикле также имеются два ^-перехода от 238Uk 239Pu.
Но, в отличие от ториевого цикла, второй ₽-переход совершается
быстрее чем в десять раз:
238U-L Л	239Np
23,5-кя/;	2,3 суток
S40Np
230 PU
b.v
240pu
(9.3.2)
S4ipu
В схемах (9.3.1), (9.3.2) приведены только основные цепочки
превращений изотопов. Помимо указанных превращений имеют
место, например, (п, у)-реакции на239 U, приводящие к образованию
240U, или (п, 2и)-реакции на быстрых нейтронах и многие другие.
Следует обратить внимание на реакцию 233U (и, 2n)232U. Последний
изотоп, возникающий в ториевом цикле, a-активен и переходит в
23STh, который, в свою очередь, порождает цепочку радиоактив-
ных изотопов, осложняющих технологию переработки ториевого
топлива ввиду возникновения жестких-;?-квантов.
В ториевом цикле количество получающегося 233U при заданных
условиях определяется накоплением 233Ра. Чтобы выяснить эти
.368
условия, напишем уравнения выгорания для процесса образова-
ния 233U:
= ~^3)рт+^*рРа,	(9.3.3)
dF
где л* = Z/Ф, a Z — постоянная распада 233Ра;
Ра
—= _ара оР*-Х*рРа р<“';	(9.3'.'4)
&	1	L	I О L	?	X
. <4) f
-Ёе—= —о^’р^’-ро^’р'-’; -——-- — o<PV5!
dF	d.F
(9.3.5)
Проанализируем эти уравнения. Назовем временем сгорания
233U время, за которое начальный запас a33U в реакторе уменьшается
в «е» раз. Предположим, что время жизни Ра много меньше времени
сгорания 2S3U. Тогда в первом приближении можно считать, что
концентрация Ра находится в квазиравновесии с концентрацией
233U, т. е. при определении первой можно пренебречь скоростью из-
менения второй:
dp(3)/dF & 0.	(9.3.6)
Отсюда следует, что о£3) р^ = Z*pPa, или рРа/р<^ = о(а3)/Х*.
Так как А* == Х/Ф, то последнее равенство можно переписать
в виде
pPa/p(3) = сгОПфА = Г^/Т(3).	(9.3.7)
Величину Т<3> = 1/Фо£31 называют временем сгорания 333U. Соот-
ветственно время жизни Ра есть Тра = Ш.
Коэффициент вредного поглощения для Ра в реакторе
, 7Ра _ £,ра /2(3) = (оРа/о^) | [ГРа/Т(3)р	(9.3.8)
Критерием применимости этой формулы, очевидно, является усло-
вие Тра <К Т(3) или Ф <К Моа5> ~ 1015 нейтрон/(см2-сек). В соот-
ветствии с формулой (9.3.8) при возрастании воспроизводство
233U убывает.
Рассмотрим теперь задачу простого воспроизводства 233U (т. е.
КВ = 1) в ториевом топливном цикле. По предположению, скорость
образования нового 233U равна скорости его сгорания, т. е.
,(3)
= _а(з) р(3)-ух*рра —о.	(9.3.9)
dF	а
Если пренебречь изменением свойств реактора вследствие на-
копления продуктов деления и образования 234U, 235U и т. п. и счи-
13 3aif.. S5
369
тать систему стационарной, то в первом приближении можно по-
ложить также
= -(а'Л + ’-*) Рра +	Р,2> = о. (9.3.10)
Из этих уравнений имеем
р»> = Г<3> = X . рРа _ ок-'
рРа 7Ра Ф(7а3) ’ р(2)
Перемножая два полученных выражения, найдем относительную
концентрацию 333U в 232Th, при которой осуществляется цикл про-
стого воспроизводства:
P<s> _ аЧх
р(2)	( aPa4-V!) Ф<Л3)	(1 ~-ФоРа/Х)
\ W	/	ч*	ь* \	С** J
(9.3.11)
В рассмотренной простой схеме не учитывалось образование
234U и 335U. Решим систему уравнений выгорания для ториевого
ряда при условии
р(2) & const, а рРа (0) = 0,
(9.3.12)
записав ее в следующем виде:
^ = -р< = >0<»’; р< = > (0) =р<2>;
^-=_0Р.рР.+ 0<.-р<.>; аРз = 0Рар₽>(0)=0;
dF
C!?2L = _р(3) з) v рРа. рСЗ) р(3).
dF
4р{4) dF		C)<4)	-!-p<35	of”;	p[4)	(0)	= p84);
dF	= —pt5)		+ PU>	of5;	p15’	(0)	= pj»51;
ф<й>	= -p<e)	<7«6)	+ p(5)	of0;		(0)	= pkG);
dF							
(9.3.13)
Эта система уравнений имеет тот же вид, что и система уравне-
ний для уранового ряда, й поэтому ее решения можно получить
последовательными квадратурами типа (8.2.4):
pPa = o^)pb2
Pa
G
(9.3.14)
n W — n<4’ n
P — Po t
§ 9.4. ПРОБЛЕМА РАСШИРЕННОГО
ВОСПРОИЗВОДСТВА ЯДЕРНОГО ГОРЮЧЕГО
В РЕАКТОРАХ НА БЫСТРЫХ НЕЙТРОНАХ
Ввиду большого значения, которое приобрела проблема рас-
ширенного воспроизводства ядерного горючего для будущего
большой атомной энергетики, остановимся на ней более подробно.
Проблема расширенного воспроизводства возникла как следст-
вие представления об ограниченности запасов дешевого природного
урана на земном шаре, в котором ядерное горючее — 235U — состав-
ляет всего 1/140 часть. Под «дешевым» ураном понимается уран,
извлечение которого из руды обходится в <20 ч- 30 дол. 1кг (по
ценам до 1973 г.). Его содержание в урансодержащей руде состав-
ляет <0,2%. Разведанные запасы таких руд ограничены*. Чем
меньше содержание урана в руде, тем дороже обходится его добы-
ча. Основное количество урана находится в земной коре в весьма
рассеянном состоянии: в гранитах и базальтах (1—4) • 1СН%; в во-
де Мирового океана 2—3 мг/лд. Стоимость извлечения такого урана
относительно велика, например, по современным оценкам, для
урана, извлекаемого из морской воды, она должна составлять
>100 дол.! кг.
Однако абсолютное количество урана и тория** на земном шаре
с учетом их наличия в рассеянном состоянии огромна, и если бы их
можно было полностью использовать для целей энергетики, то че-
ловечество было бы обеспечено энергией на астрономические вре-
мена.
Замечательной особенностью реакторов является то, что, сжи-
гая ядерное горючее (ЯГ), они в то же время производят новое ЯГ,
количество которого определяется значением КВ. В реакторе на
тепловых нейтронах КВ заметно меньше единицы (~0,6) для уран-
плутониевого цикла. Это означает, что сравнительно небольшое
* Более подробно об этом см., например, в работе [40].
** Тория в гранитах содержится • 10-3%, в базальтах ~ 4 •
13"	371
количество сырьевого материала (-3SU) может быть превращено в
ЯГ и тем самым пополнен топливный ресурс ядер ной энергетики.
Проделаем следующий элементарный расчет. Пусть в нашем
распоряжении имеется единица ЯГ. Если это количество сжечь в
реакторах на тепловых нейтронах с КВ < 1, то возникнет количест-
во вторичного ЯГ, равное КВ, которое снова можно сжечь, получить
КВ2 дополнительного ЯГ и т. д. Всего окажется использованным
для целей энергетики
1 Н- КВ + КВ3 -у ... = 1/(1 - КВ).
Если принять КВ = 0,6, то дробь 1/(1 — КВ) = 2,5 показывает,
во сколько раз увеличился ресурс ЯГ. Предполагая, что исходным
ЯГ был 235U, т. е. 1/140, или 0,7%, всего природного урана, мы ви-
дим, что менее 2% природного урана может быть использовано для
производства энергии,
сю
В реакторах на быстрых нейтронах КВ > 1 и ряд S КВА рас-
k=0
ходится. Это означает, что кроме 235U почти весь сырьевой изотоп
238U может быть вовлечен в ядерную энергетику. Энергосъем с еди-
ницы массы природного урана резко возрастает, в 20-—30 раз, т. е.
в 20—30 раз увеличивается количество киловатт-часов, которое
можно снять с единицы массы природного урана.
При этом сильно снижается скорость потребления природного
урана (см. упражнения) и появляется возможность отсрочить мо-
мент исчерпания запасов дешевого урана. Кроме того, экономика
реактора на быстрых нейтронах мало чувствительна к вздорожанию
природного урана, если его стационарная работа предполагается
не на 235U, а на собственном плутонии, производимом из 238U-
Следовательно, если при ожидаемом росте потребления природ-
ного урана реакторами на тепловых нейтронах будет значительно
расти стоимость его добычи (вследствие ограниченности ресурсов
дешевых источников природного урана), то это может привести к
вытеснению (частичному или полному) этих реакторов быстрыми
бридерами.
Таким образом, решение проблемы расширенного воспроизвод-
ства решает задачу обеспечения ядерной энергетики практически
неограниченными запасами ядерного сырья. В § 9.6 показано, что
расширенное воспроизводство Я Г'возможно в реакторах не только
на быстрых нейтронах, но и на тепловых. Здесь рассмотрим общие
принципы и проблемы расширенного воспроизводства примени-
тельно к реакторам на быстрых нейтронах.
Основная характеристика реактора, определяющая его спо-
собность размножать ядерное горючее, — это коэффициент вос-
производства КВ. Начнем с его более подробного и точного ^оп-
ределения. КЗ есть отношение числа атомов нового ядерного
горючего, накапливаемых в активной зоне или в зоне воспроизвод-
ства, т. е. в отражателе, окружающем активную зону, к числу ато-
372
мов ядерного горючего, сгоревшего в реакторе. Следовательно, по
определению,
КВ = 2 Ф (г, Е) (г, Е) drdE I 2 JJ Ф (г, £)	(г, £) dEdr.
(9-4.1)
В числителе стоит сумма по всем сырьевым «материнским» изото-
пам, которые после присоединения нейтрона образуют новое ядер-
ное горючее, например 23SU, 240Pu, 232Th и т. п. В знаменателе сумма
распространяется па все изотопы ядерного горючего, находящиеся
в реакторе: 235U, 239Рп, 241Рп, 233 U нт. п. Здесь
Ф (г, Е) = j’ vN (г, Е, 9)dQ,	(9.4.2)
т. е. энергетический спектр нейтронов в данной точке г реактора»
Определенное в (9.4.1) значение КВ является его «мгновенным»
значением, т. е. оно соответствует данному моменту времени. Вслед-
ствие изменения изотопного состава в реакторе оно меняется в про-
цессе выгорания топлива. Поэтому необходимо еще усреднить КВ
по времени, т. е. найти КВ.
Таким образом, КВ есть сложный функционал, зависящий от
резонансной структуры изотопов ядерного горючего и «материнских»
изотопов урана, тория, плутония и т. п., от формы энергетического
спектра и его изменения от точки к точке реактора. Точный расчет
деталей энергетического спектра и распределения нейтронов в объе-
ме реактора осуществить очень трудно. Поэтому расчеты КВ далеки
от прецизионности. Надо сказать, что и экспериментальные опре-
деления КВ на критических сборках также не очень надежны, тем
более что необходимо имитировать изменение состава всех компо-
нентов реактора в течение кампании длительного и глубокого выго-
рания топлива. Реакторы на быстрых нейтронах удобно разбить
на два предельных класса: физически «большие» и «малые». В пер-
вых протяженность активной зоны много больше длины релакса-
ции 1/| к в то время как у вторых, наоборот, диаметр активной
зоны порядка или даже меньше 1/| к |.
В «малых» реакторах, как правило, спектр нейтронов оказы-
вается (или может быть сделан) гораздо более жестким, чем в «боль-
ших». Поэтому следует ожидать, что в «малых» реакторах на быст-
рых нейтронах можно достигнуть более высокого значения КВ;
кроме того, в активных зонах «малых» реакторов остается немного
медленных нейтронов, а в области небольших энергий приобретают
существенное значение детали резонансной структуры ядерных
уровней, где возможны всякие неожиданности.
Нам остается только заметить, что физически «малые» активные
зоны и соответственно жесткий эффективный спектр нейтронов мож-
но организовать и в большом по размерам реакторе простым сложе-
нием многих физически «малых» активных зон, разделенных доста-
точно толстыми слоями зон воспроизводства, состоящими из сырье-
373
вого изотопа; вопрос, насколько это целесообразно с инженерной
точки зрения, мы здесь обсуждать не будем.
Скорость воспроизводства нового ядерного горючего тем выше,
чем больше КВ превышает единицу при прочих равных условиях.
Можно весьма просто представить себе, как построить реактор
на быстрых нейтронах с предельно высоким КВ: достаточно взять
плутониевый шар диаметром, несколько меньшим 10 см, и окружить
его толстой оболочкой (~75 см) из КВ такой системы около
2,5. Однако польза от такого реактора как производителя ЯГ мала,
поскольку для накопления нового ЯГ надо сжигать старое, а ско-
рость накопления нового ЯГ пропорциональна не только КВ — 1,
но и скорости сжигания старого горючего. Иными словами, надо
заставить реактор работать на наибольшей возможной мощности.
Однако описанный выше реактор на быстрых нейтронах с КВ ж 2,5
почти непригоден для отвода тепла цепной ядерной реакции. Таким
образом, очевидно, что скорость накопления нового ЯГ связана с
удельной мощностью ЯГ в реакторе, т. е. с тепловой мощностью,
приходящейся на единицу7 массы ЯГ, помещенного в реактор.
Необходимость организации интенсивного отвода тепловой энер-
гии, выделяемой в цепном процессе ядерного деления, требует раз-
мещения в активной зоне и в зоне воспроизводства ЯГ каналов для
прокачки теплоносителя, конструктивных элементов, способных
воспринимать механические нагрузки и защищать ЯГ от эрозии
и коррозии; также требуется использование специальных компози-
ций самого ЯГ, например окисей или карбидов в стойках оболоч-
ках, способных при сильных изменениях изотопного состава, сопро-
вождающих глубокое выгорание, противостоять разрушению и
чрезмерному распуханию топлива. Кроме того, в топливную компо-
зицию активной зоны вводятся разбавители, главным образом
233U, для снижения концентрации делящегося изотопа и увеличения
воспроизводства.
Такое насыщение активной зоны различными материалами, раз-
бавляющими ЯГ, приводит к существенному вредному поглощению
нейтронов, но особенно сильно проявляется эффект резкого смяг-
чения эффективного спектра нейтронов в реакторе вследствие не-
упругого и упругого замедления на ядрах разбавителя, что вызывает
значительное падение КВ.
В результате изложенного выше КВ в больших плутониевых реак-
торах на быстрых нейтронах, ныне проектируемых, сильно снижает-
ся (до уровня ~1,3—1,4), а конструкция активной зоны приобре-
тает большую сложность, если так можно выразиться, дробность.
Способность реактора на быстрых нейтронах к интенсивному
накоплению нового ЯГ зависит также от устройства зоны воспроиз-
водства, т. е. от вложений урана в торцевые и боковые экраны ак-
тивной зоны, и от порядка и времени загрузки и разгрузки этих
экранов. Наконец, важное значение имеет время облучения ЯГ
в реакторе, т. е. глубина выгорания. Если это время мало, то ЯГ
большую часть времени будет находиться в цикле радиохимичес-
374
кой переработки, иными словами, как бы выпадает из процесса рас-
ширенного воспроизводства. Однако при возрастании глубины вы-
горания в ЯГ накапливается много продуктов деления, что приводит
к росту вредного захвата нейтронов и к необходимости «утяжелять»
систему компенсаторов. Следовательно, важное значение имеет
время радиохимического процесса: чем оно меньше, тем большая
часть ЯГ «полезно» используется в реакторе. Наконец, сказывают-
ся неизбежные потери ЯГ при радиохимической и металлургичес-
кой переработке твэлов. Если эти потери значительны, то необхо-
димо стремиться к очень глубокому выгоранию топлива, так как
существенно именно отношение потерь к количеству накопленно-
го в топливе ЯГ, которое увеличивается при росте глубины выгора-
ния.
§ 9.5. ВРЕМЯ УДВОЕНИЯ ЯДЕРНОГО ГОРЮЧЕГО
Эффективная скорость накопления нового ЯГ зависит от многих
причин, и условие КВ — 1 > 0 — отнюдь не единственное опреде-
ляющее условие, хотя, конечно, необходимое. Существует некото-
рый синтетический параметр, называемый временем, удвоения, т2, ко-
торый определяет эффективность процесса расширенного воспроиз-
водства ЯГ в бридерах. По определению, временем удвоен и 51 ЯГ
называется время, за которое в системе реакторов-бридеров и хи-
мико-металлургическом цикле переработки твэлов количество ЯГ
удваивается. Надо подчеркнуть, что речь идет о системе бридеров,
а не об одном отдельно взятом бридере, так как понятие времени
удвоения в последнем случае оказывается несколько другим*, на чем,
впрочем, здесь нет нужды задерживаться (см. упражнение 1, § 9.6).
Время удвоения т2 для системы бридеров можно выразить следую-
щей формулой:
У/ Н
(КВ —1—е'М)ср
(9.5.1)
Здесь y-j — удельные вложения ЯГ в реактор, выраженные в кило-
граммах ЯГ, отнесенных к 1 Мет тепловой мощности активной зо-
ны реактора; Н характеризует время эффективного использова-
ния ЯГ в реакторе, т. е. отношение времени пребывания ЯГ в реак-
торе к полному времени топливного цикла:
уу__ Время в реакторе-J-время в переработке __
Время в реакторе
__ Вложение ЯГ в топливный цикл
Вложение ЯГ в реактор
* Для отдельного бридера оно иногда называется «линейным?:- временем
удвоения.
375
& — доля потерь ЯГ при радиохимической и металлургической пе-
реработке; Д — относительная глубина выгорания ЯГ за одну кам-
панию облучения топлива в реакторе; ср — доля времени работы
реактора на полной тепловой мощности в течение года, называемая
коэффициентом нагрузки. (Конкретные формулы для расчета этих
величин даны в упражнении 1, § 9.6.)
Теперь, располагая параметром времени удвоения системы бри-
деров, мы можем перейти к характеристике процесса расширен-
ного воспроизводства ЯГ в целом. Предположим, что рассматривает-
ся задача создания развивающейся атомной энергетики с минималь-
ными затратами природного урана (тпР). Тогда скорость потреб-
ления природного урана в ядерной энергетике можно определить
уравнением
dml'!p
dt
(Уо - г У)
dW
di
(9.5.2)
—
в котором Wz (0 — мощность атомной энергетики в момент времени
Л Уо — удельные начальные вложения ядерного сырья в активную
зону, торцевые и боковые экраны реакторов и сырья, находящего-
ся в химической и металлургической переработке; у — удельные
начальные вложения ЯГ в реакторы и в цикл переработки твэлов,
выраженные в пгпР-эквиваленте, равном количеству 235U, или 2зэРи,
умноженному соответственно на ~200 или -—--300; g—скорость
удельного производства нового ЯГ в системе атомной энергетики.
Первый член правой части уравнения (9.5.2) равен новым вло-
жениям в бридеры и цикл переработки. Он пропорционален dWIdt—
скорости роста мощности атомной энергетики, т. е. ввода в работу
новых реакторов. Второй член пропорционален мощности всей атом-
ной энергетики, воспроизводящей новое ЯГ. Он имеет отрицатель-
ный знак, так как предполагается, что КВ > 1.
Для упрощения анализа общей картины развития атомной энер-
гетики предположим, что
V/ (/) = М ехр ( ~ 1п 2 j,	(9.5.3)
I. ГА 1
т. е. имеет место простой экспоненциальный рост мощности атомной
энергетики с временем удвоения этой мощности, равным Тд; М —
мощность атомной энергетики в некоторый «начальный момент» вре-
мени. Величина g — удельная скорость воспроизводства нового
ЯГ — может быть связана с временем удвоения т2 для системы бри-
деров следующим образом:
g — (у In 2)/т2.	(9.5.4)
376
Теперь можно получить удельную скорость потребления природ-
I
ного урана
в таком виде:
(Конкретные формулы для вычисления входящих сюда величин да-
ны в упражнении 2, § 9.6.) Последнее выражение определяет расход
природного урана на основе планируемого времени удвоения мощ-
ности атомной энергетики тл при определенном технически достижи-
мом времени удвоения количества ЯГ в системе бридеров т2. Сле-
дует отметить, что это уравнение применимо при т2 тл.
При т2 = хА> т. е. когда время удвоения ЯГ совпадает с време-
нем удвоения атомной энергетики, потребность в ЯГ из внешних
источников равна нулю, т. е. в этом случае атомная энергетика
обеспечивает себя сама. Конечно, при этом потребность в природ-
ном уране не равна нулю, потому что при сооружении новых бри-
деров потребуется 23SU для закладки в зону воспроизводства, в
цикл переработки; кроме того, некоторое количество 23SU будет
делиться в реакторах и теряться в цикле переработки (что для упро-
щения не учтено в приведенных выше уравнениях).
Остается указать для общей ориентировки в проблеме расши-
ренного воспроизводства, что на первом этапе развития атомной
энергетики, когда она вытесняет энергетику, базирующуюся на
обычном топливе, темпы развития первой очень велики и тд состав-
ляет примерно 5 лет. В конце XX века или начале следующего, ког-
да энергетика в основном станет атомной, возможно снижение тем-
па развития атомной энергетики, и время удвоения последней воз-
растет примерно до 10 лет. Это затрудняет развитие бридеров на
быстрых нейтронах, так как, в противоположность потребностям
развития атомной энергетики, технология развития самих бриде-
ров и цикла химико-металлургической переработки топлива идет,
естественно, обратным путем: от времени удвоения порядка 15 лет
для современных проектов к постепенному значительному сокра-
щению т? в будущем.
Изложенное приводит к кажущемуся парадоксу: бридер на
быстрых нейтронах производит больше ЯГ, чем его сжигает, в то
время как реактор на тепловых нейтронах расходует больше ЯГ,
чем. его воспроизводит; но при определенных условиях потребность
в природном уране атомной энергетики на реакторах второго типа
оказывается меньшей, чем для бридеров на быстрых нейтронах. Эти
определенные условия как раз характерны для первого этапа разви-
тия, когда время удвоения мощности атомной энергетики меньше
времени удвоения ядерного горючего в системе бридеров т2.
Следует, однако, помнить, что в принципе время удвоения т2 для
бридеров на быстрых нейтронах можно сократить до необходимого
значения, и поэтому такие бридеры со временем способны решить
проблему ресурсов ядерного сырья.
377
§ 9.6. РАСШИРЕННОЕ ВОСПРОИЗВОДСТВО
ГОРЮЧЕГО В БРИДЕРАХ НА ТЕПЛОВЫХ
НЕЙТРОНАХ
Как уже говорилось выше, реактор на тепловых нейтронах, ра-
ботающий на ториевом топливном цикле, способен к расширенному
воспроизводству нейтронов, правда, с очень небольшим превыше-
нием КВ над 1: КВ — 1 ~ 0,05 д- 0,10.
Однако решающее значение для эффективности процесса расши-
ренного воспроизводства имеет не превышение КВ—1 над нулем,
а время удвоения в системе бридеров т2, определяемое тем же урав-
нением (9.5.1), что и для бридеров на быстрых нейтронах.
Нетрудно видеть, что можно компенсировать малое значение
КВ —1 в знаменателе,уменьшая числитель дроби в правой части урав-
нения (9.5.1): уменьшая удельные вложения ЯГ в реакторе yt пу-
тем повышения удельной тепловой нагрузки ЯГ или сокращая вели-
чину Н. Такая возможность возникает именно в реакторах на теп-
ловых нейтронах, где ЯГ может быть сильно разбавлено, что позво-
ляет резко интенсифицировать его удельный теплосъем. Кроме
того, оказывается возможным улучшить отношение е/Д.
Указанное можно реализовать в реакторе на тепловых нейтро-
нах с циркулирующим жидким или газообразным ЯГ. В этом слу-
чае отпадает необходимость в твердых твэлах и их покрытиях. ЯГ
подмешивается в теплоноситель, прокачиваемый через активную
зону реактора и систему теплообменников и насосов. Теплоносители
могут быть различными -— расплавы фторидных солей, газообраз-
ные соединения (UF6), растворы урана в воде или водяные суспен-
зии. При этом возможен непрерывный или квазинепрерывный отвод
продуктов деления, сильно поглощающих нейтроны, прежде всего
135Хе (см. т. 2). Активная зона, в которой циркулирует 233U, окру-
жается зоной воспроизводства, содержащей 232ТЬ, в котором накап-
ливается новое ЯГ за счет избыточных для поддержания цепного
процесса деления нейтронов, вылетающих из активной зоны.
Хотя КВ—1 бридера на тепловых нейтронах много меньше
КВ—1 бридера на быстрых нейтронах за счет увеличения тепло-
напряженности ЯГ в первом (которое соответственно на порядок
больше, чем во втором), время удвоения бридера на тепловых нейтро-
нах при ториевом цикле оказывается близким кт., бридера на быстрых
нейтронах (энтузиасты берутся утверждать, что оно даже меньше).
Потребность ядерной энергетики на ториевых бридерах на теп-
ловых нейтронах в природном уране можно оценить также по форму-
ле (9.5.5), при этом величину уа следует положить равной нулю, так
как сырьем для воспроизводства в ториевом цикле служит торий,
т. е. в энергетику вовлекается дополнительный источник сырья.
Таким образом, получим
W in 2
dt
1 rf/??np
(9.6.1)
378
где #ть — удельное начальное вложение ЯГ в ториевый топливный
цикл, выраженное в тпР-эквиваленте, равном количеству 235U, ум-
ноженному на —300; тр1 — время удвоения для ториевых бридеров
на тепловых нейтронах.
Сравнивая (9.6.1) с (9.5.5), замечаем, что поскольку удельные
вложения в ториевый цикл бридеров на тепловых нейтронах мень-
ше удельных вложений в урановый цикл бридеров-на быстрых ней-
тронах: ути 1Л то при одинаковом времени удвоения в этих бри-
дерах: т2 = тр1, потребности в природном уране первых окажутся
значительно меньшими. Наоборот, при равных потребностях бри-
деров на тепловых и быстрых нейтронах время удвоения первых
может быть значительно большим без ущерба для сравнительной
их эффективности как воспроизводителей ЯГ.
Таким образом, бридеры на тепловых нейтронах могут оказать-
ся серьезным конкурентом бридерам на быстрых нейтронах.
Упражнение I. Пусть 1\В бридера на быстрых нейтронах оп-
ределено как отношение количества вторичного ЯГ, произведенного в реак-
торе за время кампании Тл (лет) активной зоны, к скорости сто сжигания за
то же время в активной зове для уран-плутониевого цикла. Тогда можно
записать
КВ - КВА КВЭ.
Здесь КВА — коэффициент воспроизводства плутония из 23SU активной зоны;
КВЭ — коэффициент воспроизводства плутония из-^U зоны воспроизводства,
причем
квэ = квэтор + квэбон,
где КВЭ,гор — коэффициент воспроизводства в торцевой части зоны воспро-
изводства; КВЭбок — то же в боковой части зоны воспроизводства.
Пусть среднее время пребывания урана в боковой части зоны воспроиз-
водства определяется величиной T3,qok> а время его пребывания во внешней
части топливного цикла (на перерабатывающем заводе для выделения оскол-
ков, вторичного полутония, изготовления новых твэлов и т. п.) равно Т’п.бок-
Аналогично обозначим характерные времена Тэ, тор, ГП1 тор для урана тор-
цевой части зоны воспроизводства. Пусть Тл, а — время переработки ма-
териала, поступающего из активной зоны.
Начальная загрузка плутония в активную зону равна Ро — Р/
-I- 6Pf, где 6 Ру — избыток плутония над критической массой Ру (кг), который
выгорает за кампанию Та. Величина А = 6Ру/Р0 — относительная глубина
выгорания за кампанию; 1 —s — относительные невозвратимые потери плу-
тония при переработке.
Найти явные зависимости i/y, Н в формуле (9.5.1) от этих параметров.
Решение. Пусть Л' (?) — количество реакторов, развивающихся
во времени, с самообеспечением по плутонию; i (t) — скорость строительства
активных зон в момент I [можно считать, что N (Z) измеряется в числах паке-
тов, твэлов и т. п.]. Тогда, принимая закон больших чисел, имеем
(9.6.2)
at
где ( (Z — Та) — скорость выхода компонентов активных зон (пакетов, твэ-
лов) на перерабатывающий завод в момент t. Это то их количество, которое
было сооружено в момент / — Та.
Скорость Рог (/} прохождения ядерного горючего через реакторы склады-
вается из скорости Фа (0 поступления с перерабатывающего завода в актив-
379
ные зоны горючего, извлеченного из твэлов активной зоны, плюс скорость
Qa (7) поступления с перерабатывающего завода горючего, извлеченного из
материала зон воспроизводства:
Р^ (0 = Фа (О Н- Фа (О-
Из каждой активной зоны иа завод поступает Ро —	— КВА) го-
рючего, а возвращается в активную зону с учетом потерь г [Ро —	—
— КВА)]. Поэтому
Фа(0 = Р^ [1 - А (1 - KBA)]i(/ - Та - Тп,а).
Скорость производства вторичного ядерного горючего в боковой зоне
6Pf
воспроизводства равна КВЭб0К. Тогда
1 а
Фэ (О — е т КВЭ^рк A (t 7 а, fj0K — 7 П) э) -|-
1 а
Ч- е тд КВЭТОр N (( 7 у, тор — РП1 ТОр).
1 а
В результате получаем балансное соотношение по плутонию:
(0-е[1-Д (1 - КВА)] 7 (7-Га-7’п, а) КВЭбак А (7-Га,6ок-7Вг J-J-
1 а
тор Р (i ‘^э,тор Рц, тор)-	(9.6.3)
-i-8— КВЭ
Т'а
Асимптотические по времени решения уравнений (9.G.2), (9.6.3) имеют
вид
А(7) = Ао ехр (со7); 7 (7) - Ао С ехр (со7); А (0) = Ао. (9.6.3а)
Это частные решения уравнений (9.6.2), (9.6.3). Подставляя их в (9.6.2),
находим
С — со/[1 — ехр (—соТа)],	(9.6.4)
а после подстановки в (9.6.3) получаем характеристическое уравнение си-
стемы (9.6.2), (9.6.3) в виде
Г (со) - 0,	(9.6.5)
где
j_ “®Тд
F (со) = 1 -в [1 - А (1 -КВА)] е /а“1’ а)-еД -—----- х
со7\
X [ КВЭб0!( е “ “ (73 	+  б о1*) КВЭТ ор е “ “	 'г ° р "Ь . (9.6.5з)
Решение со = адр уравнения (9.6.5) определяет время удвоения
т2 = 1п2/<обр	(9.6.6)
развивающейся во времени системы бридеров с самообеспечением но плуто-
нию. На практике обычно
«брТА1,	(9.6.7)
где Т — наибольшее из перечисленных выше характерных времен, и этот
критерий хорошо выполняется. Тогда с точностью до (cogpT)2 имеем
1 —ехр ( ы;~р 7"а)_ j м5р Ра
солр Рs.	2
380
а экспоненты в (9.6*5) можно разложить в ряд с точностью до двух членов
разложения, после чего решение уравнения (9,6.5) находится в явном виде
и дает время удвоения
[I—А(1—‘КВА)] (Та -j-Тп аИ’АКВАбок (7"эг бок4”-^п, бок) s
То ~ Зп 24-----------------------------------------------“
А (КВ-1)-(I-8)/8
ДКВАТОр(Гэ,ТОр + Гп,тор)	(9.6.8)
А(КВ — I) — (1 -s)/s
Получена формула (9.5.1) при ср — I.
Если принять, что 1 Мет.- сутки тепловой мощности 1ГТ является той
энергией, которая выделяется при сгорании (с делением) 1 г ядерного горю-
чего, то справедливо соотношение
Ю-s -----------W.r Т& (1 +а),	(9.6.9)
Мет-сутки
где а — отношение на спектре нейтронов, формирующемся в активной
зоне реактора на быстрых нейтронах, откуда следует, что
/ 1ГТ \ Мет	„ сутки	№'гТа
Д = Ю-з (I J- а)' |	------7\ лет.365 —-----= 0,365(1 J-а) =£—- .
\	! кг	лет	Ро
(9.6.10)
Перепишем (9.6.8) в виде
т3 = | п 2 х
Pq 1 “Г—— j т QKB3(j0K 7 Эг (5Пц 1-[-	I - i - QKB3T0p 7 тор I 1ф- ~	1
х____' a /________________х / з, бон/_______________ \	7 Э1 тор/
"	.	,	1-е Рп
Q (КВ—1) — ------ дЛ
£ Ла
(9.6.11)
Здесь Pq — Pq — 6Py(l — КВА) — количество плутония, поступающего
на завод из активной зоны; Q — 6Рf/Tа — скорость выжигания первона-
чального плутония. Р$!Т\ представляет собой скорость поступления плуто-
ния из активной зоны на завод. Тогда PoTt1i3!Ts — количество плутония ак-
тивной зоны (от одного реактора), находящееся на заводе. Следовательно,
Р^(1 4-	— суммарное количество плутония в выгружаемой из
реактора активной зоне и находящегося на переработке.
Соответственно QKB3Golt бок — среднее количество «заморожен-
ного» в боковом экране плутония, находящегося в нем постоянно, а
QKBSqokTVgok ЛП!доь./7’9,0ОК —количество плутония из бокового экрана, ко-
торое находится на переработке. Поэтому QKB3Goi;r;jt о0к(1т7п,бок/Л,бок)~
количество плутония, которое постоянно находится в боковом экране и на
заводе, перерабатывающем материал бокового экрана.
Аналогично Q КВЭТОрТ::НТОр(1 “Г ГГ.ТОр/^Э, тор) — полное количество плу-
тония, которое постоянно находится в торцевом экране и на заводе, перера-
батывающем материал торцевого экрана.
Таким образом, величина
(^п,а \	/	Лш GoK \
1 “Г Т + фКВЭбон T3i GoK I 1	— I -Ы
/ a /	\	' э, бот: /
/	X	/
/	т	\
/	J 1b	тор	\
0КВЭ,(|; Г;! г:, ' 1+------ (9.6.11а)
X	•' щ	тор
381
— это полное количество ядерного горючего во внешних и внутренних
звеньях топливного цикла.
Величина Q(KB — 1) является скоростью наработки вторичного плуто-
ния. Тогда
Т’т.ц
Q(KB-l)--
— время, необходимое для удвоения плутония во всех звеньях топливного
цикла одного реактора с поправкой на невозвратимые потери плутония.
В условиях экспоненциального закона развития системы реакторов с са-
мообеспечением по плутонию получаем формулу (9.6.8) в виде записи
(9.6.12)
т, = т'1п2,
которая раскрывает смысл выражения (9.6.8) [36, 38].
Если использовать (9.6.11) и формулу (9.6.10), из которой следует
Q = -^ =0,365 (1+а)
Ja	\ г 0	/	\ “о /
где 1Еа.з — тепловая мощность активной зоны, Мет, то
(9.6.13)
о — 0>4
(9.6.14)
Обозначая Ро/ 1Га,3 ~ У/ удельные вложения ядерного горючего в реак-
тор, Я — Рт ц/р0 — отношение вложения горючего в топливный цикл
к вложению ядерного горючего в реактор, получаем (Ьормулу (9.5.1), где
1п 2/0,365 (1 -|- а) « 1,75 года, &' — (1 — з)/а.
Таким образом,
У/-= P^/V^a.3 кг/Мвт;
Рт ц	^ат^п, а
//=_ш„[1_д(1_КВА))___.!.	(9е. 15)
,	_ Л, бокРп.бон	^э.тор Г^п.тор
~	4“ 4КВЭТОр —	•
7 а	7 а
Если нужно учесть коэффициент нагрузки ([ < 1, то надо (9.6.14) разделить
на <р.
Упражнение 2. Пусть т4 лет—время удвоения электрических
мощностей ядер ной энергетики (Тд = In 2/Юд), причем т3 > Тд. Определить
скорость потребления природного урана dmPP/dt т/год> используя характе-
ристики бридера на быстрых нейтронах из упражнения 1 в предположении,
что ядерпая энергетика развивается на бридерах и на производство 1 кг Ри,
необходимого для поддержания указанного темпа развития системы одновре-
менно работающих бридеров, требуется израсходовать ~300 кг природного
урана [37].
Решени с. Будем считать функцию Аг (/) в уравнениях (9.6.2), (9.6.3)
заданной. Тогда к правой части уравнения (9.6.3) для соблюдения баланса
необходимо добавить слагаемое /0 (/), которое определяет скорость попол-
нения системы бридеров плутонием, выраженную в долях активных зон
в год, так что Ро^о(6 является скоростью потребления плутония (кг/год)
в форме ЯГ твэлов, поступающих в реактор с перерабатывающего завода.
Таким образом, вместо (9.6.3) следует писать
кл 4-та-тП1а)з[1-д(1-квА)]-;-^ квэб0Кх
‘ а
382
о. ион — ТПь бок) “г к ™ КВЭтор .V (z 7\,г тор
Если электрические мощности ядер ной энергетики развиваются по за-
кону
1F (/) = Л1 ехр (<Од0 Mem, i
а электрическая мощность одного
(9.6.3а), (9.6.4),
М	М
М (0 = — ехр (йдП; I (0 = -—
1^бр	^бр
О,
бридера равна IFgp Мет, то,
“л
.	. г , ехр(®л01
1—ехр (—сол Та)
F (ил) сол Т
М
Та
Функция F (со) определена в (9.6.5).
Таким образом, величина
Go (г)-300- Ю-зPQi0 (/) =
М	Т(©т,)	ЧдТ’а
(9.6.16)
согласно
(9.6.16а)
(9.6.18)
“0,ЗРо—— ехр (оз 1 Л-—  ---4—------ г/го5
lF6p Л Та 1-ехр(-ИлТа)
является скоростью потребления природного урана за счет поглощения
системой бридеров ЯГ, необходимого для компенсации выгорания и роста
числа загрузок активных зон по заданной программе.
Функцию Т (со), исходя из ее определения (9.6.5), можно приближенно
найти с помощью двух членов разложения в ряд Тейлора:
Т(<ол) « F (сШ)(соб13) = (Ил-<оСр)Т' (Bap), (9.6.19)
где
Ff (собр)=в(Та-ГТп,а)[1-Д (1-КВА)1ехр[-собр (Та + Тп> а)]_
Г 1—ехр (—й5р Та)’
— еД —
{КВЭдок ехр [ Юбр (То док4~ТП| бок)] +
+ КВЭторехр [ wpp (T;Ji тор-рТи, тор)]}-р
{(Лэ, бок_Ь^н, бок) КВЭбок ехр [ Шрр (Т,3> g0K
<Убр Ра
' 1—ехр (—србрТа)~
и,

wop J а
~т~Рп, бок)1~г (Fэ, тор-гЛт, тор) КВЭ,Г0р ехр f wjp (ТЭ; тор~г ^п, тор)]}-
Здесь второе слагаемое дает малый вклад в результат. Пренебрегая им и
используя приближение (9.6.7), получаем
Р- (о)бр)^~а^т-ц,	(9.6.20)
о
где £Т1ц определено б (9.6.15). Подставляя (9.6.19), (9.6.20) в (9.6.1S), находим
/ и
Go« О,3(«д-собр) & ^-^-рИехр(®л О,
или
( I 1 \ / Рт тт \
6о ~О,3 ----— в	IF (0 1п2.
°	ь / Игбр /
383
Обозначим
1112 т/Мвт.	(9.6.21)
\ “up /
Величина 0,3 (Рт.ц/ 1^бр) есть вложение ЯГ в топливный цикл реактора
(с учетом потерь в цикле) на единицу (1 Мет) его электрической мощности.
Найдем, какое количество урана является разбавителем плутония в топ-
ливном цикле. Если р% — обогащение урана плутонием, то
У 10 Л'	( [МО-2 кг~-ро I. [МО юз )г
— количество урана» который загружается в активную зону. Тогда
/ I 1 f । а
p<i V р-10	103 Ц1 7\ / ?и-а
является количеством урана — разбавителя пл утоп а я в активной зоне, ко*
торый находится в реакторе и на переработке.
Пусть бок — количество урана в боковой зоне воспроизводства. Этот
гт.-!
уран вместе с накопившимся в нем плутонием со скоростью / э, бок поступает
па переработку, где находится в течение времени 7\бок-
Всего нужно вложить в топливный цикл за счет боковых зон воспроиз-
водства Ри бок (1 Т Тп>бок/7\бон) т природного урана, если пренебречь
его выгоранием.
всего имеем в топ-
Лз, бок \
1 т / '
а,бпт< /
(9.6.22)
Учитывая подосный же вклад от торцевых экранов,
ливном цикле одного реактора
п, а
103
и, тор
IJ, бок I 1
U. т.ц
о
U, тор
природного урана. Это количество будет нарастать со скоростью
Поэтому в формуле (9.5.5) нужно вычислять у по формуете (9.6.21), а у0 —
по формуле
/ т ц А
у0 = 1п2 —~--------- д/'/Ийщ.	(9.6.23)
\	“ fip /
Тогда формула (9.5.5) принимает вид
— ^=.’ИеЮл г
dt
т/год.
(9.6.24)
Упражнение 3. Пусть время удвоения ядерной энергетики есть
тА и она развивается на реакторах па тепловых нейтронах с КВ < 1 и загруз-
кой из обогащенного урана (обогащение |3Т%). Определить скорость потреб-
ления природного урана такими реакторами, полагая, что на производство
1 кг 235 U такого обогащения требуется 220 кг природного урана [37].
Решени е. Пусть и Т^а — продолжительность кампании и
время переработки для реактора на тепловых нейтронах, который не имеет
384
зон воспроизводства. Тогда в формулах упражнение! I и 2 нужно положить
КВА КВ; КВЭб()1! -• КВЭтор - 0.
В формуле (9.6.17) 7-’(шл) в случае реактора на тепловых нейтронах оп-
ределяется выражением (9.6.5а)
Кт (юл) = 1-8 [1-Дт (1-КВ)] ехр [-сол + T^J].	(9.6.25)
Тогда (9.6.18) принимает вид

Л1е	Лч
------------------------------- ти/го<)
1Тт 7’К)	— «:17(т)
а 1-е а
(9.6.26)
где 1КТ — электрическая мощность реактора на тепловых нейтронах;
— его загрузка 235U; Дт —	— глубина выгорания. В прибли-
жении (9.6.7) получаем
К.г (сол) = 1 —8 ] 1 - Дт (1 - КВ)]  [-8 11 -У, (1 -КВ)] ЙЛ ( -I.	•
(9.6.26а)
Считая (условно), что -^U по ядерным свойствам эквивалентен 23ЭРн,
находим
Gf’=0,22Л4е°М^ [
I—е [1—Дт(1—КВ)] , МеЮл<
1КГ
а
Здесь 1/! = 1п2-8 (Г^цЖг), где
ТД
(9.6.266)
_19_я_ р(т)
Г(т) 0
а /
— загрузка ЯГ в топливный цикл реактора па тепловых нейтронах.
Всего в топливном цикле участвует
= - Д (1 - КВ)]
(9.6.26в)
J о
Рт-10
п. а
природного урана на один реактор. Умножая это выражение на ехр(сол/)
и прибавляя его к Go (I), получаем полную скорость потребления природного
урана
<7тпр	/	\
—~ =	rU/год.
dt	\ тд /
Если использовать формулу (9-6,10) в виде
1	( 1
—=0.365(1+0,) -•
а .	\ г0
^вт — тепловая мощность активной зоны реактора на тепловых ней-
тронах), то
(9.6.27)
rj.
Ко
р(т)
ртЮ
п ,а
а
—- rU/Mem;
1у т
385
= о, 1	'-S|1^(1-KB)1 rU; <Mm. 20S).	(9.6.29)
lv '£	Zi rj
Упражнение 4. Найти время удвоения бридера типа БН-600
(коэффициент нагрузки ер = 1) со следующими параметрами:
КВА = 0,90; КВЭбок = 0,39; КВЭтор = 0,11; А = 0,33; Ро = 3000 кг Рн;
K'gp ~ 600 Мет; Т'э’бок	1 год; Рп,а ~ Т’ппЭ ” ^п,тор = 0.5 тода;
TVtop Та/2; ®+.3 = 4300 Л1ет; а = 0,98.
Решение. Согласно (9.6.10),
Т
а —
А
0,4 (1Ка,3/Р0)
= 0,575 года.
По формуле (9.6.8) имеем
(1—0,33-0,1) (0,575+0,5)4-0,33-0,39 (1+0,5)4
т2 «0,693
+ 0,33-0,11 (0,29 + 0,5)
0,33-0,4 — 0,02
= 11,5 года.
Упражнение 5. Рассмотреть два варианта:
1. Ядерная энергетика с тЛ= 8 лет развивается на бридерах, рассмот
ренных в упражнении 4 (р = 14%, Ри>бок = 60 г, Pv> тор = 20 г).
2. Ядерная энергетика с Тд = 8 лет развивается на реакторах типа
ВВЭР-1000 со следующими характеристиками:
1Кт=1000 Mem; =3000 Мет; Хт) =2200 кг2& U;
С] г О	U
рт = 3,3%; Дт = 0,64; КВ = 0,6; Т^а = 0,5 года.
Сравнить скорость потребления природного урана в обоих вариантах.
Решение. По варианту 1 имеем:
0,5
0,575
U, т.ц
14-10	1
2-0,5 , л _
’ « 34-90 + 55 « 180 rU;
т.ц
0,5
-2%1+ 0,575
У0 = 0,693 -^- = 0,210^- ;
0	600	Мет
— +0,33-0,39	-4
0,575 ^	0,575
= 3000 (1—0,33 0,1) 1 +
+ 0,33-0,11
0,575/2+0,5"
0,575
= 3000-2,1 =6300 каРщ
6300
= 0,3-0,98------«31
600
rU
Мет ’
Следовательно, по формуле (9.6.24)
(0 —
+ппР
dt
= \V (z) 3,1
1 _ 1 \ , 0,2Г
8	11,5 J г 8
«У7 (0(0,120+0,026) «0,15 W (t) тП/гоб.
386
По варианту 2 имеем:
I	3000 I	, .
-----= 0,365-1,2'—» 1,1 года
у(т)-2200 0,64	а ’
а
[см. формулу (9.6.28)];
р(т^ = О-0,64.0,4)
0,5
1-^
..	2200
= 0,693 [0,22.0,98-1840+—-
им
= 0,693 (396 + 96) 10-3 = 0,34 г/Меи;
0,7 \ 3000 1—0,98 (1—0,64.0,4)
- ~0 ’1
dm™?	/ 0,34
/+(/) = —~=Г(0 —-
at	\ о
Сравнивая скорости потребления в обоих вариантах, получаем
Ябр (0	0,150	1
1,1 /J 1000
г/т) = 0,1
= W (0-0,142 т!год.
(9.6.30)
1
(9.6.31)
УСЛОВИИ
/?т(0	0,142
Упражнение 6. Пусть тл = тг = 11,5 лет- При этом
для задачи упражнения 5 найти отношение (9.6,31).
Решение.
11,5 год	\ 1I,з /
=1O)_LAjlu. *&Д=о>13 х+
11,5 год R? (О	год
Замечание. Таким образом, существенное сокращение скорости
потребления природного урана при переходе от реакторов на тепловых нейт-
ронах к бридерам на быстрых нейтронах возможно лишь при ту1 = т2.
Упражнение 7, Рассчитать время удвоения бридера, близкого по
своим характеристикам к модульному7 бридеру, расхолаживаемому газом
КВА - 0,0; КВЭбр = 1,63; 1\ВЭтор = 0,43; Га>3 = 1700 Мвт\
^бр ~ 1000 Мвш, А 0,33; РQ	15о0 кг Рп; ТП|а = ТП|д =	=
1 год;
7э,бор = 0,5 года; Тэ.тор = Та/2 = 0,38 года; в = 0,98.
Решение. По условию Та ~ 0,8 лет. Тогда
тй = 0,69
0,33 (2,06—1)—0,0204
= 4,6 года.
Упражнение 8. Пусть ядерная энергетика развивается с временем
удвоения — 8 лет. Если бы развитие ядерной энергетики происходило на
бридерах, рассмотренных в задаче упражнения 7, то ежегодно образовывался
* На реактор такого типа указано в § 9.4, с. 373.
387
бы плутоний, который можно использовать для компенсации выгорания в ре-
акторах на тепловых нейтронах.
Найти при этом условии отношение электрических мощностей а ~
=	(t)/ VFgpfO реакторов на тепловых нейтронах (см. упражнение 5) и бри-
деров (см. упражнение 7), считая, что в первых 335U и 239 Ри эквивалентны.
Решение. Обозначим
М ехр (иЛ f) F (со^) иГа
'------------------------------—— кг!год
° ^бр(а-Н)	1—ехр (—wTa) '
скорость выдачи избыточного плутония из перерабатывающего завода в
форме твэлов для реактора на тепловых нейтронах;
р<т) ;(т> m =	(, _ °.7% М<?А * a F. М <*л	«и
° “	0 \ миима+и -V»” г°д
<1	V
скорость потребления Ри реакторами на тепловых нейтронах. Число а> по
условию задачи, должно быть найдено из равенства
Л>^) = ^отЧт)(О-	(9-6.32)
Отсюда следует, что
-Г(сол) Ра j Гт
(®л)	1 -0,7/Рт
(9.6.33)
В приближении (9.6.19), (9.6.26а) получаем
(9.6.34)
Упражнение 9. Найти формулу для
^бр+т И
*т(0
—отношения скоростей потребления природного урана в условиях задачи
упражнения 8 к скорости потребления природного урана в условиях задачи
упражнения 3.
Решение. В том приближении, в каком получена формула (9.6.34),
имеет место отношение
у ‘а + Уо
тл(<Н- I) (У1 -hУ’/тл)
(9.6.35)
388
Здесь
₽('> (1-|-7’(п’/7’(тН /i \ тт
~(Т)	0 '	' п, a' J а I | 1	\ jU
Уа = rT
у, уп определяются формулами (9.6.21), (9.6.23), а у^\ yff — формулами
(9.6.266), (9.6.29).
Упражнение 10. Пусть для бридера упражнения 7 Ру бок =
~ 500 г, а природным ураном в торцевых частях по сравнению с его общим
количеством в зоне воспроизводства можно пренебречь (Ри тор = 0). Пара-
метры реактора на тепловых нейтронах принимаются такими же, как в уп-
ражнении 5. Рассчитать у по формуле (9.6.35).
Решение.
а_ (1/4,62—1/8)0,98-0,75-2,93-0,69-(1,26/0,75)(1550/2178) ~
й~	1—0,98(1—0,53-0,4)ехр[ —(0,693/8).2]	~	’
= 0,553 T'U/Msm; t/T = 0,104 -?'П/(Ме/гг-го9);
Уо = 0,693-1502/1000 = 1,05 rU/zVle/?!.; у— 1 ,3 rU/Mem; y^ = 0,09 rU/Me/n;
0,125 0,48 40,693
7” 8-0,148 (0,104 4- 0,553/8)	~ ° ’39'
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
Глесстон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. Пер. с англ.
М., Изд-во иностр, лит., 1954.
2.	Гуревич И. И., Померанчук И. Я. Теория резонансного поглощения в гете-
рогенных системах. — В ни.; Доклады советской делегации па Междуна-
родной конференции по мирному использованию атомной энергии. (.Жене-
ва, 1955). Реакторостроен не и теория реакторов. М.. Изд-во АН СССР,
1955, с. 220.
3.	Егиазаров М. Б., Дикарев В. С., Мадеев В. Г. Измерение резонансного
поглощения нейтронов в ураи-графитовой решетке. — В кп.: Сессия
АН СССР по мирному использованию атомной энергии, Г—5 июля 1955 г.
(заседания отд. фпз.-мат, наук). М., Изд-во АН СССР, 1955.
4.	Галанин А. Д. Теория ядерных реакторов па тепловых нейтронах. Изд.
2-е. И., Атомиздат, 1971.
5.	Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. Пер. с англ.
Под ред. R. В- Шевелёва. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
6.	Мегреблиан Р.} Холмс Д. Теория реакторов. Пер. с англ. Под ред.
П. А. Гаврилова. М., Г ос атомиздат, 1962.
7.	Теория ядерных реакторов. Под ред. Г. Бнркхофа и Е. Вигнера. Пер.
с англ. Под ред. Г. А. Батя. М., Гос а том над ат, 1963.
8.	Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. . Пер. с англ. Под ред.
В, Н. Артамкина. М., Атомиздат, 1975.
Дополнительной
К главе 1
9.	Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б. К, вопросу о цепном распаде основного
изотопа урана. — «Жури, экспернм. и теор. физ.», 1939, т. 9, вып. 12,
с. 1425.
10.	Ферми Э. Элементарная теория котлов с цепными ядерпымн реакциями,—
«Успехи фнз. наук», 1947, т. XXXII, вып. 1, с. 54.
К главе 2
И. Владимиров В. С. Уравнения математической фнзпкн. Изд. 2-е. АТ, «Нау-
ка», 1971.
12.	Арсенин В. Я. Методы математической физики. М., «Наука», 1974.
13.	Давыдов В. И., Шихов С. Б. Аналитические методы решения газокпнети-
ческого уравнения переноса нейтронов (приближенные представления).
М., Атомиздат, 1975.
К главе 3
14.	Placzek G. On the Theory of the Slowing Down of Neutrons in Heavy Sub-
stances. — «Phys. Rev.». 1946, v. 69, № 9, p. 423,
15.	Гордеев И. В., Орлов В. В., Сидельников Т. X. Температурная зависи-
мость эффективного резонансного интеграла поглощения,—«Атомная энер-
гия», 1957, т. 3, № 9, с. 252.
390
5 6. Дреснер Д, Резонансное попаси цен нс в ядсрпых реакторах, Пер. с англ.
Под ред. Г. И. Марчука. М., Госатомпздат, 1962.
17. Распространение резонансных нейтронов в гомогенных средах, теория,
специальные функции. — «Бюл. Информ, центра по ядерным данным». М.,
Атомиздат, 1968. Авт,: Л. П. Абакан, Ф. Ф. Михайлмс, И. Н. Николаев,
В, В. Орлов.
17а. Влияние резонансное! структуры сечений на распространение и замедле-
ние нейтронов в средах. — В кн.: .Материалы Третьей Женевской конфе-
ренции по мирному использованию атомной энергии. Т, 27. Нью-Йорк,
Изд. ООН, 1965, с. 47. Авт.: Л. П. Абагяп и др.
176.	См. [16].
К главе 4
18.	Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Пер. с англ. Под ред. Г. И. Мар-
чука, М., Атомиздат, I960.
19.	Кейз К., Цвайфелъ П. Линейная теория переноса. Пер. с англ. М., «Мир»,
1972.
20.	Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный ана-
лиз. М., Атомиздат, 1973.
21.	Троянский В. Б., Шихов С. Б. Критический размер реактора без отража-
теля и пространственно-угловое распределение нейтронов в приближении
материального параметра. — В кн.: Некоторые вопросы физики и техники
ядерных реакторов. Под ред. Л. И. Юровой. М., Атомиздат, 1965, с. 78.
21	а. Казарновский М. В. Теория нестационарной термализации нейтронов. —
«Труды физ. ин-та АН СССР им. П. Н. Лебедева», 1972, т. 63, с. 34—39.
216.	Янке Е., Эгиде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М. — Л.,
Гостехтеориздат, 1949,
К главе 5
22.	Мер рей Р. Физика ядериых реакторов. Пер. с англ. Под ред. Г. А. Батя.
М., Атомиздат, 1961.
23.	Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. М., Госатомиздат, 1961.
24.	Групповые константы для расчета ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1964.
Авт.: Л. П. Абагян, Н. О. Базазянц, И. И. Бондаренко, М. Н. Николаев.
25.	Шихов С. Б. Учет гетерогенного резонансного блок-эффекта при составле-
нии миотогруяпозых констант для расчета тепловых реакторов. — «Атом-
ная энергия», 1966, т. 20, вып. 1, с. 17.
26.	Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтро-
нов. М., Атомиздат, 1971.
26а. Усачев Л. Н. Уравнение для ценности нейтронов, кинетики реакторов
п теория возмущений. •— См. [2], с. 251.
К главе 7
27.	Кадомцев Б. Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии.—
«Докл. АН СССР», 1957, т. 113, № 3, с. 541.
28.	Петров Ю. В, Резонансное поглощение в тесно расположенных малых бло-
ках. — «Атомная энергия», 1957, т. И, Аз 4, с. 357.
29.	Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов. — При лож.
№ 3—4 к жури. «Атомная энергия», 1958.
30.	Heistrand Е., Blomberg Р., Негтег С. The Temperature Coefficient of the
Resonance Integral for Uranium Metal and Oxide. — «Nucl. Sci. Engng»,
1960, v. 8, Ж 6, p. 497.
31.	Орлов В. В,, Гелашвили Т. В., Баскин А. И. Резонансное поглощение
нейтронов блоком. — В кн.: Нейтронная физика. Под ред. П. А. Крупчин-
кого. М,, Госатомиздат, 1961, с. 105.
32.	Лукьянов А. А. Замедление и поглощение резонансных нейтронов, М.,
Атомиздат, 1974.
391
К главе 8
33.	Иоффе Б. Л., Окунь Л. Б. О выгорания горючего и ядерных реакторах. —
«Атомная энергия», 1956, т. 1, № 4, с. 80.
34.	Некоторые вопросы оптимизации характеристик энергетических реакторов
с помощью неравномерного распределения топлива. Доклад 28/Р/355
(СССР), представленный на Третью международную конференцию по мир-
ному использованию атомной энергии. (Женена, 1964). Авт.: Е. С, Глуш-
ков, Е. II. Инютин, В. П. Кочергин и др.
35.	Рудик А. П. Оптимальное расположение ядерного горючего в реакторе.
М., Атомиздат, 1974.
К главе 9
36.	Расчетные исследования по физике быстрых реакторов. Доклад Р/369, пред-
ставленный на Третью международную конференцию по мирному исполь-
зованию атомной энергии (Женева, 1964). Авт.: А. И. Лейпунский и др.
37.	Фейнберг С. М. Атомные электростанции. — «Атомная энергия», 1968,
т. 25, вып. 5, с. 363.
38.	Реакторы на быстрых нейтронах, работающие в бридерном режиме. Учеб-
ное пособие. Изд. МИФИ, 1971. Авт.: С. Б. Шихов и др.
39.	Фейнберг С. М. Быстрый реактор с гелиевым охлаждением. — В кн.: Со-
стояние и перспективы по созданию АЭС с реакторами на быстрых ней-
тронах. Сб. докладов II Симпозиума стран — членов СЭВ. Обнинск,
1—5 октября 1973 г. Обнинск, Изд. ФЭИ, 1975.
40.	Александров А. П. Атомная энергетика и научно-технический прогресс.—
В кн.: Атомной энергетике XX лет. М., Атомиздат, 1974, с. 205.
41.	Петросьянц А. М. Современные проблемы атомной науки и техники
в СССР. Изд. 3-е. М., Атомиздат, 1976.
предметный указатель
Активная зона реактора 27
Альбедо 34
Асимптотические решения 157
Биологическая защита 17
Блокированное резонансное по-
глощение 303
Блок-эффект 274
Вероятность избежать резо-
нансного захвата 21
Возраст нейтронов 61, 169
Возрастное приближение 169
Вторичное ядерное горючее 8
Г азокинетическое уравнение
Больцмана 132
Геометрический параметр реак-
тора 26, 156
Дифференциальная плотность
нейтронов 130
Диффузионная функция влия-
ния 39
Интеграл деления 133
---- упругих и неупругих со-
ударений 136
— эффективный резонансный
101
Квадрат длины миграции 39,
213
Коэффициент воспроизводства
364
— диффузии 62
— использования тепловых
нейтронов 21
— неравномерности тепловы-
деления 356
— проигрыша 275
— размножения 11, 13, 21
— — эффективный 52
— экранировки 281
Краевое условие Маршака 73
Критическая масса 14, 26
Критический радиус 27
— размер 14, 26
Критическое состояние 14
— условие 50
Материальный параметр среды
25, 62
Метод эффективной гомогени-
зации 275
Микроскопическое сечение 11
Многогруиповой метод 221
Моноэнергетическая модель ре-
актора. 12
Мультиплицирующая среда 13
Надкритический реактор 14
Неблокированное резонансное
поглощение 303
393
Нейтроны быстрые 19
—	запаздывающие 10, 16
—	промежуточные 19
—	тепловые 19
—	эпитепловые 213
Од н о г р v пп о в о е	л р и б л и жен и е
24
Период реактора 48, 134
Подкритический реактор 14
Полостной реактор 14
Приближение Вигнера 314
—	постоянных сечений 101
—	элементарной диффузии 71
Реактивность 15
Реактор на промежуточных
нейтронах 19
---- тепловых нейтронах 19
Система управления и защита
реактора 16
Сходимость по норме 45
Термализация 19
Теплоноситель 17
Топливный цикл 8
Транспортная длина пробега
нейтрона 71
Узкий резонанс 105
Упругое рассеяние 75
Уравнение возраста 166
Условно-крити ческа я	задача
217
Флюенс нейтронов 333
Ф о р м ул а четырех с о м н о ж. ите -
лей 21
Функция Грина 56
Цепной процесс деления 11
Циркулирующее жидкое (газо-
образное) топливо 14
Экономия отражателя 36
Экранировка 275, 302
Экстраполированная граница
157
Ядерное горючее 12
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................ 3
Введение ........................................................... 4
Глава 1. Основы цепного процесса....................................10
§ 1.1.	Ядериое Деление. Цепной	процесс....................... 10
§ 1.2.	Схема раектора. Классификация	реакторов................13
Глава 2. Критические размеры реактора в одногрупповом приближении 20
§ 2.1.	Формула четырех сомножителей . . . ...................20
§ 2.2.	Критический размер реактора............................24
§ 2.3.	Влияние плотности вещества на критические параметры 34
§ 2.4.	Критический размер реактора с отражателем..............34
§ 2.5.	Многозонный одномерный реактор (метод матричной сверт-
ки зон)................................................  39
§ 2.6	Уравнение нестационарного процесса.....................43
§ 2,7.	Вывод эффективного одногруппового уравнения .... 61
§ 2.8.	Реактор с источником...................................63
Приложение. П2.1. Вывод уравнения элементарной диффузии 68
Приложение П‘2.2. Экстраполированная граница..................73
Глава 3. Основы теории замедления.................................. 75
§ 3.1.	Законы упругого рассеяния нейтронов....................75
§ 3.2.	Стационарное уравнение упругого замедления в беско-
нечной однокомпонентной однородной среде ............... 80
§ 3.3.	Решение уравнения замедления в бесконечной одноком-
понентной непоглощающей среде........................... 83
§ 3.4.	Решение уравнения замедления в бесконечной однокомпо-
нентной среде с захватом. Вероятность избежать захвата 90
§ 3.5.	Резонансное поглощение в многокомпонентной среде . . 98
§ 3.6.	Приближения узкого и широкого резонансов..............105
§ 3.7.	Резонансный доплер-эффект.............................112
§ 3.8.	Учет интерференции между потенциальным и резонанс-
ным рассеянием в бесконечной однородной среде . . . . 118
П риложение ПЗП. Решение уравнения замедления в многоком-
понентной среде с захватом..........................122
Приложение П3.2. Некоторые специальные интегралы .... 128
Глава 4. Кинетическое уравнение переноса нейтронов.................130
§ 4.1.	Интегро-дифференциальное уравнение баланса нейтро-
нов ....................................................130
§ 4.2.	Материальный	параметр размножающей среды.........139
§ 4.3.	Материальный	параметр и асимптотические решения	. .	.	156
$ 4.4.	Возрастное приближение задачи замедления.........166
§ 4.5.	Замедление с	поглощением. Суперпозиция источников	173
395
§ 4.6.	Физический смысл и вычисление возраста нейтронов . .	184
§ 4.7.	Замедление в телах конечных размеров .............. 190
Глава 5. Критические размеры реактора в возрастном и многогрупповом
приближениях.............................................. 203
§ 5.1.	Постановка задачи.................................. 203
§ 5.2.	Материальный параметр в приближении теории возраста.
Критический размер однородного реактора ............ 205
§ 5.3.	Критическое уравнение для реактора со сложным спект-
ром нейтронов............................................  212
§ 5.4.	Спектр нейтронов в реакторе ....................... 215
§ 5.5.	Условно-критическая задача в возрастном	приближении 217
§ 5.6.	Уравнения многогруппового метода	............ 221
§ 5.7.	Двухгрупповой метод.................................224
§ 5.8.	Двухгрупповой метод в применении к активной зоне с
отражателем............................................... 227
§ 5.9.	Матричная свертка для многозонного	реактора.......	232
§ 5.10.	Многогрупповой расчет реактора произвольного спектра.
Метод итерации источника..........................  238
Приложение П5.1. Вывод общей системы многогрупповых урав-
нений в диффузионном приближении..................... 246
Приложение И5.2. Определение граничной энергии между
спектрами замедляющихся и тепловых нейтронов . . .	250
Глава 6. Управление и регулирование реактора...................	252
§ 6.1.	Задачи и средства системы управления............... 252
§ 6.2.	Реактивность, вносимая поглощающими стержнями . .	255
§ 6.3.	Расчет регулирующего стержня в одногрупповом при-
ближении ................................................. 255
§ 6.4.	Решетка стержней при одногрупповом рассмотрении . .	258
§ 6.5.	Центральный стержень с учетом его прозрачности для
нейтронов...............................................   262
§ 6.6.	Эксцентрический	стержень........................... 266
§ 6.7.	Системы стержней. Интерференция регуляторов ....	270
Глава 7. Теория решеток........................................ 274
§ 7.1	Понятие блок-эффекта............................... 274
§ 7.2.	Коэффициент использования тепловых нейтронов . .	276
§ 7.3.	Газокинетические поправки к 0...................... 291
§ 7.4.	Влияние температуры на 0............................294
§ 7.5.	Резонансный захват в незамедляющих блоках решетки 297
§ 7.6.	Резонансный захват в широкой решетке с учетом замедле-
ления в блоках............................................ 307
§ 7.7.	Теорема эквивалентности гетерогенной и гомогенной
сред по отношению к резонансному захвату.................. 314
§ 7.8.	Размножение на быстрых нейтронах................... 315
§ 7.9.	Длина миграции нейтронов в решетке................. 320
§ 7,10.	«Гомогенизированный» расчет гетерогенных реакторов 322
Приложение П7.1. Функция Грина и теорема взаимности . .	325
Приложение П7.2, Теорема взаимности для распределения ней-
тронов, не испытавших соударений..................... 326
Приложение П7,3. Вероятность нейтрону испытать соударение в
блоке.................................................329
396
Глава 8. Изменение изотопного состава топлива, выгорание ....	333
§ 8.1.	Уравнения выгорания................................. 333
§ 8.2.	Глубокое выгорание ядерного	топлива .............. 344
§ 8.3.	Система перегрузки реактора ........................ 351
§ 8.4.	Выравнивание поля тепловыделения.................... 356
Глава 9. Воспроизводство ядерного горючего....................... 364
§9.1.	Коэффициент воспроизводства......................... 3G4
§ 9.2.	Связь между критичностью и коэффициентом воспро-
изводства ................................................. 367
§ 9.3.	Воспроизводство ядерного горючего в ториевом топлив-
ном цикле.................................................. 368
§ 9.4.	Проблема расширенного воспроизводства ядерного го-
рючего в	реакторах на	быстрых	нейтронах............. 371
§ 9.5.	Время удвоения ядерного	горючего.................... 375
§ 9.6.	Расширенное воспроизводство горючего в бридерах па
тепловых	нейтронах...............................  378
Список литературы,............................................... 390
Предметный указатель............................................  393
ИБ № 755
Савелий Моисеевич Фейнберг, Сергей Борисович Шихов,
Валерий Борисович Троянский
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ
Т о м I
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ РЕАКТОРОВ
Редактор Г. В. Чернышова
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника О. В, Камаева
Технический редактор Н. А. Власова
Корректор Р. А. Скитева
Сдано в набор 8.II.1978 г. Подписано к печати 19.ХЯ978 г.
Т-19812. Формат 60Х907к.; Бумага тип. №? 2
Усл. псч. л. 28,(1. Уч.чтзд, л. 25,54.
Тираж 5800 зкз. Зак, изд. 70175 Зак. тип. 85 Цена 1 р. 30 к.
А т о м и з д а т t 1039 31, М о с к в а, К - 31, у л, Ж Д а и о в а, 5
/Московская типография Л? 4 Союз по диграф пром а
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., дом № 46